33
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 Chöù ng minh raèng : 3 4 4 3 4 1 2 2 6 0 1 1. dx 3 2 sin x 2 3 cot g 1 2. dx 12 x 3 1 1 3. dx 2 6 1 x π π π π π π π π π π π π π 4 1 0 2 5 4 3 1 4. ln 2 dx 4 1 x x 1 5. dx x x 1 8 x 6. dx 18 x x x 3 9 3 π < < < < < < < < + π + + + + + + + + π π π π π π π π + + + + + + + + + + + + 1 0 1 0 Baøi giaûi : 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1. x sin x 1 sin x 1 1 2sin x 2 1 3 2sin x 2 1 4 4 2 2 3 2 sin x 2 1 1 1 dx dx dx dx 2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2 π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π 3 3 3 4 4 4 3 4 cot gx 1 3 cot gx 4 3 cot gx 4 2. x dx dx dx 4 x x 3 1 4 x 3 cot gx 1 dx 12 x 3 π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π 1 3 3 Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm. 1 1 2 2 6 2 2 6 2 6 2 6 6 2 6 0 1 3. 0 x 1 0 x .... x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 2 1 1 1 1 dx dx 1 x 1 x 1 x I < < < < < < < < 0 Vôùi 1 2 2 0 1 I= dx 1-x Ñaët x sin t ; t ; dx cos tdt 2 2 π π π π π π π π = = = = = = = = 1 1 2 2 2 0 0 1 x 0 cos tdt 2 I dt 6 t 0 1 sin t 6 π = = = = = = = = = = = = π Vaäy 1 2 6 0 1 1 dx 2 6 1 x π 2 2 4. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x + + + + + + + + + + + + () [ ] 2 1 1 1 1; x 0,1 x 1 1 x 1 x x + + + + + + + + + Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi : x=0 x=1 (1) (1) (1) (1) VT VG x VG VP Do ñoù : 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 dx 1 dx dx ln2 dx 1 x x 1 4 1 x x 1 x x π < < < < < < < < < < < < < < < < + + + + + + + + + + + + + + + + Chuù yù : 1 2 0 1 dx 1 x 4 π = + Xem baøi taäp 5 .

Bdt tich phan-npk

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Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân

1

Chöùng minh raèng : 3

4

4

3

4

12

2

60

11. dx

3 2 sin x 23 cotg 1

2. dx12 x 31 1

3. dx2 61 x

ππππ

ππππ

ππππ

ππππ

π ππ ππ ππ π−−−−

ππππ

−−−−

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

4

� �

� �

� �

1

0

2

5 4 3

14. ln 2 dx

41 x x1

5. dxx x 1 8

x6. dx

18 x x x 3 9 3

ππππ< << << << <

++++ππππ

+ ++ ++ ++ +

π ππ ππ ππ π+ + ++ + ++ + ++ + +

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

1

0

1

0

� �

Baøi giaûi :

3 3 3 34 4 4 4

4 4 4 4

2 2 22

2 2

3 1 1 1 11. x sin x 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1

4 4 2 2 3 2 sin x21 1 1

dx dx dx dx2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2

π π π ππ π π ππ π π ππ π π π

π π π ππ π π ππ π π ππ π π π

π ππ ππ ππ π−−−−

−−−−

π ππ ππ ππ π− −− −− −− −∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

� � � � � � � � � � � �

� � � �

3 3 3

4 4 4

3

4

cotgx 13 cotgx 4 3 cotgx 4

2. x dx dx dx4 x x3 1 4

x

3 cotgx 1dx

12 x 3

π π ππ π ππ π ππ π π

π π ππ π ππ π ππ π π

ππππ

ππππ

π ππ ππ ππ π

π π π ππ π π ππ π π ππ π π π π ππ ππ ππ π

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫∫∫∫

1

3⇒ ⇒ ⇒3

� �

� � � � � �

� �

� �

Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm.

1 12 2

6 2 2 6 2 6 2 6

6 2 60

13. 0 x 1 0 x .... x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1

21 1 1

1 dx dx1 x 1 x 1 x

I

< < − − − − − − −< < − − − − − − −< < − − − − − − −< < − − − − − − −

− − −− − −− − −− − −∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

� � � � � � � � � � � � �

� � � �

Vôùi 12

20

1I = dx1- x∫ Ñaët x sin t ; t ; dx cos tdt

2 2π ππ ππ ππ π

= − == − == − == − = ⇒ ∈ �

1 12 2

20 0

1x 0 cos tdt2 I dt6t 0 1 sin t6

ππππ= = == = == = == = =

ππππ −−−−∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫⇒

Vaäy

12

60

1 1dx

2 61 x

ππππ

−−−−∫∫∫∫ � �

2 24. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x+ + ++ + ++ + ++ + +⇒ ⇒ ⇒ � � � � � � � �

(((( )))) [[[[ ]]]]2

1 1 11 ; x 0,1

x 1 1 x1 x x+ ++ ++ ++ +++++⇒ ∀� � ∈

Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi : x = 0x = 1

(1) (1)

(1) (1)

VT VGx

VG VP∅∅∅∅⇒

�∈

Do ñoù :1 1 1 1

20 0 0 0

1 1 dx 1dx dx ln2 dx

1 x x 1 41 x x 1 x xππππ

< < < << < < << < < << < < <+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫⇒

Chuù yù :1

20

1dx

1 x 4ππππ

====++++∫∫∫∫ Xem baøi taäp 5 .

Page 2: Bdt tich phan-npk

Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân

2

2 2 2 2 2 22 2

1 1 1

2 2 20 0 0

1 15. 0 1 2 2 2

2 2( 1)1 1 1 1

; 2 2 1 1

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + ++ + ++ + ++ + +

====+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

� � � � � �

x x x x x x x x x xx x x

dx dx I dxx x x x

Ñaët x tgt dx dt ( tg t)dtcos t

= = = += = = += = = += = = + 22

11⇒

π ππ ππ ππ π+ π π+ π π+ π π+ π π= = = == = = == = = == = = =

ππππ ++++∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫4 42

20 0

0 1 11 4 40 4

⇒ ⇒

x tg tI dt dt I

tg tt Vaäy

ππππ+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫

1

20

12 8�dx

x x

(((( ))))

5 35 4 3 3 5 4 3 3

4 3

3 5 4 3 3 3 5 4 3 3

3 5 4 3 3

1 1

1 3 30 0

6. 0 1 0 2 3 3 3 30

1 1 13 3 3 3 3 3 3 3

13 3 3 3

1 ; Ñaët

3 3 3 1

+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +

+ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +

= = == = == = == = =+ ++ ++ ++ +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫°

1 1 1

0 0 0

0⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

� �� � � � � �

� �

� � � �

� �

x xx x x x x x x x x

x x

x x x

x x x x x x x x x x

x x xdx dx dx

x x x x x

x xI dx dx x

x x2 0 1;( 0) 2

0====⇒

1�

xt t dx tdt

t

21 1

1 6 3 20 0

1 2 2 3 .3 1 9 ( ) 1

= == == == =+ ++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫t t dt

I dtt t

Ñaët = == == == =3 2 0 13

0 1⇒

tu t du t dt

u

ππππ= == == == =

++++∫∫∫∫1

1 20

29 1 18

⇒du

Iu

Keát quaû :ππππ

====4

I (baøi taäp 5)

ππππ= == == == =

++++∫∫∫∫1

2 30°

3 9 3

xI

x(töông töï) Vaäy ( )

+ + ++ + ++ + ++ + +∫∫∫∫1

1 25 4 301

3⇔ � �

xI dx I

x x x

π ππ ππ ππ π+ + ++ + ++ + ++ + +∫∫∫∫ 5 4 318 3 9 3

1

0� �

xdx

x x x

1,Chöùng minh raèng :(((( )))) (((( ))))

2

4 40 121 1+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫sin .cos

sin cos�

x xdx

x x

ππππ ππππ

2.Neáu : (((( ))))

= >= >= >= > ∫∫∫∫

4

00 , 0 , ;

cos 2 4∀ ∈

t

tg xI dx t

x

t ππππ thì : (((( ))))2 33

3

4

++++ + >+ >+ >+ >

tg t tgt

tg t eππππ

Baøi giaûi :

1. Ta coùcos x sin x sin x cos x

:( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +====

+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +

2 2 4 4

4 4 4 4 4 4

3 2 21 1 1 1 1 1

sin cos( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos

+ + ++ + ++ + ++ + += += += += +

+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +

4 4

4 4 4 4 4 4

3 1 1 1 11 1 1 1 1 1

⇒ �x x

x x x x x x

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Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân

3

sin . cos sin .cos sin . cos sin .cos sin sin( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos

sin . cos sin sin( sin )( cos ) sin cos

π ππ ππ ππ π

+ ++ ++ ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + +

+++++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫2 2

4 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 40 0

3 1 2 21 1 1 1 1 1 6 1 1

3 1 2 21 1 6 1 1

⇒ ⇒

� �

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x xdx dx dx

x x x x

sin Ñaët sin sin

sin

ππππ

ππππ

= = == = == = == = =++++

∫∫∫∫

∫∫∫∫

2

2

0

21 40

2° 2

1⇒

xJ dx t x dt xdx

x

ππππ ππππ⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = =

++++∫∫∫∫1

1 20

0 20 1 41

x dtJ

t t (keát quaû I=

4π baøi taäp 5)

sin Ñaët cos sin

cos

ππππ

= = = −= = = −= = = −= = = −++++∫∫∫∫ 2 2

2 40

2° 2

1⇒

xJ dx u x du xdx

x

ππππ ππππ= == == == =

++++∫∫∫∫1

2 20

0 20 1 4

1

x duJ

u u(keát quaû I=

4π baøi taäp 5)

sin .cos( )

( sin )( cos )

ππππ

+++++ ++ ++ ++ +∫∫∫∫ 2

4 40

11 1 6

⇒ �x x

dx I Jx x

Vaäy sin .cos

( sin )( cos )

ππππ ππππ+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫ 2 4 40 1 1 12

�x x

dxx x

2. Ñaët ( )= = + == = + == = + == = + =++++

221

1⇒ ⇒

dtt tgx dt tg x dx dx

t

42 3 3

2 2 2 20 0 00

2

4 tgttgt tgt tgtt dt t dt 1 1 1 t -1 1 1 tgt -1I = . = = -t -1+ dt = - t - t - ln = - tg t - tgt - ln1- t 1+ t 1- t 1- t 3 2 t +1 3 2 tgt +11+ t

t

∫ ∫ ∫

( )>>>> 0 I t neân 31 1 tgt -1 : - tg t - tgt - ln > 0

3 2 tgt +1

ln ln

++++− π π− π π− π π− π π = + > + + >= + > + + >= + > + + >= + > + + > ++++

33 31 1 1 1

2 1 2 4 3 4

23⇔ ⇒

tg t tgttgttg t tg t tgt tg t e

tgt

2

nx

1. I =x +1

Chöùng minh : ( )

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫

1

0

1 12 1 1nI dx

n n vaø lim

→+∞→+∞→+∞→+∞==== 0

n nI dx

( )-n xn2. J = x 1+ e Chöùng minh : nJ dx

n<<<<

++++∫∫∫∫01 2

01

� vaø n nlim J dx 0→+∞

=

Baøi giaûi :

. ++++++++

1 11 0 1 1 1 2 1

2 1⇒ ⇒ � � � � � �x x

x ;

n n nn n nx x x

x x dx dx x dxx x+ ++ ++ ++ +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

1 1 1

0 0 0

12 1 2 1

⇒� � � �

(((( )))) (((( ))))

n n nnx x x xdx dx

n x n n x n

++++++++

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫1 1

1 1

0 000

11 12 1 1 1 1 1

1⇒ ⇒

2 +1� � � �

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Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân

4

Ta coù : (((( ))))1

02 1

011

01

→∞→∞→∞→∞

→∞→∞→∞→∞

→∞→∞→∞→∞

==== ++++ ====++++ ==== + + + +

nn

n

n

limn

limx

limn

x⇒

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

0

1

0 0 0

11

2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2

20 1 2 0 1

1

− − −− − −− − −− − −

− −− −− −− −

−−−−= + + += + + += + + += + + +

+ ++ ++ ++ +++++∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

. .⇒ 0 ⇒ ⇒

⇒ ⇒

� � � � � � � � � �

� � � �

n n n n n

n x n n

x x

x

x xx e e e x x e x hay x e x

x e dx x dx x e dxn

Ta coù : (((( ))))20 1 0

1

−−−−

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞= + == + == + == + =

++++n xx e dx

nlim lim⇒n n

Chöùng minh raèng : 2

2

3 4

4

2

1

0

4 6

0

-1. cosx(4 3 cos x)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 lnx 2 lnx)dx 8(e 1)

2 493. sinx(1 2 sinx)(5 3 sin x)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx 3 64

2435. sin x. cos xdx6250

π

π

π π

π

π

− + ≤ π − − ≤ −

π π+ − < − ≤

π≤

∫ ∫

∫ ∫

Baøi giaûi : Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2)

cos x cos x cosxf(x)

f(x)dx dx cosx( cosx)( cos x )dx2 2 2

2 2 2

34 3 2 2 8

3

8 4 3 2 2 8− − −

⇒ ⇒

cauchy �

� �

π π π

π π π

+ − + + =

− + π∫ ∫ ∫

2. Ñaët ( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )9 3 2 3 3 2 f x x x x x x x= − − = + −

ln ln ln( )

( ) ln ( ln ln ) ( )1 1 1

33 3 2

83

8 9 3 2 8 1⇒ ⇒

� �e e e

x x xf x

f x dx dx x x x dx e

+ + + − =

− − −∫ ∫ ∫

3. Ñaët ( ) sin ( sin )( sin )1 2 5 3 f x x x x= + − ; sin x sinx sinxf(x)3

1 2 5 38

3� � + + + −

Ñaúng thöùcsinx sin x sin x

xsinx sinx sinx

= + = −= + = −= + = −= + = − ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅

= − == − == − == − =

1 2 1

5 3 4 5

f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sin x)dx3 3 3

4 4 4

28 8 1 2 5 3

3

π π π

π π π

π⇒ < ⇒ < ⇒ + − <∫ ∫ ∫

4. Ñaët f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)17 4 4 7 4

4 = − = −

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Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân

5

( ) ( )

2

0 0 0

4 4 4

4 7 41 49( )

4 2 16

49 497 4

16 16x

tgx tgxf x

f dx dx tgx tgx dx∏ ∏ ∏

+ −≤ =

⇒ ⇒ −∫ ∫ ∫� �

4 6 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 6 4 6

0

5

5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos

1(2 2cos )(1 cos ).cos .cos .cos2

1 2 2cos 1 cos cos cos cos

2 5

243 243sin .cos sin .cos

6250 6250

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x xdx

= − −

= − −

− + − + + +≤

⇒ ≤ ⇒ ≤

Chöùng minh raèng :

( )2 2 2 22

3

5 21. cos 3sin sin 3cos

3x x x x dx

∏+ + +∫ �

( ) ( )2 2

12. 3 2 ln 5 2ln 4 1

ex x dx e+ + − −∫ �

2

3 cos sin3.

4 44

x xdx

x

∏ + ∏−

+∫� �

Baøi giaûi : 1. Ñaët 2 2 2 2

( ) 1 cos 3sin 1. sin 3cosxf x x x x= + + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3

2

2 cos 3sin 3cos sin 2 2

5 22 2 cos 3sin sin 3cos

3

x x

x

f x x x x f

f dx dx x x x x dx∏ ∏

− − −∏ ∏ ∏

+ + + ⇒

∏⇒ ⇒ + + +∫ ∫ ∫

� �

� �

2. Ñaët ( )

2 21 3 2ln 1 5 2lnxf x x= + + −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

1 1 1

2 3 2ln 5 2 ln 4

4 3 2 ln 5 2 ln 4 1

x x

x

e ee

f x x f

f dx dx x x dx e

≤ + + − ⇒ ≤

⇒ ⇒ + + − ≤ −∫ ∫ ∫�

( )2 2 2

2 2 2 20 0

2 2

3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin

3 cos sin 3 cos sin22

4 4 4 4

x x x x

x x x x dx

x x x x

+ ≤ + +

+ +⇒ ≤ ⇒ ≤

+ + + +∫ ∫

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Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân

6

Ñaët ( )22 2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = +

( )( )

2

2 20 0 0

2 20 0

4 42

2 2

2 10 1 1

4 2 84 104

3 cos sin 3 cos sin

4 4 4 4 4

tg tx dxdt dt

x tg tt

x x x xdx dx

x x

∏ ∏+ ∏⇒ = = =

∏ + +

+ ∏ ∏ + ∏⇒ ⇒ −

+ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

� � �

ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ

CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN

Chöùng minh raèng :

2 2

0 0

0 0

2 2

1 1

441. sin 2 2 cos

2. sin 2 2 sin

1 2 13.

1

xdx xdx

xdx xdx

x xdx dx

x x

∏ ∏

∏∏

− −<

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2

20

2 22

1 1

0 0

4 4

sin sin4..

5. (ln ) ln

6. sin cos

x xdx dx

x x

x dx xdx

xdx xdx

∏ ∏

>

<

<

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Baøi giaûi :

∏ ∏

0 0

4 4

0 sin 11. 0; 2sin .cos 2cos

0 cos 14

sin2 2cos sin2 2 cos

xx x x x

x

x x xdx xdx

≤ ≤ ∏ ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤ ≤ ≤

⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫

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7

∏ ∏

0 0

2 2

cos 12. 0; 2sin2 .cos 2sin

0 sin2

sin2 2sin sin2 2 sin

xx x x x

x

x x xdx xdx

≤ ∏ ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤ ≤

⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫

[ ]� 3. 1;2x∀ ∈ Xeùt hieäu : 2-1 2 1 10

1 ( 1)x x x x

x x x x

− − + −− = <

+ +

1 1

2 21 2 1 1 2 11 1

x x x xdx dx

x x x x

− − − −⇒ < ⇒ <

+ +∫ ∫

4. Ñaët - -x u dx du= ∏ ⇒ =

∏∏

∏ 0∏

∏ ∏

0 2

22

sin sin( ) sin2 ( )02

1 10 0

2

x x u xdx du dx

x u xu

x x xx x

∏−⇒ = − =

∏− ∏−

∏< < ⇒ < <∏− ⇒ <

∏−

∫ ∫ ∫

Vì :∏ ∏

∏0

2 2sin sin sin sinsin 0

x x x xx dx dx

x x x x> ⇒ < ⇒ <

∏− ∏−∫ ∫

∏2

20

sin sinx xdx dx

x x⇒ >∫ ∫

5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2]

[ ]

⇒ ⇒

∀ ⇒

2

2

1 1

2 2

1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln

1,2 (ln ) ln

x x x x

x x dx xdx

< <

<∫ ∫

� � � � �

∈ �

Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂⊂⊂⊂ [1,2]

0

∏ ∏

∏ ∏⇒ ⇔

⇔ ⇔0

4 4

sin6. 0 0 1 1

4 4 cos

sin cos sin cos

xx tgx tg

x

x x xdx xdx

< < < < = <

< <∫ ∫

Chöùng minh raèng :

2x1

0

1

0

1

0 1

8

25

3 03

1. 2 4 5

1 12. 12 1

1 13.

2626 2 1

dx

dxx

xdx

x

+

+

+

� � �

� �

� �

<

2

8

∏ ∏

1

0

21

2 30

1

3

.sin4. 1 ln2

1 .sin.sin

5.121

6.6 4

x

x xdx

x x

e xdx

ex

dx

x x

−+

+

− −

0

� �

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8

Baøi Giaûi:

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤

⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2

1 1 1 12 2

0 0 0 0

1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5

2 4 5 2 4 5

x x x x

dx x dx dx x dx

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤

⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤+

⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤+ +

∫ ∫ ∫ ∫

8 8

8

8

1 1 1 1

0 0 0 08 8

2. 0 1 0 1 1 1 21 1

0 1 2 12 1

1 11

2 21 1

x x x

xx

dx dxdx dx

x x

≤ ≤ ⇒ + ⇒ +

⇒ ⇔+ +

⇒ ⇒+ +

∫ ∫ ∫ ∫

310 10 3

25 2525

3 33 310 10

25 251 1 1 125 25

3 30 0 0 03 310 10

3. 0 1 1 1 2 1 1 2

1 11

2 21 11 1 1

262 26 21 1

x x x

x xx

x x

x xx dx dx x dx dx

x x

� � � �

� � � �

� � � �

4. Tröôùc heát ta chöùng minh : [ ]sin;(1) 0,1 .

1 sin 1x x x

xx x x

∀+ +

� ∈

Giaû söû ta coù : (1).

[ ](1) ⇔ ∀ ⇔1 1 1 1

1 1 ; 0.11 sin 1 1 sin 1

xx x x x x x

− −+ + + +

� �

⇔ ⇔1 1 .sin (1 sin ) 0x x x x x+ + − � � ñuùng [ ]∀ 0,1x ∈

Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ( )

1 1 1

0 0 0

1 1

00

1

0

sin 1(1) 1

sin 1 1.sin

ln 1 1 ln21 sin.sin

1 ln2.1 .sin

x x xdx dx dx

x x x x x

x xdx x x

x x

x xdx

x x

= − + + +

− + = −+

−+

∫ ∫ ∫

( )( )2 2

2 2 21 1 1

3 3 3

1 10 sin 1

5. 1, 3 0, 01 1

0 sin 1

sin 1 10 ;

1 1 1

xx

x

xe e xx ee

x e xx

e x dx dxdx I I

e ex x x

− −

< = ⊂ ∏ ⇒ ⇒ < < + + < <

⇒ < < = =+ + +∫ ∫ ∫

Ñaët 2

2

1(1 )

cosx tgt dx dt tg t dt

t= ⇒ = = +

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9

( )3 3

2

32

44 4

11 3

1 124

tg txdt dt t

tg tt

∏ ∏ ∏

∏∏ ∏

+ ∏⇒ Ι = = = =

∏ ∏ +∫ ∫

4

Vaäy21

3 sin0

121

xe xdx

ex

− ∏< <

+∫

3 2 2 3

2 2 3 2

2 2 3 2

2 2 3 2

1 1 1

0 0 02 2 3 2

6. 0 1 0 0

4 2 4 4

4 2 4 4

1 1 1

4 2 4 4

1 1 1

4 4 4 2

x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

I dx dx dx Jx x x x

⇒ ⇒ − −

⇒ − − − −

⇒ − − − −

⇒− − − −

⇒ = =− − − −

∫ ∫ ∫

� � � � � �

� �

� �

� �

�� ��

Ñaët 2sin 2cosx t dx tdt= ⇒ =

( )20 0

6 60 1 2cos

60 4 2sin6

x tdtI dt

t t

∏ ∏ ∏⇒ = = =

∏ −∫ ∫

Ñaët 2 sin 2 cosx t dx tdt= ⇒ = 0 1

04

x

t ∏

( )

4

0 2

0

4 2 cos 2 2

2 84 2 2 sin

tdtJ

t

∏∏ ∏

⇒ = = =−

1

0 2 3

2

6 84

dx

x x

∏ ∏⇒ ≤ ≤

− −∫

Chöùng minh raèng :

2

2

1

0

sin2

0

11. 1

2.2 2

x

x

ee dx

e

e dx e

∏ ∏

� �

� �

2 2

0

1

40

1 63. 1 sin .2 2 4

14. 0.88 1

1

x dx

dxx

∏∏ ∏≤ + ≤

< <+

Baøi giaûi :

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10

( )

( )

2

2

2

2 2

2

0

1. 0 1 0 1 0

1 11

0 1 1 2

x x

x x

xx

x x

x x x e e

e eee

e e e

− −

⇒ ⇒ <

⇒ ⇔

⇒ = ⇒

� � � � � �

� �

� � �2

°

°x

Töø (1) vaø (2) suy ra2

: 1x xe e− − � � 2 2 21 1 1 1

0 0 0 0

11x x xe

e dx e dx dx e dxe

− − −−⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫� � � �

2

2 2

2 sin

2 2 2 2sin sin

0 0 0 0

2. 0 sin 1 1

.2 2

x

x x

x e e

dx e dx e dx e dx e∏ ∏ ∏ ∏

∏ ∏⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫

� � � �

� � � �

2 2 2

2 2 2 22 2

0 0 0 0

1 1 1 33. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin

2 2 2 2

1 3 1 61 sin 1 sin .2 2 2 2 4

x x x

dx x dx dx x dx∏ ∏ ∏ ∏

⇒ ⇒ +

∏ ∏⇒ + ⇒ +∫ ∫ ∫ ∫

� � � � � �

� � � �

4. Caùch 1:

( )0,1x∀ ∈ thì 4 2 4 2

4 2

1 11 1

1 1x x x x

x x< ⇒ + < + ⇒ >

+ +

( )1

2

4 20

1 1ln 1 ln 1 2 0,88

1 1dx dx x x

x x

1 1

0 0⇒ > = + + = + >

+ +∫ ∫

Maët khaùc :1

4

4 40

1 11 1 1 1

1 1x dx

x x+ > ⇒ < ⇒ <

+ +∫

Vaäy :1

40

10,88 1

1dx

x< <

+∫

Chuù yù : hoïc sinh töï chöùng minh 2 2

2 2

1lndx x x a C

a x= + + +

+∫ baèng phöông phaùp tích phaân töøng

phaàn . Caùch 2 :

( ) 4 2 2

1

4 2 40

0,1 1

1 1 1

1 1 1

x x x x x

dx Ix x x

4⇒ < ⇒1+ < +

⇒ > ⇒ >+ + +

Vôùi :1

20

1

1I dx

x=

+∫

Ñaët ( )2

2

11

cosx tgt dx dt tg t dt= ⇒ = = +

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11

( )( )

4 4

4

2

0 02

20

10 1 1

cos0 14

cos

1 sin

tg txI dt dt

tt tg t

tI dt

t

∏ ∏

+= =

∏ +

=−

∫ ∫

Ñaët 0

4sin cos0

tu t du tdt

u

∏= ⇒ =

12

( )( )20 0 0

12

0 00

1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1ln

2 1 2 1 2 1

du u uI du du

u u u u u

udu duu u u

1 12 2

1 12 2

12− + + = = = + − − + + −

+= + =

+ − −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

4

1 2 2 1ln 0,88 0,882 2 2 1

I dxx

1

0

+= > ⇒ >

− +∫

Maët khaùc 4

4

1:1 1 1

1x

x+ > ⇒ <

+

( )4

11 2

1dx dx

x

1 1

0 0⇒ < =

+∫ ∫

Töø (1) vaø (2) suy ra : 1

40

10.88 1

1dx

x< <

+∫

Chöùng minh raèng :

4

2

0

1

0

3

21

1. 032

cos2. ln 2

1

.sin3.

1 12

x

x tgx dx

nxdx

x

e xdx

x e

∏< <

+

∏<

+

( )

200

100

3

21

1

1 10

cos4.

1 12

cos 15.

200

1 1 16. 1 1

1 2 1 21

x

x

nn n

e xdx

x e

xdx

x

e edx

n nx

− −

∏<

+

− − − − +

� �

Baøi giaûi :

1. 0 0 1 0 1 04

x tgx tgx x tgx x∏

⇒ ⇒ ⇒ � � � � � � � �

Xeùt : 04

xα β∏

< < < < ta coù :

4 4

0 0

0 1

00

4

tgx

x tgx xx

I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dxα β

α β

∏ ∏

< <

⇒ <∏< <

= = + +∫ ∫ ∫ ∫

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12

Ta coù :

4 4

4 4

4

0 0

0 0

2

0

0

0 0

0

032

x tgx dx xdx

x tgx dx xdx x tgx dx xdx

x tgx dx xdx

x tgx dx

α α

β β

α α

β β

∏ ∏

∏ ∏

< < ⇒ <

∏⇒ < <

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

� �

� �

Chuù yù : ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( ) ( ) ( )

b b

x x x xa bf dx f dx f dx f dx

α β

α β= + +∫ ∫ ∫ ∫

Tuy nhieân neáu : ( )xm f M� � thì :

( ) ( ) ( ) ( )b b b b

x xa a a am dx f dx M dx m b a f dx M b a⇒ − −∫ ∫ ∫ ∫� � � �

Nhöng ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( )

b b b

x xa a am dx f dx M f dx< <∫ ∫ ∫

(Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá ( )xf chöùa ( ),α β lieân

tuïc [ ],a b maø ( ),α β ⊂ [ ],a b )

1 1 1 1 1

00 0 0 0

1

0

coscos cos 12. ln 1 ln 2

1 1 1 1

cosln 2

1

nxnx nxdx dx dx x

x x x x

nxdx

x

= = + =+ + + +

⇒+

∫ ∫ ∫ ∫

� �

1

3 3 3

2 2 21 1

13. 1 3

sin 1

1.sin .sin

1 1 1

x

x x

e eex

x

e x e x edx dx dxx x x

− −

− −

=⇒

⇒+ + +∫ ∫ ∫

�� �

� �

3

21

.sin 1.

1

xe xdx I

x e

⇒+∫ � vôùi

3

21

1

1I dx

x=

+∫

Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = +

( )3 3

4 4

2

2

11 3

1 124 3

tg txdt dt

tg tt

∏ ∏

∏ ∏

+ ∏⇒ Ι = = =

∏ ∏ +∫ ∫

( )3

1

.sin*

1 12

xe xdx

x e

− ∏⇒

+∫ � (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây )

Ñaúng thöùc xaûy ra khi :

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13

1 1, 1, 3

sin 1sin 1

x xe ex x

xx

− − = = ⇔ ⇒ ∅ ∀ == ∈ ∈

Vaäy3

21

.sin:

1 12

xe xdx

x e

− ∏<

+∫

Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) ñuùng . Thaät voâ lyù

3 3 3

2 2 21 1 1

cos cos4.

1 1 1

x x xe x e x edx dx dx

x x x

− − −

+ + +∫ ∫ ∫ � �

Do xy e−= giaûm ( ) 1 1max xe e

e

− −⇒ = =

3 3

2 21 1

cos 1 1

1 1 12

xe xdx dx

x e x e

− ∏⇒ =

+ +∫ ∫� ;do I baøi 3

Daáu ñaúng thöùc :

1 1, 1, 3

cos 1cos 1

x xe ex x

xx

− − = = ⇔ ⇔ ∅ ∀ == ∈ ∈

Vaäy3

21

cos

1 12

xe xdx

x e

− ∏<

+∫

5. Ñaët 211

cos sin

du dxux x

dv xdx v x

= −= ⇒

= =

200200 200

2100 100100

200200 200

2100 100100

cos 1 sinsin

cos 1 1 1

200

x xdx x dx

x x x

xdx dx

x x x

∏∏ ∏

∏ ∏∏

∏∏ ∏

∏ ∏∏

⇒ = +

⇒ = − =∏

∫ ∫

∫ ∫�

Vaäy200

100

cos 1

200

xdx

x

∏ ∏∫ �

Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm .

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14

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1 1 1

0 0 0

1 11 1

1

0

0 0

16. 0 1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1.

1 11

xx

n n n

x

n n n

n nx

n

e ex e e

x x x

edx dx e dx

x x x

x xedx e

n nx

− −

⇒ ⇒+ + +

⇒+ + +

+ +⇔

− −+

∫ ∫ ∫

� � � � � �

� �

� �

Vaäy( )1

1 10

1 1 1: 1 1 ; 1

1 2 1 21

x

nn n

e edx n

n nx− −

− − > − − +∫ � �

Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù :

( ) ( )( ) ( ) ( )

22 2. . .

b b b

x x x xa a af g dx f dx g dx∫ ∫ ∫ �

Caùch 1 : Cho caùc soá 1α , tuyø yù ( )1,i n∈ ta coù :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2... ... ... 1n n n nα α α β β β α β α β α β+ + + + + + + + + �

Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : 1 2

1 2

... n

n

αα αβ β β

= =

Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : a = x0 < x1 < x2 < …. <xn = b vaø choïn :

[ ]1 1, ,i i

b ax x i i n

nξ −

−= ∀ ∈ ∈

Do f vaø g lieân tuïc , ta coù :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

1

2 2

1

lim 2

lim 3

nb

ixa ni

nb

ixa ni

n

b af dx f

n

b ag dx g

n

ξ

ξ

→+∞=

→+∞=

→∞

−=

− =

∑∫

∑∫

Khi ñoù (1)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2

1

lim . lim .

lim . . 4

n n

i in n

i i

n

i in

i

b a b af g

n n

b af g

n

ξ ξ

ξ ξ

→+∞ →+∞= =

→+∞=

− −⇔

∑ ∑

Töø (4) ta cuõng coù :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

1 1 1 1

. .n n n n

i i i i

i i i i

f g f gξ ξ ξ ξ= = = =

∑ ∑ ∑ ∑ 5�

Ñaúng thöùc xaûy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x)

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15

Töø (5) ( )2

2 2( ). ( ) ( ) . ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx⇒ ∫ ∫ ∫ �

Caùch 2 : t R+∀ ∈ ta coù :

[ ]2 2 2 2

2 2 2

0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0b b b

a a a

tf x g x t f x t f x g x g x

h t t f x dx t f x g x dx g x dx

− = − +

⇒ = − +∫ ∫ ∫

h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :

( )

2

22 2

22 2

0' 0

0

( ). ( ) ( ) . ( ) 0

( ). ( ) ( ) . ( )

h

h

h

b b b

a a a

b b

a a

a t

f x g x dx f x dx g x dx

f x g x dx f x dx g x dx

= >⇔ ∆

⇔ − ≤

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫b

a

��

Chöùng minh raèng :

2

3

sin

51. 1

2

32.

2

x

x dx

e dx

+ <

∏>

1

0

1

0

( )2

0

1

20

13. 1 1

2

3cos 4sin 54.

1 4

xx t t x xe e e dt e e

x xdx

x

− − < + < − −

− ∏+

Baøi giaûi :

1. Ta coù ( )2

2 2: ( ). ( ) ( ) . ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx∫ ∫ ∫ � ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 2 2

1 1 1 13 2 2

0 0 0 0

( ). ( ) ( ) . ( )

1 1 . 1 1 . 1

1 1 1 1 1

b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

x x x x x x x

x dx x x x dx x dx x x dx

+ = + − + = + − +

⇒ + = + − + < + − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

11

21

3

0

00

13

0

3 2 51

2 23 2

51

2

x x xx dx x x

x dx

+ < + = − +

⇒ + <

2 2 2

2sin sin sin

02. x x xe dx e dx e dx

∏2

∏∏= +∫ ∫ ∫0 0

Ñaët 2

2 02

xxt t dx dt

t

∏ ∏= + ⇒ =

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16

( )2

22 2

2 2 2

2sinsin sin 2

0 0 0

2 2 2sin cos sin

0 0 02

tx x

x x x

e dx e dx e dt

e dx e dx e dx

∏ ∏ ∏∏ +

∏ ∏ ∏

⇒ = +

= + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Ta laïi coù2 2

2 2sin cos

2 2 2 2

0 0.

x x

edx e e dx∏ ∏ =

∫ ∫

2 2

2 2

2

2

2 2sin cos

0 0

2 2

2 2 2 2sin sin

0 0 0 0

2sin

0 0

sin

0

.

1 3;

2 2

3

2

x x

x x

x

x

e dx e dx

hay e dx e dx e dx e dx

e dx e e e

e dx

∏ ∏

∏ ∏ ∏ ∏

∏∏

<

< ⇒ <

⇒ > = ∏ >

⇒ >

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm .

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

2 22

0 0

22 22

0 0 0

22 2

22

2

12

0

3.

( ). ( ) ( ) . ( )

1 1 11 1

2 2

11 (1)

2

x x tt t t t

x t ttt t t t t

b b b

a a a

xt t x x x x

xo

t t x x

e e dt e e e dt

e e e dt e dt e e dt

vi f x g x dx f x dx g x dx

e e dt e e e ee

e e dt e e

− −

− −

+ = +

+ +

⇒ + − − − < − −

⇒ + − −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Maët khaùc 2: ; 0t t te e e t x−+ > ∀ < < 2

0 01 (2)

x xt t t xe e dt e dt e−⇒ + > = −∫ ∫

Töø (1) vaø (2) suy ra ( )2

0

1: 1 1

2

xx t t x xe e e dt e e− − < + < − −

( )22 2 2

2 2 2

1 1 1

2 2 20 0 0

3cos 4sin 1 54. 3 4 sin cos

1 1 1

3cos 4sin 3cos 4sin 15

1 1 1

x xx x

x x x

x x x xdx dx dx

x x x

− + − + = + + +

− −⇒

+ + +∫ ∫ ∫

� �

Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = +

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17

( )2

2 2

2

10 1 1

1 1 40

3cos 4sin 54.

1 4

tg txdx dt dt

x tg tt

x xdx

x

+ ∏⇒ = = =

∏ + +

− ∏⇒

+

∫ ∫ ∫

1 1 1

0 0 0

1

0

4

Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm.

Chöùng minh raèng :

( ) ( )( )

11

7

12

0

1. 54 2 7 11 108

42. 0 1

27

x x dx

x x dx

−+ + −

< − <

� �

( )

2

4

0

sin

0

2sin cos

4 4

34.

2

ex

x x dx

e dx

∏∏ ∏+

∏>

� �

Baøi giaûi : 1. Xeùt ( ) ( ) ( ) [ ]7 11 ; 7,11f x x x x= + + − − ∈

( ) ( )11 7' ' 0 2

2 11 7

x xf x f x x

x x

− − += ⇒ = ⇔ =

− +

x -7 2 11 f’(x) + 0 - f(x) 6

3 2 3 2

ր ց

( ) ( )

( )

11 11 11

7 7 7

11

7

3 2 6 3 2 6

54 2 7 11 108

f x dx f x dx dx

x x dx

− − −

⇒ ⇒

⇒ + + −

∫ ∫ ∫

� � � �

� �

2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; [ ] ' 20,1 ( ) 3 - 4 1x f x x x∀ ∈ ⇒ = +

⇒ f’(x)=0 1x x1

⇔ = ∨ =3

x -∞ 0 13 1 +∞

f’(x) + 0 - f(x)

0 0

ր ց

4 27

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18

4

0 ( )27

f x⇒ � �

( ) ( ) ( )

(0) (1)

1 1 1

0 0 0

1 1 40, ; ,03 3 27

0

4 40 ( ) 0 ( )

27 27

xx fva

f f

f x dx dx f x dx

∃ ⇒ 0 < <

= =

⇒ < < ⇒ < <∫ ∫ ∫

3. Xeùt haøm soá :

'

( ) sin cos 2 sin ; 0,4 4

( ) 2 cos 0 , 0,4 4

f x x x x x

f x x x

∏ ∏ = + = + ∏ ∏ = + ∀

� ∈

⇒ f(x) laø haøm soá taêng ( ) ( ) ( )04

0,4

xx f f f ∏

∏ ∀ ⇒ ∈ � �

( )4

0

21 sin cos 2 sin cos

4 4x x x x dx

∏∏ ∏⇒ + ⇒ +∫� � � �

4. Nhaän xeùt 0x∀ > thì 1xe x> + ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) Xeùt ( ) ( )

'1 ; 0 1 0 ; 0t t

t tf e t t f e t= − − ⇒ = − > ∀ > �

⇒haøm soá f(t) ñoàng bieán 0t∀ � Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ( )1 0 1 1x xe x e x⇒ − − > ⇔ > +

Do vaäy : ( ) ( )2sin 20, 1 sin (1)xx thi e x do∀ ∏ > +∈

( )2

2

sin 2

0 0 0

sin

0

1 cos21 sin

2

3

2

x

x

xe dx x dx dx

e dx

∏ ∏ ∏

−⇒ > + = ∏+

∏⇒ >

∫ ∫ ∫

Chöùng minh raèng :

3

4

2

21

20

2 11.5 1 2

3 sin 12.4 2

3 1 2 33.

3 3cos cos 1

xdx

x

xdx

x

dxx x

+

∏ ∏

+ +

� �

� �

� �

( )

3

6

1

20

14 4 4

1

3 cot 14.12 3

2 1 15.3 22

6. 2 2 1 1 4

gxdx

x

dxx x

x x dx

< <+ −

< + + − <

� �

Baøi giaûi :

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19

1. Xeùt : ( ) [ ]2; 1,2 .

1x

xf x

x=

+ ∈ coù ( ) ( )

[ ]2

'

22

10 ; 1, 2

1x

xf x

x

−= ∀

+ � ∈

⇒haøm soá nghòch bieán [ ] ( ) ( ) ( )2 11,2

xx f f f∀ ⇒∈ � �

2 2 2

2 21 1 1

2

21

1 1

1 2 1 2

2 1

5 1 2

x xdx dx dx

x x

x

x

2 2⇒ ⇒

5 + 5 +

⇒+

∫ ∫ ∫

� � � �

� �

2. Xeùt ( ) ( )'

2

sin .cos sin; ;

6 3x x

x x x xf x f

x x

∏ ∏ − = ∀ ⇒ = ∈

Ñaët .cos sin ' 0 ; ;6 3

Z x x x Z x x x∏ ∏ = − ⇒ = − < ∀

⇒Z ñoàng bieán treân ;6 3

x∏ ∏ ∀

∈ vaø :

( )

( )

3

'

3 30 ; ;

6 6 3

0 ; ;6 3

x

Z Z x

f x

∏− ∏ ∏ = < ∀ ∏ ∏ ⇒ < ∀

� ∈

x -∞

6∏

3∏ +∞

f’(x) − f(x)

3

3 32

ց

( )

3 3 33

6 6 6 6

3 3 3

2

3 3 sin 3

2

3 3 sin 3 sin 1

2 4 2

Xf

xhay

x

x xdx dx dx dx

x x

∏ ∏ ∏∏

∏ ∏ ∏ ∏

⇒∏ ∏

∏ ∏

3⇒ ⇒

∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫

:

� �

� �

� � � �

3. Ñaët [ ] [ ]cos ; 0, 1,1t x x t= ∏ ⇒ − ∈ ∈

vaø ( ) [ ]2 1; 1,1tf t t t= + + − ∈

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20

( ) ( )' ' 1

2 1; 02

t tf t f t= + = ⇔ = −

t -∞ -1 12

− 1 +∞

f’(t) − 0 + f(t) 1 3

34

ց ր

( ) [ ]33 ; 1,1

4tf t⇒ ∀ −� � ∈

[ ]2

2

2

20 0 0

20

3cos cos 1 3 ; 0,

4

3 1 2cos cos 1 3

2 3cos cos 1

1 1 2

cos cos 13 3

3 1 2 3

3 3cos cos 1

x x x

hay x xx x

dx dx dxx x

dxx x

∏ ∏ ∏

⇒ + + ∀ ∏

1+ + ⇒

3 + +

⇒+ +

∏ ∏⇒

+ +

∫ ∫ ∫

� � ∈

� � � �

� �

� �

Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø :

20

3 1 2 3

3 3cos cos 1dx

x x

∏∏ ∏< <

+ +∫ (hoïc sinh töï giaûi thích vì sao)

( )cot

4. ;x

gxf

x= lieân tuïc ;

4 3x

∏ ∏ ∀ ∈

coù ( )( )'

2 2

2 sin 20 ; ;

2 sin 4 3x

x xf x

x x

− + ∏ ∏ = < ∀ ⇒

∈ f(x) :nghòch bieán treân ;4 3

∏ ∏

( ) ( ) ( )3 4x

f f f∏ ∏⇒ � �

3 3 3

4 4 4

3

4

3 cot 4 cot 4

3 cot 1

12 3

gx gxdx dx dx

x x

gxdx

x

∏ ∏ ∏

∏ ∏ ∏

3⇒ ⇒

∏ ∏ ∏ ∏

∫ ∫ ∫

� � � �

� �

( ) [ ]25. 2 ; 0,1xf x x x= + − ∀ ∈ coù f’(x)=1- 2x

( )' 1

02

xf x⇒ = ⇔ =

x -∞ 0 1

2 1 +∞

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21

f’(x) + 0 − f(x)

2 2

ր ց

9 4

( )9

24

xf⇒ � �

vaø ( ) ( )

( ) ( )( )

0 1

1 10, ; ,1 92 2 242

x

xf

f f

∃⇒ < <

= =

2

2

1 1 1

20 0 0

1

20

9 2 1 12 2

4 3 22

2 1 1

3 22

2 1 1

3 22

x xx x

dx dx dxx x

dxx x

⇒ < + − < ⇒ < <+ −

⇒ < <+ −

⇒ < <+ −

∫ ∫ ∫

6. Xeùt :

( ) [ ]

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 4

'

3 34 4

3 3' 4 4

1 1 ; 1,1

1 1 1

4 1 1

0 1 1 0

x

x

x

f x x x

fx x

f x x x

= + + − −

= − + −

= ⇔ − = + ⇔ =

Maët khaùc : ( )( ) ( )

'

3 34 4

1 10 1 0

1 1x

f x

x x

> ⇔ > ⇔ − < <+ −

x -∞ -1 0 1 +∞ f’(x) + 0 − f(x)

4 42 2

ր ց

2

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

4

4

4

1 1

1 1 1 14 44 4 4 4

1 1 1 1

2 2

-1,0 ; 0,12 2

2

2 1 1 2 2 2 1 1 4

x

x

f

xva f

f f

dx x x dx dx x x dx

− − − −

⇒ ≤ ≤

∃ ∈⇒ < <

= =

⇒ < + + − < ⇒ < + + − <∫ ∫ ∫ ∫

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22

Chöùng minh raèng :

2

2

22 4

0

200-

100

100 1

10

1. 2. 2

2. 0,005

93. 90 ln10 90 ln10

200

x x

x

x

e e dx e

e dx

e dx

− −≤ ≤

<

− ≤ < + +

2

3

2

4

40

111

0

2

0

34. 9 2 90

cos

5. 14

6. 1

x

x

tg x dx

e dx

tgdx

x

+

− ≤

∏≥ +

<

Baøi giaûi : 1. Ñaët ( ) [ ]2 ; 0, 2

xf x x x= − ∈ coù ( )

' 1 2x

f x= −

coù ( )' 1

02

xf x= ⇔ =

x -∞ 0 12 2 +∞

f’(x) + 0 − f(x)

0 2−

ր ց

1 4

( )

2 2

2

2

2 2 212 24 44

0 0 0

22 4

0

12

4

12

4

2. 2.

x

x x x x

x x

f

hay x x

e e e e e dx e dx e dx

e e dx e

− − − −

− −

⇒ −

− −

⇒ = ⇒ ≤ ≤∫ ∫ ∫

� �

� �

� � �

� �

Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân laø : 22

2 4

02. 2.x xe e dx e− −< <∫

2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2

2

1; 1 0xe x

x

− ≤ ≠

Ñaët 2 ; 0 0t x x t= ≠ ⇒ >

Giaû söû ta coù (1) vaø (1) 1; 0 ; 0t te t e t t

t

−⇔ > ⇔ > � �

( )0 2 ; 0te t t⇔ − > �

Ñaët ( ) ( )' 1 0 , 0t t

x tf e t co f e t= − = − > >

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23

( )tf⇒ luoân ñoàng bieán 0t∀ > vaø ( ) ( )0 1 0tf f = >�

( )2 2

2 2

1 10 , 0 x x

tf t e e dx dx

x x

200 200− −

100 100⇒ > ⇒ ≤ ⇒ ≤∫ ∫ �

2200-

1000,005xe dx⇒ <∫

3. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )1

2

1 1 11 1 ; 1 0

2xe x

x x x

−− − + ∀ > � �

Ñaët 1; 0 0t x t

x= − > ⇒ <

( ) ( )211 1 1 ; 2 02

tt e t t t⇔ + + + < � �

Xeùt haøm soá ( ) ( )211 ; 1 ; 0

2

t t

t tf e t h e t t t= − − = − − − <

( )' 1t

tf e= −°

t -∞ 0 +∞ f’(t) − f(t)

0

+∞

ց

( ) 0 ;

1 0 ; 0

t

t

f

hay e t t

⇒ > ∀τ < 0

− − > ∀ <

( )1 ; 0 3tt e t⇒ + < ∀ <

( )'• 1tth e t= − −

x -∞ 0 +∞ 'h t + th 0

ր

( )

( )

0 ; 0

11 0 ; 0 4

2

t

t

h t

hay e t t

⇒ < ∀ <

< + + > ∀ <

Töø (3) vaø (4) suy ra :

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24

2

1

2

100 100 1001

210 10 10

11 1 ; 0

2

1 1 11 1 ; 0

2

1 1 11 1

2

t

x

x

t e t t t

hay e xx x x

dx e dx dxx x x

+ + + ∀ <

− − + >

⇒ − − + ∫ ∫ ∫

� �

� �

� �

100 1

10

990 ln10 90 ln10

200xe dx− ≤ < + +∫

* Laø baøi toaùn khoù , hi voïng caùc em tìm ñieàu thuù vò trong baøi toaùn treân – chuùc thaønh coâng .

4. Xeùt ( )4

4

32 ; 0,

cos 3xf tg x x

x

∏ = − ∈

Ñaët [ ]2

2

11 ; 0, 1;4

cos 3t tg x x x t

x

∏ = = + ⇒ ∈ ∈ ∈

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3

2 ' 3

1 4

4 4 4

1 1 1

4

40

4 2 4 4 0 ; 1, 4

30

3 30

39 2 90

cos

t t

t t

t

f t t f t t

f f f f

dt f dt dt

tg x dx∏

⇒ = + − ⇒ = + > ∀

⇒ ⇒ 3

⇒ ≤

⇒ −

∫ ∫ ∫

� � � �

� �

5. Xeùt haøm soá ( ) 1 ; 0x

xf e x x= − − ∀ �

coù ( ) ( )' 1 0 , 0x

x xf e x f= − > ∀ ⇒ � ñoàng bieán )0,x∀ +∞∈

( ) ( )

( )

2

2

0

11

2

11 1 11

2 20 0 0

0 1 0 1 ; 0

11 ; 01

1 11 1 *1 1

x x

x

x

x

f f e x e x x

e xx

e dx dx dxx x

+

+

⇒ = ⇒ − − ⇒ + ∀

⇒ + ∀+

⇒ + = + + + ∫ ∫ ∫

� � � �

� �

Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = +

( )21 1

2 20 0

0 10 1

1 1 1 44

t tg t dtxdx

x x tg tt

= += ∏⇒ ⇒ = = ∏= + +=

∫ ∫

Töø (*) suy ra : 21

1 14

xe dx+ ∏+∫ �

6. Tröôùc heát ta chöùng minh : 2 ; 0,2

xtgx

x

2 ∏ < ∏ ∈

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25

Xeùt haøm soá ( )1. ; 0,2 2

x

xf tg x

x

∏ = ∈

( )'

2 2

sin

2 .cos2

x

x xf

xx

−=

Ñaët sin ' 1 cos 0 , 0,2

Z x x Z x x∏ = − ⇒ = − > ∀

( ) ( )'

00 0 , 0,

2x

Z Z f x∏ ⇒ > = ⇒ > ∀

x -∞ 0 2

∏ +∞

f’(x) + f(x) 2

−∞

ր

( )

2 2 2

0 0 0

2 22

22 2 1

x

xtgf

x

x xtg tgdx dx dx

x x

∏ ∏ ∏

⇒ < ⇒ <∏ ∏

⇒ < ⇒ <∏∫ ∫ ∫

Chöùng minh raèng :

( ) ( )4

2001 20011999 2

0

12

0

2

0

11. . .2 2001 2002

1 22. ln 1 ln 1 2 1

2 2

13.

2 4

x

n

n

x e dx

x x x dx

xtg xdxn

+

∏ ∏> +

+ + + + −

∏ +

Baøi giaûi : 1. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2 22 ; 0xe x x x> + ∀ >

Xeùt haøm soá:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

' 2 2

2 ; 0

2. 4 2 ; 4. 4 0 ; 0' '

x

x

x x

x x

f e x x x

f e x f e x

= − + ∀ >

= − − = − > ∀ >

( )'

xf⇒ laø haøm taêng ( ) ( )

'

0; 0 0

xx f f∀ > ⇒ > =

( )xf⇒ laø haøm taêng ( ) ( )0; 0x

x f f∀ > ⇒ >

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26

( ) ( )

( )

2 2 1999 2 1999 2

1999 2 1999 2

0 0

2001 20011999 2

0

2 . 2.

1.

2

1. .

2 2001 2002

x x

x

x

e x x x e x x x

x e dx x x x dx

x e dx

∏ ∏

⇒ > + ⇒ > +

⇒ > +

∏ ∏⇒ > +

∫ ∫

2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2 21 ln 1 1 ;x x x x x R+ + + + ∀ � ∈

Xeùt haøm soá :

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2 2

' 2 ' 2

22

1 ln 1 1

ln 1 0 1 1

1 00

1 1

x

x x

f x x x x

f x x f x x

xx

x x

= + + + − +

= + + ⇒ = ⇔ + + =

− ≥⇔ ⇔ =

+ = −

vaø ( ) ( )' 20 ln 1 0 0x

f x x x< ⇔ + + < ⇔ <

x -∞ 0 +∞ f’(x) - 0 + f(x)

0

ց ր

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

2 2

2 2

11 1

2 2 2 2

0 00

12

0

0 ;

1 ln 1 1

ln 1 1 1

1 1ln 1 1 1 1 ln 1

2 2

1 2ln 1 ln 1 2 1

2 2

xf f x R

x x x x

x x x x

x x x dx x dx x x x x x

x x x dx

⇒ = ∀

⇒ + + + +

⇒ + + + −

⇒ + + + − = + + + + −

⇒ + + + + −

∫ ∫

� ∈

3. Ñaët ( ) ; 0,4

xf tgx x x

∏ = − ∀ ∈

( )' 2

2

11 0 ; 0,

cos 4x

f tg x xx

∏ = − = > ∀ ∈

( )xf⇒ ñoàng bieán treân ( ) ( )00, 04

xf f

∏ ⇒ = �

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27

4 4

4

1 1

0

2

0

; 0,4

1

2 4

n n

n n n n

n

n

tgx x x tg x x

xtg x x xtg xdx x dx

xtg xdxn

∏ ∏

+ +

0

+

∏ ⇒ ∀ ∈ ⇒

⇒ ⇒

∏ ⇒ +

∫ ∫

� �

� �

Giaû söû f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [0,1] vaø f(1) – f(0) = 1

Chöùng minh raèng : ( )( )21

'

01

xf dx∫ �

Ta coù : ( )( ) [ ]21

'

01 1 ; 0,1

xf dx x− ∀ ∈∫ �

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 21 1' ' '

1 00 0

2 2' '

2 1 0 2 1 0

2 1 0 1

x x x

x x

f dx f dx dx f dx f f

f dx f dx

1 1

0 0

1 1

0 0

⇒ − + ⇔ − − +

⇔ − + ⇒

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

� � �

� �

Cho f laø 1 haøm lieân tuïc treân [0;1] ñoàng thôøi thoaû maõn

( ) [ ] ( )

( ) ( )1

0

1 2 ; ; 0,1

3

2

x

x

f x a

f dx b

∀ ∈

=∫

� �

Chöùng minh ( )

1

0

2 1 3

3 4x

dxf

<∫�

Theo BÑT Bunhiacosky

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2

21 1 1 1

0 0 0 0

1

0

11 1. . .

3 21

2 3

x x

xx

x x

dxdx f dx f dx

ff

dx dx

f f

1

0

=

= ⇒

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

� �

Daáu “=” khoâng xaûy ra :

( )

( )

( )

( )

1

0

3

1 2

3.

2

x

x

x

x

fk f k

f

do f dx

= ⇔ = =

=∫

Töø (a) : ( ) [ ]1 2 ; 0,1xf x∀ ∈ � � thì

( )

( )

2 0

1 0

x

x

f

f

( )( ) ( )( ) ( ) ( )22 1 0 3 2 0

x x x xf f f f⇔ − − ⇔ − + � �

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28

( )( )

( )23 0 2

x

x

ff

− + � Ñaët ( )xt f=

1 2t⇒ ≤ ≤�� thì (2) ( )2

3 0t

t ft

⇔ − − = �

t 1 2 2 f’(t) − 0 + f(t)

2 2 3−

ց ր

( )( )

( )( )

( )

1 1 1

0 0 0

1 1 1

0 0 0

3 2 0

3 32 3

2 4

x

x

x

x x

dxf dx dx

f

dx dxdx f dx

f f

1

0

⇒ − + <

⇒ < − = ⇒ <

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Töø (1) vaø (2) suy ra :

( )

2 1 3

3 4x

dxf

<∫�

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29

BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN Chöùng minh raèng :

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30

( )

4

2

40

0

11

0

180

0

31

10

11.

228 245 2 cos

12.

2 183 4sin

2 1 23.

39 78

54.

3 616

cos 55.

4 61

16.

216 105 3cos

.sin7.

2 121

8. 3 2

40032001

9. . ln .

1

dxx

dxx

dxx

xdx

x

xdx

x

dxx

xe x

dxex

xe dx

x x dx∏

∏ ∏∫

+

∏ ∏∫

+

∫+

<∫+

<∫+

∏ ∏∫

+− ∏

<∫+

−+∫

< ∏∫1

10

24

� �

� �

� �

� �

( )12

10

0

20

10

10

10

20

10

1 20.

2 36 84

1 111. 2, 3...

22 61

22 212. 24

71

13. 03 8 81

214.1

191 1

15.3 6 2020 2 1

116 .

210 45 3cos

117. 0

1 1

dx

x x

dx n

x

x xe dx e

e

xdx

x

xe dx e

xdx

x

dxx

nxdxx n

∏ ∏∫

− −

∏< =∫

∏−

−∫

< <∫+

< <∫

< <∫+

∏ ∏∫

∫+ +

� �

� �

� �

� �

12

30

10

10

34

4

11

10

10

0

10

1 318.1

2 52 8

219.1 1 2

220. 3 3 2

121.

28 73 sin

22. 2 5 4 6

223. 2 4 5

3 124.

218 82

1 125.

2004 42 1

26.7 5 3

18 273

27. 0

dx

x x

x dx

x dx

dxx

xdx

x dx

dxx x

dx

x

xdx

x x x

∫− + +

+∫

+∫

∏ ∏∫

+

−∫

+∫

∏ ∏< <∫

+ +

∏∫

∏ ∏ 3<∫

+ + +

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

( )

4

1

0

1

0

0

30

20

20

11

34

10

2ln

228. 9 81 10

2 229.

3 10 3 cos 7

1 6230 . 1 sin

2 2 4

231. 0 2 3

132.

24 23 2 sin

2133. 1 1

sin( )34. ln 2

1

cos( )35. ln 2

1

36

ex xdx e

x dx

dx

x

x dx

tgx dx

dxx

xe e dx

e

nxdx

x

nxdx

x

< + <∫

∏ ∏∏< <∫+

∏ ∏< + <∫

< <∫

∏∏ ∫−

−− < <∫

∫+

∫+

� �

� �

( )2

0

12

1. ; 3, 42 121

237. sin 0

xdx nn

x

x dx∏

∏< =∫

>∫

Chöùng minh raèng :

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31

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

2 2

2

3

6

4

0

4 2 2

0

2 4 2

0

2 2

1. 2 cos 2 cos 2 2

3cos 4sin 52. 0

1 12

93. 3 2 sin sin 6 sin 5

2

274. 2 3 7 4

4

255. sin 2 3cos

48

1256. cos 2sin 3

54

3 37. 5 2cos 3 2sin

x x dx

x xdx

x

x x x dx

tgx tgx tgx dx

x x dx

x x dx

x x dx

+ + − ∏

+ ∏+

∏− + +

∏+ −

∏+ <

∏+ <

∏− + −

o

3

1

<

( )( )

( )( )( )( )

( )2

4

4

2

0

3

6

0

11

0

1

20

2

278. sin 2 3 sin 7 4 sin

2

99. 3 2 sin 5 sin 1 sin

2

10. 2sin 0

11. 0 1

1 5 112.2 1 24 2

x

x

x x x dx

x x x dx

x tgx dx

e x dx e

edx

x

∏−

− −

∏+ −

∏− + +

+ >

+ −

++

� �

� �

Chöùng minh raèng :

2

2

2

2

18

40

2

0

12 2 2

0

2 1 21.13 10 3cos 7

12.14 4 3cos 8

cos3. 0,1

1

4. 1

5. sin sin

6. x x

dxx

x

xdx

x

x dx xdx

x xdx x xdx

e dx e dx

0

0

1 1

0

∏ ∏+

∏ ∏+

<+

+ >

<

>

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1

0

2 2

1 1

� �

� �

( )

3

2

1

0

21

20

1

1

1

0

4 40

1

20

11

12

13

14

15

16

sin 1cos. 1 1

1

1.

1 64 2

.1 2 4

.1

1. 2

sin cos

1.

2 8

x

x

x a a adx

x

a R

xdx

x

dx

e dx e

dxx x

dxx x

+ +−

+

∏ − ∏< <

+

∏ ∏+

∏<

+ +

� �

� �

� �

� �

Page 32: Bdt tich phan-npk

Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân

32

( )

21

21

10 22 2

0 0

cos 2 cos7. 2

2 cos 1

0,

8.. sin sin

x xdx

x x

xdx xdx

α αα

α

∏ ∏

− +− +

∫ ∫

( )4 4

2 2

1

2

5

319

17

18

. sin cos

. 3 6 2 4 6 3

3. 25 27

2 4 5

xdx xdx

x x dx

xdx

x x

∏ ∏

∏ ∏

>

+ + −∫

∫− +

∫ ∫

� �

� �

( )( )

6

6

20

2

2 2 2 29. cos 2 sin sin 2 cos 6

2 2 210. 3cos sin 3sin cos 2

x x x x dx

x x x x dx

−+ + + ∏∫

+ + + ∏∫

Chöùng minh raèng :

( )

( )

3

3

4

6

3

0

0 2

2

21

12

0

4

27

23. 0 1

3 sin 11.4 2

3 sin 22.8 6

3 1 2 34.

3 3cos cos 1

2 15.5 1 2

2 36. 0 1

9

x x dx

xdx

x

x

x

dxx x

xdx

x

x x dx

< − <∫

< <

< <

∏ ∏< <

+ +

< <+

< − <

( )

( )

( )

2

23

2

0

02 2

2

2

1

133

1

12 1

0

2

0

30

28

29

31

32

33

5 3. 24 5 20 2 32

cos 1.

2

. 0 8

. 2 4 3 2 0

. 0

1. 2cos 2cos 1 52

x

e ex

x x x dx

xdx

x

x e dx e

x x dx

x dx e

x x dx∏

+

− − − + +∫

<∏

− − + −

< <

< + + <

� �

� �

� �

( )

( )2

2

11

7

22

0

5

2

6

1

20

1

0 2

493

8

1 19 sin sin

sin sin

7

.

10

8

. 54 2 11 7 108

8. 3cos 5

3cos cos3

. 0,65 0,91

2 1 111.3 22

dxx xx x

x x dx

x dxx x

dx

x

dxx x

∏− −− − −

− + +

+ +

+

+ −

� �

� �

� �

� �

( )

( )

( )

( )

2

0

2

0

30

24

22

21

21

34

35

7 3 5 3 636 . 3 2 sin

3 3

37

38

39

40

3. sin 1 cos

2

. sin cos 2 2

. cos 2

cos 2 3. 2cot

sin 9

7 5. 2 6

5 7

3 1. 0 10

1

x x dx

x x dx

x x dx

x x dx

xgx dx

x

x xdx

x x

x xdx

x x

−∏

−∏

∏ ∏ +< + <

∏+ <

+ < ∏

− < ∏

∏ − <

− +−

− ++ +− +

� �

� �

Page 33: Bdt tich phan-npk

Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân

33

( )

( )

2

23

2 2

200

100

2

4

2

2

2

21

1

017.

15

16

5 9 212.2 41

cos 113.

200

1 sin 214.2 2

1. 2 3ln

ln

2 1.5 1 2

11

2

e

xdx

x

xdx

x

xdx

x

e e x dxx

xdx

x

x x dx

< <−

<∏

< <

− < −

< <+

− <

( ) ( )2

2

212

22

2

0

2 3

2

21

3

1

22

4 0

22

1

24

22

23

25

26

27

5 2 4 521. 15

2 1

. 0 ln

. 1 1ln

5 2. 14 1

1. ln 2 ln ln 3

2. 2

1.

2

e

e

e

x x

x

x xdx

x

x x e

xe e dx e e

x

xdx

x

xdx

x

e dx ee

ee dx e

x

+ ++

− < < −

< <+

+< <

< <

< <

� �

� �

( )( )

2

24 2

0

24 3 2

1

18

19

20

. cos 2 cos 1 2

. 5 2 4 5 9 2

. 141 3 8 30 72 20 369

x x dx

x x dx

x x x x dx

∏ − + ∏

− + +

− − − + + −

� �

� �

� �