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BE MATEMATICA

G OMO O O PARA EL MAESTROnana □ □ □ □□ □ □ □ □ □ □ n n n □ n

• EL PROFESOR

• EL ESTUDIANTE

El Congreso de KarlsruheEn este número:

Pá.ií.

3 VU Los planes do estudio (A. G. Uow-son) ...................................................

VIH Evaluación, métodos y resultados (7.Ñjhxitrick) .....................................

IX Objetivos y métodos globales ((/.DfAmbrosio) .....................................

X Procesos de aprendizaje (77. Batiera-feld) ...................................................

10 XI Tecnología educativa (/i. Ueirner) XII Matemática y otras disciplinas (//.

O. Po/Jo*) .........................................XIII Algoritmos y calculadoras (A. Engel)

Olimpíada belga

Curta al lector ...........................................El Congreso de Karlsruhe.

I Educación a nivel preescolar y pri­mario (F. Colmez) .........................

II Educación a nivel primario superiory ciclo secundario básico (A. 7. Krtgovska ...................................... 9

III Educación en la escuela secundaria y transición universitaria (£>. A.0uadling) ...........................................

IV Educación universitaria (7. //. vanLint) ....................................................

V Educación de adultos y permanente (fl. A/. Pengelly) .............................

VI Preparación y actuación profesional de los profesores (AL Otte) ........

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13

17 Bibliografía

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CARTA AL LECTORn d^u

■Vcao o. o

* £7 número 41 de CONCEPTOS DE MATEMATICA es el inicial de nuestra segunda década, un lapso inusual en publicaciones de esta índole. Nos ha decidido a continuar con la tarea el decidido apoyo que nos ha hecho llegar un núcleo numeroso de suscriptores. Vale el apoyo pecuniario de sus suscripciones; vale más el apoyo moral que nos han ofrecido tanto para la búsqueda de nuevos suscriptores cuan­to para la solución de dificultades que pudieran ir apare­ciendo.

DAVnDaVBVunb E B D a a a a a a rrVr'o - a a a

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a a a a□ a a&n^o ir tí o a

i a e a a* Les pedimos a quienes todavía no lo han hecho quieran

formar parte de ese núcleo. Lo primero y esencial es que nos envíen el importe de sus suscripciones con toda la urgencia que les sea posible. Ello nos ayudaría, es obvio, a trabajar con menores apremios, a eliminar los gastos que siempre provoca el andar del tiempo y a tratar de eliminar —¡o que prometemos formalmente— el retraso con que aparece nues­tra publicación.

tí n » .anana\ c a a a 1 □ a a o n Ctí n n a

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* Este número está casi totalmente, dedicado a los infor­mes presentados por los relatores de las trece comisiones que funcionaron en el Tercer Congreso Internacional sobre Ense­ñanza de la Matemática, realizado a mediados del año pasado en Karlsruhe, Alemania Federal. Estos informes, junto al trabajo del Dr. Luis A. Santaló, ya publicado, y a algunos comentarios que publicaremos en el próximo número, servi­rán para que los docentes latinoamericanos de Matemática, tengan una idea bastante completa de lo que ocurre actual­mente en la enseñanza de nuestra asignatura, tal como lo entienden los principales participantes de ese magno aconte­cimiento internacional.

* Asimismo, comenzamos la publicación -que concluire­mos en el próximo número— de todos los problemas que constituyeron la prueba eliminatoria de la Olimpíada Belga de Matemática, realizada en ese país a fines del mes de marzo de 1976. Entendemos que es material de primera calidad para la comparación de lo que se hace en ese país con lo que hacemos en nuestras latitudes.

Los saluda muy cordialmente

'

Av. Ing. HUERGO 839 - Capital Federal - Tel. 34-8881/7 EL DIRECTORmSi.CJ.FJ.3

grupo de biyecciones, lo que permite introdu­cir notaciones cómodas (flechas, tablas). Con las' mismas notaciones se introducen las frac­ciones en N - traslaciones y homotecias (+ a, —a, xa,:a), pero esas funciones no for­man grupo para la composición, lo que dismi­nuye el interés del método para el objetivo buscado y lleva a decepciones (en la práctica se está obligado sea a ignorar las dificultades, lo que estropea los esfuerzos de rigor anterior- res, sea a trabajar de manera formal a nivel de lenguaje).

Ante estas dificultades se atenúa el carácter sistemático de esta tendencia, pero queda una vmejor puesta en evidencia y un mejor uso de las propiedades algebraicas de los números lo cual, junto a las actividades de carácter combi­natorio, permite que los niños mediten mejor sus cálculos.

La introducción de los naturales y algunas de sus propiedades sigue siendo fundamental en la enseñanza elemental. En algunos países se introducen los enteros negativos. Para los ra­cionales, la tendencia es poner el acento exclu­sivamente sobre los decimales por su impor­tancia para la vida corriente y para las cien­cias, tendencia que se ha visto reforzada por la aparición de las calculadoras de bolsillo.2.4. La geometría

Pueden distinguirse dos tendencias. Una, es­tructural, en la que se estudia un modelo simplificado de geometría afín plana con ayu­da de cuadrículas; la otra, exploratoria y fun-* cional, usa las clasificaciones y los problemas de construcción de objetos geométricos tratan­do de desarrollar en el niño un mejor conoci­miento del espacio circundante. Estas dos ten­dencias no son incompatibles.

Para la medida, las actividades se realizan alrededor de la idea de asociar a cada objeto un número (eventualmente aproximado). Des­pués de efectuar muchas mediciones se intro­ducen los sistemas de unidades legales.2.5. Probabilidad y estadística

Se manifiestan dos tendencias. Una, bastan­te difundida, consiste en limitarse a la ense­ñanza de estadísticas que se apoyan a la vez sobré los datos proporcionados por el entorno y sobre experiencias en el aula, con el objetivo de hacer que los niños hagan experiencias en las que el azar desempeña un papel, e introdu­cir un vocabulario útil y preciso para ha'cer las verificaciones. La otra tendencia; todavía en estado experimental,'a menudo/agrega a esos objetivos la construcción de modelos probaba Iísticos y aun teorías embrionarias para descri-:

educadores cuya formación matemática es dé­bil y que atribuyen más importancia a los problemas afectivos de los niños. Esta tenden­cia es más un hecho de investigación que de práctica.

EL CONGRESO DE KARLSRUHE

2. Los contenidos.Pese a las apariencias, muchas veces superfi­

cialmente analizadas, la aritmética continúa siendo el tema esencial de la enseñanza ele­mental.2.1. Técnicas operativas

En la enseñanza elemental existe la tenden­cia a lograr una mejor comprensión de las ope­raciones y un mejor dominio de las técnicas operativas mediante la sustitución de un aprendizaje por condicionamiento fraccionado (por una parte, la significación y el empleo de las operaciones y por otra, los algoritmos y los repertorios para memorizar) por métodos y función es que favorezcan un aprendizaje glo­bal que extienda a la vez el campo de la significación y el de la técnica operativa.

El uso inmoderado de diferentes bases de numeración tiende a reducirse por haberse re­velado poco eficiente e incluso nocivo por las complicaciones que aporta, sin ventaja real, a la tarea de los alumnos.2.2. Los números naturales.

La construcción de los cardinales por com­paración de conjuntos conduce a nuevos auto­matismos por parte de los alumnos si los maestros atribuyen demasiada importancia a los conjun­tos y los presentan de manera estereotipada (diagramas de Venn) porque entonces se con­funden significante y significado. Esta confu­sión se propaga gradualmente y obliga a "ma- nualizar" la numeración con ayuda del mate-

I. EDUCACION A NIVEL PREESCOLAR Y PRIMARIO (4 a 12 años)F.COLMEZ(Francia)

voluntad de comprensión de los niños y per­mitiéndoles desarrollar sus propias estrategias y conocer la alegría de la dificultad vencida, poniendo en juego sus capacidades y sus cono­cimientos anteriores e invitándoles a proponer nuevas cuestiones.1.4. Intelectualización de la enseñanza ele­mental.

Una tendencia nueva, declarada pero toda­vía poco aplicada en el aula, es la de conducir a los niños a estructurar mejor su saber por las evoluciones entre los diferentes niveles de ac­ción y de pensamiento en la integración pro­gresiva de nuevos dominios y en la búsqueda de regularidades para elaborar ese saber en teorías que permitan economizar pensamiento-. Esto puede realizarse mediante la invención de un lenguaje matemático adecuado y evolutivo.1.5. La matemática como creación colectiva.

Una concepción de la enseñanza elementalde la matemática llena de promesas pero toda­vía muy poco divulgada por ser muy poco conocida y aun no suficientemente investiga­das las condiciones necesarias para su aplica­ción, es la construcción de la matemática co­mo creación colectiva de la clase; ello permiti­ría que los niños construyeran su lenguaje, emitieran sus conjeturas y las evaluaran por sí mismos. El maestro pasaría algo desapercibido como portador de saber pero sería mucho más

Los niños toman contacto con la matemáti­ca a nivel de la enseñanza elemental. En los años 60, la reforma se preocupó por los nue­vos contenidos con el objetivo de elevar el nivel de comprensión de cada niño mediante la reorganización de la enseñanza de acuerdo con las grandes estructuras de la matemática. En los años 70 hay mayor preocupación por el estudio y la mejora de los procesos de aprendizaje de los niños y por la formación de maestros en los nuevos métodos de enseñanza.

1. Objetivos1.1 ¿Matemática o aritmética? A menudo

la nueva matemática apareció al público como competidora y aun como reemplazante de la aritmética tradicional. Sería más justo decir que los objetivos se han ampliado y que se trata de asegurarle a los niños un enfoque correcto y una comprensión real de las técni­cas ligadas a la aritmética.1.2. Obligación de las adquisiciones

Algunos maestros han dedicado muchotiempo a temas nuevos como conjuntos, fun­ciones, etc., sin considerarlos siempre como medios al servicio de la aritmética, dando, en los primeros momentos de la reforma, la im­presión: de restringir la adquisición de conoci­mientos aritméticos. Hoy la tendencia es inte­grar las adquisiciones en un contexto más vas­to de procesos de aprendizaje en el que inter­vengan a la vez capacidad, habilidad y conoci­mientos.1.3. Desarrollo de la actitud de investigación.

Apoyándose sobre la ¡dea fundamental deque los pensamientos de los niños no son de naturaleza diferente a los pensamientos de los matemáticos, se impuso lentamente la tenden­cia de reemplazar los aprendizajes de mecanis­mos y sus aplicaciones por actividades en las que el niño deba probar su capacidad de inves­tigación e invención favoreciendo así una ela­boración dialéctica del saber, apelando a la

rial.La tendencia actual reacciona contra esos

errores por una progresión en la cual los as­pectos cardinal y ordinal de los números y la numeración intervienen en sus respectivos ni­veles de abstracción, ampliando por etapas el campo de los números dominados por los ni­ños.

!

competente como organizador.1.6. Enseñanza preelem en tal

Se comprueba cierta tendencia a introducir en el jardín de infantes actividades de compo­nente matemática con el fin de favorecer la maduración intelectual de los niños al ayudar­les a reconocer los objetos relativos al

2.3. El cálculo y las extensiones de los núme-í ros

Se ha intentado transformar la enseñanza de la aritmética de manera estructura lista me­diante la introducción de actividades basadas en las nociones de transformaciones, relacio­nes, grupos, etc. Por ejemplo, para la introduc­ción de (Z, +) o de (Q+, x) se propone a los niños situaciones que se matematizan por un

pensa­miento y a construir sus esquemas y estructu­ras mentales mediante actividades que ellos no practican necesariamente en el seno de su fa­milia.

Esta tendencia es frenada por el carácter propio de la enseñanza preelemental y por los

54

5.3. Las dificultades.No se mostraron suficientemente las necesi­

dades y los maestros están a menudo divididos la preocupación por su eficacia inmedia-

casos los contenidos y los métodos en la for­mación de los maestros, acentuando la impor­tancia de los primeros (especialmente para la formación continua). Ha aparecido una ten­dencia para ligar más estrechamente estas dos componentes mediante una reflexión y un examen epistemológico y didáctico pero hay gran inercia en las instituciones formadoras de maestros.

Algunos países tienen maestros especializa­dos a nivel de enseñanza elemental; otros estudian las posibilidad de especialización. El problema es muy delicado. Los educadores del nivel preelemental, en general, saben muy po­ca matemática y ni siquiera se preocupan por ello.

5. Las componentes sociológicas.Los cambios que se están produciendo en

la enseñanza de la matemática, muy especial­mente en la escuela elemental, han producido una gran conmoción; lo que explica muchas reacciones apasionadas.5.1. Los proyectos

Lo que caracteriza al movimiento actual es el importante papel que desempeñan los mate­máticos profesionales en la dinámica del cam­bio y la colaboración entre los docentes de todas las categorías, sin embargo limitados en número.

La puesta en marcha se ha hecho según las ¡deas de algunas personas; el interés por este asunto de un número creciente de docentes de todas las categorías permitió diversificar las tendencias. Se puede notar hoy una tendencia estructural, una tendencia aritmética tendencia empírica.

5.2. El futuroEl cambio de contenido es la primera justi­

ficación de todos los otros cambios a los ojos del público y las autoridades. Pero se ha espe­rado demasiado de él creyéndose que entraña­ría cambios en los métodos de enseñanza.

Las publicaciones han sido las principales fuentes de información para los maestros; a menudo su calidad deja mucho que desear y han contribuido a acentuar la diferencia entre los proyectos y su puesta en práctica.

Los maestros, que deben hacer un gran esfuerzo, no son siempre animados y ayuda­dos. Reclaman mejores medios de formación e investigaciones prácticas.

Los padres oscilan entre el interés, la in­quietud y la apatía.

Cada ataque a la matemática moderna acen­túa las dificultades de los maestros.

condiciones de reproducibilidad de seríes didác­ticas organizadas progresivamente.

° Investigación de maneras funcionales no estructurales de comunicar los conocimientos matemáticos.

• Investigación del papel de la analogía (¿método de descubrimiento o saber? ).

• Estudio de la importancia de los descu­brimientos personales del niño,

® Investigación de las dificultades de los niños lentos o disminuidos.

entreta y su interés por el proyecto educativo gene­ral, existiendo la impresión de que ambos son incompatibles. Los padres comparten tales ¡n-

• Elaboración de teorías didácticas que tomen en cuenta los diversos aspectos de los contenidos.

El estudio de estos problemas está relacio­nado con númerosos problemas políticos e ins­titucionales.

quietudes.Una sensible mejora sólo provendrá de un

cambio de actitud frente a la matemática (construcción personal o edificio que uno hace suyo por imitación y repetición). La disocia­ción de la matemática -aspecto lingüístico y aspecto cognoscitivo— ha vuelto más difícil la cuestión.

La formación continua de los docentes pro­viene muy a menudo de la acción docente de las asociaciones de profesores de matemática; la acción oficial no siempre es eficaz y la ayuda raramente se cumple con eficacia.

El rendimiento de la televisión es mediocre

II. EDUCACION A NIVEL PRIMARIO SUPERIOR Y CICLO SECUNDARIO BASICO. (10 a 16 años)

A. Z. KRYGOVSKA íPolonia)

la concepción de la educación nacional y, por otro lado, origina tendencias y problemas espe­cíficos en distintos países. Pero ciertas tenden­cias y problemas —se manifiestan donde quiera independientemente de la estructura es­colar, merecen atención especial.

2.. Tendencias y problemas.1.2.1. Final i da des y objeti vos de ¡a enseñanza de la matemática a nivel postelemental hasta los 16 años.

La nueva situación social de la educación postelemental exige el esfuerzo de precisar las finalidades y los objetivos de la educación matemática masiva. El análisis de diversos do­cumentos pone en evidencia las tendencias que buscan, sobre todo, el desarrollo por la educa­ción matemática de las actividades mentales, y la adquisición, por la mayoría de los alumnos, de condiciones intelectuales más bien que la asimilación de grandes conocimientos. Hay creciente oposición contra el exagerado prag­matismo y el método" behaviorista" de definir los objetivos mediantelistasestrechasde temas.-

1. Orígenes generales de las tendencias y pro­blemas actuales.i

1.1. Rápido aumento del número de alumnos. Cambios en la estructura social de las clases en las escuelas secundarias.

En muchos países, la educación matemática a nivel postelemental ha llegado a ser masiva. En los demás el número de alumnos cuya educación escolar no se detiene a nivel de la escuela primaria, aumenta o aumentará en el futuro/ según los planes nacionales. La ense­ñanza de la matemática en esta etapa de edu­cación masiva plantea muchos difíciles proble­mas, sintiéndose la necesidad de concebir cla­ramente una cultura matemática para todos, que podría y debería obtenerse en la escuela, independientemente de los estudios y profesio­nes de los alumnos y estaría hondamente inte­grada con su cultura general.1.2. Crítica a ciertas reformas de la "primera ola"

si se carece de estructura de recepción colec­tiva y de diálogo con los encargados de las emisiones.

Faltan conocimientos sobre las condiciones necesarias para una eficiente formación docen­te aun cuando hoy los diferentes problemas se plantean con mayor claridad.

6. Investigaciones y problemas.La convergencia de los conocimientos psi­

cológicos sobre las fases operacionales en el niño y la reorganización de la matemática en grandes estructuras es el punto de partida de la nueva didáctica de la aritmética elemental. Pero la divulgación de estos estudios ha choca­do con la actitud "behaviorista" del aprendi­zaje acondicionado, que se emplea habitual­mente.6.1. Investigaciones en curso.

Las investigaciones son actualmente múlti­ples y diversificadas. Hay encuestas y evalua­ciones, estudios restringidos con producción de documentos adaptables a cortas secuencias didácticas, investigaciones que se apoyan sobre dominios restringidos intentando que el saber así adquirido por el niño se integre más tarde en el marco de las grandes estructuras.

Las investigaciones a menudo se conciben burocráticamente reforzando la dependencia de los maestros y disminuyendo su jerarquía.6.2. Algunos problemas.

Estos son algunos de los más importantes problemas actuales:

• Investigación de situaciones favorables al proceso de aprendizaje fundamental y de las

y una

En los últimos diez años, las reformas que tuvieron por objetivo la modernización de la enseñanza de la matemática elemental fueron sometidas, en algunos países, a los primeros análisis y evaluaciones que han ejercido» consi­derable influencia sobre las tendéncias e inves­tigaciones actuales que conducirán a la "segun­da ola" de reformas.1.3. Influencia en la sociedad

Los cambios culturales, estructurales y eco­nómicos ejercen fuerte presión sobre la educa­ción escolar en general y particularmente so­bre la educación matemática. Es indispensable el análisis profundo de esos factores para lle­gar a comprender la situación actual de la educación matemática de las masas.1.4. Estructura escolar.

La diversidad de estructuras escolares refle­ja, por un lado, las diferencias con respecto a

2.2. Contenidos y su organización en progra­mas.

Más allá de un tronco común más bien restringido existen grandes diferencias sobre el contenido matemático de la enseñanza en el nivel que estamos considerando en los distin­tos países. Estadística, probabilidades y estruc­turas finitas han llegado a integrarse cada vez más con la matemática común para todos. Con respecto al lugar de la geometría en la educación matemática en el nivel que conside­ramos, siempre se comprueban diferencias, siendo evidente que la geometría deductiva pierde importancia.

El análisis de programas y manuales revela que hay tres posiciones sobre el lugar y el

8

9

ses homogéneas o heterogéneas, de la integra­ción del trabajo independiente del alumno y el trabajo en grupo, y de la armonización de­diferentes métodos de enseñanza y aprendiza­je, son hoy el centro de interés de la peda­gogía.

papel de las estructuras abstractas en la ense­ñanza este nivel, a saber:

I. Se introducen fragmentos de teorías;II. Se las emplea como elementos del len­

guaje universal, yIII. Se elimina completamente la termino­

logía en uso.En todas parte, los programas están sobre­

cargados, lo que obstaculiza la modernización de los métodos de enseñanza.

Se intenta integrar los temas de la matemá­tica según modelos diferentes, a saber:

a) Integración basada en estructuras genera­les, organización lineal y deducción global;

b) Integración alrededor de problemas, or­ganización más libre, a menudo concéntrica o en espiral y deducción local, y

c) Integración a través de "puentes trans­versales" construidos entre ciertos dominios, desarrollados de manera autónoma.

Hay dificultades en la correlación y la coordinación de la enseñanza de la matemática con las de otras disciplina escolares. Además, las aplicaciones son siempre demasiado tradi­cionales. Hay cierto progresó en la frontera entre la matemática y .la informática.

2.3. Métodos de enseñanza y medios auxilia­res. Evaluación.

Se siente la necesidad de analizar el funcio­namiento y el papel de los manuales, las fi­chas, los programas, y de elaborar criterios de evaluación de sus valores.

Los problemas de la diferenciación de cla-

tanto en los temas cuanto en el método, el conocimiento y las técnicas requeridas por otros asuntos y aplicaciones a problemas del mundo real; objetividad y autocrítica, perseve­rancia, profundidad filosófica, agilidad mental, capacidad para aprender en libros; más especí­ficamente: conocimiento del imétodoi axiomá­tico, práctica en demostrar proposiciones, ca­pacidad de abstracción, familiaridad con el lenguaje y expresiones simbólicas, habilidad en los procedimientos operativos, tratamiento de problemas científicos, técnicos y económicos, desarrollo del sentido geométrico, de la fun­ción de la matemática como pilar civilizador, juicio crítico para formular e interpretar mo­delos matemáticos, fomento de actitudes posi­tivas. Estos objetivos reflejan la posición de la matemática en la sociedad, pero sólo algunos serán alcanzados por una minoría de estudian­tes, los cuales, muy frecuentemente eligen es­tos cursos de carácter académico por razones de prestigio, no obstante estar lejos de domi­nar el lenguaje y el simbolismo de la matemá­tica abstracta; por ello muchos alumnos y pro­fesores se orientan hacia objetivos más limita­dos.

particulares, las cuales suelen tener estructura extravagante, y aquéllos cursos de matemática general que satisfacen las motivaciones de los alumnos.

Los cursos de carácter académico contienen típicamente un núcleo de conocimientos mate­máticos que se supone deben poseer todos los alumnos (cálculo, álgebra, trigonometría) ade­más de cursos optativos en temas tales como es­tadística, álgebra lineal, álgebra abstracta, análisis numérico, informática etc., probablemente de­terminados por los requisitos y necesidades de otras áreas del curriculum del estudiante. En las escuelas pequeñas, la elección puede ser limitada y si se ofrece una variedad muy am­plia pueden surgir problemas en la próxima etapa de su formación. Para ¡lustrar este punto citamos las modificaciones sufridas por el "In­ternational Baccalaureate".

En los cursos generales, los estudiantes pue-. den elegir entre cursos que enfatizan áreas específicas de aplicación —comerciales, técni­cas, estadística, diseño, intereses del consumi­dor, etc.3.3. Estudiantes con aptitudes sobresalientes en matemática.

Se describen varios maneras para motivar­los: (i) tiempo extra dentro del curriculum; (ii) temas adelantados; (i¡¡) olimpíadas y otros concursos; (iv) conferencias de matemáticos y educadores distinguidos; (v) publicaciones pe­riódicas para estudiantes.3.4. Estilo de un curso de matemática.

Discutiremos tres aspectos: el grado de abs­tracción, presentación integrada del sujeto-ob­jeto, el lugar de la axiomática.

La abstracción ofrece una senda hacia las fronteras de la matemática. Pero una presen­tación demasiado abstracta de la materia a alumnos que carezcan de la necesaria madurez puede ser un perjuicio que concluya con la lectura pasiva de libros y una enseñanza análo­ga. Para adquirir conceptos abstractos, el estu­diante debe participar en el proceso de abs­tracción. Resultaría pernicioso considerar al es­tudiante de este nivel como si fuera un mate­mático formado en lugar de un alumno que esta cumpliendo una etapa crucial de su desa­rrollo. Existe la tendencia hacia un programa más concreto, que oriente el proceso hasta el último año en el que se resume e interpreta lo aprendido desde un punto de vista más abs­tracto.

En algunos países este programa se estruc­tura con las diversas ramas de la matemática separadas, lo que facilita las elecciones y sim-

La evaluación del progreso de los alumnos plantea problemas muy difíciles. Se duda del valor de las pruebas como diagnóstico y pronós­tico, y crece la oposición contra el número y la función de los exámenes, y contra la selección mediante la matemática. Las condiciones delpasaje de los niños del nivel primario al poste­lemental, despiertan inquietudes sobre los mé­todos de selección prematura.2.4. Formación de los educadores.

La formación inicial de los maestros de matemática para el nivel considerado, aunque muy diferente en los diversos países, es critica­do desde muchos puntos de vista. Por lo con­trario hay cierto progreso en la formación permanente y en el apoyo que se presta a los educadores en servicio. Sin embargo, el exceso de obligaciones y su precario "status" social y económico impiden explotar todas las posibili­dades.2.5. Perspectivas de las investigaciones.

Se siente la necesidad de un conocimiento profundo del aprendizaje de la matemática en este nivel: procesos, dificultades de los alum­nos en matemática, estrategias naturales de los pensamientos de los alumnos, etc. Debería re­dactarse una lista de los problemas para que se los investigue internacionalmente.

Es importante destacar el conflicto entre los pbjetivos sobre los cuales existen los de los educadores y los que propugnan los profesores y educadores de otras áreas, lo que ha originado una creciente crítica en ciertos ambientes.

Los objetivos de los cursos de carácter téc­nico subrayan el desarrollo preciso, lógico y crítico, la habilidad para aplicar la matemática en áreas específicas y confían en el uso co­rrecto de las‘técnicas. Un factor importante de cambio en estos cursos ha sido la creciente desponibilidad de computadoras.

En los cursos generales hay tendencia a apartarse de la matemática abstracta en benefi­cio del conocimiento inmediatamente aplica-

III. EDUCACION MATEMATICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA LA UNIVERSIDAD Y TRANSICION UNIVERSITARIA (15 a 20 años)

D. A. QUADLING (Gran Bretaña)

1. Introducción.En este nivel existe marcada diferencia en­

tre los cursos elegidos por diversos grupos de alumnos. Estos pueden decidir si continúan en la enseñanza (integral o parcialmente) y si tinúan estudiando matemática, cuánta o qué matemática estudiarán.

Este informe identifica cuatro tipo de cur­sos para este nivel:

a) Cursos de carácter académico enfatizan­do los principios teóricos y la coherencia lógi-

b) Cursos de carácter general, enfatizando aspectos importantes para el ciudadano co­mún;

c) Cursos de carácter técnico, enfatizando las aplicaciones;

d) Cursos de carácter profesional, enfati­zando los conocimientos y técnicas operativas básicas necesarios para determinados oficios.

Un curso de carácter académico o técnico típico puede durar 2 o 3 años con una carga horaria de 5 horas semanales.

2. ObjetivosEn los cursos de carácter académico los

objetivos pueden ser: razonamiento crítico y preciso, deducción lógica, precisión en la ex­presión verbal, independencia en la actividad intelectual, creación e intuición, profundidad

ble.

3. Curriculum matemático y contenido3.1. La matemática en el curriculum total.

Este informe describe pautas curriculares envarios países y los factores que influyen en las decisiones estudiantiles con respecto a la mate­mática. Hay una tendencia que propicia un curriculum de moderada amplitud en el cual los alumnos tengan algunas posibilidades de elegir.3.2. Variedad de cursos en matemática.

En los cursos de carácter técnico debe esta­blecerse cierto equilibrio entre aquéllos cuyo- contenido está relacionado con tecnologías

con-

ca;

1011

V -AitJ'* *

vengan en la planificación del curriculum.En este nivel, la importancia de la nota

final tuvo efectos inhibitorios en las experien­cias sobre métodos de exanimación. Algunos de los temas nuevos del curriculum no se adaptan bien a las evaluaciones realizadas con métodos convencionales.

fiables de evaluación para cubrir todos los objetivos declarados.

Surgen problemas especiales cuando las uni­versidades y la industria imponen exámenes propios, no relacionados directamente al curri­culum escolar. Es deseable que los responsa­bles de la preparación de los exámenes inter-

mática aplicada a otras disciplinas. La dificul­tad de asegurar un desarrollo lógico del conte­nido matemático, el hecho de que los profeso­res han sido preparados para una única disci­plina y los peligros de un "imperialismo mate­mático" son argumentos para oponerse a esta línea. Hay experiencias en este sentido.

4. Métodos de enseñanza.

plifica los problemas de los estudiantes que cambian de colegio. En otros, el programa está integrado con temas de diferentes ramas mate­máticas relacionados por una base conceptual. El primer planteo facilita la identificación de las definiciones y axiomas. En el segundo, acaso los aspectos deductivos tengan un carác­ter más local que global.

Existe, sin embargo, una tendencia hacia una introducción más intuitiva de las ¡deas matemáticas, postergándose el formalismo has­ta que los alumnos tengan cierta experiencia para usar los conceptos y el lenguaje.3.4. Temas del curso.

Luego de un período de innovaciones radi­cales en muchos países, ocurrido hacia los años 60, pareciera haberse entrado en un pe­ríodo de relativa estabilidad. Probabilidades, estadística, álgebra lineal, espacios vectoriales y estructuras algebraicas fueron introducidas a expensas de la geometría del espacio, geome­tría de la esfera, secciones cónicas, aplicacio­nes comerciales y cierta trigonometría. Por fal­ta de tiempo, se ha reducido la ejercitación y la resolución de problemas.

En las revisiones más recientes, parte de los nuevos temas introducidos fueron transferidos a los primeros anos secundarios y algunos te­mas demasiado abstractos sobre estructuras al­gebraicas fueron dejados a un lado.

En los cursos técnicos se tendió a introdu­cir los conceptos de conjunto y de función para fundamentar la aritmética convencional, el álgebra y el cálculo, y se incluyó algo de estadística, probabilidades, álgebras de Boole, vectores e informática. La disponibilidad de computadoras provocó mayor interés por los aspectos numéricos que por los analíticos.3.6. Equilibrio del curriculum matemático.

Se sugiere que el curriculum matemático denote un equilibrio entre la abstracción lógi­ca y la precisión lógica crecientes de la mate­mática moderna, las técnicas operativas y el conocimiento específico requerido por los usuarios tradicionales de la matemática en la ingeniería y la física, y el interés más amplio por una aplicación más general demostrado por los usuarios más recientes de la biología, las ciencias sociales y ambientales.

Los comités curriculares parecen poco preo­cupados por asegurar que la matemática que se enseña en las escuelas esté de acuerdo con las necesidades a largo plazo de la sociedad.3.7. Integración con otras materias.

Excepto algunos pocos cursos técnicos haypoca experiencia sobre enseñanza de la mate-

IV EDUCACION MATEMATICA A NIVEL UNIVERSITARIO4.1. Tratamiento del contenido del curso.

Se describen varios métodos para abordar la enseñanza del contenido de los cursos. Inclu­yen el uso de computadoras y calculadoras, subrayando conceptos subyacentes como fun­ción, vector y grupo, la enseñanza de la mate­mática aplicada, el uso de problemas cotidia­nos para la enseñanza de la estadística.

Se trata de que la práctica de la matemáti­ca llene los objetivos propuestos.

J. H. VAN LINT (Holanda)

ejemplo, álgebra lineal y espacios métricos) y cuáles no debieron haber desaparecido (por ejemplo, la intuición geométrica).

1.1.2. Prácticamente en todas partes algu­nos tópicos modernos son parte normal, usual­mente obligatoria del curriculum. Los más fre­cuentes se refieren a estadísticas, probabilidad y computación. Algunos países tienden a in­troducir más matemática discreta en los prime­ros años, lo cual tiene la ventaja de que los estudiantes pueden descubrir mucho por sí mismos; su importancia crece como herramien­ta para otras áreas. Es digna de discutir la posibilidad de crear cursos orientados hacia la computación.

1.1.3. Hay una tendencia universal por la cual los estudiantes que ingresan a Iá universi­dad tienen mucha menos habilidad operativa que antes (en verdad, muy poca) y práctica­mente ninguna intuición geométrica. Se están realizando cursos de adiestramiento en el pri­mer año de la universidad en muchos países. Recientemente parecería notarse cierta falta de voluntad para el estudio por parte de los alumnos. Aun cuando la mayoría de los que se han consultado consideraron a la "matemá­tica moderna" como un fracaso en la educa­ción secundaría, no intentaré discutir este punto. Pero se debería discutir cómo deberían estar informadas las universidades con respecto a la evolución de la educación secundaria para asegurarse el ingreso de estudiantes con mejor preparación que en la actualidad.

1.1.4. En general, está disminuyendo el nú­mero de cursos de física obligatorias; en algu­nos países se ha llegado al nivel cero, lo cual parece muy poco deseable. En otros pocos países la terdencia se esta revirtiendo. Conven­dría discuta qué otras disciplinas usan sufi­ciente matemática interesante como para me­recer un lugar en el curriculum a ese nivel.

Muchos elementos no matemáticos pueden estar en el curriculum ¿Cuánto de esto es

ResumenEl informe tiene cuatro partes:I. Curriculum (contenido y objetivos).II. Estructura del programa.III. Matemática como especialidad secunda-

i

! ría.'IV. Posición de los profesores.El informe trata principalmente de la pre­

paración de matemáticos. No se discuten cur­sos opcionales de matemática. Se redactó so­bre la base de respuestas de 50 universidades de todo el mundo las cuales habían recibido un conjunto de preguntas y un bosquejo de este informe.

I. Por mucho tiempo, la educación de ma­temáticos a nivel de graduados y posgradua­dos, se basó en la hipótesis de que llegarían a ser "investigadores". Una tendencia reciente quiere que los objetivos de la educación mate­mática universitaria estén más diersificados que nunca. Programas completados en pocos años en contraposición a programas antiguos en los que los primeros años eran preparato­rios de una educación más avanzada, se están volviendo más frecuentes. Un problema que vale la pena discutir, aun cuando su solución sea difícil, consiste en estructurar la educación universitaria en etapas, cada una de las cuales pueda ser una buena etapa final y una buena preparación para la etapa siguiente.

1.1. Primeros años, (por ejemplo, título de "bachellor".

1.1.1. Desde hace 20 años hubo un proceso de creciente abstracción y rigor en los primeros años. Por ejemplo: teoría de integración abs­tracta, topología general, espacios métricos, etc., reemplazaron a cursos de cálculo "pasados de moda" y la geometría prácticamente ha desaparecido. En muchos países se ha ido muy lejos y hoy hay tendencia a revertir el proce­so. Convendría discutir cómo alcanzar el equi­librio, qué cosas nuevas deberían subsistir (por

4.2. Enseñanza mediante métodos de explora­ción.

Se analiza el lugar que ocupa la "matemáti­ca personal" como suplemento de la matemá­tica tradicional. La computación y la estadís­tica se identifican como áreas igualmente apro­piadas y se describen algunas experiencias. Problemas de falta de tiempo, evaluación y adiestramiento de los profesores son barreras para desarrollar este tipo de trabajo.4.3. Programas de aprendizaje individual.

Existe creciente interés en este nivel, espe­cialmente en los cursos técnicos, por definir estructuras de comportamiento y por estructu­rar programas de estudio individual para alcan­zar esos objetivos, usando un medio adecuada­mente elegido. Falta demostrar que esta técni­ca puede llevar al estudiante más allá de obje­tivos limitados.4.4. Investigación en el aprendizaje

Parece haber pocas informaciones sobre la reacción de los alumnos ante programas expe­rimentales recientes y el conocimiento de los procesos de aprendizaje permanece en un nivel fundamentalmente anécdotico. Los problemas de lenguaje son particularmente agudos nivel y se complican aún más cuando ñan en lengua que no es la materna.

en este se ense-

5. Evaluación. Generalmente, el desempeño del alumno se evalúa con exámenes, do a veces se toman exámenes orales

aun cuan-o pro­

yectos sobre las tareas cumplidas en el curso. Estudiantes y profesores se preocupan excesi­vamente por los objetivos cuyo cumplimiento se reflejará en la evaluación. Todavía muy lejos de encontrar métodos válidos y

estamos con-

1312

1.2.1. Exepto algunas orientaciones voca- cionales como la estadística y la computación todavía hay muy poca especial¡zación a este nivel en muchos países. Usualmente se depen­de de un programa de doctorado que torna deseable la postergación de la especialización.

Acaso la perspectiva de empleos vuelva re­comendable producir a corto plazo matemáti­cos muy preparauos.

1.2.3. En la época del “master" se hace muy poco en matemática para preparar al alum­no para una función específica en la socie­dad (quizás con la excepción de estadísticos y computadores). El programa de ingeniería ma­temática satisface, por supuesto, esta condi­ción. Si existe gran diversidad de carreras futuras lo que debemos hacer es dar una bue­na educación matemática en todas. En los países en desarrollo parece más importante emplear cierto tiempo para preparar al estu­diante para que pueda ser útil a su país.

El papel de la universidad en la educación de los futuros profesores de matemáticas para la enseñanza media superior debería discutirse.

1.2.2. Tradicionalmente, la física fue la dis­ciplina donde los alumnos de matemática po­dían ver la interacción de la matemática con otras ciencias. La matemática es usada allí e incluso desarrollada con ese propósito. El cre­ciente desconocimiento de la física por los estudiantes provoca dificultades. La biología y la economía están desempeñando ahora un papel importante y ahora se están volviendo populares otros tópicos como la teoría del control. A veces surge el problema de cómo introducir elementos de biología, economía, etc. careciéndose en el departamento de exper­tos en esos temas y habiendo poca literatura y otro tipo de conocimientos disponibles.

1.3. Posgraduados (doctorados y después).1.3.1. Hay pocas tendencias interesantes

sobre el doctorado. Una es la posibilidad de obtener el grado sobre la base de cierto núme­ro de copias de artículos, publicados durante no más de 5 años a los cuales se les escribe una introducción. En algunos-países se han dis­minuido los requerimientos. Un problema difí­cil es el creciente número de estudiantes ex­tranjeros. Habría que encontrar algún método para obtener problemas de doctorado que sa­tisfagan los requerimientos de la universidad de que proviene el alumno y dejar que esta universidad otorgue el título. De todos modos es imposible uniformar a nivel de todos los estudiantes del mundo.

Una importante tendencia es el creci­miento del programa estadounidense de “Doc­tor of Arts", que es ofrecido por más de 100 instituciones norteamericanas. Se intenta que el programa sea un curso de estudios difícil en el cual só'o sea razonable que obtengan éxito únicamente los alumnos convenientemente ca­lificados. Esto en contraste con el programa “Ph. D“ en el cual es un impedimento la falta de talento creativo. El programa se ha esboza­do para dar una preparación excepcionalmente fuerte a quienes han de enseñar a no gradua­dos. La tesis puede ser un trabajo que dé una visión general de un tema, investigación en la historia reciente de la matemática, un ensayo didáctico, etc. El programa merece ser estudia­do seriamente por países en los cuales no abunden los profesores altamente calificados.

1.3.2. Aparte algunos cursos de repaso para profesores secundarios, difícilmente haya algu­na contribución de las universidades a la conti­nuidad de la educación, necesidad que se sien­te y fue reconocida por muchos gobiernos. Hora es de prepararse para iniciar esa tarea.

2. Estructura del programa, (métodos edu­cativos). Al considerar objetivos estructurales, el problema no reside en qué matemática se está enseñando y por qué, sino qué es lo que se esta tratando de lograr mediante la forma especial del programa. Por ejemplo, una serie de clases puede tener como* objetivos enseñar exhaustivamente un tema o sólo preparar a los estudiantes para leer la literatura del tema Señalemos objetivos de estructura.

2.1. No hay tendencias de significación re­lativas a tipos de cursos. Se ha estado experi­mentando con el “curso autoregulado". El propósito es resolver el problema de la diversi­dad de base entre los alumnos de primer año; por ejemplo, se consideran convenientes los cursos con gran contenido de cálculo.

2.2. El método de educación tipo aprendi­zaje todavía no se usa mucho, pero merece atención. La ¡dea es dejar que el estudiante trabaje un~ corto período en un grupo de investigación del instituto. Acorde con lo que se está haciendo en ese momento, necesitará leer para tener conocimientos básicos, etc. Se otorgan puntos por el período.

2.3. La resolución de problemas se hace mal en todas partes. Excepto los problemas usuales, a veces muy aburridos, no se hace, nada para estimular la resolución de problemas como actividad matemática e incorporada al

deseable? Por supuesto, esto depende de que esta fase de la educación sea preparatoria o

programa tradicional. Debería tratar de resol­verse esta cuestión.

2.4. Excepto en parte del doctorado, se hace muy poca investigación en el programa educativo. Sería interesante que las universida­des que exigen una tesis para acordar el grado de “master", la consideren como el elemento esencial.

La idea de proyectos de investigación a nivel no graduado fue usada con mucho éxito por unas pocas universidades. La combinatoria es especialmente una buena área para dejar que los alumnos experimenten el goce de efec­tuar descubrimientos y aprendan a plantearse sus propios problemas.

Los seminarios de alumnos son generalmen­te un fracaso.

2.5. La tendencia más importante sobre métodos de examen es aumentar continuamen­te la evaluación por la observación y el au­mento del contacto personal. Generalmente se observa la prisa con que muchos alumnos se presentan al examen inmediatamente después de concluido el curso sin tomarse tiempo para digerir el material y adquirir alguna habilidad para manejarlo.

Felizmente están desapareciendo los exá­menes de elección múltiple.

3. Matemática como especialidad secunda-

no.1.1.5. Muchas universidades están introdu­

ciendo cursos sobre modelos matemáticos. El contexto y la pedagogía de tales cursos son de interés. Generalmente subrayan los principios subyacentes de la construcción de modelos y’ cómo debe contribuir un modelo al entendi­miento de la situación real que se trata de describir. Es difícil hallar problemas adecuados ya que la comprensión de la situación práctica y el conocimiento matemático para resolver el problema matemático resultante del modelo no existen en la mayoría de los estudiantes en la mayor parte de los problemas realmente interesantes. Debería discutirse un método pa­ra compilar el conocimiento de la programa­ción de estos cursos.

1.1.6. Sería deseable que en cada país, por lo menos una universidad preferentemente tec­nológica, ofrezca en curso en ingeniería mate­mática, aun cuando muchos no sepan lo que esto significa. Un programa posible se describe en el volumen 2 del “CUPM Recomendations Compendium"; aplicado en Holanda durante unos 10 años. El programa es bastante diferen­te de los de la universidad tradicional. El ejemplo es muy útil para ser seguido por los países en desarrollo.

El principio fundamental de la ingeniería matemática consiste en aprender a entender los problemas del matemático no profesional, hallar una solución y luego explicarla al clien­te. Si tal programa se establece es importante que los profesores secundarios y los consejeros sepan la diferencia entre los programas que puede escoger el presunto estudiante.

1.1.7. Paréce que en los países en que el título de “bachelor" es muchas veces una eta­pa final, la cantidad de elección que pueden hacer los estudiantes para planificar sus pro­gramas se ha vuelto demasiado grande lo cual lleva a programas desequilibrados en que se intenta llegar a estudiar simultáneamente tres especialidades, a la tendencia a reemplazar cur­sos difíciles por otros más populares y, final­mente, a la sobrespecialización. Ultimamente ocurre con bastante frecuencia que los jóvenes estudiantes piensen que saben más que sus profesores lo que necesitarán en el futuro en sus carreras. Debería descutirse cuánto se pue­de avanzar en esta dirección para no caer en la irresponsabilidad.1.2. Años avanzados, (por ejemplo, título de

“master").

ii

ríaExisten varias tendencias. Los estudiantes

que eligen matemática porque la necesitan pa­ra su especialidad principal confían menos en sus profesores.

Hay que motivarlos continuamente pues siempre preguntan cuál es la utilidad del tema enseñado. Si se les pudiera indicar y enseñar­les al mismo tiempo las técnicas de cálculo requerido, eso andaría bien. Pero no es asi y se está desencadenando un problema serio.

Cada vez hay más disciplinas que necesitan de la matemática como herramienta y se dic­tan en muchos lugares cursos de matemática para biólogos, económosjsociólogos; sería inte­resante hallar la forma de que la imformación pudiera ser compartida por-todos esos cursos.

Es peligroso, y debería discutírselo seria­mente, el creciente número de cursos de mate­mática para no matemáticos que se ofrecen en otros departamentos universitarios, frecuente-

muy pobres. Deberíamos examinarm entenuestros errores, pero si los matemáticos no se interesan lo bastante por las necesidades de los alumnos de otros departamentos y sus dificul­tades nuestra posición se debilita.

14 15

más tiempo a la investigación. ¿Es bueno estesistema?

Se observa un oficina, administración, etc. Gran parte de es­to es innecesario y a menudo es provocado por malos sistemas administrativos. Además de quejarse, ¿hay alguien que trate de remediar esta situación?

Las presiones económicas, sociales, cul­turales'educacionales, que sirven para deter­minar las metas de la educación de adultos y la forma de influir la legislación y los factores sociales en el desarrollo de los pro­gramas de educación para alcanzar esas me-

4. Posición de los profesores Se cree que conviene un creciente contacto

personal con los estudiantes y un aumento del tiempo de consulta, corrección de trabajos, supervisión, etc. En algunas universidades hay cargos con tiempo dedicado exclusivamente a la enseñanza lo que permite a otros dedicar

Factores que están incidiendo en el de­sarrollo de métodos de enseñanza y siste­mas de educación de adultos.

El empleo que se está haciendo de varia­dos medios educacionales e investigaciones en programas de educación de adultos.

Problemas de formulación de programas de educación de adultos y particularmente formulación de programas y producción de sistemas de enseñanza a distancia por mul- timedios.

Dificultades para determinar la efectivi­dad de programas de educación de adultos incluso para discutir cómo puede usarse el "feed-back" para identificar las fuerzas y debilidades de un sistema de enseñanza.

Discusión de la posibilidad de usar infor­mación de "feed back" para redactar un mejor sistema educacional y revisar los fac­tores cuya influencia tienda a producir sis­temas mejorados.

El informe ha tratado de relatar la dis­cusión de problemas generales que afectan el desarrollo de la educación adulta y con­tinuada en matemática. Se ha hecho un esfuerzo para identificar aspectos de los problemas discutidos que puedan ser trata­dos especialmente en países en desarrollo.

incremento del trabajo de

tas.La determinación del papel del estudian­

te y el profesor y las relaciones en la edu­cación de adultos y el impacto de la técni­cas de enseñanza a distancia sobre estos papeles y sus relaciones.

Los factores que influyen en el alcance y contenido de los programas de matemáti­ca en educación de adultos y sus relaciones con los factores generales que influyen glo­balmente en dicha educación.

Programas diseñados para la enseñanza matemática a nivel elemental cuyo objeto es formar en el estudiante las destrezas matemáticas básicas que más tarde puedan serles útiles en su educación o pueda usar­las directamente en su oficio o profesión.

Programas diseñados para enseñar mate­mática a nivel avanzado en el cual sería la matemática el componente (quizás el úni­co) en el desarrollo de un programa profe­sional.

V. EDUCACION DE ADULTOS Y EDUCACION PERMANENTE

R. M. PENGELLY (Gran Bretaña)

po de la educación adulta y continuada, revisando los factores que influyen en el alcance y contenidos de los programas de matemática para adultos. En la tercera se analizan algunos de los rasgos distintivos originados en proyectos existentes tratando de identificar las tendencias en boga. La cuarta parte describe algunos problemas ha­llados al redactar programas de educación adulta en matemática y de indicar en qué dirección puede estar la solución de algu­nos de estos problemas.

Las dos últimas secciones del informe están ocupadas en gran parte por los rasgos distintivos y los problemas generales de la educación de adultos de los cuales hay muy escasa información en el campo de la matemática. Concluye con preguntas para descubrir el tema e invita a responder a los interesados en la creación de un centro informativo que recoja, analice, imprima y distribuya información sobre estas activida­des.

(Resumen)Por primera vez, la educación adulta y

continuada en matemática está emergiendo como tópico independiente para discutirse en un congreso internacional sobre educa­ción matemática. Crear para ello una base adecuada constituye un desafío mayor de­bido a

1. Actualmente, la literatura al respecto es pobre. Aun cuando se ha escrito mucho sobre educación adulta y continuada para diseñar sistemas de enseñanza a distancia, poco o nada parece haberse escrito sobre la enseñanza de temas particulares.

2. La educación continuada en matemá­tica para estudiantes adultos lleva al uso práctico de casi todos los aspectos de la educación matemática.

3. La variedad de actividades en este campo es extraordinaria, variando desde una serie de breves charlas radiales hasta un programa posgraduado completo.

Para tratar de encarar el desafío, tratare­mos de señalar el más amplio campo visual compatible con el tema con el objeto de mostrar la forma cómo entra la matemática en la formación adulta y continuada. En particular, enfocaremos la atención sobre los principales nuevos desarrollos en educa­ción adulta, los que permitieron desarrollar sistemas de estudio a distancia por multi- medios.

En la primera parte fijaremos el escena­rio describiendo la educación adulta y con­tinuada preocupándonos por: el alcance de las actividades que están en marcha, metas y legislación, influencias sociales y cultura­les y desarrollo de las relaciones profesor- estudiante. En la segunda se describe cómo la educación matemática penetra en el cam-

VI. PREPARACION Y ACTUACION PROFESIONAL DE LOS PROFESORES DE MATEMATICA.

M. OTTE (Alemania)

(Resumen)Este informe es el primero sobre este tema; en los informes anteriores, la formación y la situación profesional del profesor de ma­temática no se consideraron como tema aparte, sino que se los trató esporádicamen­te en forma no sistemática. Esto revela que en la didáctica de la matemática se está dando en los últimos años más importancia a los problemas de la enseñanza que a los del aprendizaje, al maestro que al material

•de enseñanza y a la formación y perfeccio­namiento de maestros que -al desarrollo de los planes de estudio.

La formación y la vida profesional del profesor de matemática están, por un lado, muy influidos por la materia, pero, por otro, debe formar parte del horizonte total del sistema educativo. Estos últimos aspec­tos nos parecen tan importantes que dividi­mos el informe en dos partes. En la prime­

ra, intitulada "Formación y actividad pro­fesional del profesor de matemática", anali­zamos los problemas que atañen al contex­to social y organizativo de la actividad pro­fesional y de la formación del profesor de matemática. En la segunda, intitulada "Ma­temática y formación del profesor", anali­zamos cuestiones más específicas. Somos perfectamente conscientes del hecho de que en la didáctica de la matemática los problemas sociales y organizativos no se pueden separar de los de naturaleza exclusi­vamente matemática. Esta tesis, base de todo el sistema, une estrechamente sus dos partes.

La formación del profesor y la reforma escolar se influyen mutuamente; por ejem­plo,' la reforma de planes sin medidas para­lelas y previas para mejorar la calificación de los profesores no ha tenido el éxito deseado. Precisamente cuando, como ocu: rre en muchos países, las Consideraciones

El informe final es una fuente útil de referencia. Todos los que estén trabajando en el área cubierta por el informe son esti­mulados para escribir artículos que descri­ban sus actividades.

Se trata de proveer información sobre el alcance completo de los problemas y, do es posible, los examina desde diferentes puntos de vista.

Los principales argumentos cubiertos por el informe son:

La revolución de los cursos de estudios en el hogar, que ha conducido al tradicio­nal curso por correspondencia realzada por la introducción de diversas ayudas audiovi­suales y nuevas formas de contacto profesor y estudiante.

cuan-

entre

16 17

insuficientes y se caracterizan extrema complejidad y fragmenta-

sobre costos y utilidad determinan restric­ción en los proyectos de reforma, se com­prende mejor la significación de la forma­ción y el perfeccionamiento de los profeso­res como motores de cambios en el sistema escolar. Pero hasta ahora, la formación de profesores no tiene papel conductor; por lo contrario, hubo dificultades para adaptarse al continuo cambio de las condiciones esco­lares. El desarrollo de la capacidad indivi­dual del profesor de matemática está ligado a condiciones estructurales de su actividad que la formación no puede controlar. Las posibilidades de decisión sobre problemas prácticos de la enseñanza están determina­das en parte por influencias externas, co­mo, por ejemplo, directivas o materiales de enseñanza. En ese ámbito existen deficien­cias importantes del sistema escolar que no pueden ser influidos por la formación, pero que ésta debería prever. En todas las discu­siones sobre la formación del profesor de matemática, las relativas al ejercicio de la profesión cobraron especial significación en los últimos años. Pero como dichos aspec­tos prácticos, no han sido hasta ahora sino palabras bajo las cuales se esconden las necesidades más diferentes, y como además no hay descripciones adecuadas sobre la práctica del profesor de matemática ni cri­terios de calificación fundados científica­mente, las tendencias en ese ámbito son muy heterogéneas.

La profesionalización del profesor de matemática es condición decisiva para el mejoramiento de la enseñanza de la mate­mática. Nos referimos a la elevación de la calificación -científica en todas las ramas que hoy se persigue en la escuela primaria de todo el mundo siguiendo una tendencia academizante: también nos referimos a la creación de un fondo común de saber ex­perimental entre los profesores de matemá­tica de todos los niveles. Al mismo tiempo crecen los problemas de integración, lo cual se nota nítidamente en las exigencias cre­ciente, difíciles de satisfacer, que deben cumplir los pedagogos, así como también en la necesidad cada vez mayor de disponer de medios de educación específicos y orga­nizados.

El perfeccionamiento de los profesores de matemática es hoy el centro interna- cionalmente reconocido de la discusión so­bre la reforma de la formación. Pero los recursos de los distintos países y sus pro­

gramas son metaconocimiento concretizado de su disci­plina para poder abordar la problemática fundamental de la relación entre la ciencia que se desarrolla y la enseñanza de la mate­mática en las escuelas generales. Para mane­jar correctamente los contenidos y para adecuar la significación del saber sobre la estructura interna y las relaciones lógicas de dichos contenidos, el maestro necésita conocer sus relaciones con los contenidos de otras materias, sus formas de aplicación y sus relaciones, contenidos de otras mate­rias, sus formas de aplicación y sus rela­ciones con las necesidades de los alumnos. La formación de profesores debe conceder cada día mayor importancia estos aspectos.

La didáctica especial se constituyó como disciplina particular paulatinamente; en la formación de profesores, al principio se preocupa por cuestiones estrictamente me­tódicas o didácticas, el concepto pedagógi­co de educación se había acuñado sin tener

en cuenta las variaciones específicas de las distintas disciplinas. A menudo surgió un paralelismo nocivo entre la estrechez de la perspectiva en la didáctica especial y la entrega "pragmática" del proceso de ense­ñanza a influencias casuales. La discusión sobre problemas de didáctica especial está todavía dominada a menudo por presuntas alternativas como "centrado en el niño" o 'centrado en la mayoría".

Recetas y valoraciones prematuras cons­tituyen serios obstáculos para lograr la identificación coordinada de los verdaderos problemas de la enseñanza de la matemáti­ca y de la formación de profesores. Los cambios en la ciencia y en el sistema esco­lar requieren hoy la formación de profeso­res con ideas nuevas sobre contenidos y métodos de trabajo en didáctica especial para que puedan corresponder mejor a la- necesaria integración entre ciencia especial y ciencia de la educación.

por unación. Las dificultades para reconocer las necesidades, la continuidad y la protección institucional, por un lado, y las tensiones por el otro, determinan la situación actual.

La relación entre la matemática como ciencia y la enseñanza de la matemática en los institutos de educación general es el problema fundamental de la formación del profesor de matemática. Exagerando un po-

puede decir que dos tendencias seco seoponen en el campo científico sin solución de continuidad. Para unos el profesor espe­cialmente el secundario debería ser real­mente un investigador en matemática; para los otros, debería sólo conocer lo que debe enseñar. Tradicionalmente hay una relación "natural" de la ciencia con la enseñanza; cada una aumenta las posibilidades de la otra. Esta relación, pese a su significación indudable para la enseñanza en las escuelas de formación general, no puede darnos in­formación inmediata sobre el contenido y el método de sus investigaciones, pero sólo son capaces de juzgar su propia función social en forma muy restringida. Esta di­mensión social del problema de la relación entre matemática y matemática escolar es cada vez más importante para el comporta­miento del maestro y para sus métodos de enseñanza. En la didáctica de la matemáti-

VII. ANALISIS CRITICO DEL DESARROLLO DE LOS PLANES DE ESTUDIO.

A. G. HOWSON (Gran Bretaña)

1. En los últimos veinte años se empleó mucho dinero y esfuerzos en el desarrollo de los planes de estudio; muchas veces los resulta­dos desilusionaron. Hoy, los sistemas educati­vos de muchos países trabajan con restriccio­nes presupuestarias y no se obtienen con faci­lidad recursos para desarrollar planes de estu­dio. ¿Cómo se debe proceder al desarrollar planes de estudio en una época de reducciones presupuestarias y de desilución general? ¿Qué aprendimos en los últimos 20 años? ¿Qué principios han surgido?

2. Sin duda, el hecho más significativo es que la función del maestro es crucial. Aunque los materiales y el equipo de trabajo de un proyecto sean extraordinarios, el éxito de su aplicación depende finalmente de la receptivi­dad y adaptación del maestro. El desarrollo de planes de estudio es un proceso que tiene que ver con personas, sus preferencias y antipatías y no sólo con la matemática.

3. El plan de estudio debe significar algo más que los manuales y textos. Ni el conteni­do ni el método se pueden analizar aislada­mente. Es del todo irreal creer que los proble­mas de la enseñanza de la matemática se resol­verán con la sola introducción de nuevos ma­

teriales o con los "métodos de descubrimien­to", "aprendizaje individualizado", "introduc­ción de sistemas", "enseñanza con computado­ras", etc. Los mejores planes de estudio fraca­sarán a no ser que se revisen los sistemas de examen para que correspondan a los objetivos deseados y aceleren el logro de los fines edu- gativos y matemáticos en lugar de actuar en contra de ellos.

4. La forma más popular para desarrollar planes en los años 60 fue el modelo denomi­nado investigación-desarrollo-difusión. En la mayoría de los casos la difusión fracasó y el mensaje llegó a las aulas totalmente distorsio­nado. Así ocurrió por subestimar la prepara­ción de la enseñanza implementada. Cada vez- es más claro que el desarrollo de planes y la enseñanza implementada deben integrarse es­trechamente y no se puede concebirlas como operaciones cronológicamente distintas.

5. Sin embargo, a menudo no se compren­dieron los objetivos ni los materiales. Los pro­yectos no se elaboraron mediante consultas amplias y se analizó muy poco cómo afecta­rían los cambios a otros niveles educativos, a los usuarios de la matemática y a los estudian­tes que la emplean. Pero aun cuando esos

ca, conceptos como enseñanza de la mate­mática "orientada hacia los problemas" u "orientada hacia las aplicaciones", la elabo­ración de problemas con motivaciones temáticas, y una discusión del vínculo en-

ma-

tre enseñanza general y profesional, revelan una toma de conciencia de cosas que toda­vía estaban en sus primeros balbuceos. La concepción demasiado optimista de la rela­ción entre matemática y matemática esco­lar, que se expresa con una idea abstracta y comprimida lógicamente de la "estructura de la disciplina" y que a mitades de siglo acuñó también la metodología de la ñanza matemática caracterizada por "ele- mentalización y fundamentalización" está ahora por desaparecer en casi todos los países. En muchos lugares sión de este cambio latente de oposición a la ciencia en el ám­bito de la pedagogía escolar.

El maestro necesita, además de

f

fense-

y como expre­notamos una actitud

sus co-

,una especie de

18 19

11. La investigación educativa creó actividades en los planes, pero ha tenido poco resultado en otros aspectos. Existe la necesi­dad de que los investigadores deben compren­der que una de sus mayores responsabilidades consiste en que sus resultados influyan en la sociedad y, en particular, sobre los planes.Aun cuando los datos de los evaluadores aparez-

forma objetiva deben interpretarse y ela-

nuevas 16. Tendencias en el desarrollo de planes.Toda tentativa de esbozar tendencias con­

tiene en muchos casos elementos subjetivos que la convierten en una expresión de deseos más que en una realidad. Pero, en el escenario internacional, parecería que los siguientes enunciados generales tienen ciertos visos de veracidad (No olvidemos que aunque sea posi­ble obtener contraejemplos de cada una de las tendencias consignadas, un único contratiempo no basta para refutar la existencia de una tendencia, al revés de lo que ocurre con de­mostraciones en las cuales un solo contraejem­plo sirve para refutar una hipótesis).

Cada vez se acepta más que:(i) El suministro de materiales no es condi­

ción suficiente para el éxito en el desarrollo de planes. El suministro de nuevos materiales preludia al desarrollo exitoso de planes; el verdadero trabajo duro reside en la exitosa difusión.

(ii) Deben concordar e integrarse el apoyo a la educación con el desarrollo de planes. Esto ha llevado a dar mayor importancia a los proyectos locales que a los generales.

(iii) No sólo es necesario proyectar planes adecuados de matemática para los académicos si no para todo el espectro de profesiones y para los que física o socialmente luchan con desventajas.

(iv) En los lugares en que la educación nacional o las presiones sociales lo vuelva ne­cesario, se deben producir materiales y desa­rrollar métodos de enseñanza que se puedan usar en un amplio espectro profesional (clases de nivel mixto).

(v) Aun cuando la individualización del tra­bajo mediante fichas de trabajo, módulos pro­gramados, computadoras, etc., tenga mucho que ofrecer, no es por sí misma una solución de nuestros problemas. Hay que prestar mayor

factores fueran tomados en cuenta no se vio la necesidad de explicar los cambios a los que probablemente resultaran afectados por ellos.

6. La forma que puede tomar en un país el desarrollo de los planes depende de su sistema educativo y de su desarrollo histórico», si es centralizado o no, grado de autonomía de los maestros, el papel de los editores, etc. En muchos países, la gente se da cuenta de que los proyectos "locales", que puedan abarcar a todas las escuelas, pueden desempeñar una función muy importante para el desarrollo de los planes. Existe, además, urgencia por pro­mover la maduración profesional y la autono­mía del maestro como individuo, y de favore­cer innovaciones individuales. Las asociaciones de docentes pueden ejercer poderosa influencia.

7. Hay proyectos "locales" en donde los maestros preparan en colaboración el material. Presentan importantes dificultades y no permi­ten pasar por alto los problemas cruciales de los proyectos en larga escala como, por ejem­plo, ¿quién inicia el desarrollo?, ¿cómo deben constituirse los grupos redactores? , ¿quién de­be determinar el tema, los fines y el estilo del material:, ¿quién garantizará que se obtendrá un nivel razonable desde el funto de vista de la matemática usual? Además, habrá que coordinar las actividades locales cor las gene­rales.

atención al papel específico de los programas individualizados.

(vi) Contenido y método deben considerar­se juntos (la reacción ante exageraciones ante­riores parecieran llevar a una preferencia unila­teral por el método en la escuela secundaria y por el contenido en la primaria).

(vii) Deben acentuarse los fines afectivos y la demostración de la utilidad de la matemáti-can en

borarse'subjetivamente.12. Los problemas de la evaluación "com­

parativa" de los planes son tan grandes que existe el peligro de que los evaluadores se concentren en problemas técnicos y sobresti-

los fines cognoscitivos. La riqueza de los

ca.(viii) El replanteo de procedimientos y ob­

jetivos en los exámenes dentro de una concep­ción total del aprendizaje y la enseñanza, es un ingrediente esencial en todo desarrollo de planes.

(ix) El papel del maestro es vital. Debería intervenir personalmente en el desarrollo de planes y no se lo debería someter a exigencias irreales que sólo pueden tener efectos desilu- sionadores y negativos sobre él. Debería alen­tarse al innovador individual.

(x) La educación previa debe preparar a los maestros para participar en los planes en desa­rrollo. Se debe promover su carrera profesio­nal y autonomía.

(x¡) Al redactar planes de matemática no cfében olvidarse los fines generales, sociales y educativos y en particular, las exigencias de los no matemáticos, tal como los profesores de ciencia y los futuros empleadores. Debe prestarse especial atención en los estados inter­medios que acaso se presenten.

(xii). Es necesario analizar más detenida­mente los procesos innovadores y basar el de­sarrollo de planes sobre teorías educativas y de aprendizaje mejor elaboradas.

(xiii) El desarrollo de planes debe transfor­marse en un proceso gradual acumulativo y no en un ejercicio frenético de ir y venir.

(xiv) El desarrollo de planes es el arte de lo posible y no una aspiración a la inaccesible.

menresultados matemáticos unida a la imposibili­dad de separar los efectos de los cambios matemáticos de los que provienen de otras

sociales o educativas, vuelven .práctica­mente imposible la tarea de los evaluadorescausas

la mayoría de los países ignoran a los teóricos perpetuando la división tradicionai en educa­ción entre teoría y práctica. La reacción de institutos centralizados para el desarrollo de planes con un equipo multidisciplínario pue­den, tal vez, llevar a una reconciliación.

13. La posición dominante de los libros de texto se ha reducido con las fichas de trabajo, libros de temas y materiales no impresos como cintas, grabaciones televisivas "cassettes", etc. Sin embargo, los maestros parecen preferir los materiales educativos listos que obtienen de los editores y trasplantan directamente al aula. Los materiales educativos para los alumnos ejercen mayor influencia que las guías o trata­dos para los maestros. Faltan guías (que sean algo más que la mera consignación de respues­tas \ para suplementar el material educativo de los alumnos, y la esperanza de producir bios mediante el solo uso de guías por los maestros se ha revelado tarea imposible.

14. Aun los países en donde no han predo­minado los proyectos en los desarrollos de planes, la gente advirtió que la autoría colecti­va ofrece muchas ventajas. Muchas dó demostrado que presenta ventajas el pleo de maestros en actividad.

15. Hacia los años 60 se tradujeron e inter­cambiaron proyectos entre países sin atender

los diferencias sociales, educativas y cultura­les. Estos problemas de trasferencias pueden producirse también dentro de un país con distintas culturas independientemente desarro­lladas, o cuando una cultura extraña ha sido impuesta a una indígena.

8. La reacción de los maestros contra los cambios de planes, sea al comienzo o más tarde cuando surjan problemas, dependerá de la estrategia que se use. Usualmente hay cua­tro estrategias: la compulsiva (a partir del 1° de octubre, todas las escuelas. ..), la coercitiva (si ud. estuviera al día, usaría.. .), la racional empírica (los alumnos aprenden a tomar ma­yor responsabilidad) y la reeducativa (educa­ción progresiva y desarrollo de planes combi­nados). En cierta medida, esto sirve para defi­nir el papel del maestro ante el administrador o director: empleado del sistema, ser semiau- tónomo que puede ser manejado o influido, o profesional capaz de decisiones razonables.

9. Para el innovador el cambio es atractivo y puede traerle ventajas profesionales y econó­micas. Empero, tenemos también los incenti­vos para el maestro al que se pide que cambie sus métodos. Mientras aquél tiene "todo para ganar y nada para perder", éste puede creer que "ti^e todo para perder y nada para ga­nar".

cam-

f VIII. EVALUACION. METODOS Y RESULTADOS.

J. KILPATRICK fEstados Unidos)

veces que-em­

valores, se recoje información sobre el objeto que se ha de evaluar y se aplica la escala de valores), en la práctica educativa el proceso no es nada simple.

Los objetivos de la valuación educativa, por ejemplo la habilidad de los alumnos o la ade­cuación al curriculum, son multidimensionales; varían a través del tiempo y de las situaciones.

La evaluación es un proceso interactivo que afecta a aquéllos cuyas realizaciones se están evaluando tanto como a los evaluadores y a aquéllos para quienes se la realiza. El proceso es a la vez psicológico y sociopolítico, no ocurre en el vacío.

Aunque teóricamente el proceso de evalua­ción es bastante simpletse escoge una escala de

a

10. Pese a que la teoría de los planes tiene larga historia y creció vertiginosamente en los últimos años, los especialistas en desarrollo de

2120 *

diferente en diferentes situaciones educativas. Hay una importante distinción entre evaluar un curriculum y valorizar las actividades y resultados de un desarrollo particular del curri­culum

para la enseñanza de la matemática hace que el 'evaluador debe determinar la efectividad de los diferentes materiales disponibles.

Una exigencia razonable, cada vez más soli­citada, es que los evaluadores describan los materiales de enseñanza sugiriendo las situa­ciones en que pueda emplearse.

La mayoría de las tentativas recientes de crear nuevos instrumentos para la evaluación del aprendizaje, aptitud para la matemática, enseñanza y materiales para dicha enseñanza, pueden verse como un esfuerzo para dar una descripción más rica de su dinámica para el acto de enseñar*aprender. Los evaluadores in­tentan constantemente buscar tanto las causas como los efectos, describir y conjeturar tanto como medir. Están comenzando a liberarse de su pesada dependencia de las pruebas estandar­dizadas y las notas numéricas.

Muchos problemas de evaluación en mate­mática pueden redifinirse, y acaso mejor re­sueltos, si se los mira desde distintos puntos de vista. La matemática no progresará si des­preciamos los viejos conceptos sin construir sobre ellos. Antes que buscar la mejor aproxi­mación deberíamos tratar de percibir el valor y las limitaciones desde varios puntos de vista distintos para los problemas de evaluación.

tanto clases, son necesarios para separar los efectos del programa de los debidos al profe­sor, pero cuando mayor es el número de pro­fesores más difícil es determinar si cada pro­grama se está aplicando de acuerdo con las especificaciones. Pocos estudios evaluativos de programas de "matemática moderna" han in­fluido sobre la toma de decisiones, lo que probablemente sea lo mismo visto el valor inuestionable de los estudios.

Otro problema relativo a la evaluación se relaciona con cambios en sistemas de examen y prácticas de pruebas.

La educación masiva produjo un cambio en la evaluación de los alumnos que se elegirán para una educación posterior y distribuirlos en programas optativos de estudio. Resulta más importante diagnosticar el conocimiento mate­mático del alumno que compararlo con el de otros. En consecuencias, pruebas y exámenes se han vuelto más objetivos, frecuentes y ex­tremamente vinculados a objetivos educativos específicos.

Tanto la evaluación de nuevos planes curri- culares como los tratamientos y las matrices para clasificar objetivos educativos y temas de examen que han intentado usar las autoridades educativas que intentan medir el rendimiento del sistema educativo, son un caso parecido a lo que ocurre en una fábrica. Cuando se mide el rendimiento de una fábrica, el proceso no in­fluye sobre la producción futura. En cambio, en una escuela es un proceso interactivo: pro­fesores y alumnos usan igualmente pruebas y exámenes como indicadores de lo que debería aprenderse. El ingeniero limita la evaluación una búsqueda de "efectividad" (la efectividad de un curriculum, de un conjunto de material instructivo, de un maestro) suponiendo que tal cualidad es independiente de factores situacio- nales. Esta suposición ha sido seriamente tionada, sin embargo, y otras concepciones se han aplicado últimamente. Por ejemplo, la luación se concibió como diagnóstico médico, crítica literaria, crítica de arte, estudio pológico, investigación criminal y como argu­mento legal. Se ha descripto el papel del inves­tigador como el del clínico, crítico, observa­dor pasivo, detective, jurado y procurador.

Recientemente se ha cuestionado el valor de separar el contenido del proceso, planteán-

podemos clasificar objetivos (y asociar­les temas de pruebas) aparte del sistema edu­cativo en que están incluidos. Análogamente, podemos cuestionar la ¡dea de valorizar un curriculum en sentido general si se manifiesta

Muchos problemas en la evaluación educati­va, surgen por la dificultad para reunir infor­mación sobre todas las cualidades dinámicas del objeto que se ha de valorar, y procesar esa información para poder tomar decisiones. Un ejemplo es el tema de los exámenes externos al final de la escuela secundaria. Ha sido una tendencia general desarrollar esquemas en los cuales los profesores preparan y califican sus propios exámenes y efectúan una evaluación informal a lo largo del año. Estos esquemas han resultado populares entre alumnos y pro­fesores pues permiten evaluar con mayor justi­cia el progreso estudiantil, pero al mismo tiem­po originaron preguntas difíciles acerca de la comparación de estudiantes que han tenido distintos profesores.

Hay una tensión inevitable sobre el concep­to de evaluación entre las "líneas de combate" y el "cuartel general. Los alumnos y profeso­res en la línea de combate necesitan una eva­luación formativa que sea a la vez diagnóstico y descripción de la complejidad de la situación que enfrenta; el cuerpo directivo en el cuartel general necesita una imagen total simplificada de la situación. Algún conocimiento se ha lo­grado en los últimos años sobre aspectos técni­cos del muestreo y análisis de datos, pero el evaluador siempre enfrentará el problema de decidir cuál información conseguir, cuáles es­calas usar y qué peso asignarles en la decisión final.

La insatisfacción sobre las pruebas y exá­menes existentes, condujeron a experimentar nuevas formas de evaluación. Los últimos cin­co años vieron nacer prometedores trabajos para medir cosas mal definidas pero importan­tes como la habilidad para resolver problemas y la creatividad matemática. Está en marcha la construcción de escalas de actitud que prestan mayor atención a las cuestiones de validez.

Pese a que muchos técnicos educativos han sido preparados para evaluar la enseñanza de la matemática, todavía estamos en estado rela­tivamente primitivo.. La competencia de los profesores se evalúa indirectamente muchas ve­ces, no en forma sistemática a través de las diferentes calificaciones, diplomas, recomenda­ciones sino por la evidencia directa de lo que están aprendiendo tantos alumnos de sus ense­ñanzas.

Los intentos por demostrar que ciertos mo­delos de enseñanza conducen necesariamente a un mejor aprendizaje han fracasado en general.

La confusa profusión de nuevos elementos

i

i

IX. OBJETIVOS Y METODOS GLOBALES DE LA ENSEÑANZA

Ubiratán D'AMBROSIO (Brasil)

ca y la esencia del proceso enseñanza —aprendi­zaje. Nos referimos al papel de la matemática para el hombre, teniendo en cuenta su papel en la sociedad. Acentuamos la relación entre las metas de la educación general y las metas y objetivos de la educación matemática consi­derándolos dentro de un contexto general y bajo diferentes modelos y etapas de desarrollo.

El trabajo consta de cinco capítulos:1. Introducción.2. Matemática y escuela;3. Papel y naturaleza de la matemática;4. ¿Qué espera la sociedad de la educación

matemática?5. Nuevamente: matemática y escuela.En lugar de concentrarnos en objetivos y

metas específicas de la educación matemática optamos por un análisis del lugar de la mate­mática en el presente y en el futuro obtenien­do nuevas conclusiones mediante interpreta­ción del pasado y sus debidas implicaciones en la educación matemática.

A medida que se investigan tendencias y problemas de evaluación de la educación mate­mática, habría que esclarecer los propósitos para los que sirve la evaluación. Deberían plantearse preguntas claves como por ejemplo qué acciones se tomarán como resultado y cuál será ej efecto sobre los participantes en el proceso.

Se debería prestar especial atención al equi­librio entre el derecho del individuo a desarro­llarse en forma única como estudiante o profe­sor de matemática y la necesidad de la socie­dad de ciudadanos competentes en matemáti-

(Resumen)Se discuten las metas y tendencias funda­

mentales de la educación matemática bajo este subtítulo significativo: ¿Por qué enseñar mate­mática?

El trabajo, por obvias limitaciones de espa­cio y tiempo, es sólo una introducción a nues­tro enfoque del tema. Se proponen cuestiones y se citan fuentes donde tal enfoque encuen­tra su base de sustentación así como otras que permiten un tratamiento más convencional del tema. Esperamos que el trabajo genere un an­sia positiva entre los educadores de matemáti­ca acentuando nuestras responsabilidades y confianza en el poder que tenemos como educa­dores para modelar el futuro.

Enfocamos la pregunta del subtítulo desde los puntos de vista del desarrollo de la socie­dad, sistemas escolares, formación del maestro, así como considerando las cuestiones cam­biantes sobre la naturaleza de la matemáti*

a

cues-(

eva-*•>antro- •*ca.

Ejemplo de un problema que implica "eva­luación" es el pretendido "fracaso" de la temática moderna. Sobre este problema se dis­cutió apasionadamente, pero la documentación concreta fue escasa. Estudios típicos de luación de nuevos planes curriculares han siderado a los programas como "tratamientos" imitando experiencias en medicina o agricultu­ra. Los evaluadores temieron enfrentar la para­doja de que gran número de profesores, y por

ma-

eva-con- dose si

2322

pequeños. En este contexto debemos analizar la ciencia y en particular la matemática, y la educación, en particular la educación matemá­tica.

Reconocemos una interacción total entre sociedad y ciencia matemática en particular, no sólo desde la perspectiva histórica, aceptan­do el desarrollo de la matemática como conse­cuencia de factores socioeconómicos, sino también aceptando que la matemática, si bien no tan aparentemente como las ciencias natu­rales y perceptible con más lentitud que en éstas, afecta en grado siempre creciente todo el andamiaje de pensamiento, cultura y políti­ca. Tomamos en cuenta un modelo educativo rápidamente cambiante en todo el mundo, de­bido sobre todo a la rápida concreción del ideal de educación masiva. Esto se inserta en un contexto de perseguir la concreción de la sociedad ideal, la cual, pese a tomar formas diferentes, mantiene completo acuerdo con al­guna de las cuestiones básicas, incluida la tole­rancia. de una disparidad entre poder y privile­gio. El conflicto resultante puede resumirse en tres filosofías diferentes que sirven de base a todo el estudio de los objetivos y metas de la educación matemática: (i) búsqueda de valo­res, (¡i) búsqueda de nuevos conocimientos; (i¡¡) respaldo de una estructura social determi­nada.

Sería un mero paliativo mejorar el modelo educativo existente sin analizar globalmente a la escuela como institución, y a la ciencia como actividad necesaria y elemento del mejo­ramiento de la vida humana.

La definición de prioridades en la educa­ción y en las ciencias presupone grandes pro­blemas para las naciones desarrolladas blemas gigantescos para los países en desarro­llo. Aceptamos la educación, en particular la matemática y la científica y, por tanto, la estructura de investigación científica como fe­nómeno sociocultural anclado en valores cultu­rales; en consecuencia, su objetivo debe ser analizado en el contexto global de prioridades y metas nacionales y debe depender menos de la estructura intrínseca de la propia ciencia. Por otro lado, la estructura política mundial y la creciente interdependencia entre los países hace absolutamente necesario para los países emergentes cerrar la llamada brecha tecnoló­gica con los países desarrollados e industriali­zados así Como desarrollar una "intelligent- zia", confiable y capaz. El principal problema que encaran los educadores de todo el mundo parece ser el de conciliar las metas de relación digna con países más poderosos y preservar los valors socioculturales y morales tradicionales. Esto último se aplica a los países en desarrollo y a los ya desarrollados más

mática que promovemos consiste en desarro­llar la capacidad del individuo para identificar

la matemática en la experiencia intelectual y para distinguir el razonamiento y método ma­temáticos en todas las situaciones que se pre­senten o puedan estar potencialmente insertos. La matemática se ubica dentro del amplio contexto del razonamiento y métodos científi-

relaciona con otros lenguajes para

cultura occidental y, en cierto modo, errónea­mente ubicada en las escuelas medievales.

El desarrollo de un nuevo orden económico hacia el final de la Edad Media con la crecien­te importancia de las ciudades, el comercio y la industria, obligó a una desviación de la economía feudal. Al mismo tiempo, se estable­cieron los cimientos de la revolución indus­trial, ampliamente basada en el florecimiento de la nueva ciencia experimental y cualifi­cada. Otro factor importante fue la ampliación de las fronteras del mundo mediante la nave­gación y las conquistas, que permitieron intro­ducir materiales nuevos y baratos en una eco­nomía cada vez más orientada hacia el proce-

aPretendemos que los matemáticos compar­

tan la responsabilidad de proporcionar mejores días a sus semejantes. Pero algunos ven en la propia naturaleza de la matemática un peligro como herramienta opresora. Este peligro, pre­sente en las sociedades’desarrolladas e indus­trializadas, es de importancia para los países que, habiendo logrado independencia política, empiezan ahora su lucha por la independencia económica y cultural. Esto debe asociarse a la deficiencia de la estructura educativa, diseñada por una "élite" y ahora aplicada al grueso de la población. En la comprensión de este hecho acaso resida el tipo de preservación de la ma­temática como importante materia escolar, y específicamente reimponiendo su posición co­mo materia independiente en la educación ge­neral incluyéndose en el concepto más amplio de cultura, de valor, que el de mero conoci­miento que generalmente se le asocia.

eos y setratar de simular una realidad. El proceso de la creación matemática se produce, como cual­quier otra forma de creación, como resultado de una fuerza interna que no podemos identi­ficar, mientras el objetivo de la matemática es la combinación de experiencias sensoriales con algunos procesos de abstracción y correlación de ideas. Admitimos la tendencia hacia nuevas relaciones entre matemáticos y no matemáti-

como consecuencia, la aparición de nue-

»

samiento de dichos materiales.Entre la Edad Media y el Siglo XIX, las

escuelas sufrieron cambios radicales. Aparecen las universidades y al mismo tiempo se desa­rrolla la llamada educación artesanal o voca- cional, resultante de una forma de agremiación profesional en una estructura paralela. El pa­pel de la matemática en la educación fue muy pobre en este período.

Así llegamos a fines del siglo XIX y princi­pios del XX con una fuerte motivación para la investigación matemática derivada de estos he­chos. Mucho de lo que predomina en la inves­tigación matemática actual tiene sus huellas en el siglo pasado. Más que ¡deas nuevas de rea! significación matemática, se observa la riqueza de nuevos campos de aplicaciones, anticipán­dose al rápido y profundo cambio con el uso de computadoras por los matemáticos. En ese mismo espíritu, no observamos cambios signi­ficativos en la enseñanza. Hay un cambio fun­damental, la educación de masas, pero el enfo­que educativo es prácticamente el mismo del siglo pasado, siempre ubicado en "cuánto aprende el niño" y cuidando que éste "se

un modelo establé­

eos y,vos focos de interés para investigadores mate­máticos. Estas relaciones van en ambos senti­dos y se puede pronosticar perfectamente la aparición de campos científicos completamen-

características mixtas de la ma­te nuevos con temática actual y otras disciplinas. El papel de las computadoras en tales nuevos campos cien­tíficos probablemente será fundamental.

Las implicaciones de estos razonamientos en la definición de los objetivos de la educa­ción matemática son de considerable magni­tud. Ciertamente, habrá que cambiar lo que se enseña: curricula, planes de estudio y conteni­dos, para la metodología, y un nuevo ambien­te en el aula, ambos orientados hacia la creati­vidad. El objetivo principal es dar a la mate­mática una nueva dimensión, adecuada a un mundo nuevo y a sociedades que están cada vez más cerca y, al mismo tiempo, rivalizan entre sí. Necesitamos una nueva matemática y todo el poder creador de la juventud para

formas de pensamiento inimagi-

Vemos al progreso educativo como la con jugación de aspectos socioeconómicos globales en procura de un mejoramiento de la vida humana. En ella intervienen, así como en el proceso tecnológico, la filosofía sustentada por la sociedad y consideraciones relativas a disponibilidad de recursos humanos materiales.

Distinguimos algunas formas de educación:una, puramente vital instintiva, mediante la cual el niño aprende a sobrevivir y a mantener la especie; otra, social y de comportamiento, en la cual el niño recibe enseñanza de actitu­des básicas y de conducta, y adquiere valores morales, y una educación contemplativa y es­peculativa. Analizaremos las dos últimas. De hecho, identificamos casos en los cuales las dos formas conjugan esfuerzos y se crea cono­cimiento nuevo. La matemática es un buen ejemplo de tal enlace entre los dos tipos de educación. El mismo concepto de número senta desde el comienzo

y pro­

generar nuevas nables. El objetivo primario de la educación matemática no debe ser la perpetuación del conocimiento, o impulsar un poco más lo ya existente; este conocimiento permanecerá o morirá de por sí. El objeto primario de la matemática es promover nuevo conocimiento. Al mismo tiempo, la necesidad de volver

el conocimiento existente a de profesionales

comporte de acuerdo con cido". No se asigna mayor importancia al tra-4 bajo colectivo.

Paradójicamente, hay una profunda riqueza de nuevas direcciones que están siendo toma­das por la ciencia y la sociedad. Vivimos, sin duda, una segunda revolución científica, se crean nuevos campos de investigación y nuevas herramientas para comprender y controlar a la naturaleza en dimensiones nunca pensadas por el hombre. No podemos, pues, ver a la mate­mática y a la educación matemática desvincu­ladas de esas nuevas direcciones ni de los cam­bios sociales y económicos que ocurren actual­mente en el mundo.

El objetivo principal de la educación mate-

ipre­una componente emi­

nentemente práctica lo mismo que «reflexiones puramente contemplativas. Consideraciones históricas me llevan a dejar de estimar el cepto de contar como la

con- accesibleun número creciente —particularmente en los países en vías de desarrollo— debe ser satisfecho en una estruc­tura paralela, no difiriendo básicamente de lo* ocurrido desde la Edad Media hasta la revolu­ción industrial. Debe promoverse un esfuerzo pedagógico importante para llevar teorías ma-

componente principal en la educación matemática en el contexto de un esquema contemplativo o especulativo. La consideración de la aritmética ordinaria el centro de los estudios

una

comomatemáticos debe

ser reexaminada no obstante haber sido admi­tida como parte de la matemática teórica en la

2425

.

Creemos que una sana estrategia de reforma debe promoverse simultáneamente en todos los niveles. En verdad, cambiar la actitud de los educadores y mudar el foco de la enseñan­za, de lo que se enseña a lo que se aprende, es

preámbulo esencial de cualquier mejora educativa. Una manera real y dinámica de abordar el cambio significa, en esencia, un mecanismo de cambio integrado en el que educadores y educandos constituyan una com­ponente orgánica única.

Creemos que con una actitud más dinámica e imparcial, la matemática puede jugar un pa­pel muy importante en educación y contribuir a que esta satisfaga su meta primaria, esencial indiscutible: el mejoramiento de la vida huma-

nuina preocupación por ese trabajo. Para iden­tificar las características generales de la inves­tigación actual, mi principal criterio fue la importancia de los cambios prácticos en la escuela y las conclusiones que se obtuvieron para la investigación futura.

dizaje de los alumnos, ha aumentado el núme­ro de maestros que participan de la investiga­ción. En particular, los I.R.E.M. franceses han realizado un trabajo pionero en esta área, en la cual participaron los maestros por razones de estrategia. Un trabajo similar está realizan­do el I.O.W.O.' holandés en Utrecht y mu­chos de los centros de profesores ingleses espe­cializados en matemática.

2.4. Una de las reacciones más netas contra la escasa importancia de la investigación edu­cativa para la práctica y para los problemas relativos a la teoría constructiva, ha sido una extensión del repertorio de investigación, lo que por una parte anuncia un relajamiento de las hasta ahora rígidas normas para la acepta­ción de métodos y, por otro, que la integra­ción de resultados se tornará más difícil. El no reconocimiento en los primeros tiempos de la investigación informal de Piaget y la onda rece­siva de estudios formales posteriores a su tesis, apoya lo dicho. En los Estados Unidos, donde se realizaron alrededor del 85 por ciento de las investigaciones relacionadas con nuestro tema, el planteo del procesamiento de la infor­mación con sus métodos y técnicas de obser­vación más abierto, está desplazando a la teo­ría del aprendizaje y a la fuerte competencia de cognoscitivistas y conductistas. El planteo me­todológico provocó un aumento de la atención por los sistemas descriptivos.

2.5. En consecuencia, surgió una fuerte ne­cesidad de investigación teórica cuya potencia indica cierta clase de crisis. El procedimiento de estudiar influencias operantes en ciertos estudios como las principales variables en sub­siguientes estudios es muy común en ciencias sociales. Pero en lugar de integrar se está rami- ficando y diferenciando nuestro conocimiento. La comprensión del aumento de la compleji­dad del proceso de aprendizaje hace que tam­bién el entendimiento se vuelva cada vez más complejo y el asunto resulta difícil de tratar. Sólo por cuestiones económicas es imposible aumentar arbitrariamente el número de varia­bles en un estudio y también es imposible, debido a las interacciones, mantener constantes las otras variables o simplemente no tenerlas en cuenta. Además, en una sociedad moderna rápidamente cambiante, la validez del resultado de muchas observaciones está limitada en el tiempo (historicidad de los enunciados).

Así es como se plantean dudas sustanciales sobre la posibilidad de construir teorías gene­rales siguiendo los lineamientos favorecidos en las últimas investigaciones. La situación puede

temáticas avanzadas a mayor número de indi­viduos y volverlas disponibles para los países en desarrollo mediante metodología educativa, empleando tecnología audiovisual y computa­ción. No puede alcanzarse, es obvio, mediante curricula preestructurados. Es necesario un ca-' mino de acercamiento a los contenidos que sea dinámico y flexible, que subraye fuerte­mente la metodología de acceso al conoci­miento existente, y lo haga prontamente dis­ponible, comprensible y asequible. Este cami­no es el que responde mejor, más inmediata y realmente a las necesidades de los países en desarrollo lo mismo que al papel cambiante de la educación matemática en los modelos muta­bles de las sociedades desarrolladas e industria­lizadas.

un

2. Tendencias principalesLos cinco primeros puntos caracterizan he­

chos y métodos de investigación en las cien­cias sociales relacionadas con el aprendizaje de la matemática. Los cinco siguientes se relacio­nan con el proceso de enseñanza y aprendi­zaje.

2.1. Un número inmenso de estudios de investigación previos trataron de expresar enunciados acerca de la relación entre dos variables de muestras representativas, por ejemplo, relacionado con la comparación de dos tratamientos. El inmenso número de resul­

na.■

i

X. LOS PROCESOS DE APRENDIZAJEH. BAUERSFELD

(Alemania)tados contradictorios o no significativos, con­dujo a cuestiones diferenciadas como la inves­tigación de interacciones: ¿Hay diferencias en el logro matemático cuando un maestro o una maestra enseña a un estudiante masculino (o femenino)? O ¿es más efectivo el tratamiento A para los estudiantes muy motivados y el tratamiento B para estudiantes poco motiva­dos, o vice-versa? Los datos de tales interac­ciones dan mejores sugestiones para la concor­dancia de los tratamientos con los grupos de estudiantes, aun cuando sólo para situaciones limitadas y contenido relativamente elemental.

En los últimos años, la interacción ha sido interpretada como interacción social y no sólo como interacción estadística entre variables; esto ha causado un importante mejoramiento de nuestra visión del proceso de enseñanza y aprendizaje. Al mismo tiempo, ha terminado la visión aislada de los principales determinan-

|1. Orientación introductoria

Durante mucho tiempo los resultados de las investigaciones influyeron muy poco en la rea­lidad de la instrucción y el aprendizaje mate­mático. La investigación siguió a las necesida­des de las prácticas escolares en lugar de enca­bezarlas. Indicaciones recientes sugieren un cambio en este deplorable estado de cosas. En la última década, los intereses de la investiga­ción han pasado del curriculum y del discípu­lo al maestro. Esto es en algún sentido una reacción contra la primera ola de desarrollo del curriculum. Pero también es una respuesta a problemas de generalizaciones de la investi­gación. Según esto, teorías aisladas de curricu­lum y teor.ías de aprendizaje fueron puestas en duda cada vez más, en tanto que el desarrollo de teorías de enseñar y aprender se ha visto favorecido. Estas últimas se preocupan por el maestro y, más aun, se preocupan por la inter­acción entre discípulo, maestro y también el curriculum.

¿Cómo se produjo el cambio? Hasta hace poco, la investigación y el desarrollo sólo ha­bían enfocado una de las dos componentes importantes del proceso de aprendizaje: el dis­cípulo o el curriculum: Pero no consideraron la influencia del maestro ni el contexto gene­ral de la instrucción. Desde hace medio siglo, los investigadores trataron de identificar las etapas del aprendizaje del discípulo, de investi­gar las condiciones de su éxito (psicología ex­perimental) y describir las etapas de desarrollo

de su pensamiento (psicología del desarrollo), con miras a una teoría general del aprendizaje. Por otra parte, el trabajo de desarrollo escolar de los años 50 y 60 se ocupó del curriculum en sentido amplio. Precisamente mediante pro­yectos, libros para alumnos, material didáctico y otros medios fueron desarrollados junto a un análisis de la estructura del contenido de la materia y métodos de enseñanza relacionados con él. Ambos movimientos se caracterizaron por olvidar el papel del maestro y del contex­to general del aprendizaje. En consecuencia, ambos hallaron crecientes dificultades. Ni los grandes proyectos de curriculum mejoraron la instrucción y el aprendizaje de la matemática ni la investigación desarrolló una teoría de aprendizaje válida. Sólo se han dado explica­ciones para aspectos parciales del aprendizaje, por ejemplo, la teoría genética de Piaget, el modelo jerárquico de Gagné o las teorías Ges- talt. Estas posiciones no se pueden integrar y representan sólo generalizaciones de valor limi­tado para la explicación y predicción. En par­ticular, no bastan para el planeamiento y la realización de la clase, como lo hacen notar en queja los maestros de escuela. Parecen necesi­tarse teorías más sofisticadas de enseñanza y aprendizaje.

El análisis de las posibles causas de un resultado tan pobre y las diferentes estimaciones del análisis produjeron muchas reacciones dife­rentes en los últimos años. La escena de la inves­tigación ha cambiado notablemente y hay ge-

I tes.2.2. Muchos resultados de investigaciones

no son generalizabas, y las pruebas \estandar­dizadas sólo son de valor limitado para la interpretación del proceso. Ambos factores contribuyeron a aumentar los estudios de in­vestigación de situaciones reales en el aula. Observaciones sistemáticas de instrucción en matemática, particularmente estudios concre­tos de procesos de aprendizaje de largo tiempo en ambientes naturales, han producido resulta­dos importantes.

2.3. Insistir en la investigación de la actua­ción del maestro, que ya no es tan sólo una "variable ¡nterviniente", con el objeto de tener información neta del tratamiento o del apren-

f

2726

diferente de la generalización matemática o de la abstracción o de lo que puede significar la comprensión de un concepto o de lo que es una solución suficiente de un problema mate­mático.

2.9. Por otra parte, es imposible pensar sobre una investigación relativa al aprendizaje de la matemática que no sea determinada por una visión fundamental del proceso de apren­dizaje, o del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto, por lo menos para el aprendizaje de la matemática; ya no es cuestión de sistemas descriptivos diferentes que se aplican a una materia idéntica. Dado que en la escuela, la matemática es un producto de la comunica­ción (una variación de una afirmación hecha por Watzlawik sobre la "realidad'"), el produc­tor está profundamente relacionado con la es­tructura de esta situación social o de comuni­cación. El interés por clasificar esta dependen­cia ha aumentado muy recientemente.

Easley presentó un estudio sofisticado de siete perspectivas para modelar la enseñanza y el aprendizaje, y Joyce describió cuatro fami­lias diferentes de modelos: "modelos de inte­racción social, modelos de procesamiento de la información, modelos personales y modelos de la modificación del comportamiento". Como los modelos personales en su visión del hom­bre, la naturaleza de su conocimiento y apren­dizaje, en verdad definen atributos diferentes de investigación y de educación. Incidental- mente, esto es razón importante y esencial para la integrabilidad de los resultados de in­vestigación sobre el "mismo" tema.

2.10. Aun cuando el proceso de aprendizaje de la matemática no se puede describir sufi­cientemente sólo desde el punto de vista del que aprende, hay creciente interés por las con­diciones para el éxito del aprendizaje estudian­til, particularmente en la estructura de las ha­bilidades matemáticas y las normas de su desa­rrollo. Este tema comprende el mayor número de investigaciones de las cuales centenares de estudios posteriores a los experimentos de Pia- get, especialmente en lo que concierne a la conservación. Intentos de dividir la habilidad matemática, que muchas veces se trata como unidad en ciertas pruebas, difiere en sus resul­tados según el método usado: un nuevo análi­sis de estudios de factores analíticos produce modelos de habilidades similares a modelos bien conocidos de la estructura de la inteligen­cia; casos de estudio usando un conjunto finito de tareas con estudiantes de mucho éxito con­ducen a procesos matemáticos generalizados.

Hasta ahora, no hay resultados suficiente­mente detallados para hacer un diagnóstico más' seguro para agrupar la habilidad en educa­ción matemática, pero ayudan a mejorar la individualización.

Por otro lado, se ha investigado gran varie­dad de variables que influyen el aprendizaje de la matemática, por ejemplo, las experiencias previas de aprendizaje del estudiante, su auto­estima y su autoconcepto, sus estilos de per­cepción y procesamiento de la información, el comportamiento alentador del maestro, etc., para mencionar sólo algunos de los más impor­tantes. Muchas de estas variables parecen ser más bien estables durante las clases, pero sor­presivamente, algunas son más bien inestables, lo que significa que dependen de la situación de aprendizaje y de las personas interactuan­tes. Los resultados de esta investigación provo­can escepticismo C3 acerca de la práctica usual de encasillar de acuerdo con las medidas del '■logro, ya que se podría provocar la fijación de caracteres inestables. Además, se deberán ex­traer de esta investigación importantes conse­cuencias para la formación de los maestros que están actuando.

dificultades para determinar la validez de las pruebas, se plantearon dudas acerca de si dife­rentes modelos del contenido de la enseñanza -es decir, las maneras de representar y encua­drar la "materia" significante- trasmiten real­mente contenido idéntico. Hay una buena ra­zón para suponer que modelos diferentes pue­den llevar al estudiante a la construcción de conceptos que difieren en rango y en conteni­do y que sólo aparecen idénticos debido a la uniforme descripción simbólica y al lenguaje técnico normalizado. Esto se muestra clara­mente a través de generalizaciones pobres y de dificultades para resolver tareas aplicadas. Cuanto más bajo es el logro de un estudiante, mayor es su dependencia del material; se pro­ducen, pues, desventajas para los estudiantes para los cuales se hacen incorporaciones.

Particularmente en la educación preescolar y primaria esta observación vuelve necesaria una revisión de las denominadas introduccio­nes o experiencias fundamentales y sugiere el desarrollo de ayudas compensadoras para un entendimiento más completo. También resulta necesaria la crítica de la evaluación de los logros.

2.8. No se pueden esperar resultados sen­satos sobre el proceso de aprendizaje sino se elucida justamente qué debe aprenderse. Muchas investigaciones empíricas dan la impre­sión de que la matemática es un cuerpo de conocimiento difícil, un conjunto jerárquica­mente ordenado de enunciados fijos y sobre conceptos relacionados entre sí los nudos de una red. Probablemente, los temáticos no estén de acuerdo con esta ima­gen estrecha de la matemática como teoría de estructuras estáticas; en cambio, apreciarían la metáfora, más dinámica de la "matemática co­mo proceso" (Freudenthal) o la "matemática como lenguaje'(Papert) No hay duda de que imágenes tan fundamentalmente distintas de la "matemática significativa", influirán en la "ma­teria enseñada, es decir, se producirán nuevas maneras de enseñar la matemática. El proble­ma se complica más si se toman en cuenta las filosofías fundamentalmente diferentes de los matemáticos acerca de su disciplina (por ejem­plo, intuicionistas versus formalistas), lo que parece oponerse a las ¡deas populares sobre la matemática. En las ciencias empíricas, todavía no se reflexiona mucho sobre esas diferencias. Alguna evidencia se puede encontrar en estu­dios informales que, en verdad, muestran cla­ramente que visiones distintas de la matemá­tica generan, por ejemplo, una comprensión

caracterizarse por una búsqueda intensiva de una estructura orientadora, sea una teoría o una regulación funcional del proceso de inves­tigación— búsqueda en la que están compro­metidos muchos investigadores aislados y gru­pos en los institutos de investigación, por ejem­plo en los Centros Shell de Educación Mate­mática de Chelsea y Nottingham, en el centro de Georgia para el estudio del aprendizaje de la matemática, en Atenas y en el Instituto para la Didáctica de la Matemática en Biele- feld, Alemania Federal.

2.6. El aprendizaje de la matemática requie­re algo más que la posibilidad de conocimien­to rutinario. Ese "algo más" se puede describir como significante"; como el contenido del proceso de enseñanza modelado por la estruc­tura y rutinas del maestro, la "materia dicta­da", y como la estructura cognoscitiva del estudiante individual, la "materia aprendida". Estas tres formas sólo coinciden en el estado ideal. ¿Qué significa esto para la enseñanza y el aprendizaje?

2.6.1. Tenemos que abandonar la imagen de una materia matemática inmutable que se trasmite del maestro al estudiante. Por lo con­trario, la materia varía y cambia en el curso del proceso de enseñanza lo mismo que en el proceso de aprendizaje individual. Accidental­mente, esto también apoya la pertinencia de teorías de interacción social para la educación matemática.

2.6.2. La comprensión de la individualidad de las estructuras y su desarrollo en el maestro y en el estudiante es un fuerte argumento en contra de la búsqueda de un mejor tratamien­to. La cuestión puede formularse así: ¿Opti­mas para estudiantes y bajo qué condiciones? Las respuestas directas a esta pregunta son más bien raras y todavía necesitan una inter­pretación pragmática.

2.6.3. Más aun: Los estudiantes desarrollan por sí mismos estructuras y estrategias, lo cual puede ignorarse durante largo tiempo sino es detectado mediante un error o una solución inusual.

El grado de adaptación del maestro a estas situaciones caracteriza la calidad de ñanza. Para mejorarla se requiere un diagnós­tico a largo plazo y una estimación del desa­rrollo del estudiante, en especial porque au­menta el tiempo requerido para aprender con la complejidad de la estructura de la materia y las normas para generarlas.

2.7. Debido a las dificultades para la for­mulación y jerarquizacíón de objetivos y a las

!

: 3. Crítica y conclusionesLa estimación crítica de los desarrollos du­

rante los últimos años y las orientaciones para el trabajo futuro se agrupan en las tres dimen­siones siguientes, que caracterizan aspectos más bien que temas estrictamente separados.

3.1. Dimensiones sociales del proceso de aprendizaje de la matemática.

Se examinan tres aspectos, los que requie­ren un análisis exhaustivo y una investigación posterior:

3.1.1. Si es verdad que la matemática sólo se puede aprender a través del diálogo, enton­ces las reglas para las situaciones de comunica­ción y, con mayor generalidad, para la reiacio-

sociales entre personas, valen también para estos procesos, y esto, presumiblemente, se aplica a atributos específicos de la materia. Desde este punto de vísta, el aprendizaje de la matemática, como todo aprendizaje de signifi­cado, requiere la "negociación" del significado para el estudiante. Para prever posibles desin­teligencias: no se trata de que los estudiantes participen en la decisión de lo que es matemá­ticamente "verdad", pero sólo en comunica­ción con otros, el estudiante puede probar lo

normascomo

ma­

nes

su ense-

2928

I

trar la función que tienen ciertos concetos ciertos estudiantes en situaciones bien

una llave característica en la tradición europea de psicología hermenéutica.

Fácilmente se pueden extraer consecuen­cias, pero llevará tiempo entenderlas: la cons­trucción de teorías relativas al proceso ñanza-aprendizaje tiene que incluir el conoci­miento mutuo de todos los participantes -maestros y estudiantes— Por tanto, la teoría sólo es posible como (meta) teoría explicativa subjetiva. Esto se puede entender como una orientación principal para el futuro trabajo de investigación.4. Tareas futuras.

La revisión de más de 3000 investigaciones referentes al tema conduce a la convicción de que los docentes de matemática —intermedia­rios entre la investigación y la práctica esco­lar— no pueden restringirse a seleccionar en el rico cuerpo de conocimiento producido por las ciencias pertinentes e interpretar esos resul­tado para uso práctico. Por lo contrario, al definir sus propias cuestiones y problemas apa­rece un déficit considerable, una carestía en medio de la abundancia. Más aun, dado que la investigación pertinente se hace en otras disci­plinas con objetivos e intereses no directa­mente dirigidos a la promoción de las enseñan­za de la matemática y como es difícil conse­guir que una disciplina adapte sus estrategias de investigación para que las usen otras disci­plinas, los educadores matemáticos tendrán que desarrollar sus propios métodos. Por su función de trasmisión, no podrán restringirse explícitamente a los métodos estrictos de so­ciometría ni podrán perderse en la falta de control y no replicabilidad de la acción prag­mática.

La investigación y el desarrollo en una dis­ciplina de educación matemática tendrá, pues.

apropiado de sus construcciones y corregir su concepto. Las situaciones sociales están deter­minadas en gran medida por experiencias preli­minares, los sistemas de valores y las esperan­zas de los que participan en ella. Por tanto en lugar de percibir objetivamente lo que hace el alumno, el maestro lo ve a través de sus espe­ranzas y de las atribuciones causales que for­mula. Lo mismo ocurre con la relación del estudiante con el maestro. Se necesita una investigación cuidadosa para derivar implica­ciones del desarrollo individual del estudiante, para estimar sus realizaciones, para la habili­dad del grupo, y así sucesivamente. Confirma 'la importancia de este punto de vista la "espe­cificidad de situaciones" que se usa creciente­mente .para explicar resultados contradictorios o no significativos en trabajos de investigación.

3.1.2. Sin duda, la intensa discusión del «prejuicio cultural en las pruebas también se aplica para la accesibilidad de conceptos mate­máticos. Numerosos informes de experiencias con introducción de la "nueva matemática, particularmente en países en desarrollo, pro­porcionan los detalles.

Las diferencias gramáticales o semánticas entre lenguajes provocan influencias positivas y negativas en la comprensión, lo mismo que el contexto general de culturas diferentes. Es­to ha herido la sensibilidad de investigadores de países desarrollados sobre la posible interfe­rencia con el aprendizaje causado por diferen­tes bases sociales. Esto se refiere a todo el marco de diferencias posibles, desde modelos generales de comportamiento hasta el significa­do connotativo de conceptos. De aquí que una sociología de conocimientos y de estrate­gias pertinentes de comportamiento en educa­ción matemática, deba ser desarrollada.

3.1.3. Los problemas de un desarrollo' ma­temático propio y la educación individual del estudiante no encontrarán soluciones adecua­das hasta que tengamos un análisis cuidadoso de las causas de las diferencias individuales y desarrollemos diagnósticos para ayudar al maestro, proveyendo la preparación correspon­diente durante el adiestramiento y obteniendo conclusiones para la organización de la escuela.

3.2. Dimensión del contenido deI proceso de aprendizaje de la matemática.

Debemos subrayar las dificultades ya indi­cadas. Parece necesario investigar el proceso de aprendizaje. Esto significa que cuidaremos có­mo se están aprendiendo ciertos conceptos -en lugar de crear teorías generales sobre la formación del concepto. Tenemos que

que producir sus propios métodos. Vale decir, tendrá que lograrse una precisión adecuada para que los resultados sean directamente ac­cesible a los maestros y estén abiertos al con­trol científico.

Lo legítimo para los investigadores —esto es, sumergir sus investigaciones en un sistema y sólo uno (filosofía, teoría, método) porque la verdad científica esta sólo en un sistema tal —y lo que es necesidad imperiosa para el maestro- esto es la unilateralidad de sus deci­siones reales en un contexto dado y bajo la severa presión del tiempo —no está permitido para el docente de matemática en su función trasmisora. No debe reducir la complejidad siguiendo maneras usuales de investigación ni debe perderse en un pobre pragmatismo orien­tado sino que debe desarrollar su propio auto- concepto.

Pero la sobrestimación de la educación ma­temática tiene que evitarse. Los docentes de matemática y los maestros deben aprender:

* Cómo sobreponerse a una realidad muy compleja con una variedad de teorías explica­tivas que son potentes sólo en ciertos aspec­tos, pero que no son integrables y aun que son contradictorias.

* Cómo trabajar con una variedad de siste­mas descriptivos generales (ideologías o filoso­fías) que permiten una descripción óptima só­lo en ciertos aspectos en detrimento de su aspiración a la totalidad, pero que no funcio­nan en otros aspectos, y

* Cómo manejarse con una variedad de métodos para la investigación la enseñanza que- raramente concuerdan, pero que son tan viables para la historicidad, como por ejemplo, los sistemas descriptivos y las teorías explicativas.

paradeterminadas y las relaciones y significados

una visión a largo plazo. Seque generan en adquieren nuevas ideas para describir la "mate­ria enseñada" y la "materia aprendida". Lo mismo ocurre con los métodos de investiga­ción que no deberán restringirse a la réplica de rutinas disponibles. En este aspecto, podría ser importante investigar los modelos de enseñanza y reglas de interacción intuitivas y usualmente no reflejadas que emplean con éxito algunos

ense-

maestros.3.3. Dimensión teorética de /a investigación.La precariedad de la situación en las cien­

cias sociales impíricas parece estar cerca de una crisis y condujo a creer que en la termino­logía de Kuhn va a ocurrir un cambio de paradigma. Especialmente, esto en verdad la psicología. Los métodos de investigación que siguen esencialmente el ejemplo' de las ciencias naturales están en duda. Pero acaso la dificultad no resida en los métodos empleados sino en la determinación del área en que se los ha de aplicar. Los resultados de una investiga­ción están siempre determinados a priori por las teorías fundamentales sobre las cuales se

l

desarrollaron las hipótesis. Cuando menos sóli­das son las bases teóricas del trabajo empírico, son más severas las diferencias que encuentra y es más difícil que conduzcan a nuevas teo­rías. Si se está gestando un cambio de paradig­ma, entonces será un cambio fundamental pa­ra entender el objetivo y el propósito de la investigación; el paradigma conductista ha en­trado en serias dificultades debido a su defini­ción del hombre como impulsado por fuerzas desconocidas, reaccionando predominantemen­te a estímulos externos, y como objeto cuyo comportamiento puede determinarse contro­lando su meaio ambiente. Este punto de vista admite, por ejemplo, a la autorreflexión variable central interviniente. El punto de vista opuesto es el del hombre como sujeto reflexivo y usa sus teorías subjetivas para la explicación de su medio ambiente y deduciendo su activi­dad de estas teorías explicativas.

En contraste con los modelos conductistas, este modelo es aplicable a sí mismo: la rela­ción asimétrica entre subjeto y objeto se aban­dona en favor de una relación esencialmente simétrica entre ambos.

Las teorías subjetivas explicativas pueden ser criticadas en términos de racionalidad psi­cológica y viceversa. Aquí puede decirse cierta satisfacción

i

.

como XI. LA TECNOLOGIA EDUCATIVAR. HEIMER

(Estados Unidos)

Muchos educadores sienten que los desarro­llos tecnológicos recientes, particularmente los vinculados a las computadoras, pueden llegar a tener un impacto similar o incluso mayor que el del libro, que fue el mayor avance tecnoló­gico de hace 500 años, cuyo efecto sobre la educación del docente fue sin duda revolucio­nario. Las causas de este optimismo son, por supuesto, consecuencia directa de los atributos pedagógicos de las nuevas tecnologías, entre las que se destacan las siguientes:

La interpretación de tecnología educativa que se usará en este trabajo se referirá a "los instrumentos inacidos de laf revolución de las comunicaciones que se pueden usar junto al maestro, el libro y el pizarrón con propósitos educativos". La razón de este tratamiento resi­de en que los medios de interés, incluidos filmes, diapositivas, televisión y computadoras, penetraron independientemente en la educa­ción y operan más bien en forma aislada que en combinación.

conencon­ que esta simetría constituye

3130

I

'i ra en "cassettes". A pesar del continuo desarrollo habido en los filmes cinematográficos y a cua­dro fijo para uso matemático, existe una mar­cada tendencia a construir equipos didácticos que integren distintos medios de comunica­ción, y un pronóstico a largo tiempo parecería indicar que aumentarán tanto su desarrollo como su uso.

Básicamente, la televisión tiene las mismas características pedagógicas que los filmes cine­matográficos. Sin embargo, las condiciones y consideraciones pedagógicas que regulan el uso de la televisión en el aula difieren algo de las correspondientes a los filmes. "El filme es un medio usado por el maestro que está bajo su control. La televisión, a nivel nacional, es esencialmente un medio que usa el maestro. "Ocurre que el maestro, o la escuela, que deseen usar un programa televisivo, deben or­ganizar horarios adecuados a los de emisión y, en general, deben adaptar otros aspectos del programa educativo a las emisiones. Por tanto, la televisión impone una estructura más rígida en el aula y para el maestro. Una de las primeras consecuencias de este hecho es la necesidad de disponer de considerable canti­dad de material para suplementar a las emisio­nes televisivas.

La importancia de la dimensión visual del aprendizaje y empleo de matemática lleva a la suposición superficial de que la tecnología ra­dial tendría muy pequeña influencia en la edu­cación matemática, pero el concepto de radio­visión, esto es, radio acompañada por diaposi­tivas eléctricas, está surgiendo y promete ser un medio efectivo para llegar hasta alumnos de áreas fuera del alcance de otros medios básicos de comunicación. Actualmente están en marcha gran cantidad de programas de televi­sión y radiovisión en varias partes del mundo; hay buenas razones para creer que estos me­dios podrían tener importante papel en el me­joramiento de los sistemas educativos en las partes subdesarrolladas del globo en donde se busca un progreso rápido de la ciencia mate-

culadas con las computadoras son los filmes, diapositivas, cintas grabadas, grabaciones de te­levisión, televisión y radiodifusión.

Los atributos y posibilidades pedagógicos de medios de comunicación son algo diferen-

el manejo del aprendizaje en el aula, el regis­tro de las notas y el suministro de informa­ción están considerados típicamente dentro de su esfera de acción.

Claro es, pues, que el concepto de instruc­ción administrada por computadoras está aso­ciado con dos de las principales preocupa­ciones pedagógicas de la empresa educativa: la responsabilidad y la individualización de la en­señanza. Resulta así que mientras estas preo­cupaciones sigan a la vanguardia del pensa­miento educativo, sería de esperar que la tec­nología de la instrucción administrada por computadoras no sólo se torne cada vez más sofisticada sino que también se convierta en una fuerza cada vez más potente en la conduc­ción de la instrucción y el aprendizaje en el aula.

1. Estos métodos tecnológicos pueden ha­cer cosas —pueden crear situaciones de apren­dizaje— que no podrían cumplirse de otra for­ma (ejemplo: llevar al aula sucesos de la vida diaria). .

2. Pueden usarse para presentar informa­ción en diversas formas, satisfaciendo objetivos particulares de prendizaje.

3. Si se varía el medio de comunicación, la información puede presentarse a núcleos de tamaño muy diferente —desde individuos hasta audiencias nacionales— y en forma simultánea.

4. Cos instrumentos tecnológicos pueden hacer más efectivo el aprendizaje aumentando el realismo, la dinámica y el impacto de la información; pueden aumentar la motivación para aprender.

5. Algunos medios de comunicación, como la televisión, pueden poner los mejores maes­tros y las situaciones más favorables para el aprendizaje al alcance de mayor número de estudiantes.

6. Permiten superar limitaciones comunes en las situaciones de aprendizaje reforzando la experiencia y los antecedentes de maestros y alumnos. Además, pueden superar las limita­ciones impuestas por el edificio escolar y la situación geográfica.

7. Pueden permitir la individualización de los planes de estudio presentando la misma información o, con alguna variante, a estudian­tes distintos en momentos diferentes.

8. Los nuevos instrumentos tecnológicos pueden permitir a los estudiantes trabajar en muchas circunstancias sin la guía o supervisión del maestro, liberando a este último de la necesidad de atención individualizada.

9. Su uso permite alcanzar algunos de los objetivos educativos en forma más económica que los métodos tradicionales.

10. La educación puede volverse más efi­ciente usando instrumentos adecuados para di­rigir la información a ciertos grupos en perío­dos más cortos que los habituales.

11. Las demandas de nuestro sistema edu­cativo requiere la consideración de todos los métodos posibles para mejorar la educación. El uso de los nuevos medios tecnológicos fuer­za a los educadores a examinar de más cerca sus métodos y objetivos.

Cada medio individual (tecnología) tiene sus propias virtudes y limitaciones pedagógicas que el educador debe conocer para planificar su éxito de manera efectiva, sea en forma individual o conjunta.

Las tecnologías de interés especial no vin-

;

esostes. En el caso de los filmes cinematográficos, las principales ventajas residen en la posibili­dad'de una mayor motivación, de brindar a los estudiantes experiencias que no podrían lograrse de otra manera, incorporar la ilusión del movimiento, de hacer uso de la cámara lenta y la microcinematografía.

Pero en general los filmes cinematográficos no proporcionan medios de aprendizaje sensi­bles, vale decir, no están preparados para dia­logar con los estudiantes ni para adaptarse a sus reacciones. Por tanto, una adecuada incor­poración de filmes cinematográficos a la es­tructura del aula requiere del maestro mucha planificación y preparación. Esto también se aplica al montaje y manejo de los equipos habituales de proyección, todo lo cual frenó el uso de la cinematografía con propósitos edu­cativos. Afortunadamente, el desarrollo de los proyectores de 8 mm a cartucho ayudó a sim­plificar el problema en la década del 60.

iEl término instrucción auxiliada por com­

putadoras (C.A.I.) se usa para indicar el em­pleo de las computadoras como máquinas de enseñar, realizando las funciones de instructor, examinador y ejercitador. Por tanto, las carac­terísticas metodológicas de este método son en esencia las mismas que los futuristas de hace veinte años le atribuían a la instrucción pro­gramada. La instrucción auxiliada por compu­tadoras ofrece, sin duda.,al estudiante oportu­nidad para avanzar sobre una base individual, en lo que se refiere al contenido, velocidad y manera de aprender. Puede ofrecer la oportu­nidad para demoler las monolíticas unidades educativas tradicionales, que comienzan y aca­ban en momentos específicos y a las que to­dos deben adaptarse. Puede ser un medio alta-

interactivo (sensible) para el aprendi-

Los profesores de matemática parecen pre­ferir los filmes con cuadros fijo a los cinema­tográficos, lo que se puede explicar por ser más fáciles de guardar y más accesibles y sim­ples para usar. Otro motivo puede ser que muchos temas de matemática, por su misma naturaleza, deban desarrollarse de forma deter­minada. Al proyectar un filme de cuadros fi­jos, cada uno de ellos se puede ver y discutir todo el tiempo necesario, el maestro puede detener^’ la proyección y contestar preguntas en el momento en que se las formula y, si se desea, se puede volver atrás para reexaminar algunos cuadros anteriores. Estos filmes tienen la flexibilidad de poder usarse tanto clase completa como para un alumno. Algunos filmes de este tipo están coordinados con gra­badores de sonido, combinación que permite lograr un medio de aprendizaje mas rico. Los alumnos, en grupo o individualmente, pueden emplearlos casi del mismo modo que los fil­mes a cartucho.

Lo dicho para los filmes de cuadro fijo vale para las diapositivas de 35 mm. Aun cuando son algo más incómodas para guardarlas y manejar que los filmes a cuadro fijo, la tecno­logía de las diapositivas tiene la especial virtud de permitir cambios y agregados a las secuen­cias educativas con propósitos especiales. Las cintas grabadas de televisión

mentezaje, capaz de adaptarse a los resultados parti­culares obtenidos.

Tiene posibilidades de adquirir informes muy sofisticados sobre la actuación del estu­diante y de analizarlos, liberando así al profe­sor de gran parte de la rutinaria labor de registro que muchas veces le impide dedicarse a la real actividad de enseñar. Pero, tanto la instrucción administrada como la auxiliada por computadoras son ideas educativas que están aún en su infancia y, por tanto, los muchos análisis y pronósticos actuales sobre ellas y sus potencialidades para producir un impacto real en la educación deben ser atemperados por este hecho.

En conclusión se pueden individualizar va­rias tendencias acerca del desarrollo y uso de los medios tecnológicos:

1. Hubo un mejoramiento masivo y conti­nuo de los equipos asociado? a las diversas

para una

ria.Las tecnologías relacionadas con las compu­

tadoras que interesan son la instrucción admi­nistrada por computadoras y la auxiliada por las mismas.

La computación administrada por computa­doras (C.M.I.) es una de las formas en que las computadoras se usan cada vez más en educa­ción. Como el término lo sugiere, este tipo de ayuda usa a la computadora como un adminis­trador; el registro de los éxitos del estudiante.

se encuentran aho-3332

En algunas discusiones sobre matemática aplicada suelen aparecer muchas dificultades innecesarias debido a las discrepancias en la definición que no se hacen explícitas. Creemos que debe pensarse en cuatro diferentes defini­ciones.

1. Matemática aplicada significa matemática aplicada clásica, esto e$¿las ramas tradicionales del análisis, parte de las cuales se aplican a la física.

2. Matemática aplicada es toda matemática que tiene aplicaciones prácticas importantes. Esto incluye todo lo que universalmente se admite en las escuelas primarias y secundarias, en casi todo el nivel terciario y en mucha de la matemática superior. En este enfoque, a ojos de mucha gente, la probabilidad, la esta­dística, el álgebra lineal y las ciencias de la computación son tan importantes como el análisis clásico.

3. Matemática aplicada significa partir de una situación planteada en alguna > otra ciencia o en la vida real, hacer una interpreta­ción matemática o modelo, trabajar matemáti­camente en ese modelo y aplicar los resultados a la situación original.

4. Matemática aplicada significa lo que real­mente hacen las personas que aplican matemá­tica. Esto es lo mismo que (3) pero usualmen­te implica ir alrededor de la curva entre el resto del mundo y la matemática.

En este marco, la matemática aplicada clási­ca representa la definición 1; la matemática aplicada, la definición 2; una vuelta completa alrededor de la curva que conecta el resto del mundn con la matemática, es la definición 3, y muchas vueltas alrededor de dicha curva es la definición 4.

Es interesante considerar también nuestro diagrama de la forma siguiente. Las aplicacio­nes de la matemática pueden consistir en usos rutinarios de la matemática, construcción de pequeños modelos, matematización completa de situaciones reales, y una verdadera aplica­ción de la matemática en gran escala.

Nos proponemos examinar el diagrama muy detenidamente. El contenido de la matemática clásica aplicada (definición 1) incluye cálculo, varios tipos de ecuaciones diferenciales e integra­les además, tal vez, de los prerrequ¡sitos para el cálculo: álgebra, geometría y trigonometría en las escuelas. La matemática aplicable (defi­nición 2) es demasiado amplia para ser detalla­da aquí. Una de sus características importan­tes es que no sólo las técnicas sino también los conceptos y las estructuras matemáticas

y pueden manejarlos fácilmente estudiantes y maestros. Las computadoras son cada día más accesibles para el trabajo diario en el aula.

2. Las tendencias en la producción de ma­terial audiovisual son paralelas a la de los equipos. Filmes cinematográficos, filmes de

tienen aplicaciones. Hay un cambio constante entre la matemática y sus aplicaciones con un efecto dinámico para la misma matemática. Areas de la matemática que originalmente mu­chos consideran como puras —por ejemplo, las funciones enteras, resultaron tener importantes aplicaciones prácticas, y además se inventaron otras para ser aplicadas, por ejemplo, la teoríade la información, que resultaron tener impor­tante influencia en la matemática pura.

El resto del mundo para el cuál la matemá­tica es aplicada, está también en un proceso dinámico. Ninguna área del esfuerzo humano es inmune al razonamiento cualitativo o a los modelos matemáticos. Además de las ciencias físicas e ingeniería, las ciencias sociales, las biológicas, las humanas y la vida* diaria, todas están en interacción con la matemática. Esta diversidad de aplicaciones actuales de la mate­mática, puede compararse con el monolito his­tórico de las aplicaciones a la física. Las discu­siones entre los que subrayan la gran variedad de aplicaciones de años recientes, y los que sienten que su impacto actual no puede com­pararse con la acumulación de 200 años de éxitos fisicomatemáticos.

Cuando se aplica realmente la matemática a una situación en alguna otra área, se pueden distinguir en el proceso una serie de pasos típicos. El primero es reconocer que una situa­ción se debe comprender; el segundo, una ten­tativa de expresar la situación en términos matemáticos precisos, de realizar trabajo ma­temático en el modelo derivado, (frecuente­mente) trabajo numérico para lograr un discer­nimiento mayor en los resultados y una eva­luación de lo aprendido sobre la situación ex­terna original. Este proceso de construir mode­los tiene muchos atributos interesantes y tam- bién desventajas. Un buen modelo hasta cierto punto, tiene éxito para explicar o inclu­so predecir una realidad externa. Si falla en la explicación, a pesar de lo satisfactoria que pue­da ser la matemática empleada, el modelo no es buena matemática aplicada y debe cambiar­se. Algunas veces un modelo matemático pre­dice mucho en lugar de poco. Puede ocurrir que un fenómeno observado en otro campo sea realmente explicado en forma satisfactoria, pero que las implicaciones lógicas ulteriores no sean aceptables. Tal situación nos lleva de nue­vo a un trabajo muy difícil y a cambios de modelo. Los objetivos para los cuales se ha creado el modelo matemático son también muy variados, yendo desde la comprensión a la acción. La posición común de que el objetivo

tecnologías. Hace pocos años, los proyectores grabadores de televisión eran manejados por especialistas en métodos audiovisuales o por algunos profesores aventureros, nunca por los mismos alumnos. Gran parte de los equipos que se usan hoy tienen controles automáticos

Podemos visualizar a estas cuatro definicio­nes así:

'ffíaif&ffuuicaajJUoauLcLcSát^

T

'irtuimAoi ajdUccMty

cuadro fijo y diapositivas, por ejemplo, se pro­ducen actualmente en gran cantidad para satis­facer necesidades educativas específicas.

3. La aplicaciones de la televisión educativa continúan creciendo^ es hoy común en muchos países la trasmisión nacional de programas ins­tructivos. Es de esperar que los países en desa­rrollo adoptarán esa práctica.

4. Los métodos de instrucción están ten­diendo al aprendizaje individual lo que a su vez impone la necesidad de cierto grado de flexibilidad mucho mayor. Allí es donde la tecnología parece tener su mayor potencial.

En 1972, la Comisión Carnegie para la Edu­cación Superior publicó el informe "La cuarta revolución" en donde se examina el papel de la tecnología en educación. El título provino

de la observación de Eric Ashb y, de que en educación hubo cuatro grandes revoluciones. Según Ashby, la primera ocurrió cuando la tarea de educar a los jóvenes se transfirió en parte de los padres a los maestros y de la casa

la escuela; la segunda fue la adopción de la palabra escrita como herramienta para educar; la tercera fue la invención de la imprenta y la amplia disponibilidad de libros, la cuarta fue el desarrollo de la electrónica, especialmente la radio, la televisión^ las computadoras, aunque claramente, la computadora impera- en la cuarta revolución. Esta ¡dea es de máxima importancia para analizar la tecnología temporánea. La computadora es fundamental por su vasto potencial para producir impactos educativos generales.

a

con-

XII. LA MATEMATICA Y LAS OTRAS DISCIPLINASH. O. POLLAK

(Estados Unidos).

con las relaciones entre la matemática y las otras disciplinas. Usaremos luego la estructura sistemática que habremos desarrollado para examinar ampliamente las tendencias y resul­tados de la enseñanza de la matemática.

El objetivo de este informe es presentar una visión general de las consecuencias educa­tivas de las aplicaciones de la matemática. En primer término, eso significa que debemos comprender lo que realmente está ocurriendo

3534

estudios para colegios primarios y secundarios. Las metas tradicionales de preparar estudiantes

el comercio o el cálculo (asociado a la

está determinado esencialmente por el campo de aplicación, es muy simplista. Por ejem­plo, no es necesariamente verdadero que la aplicación en la ciencia física siempre lleva a la acción, y que los modelos en ciencias socia­les nunca lo hacen.

El cuadro general de las aplicaciones de la matemática no estaría completo sin una discu­sión de la verdadera actividad interdisciplina­ria. Muchos de los trabajos más interesantes que aparecen están, de hecho, en los límites entre diversos campos, uno de los cuales es la matemática.

Ahora ya hemos establecido la estructura para examinar los efectos de las aplicaciones de la matemática en educación. La mayor par­te de la matemática que se aplica en las escuelas, cualquiera sea la definición admitida, se en­cuentra dentro de las actividades llamadas "resolución de problemas". El significado de esta expresión debe ser examinado cuidadosa­mente. Aplicaciones genuinas de la matemática a la vida diaria y a otros campos, deberán estar idealmente en el carácter de las definiciones 3 y 4. Problemas en los que se emplean palabras de otras disciplinas, pero descuidan la influen­cia del resto del mundo en la matemática implicada por la definición 3, pueden no obs­tante ser una abstracción honesta del resto del mundo. Por otra parte, los hechos citados en las proposiciones del problema, son algunas veces muy poco realistas. Algunas veces, los problemas están cubiertos por un manto de vocabulario externo sólo por entretenimiento y la pretendida aplicación no es significativa como para ser considerada seriamente. Dire­mos que tales problemas son extravagantes. Problemas extravagantes e irreales no carecen necesariamente de valor pedagógico. Por ejem­plo, puede ser efectivo empezar con una so­bresignificación insatisfactoria de una situación y aproximarla a una aplicación legítima en el sentido de la definición 4 a través de una serie de problemas cada vez más realistas.

En muchos países, la creciente conciencia acerca de la importancia de enseñar la aplica- bilidad de la matemática llevó a un gran es­fuerzo para coleccionar problemas reales, a diferentes niveles y de diversas disciplinas, y hacerlos útiles para fines pedagógicos. Tendre­mos ocasión de referirnos a algunas de estas colecciones y de asociar nuestro esfuerzo para incorporarlos en el curriculum.

La diversidad de la matemática aplicada (definición 3) surgida en los años recientes, complicó mucho la tarea de diseñar planes de

de aplicaciones de la matemática, o de mate­riales realmente interdisciplinarios, están en marcha en diferentes países. Hasta ahora pare­cen predominar en los niveles primarios y ter­ciario que en el secundario.

Así como la enseñanza de la matemática cambia a la luz del crecimiento de su aplicabi- lidad, también debe modificarse la preparación de los profesores. Los profesores deben fami­liarizarse con las nuevas áreas de aplicación de la matemática, con los procesos de construc­ción de modelos y con los énfasis pedagógicos asociados a la comprensión y apertura de fi­nes. Una nueva idea, muy interesante es un "internado industrial" para actuales o futuros profesores de matemática. De esta manera, el profesor podrá aprender algo sobre cómo son realmente aplicables las ciencias matemáticas. Hay una serie notable de sarrollos en ese senti- do.por ejemplo en Gran Bretaña y en la Repú­blica Popular China.

Otro aspecto educativo de las explicaciones matemáticas es la educación vocacional. Así como la importancia de las ciencias matemáti­cas aumenta para muchas disciplinas, también aumenta la necesidad de que trabajadores y técnicos en estas disciplinas aprendan las técni­cas matemáticas más apropiadas. Notables ma­teriales vocacionales en una zona variada de áreas técnicas han sido desarrolladas en distin­tos países, Hungría, por ejemplo. Un desarro­llo diferente pero con el mismo espíritu, es la creciente popularidad de planes de estudios especiales para técnicos en ciencias de la com­putación y análisis de datos

necesario para organizarse en la escuela? Estos problemas todavía no fueron resueltos;'una res­puesta posible es la de un equipo de profeso­res. Es universal la orientación hacia una mate­mática más aplicada en los colegios. En algu­nos casos el punto de vista que se aplica deriva de reflexiones más hondas sobre la es­tructura social del país. En otros, es parte de la reacción contra la "nueva matemática", o un reconocimiento de la creciente matematiza- ción de dichos campos. Muchas son las fuerzas que apoyan la tendencia de hacer más aplica­ciones. Existe la creciente realidad de que las aplicaciones son parte integrante de la ense­ñanza de la matemática. Muchos países han concluido que motivar al estudiante es mucho más fácil si se emplean aplicaciones como una motivación posible. El reconocimiento de que las oportunidades de trabajo para estudiantes de matemática en todos los niveles aumentan cuando saben cómo aplicar la matemática, ha ayudado mucho, argumento que también se encuentran aplicaciones más interesantes, en parte debido a la extensión de la matemática a disciplinas más aplicadas.

También hay fuerzas que se oponen a las aplicaciones de la matemática en la ense­ñanza. Algunos matemáticos creen fundamen­talmente en la matemática pura y no desean, desde su punto de vista, corromper la belleza de la matemática con consideraciones extrañas a ella. Acaso algunos profesores de matemática ignoran otras disciplinas o acaso las teman. En el pasado, después de todo, enseñar matemáti­ca ha sido una posible manera de ganarse la vida teniendo relativamente poco contacto con el mundo real. Además, lo hemos visto, el tiempo para la matemática aplicada debe sa­carse del que se dedica a la matemática u otras materias, y siempre existirán los que se opongan a tales cambios. También hay dificul­tades provenientes de las materias en que se aplica la matemática. Muchos profesionales de esas disciplinas no usan mucha matemática y no conocen los recientes desarrollos analíticos en sus áreas. Todavía más: la manera de usar la matemática realmente puede diferir de la manera de enseñanzarla en la clase de matemá­tica. Tales diferencias, por ejemplo en nota­ción y técnicas específicas,'vuelven difícil la comunicación. Finalmente, en algunos países hubo marcada declinación del interés de los estudiantes por la ciencia. Tal eventualidad podría privar a la enseñanza de la matemática de algunas de las más importantes aplicaciones de la matemática.

paradefinición 1) dejaron de ser las únicas válidas cuando tantas otras áreas de la ciencia mate­mática son de indiscutida importancia para tanta gente en el mundo. Al aumentar el nú­mero de elecciones razonables, aumenta tam­bién el grado de dificultad para formular pla­nes de estudio En muchos países ya se haaclarado que se necesitará algo más que un conjunto de nuevos materiales. Más aun, los países necesitan examinar el orden parcial en­tre los temas matemáticos determinados por la observación de que en ese momento particu­lar, el tema A es socialmente más importante que el tema B. Es esencial observar que esta ordenación parcial importante diferirá en los •distintos países y quizás en diferentes regiones de un mismo país. Llevar un curriculum de un lugar a otro del mundo probablemente nunca fue bueno, pero hoy es más cuestionable toda-

!

vía.Una apreciación de las diferentes formas de

aplicar la matemática afectará no sólo al mate­rial de estudio de los colegios sino también a la pedagogía. Si sólo se examinan los usos relativamente simples de la matemática, se en­cuentra que es necesario entender cuándo, cómo y por qué trabaja la matemática para poder aplicarla correctamente. Así, el deseo natural de los profesores de matemática de subrayar la comprensión tanto como la técnica se ve reforzado, no contradicho, por las aplica­ciones. Más profundamente, el proceso de construcción de modelos (definiciones 3 y 4) requiere comprender la situación fuera de la matemática, y del proceso de matematización tanto como de la matemática en sí misma. La gran flaqueza de algunos cursos con títulos como "métodos de matemática aplicada" es que no se hace ninguna tentativa para dar oportunidad al estudiante de entender la situa­ción y el proceso de matematización. Algunas colecciones de problemas reales mencionadas anteriormente esperan superar esas dificulta­des.

:

Enseñar lo multidisciplinario es realmente más fácil en la escuela primaria donde,normal­mente, un solo docente es responsable de to­das o casi todas las materias. Tales actividades multidisciplinarias satisfacen a los alumnos y ayudan a eliminar cualquier sentimiento que pueda tener el alumno acerca de que el cole­gio no tiene nada que ver con la vida real. Por otra parte, el tiempo para tales actividades debe compartirse con los de las diversas disci­plinas comprendidas. También es muy útil pa­ra los profesores haber participado en activi­dades multidisciplinarias como parte de su for­mación. En el nivel secundario, las consecuen­cias sobre la estructura del sistema educativo son mucho más severas. Si una unidad com­prende matemática, ciencias sociales y literatu­ra, todas en forma significativa ¿quién enseña rá la materia? , ¿de dónde sacará el tiempo

La interacción entre matemática y otras disciplinas implicadas por la definición 4 es claramente abierta. Por tanto, es muy valioso para el alumno, tener experiencia modeladora abierta en el curso de pedagogía, ya que se ha reconocido hace mucho tiempo que enseñar dialogando es una componente pedagógica muy importante en matemática. Experiencias en la enseñanza de descubrimientos abiertos

3736

ALGORITMOS Y CALCULADORAS EN LA ENSEÑANZA sobre el uso de la computadora en el aula y especialmente en su propia materia. El incon­veniente es que la mayoría de los científicos- de la computación no están calificados satisfacer las necesidades de nuestros futuros maestros de matemática. Necesitamos textos de alta calidad en matemática orientada hacia la computación y que puedan usarse para sos. Un comité' integrado sólo por científicos de la computación no puede programar tal curso.2. Algoritmos en la escuela

Los algoritmos siempre desempeñaron un papel muy importante en la matemática esco­lar. Sin embargo, la falta de una herramienta eficiente para ejecutar los cálculos impide una actitud algorítmica concienzuda. Raramente se práctica el uso y análisis de los algoritmos. Por lo contrario, los niños fueron usados co­mo calculadores programables para trabajar con algunos algoritmos comunes que debían ser memorizados antes de que fueran realmen­te comprendidos.Por ello, cayeron en descrédi­to entre los docentes de matemática. Sin una actitud algorítmica, un profesor sólo puede hacer un uso superficial de la computadora. Por ello, la matemática escolar debería rees­tructurarse desde un punto de vista algorítmi-

como preparación para el álgebra? ¿Es la cal­culadora de bolsillo adecuada o perjudicial pa­ra aprender los elementos básicos de la aritmé­tica?

XIII J■

A. ENGEL (Alemania)

dad de las actividades Icompu tato rías es mu­cho más escasa. La mayoría de los profesores realizó su tarea computativa sólo con calcula­doras de escritorio. En EE.UU. sólo el 17 por ciento de los usuarios depende sólo de calcula­doras de escritorio. Pero esta modesta partici­pación aumenta a medida que se abaratan las computadoras y son más potentes,versátiles.

Tipo de computadora usadaExisten dos usos principales de la computa­

dora en educación, con filosofías opuestas: CAI y resolución de problemas. Los proponen­tes del CAI usan a la computadora como a un profesor, en tanto que los segundos lo usan como a un alumno. En CAI la computadora controla al estudiante en tanto que en el tipo de resolución de problemas el estudiante es un control de la computadora.

Entre 1960 y 1970 se hizo un gran esfuer­zos con el CAI con resultados decepcionantes. Pero ahora dos grandes proyectos, CAI-PLATO y TICCIT, dan alguna esperanza. Nosotros no tratamos el tipo CAI pues a é\ se referirá otro informe.

La filosofía del tipo resolución de proble­mas se puede caracterizar así: La mejor mane­ra de aprender algo es enseñándolo. La com­putadora desempeña el papel de “estudiante modelo". Este estudiante es muy exigente puesto que obliga a expresar en forma de algoritmo el tema a enseñarse. Se afirma que ésta es la mejor manera de aprender un tema.

Actualmente, la mayoría de los usos de la computadora son nuevamente superficiales. Sin embargo, existen centenares de escuela donde profesores y alumnos usan a la compu­tadora de modo muy creador. Han demostra­do que la computadora almacena un tremendo potencial para la educación. En diversos pro­gramas se están explorando sistemáticamente los posibles usos de la computadora. Por ejem­plo, el proyecto LOGO dirigido por S. Papert de ITM, el proyecto SOLO, dirigido por T. Dw/er de la Universidad de Pittsburgh, y el proyecto XEROX del centro de investigación de Palo Alto, California.

Los problemas más críticos que impiden la r ¡fusión del uso de la computadora son al dinero y la preparación de los maestros. Profe- j0rf" todos los niveles deben ser educados

para4. Los niños podrían operar con números

pequeños para comprender el sentido de la numeración posicional y hacer estimaciones aproximadas. Pero para ello necesitarían de más aproximaciones, notaciones científicas, ór­denes de magnitud, errores de contorno, figu­ras significativas, notaciones en punto fijo y en punto flotante, errores relativos y absolu­tos. Los números decimales se deben introdu­cir rápidamente.

5. El docente necesita ser ayudado median­te ideas y material escolar.

6. Las técnicas de computación antiguas con logaritmos y reglas de cálculo se deberían abandonar sin demora.

7. ¿Necesitamos tablas todavía? De ser así, ¿qué deberían contener? ¿Una colección de algoritmos básicos y algunos valores de alta precisión de funciones elementales para usarse como patrones de comparación?

8. Para la instrucción matemática provisio­nal, la calculadora de bolsillo es enteramente adecuada. Sus pequeñas desventajas con res­pecto a la computadora son equilibradas por ventajas tales como su ¡limitada accesibilidad. Ello nos fuerza también a usar algoritmos nu­méricos eficientes que, a la vez, son también más instructivos. La busca de algoritmos efi­cientes es un motivo muy fuerte para profun­dizar el estudio de las propiedades de las fun­ciones elementales.

9. En la escuela elemental, es adecuada la calculadora de cuatro funciones con una memo­ria por lo menos. Esta podría ser probable­mente una máquina algebraica. En los comien­zos de la escuela secundaria necesitamos una calculadora de por lo menos siete funciones:

,X,-K x2.Vx, 1/x. Más adelante necesita­remos además: exp., sen, eos, tg y sus funcio­nes inversas.

!i

1. Uso de la computadora en la escuela secun­daria. cur-Disponemos de datos de los EE.UU sobre el uso de computadoras en las escuelas secun­darias públicas. Veamos algunos dalos de 1975.

:El problema del lenguaje. BASIC se ha con­vertido en el lenguaje predominante en las computadoras. En verdad, BASIC es inadecua­do para la ciencia de la computación, pero para la matemática es un lenguaje satisfacto­rio. Nuevas versiones del lenguaje las tienen las estructuras de control (¡f-then-else-, do while, do unti’l) que son esenciales para la programa­ción estructurada. Para nosotros, la programa­ción estructurada no es crucial pues, en la mayoría de los casos, los programas son cortos y profundos en matemática. En Europa se desarrollaron varios lenguajes especiales para uso escolar. Nosotros no los necesitamos.

i

Extensión del uso de la computadoraEn 1975, el 58 por ciento de las escuelas

secundarias usaban la computadora en la admi­nistración y 10 en la instrucción. No obstante, el 54 por ciento de esas instituciones usaban la computadora sólo con propósitos adminis­trativos. Unicamente el 27 por ciento de las escuelas hicieron algún uso educativo. El 43 por ciento de los cursos que lo usaron fueron de matemática. En general, las escuelas que usaron computadoras son más grandes que las que no lo hicieron. De manera que las escuelas que usan computadoras con fines educativos podrían representar más que una tercera parte de la población total estudiantil.

Existe marcada deficiencia en las termina­les. El número medio de terminales usadas por escuela es de 5, pero su distribución es muy desproporcionada. La moda, es decir el núme­ro más frecuente de terminales.es 1. Usual­mente intervienen uno o dos profesores por escuela. De esta manera, el número real de estudiantes que usan la computadora tiende ser muy modesto y la profundidad de es meramente superficial. En resumen, existe escasez de dinero, de profesores competentes, de buenos textos y de intercambio de infor­mación. La mayoría de los profesores parten casi de la nada.

En Europa Occidental y Japón, la intensi-

co.La calculadora de bolsillo basta para iniciar

una reorientación eficiente. Como los algorit­mos son más importantes que la computadora, la parte principal de nuestro informe se refiere a algortimos, no a computadoras:3. La calculadora de bolsillo

Las calculadoras de bolsillo son tan nuevas que sólo podemos hacer algunas preguntas y conjeturas. No se dispone -aún de datos empí­ricos.

I

r,

1. En un futuro cercano, la influencia de la calculadora de bolsillo será mayor que la de la propia computadora.

2 Por el precio de un libro (10 dólares) y algunas instrucciones, el niño adquiere una des­treza computatoria mayor que la que le brin­darían muchos años de destreza y práctica con lápiz y papel. Podemos ahorrar cientos de horas de manipuleos aritméticos y usar creati­vamente ese tiempo prestando atención a las ideas básicas y a los algoritmos.

3. Los niños necesitan aprender todavía el manipuleo aritmético básico. ¿Pero cuál debe ser? .¿Podemos posponer los algoritmos de la división y de la multiplicación como así tam­bién las operaciones con fracciones comunes para las clases de álgebra? ¿O las necesitamos

.

4. Matemática escolar desde un punto de vista algorítmico

Proponemos lincamientos generales para la enseñanza de la matemática. Son aplicables universalmente e independientes del estado en que se halla la tecnología de la computadora.

Podrán ser aplicados si en el aula existen algunas calculadoras de bolsillo y, de ser así, modificarán algo el contenido y fundamental­mente el punto de vista. Estos lineamientos pueden condensarse en una sola frase:

¡.asu uso

:

'3938

I

cías, factoriales, cuadrados números triangula­rás, procedimiento mód (n), serie de Fibonac- ci, relación de oro, secuencia de Fibonacci mod (x). Algoritmos en el lenguaje natural: máx, mín, abs., ¡nt., la multiplicación del anti­guo Egipto. Procedimientos de potencias y de­crecimientos rápidos. Raíces: algoritmo de la raíz cuadrada. Velocidad de convergencia.

Logaritmos, potencias y dígitos aleatorios, logaritmos y dígitos al azar cuadrando y po- tencializando rápidamente. Potencias por ex­tracción de raíces cuadradas reiteradas. Con­gruencias lineales para generar números aleato­rios.

ORIENTACIONEnseñe matemática desde un punto de vista algorítmico.

En 1906, Félix Klun inició una reforma de la enseñanza de la matemática. El movimiento adoptó el lema: "Pensando funcionalmente .

Los reformistas sostenían que el pensamien­to funcional debía penetrar en toda el área de la matemática. Lo que el estudiante aprende­ría en matemática lo lograría pensando en términos de funciones. Esta reforma cambió profundamente la enseñanza de la matemática y hoy los profesores aceptan que la matemáti­ca es un estudio de funciones.

El momento ha llegado para una nueva reforma con el lema: "Pensando algorítmica­mentePensar algorítmicamente debería pe­netrar en toda la matemática. Los profesores deberían tomar conciencia de que la principal actividad en el aula debería ser el análisis de algoritmos. El enfoque algorítmico engloba al funcional puesto que las funciones son algorit­mos.

OLIMPIADA BELGA

DE MATEMATICA1”

I

!

i (Prueba eliminatoria: 27/3/1976)

c) Si 4 y 6 son divisores de n, entonces 24 es divisor de n;

d) Si 12 es divisor de n, entonces 3 y 6 son divisores de n.

6. En un cajón colocado en una pieza oscu­ra se sabe que una gaveta contiene 12 calceti­nes negros, 2 marrones, 6 verdes y 6 azules. ¿Cuántos calcetines deberéis tomar para estar seguro de tener por lo menos dos de un mis­mo color?

a) 13 ; 6/ 2; c/ 5 \d)l.

7. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es la negación de: "Todas las ventanas están abiertas todos los días?*

a) Hay un día en que todas las ventanas están cerradas;

b) Hay por lo menos una ventana que está cerrada por lo menos un día;

c) Todas las ventanas están cerradas todos los d ías;

d) Cada ventana está cerrada por lo menos un día.

Estas cuestiones fueron propuestas por la Sociedad Belga de Profesores de Matemática. En cada una de ellas se proponen cuatro res­puestas. De ellas, una y sólo una es buena. ¿Cuál?

Procedimientos de la teoría general de nú­meros

Conversiones de base a a base b, algoritmo de Euclides y ternas pitagóricas, algoritmo de Euclides extendido, fracciones continuas, lon­gitudes de período 1/n, tablas de números primos por división y por cribas, procedimien­to de los primos gemelos. La circunferencia y la hipérbola: mediante la circunferencia x2 + y2 = 1 y la hipérbola x y = 1 damos de­finiciones geométricas constructivas de todas las funciones trascendentes elementales. Por ejemplo, el procedimiento de la figura 1 com­puta las funciones: in, are sen, are eos, are tan, are cot, are senh are cosh, are tank. Un proceso semejante también se da para las res­pectivas funciones inversas.

(Duración: 4 horas)1. Dado el conjunto E= 1,2,11,2} , ¿cuál

de las siguientes afirmaciones es falsa?a) {l,2ftCE; b) ¡¡,2 feE; c) * C E;

d! |1 fe Ee2. Si A y B son conjuntos, f es una aplica­

ción de A en B, y g es una aplicación de B en A, entonces la compuesta g o f de f y de g es:

a) necesariamente una biyección;b) una aplicación de A en A;c) igual a su recíproca;d) siempre la identidad sobre A.

I

Los algoritmos son mecanismos no triviales que simulan algún proceso. Los estudiantes deben aprender a diseñar mecanismos y a ana­lizar los ideados por los demás.

5. Plan de estudios de matemática desde punto de vista algorítmico.

Esbozo de temas: En esta sección final sideramos los algoritmos básicos usados en la matemática de las escuelas medias, del quinto al duodécimo grado. Se dan más de 60 progra-

completos. Muchos de los procedimientos se pueden ejecutar mediante calculadoras de bolsillo. Este esbozo es el meollo del informe. Se muestra con ejemplos que el' "punto de vista algorítmico" beneficia a toda la enseñan­za de la matemática escolar. Sólo la geometría está ausente. No parece ser una disciplina algo­rítmica. Todos los algoritmos presentados en el esbozo con contenido geométrico pertene­cen, en realidad, al cálculo. Tomemos como ejemplo una sección con el título "La circun­ferencia y la hipérbola". Contiene derivaciones geométricas de algoritmos eficientes

un

con-

;

inp s, cmas3.V(1 + c) 12c «-

s s/c1¡f c

1 8. Si A, B y C son conjuntos , la igualdad (AUB)nC = AU(BnC)

a) es siempre verdadera;b) no es nunca verdadera;c) es verdadera siempre que A C C;d) es verdadera siempre que A \B = 0

prt s 3 -end 13 - 1 *3-3fig. 1

•21 . , 3 . ,_8

' b) 7'° 3a)Ts' 8fía ices de ecuaciones.Método de la bisección, regula falsa: méto­

do de la4. 0,33333. . . es igual a

;b)~ ; c) 0,34 ; d) 0,4

5. ¿Cuál de las siguientes cuestiones es ver­dadera para todo número natural n?

a) Si 5 es un divisor de n, entonces 15 es divisor de n;

b) Si n es un divisor de 12, entonces 12 no es un divisor de n;

y elegan­tes para 18 funciones: las funciones trigonomé­tricas e hiperbólicas y sus inversas y también para I n y exp = I n'1..

Sumario de los procedimientos

9. Con ayuda de los cuatro vértices de un paralelogramo se pueden construir 16 pares de

secante, método de iteración de New- 1ton, etc. a)3OptimizaciónMáximos y mínimos de ordenamientos, má­

ximos (mínimos) de Por trisección, bisección, investigación en el Plano; investigación aleatoria, método decre­ciente de Gauss-Seidel

1 Luego de la difusión de los cuestionarios se ha com­probado, se ha verificado que alguna de las respues­tas propuestas a la cuestión 19 no era buena, y que en la cuestión 54, había dos en lugar de una. En consecuencia, esas dos cuestiones fueron anuladas en el momento de la corrección. Se las reproduce, no obstante a manera de inventario.

en el esbo-

programas para los procedimiento SWAP

(x, y) y sus aplicaciones, clasificando de 2 3 4 elementos. Procedimientos para generarV cuencias simples: Switches, osciladores

función unimodalzo. unaLectura y diseño de

niveles elementales: eletc.

Integración numérica (no es necesario el calculo integral): la regla del punto medio y trapezoidal de los procesos de Rombery Y

(Sigue en pág. 45)

poten-41

40

i

puntos. Cada uno de esos pares determina una traslación del plano. ¿Cuántas traslaciones dis­tintas quedan así determinadas?

a)7;b) 8;c) 9;dJ 16

10. Una pequeña bola de acero tiene la pro­piedad de rebotar hasta los 9/10 de su altura de caída. Si cae desde 1 m. de altura, ¿qué altura alcanzara en su tercer rebote?

a) 97 cm; b) 70 cm; c) 72,9 cm; d) 90 cm.

es siempre igual a 1. Un subconjunto de 4 puntos de E se dice cuadrado si está constitui­do por los vértices de un cuadrado del pla­no n. ¿Cuántos subconjuntos cuadrados posee el conjunto E?

a) 12; b) 20; c) 30; d) 60

común, ¿cuántos puntos del plano n equidis­tan de las tres rectas?

a) 0:b) 1; c) 2; d) 4.26. Tres personas entran un bar. La primera adquiere 4 emparedados, 1 café y 10 fichas de teléfono; la cajera le cobra 169 francos. La segunda persona, que ha adquirido 3 empare­dados, 1 café y 7 fichas, debe pagar 126 francos. ¿Cuánto deberá abonar la tercera per­sona si adquiere 1 emparedado, 1 café y 1 ficha de teléfono?. a) 40 francos; b) 43 francos; c) 45 fran­cos; d) diversas soluciones son posibles.27. Dados en un plano:

— una circunferencia de centro o y 6 m de radio;

— un punto p situado a 10 cm del punto o;— las dos tangentes a la circunferencia traza­

das por p;— los puntos de contacto a y b, de esas

tangentes,¿cuál es la longitud del segmento [ ab j? a) 6 \f2 m; b) 4,8 m; c) VÍO m; d) 9,6

:!

1. .

21. ¿Cuál es el <V~2 + n/~3)‘1 ?

a) 96; b) 97; c) 98; d) 99

menor entero mayor que;

ÉIWa

7 7. Si es verdad que: "Ciertas x no son y" y que: "Todas las z son y" se puede deducir

22. En un triángulo de vértices a, b, c, se con­sideran dos puntos b'G[ac] c'<E [acj. Si las longi­tudes de los segmentos [bb'J [ c^c'] y [ac] son respectivamente iguales a 12-m, 16 m y si la recta b'c' es paralela a la recta be, ¿cuál es la longitud del segmento [ab ]?

a) 32 m; b) 27 m; c) 30 m; 6)24 m.

!'a) el cuadrado D sobre el cuadrado A;

b) el cuadrado D sobre el cuadrado B;c) el cuadrado A sobre el cuadrado D;d) el cuadrado E sobre el cuadrado A.

77. Se define una operación (*) sobre el con­junto de los números reales positivos poniendo

:que: ta) ciertas x no son z;b) ciertas x son z;c) ciertas z no son x;d) ninguna z es x.

!12. 23. He aquí dos figuras A y B de un plano:i«ss- & t a + bma

3,4-1,2¿Qué vale 4 * (4 * 4)?

m.La abscisa del punto medio m del segmen­

to [a b] es a) 1,1; b) 2,2; c) 2,3; d) 2,6a) 3 ; b) 4 ; c) 1; d) 2 28. Si A y B son dos rectas disjuntas de un

plano 7r, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

a) Los desplazamientos 5 que conservan A y B, es decir, tales que 5 (A) = A y 5 (B) = B forman grupo para la ley de composición;

b) Existe una homotecia que aplica A sobre B y B sobre A;

c) Existen infinitos desplazamientos que aplican A sobre B;

d) Los desplazamientos que aplican A sobre B forman grupo para la ley de composición.29. En numeración binaria, 2/7 se escribe

a) 0,101010...; b) 0,011011011...; c) 0,01001001. ..; d) 0,001001001...

30. ¿Cuál es la última cifra (en base 10) de 34 5 8 ?

a) 1; b) 9; c) 7; d) 331. En un plano, ¿cuántas rotaciones hay de centro dado cuyo ángulo es un múltiplo ente­ro de 48°?

a) 12; b) 15; c) 24; d) 30

32. Si se duplica la longitud del diámetro de un círculo, el área de ese círculo queda multi­plicada por:

a) 2; b) 4; c) 7T d) 2 7r33. Siendo x e y números reales, la desigual-

4 3

13. Si a) es un número real no nulo18. Dadas las funciones de Ren R:

f: x -+ 1 + x2 , g: x x + 2 x3

a) f o g: x -> 1 + x + x2 +2 x3b) f o g: x-> 3 + 7x2 + 6x4 + 2x6c) f o g: x -> x + 3x3 + 2x6d) f o g: x-> 1 + x2 + 4x4 + 4x6

(ríT-¡

a) a2 , ^4 a2 b>4-' + Ar4 a2

d) a2 - 8 | 4

í

La isometría que aplica A sobre B es: a) una rotación cuyo centro no es el punto

c) a2 - 4 c;19. \■—i b) una simetría ortogonal;

c) una rotación de centro c;d) una simetría deslizante, es decir, una

traslación compuesta con una simetría ortogo-

a22 a 4 x a

¿Cuál es el conjunto de las imágenes de x para todas las homotecias que aplican a sobre b?

a) la recta a b;b) el conjunto unitario | x - ;c) el segmento [ a b}* ¿d) la semirrecta [x a

14. Entre las siguientes figuras, ¿cuál simétrica con respecto a un punto?

a) una circunferencia;b) un triángulo equilátero;c) un cuadrado;d) un rectángulo.

no es nal.

24. Se define una operación* sobre el con­junto de los números reales positivos colocan­do a * b = 2ab. ¿Cuál de las siguientes afirma­ciones es falsa?

a) * es conmutativa;b) * es asociativa;c) Vi es elemento neutro para *;d) Vi a es un inverso de a para *.

20.15. En un viaje, se recorrió la mitad de la distancia a la velocidad' media de 80 km/h, y la otra mitad a 120 km/h de velocidad media. ¿Cuál es la velocidad media del viaje?

a) 90 km/h; b) 100 km/h; c) 96 km/h; d) 105 km/h. 25. En un planos se consideran tres rectas

Di, D2, D3, distintas dos a dos. Si Di es paralela a D2 y si Di y D3 tienen un punto

He aquí un conjunto E de 20 puntos del nrvT° T* 8 ^Stancia de dos puntos de E veci-

a ° argo de una horizontal y una vertical

dadVxy < 'A (x + y)16. La homotecia de centro o y razón aplica

42 43

a) (2, 3, 2,); b) (2. 1, 2,); c) (1, O, 3/2); d) (-2, 4, 3)

lado de otra y los 5 niños estar de pie detrás de ellas?

a) 12L ; b) 2.5! ; c) (5! )2 ; d) (5! )s 2

.53. En el plano n0 provisto de una base orto- normada (af b), la matriz de la simetría orto­gonal de eje o a es igual a

11 46. ¿Para cuáles números reales x se tiene:a) ¿Es -verdadera cualesquiera sean x e y?b) ¿Es verdadera si y sólo si x ^ 0 e y ^ 0?c) ¿Es verdadera si y sólo si x^1 ey^1?d) nunca es verdadera.

34. ¿Qué se puede decir de un número real x si = -x?

a) No existe ninguna x que verifique esta igualdad;

b) Toda x verifica esa igualdad;c) Se tiene necesariamente x = 0;d) Se tiene necesariamente x<0.

a) 0 < x < t>)

x2 < | 2x-8 |?a) -2 < x < 4; b) 0 < x <x <2; c) -4 < x

< 2; d) esta inecuación no tiene ninguna solu­ción real.

c) _L< x < 2 ; d) 0 < x < 23

39. El resto de la división del po.inomio5x19-3x13 + 3x2—2 por el polinomio x + 1vale

a) 0;' b) 1; c¡-1; d) 3

40. ¿Con cuál de los vectores indicados más abajo se puede completar la familia de vecto-

(i.?H47. La unión de todos los intervalos de R de la forma: 54. En un triángulo cuyos lados tienen las

longitudes a, b, c y cuyos ángulos tienen por medida a, 0, 5, si

a = 12m, b = 12 \/3m

entonces c=a) 24 m; b) 16\/3m; c) 12m, d) 8 \/3m

55. Si (e,, e2, é3) es una base ortonormada de un espacio vectorial

v = ej — e2 + e3 y w = 2et + 3e2 — e3

a) 5l + Í3~ + 0®3;

b) ~ +^7Rí

C,Á~

en donde n E Nol es igual a: a) W¿ + 1.V17-1 ]; b) [VT,VÍ7] c) [V17, V2] ; d) [n/2- + 1,\Zl7 - 1 ]

48. El sistema de ecuaciones lineales ax + by = cbx + cy = a donde a, b,cER ex + ay = b

posee una solución si y sólo si a) a = b = c ; b) a-b = b-c = c-a

i a bc) ~r=-----b c

49. Un valor aproximado de V 0,0032 con una aproximación menor que 0,001 es:

a) 0,002; b) 0,317; c) 0,2; d) 0,032

50. El subespacio vectorial de R,tt0+/engen­drado por un segmento [ ab ] al que o no pertenezca a la recta ab, es:

a) la recta ab;b) todo el plano tt0 +,c) la unión de dos sectores angulares opues­

tos por el vértice;d) un conjunto de rectas paralelas equidis -

tantes.

, a =¿L- radian b35. La suma de las cifras (en base 10) del

número res(¡2,3,-1), (-5,2,4))

¿para obtener una base de R3?

a) (-3,5,3) ; b) (-1,8,4)

O (-4.-J

no4"2 +8 + D2siendo n entero positivo, es igual a: a) 4; b) 4n; c) 4n2; d) 4n2 + 8

3b.■■i): d) (-4,13,5)

1 + x3_________=1 + 2 x + 2 x2 + x3 41. La región del plano R2 determinado por

la inecuación (x—y)< 1 es:a) un sem¡plano; b) un cuadrado; c) un

círculo; d) una banda.

42. En el espacio R3, la homotecia de razón 3 que aplica al punto (1, 2, 3,) sobre el punto (1, 4,-2) tiene por centro al punto.

e3 i

— ; d) a3 + b3 +c3 = a1 3 abe 3a) e’‘ +V3T§2 ~

ji « -» 4 •* , 2d)v?r e> - w62 vrr56. La ecuación x6 — 3xs — 6x3 — x + 8 = 0

a) no tiene raíz real;b) tiene por lo menos dos raíces reales

distintas negativas;c) tiene una sola raíz negativa;d) no tiene raíz real negativa, pero tiene al

menos una positiva.

57. Si 1, z y z' son las tres raíces cúbicas complejas de la unidad, entonces:

e3 ; -2 x ( 1 + x)

11 + X + x2m *3 ;

b)1 - x + x2 w (..4-, - 4)*' (’• t •2

1 - X + X2c)1 + X + X2- (1.1,c) d)

dj_ 1 + x1 + X + x 2

43. Si los tres primeros términos de gresión geométrica son:

una pro-37. Se proyecta ortogonalmente un sector an­gular recto S sobre un plano 7r. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) La imagen de S es un sector ángular rec­to si y sólo si los dos lados de S son paralelos al plano 7r .

b) La imagen deS es un sector angular;c) Si uno de los lados de S es paralelo

a 7r, y el otro no es perpendicular a 7r, enton­ces la imagen de S es un sector anguiar recto;

d) Si uno de los lados deS no es paralelo al plano 7T, entonces la imagen de S no es un sector angular recto.

38. ¿Para cuáles números reales x se tiene la vez:

n/2; \/2; \¡2(Viene de pág. 40)Simpson pueden ser descubiertos por experi­mentación numérica.

Simulación de procesos deterhninísticos Problemas de búsqueda, movimiento plane­tario, dispersión de rumores y de epidemias, problemas de cacería.

Combinatoria: tres procedimientos para el triángulo de Pascal, cálculo de frecuencia (por ejemplo, problemas de intercambio de moneda), problemas de permutación (por ejemplo, generación de permutaciones aleato­rias, sus descomposiciones-en-ciclos; problema de Josephus).

Probabilidad

el cuarto término es igual a: a) 1; b) V?; c) V*2; d) VF binomial, fórmulas asintóticas por experimen­

tación numérica.ClasificaciónSelección, intercambio, selección por canti­

dades de frecuencia, amalgamientoSimulación de procesos aleatorios.Simulación de números aleatorios con el

generador: gráfico de muestras aleatorias. Si­mulación del juego "Crap". Estudio sobre dígitos aleatorios binarios, frecuencia relativa y probabilidad. Caminos aleatorios?

Ley del movimiento browniano y difusión. Análisis de datos. Simulación de la decadencia ladiactiva. Simulación de cadenas de Markov, sin números aleatorios, operando el sistema lineal correspondiente.

44.

i1 1+ =1 + 1 - sen xsen x

2 1a) 1; b) 1eos2 x ;

un espacio vectorial R. V + se efec-Si i ;rmb|i0 de base (3' 6'

0-*‘ ua*es son las componentes del vec­tor 2a - b + 3 ¿en la nueva base?

; d) eos2 x2 'a

45. Ena) 1x2 — 4 < 0 y ----- > 3

xProblemas de los cumpleaños, probabilidad

4544

BIBLIOGRAFIAchas veces, posibilidades de asistir a cursos sobre esta importante rama de la matemática.

J.B.F.

BUCHHOLZ, John;WOLF, Oswald;SPIECH, John; SHLEUDER, Henry; Federal Electric Corporation: Algebra Booleana, Ins­trucción Programada, 247 págs. Editorial MA- RYMAR, Buenos Aires. BUNT, Lucas N. H.; JONES, Phillip S.; BE-

DI ENT, Jack D.: The histórica! roots of ele- mentary mathematics, 300 páginas, PREN- TICE HALL, N. Jersey, EE.UU.

Los autores, de notorio prestigio en el cam­po educativo norteamericano y de nombradla mundial el primero de ellos desarrollan en esta obra una historia de la aritmética, el álgebra, la geometría y los sistemas numéricos a partir de sus fuentes en las civilizaciones egipcias, babilonias y griegas de manera que los lectores puedan tener un enfoque de las más importan­tes realizaciones de los primeros sistemas ma­temáticos y comprendan los mismos proble­mas y situaciones que debieron enfrentar esos antiguos pioneros del mundo de la matemá­tica; proponen ejercicios de manera que el lector pueda realizar las operaciones matemá­ticas tal cual las realizaron en esa época. Por supuesto, el estilo de presentación es lo sufi­cientemente simple como para que pueda ser entendido por cualquiera que haya realizado normalmente los estudios secundarios.

Los distintos capítulos del libro son los siguientes: 1) Matemática egipcia; 2) Matemá­tica babilónica; 3) Los comienzos de la mate­mática griega; 5) Predecesores filosóficos de Euclides; 6) Euclides; 7) La matemática griega después de Euclides. Métodos euclidianos y métodos modernos; 8) Numeración y aritmé­tica después de los griegos.

Corresponde agregar que estos temas fueron elaborados por los autores siguiendo una obra holandesa Van Ahmes tot Euclides escrita por el doctor Lucas N. H. Bunt, entonces en la universidad holandesa de Utrecht’, de colaboradores de esa universidad.

Puesto

La instrucción programada es uno de los recursos que se emplean modernamente para ia enseñanza de una disciplina cuando se pre­sentan casos especiales, por ejemplo, cuando se desea recuperar a determinados alumnos que quedan rezagados con respecto al conjun­to de sus compañeros o también, y éste es el caso, cuando una empresa necesita adiestrar a miembros de su personal diseminados en áreas muy separadas y a los cuaies les resulta incó­modo, sino imposible, hacerlos concurrir a es­tablecimientos en donde la enseñanza se reali­zaría de acuerdo con los cánones normales. Por tanto, como se sabe, los conocimientos han de impartirse por dosis mínimas que el estudiante habrá de captar antes de proseguir con el estudio de otras cuestiones y para ello se vale de su propio autocontrol que realiza con ayuda del texto. Se podrá dudar, por supues­to, del valor de la enseñanza así impartida, pero lo cierto es que el auge del procedimien­to no ha disminuido lo cual, en cierto modo, ameba su eficiencia.

Este libro trata de desarrollar en esa forma los principios del álgebra boolena y lo hace en los siguientes cappítulos: 1) Sistemas de nume­ración; 2) Principios básicos del álgebra de Boole; 3) Negación; 4) Operación "y"; 5) Operación "o"; 6) Operación "o exclusiva";7) Teoremas básicos y tablas de verdad;8) Teoremas avanzados; Teoremas de negación y de De Morgan; 10) Técnicas de minimiza- ción (Diagramas de Veitch); Examen final.

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A[ final de cada capítulo se ubican proble­mas de autocontrol con sus correspondientes soluciones para que el estudiante evalúe progresos.

Este libro ha sido escrito por especialistas que pertenecen a la vez a diversas universida­des norteamericanas y a la institución que ha posibilitado su publicación. Nuestros lectores lo reciben en una cuidada edición en castella­no que, entendemos, puede resultar muy útil no solo a los estudiantes técnicos, a los cuales va dirigido, sino también a muchos docentes que por vivir en localidades alejadas de los grandes centros de información no tienen, mu-

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que esta obra discute muchos tópi­cos incluidos en los planes escolares de mate­mática de la enseñanza secundaria, entende­mos que ha de ser muy útil para el docente de matemática que desea mejorar su información y como ha sido escrito en un lenguaje llano orno para que pueda ser empleado con prove-

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