BASES PARA O CÁLCULO

Aplicação de uma força: 0 até a ruptura da peça

ESTÁDIOS

ESTÁDIO 1

•Início do carregamento;•Tensões atuantes menores que a resistência à tração do concreto;•Diagrama linear de tensões – Vale Lei de Hooke;•Momento de fissuração – limite entre Estádio 1 e 2.

ESTÁDIO 2

•Seção fissurada – concreto não resiste mais à tração;•Concreto comprimido – diagrama linear – Lei de Hooke;•Verificações de Estados Limites de Serviço (fissuração e flechas);•Aumento do carregamento – aumento das fissuras;•Plastificação do concreto comprimido – Término do Estádio 2.

ESTÁDIO 3

•Plastificação do concreto comprimido – limite de ruptura;•Diagrama parábola-retângulo para o concreto;

ESTÁDIO 3

•Para cálculo – simplificação para diagrama retangular do concreto comprimido;•É neste estádio que se realiza o dimensionamento das estruturas.

•Tensão de 0,85fcd – Seção constante paralela à LN;•Tensão de 0,80fcd – Caso contrário.

•Aço ou concreto atinge o seu limite de deformação:•Alongamento último do aço (ruína por deformação plástica excessiva do aço):

•Encurtamento último do concreto (ruína por ruptura do concreto):

FlexãoCompressão simples

DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA

%0,1SU

%20,0

%35,0

CU

CU

Considerações:•Perfeita aderência entre o aço e o concreto;•Seções planas permanecem planas.

Limites de deformação dos materiais:•Alongamento máximo do aço: 1,0%;•Encurtamento máximo do concreto: 0,35%.

Ruína por deformação plástica excessiva:

•Tração simples: alongamento constante e igual a 1,0%;•O alongamento se dá de forma uniforme na seção.

•Notação:•‘x’ = posição da LN em relação à borda superior da seção (‘+’ abaixo da borda);•Na reta a: LN se encontra em - .

Reta a

Domínio 1

•Tração em toda a seção, mas não uniforme (Tração excêntrica);•As com =1,0%;•Borda superior com 0 < 1,0%;•LN - < x ≤ 0.

Domínio 2

•Flexão simples ou composta;•Último caso de ruína por deformação plástica excessiva da armadura;•As com =1,0%;•Borda superior: 0 < c < 0,35%.

Domínio 3

•Flexão simples ou composta;•Concreto na ruptura e aço tracionado em escoamento;•Seção subarmada (aço e concreto trabalham com suas resistências de cálculo);•Aproveitamento máximo dos materiais – ruína com aviso;•As com yd s 1,0%;•Borda comprimida: cu = 0,35%.

Ruína por ruptura do concreto na flexão:

•Flexão: LN dentro da seção.

Domínio 4

•Flexão simples ou composta;•Seção superarmada (concreto na ruptura e aço tracionado não atinge o escoamento);•Aço mal aproveitado – ruína sem aviso;•As com 0 < s < yd;•Borda comprimida: cu = 0,35%.

Domínio 4a

•Duas armaduras comprimidas;•Ruína pelo concreto comprimido;•As com deformação muito pequena – mal aproveitada;•Borda comprimida: cu = 0,35%;•LN: d < x < h.

•Seção inteiramente comprimida: x > h;• cu = 0,20% - na linha distante 3/7 h;•Compressão excêntrica;•Borda comprimida: 0,35% < cu < 0,20%.

Domínio 5

Ruína da seção inteiramente comprimida:

•Deformação uniforme de compressão: cu = 0,20% ;•LN: ‘x’ tenda a + ;•Borda comprimida: 0,35% < cu < 0,20%.

Reta b

•LN: definição da posição por semelhança de triângulos.

Diagrama único

•Da reta a para domínios 1 e 2: diagrama gira em torno do ponto A (Armadura como limite com deformação de 1,0%);•Nos domínios 3, 4 e 4a: diagrama gira em torno do ponto B (ruptura do concreto na borda comprimida com deformação de 0,35%);•Domínios 5 e reta b: diagrama gira em torno do ponto C (Concreto com 0,2%).

FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA - EQUAÇÕES

•Momento fletor separado da força cortante;

•Perfeita aderência entre concreto e armadura: c = s;•Resistência à tração do concreto é desprezada;

•Manutenção da forma plana da seção transversal são proporcionais à distância em relação à LN

Hipóteses

Diagramas de tensão do concreto

•Flexão: tração resistida pela armadura;•LN: 0 < x < d Domínios 2, 3 e 4.

Domínios possíveis

•Ruína por deformação plástica excessiva do aço;•Definindo:

Domínio 2

d

xx ou

sc

cx

%35,00

%0,1

c

sydsd f

259,0135,0

35,03,2

sc

cx 259,00 x

•Ruína por ruptura do concreto com deformação máxima de 0,35%;•Definindo:

Domínio 3

%35,0

%0,1

c

sydydsd f

ydydc

cx

35,0

35,04,3

4,3259,0 xx

s

yd

ydE

f

628,0)4,3(%207,021000015,1

500lim,)( xAyd

•Ruína por ruptura do concreto com deformação máxima de 0,35%;•Definindo:

Domínio 4

%35,0

0

c

ydsydsd f

•Solução antieconômica, além de perigosa – ruptura brusca (sem aviso);•Alternativas:

•Aumentar a altura h;•Adotar armadura dupla;•Aumentar a resistência do concreto.

0,14,4

sc

cax

0s

Diagrama do aço

Domínio 2

Equações de equilíbrio

As equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente:

)2()(2

0

)1(00

''

'

ddRy

dRMMM

RRRF

sckfdA

sscx

s

As resultantes no concreto (Rc) e nas armaduras (Rs e R’s) são dadas por:

cdc ybR xy 8,0cdc xbR 8,0

d

d

cdc fd

xdbR 85,08,0

cdxc fdbR 68,0 '''sss

sss

AR

AR

Com isso, temos as seguintes equações:

)1(068,0''

sssscdx AAfdb

Colocando d em evidência e substituindo y=0,8x, na equação do equilíbrio do momento:

)2()()4,01(68,0'''2

ddAfdbM ssxcdxd

Trabalhando nos domínios 2 e 3, com armadura simples (As'=0), tem-se:

)1(068,0'

sscdx Afdb

)2()4,01(68,0'2

xcdxd fdbM

Temos, neste caso, 3 incógnitas ( x, As, s), para duas equações. A solução passa por definir x e com isso temos os domínios de deformação.

Armadura mínima

bhf

fA

yd

ctmíns 20,0. para fct e fyd em MPa.

Sendo:

)(10

4,1

3,1

32

MPaf

f

ff

ckctm

ctmct

bhA mínmíns ,

Aço fck (MPa)

20 25 30 35 40 45 50

CA-50 0,15% 0,15% 0,17% 0,19% 0,21% 0,23% 0,25%

CA-60 0,15% 0,15% 0,15% 0,16% 0,18% 0,19% 0,20%

Exemplos

C20; CA50; seção: 15x35cm; d’=4cm

C20; CA50; seção: 12x35cm; d’=3cm

Valores de característicos;Unidades: kN e m.

ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO

Momento de fissuração

t

cctr

y

IfM

: relaciona as resistências à tração na flexão com a direta.

= 1,2 para seções T ou duplo T;= 1,5 para seções retangulares.

fct: Resistência do concreto à tração direta.

3/2

3/2inf,

3,0

21,0

ckctmct

ckctkct

fff

fff em MPa, para formação de fissura

em MPa, para deformação excessiva

Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto;yt = distância do CG da seção à fibra mais tracionada (=h/2).

Homogeneização da seção

Seção composta de dois materiais: concreto e aço homogeneizar;Substituir As por uma Ac equivalente

c

se E

E

Estádio I

Concreto resiste à tração:

)(560085,085,0

210

2/1MPaemfEE

GPaE

ckcic

s

Posição da LN: fazendo o momento estático da seção homogeneizada em relação à LN

0)(2

)()(2

''xdA

xhxhbdxA

xxb sese

)(

)(2

'

''2

sse

sse

AAbh

dAdAbh

x

Momento de inércia:

22''23

)()()2

(12

xdAdxAxh

bhbh

I sese

Estádio II

Despreza-se a resistência à tração do concreto:

0)()(2

''xdAdxA

xxb sese

0)(2

)(2 '''2

dAdAb

xAAb

x sse

sse

Posição da LN

Momento de inércia:

22''23

)()()2

(12

xdAdxAx

bxbx

I sese

Formação de fissuras

Compara-se o valor de Mr com o valor de Md relativo à combinação rara de serviço:

São consideradas as seguintes combinações:Freqüentes (95% vida útil) 1Fqk ( 1 = 0,4 para fissuras)

Se: Md > Mr há fissuração

Deformação (deslocamentos)

Compara-se o valor de Mr com o valor de Md relativo à combinação rara de serviço:

São consideradas as seguintes combinações:Quase permanentes (50% vida útil) 2Fqk ( 2 = 0,3 para deformação)

Flecha imediata:

Comportamento elástico (tabelas)

)(560085,085,02/1

MPaemfEE ckcic

Inércia equivalente:

233])(1[)( I

M

MI

M

MII

a

rc

a

req

Ic = Inércia da seção bruta de concreto;I2 = Inércia no estádio II;Ma = momento fletor na seção crítica, conforme combinação adequada;Mr = Momento de fissuração.

Flecha diferida:

Leva em conta a fluência no cálculo das deformações

'501

f

db

As'

' )()()( 0 Tabelatt

t = tempo, em meses, em que se deseja o valor da flecha;t0 = idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.

Tempo

(t)

meses

0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 >70

Coeficie

nte

(t)

0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

)1( fit

iff

aa

aa Flecha diferidaFlecha total

Verificação das flechas

Verificar flecha calculada com os limites impostos pela norma.

Caso os limites sejam ultrapassados:Aumentar a idade para aplicação da carga;Adotar contraflecha (ac).

2)

21(

f

i

f

ic

aaaa

Tipo de efeito Razão da

limitação

Exemplo Deslocamento a

considerar

Deslocamento

limiteAceitabilidade

sensorial

Visual Deslocamentos

visíveis em

elementos

estruturais

Total l/250

Outro Vibrações sentidas

no piso

Devidos a cargas

acidentais l/350

Efeitos estruturais

em serviço

Superfícies que

devem drenar

água

Coberturas e

varandas Total l/250

Pavimentos que

devem

permanecer planos

Ginásios e pistas

de boliche

Total l/350 + contra-

flecha

Ocorrido após a

construção do piso

l/600

Elementos que

suportam

equipamentos

sensíveis

Laboratórios

Ocorridos após

nivelamento do

equipamento

De acordo com a

recomendação do

fabricante do

equipamento

Abertura de fissuras

Valor da abertura de fissuras:Adotar o menor valor entre w1 e w2:

)454

(5,12 1

1

risi

sii

Ew

ctm

si

si

sii

fEw

3

5,12 1

2

cri

siri

A

A

1 = coeficiente de aderência

1 = 1 para barras lisas;

1 = 1,4 para barras dentadas;

1 = 2,25 para barras nervuradas.

3/23,0 ckctm ff

Cálculo de si:

2

2, )(

I

xdM freqde

s

Limites:

Tipo de concreto

Estrutural

Classe de

Agressividade

Ambiental (CAA)

Exigências relativas à

fissuração

Combinação de ações

em serviço a utilizar

Concreto simples CAA I a CAA IV Não há ***

Concreto armado

CAA I wk 0,4mm

Combinação frequenteCAA II a CAA III wk 0,3mm

CAA IV wk 0,2mm

Caso os limites sejam excedidos:Diminuir diâmetros;Aumentar o número de barras mantendo o diâmetro;Aumentar a seção transversal da peça.

CÁLCULO MEDIANTE TABELAS

Armadura simples

d

c

xcdxd

xcdxd

M

dbkChamando

fM

db

fdbM

2

2

'2

:

)4,01(68,0

1

)2()4,01(68,0

),( cdxc ffk

d

ss

xsd

s

xssd

sscdx

sscdx

M

dAkChamando

M

dA

dAMemdoSubstituin

Afdb

Afdb

:

)4,01(

1

)4,01()'2(

68,0

)1(068,0'

),( sxs fk

Armadura dupla

Utilizadas quando x > x,lim

Para a seção 1:M1 Valor máximo do momento com armadura simples ( x,lim)

4,3lim,

1lim,1

lim,

2

1lim,

xxcc

ss

c

d

parakkPara

d

MkA

k

bdMM

Para a seção 2:

A equação de equilíbrio é a seguinte: )()(''''

22 ddAddfAM ssyds

)()(

1

)()(

1

'

2''

'

2

'

'

'

222'

22

dd

MkA

dd

MA

dd

MkA

dd

M

fA

ss

s

s

ss

yd

s

Os valores de ks2 e ks são tabelados

A armadura tracionada total vale: As = As1 + As2

A armadura comprimida vale: As'.

Dimensionamento Seção T

•Ocorrência: Estruturas com vigas e lajes maciças, peças pré-moldadas, etc..

•Definir qual a “largura colaborante” (bf) da laje que contribui na resistência da viga resistindo aos esforços de compressão.

bf

b2

b1

bw

b1

bf bf

hf

b3 b3

bw

2

15,0

10,0

b

ab

ab

10,0

3

•Sendo 'a' igual a um dos seguintes valores:•Viga simplesmente apoiada a = l•Tramo com momento em uma só extremidade•Viga com momento nas duas extremidades•Viga em balanço

la4

3

la5

3

la 2

Observação: Caso existam mísulas as distâncias b1 e b3 são definidas a partir do final das mísulas, como indicado abaixo:

Verificação do comportamento

Seção retangular (LN na mesa)

Seção T verdadeira

Neste caso temos a LN passando pela nervura (alma) da seção transversal.

A condição limite para seção T é:

d

h

d

y

d

x f

xfx8,08,0

Se: y hf x xf seção retangular (bf)y > hf x > xf seção T verdadeira

Durabilidade

Agressividade do ambiente

Classe de agressividade

ambiental

(CAA)

Agressividade Risco de deterioração da

estrutura

I fraca insignificante

II moderada pequeno

III forte grande

IV muito forte elevado

TABELA - Classe de Agressividade Ambiental

Micro-clima

Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral

Seco1)

UR 65%

Úmido ou ciclos2) de

molhagem e

secagem

Seco3)

UR 65%

Úmido ou ciclos4) de

molhagem e

secagem

Rural I I I II

Urbana I II I II

Marinha II III ----- III

Industrial II III II III

Especial 5) II III ou IV III III ou IV

Respingos de maré ----- ----- ----- IV

Submersa 3m ----- ----- ----- I

Solo ----- ----- não agressivo I úmido e agressivo

II, III ou IV

1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes

com concreto revestido com argamassa e pintura.2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens.3) Obras em regiões de clima seco, e partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos.4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel,

armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.5) Macro clima especial significa ambiente com agressividade bem conhecida, que permite definir a classe de agressividade III ou

IV nos ambientes úmidos. Se o ambiente for seco, deve ser considerada classe de agressividade II nos ambientes internos e

classe de agressividade III nos externos.

Tabela - Classes de agressividade ambiental em função das condições de exposição

A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concretoe da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura.

Concreto Tipo Classe de agressividade (tabela 1)

I II III IV

Relação

água/aglomerant

e em massa

CA 0,65 0,60 0,55 0,45

Classe de

concreto

CA C20 C25 C30 C40

NOTA:

CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado

Tabela - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto

Cobrimento

Tipo de estrutura Componente ou

elemento

Classe de agressividade ambiental

I II III IV2)

Cobrimento nominal

mm

Concreto armado Laje1) 20 25 35 45

Viga/Pilar 25 30 40 50

1) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com

revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais

como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências

desta tabela podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal 15 mm.2) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto,

condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente

agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45mm.

Tabela - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominalpara c=10mm