137
1 BAZELE CERCETĂRII OPERAŢIONALE Şef lucr. dr. Stejărel BREZULEANU 2004

Bazele Cercetarii Operationale.pdf

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Cercetari Operationale

Citation preview

Page 1: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

1

BAZELE CERCETĂRII OPERAŢIONALE

Şef lucr. dr. Stejărel BREZULEANU

2004

Page 2: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

2

CUPRINS

Cap. 1. Natura cercetării operaţionale ..............................................................3

1.1. Dezvoltarea cercetării operaţionale.......................................................3

1.2. Cercetarea operaţională şi disciplinele înrudite ....................................8

1.3. Conţinutul şi caracteristicile principale ale cercetării

operaţionale..................................................................................................16

Cap. 2. Modelarea în cercetarea operaţională..................................................24

2.1. Rolul modelării în cercetarea operaţională ...........................................24

2.2. Probleme tip de cercetare operaţională .................................................29

Cap. 3. Programarea liniară în cercetarea operaţională .................................35

3.1. Prezentarea generală a programării liniare............................................35

3.3. Algoritmul simplex ...............................................................................39

Cap. 4. Elemente de teoria grafurilor................................................................44

4.1. Noţiuni generale....................................................................................44

4.2. Moduri de reprezentare ale unui graf....................................................46

4.3. Concepte de bază în teoria grafurilor....................................................48

4.4. Găsirea drumurilor într-un graf orientat ...............................................50

4.5. Arbori „Problema arborelui de valoare optimă“ ...................................55

4.5.1. Noţiunea de arbore.............................................................................55

4.5.2. Algoritmi pentru găsirea arborelui de valoare optimă .......................58

4.6. Drumuri optime într-un graf .................................................................63

4.7. Reţele de transport ................................................................................66

Cap. 5. Gestiunea stocurilor ...............................................................................71

5.1. Introducerea în problematica stocurilor ................................................71

5.2. Importanţa stocurilor în procesul de producţie .....................................72

5.3. Tipuri de stocuri....................................................................................74

5.4. Obiective şi rezultate ale gestiunii ştiinţifice a stocurilor .....................76

5.5. Elementele principale ale unui proces de stocare .................................77

5.6. Modele de gestiune a stocurilor ............................................................82

5.6.1. Modelul Willson ................................................................................82

5.6.2. Modelul Willson cu ruptură de stoc...................................................86

5.6.3. Generalizări ale modelului Willson ...................................................91

Page 3: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

35.6.4. Modelul de producţie-stocare ............................................................92

5.6.5. Model de gestiune cu preţuri de achiziţie sau cu cheltuieli de

producţie variabile .......................................................................................96

5.6.6. Modele de gestiune cu cerere aleatoare .............................................98

5.7. Modalităţi practice de aplicare a modelelor teoretice ...........................102

5.7.1. Modelul S-S .......................................................................................102

5.7.2. Metoda A.B.C. ...................................................................................103

5.7.3. Strategia IMPACT .............................................................................107

Cap. 6. Optimizarea itinerarelor de transport .................................................111

6.1. Metode pentru obţinerea unor soluţii iniţiale de bază ...........................112

6.1.1. Metoda colţului nord-vest sau a colţului stânga sus ..........................112

6.1.2. Metoda colţului sud-vest....................................................................115

6.1.3. Metoda elementului minim pe linie ...................................................116

6.1.4. Metoda elementului minim pe coloană ..............................................117

6.1.5. Metoda dublei preferinţe....................................................................118

6.1.6. Metoda acoperirii zerourilor ..............................................................120

6.2. Metoda Kotzig ......................................................................................126

6.3. Metoda Vogel .......................................................................................130

Bibliografie .................................................................................................133

Page 4: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

4

CAPITOLUL 1

NATURA CERCETĂRII OPERAŢIONALE

1.1. DEZVOLTAREA CERCETĂRII

OPERAŢIONALE

Cercetarea operaţională se aplică pe scară largă în multe domenii de

activitate ca: administraţie centrală sau locală, în activităţi industriale în diverse

organizaţii sociale, spitale, şcoli, sindicate, biblioteci) etc. Cu atât mai mult, în

activitatea de producţie agricolă, cercetarea operaţională îşi găseşte

aplicabilitatea datorită diversificării ramurilor de producţie, a influenţei

factorilor de producţie şi a factorilor naturali, precum şi a proceselor

permanente de optimizare a resurselor.

Metodele cercetării operaţionale se aplică cu succes în conservarea

resurselor de apă, în optimizarea tehnologiilor de producţie, precum şi în

planificarea regională şi locală a producţiei agricole.

Se pare că termenul de „cercetare operaţională“ a fost utilizat pentru

prima dată în anul 1939, dar la fel ca şi în alte ramuri ale ştiinţei, s-a constatat

că izvoarele cercetării operaţionale îşi au originea în decursul ştiinţei şi

societăţii. Chiar şi cele mai vechi discipline, cum ar fi ştiinţele naturale au

început să fie individualizate prin nume abia în secolul trecut, dar odată

denumirea fixată, ea a servit pentru a denumi lucrări mult mai vechi.

Deşi anumite elemente de cercetare operaţională se pot întâlni înainte

de prima revoluţie industrială, necesităţile impuse de această revoluţie au fost

cele care au condus la dezvoltarea cercetării operaţionale ca ştiinţă

independentă. Până la mijlocul secolului trecut, majoritatea unităţilor de

producţie foloseau foarte puţini oameni. Apariţia maşinilor-unelte a permit

înlocuirea omului cu maşina, ca sursă de energie iar dezvoltarea sistemelor

naţionale de transport şi comunicaţii au impulsionat evoluţia industriei

întreprinderilor, devenea din ce în ce mai greu ca întreg procesul de conducere

să fie asigurat de un singur om. De aceea proprietarul, iar mai târziu directorii

de profesie, au început să atribuie altora câte o parte din sarcinile sale. Au

Page 5: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

5început să apară serviciile de producţie, finanţe, personal, comercial, cercetare

şi proiectare. Dezvoltarea industrială ulterioară a impus o diferenţiere şi mai

accentuată. Astfel, serviciul producţie a fost divizat în aprovizionare,

întreţinere şi reparaţii, transport, control de calitate şi planing, (planificarea

lucrului pe maşini şi utilaje).

Pe măsura creşterii şi răspândirii populaţiei, au apărut noi pieţe de

desfacere şi s-au descoperit surse noi de materii prime. Ca rezultat, operaţiile

industriale s-au dispersat geografic. A devenit un lucru comun ca aceeaşi firmă

să dispună de mai multe întreprinderi şi de mai multe oficii comerciale, fiecare

dintre acestea având propriul lor conducător. Astfel, diviziunea teritorială şi

funcţională a managementului firmelor, pe care o cunoaştem astăzi, este o

consecinţă a dezvoltării economice generată de prima revoluţie industrială. Pe

măsura dezvoltării fiecărei noi activităţi de conducere, au apărut noi ştiinţe

aplicate, având rolul de a sprijini activitatea respectivă. Astfel, odată cu

utilizarea cunoştinţelor de statistică şi psihologie, s-a dezvoltat o altă ştiinţă,

organizarea producţiei.

Au apărut şi alte discipline aplicative: studiul fenomenelor de

conjunctură, microeconomia industrială, psihologia şi sociologia industrială.

Specializarea continuă a funcţiilor de conducere a determinat o specializare din

ce în ce mai accentuată a disciplinelor ştiinţifice corespunzătoare. Au apărut

discipline ca: tehnologia materialelor, controlul statistic al calităţii, teoria

reînnoirii, teoria siguranţei, marketingul.

Un aspect important al acestei dezvoltări constă în faptul că sfera de

preocupări a acestor ştiinţe nu a cuprins şi funcţia executivă a procesului de

conducere. Pentru a înţelege semnificaţia acestui fenomen, este indicat să

lămurim în ce constă această funcţie executivă.

Ori de câte ori o funcţie de conducere este divizată în mai multe

subfuncţii diferite, apare o nouă activitate care trebuie desfăşurată. Toate aceste

noi compartimente trebuie integrate, astfel încât ele să servească în mod

eficient interesele generale. Funcţia executivă este cea care trebuie să realizeze

această integrare. Pentru ca funcţia executivă să-şi atingă scopul, este necesar

să se stabilească obiectivele compartimentelor corespunzătoare, precum şi

anumite criterii care să indice măsura în care aceste obiective au fost

Page 6: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

6îndeplinite. De exemplu, conducerea unei întreprinderi atribuie

compartimentelor principalele sarcini:

- Serviciul producţie: maximizarea cantităţii de mărfuri sau servicii şi

minimizarea cheltuielilor specifice de producţie;

- Serviciul comercial: maximizarea cantităţii de mărfuri vândute şi

minimizarea cheltuielilor specifice legate de desfacerea mărfurilor;

- Serviciul financiar: minimizarea capitalului necesar pentru

menţinerea unui nivel de producţie dat;

- Serviciul personal: urmăreşte ca salariaţii să-şi poată îndeplini

sarcinile în mod conştiincios şi să asigure o înaltă productivitate a

muncii.

Toate aceste sarcini sunt în conformitate cu obiectivele generale ale

întreprinderii, dar ele sunt adeseori contradictorii, aplicarea lor în practică este

mai greu de înfăptuit. Ca o ilustrare a acestui fapt, putem exemplifica

atitudinea pe care o au cele 4 servicii menţionate faţă de problema stocurilor:

- Serviciul producţie caută să producă cât mai mult la un preţ cât mai

scăzut. Acest lucru se poate realiza numai prin fabricarea în mod

continuu a unui singur produs.

Dacă se cer mai multe tipuri de produse, metoda cea mai ieftină este în

a produce de fiecare dată serii cât mai mari. În acest fel se minimizează

pierderile de timp cerute de adaptarea utilajelor la o producţie nouă, iar

experienţa acumulată prin efectuarea timp îndelungat a aceluiaşi produs duce la

creşterea productivităţii. Cum serviciul producţie cere să se lucreze cât mai

puţine tipuri de produse, în serii cât mai mari, rezultă necesitatea unor stocuri

cât mai mari, conţinând relativ puţine categorii de produse. Serviciul producţie

preferă în general acea politică de stocuri care asigură un spaţiu larg de

depozitare şi o nomenclatură redusă de produse finite.

Serviciul comercial doreşte de asemenea un spaţiu mare de depozitare

pentru ca încă de astăzi clientul să poată fi aprovizionat cu ce ar dori mâine.

Dar cum serviciul comercial doreşte să vândă cât mai mult, el trebuie să

dispună de produse cât mai variate. De aceea, serviciul producţie şi cel

comercial intră de obicei în conflict în ceea ce priveşte nomenclatura

mărfurilor produse. Serviciul comercial susţine producerea unor mărfuri de

Page 7: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

7serie unică, chiar nerentabile, pe când serviciul producţie reclamă excluderea

lor.

Serviciul financiar, în urmărirea obiectivului său de minimizare a

capitalului necesar, doreşte să reducă mijloacele „fixe“ de producţie. Una din

cele mai uşoare căi pentru aceasta constă în reducerea stocurilor, şi deci a

capitalului fix legat de ele. De regulă, serviciul financiar este de acord ca

nivelul stocurilor să fie ridicat şi să scadă proporţional sau să crească în funcţie

de creşterea sau scăderea vânzărilor firmei.

Chiar dacă vânzările sunt reduse, serviciul personal nu doreşte totuşi să

reducă nivelul producţiei şi să concedieze muncitori, deoarece astfel de măsuri

au o influenţă negativă asupra moralului personalului şi implică cheltuieli

suplimentare legate de concedieri: plata preavizelor şi de instruirea noilor

angajaţi, atunci când se fac angajări. De aceea, serviciul personal este interesat

de menţinerea producţiei la un nivel cât mai constant posibil. Aceasta implică

creşterea stocurilor atunci când vânzările sunt slabe şi micşorarea lor atunci

când au loc vânzări masive. Prin urmare, serviciile financiar şi personal au

păreri diferite în ceea ce priveşte politica de urmat în problema stocurilor.

Sarcina funcţiei executive constă în alegerea unei politici care să

servească cât mai bine întreprinderilor în ansamblu şi nu interesele vreunuia

din compartimentele ei. Pentru a realiza această integrare, este necesar să fie

luat în considerare întreg sistemul în ansamblul său şi în aceasta constă esenţa

funcţiei executive.

În agricultură, funcţia executivă s-a dezvoltat treptat, paralel cu

dezvoltarea sistemelor de producţie.

Asupra conducătorilor care purtau răspunderea exercitării acestei

funcţii, noile tehnologii de producţie nu au mai avut aceeaşi puternică

influenţă, pe care a manifestat-o faţă de conducătorii tehnici. Pe măsură ce

pătrunderea în esenţa problemelor, specialistul agronom constata că rezolvarea

lor nu necesită decât un bun simţ bazat pe experienţă. De aceea el nu simţea

nevoia de a-şi fundamenta ştiinţific deciziile luate. Totuşi, specialistul avea din

ce în ce mai puţin timp pentru rezolvarea problemelor ce se puneau, aşa că a

trebuit să recurgă la ajutorul celor care posedau mai multă experienţă în

rezolvarea unor astfel de probleme. În acest fel au apărut consultanţi de

Page 8: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

8profesie, însă la început activitatea lor nu se baza pe utilizarea unor metode

ştiinţifice.

Specialiştii de profesie sunt de acord că cercetarea operaţională

reprezintă în esenţă o abordare ştiinţifică a problemelor funcţiei executive,

ajungând la concluzia că dezvoltarea ei în domeniul conducerii ştiinţifice a

sistemelor de producţie agricolă a fost mult întârziată. Această situaţie s-ar fi

putut mult prelungi dacă cercetarea operaţională nu ar fi fost utilizată în unele

activităţi militare la începutul celui de-al doilea război mondial. Cercetarea

operaţională a fost impusă în armată datorită specificului acesteia şi ca urmare

a faptului că organizarea militară a cunoscut acelaşi tip de evoluţie ca şi cea

industrială şi din aceleaşi motive.

Deosebirea principală între evoluţia conducerii militare şi a celei

industriale se produce în cei douăzeci de ani cuprinşi între sfârşitul primului

război mondial şi începutul celui de-al doilea. În această perioadă, tehnica

militară s-a dezvoltat mult mai repede decât tactica şi strategia. Apărând

diverse probleme de ordin strategic, conducătorii militari au cerut ajutorul unor

mici echipe de specialişti în diverse domenii de activitate. Succesul obţinut a

făcut să crească cererea pentru unele servicii de acest fel, iar utilizarea

echipelor de oameni de ştiinţă s-a răspândit în Europa (Germania, Franţa,

Anglia), dar şi în SUA şi Canada.

De obicei, grupele erau ataşate unui ofiţer care activa în sectorul

operaţiilor de luptă. Din acest motiv, îndeletnicirea acestor grupe a început să

fie cunoscută sub denumirea de cercetare operaţională în Marea Britanie şi sub

o varietate de alte domenii în SUA: operaţional analysis (analiză operaţională),

operations evaluation (evaluarea operaţiilor); operations research (cercetarea

operaţiilor), systems analysis (analiza sistemelor), systems evaluation

(evaluarea sistemelor), systems research (cercetarea sistemelor) şi management

science (ştiinţa conducerii).

Cel mai folosit termen este cel de operations research, termen impus în

limba română de cercetare operaţională. După cel de-al doilea război mondial,

dezvoltarea cercetării operaţionale a urmat căi diferite în SUA şi în Anglia. În

Anglia, cheltuielile militare s-au redus, ceea ce a făcut ca mulţi specialişti în

cercetarea operaţională să părăsească armata. În acelaşi timp, conducătorii

industriali erau puşi în faţa unei uriaşe opere de reconstrucţie. Nu numai că

Page 9: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

9trebuiau refăcute uzinele distruse de bombardamente, dar se simţea şi nevoia de

înlocuire a vechilor utilaje demodate. Conducătorii acestor ramuri solicitau

consensul specialiştilor în cercetarea operaţională deveniţi disponibili.

1.2. CERCETAREA OPERAŢIONALÃ ŞI

DISCIPLINELE ÎNRUDITE

Cercetarea operaţională este una din disciplinele care a apărut către

sfârşitul primei jumătăţi a secolului nostru şi s-a dezvoltat spectaculos în

special în ultimii ani, în strânsă legătură cu o serie de alte discipline ale

organizării şi conducerii, cum ar fi cibernetica, informatica sau analiza

sistemelor.

Pentru a avea o imagine de ansamblu asupra obiectului cercetării

operaţionale aplicate în economie, considerăm, deci, util să examinăm succint

cum au apărut şi au evoluat disciplinele organizării şi conducerii precum şi

legăturile pe care le prezintă între ele.

Concepţia "organizării ştiinţifice", conturată către sfârşitul secolului al

19-lea şi începuturile celui actual, consideră unitatea productivă ca un

mecanism, în care oamenii, ajutaţi de maşini, lucrează într-un determinism

aproape total, pe baza unor dispoziţii acţionând ierarhic, conform unor

competenţe riguros definite.

Principalii reprezentanţi ai începuturilor organizării ştiinţifice, care

formează aşa-numita ″şcoală clasică", stabilesc pentru prima oară o serie de

principii ale conducerii ştiinţifice. Printre acestea figurează binecunoscutul (şi

încă actualul) principiu al excepţiei, principiul specializării organizaţionale,

principiul definirii riguroase a sarcinilor, principiul organizării ierarhice

(Staff and Line) ş.a.

Între conceptele utilizate de şcoala clasică nu figurează informaţia şi

nici decizia: conducerea "mecanismului" economico-social revine (în ultimă

instanţă prin parcurgerea treptelor piramidei ierarhice), întotdeauna, unui

centru unic de decizie, pentru care informaţiile sunt presupuse, aprioric,

disponibile complet şi instantaneu, fără nici un fel de restricţie (de timp, de

spaţiu, de tehnică a transmiterii şi înmagazinării etc.).

Page 10: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

10Pionierii organizării ştiinţifice (Taylor, Gantt, Fayol) şi ceilalţi

reprezentanţi ai şcolii clasice pun pentru prima oară problema abordării

raţionale a mecanismului funcţionării unei întreprinderi.

O mare parte din ideile şcolii clasice au fost criticate de reprezentanţii

diferitelor şcoli care s-au dezvoltat ulterior în ştiinţele organizării, dând naştere,

după cum vom arăta în continuare, unor teorii din ce în ce mai abstracte şi mai

complexe. Merită să arătăm că în anii 1960, ca o reacţie împotriva excesului de

teoretizare, s-a dezvoltat o aşa-numită şcoală neoclasică, având drept obiectiv

reîntoarcerea la practică.

În deceniile care urmează după apariţia şi dezvoltarea şcolii clasice,

problemele informaţional-decizionale îşi afirmă prezenţa din ce în ce mai acut,

pe măsura creşterii dimensiunilor şi complexităţii organizaţiilor

social-economice şi îşi caută rezolvări empirice de cele mai multe ori nu la

nivelul necesităţilor. Se stabilesc adesea circuite informaţionale paralele şi

supraabundente (redundante) iar în afara fluxurilor oficiale (formale) de date,

se dezvoltă o circulaţie neformală, uneori mai eficientă, dar cu caracter strict

local. În procesele de decizie continuă să prevaleze rutina, bunul simţ, talentul

sau chiar improvizaţia.

În perioada următoare primului război mondial au putut fi constatate, ca

urmare a acestor rezolvări empirice, diferenţe considerabile, din punctul de

vedere al competitivităţii, între unităţi economice cu structuri organizatorice şi

dotări tehnice identice sau similare. Analizele efectuate au condus la o primă

includere în perimetrul cercetării privind problemele organizării şi conducerii a

aspectelor informaţional-decizionale, până atunci ignorate şi totodată şi a

aspectelor relaţiilor umane. Se lărgeşte considerabil problematica organizării şi

conducerii şi încep să circule cu din ce în ce mai multă autoritate denumirile de

management (ca activitate practică) şi management science (ştiinţa conducerii).

Această perioadă este dominată de "şcoala comportamentului" care

pune în centrul preocupărilor sale observaţia minuţioasă a comportamentului

oamenilor în timpul procesului motivaţiilor care determină coeziunea

grupurilor.

Diferenţele substanţiale între şcoala comportamentului şi şcoala clasică

se referă în special la aspecte ca: descentralizarea deciziilor, promovarea

încrederii între membrii unui grup (şi neglijarea autorităţii) cu accentul pus pe

Page 11: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

11responsabilitate (şi nu pe control)1.

Începând cu anii 1950 nostru2, se produce un fenomen care promovează

informaţia şi decizia printre elementele esenţiale ale epocii în care trăim.

La acest fenomen contribuie în primul rând creşterea extraordinară a

complexităţii structurale şi funcţionale, a organizaţiilor economice. Procesele

de comasare-integrare, apariţia structurilor organizaţionale cu activităţi

productive pe arii geografice foarte mari (şi, de asemenea, cu multiple

probleme legate de desfacerea produselor), ridicarea nivelului de tehnicitate a

instalaţiilor şi corespunzător o specializare accentuată a profesiunilor - sunt

numai câteva din aspectele acestei complexităţi a unităţilor productive

moderne.

Ca o consecinţă a acestei stări de fapt apare o extraordinară creştere a

cantităţii de informaţii deţinute şi manipulate în unităţile productive, accentuată

şi de formularea unor condiţii mult mai severe în ceea ce priveşte calitatea

informaţiei (pertinenţa şi operativitatea acesteia). Alături de producţia de

bunuri apare o producţie de informaţii din ce în ce mai însemnată, informaţia

devine chiar un produs sau marfă ce se poate negocia, ajungând, alături de

servicii, obiectiv al unor organizaţii specializate.

În ceea ce priveşte procesele de decizie, pentru prima oară se pune în

mod riguros şi pe scară largă problema găsirii unor soluţii optime sau apropiate

de cele optime, în marea diversitate de probleme organizatorice şi de

conducere.

Se poate considera că toate aceste schimbări au condus la o veritabilă

revoluţie informaţional-decizională în domeniul organizări şi conducerii şi, ca

o consecinţă, la apariţia managementului ştiinţific modern.

Principalele discipline privind conducerea, care au apărut în această

etapă sunt: cercetarea operaţională, cibernetica, informatica, psihosociologia

organizării şi teoria generală a sistemelor.

• Cercetarea operaţională, care poate fi definită succint ca disciplină a

optimizării deciziilor cu ajutorul modelării matematice, a apărut în perioada

1 Printre reprezentanţii "şcolii comportamentului" pot fi citaţi Mayo,

Abraham Zalesnick şi D. G. Peltz. 2 Desigur, referirea la un moment în timp nu poate fi decât pur orientativă; aici am

avut în vedere apariţia primei generaţii de calculatoare electronice, a primelor lucrări de cibernetică şi a primelor echipe de cercetare operaţională.

Page 12: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

12celui de-al doilea război mondial.

Considerată de unii ca reprezentând şcoala matematică în disciplinele

organizării şi conducerii, cercetarea operaţională se caracterizează în primul

rând prin procesul de elaborare a modelelor, de regulă matematizate, care

descriu procesele economice pentru care urmează a se lua decizii cât mai

avantajoase.

• Cibernetica este ştiinţa care se ocupă cu conducerea şi reglarea

sistemelor complexe.

Printre încercările cele mai caracteristice de perfecţionare a metodelor

folosite în ultimele decenii în ştiinţele organizării şi conducerii, alături de

întrebuinţarea masivă a procedeelor matematice şi a calculatoarelor electronice,

se află şi utilizarea concepţiei sistemico-cibernetice.

Poate fi definită ca sistem orice secţiune a realităţii în care se identifică

un ansamblu de fenomene, obiecte, procese, concepte, fiinţe sau grupuri

interconectate printr-o mulţime de relaţii reciproce, precum şi cu mediul

înconjurător şi care acţionează în comun în vederea realizării unor obiective

bine definite. Mulţimea elementelor şi a relaţiilor dintre acestea, precum şi a

relaţiilor între componente şi ansamblu formează structura sistemului.

Mulţimea caracteristicilor unui sistem, la un moment dat, determină starea sa.

Pentru analiza comportamentului sistemelor, în ansamblul lor, s-a

propus conceptul de "cutie neagră" care reprezintă sistemul privit ca un tot,

făcând abstracţie de procesele sale interne. Cutia neagră primeşte impulsuri din

partea mediului înconjurător (″intrările" în sistem) şi, prelucrând aceste

impulsuri, le transformă în acţiuni asupra mediului ("ieşirile") din sistem.

Sistemele se pot clasifica: după natura lor (sisteme naturale - cum sunt

organismele vii şi sisteme elaborate - tehnice, economice, conceptuale), după

modul de funcţionare (deschise - în care ieşirile nu influenţează intrările, şi

închise, în care are loc influenţa intrărilor de către ieşiri) şi după comportament

(deterministe sau probabilistice1).

Mecanismul transformării intrărilor în ieşiri poate fi descris cu ajutorul

funcţiilor de transfer, care au diverse forme, particulare, după natura

sistemului.

1 Sistemele deterministe au o comportare previzibilă, în timp ce sistemele probabilistice au o comportare aleatoare.

Page 13: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

13Sistemul devine cibernetic2 atunci când apare reglarea (conexiunea

inversă, feedback-ul), adică o intervenţie asupra intrărilor în scopul menţinerii

ieşirilor la nivelul unor parametri-obiectiv doriţi.

Se înţelege că expresia analitică a funcţiilor de transfer şi a

mecanismului reglării conduce la forme matematice foarte diverse şi de cele

mai multe ori foarte complexe.

Ansamblul economiei poate fi privit ca un sistem ale cărui elemente

componente (organizaţiile social-economice de diferite mărimi) sunt

intercorelate prin fluxuri materiale şi informaţionale şi au un comportament

orientat spre atingerea unor obiective precise. La rândul lor, organizaţiile, care

sunt elemente componente ale sistemului-ansamblu, pot fi considerate sisteme,

diviziunea putându-se continua până la identificarea unor componente

elementare indivizibile. Scopul cercetării cibernetico-sistemice aplicată la

realitatea social-economică îl constituie surprinderea comportamentului

sistemelor, una din căile de descriere a acestui comportament fiind găsirea

expresiei funcţiilor de transfer şi a mecanismului reglării.

Adoptarea perspectivei cibernetico-economice în ştiinţele

social-economice reprezintă un câştig teoretic remarcabil şi este foarte probabil

ca, în următorii ani, să asistăm la închegarea unei teorii cibernetico-sistemice

complete şi unitare aplicată la realitatea social-economică pe scară largă.

• Informatica poate fi definită ca disciplina prelucrării datelor cu

ajutorul echipamentelor automate de prelucrare.

Principalele probleme care pot fi considerate ca aparţinând informaticii

sunt: culegerea datelor, pregătirea datelor, codificarea acestora, transmiterea

lor, prelucrarea datelor pe echipamente, stocarea şi conservarea lor.

Problema dezvoltării explozive a informaticii şi a rolului ei în

economie, administraţie, cercetare spaţială, strategie militară, ştiinţă,

învăţământ etc, este bine cunoscută şi de nespecialişti. Vom arăta numai că, de

la câteva calculatoare electronice şi puţini specialişti în informatică, în 1945,

s-a ajuns azi, pe plan mondial, la milioane de calculatoare şi specialişti.

• Psihosociologia organizării a apărut ca o nouă orientare în

2Apariţia şi dezvoltarea ciberneticii (începând din deceniul al 5-lea al secolului nostru) este

legată de numele unor savanţi celebri ca Norbert Wiener, Claude Shannon, Ross Ashby etc.

Page 14: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

14disciplinele conducerii în jurul anului 1950.

St. March, F. Simon şi alţi reprezentanţi ai aşa-numitei "şcoli

psihosociologice" abordează, în principal, problema influenţei factorilor

psihologici şi sociologici în compartimentul decizional. Luarea deciziilor, în

concepţia acestei şcoli, nu este funcţie numai de criterii raţionale ci şi de modul

de percepere a stimulilor, depinzând de poziţia decidentului şi de relaţiile cu

ceilalţi membri ai grupului.

Cu alte cuvinte, oricât s-ar face apel, în organizarea şi conducerea

organismelor economice, la metode şi echipamente de mare fineţe şi

tehnicitate, în ultimă instanţă oamenii sunt cei de care depinde funcţionarea

eficientă a sistemului, de aceea, trebuie studiate reacţiile individuale şi relaţiile

dintre indivizii din sistem.

• Teoria generală a sistemelor (TGS), strâns legată de cibernetică,

propune o perspectivă care să sintetizeze ideile viabile ale diferitelor orientări

în ştiinţele organizării şi conducerii.

Iată câteva din ideile de bază ale teoriei generale a sistemelor, după

"Industrial Dynamics" a lui J. Forrester:

a) orice sistem este alcătuit din elemente (părţi) interdependente,

acţionând în comun în virtutea unui scop;

b) ansamblul legăturilor între elementele sistemului, precum şi al

legăturilor cu întregul, formează structura sistemului S;

c) complexitatea sistemelor depinde mai mult de structura sistemului

decât de natura părţilor sale;

d) două sisteme cu structuri parţial identice se numesc homomorfe

(sistemul mai simplu va constitui un model al sistemului homomorf

mai complex);

e) două sisteme homomorfe vor avea un comportament asemănător, de

unde rezultă posibilitatea de studiu a proprietăţilor sistemelor reale

prin simulare;

f) structura (statică) unui sistem preexistă comportamentului său

(dinamicii sistemului);

g) mişcările într-un sistem se realizează prin fluxuri presupuse concrete

şi continue;

Page 15: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

15h) într-un organism economic toate categoriile de mişcări pot fi grupate

în următoarele tipuri de fluxuri interconectate; 1) fluxuri materiale;

2) fluxuri de comenzi; 3) fluxuri băneşti; 4) fluxuri umane; 5) fluxuri

de echipamente şi 6) fluxuri informaţionale;

i) fluxul informaţional are un rol central în funcţionarea sistemelor;

j) procesele decizionale sunt considerate şi ele ca având un rol central în

mecanismul sistemelor; ele sunt presupuse a fi discontinue;

k) reglarea este un element caracteristic al funcţionării sistemelor;

l) procesele care au loc în sistemele economice sunt, de regulă,

neliniare.

Pe baza acestor premise, Forrester construieşte un procedeu de descriere

a comportamentului unei întreprinderi, care utilizează metode cibernetice,

informatice, psihosociologice, precum şi procedee de modelare matematică. De

asemenea, sunt folosite analogii fizice şi tehnice (de exemplu, fluxurile sunt

examinate în sens hidraulic) iar simularea este utilizată ca un procedeu de bază

în descrierea comportamentului sistemelor.

În linii mari în "Industrial Dynamics" se urmăreşte înţelegerea stării

unui sistem cu ajutorul unor ecuaţii care descriu în timp intrările, transformările

şi ieşirile din sistem, pentru cele şase tipuri de fluxuri amintite mai sus. (E

vorba deci de găsirea funcţiilor de reacţie ale sistemului.) Pe baza acestei

descrieri matematice se pot face simulări pe calculator, cu ajutorul cărora se

prevede evoluţia sistemului.

Ideile şi procedeele TGS, impresionante prin complexitatea lor, sunt în

curs de sedimentare metodologică şi experimentare practică.

Marea majoritate a propoziţiilor enumerate mai sus şi care stau la baza

teoriei lui Forrester se regăsesc explicit sau implicit şi la baza metodologiilor

practice de analiză sistemică. Conceptele de flux informaţional şi proces

decizional sunt dominante şi în analiza sistemică la fel ca în TGS, iar urmărirea

mecanismului transformării intrărilor în ieşiri constituie obiectul principal al

analizei de sistem la fel ca şi al TGS. Procedeul folosit de analiza sistemică nu

mai este însă matematic, ci bazat pe descrierea explicită, calitativă, a proceselor

informaţional-decizionale. În plus, în practica analizei de sistem, odată cu

proiectarea proceselor informaţionale şi în special a celor decizionale, se

Page 16: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

16urmăreşte îmbunătăţirea lor, deci se au în vedere criterii de optim. În acţiunea

aceasta de proiectare eficientă a procesului informaţional-decizional, analiza

sistemică face din plin apel la procedeele cercetării operaţionale şi la tehnicile

informaticii. În ceea ce priveşte folosirea metodelor psihosociologice, în

analiza de sistem există încercări recente în acest sens.

În industria carboniferă şi cea metalurgică, în transporturi, gospodărie

comunală şi în multe alte ramuri ale economiei au apărut grupe de cercetare

operaţională industrială.

În contrast cu cele întâmplate în Europa, în Statele Unite ale Americii

cercetările militare s-au dezvoltat intens şi după terminarea războiului. Mulţi

specialişti, cu o bogată experienţă în cercetarea operaţională au continuat să

activeze în domeniul militar. Conducătorii din întreprinderile industriale nu

aveau de ce să ceară ajutorul cercetării operaţionale, întrucât ei au revenit la

metodele familiare dinainte de război. Problema reconstrucţiei sau a

naţionalizării întreprinderilor nu s-a pus în Statele Unite ale Americii.

Pătrunderea ştiinţei în rezolvarea problemelor de conducere a industriei

se datoreşte în S.U.A., celei de-a doua revoluţii industriale. Cel de-al Doilea

Război Mondial a stimulat cercetările ştiinţifice în domeniul

telecomunicaţiilor, al conducerii automate şi tehnicii de calcul.

Prin aceasta s-a creat bază tehnică a procesului de automatizare, proces

a cărui esenţă constă în faptul că funcţiile de control exercitate de om sunt

preluate de calculator. O nouă revoluţie industrială a început la sfârşitul anilor

1950 când a devenit posibilă comercializarea calculatoarelor. S-a făcut în

acelaşi timp o reclamă intensă posibilităţilor calculatoarelor ca noi instrumente

de conducere şi de asistare a deciziilor manageriale. Directorii întreprinderilor

neavând competenţa necesară în multe domenii de activitate noi, au început să

caute ajutor în selectarea şi utilizarea calculatoarelor.

Cererile de acest fel s-au amplificat odată cu începerea războiului din

Coreea, care a impus o productivitate crescută pentru o mare parte din industria

americană. De aceea, la începutul anilor 1860 o parte din specialiştii în

cercetarea operaţională care lucrau în domeniul militar, au început să activeze

în industrie.

Alte studii sunt iniţiate în cadrul unor birouri de consultaţii, universităţi,

institute de cercetare sau instituţii guvernamentale. În acest fel, cercetarea

Page 17: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

17operaţională a început să se dezvolte şi să se răspândească şi în SUA.

În decursul unui deceniu, numărul cercetărilor care activau în diverse

organisme academice, guvernamentale sau industriale l-a egalat pe cel al

cercetătorilor preocupaţi de probleme militare.

În prezent, mai mult de jumătate din marile firme americane au sau

utilizează specialişti în cercetarea operaţională.

În anul 1953 a luat fiinţă o societate naţională – Societatea americană de

cercetări operaţionale (The Operations Research’Society of America). Alte ţări

au urmat curând acest exemplu şi în 1957 s-a constituit Federaţia Internaţională

a Societăţilor de Cercetări Operaţionale.

Au început să apară şi reviste periodice: trei în SUA, una în Anglia

urmate de altele în diferite ţări.

În SUA au fost introduse cursuri şi seminarii de cercetare operaţională,

iar într-un ritm mai lent astfel de cursuri au luat naştere şi în alte ţări.

În concluzie, după un deceniu în care a cunoscut o amplă dezvoltare în

domeniul militar, cercetarea operaţională a continuat să se dezvolte foarte rapid

în cadrul diferitelor organisme academice, industriale şi guvernamentale.

1.3. CONŢINUTUL ŞI CARACTERISTICILE

PRINCIPALE ALE CERCETĂRII OPERAŢIONALE

În multe lucrări de specialitate pot fi întâlnite diverse definiţii ale

cercetării operaţionale, dar au existat şi multe argumente în favoarea ideii

căreia cercetarea operaţională nu poate fi definită. Examinând definiţiile

propuse, trebuie să ne reamintim că nici cele mai vechi ştiinţe şi nici ştiinţa în

sine nu a fost niciodată definită într-un fel care să fie acceptat de majoritatea

celor care se ocupă de ştiinţa respectivă. Încercând să luăm în considerare toate

activităţile şi domeniile de activitate cu care se întrepătrunde, vom încerca să

dăm o definiţie cât mai completă a cercetării operaţionale care să constituie o

bază folosirea pentru înţelegerea noţiunii acestei ştiinţe, mai ales dacă avem în

vederea istoria dezvoltării acestei ştiinţe.

Astfel putem considera ca cercetarea operaţională reprezintă: aplicarea

metodelor ştiinţifice de către o echipă interdisciplinară la studiul problemelor

Page 18: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

18legate de conducerea sistemelor organizate în scopul obţinerii unor soluţii care

să servească cât mai bine interesele organizaţiei în ansamblu.

Principalele caracteristici ale cercetării operaţionale care pot fi

desprinse din această definiţie sunt următoarele:

- Abordarea în ansamblu a problemelor;

- Folosirea unei grupe de specialişti din diferite domenii;

- Utilizarea metodelor ştiinţifice la problemele de conducere.

În continuare, ne vom opri mai amănunţit asupra fiecărei caracteristici.

1.3.1. ABORDAREA ÎN ANSAMBLU A PROBLEMELOR

Această caracteristică se bazează pe observaţia că în sistemele

organizate, comportarea fiecărei părţi influenţează într-un fel sau altul toate

celelalte părţi. Nu toate aceste influenţe pot fi detectate şi nu toate au aceeaşi

importanţă. În consecinţă, această caracteristică constă în esenţă în a descoperi

care sunt interacţiunile semnificative, atunci când se evaluează activitatea sau

politica urmată de fiecare din componentele sistemului.

O astfel de abordare a problemelor de conducere este direct opusă

celeia care urmăreşte simplificarea problemelor, reducând dimensiunile lor.

Cercetătorul operaţional lărgeşte aproape întotdeauna problema iniţială,

introducând interacţiuni care nu se găseau în formularea prezentată de către

conucerea firmei. Pentru a putea studia aceste probleme mai largi, şi deci mai

complicate, au trebuit să fie dezvoltate noi metode de cercetare.

Dacă ar fi să ne întoarcem la problema de stocuri discutată la punctul

1.1, abordând problema planificării producţiei şi a stocurilor numai din punctul

de vedere al serviciului producţie şi a stocurilor numai din punctul de vedere al

serviciului producţie, am fi capabili să evaluăm influenţa, pe care o decizie

aleasă de pe această poziţie ar avea-o asupra vânzărilor şi asupra problemelor

de personal şi financiare ale firmei. Cercetarea operaţională caută să ţină seama

de toate influenţele semnificative, să facă toate aceste efecte considerabile şi să

obţină o evaluare a lor în ansamblu.

Page 19: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

191.3.2. FOLOSIREA UNEI GRUPE DE SPECIALIŞTI DIN

DIFERITE DOMENII

Divizarea cunoştinţelor umane în diverse discipline ştiinţifice este un

fenomen relativ recent, produs al secolului al XIX-lea. Până către sfârşitul

secolului al XVII-lea era posibil ca un singur om să posede cele mai multe,

dacă nu chiar toate cunoştinţele acumulate de omenire până atunci. Prin

urmare, în acest domeniu nu era necesară nici un fel de specializare şi orice

activitate ştiinţifică era cunoscută sub numele de filosofie. Pe măsură ce

volumul de cunoştinţe a început să depăşească posibilităţile de acumulare ale

persoanei, au început să se contureze diverse specializări. A început să se facă

o deosebire între filozofia naturală şi cea tradiţională, care nu se baza pe date

empirice. Mai târziu filozofia naturală a început să fie cunoscută sub numele de

ştiinţe naturale.

La începutul secolului nostru au început să apară şi ştiinţele sociale, iar

fiecare nouă ştiinţă apărută a dat naştere la noi ramuri şi subramuri.

Disciplinele ştiinţifice reprezintă diverse moduri de a aborda

problemele specifice apărute în firme. Orice problemă poate fi privită din

punctul de vedere al oricărei discipline.

Pentru conducerea unei firme nu există probleme de producţie,

probleme financiare sau probleme comerciale, ci numai diverse moduri de

abordare a uneia şi aceleiaşi probleme.

Din experienţă noi găsim cele mai potrivite căi pentru examinarea

problemelor, cu care suntem obişnuiţi. În situaţii complicate sau neobişnuite

vom căuta să utilizăm metodele care ne sunt cele mai familiare. De aceea nu

este de mirare că atunci când este confruntat de exemplu, cu problema ridicării

productivităţii muncii, psihologul din cadrul serviciului personal încearcă să

selecteze muncitorii cât mai bine calificaţi şi să îmbunătăţească pregătirea lor

profesională.

Inginerul mecanic va căuta să perfecţioneze maşinile – specialistul cu

organizarea muncii va încerca să îmbunătăţească amploarea utilajelor, să

simplifice operaţiile executate de muncitori şi să le ofere stimulente mai

atractive. Analistul de sistem va căuta să îmbunătăţească fluxul informaţional

Page 20: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

20în cadrul sistemului de producţie. Toate aceste oferte/măsuri oferă doar

anumite ameliorări, însă trebuie să cunoaştem care este cea mai bună

combinaţie. În cazul unor probleme complexe, probabilitatea de a cunoaşte cu

exactitate efectul măsurilor luate este foarte mică.

De aceea este util să fie examinate şi evaluate cât mai multe posibilităţi.

Tocmai din această cauză este necesară o echipă interdisciplinară.

Deoarece în prezent există foarte multe discipline ştiinţifice pure sau

aplicate, este evident imposibil ca în fiecare proiect de cercetare operaţională să

fie inclus câte un reprezentant al fiecăreia dintre ele. Este însă de dorit ca în

echipă să fie reprezentate cât mai multe discipline posibil, iar activitatea

echipei să fie supusă unei analize critice de pe poziţia a cât mai multe dintre

disciplinele nereprezentate.

1.3.3. UTILIZAREA METODELOR ŞTIINŢIFICE LA

PROBLEMELE DE CONDUCERE

În cele mai multe lucrări privind metodele utilizate de ştiinţă se

consideră că experimentul joacă un rol esenţial. Din nefericire, experimentul în

sensul strict al cuvântului (adică modificarea fizică a valorilor variabilelor), nu

este posibil, sau este neraţional atunci când este vorba de exploataţii agricole.

În agricultură, de exemplu, o exploataţie agricolă nu-şi poate permite riscul

unui faliment, de dragul unui experiment. Desigur, experimentarea este

posibilă uneori, în particular, la nivel de subsistem şi joacă un rol important în

cercetarea operaţională. Totuşi, de regulă, sistemul studiat nu poate fi supus, în

ansamblu, experiemtării. Prin urmare, pentru studiul sistemului, în majoritatea

cazurilor trebuie utilizată altă metodă decât experimentul.

O sugestie o constituie metoda utilizată pentru a construi o reprezentare

a sistemului şi a modului său de funcţionare, adică un model, pe care îşi

efectuează cercetările.

Modelele cercetării operaţionale iau forma unei ecuaţii, care, deşi din

punct de vedere matematic pot fi foarte complicate, au o structură foarte

simplă:

U = f(xi, yi)

Page 21: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

21unde:

U – reprezintă utilitatea sau valoarea criteriului ce caracterizează

funcţionarea sistemului;

xi – variabile ce pot fi controlate;

yi – variabile (constante) necontrolabile, dar care acţionează asupra lui

U;

f – relaţia dintre U, xi şi yi.

În plus, de multe ori sunt necesare una sau mai multe ecuaţii sau

inecuaţii, care exprimă faptul că variabilele controlabile pot varia numai între

anumite limite.

De exemplu, timpul necesar unei maşini agricole pentru efectuarea unei

anumite lucrări de pregătire a patului germinativ nu poate fi negativ, şi nici nu

poate depăşi timpul total disponibil. De asemenea, sumele totale alocate

fondurilor de salarii sau achiziţionării de materiale nu pot depăşi capitalul total

disponibil.

Funcţia criteriu împreună cu restricţiile constituie modelul sistemului şi

în acelaşi timp, problema pe care dorim să o rezolvăm.

Prin urmare, aceasta este atât un model al sistemului cât şi un model de

decizie.

Odată modelul constituit, el poate fi utilizat pentru a găsi exact sau

aproximativ valorile optime ale variabilelor controlabile – adică acele valori

care asigură cea mai bună performanţă a sistemului, pentru anumite valori

specificate ale variabilelor necontrolabile. În acest fel, se obţine o soluţie a

problemei cu ajutorul modelului. Procedeul folosit depinde de natura

modelului.

Soluţia se poate obţine fie prin efectuarea unui experiment asupra

modelului, adică prin simulare, fie cu ajutorul analizei matematice. În unele

cazuri, analiza matematică a modelului se poate efectua fără să cunoaştem

valorile variabilelor, adică într-o formă abstractă sau simbolică, dar în alte

cazuri trebuie să cunoaştem valorile numerice ale variabilelor.

Pentru anumite tipuri de funcţii f (de exemplu: cînd f este exprimat prin

funcţii algebrice elementare) şi pentru un număr mic de restricţii, matematica

clasică furnizează instrumente eficiente care permit găsirea valorilor optime. În

ultimii ani s-au dezvoltat metode noi, care permit rezolvarea problemelor, în

Page 22: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

22care restricţiile sunt atât de numeroase, încât metodele clasice devin prohibitive

din punct de vedere calculatoriu.

Pe de altă parte, funcţia f s-ar putea să fie dată print-o serie de reguli

(algoritm) care permit calcularea utilităţii U pentru valori date ale variabilelor

controlabile şi necontrolabile, dar nu ne permit să găsim în mod direct valorile

optime ale variabilelor controlabile. De obicei, se poate găsi o regulă, cu

ajutorul căreia se determină succesiv un şir de valori ale variabilelor

controlabile, care să conveargă către valoarea optimă.

Pentru unii algoritmi, cheltuielile necesitate de găsirea soluţiei optime

pot fi mult mai mari decât avantajele pe care le oferă această soluţie, în

comparaţie cu o soluţie bună, care poate fi obţinută relativ uşor. De fiecare dată

când se calculează U pentru noile valori ale variabilelor xi (yi fiind fixaţi),

căpătăm noi informaţii despre comportarea sistemului. Din aceste informaţii s-

ar putea aprecia dacă prin alegerea unor noi valori pentru xi se obţine o

îmbunătăţire semnificativă a lui U. Dacă putem estima această îmbunătăţirea

înainte de efectuarea calculelor, am putea să o comparăm cu cheltuielile

necesitate de calcule şi să decidem dacă alte încercări vor mai fi sau nu

justificate.

Sistemul poate fi astfel încât yi să nu fie cunoscuţi înainte de alegerea

lui xi. de exemplu, dacă yi reprezintă vânzările din luna viitoare, iar un xi

reprezintă nivelul producţiei din luna curentă, decizia privind valoarea xi s-ar

putea să fim obligaţi să o luăm, cunoscând doar funcţia de repartiţie

(probabilistică) a lui yi. În astfel de cazuri, dacă f este destul de simplă, vom

putea lucra cu valoarea medie a factorilor necontrolabili, adaptând decizia cea

mai bună „în medie“. Totuşi, adesea, procesul de „mediere“ este atât de

complicat încât devine practic inanalizabil. De aceea, apare necesitatea

efectuării unor experimente asupra modelului (simulare) în care valorile

variabilelor necontrolabile se aleg cu o frecvenţă corespunzătoare funcţiilor lor

de repartiţie. Acum putem calcula valoarea lui U şi în ultimă instanţă, în acest

fel găsim funcţia lui de repartiţie. Uneori această simulare se produce în

întregime la calculator. În anumite cazuri, rolul celui ce trebuie să ia decizia nu

poate fi descris într-o formă suficient de clară pentru a fi reprezentat explicit în

sistem. Atunci procesul de simulare poate fi realizat de către oameni. O astfel

de simulare se numeşte joc operaţional.

Page 23: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

23Indiferent de metoda folosită, întotdeauna se caută o soluţie optimă. O

soluţie optimă este o soluţie care minimizează sau maximizează (după caz)

valoarea funcţiei criteriu din model, cu restricţiile care apar în acel model. Cum

modelul nu constituie niciodată o reprezentare perfectă a problemei, soluţia

optimă nu este totdeauna cea mai bună soluţie a problemei. Admiţând că

modelul constituie o reprezentare „bună“ a problemei, soluţia optimă sau

suboptimă a modelului va constitui o aproximaţie „bună“ pentru soluţia optimă

a problemei şi să sperăm, va fi sensibil mai bună decât strategiile sau

procedeele pe care această soluţie este chemată să le înlocuiască.

Deoarece soluţia optimă a modelului poate îmbuinătăţi funcţionarea

sistemului numai dacă modelul constituie o bună aproximaţie a realităţii,

soluţia propusă va trebui testată şi evaluată cu alte cuvinte, este necesar să

comparăm rezultatele preconizate cu strategia sau procedeul care urmează să

fie înlocuit. În sfârşit, dacă scopul cercetării operaţionale este bine definit, şi

anume de a îmbunătăţi performanţele sistemului, rezultatele cercetării vor

trebui implementate, în cazul că sunt acceptate de factorii de decizie. Acum se

efectuează o ultimă testare şi evaluare a rezultatelor cercetării. În această fază a

lucrării, cercetătorul operaţional are cele mai mari posibilităţi de a acumula o

experienţă folositoare.

Dacă soluţia considerată urmează să fie aplicată nu numai o singură

dată, atunci este foarte posibil, având în vedere natura sistemelor studiate în

cercetarea operaţională, ca valorile variabilelor necontrolabile şi chiar structura

sistemului să se modifice de la o decizie la alta. De aceea este necesar să

descoperim schimbările semnificative în sistem şi în mediul înconjurător şi să

ajustăm soluţia în mod corespunzător. Altfel spus, soluţiile preconizate a fi

aplicate în situaţii repetabile sau după intervale mari de timp vor trebui

actualizate şi corectate.

În concluzie, într-un studiu de cercetare operaţională deosebim cinci

stadii:

- Formularea problemei;

- Construcţia modelului;

- Obţinerea soluţiei optime;

- Testarea modelului şi evaluarea soluţiei;

- Implementarea şi actualizarea soluţiei.

Page 24: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

24Deşi, în mod normal, fazele unui studiu de cercetare operaţională încep

în ordinea dată mai sus, de regulă, ele nu se termină în această ordine. În fapt,

fiecare etapă continuă până la definitivarea studiului şi se află într-o strânsă

interacţiune cu celelalte etape. De exemplu, putem conchide că etapa de

formulare a problemei s-a încheiat cu succes, numai după ce au fost examinate,

măcar în mare, toate celelalte etape şi în special, cea privind implementarea

soluţiei.

Page 25: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

25

CAPITOLUL 2

MODELAREA ÎN CERCETAREA

OPERAŢIONALĂ

2.1. ROLUL MODELĂRII ÎN CERCETAREA

OPERAŢIONALĂ

Conceptul de "model", atât de mult folosit în ştiinţa modernă, este

relativ nou, dar metoda modelării este tot atât de veche pe cât sunt preocupările

oamenilor pentru cunoaşterea ştiinţifică3.

Putem considera că modelul este o reprezentare izomorfă a realităţii,

care, oferind o imagine intuitivă şi totuşi riguroasă, în sensul structurii logice, a

fenomenului studiat, facilitează descoperirea unor legături şi legităţi imposibil

sau foarte greu de găsit pe alte căi.

În elaborarea modelelor economico-matematice, teoria economică are

un rol deosebit de important întrucât ea formulează categoriile, conceptele şi

legile obiective ale realităţii economice. Numai sprijinindu-se pe teoria

economică modelele matematice pot reprezenta fidel fenomenele economice.

Modelul, ca instrument al cunoaşterii ştiinţifice, este folosit în foarte

numeroase discipline teoretice şi practice. Fără pretenţia de a face o clasificare

riguroasă a tipurilor de modele, vom arata că ele pot fi: modele

verbal-descriptive - folosite în toate disciplinele nematematizate, modele

matematice, modele fizice analogice (de tipul machetelor statice sau dinamice),

modele grafice etc.

În ştiinţele economice, în special în disciplinele organizării şi

conducerii, modelele sunt utilizate în toată diversitatea de tipuri care există. În

ultimele decenii însă, se conturează din ce în ce mai mult tendinţa utilizării cu

precădere, în aceste discipline, a modelelor de tip matematic, datorită în special

capacităţii acestora de a condensa riguros esenţialul, cât şi posibilităţii lor de a

3 Oamenii de ştiinţă din toate timpurile au folosit "modele" în cele mai diverse domenii ale cunoaşterii ştiinţifice. Până de curând însă ei utilizau modelarea fără a folosi termenul respectiv.

Page 26: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

26fi programate cu ajutorul calculatoarelor electronice, alcătuind împreună un

instrument de investigaţie ştiinţifică de o putere necunoscută până în prezent, o

prodigioasă "prelungire" a inteligenţei umane.

O sistematizare metodologică a modelelor matematice întrebuinţate în

disciplinele organizării şi conducerii social-economice ar fi riscantă, având în

vedere mutaţiile continue şi spectaculoase care au loc în aceste discipline şi, în

plus, ar avea un caracter pur scolastic, fără utilitate teoretică sau practică reală.

De aceea, ne vom limita, în continuare, să enumerăm principalele tipuri de

modele matematice cunoscute în acest domeniu.

După întinderea domeniului studiat, modelele care descriu realitatea

economică pot fi: macroeconomice - cele care se referă la economia naţională,

la ramură (subramură) sau la economia unui teritoriu mare (un judeţ, o anumită

zonă industrială, agricolă etc.) şi microeconomice - la nivel de întreprindere,

uzină, trust, combinat etc.

Modelele cibernetico-economice urmăresc să studieze relaţia dintre

intrări şi ieşiri într-un organism economic, cu evidenţierea fenomenelor de

reglare care determină buna funcţionare a sistemului. Majoritatea modelelor

cibernetico-economice sunt macroeconomice.

Modelele econometrice descriu comportamentul organismelor

economice cu ajutorul unor sisteme de ecuaţii în care elementele numerice sunt

determinate statistic. Şi aceste modele sunt, de obicei, macroeconomice.

Modelele de simulare încearcă să stabilească modul de funcţionare al

unor organisme macro sau microeconomice prin acordarea unor combinaţii de

valori întâmplătoare variabilelor independente care descriu procesele. Prin

"citirea" valorilor pe care le capătă în felul acesta variabilele dependente, se

obţin mărimi semnificative în procesul studiat.

Modelele sistemice au drept obiectiv surprinderea ansamblului

aspectelor dintr-un organism economic (de exemplu, în modelele Forrester se

consideră că prin identificarea celor şase fluxuri caracteristice se poate

cunoaşte comportarea sistemului ca un tot).

Modelele cercetării operaţionale se caracterizează prin căutarea unei

soluţii optime sau apropiată de optim, pentru fenomenul studiat. Modelele

cercetării operaţionale se bazează pe o mare diversitate de procedee

matematice şi au aplicaţii la nivel macro, dar în special la nivel

Page 27: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

27microeconomic. Ele reprezintă principalul instrument pentru optimizarea

deciziilor în analiza de sistem.

Tipologia de mai sus este foarte relativă, între grupele menţionate

existând frecvente asemănări şi întrepătrunderi. Astfel, modelele econometrice

sunt adesea de tip cibernetic, simularea se utilizează în mai toate tipurile de

modele matematice, modelele cercetării operaţionale pot fi folosite în

descrierea sistemică a unui organism etc.

Vom examinăm, în continuare, procedeele practice de elaborare şi

utilizare a modelelor matematice în disciplinele organizării şi conducerii.

În primul rând trebuie subliniat faptul că activitatea de modelare, pentru

a fi eficientă, trebuie desfăşurată întotdeauna în cadrul analizei de sistem, şi

anume ca un moment al etapei de proiectare a noului sistem. O serie de operaţii

care se desfăşoară în cadrul analizei de sistem înaintea acestui moment au un

caracter pregătitor pentru efectuarea modelării, iar altele, ulterioare ei, sunt

necesare pentru aplicarea în practică a modelelor elaborate.

Vom arăta în continuare care sunt principalele faze ale elaborării unui

model matematic într-o problemă de organizare-conducere social-economică,

având grijă să evidenţiem cum se împletesc aceste faze cu alte operaţii ale

analizei de sistem.

• Prima fază a modelării, care are un caracter pregătitor, este

cunoaşterea realităţii în organismul studiat, în scopul îmbunătăţirii

mecanismului informaţional-decizional. Descrierea logicii proceselor

decizionale, alături de considerarea obiectivelor viitorului sistem, sunt

principalele elemente ale cunoaşterii realităţii necesare modelării.

• A doua fază a modelării o reprezintă construirea propriu-zisă a

modelului. Această operaţie, în marea majoritate a cazurilor din practică,

constă în aplicarea unui instrument clasic de modelare ales din gama extrem de

variată pe care ne-o pune la dispoziţie teoria cercetării operaţionale. În astfel de

situaţii, abilitatea analistului constă în stabilirea corespondenţei dintre realitate

şi instrumentul de modelare cunoscut din literatura de specialitate. Există şi

cazuri când nu se poate stabili o astfel de corespondenţă, analistul fiind obligat

să elaboreze modele noi. Acestea pot fi de două feluri: a) combinaţii de modele

clasice, din domeniul teoriei şi b) modele noi propriu-zise. În primul caz, totul

se reduce la buna cunoaştere a realităţii şi a teoriei, la care trebuie adăugată o

Page 28: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

28doză de abilitate în combinarea metodelor. În cazul al doilea, este vorba despre

creaţie originală. Elaborarea unui model matematic realmente original reclamă,

pe lângă profunda cunoaştere a realităţii care urmează a fi modelată, o foarte

solidă cultură matematică, imaginaţie şi talent. După cum va rezulta din

parcurgerea în prezentul curs a modelelor clasice ale cercetării operaţionale,

există o mare diversitate în structura, matematica şi logica modelelor, de la

modele foarte simple, neaxiomatizate, cum sunt cele din programarea liniară, la

modele combinatorice, în probleme de teoria grafelor, analiza drumului critic şi

programarea operativă a producţiei şi până la modele de mare fineţe, prezentate

axiomatizat, cum sunt cele ale utilităţii sau deciziilor de grup. Evident,

elaborarea în forma axiomatizată a unui model reprezintă un stadiu superior în

procesul modelării care, însă, nu poate fi totdeauna atins în practică.

Un model axiomatizat (sistem axiomatic) cuprinde:

- axiomele sistemului, reprezentând propoziţii exprimate în formă

matematică, de regulă foarte puţine, care conţin unele adevăruri de

mare generalitate privind fenomenul care se modelează, atât de

generale, încât toate constatările concrete şi particulare vor putea fi

deduse din cele generale;

- reguli de inferenţă, reprezentând prescripţii riguroase, singurele

admise în sistem, prin care se trece de la axiome la teoreme, sau de la teoreme

deja demonstrate, la altele noi;

- teoreme, adică propoziţii mai mult sau mai puţin particulare,

exprimate matematic, deduse prin reguli de inferenţă din aproape în

aproape din axiome şi care exprimă proprietăţi ale fenomenului

modelat.

Când în procesul de modelare axiomatică se explicitează limitativ

conceptele care urmează a fi utilizate, adică se dă de la început o listă a

noţiunilor şi operaţiilor matematice admise în sistem, se obţine o formă

superioară de sistem axiomatic numit sistem formal.

Sistemele formale sunt încă foarte puţin utilizate în ştiinţă şi cu atât mai

puţin în disciplinele organizării şi conducerii economice.

Axiomatizarea şi, în ultima analiză, formalizarea, reprezintă viitorul în

modelarea matematică, datorită rigorii excepţionale pe care o introduc,

diminuării considerabile a elementelor de intuiţie şi arbitrar, care, deşi mult

Page 29: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

29mai puţine decât în modelele nematematizate, sunt încă prezente în modelarea

matematică axiomatizată.

• A treia fază a modelării este confruntarea modelului cu realitatea şi

eventual experimentarea sa. Această fază se realizează în cadrul implementării

sistemului, care poate fi considerată a patra şi ultima fază a modelării.

În încheierea acestui paragraf, să examinăm câteva caracteristici ale

instrumentelor de modelare matematică pe care ni le pune la dispoziţie

cercetarea operaţională.

Una din principalele caracteristici ale tuturor metodelor cercetării

operaţionale este faptul că unele probleme ale cercetării operaţionale pot fi

privite, din perspectivă pur teoretică, ca probleme de matematică pură. Evident,

nu aceasta va fi perspectiva pe care o vom adopta în cele ce urmează, întrucât

vom privi metodele cercetării operaţionale strâns legate de problemele practice.

Din punct de vedere istoric, unele dintre problemele cercetării

operaţionale s-au ivit, ce e drept, în special sub aspect pur matematic, cu mult

înainte de a fi apărut activitatea organizată şi denumirea de cercetare

operaţională. Astfel, unele noţiuni de teoria grafelor se cunosc de mai bine de

un secol, teoria aşteptării îşi are originea în unele lucrări ale lui Erlang din

deceniul al 2-lea al secolului nostru, iar teoria stocurilor apare către anul 1930.

Ca disciplină de sine stătătoare, cercetarea operaţională a apărut însă în timpul

celui de-al doilea război mondial, prin înfiinţarea unor echipe complexe

(matematicieni, ingineri, economişti, biologi, psihologi ş.a.) însărcinate cu

optimizarea deciziilor privind unele acţiuni pregătitoare operaţiilor militare.

După război, echipele astfel formate s-au reprofilat rapid pentru activităţi

paşnice. Dezvoltându-se spectaculos în ultimele trei decenii, preocupările

teoretice şi în special practice, în domeniul cercetării operaţionale, au ajuns să

antreneze astăzi pe plan mondial sute de mii de specialişti.

În prezent nu se mai poate concepe conducerea unei activităţi tehnico-

economice importante fără a face apel la metodele cercetării operaţionale,

bineînţeles împreună cu celelalte tehnici moderne cum ar fi informatica,

analiza de sistem ş.a..

Page 30: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

302.2. PROBLEME TIP DE CERCETARE

OPERAŢIONALĂ Încă de la începuturile ei, cercetarea operaţională a fost aplicată la

rezolvarea unei mari varietăţi de probleme. Multe din acestea aveau un caracter

mai curând tactic, decât strategic. Distincţia între problemele tactice şi cele

strategice nu este simplă, deoarece ea se bazează pe cel puţin trei caracteristici

ale problemei, fiecare din acestea având un caracter gradual.

Mai întâi, o problemă are un caracter tactic mai accentuat decât alta,

dacă efectul pe care-l exercită soluţia sa are o durată mai scurtă sau, ceea ce

este de fapt acelaşi lucru, dacă soluţia poate fi uşor modificată sau înlocuită. Cu

cât efectul soluţiei durează mai mult, cu atât caracterul strategic al problemei

este mai accentuat. De aceea, o problemă în care se stabileşte producţia pentru

ziua următoare este o problemă tactică în comparaţie cu problema construirii

unei noi întreprinderi. Cercetarea operaţională s-a aplicat mai mult problemelor

având o durată scurtă, decât celor de lungă durată. Vom numi această

caracteristică registrul problemei.

În al doilea rând, o problemă are un caracter cu atât mai strategic, cu cât

este mai mare partea din organizaţie care este afectată direct de rezolvarea ei.

De aceea, o problemă privind alegerea unei noi forme de evidenţă contabilă are

un caracter tactic în comparaţie cu problema stabilirii bugetului întregii firme.

Această caracteristică o vom numi aria problemei.

În sfârşit, o problemă are un caracter strategic cu atât mai pronunţat, cu

cât ea joacă un rol mai important în determinarea obiectivelor intermediare sau

finale. Toate problemele stabilesc căile şi mijloacele prin care se poate atinge

scopul dorit, însă cele mai multe probleme presupun că acest scop este dat din

exterior sau este cunoscut în prealabil. Astfel de probleme au un caracter tactic.

De aceea, planul global al firmei, în care trebuie determinate obiectivele

parţiale şi finale ale diverselor compartimente, este o problemă de strategie în

comparaţie, de exemplu, cu problema minimizării cheltuielilor de transport,

problemă al cărei obiectiv este clar formulat. Vom numi această caracteristică

orientarea problemei.

Cele trei caracteristici enumerate nu oferă o delimitare clară între

problemele strategice şi cele tactice. De aceea, în cel mai bun caz, putem spune

Page 31: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

31că o problemă are un caracter mai mult sau mai puţin strategic (sau tactic) în

raport cu unul sau altul din cele trei aspecte.

După cum s-a menţionat, cercetarea operaţională s-a ocupat cel mai

mult (dar nu în exclusivitate) de probleme având un caracter tactic. Totuşi, vom

examina ceva mai amănunţit problemele strategice şi rolul pe care-l poate juca

cercetarea operaţională în rezolvarea lor.

Dintre-un anumit punct de vedere, două probleme tactice nu pot fi

niciodată identice. Pe de altă parte, problemele tactice tind să se grupeze în

câteva tipuri bine definite. Ceea ce face ca două probleme să nu fie niciodată

identice, este conţinutul lor. Ceea ce face ca toate problemele tactice să se

grupeze într-un număr relativ mic de tipuri este forma lor. Orice problemă are o

formă şi un conţinut. Aceste două trăsături sunt la fel de inseparabile, ca cele

două feţe ale unei monede: le putem examina separat, dar nu le putem despărţi.

Forma se referă la felul în care mărimile problemei sunt legate între ele, pe

când conţinutul se referă la natura (semnificaţia) acestor mărimi. De exemplu,

mai multe perechi de variabile pot fi legate între ele printr-o relaţie care se

exprimă grafic printr-o dreaptă. Aceste perechi de variabile, între care există o

dependenţă liniară, au forme identice, dar conţinutul lor este diferit.

Putem separa forma unei probleme de conţinutul ei printr-un proces de

abstractizare. Limbajul cu ajutorul căruia exprimăm forma, abstracţie făcând

de conţinut, este limbajul matematic. Prin urmare, un model matematic de

decizie constituie o reprezentare a formei problemei.

Separarea formei de conţinut face necesară cunoaşterea conţinutului

problemei. Inginerii sau economiştii interesaţi de rezolvare problemei cunosc

conţinutului ei mai bine decât cercetătorii operaţionali. În general, cercetătorii

nu-şi pot permite să cheltuiască timpul şi efortul necesar pentru a cunoaşte

conţinutul fiecărei probleme concrete în parte, la fel de bine ca cei interesaţi de

problema respectivă. De aceea, cercetătorul trebuie să utilizeze cunoştinţele

despre problemă pe care le are inginerul sau economistul. Din această cauză,

cercetarea operaţională dă cele mai bune rezultate atunci când există o

colaborare activă între parteneri.

După cum am văzut mai sus, o consecinţă importantă a faptului că

cercetarea operaţională a fost aplicată la rezolvarea unei largi varietăţi de

probleme cu caracter tactic, constă în identificarea unui grup restrâns de

Page 32: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

32probleme tip, la care se reduc majoritatea problemelor. Deoarece aceste tipuri

de probleme se întâlnesc frecvent, s-au construit diverse tehnici pentru

modelarea şi rezolvarea lor.

Problemele tip sunt următoarele:

1) alocare;

2) stocuri;

3) reînnoire;

4) fire de aşteptare;

5) ordonanţare şi coordonare;

6) alegerea itinerariilor;

7) competiţie;

8) căutare.

Ordinea în care au fost redate aici are la bază anumite considerente

metodice. În realitate, diversele tipuri de probleme apar unele după altele (şi nu

neapărat în ordinea amintită), pe măsură ce se lărgeşte concepţia asupra

sistemului. De exemplu, mulţi cercetători operaţionali încep cu problemele de

stocuri deoarece:

1) conceptual, ele sunt cele mai simple;

2) există tehnici puternic dezvoltate pentru rezolvarea lor;

3) se crede de obicei că datele necesare sunt uşor disponibile (dar

rareori se întâmplă aşa în realitate);

4) conducătorii compartimentului respectiv sunt obişnuiţi, de regulă,

să gândească în categorii cantitative şi de aceea nu sunt atât de

refractari cercetării operaţionale, ca alţi conducători mai puţin

pregătiţi tehnic.

După cum vom vedea, teoria stocurilor reprezintă aparent cea mai

simplă operaţie ce se poate concepe – păstrarea unor produse. Deciziile

stabilesc, în general, când şi câte produse vor trebui achiziţionate. S-ar putea ca

în problemă să fie implicat un mare număr de produse (de exemplu, părţi ale

unui aceluiaşi agregat); atunci pentru fiecare din ele trebuie stabilit când şi ce

cantitate se achiziţionează. După rezolvarea acestei probleme s-ar putea

constata eventual că nu există posibilitatea fabricării tuturor produselor, în

cantităţile cerute de soluţia optimă a problemei. În acest caz, se pune problema

alocării utilajelor disponibile la executarea diverselor produse, astfel încât

Page 33: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

33pierderile, în comparaţie cu soluţia obţinută prin rezolvarea problemei de

stocuri, luată izolat, să fie minime.

Problema de alocare utilizează un model în care de regulă se presupune

că utilajele sunt disponibile în mod continuu, fără întrerupere. În realitate, se

pot ivi unele staţionări: utilajele se defectează şu trebuie reparate, se produc

întreruperi în alimentarea cu energie, oamenii sau materialul nu se găsesc acolo

unde este nevoie şi atunci când este nevoie. De aceea, în problema de alocare

ar trebui să se ţină seama de aceste întârzieri. Pentru aceasta va trebui rezolvată

o problemă de teoria aşteptării.

În teoria aşteptării se presupune de obicei că există o regulă pentru

determinarea ordinii de servire (de exemplu, se ştie ce utilaj urmează să fie

reparat). În unele cazuri, ordinea în care se execută aceste lucrări are o

influenţă sensibilă asupra timpului total necesar sau asupra executării lucrărilor

la datele planificate. În aceste situaţii, va trebui rezolvată o problemă de

ordonanţare (determinarea ordinii de servire), astfel încât să fie asigurată

îndeplinirea obiectivului propus: respectarea termenelor planificate sau

reducerea timpului total de execuţie.

Dacă înaintea executării fiecărei noi lucrări este necesară o anumită

pregătire a oamenilor şi utilajelor, iar durata acestei pregătiri depinde de

ordinea în care sunt dispuse lucrările, atunci ar trebui luate în considerare şi

pierderile de timp legate de perioadele de pregătire. Pentru aceasta trebuie

rezolvată o problemă privind alegerea unui anumit itinerariu; consideraţiile

care impun examinarea acestei probleme vor deveni evidente atunci când ne

vom opri asupra ei în detaliu.

Dacă această problemă ilustrativă este studiată pentru un interval de

timp mai îndelungat, va trebui să avem în vedere şi problema reînnoirii

utilajelor uzate sau cu o uzură avansată.

Până acum ne-am concentrat atenţia aproape exclusiv asupra

comportării sistemului studiat, fără a lua în consideraţie factorii externi care ar

putea influenţa performanţele sistemului (furnizori, clienţi, concurenţi). Dacă

vom ţine seama de aceşti factori, pentru a încerca să achiziţionăm materii

prime la un preţ mai redus sau să ne vindem mărfurile la un preţ mai

convenabil, va trebui rezolvată o problemă de tip competitiv. De regulă, aceste

probleme sunt foarte complexe şi greu de rezolvat. De aceea, o echipă de

Page 34: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

34cercetare operaţională abordează o astfel de problemă numai după ce

conducerea firmei a căpătat destulă încredere în capacitatea echipei, pentru a

admite „riscul” acestei cercetări. Trebuie să remarcăm că, în general, cu cât o

cercetare este mai dificilă şi comportă o doză mai mare de risc, cu atât mai

mare este beneficiul ce se obţine prin aplicarea rezultatelor pe care le oferă.

În sfârşit, cu cât obiectivul problemelor de cercetare operaţională este

mai cuprinzător şi cu cât mai variate sunt soluţiile ce urmează a fi

implementate, cu atât mai acută devine nevoia de a culege, păstra şi prelucra

informaţiile necesare utilizării şi reactualizării soluţiilor. Adesea aceasta

conduce la un studiu dedicat sistemului informaţional şi de comunicaţii.

Problema care constă în a stabili ce şi de multe informaţii sunt necesare, cum

trebuie culese şi folosite aceste informaţii, este o problemă de căutare.

Rezultă că problemele de conducere pot fi examinate foarte rar separat

una de alta. De aceea, cu toate că, cercetarea operaţională se poate limita la o

singură problemă, ea este mult mai eficientă atunci când are posibilitatea să-şi

lărgească obiectivul iniţial şi să examineze, simultan sau succesiv, cât mai

multe probleme ce se influenţează reciproc.

Multe probleme practice nu pot fi încadrate în nici unul din modelele

tip. Deşi pentru ele se pot construi modele care să încorporeze mai multe

probleme tip, în general nu dispunem de metode pentru rezolvarea acestor

modele. Problemele tip sunt, într-un sens, cele mai extinse probleme ce se pot

rezolva într-o singură etapă. Cum problemele reale conţin mai multe probleme

tip, adesea trebuie să le „descompunem” în mai multe probleme parţiale;

soluţia unei probleme parţiale va furniza datele iniţiale pentru următoarea

problemă parţială. Vom putea utiliza atunci soluţia ultimei subprobleme, pentru

a corecta sau reevalua una sau mai multe din soluţiile parţiale obţinute anterior.

În practică, deseori când avem de-a face cu mai multe tipuri de probleme şi

repetând acest ciclu până când se ajunge la o soluţie globală satisfăcătoare.

Clasificarea problemelor de cercetare operaţională în cele opt tipuri nu

conţine nimic magic sau imuabil. Cu timpul apar noi probleme, iar cele vechi

se pot combina când se descoperă metode pentru rezolvarea lor simultană.

Graniţa dintre diversele probleme tip nu este clar conturată şi devine din ce în

ce mai difuză, pe măsură ce apar noi generalizări şi se descoperă noi puncte

comune. Unele tehnici matematice, utilizate pentru rezolvarea anumitor

Page 35: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

35probleme, de exemplu, pentru programarea liniară sau dinamică, sunt aplicabile

şi la alte probleme. De aceea, uneori problemele sunt clasificate în raport cu

aparatul matematic necesar pentru rezolvarea lor. Am preferat clasificarea lor

după situaţiile chemate să le rezolve şi nu după aspectul lor matematic,

deoarece acest lucru corespunde mai bine caracterului cercetării operaţionale.

Ar însemna să dăm dovadă de uşurinţă, dacă am considera cercetarea

operaţională ca fiind o ramură a matematicii aplicate, mai curând decât o ştiinţă

aplicată interdisciplinară şi dacă, concentrându-se asupra metodelor, am neglija

scopul final.

Să mai remarcăm că există unele probleme foarte interesante din punct

de vedere teoretic, dar care nu se încadrează în vreunul din tipurile enumerate.

Astfel de probleme prezintă un domeniu atractiv de cercetare şi deschid drumul

către o eventuală identificare a unor noi probleme tip.

Din discuţia de mai sus, rezultă că problemele tip nu constituie

instrumente care să poată fi aplicate de-a gata în orice situaţie. Problemele tip

se potrivesc foarte rar unor situaţii reale. De obicei, ele trebuie să fie adaptate

fiecărui caz concret în parte. Dacă considerăm însă că studiul acestor probleme

constituie un exerciţiu de construire şi rezolvare a modelelor, atunci vom

căpăta o bază corespunzătoare pentru studiul problemelor concrete.

Page 36: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

36

CAPITOLUL 3

PROGRAMAREA LINIARĂ

3.1. PREZENTARE GENERALĂ

Mulţimea sistemelor economice concrete şi multitudinea problemelor

conducerii acestora au creat o diversitate de reprezentări economico-

matematice, denumite modele.

Varietatea acestora este determinată, în principal, de structura

"obiectului" analizat, de scopul cercetării precum şi de informaţia disponibilă.

Modelele de programare matematică şi mai ales subclasa acestora –

modelele de programare liniară – ocupă un loc deosebit de important, atât în

teoria cât şi în practica economică. Teoria economică a beneficiat de aportul

abordării interdisciplinare care a permis aprofundarea analizei eficienţei

maximale a sistemelor complexe, a permis descoperirea unor concepte noi ale

optimului economic, a perfecţionat metodele de cercetare şi cunoaştere iar

practica economică s-a îmbogăţit cu un instrument deosebit de util analizei

economice şi fundamentării deciziilor.

Structura modelului general de programare liniară se constituie în

primul rând prin mulţimea de activităţi {A1, A2, ... An} care compun sistemul

economic analizat, mulţimea de resurse utilizate {R1, R2, ... Rm} precum şi prin

relaţiile tehnico-economice dintre acestea. Legătura dintre activităţi şi resurse

este determinată de tehnologia de fabricaţie corespunzătoare fiecărei activităţi

Aj (j=1,...,n) şi poate fi caracterizată numeric prin vectorul coloană a(j) de

componente (a1j, a2j, ... amj). Elementele {aij, i = 1,...,m; j = 1,...,n} se numesc

coeficienţi tehnici sau coeficienţi de consum specific şi arată ce cantitate din

resursa Ri se consumă pentru producerea unei unităţi din produsul (serviciul) Pj

(ca rezultat al activităţii Aj). Toate "tehnologiile" de fabricaţie definite de

vectorii coloană a(j) se pot organiza într-o matrice A cu m linii şi n coloane;

fiecare linie se referă la o resursă Ri (i = 1,...,m) şi fiecare coloană se referă la o

activitate Aj (j = 1,...,n).

Page 37: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

37Notând cu xj (j = 1,...,n) rezultatul activităţii Aj într-o perioadă dată şi

cu bi (i = 1,...,m) cantităţile disponibile din resursele Ri (i = 1,...,m), se pot scrie

matematic următoarele restricţii tehnico-economice:

(1)

mnmn2m21m1

2n2n222121

1n1n212111

bxa...xaxa

bxa...xaxabxa...xaxa

≤+++

≤+++≤+++

LLLLLLLLLLLL sau A⋅x ≤ b

unde A =

mnm2m1

2n2221

1n1211

aaa

aaaaaa

LMOMM

LL

; x =

n

2

1

x

xx

M şi b =

n

2

1

b

bb

M

Fiecare inecuaţie/restricţie încorporează două afirmaţii:

a. cantitatea consumată dintr-o resursă nu poate depăşi volumul

disponibil (propoziţie de logică economică)

b. consumul total Rij din resursa Ri pentru efectuarea activităţii Aj este

proporţional cu intensitatea acesteia, adică cu xj, deci Rij(∗) = aij ⋅ xj

(ipoteză simplificatoare)

Sistemul de restricţii (1) realizează legătura dintre resurse şi activităţi

prin intermediul celor m restricţii liniare.

Modelul problemei de programare liniară conţine restricţii de tipul (1)

precum şi un criteriu de "performanţă" care să permită evaluarea eficienţei

fiecărei activităţi. În funcţie de scopul urmărit, putem alege drept criteriu de

eficienţă un indicator care măsoară efortul, unul care măsoară rezultatul sau un

indicator exprimat ca raport între rezultat şi efort (sau efort pe rezultat).

Este evident că eficienţa maximă înseamnă minimizarea efortului şi

maximizarea rezultatului, iar conceptul de optim se defineşte, în acest caz, ca

(∗) De aici rezultă posibilitatea să calculăm coeficienţii aij pe baza informaţiilor disponibile

privind cantităţile consumate Rij şi nivelul xj: aij = jxijR

; i = 1,...,m; j = 1,...,n

Page 38: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

38un program x∈ Rn care minimizează sau maximizează o funcţie obiectiv şi, în

acelaşi timp, satisface toate restricţiile tehnico-economice.

Presupunând că fiecare componentă a vectorului linie c = (c1, c2, ..., cn)

măsoară eficienţa unei unităţi din rezultatul activităţii Aj, atunci se poate

introduce funcţia liniară:

f(x) = c1⋅x1 + c2⋅x2 + ... + cn⋅xn

care evaluează performanţa oricărui program x.

Sintetizând, obţinem următorul program de programare liniară:

( )[ ]

=≥

∈≥⋅

∈≤⋅

=

=

n1,j0x

Ikbxa

Iibxa

xoptim

j

2

n

1jkjkj

1

n

1jijij

fx

Relaţiile (1), (2) şi (3) constituie împreună modelul general al unei

probleme de programare liniară, având fiecare un rol specific:

1. relaţia (1), unde f(x) = ∑=

⋅n

1jjjc x este denumită funcţia obiectiv de

eficienţă a problemei, evaluează eficienţa/performanţa fiecărei

variante de program x;

2. relaţiile (2) de tipul ∑=

≤⋅n

1jijij bxa reprezintă restricţii de tip

resurse; iar restricţiile de tipul ∑=

≥⋅n

1jkjkj bxa se referă la restricţii

tehnico-economice de tip calitativ (şi ca urmare indicatorul bk este

limita inferioară impusă "reţetei optime";

3. relaţia (3) xj ≥ 0 j = 1,...,n, numită condiţia de nenegativitate a

variabilelor, asigură obţinerea unei soluţii realizabile din punctul de

vedere al logicii economice.

După cum s-a arătat la început, structura concretă a unei aplicaţii în

economie este determinată în primul rând de obiectivul urmărit.

unde I1 ∪ I2 = {1,2,...,m}

(1)

(2)

(3)

Page 39: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

39Astfel, în cazul problemei determinării structurii sortimentale optime

a producţiei, se cunosc cantităţile disponibile (cantităţile de care se poate face

rost pe perioada analizată) din fiecare materie primă {bi, i =1,...,m}, coeficienţii

tehnologici {aij, i = 1,...,m, j = 1,...,n} (aij reprezintă cantitatea din materia

primă i necesară fabricării unei unităţi din produsul de tipul j), cantităţile

maxime { jx , j = 1,...,n} şi minime { jx , j = 1,...,n} ce pot fi produse din fiecare

sortiment în perioada analizată şi profiturile unitare {pj, j = 1,...,n} ale fiecărui

tip de produs. Se cere găsirea acelor cantităţi xj care trebuie fabricate din

fiecare tip de produs astfel încât să se obţină profitul maxim, în condiţiile

nedepăşirii disponibilurilor din fiecare resursă.

Pentru simplificarea modelului, se presupune că preţul unui bun nu

depinde de cantitatea produsă din acesta sau din celelalte, consumul din fiecare

materie primă este direct proporţional cu cantitatea produsă şi, pentru fiecare

bun, consumurile dintr-o resursă sau alta nu se condiţionează reciproc.

Problema matematică echivalentă este:

( )

=≥=≤≤=≤+++

+++=

n1,...,j 0xn1,...,j xxxm1,...,ibxa...xaxa

xp...xpxpmax

j

jjj

inin2i21i1

nn2211n1,jx j

În unele probleme, în loc de profiturile pj se cunosc veniturile unitare vj

sau costurile unitare cj sau alt criteriu de eficienţă, scopul fiind maximizarea

venitului, minimizarea costurilor respectiv optimul indicatorului de eficienţă

respectiv, sau toate la un loc. De asemenea pot lipsi condiţiile de limitare a

producţiei sau pot exista şi alte condiţii.

La o problemă de programare operativă a producţiei restricţiile se

referă la o serie de maşini (utilaje) cu care se execută produsele dorite, bi fiind

disponibilul de timp al utilajului i pe perioada analizată iar aij timpul necesar

prelucrării unui produs de tipul j pe utilajul i, scopul fiind maximizarea

producţiei.

Ca urmare, modelul are forma:

Page 40: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

40( )

=≥

=≤+++

+++=

n1,...,i 0x

m1,...,ibxa...xaxa

x...xxmax

j

inin2i21i1

n21n)1,...,j(x j

Dacă se doreşte obţinerea unui meniu (reţete furajere), care să asigure

necesarurile {bi, i = 1,...,m} dintr-un număr de m substanţe esenţiale

organismului, având la dispoziţie un număr de n alimente, cunoscându-se

cantităţile {aij, i = 1,...,m, j = 1,...,n} din fiecare substanţă pe care le conţine o

unitate de măsură din fiecare aliment şi costurile {cj, j = 1,...,n} unei unităţi de

măsură din fiecare aliment, putem scrie modelul:

( )

=≥

=≥+++

+++=

n1,...,j 0x

m1,...,ibxa...xaxa

xc...xcxcmin

j

inin2i21i1

nn2211n)1,...,j(jx

Variabilele xj reprezintă, în acest caz, cantitatea din fiecare aliment ce

va intra în meniu iar f(x) = ∑=

⋅n

1jjjc x este costul total al reţetei definită de

vectorul x.

3.2. ALGORITMUL SIMPLEX

Reamintim că presupunem că problema este la forma standard de

maxim şi că dispunem de o soluţie de bază admisibilă.

Pasul 1. Se construieşte tabelul simplex corespunzător bazei de care dispunem

în ordinea următoare:

1. pe linia a doua se trec toate variabilele într-o ordine oarecare;

Page 41: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

412. pe prima linie se trec coeficienţii funcţiei obiectiv, fiecare

deasupra variabilei corespunzătoare;

3. se construieşte matricea A, fiecare coloană fiind formată din

coeficienţii unei variabile din toate ecuaţiile (ordinea în care se

parcurg ecuaţiile trebuie să fie aceeaşi pentru toate variabilele),

având grijă ca, coloanele să fie trecute în ordinea în care au fost

trecute variabilele pe linia 2;

4. se construieşte baza B, ordinea coloanelor fiind cea în care apar

ele în matricea A;

5. se calculează B-1;

6. se calculează B-1⋅A şi se trece în partea centrală a tabelului;

7. se trec variabilele principale în a doua coloană, în aşa fel încât,

la intersecţia liniei şi coloanei corespunzătoare acestei variabile,

să se afle valoarea 1.

8. se trec în prima coloană coeficienţii corespunzători variabilelor

principale din funcţia obiectiv, fiecare în dreptul variabilei

corespunzătoare;

9. se calculează soluţia de bază cu formula B-1⋅b, având grijă ca

ordinea în care au fost trecuţi termenii liberi în vectorul b să fie

aceeaşi cu ordinea în care au fost parcurse ecuaţiile la formarea

matricii A;

10. se trec în a treia coloană valorile variabilelor principale din

soluţia de bază, fiecare în dreptul variabilei corespunzătoare;

11. se calculează f(xB) înmulţind două câte două componentele

coloanei 1 cu cele din coloana 3 aflate pe aceeaşi linie şi

adunând toate produsele între ele (adică facem produsul scalar

dintre cB şi xB);

12. se calculează pe rând fiecare zj j = 1,...,n un zj obţinându-se

înmulţind scalar cB cu coloana j din B-1⋅A aflată în centrul

tabelului (această linie se calculează şi se trece doar în primul

tabel, scopul ei fiind calcularea lui ∆);

13. se calculează pe rând fiecare ∆j j = 1,...,n scăzând din linia lui z

linia lui c (∆j = zj - cj)

Page 42: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

42

Pasul 2. Se analizează valorile ∆j corespunzătoare variabilelor secundare (e

uşor de văzut că întotdeauna, cei corespunzători variabilelor

principale sunt toţi 0, deci neinteresanţi).

− dacă toţi sunt mai mari sau egali cu 0 atunci soluţia actuală este

cea optimă. Dacă există ∆j = 0 în afara bazei, atunci pot apărea

două cazuri:

1) toate elementele din coloana aj din B-1⋅A sunt mai mici

sau egale cu 0. Atunci toate soluţiile de forma xB - aj⋅λ

sunt soluţii optime, unde λ > 0 oarecare;

2) există o componentă aij a coloanei aj strict pozitivă.

Atunci introducând variabila xj în bază în locul

variabilei principală xi obţinem altă soluţie de bază

optimă.

Dacă apar numai cazuri de tipul 2), obţinem toate soluţiile de

bază optime, mulţimea tuturor soluţiilor optime fiind formată

din toate combinaţiile convexe ale acestora. Dacă apare şi cazul

1) atunci mulţimea soluţiilor optime este nemărginită fiind

formată din combinaţiile convexe ale soluţiilor de forma xB -

aj⋅λ unde xB sunt toate soluţiile optime de bază.

− dacă există ∆j < 0 atunci îl alegem pe cel mai negativ: ∆k =

j0

nj1mj

min ∆<∆

≤≤+. Variabila xj va fi cea care intră în noua bază. Dacă

minimul este multiplu atunci alegem, la întâmplare, unul dintre

aceştia (cei minimi).

Pasul 3. Se analizează elementele coloanei aj din B-1⋅A, corespunzătoare

variabilei alese la pasul 2.

− Dacă toate sunt mai mici sau egale cu 0 atunci problema are

optim infinit şi algoritmul ia sfârşit;

− Dacă există componente strict pozitive, pentru acestea se

calculează rapoartele θs = sj

s

ax

. Variabila xi corespunzătoare

Page 43: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

43raportului minim este cea care va ieşi din bază. Dacă acest

minim este multiplu sunt posibile două cazuri:

1) minimul este strict pozitiv. În acest caz se alege unul

dintre aceştia la întâmplare;

2) minimul este 0. Atunci xi corespunzători sunt 0, deci

soluţia este degenerată şi noua soluţie este la fel de

bună. Această situaţie poate duce la ciclarea

algoritmului şi alegerea la întâmplare nu mai este

suficientă, fiind nevoie de o regulă de alegere

suplimentară care să evite ciclarea. O metodă de

alegere se bazează pe faptul că, aşa cum vom vedea,

întotdeauna prima bază este matricea unitate şi în

dreptul ei, în toate tabelele simplex, se va afla inversa

bazei corespunzător fiecăruia. În acest caz, pentru

poziţiile în care s-a obţinut minimul împărţim prima

coloană a lui B-1 la coloana aj şi alegem minimul

dintre aceste rapoarte. Dacă minimul dintre aceştia

este tot multiplu continuăm procedeul, pentru

poziţiile ce dau noul minim, cu coloana a doua din B-

1 şi aşa mai departe, până minimul rămâne unic. Nu

este posibil să se epuizeze toate coloanele lui B-1 şi

minimul să rămână multiplu, deoarece, în acest caz,

am avea: ji

ji

ji

ji

2

k2

1

k1

ab

ab

= , pentru toţi indicii jk ai

coloanelor lui B-1, i1 şi i2 fiind doi din indicii care dau

acelaşi minim până la sfârşit sau altfel scris

ji

ji

ji

ji

2

1

k2

k1

aa

bb

= pentru orice jk ⇒ liniile i1 şi i2 din B-1

sunt proporţionale, fapt ce contrazice faptul că B-1

este inversabilă.

Pasul 4. Se calculează componentele tabelului simplex corespunzător noii

baze pe baza tabelului actual şi folosind următoarele reguli:

Page 44: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

441. se încadrează elementul aij, aflat la intersecţia coloanei

variabilei care intră în bază cu linia variabilei care iese din

bază, care a fost numit de Danzig pivot, într-un dreptunghi

2. coloana pivotului va avea 1 în dreptul pivotului şi 0 în rest

(inclusiv ∆j);

3. linia pivotului este linia actuală împărţită la pivot (inclusiv în

soluţia de bază);

4. restul elementelor se calculează cu regula dreptunghiului

(inclusiv soluţia de bază, ∆ şi f(xB)). Regula dreptunghiului se

bazează pe observaţia că în toate formulele prin care se

calculează acestea nu apare decât valoarea lor actuală, pivotul

şi cele două elemente care ar completa dreptunghiul ce are

poziţia de calculat şi pivotul pe diagonală. Regula

dreptunghiului se enunţă literar astfel: "noua valoare =

produsul dintre elementele de pe diagonala pivotului minus

produsul dintre cele aflate pe cealaltă diagonală totul împărţit

la pivot". (pentru scurtarea timpului de lucru se poate observa

că elementele unei linii care are 0 pe coloana pivotului rămân

aceleaşi şi de asemenea elementele unei coloane care are 0 pe

linia pivotului)

Operaţia de calculare a noului tabel prin regulile de mai sus poartă

denumirea de pivotare.

Pasul 5. Se reia algoritmul de la pasul 2.

Page 45: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

45

CAPITOLUL 4

ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR

4.1. NOŢIUNI GENERALE

În general, pentru situaţiile care necesită la rezolvare un oarecare efort

mintal (şi un caz tipic este cel al celor din economie), se caută, în primul rând,

o metodă de reprezentare a lor care să permită receptarea întregii probleme

dintr-o privire (pe cât posibil) şi prin care să se evidenţieze cât mai clar toate

aspectele acesteia.

În acest scop se folosesc imagini grafice gen diagrame, schiţe, grafice

etc. O reprezentare dintre cele mai utilizate este cea prin grafuri. Acestea sunt

utilizate în special pentru vizualizarea sistemelor şi situaţiilor complexe. În

general, vom reprezenta componentele acestora prin puncte în plan iar relaţiile

(legăturile, dependenţele, influenţele etc) dintre componente prin arce de curbă

cu extremităţile în punctele corespunzătoare. Între două puncte pot exista unul

sau mai multe segmente (în funcţie de câte relaţii dintre acestea, care ne

interesează, există) iar segmentelor li se pot asocia sau nu orientări (după cum

se influenţează cele două componente între ele), numere care să exprime

intensitatea relaţiilor dintre componente etc.

Este evident, totuşi, că această metodă are limite, atât din punct de

vedere uman (prea multe puncte şi segmente vor face desenul atât de complicat

încât se va pierde chiar scopul pentru care a fost creat – claritatea şi simplitatea

reprezentării, aceasta devenind neinteligibilă) cât şi din punct de vedere al

tehnicii de calcul (un calculator nu poate "privi" un desen ca un om).

Din acest motiv, alături de expunerea naiv-intuitivă a ceea ce este un

graf, dată mai sus, se impune atât o definiţie riguroasă cât şi alte modalităţi de

reprezentare a acestora, adecvate în general rezolvărilor matematice.

Definiţia 1 Se numeşte multigraf un triplet G = (X, A, f) în care X şi A

sunt două mulţimi iar f este o funcţie, definită pe produsul vectorial al lui X cu

el însuşi (X2 = X×X), care ia valori în mulţimea părţilor mulţimii A (notată

P(A))

Page 46: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

46Mulţimea X se numeşte mulţimea nodurilor multigrafului şi elementele

sale se numesc noduri (sau vârfuri) ale multigrafului, iar A reprezintă mulţimea

relaţiilor (legăturilor) posibile între două noduri ale multigrafului.

Definiţia 2 Se numeşte graf orientat un multigraf în care mulţimea A

are un singur element: A = {a}.

În acest caz mulţimea părţilor mulţimii A are doar două elemente:

mulţimea vidă ∅ şi întreaga mulţime A. Dacă unei perechi orientate (xi, xj) din

X2 i se asociază prin funcţia f mulţimea A atunci spunem ca există arc de la

nodul xi la nodul xj iar perechea (xi,xj) se va numi arcul (xi,xj). Nodul xi se

numeşte nod iniţial sau extremitate iniţială a arcului (xi,xj) iar nodul xj se

numeşte nod final sau extremitate finală a arcului (xi,xj). Arcul (xi,xj) este

incident spre interior vârfului xj şi incident spre exterior vârfului xi. Dacă

pentru un arc nodul iniţial coincide cu nodul final atunci acesta se numeşte

buclă. Nodurile xi şi xj se vor numi adiacente dacă există cel puţin unul din

arcele (xi,xj) şi (xj,xi).

Dacă unei perechi orientate (xi, xj) din X2 i se asociază prin funcţia f

mulţimea vidă ∅ atunci spunem că nu există arc de la nodul xi la nodul xj.

Este evident că a cunoaşte un graf orientat este echivalent cu a cunoaşte

vârfurile şi arcele sale. Din acest motiv putem defini un graf orientat prin

perechea (X,U), unde X este mulţimea vârfurilor sale iar U mulţimea arcelor

sale.

De asemenea, putem cunoaşte un graf orientat cunoscând mulţimea

nodurilor şi, pentru fiecare nod, mulţimea arcelor incidente spre exterior. Din

acest motiv putem defini un graf orientat ca o pereche (X,Γ) unde X este

perechea nodurilor iar Γ este o funcţie definită pe X cu valori în mulţimea

părţilor lui X, valoarea acesteia într-un nod xi, Γ(xi) ⊆ X fiind mulţimea

nodurilor adiacente nodului xi, prin arce pentru care xi este extremitatea

iniţială.

Definiţia 3 Se numeşte graf neorientat un multigraf în care mulţimea

A are un singur element iar funcţia f are proprietatea:

f[(xi,xj)] = f[(xj,xi)] , oricare ar fi nodurile xi şi xj din X

Page 47: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

47În aceste condiţii, dacă f[(xi,xj)] = f[(xj,xi)] = A atunci perechea

neorientată {xi,xj} este o muchie iar dacă f[(xi,xj)] = f[(xj,xi)] = ∅ spunem că

nu există muchie între vârfurile xi şi xj.

Deoarece, în cele mai multe din cazurile practice care vor fi analizate în

acest capitol, situaţia este modelată matematic printr-un graf orientat, vom

folosi, pentru simplificarea expunerii, denumirea de graf în locul celei de graf

orientat iar în cazul în care graful este neorientat vom specifica acest fapt la

momentul respectiv.

4.2. MODURI DE REPREZENTARE ALE UNUI

GRAF

A. O primă modalitate de reprezentare este listarea efectivă a tuturor

nodurilor şi a arcelor sale.

B. Putem reprezenta graful dând pentru fiecare nod mulţimea nodurilor

cu care formează arce în care el este pe prima poziţie.

C. Putem reprezenta geometric graful, printr-un desen în plan,

reprezentând fiecare nod printr-un punct(cerculeţ) şi fiecare arc

printr-un segment de curbă care are ca extremităţi nodurile arcului şi

pe care este trecută o săgeată orientată de la nodul iniţial spre cel

final.

D. Putem folosi o reprezentare geometrică în care nodurile sunt

reprezentate de două ori, în două şiruri paralele, de la fiecare nod

din unul din şiruri plecând săgeţi spre nodurile cu care formează

arce în care el este pe prima poziţie, de pe al doilea şir

(reprezentarea prin corespondenţă).

E. Un graf poate fi reprezentat printr-o matrice pătratică booleană, de

dimensiune egală cu numărul de noduri, în care o poziţie aij va fi 1

dacă există arcul (xi,xj) şi 0 în caz contrar, numită matricea

adiacenţelor directe.

F. Un graf poate fi reprezentat printr-o matrice pătratică latină, de

dimensiune egală cu numărul de noduri, în care pe o poziţie aij va fi

xixj dacă există arcul (xi,xj) şi 0 în caz contrar.

Page 48: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

48Exemplu: Dacă în reprezentarea A avem graful G = (X,U), unde X =

{x1, x2, x3, x4, x5, x6} şi U = {(x1,x1), (x1,x2), (x1,x4), (x1,x5), (x2,x3), (x2,x4),

(x2,x6), (x3,x1), (x3,x2), (x4,x5), (x5,x2), (x6,x4)}, atunci în celelalte reprezentări

vom avea:

B x1 → {x1, x2, x4, x5} C

x2 → {x3, x4, x6}

x3 → {x1, x2}

x4 → {x5}

x5 → {x2}

x6 → {x4}

D (reprezentarea prin corespondenţă)

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 x2 x3 x4 x5 x6

E F

x1 x2

x6

x5 x4

x3

x1 x2 x3 x4 x5 x6x1 1 1 0 1 1 0x2 0 0 1 1 0 1x3 1 1 0 0 0 0x4 0 0 0 0 1 0x5 0 1 0 0 0 0x6 0 0 0 1 0 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x1x1x1x2 0 x1x4x1x5 0 x2 0 0 x2x3x2x4 0 x2x6

x3 x3x1x3x2 0 0 0 0 x4 0 0 0 0 x4x5 0 x5 0 x5x2 0 0 0 0 x6 0 0 0 x6x4 0 0

Page 49: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

49

4.3. CONCEPTE DE BAZĂ ÎN TEORIA

GRAFURILOR

1. semigraf interior al unui nod xk: este mulţimea arcelor −kxU =

{(xj,xk)/ (xj,xk) ∈ U} care sunt incidente spre interior nodului xk;

2. semigraf exterior al unui nod xk: este mulţimea arcelor +kxU =

{(xk,xi)/ (xk,xi) ∈ U} care sunt incidente spre exterior nodului xk;

3. semigradul interior al unui nod xk: este numărul arcelor care sunt

incidente spre interior nodului xk = cardinalul lui −kxU şi se notează

cu −kxδ ;

4. semigradul exterior al unui nod xk: este numărul arcelor care sunt

incidente spre exterior nodului xk = cardinalul lui +kxU şi se notează

cu +kxδ ;

5. gradul unui nod xk: este suma semigradelor nodului xk: kxδ = +kxδ +

−kxδ ;

6. nod izolat: este un nod cu gradul 0;

7. nod suspendat: este un nod cu gradul 1;

8. arce adiacente: arce care au o extremitate comună;

9. drum într-un graf: o mulţime ordonată de noduri ale grafului: (x1,

x2, ..., xk), cu proprietatea că există în graf toate arcele de forma

(xi,xi+1) i = 1,...,k-1;

10. lungimea unui drum: este numărul arcelor care îl formează;

11. drum elementar: un drum în care fiecare nod apare o singură dată;

12. drum simplu: un drum în care fiecare arc apare o singură dată;

13. putere de atingere a unui nod xi ∈ X în graful G: numărul de

noduri la care se poate ajunge din xi. Puterea de atingere se notează

cu p(xi), 1 ≤ i ≤ n şi evident p(xi) ≥ +ixδ .

14. drum hamiltonian: un drum elementar care trece prin toate

nodurile grafului;

Page 50: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

5015. drum eulerian: un drum simplu care conţine toate arcele grafului;

16. lanţ: un drum în care arcele nu au neapărat acelaşi sens de

parcurgere;

17. circuit: un drum în care nodul iniţial coincide cu cel final;

18. circuit elementar: un drum în care fiecare nod apare o singură dată,

cu excepţia celui final, care coincide cu cel iniţial;

19. circuit simplu: un drum în care fiecare arc apare o singură dată;

20. circuit hamiltonian: un circuit care trece prin toate nodurile

grafului;

21. ciclu: este un circuit în care arcele nu au neapărat acelaşi sens de

parcurgere;

22. ciclu elementar: un ciclu în care fiecare nod apare o singură dată,

cu excepţia celui final, care coincide cu cel iniţial;

23. ciclu simplu: un ciclu în care fiecare arc apare o singură dată;

Observaţie: Într-un graf neorientat noţiunile de drum şi lanţ sunt

echivalente şi de asemenea cele de circuit şi ciclu.

24. graf parţial al unui graf G = (X,U): este un graf G'(X,U') cu U' ⊂

U;

25. subgraf al unui graf G = (X,Γ): este un graf G'(X',Γ') unde X' ⊂ X

şi Γ'(xi) = Γ(xi) ∩ X' pentru orice xi ∈ X';

26. graf redus al unui graf G = (X,U): este un graf G*(X*,U*) unde X*

este formată din mulţimile unei partiţii de mulţimi nevide ale lui X,

iar ( *iX , *

jX ) există doar dacă i ≠ j şi există cel puţin un arc în U, de

la un nod din *iX la un nod din *

jX .

27. graf tare conex: este un graf în care între oricare două noduri există

cel puţin un drum;

28. graf simplu conex: este un graf în care între oricare două noduri

există cel puţin un lanţ;

Observaţie: Pentru grafuri neorientat noţiunile de tare conex şi simplu

conex sunt echivalente, graful numindu-se doar conex;

29. componentă tare conexă a unui graf G = (X,U): este un subgraf al

lui G care este tare conex şi nu este subgraful nici unui alt subgraf

tare conex al lui G (altfel spus, între oricare două noduri din

Page 51: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

51componentă există cel puţin un drum şi nu mai există nici un nod în

afara componentei legat printr-un drum de un nod al componentei).

4.4. GĂSIREA DRUMURILOR ÎNTR-UN GRAF

ORIENTAT

Dacă privim graful ca imagine a unui sistem, nodurile reprezentând

componentele sistemului, atunci o interpretare imediată a unui arc (xi,xj) este

că, componenta xi influenţează direct componenta xj. Dacă nodurile au

semnificaţia de stări posibile ale unui sistem atunci un arc (xi,xj) semnifică

faptul că sistemul poate trece direct din starea xi în starea xj. În ambele cazuri

se vede că avem de-a face doar cu informaţii despre legături directe; totuşi,

chiar dacă o componentă xi nu influenţează direct componenta xj ea o poate

influenţa prin intermediul altor componente, existând un şir de componente

intermediare: x1 x2 ,..., xk, fiecare influenţând-o direct pe următoarea şi xi direct

pe x1 iar xk direct pe xj. Astfel, dacă dintr-o stare xi nu se poate trece direct într-

o stare xj s-ar putea totuşi în mai multe etape, prin alte stări intermediare.

Deoarece găsirea acestor influenţe sau treceri posibile este de obicei foarte

importantă iar pentru un sistem cu mii sau zeci de mii de componente acest

lucru nu mai poate fi făcut "din ochi", este necesară formalizarea noţiunii de

"influenţe" şi "treceri" posibile, nu neapărat directe. Acest lucru a şi fost făcut

mai sus, deoarece este evident că "xi influenţează xj" sau "din starea xi se poate

trece în starea xj" este echivalent cu existenţa în graf a unui drum de la nodul xi

la nodul xj.

În continuare vom da un algoritm prin care putem găsi toate drumurile

dintr-un graf orientat cu un număr finit de noduri.

Pasul 1. Se construieşte matricea booleană a adiacenţelor directe

corespunzătoare grafului, notată cu A. În aceasta se află, evident,

toate drumurile de lungime 1.

Este interesant de văzut ce legătură există între această matrice şi

drumurile de lungime 2. Fie două noduri xi şi xj oarecare din graf. Existenţa

unui drum de lungime 2 între ele presupune existenţa unui nod xk, din graf, cu

proprietatea că există atât arcul (xi,xk) cât şi arcul (xi,xk). Pentru a vedea dacă

Page 52: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

52acesta există, luăm pe rând fiecare nod al grafului şi verificăm dacă există sau

nu ambele arce ((xi,xk) şi (xi,xk)). Aceasta este echivalent cu a verifica dacă, în

matricea booleană a adiacenţelor directe, există vreun indice k astfel încât

elementul k al liniei i şi elementul k al coloanei j să fie ambele egale cu 1. Dacă

folosim operaţiile algebrei booleene de adunare şi înmulţire:

+& 0 1 ×& 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 1 1 0 1

atunci verificările de mai sus sunt echivalente cu a verifica dacă elementul de

pe poziţia (i,j) din A2 este egal cu 1. Valoarea 1 spune doar că există cel puţin

un drum de lungime 2 de la xi la xj. Dacă dorim să vedem şi câte sunt, vom

folosi regulile de înmulţire şi adunare obişnuită.

De asemenea, se poate observa că existenţa unui drum de lungime 3 de

la xi la xj presupune existenţa unui nod xk astfel încât să existe un drum de

lungime 2 de la xi la xk şi un arc de la xk la xj, care este echivalent cu a verifica

dacă există vreun indice k astfel încât elementul k al liniei i din matricea A2 şi

elementul k al coloanei j din A sunt ambele egale cu 1 sau, mai simplu, dacă

elementul (i,j) din A3 este 1.

Din cele de mai sus se observă că existenţa drumurilor de lungime k

este dată de valorile matricei Ak, dacă s-au folosit regulile algebrei booleene şi

numărul lor este dat de Ak, dacă s-au folosit regulile obişnuite.

Pasul 2. Vom calcula succesiv puterile lui A până la puterea An-1

Dacă între nodurile xi şi xj există un drum de lungime ≥ n atunci el va

conţine un număr de noduri mai mare sau egal nu n+1 şi, cum în graf sunt doar

n vârfuri, este clar că cel puţin unul, să zicem xk, va apărea de două ori. Vom

avea în acest caz un drum de la xi până la prima apariţie a lui xk, şi un drum de

la ultima apariţie a lui xk la xj. Eliminând toate nodurile dintre prima apariţie a

lui xk şi ultima apariţie a sa vom obţine un drum de la xi la xj, în care xk apare o

singură dată. Aplicând acest procedeu pentru toate nodurile care apar de mai

multe ori pe drum, vom obţine un drum de la xi la xj, în care fiecare nod apare

o singură dată (deci un drum elementar), care are evident cel mult n-1 arce. În

concluzie, dacă există vreun drum de la xi la xj atunci există şi un drum

elementar şi, deci, va exista o putere a lui A, între A1 şi An-1, în care poziţia (i,j)

Page 53: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

53este diferită de 0. Pentru deciderea existenţei unui drum între oricare două

noduri este suficientă, deci, calcularea doar a primelor n-1 puteri ale lui A.

Pasul 3. Se calculează matricea D = A + A2 + ... + An-1

Dacă ne interesează doar existenţa drumurilor dintre noduri, nu şi

numărul lor, vom folosi înmulţirea şi adunarea booleană şi conform observaţiei

de mai sus:

dij =

ji

jixla x de drum un nici aexist nu adac0

xla x de drum un putin cel aexist adac1((

((

În acest caz, observând că:

A⋅(A + I)n–2 = 02nC − ⋅A + 1

2nC − ⋅A2 + 22nC − ⋅A3 + ... + 2n

2nC −− ⋅An–1 = A + A2 + A3 +

... + An-1 = D

rezultă că e suficient să calculăm doar puterea n-2 a matricei A + I şi apoi s-o

înmulţim cu A. Avantajul acestei metode, în ceea ce priveşte economia de

timp, este susţinut şi de următoarea observaţie: dacă D conţine toate perechile

de arce între care există drum atunci:

D = (A + A2 + ... + An-1) + An + An+1 + ... + An+k = D oricare ar fi k ≥ 0 ⇒

⇒ A⋅(A + I)n–2+k = (A + A2 + ... + An-1) + An + An+1 + ... + An+k-1 = D = A⋅(A +

I)n–2 ⇔

⇔A⋅(A + I)n–2+k = A⋅(A + I)n–2 oricare ar fi k ≥ 0

deci de la puterea k = n-2 toate matricile Ak sunt egale. Putem, deci, calcula

direct orice putere a lui A+I mai mare sau egală cu n-1 (de exemplu calculând

(A+I)2, (A+I)4, (A+I)8, ..., r2I)(A + , r fiind prima putere a lui 2 pentru care 2r

≥ n-2).

Procedeul de mai sus nu asigură decât aflarea faptului dacă există sau

nu drum între două noduri, eventual ce lungime are şi câte sunt de această

lungime. Totuşi, în problemele practice cel mai important este să ştim care sunt

efectiv aceste drumuri. Deoarece toate drumurile pot fi descompuse în drumuri

Page 54: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

54elementare şi în problemele practice în general acestea sunt cele care

interesează, paşii următori ai algoritmului vor fi dedicaţi găsirii lor. Pentru

găsirea acestora se foloseşte reprezentarea grafului prin matricea latină de la

cazul F.

Pasul 4. Construim matricea latină L asociată grafului, unde:

lij = ( )

( )

ji

jijix,x arcul aexist nu adac0

x,x arcul aexist adacxx((

((

şi matricea L~ , definită prin:

ijl~ = ( )

( )

ji

jijx,x arcul aexist nu adac0

x,x arcul aexist adacx((

((

numită matricea latină redusă.

Găsirea unui drum de lungime 2 de la xi la xj presupune găsirea unui

nod cu proprietatea că există arcele (xi,xk) şi (xk,xj) şi memorarea vectorului (xi,

xk, xj). Aceasta este echivalent cu a găsi un indice k astfel încât elementul de pe

poziţia k a liniei i, din matricea L, să fie xi,xk şi elementul de pe poziţia k al

coloanei j, din matricea L~ , să fie xj. Vom înmulţi deci matricea L cu matricea

L~ , folosind însă nişte reguli de calcul speciale, numite înmulţire şi adunare

latină.

Definiţia 1: Se numeşte alfabet o mulţime de semne numite simboluri

sau litere {si/i∈I} unde I este o mulţime oarecare de

indici, finită sau nu.

Definiţia 2: Se numeşte cuvânt un şir finit de simboluri notat

n21 iii s...ss .

Definiţia 3: Se numeşte înmulţire latină o operaţie definită pe

mulţimea cuvintelor unui alfabet, notată " L× ", astfel:

n21 iii s...ss L×m21 jjj s...ss =

m21n21 jjjiii s...sss...ss

(produsul a două cuvinte se obţine prin concatenarea lor)

Înmulţirea latină este asociativă, are ca element neutru

cuvântul vid, nu e comutativă şi un element este inversabil

doar dacă este cuvântul vid.

Page 55: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

55Definiţia 3: Se numeşte adunare latină o funcţie definită pe mulţimea

cuvintelor unui alfabet cu valori în mulţimea parţilor

mulţimi cuvintelor, notată " L+ " astfel:

n21 iii s...ss L+m21 jjj s...ss =

m21

n21

jjj

iiis...sss...ss

(suma a două cuvinte este mulţimea formată din cele două cuvinte)

Pasul 5. Se calculează succesiv matricile:

L2 = L L× L~ , L3 = L2L× L~ , ... ,Lk+1 = Lk

L× L~

folosind operaţiile de înmulţire şi adunare latină, alfabetul fiind mulţimea

nodurilor grafului, unde operaţia de înmulţire este uşor modificată, produsul

dintre două elemente ale matricilor fiind 0, dacă unul dintre ele este 0 sau au un

nod comun şi este produsul latin al lor, în caz contrar.

Din felul cum a fost construită, matricea Lk va conţine toate drumurile

elementare de lungime k. Cum un drum elementar poate avea cel mult n noduri

(câte are graful cu totul) rezultă că:

− primele n-1 puteri ale lui L conţin toate drumurile elementare din

graf;

− puterile lui L mai mari sau egale cu n au toate elementele egale cu 0;

− matricea Ln-1 conţine toate drumurile hamiltoniene din graf (dacă

există).

Observaţie: Deoarece obţinerea matricii D prin metoda de mai sus

presupune un volum foarte mare de calcule (de exemplu, dacă graful are 100 de

noduri, ridicarea unei matrici de 100×100 la puterea 100) pentru obţinerea

acesteia se poate aplica şi următorul algoritm:

Pas 1. Se construieşte matricea de adiacenţă A;

Pas 2. Pentru fiecare linie i se adună boolean la aceasta toate liniile j

pentru care aij = 1.

Pas 3. Se reia pasul 2 până când, după o aplicare a acestuia, matricea

rămâne aceeaşi (nu mai apare nici un 1)

Ultima matrice obţinută este matricea drumurilor D numită şi matricea

conexiunilor totale.

Page 56: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

56Această metodă, deşi mai simplă nu spune însă şi care sunt aceste

drumuri, pentru găsirea lor aplicându-se, de exemplu, înmulţirea latină

4.5. ARBORI. PROBLEMA ARBORELUI DE

VALOARE OPTIMĂ

În acest subcapitol grafurile vor fi considerate neorientate.

4.5.1. NOŢIUNEA DE ARBORE

Un arbore este un graf neorientat, finit, conex şi fără cicluri. Grafurile

din fig. 4.1. sunt arbori.

Studiul arborilor este justificat de existenţa în practică a unui număr

mare de probleme care pot fi modelate prin arbori. Dintre acestea amintim:

1. construirea unor reţele de aprovizionare cu apă potabilă (sau cu

energie electrică sau termică etc) a unor puncte de consum, de la un

punct central;

2. construirea unor căi de acces între mai multe puncte izolate;

3. desfăşurarea unui joc strategic;

4. luarea deciziilor în mai multe etape (arbori decizionali);

5. evoluţii posibile ale unui sistem pornind de la o stare iniţială;

x1

x1

a)

x1

x1

x1

x1

x1

b)

x1 x1

x1

x1

c)

Figura 4.1

Page 57: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

576. construirea unei reţele telefonice radiale, a unei reţele de relee

electrice;

7. legarea într-o reţea a unui număr mare de calculatoare;

8. organigramele întreprinderilor;

9. studiul circuitelor electrice în electrotehnică (grafe de fluenţă etc);

10. schemele bloc ale programelor pentru calculatoare etc.

În toate problemele de mai sus se doreşte ca, dintre muchiile unui graf

neorientat, să se extragă arborele optim din mulţimea tuturor arborilor care pot

fi extraşi din graful dat.

Deoarece definiţia arborelui este dificil de aplicat pentru deciderea

faptului că un graf este arbore sau nu (şi în special sunt greu de verificat

conexitatea şi mai ales existenţa ciclurilor) există mai multe caracterizări

posibile ale unui arbore, acestea fiind date de teorema de mai jos:

Teoremă. Dacă H este un graf neorientat finit, atunci următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

1) H este arbore;

2) H nu conţine cicluri şi, dacă se unesc printr-o muchie două noduri

neadiacente, se formează un ciclu (şi numai unul). Arborele este,

deci, pentru o mulţime de noduri dată, graful cu numărul maxim de

arce astfel încât să se păstreze proprietatea că nu are cicluri);

3) H este conex şi dacă i se suprimă o muchie se creează două

componente conexe (arborele este graful conex cu numărul minim de

arce);

4) H este conex şi are n-1 muchii;

5) H este fără cicluri şi are n-1 muchii;

6) Orice pereche de noduri este legată printr-un lanţ şi numai unul.

Demonstraţie :

1)⇒ 2). între cele două noduri adiacente noii muchii introduse exista deja un

drum în fostul graf. Acest drum, împreună cu noul arc va forma

evident un ciclu şi afirmaţia 2) a fost demonstrată.

Page 58: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

582)⇒3). Pentru oricare două vârfuri neunite printr-o muchie, adăugând muchia

dintre cele două vârfuri s-ar crea, conform ipotezei, un ciclu care

conţine această muchie, deci două drumuri între cele două noduri, din

care unul nu conţine noua muchie, adică în graful iniţial exista un

drum între cele două noduri. Dacă nu există cicluri înseamnă că între

oricare două noduri există un singur drum. Pentru două noduri unite

printr-o muchie, aceasta este chiar drumul corespunzător celor două

noduri. Dacă suprimăm această muchie între cele două noduri nu va

mai exista nici un drum, formându-se două componente conexe.

3)⇒4). Demonstraţia se face prin inducţie după n = numărul de noduri ale

grafului. Pentru n=2 este evident. Presupunem afirmaţia adevărată

pentru toate grafurile cu cel mult n noduri. Dacă graful are n+1 noduri,

prin suprimarea unei muchii se formează două componente conexe

fiecare având cel mult n noduri (n1 ≤ n, n2 ≤ n şi n1 + n2 = n+1) şi deci

au n1 – 1 respectiv n2 – 1 muchii. În concluzie graful iniţial a avut (n1

– 1) + (n2 – 1) +1 = n1 + n2 – 1= (n+1)-1 muchii, ceea ce era de

demonstrat.

4)⇒5). Dacă ar avea un ciclu atunci prin suprimarea unui arc al acestuia ar

rămâne de asemenea conex. Eliminăm acest arc apoi repetăm

procedeul pentru graful parţial rămas şi tot aşa până când nu mai

rămâne nici un ciclu. În acest moment graful rămas este conex şi nu

are cicluri deci este arbore şi deci are n-1 arce, în contradicţie cu

faptul că el avea n-1 arce înainte de a începe suprimarea arcelor;

5)⇒6). Dacă între două noduri ar exista două drumuri atunci acestea ar forma

la un loc un ciclu. Deci între 2 noduri este cel mult un drum. Dacă

între două noduri nu ar exista nici un drum ar fi cel puţin două

componente conexe în graf, fiecare fiind arbore (pentru că nu există

cicluri) şi deci fiecare ar avea un număr de arce cu 1 mai mic decât

numărul de noduri. Făcând adunarea, ar rezulta că în graf sunt strict

mai puţin de n-1 arce.

6)⇒1). Dacă H ar avea un ciclu, între două noduri ale acestuia ar exista două

lanţuri, în contradicţie cu ipoteza.

Page 59: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

59Presupunem că avem un graf pentru care am verificat deja dacă este

conex. Dacă nu este atunci acesta, evident, nu are nici un graf parţial care să fie

arbore.

Presupunem de asemenea că fiecărei muchii îi este asociată o valoare

reală.

4.5.2. ALGORITMI PENTRU GĂSIREA ARBORELUI DE

VALOARE OPTIMĂ

Vom da mai jos trei algoritmi pentru determinarea unui graf parţial al

grafului, care să fie arbore şi pentru care suma valorilor arcelor sale să fie

minimă (sau maximă).

Toţi algoritmii descrişi în continuare extrag arborele prin colectarea una

câte una a muchiilor acestuia.

A. Algoritmul lui Kruskal

Pasul 1. Dintre toate muchiile grafului se alege muchia de valoare minimă

(maximă). Dacă minimul este multiplu se alege la întâmplare una din

muchiile respective. Deoarece acest "la întâmplare" trebuie cumva

tradus în limbajul calculatorului, în cazul implementării unui program

bazat pe acest algoritm, vom perturba din start valorile muchiilor, la k

muchii cu aceiaşi valoare V adunând respectiv valorile ε, 2ε, ... , kε,

unde ε este foarte mic (în orice caz, kε mai mic decât diferenţa dintre

valoarea acestor arce si valoarea imediat superioară a unui arc),

pozitiv.

Pasul 2. Dintre toate muchiile rămase, se alege cea de valoare minimă

(maximă);

Pasul 3. Dintre toate muchiile rămase, se alege cea de valoare minimă

(maximă), astfel încât să nu se formeze cicluri cu cele deja alese;

Pasul 4. Se reia algoritmul de la pasul 3 până se colectează n-1 muchii.

Deşi s-a demonstrat că algoritmul găseşte întotdeauna arborele optim, el

are dezavantajul că este foarte laborios (de fiecare dată trebuie calculat

Page 60: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

60minimul unei mulţimi mari sau foarte mari – există situaţii în practică în care

graful are sute de mii de arce) şi, în plus, trebuie aplicat un algoritm special ca

să respectăm condiţia de a nu se forma cicluri, la alegerea unui nou arc.

O metodă posibilă este ca, după adăugarea fiecărui arc, să se împartă

graful în componente conexe şi să alegem apoi un arc care nu are ambele

extremităţile în aceeaşi componentă conexă.

De asemenea este clar că, în cazul existenţei arcelor de valori egale,

deoarece se alege la întâmplare, există mai multe variante de evoluţie a alegerii

arcelor. Totuşi, cu toate că pot fi mai multe grafuri la care se poate ajunge prin

acest algoritm, ele vor avea toate aceeaşi valoare (minima (sau maxima)

posibilă).

B. Algoritmul lui Sollin

Pasul 1. Pentru fiecare nod se alege muchia adiacentă de valoare minimă

(maximă).

Pasul 2. Se evidenţiază componentele conexe, existente în graful parţial

format din arcele alese până în acest moment.

Pasul 3. Pentru fiecare componentă conexă se alege muchia adiacentă de

valoare minimă (maximă). Prin muchie adiacentă unei componente

conexe înţelegem o muchie care are o singură extremitate printre

nodurile componentei respective.

Pasul 4. Se reia algoritmul de la pasul 2 până rămâne o singură componentă

conexă. Aceasta este arborele optim căutat.

Acest algoritm asigură de asemenea găsirea arborelui optim, necesită

mult mai puţine calcule (la fiecare alegere se calculează minimul doar pentru

muchiile adiacente unui singur nod), evită automat formarea ciclurilor, dar,

pentru grafuri foarte mari, la un moment dat pot exista atât de multe

componente conexe care trebuie memorate succesiv, încât calculul devine greoi

sau, pe calculator, depăşeşte posibilităţile de memorare ale calculatorului.

Page 61: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

61

C. O variantă a algoritmului lui Kruskal

Pasul 1. Dintre toate muchiile grafului se alege cea de valoare minimă

(maximă);

Pasul 2. Dintre toate muchiile adiacente componentei conexe formată din

arcele alese până în acest moment, se alege cea de valoare minimă

(maximă);

Pasul 3. Se reia pasul 2 până se colecţionează n-1 muchii.

Algoritmul are toate avantajele algoritmului lui Sollin şi, în plus,

lucrează cu o singură componentă conexă, fiind mult mai uşor de implementat

pe calculator şi mult mai rapid în execuţie.

Exemplu: Administraţia unei localităţi montane a hotărât construirea

unor linii de teleferic care să lege oraşul de cele 8 puncte turistice importante

din jurul acestuia. În urma unui studiu au fost puse în evidenţa toate

posibilităţile şi costurile de conectare a obiectivele turistice între ele şi cu

oraşul, acestea fiind prezentate în figura 4.2.

Se cere găsirea variantei de construcţie de cost minim, care să asigure

accesul din oraş la oricare din obiectivele turistice.

Rezolvare

Condiţia de cost minim implică două obiective:

1. Să se construiască minimul de arce necesare;

O

P2

P1

P6

P3

P7

P4

P5

P8

97

88

4

5 3

3

2

25

7

34

8

768

8

Figura 4.2

9

Page 62: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

622. Să se construiască cele mai ieftine legături.

Referitor la numărul de arce necesar, facem observaţia că, dacă din oraş

se va putea ajunge la orice obiectiv turistic, atunci se va putea ajunge şi de la

orice staţiune la oricare alta (trecând prin oraş), deci trebuie ca arcele alese

pentru construcţie să formeze la un loc un graf conex.

În concluzie, căutăm un graf parţial conex cu un număr minim de arce,

adică un arbore. În plus, suma costurilor arcelor sale trebuie să fie minimă.

Vom aplica pe rând cei trei algoritmi pentru găsirea acestuia:

A. Kruskal

La primul pas poate fi ales unul din arcele OP3 sau OP7, ele având

valoarea minimă 2. Putem alege oricum primul arc dintre cele două pentru că la

al doilea pas va fi ales celălalt.

La pasul trei poate fi ales unul din arcele OP5, OP6 sau P1P6 care au

valoarea minimă 3. Nici în acest caz nu are vre-o importanţă ordinea alegerii,

deoarece pot fi alese succesiv toate trei fără a se forma nici un ciclu.

Al şaselea arc poate fi ales dintre arcele P4P5 şi P1P2, care au valoarea

minimă 4. Nici în acest caz nu are vre-o importanţă ordinea alegerii, deoarece

pot fi alese succesiv ambele, fără a se forma nici un ciclu.

Următoarea valoare disponibilă a unui arc este 5, dar arcul opt nu poate

fi ales dintre arcele OP1, P6P7, deşi au valoarea minimă 5. Arcul OP1 nu poate

fi ales deoarece s-ar forma ciclul OP1P6, iar P6P7 ar duce la ciclul OP6P7.

Următoarea valoare minimă este 6, pentru arcul P5P7 dar nu poate fi ales

deoarece se formează ciclul OP5P7.

Valoarea următoare, 7, o au arcele OP4, P2P3 şi P5P8. OP4 nu poate fi

ales deoarece s-ar forma ciclul OP5P4. Arcul P2P3 nu poate fi ales deoarece s-ar

forma ciclul OP6P1P2P3. Arcul P5P8 nu formează nici un ciclu şi el va fi al

optulea arc ales. În acest caz, deoarece s-au adunat 8 arce într-un graf cu 9

noduri, am obţinut graful căutat.

Acest arbore este reprezentat în figura 4.3.

Page 63: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

63

B. Sollin

Vom alege: pentru nodul O → arcul OP3

pentru nodul P1 → arcul P1P6

pentru nodul P2 → arcul P1P2

pentru nodul P3 → arcul OP3

pentru nodul P4 → arcul P4P5

pentru nodul P5 → arcul OP5

pentru nodul P6 → arcul P1P6

pentru nodul P7 → arcul OP7

pentru nodul P8 → arcul P5P8

Rezultă graful parţial:

După cum se vede, s-au format două componente conexe: C1 =

{P1,P2,P6}

C2 =

O

P2

P1

P6

P3

P7

P4

P5

P8

4

3 2

23

4

7

Figura 4.4

O

P2

P1

P6

P3

P7

P4

P5

P8

4

3 3

2

2 3

4

Figura 4.3

7

Page 64: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

64{O,P3,P4,P5,P7,P8}.

Vom alege: pentru C1 → arcul OP6

pentru C2 → arcul OP6

şi obţinem o singură componentă conexă, care este arborele căutat.

C. Varianta algoritmului lui Kruskal

Succesiunea alegerii arcelor va fi:

1 → OP3

2 → OP7

3 → OP6

4 → OP5

5 → P1P6

6 → P1P2

7 → P4P5

8 → P5P8

4.6. DRUMURI OPTIME ÎNTR-UN GRAF În marea majoritate a problemelor care pot fi modelate prin grafuri nu

ne interesează numai dacă există sau nu legături între componentele

reprezentate prin nodurile grafului ci şi intensitatea acestora. Această

intensitate are semnificaţia unei valori numerice (pozitive sau negative)

asociate arcului corespunzător legăturii a cărei intensitate o măsoară.

În aplicaţiile economice această valoare poate fi:

− lungimea drumului dintre două localităţi;

− costul parcurgerii rutei reprezentate prin arcul corespunzător;

− durata parcurgerii rutei respective;

− cantitatea transportată pe ruta respectivă;

− capacitatea maximă a rutei respective;

− câştigul realizat prin trecerea de la o stare la alta a sistemului;

− consum de energie pentru efectuarea trecerii respective;

Page 65: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

65− punctaj realizat etc.

Una din problemele care poate apărea în aceste situaţii este găsirea,

pentru o anumită pereche de noduri (sau mai multe perechi), a drumului optim

între acestea.

Pentru formalizarea problemei vom introduce noţiunea de valoare a

unui drum, care este egală cu suma valorilor arcelor care îl compun. Vom nota

în continuare valoarea unui arc (xi,xj) cu v(xi,xj) sau cu vij. În aceste condiţii

putem enunţa problema drumului optim astfel:

"Dat fiind un graf G = (X,U) şi o funcţie care asociază fiecărui arc o

valoare reală, să se găsească, pentru o pereche dată de noduri, drumul

(drumurile) de valoare optimă (minimă sau/şi maximă) între cele două

noduri şi valoarea acestuia (acestora)"

Deoarece este vorba de găsirea minimului unei mulţimi de numere

reale, prima întrebare care se pune este dacă aceasta admite minim. Dacă

mulţimea nodurilor grafului este infinită atunci pot exista o infinitate de

drumuri elementare distincte între cele două noduri şi mulţimea valorilor

acestora poate avea orice formă (închisă sau nu, mărginită sau nu) devenind

foarte greu de caracterizat cazurile când minimul dorit există. Deoarece totuşi

majoritatea covârşitoare a problemelor economice se modelează prin grafuri cu

număr finit de noduri, ne vom limita în continuare doar la acestea.

Un număr finit de noduri n atrage după sine existenţa unui număr finit

de arce (cel mult n2) şi a unui număr finit de drumuri elementare ( cel mult

n⋅n!⋅∑=

1-n

1k k!1 ). Deoarece oricărui drum d îi corespunde un drum elementar de

(obţinut prin eliminarea tuturor subcircuitelor lui d) putem calcula valoarea

oricărui drum ca sumă între valoarea drumului elementar corespunzător şi

valorile unor subcircuite ale sale, fiecare înmulţită cu numărul de parcurgeri

ale circuitului respectiv.

În concluzie, dacă există un circuit de valoare negativă înseamnă că

există drumuri de valoare oricât de mică (cele care conţin acest circuit),

obţinută prin parcurgerea acestuia de oricâte ori dorim) şi, deci, mulţimea

valorilor drumurilor este nemărginită inferior, neexistând drum de valoare

minimă. Dacă există un circuit de valoare pozitivă atunci există drumuri de

Page 66: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

66valoare oricât de mare şi mulţimea valorilor drumurilor este nemărginită

superior, neexistând drum de valoare maximă.

Dacă nu există circuite de valoare negativă atunci valoarea oricărui

drum este mai mare sau egală cu a drumului elementar corespunzător, deci

drumul de valoare minimă (dacă există) va fi un drum elementar. Cum

mulţimea drumurilor elementare este finită (şi deci şi mulţimea valorilor lor) va

avea minorant şi am lămurit problema compatibilităţii problemei. Analog, dacă

nu există circuite de valoare pozitivă atunci valoarea oricărui drum este mai

mică sau egală cu a drumului elementar corespunzător, deci drumul de valoare

maximă (dacă există) va fi un drum elementar. Cum mulţimea drumurilor

elementare este finită (şi deci şi mulţimea valorilor lor), va avea majorant.

Obs. 1. Dacă în graf nu există decât arce de valoare pozitivă atunci

există drum de valoare minimă.

Obs. 1. Dacă în graf nu există decât arce de valoare negativă atunci

există drum de valoare maximă.

Obs. 1. Dacă în graf nu există circuite atunci există şi drum de valoare

minimă şi drum de valoare maximă.

Deoarece din cele de mai sus se sesizează importanţa existenţei

circuitelor într-un graf vom da în continuare un algoritm de depistare a

existenţei circuitelor într-un graf:

Pasul 1. Se construieşte mulţimea A formată din nodurile pentru care toate

arcele incidente sunt incidente spre interior ( noduri în care toate

arcele "intră" sau, altfel spus, noduri din care nu "pleacă" nici un arc).

Pasul 2. Se găsesc toate nodurile care nu sunt din A pentru care toate arcele

incidente au cealaltă extremitate în A (noduri din care se poate

"ajunge" doar in A). Dacă nu există nici un astfel de arc se trece la

pasul 4.

Pasul 3. Se adaugă arcele găsite la pasul 2 la mulţimea A apoi se reia

algoritmul de la pasul 2, pentru noua mulţime A.

Pasul 4. Dacă A conţine mulţimea tuturor nodurilor atunci graful nu conţine

circuite. Dacă au rămas noduri în afara lui A atunci graful conţine

circuite.

Page 67: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

67ALGORITMI DE GĂSIRE A DRUMULUI OPTIM

Din cauza varietăţii nelimitate a grafurilor posibile, nu există un

algoritm care să rezolve orice problemă în timp util, dar s-au elaborat o

mulţime de algoritmi, fiecare fiind cel mai eficace în anumite cazuri. Aceşti

algoritmi pot fi grupaţi în cinci categorii:

1. Algoritmi prin calcul matricial (Bellman-Kalaba, I. Tomescu,

Bellman-Schimbell);

2. Algoritmi prin ajustări succesive: (Ford);

3. Algoritmi prin inducţie (Dantzig);

4. Algoritmi prin ordonare prealabilă a vârfurilor grafului;

5. Algoritmi prin extindere selectivă (Dijkstra).

4.7. REŢELE DE TRANSPORT Într-o mare varietate de situaţii concrete din practica economică se pune

problema deplasării unei cantităţi de materie, energie, informaţie etc, din

anumite locuri, numite surse, în alte locuri, numite destinaţii. Pentru realizarea

acestui transport se folosesc o serie de trasee, numite rute de legătură. Unităţile

indivizibile ale cantităţii Q, care se deplasează de-a lungul rutelor între surse şi

destinaţii, se numesc unităţi de flux, iar ansamblul rutelor, surselor,

destinaţiilor şi, eventual, a altor puncte intermediare se numeşte reţea de

transport.

Situaţia de mai sus poate fi reprezentată geometric printr-un graf finit,

conex şi fără bucle.

Pentru ca o astfel de problemă să fie suficient de complexă pentru a

necesita un studiu matematic riguros, trebuie ca fiecare sursă să poată

aproviziona mai multe destinaţii şi orice destinaţie să poată fi aprovizionată de

mai multe surse.

Aprovizionarea destinaţiilor se poate face direct de la surse sau prin

intermediul altor puncte, numite puncte intermediare. În cazul cel mai general

pot exista de asemenea legături între surse şi/sau legături între destinaţii.

Aşa cum s-a văzut şi la problema de transport, situaţia de mai sus este

Page 68: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

68un cadru extrem de larg, care permite existenţa unui număr foarte mare de

tipuri de probleme posibile, diferite între ele prin informaţiile suplimentare pe

care le avem despre reţea şi prin obiectivele urmărite.

Una dintre acestea este problema determinării cantităţii maxime

(minime) care poate fi transportată de la surse la destinaţii, în situaţia în care

sursele dispun de cantităţi limitate (inferior sau superior), destinaţiile au un

necesar sau o putere de absorbţie limitată inferior sau superior iar pe fiecare

rută se poate transporta doar o cantitate cuprinsă între anumite limite. Pentru studiul matematic al acestei situaţii vom da definiţiile

matematice ale obiectelor implicate în problemă şi ipotezele modelului.

Definiţia 1: Se numeşte reţea de transport standard un graf finit,

simplu, conex, fără bucle G = (X,U) care are următoarele proprietăţi:

1. Există şi este unic s X∈ a.î. ≠+sU ∅, =−

sU ∅ (din care

doar "ies" arce), numit intrarea reţelei de transport;

2. Există şi este unic t X∈ a.î. +tU = ∅, −

tU ≠ ∅ (în care doar

"intră" arce) numit ieşirea reţelei de transport;

3. S-a definit o funcţie c: U → R+ care asociază fiecărui arc u

un număr strict pozitiv cu numit capacitatea arcului.

Observaţie: Este clar că exemplele obişnuite au doar rareori o singură sursă şi o

singură destinaţie. Totuşi, printr-o tehnică foarte simplă, orice reţea de

transport se poate aduce la forma standard:

1. Dacă sunt mai multe surse se introduce un nod suplimentar din

care "pleacă" câte un arc spre fiecare sursă (şi numai spre

acestea), iar capacităţile acestor arce vor fi egale cu

disponibilurile surselor corespunzătoare;

2. Dacă sunt mai multe destinaţii se introduce un nod suplimentar

spre care "pleacă" câte un arc din fiecare destinaţie (şi numai

din acestea), iar capacităţile acestor arce vor fi egale cu

necesarurile destinaţiilor corespunzătoare;

Definiţia 2: Se numeşte flux într-o reţea de transport R = (X,U) o

funcţie ϕ: U → R+ care are următoarele proprietăţile:

Page 69: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

69P1. 0 ≤ ϕu ≤ cu oricare ar fi u din U; valoarea ϕu se numeşte flux al

arcului u

P2. ∑∑−+ ∈∈

=ii Uu

u

Uu

u ϕϕ oricare ar fi i ≠ s,t (suma fluxurilor

arcelor care "intră" într-un nod i este egală cu suma fluxurilor

arcelor care "ies" din acest nod, cu excepţia nodului iniţial şi al

celui final.

Definiţia 3: Se numeşte valoare a fluxului suma fluxurilor arcelor care

"pleacă" din nodul iniţial s şi se notează cu Φ.

Observaţie: Se poate demonstra uşor că această valoare este egală şi cu

suma fluxurilor arcelor care "intră" în nodul final t. În concluzie avem:

Φ = ∑∑−+ ∈∈

=ts Uu

uUu

u ϕϕ

Valoarea fluxului reprezintă cantitatea care se transportă efectiv pe

reţea de la surse la destinaţii.

Definiţia 4: Se numeşte flux de valoare maximă într-o reţea un flux ϕ

în această reţea, cu proprietatea că, pentru orice alt flux ϕ' pe această reţea,

avem Φ ≥ Φ'.

Valoarea fluxului de valoare maximă reprezintă cea mai mare cantitate

care se poate transporta efectiv pe reţea, de la surse la destinaţii.

Economic vorbind, ne interesează, referitor la o reţea, răspunsurile la

următoarele întrebări:

1. Putem transporta întreaga cantitate necesară la destinaţii?

2. Dacă da, cum transportăm efectiv această cantitate de la surse la

destinaţii?

3. Dacă nu, din ce motiv nu putem realiza acest transport?

4. Cum putem înlătura cu eforturi minime acest motiv?

Răspunsul la primele două întrebări se poate afla prin găsirea fluxului

de valoare maximă şi compararea valorii lui cu suma necesarurilor

destinaţiilor. În plus, valoarea acestuia pe un arc reprezintă cantitatea care

trebuie transportată pe ruta respectivă, pentru a obţine această valoare a

fluxului.

Răspunsul la ultimele două întrebări porneşte de la observaţia că cea

Page 70: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

70mai mare cantitate care poate traversa reţeaua de la un cap la altul este egală cu

dimensiunea celui mai îngust loc de trecere prin reţea. Dacă vrem, deci, să

mărim fluxul va trebui să lărgim tocmai acest cel mai îngust loc de traversare al

reţelei.

Pentru formalizarea consideraţiilor de mai sus vom introduce noţiunea

de tăietură într-o reţea:

Definiţia 5: Dată o reţea de transport G(X,U) cu s = nodul iniţial şi t =

nodul final, se numeşte tăietură în reţea o partiţie a mulţimii vârfurilor reţelei

de transport, formată din două submulţimi V şi W (V∩W = ∅, V∪W = X)

astfel încât s ∈ V şi t ∈ W.

O tăietură poate fi privită, intuitiv, ca o secţiune a reţelei, care lasă

nodul iniţial cu o submulţime din noduri într-o parte, nodul final cu restul

nodurilor în cealaltă parte şi retează toate arcele care trec dintr-o parte în

cealaltă.

A cunoaşte o tăietură este echivalent cu a cunoaşte care sunt elementele

celor două mulţimi, V şi W, care formează partiţia.

Vom nota o tăietură prin T = (V,W), convenind ca mulţimea scrisă pe

prima poziţie să conţină nodul iniţial s al reţelei iar cea scrisă pe a doua, nodul

final t.

Definiţia 6: Se numeşte capacitate a unei tăieturi T = (V,W) într-o

reţea de transport G(X,U), notată C(T), suma capacităţilor tuturor arcelor care

au extremitatea iniţială în V şi cea finală în W.

C(T) = ( )∑

∈∈

=

WxVxx,xu

u

ji

ji

c

Pentru a nu exista nici o ambiguitate, insistăm asupra faptului că se vor

lua în considerare doar arcele care trec de la mulţimea ce conţine nodul iniţial

spre mulţimea care conţine nodul final, adică în sensul normal de transport

(surse → destinaţie).

Definiţia 7: Se numeşte tăietură de valoare minimă într-o reţea o

tăietură T în această reţea, cu proprietatea că, pentru orice altă tăietură T' în

această reţea, avem C(T) ≤ C(T').

Următoarele teoreme fac legătura matematică dintre fluxurile unei

Page 71: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

71reţele şi tăieturile sale:

Teorema 1. Dată o tăietură T = (V,W) şi un flux ϕ într-o reţea de

transport avem:

Φ = ( )∑

∈∈

=

WxVxx,xu

u

ji

ji

ϕ – ( )∑

∈∈

=

VxWxx,xu

u

ji

ji

ϕ

sau, altfel spus, valoarea unui flux oarecare este egală cu suma fluxurilor

arcelor care trec de la V la W din care se scade suma fluxurilor arcelor care trec

invers, de la W la V, oricare ar fi tăietura T = (V,W).

Demonstraţie: Avem succesiv:

Φ = ( )∑

∈=

Xxxs,u

u

jj

ϕ = ( )∑

∈=

Xxxs,u

u

jj

ϕ + ∑ ∑∑≠

∈ ∈∈

−+sxVx Uu

uUu

u

ii ixix

ϕϕ =

= ( )( )∑

∈∈

=

VxVxx,xu

uu

ji

ji

ϕϕ + ( )∑

∈∈

=

WxVxx,xu

u

ji

ji

ϕ - ( )∑

∈∈

=

VxWxx,xu

u

ji

ji

ϕ = ( )∑

∈∈

=

WxVxx,xu

u

ji

ji

ϕ – ( )∑

∈∈

=

VxWxx,xu

u

ji

ji

ϕ

Corolar: Într-o reţea de transport valoarea oricărui flux este mai mică

sau egală decât valoarea oricărei tăieturi.

Demonstraţie: Fie T o tăietură oarecare şi ϕ un flux oarecare. Avem

succesiv:

Φ = ( )∑

∈∈

=

WxVxx,xu

u

ji

ji

ϕ – ( )∑

∈∈

=

VxWxx,xu

u

ji

ji

ϕ ≤ ( )∑

∈∈

=

WxVxx,xu

u

ji

ji

ϕ ≤ ( )∑

∈∈

=

WxVxx,xu

u

ji

ji

c = C(T)

Corolar: Într-o reţea de transport valoarea fluxului maxim este mai

mică sau egală decât valoarea tăieturii minime.

Demonstraţia e evidentă. În plus, din cele de mai sus se vede că

egalitatea are loc numai dacă, pentru tăietura minimă, există un flux pentru care

toate arcele de la V la W sunt folosite la maxim (fluxul e egal cu capacitatea

arcelor) iar pe toate arcele de la W la V nu se transportă nimic.

Page 72: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

72

CAPITOLUL 5

GESTIUNEA STOCURILOR

5.1. INTRODUCERE ÎN PROBLEMATICA

STOCURILOR

5.1.1. STOCURILE ÎNTR-UN SISTEM DE PRODUCŢIE

În activitatea curentă a agenţilor economici apar probleme operative de

producţie, de planificare sau proiectare, care se cer rezolvate în aşa fel încât ele

să corespundă unui anumit scop, de exemplu: un program de producţie realizat

cu beneficii cât mai mari, cu cheltuieli cât mai mici sau într-un timp cât mai

scurt etc.

Pornind de la anumite date cunoscute, caracteristice procesului

economic, respectiv: beneficii unitare, coeficienţi tehnologici, disponibil de

resurse, cheltuieli unitare, consumuri specifice etc., se pot formula probleme

care să ţină seama de scopul agenţilor economici atunci când porneşte procesul

tehnologic.

Teoria stocurilor a apărut din necesitatea asigurării unei aprovizionări

ritmice şi cu cheltuieli minime a stocurilor de materii prime şi materiale în

procesul de producţie, sau a stocurilor de produse finite şi bunuri de larg

consum în activitatea de desfacere a mărfurilor.

STOCURILE reprezintă cantităţi de resurse materiale sau produse

(finite sau într-un stadiu oarecare de fabricaţie) acumulate în depozitele de

aprovizionare ale unităţilor economice într-un anumit volum şi o anumită

structură, pe o perioadă de timp determinată, în vederea unei utilizări

ulterioare.

Pe perioada respectivă resursele materiale sunt disponibile, dar nu sunt

utilizate, deci sunt neactive, scoase din circuitul economic, sau care prelungesc

acest circuit (aspect considerat negativ).

Stocul este o rezervă de material destinat să satisfacă cererea

beneficiarilor, aceştia identificându-se, după caz, fie unei clientele (stoc de

Page 73: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

73produse finite), fie unui serviciu de fabricaţie (stocuri de materii prime sau de

semifabricate), fie unui serviciu de întreţinere (articole de consum curent sau

piese de schimb), fie unui serviciu de după vânzare (piese detaşate).

Tratarea procesului de stocare ca proces “obiectiv necesar” se impune,

nu numai ca urmare a naturii economice a acestuia, ci şi pentru că realizarea lui

atrage cheltuieli apreciabile, concretizate în afectarea unor importante spaţii de

depozitare-păstrare, de utilaje pentru transport-depozitare, de fonduri financiare

etc.

Deşi diferite, procesele de stocare au totuşi o serie de caracteristici

comune, dintre care esenţială este acumularea unor bunuri în scopul satisfacerii

cererii viitoare. O problemă de teoria stocurilor există doar atunci când

cantitatea resurselor poate fi controlată şi există cel puţin o componentă a

costului total care scade pe măsură ce cantitatea stocată creşte.

Evoluţia nivelului stocului este interesantă din două puncte de vedere:

a) din punctul de vedere al producătorului, care este preocupat de

valoarea medie a nivelului stocului, deoarece această valoare permite

cunoaşterea imobilizării totale a stocului şi scopul producătorului va fi

reducerea imobilizării la valoarea sa minimă;

b) din punctul de vedere al beneficiarului, care dorind să fie

satisfăcut imediat, apreciază că trebuie să evite, în măsura posibilităţilor,

rupturile de stoc. Obiectivul beneficiarului va fi reducerea la minim a riscului

de ruptură de stocuri.

Aceste două puncte de vedere sunt contradictorii: riscurile de ruptură de

stocuri nu sunt reduse decât dacă imobilizările sunt foarte mari. Este deci

necesar să se stabilească un echilibru, obiectivul conducerii stocului constând

în căutarea acestui echilibru.

5.2. IMPORTANŢA STOCURILOR ÎN PROCESUL

DE PRODUCŢIE

Procesul de producţie propriu-zis este supus în mod aleator unei sume

de perturbaţii cum ar fi: instabilitatea personalului, prezenţa rebuturilor,

existenţa timpilor morţi datoraţi defectării utilajelor etc.

Page 74: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

74În felul acesta, producţia devine un rezultat aleator al unei combinaţii de

fenomene care au loc în conformitate cu legile probabilităţii. Nici un proces de

producţie nu e fiabil dacă este supus direct acţiunii perturbatoare a parametrilor

ce apar în mod aleator. Este deci absolut necesar de a elimina aceste influenţe

directe, adică să se deconecteze sistemul de la fluctuaţiile externe. Elementul

care asigură deconectarea şi care joacă rolul de tampon, de amortizor al

variaţiilor îl reprezintă stocurile.

Ca proces economic complex, gestiunea stocurilor are o sferă largă de

cuprindere, aceasta incluzând atât probleme de conducere, dimensionare, de

optimizare a amplasării stocurilor în teritoriu, de repartizare a lor pe deţinători,

de formare şi evidenţă a acestora, cât şi probleme de recepţie, de depozitare şi

păstrare, de urmărire şi control, de redistribuire şi mod de utilizare.

Cu toate că stocurile sunt considerate resurse neactive, este necesar, în

mod obiectiv, să se recurgă la constituirea de stocuri (de resurse materiale) bine

dimensionate, pentru a se asigura ritmicitatea producţiei materiale şi a

consumului.

Obiectivitatea formării de stocuri este justificată de acţiunea mai multor

factori care le condiţionează existenţa şi nivelul de formare, le stabilizează

funcţia şi scopul constituirii. Între aceştia amintim:

• contradicţia dintre specializarea producţiei şi caracterul nespecializat al

cererii;

• diferenţa spaţială dintre producţie şi consum;

• caracterul sezonier al producţiei sau al consumului; pentru majoritatea

produselor producţia este continuă, în timp ce consumul este sezonier;

la produsele agricole situaţia este inversă;

• periodicitatea producţiei şi consumului, a transportului;

• necesitatea condiţionării materialelor înaintea intrării lor în consum;

• punerea la adăpost faţă de dereglările în procesul de aprovizionare-

transport sau faţă de factorii de forţă majoră (stare de necesitate,

calamităţi naturale, seisme, caracterul deficitar al resurselor);

• necesitatea executării unor operaţii specifice pentru a înlesni procesul

de livrare sau consum al materialelor (recepţie, sortare, marcare,

Page 75: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

75ambalare – dezambalare, formarea loturilor de livrare, pregătirea

materialelor pentru consum ş.a.m.d.);

• necesitatea eficientizării procesului de transport etc.

Ţinând seama de această dublă influenţă a procesului de stocare, este

necesară găsirea de modele şi metode în vederea formării unor stocuri, care

prin volum şi structură, să asigure desfăşurarea normală a activităţii din

economie, dar în condiţiile unor stocări minim necesare şi a unor cheltuieli cât

mai mici.

Rolul determinant al stocurilor este evidenţiat de faptul că acestea

asigură certitudine, siguranţă şi garanţie în alimentarea continuă a producţiei şi

ritmicitatea desfacerii rezultatelor acesteia. Altfel spus, procesul de stocare

apare ca un regulator al ritmului aprovizionărilor cu cel al producţiei, iar stocul

reprezintă acel “tampon inevitabil” care asigură sincronizarea cererilor pentru

consum cu momentele de furnizare a resurselor materiale.

Alte motive pentru crearea stocurilor ar putea fi:

• investirea unei părţi din capital în stocuri pentru a reduce

cheltuielile de organizare;

• capitalul investit în stocuri e uşor de evidenţiat;

• asigurarea desfăşurării neîntrerupte a procesului de producţie;

• asigurarea unor comenzi de aprovizionare la nivelul consumului

imediat nu este întotdeauna posibilă şi eficientă din punct de

vedere economic;

• comenzile onorate de către furnizorii din alte localităţi nu pot fi

introduse imediat în procesul de fabricaţie;

• anticiparea unei creşteri a preţurilor (exceptând speculaţiile) etc.

5.3. TIPURI DE STOCURI

În cadrul gamei foarte largi de stocuri, se disting cu deosebire:

A. din punct de vedere al producţiei stocurile pot fi de trei feluri:

a) cel de materii prime şi materiale destinat consumului unităţilor de

producţie; este vorba de stocul de producţie, stoc în amonte;

Page 76: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

76 b) cel de produse finite, destinate livrării către beneficiari; este vorba

de stocul de desfacere, stoc în aval;

c) cel destinat asigurării funcţionării continue a unor maşini sau a

unor linii de fabricaţie; este vorba de stocul interoperaţional.

Ponderea cea mai mare o deţine stocul de producţie.

B. din punct de vedere al rolului jucat pe plan economic stocurile

pot fi:

a) stocuri cu rol de regulator; au ca rol reglarea fluxurilor de intrare şi

de ieşire ale produselor între două stadii succesive ale procesului

tehnologic;

b) stocuri cu rol strategic; sunt formate din piese sau din subansamble

folosite de serviciul de întreţinere , necesare înlocuirii rapide a lor în

caz de avarie la instalaţiile vitale ale întreprinderii;

c) stocuri speculative; sunt mai puţin legate de activitatea agenţilor

economici şi se referă în general la produse şi materiale rare, a căror

valoare nu este fluctuantă.

C. Din punct de vedere al modului de depozitare, care ţine seama şi

de unele proprietăţi fizico-chimice ale elementelor. Aşa avem: produse

periculoase, voluminoase, fragile etc.

D. Din punct de vedere al modului de gestionare avem:

a) stocuri cu gestiune normală;

b) stocuri cu “afectare directă” (comandate special pentru o anume

comandă);

c) stocuri “fără gestiune” (din magaziile intermediare, cu o supraveghe-

re globală);

d) stocuri de produse consumabile;

E. Din punct de vedere al caracteristicilor formării şi destinaţiei lor

stocurile pot fi:

a) stoc curent;

b) stoc de siguranţă;

c) stoc de pregătire sau de condiţionare;

d) stoc pentru transport intern;

e) stoc de iarnă;

Page 77: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

775.4. OBIECTIVE ŞI REZULTATE ALE GESTIUNII

ŞTIINŢIFICE A STOCURILOR

Având în vedere particularităţile diferitelor procese de stocare,

activitatea de conducere a acestora are totuşi unele trăsături comune; aşa de

pildă, orice proces de stocare necesită prevederea desfăşurării lui şi a

condiţiilor în care urmează a se efectua.

Formarea stocurilor este predeterminată de o anumită comandă, iar

desfăşurarea procesului de stocare poate avea loc în baza organizării sale

raţionale. Realizarea în condiţii de eficienţă economică maximă şi de utilitate

impune o coordonare permanentă a procesului de stocare şi un control

sistematic al modului de derulare al acestuia.

Obiectivele principale ale conducerii proceselor de stocare pot fi

sintetizate astfel:

• asigurarea unor stocuri minim necesare, asortate, care să asigure

desfăşurarea normală a activităţii economico-productive a agenţilor

economici prin alimentarea continuă a punctelor de consum şi în

condiţiile unor cheltuieli cât mai mici;

• prevenirea formării de stocuri supranormative, cu mişcare lentă sau

fără mişcare şi valorificarea operativă a celor existente (devenite

disponibile);

• asigurarea unor condiţii de depozitare-păstrare corespunzătoare în

vederea prevenirii degradãrilor de materiale existente în stocuri;

• folosirea unui sistem informaţional simplu, operativ, eficient, util şi

cuprinzător care să evidenţieze în orice moment starea procesului de

stocare;

• aplicarea unor metode eficiente de urmărire şi control care să permită

menţinerea stocului în anumite limite, să prevină imobilizările

neraţionale.

Soluţionarea oricărei probleme de stoc trebuie să conducă la obţinerea

răspunsului pentru următoarele două chestiuni (şi care constituie de fapt

obiectivele principale ale gestiunii):

1) determinarea mărimii optime a comenzii de aprovizionare;

Page 78: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

782) determinarea momentului (sau frecvenţei) optime de aprovizionare.

Desigur, pentru unele probleme particulare (de exemplu cele statice)

este suficient un singur răspuns şi anume la prima problemă.

Se realizează următoarele deziderate:

• reducerea frecvenţei fenomenului de rupere a stocului şi prin aceasta

satisfacerea în mai bune condiţii a cererii către beneficiari;

• reducerea cheltuielilor de depozitare;

• mărirea vitezei de rotaţie a fondurilor circulante ale agenţilor

economici;

• reducerea imobilizărilor de fonduri băneşti;

• reducerea unor riscuri inerente oricărui proces de stocare;

• obţinerea de economii la nivelul cheltuielilor generale ale

întreprinderii (de exemplu, la produsele cu o durată de depozitare a

stocului de materii prime mai mare decât durata ciclului de

fabricaţie);

• descoperirea şi valorificarea rezervelor interne etc.

5.5. ELEMENTELE PRINCIPALE ALE UNUI

PROCES DE STOCARE

Stabilirea politicii de gestiune a stocurilor este nemijlocit legată de

cunoaşterea elementelor prin care se caracterizează procesele de stocare şi care

determină nivelul de formare al stocurilor:

A. CEREREA DE CONSUM, element de bază în funcţie de care se

determină nivelul şi ritmul ieşirilor, volumul şi ritmul necesar pentru intrări şi

nivelul stocului. Cererea de consum reprezintă numărul de produse solicitate în

unitatea de timp. Acest număr nu coincide întotdeauna cu cantitatea vândută

deoarece unele cereri pot rămâne nesatisfăcute datorită deficitului în stoc sau

întârzierilor în livrare. Evident, dacă cererea poate fi satisfăcută în întregime,

ea reprezintă cantitatea vândută.

După natura ei, cererea poate fi:

a) determinată - cererea pentru o perioadă e cunoscută şi poate fi

constantă pentru toate perioadele sau variabilă pentru diferite perioade;

Page 79: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

79 b) probabilistă - cererea e de mărime sau frecvenţă necunoscute, dar

previzibile şi reprezentată printr-o repartiţie de probabilitate dată.

Caracteristicile şi tipul cererii se stabilesc pe bază de observaţii, prin studii

asupra perioadelor trecute. Stabilirea caracteristicilor şi tipului de cerere pe

baza observaţiilor, prin studii asupra perioadelor trecute, nu este satisfăcătoare,

din cel puţin două motive:

- presupunând că şi în viitor cererea ar urma aceeaşi repartiţie de

probabilitate ca în perioadele trecute, parametrii ei nu se menţin

întotdeauna;

- se exclude posibilitatea influenţei unor fluctuaţii sezoniere asupra

cererii.

Cererea probabilistă poate fi stabilă din punct de vedere statistic sau

nestabilă din punct de vedere statistic (sezonieră).

c) necunoscută - cererea pentru care nu dispunem nici de datele

necesare stabilirii unei repartiţii de probabilitate (este cazul, de exemplu, al

produselor noi).

B.COSTURILE reprezintă cheltuielile ce trebuie efectuate pentru

derularea procesului de aprovizionare-stocare (respectiv cele cu comandarea,

contractarea, transportul, depozitarea, stocarea materialelor etc.).

În calculul stocurilor se au în vedere:

a) Costurile de stocare care cuprind suma cheltuielilor ce trebuie

efectuate pe timpul staţionării resurselor materiale în stoc şi anume:

- cheltuieli cu primirea-recepţia;

- cheltuieli de transport intern;

- cheltuieli de manipulare, care cuprind costul forţei de muncă nece-

sare pentru deplasarea stocurilor, a macaralelor, cărucioarelor,

elevatoarelor şi a celorlalte utilaje necesare în acest scop;

- cheltuieli de depozitare propriu-zisă: chiria spaţiului de depozitare

sau amortizările, în cazul unui spaţiu propriu;

- cheltuieli de conservare;

- cheltuieli cu paza;

- cheltuieli de evidenţă care apar datorită faptului că stocurile sunt

practic inutilizabile fără o evidenţă bine pusă la punct, care să ne

spună dacă produsul necesar se găseşte sau nu în stoc;

Page 80: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

80 - cheltuieli administrative;

- impozite şi asigurări;

- cheltuieli datorate deprecierii, deteriorării, uzurii morale care sunt

caracteristice pentru produsele “la modă” sau pentru cele care se modifică

chimic în timpul stocării (alimente, de exemplu); la care se adaugă costul

capitalului investit; acest cost reprezintă un anumit procent din capitalul

investit, însă determinarea cifrei exacte necesită o analiză atentă. Procentul

exact depinde, în primul rând de ce alte utilizări ce se pot găsi pentru capitalul

”imobilizat” în stocuri.

Capitalul investit în stoc este neproductiv, costul său este dat de

mărimea beneficiului ce s-ar putea obţine dacă acest capital ar fi fost investit

într-un mod productiv sau de dobânda ce trebuie plătită dacă ar fi fost

împrumutat.

Costul stocării depinde de mărimea stocului şi durata stocării. Aceste

cheltuieli se pot grupa după cum urmează:

- cheltuieli constante pentru durata totală a procesului de gestiune

(amortismentul clădirii, cheltuieli pentru întreţinerea depozitului,

iluminat, încălzit etc.;

- cheltuieli variabile proporţionale cu cantitatea depozitată şi cu durata

depozitării (deci cu stocul mediu), exprimate prin dobânda pentru

fondurile imobilizate în stoc;

- cheltuieli variabile neproporţionale cu mărimea lotului (salarii ale

forţei de muncă, pierderi datorate uzurii reale şi demodării, cheltuieli

pentru chirie etc.) şi cu durata de stocare.

La cheltuielile de existenţă a stocului în depozit, prezentate mai sus, se

pot adăuga şi cheltuielile pentru surplus de stoc (excedent), care intervin atunci

când, după satisfacerea cererii, rămâne o anumită cantitate nevândută (de

exemplu, desfacerea unor articole de sezon). În modelele dinamice unde se

lansează mai multe comenzi în timpul unui sezon, penalizarea pentru surplus se

ataşează numai ultimei comenzi nedesfăcute complet.

b) Costul de penurie sau costul ruperii stocului este definit atunci

când volumul cererii depăşeşte stocul existent. Referitor la acest stoc, există

trei situaţii. Prima apare atunci când stocul (de materii prime sau

Page 81: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

81semifabricate) este nul la primirea comenzii şi firma se reaprovizionează de

urgenţă pentru a produce cantităţile solicitate.

Componentele cheltuielilor de penurie sunt, în acest caz, următoarele:

- cheltuieli suplimentare pentru satisfacerea cererii în condiţii

neobişnuite;

- penalizări primite de către firmă din partea beneficiarului, dacă

termenele de livrare prevăzute în contracte nu se respectă;

- cheltuieli suplimentare pentru manipulare, ambalare, expediţie etc.

A doua situaţie are loc atunci când desfacerea nu se poate realiza

(pierderea beneficiarului) din cauza nelivrării imediate a unui articol. Estimarea

cheltuielilor de penurie este aici destul de dificilă şi adesea imposibilă.

A treia, şi cea mai dificilă, apare atunci când firma este în lipsă de

materii prime (sau piese de schimb) ce afectează întregul proces de producţie,

cu toate consecinţele sale, reflectate în penalizări şi uneori chiar în costul

producţiei care ar fi rezultat în timpul stagnării.

c) Cheltuieli datorate variaţiilor ritmului de producţie. Din această

categorie fac parte:

- cheltuielile fixe legate de creşterea ritmului de producţie, de la

nivelul zero, la un anumit nivel dat. Dacă este vorba de achiziţii,

aici vor intra cheltuielile administrative legate de lansarea

comenzilor;

- cheltuieli de lansare care includ toate cheltuielile care se fac cu:

întocmirea comenzii, trimiterea acesteia la furnizor, pregătirea

livrării unei partizi de materiale, cheltuieli de transport a lotului,

deplasării la furnizori, telefoane, poştă etc.; în general aceste

cheltuieli sunt fixe pentru o comandă.

- cheltuieli legate de angajarea şi instruirea unui personal

suplimentar sau de concediere a unor salariaţi.

d) Preţul de achiziţie sau cheltuielile directe de producţie. Preţurile

pe unitatea de produs pot depinde de cantitatea achiziţionată, dacă se acordă

anumite reduceri de preţ în funcţie de mărimea comenzii. Cheltuielile de

producţie pe unitatea de produs pot fi şi ele mai scăzute, datorită unei eficienţe

superioare a muncitorilor şi maşinilor într-o producţie de serie mare.

Page 82: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

82C) CANTITATEA DE REAPROVIZIONAT reprezintă necesarul de

aprovizionat care se stabileşte în funcţie de necesarul pentru consum pentru

întreaga perioadă de gestiune.

Cantitatea de aprovizionat (cantitatea intrată în stoc) poate fi din

producţia proprie sau obţinută prin alte mijloace şi se poate referii la fiecare

resursă separat sau la ansamblul lor.

Această cantitate e limitată de capacităţile de depozitare.

D) LOTUL reprezintă cantitatea cu care se face aprovizionarea la

anumite intervale în cadrul perioadei de gestiune stabilită (trimestru, semestru,

an) şi care este în funcţie de caracterul cererii.

E) PARAMETRII TEMPORALI sunt specifici dinamicii proceselor de

stocare. Aceştia sunt:

a) perioada de gestiune - determină şi orizontul procesului de

gestiune. De obicei se consideră a fi un an;

b) intervalul de timp între două aprovizionări consecutive;

c) durata de reaprovizionare - reprezintă timpul ce se scurge din

momentul calendaristic la care s-a emis comanda de reaprovizionare până la

sosirea în întreprindere a cantităţii de reaprovizionat;

d) momentul calendaristic la care se emit comenzile de reaprovi-

zionare. (data de reaprovizionare);

e) coeficientul de actualizare.

Dacă în modelele probabiliste folosirea tuturor parametrilor temporali

este obligatorie, unii dintre ei (de exemplu, durata de reaprovizionare sau data

de reaprovizionare) nu prezintă nici o importanţă în modelele deterministe. De

asemenea durata de aprovizionare poate fi o constantă sau o variabilă aleatoare,

determinând în baza legăturii pe care o are cu volumul şi frecvenţa cererii,

cheltuielile de penurie.

F) GRADUL DE PRELUCRARE A PRODUSELOR. Cu cât

bunurile păstrate în stoc sunt într-un stadiu mai avansat de finisare, cu atât mai

repede pot fi satisfăcute comenzile, dar cu atât mai mari vor fi cheltuielile de

stocare. Cu cât produsele sunt mai puţin finisate (cazul limită îl constituie

materia primă), cu atât mai mici sunt cheltuielile de stocare, dar timpul necesar

pentru livrarea unei comenzi este mai mare. În plus, erorile de previziune tind

să crească pe măsură ce gradul de prelucrare a produselor este mai avansat;

Page 83: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

83pentru a reduce influenţa factorilor nefavorabili este necesar de aceea să

crească şi stocul tampon. Numărul tipurilor de produse ce trebuie stocate creşte

rapid, pe măsură ce gradul de finisare este mai avansat.

Variabilele care influenţează stocurile sunt de două feluri:

− variabile controlabile: cantitatea intrată în stoc, frecvenţa sau

momentul achiziţiilor, gradul de prelucrare a produselor;

− variabile necontrolabile: costurile, cererea, durata de

reaprovizionare, cantitatea livrată.

5.6. MODELE DE GESTIUNE A STOCURILOR

5.6.1. MODELUL WILLSON

Ipotezele modelului:

1. cerere constantă în timp (cereri egale pe intervale egale de timp);

2. perioadă fixă de aprovizionare (aprovizionarea se face la intervale

egale de timp);

3. cantităţi egale de aprovizionare;

4. aprovizionarea se face în momentul în care stocul devine 0 (nu se

admit intervale de timp pe care stocul să fie 0);

5. aprovizionarea se face instantaneu (durata dintre momentul lansării

comenzii şi intrarea mărfii în depozit este zero)

Datele modelului:

− T = perioada totală de timp pe care se studiază stocarea;

− N = cererea totală pe perioada T;

− cs = costul unitar de stocare (costul stocării unei unităţi de marfă pe

o unitate de timp)

− cl = costul lansării unei comenzi

Variabilele modelului:

− τ = intervalul dintre două aprovizionări succesive;

− n = cantitatea comandată şi adusă la fiecare aprovizionare;

− s(t) = nivelul stocului din depozit la momentul t

Page 84: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

84Obiectivul modelului

− minimizarea costului total de aprovizionare CT

Relaţiile dintre mărimile modelului

Ipoteza 1 ⇒ TNn

= cererea pe unitatea de timp ⇒ s(t) = liniară

Ipoteza 2 ⇒ τ acelaşi între oricare două comenzi

Ipoteza 3 ⇒ n acelaşi pentru toate comenzile

Ipoteza 4 ⇒ s(t) ≥ 0 pentru orice t

Ipoteza 5 ⇒ la sfârşitul unei perioade τ s(t) are un salt de la 0 la n

Rezolvare

Situaţia de mai sus poate fi vizualizată prin trasarea graficului variaţiei

stocului în timp:

În figura 1 a fost reprezentată evoluţia stocului, dacă toată cantitatea

necesară ar fi adusă la începutul perioadei (graficul de deasupra) sau dacă s-ar

aduce câte n unităţi din τ în τ unităţi de timp (graficul de jos). Se observă că

evoluţia este periodică, de perioadă τ. În concluzie vom calcula costul total cu

aprovizionarea calculând costul pe o perioadă şi înmulţind apoi cu numărul de

perioade:

− pe o perioadă avem o lansare, deci un cost cl şi cheltuieli de stocare

pe o durată τ, stocul variind liniar de la n la 0. Din acest motiv

N

n

τ T

s(t)

Figura 1

Page 85: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

85

costul cu stocarea va fi: cs · 2n · τ (În general costul de stocare se

calculează cu formula ( )∫⋅τ0

dttscS ).

− numărul de perioade este egal cu τT

nN

=

− costul total cu aprovizionarea va fi CT = (cl + cs · 2n · τ) ·

nN

În concluzie rezolvarea problemei se reduce la a găsi minimul funcţiei:

CT(n,τ) = (cl + cs · 2n · τ) ·

nN

dacă variabilele n şi τ verifică τT

nN

= şi n şi τ sunt strict pozitive şi n ∈ (0,N],

τ ∈ (0,T]. Pentru rezolvare vom scoate pe τ în funcţie de n din relaţia τT

nN

= :

τ = n · NT

şi înlocuim în expresia costului total cu aprovizionarea obţinând:

CT(n) = (cl + cs · 2n · n ·

NT ) ·

nN = n

Tcn

Nc Sl ⋅

⋅+⋅⋅

21

Cei doi termeni în care a fost separat costul total reprezintă cheltuielile

totale cu lansările respectiv cheltuielile totale cu stocarea, observându-se că

primele sunt descrescătoare în n iar celelalte liniar crescătoare. În concluzie,

dacă vom aduce toată cantitatea într-o singură tranşă vor fi foarte mari costurile

de stocare iar dacă vom aduce de foarte multe ori câte foarte puţin vor fi foarte

mari cheltuielile cu lansarea. Soluţia optimă n* va fi deci foarte probabil

undeva între 0 şi N. Pentru a o determina facem tabloul de variaţie al costului

total în funcţie de n pe intervalul (0,N].

Calculăm derivata costului total:

2C 2T

Tcn

Nc Sl ⋅+

⋅−=′ care are zerourile: n1,2 =

TcNc

S

l

⋅⋅⋅

±2

n1 = ( ]NTcNc

S

l ,02

∉⋅⋅⋅

Page 86: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

86

n2 = ( ]2

2,0

2 TNcc

NTcNc

NTcNc

S

l

S

l

S

l ⋅≤⇔≤

⋅⋅⋅

⇔∈⋅⋅⋅

În concluzie:

a) dacă 2

TNcc

S

l ⋅≥ adică dacă costul de lansare este de mai mult de

2TN ⋅ ori mai mare decât costul de stocare tabloul de variaţie va fi:

n 0 N

CT’(n) - - - - - -

CT(n) 2NTcc Sl

⋅⋅+

şi deci se va face o singură aprovizionare la începutul perioadei T în

care se va aduce toată cantitatea N, costul total fiind de 2NTcc Sl

⋅⋅+ .

b) dacă 2

TNcc

S

l ⋅< obţinem tabloul:

n 0 TcNc

S

l

⋅⋅⋅2

N

CT’(n) - - - - - 0 + + + +

CT(n) NTcc Sl ⋅⋅⋅⋅2

în concluzie se vor face l

S

cNTc

nN

⋅⋅⋅

=2

aprovizionări la intervale de

topt = NcTc

S

l

⋅⋅⋅2

în care se va aduce câte nopt = TcNc

S

l

⋅⋅⋅2

, variantă

prin care se va face aprovizionarea cu costul total minim posibil:

CT = NTcc Sl ⋅⋅⋅⋅2

Obs. Dacă nu se acceptă decât soluţii în numere întregi pentru n sau t se

va calcula costul pentru:

Page 87: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

87

n =

⋅⋅⋅TcNc

S

l2 şi n =

⋅⋅⋅TcNc

S

l2+ 1

t =

⋅⋅⋅NcTc

S

l2 şi t =

⋅⋅⋅NcTc

S

l2 + 1

alegându-se dintre toate variantele cea mai ieftină. ( [x] = partea întreagă lui x).

5.6.2. MODELUL WILLSON CU RUPTURĂ DE STOC

Ipotezele modelului:

1. cerere constantă în timp (cereri egale pe intervale egale de timp);

2. perioadă fixă de aprovizionare (aprovizionarea se face la intervale

egale de timp);

3. cantităţi egale de aprovizionare;

4. aprovizionarea nu se face în momentul în care stocul devine 0,

admiţându-se scurgerea unui interval de timp în care depozitul va fi

gol şi cererea nu va fi satisfăcută;

5. aprovizionarea se face instantaneu (durata dintre momentul lansării

comenzii şi intrarea mărfii în depozit este zero)

Datele modelului:

− T = perioada totală de timp pe care se studiază stocarea;

− N = cererea totală pe perioada T;

− cs = costul unitar de stocare (costul stocării unei unităţi de marfă pe

o unitate de timp)

− cl = costul lansării unei comenzi

− cp = costul unitar de penalizare (pierderea cauzată de nesatisfacerea

unei unităţi din cerere timp de o zi)

Variabilele modelului:

− τ = intervalul dintre două aprovizionări succesive;

− τ1 = durata de timp în care în depozit se află marfă;

− τ2 = durata de timp în care în depozitul este gol;

− n = cantitatea comandată şi adusă la fiecare aprovizionare;

Page 88: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

88− s = cantitatea maximă de marfă aflată în depozit;

− s(t) = nivelul stocului din depozit la momentul t

Obiectivul modelului

− minimizarea costului total de aprovizionare CT

Relaţiile dintre mărimile modelului

Ipoteza 1 ⇒ TNn

1

==ττs = cererea pe unitatea de timp ⇒ s(t) =

liniară

Ipoteza 2 ⇒ τ, τ1, τ2, aceiaşi între oricare două comenzi şi τ = τ1 + τ2.

Ipoteza 3 ⇒ n, s aceiaşi pentru toate comenzile.

Ipoteza 4 ⇒ pe intervalul τ2 depozitul este gol (deci stocul zero);

totuşi graficul a fost desenat în prelungirea perioadei τ1

(deci cu valori negative) deoarece în această perioadă se

presupune că cererea este aceeaşi ca în perioadele în care

există marfă în depozit, nivelul cererii nesatisfăcute fiind

privit ca stocul care s-ar fi consumat dacă aveam marfă

în depozit.

Ipoteza 5 ⇒ la sfârşitul unei perioade τ este livrată instantaneu

cantitatea n – s în contul cererii nesatisfăcute în perioada

τ2 şi introdusă în depozit cantitatea s.

N

s

τ

T

s(t)

Figura 2

τ2

τ1

n

Page 89: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

89Rezolvare

Situaţia de mai sus poate fi vizualizată prin trasarea graficului variaţiei

stocului în timp din figura 2:

În figură a fost reprezentată evoluţia stocului dacă toată cantitatea

necesară ar fi adusă la începutul perioadei (graficul de deasupra) sau dacă s-ar

aduce câte n unităţi din τ în τ unităţi de timp (graficul de jos). Se observă că

evoluţia este periodică, de perioadă τ. În concluzie vom calcula costul total cu

aprovizionarea calculând costul pe o perioadă şi înmulţind apoi cu numărul de

perioade:

− pe o perioadă avem o lansare, deci un cost cl, cheltuieli de stocare

pe o durată τ1, stocul variind liniar de la s la 0 şi cheltuieli de

penalizare, cererea neonorată variind liniar de la 0 la n - s. Din acest

motiv costul cu stocarea va fi: cs · 2s · τ1 iar costul de penalizare va

fi: cp · 2

s-n · τ2 (În general costul de penalizare, ca şi cel de stocare,

se calculează cu formula ( )∫ −⋅τ0

dttsc p ).

− numărul de perioade este egal cu τT

nN

=

− costul total cu aprovizionarea va fi CT = (cl + cs · 2s · τ1 + cp ·

2s-n ·

τ2 ) · nN

În concluzie rezolvarea problemei se reduce la a găsi minimul funcţiei:

CT(n,s,τ,τ1,τ2) = (cl + cs · 2s · τ1 + cp ·

2s-n · τ2 ) ·

nN

unde variabilele n, s, τ, τ1 şi τ2 verifică următoarele condiţii şi relaţii:

Condiţii Relaţii

1. 0 < n ≤ N

2. 0 ≤ s ≤ n

3. 0 < τ ≤ T

4. 0 ≤ τ1 ≤ τ

5. 0 ≤ τ2 ≤ τ

1. τ1 + τ2 = τ

2. TNn

3. 21

sττ

sn −=

Page 90: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

90În concluzie, din cele 5 variabile doar două sunt independente şi din

cele trei relaţii vom scoate trei dintre ele ca fiind variabile secundare în funcţie

de celelalte două ca fiind principale. Fie cele două variabile principale n şi s. În

acest caz avem rezolvând sistemul de relaţii:

τ1 = NTs ⋅

τ2 = ( )NTs-n ⋅

τ = NTn ⋅

Acestea se înlocuiesc în expresia costului total şi obţinem în final o

problemă de minim a unei cu două variabile:

sn,min CT(n,s) = (cl + cs ·

2s ·

NTs ⋅ + cp ·

2s-n · ( )

NTs-n ⋅ ) ·

nN

unde 0 < n ≤ N şi 0 ≤ s ≤ n.

Pentru rezolvare vom calcula derivatele parţiale ale funcţiei CT(n,s) pe

domeniul D = {(n,s)/ 0 < n ≤ N şi 0 ≤ s ≤ n}. Obţinem:

( )n

sn,CT

∂∂

= cp⋅(n – s)⋅nT - [cl +

21

⋅cs⋅s2⋅NT +

21

⋅cp⋅(n – s)2⋅NT ]⋅

2nN

( )s

sn,CT

∂∂

= [(cs + cp)⋅s - cp⋅n]⋅nT

Rezolvăm sistemul:

( )

( )

=∂

=∂

0s

sn,C

0n

sn,C

T

T

scoţându-l pe s în funcţie de n din a

doua ecuaţie (s = ps

p

ccc+

⋅n) şi înlocuindu-l în prima obţinând: 21

⋅ps

ps

cccc+

⋅T -

cl⋅ 2nN = 0 de unde rezultă n2 =

( )TN

ccccc2

ps

psl ⋅+⋅⋅

şi în final unica soluţie

pozitivă: n0 = p

ps

s

l

ccc

TcNc2 +

⋅⋅⋅⋅

şi s0 = ps

p

s

l

ccc

TcNc2

+⋅

⋅⋅⋅

. Această

Page 91: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

91soluţie este soluţia optimă doar dacă 0 < n0 ≤ N şi sunt îndeplinite condiţiile de

ordinul 2:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

>

∂∂∂

−∂

∂⋅

>∂

∂>

0s,nsn

sn,Cs,n

ssn,C

s,nn

sn,C

0s,ns

sn,C,0s,n

nsn,C

2

00T

2

002T

2

002T

2

002T

2

002T

2

Evident n0 > 0 şi avem:

( ) ( )002T

2

s,ns

sn,C∂

∂= (cs + cp)⋅

0nT > 0

( ) ( )002T

2

s,nn

sn,C∂

∂= ( )

30

20psl n

NNTsccc2 ⋅

⋅⋅++ > 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

00T

2

002T

2

002T

2

s,nsn

sn,Cs,n

ssn,C

s,nn

sn,C

∂∂∂

−∂

∂⋅

∂=

( )40

psl

n

NTccc2 ⋅⋅+ > 0

n0 ≤ N este echivalentă cu: ps

p

s

l

ccc

cc2

+⋅

⋅≤ N⋅T.

În concluzie, dacă ps

p

s

l

ccc

cc2

+⋅

⋅≤ N⋅T atunci problema admite soluţia

optimă:

n0 = p

ps

s

l

ccc

TcNc2 +

⋅⋅⋅⋅

s0 = ps

p

s

l

ccc

TcNc2

+⋅

⋅⋅⋅

τ1 = ps

p

s

l

ccc

NcTc2

+⋅

⋅⋅⋅

τ2 =

+−

+⋅

⋅⋅⋅

ps

p

p

ps

s

l

ccc

ccc

NcTc2

τ = p

ps

s

l

ccc

NcTc2 +

⋅⋅

⋅⋅

Page 92: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

92

CT maxim = CT(n0,s0) = NTcc Sl ⋅⋅⋅⋅2 ⋅ps

p

ccc+

Expresia ρ = ps

p

ccc+

măsoară intensitatea lipsei de stoc şi din

expresia lui CT maxim se observă că admiterea lipsei de stoc duce la micşorarea

costului total cu stocarea, explicaţia constând în micşorarea numărului de

lansări pentru că, deşi cp este mult mai mare decât cs, cl este şi mai mare decât

cp. Dacă cp este mult mai mare decât cs ( 0cc

p

s ≈ ) atunci se obţin aceleaşi soluţii

ca în modelul Willson fără ruptură de stoc.

Dacă ps

p

s

l

ccc

cc2

+⋅

⋅> N⋅T atunci se va face o singură lansare (deci n0 =

N) şi vom avea s0 = n0, τ1 = τ = T şi τ0 = 0 iar CT = cl + cs⋅2N

⋅T exact ca şi în

modelul Willson fără ruptură de stoc.

5.6.3. GENERALIZĂRI ALE MODELULUI WILLSON

În practică ipoteza că cs (costul unitar) este acelaşi, indiferent de

cantitatea stocată, nu este în general îndeplinită decât pentru variaţii mici ale

stocului sau ale duratei de stocare, fiind mult mai realistă ipoteza că acesta

depinde (invers proporţional) de cantitatea stocată s, de durata de stocare

(direct sau invers proporţional) etc, dependenţele fiind exprimate prin funcţii

mai mult sau mai puţin complicate. Aceleaşi consideraţii sunt valabile şi pentru

cp (dependent de mărimea cererii neonorate sau mărimea întârzierilor). În

concluzie putem imagina modele în care: cs = f(s,ts) şi/sau cp = f(p,tp) unde am

notat cu:

− s = cantitatea stocată

− ts = durata de stocare

− p = cererea neonorată

− tp = durata întârzierii onorării cererii

Page 93: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

93sau şi mai complicate, neexistând evident limite în acest sens. Motivele care ne

opreşte totuşi în a discuta teoretic aceste modele sunt următoarele:

− orice complicare a modelelor anterioare duce la ecuaţii matematice

complicate, ale căror soluţii nu mai pot fi scrise cu operatorii

matematici obişnuiţi (de exemplu, chiar dacă am presupune că unul

singur dintre cs sau cp este funcţie liniară în variabilele expuse mai

sus s-ar ajunge în rezolvare la ecuaţii de gradul patru ale căror soluţii

încap pe o foaie întreagă (cititorul poate încerca singur analiza

acestor variante); ele ar fi practic de nefolosit şi oricum scopul

studierii gestiunii stocurilor nu este găsirea unor modele cât mai

impunătoare;

− aceste modele mai complicate pot apărea şi pot fi aplicate evident în

practică, existând algoritmi matematici de rezolvare (cel puţin

aproximativi) pentru orice model matematic, dar acesta ar fi doar un

pur calcul matematic;

− modelele mai complicate nu ar adăuga nimic ideii teoretice,

desprinse din modelul Willson clasic, că în orice model de stocare

există întotdeauna două tipuri de costuri, indiferent de variabilele de

decizie şi anume: unele direct proporţionale şi celelalte invers

proporţionale cu variabilele de decizie, fapt care face ca soluţia să fie

una de mijloc, şi nu o valoare extremă evidentă şi deci banală.

− în foarte multe cazuri un model de stocare presupune şi multe alte

variabile, care sunt de obicei aleatoare, caz în care devine

nerealizabilă dorinţa de a găsi o soluţie matematică simplă. În aceste

cazuri sunt chemate spre rezolvare alte ramuri ale analizei

matematice şi economice, cum ar fi, de exemplu, simularea,

algoritmii genetici etc.

5.6.4. MODEL DE PRODUCŢIE – STOCARE

Presupunem că o unitate economică fabrică un singur tip de produse cu

un ritm al producţiei de β produse în unitatea de timp pentru care are o cerere

de N bucăţi într-o perioadă T. Presupunem că β⋅T > N (adică dacă

întreprinderea ar lucra non-stop întreaga perioadă T ar produce mai mult decât

Page 94: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

94ceea ce poate efectiv să vândă) motiv pentru care perioadele de producţie sunt

alternate cu perioade de oprire a producţiei astfel încât producţia totală să

devină egală cu cererea totală N. Pentru simplificarea calculelor se va

presupune că cererea este constantă în timp, adică în fiecare unitate de timp

este egală cu α = TN . Deoarece β > α este evident că pe parcursul perioadelor

de producţie se va acumula o cantitate de produse care trebuie stocate într-un

depozit, acest stoc epuizându-se în perioadele în care producţia este oprită. De

asemenea este evident că oprirea şi repornirea producţiei implică o serie de

costuri. Pentru formalizarea modelului vom face şi următoarele ipoteze:

1. duratele ciclurilor de producţie sunt egale între ele; 2. intervalele de staţionare sunt egale între ele; 3. costul stocării este direct proporţional cu cantitatea stocată şi durata

stocării cu un factor de proporţionalitate cs (costul unitar de stocare)

4. costul unei secvenţe oprire-pornire a producţiei este acelaşi pentru toate secvenţele;

5. se admite ruptura de stoc; 6. valoarea penalizării este direct proporţională cu mărimea cererii

neonorate şi cu durata întârzierii cu un factor de proporţionalitate cp (costul unitar de penalizare)

Se cere în aceste condiţii găsirea acelor intervale de producţie şi

staţionare care duc la un cost total pe unitatea de timp minim.

Situaţia de mai sus poate fi vizualizată foarte bine desenând graficul

evoluţiei stocului în timp în figura 3.

Figura 3

N

T

s(t)Ciclu de producţie

s n

t2t1 t3t4 Formarea stocului

Consumarea stocului

Acumulare de comenzineonorate

Lich

idar

ea

defic

itulu

i în

par

alel

cu

satis

face

rea

cere

rii c

uren

te

Page 95: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

95În acest desen am notat cu:

− n = cantitatea produsă peste cerere într-un ciclu de producţie;

− s = cantitatea maximă acumulată în depozit;

− t1 = intervalul de timp în care se formează stocul;

− t2 = intervalul de timp în care se epuizează stocul ca urmare a opririi

producţiei;

− t3 = intervalul de timp în care se acumulează comenzi neonorate ca

urmare a faptului că nu se produce şi s-a epuizat stocul;

− t4 = intervalul de timp în care este lichidat deficitului în paralel cu

satisfacerea cererii curente.

Se observă că avem de-a face cu un fenomen ciclic în care o perioadă

poate fi aleasă ca intervalul dintre două porniri succesive ale producţiei. Într-o

perioadă costul va fi format din:

− costul unei secvenţe lansare-oprire a producţiei cl;

− cheltuieli de stocare pe intervalele t1 şi t2, cs · 2s · (t1 + t2);

− cheltuieli de penalizare pe intervalele t3 şi t4: cp · 2

s-n · (t3 + t4)

Costul total unitar va fi:

CT(n,s,t1,t2,t3,t4) = ( ) ( )

4321

43p21sl

tttt

tt2

snctt2scc

+++

+−

+++

şi vom avea de rezolvat problema de minim cu legături:

4321 t,t,t,ts,n,min

( ) ( )

4321

43p21sl

tttt

tt2

snctt2scc

+++

+−

+++

≤≤<≤<

==−

−==−

4i1,t0ns0

ts

tsn

ts

tsn

i

23

14

α

αβ

Pentru rezolvare vom scoatem din sistemul de restricţii patru variabile

în funcţie de celelalte, de exemplu variabilele n, s, t1 şi t4 în funcţie de t2 şi t3 şi

le vom înlocui în CT.

Page 96: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

96Avem:

− s = t2 ⋅ α

− n = (t2 + t3)⋅ α

− t1 = 2tαβ

α−

− t4 = 3tαβ

α−

şi înlocuind în funcţia obiectiv obţinem:

CT(t2,t3) = ( ) ( )

( )32

23p

22sl

tt2tctcc2

+

++−

βαβαβ

Se calculează ca şi în modelul Willson cu ruptură de stoc derivatele

parţiale în t2 şi t3 şi din condiţia ca ele să se anuleze în punctul de minim

obţinem un sistem în t2 şi t3 care are soluţia:

t2 = ( )

ps

p

s

l

ccc

cc2

+⋅

−αβ

αβ , t3 =

( )ps

s

p

l

ccc

cc2

+⋅

−αβ

αβ

şi în continuare:

t1 = ( ) ps

s

p

l

ccc

cc2

+⋅

−αββα

, t4 = ( ) ps

p

s

l

ccc

cc2

+⋅

−αββα

s = ( )

ps

p

s

l

ccc

cc2

+⋅

−β

αβα , n =

( )( )

+⋅

+−

p

s

s

p

ps

l

cc

cc

ccc2

βαβα

CTminim = ps

pps cc

c1cc2

+

−⋅⋅⋅

βαα

Soluţia de mai sus verifică evident şi celelalte restricţii, deci este unica

soluţie optimă.

Observaţie Dacă ritmul producţiei este mult mai mare decât intensitatea

cererii (β mult mai mare decât α sau echivalent spus 0≅βα ) se obţine soluţia

din modelul Willson cu ruptură de stoc.

Page 97: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

97

5.6.5. MODEL DE GESTIUNE CU PREŢURI DE ACHIZIŢIE

SAU CU CHELTUIELI DE PRODUCŢIE VARIABILE

În modelul anterior, cu excepţia cheltuielilor de lansare (presupuse

fixe), cheltuielile de producţie erau ignorate. Acest lucru este valabil dacă

cheltuielile de producţie pe unitatea de produs nu variază cu volumul

producţiei iar cererea este satisfăcută în întregime (sau, în modelele de

aprovizionare, cheltuielile de aprovizionare pe unitatea de produs nu variază cu

volumul comenzii).

Cheltuielile de producţie depind de volumul producţiei, notat cu q, şi

anume printr-o funcţie nedescrescătoare f(q) care se anulează în origine şi are

un salt egal cu cl în aceasta, pentru cheltuieli de lansare cl ≠ 0 . Uneori funcţia

f(q) are şi alte salturi care trebuie luate în consideraţie când se determină

cantitatea optimă q ce trebuie achiziţionată (produsă).

Caz 1 Să presupunem acum că intensitatea cererii de produse este α şi

să presupunem că preţul unitar al produsului este p când volumul comenzii este

mai mic decât o cantitate Q şi p' când volumul comenzii este mai mare sau egal

cu Q, cu p' < p.

Atunci f(q) are expresia:

f(q) =

≥⋅′+<<⋅+

=

QqqpcQq0qpc

0q0

l

l

Dacă presupunem că nu se admite neonorarea comenzilor şi că

aprovizionarea se face instantaneu, atunci ne aflăm în situaţia de la modelul

anterior în care t1 = t3 = t4 = 0, 2ts = β şi s = q. Formula cheltuielilor medii pe

unitatea de timp va deveni:

CT = 2

l2s

t

ctqc21

+⋅⋅ = qc

21

s ⋅ + qcl⋅β

Page 98: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

98

Adăugând la acestea şi cheltuielile unitare de producţie ( )2tqf obţinem:

C(q) =

≥⋅

+′+⋅

<<⋅

++⋅

Qqqc

pqc21

Qq0qc

pqc21

ls

ls

ββ

ββ

Pentru a calcula minimul acestei funcţii vom calcula derivata:

C'(q) = 2

ls q

cc

21 ⋅

−β

pentru q ≠ Q

care se anulează în q0 = s

l

cc2 ⋅⋅ β

. Punctul de minim este q0 sau Q, punctul în

care funcţia nu e continuă. Rămâne doar să mai comparăm valorile funcţiei

C(q) în q0 şi Q:

C(q0) =

≥⋅

+′+⋅

<<⋅

++⋅

Qqq

cpqc21

Qq0q

cpqc21

00

l0s

00

l0s

ββ

ββ

Dacă q0 < Q atunci soluţia optimă este q0 iar dacă q0 > Q se compară

valorile 0

l0s q

cpqc

21 ⋅

+′+⋅β

β şi Q

cpQc

21 l

s⋅

++⋅β

β .

Dacă:0

l0s q

cpqc

21 ⋅

+′+⋅β

β < Q

cpQc

21 l

s⋅

++⋅β

β se alege q0 altfel

se alege Q.

Caz 2 Să presupunem acum că intensitatea cererii de produse este α şi

să presupunem că preţul unitar al produsului este p pentru primele Q produse şi

este cu p' mai mare pentru produsele fabricate peste cantitatea Q.

Atunci f(q) are expresia:

f(q) = ( )

≥⋅′+⋅+<<⋅+

=

QqQ-qpqpcQq0qpc

0q0

l

l

şi vor rezulta cheltuielile totale în unitatea de timp:

Page 99: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

99

C(q) = ( )

≥−′−

+′+⋅

<<⋅

++⋅

Qqq

Qcpqc

21

Qq0qc

pqc21

ls

ls

ββ

ββ

pp

şi în continuare se găseşte soluţia optimă ca şi la cazul 1.

5.6.6. MODELE DE GESTIUNE CU CERERE ALEATOARE

Presupunem că un produs este stocat într-un depozit intermediar, care

este aprovizionat dintr-un depozit mai mare la intervale egale de timp t. Se

presupune că cererea pe un interval este aleatoare cu o distribuţie de

probabilitate cunoscută din observaţii statistice:

β = ( ) ( ) ( )

LL

LL

np1p0pn10

ea realizându-se uniform pe fiecare interval.

Pentru simplificarea aprovizionării se decide ca la fiecare aprovizionare

să se aducă aceeaşi cantitate de produse, care trebuie aleasă astfel încât, în

timp, să se minimizeze cheltuielile. Cheltuielile legate de aprovizionare pot fi

privite cel puţin din două puncte de vedere:

a) cu costuri de stocare şi costuri de penalizare unitare

Presupunem că se cunosc cheltuielile unitate de stocare cs şi cheltuielile

unitare de penalizare cp. Atunci, dacă vom aduce de fiecare dată α bucăţi, vom

avea într-o perioadă cu cererea β ≤ α doar cheltuieli cu stocarea iar într-o

perioadă cu β > α atât cheltuieli cu stocarea cât şi penalizări.

Dacă β ≤ α evoluţia stocului va fi cea din figura 4a) şi costul unitar de

stocare va fi:

C(α,β) =

( )

−⋅=

⋅−+

2c2

cs

s βα

βαα

t

t

iar dacă β > α evoluţia stocului va fi cea din figura 4b) şi costul unitar de

stocare va fi:

C(α,β) = 21

2p1s 2c

2c

tt

tt

+

⋅−

⋅+⋅⋅αβα

Page 100: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

100

unde 21 ttαβα −

= . Înlocuind t1 în funcţie de t2 din această relaţie în expresia

costului unitar vom obţine:

C(α,β) = cs⋅β

α2

2 + cp⋅

( )βαβ

2

2−

În concluzie, pentru o valoare aleasă a lui α costul mediu va fi o

variabilă aleatoare cu aceleaşi probabilităţi ale evenimentelor ca şi cererea β:

C(α) = ( )

( ) ( ) ( )

−⋅+⋅⋅

−⋅

βαββαβ

βααβα

ppp2

c2

c2

c2

c2

p

2

sss

LL

LL

Al alege pe acel α astfel încât, în timp, să se minimizeze cheltuielile

este echivalent cu a găsi acel α pentru care media variabilei aleatoare C(α) este

minimă.

Avem:

( )αC = ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑+≥+≥=

⋅−

⋅+⋅⋅+⋅

−⋅

1

2

p1

2

s0

p2

cp2

cp2sc

αβαβ

α

β

ββαββ

βαββα

unde α ∈ R şi valorile ( )αC formează un şir real. Pentru a găsi minimul

acestui şir observăm că funcţia cu valori reale ( )αC este o funcţie de gradul

doi cu coeficientul lui α2 pozitiv, deci are un singur punct de minim local, care

este şi global şi deci valoarea α întreagă care dă minimul lui ( )αC este cea

t

β α

t

α

β

t2

t1

a) b)

Figura 4

Page 101: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

101care îndeplineşte simultan relaţiile:

( )1C −α > ( )αC < ( )1C +α

sistem care, după efectuarea unor calcule simplificatoare, este echivalent cu:

L(α - 1) < ρ < L(α)

unde:

L(α) = p(β ≤ α) + ( )∑

+≥

+

1

p21

αβ ββα iar ρ =

ps

p

ccc+

.

Practic, pentru găsirea lui α vom calcula toate valorile lui L(α) într-un

tabel ca cel de mai jos şi vom alege acel α pentru care se obţine valoarea lui

L(α) imediat superioară lui ρ.

α β p(β) p(β ≤ α) 21

+α( )ββp

( )∑+≥ 1

p

αβ ββ ( )∑

+≥

+

1

p21

αβ ββ

α L(α)

0

1

2

M

0

1

2

M

p(0)

p(1)

p(2)

M

În final, pentru α0 găsit, se calculează costul mediu minim ( )0C α

Generalizări

Caz 1 Sunt situaţii în care cererea de produse se poate situa într-un

interval foarte mare (produse de valoare mică), caz în care calcularea

probabilităţilor pentru fiecare valoare a cererii ar cere un efort prea mare,

acesta nefiind justificat şi prin faptul că probabilitatea pentru o anumită cerere

este practic aceeaşi pentru un întreg interval de valori din vecinătatea acesteia.

Din acest motiv se împart valorile cererii în intervale egale, se presupune că

cererile din fiecare interval au aceeaşi probabilitate de manifestare şi vom avea

de estimat doar atâtea probabilităţi câte intervale posibile există (sau se

presupune că numai anumite valori ale cererii sunt posibile, de exemplu

mijloacele acestor intervale).

Cererea este o variabilă aleatoare de forma:

Page 102: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

102

β = [ ) [ ) ( )[ )

+++++LL

LL

n21 ppp,1-na2,, nlallalalaa

sau:

β = ( )

( )

−+++

LL

LL

nppp2

12a23

221

lnlala

unde a este valoarea minimă a cererii iar l lungimea intervalelor. Vom

presupune În acest caz costul mediu va avea forma:

( )αC = ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∞

+=

+==

⋅−

⋅+⋅⋅+⋅

−⋅⋅

ll

lllαβαβ

α

β

ββαββ

βαββα pc

2pc

2p

2sc2

p

2

s0

iar minimul acesteia va fi dat de acea valoare α0 pentru care:

L(α0 – l) < ps

p

ccc+

< L(α0) unde L(α) = p(β β α) + ( )∑

+=

+

l

l

αβ ββα p

2

Caz 2 Sunt de asemenea cazuri când cererea poate lua valori într-o

mulţime continuă, fiind o variabilă aleatoare continuă cu densitatea de

repartiţie f(β). În acest caz valoarea medie a costului este:

( )αC = ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞∞ −

⋅+⋅+⋅

−⋅

αα

αββ

βαβββ

βαβββα d

2cd

2cd

2sc2

p

2

s0

fff

care este o funcţie continuă în α. Pentru rezolvare vom deriva această funcţie

(folosind şi formula de derivare a integralelor cu parametru:

( )( )

( )

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )yyafyayybfybyxfyxfyb

ya

y

yb

ya

,,,, / ⋅′−⋅′+=

∫∫

fiind îndeplinite condiţiile care permit aplicarea acesteia.) şi apoi vom găsi

punctul în care se anulează aceasta: α0 = soluţia căutată.

b) cu pierderi

Presupunem că cheltuielile de stocare sunt neglijabile. În acest caz

pentru fiecare piesă stocată peste cererea manifestată se face o cheltuială inutilă

c1 iar pentru fiecare piesă lipsă, în cazul unei cereri mai mare decât stocul, o

penalizare c2 (în general c2 > c1). În acest caz, costul mediu va fi:

( )αC = ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∞

+==

⋅−⋅+⋅−⋅1

20

1 pcpcαβ

α

β

βαβββα

Page 103: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

103Valoarea α întreagă care dă minimul lui ( )αC este cea care

îndeplineşte simultan relaţiile:

( )1C −α > ( )αC < ( )1C +α

sistem care, după efectuarea unor calcule simplificatoare, este echivalent cu:

p(β ≤ α - 1) < ps

p

ccc+

< p(β ≤ α)

din care va fi aflat αoptim şi apoi ( )optimαC .

Observaţie. Şi în acest caz se pot analiza variantele cu cerere împărţită

în intervale sau cu cerere continuă, cazuri care sunt lăsate ca exerciţii

cititorului.

5.7. MODALITĂŢI PRACTICE DE APLICARE A

MODELELOR TEORETICE

5.7.1. MODELUL S-s

Gestiunea de tip S-s sau cu două depozite se caracterizează prin faptul

că reaprovizionarea se face în momentul în care nivelul curent al stocului a

atins o anumită valoare notată generic cu “s”. Acest lucru este echivalent unei

gestiuni cu două depozite, în cadrul căreia reaprovizionarea se face în

momentul în care primul depozit s-a golit. În perioada de reaprovizionare (de

avans) consumul se va realiza din cel de-al doilea depozit, care joacă rolul

stocului de siguranţă.

În acest model considerăm:

• cererea totală pentru perioada T este R, aleatorie;

• costul stocării este cS;

• costul lansării unei comenzi de reaprovizionare este cL;

• termenul de livrare τ poate fi:

a) neglijabil; în acest caz obţinem costul total pentru intervalul T ca

fiind:

Page 104: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

104

CRcq

cqL S= +

2,

unde q reprezintă cantitatea de reaprovizionat.

b) cvasiconstant. Fie nivelul minim de reaprovizionare Ns; când

stocul atinge acest nivel se lansează o comandă de q piese. Mărimile date sunt:

T, τ, R, cS, cL şi ne propunem să determinăm pe Ns şi pe q astfel încât costul

stocului pentru perioada T să fie minim. O metodă aproximativă constă în a

admite că ritmul mediu al cererii este constant; în acest caz optimul cantităţii q0

este independent de Ns:

q RT

cc

L

S

0 2= T T

Rcc

L

S

0 2= C RTc cL S

0 2=

Dacă τ este durata medie a termenului de reaprovizionare (cu o abatere

medie pătratică mică) se va evalua legea de probabilitate a cererii pentru acest

interval de timp.

Fie Fτ (r) probabilitatea cererii de r produse în intervalul τ: Fτ (r) = P(R

≤ r) = probabilitatea cumulată.

Impunem condiţia ca probabilitatea epuizării stocului să fie mai mică

sau egală cu valoarea dată α (0 ≤ α < 1); α reprezintă probabilitatea de penurie.

Trebuie să avem: 1 - Fτ (r) = α. Fie Q soluţia ecuaţiei: 1 - Fτ (r) = α, de

unde rezultă Q = Ns.

Această metodă este aproximativă, deoarece implică ipoteze de lucru

distincte pentru stocurile fiecărui depozit. Calculele pot fi efectuate fără ipoteze

restrictive cu metoda Monte - Carlo (nu face obiectul lucrării de faţă).

5.7.2. METODA A.B.C.

Metoda A.B.C. este un procedeu rapid pentru analiza aprovizionării şi

gestiunii economice a materialelor. Această analiză clasifică mărfurile

achiziţionate în funcţie de valorile de aprovizionare ale acestora şi de ponderea

achiziţiilor. Prin aceasta pot fi văzute punctele de plecare pentru realizarea unei

politici raţionale a achiziţiilor; pe aceasta se pot baza mai multe măsuri,

Page 105: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

105începând cu simplificarea procedeelor de comandă, până la numărul de salariaţi

folosiţi în depozite.

Factorul esenţial în folosirea metodei A.B.C. constă în alegerea unui

criteriu corespunzător pe baza căruia se efectuează împărţirea materialelor în

cele trei grupe A, B, C. Un asemenea criteriu poate fi valoarea de consum a

materialului dat, în timpul stabilit, valoarea specială a materialului cu privire la

folosirea lui în producţie, provenienţa din import etc.

O dată criteriul ales şi împărţirea în grupe efectuată, metoda A.B.C.

poate fi utilizată în diferite domenii ale gestiunii stocurilor:

Controlul selectiv al stocurilor

Metoda A.B.C. permite o gestiune selectivă a stocurilor.

Stocurile tampon ale articolelor de valoare mare sunt menţinute la un

nivel destul de mic. Aceste articole trebuie să fie supuse unui control de

gestiune foarte strâns din partea personalului aprovizionării (articolele de mare

valoare sunt adesea gospodărite cu ajutorul unui sistem de reaprovizionare

periodică şi dacă intervalele sunt suficient de frecvente, un stoc tampon este

mai puţin necesar).

Această metodă dă o atenţie mai mică articolelor de valoare mică, a

căror epuizare se evită prin asigurarea unor stocuri tampon.

Cu ajutorul metodei A.B.C. se pot reduce investiţiile în stocuri,

micşorând în acelaşi timp riscurile de epuizare.

Din analiza structurii materiale a unităţilor economice rezultă că

valoarea mare în stoc este deţinută de un număr relativ mic de materiale, care

nu numai că influenţează direct volumul de mijloace circulante atras, dar joacă

şi rolul principal în desfăşurarea procesului de fabricaţie.

Stocurile sunt împărţite în trei clase:

clasa A: în care intră articolele cu valoare mare reprezentând cantitativ

10 % din stoc şi 70 % valoric;

clasa B: în care intră articole reprezentând 20 % atât cantitativ cât şi

valoric;

clasa C: în care intră articole ce reprezintă cantitativ 70 % din stoc şi

valoric 10 %.

Page 106: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

106CLASA PONDEREA NUMERICĂ PONDEREA VALORICĂ

A 10 70

B 20 20

C 70 10

Gruparea materialelor în funcţie de ponderea lor valorică în stocul total,

pe baza datelor din tabelul de mai sus, se prezintă într-o formă expresivă în

“graficul de evoluţie al curbei valorilor cumulate”:

Fig. nr.

Datorită importanţei lor pentru procesul de fabricaţie şi datorită

influenţei asupra volumului de mijloace circulante, fiecare grupă se va aborda

diferenţiat, atât din punct de vedere a metodologiei de stabilire a stocurilor cât

şi din punct de vedere al conducerii şi desfăşurării procesului de stocare ca

atare.

Deci, metoda A.B.C., pe lângă că oferă o politică diferită pentru

articolele din categoria mai scumpă, permite şi utilizarea unor metode de

gospodărire diferită.

Întrucât în categoria A sunt puţine articole, se poate controla zilnic

nivelul stocurilor, pentru a observa variaţia cererii şi a supraveghea de aproape

respectarea termenelor de către furnizori. Cu alte cuvinte, se înlocuieşte o parte

din stocul tampon de articole scumpe printr-un control al gestiunii mai strâns.

Această decizie este eficientă întrucât ea aduce la o reducere apreciabilă a

investiţiilor în stocuri.

Pondere valorică

% 100 90 70 C B A 10 30 100 Pondere numerică %

Page 107: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

107

Se vor folosi, deci, modele economico-matematice exigente, care vor

avea în vedere elemente (factori) concrete ce condiţionează nivelul stocurilor

şi care asigură constituirea lor la dimensiuni cat mai mici, determinând

creşterea vitezei de rotaţie a mijloacelor circulante la maxim.

Pentru materialele din categoria C se pot folosi procedee mai puţin

exigente (chiar cu caracter statistic) şi care vor avea în vedere factorii cu

acţiune hotărâtoare în optimizarea proceselor de stocare (cheltuielile de

transport, sursa de provenienţă etc.).

Cu articolele din categoria B se poate adopta o politică intermediară,

exercitând un oarecare control, dar baza rămâne tot stocul tampon, spre

deosebire de politica dusă pentru categoria A. La articolele mai ieftine este mai

eficient să se suporte sarcina stocurilor, decât să se plătească salariile

personalului care ar fi indispensabil pentru mărirea controlului.

Pentru grupa B se pot aplica două soluţii:

a) stabilirea de modele distincte pentru dimensionarea stocurilor de

materiale din această grupă cu un grad de exigenţă mediu;

b) folosirea pentru materialele care, ca pondere valorică, tind către

grupa A de importanţă, a modelelor precizate pentru această din

urmă grupă, iar pentru materialele ce tind ca valoare către grupa C a

modelelor specifice acestora.

Viabilitatea unui sistem de gestiune a stocurilor este determinată, în

general, de felul în care acesta răspunde unor cerinţe de bază, cum ar fi:

• gradul ridicat de utilitate practică;

• adaptabilitatea la utilizarea mijloacelor electronice de calcul;

• supleţea şi operaţionalitatea în derularea şi adaptarea proceselor de

stocare;

• aria de cuprindere mare;

• concordanţa cu fenomenele reale ale procesului de formare şi

consum a stocurilor;

• reducerea la minim a imobilizărilor de resurse materiale şi creşterea

vitezei de rotaţie a mijloacelor circulante ale agenţilor economici;

Page 108: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

108

• cheltuielile de conducere, organizare şi desfăşurare a proceselor de

stocare cât mai mici.

Analizat din aceste puncte de vedere sistemul A.B.C. răspunde în mare

măsură cerinţelor. Acest sistem aplicat la gestiunea stocurilor are în vedere, în

primul rând reducerea imobilizărilor la materialele de bază şi care se consumă

în cantităţi mari, aspect asigurat prin exigenţa metodologică de dimensionare a

stocurilor şi de urmărire a derulării proceselor de stocare.

5.7.3. Strategia IMPACT

IMPACT (Inventory Management Program and Control Techniques)

este considerat ca un model eficient de stabilire a stocurilor de siguranţa. Este o

metodă de depozitare economică, adaptată cerinţelor calculatoarelor

electronice. Acest model a fost dezvoltat de IBM.

Estimarea necesarului se face prin extrapolarea valorilor din trecut.

Influenţele conjuncturale şi sezoniere sunt luate în calcul prin metoda de

nivelare exponenţială.

Stocul de siguranţă se determină cu ajutorul calculului probabilităţilor.

Conform metodei IMPACT, sortimentelor din depozit se împart în trei

grupe:

1. produse cu desfacere mare (vitale);

2. produse cu desfacere mijlocie (importante);

3. produse cu desfacere redusă ( obişnuite).

Mărimea stocului de siguranţă depinde de precizia estimării

necesităţilor (cererii). Cu cât va fi apreciată mai precis în prealabil cererea, cu

atât va fi mai mic stocul de siguranţă.

Pentru a putea aplica metoda IMPACT sunt necesare: cunoaşterea

cererilor ri (i = 1, 2,..., T), pe T intervale de timp şi calculul abaterii medii

pătratice σ.

Pentru determinarea stocului de siguranţă, metoda IMPACT foloseşte

următorii indicatori:

Page 109: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

109

a) cererea medie (necesarul mediu)

rT

irii

tT

==∑1

1

, (V.3.1)

unde T este numărul de intervale de timp cercetate;

ri este cererea în intervalul i, i = 1, 2,..., T;

b) MAD (Mean Absolut Deviation) reprezintă abaterea absolută de la

medie a cererilor, ca unitate de măsură a “împrăştierii” valorilor efective în

jurul valorii medii.

MADT

i r rii

T

= −=∑1

1

. (V.3.2)

MAD se determină ca valoare medie a valorilor absolute ale abaterilor

de la cererea medie.

c) coeficientul de siguranţă exprimă potenţialul de livrare al

furnizorilor. Coeficientul de siguranţă (K) se stabileşte pe bază de tabele ale

funcţiei normale, în cadrul căreia sunt date valorile lui K, corespunzător

diferitelor niveluri ale potenţialului de livrare al furnizorilor.

Potenţialul de livrare (Z) exprimă gradul de satisfacere de către

furnizor a unei comenzi. Acest potenţial de livrare se mai numeşte grad de

deservire sau nivel de serviciu.

Potenţialul de livrare (Z) se determină după relaţia

ZCC

LE

LC

= , (V.3.3)

unde CLE este cantitatea livrată efectiv;

CLC este cantitatea ce trebuie livrată conform comenzii.

Rezultă 0 < Z < 1; Z = 0 înseamnă că se înregistrează lipsa materialelor în stoc,

fără o posibilitate eficientă de acoperire;

Z = 1 înseamnă că avem de-a face cu un serviciu perfect de servire din

partea furnizorilor.

Relaţia de determinare a potenţialului de livrare se poate exprima şi sub

alte forme, ca de exemplu:

1. ZN N

NNN

UC UL

UC

UL

UC

=−

= −1 , (V.3.4)

unde NUC reprezintă numărul de unităţi (bucăţi) comandate;

Page 110: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

110

NUL reprezintă numărul de unităţi (bucăţi) lipsă.

ZN N

NNN

ZT ZL

ZT

ZL

ZT

=−

= −1 , (V.3.5)

unde NZT reprezintă numărul total de zile lucrătoare din perioada de gestiune;

NZL reprezintă numărul de zile cu lipsă de stoc.

Când un produs se fabrică din mai multe materii prime, care intră

simultan în consum, potenţialul de livrare se calculează în funcţie de

necesitatea prezenţei în acelaşi moment în depozit a tuturor materiilor prime

care concură la obţinerea lui.

Stocul de siguranţă se calculează după formula:

NS = K ⋅ MAD

Între potenţialul de livrare şi costul stocării necesitat de constituirea şi

deţinerea stocului de siguranţă există o corelaţie strânsă. Creşterea potenţialului

de livrare determină creşterea costului total de stocare, dar într-o proporţie mai

mică, ceea ce înseamnă că eficienţa este cu atât mai mare cu cât potenţialul de

livrare se apropie de unu.

Trebuie excluse influenţele întâmplătore, însă luate în considerare

influenţele conjuncturale şi sezoniere. IMPACT foloseşte în acest scop metoda

nivelării exponenţiale. Această metodă a fost dezvoltată de Robert Brown şi

este cunoscută sub numele de exponential smoothing.

Valoarea medie a cererii se corectează cu eroarea de previziune şi se

stabileşte introducând o anumită parte a erorii în noua valoare a estimaţiei.

Fie V1 estimarea cererii pentru prima perioadă şi r1 cererea reală a

primei perioade. Estimarea cererii pentru următoarele perioade se obţine din

relaţiile:

Vi = Vi-1 + α (ri-1 - Vi-1),

unde α reprezintă constanta de nivelare; α ∈ (0,1) şi determină măsura în care

valorile din trecut sunt cuprinse în estimarea cererii.

Constanta de nivelare trebuie astfel aleasă încât să ţină seama suficient

de influenţele conjuncturale şi sezoniere, eliminând totuşi influenţa întregului.

0 < α < 1

Page 111: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

111

α = 0 înseamnă că erorile de prevedere care apar nu sunt luate în

considerare

α = 1 înseamnă că estimarea corespunde exact cererii din perioada

anterioară; toate influenţele întâmplătoare sunt introduse în estimare.

Abaterea absolută de la medie (MAD) poate fi folosită după aceleaşi

principii: abaterea medie a perioadei i va fi dată de relaţia

MADi = MADi-1 + α(| ri-1 - Vi-1 | - MADi-1).

În acest caz | ri-1 - Vi-1 | este valoarea abaterii precedente faţă de valoarea reală.

Cererea medie (necesarul mediu) şi abaterea absolută de la medie

(MAD) vor fi apreciate în prealabil prin metoda nivelării exponenţială, urmând

ca abia după aceea să se determine nivelul stocului de siguranţă (NS).

Page 112: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

112

CAP. VI OPTIMIZAREA ITINERARIILOR DE

TRANSPORT Modelul problemei de transport are particularităţile sale şi anume:

1) limitele sunt reprezentate sub formă de ecuaţii;

2) coeficienţii de pe lângă necunoscute în limite sunt egali cu o

unitate;

3) fiecare necunoscută intră numai în două ecuaţii.

Ţinând seama de acest specific, problema transportului de obicei se

rezolvă cu ajutorul algoritmelor speciale simple.

Problema de tip transport se pot rezolva şi fără a face sisteme de ecuaţii,

mai simplu şi mai rapid, folosind aşa-zisele metode rapide de calcul. Aceste

metode şi procedee de calcul permit obţinerea unor soluţii foarte apropiate de

soluţia optimă, iar în multe cazuri chiar soluţia optimă. Principalul avantaj al

acestor metode constă în aceea că permit obţinerea în timp scurt a informaţiilor

necesare pentru luarea unor decizii operative juste.

Folosirea eficientă a metodelor matematice de optimizare a

transportului este posibilă numai în cazurile în care există cel puţin 3 locuri de

producţie şi 3 locuri de consum. În cazurile în care aceste limite sunt mai mici,

cantităţile de produse pot fi repartizate şi fără calculaţie de optimizare.

Calculele de optimizare pot fi făcute în funcţie de modul de soluţionare

urmărit, adică dacă se urmăreşte o soluţie completă sau una aproximativă.

Oricare ar fi soluţia urmărită, calculele privind optimizarea transporturilor în

unităţile agricole pot fi rezolvate destul de uşor, fără a fi necesare maşini

electronice de calcul.

În scopul obţinerii unor rezultate exacte, o atenţie deosebită trebuie

acordată stabilirii distanţelor de transport (de la parcelă la locul de consum).

Precizăm că în loc de distanţele de transport se pot lua în calcul consumul de

timp pentru transportul la aceste distanţe sau chiar cheltuielile de transport.

După părerea noastră luarea în calcul a consumului de timp pentru transport ar

putea mări considerabil succesul optimizării. În cazul luării în calcul a

cheltuielilor de transport, datorită greutăţii aflării exacte a acestora ne

exprimăm unele rezerve privind rezultatele. Se economiseşte mai puţin cu

coeficienţi inexacţi de cost decât cu coeficienţi exacţi de distanţă. De aceea,

Page 113: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

113opinăm pentru folosirea în calculul de optimizare a transporturilor a datelor

privind distanţele de transport, în locul celor privind cheltuielile de transport.

Pentru optimizarea itinerariilor de transport se folosesc o serie de

metode. În funcţie de gradul de complexitate şi precizie a rezultatelor pe care le

obţinem, aceste metode le-am grupat în trei categorii:

a) metode pentru obţinerea unor soluţii iniţiale de bază;

b) metode pentru verificarea şi îmbunătăţirea soluţiilor iniţiale de bază;

c) metode pentru obţinerea unor soluţii iniţiale optime.

6.1. METODE PENTRU OBŢINEREA UNOR

SOLUŢII INIŢIALE DE BAZĂ Modelul matematic al unei probleme de transport se compune (aşa cum

s-a precizat şi anterior) dintr-un sistem de m + n – 1 ecuaţii liniar independente

cu mn necunoscute. Rezultă că numărul ecuaţiilor distincte în orice problemă

de transport este mai mic decât numărul necunoscutelor. Ca atare, sistemul este

nedeterminat şi admite o infinitate de soluţii. Pentru a obţine o soluţie optimă

se determină mai întâi o soluţie iniţială de bază, care va fi apoi verificată dacă

este sau nu optimă.

În literatura de specialitate au fost elaborate o serie de metode

(algoritmi) pentru obţinerea unei soluţii iniţiale de bază, printre care

menţionăm: metoda colţului nord-vest, metoda colţului sud-vest, metoda

elementului minim pe linie, metoda elementului minim pe coloană, metoda

acoperirii zerourilor, metoda Kotzig, metoda Vogel etc. Toate aceste metode le

vom trata pe probleme concrete, raţionamentul putând fi repetat pentru orice

problemă asemănătoare.

6.1.1. METODA COLŢULUI NORD-VEST SAU

A COLŢULUI STÂNGA SUS

Această metodă, denumită şi metoda diagonalei principale, realizează o

repartiţie în scară a valorilor, dând problemelor de transport o soluţie apropiată

de optim. De aici şi denumirea de metode repartiţiei în scară.

Page 114: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

114Pentru a demonstra modul de utilizare a metodei, vom lua un exemplu

ipotetic. Să admitem că grâul de la şase ferme ale unei întreprinderi agricole de

stat trebuie transportat la trei depozite în aşa fel ca să se realizeze minimum de

t km(să se efectueze pe itinerariile cele mai scurte). Cantităţile de transportat şi

distanţele la care se transportă sunt cele prevăzute în tabelul următor.

Repartizarea cantităţilor se va face astfel:

Tabelul 6.1

Distanţele şi cantităţile de transportat

Bj

Ai B1 B2 B3 Disponibil

A1 7 4 4 324 A2 6 4 5 448 A3 5 5 6 534 A4 2 3 5 532 A5 6 3 4 468 A6 4 3 2 514

necesar 600 1100 1120 2820

Pornind din colţul stânga sus se va repartiza depozitului B1, din ferma

A1, cantitatea maximă posibilă, adică 324 tone. Diferenţa până la 600 tone cât

poate primi depozitul B1, se va repartiza din ferma A2. În acest fel s-au epuizat

cantităţile din ferma A1 şi deci depozitele B2 şi B3 nu vor primi nici o cantitate

din această fermă.

În acest mod, cantitatea produsă de ferma A1 a fost transportată şi

rezultă că:

A1/B2 = A1/B3 = 0, iar A1/B1 = 324

În a doua etapă, procedeul se repetă ţinând seama că necesarul pentru

depozitul B1 să fie completat cu cantităţile din ferma A2.

B1 = 600 – 324 = 276

Deci, în pătrăţelul A2/B1 vom repartiza 276 tone. Întrucât depozitul B1

este complet satisfăcut, înseamnă că:

A3/B1 = A4/B1 = A/B1 = 0

După această repartiţie, ferma A2 mai are disponibil: 448 – 276 = 172 t.

Acestea vor fi trimise la depozitul B2. Deci A2/B2 = 172. Pentru completarea

Page 115: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

115cantităţilor necesare depozitului B2 va mai fi transportat grâu de la fermele A3

şi A4. Prin urmare:

A2/B2 = 172

= 706; 1100 – 706 = 394

A3/B2 = 534

A4/B2 = 394

În acest mod, depozitul B2 a fost satisfăcut, iar:

A5/B2 = A6/B2 = 0

În etapa următoare, pentru depozitul B3 se repartizează cantităţile care

au mai rămas disponibile. În urma acestei repartiţii se obţine situaţia din tabelul

6.2.

Tabelul 6.2

Repartiţia cantităţilor de transportat

Bj Ai

B1 B2 B3 Disponibil

A1 7

324 4

0 4

0 324

A2 6

276 4

172 5

0 448

A3 5

0 5

534 6

0 534

A4 2

0 3

394 5

138 532

A5 6

0 3

0 4

468 468

A6 4

0 3

0 2

514 514 necesar 600 1100 1120 2820

Folosind datele din tabelul 6.2, calculăm valoarea funcţiei obiectiv:

∑∑=

=

=+++

+++++==

6

1

3

1

/054.122,5144,4685,138

3,3945,5344,1726,2767,324

ij

ijij

kmt

XCF

Soluţia stabilită prin această metodă este soluţie iniţială. Ea poate fi

considerată optimă atunci când ar duce la un maxim sau la un minim al funcţiei

obiectiv. De aceea, pentru soluţiile iniţiale trebuie verificată optimalitatea şi

Page 116: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

116continuată, dacă este cazul, îmbunătăţirea repartiţiei. În acest scop, se poate

utiliza metoda distributivă.

Pentru a verifica optimalitatea unei soluţii iniţiale de bază, se calculează

evaluările4 Sij pentru toate pătrăţelele care conţin valori Xij = 0. Dacă Sij > 0

pentru toate aceste pătrăţele, soluţia iniţială obţinută este optimă. Dacă Sij = 0,

problema admite o infinitate de soluţii optime, dar toate aceste soluţii conduc la

aceeaşi valoare optimă a formei liniare F. Dacă avem şi unele evaluări Sij < 0,

soluţia iniţială obţinută nu este optimă, ea poate fi îmbunătăţită.

Soluţia stabilită în tabel poate fi considerată optimă dacă toate sumele

vor fi mai mari decât zero. Întrucât însă, în exemplul nostru avem şi sume

negative (căsuţele A1/B2, A3/B1, A3/B3 etc.), înseamnă că soluţia poate fi

îmbunătăţită. Pentru aceasta se utilizează în continuare fie metoda distributivă,

fie metoda potenţialelor (metoda Modi).

6.1.2. METODA COLŢULUI SUD-VEST Este de asemenea o metodă folosită în optimizarea transporturilor,

pentru obţinerea unor soluţii iniţiale de bază. Rezolvarea problemelor de

transport prin această metodă este asemănătoare cu cea precedentă (metoda

colţului stânga sus), cu deosebirea că repartiţia începe să se facă din colţul sud-

vest spre cel din nord-est.

Reluând exemplul din tabelul anterior şi procedând în mod asemănător,

obţinem repartiţia din tabelul 6.3.

Tabelul 6.3 Repartiţia cantităţilor de transportat

Bj Ai

B1 B2 B3 Disponibil

A1 7

0 4

0 7

324

A2 6

0 4

0 5

448

A3 5

0 5

186 6

348

A4 2

0 3

532 5

0

A5 6

86 3

382 4

0

A6 4

514 3

0 2

0 necesar 600 1100 1120 2820

4 Evaluarea unui pătrăţel Xij reprezintă cantitatea cu care se modifică valoarea funcţiei de optimizat dacă Xij creşte cu o unitate.

Page 117: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

117Soluţia obţinută în tabel este puţin diferită faţă de soluţia obţinută prin

metoda colţului nord-vest (stânga sus). Calculând valoarea funcţiei obiectiv, pe

baza datelor obţinute în tabel, vom avea:

F = 324,7 + 448,5 + 348,6 + 186,5 + 532,3 + 382,3 + 86,6 + 514,4 = 12.840

Se poate vedea că rezultatul optimizării este mai mare decât în cazul

metodei nord-vest.

Ca şi în cazul precedent, soluţia obţinută cu ajutorul acestei metode este

o soluţie iniţială şi urmează a fi îmbunătăţită. Pentru aceasta se urmează acelaşi

mod de lucru ca şi în cazul repartiţiei nord-vest. În final se ajunge la acelaşi

rezultat.

6.1.3. METODA ELEMENTULUI MINIM PE LINIE

Obţinerea unor soluţii iniţiale de bază, în cazul optimizării itinerariilor

de transport poate avea loc şi cu ajutorul metodei elementului minim pe linie.

Metoda este oarecum asemănătoare cu metoda colţului nord-vest, cu

deosebirea că repartizarea cantităţilor de transportat se face pe fiecare rând în

ordinea crescândă a distanţelor, începând cu distanţa cea mai mică. De aici şi

denumirea metodei de „element minim pe linie”.

Pentru exemplificarea modului de utilizare a metodei să considerăm că

6 ferme vegetale (B1, B2, … B6), urmează să primească gunoi de grajd de la trei

ferme zootehnice (A1, A2, A3) în cantităţile prezentate în tabelul 9. Se cere să

se organizeze transportul în aşa fel ca să se realizeze minimum de t.km

(folosind deci rutele cele mai scurte).

Tabelul 6.4

Cantităţile şi distanţele de transport

Bj Ai

B1 B2 B3 B4 B5 B6 ai

A1 5,8 5,4 3,8 1,4 5,0 2,6 780 A2 2,8 3,2 3,4 1,8 2,2 2,4 870 A3 2,6 3,6 4,2 4,0 3,0 1,2 550 bj 240 480 340 320 680 140 2200

Urmărind datele din tabelul anterior, se poate observa că distanţa

minimă (elementul minim) pe rândul A1 se află în pătrăţelul A1/B4. Ca urmare,

vom trimite din A1 la B4 cantitatea de care are nevoie (320 tone). În acest mod,

necesarul fermei B4 a fost complet satisfăcut şi deci: A2/B4 = A3/B4 = 0.

Page 118: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

118Întrucât prin această repartiţie nu am lichidat cantităţile existente la

ferma A1, următorul transport îl vom face tot pe acest rând, însă în pătrăţelul cu

distanţa rămasă cea mai mică, după satisfacerea lui B4. Acest pătrăţel este

A1/B6. Aici vom efectua al doilea transport. Ferma B6 are nevoie de 140 tone,

iar disponibilul la ferma A1 este: 780 – 320 = 460 t; deci se poate satisface

cererea în întregime, rămânând încă disponibile 320 tone, care vor fi duse la

B3, care urmează în ordine ca distanţă. În acest mod, cantităţile existente la

ferma A1 au fost repartizate pentru transport. În urma acestei repartizări rezultă

că: A1/B1 = A1/B2 = A1/B5 = 0 şi A2/B6 = A3/B6 = 0.

După acelaşi procedeu se trece şi se face repartizarea cantităţilor de

gunoi de grajd de la fermele A2 şi A3, pentru a fi transportate la fermele care

solicită. În urma repartiţiei se obţin datele din tabelul 6.5.

Tabelul 6.5

Planul optim de transport stabilit prin metoda elementului minim pe linie

Bj Ai

B1 B2 B3 B4 B5 B6 ai

5,8 5,4 3,8 1,4 5,0 2,6A1 0 0 320 320 0 140 780

2,8 3,2 3,4 1,8 2,2 2,4A2 190 0 0 0 680 0 870 2,6 3,6 4,2 4,0 3,0 1,2A3 50 480 20 0 0 0 550

bj 240 480 340 320 680 140 2200

În urma acestei repartiţii, numărul total de t km ce se va realiza (funcţia

obiectiv) va fi:

F = 320.3,8 +320.1,4 + 140.2,6 + 190.2,8 + 680.2,2 + 50.2,6 + 480.3,6

+ +20.4,2 = 5998 t.km.

Soluţia obţinută în urma utilizării metodei minimului pe linie este o

soluţie iniţială de bază. Pentru a şti dacă itinerariile alese şi cantităţile

repartizate sunt optime, va trebui procedat la verificarea soluţiei. Această

verificare se face potrivit metodologiei expuse la metoda colţului nord-vest.

6.1.4. METODA ELEMENTULUI MINIM PE COLOANĂ În cazul utilizării acestei metode pentru obţinerea unei soluţii iniţiale de

bază, se procedează în mod asemănător ca şi cazul metodei elementului minim

Page 119: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

119pe linie, cu deosebirea că repartiţia cantităţilor se va face pe coloane ţinând

cont de distanţele (elementul) minime.

Reluând exemplul din tabelul de mai sus, se poate observa că distanţa

(elementul) minimă în coloana B1 este pătratul A3/B1. Ca urmare, vom trimite

din A3 la B1 cantitatea de care are nevoie 240 t.

Rezultă deci: A3/B1 = minim (240,550) = 240 iar A1/B1 = A2/B1 = 0

În mod asemănător se procedează şi în celelalte coloane obţinând

soluţia prezentată în tabelul 6.6.

Tabelul 6.6

Planul optim de transport

B1 B2 B3 B4 B5 B6 ai

5,8 5,4 3,8 1,4 5,0 2,6A1 0 0 0 320 320 140 780

2,8 3,2 3,4 1,8 2,2 2,4A2 0 480 340 0 50 0 870

2,6 3,6 4,2 4,0 3,0 1,2A3 240 0 0 0 310 0 550

bj 240 480 340 320 680 140 2200

Făcând calculele, pe baza datelor obţinute în tabelul de mai sus, funcţia

scop va avea următoarea valoare:

F = 320.1,4 + 320.5 + 140.2,6 + 480.3,2 + 340.3,4 + 50.2,2 + 240.2,6 +

+310.3,0 = 6768 t.km.

Ca şi în cazul celorlalte metode, soluţia obţinută trebuie verificată

pentru a şti dacă este optimă. În caz contrar se va proceda la îmbunătăţirea

soluţiei, folosind fie metoda distributivă, fie metoda Modi.

6.1.5. METODA DUBLEI PREFERINŢE

Metoda reprezintă o îmbinare a celor două metode: metoda elementului

minim pe linie şi metoda elementului minim pe coloană. Metoda constă în

analiza mai întâi a distanţelor pe linii şi apoi pe coloană, stabilind pentru

fiecare linie şi apoi pentru fiecare coloană distanţa cea mai mică (tab.6.7).

Page 120: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

120Tabelul 6.7

Stabilirea distanţelor minime

Bj Ai

B1 B2 B3 B4 B5 B6 ai

5,8 5,4 3,8 1,4 5,0 2,6A1 ⊗⊗ 780

2,8 3,2 3,4 1,8 2,2 2,4A2 ⊗ ⊗ ⊗ 870

2,6 3,6 4,2 4,0 3,0 1,2A3 ⊗ ⊗⊗ 550

bj 240 480 340 320 680 140 2200

Se poate vedea că în două căsuţe (A1/B4 şi A3/B6 se întâlnesc minimele

atât pe rând cât şi pe coloană (notate cu x). Acestea vor fi primele locuri în se

va face repartizarea cantităţilor de transportat. Ca atare, în căsuţa A1/B4 vom

repartiza 320 tone, atât cât are nevoie punctul B4. Cu aceasta coloana B4 a fost

în întregime satisfăcută.

În căsuţa A3/B6 vom repartiza 140 tone şi în acest mod am satisfăcut şi

cererile punctului B6. Tot pe rândul A3 vom mai repartiza 240 tone în căsuţa

A3/B1, care este preferată având distanţa minimă pe coloană. Cu aceasta am

satisfăcut şi punctul B1. În continuare, vom face repartizarea pe rândul A2 şi

primele cantităţi le vom repartiza în căsuţa A2/B5 care are distanţa cea mai

mică. Vom repartiza aici întreaga cantitate cerută de punctul B5 – 680 tone, cu

aceasta coloana B5 fiind satisfăcută. Diferenţa de 190 t (870 – 680) o vom

repartiza în căsuţa A2/B2, care are distanţa minimă pe coloana B2. Cu aceasta

am repartizat toate cantităţile rândului A2. Pe rândul A3 au mai rămas de

repartizat 170 tone (550 – 140 = 170). Acestea le vom repartiza în căsuţa A3/B3

şi cu aceasta am lichidat şi rândul A3. Cantităţile rămase nerepartizate de pe

rândul A1 –(780 – 320 = 460) le vom repartiza în mod automat în A1/B2 – 290 t

şi A1/B3 – 170 tone, care au nevoie pentru acoperirea necesarului. În acest mod

se obţine repartiţia din tabelul 6.8.

Tabelul 6.8

Planul optim de transport

B1 B2 B3 B4 B5 B6 ai

A1 0 290 170 320 0 0 780 A2 0 190 0 0 680 0 870 A3 240 0 170 0 0 140 550 bj 240 480 340 320 680 140 2200

Page 121: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

121

Totalul t.km ce se vor realiza pe baza acestei repartiţii va fi de 6.270,

sumă care se situează între rezultatele obţinute prin cele două metode (cu 272

t.km mai mult decât prin metoda elementului minim pe linie şi cu 498 tone mai

puţin decât la metoda elementului minim pe coloană).

6.1.6. METODA ACOPERIRII ZEROURILOR

Metoda a fost elaborată de T. Egervahry şi W. Kuhn şi se bazează pe

teoria lui König, de unde şi denumirea de algoritmul lui Egervahry Kuhn.

În utilizarea acestei metode se parcurg următoarele etape (20):

1) În tabelul cu distanţele (tab.6.9) pentru fiecare rând se scade distanţa

cea mai mică a rândului din toate distanţele trecute în rândul respectiv. Se

procedează în mod asemănător şi pe coloane. Se obţine astfel un nou tabel (tab.

6.10) care conţine pe fiecare rând şi pe fiecare coloană cel puţin câte o distanţă

egală cu zero.

Tabelul 6.9

Distanţele (în km) şi cantităţile de transport (în sute de t)

B1 B2 B3 B4 B5 Cantităţi

disponibile

8 15 3 5 10A1 X11 X12 X13 X14 X15 180

2 7 4 20 8A2 X21 X22 X23 X24 X25 80

1 15 5 6 4A3 X31 X32 X33 X34 X35 160

Cantităţi necesare

60 100 80 120 60 420

Tabelul 6.10

Scăderea distanţei celei mai mici pe rând

B1 B2 B3 B4 B5

A1 5 12 0 2 7 180 A2 0 5 2 18 6 80 A3 0 14 4 5 3 160

60 100 80 120 60 420

Page 122: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

122

2) Acoperim, treptat, câte un rând în tabelul obţinut în etapa anterioară,

împreună cu toate coloanele care conţin zerouri reaşezate pe rândul acoperit,

până când epuizăm rândurile acestui tabel. Acoperim apoi câte două rânduri

distincte împreună cu toate coloanele care conţin zerouri neaşezate în rândurile

acoperite, până când se termină toate combinaţiile posibile.

În mod asemănător se continuă cu acoperirile, combinând câte 3, 4 etc.

rânduri distincte, până când s-au efectuat toate combinaţiile posibile. După

fiecare acoperire efectuată se calculează suma cantităţilor disponibile şi

necesare corespunzătoare rândurilor şi coloanelor acoperite. Dacă toate sumele

calculate sunt mai mari sau cel puţin egale cu suma cantităţilor disponibile de

transport şi a celor ce trebuie transportate, soluţia este optimă. În caz contrar, se

trece la etapa următoare.

3) Se ia de bază suma cea mai mică faţă de totalul cantităţilor de

transportat şi se taie toate rândurile şi coloanele corespunzătoare acoperirii

respective, făcându-se apoi următoarele operaţii: se scade elementul minim

netăiat din toate elementele netăiate; se adaugă acelaşi element minim la

elementele duble tăiate; elementele tăiate o singură dată rămân neschimbate. Se

reiau apoi operaţiile din etapa 2 şi se continuă până când se obţine sume mai

mari sau egale cu suma datelor pe rânduri sau coloane. După aceea, soluţia

ultimă se stabileşte în felul următor: pe rândul sau coloana cu cele mai puţin

zerouri se trece pentru transport cantitatea posibilă maximă; se procedează apoi

la fel pentru rândurile sau coloanele rămase cu cele mai puţine zerouri; se

continuă apoi în mod asemănător până când tot disponibilul a fost repartizat.

Pentru concretizarea modului de utilizare a acestei metode vom lua un

exemplu ipotetic. Să considerăm că 5 ferme de producţie vegetală urmează să

fie aprovizionate cu gunoi de grajd de la trei ferme de creştere a animalelor.

Luând ca bază de calcul distanţele şi cantităţile înscrise în tabelul anterior va

trebui organizat transportul în aşa fel ca numărul de t.km (deci distanţele de

transport să fie minim.

Problema se rezolvă pornind de la o soluţie iniţială la care putem ajunge

prin metoda acoperirii zerourilor. În acest sens, se procedează astfel:

din distanţele înscrise în pătrăţele se scade distanţa cea mai mică

situată pe rândul respectiv şi înscriem datele în tabel;

Page 123: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

123 se face aceeaşi operaţie pentru datele din tabel, însă pe coloanele

care nu conţin zerouri (respectiv col. 2, 4, 5) şi înscriem rezultatele

în tabelul

acoperim pe rând elementele egale cu zero din tabelul 6.11, prin

tăierea unui număr de rânduri şi coloane în toate modurile posibile,

calculând de fiecare dată câte o sumă.

Tabelul 6.11

Scăderea distanţei celei mai mici pe coloane

B1 B2 B3 B4 B5

A1 5 7 0 0 4 180 A2 0 0 2 16 3 80 A3 0 9 4 3 0 160

60 100 80 120 60 420

Exemplu: acoperind rândul 1, va trebui de acoperit şi coloanele 1, 2, 5,

care conţin zerouri. În acest caz, vom avea:

Se suprimă câte un rând:

S2 = A1 + B1 + B2 + B5 = 180 + 60 + 100 + 60 = 400

S2 = A2 + B1 + B3 + B4 + B5 = 80 + 60 + 80 + 120 + 60 = 400

S3 = A1 + B1 + B2 + B3 + B4 = 160 + 60 + 100 + 80 + 120 = 520

Se suprimă câte două rânduri:

S4 = A1 + A2 + B1 + B5 = 180 + 80 + 60 + 60 = 380

S5 = A1 + A3 + B1 + B2 = 180 + 160 + 60 + 100 = 500

S6 = A2 + A3 + B3 + B4 = 80 + 160 + 80 + 120 = 440

Se suprimă câte trei rânduri:

S7 = A1 + A2 + A3 = 180 + 80 + 160 = 420

Pentru ca soluţia din tabelul să fie optimă trebuie ca suma minimă din

relaţiile de mai sus să fie egală cu cantităţile de gunoi disponibile, adică cu 420

tone, ori, suma minimă este 380, deci e mai mică decât 420, ceea ce înseamnă

că soluţia iniţială nu este optimă, ci trebuie îmbunătăţită.

Page 124: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

124Pentru aceasta se suprimă rândurile şi coloanele care au condus la S

minim = 380, adică rândurile 1, 2 şi coloanele 1, 5 (tabelul 12).

Tabelul 12

Prima suprimare a rândurilor care au dus la S. minim

B1 B2 B3 B4 B5

5 7 0 0 4 180 A1 0 0 2 16 3 80 A2 0 9 4 3 0 160 A3

60 100 80 120 60 420

Din pătrăţelele rămase netăiate se vede care este elementul minim. În

cazul nostru este 3 (A3/B4). Aceasta se adună la numerele din pătrăţelele tăiate

simultan atât pe orizontal cât şi pe vertical (în cazul nostru: A1/B1; A2/B1;

A1/B5 şi A2/B5) şi se scade din numerele din pătrăţelele rămase netăiate (A3/B2;

A3/B3; A3/B4).

Celelalte numere rămân neschimbate (tabelul 6.13).

Tabelul 6.13

Adunarea şi scăderea elementului minim

B1 B2 B3 B4 B5

A1 8 7 0 0 7 180 A2 3 0 2 16 6 80 A3 0 6 1 0 0 160

60 100 80 120 60 420

Se verifică apoi dacă tabelul conduce la soluţia optimă, procedând în

acelaşi mod ca şi tabelul 6.13.

S1 = A1 + B1 + B2 + B4 + B5 = 180 + 60 + 100 + 120 + 60 = 520

S2 = A2 + B1 + B3 + B4 + B5 = 80 + 60 + 80 + 120 + 60 = 400

Page 125: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

125S3 = A3 + B2 + B3 + B4 = 160 + 100 + 80 + 120 = 460

S4 = A1 + A2 + B1 + B4 + B5 = 180 + 80 + 60 + 120 + 60 = 500

S5 = A1 + A3 + B2 = 180 + 160 + 100 = 440

S6 = A1 + A3 + B3 + B4 = 80 + 160 + 80 + 120 = 440

S7 = A1 + A2 + A3 = 180 + 80 + 160 = 420

Valoarea minimă a lui S este 400, care este mai mică decât 420 – deci

soluţia nu este optimă. Procedăm deci în continuare, în mod asemănător ca şi în

cazul anterior, adică suprimăm rândurile şi coloanele care au condus la S

minim (tab. ..) şi apoi scădem sau adunăm elementul minim (tab. 6.14).

Tabelul 6.14

A doua suprimare a rândurilor şi coloanelor care au condus la S minim

B1 B2 B3 B4 B5

8 7 0 0 7 180 A1 3 0 2 16 6 80 A2 | | 0 6 1 0 0 160 A3 | |

60 100 80 120 60 420

Tabelul 6.15

Obţinerea valorilor nedeterminate

B1 B2 B3 B4 B5

A1 8

x11

1 x12

0 x13

0 x14

7 x15

180

A2 9

x21 0

x22 8

x23 22 x24

12 x25

80

A3 0

x31 8

x32 1

x33 0

x34 0

x35 160

60 100 80 120 60 420

Se verifică dacă tabelul 6.15 ne conduce la soluţia optimă, în care scop

calculăm sumele:

S1 = A1 + B1 + B2 + B4 + B5 = 180 + 60 + 100 + 120 + 60 = 520

S2 = A2 + B1 + B3 + B4 + B5 = 80 + 60 + 100 + 80 + 120 + 60 = 500

Page 126: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

126S3 = A3 + B2 + B3 + B4 = 160 + 100 + 80 + 120 = 460

S4 = A1 + A2 + B1 + B2 + B4 +B5 = 180 + 80 + 60 + 100 + 120 + 60 = 600

S5 = A1 + A3 + B2 = 180 + 160 + 100 = 440

S6 = A2 + A3 + B3 + B4 = 80 + 160 + 80 + 120 = 440

S7 = A1 + A2 + A3 = 180 + 80 + 160 = 420

Întrucât S minim este 420, deci egal cu cantităţile de gunoi disponibil,

tabelul 20 ne va da soluţia optimă.

Pentru a obţine această soluţie vom pune:

Xij = 0 în locul elementelor diferite de zero

Xij = 0 în locul elementelor egale cu zero, din tabelul 6.15.

Obţinem astfel situaţia din tabelul 6.16, în care:

x11 = x12 = x15 = x21 = x23 = x24 = x25 = x33 = 0

Tabelul 6.16

Obţinerea valorilor nedeterminate

B1 B2 B3 B4 B5

A1 0 0 x13 x14 0 180 A2 0 x13 0 0 0 80 A3 x13 x13 0 x13 x13 160

60 100 80 120 60 420

Valorile rămase nedeterminate se obţin uşor, dacă ţinem seama că suma

elementelor pe rânduri trebuie să fie egală cu datele din ultima coloană, iar

suma elementelor pe coloane trebuie să fie egală cu datele din ultimul rând. Se

ajunge astfel la soluţia din tabelul 6.17.

Tabelul 6.17

Soluţia optimă

B1 B2 B3 B4 B5

A1 0 0 80 100 0 180 A2 0 80 0 0 0 80 A3 60 20 0 20 60 160

60 100 80 120 60 420

Page 127: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

127Numărul de t.km ce se va efectua va fi:

(80.3) + (100.5) = 74000 t.km

80.7 = 24000 t.km

(60.1) + (20.15) + (20.6) + (60.4) = 72000 t.km

Total 202000 t.km*

Întreaga activitate de transport, exprimată în t.km, va fi minimă şi egală

cu 202000 t.km. Un alt plan de transport care să conducă la un număr mai mic

de t.km, în condiţiile date nu poate exista.

6.2. METODA KOTZIG În rezolvarea problemei de transport, cu ajutorul acestei metode se

pleacă tot de la un tabel iniţial în care se înscriu distanţele şi cantităţile de

transportat. După aceea stabilim distanţa medie a fiecărui loc de producţie (Ai)

faţă de toate locurile de consum (Bj). Calculele se fac totalizând distanţa de la o

parcelă la fiecare loc de consum şi împărţim rezultatul la numărul locurilor de

consum. Luând un exemplu ipotetic (transportul masei verzi de pe 6 parcele la

5 locuri de consum), vom avea datele din tabelul 6.18.

Tabelul 6.18

Calculul distanţei medii

B1 B2 B3 B4 B5 Producţia

(t)

A1 4 15 27 23 14 480 16,6

A2 5 8 9 25 21 270 13,6

A3 14 21 34 31 4 320 20,8

A4 28 26 45 43 14 140 31,2

A5 11 17 22 41 6 290 19,4

A6 12 20 3 22 5 180 12,4

Consumul

(t)

280 135 425 455 385 1680

12,3 17,8 23,3 30,8 10,6

Page 128: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

128

rândul

A1 = 4 + 15 + 27 + 23 + 14 = 83; 83 : 5 = 16,6 A2 = 4 + 15 + 27 + 23 + 14 = 68; 68 : 5 = 13,6 A3 = 14 + 21 +34 + 31 + 4 = 104; 104 : 5 = 20,8 A4 = 28 + 26 + 45 + 43 + 14 = 156; 156: 5 = 31,2 A5 = 11 + 17 + 22 + 41 + 6 = 97; 97 : 5 = 19,4 A6 = 12 + 20 + 3 + 22 + 5 = 62; 62 : 5 = 12,4

Aceasta înseamnă că parcela A1(spre exemplu) se află la o distanţă

medie de 1660 m faţă de toate locurile de consum (distanţele trecute în tabelul

23 sunt în sute de metri). Dintre toate, parcela A4 este la distanţa cea mai mare

3120 m, faţă de toate locurile de consum.

Acelaşi procedeu de calcul îl aplicăm şi pentru coloane, în care caz

avem:

B1 = 4 + 5 + 14 + 28 + 11 + 12 = 74; 74 : 6 = 12,3

B2 = 15 + 8 + 21 + 26 + 17 + 20 = 107; 107 : 6 = 17,8

B3 = 27 + 9 + 34 + 45 + 22 + 3 = 140; 140 : 6 = 23,3

B4 = 23 + 25 + 31 + 43 + 41 + 22 = 185; 185 : 6 = 30,8

B5 = 14 + 21 + 4 + 14 + 6 + 5 = 64; 64 : 6 = 10,6

Mediile rândurilor le înscriem în tabelul iniţial, în dreptul fiecărui rând,

iar mediile coloanelor, sub tabel, în dreptul fiecărui rând, iar mediile

coloanelor, sub tabel, în dreptul fiecărei coloane (tab. ..).

Calculăm apoi, pentru fiecare pătrăţel al tabelului, noile evaluări ale

distanţelor. În acest scop, se adună pentru fiecare pătrăţel media rândului cu

media coloanei respective, iar totalul se scade din distanţa reala înscrisă în

tabelul iniţial.

În cazul exemplului nostru vom avea situaţia prezentată în tabelul 6.19

Tabelul 6.19

Calcularea noilor distanţe

Pătrăţelul din tabel

Media rândurilor

+ Media coloanelor

= Suma valorilor

medii

Distanţa reală

- Suma valorilor

medii

= Valoarea

nouă A1/B1 16,6 +12,3 = 28,9 4 -28,9 = 24,9 A1/B2 16,6 +17,8 = 34,4 15 -34,4 = 19,4 A1/B3 16,6 +23,3 = 39,9 27 -39,9 = 12,9 A1/B4 16,6 +30,8 = 47,4 23 -47,4 = 24,4 A1/B5 16,6 +10,6 = 27,2 14 -27,2 = 13,2 A2/B1 13,6 +12,3 = 25,9 5 -25,9 = 20,9 A2/B2 13,6 +17,8 = 31,4 8 -31,4 = 23,4

Page 129: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

129Pătrăţelul din tabel

Media rândurilor

+ Media coloanelor

= Suma valorilor

medii

Distanţa reală

- Suma valorilor

medii

= Valoarea

nouă A2/B3 13,6 +23,3 = 36,9 9 -36,9 = 27,9 A2/B4 13,6 +30,8 = 44,4 25 -44,4 = 19,4 A2/B5 13,6 +10,6 = 24,2 21 -24,2 = 3,2 A3/B1 20,8 +12,3 = 33,1 14 -33,1 = 19,1 A3/B2 20,8 +17,8 = 38,6 21 -38,6 = 17,6 A3/B3 20,8 +23,3 = 44,1 34 -44,1 = 10,1 A3/B4 20,8 +30,8 = 51,6 31 -51,6 = 20,6 A3/B5 20,8 +10,6 = 31,4 4 -31,4 = 27,4 A4/B1 31,2 +12,3 = 43,5 28 -43,5 = 15,5 A4/B2 31,2 +17,8 = 49,0 26 -49,0 = 23,0 A4/B3 31,2 +23,3 = 54,5 45 -54,5 = 9,5 A4/B4 31,2 +30,8 = 62,0 43 -62,0 = 19,0 A4/B5 31,2 +10,6 = 41,8 14 -41,8 = 27,8 A5/B1 19,4 +12,3 = 31,7 11 -31,7 = 20,9 A5/B2 19,4 +17,8 = 37,2 17 -37,2 = 23,4 A5/B3 19,4 +23,3 = 42,7 22 -42,7 = 27,9 A5/B4 19,4 +30,8 = 50,2 41 -50,2 = 19,4 A5/B5 19,4 +10,6 = 30,0 6 -30,0 = 3,2 A6/B1 12,4 +12,3 = 24,7 12 -24,7 = 12,7 A6/B2 12,4 +17,8 = 30,2 20 -30,2 = 10,2 A6/B3 12,4 +23,3 = 35,7 3 -35,7 = 32,7 A6/B4 12,4 +30,8 = 43,2 22 -43,2 = 21,2 A6/B5 12,4 +10,6 = 23,0 5 -23,0 = 18,0

Întrucât toate valorile noi calculate au semnul negativ, pentru

simplificare se poate lăsa la o parte semnul (de altfel valoarea nouă o putem

calcula şi prin scăderea distanţei reale din valorile medii adunate şi nu invers,

cum am făcut mai sus).

Toate aceste noi valori le introducem în tabelul 6.20

Tabelul 6.20 Tabel ajutător pentru optimizarea transportului, după metoda Kotzig

(noile evaluări ale distanţelor şi ordinea de repartiţie) B1 B2 B3 B4 B5

A1 24,9

19,4 -

12,9 -

24,4

13,2 -

A2 20,9 -

23,4

17,9 -

19,4

3,2 -

A3 19,1 -

17,6 -

10,1 -

20,6

27,4

A4 15,5 -

23 -

9,5 -

19 -

27,8

A5 20,7 -

20,2 -

20,5

9,2

24 -

A6 12,7 -

10,2 -

32,7

21,2 -

18 -

R

R

Page 130: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

130

După întocmirea tabelului ajutător, se stabileşte ordinea de ocupare a

tabelului (repartizarea cantităţilor de produs de la fiecare parcelă pe locuri de

consum). Pentru aceasta, căutăm în tabelul ajutător cel mai mare număr negativ

ca valoare şi notăm cu 1, fiind deci primul pătrăţel ce va primi cantitatea de

masă verde în funcţie de producţia parcelei şi de necesarul pentru consum.

Căutăm apoi cel mai mare număr care urmează şi procedăm în acelaşi mod.

Pătrăţelele care rămân în rândul epuizat al unei coloane se notează cu zero, iar

în tabelul ajutător cu o linie.

În exemplul nostru, cel mai mare număr este 32,7 în pătrăţelul A6/B3.

Acest pătrăţel îl notăm în tabelul ajutător cu 1, iar în tabelul principal, tabelul

..., repartizăm cantitatea de 180 t. Fiind repartizată astfel toată cantitatea

parcelei A6, restul pătrăţelelor vor primi zero (tab. 21). Căutăm acum numărul

următor ca mărime, care este în pătrăţelul A4/B5 din tabelul ajutător, iar în

tabelul principal repartizăm cantitatea de masă verde posibilă (140 t).

Tabelul 6.21

Optimizarea transportului de masă verde cu metoda aproximativă

(după Kotzig)

B1 B2 B3 B4 B5 Producţia

(t)

A1 280 0 0 200 0 480

A2 0 135 0 135 0 270

A3 0 0 0 75 245 320

A4 0 0 0 0 140 140

A5 0 0 245 45 0 290

A6 0 0 180 0 0 180

Consumul

(t)

280 135 425 455 385 1680

Prin aceasta, rândul A4 a fost epuizat şi deci restul pătrăţelelor se vor

nota cu zero în tabelul principal şi cu liniuţă în tabelul ajutător.

Aşadar, pătrăţelele se vor ocupa în ordinea şi modul arătate în tabelul

6.22.

Page 131: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

131Tabelul 6.22

Ordinea şi modul de completare a tabelului la optimizarea transportului

(după metoda Kotzig)

Nr. crt. Pătrăţelul

tabelului

Evaluarea

distanţei

Cantitatea

de masă-

verde

Rândul sau coloana

ocupată

1. A6/B3 32,7 180 Rândul A6

2. A4/B5 27,8 140 Rândul A4

3. A3/B5 27,4 245 Coloana B5

4. A1/B1 24,9 280 Coloana B1

5. A1/B4 24,4 200 Rândul A1

6. A2/B2 23,4 135 Coloana B2

7. A3/B4 20,6 75 Rândul A3

8. A5/B3 20,7 245 Coloana B3

R A5/B4 9,2 45 Rândul A5

R A2/B4 19,4 135 Tabelul

După ce toată cantitatea de masă verde este repartizată pe locurile de

consum, calculăm cheltuielile în t.km pentru transportarea masei verzi,

multiplicând fiecare cantitate din tabelul principal cu distanţa reală a aceluiaşi

pătrăţel al tabelului. Făcând calculele rezultă 2311 t.km.

6.3. METODA VOGEL

În literatura de specialitate este cunoscută şi sub denumirea de metoda

aproximativă de calcul VAM (Vogel’s Aproximation Method) şi a fost

prezentată de N.R. Reinfeld şi W. B. Vogel. Metoda are avantajul că scurtează

foarte mult timpul de calcul, pentru cazul când cererile sunt egale cu

disponibilul.

În cazul acestei metode, calculele se fac lângă tabelul iniţial (atât sub

acest tabel cât şi în dreptul lui). Rezolvarea presupune mai multe etape de

calcul ce se numerotează.

Page 132: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

132Pentru a ilustra modul de utilizare a acestei metode, luăm un exemplu

dintr-o unitate din judeţul Ialomiţa. Această unitate a cultivat în anii trecuţi

suprafaţa de 200 ha legume. Pentru această suprafaţă, precum şi pentru

răsadniţele necesare, cooperativa a transportat 4727 tone gunoi de grajd.

Transportul s-a efectuat din 11 puncte diferite, la 12 parcele şi răsadniţe

repartizate celor 4 brigăzi legumicole. Distanţa de transport a variat între 0-49

km. Modul cum a organizat unitatea transportul acestei cantităţi de gunoi este

cel prezentat în tabelul 6.23.

În total s-au efectuat 41370 t.km pentru care s-au cheltuit 134453 lei.

În folosirea metodei Vogel se pleacă de la tabelul iniţial care cuprinde

distanţele de transport (tab. 29).

Rezolvarea presupune mai multe etape de calcul, fiecare etapă

numerotându-se cu un număr de ordine.

În prima etapă se caută în fiecare rând şi în fiecare coloană primele

două distanţe care sunt cele mai scurte, dintre cele înscrise în pătrăţelele

coloanei sau rândului respectiv şi se face diferenţa între ele. Aceste diferenţe se

înscriu în partea dreaptă a tabelului, pentru rânduri şi sub tabel, pentru coloane,

în dreptul numărului de ordine al etapei întâi. În cazul exemplului nostru vom

avea

Pentru rânduri Pentru coloane

1-1 = 0 1 – 0 = 1

35-33 = 2 2-2,5 = 1,5

25-24 = 1 5-2 = 3

12-12= 0 3-1 = 2

2-1,5= 0,5 8-5 = 3

1-0= 1 1-1 = 0

1-0,5= 0,5 3-1,5 = 1,5

etc. etc.

Căutăm apoi care dintre diferenţele calculate este cea mai mare. În

exemplul nostru este 5, din coloana B9; în această coloană vom stabili deci

primul drum de transport şi anume spre locul de consum care are cea mai mică

distanţă (în exemplul nostru A10/B9). Din tabel se vede însă că acest loc are

nevoie de 555 t gunoi, dar de la locul de depozitare A10 nu i se pot repartiza

Page 133: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

133decât 250 t. Ca urmare, vom repartiza aceste 250 t urmând ca restul să fie

aduse de la un alt loc.

În etapa a doua de calcul, stabilim din nou diferenţele între cele mai

mici distanţe procedând la fel ca şi în prima etapă, însă fără a mai lua în calcul

rândul A10, a cărui producţie a fost total repartizată. În această a doua etapă,

diferenţa cea mai mare este 3 din coloana B3. În acest loc vom programa al

doilea transport şi anume, acolo unde este distanţa cea mai mică (A7/B3 – 2

km). Locul B3 are nevoie de 115 t, iar locul A7.

Page 134: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

134

Tabelul 6.23

Schema folosită de ....... unitate pentru organizarea transportului gunoiului de grajd Locul unde se Locul transportă de unde se transportă

Denu-mirea

Răsad-niţa

centru

Ghioaca Târziu Averescu Cincu Răsad-niţa

Brig. V.

Răsad-niţa

Brig. VI.

Broşteni Răsad-niţa

Brig. VII.

Baracă Răsad-niţa

Brig. VIII.

Casa apelor

Denumirea Simbol B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12

Existent tone

T.km

Sector zootehnic A1 400 600 700 1700 3800 Surdila Greci A2 150 60 210 8130 Cilibia A3 200 57 200 300 757 27710Lipia A4 15 40 50 30 135 1300 Topitorie cânepă A5 60 100 150 310 1340 Răsadniţă centru A6 50 55 50 50 180 385 1105 Tabăra de vară A7 60 60 60 60 240 510 Zoreşti A8 10 55 25 90 1300 Sector particular A9 50 50 600 Răsadniţă Simileanca

A10 250 250 375

Sector zootehnic Simileanca

A11 200 400 600 1200

Total tone 825 110 115 110 110 757 810 180 555 250 605 300 4727 41370

Page 135: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

133

BIBLIOGRAFIE

1. Ţigănescu, E., Mitruţ, D. – Bazele Cercetării Operaţionale, Ed. ASE, Bucureşti,1999.

2. Ţigănescu, E., Mitruţ, D. – Bazele cercetării operaţionale, Editura ASE, Bucureşti,1999.

3. Anderson, D.R., Sweeney, D.J., Williams, T.A. – Management Science,Quantitative Approaches to Decision Making, West Publishing Company,1988.

4. Anderson, D.R., Sweeney, D.J., Williams, T.A. – Management Science,Quantitative Approaches to Decision Making, West Publishing Company,1988.

5. Andrei A., Marin D., Oprescu Gh., Roman M., Mitruţ D. – Modele

dinamice de conducere a activităţii firmei, Editura ASE, Bucureşti, 2001.

6. Baciu, A., Pascu, A., Puşcas, E. – Aplicaţii ale cercetării operaţionale, Editura Militară, Bucureşti 1988.

7. Ballou, R.H. – Business Logistics Management (third edition), Prenntice Hall Inc., 1992.

8. Ballou, R.H. – Business Logistics Management (third edition), Prenntice Hall Inc., 1992.

9. Cochran W.G. şi Cocs G.M. – Experimental Designs. Ediţia a doua, John Wiley and Sons, New York, 1957.

10. Cohen K.S., Thenman E. – The Role of Management Games in Education and Research. Working Paper No 22, Graduate School of Industrial Administration, Carnegie Institute of Technology, Pitsburgh, Pa, September, 1960.

11. Davies O.L. (ed) – Design and Analysis of Industrial Experiments. Hafner Publishing Co, New York, 1956.

12. Dobre I., Badescu A., Irimiea Corina – Teoria deciziei. Studii de caz,

Editura ASE, Bucureşti, 2000.

13. Dragomirescu, M., Maliţa, M. – Programare neliniară, Ed. Ştiinţifică,Bucureşti,1972.

14. Dragomirescu, M., Maliţa, M. – Programare neliniară, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1972.

15. Dragomirescu, M., Maliţa, M. – Programare pătratică, Ed. Ştiinţifică,Bucureşti,1968.

16. Dragomirescu, M., Maliţa, M. – Programare pătratică, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1968.

17. Duţă, L.D., Fabian, Cs. – Metode matematice în optimizarea croirii, Ed. Tehnică, Bucureşti,1983.

18. Duţă, L.D., Fabian, CS. – Metode matematice în optimizarea croirii, Ed. Tehnică, Bucureşti,1983.

19. Friedman M., Savage L.J. – Planning Experiments Seeking Maxima. In Techniques of Statistical Analysis, Statistical Research Group, Columbia University, McGraw-Hill, Book Co, New York, 1947.

20. Guetzkow H. A. – Use of Simulation in the Study of Inter-Nation Relations. Vehavioral Science 4 (1959), 183 – 191.

Page 136: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

13421. Hare V.C. Jr., Hugli W.C. – Applications of Operations Research to

Production Scheduling and Inventory Control II. In What is Operations Research Accomplishing in Industry? Case Institute of Technology, Cleveland, Ohio, 1955.

22. Hillier, F.S., Lieberman, G.J. – Introduction to Operations Research, Mc. Graw - Hill Publishig Company,1990.

23. Hillier, F.S., Lieberman, G.J. – Introduction to Operations Research, Mc. Graw - Hill Publishig Company,1990.

24. Hoggatt A.C. – Experimental Business Game. Behavioral Science 4 (1959), 192 – 203.

25. Hotelling H. – Experimental Determination of the Maximum of a Function. Annals of Mathematical Statistics, 12 (1941), 20 – 45.

26. Ionescu, H., Dinescu, C., Savulescu, B. – Probleme ale cercetării operaţionale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1972.

27. Kahn H. – Use of Different Monte Carlo Sampling Techniques. In Meyer (20), pp. 146 – 190.

28. Lasdon, L. – Teoria optimizării sistemelor mari (traducere din lb. engleză), Editura Tehnică, Bucureşti,1975.

29. Lasdon, L., Teoria optimizării sistemelor mari (traducere din lb. engleză), Ed. Tehnică, Bucureşti,1975.

30. Lehmer D.H. – Mathematical Methods on Large Scale Computing Units. Annals of the Harvard University Computing Laboratory, 26 (1951), 141 – 146.

31. Malcolm D.G. – Bibliography on the Use of Simulation in Management Analysis. Operations Research, 8 (1960), 169 – 177.

32. Meyer H.A. (ed) – Symposium on Monte Carlo Methods. John Wiley and Sons, New York, 1956.

33. Mircea Ancau, Liviu Nistor – Tehnici numerice de optimizare în proiectarea asistată de calculator, Editura Tehnică, Bucureşti.

34. Modder, J.J., Elmaghraby, S.E. – Handbook of Operations Research,vol. I,Reinhold Company,1978.

35. Modder, J.J., Elmaghraby, S.E. – Handbook of Operations Research, vol. I,Reinhold Company,1978.

36. Morgenthaler G.W. – The Theory and Application of Simulation in Operations Research. In Progress in Operations Research, vol. I R.L. Ackoff (ed), John Wiley and Sons, New York, 1961, pp. 363 – 419.

37. Nadejde, I., Berghtaller, C., Zidaroiu, C., Sburlan, S. – Probleme de Cercetare Operaţională. Editura Acadamiei, Bucureşti 1971.

38. Nica V., Mustaţă Floare, Ciobanu Gh., Mărăcine V. – Cercetări operaţionale, Editura Matrix Rom, Bucureşti, 1998, pg. 1-125.

39. Nica, V.,Ciobanu, Gh.,Mustaţă, Fl., Mărăcine, V. – Cercetări Operaţionale, vol.I, Ed. Matrix Rom, Bucureşti,1998.

40. Nica, V.,Ciobanu, Gh.,Mustaţă, Fl., Mărăcine, V. – Cercetări operaţionale, vol.I, Editura Matrix Rom, Bucureşti,1998.

41. Oprescu Gh., Marin D., Andrei Anca, Mitruţ D. – Modelarea cibernetică a mecanismelor de reglare a sistemelor economice, Editura ASE, Bucureşti, 1999, pg. 15-237.

42. Oprescu Gh., Spircu Liliana, Scarlat E., Chiriţa Nora – Bazele ciberneticii economice. Partea I, Editura ASE, Bucureşti, 2001.

43. Plackett R.L., Burman J.P. – The Design of Optimum Multi-Factor Experiments. Biometrika, 33 (1946), 305 – 325.

44. Radu Serban – Optimizare cu Aplicatii in Economie, Editura Matrix Rom - Bucuresti, 1999.

Page 137: Bazele Cercetarii Operationale.pdf

13545. Radu Serban, Tudor Dumitrescu – Metode de Optimizare, Editura

Matrix Rom - Bucuresti, 1998. 46. Scarlat E., Chiriţa Nora – Cibernetica sistemelor microeconomice.,

Editura ASE, Bucureşti, 2000. 47. Shubik M. – Bibliography on Simulation, Gaming, Artificial Intelligence

and Allied Topics. Journal of the American Statistical Association, 55 (1950), 736 – 751.

48. Taussky Olga, Todd J. – Generation of Pseudo Random Numbers. In Meyer (20), pp. 15 – 28.

49. Thomas C.J. – Military Gaming. In Progress in Operations Research, vol. R.L. Ackoff (ed), John Wiley and Sons, New York, 1961, pp. 421 – 463.

50. Thomas C.J., Deemer W.L. – The Role of Operational Gaming in Operations Research. Operations Research 5 (1957), 1 – 27.

51. Tocher K.D. – The Art of Simulation. D. van Nostrand, Princeton, N.J., 1963.

52. Ţiganescu E., Mitru D. – Bazele cercetării operaţionale, Editura ASE, Bucureşti, 2001.

53. Ţiganescu E., Roman M. – Macroeconomie, Editura ASE, Bucureşti, 2001.

54. Ţigănescu, E., Mitruţ, D. – Bazele Cercetării Operaţionale, Ed. ASE, Bucureşti,1999.

55. Ţigănescu, E., Mitruţ, D. – Bazele cercetării operaţionale, Editura ASE, Bucureşti,1999.

56. Young J.P. – History and Bibliography of War Gaming. Saff Paper ORO – SP – 13, Operaţions Research Office. The John Hokins University, Chevy Chase Md., Aprilie, 1957.

57. * * * – The RAND Corporation – A Million Randon Digits. The Free Press Glecoe, III, 1955.

58. * * * – Symposium of Monte Carlo – Journal of the Royal Statistical Society. Series B, 16 (1954), 23 – 75.