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Bases MatemáticasAula 12 – Funções reais e seus gráficos
Rodrigo Hausen
7 de novembro de 2012
v. 2012-11-8 1/35
Função real
Definição 1Uma função f ∶ A→ B é chamada função real com variável real(ou simplesmente função real) se A ⊂ R e B ⊂ R.
Podemos visualizar funções reais usando diagramas de Venn ou pormeio de “caixas pretas,” como vimos na aula passada para funçõesem geral.
Porém, a visualização de funções reais por meio de seus gráficosno plano cartesiano costuma ser a representação que fornece maisinformação a respeito de suas propriedades.
v. 2012-11-8 2/35
Função real
Definição 1Uma função f ∶ A→ B é chamada função real com variável real(ou simplesmente função real) se A ⊂ R e B ⊂ R.
Podemos visualizar funções reais usando diagramas de Venn ou pormeio de “caixas pretas,” como vimos na aula passada para funçõesem geral.
Porém, a visualização de funções reais por meio de seus gráficosno plano cartesiano costuma ser a representação que fornece maisinformação a respeito de suas propriedades.
v. 2012-11-8 2/35
O plano cartesiano
Definição 2O conjunto dos pares ordenados (x , y) tais que x ∈ R e y ∈ R échamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,simplesmente, R2.
um par ordenado (x , y) ∈ R2 também é chamado de pontono plano, ou simplesmente ponto se está implícito queestamos trabalhando apenas em R2
x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y)a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segundaleva o nome de ordenadadizemos que (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 ey1 = y2
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O plano cartesiano
Definição 2O conjunto dos pares ordenados (x , y) tais que x ∈ R e y ∈ R échamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,simplesmente, R2.
um par ordenado (x , y) ∈ R2 também é chamado de pontono plano, ou simplesmente ponto se está implícito queestamos trabalhando apenas em R2
x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y)a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segundaleva o nome de ordenadadizemos que (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 ey1 = y2
v. 2012-11-8 3/35
O plano cartesiano
Definição 2O conjunto dos pares ordenados (x , y) tais que x ∈ R e y ∈ R échamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,simplesmente, R2.
um par ordenado (x , y) ∈ R2 também é chamado de pontono plano, ou simplesmente ponto se está implícito queestamos trabalhando apenas em R2
x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y)
a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segundaleva o nome de ordenadadizemos que (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 ey1 = y2
v. 2012-11-8 3/35
O plano cartesiano
Definição 2O conjunto dos pares ordenados (x , y) tais que x ∈ R e y ∈ R échamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,simplesmente, R2.
um par ordenado (x , y) ∈ R2 também é chamado de pontono plano, ou simplesmente ponto se está implícito queestamos trabalhando apenas em R2
x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y)a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segundaleva o nome de ordenada
dizemos que (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 ey1 = y2
v. 2012-11-8 3/35
O plano cartesiano
Definição 2O conjunto dos pares ordenados (x , y) tais que x ∈ R e y ∈ R échamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,simplesmente, R2.
um par ordenado (x , y) ∈ R2 também é chamado de pontono plano, ou simplesmente ponto se está implícito queestamos trabalhando apenas em R2
x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y)a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segundaleva o nome de ordenadadizemos que (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 ey1 = y2
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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)(−2,1)
(−1,−1,5)(2,5,−1,9)
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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)
(−2,1)
(−1,−1,5)(2,5,−1,9)
v. 2012-11-8 4/35
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)(−2,1)
(−1,−1,5)(2,5,−1,9)
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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)(−2,1)
(−1,−1,5)
(2,5,−1,9)
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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)(−2,1)
(−1,−1,5)(2,5,−1,9)
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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)(−2,1)
(−1,−1,5)(2,5,−1,9)
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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)(−2,1)
(−1,−1,5)(2,5,−1,9)
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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)(−2,1)
(−1,−1,5)(2,5,−1,9)
v. 2012-11-8 4/35
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Y
X
(1,1)(−2,1)
(−1,−1,5)(2,5,−1,9)
v. 2012-11-8 4/35
Gráfico de uma função real
Definição 3Seja f ∶ D → C uma função real. O gráfico de f é o subconjuntodo plano cartesiano
Gráf (f ) = {(x , y) ∈ R2 ∣ y = f (x)}
Definição equivalente: Gráf (f ) = {(x , f (x)) ∣ x ∈ D}
v. 2012-11-8 5/35
Gráfico de uma função real
Definição 3Seja f ∶ D → C uma função real. O gráfico de f é o subconjuntodo plano cartesiano
Gráf (f ) = {(x , y) ∈ R2 ∣ y = f (x)}
Definição equivalente: Gráf (f ) = {(x , f (x)) ∣ x ∈ D}
v. 2012-11-8 5/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 1Represente o gráfico de f ∶ R → R
x ↦ f (x) = x
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2Y
XDom f = R
Im f = R
v. 2012-11-8 6/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 1Represente o gráfico de f ∶ R → R
x ↦ f (x) = x
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2Y
X
Dom f = R
Im f = R
v. 2012-11-8 6/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 1Represente o gráfico de f ∶ R → R
x ↦ f (x) = x
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2Y
XDom f = R
Im f = R
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Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 1Represente o gráfico de f ∶ R → R
x ↦ f (x) = x
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2Y
XDom f = R
Im f = R
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Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 2Represente o gráfico de f ∶ R → R
x ↦ f (x) = −x
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2Y
XDom f = R
Im f = R
v. 2012-11-8 7/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 2Represente o gráfico de f ∶ R → R
x ↦ f (x) = −x
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2Y
X
Dom f = R
Im f = R
v. 2012-11-8 7/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 2Represente o gráfico de f ∶ R → R
x ↦ f (x) = −x
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2Y
XDom f = R
Im f = R
v. 2012-11-8 7/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 2Represente o gráfico de f ∶ R → R
x ↦ f (x) = −x
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2Y
XDom f = R
Im f = R
v. 2012-11-8 7/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 3Represente o gráfico de f ∶ [−1,2] → R
x ↦ f (x) = x2
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4Y
X
Dom f = [−1,2]
Im f = [0,4]
v. 2012-11-8 8/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 3Represente o gráfico de f ∶ [−1,2] → R
x ↦ f (x) = x2
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4Y
X
Dom f = [−1,2]
Im f = [0,4]
v. 2012-11-8 8/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 3Represente o gráfico de f ∶ [−1,2] → R
x ↦ f (x) = x2
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4Y
X
Dom f = [−1,2]
Im f = [0,4]
v. 2012-11-8 8/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 3Represente o gráfico de f ∶ [−1,2] → R
x ↦ f (x) = x2
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4Y
X
Dom f = [−1,2]
Im f = [0,4]
v. 2012-11-8 8/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 4Represente o gráfico de g ∶ Z → N
n ↦ g(n) = ∣n∣
−3 −2 −1 0 1 2 3
1
2
3Y
X
Dom g = Z
Im g = N
v. 2012-11-8 9/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 4Represente o gráfico de g ∶ Z → N
n ↦ g(n) = ∣n∣
−3 −2 −1 0 1 2 3
1
2
3Y
X
Dom g = Z
Im g = N
v. 2012-11-8 9/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 4Represente o gráfico de g ∶ Z → N
n ↦ g(n) = ∣n∣
−3 −2 −1 0 1 2 3
1
2
3Y
X
Dom g = Z
Im g = N
v. 2012-11-8 9/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 4Represente o gráfico de g ∶ Z → N
n ↦ g(n) = ∣n∣
−3 −2 −1 0 1 2 3
1
2
3Y
X
Dom g = Z
Im g = N
v. 2012-11-8 9/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5Represente o gráfico de h ∶ R→ R tal que
h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
1
2
3Y
X
Dom h = R
Im h = R
v. 2012-11-8 10/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5Represente o gráfico de h ∶ R→ R tal que
h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
1
2
3Y
X
Dom h = R
Im h = R
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Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5Represente o gráfico de h ∶ R→ R tal que
h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
1
2
3Y
X
Dom h = R
Im h = R
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Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5Represente o gráfico de h ∶ R→ R tal que
h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
1
2
3Y
X
Dom h = R
Im h = R
v. 2012-11-8 10/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5Represente o gráfico de h ∶ R→ R tal que
h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
1
2
3Y
X
Dom h = R
Im h = R
v. 2012-11-8 10/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5Represente o gráfico de h ∶ R→ R tal que
h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
1
2
3Y
X
Dom h = R
Im h = R
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Propriedades de funções a partir de seus gráficos
f (x)
1 2 3 4-1-2-2,3
X
Y
Para quais valores de x :f (x) = 0?
f (x) ≥ 0?g(x) < 0?f (x) − g(x) > 0?
v. 2012-11-8 11/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
f (x)
1 2 3 4-1-2-2,3
X
Y
Para quais valores de x :f (x) = 0?f (x) ≥ 0?
g(x) < 0?f (x) − g(x) > 0?
v. 2012-11-8 11/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
g(x)
1 2 3 4
2,5 4,3
-1-2X
Y
Para quais valores de x :f (x) = 0?f (x) ≥ 0?g(x) < 0?
f (x) − g(x) > 0?
v. 2012-11-8 11/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
g(x)
f (x)
1 2 3 4
2,5 4,3
4,8-1-2
-2,3
X
Y
Para quais valores de x :f (x) = 0?f (x) ≥ 0?g(x) < 0?f (x) − g(x) > 0?
v. 2012-11-8 11/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
X
v. 2012-11-8 12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
X sim!
v. 2012-11-8 12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
X
v. 2012-11-8 12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
Xx1 x2
f (x1) = f (x2)
v. 2012-11-8 12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
Xx1 x2
f (x1) = f (x2)
não!
v. 2012-11-8 12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
O que podemos dizer do gráfico abaixo?
Y
X
v. 2012-11-8 13/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
O que podemos dizer do gráfico abaixo?
Y
Xx
v. 2012-11-8 13/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
O que podemos dizer do gráfico abaixo?
Y
Xx
f (x)?
f (x)?
v. 2012-11-8 13/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
O que podemos dizer do gráfico abaixo?
Y
Xx
f (x)?
f (x)?
com certeza não égráfico de função!
v. 2012-11-8 13/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.
Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x) + c, para alguma constante c ∈ R.
f (x)
X
Y
v. 2012-11-8 14/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x) + c, para alguma constante c ∈ R.
f (x)
X
Y
g (x)
+c
se c > 0
v. 2012-11-8 14/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x) + c, para alguma constante c ∈ R.
f (x)
X
Y
g (x)
+c
se c < 0
v. 2012-11-8 14/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.
Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x + c), para alguma constante c ∈ R.
f (x)
X
Y
v. 2012-11-8 15/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x + c), para alguma constante c ∈ R.
f (x)
X
Y
g (x)
c
se c > 0
v. 2012-11-8 15/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x + c), para alguma constante c ∈ R.
f (x)
X
Y
g (x)
c
se c < 0
v. 2012-11-8 15/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,
g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.
Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞)
Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)
Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,
h2(x) = f2(x + 2).Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1]
Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]
Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:
se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =
√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).
Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8 16/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.
Considere a funçãoreal g tal que g(x) = c ⋅ f (x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
v. 2012-11-8 17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = c ⋅ f (x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
x
f(x)
c f(x) gse c > 1
v. 2012-11-8 17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = c ⋅ f (x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
x
f(x)
c f(x) g
se 0 < c < 1
v. 2012-11-8 17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = c ⋅ f (x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
x
f(x)
-- f(x) g
se c = −1
v. 2012-11-8 17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = c ⋅ f (x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
x
f(x)
c f(x) g
-- f
se −1 < c < 0
v. 2012-11-8 17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = c ⋅ f (x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
x
f(x)
c f(x) g-- f
se c < −1
v. 2012-11-8 17/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = c ⋅ f (x).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical
Observe que o conjunto Im g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Im f .
v. 2012-11-8 18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = c ⋅ f (x).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical
Observe que o conjunto Im g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Im f .
v. 2012-11-8 18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = c ⋅ f (x).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f
se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical
Observe que o conjunto Im g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Im f .
v. 2012-11-8 18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = c ⋅ f (x).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração vertical
se c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical
Observe que o conjunto Im g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Im f .
v. 2012-11-8 18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = c ⋅ f (x).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical
Observe que o conjunto Im g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Im f .
v. 2012-11-8 18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = c ⋅ f (x).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical
Observe que o conjunto Im g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Im f .
v. 2012-11-8 18/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.
Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (c ⋅ x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
v. 2012-11-8 19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (c ⋅ x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
g
x/c x
g(x/c) = f(x)
se c > 1
v. 2012-11-8 19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (c ⋅ x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
g
x/cx
g(x/c) = f(x)
se 0 < c < 1
v. 2012-11-8 19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (c ⋅ x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
g
x
g(--x) = f(x)
--x
se c = −1
v. 2012-11-8 19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (c ⋅ x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
g
xx/c
se −1 < c < 0
v. 2012-11-8 19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (c ⋅ x), para alguma constante c ∈ R.
f
X
Y
g
xx/c
se c < −1
v. 2012-11-8 19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = f (c ⋅ x).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal
Observe que o conjunto Dom g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Dom f .
v. 2012-11-8 20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = f (c ⋅ x).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal
Observe que o conjunto Dom g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Dom f .
v. 2012-11-8 20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = f (c ⋅ x).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f
se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal
Observe que o conjunto Dom g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Dom f .
v. 2012-11-8 20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = f (c ⋅ x).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontal
se c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal
Observe que o conjunto Dom g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Dom f .
v. 2012-11-8 20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = f (c ⋅ x).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal
Observe que o conjunto Dom g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Dom f .
v. 2012-11-8 20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = f (c ⋅ x).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal
Observe que o conjunto Dom g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Dom f .
v. 2012-11-8 20/35
Transformações do gráfico: reflexões
Sejam f uma função real, c ∈ R e as funções g ,h tais que:
g(x) = −f (x)h(x) = f (−x)
Ambas são casos especiais de homotetias:
o gráfico de g é a reflexão em relação ao eixo X do gráficode fo gráfico de h é a reflexão em relação ao eixo Y do gráficode f
v. 2012-11-8 21/35
Transformações do gráfico: reflexões
Sejam f uma função real, c ∈ R e as funções g ,h tais que:
g(x) = −f (x)h(x) = f (−x)
Ambas são casos especiais de homotetias:o gráfico de g é a reflexão em relação ao eixo X do gráficode f
o gráfico de h é a reflexão em relação ao eixo Y do gráficode f
v. 2012-11-8 21/35
Transformações do gráfico: reflexões
Sejam f uma função real, c ∈ R e as funções g ,h tais que:
g(x) = −f (x)h(x) = f (−x)
Ambas são casos especiais de homotetias:o gráfico de g é a reflexão em relação ao eixo X do gráficode fo gráfico de h é a reflexão em relação ao eixo Y do gráficode f
v. 2012-11-8 21/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.
Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x).
Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .
Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)
(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)
O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)
Y
X
(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)
(x , y)(y , x)
(x , y)
(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.
v. 2012-11-8 22/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja f ∶ R→ R . Determine f −1 e esboce o seugráfico. x ↦ f (x) = x3
Y
X
f
v. 2012-11-8 23/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja f ∶ R→ R . Determine f −1 e esboce o seugráfico. x ↦ f (x) = x3
Y
X
f
f −1
v. 2012-11-8 23/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja f ∶ R→ R . Determine f −1 e esboce o seugráfico. x ↦ f (x) = x3
Y
X
f −1
f −1(x) = 3√x
v. 2012-11-8 23/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja f ∶ [0,+∞)→ R . Determine f −1 e esboceo seu gráfico. x ↦ f (x) = x2
Y
X
v. 2012-11-8 24/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja f ∶ [0,+∞)→ R . Determine f −1 e esboceo seu gráfico. x ↦ f (x) = x2
Y
X
f
v. 2012-11-8 24/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja f ∶ [0,+∞)→ R . Determine f −1 e esboceo seu gráfico. x ↦ f (x) = x2
Y
X
f
v. 2012-11-8 24/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja f ∶ [0,+∞)→ R . Determine f −1 e esboceo seu gráfico. x ↦ f (x) = x2
Y
X
f
f −1
v. 2012-11-8 24/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja f ∶ [0,+∞)→ R . Determine f −1 e esboceo seu gráfico. x ↦ f (x) = x2
Y
X
f −1
f −1(x) = √x
v. 2012-11-8 24/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal queg(x) = { f (x) se x ≥ 0
f (−x) se x < 0Y
X
f
v. 2012-11-8 25/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal queg(x) = { f (x) se x ≥ 0
f (−x) se x < 0Y
X
f
g
v. 2012-11-8 25/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal queg(x) = { f (x) se x ≥ 0
f (−x) se x < 0Y
Xg
v. 2012-11-8 25/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal queg(x) = { f (x) se x ≥ 0
f (−x) se x < 0Y
Xg
Uma função real g échamada função par seg(x) = g(−x) para todo xno domínio de g .
v. 2012-11-8 25/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal queh(x) = { f (x) se x ≥ 0
−f (−x) se x < 0Y
Xf
v. 2012-11-8 26/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal queh(x) = { f (x) se x ≥ 0
−f (−x) se x < 0Y
Xf h
v. 2012-11-8 26/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal queh(x) = { f (x) se x ≥ 0
−f (−x) se x < 0Y
X
h
v. 2012-11-8 26/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal queh(x) = { f (x) se x ≥ 0
−f (−x) se x < 0Y
X
hUma função real h é cha-mada função ímpar seh(−x) = −h(x) para todox no domínio de g .
v. 2012-11-8 26/35
Funções pares, funções ímpares
Definição 4 (funções simétricas)Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:
f é par se, e somente se, f (−x) = f (x) para todo x ∈ D
f é ímpar se, e somente se, f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Y .
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem(0,0).
v. 2012-11-8 27/35
Funções pares, funções ímpares
Definição 4 (funções simétricas)Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:
f é par se, e somente se, f (−x) = f (x) para todo x ∈ Df é ímpar se, e somente se, f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Y .
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem(0,0).
v. 2012-11-8 27/35
Funções pares, funções ímpares
Definição 4 (funções simétricas)Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:
f é par se, e somente se, f (−x) = f (x) para todo x ∈ Df é ímpar se, e somente se, f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Y .
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem(0,0).
v. 2012-11-8 27/35
Funções pares, funções ímpares
Definição 4 (funções simétricas)Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:
f é par se, e somente se, f (−x) = f (x) para todo x ∈ Df é ímpar se, e somente se, f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Y .
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem(0,0).
v. 2012-11-8 27/35
Exemplo de função ímparA função identidade é ímpar (função f tal que f (x) = x).
Y
X
v. 2012-11-8 32/35
Exemplo de função nem par, nem ímparA função f tal que f (x) = x3 + x2 não é par nem ímpar.
Y
X
v. 2012-11-8 34/35