Basis Ortogonal, Basis Ortonormal, Proses Gram-Schmidt ...cdndata.telkomuniversity.ac.id/pjj/15161/MUG1E3/MZI/COURSE... · 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom UniversityolehJondri

Basis Ortogonal, Basis Ortonormal,Proses Gram-Schmidt, dan Dekomposisi QR

Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas InformatikaTelkom University

FIF Tel-U

November 2015

MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 1 / 52

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan SitiAminah.

5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukanuntuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Andamemiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirimemail ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.


mailto:[email protected]

Bahasan

1 Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal

2 Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal

3 Proyeksi Ortogonal secara Umum

4 Proses Gram-Schmidt

5 Dekomposisi (Faktorisasi) QR


Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal

Bahasan









Definisi

Misalkan V adalah sebuah RHKD. Himpunan vektor S dikatakan himpunanortogonal apabila setiap sepasang vektor berbeda di S saling ortogonal, yaitu

〈~u,~v〉 = 0, ∀~u,~v ∈ S dengan ~u 6= ~v.

Selanjutnya himpunan ortogonal S juga dikatakan sebagai himpunan ortonormalapabila setiap vektor di S memiliki norm 1, yaitu

〈~u,~v〉 = 0, ∀~u,~v ∈ S dengan ~u 6= ~v dan

‖~u‖ =√〈~u, ~u〉 = 1, ∀~u ∈ S.



Latihan

Periksa apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan ortogonal, jikaya, periksa juga apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunanortonormal.

1 S = {(0, 0) , (1, 1) , (1,−1)} di R2 dengan HKD Euclid standar2 S =

{(1√2,− 1√

2

),(1√2, 1√

2

)}di R2 dengan HKD Euclid standar

3 S ={(1, 0, 0) ,

(0, 1√

2, 1√

2

),(0, 1√

2,− 1√

2

)}di R2 dengan HKD Euclid

standar

4 S =

{[1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]}di M22 dengan HKD

Frobenius



Solusi:

1 S merupakan himpunan ortogonal karena (0, 0) · (1, 1) = 0,(0, 0) · (1,−1) = 0, dan (1, 1) · (1,−1) = 0. Namun S bukan himpunanortogonal karena ‖(0, 0)‖ = 0 6= 1.

2 S merupakan himpunan ortogonal karena(1√2,− 1√

2

)·(1√2, 1√

2

)= 0

serta∥∥∥( 1√

2,− 1√

2

)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√

2

)∥∥∥ = 1.3 S merupakan himpunan ortogonal karena (1, 0, 0) ·

(0, 1√

2, 1√

2

)= 0,

(1, 0, 0) ·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0, dan

(0, 1√

2, 1√

2

)·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0.

Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√

2, 1√

2

)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√

2

)∥∥∥ = 1, makaS juga himpunan ortonormal.

4 S merupakan himpunan dan himpunan ortonormal (tunjukkan!).



Solusi:

1 S merupakan himpunan ortogonal karena (0, 0) · (1, 1) = 0,(0, 0) · (1,−1) = 0, dan (1, 1) · (1,−1) = 0.

Namun S bukan himpunanortogonal karena ‖(0, 0)‖ = 0 6= 1.


2

)·(1√2, 1√

2

)= 0


2,− 1√

2

)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√

2


(0, 1√

2, 1√

2

)= 0,

(1, 0, 0) ·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0, dan

(0, 1√

2, 1√

2

)·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0.

Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√

2, 1√

2

)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√

2





Solusi:



2

)·(1√2, 1√

2

)= 0


2,− 1√

2

)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√

2


(0, 1√

2, 1√

2

)= 0,

(1, 0, 0) ·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0, dan

(0, 1√

2, 1√

2

)·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0.

Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√

2, 1√

2

)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√

2





Solusi:



2

)·(1√2, 1√

2

)= 0


2,− 1√

2

)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√

2

)∥∥∥ = 1.

3 S merupakan himpunan ortogonal karena (1, 0, 0) ·(0, 1√

2, 1√

2

)= 0,

(1, 0, 0) ·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0, dan

(0, 1√

2, 1√

2

)·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0.

Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√

2, 1√

2

)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√

2





Solusi:



2

)·(1√2, 1√

2

)= 0


2,− 1√

2

)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√

2


(0, 1√

2, 1√

2

)= 0,

(1, 0, 0) ·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0, dan

(0, 1√

2, 1√

2

)·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0.

Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√

2, 1√

2

)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√

2





Solusi:



2

)·(1√2, 1√

2

)= 0


2,− 1√

2

)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√

2


(0, 1√

2, 1√

2

)= 0,

(1, 0, 0) ·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0, dan

(0, 1√

2, 1√

2

)·(0, 1√

2,− 1√

2

)= 0.

Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√

2, 1√

2

)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√

2





Konstruksi Himpunan Ortonormal dan HimpunanOrtogonal

Permasalahan

Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S ⊆ V adalah sebuah himpunan ortogonal,apakah kita selalu dapat mengkonstruksi himpunan S′ dari S yang bersifatortonormal?

Latihan

Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Periksa apakahS = {~u1, ~u2, ~u3} dengan ~u1 = (0, 1, 0), ~u2 = (1, 0, 1), dan ~u3 = (1, 0,−1)merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah S himpunan ortonormal? Jikatidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormal dari S?

Selanjutnya periksa apakah T = {~v1, ~v2, ~v3} dengan ~v1 = (0, 0, 0), ~v2 = (0, 2, 0),dan ~v3 = (0, 0, 2) merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah T himpunanortonormal? Jika tidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormaldari T?




Permasalahan


Latihan






Permasalahan


Latihan





Solusi:

Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =

√2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan

ortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal

S′ ={(0, 1, 0) ,

(1√2, 0 1√

2

),(1√2, 0,− 1√

2

)}.

Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ = {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.



Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =

√2.

Kita dapat mengkonstruksi himpunanortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal

S′ ={(0, 1, 0) ,

(1√2, 0 1√

2

),(1√2, 0,− 1√

2

)}.







S′ =

{(0, 1, 0) ,

(1√2, 0 1√

2

),(1√2, 0,− 1√

2

)}.







S′ ={(0, 1, 0) ,

(1√2, 0 1√

2

),(1√2, 0,− 1√

2

)}.







S′ ={(0, 1, 0) ,

(1√2, 0 1√

2

),(1√2, 0,− 1√

2

)}.

Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0.

Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′

dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ = {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.






S′ ={(0, 1, 0) ,

(1√2, 0 1√

2

),(1√2, 0,− 1√

2

)}.

Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ =

{(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.






S′ ={(0, 1, 0) ,

(1√2, 0 1√

2

),(1√2, 0,− 1√

2

)}.



Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal

Bahasan








Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier

Teorema

Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} adalah himpunan kbuah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebaslinier.

Bukti

Pandang kombinasi linier

α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk = ~0. (1)

Misalkan ~vj ∈ S dengan 1 ≤ j ≤ k, kita mempunyai

〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk〉 =⟨~vj ,~0

⟩= 0

yang setara dengan

〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αk~vk, ~vj〉 = 0

α1 〈~v1, ~v1〉+ α2 〈~v2, ~v2〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αk 〈~vk, ~vk〉 = 0 (2)




Teorema


Bukti


α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk = ~0. (1)


〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk〉 =⟨~vj ,~0

⟩= 0

yang setara dengan






Teorema


Bukti


α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk = ~0. (1)


〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk〉 =⟨~vj ,~0

⟩= 0

yang setara dengan






Teorema


Bukti


α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk = ~0. (1)


〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk〉 =⟨~vj ,~0

⟩= 0

yang setara dengan


α1 〈~v1, ~v1〉+ α2 〈~v2, ~v2〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αk 〈~vk, ~vk〉 = 0 (2)MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 11 / 52


Karena S ortogonal dan tidak memuat vektor nol kita memiliki

〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j

, ∀i, j dengan 1 ≤ i, j ≤ k.

Akibatnya ekspresi (2) memberikan

αj 〈~vj , ~vj〉 = 0 ⇔ αj = 0

untuk setiap j dengan 1 ≤ j ≤ k. Karena nilai j dapat sembarang dan 1 ≤ j ≤ k,kita dapat menyimpulkan bahwa satu-satunya nilai α1, α2, . . . , αk yangmengakibatkan ekspresi (1) terpenuhi adalah α1 = α2 = · · · = αk = 0. Dengandemikian S bebas linier.





, ∀i, j dengan 1 ≤ i, j ≤ k.


αj 〈~vj , ~vj〉 = 0 ⇔ αj = 0

untuk setiap j dengan 1 ≤ j ≤ k.

Karena nilai j dapat sembarang dan 1 ≤ j ≤ k,kita dapat menyimpulkan bahwa satu-satunya nilai α1, α2, . . . , αk yangmengakibatkan ekspresi (1) terpenuhi adalah α1 = α2 = · · · = αk = 0. Dengandemikian S bebas linier.





, ∀i, j dengan 1 ≤ i, j ≤ k.


αj 〈~vj , ~vj〉 = 0 ⇔ αj = 0

untuk setiap j dengan 1 ≤ j ≤ k. Karena nilai j dapat sembarang dan 1 ≤ j ≤ k,kita dapat menyimpulkan bahwa satu-satunya nilai α1, α2, . . . , αk yangmengakibatkan ekspresi (1) terpenuhi adalah α1 = α2 = · · · = αk = 0. Dengandemikian S bebas linier.




Definisi

Misalkan V adalah sebuah RHKD. Sebuah basis B bagi V dikatakan basisortogonal apabila B adalah himpunan ortogonal. Lebih jauh jika setiap vektorpada B memiliki norm 1, maka B dikatakan basis ortonormal.

Dengan perkataan lain:

1 Basis ortogonal adalah basis yang berupa himpunan ortogonal.2 Basis ortonormal adalah basis yang berupa himpunan ortonormal.

Contoh

Pada R3 yang dilengkapi HKD Euclid standar, B ={ı̂, ̂, k̂

}adalah basis

ortonormal. Lebih jauh pada Rn yang dilengkapi HKD Euclid standar,B = {~e1, ~e2, . . . , ~en} adalah basis ortonormal.

Latihan

Periksa apakah B ={(0, 1, 0) ,

(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45

)}merupakan basis ortonormal

untuk R3.




Definisi


Dengan perkataan lain:1 Basis ortogonal adalah basis yang berupa himpunan ortogonal.

2 Basis ortonormal adalah basis yang berupa himpunan ortonormal.

Contoh


}adalah basis


Latihan


(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45


untuk R3.




Definisi


Dengan perkataan lain:1 Basis ortogonal adalah basis yang berupa himpunan ortogonal.2 Basis ortonormal adalah basis yang berupa himpunan ortonormal.

Contoh


}adalah basis


Latihan


(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45


untuk R3.MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 13 / 52


Solusi: Perhatikan bahwa{(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45

)}bebas linier pada bidang xz.

Selanjutnya karena (0, 1, 0) tidak berada di bidang xz, kita dapat menyimpulkanbahwa B bebas linier. Karena |B| = 3 = dim

(R3), maka B adalah basis bagi R3.

Selanjutnya tinjau bahwa

(0, 1, 0) ·(−45, 0,

3

5

)= 0

(0, 1, 0) ·(3

5, 0,

4

5

)= 0(

−45, 0,

3

5

)·(3

5, 0,

4

5

)= 0

Jadi B adalah basis ortogonal bagi R3. Kemudian, tinjau juga bahwa

‖(0, 1, 0)‖ = 1,∥∥∥∥(−45 , 0, 35

)∥∥∥∥ = 1, dan ∥∥∥∥(35 , 0, 45)∥∥∥∥ = 1,

jadi B adalah basis ortonormal bagi R3.




35

),(35 , 0,

45





(0, 1, 0) ·(−45, 0,

3

5

)= 0

(0, 1, 0) ·(3

5, 0,

4

5

)= 0(

−45, 0,

3

5

)·(3

5, 0,

4

5

)= 0


‖(0, 1, 0)‖ = 1,∥∥∥∥(−45 , 0, 35

)∥∥∥∥ = 1, dan ∥∥∥∥(35 , 0, 45)∥∥∥∥ = 1,





35

),(35 , 0,

45





(0, 1, 0) ·(−45, 0,

3

5

)= 0

(0, 1, 0) ·(3

5, 0,

4

5

)= 0(

−45, 0,

3

5

)·(3

5, 0,

4

5

)= 0


‖(0, 1, 0)‖ = 1,∥∥∥∥(−45 , 0, 35

)∥∥∥∥ = 1, dan ∥∥∥∥(35 , 0, 45)∥∥∥∥ = 1,




Koordinat Relatif terhadap Basis Ortogonal

Permasalahan

Himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} merupakan basis ortogonal bagiR3. Tentukan (1, 2, 3)B .

Kita dapat menjawab permasalahan di atas dengan menyatakan (1, 2, 3) dalamkombinasi linier dari vektor-vektor pada B. Namun, kita dapat melakukannyadengan cara lain dengan meninjau teorema berikut.

Teorema

Misalkan V adalah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah basisortogonal bagi V . Untuk sembarang ~u ∈ V kita memiliki

(~u)B =

(〈~u,~v1〉‖~v1‖2

,〈~u,~v2〉‖~v2‖2

, . . . ,〈~u,~vn〉‖~vn‖2

).



Bukti

Misalkan (~u)B = (α1, α2, . . . , αn), ini berarti

~u =

α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn

dengan αj ∈ R untuk setiap 1 ≤ j ≤ n. Kita akan menunjukkan bahwa

αj =〈~u,~vj〉‖~vj‖2

untuk setiap 1 ≤ j ≤ n.



Bukti


~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn


αj =

〈~u,~vj〉‖~vj‖2




Bukti


~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn


αj =〈~u,~vj〉‖~vj‖2




Karena ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn, maka untuk sembarang ~vj ∈ B dengan1 ≤ j ≤ n kita memiliki

〈~vj , ~u〉 =

〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn〉= 〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αn~vn, ~vj〉= α1 〈~v1, ~vj〉+ α2 〈~v2, ~vj〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αn 〈~vn, ~vj〉 (3)

Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai



〈~vj , ~u〉 = αj 〈~vj , ~vj〉 atau

αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2




〈~vj , ~u〉 = 〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn〉=

〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αn~vn, ~vj〉= α1 〈~v1, ~vj〉+ α2 〈~v2, ~vj〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αn 〈~vn, ~vj〉 (3)





αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2




〈~vj , ~u〉 = 〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn〉= 〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αn~vn, ~vj〉= α1 〈~v1, ~vj〉+ α2 〈~v2, ~vj〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αn 〈~vn, ~vj〉 (3)





αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2









αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2









αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2



Dengan demikian

jika ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn maka

~u =〈~v1, ~u〉‖~v1‖2

~v1 +〈~v2, ~u〉‖~v2‖2

~v2 + · · ·+〈~vn, ~u〉‖~vn‖2

~vn.

Jadi jika ~u adalah basis ortogonal bagi V , maka

(~u)B =

(〈~u,~v1〉‖~v1‖2

,〈~u,~v2〉‖~v2‖2

, . . . ,〈~u,~vn〉‖~vn‖2

).



Dengan demikian

jika ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn maka

~u =〈~v1, ~u〉‖~v1‖2

~v1 +〈~v2, ~u〉‖~v2‖2

~v2 + · · ·+〈~vn, ~u〉‖~vn‖2

~vn.

Jadi jika ~u adalah basis ortogonal bagi V , maka

(~u)B =

(〈~u,~v1〉‖~v1‖2

,〈~u,~v2〉‖~v2‖2

, . . . ,〈~u,~vn〉‖~vn‖2

).



Latihan

Diberikan himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} yang merupakan basisbagi R3. Tentukan (1, 2, 3)B .

Misalkan (1, 2, 3)B = (a, b, c), maka

a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2

= 2

b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2

= 2

c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2

= −1.

Jadi (1, 2, 3)B = (2, 2,−1). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) + 2 (1, 0, 1)− 1 (1, 0,−1).



Latihan



a =

(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2

= 2

b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2

= 2

c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2

= −1.




Latihan



a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2

= 2

b =

(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2

= 2

c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2

= −1.




Latihan



a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2

= 2

b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2

= 2

c =

(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2

= −1.




Latihan



a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2

= 2

b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2

= 2

c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2

= −1.

Jadi (1, 2, 3)B = (2, 2,−1).

Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) + 2 (1, 0, 1)− 1 (1, 0,−1).



Latihan



a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2

= 2

b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2

= 2

c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2

= −1.




Koordinat Relatif terhadap Basis Ortonormal

Permasalahan

Himpunan B ={(0, 1, 0) ,

(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45

)}merupakan basis ortonormal bagi

R3. Tentukan (1, 2, 3)B .

Dari teorema sebelumnya kita memiliki akibat berikut.

Akibat

Misalkan V adalah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah basisortonormal bagi V . Untuk sembarang ~u ∈ V kita memiliki

(~u)B = (〈~u,~v1〉 , 〈~u,~v2〉 , . . . , 〈~u,~vn〉) .

Bukti

Basis ortonormal merupakan basis ortogonal yang setiap vektor basisnya memilikinorm 1.



Dengan demikian untuk B ={(0, 1, 0) ,

(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45

)}, kita dapat

menghitung (1, 2, 3)B = (a, b, c) dengan cara berikut

a =

(1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2

b = (1, 2, 3) ·(−45, 0,

3

5

)= 1

c = (1, 2, 3) ·(3

5, 0,

4

5

)= 3

Jadi (1, 2, 3)B = (2, 1, 3). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) +

(− 45 , 0,

35

)+ 3

(35 , 0,

45

).




(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45

)}, kita dapat


a = (1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2

b =

(1, 2, 3) ·(−45, 0,

3

5

)= 1

c = (1, 2, 3) ·(3

5, 0,

4

5

)= 3


(− 45 , 0,

35

)+ 3

(35 , 0,

45

).




(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45

)}, kita dapat


a = (1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2

b = (1, 2, 3) ·(−45, 0,

3

5

)= 1

c =

(1, 2, 3) ·(3

5, 0,

4

5

)= 3


(− 45 , 0,

35

)+ 3

(35 , 0,

45

).




(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45

)}, kita dapat


a = (1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2

b = (1, 2, 3) ·(−45, 0,

3

5

)= 1

c = (1, 2, 3) ·(3

5, 0,

4

5

)= 3

Jadi (1, 2, 3)B = (2, 1, 3).

Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) +

(− 45 , 0,

35

)+ 3

(35 , 0,

45

).




(− 45 , 0,

35

),(35 , 0,

45

)}, kita dapat


a = (1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2

b = (1, 2, 3) ·(−45, 0,

3

5

)= 1

c = (1, 2, 3) ·(3

5, 0,

4

5

)= 3


(− 45 , 0,

35

)+ 3

(35 , 0,

45

).



Sifat Penting terkait Basis Ortonormal

Teorema

Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = {~q1, ~q2, . . . , ~qn} adalahbasis ortonormal bagi V . Misalkan ~u,~v ∈ V dengan

(~u)B = (u1, u2, . . . , un)

(~v)B = (v1, v2, . . . , vn) ,

maka

1 ‖~u‖ =√u21 + u

22 + · · ·+ u2n

2 d (~u,~v) =

√(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + · · ·+ (un − vn)2

3 〈~u,~v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn.


Proyeksi Ortogonal secara Umum

Bahasan








Proyeksi Ortogonal di Ruang Euclid

Perhatikan gambar berikut.

Ingat kembali pada R2 maupun R3, jika ~u1 adalah proyeksi ortogonal dari ~u pada~b kita memiliki

~u1 =

~u ·~b∥∥∥~b∥∥∥2~b.Perhatikan bahwa ~u1⊥~u2.



Proyeksi Ortogonal di Ruang Euclid

Perhatikan gambar berikut.

Ingat kembali pada R2 maupun R3, jika ~u1 adalah proyeksi ortogonal dari ~u pada~b kita memiliki

~u1 =~u ·~b∥∥∥~b∥∥∥2~b.

Perhatikan bahwa ~u1⊥~u2.



Pada ruang Euclid R2 atau R3, jika W adalah sebuah garis atau bidang yangmelalui titik asal, maka setiap vektor ~u pada ruang vektor tersebut dapat ditulisdalam bentuk

~u = ~w1 + ~w2,

dengan ~w1 ∈W dan ~w2 ∈W⊥.



Pada ruang Euclid R2 atau R3, jika W adalah sebuah garis atau bidang yangmelalui titik asal, maka setiap vektor ~u pada ruang vektor tersebut dapat ditulisdalam bentuk

~u = ~w1 + ~w2,

dengan ~w1 ∈W dan ~w2 ∈W⊥.



Teorema Proyeksi

Teorema

Jika W adalah sebuah subruang berdimensi hingga dari sebuah RHKD V , makasetiap vektor ~u ∈ V dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk

~u = ~w + ~w′,

dengan ~w ∈W dan ~w′ ∈W⊥.

Teorema di atas mengatakan bahwa setiap vektor ~u ∈ V dapat dinyatakan dalambentuk

~u = projW~u+ projW⊥~u

secara tunggal.



Teorema Proyeksi

Teorema

Jika W adalah sebuah subruang berdimensi hingga dari sebuah RHKD V , makasetiap vektor ~u ∈ V dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk

~u = ~w + ~w′,

dengan ~w ∈W dan ~w′ ∈W⊥.

Teorema di atas mengatakan bahwa setiap vektor ~u ∈ V dapat dinyatakan dalambentuk

~u = projW~u+ projW⊥~u

secara tunggal.



Dengan mengadaptasi teorema yang telah dijelaskan untuk basis ortogonal danbasis ortonormal untuk suatu RHKD, kita mempunyai teorema berikut.

Teorema

Misalkan W adalah subruang berdimensi k dari suatu RHKD V dan ~u ∈W , maka1 Jika B = {~p1, ~p2, . . . , ~pk} adalah basis ortogonal bagi W , maka

projW~u =〈~u, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 +〈~u, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 + · · ·+〈~u, ~pk〉‖~pk‖2

~pk.

2 Jika B = {~q1, ~q2, . . . , ~qk} adalah basis ortonormal bagi W , maka

projW~u = 〈~u, ~q1〉 ~q1 + 〈~u, ~q2〉 ~q2 + · · ·+ 〈~u, ~qk〉 ~qk.

Bukti

Latihan.



Latihan

Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. JikaW = span

{(0, 1, 0) ,

(− 45 , 0,

35

)}, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1, 1, 1)

pada W .

Solusi:

Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena(0, 1, 0) ·

(− 45 , 0,

35

)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =

∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u = [(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +

[(−45, 0,

3

5

)(1, 1, 1)

](−45, 0,

3

5

)= (0, 1, 0)− 1

5

(−45, 0,

3

5

)= (0, 1, 0) +

(4

25, 0,− 3

25

)=

(4

25, 1,− 3

25

)



Latihan


{(0, 1, 0) ,

(− 45 , 0,

35


pada W .

Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena(0, 1, 0) ·

(− 45 , 0,

35

)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =

∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u =

[(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +[(−45, 0,

3

5

)(1, 1, 1)

](−45, 0,

3

5

)= (0, 1, 0)− 1

5

(−45, 0,

3

5

)= (0, 1, 0) +

(4

25, 0,− 3

25

)=

(4

25, 1,− 3

25

)



Latihan


{(0, 1, 0) ,

(− 45 , 0,

35


pada W .


(− 45 , 0,

35

)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =

∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u = [(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +

[(−45, 0,

3

5

)(1, 1, 1)

](−45, 0,

3

5

)=

(0, 1, 0)− 15

(−45, 0,

3

5

)= (0, 1, 0) +

(4

25, 0,− 3

25

)=

(4

25, 1,− 3

25

)



Latihan


{(0, 1, 0) ,

(− 45 , 0,

35


pada W .


(− 45 , 0,

35

)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =

∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u = [(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +

[(−45, 0,

3

5

)(1, 1, 1)

](−45, 0,

3

5

)= (0, 1, 0)− 1

5

(−45, 0,

3

5

)=

(0, 1, 0) +

(4

25, 0,− 3

25

)=

(4

25, 1,− 3

25

)



Latihan


{(0, 1, 0) ,

(− 45 , 0,

35


pada W .


(− 45 , 0,

35

)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =

∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u = [(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +

[(−45, 0,

3

5

)(1, 1, 1)

](−45, 0,

3

5

)= (0, 1, 0)− 1

5

(−45, 0,

3

5

)= (0, 1, 0) +

(4

25, 0,− 3

25

)=

(4

25, 1,− 3

25

)


Proses Gram-Schmidt

Bahasan







Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt —Pendahuluan

Permasalahan

Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n. Apakah V pasti memiliki basisortogonal? Bagaimana dengan basis ortonormal?

Permasalahan

Diberikan suatu RHKD V berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah basisbagi V . Apakah kita dapat mengkonstruksi suatu basis B′ yang ortogonal danbasis B′′ yang ortonormal dari B?


Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt —Pendahuluan

Permasalahan

Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n. Apakah V pasti memiliki basisortogonal? Bagaimana dengan basis ortonormal?

Permasalahan

Diberikan suatu RHKD V berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah basisbagi V . Apakah kita dapat mengkonstruksi suatu basis B′ yang ortogonal danbasis B′′ yang ortonormal dari B?


Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt

Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalahsebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B′ dari B. Dengandemikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan outputberikut:

Input: sembarang basis B pada sebuah RHKD V .

Output: suatu basis ortogonal B′ yang dikonstruksi menggunakanvektor-vektor pada B.

Jika kita menginkan basis B′′ yang ortonormal dari B′, kita dapat melakukannyadengan membagi setiap vektor pada B′ dengan normnya masing-masing.


Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt


Input:

sembarang basis B pada sebuah RHKD V .




Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt



Output:

suatu basis ortogonal B′ yang dikonstruksi menggunakanvektor-vektor pada B.



Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt






Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt






Proses Gram-Schmidt

Ilustrasi Proses Gram-Schmidt

Misalkan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensin. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} dariB.Langkah 1:

pilih ~p1 = ~v1.Langkah 2: kita akan mengkonstruksi ~p2 agar ~p2⊥~p1. Tinjau ilustrasi berikut


Proses Gram-Schmidt


Misalkan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensin. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} dariB.Langkah 1: pilih ~p1 = ~v1.Langkah 2:

kita akan mengkonstruksi ~p2 agar ~p2⊥~p1. Tinjau ilustrasi berikut


Proses Gram-Schmidt


Misalkan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensin. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} dariB.Langkah 1: pilih ~p1 = ~v1.Langkah 2: kita akan mengkonstruksi ~p2 agar ~p2⊥~p1. Tinjau ilustrasi berikut


Proses Gram-Schmidt


Misalkan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensin. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} dariB.Langkah 1: pilih ~p1 = ~v1.Langkah 2: kita akan mengkonstruksi ~p2 agar ~p2⊥~p1. Tinjau ilustrasi berikut


Proses Gram-Schmidt

Misalkan W1 = span {~p1}, kita dapat mendefinisikan ~p2 =

~v2 − projW1~v2,

sehingga diperoleh

~p2 = ~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2

~p1.

Langkah 3: kita akan mengkonstruksi ~p3 agar ~p3⊥~p2 dan ~p3⊥~p1. Tinjau ilustrasiberikut


Proses Gram-Schmidt

Misalkan W1 = span {~p1}, kita dapat mendefinisikan ~p2 = ~v2 − projW1~v2,

sehingga diperoleh

~p2 =

~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2

~p1.



Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p2 = ~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2

~p1.

Langkah 3:

kita akan mengkonstruksi ~p3 agar ~p3⊥~p2 dan ~p3⊥~p1. Tinjau ilustrasiberikut


Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p2 = ~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2

~p1.



Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p2 = ~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2

~p1.



Proses Gram-Schmidt

Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 =

~v3 − projW2~v3,

sehingga diperoleh

~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.

Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3

~v4,sehingga diperoleh

~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.

...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh

~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt

Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,

sehingga diperoleh

~p3 =

~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.



~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.


~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.

Langkah 4:

kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3


~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.


~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.

Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 =

~v4 − projW3~v4,

sehingga diperoleh

~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.


~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.



~p4 =

~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.


~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.



~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.

...Langkah ke-i:

kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh

~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.



~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.

...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi =

~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh

~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.



~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.


~pi =

~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt


sehingga diperoleh

~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2

~p2.



~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2

~p3.


~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2

~pi−1.


Proses Gram-Schmidt

...Langkah ke-n:

kita dapat mengkonstruksi ~pn agar ~pn⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ n− 1. Misalkan Wn−1 = span {~p1, ~p2, . . . , ~pn−1}, kita dapatmendefinisikan ~pn = ~vn − projWn−1~vn, sehingga diperoleh

~pn = ~vn −〈~vn, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vn, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vn, ~pn−1〉‖~pn−1‖2

~pn−1

Ketika langkah ke-n berakhir, kita memiliki sifat

1 span {~p1, ~p2, . . . , ~pn} = span {~v1, ~v2, . . . , ~vn},2 B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} adalah basis ortogonal bagi V .

Kemudian kita dapat mengkonstruksi basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, . . . , ~qn}dariB′ dengan mendefinisikan

~qi =~pi‖~pi‖

, untuk setiap 1 ≤ i ≤ n.


Proses Gram-Schmidt

...Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi ~pn agar ~pn⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ n− 1. Misalkan Wn−1 = span {~p1, ~p2, . . . , ~pn−1}, kita dapatmendefinisikan ~pn =

~vn − projWn−1~vn, sehingga diperoleh

~pn = ~vn −〈~vn, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vn, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vn, ~pn−1〉‖~pn−1‖2

~pn−1




~qi =~pi‖~pi‖



Proses Gram-Schmidt

...Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi ~pn agar ~pn⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ n− 1. Misalkan Wn−1 = span {~p1, ~p2, . . . , ~pn−1}, kita dapatmendefinisikan ~pn = ~vn − projWn−1~vn, sehingga diperoleh

~pn =

~vn −〈~vn, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vn, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vn, ~pn−1〉‖~pn−1‖2

~pn−1




~qi =~pi‖~pi‖



Proses Gram-Schmidt

...Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi ~pn agar ~pn⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ n− 1. Misalkan Wn−1 = span {~p1, ~p2, . . . , ~pn−1}, kita dapatmendefinisikan ~pn = ~vn − projWn−1~vn, sehingga diperoleh

~pn = ~vn −〈~vn, ~p1〉‖~p1‖2

~p1 −〈~vn, ~p2〉‖~p2‖2

~p2 − · · · −〈~vn, ~pn−1〉‖~pn−1‖2

~pn−1




~qi =~pi‖~pi‖



Proses Gram-Schmidt

Pseudocode Proses Gram-Schmidt

Berikut adalah salah satu pseudocode dari proses Gram-Schmidt.

Pseudocode Proses Gram-Schmidt

Gram-Schmidt (B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn}) // B adalah basis bagi sebuah RHKD V .1 ~p1 ← ~v12 for i← 2 to n3 for j ← 1 to i− 1

4 µij ←〈~vi, ~pj〉‖~pj‖2

// µij adalah koefisien pada proyeksi

5 ~pi ← ~vi −i−1∑j=1

µij~pj

6 end for7 end for8 return {~p1, ~p2, . . . , ~pn}.


Proses Gram-Schmidt

Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt

Latihan

Diberikan basis B = {~u1, ~u2, ~u3} bagi R3 dengan ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (0, 1, 1),dan ~u3 = (0, 0, 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperolehsuatu basis B′ yang ortogonal dan basis B′′ yang ortonormal dengan HKD Euclidstandar.

Solusi: dengan proses Gram-Schmidt

Langkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).Langkah 2: W1 = span {~p1},

~p2 = ~u2 − projW1~u2 = ~u2 −

~u2 · ~p1‖~p1‖2

~p1

= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)

=

(−23,1

3,1

3

)


Proses Gram-Schmidt


Latihan


Solusi: dengan proses Gram-SchmidtLangkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).

Langkah 2: W1 = span {~p1},

~p2 = ~u2 − projW1~u2 = ~u2 −

~u2 · ~p1‖~p1‖2

~p1

= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)

=

(−23,1

3,1

3

)


Proses Gram-Schmidt


Latihan


Solusi: dengan proses Gram-SchmidtLangkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).Langkah 2: W1 = span {~p1},

~p2 =

~u2 − projW1~u2 = ~u2 −

~u2 · ~p1‖~p1‖2

~p1

= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)

=

(−23,1

3,1

3

)


Proses Gram-Schmidt


Latihan



~p2 = ~u2 − projW1~u2 =

~u2 −~u2 · ~p1‖~p1‖2

~p1

= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)

=

(−23,1

3,1

3

)


Proses Gram-Schmidt


Latihan



~p2 = ~u2 − projW1~u2 = ~u2 −

~u2 · ~p1‖~p1‖2

~p1

=

(0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)

=

(−23,1

3,1

3

)


Proses Gram-Schmidt


Latihan



~p2 = ~u2 − projW1~u2 = ~u2 −

~u2 · ~p1‖~p1‖2

~p1

= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)

=

(−23,1

3,1

3

)


Proses Gram-Schmidt

Langkah 3: W2 = span {~p1, ~p2},

~p3 =

~u3 − projW2~u3 = ~u3 −

~u3 · ~p1‖~p1‖2

~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2

~p2

= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·

(− 23 ,

13 ,

13

)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1

3,1

3

)=

(0,−1

2,1

2

)Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =

(− 23 ,

13 ,

13

), dan ~p3 =

(0,− 12 ,

12

).

Selanjutnya tinjau bahwa ‖~p1‖ = ‖(1, 1, 1)‖ =√3, ‖~p2‖ =

∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =

∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 . Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =

(1√3, 1√

3, 1√

3

), ~q2 =

(− 2√

6, 1√

6, 1√

6

), dan ~q3 =

(0,− 1√

2, 1√

2

).


Proses Gram-Schmidt


~p3 = ~u3 − projW2~u3 =

~u3 −~u3 · ~p1‖~p1‖2

~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2

~p2

= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·

(− 23 ,

13 ,

13

)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1

3,1

3

)=

(0,−1

2,1

2


(− 23 ,

13 ,

13

), dan ~p3 =

(0,− 12 ,

12

).


∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =


(1√3, 1√

3, 1√

3

), ~q2 =

(− 2√

6, 1√

6, 1√

6

), dan ~q3 =

(0,− 1√

2, 1√

2

).


Proses Gram-Schmidt


~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −

~u3 · ~p1‖~p1‖2

~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2

~p2

=

(0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·

(− 23 ,

13 ,

13

)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1

3,1

3

)=

(0,−1

2,1

2


(− 23 ,

13 ,

13

), dan ~p3 =

(0,− 12 ,

12

).


∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =


(1√3, 1√

3, 1√

3

), ~q2 =

(− 2√

6, 1√

6, 1√

6

), dan ~q3 =

(0,− 1√

2, 1√

2

).


Proses Gram-Schmidt


~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −

~u3 · ~p1‖~p1‖2

~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2

~p2

= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·

(− 23 ,

13 ,

13

)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1

3,1

3

)=

(0,−1

2,1

2

)

Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =

(− 23 ,

13 ,

13

), dan ~p3 =

(0,− 12 ,

12

).


∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =


(1√3, 1√

3, 1√

3

), ~q2 =

(− 2√

6, 1√

6, 1√

6

), dan ~q3 =

(0,− 1√

2, 1√

2

).


Proses Gram-Schmidt


~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −

~u3 · ~p1‖~p1‖2

~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2

~p2

= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·

(− 23 ,

13 ,

13

)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1

3,1

3

)=

(0,−1

2,1

2


(− 23 ,

13 ,

13

), dan ~p3 =

(0,− 12 ,

12

).


∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =


(1√3, 1√

3, 1√

3

), ~q2 =

(− 2√

6, 1√

6, 1√

6

), dan ~q3 =

(0,− 1√

2, 1√

2

).


Proses Gram-Schmidt


~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −

~u3 · ~p1‖~p1‖2

~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2

~p2

= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·

(− 23 ,

13 ,

13

)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1

3,1

3

)=

(0,−1

2,1

2


(− 23 ,

13 ,

13

), dan ~p3 =

(0,− 12 ,

12

).


∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =

∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 .

Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =

(1√3, 1√

3, 1√

3

), ~q2 =

(− 2√

6, 1√

6, 1√

6

), dan ~q3 =

(0,− 1√

2, 1√

2

).


Proses Gram-Schmidt


~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −

~u3 · ~p1‖~p1‖2

~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2

~p2

= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2

(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·

(− 23 ,

13 ,

13

)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1

3,1

3

)=

(0,−1

2,1

2


(− 23 ,

13 ,

13

), dan ~p3 =

(0,− 12 ,

12

).


∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =


(1√3, 1√

3, 1√

3

), ~q2 =

(− 2√

6, 1√

6, 1√

6

), dan ~q3 =

(0,− 1√

2, 1√

2

).


Dekomposisi (Faktorisasi) QR

Bahasan








Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks

Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 =

2 · 9 = 6 · 3 = 2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai

contoh, matriks[1 23 4

]dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua matriks segitiga

atas dan segitiga bawah, yaitu[1 23 4

]=

[1 03 1

] [1 20 −2

]Pada kuliah ini kita akan mengkaji suatu bentuk faktorisasi untuk matriks yangvektor-vektor kolomnya bebas linier.




Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 · 9 =

6 · 3 = 2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai




]=

[1 03 1

] [1 20 −2





Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 · 9 = 6 · 3 =

2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai




]=

[1 03 1

] [1 20 −2





Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 · 9 = 6 · 3 = 2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai




]=

[1 03 1

] [1 20 −2





Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 · 9 = 6 · 3 = 2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai




]=

[1 03 1

] [1 20 −2




Dekomposisi (Faktoriasi) QR

Permasalahan

Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m× n yang vektor-vektor kolomnyabebas linier dan Q adalah matriks yang ukurannya sama dengan A danvektor-vektor kolomnya adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari penerapanproses Gram-Schmidt terhadap vektor-vektor kolom pada A. Apakah terdapatketerkaitan secara aljabar antara matriks A dan Q?

Contoh

Misalkan A =

[1 01 1

]dan Q adalah matriks 2× 2 yang vektor-vektor kolomnya

adalah vektor ortonormal yang diperoleh dengan menerapkan proses

Gram-Schmidt pada vektor-vektor kolom dari A, yaitu Q =

[ √22 −

√22√

22

√22

].

Apakah terdapat keterkaitan antara A dan Q?



Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2,akibatnya kita mempunyai[

11

]=

([11

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([11

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=√2

[ √22√22

]+ 0

[−√22√22

][01

]=

([01

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([01

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=

√2

2

[ √22√22

]+

√2

2

[−√22√22

]




11

]=

([11

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([11

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=

√2

[ √22√22

]+ 0

[−√22√22

][01

]=

([01

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([01

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=

√2

2

[ √22√22

]+

√2

2

[−√22√22

]




11

]=

([11

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([11

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=√2

[ √22√22

]+ 0

[−√22√22

][01

]=

([01

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([01

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=

√2

2

[ √22√22

]+

√2

2

[−√22√22

]




11

]=

([11

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([11

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=√2

[ √22√22

]+ 0

[−√22√22

][01

]=

([01

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([01

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=

√2

2

[ √22√22

]+

√2

2

[−√22√22

]




11

]=

([11

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([11

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=√2

[ √22√22

]+ 0

[−√22√22

][01

]=

([01

]·[ √

22√22

])[ √22√22

]+

([01

]·[−√22√22

])[−√22√22

]

=

√2

2

[ √22√22

]+

√2

2

[−√22√22

]



Misalkan ~v1 =[11

], ~v2 =

[01

], ~p1 =

[ √22√22

], ~p2 =

[ √22√22

], kita memiliki

[~v1] =

[~p1 ~p2

] [ √20

][~v2] =

[~p1 ~p2

] [ −√22√22

], sehingga

[~v1 ~v2

]=

[~p1 ~p2

] [ √2 √22

0√22

][1 01 1

]=

[ √22 −

√22√

22

√22

][ √2

√22

0√22

]



Misalkan ~v1 =[11

], ~v2 =

[01

], ~p1 =

[ √22√22

], ~p2 =

[ √22√22

], kita memiliki

[~v1] =[~p1 ~p2

] [ √20

][~v2] =

[~p1 ~p2

] [ −√22√22

], sehingga

[~v1 ~v2

]=

[~p1 ~p2

] [ √2 √22

0√22

][1 01 1

]=

[ √22 −

√22√

22

√22

][ √2

√22

0√22

]



Misalkan ~v1 =[11

], ~v2 =

[01

], ~p1 =

[ √22√22

], ~p2 =

[ √22√22

], kita memiliki

[~v1] =[~p1 ~p2

] [ √20

][~v2] =

[~p1 ~p2

] [ −√22√22

], sehingga

[~v1 ~v2

]=

[~p1 ~p2

] [ √2 √22

0√22

][1 01 1

]=

[ √22 −

√22√

22

√22

][ √2

√22

0√22

]



Misalkan ~v1 =[11

], ~v2 =

[01

], ~p1 =

[ √22√22

], ~p2 =

[ √22√22

], kita memiliki

[~v1] =[~p1 ~p2

] [ √20

][~v2] =

[~p1 ~p2

] [ −√22√22

], sehingga

[~v1 ~v2

]=

[~p1 ~p2

] [ √2 √22

0√22

][1 01 1

]=

[ √22 −

√22√

22

√22

][ √2

√22

0√22

]



Misalkan ~v1 =[11

], ~v2 =

[01

], ~p1 =

[ √22√22

], ~p2 =

[ √22√22

], kita memiliki

[~v1] =[~p1 ~p2

] [ √20

][~v2] =

[~p1 ~p2

] [ −√22√22

], sehingga

[~v1 ~v2

]=

[~p1 ~p2

] [ √2 √22

0√22

][1 01 1

]=

[ √22 −

√22√

22

√22

][ √2

√22

0√22

]



Perhatikan bahwa

[1 01 1

]=

[ √22 −

√22√

22

√22

]·

[11

]·[ √

22√22

] [01

]·[ √

22√22

][11

]·[−√22√22

] [01

]·[−√22√22

]

=

[ √22 −

√22√

22

√22

]·

[11

]·[ √

22√22

] [01

]·[ √

22√22

]

0

[01

]·[−√22√22

]



Perhatikan bahwa

[1 01 1

]=

[ √22 −

√22√

22

√22

]·

[11

]·[ √

22√22

] [01

]·[ √

22√22

][11

]·[−√22√22

] [01

]·[−√22√22

]

=

[ √22 −

√22√

22

√22

]·

[11

]·[ √

22√22

] [01

]·[ √

22√22

]

0

[01

]·[−√22√22

]



Perhatikan bahwa

[1 01 1

]=

[ √22 −

√22√

22

√22

]·

[11

]·[ √

22√22

] [01

]·[ √

22√22

][11

]·[−√22√22

] [01

]·[−√22√22

]

=

[ √22 −

√22√

22

√22

]·

[11

]·[ √

22√22

] [01

]·[ √

22√22

]

0

[01

]·[−√22√22

]



Teorema Dekomposisi (Faktoriasi) QR

Teorema

MisalkanA =

[c1 c2 · · · cn

]adalah sebuah matriks berukuran m× n yang vektor-vektor kolomnya bebas linierdan

Q =[q1 q2 · · · qn

]adalah matriks yang ukurannya sama dengan A dan vektor-vektor kolomnyaadalah vektor ortonormal yang diperoleh dari penerapan proses Gram-Schmidtterhadap vektor-vektor kolom pada A.



MakaA = QR,

dengan R adalah matriks persegi segitiga atas berukuran n× n yang invertibeldan berbentuk

c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q10 c2 · q2 · · · cn · q2...

. . .. . .

...0 · · · 0 cn · qn



Bukti

Tinjau bahwa {q1,q2, . . . ,qn} adalah basis ortonormal untuk col (A), sehinggakita memiliki

c1 = α11q1 + α12q2 + · · ·+ α1nqnc2 = α21q1 + α22q2 + · · ·+ α2nqn

...

cn = αn1q1 + αn2q2 + · · ·+ αnnqn



Akibatnya kita memiliki

c1 =[q1 q2 · · · qn

]α11α12...

α1n

c2 =[q1 q2 · · · qn

]α21α22...

α2n

...

cn =[q1 q2 · · · qn

]αn1αn2...

αnn



Oleh karena itu

[c1 c2 · · · cn

]=[q1 q2 · · · qn

]α11 α21 · · · αn1α12 α22 · · · αn2...

.... . .

...α1n α2n · · · αnn

.Karena {q1,q2, . . . ,qn} adalah basis ortonormal, kita mempunyai

αij = ci · qj untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ n,

sehingga didapat[c1 c2 · · · cn

]=

[q1 q2 · · · qn

](4)

c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q1c1 · q2 c2 · q2 · · · cn · q2...

.... . .

...c1 · qn c2 · qn · · · cn · qn

.



Oleh karena itu

[c1 c2 · · · cn

]=[q1 q2 · · · qn

]α11 α21 · · · αn1α12 α22 · · · αn2...

.... . .

...α1n α2n · · · αnn

.Karena {q1,q2, . . . ,qn} adalah basis ortonormal, kita mempunyai

αij = ci · qj untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ n,

sehingga didapat[c1 c2 · · · cn

]=

[q1 q2 · · · qn

](4)

c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q1c1 · q2 c2 · q2 · · · cn · q2...

.... . .

...c1 · qn c2 · qn · · · cn · qn

.



Pada hasil dari proses Gram-Schmidt kita mempunyai fakta: untuk setiap j ≥ 2,vektor qj ortogonal terhadap c1, c2, . . . , cj−1. Akibatnya

ci · qj = 0 bila i < j untuk setiap 1 ≤ i < j ≤ n.

Jadi ekspresi (4) dapat disederhanakan menjadi[c1 c2 · · · cn

]=

[q1 q2 · · · qn

]c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q10 c2 · q2 · · · cn · q2...

. . .. . .

...0 0 · · · cn · qn

.



Pada hasil dari proses Gram-Schmidt kita mempunyai fakta: untuk setiap j ≥ 2,vektor qj ortogonal terhadap c1, c2, . . . , cj−1. Akibatnya

ci · qj = 0 bila i < j untuk setiap 1 ≤ i < j ≤ n.

Jadi ekspresi (4) dapat disederhanakan menjadi[c1 c2 · · · cn

]=

[q1 q2 · · · qn

]c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q10 c2 · q2 · · · cn · q2...

. . .. . .

...0 0 · · · cn · qn

.



Latihan

Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila

A =

1 0 01 1 01 1 1

.Solusi:

Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 =

111

, c2 = 011

, danc3 =

001

. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh padalatihan sebelumnya, diperoleh

q1 =

1√31√31√3

, q2 = −

2√61√61√6

, dan q3 = 0− 1√

21√2

.



Latihan


A =

1 0 01 1 01 1 1

.Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 =

111

, c2 = 011

, danc3 =

001


q1 =

1√31√31√3

, q2 = −

2√61√61√6

, dan q3 = 0− 1√

21√2

.



Latihan


A =

1 0 01 1 01 1 1


111

, c2 = 011

, danc3 =

001


q1 =

1√31√31√3

, q2 =

−2√61√61√6

, dan q3 = 0− 1√

21√2

.



Latihan


A =

1 0 01 1 01 1 1


111

, c2 = 011

, danc3 =

001


q1 =

1√31√31√3

, q2 = −

2√61√61√6

, dan q3 =

0− 1√

21√2

.



Latihan


A =

1 0 01 1 01 1 1


111

, c2 = 011

, danc3 =

001


q1 =

1√31√31√3

, q2 = −

2√61√61√6

, dan q3 = 0− 1√

21√2

.



Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah[q1 q2 q3

]dan matriks R adalah

R =

c1 · q1 c2 · q1 c3 · q10 c2 · q2 c3 · q20 0 c3 · q3

=

3√3

2√3

1√3

0 2√6

1√2

0 0 1√2

Perhatikan bahwa

A = QR 1 0 01 1 01 1 1

=

1√3− 2√

60

1√3

1√6− 1√

21√3

1√6

1√2

3√3

2√3

1√3

0 2√6

1√2

0 0 1√2





R =

c1 · q1 c2 · q1 c3 · q10 c2 · q2 c3 · q20 0 c3 · q3

=

3√3

2√3

1√3

0 2√6

1√2

0 0 1√2

Perhatikan bahwa

A = QR 1 0 01 1 01 1 1

=

1√3− 2√

60

1√3

1√6− 1√

21√3

1√6

1√2

3√3

2√3

1√3

0 2√6

1√2

0 0 1√2





R =

c1 · q1 c2 · q1 c3 · q10 c2 · q2 c3 · q20 0 c3 · q3

=

3√3

2√3

1√3

0 2√6

1√2

0 0 1√2

Perhatikan bahwa

A = QR 1 0 01 1 01 1 1

=

1√3− 2√

60

1√3

1√6− 1√

21√3

1√6

1√2

3√3

2√3

1√3

0 2√6

1√2

0 0 1√2





R =

c1 · q1 c2 · q1 c3 · q10 c2 · q2 c3 · q20 0 c3 · q3

=

3√3

2√3

1√3

0 2√6

1√2

0 0 1√2

Perhatikan bahwa

A = QR 1 0 01 1 01 1 1

=

1√3− 2√

60

1√3

1√6− 1√

21√3

1√6

1√2

3√3

2√3

1√3

0 2√6

1√2

0 0 1√2


Documents

Basis Ortogonal, Basis Ortonormal, Proses Gram-Schmidt ...cdndata.telkomuniversity.ac.id/pjj/15161/MUG1E3/MZI/COURSE... · 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom UniversityolehJondri