COPERTA.DOC

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCURETI FACULTATEA DE ENERGETIC

LUCIA DUMITRIU CTLIN DUMITRIU

BAZELE ELECTROENERGETICII

BUCURETI, 2004I

CUPRINS

CAP. 1. BAZELE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI 11.1. MRIMI CE CARACTERIZEAZ STRILE 1ELECTROMAGNETICE ALE CORPURILOR1.1.1. Starea de electrizare 11.1.2. Starea de polarizaie 11.1.3. Starea de magnetizaie 21.1.4. Starea electrocinetic 21.2. MRIMI CE CARACTERIZEAZ CMPUL ELECTROMAGNETIC 31.3. CMPUL ELECTRIC IMPRIMAT 51.4. REGIMURILE DE DESFURARE A FENOMENELOR 5ELECTRICE I MAGNETICE1.5. CONDUCTOARE N CMP ELECTROSTATIC 61.6. LEGILE TEORIEI MACROSCOPICE A 6ELECTROMAGNETISMULUI1.6.1. Legea fluxului electric 71.6.2. Legea fluxului magnetic 101.6.3. Legea induciei electromagnetice 121.6.4. Legea circuitului magnetic 131.6.5. Legea conservrii sarcinii electrice 151.6.6. Legea conduciei electrice (legea lui Ohm) 161.6.8. Legea legturii n cmp electric181.6.9. Legea polarizaiei temporare181.6.10. Legea legturii n cmp magnetic191.6.11. Legea magnetizaiei temporare191.6.12. Legea electrolizei211.7. ENERGIA I FORELE CMPULUI ELECTROSTATIC211.7.1. Energia cmpului electrostatic211.7.2. Densitatea de volum a energiei cmpului electrostatic221.7.3. Teoremele forelor generalizate n cmp electric221.8. ENERGIA I FORELE CMPULUI MAGNETIC241.8.1. Energia cmpului magnetic241.8.2. Densitatea de volum a energiei cmpului magnetic251.8.3. Teoremele forelor generalizate n cmp magnetic25CAP. 2. CIRCUITE ELECTRICE272.1. BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE272.1.1. Ipotezele teoriei circuitelor electrice cu parametri concentrai272.1.2. Elemente de circuit28

1.6.7. Legea transformrii energiei electromagnetice n procesul 17 conduciei electrice (legea lui Joule)II

2.1.2.1. Rezistorul 292.1.2.2. Bobina 302.1.2.3. Condensatorul 332.1.2.4. Sursa de tensiune 352.1.2.5. Sursa de curent 362.1.3. Circuite electrice 372.1.3.1. Clasificarea circuitelor electrice 372.1.3.2. Regimurile de funcionare ale circuitelor electrice 382.1.4. Teoremele generale ale teoriei circuitelor elctrice 392.1.4.1. Teoremele lui Kirchhoff 392.1.4.2. Teorema lui Tellegen 402.1.4.3. Teorema conservrii puterilor 402.1.4.4. Teorema surselor ideale cu aciune nul (Vaschy) 412.1.5. Metoda simbolic de reprezentare n complex a mrimilor 41 sinusoidale2.1.6. Ecuaiile lui Kirchhoff n form simbolic 422.1.7. Legea lui Ohm n complex 432.1.8. Regula divizorului de tensiune 442.1.9. Regula divizorului de curent 442.1.10. Teorema de conservare a puterilor 452.1.11. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui 45Thvenin)2.1.12. Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui 46Norton)2.2. CIRCUITE TRIFAZATE 472.2.1. Sisteme de mrimi trifazate 472.2.2. Conexiunile circuitelor trifazate 502.2.2.1. Conexiunea stea n regim simetric 512.2.2.2. Conexiunea triunghi n regim simetric 522.2.3. Circuite trifazate cu cuplaje magnetice 532.2.3.1. Receptor trifazat n conexiune stea cu cuplaje magnetice 532.2.3.2. Receptor trifazat n conexiune triunghi cu cuplaje magnetice 542.2.3.3. Linie trifazat cu cuplaje magnetice ntre conductoarele 54 fazelor2.2.4. Analiza circuitelor trifazate alimentate cu tensiuni simetrice 542.2.4.1. Receptor dezechilibrat n conexiune stea 552.2.4.2. Receptor echilibrat n conexiune stea 572.2.4.3. Receptor dezechilibrat n conexiune triunghi 582.2.4.4. Receptor echilibrat n conexiune triunghi 602.2.5. Puteri n circuite trifazate 632.2.5.1. Puteri n sistemele trifazate funcionnd n regim nesimetric 632.2.5.2. Puteri n sistemele trifazate funcionnd n regim simetric 642.2.6. Metoda componentelor simetrice 662.2.6.1. Componentele simetrice ale sistemelor de mrimi trifazate 66 nesimetrice2.2.6.2. Tratarea cuplajelor magnetice n componente simetrice 67

2.2.6.4. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate692.3. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL732.3.1. Generaliti732.3.2. Mrimi periodice732.3.3. Caracterizarea mrimilor periodice nesinusoidale742.3.4. Puteri n regim nesinusoidal75

2.2.6.3. Analiza circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni 68 nesimetrice

CAP. 3. MAINI I ACIONRI ELECTRICE 773.1. TRANSFORMATORUL ELECTRIC 773.1.1. Principiul de funcionare 773.1.2. Teoria tehnic a transformatorului electric lund n considerare 78 pierderile n fier3.1.3. Bilanul puterilor transformatorului electric 813.1.4. Randamentul transformatorului electric 833.2. MOTORUL ASINCRON 843.2.1. Principiul de funcionare. Regimurile mainii 843.2.2. Teoria tehnic a mainii asincrone n regim de motor 863.2.3. Bilanul puterilor i randamentul motorului asincron trifazat 883.3. ACIONRI ELECTRICE 903.3.1. Sisteme de acionare electric 903.3.2. Ecuaia fundamental a sistemelor de acionare electric 913.3.3. Reducerea cuplurilor i a momentelor de inerie la arborele 92 motorului3.3.4. Reducerea micrilor de translaie la micri de rotaie 943.3.5. Caracteristicile mecanice ale mainilor de lucru 963.3.5.1. Maini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu viteza liniar 96 sau cu viteza unghiular a mecanismului3.3.5.2. Maini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu unghiul de 98rotaie al unor organe componente ale mainii3.3.5.3. Maini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu cursa 983.3.6. Alegerea motoarelor electrice de acionare 993.3.6.1. Regimurile de funcionare ale mainilor de lucru 993.3.6.2. Serviciile de funcionare ale motoarelor electrice 993.3.6.3. Alegerea tipului motoarelor electrice de acionare n funcie de caracteristicile mecanice ale mainilor de lucru3.3.6.4. Alegerea puterii nominale a motoarelor electrice de acionare pe baza condiiilor de nclzire 100

1023.3.6.5. Verificri netermice la alegerea motoarelor electrice 114CAP. 4. REGIMURI DE FUNCIONARE A INSTALAIILOR ELECTROENERGETICE4.1. MODELAREA ELEMENTELOR COPMPONENTE ALE4.1.1. Ipoteze de lucru1174.1.2. Modelarea generatoarelor1184.1.3. Modelarea consumatorilor1194.1.4. Modelarea reelei120

SISTEMULUI ELECTROENERGETIC 116

117

4.2. REPREZENTAREA PRIN CUADRIPOLI A INSTALAIILOR ELECTRICE4.3. SCHEMELE ELECTRICE ECHIVALENTE ALE REELELOR ELECTRICE. CALCULUL PARAMETRILOR ELECTRICIECHIVALENI 120

1224.3.1. Schemele electrice echivalente ale liniilor electrice 1224.3.2. Schemele electrice echivalente ale transformatoarelor de putere 1244.4. CALCULUL CIRCULAIILOR DE CURENI I DE PUTERI N REELELE ELECTRICE4.4.1. Alegerea metodelor de calcul a regimului permanent de funcionarea SEE 128

1284.4.2. Precizri privind efectuarea calculelor 1284.5. CALCULUL PIERDERILOR DE PUTERE I ENERGIE N REELELE ELECTRICE4.6.1. Msuri de reducere la nivelul proiectrii1324.6.2. Msuri de reducere care nu necesit investiii mari1334.6.3. Msuri de reducere care necesit investiii mari1334.6.4. Msuri de reducere n ntreprinderi1344.6.5. Compensarea local a puterii reactive1344.6.6. Msuri de mbuntire a factorului de putere n ntreprinderi1364.6.7. Funcionarea n paralel a transformatoarelor1374.7. CURBE DE SARCIN. INDICATORI AI CURBELOR DESARCIN.1394.7.1. Indicatorii curbelor de sarcin1394.7.2. Reeaua de distribuie de medie tensiune ideal143BIBLIOGRAFIE144

4.6. MSURI PENTRU REDUCEREA PIERDERILOR DE PUTERE I ENERGIE 129

131

CAP.1. BAZELE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI

n: Strile i fenomenele fizice se caracterizeaz cu ajutorul mrimilor fizice care se clasific

mrimi primitive, care se introduc pe cale experimental;mrimi derivate, care se definesc cu ajutorul mrimilor primitive.Teoria macroscopic a fenomenelor electromagnetice utilizeaz ase specii de mrimiprimitive specifice, care caracterizeaz complet starea electromagnetic a corpurilor i starea cmpului electromagnetic.

1.1. MRIMI CE CARACTERIZEAZ STRILE ELECTROMAGNETICE ALE CORPURILOR

1.1.1. Starea de electrizare (de ncrcare electric):

- pentru un corp mic - este caracterizat global de sarcina electric (q) - mrime primitiv scalar, dotat cu semn. Unitatea de msur n SI se numete coulomb [C].- pentru un corp mare, caracterizarea strii de ncrcare electric se face local (ntr-unpunct), cu ajutorul unor mrimi derivate, numite densiti de sarcin electric:

densitatea lineic: r dlim ql

; (1.1.1)l l 0

densitatea de suprafa: r l

dlim

q s

; (1.1.2)s A 0 A

densitatea de volum: r dlim qV

. (1.1.3)V V 0 V

Corpurile ncrcate cu sarcini electrice i asociaz un sistem fizic numit cmp electric, prin care se transmit ntre corpuri fore i cupluri electrice.Dup modul cum transmit starea de electrizare se disting dou clase de materiale deimportan esenial n industria electrotehnic:

materiale electroconductoare - din care categorie fac parte: metalele i aliajele lor, crbunele, anumite soluii de sruri, baze, acizi. Dintre aceste materiale deosebit de importante pentru industria electrotehnic sunt Cu i Al, din care se realizeaz conductoarele liniilor electrice aeriene i n cablu i nfurrile mainilor i transformatoarelor electrice. Materialele electroconductoare prezint proprietatea c la trecerea curentului electric, n ele se dezvolt pierderi de putere prin efect Joule, proporionale cu ptratul intensitii curentului.

materiale electroizolante, numite i materiale dielectrice, din care fac parte: lemnul, sticla, mtasea, porelanul, hrtia, uleiul, lacurile, aerul uscat, bachelita, cauciucul, policlorura de vinil etc. n materialele dielectrice folosite n industria electrotehnic se dezvolt pierderi de putere proporionale cu ptratul tensiunii i cu o mrime de material numit tangenta unghiului de pierderi.

1.1.2. Starea de polarizaie:

- pentru un corp mic este caracterizat global de momentul electric ( p ) mrime primitiv vectorial avnd unitatea de msura coulomb metru [Cm].- pentru un corp de dimensiuni mari, starea de polarizaie se caracterizeaz local cu ajutorul densitii de volum a momentului electric, mrime derivat vectorial, numit polarizaie ( P ).Metalele sunt practic nepolarizabile electric.n cazul dielectricilor, starea de polarizaie apare numai n prezena cmpului electric idispare cnd acesta se anuleaz. O astfel de polarizaie se numete temporar i estecaracterizat de momentul electric temporar p t .Unele materiale precum cristalele de cuar, sarea Seignette i turmalina, au o stare de polarizaie independent de cmpul electric, numit polarizaie permanent i caracterizat demomentul electric permanent p p .Cele dou tipuri de polarizaie nu se exclud, astfel nct att momentul electric ct i polarizaia satisfac relaiile:

p p t p p , (1.1.4)

P P t P p . (1.1.5)1.1.3. Starea de magnetizaie a unui corp mic se caracterizeaz global cu ajutorul mrimii primitive vectoriale numit moment magnetic ( m ), care se msoar n amper metru ptrat[Am2]. Caracterizarea strii de magnetizare a unui corp mare se face local, cu ajutoruldensitii de volum a momentului magnetic, mrime derivat numit magnetizaie ( M ).Unele corpuri ajung n stare de magnetizaie numai n prezena cmpului magnetic, starea numindu-se magnetizaie temporar.Altor corpuri le este proprie starea de magnetizaie, independent de prezena cmpului magnetic. Aceast stare se numete magnetizaie permanent.Momentul magnetic i magnetizaia satisfac relaiile:

m m t m p , (1.1.6)

M M t M p . (1.1.7)

1.1.4. Starea electrocinetic a conductoarelor se caracterizeaz cu ajutorul mrimii primitive scalare numit intensitate a curentului electric de conducie (i), avnd ca unitate de msur amperul [A]. Aceasta se refer la o anumit seciune a conductorului. Pentru caracterizarea local a strii electrocinetice se introduce mrimea derivat numita densitate acurentului de conducie ( J ), relaia dintre cele dou mrimi fiind:

i J n S dA . (1.1.8)SUnitile de msur SI ale acestor mrimi sunt date n Tabelul 1.1.

Mrime primitivSimbolUnitateMrime derivatSimbolUnitate

Sarcina electric

Densitate lineic

lC/m

qCDensitate superficial

sC/m2

Densitate volumetric

vC/m3Momentul electricpCmPolarizaiaPC/m2Momentul magneticmAm2MagnetizaiaMA/mIntensitatea curentuluielectric de conducie

i

ADensitatea curentuluielectric de conducie

J

A/m2

Tabelul 1.1.1.2. MRIMI CE CARACTERIZEAZ CMPUL ELECTROMAGNETIC

Starea cmpului electromagnetic este caracterizat macroscopic prin urmtoarele specii de mrimi:intensitatea cmpului electric ( E ), avnd unitatea de msura volt pe metru {V/m]; inducia electrica ( D ), cu unitatea de msura coulomb pe metru ptrat [C/m2]; intensitatea cmpului magnetic ( H ), msurat n amper pe metru [A/m];inducia magnetic ( B ), a crei unitate de msur este tesla [T].Aceste specii de mrimi de stare se introduc cu ajutorul a dou specii de mrimi primitive:vectorul cmp electric n vid ( E v ) i vectorul inducie magnetic n vid ( Bv ).ntre mrimile de stare ale cmpului electric ( E , D ), respectiv ntre cele ale cmpului magnetic ( H , B ), exist urmtoarele relaii:

D e E , (1.2.1)B m H . (1.2.2) Cu ajutorul acestor mrimi se definesc patru mrimi derivate importante n cadrul teorieimacroscopice a electromagnetismului:tensiunea electric (U)- unitate de msur voltul [V];fluxul electric (Y)- unitate de msur coulombul [C];tensiunea magnetic (Um)- unitatea de msur amper (A) sau amper-spir (A.sp);fluxul magnetic (F) cu unitatea de msur weberul (Wb). Relaiile de definiie sunt urmtoarele:

tensiunea electric ntre dou puncte A,B, calculat de-a lungul unei curbe deschise,C, este:

u AB d B Eds , (1.2.3)A(C )

unde ds este elementul de linie orientat (Fig. 1.2.1).

Fig. 1.2.1

Dac integrala se calculeaz pe o curb nchis, , atunci mrimea corespunztoare se numete tensiune electromotoare (t.e.m.) i se exprim cu relaia:

d e E ds . (1.2.4)

fluxul electric printr-o suprafa oarecare, deschis, S, este:

d S DnS dA , (1.2.5)Sunde nS este normala la suprafa. Dac suprafaa se sprijin pe o curb nchis, , atuncirelaia (1.2.5) devine:

d S DnSS dA , (1.2.6)

unde dA reprezint elementul de arie neorientat.

Sensul normalei la suprafa este asociat cu sensul de parcurgere al curbei dup regula burghiului drept (Fig. 1.2.2).

Fig. 1.2.2

Dac se calculeaz fluxul electric printr-o suprafa nchis, , atunci relaia de definiie devine:d Dn dA . (1.2.7)

Normala la suprafaa nchis este prin definiie normala exterioar.

tensiunea magnetic ntre dou puncte A,B, se definete ca i tensiunea electric (Fig.1.2.1) de-a lungul unei curbe deschise:

umAB d B H ds . (1.2.8)A(C )

Dac integrala se efectueaz pe o curb nchis, atunci se definete tensiunea magnetomotoare (t.m.m.):

u mm d H ds . (1.2.9)

fluxul magnetic se definete ca i fluxul electric (Fig. 1.2.2), fie prin suprafee deschise, fie prin suprafee nchise, cu relaiile:

d S BnS dA , (1.2.10)S

d S BnSS dA , (1.2.11)

d Bn dA . (1.2.12)Not. Rmn valabile toate observaiile fcute la fluxul electric n legtura cu normalele la suprafee.

Alte mrimi derivate importante sunt: solenaia ( ), rezistena (R), capacitatea (C), inductivitatea (L) etc.n Tabelul 1.2 este prezentat corespondena dintre aceste mrimi.

Mrime primitivSimbolUnitateMrime derivatSimbolUnitateIntensitateacmpului electricEV/mTensiunea electricUVInducia electricDC/m2Fluxul electricYCIntensitateacmpului magneticHA/mTensiunea magneticUmA (A.sp)Inducia magneticBTFluxul magneticFWb

Tabelul 1.2

1.3. CMPUL ELECTRIC IMPRIMAT

Experiena arat c starea electrocinetic a conductoarelor este produs uneori de cauze de natur neelectromagnetic (de exemplu de o pil galvanic). Efectul acestor cauze se echivaleaz cu efectul unui cmp electric ce ar determina aceeai stare electrocinetic. Acest cmp se numete cmp electric imprimat. El este localizat fie n volumul fie pe suprafaa de contact a corpurilor conductoare i se caracterizeaz local prin mrimea derivat vectorialnumit intensitatea a cmpului electric imprimat- Ei .Ei este o mrime de material i caracterizeaz conductoarele neomogene din punct de vedere structural, termic, chimic i accelerate.Proprietile globale ale cmpului electric imprimat n raport cu o anumit curb suntexprimate de integrala de linie a vectorului Ei n raport cu acea curb, mrimeacorespunztoare numindu-se tensiune electromotoare imprimat:

ei(C ) Ei ds . (1.3.1)C

1.4. REGIMURILE DE DESFURARE A FENOMENELOR ELECTRICE I MAGNETICE

Dup modul de variaie n timp a mrimilor electrice i magnetice, strile electromagnetice se pot desfura n urmtoarele regimuri:- regimul static, n care mrimile de stare nu variaz n timp i nu se produc transformrienergetice; n acest regim fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice i pot fi studiate n cadrul unor capitole distincte ale teoriei, respectiv electrostatica i magnetostatica;- regimul staionar, n care mrimile nu variaz n timp, dar interaciunile cmpuluielectromagnetic cu corpurile sunt nsoite de transformri energetice;- regimul cvasistaionar, n care mrimile variaz n timp, dar suficient de lent nct s sepoat neglija curenii de deplasare n raport cu cei de conducie, i influena lor magnetic peste tot, cu excepia dielectricului condensatoarelor; este cel mai important regim din punct de vedere al aplicaiilor tehnice;- regimul nestaionar (regim variabil) caracterizat de cea mai general form de variaie ntimp a mrimilor, n care intervine fenomenul de radiaie electromagnetic.1.5. CONDUCTOARE N CMP ELECTROSTATIC

La introducerea lui ntr-un cmp electric, un conductor neutru se electrizeaz (electrizare prin influen). Fenomenul const n repartizarea unor sarcini electrice pe suprafaa conductorului, fr modificarea sarcinii sale totale, nule n cazul conductoarelor neutre.n regim electrostatic este ndeplinit condiia de echilibru electrostatic:

E Ei 0 . (1.5.1)n cazul conductoarelor omogene i neaccelerate, cmpul electric imprimat este nul,

Ei 0 , (1.5.2)i, n consecin, cmpul electrostatic n aceste conductoare este de asemenea nul:

E 0 . (1.5.3)n fiecare punct al suprafeei acestor conductoare cmpul electrostatic are numai component perpendicular pe suprafa. n caz contrar, particulele purttoare de sarcini electrice s-ar deplasa n conductor sau pe suprafaa sa i nu ar fi ndeplinit condiia de echilibru electrostatic.Conductoarele omogene i neaccelerate, au n regim electrostatic urmtoarele proprieti:

1. Toate punctele din interiorul unui conductor au acelai potenial. Deci suprafeele acestor conductoare sunt echipoteniale i liniile de cmp sunt perpendiculare pe ele.Demonstraie: E = 0, deci UAB = V(A) V(B) = 0;2. Sarcina electric a conductoarelor este repartizat superficial, iar sarcina dininteriorul conductoarelor este nul;3. La suprafaa conductoarelor inducia electric este egal n orice punct cu densitateade suprafa a sarcinii electrice;4. n cavitile fr sarcini electrice din interiorul conductoarelor cmpul electric estenul. Acest efect se folosete n instalaiile de .t. pentru ecranarea (prin conductoare legate la pmnt) a locurilor de observaie n care se afl personal operator;5. Orice suprafa echipotenial din cmp poate fi nlocuit cu o suprafaconductoare fr a perturba cmpul (principiul metalizrii suprafeelor echipoteniale).

1.6. LEGILE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI

Legi- relaii determinate experimental care exprim raporturi obiective i eseniale ntre fenomene. Aceste relaii care se stabilesc prin generalizarea datelor experimentale, pe baza abstractizrii, se numesc legi.Teoreme- relaiile care se pot deduce prin analiz logic din altele (n ultim instan din legi).Legile teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice se clasific n:

- legi generale valabile pentru orice fel de corpuri, indiferent de regimul de desfurare al fenomenelor i independent de caracteristicile de material ale mediului. n aceast categorie intr:- legea fluxului electric,- legea fluxului magnetic,- legea induciei electromagnetice,- legea circuitului magnetic,- legea conservrii sarcinii electrice,- legea transformrii energiei electromagnetice n procesul conducieielectrice (legea lui Joule),- legea legturii n cmp electric,- legea legturii n cmp magnetic;

- legi de material sunt valabile numai pentru anumite corpuri, fiind dependente de caracteristicile de material ale acestora:- legea polarizaiei temporare,- legea magnetizaiei temporare,- legea conduciei electrice (legea lui Ohm),- legea electrolizei.

1.6.1. Legea fluxului electric

Corpurilor ncrcate cu sarcini electrice li se asociaz un cmp electric.Liniile de cmp electric sunt linii deschise care pleac de pe corpurile ncrcate cu sarcinipozitive i ajung pe corpurile ncrcate cu sarcini negative (Fig. 1.6.1).Suprafeele perpendiculare n orice punct pe liniile de cmp se numesc suprafeeechipoteniale.Vectorul intensitii cmpului electric i vectorul induciei electrice sunt tangeni n fiecarepunct la linia de cmp i, fiind funcii de punct toate punctele aceleiai suprafee echipoteniale. E (r) , respectiv D(r ) , au valori constante n

a) b)Fig. 1.6.1

Dac nconjurm cu o suprafa nchis un corp ncrcat cu sarcin electric, toate liniile de cmp vor strbate suprafaa. Fluxul electric este mrimea ce caracterizeaz cmpul electric din punct de vedere al valorilor pe care le ia inducia electric n toate punctele suprafeei.n orice moment de timp fluxul electric Y printr-o suprafa nchis S este egal cu sarcina electric qVS localizat n domeniul delimitat de aceast suprafa:

d Dn dA qV , (1.6.1)

unde n reprezint normala exterioar la suprafaa nchis (Fig. 1.6.2).

Fig. 1.6.2Trecnd de pe suprafaa n domeniul (arbitrar) delimitat de aceasta, V , (cu teorema lui Stokes) i exprimnd sarcina electric n raport cu densitatea ei de volum, se obine forma local a legii n domenii de continuitate i netezime a proprietilor electrice:

V

de unde rezult divDn dA rV dV , (1.6.2)V

divD rV . (1.6.3)

La o suprafa de discontinuitate (ntre dou medii cu proprieti electrice diferite) ncrcat cu densitate de suprafa a sarcinii electrice se obine o form local valabil n toate punctele suprafeei:

D2 n D1n r s . (1.6.4)

Dac suprafaa nu este ncrcat cu sarcin, se obine relaia de conservare a componentelor normale ale induciei electrice:

D2 n D1n . (1.6.5)

Aplicaii.

Legea fluxului electric poate fi folosit pentru calculul intensitii cmpului electric n cazul configuraiilor ce prezint simetrie.

Calculul intensitii cmpului electric produs de un corp punctiform ncrcat cu sarcina q.

Fig. 1.6.3

Din legea fluxului electric rezult:

Dn dA D(R) dA D( R) 4p R 2 qV .

Din aceast relaie, innd seama de (1.2.1) se obine intensitatea cmpului electric n orice punct de pe suprafaa (sfera de raz R):

E (R) D( R)e qV .4p e R 2

Calculul capacitii condensatorului plan.

Capacitatea condensatorului plan poate fi calculat cu ajutorul legii fluxului electric aplicat pe o suprafa nchis ce trece printr-o armtur i prin dielectric, sau pe baza proprietilor conductoarelor omogene.

Fig. 1.6.4

Armturile condensatorului fiind conductoare omogene, sarcina electric cu care se ncarc este repartizat pe suprafaa lor dinspre dielectric, cu o densitate egal cu inducia electric n fiecare punct. innd seama de relaiile (1.2.1) i (1.2.3) se obine capacitatea condensatorului plan:

d qCU q Ed q q deA eA ,d

unde este permitivitatea dielectricului.n cazul unui condensator plan cu dielectric neomogen relaia de mai sus devine:

enC A k .k 1 d k

Calculul capacitii condensatorului cilindric.

Fig. 1.6.5

Alegnd o suprafa nchis S1 S 2 Slat de form cilindric cu raza r, aplicndlegea fluxului electric i innd seama de faptul c fluxul electric prin suprafeele S1 i S2 este nul (liniile de cmp sunt pe direcia razei de la armtura interioar ncrcat pozitiv, la cea exterioar ncrcat negativ) rezult

DndA DndASlat DdASlat D 2prl q ,

unde q reprezint sarcina cu care se ncarc armtura interioar.Calculnd D, E i apoi U ntre armturi, rezult:

C qU 2pe l . ln R2 R1n cazul unui dielectric neomogen cu n straturi, relaia devine:

C 2 p l .Rln k 1n Rk k 1 e k

Tubul de flux electric - poriunea de cmp delimitat de totalitatea liniilor de cmp care trec prin toate punctele unui contur nchis (Fig. 1.6.6).

Fig. 1.6.6

Se consider o suprafa nchis S1 S 2 Slat pe care se aplic legea fluxului electric.Sensul fluxurilor 1 i 2 prin cele dou suprafee S1 i S2 este indicat de versorii celor dounormale n1 respectiv n 2 la cele dou suprafee. Deoarece pe suprafaa lateral n Drezult c prin aceast suprafa fluxul este nul i

Dn dA Dn dAS1 Dn dAS2 Dn1 dAS1 Dn 2 dA 1S 2 2 qV .Dac n interiorul suprafeei nu exist sarcini electrice1 2 .Rezult c n regiunile din spaiu n care nu exist sarcini electrice, fluxul cmpului electric prin orice seciune transversal a unui tub de flux are aceeai valoare. Aceasta reprezint proprietatea de conservare a fluxului electric de-a lungul unui tub de linii de cmp.

1.6.2. Legea fluxului magnetic

Liniile de cmp magnetic (liniile vectorului induciei magnetice) sunt linii nchise.Aceast constatare conduce la formularea legii fluxului magnetic: n orice moment fluxul magnetic printr-o suprafa nchis este nul:d Bn dA 0 . (1.6.6)

innd seama de relaia de definiie prelucrat cu ajutorul teoremei Gauss-Ostrogradski se obine forma local a legii, pentru domenii de continuitate i netezime ale proprietilor magnetice (ale induciei magnetice):

adic divB dVV 0 , (1.6.7)div B 0 . (1.6.8)Relaia (1.6.8) arat c nu exist sarcini magnetice de tipul celor electrice.La suprafee de discontinuitate forma local a legii fluxului magnetic este:

B2n B1n 0 , (1.6.9)

adic se obine relaia de conservare a componentelor normale ale induciei magnetice:

B2n B1n . (1.6.10)

Aplicaii.

Definind tubul de flux magnetic similar cu cel electric, se consider o suprafanchis S1 S 2 Slat (Fig. 1.6.7) pe care se aplic legea fluxului magnetic.Pe baza acelorai considerente de la tubul de flux electric se obine relaia de conservare a fluxului magnetic de-a lungul unui tub de linii de cmp.

1 2 .

Fig. 1.6.7

Prin orice suprafa deschis care se sprijin pe aceeai curb nchis fluxul magnetic este acelai.

Fig. 1.6.8

Fie dou suprafee S i S ce se sprijin pe curba . Se consider suprafaa1 2S S i se aplic legea fluxului magnetic:1 2

Bn dA Bn dAS 1 Bn dAS 2 Bn S 1 dAS 1 Bn S S 2 2 dA 1 2 0 .

Rezult c oricare ar fi S i S fluxul magnetic se conserv:1 2

1 2 .1.6.3. Legea induciei electromagnetice

Enun: Tensiunea electromotoare indus n lungul unei curbe nchise G este egal cu viteza de scdere a fluxului magnetic prin orice suprafa deschis ce se sprijin pe curba G:

d S e . (1.6.11)dt

innd seama de relaiile de definiie ale celor dou mrimi, se obine forma explicit

Eds ddt S Bn S dA , (1.6.12)

n care elementul de arc ds pe curba i versorul normalei n S la suprafaa S sunt asociatedup regula burghiului drept (Fig. 1.2.2).

Dezvoltnd derivata substanial pentru medii n micare i innd seama de forma local a legii fluxului magnetic, se obine urmtoarea form integral dezvoltat a legii:

BE ds n S dAS t rot Bxv n S dA etS em , (1.6.13)

unde et se numete t.e.m. indus prin transformare, iar em t.e.m. indus prin micare.

n domenii de continuitate i netezime a proprietilor fizice locale, aplicnd teorema luiStokes membrului stng al ecuaiei (1.6.13), se obine forma local a legii:

rot E B rot vx B . (1.6.14)t

Pentru medii imobile, ecuaia devine

rot E B , (1.6.15)t

cunoscut sub numele de a doua ecuaie a lui Maxwell.

La suprafee de discontinuitate se conserv componenta tangenial a intensitii cmpului electric:

Aplicaii. Et 2 Et1 . (1.6.16)

1. Principiul producerii t.e.m. alternative. Funcionarea generatoarelor de c.a. are la baz fenomenul induciei electromagnetice, care se produce ca urmare a existenei unui cmp magnetic nvrtitor (produs de rotorul mainii care este un electromagnet rotit de turbin) ce ntretaie spirele nfurrii statorice n care induce t.e.m. datorit componentei em.2. Principiul transformatorului electric. Datorit variaiei fluxului magnetic din primar, nsecundarul transformatorului se induce prin transformare (et) o t.e.m. de aceeai frecven cu cea a mrimilor primare.3. n regim static i n regim staionar legea induciei electromagnetice are forma:

e Eds 0 ,

numit teorema potenialului electrostatic, respectiv electrocinetic staionar.Considernd curba o bucl a unui circuit electric i descompunnd-o ntr-o sum de curbe deschise Ck, ce urmresc tensiunile la bornele laturilor care formeaz bucla, se obine:

e Eds

k Ck E ds (A ) u k 0 ,lk bhrelaie ce reprezint teorema a doua a lui Kirchhoff: suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor lk ce aparin buclei bh este nul.

1.6.4. Legea circuitului magnetic

Enun: Tensiunea magnetomotoare de-a lungul unei curbe nchise G este egal cu suma dintre solenaia corespunztoare curenilor de conducie care strbat o suprafa deschis S , mrginit de curba G i viteza de cretere a fluxului electric prin suprafaa respectiv:

umm d S S . (1.6.17)dtAl doilea termen din partea dreapt a ecuaiei se numete curent hertzian.Folosind relaiile de definiie ale mrimilor, se obine forma integral explicit a legii:

H ds J n S dAS ddt S Dn S dA , (1.6.18)

n care elementul de arc ds pe curba i versorul normalei n S la suprafaa S sunt asociatedup regula burghiului drept (Fig. 1.2.2).n cazul corpurilor imobile relaia are forma:

H ds J n S dAS D n S S t dA , (1.6.19)termenul al doilea din partea dreapt fiind numit curent de deplasare.Se numete regim cvasistaionar regimul variabil n care se poate neglija curentul de deplasare din legea circuitului magnetic, peste tot, cu excepia dielectricului condensatoarelor.n domenii de continuitate i netezime a proprietilor fizice, aplicnd teorema lui Stokes membrului stng i n ipoteza corpurilor imobile, se obine forma local a legii:

rot H J D , (1.6.20)tnumit prima ecuaie a lui Maxwell.La suprafeele de discontinuitate forma local este:H t 2 H t1 J s . (1.6.21)Dac pe suprafaa de discontinuitate nu exist pnze de curent, are loc conservarea componentelor tangeniale ale intensitii cmpului magnetic:H t 2

Observaie: H t1 . (1.6.22)

Solenaia are urmtoarea semnificaie:- pentru o suprafa SG perpendicular pe axa unui conductor parcurs de curentul electric deconducie i, i a crei arie este cel puin egal cu cea a conductorului: S i ;AS- dac aria suprafeei SG este mai mic dect cea a conductorului: S

- dac SG taie cele N spire, parcurse de curentul i, ale unei bobine: S JAS

N i . i ;AcondAplicaii.

n regim staionar legea capt forma:

respectiv umm S , (1.6.23)

H ds J n S S dA , (1.6.24)

numit teorema lui Ampre.

Calculul intensitii cmpului magnetic produs de un conductor cilindric circular de raz a, rectiliniu, infinit, parcurs de curentul i, uniform distribuit pe seciunea sa (Fig.1.6.9).Aplicnd teorema lui Ampre i calculnd pe rnd cei doi termeni, se obine:

u mm (r ) H ds Hds H ds H 2p r ,

oricare ar fi r n raport cu a.

Fig. 1.6.9

Solenaia se calculeaz n cele dou domenii:

(r ) 0J p r 2

i, i p r 2p a 2 r 2i ,a 2 r a,

r a

Egalnd termenii din teorem se obine:

H (r ) ir , r a2p a 2. i , r a2p r

Variaia lui H(r) este prezentat n Fig. 1.6.91.6.5. Legea conservrii sarcinii electrice.

Dac se consider o suprafa nchis care trece prin dielectrici (nu este strbtut de cureni de conducie), sarcina electric n interiorul suprafeei (reprezentnd un sistem izolat) rmne constant

q ct., (1.6.25)

oricare ar fi fenomenele care se produc n interiorul suprafeei:

Dac suprafaa intersecteaz i conductoare parcurse de curent electric de conducie, intensitatea curentului de conducie care prsete suprafaa S este egal n fiecare moment cu viteza de scdere a sarcinii electrice adevrate localizat n volumul delimitat de S.

dqi V . (1.6.26)dt

Fig. 1.6.10

Folosind relaiile de definiie, legea capt forma integral

dJ n dA dt V rV dV . (1.6.27)

n regim electrocinetic staionar (regim de c.c.) sarcina electric este constant, iar relaiile de mai sus capt formele:

i 0, respectiv div J 0 , (1.6.28)

cunoscute sub numele de teorema continuitii liniilor de curent continuu.Interpretare: liniile de curent continuu sunt linii nchise, sau curentul continuu circulnumai pe ci nchise.

Consecine:

1. Vectorul densitii de curent este tangent la suprafaa unui conductor strbtut de curent continuu, deci conductorul este un tub de curent;2. La trecerea printr-o suprafa de discontinuitate se conserv componenta normal a densitii de curent.3. Dac suprafaa tinde la limit ctre un nod al unui circuit, n regim electrocinetic staionar i cvasistaionar

i(A )ik lk n j 0 , (1.6.29)

i reprezint teorema nti a lui Kirchhoff, cu enunul: suma algebric a curenilor din laturile lk incidente ntr-un nod nj al unui circuit electric este nul.1.6.6. Legea conduciei electrice (legea lui Ohm)

Enun: Suma vectorial dintre intensitatea cmpului electric E i intensitatea cmpuluielectric imprimat Ei din interiorul unui conductor izotrop este proporional n fiecare punctcu densitatea curentului electric de conducie din acel punct:

E Ei r J , (1.6.30)

constanta de proporionalitate fiind o mrime scalar dependent de natura materialului i de temperatur, numit rezistivitate. Relaia (1.6.30) reprezint forma local a legii conduciei electrice i mai poate fi scris sub forma:

J s E Ei , (1.6.31)

unde =1/ se numete conductivitate electric.

Consecine:

1. n conductoarele perfect omogene din punct de vedere structural, mecanic, termic ichimic, i neaccelerate, n care Ei 0 , legea conduciei electrice are forma:

E r J sau J s E

2. Pentru conductoare n regim electrostatic, fiind valabil condiia

J 0 ,forma local a legii devine:

E Ei 0 ,relaie numit condiia de echilibru electrostatic. n cazul conductoarelor perfect omogene i neaccelerate, relaia capt forma:

E 0 .3. ntr-un conductor aflat n astfel de condiii cmpul electric este peste tot nul. Aceasta explic fenomenul de influen electrostatic (vezi $ 1.5).

n teoria circuitelor electrice prezint o mare importan forma integral a legii lui Ohm care se obine prin integrarea relaiei (1.6.30) de-a lungul unei poriuni neramificate de conductor, ntre punctele A i B de-a lungul fibrei medii (curba C din Fig. 1.6.11):

B EdsA(C ) B E i dsA(C ) B r J dsA(C )

(1.6.32)

Fig. 1.6.11innd seama de definiiile mrimilor derivate, relaia se poate scrie sub forma:

ub ei r i dsC A i r ds . (1.6.33)C A

Pentru conductoare omogene (r = ct.) cu seciune A = ct., se obine forma integral a legii lui Ohm pentru laturi de circuit active (avnd i surse de cmp electric imprimat), numit i caracteristica u(i) a laturii:

unde: ub ei R i , (1.6.34)Rr l A (1.6.35)

reprezint rezistena electric a poriunii neramificate de circuit de lungime l i seciune A i se msoar n ohmi [ ]. n teoria circuitelor cu parametri concentrai relaia (1.6.34) se asociaz laturii reprezentate n figura 1.6.12.

Fig. 1.6.12

Relaia (1.6.34) se mai poate scrie sub forma:

i G(ub ei ) , (1.6.36)

numit caracteristica i(u) a laturii. Mrimea G = 1/R se numete conductan i se msoar nsiemens [S].

1.6.7. Legea transformrii energiei electromagnetice n procesul conduciei electrice (legea lui Joule).

Densitatea de volum a puterii cedat de cmpul electromagnetic unui conductor aflat n stare electrocinetic este egal n orice punct cu produsul scalar dintre intensitatea cmpului electric i densitatea curentului electric de conducie:

p j E J (1.6.37)

innd seama de legea conduciei electrice, relaia mai poate fi scris sub forma:

p j r J Ei J r J 2 Ei J pR pe , (1.6.38)

unde p R r J 2 0 i corespunde cldurii disipate n conductor prin efectul electrocaloric alcurentului de conducie (efect Joule-Lenz), iar pe Ei J reprezint densitatea de puterecedat de sursele de cmp imprimat n procesul de conducie.Dup cum vectorii Ei i J sunt omoparaleli, respectiv antiparaleli, pe 0 , puterea fiindcedat, respectiv pe 0 , puterea fiind primit.Forma integral a legii se obine prin integrarea densitii de putere pe volumul conductorului filiform, innd seama c toi vectorii sunt paraleli (Fig. 1.6.13):PJ p j dVV E J nAdsV E dsV J nA EdsC S J nA ub i. (1.6.39)

Fig. 1.6.13

Relaia (1.6.39) arat c puterea total cedat de cmpul electromagnetic unei poriuni de conductor filiform n procesul de conducie electric este egal cu produsul dintre tensiunea electric la bornele conductorului i intensitatea curentului electric care-l parcurge.innd seama de forma integral a legii conduciei electrice, relaia (1.6.39) se scrie sub forma:PJ ub i R i 2 ei i PR Pe , (1.6.40)

unde PR R i 2 reprezint puterea disipat n conductor sub form de cldur, iar Pe ei ieste puterea generat de sursa de cmp electric imprimat (Fig. 1.6.12) cu t.e.m. ei, cnd este parcurs de curentul electric de conducie i.Dac ei i i au acelai sens, Pe>0 i sursa cedeaz energie circuitului, iar dac ei i i au sens invers, Pe 0 , (2.1.35)

se numete inductivitate proprie, iar mrimea

d

(2.1.36) Lsk Lks s,is 0 ,s kik

putnd fi pozitiv sau negativ, se numete inductivitate mutual.Pentru a stabili ce semn se ia n consideraie n calculele din teoria circuitelor pentru inductivitatea mutual, n schemele electrice se evideniaz cu * bornele polarizate ale bobinelor cuplate magnetic. Dac sensurile de referin ale curenilor is i ik fa de bornele polarizate sunt identice (ambii intr sau ies din aceste borne), inductivitatea mutual este pozitiv. n caz contrar, este negativ.Tensiunea us la bornele bobinei cuplate magnetic se calculeaz nlocuind relaia (2.1.34) n(2.1.22). Se obine astfel

lu L dik lL dis L dik

s sk dt s dt sk dt , (2.1.37)k 1 k 1k s

unde primul termen din membrul drept se numete cdere de tensiune inductiv proprie, iar al doilea - cdere de tensiune inductiv mutual.tnmulind ecuaia (2.1.37) cu isdt' i integrnd pe intervalul (0, t) n ipoteza i(0) = 0, se obine expresia energiei magnetice nmagazinate n bobina s:

1 2 l i ' 'Wms us is dt'0 Ls is2 k 1 0 Lsk is dik . (2.1.38)k s

Primul termen din membrul drept se numete energie magnetic proprie i este strict pozitiv, iar al doilea se numete energie magnetic mutual i poate fi pozitiv sau negativ.Energia magnetic total a sistemului de l bobine cuplate magnetic are expresia

l i' 'Wm Lskk ,s 1 is dik0 . (2.1.39)

n cazul particular a dou bobine cuplate magnetic, se obine

1 2 1 2Wm 2 L1i1 2 L2i2 L12i1i2 , (2.1.40)

unde primul i al doilea termen reprezint energia magnetic nmagazinat n prima, respectiv a doua bobin, iar ultimul termen reprezint energia magnetic de interaciune.

2.1.2.3. Condensatorul

Considernd dielectricul condensatorului perfect izolant, legea conservrii sarcinii electrice conduce la relaia dintre intensitatea curentului electric de conducie i sarcina electric sub forma ecuaiei de evoluiei dq . (2.1.41)dt

Integrat pe intervalul (0, t), ecuaia (2.1.41) conduce la

q(t ) q(0) ti(t' )dt' ;0 q(0) 0i(t ' )dt'. (2.1.42)Relaia (2.1.42) numit ecuaia de ereditate a condensatorului, arat c sarcina electric la momentul t, depinde de valorile anterioare ale curentului; prin urmare, condensatorul este un element cu memorie.Rezult de asemenea c n intervalul ( , ) sarcina electric este o funcie absolut continu n timp; altfel spus, sarcina electric nu variaz discontinuu (are caracter conservativ).a) Condensatorul liniar invariabil n timp, (Fig. 2.1.3,a) are ecuaia caracteristic

q(t ) Cu(t ) , (2.1.43)

unde C > 0 se numete capacitate i se msoar n farazi [F].n planul (q, u) ecuaia (2.1.43) reprezint o dreapt ce trece prin origine, deci sarcina electric i tensiunea au aceeai form de variaie n timp.innd seama de (2.1.43), ecuaia (2.1.41) devine

i(t ) C du , (2.1.44)dt

care prin integrare pe intervalul (0, t) conduce la

u(t)

u(0) 1 t

i(t' )dt' ; u(0) = 1 0i(t' )dt'.

(2.1.45)C 0 C

Condensatorul liniar i invariabil n timp este complet determinat de capacitatea C i de tensiunea iniial u(0).nmulind ecuaia (2.1.44) cu udt ' i integrnd pe intervalul (0, t) n ipoteza u(0) = 0, se obine energia acumulat n cmpul electric al condensatorului n acest interval

tWe u(t' )i(t' )dt'0 uC u' du'0 1 Cu 2 (t)2 1 q 2 (t)2C 1 q(t)u(t),2

(2.1.46)

a crei valoare este pozitiv.Printr-o demonstraie similar celei pentru curentul prin bobin, se poate arta c dac intensitatea curentului prin condensator este mrginit, i(t) < I n intervalul [0,T], atunci tensiunea electric la bornele condensatorului variaz continuu n intervalul (0,T). Altfel spus, tensiunea la bornele unui condensator liniar invariabil n timp nu poate varia brusc de la o valoare finit la o alt valoare finit.Proprietatea de continuitate a sarcinii electrice i a tensiunii la bornele condensatorului va fi folosit n studiul regimului tranzitoriu.

b) Condensatorul liniar variabil n timp (parametric) cu simbolul din figura 2.1.3,b, are ecuaia caracteristicq(t ) C(t )u(t ) , (2.1.47)unde C(t) se numete capacitate parametric.Din relaia (2.1.41), innd seama de (2.1.47), se obine

i(t ) C(t ) dudt u(t ) dC . dt (2.1.48)

Primul termen din membrul drept se numete component de pulsaie a curentului, iar al doilea - component parametric.n planul (q, u) ecuaia (2.1.48) definete o familie de drepte ce trec prin origine, deci curbele de variaie ale tensiunii i sarcinii electrice sunt diferite.Un exemplu de condensator liniar variabil n timp este condensatorul cu armtur vibrant. c) Condensatorul neliniar (Fig. 2.1.3,c)Condensatoarele reale au caracteristica q(u) neliniar (n general variabil n timp), de formaf q(t), u(t), t 0 , (2.1.49)

reprezentat printr-o curb de histerezis.Ca i la bobina cu miez feromagnetic, condensatorul neliniar poate fi modelat ca element de circuit, aproximnd caracteristica neliniar prin segmente de dreapt.

2.1.2.4. Sursa de tensiune Fig. 2.1.3

Sursa ideal independent de tensiune (Fig.2.1.4,a) este un element activ de circuit avnd urmtoarea ecuaie caracteristic:

u(t ) e(t ), i. (2.1.50)

n planul (u, i) caracteristica de funcionare este o dreapt paralel cu axa curentului(Fig.2.1.4,b).

Fig. 2.1.4

Rezult c sursa ideal independent de tensiune este un caz particular de rezistor neliniar controlat n curent, caracterizat de faptul c pentru orice curent dat, tensiunea este unic specificat.Dac e(t ) 0, caracteristica (2.1.50) devine u(t) 0 , se reprezint pe axa curentului, isursa ideal independent de tensiune devine un scurtcircuit ( R 0) , proprietate important n cadrul teoriei circuitelor electrice, folosit pentru pasivizarea acestor surse.Semnificaia fizic a definiiei sursei ideale independente de tensiune este c circuitulconectat la bornele sursei nu influeneaz forma de und a tensiunii ei, ci numai curentul care circul prin surs.Puterea cedat de sursa de tensiune circuitului extern este:

p(t ) u(t )i(t ) e(t )i(t ). (2.1.51)

Dac elementul de circuit degaj cldur prin efect electrocaloric, adic are rezistenintern R 0 , ecuaia sa este:

u e Ri . (2.1.52)

Un astfel de element se numete surs real de tensiune (Fig. 2.1.5,a). Caracteristica de funcionare este o dreapt care nu trece prin origine (Fig. 2.1.5,b).

Fig. 2.1.5

nmulind relaia (2.1.52) cu i(t ) , se obine puterea electric cedat la borne de surs

p(t ) u(t )i(t ) e(t )i(t ) Ri 2 (t ). (2.1.53)

Relaia (2.1.50) arat c nu putem conecta n paralel (ntre aceleai borne) surse ideale de tensiune cu valori diferite ale tensiunilor electromotoare.

2.1.2.5. Sursa de curent

Sursa ideal independent de curent (Fig. 2.1.6,a) este o surs de energie electromagneticavnd proprietatea de a debita un curent j(t ) independent de reeaua conectat la bornele ei.Semnificaia fizic a definiiei sursei ideale independente de curent este c, de data aceasta, este prescris curba de variaie a curentului sursei. Ea nu este influenat de tensiunea la borne determinat de circuitul extern, astfel nct ecuaia caracteristic a elementului este:

i(t ) j(t), u. (2.1.54)

n planul (u,i) caracteristica este o dreapt paralel cu axa tensiunii (Fig. 2.1.6,b).

Fig.2.1.6

Sursa independent de curent este un caz particular de rezistor neliniar controlat n tensiune, deoarece, conform ecuaiei caracteristice, pentru orice tensiune curentul este unic specificat.Dac j(t ) 0, caracteristica se reprezint pe axa tensiunii, i sursa ideal independent decurent devine o latur deschis ( R ) , proprietate de asemenea important n cadrul teorieicircuitelor electrice, legat de pasivizarea acestor surse.Puterea cedat de surs circuitului extern este

p(t ) u(t )i(t ) u(t ) j (t ) . (2.1.55)

Schema echivalent a unei surse reale de curent este prezentat n figura 2.1.7,a, iar ecuaia de funcionare este:

i(t ) j(t ) Gu(t ). (2.1.56)

Caracteristica de funcionare este o dreapt care nu trece prin origine (Fig. 2.1.7,b).

Fig. 2.1.7

nmulind relaia (2.1.56) cu u(t) se obine puterea electric cedat la borne de surs:

p(t ) u(t )i(t ) u(t ) j(t ) Gu2 (t ). (2.1.57)

Relaia (2.1.54) arat c nu putem conecta n serie (pe aceeai latur) surse de curent cu valori diferite ale curenilor injectai.

2.1.3. Circuite electrice

2.1.3.1. Clasificarea circuitelor electrice

Circuitele sau reelele electrice sunt ansambluri de elemente de circuit conectate n diverse moduri prin suprapunerea bornelor acestora. Se obine astfel o structur cu un numr n de borne (poli sau terminale) de acces. Fiecare born se caracterizeaz prin curentul ik i potenialul vk , iar diferena potenialelor a dou borne se numete tensiune la borne.Un circuit cu n borne de acces se numete multipol electric sau n-pol electric (Fig. 2.1.8). nparticular, dac n 2 , circuitul se numete dipol, dac n 3 - tripol i dac n 4 - cuadripol electric. ntlnit i n reprezentarea elementelor de circuit pasive, structura de tip dipol a circuitelor electrice (Fig. 2.1.9), se caracterizeaz prin intensitatea curentului absorbit printr-o born i prin tensiunea ntre cele dou borne. Relaia u f (i) sau i g(u) se numete caracteristica dipolului. Pentru sensurile de referin ale curentului i tensiunii la borne din figur reprezentnd convenia de la receptoare, puterea absorbit pe la borne de dipol, p ui 0, iar dipolul se numete receptor. Pentru un sens invers al tensiunii la borne- convenia de la generatoare, puterea la bornele dipolului p ui 0, iar dipolul se numete generator.

Fig. 2.1.8 Fig. 2.1.9

Prin definiie circuitele ideale n - pol satisfac urmtoarele condiii:- n fiecare moment suma algebric a intensitilor curenilor bornelor de acces este nul;- n fiecare moment puterea electromagnetic total primit din exterior de circuitul n - pol se exprim conform teoremei puterii electromagnetice prin relaia:

np vkik . (2.1.58)k 1

Asocierea a dou borne ai cror cureni sunt egali n valoare absolut i opui ca semn, constituie o poart. Un multipol ale crui borne sunt grupate astfel nct s constituie n pori se numete multiport sau n - port (Fig.2.1.10). El se caracterizeaz prin tensiunile porilor i prin intensitile curenilor acestora. Cuadripolul, avnd bornele grupate n dou pori, este un diport (Fig. 2.1.11).

Fig. 2.1.10 Fig. 2.1.11

2.1.3.2. Regimurile de funcionare ale circuitelor electrice

Dup natura funciilor care exprim variaia n timp a intensitilor curenilor i tensiunilor, regimurile de funcionare ale circuitelor electrice se clasific n:a) regim de curent continuu - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunilei potenialele electrice sunt constante n timp;b) regim variabil - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunile i potenialele electrice sunt funcii oarecare de timp;c) regim periodic - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunile i potenialele electrice sunt funcii periodice de timp.Un regim periodic particular foarte important n practic este regimul sinusoidal.Regimurile variabile prin care se face trecerea de la unele regimuri de curent continuu sau regimuri periodice la alte regimuri de curent continuu sau periodice se numesc regimuri tranzitorii.Rezolvarea sistemelor de ecuaii ce descriu funcionarea circuitelor electrice n unul din regimurile de mai sus prezint particulariti specifice fiecrui regim, ceea ce determin abordarea de tehnici de analiz specifice. Acestea se grupeaz n trei mari categorii:1. Analiza regimurilor de curent continuu, cuprinznd metode de analiz ce conduc la rezolvarea unui sistem de ecuaii algebrice care descriu funcionarea circuitului. Efortul de calcul este determinat exclusiv de numrul de ecuaii ale sistemului. Cele mai utilizate metode matematice n acest caz sunt algebra matriceal i metodele numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii algebrice.2. Analiza regimurilor sinusoidale, cu ajutorul metodei simbolice a reprezentrii n complex. Prin intermediul acestei tehnici, numit i metoda simbolic, sistemul de ecuaii difereniale ce descriu funcionarea circuitului n regim sinusoidal se transform ntr-un sistem de ecuaii algebrice, satisfcute de valorile complexe ale necunoscutelor, a crui rezolvare este mult mai simpl. Analiza se ncheie prin revenirea din domeniul complex n domeniul real, obinndu-se astfel valorile instantanee ale mrimilor electrice calculate - cureni, tensiuni, poteniale electrice.3. Analiza regimurilor variabile oarecare, prin metoda operaional. Tehnica cea mai utilizat de analiz folosit n acest caz se bazeaz pe transformata Laplace, i permite transformarea ecuaiilor difereniale ale circuitului n ecuaii algebrice, satisfcute de transformatele Laplace ale necunoscutelor. Metoda este similar celei simbolice folosite n analiza regimurilor sinusoidale. Dup obinerea soluiilor sub forma transformatelor Laplace (numite funcii imagine), se aplic transformata Laplace invers pentru a se obine valorile instantanee ale necunoscutelor (numite funcii original). Pentru rezolvarea acestor regimuri exist ns i alte metode, care se bazeaz pe utilizarea altor transformate, sau pe alte principii.

2.1.4. Teoreme generale ale teoriei circuitelor electrice

2.1.4.1. Teoremele lui Kirchhoff

a) n regim cvasistaionar legea conservrii sarcinii electrice pentru o suprafa nchiscare nconjoar un nod oarecare (nj ) al circuitului, intersecteaz toate conductoarele laturilorlk (n j ) i nu trece prin dielectricii condensatoarelor, conduce lai dq dt 0. (2.1.59)Dac se atribuie semnul (+) curenilor care ies din nodul (nj ) (au sensul de referin acelai cu al normalei n ) i semnul (-) celor care intr n nod, relaia (2.1.59) conduce la( A)ik lk (n j ) 0 . (2.1.60)Relaia (2.1.60) reprezint prima teorem a lui Kirchhoff, care se enun astfel: suma algebric a intensitilor curenilor din laturile lk incidente n nodul (nj ) al unui circuit este nul.b) Aplicnd legea induciei electromagnetice pe conturul , n ipoteza localizrii cmpuluimagnetic numai n bobine (avnd o valoare nul n afara elementelor de circuit) se obine e E ds dj S 0.dt (2.1.61)

Descompunnd curba nchis ntr-o sum de curbe deschise ce urmresc liniile tensiunilor la bornele laturilor lk ce formeaz bucla (bh ) a circuitului, relaia (2.1.61) conduce la( A )uklk (bh ) 0, (2.1.62)relaie ce reprezint teorema a doua a lui Kirchhoff: suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor lk aparinnd buclei (bh ) a unui circuit este nul.Din modul de deducere al ecuaiei (2.1.62) rezult c semnul (+) se atribuie tensiunilor laborne al cror sens de referin coincide cu cel al curbei i semnul (-) celorlalte.

Observaie:Teoremele lui Kirchhoff obinute sub formele (2.1.60) i (2.1.62) sunt independente de natura elementelor de circuit i de modul de variaie n timp a tensiunilor i curenilor. Ele sunt consecine ale structurii topologice (derivnd din modul de interconexiune a elementelor de circuit) a reelei.

2.1.4.2. Teorema lui Tellegen

Aceasta este o teorem general, reprezentnd o consecin direct a teoremelor luiKirchhoff.Fiind date dou regimuri oarecare de funcionare ale unui circuit electric, notate cu (') respectiv (''), curenii i tensiunile corespunztoare, care verific independent cele dou teoreme ale lui Kirchhoff, satisfac urmtoarele relaii:

u' t i"iu' t i" 0

u" t i ' (2.1.63)

0 , (2.1.64)

unde u este vectorul tensiunilor laturilor (porilor) circuitului, iar i este vectorul intensitilor curenilor laturilor (porilor) circuitului.Demonstrarea celor dou relaii se bazeaz pe proprietatea de ortogonalitate a matricelor de inciden laturi-seciuni i laturi-bucle, ceea ce le confer valabilitate att pentru regimuri diferite, produse de excitaii sau condiii iniiale diferite, ntr-un acelai circuit, ct i pentru regimuri diferite ale unor circuite diferite, dar avnd aceeai structur topologic (acelai graf).

2.1.4.3. Teorema conservrii puterilor

Pentru cazul particular cnd cele dou regimuri se confund, teorema lui Tellegen conduce la urmtoarea relaie ntre tensiunile i curenii porilor, corespunztoare unui regim oarecare al unui circuit:

ut i 0. (2.1.65)

Relaia (2.1.65) reprezint teorema conservrii puterilor instantanee. Dac numrul total al porilor (elementelor) circuitului este np , relaia mai poate fi exprimat n forma:

ut i n puk ik n ppk , (2.1.66)k 1 k 1

unde pk uk ik , reprezint puterea instantanee primit prin poarta k a (elementului) circuitului,cnd sensurile curentului i tensiunii la bornele porii sunt asociate dup convenia de lareceptoare.Din (2.1.65) i (2.1.66) rezult expresia

n p n pukik pk

0 , (2.1.67)k 1 k 1

cu enunul: suma algebric a puterilor instantanee primite la porile (bornele elementelor)unui circuit este n fiecare moment nul.

2.1.4.4. Teorema surselor ideale cu aciune nul (Vaschy)a) Teorema surselor ideale de tensiune cu aciune nul: dac se introduc n serie cu fiecare element conectat ntr-un nod al unui circuit surse ideale de tensiune, avnd aceeai t.e.m. i orientate la fel fa de nod, tensiunile i curenii prin elementele circuitului nu se modific.Demonstraia teoremei este evident, cci introducerea surselor de tensiune nu schimb ecuaiile lui Kirchhoff: prima nu se modific, iar n a doua termenii noi care apar ( e) , se anuleaz reciproc.Aplicaii ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anularea tensiunii iniiale a unui condensator (echivalent cu o surs de t.e.m.), anularea fluxului magnetic iniial, respectiv a curentului iniial al unei bobine (condiia iniial nenul fiind reprezentat printr-o surs echivalent de tensiune).b) Teorema surselor ideale de curent cu aciune nul: dac n paralel cu fiecare element (latur) de circuit ce formeaz un contur nchis (bucla bh ) se conecteaz cte o surs ideal de curent, orientat n sensul buclei i avnd aceeai intensitate, tensiunile i curenii prin elementele circuitului nu se modific.Validitatea teoremei este evident, cci introducerea surselor de curent nu schimb ecuaiile Kirchhoff : n prima termenii noi ( j ) care apar se anuleaz reciproc, iar a doua nu se modific.Aplicaii ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anularea sarcinii electriceiniiale, respectiv a tensiunii iniiale a unui condensator (condiia iniial nenul fiind reprezentat printr-o surs echivalent de curent), anularea curentului iniial al unei bobine (echivalent cu o surs de curent).

2.1.5. Metoda simbolic de reprezentare n complex a mrimilor sinusoidale.

ntr-un circuit electric liniar cu parametri concentrai, aplicarea unor mrimi de excitaie (ex.: tensiuni electromotoare) sinusoidale de aceeai frecven determin apariia unui regim permanent sinusoidal. Calculul curenilor i tensiunilor din acest regim corespunde determinrii soluiei particulare a sistemului de ecuaii integro-difereniale obinut cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff i al ecuaiilor caracteristice fiecrei laturi, n regim dinamic.Rezolvarea poate fi ns mult simplificat dac se utilizeaz metoda reprezentrii n complex a mrimilor sinusoidale. n baza acestei metode, fiecrei mrimi sinusoidale de forma

v(t) V 2 sin wt a (2.1.68)

i corespunde o mrime complex notat cu C v sau V , care are ca modul valoarea efectiv amrimii sinusoidale i ca argument faza iniial a acesteia:

C v(t) dV Ve ja , (2.1.69)

unde j 1 .Mrimea V reprezint un vector (fazor) n planul complex. Aceast reprezentare conduce deci la diagrame vectoriale (fazoriale) n planul complex, care se pot construi prin alegerea arbitrar a originii de faz (a mrimii complexe cu faza iniial nul).Metoda simbolic opereaz cu ajutorul urmtoarelor teoreme:

1) Teorema combinaiilor liniare.

Complexul unei combinaii liniare de mrimi sinusoidale avnd aceeai frecven se obine prin substituirea mrimilor sinusoidale cu reprezentrile lor n complex:nC lk vkk 1 nlk V k , (2.1.70)k 1unde k sunt constante reale. Rezult deci c mrimea complex echivalent se obine prin adunarea vectorilor lk V k .

2) Teorema derivatei.

Complexul derivatei n raport cu timpul a unei mrimi sinusoidale este egal cu complexulmrimii sinusoidale multiplicat cu jw :C dvdt jw V . (2.1.71)Deci n domeniul complex acestei operaii i corespunde creterea modulului mrimii de wori i majorrii argumentului cu p/2 (rotirea vectorului cu p/2 n sens trigonometric).

3) Teorema integralei.

Complexul integralei nedefinite n raport cu timpul a unei mrimi sinusoidale este egal cucomplexul mrimii sinusoidale mprit la jw :

C vdt 1 V . (2.1.72)jwOperaiei de integrare n raport cu timpul a unei mrimi sinusoidale i corespunde, n domeniul reprezentrii n complex, reducerea modulului de w ori i micorarea argumentului cu p/2 (rotirea vectorului cu p/2 n sens orar).Pe baza teoremelor de sus, metoda simbolic reduce problema rezolvrii unui sistem deecuaii integro-difereniale liniare, cu termenul liber variind n timp sinusoidal, la rezolvarea unui sistem de ecuaii algebrice, ale crui variabile sunt imaginile (reprezentrile complexe) ale mrimilor sinusoidale respective (cureni sau tensiuni necunoscute).Deoarece corespondena dintre mrimea sinusoidal i complexul su este biunivoc, odat cunoscut soluia sistemului de ecuaii algebrice complexe (ex.: valorile complexe ale curenilor), se poate reveni la soluia n domeniul timpului cu relaia:

v(t) Im 2V e jw t . (2.1.73)

2.1.6. Ecuaiile lui Kirchhoff n form simbolic.

Pentru un circuit electric liniar cu l laturi i n noduri, coninnd rezistoare, bobine, condensatoare i surse ideale independente de tensiune, ecuaiile lui Kirchhoff n valori instantanee (n regim dinamic) au expresiile:

( A) ik 0;lk (n j )i j 1, n 1 ; (2.1.74)

lk (bh )

( A) Rk ik L dik k dt lLkpp 1 di p dt 1 Ck ik dt ( A)ek ;lk (bh ) h 1, l n 1 . (2.1.75)p k

i constituie un sistem complet de ecuaii independente (n-1 cu prima teorem i l-n+1 cu teorema a doua). Soluiile particulare sinusoidale ale acestui sistem, cu reprezentri n complex, satisfac conform teoremelor (2.1.70. 2.1.71, 2.1.72) urmtoarele ecuaii algebrice complexe:

( A) I k 0;lk (n j ) j 1, n 1 (2.1.76)

( A) Rk I k jw Lk I k ljw Lkp I p 1 Iw k ( A) E k ; h 1, l n 1lk (bh ) p 1 j Ck lk (bh )p k(2.1.77)Relaiile (2.1.76) i (2.1.77) reprezint prima, respectiv a doua teorem a lui Kirchhoff n complex i au urmtorul enun:Suma algebric a reprezentrilor n complex ale curenilor laturilor conectate ntr-un nod este egal cu zero, respectivSuma algebric a reprezentrilor n complex ale cderilor de tensiune rezistive Rk I k ,

inductive jw Lk I k ljw Lkp I pp 1 , capacitive 1 Ikjw Ck , este egal, de-a lungulp kfiecrei bucle independente h, cu suma algebric a reprezentrilor n complex ale t.e.m. E kale surselor independente de tensiune.Cderile de tensiune rezistive, inductive i capacitive se reprezint n complex sub formacomun Z k I k , n care impedana complex Z k are relaiile de definiie:1Z Rk Rk ; Z Lk jw Lk ; Z mkp jw Lkp ; Z Ck jw Ck , (2.1.78)corespunztoare unui rezistor de rezisten Rk, unei bobine ideale de inductivitate Lk, unui cuplaj magnetic cu inductivitatea mutual Lkp, sau unui condensator de capacitate Ck.Inductivitatea mutual Lkp este pozitiv (negativ) dup cum curenii I k , I p au sensuriidentice (contrare) fa de bornele polarizate ale celor dou bobine cuplate magnetic.Impedana complex a laturii lk este:dZ k Rk j w Lk 1w Ck Rk jX k , (2.1.79)unde Rk este rezistena iar Xk reactana laturii, cu X k X Lk X Ck , X Lk w Lk -reactanainductiv, iar X Ck 1/ w Ck - reactana capacitiv.

2.1.7. Legea lui Ohm n complex.

Pentru o latur de circuit necuplat magnetic cu alte laturi, (Fig. 2.1.12), se poate scrie legea lui Ohm n complex sub forma:

U k E k Z k I k . (2.1.80) Dac latura k este cuplat magnetic cu alte q laturiqU k E k Z k I k Z mkp I p , (2.1.81)p 1p ksemnificaia mrimilor fiind cea de mai sus. Relaia (2.1.80) se mai poate scrie sub forma:

U k Z k I k E k . (2.1.82)

2.1.8. Regula divizorului de tensiune.Tensiunea aplicat la bornele celor dou impedane nseriate din figura 2.1.13 se distribuie pe acestea dup relaiile:

U 1 U

2U U Z 1 , (2.1.83)Z 1 Z 2Z 2 . (2.1.84)Z 1 Z 2Impedana echivalent a laturii este:Z e Z 1 Z 2 . (2.1.85)n general impedana echivalent a unei conexiuni serie este:

n nZ es Z k Rkk 1 k 1

jX k ;

Res nRk ;k 1

X es nX k . (2.1.86)k 1

Relaia general de calcul a tensiunii n divizor este:

U j Z j I U Z j Z es U Z j . (2.1.87)nZkk 1

2.1.9. Regula divizorului de curent.

Curentul absorbit de ansamblul celor dou impedane conectate n paralel din figura 2.1.14, se distribuie pe cele dou laturi conform relaiilor:

I 1 I

2I I Y 1 Y 1 Y 2

Y 2 I Z 2 , (2.1.88)Z 1 Z 2

I Z 1 . (2.1.89)Y 1 Y 2 Z 1 Z 2

Admitana echivalent a conexiunii este:

Y e Y 1 Y 2 , (2.1.90)

iar impedana echivalent:

eZ Z 1 Z 2 . (2.1.91)Z 1 Z 2

n general, admitana, respectiv conductana i susceptana, i impedana echivalent a unei conexiuni paralel se exprim cu relaiile:

Y ep n nY k Gkk 1 k 11 jBk ; Gep nGk ;k 1 Bep nBk ; , (2.1.92)k 1Z ep . (2.1.93)nZ kk 1

Relaia general de calcul a curentului dintr-o derivaie este:

I U Y I Y j 1 . (2.1.94)

j jYep I nZ j Z kk 1

2.1.10. Teorema de conservare a puterilor.

Puterea complex primit pe la borne n regim sinusoidal de o latur complet de circuit ca cea reprezentat n figura 2.1.12, are expresia:*S k U k I k , (2.1.95)

kkunde U , I * sunt respectiv complexul tensiunii la borne i complexul conjugat al intensitiicurentului n latur, exprimate fa de sensurile de referin indicate n figur.Se poate demonstra c puterea complex primit n regim sinusoidal de un circuit electric izolat de exterior, pe la bornele celor l laturi este nul, adic:

*l lU I0 .S S k k k

(2.1.96) k 1 k 1

Dac inem seama de (2.1.82), rezult:Z I l

adic Sk k k 1

* 2 *EIk k 0 , (2.1.97)E k I k Z k I k , (2.1.98)reprezentnd ecuaia de bilan al puterilor: puterea complex generat ( S g ) = puterea complex consumat ( S c ). Dezvoltnd termenul din partea dreapt se pun n eviden puterileactiv (Pc) i reactiv (Qc) consumate:

Z IS2c k k IR I22Rk jX k k k k k kcjX I 2 P jQc . (2.1.99)

2.1.11. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thvenin).

Un circuit electric liniar aflat n regim sinusoidal admite o schem echivalent cu surs detensiune E e i impedan echivalent Z e .

Dac ntre bornele A i B ale unui circuit electric liniar aflat n regim sinusoidal se conecteaz o laturcu impedana complex Z AB i t.e.m. complexE AB (Fig. 2.1.15), valoarea complex a intensitiicurentului prin aceast latur este:

I U AB 0 E AB ,

(2.1.100) AB Z AB 0 Z AB

undeU AB 0

reprezint valoarea complex a tensiunii ntre bornele A i B la funcionarea n gol(fr latura A,B);Z AB 0 reprezint impedana complex echivalent a circuitului pasivizat n raport cu borneleA i B, nainte de conectarea laturiiA,B:

Z AB 0 U AB 0 I ABscc . (2.1.101)

Dac latura A,B este pasiv E AB 0 , relaia (2.1.100) ia forma:

I AB U AB 0 . (2.1.102)Z ZAB 0 AB

2.1.12. Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton).

Un circuit electric liniar aflat n regim sinusoidal admite o schem echivalent cu surs decurent J e i admitan echivalent Y e (Fig. 2.1 16).

Dac ntre dou borne de acces A i B ale acestui circuit se conecteaz un receptor deadmitan Y AB n paralel cu o surs ideal de curent J AB , tensiunea complex ntre acesteborne este:

U

I ABscc J AB , (2.1.103)AB Ycu AB 0 Y ABI ABscc - valoarea complex a curentului prin latura A,B cnd bornele A i B suntscurtcircuitate n absena sursei J AB ;Y AB 0 - admitana complex echivalent n raport cu bornele A i B cnd circuitul estepasivizat i receptorul nu este conectat,

Y AB 0 1 Z AB 0 I ABscc U AB 0 . (2.1.104)

Dac J AB 0 , relaia (2.1.103) ia forma:

U AB I ABscc . (2.1.105)Y YAB 0 AB2.2. CIRCUITE TRIFAZATE

2.2.1. Sisteme de mrimi trifazate

Un ansamblu de trei mrimi sinusoidale ordonate, de aceeai frecven, defazate ntre ele, se numete sistem trifazat i poate fi exprimat cu relaia

vk 2 Vk sin(wt g k ), k 1,3. (2.2.1)Dac valorile efective ale mrimilor sistemului sunt egaleV1 V2 V3 (2.2.2)i defazajele ntre dou mrimi consecutive sunt

g 1 g 2 g 2 g 3 2p a ,3 (2.2.3)sistemul se numete trifazat simetric.Dac 1 sistemul se numete de succesiune direct, iar vectorii

V 1 ,V 2 ,V 3(reprezentnd imaginile complexe ale celor trei mrimi sinusoidale) sunt ordonai n sens orar. Dac 1 sistemul se numete de succesiune invers, iar cei trei vectori sunt

ordonai n sens trigonometric. Valoarea a 0 corespunde sistemului de succesiunehomopolar, pentru care cei trei vectori sunt n faz.

a) Fie sistemul trifazat simetric direct format din mrimile

v1 V

v2 V

v3 V 2 sin( t

2 sin( t

2 sin( t )2 )34 )3

V 2 sin( t

2 )3

(2.2.4)

mrimea v2 fiind defazat n urma mrimii v1, iar mrimea v3 n urma mrimii v2, ca n figura2.2.1.

Fig. 2.2.1 Fig. 2.2.2Reprezentarea n complex a mrimilor sistemului (2.2.4) conduce la relaiile

jgV 1 Ve

V 2 Ve

V 3 Ve

j(g

j (g V2p )3

2p )3

j 2pV e 3j 2pV e 3

a 2 V

aV .

(2.2.5)

a cror reprezentare n planul complex este dat n figura 2.2.2.n relaiile (2.2.5) s-a introdus operatorul complex de rotaie2pja e 3 1 j 3 ,2 2 (2.2.6)

care rotete vectorul pe care-l nmulete cu 2 n sens trigonometric.3

nmulirea cu a2 rotete vectorul n sens orar cu

Operatorul a are urmtoarele proprieti: 2p .3

a 1, a 2 a * , (a 2 )* a,

a a 4 a 3n 1 , a 2 a 5 a 3n 2 , a 3 a 6 a 3n 1,

(2.2.7)1 a a 2 0 (2.2.8)

b) Un sistem trifazat simetric invers este compus din mrimile:

v1 V

v2 V

v3 V 2 sin( t

2 sin( t

2 sin( t )2 )34 )3

V 2 sin( t

2 )3

(2.2.9)

mrimea v2 fiind defazat naintea mrimii v1, iar mrimea v3 naintea mrimii v2, ca n figura2.2.3.Reprezentarea n complex a celor trei mrimi sinusoidale conduce la sistemul

1V Ve j

j( V

2 )

j 2 V 2 Ve 32j( )V 3 Ve 3 V e 3

2jV e 3 aV

a 2V , (2.2.10)

iar diagrama vectorial este dat n figura 2.2.4.

Fig. 2.2.3 Fig. 2.2.4

Teorema 2.2.1. Suma mrimilor unui sistem trifazat simetric de succesiune direct sau invers este nul att n valori complexe ct i n valori instantanee.Pentru demonstrarea teoremei n valori complexe se utilizeaz relaia (2.2.8)

V 1 V 2 V 3 V ( 1 a 2 a ) 0, (2.2.11)

iar forma n valori instantanee a teoremei,

v1 v 2 v3 0 (2.2.12)

se demonstreaz pe baza proprietilor funciilor trigonometrice.

Teorema 2.2.2. Fie sistemul trifazat simetric de succesiune direct sau inversV 1 ,V 2 ,V 3 . Sistemul format din mrimile diferen a cte dou mrimi consecutive aleacestuia este tot un sistem trifazat simetric de aceeai succesiune ca i mrimile V 1 ,V 2 ,V 3 .Demonstraie. Fie sistemul V 1 ,V 2 ,V 3 de succesiune direct. Sistemul mrimilor difereneste compus din mrimile

V 12 V 1 V 2 V a 2 V V (1 a 2 ) j3 V e 6

V 23 V 2 V 3 a 2 V aV V ( a 2 a ) 3 V e

j 5 j2 . (2.2.13)V 31 V 3 V 1 aV V V ( a 1 ) 3 V e 6

Dup cum se observ, valoarea efectiv a mrimilor diferen este aceeai i de 3 ori maipmare dect valoarea efectiv V, mrimile complexe V 12 ,V 23 ,V 31 sunt defazate cu 6 naintefa de mrimile V 1 ,V 2 ,V 3 , iar defazajele ntre dou mrimi consecutive ale noului sistem

sunt 2p . S reinem deci pentru mrimea V relaiile3 12

V12 3V (2.2.14)

pargV 12 argV .6 (2.2.15)

Reprezentarea vectorial a celor dou sisteme de importan practic deosebit, este reprezentat n figura2.2.5.O demonstraie similar se poate face

Fig. 2.2.5 considernd sistemul succesiune invers. V 1 ,V 2 ,V 3 de

n acest caz se obin relaiilepjV 12 V 1 V 2 V aV V (1 a) 3 V e 6

pjV 23 V 2

V 31 V 3 V 3 aV

1V a 2 V a 2 V

V V (a

V (a 2 a 2 )

1) 3V e 2

j 5p3 V e 6 . (2.2.16)

ObservaieSe numete regim (trifazat) simetric, regimul n care mrimile electrice (curenii i tensiunile) formeaz sisteme trifazate simetrice de succesiune direct sau invers.

c) Un sistem homopolar este format din trei mrimi sinusoidale cu valori efective egale i n fazv1 v 2 v3 2 V sin(wt g ), (2.2.17)adic n reprezentare complex

V 1 V 2 V 3 V Ve jg . (2.2.18)Evident, diferena a dou mrimi consecutive este nul, iar suma tuturor estejgV 1 V 2 V 3 3V 3Ve . (2.2.19)

2.2.2. Conexiunile circuitelor trifazate

Sistemele trifazate pot funciona n una din urmtoarele conexiuni:- n conexiune stea, obinut prin legarea sfritului celor trei faze la un acelai punct numitneutru sau nul;- n conexiune triunghi, realizat prin legarea sfritului fiecrei faze la nceputul fazei urmtoare.

2.2.2.1. Conexiunea stea n regim simetric

n figura 2.2.6. este reprezentat un sistem trifazat compus din generator, linie de transmisie i receptor, elementele terminale fiind conectate n stea. Considerm (pentru moment) c impedanele pe faze ale celor trei componente ale sistemului sunt egale, adicjj gZ g1 Z g 2 Z g 3 Z g e etc.

Fig. 2.2.6

Punctul comun la care se conecteaz bornele fazelor generatorului, notat cu 0, se numete neutrul (nulul) generatorului, n timp ce punctul comun la care se conecteaz bornele impedanelor de faz ale receptorului, notat cu N, se numete neutrul (nulul) receptorului. Conexiunea stea avnd trei conductoare de faz - poate fi completat cu un conductor conectat ntre cele dou neutre i numit conductor neutru sau fir de nul. ntre tensiunile de faz ale generatorului (tensiunile ntre fiecare din bornele 1,2,3 i neutrul 0), notate cuu1 , u2 , u3 i tensiunile de linie (ntre fazele corespunztoare) la borne, notate cuu12 , u23 , u31 , pentru sensurile de referin din figura 2.2.6, se pot scrie cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff relaiile

respectiv u12 u1 u2 , u23 u2 u3 , u31 u3 u1 , (2.2.20)U 12 U 1 U 2 , U 23 U 2 U 3 , U 31 U 3 U 1 . (2.2.21)

Sistemul tensiunilor fiind simetric, conform relaiei (2.2.14) rezult

U lg 3 U fg , (2.2.22)

unde s-a notat cu Ul valoarea efectiv a tensiunilor de linie, respectiv cu U f valoarea efectiva tensiunilor de faz.Similar ntre tensiunile de faz ale receptorului (tensiunile ntre fiecare din bornele 1',2',3'i neutrul N), notate cu u1N , u2 N , u3N i tensiunile de linie la bornele receptorului, notate cuu1'2' , u2'3' , u3'1' exist relaia

U lr 3 U fr . (2.2.23)

Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff n punctul N rezult (pentru circuitul cu fir neutru)

i1 i2 i3 i0 . (2.2.24)

Fig. 2.6

Cum regimul este simetric, conform relaiei (2.2.12), avemi0 0, (2.2.25)

relaie valabil indiferent dac exist fir de nul sau nu.Rezult c indiferent de valoarea impedanei firului neutruu N 0 este nul.

(Z 0

0) cderea de tensiunePentru sistemul trifazat din figura 2.2.6 curenii n fazele generatorului, liniei i receptorului sunt egali, adicI fg I l I fr . (2.2.26)

2.2.2.2. Conexiunea triunghi n regim simetric

Dac ntr-un sistem trifazat alctuit din generator, linie de transmisie i receptor, elementele terminale sunt conectate n triunghi, se obine schema din figura 2.2.7.

Fig. 2.2.7

Notnd cu i12 , i23 , i31 i i1'2' , i2 '3' , i3'1' , curenii din fazele generatorului, respectiv alereceptorului, i curelaiile i1 , i2 , i3 curenii de linie, aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff se obin

i1

respectiv i12 i31 i1'2' i3'1' , i2 i23 i12 i2'3' i1'2' , i3 i31 i23 i3'1' i2'3' , (2.2.27)

I 1 I 12 I 31 I 1'2' I 3'1' , I 2 I 23 I 12 I 2'3' I 1'2' , I 3 I 31 I 23 I 3'1' I 2'3' . (2.2.28)Regimul fiind simetric, conform cu relaia (2.2.14), ntre valoarea efectiv a curenilor de linie i cea a curenilor de faz ai generatorului, respectiv receptorului, exist relaia

I l 3 I fg 3 I fr . (2.2.29)