1

خلفية: ص 6يعتبر موضوع الكسور واحدا من املواضيع الرئيسية في الصفني الرابع و اخلامس. لقد تعلم طالب

الصفني األول والثاني عن الكسرين "نصف" و"ربع" فقط. في الصف الثالث تعلموا عن باقي كسور الوحدة، وهي الكسور التي بسطها العدد 1 ومقامها عدد طبيعي )مثال 1/7(. في الصف الرابع تعلموا

عن الكسور البسيطة، وهي توسيع لكسور الوحدة التي فيها البسط قد يكون أي عدد طبيعي )مثال 5/8(. ولقد عرف الطالب مفهوين للكسر حتى اآلن: الكسر كجزء من الواحد الصحيح )مثال عندما

نقسم الدائرة الى خمس أقسام متساوية(، والكسر كجزء من كمية )5 طالب من 40 طالبا هم 1/8 الصف(. في الصف اخلامس يتعلم الطالب عن مفهوم آخر للكسر: الكسر كقسمة عدد صحيح على

عدد صحيح. وفي هذه املرحلة سيتعلم الطالب وألول مرة عن الكسور العشرية، ومتثيل هذه الكسور على محور األعداد، باإلضافة الى جمع وطرح هذه الكسور واملقارنة بينها. ثم حتويل الكسور العشرية

الى عادية )مثال 0.2 هي 1/5( والعادية الى عشرية، شرط أن ال يكون في حتويل الكسور العادية الى

الفصل األول الكسور

مراجعة الكسور البسيطة

عشرية ما ال نهاية من األرقام بعد الفاصلة العشرية.مثال ...0.3333 عند حتويل الكسر 1/3. .

مترين 3: ص 7جمع الكسور

لقد تعلم الطالب في الصف الرابع جمع الكسور البسيطة )العادية(، التي لها نفس املقام، أو التي لها مقامات متقاربة.)مثال 3/4 و 5/8(

فعالية: ص 8يتوقف الكسر على ما نعتبره الواحد الصحيح.فاذا اعتبرنا هذا الشكل

هو الواحد الصحيح، فإن الشكل هو ثلث هذا الواحد الصحيح ،وليس ربعه كما قد يظن البعض. ومن املهم أن نهتم بهذه املالحظة ونوضحها للطالب عن طريق أمثلة مختلفة. مثال اذا اعتبرنا دائرتني

متساويتي املساحة هما الواحد الصحيح، فان كل دائرة منهما هي نصف فقط، .. وهكذا

مترين5: ص 9

في الصف الرابع تعلم الطالب ضرب الكسر بعدد صحيح، وقد عرفوه كجمع متكرر لنفس العدد، وليس كضرب العدد الصحيح في بسط الكسر.

2

مترين 11: ص 9نصف الكسر

تعلم الطالب في الصف الرابع عن شريط الكسور. ميكن االستعانة بشريط الكسر 1/6 من أجل معرفة نصف الكسر 1/6.

فعالية: ص 10تقسيم شكل الى عدد من األقسام املتساوية

يعطى الطالب مجموعة من األشكال الهندسية، مربعات دوائر ، مثلثات، ويطلب منهم أن يقسموا هذه األشكال الى قسمني متساويني، أو الى ثالثة أقسام متساوية، أربعة، ... الخ.ونفحص اذا كان الطالب قد قاموا بهذه املهمة على خير وجه.

فعالية: ص 10كيف نكتب ثالثة أرباع؟

في الفعالية السابقة، أو في فعالية منفردة، نقسم الشكل الى أربعة أقسام متساوية. نلون قسما واحدا من الشكل ونسأل الطالب: أي قسم لونا؟يقولون ربعا. نسألهم:كيف نكتب الربع كبسط على مقام؟ كيف نكتب ربعني؟ ثالثة أرباع؟

...وهكذا.

مترين 23: ص 11جمع الكسور

الرسم في هذا التمرين يبني ما جاء في )أ(. وإلقناع الطالب بذلك نبدأ بسؤالهم كم يشكل القسمان امللونان في الشكل األول؟ )ثمنني(. ثم كم يشكل القسم امللون في الشكل الثاني )ربعا(. ونسألهم إن

كان القسمان امللونان في الشكلني متساويني. طريقة بسيطة جلعل الطالب يرون هذه املساواة هو أن نضع - في فعالية منفردة - الشكلني أحدهما على االخر.

مترين 21: ص 11خط الكسر

خط الكسر في الكسر 2/5 مثال يعني أننا نقسم الصحيح الى 5 أجزاء متساوية.

3

فعالية: ص 13متثيل الكسر بواسطة الرسم

نعطي الطالب كسرا، نفرض ثالثة أسداس، ونطلب منهم أن يرسموا شكال ميثل هذا الكسر.

فعالية ص 12فعالية بالتلوين

نعطي للطالب شكال هندسيا مقسما الى 9 أقسام متساوية مثال. ونطلب منهم أن يلونوا ثالثة اتساع هذا الشكل باللون االحمر، 4 أتساع باألخضر، تسعا واحدا باألصفر، والتسع األخير بالبني. نعود على

هذه الفعالية مع أشكال أخرى وكسور أخرى.

مترين 24 ص12ميكن أن نبني أن 1/3 يساوي 2/6 بطريقة ثانية، وهي أن نقسم الشكل األول الذي فيه القسم امللون

هو 1/2 الى قسمني متساويني أفقيا.

فنحصل على:

والذي فيه القسم امللون هو 2/6 .

فعالية: ص 15بحث الكسور في الزخرفات

بعض الزخرفات في القماش أو في رسومات الزينة حتتوي على أشكال مقسمة الى أقسام متساوية ، بحيث تشكل هذه األقسام كسورا ميكن تنبيه الطالب اليها، مثال في الشكل :

مترين 37 ص 14لونوا أقسام املستطيل في )ج( كل واحد بلون، وانظروا النتيجة.

4

توسيع الكسور واختزالها

خلفية: ص 18تعلم الطالب في الصف الرابع أن للكسر الواحد أسماء أو صورا كثيرة.فالنصف هو 2/4، وهو

5/10. وقد رأى الطالب ذلك بطريقة محسوسة عن طريق األشكال والرسم.وكانت تلك مقدمة ملا سيتعلمونه من اختزال الكسور وتوسيعها في الصف اخلامس.االختزال الذي نعني به قسمة بسط

ومقام الكسر على نفس العدد. والتوسيع الذي يتم بضرب بسط ومقام الكسر بنفس العدد.

مترين 2:ص 18جميع الكسور التي تظهر في هذا التمرين هي كسور بسيطة من املفروض أن يكون الطالب عارفا بالعالقة

بينها مما يعرفه سابقا عن الكسور. أما الطريقة التقليدية الختزال وتوسيع الكسور فسوف يتم تناولها الحقا.

فعالية: ص 19وصف التوسيع هندسيا: مربعات التقسيم

نطلب من الطالب أن يعبروا هندسيا، بواسطة مستطيل عن الكسر 5/ 3. نستمع الى إجاباتهم. ثم نتفق معهم على رسم مستطيل مقسم الى 5 أقسام متساوية، 3 منها مظللة.

نطلب منهم توسيع الكسر، عن طريق ضرب بسطه ومقامه بـ 4 مثال.نتفق معهم أن الكسر الناجت هو .12/20

نطلب منهم أن يعبروا عن هذا التوسيع هندسيا، اعتمادا على الشكل السابق.نستمع الى إجاباتهم ونتفق معهم، أن ذلك يكون بتقسيم املستطيل أفقيا الى 5 أقسام:

5

مترين 6: ص 20املقصود أن يرى الطالب في هذا التمرين أن الكسر 1/2 اهو 2/4 مرة )بقدر األجزاء امللونة(، و 3/6

مرة ثانية .. الخ

فعالية ص 21يسجل املعلم/ة مجموعة من الكسور يضعها في إطار، نفرض املجموعة هي 2/14، 2/10،

.1/5 .4/28 ،2/3 ،10/12 ،25/30 ،1/8 ،3/24 ،4/6 ،50/100 ،6/12ثم يعطي كسرا مثال 5/6 ويطلب من الطالب أن يجدوا جميع الكسور املساوية )املكافئة( لهذا الكسر.ميكن تقسيم الصف الى 5 مجموعات، وتعطى كل مجموعة كسرا واحدا ، ويطلب منها أن جتد جميع

الكسور املكافئة لهذا الكسر من داخل مجموعة الكسور األولى.

مترين 9 ص 21إرشاد لـ )أ(. نبني أوال مستطيال ونقسمه أفقيا الى 3 أقسام متساوية، ونلون قسمني من ال3 أقسام .

اخلطوة التالية هي أن نقسم عموديا هذا املستطيل الى 3 أقسام متساوية، لتصبح األقسام امللونة فيه 6/9.ملاذا 3 أقسام متساوية؟ ألن توسيع الكسر 2/3 جرى عن طريق مضاعفة البسط واملقام 3 مرات.

فعالية ص 22لكي نري الطالب تساوي الكسور املتكافئة، مثال 1/2 و2/4 مثال، نستطيع أن نأخذ ورقتني من نفس

املساحة .نطوي واحدة من الورقتني في املنتصف أفقيا. ثم نعيد فتحها ليظهر أنها قسمت الى قسمني متساويني. ثم نطوي الورقة الثانية في املنتصف مرة واحدة أفقيا، ثم نطويها مرة أخرى في املنتصف أفقيا،

وهي ال تزال مطوية ونفتحها لكي يظهر أنها قسمت الى 4 أقسام متساوية كل قسم هو 1/4. وبوضع الورقتني إحداهما فوق األخرى يرى الطالب أن نصف الورقة األولى هو في احلقيقة ربعا الورقة الثانية.

1/41/41/4

1/4

1/2

1/2

نستطيع أن نطوي الورقتني عموديا في املنتصف من أجل أن نري الطالب العالقات بني األرباع واألثمان .. الخ

6

اصطالحات: ص 23- نسمي الكسرين 1/3 و 2/6 كسرين متكافئني. الكسران املتكافئان هما في احلقيقة كسران

متساويان، وقد حصلنا على الواحد من اآلخر إما بواسطة اإلختزال أو بواسطة التوسيع.

- نسمى الكسر مختزال اذا لم يعد باالمكان اختزاله أكثر، أي اذا كان العامل املشترك الوحيد بني بسطه ومقامه هو العدد 1 فقط.

- "عامل التوسيع" هو العدد الذي نضرب به بسط ومقام كسر، لنحصل على صورة موسعة للكسر. وعكسه "عامل االختزال": العدد الذي نقسم عليه بسط ومقام الكسر للحصول على صورة مختزلة

للكسر.- الكسر احلقيقي )أو الفعلي proper fraction( هو الكسر األصغر من 1، بينما الكسر غير احلقيقي

)fraction( improper هو الكسر األكبر من 1. فمثال 5/3 هو كسر غير حقيقي )غير فعلي(. وكل كسر كهذا ميكن كتابته كعدد مخلوط.

- العدد املخلوط هو العدد املؤلف من عدد صحيح وكسر.

هو عدد مخلوط.في احلقيقة كل كسر هو عدد مخلوط،فالكسر 1/2 هو 1/2 + 0، 18

1 مثال اال اذا اشترطنا أن ال يكون العدد الصحيح في العدد املخلوط صفرا.

وكل عدد مخلوط ميكن كتابته ككسر أكبر من 1. - يستعمل بعض املؤلفني اصطالح "العدد الكسري" للداللة على العدد املخلوط، أو الكسر غير

احلقيقي )غير الفعلي(.وقد رأيت أن نستغني عن هذا االصطالح ما دام اصطالح العدد املخلوط يغني عنه.

7

إختزال الكسور

خلفية: ص 26ميكننا أن نعطي إسما آخر الختزال الكسور وهو "تبسيط الكسور" وهو ما يوضح أهمية اختزال الكسور،

فاختزال كسر عادة ما يعني تبسيط هذا الكسر، فمثال 50/200 هي 1/4 وهذا أبسط.اختزال الكسور في الصف اخلامس يجري بطريقة منهجية، أي أننا نقسم البسط واملقام على نفس العدد

)عامل اإلختزال( الذي يقسم عليه كالهما. فاذا لم يوجد مثل هذا العامل، مثال في الكسر 13/20، فإن الكسر ال ميكن اختزاله، وصورته هذه تكون أبسط صورة له.

من املفضل أن يراجع املعلم مع الطالب العوامل املشتركة التي يقسم عليها عددان هما البسط واملقام في هذه احلالة.

فعالية: ص 27نحضر مجموعتني من البطاقات. في املجموعة األولى بطاقات كتبت عليها كسور مختزلة. ) الكسر املختزل هو الكسر الذي ال يوجد قاسم مشترك بني بسطه ومقامه، ما عدا العدد 1. فمثال: الكسور

3/6 هي كسور غير مختزلة(. ،5/10 ،2/4 بينما الكسور 2 هي كسور مختزلة، /5 ،1/4 ،1/2في املجموعة الثانية بطاقات من الكسور غير املختزلة، بحيث يقابل كل كسر مختزل في املجموعة األولى

مجموعة من الكسور غير املختزلة في املجموعة الثانية. يسحب الطالب بطاقة من كل مجموعة،ويرى إن كان الكسران متساويني،فإذا كانا متساويني، احتفظ بهما، واال كان عليه أن يعيدهما. الرابح هو من

يجمع أكبر عدد من البطاقات.

فعالية: ص 28ملاذا 1/2 يساوي 3/6؟

ميكن أن نفسر ملاذا 1/2 يساوي 3/6 ، بدون احلاجة الى الرسم، أو االختزال. نقول أن 3/6 هي نصف الـ 6/6، ولكن 6/6 هو 1. ولذلك فإن 3/6 هي نصف العدد 1، أي تساوي 1/2.

نعطي للطالب أن يفسروا لنا، ملاذا كان 1/2 يساوي 4/8، أو ملاذا كان 1/5 يساوي 2/10. )2/10 هو خمس 10/10 وهذه تساوي 1( .. وهكذا.

فعالية: ص 30الكسور املختزلة

يكتب املعلم/ة على مجموعة من البطاقات كسورا مختزلة وأخرى غير مختزلة. يسحب الطالب كسرا بشكل عشوائي من املجموعة وعليه زن يقرر إن كان مختزال أو ال.

بعد ذلك يسأل الطالب عما مييز الكسور املختزلة. فمثال كسور الوحدة هي جميعها كسور مختزلة. كذلك الكسور التي ال يوجد عامل مشترك بني بسطها ومقامها غير العدد 1 . أي التي يكون بسطها

ومقامها عددين غريبني.

8

مترين 6: ص 31ليس معنى ذلك أن كل كسر فيه البسط واملقام عددان كبيران هو كسر قابل لالختزال. فمثال الكسر

51 غير قابل لالختزال ولو مرة واحدة. /100

توحيد عاملي االختزال ص 31نستطيع توحيد عاملي االختزال في عامل واحد، ففي )أ( عامال االختزال هما 9 و 5، وميكن

توحيدهما بـ 45، أي من املمكن اختزال الكسر مرة واحدة بقسمة بسطه ومقامه على 45، واحلصول على نفس النتيجة.

مترين 11 ص 33إرشادات)أ( ماذا تتوقعون أن يكون العامل املشترك لعددين زوجيني؟)ب( فكروا في كسر بسطه 12 ومقامه 3 ، هل هو مختزل؟

)ج(فكروا في كسر بسطه 7 ومقامه 21 هل هو مختزل؟)هـ( هل وجدمت عامال مشتركا للعددين 100 و 101؟

خلفية: ص34عرف الطالب حتى االن معنيني إثنني للكسر، وهما الكسر كجزء من الواحد الصحيح، والكسر

كجزء من كمية. لم ير الطالب في الكسر حتى اآلن ما تعودنا عليه نحن الكبار من معنى ثالث وهو نتيجة قسمة عددين صحيحني.و 4/5 في قصة جحا حتمل معنيني مختلفني. املعنى األول )اجلديد(

هو نتيجة قسمة 4 على 5 )5 ÷ 4 ، متاما كما نقسم 5 ÷ 20 (. واملعنى الثاني لـ 4/5 هو املعنى الذي يعرفه الطالب حتى اآلن،

وهو 4 أجزاء من خمسة أجزاء متساوية.وقصة جحا إمنا توحد بني هذين املعنيني. ومبعنى آخر أن عالمة الكسر )-( التي تفصل البسط عن املقام في الكسر، هي نفسها العالمة ÷ في مترين القسمة.

الكسر كنتيجة قسمة عددين صحيحني

9

مترين1 ، 2: ص 35قبل تعلم إجراء الطريقة البسيطة في احلساب والتي تقول أن ما يأخذه كل ولد هو 4÷3،فإننا قد

جنعل القسمة مباشرة وعملية، بأن نقسم كل واحد من الواح الشيكوالتة بني الـ 4 أوالد على حدة. ومعنى ذلك أن كل واحد من األوالد يحصل على 1/4 لوح عند تقسيم كل واحد من األلواح . فاذا جمع هذه األرباع الثالثة فإنه سيكون

قد حصل على 3/4 اللوح من الشيكوالتة.من املفيد أن يقوم املعلم/ة بإجراء هذه القسمة كفعالية على الواح شيكوالتة حقيقية، أو ما شابه.

في مترين 2 ميكن تقسيم كل رغيف بيتسا على حدة الى 4 أقسام، ثم جمع حصة الولد الواحد، كما في مترين 1، أو تقسيم األرغفة الـ 4 األولى رغيفا لكل ولد، ثم تقسيم الرغيف اخلامس بني األربعة.

مترين 3: ص 35في هذا التمرين نقصد أن نبدأ باالستغناء عن الطريقة املباشرة والعملية لتقسيم البيتسا، أو الشيكوالتة )كما في التمرين السابق(، لصالح العملية احلسابية البسيطة التي جنريها بدون

االضطرار الى التقسيم الفعلي ألرغفة البيتسا. فنحن نعرف اجلواب بطريقة حسابية، بدون القيام بالتقسيم الفعلي للغرض.

مترين 4 ص 36املقصود بهذا التمرين أن

جنري عملية قسمة بسيطة،قسمة شفهية تعتمد على طريقة التوزيع حيث أن 5 هي ÷ 3

)3 + 2( ÷ 3 أي )3÷2( + )3÷3( أو )3÷2( + 1 ، فنكتب:

) والباقي 2 ( 1 = 3 ÷ 5أي أن نضع في كل ثالجة 1 كغم، والباقي 2 كغم تقسم على 3. أي 3 ÷ 2. ولكننا رأينا أن 3 ÷ 2 هي

2 )كما في قصة جحا(. وباختصار :3

5 ÷ 3 = 1 23

= 53

5 ÷ 3 = 53

ومن هنا فصاعدا سنكتب

مترين 8: ص 37املقصود بهذا التمرين أن يعرف الطالب كيف يتعامل مع املعطيات، وخصوصا أن مييز بني املقسوم

واملقسوم عليه.باإلضافه الى حل التمارين كما يجب.

مترين 15: ص 39ميزة الكسور األكبر من 1 أن بسطها أكبر من مقامها.وهذه الكسور ميكن كتابتها دائما كأعداد مخلوطة،

فيها عدد صحيح أكبر أو يساوي 1.أما الكسور األصغر من 1 )الكسور احلقيقية أو الفعلية( فيميزها بسطها األصغر من مقامها. فإذا تساوى البسط واملقام كان الكسر مساويا لـ 1.

هذه احلقائق ميكن تبيانها قبل الوصول الى النتيجة، أي قبل إجراء عملية القسمة نفسها، فاذا كان العدد املقسوم أكبر من املقسوم عليه، فإن النتيجة كسر أكبر من 1 .. الخ.

10

مترين 16: ص 39ميكن طبعا حل التمرين بطريقة ثالثة هي طريقة الرسم، كما فعلنا سابقا.

مترين 17 ص 41

الطريقة الثانية هي الطريقة املباشرة للتقسيم والتي سبق شرحها آنفا.)مترين 1(. األلوان املختلفة في الدائرة الرابعة تدل على حصة كل واحد من األشخاص في هذه الدائرة.

حزر فزر ص422، فمن أنا؟ 2 و3، املقام في القسم الكسري هو أنا عدد مخلوط، واقع بني العددين - 1

2 - أنا كسر بسيط أكبر من 1 . أنا أكبر من 5 وأصغر من 6، مقامي هو 12، وبسطي أقل من 62، فمن أنا؟

3.اذا كتبتني كعدد مخلوط جتد أن عددي 1. ومجموع أرقام بسطي أنا كسر بسيط أكبر من - 3الصحيح هو 2، ومقامي 100.فمن أنا؟

)جواب: 201/100(

مترين 19 ص 42حلل سؤال 19 حال سريعا، نقول أن اجلواب هو كسر بسطه عدد الدوائر، ومقامه عدد األقسام

املتساوية التي قسمت اليها كل دائرة.

11

مترين 1: ص 43لتحويل الكسر البسيط األكبر من 1، مثال 17/5 الى عدد مخلوط، ميكن عن طريق حتويل الكسر الى

مترين قسمة: ) 2(3= 5 ÷ 17، ومنه نكتب العدد املخلوط )2/5 ( 3 .أو نقول أن 17/5 فيها 15 خمسا هي 3 ، ويبقى خمسان.

أما التحول من العدد املخلوط، مثال )2/5(3، الى الكسر العادي، فيكون عن طريق ترجمة العدد 3 الى أخماس. في العدد 3 يوجد 15 خمسا، نضيف اليها 2/5 تصبح 17/5 .

من املهم أن ال نحول العدد املخلوط )2/5(3، عن طريق ضرب املقام 5 في العدد 3 واضافة البسط 2، فهذه الطريقة ال يعرفها الطالب بعد.

حتويل الكسر العادي الى عدد مخلوط وبالعكس

مترين 4 ص 45للتعبير بسرعة عن العدد املخلوط للشكل، نحسب عدد املستطيالت املظللة، فنجدها 9، ومبا أن في كل

مجموعة 4 مستطيالت، فإن الكسر املطلوب هو 9/4.طريقة أخرى أن الشكل مؤلف من مجموعتني كاملتني من املربعات الصغيرة، وربع مجموعة أخرى، أي

)1/4(2 أو 9/4 .

فعالية ص 44نحضر مجموعة من البطاقات والتي كتب على كل منها كسر من الكسور. نضعها مقلوبة بحيث ال ترى

الكسور املكتوبة على البطاقات.يسحب اثنان من الطالب كل واحد بطاقة، والذي يكون الكسر على بطاقته هو األكبر يكون الفائز.

يناقش الطالب أثناء اللعبة سبل املقارنة بني الكسور.

مترين 6 ص 46للتعبير عن الكسر 15/6 ، نأخذ مستطيال ونقسمه الى 6 أقسام متساوية. نرسم من هذا املستطيل عدة مستطيالت بحيث يصبح العدد الكلي لألقسام 18 )أكبر من 15( .نلون من هذه األقسام 15

قسما، فيظل 3 منها بدون تلوين. الشكل الذي حصلنا عليه يعبر عن الكسر 15/6

مترين 7 ص 46)د( ما رأيكم بالكسر 12/3 هل هو مختلط؟

)هـ( وهل ميكن تبسيط الكسر 5/8 أكثر؟

12

خلفية ص 47تعيني الكسور على محور األعداد يعطينا متثيال "بصريا" للكسور أكثر بساطة وسهولة لالستعمال من

متثيل هذه الكسور بواسطة دوائر وأجزاء دوائر أو مستطيالت .. الخ.في تعيني الكسور على محور األعداد نهتم اهتماما خاصا بطريقة تقسيم الوحدة على احملور )وهي

املسافة بني العدد 0 و1، أو بني أي عددين صحيحني متعاقبني(.، فإذا كنا نرغب بتعيني كسر مقامه 7 مثل .1 7 أقسام.كذلك نعطي بعض االهتمام لتعيني الكسور األكبر من 15/7 قسمنا الوحدة الى 4/7 أو

الكسور على محور األعداد

فعالية ص 48نطلب من الطالب أن يرسموا على دفاترهم محور أعداد، وأن يعينوا عليه النقاط التالية:

.3 ،2 ، 1 )1/2( ،1 ، 1/2 ،0- نسألهم كيف قرروا األبعاد بني النقاط التي عينوها؟

- نسألهم ان كان البعد بني 1/2 و 1 هو نفسه البعد بني 1و )1/2(1؟- نسألهم كيف ميكن أن نعني على احملور نقاطا أخرى بناء على ما مت تعيينه، مثال النقاط 3 و )1/2(3 ..

الخ.

مترين 2 ص 48لتعيني كسر أكبر من 1 مثل 7/3 فإننا نحول الكسر الى عدد مخلوط )1/3(2 ، ثم نقوم بتعيني الكسر

بعد قسمة املسافة بني 2 و 3 الى 3 أقسام متساوية.

0 1 2

وهناك طريقة أخرى بدون التحويل الى عدد مخلوط. فنحن نعرف أن 3/3 = 1، وأن 6/3 = 2، ولذلك فإن 7/3 تبعد 1/3 وحدة عن العدد 2 ميينا.

3

مترين 4 ص 50عند تعيني الكسر 8/5 نقسم كل وحدة على محور االعداد الى 5 أقسام متساوية.أما عند تعيني الكسر

15 قسما. 18/15 ،فإننا نقسم كل وحدة على محور األعداد الى في احلالة األولى نتخطى العدد 1 = 5/5 على محور األعداد ، ويبقى 3/5 الوحدة. بينما في احلالة

الثانية نتخطى العدد 1 = 15/15 على محور األعداد، ويبقى 3/15. من هنا كان الكسر األول أكبر.

13

مترين 6 ص 50طبعا هناك طريقة ثالثة إليجاد العددين الصحيحني اللذين يقع بينهما الكسر 23/6 وهي أن نحوله الى عدد

مخلوط )5/6(3، ونرى أن العددين الصحيحني املطلوبني هما 4 و 3 .

مترين 8 ص 50حلل مترين 8 نحسب اوال طول القطعة الواحدة بني كل عالمتني متعاقبتني على احملور. وهذه نعرفها من

قسمة الفرق بني العددين املعطيني على عدد القطع.

مقارنة الكسور - مراجعة

مترين 1عندما يتساوي بسطا كسرين، فإن الكسر األكبر هو صاحب املقام األصغر.

مترين 5الكسر 7/8 أكبر من الكسر 7/9 ، ومبا أن كالهما أصغر من 1، فإن 7/8 أقرب من العدد 1 من الكسر

االخر.ميكن التوصل الى نفس النتيجة عن طريق تعيني كال الكسرين على محور األعداد أيضا.

طريقة ثالثة هي القول أنه للوصول الى العدد 1 من 7/8 نحتاج الى 1/8 فقط، بينما نحتاج الى 2/9 للوصول من 7/9 الى العدد1،ومعلوم أن 2/9 أكبر من 1/8.

متى يكون الكسر قريبا من 1؟نسأل الطالب متى يكون الكسر قريبا من العدد 1؟ فإذا لم يتوصلوا الى اإلجابة بسرعة، نسألهم متى

يساوي الكسر 1؟ )عندما يكون البسط مساويا للمقام، وكالهما ال يساوي صفرا طبعا(. نعود للسؤال األول ونسمع إجاباتهم، ونتفق معهم أن الكسر يكون قريبا من 1 عندما يكون البسط قريبا من املقام. مثال

في الكسر 7/8.)ولكن ليس في الكسر 1/2 على الرغم من أن البسط قريب من املقام(.

متى يكون الكسر قريبا من0؟نسأل الطالب متى يكون الكسر قريبا من العدد 0؟ ونتفق معهم على أن ذلك يحدث كلما كبراملقام، بينما

بقي البسط ثابتا.

14

فعالية ص 55حبل الغسيل

يعلق املعلم/ة حبال بني كرسيني في الصف، وهذا احلبل سوف تعلق عليه بطاقات الكسور بالترتيب الصحيح. في الطرف األيسر من احلبل يعلق املعلم/ة بطاقة العدد 0، بواسطة ملقط غسيل، وعلى الطرف

األمين بطاقة العدد 1. توضع مجموعة من البطاقات مقلوبة على وجوهها فوق طاولة املعلم/ة ، بحيث كتب فوق كل بطاقة كسر أقل من 1، مثال 2/9، 3/4، 5/6 وهكذا .. كل طالب يخرج، يتناول بطاقة

عن الطاولة وعليه أن يعلقها في مكانها على حبل الغسيل، وبشكل تقريبي، بحيث يحافظ على تناسب الكسور فيما بينها. )مثال الكسر األكبرمن 1/2 يكون بعد منتصف احلبل بقليل(. الطالب اآلخرون

يناقشون صحة موضع البطاقة.

مقارنة الكسور بتوحيد املقامات

خلفية ص 54تعلم الطالب املقارنة بني الكسور، في حاالت خاصة، مثال كأن تكون البسوط متساوية، أو املقامات

متساوية في الكسور التي نقارن بينها. أو عندما نستطيع توسيع أحد الكسرين او اختزاله، فيتوحد املقامان في الكسرين.

في الصف اخلامس سوف يتعلم الطالب الطريقة الكالسيكية املعتمدة ملقارنة كسرين عن طريق توحيد مقاميهما )أي أيجاد مقام مشترك لهما( مثال لكسرين مثل 2/3 و 7/8، املقام املشترك هو 24.

فنوسع الكسر األول بضرب بسطه ومقامه في 8 ليصبح 16/24، ونوسع الثاني بضرب بسطه ومقامه في 3 ليصبح 21/24 بحيث يسهل بعدها املقارنة بينهما، أو جمعهما وطرحهما.

فعالية ص 56متواليات الكسور الناقصة

على أوراق، أو على بطاقات، نسجل مجموعة من متواليات الكسور التصاعدية أو التنازلية، متوالية واحدة على كل ورقة.أحد كسور املتوالية يكون ناقصا. مثال:)من اليسار الى اليمني(

1/2 ،5/8---،7/8 ،9/8

على اللوح نسجل جميع الكسور الناقصة جلميع املتواليات.نقسم الصف الى مجموعتني. أحد طالب املجموعة األولى يسحب ورقة سجلت عليها متوالية، وعلى مجموعته أن تعرف ان كانت املتوالية

تصاعدية أو تنازلية ، ثم أن تختار الكسر الناقص للمتوالية من الكسور املسجلة على اللوح.بعد ذلك ينتقل الدور الى املجموعة الثانية.

إقتراح متواليات أخرى:)من اليسار الى اليمني(10/10 ،7/10

--- ،3/10 ،1/5أو:

2/3 ،5/9 ،1/9 ،3/3 ، -- ،7/9

15

فعالية ص 57نعطي للطالب مجموعة من البطاقات التي كتب على كل منها كسر واحد من الكسور. مثال: 5/8،

)2/6(1، 9/6. )2/3(2، 7/8، 12/9،7/4، ونطلب منهم أن يرتبوا هذه الكسورمن الصغير الى الكبير، وأن يفسروا الطريقة أو الطرق التي اتبعوها في ترتيبهم.

مترين 6 ص 58في مترين 6 املطلوب ايجاد مقام مشترك، وليس بالضرورة املقام املشترك البسيط )أي أصغر مقام

مشترك(.وعادة ما نستطيع ايجاد مقام مشترك بضرب مقامي الكسرين، فمثال املقام املشترك للكسرين في )أ( هو 24، ولكننا نستطيع أن جند مقاما أصغر منه هو 12.

خلفية: ص 59الطريقة التقليدية ملقارنة الكسور هي توحيد مقاماتها، أي جعلها متجانسة، وعندها يكفي مقارنة

بسوطها. ولكن هذه الطريقة قد تكون طويلة، وأحيانا تسهل مقارنة كسرين، من أول نظرة، وبدون استعمال طرق حسابية طويلة، مثال كأن نرى أن أحد الكسرين أكبر من 1 بينما الثاني أصغر من1. أو

عن طريق مقارنتهما بـ 1/2، أو اكمالهما لـ 1..الخ.

مقارنة الكسور - طرق متعددة

فعالية ص 60نحضر مجموعة من البطاقات، التي سجل على كل منها مترين جمع كسور.على مجموعة أخرى

من البطاقات،نسجل أجوبة التمارين في املجموعة األولى. جنعل الطالب يسحب بطاقة واحدة من مجموعة التمارين وبطاقة أخرى من مجموعة األجوبة، ويقرر إن كان اجلواب الذي خرج له يالئم

التمرين. فاذا كانا متالئمني أخذ البطاقتني واال اضطر الى إعادتهما.

مقارنة الكسور على محور األعداد: ص 61ملقارنة كسرين نفرض 1/7 و 5/11 ، ميكن رسم محوري أعداد تظهر فيهما الوحدة من من 0 الى 1،

نقسم الوحدة على احملور األول الى 7 أقسام،ونقسم الوحدة على احملور الثاني الى 11 قسما، ونقارن بني الكسرين عندما يوضع احملوران واحدا مبوازاة اآلخر.

0 1

10

16

فعالية ص62نطلب من الطالب أن يرسموا دائرة، وأن يقسموها حسب املعطيات التالية:

-3 /1 الدائرة مدهون باألزرق.- 1/6 الدائرة مدهون باألحمر.

- 5/12 من الدائرة مدهون باألخضر.- باقي الدائرة مدهون باألصفر.

ثم نسألهم: - أي قسم من الدائرة مدهون باألصفر؟

نسمع إجاباتهم، والطرق التي بواسطتها توصلوا اليها.نطلب منهم أن يحولوا الكسور املعطاة الى كسور مقامها 12.

خلفية ص 64 مقارنة األعداد املخلوطة قد تنتهي بفحص اجلزء الصحيح في كل واحد من العددين املخلوطني.

فإذا كان اجلزءان الصحيحان متساويني في الكسرين، التفتنا الى اجلزءين الكسريني. وملقارنة الكسور األكبر من 1 ، فإنه قد يكون من املفيد حتويلها الى أعداد مخلوطة، وإنهاء املقارنة مبجرد مقارنة األجزاء

الصحيحة في الكسور، اذا حالفنا احلظ، وكانت هذه األجزاء الصحيحة مختلفة.

مقارنة الكسور األكبر من 1

مترين 3 ص 66إليجاد كسر يقع بني كسرين نفرض 1/4 و 1/8 فإننا نوحد املقامات أوال، بحيث يصبح الفرق بني

البسطني أكبر من 1. وفي حالتنا نأخذ مقاما مشتركا هو 16، فيصبح الكسران: 4/16 و 2/16، واالن يسهل ايجاد كسر بني اإلثنني مثال 3/16 .

الحظوا أننا لم نأخذ مقاما مشتركا أبسط من 16 وهو 8، ألننا في هذه احلالة سنحصل على الكسرين 1 فقط، بحيث يصعب إدخال عدد صحيح آخر بني هذين 1/8، والفرق بني بسطيهما هو 2/8 و

البسطني.

17

مقارنة الكسور بواسطة الرسم:ص 67نعطي للطالب كسرين نفرض 4/5 ، 5/7، نطلب أن يقارنوا بينهما بواسطة الرسم. نطلب منهم ايجاد

املقام املشترك، وبعد أن يجدوه )35( ، نطلب أن يكتبوا الكسرين باملمقام املشترك: 28/35 و 25/35، نطلب أن يرسموا رسما ميثل الكسر األول، ورسما ثانيا ميثل الكسر الثاني، وأن يقارنوا األقسام امللونة في

كل منهما:

28/3525/35

مترين 8 + 9 ص 68 التنجرام TANGRAM هي لعبة صينية قدمية، وهي مؤلفة من لوحة على شكل مربع، وفيه قطع خشبية منفصلة،كما في

الشكل.يجري اللعب بالتنغرام مبحاولة تركيب القطع الصغيرة بحيث تتكون منها أشكال مختلفة.

يستطيع كل طالب أن يبني تنغراما بنفسه. الحظوا موقع النقاط: فالنقطة ب في منتصف القطر ح ط.والنقطة د في منتصف القطعة ح ب، والنقطة ج في منتصف ب ط، والنقطة و في منتصف ز هـ

ب

أ

هـ

ج

د

و

ز

ح

ط

شكل طائر ميكن تكوينه عن طريق قطع التنغرام الـ 7.

18

جمع وطرح الكسور - مراجعة

خلفية ص 70بعد أن تعلم الطالب إيجاد املقام املشترك، فإن جمع الكسور وطرحها يصبح عملية سهلة بالنسبة لهم.

أما ما عرفه الطالب في الصف الرابع عن جمع الكسور وطرحها، فهو جمع الكسور ذات املقام الواحد، أو ذات املقامات القريبة، مثال 1/2 + 1/4 ، أي عندما يكون واحد من املقامني هو من مضاعفات املقام

الثاني، أو من عائلته مثال: 1/8 + 12/ 5

مالحظة ص 71جمع الكسور املتجانسة

نستطيع تسهيل جمع الكسور املتجانسة، مثال عند جمع 3/9 + 4/9 أن نقول أننا هنا جنمع أتساعا، فـ 3 أتساع و4 أتساع هي 7 أتساع، متاما كما أن جمع 3 تفاحات و4 تفاحات هو 7 تفاحات.وأهم نصيحة

ممكن تقدميها للطالب هنا أن جمع أو طرح الكسور املتجانسة إمنا يشبه جمع وطرح األعداد الصحيحة. فكما أن

7 أتساع. 3 أتساع يساوي 4 أتساع + 7 كذلك فان 3 يساوي + 4

فعالية ص 71نعطي لكل طالب ورقة مستطيلة الشكل، ونطلب منهم أن يطووا الورقة، مرة، ومرة ثانية وثالثة، بحيث

يحصل كل منهم على الشكل :

نسأل الى كم جزء قسمت الورقة )8(. نطلب أن يلونوا قسما من األقسام، نسأل كم يشكل هذا القسم؟ )1/8(. نطلب أن يلونوا 3 أقسام أخرى بلون مختلف. نسأل ما هوالقسم امللون؟ )4/8(. كيف نكتب

مترين جمع للقسم امللون؟ 1/8 + 3/8 = 4/8

فعالية ص72في صندوق مغلق توضع بطاقات األرقام من 1 الى 9، أكثر من بطاقة لكل رقم. يجري اللعب بني

مجموعتني. تسحب املجموعة األولى 4 بطاقات، وعليها أن تكون منها كسرين، كل كسر منهما أصغر من 1، وأن جتمع الكسرين.يحسب وقت كل مجموعة في تركيب الكسور وجمعها.

- في تطوير آخر لهذه العملية يجري العمل على تكوين كسور أكبر من 1.- تطوير ثالث هو أن جترى عملية طرح بني الكسرين، بعد أن تقرر املجموعة من هو الكبير بينهما.

- في تطوير رابع للعبة يكتب عددان مخلوطان بأن تسحب املجموعة 6 بطاقات.

19

جمع وطرح الكسور عن طريق إيجاد املقام املشترك

خلفية ص 73هناك طريقة "تقليدية" إليجاد املقام املشترك البسيط لكسرين "غرييني"مثل 1/5 و 3/7 وهي ضرب

مقامي هذين الكسرين.)واملقام املشترك لهذين الكسرين هو 35(. واملقام املشترك للكسرين 2/10 ، 3/4 هو 40، حسب هذه الطريقة. طبعا هناك مقام مشترك أصغر

من 40 وهو 20، ولكن الطالب في الصف اخلامس غير مطالبني بايجاد أصغر مقام مشترك، في هذه املرحلة، حيث يحتاج ذلك الى حتليل كل واحد من املقامني الى عوامله األوليه، ثم ايجاد املقام املشترك

البسيط الذي يقسم على جميع العوامل األولية.فعالية: ص 74

وصفة الكعكةنعطي الطالب وصفة لتحضير كعكة، تتضمن املقادير التي نحتاجها لصنع الكعكة:

- نصف كأس من احلليب. - كأس ونصف من الدقيق.

- ثلث كأس من السكر.- بيضة واحدة.

- الخ ..نقول لهم أن هذه هي املقادير املطلوبة لتحضير كعكة واحدة، فما هي املقادير املطلوبة لتحضير كعكتني؟

قد يقول الطالب اننا نضرب في 2 ، ولكننا لم نتعلم ضرب الكسور حتى اآلن. ولذلك فإن علينا أن جنمع.وهكذا جنعلهم يفكرون في أهمية جمع الكسور وحاجتنا الى ذلك.

فعالية ص 75اجلمع بواسطة األشكال الهندسية

جلمع 1/6 + 2/3، يؤخذ مستطيالن أو دائرتان، ويقسم كل واحد الى 6 أقسام هي املقام املشترك لـ 3 و 6. وجنمع. 4 أقسام من الثاني 6 أقسام وفي املستطيل 6. نلون املستطيل األول قسما من

عند جمع كسور مختلطة مثل 1)5/9( + 2)1/3(

يؤخذ املقام املشترك لـ 3 و9 )وهو 9(، ويجري تقسيم دائرتني كل واحدة الى 9 أقسام متساوية.وباملثل اذا كان مترين اجلمع )أو الطرح( هو 2/5 + 1/3 ، فإنه يجري تقسيم دائرتني كل واحدة الى 15

قسما هي املقام املشترك لـ 3 و 5.

20

مترين 7 ص 76 أ - يجوز أن يارا قرأت في اليوم األول 4/9 الكتاب، هذا معناه

أنها قرأت في اليوم الثاني 1/9 الكتاب )فهي قرأت في اليوم األول أكثر من اليوم الثاني بـ 3/9(. ب - ال يصح أن تكون يارا قد قرأت في اليوم األول 2/7 الكتاب، ألن ذلك معناه أنها قرأت في اليوم

الثاني 1/3 - 2/7 وهذا ال يصح )اجلواب عدد سالب!(

ج - املطلوب كتابة كسرين الفرق بينهما 1/3 ومجموعهما ال يزيد عن 1د - 2/3 في اليوم األول و 1/3 قي اليوم الثاني.

جمع وطرح الكسور األكبر من 1

خلفية ص 78يتضمن هذا الفصل طرح كسور غير حقيقية، هي إما على شكل كسور عادية )بسيطة(، أو أعداد

مخلوطة، أو أعداد صحيحة. وفي كل األحوال، فإن حتويل الكسور الى كسور عادية، يسهل املسألة ويعيدنا الى ما يعرفه الطالب من إيجاد املقام املشترك.

ولكن قد نرغب عند طرح األعداد املخلوطة، مثال )1/2(4 - )1/3(5 بطرح األعداد الصحيحة أوال، أي 4 - 5 ، وهي طريقة قد توفر الوقت

واجلهد، بشرط أن يكون طرح الكسور في املطروح واملطروح منه سهال ميسرا كذلك. ولكن قد ال يكون األمر هكذا،عندما يكون الكسر في املطروح منه أصغر من الكسر في املطروح، وعندها علينا أن "نفرط" العدد الصحيح في العدد املطروح منه، ونضم وحدة واحدة منه للكسر، لكي يصبح أكبر من

الكسر في املطروح. وفي مثالنا يصبح التمرين:4)4/3( - 4)1/2(

مترين 3 ص 79نكتب التمرين

2/11 = ؟ - 1 هكذا:11/11 2/11 = ؟ -

وهذا يعني أن الكسر الناقص هو 9/11.ميكن أيضا تسجيل التمرين املكافيء:

؟ = 2/11 - 1

21

فعالية ص 79جدول طرح بالكسور نعطي ملجموعتني من الطالب اجلدول التالي، وهو جدول طرح.ونطلب من كل

مجموعة أن متأل اجلدول حسب القاعدة التالية:

- /51

2/7 1/4

1/3 2/15

1/2

3/5

مثال في العمود الثاني السطر الثاني نكتب ناجت الطرح:الثاني. الثاني والعمود النتيجة في تقاطع السطر 2/15 ، ونضع 1/3 والذي يساوي - 1/5

)الكسر باألخضر(.املجموعة الفائزة هي املجموعة التي تنهي العمل أوال.مالحظة:

في كل اجلدول 9 متارين طرح، وميكن تكوين كل مجموعة من 9 طالب، من أجل تقسيم العمل.

مترين 9 ص 81 إرشاد: ينبغي االهتمام اوال باألعداد الثالثة في العمود األول. ملاذا؟

حزر فزرإذا كان :

1

فإن:

?

حزر فزرإذا كان :

1

فإن:

?

حزر فزرإذا كان :

1

فإن:

?

22

الكسور العشرية - األعشار

خلفية ص 85هناك أكثر من طريقة لتقدمي الكسور العشرية للطالب، وقد اخترنا منها طريقة إيجاد منازل عشرية للكسور

أسوة باألعداد الصحيحة، فكما أن لألعداد الصحيحة منازل هي اآلحاد، العشرات، املئات .. الخ، كذلك للكسور منازل هي األعشار،أجزاء املئة، وأجزاء األلف.ويفصل بني الطرفني نقطة هي الفاصلة

العشرية.هناك طرق أخرى لتقدمي الكسر العشري،منها أن نقول أن احلاسبات جتد صعوبة في الكتابة العمودية

للكسور كبسط على مقام ،ولذلك فإنها تختار كتابة الكسور بشكل أفقي، كما األعداد الصحيحة. وتضع الفاصلة العشرية للتمييز بني املنازل العشرية واملنازل الصحيحة. هناك طريقة ثالثة تكون بادخال املعداد، والقول أننا ال نستطيع التعبير عن كسر مثل )2/10( 3 بواسطة املعداد، ولذلك فإننا مضطرون الى زيادة

عمود آخر على ميني عمود اآلحاد نضع فيه األعشار.وهناك طريقة رابعة وهي أن نقسم الوحدة )من0 لـ 1( على محور األعداد الى 10 أقسام، ونسجل حتت كل

قسم الكسر العشري الذي ميثله: 0.1، 0.2، .. بادئني بـ 0.0 الذي ميثل العدد 0. )أنظر الرسم في مترين 4( ثم نقوم بقسمة الوحدة الثانية على محور األعداد من 1 الى 2، الى 10 أقسام، ونكتب حتت نهاية كل قسم الكسر

الذي ميثله 1.1، 1.2، ... الخ.وهناك طريقة خامسة، وهي أن أن نأخذ مستطيال نقسمه الى 10 أقسام متساوية، نلون 3 أقسام، ونسجل

حتت املستطيل الكسر 3/10 أو 0.3. فاذا أردنا أن نكتب عددا عشريا، مؤلفا من عدد صحيح وكسر عشري مثال )4/10(2، مثلنا ذلك بـ 3 مستطيالت، إثنان منهما ملونان، والثالث لونا منه 4 أقسام فقط.

فعالية ص 88نطلب من الطالب أن يحضروا معهم الى املدرسة قطع من جرائد، أو مطبوعات أخرى كتبت عليها األعداد بطريقة الكسور العشرية. ميكنهم ايجاد هذه األعداد على امللصقات املوجودة على علب املنتوجات الغذائية

وما شابه.ميكن تأجيل هذه الفعالية حتى يتم تقدمي الكسور العشرية، حتى 3 منازل عشرية، أعشار، أجزاء املئة،

وأجزاء األلف.فعالية ص 88

نختار بشكل عشوائي عشر طال ب من طال ب الصف، ونسأل األسئلة التالية: - كم طالبا منهم يأتي إلى املدرسة مشيا على األقدام؟ )نفرض 4، فنكتب على اللوح 0.4(

- كم طالبا يأتي الى املدرسة بواسطة وسيلة نقل؟ )6، فنكتب 0.6(- كم طالبا شعره أسود .. الخ

23

فعالية ص 90نعطي لكل زوج من الطالب شريط من الورق بطول مسطرة تقريبا، وبطاقة صغيرة. املفروض أن طول

البطاقة هو 0.1 وحدة طول.وعلى الطالب أن يرقموا شريط الورق الطويل 0.1، 0.2، .. حتى يصلوا الى العدد 1، وذلك بواسطة نقل البطاقة. لتوفير شرائط الورق نستطيع استعمال شرائط الورق املرفقة

0.1باآلالت احلاسبة. 1.0

أجزاء املئة

مترين 6 ص 95إليجاد كسر يقع بني الكسرين 0.2 و 0.3، نكتب كال الكسرين هكذا:0.20 و 0.30، ونختار مثال

0.26 كسرا يحقق هذا الشرط.فعالية ص 95

نعطي للطالب كسرا عشريا، مثال 1.4 ونطلب منهم متثيلة بعدة طرق:1 - على محور األعداد.

2 - بواسطة الدوائر )تلوين دائرة و0.4 الدائرة من دائرتني(14 قسما منها. 10 أقسام وتلوين 3 - بواسطة مستطيل ، رسم مستطيلني كل منهما مقسم الى

4 - بواسطة الكسر العادي.مترين 10 ص 96

قد يظن الطالب أن عدد األعشار في العدد 1.77 هو 7 فقط، بسبب أن منزلة األعشار هي 7، والصحيح أن الرقم في منزلة العشرات هو 7.أما عدد األعشار فينبغي حسابه في العدد كله.وقد كنا نواجه خلطا مماثال عندما كنا نحسب عدد العشرات في العدد 177 مثال، وهو 17 عشرة. بينما منزلة العشرات في

هذا العدد هي 7.فعالية ص 97

متثيل الكسور العشرية عن طريق النقود

نستطيع متثيل الكسور العشرية بواسطة القطع النقدية املعدنية املتوفرة في بالدنا. فمثال هناك العشر أغورات وهي تشكل 0.1 الشيكل. وهناك الـ 5 أغورات، وهي تشكل 0.05 من الشيكل.

مثال لتمثيل 7.35 نحتاج الى 7 قطع نقدية من فئة الـ 1 شيكل و3 قطع نقدية من فئة الـ 10 أغورات، ثم قطعة واحدة من فئة الـ 5 أغورات.

ومبا أنه ال تتوفر قطع نقدية من فئة األغورة الواحدة، فإننا ال نستطيع مثال متثيل عدد عشري مثل 7.32

24

خلفية ص 101نستطيع تقدمي املنزلة العشرية الثالثة للطالب بطريقة أخرى، بأن نطلب منهم حتويل الكسر العادي 1/8 الى كسر عشري.طبعا ال نستطيع ذلك مبساعدة منزلتي األعشار وأجزاء املئة فقط، ألننا ال نستطيع كتابة

هذا الكسر ككسر مقامه 10، أو حتى 100، ولكننا نستطيع كتابته ككسر مقامه 1000، أي 125/1000 . ولذلك نحتاج ملنزلة عشرية ثالثة هي أجزاء الـ 1000 وعندها نكتب الـ 1/8 هكذا 0.125 .

ميكن احلديث عن طريقة أخرى، وهي تقسيم جزء املائة 0.01 على محور األعداد الى 10 أقسام جديدة كل منها 1/1000 ، أو 0.001 )واحد في األلف من الوحدة(.

أجزاء األلف

فعالية ص 102نكتب عددا على اللوح نفرض 235.189 ، نطلب من الطالب أن يقرأوا العدد كما هو مكتوب. نزيح الفاصلة الى اليمني منزلة

واحدة ليصبح 2351.89.ثم نطلب منهم أن يقرأوه بعد إزاحة الفاصلة.نزيح الفاصلة مجددا منزلة أخرى إلى اليمني ونطلب منهم قراءته وهكذا حتى تصبح الفاصلة العشرية بعد منزلة اآلحاد .235189

نقوم بفعالية مماثلة مع نفس العدد أو غيره عندما نزيح الفاصلة من اليمني الى اليسار.

مترين 4 ص 103أ - لتحويل الكسر العادي )البسيط( 1/125 الى كسر مقامه 1000، نضرب البسط واملقام في العدد 8. على ماذا نحصل؟

ب - لتحويل الكسر 1/40 الى كسرعشرين نضرب البسط واملقام بـ 25.د - لتحويل الكسر 3/8 الى كسر عشري ننظر الى املثال احمللول.

مترين 6 ص 106

ب - لكتابة كسر عشري بني الكسرين العشريني 1.3 و 1.4 فإننا نكتب الكسرين هكذا : 1.30 و 1.40، فال يعود من الصعب أن جند كسورا بني هذين الكسرين ، مثال : 1.35.

مترين 10 ص 106

نقترح أوال أن يكتب الطالب الكسرين العشريني املعطيني هكذا: 4.300 3.400 و

مالحظة ص 106نهتم أن يالحظ الطالب أن ال فرق بني الكسور الثالثة 0.3 و 0.30 و 0.300، نريهم ذلك بإرجاع هذه

الكسور الى كسور بسيطة 3/10 ، 30/100 ، 300/1000. وأننا نستطيع أن نتحول من أحدها الى اآلخر عن طريق التوسيع أو االختزال.

25

مترين 11 ص 107

نقصد بقيمة الرقم قيمته العددية التي يكتسبها الرقم من موقعه في العدد، وهو مفهوم عرفه الطالب عندما تعلموا عن األعداد الطبيعية، فمثال قيمة الرقم 2 في العدد 258 )وهي 200( تختلف عن قيمة

الرقم 2 في العدد 582 )وهي 2(.وباملثل فإن قيمة الرقم 3 في الكسر العشري 0.431 هي 3/100، وهي تختلف عن قيمة الرقم 3 في

الكسر العشري 0.213 )وهي 3/1000 (

خلفيةص 110

موضوع النسبة املئوية ليس موضوعا مركزيا في هذه املرحلة، وفي منهاج الصف اخلامس االبتدائي ذكر موضوع النسبة املئوية على هامش احلديث عن الكسور املئوية. والسبب أن الكسر كنسبة بني

عددين،سوف يؤجل الى السنة القادمة، حيث تدرس النسبة املئوية بشيء من التوسع..

فعاليةص 111

نأخذ مجموعة من األشكال الهندسية، نفرض مربعات أو دوائر، نلون أجزاء من هذه املربعات، ونسأل الطالب إن كان اجلزء امللون :أكبر من ٪50 أو أقل.

في تطوير آخر لهذه الفعالية نسأل إن كان ربع هذه املربعات ملونا، أو أكثر أو أقل.

26

جمع وطرح الكسور العشرية

خلفيةص 112

قبل أن نبدأ بجمع الكسور العشرية بطريقة اجلمع العمودي، فإننا نتبع قبل ذلك طريقة "بدائية" للجمع وهي أن نحول الكسور العشرية الى كسور عادية، فنجمعها أو نطرحها ككسور عادية، ثم نردها بعد

احلصول على نتيجة الى الكسور العشرية.في أسئلة هذا الفصل، نأمل من الطالب أن يعتمدوا على البديهة أيضا في جمع كسرين عشريني مثل 0.3

0.2 +أو لطرح 0.4 - 3

وفي جمع 0.75 + 0.25 نعتمد على البديهة أيضا في التوصل الى اجلواب 1.00 أي 1.

فعاليةص 113

جلمع كسرين عشريني مثال 0.35 + 0.25، فإننا نأخذ مربعا مقسما الى 100 مربع صغير، ثم نلون منه 25 مربعا صغيرا، ونتبعها بتلوين 35 مربعا صغيرا آخر، ثم نرى النتيجة )60 مربعا صغيرا ملونا(، وهي

نتيجة لو كتبت ككسر عشري لكانت تساوي 0.60.

فعالية ص 115نختار بشكل عشوائي عشر طالب من طالب الصف، كما في فعالية سابقة، نسأل عن عدد الطالب من

بينهم من الذين لون شعرهم أسود مثال، ونفرض أن اجلواب 4، نكتب اجلواب بشكل عدد عشري 0.4. نسأل كم عدد الطالب الذين لون شعرهم ليس أسود، فيكون اجلواب 6، نكتبه بشكل كسر عشري 0.6،

ونكتبه عن طريق عملية طرح هكذا: 1 - 0.4 = 0.6

نسأل أسئلةأخرى نحلها على نفس املبدأ .في تطوير آخر لهذه الفعالية نطلب من الطالب أن يعملوا بحثا مشابها ، ويكتبوا أسئلة مشابهة على

مجموعة أشياء تضم 100 من العناصر.

27

فعالية ص 116نقيس أطوال 5 من طالب الصف بشكل عشوائي. نضع النتائج في جدول:

الطول االسم

1.12م وجيه

1.40م رفيق

1.12م ناهي

1.31م فاديا

1.02م إكرام

نسأل أسئلة مثل:- من هم أطول 3 طالب في اجلدول؟

- ما الفرق في الطول بني أطول واحد في اجلدول وأقصر واحد؟- ما الفرق في الطول بني فاديا ووجيه؟ ..الخ

فعالية ص 117نسجل على اللوح مترين جمع بأعداد طبيعية، مثال 312 + 145 ، نطلب من الطالب أن يضعوا الفواصل

العشرية في العددين بحيث يكون حاصل اجلمع عددا واقعا بني 20 و 30 )احلل: 3.12 + 14.5(.أو يكون أكبر من 100 ... الخ(

مالحظة ص 118مبدأ أو آلية الفرط في طرح األعداد الطبيعية صحيحة أيضا في األعداد العشرية، ليس فقط بني املنازل

العشرية فيما بينها، بل أيضا حني نضطر لفرط عدد صحيح من منزلة اآلحاد "لدعم" منزلة األعشار.أي أننا وكما يقال عادة، "نستلف" ملنزلة األعشار من منزلة اآلحاد ، متاما كما نستلف من منزلة صحيحة

ملنزلة صحيحة قبلها.

28

نطلب من الطالب أن يجيبوا عن األسئلة:- ما الفرق بني أعلى وأدنى نتيجة في القفز العالي بني النتائج املدونة؟

- ما الفرق بني نتيجة سنة 2004 و2000؟

فعاليةنلقي على الطالب مهمة تسجيل نتائج األلعاب األولومبية في القفز العالي ، في آخر 5 مرات.

واملعروف أن األلعاب األوملبية تقام مرة كل 4 سنوات، وفيها تعطى اجلوائز للمتسابقني في كثير من فروع الرياضة، كالركض للمسافات القصيرة والطويلة ورمي القرص والقفز .. الخ.

يستطيع الطالب أن يستخرجوا املعلومات املطلوبة من االنترنت، وأن يرتبوها في جدول:

الرقم القياسي

السنة

1992

1996

2000

2004

2008

فعالية ص 120عدد املنازل

في الكسر العشريما عدد املنازل الكسرية في الكسر البسيط )العادي( 9/100؟

نحول هذا الكسر الى كسر عشري 0.09. نسأل الطالب كم عدد املنازل الكسرية؟ )اجلواب 2( نسألهم كيف نستطيع أن نعرف اجلواب بدون حتويل الكسر العادي الى كسر عشري؟ )عدد األصفار في

العدد 100(.نسألهم كم عدد املنازل الكسرية في العدد 56/1000 )اجلواب:3(.

- كيف عرفتم اجلواب؟- من عدد األصفار في املقام.

- كيف ميكن أن نكتب الكسر العشري، بناء على هذه املعلومات؟ )جواب: 0.056(. ونعرف ذلك بسبب أنه ينبغي أن يكون 3 منازل كسرية في الكسر العشري املساوي للكسر العادي 56/1000

مالحظة: نعني باملنازل الكسرية، املنازل بعد الفاصلة العشرية بعد حتويل الكسر العادي الى كسر عشري،وبدون اضافة أصفار، فعدد املنازل الكسرية في 0.12 هو 2 وليس 3 ، حتى لو أضفنا 0 ، كما

في 0.120.

29

فعالية ص 122نفرض أننا نرغب بإضافة شريط الصق على حواف شبابيك غرفة الصف. علينا قياس حواف هذه

الشبابيك بواسطة مسطرة طويلة، ثم جمعها لتوفير الشريط الالزم.- في البداية يرسم الطالب صورة أولية للشباك على ورقة، يظهر فيه شكله املربع أو املستطيل.

- يقيس طول الشباك احلقيقي وعرضه ويسجل ذلك على األوراق باألمتار.- يحسب محيط الشباك بجمع الطول والعرض، ثم جمع النتيجة الى نفسها ليحصل على احمليط.

التقدير والتقريب في الكسور

خلفية ص 123يعرف الطالب من مراحل سابقة مبدأي التقريب والتقدير في األعداد الطبيعية. ويعرف عالقة هذين

املبدأين أحدهما باآلخر. فلتقدير نتيجة التمرين 201 + 98 نقرب العددين الى 200 و100، ثم نقوم بعملية اجلمع، التي ال تعطينا جوابا دقيقا )اجلواب الدقيق 299(، ولكنها تعطينا جوابا مقربا )300( يفي

بحاجتنا لعملية اجلمع أصال.ويفيدنا تقدير النتيجة على هذه الصورة في االبتعاد عن خطأ محتمل. فتقديرنا للجواب قبل إجراء العملية

احلسابية، يجعلنا نتوقع النتيجة في حدود معينة، لو تعداها لعرفنا أن جوابنا غير صحيح. وإذا كان مبدأ التقدير مهم في األعداد الطبيعية الكبيرة، فإنه قد يكون أكثر أهمية في التعامل مع الكسور،

حيث أن موقع الفاصلة العشرية، وكثرة املنازل العشرية قد يؤدي الى البلبلة أحيانا.

خلفية ص 124تقريب الكسور الى أعداد صحيحة

مبدأ التقريب في األعداد العشرية هو نفسه مبدأ مبدأ التقريب في األعداد الطبيعية.ويفيدنا هذا املبدأ في التخلص من اجلزء الكسري من العدد لو أردنا.فنحن نقرب العدد 11.2 مثال الى 11، مهملني اجلزء

الكسري 0.2 اذا كان ذلك يفي بحاجاتنا. وقد نقرب العدد العشري 11.9 الى العدد 12 ألن هذا أقرب للصواب في حاالت أخرى.

وميكن انشاء فعالية كهذه يقوم فيها الطالب بتحويل األعداد العشرية الى أعداد صحيحة:55 55.12 الى

103 102.69 الى 458 458.258 الى

0 0.01 الى وهكذا ..

30

مترين 6 ص 125ميكن إقناع الطالب بخطأ كالم مجد بالنظر مباشرة الى خطأ النتيجة التي توصل اليها.ذلك أن 0.9 ليس

أصغر من 0.12 ميكن كذلك اخلروج باستنتاج أو قاعدة: إذا كان عدد طبيعي ما مساويا لعدد طبيعي آخر، أو أكبر أو

أصغر، فإن وضع الفاصلة العشرية في العدد األول في نفس املوضع الذي توضع فيه في العدد الثاني، يجعل العددين في نفس الوضع من حيث املساواة أو التباين.وهي نفس القاعدة في مثال نادر، أو مثال

حسني.

خطأ شائع ص 127إن إحدى األخطاء الشائعة هو أن كبر العدد يتوقف على عدد املنازل فيه. وإذا كانت هذه القاعدة

صحيحة بالنسبة الى األعداد الطبيعية، فإنها غير صحيحة بالنسبة للكسور العشرية. فالعدد 2.125 أصغر من 6.4 على الرغم من أن عدد منازل األول أكبر من عدد منازل الثاني.

فعالية ص 128بني مجموعتني من الطالب جترى املسابقة التالية:

لكل مجموعة يعطى نفس العدد من متارين جمع وطرح األعداد العشرية، وعلى املجموعة أن تقدر بدون حل جواب كل مترين.

بعد أن تسلم إجابات الفربقني، جتري مناقشة األجوبة، قربها وبعدها عن الصواب.ثم يجري حل التمارين حال دقيقا، ويسجل الفرق بني اجلواب الدقيق واجلواب املقرب.جتمع فروق كل فريق،

ويقارن بينها. حيث يكون الفريق الذي مجموع فروقه أقل هو الرابح.

نيواب

اجلني

ق بفر

اليق

دقب ال

جلواا

بقر

ب املجلوا

اال

سؤم ال

رق 1 2 .. 10

وقفر

ع المو

مج

31

متارين إضافية للمراجعة

مترين 4 ص 131تقريب العدد الى منزلتني بعد الفاصلة العشرية، نعني به التقريب الى منزلة أجزاء املئة، ويكون ذلك

طبعا باالستغناء عن املنزلة التي بعدها،أي منزلة أجزاء األلف،وترك العدد كما هو بدونها، إذا كانت أقل من 5، أو زيادة منزلة أجزاء املئة بـ 1،اذا كانت أكبر أو تساوي 5.فمثال:

3.46 3.457 تقرب الى 3.45 3.452 تقرب الى

32

خلفية ص 133يعتبر هذا الفصل مراجعة طرق إجراء العمليات احلسابية الثالث اجلمع الطرح الضرب على األعداد

الطبيعية الكبيرة. أما القسمة فسوف تترك لفصل قادم ،حيث سيجري توسيع القسمة لتشمل القسمة الطويلةعلى عدد ثنائي املنزلة.

تشتمل هذه املراجعة على العمليات الثالث املذكورة استعمال األقواس، وترتيب العمليات احلسابية، كذلك يصار الى التركيز على ما يعرف باإلدراك العددي.

نالحظ كذلك أنه وألول مرة ال نتناول فصال مستقال عن "التعرف على األعداد الطبيعية"، بسبب أن منهاج الرياضيات للصف اخلامس يفترض أن الطالب في هذه املرحلة على دراية باألعداد الطبيعية حتى

مليون، بحيث لم تعد هناك حاجة لتوسيع مجال األعداد الطبيعية، كما جرى في الصفوف من األول حتى الرابع.

الفصل الثاني

العمليات احلسابية

على األعداد الطبيعية

مترين 4 ص 134من املمكن حل هذا التمرين شفهيا، اذا اهتم الطالب بطرح املنازل املالئمة على الترتيب.خصوصا وأن

كل منزلة في املطروح منه أكبر من املنزلة التي تقابلها في العدد املطروح.

مترين 5 ص 134يعتمد حل هذا التمرين على خاصة الضرب مبضاعفات العدد 10. في مثل هذا التمرين نذكر الطالب

أننا "نضيف" األصفار على ميني اجلواب بعد ضرب العددين 2 و 7.

مترين 7 ص 134هذا التمرين يعيدنا الى خاصة التوزيع، وكيف أن الضرب يتوزع على اجلمع.

مترين 6 ص 134كل مترين قسمة ميكن حتويله الى مترين ضرب مكافيء.

33

اجلمع والطرح عموديا

فعالية ص 137نطلب من الطالب أن يجدوا عددين يكمالن بعضهما بعضا لـ 1000، أو 10000، أو 100000.

وقد نبدأ بالعدد 100 لتسهيل احلساب )مثال 45 و 55(.ميكن أن نطلب أن يكون العددان مكونني من نفس العدد من املنازل، أو من عدد مختلف من املنازل )في

حالة الـ 100 جند 98 و 2(.

فعالية ص 137يكتب املعلم/ة قائمة طويلة تضم أكثر من 10 مدن وقرى مع عدد سكانها. مثال:

حيفا: 250،000 شفاعمرو: 50،000 طمرة : 30،000، وهكذا .. ويطلب من الطالب أن يصنفوا هذه املدن. ويدور نقاش بينهم حسب أي مقياس قد صنفوا املدن، حني

يكون الهدف تصنيفها الى مدن عدد سكانها أقل من 10000، مدن عدد سكانها بني 10000 و20000، وهكذا ..

نستطيع طبعا أن نطور هذه الفعالية، بحيث نسأل أسئلة مثل: ماهي أكبر مدينة في املجموعة من حيث عدد السكان؟

ماهي املدينة التي يزيد عدد سكانها عن 200،000 وهكذا ..

فعالية ص138بني مجموعتني من الطالب جنري املسابقة التالية:

تختار واحدة من املجموعتني عددا في مجال الـ 10000 )مثال 3500(، على املجموعة الثانية أن جتد عددا مؤلفا من عدد مختلف من املنازل بحيث لو جمع العددان لكان اجلواب يساوي 10000 أو أقرب اليه من

العدد األول )3500(. )مثال 999، وال ميكن أخذ 6500 ، ألن هذا العدد مؤلف من نفس عدد منازل العدد 3500(.

لقد أصبح مجموع العددين اآلن 4499، وعلى املجموعة األولى أن جتد عددا بعدد منازل مختلف عن 999، بحيث لو جمعنا العددين لكانت النتيجة 10000 أو عددا أقرب اليه من العدد 4499 )مثال

5000(. اآلن أصبح مجموع العددين 4499 و 50000 هو 9499، على املجموعة األخرى أن جتد عددا يوصلها للـ 10000، بحيث أن عدد منازله يختلف عن عدد منازل 5000 )مثال 501( ، وقد أصبح العدد

اآلن 10000. والفرقة التي تصل أوال الى العدد 10000هي الفائزة.

34

فعالية ص 139ميكن إجراء الفعالية السابقة بطريقة مكافئة كالتالي:

يختار املعلم/ة عددا في مجال الـ 10000، وعلى الطالب أن يكتبوا أعدادا مجموعها )مع العدد األول( هو 10000.

مثال لو اختار املعلم/ة العدد 5000، ألمكن إضافة األعداد التالية:5000 ،900 ،4100

أو لو كان العدد األول: 8000، لكانت األعداد:8000 ،900 ،1100

الحظوا أن الشرط بأن يكون العدد التالي مختلفا بعدد املنازل عن العدد الذي قبله،ال يزال قائما.

مالحظة ص 139نذكر الطالب أن مبدأ اجلمع أو الطرح العموديني ال يتغير مهما كبرت أو صغرت األعداد.

مالحظة ص 140هناك الكثير من الفعاليات التي تختص بهذا الفصل عن األعداد الطبيعية في كتابي الصفني الثالث والرابع

من سلسلة بواكير، ميكن الرجوع اليها.

املليار ص 140املليار أو املليارد هو ألف مليون. ويكتب بـ 9 أصفار بعد الرقم 1: 1،000،000،000

ويقال بليون أيضا، للداللة على املليار.

جمع وطرح األعداد 100،10، 1000..

مالحظة ص 143لألعداد 10، 100، 1000، ... الخ "معاملة" خاصة في النظام العشري، ليس في الضرب فقط، بل

في اجلمع والطرح أيضا، فلكي جنمع 1000 للعدد 745819 نزيد بـ 1 رقم االالف في العدد 745819 وهو الرقم 5، ليصبح 6، وليصبح العدد 745819 بعد اجلمع 746819 .

الحظوا أن هذا األمر صحيح عند جمع مضاعفات العدد 1000 أيضا، فإذا رغبنا بجمع 4000 للعدد املذكور، فإننا نزيد 4 لرقم اآلالف في العدد ليصبح 749819

35

اجلمع باستعمال الطريقة املوسعة

مالحظة ص 144يعرف الطالب ما يسمى بالطريقة املوسعة لكتابة األعداد ، من مراحل سابقة.وهي الطريقة التي نكتب

العدد فيها كحاصل جمع مجموعة من األعداد، اعتمادا على القيمة العددية ملنازل العدد. فمثال العدد 569 نكتبه هكذا:

. 500 + 60 + 9

مترين 3 ص 145لكتابة مترين تكون نتيجته وسطا بني التمرينني املعطيني يكفي أن نختار كمضاف ثان في عملية اجلمع،

عددا بني العددين 8251 و 8451، مثال 8351، مع بقاء املضاف األول ثابتا.)ميكن كذلك أن نقوم بتغيير املضاف األول بنفس الطريقة(

مالحظات ص 146في مترين 2 نراجع قانون أو خاصة التبادل في الضرب في األعداد الطبيعية.

الضرب بأعداد كبيرة

مالحظات ص 147في مترين 6 نراجع مع الطالب خاصة التوزيع. في متربن 8 و 9 خاصة الضرب في العدد 0. في مترين نتذكر

خاصة الضرب في 1000.

36

خلفية ص 148يعتبر هذا الفصل مراجعة للدروس التي تعلمها الطالب عن ضرب األعداد الطبيعية الكبيرة بعدد

أحادي املنزلة، وإعمال احلمل في هذه احلالة أيضا.وهو حمل قد يكون في أكثر من منزلة.أما تقدير اجلواب فيجري في تقريبها أوال الى أقرب 10 أو 100 أو 1000 .. الخ، مبا يسهل عملية

الضرب شفهيا. ثم مقارنة اجلواب الشفهي مع اجلواب الدقيق، لنرى أن الفرق بني االثنني متوقع.

الضرب بعدد أحادي املنزلة

خلفية ص 151الضرب عموديا في عدد ثنائي املنزلة هو ضرب عمودي مزدوج، مرة نضرب العدد في منزلة اآلحاد )

115 ضرب 2 ، في املثال(، واملرة الثانية نضربه في منزلة العشرات )115 ضرب 3(.ثم جنمع النتيجتني، كما ينص قانون التوزيع.

نالحظ أننا عند ضربنا في 3 نزيح النتيجة منزلة واحدة الي اليسار، والسبب أننا نضرب حقيقة في 30 وليس في 3. وهناك من يضع الرقم 0 في املنزلة األولى وبذلك ال يضطر الى اإلزاحة أي يكتب:

115 32

230 3450+3680

أسئلة ومحادثة ص151ج - لضرب عدد بعدد ثالثي املنزلة، عموديا، مثال:

فإننا، نضرب 5 في 6321 أوال، ثم نضرب 3 في 6321 ، ونسجل النتيجة حتت النتيجة األولى بعد ازاحتها يسارا منزلة واحدة، وهكذا نفعل مع النتيجة الثالثة ثم جنمع.

6321 235

37

مترين 2 ص 153هـ - في هذا التمرين نضرب بعدد ثالثي املنزلة.واملبدأ هو نفسه، كالضرب بعدد ثنائي املنزلة، إمنا هنا

نضرب الرقم 2 من 235 في 6321 ونضع النتيجة، وقد أزحناها منزلتني الى اليسار.6 3 2 1 2 3 5

3 1 6 0 51 8 9 6 3

1 2 6 4 2

1 4 8 5 4 3 5

مترين 3 + 4 ص 153في )أ( لم جتر إزاحة السطر الثاني 16405.حلوا التمرين كما يجب من البداية لتروا الفرق.

في )ب( جرت إزاحة مضاعفة.

فعالية ص 154- نكتب عددا على اللوح، نفرض 25417، نسأل الطالب: ماذا يحدث لو أننا بدلنا الرقم في منزلة

اآلالف )5( بـ 6؟ واجلواب: يزداد العدد بـ 1000. نفعل ذلك مع منازل أخرى،ومع أعداد أخرى أكبر من هذا العدد.

- ننوع هذه الفعالية بأن نأخذ نفس العدد أو عددا آخر، نفرض 145824، ونسأل الطالب: لو أننا زدنا على هذا العدد 1000 فماذا يحدث؟ )نزيد رقم اآلالف بـ 1(.ماذا لو زدنا عليه 10000؟ أو 100000؟

وهكذا..

مترين 11 ص 155في هذا التمرين جتري املصافحات بني الرجال الـ 13 وبني الـ 140 احلاضرين فقط. معنى ذلك أن الـ 13 ال

يصافحون بعضهم بعضا، وكذلك الـ 140.

38

مترين 3 ص 156لو طرحنا 7 - 33 أوال، ثم طرحنا من الناجت 6، لكان اجلواب 20. ولكن لو أجرينا عملية الطرح

الثانية أوال أي 6 - 7 ثم طرحنا النتيجة )1( من 33 الختلف اجلواب )32(.وهذا يعني أن عملية الطرح هي غير

جتميعية، بعكس عملية اجلمع التي هي جتميعية.)لتذكيركم تكون العملية * جتميعية إذا حتقق :) a * b (* c =

a * )b * c (

ترتيب العمليات احلسابية - مراجعة

مترين 6،7 ص 156في القسمة،وعند وجود عمليتي قسمة، فإننا جنرى العملية التي تظهر أوال بادئني من اليسار.ففي مترين

الثانية اليسار الى اليمني. ولكن لو بدأنا بالعملية 2، بادئني من التمرين هي 6، نتيجة النتيجة األولى. الحظوا أن القسمة 8، وهي غير النتيجة 16 لكانت ÷ 2 4 ثم قسمنا ÷ 2 = 2

تختلف عن الضرب في هذه اخلاصة: فلو كانت العمليتان عمليتي ضرب، ملا كان يهم أي عملية جنري أوال، وهذا يعني بلغة الرياضيات أن لعملية الضرب الصفة التجميعية، بينما ليس للقسمة هذه الصفة.

مترين 10 و 11 ومهمة بحث ص 157عند وجود الضرب والقسمة في مترين واحد، فإن علينا أن جنري العمليات بالترتيب من اليسار الى اليمني. ولكن الحظوا أن نتيجة التمرين في 11 هي نفسها سواء أجرينا الضرب أوال أو القسمة.

كذلك األمر صحيح في مترين 10. هل هذا صحيح دائما؟ إفحصوا كمهمة بحث، ان كان األمر صحيحا لو اجتمع الضرب والقسمة وكانت القسمة هي العملية السابقة للضرب. هل نحصل على

النتيجة نفسها؟ إفحصوا أيضا األمر بالنسبة للجمع والضرب في مترين يحوي كال العمليتني.

مترين 12 ص 158نتكلم عن خاصة التجميع ، عندما يكون لدينا عملية واحدة فقط وليس أكثر من عملية. ولذلك ليس علينا

في هذا التمرين أن نسأل ان كانت اخلاصة التجميعية تتحقق أو ال.من ناحية أخري كان ميكن أن جنري في هذا التمرين الطرح أوال، ونحصل على نفس النتيجة كما لو كنا

جنري اجلمع أوال، ولكن مبا نتيجة طرح 6 - 5 هي عدد سالب، فإننا، جنري عملية اجلمع أوال.

39

متارين 13، 14، 16، 17 ص 158عندما جتتمع عمليتا الضرب واجلمع ، فإننا جنري عملية الضرب أوال.من أجل ذلك لم نحصل على

نفس النتيجة في مترين 14، حيث في الطرف األيسر طلب منا أن جنري عملية اجلمع أوال، بسبب األقواس.

وفي مترين 16 مثال، علينا أن جنري عمليتي الضرب أوال، قبل أن نتفرغ للجمع.فالضرب سابق للجمع.

ما يصح بالنسبة للضرب واجلمع يصح أيضا بالنسبة للقسمة واجلمع. وفي مترين 17 علينا أن جنري عمليتي القسمة أوال، قبل عملية اجلمع.

مترين 18 ص159وصف العملية احلسابية بأنها "قوية" أو "ضعيفة"، ليس اصطالحا رياضيا بحتا، هو وصف

مجازي فقط.واملقصود بالعملية القوية هي العملية السابقة. ولذلك وضعنا االصطالح بني قوسني.

اإلدراك العددي في األعداد الكبيرة

اإلدراك العددي ص 160نعني بالتنور أو اإلدراك أو التفكير احلسابي، استعمال البديهة، واالستنتاج، والتقدير في حل

مسائل، بدون االضطرار الى حلها بصورة نهائية بالطريقة التقليدية. ففي سؤال 3 ليس الطالب بحاجة الى أن يجمع العدد 1 للعدد 3409 لكي يعرف أن نتيجة هذه العملية تكون أكبر مما لو

ضرب 3409 في 1.وبالفعل فهناك طرق حل وتفكير يتعلمها طالب الرياضيات ويعرفها املشتغل بها ، قد تبدو لغيره

غريبة أو مبتكرة.

مترين 8 ص 1613 أجوبة لنختار منها اجلواب الصحيح، 1000، ولو أعطينا 50 أي 20 54 هي تقريبا 18

فإننا سنختار اجلواب األقرب الى 1000، وهو في هذه احلالة 972.

مترين 7 ص 161 مبا أن 80 800 هي 64000 ، ولذلك فإن اجلواب الذي نتوقعه من عملية الضرب ينبغي أن يكون

.64000 64000، خصوصا وأن اجلوابني اآلخريني هما أصغر من

40

مترين 10 ص 162عندما نقرب العدد 999 الى العدد 1000، فإن حاصل الضرب الناجت هو 385000. ولكن

لدينا جواب قريب من هذا اجلواب هو 385999، فرمبا هو كان أقرب الى 999 385 ، وليس 385000 أكبر من 385000. ولكن

999 385 بـ 385 بينما 385999 أكبر حتى من 385000 )ال حاجة لنعرف بكم( فكيف يكون 358999 أقرب الى

999 385 من 385000؟أما اجلواب الثالث املقترح 38500، فهو غير وارد باحلسبان.

مترين 17 ص 163مبا أن العدد 444،444،444 هو أكبر بـ 4 مرات من العدد 11،111،111 فإن عليننا أن نضاعف

العدد 9 نفس العدد من املرات )4( لكي نحصل على نفس النتيجة.

مترين 28 ص 166حاصل الضرب يكون فرديا إذا كان العددان املشتركان في الضرب فرديني.وال توجد اال حالتان كهذه.

لقسمة ا

خلفية:ص 167لقد تعلم الطالب عن القسمة في الصفوف من األولى الى الرابعة.قسمة األجزاء وقسمة االحتواء،

القسمة كعملية عكسية للضرب، القسمة مع باق وبدون باق.واستعملوا في الصف الثالث قانون التوزيع في القسمة من أجل قسمة أعداد مبنزلتني ، على عدد مبنزلة واحدة.

في الصف الرابع تعلموا نوعا جديدا من القسمة هي القسمة الطويلة، لعدد مؤلف من عدة منازل على عدد أحادي املنزلة.وهي الطريقة البسيطة التي يستطيع الطالب أن ينجزها بواسطة ورقة وقلم، والتي

تعتمد أساسا على سهولة وبساطة النظام العشري.في الفصل القادم سنوسع نطاق القسمة الطويلة لتشمل قسمة عدد مؤلف من عدة منازل على عدد ثنائي

املنزلة.

41

مترين 5 ص 168للعدد 100 مضاعفات كثيرة ، 100، 200، 300... الخ. أكبر واحد منها وأصغر من 4325 هو 4300. حيث أن العدد 4300

هو حاصل ضرب العدد 100 في 43.

مترين 6 ص 168في هذا التمرين جندد الصلة القائمة بني الضرب والقسمة.

فبما أن 4300= 100 43 ولذلك فإن

4300 وال ينبغي هنا الدخول مع الطالب في القسمة الطويلة، ألن الطالب لم يتعلموا حتى اآلن القسمة ÷ 43 = 100الطويلة على عدد مبنزلتني.

مترين 7 ص 168

هنا أيضا ال حاجة الستعمال القسمة الطويلة، بل املعلومات املتوفرة من جدول الضرب.

مترين 11 ص 169مبا أن املقسوم عليه في الطرف األمين وهو العدد 10 هو ضعفا املقسوم عليه في الطرف األيسر )العدد 5( ، كذلك ينبغي أن يكون

املقسوم في الطرف األمين ضعفي املقسوم في العدد األيسر )العدد 115(.واجلواب هو 230

متارين 14،13، 15 ص 169في هذه التمارين ميكن مراجعة القسمة الطويلة على عدد مبنزلة واحدة.

فعالية ص 170أهمية الباقي

قد يعتقد الطالب أن الباقي في عملية القسمة هو نوع من "الزيادة" التي ال أهمية لها، والتي ينبغي التخلص منها، وأنه من "األفضل" أن ال يكون هناك باق في متارين القسمة.

نعطي الطالب بعض األمثلة عن أهمية البواقي في بعض املسائل، ونطلب منهم أن يعطونا أمثلة غيرها من تأليفهم. مثال: 34 شخصا يريدون السفر في سيارات تتسع الواحدة لـ 8 أشخاص فقط. الى كم

سيارة يحتاجون؟ عند قسمة 34 على 8 فأن اجلواب هو 3، مما قد يوهم أننا بحاجة الى 3 سيارات فقط. ولكن الباقي في عملية القسمة هو 2.إننا بحاجة اذن الى سيارة رابعة، ألنه ال يعقل أن نترك

اثنني من املسافرين بدون سيارة.مثال آخر:أب أعطى إلبنه مبلغ 24 شيكل، وقال له، قسم هذا املبلغ بالتساوي بني إخوتك اخلمسة،

وما يبقى تأخذه لنفسك.في هذه احلالة الباقي والبالغ 4 شيكل هو مهم بالنسبة لالبن الذي يوزع النقود على إخوته، فهذه هي حصته.

طبعا ميكن إعطاء أمثلة ال تلعب فيها البواقي أهمية كبيرة.

القسمة عن طريق التوزيع

42

خلفية ص 171 تعتمد القسمة الطويلة على قسمة اآلالف، املئات والعشرات واالحاد على العدد املقسوم عليه،كل علىحدة، أما باقي القسمة في كل مرحلة، فإننا نتبعه للمنزلة األصغر، وهو أمر عكسي للـ"حمل" )أو االحتفاظ باليد( في الضرب، حيث أن ما يفيض هناك "نحمله" الى األمام، الى املنزلة الالحقة.

والقسمة الطويلة نافعة باألحرى، بل ضرورية في قسمة األعداد الكبيرة. لقد تعلم الطالب القسمة الطويلة على عدد مبنزلة واحدة في الصف الرابع، وسيكون هذا الفصل

مراجعة ملا تعلمه الطالب هناك ومتهيدا لتعلمهم القسمة الطويلةعلى عدد مبنزلتني.

القسمة الطويلة - مراجعة

فعالية ص 172القسمة بواسطة النقود

لكي نقسم 3 ÷ 435، فإننا نستعمل طريقة النقود. نأخذ مبلغا من املال مؤلفا من 4 ورقات املئة شيكل، 3 قطع العشرة شواقل. 5 شواقل مفردة.ثم نأخذ 3 طالب نريد تقسيم النقود بينهم بالتساوي.

نبدأ باملئات. كل واحد من الطالب يأخذ مئة واحدة. نسجل مترين القسمة، ونسجل 1 في منزلة املئات، كأول رقم في خارج القسمة. نسأل كم بقي من املئات. )مئة واحدة(. ملن نعطي هذه املئة؟ هل

ميكن إعطاؤها لشخص واحد دون غيره؟ )ال(.كم مئة ستظهر في جواب مترين القسمة )مئة واحدة(. ما العمل االن؟ )نقسم العشرات(. ولكن كم عشرة لدينا؟ )3 عشرات(. ماذا عن ورقة املئة شيكل،

أال نقسمها أيضا؟)نعم(.تعالوا نصرف ورقة املئة بـ 10 عشرات. ونسأل:كم لدينا االن من العشرات؟ )13 عشرة(.تعالوا نقسمها على 3، كم عشرة يأخذ كل واحد؟ )4 عشرات(، نسجل 4 في منزلة

العشرات في خارج القسمة.ماذا بقي لنا؟ 10 شواقل الى شواقل مفردة. كم شاقال مفردا معنا الـ 5 شواقل مفردة و10 واحدة. نصرف قطعة

اآلن؟ )15( . لو قسمناها على 3 فعلى كم يحصل كل واحد؟ على 5. تعالوا نضع العدد 5 في منزلة اآلحاد. ما اجلواب االن ؟ )145(

القسمة على عدد ثنائي املنزلةأوال القسمة على 10 ، 100

خلفية ص 173مبدأ القسمة على 10 هو عكس مبدأ الضرب بـ 10. فعند الضرب في 10 نضيف صفرا على ميني العدد ،

أما عند القسمة على 10 فنحذف الصفر الذي أضفناه عند الضرب.فمثال: 459 = 10÷ 4590 عند القسمة على 100 نحذف صفرين.

43

مترين 4 ص 174)أ( لقسمة 10 ÷ 122، فإننا جند العدد األول األصغر من 122 من مضاعفات العدد 10 وهو 120.وبعد قسمة 120 على 10

واحلصول على 12، فإن الفرق بني 122 و120 هو باقي القسمة.من املهم أن نالحظ أننا لسنا بحاجة الى القسمة الطويلة في هذه التمارين.

)هـ( لقسمة 100 ÷ 456 فإننا جند العدد األول األصغر من 456 والذي هو من مضاعفات العدد 100، إنه 400،وناجت القسمة 4، والفرق بني

56 هو باقي القسمة. 400 أي 456 وبني

مترين 6 ص 175لو ضربنا 30 في 4 لكان الناجت 120، نزيد عليها 20 هي الباقي، يكون اجلواب املطلوب هو 140.

نفحص اجلواب بقسمة 140 على 30.

فعالية ص 175القسمة في الدكان

نعطي لطالب واحد أن ميثل دور صاحب دكان، ولطالب آخر دور املشتري. مع املشتري مبلغ من املال نفرض 370 شيكل وهو يريد شراء أغراض من نفس النوع،سعر الغرض نفرض 20 ش.إنه يريد أن يشتري بأكثر ما يستطيع باملبلغ الذي معه. على صاحب الدكان أن يحسب كم غرضا يبيعه، وكم يأخذ منه، وكم يعيد له. وعلى املشتري أن يتأكد من صحة حسابات صاحب الدكان.

خلفية ص 176ال تختلف القسمة الطويلة على عدد مبنزلة واحدة عن القسمة على عدد مبنزلتني.فاملبدأ واحد: فإذا

قسمنا عددا مثال 2586 على 14 ، فإننا نريد أن نعرف كم ألفا في ناجت القسمة، وكم مئة، وكم عشرة .. الخ.وهو ما يؤلف في نهاية األمر القسمة الطويلة.كما هي مشروحة في املثال.

فعالية ص 177على مجموعة من البطاقات،نسجل عددا من متارين القسمة، مترينا لكل بطاقة.وعلى مجموعة أخرى

مؤلفة من نفس العدد من البطاقات، نسجل أجوبة التمارين. يسحب الطالب بطاقة من املجموعة األولى، وأخرى من املجموعة الثانية. وعليه ان يقرر ان كان ما سحبه من املجموعة الثانية هو جواب

التمرين على البطاقة األولى.البطاقات هي تقديرات أجوبة القسمة، الثانية من الفعالية بجعل املجموعة 2 - ميكن تنويع هذه

وليست األجوبة الدقيقة.الثانية بواقي القسمة، وليس الفعالية بحيث نسجل على بطاقات املجموعة 3 - ميكن أيضا تنويع هذه

األجوبة الدقيقة أو املقربة.

القسمة الطويلة على عدد ثنائي املنزلة

44

فعالية ص 178في علبتني نضع مجموعة من البطاقات. في العلبة األولى بطاقات سجلت عليها أعداد بثالث أو أربع

منازل، وفي العلبة الثانية بطاقات سجلت عليها األعداد 2، 3، 4،. ..، 9. يختار الطالب بطاقة من كل علبة، وعليه أن يقسم العدد من العلبة األولى على العدد املسجل على البطاقة من العلبة الثانية. الفائز

هو من يكون الباقي لديه أكبر ما ميكن. اذا تساوت النتيجة عند بعض الطالب،تعاد اللعبة فيما بينهم.ميكن تطوير اللعبة بحيث يوضع في العلبة الثانية أعداد مبنزلتني 10، 11، ..،99.

فعالية ص 179كم منزلة في

خارج القسمة؟ هل نستطيع أن نعرف كم منزلة صحيحة يوجد في خارج قسمة عددين، دون أن جنري عملية القسمة

الى النهاية؟لنفرض أننا نريد أن نقسم 7256 على 11.لن يكون في خارج القسمة منزلة آالف )7 االف على 11( وإن أول رقم نحصل عليه في خارج القسمة، سوف نضعه فوق الرقم 2، أي في منزلة املئات.وهذا

يعني أن خارج القسمة سيكون مؤلفا من 3 منازل فقط.خارج القسمة

725611

1--

725611

وليس األمر كذلك في قسمة 7256 على 5 مثال.اذ أن الرقم األول الذي نضعه في خارج القسمة سيكون فوق منزلة اآلالف، مما يعني أن خارج القسمة سيكون عددا مؤلفا من 4 منازل.

نعطي الطالب أسئلة إضافية، ونطلب منهم أن يقرروا عدد املنازل الصحيحة في خارج القسمة، دون أن يحلوا سؤال القسمة الى النهاية.

تقدير النتائج والكميات

مترين 4 ص 180 إرشاد: الحظوا أن 85 هي أصغر من 90.

مترين 5 ص 180 إرشاد: الحظوا أن 985 هي أصغر من 1000.

45

مترين 10 ص 181جند طول هرم من الكتب يصل من أرض الغرفة الى سقفها .إذا كان سمك الكتاب 3سم مثال، وكان ارتفاع الغرفة 4م تقريبا، أي 400 سم، ولو قسمنا 400 على 3 لكانت النتيجة 130 تقريبا، هو عدد

الكتب الذي نحتاج اليه للوصول من أرض الغرفة الي سقفها. ولكن كم كتابا ميكن أن "نرصف" على أرض الغرفة كما في عملية التبليط؟ اذا كان طول الكتاب 30سم، وكان طول الغرفة 600 سم، فإننا نستطيع أن نضع 20كتابا واحدا بجانب اآلخر. ولو فرضنا أن طول الغرفة يساوي عرضها، وكذلك

طول الكتاب يساوي عرضه، لكنا نستطيع أن نضع 20 كتابا على عرض الغرفة، أي 400 كتاب على أرض الغرفة كلها. ولو ضربنا اآلن 130 في 400 لنتج لدينا 52000 كتابا تقريبا نحتاج مللء غرفة كاملة

بالكتب.طبعا هذا جواب تقريبي.يختلف باختالف نوع الكتاب )طوله وعرضه وسمكه( وحجم الغرفة )طولها

وعرضا وارتفاعها(.

مترين 17 ص 182قد يكون من املناسب كتابة العددين اللذين نرغب في تقدير الفرق بينهما باستعمال فواصل الفئات.

أي نكتب العددين هكذا: 457،981،000 و 15،890،000 ، ثم نالحظ أن العدد األول هو 458 مليونا تقريبا، بينما العدد الثاني هو 16 مليونا تقريبا، والفرق بينهما هو كالفرق بني 458 و16 أي 442

مليونا تقريبا.

مترين 21 ص 182أصحاب حق االقتراع لالنتخابات البلدية أو البرملانية، هم األشخاص فوق سن 18 سنة. كيف تقدرون

نسبة هؤالء الى عدد السكان.ميكن للطالب أن يقوموا ببحث بسيط يستطلعون فيه تعداد سكان قريتهم أو مدينهم وعدد أصحاب حق االقتراع بينهم.واألرقام هذه ميكن العثور عليها في املجلس احمللي أو

البلدي.

فعالية ص 183نعطي للطالب، كما في مترين 10 ، أن يجروا بحثا بأنفسهم عن عدد املدعوين في عرس في قريتهم

أو مدينتهم وكم يكلف أصحاب العرس من الكراسي والطاوالت، ولوازم العرس األخرى،كاللحم واألرز والصحون واملالعق، وعلب الشراب ..الخ.

مترين 27 ص 184بعد ادخال الكتب اجلديدة أصبح في املكتبة 11100 كتاب. بينما ال تتسع املكتبة ألكثر من 9000

كتاب هي حاصل ضرب 30 في 300.

46

مسائل كالمية مبرحلة واحدة

خلفية ص 4يهدف هذا الفصل الى تقدمي مسائل كالمية في اجلمع، الطرح، الضرب والقسمة.وسوف يقسم الى قسمني:القسم األول نتناول فيه املسائل الكالمية ذات املرحلة الواحدة، والقسم الثاني مسائل كالمية

مبرحلتني.وكال النوعني من املسائل قد سبق وطرح في مراحل سابقة في الصفوف قبل اخلامسة.ونعني مبسائل املرحلة الواحدة التي ال نحتاج في حلها ألكثر من عملية حسابية واحدة. أما مسائل

األكثر من مرحلة فهي التي نحتاج في حلها الي استعمال أكثر من عملية حسابية واحدة.

خلفية ص 5مسائل بأكثر من مرحلة

املسائل الكالمية مبرحلتني وأكثر، هي جزء من منهاج الرياضيات في الصف الثالث والرابع أيضا، وقد تناولناها في كتابي بواكير للصف الثالث والرابع. املسائل الكالمية مبرحلتني هي املسائل التي نحتاج

حللها الى أكثر من عملية حسابية واحدة. ونستطيع إذن حلها على مرحلتني. فمثال في مترين 1 )ص 5( نقسم في املرحلة األولى 300 جندي على 30 لنحصل على 10. وفي املرحلة الثانية نضيف 15 الى

10.ونستطيع مبرحلة واحدة أن نكتب احلل: )300 ÷ 30( + 15

فيكون التمرين من الصورة: )a÷b( + c

وعادة ما تكون مثل هذه التمارين املؤلفة من مرحلتني من الصورة:axbxc أو

axb( ÷c( أو a+b( x c( أو

a+b( ÷ c( أو) a ÷ b( + c

أو نضع إشارة - مكان إشارة +، الخ ..طبعا ليس من املفروض أن يحل التالميذ مثل هذا التمارين على مرحلة واحدة. بل ميكن إجنازها على مرحلتني.

47

مسائل كالمية مبرحلتني وأكثرص 6 صص صصصص

10 إستراتيجيات حلل املسائل الكالمية

إمعانا في زيادة الفائدة نعيد ذكر االستراتيجيات املعروفة في حل املسائل الكالمية وعددها 10. 1 - ايجاد منوذج:

في حل مسألة مثل اكمال املتوالية ..1،3،6،10،15 نسعى اليجاد منوذج MODEL أو منط )نضيف 2 في املرة االولى، وبعد ذلك 3 ثم 5 وهكذا. والعدد التالي في املتوالية )بعد 15(،

نحصل عليه بزيادة 6 الى الـ 15 أي 21، ثم بزيادة 7 لنحصل على 28.. وهكذا(اليوم الذي قبله. كم 2 شيكل، وفي كل يوم اضافي، كانت توفر ضعف ما وفرته في 2 - رسم جدول: وفرت رنا يوم االحد

وفرت حتى يوم اخلميس؟واضح أن وضع جدول مع تسجيل التوفير في كل يوم حتى يوم اخلميس، سوف يسهل احلل!

2االحد4االثنني8الثالثاء

16االربعاء32اخلميس

ثم نحصل على اجلواب بجمع التوفيرات في جميع األيام.

3 - العودة الى الوراءمثال: مسافر من شفاعمرو الى القدس، وصل الى حيفا بعد ساعة من خروجه من شفاعمرو، والى

القدس بعد ساعتني من خروجه من حيفا. وقد وصل القدس الساعة الواحدة ظهرا. متى خرج من شفاعمرو؟

حلل املسألة نبدأ من ساعة وصول املسافر الى القدس الساعة 1:00 ولو عدنا بحسابنا الى حيفا، لوجدنا أنه وصلها الساعة 11:00 أما شفاعمرو فقد خرج منها الساعة 10:00!(

4 - التخمني والفحص: عددان مجموعهما 12 والفرق بينهما 2 ماهما؟

ان الطالب يأخذ هنا عددين مجموعهما 12 مثال: 8 و 4 )هذا تخمني(. ثم يفحص صحة هذا التخمني. هل الفرق بني هذين العددين هو 2؟ اجلواب ال. اذن فعليه أن يجرب تخمينا اخر. حتى يصل الى التخمني

الصحيح وهو 7 و 5. 5 - رسم صورة:

قد يفيد رسمنا لصورة تبني معطيات املسألة. مثال في مسائل املسافات، والتقاء املسافرين في نقطة من املسافة، أو املسافة التي قطعها مسافر، وما تبقى له حتى يصل النهاية.

كذلك احلال اذا كانت

48

املسألة تتناول أشكاال هندسية، كمحيط مستطيل أو مساحة قطعة من األرض ذات شكل هندسي معروف.

وفي مسائل بسيطة أخرى تكون فيها املعطيات كثيرة ومتنوعة يفيد الرسم كثيرا في حل املسألة. مثال اذا كنا ننوي شراء 3 كرات، وكان ثمن الكرة 7 شيكل، وشراء 4 بلوزات رياضية، وكان ثمن البلوزة 15

شيكل، فانه من املفيد أن نرسم )رسما تقريبيا( هذه األشياء، أو نتصورها على األقل. 6 - تسجيل قائمة:

مثال، لو سئلنا كم عددا من منزلتني ،نستطيع أن نسجل بواسطة 3 أرقام مختلفة 5،4،7، حني نستطيع أن نستعمل كل رقم من هذه األرقام مرة واحدة فقط في كل عدد.

ان أفضل طريقة حلل مسألة من هذا النوع هو البدء بكتابة بعض األعداد. مثال 75، 74، 54، 57، .. وهكذا. ان مجرد البدء بعمل قائمة من هذه األعداد يعطينا فكرة عن عددها. وتسجيلنا للقائمة الكاملة

في مسائل كالتي في مثالنا، تؤمن لنا التأكد من صحة حلنا.7 - كتابة جملة عددية:

وضعنا 18 قلما في 3 مقلمات. فكم قلما وضع في كل مقلمة؟ ان كتابة اجلملة العددية

18 ÷ 3 = ميهد الطريق أمام حل املسألة. وبالفعل، فان هناك الكثير من الصيغ والقوانني التي حتكم وحتدد

العالقات بني املعطيات، والتي تترجم في نهاية االمر الى جمل وعبارات حسابية، مثل عالقة املسافة بالسرعة والزمن،أو عالقة محيط املستطيل بطوله وعرضه.

8 - حذف االمكانيات: هذه الطريقة مستعملة على نطاق واسع في احلياة اليومية عند الناس العاديني الذين يستعملون احلساب.

مثال لو طلب منا أن جند أكبر عدد ثنائي املنزلة يقسم على 3 بدون باق، والفرق بني منزلتيه 2.إننا نقوم هنا بعملية حذف أعداد كبيرة تقبل القسمة على 3 ومؤلفة من منزلتني. مثل األعدد 99، 96،

2 كما تتطلب املسألة. 78، ألن الفرق بني منزلتي هذه األعداد ليس ،81 ،84 ،87 ،90 ،93ونستمر هكذا الى أن نصل الى العدد 75، وهو أكبر عدد يفي بالغرض.9 - تبسيط املسألة:

اننا نستعمل طريقة تبسيط املسألة ليس كبديل لالستراتيجيات األخرى، بل أحيانا باملرافقة معها.وتبسيط مسألة قد نعني به مثال، استعمال أعداد أصغر من تلك األعداد

49

التي تظهر في املسألة.وفي حني تكون معطيات املسألة معطاة بالرموز )في مرحلة تعليمية متقدمة(، ميكننا استبدال الرموز باألعداد.

نستطيع أيضا أن نعبر عن املسألة بكلمات وتعابير مختلفة.وأحيانا يبدو التعبير الشفهي عن مسألة مختلفا وأكثر بساطة من التعبير الكتابي، خصوصا في اللغة العربية، حيث أننا نستعمل في احلقيقة لغتني في

التعبير، الفصحى والعامية. نستطيع كذلك تشبيه املسألة التي لدينا مبسألة معروفة أبسط منها.مثال العالقة بني احلجم الوزن والكثافة،

هو كالعالقة بني السرعة املسافة والزمن.أو قد نسعى الى تبسيط املسألة بتفكيكها الى عدة مسائل فرعية، حني تكون املسألة مركبة، أو يحتاج حلها

الى عدة مراحل.

10 - استعمال املنطق في جميع احلاالت!قد ال يكون استعمال املنطق، استراتيجية محددة مثل باقي االستراتيجيات التي ذكرنا، ولكن الستعمال املنطق أهمية كبيرة. فنحن في جميع احلاالت مطالبون باستعمال املنطق في حلنا. بل ان مجرد اختيارنا

لواحدة من االستراتيجيات آنفة الذكر، دون غيرها، أو اخترنا استراتيجية أخرى لم تذكر هنا، فاننا نكون قد اعملنا استخدام املنطق.

مترين 25إرشاد: لو تركنا كلبا واحدا يأكل الـ 10 عظمات لوحده، لكان يأكلها بـ ... دقيقة.

طريقة أخرى: عن طريق رسم جدول:

مترين 24املطلوب ايجاد عددين مجموعهما 15، وحاصل ضرب أحدهما بـ 2 يساوي حاصل ضرب اآلخر بـ 4.

ميكننا فحص جميع ازواج األعداد التي مجموعها 15:،)2،13( ،)1،14(

)12،3(، )11،4(، )10،5( ..الخ.واآلن ما رأيكم بالعددين 5 و 10، إن مجموعهما 15، وحاصل ضرب أحدهما في 2 يساوي حاصل

ضرب اآلخر في 4.لدينا اذن 10 مساطر و 5 مثلثات. ومبا أن كل 4 طالب يشتركون على مثلث واحد، فإن عدد طالب الصف هو 20.

عدد الدقائق

عدد العظمات

3 23 23 23 23 2

املجموع ...

املجموع 10

50

حزر فزر ص 12 عدد فردي مؤلف من منزلة واحدة.وهو أصغر من 20. وهو ليس عدد أضالع املثلث. وهو يقبل

القسمة على 3. فما هو هذا العدد؟

مترين 6 ص 13إرشاد:املطلوب عدد يقسم على 9 وعلى 7 !

مترين 9 ص 13 إرشاد:العددان املتتاليان هما العددان اللذان يزيد أحدهما عن االخر بـ 1.

واذا كان أحدهما زوجيا، فإن االخر يكون فرديا. ما رأيكم مبجموع عددين كهذين؟

مترين 11 ص 13إرشاد:إذا كان أحد األرقام 6، فما مجموع الرقمني اآلخريني؟ وكم يجب أن يكون كل واحد منهما؟

وهل يجوز أن يكون أحد األرقام أكبر من 9؟

املتواليات - نباهة جاوس

خلفية ص 14يندرج درس املتواليات في منهاج الصف اخلامس االبتدائي حتت عنوان "فعاليات إضافية" في األعداد

الطبيعية.وهو يتألف من: أ- كتابة متواليات األعداد املتعاقبة )مثال من 1 الى 100( وايجاد مجموعها.وفي الصفوف املتقدمة

تقدمي املتواليات احلسابية.ب - كتابة األعداد الفردية إبتداء من 1 وايجاد مجموعها.

مترين 3 ص 15هناك 20 عددا يقبل القسمة على 5، بني األعداد من 1 حتى 100. نحن الكبار نستطيع التأكد من هذا

العدد بوسائلنا املتاحة عن قانون احلد العام في املتواية احلسابية. الطالب يستطيعون عد هذه األعداد مباشرة. ولكن هناك طريقة سهلة أخرى: فاألعدا د التي تقسم على 5 والتي هي عشرات كاملة هي

10 بالضبط: 10، 20 ،..،100.وهناك 10 أعداد أخرى من تلك التي تنتهي بـ 5 وهي:

95.. ،25 ،15 ،05

51

قصة لعبة الشطرجن ص 16ميكن للمعلم/ة أن يورد هذه القصة الطريفة عن لعبة الشطرجن، والتي يقال أن مخترعها هو رجل

هندي يدعى "سيتي". أراد ملك الهند أن يكافيء سيتي على اختراعه، فقال له: أطلب ما تريد وأنا أعطيك إياه.فكر سيتي وقال : أريدك أيها امللك أن تعطيني حبات القمح، الناجتة من وضع حبة واحدة

في املربع االول من لوح الشطرجن، وحبتني في املربع الثاني، وفي كل مربع ضعفي ما في املربع الذي قبله. وتستمر هكذا حتى املربع األخير رقم 64(. ابتسم امللك لهذا الطلب املتواضع لسيتي، وظن أن

كيسا صغيرا من القمح يكفي لهذه الغاية.ولكنه فوجيء في اليوم الثاني حني أعلن له وزراؤه أن جميع القمح الذي في خزائن اململكة ال يكفي لكي يجيب طلب سيتي!

مترين 7 ص 16إرشاد لقسم ج: هل الفرق بني 100 و1 هو كالفرق بني 200 و 100؟

الرفع للقوة ص 17تعلم الطالب في الصف الرابع عن القوى واألسس. ولكن ال بأس أن تكون هناك مراجعة بسيطة للموضوع.- الرفع للقوة هي عملية نختصر فيها الضرب املتكرر لنفس العدد، متاما كما أن الضرب هو عملية نختصر فيها

اجلمع املتكرر لنفس العدد. فـ 25 مثال هي 2 مضروب في نفسه 5 مرات.- عملية الرفع للقوة ليست تبادلية، فـ 25 ال تساوي 52.

ي العملية بني العددين 4 و3 التي نسجلها 43 عملية "الرفع للقوة".العدد 4 نسميه "أساس - نسم.exponent "القوة"،بينما العدد 3 نسميه "أس القوة

في بعض األحيان يجري خلط بني األس والقوة. وعادة ما نقول: 4 للقوة 3 ، بدل أن نقول 4 أس 3. أو 4 مرفوعة لألس 3. والحظوا أن عملية الرفع للقوة ليس لها إشارة أو عالمة كعالمة اجلمع مثل +، وكل ما يدل

عليها هو جعل العدد الثاني )األس( ظاهرا في أعلى ميني األساس، وببنط أصغر من البنط العادي.واحلقيقة أن ما يجب أن نطلق عليه "القوة" هو األساس واألس معا، أي 43.

52

الفصل الثالث

متثيل البيانات واملعدل

خلفية ص 18تعلم الطالب في الصفوف من الثاني الى الرابع، عن متثيل البيانات وتنظيمها في جداول ورسوم

بيانية. وهذا الفصل سيكون في معظمه مراجعة وتوسيعا ملا تعلمه الطالب سابقا. باالضافة الى موضوع املعدل )املتوسط احلسابي( الذي يقدم لهم ألول مرة.

مترين 2 ص 18التمثيل بالعصي

تعلم الطالب في الصف الرابع عن التمثيل بالعصي )جمع عصا(. العصي هي خطوط مستقيمة، يدل ارتفاع الواحد منها على العدد أو الكمية التي يظهر بها املتغير.وال فرق جوهري بني التمثيل البياني باألعمدة أو التمثيل البياني بالعصي. كل ما هنالك أن الفرق هو في سمك العصي األقل

والذي يسمح برسم عدد أكبر من العصي.

مترين 5 ص 22التمثيل املزدوج بالعصي

نسمي الرسم في مترين 5، متثيال مزدوجا بالعصي، وذلك ألننا الءمنا لكل متغير عصوين وليس عصا واحدة.والفرق بني الرسمني في هذا التمرين، أنه في األول وضع العصوان )مثنى عصا(

متجاورين، بينما في الرسم الثاني وضعا الواحد فوق اآلخر.

كيف نرسم الرسم البياني؟ ص 232 نعطيه االسم "أوالد الصف". 1 - نعطي الرسم اسما. مثال الرسم املطلوب في مترين

2 - نرسم احملاور وهما اخلطان األفقي والعمودي.2 تكون هذه املتغيرات: أشهر السنة(. 3 - على احملور األفقي نسجل املتغيرات )في سؤال

اليه في السؤال. ألن هذا احملور ميثل 0 الى أكبر عدد ميكن الوصول م احملور العمودي من نرق - 4العدد الذي يرتبط بكل واحد من املتغيرات.

53

فعالية ص 25يقسم املعلم/ة الطالب الى عدد من املجموعات. وكل مجموعة تبحث في موضوع تختاره، مثال عدد

طالب املدرسة خالل عشر سنوات. أو قد يكون موضرع البحث صفة مشتركة ألعضاء مجموعة. مثال: االنتماء العائلي للمجموعة، أو االنتماء السكني، في أي حارات يسكنون،األكالت التي

يحبونها، لون العينني، الطول .. الخ. وأن ينظموا هذه املعلومات عن الظاهرة التي يبحثونها في جدول.

مالحظة ص 25احملور العمودي واحملور األفقي

في الرسم البياني محوران، احملور األفقي وهو املستقيم الذي نبني عليه األعمدة أو العصي، عمودا واحدا لكل متغير، واحملور العمودي الذي نشير عليه الرتفاع كل واحد من األعمدة.وقد نبدل بني

وظيفتي احملورين، فنبني األعمدة فوق احملور العمودي )مترين 13(، بينما يأخذ احملور األفقي دور احملور العمودي.

فعالية ص 26نطلب من الطالب أن يحضروا من جريدة أو كتاب رسما بيانيا يبني ظاهرة معينة. نطلب منهم أيضا أن يسجلوا األسئلة التي ميكن االجابة عليها من خالل قراءة هذا الرسم البياني، وأن يجيبوا عن هذه

األسئلة.في مرة ثانية نطلب منهم أن يحضروا رسما بيانيا مزدوجا باألعمدة أو العصي، وأن يقوموا بوضع

األسئلة وإجاباتها حول هذا الرسم.

املعدل أو املتوسط احلسابي

خلفية ص 30يعرف الطالب املعدل أو املتوسط من شهاداتهم، وما درجت عليه املدارس من تسجيل معدل عالمات

الطالب في املواضيع املختلفة. ولكننا نستطيع أن نقدم املعدل بطرق أخرى، مثال بأن جنعل النتائج متساوية )مترين 1، الطريقةالثالثة(.وميكن توضيح ذلك للطالب عن طريق رسم بياني بواسطة األعمدة )مترين 8

وما بعده(.

صفات املتوسط ص 31من املهم أن يعرف الطالب صفات املتوسط التالية:

- أن املتوسط هو قيمة بينية أي وسطية بني مجموعة من املعطيات، فهو أصغر من الكبير بني هذه املعطيات وأكبر من الصغير )على فرض أن املعطيات مختلفة القيمة(.

- من غير املفروض أن يكون املتوسط هو أحد أفراد مجموعة املعطيات.- يتغير متوسط مجموعة اذا أضفنا للمجموعة عددا يختلف عن املتوسط.

- من غير املفروض أن يكون املتوسط عددا صحيحا.

54

فعالية ص 32يطلب املعلم/ة من الطالب أن يجدوا متوسط مجموعة من األعداد مثال: 15، 21، 10، 4

بطريقتني. الطريقة األولى هي الطريقة احلسابية البسيطة عن طريق جمع األعداد وقسمتها على 4. والطريقة الثانية بأن يأخذوا 4 شرائط ورقية بطول 15سم، 21سم، 10سم، 4سم، ثم يقصوا هذه

األشرطة ويلصقوها لتصبح جميعها متساوية الطول.ثم يقيسون طول واحدة منها لتكون هي املتوسط احلسابي.

ميكن استعمال أبراج مكونة من قطع نقدية أو مكعبات ارتفاعاتها 15 قطعة، 21 قطعة، 10 قطع، بناء األبراج بحيث تصبح 4 قطع، وذلك بدل شرائط الورق. يطلب من الطالب عندها أن يعيدوا

ارتفاعاتها متساوية.فيكون ارتفاع الواحد منها هو املتوسط احلسابي.

فعالية ص 33نحكي للطالب قصة عن شخص مشى 270 كم في 10 أيام.نسألهم كم كيلومترا قطع في اليوم

الواحد؟ هل يجوز أنه قطع مسافات مختلفة في أيام مختلفة؟هل يجوز أنه استراح كليا في واحد أو أكثر من األيام العشرة؟

هل ميكن أنه سار في أحد األيام أكثر من 50 كم؟ما املعنى احلقيقي للمتوسط في هذه حالة؟

ماذا نسمي العدد 27 )نسميه:متوسط السرعة في اليوم الواحد(.

مترين 9 ص 34ج - د - الشكل الناجت في )ب( هو مستطيل ارتفاعه 7 وحدات وعرضه 5 وحدات.

د - الحظوا أن مساحة املستطيل هي 35 وحدة مساحة، وهي تساوي مجموع مساحات األعمدة اخلمسة في الشكل، باعتبار أن كل عمود هو مستطيل طول قاعدته وحدة واحدة، الحظوا أيضا ن ارتفاع املستطيل هو نفسه

معدل األعداد.12 ،10 ،6 ،2 ،5

)انظروا الشكل(

5

7

55

مترين 14 ص 37ج - اجلواب ال.ألنه لو كان مع الولد السابع أكثر من 11 شيكال، لزاد املعدل عن 11. ولو كان معه أقل لنقص

املعدل عن 11.د - يجوز أن ولدا واحدا لم يكن معه نقود باملرة.وتكون النقود قد جمعت من اآلخرين، الذين كان بعضهم يحمل

أكثر من 11 شيكال.

خلفية ص 36ما الفرق بني

املتوسط واملنوال؟املتوسط واملنوال )وبعد ذلك سيأتي معنا الوسيط(، هي كلها طرق لقياس "الوسطية" ملجموعة من

املعطيات.فاملنوال هو املعطى األكثر تكررا في مجموعة. وفي أحيان كثيرة يكون املنوال وسيلة أجدى من املتوسط، خصوصا اذا كان واحدا أو أكثر من املعطيات بعيد كل البعد من ناحية القيمة عن باقي

املعطيات.فاذا كان 300 موظفا يتقاضون معاشا شهريا هو 2000 شيكل، بينما كان أحدهم )نفرض املدير( يتقاضى 50000 شيكل، فال معنى أن جند املتوسط ملعاشات املوظفني. املنوال اذن ال يقيس

الفروق الكيرة القائمة بني املعطيات، بينما املتوسط يأخذها باحلسبان.وهناك اختالفات أخرى بني املتوسط واملنوال، فلكل مجموعة من األعداد هناك متوسط، بينما ليس

لكل مجموعة منوال.املنوال اذا وجد هو واحد من أفراد املجموعة، وليس كذلك املتوسط.

حزر فزر ص 381 - مجموعة من األعداد هي:

4، 2، 14، 7، 3 أنقصنا من كل واحد من هذه األعداد العدد 2. هل يتغير متوسط املجموعة؟2 - ملجموعة أعداد أضفنا عددا، ولم يتغير متوسط هذه املجموعة. ما هو العدد الذي أضفناه؟

a، b، c متوسطها هو: .... 3 أعداد هي 3 - متوالية حسابية مؤلفة من

مترين 20 ص 39إرشاد: في )أ( فكروا في املتوسط نفسه.

في )ب( من املمكن اضافة عددين للمجموعة، وال يتغير فيها املتوسط، اذا كان متوسط العددين املضافني هو نفسه متوسط املجموعة.

مترين 21 ص 39تغيير عدد واحد من أفراد املجموعة سوف يؤثر على متوسط املجموعة ال محالة. ولكن تغيير عددين قد ال يؤثر، مثال لو أخذنا عددين من هذه املجموعة، نفرض 10 و 4 . زدنا 1 لـ 10، وأنقصنا 1 من 4 ، ملا

تأثر متوسط املجموعة.جربوا!

56

مترين 23 ص 40كل واحد من األعداد الثالثة هو 2920، مضافا اليه 1، أو 6، أو 8. واضح أن العدد 2920 سوف يكون جزءا من املتوسط أيضا. ولذلك يكفي أن جند املتوسط لألعداد الثالثة 1، 6، 8 وهو 5، فيكون املتوسط

املطلوب هو .....فعالية ص 41

نعطي للطالب مجموعة من األعداد، نفرض 5،15، 25، 1، 9، نطلب منهم أن يخمنوا متوسط هذه األعداد، ثم نطلب منهم أن يجدوا املتوسط بطريقة حسابية ، ليروا إن كانوا قد أصابوا أو أخطأوا.وما

الفرق بني تقديرهم وبني اجلواب الصحيح.ميكن حتويل هذه الفعالية الى مسابقة بني فرقتني،بحيث تكون الفرقة الفائزة هي الفرقة التي كانت

تقديراتها أقرب للصواب.

فعالية + مترين 27 ص 42 ميكن استخالص قوانني بسيطة حول العالقة القائمة بني متوسط املجموعة، عدد عناصرها،

مجموعها، )كما هي احلال بني املسافة، السرعة الزمن مثال(.بالقول أن متوسط املجموعة مضروبا بعدد أفرادها يعطينا مجموعها. نسأل الطالب كم يساوي مجموع عناصر املجموعة مقسوما على عدد

أفرادها .. وهكذا..

الوسيط

خلفية ص 43الوسيط بني مجموعة من األعداد هو العدد "األوسط" بينها، لو رتبت املجموعة ترتيبا تصاعديا أو

تنازليا.ولكن هناك عدد "أوسط" أو "وسطا" في مجموعة فيها عدد فردي من العناصر. أما إذا كان عدد العناصر زوجيا، فإننا نأخذ متوسط العددين األوسطني.

ويختلف الوسيط عن متوسط املجموعة، بسبب أن الوسيط يتعلق باألعداد التي تقع وسطا في املجموعة، بينما املتوسط يربط جميع عناصر املجموعة بجمعها وقسمتها على عددها.

والوسيط يختلف عن املنوال أيضا، ألن املنوال هو العدد الذي يتكرر أكثر من غيره في املجموعة. سواء كان هذا العدد في الوسط أو في الطرف. وقد ال يتكرر أي عدد في املجموعة أكثر من مرة، فال

يكون للمجموعة منوال، بينما الوسيط موجود دائما.

57

مترين 6 ص 44يوجد الكثير من املجموعات التي حتمل هذه الصفة. خذوا مثال املجموعة:

. 3 ،2 ،2 ،1 املنوال فيها هو 2. كذلك املتوسط ألن مجموعها 8 مقسوما على 4 يعطي النتيجة 2.

ومبا أن في املجموعة عددا زوجيا من العناصر ، فإن وسيطها هو متوسط العددين األوسطني فيها : 2.هاتوا مثاال آخر! 2،2 أي

األعداد الرومانية

خلفية ص 47يوصي منهاج الرياضيات للصف اخلامس بتدريس طريقة كتابة األعداد بالطريقة الرومانية فقط في

الصفوف املتقدمة.وعلى أية حال سنتعلم في هذا الفصل القصير كتابة األعداد بالطريقة الرومانية حتى 1000.

قد ال تكون الكتابة باألرقام الرومانية ذات أهمية كبيرة لطالب في الصف اخلامس، ولكن هذه األرقام ال زالت مستعملة في ترقيم الساعات مثال، أو ترقيم بنود اتفاقية ، أو ترقيم الصفحات املوطئة في كتاب،

والتي ال تعتبر من صلب الكتاب كصفحات العنوان، واملقدمة والفهرس .. الخ.

كتابة العدد 4 ص 48يكتب العدد 4 بالطريقة الرومانية بطريقتني، وهو غالبا ما يكتب بالطريقة التي اعتمدناها وهي IV ، ولكننا

قد جند من يكتب هذا العدد هكذا:IIII وأكثر ما نرى ذلك في الساعات التي تكتب أرقامها بالرومانية.

ملاذا الترقيم الروماني بدائي؟ ص 49

قراءة األعداد الرومانية وكتابتها هي من الصعوبة مبكان، بحيث ال جتد من يستعملها في احلياة اليومية،ويقتصر استعمالها على األعداد الصغيرة فقط. واذ كانت قراءة وكتابة األعداد الرومانية بهذه

الصعربة، فما بالك بإجراء عمليات حسابية اعتمادا على هذا النظام؟ ويقال أن إجراء عملية حسابية بسيطة باألعداد الرومانية، كانت من الصعوبة بحيث لم يكن يقدر عليها اال من تعلم تعليما عاليا في

القرون الوسطى، زمن االمبراطورية الرومانية. وعند الوقوف على بدائية النظام الروماني تبرز أفضلية النظام العشري العربي واملرتبط باألعداد العربية، سواء في كتابة األعداد، أو في إجراء العمليات

احلسابية.

58

كيف نقرأ العدد DCXII ص 50

، D=500 واقع على ميني عدد أكبر منه هو C= 100 اعتمادا على القواعد التي نعرفها، نرى أنولذلك فنحن نضيفه اليه.فيصبح العدد

500 + 100أي 600.لهذا العدد نضيف XII =12 الذي هو على ميينه أيضا. والنتيجة 612.

مترين 7 ص 51

إذا وقع رقم بني رقمني أكبر منه ، مثال CXC، فماذا نفعل؟ إحدى القواعد تقول أنه يجب أن جنمعه مع العدد األكبر منه على يساره، أي نراه هكذا: CX+ C، أي

C + (XC) أي ثانية تقول بل يجب أن نطرحه من العدد الذي على ميينه، أي 110 . قاعدة + 50. 100 + 90

إحدى القواعد املهمة في قراءة وكتابة األعداد الرومانية تقضي بأنه، إذا وقع رقم بني رقمني أكبر منه، فإننا نطرحه من العدد الذي ميثله الرقم على اليمني. فمثال في العدد CXC العدد X أصغر من

العددين على ميينه ويساره C ، ولذلك نطرحه من C على ميينه. أي أننا نرى العدد هكذا: C + (XC) أو

100 + )100-10(أي 190

59

الفصل الرابع

املضلعات

مراجعة الزوايا هل أنتم جاهزون؟

خلفية ص 52يتضمن الفصل األول عن املضلعات مراجعة عامة عن األقطار، التوازي، التعامد، الزوايا. قياس

الزوايا وتقديرها.وسوف نبدأ بالزوايا.

مترين 4 ص 52في الشكل 6 زوايا هي 4 زوايا ناجمة عن تقاطع املستقيمني )األحمر واألزرق(، يضاف اليهما زاويتا املثلث.

ماذا يعرف طالب الصف اخلامس في الهندسة؟ ص 53تعلم الطالب في الصفوف األولى من الهندسة عن أنواع اخلطوط، مستقيمة، منحنية، مغلقة،

مفتوحة، منكسرة.تعلموا أن مييزوا املضلعات عن غيرها من األشكال.تعلموا عن األشكال الرباعية، وعرفوا الفرق بني املربع واملستطيل واملعني.

في الصفوف الثانية تعرفوا تعرفا أوليا على املجسمات، كاملكعب والصندوق واملخروط، والهرم،الكرة.وتعرفوا على مصطلحات مثل:الرؤوس واألضالع )األحرف(، الوجوه. وفي القياس

تعلموا عن قياس الطول بالسنتمتر واملتر، وعن قياس املساحة.في الصفوف الثالثة تعلموا عن الزوايا،عن تعامد املستقيمات، والتوازي. وتعلموا عن املثلثات،

أنواعها، وعن األشكال الرباعية وفحص خواصها عن طريق الفعاليات بوسائل محسوسة، مثل لوحة املسامير وعيدان الثقاب. وفي القياس تعلموا عن قياس الطول والوزن، والزمن، ومقارنة األحجام.

ماذا يعرف الطالب في الهندسة؟ - تتمة

وفي الصف الرابع تعلم الطالب عن املضلعات، عن األقطار،عن املربع واملستطيل، بدءا من متوازي األضالع، تساوي وتوازي األضالع في الشكل الرباعي، وصوال الى تعريف املستطيل واملعني واملربع. كذلك تعلموا عن خواص الزوايا واألضالع في املثلث وعالقتهما.وفي الهندسة املجسمة، تعلموا عن

الصندوق واملكعب وطريقة بنائهما.وفي التماثل تعلموا عن التماثل الدوراني والتماثل االنعكاسي.أما في القياس فتعلموا عن قياس املساحة،مساحة املستطيل، والعالقة بني محيط مستطيل ومساحته. وكذلك

عن وحدات املساحة كاملتر املربع، والسم مربع. وتعلموا عن قياس احلجم، حجم الصندوق واملكعب، ووحدات قياس احلجم املعروفة.وقانون حجم الصندوق.ثم أخيرا العالقة بني الوزن واحلجم.

60

مترين 19 ص 55إلقناع الطالب أن مجموع زوايا الشكل الرباعي )الداخلية( هو 360 درجة، فإنه ميكن تقسيم الشكل

الرباعي الى مثلثني مجموع زواياهما يساوي مجموع زوايا الشكل الرباعي.

وميكن عن طريق فعالية وردت سابقا، أن نرسم الشكل الرباعي فوق قطعة من الورق أو الكرتون، ثم نقص زوايا الشكل، ونلصقها واحدة الى جانب األخرى، حتى تتكون دائرة كاملة.

AD

CB

B

D

A

C

قبل القص

بعد القص

بعد اللصق

D BC

A

61

ة الزوايا ي سم ت

خلفية ص 56تنبع أهمية تسمية الزاوية بالطريقة الثانية، في حاالت يكون رأس الزاوية مشتركا بني أكثر من زاوية

واحدة. مثال:

C

DB

A

ففي هذا الشكل، هناك 3 شعاعات تخرج من الرأس A وهي تكون أكثر من زاوية، ومن غير املعقول أن .A نطلق عليها جميعا اسم الزاوية

ياس الزوايا ق

خلفية ص 58هذه هي املرة األولى التي يتعلم فيها الطالب قياس الزوايا بواسطة املنقلة. ولذلك من املهم أن نتأكد

من متكنهم من القيام بهذه املهمة على الوجه الصحيح.

مالحظة ص 58ميكن تفسير التدريجني "املتعاكسني" في املنقلة، بالقول أنهما أوجدا من أجل راحة مستعمل املنقلة.

وعند كل قياس زاوية، نستعمل التدريج الذي يالئم الزاوية. فاذا كانت أكبر من قائمة، استعملنا التدريج الذي يدل على زاوية أكبر من قائمة.والعكس بالعكس.

طريقة أخرى لشرح وجود التدريجني املتعاكسني هي الوضعية التي توضع فيها ساق الزاوية على قطر املنقلة. فاذا وضعت الساق على اليمني استعملنا التدريج الداخلي، واذا وضعت على اليسار استعملنا

التدريج اخلارجي. ومرة أخرى من أجل راحة مستعمل املنقلة.

62

مترين 5،2 ص 60ال بأس أن يقرب الطالب إجاباتهم عند القياس، لتكون أعدادا صحيحة دائما.وعند احلصول على اجلواب

النهائي في اجلمع سيظهر مدى دقة القياس، ما دامت النتيجة معروفة في هذه احلاالت وهي 180 ، أو 360 درجة.

مترين 6 ص 61لرسم زاوية معلومة )نفرض 60 درجة( يكون رأسها في النقطة اخلضراء، نضع قاعدة املنقلة على اخلط

املستقيم، بحيث يقع مركز املنقلة على النقطة اخلضراء. نبحث عن العدد 60 فوق املنقلة، في اجلهة القريبة من قطعة املستقيم التي ستصبح ساقا للزاوية، وهناك نضع عالمة بالقلم هي عبارة عن نقطة، نصل هذه النقطة

بالنقطة اخلضراء فنحصل على الساق الثانية للزاوية.

الزاوية املنعكسة

مترين 3 ص 64لقياس الزاوية املنعكسة في أ. ميكن قياس الزاوية احلادة أوال، ثم طرح هذه الزاوية من 360.

فعالية ص 64نرسم خطني متقاطعني، ونطلب من الطالب أن يروا بواسطة القياس املباشر وباستعمال املنقلة أن مجموع زاويتني متجاورتني هو 180 درجة، وأن الزوايا املتقابلة بالرأس متساوية.وأن مجموع الزوايا حول نقطة

التقاطع هي 360 درجة.

مترين 5 ص 65في املتوازي اضالع جميع الزوايا الداخلية أقل من 1800. ولذلك نبحث عن زاوية منعكسة بني الزوايا

اخلارجية، كما في الشكل:

سةة منعك

زاوي

مترين 8 ص 65أ - قد ال يكون مجموع زاوية منفرجة وزاوية حادة مساويا لـ 1800 درجة. مثال 200 + 1400

63

املستقيمات املتوازية واملستقيمات املتعامدة

ل أنتم جاهزون؟ ه

خلفية ص 67يعرف الطالب العالقة املتبادلة بني خطني مستقيمني. فهما إما متقاطعان أو غير متقاطعني )متوازيني(.

فإذا كانا متقاطعني، وكانت الزاوية التي يكونانها هي 90 درجة، قلنا أنهما متعامدان.التعامد بني اخلطوط املستقيمة ظاهرة شائعة في الطبيعة، وخصوصا في األشكال التي تضم املربعات واملستطيالت.

فعالية ص 67نري الطالب كيف ميكن رسم عمود على مستقيم من نقطة خارج هذ املستقيم، أو من نقطة عليه؟

إرشاد: بواسطة املسطرة.

كيف نرسم مستقيما موازيا ملستقيم معلوم من نقطة معلومة خارج املستقيم؟فعالية

باالستعانة مبسطرة ومثلث )من أدوات الهندسة(. نضع قاعدة املثلث على املستقيم،كما في الشكل.نثبت املسطرة مبحاذاة املثلث، ثم نحرك املثلث مبحاذاة املسطرة باجتاه السهم

64

حتى متر قاعدة املثلث بالنقطة.من هذه النقطة، نرسم موازيا للمستقيم األول )باألحمر املتقطع(.

خلفية ص 69القطر في املضلع هو اخلط الواصل بني رأسني غير متجاورين. )أما اخلط الواصل بني رأسني متجاورين فهو

ضلع(.أهمية األقطار في املضلع أنها تقسمه الى أشكال أبسط، الى مثلثات مثال ، فيمكن هكذا حساب مساحته

وزواياه الداخلية.حساب عدد األقطار في املضلع يتبع قاعدة بسيطة وهي أننا نحسب عدد األقطار اخلارجة من رأس واحد،

وهذه يكون عددها عدد رؤوس املضلع مطروحا منها 3 )مثال عدد األقطار اخلارجة من رأس واحد في مثمن هي 3 - 8(.فإذا ضربنا العدد الناجت في عدد الرؤوس، لنتج لدينا عدد األقطار جميعا )40(،

مكررة مرتني، بسبب أننا حسبنا كل قطر بني رأسني مرتني: مرة من الرأس األول الى الثاني، ومرة من الرأس الثاني الى األول. ولذلك وجب قسمة العدد الناجت على 2 لنحصل على 20 قطرا في املثمن.

األقطار في املضلع - مراجعة

65

القطران في الدالتون متعامدان، ولكنهما ال ينصفان أحدهما اآلخر بالضرورة.نتذكر أن الدالتون هو شكل رباعي متكون من مثلثني متساويي الساقني لهما قاعدة مشتركة.

مترين 7

تذكير:القطران في املربع متساويان ومتعامدان وينصف أحدهما اآلخر.في املعني يتعامد القطران، وال يتساويان بالضرورة، ولكن ينصف أحدهما اآلخر. في املستطيل يتساوى

القطران، ولكن ال يتعامدان بالضرورة، وان كان ينصف أحدهما اآلخر.

مترين 8 + 10

ميكن أال يلتقي القطران في املضلع، اذا كان الشكل مقعرا.أي اذا كانت إحدى زواياه الداخلية منعكسة.مثال في هذا الشكل:

مترين 12

66

اإلجتاهات

خلفية ص 72يرمي هذا الفصل الى تعريف الطالب باجلهات األربع الرئيسية، واجلهات األربع الفرعية.في احلياة

العامة يرتبط الشرق باملكان الذي تشرق منه الشمس، بينما الغرب هو املكان الذي تغرب فيه.ولو وقفنا ويدنا اليمنى نحو الشرق واليسرى نحو الغرب، لكان وجهنا يتجه نحو الشمال، وعكسه اجلنوب.

في البحر أو الصحراء نعرف اجلهات بواسطة البوصلة. حيث أن ابرة البوصلة تتجه دائما نحو الشمال.

مترين 3 ص 73باعتبار الدائرة املعطاة،نستطيع أن نرسم خطوط اجلهات الرئيسية األربعة باألحمر:

شمال شرق

هناك إمكانيتان لتحديد الشمال والشرق، نفحص االمكانية األولى:

شمال شرق شمال

شرق

هذه االمكانية غير صحيحة ألننا لو وقفنا ووجهنا نحو الشمال لوقعت يدنا اليسرى نحو الشرق. نفحص االمكانية الثانية

شمال شرق

شمال

شرق

هذه هي االمكانية الصحيحة. ألن يدنا اليمنى تكون ناحية الشرق عندما يكون وجهنا الى الشمال.من السهل اآلن حتديد باقي اجلهات.

67

مسار اإلقالع

خلفية ص 74ميثل مسار االقالع للطائرات في املطارات، طريقة عملية الستعمال االجتاه مع الزاوية.الحظوا أن كل مسار

في مدرج املطار إمنا ميثل زاوية تقع بني 00 و3600 وبالعكس.

مترين 1 ص 75د - لرسم املسار 10، فإننا نعرف بداية أنه املسار الذي يصنع زاوية 100 درجة مع اجتاه الشمال:

شمال

.AB وضلعها A ولرسم هذا املسار ، فإننا نرسم زاوية 100 درجة يكون رأسها في النقطة

شمال

A

1000

فيكون املسار هو اخلط األخضر.

B

مترين 2 ص 75املطلوب في هذا السؤال قياس الزاوية التي يصنعها املسار مع اجتاه الشمال، ثم تسمية املسار. فمثال اذا كانت

الزاوية 110 درجات، فإننا نطلق على املسار اسم 11.مالحظة: املفروض أن ينتهي قياس أي زاوية في الشكل ب 0، مثال 2200، 1500، .. الخ، فاذا لم يكن

األمر كذلك بسبب عدم دقة الرسم، ميكن تقريب الزاوية ألقرب 100. )مثال الزاوية 1230 نقربها الى 1200(

68

مترين 3 ص 76الحظوا أوال أن لكل مسار يوجد مسار معاكس أو مضاد. والحظوا ثانيا، أننا نحصل على املسار املضاد

باضافة 180 درجة )18 على اسم املسار(.فاملسار املضاد للمسار 05 هو 18 + 05 أي 23، ولكن ما هو املسار املضاد لـ 23؟ يكفي أن نضيف 180 لـ 230 لنحصل على 410

والتي هي )بعد طرح 360( 50 درجة، أي املسار 05 الذي بدأنا منه.

األشكال الرباعية

مترين 10 ص 80ر اليها في )ج( تسمى زاوية خارجية للشكل،بينما ما أخذناه باالعتبار كزوايا للشكل هي الزوايا الزاوية املؤش

الداخلية فقط.

مترين 14 ص 81في الشكل الرباعي قد توجد زوايا )داخلية( منعكسة. مثال كالشكل في مترين 9 )ج(.

مترين 20 ص81مجموع الزوايا )الداخلية( في شكل رباعي هو 360.مجموع 3 زوايا مننفرجة هو أكبر من 270

درجة، وميكن أن يكون أقل من 360 درجة. ولذلك فإن وجود مثل هذا الشكل يظل واردا )أنظروا الشكل الرباعي التالي الذي فيه 3 زوايا منفرجة(

شبه املنحرف

خلفية ص 82هناك من ال يشترط أن "يكون الضلعان اآلخران في شبه املنحرف غير متوازيني". وبذلك فإن كل متوازي

أضالع يكون شبه منحرف. ولكننا لم نعتمد هذا التعريف ألنه أقل شيوعا.وثمة مالحظة أخرى: وهي أن القاعدتني في شبه املنحرف غير متساويتني أبدا.ولو كانتا متساويتني )وهما

متوازيتان أصال(، لتحول الشكل الى متوازي أضالع. وينتج عن ذلك أن كل شبه منحرف ميكن إكماله الى مثلث، قاعدته هي قاعدة شبه املنحرف الكبرى.

بينما رأسه هي نقطة التقاء الساقني غير املتوازيني في شبه املنحرف.

69

خلفية ص 82العالقة بني

املثلث وشبه املنحرفتقوم عالقة وثيقة بني شبه املنحرف واملثلث. فكل شبه منحرف ميكن اكماله الى مثلث عن طريق جعل الضلعني غير املتوازيني يتالقيان في نقطة تصبح هي رأس املثلث.كذلك من كل مثلث ميكن رسم شبه منحرف عن طريق

رسم ضلع مواز لقاعدة املثلث يقطع ساقي املثلث.بل أن شبه املنحرف يصنف كشبه منحرف متساوي الساقني، أسوة باملثلث، اذا كان ضلعاه غير املتوازيني ، أي

ساقاه متساويني.وعندها ميلك ما ميلكه املثلث املتساوي الساقني من خاصة تساوي زوايا القاعدة، سواء املجاورة للقاعدة الكبرى أو الصغرى.

فعالية ص 84نأخذ مجموعة من املثلثات، ونطلب من الطالب حتويلها الي أشباه منحرفات، عن طريق قصها، أو عن طريق

إضافة قطعة مستقيمة، تكون عبارة عن القاعدة الصغرى في شبه املنحرف.ثم نأخذ مجموعة من أشباه املنحرفات ونطلب منهم إكمالها الى مثلثات. جنعلهم يرون العالقة القائمة بني

املثلث املتساوي الساقني وبني شبه املنحرف املتساوي الساقني.

مترين 7 ص 86تسمى القطعة املستقيمة الواصلة بني منتصفي ساقي شبه املنحرف بالقاعدة الوسطى )وهي توازي القاعدتني

األخريني أيضا(. الفرضية في التمرين صحيحة، حتى لو لم يكن شبه املنحرف متساوي الساقني. لهذه احلقيقة مثيل في املثلثات أيضا. فالقطعة املستقيمة الواصلة بني منتصفي ضلعني في مثلث، تساوي نصف الضلع الثالث

وتوازيه أيضا.

التون الد

خلفية ص 87يعرف البعض الدالتون بأنه الشكل الرباعي املتكون من جمع مثلثني متساويي الساقني في قاعدة مشتركة.وقد

يكون الدالتون محدبا أو مقعرا، ويتوقف ذلك على الطريقة التي يلتقي فيها املثلثان. في الشكل ميثل اخلط املتقطع القاعدة املشتركة للمثلثني.

70

دالتون محدب

دالتون مقعر

والدالتون هو الشكل الرباعي الوحيد من بني األشكال الرباعية التي حتمل اسما، وال ترتبط بتواز لألضالع. فاملربع واملستطيل واملعني كلها متوازيات أضالع. وشبه املنحرف فيه ضلعان متقابالن

متوازيان.أما الدالتون فال يشترط فيه أي تواز لألضالع.

مترين 7 ص 90يسمى الشكل متماثال انعكاسيا، اذا كان مؤلفا من نصفني أحدهما انعكاس لآلخر. محور االنعكاس هو اخلط

املستقيم الذي يفصل بني النصفني.واضح أيضا أن القطر اجلانبي ال يقسم الشكل الى نصفني، اذ ليس من الضرورة أن يتساوى )يتطابق( املثلثان

املتساويا الساقني اللذين يتألف منهما الدالتون.ما رأيكم بالقطر الرئيسي؟وهل يصلح هو أن يكون محور متاثل؟

مترين 10 + 11 ص 91اذا كان القطر الرئيسي في الدالتون ينصف القطر اجلانبي )أي مير في منتصفه(، فليس معنى ذلك، أن

القطر اجلانبي ينصف القطر الرئيسي.وبشكل عام قد ينصف مستقيم محدود )أ( مستقيما محدودا آخر )ب(، وال ينصف املستقيم احملدود )ب( املستقيم احملدود )أ(. كما في الشكل:

املستقيم )أ(

ب(م )

تقيملس

ا

71

مترين 14 ص 92يصلح مستقيمان أن يكونا قطرين في دالتون، اذا كانت تتوفر فيهما صفات القطرين في الدالتون.فمثال

املسيتقمان في) د( ليسا قطري دالتون، بسبب أنهما غير متعامدين.

متوازي األضالع

خلفية ص93يعرف الطالب متوازي األضالع وباقي األشكال الرباعية، من الصفوق السابقة. في هذا الفصل سوف نتوسع في حتليل صفات هذه األشكال، في تصنيفها، وفي حتديد عالقات االحتواء بينها.

خلفية ص94في هذه املرحلة ال نقوم بـ "برهان" الصفات املعروفة للمتوازي أضالع، ألن مثل هذه البراهني حتتاج الى تطابق

املثلثات وغيرها من أدوات البرهان، التي لم يتعود عليها الطالب حتى اآلن، وجل ما نعتمد عليه اذن هو القياس العملي لألشكال،ألجل استشراف صفاتها بشكل مباشر.

فعالية ص 95على بطاقات بيضاء نسجل مجموعة من الصفات التي تنطبق أو ال تنطبق على متوازي األضالع. يسحب كل طالب بطاقة، يقرأها أمام اجلميع ويقول ان كانت تنطبق على متوازي األضالع أو ال.

من الصفات الي ميكن تسجيلها:االضالع املتقابلة متساوية.

- االضالع املتجاورة متساوية.- الزوايا املتقابلة متساوية.

- مجموع كل زاويتني متجاورتني هو 180.-االقطار ينصف أحدها اآلخر.

... -الخ.

72

مترين 16 ص99في الدالتون جند زاويتني متقابلتني متساويتني. والدالتون ليس متوازي أضالع. ميكن طبعا رسم أشكال رباعية

أخرى غير الدالتون متلك هذه الصفة، كما في الشكل.

مترين 13ص 98إرشاد: يكفي أن نتذكر أن األقطار في متوازي األضالع ينصف أحدهما اآلخر.

حاالت خاصة ملتوازي األضالع

خلفية ص 100 كل مربع هو مستطيل تساوت أضالعه، وكل مستطيل هو متوازي أضالع فيه زاوية قائمة.

وميكن أن نقول ذلك بطريقة أخرى:كل مربع هو معني فيه زاوية قائمة، وكل معني هو متوازي أضالع تساوت أضالعه.

أو رمبا هكذا: اجلميع )املستطيل، املعني، املربع( حالة خاصة من متوازي األضالع، واملربع حالة خاصة من اجلميع.

فعالية 101على عدد من البطاقات نرسم مجموعة من األشكال الرباعية، شكال لكل بطاقة: معينات، متوازيات

أضالع، مستطيالت، دالتونات، وأشكال رباعية أخرى من غير هذه العائالت.يسحب الطالب بطاقة، وعليه أن يعرف الشكل الذي عليها.

مالحظة 101فعاليات أخرى عن االشكال الرباعية ميكنكم ايجادها في كتاب بواكير للصف الثالث والرابع.

73

مترين 9 ص 102هل كل ثالث نقاط في املستوى )ليست على استقامة واحدة( ميكن اكمالها الى معني، تكون هذه النقاط

3 من رؤوسه؟

اجلواب ليس في كل احلاالت. ولكي تكون النقاط الثالث أعاله مثال رؤوسا في معني، فإن إثنني من األبعاد بينها ينبغي أن تكون متساوية.ألنها ستصبح أضالعا في املعني.

.B و A في النهاية نختار نقطة رابعة تبعد نفس البعد عن النقطتني

A

CB

C

A

B

C

A

B

D

مترين 10 ص 104 إرشاد: مبا أن النقطة M هي نقطة تقاطع قطري املعني.فإننا نوصل النقطة M مع الرأسني A و B أوال.

A

B M

مترين 14 ص 105الحظوا أن كل واحدة من اجلملتني تعطي تعريفا مكافئا للمربع.

74

بناء أشكال رباعية من مثلثات متطابقة

خلفية ص 107يهدف هذا الفصل الى اكتشاف األشكال الرباعية التي تنجم من وضع مثلثني متطابقني، جنبا الى

جنب، وهما مشتركان بضلع واحد.ومبا أن لهذين املثلني املتطابقني 3 أزواج من األضالع املتساوية، اذن ميكن تنفيذ هذه العملية بـ أكثر من وضع، ينجم عنه في كل مرة شكل رباعي مختلف.

خلفية ص 108تساوي 3 أضالع في مثلث مع 3 أضالع في مثلث آخر، بحيث أن كل ضلع في املثلث األول يقابله ضلع مساو له في املثلث الثاني، هو شرط كاف لتطابق املثلثني.وهذه هي إحدى نظريات التطابق في املثلثات.

وعلى الرغم أن الهدف ليس تعداد نظريات التطابق املختلفة واملعروفة في هذا املقام، ولكن من املهم أن يدرك الطالب أن تساوي 3 زوايا في مثلث مع 3 مثيالتها في مثلث آخر، ليس شرطا كافيا للتطابق.

نطلق على هذين املثلثني، مثلثني متماثلني.

فعالية ص 109أفضل طريقة حلل التمارين في هذه الصفحات هو جتريبها عمليا.نحضر مثلثني متطابقني، نلون بنفس

اللون كل زوج من األضالع املتساوية،ثم نقرب املثلثني أحدهما من اآلخر، حتى يلتقيا في الضلع املشترك ونرى النتيجة احلاصلة.الحظوا أن هناك وضعني مختلفني لكل زوج من األضالع املتساوية )كما

في حل مترين 2(.

مترين 10اجلواب نعم. إذا قصصنا املستطيل، على طول واحد من أقطاره، فسوف نحصل على مثلثني قائمي

الزاوية.

مترين 8أي زوج من املثلثات املتطابقة ال يعطينا شبه منحرف متساوي الساقني، والسبب أننا ال نستطيع تقسيم

شبه املنحرف املتساوي الساقني الى مثلثني متطابقني.

75

هل ميكنكم تكوين متوازي أضالع آخر؟

التماثل في األشكال الرباعية

خلفية ص 112يعرف الطالب التماثل من الصف الرابع، ويعرفون نوعني منه: التماثل االنعكاسي والتماثل الدوراني.

في هذا الفصل، سنقتصر في موضوع التماثل على األشكال الرباعية فقط. نقول عن الشكل الرباعي أنه متماثل انعكاسيا، اذا كان ميكن قسمته الى نصفني الواحد منهما هو انعكاس لآلخر، في خط مستقيم نسميه محور متاثل، أو مستقيم انعكاس. فاملربع متماثل انعكاسيا، وله أكثر من

محور متاثل. وكذلك املستطيل متماثل انعكاسيا، وله محورا متاثل.

مستطيل ومحور متاثل

نفس املستطيل مع محور متاثل آخر

76

فعالية ص 113لكي نقنع الطالب بالتماثل االنعكاسي ونريهم اياه حسيا، فإننا نأخذ شكال رباعيا، مثال مستطيل،

ونطلب منهم أن يطووه الى نصفني ينطبق أحدهما على اآلخر، ونسألهم ان كان ميكن فعل ذلك. جنعلهم يطوون املستطيل عند خط الوسط األفقي أوال، ونريهم كيف أن طي املستطيل عند ذاك اخلط

جعل منه نصفني متطابقني. نفتح املستطيل ونريهم اخلط البارز في الوسط والذي صار اسمه محور التماثل.

نسألهم ان كان باالمكان طي املستطيل في مكان آخر واحلصول على نفس النتيجة، حتى يتوصلوا الى خط التماثل الثاني وهو خط الوسط العمودي.نطوي املستطيل عند محور التماثل الثاني.

نختار خطا مستقيما ثالثا على املستطيل ونعلمه بالقلم، ونسأل ان كان هذا املستقيم يصلح أن يكون محور متاثل أو ال ، جنعلهم يجربون بأنفسهم ويتوصلون الى اجلواب، من أن اخلط اجلديد ليس محور

متاثل للمستطيل.وجنعلهم يدركون أن ليس معنى ذلك أن املستطيل ليس متماثال انعكاسيا.

وراني في األشكال الرباعية التماثل الد

خلفية ص 115الفكرة في التماثل الدوراني، أن جميع األشكال عند دورانها حول نقطة معينة تعود الى وضعها األصلي بعد 360 درجة، ولكن هناك أشكال كاملربع مثال، تعود الى وضعها األصلي قبل 360

درجة. فاملربع يعود الى وضعه األصلي بعد 90 درجة، واملثلث املتساوي األضالع يعود بعد 60 درجة. عن مثل هذه األشكال نقول أنها متلك متاثال دورانيا.

مترين 2 ص 114في )ز( ال اسم خاص للشكل، ولذلك نكتفي بتسميته شكال رباعيا.

واضح كذلك أن الشكل غير متماثل انعكاسيا، وال ميلك بالتالي محور متاثل.في )ح( افحصوا اذا كان قطرا املربع هما محورا متاثل أيضا، باالضافة الى ما يوجد من محاور متاثل أخرى.

خلفية ص 116مركز الدوران

مركز الدوران هو النقطة التي يتم دوران الشكل حولها. ونحن نستطيع تدوير الشكل حول أي نقطة نريد، فيختلف الدوران باختالف مركز الدوران.

وعندما نبحث عن متاثل دوراني لشكل ما، فنحن نبحث أيضا عن النقطة التي ميكن تدوير الشكل حولها، بحيث نعود الى الوضع األول للشكل قبل 360 درجة.

وفي املربع مثال، اخترنا نقطة مريحة هي مبثابة مركز املربع أو نقطة تالقي أقطاره، ولو اخترنا نقطة غيرها ملا حصلنا على نفس النتيجة. أي ملا كان املربع ميلك متاثال دورانيا حسب نقطة الدوران اجلديدة. وهذا ما نفعله

مع باقي األشكال، نبحث عن النقطة التي قد يعطينا الدوران حولها متاثال دورانيا.

77

التبليط

خلفية ص 118تضم مادة التبليط في هذه املرحلة تبليط منطقة غير محددة املساحة بواسطة مضلعات منتظمة.

قواعد التبليط هي القواعد العادية التي يستعملها أي بالط وهي:- ال يترك مساحة خالية.

- ال يضع بالطة فوق بالطة، وال فراغ بني البالطات.- ميكن استعمال جزء من بالطة مللء فراغ صغير.

- هناك منط ثابت يعود على نفسه في التبليط.ط أن يبلط مساحات أكبر على نفس النمط، وفي كل االجتاهات. - يستطيع البال

أما البالطة التي نقصدها نحن فمضلع منتظم يقوم مقام البالطة.هدف الدرس أن يدرك الطالب، بعد أن يجرب عدة أنواع من التبليط، أن التبليط مبضلعات متطابقة

ومنتظمة، والذي يسير على القواعد املذكورة، ال يتم اال اذا استعملنا مثلثات متساوية األضالع أو مربعات، أو مسدسات منتظمة.

املضلعات املنتظمة

خلفية ص 119لكل عدد طبيعي، ابتداء من 3، يوجد مضلع منتظم له نفس العدد من األضالع.مثلث متساوي

األضالع، مربع، مخمس منتظم.. الخ.تساوي األضالع في املضلع ليس معناه تساوي الزوايا. كذلك فإن تساوي الزوايا ال يلزم عنه تساوي األضالع،فاملعني جميع أضالعه متساوية، دون أن

يعني ذلك تساوي زواياه. ويشذ عن ذلك املثلث الذي يؤدي تساوي األضالع فيه الى تساوي الزوايا وبالعكس.

نحتاج هذه املراجعة القصيرة عن املضلعات املنتظمة، كونها "املواد" التي سنستخدمها في التبليط.

78

خلفية ص 120املضلع املنتظم

يعرف الطالب املضلع من الصف األول. وقد عرفناه هناك بأنه اخلط املنكسر املغلق الذي ال يقطع نفسه.وقد قدمنا املثلثات واألشكال الرباعية واخلماسية كمضلعات.وكون املضلع مغلقا وال يقاطع

نفسه، مينحه صفة ثابتة هي أن عدد رؤوسه مثل عدد أضالعه، مثل عدد زواياه.وفي املضلع قد تختلف أطوال األضالع، وقياسات الزوايا. ولكن في املضلع املنتظم تتساوى جميع

األضالع فيما بينها، وتتساوى جميع الزوايا فيما بينها أيضا.

زوايا املضلع املنتظم

خلفية + مترين 1 ص 121إليجاد مقدار الزاوية الداخلية الواحدة في املضلع املنتظم ميكننا استعمال طريقة ثانية تعتمد على

قسمة املضلع الى مثلثات، ولكن من نقطة داخل املضلع، وليس من أحد رؤوسه، كما في مترين 1.مثال إليجاد مجموع زوايا املسدس

نختار نقطة داخل املسدس، ونصل هذه النقطة برؤوس املسدس.

لقد أصبح لدينا اآلن 6 مثلثات زواياها هي زوايا املسدس، شرط أن نطرح منها 360 درجة هي الزوايا حول النقطة داخل املسدس :

180 × 6 - 360 أي 720. ومبا أن جميع زوايا املسدس املنتظم متساوية فان زاوية واحدة من هذه الزوايا تساوي

.120 6، أي 720مقسوما على

79

مالحظة ص 122ميكن وضع الطريقة املشروحة سابقا إليجاد مقدار الزاوية الداخلية الواحدة في املضلع املنتظم على شكل قانون:

مجموع الزوايا الداخلية = 180 مضروبا بعدد األضالع، مطروحا منها 360.أما مقدار الزاوية الداخلية الواحدة فيساوي مجموع الزوايا الداخلية مقسوما على عدد األضالع في املضلع

املنتظم.نستطيع طبعا ايجاد مجموع الزوايا الداخلية للمضلع غير املنتظم أيضا بنفس الطريقة. ولكننا ال نستطيع ايجاد

مقدار الزاوية الواحدة، بسبب أن الزوايا الداخلية، في املضلع غير املنتظم غير متساوية فيما بينها بالضرورة.

مالحظة ص 123كوننا نطلب تبليطا منتظما ال يعني أن ما نرى في مترين )1( ليس تبليطا. بل هو تبليط ولكنه غير منتظم.

بليط املنتظم الت

مترين 1 ص 124ج- التبليط في هذا القسم هو تبليط منتظم، وذلك أوال: ألن املثلثات التي نستعملها في التبليط هي

منتظمة )متساوية األضالع(. وجميعها متطابقة.وثانيا: كل مثلثني مشتركني في التبليط يلتقيان في ضلع مشترك، أو رأس مشترك، أو ال يلتقيان باملرة.

هل كل مضلع منتظم يصلح للتبليط املنتظم؟

مترين1 ص 125)أسئلة ومحادثة(

ج- الشرط الالزم لكي يصلح املضلع املنتظم للتبليط املنتظم أن يكون العدد 360 من مضاعفات قياس الزاوية الداخلية للمضلع.لهذا السبب كان املسدس املنتظم الذي زاويته الداخلية 120 درجة صاحلا للتبليط:

120 × 3 = 360 بينما املخمس املنتظم ال يصلح بسبب أن مقدار الزاوية الداخلية الواحدة له هي 108، و 360 ليس من

مضاعفاتها.

80

فعاليةفي جميع متارين التبليط املذكورة في هذا الفصل، يكون التجريب العملي بواسطة املواد الورقية أو

الكرتونية هو أفضل وسيلة لتقريب املوضوع ألذهان الطالب. وميكن بالتالي حتويل أي مترين في هذا الفصل الى فعالية عملية ولعبة يشترك بها جميع الطالب.

التبليط مبضلع غير منتظم

خلفية ص 129 نوع آخر من التبليط يكون مبضلعات غير منتظمة، من نفس النوع، ومتطابقة،وبنفس شروط التبليط

السابقة. وهناك نوع ثالث من التبليط أيضا وهو تبليط باستعمال نوعني مختلفني من املضلعات املنتظمة،لن نتطرق له في هذا الكتاب.

خلفية ص 130يهدف هذا الفصل الى تقدمي معنى التعامد بني اخلطوط املستقيمة، كمقدمة ملوضوع االرتفاع في املثلث

ومتوازي األضالع وغيره من األشكال.

اإلرتفاعات املستقيمات املتعامدة

ل أنتم جاهزون؟ ه

81

مترين 5 ص131من نقطة على خط مستقيم ميكن رسم مستقيم واحد فقط يكون عموديا على هذا املستقيم.

ونستطيع أن نشرح السبب للطالب بطريقة بسيطة، اذ لو أمكن رسم عمودين مثال، ألصبحت زاوية قائمة 90 درجة داخل زاوية قائمة وهذا ال يجوز.

أو ألصبح مجموع درجات الزاوية املستقيمة أكثر من 90 درجة.

اإلرتفاعات في املثلث

خلفية ص 132نقدم موضوع اإلرتفاعات في املثلث كمقدمة حلساب مساحة املثلث.

من املهم أن يدرك الطالب أن في كل مثلث 3 ارتفاعات، كل ارتفاع نازل من رأس املثلث الى الضلع املقابل لهذا الرأس.

في املثلث املنفرج الزاوية إثنان من هذه االرتفاعات الثالثة تقع خارج املثلث نفسه. أما في املثلث القائم الزاوية فإن اثنني من االرتفاعات هما الضلعان القائمان في املثلث.

82

فعالية ص 133يرسم املعلم/ة شارعا والى جانبه مجموعة من البيوت املتفرقة. يسأل أي البيوت هو أقرب الى

الشارع؟ وماذا يعني ذلك؟نبدأ ببيت واحد.نسأل أي اخلطوط املمدودة من البيت الى الشارع متثل البعد بني البيت والشارع؟

يتوصل اجلميع الى القول أن أقصر اخلطوط املمتدة من البيت الى الشارع هو اخلط الذي يصنع زاوية قائمة مع الشارع، أي الذي يكون عموديا عليه. عن طريق اجراء بعض القياسات، نقنع اجلميع أن

هذا اخلط العمودي هو بالفعل أقصر اخلطوط الواصلة من البيت للشارع.أخيرا ومن أجل االجابة عن السؤال األول، وهو أي البيوت هو أقرب للشارع. ينبغي أن نرسم جميع

األعمدة النازلة من البيوت الى الشارع وقياسها، وكشف أقصرها.فعالية ص 135

يرسم املعلم/ة على اللوح مثلثا، ويطلب من الطالب رسم امتداد أضالع هذا املثلث. كم امتدادا ميكن رسمه للضلع الواحد؟ )اثنني(.

نسأل الطالب أسئلة مثل: ملاذا يسمى ما رسمناه إمتدادا للضلع؟ ما عالقته بالضلع نفسه؟ . .الخ

فعالية ص 136يرسم املعلم على اللوح مثلثا، ويطلب من الطالب رسم االرتفاعات الثالثة للمثلث.

يبدأ مبثلث حاد الزوايا،حيث االرتفاعات الثالثة ترسم داخل املثلث.إحدى الدالئل على صحة الرسم هو التقاء اإلرتفاعات الثالثة في نقطة واحدة. يذكر املعلم/ة للطالب هذه احلقيقة بعد أن

يراها اجلميع في الرسم أمامهم على اللوح.ننتقل الى مثلث منفرج الزاوية، ونرغب أن نرسم ارتفاعاته الثالثة والتي يقع اثنان منها خارج

املثلث، ويصنعان زاوية قائمة، ليس مع الضلع بل مع امتداده. اذا كان رسم الطالب صحيحا فان االرتفاعات الثالثة )احلمراء( تلتقي في هذه احلالة أيضا في نقطة واحدة.

أخيرا ننتقل الى مثلث قائم الزاوية، ونطلب رسم االرتفاعات الثالثة لهذا املثلث، لنكتشف أن اثنني من هذه االرتفاعات هما الضلعان القائمان للمثلث. وأن االرتفاعات الثالثة تلتقي في نقطة واحدة أيضا هي

رأس الزاوية القائمة.

83

مترين15 ص 137لرسم مثلث يكون اثنان من ارتفاعاته متساويني، يكفي أن جنرب مثلثا متساوي الساقني.ما رأيكم

باالرتفاعني النازلني على ساقي املثلث؟

كيف نرسم ارتفاعا ملثلث بصورة عملية؟ ص 137نستطيع أن نرسم بواسطة املسطرة العادية ارتفاعا للمثلث.نضع قاعدة املسطرة فوق ضلع املثلث

بحيث مير طرف املسطرة بالنقطة A . نرسم خطا مبحاذاة املسطرة في وضعها ذلك، فيكون هو االرتفاع املطلوب.

A

BC

مترين17 ص 138إرشاد: سجلوا املثلثات الثالثة في الشكل أوال، ونوع كل مثلث.

اإلرتفاع في متوازي األضالع

خلفية ص 139نرسم االرتفاع في متوازي األضالع كتوطئة حلساب مساحته. ورسم االرتفاع في متوازي األضالع يتبع

نفس األسس التي يتبعها رسم االرتفاع في املثلث. من الرأس الى الضلع املقابل، فإن لم يكن الى الضلع املقابل، أنزلنا االرتفاع على امتداد الضلع. ولكن ثمة فرق بني املثلث ومتوازي األضالع، فهناك 4

رؤوس في متوازي األضالع، ومقابل كل رأس هناك ضلعان ال ضلع واحد كما في املثلث.بحيث ميكن رسم 8 ارتفاعات. ولكن حلسن احلظ فإنها تنقسم الي مجموعتني، وكل 4 منها متساوية.

84

مترين 3 ص 140أ - ال نستطيع إنزال ارتفاع من النقطة املميزة )الزرقاء( الى الضلع املقابل )األحمر( مثال:ولذملك ننزل

ارتفاعا على امتداد الضلع كما في الشكل:

مترين 6 ص 141إرشاد: في املرحلة األولى نرسم مستقيما عموديا على القطعة احلمراء من طرفها األسفل.هذا املستقيم

سيصبح ضلعا في متوازي األضالع:

في املرحلة الثانية نرسم موازيا للمستقيم الذي رسمناه عند طرف القطعة احلمراء، ومساويا له بالطول. هذا أيضا سيكون ضلعا ثانيامقابال للضلع األول، في متوازي األضالع.

في املرحلة الثالثة نكمل الضلعني األخيرين في متوازي األضالع.

فعالية ص 142تساوي االرتفاعات في متوازي األضالع

الهدف من هذه الفعالية متييز االرتفاعات املتساوية من بني ارتفاعات متوازي األضالع. نسأل الطالب أوال: كم ارتفاعا ميكن رسمه في متوازي األضالع؟ ونتوصل للجواب 8

)4 رؤوس ومن كل رأس يخرج ارتفاعان(.هل االرتفاعان اخلارجان من نفس الرأس هما متساويان؟ )ليس بالضرورة(.هل اإلرتفاعان النازالن على نفس الضلع من الرأسني املقابلني متساويان؟ )نعم(، هل

اإلرتفاعات النازلة على الضلعني املتوازيني متساوية )نعم(. كم عددها )4(. والنتيجة أنه بني الـ 8 ارتفاعات، هناك 4 ارتفاعات متساوية،و 4 أخرى غيرها متساوية أيضا.

85

خلفية ص 144ميكن تعريف "البعد"في ثالث حاالت: أولها البعد بني نقطتني، وثانيها البعد بني نقطة وخط

مستقيم، وثالثها البعد بني خطني مستقيمني متوازيني )ألن البعد بني خطني متقاطعني يعرف كصفر(.في جميع هذه احلاالت يعرف البعد كأقصر الطرق الواصلة بني الشكلني اللذين نعرف البعد بينهما.

البعد بني مستقيمني متوازيني

خلفية ص145يرتبط موضوع البعد بني مستقيمني متوازيني، مبوضوع االرتفاع في املتوازي أضالع. حيث أن ارتفاع متوازي األضالع املقام من أحد أضالعه هو في احلقيقة البعد بني هذا الضلع والضلع املقابل له والذي

يوازيه.

مترين1)أسئلة ومحادثة( ص 145

ج - نأخذ باالعتبار ان كان الطريقان يتقاطعان، وهما ال شك سيتقاطعان لو كانا ميتدان مسافة كافية. ونأخذ باالعتبار ان كان الرجالن يسيران في اجتاه واحد أو اجتاهني مختلفني. نسأل ان كانا سيمران على

األقل في نفس النقطة من الطريق.

فعاليةنأخذ مستقيمني متوازيني )أ( و )ب( . نرسم مستقيما عموديا على واحد من املستقيمني. هل يكون هذا

املستقيم عموديا على املستقيم املوازي له أيضا؟

جنعل الطالب يخمنون أن اجلواب هو نعم. ثم ندعوهم لقياس الزاوية التي يصنعها املستقيم العمودي مع املستقيم )ب(.

نطلب منهم أن يكتبوا استنتاجهم:املستقيم العمودي على مستقيم هو عمودي أيضا على كل مستقيم مواز له.

أ

ب

86

مترين 5 ص 147 .AB هو طول العمود الواصل بينهما، أي طول BC و AD البعد بني الضلعني

مترين 6 ص 147هـ - البعد بني ضلعني متجاورين من أضالع مربع هو 0، كون هذان الضلعان متقاطعني.

فعالية ص 147ارتفاع شبه املنحرف

نرسم شبه منحرف على اللوح، وقد نبدأ بشبه منحرف متساوي الساقني.نطلب من الطالب رسم ارتفاع للشكل.

نسأل أي االرتفات أسهل للرسم؟ )االرتفاعات النازلة على القاعدة السفلى(.نسأل ما هو السبب؟ )ألن القاعدتني متوازيتان، واالرتفاعان النازالن على القاعدة السفلى

متساويان.

نسأل هل ميكن أن يكون أحد أضالع شبه املنحرف هو ارتفاع له أيضا. اجلواب: نعم، في شبه املنحرف القائم الزاوية )مترين 5(

فعالية ص 148إرتفاعات املعني

نرسم معينا على اللوح ونطلب من الطالب أن يرسموا ارتفاعات هذا املعني.نسألهم كم ارتفاعا للمعني؟ )8 ارتفاعات(

أي االرتفاعات بني هذه اإلرتفاعات متساوية؟ )جميعها متساوية(.والسبب: في متوازي األضالع كانت 8 ارتفاعات، كل 4 منها متساوية، واملعني هو متوازي أضالع.

وباالضافة الى ذلك فإن اي ارتفاع من املجموعة األولى يساوي ارتفاعا من املجموعة الثانية، ولذلك فإن االرتفاعات جميعها متساوية.

87

خلفية ص 149بعد أن قدمنا موضوع االرتفاعات في املثلث ومتوازي األضالع، فإننا نصبح جاهزين للبحث في

مساحة املثلث ومتوازي األضالع.ال ننسى أن الطالب على دراية كافية مبعنى املساحة، وبوحدات املساحة، وهم يستطيعون حساب

مساحة املستطيل واملربع.وقد اخترنا أن نبدأ مبراجعة ما يعرفه الطالب عن املساحة.

الفصل اخلامس

قياس املساحات

هل أنتم جاهزون؟

مترين 7 ص 1511 سم2 هي مساحة مربع طول ضلعه 1سم.

مترين 10 ص 151الطريقة املوصوفة في مترين 10 حلساب مساحة شكل، تستعمل حلساب مساحة شكل ليس مستطيال

كامال. فنكمله ملستطيل، ونحسب مساحته بالتقريب.بحيث نحسب اوال عدد املربعات الكاملة التي تدخل في الشكل. ثم نحسب عدد املربعات الناقصة، وكل مربع ناقص نحسبه كامال اذا كان املوجود منه

أكثر من النصف، ونهمله فيما عدا ذلك. ومن املفروض أن يكون الطالب قد تعلموا هذه الطريقة في مرحلة سابقة.

في الشكل وضعنا نقطة حمراء في املربعات الناقصة. ونقطة خضراء في املربعات الكاملة. عدد النقاط اخلضراء هو 10. وعدد النقاط احلمراء 5 منها 3 )تقريبا(نحسبها كاملة، واملجوع 13.

88

مترين 13 ص 152إرشاد: تذكروا أن وحدات املساحة التي ندخلها في الشكل من أجل حساب مساحته ينبغي أن تغطيه متاما.

مترين 14 ص 152إرشاد:يستطيع نايف وهشام أن يستخدما وحدات مساحة مختلفة.وجواب أحدهما يختلف عن جواب

اآلخر، ألن كال منهما استخدم وحدات مختلفة.

مترين 16 ص 153إرشاد: عندما نقص املستطيل على طول القطر، هل يتكون مثلثان متطابقان أو ال؟

مقارنة املساحات

مترين1 ص 154أ - ملقارنة دائرتني ميكن وضع واحدة فوق األخرى.

ب - يستطيع جميل أن يفكك شكال ليغطي بأجزائه الشكل اآلخر.

مترين 2 ص 155إرشاد: ماذا يفعل جميل لو رأى الشكل بطريقة أخرى:

مترين 9 ص 157مساحة املربع الذي طول ضلعه 0.5 سم هي 0.25 سم2 . ولبيان ذلك، نرسم مربعا طول ضلعه 1

سم، نقسم طوله الى نصفني وكذلك عرضه.

89

إن املربع األحمر الصغير، هر مربع طول ضلعه 0.5 سم. ومساحته تساوي ربع مساحة املربع الكبير. فإذا كانت مساحة املربع الكبير هي 1 سم2 ، فإن مساحة املربع الصغير هي 1/4 سم2 .

مالحظة: امتنعنا عن حساب مساحة املربع الصغير عن طريق ضرب الطول 1/4 سم بنفسه، ألن الطالب لم يتعلموا حتى اآلن ضرب الكسور.

مساحة املربع واملستطيل

مساحة املربع ص160إذا كنا قد توصلنا الى قانون مساحة املستطيل، بأنه يساوي حاصل ضرب الطول في العرض، فإن قانون

مساحة املربع هو حاصل ضرب الضلع في نفسه. ينبغي أال ننسى ربط املربع باملستطيل، واشتقاق قانون مساحة املربع من قانون مساحة املستطيل. فاملربع هو مستطيل أيضا يتساوي فيه الطول والعرض. واذن وبدل القول أن مساحة املربع هي الطول في العرض، فإننا نقول أن مساحة املربع هي طول الضلع

في نفسه.أو مربع الضلع.

مترين 5 ص 161في قسم )ج( من هذا التمرين مطلوب معرفة ضلع املربع اذا عرفت مساحته.وكأننا نطلب من الطالب أن

يحلوا معادلة تربيعية هي:a2 = 16

طبعا نحن ال نسعى الى حل التمرين بهذه الطريقة. بل ميكن تبسيط األمر، بأننا نبحث عن عدد لو ضربناه بنفسه، لكان حاصل الضرب 16.واجلواب هو 4.

مترين 8 ص 162حلل مترين 8 )أ(، ميكن العمل بطريقتني. األولى تقسيم الشكل الى 3 أقسام، وحساب مساحة كل

قسم. والطريقة الثانية إكمال الشكل الى مربع، حساب مساحة املربع، ثم طرح مساحة القسم الذي أضفناه للشكل.

مالحظة ص 162األشكال في هذا الفصل وضعت للتوضيح فقط. ولذلك فمن غير الضروري أن تكون القياسات

املسجلة دقيقة في الرسم أو متناسبة.

90

مترين 9 ص 163إرشاد: القسم امللون في الشكل، هو الفرق بني مساحتي املستطيل اخلارجي واملستطيل الداخلي.

مترين 11 ص163إرشاد: هناك أكثر من طريقة حلل سؤال 11. أحدها أن نكمل الشكل ليصبح مربعا طول ضلعه 4

سم،نحسب مساحة املربع ونطرح منه القسم الذي أضفناه.طريقة أخرى هي أن نحسب مساحة كل "درجة" في الشكل ثم جنمع جميع املساحات.

وهناطريقة ثالثة وهي حتويل الشكل كله الى مربعات صغيرة بطول 1 سم كل مربع.

تقدير املساحات

خلفية ص 165طريقة حساب املساحة بالطريقة املشروحة في هذا الفصل هي طريقة تصلح لألشكال التي ال ميكن ادخال

عدد صحيح فيها من املربعات.ولذلك نلجأ الى تقدير العدد الصحيح لهذا العدد فقط.

مترين 3 ص 167ج - إرشاد:ميكننا حتويل الشكل الى مستطيل، لو نقلنا جزءا من الشكل الى جهة أخرى.

مترين 4 ص 167في جميع األشكال في هذا التمرين، ميكن حتويل الشكل الى مستطيل، إذا قصصنا جزءا من الشكل،

وألصقناه في جهة أخرى. هذه هي في احلقيقة الطريقة التي سوف نتبعها في الفصل القادم إليجاد مساحة متوازي األضالع، أي عن طريق حتويله الى مستطيل، والطريقة هي قص جزء من الشكل والصاقه ثانية في مكان آخر نكمل

فيه شكل املستطيل.

91

مساحة متوازي األضالع

خلفية ص 168إليجاد مساحة متوازي األضالع، فإننا نحوله الى مستطيل، بـ "تصحيحه"، أي بتحويل قسم منه

الى قسم آخر. الحظوا أنه بعد حتويل متوازي األضالع الى مستطيل، فإن القاعدة في الشكلني تظل بنفس الطول.أما عرض املستطيل الناجت فهو نفس ارتفاع متوازي األضالع. حتى أننا ال نحتاج عمليا الى حتويل متوازي االضالع الى مستطيل كلما رغبنا في حساب مساحته، بل يكفي أن نضرب قاعدة متوازي األضالع باالرتفاع النازل على هذه القاعدة. هذه املساحة هي نفسها مساحة املستطيل الذي

كان متوازي األضالع سوف يتحول اليه لو مت حتويله.

مترين 3 ص 170املطلوب في هذا التمرين قياس ضلع من أضالع متوازي األضالع )نسميه القاعدة(. إنزال ارتفاع على

هذه القاعدة، قياس طوله، ثم ايجاد حاصل ضرب طول القاعدة في طول االرتفاع.

مترين 5 ص 170الهدف من هذه املغالطة في التمرين أن يدرك الطالب، أننا وحلساب املساحة، نضرب طول الضلع في

االرتفاع النازل على هذا الضلع بالذات، وليس على ضلع آخر.

مالحظة ص 170في جميع متارين هذا الفصل األشكال هي للتمثيل وليست بالضرورة دقيقة عند القياس.

فعالية ص 173يحضر املعلم/ة متوازي أضالع مكون من أعواد بالستيكية ميكن حتريكها في نقاط التقائها األربع،

بحيث يتغير شكل املتوازي أضالع وزواياه، )دون تغيير أطوال األضالع طبعا(.نسأل الطالب أي متوازي أضالع هو األكبر مساحة بني جميع املتوازيات أضالع التي ميكن تكوينها بهذه

الطريقة؟نستمع الى إجاباتهم.نحرك املتوازي أضالع، بحيث تكبر مساحته أو تصغر، وبحيث ميكن معاينة

الفرق احلاصل بالعني.نسأل الطالب ما الذي يحدث الرتفاع متوازي األضالع كلما قمنا بتحريكه؟ ونسألهم أن يحددوا

العالقة بني مساحة متوازي األضالع وبني طول االرتفاع.جنعلهم يستنتجون أنه، ومبا أن القاعدة ثابتة، اذن فان املساحة مرتبطة باإلرتفاع فقط.

ولكن متى يكون االرتفاع أكبر ما ميكن؟ نترك الطالب يستنتجون أن ذلك يحدث عندما يتحول متوازي األضالع الى مستطيل.

92

مترين 18 ص 174إرشاد: املطلوب ايجاد عددين ،الفرق بينهما 2، وحاصل ضربهما 63.

فعالية ص 174يرسم املعلم/ة على اللوح متوازي أضالع. يسأل عن كيفية ايجاد مساحة الشكل. يختار ضلعا من

األضالع ، ويرسم االرتفاع النازل عليه. يجد املساحة، بضرب طول الضلع في طول االرتفاع النازل عليه. يسأل ان كان ثمة طريقة أخرى إليجاد املساحة. ما رأيكم أن نأخذ الضلع املقابل للضلع الذي

أخذناه؟ ومن ثم االرتفاع النازل على هذا الضلع. هل تتغير النتيجة؟ )ال(. ملاذا؟ )ألن الضلعني املتقابلني متساويني، واالرتفاعني النازلني عليهما متساويان إيضا(.

لنأخذ الضلع املجاور اذن. هل اإلرتفاع النازل على الضلع املجاور هو نفسه االرتفاع النازل على الضلع األول؟ )ال(.هل تتوقعون أن تتغير مساحة متوازي االضالع لو حسبناها من هذا الضلع املجاور

واالرتفاع النازل عليه؟)ال( ملاذا؟ )ألن املساحة ثابتة ال تتغير(.

ولكن الضلع تغير وتغير طوله؟ )كذلك سيتغير االرتفاع النازل عليه، ولكن حاصل الضرب سيكون واحدا(. يقوم املعلم بحساب املساحة حسب الضلع واالرتفاع اجلديدين ليرى اجلميع أن النتيجة

واحدة.

مساحة املثلث

خلفية ص 175حساب مساحة املثلث تعتمد أيضا على حساب مساحة املستطيل، وكما حدث في متوازي األضالع،

حيث حولنا متوازي األضالع الى مستطيل مساحته تساوي مساحة متوازي األضالع، كذلك نفعل مع املثلثات . فكل مثلث ميكن إكماله الى مستطيل، مساحته ضعفا مساحة املثلث.

فعالية ص 176قانون حساب املساحة

بعد حل مترين 2، ميكننا أن نطلب من الطالب ايجاد صيغة قانون ملساحة مثلث قائم الزاوية.وأن يكتبوا هذه الصيغة بالرموز ويعبروا عنها بالكلمات.

بالرموز: s = )a × b ( ÷2

حيث أن a و b هما الضلعان القائمان في املثلث.وبالكلمات: مساحة املثلث لقائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب الضلعني القائمني في املثلث.

93

فعالية ص 177نعطي لكل طالب مستطيال من الورق أو الكرتون، ونطلب منهم أن يكونوا من هذا املستطيل مثلثا

مساحته تساوي نصف مساحة املستطيل.احلل البسيط لهذه املسألة أن يطوي الطالب املستطيل ، أو يقصوه على طول خط القطر، لينتج لديهم

مثلثان قائما الزاوية مساحة كل منهما تساوي نصف مساحة املستطيل.ولكن ملاذا كانت مساحة املثلث هي نصف مساحة املستطيل؟ نسألهم. اجلواب أن املثلثني الناجتني

متطابقان. ومجموع مساحتيهما تساوي مساحة املستطيل، متاما كما جنمع: نصف + نصف واجلواب 1 صحيح.

مترين 4 ص 178ج- ماذا لو كان االرتفاع املعطى للمثلث املنفرج الزاوية في قسم )ج( هو من هذه الصورة:

A

E C

كيف نستطيع إكمال املثلث الى مستطيل مساحته ضعفا مساحة املثلث؟ لو أكملنا الى املستطيل . AEC ABCD، ملا كانت مساحة هذا املستطيل ضعفي مساحة املثلث الذي بدأنا منه

.ABC بل هي ضعفا مساحة املثلث القائم الزاوية ان مساحة مثلثنا املطلوب AEC هي الفرق بني مساحتي املثلثني ABC و ABE.أي الفرق بني نصفي

مساحتي املستطيلني ABCD و ABEF . ولكن الفرق بني مساحتي هذين املستطيلني هو املستطيل EFCD وهو مستطيل له نفس قاعدة املثلث املطلوب ونفس ارتفاعه.

A

B C

D

E

F

94

فعالية ص 179نرسم على اللوح مثلثا، وعلى أحد األضالع نرسم ارتفاعا لهذا الضلع.

نسأل الطالب إن كان باالمكان رسم مثلث آخر له نفس مساحة هذا املثلث.نتفق معهم أنه لرسم مثلث له نفس املساحة يكفي أن نرسم ضلعا مساويا للضلع الذي أقيم عليه االرتفاع في املثلث األول، ونقيم عليه

ارتفاعا بنفس طول االرتفاع األول.

ثم نصل رأس املثلث من نهاية االرتفاع الى الرأسني اآلخرين لنحصل على املثلث املطلوب.

نسألهم كم مثلثا كهذا ميكن أن نرسم، بنفس الشرط، ونتوصل معهم الى أننا ميكن أن نرسم ما ال نهاية من املثلثات. والسبب أننا نستطيع أن نقيم االرتفاع من أي نقطة على الضلع.

مترين 8 ص 181إرشاد:في هذا التمرين نركز اهتمام الطالب على املعطيات التي ينبغي لهم أخذها بعني االعتبار، مع

وجود معطيات أخرى ال تأثير لها في اإلجابة على السؤال. ففي القسم )أ( مثال، االرتفاع هو 4 سم، والضلع الذي ينبغي أن يؤخذ باحلسبان عند حساب املساحة، هو الضلع 8سم وليس الضلع بطول 7

سم،ألن االرتفاع مقام على األول.

فعالية ص 182نوزع على الطالب نسخا من نفس املثلث، ونطلب منهم حساب مساحة هذا املثلث.نسأل أي ضلع

نختار، وإن كان باالمكان أن نختار أي ضلع من الثالثة أضالع؟نستمع الى إجاباتهم، ثم نختار ضلعا واحدا، ونسأل أي ارتفاع نختار مع هذا الضلع من أجل حساب املساحة؟ فيكون جوابهم االرتفاع النازل

على هذا الضلع من الرأس املقابل. اآلن نقيس كال من الضلع واالرتفاع،ونرى النتيجة.بعد حصولنا على النتيجة، نسأل ان كان باالمكان احلصول على نفس النتيجة، لو استعملنا ضلعا آخر.

جنرب، ونقوم بنفس اخلطوات حتى نحصل على نتيجة مساوية للنتيجة األولى.نطلب من الطالب أ ن يجربوا بأنفسم بالنسبة للضلع الثالث.

95

أسئلة أخرى في املساحة

مترين 1 ص 183إرشاد: نقسم شبه املنحرف الى 4 أقسام، كما في الشكل، ونحسب مساحة كل قسم.

مترين 3 ص 184 إرشاد: أرسموا مستطيال مساحته 8 سم2 أوال.

مساحة املثلث BEC هي 4 سم 2 لرسم مثلث آخر غير BEC، وله نفس املساحة، نختار نقطة أخرى غير النقطة E ونصل مرة ثانية مع

C B و

مترين 6 ص 184أ -لألشكال املتطابقة نفس املساحة، صحيح.

ب - ولكن األشكال التي لها نفس املساحة من غير الضروري أن تكون متطابقة، فقد يكون الشكل األول مثلثا والثاني مربعا .. الخ

4 سم

سم 2

C و B ونصلها مع ADنختار أي نقطة على

A

B C

D

4 سم

سم 2

A

B C

DE

96