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8/15/2019 BALOTARIO GRUPO 4.pdf
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GRUPO 04Integrantes:
1.- Jorge Alexánder Llanos Villegas
072668i
2.- Jonathan Lima Flores
1213210182
3.-Vasquez Cornejo Fernando
1113220494
8/15/2019 BALOTARIO GRUPO 4.pdf
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11) Un circuito LRC con R12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería que transmite un
voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después de 10
segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada
definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cerca,
determine:
a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5 y t=20
2
2
2 10 30
2 2 10 30
2 2
0 0 10
( ) 20 10 30
0 30
0 20 0 10 0 20 30
12 100 20 10 20 30
20 20( ) 12 36 64
20 20( ) 6 8
20( )
6 8
S S
S S
t
E t t
t
d q dq q L R
dt dt c
u t u t
d q dq L q L u t u t
dt dt
q S S S e eS s
q S S e eS S
q S S
10 30
2 2
22 2
10 3010
2 2
30
2 2
20
6 8
20
12 1006 8
1 1 125 5 5
12( )
5 55 6 8
12
5 6 8
S S
S S S
S
e eS
A BS C
S S S S
A B C
S e eq s e
S S S S
S e
S S
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Tomando la inversa
1
101 1
2 2
301 1 30
2 2
6 10
6 10
6 10
6
( )
12
5 5 6 8
12
5 5 6 8
10 cos 2 2 10 10( )
5 5
3 2 2 2 10 10
10
30 cos 2 2 30 30
5 5
3 2
S
S S
t
t
t
L q S
S e L LS S S
S e L L e
S S S
u t e t u t q t
e sen t u t
u t e t u t
e
102 2 30 30
10
0 0 1010
1 10
0 0 3030
1 30
( 5 ) 0
1( 2 0 )
5
t sen t u t
t u t
t
t u t
t
q
q
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5/14
6 10
6 10
6 10
6 10
6 10
6 10
cos 2 2 10 10( )
5
11 2 2 2 10 10
5
3 2 2 2 10 10 30
10 5
cos 2 2 30 30
5
11 2 2 2 30 30
5
3 2 2 2 30 3010
0 0 1010
1 10
0 0 3030
1 30
t
t
t
t
t
t
e t t I t
e sen t u t
e sen t t t
e t t
e sen t u t
e sen t t
t u t
t
t u t
0 0 9
110 9 112
110
0 0 29
130 29 302300
( 8 ) 0
( 40 ) 0
t
t
t t
t
t
t t
t
I
I
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12) Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1 , C=0.01 faradios se conecta a una batería que transmite un
voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después de 10
segundos permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada
definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero,
determine: la intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8s y t=40s.
L=1 C=0.01faradios R=12ohmios
2
2
10
dl dl L R
dt dt c
Reemplazando los datos:
2
2
2
12 100 0
12 100 0
12 144 400
2
dl dl
dt dt
Q Q
Q
Derivamos: I'(t)
12 544 12 544
24 2412 544 12 544I'(t) 1 2
24 24
t t
c e c e
Luego hallando I '(0 )
( 0 ) 0 ( 0 ) 0
(t) 1( ) ( ) ( )
( )
1'( 0 ) 12( 0 ) ( 0 ) 0
0.01
''( 0 ) 20
''( 0 ) 1 2
12 544 12 54420 1 224 24
1 2
12 544 12 544( ) 0
24 24
I q
I L RI t q t E t
d t c
I
I
t r c c
c c
c x c y
I t xe t ye t t
Entre 8 y 40 segundos
12 544 12 544 12 544 12 54440 40 8 8
24 24 24 24
xe ye xe ye
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PROBLEMA 13.
Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integro diferencial.
1.- ∫ Solución:
Por transformada de Laplace:
(
)
( )
Hallando la inversa:
2.- ∫ Solución:
Por transformada de Laplace:
( )
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Hallando la inversa:
3.- ∫ Solución:
Por transformada de Laplace
(
)
Aplicando la inversa de Laplace en cada lado:
4.- ∫
Solución:
Por Transformada de Laplace:
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( )
Aplicando la inversa de Laplace a cada lado:
5.- ∫
Solución:
Por transformada de Laplace:
( )
PROBLEMA 14
Demuestra las siguientes propiedades de la función gamma, definida como:
() √
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( )
√
Demostraremos la relación entre la transformada de Laplace con la función gama.
De la definición de la transformada de Laplace: ∫
Por propiedad se sabe: Resolviendo:
De la función gamma, sea y cambiamos t=w, ∫ entonces: ∫ Sea: w=st, entonces t=w/s, dw = sdt
Sustituimos los datos en la ecuación (I)
Ordendando se tiene:
Se ha demostrado que:
I)
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Entonces: ∫
Por lo tanto r(1) = 1
, partiremos de la propiedad:r(x+1)=xr(x)
Que fue demostrada en la parte II
Entonces r(2) = r(1+1)=1r(1) de donde r(1) = 1 que demostramos al principio.
Por lo tanto queda demostrado que r(2)=1
() {
√ }
Haciendo cambio de variable:
()
{
}
{}
Reescribiendo la integral en coordenadas polares:
{
}
{}
( )
{}
() √
II) De la definición de función gamma:
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Calculamos por límites
Resolvemos la integral por partes:
Sea:
Luego:
=[| ∫ ]
= ∫
=
Se demuestra que:
III)
r(n+1) = n!
Deducimos a partir de la demostración hecha en la primera parte, por intuición:
r(1) = 1
r(2) = r(1+1) = 1r(1) = 1= 1!
r(3) = r (2+1) = 2r(2) = 2*1 = 2!
()=(+)=()=∗∗=!( +)=()=(−)!=!Se demuestra que r(n+1) = n!
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PROBLEMA1 5:
Resuelva el siguiente sistema integro diferencial:
Z(0) = -6 ; Y’(0) = 12
y’(t) + z’(t) +z(t) = 0
y’(t) + y(t) + 4 ∫ () u + 10 = 0
SOLUCIÓN.
Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones:
L[y’(t)] + L[z’(t)] + L[z(t)] = L[0]
L[y’(t)] + L[y(t)] + 4L[∫ ()u] + L[10] = L[0]Operando las ecuaciones se tiene:
SY(S) _Y(0) + SZ(S) – Z(0) + Z(S) = 0
SY(S) _Y(0) + Y(S) + 4L[∫ ()u] + = 0Entonces:
(()+()) − ((0) + (0)) + () = 0
()( + 1) − (0) + 4 + = 0
ORDENANDO:
() ( + 1) + (()) = (0) + (0) 4
+
+ () ( + 1) = (0)
Al reemplazar los datos iniciales:
() ( + 1) + (()) = 64
+ () (
+ 1) = 6 −
Aplicamos la regla de cramer para resolver el sistema
Z(S) =
=
=
Z(S) =
= 4[
+
] = 4[
]
Igualando los terminos para hallar A y B:
3 + 4 = ( + ) + (3 − ) , entonces: + = 3 y 3 − = 4
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De donde se obtiene: A= y B=
Entonces:
Z(S) = 4[
+
] =
+
aplicando transformada inversa.
Se tiene:
−1[()] = 5−1[ ] + 7−1[
]
Operando nos queda:
() = 5 −3 + 7
t