Basic T. Pavasovic M. 2013 Primjeni Rijesenih Numerickih Zadataka Iz Kolegija DRZAVNA IZMJERA.interni Rukopis.geodetski Fakultet Sveucilista u Zagrebu

S V E U Č I L I Š T E U Z A G R E B U U N I V E R S I T Y O F Z A G R E B

G E O D E T S K I F A K U L T E T F A C U L T Y O F G E O D E S Y

Z a v o d z a g e o m a t i k u D e p a r t m e n t o f G e o m a t i c s

F r a A n d r i j e K a č i ć a M i o š i ć a 26, 10 000 Z a g r e b, H r v a t s k a , Tel.: +385 (1) 46 39 237

K a t e d r a z a d r ž a v n u i z m j e r u C h a i r o f S t a t e S u r v e y

___________________________________________________________________________

Prof. dr. sc. Tomislav Bašić Marko Pavasović, dipl. ing.

Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“

- Interni rukopis ‐

Ak. god. 2012./2013.


Ak. god. 2012./2013. 2

Sadržaj

Redni broj zadatka

Tematika Stranica

1

Računanje parametara nivo-elipsoida, ravninskih koordinata naslijeđene i službene kartografske projekcije Republike Hrvatske te njenih elemenata.

4

2

Redukcija mjerenih veličina s fizičke površine Zemlje na plohu elipsoida uz primjenu Helmertove 7-parametarske 3D transformacije upotrebom složene (potpune) i jednostavne matrice rotacije.

8

3 Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u dinamički sustav visina.

12

4 Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u sustav normalnih visina.

16

5 Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u ortometrijski sustav visina.

20

6 Izjednačenje mikro triango-trilateracijske mreže po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata.

24

7 Računanje azimuta projekcije geodetske linije u ravnini naslijeđene kartografske projekcije Republike Hrvatske.

29

8 Primjena T7D službenog transformacijskog modela Republike Hrvatske.

31


Ak. god. 2012./2013. 3

Predgovor

Poštovane kolegice i kolege studenti,

U svrhu što boljeg razumijevanja i savladavanja sadržaja i problematike vježbi kolegija

„Državna izmjera“ (VI semestar) Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike na

Geodetskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, kojeg pokriva Katedra za državnu izmjeru,

za Vas smo pripremili primjere riješenih numeričkih zadataka.

Numerički zadatci i njihova rješenja s popratnim pojašnjenjima pojedinih koraka

rješavanja obuhvaćaju programe vježbi iz kolegija i prvenstveno su namijenjeni

studentima kao pomoć prilikom pripreme za kolokvij i ispit.

Ovaj (zasad) interni rukopis svojevrstan je nastavak na vježbe iz kolegija „Geodetski

referentni okviri“ IV semestra. Podrazumijeva ali i ponavlja već usvojena znanja o

konverziji i transformaciji geodetskih koordinata, upoznaje studenta s određivanjem

parametara nivo-elipsoida, koordinatnim sustavima elipsoidne geodezije, značenjem i

primjenom fizikalnih parametara pri redukciji mjerenih veličina s fizičke površine

Zemlje na plohu elipsoida, posrednim izjednačenjem geodetskih mreža te sustavima

visina, sukladno programu vježbi iz kolegija.

Sva numerička rješenja izračunata su primjenom MS Excel 2013 programa kao dio MS

Office 2013 Plus programskog paketa (uz korištenje Macro naredbi odnosno VBA - Visual

Basic for Applications) iz razloga široke primjene navedenog programa među

studentskom populacijom Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu. Zbog ograničenja

Visual Basic alata čijoj porodici pripada i MS Excel u vidu broja signifikantnih znamenaka

koje program uzima u obzir prilikom računanja, numerička rješenja mogu odstupati od

onih izračunatih primjenom nekog od programskih jezika koji ne pripada navedenoj

porodici.

Nadamo se da će Vam pripremljeni materijali uvelike olakšati savladavanje gradiva

kolegija, samim time i pomoći u studiranju i uvjerenju da rješavanje numeričkih

zadataka u inženjerskim strukama ne predstavlja nikakav problem nego naprotiv,

neizostavan dio struke i čestu potrebu u njenoj praksi.

Zahvaljujemo se kolegi i demonstratoru, studentu Igoru Grgcu na konstruktivnim

diskusijama i svekolikoj pomoći oko pripreme numeričkih rješenja zadataka.

Autori

U Zagrebu, 12.03.2013.


Ak. god. 2012./2013. 4

1) Na temelju zadanih veličina u tablici 1.1 i 1.2 potrebno je odrediti:

razliku radijusa određenog kao geometrijska sredina: radijusa elipsoida dobivenog na osnovu aritmetičke sredine, radijusa zakrivljenosti sfere iste površine kao elipsoid te radijusa sfere istog volumena kao elipsoid i Grunertovog radijusa zakrivljenosti točke T1 na istom

razliku duljina luka meridijana od ekvatora točke T 1 na elipsoidu za „staru“ (naslijeđenu) i „novu“ (službenu) Gauss-Krügerovu/Transverse Mercatorovu projekciju RH

razliku početnih geodetskih širina točke T1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH

normalnu vrijednost ubrzanja sile teže za točku T1

Tablica 1.1: Parametri elipsoida

Velika poluos elipsoida (a): 6378136.1234 m

Geocentrična gravitacijska konstanta (GM): 3.986004418E+14 kgm3s-2

Kutna brzina rotacije (): 7.292115E-05 rads-1

Dinamički faktor spljoštenosti (J2): 0.00108263

Tablica 1.2: Koordinate točke T1

ET1 = 640133.337 m

NT1 = 5041906.127 m

hT1 = 143.495 m

Rješenje: 1. korak: Određivanje male poluosi b iterativnim postupkom. Iterativni postupak određivanja male poluosi b nivo-elipsoida primjenjuje se u slučaju nepoznavanja spljoštenosti elipsoida (f ili μ), odnosnom prilikom zadavanja dinamičkog faktora spljoštenosti (oblika) J2 primjenom izraza (2.3) - (2.8) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija 4. iteracija 5. iteracija

b0 6000000.0000 6357528.2251 6356749.7136 6356751.4473 6356751.4434

m 0.003256177 0.003450207 0.003449784 0.003449785 0.003449785

e'2 0.130017234 0.006493498 0.006740044 0.006739495 0.006739496

2q0 0.011244478 0.000138764 0.000146710 0.000146692 0.000146692

e2 0.115057744 0.006451605 0.006694920 0.006694378 0.006694379

e2 0.006451605 0.006694920 0.006694378 0.006694379 0.006694379

b 6357528.2251 6356749.7136 6356751.4473 6356751.4434 6356751.4434

Ukoliko je razlika vrijednosti male poluosi b između n-te i n-1 iteracije zanemariva odnosno ako je jednaka nuli tada je iterativni postupak konvergirao i prihvaća se rješenje zadnje iteracije.


Ak. god. 2012./2013. 5

2. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti na osnovu aritmetičke sredine primjenom izraza (2.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

R1 = 6370999.9153 m

3. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti iste površine kao i elipsoid pomoću izraza (2.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

R2 = 6399398.9364 m

4. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti istog volumena kao elipsoid pomoću izraza (2.14) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

R3 = 6370999.9153 m

5. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti kao geometrijska sredina tri prethodno izračunata radijusa (R1, R2 i R3). Geometrijska sredina dviju varijabli jest drugi korijen iz njihovog umnoška pa analogno vrijedni i za određivanje geometrijske sredine triju varijabli.

R1,2,3 = 6380452.2249 m

6. korak: Konverzija reduciranih HTRS96/TM koordinata točke T1 u nereducirane primjenom izraza (3.11) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

E_T1 = 140147.3517 m

N_T1 = 5042410.3680 m

7. korak: Konverzija nereduciranih HRTS96/TM koordinata u elipsoidne:

7.1 korak: Računanje početne geodetske širine 0 za apscisnu os x primjenom izraza (3.8) i (3.9) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

n = 0.0016792202 (treća spljoštenost)

_ = 6367448.2721

_ = 0.002518826

_ = 3.700948E-06

_ = 7.447767E-09

_ = 1.703598E-11

0 = 0.7944229194 rad

7.2 korak: Računanje pomoćnih veličina primjenom izraza (3.7) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

0 = 16°30'00''

v0 = 1.0016530981

N0 = 6389031.0483

t0 = 1.0182143869

0 = 0.05752329


Ak. god. 2012./2013. 6

7.3 korak: Računanje elipsoidnih koordinata točke T1 primjenom izraza (3.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

= 0.794177221 rad

= 0.319277051 rad

= 45°30'10''.81054

= 18°17'35''.61902

8. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti meridijanske elipse M primjenom izraza (3.1) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

M = 6367944.1593 m

9. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti meridijanske elipse N primjenom izraza (3.2) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

N = 6389025.7769 m

10. korak: Računanje Grunertovog (srednjeg) radijusa zakrivljenosti RGR primjenom izraza (3.3) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

RGR = 6378476.2585 m

11. korak: Računanje razlike između radijusa dobivenog kao geometrijska sredina (5. korak) i Grunertovog radijusa (10. korak):

R = 1975.9664 m

12. korak: Određivanje razlike duljine luka meridijana za točku T 1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH:

G() = 0 m

Razlika ne postoji jer duljina luka meridijana ne ovisi o svojstvima kartografske projekcije, već isključivo o parametrima elipsoida i geodetskoj širini! 13. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata točke T1 u nereducirane ravninske koordinate u „staroj“ (naslijeđenoj) Gauss-Krügerovoj projekciji RH :

13.1 korak: Računanje duljine luka meridijana primjenom izraza (3.5) i (3.6) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

n = 0.0016792202

= 6367448.2721

= -0.002518828

= 2.64354E-06

= -3.45262E-09

= 4.89183E-12

G() = 5040845.7700 m


Ak. god. 2012./2013. 7

13.2 korak: Računanje pomoćnih veličina primjenom izraza (3.4) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

e' = 0.082094433

= 0.057537679

N = 6389025.7768

t = 1.017714082

0 = 18°00'00''

l = 0.005117785

13.3 korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata primjenom izraza (3.10) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

x_ = 5040887.5987 m

y_ = 22916.8709 m

14. korak: Računanje početne geodetske širine za točku T1 u „staroj“ (naslijeđenoj) Gauss-Krügerovoj projekciji RH:

0GK = 45°30'12''.16541

15. korak: Računanje početne geodetske širine za točku T1 u HRTS96/TM (izračunato u koraku 7.1):

0HTRS96/TM = 45°31'01''.48955

16. korak: Računanje razlike početnih geodetskih širina točke T1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH:

0)HTRS96/TMGK = 0°00'49''.32413

17. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže za točku T1 primjenom izraza (2.16), (2.17), (2.18) i (2.19) iz prvih te izraza (5.1) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

q0' = 0.002688041

m' = 0.003449785

e = 9.780328041 ms-2

p = 9.832187627 ms-2

0 = 9.806655736 ms-2


Ak. god. 2012./2013. 8

2) Odredite duljinu geodetske linije između stajališne točke T 1 i vizurne točke T2 na novom službenom matematičkom modelu za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj ako je zadano: Tablica 2.1: Koordinate točke T1

y = 5599258.293 m

x = 5069028.270 m

HHVRS71 = 706.173 m

NHRG2009 = 45.171 m

Tablica 2.2: Transformacijski parametri za cijeli teritorij RH (izračunati s upotrebom nove plohe geoida)

Tx = 546.60923 m

Ty = 162.32734 m

Tz = 469.48444 m

Rx = -5.90493011 "

Ry = -2.07427449 "

Rz = 11.50998645 "

Dm = -4.44106998 ppm

Tablica 2.3: Mjerene veličine na fizičkoj površini Zemlje

Mjerena udaljenost između stajališne i vizurne točke: 25327.145 m Mjereni astronomski azimut: 45°45'45''.25 Zenitna udaljenost: 40°40'40''.88 Komponenta otklona vertikale stajališne točke u smjeru meridijanske elipse (HDKS): -9.94" Komponenta otklona vertikale stajališne točke u smjeru prvog vertikala (HDKS): 6.32" Elipsoidna visina vizurne točke: 1100.543 m Koeficijent refrakcije: 0.13 Tablica 2.4: Parametri GRS80 i Bessel1841 elipsoida

Parametar GRS80 Bessel1841

a [m] 6378137.00000 6356752.31414

b [m] 6377397.15500 6356078.96300

Rješenje: 1. korak: Konverzija ravninskih koordinata stajališne točke iz reduciranih u nereducirane primjenom izraza (3.11) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija :

x_T1HDKS = 5069535.2235 m

y_T1HDKS = 99268.2198 m

2. korak: Konverzija ravninskih koordinata stajališne točke iz nereduciranih ravninskih koordinata u elipsoidne koordinate primjenom izraza (3.13), (3.7), (3.8) i (3.9) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

T1HDKS = 45°45'31''.06070


Ak. god. 2012./2013. 9

T1HDKS = 16°16'33''.98730

HT1HVRS71 = 706.173

3. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata stajališne točku u kartezijeve pravokutne 3D koordinate primjenom izraza iz drugih auditornih vježbi kolegija „Geodetski referentni okviri“ :

XT1HDKS = 4278884.2073 m

YT1HDKS = 1249296.6664 m

ZT1HDKS = 4546617.1438 m

4. korak: Transformacija stajališne točke iz HDKS-a u HTRS96 (ETRS89):

Transformacija pomoću složene matrice rotacije Transformacija pomoću jednostavne matrice rotacije

XT1HTRS96 = 4279527.2426 m XT1

HTRS96 = 4279527.2494 m

YT1HTRS96 = 1249084.5139 m YT1

HTRS96 = 1249084.5151 m

ZT1HTRS96 = 4547059.1546 m ZT1

HTRS96 = 4547059.1711 m

U ovom koraku primijenjena je transformacija iz lokalnog u globalni geodetski datum upotrebom složene (potpune) i jednostavne matrice rotacije (u izrazu za Helmertovu 7-parametarsku 3D transformaciju) s namjerom da se egzaktno vidi utjecaj odabrane matrice rotacije na vrijednost transformiranih koordinata. Izrazi za Helmertovu 7 -parametarsku 3D transformaciju i elemente složene i jednostavne matrice rotacije nalaze se u prvim, drugim i trećim auditornim vježbama iz kolegija „Geodetski referentni okviri“. U ovom slučaju transformacije, Eulerovi kutovi rotacije definirani su za rotaciju okvira/sustava u koji (engl. „to“ system/frame) želimo transformirati koordinatu u odnosu na okvir/sustav iz kojeg (engl. „from“ system/frame) želimo transformirati koordinatu što uzrokuje promjenu „izgleda“ jednostavne matrice rotacije u odnosu na ITRFyy transformaciju, odnosno matrica se transponira (kolokvijalno govoreći mijenjaju se predznaci svih elemenata rotacijske matrice). Obzirom da rješenje ovog zadatka ovisi o vrijednosti elipsoidnih koordinata stajališne točke T 1 u nastavku će biti prikazana rješenja za oba slučaja dobivanja koordinate točke T1 u HTRS96 - transformacijom upotrebom složene i jednostavne matrice rotacije. 5. korak: Konverzija HTRS96 kartezijevih pravokutnih 3D koordinata stajališne točke u elipsoidne iterativnim postupkom opisanim u prvim auditornim vježbama iz kolegija „Geodetski referentni okviri“:

e = 0.081819191

1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija 4. iteracija

= 45°45'30''.33537 45°45'30''.25831 45°45'30''.25857 45°45'30''.25857

N = 6389122.2961 6389122.2881 6389122.2881 6389122.2881

h = 708.6772 706.2339 706.2423 706.2423

T1HTRS96 = 45°45'30''.25857

T1

HTRS96 = 45°45'30''.25878

T1HTRS96 = 16°16'16''.22654

T1

HTRS96 = 16°16'16''.22650

HT1HVRS71 = 706.2423 m

HT1HVRS71 = 706.2590 m


Ak. god. 2012./2013. 10

Prikazani iterativni postupak odnosi se na kartezijeve koordinate stajališne točke T1 u HTRS96 dobivene transformacijom s upotrebom složene (potpune) matrice rotacije. Analogno tome vrijedi i za rješenje dobiveno upotrebom jednostavne matrice rotacije. 6. korak: Računanje astronomskih koordinata stajališne točke na temelju komponenti otklona vertikale i elipsoidnih koordinata iste u HDKS-u primjenom izraza (6.2) i (6.3) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

= 45°45'21''.12070

= 16°16'43''.04587

7. korak: Računanje komponenata otklona vertikale stajališne točke u HTRS96 također primjenom izraza (6.2) i (6.3) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

= -9.1379 " = -9.1381 "

= 18.7115 " = 18.7115 "

8. korak: Računanje elipsoidne visine stajališne točke u HTRS96 zbrajanjem ortometrijske visine točke u HVRS71 i odgovarajuće plohe geoida HRG2009 :

hT1HTRS96 = 751.413 m hT1

HTRS96 = 751.430 m

9. korak: Računanje Laplaceove popravke primjenom izraza (6.1) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

VL = 19.21348"

VL = 19.21351"

1

2 = 45°45'26''.03652

12 = 45°45'26''.03649

10. korak: Računanje popravke za otklon vertikale primjenom izraza (6.4) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

VOV = 22.80626"

VOV = 22.80646"

1

2 = 45°45'48''.84278

12 = 45°45'48''.84295

11. korak: Računanje azimutalne redukcije primjenom izraza (6.6) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

T1T2 = 0.05816238134"

T1

T2 = 0.05816238122"

1

2 = 45°45'48''.90094

1

2 = 45°45'48''.90111

12. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti primjenom izraza (3.1) i (3.2) iz prvih, odnosno izraza (6.17) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

M = 6368230.98587 m M = 6368230.98593 m

N = 6389122.28815 m N = 6389122.28817 m

R= 6378937.92915 m R= 6378937.92921 m


Ak. god. 2012./2013. 11

Za duljine geodetskih linija d < 30 km redukciju azimuta zbog prijelaza s azimuta normalnog presjeka na azimut geodetske linije (VNP-GL) nije potrebno računati jer je nivo signifikantnosti navedene redukcije ispod točnosti računanja/određivanja azimuta! 13. korak: Redukcija zbog zakrivljenosti putanje signala primjenom izraza (6.14) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

S1 = -0.00376307883455 m S1 = -0.00376307883448 m

S1 = 25327.1412 m

S1 = 25327.1412 m

Zbog izrazito male razlike u vrijednostima Eulerovog radijusa zakrivljenosti za postupak računanja geodetske širine promatrane točke u kojem se koristila složena, odnosno jednostavna matrica rotacije (pri transformaciji koordinata točke iz HDKS-a u HTRS96), iznosi redukcija mjerene dužine s fizičke površine Zemlje na plohu elipsoida u oba slučaja su gotovo identične! 14. korak: Prijelaz s zakrivljene opažane prostorne duljine na tetivu između točki na fizičkoj površini Zemlje primjenom izraza (6.15) iz drugih auditornih vježbi kolegija :

S2 = -0.0003 m

S2 = -0.0003 m

S2 = 25327.1410 m S2 = 25327.1410 m

15. korak: Redukcija s tetive na fizičkoj površini Zemlje na tetivu na elipsoidu primjenom izraza (6.16) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

S3 = 25321.0589 m S3 = 25321.0591 m

16. korak: Redukcija s tetive na elipsoidu na duljinu luka normalnog presjeka primjenom izraza (6.20) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

S4 = 25321.0755 m S4 = 25321.0757 m

17. korak: Redukcija s duljine luka normalnog presjeka na duljinu geodetske linije primjenom izraza (6.22) iz drugih auditornih vježbi kolegija:

S5 = 25321.0755 m S5 = 25321.0757 m


Ak. god. 2012./2013. 12

3) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 3.1) odredite visine čvornih repera u dinamičkom sustavu visina uzevši u obzir službeni model za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj.

Tablica 3.1: Mjerenja u nivelmanskoj figuri

Od do dh [m] d [km] Reper ETRS89 [dms] ETRS89 [dms] u.s.t [mgal]

R1 R2 -1.36540 0.38 R1 45°06'37'' 13°46'16'' 980623.06

R2 R3 5.95963 0.84 R2 45°06'38'' 13°45'49'' 980623.34

R3 R4 -23.50444 1.13 R3 45°06'25'' 13°45'19'' 980622.34

R4 R5 -16.27527 0.99 R4 45°06'24'' 13°44'28'' 980627.28

R5 R6 7.35173 0.48 R5 45°06'27'' 13°43'49'' 980631.35

R6 R7 13.08708 0.60 R6 45°06'22'' 13°43'26'' 980629.74

R7 R8 -44.14067 0.76 R7 45°06'30'' 13°43'02'' 980627.27

R8 45°06'27'' 13°42'37'' 980636.70

HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m

Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R1 i R8 prema izrazu (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija:

CR1= 168.69315 GPU

CR8= 110.94514 GPU

2. korak: Računanje geopotencijalnih razlika na temelju mjerenih visinskih razlika:

Od do C [GPU]

R1 R2 -1.33894

R2 R3 5.84415

R3 R4 -23.04904

R4 R5 -15.96001

R5 R6 7.20933

R6 R7 12.83356

R7 R8 -43.28575

3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota :

Elementi jednadžbi popravaka

A

l

e

Ae

s

1 0 0 0 0 0

167.35421

1

1

-166.35421

-1 1 0 0 0 0

5.84415

1

0

-5.84415

0 -1 1 0 0 0

-23.04904

1

0

23.04904

0 0 -1 1 0 0

-15.96001

1

0

15.96001

0 0 0 -1 1 0

7.20933

1

0

-7.20933

0 0 0 0 -1 1

12.83356

1

0

-12.83356

0 0 0 0 0 -1

-154.23089

-1

153.23089


Ak. god. 2012./2013. 13

Matrica težina mjerenja

P

2.632 0 0 0 0 0 0

0 1.190 0 0 0 0 0

0 0 0.885 0 0 0 0

0 0 0 1.010 0 0 0

0 0 0 0 2.083 0 0

0 0 0 0 0 1.667 0

0 0 0 0 0 0 1.316

Elementi normalnih jednadžbi

N

3.82206 -1.19048 0 0 0 0

-1.19048 2.07543 -0.88496 0 0 0

0 -0.88496 1.89506 -1.01010 0 0

0 0 -1.01010 3.09343 -2.08333 0

0 0 0 -2.08333 3.75000 -1.66667

0 0 0 0 -1.66667 2.98246

n

Ne

AtPs

Ne-n

s_

433.448495

2.631579

-430.816916

-430.816916

-429.816916

27.354698

0.000000

-27.354698

-27.354698

-26.354698

-4.276159

0.000000

4.276159

4.276159

5.276159

-31.140659

0.000000

31.140659

31.140659

32.140659

-6.369833

0.000000

6.369833

6.369833

7.369833

224.324654

1.315789

-223.008865

-223.008865

-222.008865

Rješavanje normalnih jednadžbi

Qxx

Qxxe

x

0.35212 0.29050 0.20761 0.13498 0.09977 0.05575

1.14073

167.35411

0.29050 0.93266 0.66653 0.43336 0.32031 0.17900

2.82236

173.19805

0.20761 0.66653 1.28388 0.83475 0.61699 0.34479

3.95454

150.14872

0.13498 0.43336 0.83475 1.18641 0.87691 0.49004

3.95645

134.18846

0.09977 0.32031 0.61699 0.87691 1.00293 0.56046

3.47737

141.39767

0.05575 0.17900 0.34479 0.49004 0.56046 0.64849

2.27853

154.23108

Kontrola matrice kofaktora nepoznanica

(Ne)tQxxe = 6.000000 = u Računanje popravaka mjerenja

Ax

l

v [GPU]

167.35411

-

167.35421

=

-0.000097

5.84394 5.84415 -0.000214

-23.04932 -23.04904 -0.000288

-15.96026 -15.96001 -0.000252

7.20921 7.20933 -0.000122

12.83341 12.83356 -0.000153

-154.23108 -154.23089 -0.000194


Ak. god. 2012./2013. 14

Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja

AtPv

vtPv = 0.0000003364

0.00000

-ltPv = 0.0000003364

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

Kontrola izjednačenih mjerenja

L

v

L_

F_

-1.33894

+

-0.00010

=

-1.33904

,

-1.33904

5.84415 -0.00021 5.84394 5.84394

-23.04904 -0.00029 -23.04932 -23.04932

-15.96001 -0.00025 -15.96026 -15.96026

7.20933 -0.00012 7.20921 7.20921

12.83356 -0.00015 12.83341 12.83341

-43.28575 -0.00019 -43.28595 -43.28595

Ocjena točnosti referentnog mjerenja

s0 = 0.00058 GPU

Ocjena točnosti mjerenja i nepoznanica

s1 = 0.00036 GPU sR2 = 0.00034 GPU

s2 = 0.00053 GPU sR3 = 0.00056 GPU

s3 = 0.00062 GPU sR4 = 0.00066 GPU

s4 = 0.00058 GPU sR5 = 0.00063 GPU

s5 = 0.00040 GPU sR6 = 0.00058 GPU

s6 = 0.00045 GPU sR7 = 0.00047 GPU

s7 = 0.00051 GPU

Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja

Q_

0.35212 -0.06162 -0.08290 -0.07263 -0.03521 -0.04402 -0.05575

-0.06162 0.70378 -0.18324 -0.16054 -0.07784 -0.09730 -0.12324

-0.08290 -0.18324 0.88349 -0.21597 -0.10471 -0.13089 -0.16579

-0.07263 -0.16054 -0.21597 0.80079 -0.09174 -0.11467 -0.14525

-0.03521 -0.07784 -0.10471 -0.09174 0.43552 -0.05560 -0.07042

-0.04402 -0.09730 -0.13089 -0.11467 -0.05560 0.53050 -0.08803

-0.05575 -0.12324 -0.16579 -0.14525 -0.07042 -0.08803 0.64849

s1_ = 0.00034 GPU

s2_ = 0.00049 GPU

s3_ = 0.00055 GPU

s4_ = 0.00052 GPU


Ak. god. 2012./2013. 15

s5_ = 0.00038 GPU

s6_ = 0.00042 GPU

s7_ = 0.00047 GPU

Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže na GRS80 nivo -elipsoidu za geodetsku širinu od 45° i definitivnih vrijednosti visina čvornih repera u dinamičkom sustavu visina primjenom izraza (5.1) iz drugih, odnosno izraza (2.11) iz trećih auditornih vježbi kolegija:

a = 6378137.0000 m Reper Hdin [m] GM = 3.986005E+14 m3s-2 R1 172.02705

= 7.292115E-05 rads-1 R2 170.66155

J2 = 0.00108263

R3 176.62098

b = 6356752.3141 m R4 153.11613

R5 136.84044

045 = 9.8061992 ms-2

R6 144.19213

R7 157.27917

R8 113.13776


Ak. god. 2012./2013. 16

4) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 4.1) odredite visine čvornih repera u normalnom sustavu visina uzevši u obzir službeni model za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj.



R1 R2 -1.36540 0.38 R1 45°06'37'' 13°46'16'' 980623.06

R2 R3 5.95963 0.84 R2 45°06'38'' 13°45'49'' 980623.34

R3 R4 -23.50444 1.13 R3 45°06'25'' 13°45'19'' 980622.34

R4 R5 -16.27527 0.99 R4 45°06'24'' 13°44'28'' 980627.28

R5 R6 7.35173 0.48 R5 45°06'27'' 13°43'49'' 980631.35

R6 R7 13.08708 0.60 R6 45°06'22'' 13°43'26'' 980629.74

R7 R8 -44.14067 0.76 R7 45°06'30'' 13°43'02'' 980627.27

R8 45°06'27'' 13°42'37'' 980636.70

HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R1 i R8 primjenom izraza (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija:

CR1 = 168.69315 GPU

CR8 = 110.94514 GPU


Od do C [GPU]

R1 R2 -1.33894

R2 R3 5.84415

R3 R4 -23.04904

R4 R5 -15.96001

R5 R6 7.20933

R6 R7 12.83356

R7 R8 -43.28575

3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota:

Elementi jednadžbi popravaka

A

l

e

Ae

s

1 0 0 0 0 0

167.35421

1

1

-166.35421

-1 1 0 0 0 0

5.84415

1

0

-5.84415

0 -1 1 0 0 0

-23.04904

1

0

23.04904

0 0 -1 1 0 0

-15.96001

1

0

15.96001

0 0 0 -1 1 0

7.20933

1

0

-7.20933

0 0 0 0 -1 1

12.83356

1

0

-12.83356

0 0 0 0 0 -1

-154.23089

-1

153.23089


Ak. god. 2012./2013. 17


P

2.632 0 0 0 0 0 0

0 1.190 0 0 0 0 0

0 0 0.885 0 0 0 0

0 0 0 1.010 0 0 0

0 0 0 0 2.083 0 0

0 0 0 0 0 1.667 0

0 0 0 0 0 0 1.316


N

3.82206 -1.19048 0 0 0 0

-1.19048 2.07543 -0.88496 0 0 0

0 -0.88496 1.89506 -1.01010 0 0

0 0 -1.01010 3.09343 -2.08333 0

0 0 0 -2.08333 3.75000 -1.66667

0 0 0 0 -1.66667 2.98246

n

Ne

AtPs

Ne-n

s_

433.448495

2.631579

-430.816916

-430.816916

-429.816916

27.354698

0.000000

-27.354698

-27.354698

-26.354698

-4.276159

0.000000

4.276159

4.276159

5.276159

-31.140659

0.000000

31.140659

31.140659

32.140659

-6.369833

0.000000

6.369833

6.369833

7.369833

224.324654

1.315789

-223.008865

-223.008865

-222.008865


Qxx

Qxxe

x

0.35212 0.29050 0.20761 0.13498 0.09977 0.05575

1.14073

167.35411

0.29050 0.93266 0.66653 0.43336 0.32031 0.17900

2.82236

173.19805

0.20761 0.66653 1.28388 0.83475 0.61699 0.34479

3.95454

150.14872

0.13498 0.43336 0.83475 1.18641 0.87691 0.49004

3.95645

134.18846

0.09977 0.32031 0.61699 0.87691 1.00293 0.56046

3.47737

141.39767

0.05575 0.17900 0.34479 0.49004 0.56046 0.64849

2.27853

154.23108



Ax

l

v [GPU]

167.35411

-

167.35421

=

-0.000097

5.84394 5.84415 -0.000214

-23.04932 -23.04904 -0.000288

-15.96026 -15.96001 -0.000252

7.20921 7.20933 -0.000122

12.83341 12.83356 -0.000153

-154.23108 -154.23089 -0.000194


Ak. god. 2012./2013. 18


AtPv

vtPv = 0.0000003364

0.00000

-ltPv = 0.0000003364

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000


L

v

L_

F_

-1.33894

+

-0.00010

=

-1.33904

,

-1.33904

5.84415 -0.00021 5.84394 5.84394

-23.04904 -0.00029 -23.04932 -23.04932

-15.96001 -0.00025 -15.96026 -15.96026

7.20933 -0.00012 7.20921 7.20921

12.83356 -0.00015 12.83341 12.83341

-43.28575 -0.00019 -43.28595 -43.28595


s0 = 0.00058 GPU

Ocjena točnosti mjerenja i nepoznanica

s1 = 0.00036 GPU sR2 = 0.00034 GPU

s2 = 0.00053 GPU sR3 = 0.00056 GPU

s3 = 0.00062 GPU sR4 = 0.00066 GPU

s4 = 0.00058 GPU sR5 = 0.00063 GPU

s5 = 0.00040 GPU sR6 = 0.00058 GPU

s6 = 0.00045 GPU sR7 = 0.00047 GPU

s7 = 0.00051 GPU


Q_

0.35212 -0.06162 -0.08290 -0.07263 -0.03521 -0.04402 -0.05575

-0.06162 0.70378 -0.18324 -0.16054 -0.07784 -0.09730 -0.12324

-0.08290 -0.18324 0.88349 -0.21597 -0.10471 -0.13089 -0.16579

-0.07263 -0.16054 -0.21597 0.80079 -0.09174 -0.11467 -0.14525

-0.03521 -0.07784 -0.10471 -0.09174 0.43552 -0.05560 -0.07042

-0.04402 -0.09730 -0.13089 -0.11467 -0.05560 0.53050 -0.08803

-0.05575 -0.12324 -0.16579 -0.14525 -0.07042 -0.08803 0.64849

s1_ = 0.00034 GPU

s2_ = 0.00049 GPU

s3_ = 0.00055 GPU


Ak. god. 2012./2013. 19

s4_ = 0.00052 GPU

s5_ = 0.00038 GPU

s6_ = 0.00042 GPU

s7_ = 0.00047 GPU

Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže na GRS80 nivo-elipsoidu, srednje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže te definitivnih visina u normalnom sustavu visina primjenom izraza (5.1) iz drugih, odnosno izraza (2.21) i (2.22) iz trećih auditornih vježbi kolegija:

a = 6378137.0000 m

GM = 3.986005E+14 m3s-2

= 7.292115E-05 rads-1

J2 = 0.00108263

b = 6356752.3141 m

f = 0.003352811

m = 0.003449786

1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija

Reper 0 [ms-2] _ [ms-2] HN [m] _ [ms-2] HN [m] _ [ms-2] HN [m]

R1 9.8062990 9.8062725 172.02577 9.8060336 172.02996 9.8060336 172.02996

R2 9.8062993 9.8062729 170.66026 9.8060360 170.66439 9.8060360 170.66439

R3 9.8062960 9.8062688 176.61972 9.8060235 176.62414 9.8060235 176.62414

R4 9.8062957 9.8062721 153.11499 9.8060595 153.11831 9.8060595 153.11831

R5 9.8062965 9.8062754 136.83938 9.8060854 136.84203 9.8060854 136.84203

R6 9.8062952 9.8062730 144.19104 9.8060728 144.19399 9.8060728 144.19399

R7 9.8062973 9.8062730 157.27798 9.8060546 157.28149 9.8060546 157.28149

R8 9.8062965 9.8062790 113.13683 9.8061220 113.13865 9.8061220 113.13865


Ak. god. 2012./2013. 20

5) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 5.1) odredite visine čvornih repera u ortometrijskom sustavu visina.



R1 R2 -1.36540 0.38 R1 45°06'37'' 13°46'16'' 980623.06

R2 R3 5.95963 0.84 R2 45°06'38'' 13°45'49'' 980623.34

R3 R4 -23.50444 1.13 R3 45°06'25'' 13°45'19'' 980622.34

R4 R5 -16.27527 0.99 R4 45°06'24'' 13°44'28'' 980627.28

R5 R6 7.35173 0.48 R5 45°06'27'' 13°43'49'' 980631.35

R6 R7 13.08708 0.60 R6 45°06'22'' 13°43'26'' 980629.74

R7 R8 -44.14067 0.76 R7 45°06'30'' 13°43'02'' 980627.27

R8 45°06'27'' 13°42'37'' 980636.70

HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R1 i R8 primjenom izraza (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija:

CR1= 168.69315 GPU

CR8= 110.94514 GPU


Od do C [GPU]

R1 R2 -1.33894

R2 R3 5.84415

R3 R4 -23.04904

R4 R5 -15.96001

R5 R6 7.20933

R6 R7 12.83356

R7 R8 -43.28575

3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota (c) i približnih ortometrijskih visina (H): Elementi jednadžbi popravaka

A

lC

lH

e

Ae

sC

sH

1 0 0 0 0 0

167.35421

170.66110

1

1

-166.35421

-169.6611

-1 1 0 0 0 0

5.84415

5.95963

1

0

-5.84415

-5.95963

0 -1 1 0 0 0

-23.04904

-23.50444

1

0

23.04904

23.50444

0 0 -1 1 0 0

-15.96001

-16.27527

1

0

15.96001

16.27527

0 0 0 -1 1 0

7.20933

7.35173

1

0

-7.20933

-7.35173

0 0 0 0 -1 1

12.83356

13.08708

1

0

-12.83356

-13.08708

0 0 0 0 0 -1

-154.23089

-157.27649

-1

153.23089

156.27649


Ak. god. 2012./2013. 21


P

2.632 0 0 0 0 0 0

0 1.190 0 0 0 0 0

0 0 0.885 0 0 0 0

0 0 0 1.010 0 0 0

0 0 0 0 2.083 0 0

0 0 0 0 0 1.667 0

0 0 0 0 0 0 1.316


N

3.82206 -1.19048 0 0 0 0

-1.19048 2.07543 -0.88496 0 0 0

0 -0.88496 1.89506 -1.01010 0 0

0 0 -1.01010 3.09343 -2.08333 0

0 0 0 -2.08333 3.75000 -1.66667

0 0 0 0 -1.66667 2.98246

nC

nH

Ne

433.448495

442.013360

2.631579

27.354698

27.895187

0.000000

-4.276159

-4.360723

0.000000

-31.140659

-31.755771

0.000000

-6.369833

-6.495696

0.000000

224.324654

228.754550

1.315789

AtPsC

Ne-nC

sC_

-430.816916

-430.816916

-429.816916

-27.354698

-27.354698

-26.354698

4.276159

4.276159

5.276159

31.140659

31.140659

32.140659

6.369833

6.369833

7.369833

-223.008865

-223.008865

-222.008865

AtPsH

Ne-nH

sH_

-439.381781

-439.381781

-438.381781

-27.895187

-27.895187

-26.895187

4.360723

4.360723

5.360723

31.755771

31.755771

32.755771

6.495696

6.495696

7.495696

-227.438761

-227.438761

-226.438761


Ak. god. 2012./2013. 22


Qxx

Qxxe

xC

xH

0.35212 0.29050 0.20761 0.13498 0.09977 0.05575

1.14073

167.35411

170.66085

0.29050 0.93266 0.66653 0.43336 0.32031 0.17900

2.82236

173.19805

176.61994

0.20761 0.66653 1.28388 0.83475 0.61699 0.34479

3.95454

150.14872

153.11477

0.13498 0.43336 0.83475 1.18641 0.87691 0.49004

3.95645

134.18846

136.83887

0.09977 0.32031 0.61699 0.87691 1.00293 0.56046

3.47737

141.39767

144.19029

0.05575 0.17900 0.34479 0.49004 0.56046 0.64849

2.27853

154.23108

157.27698



AxC

lC

vC [GPU]

167.35411

-

167.35421

=

-0.000097

5.84394 5.84415 -0.000214

-23.04932 -23.04904 -0.000288

-15.96026 -15.96001 -0.000252

7.20921 7.20933 -0.000122

12.83341 12.83356 -0.000153

-154.23108 -154.23089 -0.000194

AxH

lH

vH [m]

170.66085

-

170.66110

=

-0.00025

5.95909 5.95963 -0.00054

-23.50517 -23.50444 -0.00073

-16.27591 -16.27527 -0.00064

7.35142 7.35173 -0.00031

13.08669 13.08708 -0.00039

-157.27698 -157.27649 -0.00049


AtPvC

AtPvH

vCtPvC = 0.0000003364

0.00000

0.00000

-lCtPvC = 0.0000003364

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

vHtPvH = 0.0000008511

0.00000

0.00000

-lHtPvH = 0.0000008511

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000


LC

vC

L_C

F_C

-1.33894

+

-0.00010

=

-1.33904

,

-1.33904

5.84415 -0.00021 5.84394 5.84394

-23.04904 -0.00029 -23.04932 -23.04932

-15.96001 -0.00025 -15.96026 -15.96026


Ak. god. 2012./2013. 23

7.20933 -0.00012 7.20921 7.20921

12.83356 -0.00015 12.83341 12.83341

-43.28575 -0.00019 -43.28595 -43.28595

LH

vH

L_H

F_H

-1.36540

+

-0.00025

=

-1.36565

,

-1.36565

5.95963 -0.00054 5.95909 5.95909

-23.50444 -0.00073 -23.50517 -23.50517

-16.27527 -0.00064 -16.27591 -16.27591

7.35173 -0.00031 7.35142 7.35142

13.08708 -0.00039 13.08669 13.08669

-44.14067 -0.00049 -44.14116 -44.14116


sC0 = 0.00058 GPU sH

0 = 0.00092 m

Ocjena točnosti mjerenja

sC1 = 0.00036 GPU sH

1 = 0.00057 m

sC2 = 0.00053 GPU sH

2 = 0.00085 m

sC3 = 0.00062 GPU sH

3 = 0.00098 m

sC4 = 0.00058 GPU sH

4 = 0.00092 m

sC5 = 0.00040 GPU sH

5 = 0.00064 m

sC6 = 0.00045 GPU sH

6 = 0.00071 m

sC7 = 0.00051 GPU sH

7 = 0.00080 m

Ocjena točnosti nepoznanica

sCR2 = 0.00034 GPU sH

R2 = 0.00055 m

sCR3 = 0.00056 GPU sH

R3 = 0.00089 m

sCR4 = 0.00066 GPU sH

R4 = 0.00105 m

sCR5 = 0.00063 GPU sH

R5 = 0.00100 m

sCR6 = 0.00058 GPU sH

R6 = 0.00092 m

sCR7 = 0.00047 GPU sH

R7 = 0.00074 m


Q_

0.35212 -0.06162 -0.08290 -0.07263 -0.03521 -0.04402 -0.05575

-0.06162 0.70378 -0.18324 -0.16054 -0.07784 -0.09730 -0.12324

-0.08290 -0.18324 0.88349 -0.21597 -0.10471 -0.13089 -0.16579

-0.07263 -0.16054 -0.21597 0.80079 -0.09174 -0.11467 -0.14525

-0.03521 -0.07784 -0.10471 -0.09174 0.43552 -0.05560 -0.07042

-0.04402 -0.09730 -0.13089 -0.11467 -0.05560 0.53050 -0.08803

-0.05575 -0.12324 -0.16579 -0.14525 -0.07042 -0.08803 0.64849

sC1_ = 0.00034 GPU sH

1_ = 0.00055 m

sC2_ = 0.00049 GPU sH

2_ = 0.00077 m


Ak. god. 2012./2013. 24

sC3_ = 0.00055 GPU sH

3_ = 0.00087 m

sC4_ = 0.00052 GPU sH

4_ = 0.00083 m

sC5_ = 0.00038 GPU sH

5_ = 0.00061 m

sC6_ = 0.00042 GPU sH

6_ = 0.00067 m

sC7_ = 0.00047 GPU sH

7_ = 0.00074 m

Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje srednje integralne vrijednosti ubrzanja sile teže duž realne težišnice prema Helmertu i definitivnih vrijednosti ortometrijskih visina čvornih repera primjenom izraza (2.15) i (2.17) iz trećih auditornih vježbi kolegija:

Reper C [GPU] u.s.t [mgal] u.s.t [ms-2] H~ [m] g_ [ms-2] Hort [m]

R1 168.69315 980623.06 9.8062306 172.02650 9.8063035 172.02522

R2 167.35411 980623.34 9.8062334 170.66085 9.8063058 170.65969

R3 173.19805 980622.34 9.8062234 176.61994 9.8062983 176.61919

R4 150.14872 980627.28 9.8062728 153.11477 9.8063377 153.11396

R5 134.18846 980631.35 9.8063135 136.83887 9.8063715 136.83804

R6 141.39767 980629.74 9.8062974 144.19029 9.8063585 144.18978

R7 154.23108 980627.27 9.8062727 157.27698 9.8063394 157.27692

R8 110.94514 980636.70 9.8063670 113.13582 9.8064150 113.13527


Ak. god. 2012./2013. 25

6) Za potrebe praćenja pomaka na klizištu uspostavljena je mikro triango-trilateracijska mreža (slika 6.1). Koordinate točke TM005 (tablica 6.1) određene su relativnim statičkim pozicioniranjem te potom transformirane u novu službeni položajni datum Republike Hrvatske pomoću službenih EUREF transformacijskih parametara. Na temelju zadanih veličina i mjerenih veličina u mikro triango-trilateracijskoj mreži odredite koordinate nepoznatih točaka. Točnost mjerenja kutova je 5", a točnost mjerenja duljina je 2 mm.

Slika 6.1: Mikro triango-trilateracijska mreža

Tablica 6.1: Zadane i mjerene veličine u mikro triango-trilateracijskoj mreži

Točka y [m] x [m] Kut [° ' ''] Dužina [m]

TM007 5399021.8743 4994974.4331 36 28513 a 322.887

TM0110 5398631.2900 4995292.5400 75.27454 d 503.729

68.03223

Koordinate točke TM005

Lokalni transformacijski parametri za smjer ETRS89 -> HDKS (izračunati s upotrebom stare plohe geoida

= 45°05'31''.2861

Tx = -546.6158 m

= 13°42'20''.6408

Ty = -162.3755 m

H = 159.154 m

Tz = -469.4824 m

NHRG2000 = 43.980 m

Rx = 5.904977 "

NHRG2009 = 43.760 m

Ry = 2.073969 "

NHR1901 = 5.126 m

Rz = -11.509939 "

DM = 4.438848 ppm

Rješenje: 1. korak: Računanje ortometrijske visine točke TM005 u AVD1875:

HMP005AVD1875 = 115.174 m

2. korak: Računanje kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u HTRS96 (ETRS89):

XMP005HTRS96 = 4382002.1366 m


Ak. god. 2012./2013. 26

YMP005HTRS96 = 1068681.5492 m

ZMP005HTRS96 = 4494655.6543 m

3. korak: Transformacija koordinata točke TM005 u HDKS primjenom složene matrice rotacije:

XMP005HDKS = 4381370.1372 m

YMP005HDKS = 1068897.1136 m

ZMP005HDKS = 4494219.5728 m

4. korak: Konverzija HDKS kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u elipsoidne:

TM005HDKS = 45°05'32''.07414

TM005HDKS = 13°42'37''.06787

HMP005AVD1875 = 115.468 m

5. korak: Konverzija HDKS elipsoidnih koordinata točke TM005 u ravninske nereducirane Gauss-Krügerove koordinate:

x_TM005HDKS = 4995498.5657 m

y_TM005HDKS = -101513.4310 m

6. korak: Računanje reduciranih ravninskih Gauss-Krügerovih koordinata točke TM005:

xTM005HDKS = 4994999.0159 m

yTM005HDKS = 5398496.7203 m

7. korak: Izjednačenje mikro triango-trilateracijske mreže: Elementi jednadžbi popravaka

A

l

e

Ae

s

0.9090 0.4168

-0.014530

1

1.325772

1.340302

0.6315 -0.7754

-0.005151

1

-0.143880

-0.138729

0.0739 -0.1613

0.005759

-0.087348

-0.093107

0.0882 0.0718

0.000314

0.160021

0.159707

-0.1621 0.0895

-0.006350

-0.072673

-0.066322


P

250000 0 0 0 0

0 250000 0 0 0

0 0 518400 0 0

0 0 0 518400 0

0 0 0 0 518400


Ak. god. 2012./2013. 27


N n Ne AtPs Ne-n s_

326772.4946 -38123.0589 -3346.3185 288649.4358 291995.7542 291995.7542 291996.7542

-38123.0589 214034.3971 -1279.6407 175911.3382 177190.9789 177190.9789 177191.9789


Qxx

Qxxe

x [m]

0.0000031252 0.0000005566

0.0000036818

-0.0112

0.0000005566 0.0000047713

0.0000053279

-0.0080


(Ne)tQxxe = 2.0000000 = u Izjednačene vrijednosti nepoznanica

xTM011 = 4995292.5288 m

yTM011 = 5398631.2820 m

Računanje popravaka mjerenja:

Ax

l

v

-0.013475

-

-0.014530

=

0.001055

-0.000876 -0.005151 0.004276

0.000459 0.005759 -0.005300

-0.001557 0.000314 -0.001871

0.001098 -0.006350 0.007449


AtPv

vtPv = 49.98645131

0.00000000

-ltPv = 49.98645131

0.00000000


L

v

L_

F_

322.887000

+

0.001055

=

322.888055

,

322.888055

503.729000 0.004276 503.733276 503.733276

68.056194 -0.005300 68.050895 68.050895

36.480917 -0.001871 36.479045 36.479045

75.462611 0.007449 75.470060 75.470060


s0 = 4.082

Ocjena točnosti mjerenja

sa = 0.0082 m

sd = 0.0082 m

s= 20.41 "

s= 20.41 "

s= 20.41 "


Ak. god. 2012./2013. 28

Ocjena točnosti nepoznanica

sx = 0.0072 m

sy = 0.0089 m


Q_

3.8328E-06 6.3472E-09 -1.7512E-07 4.5017E-07 -2.7506E-07

6.3472E-09 3.5697E-06 6.5405E-07 -1.0449E-07 -5.4956E-07

-1.7512E-07 6.5405E-07 1.2794E-07 -3.9859E-08 -8.8086E-08

4.5017E-07 -1.0449E-07 -3.9859E-08 5.5976E-08 -1.6118E-08

-2.7506E-07 -5.4956E-07 -8.8086E-08 -1.6118E-08 1.0420E-07

s_a = 0.0080 m

s_d = 0.0077 m

s_= 5.26 "

s_= 3.48 "

s_= 4.74 "

Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike.


Ak. god. 2012./2013. 29

7) Izračunajte azimut projekcije geodetske linije sa stajališne točke T 1 na vizurnu točku T2 u ravnini naslijeđene kartografske projekcije Republike Hrvatske.

T1

T2 y = 5548152.352 m y = 5557768.135 m

x = 5072167.876 m x = 5076681.318 m

Rješenje: 1. korak: Računanje smjernog kuta u ravnini projekcije prema izrazima iz vježbi kolegija „Izmjera zemljišta u II semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike:

T1T2 = 64°51'20''.33257

2. korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata stajalište i vizurne točke prema izrazima (311) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

xT1 = 5072675.1435 m

yT1= 48157.1677 m

xT2 = 5077189.0369 m

yT2 = 57773.9124 m

3. korak: Konverzija ravninskih nereduciranih koordinata stajališne točke u elipsoidne prema izrazima (3.7), (3.8), (3.9) i (3.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

T1 = 45°47'32''.38418

T1 = 15°37'09''.98233

4. korak: Računanje srednjeg (Grunertovog) radijusa zakrivljenosti prema izrazu (3.2), odnosno izrazima za M (3.1) i N (3.2) iz prvih auditornih vježbi kolegija:

MT1 = 6367559.991 m

NT1 = 6388360.917 m

RT1 = 6377951.974 m

5. korak: Računanje kutne nesuglasice između projekcije geodetske linije i tetive između stajališne i vizurne točke u ravnini kartografske projekcije primjenom izraza (5.28) odnosno (5.29) iz petog predavanja kolegija:

T1T2 = -0.51443 "

6. korak: Računanje konvergencije meridijana za stajališnu točku primjenom izraza (5.21) iz petog predavanja kolegija:

0 = 15°

e' = 0.081970841

= 0.057155077

t = 1.028047142


Ak. god. 2012./2013. 30

l = 0.010811259

T1 = 0°26'38''.52040

7. korak: računanje azimuta projekcije geodetske linije primjenom izraza (5.30) iz petog predavanja kolegija:

T1T2 = 65°17'59''.36741


Ak. god. 2012./2013. 31

8) Točka TM004 sastavni je dio temeljne mreže grada Zagreba uspostavljene za potrebe godišnjeg periodičkog praćenja geotektonske aktivnosti. Koordinate točke TM004 određene su relativnim statičkim pozicioniranjem i naknadnom obradom baznih linija i vektora te izjednačenjem u aktualnom datumu preciznih efemerida GNSS satelita i epohi opažanja, a zatim transformirane u novi datum Republike Hrvatske pomoću službenih EUREF transformacijskih parametara. Odredite ravninske koordinate točke TM004 u HDKS-u i ortometrijsku visinu u naslijeđenom visinskom datumu RH primjenom novog službenog transformacijskog modela Republike Hrvatske T7D ako je zadano:

TM004 E = 482199.686 m

N = 5068751.187 m

H = 751.174 m

NHRG2009 = 45.171 m

Visinska nesuglasica datuma (Trst 1875 - HVRS71) = 25.70 cm

Tablica 8.1: Jedinstveni transformacijski parametri za cijeli teritorij RH (izračunati s upotrebom plohe geoida HRG2009)

Tx = -546.61584 m

Ty = -162.37548 m

Tz = -469.48238 m

Rx = 5.90497746 "

Ry = 2.07396936 "

Rz = -11.50993888 "

DM = 4.43884789 ppm

Tablica 8.2: Distorzijske komponente točke TM004 u HDKS-u

HDKS HDKS dx [cm] dy [cm]

45°45'30'' 16°16'30'' -18.35 10.18

45°45'30'' 16°17'15'' -15.84 15.24

45°46'00'' 16°17'15'' -22.67 22.17

45°46'00'' 16°16'30'' -26.38 18.13

dHTM004 = -9.97 cm

Rješenje: 1. korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata točke TM004:

E_HTRS96 = -17802.0942 m

N_HTRS96 = 5069258.1128 m


Ak. god. 2012./2013. 32

2. korak: Računanje elipsoidnih koordinata točke TM004 u HTRS96:

HTRS96 = 45°45'30''.24998

HTRS96 = 16°16'16''.25001

3. korak: Računanje ortometrijske visine u HVRS71:

HHVRS71= 706.003 m

4. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata točke TM004 u kartezijeve pravokutne 3D koordinate:

XHTRS96= 4279527.1224 m

YHTRS96= 1249085.0074 m

ZHTRS96= 4547058.7982 m

5. korak: Transformacija kartezijevih pravokutnih 3D koordinata iz HTRS96 u HDKS primjenom složene i jednostavne matrice rotacije:

X'HDKS = 4278884.0746 m X'HDKS = 4278884.0815 m

Y'HDKS = 1249297.1542 m Y'HDKS = 1249297.1554 m

Z'HDKS = 4546616.7542 m Z'HDKS = 4546616.7707 m

6. korak: Konverzija HDKS kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u elipsoidne:

'HDKS = 45°45'31''.05168

'HDKS = 45°45'31''.05189

'HDKS = 16°16'34''.01069

'HDKS = 16°16'34''.01066

H'HVRS71 = 705.9004 m

H'HVRS71 = 705.9170 m

7. korak: Računanje komponenata položajne distorzije u točci TM004 primjenom izraza za bilinearnu interpolaciju iz desetog predavanja kolegija u poglavlju „GRID transformacija“ :

a0 = -18.35 cm

b0 = 10.18 cm

a1 = 2.51 cm

b1 = 5.06 cm

a2 = -8.03 cm

b2 = 7.95 cm

a3 = 1.20 cm

b3 = -1.02 cm

X = 0.089126525

Y = 0.035055921

dxTM004 = -18.40 cm

dyTM004 = 10.91 cm

8. korak: Konverzija HDKS elipsoidnih koordinata u nereducirane ravninske koordinate:

x'_HDKS = 5069534.9532 m x'_HDKS = 5069534.9597 m

y'_HDKS = 99268.7297 m y'_HDKS = 99268.7288 m


Ak. god. 2012./2013. 33

9. korak: Računanje HDKS reduciranih ravninskih koordinata točke TM004:

x'HDKS = 5069027.9997 m x'HDKS = 5069028.0062 m

y'HDKS = 5599258.8028 m y'HDKS = 5599258.8019 m

10. korak: Računanje ortometrijske visine točke TM004 u AVD1875:

H'AVD1875= 706.1574 m H'AVD1875= 706.1740 m

11. korak: Dodavanje distorzijske komponente na ravninske koordinate i ortometrijsku visinu:

xHDKS = 5069027.8157 m xHDKS = 5069027.8222 m

yHDKS = 5599258.9119 m yHDKS = 5599258.9110 m

HAVD1875 = 706.0577 m

HAVD1875 = 706.0743 m

Documents

Basic T. Pavasovic M. 2013 Primjeni Rijesenih Numerickih Zadataka Iz Kolegija DRZAVNA IZMJERA.interni Rukopis.geodetski Fakultet Sveucilista u Zagrebu