482
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 1 Prof Andone Elena SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 0 2012 =0, 2012 0 =1,mai mic este numărul 0 5p 2. Resturile ce se pot obţine la împărţirea cu 6 sunt 0, 1, 2, 3, 4,5.Suma lor este 15 5p 3. Amplificăm raportul cu 25 şi se obţine 75 100 , ceea ce înseamnă 75% 5p 4. 90 0 - 39 0 45’=50 0 15’ 5p 5. V cub =l 3 =125, l=5, d=5 3 5p 6. Dacă notăm cu x numărul total de persoane ce participă la sondaj, atunci 10 228 100 x = , x=2280; 25% din 2280 înseamnă 570 de persoane ce răspund cu „Nu” 5p SUBIECTUL II (30 de puncte) 1. Patrulaterul ortodiagonal este patrulaterul ce are diagonalele perpendiculare 5p 2. 42-13=29 cărţi se găsesc pe raftul al doilea, 29+5=34 cărţi pe raftul al treilea, 42+29+34=105 cărţi în total 2p 3p 3. Notăm cu „a” numărul răspunsurilor corecte şi cu „b” numărul răspunsurilor greşite.Din textul problemei rezultă relaţiile: a+b=30 şi 5a-3b=110. Inmulţind prima relaţie cu 3 şi adunând-o cu a doua, se obţine a=25 răspunsuri corecte 2p 3p 4. a) f(x) = 3x-3. Se aleg de exemplu punctele de intersecţie cu axele de coordonate A(0, -3) şi B(1,0) şi se reprezintă într-un sistem de axe, dreapta AB 2p 3p b) Pentru a determina punctul de coordonate egale, situat pe graficul funcţiei, rezolvăm ecuaţia f(x) =x; se obţine 3 2 x = deci punctul va fi M( 3 2 , 3 2 ) 2p 3p www.mateinfo.ro 1

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Naţională 2011-2012 Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

  • Upload
    lamdien

  • View
    252

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 1 Prof Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 02012=0, 20120=1,mai mic este numărul 0 5p

2. Resturile ce se pot obţine la împărţirea cu 6 sunt 0, 1, 2, 3, 4,5.Suma lor este 15

5p

3. Amplificăm raportul cu 25 şi se obţine 75100

, ceea ce înseamnă 75% 5p

4. 900- 39045’=50015’ 5p

5. Vcub=l3=125, l=5, d=5 3 5p

6. Dacă notăm cu x numărul total de persoane ce participă la sondaj, atunci

10228100

x= ⋅ , x=2280; 25% din 2280 înseamnă 570 de persoane ce răspund

cu „Nu”

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Patrulaterul ortodiagonal este patrulaterul ce are diagonalele perpendiculare 5p

2. 42-13=29 cărţi se găsesc pe raftul al doilea, 29+5=34 cărţi pe raftul al treilea, 42+29+34=105 cărţi în total

2p

3p

3. Notăm cu „a” numărul răspunsurilor corecte şi cu „b” numărul răspunsurilor greşite.Din textul problemei rezultă relaţiile: a+b=30 şi 5a-3b=110. Inmulţind prima relaţie cu 3 şi adunând-o cu a doua, se obţine a=25 răspunsuri corecte

2p

3p

4. a) f(x) = 3x-3. Se aleg de exemplu punctele de intersecţie cu axele de coordonate A(0, -3) şi B(1,0)

şi se reprezintă într-un sistem de axe, dreapta AB

2p

3p

b) Pentru a determina punctul de coordonate egale, situat pe graficul funcţiei,

rezolvăm ecuaţia f(x) =x; se obţine 32

x = deci punctul va fi M( 32

, 32

)

2p

3p

www.mate

info.r

o

1

Page 2: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5

{ }

2 2

2 2

11 30 6 5 1112 35 7 5 35

( 6)( 5) 6 , ( ) 7( 7)( 5) 7

x x x x xx x x x xx x x xx x x

+ + + + += =

+ + + + ++ + +

= ∀ ∈ − −+ + +

2p

3p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) l=240 mm=24 cm; h=0,1 dm =1 cm;

Vcutie= 48∙ 24 ∙ 1 = 1152cm3

3p

2p

b) O duzină are 12 cutii de chibrite;

Vcub=12∙Vcutie=22∙ 3 ∙ 24∙ 3 ∙ 3 ∙ 23=29∙ P33= (23∙ 3P)3→ Platura cubului va fi egală cu23∙ 3P=24 cm

2p

3p

c) Aria totală a unei duzini este 6l2=6∙242=3456 cm2

Dacă pentru ambalarea unei duzini sunt necesari 3456 cm2 hărtie atunci pentru 125 duzini vor fi necesari 125∙3456 cm2=432000cm2=43,20 m2

2p

3p

2. a) 21+15+9+9+11+5=70 stâlpi 5p

b) AABEF=372 m2, ABCDE=432 m2,Atotală=804 m2;

43280410

5 , 30

3 7pp= → =⋅

2p

3p

c) BE= 6 13 6 3,5≅ ⋅ =21m,

BE=28 410−⋅ t⋅ , t=15000s

2p

3p

www.mate

info.r

o

2

Page 3: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 2 Prof. Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -2 5p

2. Fals;dacă ultima cifră a unui număr este 2, acesta nu poate fi pătrat perfect 5p

3. (68, 88)=4 5p

4. P=4l=36, l=9 5p

5. V=

3 27 2 9 21

212 2 4

l= =

5p

6. Din cele 100 pătrăţele ale figurii sunt colorate 52; p%100=52; p=52 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Se desenează un cub cu muchia de 4 cm 5p

2. Notăm cu „m” preţul unei mese şi cu „s” preţul unui scaun.

3m+12s=576; m=4s; s=24 lei, m=96 lei

2p

3p

3. 7a+5b+3c=

(a+b+3c)+(3a+2b)=108+132=240

2p

3p

4. a) f(2)=1→a+b+2=1→a+b=-1

g(2)=1→3b-a=1. Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii şi se obţine a=-1 şi b=0→f(x)=-x+3 şi g(x)=1

1p

2p

2p

b) Se obţine după reprezentarea într-un acelaşi sistem de axe, un trapez

dreptunghic cu bazele 2 şi 3 , înălţimea 1→A 52

=

2p

3p

www.mate

info.r

o

3

Page 4: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 2 2

2 2

2 2 2 2

3) ( 3)3) (2 3)

( 3 3)( 3 3) 6 2 64 12 9 4 12 9 8 18 4 9

((2

aa

a a a a a aa a a a a

a

a

a+ − −

=+ + −+ − + + + − ⋅

= =+ + + − + + +

2p

3p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) At= 2∙ (𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 + 𝐿𝐿 ∙ ℎ + 𝑙𝑙 ∙ ℎ)=35100 cm2 5p

b) V=𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 ∙ ℎ =450 dm3=450 l 5p

c) preţ total= 6 ∙ 3,51 ∙ 25 = 526,5 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 5p

2. a) 72=(x+7)(x+1)→x=5→ AB=12 cm şi AD=6 cm 5p

b) AABC = 12

AABCD=36, EC mediană în triunghiul ABC→AAEC=18 5p

c) DF este bisecroarea unghiului ADC; aplicănd teorema bisectoarei în

triunghiul ADC→ 12

AF AD AFCF DC FC

= → = , AC 6 5 2 5AF= → =

5p

www.mate

info.r

o

4

Page 5: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 3 Prof. Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -24+4= -20 5p

2. 123, 153, 183 5p

3 {0,1,2,3,4} 5p

4. 0 0 0( ) (180 24 ) : 2 78m B = − = 5p

5. b=6, B=20, linia mijlocie va fi egală cu 13 5p

6. P 32 8100 25

= = 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Se va desena un paralelipiped dreptunghic respectând dimensiunile date 5p

2. f(x) =ax+b, f(1) =2, f(-2) =1→a+b=2 şi -2a+b=1→ a 13

= şi b 53

= 5p

3. Dacă 2

3xy= , atunci x =2k,y=3k→ 14

177

7 yx

x=

+

5p

4. a) 107: 3=35 rest 2, 107:4=16 rest 3, deci în sac pot fi 107 jucării 5p

b) x=3c1+2, x=4c2+3, x+1=12k, 300<12k-1<350, x+1∈{312,324,336,348}

x∈{311, 323, 335,347}

5p

5 22

2

12 4 (3 2) 4 5 3 26 (4 5)(4 5) 3(3

9 4 516 5 2)2 4 59

x x x xx x x

xx x

xx−

⋅−

+ + + − += ⋅ =

+ − + + +

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) d2=L2+l2+h2→h=30 cm 5p

www.mate

info.r

o

5

Page 6: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) CS ( ), ; , ( )ESU SD EU EU ES ESU⊥ ⊥ ⊂ →

CD EU⊥ (teorema celor trei perpendiculare); EU=50 cm, SD=24 cm, CD= 2 481

5p

c) Vapă=50∙ 40 ∙hapă, hapă=7,5 cm

5p

2. a) ABCD trapez isoscel ortodiagonal→h=(b+B):2→CD=20 m

AABCD=10000 m2=100 ari

5p

b) ABMC=4000 m2=40% AABCD 5p

c) PAMCD=220 +60 5 m

(220 +60 5 ) ⋅12,5≅ 4427 lei

5p

www.mate

info.r

o

6

Page 7: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 4 Prof. Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. x= -9 5p

2. 5 zile 5p

3. 160 lei 5p

4. 4 cm 5p

5. 600 5p

6. 6 elevi 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Se va desena o prismă hexagonală regulată ce va fi notată ABCDEFA’B’C’D’E’F’

5p

2. Prin cardinalul unei mulţimi înţelegem numărul de elemente al acelei mulţimi.

Numerele raţionale din mulţimea A sunt -12; 3; 2,94; 0; 12

şi 42

.

Cardinalul mulţimii A∩ este 6.

1p

3

1

3. Dacă fiecare elev ar cunoaşte o singură limbă străină, atunci în clasă ar fi 35 de elevi.

Diferenţa 35-25=10 reprezintă numărul elevilor ce cunosc ambele limbi

2p

3p

4. a) A(1,4) fG∈ ⇔ f(1) =4, B(-2,2) fG∈ ⇔ f(-2) =2,

după înlocuire se obţin relaţiile a+b=-4, -2a+b=2

se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii→a=-2, b=-2

1p

2p

2p

b) Se reprezintă într-un sistem de axe, de exemplu, punctele A(1,4) şi B(-2,2). 4p

www.mate

info.r

o

7

Page 8: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Dreapta AB reprezintă graficul funcţiei 1p

5 2 2

2 2

6 5 5 5 ( 5)( 1) 12 15 5 3 15 ( 5)( 3) 3

x x x x x x x xx x x x x x x x

+ + + + + + + += = =

+ − + − − + − −

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) CDAM este un trapez dreptunghic cu bazele AM=x, CD=9m şi înălţimea AD=8m.

Aria unui trapez se calculează cu formula A= ( )2

B b h+ ⋅

Înlocuind se obţine ADAMC= 4x+ 36

2p

1

2

b) Aria triunghiului MBC poate fi calculată cu formula 2

b h⋅ ,

înălţimea din C a triunghiului coincide cu înălţimea trapezului, deci are lungimea 8 m şi baza este MB=15-x

înlocuind se obţine AMBC = 4(15-x)

1p

2p

2p

c) Fie MN⊥CD; CN=9-x=9-3=6m, MN=AD=8m

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul MNC se obţine CM= 10

3p

2p

2. a) Al=2(Lh+lh)=1600 m2 5p

b) Suprafaţa vopsită este egală cu 2A l=3200 m2

3200 ⋅0,025=80 kg

2p

3p

c) 80 ⋅40=3200 lei ar costa vopseaua necesară

20% din 3200=640 lei reducere

3200-640=2560 lei a costat vopseaua

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

8

Page 9: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 5 Prof. Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 17 5p

2. 24 5p

3. 711

5p

4. 1420 5p

5. 27 cm3 5p

6. -30 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Se desenează tetraedrul CORP 5p

2. Numărul fetelor este 2 ⋅9=18 fete

Numărul eelevilor este 9+18=27 elevi

2p

3p

3. n= 763 7 3 147 2 7 3 7 7 3 7 3 2 7 7 0

7− + − − = − + − − =

5p

4.

a)

32 62 4

3 272 4

4,5

x x

x

x

− = − − ⇒

− = − ⇒

=

2p

2p

1p

b)

2 4 2

12 242

24 16, 82

x y yx

x y x y

y y y x

= ⇒ =

+= ⇒ + =

+ = ⇒ = =

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

9

Page 10: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

16 8 8 2z xy= = ⋅ =

5 (x+3)3- 25(x+3)= (x+3)(x+3-5)(x+3+5)= (x+3)(x-2)(x+8) 5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) A-B-C-D-E-F 22 km 5p

b) d=v ⋅ t⇒ t= dv

distanţa AC=11 Km⇒ t= 16

h= 16⋅60=10 minute

distanţa CE=7 km⇒ t= 112

h= 112

⋅60=5 minute

distanţa AE va fi parcursă în 15 minute

2p

1p

1p

1p

c) 12800:500=25,6

deci sunt necesare 26 de drumuri

4p

1p

2. a) At=6l2=216 dm2=2,16

216 dm2=2,16 m2

deci sunt suficinţi 3 m2

2p

2p

1p

b) 2,16m2 ⋅3= 6,48 lei 5p

c) V=216 cm3=0,216 dm3<1 dm3 Deci nu încape 1l de suc. 5p

www.mate

info.r

o

10

Page 11: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 6 Prof. Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 8 5p

2. 29

5p

3. -2,-1,0,1,2,3 5p

4. 2

1x

x +

5p

5. 36 2 5p

6. 3 feţe laterale şi două baze 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. desen 5p

2. a+b=15,

a=4b,

Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţi ⇒ a=12, b=3

1p

1p

3p

3. 1 3 3 1

1 3 1 3

1 3 1 3 3 1 1 3 2 3

− = −

+ = +

− + + = − + + =

Rezultatul este număr iraţional

1p

1p

2p

1p

4. a)preţul după prima scumpire este de 300+20%300= 360 lei;

preţul după a doua scumpire este de 360+ 10%360=396 lei

2p

3p

www.mate

info.r

o

11

Page 12: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 300+30%300=390 lei 5p

5 256= (a-b)2=a2+b2-2ab;

256=706-2ab

2ab=450

ab=225

2p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ADCE=paralelogram; AD⊥DE, ADCE⇒CE⊥DE⇒ DCE dreptunghic⇒DE=5 3

tg (DAB)= 3 ⇒m(∢DAB)=600

3p

2p

b) EC=EB=5 cm,

m(∢CBE) =600,deci triunghiul BEC este echilateral

2p

3p

c) Aria trapezului ABCD este 125 3

4cm2

Aria colii de hârtie este de 600 cm2>125 34

Deci poate fi decupat

2p

2p

1p

2. a) V=L ⋅ l ⋅h:2=4950 cm3 5p

b) V1=22 ⋅15 ⋅20=6600 cm3

Vpiatră=6600-4950=1650 cm3

3p

2p

c) Asticla=At-Ab= 2550 cm2 5p

www.mate

info.r

o

12

Page 13: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 7 Prof. Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 7,(3) 5p

2. 12 5p

3. 92,5g 5p

4. 300 5p

5. 9 3 5p

6. 6,65 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Inecuaţia este echivalentă cu 6x+2-10<4x+1 ⇒ 6x-4x<1+10-2 ⇒ 2x<9

x este număr natural ⇒ x ∈ {0,1,2,3,4}

4p

1

2. Fie a preţul unui kg de banane şi b preţul unui kg de portocale

14a+8b=86

22a+24b=158

Rezolvând sistemul format din cele două ecuaţii obţinem că 1 kg de banane costa 5 lei, un kg de portocale 2 lei,

deci, 3kg banane şi 1 kg de portocale costă 17 lei

1p

1p

1p

1p

1p

3. Raţionalizăm fiecare din termenii sumei cu expresiile conjugate

Se obţine 121 1− =10

4p

1p

4. a)2 x+1∈{± 1, ± 2, ± 3, ± 6}⇒2x∈{-2,-3,-4,-7,0,1,2,5}⇒x ∈{-1,-2,0,1}⇒A={0,1}

ecuaţia (2x+ 3 )(2-x 3 )=1 are soluţia x=1

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

13

Page 14: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

A∩B={1}

b) -2 5p

5 (x+1)2+(y+3)2=0

x= -1, y= - 3

3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ADMN= AABCD – ADCM - AADN –AMNB =

=600-150-10(30-x)-5x= 150+5x

2p

3p

b)150+5x=200⇒5x=50⇒x=10 aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ADN şi obţinem DN = 20 2

2p

3P

c) Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora ca triunghiul DMN este un triunghi dreptunghic în N

5p

2. a) V=L ⋅ l ⋅h=240000 cm3 5p

b) Dreptele D’B şi AD sunt necoplanare, ADBC, D’B∩BC={B}⇒unghiul dintre cele două drepte este unghiul D’BC. Triunghiul D’BC este dreptunghic în C; D’B=50 5

cos D’BC=√55 ⋅

2p

2p

1p

c)At=2(l ⋅L+L ⋅h+l ⋅h)=

= 23600 cm2

1p

4p

www.mate

info.r

o

14

Page 15: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta8 Prof. Andrei Lenuţa

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 102 5p

2. 0 5p

3. 770 5p

4. 25 5p

5. 13 5p

6. 30 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează tetraedrul regulat Notează tetraedrul regulat MNPQ

4p 1p

2. 10a-16b=a-b+9a-15b =17+3(3a-5b) =17+3·23=86

2p 2p 1p

3. Notăm cu x numărul de probleme rezolvate în prima zi de Andrei ⇒ x+x+5+x+10+x+15= 110 4x+30=110 ⇒4x = 80⇒x = 20 (probleme a rezolvat Andrei în prima zi) In nicio zi numarul problemelor rezolvate nu este prim.

2p 2p 1p

4. a) ( ) ( )0 3 0 3 3 0, 3f A= ⋅ − = − ⇒ −

( ) ( )1 3 1 3 0 1,0f B= ⋅ − = ⇒ Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în sistemul de axe xOy Trasarea graficului funcţiei f

1p 1p 2p 1p

b) ( ) ( ), fA x y G f x y∈ ⇔ =

( ) 3 3x y f x y x x= ⇒ = ⇒ − = 32 32

x x= ⇒ = ⇒3 3,2 2

A

1p 2p 2p

5 22

2

1 1 2x xx x

+ = + −

2 22

1 7 2xx

+ = − =47

3p 2p

www.mate

info.r

o

15

Page 16: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

( )( )

,10

,

DM AB M ABAM NB

CN AB N AB

⊥ ∈ ⇒ = =⊥ ∈

m

În ADM∆ ( ) 090m M = şi ( ) 045m A = ADM⇒∆ dreptunghic şi isoscel 10AM MD⇒ = = m

( ) 29002ABCD

AB CD DMA m

+ ⋅= =

2p 1p 2p

b) 2500

2ABCAB CNA m∆

⋅= =

5p

c) 2 180 20 2ABCDP AB DC AD= + + = +

2 360 40 2 416,4ABCDP m= + ≈

3p 2p

2. a) ( )

.0 2 2 2, 90 10000 6400 16400

T PABC m B AC AB BC∆ = ⇒ = + = + =

⇒ 16400 20 41AC = = cm

( ).

0 2 2 2, 90T P

ACA m A AA A C AC′ ′ ′∆ = ⇒ = − 20000 16400 3600= − = 60AA′⇒ = cm

2p 3p

b)Fie ( ) ( ), ,DM D B M D B d D D B DM⊥ ′ ∈ ′ ⇒ ′ = DD BDDM

D B′ ⋅

=′

60 20 41 12 41 6 82100 2 2⋅

= = = cm

1p 2p 2p

c) 340 40000l cm= Fie x înălţimea la care se ridică apa⇒ ABCDV A x= ⋅

340000 8000 40000 :80005

cm x xx cm

= ⋅ ⇒ ==

1p 1p 2p 1p

www.mate

info.r

o

16

Page 17: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta9 Prof. Andrei Lenuţa

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 42 5p

2. (-∞;1] 5p

3. 4 5p

4. 192 5p

5. 26 5p

6. 6 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma triunghiulară regulată Notează prisma triunghiulară regulată

4p 1p

2. Fie x suma pe care o are Nicoleta 3 27 287

3xx⇒ + + =

10 1027 287 2603 3x x

⇒ + = ⇒ =

3260 7810

x⇒ = ⋅ =

2p 2p 1p

3. 1 a ba ba b−

=−+

2 1 3 2 2012 2011...2 1 3 2 2012 2011

E − − −= + + +

− − −

1 2012E = − +

1p

3p

1p

4. a) ( ) ( )0 3 0 2 2 0, 2f A= ⋅ − = − ⇒ −

( ) ( )1 3 1 2 1 1,1f B= ⋅ − = ⇒ Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în

1p 1p 2p

www.mate

info.r

o

17

Page 18: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

sistemul de axe xOy Trasarea graficului funcţiei f

1p

b) Aflăm punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Oy ( )0, 2A⇒ − Aflăm punctul de pe graficului funcţiei f care are ordonata egală cu 1

( )1,1B⇒ MAB∆ este dreptunghic, deci distanţa de la M la graficul funcţiei f este

înălţimea corespunzătoare ipotenuzei, ( ),MC AB C AB⊥ ∈

( ), fd M G MC⇒ = Aplicăm teorema lui Pitagora în MAB∆ pentru a afla lungimea lui AB 2 2 2 2 23 1 10 10AB MA MB AB⇒ = + = + = ⇒ =

MB MAMCAB⋅

= 3 1 3 101010

MC ⋅⇒ = =

1p 1p 1p 1p 1p

5 2 24 4 9 6 5x x y y− + + + = 2 24 4 1 9 6 1 3x x y y− + + + + +

( )224 4 1 2 1x x x− + = −

( )229 6 1 3 1y y y+ + = +

( ) ( )2 22 1 0, 3 1 0x y− ≥ + ≥ 2 24 4 9 6 5x x y y− + + + >0

1p 1p 1p 1p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Notăm VABCD piramida, O centrul bazei ABCD, M mijlocul laturii BC

În ( )( )0 2 2 290VOM m O VO VM OM∆ = ⇒ = −

OM apotema bazei 4OM⇒ = m

2 2 25 4 9 3VO VO= − = ⇒ = m

1p

2p

1p

1p

b) 2, ,

2b p

t l b l b

p aA A A A A l

⋅= + = =

24 8 5 802lA m⋅ ⋅

= = 2 2 2 264 80 64 144b tA m A m m m= ⇒ = + =

2 2 28 144 8 1 1160m m m⋅ + ⋅ =

1p 2p 1p 1p

c)

3bA hV ⋅

=

364 3 643

V m⋅= =

1p 3p

www.mate

info.r

o

18

Page 19: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

64:3=21,(3), deci pot sta 21 de personae în cort. 1p

2. a)Fie ABCD trapezul dreptunghic, AB=10m,CD=8m, ( ) 060m B = , CM ⊥AB ⇒MB=2m ⇒BC=4 m În ( ) 0 2 2 2, 90CMB m M CM BC MB∆ = ⇒ = − 2 2 24 2 12CM⇒ = − =

2 3CM⇒ =

( )10 4 8 2 3 2 11 3ABCDP AB BC CD AD m m m m m= + + + = + + + = +

1p 1p 2p 1p

b) ( )

2ABCD

AB CD CMA

+ ⋅=

( ) 210 8 2 318 3

2m

+ ⋅= = 232m≈

2p

3p

c)32·17,50=580 lei<590 lei, deci sunt suficienţi 5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta10 Prof. Andrei Lenuţa

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -3 5p

2. 9 5p

3. 5 5p

4. 44 5p

5. 6 5p

6. 169 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

19

Page 20: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. Desenează paralelipiped dreptunghic Notează paralelipiped dreptunghic

4p 1p

2. Fie a,b,c suma primită de ocupantul locului I, al II-lea respectiv al III-lea 330a b c⇒ + + =

{ }, ,a b c i.p { }1,2,3 2 3a b c⇒ = = , ,2 3k ka k b c⇒ = = =

6 3 2 11330 330 330 1802 3 6 6k k k k k kk k+ +

+ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

180a⇒ = lei, 90b = lei, 60c = lei

1p 1p 2p 1p

3. Notăm 2 5 2a n n= + + ( )2 1x a a⇒ = + + = 2 2 1a a+ +

( )21a + ( )22 5 3n n= + + , deci x este pătrat perfect pentru orice n∈ .

1p 2p 2p

4. a) ( ) 1 1 2 11 :

1 2 1 2 1 2E ⋅ = + + − −

1 1 2 1 3 2: :3 1 1 3 3 1

= + = − − − −

2 13 2 = − ⋅ −

13

=

1p 1p 2p 1p

b) ( ) ( )( )

2 2 2:2 2 2

x x xE xx x x− + +

=+ − −

( )( )2 2:

2 2 2x x

x x x=

+ − −

=( )( )

2 2 12 2 2 2

x xx x x x

−⋅ =

+ − +

2p 1p 2p

5 ( ) ( )1, 1fA m G f m∈ ⇔ =

( )1 2 1 1 3f = ⋅ + = 3m =

2p 2p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)A=L·l A=1500·100=150000 2m A=15 ha

1p 2p 2p

b)9,375 tone grâu obținute de pe 3,75ha 5p

www.mate

info.r

o

20

Page 21: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) 9,375t=9375kg

5p

2. a) MN linie mijlocie în , 3

2ABABC MN AB MN∆ ⇒ || = = cm, dar

AB AC MN AC⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( )

.3,

ThME ABCNE AC d N AC NE

MN AC

⊥⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =⊥

În ( ).

0 2 2 2, 90Th Pitagora

EMN m EMN EN EM MN∆ = ⇒ = + 16 9 25= + = EN=5 cm

2p 1p 2p

b)

( )( )

,

AC MNAC EN AC EMNMN EN EMN

⊥ ⇒ ⊥⊂

5p

c) ( ) ( )

( )( )

,

,

EAC ABC AC

MN AC MN ABC

EN AC EN EAC

∩ =

⊥ ⊂ ⊥ ⊂

( ) ( )( ) ( ), ,EAC ABC MN NE MNE⇒ = =

( ) .sin.

cat opusăMNEip

=

45

MENE

= =

3p 2p

www.mate

info.r

o

21

Page 22: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică VARIANTA 11

SUBIECTUL I 30 de puncte

1 18 5p

2 5 5p

3 10/3 5p

4 3 5p

5 14 5p

6 a=6 si b=2 5p

SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte

1 Reprezentarea corectă a desenului 5p

2 ( 3 + 2 +1)2=6+2 6 +2 3 +2 2 2[(1+ 2 )(1+ 3 )+2]= 6+2 6 +2 3 +2 2

2p 3p

3 l=0,25

A=0,0625m2 3p 2p

4 a) f(2)=2 2+m=10 , m=8

3p 2p

b) A(0,6) B(3,0) Reprezentarea corectă a graficului

3p 2p

5 15 lei 5p

SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte

1 a) BC=4 2 cm 5p

b) A=(B+b)h/2 A=24 cm2

3p 2p

c) 450 5p

2 a) AB=12m h=3 3 m

3p 2p

b) At=Al+2Ab At=12(18+ 3 )m2

3p 2p

c) V=108 3 m3 486 duble

3p 2p

www.mate

info.r

o

22

Page 23: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

VARIANTA 12 Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică

SUBIECTUL I 30 de puncte

1 2 5p

2 b 5p

3 x=11 si y=1 5p

4 1 5p

5 d= 119 cm 5p

6 A=3 3 cm2 5p

SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte

1 Realizarea corectă a desenului

5p

2 x+y=30; 15x+20y=500 20 duble

2p 3p

3 2+3*5+4*7=45 a=2, b=5, c=7

2p 3p

4 a) 4 a=6b

a=3 si b=2 2p 3p

b)Ma= (a+b)/2 Ma=2,5

2p 3p

5 E(x)=(4x2+4x)(4x2+4x+2) E(x)=8x(x+1)(2x2+2x+1)

2p 3p

SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte

1 a) 2a+b=0 ; - a+b= - 6 f(x)=2x- 4

3p 2p

b) A(0; - 4) B(2; 0) Reprezentarea corecta a graficului

3p 2p

c) x=4 5 /5 u 5p

2 a) V=A bh=80m3 80: 40=2m3

3p 2p

b) V=Abh V=32 3 m3

3p 2p

c) A=64m2 1920 ţigle

3p 2p

www.mate

info.r

o

23

Page 24: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE VARIANTA 13 Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică

SUBIECTUL I 30 de puncte

1 6 5p

2 8 5p

3 15 5p

4 л 5p

5 22 5p

6 2ha 5p

SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte

1 72m2 5p

2 t=12

5p

3 M+C=4,10 (1) M+D=4,30 (2) C+D=5,20 (3) Adunând cele trei relaţii obţinem 2M+2C+2D=13,60 ⇒ M+C+D= 6,8 înlocuind în această relaţie relaţia (1) obţinem D= 2,70 lei Din relaţia (2) obţinem M= 1,60 lei Din relaţia (3) obţinem C= 2,50 lei

3p 2p

4 a) f(6)=6m+5=8 m=0,5

3p 2p

Fie OxB pr A= ⇒ ( )

.0 2 2 2, 90

T PAOB m B AO BO AB= ⇒ = + ⇒

2 2 26 8 100 10AO AO= + = ⇒ = u.m

3p 2p

5 5. [ ]1 8 8 1 8 7 9 7,9z z z z− ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ∈ −

5p

SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte

1 a) ( ) ( ). 2

0 2 2, 90 24 3 3 603 3 67T P

pVOM m O VM a dm= ⇒ = + = ⇒ = 3p 2p

www.mate

info.r

o

24

Page 25: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

23 18 3 67 81 672lA dm⋅ ⋅

= =

b)

223 81 3

4blA dm= =

( )2 2 281 67 81 3 81 67 3t l bA A A dm dm dm= + = + = +

3p 2p

c) 3648 3

3bA hV dm⋅

= =

3p 2p

2 a) (AB+MC) CB=3AD*DM DM=30cm

3p 2p

b) Perimetru AB+BC+CM+MA P=180cm

3p 2p

c) PQ=(AB+MC)/2 PQ=45cm

2p 3p

www.mate

info.r

o

25

Page 26: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 14 Prof. Badea Daniela

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -99 5p

2. -4 5p

3. 20 5p

4. 36 5p

5. 12 5p

6. 500 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează tetraedrul Notează tetraedrul

4p 1p

2. S suma primită; mama îi dă 2 5

3S + lei

tata îi dă 60 1 5 3100 3 5

SS ⋅ − + =

lei

ecuaţia este 2 25 25 303 5 15

S SS S+ + + = ⇔ =

225S = lei.

1p 1p 2p 1p

3. 11 2 4020 19 42

x yx y− =

− =

42

xy=

=

3p 2p

4. a) { }0;1x∈ −

( ) ( ) ( ) ( )1E 1 : 1 1

8x x

x x x−

= + − − ⋅

( ) ( )11 1E1 8

x xx xxx

−+ − += ⋅

Finalizare

1p 2p 1p

1p

b) ( ) ( ) ( ) ( )

20122 3 2012 2 2011 4 1E 4 +E 4 +E 4 +....+E 4 =1+4+4 ... 4

3−

+ + = 3p

www.mate

info.r

o

26

Page 27: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )4 E 1 4 1 13 3 4 3x x x⋅ − − −

= ⋅ = 2012

20124 1 1 43 3

x x− −= ⇔ =

1p

1p

5. ( ): , f f x ax b→ = + ( ){ } ( )fG O 2,0 2 0 2 0x A f a b∩ = ⇔ = ⇔ + =

( ){ } ( )fG O B 0, 6 0 6 6y f b∩ = − ⇔ = − ⇔ = − 3a =

( ) 3 6f x x= −

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2 2 2 2 2676 64 36 25d L l h h h= + + ⇔ = + + ⇔ = ( ) 22 796tA Ll Lh lh cm= + + =

31200V Llh cm= =

2p

2p

1p

b) ( )PQ D`B, Q D`B P, D`B PQd⊥ ∈ ⇒ = D`P 2 D`P 2 D`P=10cmDP 3 D`D 5

= ⇔ = ⇒

( )D`PQ D`BD caz I∆ ∆ D`P PQ D`Q 10= =D`B BD D`D 26

⇒ =

50PQ= cm13

1p

1p

1p

1p

1p

c)

( )

( ) ( )

'

' '

'

'

'APD

AMPD MAPD

' '

'2

APD

3MAPD

,V =V

3

, , N mijlocul lui 3cm2

40cm2

V 40cm

A d M ADD

ABd M ADD MN AD MN

AD PDA

⋅=

= ⇒ = =

⋅= =

=

1p 2p 1p 1p

2. a)AM=MT= 4 2m ; TN=NB= 2 2m L= ( )2 4 2 2 2 =12 2m+

2p

3p

b) `R 6m; R=4m; r=2m=

1p

www.mate

info.r

o

27

Page 28: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )`2 2 2 2 21 R r R 12 m 37,8m

2S π π= + − =

22 2TN 0,5 2 2m 2,82mS = ⋅ =

21 2 37,8 2,82=34,98mS S S= − −

2p 1p

1p

c) 2 R`=12 m 37,8m=3780cmrL π π= 3780:30=126 (arbuşti pe circumferinţa rondului)

( )R+r =6 m 18,9m=1890cmaL π π= 1890:30=63(arbuşti) Finalizare: 126+63-1= 188 arbuşti

1p 1p 1p 1p 1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 15 Prof. Badea Daniela

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. x 5p

2. 9 5p

3. 2 5p

4. 78

5p

5. 36 5p

6. 36 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen Notaţii

4p 1p

2. 1904

4x y z t+ + +

=

3 3 3; ; 5 5 5

x y y z z t= = =

27 9 3 1904 875125 25 5

t t t t t+ + + = ⇔ =

189; 315; 525x y z= = =

1p 1p 2p 1p

3. 6 77 2 77 4a b a b b+ = ⇔ + = − ( ) ( )2 11 77 4 11a b b+ ⇔ −

1p 1p

www.mate

info.r

o

28

Page 29: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )77 4 114 11

77 11b

b− ⇒

finalizare

1p 2p

4. a) { } ( ) ( )M 5 6 g 5 6f gG G f= ⇒ = ⇒ = ( ) ( )N 1;-2 1 2gG g∈ ⇔ = −

5 62

m nm n

+ = + = −

( ) 2 4g x x= −

1p 1p 2p 1p

b) { } ( ) ( )A 0 1 A 0;1fG Oy f= ⇒ = ⇒ { } ( ) ( )B 0 4 B 0; 4gG Oy g= ⇒ = − ⇒ −

2M

MABAB hA ⋅

=

252MABA =

1p 1p 2p 1p

5 ( ) ( )

( ) ( )

22

22

4 13 2 9 9 3,

6 34 = 3 25 25 5,

x x x x

y y y y

− + = − + ≥ = ∀ ∈

+ + + + ≥ = ∀ ∈

( )8, , valoarea minimã este 8.N x y≥ ∀ ∈ ⇒

2p 2p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) cercurile au diametrul de 24 cm 120:24=5 85=24 ◌3+13=24 ◌3+12+1 Total 35 coşuleţe (semidiscuri)

1p 1p 1p 2p

b) ( ) 0VAB isoscel cu m AVB 45∆ = VNB dr.isoscel VN=NB=6 2∆ ⇒ ANB dr. AB 12 2- 2cml∆ ⇒ = =

2 2 2 2

1, 41 2 1,42 0,58 2 2 0,5983,52 84,96 9 10 9 10l l l< < ⇒ < − <

⇒ < < ⇒ < < ⇔ < <

1p

1p

1p

1p 1p

c) MAB echilateral∆ )

4MB 4 36 401260 35 14001260 12,6 12

din bp l cm p cm

cm p cmcm m m

= = ⇒ < << <= >

Nu sunt suficienţi 12m de pamblică

1p 1p 1p 1p 1p

www.mate

info.r

o

29

Page 30: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) DB 2 24 2cml= = BCD echilateral 24 2cmBC∆ ⇒ =

( ) ( ) ( )ABCDP =2 AB+BC 2 24 24 2 =48 1+ 2 cm= +

AC AO+OC 12 2+12 6cm= = ( )ABCDL=P +BD+AC 12 4 7 2 6 cm= + +

1p

1p 1p 1p 1p

b) ABCD ABD BCDS =S S+

( )

22

ABD

2BCD

2ABCD

S 288cm2288 3cm

S 288 1 3 cm

l

S

= =

=

= +

1p 1p 1p 2p

c) MNPQS =AC BD⋅

ABCD ortodiagonal ABCDAC BDS =

2⋅

ABCD

MNPQ

S 1=S 2

2p 1p 2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 16 Prof. Badea Daniela

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 12

5p

2. 6 5p

3. 20 5p

4. 7 5p

5. 12 2 5p

6. 2200 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen Notaţii

4p 1p

www.mate

info.r

o

30

Page 31: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. ( )27 3 7 2 21− − +

10 2 21 7 2 21 3− − + =

3p 2p

3. ( ) 8 16E x x= − + ( ) 0 8 16 0E x x= ⇔ − + =

2x =

3p 1p 1p

4. a) nr. vaze cu câte 3 fire; = nr. vaze cu câte 5 firex y= 40

3 5 154x yx y+ =

+ =

2317

xy=

=

1p 2p 2p

b) 154 2 7 11= ⋅ ⋅ mulţimea divizorilor lui 154 mai mici ca 17 este { }1,2,7,11,14 nr. minim de vaze : 154:14=11

1p

2p 2p

5 ( ) ( )2 5 2;5 ff A G− = ⇒ − ∈ , Reprezentarea punctului A ( ) ( )3 5 3; 5 ff B G= − ⇒ − ∈

Reprezentarea punctului A Trasarea graficului

1p

1p

1p 1p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2 2 2x a a x= ⇔ = ( ) ( )2 2 1 2l x a x= + = +

3p 2p

b) ( ) ( )8 2 16 1 2P x a x= ⋅ + = +

( )( )16 10 2 1 1 2P = ⋅ − + 160cmP =

2p 1p

1p

c) ( )

22 24 8 1 2

2ABCDEFGHaS l x= − ⋅ = +

( ) ( )0 2paralelogram 2 sin 45 2 2S x a a x= + ⋅ ⋅ = +

( ) ( ) ( )2 2 28 1 2 8 2 2 8 3 2 2tS x x x= + + + = +

( ) ( )2 28 100 2 1 3 2 2 800cmtS = ⋅ − + =

1p 1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

31

Page 32: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) ( )

( )( )

3,

,

TMN ABCPN BD MP BD d M BD MPPN BD ABC

⊥⊥

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =⊥

. ., 16 3 6

3 24

T PMNP N dr

MN MP cmACNP

∆ =

= ⇒ == =

2p

3p

b) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )`

` , ` ` ` , `

, `

D AC ABC AC

D O AC D O D AC m D AC ABC m D OD

DO AC D O ABC

=

⊥ ⊂ ⇒ =⊥ ⊂

. .` , 1 ` 6 6

` 12 6sin` 36 6

T PD OD D dr D O

DDOD O

∆ = ⇒ =

= = =

2p

1p

2p

c) ( )( )

( ) ( )( )`

` ` , ``

DE D O

AC D OD DE D AC d D D AC DEAC DE

DE D OD

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ ⊥ ⊂

` 4 3`

DO DDDE cmD O⋅

= =

3p 2p

www.mate

info.r

o

32

Page 33: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 17 Prof. Badea Ion

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 5 5p

2. 75 5p

3. 1 5p

4. 8 5p

5. 18 2 5p

6. 893 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen cercuri tangente exterioare Desen tangentă comună

3p 2p

2. . .10 muncitori.............. 7 zile14muncitori............... x zile

10 7 514

3 5 8 zile

i p

x

= =

+ =

2p

2p 1p

3.

( )( ) ( )

13 | 13 |100 1013 | 91 13 9 3

13 |13 7 9 313 | 3 3

abc a b ca b a b c

a b a b ca b c

⇔ + +

⇔ + + − +

⇔ + + − +

⇔ − +

1p

2p 1p 1p

4. a) { } ( ) ( )f gG G M f x g x= ⇔ =

( )

3 1 1 3

2 3 0 00,1

x x

x xM

⇔ + = −

⇔ = ⇔ =

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

33

Page 34: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( )3,4 fA G∈

( )3, 4 gB G− ∈

isoscelMAB∆ (MN înălţime şi mediană) dr.

3N=1dr 33

MN=3,AN= 3

MANMNtgAAN

∆⇒ = = =

( ) ( )0 060 60m A m AMB⇒ = ⇒ =

1p 1p

1p

1p

1p

5 ( ) ( )

( )

2 2

1 2 3 11 7 1 2 3 11

1 2 3 111 7

2 7 3 2 7 3/ 1

3 1 7 43;4

A

A

A

+ − + + + − +=

+ − +

⇔ = +

< < ⇔ < < +

⇔ < + <

⇔ ∈

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) fie ( )SO ABD⊥

( ) I.C. centrul bazei

(pătrat)SABCD regulată

SOA SOB SOC SODOA OB OC OD O

⇒∆ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ∆

⇒ = = = ⇔

SBD dr.is SO=5 2∆ ⇒ 2

310 5 2 500 2 cm3 3 3

bA hV ⋅ ⋅= = =

2p

1p 2p

b) PBDP minim PB şi PC au lungime minimă⇔ PB SC şi PD SC⇔ ⊥ ⊥

( )SBC echilateral BP mediană

P mijlocul lui SCSP=5 cm

∆ ⇒

1p 1p 1p 1p 1p

c) PBD isoscel PO BD∆ ⇒ ⊥

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )PBD ACD BD

PO BD, PO PBD PBD , ACD POC

CO BD, CO ACD

m m

=

⊥ ⊂ ⇒ =⊥ ⊂

1p

2p

www.mate

info.r

o

34

Page 35: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) 0SOC dr.is. POC 45m∆ ⇒ = 2p

2. a) 3 20,76cm; 103800:20,76=50 plăci încap pe lungimeEG l= ≅ 600=36 16+24 16 2+1=33 rânduri de plăci încap pe lăţime⋅ ⇒ ⋅ 33 50 1650 plăci⋅ = (din care 16 sunt tăiate pe jumătate) ⇒1636 plăci întregi

100 41650 + =1666+6 6

1667 nr. total de plăci⇒

1p 1p 1p 1p 1p

b) plăcile închise la culoare se află: la fiecare rând cu număr impar din cele 33 rânduri⇒17 rânduri pe rândurile menţionate plăcile cu număr împar ⇒ 25 plăci 17 25 425 plăci închise la culoare⋅ =

2p 2p 1p

c) 2A=62,28m 62,28 1,2=74,736 75 saci 75 14=1050 lei⋅ ⇒ ⇒ ⋅ 63 30=1890 lei costă gresia⋅

( )65 1050+1890 = 1911 lei costă manopera100

=4851 lei tS

1p 1p 1p 1p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 18 Prof. Badea Ion

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 5p

2. 0 5p

3. A 5p

4. 38 5p

5. 12 9 3π − 5p

6. 35 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

35

Page 36: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. Desen notaţii

4p 1p

2. x = nr. kg fursecuri de18 lei/kg ( )18 250 10 20

25x xx+ = + ⋅

⇔ =

1p 2p 2p

3. 8 2 15 8 2 15 15 3 5 1524

NN= − + + − + + += ∈

3p

2p

4. a) ( ) ( )0;2 0 2 2fA G f a∈ ⇔ = ⇔ =

( ) ( ) ( )2 6, 1 0, 4 3f f f− = = = Trasarea graficului

1p 1p

3p

b) [ ] ( )2;1 avem 2 2 2 2x f x x∈ − = ⇔ − + =

[ ] { }10 2;1 0x S⇔ = ∈ − ⇒ =

( ] ( )( ] { }

{ }2

3 1 2

1;4 avem 2 1 2

3 1;4 3

0;3

x f x x

x S

S S S

∈ = ⇔ − =

⇔ = ∈ ⇒ =

⇒ = =

1p

1p

1p

1p

1p

5 ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 2 22 4 4 1 5E x x x x x x m x= + + + − + + −

( )

( ) ( ) ( )

2 22 2

0 00 0 0

5 5 0 1 2 1 5m m E x x x x m x≥ ≥

≥ ≥ ≥

≥ ⇔ − ≥ ⇒ = + + − + −

( ) ( ) ( )0, şi 5E x x m⇒ ≥ ∀ ∈ ∀ ≥

2p 2p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ,CD AB AB CDα α⊂ ⇒ ( ), ` ` ` ` ` ` trapezCD CDD C D CD C D ABC Dα α = ⇒ ⇒

1 3

``

, `

R TDDDA AB D A ABAB D A

α

α

⊥⊥

⊥ ⇒ ⊥⊂

` trapez dreptunghicABC D⇒

1p 1p 2p 1p

b) ( )( ) ( )0ABC , 30 `m m DADα = =

ΔDAD` dr.,DD`=CC` AD=8cm, AD`=4 3⇒ . .

ΔC`MB dr. BC`=8cmT P⇒

( )ABC`D`P =AB+BC`+C`D`+ =4 7 3 cmAD +

1p 1p 1p 2p

www.mate

info.r

o

36

Page 37: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) t ` ` ` ` ` `S ABCD ABC D DCC D ADD BCCS S S S S= + + + +

( ) ( )2 2ABCD ABC`D`

2 2 2DCC`D` ADD` BCC`

AB+CD AB+C`D` `S = =80cm ; S = =40 3cm

2 2` ` ` `S =32cm ; S = =8 3cm ; S 16cm2 2

AD AD

DD AD CC BC

⋅ ⋅

⋅ ⋅ = =

( ) 2tS 16 8 3 3 cm= +

1p 3p 1p

2. a) ( )484 22 4 2 2 8 88 18, 8 26l l x x x= = ⇒ = + = ⇔ = + =

1 2 2

31 2 1 2

2 3

1 2 3

468ha3 4, 394 5 3 4 5 12

5117ha, 156ha, 195ha4 3 12

S A A AAA A A A S

A AS S SA A A

= + + =

= = ⇔ = = = =

= = = = = =

1p 1p 1p 2p

b)

1v r c v r c v r c 94 1 6 4 3 6 13 139 3 9v=36ha, r=27ha, c=54ha.

A+ += = ⇔ = = = = =

3p 2p

c) 195 5 975t 975000kg, 975000 1,5 1462500lei (costă grâul)⋅ = = ⋅ =

totală

156 40=6240t=6240000kg, 6240000 2=12480000lei(costă fructele)112480000 1560000lei(costă legumele)8

S 15502500lei.

⋅ ⋅

⋅ =

=

1p 1p 1p 2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 19 Prof. Badea Ion

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 3 5p

2. 200 5p

3. { }2;8S = − 5p

4. 14 5p

5. 0,3 5p

www.mate

info.r

o

37

Page 38: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

6. 60 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen Notaţii denumire

3p 1p 1p

2.

( )( )

2 15 8 =2 15 8

2 15 8 8 2 15

8 2 15 8 2 15

2

g

g

a

b

m a b

m

= + +

= − = −

= ⋅ = + −

=

1p

1p

2p 1p

3. 92 150t rămân după spălare10095 92 150 t rămân după strivire

100 10012 95 92 150 t zahăr=

100 100 10012 95 92 150000 15732kg/zi100 100 10015732 5=78660kg=78,66t

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ =

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) ( ) ( )( )

( )( )

22 1 33 51 3 1 3 2 3 5

xx xE xx x x x

−+= ⋅

− + +

( ) ( )( )

( )( )

3 5 1 31 3 2 3 5

x x xE x

x x x+ −

= ⋅+ +

finalizare

3p

1p

1p

b) ( ) ( )

1 3 1 1 3 1 02 1 3 2 2 1 3 2

x xx x

− −≤ − ⇔ + ≤

+ +

( )1 3 1 3 10 0

2 1 3 1 3x x

x x− + +

⇔ ≤ ⇔ ≤+ +

11 3 03

1 5, \3 3

x x

x

+ < ⇔ < −

⇒ ∈ −∞ − −

1p 1p 1p 2p

www.mate

info.r

o

38

Page 39: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 ( ) ( )( )

( ) ( )

1 3 1 1 2 3

1 3 3

f a a

a a

− = − − −

= − + −

( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 3 2 3, şi

1 03 2

11

f a b a a b a b

aa b

ab

− = ⇔ − + − = ∈

− =⇔ − =

=⇔ = −

1p 1p 1p 1p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

2

l

3 3 3A 22 2 3

pb p

l a l lA a⋅

= ⇔ = ⇔ =

2 22 2 2 2 9

36 42

p bl lx a a x

l x

= − ⇔ = =

⇔ =

2p

2p

1p

b)

223 324 3

4blA cm= =

2

3

2 628 3

324 3 18 1944 33

l bA A cm

V cm

= =

⋅= =

1p 2p 2p

c) OT VM⊥

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) 0

,

,

3. cos22 3

330

VBC

BC VMBC VOM OT VOM

BC OMBC OTOT VBC pr VO VT

m VO VBC m OVT

VO xVOMdr VVM x

m OVT

⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ⇒⊥

⇒ ⊥

⇒ ⊥ ⇔ =

⇒ =

∆ ⇒ = = =

=

1p 2p 1p 1p

2. a) ( )2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 5 2bP x x x x x x x x x= + + + + + + + +

( )( )

2 10 2 12

4 5 2 6

b

b

P x x

P x

= +

= +

3p 1p

1p

www.mate

info.r

o

39

Page 40: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( )2 2 2 2 2 2 21 4 9 16 25 2 4 48S x x x x x x x= + + + − + =

22

2 2

4

52 52b

S xS x cm

=

= =

3p 1p 1p

c) 10 5

3 3QL WL x xQLW QIT QK TJQK IT

∆ ∆ ⇒ = ⇔ = ⇒ =

( )

22 2

b

10 53 3

5 743 6 53 3

740 ; A 48 4 1923

144 77, 837 % 78%185

22%

b

QL WL x xQLW QIT QK TJQK IT

x xTS x x

xA x x

AA

p

∆ ∆ ⇒ = ⇔ = ⇒ =

= + ⋅ + =

= = ⋅ = ⇒

= = ≅

⇒ =

1p 1p

1p

1p

1p

www.m

ateinf

o.ro

40

Page 41: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 20 Prof Silvia Brabeceanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 19 5p

2. { }1,2A B∩ = − 5p

3. 2 5p

4. 500cm 5p

5. 00 5p

6. 015 C 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. Pe al doilea raft sunt 3 27 81⋅ =

Pe al treilea raft sunt ( )2 27 81 723

+ =

Nr. total de cărţi 27 81 72 180+ + =

2p

2p

1p

3. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 50n n n n n+ + + + + + + + =

5 40 8n n= ⇒ =

numerele:8,9,10,11,12

10 11 12 1320⋅ ⋅ =

2p

1p

1p

1p

4. a)Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului funcţiei

4p

1p

www.mate

info.r

o

41

Page 42: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( ) ( )2, 1 2 1fP m m G f m m+ − ∈ ⇔ + = −

( ) ( )2 5 2 3f m m+ = − + +

( )5 2 3 1m m− + + = −

1m = −

2p

1p

1p

1p

5 ( )27 5 7 2 35 5 12 2 35+ = + + = +

( )5 7 5 35 5+ = +

( )7 5 2 7 35 14− = −

12 2 35 35 5 35 14a = + − − − +

21a = ∈

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) lungimea diagonalei cubului 6 3d dm=

3 3SA SD SA SD dm′ ′= = = =

12 3SA SD SA SD dm′ ′+ + + =

2p

2p

1p

b) lungimea apotemei piramidei 3 2pa dm=

2

b pl

P aA

⋅=

324 3 2 36 22lA dm⋅

= =

2p

1p

2p

c) ( )BC ABD′ ′⊂

B C BC′ ′⊥ şi ( ) B C AB B C ABD′ ′ ′⊥ ⇒ ⊥

1p

3p

www.mate

info.r

o

42

Page 43: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) ( ) ( )( ) 090A B C ABD m A B C ABD ′ ′ ′ ′ ′ ′⊥ ⇒ = 1p

2. a) ( ) : 2FM AB EF= −

( )12 6 : 2 3FM m= − =

3p

2p

b) Aria suprafeţei haşurate este de două ori aria trapezului ABFE

( )2ABFE

AB EF BMA

+ ⋅=

3 3BM m=

227 3ABFEA m=

1p

1p

2p

1p

c) 29 3BFCA m=

Raportul celor două arii este 14

1p

4p

www.mate

info.r

o

43

Page 44: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 21 Prof Silvia Brabeceanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 5p

2. 43

5p

3. 1120

5p

4. 5 2cm 5p

5. BC′ 5p

6. 04 C− 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. sticle îmbuteliate a doua zi: 21250 1250 750

5− ⋅ =

sticle îmbuteliate a treia zi: 3750 750 97510

+ ⋅ =

total: 1250 750 975 2975+ + =

2p

2p

1p

3. ( ) ( )5 6 56

x y x y x yx y+

= ⇔ + = −−

320% 4 30% 45 10x yx y= + ⇒ = +

1p

2p

www.mate

info.r

o

44

Page 45: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

8811 5

2 3 40 85

xx yx y y

= = − ⇒ − = − =

2p

4. a) ( ) ( )0,2 0 2 1 2fA G f∈ ⇔ = ⇒ − ≠

( ) ( )1, 4 1 4 3 1 4fB G f− − ∈ ⇔ − = − ⇒ − − = −

( )0,2 fA G∉ şi ( )1, 4 fB G− − ∈

2p

2p

1p

b) ( ) ( )2 3 2 1 3 5f m m m+ = + − = +

( ) ( )3 3 3 1 3 10f m m m− = − − = −

3 5 3 10 9m m+ + − = ⇒76 143

m m= ⇒ =

2p

2p

1p

5 ( )( )

1 1 83 4 3 4 3 4 3 4x x x x

− =− + − +

( )22 3 49 24 164 4

xx x ++ +=

( )( )( ) ( )23 4 2 3 48

3 4 3 4 4 3 4x x

x x x+ +

⋅ =− + −

( ) ( )2 3 4 3 44 33 4 3 4 3 4

x xxx x x+ +−

+ =− − −

2p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) MABB A′ ′ - piramidă regulată

( )MO ABB′⊥ unde { }O AB A B′ ′= ∩

Înălţimea 5 3MO cm=

1p

1p

3p

b) O apotemă a piramidei este ( )MD cu D mijlocul lui ( )AB 1p

www.mate

info.r

o

45

Page 46: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

10pa cm=

2b p

l

P aA

⋅=

220 10 1002lA cm⋅

= =

2p

1p

1p

c) 325 3 10 250 3prismei bV A h cm= ⋅ = ⋅ =

3100 5 3 500 33 3 3

bpiramidei

A hV cm⋅ ⋅= = =

Volumul de metal ce se pierde 3500 3 250 3250 33 3

cm− =

2p

2p

1p

2. a) Ariile celor 4 porţiuni haşurate sunt egale fiecare cu 212m

Suprafaţa haşurată este de 248m

4p

1p

b) 2112ABCDA m=

Suprafaţa aleilor este 2 2 2112 48 64m m m− =

2p

3p

c) Volumul de pietriş este produsul dintre suprafaţa aleilor şi înălţimea pietrişului

Volumul de pietriş este: 264 0,05 3,2m⋅ =

3p

2p

www.mate

info.r

o

46

Page 47: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 22 Prof Silvia Brabeceanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5− 5p

2. 108 5p

3. 12

5p

4. 38P cm= 5p

5. 060 5p

6. 25% 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează trunchiul de piramidă

Notează trunchiul

4p

1p

2. [ ]1 2 3 7 2.2x x− ≤ + ≤ ⇒ ∈ −

{ }0,1, 2A∩ =

3p

2p

3. ( ) ( ) ( )( )2 21 2 3 2 3x y x y x y x y− − + = + − + ⇒ − − =

( )3 2 1 5 3 2 7x y x y− + = ⇒ − =

( ){ }2 3 11, 2

3 2 7 2x y x

Sx y y

− − = =⇒ ⇒ = − − = = −

2p

1p

2p

4. a) fie f gM G G= ∩

1 42 5 3x y xx y y

− = =⇒ − = =

1p

3p

www.mate

info.r

o

47

Page 48: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Punctul de intersecţie ( )4,3M 1p

b) ( )( ) ( ) ( )( ) 22 1 2 5 2 3 5f x g x x x x x+ ⋅ = + − = − −

( )2 22 1 6 3 2 2 5x x x x− + + = + +

2 22 3 5 2 2 5 5 10x x x x x− − = + + ⇒ − =

soluţia ecuaţiei: 2x = −

2p

1p

1p

1p

5 Formula de calcul prescurtat: ( )( )2 2a b a b a b− = − +

( ) ( ) ( )22 2 2 23 2 25 3 2 5 3 2 5x x x x x x + − = + − ⋅ + +

( ) ( )( )2 23 5 2 3 5 2E x x x x x= − + + +

1p

2p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

3b

piramideiA hV ⋅

=

236 3bA cm=

372 3pV cm=

1p

2p

2p

b) prismei bV A h= ⋅

3432 3prismeiV cm=

Volumul de material ce se pierde 3432 3 2 72 3 288 3cm− ⋅ =

5p

c) Piramidele cu vârful în V şi bazele ABB A′ ′ , BCC B′ ′ , respectiv ACC A′ ′au volumele egale

3288 3 96 33VABB AV cm′ ′ = =

3p

2p

2. a) ( )

2trapez

B b hA

+ ⋅=

1p

www.mate

info.r

o

48

Page 49: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

CE AB⊥ şi 3 3CE cm=

227 3trapezA cm=

2p

2p

b) 26 3 3 9 3

2MCDA cm⋅= =

Raportul ariilor 9 3 1327 3

=

3p

2p

c) Justificarea faptului că BMDC este romb

MC AD justificat

BD MC BD AD⊥ ⇒ ⊥

3p

1p

1p

www.mate

info.r

o

49

Page 50: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 23 Prof Silvia Brabeceanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 6 5p

2. { }0,4A B∩ = 5p

3. 1, 45y = 5p

4. 236A cmπ= 5p

5. SM şi MC 5p

6. 27,5% 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează trunchiul de piramidă

Notează trunchiul de piramidă

4p

1p

2. Amplificarea fracţiilor

5 5 2 10 2 3x x x− + = − −

5 2 2 10 3 5x x x+ + = − +

9 12x =

soluţia: 43

x =

1p

1p

1p

1p

1p

3. 18045

3a b c

ba c b+ + =

⇒ =+ =

cel mai mic număr prim de 2 cifre este 11

11 3 135 11 124a c b a c= ⇒ = − ⇒ = − = sau 11 3 135 11 124c a b c a= ⇒ = − ⇒ = − =

2p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

50

Page 51: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

11, 45, 124a b c= = = sau 124, 45, 11a b c= = =

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului

4p

1p

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 1 5 7 2 3 2 15f f f f f n n n− + − + + + = − − − − − = − −

2 15 15n− − =

15n = − ∈

3p

1p

1p

5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 2 2 3 2 5 2 5 2 3 2 5 2+ + + ⋅ − + − = + + −

( )23 5 8 2 15p = + = +

p∉

3p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Proiecţia lui A B′ pe planul ( )ADD′ este A A′

Măsura unghiului dintre A B′ şi planul ( )ADD′ este ( )m AA B′

( ) 9 312 4

tg AA B′ = =

2p

1p

2p

b) Dacă h este înălţimea apei atunci 12 6 432apăV h= ⋅ ⋅ =

6h dm=

3p

2p

c) Notăm h′ înălţimea cu care creşte apa 3 312 6 6 216h dm′⋅ ⋅ = =

216 : 72 3h dm′ = =

3p

2p

2. a) Toate cele 6 pătrate sunt congruente

Aria unui pătrat este 2 26 36m=

Aria căutată 26 36 216m⋅ =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

51

Page 52: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Cele 6 triunghiuri haşurate sunt echilaterale

Perimetrul este 12 6 72m⋅ =

3p

2p

c) Hexagonul se poate descompune în 6 triunghiuri echilaterale congruente cu cele haşurate

Cele două arii sunt egale

4p

1p

www.mate

info.r

o

52

Page 53: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 24 Prof Ionel Brabeceanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 89 5p

2. 36 5p

3. 34

5p

4. 10cm 5p

5. 090 5p

6. 010 C 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează un paralelipiped dreptunghic

Notează paralelipipedul

4p

1p

2. 2107 210 30

6a b c

c ca b c+ + =

⇒ = ⇒ =+ =

cel mai mare număr prim de 2 cifre este 97

97 180 97 83a b b= ⇒ = − ⇒ =

97, 83, 30a b c= = = sau 83, 97, 30a b c= = =

2p

1p

1p

1p

3. 2 24 10 25 7 13x x x x− − + − ≤ +

3 42 14x x≤ ⇒ ≤

( ],14x∈ −∞

2p

2p

1p

4. a) în prima zi cheltuieşte: 2020%

100 5S SS = =

1p

1p

www.mate

info.r

o

53

Page 54: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

în a doua zi cheltuieşte: 35 735%100 20

S SS = =

în a treia zi cheltuieşte: 1 25%4 4

SS S= =

în cele 3 zile cheltuieşte: 20% 35% 25% 80%S S S S+ + =

2p

1p

b) 7 100

5 20 4S S SS − + + =

4 1005SS − =

500S =

2p

2p

1p

5 ( )( ) 24 1 1 4 1 16x x x+ − = −

( )2 24 3 16 24 9x x x− = − +

( )2 24 3 16 24 9x x x+ = + +

2 232 2 32 18 20x x− + + + =

1p

1p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Notez cu x lungimea laturii unui triunghi echilateral şi

2xBH =

202xx x+ + =

8x cm=

2p

1p

2p

b) HBC∆ - dreptunghic în B şi 2 2 2BC CH HB= −

2 2 28 4 48BC = − =

4 3BC cm=

2p

2p

1p

c) AOD∆ - echilateral 2p

www.mate

info.r

o

54

Page 55: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4 32

ADAO = =

( )2

24 3 3

12 34AODA cm⋅

= =

2p

1p

2. a) Pe lungime încap 10 pătrate

Pe lăţime încap 60 :10 6= pătrate

Lăţime 6 20 120 1,2cm m= ⋅ = =

2p

2p

1p

b) Cele 4 arce formează un cerc cu raza de 10cm

Lungimea arcelor dintr-un pătrat este 2 10 20 cmπ π⋅ =

Lungimea tuturor arcelor este 12 mπ

2p

2p

1p

c)Lungimea tuturor arcelor este cuprinsă între 37,68 şi 37,8

Nr. minim de bare de 2m este 19

3p

2p

www.mate

info.r

o

55

Page 56: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 25 Prof Ionel Brabeceanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2,1 5p

2. 180 5p

3. 3 5p

4. 21L m= 5p

5. 060 5p

6. 1x = 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida regulată

Notează piramida

4p

1p

2. Notăm cu x - nr. de zile pentru finalizarea lucrării; lucrarea se termină în 3x − zile

( )56 3x − reprezintă nr. de butuci altoiţi în loc de 50x

punerea în ecuaţie: ( )56 3 50 120x x− = +

6 288 48x x= ⇒ = zile

1p

1p

2p

1p

3. ( )( )2 9 3 3x x x− = − +

( )( )2 25 5 5x x x− = − +

( )22 10 25 5x x x+ + = +

( )22 6 9 3x x x+ + = +

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

56

Page 57: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 2

2 2

9 25 3 55 310 25 6 9

x x x xx xx x x x

− − − −=

+ ++ + + +

4. a) ( ) ( )2,1 2 1fA G f− ∈ ⇔ − =

( )2 2 5f a− = − +

2 5 1a− + =

2a =

2p

1p

1p

1p

b) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului

4p

1p

5 12 3 12 5 6x x− − ≤ − +

3 5 6x x− + ≤

2 6x ≤

3x ≤

( ],3x∈ −∞

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Dacă a şi b sunt celelalte două dimensiuni, volumul de apă se scrie 2a b⋅ ⋅ , 12 3a ⋅ ⋅ , 12 4b ⋅ ⋅

2 36 48ab a b= =

24a cm= , 18b cm=

2p

1p

2p

b) 24 18 2apăV = ⋅ ⋅

3864apăV cm=

4p

1p

c) 324 18 12 5184cutieV cm= ⋅ ⋅ =

35184 5,184cm l=

3p

1p

www.mate

info.r

o

57

Page 58: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5,184 5,2< 1p

2. a) AMS∆ este echilateral

AM MS= şi MS MN= atunci AM MN=

3p

2p

b) Analog BN MN=

1 43

MN AB cm= =

2p

3p

c)

2212 3 36 3

4ABCA cm⋅= =

224 3 4 3

4AMSA cm⋅= =

236 3 3 4 3 24 3MNPQRSA cm= − ⋅ =

2 36 3 24 33⋅ =

2p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

58

Page 59: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 26 Prof Ionel Brabeceanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4, 4 5p

2. 4535 5p

3. 4x = ∈ 5p

4. [ ] 3 2MN cm= 5p

5. [ ] 6AE cm= 5p

6. 1x = 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma triunghiulară regulată

Notează prisma

4p

1p

2. Notăm cu x - nr. merelor din al doilea sac

3 3 3 4604 4 2x xx+ + ⋅ =

160x = mere în al doilea sac

3 160 1204⋅ = mere în primul sac

3 120 1802⋅ = mere în al treilea sac

1p

1p

1p

1p

1p

3. x - preţul mărfii

12 25,8100

x⋅ =

1p

1p

www.mate

info.r

o

59

Page 60: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

25 8,6x = ⋅

215x =

2p

1p

4. a) ( ) ( )0,3 0 3fM m G f m∈ ⇔ =

11 32

m m m+ = ⇒ =

( ) 1 12 12 2

f x x = + + +

( ) 5 32 2

f x x= +

1p

1p

2p

1p

b) ( ) 5 31 4

2 2f = + =

( ) ( )5 31 1 1 1 12 2

f f−− = + = − ⇒ − = − =

( ) ( )1 1 4 1 52 2 2a

f fm

+ − += = =

1p

2p

2p

5 1 2 2 1 2 1x x x x+ + + = + + +

3 1 3x + =

1 1x + =

0x =

2x = −

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( )3 B b B b

hV A A A A= + +

21600BA cm=

1p

1p

www.mate

info.r

o

60

Page 61: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2400bA cm=

( ) 324 1600 400 40 20 224003

V cm= + + ⋅ =

1p

2p

b) ( )

2B b t

l

P P aA

+ ⋅=

2 2 210 24 676 26t ta a cm= + = ⇒ =

( ) 2160 80 263120

2lA cm+ ⋅

= =

1p

2p

2p

c) Notăm cu x latura pătratului ce reprezintă suprafaţa apei

( )218 400 203apăV x x= + +

( )26 400 20 13950x x+ + =

( )210 2025x + =

2 235 1225x x cm= ⇒ =

1p

2p

1p

1p

2. a) 2 215 225pătratA m= =

225 40 1000curteA m= ⋅ =

225100 1000

p=

22,5%p =

1p

1p

2p

1p

b) ADR∆ - dreptunghic isoscel, 25AD DR m= =

40 25 15CR m= − =

ABCR - trapez dreptunghic

( )40 15 252ABCRA

+ ⋅=

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

61

Page 62: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2687,5ABCRA m=

c) { }E MP CD= ∩ , 10PE m=

25 15 10ER m= − =

10 2PR m=

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

62

Page 63: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 27 Prof Ionel Brabeceanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 23−

5p

3. 6a b⋅ = 5p

4. 250A cm=

5p

5. 090 5p

6. 3x = − 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma patrulateră regulată

Notează prisma

4p

1p

2. x - nr. necunoscut

( )12 8 2 44x x− + =

14 140x =

10x =

1p

2p

1p

1p

3. 128800 100

p=

400 1625

p = =

1p

2p

www.mate

info.r

o

63

Page 64: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

128 costume reprezintă 16% din cele 800 costume 2p

4. a) ( ) ( )2,3 2 3fA G f∈ ⇔ =

2 1 3m + =

1m =

2p

2p

1p

b) ( )0 1f = ; ( )1 2f = ; ( )2 3f = ; ….. ( )69 70f =

( )1 69 691 2 3 69 2415

2+ ⋅

+ + + + = =

2p

3p

5 1 2 2 5 5 1 2 1 5 1 4 1x x x x x x x− − − + − = − − − + − = −

4 1 4x − =

1 1x − =

0x = ; 2x =

2p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Dacă CE AB BEC⊥ ⇒ ∆ - dreptunghic şi isoscel

2 3 2 7AB m= + + =

( )2ABCD

AB CD CEA

+ ⋅=

210ABCDA m=

2p

1p

1p

1p

b) beton ABCDV A BB′= ⋅

310 100 1000betonV m= ⋅ =

3p

2p

c) G densitatea volum= ×

3 31000 1000000m dm=

2,5 1000000 2500G Kg t= ⋅ =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

64

Page 65: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) cort prismă piramidăV V V= +

316 2 32prismăV m= ⋅ =

316 1,5 83piramidăV m⋅

= =

332 8 40cortV m= + =

2p

1p

1p

1p

b) cort l prismă l piramidăS A A= +

2 16 2 32l prismăA m= ⋅ =

2,5pa m=

2

16 2,5 202l piramidăA m⋅

= =

232 20 52cortS m= + =

1p

1p

1p

1p

1p

c) pânză cortS S=

1,3pânzăS L= ⋅

1,3 52L ⋅ =

40L m=

1p

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

65

Page 66: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 28 Prof. Breazu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 3 5p

2. 30 5p

3. 50 5p

4. 6 3 5p

5. 90 5p

6. 220 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen trapez Trapezul este dreptunghic

3p 2p

2. Ridicare corectă la pătrat Rezolvare până se obţine x 5≤

{ }A 0;1;2;3;4;5=

2p 2p 1p

3. ( ) 232, 59

= şi ( ) 10, 33

=

23a 3b9

1b 3a3

+ = − =

Cunoaşterea unei metode de rezolvare a sistemului 7a45

= şi 4b5

=

1p

1p 1p 2p

4. a) două puncte corect determinate pe graficul funcţiei f două puncte corect determinate pe graficul funcţiei g trasarea dreptelor prin punctele determinate

2p 2p 1p

b) ( ) ( )f x g x=

x 5 2x 1 x 2− = − + ⇒ =

1p 2p 2p

www.mate

info.r

o

66

Page 67: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

y 3= − şi ( )M 2; 3−

5 Calcule şi rezultatul împărţirii egal 3 Calcule şi rezultatul înmulţirii egal 4 Rezultat final 7∈

2p 2p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)notam cu x, muchia tetraedrului înlăturat muchia rosie este egala cu 3-2x, de unde concluzia

1p 4p

b) muchia unui tetraedru înlăturat este o treime din muchia pietrei originale, adică de 1 cm;

Formula pentru volumul tetraedrului regulat 3l 2V12

= ;

Volumul total 32 cm4

2p 2p 1p

c) initial

27 2 9 2V12 4

= = ;

3final initial tetraedre

9 2 2V V V 2 2 cm4 4

= − = − =

3p 2p

2. a) diagonala pătratului este de 4 2 dm

ACEH 2 22

= = dm, ca linie mijlocie în triunghiul ADC

EH=2R R 2 dm=

1p 2p 1p 1p

b) 2 2patratA AB 16dm= =

2

semidiscπRA π

2= =

nehaşurată patrat semidiscA A 4A 16 4π= − = −

2p

2p

1p

c) ABOE 2dm

2= =

OE R 2dm 2dm− = − 2 1.41...

OE R 0,6dm 1dm− < , deci decuparea nu este posibilă

1p 1p 1p 2p

www.mate

info.r

o

67

Page 68: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 29 Prof. Breazu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 12

5p

2. 160 5p

3. 9800 5p

4. 2 5p

5. 60 5p

6. 0,4 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen unghi diedru Precizarea unghiului plan al diedrului

3p 2p

2. Ecuaţia 2x 3x 2 0− + =

{ } { }1 2x ; x 1;2= 1 2x x 1− =

2p 2p 1p

3. a 0,8ba b 4,5

2

= + =

a b 1,8b+ = b 5, a 4= =

2p

1p 2p

4. a)

( )( )x 1 x 2x 1x 2 x 1 x 2 x 1+ −

− =− − − −

( )( )22x 1 2x 1

x 1 x 2x x 2− −

=+ −− −

Împărţirea şi rezultatul final

2p 2p 1p

b) { }2a 1 D 1; 2− ∈ = ± ± 3p

www.mate

info.r

o

68

Page 69: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

soluţii acceptate { }a 0;3∈ 2p

5 6 2 5 5 1, 6 2 5 5 1+ = + − = − x 5=

( )20112 2011x x 5 1 5 1+ − − = − 20115 1− are ultimele două cifre 24 , de aici divizibilitatea cu 4

2p 1p 1p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 3paralelipipedV L l h 20 8 8 1280m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2

3hexagon acoperis prisma hex.

8 1 1 MN 3l MN 4m;V V 6 12 3 m ;2 2 2 4

= = = = = ⋅ =

hală paralelipiped acoperisV V V 1280 12 3= + = + m

2p 2p 1p

b) stâlp 6

4 3h h a 8 8 2 3 m2

= + = + = + 5p

c) ( ) 2peretiA 2L 2l h 448m= + ⋅ =

22

acoperiş hexagon fata lat.3 4 3A A 3A 3 4 20 24 3 240 m

2⋅

= + = + ⋅ ⋅ = +

Cantitate vopsea ( )24 3 240 0,2 56,31litri+ ⋅ ≈

2p 2p 1p

2. a) Aplicarea teoremei Pitagora

AD AE 10 3= =

3p

2p

b) ADCE ADCA 2A AD DC 10 3 10 100 3= = ⋅ = ⋅ =

Aria sector cerc de centru A este 150πA

3=

Aria sector de cerc de centru C este 2100πA

3=

hasurata ADCE 1 2A A A A 100 3 50π= − − = −

2p 1p 1p 1p

c) 2

hasurata2 3 πA r

2−

= 3p

www.mate

info.r

o

69

Page 70: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1r2 3 π

=−

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 30 Prof. Breazu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 30 5p

2. 16 5p

3. 3 5p

4. 4,5 5p

5. 3+ 6 5p

6. 2,3,1 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen trunghi isoscel Triunghiul are un unghi obtuz

3p 2p

2. ( )224x 12x 10 2x 3 1− + = − + 32x 3 0 x2

− = ⇒ =

33 5y 0 y5

− = ⇒ =

minE 1=

2p 1p 1p 1p

3. a b3 7=

Substituie b cu 2a+4 a=12 b=28

1p 1p 2p 1p

4. a) ( )f a 16=

calcule ce duc la 2a 16=

1p 2p

www.mate

info.r

o

70

Page 71: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

a 4= ± 2p

b) ( )f x x 2= +

20 211 2 ... 20 2102⋅

+ + + = =

Calcule şi rezultat S=250

1p 2p 2p

5 1 322 2

− =

k k 13 3 2:2 2 3

+ =

Produsul este egal cu 10042 1

3 <

1p 2p 2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) diagonala cubului d 3 3 m= diagonala unei feţe d ' 3 2 m=

6cos α3

=

1p 1p 3p

b) cablu

d 3 3l m2 2

= =

total cablul 4 l 6 3 m= ⋅ =

1p 4p

c) împărţire a cubului în 27 cuburi congruente cu latura de 1m din principiul lui Dirichlet, există cel puţin 2 fluturi într-un cub mic diagonala cubului mic este 3 1,8< , de unde concluzia

2p 2p 1p

2. a) FE 2 2= ; HG 2= ; FH EG 13= =

1p 1p 3p

b) EH 17=

HI HGEI FE

= , deci HI 1EI 2

=

Folosind proporţii derivate, EH 3EI 2

=

2 17EI3

= ; 17IH3

=

1p 1p 1p 2p

www.mate

info.r

o

71

Page 72: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) ABCDA 16=

DEFA 2= ; BGH1A2

= ; AFH ECGA A 3= =

piesa ABCD DEF BGH AFHA A A A 2A 7,5= − − − =

1p 3p 1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 31 Prof. Breazu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 40 5p

2. 10 5p

3. 1600 5p

4. 3 5p

5. 4 3 5p

6. 200 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen drepte paralele tăiate de o secantă

Unghiuri alterne-interne marcate corect

3p

2p

2. { } { }A 0;5;10;15;20;25 ; B 0;7;14;21;28;35;42;49;56= =

{ }A B 0;5;7;10;14;15;20;21;25;28;35;42;49;56∪ = are 14 elemente

{ }A B 0∩ = are un element

2p 2p 1p

3. a b 64a 3b 8+ =

= +

Substituim a în prima ecuaţie şi obţinem 4b 56=

2p

1p

www.mate

info.r

o

72

Page 73: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b=14; a=50 2p

4. a) desfacere paranteze

reducere a termenilor asemenea şi obţinere a rezultatului

3p

2p

b) se foloseşte punctul a)

Calcule şi obţinerea rezultatului ( )( )( )2

1F aa 1 a a 1

= −+ + −

Rezolvarea ecuaţiei ( ) 31F a

a 1= −

− şi rezultatul a=0

1p

2p

2p

5 2 3 2 32 3

+= +

2 2 2 12 2

+= +

5 2 6 2 3+ = + Calcule şi rezultat 3∈

1p 1p 1p 2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) b

piramidaA hV

3⋅

=

2h EO2

= =

3ABCDE

2V cm6

=

3corp

2V cm3

=

1p 2p 1p 1p

b) EF AC BD 2= = = cm 5p

c) ABCD BDEF≡ , pătrate cu latura de 1cm 2

ABCD BDEFA A 1cm= = 3p 2p

2. a) ABC isoscel∆ cu Bh 12=

BABC

AC hA 602⋅

= =

3p

2p

www.mate

info.r

o

73

Page 74: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Dacă CC' AB⊥ , atunci ABC2A 120CC'

AB 13= =

CC ' 60MN2 13

= =

MNPQ13 60A L l 302 13

= ⋅ = ⋅ =

2p 1p 2p

c) din asemănări de triunghiuri CC' MN NC NPCC' AC AB−

= =

notăm NP=x; MN=y şi atunci obţinem 13y x1120 13

− =

2

MNPQ120 169 13A xy x169 4 2

= = − −

Aria este maximă pentru 13x2

= , adică maxA 30=

2p 1p 1p 1p

www.mate

info.r

o

74

Page 75: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 32 Prof. Bulgăr Delia Valentina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 57 5p

2. 5,5 5p

3. 384 5p

4. 30 5p

5. 60 5p

6. 10 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. 2 2 2 131 13 3 3 9

ab⋅ + = ⋅ + =

2 3 2 3 2 13 3 3 3

a b a b ab b b b+

= + = ⋅ +

0,(6)= 6 19 3=

2 2 2 131 13 3 3 9

ab⋅ + = ⋅ + =

2p

1p

2p

3. Se notează cu x timpul parcurs pe jos în drum spre şcoală, cu y timpul parcurs cu maşina spre şcoală. Ţinând cont că elevului îi trebuie acelaşi timp la dus ca şi la întors (mergând cu acelaşi mijloc de transport), scrie:

452 20

x yy+ =

=

y=10

x=35

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

75

Page 76: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2x=70 (adică drumul dus-întors parcurs pe jos) 1p

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului

4p

1p

b) x=0⇒ f(0)=-2; A(0,-2)

y=0⇒ f(x)=0⇒2x-2=0⇒x=1,B(1,0)

2p

3p

5 2 21 2 (1 ) 1a a a a− + = − = −

2 21 2 (1 ) 1a a a a+ + = + = +

a>1⇒ 1 a− =a-1; 1 a+ =1+a

x= 2 ( 1 1 ) 4a aa⋅ − + + =

4 2x = = ∈

1p

1p

1p 1p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) L=50cm=5dm,l=40cm=4dm

35 l =35dm 3

Notând cu x înălţimea la care ajunge apa, avem: 35=5·4·x,

x=1,75dm (17,5cm)

1p

1p

2p

1p

b) 3 3v 5 4 3 60 60acV dm dm l= ⋅ ⋅ = =

1 60 35 25V l l l= − =

4p

1p

c) V acv = 3 360 60 60000l dm cm= =

V 3 32 8cub cm= =

Vor intra 60000:8=7500 cubuleţe

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

76

Page 77: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) MP=8m

NQ=6m

A rond =2

MP NQ⋅

A rond = 28 6 242

m⋅=

1p

1p

2p

1p

b) A 216 6 96dr AB BC m= ⋅ = ⋅ =

A 2haş dr rondA A= − ⋅

2·A 22 24 48rond m= ⋅ =

A 296 48 48haş m= − =

A 2haş rondA= ⋅

1p

1p

1p

1p

1p

c) Cea mai mare distanţă dintre două puncte ale dreptunghiului este lungimea diagonalei [AC]

Folosind teorema lui Pitagora se obţine:AC= 2 216 6 292+ =

Finalizare 292 324 18< =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

77

Page 78: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 33 Prof. Bulgăr Delia Valentina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 5p

2. 8 5p

3. 144 5p

4. 6 5p

5. 1 222

sau 5p

6. joi 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. Prelucrează relaţia 1+3x <4

3şi obţine x < 11

3

A=(-∞ , 113

)

B={1,2,3,4,6,12}

A∩B={1,2,3}

2p

1p

1p

1p

3. 1 1 1 17,54 8 16

x x x+ + =

5x=280

x=56

2p

2p

1p

4. a)A(0,-3) fG∈ ⇒ f(0)=-3⇒b=-3 2p

www.mate

info.r

o

78

Page 79: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

B(2,1) fG∈ ⇒ f(2)=1⇒2a+b=1

a=2

2p

1p

b) Fie M(x,y) fG∈ cu x=y

2x-3=x

x=3

M(3,3)

2p

1p

1p

1p

5 Raţionalizează numitorii obţinând:

N= 2 1 3 2 47(6 2 5)( ) 71 7 7 47− − −

+ − ⋅⋅

Aduce la acelaşi numitor obţinând:

N= 7 2 7 3 2 6 2 5 77

− + − − +⋅

Finalizare N=1∈

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)P 2 (6 5) 22b= ⋅ + = ) (m)

A l bP h= ⋅ =22·4=88 (m 2 )

88:2=44 (m liniari)

2p

2p

1p

b)V=L·l·h

V=6·5·4=120 (m 3 )

3p

2p

c) Notând cu x înălţimea la care ajunge nisipul, avem: 75=6·5·x,

x= 7530

x=2,5 (m)

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

79

Page 80: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a)Raza cercului cu diametrul AB= 20m

Raza cercului cu diametrul BC= 10m

Lungimea a două semicercuri opuse este egală cu lungimea cercului. Lungimea cercului = 2 Rπ

Lungimea gardului= (60π +120) m

1p

1p

2p

1p

b)Aria dreptunghiului=800m 2

Aria a două dintre semidiscuri (cu raza 10m)=100π m 2

Aria celorlalte două semidiscuri (cu raza 20m)=400π m 2

Aria terenului =(800+500π )m 2

800+500π <800+500·3,15=2375<2400

1p

1p

1p

1p

1p

c)Notând cu N mijlocul lui [DC], avem PN⊥DC

şi { }PN AB M∩ = , PM⊥AB şi PM=40m

MB=20m

Aplică teorema lui Pitagora în PMB , obţine PB= 20 5 m

1p

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

80

Page 81: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 34 Prof. Bulgăr Delia Valentina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -2 5p

2. 2 5p

3. 27 5p

4. 12 5p

5. 90 5p

6. 2 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. Notând cu x numărul de găini şi cu y numărul de iepuri

Numărul de capete=x+y

Numărul de picioare=2x+4y

Rezolvă sistemul 20

2 4 64x yx y+ =

+ =şi află x=8, y=12

1p

1p

1p

2p

3. 12 2 3=

27 3 3=

48 4 3=

75 5 3=

a=0

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

81

Page 82: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) Calculează f(-5)=14,

f(4)=-4

Reprezintă A(-5,14) şi B(4,-4)

Trasează segmentul închis [AB]

1p

1p

2p

1p

b) 4-2x+2 2 =4

-2x=-2 2

x= 2 [ 5,4]∈ −

1p

2p

2p

5 E(n)= 2 2( 2 3)( 2 5) 1n n n n+ − + − + = 2 2[( 2 ) 3][( 2 ) 5]n n n n+ − + − +1

E(n)= 2 2 2 2( 2 ) 3( 2 ) 5( 2 ) 15 1n n n n n n+ − + − + + +

E(n)= 2 2 2( 2 ) 8( 2 ) 16n n n n+ − + +

E(n)= 2 2( 2 4)n n+ − , pătrat perfect , n∀ ∈

1p

1p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) înălţimea blocului = 3 16 24( )

2m⋅ =

4 16 64bP = ⋅ = (m)

aria laterală a blocului = bP h⋅ =64 ⋅24=1536(m 2 )

2p

2p

1p

b)diagonala bazei piramidei=16 2 (m)

înălţimea piramidei= 1 16 4( )4

m⋅ =

aplică teorema lui Pitagora:

muchia laterală a piramidei= 2 24 (8 2)+ =12(m)

1p

1p

3p

c)apotema piramidei= 144 64 4 5− = (m 2 ) 1p

www.mate

info.r

o

82

Page 83: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Arie acoperiş= 216 4 54 128 5( )2

m⋅⋅ =

Număr ţigle= 128 5 220 2560 5 2560 5 5724⋅ = = ⋅ = ţigle

2p

2p

2. a) A 2disc Rπ=

4050discA π=

212757,5discA cm=

2p

2p

1p

b) neacoperită pătrat discA A A= −

218225pătratA cm=

25467,5neacoperităA cm=

1p

3p

1p

c) Latura pătratului haşurat= 2 2(45 2) (45 2) 90cm+ =

Sunt necesare 9 plăci.

Preţul= 378 lei

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

83

Page 84: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 35 Prof. Bulgăr Delia Valentina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 32

5p

2. 10 5p

3. 16

5p

4. 45

5p

5. 60 5p

6. 14 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. 3 2− = 1

9

4 1216

− =

obţine a= 512

aduce 1 5 1, ,3 12 2

la acelaşi numitor

finalizare

1p

1p

1p

1p

1p

3. Notând 2n= numărul poşetelor (n∈ ), x = preţul poşetei

www.mate

info.r

o

84

Page 85: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2n ⋅x+2 ⋅25=340

n ⋅x=145

Din condiţia x>100⇒ x=145 (lei)

3p

1p

1p

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului

4p

1p

b) Notând G { }f OY A= , G { }f OX B= , f(0)=-3, A(0,-3)

2OA OBA ⋅

=

34,52OB⋅

=

OB=3 (3,0) (3) 0 1B f m⇒ ⇒ = ⇒ =

1p

1p

1p

2p

5 2 2(3 7) 9 6 7 7x x x− = − +

2( 7 3 )( 7 3 ) 7 9x x x+ − = −

2 2(3 7) 9 6 7 7x x x+ = + +

S= 29 6 7 7x x− + +2 ⋅ 2(7 9 )x− + 29 6 7 7x x+ + =28

1p

1p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Cum din datele problemei cele 16 cuburi sunt aşezate pe un pătrat, avem pe lungimea prismei 4 cuburi, pe lăţimea prismei 4 cuburi.

L=12cm, l=12cm, h=3cm

V= 3432L l h cm⋅ ⋅ =

1p

3p

1p

b) Pentru a avea la bază un pătrat cu latura de 6cm sunt necesare 4 cuburi, iar pentru a avea înălţimea cubului de 6cm sunt necesare 2 cuburi suprapuse.

Total cuburi=8

4p

1p

www.mate

info.r

o

85

Page 86: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) Drumul minim de la F la I este „drumul drept”, adică ipotenuza 1 1FF I , unde 1 1F I coincide cu FI din desfăşurarea laterală a cubului.

1FF =4 ⋅6=24 (cm)

1 1F I =6cm

Aplicând teorema lui Pitagora în 1 1FF I , 1FI = 6 17 cm

2p

1p

1p

1p

2. a) A 2disc Rπ=

400discA π=

21260discA m=

2p

2p

1p

b) gazon discA A A= −

22500 3 4375A m= ≈

23115gazonA m=

1p

3p

1p

c) Punctele situate la distanţă maximă sunt vârfurile triunghiului

OA= 100 33

R m=

Finalizare

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

86

Page 87: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 36 Prof. Burlăciuc Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 10101 5p

2. 3 5p

3. 14 5p

4. 121 5p

5. 90o 5p

6. 7 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. 12 3 36⋅ =

( )30 12 0,75 18 0,75 13,5− ⋅ = ⋅ =

10 36 13,5 32,5+ − =

2p

2p

1p

3. gm a b= ⋅ a > 0, b > 0

( )( )4 3 23 4 3 23 16 3 23gm = + − = ⋅ −

48 23 25 5gm = − = =

1p

2p

2p

4. a) ( )( )2 4 2 2x x x− = − +

( )( ) ( )( )2 22 3 6 12 5 6

2 2 2 2x x x x x

x x x x− − − + − +

=− + − +

1p

2p

www.mate

info.r

o

87

Page 88: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )( )( )( )

2 3 32 2 2

x x xx x x− − −

=− + +

2p

b) ( ) ( ) { }3 2 3 3; 2;0;2;3

2x x x xx−

∈ ⇔ + − ∈ − − −+

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 3

2 2 3 2 52 2

x xx x x x

x x

+ −⇒ + + − + ⇒ +

+ +

{ }7; 1A = − −

1p

2p

2p

5 2 1 2 2 2 2 37 3 2 3 2n n n nA + + += ⋅ ⋅ + ⋅

( )2 1 2 33 2 7 3 2n nA += ⋅ ⋅ + ⋅

2 1 23 2 31 31n nA += ⋅ ⋅

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Vcutie = a b c⋅ ⋅

Vcutie = 2cm∙4cm∙6 cm = 48 cm3

2p

3p

b) Vcub= 3l

Vcub=23 =8 (cm3)

48: 8 = 6 bucăţele zahăr cubic

1p

2p

2p

c) După 4 zile Ioana consumă 2 bucăţele de zahăr cubic

6-2=4 bucăţele de zahăr cubic i-au rămas

( )6 4 66, 6 %100

p p⋅ = ⇒ =

1p

2p

2p

2. a) 2 2P L l= ⋅ + ⋅

EF = 2R = 2∙2 cm = 4 cm

DE = 3∙2R = 3∙2∙2 cm = 12 cm

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

88

Page 89: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

PDEFG = 2∙4 cm + 2∙12 cm = 8 cm + 24 cm = 32 cm 2p

b) sin

2 2ADBAB DH AD DB ADBA ⋅ ⋅ ⋅

= =

unde { }AB DG H∩ =

din ADH cu ( ) 90om AHD = ⇒ AD = 2 2

din BDH cu ( ) 90 2 10om BHD BD= ⇒ =

5sin5

ADB =

2p

1p

1p

1p

c) 3carton ramas DEFG discA A A= − ⋅

4 12 48DEFGA L l= ⋅ = ⋅ = (cm2)

2 4discA Rπ π= = cm2

48 3 4 48 12 10carton ramasA π π= − ⋅ = − ≈ cm2

1p

1p

1p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 37 Prof. Burlăciuc Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 5p

2. 511

5p

3. (0; 4) 5p

4. 0,18 5p

5. 10 5p

6. 1929

5p

www.mate

info.r

o

89

Page 90: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează trunchiul de piramida patrulatera regulată

Notează trunchiul de piramida patrulatera regulată

4p

1p

2. ( ) ( ), 11 11 , 11 , , 1a b a k b l k l= ⇒ = = =

2 11 5 11 176 2 5 16k l k l⋅ + ⋅ = ⇒ + =

( ) ( ){ }, 33,22a b ∈

2p

1p

2p

3. 5∙(3a+4b+c) =5∙14 ⇒ 15a + 20b +5c = 70

15a + 20b +5c – (2a-b+3c) = 70-9

13a + 21b + 2c = 61

2p

2p

1p

4. a) ( ) ( )

2 237 12 7 3 2 7+ = +

( )2237 12 7 3 2 3 2 7 2 7+ = + ⋅ ⋅ +

37 12 7 9 12 7 28+ = + +

2p

2p

1p

b) ( )2

3 2 7 3 2 7− = −

( )3 2 7 3 2 7 0 3 2 7 3 2 7 2 7 3< ⇒ − < ⇒ − = − − = −

3 2 7 2 7 3 4 7x = + + − =

( ) ( ) ( )2012 2012 20124 7 1 4 7 4 7 1 1 1x − − = − − = − =

2p

1p

1p

1p

5 ( )1 2 5f a b− = − ⇒ − + = −

( )1 4 3f a b= ⇒ + =

5, 43 1

a b aa b b− + = − =

⇔ + = = −

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

90

Page 91: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) 3 1f x x= + 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) cusca cuboid prismaV V V= +

30,8 1 0,8 0,64 cuboidV a b c m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

223 0,16 3

4blA m= =

30,16 3 prisma bV A h m= ⋅ =

( )3 3 30,64 0,16 3 0,16 4 3 cuscaV m m m= + = +

1p

1p

1p

1p

1p

b) usa MNPQ PQ

A A A= +

260 30 1800 MNPQA MN NP cm cm cm= ⋅ = ⋅ =

22900 450

2 2PQ

RA cmπ π π= = =

2 2 2 2 21800 450 1800 1413 3213 usaA cm cm cm cm cmπ= + ≈ + =

1p

1p

1p

2p

c) de vopsit l cuboid bA A P h= = ⋅

2 3,6 0,8 2,88 l cuboidA m= ⋅ =

2,88 0,3 0,864 litri vopsea⋅ =

1p

2 p

2p

2. a) paralelogram 2 si

GH CFCFGH GH CF m GF CH

GF CH⇒ ⇒ = = =

BH = AB – HG – GA = 24 m – 2 m – 2 m = 20 m

Din ( ) cu 90 16 oHCB m HCB HC m= ⇒ =

Lungimea gardului este GF=HC=16 m

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

91

Page 92: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) '

2 2ADEb i DE AAA ⋅ ⋅

= =

Fie CC’ şi DD’ înălţimi în trapez

( ) 1 2 cu 90 ' 9,6 o c c HC BCHCB m HCB CC mip BH⋅ ⋅

= ⇒ = = =

( ) 2 cu 90 ' ' 7, 2 oHCB m HCB BC BH BC BC m= ⇒ = ⋅ ⇒ =

DC=24-7,2-7,2=9,6 m ⇒DE=DC-EF-FC =9,6-2-2=5,6 m ⇒ 29,6 5,6 26,88

2ADEA m⋅= =

1p

2p

1p

1p

c) 21 2 12 16 96

2 2 2terasa BCHc c BC CHA A m⋅ ⋅ ⋅

= = = = =

21096 96 96 9,6 105,6 100

m+ ⋅ = + = gresie

105,6∙40 = 4224 lei costă gresia

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 38 Prof. Burlăciuc Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 8 5p

2. 3 5p

3. - 4 5p

4. 14

5p

5. 75 5p

6. 6,3 5p

www.mate

info.r

o

92

Page 93: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral

Notează prisma

4p

1p

2. 2011 2011 , 20122012 2011 2012

a a b k a k b kb= ⇔ = = ⇒ = =

2 2 2011 2012 2010 20102012 2011

a b k k kb a k k k− ⋅ −

= = =− −

2p

3p

3. F echiunitară ⇔ 2 13 4 3 2 3 149 2012n n n+ ++ ⋅ + ⋅ + =

2 13 4 3 2 3 1863n n n+ ++ ⋅ + ⋅ =

( )23 3 4 3 2 1863n + ⋅ + =

3 23 1863n ⋅ =

3 81 4n n= ⇒ =

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f

Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f

Trasarea graficului funcţiei f

2p

2p

1p

b) ( ) 3 2f n n= +

( ) ( )2 3 2 2 3 6 2 3 8f n n n n+ = + + = + + = +

( ) ( ) ( )( ) 22 9 3 2 3 8 9 9 30 25f n f n n n n n⋅ + + = + + + = + +

( ) ( ) ( )22 9 3 5 este patrat perfect, f n f n n n N⋅ + + = + ∀ ∈

1p

1p

2p

1p

5 21 25xx

+ =

1p

www.mate

info.r

o

93

Page 94: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2 22 2

1 1 12 25 23x x xx x x

+ ⋅ ⋅ + = ⇔ + =

22

1 1 5 23x xx x

+ + = ⋅

23

2 3

1 115x xxx x x

+ + + =

3 33 3

1 1115 5 110x xx x

+ = − ⇔ + =

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( )3

tB b B b

hV A A A A= + + ⋅

2 2 220 400 BA L cm= = =

2 2 210 100 bA l cm= = =

( ) 330 400 100 200 10 700 7000 3

V cm= + + = ⋅ =

1p

1p

1p

2p

b)

{ }' , 'M E OM M E QN F⊥ ∩ = , ' 5 24' ' 4 ' 30

M F FNM FN M EM FN cmM E ME

⋅⇒ = ⇒ = =

5 4 9QN QF FN= + = + =

2 2 218 324 PRSTA ST cm= = =

( ) 324 100 324 180 4832 3

V cm= + + =

3 34832 4,832 dm 4,832 V cm litri= = =

1p

1p

1p

1p

1p

c) 'Fie OL MM⊥ ;

( )( )' '

, ' '

BC OMBC OO BC OMMOM OO OMM

⊥⊥ ⇒ ⊥

; ( )( )

'

'

BC OMMBC OL

OL OMM

⊥⇒ ⊥

1p

www.mate

info.r

o

94

Page 95: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ){ }

( ) ( )( )

'

' ; ', ' '

'

OL MMOL BC

OL BCC d O BCC OLBC MM BCC

BC MM M

⊥⊥

⇒ ⊥ ⇒ =⊂

∩ =

'' '

2 2OMMOM M E MM OLA ⋅ ⋅

= =

( )( )' 10 30 60 37 60 37 ; ' ' 37 375 37

OM M EOL cm d O BCC cmMM⋅ ⋅

= = = ⇒ =

2p

1p

1p

2. a) 10 5 cm; ADE

2 2DCDE EC= = = = şi BCE sunt dreptunghice isoscele

( ) ( ) ( )45 180 45 45 90o o o o om AED m BEC m AEB= = ⇒ = − − =

225 AEBA cm=

2p

1p

2p

b) galben disc AEBA A A= −

ABE dreptunghic înscris în cerc ⇒AB = 2R= 10 cm ⇒R= 5 cm

2discA Rπ=

25discA π=

( )25 25 25 1galbenA π π= − = − cm2

1p

1p

1p

1p

1p

c)

2disc

albastru ABCDAA A= −

10 5 50ABCDA L l AB BC= ⋅ = ⋅ = ⋅ = cm2

25 100 25502 2albastruA π π−

= − = cm2

100 253,14 25 78,5 100 25 21,5 10,75 112

ππ π π −> ⇒ − < − ⇒ − < ⇒ < <

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

95

Page 96: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 39 Prof: Burlăciuc Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 37 5p

2. ( ]3;2− 5p

3. 16 5p

4. 81 3 5p

5. 4 3 5p

6. 29 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează trunchiul de piramidă triunghiulară regulată

Notează prisma

4p

1p

2.

[ ]1 1

2 2

3 3

10 9 9 1014 9 9 14 9 10,14,2020 9 9 20

x c x cx c x c x kx c x c

= ⋅ + ⇔ − = ⋅= ⋅ + ⇔ − = ⋅ ⇒ − = ⋅= ⋅ + ⇔ − = ⋅

9 140 140 9 150 149 merex k x k x− = ⇒ = + < ⇒ =

3p

2p

3. a 3 , 6 , 23 6 2

b c k a k b k c k= = = ⇒ = = =

( )22 2 2 2 2 2 29 36 4 49 7a b c k k k k k+ + = + + = = este pătratul unui număr

3p

2p

4. a) Adunând cele două ecuaţii obţinem 4023 4023 12069 3a b a b+ = ⇔ + =

Scăzând cele două ecuaţii obţinem 1a b− + =

3, 1,1 2

a b aa b b+ = =

⇔ − + = =

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

96

Page 97: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ): , 2 f R R f x x→ = + 1p

b) ( ){ }2;0fG Ox A∩ = −

( ){ }0;2fG Oy B∩ =

21 2 2 2 2AOB

c c AO OBA u⋅ ⋅= = =

2p

2p

1p

5 ( )( ) ( )( ) ( )( )2 22 5 3 4 1 7 10 7 12 1n n n n n n n n+ + + + + = + + + + +

( )( )2 2 7 10 12 1 22 121Notam n n a a a a a+ = ⇒ + + + = + +

( ) ( )22 2 211 7 11 7 11A a n n n n= + = + + = + + este număr natural, n∀ ∈N

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

3bA hV ⋅

=

2 100bA l= = cm2

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ); ;

ABC

ABCABC

VO ABC pr V Opr VA OA VA ABC VA AO VAO

A ABC pr A A

⊥ ⇒ =⇒ = ⇒ = =

∈ ⇒ =

VOA dreptunghic isoscel 2 5 22

lAO VO⇒ = = = cm

500 23

V = cm3

1p

1p

1p

1p

1p

b) VA AB VB VAB= = ⇒ echilateral

Dacă M mijloc VB ⇒AM şi CM sunt înălţimi în triunghiurile echilaterale VAB şi VBC

1p

www.mate

info.r

o

97

Page 98: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ); ; ;

;

VAB VBC VB

AM VB AM VAB VAB VBC AM CM AMC

CM VB CM VBC

∩ =

⊥ ⊂ ⇒ = =

⊥ ⊂

sin2 2MAC

AC OM AM MC AMCA ⋅ ⋅ ⋅= =

10 2 5 2 2sin35 3 5 3

AC OMAMCAM MC

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

1p

1p

2p

c) Drumul cel mai scurt este egal cu lungimea segmentului BD pe desfăşurarea piramidei

Fie BP înălţime în triunghiul VAB echilateral 5 3BP⇒ = cm

Din ( ) cu 90 10 3oBPD m BPD BD= ⇒ = cm (lungimea drumului)

2p

1p

2p

2. a) ABCDA L l AB BC= ⋅ = ⋅

BT şi BM tangente la acelaşi cerc ⇒BT=BM=12 cm 2 24AB BM⇒ = ⋅ = cm

( ) ( ) 120 bisectorea TOM 602

ooOB m BOM m BOT⇒ = = =

( ) cu 90 4 3 2 8 3o BTBOT m BTO tg BOT OT BC ROT

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = cm

192 3ABCDA = cm2

1p

1p

1p

1p

1p

b) 2 8 3cercL Rπ π= =

2sec 360tor circular o

uA Rπ= ⋅

2p

1p

www.mate

info.r

o

98

Page 99: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )02

sec 1204 3 16360tor circular oA π π= ⋅ ⋅ =

2p

c) ( )

2trapez

B b iA

+ ⋅=

( ) ( )0, 360 90 90 120 60o o o oOM AB OT BE m MBT⊥ ⊥ ⇒ = − + + =

' , ' ; ' 2 8 3EE AB FF AB EE R⊥ ⊥ = =

( ) '' cu ' 90 ' 8 ' ' 24 8 8 8'

o EEBEE m E tg B BE EF E FBE

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = − − =

128 3ABEFA =

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

99

Page 100: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 40 Prof: Burlacu Daniel

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 13 5p

2. 2 5p

3. 5 5p

4. 12 5p

5. 6 5p

6. 25 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Realizare desen.

Notare

3p

2p

2. Notăm cu x prețul inițial al televizorului.

10 990100

x x− =

90 99000x =

1100x = lei (prețul inițial al televizorului)

2p

2p

1p

3. 30a b c+ + =

23

2 3 55

a ka b c k b k

c k

== = = ⇒ =

=

2 3 5 30 3k k k k+ + = ⇒ =

6; 9; 15a b c= = =

1p

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

100

Page 101: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a)

(3) 3 2 (3) 1(3; 1)

f fA G= − + ⇒ = −

⇒ − ∈

3p

2p

b)Reprezentarea corectă a unui punct de pe grafic.

Reprezentarea corectă a celui de-al doilea punct de pe grafic.

Trasarea graficului funcției.

2p

2p

1p

5 4 4 3 3 3 3 3 3 3 13A = + + + − − + =

A∈

4p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

2 2 2 2: ( ) 90 25 54 20

o

gard

AMQ m A MQ AM AQ MQ MQL MQ m∆ = ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

= =

3p

2p

b) 21 2 6 8 24

2 2MNPQ MNPQd dA A m= ⇒ = =

24 10 240= euro costă plantarea întregi zone cu flori

3p

2p

c)

2

2

2

48 24 24

48

24

pavaj ABCD MNPQ pavaj

ABCD

MNPQ

S A A S m

A m

A m

= − ⇒ = − =

=

=

5p

2. a) 310 6 4 240V L l h V m= ⇒ = = 5p

b) 232 4 128l b lA P h A m= ⇒ = =

128 : 4 32l= de vopsea

3p

2p

c) c) Vcub= 503 = 125000 cm3

Vcamera de depozitat = 240 m3=240 000 000 cm3

240 000 000 : 125 000 = 1920 cutii cubice

3p

2p

www.mate

info.r

o

101

Page 102: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 41 Prof: Burlacu Daniel

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 3 5p

2. 0, 1, 2, 3 5p

3. 6 5p

4. 4 5p

5. 45o 5p

6. Vineri 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Realizare desen.

Notare

3p

2p

2. Notăm cu x suma inițială

30 1400100

x x− =

70 140000x =

2000x = lei (suma inițială)

2p

2p

1p

3. Notăm cu n − numărul de copii din șscoală

[4;5;6] 360 3

nn= += +

63n = (numărul minim de copii din școală)

2p

2p

1p

4. a)

( ; ) ( )

2 4 4fM a a G f a a

a a a∈ ⇒ =

− = ⇒ =

2p

2p

www.mate

info.r

o

102

Page 103: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

(4;4)M este punctul de pe grafic cu abscisa egală cu ordonata 1p

b)

21 2

( ) 0 (2;0)(0) 4 (0; 4)

2 4 42 2AOB

Ox f x AOy f B

c cA u

∩ ⇒ = ⇒∩ ⇒ = − ⇒ −

= = =

2p

2p

1p

5 2 2 2( ) 4 12 9 3 12 12 3( ) 0

E x x x x x xE x

= − + − + − − +=

⇒Expresia nu depinde de x 3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 10: ( ) 90 5

2o

MBCxMBC m B A x∆ = ⇒ = =

2m 5p

b)

210030 5 30

100

ABCD

MBC ABCD

A m

A A x

=

= ⇒ =

6x =

2p

2p

1p

c) 2(10 4) 10 70

2AMCDA m+= =

270 29 2030m = lei costă gresia pentru cameră

3p

2p

2. a)

2 2 2

2

: ( ) 90

144 72 6 2

oVOA m O VO VA AO

VO VO m

∆ = ⇒ = −

= − ⇒ =

2p

3p

b)

22

2

34 144 34

250

l

l

lA m

A m

= =

4p

1p

c)

250 20 500050 5000 2500

1005000 2500 7500

lei

lei

lei

=

=

+ =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

103

Page 104: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 42 Prof: Burlacu Daniel

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 2 5p

2. 3 5p

3. 11 5p

4. 28 5p

5. 48 5p

6. 7 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Realizare desen.

Notare

3p

2p

2. 5 5000 250100

=

250 2 500lei= ( va fi penalizat muncitorul)

3p

2p

3. Notăm cu x − numărul apartamentelor cu 2 camere

y −numărul apartamentelor cu 3 camere

562 3 144

2432

x yx y

xy

+ = + =

= =

În bloc sunt 24 de apartamente cu două camere si 32 de apartamente cu trei camere.

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

104

Page 105: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4.

a)

(3) 1 (3; 1)

(3) 1 (3; 1)

(3; 1)

f

g

f g

f A Gg A G

A G G

= − ⇒ − ∈ ⇒= − ⇒ − ∈ ⇒ − ∈ ∩

2p

2p

1p

b)

2

(3; 1)

(0) 2 (0;2)

(0) 4 (0; 4)

66 3 9

2 2

f g

f

g

ABC

A G GG Oy f BG Oy g CBC u

b hA u

− ∈ ∩

∩ ⇒ = ⇒

∩ ⇒ = − ⇒ −

=

= = =

1p

2p

1p

1p

5 27 4 3 (2 3) 2 3 2 3

7 3 2 3 9 3AA

− = − = − = −

= + + − = =∈

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

2 2 2: ( ) 90500

oAMF m M AF AM MFAF m∆ = ⇒ = +

=

5p

b)

2800 600 480000 4848 1500 72000

ABCDA m halei

= = ==

cost plantare, întreținere și recoltare. 3p

2p

c) 48 3,5 168t t=

168 800 134400lei=

2p

2p

www.mate

info.r

o

105

Page 106: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

134400 72000 62400lei− = rămân agricultorului 1p

2. a) 3 320 30 40 24000 24 24V cm dm l= = = =

24 2 48 50l l l= ∠ . Deci nu sunt suficiente două canistre.

3p

2p

b)300 : 50 6 /lei litru=

6 24 144lei lei= costă canistra de benzină

2p

3p

c)

2

2 ( )2 2600 5200

A L l h l L hA cm= + +

= =

2p

3p

www.mate

info.r

o

106

Page 107: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 43 Prof. Ileana Cernovici

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4 5p

2. 21 5p

3. 42 5p

4. 25 5p

5. 60 5p

6. 7,40 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. [ ]2;5A = −

numerele întregi din mulţimea A sunt : { }2;0;1;2;3;4;5−

( )3;3B = −

numerele întregi din mulţimea B sunt: { }2; 1;0;1;2− −

cel mai mare număr întreg care aparţine lui A şi B este 2

1p

1p

1p

1p

1p

3. Notăm cu a şi b cele 2 numere

122

a b+=

24a b+ =

57

ab=

1p

1p

www.mate

info.r

o

107

Page 108: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

10a =

14b =

1p

1p

1p

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului funcţiei

4p

1p

b) ( ) 3 2f x x= −

⇒ ( )2 3 2 2a f= = − ⋅ şi

( ) ( )2 3 2 2 3 2 2b f= − = − ⋅ − = +

gm a b= ⋅

( )( )3 2 2 3 2 2 9 8 1gm = − + = − =

1p

1p

1p

2p

5. 6 3 2x = + şi 6 18 6 3 2y = − = −

( )( ) ( )226 3 2 6 3 2 6 3 2 36 18 18

18

x y

x y

⋅ = + − = − = − =

⇒ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2

2 2

6 3 2 6 3 2 36 36 2 3 2 36 36 2 3 2

2 36 2 18 108 108

x y

x y

+ = + + − = + + + − + =

⋅ + ⋅ = ⇒ + =

1p

2p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( ) ( ) 22 2 2 4 2 8 4 8 2 56 112totA ab ac bc cm= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = 5p

b) 32 4 8 64cub paralelipipedV V cm= = ⋅ ⋅ = 5p

) 3 3

2 2 2sec

644

2 2 4 2 16 2tiunii

c V l ll cm

A l l l cm

= ⇒ =

⇒ =

= ⋅ = = =

5p

www.mate

info.r

o

108

Page 109: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. ) 3 ; 2 66

a CD m AD CD AD mADCE dreptunghi CE m

= = ⇒ == ⇒ =

În triunghiul CEB avem ( ) ( )90 ; 45m E m B= = ⇒

Triunghiul CEB este dreptunghic isoscel

( ) 2

6

12 6 362 2ABCD

CE EB mCD AB AD

A m

⇒ = =

+ ⋅ ⋅= = =

1p 1p

1p

1p

1p

b) notăm cu x =cantitatea de gresie cumpărată

10 36100

90 100 3636 40100 90

x x

x x

− ⋅ =

⋅⋅ = ⇒ = =

Deci vom avea nevoie de 240m de gresie

2p

2p

1p

c)In triunghiul CEB dreptunghic isoscel aplic T.Pitagora

( )

2 2 2 2 26 6 36 36 72

72 6 2

9 6 2 3 6 18 6 2

6 3 218 6 2 3 236 36 6

ABCD

ABCD

ABCD

BC BE BC

BC

P AB BC CD DA

PA

⇒ = + = + = + =

⇒ = =

= + + + = + + + = +

++ +⇒ = = =

1p 1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

109

Page 110: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 44 Prof. Ileana Cernovici

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -1 5p

2. ( )21 2a = + 5p

3. 5 5p

4. 600 5p

5. 19,85 5p

6. 33 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. Notăm cele 2 unghiuri A şi B

( ) ( ) 90m A m B+ =

( ) ( ) 0204

m Bm A = +

( ) 056m B = şi ( ) 034m A =

1p

2p

2p

3. ( ) ( ) ( )2 221 3 1 3 2 3 1 4 2 3x − = + = + + = +

2 1 2 3 2 33 3 3 33

y += + = + =

2p

2p

www.mate

info.r

o

110

Page 111: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Stabilim egalitatea :

( ) ( )

2 34 2 3 63

2 2 3 2 2 3

++ = ⋅

⇔ + = +

1p

4. a) notăm cu x numărul apartamentelor cu 3 camere şi cu y numărul apartamentelor cu 2 camere.

3 2 7620

28x y

xx y+ =

⇒ = + = şi 8y =

5p

b) din p% 20 8 40p⋅ = ⇒ =

deci 40%

5p

5 ( ) ( )2 22 3 1 3E x x y= − + + +

Pentru ca E minim 2 0x⇒ − = şi 3 1 0y + =

2x⇒ = şi 13

y = −

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

4 2

2 2 22 22 :2 1 1 2 2 2

E− + − +− − = − = − + + − − −

2 2 4 2 2:1 3 16 4

− − + − = − −

( )

2 4 6 2 4 4 122 : : 43 12 3 12 3 4

2 4E

− − = = ⋅ = ⇒ − =

2p

1p

2p

) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2

2

2 222

2 2

1 2 12 2 21 1 1 1 1 1 1

12 =1 2

x x xx x x xbx x x x x x x

x xx xE x xx x x

− + + + +− = + = =

+ − + − + − −

−+ += ⋅

− + +

3p

2p

www.mate

info.r

o

111

Page 112: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 22 2 2

2 2 4 2 4 4

2 4 2 2 4 4

2 4 4 2

c E a b a b a b ab a b

E a b E a b a b ab a

a b ab a a a b a

+ + = + + = + + + + +

+ + + − = + + + + =

+ + + + + = + + +

din ( ) ( )2 22 0 2 0

2; 2a b a a b a

a b+ + + = ⇒ + = + =

⇒ = − =

deci 2; 2a b= − = soluţie

2p

1p

1p

1p

2.

)

( )

2

2

2

2

9 9 3 43 9 3 33 23

34

3 3 3 27 34 4

b

b b aca l la

lA

cm

− ± −= ⇒ = = =

= =

⋅=

2p

1p

2p

)

3

327 3 4

43

27 3 9 33

bdiamant

A hb V

cm

⋅= =

⋅=

=

1p

2p

2p

) 3 3 35 125

125 9 3100

9 3 4 36 3 12,475 5

c Vcutie l cmp

p

= = =

⋅ = ⇒

⋅= = ≈

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

112

Page 113: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 45 Prof. Ileana Cernovici

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 11 5p

2. 3 34

5p

3. 150 5p

4. 300 5p

5. 12 5p

6. 38,5 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Realizează desenul şi identifică figura

5p

2. ( )( )( ) ( )( )( )

( )

2 1 2 2 3 2 2 31 2 1 2 2 3 2 3

2 1 2 2 3 2 2 31 1

2 1 2 2 3 2 2 3

2 2 2 2 3 2 2 30

− −+ − + =

+ − + −

− −+ − + =

− − + − − + =

− + + − − + =∈

1p

2p

1p

1p

3.

( ) ( ) ( )( )

( )

a+b+2 a+b +...+100 a+b 1 2 ... 100

100

a b

a b

= + + + + =

+ ⋅101

2⋅

( ) 50 101500 101 50500a b

=

+ ⋅ ⋅ =

⋅ =

2p

1p

1p 1p

www.mate

info.r

o

113

Page 114: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. 21 2 242

c cA cm⋅= =

( )( )

( )( )2

4 5 224

24 5 2 48

5 18 56 0

x xA

x x

x x

+ −= =

+ − =

+ − =

1 22 2 2 2 2

1 2

10 6

Solutia care convine este 22 4 6; 5 2 2 8

6 8 36 64 100

8

0

241

xc c

ip c

perimet

c

u mip

r c

=⇒ = + = = ⋅ − =

= + = +

= + + =

= + =⇒ =

Nu trebuie

1p

1p

1p

1p

1p

b) pentru triunghiul dreptunghic avem

1 2 6 8 48 2410 10 5

c chip⋅ ⋅

= = = =

5p

5 ( ) ( )( )

( )

2 3 2 3 1

1 2 3 1

1; 1

f x g x x x x

f

M

= ⇒ − = − ⇒ =

= − = −

⇒ −

2p

2p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. ) ( ) ( ) ( )2

2 2 16 10 16 30 10 30 2 160 480 300

2 940 1880ta A ab ac bc

m

= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + =

⋅ =

5p

b) ( ) ( )( ), 3D D ABC DE AC E AC T′ ⊥ ⊥ ∈ ⇒ ⊥ că D E AC′ ⊥ ⇒

distanţa de la D′ la AC este D E′

in triunghiul DAC aplicăm T.Pitagora⇒AC 356=

160356

AD DCDEAC⋅

= =

În triunghiul ( ), 90D DE m D′ =

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

114

Page 115: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Aplicăm TP2 2 2

10 10

D E D D DE

D E m′ =

′ ′⇒ = +

1p

c) Sup.acoperişului S 216 10 160m= ⋅ =

intr-o zi un muncitor izolează 4 2 5m ⇒ zile izolează 4 5 20⋅ = 2m

sunt necesari 160: 20=8 muncitori

1p

2p

2p

2. ) ( ) ( )2 2 20 12 6464 : 4 16

a P L l m= + = ⋅ + =

⇒ =

deci se folosesc 16 stâlpi

2p 2p

1p

b)Lungimea unui rând de sârmă este 64-4 60m=

60 m 3 180m⋅ = sârmă necesari pentru cele 3 rânduri

2p

3p

c) 180 1,25 225lei⋅ = 5p

www.mate

info.r

o

115

Page 116: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 46 Prof Ileana Cernovici

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 2b = 5p

2. 1987 5p

3. 80 5p

4. 12 5p

5. 0 5p

6. 2 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect

Notează corect

4p

1p

2. 6 2 6 2 44 5 719 5 719 6 719

6 120 719 720 719 1

a b b c a b b c a b cE a b c c c c+ = + ⇒ + − = ⇒ + == + + − = + − = − =⋅ − = − =

2p

2p 1p

3. Notăm cu x , lungimea drumului şi avem

În prima etapă: 1 105

x +

Drum rămas 1 410 105 5

x x x − + = −

Etapa a doua: 1 4 10 172 5

x − +

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

116

Page 117: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1 1 410 10 17 305 2 51 2 525 53 525

3525

252 1305

x x x

x x x

x x

x x

x x

+ + − + + =

+ + =

+ =

= −

= ⇒ =

1p

4. ) ( )( ) ( )( )( )( )

, ,

,

3

60

ABCa A B ABC A B pr A B

A B AB A BA

tg A BA

m A BA

′ ′ ′= =

′ ′=

′ = ⇒

′ =

1p

1p

1p

2p

)( ) ( )

{ }( )

( )( )

, ,

6 3, 3 32

b CE AB

AA ABC siCE ABC AA CE

CE AB CE A A AA AB A

CE A AB

d C A AB CE cm

′ ′⊥ ⊂ ⇒ ⊥

′ ′⊥ ⊥ ∩ =

′⇒ ⊥ ⇒

′ = = =

1p

1p

1p

1p 1p

5 Suma are 333 termeni pe care ii grupăm cîte 3

( ) ( ) ( )( )

2 4 2 331 2

4 331

7 1 7 7 7 1 7 7 ... 7 1 7 7

57 7 7 ... 7 57

S = + + + + + + + + + =

+ + +

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

3 5 222 4x yx y− = −

− =

3 5 22 610 5 20 8x y x

x y y− = − =

⇒ ⇒ − + = − =

Atunci AB=6 cm şi AC=8 cm

2p

1p

www.mate

info.r

o

117

Page 118: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ), 90ABC m A =

avem

2 2 2

2

106 8 24

2 26 8 10 24

BC AB AC BC cmAB ACAria cm

Perimetru AB AC BC cm

= + ⇒ =⋅ ⋅

= = =

= + + = + + =

1p 1p

b) Fie AD BC⊥ , aplicăm T.catetei in

2

2 36 3,610

10 3,6 6,4

ABC AB BD BCABBD cmBC

DC BC BD CM

⇒ = ⋅ ⇒

= = =

= − = − =

1p 2p

2p

c)2 2

2 48 22 242

4cerc

r P AA rP

rA r cmπ π

⋅= ⇒ = = =

⇒ =

= =

2p

1p

2p

2.

a)

( ) ( )( ) ( )

( )

1;2 1 2 2

2; 1 2 1 2 1

11

1

f

f

A G f a b

B G f a b

ab

f x x

− ∈ ⇔ − = ⇔ − + =

− ∈ ⇔ = − ⇔ + = −

= −⇒ ⇒ =

= − +

1p

1p

1p

2p

b) 3MA MB ABM= = ⇒ dreptunghic isoscel

( )( )

45

1

m ABM

tg ABM

⇒ = ⇒

=

2p

2p

1p

) 2 2

1 2

3 2

6 3 23 3 9

2 2 2

c AB MA MB AB

P AM AB MBc cA

= + ⇒ =

= + + = +⋅ ⋅

= = =

1p 2p

2p

www.mate

info.r

o

118

Page 119: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 47 Prof. Ciocănaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 96 5p

2. 5 5p

3. 10 lei 5p

4. 25 cm2 5p

5. 13 5p

6. 48 cm 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma.

Notează prisma.

Trasează diagonala AB’.

3p

1p

1p

2. Scrie mulţimea divizorilor naturali ai lui 5, D5 = {1, 5}.

Rezolvă ecuaţiile x+1 = 1 şi y-1 = 5 şi găseşte x = 0, y = 6.

Rezolvă ecuaţiile x+1 = 5 şi y-1 = 1, găseşte x = 4, y = 2 şi scrie mulţimea soluţiilor S = {(0, 6), (4, 2)}.

1p

2p

2p

3. Notează cu x preţul iniţial al laptopului; preţul după scumpire este x + 15% x

= x2023

.

Preţul după ieftinire este x2023 – 20%( x

2023 ) = x

2523 .

Scrie ecuaţia x2523 = 2300 şi determină x = 2500 lei.

1p

2p

2p

4. a) Fie punctul M(a,b) intersecţia celor două grafice. Scrie f(a) = b, g(a) = b deci f(a) = g(a).

Obţine f(a) = a – 2, g(a) = 2a + 1 şi a – 2 = 2a + 1, de unde a = - 3.

2p

2p

www.mate

info.r

o

119

Page 120: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Calculează b = - 5 şi finalizează M(-3, -5). 1p

b) Folosirea lui M din rezolvarea punctului a) sau reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei g.

Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei g.

Trasarea graficului funcţiei g.

2p

2p

1p

5 Amplifică fiecare fracţie cu expresia conjugată a numitorului adică 23 + respectiv 12 − .

Obţine a = ( 23 + )2 + ( 12 − )2 - )13(22 − = 5+ 62 + 3- 22 - 62 +

22 .

Determină a = 8 şi finalizează a∈N.

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Scrie Lcerc = 2πR.

Calculează L cerc mare = 45π cm, L cerc mijlociu = 30π cm, L cerc mic = 15π cm.

Calculează L panglică necesară pentru cele 3 cercuri: mare, mijlociu, mic

L panglică = L cerc mare + L cerc mijlociu + L cerc mic = 90π cm

Calculează lungimea panglicii pentru fragmentul din Figura 1

L = 360π cm.

1p

2p

1p

1p

b) Precizează că suprafaţa vopsită corespunde Al a paralelipipedului dreptunghic (panglica metalică) cu secţiunea având P = 2(2 + 0,3) = 4,6 cm

Al panglică mare = 4, 6 ⋅45π = 207π cm2, Al panglică mijlocie = 4, 6 ⋅30π = 138π cm2,

Al panglică mica = 4, 6 ⋅15π = 69π cm2.

Calculează A culoare 1 = 4(Al panglică mare + Al panglică mica) = 1104 π cm2

Calculează A culoare 2 = 4 Al panglică mijlocie = 552 π cm2.

1p

2p

2p

c) Scrie Vparalelipiped = Abazei ⋅ h. 1p

www.mate

info.r

o

120

Page 121: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Abazei = 2 ⋅ 0,3 = 0,6 cm2

Observă că panglica are lungimea totală egală cu L panglică de la punctul a) deci h = L panglică

Calculează Vparalelipiped = 0,6 ⋅90π = 54 π cm3.

1p

3p

2. a) Calculează diagonalele pătratelor

d pătrat mare = 30 2 cm, d pătrat mic = 15 2 cm.

Calculează lungimea L = 5 ⋅30 2 + 4 ⋅15 2 + 2(5+7) = 210 2 + 24 (cm).

Calculează lăţimea l = 3 ⋅30 2 + 2 ⋅15 2 + 2(5+7) = 120 2 + 24 (cm).

2p

2p

1p

b) Scrie A pătrat = l2

Calculează A pătrat mic = 152 = 225 (cm2), A pătrat mare = 302 = 900 (cm2).

Calculează Abordură = 2 ⋅5 (210 2 + 24) + 2 ⋅5 (120 2 + 24 - 10)

Abordură = 10 (330 2 + 38) cm2.

Calculează SV = 12 A pătrat mic + Abordură, SV = 12 ⋅225 + 10 (330 2 + 38) .

Calculează SM = 12 A pătrat mare, SM = 12 ⋅900 cm2.

1p

1p

1p

1p

1p

c) Scrie A dreptunghi = L ⋅ l

Calculează, cu rezultatele de la a) A dreptunghi = (210 2 + 24) (120 2 + 24)

A dreptunghi ≈ 61843,32 cm2

Smotiv geometric = 12 (A pătrat mic + A pătrat mare) = 12 (225 + 900) = 13500 (cm2).

Calculează raportul procentual Smotiv geometric/ A dreptunghi = 13500/ 61843,32 de unde rezultă 21,82%

1p

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

121

Page 122: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 48 Prof. Ciocănaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 24 5p

2. 3 5p

3. 9 cm 5p

4. 15 lei 5p

5. 8 3 cm 5p

6. 248 cm2 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează cubul şi îl notează.

Trasează diagonala AC’ şi precizează “o diagonală a cubului”.

Trasează diagonala AD’ şi precizează “diagonala unei feţe a cubului”.

3p

1p

1p

2. Notează cu x costul unei cutii cu bomboane şi cu y costul unei prăjituri

Scrie sistemul 2x + 5y = 35,9 şi îl rezolvă obţinând x = 9,2 şi y = 3,5

3x + 2y = 34,6

Finalizează precizând costul unei cutii cu bomboane 9,2 lei şi costul unei prăjituri 3,5 lei.

1p

3p

1p

3. Scrie mulţimea divizorilor întregi ai lui 3, D3 = {± 1, ± 3}.

Rezolvă ecuaţiile a+1 = 1 şi b-1 = 3 şi găseşte a = 0, b = 4,

a+1 = -1 şi b-1 = -3 şi găseşte a = -2, b = -2.

1p

2p

www.mate

info.r

o

122

Page 123: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Rezolvă ecuaţiile a+1 = 3 şi b-1 = 1 şi găseşte a = 2, b = 2,

a+1 = -3 şi b-1 = -1 şi găseşte a = -4, b = 0 şi scrie mulţimea soluţiilor S = {(0, 4), (-2, -2), (2, 2), (-4, 0)}.

2p

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei f.

Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei f.

Trasarea graficului funcţiei f.

2p

2p

1p

b) Determinarea coordonatelor lui A în urma rezolvării ecuaţiei f(x) = 0,

adică -2x +3 = 0, x = 23

, A(23

, 0).

Determinarea coordonatelor lui B în urma calculării lui f(0) = 3, B(0, 3)

Observarea catetelor triunghiului dreptunghic AOB, OA = 23

, OA = 3,

aplicarea formulei A∆dr = 2

21cc şi găsirea rezultatului A∆AOB = 49

2p

1p

2p

5 Scrie formula mediei geometrice mg = ab , a,b > 0

Observă a = 21+ + 21− = 2 2 > 0 şi b = 2 > 0.

Calculează mg = 2

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Scrie Vcil = πR2h şi R = 1,5 cm.

Calculează volumul unei alveole Va = π 1,52 ⋅2 = 4,5 π (cm3).

Calculează volumul tuturor alveolelor V = 15 ⋅Va = 67,5 π (cm3).

2p

2p

1p

b) Calculează lungimea suportului 0,3 ⋅2 + 0,2 ⋅4 + 3 ⋅5 = 16,4 (cm).

Calculează lăţimea suportului 0,3 ⋅2 + 0,2 ⋅2 + 3 ⋅3 = 10 (cm).

Observă suprafaţa suportului S = Adreptunghi - 15 ⋅Adisc .

Înlocuieşte şi calculează S = 16,4 ⋅10 - 15 ⋅1,52 π = 164 – 33,75 π (cm2).

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

123

Page 124: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) Observă că pătratul trebuie să fie înscris în cerc pentru ca Apătrat să fie maximă şi face desenul corespunzător.

Scrie l4 = R 2 .

Calculează suprafaţa maximă pe care o pot ocupa bomboanele Smax = 15 ⋅A pătrat

Smax = 15 ⋅2 R2 = 30 ⋅1,52 = 67,5 (cm2).

2p

1p

2p

2. a) Scrie A pătrat = l2, Adisc = π 2)

2( l .

Apetală1 = Adisc + 41 ( A pătrat - Adisc) ⇒ Apetală1 = π 2)

2( l +

41 ( l2 - π 2)

2( l ).

Calculează Apetală1 = 2)2

( l4

13 +π .

2p

2p

1p

b) Scrie Apetală2 = Adisc +

31 ( A ∆echilat - Adisc), A∆echilat =

432l , Adisc = πR2

raza cercului înscris în triunghiul echilateral R = 63l , Adisc = π 2)

63(l .

Apetală2 = π 2)63(l +

31 (

432l - π 2)

63(l ).

Calculează Apetală2 = 2)2

( l9

332 +π .

3p

1p

1p

c) Din punctele a) şi b)⇒ Apetală1 = 2)

2( l

413 +π , Apetală2 = 2)

2( l

9332 +π .

Scrie AF1 = 4 Apetală1= 4

13 +π l2, AF2 = 6 Apetală2 = 6

332 +π l2.

⇒2

1

F

F

AA

= )332(2

)13(3+

+

ππ ≈ 1,76.

1p

3p

1p

www.mate

info.r

o

124

Page 125: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 49 Prof. Ciocănaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 101

5p

2. 39 lei 5p

3. 320 cm2 5p

4. -11 5p

5. 32 cm 5p

6. 5 3 cm 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida.

Notează piramida.

Desenează triunghiul format din înălţimea piramidei, apotema bazei şi apotema piramidei şi îl notează.

2p

1p

2p

2. Scrie formula 3)( ba − = 3223 33 babbaa −+− .

Face înlocuirile şi calculele 3)322( − = 3223 )3()3()22(33)22(3)22( −+− = 16 2 - 24 3 +18 2 -3 3 .

Finalizează 3)322( − = 34 2 - 27 3 .

2p

2p

1p

3. Scrie ecuaţia dată sub forma echivalentă x -2 = 2(x + 3).

Desface paranteza, separă şi reduce termenii asemenea şi găseşte x = - 8.

Scrie S = {-8} şi precizeză că -8 nu poate reprezenta lungimea unui segment

1p

3p

www.mate

info.r

o

125

Page 126: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

pentru că este negativ. 1p

4. a) Notează f(x) = ax+ b, a, b∈R.

Din A, B∈Gf scrie relaţiile f(2) = 4 şi f(-1) = -3 şi apoi 2a + b = 4, respectiv – a + b = -3.

Rezolvă sistemul 2a + b = 4 obţine soluţia S = {(32,

37− )} şi finalizează

– a + b = -3

f(x) = 32

37

−x .

1p

2p

2p

b) Reprezintă grafic funcţia f folosind oricare două puncte ale sale.

Duce perpendicularele din A pe Ox şi din B pe Oy, le prelungeşte până se intersectează în C şi scrie coordonatele sale C(2, -3)

3p

2p

5 Scrie ecuaţia 2322 ±=−+x .

Obţine 2322 ±=+x şi apoi x + 2 2 = )23( ±± .

Obţine x1 = 23 − , x2 = - 233 − , x3 = 233 − , x4 = - 23 − şi apoi

S = {- 233 − , 233 − , - 23 − , 23 − }.

1p

2p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Scrie L sector cerc = πRu/ 1800

Asuprafeţelor plane = 3 ⋅ 20 ⋅800 = 48000 (cm2), pentru o coloană.

Asuprafeţelor circulare = 3 ⋅10 π ⋅800 = 24000 π (cm2), pentru o coloană.

Suprafaţa pictată este 2 ⋅(48000 + 24000 π) = 48000(2 + π) (cm2).

1p

2p

1p

1p

b) Din punctul a) rezultă k = Asuprafeţei circulare / Asuprafeţei plane

Calculează k şi obţine k = π/ 2.

Raportul procentual este 157,14%.

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

126

Page 127: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) Scrie A∆echilat = l2 3 / 4 şi Asector cerc = πR2u/ 3600

Calculează Asecţiunii = A∆echilat mare - 3 A∆echilat mic + 3 Asector cerc

Asecţiunii = 602 3 / 4 - 3 ⋅202 3 / 4 + 3 ⋅ 102π/ 2 = 150 (4 3 - π) (cm2).

Vcoloane = 2 ⋅Asecţiunii ⋅ h, Vcoloane = 240000 (4 3 - π) (cm3).

2p

2p

1p

2. a) Observă faptul că cele 4 sectoare de cerc scoase din pătratul albastru formează un cerc L cerc = 2πR iar segmentul rămas din latura pătratului are lungimea 60 - 2 ⋅ 12= 36

Calculează L cerc = 24π cm , Lsegmente = 4 ⋅ 36 = 24 (cm).

Calculează lungimea conturului exterior (albastru) 24π + 144 = 24(π + 6).

2p

2p

1p

b) Observă faptul că motivele geometrice roşii au aceeaşi formă cu motivul albastru de la punctul a) deci L cerc = 8π cm, Lsegmente = 4 ⋅ 12 = 48 cm

L formă = 8π + 48 = 8(π + 6) (cm).

Observă faptul că motivul nu are lungimea laturii modificată, deci P = 4 ⋅ 20 = 80

Calculează lungimea conturului motivului geometric (roşu) 4 ⋅8(π + 6) + 80 = 16(2π + 17) (cm)

3p

1p

1p

c) Scrie A pătrat = l2, foloseşte punctul a) pentru Acerc = πR2.

Calculează aria figurii A1 = 202- π42 = 42(52- π).

Calculează aria figurii A2 = 202- 4 ⋅42 = 42(52- 4) = 21 ⋅42.

Calculează aria motivului geometric (roşu) Amotiv roşu = 4 ⋅ A1+ A2

Amotiv roşu = 4 ⋅ 42(52- π) + 21 ⋅42 = 42( 121- 4 ⋅π) (cm2).

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

127

Page 128: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 50 Prof. Ciocǎnaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 28 5p

2. 80% 5p

3. 8 2 5p

4. 6,2 5p

5. 26 5p

6. 0 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Deseneazǎ tetraedrul

Noteazǎ tetraedrul

4p

1p

2. Aduce pe a la forma: 2 2 - 2

Calculeazǎ a2 = 12 – 8 2

Scrie a-1 = )12(2

1−

Raţionalizeazǎ şi obţine a-1 = 2

12 +

2p

1p

1p

1p

3. Calculeazǎ cât costǎ minifelicitǎrile: 1,8 lei

Calculeazǎ cât costǎ plicurile: 15,6 lei

Calculeazǎ cât costǎ minifelicitǎrile cu plicuri: 17,4 lei

2p

2p

1p

4. a) Alege corect perechile de puncte pentru f. 2p

www.mate

info.r

o

128

Page 129: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Traseazǎ drepta corespunzǎtoare lui f şi o noteazǎ.

Alege corect perechile de puncte pentru g.

Traseazǎ drepta corespunzǎtoare lui g şi o noteazǎ.

1p

1p

1p

b) Scrie ecuaţiei f(x) = g(x).

Rezolvǎ ecuaţia şi gǎseşte x = 1.

Aflǎ f(1) sau g(1) = 3.

Scrie coordonatele punctului de intersecţie (1, 3).

1p

2p

1p

1p

5 Rezolvǎ ecuaţia |x – 2| - 5 = 3

Gǎseşte soluţiile 10 şi - 6

Rezolvǎ ecuaţia |x – 2| - 5 = - 3

Gǎseşte soluţiile 4 şi 0

Scrie mulţimea de soluţii S = {- 6, 0, 4, 10}

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Scrie formula volumului

Calculeazǎ volumul bazinului 3600 m3

Calculeazǎ volumul apei 2400 m3

1p

2p

2p

b) Scrie formula volumelor trunchiului de piramidǎ şi cubului

Calculeazǎ volumele trunchiului de piramidǎ şi cubului Vt = 84 m3, Vcub =

216 m3

Aflǎ înǎlţimea apei în care s-au introdus corpurile: 9 m

2p

2p

1p

c) Scrie

240084 şi calculeazǎ 0,035

Scrie 3600216 şi calculeazǎ 0,06

2p

2p

www.mate

info.r

o

129

Page 130: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Exprimǎ rezultatele conform cerinţelor: 3,5%, respectiv 6% 1p

2. a) Scrie formula pentru lungimea cercului

Calculeazǎ lungimea celor 4 cercuri: 8π R

Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului şi-l calculeazǎ: 4R 2

Calculeazǎ lungimea materialului pentru 60 de elemente decorative:

240 R (2π + 2 )

1p

1p

1p

2p

b) Calculeazǎ lungimea celor 4 arce de cerc: 6π R

Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului şi-l calculeazǎ: 8R

Calculeazǎ lungimea materialului pentru 60 de elemente decorative:

120 R (3π + 4)

2p

1p

2p

c) Calculeazǎ lungimea materialului din figura A: 360 (3π + 4)

Calculeazǎ lungimea materialului din figura B: 720 (2π + 2 )

Raportul )22(720

)43(360++

ππ =

)22(243

++

ππ

2p

1p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 51 Prof. Ciocǎnaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 41

5p

2. 6 2 5p

3. -2 5p

4. 2 10 5p

www.mate

info.r

o

130

Page 131: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5. 1200 5p

6. 36 2 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Deseneazǎ piramida

Noteazǎ piramida

Traseazǎ diagonalele bazei

3p

1p

1p

2. Observǎ numitorul comun şi amplificǎrile

Obţine inecuaţia 4x-2 < 9x+6

Aduce la forma x > -58

Finalizeazǎ x ∈ (-58 , +∞ ).

1p

1p

2p

1p

3. Aflǎ costul obiectului dupǎ prima ieftinire 18- 15% ∙ 18 = 15, 3

Aflǎ costul obiectului dupǎ a doua ieftinire 15,3- 10% ∙ 15,3 = 13,77

3p

2p

4. a) Alege corect perechile de puncte

Trasarea semidreptelor corespunzǎtoare

3p

2p

b) Ridicǎ binomul la pǎtrat

Aduce ecuaţia la forma: 4x2 + 10x -1 = 0

Calculeazǎ soluţiile x1,2 = 4

295 ±−

1p

2p

2p

5 Ridicǎ la pǎtrat numǎrǎtorul

Restrânge diferenţa de pǎtrate de la numitor

Obţine numǎrul 2

625 +

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

131

Page 132: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Încadreazǎ numǎrul între 4 şi 5.

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Scrie formula ariei laterale

Calculeazǎ aria bazei

Efectueazǎ calculele şi gǎseşte rezultatul 4600 cm2.

2p

1p

2p

b) Calculeazǎ lungimea diagonalei d a paralelipipedului

302 + 202+ 402 = 2900; d = 10 29 cm.

Explicǎ: bagheta se sprijinǎ cu un capǎt într-un colţ al bazei cutiei şi cu

celǎlalt capǎt pe muchia lateralǎ opusǎ colţului considerat.

3p

2p

c) Screie formula volumului paralelipipedului

Calculeazǎ volumul: 30 ∙ 20 ∙ 40 = 24000 (cm3)

Calculeazǎ volumul unui cub 53 = 125 (cm3)

Calculeazǎ numǎrul de cuburi cu latura de 5 cm: 192

Calculeazǎ numǎrul de cuburi cu latura de 2 dm: 2

1p

1p

1p

1p

1p

2. a) r este jumǎtate din latura pǎtratului; r = 6 cm

R este jumǎtate din diagonala pǎtratului; R = 6 2 cm

Rr =

266 =

21

Raţionalizeazǎ 22 .

1p

2p

1p

1p

b) Scrie formula pentru aria pǎtratului: l42.

Calculeazǎ aria pǎtratului144 cm2.

Scrie formula pentru aria cercului: π r2.

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

132

Page 133: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Calculeazǎ aria cercului 36π cm2.

Aria delimitatǎ de pǎtrat şi cercul de razǎ r 36(4 - π ) cm2.

1p

1p

c) Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului: 4l4

Calculeazǎ perimetrul pǎtratului 48 cm.

Scrie formula pentru lungimea cercului: 2π R.

Calculeazǎ lungimea cercului 12 2 π cm.

Calculeazǎ raportul π

22 .

1p

1p

1p

1p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 52 Prof. Ciocǎnaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -2 5p

2. 29,62 5p

3. 1200 5p

4. 48 3 5p

5. 108 5p

6. 6 5 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Deseneazǎ prisma

Noteazǎ prisma

3p

2p

www.mate

info.r

o

133

Page 134: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. Scrie mulţimea A ca interval (3- 2 , 3 + 2 )

Scrie mulţimea B ca interval [-3, 2]

A

B = (3- 2 , 2]

2p

2p

1p

3. Stabileşte necunoscutele: numǎrul de covrigi x; numǎrul de pâini y

Scrie sistemul de ecuaţii 6x + 7y = 11,4

7x + 6y = 10,7

Rezolvǎ sistemul.

Interpreteazǎ rezultatele: x = 0,5 lei, y = 1,2 lei

1p

1p

2p

1p

4. a) Scrie ecuaţia a ∙ 2 + b = -6

Scrie ecuaţia a ∙ (-5) + b = -9

Rezolvǎ sistemul format cu cele douǎ ecuaţii şi gǎsirea lui a = 73 şi

b = 748− .

Scrie lui f(x) = 73 x -

748

1p

1p

2p

1p

b)

cu Ox ⇒ f(x) = 0, 73 x -

748 = 0 ↔ x = 16 ⇒ M (16, 0)

cu Oy ⇒ f(0) = - 748 ⇒ P(0, -

748 )

3p

2p

5 Calculeazǎ x = 5 - 2 6

Calculeazǎ y = 5 + 2 6

Calculeazǎ xy = (5 - 2 6 )(5 + 2 6 ) = 1⇒ 1=xy

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

134

Page 135: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. a) Determinǎ razele cercurilor circumscrise bazelor R = 5 2 , r = 4 2 .

Scrie formula care dǎ legǎtura între R, r, h, m.

Înlocuieşte, efectueazǎ calculele, obţine rezultatul m2 = (5 2 - 4 2 )2

+ 62 de unde m = 38 .

2p

1p

2p

b) Observǎ o pereche de triunghiuri asemenea.

Scrie proporţia 54

6=

+xx cu x înǎlţimea piramidei mici.

Aflǎ x şi înǎlţimea piramidei din care provine rezervorul; înǎlţimea

piramidei este 30 m.

1p

2p

2p

c) Volumul trunchiului de piramidǎ: formulǎ şi calcul, Vt = 488 m3.

Scrie volumul bazinului piramidal, Vp = 31 Ab ∙ hp , înlocuieşte, calculeazǎ

hp= 183

4883 ⋅ , hp = 8 m.

3p

2p

2. a) Observǎ cele 12 unghiuri la centru congruente şi m (∠ AOM) = 300

Observǎ cele 6 unghiuri la centru de tipul ∠ AOB şi m (∠ AOB) = 600

m (∠ MOR) = 1200

2p

2p

1p

b) Aria triunghiului AOM = OA ∙ OM sin (∠ AOM)/ 2

A AOM∆ = 6 3 ∙ 6 21 ∙

21 = 9 3

Aria figurii cerute 12 ∙ 9 3 = 108 3 (cm2).

1p

2p

2p

c) Figura AMBNCPDQERFS are laturile congruente cu lungimea de 6 cm.

Calculeazǎ perimetrul figurii este 72 cm.

Scrie formula lungimii cercului de razǎ 6 3 şi calculeazǎ 12π 3

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

135

Page 136: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Calculeazǎ raportul 312

72π

, ajunge la rezultatul π

32

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 53 Prof. Ciocǎnaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 8,25 5p

3. 5,5 5p

4. 24 5p

5. 48 5p

6. 64 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Deseneazǎ conul

Noteazǎ conul

4p

1p

2. Stabileşte necunoscutele: x metri de material pentru bluzǎ, y mertri de material pentru rochie

Scrie sistemul de ecuaţii 3x + 5y = 17

4x + 3y = 13,5

Rezolvǎ sistemul.

Interpreteazǎ rezultatele: x = 1,5 m, y = 2,5 m

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

136

Page 137: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. Transformǎ numǎrul 0,2(6) în fracţia ordinarǎ

154

Transformǎ numǎrul 1,(3) în fracţia ordinarǎ 34

Rezolvǎ ecuaţia

Scrie mulţimea de soluţii S = {56 }

2p

1p

1p

1p

4. a) Ridicǎ fiecare binom la pǎtrat

Calculeazǎ E (x) =142

2

2

+−

xx

Rezolvǎ ecuaţia x2 – 2 = 0 ⇒ x1,2 = ± 2

1p

2p

2p

b) Calculeazǎ E (1) = -1

Calculeazǎ E ( 3 ) = 21

Calculeazǎ 3

)3(E = 63

2p

2p

1p

5 Observǎ cǎ

abba 22 + =

ba +

ab

Calculeazǎ ab =

531−

= 4

53+

Efectueazǎ ba +

ab =

45315 −

2p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Scrie formula ariei totale a prismei pǎtratice drepte At prismǎ = Pb hp + 2Ab

Calculeazǎ aria totalǎ a prismei At prismǎ = 800 cm2

Scrie formula ariei totale a cilindrului At cil = 2π R (G + R)

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

137

Page 138: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Calculeazǎ aria totalǎ a cilindrului At cil = 981,25 cm2 2p

b) Scrie formula volumului prismei pǎtratice drepte Vprismǎ = Ab hp

Calculeazǎ volumul prismei Vprismǎ = 1500 cm3

Scrie formula volumului cilindrului drept Vcil = π R2 hcil

Calculeazǎ volumul cilindrului Vcil = 1177,5 cm3

1p

1p

1p

2p

c) Scrie numǎrul de globuri: 12

Scrie formula şi determinǎ volumul unui glob Vg = 57,87648 cm3

Scrie raportul Vprismǎ/ Vcil = 1500/ 1177,5 = 200/ 157

1p

2p

2p

2. a) Observǎ cǎ baza fiecǎrui triunghi isoscel este de 2 dm şi înǎlţimea este de 3

Calculeazǎ aria unui triunghi isoscel: 3 dm2

Calculeazǎ aria triunghiului echilateral 3 dm2

Calculeazǎ aria triunghiurilor isoscele şi echilaterale 4(3 + 3 ) dm2

1p

1p

2p

1p

b) Scrie formula perimetrului pǎtratului şi o aplicǎ: Pp = 24 dm

Calculeazǎ lungimea laturilor congruente din triunghiurile isoscele: 10

Calculeazǎ perimetrul triunghiurilor isoscele: Pt = 8( 10 +1) dm

Scrie raportul Pp/ Pt = 10 13+

1p

2p

1p

1p

c) Scrie formula ariei pǎtratului şi o aplicǎ: Ap = 36 dm2

Scrie aria triunghiurilor isoscele: At = 12 dm2

Scrie raportul At/ Ap = 31 ; 33,33%

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

138

Page 139: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

www.mate

info.r

o

139

Page 140: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 54 Prof. Cocalea Rodica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 11 5p

2. 0,5 5p

3. 13,75 5p

4. 12 5p

5. 15 5p

6. 630 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. 3 5a b k= =

3a k= şi 5b k=

2 3 21 32 7

a b ka b k+

= = −− −

2p

1p

2p

3. Fie x şi y numărul de kilometri parcurşi în prima, respectiv a doua zi.

2x y+ numărul de kilometri parcurşi în a treia zi.

2912

x yx y ++ + =

972

x y+= numărul de kilometri parcurşi în a treia zi.

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

140

Page 141: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului funcţiei

4p

1p

b) (3) 3 3 0f = − + =

0P =

3p

2p

5 ( )( ) 12a b a b+ − = , dar 2a b− = , atunci 6a b+ =

2 22( ) 3 7 3( 2) 2( ) 3( ) 1 67a b a b a b a b+ − + + − = + − − + =

2p

3p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2,4 m=24 dm; 3,6 m=36 dm; 30 cm=3 dm; 20 cm=2 dm

Ab = L l = 864 dm2; Aria unei plăci de gresie = 6 dm2

864: 6 = 144 plăci de gresie

1p

2p

2p

b) Dacă VO este înălţimea piramidei VABCD, în triunghiul dreptunghic VAO, cu 10 2AO = şi cu teorema lui Pitagora obţinem 10 2VO =

2400ABCDA dm=

34000 23 3

ABCDVABCD

A VOV dm⋅= =

2p

1p

2p

c)Volumul apei dislocate =Volumul piramidei VABCD

34000 28643bV A x x dm= ⋅ = ⋅ = , unde x este diferenţa de înălţime

3, 24 2 32,4 2x dm cm= =

1p

2p

2p

2. a) 12VA cm=

2144 3lA cm=

2p

2p

1p

b)proiecţia lui DM pe planul(ABC) este DE, unde E este mijlocul lui [OC]; unghiul este MDE

2p

www.mate

info.r

o

141

Page 142: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

6 2 ; 3 2VO cm ME cm= =

6sin( )6

MDE =

3p

c) 3288 2 288 2V dm l= =

288 2 288 1,42 408,96 410< ⋅ = < , deci nu încap 410 litri

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 55 Prof. Cocalea Rodica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 31 5p

2. 3 5p

3. 30 5p

4. 49 5p

5. 10 5p

6. 14 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. desenează tetraedrului notează tetraedrului

4p

1p

2. cu x, y şi z numere întregi, deci 2y

2( ) 3( 4 )x z y z+ = + cu x, y şi z numere întregi, deci ( ) 3x z+

( ) 6y x z+

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

142

Page 143: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. 81x y z+ + =

81 92 3 4 2 3 4 9x y z x y z+ += = = = =

+ +

36z =

1p

3p

1p

4. a) (0) 4f = ; ( 1) 6f − =

(0) 3 ( 1) 20f f− ⋅ − = −

2p

3p

b) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului funcţiei

4p

1p

5 21 144aa

− =

22 1 12 144a a

a a − ⋅ + =

, de unde 2

2 12 144aa

− + =

22

1 146aa

+ =

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2 26 216tA l dm= =

2 2120 216 25920 259,2dm m⋅ = =

3p

2p

b) Volumul cutiei l3 = 603 = 216000 cm3

Volumul cutiuţei 153 = 3375 cm3

216000 : 3375 = 64 cutiuţe

2p

2p

1p

c) Mulţimea divizorilor lui 60 este{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. Trei numere consecutive pentru volum maxim sunt 4, 5 şi 6.

V=120 cm3

216000:120 = 1800 cutiuţe

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

143

Page 144: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) 2144ABCDA cm=

26: 4

MBC

MBC ABCD

A xcmA A

==

2144 6 6(24 )AMCDA x x cm= − = −

2p

2p

1p

b) : 4MBC ABCDA A=

x = 6 dm

2p

3p

c) Drumul minim este DE, unde DE perpendiculara din D pe MC.

6 3MC cm=

Din aria triunghiului MDC scris în două moduri, cu baza DC, respectiv MC, rezultă 8 3DE cm=

2p

1p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 56 Prof. Cocalea Rodica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 30 5p

2. 3 5p

3. 13 5p

4. 16π 5p

5. 48 5p

6. 11 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

144

Page 145: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. Desenează prisma Notează prisma

4p

1p

2. 4 3 6a b− =

2012 2012(11 8 6 ) [11 2(4 3 )]a b a b− + = − −

Finalizare 2012( 1) 1− =

1p

2p

2p

3. Fie x numărul de nepoţi

5 3 6 4x x+ = −

7x =

1p

2p

2p

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului funcţiei

4p

1p

b)

( )1( ) 32

1 3 , : 22

f a a

f a a

a a deci a

= −

= −

− = − =

2p

3p

5 2

2 2

2

2

12 ( 3)( 4)6 9 ( 3)

12 46 9 3

x x x xx x xx x xx x x

+ − = − +

− + = −

+ − +=

− + −

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2 5DO R m= =

Formula ariei cercului şi calculul ei, A= 20π m2

Aria semicercului 10π m2

2p

3p

b) În triunghiul dreptunghic AOD avem 2 5DO R m= = .

Dacă AO = x, atunci AD = 2x şi cu teorema lui Pitagora obţinem x = 2 şi

2p

2p

www.mate

info.r

o

145

Page 146: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

AD = 4 m

1p

c) Suprafaţa plantată cu lalele AABCD = 16 m2

Suprafaţa plantată cu panseluţe 10π - 16 este aproximativ 31,4 - 16 = 15,4m2

Finalizare: 15,4 m2 < 16 m2 , deci suprafaţa plantată cu panseluţe este mai mică decât cea plantată cu lalele

3p

2p

2. a) 0( ) 60m ABC =

fie CE perpendicular pe AB; 5 3CE m=

2175 3ABCDA m=

1p

2p

2p

b) 2 2100 3 ; 75 3ABC ACDA m A m= =

p%=75%

2p

3p

c) AD=BC=10m

ABCDP 90m=

90 : 2,5 36= stâlpi

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

146

Page 147: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta: 57 Prof: Constantin Corina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 10 5p

2. 59

5p

3. 66 5p

4. 13 5p

5. 26 5p

6. 48 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. { }32 1 1, 3x D− ∈ = ± ±

Finalizare { }1,0,1,2x∈ −

3p

2p

3.

Scrierea datelor cu ajutorul teoremei împărţirii cu rest:1

2

3

1507 7364 4458 8

x cx cx c

= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ +

unde 8x >

Aflarea (1500, 360, 450) = 30

Finalizare { }10,15,30x∈

2p

2p

1p

4. a) ( ) ( ) ( )1 1, 1 5, 3 11f f f− = − = =

Mulţimea valorilor este { }1,5,11−

3p

2p

www.mate

info.r

o

147

Page 148: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 3 2 1x + ≤

1 3 2 1x− ≤ + ≤

113

x− ≤ ≤ −

Finalizare 1x = −

1p

1p

2p

1p

5 ( )2 21 2 1x x x− = − +

( ) ( ) 23 3 9x x x+ − = −

( )2 22 4 4x x x+ = + +

( )2 23 6 9x x x− = − +

Finalizare 2 26 12 6 12x x x x− − = − −

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

( ) ( )BC AD

BC AMNAD AMN

⇒⊂

5p

b) ( )

( )( ),

,

MA ABCAS BD MS BD MS d M BDAS BD ABC

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

( )10 . .BD m T P=

( )4,8 . .AS m T I=

( )4 61 . .5

MS m T P=

2p

1p

1p

1p

c) ( ) { },MN ABC P P AD∩ = ∈

[ ] 816

DP mND liniemijlocie MAP

AP m=

∆ ⇒ =

1p

1p

www.mate

info.r

o

148

Page 149: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )4 17 . .MP m T P=

( )10 . .PC m T P=

4 17 10 26,48 26MP PC m m m+ = +

1p

1p

1p

2. a) 2OA r m= = 5p

b) 5OB R m= =

Lăţimea este 3R r m− =

2p

3p

c) 2 221 65,94disc mare disc micA A m mπ− =

Se folosesc 65,94 : 20 3,29kg= gazon

Gazonul costă 3,29 25 82,25lei⋅ =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

149

Page 150: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta: 58 Prof: Constantin Corina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 42 5p

2. 0 şi 1 5p

3. 4 5p

4. 73,5 5p

5. 512 5p

6. 14 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. 1 12

3 5a

aa− =

⇒ = + =

5p

3. Notăm cu x preţul fără TVA al televizorului

124 992 800100

x x lei= ⇒ =

992 – 800 = 192 lei reprezintă TVA-ul

1p

2p

2p

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f

Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f

Trasarea graficului funcţiei

2p

2p

1p

b) Fie A şi B punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f cu axele de coordonate

5OA OB OAB= = ⇒ ∆ dreptunghic şi isoscel

1p

2p

www.mate

info.r

o

150

Page 151: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Deci măsura unghiului este de 450 2p

5 ( )219 8 3 4 3 4 3 4 3+ = + = + = +

2 3 1 2 3 1− = −

Deci numărul 4 3 2 3 1 3 5+ − + + = este natural

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Se arată prin T.P. că apotema piramidei este de 4 m 5p

b) 236bA m=

2482

b pl

P aA m

⋅= =

284t l bA A A m= + =

1p

2p

2p

c) Pe desfăşurarea feţelor laterale VBC şi VCD se duce BD

212VBCA m=

52VBChA ⋅

=

Deci h = 4,8 m, iar BD = 9,6 m

1p

1p

1p

2p

2. a) 2disc micA mπ=

22 4disc mareR m A mπ= ⇒ =

Suprafaţa este 22 6disc mare disc micA A mπ+ ⋅ =

1p

2p

2p

b) Suprafaţa grădinii este 84 m2

Suprafaţa aleilor este 12 m2

Suprafaţa gazonului este 72 6π− m2

Cum 3,14 3,15π< < 18,84 6 18,90π⇒ < <

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

151

Page 152: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Deci suprafaţa gazonului este mai mică decât 53,16 m2, adică mai mică decât 54 m2

1p

c) ( )58 . .AO m T P=

( )13 . .BO m T P=

7,6 3,6 11,2AO BO m+ + =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

152

Page 153: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta: 59 Prof: Constantin Corina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 7 5p

2. 2 5p

3. 8 5p

4. 16 5p

5. 5 5p

6. 100 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează cubul

Notează cubul

4p

1p

2. 7 5 3 742542,5

x

x

B

− ≤ + ≤

− ≤ ≤

= −

2p

2p

1p

3.

Conform teoremei împărţirii cu rest, avem 1

2

3

3 25 24 2

D cD cD c

= + = + = +

D – 2 se divide cu 3, 5 şi 4

[ ]3,5,4 60=

Deci { } { }2 120,180 122,182D D− ∈ ⇒ ∈

2p

1p

1p

1p

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f

Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f

2p

2p

www.mate

info.r

o

153

Page 154: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Trasarea graficului funcţiei 1p

b)

{ } ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( )

, 1 1,1

, 0,1

, 0, 1

f g

g

f

G G A g x f x x A

G Oy B B

G Oy C C

∩ = = ⇒ = ⇒

∩ =

∩ = −

Deci 2, 1BC AB= =

Deci 12ABC

AB BCA ⋅= =

3p

1p

1p

5 Notăm 2y x x= +

Fracţia devine ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 24 21 6 3 2 3

y yy yy y y y y

− +− += =

+ − + − +

Deci obţinem fracţia 2

223

x xx x+ ++ +

1p

2p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 27 cm3 5p

b) L = 60 cm

l = 30 cm

h = 9 cm

2p

2p

1p

c) ( ) ( )

( ) ( )( )'

' , ''

ABC ABC ABBC AB ABC ABC C BCBC AB

∩ =

⊥ ⇒ =⊥

' 3'10

CCtg C BCBC

= =

3p

2p

2. a) 225pătratA cm=

Suprafaţa pavată este 2 225000000 2500cm m=

2p

3p

b) Piatra costă 112500 lei 2p

www.mate

info.r

o

154

Page 155: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Manopera este 11250 lei

Deci pavarea străzii costă 123750 lei

2p

1p

c)

3

3 3

125

125000000 125piatră

pietre

V cm

V cm m

=

= =

Toată piatra cântăreşte 250 tone

250 : 15 = 16 rest 10, deci camionul face 17 transporturi

3p

1p

1p

www.mate

info.r

o

155

Page 156: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta: 60 Prof: Constantin Corina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 100 5p

2. 236, 238 5p

3. 14 5p

4. 32 5p

5. 243 3 5p

6. -12 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează tetraedrul

Notează tetraedrul

4p

1p

2. Se pun 27 15 405⋅ = mere în pungi

Rămân 10 mere în ladă

3p

2p

3. Notăm cu x preţul unui kg de mere şi cu y preţul unui kg de portocale

Avem sistemul de ecuaţii: 5 4 20,506 8 31

x yx y+ =

+ =

Rezolvând sistemul, obţinem x = 2,50 şi y = 2

1p

2p

2p

4. a) Din ( ) 0f x =

Obţinem 2x = −

Deci ( )2,0A −

2p

2p

1p

b) Din ( ) ( )f x g x= 2p

www.mate

info.r

o

156

Page 157: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Obţinem 1x =

Deci ( )1,3B

2p

1p

5 ( )2 34 2 17x x+ = +

( ) ( )5 4 17

3 1 3 1x

x x x x+

− =− + − +

( ) ( ) ( )2 17 3 12 2

3 17x x x

xx x+ − +

⋅ = +− +

1p

2p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

2 3 34prismă b

lV A h h h= ⋅ = ⋅ = ⋅

2 4paralelipiped bV A h l h h= ⋅ = ⋅ =

4 3 12 3 3cort

V h h= + ⋅ = +

Deci 3h m=

2p

1p

1p

1p

b) 3ABCA = ; ' ' 4ABB AA = ; 6BCEFA =

2' '2 2 5 38 2 3t ABC ABB A BCEFA A A A m= + + = +

242tA m

2p

2p

1p

c) Fie DT AE . Obţinem ATDE paralelogram

Avem 13 ( . .)DT CD m T P= =

Se demonstrează că TCB∆ dr. în C 2 3 ( . .)TC m T P⇒ =

Fie DP TC⊥ . Avem 10 ( . .)DP m T P= . Deci 2302DTC

TC DPA m⋅= =

sin2DTC

DT DC DA ⋅ ⋅= . Deci 2 30sin

13D =

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

157

Page 158: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) 30 ( . .)AC m T P= 5p

b) Se determină lungimea înălţimii ACB∆ de 24 m ( . .)T Î , deci 24AD m=

Se determină proiecţia segmentului AC de 18 m ( . .)T C , deci 18DC m=

132ABCDP m=

Deci se folosesc 132 5 660m⋅ = de sârmă

1p

1p

1p

2p

c)

( )( ). .

ACB D drepteCDA ACB

CAB ACD alt in

≡⇒ ∆ ∆

Deci 35

CDkAC

= =

Şi atunci 2 925

CDA

ACB

A kA

= =

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

158

Page 159: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 61 Prof Conţu Valentin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. x = -1,5 5p

2. 40 ore 5p

3. 1440 lei 5p

4. 400 5p

5. 900 5p

6. 95 camere 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. A’ C’

B’

A C

B

5p

2.

2 3 2 3/ 5 5 5 10 2 3 102 2

13 7 13 713 2 7 ;2 2 2 2

x xA x R x

x x A

+ += ∈ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ + ≤ ⇒

⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ = −

3p

Finalizare { }1;2;3;4;5;627;

213

−−−−−−=

−= −ZZA 2p

5p

3. Obţine ecuaţia 1 1 3120

3 6 4x x x+ + = sau altă ecuaţie echivalentă , de exemplu

1 1 11203 6 4

x x x x − + + =

3p

5p

www.mate

info.r

o

159

Page 160: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Finalizează x = 480 km 2p

4. a) Reprezintă grafic .Ex determină două puncte dele graficului ............. (0;6)............. (3;0)

Gf Oy AGf Ox B

⇒⇒

4p

Trasează graficul 1p

5p

b) justifică înălţimea în triunghiul dreptunghic AOB 2 p

calculează distanţa de la O la AB = 6 55

5p

5 Aplică formulele şi aduce la forma pătratului unui binom 3 p

Determină n = 62 2p

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) V piesei = 27 dm3 3p

Masa piesei 189 Kg 2p

5p

b) V lingou : V piesă = 35 piese rest 15 dm3 5p

c) Masa fontei neturnate 105 Kg 5p

2. a) Grupează tribunele două câte două sau calculează fiecare tribună separat

şi obţine 2 2 320A totala tribune R rπ π π= ⋅ + ⋅ = m2

sau dacă aproximăm 14,3≅π obţinem 1004,8 m2

5p

b) A teren = 512 m2 Calculează şi concluzionează că aria tribunelor de 1004,8 m2 este mai mică decât dublul ariei terenului (A teren = 512 m2)

5p

c) Justifică distanţa maximă ( dintre mijloacele semicercurilor opuse ) şi calculează 48 m (în ambele cazuri)

5p

www.mate

info.r

o

160

Page 161: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 62 Prof Conţu Valentin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 9 5p

2. 8 numere 5p

3. 10 5p

4. 310 5p

5. 3 5p

6. 27 copii 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1.

5p

2. 6a + 4b + 2c = 68 Scriem relaţia „pe jumătate” şi obţinem 3a + 2b + c = 34 a + 2b + 3c = 38 3a + 2b + c = 34 4a + 4b +4c = 72 ∕ 4 ⇒ a + b +c = 18

5p

3. În data de 30 decembrie pînă la ora 24:00:00 mai sunt 15h şi 25 min

Data de 31 decembrie este o zi întreagă

În data de 1 ianuarie sunt 20h şi 20 min

5p

www.mate

info.r

o

161

Page 162: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

15h şi 25 min + 20h şi 20 min = 1 zi 11 h şi 45 min

+ 50 min întârziere = 1 zi 12 h şi 35 min

Timpul total (cu ziua de 31 dec)= 2 zile 12 h şi 35 min

4. a) Reprezintă grafic .Ex determină două puncte dele graficului

( )0;6)8;0(

BOxGfAOyGf

⇒⇒

4p

Trasează graficul 1p

5p

b) justifică înălţimea în triunghiul trapezului = 4 2 p

Determină punctul de intersecţie a graficelor C (3;4)

sau utilizează linia mijlocie în trapez 2p

Calculează aria ( ) 2182

436 cma =⋅+

=( ) 26 3 4

2a u

+ ⋅= 1p

5p

5 Scoate de sub radicali 5353)53(5614 2 −=−=−=− 2 p

2552)52(549 2 −=−=−=− 2p

Determină n = 53− + 25 − ⇒ n = 1 N∈ 1p

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Egalăm numeric formulele L3 = 6 ∙ L2 ⇒ 3p

L = 6 m 2p

5p

b) Masa cubului = volumul ∙ densitatea = 63∙0,9 [ m3∙ t/m3] = 194,4 t 5p

c) 194,4 t apă= 194,4 m3

V apă = L paralelipipsed∙ l paralelipiped ∙ hapă ⇒ 194,4 = 12∙ 8,1 ∙ hapă ⇒ hapă = 2m

5p

2. Aria totală celor două alei = 2 ∙ A dreptunghi – A pătrat ( suprapunerea din centru) ⇒ A totală alei = 2∙100∙4 –42 = 784 m2

5p

www.mate

info.r

o

162

Page 163: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Diagonala pătratului = 100 m ⇒ Latura pătratului = 250

2100

=⇒ patratl

Aria ocupată de alei din pătrat este 2 ∙ 250 ∙4 – 42 = 400 2 – 16

După înlocuirea lui 2 cu 1,4 ⇒A alei = 544 m2

A flori = A pătrat – A alei = ( )2250 –544= 5000 -544 = 4456 m2

Nr de trandafiri = 4456 ∙4 = 17824

Preţul trandafirilor 17284 ∙ 12 = 213 888 lei

5p

c) Necesar de apă la o stropire litriR 22 ⋅⋅π = 3,15∙2500∙2 = 15750 litri = 15,75 m3 de apă

Numărul zilelor cu irigare este 5 zile în aprilie, 31 zile în mai, 30 zile în iunie , 31 zile în iulie şi 31 în august – 20 zile cu precipitaţii = 108 zile

Cantitatea de apă necesară pentru 108 zile este 15,75 m3 de apă ∙108 = 1701 m3 apă

V bazin = 20 ∙ 6 ∙ 3,15 = 378 m3

1701 : 378 = 4,5 Bazinul se va umple de 5 ori ( nu se umple pe jumătate)

5p

www.mate

info.r

o

163

Page 164: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 63 Prof. Conţu Valentin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 53

+ 5p

2. 2 5p

3. [ ]3;1− 5p

4. 26 5p

5. 48 5p

6. 22 000 lei 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1.

5p

2. „ Un produs este egal cu 0 dacă cel puţin un factor este 0 ” ⇒

202063

505

303

=⇒=−⇒=−

−=⇒=+

=⇒=−

xxxsau

xxsau

xx

3p

{ }3,2,5−=A 2p

5p www.mate

info.r

o

164

Page 165: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3.

7321

3

21301652

103

1652

==++

=

=++=++−+−

=++−+−

=

cbam

cbacba

cbam

a

a

5p

4.

a)

643)(

43680680)8()0,8()0,8(

6606)0()6,0()6,0(

−=

=⇒=⇒=−⇒=⇒=⇒

−=⇒−=+⋅⇒−=⇒−=⇒−

xxf

aaafOxGfB

bbafOyGfA

5p

b) justifică în triunghiul dreptunghic AOB că OM este mediana din unghiul drept şi proprietatea medianei de a împărţi aria triunghiului în două arii egale 3 p

calculează aria Δ AOB = 24286

221 =

⋅=

⋅ cc

calculează aria Δ OMA = AΔAOB : 2 = 24 : 2 = 12

5p

5

„( ) Z

xxx

∈+

+++12

7412 2

şi Zx∈ ” ⇔ ( )[ ]741212 2 ++++ xxx

Dar 2)12(12 ++ xx ⇒ trebuie ca 7412 ++ xx

Însă 5)12(252474 ++=++=+ xxx şi condiţia devine 512 +x 3p

{ }

{ }{ }2,0,1,3

4,0,2,62

15,1,1,512

−−∈

−−−∈

−−−∈+

x

x

x

2p

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Numărul maxim de îngheţate este = 5caserole ∙6 straturi∙ 20 îngheţate =

600 de îngheţate

5p

www.mate

info.r

o

165

Page 166: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Aria bazei = 5∙ Aria bazei unei caserole = 5 ∙ 60 ∙ 60= 18000 cm2 5p

c) Volumul frigorifer = Aria bazei∙ 6 ∙ înălţimea caserolei= 3p

18000 ∙ 6∙ 20 = 2160000 cm3 = 2160 dm3= 2160 litri 2p

5p

2. a) L porţiuni de drum = 2∙L segment + Lungimea unui cerc de rază medie

L porţiunii de drum = 2 ∙ 20 + 2∙π ∙(8+4) = 40 + 2∙ 3,14∙ 12 = 115,36 m

5p

b) Aria porţiunii de drum= 2∙Aria dreptunghi + A cerc mare – A cerc mic ⇒

Aria porţiunii de drum = 2∙20∙8 + π ∙162 – π ∙ 82 = 3p

Aria porţiunii de drum = 2∙20∙8 + 3,14∙256 –3,14∙ 64=

Aria porţiunii de drum = 320 +803,84 – 200,96 = 922,88 m2 2p

5p

c) Lungimea bordurii = 4 ∙ Lungime segment + L cerc mare + L cerc mic 2p

Lungimea bordurii= 4 ∙ 20 +2∙π ∙16 + 2∙ π ∙ 8 ⇒ 1p

Lungimea bordurii= 80 +2∙3,14∙16 + 2∙ 3,14∙ 8 ⇒

Lungimea bordurii= 80 +100,48 + 50,24 =230,72 metri de bordură 2p

5p

www.mate

info.r

o

166

Page 167: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 64 Prof Conţu Valentin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. a = 3 5p

3. 14 lei 5p

4. 32 cm 5p

5. 6 cm 5p

6. 29 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1.

5p

2. Calculaţi 6a + 8b– 2 c , ştiind că 9a2 +24ab + 16b2 = 36 ⇒ (3a+4b)2 = 6 2 ⇒ 3a + 4 b = 6 pt că a, b, c∈ℝ+

Din 3a + 4 b = 6 ⇒ 4c = 6 ⇒ 2c = 3 Suma 6a + 8b– 2 c = 2 ∙ 6 – 3 = 9

2p 1p 2p

3. Din staţia de plecare A urcă în tramvai x călători

In staţia terminală K vor fi în tramvai

x +3 –1+3 – 2 + 3 – 3 +3 – 4 + 3 – 5 + 3 – 6 + 3– 7 + 3– 8 + 3 – 9 =2 călători

5p

V

A B

C D

www.mate

info.r

o

167

Page 168: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

x + 3 ∙ 9 – (1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 2

x +27–45 = 2

x = 20 In staţia de plecare (A) au urcat 20 de călători în tramvai

4. a) f : ℝ→ ℝ , cu f(x) = ax+1 şi A( 2 ; 2) aparţine graficului funcţiei f

⇒ f(2)= 2a+1=2 ⇒ 2a= 1 ⇒ a = 21

g : ℝ→ ℝ , cu g(x) = –x+ b şi B(6 ; 1) aparţine graficului funcţiei g ⇒ g(6)= –6+b= 1 ⇒ b=7

a·b = 21 ·7 =

27

2p

2p

1p

Determinăm coordonatele punctului B , unde { }BGgGf =

În B avem f(x) = g(x) ⇒ 465,1172

712

=⇒=⇒−=+⇒+−=+ xxxxxx

)3;4(312124)4( Bf ⇒=+=+=

)1;0(1120)0(0

)0;2(212

012

0)(0

AfxOYGf

ExxxxfyOXGf

⇒=+=⇒=⇒

−⇒−=⇒−=⇒=+⇒=⇒=⇒

0 ( ) 0 7 0 7 70 (0)

(7;0)(0;7)0 7 7

Gg OX y g x x x xGg OY

Cx g F

⇒ = ⇒ = ⇒ − + = ⇒ − = − ⇒ = ⇒⇒ = ⇒ = + = ⇒

2p

1p

1p

X O(0;0)

A(0;1)

B(4;3)

C(7;0) E(-2 0)

Y

Gf

Gg

www.mate

info.r

o

168

Page 169: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

AOABC = AΔEBC – AΔEOA = 5,12225

212

239

222211 ==

⋅−

⋅=

⋅−

⋅ hbhb

2p

5 05444 22 =++++ bbaa ⇒ 014444 22 =+++++ bbaa ⇒

⇒ ( ) ( ) 0122 22 =+++ ba Dar orice număr real ridicat la putere pară este

pozitiv sau nul ⇒ fiecare termen al sumei este egal cu 0

⇒ a + 2 = 0 ⇒a = – 2

2b+1= 0 ⇒b = – 0,5

Produsul a∙b = – 2 ∙ (– 0,5) = 1

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1.

a)

AB= 0,8m = 8 dm

VO = 0,6m = 6 dm

OM = AB:2 = 4 cm

ΔMOV aplicăm teorema lui Pitagora şi obţinem VM = 2 13 dm

5p

b) 3128264

3664

3dmhAbV =⋅=

⋅=

⋅=

Masa = volumul ∙ densitatea = 128 ∙1,3 kg = 166,4 kg ciocolată

5p

c) Vbaton= L∙l∙h = 20∙10∙2 cm3= 400 cm3 = 0,4 dm3

Numărul de batoane se obţine împărţind volmul piramidei la volumul unui baton 128 : 0,4 = 320 de batoane de ciocolată

5p

www.mate

info.r

o

169

Page 170: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

320∙8 = 2560 lei

2. a) Aria unei celule = A cerc

A cerc = πππ 1001022 =⋅=R

Suprafaţa activă = 4 ∙ A cerc = π400

400 ∙3,14 < Sactivă < 400 ∙ 3,15

1256 cm2 < Sactivă < 1260 cm2

5p

b) A panou = L ∙ l = 1,2 ∙1,6 = 1,92 m2 = 19200 cm2

Lungimea şi lătimea panoului sunt multipli ai laturii bateriei solare

A baterie solară = 40 ∙40 = 1600 cm2

Numărul de celule = A panou : A baterie = 19200 : 1600 = 12 celule

A activă a panoului = 12 ∙S activă celulă

12∙1256 cm2 < Aactivă panou < 12∙1260 cm2

15072 cm2 < Aactivă panou < 15120 cm2

5p

c) Arăt că ABCD este un pătrat cu

latura 20 cm.

L conductori = P pătrat + L diagonale

L conductori = 4∙20 + 2∙ 20 2

98

322

20:60240

80140240204

<

<

<

−<+⋅

Adevărat

2p

3p

A B

C D www.mate

info.r

o

170

Page 171: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 65 Prof. Dima Paraschiva

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 5p

2. 24 5p

3. 36 cm2 5p

4. 600 5p

5. 4 cm 5p

6. 36 puncte 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen

Notație

4p

1p

2. Fie n numărul căutat, n=9 c1+ 5, n=12 c2+5

n-5=9 c1, n-5=12 c2

n-5=[9;12](cel mi mic multiplu comun al lui 9 și 12), n-5 =36,

dar cum trebuie să fie format din trei cifre, n-5=108, n=113

2p

1p

1p

1p

3. 3 2 1 3x− ≤ − ≤

3 1 2 3 1x− + ≤ ≤ +

2 2 4x− ≤ ≤

1 2,x x Z− ≤ ≤ ∈

{ }1,0,1,2x∈ −

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) fie x prețul inițial

www.mate

info.r

o

171

Page 172: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 4 5( ) 546100 100 100

x x x x+ + + =

Rezolvarea ecuației și aflarea lui x=500 lei

2p

3p

b)546-500=46(diferența dintre prețul final și cel inițial)

500 46100

46 , 9,2%5

p

p p

=

= =

1p

2p

2p

5 2 ( 2) ( 2)x x x+ − + =

2( 2)( 1)x x+ − =

( 2)( 1)( 1)x x x+ + −

2p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) cea mai mare distanță este diagonala pătratului

100 2AC m=

100 2 140>

3p

2p

b) aria grădinii de zarzavat este aria semidiscului cu raza r=50 m

2

12502rAria π π= = m2

3925 1250 3938π< <

3p

2p

c) lungimea gardului=3AB+lungimea arcului BC

300 50lungimeagardului π= +

=300=157+457m

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

172

Page 173: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) 3 384

4 cubV =

512cubV = litri

512cubV = dm3=51200 cm3

2p

2p

1p

b) 3cubV l=

3 512l =

l = 8 dm

1p

2p

2p

c) aria unei fețe=82=64 dm2

aria celor cinci fețe=320 dm2

prețul materialului= 480 lei

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 66 Prof. Dima Paraschiva

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 7

5p

3. 60 5p

4. 6 5p

5. 2 3 5p

6. 700 kg 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

173

Page 174: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. Desen

Notație

4p

1p

2. 152 ) 3 1)

3 1 22 3 1

− − − = +

15

156 2 6 2 0 02

Z − − +

= = ∈

2p

3p

3. Notăm cu x lungimea drumului

1 153 2

x x+ =

x = 30 km

2p

3p

4. a) determinarea a două puncte de pe grafic

trasarea graficului

3p

2p

b) ( ;3 ) fA a a G∈

2 5 3a a− =

5a = −

( 5; 15)A − −

1p

2p

1p

1p

5 18 4 8 27x< + <

10 4 19x< <

10 194 4

x< <

{ }3;4x∈

1p

1p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de

www.mate

info.r

o

174

Page 175: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

puncte)

1. a)aria peretelui= 5 2 2 1− =

=8 m2

2p

3p

b)aria unei placi=100 cm2

8 m2=80000 c m2

Nr.plăci=800

2p

2p

1p

c) prețul fară reducere=1000 lei

prețul după aplicarea reducerii=950 lei

2p

3p

2. a) bV A h=

2 3 34b

lA = =

3 3V = m3

1p

2p

2p

b) aria unei fețe=6 m2

costul fără reducere=900 lei

costul după reducere=810 lei

1p

2p

2p

c)lungimea= 13

13 3,6≈

3p

2p

www.mate

info.r

o

175

Page 176: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 67 Prof. Dima Paraschiva

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 3 5p

2. 20 5p

3. 160 5p

4. 6 3 5p

5. 13 5p

6. 9 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen

Notație

4p

1p

2. Fie x cantitatea maximă dintr-o lădiță

1 259 3,67 4x n x n= + = +

1 256 ,63x n x n= =

x=cel mai mare divizor comun al nr. 56 și 63

x=7

2p

2p

1p

3. fete=21

nr. elevi=21=7=28

3p

2p

4. a)2a+b=7

-1a+b=-8

a=5, b=-3

f(x)=5x-3

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

176

Page 177: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) intersecția cu axa Ox este punctul 3( ;0)

5M

intersecția cu axa Oy este punctul (0; 3)N −

3p

2p

5 1) 1)

2

1 1 21 1 1

x x

x x x

+ −

− =− + −

2

1 1 2( 1)( 1) 1x xx x x+ − +

=+ − −

2 2

2 21 1x x=

− −

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)raza unui rond=2 m

2aria rπ=

4aria π= m2

1p

2p

2p

b) aria parcului=48 m2

aria cu iarba= 48 8 22,88π− = m2

2p

3p

c) preț lalele=720 lei

preț panseluțe=450 lei

preț total=2340 lei

2p

2p

1p

2. a) latura pătratului de la suprafața apei=0,6 m

aria =0,36 m2=36 dm2

volumul apei=240 litri

1p

2p

2p

b)volumul pamânt= 1,92 m2

înălțimea stratului de pământ=0,0768 m= 7,68 cm

3p

2p

www.mate

info.r

o

177

Page 178: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) apotema= 16,36

aria laterală=2,4 16,36 =9,70 m2

2p

3p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta68 Prof. Dima Paraschiva

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 100 5p

2. 50 5p

3. 34

5p

4. 24 5p

5. 3 5p

6. 340 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen

Notaţie

3p

2p

2. x = lungimea drumului

2 153

x x− =

1 153

x =

45x = km

2p

2p

1p

3. 3 2 2 186 6 6x x −− =

2p

www.mate

info.r

o

178

Page 179: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2 18x + =

16x =

2p

1p

4. a) (3,3) (3) 3fA G f∈ ⇔ =

3 6 3x − =

3x =

2p

2p

1p

b)determinarea a două puncte care aparţin graficului

trasarea dreptei care reprezintă graficul

3p

2p

5 2

2

9 ( 3)( 3)8 16 ( 5)( 3)

x x xx x x x

− + −=

− + − −

finalizare

4p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) calculul înălţimii din A, AD=24cm

2b îA ⋅

= , 2360A cm=

Calculul înălţimii din B

1p

2p

1p

b) Fie BE înălţimea din B. În triunghiul dreptunghic ABE, cos( ) AEBAE

AB=

calculul lui AE folosind teorema lui Pitagora

finalizare

2p

2p 1p

c) calculul razei cercului

2cercL Rπ= şi finalizare

3p

2p

2. a) apotema bazei OM= 3 3 cm

VO=3cm

2p

3p

www.mate

info.r

o

179

Page 180: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b)

3bA hV ⋅

=

81 3bA = cm2

81 3V = cm3

1p

2p

2p

c) t l bA A A= +

calculul ariei totale 162 81 3tA = + cm2

finalizare

1p

2p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 69 Prof. Dima Paraschiva

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 18 5p

2. 2,3,6,9; 5p

3. 21000 5p

4. (x-2)(x+2) 5p

5. 3 2 5p

6. -4 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen

Notaţie

3p

2p

2. Numărul întrebărilor la care nu ştie răspunsul = 14 2p

3p

www.mate

info.r

o

180

Page 181: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

probabilitatea să primească o întrebare pe care nu o ştie = 14 142 3

=

3. 610 8

x=

4,8x ore=

3p

2p

4.

a) a,b,c,d = cele patru numere

8010075

10075 80 60

100 100 100

b a

c b

c a a

=

=

= ⋅ =

1p

1p

3p

b) 36

100d a=

69080 60 36 690

100 100 100250, 200, 150, 90

a b c d

a a a a

a b c d

+ + + =

+ + + =

= = = =

1p

1p

1p

2p

5 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) 4 4 1 ( 2 1) 4 3 15( ) 4 4 1 2 1 4 3 15

E x x x x x x xE x x x x x x x

= + + − − + + − − +

= + + − + − + − − +

E(x) = x2 +6x +11.

2p 2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) raza cercului este R=2m

2

2

4cerc

cerc

L RL m

π

π

=

=

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

181

Page 182: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b)

2

2

2

2

600

4

(600 4 )

ABCD

ABCD

cerc

cerc

gazon

A AB ADA mA RA mA m

π

π

π

= ⋅

=

=

=

= −

2p

2p

1p

c)suprafaţa piscinei= 24 mπ ,dacă

2

3,1412,56aria m

π =

=

Aria unei plăci=900cm2

2

2 2

900 20 1800018000 7 126000 12,6

cmcm m

⋅ =

⋅ = =

1p

2p

2p

2. a)apotema piramidei=8 cm

2192lA m=

3p

2p

b)aria laterală a prismei l bA P h= ⋅

2144lA m=

2p

3p

c)aria unei plăci=2400cm2=0,24m2

aria podelei=144m2

nr plăci=600

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 70 Prof. Dima Paraschiva

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -240 5p

2. 5 5p

www.mate

info.r

o

182

Page 183: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. 2a 5p

4. 2 5p

5. 18 5p

6. 240 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen

Notaţie

3p

2p

2. { }1,0,1,2,3,4,5,6A = −

{ }0,1,2,3,4B =

{ }{ }{ }

1,0,1,2,3,4,5,6

0,1,2,3,4

1,5,6

A B

A B

A B

∪ = −

∩ =

− = −

2p

2p

1p

3. Numărul bomboanelor lui Viorel=6

împreună au 15 bomboane

3p

2p

4.

a) ( , ) ( )

2 55

fA a a G f a aa a

a

∈ ⇔ =

− ==

2p

2p

1p

b) ( )

5 ,020, 5

f

f

G Ox

G Oy

∩ =

∩ = −

2254

Aria u=

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

183

Page 184: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 83 2 5 22 2

3 2 2 2 5 20

a

aa N

= + −

= + −= ∈

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)AE=5-x, AG=3-x

Perimetru=2(5-x)+2(3-x

Perimetru=16-4x

1p

2p

2p

b)(5-x)(3-x)=8

2 8 7 0x x− + =

1x =

2p

1p

2p

c) suprafaţa podelei = 15m2

cantitatea de vopsea folosită = 20 l

preţul total = 240lei

2p

2p

1p

2. a) V = 80 m3 5p

b)Vapă = 60 m3

hapă = 3 m

2p

3p

c) într-o secundă se elimină 40 l apă

timpul necesar pentru eliminarea apei = 1500 s

1500secunde = 25 minute

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

184

Page 185: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta71 Prof. Dima Paraschiva

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 14 5p

2. 2 5p

3. 53

5p

4. 600 cm2 5p

5. 72 cm2 5p

6. 7 elevi 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează cubul

Notează cubul

3p

2p

2. 3x+6 2 2 36 6 6

x x +− =

3 6 2 2 3x x x+ − = +

6 2 3x x+ = +

3x =

1p

1p

1p

2p

3. ( ,5) ( ) 5fA a G f a∈ ⇔ =

( ) 2 1

2 1 5

3

f a a

a

a

= −

− =

=

2p

1p

1p

1p

4. a)verificare 242:4 = 60 rest 2 2p

www.mate

info.r

o

185

Page 186: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

242:5 = 48 rest 2

242:6 = 40 rest 2

2p

1p

b)teorema împărţirii cu rest D Î C R= × +

x=nr. Timbre

14 2x c= + , 25 2x c= + , 36 2x c= +

12 4x c− = , 22 5x c− = , 32 6x c− =

2 . . . . (4,5,6)x c m m m c− =

62x =

1p

1p

1p

1p

1p

5 ( )22 4 3 2 8 0x x y− + + − =

2 4 0x − = , 2 4 0x − = , 2x =

( )23 2 8 0x y+ − = , 3 2 8 0x y+ − = , 1y =

1p

2p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2MNPBA x= 5p

b) )

2

2

2

64001 640041600

40

ABCD

ABCD

A AD ABA m

x

xx m

= ⋅

=

= ⋅

==

1p 1p

1p

1p 1p

c) AMNPCD ABCD MNPBA A A= −

24800 48AMNPCDA m ha= =

Cantitatea recoltată=2400 tone

2p

2p

1p

2. a)

3bA hV ⋅

= 1p

www.mate

info.r

o

186

Page 187: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

236bA dm=

348V dm=

2p

2p

b) volumul unei tablete=30cm3=0,03dm3

numărul de tablete=1600

3p

2p

c) nr. de cutii mici=16

nr. minim cutii mari=2

3p

2p

www.mate

info.r

o

187

Page 188: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 72 Prof. Dobre Andrei Octavian

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. x = -3 5p

2. 10 lei 5p

3. 2700 lei 5p

4. 54 m2 5p

5. 1000 l 5p

6. 25% 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen cub

Desen desfasurare cub

2

3

2. A={2}

B=[0;4]

A∩B={2}

2p

2p

1p

3. Profesori = 0,(3) ⋅9000=3000

Părinţi = 25% ⋅9000 = 2250

Elevi = 9000 – 5250 = 3750

2p

2p

1p

4. a) f(a) = 16

(a-5)(a+3) = 0

a1 =5, a2=-3

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

188

Page 189: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) A(0,1) ; B( 1

3− ,0)

AB= 103

Fie CD⊥AB , 2 10~5

AO AB OBAOB ADC DCAD AC DC

⇒ = = ⇒ =

2p

1p

2p

5 2 3 3 1 2 3 3 3 1 32 2x x

− + − + + −= ∈

+ +

32 { 3; 1;1;3} { 5; 3; 1;1}{1}

x D xA+ ∈ = − − ⇒ ∈ − − −=

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 1200000:3000 = 400 luni

400 luni = 33ani si 4 luni

Construcţia a fost finalizată în luna iunie

1p

2p

2p

b) Notăm piramida VABCD şi alegem un punct P∈(VO) astfel încât VP = AP=BP=CP=DP=a

( )

0

( ), ( ), ( )( , ( )) ( , )

( ) 60ABC

VO ABC V ABC B ABCpr VB OB m VB ABC m VB OB

m VBO

⊥ ∉ ∈ ⇒= ⇒ = =

=

În 0 0 138, ( ) 90 60 46 3VOB m O tg OB mOB

= ⇒ = ⇒ =

1p

2p

www.mate

info.r

o

189

Page 190: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

În POB aplicam Teorema lui Pitagora

2 2 2(138 ) (46 3)92

a aa m⇒ = − +=

2p

c)

2 2

3

2 46 612696

5940163

baza

baza pirpiramidei

d l l mA l m

A hV m

= ⇒ =

= =

= =

3 3500000 500calcar piramida spatiiV V V m dam= − = =

5p

2. a) Unghiul dintre dreapta şi plan este CAB

030 CBtgAB

=

33 30

CB=

10 3CB m=

1p

1p

1p

2p

b) MN = 10 m (se află prin asemanarea triunghiurilor sau cu ajutorul funcţiilor trigonometrice)

3+2,5+2,5+2,5=10,5

(10,5-3):2,5=3 (B3B4 = etajul 3)

5p

c) Adr =200m2

Abloc =336m2

Aalee =136m2

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

190

Page 191: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 73 Prof. Dobre Andrei Octavian

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -8 5p

2. 9 zile 5p

3. 1200 lei 5p

4. 36 cm2 5p

5. 960 3 cm2 5p

6. 6000 vizitatori 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen trunchi

Notare MATEINFO

3p

2p

2. 10 – x + x +15-x +14 = 30

x =9

3p

2p

3. Datorii = 240 + 15 + 10 +35 = 300 €

Fiecare student poate plăti 60 €

Toţi pot plăti 180 €

Mai au nevoie de 300 – 180 = 120 €

1

2

1

1

4. a) f (0) = -6 ; f(3) = 0

a=2, b= - 6

f(x) = 2x-6

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

191

Page 192: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 1 2

2C CAria ⋅

=

Aria = 9 u.m.2

2p

5 2 2 23 10 3 25 12 4 3 1 15 9 3 3 26x x x x x x+ + + − + − + = +

3 3 9x = −

3x = −

3p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Vapă = 10 5 apăh⋅ ⋅

apăh = 2dm (cel mai scurt drum)

3p

2p

b) Vcub = 64dm3

Vacvariu = 200 dm3

Vapă+ Vcub=164 dm3<Vacvariu => apa nu va ieşi din acvariu

2p

2p

1p

c)

0,3l...........1 s

90l............x s

x= 300s = 5minute

5p

2. a) l = 2R = 14 cm 5p

b) Adreptunghi=224 𝛑𝛑 cm2 ; Acerc1+Acerc2=98 𝛑𝛑 cm2

Arest = 224 𝛑𝛑 - 98 𝛑𝛑 = 126 𝛑𝛑 cm2

Apatrat = 9 cm2

Număr bijuterii = 14 𝛑𝛑 cm2 ≈ 43 piese

2p

1p

1p

1p

c) 1cm2………200€

9 cm2 …….. x

2p

www.mate

info.r

o

192

Page 193: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

x = 1800 € (valoarea unei bijuterii)

Patru bijuterii costa 7200 €

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 74 Prof. Dobre Andrei Octavian

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -2 5p

2. 11 5p

3. 9,604 5p

4. π 5p

5. 64 000 l 5p

6. 1000 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen

Denimre trunchi

3p

2

2. 1/ 2 41/ 2 2

1/ 6 ( 1) { 6; 3; 2; 1;1;2;3;6}{ 7; 4; 3; 2;0;1;2;5}{0;1;2;5}

x xx x

x xxA

+ −+ +

⇒ + − ⇒ + ∈ − − − −∈ − − − −=

2p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

193

Page 194: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. 1 2 10

1 2 8

9 10

9 10

... 40

... 436

182a

a a aa a aa a

a am

+ + + =+ + + =+ =

+= =

2p

2p

1p

4. a)

( ) ( )3 9

3(3) 0

f x g xx

xf

=− = −=

=

(3,0)A

1p

1p

1p

1p

1p

b) ' '

(0;6), (3;0)(3;0), (0; 3)

A BA B −

9 3 272 2 2

Baza înălţimeA ⋅ ⋅= = =

2p

2p

1p

5 29 4 5 ( 5 2) | 5 2 | 5 2− = − = − = −

a =

5 4 (6 4 2)(6 4 2)1 36 32 5− + + − =+ − = ∈

5p

www.mate

info.r

o

194

Page 195: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Vparalelip=15 10 20⋅ ⋅ =3000 cm3

Valoare lingou = 600 000 €

2p

3p

b) Vcub=125 cm3

Număr lingouri = 3000:125= 24

3p

2p

c) Piramida patrulateră regulată de volum maxim are baza egală cu baza cubului si inalţimea egală cu muchia cubului.

ap = 5 52

cm

Ab = 25 cm2

225 52

Pb apAl cm⋅= =

225(1 5)tA cm= +

1p

1p

1p

1p

1p

2. a)

2 2

2

3, 24

1,62cerc

semicerc

A R mA m

π π

π

= =

=

2p

3p

b)2

( )2

(6 3,6) 5,8 27,842

trapezB b hA

m

+ ⋅= =

+ ⋅=

2p

3p

c)PQ = 5,8 – (1,2 + R) =

5,8 – (1,2+1,8) =2,8m

3p

2p

www.mate

info.r

o

195

Page 196: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta75 Prof Dorneanu Bogdan

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1054 + 1054 : 2 = 1054 + 527 = 1581 5p

2. [ )2 1 3 1 4 1; 4x x A− ≤ − < ⇒ − ≤ < ⇒ = − 5p

3. x = preţ caiet; y = preţ creion

x + 3y = 12 ( )3 9 3 3 3 12 36x y x y⇒ + = + = ⋅ =

5p

4. 6 cm 5p

5. ( ) ( ) ( )' ' ( ' ', ) ( , ) 90oA C AC m A C BD m AC BD m AOD⇒ = = = 5p

6. 2 0 3 ( 2) 4 5 ( 1) 7 17 7mt

− + + + − + + + −= = =

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen piramidă

Apotemă

Înălţime

3p

1p

1p

2. x = preţ castraveţi, y = preţ morcov

2x + 3y = 12

4x 2y 16 : 2 2 8 2 8x y x y+ = ⇒ + = ⇒ = −

2x 3y 12 8 3 12 2 4y y y+ = ⇒ − + = ⇒ =

2y =

3x =

1p

1p

1p

1p

1p

3. (x, y, z) d.p. (4, 6, 7) şi x + y + z = 170 1p

www.mate

info.r

o

196

Page 197: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

170 104 6 7 4 6 7 17x y z x y z+ += = = = =

+ +

10 404x x= ⇒ =

10 606y y= ⇒ =

10 707z z= ⇒ =

1p

1p

1p

1p

4.

a) ( ) ( )

( )( )( )

( )

2 2 2 2 2

2 2

2

12 3 5 2 2 3 3:1 1 1 2 1 1 1 1 5

1 12 2 3 3 5 11 5 1 1 5 1

xx x x xE xx x x x x x x x

x xx x x xx x x x

−+ − = − + = − + ⋅ − + − − + − − −

− −+ − + + −= ⋅ = ⋅ =

− + − +

3p

2p

b) 1 1 2 2( ) 1

1 1 1x xE xx x x− + −

∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ − ∈+ + +

{ }2

21 2 1 1 2; 1; 1; 2111

x D xxx

− ∈ ⇒ ∈ ⇒ + ∈ ⇒ + ∈ − −+ +∈

{ }3; 2; 0; 1x∈ − −

2p

2p

1p

5 2 2

22

22

4 3 10 21 04 3 0

4 3 010 21 0

10 21 0

x x y yx x

x xy y

y y

− + + + + ≤ − + = − + ≥ ⇒

+ + = + + ≥

( ) ( )2 22 24 3 0 4 3 0 2 1 0 2 1

32 1

1

x x x x x x

xx

x

− + = ⇒ − + = ⇒ − − = ⇒ − = ⇒

=− = ± ⇒ =

( ) ( )2 22 210 22 0 10 21 0 5 4 0 5 4

35 2

7

y y y y y y

yy

y

+ + = ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ + = ⇒

= −+ = ± ⇒ = −

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

197

Page 198: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) ( ) ( ) ( ){ }3; 3 ; 3; 7 ; 1; 3 ; 1; 7S = − − − − 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ADC∆ dreptunghic isoscel ( ) ( )

( )( )0

4545

90

oo

m DAC m DCAm CAB

m A

⇒ = = ⇒ ==

( ) ( ) 04545

isoscel

5 22

om CABm CBA

ACBABACB dreptunghic AC BC m

= ⇒ = ⇒∆

∆ ⇒ = = =

52

ACADC dreptunghic isoscel AD DC m∆ ⇒ = = =

( ) ( ) 25 10 537,5

2 2ABCD

AB DC ADA m

+ ⋅ + ⋅= = =

2p

1p

1p

1p

b) 25 1250 2

2

ADC

ABC

AD DCA

AC BCA∆

= = =⋅

5p

c)Suprafaţă parchet cumpărat:

x – 10% din x = 50 y – 10% din y = 25

10 50100

9 5010

5009

x x

x

x

− = ⇒

= ⇒

=

10 25100

9 2510

2509

y y

y

y

− = ⇒

= ⇒

=

2

2

1 ..............................27500 ............................9

500 279

m lei

m x lei

x = ⋅3

1500 lei=

2

2

1 ..............................54250 ............................

9250 54 15009

m lei

m x lei

x lei= ⋅ =

3p

1 p

www.mate

info.r

o

198

Page 199: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Suma totală = x + y = 3000 lei 1p

2. a) Fie { }' 'NP B C Q∩ =

' ' ' ' 3 2 3 3,4' ' 2

NB C echilateral B CNQNP B C∆

⇒ = = =⊥

BB’ = NP – NQ = 8,4 – 3,4 = 5 m

Suprafaţa văruită = ( )2 2lA Ll Lh lh⋅ = + + = 148 m 2 .

Cantitate var = 148 kg.

5p

b) Suprafaţă ţiglă = 2' '2 2 ' ' ' 2 6 4 48MNA BA A B A M m⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

preţ ţiglă = 48 ⋅56lei = 2688 lei

5p

c) ( ) ( )( ) ' ' , ( ) 'ABCpr D P DP m D P ABC m D PD= ⇒ =

( ) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

' ' ' ' '

' 6 2 5 65 ' 65

TPD D ABC D D DP D P DP D D DC PC D D

D P D P

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = + = + + ⇒

= + + = ⇒ =

( ) ' 5 65sin '' 1365

DDD PDD P

= = =

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

199

Page 200: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta76 Prof Dorneanu Bogdan

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. ( ) ( ) ( )2 3 4 5 : 2 3 4 5 2 : 2 1− + − + − + − = − = − 5p

2. 2 24 0 4 22

x x xx

x− = ⇔ = ⇔ = ±⇒ =

5p

3. 100 ...................................9050 .......................................

90 50 45 4500100

kg grâu kg făinăkg grâu x kg făină

x kg dag⋅= = =

5p

4. ( ) 060 6 24ABCDm A ABD echilateral AB cm P cm= ⇒ ∆ ⇒ = ⇒ = 5p

5. 2 2 23 4 5 50 5 2d = + + = = 5p

6. 1 0 2 1 3 1 4 3 5 3 6 2 7 3 8 4 9 5 10 3 162 6,481 1 3 3 2 3 4 5 3 25apm ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= = =+ + + + + + + +

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen piramidă 5p

2. 4x 9z 4 6 6 9

2(2 3 ) 3(2 3 )

2 12 3 ( 2)

18

x y y z

y y y z

+ = − + + =

− + + =

⋅ + ⋅ − =

2p

1p

1p

1p

3. x + y + z + t = 150 1p

www.mate

info.r

o

200

Page 201: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

23

2 3 44

x kx y z k y k

z k

== = = ⇒ = =

20,5 0, (3)

32 3z qz tz t qt q=

⋅ = ⋅ ⇔ = = ⇒ =

2q 4k 2 6q k t k= ⇒ = ⇒ =

2k + 3k + 4k + 6k = 150 ⇒15k = 150⇒k = 10

x = 20; y = 30; z = 40; t = 60

1p

1p

1p

1p

4. a)

( )( )

( )( )

2, 1 2 1 2 1 11 10, 1 0 1

f

f

A G f m n mn nB G f

∈ = − = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − =− ∈ = −

5p

b) ( ) 1f x x= −

Fie { } ( ), , 0fG Ox C C x∩ =

( ) ( )0 1 0 1 1,0fC G f x x x C∈ ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇒

{ } ( ), 0, 1fG Oy B B∩ = −

Triunghiul căutat este BOC∆ , dreptunghic în O 1 . .2 2BOC

BO COA u a∆

⋅⇒ = =

2p

2p

1p

5 ( ) ( )( )( )

22 4 21 1 1, 16 2 2 4

2 2 4E x y x x y x y y y = − + + − = − + + − + +

Deoarece 21 1

2 4x − +

şi ( )( )( )22 2 4y y y− + + sunt nenegativi, valoarea

minimă a expresiei se obţine pentru ( )( )( )22 2 4y y y− + + = 0 şi pentru 21

2x −

= 0.

Astfel 12minE =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

201

Page 202: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) F la egală distanţă de A, B, respectiv C, atunci F se găseşte la intersecţia mediatoarelor.

Fie { } ( , )AF BC M AM BC d A BC AM∩ = ⇒ ⊥ ⇒ =

6ABC isoscel

BM MC mAM BC∆

⇒ = =⊥

2 2 2 2 100 36 64 8TP

AM BC AB AM BM AM AM⊥ ⇒ = + ⇒ = − = ⇒ =

2p

3p

b) Focul trebuie aşezat in centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

Notăm FA = FB = FC = x 8FM x⇒ = − .

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul FMB obţinem:

( )22 2 2 2 2

2 2

8 610064 16 36 16 10016

FB FM MB x x

x x x x x m

= + ⇔ = − + ⇔

= − + + ⇔ = ⇔ =

2p

1p

2p

c)distanţa foc – râu = FM = 8 – x = 8 - 100 128 100 28 7 1,75

16 16 16 4−

= = = = m.

număr parcurgeri foc – râu = 5000 20250

=

distanţa parcursă = 20 1,75 35m⋅ =

: 35 4 140dv t d v st

= ⇒ = = ⋅ =

1p

1p

1p

2p

2. a) Fie 11CE AB CE AD m⊥ ⇒ = =

Aplicăm T.P. în 2 2 2CEB CB CE EB∆ ⇒ = +

2 169 121 48 4 3EB EB⇒ = − = ⇒ =

DC = AE = AB – EB = 4 3

5p www.mate

info.r

o

202

Page 203: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )12 3 24 12 3 2ABCDP AB BC CD AD= + + + = + = +

b)

( )

2 2

2 2

2 2 2 2 2

217

194

338

LB BA LA LB BA

LB ABC LB BC LC LB BC

LB BD LD LB BD LB AD AB

⊥ ⇒ = + =⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = + =

⊥ ⇒ = + = + + =

Lungimea cablurilor = 217 194 338+ +

4p

1p

c)

( )212

52

3 3b

AB CD ADA hV

+ ⋅⋅⋅

= = = 3

3 11 52 110 33

m

⋅⋅

=

5p

www.mate

info.r

o

203

Page 204: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta77 Prof Dorneanu Bogdan

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 1

1 2

1 3 6 1 3 4 1 1: 12 4 4 2 4 6 2 2+ = + ⋅ = + =

5p

2. (12, 20) = 4 5p

3. ( )22 24 12 9 2 3x xy y x y+ + = + 5p

4. Fie rombul ABCD, BE înălţimea căutată.

2 2ABCDAC BD AC BDA BE CD BE

CD⋅ ⋅

= = ⋅ ⇒ =

2 2 2 5TP

CO DO CD CO OD CD⊥ ⇒ = + ⇒ =

8 6 4,82 5

BE cm⋅= =

5p

5. ( )( ) ( )( ' ' ') ' ' ' ', ' ' ' ', ' ' ' 'A B Cpr AC A C AC A C B AC A C AC A= ⇒ ≡ ≡

( ) ( )1' 3' ' ' ' ' ' ' sin ' '

' 33AA aAA A C B AA A C AC AAC a

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = =

5p

6. Se observă că funcţia ( ) 3 1f x x= + .

Deci ( )4 13x f= =

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen 5p

2. 22 2

2 2

1 1 1 1 14 16 2 16 14x x x x xx x x x x

+ = ⇒ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ + =

2p

www.mate

info.r

o

204

Page 205: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

22 2 4 2

2 2 2 4

1 1 1 114 196 2 196x x x xx x x x

+ = ⇒ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒

44

1 194xx

+ =

2p

1p

3. Fie numărul căutat x.

( )

( )( )

2

2

2

5 4 : 5 1

5 4 5

5 95 3

2

x

x

xxx

+ − =

+ − =

+ =

+ == −

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) [ ); 5B a= conţine exact trei numere întregi

[ )[ )

[ )5 ; 5

2 2; 5; 5

aa B

a a

∉ ⇒ = ⇒ =∈

( ] [ ) [ ]2, 4 2, 5 2, 4A B∩ = − ∩ =

3p

2p

b) A B∩ are un singur element.

[ ) ( ], 5 ; 4 2, 4a a∈ ∈ −

Dacă 4a A B φ> ⇒ ∩ = , deci nu are nici un element întreg.

Dacă [ ]4 , 4a A B a< ⇒ ∩ = , deci are cel puţin două elemente.

Concluzie: a = 4.

1p

3p

1p

5 Trebuie observat că dacă numerele sunt consecutive, resturile obţinute prin împărţirea celor 2012 numere la 2012 sunt numere diferite şi conform teoremei împărţirii cu rest aceste sunt 0, 1, 2, ……, 2011.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1 2 ... 2011 3 0 1 2 ... 2011

2012 1 2 3 ... 2011 3 1 2 3 ... 2011

2012 2 1 2 3 ... 2011

x x x x

x

x

+ + + + + + + = ⋅ + + + +

+ + + + + = ⋅ + + + +

= ⋅ + + + +

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

205

Page 206: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2012 20112012 22

2011

x

x

⋅= ⋅

=

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1.

a)

1

2 2

2 22 10 2 3 20 6

AMDL AB l

AB O Aππ π

= + =

+ ⋅ =⋅ + ⋅ = +

1p

2p

2p

b)

( )

21

2

2

10 6 360 9

patinuarA AB AD O A

m

π

π

π

= ⋅ + =

⋅ + ⋅ =

+

2p

2p

1p

c)

( )( )

01 1 1

2 102 2 2

90, , ,

90

m NO A NO AD NO ABM O O N coliniare

m MO B MO BC MO AB

= ⇒ ⊥ ⇒ ⇒= ⇒ ⊥ ⇒

1NO D∆ dreptunghic isoscel 1 2 3 2ND DO⇒ = =

2MO B∆ dreptunghic isoscel 2 2 3 2MB BO⇒ = =

2 1 1 2 13 10 13NO NO O O MO= + = + = =

2NO B∆ dreptunghic 2 2 2 2 22 2 13 3 169 9 178

TPNB NO O B⇒ = + = + = + =

178NB MD⇒ = =

Lungime traseu 6 2 2 178ND DM MB BN= + + + = +

1p

1p

1p

1p

1p

2. a) ' ' ' 'ABCDA B C D prismă patrulater regulată ' ' ' 'A B C D⇒ pătrat ' ' 12 2 ' 6 2A C A O⇒ = ⇒ =

2 2 2 2' ' ' 100 72 28 2 7TP

VO A O VA VO OA VO VO⊥ ⇒ = + ⇒ = − = ⇒ =

2p

3p

b) suprafaţă pânză

43

pl piramida

AB aA

⋅= =

1p

www.mate

info.r

o

206

Page 207: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2 2 2

2 28 36 64 812 62 2

p b

p pb

a h aa ala

= +⇒ = + = ⇒ =

= = =

4 12l piramidaA ⋅

=4

28 1283

m⋅=

3p

1p

c) 2 2 2 212 2,5 144 2,5 360 360000 360000piscinaV l h m dm l= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

Concluzie: În piscină încap 360000l de apă.

4p

1p

www.mate

info.r

o

207

Page 208: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 78 Prof…GAGA LOGHIN

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 3 5p

3. 45 5p

4. 430 5p

5. 150 5p

6. 16 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Efectuează notațiile

4p

1p

2. Transformă numerele în fracții ireductibile

Scrie relația de invers proporționalitate și aducere la forma simplă 6 5a b=

Scrie media aritmetică 44a b+ =

Finalizează calculele

1p

2p

1p

1p

3. Se notează cu x numărul de elevi și cu y numărul de calculatoare. Se scriu

relațiile corespunzătoare( )

42 3y x

y x= −

− =

Rezolvare sistem și rezultat.

3p

2p

4. a) f(0) = 0; f(-2) = 4.

Rezolvare sistem și scriere funcție

Trasare grafic funcție, folosind intersecția cu axele

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

208

Page 209: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Trasare dreapta y=4.

Formula arie

Calcul arie și rezultat

1p

2p

2p

5 2 22 2

1 1 1 1( )E x x x x xx x x x

= + + + = + + +

22 2

2 2

1 1 1 15 25 2 25 23x x x xx x x x

+ = ⇒ + = ⇒ + + = ⇒ + =

22

1 1( ) 5 23 28E x x xx x

= + + + = + =

1p

3p

1

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 50 0,5 ;cm m=

( )33 3 30,5 0,125V L m m= = =

1p

4p

b) Demonstrează că MBD′∆ este isoscel, cu [ ] [ ]MB MD′≡

Observă că MN este mediana corespunzătoare laturii BD′ într-un triunghi isoscel, deci MN este și înălțime MN BD′⇒ ⊥

Calculează MN

2p

2p

1p

c) Calculează suprafața vopsită 2 2 25 5 50 5 2500 12500S L cm= = ⋅ = ⋅ =

Calculează câte grupe de câte 5cm2 are suprafața: 12500 : 125 = 100

Calculează cantitatea de substanță nutritivă folosită: 100 50 5000 5ml litri⋅ = =

Calculează suma necesară

2p

1p

1p

1p

2. a)

22 23 100 3 25 3 25 1,7 42,5

4 4LA m m= = = = ⋅ =

5p

www.mate

info.r

o

209

Page 210: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Calculează suma lungimilor aleilor :

( )2 34 2 2 2 2

L L TN L TP L TM L TN TP TM⋅ ⋅ ⋅= + + = + +

3 50 3 852

LTN TP TM m⇒ + + = = =

Suprafața aleilor: 285 0,3 25,5m⋅ =

Suprafața rămasă : 42,5 – 25,5 = 17 m2

2p

1p

1p

1p

c) 17m2 = 170000 cm2

170000 : 400 = 425 fire de roșii

425 x 0,75 = 318,75 lei

3p

1p

1p

www.mate

info.r

o

210

Page 211: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 79 Prof…GAGA LOGHIN

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 4211

5p

3. 19 5p

4. 24 5p

5. 5 5p

6. 6 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează triunghiul oarecare

Se trasează bisectoarele unghiurilor triunghiului (sau se enunță faptul că centrul cercului înscris se află la intersecția bisectoarelor)

Se trasează cercul înscris

1p

2p

2p

2. 2 1 5 5 2 1 5| 1 4 2 6|:2x x x− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ + ⇒ − ≤ ≤ ⇒

[ ]2 3 2,3x A− ≤ ≤ ⇒ = −

{ } { }1 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 33

x x x x−> ⇔ − > ⇔ − < − ∪ − >

{ } { } { } { } ( ) ( )4 2 2 2 2 1 , 1 2,x x x x B⇔ < ∪ − > ⇔ > ∪ < − ⇒ = −∞ − ∪ +∞

[ ) ( ]2, 1 2,3A B∩ = − − ∪

2p

2p

1p

3. Mai întâi aflăm numărul de apartamente cu 2 și 3 camere. Fie x numărul de apartamente cu 3 camere și y numărul de apartamente cu 2 camere. Avem:

www.mate

info.r

o

211

Page 212: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

15 53 2 35 10x y xx y y+ = =

⇒ + = =

Fie a costul unui apartament cu 3 camere și b costul unui apartament cu 2 camere.

Avem: 5 2 6000010 5 540000 24000

b a a eurob a b euro= =

⇒ + = =

2p

3p

4. a) ( ) 51

2f =

5 5 12 22 2 2

a a+ = ⇒ = − =

( ) 122

f x x= + și reprezentare grafica

1p

2p

2p

b) . 3 31 4 1 4 0 0 0

2 2x x x x x + ≤ + ⇒ − ≤ ⇔ − ≤ ⇒ ≥

3 11 2 22 2

x x + ≤ +

3 1 4 1 0 02

x x x x+ ≤ + ⇒ − ≤ ⇔ ≥

[ )0,x∈ +∞

2p

2p

1p

5 ( ) ( ) ( )( )2 23 2 2 2 1 2 1 1 2x x x x x x x x x x+ + = + + + = + + + = + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 1 1 2 1 1

1 2 2 2 1 2 1 2 1 2x x x xE x

x x x x x x x x x x+ − + − −

= − = − = =+ + − + + + + + + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 1( ) 3 2 1 2 1

1 2 1 2E x x x x x

x x x x= + + ⋅ = + + ⋅ = ∈

+ + + +

1p

2p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 248 3 36 3 12 3t l b bA A A A dm= + ⇒ = − =

223 12 3 48 4 3

4bABA AB AB dm= = ⇒ = ⇒ =

1p

www.mate

info.r

o

212

Page 213: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2 2 12 3; ; 36 3 6

3 2 2b p b p p

p p b lat p

A h P a aV h a a A a VM dm

⋅ ⋅ ⋅= = − = ⇒ = ⇒ = =

Notez cu M mijlocul laturii AB 3 2 36 4 4 2

6b pABa OM dm h VO dm= = = ⇒ = = − = Deci

312 3 4 2 15 63

V dm⋅= =

3 3 336 36 1296 15 3 1350litri dm dm dm= = < = . Deci încap 36 litri apă

3p

1p

b) 2 2 236 3 61,2 6120latA dm dm cm= = =

6120 : 30 = 204 grupe de câte 30 cm2.

30 x 100 = 3000 gr = 3Kg

3 x 25 = 75 lei

2p

1p

1p

1p

c) Deoarece

.

' 1 ' 1'3 3cf reciprocei Teoremei lui Thales

MO MO OOOO CVMV MC CV

= = ⇒ ⇒ =

Dar 2 2 2 2 36 12 4 3CV BV VM BM VM BM dm= = + = + = + =

4 3' 2, 27 22,73 3

CVOO dm cm⇒ = = ≈ =

2p

2p

1p

2. a) Notăm OM x= , raza cercului mic. Cele două cercuri egale au razele de 15m

APO∆ este dreptunghic în P, cu 15; 15; 30AO x AP OP x= + = = −

Aplicăm Teorema Pitagora în APO∆ : ( ) ( )2 2215 15 30x x+ = + −

2 230 225 225 900 60 90 900 10x x x x x x m⇒ + + = + − + ⇒ = ⇒ =

2 2100A x mπ π= =

1p

1p

2p

1p

b) ( )2 2 230 2 15 100 350nefolositaA mπ π π π= ⋅ − ⋅ + = 5p

www.mate

info.r

o

213

Page 214: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) 2350 350 3 1050nefolositaA mπ= = ⋅ =

1050 : 12 = 87,5 = 88 pomi

88 x 16,5= 1452 lei

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

214

Page 215: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 80 Prof. Ghidu Mihaela Alexandra

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 20 5p

2. 5 5p

3. 50 5p

4. 4 5p

5. 13 5p

6. 9 5p

SUBIECTUL II

1. Desenează piramida Notează piramida

5p

2. 2 22012 2 2012 1 (2012 1)− ⋅ + = − 22012 2 2012 1− ⋅ + = 2(2012 1)− = 22011 =2011

Finalizare :2011 N∈

5p

3. Se notează cu x , numărul de CD-uri cu preţul de 30 leri si cu y numărul de

CD-uri cu preţul de 40 lei ⇒10

30 40 325x y

x y+ =

⋅ + ⋅ =

⇒ 15 5;2 2

x y= =

Finalizare: ,x N y N∉ ∉ ⇒ nu poate cumpara exact 10 CD-uri cu exact 325 lei

5p

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f Trasarea graficului functiei

5p

b) (0, 4)fG Oy B= 4OA⇒ = (4,0)fG Ox A= 4OB⇒ =

Folosind Teorema lui Pitagora in AOB∆ 4 2AB⇒ =

5p

www.mate

info.r

o

215

Page 216: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

. ( , )

4 4 2 24 2

fOC AB d o G OCOA OBOC

AB

⊥ ⇒ =

⋅ ⋅= = =

5 2 2 2 23 4 2 3 5 4 4 3 2 3 1x y x y x x y y+ − + + = − + + + + 2 2( 2) ( 3 1)x y= − + + 2 2( 2) 0, ; ( 3 1) 0,x x R y y R− ≥ ∀ ∈ + ≥ ∀ ∈ Finalizare 2 23 4 2 3 5 0, ,x y x y x y R+ − + + ≥ ∀ ∈

5p

SUBIECTUL III

1. a) 260lab labA L l A m= ⋅ ⇒ = 2 2 21600 0,16placa placaA l A cm m= ⇒ = = Numărul de plăci necesare este : 60 : 0,16 375= 10% 375 37,5 38din = ≈ Numărul total de plăci achiziţionate : 375 + 38 = 413 plăci

5p

b)

2

2( )

2(10 6) 32lab

lab

P L lP m

= + ⇒

= + =

5p

c) Suprafaţa totală de gresie este 2 20,16 413 66,08m m⋅ = Costul gresiei este 130 66,08 8590,40lei⋅ = Costul plintei este 5 32 160lei⋅ = Costul total este de 8590,40 160 8750,40lei+ =

5p

2. a) Notăm prisma ABCA’B’C 2 3864 3 1,494 1,494bV A h V cm dm l= ⋅ ⇒ = ≈ ≈ Finalizare : Nu este sufficient 1l de apa pentru a umple vaza de flori

5p

b) vaza l bA A A= + 2864l b lA P h A cm= ⋅ ⇒ =

236 3bA cm=

2 2864 36 3 927 0,0927vazăA cm m= + ≈ ≈ Finalizare : se pot confectiona 3 : 0,0927 32,36 32vaze≈ ≈

5p

c) 2 22 (864 72 3) 988,56t l b tA A A A cm cm= + ⇒ = + ≈ Finalizare : suprafaţa de hârtie necesară este 21977,12cm≈

5p

www.mate

info.r

o

216

Page 217: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 81 Prof. . Ghidu Mihaela Alexandra

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 8 5p

2. 4 5p

3. 8 5p

4. 24 5p

5. 125 5p

6. 32 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida Notează piramida

3p

2p

2. 3 37 7

a bab= ⇒ =

7 99 7

b bcc= ⇒ =

Finalizare : 13

ac=

2p

2p

1p

3. { }88 3 1 8, 4, 2, 1,1,2,4,8

3 1Z x D

x∈ ⇒ + ∈ = − − − −

+

⇒ { }3, 1,0,1x∈ − −

Finalizare : { }3, 1,0,1A = − −

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

217

Page 218: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f

Trasarea graficului funcţiei

2p

2p

1p

b) S = 1 ( 3 1) 1 ( 3 2) 1 ... ( 3 2012) 1+ − ⋅ + + − ⋅ + + + − ⋅ +

S = 2013 3017− ⋅

2p

3p

5 c) 2 1 3 2 2012 2011...

2 2 6 6 2011 2012 2011 2012A = − + − + + −

⋅ ⋅

112012

A = −

10 1 (0,1)2012

A≤ ≤ ⇒ ∈

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2( ) 10P L l P m= + ⇒ =

26A L l A m= ⋅ ⇒ =

2p

3p

b) 210% 0,6dinA m=

Cantitatea cumpărată : 26 0,6 6,6m+ =

2 23000 0,3placa placăA L l A cm m= ⋅ ⇒ = =

Număr de plăci : 6,6:0,3 = 22 plăci

22 :8 ≈2,7 ⇒3 pachete

1p

1p

1p

1p

1p

c) Costul unui pachet : 30 0,3 8 72lei⋅ ⋅ =

Costul total : 3 72 216lei⋅ =

3p

2p

2. a) machetă prisma trh h h= +

16 12 28trh cm= + =

2p

3p

www.mate

info.r

o

218

Page 219: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Fie ' ' ' 'ABCDA B C D trunchiul de piramidă regulată 40 2 2 44trL cm⇒ = + ⋅ =

22 , 2B ba cm a cm= =

Tangenta unghiului cautat este 75B b

ha a

=−

1p

2p

2p

c) ( _ )prismă tr tr tr prismăcarton l l b B bA A A A A A= + + +

4 34tra =

2 2 2(44 4) 4 34160 6 4 (44 4 )2cartonA + ⋅

= ⋅ + + + − 25055,68cm≈

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

219

Page 220: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 82 Prof. Ghidu Mihaela Alexandra

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 12 5p

2. 0 5p

3. 125 5p

4. 40 5p

5. 5 5p

6. 30 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma Notează prisma

4p

1p

2. { }1 11,13,17,19x∈

1 3 3 19

x a xa= ⇒ = ⋅

{ }33,39,51,57a⇒ ∈

Finalizare : { }33,39,51,57A =

1p

2p

1p

1p

3. Valoare TVA : 24% 820 196,8din lei=

Preţul maşinii de spălat cu TVA : 820+ 196,8=1016,8lei

Valoare avans : 25% 1016,8 254,2din lei=

Suma de plătit in rate : 1016,8 254,2 762,6lei− =

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

220

Page 221: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Valoarea unei rate : 762,6 : 6 127,1lei= 1p

4. a) ) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f Trasarea graficului funcţiei

2p 2p

1p

b) 2( 2 1) 2

2f − = − +

2( 2 3) 42

f − = − +

a= -2 ∈ Z

2p

2p

1p

5 Ridicând la pătrat relaţia se obţine : 2( ) 2 ( )( )c b c a c a c a c a+ = + + − + + −

2 22 2b c a⇒ = −

2 2 2b c a= −

Conform reciprocei teoremei lui Pitagora , triunghiul e dreptunghic

Finalizare : Unghiul drept este B

2p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2120l b lA P h A m= ⋅ ⇒ =

22,1fereastrăA m=

1,8uşaA m=

2v 120 2 2,1 1,8 114ăruibilăA m= − ⋅ − =

1p

1p

1p

2p

b) 80 ⋅114 = 9120 g = 9,12kg 5p

c) 2 ⋅9,12 kg = 18,24 kg

4 ⋅18,24 = 72,96 lei

2p

3p

www.mate

info.r

o

221

Page 222: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) 140 : 30 4 postere≈

140 : 21 6 postere≈

Numar maxim de postere : 6 4 24 postere⋅ =

2p

2p

1p

b) 2 21, 4 1,96panouA m= =

2 230 21 630 0,063posterA cm m= ⋅ = =

224 0,063 1,512posteretA m= ⋅ =

21,96 1,512 0,448hartieA m= − =

2p

1p

1p

1p

c) 140-4 ⋅30 = 20 cm

140-6 ⋅21 = 14 cm

max max20 10d cm r cm⇒ = ⇒ =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

222

Page 223: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 83 Prof. Grecu Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 16 5p

2. 5 5p

3. 15 5p

4. 144 5p

5. 56 5p

6. 0,03 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează cubul

Notează cubul

4p

1p

2. Notează cu x preţul la primul magazin : 10 99

100x x+ = ⇒ 90x =

Notează cu y preţul la al doilea magazin magazin : 10 99100

y y− = ⇒ 110y =

Diferenţa dintre preţuri : 110 90 20− =

Transformare în raport procentual : 2090 100

p=

Finalizare: 22, (2)%p =

1p 1p 1p 1p 1p

3. Calculează : 3a b=

Înlocuieşte în raport: 2 3 73 3 8

b b bb b b

⋅ +=

⋅ −

Finalizare: 2 73 8

a ba b+

=−

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

223

Page 224: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a)Calculează: ( 1) 2 1E x x+ = + şi 1( ) 2

2E x x+ =

Aplică inegalitatea mediilor: 2 1 2 1(2 1)(2 1)2

x xx x − + +− + ≤

Finalizare

2p

2p

1p

b)Calculează: ( 1) 2 3E x x− = − şi 1( ) 2 2

2E x x− = −

Înlocuieşte: 4(2 1)(2 3) 1 (2 2)x x x− − + = −

Calculează: 2 24 8 4 4( 1)x x x− + = −

Finalizare: 2 24 8 4 4( 2 1)x x x x− + = − +

2p

1p

1p

1p

5 A = ( )6,3−

3 2 3x− ≤ − ≤ [ ]1,5B⇒ = −

[ )1,3A B∩ = −

( )6, 1A B− = − −

1p 2p 1p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)Aria dreptunghiului : drA L l= ⋅

Aria unei dale: 2 230 20 600 0,06ABCDA AB BC cm m= ⋅ = ⋅ = =

Află numărul de dale: 15 : 0,06 250=

1p 2p 2p

b)Aria triunghiului dreptunghic : 1 2

2c cA ⋅

=

220 15 1502 2ADE

AD AEA cm⋅ ⋅= = =

Congruenţa triunghiurilor , , ,ADE BCE BPF AQF

1p 1p 1p 1p

www.mate

info.r

o

224

Page 225: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4 1200 4 150AEBF DCPQ ADEA A A= − ⋅ = − ⋅

AEBFA = 21200 600 600cm− =

1p

c) Calculează numărul necesar de cutii: 250 : 20 12 10rest=

Numărul necesar de cutii va fi 13.

Calculează preţul: 13 50,4 655,2lei⋅ =

2p 1p 2p

2. a) 2 2 2 2d L l h= + +

2 2 2 2BH AB BC BF= + +

2 2 2 2150 60 40BH = + +

10 277BH cm=

1p

1p

1p

2p

b) drA L l= ⋅

230 20 600coalaA cm= ⋅ =

26000ABFEA cm= , 22400BCGFA cm= , 29000ABCDA cm=

22 2 25800totala ABFE BCGF ABCDA A A A cm= ⋅ + ⋅ + =

25800 : 600 43= coli

1p

1p

1p

1p 1p

c)Calculează câte coifuri încap pe lungime: 150 : 20 7 10rest=

Calculează câte coifuri încap pe lăţime: 60 : 20 3=

Câte coifuri încap în cutie: 3 7 21⋅ =

1p 1p 1p

www.mate

info.r

o

225

Page 226: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 84 Prof. Grecu Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 5 5p

2. 8,775 5p

3. 1150

5p

4. 26cm 5p

5. 290 3cm 5p

6. 416.984 telespectatori 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează cubul

Notează cubul

Construieste centrul bazei

Notează centrul bazei

2p

1p

1p

1p

2.

2

2010 20111 2 3 .......... 20102

2 (1 2 3 .......... 2010) 2011 2010 2011 20112010 2011 2011 2011(1 2010) 2011 20112011 2011 2011

⋅+ + + + =

⋅ + + + + + = ⋅ +⋅ + = + = ⋅

⋅ =

1p

2p

1p

1p

3. 100% 60% 40%− =

Notează cu x numărul de pagini al cărţii : 60 20 40 48100 100 100

x x x− − ⋅ =

100 60 8 4800x x x− − =

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

226

Page 227: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

150x =

150 48 102− =

1p

4. a) 2 2(3 2, ) (2 3)fA m m G f m m+ ∈ ⇒ + =

22(3 2) 3m m+ + =

2 6 7 0m m− − =

( 7)( 1) 0m m− + =

7m =

1p

1p

1p

1p

1p

b) ( )

3f xx =

2 33

xx +=

3x =

(3) 9f =

(3,9) fP G∈

1p

1p

1p

1p

1p

5 2 28 16 12 36 4x x y y− + + + + =

2 2( 4) ( 6) 4x y− + + =

4 2x − ≤ şi 6 2y + ≤

[ ]2,6x∈

[ ]8, 4y∈ − −

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) drA L l= ⋅

215terenA AB BC m= ⋅ =

1p

1p

www.mate

info.r

o

227

Page 228: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2discA Rπ=

23,14bazinA m=

gazon teren discA A A= − = 211,86m

1p

1p

1p

b)Află raza fundului bazinului: 1R =

33,14 1,20 3,768bazinV m= ⋅ =

33,768 3768m l=

3768 :1,5 2512= secunde

1p

1p

2p

1p

c) 2512 :120 20 112rest=

Finalizare: apa îşi schimbă culoarea de 20 de ori

3p

2p

2. a) drA L l= ⋅

22 45acoperişA BP BE m= ⋅ ⋅ =

Află preţul ţiglei: 45 4 180⋅ = lei

1p

2p

2p

b) 2 ( )lA h L l= +

Calculează suprafaţa pereţilor: 22 ( ) 91lA BC AB CN m= + =

Notează cu x suprafaţa acoperită de soluţia dintr-un flacon: 20 4300 x

=

260x m=

Calculează câte flacoane sunt necesare: 91: 60 1 31rest= ⇒ sunt necesare 2

1p

1p

1p

1p

1p

c) 2( )drP L l= +

Calculează lungimea aleii: 8 2 0,5 9L m= + ⋅ =

Calculează lungimea aleii: 5 2 0,5 6l m= + ⋅ =

Calculează perimetrul pe care se pun felinare: 30P m=

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

228

Page 229: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Află numărul felinarelor: 30 : 3 10=

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 85 Prof. Grecu Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 19x 5p

2. 15− 5p

3. 34 5p

4. 2 6 5p

5. 33

5p

6. 8 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează şi notează piramida Desenează şi notează apotema

3p

2p

2. Notează cu x, y şi z cantităţile de hrană pe care le primesc lunar un pui de leu, un leu, respectiv un tigru.

2 2 20024 100 80 24 2 100 2 80 384x y z x y z+ += = = =

+ ⋅ + ⋅

12,5x kg=

52,08(3) 52y kg= ≈

41, (6) 42z kg= ≈

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

229

Page 230: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. Determină corect două puncte ale graficului

Reprezintă corect cele două puncte

Trasează dreapta

2p

2p

1p

4. a) ( ) 2 4 2 : 1

1 ( 1)( 1) 1 2xE x

x x x x x = − + − − − + + +

( ) 2 2 4 2 2 2:( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 2

x x x xE xx x x x x x x x

+ − + = − + − − + − + − + + +

( ) 4 4 2:( 1)( 1) 2

xE xx x x

− = − + +

( ) 4 2:1 2

E xx x

=+ +

( ) 2( 2)1

xE xx+

=+

1p

1p

1p

1p

1p

b) ( ) 2 4

1xE xx+

=+

( ) 221

E xx

= + ∈+

{ }1 2, 1,1,2x + ∈ − − ⇒ { }3, 2,0,1x∈ − −

{ }{ } { }\ 2, 1,1 3, 2,0,1x∈ − − ∩ − −

{ }3,0x∈ −

1p

1p

1p

1p

1p

5. 2 24 3 12 ( 2 3)x x x− + = −

2 212 3 108 ( 6 3)y y y− + = −

2 3 6 3 0x y− + − ≤

2 3x = si 6 3y =

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

230

Page 231: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

gm x y= ⋅ ⇒ 6gm =

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) bV A h= ⋅

2AB l=

Calculează 2400bA cm=

3400 10 4000V m= ⋅ =

1p

1p

1p

2p

b) Desenează desfăşurarea prismei si indică traseul cel mai scurt AE'.

4 80AE AB= =

2 2 2 6500AE AE EE′ ′= + =

10 65AE′ =

2p

1p

1p

1p

c)Fie AR ║ ,PQ R DD∈ ⇒′ [ ( , )] ( )AR PQ m AP PQ m PAR= ⇒ = ,

2,5RD PB= =

5 65

220 2

AR AP

RP BD

= =

= =

Fie PS AR⊥ , S AR∈ ⇒ 20 6665

PS =

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

231

Page 232: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

8 66sin65

PSAAP

= = 1p

2. a) A L ldreptunghi = ⋅

216 10 160ABCDA m= ⋅ =

1 2

1

2

2126

rombd dA

dd

=⋅

==

212 6 362rombA m⋅

= = parchet colorat

2160 36 124m− = parchet alb

1p

1p

1p

1p

1p

b) 36

160 100p

=

36 100160

p ⋅=

22,5p =

Finalizare

2p

1p

1p

1p

c) rombA = 1 2 80

2d d⋅

=

Notăm cu x =distanţa cerută , 5x <

1

2

16 210 2

d xd x= −= −

(16 2 )(10 2 ) 160x x− − =

{ }24 52 0 0,13x x x− = ⇒ ∈

Soluţie: 0x =

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

232

Page 233: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 86 Prof. Grecu Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 43

5p

2. 12 5p

3. 5 5p

4. 12017

5p

5. 108 5p

6. Vlad 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează şi notează paralelipipedul

Duce diagonala

3p

2p

2. 1 3 23 (3 2 3 1) 396x− + ⋅ − =

13 44 396x− ⋅ =

13 9x− =

3x =

2p

1p

1p

1p

3. 2 2 2 2

8 4 4 3 34 4 2 1 9

x y x yx x y x x y− + = +

− + + = + + + −

5 7 4

6 12x y

x− = −

− = −

2x =

2y =

2p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

233

Page 234: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) Calculează câte 2 puncte pentru fiecare funcţie

Reprezintă câte 2 puncte pentru fiecare funcţie

Desenează dreptele

2p

2p

1p

b) Determină coordonatele punctelor A(2,0) , B(0,-2),D(-2,0)

Determină coordonatele punctului C

2 8( ) ( ) {( , )}3 3f gf x g x G G= ⇒ = −

OBCA ACD BODA A A= −

84| | 1632 2 3

CACD

AD yA⋅⋅

= ==

| | | | 22BOD

OD OBA ⋅= =

16 1023 3OBCAA = − =

1p

1p

1p

1p

1p

1p

5 2 22

1 1 1( ) 2 14x x xx x x

+ = + − ⋅ =

3 33

1 1 1 1( ) 3 ( ) 52x x x xx x x x

+ = + − ⋅ + =

2 3 5 52 3 5 5

1 1 1 1 1( )( ) 728 724x x x x xx x x x x

+ + = + + + = ⇒ + =

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) A L ldreptunghi = ⋅

2240 120 28800A cm= ⋅ =

22,88A m=

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

234

Page 235: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Fie Q şi R proiecţiile lui P pe [AD], respectiv [DC] şi S punctul în care tacul intersectează [DC].

40PQDR dreptunghi DQ PR cm− ⇒ = =

80AQ AD DQ cm= − =

PAQ e dreptunghic isoscel ⇒ ( ) 45m PAQ = °

Din triunghiul DAS se calculează ( ) 45m DAS = °

1p

1p

1p

1p

1p

c) Calculează distanţa parcursă în timpul unei rotaţii complete: 2cercL Rπ=

18,84cerc cmL =

Calculează distanţa parcursă pâna la orificiu: 280PA =

112,8PA cm=

112,8 :18,84 5,98 6= ≈ rostogoliri

1p

1p

1p

1p

1p

2. a) Bprismăl hA P ⋅=

272 3 216

prismăl cmA = ⋅ =

5 3 2piramidăh = − = 85pA =⇒

272 85 36 852 2

B p

piramidălP A

cmA ⋅= ==

236(6 85)prelată prismă piramidăl l cmAA A= + = +

1p

1p

1p

1p

1p

b) Calculează volumul prismei

3972

prismă B

prismă

V A hV m

= ⋅

=

Calculează volumul piramidei

1p

www.mate

info.r

o

235

Page 236: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3

3324 2 216

3

piramidăBpiramidă

piramidă

A hV

V m

⋅=

⋅= =

Calculează volumul de aer din cort

3972 216 1188cortV m= + =

Cât volum de aer este necesar pentru personal si cât volum de aer rămâne

3

3

15 4 601188 60 1128

mm

⋅ =

− =

Numărul maxim de bilete care pot fi vândute

1128 : 4 282=

1p

1p

1p

1p

c) Notăm cu “d” distanţa cerută

2( )piramidă

plasă

bază

A dA h

=

2225

324 4d

=

2 225 4324

d ⋅=

15 2 1, (6)18

d m⋅= =

1p

1p

1p

1p

1p

www.m

ateinf

o.ro

236

Page 237: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta87 Prof GRIGORAȘ CAMELIA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4,6 5p

2. -1 5p

3. 800 kilograme 5p

4. 2400 2cm 5p

5. 600 2cm 5p

6. 02 C+ 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenul piramidei patrulatere regulate realizat corect.

Notațiile corecte.

3p

2p

2. Scrie relația sub forma: 2 26 9 10 25 0x x y y− + + − + =

Restrânge pătratele și scrie relația sub forma:

2 2( 3) ( 5) 0x y− + − = , 2 2( 3) 0, ( 5) 0x y− ≥ − ≥

2 2( 3) 0 ( 5) 0x şi y− = − = de unde 3 0x − = = 0 și 5 0y − = = 0, deci, x=3 și y= 5

Calculează perimetrul P = 2(3 cm +5 cm) = 16 cm și aria A = 3 cm∙5cm = 15 2cm

1p

1p

1p

2p

3. Notează corect : x - lungimea traseului de parcurs, 10

100x - distanța parcursă

în prima zi, 4∙ 10100

x - distanța parcursă a doua zi

1p

www.mate

info.r

o

237

Page 238: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Scrie relația corectă: 10 104 60100 100

x x km+ ⋅ =

Rezolvă ecuația și scrie soluția algebrică x = 120

Scrie concluzia finală: traseul are lungimea 120 kilometri

2p

1p

1p

4. a) Reprezintă corect două puncte care aparțin graficului funcției f;

trasează corect fG

Reprezintă corect graficul funcției gG ;

2p

1p

2p

b) Identifică suprafața determinată de graficele funcțiilor f și g ca fiind trapezul dreptunghic cu baza mare de lungime 4 u.m., baza mică 2 u.m. și înălțimea 2 u.m.

Scrie formula de calcul a ariei trapezului A= ( )2

B b î+ ⋅

Calculează A = 6 2.u m

3p

1p

1p

5 Scrie a+b = 25, 2 2a b+ = 425

Scrie 2 2 2( ) 2a b a b ab+ = + +

Înlocuiește 625 = 425 2ab+

Calculează a b⋅ = 100

1p

2p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Scrie formula pentru 26tA l= ⋅

Calculează 26 6tA = ⋅ = 216 2dm

216 2dm = 2,16 2m , 2,16 2 23m m<

Concluzia finală: hârtia cumpărată ajunge

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

238

Page 239: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Calculează cât reprezintă 5% din hârtia folosită 2 25 2,16 0,108

100m m⋅ =

Calculează necesarul de hârtie 2,16 2m + 0,108 2m = 2,268 2m

Calculează costul hârtiei folosite 2,268 2 3,5m lei⋅ = 7,938 lei

2p

2p

1p

c) Calculează diagonala cutiei d = l dm = 6 dm

Aproximează 3 ≈1,73 , 6 dm≈1,73 6 dm = 10,38dm =1,038 m

Concluzia finală: umbrela de lungime 1,2 m >1,038 m, deci nu încape în acea cutie

2p

2p

1p

2. a) Scrie formula de calcul a ariei terasei sub formă de triunghi dreptunghic

2ABCAB BCA∆

⋅= ;

Calculează aria 26 24 722 2ABC

AB BCA m∆⋅ ⋅

= = =

2p

3p

b) Notează CN x=

Scrie 2

4CMN

ABC

A xA∆

=

2 2

2 2 224 576CMN CMN

ABC CMN ABNM

A Ax xA A x A x

∆ ∆

∆ ∆

⇒ = ⇒ = ⇒− − −

2 2576 12 2x x x m⇒ = − ⇒ =

Concluzionează că MN se află la 24 12 2m− metri faţă de AB.

1p

1p

1p

1p

1p

c) Suprafața mochetată va fi cea a trapezului AMNB

Pentru NB = 24 12 2m− , suprafața va fi jumătate din suprafața întreagii

terase, adică 36 2m

Calculează că mocheta va costa 36 2 18,2m lei⋅ = 655,20 lei.

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

239

Page 240: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta88 Prof. GRIGORAȘ CAMELIA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 3 5p

3. 2 5p

4. 25 2cm 5p

5. x(x+4) 5p

6. 11 elevi 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect cubul

Notează cubul după cerință

Desenează o diagonală a cubului

2p

1p

2p

2. Calculează suma cu care s-a redus prețul de sărbători: 10% din 120 = 10 120 12100

lei⋅ =

Stabilește prețul după reducere 120 lei – 12 lei = 108 lei

Calculează suma cu care s-a majorat prețul 10 108 10,8100

lei lei⋅ =

Stabilește prețul după majorare 108 lei + 10,8 lei =118,8 lei

2p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

240

Page 241: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. Scrie relațiile între dimensiunile dreptunghiului L

l= 1

3 , L+ l = 16 cm

Află dimensiunile dreptunghiului L = 3 l, 3 l + l = 16 l = 4 cm și L = 12 cm

Scrie formula de calcul a ariei dreptunghiului A = L l

Calculează aria dreptunghiului A = L l = 4cm ⋅12cm = 48 2cm

1p

2p

1p

1p

4. a) Reprezintă corect două puncte care aparțin graficului funcției f

Trasează dreapta deteminată de cele două puncte

4p

1p

b) Observă că punctul de pe grafic egal depărtat de axele Ox și Oy este punctul care are coordonatele egale x = y = α

M( , ) ( ) 2 5 5fG fα α α α α α α∈ ⇒ = ⇒ ⋅ − = ⇒ =

Concluzia finală: punctul M(5;5) fG∈ și se află la egala distanță de Ox și Oy

2p

2p

1p

5 Descompune numărătorul:

4 2 4 2 25 4 4 4x x x x x− + = − − + = 2 2 2 2 2( 1) 4( 1) ( 1)( 4) ( 1)( 1)( 2)( 2)x x x x x x x x x− − − = − − = − + − +

Descompune numitorul:

3 2 24 4 ( 1) 4( 1) ( 1)( 2)( 2)x x x x x x x x x− − + = − − − = − − +

Simplifică raportul (ținând cont de condițiile date ) obținând x+1

2p

2p

1p

(30 de puncte)

1. a) Calculează apotema piramidei care va fi egală cu 20 2 cm

Calculează aria laterală a piramidei A l = 4· AVBC = 4 · 40 ·20 · 22

=

1600 2 cm2,

Calculează necesarul de glazură = 1600 2 · 10 g = 16000g 2 = 16 2 kg de glazură

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

241

Page 242: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Scrie formula de calcul a volumului paralelipipedului dreptunghic

Calculează volumul cutiei de împachetat tortul Vcutiei = 40 · 40 ·20 = 32000 cm3

2p

3p

c) Scrie volumul de calcul al piramide regulate

Calculează volumul tortului Vtort = 32003

cm3,

Concluzionează că tortul va ocupa 33,(3) % din volumul cutiei

2p

2p

1p

2. a) Scrie perimetrul trapezului dreptunghic

Calculează laturile trapezului astfel : AB = 25 m, BC = 25 m, DC = 25 32

m, AD = 252

m

Calculează perimetrul grădinii 2550 (1 3)2

m+ + (lungimea gardului);

1p

2p

2p

b) Calculează aria suprafeței cultivate cu ceapă

2625 3 78,125 38ADCA m= = ; 2

4

78,125 378,125 310

m ha=

Calculează cantitatea de ceapă recoltată

cantitatea de ceapă recoltată

4

78,125 3 5000 7,8125 5 3 67,57810

kg kg= ⋅ = ⋅ ≈

2p

3p

c) Consideră punctul E [BC] situat la distanța notată x față de C

Exprimă aria trapezului AECD în funcție de x astfel:

1 25 25 3( )2 2 2AECDA x= + ⋅

Exprimă aria triunghiului AED∆ astfel: 1 25 3(25 )2 2AEDA x∆ = ⋅ − ⋅

Egalează cele două arii și obține x = 254

m (distanță față de punctul C)

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

242

Page 243: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 89 Prof: GRIGORAȘ CAMELIA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4 5p

2. 1 5p

3. 4 elemente 5p

4. 8 2dm 5p

5. 3 cm 5p

6. 8 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect prisma

Notează corect prisma

3p

2p

2. Calculează numărul fetelor 12 + 8 = 20 fete

Calculează numărul elevilor din clasă 12 băieți + 20 fete = 32 elevi

Scrie probabilitatea realizării evenimentului numărulcazurilorfavorabilenumărulcazurilorposibile

Calculează numărulcazurilorfavorabilenumărulcazurilorposibile

= 1232

= 38

1p

2p

1p

1p

3. Scrie expresia E(x) = 2 24 5 4 4 1x x x x− + = − + + =

Restrânge pătratul 2 24 4 ( 2)x x x− + = −

Observă că 2( 2) 0x − ≥

Valoarea minimă a expresiei scrisă sub forma E(x) 2( 2) 1x= − + se obține pentru 2( 2) 0x − =

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

243

Page 244: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Găsește x = 2

4. a) Notează lungimile laturilor triunghiului cu a, b, c

Află lungimile laturilor:

Scrie relația de directă proporționalitate 3 4 5a b c k= = =

Scrie a = 3k, b = 4k, c = 5k

Scrie perimetrul a + b+ c = 3k + 4k +5k = 24 m

Află k = 2 și a = 6 m, b = 8m, c = 10m

1p

1p

1p

1p

1p

b) Scrie o formulă de calcul a ariei triunghiului ( fie observă că triunghiul este dreptunghic aplicând Reciproca Teoremei lui Pitagora, fie aplicând formula lui Heron ( )( )( )A p p a p b p c∆ = − − − , unde p este semiperimetrul )

Calculează 224A m∆ =

3p

2p

5 Scrie relația impusă dintre coordonatele punctului y = 3x

Află coordonatele punctului 3x = 2x+5 de unde, x = 5u.m. și y = 15u.m.

Concluzionează în final că : punctul P(5;15) fG∈ și are ordonata egală cu triplul abscisei

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Calculează înălțimea clădirii 3 24 18

4clădireh m m= ⋅ =

Calculează suprafața laterală a clădirii lcladireA = 4 224 18 1728m m m⋅ ⋅ =

2p

3p

b) Calculează diagonala acoperișului și lungimea muchiei acoperișului și obține 313m

5p

c) Calculează aria laterală a acoperisului care va fi egală cu 24 24 13 624lacoperisA m m m= ⋅ ⋅ =

Află numărul de țigle necesare 2624 20 12480m ţigle ţigle⋅ =

3p 2p

www.mate

info.r

o

244

Page 245: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) Notează AD DE AE EF FC FB BC a= = = = = = = Scrie că ADE∆ echilateral,

Exprimă 3 3 ( 3 1)2 2

a aPM PE EF FM a a dam= + + = + + = +

Egalează ( 3 1) 8( 3 1) 8a dam a dam+ = + ⇒ = Calculează

232 16 3DEFCA dam= + ,

Calculează aria porţiunii haşurate 232 16 3dam+ .

1p

2p 2p

b) Calculează aria porţiunii nehaşurate 22 32(2 3)AEDA dam= ⋅ = + ; Calculează raportul

3 34

nehasurat

dreptunghi

AA

−= ;

2p

3p

c) Calculează în 2m suprafața cultivată 2 232(2 3) 3200(2 3)dam m+ = + ;

producţia 3200(2 3) 5,25 525 32(2 3) 62664kg kg= + ⋅ = ⋅ + ≈ de tomate

3p

2p

www.mate

info.r

o

245

Page 246: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta90 Prof.Isofache Căătăălina Anca

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (-2)(+2)-(-12):(+3)=0 5p

2. 9870 5p

3. P=

124 =

31 .

5p

4. P=20 2 cm. 5p

5. A=9 3 cm 2 . 5p

6. 9 lei. 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Reprezentarea corectăă a prismei triunghiulare regulate. 5p

2. x 2 +4x+10=(x+2) 062 ≥+ +6

Pentru x=-2,obţţinem valoarea minimăă=6.

5p

3. n=vâârsta bunicii

n=4x+3;n=6y+3;n=10z+3 x;y;z *N∈ .

n-3=4x; n-3=6y; n-3=10z.

[4;6;10]=60.

Rezultăă n-3 60M∈ .Deci n-3=60.Obţţinem n=63.

5p

4. a) A(0 ; 2 ) si B( 2 ;0)

Reprezentarea graficăă este dreapta AB.

5p

www.mate

info.r

o

246

Page 247: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b)In triunghiul dreptunghic AOB,OA=OB= 2 ;AB=2,rezultăă

d(0;AB)=AB

OBQA ⋅ =1

5p

5 n 22 )3(96 +=++ nn ; )3)(3(92 +−=− nnn ; )3)(1(342 −−=+− nnnn

E(n)=1

)3)(1()3)(3(

)3( 2

−−−

⋅+−

+n

nnnn

n⇒E(n)=n+3 ZnZ ∈∀∈ , /{-3 ;1 ;3}.

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)A 21 990090110 m=⋅= ;A 2

2 800080100 m=⋅= .Deci 21 AAAzgura −=

zguraA =1900 m 2 .

5p

b) 22 10054 mAflori =⋅= ; 2120020302 mAsport =⋅⋅= ; 22tan 255 mA afan ππ =⋅=

)( tan2 afansportflorigazon AAAAA ++−= .Deci 2)256700( mAgazon π−= .

5p

c) 25,66215,786700 mAgazon =−=

6621,5:0,5=13243 ladiţţe de gazon

1213243 ⋅ =158916 lei

5p

2. a)V

3hAb

l⋅

= reprezintăă volumul lichidului ce se acumuleazăă îîn pââlnie,câând

pompele A’ si O funcţţioneazăă simultan.Rezultăă 36dmVl = .

1,5dm min/3 -0,5dm min/3 =1dm min/3 este debitul de lichid ce răămââne îîn pââlnie,câând pompele A’si O funcţţioneazăă simultan.

6dm 3 :1dm min/3 =6 minute funcţţioneazăă simultan pompele A’ si O.

335,06 dm=⋅ esenţţăă de vanilie se imbuteliazăă câând pompele A’ si O funcţţioneazăă simultan.

6dm 33 5,0: dm /min=12minute este timpul îîn care funcţţioneazăă numai pompa O

6min+12min+2min=20minute

In 20 min se îîmbuteliazăă 6dm 3 +3dm 3 =9dm 3 lichid.

5p

www.mate

info.r

o

247

Page 248: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

60min:20min=3

9dm 3 x3=27dm 3 =27litri=27000 ml de esenţţăă de vanilie se ambaleazăă îîntr-orăă.

27000:250=108 sticluţţe de esenţţăă de vanilie.

b) 5401085 =⋅ sticluţţe/orăă

32406540 =⋅ sticluţţe de esenţţăă de vanilie/zi

3240:30=108 cutii /zi

5p

c) x=preţţul de fabricăă al unei sticluţţe de vanilie

86,1100124

=x .Rezulta x=1,50lei.

TVA=1,86-1,50=0,36lei/sticluţţa

40,116636,03240 =⋅ lei TVA/zi.

5p

www.mate

info.r

o

248

Page 249: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 91 Prof Lica Roxana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2,5 3 0,5− = − 5p

2. 1102

5p

3. 12

5p

4. 20122011

5p

5. 3 2 5p

6. 4π dm 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 5p

2. (3,0)fG Ox A∩ = ; (0, 12)fG Oy B∩ = − ; 3 12 18

2 2OAB

OA OBA∆

⋅ ⋅= = =

5p

3. Fiecare dintre membrii familiei „imbatraneste” cu 15 ani, prin urmare suma varstelor este 53+15+15+15=98ani.

5p

4. a) ( )7 7 8 9 : 4 3

8,5 7,54

x+ + + ⋅ +> ≥ ; 34>31: 4 3 30x⋅ + ≥ ;

34> 7,75 3 30x⋅ + ≥ ; 34> 23,25 30x+ ≥ ; 34-23,25> 30 23,25x ≥ − ; 11,75 6.75x> ≥ . Notele sunt 10, 9, 8 si 7.

b) O nota: ( )7 7 8 9 : 5 3 98,5

4y+ + + + ⋅ +

≥ ; ( )31 : 5 3 9 34y+ ⋅ + ≥ ;

( )31 : 5 3 25y+ ⋅ ≥ ; ( )31 : 5 8,3y+ ≥ ; 31 41,5y+ ≥ ; 10,25y ≥

Raspuns: doua note

2p

3p

3p

2p

www.mate

info.r

o

249

Page 250: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

5

.

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

2 2

2 22

2

2 3 25 6 2 3 64 4 2 2

2 3 3 112 22

x x xx x x x xx x x x

x x xx xx

+ + ++ + + + += = =

+ + + +

+ + += = = +

+ ++

{ }2x∈ − −

, { } { }2 1 2 1, 1 1, 3x x x+ ⇒ + ∈ − ⇒ ∈ − −

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)Perimetrul este 2 3 2 2 10x x x⋅ + ⋅ = 5p

b)Aria totala este 26 3 6+ ⋅ =54m2

Lungimea foliei este 54:3=18m.

3p

2p

c)In triunghiul AEM cu masura unghiului E de 90°, din teorema lui Pitagora obtinem AM=3 10 . Asadar, DM+AM=6 10 . Costul total este 186lei.

2p

3p

2. a)

23 3 33 400 3 10 1000 3 1700 1,7

4 4lV h cm cm cm l= = = = =

5p

b)( )

( )( )

'' ', '

,

A A ABCAM BC A M BC d A BC A MAM BC ABC

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

, unde M este

mijlocul lui [BC]. In 'A AM∆ , ˆ( ) 90m A = ° , 2 2 2' 'A M A A AM= + =100+300=400, deci A’M=20cm

2p

2p

1p

c)Masura unghiului plan al diedrului este egala cu masura unghiului A’MA.

' 10 3'310 3

A Atg A MAAM

= = =

2p

3p

www.mate

info.r

o

250

Page 251: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 92 Prof Lica Roxana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 9-8:2=9-4=5 5p

2. 720

5p

3. 11

5p

4. R=3cm, deci latura patratului este

3 2cm. Aria patratului este 18cm2.

5p

5. 2 2 2 2 8 7 2 8 6 2 7 6 112 96 84 292totalaA Ll Lh lh cm= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + = 5p

6. ( )1 9 90 1 2 ... 9 45

2+ ⋅

+ + + + = = 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen. 5p

2. (3,0)fG Ox A∩ = ; (0,12). 3, 12fG Oy B OA OB∩ = = =

In triunghiul OAB, dreptunghic in O, se calculeaza lungimea lui AB-

ipotenuza, 153AB = . Distanta de la O la AB este inaltimea din O a

triunghiului OAB si are lungimea 36153 .

5p

3. Primul robinet are debitul 1 4Vd = , al doilea 2 6

Vd = . Debitul comun este

1 25

4 6 12V Vd d V+ = + = . Prin urmare sunt necesare 12

5 ore, adica 2 ore si 24

minute pentru a umple bazinul folosind ambele robinete.

5p

4. a) ( ) ( ) ( )

212 2 1 2 21

xxE x x xx x

+= ⋅ = + = +

+ . 5p

www.mate

info.r

o

251

Page 252: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

b) { }2 2 2 2 4 2 0 2 0 2x x x x− ≤ + ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ∈ − 5p

5 1 2 101 2 10

1 2 3

4 5 10

4 5 10

... 15 ... 15010

87... 150 87 63... 63 9

7 7

a a a a a a

a a aa a aa a a

+ + += ⇒ + + + =

+ + =+ + + = − =+ + +

= =

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)Aria livezii este 0,5km2, adica 500000m2. Numarul de copaci este 500000:25 adica 20000.

5p

b) 1002•502-1000•500=3004m2 este suprafata luciului de apa.

Volumul de apa este 3004•0,5=1502m3.

3p

2p

c) Intretinerea livezii costa 500000lei.

Apa din canal valoreaza 1502•3 adica 4506lei.

Costul total 500000+2•4506=509012 lei.

2p

2p

1p

2. a) 1 0, 2 0,7 0,14V = ⋅ ⋅ = m3. 5p

b) diagonala televizorului este diagonala unei suprafete laterale.

2 2100 70 14900 10 149 122 .d cm= + = =

122 : 2,54 48".d =

3p

2p

c) Volumul paletului este 2•3•1,4=8,4m3

Nr de televizoare este 8,4:0,14=60.

2p

3p

www.mate

info.r

o

252

Page 253: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 93 Prof Lica Roxana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0,5 1 1,5+ = 5p

2. 1987

5p

3. 12

5p

4. 20112012

− 5p

5. 100cm2 5p

6. 2500пcm2 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 5p

2. ( 2,0)fG Ox A∩ = − ; (0,8)fG Oy B∩ = ; 2 8 8

2 2OAB

OA OBA∆

⋅ ⋅= = =

5p

3. Diferenta de varsta intre copii este de 7 ani. Prin urmare baiatul are 14 ani iar fata 7 ani.

5p

4. a)

1002 8 260

c zz c+ =

+ =

z=90, c=10

b) 10 buchete formate dintr-un crin si 8 zambile

2p

3p

5p

5

( )

2

22

10 26 1110 25 5

x xx x x− +

= + ∈− + −

daca

2p

www.mate

info.r

o

253

Page 254: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

( ){ } { }

5 1

5 1,1 4,6

x

x x

− ⇒

− ∈ − ⇒ ∈

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2 220 16 144π π π− = m2 5p

b) 2 16mπ = 32π m

5p

c) 40 1 125,6π ⋅ = m2 suprafata gardului

In total, 251,2litri.

2p

3p

2. a)1000cm3

5p

b)1000:16=62,5cm 5p

c) volumul tetraedrului este aprox. prin lipsa 155cm3

In total 1000:155=6,45

Raspuns:6.

2p

3p

www.mate

info.r

o

254

Page 255: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 94 Prof. Corneliu Mănescu-Avram

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. ⋅ , : , − 5p

2. 17 5p

3. 13,75 5p

4. 34 5p

5. 6 5p

6. 5 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenul corect

Notarea corectă

4p

1p

2. 1 ∈ 2A B⇒ ∈

4 5A B∈ ⇒ ∈

3 4 3 1 ;A A∈ ⇒ − = ∈ 3 5 3 2 .B B∈ ⇒ − = ∈

2p

2p

1p

3. x = distanţa parcursă, y = lugimea drumului în pantă

ecuaţia 2 2 54 3 6 4

x xy yy y− −+ + + =

x = 20 km.

1p

2p

2p

4. a) ( ) 3 1

2xf x −

= 1p

4p

www.mate

info.r

o

255

Page 256: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

trasarea graficului

b) ( ) 1 2 1,

2xf x x x k k−

= + ∈ ⇔ = + ∈

( )2 1,3 1kA k k+ + , ,k∈ sunt toate punctele de coordonate întregi de pe graficul funcţiei

2p

3p

5 ( )( )5 2 3 25 5 1 5 5 1 5 5 1+ + = + + − + =

31 101= ⋅

numerele 31 şi 101 sunt prime, deoarece nu se divid cu 2, 3, 5, 7 < 101.

2p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) orice linie mijlocie a ΔABC 5p

b) triunghiul trebuie să fie dreptunghic

şoseaua este paralelă cu una dintre catete

staţia se construieşte la mijlocul ipotenuzei

2p

2p

1p

c) 2 2 217 8 15 ABC= + ⇒ ∆ dreptunghic în B

d = 17:2 = 8,5 km

2p

3p

2. a) 120 5p

b) 8 5p

c) 8 cuburi mari

2 8 8 5 56⋅ + ⋅ = cuburi mici

8+56=64 cuburi

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

256

Page 257: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 95 Prof. Corneliu Mănescu-Avram

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 107 5p

3. 4,2 5p

4. 4 5p

5. 1 5p

6. - 1,3 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenul corect 5p

2. 6 5p

3. ( ) 23 3

2

a+

5p

4. a) ( ) ( ) ( )0 2 0 0 0 0f f f E= ⇒ = ⇒ ∈ 5p

b) { } { }0 0x E x E∈ − ⇒ − ∈ −

Card E = 2 Card{ }0x E x∈ > + 1

2p

3p

5 5p

www.mate

info.r

o

257

Page 258: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

6 7 2

1 5 9

8 3 4

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 210 : 3 = 70 mm 5p

b) 0,343 dm3 = 0,343 l 5p

c) 7 ⋅ 7 cm – 49 cm

29,7 cm - 14 cm = 15,7 cm

2 ⋅ 15,7 cm = 31,4 cm

49 cm + 31,4 cm = 80,4 cm

1p

1p

1p

2p

2. a) 7 ⋅ 6 = 42 5p

b) 11 ⋅ 7 ⋅ 6 = 462

77 + 55 = 132

462 – 132 = 330

2p

1p

2p

c) 5,4 ⋅ 10,5 ⋅ 24 ⋅ 1800 : 104 = 2,44kg

2,44 ⋅ 462 = 1131,6 kg

3p

2p

www.mate

info.r

o

258

Page 259: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 96 Prof. Corneliu Mănescu-Avram

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 10 5p

2. 14 5p

3. 1 5p

4. 1 52+

5p

5. 2,4 5p

6. 2 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenul corect 5p

2. ( ) ( )13 10 5 2 5 13 10 2 13 5 4n k B n k k= + ∈ ⇒ + = + + = + se divide cu 13

n A⇒ ∈

5p

3. 18 şi 6 5p

4. a) 1 1 1, ,a b c

x y z= = = ,

22 2 2 xy yz xzA x y z

x y z + +

= + + + = + +

2 2 2x y z xy yz xzx y z

+ + + + +=

+ +

2p

3p

b) 1 abc

a b−

=+

( )( )( )( )( ) ( ) ( )2 22 2

2 2 21 1 1

1 1 1a b a b ab

a b ca b

+ + + + − + + + = =+

1p

2p

www.mate

info.r

o

259

Page 260: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )( )2 21 1a ba b

+ +=

+

2p

5 4 2

2

11

x x xx

+ − ++

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente

x, y, z, t lungimile segmentelor cuprinse între vârfuri şi punctele de tangenţă

, , ,AB a x y BC b y z CD c z t AD d x t= = + = = + = = + = = +

a c b d x y z t+ = + = + + +

2p

2p

1p

b) Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice formate de

laturi cu diagonalele

5p

c) ( ) ( )2 2a c b d− = −

( )a c b d− = ± −

,a b c d= = ⇒ BD este mediatoarea lui [AC]

,a d b c= = ⇒ AC este mediatoarea lui [BD]

2p

1p

1p

1p

2. a)

2

3l hV = =

= 2574467 m3

2p

3p

b) M V ρ= =

= 6693614 t

2p

3p

c) 2308142 5p

www.mate

info.r

o

260

Page 261: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 97 Prof. Corneliu Mănescu-Avram

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 10301 5p

2. 11 5p

3. 1,2% 5p

4. a b c d

a ⊥

b ⊥ ⊥

c ⊥

d ⊥ ⊥

5p

5. 4 5p

6. 2 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenul corect 5p

2. 11 182 11 183n⋅ < < ⋅

2003 2012n≤ ≤

2p

3p

3. sunt 10 băieţi

sunt 10 fete

numărul elevilor creşte cu 5%

1p

1p

3p

4. a) m=1, f1(a) = 2a ⇒ orice punct de pe grafic e de forma M(a, 2a)

m≠1, ( ) ( )( )2 1 1 0 1mf a a m a a− = − + = ⇒ = −

mulţimea căutată este o dreaptă, graficul funcţiei f1

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

261

Page 262: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( )1 2mf − = −

( )1, 2P − −

2p

3p

5 ( )252525 26 3 1 3 2 3N M M M= + = + + + =

33NN = ⋅

3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 15 ⋅ 20 ( )( )15 20 75x x− − − =

35 5 372

x −=

2, 29x ≈ m

2p

2p

1p

b) ( )( )15 20 15 20 75x x+ + − ⋅ =

35 5 612

x − +=

2,02x ≈ m

2p

2p

1p

c) 17,29 ⋅ 22,29 300− = 85,39

85,39 : 75 = 1,1385

13,85 %

2p

2p

1p

2. a) 33124 182=

182 : 2 = 91

2 2100 91 135,2+ ≈

135,2 182 2⋅ ⋅ =49212,8 m2

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

262

Page 263: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 33124 100

3V ⋅=

1104133V ≈ m3

5p

c) 2500000 : 1104133 ≈ 2,26 5p

www.mate

info.r

o

263

Page 264: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta98 Prof Maniţiu Blandina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 192

5p

2. 12

5p

3. 4 5p

4. 24 5p

5. 45 0 5p

6. 7,00 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. 3 4 8 3 4 8x sau x

3 4 8 3 4 8 3 12 4x x x x

43 4 8 3 4 8 3 43

x x x x

A={4}

2p

1p

1p

1p

3. Notăm x preţul iniţial

15 21 2100

x x

3 23 20 3 460 23 46020

xx x x x

460 : 23 20x x lei preţul iniţial

1p

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

264

Page 265: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) (0) 3 0 6 6f

(1) 3 1 6 3 6 3f

(2) 3 2 6 6 6 0f

(0) (1) (2) 6 3 0 9f f f

1p

1p

1p

2p

b) ( 1, ) fA m G ( 1)f m

3( 1) 6 m

3 6 9 9m m m

2p

2p

1p

5 2 2 2( 2 1) ( 2) 2 2 1 1 2 2 2 1 3 2 2

2 2 2( 2 1) ( 2) 2 2 1 1 2 2 2 1 3 2 2

2 2( 2 1) ( 2 1) 3 2 2 3 2 2 6

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Desenează şi notează paralelipipedul.

2( )tA L l L h l h .

2(3 1,5 3 0,75 1,5 0,75) 2(4,5 2,25 1,125)tA 2 7,875

215,75 .tA m

1p

1p

2p

1p

b) Aria unei plăci de faianţă 215 5 15 5 1125 .cm

Ariile feţelor laterale sunt:2 2 2

2 2 2

1,5 0,75 1,125 112503 0,75 2,25 22500

m m cmm m cm

11250:1125=10bucăţi şi22500:1125=20bucăţi

Avem nevoie de10 2 20 2 20 40 60 bucăţi faianţă.

1p

1p

1p

1p

1p

c) Volumul bazinului V L l h 1p

www.mate

info.r

o

265

Page 266: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

33 1,5 0,75 4,5 0,75 3,375V m

3,375m 3 =3375dm 3 şi 1dm 3 =1litru

3375:675=5 15

din volumul bazinului se umple cu apă

Înălţimea apei în bazin va fi: 1 75 1 3 1 30,75 0,155 100 5 4 5 20

m

1p

1p

2p

1p

2. a) 1 1 12 3 12 3 9

4 4AM AB m MB m

A 23 3 9AMND AM MN m aria suprafeţei cultivată cu salată.

A 29 3 27MBCN MB BC m aria suprafeţei cultivată cu ridichi.

2p

2p

1p

b) A 212 3 36ABCD AB AD m

Notăm p procentul cerut 27 10036 27 75100 36

p p

75%din suprafaţa grădinii este cultivată cu salată.

1p 3p 1p

c) 9 12 108 fire salată

27 15 405 fire ridichi405 : 5 81 legături ridichi

1081,5=162 lei se obţin din vînzarea salatei

81 2 162 lei se obţin din vînzarea ridichilor

162+162=324 lei se obţin din vînzare în total.

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

266

Page 267: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 99 Prof Maniţiu Blandina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 35 5p

2. 1 5p

3. a 19 5p

4. 5 2 cm. 5p

5. 90 5p

6. 20 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează cubul

Notează cubul

4p

1p

2. Notăm numărul cu x

Sfertul numărului 400 este 100

3 100 130 15.x

3 130 15 100 3 15 5.x x x

1p

1p

1p

2p

3. Notăm al doilea număr cu b

Media geometrică este 15b

15 75b

15 75 75 :15 5b b b

1p

1p

1p

2p

4. a) 2 25 6 2 3 6x x x x x

( 2) 3( 2)x x x

2p

2p

www.mate

info.r

o

267

Page 268: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

(x 2)( 3)x 1p

b)

2

2

5 6 ( 2)( 3)4 ( 2)( 2)

x x x xx x x

Simplificăm prin ( 2)x şi obţinem fracţia 3 .2

xx

3p

2p

5 3 2 2 0 3 2 2 3 2 2

1 2 0 1 2 2 1 .

3 2 2 2 1 2 3 2 2 2( 2 1)

3 2 2 2 2 2 3 2 1

1p

2p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Desenează paralelipipedul.

2 2 2d a b c

2 2 24 8 2d

16 64 4 84 2 21.d

2 21 .d cm

1p

1p

1p

1p

1p.

b) Volumul paralelipipedului V a b c

V=4 38 2 64cm jumătate din paralelipiped are volumul 32cm 3

Un cub cu muchia 2 cm are volumul 2 32 2 8cm

32:8=4 cubuleţe

1p

2p

1p

1p

c) Aria laterală=2(ac+bc) unde a si b sunt dimensiunile bazei iar c este înălţimea.

2p

www.mate

info.r

o

268

Page 269: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

A l 2(4 2 8 2) 2 24 48 cm 2 .

3p

2. a)A 22 3 5 45DISC R

A 45DISC m 2

4p

1p

b) Triunghiul OBC este dreptunghic

Notăm cu l latura pătratului şi aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiulOBC

2

2 2 2 2 454lOB BC OC l

5l 2180 2 36 6l l m

1p

1p

1p

2p

c)A 2 236ABCD l m

A 24545 .2DISC SEMIDISCA m

Raportul cerut este egal cu 36 7245 45

2

8 .5

Notăm cu p procentul care trebuie aflat

45 36 200 16036100 2 45

p p

50,95

50,95%din aria semidiscului este aria pătratului

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

269

Page 270: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 100 Prof Maniţiu Blandina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4 5p

2. 0,1,2,3,4,5,6 5p

3. 916

5p

4. 10 5p

5. 64 5p

6. 13 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. 86 2 258 banane

86 : 2 43 portocale consumate şi 43 portocale rămase

2 258 1723 banane consumate

258 172 86 banane rămase

43+86=129 fructe rămase în coş

1p

1p

1p

1p

1p

3. Notăm numărul copiilor cu x

400 2000 500 500x x

400 500 2000 500 100 2500 25x x x x copii.

Preţul: 25 400 2000 10000 2000 12000 lei

1p

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

270

Page 271: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) (0) 3 0 4 4 (0,4) ff A G

4 4 4( ) 3 ( ) 4 0 ( ,0)3 3 3 ff B G

2p

3p

b) Punctul de intersecţie al G f cu Ox este 4( ,0)

3B

4 43 3

OB

Punctul de intersecţie al G f cu Oy este A(0,4) 4OA

1 2

44 4 1 83 4 .2 2 2 3 2 3AOB

c c OA OBA

2p

1p

2p

5 2 2 2 2 25 5 2 5 5 5 10 25 5 9 20x x x x x x x x x x

2 24 5 5 4 4 5 5 4 20 9 20.x x x x x x x x x x x

Avem 25 5 4 5x x x x

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Dacă notăm cu O ŞI O’centrele bazelor cubului,atunci înălţimea ornamentului va fi , ' ' 'VO ABCD O VO VO VO O O

Diagonala bazei cubului este 60 2 ' ' 30 2O C cm

22 2 2 2' ' ' ' ' ' 45 30 2VO C dreptunghic VO VC O C = 2225 ' 15 .VO cm

VO=60+15=75cm.

2p

1p

1p

1p

b)Trebuie calculată aria laterală a întregului ornament

2 2 24 4 60 4 3600 14400 .lateralăcubA l cm

A laterală piramidă =2

bazei piramideiPerimetrul apotema

Apotema 2215 30 1125 15 5piramidei cm

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

271

Page 272: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

A lateral2240 15 5 1800 5

2piramidei cm

Aria hârtiei colorate este egală cu: (14400+1800 5 )cm 2 .

1p

1p

c)Calculăm volumul întregului ornament,şi avem:

2

3 '3

l VOl volumulcubului volumulpiramidei = 2 '

3VOl l

2

3 360 1560 3600 65 234000 .3

cm

1 dm 3 =1litru

234000cm 3 =234dm 3 =234litri de apă

2p

1p

1p

1p

2. a)Reprezintă segmentul MN ANMD trapez dreptunghic.

Ducem DEAB, E AB ) MN DE ,AE 120 80 : 2 40 : 2 20 şi din

triunghiul dreptunghic AED aflăm 2 2 2 625 400 225DE AD AE ,deci DE=15

20 30 30 1540 15 600

2 2ANMD

AN MD MNA

cm 2

1p

2p

2p

b)

2120 80 151500 .

2 2ABCD

AB CD DEA cm

Notăm cu p procentul care se cere,deci:

1500 600 40%100

p p

2p

1p

2p

c) 50 100 5000lei preţul plăcilor de forma ABCD.

40%din100este egal cu 40lei

2540=1000lei preţul plăcilor de forma ANMD

Preţul total al pavajului: 5000lei+1000lei=6000lei.

1p

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

272

Page 273: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 101 Prof :Maniţiu Blandina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 5p

2. 76 5p

3. 47

5p

4. 12 5p

5. 150 5p

6. 38,5 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. Fie x numărul bărbaţilor

Vom avea 4x numărul femeilor

4 60 5 60 12x x x x

12 bărbaţi şi 124=48 femei

1p

1p

2p

1p

3. 32 5 / 4 8 3 20 / 3 5 174

x x x

5,17x

4p

1p

4. a) ( ) ( )f x g x

4 2 2 6x x x

(6) 6 4 10f

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

273

Page 274: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

P (6,10) este punctual comun 1p

b)G f intersectează Ox în A( 4,0)

G g intersectează Ox în B(1,0)

Deci AB=1+4=5 şi înălţimea triunghiului ABP cu bază AB va fi 10.

A 10 5 10 25.2 2PAB

AB

1p

1p

1p

2p

5 22 6 9 3x x x

2 9 3 3x x x

22

2

36 9 39 3 3 3

xx x xx x x x

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

2 3 .4ABC

lA

A 2144 3 36 3 .4ABC cm

2p

3p

b)În 0 2 2 2, 90 .VOM m O VM VO OM

Dar OM= 1 1 3 2 33 3 2

lAM

2 22 10 2 3 100 12 112VM 4 7 .VM cm (apotema piramidei)

2bazei

lateralăPerimetrul apotemaA

236 4 7 72 7 .2lateralaA cm

1p

1p

1p

1p 1p

www.mate

info.r

o

274

Page 275: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

a) Raportul înălţimilor celor două piramide este 4 2

10 5

3

' ' ' 2 8 .5 125

VA B C

VABC

VV

2p

3p

2. a) A

2

AB CD AD

A 245 35 24 80 24 40 24 960

2 2cm

2p

3p

b) A 2960 : 2 480NBCM cm 2480ANMDA cm

Dacă DM=x,atunci 24 480 480 : 24 20 .x x cm

3p

2p

c)Fie n pătrate cu latura de lungime l

2 480,n l n să fie minim.

480=30 16 este descompunerea lui 480 astfel ca n(primul factor) să fie minim iar al doilea să fie pătrat prfect,deci putem înscrie 30 pătrate cu latura de 4cm

1p

2p

2p

www.m

ateinf

o.ro

275

Page 276: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 102 Prof Marcu Ştefan Florin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 6 5p

2. 0,07 5p

3. 80 5p

4. 1 5p

5. 60 5p

6. 12 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. 3x+6-1 ≤x+9

x≤2

A={ 0,1,2 }

Numărul de elemente =3

1p

2p

1p

1p

3. Notează lungimea drumului=x

12

x+ 25

x+2=x

x=20 km

1p

2p

2p

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului funcţiei

4p

1p

b) 3x-6=x-4 2p

www.mate

info.r

o

276

Page 277: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

x=1

y=-3

A(1,-3)

1p

1p

1p

5 2 2(2 5) 9 4 5x = − = −

2 9 4 5y = +

2 2x y+ =18∈N

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Notăm cu a,b,c lungimile muchiilor . Atunci :

2 2 25a b+ =

2 2 34b c+ =

2 2 41a c+ =

2 2 2 50a b c+ + =

Diagonala=5 2 m

1p

1p

1p

1p

1p

b) Folosim a) si avem :

2 50 25 25c = − = ⇒ c=5 m

2 50 34 16a = − = ⇒ a=4 m

2 50 41 9b = − = ⇒ b=3 m

2p

2p

1p

c) Aria=2 (ab+ac+bc )

Aria=94 2m

3p

2p

2. a) Se observă că : AD+BC=AB+CD=12 m 3p

www.mate

info.r

o

277

Page 278: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Perimetrul=24 m 2p

b) AB=CD=6 m

S= ( )2

AD BC MN+

MN=4 2 m

S=24 2 2m

1p

1p

2p

1p

c) sinvi iS =8π , unde r=2 2 m

ciresiS =24 2 -8π

Verifică : 24 2 -8π <8π

2p

1p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 103 Prof Marcu Ştefan Florin .

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 220 5p

3. 75 5p

4. 4 5p

5. 90 5p

6. 6 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

278

Page 279: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. -3<2x-1<3

A=(-1,2)

A ( )Z N∩ − = ∅

2p

2p

1p

3. Notăm cu x=preţ caiet , şi cu y= preţ pix .

3x+2y=5 lei

2x+3y=5 lei

x=y=1 leu

x+y=2 lei

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) A ( 2

3 , 0 )

B ( 0 ,2 )

3p

2p

b) f(m)=5

m=-1

3p

2p

5 2 1 3 2 22 1+

= +−

2 1 3 2 22 1−

= −+

2 1 2 12 1 2 1

N+ −+ ∈

− +

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Vom nota cu M=mijlocul laturii BC , cu O=centrul bazei .Ducem ON⊥VM .

Aplic teorema lui Pitagora , în triunghiul VOA

2p

www.mate

info.r

o

279

Page 280: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

VA= 208

3p

b)

3bazeiAria hV ∗

=

bazeiAria =108 3 2m

V=288 3 3m

2p

2p

1p

c) Arăt că ON⊥ (VBC)

VO=8 m , OM=6 m

VM=10 m

ON=4,8 m

1p

1p

1p

2p

2. a) 70gardL π=

Arăt că 70gardL π= <221 m

3p

2p

b) parcS =1200+625π 2m

1200Sπ− =625 = 225

3p

2p

c) Se observă că întregul parc , poate fi înconjurat cu un gard , în formă de pătrat , de latură 70 m .

Arăt că : 70 2 <105

3p

2p

www.mate

info.r

o

280

Page 281: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 104 Prof . Marcu Ştefan Florin .

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 10 5p

2. 9 5p

3. 160 5p

4. 5 5p

5. 30 5p

6. 13 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează cubul

Notează cubul

4p

1p

2. -5<x+1<5

-6<x<4

A are 9 elemente .

2p

1p

2p

3. Fie x=nr . cămile , y= nr . dromaderi . Atunci :

x+y=30

2x+y=50

x=20

y=10

1p

1p

1p

2p

4. a) Rezolvă ecuaţia f(x)=0 , deci x=2 .

Observă că 2 face parte din numerele -2011 , ...,2011

2p

2p

www.mate

info.r

o

281

Page 282: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Produsul este egal cu 0 . 1p

a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului funcţiei

4p

1p

5 gM ab=

ab=1

gM ab= =1

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Ducem AM⊥BC , VO⊥ (ABC) , unde O este centrul bazei .

OM= 3 m

VM=2 3 m

1p

2p

2p

b) lateralaA =18 3 2m

V=9 3 3m

3p

2p

c) În VOM , OM= 3 m şi VM=2 3 m ,deci m(MVO)= 030

Atunci , m(VMO)= 060

3p

2p

2. a) gardL =3 ∗AB+ semicercL

semicercL =50π

gardL =300+50π

2p

2p

1p

b) livadaS = patratS + semidiscS

patratS =1 ha

semidiscS =1250π

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

282

Page 283: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Arăt că 1250π <4000

c) meriS = ADMS + sfertcercS

ADMS =2500 2m

sfertcercS =625π 2m

periS =7500+1250π 2m

1p

1p

1p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 105 Prof : Marcu Ştefan Florin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. b 5p

2. 490 5p

3. 2,5 5p

4. 40 5p

5. 90 5p

6. 720 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. -4<2x-1<4

A={-1,0,1,2}

A ∩ N are 3 elemente .

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

283

Page 284: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. Notăm cu l=latura pătratului . Atunci , suprafaţa iniţială este 2l .

l+50% l= 32

l

Suprafaţa finală = 94

2l

Suprafaţa finală- suprafaţa iniţială= 54

2l

54

=125%

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) f(1)=3

f(1)=a-2

a=5

3p

1p

1p

b) ) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Trasarea graficului funcţiei

4p

1p

5 Recunoasterea formulei 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +

Aplicarea formulei pentru : a= 3 2 2− şi b= 3 2 2+

2p

3p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Notăm cu : l= muchia tetraedrului , cu R=raza cercului circumscris unei feţe a tetraedrului , şi cu h= înălţimea tetraedrului .

R= 33

l

R=10 m

h=10 2 m

1p

1p

3p

3

bA hV •=

2p

www.mate

info.r

o

284

Page 285: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

223 75 3

4blA m= =

V=250 36m

2p

1p

c) Fie O un punct situat în interiorul tetraedrului . Notăm cu 1 2 3 4, , ,h h h h ,

distanţele de la O la feţele tetraedrului . Atunci : ABCD OABC OACD OABD OBCDV V V V V= + + +

1 2 3 4h h h h+ + + =h=10 2 m

2p

3p

2. a) S= 2 210000l m=

l=100 m

3p

2p

b) 2 2500meriS Rπ π= =

10000 2500pruniS π= −

Verifică inegalitatea

2p

1p

2p

c) OA=OB=R 2 =50 2 m

AB=100 m

100 2 100gardL m= +

3p

1p

1p

www.mate

info.r

o

285

Page 286: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 106 Prof. Militaru Corina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 34 5p

2. 0 5p

3. 5 5p

4. 8 33

5p

5. 2 29 5p

6. 8 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Realizarea desenului

Notaţia tetraedrului

4p

1p

2. 27a b+ = , 25

100b a a= +

1 27 9 1084

a a a a+ + = ⇒ =

12a = şi 15b =

2p

2p

1p

3. 62a b c+ + = , 6 9 15a b c k= = =

626 9 15k k k+ + = , 31 62 180

90k k= ⇒ =

30,a = 20,b = 12c = .

2p

2p

4. a) ( )10 5 5 2 1x x− = − 2p

www.mate

info.r

o

286

Page 287: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )( )24 1 2 1 2 1x x x− = − +

( ) 52 1

E xx

=+

2p

1p

b) 5 2 1| 5

2 1x

x∈ ⇒ +

+ ⇒ { }2 1 1, 5x + ∈ ± ±

{ }3, 1,0, 2x∈ − −

3p

2p

5 ( )3 3f − = − , ( )2 4g m= +

4 3 7m m+ = − ⇒ = −

3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Notăm cu x şi y - lungimile celor două alei

71

x yx y+ =

⇒ = +.

4x = m şi 3y = m

3p

2p

b) Notăm rombul ABCD şi AC∩BD = { }O .

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AOB ⇒ 2 2 2AB AO BO= +

2,5AB = m

3p

2p

c) Pe fiecare latură se plantează câte 5 arbuşti ⇒ sunt necesari 20 arbuşti

20 12,5 250⋅ = lei costă amenajarea grădinii

3p

2p

2. a) 3 364 1 64cub mareV cm= ⋅ =

Notăm L = latura cubului mare

3 64 4L L cm= ⇒ = .

3p

2p

b) Nr. cuburilor cu trei feţe vopsite = nr. vârfurilor cubului = 8

Nr. cuburilor cu două feţe vopsite = 2 ⋅ nr. muchiilor = 24

2p

2p

www.mate

info.r

o

287

Page 288: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Nr. cuburilor cu o singură faţă vopsită = 4 ⋅ nr. feţelor = 24. 1p

c) 263prismei bV A h cm= ⋅ =

64prismeiV < ⇒ cuburile nu încap în cutia în formă de prismă

3p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 107 Prof. Militaru Corina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 45

5p

3. 72 5p

4. 144° 5p

5. 24 3 5p

6. 12

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Realizarea desenului

Notaţia prismei

4p

1p

2. Notăm cu x – preţul iniţial al obiectului

10 63100

x x− =

2p

2p

www.mate

info.r

o

288

Page 289: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

9x=630

70x = lei

1p

3. 1 1 3 1 1 32 23 1 1 3+ −

− = −−− +

3 1 1 3 12

+ + −=

3p

2p

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Reprezentarea corectă a celor două puncte

Trasarea graficului

2p

2p

1p

b) ( ) ( ), 1 1fM a a G f a a− ∈ ⇒ = −

( ) 5f a a= −

5 1a a− = −

3a =

2p

1p

1p

1p

5 ( )2 22 1 4 4 1x x x+ = + +

( )( ) 23 1 2 1 6 1x x x x− + = + −

( )2 22 4 1x x x− = − +

2 2 2 24 4 1 6 1 4 1 6x x x x x x x x+ + − − + + − + = − − +

( )( ) 22 3 6x x x x− + = − − +

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1.

a) [ ] [ ][ ] [ ]

( ) ( )

AC BCAE BD

CAE CBD

≡ ≡ ≡

3p

www.mate

info.r

o

289

Page 290: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

CAE CBD⇒∆ ≡ ∆ ⇒ [ ] [ ]CE CD≡ 2p

b) Fie M – mijlocul segmentului[ ]AB şi N – mijlocul segmentului [ ]ED

( ),d C DE CM MN= +

75 32

CM =

( ) 75 3, 752

d C DE km

= +

3p

1p

1p

c) Distanţa parcursă de automobil = AE + ED + BD = 225 km

225 950 2

t = = = 4h şi 30min

Ajunge la destinaţie la ora 15 şi 25 min

2p

2p

2. a) Notăm VABCD – piramida regulată şi VO – înălţimea sa

AC = 4 2 2 2AO⇒ = dm .

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul VOA ⇒

VO = 2 2 dm.

2p

3p

b) Lungimea apotemei = 2 3 dm .

16 3lA = dm2

( ) 216 3 1tA dm= +

2p

2p

c) 32 2

3V = dm3

32 1,5 163

V ⋅< = dm3

2p

2p

www.mate

info.r

o

290

Page 291: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Sunt suficienţi 18 dm3 . 1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 108 Prof. Militaru Corina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4 3− 5p

2. [ )2,1− 5p

3. 5 5p

4. 80° 5p

5. 9 3 5p

6. 7,00 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Realizarea desenului

Notaţia cubului

4p

1p

2. Fie x – suma iniţială

I zi – 13

x ; A II-a zi – 1 2 120 204 3 6

x x⋅ + = +

13

x + 1 20 1276

x x+ + =

x = 294 lei

2p

3p

3. Fie n – numărul de elevi 2p

www.mate

info.r

o

291

Page 292: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

n = 15a + 3 ; n = 20b + 3 ; n = 24c + 3

Deci , n – 3 este multiplu comun al numerelor 15, 20, 24

[ ]15,20,24 120= ⇒n = 123

3p

4. a) ( )22 2 1 1x x x− + = −

( )( )2 5 4 1 4x x x x− + = − −

( ) 14

xE xx−

=−

2p

2p

1p

b) ( ) 5 15 4

5 4E −

= =−

( ) 3 13 23 4

E −= = −

( ) ( )5 3 6E E− =

2p

2p

1p

5 Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

Reprezentarea corectă a celor două puncte

Trasarea graficului

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

2000

8 10

l Ll L k

⋅ =

= =

2 25k = , 0k > 5k⇒ =

L = 50 m , l = 40m

5p

b) Aria locului de joacă = 900 2m

Aria rondului de flori = 4π 2m

Aria suprafeţei plantată cu gazon = 2000 – 900 – 4π = ( ) 21100 4 mπ−

5p

www.mate

info.r

o

292

Page 293: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) Lungimea cercului = 1,6 π

1,6 π 1,6 3,15 5,04< ⋅ =

5,04 < 5,2 , deci sunt suficienţi 5,2 m bordură

2p

2p

2. a) 272lA m=

80 – 72 = 8 2m mai rămân

4p

1p

b) lungimea barei = diagonala paralelipipedului

d = 2 46 m .

2p

3p

c) 60 20 20lA L l L l= ⇒ + = ⇒ = −

( ) ( )2220 2 (20 ) 2 200 2 10V l l l l l= ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − −

Volumul ia valoarea maximă dacă ( )210 0 10l l L m− = ⇒ = =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

293

Page 294: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 109 Prof. Mirita Petruta

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 16 5p

2. 80 5p

3. 110 000 5p

4. -2 5p

5. 9 3 cm2 5p

6. 152

cm 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 9 elemente 5p

2. x – nr. de băieţi y – nr. de fete

21 7y x

y x=

− = − cu soluţia x = 6 şi y = 12 , deci Elena are 5 colege .

5p

3. 4 327

5p

4. a) f(1)+f(-3) = 3 ⇒ rezultatul este 1. 5p

b)f(0)= 1

2,deci A(0, 1

2) este punctul de intersecţie cu axa Oy.

5p

5 . Latura 'AD C∆ - echilateral este egală cu diagonala unui pătrat , deci 12 2 . '

272 3AD C

A cm∆

= .. 5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

294

Page 295: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. a)Arătăm că : E1=

( )21 1

11X

XX+

=++

,iar E1( 2 1− )= 12

; 5p

b) E2(x)= 3

1x +,

2E1(x)+ ( )2

1E x

=0 2

2

2 2 50 01 1 1

x x xx x x

+ +⇒ + = ⇒ =

+ − − { }/ 2x∈ ±

Soluţiile sunt: x1=0 şi x2=-5

5p

c) { } { }3 1/ 3 1 1, 3 4; 2;0;2

1x x x

x∈ ⇒ + ⇒ + ∈ ± ± ⇒ ∈ − −

+

5p

2. a) D 10 C 10 M A B 10 F 10 E

5p

b)d(F,CD) =FD ,în ( ) 0, 90 , 10 2DAF m A DF= = cm.

D(E,AC)=EM înălţime în triunghiul echilateral ACE , 10 2AC = .

EM=5 6 cm

5p

c) ( ),m FE DB =450 5p

www.mate

info.r

o

295

Page 296: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 110 Prof. Mirita Petruta

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. x+y=6 şi x-y = 20

3.Deci 2 2 40x y− = .

5p

2. 2 22 6 2 6+ = + este falsă 5p

3. (1+ 2 )2+(1- 2 )2 =1+2 2 +2+1-2 2 +2= 6 5p

4. AB= 2 ,AC= 6 ,Aria ( ) = 3 cm2 5p

5. V

E ( ) 080m ACB =

A F C ( ) 0, 40m EF AC = .Deci

B

( ),m EF BC = ( ) 060m ABC = .

5p

6. 33,3 oC 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. E(x)=

2

2

1216

x xx− −−

= ( )( )( )( )

4 3 34 4 4

x x xx x x− + +

=− + +

5p

2. f: → , f(x)=3x+2

Gf 2 ,0

3Ox A − ∩ =

;Gf ( )0, 2Oy A∩ =

y=f(x)

5p www.mate

info.r

o

296

Page 297: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. 1 0xx

+ ≥ Avem x+ 1 14x= .Calculăm 1x

x

+

2 =x + 2+ 1x

=16.

Deci 1xx

+

=4

5p

4. a)MB = 10 cm şi MC =2 34 cm 5p

b)CB AD ,AD MA⊥ CB MA⇒ ⊥ ;

CB AB⊥ , ( ),AB MA MAB⊂ ( )CB MAB⇒ ⊥ M

B A

C D

5p

5 A(1;5) fG∈ ( )1 5f⇔ = ⇔ m+1+m—3=5.Deci m= 7

2.

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)x-numărul de zile 2 (82 - 4x) = 100 - 6x ; x= 32 zile 5p

b) 2 2

1 1a b

+ = 2 2

22 2

3 2 2 3 2 2 6( 9 8)

a ba b+ + + −

= =−

5p

c) 32 3 2a b ab= ⇒ = . Deci

3 2a ba b++

=

352

3 123 22

aa

aa

+=

+

5p

2. a) 24tA = cm2 5p

www.mate

info.r

o

297

Page 298: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

P

b) 2 2AD′ = , 5AM = , 2 5AP = , 4 16 2 5PD′ = + =

4 5 2 2APDP ′ = + cm

5p

c) DE AM⊥ si D E AM′ ⊥ .Unghiul celor doua plane este DED′

tg 2DDDE DE

α′

= = ; 8 4 552 5

AD DPDEAP⋅

= = = .Deci tg 52

α = .

5p

c) , 2OP AB OP cm⊥ = , 2 3 2

2CP = = cm,iar CO= 5 cm

5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 111 Prof. Mirita Petruta

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. [x] = 1 5p

2. A∩Z = { }1,0,1,2,3− 5p

3. 11

xx−+

5p

4. 3 cm 5p

www.mate

info.r

o

298

Page 299: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5. 600 5p

6. 80 % 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 2 26 6 2 6 1x y xy x y− + − − + − 5p

2. Mama:27 ani; fiul : 7 ani ; fiica : 2 ani 5p

3.

cm15h =

5p

4. a) 60 % 5p

b) a=250 ; b=200 ; c=150 ; d=90 5p

5 403

AM MPAMP ADC MPAC CD

⇒ = ⇒⇒ = 5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( )( )

( )( )( )2224 3 8 3 2 3 2

( )3 2 3 2 25 6

x x x xE x

x x x+ − − +

= =+ − −

3 23 2

xx+

5p

b) ( )0 1E = − ( ]3 2 1 0 1 , 1x x x⇒ + + ≤ ⇒ ≤ − ⇒ ∈ −∞ − 5p

c) x=31 5p

www.mate

info.r

o

299

Page 300: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) Ab = .Deci Ab = Ab = Ab = 9 m2

V

B

A C

5p

b) VO = h = 12 m

M – mijlocul [BC] ⇨ VM = ap

AM = hb = ⇨ AM = ⇨ AM = 3 m

OM = · AM OM = ·3 OM = m

În VOM (m( VOM) = 90°) VM 2 = VO 2 + OM 2 ⇨ VM 2 = 122 + 2 ⇨ VM 2 = 144 + 3 ⇨ VM = ⇨ VM = 7 m

5p

c) În VOC (m( VOC) = 90°):

tg( ) = tg( ) = tg (∢VCO) =

Fie N –mijlocul [AB] ⇨ CN = înălţimea bazei ⇨ CN = AM = 3 m OC = · AM OC = ·3 OC = 2 m

Deci tg( ) = = = = 2

5p

www.mate

info.r

o

300

Page 301: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 112 Prof Mişca Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 10 5p

2. 3, (4) 5p

3. 10 5p

4. 8 5p

5. 8 2 5p

6. 20 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect paralelipipedul 4 puncte, notează 1 punct. 5p

2. 40% din420=

10040 420⋅ =168; 168 elevi participă la olimpiade şi concursuri.

5p

3. Eliminarea numitorilor: 10(x+3)+33=4(3x+2)-6(3-x) 2p; Eliminarea

parantezelor: 10x+30+33=12x+8-18+6x 2p; Finalizare x=873 1p.

5p

4. a) Alegerea corectă a punctelor de pe grafic (exemplu A(1;1) şi B(0;-1)) 2p; Reprezentarea corectă a puctelor în sistemul de axe ortogonale 2p Finalizare 1p

5p

b) n=2۰1-1+2۰2-1+2۰3-1+...+2۰2007-1=2(1+2+3+...+2007)-2007 2p n = 2007۰2008- 2007=2007P

2P 3p

5p

5 E(x)=

xxx

xxxxxxx 42:

)2(244 2222 +−

−+−+−+ ;

E(x)=42)2(

422

2

+−⋅

−+−

xxx

xxxx ; E(x)=

21−x

5p

(30 de

www.mate

info.r

o

301

Page 302: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL III puncte)

1. a) În ∆ BAD BD2=AB2+AD2; BD=6 2 În ∆MAB, MB2= AB2+AM2,

MB=6 2 = MD deci ∆MBD echilareral

5p

b) Fie AC ∩ BD = {O}, AO⊥DB (diagonalele pătratului sunt perpendiculare) 1p MA⊥ (ABC), AO⊥ BD; AO, BD ⊂ (ABC) rezultă MO⊥BD 2p. Calculează MO=3 6 deci d(M, BD) = 3 6 cm 3p

5p

c) Unghiul dintre MC şi (ABC) este egal cu unghiul dintre MC şi AC;

sin (∠ MCA)=MCMA =

366 =

33

5p

2. a)Fie DE⊥ BC, E∈BC; ∆DEC dreptunghic în E şi m(∠CDE)=300 ⇒

(teor. unghiului de 300) EC=2

DC ; DE2=DC2-EC2; DE=4 3 cm rezultă

PABCD=4(9+ 3 )cm

5p

b)AABCD=

234)1612( + ; AABCD=56 3 m P

2P; A=56۰1,7 m P

2P=95,2 m P

2 5p

c) Preţul parchetului este de 95,2۰30 lei=2856 lei<2900 lei. Deci sunt suficienţi 2900 lei

5p

www.mate

info.r

o

302

Page 303: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 113 Prof Mişca Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 3 5p

2. 5 2 5p

3. 60 5p

4. 10 3 5p

5. 40 5p

6. 113 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect prisma 4 puncte, notează 1 punct. 5p

2. x2=54+36 2 y2=54-36 2 Finalizare

2p

2p

1p

3. n=a(a2-1)

n=a(a-1)(a+1)

n este produs de trei numere consecutive, deci divizibil cu 3

1p

2p

2p

4. a) Fie x lungimea autostrăzii; În anul I s-a construit

41 x -1p;În anul al doilea

an s-a construit 10060 ۰

43 x=

209 x 1p;scrierea ecuaţiei :

41 x +

209 x +72=x 1p;

rezolvarea ecuaţiei şi scrierea soluţiei; lungimea autostrăzii este 240 km 2p

5p

b) 240 – 72 = 168; Pentru 168 km firma primeşte 168۰3000 : 240 = 2100 milioane euro

5p

www.mate

info.r

o

303

Page 304: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 Alegerea corectă a punctelor de pe grafic (exemplu A(2;0) şi B(1;-2)) 2p; Repreprezentarea corectă a punctelor în sistemul de axe ortogonale 2p Finalizare 1p

5p

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

1. a) At = l2 3 2p; At = 3 dm2 5p

b) V = l3

122

V = 1,41 : 12 dm3 = 0,1175 dm3=117,5 ml 5p

c) Cantitatea de lapte necesară pentru o zi este 117,5ml۰650=76375ml=76,375l; 3۰76,375=229,125 deci 229,125 lei costă cantitatea de lapte pentru o zi.

5p

2. a) Aria RterenR =50 ۰100 mP

2 P= 5000 m P

2 5p

b) AriaRpistei R= ( 100 + 12) ۰ ( 50 + 12 ) - 5000; AriaRpistei R= 6944 - 5000

AriaRpisteiR = 1944 mP

2

5p

c) Sunt necesare 5000۰30g = 150000g de seminţe = 150 kg seminţe. 5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 114 Prof. Mişca Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 5p

2. 0, 1, 2, 3 5p

3. 22 5p

4. 25π 5p

5. 13 5p

www.mate

info.r

o

304

Page 305: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

6. 41 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect piramida patrulateră 4 puncte, notează 1 punct. 5p

2. 340-

10015 ۰340 = 289; noul preţ al bicicletei este de 289 lei

5p

3. n = 9xP

2 P+ 12x + 4 + 9x P

2 P– 4 - 18xP

2 P- 12x; n=0 ∈Z 5p

4. a) M(a;-1) ∈GRf ⇔ R f(a) = -1 R ⇔R

aP

2 P+ 2a = -1R ⇔

R

aP

2 P+ 2a + 1 = 0 R ⇔ R

(a + 1)P

2 P= 0 ⇒ a = -1

5p

b) a = -1 ⇒ f(x)= -x - 2 1p alegerea corectă a punctelor de pe grafic 2p reprezentarea corectă a punctelor şi trasarea graficului 2p

5p

5 Fie n numărul merelor din coş. n = 6cR1 R+ 2; n = 8cR2 R+ 2; n-2 = 6cR1 R= 8cR2R; n – 2 = [6,8], n=26, deci cel mai mic număr de mere din coş este 26.

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) DD' ⊥ (ABC); DB⊥AC; AC ∩ DB = {O}; DO, AC⊂ (ABC)⇒ (teorema celor trei perpendiculare) D'O⊥AC ⇒ d(D', AC)=D'O 3p

DO = 2

DB = 2

28 = 4 2 ⇒D'O=4 6 m 2p

5p

b) BB'⊥ (A'B'C')⇒ BB'⊥B'D'; B'D'=8 2 ; BB'=8 ; A RBB'D'R=32 2 m P

2P. 5p

c) ARl R= 4ARABB'A' R= 4۰64 = 256; ARl R= 256m P

2P; 256 : 40=6,4 deci sunt necesare

7 cutii cu vopsea 5p

2. a) l = 50 cm ⇒ raza = 25 cm 5p

b) ARpătrat R- ARdisc R= 2500 - 625π = 2500 - 1962,5 = 537,5. Pierderea este de 537,5 cm P

2 5p

c) LRcerc mare R+ LRcerc micR=2 π25⋅ +2 π10⋅ =50π +20π = 70π = 219,8 ;

219,8 cm = 2,198 m

5p

www.mate

info.r

o

305

Page 306: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 115 Prof Mişca Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 3 5p

2. 2 5p

3. 995 5p

4. 15 5p

5. 240 5p

6. 39 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect 4 puncte, notează corect 1 punct. 5p

2. 7

365

=++ x

⇒11 + x = 21⇒ x = 10. Trebuie să obţină nota 10. 5p

3. Punctul de pe graficul funcţiei care are coordonate egale are forma M(a,a)

(1p) M∈ Gf ⇔ f(a) = a⇔ 4a-1= a ⇔ a =31 (3p). Deci punctul de pe

graficul funcţiei de coordonate egale are forma M (31 ;

31 )

5p

4. a) Notăm cu x numărul persoanelor şi cu y preţul obiectului.(1p) Obţinem 25x = y-50 şi 35x = y + 40 (4p)).

5p

b) Rezolvarea sistemului şi scrierea soluţiei : x = 9 şi y = 275, deci sunt 9 persoane iar obiectul costă 275 lei.

5p

5 ⇒=== kcba

532a = 2k, b = 3k, c = 5k (2p) 2∙2k + 5∙3k + 7∙5k = 108 ⇔

54k = 108⇒ k=2 (2p) deci a=4, b=6, c=10. (1p)

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

306

Page 307: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. a) At = 3∙AB∙ AAʹ+ 2∙

432AB ; At = 3∙6∙8 + 2∙

4362

; At = 18 ( 8 + 3 ) cm2 5p

b) AAʹ⊥ ABC), fie AM ⊥ BC, M∈BC; AM, BC⊂ (ABC)⇒ (T3⊥ ) AʹM ⊥BC ⇒d(Aʹ,BC) = AʹM. Aplicând teoreme lui Pitagora în triunghiul AʹAM avem: AʹM2 = AʹA2 + AM2; AʹM2 = 82 + (3 3 )2, AʹM = 91 cm

5p

c) AM⊥BC, AʹM⊥BC⇒ ∠ ((ABC), ( Aʹ BC))= ∠ (AM, AʹM);

tg∠ AʹMA=AM

AA ′=

338 ; tg∠ AʹMA=

938

5p

2. a) Pteren = AB + BE + CE + DC + AD = 120 ∙ 5 = 600. Sunt necesari 600 m de gard pentru împrejmuirea terenului

5p

b) Ateren= AABCD + ABCE = l2 +

432l ; Ateren = (14400 + 3600 3 ) m2 ;

Ateren = 20520 m2 ; 20520∙0,50 = 10260, deci amenajarea cu gazon a costat 10260 lei

5p

c) Fie M un punct în interiorul pătratului ABCD. d(M;AB) + d(M;BC) + d(M;CD) + d(M;AD) = AB + BC = 240 = constant

5p

www.mate

info.r

o

307

Page 308: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 116 Prof Molea F Gheorghe

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 143 5p

2. 1800 5p

3. 0,91 5p

4. 053 5p

5. 100 3 5p

6. 1 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect paralelipipedul dreptunghic 2p

Desenează corect secţiunea diagonală 2p

Notează corect 1p

5p

2. Determină primul număr (15) 2p

Determină următoarele două numere (16 şi 17) 2p

Calculează media aritmetică (16) 1p

5p

3. 9a-6b=5a+2b 2p

a=2b 1p

12

ba= 1p

Finalizare 0,5ba= 1p

5p

4. a)Determinarea coordonatelor a două puncte care aparţin graficului funcţiei4p 5p

www.mate

info.r

o

308

Page 309: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Reprezentarea graficului funcţiei f 1p

b) Fie K fG∈ ( ) ( )gG f a g a∩ ⇒ = ⇒ 2a-1=3a+1 2p

Determină a =-2 2p

Obţine K(-2;-5) 1p

5p

5 9 - 4 5 | 2 - 5 |= 5 - 2= 2p

5 - 2 - 5 3a = + 1p

1 1a = = 1p

Na∈ 1p

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 0 2sin 45

2= 1p

sinA2BAD

AB AD BAD⋅ ⋅= 2p

3 24BAD

xA = 2p

5p

b)Calculează BC=5dam 1p

Aplică corect teorema bisectoarei AB BDAC DC

= 2p

Substituie valorile şi determină 157

BD = dam 2p

5p

c)

0sin 45 22CAD

AC ADA x⋅ ⋅= = 1p

262ABC

AB ACA dam⋅= = 1p

BAD CAD ABCA A A+ = 2p

5p

www.mate

info.r

o

309

Page 310: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Finalizare 12 27

x = 1p

2. a)Calculează AB=8cm 1p

Deduce că A BDC′ ′ este un tetraedru regulat de muchie 8 2cm 1p

32563ABDAV cm′ = 1p

232 3BDAA cm′ = 1p

( )( ) ( )( )32 3 8 3, , , 13 3ABDAV d A BDA de unde d A BDA cm p′ ′ ′= ⋅ =

5p

b) 12 4piesei ABA BDAA A A′ ′= ⋅ + ⋅ 2p

232ABAA cm′ = 1p

2384 128 3pieseiA cm= + 2p

5p

c)Fie O centrul bazei ABCD, 4 6A O C O cm′ ′= = 1p

Demonstrează că ( ) ( )( ) ( ); ;BDA BDC A O C O A OC′ ′ ′ ′ ′ ′= = 1p

232 2OA CA cm′ ′ = 1p

sin2OA C

OA OC A OCA ′ ′

′ ′ ′ ′⋅ ⋅= 1p

Finalizare 2 2sin3

A OC′ ′ = 1p

5p

www.mate

info.r

o

310

Page 311: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 117 Prof.Molea F.Gheorghe

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -1,0,1 5p

2. 16 5p

3. 512

5p

4. 038 5p

5. 16 5p

6. 125 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect un triunghi dreptunghic 2p

Construieşte înălţimea din vârful unghiului A 2p

Specifică proiecţia vârfului unghiului drept pe ipotenuză. 1p

5p

2. Condiţiile 1; 2x x≠ ≠ 1p

2 24 4 2 1x x x x− + − = − + − 2p

32

x = 1p

Finalizare 32

S =

1p

5p

3. 22 9 3 3 33

4 4 2 4A a a a = + + + = + +

3p

( )23 0,

2a pentru a R + ≥ ∀ ∈

1p

5p

www.mate

info.r

o

311

Page 312: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Finalizare ( )0,A a R> ∀ ∈ 1p

4. a) ( ) 2 4 4E x x x x= − + − 2p

( ) ( )4 4x x x= − + − 1p

( )( )4 1x x= − + 2p

5p

b) ( ) ( )2 4 4 2E x x x a b a= + − + + − 2p

4 3 1a a− = − ⇒ = 1p

4 2 4 6b a b+ − = − ⇒ = − 2p

5p

5 ( )( )2 29 14 9 18 4B b b b b= + + + + + 2p

Notează ( )2 9 14 , 4 4b b c unde c B c c+ + = ∈ ⇒ = + + 1p

( ) ( )22 22 9 16B c b b= + = + + 1p

B este pătratul unui număr întreg deoarece ( )2 9 16 ,b b b+ + ∈ ∀ ∈ 1p

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( ), 6

2CDd O CD = = m 2p

( ), 122

ABd O AB m= = 2p

( ) ( ) ( ), , , 18d AB CD d O AB d O CD m= + = 1p

5p

b) Construieşte ( ),DD AB D AB′ ′⊥ ∈ şi calculează 6AD m′ = 2p

Calculează 6 10AD m= 1p

36 12 10ABCDP AB BC CD DA m= + + + = + 2p

5p

c) 2144AOBA m= 1p 5p

www.mate

info.r

o

312

Page 313: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

236CODA m= 1p

2324ABCDA m= 1p

( ) 2144AOD BOC ABCD AOB CODA A A A A m+ = − + = 1p

Finalizare AOB AOD BOCA A A= + 1p

2. a) Notăm cu L,l lungimile muchiilor bazelor,iar cu D,d lungimile

diagonalelor bazelor. 2, 2, , 03 2D dD L d l k k= = = = > 1p

3 2 2 2,2 2

k kL l= = 1p

0cos 60 42 t

L l L l cma−

= ⇒ − = 1p

2 4 22

kL l k− = ⇒ = 1p

Calculează înălţimea trunchiului ( )2 3cm 1p

5p

b)Triunghiul VMM’ este echilateral (isoscel cu un unghi de măsură 060 ) , unde M şi M’ sunt mijloacele laturilorBC, respectiv AD. 2p

VM=MM’ , VM=12cm 1p

22882piramida

B pl

P aA cm

⋅= = 2p

5p

c) ( )( ) ( ), ,d M VAD d M VM ′= 2p

( )( ) 3, 6 32

Ld M VAD cm= = 2p

( ) ( )( ) ( )( ), , 6 3BCII VAD d M VAD d B VAD cm⇒ = = 1p

5p

www.mate

info.r

o

313

Page 314: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 118 Prof. Molea F. Gheorghe

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1130

5p

2. S={-1,0} 5p

3. 5 5p

4. K(3;3) 5p

5. 5 2 5p

6. 27000 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează corect trapezul 2p

Desenează corect linia mijlocie 2p

Notează corect 1p

5p

2. n=număr natural par 2 4 6 51

3 5 5 3a⇒ = − − − = − 2p

n=număr natural impar 2 4 6 1113 5 5 3

a⇒ = + + + = 2p

Finalizare 5 11;3 3

a ∈ −

1p

5p

3. ( )21 3 |1 3 | 3 1− = − = − 1p

13 4 3 |1 2 3 | 2 3 1− = − = − 2p

27 | 3 1 2 3 1|b = ⋅ − − + 1p

5p

www.mate

info.r

o

314

Page 315: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )281 3b = = ± 1p

4. a) b=0 1 1

1b⇒ =

+ 1p

1 41 5a= −

+ 2p

4a+4=-5 1p

Finalizare 94

a = − 1p

5p

b) 1 1 11

1 1 1a a

a a a+ −

= = −+ + +

1p

111 1

bb b

= −+ +

1p

1 1 921 1 1 1 5

a ba b a b

+ = − + = + + + + 3p

5p

5 22 3 7 73 4

2 4 4x x x − + = − + ≥

2p

22 1 3 31

2 4 4y y y + + = + + ≥

2p

Expresia are valoare minimă dacă 3 02

x − = şi 1 3 10 ;2 2 2

y x y+ = ⇒ = = − 1p

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ABCDP AB BC CD DA= + + + 2p

230 120 100 50ABCDP = + + + 2p

Finalizare 500ABCDP m= 1p

5p

b) Demonstreză că patrulaterul AMCD este paralelogram 2p

Determină MB=130m 1p

5p

www.mate

info.r

o

315

Page 316: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Foloseşte reciproca teoremei lui Pitagora în triunghiul BCM 1p

Deduce ( ) 090m BCM = 1p

c) Construieşte 'CC AB⊥ 1p

Calculeză 600'13

CM CBCC mMB⋅

= = 2p

2' 690002 13ABC

AB CCA m⋅= = 1p

Finalizare 0,53ABCA ha= 1p

5p

2. a) Fie M mijlocul muchiei BC.Deduce VM=4m folosind T.P.în VMC 1p

2 2 216 , 32 , 482

bbazei laterala totala b l

P VMA m A m A A A m⋅= = = = + = 2p

Pirdere material 25 48 2,4100

m= ⋅ = 1p

Necesarul de material 250,4m= ⇒nu sunt suficienţi 50 2m de material 1p

5p

b)Calculeză înălţimea piramidei ,obţinând 2 3m ,aplicând T.P. în VOM 2p

Scrie corect formula pentru volumului piramidei 3

bp

A hV ⋅= 1p

Deduce 332 33

V m= 2p

5p

c) 2 4 2AC l m= = 1p

24 62VAC

AC VOA m⋅= = 1p

( ),2VAC

VC d A CVA

⋅= 1p

Obţine ( ) 4 30,5

d A VC m= 2p

5p

www.mate

info.r

o

316

Page 317: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta119 Prof.Muşat Claudia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 3− 5p

2. 4 5p

3. 16 5p

4. 81 5p

5. 48 5p

6. 4 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează paralelipipedul

Notează paralelipipedul

4p

1p

2. E(a,b)=4ab

Finalizare E(a,b)=4∙21=84

3p

2p

3. a+b=34

a-3=b+1

a=19

b=15

1p

2p

1p

1p

4. a) 3 25 10 15 5 ( 3)( 1)x x x x x x+ − = + −

2 3 ( 3)x x x x+ = +

( ) 5( 1)E x x= −

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

317

Page 318: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 5 5 2 14x x− = −

3 9x = −

x= 3 {0, 3}R− ∉ − − deci x∈∅ .

2p

2p

1p

5 (3 1) 6 5f x x− = − +

(3 1) 3 ( ) 6 5 6 9f x f x x x− − = − + + −

4 Z= − ∈

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( )

2B b hA + ⋅

=

6AE m=

18AB x= +

4(30 )A x= +

1p

1p

1p

2p

b) 2 2 2BC CF FB= +

2 264BC x= +

264 164x+ =

2 100x = , 0x >

10x = .

1p

1p

1p

1p

1p

c) 2160trapezA m=

160∙18,5=2960 lei

95%∙2960=2812lei

2p

1p

2p

2. a) 2

2lOC =

1p

www.mate

info.r

o

318

Page 319: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4 2OC =

2 2 2VO VC OC= −

3VO m=

1p

1p

2p

b)

3bA hV ⋅

=

2bA l=

264bA m=

364V m=

1p

1p

1p

2p

c)

2b p

l

P aA

⋅=

4 32bP l m= =

5VE m=

280lA m=

82,5 50 4125lei⋅ =

1p

1p

1p

1p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 120 Prof. Muşat Claudia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -1 5p

2. 2 5p

3. 2 5p

4. 6 5p

www.mate

info.r

o

319

Page 320: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5. 27 5p

6. 2 1y x= + 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenul

Respectarea dimensiunilor

4p

1p

2. 1 1 2x= − −

1 2 2< <

2 2 1− < − < −

3 1 2 2− < − − < −

1 2 ( 3, 2)− − ∈ − −

1p

1p

1p

1p

1p

3. Notăm cu x suma lui Ionel. 3

4x reprezintă suma cheltuită în prima zi.

Restul este4x

86x+ reprezintă suma cheltuită în a doua zi

3 1084 6x x x+ + =

1296x = lei

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) 3( ;0)

5fG Ox B∩ =

(0,3)fG Oy A∩ =

Reprezentarea corectă a celor două puncte

Trasarea graficului

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

320

Page 321: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Fie , 2 ( , )Gf fP pr M MP d O G= = ⋅

3 265

AB =

3 26( , )26fd O G =

3 2613

MP =

1p

1p

2p

1p

5 2012 2012(4) ( 1) 1E = − −

1 1= −

0=

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( )

2B b hA + ⋅

=

(24 ) 162xA + ⋅

=

28(24 )A x m= +

1p

2p

2p

b) 2192ABCA m=

8ADCA x=

24 192x =

8x m=

1p

1p

1p

2p

c)Ateren=256m2

256∙4=1024kg roşii

95%∙1024=972,8 kg

972,8∙3=2918,4lei

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

321

Page 322: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a)V=Llh

V=1152m3

1p

4p

b)Al=288m2

288∙2=576m2

576∙2=1152kg vopsea

3p

1p

1p

c)Hsiloz=BB’+d(F’,B’C’)

d(F’,B’C’)= 12 3 6 32

= (Înălţime în triunghi echilateral)

H 4 6 3= +

6 3 6 10H> ⇒ >

2p

1p

1p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 121 Prof. Muşat Claudia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2012 5p

2. 15

5p

3. 63 5p

4. 18 5p

5. 9 5p

6. 81 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

322

Page 323: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. 117a b+ =

5 4 54

a a bb= ⇒ =

4 4 468a b+ =

52b =

65a =

1p

1p

1p

1p

1p

3. Notăm cu x numărul merelor rămase, x<150

164x M− ∈

184x M− ∈

1444x M⇒ − ∈

4 144 148x x− = ⇒ = , deci a mâncat 2 mere.

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) 2 2 2(2 ) 4 4x y x xy y− = − +

2 2( 3 )( 3 ) 9x y x y x y− + = −

2 2 2( 2 ) 4 4x y x xy y− = − +

2 2( , ) 4 12E x y x y= −

1p

1p

1p

2p

b) 2 5 70x y x y+ = + + pătrat perfect, ,x y cifre 0 18 11x y x y⇒ ≤ + ≤ ⇒ + =

5x = şi 6y =

(5,6) 332E = −

3p

1p

1p

5 1 2 12 5 4x x x− +≤ ≤

10 4 4 10 5x x x≤ − ≤ + ⇒

1p

1p

www.mate

info.r

o

323

Page 324: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

0 6 4 5x≤ − − ≤ ⇒

3 22 3

x− ≤ ≤ −

x Z∈ ⇒ { 1,0}x∈ −

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( ) 90 ( ) 45m AB m ACB= ⇒ =

( ) 150 ( ) 75m AC m ABC= ⇒ =

( ) 60m BAC =

Fie , , ( ) 30BE AC E AC m ABE AE x⊥ ∈ = ⇒ = ⇒

3BE x m=

1p

1p

1p

1p

1p

b) ; . . 3AC AE EC BECdr is BE EC x m= + ⇒ = =

(1 3)AC x= + ⇒

2x m=

2p

2p

1p

c)

4 ABC

abcRA

=

2 6BC =

2(2 3 6)ABCA m= +

2 2R m=

1p

1p

1p

2p

2. a) ( ) 60m ECD =

. Fie , 2 5CDQ pr E QC m DC m= = ⇒ =

2 3EQ m=

2p

1p

www.mate

info.r

o

324

Page 325: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )2

B b hA + ⋅=

26 3A m=

1p

1p

b)Pentru 3 1,7= avem 210,2A m=

10,2:2=5,1 litri vopsea

5,1∙20=102 lei.

3p

1p

1p

c) EQB dreptunghic în Q

2 2 2EB EQ QB= +

2 2 2 29QB QC BC QB= + ⇒ =

41EB m=

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

325

Page 326: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 122 Prof. Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 8 5p

2. 7 5p

3. -11 5p

4. 48 5p

5. 30 3 cm2 5p

6. 17 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează şi notează triunghiul.

Desenează mediatoarea.

3p

2p

2.

n=15c1+1, n=18c2+1

15 181n M M− ∈ ∩

[15,18]=90

Cel mai mare multiplu comun de 3 cifre=90·11=990

n=991

1p

1p

1p

1p

1p

3.

f(m2)=m

m2-6=m

m1=-2, m2=3

2p

1p

2p

4.

a) După raţionalizare 2 3 2 3 4a = + + − =

2 2 1b = +

3p

2p

www.mate

info.r

o

326

Page 327: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 2 1,5<

2 2 1 2 1,5 1 4b a= + < + = =

2p

3p

5. Prima zi: 50% din S=

2S

A doua zi: 58

din 2S = 5

16S

5 3002 16S SS = + +

S=1600

1p

1p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1.

a)

ONAM pătrat cu latura=r.Atunci BP=BM=20-r şi CP=CN=20-r

BC=40-2r

T Pitagora în ∆BAC, ( )22 220 20 40 2r+ = −

40 2 20 2 20 10 2r r− = ± ⇒ = − ( 20 10 2r = + nu convine)

1p

2p

2p

b) ∆BMO dreptunghic în M

20 10 2OM r= = −

20 10 2BM r= − =

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

327

Page 328: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

T. Pitagora în ∆BMO ( ) ( ) ( )2 22 10 2 20 10 2 400 2 2BO⇒ = + − = −

20 2 2BO = −

1p

1p

c) secgradina tor circular BMO CNO ONAMA A A A A∆ ∆= + + +

( ) ( )2

sec

400 2 2 135135 150 2 2360 360tor circular

OBAππ π⋅ − ⋅⋅

= = = − , deoarece

( ) 135om BOC =

( ) ( ) ( )100 2 1 100 2 1 200 3 2 2 200(2 2)BMO CNO ONAMA A A∆ ∆+ + = − + − + − = −

( ) ( ) ( )( )150 2 2 200 2 2 50 2 2 3 4gradinaA π π= − + − = − + m2

1p

2p

1p

1p

2.

Barem a) Fie M mijlocul laturii BC. , ' (( ), ( ' )) 'AM BC A M BC ABC A BC A MA⊥ ⊥ ⇒ =

3 3AM = iar din triunghiul A’AM obţinem ' 127A M = 3

'

9 3 10 90 3

' 30 33

90 3 30 3 33,3%100

piesă ABC

ABCA ABC

V A h cmA AAV

x

= ⋅ = ⋅ =

⋅= =

⋅ = ≈

( ) 3 3cos '' 127

AMA MAA M

= =

2p

2p

1p

b) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'BCC B A A B C BCC B A BC BB A CC AA A A A A A= + + + +

' ' ' 9 3 60 3 127 30 30 120 9 3 3 127BCC B AA = + + + + = + +

2p

3p

c) 39 3 10 90 3piesă ABCV A h cm= ⋅ = ⋅ =

3'

' 30 33

ABCA ABC

A AAV cm⋅= =

90 3 30 3 33,3%100

x⋅ = ≈

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

328

Page 329: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 123 Prof. Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 11 5p

2. 4 5p

3. 12 5p

4. 5 5p

5. 9 cm2 5p

6. 12,5 mld lei 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma.

Notează prisma.

4p

1p

2.

666abc bca cab+ + = ⇒111(a+b+c)=666

a+b+c=6, a,b,c 0≠

Cel mai mic număr este 114

2p

1p

2p

3.

2 10 2 10f(2)+f(2 )+...+f(2 )=2(2+2 ... 2 ) 3 10+ + + ⋅

Fie S= 2 102+2 ... 2+ + , atunci 2S= 2 3 112 +2 ... 2+ + ,deci 2S-S=S=211-2=2046

Suma este egală cu 4092+30=4122

2p

2p

1p

4. a) E(x)= 2 2

1 1 2 3:2 1 2 2 1

xx x x x x x

+ − + − + − − + =

( ) ( ) ( ) ( )21 2 2 3:

2 ( 1) ( 2) 1 ( 2) 1 1x x x

x x x x x x x

− ++ − + − + − + − −

=

www.mate

info.r

o

329

Page 330: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )( )( )211 1

2 1 3 3( 2)x x

x x x− −

⋅ =+ − +

2p

3p

b) E( 3 1+ )=

( ) ( )3 1 3 1

63 3 3 3 1 3−

= =+ +

5p

5. Cele trei numere sunt 4x,x,4x+6.

9x+6=150,deci x=16

Numerele sunt 64, 16, 70.

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2ABCD semicercA A A= +

( ) 220 100 3025 1800 625

2A π π

+ ⋅= + = +

2p

3p

b)

2

2 2

30

400 0,04alee

piatracubică

A m

A cm m

=

= =

. 30 : 0,04 750Nr buc = =

.1p

1p

3p

c) 2 semicercP AB CD l= + +

120 50 120 157 277P mπ= + = + =

2p

3p

2. a)

240 3 3 30 40 400 3 36004

A = + ⋅ ⋅ = +

400 1,8 3600 720 3600 4320A < ⋅ + = + = cm2

Nu este suficientă bucata respectivă.

2p

3p

www.mate

info.r

o

330

Page 331: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b)

Răspunsul este afirmativ, o soluţie ar fi ca în figura de mai sus.Construind liniile mijlocii, suprafaţa fiecărui triunghi echilateral este partiţionată în patru suprafeţe echivalente, iar volumul fiecărei prisme triunghiulare asfel formate este un sfert din volumul cutiei iniţiale.

2p

1p

1p

1p

c) Muchia cubului după mărire 2050 50 60

100cm+ ⋅ =

Diagonala cubului 60 3 60 1,74 104,4cm cm= < ⋅ = 104,4 104,5< , deci în vas nu se poate introduce bagheta

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 124 Prof. Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -7 5p

2. 5 5p

3. 28 5p

www.mate

info.r

o

331

Page 332: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. 16 3

3cm2

5p

5. 3 cm 5p

6. 9 mii lei 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează trunchiul de piramidă.

Notează trunchiul de piramidă.

4p

1p

2.

32 512n = =29, deci n=3

( )23 2 1 2 3 2 2m+ = + = +

m=2

2p

2p

1p

3.

31 12

x +− ≤ < ⇒ -2≤x+3<2 ⇒ -5≤x< -1

{ }5, 4, 3, 2A = − − − −

3p

2p

4.

a) g(1)=2 ⇒3-m=2

m=1

3p

2p

b) (0,3)fG Oy A∩ =

(3,0)fG Ox B∩ =

(0, 1)gG Oy C∩ = −

ABC AOB COBA A A∆ ∆ ∆= +

3 3 1 3 62 2ABCA∆⋅ ⋅

= + =

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

332

Page 333: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5. ( ) ( ) ( )3 33 3 3 3x x x x+ − − = + − + =

( ) ( ) ( )( )( )23 3 1 2 3 4x x x x x + + − = + + +

2p

3p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( )60 40

20(60 )2ABDE

xA x

+= = +

2 240 (60 )echilaterall x∆ = + −

( )2 260 40 3

4BCD

xA∆

− + =

( )2 2

sup

60 40 320(60 )

4rafaţă

xA x

− + = + −

1p

2p

1p

1p

b) ( )22 240 60 50x+ − =

60 30x− = ±

x=30 (x=90 nu convine deoarece ED<AB)

2p

2p

1p

c) 25 3 25 1,8 15

3 3r ⋅= < =

2225 706,5discA mπ<

Nu se poate înscrie un rond circular cu aria 706,5 m2.

3p

2p

2. a) (( ' '), ( ' ' ' '))OA D A B C D = 'OO M ,unde M este mijlocul lui A’D’ şi O’ centrul lui A’B’C’D’

0( ' ) 45m OO M = (OO’M triunghi dreptunghic isoscel)

3p

2p

www.mate

info.r

o

333

Page 334: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ' '

3ADD AA OTV ⋅

= unde T este proiecţia lui O pe AD

1200 30 120003

V ⋅= = cm3

3p

2p

c) ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'BCC B ABB A CC D D OAA OA D ODDA A A A A A A= + + + + +

1200 1800 1800 150 13 600 2 150 13A = + + + + +

4800 300 13 600 2A = + + cm2

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 125 Prof: Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 72 5p

3. 12 5p

4. 18 5p

5. 38 cm2 5p

6. 24 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează tetraedrul

Notează tetraedrul

4p

1p

2. 512 ±=−x

x=3

2p

1p

www.mate

info.r

o

334

Page 335: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

x=-2

NA∩ ={ }3

1p

1p

3. a+b=105

138

=ba

Rezolvare sistem

a=40 b=65

2p

2p

1p

4. a)f(2)=5

m=-9

2p

3p

b)

=∩ 0,

31AOxG f

( )1,0BOyG f =∩

3ˆ =Atg

2p

2p

1p

5 4

12)( 2 −=

xxE

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 325=DC m

DA=25 m

Lungimea gardului= ( )3525 + m

2p

2p

1p

b) Aria=

23625 m2

5p

c) CE=x, ( ) ( )

250325

232525 xx −=

+ 3p

www.mate

info.r

o

335

Page 336: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

x=225

2p

2. a) V= ( ) 339254254

33 m=⋅++

V=39000 dm3=39000l

3p

b) ( ) 322 625,115,345,34

35,1 mV scoasăapă =⋅++=

3625,15 mVcub =

Finalizare

2p

2p

1p

c) 25=AC ,

A’C=2

134

Distanţa maximă este 25

1p

3p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 126 Prof: Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 10 5p

2. 240 5p

3. 2 5p

4. 18 5p

www.mate

info.r

o

336

Page 337: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5.

625

5p

6. 5 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează trunchi de piramidă

Notează trunchiul

4p

1p

2. 43ba

=

( )222 5kba =+

2p

3p

3. x+10%x=

1011x

1761011%20

1011

=⋅−xx

x=200

2p

2p

1p

4. a) 24 −=m

24 +=n

5p

b) 4

2=

+=

nmM a

( )( ) 142424 =+−=gM

5p

5 f(0)+f(1)+…+f(2011)=3(0+1+…+2011)- 2∙2012= 20122

2201220113 ⋅−⋅

⋅ =

1006∙6029=6065174

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 245369 mπππ =+ 5p

www.mate

info.r

o

337

Page 338: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Aria aleii=15 m2

Aria plăcii=0,04 m2

Numărul plăcilor este 375

2p

2p

c) Distanţa maximă se realizează când cercurile sunt tangente colţurilor dreptunghiului şi este egală cu 19371641 22 =+

5p

2. a)Aria plăcii de tablă=1,5m2

Suprafaţa vasului ==5∙0,25m2=1,25 m2

Finalizare

2p

2p

1p

b)Distanţa maximă este diagonala unui dreptunghi cu dimensiunile 1,5m,respectiv 0,5m

md 5,25,05,1 22 =+=

3p

2p

c)V cubului=0,125m3

Volumul cubuleţ=0,000125 m3

Numărul cubuleţelor este 1000

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 127 Prof. Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 5p

2. 42 5p

3. 2x2+4x+10 5p

4. 25% 5p

www.mate

info.r

o

338

Page 339: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5. 380 cm3 5p

6. 19 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează paralelipipedul

Notează paralelipipedul

4p

1p

2. n=3 5p

3. f(1)=1

m=1 sau m=-2

2p

3p

4. a) Verificarea relaţiei 5p

b) { }3,13 3 ±±=∈+ Dx

2 { 3, 2,3}R− ∉ − − − deci { }4,0, 6x∈ − −

2p

3p

5 Prima zi

4x

A doua zi 24

332 xx

=⋅

8024++=

xxx

x=320

1p

1p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Diametrul cercului=20 cm

Latura pătratului= cm210

Aria pătratului=200 cm2

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

339

Page 340: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Aria material îndepărtat=(100π -200)cm2

( )200100100100

−=⋅ ππp

%31,36≈p

2p

2p

1p

c) 212288 ==l

diametrul cercului=24 cm

r=12 cm, deci trebuie să crească cu 2 cm

2p

2p

1p

2. a) 3

3320

310161016 dmVVV piramidăpedparalelipimaterial =⋅

−⋅=−= 5p

b)

225

2210' ==∠ AOOtg

5p

c) ( ) 961261616

210416

>+=+⋅

=tA deci nu este suficientă foiţa

respectivă

5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 128 Prof Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 8 5p

2. 43

5p

3. 24 5p

www.mate

info.r

o

340

Page 341: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. 56 cm2 5p

5. 45o 5p

6. 120 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2.

−=

217'

213A

{ }8....,5,6 −−=∩ ZA

3p

2p

3. E(x)=x N∈ 5p

4. a)n=12c1+7

n=15c2+10

n=25c3+20

n+5 300251512 5 MnMMM ∈+⇒∩∩∈

n=295

2p

2p

1p

b) ( ) 82295 =u

7)3( 295 =u

4)4( 295 =u

5)5( 295 =u

Deci ultima cifră este 4

1p

1p

1p

1p

1p

5 a+r+n=120

a=3n

1p

1p

www.mate

info.r

o

341

Page 342: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

n=5+r

n=25 c=75 r=20

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( )2218

26232362 +=⋅

⋅+=⋅+= ∆BAEABCD AAA 5p

b)BD+CE=6 21266262 +=++ 5p

c) '0

00

30222

135180, =−

=∠∆ ABEmdeciisoscelBAE

'0'00 3067302245 =+=∠+∠=∠ ABEmOBAmOBEm

2p

3p

2. a) Din ∆VO’B’,obţinem VO’=2

V=83+3

264 ⋅ =3

1664 m3

1p

4p

b)

21

42' ==∠VMOtg ,unde M este mijlocul lui A’D’,O’ centrul lui A’B’C’D’

5p

c) DB’= 38 <14m

DV= 141323210022 <=+=+ DOVO

Finalizare

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

342

Page 343: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 129 Prof:Oláh Csaba

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2a = , 3b =

( 2a b⋅ = , 3a b< ≤ ⇒ 2a = , 3b = )

5p

2. 2

( ( )3 20 2

1 2 3 ... 100 62 3 1 2 4 ... 100 20 2 3 2k N

n k= ⋅ + ∈

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = +

Dupa teorema împărţirii cu rest, restul la împărţirea lui n la 3 este 2)

5p

3. 1

( ( )1

2012 101 100 2012 2011 2012 101 100 2011 1=

⋅ − ⋅ − = ⋅ − − = )

5p

4. 203

cm

( 3 4 5 20252 2 4 3 3

BBB b Bl B cm++ ⋅

= = = = ⇒ = = - lungimea bazei mari)

5p

5. 8

( 1 2 24 3 3 24 3 21 7x x x x x x+ + + + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = , al doilea număr 7 1 8+ = )

5p

6. a b>

( 72 2 126a = − = , 3 9 27 81 120b = + + + = a b⇒ > )

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Latura acestui cub va avea lungimea [ ]. . . . . 12,16,18 144c m m m c = , pentru că

212 2 3= ⋅ , 416 2= , 218 2 3= ⋅ , [ ] 4 212,16,18 2 3 144= ⋅ = .

2p

3p

www.mate

info.r

o

343

Page 344: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. Simplificând cu 2 în b se obţine 1 3 1023...

2 4 1024b = + + + ,

1 1 1 1 3 10231 ... ...2 4 1024 2 4 1024

2 2a b + + + + + + + ++

= =

1 1 1

1 1 3 1 1 10231 ...2 2 4 4 1024 1024

1 10 1 11 5,52 2 2

= = =

+ + + + + + + + ⋅

= = = .

1p

2p

2p

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 180 153 4 5 3 4 5 12

m A m B m C m A m B m C+ += = = = =

+ +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

15 453

15 604

15 755

m Am A

m Bm B

m Cm C

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

.

2p

1p

1p

1p

4. a) 52 32 2 2x x≤ ⇔ ≤ , { }0,1,2,3,4,5x∈ { }0,1, 2,3, 4,5A⇒ =

3 1 14y + <133

y⇒ < ⇒ { }0,1,2,3,4y∈ { }0,1,2,3,4B⇒ = .

2p

3p

b) { }\ 5A B = , \B A =∅ ⇒

⇒ ( ) ( ) { } { }\ \ 5 5A B A B B A∆ = ∪ = ∪∅ = .

3p

2p

5 Desenează trapezul

Notează trapezul.

3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) dacă R e mijlocul muchiei A B′ ′ , atunci lungimea drumului furnicii este

2

2 2 2

4 62 2 12 6 2 5 6 12 5AR RC AR cm

= ⋅′+ = = + = ⋅ = .

5p

www.mate

info.r

o

344

Page 345: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( )AB BCC B′ ′⊥ , ( )C B BCC B′ ′ ′∈ ⇒ C B AB′ ⊥ , de unde rezultă că

( )' ,d C AB = 2 212 12 12 2C B cm′ = + = .

2p

3p

c) 2 2 2 23 4 25 5MN MB B N cm′ ′= + = + = =

2 2 2 28 6 100 10NP NB BP cm= + = + = =

' 9 5 10 6 30C MNPA C M MN NP PA cm′ = + + + = + + + =

12 5 26,83AR RC cm cm′+ = ≈

30 12 5 30 26,83 3,17− ≈ − = -aproximativ, cu atât e mai lung drumul frunicii inapoi, faţă de drumul din a).

1p

1p

2p

1p

2.

a)

( )( ) ( )( )

22 122 2 2 24 2 4 2 2

2 2 2 2

1 1 11 2 11 1 1 1

x

x x x x xx x x x xx x x x x x x x

= +

+ − + + + −+ + + + −= = = =

+ + + + + + + +

2 1x x= − +

( )( )( )

( )( )( ) ( )

2 2 24 22

1 1 11 1 1 1 1 1

1 1 1

x x x x xx x x x x xx x x x x x

− − +−+ = + = + = − + = − +

+ + +

( ) ( )2 2 2 22

11 1 1 1 21

E x x x x x x x x xx x

= − + + ⋅ − + = − + + = − +− +

.

1p

2p

2p

b) ( ) 26 6 6 2 36 4 32E = − + = − = 5p

c) ( ) 2 2E x x x= − + , x N∈ , ( ) 7 7min 0

4 4 4x RE x

a∈

∆ −= − = − = > ⇒

( )E x N⇒ ∈ , x N∈ .

3p

2p

www.mate

info.r

o

345

Page 346: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 130 Prof:Oláh Csaba

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. a b>

(32 83 3 81 81 6561a = = = ⋅ = ,

23 92 2 512b = = = a b⇒ > )

5p

2. 25

( 1 2502 254 5 ⋅ ⋅ =

)

5p

3. 3 şi8 5p

4. 6x =

(45

1 2 ... 9 105 10 1 2 ... 9 105 6x x x x x x=

+ + + + + + + = ⇒ + + + + = ⇒ = )

5p

5. 69 pagini

(9pagini cu o cifră,129 9 120− = ,120 : 2 60= pagini cu 2 cifre 69⇒ pagini)

5p

6. 12BC cm=

(Lungimea ipotenuzei este dublu faţă de lungimea catetei opuse unghiului de 30 2 6 12BC cm⇒ = ⋅ = )

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. ( )

1 1 11 1x x x x

= −+ +

,( )( )

1 1 11 2 1 2x x x x

= −+ + + +

, ...

( ) 1 1 1 1 1 1 1 1...1 1 2 9 10 10

E xx x x x x x x x

= − + − + + − = − =+ + + + + +

( )10

10x x=

+.

3p

2p

2. Fie m -numărul marinarilor de pe vapor, atunci

www.mate

info.r

o

346

Page 347: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )60 30 50m m⋅ = + ⋅ 60 50 1500 10 1500 150m m m m⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Numărul persoanelor de pe vapor : 150 30 180+ = .

3p

2p

3. ( )1 1 1 1 2 11

x x E x x x x x xx x

= + − ⇒ = + + + + − = ++ +

În mod similar ( ) ( )2 22 3 2 3 2 2 2 3 2 12 24a = ⋅ + + − = ⋅ = ⋅ =

( ) ( )24 2 24 1 10E a E= = + = .

2p

1p

2p

4. a) analizând datele problemei în sistemul cartezian se observă, că graficul funcţiei intersectează axele în ( )2,0B şi ( )0,2C

( )f x ax b= + , ( )2 0 2 0f a b= ⇒ + = , ( )0 2 2f b= ⇒ = ⇒

2 2a⇒ = − , adică 1a = −

( ) 2f x x= − + .

1p

2p

2p

b) folosind notaţiile din a) se observă că triunghiul OAC este dreptunghic si

isoscel în A , atunci 2 2 12 2OAC

OA ACA ⋅ ⋅= = = .

3p

2p

5 Se poate observa că ( )AB AC CB C AB= + ⇒ ∈ -punctele ,A B şi C sunt coliniare⇒

0ABCA⇒ = .

3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

( )2 20

2 5 2 4 4 5 2 4 9 922 2 2 2 2

x

x x x Zx x x x x

= −=

+ − + + −= = + = + ∈ ⇒

− − − − −

92

Zx

∈−

, { }9 9, 3, 1,1,3,9D = − − − { }2 9, 3, 1,1,3,9 ,x⇒ − ∈ − − −

{ } { }7, 1,1,3,5,11 1,3,5,11x N x∈ − − ∩ ⇒ ∈ .

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

347

Page 348: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( )3 5 25 2

3 1 3 1xx Z Z

x x⋅ −−

∈ ⇒ ∈+ +

( )( )5 3 10

3 5 2 15 6 5 5 15 5 11 1153 1 3 1 3 1 3 1 3 1

x

x x x Zx x x x x

= +=

⋅ − − − + += = − = − ∈ ⇒

+ + + + +

113 1

Zx

⇒ ∈+

, { }11 11, 1,1,11D = − − { }3 1 11, 1,1,11 ,x⇒ + ∈ − −

{ }2 104, ,0, 03 3

x N ∈ − − ∩ =

.

1p

1p

2p

1p

c) probabilitatea ca alegând un element din A , acesta să fie şi în B , înseamnă:

probabilitatea ca alegând un element din A , acesta să fie în A B∩

cum A B∩ =∅ , probabilitatea este zero : 0p = .

2p

3p

2. a) triunghiul B C M′ ′ este dreptunghic în 'B , ( )2 30MC MB m B CM′ ′ ′ ′= ⇒ =

( ) ( )2 3 2 3 6

30 33

x xtg B CM B C cmB C tg B CM tg

′ ′ ′ ′= ⇒ = = = =′ ′ ′ ′

.

2p

3p

b) triunghiul MBD este dreptunghic în B ( ( )MB ABCD⊥ ),

( )6 2 3MB BB B M cm′ ′= − = − , 6 2BD cm= (diagonala pătratului ABCD )

Scriem teorema lui Pitagora în triunghiul MBD :

( ) ( )2 22 2 2 6 2 3 6 2 36 24 3 12 72MD MB BD= + = − + = − + + =

( )120 24 3 24 5 3cm= − = − .

1p

1p

3p

c) [ ] [ ]' ' 3 3B C D B C D

BB C D MB C DBMC D

A BB A MBV V V ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′⋅ ⋅= − = − =

( ) ( ) ( ) ( )2

3

62 6 2 3 6 6 2 3 12 3 3

3 3B C DA BB MB cm′ ′ ′ ′ ′= − = − = − = −

1p

2p

www.mate

info.r

o

348

Page 349: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

' ' ' '3 3 36 216

ABCDA B C DV AB cm

= = =

( )' '

' ' ' '

12 3 3 3 3216 18

BMC D

ABCDA B C D

V

V

− −= = .

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 131 Prof:Oláh Csaba

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1

(Ultima cifră a numărului 1 2 3 ... 99⋅ ⋅ ⋅ ⋅ este 0 , pentru că e multiplu de 10 , atunci ultima cifră a numărului 1 2 3 ... 99 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + este 1)

5p

2. 1

( ( )1

3654 1236 1235 3654 3653 3654 1236 1235 3653 1=

⋅ − ⋅ − = ⋅ − − = )

5p

3. 35km

(Într-o oră primul biciclist face 15km , iar al doilea 20km , înseamnă că înainte cu o oră de a se întâlni, distanţa dintre ei va fi 15 20 35km km km+ = )

5p

4. 2x =

( ( )3 12 3 4 3 6 18ax bx x a b x x− = ⋅ − = ⋅ = , atunci

3 12 36 18 36 2ax bx x x− = ⇔ = ⇒ = )

5p

5. 8%

(Dacă produsul costa, iniţial x lei, atunci

După scumpirea cu 20% : 120 6100 5

xx = , dupa ieftinirea din urmă, cu 10% :

5p

www.mate

info.r

o

349

Page 350: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

6 9 54 1085 10 50 100x x x⋅ = = , de unde se vede că preţul de după ieftinire e cu 8%

mai mare faţă de preţul iniţial.)

6. 143

( ( ) ( ) ( ) ( )1155

0 1 ... 10 2 0 1 ... 10 3 3 ... 3ori

f f f−=

+ + + = ⋅ + + + + + + + =

2 55 11 3 143= ⋅ + ⋅ = )

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. ( )( )1 2n n n+ + este un produs de 3 numere consecutive, deci este divizibil

cu 3 , înseamnă că poate fi scris sub forma ( )( )1 2 3n n n k+ + = , k N∈ ⇒

3 1a k⇒ = + nu e divizibil cu 3 (la împărţire dă restul1).

3p

2p

2. Desenează piramida

Se notează piramida.

4p

1p

3. Primul număr prim este 2 , deci suma primelor 20 de numere prime o să fie un număr impar (sumă de 19 numere impare plus un număr impar) rezultă

nu se împarte la 2 .

4p

1p

4. a) [ ]. . . . . 1, 2,3 6c m m m c = , atunci lucrând 6 ore:

primul muncitor ar termina de 2 ori , al doilea de 3ori iar al treilea de 6 ori lucrarea,

daca ar lucra împreună 6 ore ar termina de 2 3 6 11+ + = -ori lucrarea, deci

lucrarea ar termina în 611

ore, adică in 360 83211 11

= minute.

1p

2p

2p

b)dacă ar mai veni un muncitor, în 6 ore ar termina de 2 3 6 6 17+ + + = ori

lucrarea ar termina în 617

ore, adică în 360 32117 17

= minute.

2p

3p

www.mate

info.r

o

350

Page 351: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 Dacă în vârfuri sunt cuburile roşii, numărul cuburilor albe este

12 12 4 4 2 4 48+ + ⋅ + ⋅ = , (12 pe două feţe opuse, 4 în centru si 2 pe margini pe restul de 4 feţe) care este şi numărul total de cuburi albe, după enunţul problemei

Numărul cuburilor roşii: 125 48 77− = .

3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) dacă raza cercului înscris in triunghiul AOB este r , atunci

1 2 2 3 6 1... 2O O O O O O r= = = ⇒ 1 2 3 4 5 6O O O O O O este hexagon regulat.

5p

b) 1 2 3 4 5 6 1 2

6O O O O O O OO OA A= ⋅ , 1 2OO O este tirunghi echilateral, 1 2 2O O r= =

12 3 12 4 32 3

= ⋅ ⋅ = cm ( r înseamnă o treime din înălţimea triunghiului

AOB )

( ) ( )1 2 3 4 5 6 1 2

22

1 2 24 3 33

6 6 6 72 34 4O O O O O O OO O

O OA A cm

⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = .

1p

1p

3p

c) fie aria zonei haşurate din interiorul hexagonului 1S , iar cea din exteriorul hexagonului 2S

( ) ( ) ( )12, 2

1 6 2 36 3 2 36 3 2 33

AOB C O rA AS r π π

− = ⋅ = − = − =

( ) ( ) 22 36 3 12 24 3 3 cmπ π= − = − ( 1S se compune din 6 ”vârfuri” de

triunghi, congruente - aria a trei „vîrfuri” este egală cu diferenta dintre aria triunghiului AOB şi a cercului inscris triunghiului AOB )

2S este diferenţa dintre aria cercului circumscris hexagonului ABCDEF

( 2144 cmπ )şi aria hexagonului ABCDEF ( 2216 3cm ) AOB ( 236 3cm= )

( ) 22 144 216 3 72 2 3 3S cmπ π= − = −

Atunci

2p

2p

www.mate

info.r

o

351

Page 352: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )( )

1

2

24 3 3 1 3 3 1 5,19 3,14 1 2,05 0,623 3 6,28 5,19 3 1,092 3 372 2 3 3

SS

π πππ

− − − = = ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ = −−−

. 1p

2. a) 1 2 3 6 3 12G G C B BF FD cm′ ′= + + = + + =

înălţimea triunghiului 1 2 3G G G este '3

6 3 12 2 32 3

h G G cm= = ⋅ ⋅ =

1 2 3

21 2 12 2 3 12 32 2G G G

G G hA cm⋅ ⋅= = = .

1p

2p

2p

b) triunghiul 1 2G G D este dreptunghic in 2G , 1 2 12G G cm= ,

22 6 3 2 33 2

G D cm= ⋅ = ,

( )22 2 21 1 2 2 12 2 3 12 12 12 3 4 13 2 39G D G G G D cm= + = + = ⋅ + = ⋅ ⋅ = .

2p

3p

c) dacă I e centrul cercului înscris în triunghiul 1 2 3G G G , iar r este raza acestui cerc, atunci r o să fie înălţime pentru triunghiurile 1 2G G I , 2 3G G I şi 3 1G G I

1 2 2 3 12 6 32 2 4 33 2

G G G G BG cm= = ⋅ = ⋅ ⋅ =

1 2 3 1 2 2 3 3 1

2 3 3 11 2

2 2 2G G G G G I G G I G G IG G r G G rG G rA A A A ⋅ ⋅⋅

= + + = + + =

( ) ( )1 2 2 3 3 112 4 3 4 3

12 8 3 2 3 2 32 2r rG G G G G G r

= = =

= ⋅ + + = + = +

,

dar 1 2 3

212 3G G GA cm= ( ) ( )12 32 3 2 3 12 3

2 3 2 3r r⇒ + = ⇒ = =

+

( )( )

( )2 2

6 3 2 3 36 3 36 18 3 12 6 333 2 3 2 3 3

cm− −

= = = = −+ −

.

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

352

Page 353: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 132 Prof.Oláh Csaba

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 8 5p

2. { }0,1,2,3,4,5,6 5p

3. 7 5p

4. 32 5p

5. 16 5p

6. 50 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Fiecare latura creşte cu 10% ,

21110

aAria = =

2121100

a= , aria a crescut cu 21%

1p

2p

2p

2. ( )20 9x y+ + ,

{ }7,16x y+ ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 0,7 , 1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1 , 7,0 , 9,7 , 8,8 , 7,9x y ∈

1p

2p

2p

3. ( )( )2 2144 a b a b a b= − = − + =

( )12 a b− 12a b⇒ − = ,

0b = , 12a =

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

353

Page 354: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

0ba=

1p

4. a) 3 33

1 1x

x x= −

+ +

{ }3 1, 2D = ,

{ }0,2A =

2p

1p

2p

b) 3 53 27,3 243= =

27 3 243x< <

{ }3,4,5B =

2p

2p

1p

5 Ipotenuza este diametrul cercului circumscris

Lungimea ipotenuzei 17

172

R =

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) x preţul iniţial, 13

10x după scumpire

7 13 9110 10

x⋅ = ,

100x = , preţul iniţial

1p

2p

2p

b) preţul iniţial x se măreşte cu %p , 100

100p x+ preţul mărit

7 10010 100

p x x+⋅ = ,

42,85%p =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

354

Page 355: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) 3 13 9191 91

10 10⋅

+ ⋅ = preţul nou mărit

preţul micşorat cu 30% : 7 13 9110 10

⋅⋅ =

82,81=

2p

2p

1p

2. a) ( ) ( )( ) ( )1, ,m ABCD VBC m VM O= O centrul bazei, 1M piciorul apotemei

2 21 1 17VM VO OM= + =

( ) 11

1

17cos17

OMVM OVM

= =

2p

1p

2p

b)1 2

4VM MA = , 2M piciorul apotemei pe [ ]AD

( ) 1 22 1

1

2, VM MA

d M VMVM

= =

8 1717

=

2p

2p

1p

c) ( ) 2

22

sin , M PVM VPVM

= = ( P proiecţia lui 2M pe 1VM )

817

=

3p

2p

www.mate

info.r

o

355

Page 356: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 133 Prof.Oláh Csaba

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4000− 5p

2. 3 5p

3. 12

5p

4. 30 5p

5. 255 5p

6. { }2,3,4 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 2 6 23 23 1 3 1 3 1

k ka N a Nk k k

= ∈ ⇒ = = + ∈− − −

{ }2 1, 2D = ,

1k =

3p

1p

1p

2. ( ) ( ) ( )180

2m A

m IBC m ICB−

+ = =

( ) 180 801802

m BIC −= − =

130= , deci măsura unghiului căutat este 180 130 50− =

2p

1p

2p

3. Trasarea sistemului

Reprezentarea funcţiilor

2p

3p

www.mate

info.r

o

356

Page 357: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) x numărul elevilor clasei,

4x blonzi, 3

4x şateni

1 3 1 114 2 4 5 40x x x⋅ + ⋅ =

1140

x N x∈ ⇒ este multimplu de 40

x este 40

1p

2p

1p

1p

b) elevi cu ochii albaştri 11 40 11

40⋅

= (12,5% 15% 27,5%+ = )

nu au ochii albaştri: 40 11 29− = , (100% 27,5%− = )

în procente: 72,5%

-în paranteză este o altă rezolvare, care nu necesită rezultatul de la punctul a)., care se punctează la fel, cu 5p in total.

2p

1p

2p

5 ( )( )2 2a b a b a b− = + − ,

( )( )2 2a c a c a c− = + −

scoaterea factorului comun şi

scrierea rezultatului ( )( )( )a b a c c b− − −

1p

1p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) forma lui f : ( )f x ax b= + , , , 0a b R a∈ ≠

( )1 2f = , ( )0 3f =

( ) 3f x x= − +

1p

2p

2p

b)din perpendicularitate rezultă că ( )0,1D se găseşte pe graficul lui g

( )0 1g = , ( )1 2g =

1p

2p

www.mate

info.r

o

357

Page 358: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) 1g x x= + 2p

c) 2AB =

2 22 2 2 2AC = + = ,

2 2 22 2ABC

AB ACA ⋅ ⋅= = =

2=

1p

1p

2p

1p

2. a) suma distanţelor este triplul laturii

latura are 3cm

3p

2p

b) volumul cubului este 3 33 27cm=

3 3 327 27 1000 27.000cm mm mm= ⋅ = ,

se poate construi din 27.000 cuburi

2p

2p

1p

c). Înălţimea unei feţe laterale 3 5

2

aria laterală:

3 5324

2

⋅⋅ =

9 5=

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

358

Page 359: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 134 Prof.Oláh Csaba

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4 5p

2. 6 5p

3. 0 5p

4. 3 0,310

= 5p

5. 432 2 5p

6. 3 5 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 3 , 4 , 5x k y k z k= = =

2 2 2x y z+ =

3p

2p

2. 2 3 33 2 3

a aR = ⋅ =

1 3 33 2 6

a ar = ⋅ =

32 36

aR r= − = ⇒

12a⇒ =

2p

1p

1p

1p

3. 1 2 96P P+ = ani

1 2 3 108P P P+ + = ani

3 12P = ani

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

359

Page 360: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a)punctele sunt necoliniare, câte două

formează un pentagon convex/concav

in total 10 drepte

2p

1p

2p

b) 4 puncte sunt coliniare

realizarea desenului

2p

3p

5 numărul se împarte la 5 şi 9

{ }0,5y∈

( )0 20 9y x= ⇒ +

( )5 25 9y x= ⇒ +

( ) ( ) ( ){ }, 7,0 , 2,5x y ∈

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 1 1 1

1 2 1 2= −

⋅, 1 1 1

2 3 2 3= −

⋅,..., 1 1 1

9 10 9 10= −

11 1 1 1 1 1...1 2 2 3 9 10

S = − + − + + − =

1110

= − =

910

=

2p

1p

1p

1p

b) 1 1 1

1 2 3 1 2 2 3= −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅,...., 1 1 1

9 10 11 9 10 10 11= −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

21 1 1 1...

1 2 2 3 9 10 10 11S = − + + − =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1 272 110 55

= − =

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

360

Page 361: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) 99 11

100 100= −

pornind invers 99 1 1 1 1 11 ...100 2 2 3 99 100

= − + − + + − =

1 1...1 2 99 100

= + +⋅ ⋅

, are 99 membri

1p

2p

2p

2. a)

3 212

aV = , 12a cm=

312 2 144 212

V cm= =

4p

1p

b) în triunghiul VMN : 1 2G G MN ( 1 2,G G centre de greutate în VAC şiVBC ,

,M N sunt mijloacele laturilor [ ]AB şi [ ]BC )

1 1 2VG G GVM MN

=

1 22 43

G G MN cm= =

2p

1p

2p

c) , , ,x y z t distanţele de la feţe, aria unei feţe: 36 3 ,

( ) ( )36 3 12 33

V x y z t x y z t= + + + = + + + ,

144 2 12 6 4 6312 3

x y z t cm cm+ + + = = = .

(Obs.: caz general - 63

ax y z t+ + + = , unde a este lungimea unei muchii)

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

361

Page 362: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 135 Prof.Oláh Csaba

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 16 5p

2. 5 5p

3. 0 5p

4. 1 5p

5. 3 5p

6. 23

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 10 18 10a b b a+ − = +

2a b− =

7a = , 5b = , numărul este 75

1p

2p

2p

2. mediana care porneşte din unghiul drept este jumătate din ipotenuză

lungimea catetei - 8cm

aria triunghiului - 224cm

1p

2p

2p

3. 6 2 33= ,

2 3 12= , 3 2 18=

63 23

>

1p

2p

2p

4. a)trasarea sistemului cartezian 2p

www.mate

info.r

o

362

Page 363: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

reprezentarea grafică a funcţiei 3p

b) 3 2 2 3x x− + = −

1x =

3p

2p

5 8 8ABCD DQPA A A= = ,

8 28

AMNCPQ

ABCD

A A AA A

−= =

34

=

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 1 2 1

2 1= −

+, 1 3 2

3 2= −

+,..., 1 10 9

10 9= −

+

1 2 1 3 2 ... 10 9S = − + − + + − =

10 1= −

2p

1p

2p

b) 1 2 1 1

2 2−

= − , 2 3 1 16 3 2−

= − ,..., 9 10 1 190 10 9−

= −

21 1 1 1 11 ...2 3 2 10 9

S = − + − + + − =

1 110

= −

2p

1p

2p

c) 9 1 1 1 1 1 11 1 ...

10 100 2 3 2 100 99− = − = − + − + + − =

1 2 2 3 99 100...2 6 9900

− − −= + + + ,

2S are 99 membri.

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

363

Page 364: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) 2 3BU R BM R= ⇒ =

( )2 3 1 12BC R= + =

( )3 3 1R cm= −

2p

2p

1p

b) 3BM R= =

(9 3 3)cm= −

3p

2p

c) ( )2

22 33

4UVW

RA R= =

( ) ( )2

222 3 1 3

3 1 34ABC

RA R

+ = = +

( ) ( )2

2 22

3 1 1 2 324 2 33 1 3 3 1

UVW

ABC

A RA R

−= = = =

++ +

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

364

Page 365: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta136 Prof Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 9 5p

2. 14 5p

3. 7,5 5p

4. 9 3 5p

5. 27 5p

6. 29 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. Fie x numărul mai mic 8x⇒ + este numărul mai mare

8 102

x x+ +=

2 8 20x + =

6x = e numărul mai mic și 14 e numărul mai mare

1p

1p

1p

2p

3. ( ) ( )3;3 3 3fA a G f a∈ ⇔ =

( )5 3 3 3 15 3 3 3a a a a− ⋅ + = ⇔ − + =

Finalizare: 3a =

2p

2p

4. a)Se notează cu x pretul inițial al telefonului 910%

10x x x⇒ − ⋅ = ⋅ este prețul

după prima ieftinire

2p

www.mate

info.r

o

365

Page 366: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

9 9 9 15 15315% 110 10 10 100 200

x x x x ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅

este prețul după a doua ieftinire

153 153 200200

x x⋅ = ⇔ =

1p

2p

b) 200 153 47− =

% 200 47 200 47 2 47100

pp p⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ =

47 : 2 23,5 % 23,5%p p= = ⇒ =

1p

3p

1p

5 21 14xx

− =

22

12 14xx

− + =

22

1 16xx

+ =

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)Notăm cu VABCD piramida și O centrul bazei ABCD 2 2OA⇒ = cm

2 2 2VA VO AO= +

Finalizare: 2 2VO = cm

2p

1p

2p

b) 24 16bA = = cm2

3b

VABCDA hV ⋅

=

Finalizare: 332 23ABCDV cm=

2p

1p

2p

c)

224 34 4 16 3 16

4tVABCDA = ⋅ + = + 2p

www.mate

info.r

o

366

Page 367: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

100 1600 3 1600tVABCDA⋅ = +

3 1,73 1600 3 2768⇒ ⋅ 1600 3 1600 4368⇒ ⋅ +

1p

2p

2. a) 48 ha=480000 m2 5p

b) AB AE x= =

2

6 62ABE ABCDxA A x BC⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅

23 3x x BC x BC⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ =

3BC AB⇒ =

1p

2p

1p

1p

c) 2480000 3 480000ABCDA x= ⇔ =

400x = m 400AB AE⇒ = =

400 2BE⇒ = m

320000 565,685BE = 566BE⇒ m

1p

1p

1p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta137 Prof.Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 8 5p

2. [ ]3;7 5p

3. 108 5p

4. 20 5p

5. 60 5p

www.mate

info.r

o

367

Page 368: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

6. Marți și vineri 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. Fie x numărul cărților de literatură 12 x⇒ − e numărul cărților de matematică

( )14 8 12 144 14 96 8 144 6 48x x x x x+ ⋅ − = ⇔ + − = ⇔ =

Finalizare: 8x =

2p

2p

1p

3. Reprezentarea corectă a unui punct care aparține graficului funcției

Reprezentarea corectă a altui punct care aparține graficului funcției

Trasarea graficului funcției

2p

2p

1p

4. a) 2020%

100S S⋅ = ⋅ lei cheltuiește în prima zi

3030%100

x x⋅ = ⋅ lei cheltuiește a doua zi

1 254 100

x x⋅ = ⋅ lei cheltuiește a treia zi

Evident 20 25 3020 25 30100 100 100

⇒persoana cheltuiește cel mai puțin în prima zi

1p

1p

1p

1p

1p

b) 20 30 25 100

100 100 100S S S S⋅ + ⋅ + ⋅ + =

20 30 25 10000 100S S S S⇔ + + + =

75 10000 100S S+ =

25 10000 400S S= ⇔ = lei

2p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

368

Page 369: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 ( ) ( ) ( )( )2 220 5 4 20 5 4 5 5 4x x x x x x x x x x+ − = + − − = + − + = + −

( ) ( ) ( )( )2 29 20 5 4 20 5 4 5 5 4x x x x x x x x x x− + = − − + = − − − = − −

( )( )( )( )

2

2

4 520 59 20 4 5 5

x xx x xx x x x x

− ++ − += =

− + − − −

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ' 2 2 2BD L l h= + +

' 2 2 210 6 3 100 36 9 145 3 15BD = + + = + + = = m

2p

3p

b) 32 3 96laterală bazeiA P h= ⋅ = ⋅ = m2

( ) ( )2 2 10 6 32bazeiP L l= + = + = m

10 6 60bazeiA L l= ⋅ = ⋅ = m2

96 60 156laterală bazeiA A+ = + = m2=15600 dm2

240 1600plăciA = = cm2=16 dm2

15600 :16 975= numărul de plăci de gresie

975 : 25 39= numărul de cutii de gresie

1p

1p

1p

1p

1p

c)Fie x dm înălțimea până la care se ridică apa în bazin

10L = m=100 dm,l=6m=60 dm

100 60 6000apeiV L l x x x= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

6000 150000 150000 : 600x x⋅ = ⇔ =

25x = dm=2,5 m

1p

1p

1p

1p

1p

2. a) Fie O mijlocul lui

[ ] 80 402 2

DCCD R OD OC⇒ = = = = = m 40semicercL Rπ π= = m

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

369

Page 370: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

AD+AB+BC=40+80+40=160

⇒ lungimea gardului este de 40 160π + m

1p

b) 2 2: 2 40 : 2 800semicercA Rπ π π⇒ = = ⋅ = m2

80 40 3200ABCDA = ⋅ = m2

3200 800grădinăA π= + m2

3,14 800 2512 3200 800 5712π π π⇒ ⇒ +

⇒ 5712grădinăA

1p

1p

1p

1p

1p

c) 2 280 40 6400 1600 8000 40 5ABC AC⇒ = + = + = = m

40 2EOC EC⇒ =

Q mijlocul lui [ ]AB , 40 5AEQ AE⇒ =

( )40 5 40 2 40 5 80 5 40 2 40 2 5 2AC CE AE+ + = + + = + = +

2p

1p

1p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta138 Prof.Păcurar Cornel+Cosmin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 208 5p

2. 6 5p

3. 2;4 5p

4. 72 5p

5. 90 5p

www.mate

info.r

o

370

Page 371: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

6. 13,1 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. 2 5 12 2 4 2 10 24a b c a b c− − = ⋅ ⇒ − − =

5 9 21 3 3 15 27 63a b c a b c+ + = ⋅ ⇒ + + =

Prin însumarea relaţiilor 4 2 10 24a b c− − = şi 3 15 27 63a b c+ + =

7 13 17 87a b c⇒ + + =

2p

2p

1p

3. Fie x numărul de pagini citite în prima zi 5, 10, 15, 20x x x x⇒ + + + + reprezintă numărul de pagini cititite a doua ,a treia ,a patra, respectiv a cincea zi

5 10 15 20 230 5 50 230x x x x x x+ + + + + + + + = ⇔ + =

5 180 36x x= ⇔ =

36,41,46,51,56 reprezintă numărul de pagini citite în cele cinci zile

41 e număr prim,deci a doua zi numărul de pagini citite de Victor reprezintă un număr prim

1p

2p

1p

1

4. a)Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei f

Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei f

Trasarea graficului funcţiei f

2p

2p

1p

b) ( ) ( ){ }0 4 0; 4ff G Oy A= − ⇒ ∩ = −

( ) ( ){ }0 4 0;4gg G Oy B= ⇒ ∩ =

( ) ( )( )

4 3 4 4 8 2

2 2

f x g x x x x x

f

= ⇔ − = − + ⇔ = ⇔ =

= −

( ){ }2; 2f gG G C∩ = − , ( )0; 2D −

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

371

Page 372: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2 8 82 2ABC

CD ABA ⋅ ⋅= = =

2p

5 3 2 6 2 6 2 6 6a = + + − − − +

9a⇒ = ∈

3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) DEF echilateral de latură 3,fie 3 3,

2DQ EF Q EF DQ⊥ ∈ ⇒ =

Cum prisma este dreaptă ( ) ( )BCF DEF⇒ ⊥

( ) ( )( ) 3 3,2

DQ BCF d D BCF DQ⇒ ⊥ ⇒ = =

2p

1p

2p

b) cort b ABCV A h A CF= ⋅ = ⋅

2 23 3 3 9 34 4 4ABC

lA = = =

m2

9 3 4 9 34cort ABCV A= = ⋅ =

m3

2p

2p

1p

c) 3 3 4 36l bA P h= ⋅ = ⋅ ⋅ = m2

9 32 36 24

24336 36 60,75 36 7,84

t l b

t

A A A

A

= + ⋅ = + ⋅

= + = + +

43,8 44tA ,deci sunt suficienţi 44 m2

5p

2. a) ( )2 28 14 2 42 84ABCDP = + = ⋅ = m

Lungimea gardului ( ) ( )84 10 8 84 18 66ABCDP BG GE= − + = − + = − = m

3p

2p

www.mate

info.r

o

372

Page 373: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 28 14 392ABCDA AB BC= ⋅ = ⋅ = m2

8 10BGFEA BE BG= ⋅ = ⋅ 80= m2

Aria curţii 392 80 312ABCD BGFEA A= − = − = m2

2p

2p

1p

c)Din teorema lui Pitagora în 2 2 2 196 784 980 14 5ABC AC AB BC AC⇒ = + = + = ⇒ =

2 2 2 100 400 500 10 5EFC FC EF EC FC⇒ = + = + = ⇒ =

2 2 2 16 64 80 4 5AGF AF AG GF AF⇒ = + = + = ⇒ =

, ,AF FC AC A F C⇒ + = ⇒ coliniare

1p

1p

1p

2p

www.m

ateinf

o.ro

373

Page 374: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 139 Prof. Valer Pop

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 67 5p

2. {1,2,3,4,6,12} 5p

3. 47

5p

4. 36 5p

5. 12 5p

6. 144 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Construcţia figurii

Notarea figurii

4p

1p

2. A doua maşină transportă 3600:3=1200 kg de zahăr

Cele două maşini transportă 4800 kg de zahăr

3p

2p

3. f(x)=g(x) ,

rezultă x+2=2x-3, de unde x=5, rezultă a=5

f(a)=a+2=5+2=7, rezultă b=7

1p

2p

2p

4. a) Un termen al şirului este de forma 7k+2, k∈

107 = 7∙15+2, deci aparţine şirului

3p

2p

b) Se pot cumpăra maximum 3 stilouri

Răspuns: 3 cărţi şi 2 stilouri

1p

4p

5 2 2( 2) 4 4x x x− = − + 1p

www.mate

info.r

o

374

Page 375: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) ( )2 2x x 2 2 3x 1 5x − + − − = 3 22 2x x x+ − −

( )( )x 1 x 1 (x 2)− + + = 3 22 2x x x+ − −

Finalizare

2p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) BC=CD=DA=10m

PABCD=56m

28 de stâlpi

1p

3p

1p

b) Gardul costă 1400 de lei

Pentru muncitor se plăteşte suma de 252 de lei

3p

2p

c) A∆ABC=120 m2

4 pachete de sămânţă de gazon

3p

2p

2. a) Fie h înălţimea piramidei şi H înălţimea prismei. Avem 3

5hH

= şi

h+H=2,4 m=24 dm ,

rezultă h=0,9 m=9 dm

2p

3p

b) Apotema piramidei este de 95 dm

Aria totală a piramidei: 16( 4+ 95 ) dm2

Aria totală a prismei: 608 dm2

Aria totală a ornamentului: 16(42+ 95 ) dm2

1p

2p

1p

1p

c) Volumul piramidei este de 192 dm3

Volumul prismei: 960 dm3

Volumul ornamentului: 1152 dm3

Masa ornamentului: 31152 1,5 / 1728M V kg dm kgρ= ⋅ = ⋅ =

1p

1p

1p

2p

www.mate

info.r

o

375

Page 376: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 140 Prof. Valer Pop

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 6 5p

2. 36 =6 5p

3. 14 5p

4. 9 cm 5p

5. 64 cm3 5p

6. 11 elevi 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Figura

Notarea figurii

4p

1p

2. 190 de elevi la gimnaziu

376 de elevi în şcoală

3p

2p

3. f(1) = -1, rezultă A fG∈

f(5) = 6, rezultă B fG∉

3p

2p

4. a) 67 = 13∙5+2 5p

b) 7∙6 + 6∙5 = 72 > 69, rezultă că nu ajung bomboanele 5p

5 E(x) = 9∈

E(x) nu depinde de x

4p

1p

SUBIECTUL III (30 de

www.mate

info.r

o

376

Page 377: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

puncte)

1. a) AABCD = 864m2

PABCD =120m

2p

3p

b) Aria maximă de teren pe care o poate paşte calul este aria unui cerc cu raza de 9m.

Aria cercului este 81π m2 ≈254,34 m2

2p

3p

c) 254,34 30

864 100<

5p

2. a) 4 , 3 , 2

4 3 2L l i k L k l k i k= = = ⇒ = = =

Fie d diagonala bazei . Avem 2 2 2 2 2 2 316 9 25 95

d L l k k k k= + = + = = ⇒ = .

Dimensiunile rezervorului sunt: L = 2,4 m, l = 1,8 m, i =1,2 m.

1p

2p

2p

b) Volumul rezervorului 32, 4 1,8 1,2 5,184V Lli m= = ⋅ ⋅ = .

Apa din rezervor are masa de 5184 kg .

Rezervorul plin cu apă are masa de 5700 kg.

3p

1p

1p

c) Rezervorul plin conţine 5184 l de apă.

75% din capacitatea rezervorului este de 3888 litri .

Se poate uda o suprafaţă de 486 m2 de teren.

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

377

Page 378: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 141 Prof. Valer Pop

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. x=3 5p

2. 33 lei 5p

3. 80 lei 5p

4. 180 cm2 5p

5. 900 5p

6. Anul 2008 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Figura

Notarea figurii

4p

1p

2. A = {4,5,6,7,8}

A∩[2;8) = {4,5,6,7}

4p

1p

3. 16,(6) kg 5p

4. a) 2f(x)+3 = -2x+9

g(x)-2 = 2x-3

rezultă ecuaţia -2x+9 = 2x-3 cu soluţia x=3

1p

1p

3p

b) - f(-3) = -6

g(-2) = -5

Rezultă propoziţia -6>-5, propoziţie falsă

1p

1p

3p

5 Se găseşte n=5 2p

www.mate

info.r

o

378

Page 379: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Se găseşte x=6 3p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Volumul silozului 1728 m3

Volumul grâului din siloz: 1555,2 m3

Volumul lăzii unui camion : 11,52 m3

Numărul de transporturi: 135

1p

1p

2p

1p

b) 933,12 tone 5p

c) 419.904 lei 5p

2. a) OC=OB=30 m

AB=72 m

AAOCD = 1260 m2 , Aria sfertului de cerc este 225π m2

Aria terenului: (1260+225π ) m2

1p

1p

2p

1p

b) (144+15π ) metri 5p

c) AABD = 1080 m2

Aria terenului este de aproximativ 1966,50 m2

Aria cultivată cu trandafiri este de aproximativ 886,5 m2

Aproximarea prin lipsă de 1m2 este de 886 m2

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

379

Page 380: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 142 Prof. Valer Pop

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 3 2 5p

2. 1 5p

3. 0 5p

4. 12 cm 5p

5. 50 cm2 5p

6. 9% 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenul

Notaţia figurii

4p

1p

2. Preţul televizorului după ieftinire: 544 de lei

Preţul maşinii de spălat: 1280 de lei.

Preţul maşinii de spălat după scumpire: 1344 de lei .

Preţul celor două obiecte: 1888 de lei.

2p

1p

1p

1p

3. |1 3 | 3 1− = −

12 2 3=

Rezultatul: 0

1p

1p

3p

4. a) Notăm: x – nr. metrilor de stofă pentru uniforma de fată

y - nr. metrilor de stofă pentru uniforma de băiat

1p

www.mate

info.r

o

380

Page 381: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Avem sistemul 5 8 349 6 36

x yx y+ =

+ =

Rezolvarea sistemului şi soluţia 2, 3x y= = .

Pentru o uniformă de băiat sunt necesari 3m de stofă.

1p

2p

1p

b) O uniformă de fată şi 3 uniforme de băiat

sau 4 uniforme de fată şi o uniformă de băiat.

3p

2p

5 Ecuaţia: ( ) 2f x x= , adică 6 2x x− + =

Soluţia ecuaţiei : x = 2

Aflarea coordonatelor lui M: M(2;4)

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) AEBCDGF =AABCD – AAEFG

AEBCDGF = 1728 – x2

2p

3p

b) AAEFG = AABCD:3 = 576 m2

x = 24 m

3p

2p

c) 575 m2 = 5,76 ari

5,76∙1200 = 6912 Euro

6912∙ 4,20 = 29.030,4 lei

2p

2p

1p

2. a) Volumul vasului: 96.000 cm3

Aria bazei vasului: 1600 cm2

Înălţimea vasului: 60 cm.

2p

2p

1p

b) Dacă introducând cubul în vas, nivelul apei se ridică în vas cu 5 cm rezultă că volumul cubului este echivalent cu al unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile: 40 cm, 40 cm , 5cm.

2p

www.mate

info.r

o

381

Page 382: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Volumul cubului: 8000 cm3.

Muchia cubului are lungimea de 20 cm.

2p

1p

c) Aria laterală a vasului: 9600 cm2

Aria totală a cubului: 2400 cm2

Raportul este egal cu 4

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

382

Page 383: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 143 Prof. Popa Camelia Sanda

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 3 5p

2. 35 5p

3. b 5p

4. 81π 5p

5. 36 5p

6. 7 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. . ; .x nr carti y nr rafturi− −

( )50 1060 4

y xy x+ =

− =

70x carti=

2p

3p

3. [ ]3 2 1 3 1;2x A− ≤ − ≤ ⇒ = −

4 3 33 3 ;33 2

X B− − ≤ ≤ ⇒ = −

[ ]1;2A B = −

2p

2p

1p

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparțin graficului

Trasarea graficului funcței

4p

1p

www.mate

info.r

o

383

Page 384: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 3 ... 2 1 2f f f f n n n n n n n+ + + + − = + + − =

2n N n n N∈ ⇒ = ∈

3p

2p

5 ( ) 5 2xE xx−

=

{ }2 16 8 0;1;...;8x x x≤ ⇒ ≤ ⇒ ∈

{ }0;3x∉ { }1;2;4;5;6;7;8x⇒ ∈

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2int. 222A m= 5p

b) 32,1apaV m=

21apaV hl=

4p

1p

c) . .15 ; 6ext extL m l m= =

3 3int. .280 ; 360extV m V m= =

( )77, 7 %p =

2p

2p

1p

2. a) 13SQ m=

70SNPQP m=

2p

3p

b) 230SMQS m=

30 15 450kg⋅ =

450 : 5 90cutii=

2p

2p

1p

c) 2100MNPQS m=

cost final=1320 lei

3p

2p

www.mate

info.r

o

384

Page 385: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 144 Prof. Popa Camelia Sanda

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 22 5p

2. -6 5p

3. 2 5p

4. 120 5p

5. 48 5p

6. 105 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. 11 4a b=

2 30a b= +

110a =

40b =

1p

1p

2p

1p

3. 60a b+ =

2,75ab=

44; 16a b= =

x -numărul de ani; ( )44 3 16x x− = −

2x =

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

385

Page 386: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) ( ) ( )1 3 1; 1 1f a f a= + − = +

23 4 7 0a a+ − =

71;3

a ∈ −

2p

2p

1p

b) Aflarea coordonatelor a două puncte situate pe grafic și trasarea graficului

( ), fMN AB d M G MN⊥ ⇒ =

12MABA =

4 22MAB

AB MNA MN⋅= ⇒ =

2p

1p

1p

1p

5 ( ) ( )32 2x x+ − +

( ) ( )22 2 1x x + + −

Finalizare

2p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 3 38 8000V l V m l= ⇒ = =

8000 : 250 32zile=

3p

2p

b) 2 25 20A l A m= ⇒ =

20 2 40l⋅ =

40 : 4 10cutii=

2p

2p

1p

c) 3 2 3d l d= ⇒ =

2 3 3,5m m< ⇒ nu se poate scufunda

3p

2p

www.mate

info.r

o

386

Page 387: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a)

2036

CE mEF x

== −

720 20CDEFA x= − m2

2p

3p

b) 21296ABGEA m=

00720 30 1296x− = ⋅

16,56x =

2p

2p

1p

c) 2216gardA m=

216 25 5400lei⋅ =

3p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 145 Prof. Popa Camelia Sanda

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 210 5p

3. 180 5p

4. 8 5p

5. 138 5p

6. 250 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. 120a b− = 1p

www.mate

info.r

o

387

Page 388: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1 25 ; 3a c b c= =

1 220c c= +

1 25 3 120c c− =

150; 30a b= =

1p

1p

1p

1p

3. . , . 630x nr adulti y nr copii x y− − ⇒ + =

25 10 9525x y+ =

215; 415x y= =

1p

1p

3p

4. a) ( )22 6 9 3x x x+ + = +

( )11

3E x

x=

+

2p

3p

b) ( )( )2 9 3 3x x x− = + −

( )212 3

xE xx

=+

{ }6; 4; 2x∈ − − −

1p

2p

2p

5 ( )2 3 1f a a= +

22 3 2 0a a− − =

12;2

a ∈ −

1p

2p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) bV A h= ⋅

32V m=

2p

3p

b) ; 2VM AD VN BC VMNechilateral VM m⊥ ⊥ ⇒ ⇒ = 2p

www.mate

info.r

o

388

Page 389: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2b p

l

P aA

⋅=

28lA m=

1p

2p

c )

34 3 400 3( 2) ( 2000)

3 3rezervor piramida prismaV V V m litri= + = + = +

200 3: 20 100 215,45min3rezervorV = +

1p

2p

2p

2. a)

2

400AEF

ABC

A xA

=

238AEFxA =

3p

2p

b) ( )1

3AEF ABC AEFA A A= −

200x m=

1p

4p

c) 215000 1,5AEFA m ha= =

22,5graum kg=

135graupret lei=

108finalpret lei=

2p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

389

Page 390: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 146 Prof. Popa Camelia Sanda

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 5p

2. 10 5p

3. 1330

5p

4. 40 5p

5. 3 5p

6. 24 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. ,d i c r r i= ⋅ + <

1

2

2168 23,232039 37,37

i c ii c i

= ⋅ + <= ⋅ + <

37i⇒ >

143i =

1p

2p

2p

3. ( ) ( )9 a b a a b− = −

9, 5 95a b ab= = ⇒ =

2p

3p

4. a) 22 3 1 0a a− + =

1 ,12

a ∈

2p

www.mate

info.r

o

390

Page 391: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3p

b) ( ) 2 2f x x= −

Alegerea corectă a două puncte care aparțin graficului

Trasarea graficului funcței

1p

2p

2p

5 ( ) ( )( )( )22 2 2 3 1x x x x x+ − − = + + +

( )( )2 5 6 2 3x x x x+ + = + +

( ) 1E x x= +

( )n N E n N∈ ⇒ ∈

1p

1p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2t l bA A A= +

218000lA cm=

23600bA cm=

221600tA cm=

1p

2p

1p

1p

b) ( ),AD ABC D AD′ ′≡

15 41AD′ =

5 41sin41

D AD′ =

2p

2p

1p

c) 30,27gV m=

0,27 200 54 puieti⋅ =

2p

3p

2. a) a) 2225pS cm= 2p

2p

www.mate

info.r

o

391

Page 392: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

24500000fS cm=

20000 pietre

1p

b) 3675pV cm=

313,5totalV m=

2p

3p

c) 13,5 20 270lei⋅ =

270 15% 270 229,5− ⋅ = lei

2p

3p

www.mate

info.r

o

392

Page 393: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 147 Prof Raţ Cristina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 60 5p

3. 49

5p

4. 245

5p

5. 100 5p

6. 13 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida Notează piramida

4p 1p

2. Mg(x,y)= 3 4 1( 0, (1) 0,1 )(1,5 4)

4 3 15⋅ + ⋅ − ⋅

Finalizare Mg(x,y)= 22

3p 2p

3. 2 4 3 2x x+ ≥ + 2x→ ≤ Finalizare x={0,1,2}

3p 2p

4. a) Scrierea corectă a ecuaţiei din care se află preţul iniţial Rezolvarea corectă a calculelor Finalizarea preţul iniţial=200 lei

2p 2p 1p

b) Scrierea corectă a ecuaţei din care se află preţul dupa a prima scumpire Rezolvarea corectă a calculelor Finalizarea preţul după a prima scumpire=220 lei

2p 2p 1p

5 Înlocuirea lui x cu 2 Finalizarea E(2)=8

3p 2p

SUBIECTUL III (30 de

www.mate

info.r

o

393

Page 394: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

puncte)

1. a)

6 4 8L l h K= = =

2 2 2 1044L l h+ + = 2 2116 1044 9 3K K K= → = → =

Finalizare L=18, l=12, h=24

1p 1p 1p 2p

b) 2 2Al Lh lh= + Finalizare Al=1440 m 2

2p 3p

c) 20,5 1440x l m= ⋅ 60→ cutii de vopsea(720 litri in cutii de 12l vopsea)

60 50 3000⋅ = lei

2p 1p 2p

2. a) Adreptunghi= 210 20 200m⋅ =

A semicerc=2

2Rπ

A= A dreptunghi-A semicerc=43 m 2

1p 2p 2p

b) Perimetrul=60 cm Lungimea celor 4 semicercuri 62,8 m Finalizare suma celor 2=122,8 m

2p 2p 1p

c) 157 m 2 : 10 m 2 =15,7 m 2 rezulta 16 m 3 5p

www.mate

info.r

o

394

Page 395: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 148 Prof Raţ Cristina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 3 5p

3. x=1 5p

4. 20 cm 5p

5. 216 5p

6. 8,11 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenaţi cubul Notaţi cubul

4p 1p

2. 2 3 4a b c K= = =

Înlocuim a,b,c in relaţia dată: 2 2 24 9 16 261 3K K K K+ + = → = Finalizare a=6,b=9,c=12

2p 2p 1p

3. x=1 y=2

2p 3p

4. a) a+b=6 f(0)=4 4b→ = a=2

2p 2p 1p

b)f(x)=2x+4 2x+4=8 2x→ =

2p 3p

5 x=8 y=2 x+y=10 20% ⋅10=2

1p 1p 1p 2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

395

Page 396: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. a) Perimetrul ABCD=32 m 2 4 2

2lOB = =

VB= 41 Finalizare L=57,6 m <60

1p 1p 1p 2p

b)Al=4 ⋅AVBC

Calculul ariei lui VBC folosind formula 2

BC VM⋅

Finalizare Al= 80 m 2

1p 2p 2p

c) T=2L \Aflarea lui T=20 lei Finalizarea L=10 lei

1p 1p 3p

2. a)MNPQ=romb (diagonale perpediculare) 1 2

2d dAromb ⋅

=

Diagonala2=2l ( linie mijlocie AMB )

Finalizare A=16 m 2

2p 1p 1p 1p

b) Aparchet=48 m 2 48:2=24 pachete 24 ⋅75=1800 lei

2p 1p 2p

c) 16 ⋅25=400 lei(gresie) 12 ⋅60=720 lei(parchet) Finalizare 720+400=1120 lei

2p 2p 1p

www.mate

info.r

o

396

Page 397: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 149 Prof Raţ Cristina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. {5,8} 5p

2. 35 5p

3. 299

5p

4. 7 2 5p

5. 21 cm 3 5p

6. 43

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenţi paralelipipedul Notaţi paralelipipedul

4p 1p

2. Factor comun 6n E= 6n (2+36-15), E= 6n ⋅22 E 11

2p 2p 1p

3. x=2 y=5

3p 2p

4. a) Scoaterea factorilor de sub radical Finalizare x+y=0

3p 2p

b) calculul lui x,x=14 3 15 2− calculul lui y,y=15 2 14 3−

2p 3p

5 f(-1)=-1 f(3)=11 Finalizare -11

2p 2p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

397

Page 398: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. a) Al=2( Lh+lh)=192 m 2 1m 2 conine 2 plăci 192 2 384→ ⋅ = plăci

3p 2p

b) 384 ⋅15 lei=5760 lei 5p

c)384:16=24 pachete Calculul volumului=8m 3 24 ⋅8=193 m 3 , 200 m 3

1p 2p 2p

2. a)3 rânduri de locuri de parcare si 2 culoare 36:1,5=24(locuri pe un rând) 24 ⋅3=72(locuri în total)

1p 2p 2p

b)Aria dreptunghiului =396 m 2 suprafaţa ocupată de locurile de parcare 36 ⋅2 ⋅3=216 m 2 396-216=180 m 2 suprafaţa culoarelor

1p 2p 2p

c)15 ⋅1=15 lei in prima oră numărul de maşini din a doua oră = 10 , 10 ⋅1=10 lei in a doua oră 72 ⋅1=72 lei in a treia oră Suma : 72+10+15=97 lei

1p 1p 1p 2p

www.mate

info.r

o

398

Page 399: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 150 Prof.RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2,01 5p

2. [ ]1;1A B∩ = − 5p

3. 26620000 locuitori 5p

4. 72m2 5p

5. 40cm2 5p

6. 3 ore 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma Notează prisma

4p 1p

2. Not.cu a,a+2,a+4cele trei numere naturale impare consecutive⇒ ( ) ( )2 22 2 4 155a a a+ + + + =

⇒ 2 4 45 0a a+ − = ⇒ 1

2

5 5;7;99

aa= ∈ ⇒

= − ∉

1p

2p

2p

3. 2 3 2 34020

2 2

x y x yx y x y

= = ⇒ + =+ =

Finalizare x=24˚; y=16˚

3p 2p

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f Trasarea graficului functiei

2p 2p 1p

b) ( ){ }2;0fG Ox A∩ =

( ){ }0; 4fG Oy B∩ = − 2 2 2 5AB OA OB= + =

2 5sin52 5

OAAB

α = = =

1p 1p 2p 1p

www.mate

info.r

o

399

Page 400: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 ( ) ( )( )

2 2 2

5 5 5 5 104 20 25 4 20 25 4 25

x x x x xE xx x x x x

+ + − + − += =

+ + + − + +

Presupunem ca ( ) 1 ,2

E x x≤ ∀ ∈

⇔ 2

10 1 ,4 25 2

x xx

≤ ∀ ∈+

⇔2

2

20 4 25 0,4 25x x x

x− −

≤ ∀ ∈+

( )2

2

2 50,

4 25x

xx−

− ≤ ∀ ∈+

Este adevarata x∀ ∈

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 27,5 3 11,252AHEA m⋅

= =

⇒11,25m2 ˑ50kg=562.5kg vinete 562.5kgˑ 2lei=1125 lei

2p 2p 1p

b) 22,5 3 3,752AHBA m⋅

= =

⇒3,75m2 ˑ45kg=168,75kg ardei 168,75kgˑ 1,5lei=253,125 lei

2p 2p 1p

c) 210 3 30BEDCA m= ⋅ = 10 2 13 2 26BEDCp m= ⋅ + ⋅ = lungimea gardului

30m2 : 1m2=30 păsări maxim

2p 2p 1p

2. a) ( ) ( )ADDpr BD AD′ ′ ′= ⇒ ( )( );BD ADD AD B′ ′ ′=

În ( )( )90AD B m D AB′ ′ =

calculăm ( ) ( )ABtg AD BAD

′ = ∗′

În ( )( ).

90 100 2025 5 85T Pitagora

ADD m ADD AD′ ′ ′= ⇒ = + =

Înlocuim în rel.(*) ⇒ ( ) 2 8585

tg AD B′ =

1p

1p

2p

1p

b)Înălţimea apei în vază este de 34

din AA′ ⇒ 3 45 33,754

cm⋅ = 3 3100 33,75 3375 3,375 3,375apei bazeiV A h cm dm l= ⋅ = ⋅ = = =

2p 3p

c) 3 31 100 45 4500 4,5 4,5ABCDA B C D bazeiV V A h cm dm l′ ′ ′ ′= = ⋅ = ⋅ = = = se pot pune în

vază ⇒4,5litri - 4litri=0,5litri = 3 30,5 500dm cm= este volumul bilei introduse

⇒3

3 34 375 3500 5

3r r rπ

π π= ⇒ = ⇒ =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

400

Page 401: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 151 Prof.RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 43

5p

2. 10236 5p

3. 210 g 5p

4. OC=16 5p

5. 81cm2 5p

6. 9 capitole 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida Notează piramida

3p 2p

2.

( )22 2 21 1 4925 2 254 2 2

a b a b ab+ = + − =

− ⋅ = − =

3p

2p

3. x=bile rosii;y=bile galbene

( )5 5 455 4 1 5 5 4 4 9

x y x y xx y y y y= = = ⇔ ⇔ − = + − = + =

3p

2p

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f Trasarea graficului functiei

2p 2p 1p

b) 3 ;0

2fG Ox A ∩ =

( ){ }6;0gG Ox B∩ = ⇒3 962 2

AB OB OA= − = − =

( ){ }3;3f gG G C∩ = 27

2 4C

ABCAB yA ⋅

= =

1p 1p 2p 1p

www.mate

info.r

o

401

Page 402: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 2 3 4a b c k= = = si 2b=9d ⇒

a=2k;b=3k;c=4k; 23

d k=

Calculam 2a2 + b2 + 3c2 + 10d2=65k2+ 2409

k = 26259

k

2p 2p 1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)Calculam AC=10m Perpendiculara dusă din B pe AC intersectează A C′ ′ in B′′ si pe AC in B′ ⇒

4,8AB BCBB mAC⋅′ = = şi 3,8BB m′′ =

( )A BC ABC A C AC′ ′ ′ ′ ⇒

A B BC A C BBAB BC AC BB′ ′ ′ ′ ′′

= = =′⇒ 3,8A B m′ = si

4,75B C m′ = Finalizare:Lung.gard.=22,55m

2p 1p 1p 1p

b)Calculam 7,91A C m′ ′ =

Aalee=Atrapez=( ) 239,5

2AC A C B B

m′ ′ ′ ′′+ ⋅

=

3p

2p

c)Fie O centrul cercului înscris în ADC şi notăm cu r raza acestuia ADC AOC AOD DOCA A A A= + +

⇒ r=2 m Finalizare: 4cercA π= m2

2p 2p 1p

2. a) ( )2 2 34 68bazeiP L l m= + = ⋅ = 268 2,5 170l bazeiA P h m= ⋅ = ⋅ =

224 10 240bazeiA L l m= ⋅ = ⋅ = ⇒170+240=410m2faianta

1p 2p 1p 1p

b) 3240 2,5 600bazin bazeiV A h m= ⋅ = ⋅ = 380% 80% 600 480 480000apei bazinV V m litri= ⋅ = ⋅ = =

480000 litri : 1000=480kWh consum energie electrica 480kWh ˑ0,35leiˑ 4=672 lei costă lunar schimbarea apei în bazin

1p 2p 1p 1p

c)

3 480480 240 2240

apei bazeiV A h

m h h m

= ⋅

⇒ == ⋅ ⇒ = =

2p

3p

www.mate

info.r

o

402

Page 403: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta152 Prof.RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 32 5p

2. x=44 5p

3. 15 536 12

p = = 5p

4. 120˚ 5p

5. 18cm 5p

6. 11cm2 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma Notează prisma

3p 2p

2. c(a-b+3)=3293⇒89(a-b+3)=3293

⇒ a-b+3=37⇒ a-b=34

3p

2p

3. Scrierea complementului lui α Scrierea suplementului lui α 90 1

180 19αα

−= ⇔

Finalizare: α=85˚

1p

1p

1p

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f Trasarea graficului functiei

2p 2p 1p

b) 3 4 1 4x x⇔ − − ≥

8 2x⇔ ≤14

x⇔ ≤

Cum { }0x S∈ ⇒ =

2p 2p 1p

www.mate

info.r

o

403

Page 404: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 2 4 3 ; 12 2 2

x yx y

x y− =

⇒ = = − + =

Finalizare 2 24x y+ =10

3p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)Raza dusă în punctul de tangenţă este perpendiculară pe tangentă.

⇒ ;OA l PC l OA PC OACP trapez⊥ ⊥ ⇒ ⇒ ;dar ( ) 90m A =

⇒ OACP este trapez dreptunghic Ducem PH OA⊥ ;aplicăm teor.Pitagora în PHO ⇒PH= 6 3cm

⇒ ( ) 212 6 3 36 32 2OACP

OA PC PHA cm

+ ⋅= = =

2p 2p 1p

b)Observam în PHO :2

OPOH = ⇒ ( ) 30m OPH =

⇒ ( ) 60m O =

⇒ OAB echilateral⇒2

23 81 34 4OAB

aA cm= =

În trapezul OACP cu ( ) 60m O =

⇒ ( ) 120m OPC =

În BPC isoscel ducem PM BC⊥ ⇒PM bisect. ⇒ ( ) 60m BPM =

şi

( ) 30m MBP =

⇒PM=3/2cm.Calc. 3 32

MB cm= ⇒ 3 3BC cm=

⇒ 29 32 4PBC

BC PMA cm⋅= =

227 32ABC OACP OAB PBCA A A A cm= − − =

2p

2p

1p

c)

2

sec . 360t cercRA π α⋅ ⋅

=

( )

22

1 sec . ;99 60 27360 2t C OA A cmπ π⋅ ⋅

= = =

( )

22

2 sec . ;33 120 3360t C PA A cmπ π⋅ ⋅

= = =

⇒ 21 2

33 1136 3 3 12 32 2OACPA A A A cmπ π = − − = − = −

2p

2p

1p

2. a) Baza hexagon regulat 10==⇒ OBAB m ( )( )

( ) . .0 2 2 21 2: 90 T P

VO ABCVO OB VOB m O c c ip

OB ABC

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ ∠ = → + = ⇒⊂

VO= 691013 22 =− m Fie VM apotema piramidei în faţa laterală VAB. Avem AM = 5 m

1222 =−= AMVAVM m

1p 2p 2p

www.mate

info.r

o

404

Page 405: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) SABCDEF=150 3 m2

2bazei

lateralaP apA ⋅

= ⇒ 2.

60 12 3602latA m⋅

= =

VVABCDEF=150 23 m3

2p 2p 1p

c) Necesarul de material 2 ⋅ Alaterala = 720 m2. Costul materialului 720 ⋅ 13,50 = 9720 lei. Costul podelei: 150 3 m2ˑ20lei=300 3 lei ≈ 519lei ⇒9720 lei+519lei=10239lei total costuri

2p 2p 1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 153 Prof. Ricu Ileana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -6 5p

2. x= 5 3

11+

5p

3. P=0,5 5p

4. 42 lei 5p

5. 156cm2 5p

6. 1180 persoane 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 200

10

a b ca b ca b

+ + = + = − =

⇒ a=55;b=45;c=100

5p

2. V=Abazei·h⇒h=8cm 5p

3. (x-13)+(5+3x)=180⇒x=47 5p

www.mate

info.r

o

405

Page 406: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) ( )

( ) ( )( )( ) ( )2 2

2 22

1 1 2 112 : 21 1 11 1

x x x xx x x x x xE xx xx x

− + −+ − − += = ⋅ =

− ++ +

5p

b) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 1 4 2 2 8 2 8 12 6 22 8 82 1 2 1 2 1

6 2 2 6 2 2 2 2 26 2

2 12 1

E− − + + +

+ = + = = =+ + +

+ − + −= = =

−+

5p

5 Not.MN==linia mij. ; B+b=2MN⇒ B+b=2( 7 1− );

Atrapez=( )

2B b h+

⇒ Atrapez=( 7 1− )( 7 1− )=7-1=6cm2

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)Adormitor=20 m2⇒20:1,25=16 cutii parchet 5p

b)Atrapez=

( )4 2 515

2+ ⋅

= m2

Asector cerc=2

225 6,25 19,6254 4R mπ π π⋅

= = ≈

⇒Aterasa=15+19,625=34,625m2

5p

c)34,625·32=1108 lei costă gresia 5p

2. a)Calc.BD=50cm;BE = ⋅51 BD=10cm;ED=40cm

In ∆MED avem:MD=40 2 cm⇒A∆MDB= 210002

BD ME cm⋅=

5p

b)Ducem EF BC⊥ ;avem( )( )( )

.3 .T perpME ABC

BC ABC MF BC

ME ABC

⊂ ⇒ ⊥⊥

8BE EFEF DC BEF BDC EF cmBD DC

⇒ ⇒ = ⇒ =

5p

www.mate

info.r

o

406

Page 407: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

In ∆MEF: 2 2 2 421MF ME EF= + =

c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ); ; ;MCB ADB BC MCB ADB MF EF MFE∩ = = =

⇒ ( ) 40 58

MEtg MFEEF

= = =

5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 154 Prof. Ricu Ileana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. S={6;-3;-1;4} 5p

2. 1315

5p

3. P=0,2 5p

4. Diferenta=9,016 lei 5p

5. 16 3 5p

6. 198 3,9650

= carti 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 310

A = ; 3 210

B −= ;A<B

5p

2. Not.x=pretul initial ; 20%·x=lei se reduce pretul⇒x-20%·x=320⇒ 201 320

100x − =

⇒x=400 lei

5p

3. Not.P(a;b)⇒2a=3b(1) ( )fP G f a b∈ ⇔ = (2)

⇒2 3 9

3 6a b a

a b b= =

⇔ − = = ⇒P(9;6)

5p

www.mate

info.r

o

407

Page 408: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4.

a)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

2

2

22 2 2

2 2

2 13 1 21 1 1 1 2 2

13 2 1 2 21 1 1 2

1 1 11 1 1 2 2

a a aa a aE aa a a a a a a a a

a aa a a a a a aa a a a a

a a a aa a a a a a

− + − − += − + ⋅ = − + + − + + +

−− − + − + + + += ⋅ =

− + + +

+ − += ⋅ =

− + + + +

5p

b)

( )

2a1aaE

+−

= ⇒ ( ) 2 1 2 1 112 2 2 2

a aE aa a a a+ − +

= = − = −+ + + +

;

( ) { }2 /1 2 1E a a a si a∈ ⇔ + ⇔ + ∈ ± ∈ ; Avem a+2=1⇒ a= -1∉ ; a+2= -1⇒ a= -3∉ ; Deci a∈∅

5p

5 48:12=4cm lungimea unei muchii A=a2⇒A=16cm2

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Calculam 12 2B D′ ′ = cm; folosim teor.Pitagora în BB O′ ′

, ( ) 90m B′ =

⇒ O B′ = 66

5p

b) D C A B ′ ′ ⇒ ( )AD ,A B AD C ′ ′ ′= Triunghiul AD/C este echilateral (laturile sunt diagonale ale feţelor cubului) m(∠( AD/,A/B)) = m(∠ AD/C) = 600

5p

c) ( )AC BB D ′⊥ ⇒ AC B D ′⊥ (*) ;

( )AD A B D ′ ′ ′⊥ ⇒ AD B D ′ ′⊥ (**); Din (*) şi (**) rezultă B D (AD C)′ ′⊥

5p

2. a)Vpiramidei=Abazei·h=49·20=980cm3 5p

b)Vcilindru= 2R hπ =135π cm3 5p

c) m V ρ= ⋅ ⇒m=135π ·11,3=1525,5π grame≈4790.07grame≈4,790kg 5p

A

A B

M

www.mate

info.r

o

408

Page 409: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 155 Prof. Ricu Ileana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 0 5p

3. 4 3 3 2 3 0x x x⋅ − ⋅ + + − = ( )2 3 2 3 1 0x x⇒ − + + = 3 0 3x x⇒ − = ⇒ =

Sau 12 3 1 0 32

x x+ + = ⇒ + = − (nu are solutii;stim ca 0,x x≥ ∀ ∈ )

Deci A={3}; | x- 1 | ≤ 2⇔ -2 ≤ x-1 ≤ 2⇔ -1 ≤ x ≤ 3⇔ B=[-1;3] A∩B={3}

5p

4. 1 1 4 65 ;5 5a b

+ = ∉

5p

5. 4 6 5p

6. Februarie 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 180 9014 12 26 52x y z z= = = ⇒ =

5p

2. ( ) ( )2 1 1fM G f a b a b∈ ⇔ = ⇔ − =

( ) ( )3 2gM G g a b a b∈ ⇔ = ⇔ − = Din (1) si (2) ⇒ a= -2;b= -5

5p

3. Notam x=masura unui unghi⇒5x=masura unghiului mai mare⇒ x+5x+72=180⇒x=18◦⇒5x=90◦

5p

4.

a)E(x) are sens daca:

2

2

2

2 1 02 1 02 1 0

x xx xx

+ − ≠

− − ≠ + ≠

Consideram 2x2+x-1=0⇔ x2+x+x2-1=0⇔ x(x+1)+(x+1)(x-1)=0⇔

(x+1)(2x-1)=0⇔ x= -1sau x= 12

;

Analog,consideram 2x2-x-1=0⇔ x=1 sau x= - 12

2x2+1≠0, x∀ ∈ (deoarece 2x2≥0, x∀ ∈ si 2x2+1>0, x∀ ∈ )

5p www.mate

info.r

o

409

Page 410: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Deci 1\ 1;2

x ∈ ± ±

b)

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

2 2

2 2

22

2 2

2 1 2 1 2 1 2 11 11 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1

2 2 14 2 1 1 21 1 2 1 1 1 2 1 1

x x x xx xE xx x x x x x x x

xx x xx x x x x x x

− + − +− −= + ⋅ = + ⋅ = + − − + + + − +

+ + − − = ⋅ = ⋅ = + − + + − + +

5p

5 Not.a;a+1;a+2 laturile paralelipipedului⇒ ( ) ( )2 22 1 2 5 2a a a+ + + + = ⇒ a2+a2+2a+1+a2+4a+4=50⇒ a2+2a-15=0⇒ a1= -5nu convine); a2=3⇒3;4;5 sunt lungimile muchiilor ⇒V=60cm3

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)pr(ABC)SB=AB⇒ ( )( );SB ABC SBA=

In ∆ABD(AB≡AD=lat.romb; ( ) 60m A =

) ⇒ ( ) ( ) 60m ABD m ADB= =

∆ABC echilateral⇒AB=AD=BC=DC=14cm In ∆SAB( ( ) 90m A =

)⇒ cf.teor.Pitagora:SB=14 2 cm

5p

b)Not.BD∩AC={O};calculam diagonala AC astfel:in ∆AOB( ( ) 90m O =

)⇒

AO=7 3 ⇒AC=2AO=14 3 cm;

In ∆SAC( ( ) 90m O =

)⇒SC=28cm⇒ ( ) 14 1sin28 2

SAACSSC

= = = ⇒

( ) 30m ACS =

5p

c) ( )14 3 2SBCP = +

5p

2. a) ( )3

hV S s Ss= + + ;S=50·5=250m2;s=10m2⇒

( ) ( ) 32,4 250 10 250 10 0,8 250 10 50 2483

V m= + + ⋅ = + + =

5p

b)248:0,5=496 roabe 5p

c)248:4=62 transporturi de camion 5p

www.mate

info.r

o

410

Page 411: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 156 Prof. Ricu Ileana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. ( ) { }\ 3 2;A π∩ = − 5p

2. S={-3;5} 5p

3. d=13cm 5p

4. 60◦ 5p

5. 19 0,021900

p = = 5p

6. 44 miliarde 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. 85 81 9

a bab

+ =

+= −

;rezolvând sistemul obţinem a=11;b=19 5p

2. L l=800;aria devine:

A= ( )( ) 21 1 1 2525% 25% 12504 4 16 16

l l L L lL lL lL lL lL cm+ ⋅ + ⋅ = + + + = =

5p

3. Apistei= . 2 4 5 20

2 2lat cilindruA rgπ π π= = ⋅ ⋅ = m2

5p

4.

a) ( )

( )

1 11 1

1 1 2 11 2 1

E xx x x x

x x x x xx x x

= − =− − + −

+ − − + − −= =

− − −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

22 1 3 2 3 12 1 32 1 2 3 32 3 3

4 3 7 4 3 7 4 3 72 2 3 3 1

2 3 3 5

E

rationalizare

− −−− +⇒ − = = = = =

− − −− −

= = − +

5p

www.mate

info.r

o

411

Page 412: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b)E(x)=2 2 21

2

1 0 11 2 1; : ;12 1 0 2

1:1 4 4 1 4 3 0 0 ;12

3 1 ;14 2

xx x cond x

x

Avem x x x x x x

x

− ≥ ⇔ − = − ⇔ ∈ − − = − + ⇔ − = ⇔ = ∉

= ∈

si

5p

5 Not.AD=a cm⇒AB=2a;PABCD=30⇒4a+2a=30⇒ a=5cm Cateta opusa unghiului de 30◦este ½ din ipotenuza. ⇒h=2,5cm. ⇒AABCD=b·h=10·2,5=25cm2

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1.

a)( )( )

( )( )

.3 .

90

Teor perpMA ABCD

DC ABCD MD DC

AD DC m ADC

⊥⊂ ⇒ ⊥

⊥ =

Ducem OE⊥DC⇒OEAD,dar O=mijl.segm.[MC] ⇒OE=linie mijl.a

MDC ⇒OE=2

MD ;in MDC calc.MD=60cm⇒OE=30cm

5p

b)In ( )( )90ADM m A =

avem: ( ) 36 3sin60 5

MAADMMD

= = =

In ( )( )90ABM m A =

avem: ( ) 27 3cos45 5

ABABMMB

= = = unde BM s-a

calc.in ( )( )90MAB m A =

cu teor.Pitagora

In ( )( )90ADB m A =

avem: ( ) 48 1627 9

ADtg ADBAB

= = =

⇒ ( ) ( ) ( )sin 3cos 4ADM ABM tg ADB+ + = 42845

5p

c)Avem

( )( )

( ) ( ). . )

;.

CD MD cf pct aCD MD AD CD MAD

CD AD lat dreptunghi

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥⊥

⇒pr(MAD)CM=MD=60cm(s-a calc.la pct.a))

5p

2. a)Vcub=3,375m3 Vpiramida=1,125m3 ⇒Vcorp=4,5m3

5p

b)Slat.piram.= 2

p ap⋅ ;ap.=1,52

⇒ Slat.piram.=4,52

m2

Slat.cub=p·h=6·1,5=9m2

5p

www.mate

info.r

o

412

Page 413: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) m

Vρ = ⇒m=V ρ =4500dm3·1,5=6750kg

5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 157 Prof. Ricu Ileana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. x=17-3 2 ⇒ propozitie falsa 5p

2. S={-11;14} 5p

3. x=16 5p

4. 135 5p

5. 0,4 5p

6. 56,25% 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. ( )2;5 2 5a a∈ ⇔ < < ⇒ a-2>0 si a-5<0

E= ( ) ( )2 22 5 2 5 2 5 3a a a a a a− + − = − + − = − − + =

5p

2. 2x-60=155-3x⇒x=43 5p

3. Notam x=nr.fetelor;y=nr.baietilor⇒

( )30

3 3 5x yx y+ =

+ = −⇒

1812

xy=

=

5p

4. a) a) *n N∈ avem:Caz I: ( ) 114124932 2 =⇒+=+⋅==⇒= rpkn kkk . Caz II : ( ) 331231439312 12 =⇒+=⋅+=⋅=⇒+= + rppkn kk .Suma resturilor este: 40153100343131313

2006

=+⋅=+++++++

termeni

.

5p

b) ( ) ( ) ( ) =+++++++=++++= 200720053200732 33133133133333 S

( )⇒+++++= 3123334 20053 p restul este 3.

5p

www.mate

info.r

o

413

Page 414: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 AO= 2

3AM= 4 3

3; ( )( ) ( ) ( ); ; 60VA ABC VA AO VAO= = =

(cf.ipot.) ⇒

30AVO =

⇒VA=2AO= 8 33

;In∆VAO,cf.teor.Pitagora obtinem VO=4cm

Not.d(O;VA)=h;A∆VOA=2 2

VA h AO VO⋅ ⋅= ⇒h=2

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1.

a)Construim MN⊥AB;avem:( )( )( )

( )

Re . .3 .

.

cipr Teor perpMC ABC ip

AB ABC CN AB

MN AB constr

⊂ ⇒ ⊥⊥

Calc.AB= 4 2 cm(Teor.Pitagora);2 2ABC

AB CN AC BCA ⋅ ⋅= =

⇒CN= 2 2

In ( )( )90MCN m C =

⇒MN= 2 6 cm

5p

b) n ( )( )90MCB m C =

⇒MB= 4 2 cm⇒AB=MB=MA= 4 2 cm⇒

∆MAB echilateral⇒A∆MAB=2 34

a =8 3 cm2

5p

c)Not. ( )( );d C MAB h= ;exprimam vol.piramidei in 2 moduri⇒

3 3ABC ABMA MC A h⋅ ⋅

= ⇒h= 4 33

5p

2. a)d = ⇒d = d = d = d= 30 m

5p

b)Sfaianta=Alaterala+Abazei Al = 2 (L·l + l·h) ⇒ Al = 2 (50·14 + 14·2) =256 m2 Ab = L·l ⇒ Ab = 50·14 = 700 m2 ⇒ S = 256 + 700 = 956 m2

5p

c) Sfaianta = 956 m2 = 9 560 000 cm2 Suprafaţa de faianţă ce poate fi acoperită cu o cutie de faianţă : S’ = 40·20 = 800 cm2. Numărul de cutii: n = . ⇒ n = = 11 950 cutii.

⇒ costul lucrării este:11 950 · 15 = 179 250 lei

5p

www.mate

info.r

o

414

Page 415: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 158 Prof. Soare Roxana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 0 5p

3.

5p

4. u=60 5p

5. 144 5p

6. 64 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. desen 5p

2.

5p

3.

B(1,2)

C(-2,-1)

Obţinem

5p

4. a) ; 5p

www.mate

info.r

o

415

Page 416: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ⇔ { }3; 1;0;2x∈ − − 5p

5 5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) A=32m2 , deci cantitatea de parchet necesară este 35m2 . costul pentru 1m2

= 36 lei , deci costul parchetului este 1260 lei . 5p

b) . 5p

c) aria suprafeţei neacoperite de covor este (32- )m2

5p

2. a) înălţimea piramidei este 5p

b) ; =

⇒cantitatea de staniol necesară este 72 cm2

5p

c) 5p

www.mate

info.r

o

416

Page 417: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 159 Prof Soare Roxana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 5p

2. 80 5p

3. 17 5p

4. 90 5p

5. 8 38cm 5p

6.

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen +notaţie 5p

2.

Deci x este un divizor comun al numerelor 360,240,480 cuprins între 50 şi 80, de unde x=60 .

5p

3.

5p

4. a) Notăm cu x suma iniţială . Obţinem ecuaţia :

lei.

5p

b) În prima zi elevul a cheltuit 30 lei , iar în a doua zi 60 lei. 5p

5 5p

www.mate

info.r

o

417

Page 418: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 5p

b) MNPQ este romb 5p

c) costul gresiei este 105 ˑ45=4725 lei, costul chitului este 472,5 lei , iar costul manoperei este 5670 lei , deci costul total este 10867,5 lei

5p

2. a) Notăm cu x numărul natural impar, deci trei numere naturale impare consecutive x, x+2,x+4 ⇒x=5.

5p

b) 5p

c)Fie BM⊥B’C⇒ . Notăm ⇒

5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 160 Prof. Soare Roxana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 300 5p

3. 810 5p

4. 416 5p

5. 36 5p

6. 7,33 5p

SUBIECTUL II (30 de uncte)

www.mate

info.r

o

418

Page 419: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. Desen + notaţie 5p

2.

5p

3.

De unde obţinem

5p

4. a)

5p

b) 5p

5 Notăm cu x numărul de bănci .Obţinem ecuaţia :

, de unde rezultă că numărul de elevi este 33.

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 5p

b) 5p

c)patrulaterul AFDE este dreptunghi.

5p

2. a) 5p

b) ⇒numărul necesar de cutii este cutii

5p

c) ; vor încăpea 36 de cuburi de gheaţă. 5p

www.mate

info.r

o

419

Page 420: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 161 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 6 5p

2. 1265 5p

3. - 6 5p

4. 27 5p

5. 45 5p

6. 27 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. ( ) ( )3 1 2 5 3 12 5x x | xx+ ∈ ⇔ − +−

1p

Formează sistemul:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 5 3 1

2 5 2 3 1 3 2 52 5 2 5

x | xx | x x

x | x

− + ⇒ − + − − − −

2p

Scrie divizorii ( ) { }172 5 17 1 1 17x D ; ; ;− ∈ = − − + + { }2 12 4 6 22x ; ; ;⇒ ∈ − 1p

Determină mulţimea { }6 2 3 11A ; ; ;= − + + + 1p

3. Notează x numărul paginilor din carte. 1p

Scrie modelul matematic: 3 157 2x x⋅ + = sau 3 157 2x x x⋅ + + = 1p

Rezolvă ecuaţia şi obţine soluţia 70x = 2p

Finalizare: Cartea are 70 pagini 1p

www.mate

info.r

o

420

Page 421: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) Amplifică şi aduce la acelaşi numitor:

( )( )2 2 2

21 4 6 2 5 22 2 34

x xx x xE x x x xx

− − + + − += − − ⋅ + − +−

( ) ( )( )2 25 6 2 5 2

32 2x x x xE x xx x+ + − += ⋅

+− +

2p

Descompune numărătorii: ( )( )2 5 6 2 3x x x x+ + = + +

( )( )2 22 5 2 2 4 2 2 1 2x x x x x x x− + = − − + = − −

2p

Simplifică şi obţine rezultatul final:

( ) ( )( )( )( )

( )( )3 2 2 2 12 132 2

x x x xE x xxx x

+ + − −= ⋅ = −

++ −

1p

b) ( )( )

( ) ( )43 5 3 5 3 5 43 5

E x E x E xE x

+ = ⇒ + ⋅ − = −

( )( ) ( ) ( )22

3 5 4 7E x E x− = ⇒ =

3p

Rezolvă ecuaţia 2 1 7x − = şi obţine soluţiile { }3 4x ; ,dar∈ −

{ }13 2 2 42x \ ; ; ; x∈ − − ⇒ =

2p

5 gm a b= ⋅ 1p

Aplică formule de calcul prescurtat

( )( )( )( )7 4 3 3 5 7 4 3 3 5gm = − + + − ( )( )49 48 9 5= − −

2p

Finalizare 4 2gm = = 2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

421

Page 422: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1.

a)

5p

a)2

B bMN += unde b ZE=

;40

;ZC BA C BA

CD ZEED BA D BA

⊥ ∈ = =⊥ ∈

cm

( )( ) ( )

ˆ 90ˆ: 45

ˆ 45

m CZCA m Z ZCA

m A

= °∆ ⇒ = °⇒ ∆= °

isoscel

60CA ZC⇒ = = m

160BA BD DC CA= + + = m

100MN = m

b) 1 21002 2

MN CD hA += ⋅ = 2m

2 39002 2

BA MN hA += ⋅ = 2m

5p

c) 1

2

2100% 100 100 53,84%3900

ApA

= ⋅ = ⋅ = 5p

2. a) 24 2400 30L m cm= = 3 300 30l m cm= = 2 4 240 30h , m cm= = 5p

b) Calculează aria laterală şi aria bazei A = 129,6 m2 + 72 m2 = 201,6 m2. 5p

c) suprafaţa acoperită de o cutie de faianţă 50 0 09 4 5, ,⋅ = m2.

Necesarul de faianţă: 225,6 m2 105 211 68% ,⋅ = m2.

Numărul de cutii necesare 211,68 : 4,5 = 47,04

Sunt necesare 48 cutii.

5p

www.mate

info.r

o

422

Page 423: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 162 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 5p

2. 243 5p

3. 5 5p

4. 14 5p

5. 600 5p

6. 60 ha 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează tetraedrul

Notează tetraedrul

5p

2. 2 3 2 33 3 35 5x x+ +≤ ⇔ − ≤ ≤

[ ]9 6 9 6x A ;− ≤ ≤ ⇒ = −

5p

3. Un pix costă 3 1 8 5 4, ,⋅ =

5 caiete costă 5 1 8 9,⋅ =

4 pixuri costă 5 4 4 21 6, ,⋅ =

Total: 9 + 21,6 = 30,6

5p

4. a) : ;f ( ) ( )2 5 0 5f x x f= − ⇒ = −

( ){ }0; 5fG Oy A∩ = −

5p

www.mate

info.r

o

423

Page 424: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 52 5 0 ;02 2fx x G Ox B − = ⇒ = ⇒ ∩ =

b) 2AOB

AO OBA∆⋅

=

525

5 42

AOB

AOA

BO ∆

= ⇒ =

=

(u.a.)

5p

5 ( ) ( )2 23 3 5 3 3 2 3 3 5 3 3 2n = − + ⋅ − = − + ⋅ −

3 3 5 3 3 5 3 3 5> ⇒ − = −

3 2 3 2 2 3< ⇒ − = −

23 3 5 6 3 3 1 1n n= − + − ⇒ = =

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) [AC = bisectoare ( ) 30m CAB⇒ = °

( )( )

90 1: 2 48230

m BABC BC AC AC BC

m A

= °∆ ⇒ = ⇒ = == °

m

5p

b) [AC =bisectoare DAC CAB⇒ ≡

:DC AB AC = secantă CAB ADC⇒ ≡ (alterne interne)

ACD DAC ADC⇒ ≡ ⇒∆ = isoscel [ ] [ ]AD DC⇒ =

Fie : 24P AC AP PC DP AC∈ = = ⇒ ⊥

( ) 3 24ˆˆ: 90 cos 16 32

APADP m P A ADAD AD

∆ = °⇒ = ⇒ = ⇒ =

5p

c) P AB BC CD DA= + + +

24 3 24 16 3 16 3 56 3 24 120,88 120P = + + + = + = < m ; este insuficent.

5p

www.mate

info.r

o

424

Page 425: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. a) 2 4000A BC CF= ⋅ ⋅ = 2m 5p

b) 1000 3bV A= ⋅ = 3m

2 3 34b

lA = =

5p

c) 3 1,73sectiuniiA =

Debitul pe secundă: 3 32 / 1,73 3,46 /m s m s⋅ =

Debitul pe oră: 3 33600 3,46 / 12456 /m s m h⋅ =

5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 163 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. x− 5p

2. 6 5p

3. 8 5x = 5p

4. 9 5 5p

5. 6 5p

6. 200 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida.

Notează piramida.

5p

2. Calculează ( )0 7f = − şi ( )3 5f = −

Finalizează ( ) ( )0 2 3 3f f− =

5p

www.mate

info.r

o

425

Page 426: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. Notează cele două numere cu a şi b

11,6a b= +

63,42a

a bm a b+= ⇒ + =

Determină 25,9b = şi 37,5a =

5p

4. a) ( ) ( )( )1 11 4

1 1 3 1x x

E xx x x

+ − = + ⋅ + − −

( ) ( )( )( )( ) ( )1 15 3 5 3

1 1 3 1 3 1x xx xE x E x

x x x x+ −+ +

= ⋅ ⇒ =+ − − −

5p

b) ( ) ( )5 3 3 1 5 33 1x x xx+

∈ ⇔ − +−

Formează sistemul ( ) ( )( ) ( )3 1 5 3

3 1 3 1

x x

x x

− + ⇒− −

( ) ( ) ( ) ( )3 1 15 9 15 5 3 1 14x x x x− + − − ⇒ −

( ) { }143 1 1;2;7;14x D− ∈ = { }3 2;3;8;15x⇒ ∈ ⇒ { }1;5x∈

dar 11; ;13

x ∈ − −

5x⇒ =

5p

5 ( )1 3 5 7 ... 4021 4021 1 2011: 2n = + + + + + = + ⋅

2011 2011 2011n = ⋅ = ∈

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Fie A = aria paralelogramului ( ) 12

A ABD A⇒ ∆ =

.10 215 36 29 2

RT ThCMCB MN BDCNCD

= = ⇒= =

( )( )

223

A MNCMNC BDC

A BDC∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ∆

( ) ( )4 29 9

A MNC A BDC A⇒ ∆ = ∆ =

5p www.mate

info.r

o

426

Page 427: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( ) 1 45ˆ ˆsin sin2 2

A ABM AB BM B B∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

( ) 1 45ˆ ˆsin sin2 2

A ADN AD DM D D∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

( ) ( )B D A ABM A ADN≡ ⇒ ∆ = ∆

Sau ( ) 12 6 6

BM h BC hA ABM A⋅ ⋅∆ = = =

( ) ' ' 12 6 6

DN h DC hA ADN A⋅ ⋅∆ = = =

5p

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )A AMN A ABCD A ABM A MNC A AND∆ = − + +

( )1 1 2 4 26 6 9 9

A A A A MNC = − + + = = ⋅ ∆

5p

2. a) 80bV A h= ⋅ = 3m 5p

b) Transformă volumul în hl: 380 8000m hl=

Capacitatea silozului 72 / 8000 576000 576kg hl hl kg t⋅ = =

90% din 576 518,4t t=

5p

c) Cantitatea livrată din siloz 23

din 518,4 345,6t =

345,2 :12,8 27= zile

5p

www.mate

info.r

o

427

Page 428: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 164 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 24x 5p

2. 2 5p

3. F 5p

4. 2 6 5p

5. 60° 5p

6. 87% 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează cubul.

Notează cubul.

5p

2. 5 293; ;4 5;24;8;2 5

A = −

53; ;24;82

A ∩ = −

22 2 3270 3; 1 ; 26 10 ; 4

430A

∩ = − + −

5p

3. ( ) ( );1 1fP a G f a∈ ⇔ =

3 5 1 2a a− = ⇒ =

( )2;1 fP G∈

5p

www.mate

info.r

o

428

Page 429: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) Notează x = nr. apartamentelor cu 4 camere

y = nr. apartamentelor cu 2 camere

Formează sistemul 19

194 2 48x y

y xx y+ =

⇒ = − + =

Rezolvă 2 48 38 5x x= − ⇒ =

Interpretează rezultatul 5 apartamente cu 4 camere

5p

b) Calculează 19 5 14y = − =

Interpretează rezultatul 14 apartamente cu 2 camere.

METODA ARITMETICĂ

Se presupune că sunt numai apartamente cu 2 camere. În total ar fi 19 2 38⋅ = camere.

Diferenţa de camere 48 38 10− = camere rezultă din diferenţa 4 2 2− = camere pe apartament.

10 : 2 5= apartamente cu 4 camere

14 apartamente cu 2 camere

5p

5 ( )22 2 26 13 6 9 4 3 2 2x x x x x+ + = + + + = + + ≥ ( )23 0x + ≥ ( ) x∀ ∈

( )22 2 210 34 10 25 9 5 3 3y y y y y− + = − + + = − + ≥ ( )25 0y − ≥ ( ) y∀ ∈

( ) ( )2 3 5E x E x≥ + ⇒ ≥

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) V L l h= ⋅ ⋅

Fie lăţimea l x= . Atunci lungimea 2L x= şi înălţimea 2 32 2 2

L l x x xh + += = =

332 32xV x x x= ⋅ ⋅ =

3 3t = 3m apă

5p www.mate

info.r

o

429

Page 430: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3 33 3 1x m x= ⇒ = m

2L = m ; 1l = m ; 1,5h = m

b) 120 ..............................1 minut

dpl

3000 .............................. minutel x

120 1 3000 1 253000 120

xx

⋅= ⇒ = = minute

5p

c) Calculează volumul de apă după 9 minute

120 9 1080 1080l l⋅ = = 3dm

22 1 2 200hA L l m m m= ⋅ = ⋅ = = 2dm

'hV A h= ⋅ şi află înălţimea la care se ridică apa

3 2 10801080 200 ' 5,4 0,54200

dm dm h dm m= ⋅ ⇒ = = .

5p

2. a) 2 240 1600DA Rπ π π= = ⋅ = 2cm

2 3200 3200DA π π⋅ = = 2cm

5p

b) 4 160L R= = cm

2 80l R= = cm

2160 80 12800A L l cm cm= ⋅ = ⋅ = 2cm

5p

c) ( )2 212800 3200 3200 4deseuA cm cmπ π= − = −

( )3200 4 4 4 3,15 0,85 0,215 21,25% 22%12800 4 4 4

deseu

dreptunghi

AA

− − −= = = = = = <

π π

5p

www.mate

info.r

o

430

Page 431: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 165 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 99− 5p

2. 3 5p

3. 0,37 5p

4. 18 5p

5. 45° 5p

6. 16 C° 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma.

Notează prisma.

5p

2. 2 7 5 5 2 7 5x x− ≤ ⇒ − ≤ − ≤

{ }2 2 12 1;2;3;4;5;6x A⇒ ≤ ≤ ⇒ =

{ }2; 1;0;1;2;3B = − −

{ }1;2;3A B∩ =

5p

3. ( )( )

11

22

4 7 17 34 9 19 5

a ca ca ca c− = ⋅ += ⋅ +

⇒+ = ⋅ += ⋅ +

[ ]4 7;9 63 59a a⇒ + = = ⇒ = 5p

4. a) Reprezintă un punct pe grafic.

Reprezintă al doilea punct pe grafic.

Trasează graficul funcţiei.

5p

www.mate

info.r

o

431

Page 432: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

x 0 1

( )f x 3 1

( )0 3f =

( )1 1f =

b) 3OA =

32

OB =

2 2 2 9 3 594 2

AB OA OB AB= + = + ⇒ =

( ) 3 5;5

OA OBd O ABAB⋅

= =

5p

5

( ) ( )2 1 3 2 1 9...

102 2 6 6 1 1n n

n n n n+

− + − + + − =+ +

1 1 1 1 1 91 ...102 2 3 1n n

− + − + + − =+

1 1 9 1 10 99101

n n nn+ −

= ⇒ + = ⇒ =+

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 1 2 6 24 722 2

c cA ⋅ ⋅= = = 2m 5p

b) || MN CNMN AB CMN CAB kAB BC

⇒∆ ∆ ⇒ = =

2 12

AMV

ABC

A kA∆

∆= = 2

2k⇒ =

2 3 26 2

MN MN= ⇒ =

5p www.mate

info.r

o

432

Page 433: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )2 12 2 24 12 2 12 2 224 2CN CN NB BC CN= ⇒ = ⇒ = − = − = −

c) ( ) 722ABCD

AB BCA ⋅= = m2

( ) ( )1 362AMNB ABCA A ∆= = m2

Costul mochetei 36 18,75⋅ lei 675= lei

5p

2. a) 6 6 6 723 3

bA hV ⋅ ⋅ ⋅= = = cm2 5p

b) 26 6 36 216tA a= ⋅ = ⋅ = cm2

216 cm2 0,0216= m2

Preţul: 0,0216 250 5,4⋅ = lei

5p

c) 216 72 144cutie piatraV V− = − = cm2 5p

www.mate

info.r

o

433

Page 434: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 166 Prof. Telteu Constantin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. -1 5p

2. 4 5p

3. 40 5p

4. 240 5p

5. 20 5p

6. 27 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1.

5p

2. 2a

x y zm + += …………………………………………………………….

( )2am a b c= + + ……………………………………………………………..

2p

3p

www.mate

info.r

o

434

Page 435: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3. Cifrele numere prime sunt 2;3;5;7……………………………………………..

La 19 pagini s-a folosit cifra 2

La 17 pagini s-a folosit cifra 3(afară de cele care au şi cifra 2 şi pe care le-am numărat deja)

La 15 pagini s-a folosit cifra 5(afară de cele care au şi cifra 2 şi 3 pe care le-am numărat deja)

La 13 pagini s-a folosit cifra 7(afară de cele care au şi cifra 2 ; 3 şi 5pe care le-am numărat deja)…………………………………………………………

Total 64 pagini……………………………………………………………

1p

3p

1p

4. a) ( ) ( ) 1f x g x x= ⇒ = −

( ){ }1;0f gG G =

3p

2p

b)

reprezentarea grafică pentru f……………………………………..

reprezentarea grafică pentru g……………………………………..

Formula pentru aria triunghiului şi rezultatul 1A = ………………

2p

2p

1p

5 10a b+ =

9ab =

1p

1p

www.mate

info.r

o

435

Page 436: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )2 100a b+ =

2 2 82a b+ =

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Dimensiunile interioare sunt: 15 ; 10 ; 5L dm l dm h dm= = = ………….

3int 416 416 400V dm l l= = > ……………………………………………..

Răspuns: Da………………………………………………………………

1p

3p

1p

b) Volumul cu tot cu pereţi 3 315 10 5 750dm dm= ⋅ ⋅ = ……………………

3 3 3750 416 334peretiV dm dm dm= − = …………………………………….

2p

3p

c) 22 13 4 2 8 4 13 8 272 dm⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = …………………………………….. 5p

2.

a)

În figură este desenat un sfert din coala lui Andrei.

22 2l lr+ =

3p

2p

www.mate

info.r

o

436

Page 437: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( )2 1

2

lr

−=

1p

b) Răspuns: Irina. Se vede pe desen că diametrul discurilor desenate de ea au diametrul jumătate din latura foii de desen, iar cele desenate de Andrei sunt mai mici.(Se poate argumenta şi prin calcul observând că:

( )2 1 12 4Andrei Irina

lr r

−= < =

5p

c) Aria nepictată

22 2 20,8...4 0,2

16 4ll l lπ= − = ⋅ > ⋅ ………………………

Aria unui disc 2

2 23,14... 0, 216 16l l lπ

= = ⋅ < ⋅ ………………………………..

Răspuns: Da…………………………………………………………………..

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 167 Prof. Telteu Constantin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0 5p

2. 21 5p

3. 3 5p

4. 2000 5p

5. 100 5p

6. 6,76 (rezultatul calculului este 6,7(6), dar fiind vorba de media clasei…) 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

437

Page 438: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1.

5p

2. gm xy= …………………………………………………………………..

( )( )3 8 3 8gm = − + ……………………………………………………..

1gm = ………………………………………………………………………

2p

1p

2p

3. Dacă deschid cartea la pag: 90-91; 92-93; 94-95; 96-97; 98-99, suma numerelor cu care sunt numerotate paginile este 945…………………………

La o deschidere a cărţii, suma numerelor cu care sunt notate paginile vizibile este număr impar, iar suma a cinci numere impare este număr impar. R: NU

2p

3p

www.mate

info.r

o

438

Page 439: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4.

a)

( ) ( ) 3 1 3 1; ,2 2 2 2 f gf x g x x f A G G = ⇒ = − = − ⇒ − − ∈

3p

2p

b) ( ) 3,

2Ad A Oy x= = − 5p

5 2

23

1434

a ba

b aa b

a

b

+= ⇒

= ⇒< ⇒

= ⇒

=

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) metal prisma piramidaV V V= − =

36 3 36 3 664 4 3

= ⋅ − ⋅ =

372 3 cm=

1p

2p

2p

www.mate

info.r

o

439

Page 440: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) Suprafaţa ce trebuie vopsită are aria: . . .l pir l pr b prA A A A= + +

Fie D şi E mijloacele muchiilor [ ]BC şi [ ]' 'B C .

2.3 ; 39 9 39l pirOD cm EO cm A cm= = ⇒ = …………………………

2 2 236 39 39 18 64

A cm cm cm= + ⋅ + …………………………………………

( ) 29 39 12 3A cm= + + ……………………………………………………

1p

2p

1p

1p

c)

( ) ( )( ) ( )( )' ' ' ' , ' ' , ' 'BC B C BC OB C d C OB C d D OB C⇒ ⇒ =

Fie EOF pr D= . Avem:

( )( )

( )' '' ' ' '

' '' '

B C OEDB C OE B C DFDF OB C

B C DE EO DFDF OED

⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⇒ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥⊂

6 1313

DO EDDF cmOE⋅

= = .

SAU: Se poate arăta că distanţa este DF, cu reciproca a II-a a Teoremei celor trei perpendiculare.

2p

2p

1p

2. a) bazin dreptunghi discA A A= + = 1p

www.mate

info.r

o

440

Page 441: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

220 10 5π= ⋅ + ⋅ =

( ) 2200 25 mπ= +

3p

1p

b) 220 14 7bazin borduraA π+ = ⋅ + ⋅ =

( ) 2280 49 mπ= + .

2280 49 200 25 155,36borduraA mπ π= + − − ≈

2p

1p

2p

c) ( )2 20 2 7 40 14extP mπ π= ⋅ + ⋅ = +

( )int 40 10P mπ= +

Diferenţa 4 12,56 .m mπ= ≈

2p

2p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 168 Prof. Telteu Constantin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 34

− 5p

2. 76

5p

3. 9 5p

4. 4 3 5p

5. 9 3 5p

6. 270 5p

www.mate

info.r

o

441

Page 442: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1.

5p

2. 12

x = −

13

y = −

12

z = −

z x y< <

1p

1p

1p

2p

3. x - numărul pozelor efectuate de o fată.

5x + - numărul pozelor efectuate de un băiat…………………………….

( )9 13 5 373x x+ + =

14x =

1p

2p

2p

4. a) ( )1 0f − =

3 0a− + =

3a =

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

442

Page 443: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) ( )2 5f a= −

2 3 5a a+ = −

23.

a =

2p

1p

2p

5 22 1 92

22x = + =

22 1 12

22y = − =

2 2 5x y+ =

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Volumul paralelipipedului iniţial 3250iV dm=

Volumul paralelipipedului scos din cel iniţial 340sV dm=

Volumul corpului 3210cV dm=

2p

2p

1p

b) cA = (aria totală a paralelipipedului iniţial) ' ' ' '2 2EFF E FGG FA A− + =

2254dm=

3p

2p

c) 3 2FB dm=

Din 43 .FBC FC dm∆ ⇒ =

2p

3p

2. a) 10 5AC m=

4 5 , 2 5DO m OC m= =

8 5 ;OA m=

şi cu asemănare 16 5OB m=

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

443

Page 444: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

20 5BD m= 1p

b) Tot din asemănare sau cu t. lui Pitagora 40AB m=

cu t. lui Pitagora 10 13CB m=

( )10 7 3ABCDP m= +

2p

2p

1p

c) Fie V intersecţia dreptelor AD şi BC. Din asemănarea triunghiurilor VDC şi

VAB se obţine 20 803 3

VD m VA m= ⇒ = ………………………………..

1003

VB m=

50p m=

Srp

= =

( )10, 6 m=

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

444

Page 445: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 169 Prof. C. Telteu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 6 5p

2. 1100 lei 5p

3. 80% 5p

4. 4 5p

5. Nu 5p

6. 26 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1.

5p

2. { }7 5p

3. 1 2 1 26 3; 15 3, , 0x c x c c c= + = + ≠

303x M− ∈

3 30 1000 34 1023x k k x− = > ⇒ = ⇒ =

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

445

Page 446: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

4. a) .

3 2 3 2 3 2;0 05 5 5fA G f m

− ∈ ⇒ − = ⇒ =

5p

b) Precizarea a două puncte ale graficului

Reprezentarea lor în plan

Desenarea dreptei

2p

2p

1p

5 Scrierea formulei ( )( )2 2a b a b a b− = + −

(sau ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + )

( ) ( )2 22 2 23 1 4 1 7 2 2x x x x x x x − + − + + = − + +

Finalizarea

1p

3p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a)

5p

b) 2 2MC cm=

2 6MB cm=

' 4 6BM MA cm+ =

1p

2p

2p

c) ' 4 2BA cm=

( ), ' 4d M BA cm=

1p

2p

www.mate

info.r

o

446

Page 447: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) 2'

' , '8 2

2BMA

BA d M BAA cm

⋅= =

2p

2. a) Suprafaţa zidurilor clasei: 2108 m

Ferestrele şi uşa la un loc: 216,2 m

2p

3p

b) Suprafaţa tablei: 25, 4m

De zugrăvit: 286,4 m

2p

3p

c) Suprafaţa clasei: 272 m

Număr elevi: 72 282,5 =

.

2p

3p

Varianta 170 Prof. C. Telteu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 0x = 5p

2. 25 5p

3. 50% 5p

4. 40 5p

5. 24 3 m 5p

6. 34 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

447

Page 448: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1.

5p

2. { }12 5p

3. 1

2

3

244 499 390 6

c nc nc n

= += += +

( )240,96,84 12n = =

2p

3p

4. a) ( )1 3f =

0a =

2p

3p

b) ( ) 3f x x= +

Intersecţia cu Ox: ( )3;0−

Intersecţia cu Oy: ( )0;3

1p

2p

2p

5 Scrierea formulelor: ( ) 2 22a b a ab b± = ± + şi ( )( )2 2a b a b a b− = + −

Aplicarea lor corectă

Reducerea termenilor asemenea

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 32,5 m=3250 cm; 3250:15=216,(6), deci pt. lungime sunt nec. 217 pietre. 850:15=56,(6), deci pentru lăţime sunt necesare 57 pietre. În total sunt necesare: 217 57 12369⋅ = pietre,

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

448

Page 449: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) O piatră are volumul: 315 15 3 675cm⋅ ⋅ = .

Toate pietrele au la un loc volumul: 3 312369 675 8349075 8,349075cm m⋅ = = .

2p

3p

c) 3 38,349075 1000 / 8349m lei m lei⋅ ≈ 5p

2. a) 2 2 225 625circA R mπ π π= = = 5p

b) 2 2400arenaA r mπ π= = 5p

c) 2 2225 706,5circ arenaA A m mπ− = ≈ (aproximare prin lipsă)

Nr. maxim spectatori: 706,5 : 0,5 1413= .

2p

3p

Varianta 171 Prof. C Telteu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 14 5p

2. 275 5p

3. 88 5p

4. 40 5p

5. da 5p

6. 14 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

449

Page 450: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1.

5p

2. { }7M =

{ }\ 1, 2,3, 4B M B= =

2p

3p

3. 100 elevi reprezintă 25% din numărul de elevi ai şcolii

Numărul de elevi ai şcolii este 400.

3p

2p

4. a) ( ) ( )2, 2fM a G f a∈ ⇒ =

0a =

3p

2p

b) ( ) 0f b <

2b <

3p

2p

5 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 4 1 1 421 1 1 1 1 1

4 4 01 1

x x x x x xx x x x x x

x xx x

− + − + − + − = − − = + − − + − −

− = − = − −

3p

2p

www.mate

info.r

o

450

Page 451: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2 dulapi în lungime, 16 în lăţime şi 13 în înălţime

2 16 13 416⋅ ⋅ = dulapi

3p

2p

b) Volumul dulapilor este 3. 500 15 15 416dulapV nr dulapi cm⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

346,8m= .

3p

2p

c) 3 312 2,5 2 60containerV m m= ⋅ ⋅ =

313,2liberV m=

3p

2p

2. a) 2discA Rπ=

2 225 78,5discA cm cmπ= ≈

3p

2p

b) 8 discuri pe lungime şi 6 discuri pe lăţime

48 discuri

3p

2p

c) Din fiecare pătrat cu latura de 10 cm se pierde acelaşi procent ca în cazul întregii foi.

2 2 2100 78,5 21,5cm cm cm− =

Deci se pierde 21,5% din material

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

451

Page 452: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte Varianta 172 Prof. C. Telteu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2x = 5p

2. 650 5p

3. 87,5% 5p

4. 3 5p

5. 22cm 5p

6. 500 elevi 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1.

5p

2. { } { }5 1;5 , 0;1;...;9D B= = 3p

www.mate

info.r

o

452

Page 453: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 5D B D= 2p

3. Dacă x este vârsta unui frate al Irinei, atunci 2 12x x x+ + =

3x = ani

3p

2p

4. a) ( ) 0f x =

3 3 ,05 5 fx G

= ⇒ ∈

2p

3p

b) 3 3;

5 5x x∈ ∉ ⇒ − ∉

Răspuns: 0

3p

2p

5 ( )

2

2

2 2 2 12 2 2

xE xx

−= ⋅ −

( ) 0E x =

2 03

E

=

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2 210 8 100000 8000000cm cm⋅ ⋅ =

2 28000000 800cm m=

3p

2p

b)Toată piatra are volumul 2 3800 0,06 48V m m m= ⋅ =

48 3:15 9,6⋅ =

Deci au fost necesare 10 camioane.

2p

2p

1p

c) Volumul de piatră necesar 2 2 36000 6 6000 0,06 360m cm m m m⋅ = ⋅ = .

Preţul fără manoperă: 3360 3 100 108000 .leim t leit

⋅ ⋅ =

1p

2p

www.mate

info.r

o

453

Page 454: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Preţul cu manoperă este: 10108000 108000 118800 .100

lei lei lei+ ⋅ =

2p

2. a) Ducem ( )|| , romb 15CE AD E AB AECD CE AE cm∈ ⇒ ⇒ = =

BEC∆ dreptunghic în C (recipr. T.Pit.)

12CF cm= (cu T. Înălţimii)

2330ABCDA cm=

1p

2p

1p

1p

b) ( ). . .MDC MAB T F A∆ ∆

Din proporţionalitatea laturilor 9 ; 12MD cm MC cm⇒ = =

36MDCP cm=

2p

2p

1p

c) MDC MAB∆ ∆ şi raportul de asemănare este 3

8

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare

964

MDC

MAB

AA

=

2p

2p

1p

www.m

ateinf

o.ro

454

Page 455: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 173 Prof: Iuliana Traşcă

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 14 5p

2. 75 5p

3. 9 5p

4. 0,815 5p

5. 30 5p

6. 900 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Desenează apotema

Notează piramida

2p

2p

1p

2. Fie x preţul iniţial, dupa scumpirea de 20% preţul devine 6

5x

După ieftinirea cu 20% preţul va fi 2425

x

Scrierea relaţiei 2425

x =960 şi aflarea lui x=1000

2p

2p

1p

3. 1521 39=

1888- 1521 =1849

1849 43=

2p

1p

2p

4. a) Scrierea relaţiei f(0)=0 3p

www.mate

info.r

o

455

Page 456: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Finalizare m=2 2p

b) Scrierea relaţiei f(x)=3x

Aflarea a două puncte ale graficului

Trasarea graficului

1p

2p

2p

5 Se notează x2+2x cu y iar expresia devine : ( )

( )2

2

2 1 2 13 2 3 2

y y y yy y y y

+ + + +=

+ + + +

Descompunerile 2 2 1y y+ + = ( )21y + şi ( )( )2 3 2 1 2y y y y+ + = + +

Simplificarea raportului prin y+1

Scrierea rezultatului final 2

2

1 2 12 2 2

y x xy x x+ + +

=+ + +

.

1p

2p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) a) Scrierea relaţiei AABCDE=AABCD+ADEC BC=6 dm

AABCDE=60+5x

2p

1p

2p

b) Scrierea relaţiei 5x=60

Aflarea lui x=12 dm.

3p

2p

c) Cum M este mijlocul lui DC şi EM⊥DC, rezultă că triunghiul EDC este isoscel (ED=EC), DM =5 dm Aflarea lui DE din triunghiul dreptunghic DME, 090M = , cu teorema lui Pitagora, DE=13 dm=EC, PABCDE=48 dm

2p

3p

2. a) Fie l latura bazei, pa apotema piramidei,

2 33 ,4 2

pb l

l alA A⋅ ⋅

= =

Deducerea relaţiei 33p

la =

Fie ba apotema bazei, 36b

la = , 2 2 2b ph a a+ = , află 6l =

218 3 cmlA =

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

456

Page 457: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

3

bA hV ⋅= 39 3 cmV⇔ = 1p

b) Fie fA aria unei feţe laterale, iar d distanţa cerută,

3fA d

V⋅

=

2

pf

l aA

⋅= 26 3 cmfA⇔ =

Finalizare 4,5 cmd =

2p

2p

1p

c) Fie α unghiul căutat htg

Rα = , 3 2 3

3lR R= ⇔ = cm

( R= raza cercului circumscris bazei )

Finalizare 32

tgα = .

4p

1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 174 Prof: Iuliana Traşcă

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 5p

2. 12 5p

3. 18 5p

4. (9x-11y)(9x+11y) 5p

5. 6 5p

6. 58

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

457

Page 458: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. Desenarea şi notarea corectă a cubului ABCDMNPQ

Desenarea diagonalei

4p

1p

2. 8 10x y= , 6y=5z, x+y+z=30

Finalizare x=8, y=10, z=12

3p

2p

3. 2NS MS SP= ⋅ SP⇔ =5cm MP =50 cm

Finalizare 2750 cmMNPQA MP SN= ⋅ =

2p

1p

2p

4. a)

3 2 7 5 2 115 2

a af − + − +

=

2 1a − = Finalizare {1,3}a∈

2p

2p

1p

b) ( )2 225 20 4f n n n= − + , ( )8 1 40 24f n n⋅ + = + 225 20 21 0n n+ − = ( ) ( )5 3 5 7 0n n⇔ − ⋅ + =

Finalizare 35

n =

2p

2p

1p

5 93 62 93 6210 11 10 11− = − , 34 51 51 3419 10 10 19− = − 71

2a

x= + ∈

{ }5,1,3,9x∈ −

2p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ) BN=MC=1 m BC= 13m

AD=11 m AF= 3 m

1p

2p

1p

1p

www.mate

info.r

o

458

Page 459: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 60 m

13DM = .

2720 m13ABCDA = .

230BDCA m= , 2330, m13ABD ABCD BDC ABDA A A A= − =

1p

2p

2p

c) ABDEFA = 2330 75933 m

13 13+ =

23 pungi

2p

3p

2. a) VA=10 cm AO=OB=OC=R=6 cm

3 cm2bRa = = , bBM R a= + 9 cmBM⇔ = .

2p

1p

2p

b) 3 6 3 cm

3ABR AB= ⇔ =

227 3 cmb

A = 73 cmpa =

29 219 cmlA =

1p

1p

2p

1p

c) Fie h înălţimea piramidei mici, V volumul piramidei iniţiale şi v volumul piramidei mici

372 3 cm3

bA VOV ⋅= =

39 3 cmv =

3V VO

v h =

388 4 cmhh

⇔ = ⇔ =

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

459

Page 460: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 175 Prof: Iuliana Traşcă

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 6 5p

2. 17 5p

3. 13 5p

4. 64 5p

5. 50 5p

6. 1250 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenarea şi notarea corectă a piramidei Punctul M mijlocul lui BC

Desenarea apotemei VM

3p

1p

1p

2. 2 6 325 mm 5 mmV V= ⇔ =

Finalizare : Piatra cântăreşte 0,025 g.

4p

1p

3. Între viteză şi timp există o proporţionalitate inversă.. Fie x numărul minutelor cerute de problemă avem:

60 / 4 890 / 3km h hx x h

km h⋅

= ⇔ = .

x= 160 minute

1p

3p

1p

4. a) x∈ \ {-1,0,1}

4( ) xE xx+

=

2p

3p

b) 7 4( 3) ( 3) 1

3 3xE x E xx x+

+ = ⇔ + = ++ +

2p

www.mate

info.r

o

460

Page 461: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

{ } { }3 -4, -2, -1, 1, 2, 4 -7, -5, -4, -2, -1, 1x x+ ∈ ⇔ ∈

3p

5 f(-2a+1)= 8a -1

3-4a=8a-1

Finalizare 1a3

=

2p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) CE=DF ipotenuze în triunghiuri dreptunghice congruente, 2 5CE = m

2 24DE DE

l lπ π= ⇔ = m,

2 4 24CF CF

l lπ π= ⇔ = m

( )4 5 3DECFp π= + m.

2p

2p

1p

b) EODA π= m2, 4COFA π= m2, bazinA π= m2. 24 mCOE FODA A= =

( ) 22 8 4gradina EOD COF COE bazin gradinaA A A A A A mπ= + + − ⇔ = +

2p

1p

2p

c) Aria sfertului de cerc cu raza 4 m este egală cu 4π m2

Aria sfertului de cerc cu raza 1 m este egală cu 4π m2

Aria cerută este: 154π m2

2p

2p

1p

2. a) 3 3 dm

6b bla a= ⇔ =

2 2 2 5 dmb p ph a a a+ = ⇔ =

22 2 2345 3 dm , 27 3 dm , 72 3 dm

4l b llA A A= = = =

1p

2p

2p

b) 336 3 dm 36 3 litri

3bA hV ⋅

= = = 3p

www.mate

info.r

o

461

Page 462: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

36 3 litri>36 litri , deci în interiorul obiectului încap 36 litri de apă

2p

c) Fie x distanţa cerută,

2 2

sec

4 27 3 43 3

b

t

AA x x

= ⇔ =

4 dm3

x =

3p

2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 176 Prof: Iuliana Traşcă

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5 5p

2. 12

5p

3. 0 '36 4436 '' 5p

4. 60 5p

5. 23 5p

6. 1000 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenarea corectă a prismei triunghiulare regulate ABCA’B’C’

Notaţia corectă

Desenarea înălţimii OO ’

3p

1p

1p

www.mate

info.r

o

462

Page 463: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. 62 601 1 1 1 1 1 312 3 5 2 3 5 30

x y z x y z+ += = = = =

+ +

x=30, y=20, z=12

3p

2p

3. 300110 90 312100 100

x y

x y

+ =

⋅ + ⋅ =

Soluţia finală x=210 şi y=90

3p

2p

4. a) f(a) =3a+1, f(b)=3b+1, 1

3a bf a b+ = + +

Finalizare

3p

2p

b) Scrierea relaţiei 3(1+2+...+n) +n=650

Calcului sumei ( 1)1 2 ...2

n nn ++ + + =

Rezolvarea ecuaţiei 23 5 1300 0n n+ − = ( ) ( )20 3 65 0n n⇔ − ⋅ + = şi aflarea lui n=20

2p

1p

2p

5 2

1( ) 36 11

E xx x

= ++ +

( )21( ) 33 2

E xx

= ++ +

Pentru x+3=0, adică 3x = − se obţine valoarea maximă pentru ( )E x

max72

E =

2p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ADBM ; AD=BC

( ) ( ) 060 echilateralm BCM m BMC BCM= = ⇔ ∆ cu latura de 8 m

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

463

Page 464: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Fie h=d(B,DC)= 8 3 4 3 m2

=

( ) ( ) 24 3 4 m2ABCD

B b hA x

+ ⋅= = +

2p

b) DM h=4 3ABDMA x= ⋅

( )50% 4 3 2 3 4ABDM ABCDA A x x= ⇔ = +

x=4 m

2p

2p

1p

c) ( ) 24 3 4 4 32 3 mABCD ABCDA A= + ⇔ =

Preţul tablei va fi: 15 32 3 480 3 830,4⋅ = lei

830,4< 1000, deci suma de bani e suficientă pentru a cumpăra tabla.

2p

2p

1p

2. a) L= 6 4 4 2

8 2 2

+ ⋅

=20m, l=15 m, h=5 m

2 2 220 15 m 300 m 30000 dmbA = ⋅ = =

0,05 dam=5 dm, 225 dmplacaA =

30000:25=1200 plăci de gresie

2p

1p

1p

1p

b) 31500 m 1500000 bV A h= ⋅ = = litri

60% 1500000 900000apaV = ⋅ = litri

3p

2p

c) ( ) ( )27 2 3 3 2 2− ⋅ + ⋅ =25 2 m

Diagonala bazei este: 2 220 15 25+ =

Fie H înălţimea căutată: ( )22 225 25 2 25 mH H+ = ⇔ =

3p

1p

1p

www.mate

info.r

o

464

Page 465: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 177 Prof.: Vasile Uleanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 5p

2.

22

5p

3. [-7 , 9) 5p

4. 2 5p

5. 1 5p

6. 13 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen şi notaţie corespunzătoare 5p

2. X= (5 – 1 +3 +1)36 = 836 = (23)36 = 210 454= (22)54 = 2108 ⇒ x ∈ A 5p

3. Ip= 10 cm , A= 20 cm2 , c1 = 2 5 şi c2 = 4 5⇒ P= 6 5 +10 cm 5p

4. a) a= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18

1 3 3 7 7 12 12 19 1 19 19− + − + − + − = − =

5p

b) 1

3< 18

19 < 19

20

5p

5 Se amplifică în paranteză cu n2+1 şi se obţine n16 ⋅n2 = n18 = (n9)2 = p.p. 5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 60000 litri – capacitatea maximă , 48000 litri – în bazin 5p

b) 75 de familii 5p

www.mate

info.r

o

465

Page 466: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c)nov= 30 zile , 800 ⋅30 = 24000 l = 24 m3 , 24 ⋅ 4,25 = 102 lei 5p

2. a) Fie GF=x ⇒ AG=EF=AE=BG=x ⇒ DE= 30-x ⇒ A EFCD = ( 10)(30 ) 150

2x x+ −

= ⇒x= 20 ⇒AB= 40 ⇒

Aria ABCD=750 m2

5p

b) ABGF = 200 m2 Aria AGFE=400 m2 ⇒50% 5p

c) P dr AGFE =80m ; 6400 lei 5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 178 Prof.: Vasile Uleanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 1 5p

2. 7 5p

3. 200 5p

4. 31 5p

5. 24 3 5p

6. 800 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen corect si notat corespunzător 5p

2. Se notează x2 + 2x = y şi după descompunere se obţine

2( 2)( 1)( 2)

yy y

++ +

,

iar după simplificare şi înlocuire se obţine ;

5p

www.mate

info.r

o

466

Page 467: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2

2

2 22 1

x xx x+ ++ +

3. X= 3

3 , y = -3 .

5p

4. a) a= 56 , b= 24 , c=21 . 5p

b) 87,5% 5p

5 Fie d= (2n+7 , 5n+17 ) ⇒

/ 2 7/ 5 17

d nd n

+ +

⇒/ 5(2 7)/ 2(5 17)

d nd n

+ +

d/10n+35 –10n-34 ⇒ d/1⇒ f = ireductibila

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) L= 6m , h= 4 m , V=144 m3 = 144000 dm3 = 144000 l 5p

b )676800 lei 5p

c) 135360 lei 5p

2. a) AB= l6=R , AE = l3=R 3 , BE= d=2R ⇒ R= 10 km ⇒

PAEC =30 3 km

5p

b)Lc= 2π R = 20 ⋅3,14 = 62,8 km , 1h15min = 151

60 h = 5

4 h ⇒

Vm = Dt

= 50,24 km/h

5p

c) Dn =

( 3)2

n n −⇒D6= 9 artere principale de circulaţie Obs că sunt 6 artere

egale cu l3 şi 3 artere egale cu d ⇒ 6R 3 +6R < 120 3

⇒60 3 +60 < 120 3 ⇒ 1< 3 „A”

5p

www.mate

info.r

o

467

Page 468: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 179 Prof.: Vasile Uleanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 4x+13 5p

2. 6 5p

3. 72 cm 5p

4. 3 5p

5. 245

5p

6. 10 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen corect şi notat 5p

2. 4L+4l+4h=84 ⇒L+l+h=21⇒( L + l+ h)2 = 212 ⇒

L2+ l2 + h2 + 2Ll +2Lh +2lh =441 ⇒ d2 + 392 = 441 ⇒ d=7

5p

3. X= 1 1 1 1 1 33( ..... ) :

7 2 6 12 132 28+ + + + =

1 1 1 1 1 28( ..... )7 1 2 2 3 3 4 11 12 33

+ + + + ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1 4 1( )1 12 33 9− ⋅ =

5p

4. a)fie x= distanţa dintre localităţi ⇒ x= 60 km , I= 15 km , II = 20 km . 5p

b) II = 20 km ⇒ 20

60= 33.(3) %

5p

5 | 5 2 3 | | 2 3 7 | | 7 5 | 10− + − + + = 5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

www.mate

info.r

o

468

Page 469: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1. a)Al= 2h(L+l),

5 3 1L l h k= = = ⇒ L=5k , l=3k , h=k ⇒16k2 = 256 ⇒ k=4

⇒L= 20 m , l= 12 m , h= 4 m ⇒ V= 960 m3

5p

b) V= 960 m3 ⇒ 16 transporturi în 5 zile 5p

c) V1 = L ⋅l ⋅h1 = 20 ⋅12 ⋅3 = 720 m3 = 720000 litri 5p

2. a) L= 40m ⇒ l= 20 m . Cele 4 parcele au forma de : I= trapez dreptunghic , II= triunghi dreptunghic , III = dreptunghi , IV= dreptunghi ⇒ A1 = 300 m2 , A2 = 100 m2 , A3 = 200 m2 , A4 = 200 m2 .

5p

b) A1 + A3= 500 m2 ( roşii ) , A2 + A4= 300 m2 ( castraveţi ) ; 3500 kg roşii , 3000 kg castraveţi ; 14000 lei ( roşii ) , 7500 lei ( castraveţi ) ; total 21500 lei .

5p

c) 30%+7%+10%+13% = 60% ( cheltuieli ) ⇒ 40% profit =8600 lei 5p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 180 Prof.: Vasile Uleanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 83

5p

2. π 5p

3. 1 5p

4. suplementare 5p

5. 1 5p

6. 250 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen corect şi notaţie corespunzătoare 5p

www.mate

info.r

o

469

Page 470: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

2. f(x) liniară ⇒ f(x) = ax + b , A(-2;5 ) ∈ Gf ⇒ f(-2) = 5 şi B(-3;4 ) ∈ Gf ⇒ f(-3) = 4 ⇒ f(x)= x+7

5p

3. Ma.p = 1 1 2 2 3 3

1 2 3

a p a p a pp p p+ +

+ += 7,8

5p

4. a) | 9 | | 3 3 | | 6 3 | 0a b c− + − + − = ⇒ a= 9 , b =3 3 , c=6 3 u.l. 5p

b) triunghiul este dreptunghic în C ⇒A= 27 3 . .

2u a şi R= 3 3 u.l.

5p

5 S= {(0,1)} 5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) Ab = L ⋅ l = 20 ⋅6 = 120 m2 ⇒ 120: 3 = 40 ovine 5p

b) V prismă = Ab ⋅ h ⇒ Ab =

2 34

l = 9 3 m2 ⇒ V prismă= 180 3 m3

⇒ Cantitatea de nutreţ = 1800 3 ⋅30 kg = 5400 3 kg 9342 kg

5p

c) consumul = 9000kg , rest = 342 kg 5p

2. a) Aromb = 72 m2 ⇒ Adr = 72 m2 ⇒ L=12 m , l= 6m ⇒P= 36 m 5p

b) 75% 5p

c) Promb +Pdr = 84 m ; 6300 lei 5p

www.mate

info.r

o

470

Page 471: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 181 Prof.: Vasile Uleanu

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 16

5p

2. 310

5p

3. 7830 5p

4. 14

5p

5. 3 5p

6. 800 euro 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desen corect şi notat corespunzător 5p

2. 2 2(2 3) ( 2) 0x y− + + = ⇒ x= 3

2 şi y = 2−

5p

3. a=36 , b=48 5p

4.

a) CD<AD<BC<AB ⇒

CD x123

AD xBC xAB x

= = + = + = +

⇒ x+ x+1 +x+2 +x+3 = 18 ⇒x=3

⇒ A = 18 cm2

5p

b) Fie CF⊥AB şi AE⊥BC ⇒ AABC =

2 2BC AE AB CF⋅ ⋅

= ⇒

CF= 4,8 cm

5p

www.mate

info.r

o

471

Page 472: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

5 ∈

−+

1332

xx Z ⇒

3 1/ 2 33 1/ 3 1

x xx x− +

− − ⇒

3 1/ 6 93 1/ 6 2

x xx x− +

− −⇒ 3x-1 / 11

⇒x∈{ 0, 4 } ⇒ A= { 0, 4 }

5p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) R=30 2 cm , h= 40 cm , ab = 30 cm , ap = 50 cm , l= 60 cm ,

Al = 6000 cm2 ,

5p

b) Ab = 3600 cm2 , V = 48000 cm3 5p

c) 52,8 kg 5p

2. a) R=105 m . Dimensiunile terenului de joc sunt : L= 120 m , l= 70 m A=8400m2

5p

b) Dimensiunile stadionului sunt :

- teren de joc+tribuna I + tribuna II au forma unui dreptunghi cu dimensiunile de 120 m ,210 m şi cele 2 peluze care formează un cerc cu R= 105 m

S= 1575 (7π +16 ) m2

5p

c) 56966 lei 5p

www.mate

info.r

o

472

Page 473: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 182 Prof Uruc Doina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 290 5p

2. 1 5p

3. 12 5p

4. 36 3 5p

5. 8 5p

6. [ )0,+∞ 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. ( ) 29 6 1 4E x x x= − + −

( ) ( )23 1 4E x x= − −

( )23 1 0x − ≥

Deci ( )min 4E x = −

2p

1p

1p

1p

3. 4 2 0x y− − =

3 3x− = −

1x =

Înlocuiește x

2y = −

1p

1p

1p

1p

1p

4. a) Calculează corect două valori ale funcției

Reprezintă corect punctele corespunzătoare

2p

2p

www.mate

info.r

o

473

Page 474: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Trasează graficul 1p

b) Ox∩ : ( ) 0f x =

1 ,02

M −

Oy∩ : 0x =

( )0,1N

214

A u=

1p

1p

1p

1p

1p

5 3 2 2 1 2+ = +

5 2 6 2 3+ = +

7 2 12 3 2+ = +

Raționalizează cu conjugatele

1S = −

1p

1p

1p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 2V l h=

4lA lh=

4l

V lA

=

10l m=

8h m=

1p

1p

1p

1p

1p

b) 2100bA m=

Gresie ncesară: 102m2

Cutii gresie: 17 buc.

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

474

Page 475: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

Preț: 467,5 lei 1p

c) 1BM B C⊥

( )1,d A B C AM=

40 4141

BM =

10 233741

AM =

1p

2p

1p

1p

2. a) 'CC AB⊥ , 'C AB∈ , ' 10 3CC m=

40AB m=

( )2ABCD

B b hA

+ ⋅=

2350 3ABCDA m=

2606ABCDA m

1p

1p

1p

1p

1p

b) DC ED EC

AB EA EB= =

3040 20

ECEC

=+

; 60EC =

30 3ED =

P ED DC EC= + +

( )90 30 3 30 3 3P m= + = +

1p

1p

1p

1p

1p

c) ' DEF pr F= , ' 10FF m=

' 20 3F D m=

10 13DF m=

2p

2p

1p

www.mate

info.r

o

475

Page 476: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 183 Prof Uruc Doina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 13 5p

2. 15 5p

3. 12 5p

4. 200 5p

5. 17 5p

6. 25

5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează piramida

Notează piramida

4p

1p

2. Aduce la același numitor

Rezolvă corect parantezele

( ) 3E x = −

1p

2p

2p

3. 120% 60x⋅ =

10060120

x = ⋅

50x = lei

2p

2p

1p

4. a) ( )1 1 1f a b= ⇒ + =

( )2 0 2 0f a b= ⇒ + =

Rezolvă sistemul: a = -1; b = 2

1p

1p

2p

1p

www.mate

info.r

o

476

Page 477: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

( ) 2f x x= − +

b) ( ): 0, 2Ox C∩

( ): 2,0Oy B∩

( ),d O BC este înălțimea triunghiului dreptunghic isoscel OBC

2 2BC =

2d =

1p

1p

1p

1p

1p

5 5 muncitori ar termina restul lucrării în 6 ore

3 muncitori ar termina restul lucrării în x ore

5 6 3 x⋅ = ⋅ (mărimi invers proporționale)

10x = ore

1p

1p

2p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) ( ) ( )( )' , 'AD BCC d A BCC AD⊥ ⇒ =

32ABC

lh =

4l BC m= =

2 3AD =

2p

1p

1p

1p

b) bV A h= ⋅

3160vagonV m=

340 3piesăV m=

34

piesă

vagon

VV

=

42,5%p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

477

Page 478: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

1p

c) 2

3 lA A=

l bA P h= ⋅

2120lA m=

280A m=

2p

1p

1p

1p

2. a) număr de pași parcurși = 200

' 160AA m=

22

dl =

80 2l m=

2p

1p

1p

1p

b) 2 2BC m AB m= ⇒ = , ' 1AD AD m= = , AD BC⊥ , ( )D BC∈

' ' ' ' 'alee BCC B ABC A B CA A A A= + +

2' ' ' 316BCC BA BC DD m= ⋅ =

2' ' ' 1ABC A B CA A m= =

2318aleeA m=

1p

1p

1p

1p

1p

c) Realizează desenul corespunzător enunțului

150 120240 120 x

=+

72x cm=

2p

1p

2p

www.mate

info.r

o

478

Page 479: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 184 Prof Uruc Doina

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 107 5p

2. 985 5p

3. 20 5p

4. 45o 5p

5. -2 5p

6. 7,60 5p

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Desenează prisma

Notează prisma

4p

1p

2. Prima zi: 30% x⋅

A doua zi: 5 70%9

x⋅ ⋅

30 5 70 28100 9 100

x x x+ ⋅ + =

28 90 28x− = − ⋅

90x km=

1p

1p

1p

1p

1p

3. 127 5a c= + ; 224 5a c= +

15 27a c− = ; 25 24a c− =

[ ]5 27,24a − =

[ ]27,24 216=

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

479

Page 480: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

221a = 1p

4. a) Aduce la același numitor rapoartele din paranteze

Obține pentru paranteză rezultatul ( )( )

71 1x x− +

Descompune ( )( )2 4 3 3 1x x x x− + = − −

( ) 31

xE xx−

=+

1p

2p

1p

1p

b) 3 41

1 1xx x−

= − ∈+ +

41x∈

+

{ }1 1, 2, 4x + ∈ ± ± ±

{ }0,3x∈

1p

1p

1p

2p

5 2 2x− ≤ −

1x ≥

[ )1,x∈ +∞

3p

1p

1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)

1. a) 3 3

6 2bla m= =

3 3 32 2p

la m= =

2 2 2 6p bh a a h m= − ⇒ =

2 344t

lA = ⋅

29 3tA m=

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

480

Page 481: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

b) 1 ||

2PM PN MN VAMA NV

= = ⇒

( ) ( )||VA VAC MN VAC⊂ ⇒

13

MNPMN PAVAV

⇒ =

1MN m=

1p

1p

2p

1p

c) 3 3

3lAM VN m= = = ; 6AN VM m= =

3 3 6VANP = + +

Fie ( ),NR VA R VA⊥ ∈

2 ' 23

NR PP= = , ( )( )' , 'PP VA P VA⊥ ∈

3 22VANA =

1p

1p

1p

1p

1p

2. a) , 48BD x BC x= = +

2AB BD DC= ⋅

2 48 2025 0x x+ − =

( )( )75 27 0x x+ − =

27BD m=

1p

1p

1p

1p

1p

b) DEB CDA

DE EB BDCD AD AC

= =

2DEB

CDA

A BDA AC

=

81400

DEB

CDA

AA

=

2p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

481

Page 482: BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  Naţională 2011-2012  Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte

c) ( ) 90oDE AB m DEA⊥ ⇒ =

( ) 90oDF AC m DFA⊥ ⇒ =

( ) 90om A AEDF= ⇒ - dreptunghi

AD EF=

36EF m=

1p

1p

1p

1p

1p

www.mate

info.r

o

482