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Bayerische Julius-Maximilians-Universität
Würzburg Erste Staatsprüfung für ein Lehramt an Gymnasien schriftliche Hausarbeit im Fach: Didaktik der Mathematik Thema: Konzeption einer Lernlaborstation zum Thema: Die Mathematik des Baggers
eingereicht bei: Prof. Dr. Weigand
vorgelegt von: Stefan Herold
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ...................................................................................................................................... 3
Vorwort ....................................................................................................................................................... 5
Einleitung ................................................................................................................................................... 7
1. Das technische Arbeitsgerät Bagger ............................................................................................... 8
1.1 Übersicht über der verschiedenen Baggertypen ............................................................................ 8 1.1.1 Unterteilung nach dominierendem Antrieb .......................................................................... 9 1.1.2 Unterteilung nach dem Typ ................................................................................................ 10 1.1.3 Weitere Unterteilungsmöglichkeiten .................................................................................. 12
1.2 Arbeitseinrichtungen ................................................................................................................... 13 1.2.1 Tieflöffel-Arbeitseinrichtung .............................................................................................. 13 1.2.2 Greifer-Arbeitseinrichtung ................................................................................................. 14 1.2.3 Ladeschaufel- oder Hochlöffel-Arbeitseinrichtung ............................................................ 15
1.3 Hydraulikbagger .......................................................................................................................... 16
2 Mathematische Analyse ................................................................................................................. 21
2.1 Das Krandreieck .......................................................................................................................... 21 2.1.1 Abhängigkeit: Winkel - Längenänderung einer Seite ......................................................... 26 2.1.2 Abhängigkeit: Punktkoordinaten - Längenänderung ......................................................... 31
2.2 Das Gelenkviereck ....................................................................................................................... 40
3 Didaktische Analyse ....................................................................................................................... 46
3.1 Das mathematische Beweisen ..................................................................................................... 46 3.2 Das Problemlösen ........................................................................................................................ 47
4 Vergleich zwischen Lernlaborstation und Projekttagen ............................................................. 50
4.1 Die Schülerprojekttage 2008 ....................................................................................................... 50 4.2 Vergleich der Arbeitsweisen bei Projekttagen und in einer Lernlaborstation ............................. 52 4.3 Umsetzung der während der Projekttage gewonnenen Erkenntnisse in der Lernlaborstation ..... 53
5 Die Lernlaborstation ...................................................................................................................... 57
5.1 verwendete Materialien innerhalb der Lernlaborstation .............................................................. 57 5.2 Verwendung von Fachbegriffen .................................................................................................. 60 5.3 Ausblick....................................................................................................................................... 60
6 Evaluation ....................................................................................................................................... 61
7 Danksagungen ................................................................................................................................ 64
8 Anhang ............................................................................................................................................ 65
8.1 Anhang A: Aufgabenblätter ......................................................................................................... 65 8.2 Anhang B: Aufgabenblätter mit Lösung ...................................................................................... 83 8.3 Anhang C: Hilfestellungen ........................................................................................................ 101 8.4 Anhang D: Betreuerinformationen ............................................................................................ 105 8.5 Anhang E: Screenshots zu den Applets ..................................................................................... 106 8.6 Anhang F: Tabellarische Beschreibung des zeitlichen Ablaufs der Schülerprojekttage 2008; Thema der Gruppe: „Mathematik rund um den Bagger“ .................................................................... 111 8.7 Anhang G: Fragebogen .............................................................................................................. 117
9 Abbildungsverzeichnis ................................................................................................................. 120
10 Literaturverzeichnis ..................................................................................................................... 122
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Vorwort
Wer kennt sie nicht, die manchmal etwas kuriosen, meist unglaublichen Darbietungen
der samstäglichen Unterhaltungssendung „Wetten, dass …“, bei denen mit Baugeräten
wie dem Löffelbagger oder dem Kran Bierflaschen geöffnet werden, der Baggerführer
samt seinem Tonnen schweren Bagger einen 15 Meter hohen Turm erklimmen oder mit
einem Spezialbagger aus der Schweiz1 über einen Würfel mit mehreren Metern
Kantenlänge klettert.
Die meisten Zuschauer kommen bei diesen Wetten ins Staunen, aber kaum darauf, dass
diese Kunststücke auch mit Mathematik zu tun haben könnten. Auf diese Tatsache
wurde ich durch einen Aushang, in dem für den Aufbau eines Lernlabors Studierende
für eine schriftliche Hausarbeit gesucht wurden, aufmerksam. Neben rein
mathematischen Themen wie Spiralen oder Parabeln fand sich auch der Eintrag
Bagger, Kran & Co. Ein Thema, dass mich sofort aufgrund zweier Hobbies von mir
interessierte. Zum einen wegen meiner Vorliebe für Reparaturarbeiten und dem damit
verbundenem Interesse für technischer Geräte, angefangen beim Fahrrad bis hin zum
Getriebe eines Schleppers, zum anderen wegen der Digitalfotographie, bei der ich mich
auch mit der Makrofotografie und der Fotografie technischer Gegenstände beschäftige.
Im Laufe des Fortschreitens dieser Arbeit begann ich zu entdecken, wie viel
Mathematisches in einem Bagger tatsächlich steckt, wenn man ihn sich mit den Augen
eines Mathematikers betrachtet. Angefangen bei den Drehungen und Verschiebungen,
den Krandreiecken, mit deren Hilfe sich der Baggerarm bewegen kann, und dem
Gelenkviereck, das zwischen einem Gelenk und dem Löffel eines Tieflöffelbaggers zum
Einsatz kommt, über die funktionalen Abhängigkeiten etwa zwischen Zylinderlängen
und der Position eines bestimmte Elementes des Baggerarmes, bis hin zur Simulation
einer senkrechten bzw. waagerechten Bewegung des Löffels oder der komplexen
Abbildung eines realen Baggers am PC mit Hilfe dynamische Geometriesoftware.
Bisher gibt es im Bereich Mathematik noch keine einschlägige Literatur, die sich
speziell mit dem Bagger beschäftigt. Dies hatte im Laufe der Erstellung dieser Arbeit
die Vorteile, dass ich kreative Eigenleistung erbringen konnte und auch bei Auswahl der 1 siehe hierzu auch „http://www.menzimuck.com/index-mm.html“
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interessierenden Themen wenig gebunden war. Es hatte aber auch den Nachteil, dass es
zum Teil einen erheblichen Zeitaufwand bedeutete, eine bestimmte Fragestellung zu
verfolgen nur um letztendlich festzustellen, dass die Beantwortung der Frage sehr
schwierig oder aber nicht für eine Aufgabe in der Lernlaborstation geeignet ist. Dies
war z.B. bei der Simulierung der senkrechten Bewegung der Baggerschaufel der Fall.
Einen zusätzlichen Einblick, was Schüler an diesem Thema interessiert, bekam ich
schließlich durch die Mitarbeit während der Schülerprojekttage im Jahre 2008, an dem
sich der Fachbereich Didaktik der Mathematik mit dem Thema „Mathematik rund um
den Bagger“ beteiligte. Dabei zeigte sich, dass die bisher von mir geleistete Arbeit
bezüglich der Auswahl der Themen aus der Vielzahl der Möglichkeiten, die der
Bezugspunkt Bagger bietet, auch Schüler interessierte, aber auch, dass es noch Bereiche
wie das Gelenkviereck gab, die noch erschöpfender behandelt werden sollten.
Um den Lesefluss zu erleichtern und die Übersichtlichkeit zu verbessern wurde in der
vorliegenden Arbeit lediglich die männliche Form für Gruppen von Personen
verwendet. Diese Bezeichnungen beziehen selbstverständlich immer auch Frauen mit
ein.
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Einleitung
Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen des Projektes „Mathematik-Labor“ des
Lehrstuhls für Didaktik der Mathematik der Julius-Maximilians-Universität Würzburg.
Die folgende Arbeit beschreibt die Entstehung der Lernstation. In Kapitel 1 werden
einige technische Informationen zum Arbeitsgerät Bagger vorgestellt, erläutert welche
unterschiedlichen Baggertypen es gibt. Insbesondere wird die Arbeitseinrichtung eines
Tieflöffelbaggers vorgestellt, über den die Aufgaben der Lernlaborstation handeln. In
Kapitel 2 wird eine mathematische Analyse der am Baggerarm vorkommenden
geometrischen Formen Krandreieck und Gelenkviereck vorgenommen. Es wird
untersucht welche Gesetzmäßigkeiten vorkommen. Die folgenden Kapitel beschäftigen
sich mit den Aufgaben der Lernlaborstation, den für die Station erstellten
Modellbaggern und den Intensionen, die Hintergrund der Aufgabenstellungen sind. Am
Ende der Arbeit wird der Inhalt der Lernlaborstation mit den dazugehörigen Aufgabe,
Modellbaggern und GeoGebra-Applets wiedergegeben.
Die Lernstationen des Mathematik-Lernlabor sollen für folgende Gruppen sein2:
• für Schüler der 10. bis 12. Jahrgangsstufe
• für Studierende im Rahmen von Seminaren
• für Referendare im Rahmen ihrer Ausbildung
• für Lehrer im Rahmen von Fortbildungsmaßnahmen
Jede Station sollte von den Schülern in Gruppenarbeit innerhalb von 3 Stunden zu
bearbeiten sein.
Ist im Weiteren von Schülern die Rede, die Lernlaborstation bearbeiten sollen, bezieht
diese Bezeichnung immer auch Studierende, Referendare und Lehrer mit ein, die die
Station ebenfalls bearbeiten können sollen.
2 nach http://www.mathematik-labor.org/sites/kapitel_2_index.html, zuletzt aufgerufen am 26.03.2009
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1. Das technische Arbeitsgerät Bagger
Dieses Kapitel soll einen groben Überblick über die gängigen Baggertypen und ihre
Einteilung geben sowie die Basis für die spätere Verwendung von Fachbegriffen in
dieser Arbeit schaffen. Ebenso soll ein technisches Hintergrundwissen vermittelt
werden.
Eine treffende Beschreibung der Baumaschine Bagger könnte folgendermaßen
aussehen:
Ein Bagger ist eine Baumaschine zur Bewegung von Erdmaterial, sei es zum Ausheben
oder zum Befüllen von Erdvertiefungen wie Baugruben. Ein Bagger wird auch zur
Bewegung von Schütt- und anderen Gütern oder bei der Gewinnung von Kohle und
Erzen im Tagebau eingesetzt.
1.1 Übersicht über der verschiedenen Baggertypen
Es gibt eine große Anzahl verschiedener Bagger, die alle sehr unterschiedlich aussehen
können. Man kann diese nach unterschiedlichen Gesichtspunkten einteilen:
• Art des dominierenden Antriebes
• Typ
• verwendetes Fahrwerk
• Größe
Je nachdem welcher Aspekt wichtig erscheint, wird einer der oben genannten Punkte als
Kriterium für die Einteilung herangezogen. Ist man zum Beispiel als
Transportunternehmer daran interessiert, Bagger von Punkt A nach Punkt B zu bringen,
wird man eine Sortierung nach der Art des Fahrwerks bzw. nach der Größe verwenden.
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Typ Antrieb Bauform bzw. Ausrüstung
Seilbagger Hochlöffelbagger, Schlepplaufbagger
Eingefäßbagger /
Unstetigbagger
Hydraulikbagger Raupenbagger, Mobilbagger
Universalbagger
Grundmaschine
Hydraulikbagger
Hochlöffel- und Tieflöffelbagger,
Greifer- bzw. Kranbagger
Eimerkettenbagger Hochbagger, Tiefbagger
Mehrgefäßbagger /
Stetigbagger
Schaufelradbagger -
Pump- bzw.
Saugbagger
-
nach (KUNZE, 2002, S. 151)
Die Mehrgefäßbagger sind hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt. Sie werden im
weiteren Verlauf dieser Arbeit nicht behandelt, da sie im alltäglichen Baubetrieb kaum
zum Einsatz kommen. Aus diesen Gründen wird auch keine Aufgabe des Lernlabors
von diesem Baggertyp handeln.
1.1.1 Unterteilung nach dominierendem Antrieb Seilbagger Baggerähnliche Maschinen gibt es seit etwa 160 Jahren. Bis in die 1950er Jahre wurden
zum Materialabbau ausschließlich Seilbagger verwendet (MELCHINGER, 1992, S. 3).
Beim Seilbagger sind das Arbeitsgerät und der Ausleger mit dem Oberwagen über eine
Seilkonstruktion verbunden. Aufgrund der im Vergleich zu Hydraulikbaggern
geringeren Leistungsfähigkeit und der daraus resultierenden geringeren
Einsatzmöglichkeiten werden sie heute kaum noch im konventionellen Materialabbau
eingesetzt.
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Abbildung 1: Seilbagger mit Schürfkübel als Arbeitsgefäß aus dem Jahr 1962
Seilbagger werden noch heute bei Abbrucharbeiten ober bei Spezialaufgaben wie dem
Brunnenbau verwendet. Beim Abbruchseilbagger läuft ein langes Seil über den
Ausleger des Baggers. An dessen Ende befindet sich eine massive Eisenkugel, die
aufgrund ihrer Form und Verwendung Abbruchbirne genannt wird. Durch eine
Drehbewegung wird die Birne ausgelenkt und gegen das Abbruchmaterial geschlagen.
Hydraulikbagger
Eine ausführliche Betrachtung erfolgt in Kapitel 1.3, da zunächst in Kapitel 1.2 die
benötigten Fachbegriffe eingeführt werden müssen.
1.1.2 Unterteilung nach dem Typ
Am häufigsten wird nach den beiden Baggertypen Stetig- und Unstetigbagger
unterschieden. Diese Einteilung bietet die Vorteile, dass sie innerhalb dieser beiden
Aufteilungen nochmals sehr feingliedrig ist. Zudem ist mit der Einteilung nach dem Typ
meist auch gleichzeitig der Einsatzzweck verbunden.
Beispiel: geringer Materialabtrag bis 3 m Höhe Unstetigbagger Hochlöffelbagger
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Abbildung 2: verschiedene Abbaumethoden
Stetige3 bzw. ununterbrochene Förderung Hier gibt es den Eimer-Ketten-Bagger, bei dem Eimer nach der Art eines Becherwerks
an einer endlosen Kette befestigt sind, und Pump- oder Saugbagger, die dazu eingesetzt
werden weichen Schlick, Sand usw. aus Wasser zu fördern, indem sie das von einer
Pumpe angetriebene Wasser durch Wasserströmung mitreißen.
Unstetige bzw. unterbrochen Förderung Alle Bagger, bei denen der Arbeitsablauf, das sogenannte Arbeitsspiel, zyklisch ist
heißen Unstetigbagger. Das Arbeitsspiel eines Baggers setzt sich im Wesentlichen aus
den folgenden Teilbewegungen zusammen (MELCHINGER, 1992, S. 10):
• Lösen und Aufnehmen des abzubauenden Materials
• Heben des Auslegers
• Schwenken des Oberwagens zum Entladeort
• Entleeren des Grabgefäßes 3 Die beiden Begriffe „unstetige“ bzw. „stetige“ Förderung haben in diesem Zusammenhang streng genommen nichts mit dem mathematischen Begriff „stetig“ bzw. „unstetig“ zu tun. Betrachtet man allerdings zum Beispiel ein Koordinatensystem in dem auf der y-Achse das Gesamtgewicht des Baggers bei einer unterbrochenen Förderung in Abhängigkeit des zeitlichen Verlaufes (x-Achse) dargestellt ist, so kann man sehr wohl einen Graph feststellen dessen Funktion unstetig ist. Für den Fall einer ununterbrochenen Förderung erhält man den Graph einer stetigen Abbildung.
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• Rückschwenken des Oberwagens
• Senken des Auslegers in Grabstellung
Anschließend beginnt dieser Ablauf von vorne.
Beim Eimer-Ketten-Bagger findet dieser Ablauf nicht zyklisch sondern gleichzeitig
statt.
1.1.3 Weitere Unterteilungsmöglichkeiten
Zusätzlich zu den oben genannten Einteilungsvarianten, werden Bagger auch nach
verwendetem Fahrwerk oder ihrer Masse unterteilt.
Unterteilung nach verwendetem Fahrwerk Es gibt Bagger mit Radfahrwerk, auch Mobilbagger genannt. Sie können aufgrund ihrer
Bauart am öffentlichen Straßenverkehr teilnehmen und Geschwindigkeiten bis 25 km/h
erreichen. Um die Mobilität auch im Gelände zu gewährleisten sind in der Regel alle
Räder angetrieben. Die Abmessung und das Gewicht werden durch die
Straßenverkehrsordnung begrenzt.
Die zweite mögliche Antriebsart geschieht über ein Raupenfahrwerk. Ein geringerer
Bodendruck und eine bessere Kraftübertragung auf den Untergrund sind die wichtigsten
Vorteile dieser Bagger. Dadurch stehen sie sicherer und können größere Steigungen als
Mobilbagger bewältigen.
Aufgrund des Raupenfahrwerks erreichen Raupenbagger nur eine Geschwindigkeit von
3 km/h. Damit sind sie nicht für den öffentlichen Straßenverkehr zugelassen und
müssen mit speziellen Transportfahrzeugen von einem zum anderen Einsatzort gebracht
werden.
Unterteilung nach der Größe Entscheidendes Kriterium für die Einteilung der Bagger ist ihr Gewicht.
Beträgt das Gewicht des Baggers zwischen 1 t und 6 t, spricht man von einem
Minibagger. Beträgt das Gewicht zwischen 7 t und 10 t spricht man vom Midibagger,
ab einem Gesamtgewicht von über 11 t spricht man lediglich von einem Bagger.
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1.2 Arbeitseinrichtungen
Im Erdbau werden im Wesentlichen für drei verschiedene Grabgefäßarten Arbeits-
einrichtungen verwendet, der Tieflöffel, der Greifer sowie Hochlöffel.
1.2.1 Tieflöffel-Arbeitseinrichtung
Zum Arbeiten unterhalb der Standebene, also z.B. zum Ausheben von Gruben, wird
diese Arbeitseinrichtung verwendet. Dabei wird „zum Lösen und Aufnehmen des
Materials […] der Tieflöffel auf den Bagger zu bewegt. Das aufgenommene Material
wird […] oberhalb der Standebene des Baggers auf ein Transportfahrzeug geladen oder
auf eine Halde geschüttet.“ (MELCHINGER, 1992, S. 5). Für diese Arbeitseinrichtung gibt
es eine große Anzahl von Löffelgrößen und –formen.
Bei den Auslegern sind zwei Formen zu unterscheiden, der Monoblockausleger und der
zweiteilige Verstellausleger. Die Länge des Auslegers und die Bauart hängen von der
gewünschten Reichweite, der auszuführenden Arbeit und der benötigten Kraft ab.
Abbildung 3: Foto eines Baggers mit Monoblockausleger
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Monoblockausleger (in der obenstehenden Abbildung farblich hervorgehoben) sind aus
einem einzigen Bauteil gefertigt. Dadurch weisen sie eine höhere Steifigkeit als
Verstellausleger auf und sind kostengünstiger. Die Bauform ist meist leicht
angewinkelt.
Bei den Verstellauslegern gibt es zwei Varianten. Zum einen die Version, bei der sich
das Ausleger-Oberteil gegenüber dem Unterteil verschieben kann (siehe Abbildung 4),
und zum anderen die Variante bei sich das Ausleger-Oberteil gegenüber dem Unterteil
durch ein zusätzliches Gelenk drehen kann (siehe Abbildung 5).
Abbildung 4: Verstellausleger mit verschiebbarem Oberteil, Quelle: (MENCHINGER,1992, S. 7)
Abbildung 5: drehbarer Verstellausleger, Quelle (MELCHINGER, 1992, S. 7)
In der Station des Lernlabors und in dieser Arbeit wird hauptsächlich auf den
Tieflöffelbagger mit Monoblockausleger eingegangen. Diese Baggerart ist die am
häufigsten gebaute, deshalb sollte bei den Bearbeitern der Lernlaborstation ein gewisses
Vorwissen vorhanden sein. Zudem sollte dadurch von den Schülern ein Bezug zur
Umwelterfahrung hergestellt werden können.
1.2.2 Greifer-Arbeitseinrichtung Diese Arbeitseinrichtung wird zum Ausheben von Material aus engen Schächten und
Gräben benutzt. Zum Lösen und Aufnehmen des Materials werden die Greiferschalen
durch Hydraulikzylinder geschlossen. Zum Entleeren werden die Schalen geöffnet. Der
Greifer kann anstelle des Tieflöffels an die Arbeitseinrichtung eines Tieflöffelbaggers
angebracht werden. (MELCHINGER, 1992, S. 7)
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Abbildung 6: Greifer-Arbeitseinrichtung, Quelle (MELCHINGER, 1992, S. 6)
1.2.3 Ladeschaufel- oder Hochlöffel-Arbeitseinrichtung Im Gegensatz zum Tieflöffelbagger wird beim Ladeschaufelbagger nicht unter- sondern
oberhalb der Standebene des Baggers das Material ausgehoben. Dabei wird zum Lösen
und Aufnehmen des Materials die Ladeschaufel vom Bagger weg bewegt. Eine schnelle
Schaufelfüllung wird durch horizontales Einstechen und anschließendes Ankippen der
Ladeschaufel erreicht.
In Abbildung 7 ist ein Hydraulikbagger mit Hochlöffel-Arbeitseinrichtung dargestellt.
Abbildung 7: Hydraulikbagger mit Hochlöffel-Arbeitseinrichtung, Quelle: (MELCHINGER, 1992, S. 9)
In der Regel wird die Schaufel über eine Klappe die sich an der Unterseite des Löffels
befindet entleert. Befindet sich die Schaufel oberhalb des Entladebereiches und in
horizontaler Stellung, wird die Klappe geöffnet.
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1.3 Hydraulikbagger
Ein Hydraulikbagger besteht grundsätzlich aus drei Elementen
• Unterwagen
• Oberwagen
• Arbeitseinrichtung
Der Unterwagen dient zur Fortbewegung des Baggers und kann aus einem Rad- oder
Raupenantrieb bestehen4. Der Oberwagen ist mit dem Unterwagen über ein Wälzlager
verbunden. Er kann somit gegenüber dem Unterwagen um 360° gedreht werden.
Abbildung 8: Mobil-Hydraulikbagger mit Tieflöffel-Arbeitseinrichtung, Quelle: (MELCHINGER, 1992, S. 4)
Im Oberwagen befinden sich der Antriebsmotor, das hydraulische Antriebssystem
sowie das Fahrerhaus. Als Antriebsmotor kommt meist ein Dieselmotor zum Einsatz,
selten auch ein Elektroantrieb. Das hydraulische Antriebssystem besteht aus
Hydraulikpumpen, die für die den nötigen Ölfluss und –druck sorgen, und aus den
Steuerblöcken und Ventilen, die den Ölfluss in den Verbindungsleitungen steuern. Die
Verbindungsleitungen führen zu den verschiedenen Hydraulikzylindern.
Die Arbeitseinrichtungen bestehen aus Ausleger, Stiel und Grabgefäß. (siehe Abbildung
8)
4 Vgl. Abschnitt „Unterteilung nach verwendetem Fahrwerk“
17
Der Antrieb im Detail
Bei Hydraulikbaggern erfolgt die Bewegung der Arbeitsgelenke mit Hilfe von
Kolbenzylindern. Die Zylinder sind im Allgemeinen mit Mineralöl gefüllt und werden
über eine oder mehrere Ölpumpen angetrieben. Deshalb werden sie meist auch
Hydraulikzylinder genannt.
Hydraulikzylinder bestehen aus einem Kolben, der Kolbenstange und einem
Zylinderrohr. (siehe Abbildung 9)
Abbildung 9: Detailschnitt durch einen doppeltwirkenden Hydraulikzylinder
1 Zylinder
2 Ölein- bzw. auslass
3 Kolben
4 Ölein- bzw. auslass
5 Kolbenstange
Die Druckdifferenz die im Zylinder herrscht bewirkt eine Kraftübertragung auf den
Kolben und somit auf die Kolbenstange. Die Hydraulikzylinder sind doppeltwirkenden,
d.h. der Druck innerhalb des Zylinders kann sowohl auf der linken als auch auf der
rechten Seite des Kolbens geändert werden. Die Kolbenstange kann somit nach außen
und nach innen bewegt werden, je nachdem ob der Druck links (p1 > p2) oder rechts
vom Kolben (p2 > p1) größer ist (siehe Abbildung 10). Bewegt sich der Kolben z.B.
nach rechts nimmt das Volumen V1 zu, während das Volumen V2 abnimmt. Dies hat zur
Folge, dass ins Volumen V1 Hydrauliköl über den Öleinlass (2) (vgl. Abbildung 9)
nachfließen und gleichzeitig über den Ölauslass (4) (vgl. Abbildung 9) die gleiche
Menge an Öl abfließen muss.
Abbildung 10: schematische Darstellung des Ausfahrens (links) und Einfahrens (rechts) eines doppeltwirkenden Zylinders
18
Die Richtung der Kolbenbewegung und die damit verbundene Längenänderung des
gesamten Hydraulikzylinders sowie die Bewegungsgeschwindigkeit lassen sich über
sogenannte Steuergeräte variieren. Dadurch wird insgesamt die hydraulische Arbeit, die
die Hydraulikpumpe des Baggers verrichtet, in kinetische und potentielle Energie
umgewandelt.
Die Bedienung eines Hydraulikbaggers
Abbildung 11: Bild einer Baggerkabine/Fahrerhaus mit Steuergeräten
Abbildung 12: schematische Darstellung der Wirkung des linken Steuergerätes
Abbildung 13: schematische Darstellung der Wirkung des rechten Steuergerätes
In der Baggerkabine befinden sich links und rechts des Fahrersitzes zwei Joysticks
(siehe Abbildung 11). Jeder Joystick kann zwei Steuergeräte regeln, insgesamt also vier.
Bewegt man den linken Bedienungsgriff zur linken und rechten Seite, so dreht sich der
19
Oberwagen samt Arbeitseinrichtung. Bewegt man ihn nach oben hebt sich der Stiel,
bewegt man ihn nach unten senkt er sich.
Mit dem rechten Joystick kann man analog zum linken Joystick den Ausleger auf- und
abbewegen sowie den Löffel bedienen. (vgl. Abbildung 13 sowie Abbildung 14, Gelenk
1 bzw. 3)
Je weiter man den Joystick von seiner Ursprungsposition auslenkt, desto schneller
bewegen sich der oder die angesteuerten Kolben. Zwei Kolben bewegt man gleichzeitig,
in dem man einem Joystick auslenkt, also z.B. den linken Joystick nach rechts oben um
den Bagger zur gleichen Zeit zu drehen und den Stiel (siehe Gelenk 2 in Abbildung 14)
nach oben zu bewegen. Bezieht man den zweiten Bedienungsgriff in gleicher Weise mit
ein kann man alle vier Funktionen des Baggers gleichzeitig steuern.
Abbildung 14: Minibagger mit Tieflöffel-Arbeitseinrichtung
Hat die Arbeitseinrichtung einen Verstellausleger oder bietet der Bagger weitere
Merkmale befinden sich bei den meisten Herstellern Funktionsknöpfe am Joystick.
Durch Drücken der Knöpfe wechselt man zwischen den einzelnen Funktionen. (vgl.
LIEBHERR, 2009)
20
Je nachdem an welcher Stelle der Arbeitseinrichtung sich ein Hydraulikzylinder
befindet, wird dieser unterschiedlich genannt. Befindet er sich an Oberwagen und
Ausleger heißt er Auslegerzylinder, zwischen Ausleger und Stiel heißt er Stielzylinder
und zwischen Stiel und Grabgefäß Löffelzylinder.
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2 Mathematische Analyse
Im weiteren Verlauf der Arbeit werden folgende Bezeichnungen für die Größen im
Dreieck bzw. Viereck verwendet, wie sie auch aus der nebenstehenden Abbildung zu
einem Dreieck ABC zu entnehmen sind:
• [AB] für eine Stecke bzw. eine Seite eines Polygons mit den Endpunkten A und
B
• K(A, r) für einen Kreis mit Mittelpunkt A und Radius r
• d(A, B) für den Abstand der Punkte A und B
• α für den Winkel BAC, usw
• Im Dreieck:
a für Länge der Seite [BC], b die Länge der
Seite [AC] und c die Länge der Seite [AB]
• hc für die Höhe auf c, usw.
• Im Viereck:
a für die Länge der Seite [AB], usw.
2.1 Das Krandreieck
Definition 1: Krandreieck
Unter einem Krandreieck versteht man ein Dreieck mit zwei Seiten fester Länge und
einer Seite, bei der die Länge variiert werden kann.
Folglich hängt die Art der Bewegung davon ab, welche Seite in ihrer Lage fixiert ist.
Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, zum Einen das Fixieren einer Seite mit fester
Länge oder aber das Fixieren der Seite dessen Länge variabel sein sollt. Die zweite
Möglichkeit ist jedoch weniger interessant, da ein solches Krandreieck am
Hydraulikbagger nicht zu finden ist.
Fixiert man die Lage einer der beiden Seiten mit fester Länge, so sind damit auch
gleichzeitig die beiden Endpunkte der Strecke fixiert. In der untenstehenden Abbildung
sollen die Seitenlängen a, b fest und c variabel sein sowie die Seite [AB] fixiert sein.
Abbildung 15: Dreieck ABC
22
Verändert man nun die Länge a so bewegt sich der Punkt C auf einer Kreislinie mit
Radius b um den Punkt A, da b fest gewählt wurde.
Abbildung 16: Krandreieck ABC, Seitenlänge a wird variiert
Arbeitet man mit einer dynamischen Geometriesoftware wie GeoGebra, so lässt sich
ein Krandreieck leicht simulieren5, indem man eine Strecke [AB] vorgibt, deren
Endpunkte A und B fixiert werden. Anschließend konstruiert man einen Kreis K1(A, r1)
mit festem Radius r1 sowie einen Kreis K2(B, r2) dessen Radius mittels eines
Schiebereglers verändert werden kann. Das Schneiden der beiden Kreise liefert bei
geeigneter Wahl des Wertebereiches von r2 zwei Schnittpunkte C und D. Geeignet
bedeutet hier, dass für r2 die Ungleichung | | erfüllt sein muss.
Konzentriert man sich auf den Punkt C, so erhält man durch Verbinden der Punkte A, B
und C ein Krandreieck, dessen die Seitenlänge a (entspricht r2) variiert werden kann,
und dessen andere Seitenlängen hingegen konstant sind.
Hält man sich diese Konstruktionsschritte zum Simulieren eines Krandreiecks vor
Augen, bietet sich noch eine andere Möglichkeit der Definition an, bei der mehr Wert
auf diesen Sachverhalt gelegt wird.
Definition 2: Krandreieck
Sei K1 ein Kreis mit festem Radius r1 und Mittelpunkt im fixierten Punkt A und K2 ein
Kreis mit variablen Radius r2 und Mittelpunkt im fixierten Punkt B sowie C einer der
beiden Schnittpunkte von K1 und K2. Das dadurch festgelegte Dreieck ABC heißt
Krandreieck.
5 In Abbildung 18 ist Bildausschnitt zur Konstruktion eines Krandreiecks mit der DGS GeoGebra dargestellt.
23
Abbildung 17: Krandreieck ABC mit zwei Kreisen nach Definition 2
Anzahl und Position der Krandreiecke am Bagger
Monoblockausleger:
An einem Tieflöffelbagger gibt es insgesamt drei Krandreiecke wenn die
Arbeitseinrichtung mit einem Monoblockausleger ausgerüstet ist. Das erste Krandreieck
befindet sich zwischen dem Oberwagen des Baggers und dem Ausleger, das zweite
zwischen Ausleger und Stiel, das dritte befindet sich zwischen Stiel und Baggerlöffel.
In Abbildung 18 sind die Krandreiecke entsprechend dieser Aufzählung nummeriert.
Abbildung 18: Monoblockausleger mit drei Krandreiecken
24
Verstellausleger:
Handelt es sich hingegen beim Ausleger um einen Verstellausleger, so kommt wie in
Abbildung 19 bei Ziffer 2 zu sehen, noch ein weiteres Krandreieck hinzu, welches
benötigt wird um den Ausleger zusätzlich noch knicken zu können.6
Abbildung 19: Bild eines Baggers mit drehbarem Verstellausleger, d.h., mit 4 Krandreiecken
Zu beachten ist hierbei, dass der Zylinder von Krandreieck 2 stets an einer beliebigen
Stelle am Teil des Auslegers, der sich näher am Oberwagen befindet, befestigt ist,
jedoch niemals am Oberwagen wie Zylinder von Gelenk 1. Wäre dies so, könnte sich
Gelenk 1 nicht unabhängig von Gelenk 2 bewegen und umgekehrt, da eine konstruktive
bedingte Koppellung vorliegt.
Wie aus der zweiten Definition für Krandreiecke hervorgeht, lässt sich durch Variation
der Seitenlänge a der Punkt C auf einem Kreis bewegen. In Abbildung 21 ist dies
bildlich dargestellt. In Abbildung 20 findet man ein reales Krandreieck eines
Hydraulikbaggers. In diesem Fall kann sich der obere rechte Punkte, an dem der
Hydraulikzylinder mit Monoblockausleger verbunden ist, lediglich auf einem
Kreisabschnitt bewegen, da sich die Länge eines komplett eingefahrenen
6 vgl. auch Kap 1.3.1
25
Hydraulikzylinders höchstens verdoppeln kann. Dadurch wird die Längenänderung der
variablen Seite eingeschränkt.
Abbildung 20: Detailfoto eines Krandreiecks am Bagger
Abbildung 21: Krandreieck mit Teil eines Kreisbogens (Spur)
Erst durch die Kombination von mehreren Krandreiecken lassen sich nicht nur Punkte
auf einer Kreislinie erreichen, sondern auch Punkte in einem gewissen Bereich.
Der Bereich, den z.B. die Löffelspitze erreichen kann, ist von mehreren Faktoren
abhängig, wie etwa der Anzahl der Gelenke, der Abmessungen der Bauteile des
Arbeitsgerätes sowie der Länge der Hydraulikzylinder.
Da die Reichweite der Baggerspitze entscheidend ist für den Einsatz auf der Baustelle
und somit auch ein wichtiges Kaufkriterium darstellt, finden sich in vielen Prospekten
von Baggerherstellern Abbildungen aus denen die maximale Reichweite der
Löffelspitze ersichtlich ist. In Abbildung 22 ist beispielhaft eine solche Darstellung zu
finden, die mit Hilfe des Modellbaggers Liebherr Litronic 974 ermittelt wurde.
Aufgezeichnet wurde jeweils die Spur der Löffelspitze.
Bewegt man lediglich den Löffelzylinder, erhält man als Ortskurve der Löffelspitze
einen Teil einer Kreislinie (in Abbildung 22 ist dies Kurve 1). Wird zusätzlich noch der
Stielzylinder in geeigneter Weise mitbewegt, erhält man Kurve 2 (vgl. Abbildung 22).
Diese begrenzt den maximalen Bewegungsbereich der Löffelspitze. Bewegt man
schließlich alle drei Zylinder des Hydraulikbaggers erhält man als maximale Reichweite
der Löffelspitze die Kurve 3.
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Abbildung 22: Skizze eines Hydraulikbaggers mit drei unterschiedlichen Bewegungskurven
2.1.1 Abhängigkeit: Winkel - Längenänderung einer Seite
Neben der Frage auf welcher Kurve sich der nicht fixierte Punkt eines Krandreiecks
bewegt, kann man auch untersuchen welcher Zusammenhang zwischen den
Innenwinkeln und der Längenänderung einer Seite besteht. Zunächst wird der
einfachere Fall eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet, der anschließend
verallgemeinert wird.
Für den Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks können die Winkel bei bekannter
Seitenlänge über die Funktionen Sinus, Kosinus bzw. Tangens berechnet werden.
Dieser Fall tritt immer dann ein, wenn die Gleichung des Satzes von Pythagoras erfüllt
ist.
27
Variiert man die Seitenlänge von a im Dreieck ABC7 und der Winkel α soll 90°
betragen, so muss diese Länge genau
² ², falls c die Hypotenuse und
² ², falls b die Hypotenuse, also die längere der beiden Seiten mit
fester Länge ist, sein.
Für den allgemeinen Fall benötigt man hauptsächlich die folgenden Beziehungen:
1. Sinussatz:
Der Sinussatz gibt eine Beziehung zwischen zwei Seitenlängen und zwei
Winkeln an. bzw.
Demnach ist das Verhältnis zweier Seitenlängen gleich dem Verhältnis der
Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkel.
2. Kosinussatz:
Der Kosinussatz gibt eine
Beziehung zwischen drei
Seitenlängen und einem Winkel
an.
a² = b² + c² - 2bc cos(α)
b² = a² + c² - 2ac cos(β)
c² = a² + b² - 2ab cos(γ)
Zahlenbeispiel:
Gegeben sind die Seitenlängen a=5 LE, b = 8 LE, c = 9 LE, gesucht ist der
Winkel β.
Auflösen der Gleichung b² = a² + c² - 2ac cos(β) nach β liefert β arccos ² ² ² = arccos 62,2°
7 Das Dreieck ABC soll wie üblich definiert sein; vgl. etwa Abbildung 17
28
Im vorherigen Kapitel wurde die Seitenlänge
von a variiert. Sei nun die Seitenlänge b
variabel und die anderen beiden Seitenlänge
a und c fest gewählt sowie die Lage der Seite
[AB] fixiert. (vgl. Abbildung rechts)
Man erhält eine Funktion Beta(b),
mit Beta: [| |; ] [0°,180°],
die den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Winkel β und der Seitenlänge b
angibt, Beta b arccos ² ² ²2
Mit den Zahlenwerten des obigen Beispiels erhält man als Graphen der Funktion Beta:
Abbildung 24: Graph der Funktion Beta
Man erkennt den Verlauf des Graphen einer gestreckten und verschobenen Arccos-
Funktion. Die beiden Extremlagen von β = 0° bzw. β = 180° erhält man für
Abbildung 23: Krandreieck ABC mit variablerSeitenlänge b
29
b = 4 LE = 9 LE – 5 LE = a – c bzw. für
b = 14 LE = 9 LE + 5 LE = a + c.
In diesen Fällen ist das Dreieck ABC entartet, da die Punkte A, B und C auf einer
Geraden liegen.
Bei einem realen Gelenk eines Baggers können die Extremlagen konstruktionsbedingt
nicht erreicht werden. Der Winkel β = 180° würde für das mathematische Krandreieck
ABC bedeuten, dasss die Seiten [AB], [BC] und [AC] aufeinander liegen. Für die drei
Bauelemente Hydraulikzylinder, Oberwagen und Ausleger eines Krandreiecks am
realen Bagger würde dies bedeuten, dass diese unterschiedlichen Bauelemente den
gleichen Platz einnehmen müssten.
Je nachdem an welcher Stelle der Arbeitseinrichtung sich das Krandreieck befindet und
welche Baggerkonstruktionsart vorliegt, gibt es unterschiedlich große Intervalle für den
Winkelbereich. Am Holzmodell des Hydraulikbaggers der zur Ausstattung der
Lernlaborstation gehört, lassen sich am Gelenk 2 folgende Werte ablesen:
Länge der Seiten mit konstanter Länge, kurz c und a: 10,8 und 3,7 cm
Längenbereich der Seite mit variabler Länge, kurz b: von 7,8 bis 12,9 cm
Der Winkelbereich zwischen den Seiten a und c lässt sich über die Funktion Beta
ermitteln, da Bezeichnungen der Seiten dementsprechend gewählt wurden. Das
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt einen Winkelbereich
β [29,6° ; 116,8°]
Dieser Bereich ist also wesentlich kleiner als 180°.
Betrachtet man die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion Beta(b) bzw.
die Ableitung der Funktion Beta(b), so erhält man Aufschluss darüber, in welchen
Bereichen eine Änderung der Länge von b um ∆b eine größere bzw. kleinere Änderung
des Winkels um ∆β bewirkt.
30
Abbildung 25: Graph der Ableitung der Funktion Beta
Wie man aus Abbildung 25 folgert, nimmt lediglich zu den Extremlagen bei b = 4LE
und b = 14 LE hin die Änderung des Winkels zu, ansonsten ist sie annähernd konstant.
31
2.1.2 Abhängigkeit: Punktkoordinaten - Längenänderung
Wurde im vorhergehenden Abschnitt betrachtet in welchem Zusammenhang die Längen
und Winkel in einem Krandreieck stehen, so steht nun die Frage im Vordergrund, wie
sich die Änderung der Länge einer Seite auf Punktkoordinaten auswirkt.
Wie bereits erwähnt, befinden sich, je nach Ausführung der Arbeitseinrichtung, an
einem Baggerarm drei bzw. vier Krandreiecke. Dies hat zur Folge, dass es einen
größeren mathematischen Aufwand bedeutet, z.B. anhand der Konstruktionsmaße des
Baggerarmes, einen funktionalen Zusammenhang zwischen den x- bzw. y-Koordinaten
der Löffelspitze und der sich ändernden Zylinderlängen zu finden. Bei drei
Krandreiecken wäre dies sowohl für die x- als auch die y-Koordinate jeweils eine
Funktion mit drei Variablen, für vier Krandreiecke wären dies entsprechend vier
Variablen.
Zudem sind die Krandreiecke am Baggerarm räumlich von einander getrennt, d.h., die
sich in ihrer Länge ändernde Seite eines Krandreiecks ist kein Bestandteil des nächsten
Krandreiecks.
Zur Vereinfachung der folgenden Betrachtungen wird zunächst von einem einzelnen
Krandreieck ausgegangen, zudem wird der Punkt A in den Ursprung des kartesischen
Koordinatensystems K gesetzt8.
1) Ein Krandreieck
Betrachtet wird ein Krandreieck ABC bei dem die Seitenlänge a variabel sein soll und
die Seitenlängen von b und c fest sind. Die Lage der Stecke [AB] ist fixiert. Die Winkel
α1, β und γ bezeichnen wie üblich die Innenwinkel des Krandreiecks, der Winkel α2 gibt
Drehung der Seite [AB] gegenüber der x-Achse an.
8 Ansonsten betrachte man das um transponierte Koordinatensystem K´.
32
Abbildung 26: Krandreieck mit Koordinaten von C (x, y)
Zusammenfassend sind folgende Größen konstant:
• Seitenlängen b, c
• Winkel α2
Die Lage der Seite [AB] ist fixiert.
Wie in Abbildung 26 dargestellt, setzt sich der Winkel αges aus den beiden Winkel α1
und α2 zusammen. Für die Innenwinkel im Krandreieck ABC gilt nach dem
Innenwinkelsatz für Dreiecke, dass deren Summe 180° betragen muss. Die Lage der
Strecke [AC] ist nicht fixiert, die Seitenlänge b konstant, somit bewegt sich der Punkt C
auf einem Kreis K mit Radius b und Mittelpunkt in A.
Zusammenfassend gelten die Beziehungen:
• 180° = α1 + β + γ, nach dem Innenwinkelsatz im Dreieck ABC
• αges = α1 + α2
• ,
Berechnung der x- und y-Koordinaten xC und yC von C in Abhängigkeit von der
Seitenlänge a:
Im Krandreieck ABC gilt der Kosinussatz a² = b² + c² - 2bc cos(α)
Durch Äquivalenzumformung erhält man cos ² ² ² Gl. (1)
und das Auflösen nach α liefert α ² ² ² Gl. (2)
33
Zunächst soll die Seite [AB] auf der x-Achse des Koordinatensystems liegen, d.h., der
Winkel α2 = 0°, und damit der Winkel αges = α1.
Das Dreieck AHC ist ein rechtwinkliges Dreieck in dem Formel cos(αges) = cos(α1) =
gilt.
Für die x-Koordinate xC von C ergibt sich:
xC = · cos α b · ² ² ², nach Einsetzen von Gl. (1)
xC = ² ² ² Gl. (4)
Die Funktion xC(a) in Abhängigkeit von der Seitenlänge a ist
xC(a): [| |; ] [0°;180°]
xC(a) = a² ² ² Der Graph dieser Funktion Teil einer nach unten geöffneten Parabel mit Streckungs
faktor und Scheitelpunkt 0; ² ² .
Die y-Koordinate yC von C lässt sich über den Sinus berechnen.
Es gilt dann sin(α1) = und somit gilt für die y-Koordinate
yC = · sin , mit Gl. (2) folgt weiter
yC = · ² ² ² Gl. (3)
Dieser Term lässt sich nicht weiter vereinfachen.
Liegt die Seite [AB] nicht auf der x-Achse ist der Winkel °, und der Winkel
zwischen der x-Achse und der Seite [AC] ist gleich αges = α1 + α2. In diesem Fall sind
die Koordinaten von C:
xC = · cos = · (α1 + α2), und mit Gl. (2) folgt
xC = · ² ² ²
In gleicher Weise folgt die y-Koordinate
yC = · sin , mit αges = α1 + α2 und Gl. (3) folgt
= ·
34
2) Ein Krandreieck mit Verlängerung
Nun wird eine zusätzliche Seite [CD] mit in die Betrachtung einbezogen. Diese hat eine
feste Seitenlänge d sowie einen konstanten Winkel zwischen den Seiten [AC] und [CD].
Damit wird die räumliche Trennung der Krandreiecke am realen Bagger simuliert.
Zudem wird eine Hilfsdreieck ADC benötigt, damit ein zweites Mal der Kosinussatz
angewendet werden kann, sowie einen Hilfspunkt H, der x-Achse liegt und die x-
Koordinate xD hat.
Abbildung 27: Krandreieck mit Verlängerung
Aus Abbildung 27 lässt sich zusammen mit den genannten Bedingungen ablesen, dass
folgende Größen konstant sind:
• Seitenlänge b, c, d und Hilfsstrecke e
• Winkel α2, α3, γ3 (und damit auch (γ1 + γ2) und δ
Das Dreieck ADC ist starr.
Zusammenfassend gelten die folgenden Beziehungen:
• 360° - γ3 = γ1 + γ2
• 180° = β2 + γ1 + γ2 + δ nach Innenwinkelsatz im Dreieck ADC
• 180° = α + β + γ nach Innenwinkelsatz im Dreieck ABC
• ,
35
• ,
• α1 = α3+ α4
• αges = α1 + α2 – α3 = α4 + α2
Für die weitere Herleitung ist zu beachten, dass die Winkel γ1 und γ2 variabel sind, die
Summe γ1+γ2 hingegen konstant ist. Zur besseren Übersichtlichkeit der weiteren
Herleitung der Koordinaten xD und yD wurde der Winkel α2 = 0° gesetzt.
Die Berechnung der Koordinaten von D erfolgt in drei Schritten. Zunächst wird mittels
des Kosinussatzes für das Dreieck ADC der Winkel α3 berechnet, dann wird ebenfalls
mit dem Kosinussatz der Winkel α1 im Dreieck ABC ermittelt. Schließlich erhält man
aus der Differenz α1 – α3 den Winkel αges des in Abbildung 27 rot gestrichelten
rechtwinkligen Hilfsdreiecks AHD. Über den Kosinus bzw. Sinus lassen sich dann
wieder die Koordinaten xD und yD ausdrücken.
• Mit Hilfe des Kosinussatzes folgt für das starre Dreieck ADC
e² = b² + d² -2bd cos(α3), und damit
e = ² ² 2 cos , bzw. aufgelöst nach α3
² ² ²
• Mit Gl. (2) folgt für den Winkel α1:
α ² ² ²
• Damit folgt für die Koordinaten von D:
xD = · cos · cos ,
yD = · sin · sin
Einsetzen von α1, α3 und e liefern die gewünschten Beziehungen. Diese
Gleichungen lassen sich nicht weiter vereinfachen.
Ist der Winkel 0, so muss er zum Winkel α1 – α3 hinzuaddiert werden.
36
3) Zwei Krandreiecke
Im nächsten Schritt werden zwei Krandreiecke betrachtet die direkt hintereinander
liegen. Ziel ist es, die Koordinaten xE und yE des Punktes E in Abhängigkeit von den
variablen Seitenlängen a und d zu bestimmen. Beide Dreiecke haben den Punkt C
gemeinsam. Zwar kommt dieser Fall am realen Bagger nicht vor, das Weglassen einer
Verbindungsstrecke erleichtert jedoch die Berechnung der Koordinaten von E. Zur
weiteren Vereinfachung und besseren Übersichtlichkeit der Herleitung liegt die Strecke
[AB] auf der x-Achse. Zudem befinden sich die Punkte A, C und D auf einer
gemeinsamen Geraden g. Dadurch lassen sich einige Winkel und die damit
verbundenen zusätzlichen Indizes vermeiden.
Für das Krandreieck ABC können die Erkenntnisse aus Abschnitt 1) Ein Krandreieck
übernommen werden, so dass für die Koordinaten des Punktes C gilt
xC = · ² ² ² ² ² ² yC = · ² ² ²
Im Krandreieck CDE soll die Seitenlänge d variiert werden, die Seitenlängen c2 und e
bleiben konstant. Dadurch bewegt sich der Punkt E auf K2(D, c2).
Die Winkelsumme γ´ + γ2 = 180° ist konstant, was sich direkt aus der vereinfachenden
Annahme - A, C und D liegen auf einer Geraden - ergibt. Das Krandreieck CDE ist also
starr an das Krandreieck ABC gebunden. Ein Variieren der Seitenlänge a hat also nicht
nur zur Folge, dass sich C auf K1(A, b) bewegt, sondern auch, dass sich D auf einem
Kreis mit Radius b + e und der Punkt E auf einem Kreis mit Radius f bewegen. Der
Mittelpunkt aller drei Kreise liegt in A.
Werden sowohl die Seitenlänge a und d variiert, bewegt sich der Punkt E innerhalb
eines Kreisringes mit Mittelpunkt A, Innenradius r1 = (b + e – c2) und
Außenradius r2 = (b + e + c2).
37
Abbildung 28: Zwei Krandreiecke
Aus den Vorbemerkungen und Abbildung 28 entnimmt man, dass folgende Größen
konstant sind:
• Seitenlängen b, c1, c2, e
• Winkelsumme γ´+γ2 = 180°
Zusammenfassend gelten diese Beziehungen:
• α1+β+γ1 = 180° wegen Innenwinkelsumme im Dreieck ABC
• γ2+δ+ε = 180° wegen Innenwinkelsumme im Dreieck CDE
• ,
• , , falls ausschließlich d variiert wird
• wichtig: γ3 = α1 wegen Stufenwinkel / F-Winkel
• γges = γ2 + γ3 = γ2 + α1
38
Die Berechnung der Koordinaten von E erfolgt wieder schrittweise.
• Die Dreiecke ABC und CDE können zunächst getrennt von einander betrachtet
werden. Damit können die Ergebnisse aus Abschnitt 1) Ein Krandreieck für die
Berechnung des Winkels α1 übernommen werden.
α1 = ² ² ² Gl. (5)
Zur Berechnung des Winkels γ2 im Krandreieck CDE kann der Kosinussatz
verwendet werden, es gilt dann
c2² = d² + e² - 2de cos (γ2)
und Auflösen der Gleichung nach γ2 liefert
γ2 = ² ² ² Gl. (6)
• Das Hilfsdreieck CHE ist rechtwinklig, wodurch in diesem Dreieck mit dem
Kosinus cos(γges) = die Differenz xE – xC berechnet werden kann.
Auflösen dieser Gleichung liefert die x-Koordinate von E
xE = xC + d . cos(γges).
Die beiden Winkel γ2 und α1 aus denen sich γges zusammensetzt, wurden in Gl.
(5) und Gl. (6) berechnet, die Koordinate xC bereits in Gl. (4). Insgesamt folgt
für die Koordinate
xE = ² ² ² · ² ² ² ² ² ²
Gl. (7)
\___________________________/
=: *)
Die Koordinate yE berechnet sich analog mittels der Sinusfunktion.
Der nächste Schritt einen realen Baggerarm mathematisch zu modellieren wäre,
zwischen die beiden Krandreiecke ABC und CDE eine Verbindungsstrecke zu legen
und dann wieder die interessierenden Koordinaten zu berechnen. Anschließend könnte
man ein drittes Krandreieck FGH hinzufügen und hätte dann tatsächlich einen realen
Baggerarm nachgebildet. Allerdings ist bereits Gleichung 7 sehr lange und das
Hinzufügen weiterer Verbindungsstrecken und Krandreicke verlängert lediglich die
Koordinatengleichungen des interessierenden Punktes, ein weiterer mathematischer
Erkenntnisgewinn ist jedoch nicht möglich.
39
Zudem lassen sich mit den gefundenen Beziehungen in Abschnitt 1) – 3) viele
Bewegungen eines Baggerarmes, wie das Bewegen einzelner Hydraulikzylinder,
nachbilden. Soll sich eine bestimmte Stelle9 des Baggerarmes senkrecht oder
waagerecht bewegen kann dies ebenfalls modelliert werden.
4) senkrechte / waagerechte Bewegung
Soll sich der Punkt E10 auf einer Parallelen zur x-Achse (waagerechte Bewegung) bzw.
zur y-Achse (senkrechte Bewegung) bewegen, so muss yE bzw. xE konstant bleiben
während sich a und d ändern.
1. Ansatz11
Vorüberlegung:
Die durch die Änderung von a verursachte Änderung von xE muss entgegengesetzt der
Änderung von xE sein, die durch die Änderung der Seitenlänge d verursacht wird. ∆ ∆ ∆ ∆
Der Term *) ist sowohl von a als auch d abhängig, wodurch sich Gl. (7) nicht explizit
nach a oder d auflösen lässt. Somit kann man auch keine Funktion angeben, die a bzw. d
in Abhängigkeit der jeweils anderen Größe angibt, damit xE konstant bleibt, während yE
variiert wird. Dieses Problem ist damit nur numerisch lösbar.
2. Ansatz
Durch die Vorgabe der Koordinaten xE bzw. yE lässt sich die zusätzliche Bedingung
• f = ² ²
nutzen. Damit lassen sich zwei Funktionen finden, mit deren Hilfe die Seitenlängen von
a und d in Abhängigkeit der Koordinaten xE und yE des Punkte E berechnet werden
können.
9 in Abschnitt 3) „Zwei Krandreiecke entspräche diese Stelle dem Punkt E 10 wie in Abschnitt 3 11 zur besseren Übersichtlichkeit hier für die senkrechte Bewegung
40
2.2 Das Gelenkviereck
An der Arbeitseinrichtung eines Hochlöffelbaggers besteht das Bauelement welches den
Löffel dreht nicht nur aus einem Krandreieck, sondern zusätzlich befindet sich zwischen
Löffel und Krandreieck noch ein sogenanntes Gelenkviereck (wie in Abbildung 29
dargestellt). Im Bild wurden die Seiten des Krandreiecks mit fester Länge blau markiert,
die Seite mit variabler Länge violett. Das Gelenkviereck wurde grün gekennzeichnet.
Abbildung 29: Bild der Arbeitsrichtung eines Hochlöffelbaggers mit farblich gekennzeichnetem Krandreieck und Gelenkviereck
Ein Gelenkviereck besteht aus vier Stäben, die drehbar miteinander verbunden sind und
in einer Ebene liegen. Indem man einen Stab festhält und einen der drei verbleibenden
bewegt, kann man die Bewegungsformen des Gelenkvierecks untersuchen. Der Stab der
festgehalten wird, heißt Steg, die beiden am Steg befestigten Stäbe heißen Arme. Der
Stab gegenüber dem Steg wird als Koppel bezeichnet.
41
Abbildung 30: Bezeichnungen am Gelenkviereck
Die Bewegungsformen eines Gelenkvierecks hängen vom Verhältnis der Längen der
Stäbe des Gelenkvierecks ab. Nach (WELLSTEIN, 2009) fand Franz Grashof 1885 einen
Satz der es erlaubt, die Bewegungsformen des Gelenkvierecks vorherzusagen.
Die Regel von Grashof
Ein Gelenkviereck hat genau dann einen in beiden Gelenken voll drehbaren Stab, wenn
der längste und der kürzeste Stab zusammen kürzer sind als die beiden anderen Stäbe
zusammen.
Demnach ist ein Stab in einem Gelenk voll drehbar, wenn er bei festgehaltenem
Nachbarstab um das gemeinsame Gelenk volle Drehungen ausführen kann. Es bleibt
offen, welcher Stab zum Steg gemacht wird.
Man kann die Regel von Grashof auch als Satz formulieren, wenn man voraussetzt, dass
das Gelenkviereck eine eindeutig bestimmte kürzeste Seite besitzt. Durch diese
Einschränkung wird z.B. das Gelenkparallelogramm ausgeschlossen.
Der Satz von Grashof
Ein Gelenkviereck habe Stäbe der Längen a, b, c, d mit a < b ≤ c ≤ d. Gilt
(1) a + d < b +c
so ist genau ein Stab, nämlich derjenige mit Länge a, um beide Gelenke voll drehbar.
Gilt
(2) b + c < a + d
ist kein Stab voll drehbar.
42
Der Satz legt nicht fest, in welcher Reihenfolge die Seiten a, b, c, d aufeinander folgen,
sie muss also nicht unbedingt zyklisch sein.
Die Ungleichung a + d < b +c heißt Grashofsche Bedingung.
Wie bereits in Kapitel 2.1.1 gezeigt wurde, kann sich ein Innenwinkel im Krandreieck
höchstens um 180° ändern bevor das Krandreieck entartet ist.
Wäre der Baggerlöffel direkt an ein Krandreieck angeschlossen, könnte sich der Löffel
also höchstens um 180° drehen. Damit ist ein Abtrag von Material allerdings nur
bedingt möglich, denn im Zusammenspiel mit den weiteren Krandreiecken der
Arbeitseinrichtung ist es nicht möglich, dass der Baggerlöffel stets einen Winkelbereich
von 0° - 180° gegenüber der Horizontalen einschließt.
Abbildung 31: mögliche Bewegung der Baggerschaufel bei direktem Anschluss an Krandreieck
In der oben gezeigten Stellung der Arbeitseinrichtung könnte Abtragsmaterial aus dem
Löffel herausfallen, da der Baggerlöffel durch das Krandreieck nicht stets in eine
horizontale Lage gebracht werden kann. Nur in dieser Lage ist aber ein sicherer
Transport des Materials im Baggerlöffel möglich.
Die Lösung bietet der Einsatz eines Gelenkvierecks, welches zusätzlich zum
Krandreieck zwischen Stiel und Löffel angebracht ist.
43
Abbildung 32: Krandreieck und Gelenkviereck
Die obige Abbildung zeigt ein Krandreieck EAD sowie ein Gelenkviereck ABCD. Die
Strecke [ED] soll sich in ihrer Länge ändern. Die Lage der Stecken [EA] und [AB] soll
fixiert sein.
Der Winkel α‘ im Krandreieck EAD kann sich höchstens um 180° ändern bis das
Dreieck entartet ist. Dadurch ändert sich der Winkel α im Gelenkviereck ABCD
ebenfalls um höchstens 180°.
Der Löffel eines Baggers sollte einen möglichst großen Drehbereich haben. Optimal
wäre es, wenn sich der Winkel β um volle 360° ändern würde, falls sich der Winkel α
um 180° ändert. Dies ist nicht für jedes Gelenkviereck der Fall, welches die
Grashofsche Bedingung erfüllt.
Die Frage ist also, in welchem Verhältnis die Seiten eines Gelenkvierecks zueinander
stehen müssen, damit dieser Fall eintritt. Eine Antwort darauf gibt die folgende
Aussage.
Das optimale Gelenkviereck
Ändert man den Winkel α von 0° bis 180°, ändert sich der Winkel β um 360° genau
dann, wenn für die Seitenlängen des Gelenkvierecks gilt: AB BC, AD CD
44
Der Beweis dieser Aussage unterteilt sich in drei Schritte. Zunächst wird betrachtet,
welche Gleichung für die Seitenlängen erfüllt sein muss, damit die Grenzlage α = 180°,
β = 0° erreicht werden kann. Anschließend wird die Grenzlage α = 0°, β = 360°
betrachtet. Durch Umformen der dadurch gewonnenen Gleichungen folgt schließlich
die Aussage.
1. Beweisschritt:
Die Grenzlage α = 180° lässt sich nur dann erreichen, wenn alle Punkte auf einer
Geraden liegen. Damit liegt sowohl A als auch C zwischen den B und D.
Abbildung 33: Skizze zu Beweisschritt 1
Für die Seitenlängen AB, BC, CD, AD folgt dann: CD BC AD AB (I)
2. Beweisschritt:
Die Grenzlage α = 0° und β = 360° kann sich nur dann ergeben, wenn B sowohl
zwischen C und D als auch zwischen A und D liegt.
Abbildung 34: Skizze zu Beweisschritt 2
Für die Seitenlängen gilt dann: CD BC BD (II) AD BD AB (III)
45
3. Beweisschritt:
Auflösen von (II) nach liefert BD CD BC (IV)
Einsetzen von (IV) in (III) liefert AD CD BC AB (V)
Bildet man die Differenz (V) – (I) erhält man AD CD BC CD BC AB AD AB
Diese Gleichung lässt sich noch vereinfachen, man erhält: AD CD (VI)
Einsetzen von (VI) in (I) liefert CD BC CD AB
und man erhält durch vereinfachen BC AB (VII)
Aus den Gleichungen (VI) und (VII) folgt schließlich die obige Aussage.
Ein Viereck mit der Eigenschaft AB BC, AD CD
hat zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten. Ein solches Viereck heißt
Drachenviereck.
Das optimale Gelenkviereck ist also ein symmetrisches Drachenviereck.
46
3 Didaktische Analyse
3.1 Das mathematische Beweisen
In der Lernstation gibt es eine Aufgabe, bei der die Aussage eines Satzes bewiesen
wird.
Nach (HOLLAND, 2001, S. 33) versteht man unter dem Beweisen eines mathematischen
Satzes S dessen logische Reduktion auf andere mathematische Sätze S1 bis Sn. Ein
Beweis gilt also dann als bewiesen, wenn der Beweis richtig ist, d.h. alle Schlüsse und
Folgerungen aus den benutzten Sätzen sind nachvollziehbar, und die benutzten Sätze S1
bis Sn sind als wahre Aussagen anerkannt.
Beim Beweisen gibt es zwei Aspekte, die getrennt von einander zu betrachten sind
(HOLLAND, 2001, S. 33):
• Beweisfindung • Beweisdarstellung
Beweisfindung
Hier handelt es sich um eine Problemlöseaufgabe, da noch nicht bekannt ist, wie die
Aufgabe zu lösen ist. Hierbei können die verschiedenen Problemlösestrategien wie
Vorwärts- bzw. Rückwärtsarbeiten oder Lösung durch Umstrukturierung zur
Anwendung kommen.
Beweisdarstellung:
Ein Beweis muss schriftlich so geführt werden, dass er von anderen nachvollzogen
werden kann. Damit die Beweisdarstellung übersichtlicher wird, unterteilt man ihn in
mehrere Beweisschritte. Zuerst werden die Voraussetzungen genannt die als bekannt
vorausgesetzt werden können. Anschließend wird unter Nennung der verwendeten
Voraussetzungen, vorherigen Schrittergebnisse und anderen Sätzen schrittweise
dargestellt aus welchen der vorherige Beweisschritt gefolgert wurde.
Eine Möglichkeit, um die logische Struktur eines Beweises zu veranschaulichen ist der
Beweisgraph. Die Aussagen werden durch Kästchen dargestellt, die von unten nach
oben den Verlauf der Beweisführung darstellen. Richtungspfeile zwischen den
47
Kästchen verweisen auf die Benutzung der vorherigen Aussagen für die nächste
Aussage.
Natürlich muss jeder Beweis lücken- und fehlerfrei sein. Fehler können in der
Geometrie vor allem dann entstehen, wenn auf die Beweisfigur zurückgegriffen wird
und diese entweder einen Spezialfall darstellt, der im Allgemeinen so nicht
angenommen werden darf, oder die Beweisfigur falsch gezeichnet wurde.
„Die Beweisfigur dient lediglich dazu, die in den einzelnen Beweisschritten verbal
repräsentierten Informationen zu veranschaulichen.“ (HOLLAND, 2001, S. 35)
Ein Beispiel für einen fehlerhaften Beweis findet sich etwa in (HOLLAND, 2001, S. 37 f)
oder auch (ROTH, 2009, S. 4)
Die Güte eines Beweises kann an der Zahl der benutzten Beweismittel gemessen
werden. Um einen schlechten Beweis zu vermeiden, z.B. in der Schule, sollten die
Beweismittel eingeschränkt werden. Man spricht dann vom lokalen Deduzieren.
Die Ausführlichkeit eines Beweises wird nach (HOLLAND, 2001, S. 41) durch folgende
Punkte bestimmt:
• Ausführlichkeit, mit der die Voraussetzungen der Beweisfigur explizit
formuliert werden
• Ausführlichkeit bei der Angabe der benutzen Sätze
• Dichte der Beweisschritte
• Bezugnahme auf die Beweisfigur
3.2 Das Problemlösen
Die Begriffe Aufgabenlösen und Problemlösen werden im Folgenden synonym
verwendet. Nach (HOLLAND, 2001, S. 33) handelt es sich bei der Beweisfindung um
eine Problemlöseaufgabe.
Nach (GRIESEL, 1986) versteht man unter der Förderung der Problemlösefähigkeit, dass
Schüler lernen sollen, die an sie gestellten Aufgaben ohne fremde Hilfe selbständig zu
bearbeiten. Das gemeinsame Lösen von Aufgaben im Unterricht, sei es in
48
Gruppenarbeit oder zusammen mit dem Lehrer, ist dabei eine notwendige Maßnahme.
Diese Maßnahme muss noch durch die Betrachtung der Lösungsprozesse ergänzt
werden.
Für den Lösungsprozess gibt es verschiedene Arbeitstechniken. Man kann die Aufgabe
in Gegebenes, wie Daten oder Bedingungen, und Gesuchtes zerlegen. Eine weitere
Arbeitstechnik setzt beim Sammeln weiterer, möglicherweise nützlicher Informationen,
wie etwa der Bedeutung von Begriffen oder Sätzen und Formeln die mit der gestellten
Aufgabe im Zusammenhang stehen, an.
Es können auch Skizzen oder exakt maßstäbliche Zeichnungen angefertigt werden, die
dabei helfen sollen das Problem besser zu veranschaulichen.
Hilfreich ist es auch, die gelöste Aufgabe in übersichtlicher Weise nochmals zu
dokumentieren.
Neben diesen Arbeitstechniken gibt es auch heuristische Strategien. Die Suche nach
ähnlichen Aufgaben, bei denen die Lösung bereits bekannt ist, stellt eine Möglichkeit
dar. Eine weitere Möglichkeit ist das Weglassen einiger Bedingungen. Aus den
verbleibenden Bedingungen werden anschließend Folgerungen und Schlüsse gezogen.
Daneben kann auch die Lösung eines Problems als gegeben angesehen werden.
Rückwärts wird dann diejenige Situation bestimmt, aus der die Lösung folgt.
Durch Lösen / Verifizieren einer Aufgabe mit einer speziellen Lösung, und einer später
folgenden Verallgemeinerung kann man sich ebenfalls einem Problem nähern.
Ein Beispiel für einen Lösungsansatz könnte demnach wie folgt aussehen:
„Beschreibe die in der Aufgabe geschilderte Situation mit Hilfe einer Funktion.
Wählt dazu ein geeignetes Koordinatensystem.“
Alle wichtigen Schritte, vor allem auch die Irrwege, sollten beim Lösen einer Aufgabe
zumindest in Stichworten notiert und kommentiert werden. Damit wird die Nacharbeit
erleichtert und vermittelt implizit eine bestimmte Vorgehensweise beim Aufgabenlösen.
Durch Aufzeigen verschiedener Lösungsansätze zu einer bestimmten Aufgabe wird
veranschaulicht, dass es nicht nur eine einzige richtige Lösungsmethode gibt, sondern
meist eine Vielzahl von Alternativen vorhanden ist.
49
Zum Erarbeiten einer neuen Aufgabe bietet auch die Gruppenarbeit Vorteile.
Aus einer Gruppe heraus kommen mehr Vorschläge. Zudem kann jeder Schüler aus den
von der Gruppe als richtig und falsch erkannten Lösungsvorschlägen lernen.
Die Übertragung bekannter Verfahren auf verwandte Probleme kann ebenso in
Gruppenarbeit erfolgen. Erst bei einigermaßen entwickelter Problemlösefähigkeit sollte
diese Arbeitsform auch bei neuen Aufgabentypen verwendet werden meint (GRIESEL,
1986, S. 6).
50
4 Vergleich zwischen Lernlaborstation und Projekttagen
4.1 Die Schülerprojekttage 2008
Die Schülerprojekttage sind eine Initiative, die sich an Gymnasialschüler aus
Unterfranken richtet, die stark mathematisch interessiert oder begabt sind. Das Projekt
wird seit mehreren Jahren von der Fakultät für Mathematik und Informatik der
Universität Würzburg durchgeführt. In Gruppen von 6 – 8 Personen sollen die Schüler
innerhalb von vier Tagen unter Anleitung von Professoren und Mitarbeitern
mathematische Probleme bearbeiten. Dabei ist von den Schülern der Arbeitsfortschritt
mit zu protokollieren. Zum Abschluss der Projekttage stellt jede Gruppe ihre Ergebnisse
in einer gemeinsamen Abschlussveranstaltung, bei der es auch ein Musikkonzert gibt,
allen Teilnehmern und Interessierten vor.
Die Schüler werden von den Lehrkräften der einzelnen Gymnasien vorgeschlagen. Die
Koordination Universität – Schule wird von der MB-Dienststelle, regionale
Lehrerfortbildung übernommen. Pro Schule können ein bis zwei Schüler der 11. oder
12. Jahrgangsstufe teilnehmen.
Die Schüler beginnen die Projekttage um 9.00 Uhr und arbeiten bis 18.00 Uhr,
unterbrochen durch ein Mittagessen in der Universitätsmensa, an ihren mathematischen
Problemstellungen. Untergebracht sind die Schüler während der vier Tage im
Schönstattzentrum in der Nähe der Hubland-Universität. An den Abenden sind
Vorträge, Musikveranstaltungen und Ausflüge nach Würzburg geplant. Zum Abschluss
gibt es ein Konzert.
Gefördert wird das Projekt von der Robert-Bosch-Stiftung, die die Kosten der Über-
nachtungen und der Verpflegung, übernimmt.12
Die Robert-Bosch-Stiftung ist eine „fördernde Stiftung, die es Dritten ermöglicht,
interessante Ansätze – Projekte und Initiativen – zur Bewältigung gesellschaftlicher
Aufgaben im In- und Ausland zu entwickeln und umzusetzen."13 Die Stiftung besteht
seit 1969 und unterstützt sowohl personell als auch finanziell Bildungsprojekte im In-
und Ausland.
12 Weitere Informationen zur Robert-Bosch-Stiftung unter http://www.bosch-stiftung.de/content/language1/html/index.asp (zuletzt aufgerufen am 23. Juli 2008) 13 http://www.bosch-stiftung.de/content/language1/html/1542.asp (zuletzt aufgerufen am 23. Juli 2008)
51
Das Projekt „Mathematik rund um den Bagger“ wurde vom Lehrstuhl für Didaktik der
Mathematik betreut. Die Dozenten bzw. Betreuer waren Prof. Dr. Hans-Georg
Weigand, Dr. Jürgen Roth, AR Michael Schuster, Jan Wörler, Angela Bezold und
Stefanie Anzenhofer. Im Rahmen einer Tätigkeit als wissenschaftlicher Hilfskraft
übernahm ich ebenfalls die Betreuung.
Am Thema arbeiteten insgesamt acht Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufen 11
und 12 mit. Die Veranstaltung fand vom 15. – 18. Juli 2008 statt.
Abbildung 35: Gruppenbild von Schülern, Dozenten und Betreuern
Charakterisierung der Schülergruppe:
Bei den acht Teilnehmern handelte es sich durchgängig um mathematisch sehr gute und
interessierte Schüler. Ein Schüler der 11. Jahrgangsstufe kannte bereits die
Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens. Bei der
Umformung von Termen begingen sie kaum Fehler und die mathematische
Ausdrucksweise war meist passend. Auch ihre innermathematischen Fähigkeiten etwa
beim Erkennen funktionaler Zusammenhänge lagen über denen eines durchschnittlichen
Gymnasialschülers ihres Alters.
Auch konnten alle Teilnehmer mit den gängigen Computerprogrammen zur
Textverarbeitung und Tabellenkalkulation umgehen. Sieben der acht Schüler kannten
bereits das DGS-Programm „GeoGebra“ aus dem Unterricht, so dass die Einarbeitung
in das Modellieren der Problemstellungen, wie dem senkrechte Anheben einer Last, den
Schülern relativ leicht viel.
52
Die Schüler wurden während der vier Tage andauernden Veranstaltung immer wieder
per Camcorder aufgenommen, speziell während der Gruppenbesprechungen und in
Zeiträumen in denen interessante Arbeitsvorschritte erzielt wurden. Eine tabellarische
Zusammenfassung der Arbeit der Schüler findet sich in Anhang F. Zudem wurden
Arbeitsergebnisse mit einer Digitalfotokamera festgehalten.
4.2 Vergleich der Arbeitsweisen bei Projekttagen und in einer Lernlaborstation
Es gibt zwei entscheidende Faktoren, die den Unterschied zwischen den beiden
Arbeitsweisen während Projekttagen und der Gruppenarbeit innerhalb der
Lernlaborstation beeinflussen:
Zum einen ist es die zur Verfügung stehende Zeit und zum anderen die Intensität der
Betreuung.
Schülerprojekttage:
Bei den Projekttagen standen den Schülern insgesamt vier Tage, effektiv jedoch nur gut
zwei Tage, wenn man die Vorstellung der Themen und die Präsentation am
Abschlusstag abzieht, zum Bearbeiten des Themas zur Verfügung.
Während die einzelnen Gruppen an ihren Themen arbeiteten, war zu jeder Zeit
mindestens ein Betreuer oder Dozent anwesend, den die Schüler um Hilfe bei
Problemen bitten konnten. Während der gemeinsamen Besprechungsphasen leitete ein
Dozent die Besprechung, die Schülergruppen stellten ihre Ergebnisse vor. Insgesamt lag
eine sehr intensive Betreuung der Schüler vor.
Lernlaborstation:
Den Schülern, die eine Station des Lernlabors bearbeiten sollen, stehen im Vergleich zu
den Projekttagen lediglich drei Stunden zur Verfügung. Nach Ablauf dieser Zeit sollten
nach Möglichkeit alle Aufgaben bearbeitet worden sein.
Die Lernlaborstation soll von den Schülern ohne die Unterstützung oder Hilfe eines
Betreuers bearbeitet werden können. Sollten die Schüler bei einer Aufgabe nicht weiter
kommen, sei es weil sie die Aufgabenstellung nicht verstehen oder weil sie mit den zur
Lösung der Aufgabe benötigten mathematischen Formeln nicht hinreichend vertraut
53
sind, haben sie die Möglichkeit, in einem Begleitheft Hilfen sowie Hinweise zu
erhalten. Dies bedeutet, dass dieses Begleitheft möglichst zu jeder Aufgabe bei der
Schwierigkeiten auftreten könnten, Hilfestellungen bietet.
4.3 Umsetzung der während der Projekttage gewonnenen Erkenntnisse in der Lernlaborstation
Die Umsetzung wird beispielhaft anhand der beiden Aspekte „senkrechte Bewegung“
und „optimales Gelenkviereck“ aufgezeigt. Zunächst wird erläutert welche
Schwierigkeiten die Schüler während der Projekttage hatten, anschließend werden die
Konsequenzen für die Formulierung der entsprechenden Aufgaben in der
Lernlaborstation dargelegt.
Umsetzung bei senkrechter Bewegung
Die beiden Gruppen, die die synchronisierte Bewegung untersuchten, gingen immer
davon aus, dass ein Punkt auf einer Parallelen zur x- bzw. y-Achse bewegt wird.
Anschließend wurde betrachtet, wie sich die Längen der Kolben verändern müssten, um
die gewünschte Bewegungsrichtung zu erreichen.
Eine Gruppe betrachtete lediglich eine zusammengesetzte Bewegung aus zwei
Krandreiecken. Die andere Gruppe betrachtete eine Bewegung, die sich aus der
Bewegung eines Krandreiecks ergab, das über ein Dreieck bei dem alle drei
Seitenlängen fest sein sollten mit einem weiteren Krandreieck verbunden war. Die
Berechnung der Längen der beiden Kolben (damit sind die Seiten der Krandreiecke
gemeint, die in ihrer Länge variabel sind), bzw. die Konstruktion mit einer DGS gelang
den Schülern jedoch erst durch die intensive Hilfe der Betreuer. Für die Berechnung
benötigten die Schüler etwa zwei Stunden unter der Anleitung eines Betreuers. Die
endgültige Konstruktion in GeoGebra erstellten die Schüler in etwa drei Stunden,
nachdem ihnen ein Betreuer an der Tafel eine Skizze aufzeigte, aus denen die Schüler
die entscheidenden Winkel und Seitenlängen ablesen konnten. Für die Konstruktion in
GeoGebra benötigten die Schüler anschließend etwa drei Stunden.
54
Abbildung 36: Tafelbild zur Berechnung der Kolbenlängen bzw. Konstruktion in GeoGebra
Aufgrund dieser Beobachtungen während der Projekttage wurde auf eine Aufgabe in
der Lernlaborstation, die sich besonders mit der Berechnung der beiden Kolbenlängen
unter Vorgabe der Höhe eines Punktes (welcher sich senkrecht nach oben und unten
bewegen soll), verzichtet. Offenbar ist eine solche Aufgabe zu schwierig für Schüler
und würde zudem im zeitlichen Rahmen der Station nicht zu bearbeiten sein.
Die Idee, zunächst die Länge eines Kolbens zu verändern und sich anschließend zu
fragen, wie sich die Länge des anderen Kolbens ändern muss, um eine senkrechte oder
auch waagerechte Bewegung eines Punktes zu erreichten, wurde von den Schülern nicht
in Betracht gezogen. Gerade dieser gedankliche Ansatz lässt sich mit einem
Baggermodell leicht nachvollziehen. Deshalb wurde für die Lernlaborstation eine
Aufgabe (vgl. Aufgabe 5 in Anhang A) entwickelt, bei der die Schüler anhand eines
Baggermodells einen funktionalen Zusammenhang zwischen Kolbenlänge und der
Höhe eines Punktes finden sollen. Dieser funktionale Zusammenhang soll von den
Schülern durch das Zeichnen zweier Graphen festgehalten werden.
Da die Schüler während der Projekttage zunächst große Schwierigkeiten damit hatten,
festzustellen, welche Punkte bzw. Winkel benötigt werden oder aber entscheidend sind
für die mathematische Beschreibung eines Punktes des Krandreiecks eines Baggers,
wurde für die Lernlaborstation eine einführende Aufgabe (vgl. Aufgabe 2 in Angang A)
erstellt, welche die Schüler mit den Krandreiecken die an einem Baggerarm vorkommen
sowie den Winkeln die für eine Bewegungsbeschreibung wichtig sind, vertraut macht.
55
Umsetzung beim Gelenkviereck
Neben dem Thema „senkrechte Bewegung“ beschäftigten sich die Schüler während der
Projekttage noch mit der Frage, warum es neben den Krandreiecken noch ein
Gelenkviereck am Baggerarm gibt. Die Schüler fanden heraus, dass das ideale
Gelenkviereck eines Baggerarmes ein symmetrisches Drachenviereck ist. Einen
mathematischen Beweis dieser Aussage konnten die Schüler liefern, nachdem sie eine
Simulation zu einem Gelenkviereck erstellt hatten, in der sie die Seitenlängen ändern
und die Winkel ablesen konnten. Da die Schüler bereits mit dem Programm GeoGebra
aus der Schule vertraut waren, konnten sie die Simulationen dazu zügig erstellen.
Unterstützt wurden sie dabei kurzzeitig von einem Dozenten.
Aufgabe 4 der Lernlaborstation behandelt das Gelenkviereck. Um Zeit einzusparen
müssen die Schüler nicht erst selbst eine Simulation eines Gelenkvierecks erstellen,
sondern finden eine vorgefertigte Simulation auf dem Computer der Station. Zudem
dürften nicht viele Schüler mit dem Programm GeoGebra vertraut sein, vor allem nicht
in dem Umfang der nötig ist, um ein Gelenkviereck zu simulieren. Auf den
mathematischen Beweis, dass das optimale Gelenkviereck ein Drachenviereck ist,
müssen die Schüler nicht von selbst kommen, da die grundlegenden Ideen und
Beweisschritte bereits vorgegeben sind. Sie müssen jedoch den Beweis verstehen, damit
sie die offenen Felder ausfüllen können.
Zusammenfassung weiterer Konsequenzen für die Lernlaborstation:
1.
Während der Schülerprojekttage kam eine PC-Videokamera zum Einsatz. Die Schüler
hatten allerdings große Mühe mit der technischen Umsetzung. Dies betraf vor allem den
Kontrast der Aufnahmen sowie das Konvertieren der Videodateien. Ein Einsatz in der
Lernlaborstation ist daher nicht zu empfehlen, da der zeitliche Aufwand nicht im
Verhältnis zu den daraus gewonnenen Erkenntnissen steht.
Den Projektschülern reichten vielmehr die vorhandenen Baggermodelle um Einsichten
zu gewinnen bzw. sich Sachverhalte zu verdeutlichen. Zur besseren Veranschaulichung
wurde dann sofort das DGS-System Geogebra benutzt.
56
2.
Der Einsatz des Videoanalyseprogramms „Measure Dynamics“ in der Lernlaborstation,
mit dem die Schüler bereits vorgefertigte Videos bearbeiten könnten, scheint ebenso
nicht sinnvoll in Anbetracht der Tatsache, dass den Schülern im Lernlabor nur drei
Stunden zur Verfügung stehen. Den Schülern dürfte das Programm nur wenig bekannt
sein, so dass erst eine gewisse Einarbeitungszeit notwendig wäre.
3.
Bewegt man am Baggerarm nur ein bestimmtes Krandreieck, bewegen sich sämtliche
Punkte auf konzentrischen Kreisbögen, insbesondere bewegt sich der Punkt am Ende
des bewegten Kolbens auf einem Kreisbogen. Dieser Sachverhalt wurde den Schülern
bei den Projekttagen erst dann klar, als sie sich mit der Simulation des Baggerarmes
beschäftigten. Um diesen Aspekt bereits früher zu verdeutlichen sollen die Schüler in
der Lernlaborstation in einer Aufgabe solche Kreise zeichnen (vgl. Aufgabe 2.3).
4.
Die Lernlaborstation behandelt nur einen bestimmten Baggertyp, nämlich einen
Hydraulikbagger mit Tieflöffel-Arbeitseinrichtung. Auch während der Projekttage
wurde von den Schülern nicht vorgeschlagen zusätzlich noch andere Baggertypen zu
untersuchen.
Fraglich ist jedoch, ob durch das Bereitstellen von Baggermodellen genau dieser Bauart
die Auswahl der Themen für die Gruppe bereits eingeschränkt wurde bzw. eine
Vorauswahl der Themen bereits durch die Einführungsveranstaltung getroffen wurde.
57
5 Die Lernlaborstation
5.1 verwendete Materialien innerhalb der Lernlaborstation
Insgesamt stehen den Schülern drei unterschiedliche Baggermodelle zur Verfügung.
Holzmodell:
Das Modell aus Holz stellt die Arbeitseinrichtung eines Tieflöffelbaggers mit
Monoblockausleger, also mit drei Krandreiecken, dar. Grundlage dieses Modells war
der Bausatz „Pneumatik, Roboterarm / Bagger“ der Firma Opitec Hobbyfix14. Die
Hydraulikzylinder eines Baggers werden mit Hilfe von Kunststoffspritzen nachgebildet.
Das Problem an diesem Bausatz ist, dass die Spitzen mit Klammern befestigt werden
und dadurch die Krandreiecke nicht erkennbar sind. Deshalb wurde von mir eine
Konstruktion entwickelt, die es erlaubt, die Spritzen direkt und drehbar mit den
Holzelementen zu verbinden, so dass die Krandreiecke sichtbar werden.
Die Spritzen und Verbindungsschläuche sind mit einem Kühlerfrostschutz gefüllt, der
gegenüber Wasser den Vorteil bietet, länger haltbar zu sein.
Der Sockel des Modells wurde mittels zweier Kanthölzer um ca. 5 cm erhöht und eine
Aussparung in die Holzplatte gesägt, damit der Löffel nicht an diese bzw. an den
Arbeitstisch stößt.
Um die Spritzen leichter zuordnen zu können wurden sie
beschriftet, zudem sind sie mit zwei unterschiedlich farbigen
Flüssigkeiten gefüllt.
Dieses Modell wird bei den Aufgaben 1 bis 5 verwendet.
Zudem wurde ein etwa 40 cm hoher aufstellbarer Holzwinkel
gefertigt, mit dem man die Genauigkeit der Bewegung von
Punkten senkrecht nach oben kontrollieren kann.
14 vgl. hierzu auch http://www.opitec.de
Abbildung 37: Holzwinkel
58
Abbildung 38: Bild des Modells der Firma Opitec
Abbildung 39: Bild des in der Lernlaborstation verwendeten Holzmodelles
Großes Baggermodell aus Kunststoff:
Beim großen Baggermodell aus Kunststoff handelt es sich um einen Spielzeugbagger,
der einen realen Bagger komplett nachbildet. Bei diesem Modell lassen sich die Längen
der Zylinder mit zwei Joysticks verändern. Ein Joystick steuert den Auslegerzylinder,
der zweite steuert gleichzeitig den Löffel- als auch den Stielzylinder. Dadurch lassen
sich allerdings die Länge dieser beiden Zylinder nicht separat verändern. Damit ist er
für viele Aufgaben in der Lernlaborstation nicht geeignet. Er kommt nur in
Aufgabenteil 1 vor, wo er die Aufgabe hat, den Schülern die typische Grabbewegung
eines Baggers zu zeigen.
59
Ursprünglich wurde der Spielzeugbagger mit Batterien angetrieben, was den Nachteil
mit sich brachte, dass sich die Längen der Zylinder sehr schnell änderten wenn die
Batterien geladen waren, oder aber gar nicht wenn die Batterien nach kurzer Zeit
verbraucht waren. Damit eine konstante Spannungsversorgung des Modellbaggers
gewährleistet ist, wurde von mir ein Netzteil eingebaut.
Für dieses Modell wurde ein etwa 5 cm großer Holzklotz gebaut, der auf einen Sockel
gestellt wird. Dadurch kann man ihn mit dem Löffel aufnehmen und anschließend in
einen Pappkarton ablegen.
Abbildung 40: Bild des Modellbaggers aus Kunststoff
Kleines Baggermodell aus Metall:
Dieses Modell ist eine maßstabgetreue und detaillierte Nachbildung eines
Hydraulikbaggers der Firma Liebherr Litronic 974. Er ist zwar klein, kann aber den
Schülern vor allem dann bei Fragen helfen wenn sie den realen Bagger betreffen, da er
von allen drei Modellen einem realen Bagger am nächsten kommt.
Die Simulation zu den Aufgaben 1 bzw. 6 wurde mit Bildern der Bauelemente dieses
Modells erstellt und diente als Vorlage für die Simulation.
Abbildung 41: Modellbagger aus Metall
60
5.2 Verwendung von Fachbegriffen
Damit die Schüler nicht mit einer Vielzahl an Fachbegriffen konfrontiert werden, die
notwendig wären, um die verschiedenen Bauelemente aus denen ein Bagger besteht,
differenzieren zu können, wurde weitgehend auf Fachbegriffe verzichtet. Vielmehr
wurde auf Begriffe zurückgegriffen, die die Schüler aus ihrem Alltag kennen. Zum
Beispiel wurde der Löffel eines Baggers mit einer Tieflöffelarbeitseinrichtung als
Schaufel bezeichnet. Die einzelnen Hydraulikzylinder wie Ausleger- Stiel- und
Löffelzylinder wurden einfach als Zylinder bezeichnet und zusätzlich nummeriert, um
eine eindeutige Zuordnung zu gewährleisten.
5.3 Ausblick
In Kapitel 2.1.2 wurde gezeigt, dass es nicht möglich ist eine Funktion aufzustellen, die
die Länge eines Hydraulikzylinders in Abhängigkeit von der Länge eines zweiten
Zylinders explizit angibt, so dass sich ein bestimmter Punkt senkrecht oder waagerecht
bewegt. Im 1. Ansatz wurde die Idee erwähnt, das Problem numerisch zu lösen.
Die senkrechte Bewegung könnte man also mit einem Tabellenkalkulationsprogramm
wie Excel simulieren und numerisch lösen und diese Simulation mit in die
Lernlaborstation einbauen. Eine Möglichkeit wäre, den Schülern eine fertige Simulation
vorzugeben und sie anhand dieser Simulation Fragen beantworten zu lassen. Eine
andere Möglichkeit wäre, die Schüler zumindest einen Teil einer Excel-Simulation
selbst erstellen zu lassen.
Die vorliegende Lernlaborstation beschäftigt sich ausschließlich mit der Arbeits-
einrichtung eines Tieflöffelbaggers. Ich könnte mir vorstellen, dass es auch möglich ist,
zur Arbeitseinrichtung eines Hochlöffelbaggers eine Station oder zumindest einen Teil
einer Station zu erstellen. Grundlage der Simulationen könnte ein komplettes DGS-
Modell eines Hochlöffelbaggers sein, anhand derer die Schüler Fragen, wie etwa „Wie
entlädt ein Hochlöffelbagger“ bearbeiten können.
Daneben gibt es sicherlich noch eine Menge weiterer mathematisch interessanter
Themen rund um den Bagger, mit denen sich eine Lernlaborstation füllen lassen könnte.
61
6 Evaluation
Erste Phase der Evaluation:
Bei den ersten Versuchspersonen handelte es sich um Studenten, die ebenso wie ich, die
Fächerverbindung Mathematik und Physik für Lehramt an Gymnasien studierten und
sich in der Prüfungsvorbereitung zum ersten Staatsexamen befanden. Es ist somit bei
diesen Personen davon auszugehen, dass sie sich im besonderen Maße für Mathematik
interessieren und ein fundiertes Wissen über Schulmathematik besitzen.
Mit diesen Kommilitonen wurden ganz zu Beginn der Entwicklung der Aufgaben zur
Lernlaborstation verschiedene Aufgaben getestet, die zum Ziel hatten, umfangreichere
Fragestellungen zu beantworten, wie die Möglichkeit, die senkrechte Bewegung
mathematisch zu beschreiben oder die minimale Ausladehöhe zu bestimmen.
Leider zeigte sich, dass diese Fragen im engen zeitlichen Rahmen von drei Stunden
nicht zu beantworten oder ein zu hohes Anforderungsniveau an die Schüler stellen
würden. Ebenso bearbeiteten die Studenten wiederholt Aufgaben zu Krandreiecken.
Letztendlich entwickelten sich aus diesen Erkenntnissen die Aufgabe 2 sowie die
Aufgabe 3 der Lernlaborstation.
Die Erkenntnisse die während der Schülerprojekttage bezüglich des Aufbaus der
Station, der Auswahl bzw. der Einschränkung der Themengebiete, der Formulierung der
Aufgaben sowie des Schwierigkeitsgrades der Aufgaben und der damit verbundenen
Hilfestellungen gewonnen wurden, werden in Kapitel 4 diskutiert.
Zweite Phase der Evaluation:
Die fertige Lernlaborstation wurde anhand einer Schülergruppe getestet. Bei den drei
Schülern handelte es sich um Gymnasiasten, die die 11. Jahrgangsstufe besuchen.
Wie ich aus den Antworten des Fragebogens15 entnehmen und auch aus den
persönlichen Gesprächen mit den Schülern erfahren konnte, handelte es sich bei ihnen
um gute bis sehr gute Schüler im Fach Mathematik, die sich auch außerhalb der Schule
mit mathematischen Themen beschäftigen. Mit dem Thema Bagger hatte sich allerdings
noch keiner der drei Schüler beschäftigt. Daneben konnte sich keiner der Schüler vor
15 siehe Anhang G: Fragebogen
62
dem Bearbeiten der Aufgabe vorstellen, welche mathematischen Aspekte es an einem
Bagger zu entdecken gibt.
Für die Bearbeitung aller Aufgabenteile benötigte die Schülergruppe gut 2,5 Stunden.
Danach waren alle Schüler der Meinung, dass ihnen die Beantwortung der Fragen Spaß
bereitet hatte. Besonders gefielen ihnen die Simulationen sowohl des Baggers als auch
des Gelenkvierecks, da sie im Unterricht bisher noch nie mit einer dynamischen
Geometriesoftware wie GeoGebra gearbeitet hatten. Daneben fanden sie die
Beweisaufgabe 4.4 sehr interessant und beschäftigten sich deshalb auch gemeinsam
längere Zeit mit dieser Aufgabe um auf die Gleichungen (I) – (III) zu kommen ohne die
Hilfestellung zu verwenden. Weniger gefiel den Schülern die Aufgabe 5 bei der ein
Punkt senkrecht nach oben bewegt werden soll. Warum ihnen diese Aufgabe nicht
gefallen hatte, konnten sie jedoch nicht sagen. Die Hilfen wurden von den Schülern bei
keiner Aufgabe benutzt. Zum Abschluss merkte einer der Schüler noch an, dass er im
Vorfeld nicht erwartet hätte, so viele unterschiedliche mathematische Aspekte beim
Bagger vorzufinden.
Einige Einschränkungen sind für die Zeit, die die Schüler für die Lernlaborstation
benötigten, zu machen. Die Aufgabe zum Spielzeugbagger konnte von der
Schülergruppe nicht bearbeitet werden, da dieses Modell nicht vorhanden war. Ich
nehme an, dass sich dadurch die Bearbeitungszeit um etwa zehn Minuten verlängert
hätte.
Daneben handelte es sich bei allen um sehr leistungsstarke Schüler, weshalb ich davon
ausgehe, dass weniger gute Schüler länger für die Station brauchen.
Nachdem die Lernlaborstation von den Schülern bearbeitet wurde, ergaben sich noch
einige Konsequenzen für einzelne Aufgaben bzw. deren Formulierung.
So stellten die Schüler den Holzwinkel bei Aufgabe 5 in viel zu großer Entfernung zum
Holzmodell auf, weshalb es ihnen nicht möglich war den markierten Punkt senkrecht
nach oben zu bewegen. Die Aufgabe wurde deshalb um den Hinweis ergänzt, den
Holzwinkel in einer Entfernung von 6 cm zum Sockel des Baggerarmes aufzustellen.
Daneben wurden die Bezeichnungen der Winkel geändert. Anstatt einen Winkel
z.B. BAC zu nennen, wird dieser nun als Winkel α bezeichnet. Diese Bezeichnungen
der Winkel wurden auch in einigen Abbildungen ergänzt. Bei einigen Aufgaben war
63
nicht klar, welche Zeichengeräte bzw. Messinstrumente verwendet werden sollen,
deshalb wurden diesbezügliche Hinweise ergänzt.
Der Text zu Aufgabe 4.3 war für die Schüler nur schwer verständlich, er wurde
geringfügig abgeändert.
Der Fragebogen, den die Schüler ausfüllen sollten, befindet sich in Anhang G:
Fragebogen.
64
7 Danksagungen Mein Dank gilt meinem Betreuer Herrn Prof. Dr. Jürgen Roth, der es unter anderem
ermöglicht hat, das Thema meiner Arbeit im Rahmen der Schülerprojekttage 2008 zu
behandeln. Auch half er mir dabei die beiden Baggermodelle aus Holz bzw. Kunststoff
zu finden. Zudem stand er für Fragen in einem persönlichen Gespräch oder per Email-
Kontakt immer zur Verfügung. Für seine Hilfsbereitschaft und Geduld möchte ich mich
ganz herzlich bedanken.
Weiterhin möchte ich mich bei allen Betreuern der Mathematikdidaktik bedanken. Sie
haben teilweise sehr tatkräftig bei der Betreuung der Bagger-Gruppe während der
Schülerprojekttage mitgeholfen und mir damit auch neue Ideen geliefert.
Für die Hilfe bei der Erstellung der Videos und für die Ratschläge bei technischen
Fragen möchte ich Herrn Michael Benz danken, sowie Herrn Dr. Thomas Wilhelm für
das Herstellen des Kontaktes zur Firma Phywe, auch wenn die Videoanalyse kein
Bestandteil der Lernlaborstation in ihrer jetzigen Form mehr ist.
Außerdem möchte ich der Firma Robert Hofmann aus Lichtenfels für die Bereitstellung
technischer Geräte danken. Auch meinem Bruder Andreas möchte ich in diesem
Zusammenhang danken. Ohne sie wäre es mir wohl schwer gefallen ein Holzmodell zu
erstellen, bei dessen Bewegung des Baggerarmes das Zusammenspiel der Krandreiecke
wirklich ersichtlich und erkennbar gewesen wäre.
Ebenso möchte ich mich bei meinen Kommilitonen Christiane, Renate und Michael für
das Testen einzelner Aufgaben der Lernstation bedanken. Sie trugen dazu bei, mir bei
der Entscheidung zu helfen, ob eine von mir erstellte Aufgabe tatsächlich ein Teil der
Lernstation wurde. Danken möchte ich auch den drei Schülern der Klasse 11b dafür,
dass sie die Lernstation in einer Realsituation ausprobiert haben, insbesondere Florian
für das Herstellen des Kontaktes zu anderen beiden Mitschülern. Durch ihre Ratschläge
haben sie einen Teil zum Gelingen der Lernlaborstation beigetragen.
Zuletzt möchte ich meinen Eltern danken, ohne deren Hilfe mir dieses Studium mit
Sicherheit nicht möglich wäre. Meiner Familie gilt mein größter Dank.
65
8 Anhang
8.1 Anhang A: Aufgabenblätter
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
8.2 Anhang B: Aufgabenblätter mit Lösung
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
8.3 Anhang C: Hilfestellungen
102
103
104
105
8.4 Anhang D: Betreuerinformationen
106
8.5 Anhang E: Screenshots zu den Applets Startseite:
Aufgabe 2:
107
Simulation zu Aufgabe 2 ohne Krandreiecke:
Simulation zu Aufgabe 2 mit Krandreiecken:
108
Aufgabe 4:
Simulation zu Aufgabe 4, Version 1:
109
Simulation zu Aufgabe 4, Version 2:
Aufgabe 6:
110
Simulation zu Aufgabe 6, ohne Spur:
Simulation zu Aufgabe 6, mit Spur:
111
8.6 Anhang F: Tabellarische Beschreibung des zeitlichen Ablaufs der Schülerprojekttage 2008; Thema der Gruppe: „Mathematik rund um den Bagger“
Projektbericht: Dienstag, den 15. Juli 2008 10.15 – 12.00 Uhr Begrüßung durch die Dozenten und kurze Vorstellung der
Projekte Einteilung der Schüler in Gruppen und kurze Vorstellung der Teilnehmer
Ab 13.00 Uhr Erstes Treffen der achtköpfigen Schülergruppe die sich mit dem Thema: „Die Mathematik des Baggers“ beschäftigt. Gemeinsames Brainstorming zum Thema Bagger: „Welche Themen interessieren euch besonders beim Bagger?“Festhalten der Ergebnisse durch eine Tafelanschrift. Durch Abstimmen einigte man sich darauf, folgende Hauptthemen zu betrachten, wobei die Bearbeitung in zwei Vierergruppen erfolgen soll:
‐ Bewegungsablauf des Baggerarmes synchronisierte Bewegung („Gruppe Bewegung“ genannt)
‐ Anzahl / Art der Gelenke („Gruppe Gelenke“ genannt) Fragen zur Hydraulik, Gleichgewicht, Geschichte des Baggers, verschiedene Baggerarten und das Drehen auf der Stelle werden nicht bzw. am Ende der Projektwoche behandelt.
14 Uhr Gemeinsames Vorstellen der Ergebnisse: Gruppe Gelenke: Es handelt sich um eine Kreisbewegung, wenn man nur ein Gelenk bewegt. Eine Bewegung mit der man tatsächlich eine Grabbewegung durchführen könnte, könnte erst ab zwei Gelenken möglich sein, mit drei Gelenken funktioniert dies noch besser. Ab dem vierten Gelenk erkennt die Gruppe keine Vorteile mehr, es wurde eher eine Verschlechterung vermutet, da mehr Technik am Baggerarm notwendig ist. Gruppe Bewegung: Es stellte sich das Problem, welche Art von Bagger man betrachten möchte, da es mehrere verschiedene Typen von Baggern gibt. Man einigte sich darauf, einen Bagger mit drei Gelenken zu betrachten. Es ergaben sich zwei neue Fragenstellungen für die jeweiligen Gruppen: Gruppe Gelenke: Warum gibt es ein Gelenkviereck? (ab jetzt „Gruppe Gelenkviereck“ genannt)
112
Gruppe Bewegung: Welche Gelenke sind sinnvoll zu Synchronisieren, um eine senkrechte bzw. waagerechte Bewegung zu erhalten? Wie könnte eine solche Synchronisierung aussehen?
15.45 Uhr Besprechen der bisherigen Ergebnisse und Formulierung neuer Ziele: Gruppe Gelenkviereck: Die Probleme beim Gelenkviereck sollen mit einer Computersimulation (GeoGebra-Konstruktion) weiterverfolgt werden, da die Möglichkeiten Zusammenhänge am Realmodell zu betrachten begrenzt sind. Gruppe Bewegung: Es soll geklärt werden, ob eine senkrechte Bewegung überhaupt möglich ist und was die wesentlichen Winkel und Strecken sind. Dies will die Gruppe mit GeoGebra, herausfinden, Die Gruppe teilte sich in zwei Teilgruppen auf. (Diese werden ab jetzt „Gruppe senkrechte Bewegung 1“ und „Gruppe senkrechte Bewegung 2“ genannt.)
18.00 Uhr Ende der Gruppenarbeit Mittwoch, 16. Juli 2008 9.00 Uhr Besprechung der Ergebnisse des 1. Projekttages
Gruppe senkrechte Bewegung 1: Die Gruppe hat untersucht, ob eine senkrechte Bewegung überhaupt möglich ist. Dazu hat sie im DGS-Programm Geogebra eine Parallele zur y-Achse vorgegeben und einen auf der Parallelen gebundenen Punkt vorgeben, der die senkrechte Bewegung darstellen soll. Ausgehend von diesem Punkt wurden zwei Dreiecke mit jeweils einer beweglichen Seite konstruiert. Zwei Winkel wurden gemessen und als Zahlenwert ausgegeben. Anhand dieser Simulation schlossen die Schüler der Gruppe, dass eine Bewegung in senkrechter Richtung „im Prinzip“ möglich ist. Gemeinsam legte man fest, welche Probleme man als nächstes angehen wolle:
‐ Veranschaulichung der Veränderung der beiden Winkel bei Bewegung des Punktes
‐ Aus dieser Veranschaulichung möchte man auf einen funktionalen Zusammenhang zwischen den „interessierenden Größen“ kommen
‐ Welches sind eigentlich die „interessierenden Größen“? Welche Winkel müssen betrachtet werden?
‐ Gibt es eventuell Grenzen bei senkrechten Bewegungen eines Baggerarmes?
Gruppe Gelenkviereck: Die Gruppe hatte untersucht, ob es Unterschiede zwischen einem
113
Dreieck mit einer in der Länge veränderlichen Seite und einem Gelenkviereck gibt und welche Vorteile bzw. Nachteile die jeweilige geometrische Figur im Zusammenhang mit den Bewegungen, die ein Baggerarm vollführt, hätte. Die noch offenen Fragen will man weiter verfolgen. Zudem will man nach Optimierungsmöglichkeiten beim Gelenkviereck suchen, die es z. B. ermöglichen könnten, durch die Kopplung eines Dreiecks mit einem Gelenkviereck eine Drehung einer Baggerschaufel um 360° zu ermöglichen. Gruppe senkrechte Bewegung 2: Diese Gruppe hatte am ersten Projektnachmittag versucht mit Hilfe von Geogebra zwei Gelenke am Baggerarm zu simulieren. Mit einer Vielzahl von Schiebereglern konnte man in der Simulation dieser Gruppe Winkel verändern. Dabei viel auf, dass man unbedingt klären müsste, welche Winkel für das Untersuchen der Bewegung entscheidend sind. Die Gruppe will sich jetzt darauf konzentrieren analytisch einen Zusammenhang zwischen den Längen der beweglichen Seiten der beiden Dreiecke und der darin vorkommenden Winkel herzustellen.
9.40 Uhr Beginn der Gruppenarbeit 11.30 Uhr Zusammentragen der bisherigen Ergebnisse:
Gruppe senkrechte Bewegung 2: Mit Schiebereglern, durch die die Radien von Kreisen beeinflusst werden, wurde die Bewegung bei zwei Gelenken konstruktiv am DGS nachgebildet. Es blieb weiterhin zu klären:
‐ Welche Randbedingungen gibt es? ‐ Wie sieht der funktionale Zusammenhang aus?
Gruppe Gelenkviereck: Es wurden Beziehungen zwischen den Seitenlängen des Gelenkvierecks gefunden die eine optimale Bewegung des Schaufelgelenkes ermöglichen, d.h. eine Drehung um 360°. Nach der Mittagspause wollte die Gruppe einen kompletten Baggerarm, d.h. 3 Krandreiecke und 1 Gelenkviereck, am Computer simulieren. Gruppe senkrechte Bewegung 1: Diese Gruppe hatte ebenfalls einen Baggerarm mit 2 Gelenken mithilfe von Schiebereglern konstruiert. Die Schüler wollten nach der Pause Graphen zeichnen lassen, aus denen sich eventuell ein funktionaler Zusammenhang ablesen lässt.
12.00 – 13.30 Uhr Mittagspause 13.30 Wiederaufnahme der Arbeit in Gruppen. Die
114
Gruppenzusammensetzung bleibt unverändert. 15.00 Uhr Besprechung der bisherigen Ergebnisse
Gruppe senkrechte Bewegung 2 Diese Gruppe meint einen Zusammenhang gefunden zu haben, der sich am Computer aber nicht bestätigen ließ. Der Fehler wird in der Eingabe am Computer vermutet. Gruppe senkrechte Bewegung 1 Diese Gruppe hat 3 Graphen zeichnen lassen:
1. X-Achse: y-Wert des Punktes der sich senkrecht nach oben und unten bewegen soll, Y-Achse: Länge der beweglichen Seite des ersten Krandreiecks
2. X-Achse: y-Wert des Punktes, Y-Achse: Länge der beweglichen Seite des zweiten Krandreiecks
3. X-Achse: Länge der beweglichen Seite des ersten Krandreiecks, Y-Achse: Länge der beweglichen Seite des zweiten Krandreiecks
Die Schüler meinen „komische“ Kurven gefunden zu haben. Diese Kurven will man jetzt mit denen von bereits bekannten Graphen, wie etwa denen von Polynomen, vergleichen. Die Gruppe versuchte also die gefundenen Kurven zu fitten. Gruppe Gelenkviereck Diese Gruppe hat das geometrische Gerüst eines kompletten Baggers bestehend aus Krandreiecken, Dreiecken und Gelenkviereck simuliert. Die Größenverhältnisse orientieren sich an denen des kleinen Baggers aus Metall. Die Schüler wollen dieses Modell weiter verbessern.
16.00 Uhr Gruppe senkrechte Bewegung 2 Diese Gruppe hat auf rein analytischem Weg einen funktionalen Zusammenhang zwischen den beiden Winkeln herausgefunden, so dass x-Wert / y-Wert des Endpunktes konstant bleiben. Ausgehend von diesen Winkeln wollen sie nun die dazugehörigen Längen der „Kolben“ ausrechnen. Gruppe Gelenkvierecke Die Gruppe meinte, die Verbesserungen ihres Modells abgeschlossen zu haben und vergleicht die Kurven / Werte die die Computersimulation liefert mit denen des Datenblattes der Firma Liebherr aus dem Internet.
16.50 Uhr Ende der Gruppenarbeit
115
Donnerstag, 17. Juli 2009 9.00 Vorstellung der bisherigen Gruppenergebnisse:
Gruppe senkrechte Bewegung 1: Es wurden zwei Fitkurven zu den bisher auf geometrischem Weg konstruierten Ortskurven gefunden. Für die Änderung der Länge des ersten Kolbens in Abhängigkeit von der Höhe eines Punktes war dies eine Gerade, für die Änderung der Länge des zweiten Kolbens war es eine nach oben geöffnete Parabel. Anschaulich bedeutet dies für den Baggerfahrer, dass er beim Bewegen einer Last senkrecht nach oben die Länge des zweiten Kolbens zuerst verringern und dann vergrößern muss, während er die Länge des ersten Kolbens gleichmäßig vergrößert. Gruppe senkrechte Bewegung 2: Die Gruppe hat eine Simulation erstellt, die auf analytische Weise die Winkel und Seitenlängen (Kolben) für einen Punkt mit den Koordinaten (x, y) errechnet. Gruppe Gelenkviereck Die Gruppe stellte ihre Baggersimulation vor. Mit dieser Simulation konnte man verschiedene Spuren aufzeichnen. In der verbleibenden Zeit will man noch einen mathematisch nachvollziehbaren Beweis dafür liefern, dass das optimale Gelenkviereck ein Drachenviereck ist.
Ca. 11.10 Gruppe Gelenkviereck Die Gruppe filmt zusammen mit einem Betreuer einen realen Bagger, der auf einer Baustelle in der Nähe des mathematischen Institutes steht. Dieser Film wurde im Lauf des Tages mit dem Programm „Measure Dynamics“ analysiert und aufbereitet.
12.00 bis 13.30 Uhr Mittagspause 13.15 Einige Schüler arbeiteten bereits wieder an ihren Problemen
weiter 13.30 – 18.00 Uhr Gruppe senkrechte Bewegung 1
Die Gruppe hat eine GeoGebra-Simulation erstellt, die sowohl die geometrische Lösung beinhaltete, indem die Gelenkdreiecke konstruiert werden, als auch eine analytische Lösung, indem die Funktionsgraphen der Kolbenlängen eingezeichnet wurden. Gruppe senkrechte Bewegung 2 Die Gruppe begann damit, das Protokoll zu schreiben bzw. beteiligte sich bei der anderen Gruppe, die sich noch mit der senkrechten Bewegung beschäftigte. Gruppe Gelenkviereck Die aus dem Filmen des realen Baggers gewonnen Daten wurden in die GeoGebra-Simulation des Gelenkviereck eingearbeitet, um an dieser Simulation zu sehen, wo die Grenzen
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des realen Baggers liegen. Freitag, 17. Juli 2008 9.00 – 12.00 Uhr Zusammentragen der Ergebnisse:
Zwei Schüler arbeiten am Projektbericht weiter, den sie bereits am Donnerstag begonnen hatten. Die verbleibenden sechs Schüler werden in zwei Dreiergruppen aufgeteilt. Sie sollen die wichtigen Ergebnisse aufbereiten und eine Präsentation erstellen.
Mittagspause 12.00 – 13.30 Uhr Fertigstellen der Präsentation und Üben des Vortrages 14.00 – 15.30 Uhr Die Ergebnisse werden in einem 12minütigem PowerPoint-
Vortrag den anderen Projektteilnehmern und den restlichen Zuhörern präsentiert.
117
8.7 Anhang G: Fragebogen
Fragebogen:
Bitte beantworte die folgenden Fragen, bevor du beginnst die Aufgaben der
Lernlaborstation zum Thema: „Die Mathematik des Baggers“ zu bearbeiten:
1 Wie alt bist du? Welche Schulart und Schulklasse besuchst du bzw. welche
Ausbildung absolvierst du?
_________________________________________________________________
2 Wie schätzt du deine eigenen Leistungen im Fach Mathematik ein? Welche
Schulnoten erhältst du bzw. hast du in der Regel erhalten?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3 Bist du an mathematischen Fragestellungen interessiert?
_________________________________________________________________
4 Beschäftigst du dich auch über den Schulstoff hinaus mit dem Thema
Mathematik?
_________________________________________________________________
5 Diese Station behandelt ausschließlich des Thema Bagger. Welche Aspekte
würden dich bei diesem Thema besonders interessieren?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
6 Besitzt du Vorwissen zum Thema?
_________________________________________________________________
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Bitte beantworte die folgenden Fragen nachdem du die Lernlaborstation bearbeitet hast.
7 Wie hat dir die Lernlaborstation im Allgemeinen gefallen?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8 Was fandest du besonders gelungen an der Station? Warum?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
9 Was fandest du weniger gelungen? Warum?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
10 Bei welchen Fragen hattet ihr Probleme mit der Formulierung?
__________________________________________________________________
11 Bei welchen Fragen habt ihr die Hilfe benutzt?
__________________________________________________________________
12 Hat euch die Hilfe weitergebracht? Wenn nicht, warum?
__________________________________________________________________
13 Gab es Probleme mit den Modellen bzw. den Computersimulationen?
__________________________________________________________________
14 Auf welche Aspekte wurde deiner Meinung nach zu wenig eingegangen?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
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15 Was würdest du an der Station verbessern?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
16 Gibt es etwas, dass du zur Station noch bemerken möchtest?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
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9 Abbildungsverzeichnis Alle Abbildungen sind, falls nicht anders erwähnt, selbst erstellt. Endgültiges Abbildungsverzeichnis: Seite: Abbildung 1: Seilbagger mit Schürfkübel als Arbeitsgefäß aus dem Jahr 1962 ............ 10 Abbildung 2: verschiedene Abbaumethoden .................................................................. 11 Abbildung 3: Foto eines Baggers mit Monoblockausleger ............................................ 13 Abbildung 4: Verstellausleger mit verschiebbarem Oberteil, Quelle: (MENCHINGER,1992, S. 7) ............................................................................................... 14 Abbildung 5: drehbarer Verstellausleger, Quelle (MELCHINGER, 1992, S. 7) ................ 14 Abbildung 6: Greifer-Arbeitseinrichtung, Quelle (MELCHINGER, 1992, S. 6) ............... 15 Abbildung 7: Hydraulikbagger mit Hochlöffel-Arbeitseinrichtung, Quelle: (MELCHINGER, 1992, S. 9) .............................................................................................. 15 Abbildung 8: Mobil-Hydraulikbagger mit Tieflöffel-Arbeitseinrichtung, Quelle: (MELCHINGER, 1992, S. 4) .............................................................................................. 16 Abbildung 9: Detailschnitt durch einen doppeltwirkenden Hydraulikzylinder .............. 17 Abbildung 10: schematische Darstellung des Ausfahrens (links) und Einfahrens (rechts) eines doppeltwirkenden Zylinders .................................................................................. 17 Abbildung 11: Bild einer Baggerkabine/Fahrerhaus mit Steuergeräten ......................... 18 Abbildung 12: schematische Darstellung der Wirkung des linken Steuergerätes .......... 18 Abbildung 13: schematische Darstellung der Wirkung des rechten Steuergerätes ........ 18 Abbildung 14: Minibagger mit Tieflöffel-Arbeitseinrichtung ........................................ 19 Abbildung 15: Dreieck ABC .......................................................................................... 21 Abbildung 16: Krandreieck ABC, Seitenlänge a wird variiert ....................................... 22 Abbildung 17: Krandreieck ABC mit zwei Kreisen für Definition 2 ............................. 23 Abbildung 18: Monoblockausleger mit drei Krandreiecken .......................................... 23 Abbildung 19: Bild eines Baggers mit drehbarem Verstellausleger, d.h., mit 4 Krandreiecken ................................................................................................................. 24 Abbildung 20: Detailfoto eines Krandreiecks am Bagger .............................................. 25
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Abbildung 21: Krandreieck mit Teil eines Kreisbogens (Spur) ..................................... 25 Abbildung 22: Skizze eines Hydraulikbaggers mit drei unterschiedlichen Bewegungskurven ........................................................................................................... 26 Abbildung 24: Graph der Funktion Beta ........................................................................ 28 Abbildung 23: Krandreieck ABC mit variabler Seitenlänge b ....................................... 28 Abbildung 25: Graph der Ableitung der Funktion Beta ................................................. 30 Abbildung 26: Krandreieck mit Koordinaten von C (x, y) ............................................. 32 Abbildung 27: Krandreieck mit Verlängerung ............................................................... 34 Abbildung 28: Zwei Krandreiecke ................................................................................. 37 Abbildung 29: Bild der Arbeitsrichtung eines Hochlöffelbaggers mit farblich gekennzeichnetem Krandreieck und Gelenkviereck ....................................................... 40 Abbildung 30: Bezeichnungen am Gelenkviereck ......................................................... 41 Abbildung 31: mögliche Bewegung der Baggerschaufel bei direktem Anschluss an Krandreieck ..................................................................................................................... 42 Abbildung 32: Krandreieck und Gelenkviereck ............................................................. 43 Abbildung 33: Skizze zu Beweisschritt 1 ....................................................................... 44 Abbildung 34: Skizze zu Beweisschritt 2 ....................................................................... 44 Abbildung 35: Gruppenbild von Schülern, Dozenten und Betreuern ............................. 51 Abbildung 36: Tafelbild zur Berechnung der Kolbenlängen bzw. Konstruktion in GeoGebra ........................................................................................................................ 54 Abbildung 37: Holzwinkel .............................................................................................. 57 Abbildung 38: Bild des Modells der Firma Opitec ......................................................... 58 Abbildung 39: Bild des in der Lernlaborstation verwendeten Holzmodelles ................. 58 Abbildung 40: Bild des Modellbaggers aus Kunststoff .................................................. 59 Abbildung 41: Modellbagger aus Metall ........................................................................ 59
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10 Literaturverzeichnis Appell, K., Roth, J., & Weigand, H.-G. (2008). Experimentieren, Mathematisieren, Simulieren - Konzeption eines Mathematik-Labors. In E. Vás1arhelyi, Beiträge zum Mathematikunterricht (S. 25 - 28). Münster: WTM. Baptist, P. (2000). Mathematikunterricht im Wandel. Bamberg: C. C. Buchner. Baumann, R. (1998). Mathematik 9./10. Klasse - Geometrie 2 - Winkelfunktionen, Trigonometrie, Additionstheoreme, Vektorrechung. München: Mentor Verlag. Bronstein, I. e. (2001). Taschenbuch der Mathematik (5. Ausg.). Frankfurt: Verlag Harri Deutsch. Danckwerts, R., & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. München: Elsevier. Griesel, H. /. (1986). Mathematik heute. Leistungskurs Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Bde. Material für den Sekundarbereich II, Mathematik). Hannover: Schrödel Schulbuchverlage. Gudjons, H. (2006). Pädagogisches Grundwissen (9. neu bearb. Aufl. Ausg.). Bad Heilbrunn: Klinkhardt. Holland, G. (1974). Geometrie für Lehrer und Studenten (Bde. Band 1 - Kongruenzabbildungen). Hannover [u.a.]: Schroedel Verlag. Holland, G. (2001). Geometrie in der Sekundarstufe. Didaktiktische und methodische Fragen (2. Aufl. Ausg.). Heidelberg, Berlin: Spektrum, Akad. Verl. Kunze, G. (2002). Baumaschinen - Erd- und Tagebaumaschinen. Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg. Lift, H. (1985). Hydraulik in der Landtechnik; Grundlagen, Anwendung, Fehlersuche. Würzburg: Vogel. Melchinger, U. (1992). Simulation der Arbeitsbewegungen und Antriebssysteme von Hydraulikbaggern (Bde. Fortschr.-Ber. VDI Reihe 1 Nr. 212). Düsseldorf: VDI-Verlag. Roth, J. (2005). Bewegliches Denken im Mathematikunterricht. Hildesheim, Berlin: Verlag Franzbecker. Roth, J. (2009). Geometrie und der Bagger - Anschauung, Begriffe und Ideen vernetzen (Bd. Beträge zum Mathematikunterricht 2009). (M. Neubrand, Hrsg.) Münster: Martin Stein Verlag. Roth, J. (2008). Systematische Variation. Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. mathematik lehren 146 , S. 17 - 21.
123
Rottmann, K. (1998). Mathematische Formelsammlung. Heidelberg; Oxford: Spektrum Akad. Verlag. Schlattmann, M. (2004). Methoden und Werkzeuge zur Entwicklung virtueller multimedialer Labore. Berlin: dissertation.de - Verlag im Internet. Vandewiele, A., & Dayan, J. [. (2006). Baufahrzeuge. Was Kinder erfahren und verstehen wollen. Köln: Fleurus Verlag. Vollrath, H.-J. (2003). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg; Berlin: Spektrum Akad. Verlag. Vollrath, H.-J. (2001). Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg; Berlin: Spektrum Akad. Verl. Weigand, H.-G. /. (2002). Computer im Mathematikunterricht. Neue Wege zu alten Zielen. Heidelberg, Berlin: Spektrum Akademischer Verlag. Internetquellen: Wellstein, H. (2009). Elementargeometrie. URL http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/elemgeo/gelenkvierecke/gelenkviereck.html, zuletzt aufgerufen am 08.04.2009. Liebherr (2009). Bildprospekt Erdbewegungsmaschinen für den Garten- und Landschaftsbau. URL http://www.liebherr.com/em/products_em.asp?menuID=106178!1350-0®ister=1588_1517, Downloads, Bildprospekt Erdbewegungsmaschinen für den Garten- und Landschaftsbau, zuletzt aufgerufen am 18.09.2009.
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Erklärung Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit in allen Teilen selbständig gefertigt und keine anderen als die in der Arbeit angegebenen Hilfsmittel benutzt habe. Soweit nicht anders angegeben entstammen alle Abbildungen aus selbst erstellten und bearbeiteten Videos sowie Fotos. Würzburg, den _________________ _________________________ Unterschrift
