Beccheggio aereo

Università degli Studi della Calabria

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Corso di Controllo Digitale a.a. 2002/2003

Progetto di un regolatore

per il controllo del beccheggio di un boeing

Studenti: Russo Ivan matricola: 69122 Ciambrone Francesco matricola: 70692

Docente prof. Alessandro Casavola

1

INDICE pag. Parte 1: analisi dell’impianto Modellazione 2

Funzione di Trasferimento TC 4

Specifiche di progetto 5

Risposta alla variazione dell’angolo di beccheggio a loop aperto TC 6

Scelta del periodo di campionamento, f.d.t. TD, BIBO stabilità 8

Analisi del sistema e della risposta al gradino ad anello chiuso TD 13

Parte 2: sintesi dei controllori

Sintesi del controllore per discretizzazione 13

Sintesi diretta del controllore mediante il luogo delle radici 22

Scelta del regolatore standard digitale 26

Conclusioni e confronti tra i controllori progettati 36

2

Modellazione Il problema del controllo del beccheggio di un boeing è essenzialmente unidirezionale, per precisione un problema longitudinale. Andiamo ora a ricavare il modello su cui ci baseremo, fondato essenzialmente su un sistema di 6 equazioni differenziali non lineari accoppiate. In ogni caso è possibile separare e linearizzare le equazioni del precedente sistema. Così facendo si otterranno delle equazioni “laterali” e “longitudinali”. Lo studio del sistema e la sintesi del controllore sono fondati sulle equazioni longitudinali ottenute. L’obiettivo che ci prefiggiamo è quello di controllare le oscillazioni longitudinali dell’aeroplano, agendo sull’angolo formato dal velivolo con la direzione di volo, in relazione a una serie di parametri e di disturbi agenti sull’apparecchio. Nella seguente figura si rappresentano le coordinate e le forze agenti sul velivolo:

Definiamo meglio i parametri in figura ed altri importanti parametri:

- α → angolo di attacco;

- θ → angolo di beccheggio; - δe → angolo di deflessione dell’elevatore; - q → velocità di beccheggio;

- ρe → densità dell’aria circostante;

- S → superficie dell’ala del velivolo;

- č → lunghezza media della corda;

- m → massa del boeing;

Forza ascensionale

z’, peso

δe

θ

γe

α

z

x’

x

Resistenza aerodinamicav

3

- U → velocità di volo d’equilibrio;

- Ct → coefficiente di spinta;

- Cd → coefficiente di resistenza aerodinamica;

- Cl → coefficiente di innalzamento;

- Cw → coefficiente di peso;

- CM → coefficiente del momento di beccheggio;

- γe → angolo di traiettoria di volo; - Ω=2U/(č);

- µ= (ρe S č)/(4m); - σ=1/(1+ µ Cl); - in → momento di inerzia normalizzato; - η= µ σ Cl;

Effettuare alcune ipotesi esemplificative permetterà di ricavare il modello esemplificato. Innanzitutto ipotizziamo che l’aereo si trovi ad un’altitudine costante e si muova a velocità costante: in questo modo si bilanciano spinta e resistenza aerodinamica e poi forza ascensionale e forza peso del velivolo. L’ulteriore ipotesi esemplificativa è quella per cui piccole variazioni dell’angolo di beccheggio non influiscano sulla velocità del boeing. Le equazioni longitudinali del moto del boeing risultanti, che rispecchiano un caso non reale ma che rende più agevole l’analisi, sono le seguenti:

α΄=µ Ω σ[-(Cl+ Cd) α+(1/ µ- Cl)q-( Cw sin γe) θ+ Cl]; q΄= µ Ω/(2 in)[ CM- η(Cl+ Cd)] α+ CM+ σ CM(1- µ Cl)]q+( η Cw sin γe) δe; θ΄= Ωq;

L’input del sistema è δe,mentre l’output è θ.

Nella figura precedente è stato rappresentato lo schema a blocchi tempo continuo del sistema. Ovviamente l’analisi della stabilità e la sintesi del controllore verranno effettuate in seguito a tempo

+Σ -

δe(t) e(t) u(t)

P(t)

θ(t)

C(t)

4

discreto. Il controllore che andremo a progettare è un pilota automatico che gestisce la relazione tra δe(t) e θ(t) in maniera da poter controllare le oscillazioni sull’angolo di beccheggio, affinché si possa mantenere una direzione di volo desiderata nel senso longitudinale. Le equazioni longitudinali che abbiamo esposto precedentemente vengono esplicate come segue (i valori dei parametri sono stati rilevati dai dati tecnici di un boeing commerciale e sostituiti nel precedente sistema):

α΄=-0,313 α+56,7q+0,232δe ; q΄=-0,0139α-0,426q+0,0203δe ; θ΄= 56,7q ;

Funzione di Trasferimento TC Effettuiamo la trasformata di Laplace (ponendo per semplicità la condizioni iniziali nulle):

sα(s)=-0,313α(s)+56,7q(s)+0,232δe(s); sq(s)=-0,0139α(s)-0,426q(s)+0,0203δe(s); sθ(s)= 56,7q(s);

(s+ 0,313)α(s)=56,7q(s)+0,232δe(s); (s+0,426)q(s)=-0,0139α(s)+0,0203δe(s); sθ(s)= 56,7q(s); (56,7q(s)+0,232δe(s)) α(s)= _____________________________ da cui sostituendo nella seconda: (s+ 0,313)

-0,0139(56,7q(s)+0,232δe(s))

(s+0,426)q(s)= __________________________________________ +0,0203δe(s)=

(s+ 0,313) 56,7q(s) 0,232δe(s) =-0,0139 _______________ -0,0139 _______________ +0,0203δe(s) quindi:

(s+ 0,313) (s+ 0,313)

0,78813 0,0032 s+0,426+ ______________ q(s) = δe(s) 0,0203- ____________ e sviluppando:

(s+ 0,313) (s+ 0,313)

5

s2+0,739s+0,9214 0,0203(s+0,1541) __________________________ q(s)= δe(s) _________________________ allora:

(s+0,313) (s+0,313) 0,0203(s+0,1541) q(s)= δe(s) _________________________ e quindi otteniamo s2+0,739s+0,9214 1,151(s+0,1541)

θ(s)=____________________________ δe(s) per cui la nostra f.d.t. TC sarà: s3+0,739s2+0,9214s

θ(s) (1,151s+0,1774)

W(s)= ________ = ________________________________

δe(s) (s3+0,739s2+0,921s)

Specifiche di progetto Imponiamo le specifiche. I criteri di scelta sono basati su una certa richiesta di sicurezza e quindi di stabilità e di tempi di risposta accettabili. Il controllo del sistema retroazionato deve garantire una massima sovrelongazione del 10%, un tempo di salita minore di 2 sec, un tempo di assestamento al 5% di massimo 8 sec ed un errore dell’uscita rispetto al riferimento minore dell’1 %.

• Smax < 10%; • Tr < 2 sec; • Ta5% < 8 sec; • e(∞) < 1% ;

La scelta di queste specifiche tiene conto dell’elevata precisione che richiede un’applicazione come quella che stiamo trattando. Un velivolo, in particolare se destinato ad un utilizzo civile,trasporterà generalmente un certo numero di passeggeri a bordo durante le operazioni di volo. Ciò significa che è necessario garantire l’incolumità dei passeggeri garantendo la stabilità del mezzo di trasporto, il quale deve essere dotato di buoni tempi di risposta e di una robustezza che garantisca la stabilità anche per variazioni dei parametri interni dovute a disturbi esterni (eventuali disturbi atmosferici dovuti ad esempio al passaggio del boeing in regioni aeree caratterizzate da particolari turbolenze).

6

Risposta al gradino di ampiezza 0.1 rad Open Loop

Tempo(sec)

theta(

t)

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Risposta alla variazione dell’angolo di beccheggio a loop aperto TC Osserviamo come si comporta il sistema per un dato ingresso a gradino. Ipotizziamo ad esempio di effettuare una deflessione dell’elevatore di 0,1 radianti. Vediamo con Matlab quale è il corrispondente angolo di beccheggio a variare del tempo. >> Ws=tf([1.151 0.1774],[1 0.739 0.921 0]) Transfer function: 1.151 s + 0.1774 ---------------------------------- s^3 + 0.739 s^2 + 0.921 s >> step(0.1*Ws) La risposta del sistema ad anello aperto è visibilmente divergente ,e quindi instabile, e non soddisfa le specifiche che abbiamo esposto in precedenza. Infatti, se andiamo ad esplicitare la risposta del sistema a loop aperto, per un ingresso a gradino, in forma fattorizzata, otterremo un’espressione del tipo:

Y(s)=R11/s+R12/s2+R2/(s-p2)+R2

*/(s-p2*)

dove p1=0 con molteplicità 2, p2= - 0,3695 + 0,8857j, p2

*= - 0,3695 – 0,8857j, mentre i residui sono R12= 0,1926, R11= 1,0952, R2= - 0,5472 + 0,3372j, R2

*= - 0,5472 – 0,3372j per cui:

1,0952 0,1926 -0,5472+0,3372j -0,5472-0,3372j θ(s)= ____________+__________+ ____________________________+_________________________

s s2 (s+0.3695-0.8857j) (s+0.3695+0.8857j) da cui antitrasformando si ottiene la risposta:

θ(t)=( 1,0952+0,1926t+1,2862e-0,5472tcos(0,3372t+0,578))sca(t) che risulta essere chiaramente divergente rispetto all’ingresso perché la presenza di due poli nell’origine corrisponde ad un modo di evoluzione a rampa della risposta, rendendola chiaramente

θ(t)

7

instabile, nonostante esista un modo di evoluzione pseudoperiodico convergente dovuto ai poli complessi e coniugati p2 e p2

*. Vediamo ora cosa succede a loop aperto se in ingresso viene applicato un impulso di Dirac. Osserviamo quindi la risposta impulsiva: E’ impensabile che l’ingresso possa essere realmente un impulso ideale. Se così fosse la risposta sarebbe stabile, anche se con una fase transitoria caratterizzata da una sovrelongazione eccessiva ed un guadagno in continua di circa 0,2 rad. In realtà, le variazioni dell’angolo di deflessione dell’elevatore possono essere al massimo approssimate da funzioni di tipo gradino, per cui resta significativo il caso precedente, da cui abbiamo dedotto l’instabilità della risposta a loop aperto. E’ quindi necessario retroazionare il sistema in modo da poter mettere in funzione un controllore digitale che stabilizzi la risposta e permetta il soddisfacimento delle specifiche.

+Σ -

δe(k) e(k) u(k)

processo

θ(k)

controller

risposta impulsiva

Tempo(sec)

theta(t)

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

θ(t)

8

Scelta del periodo di campionamento, f.d.t. TD, BIBO stabilità Il controllo digitale presuppone la possibilità di gestire un processo mediante l’utilizzo di elaboratori digitali che si servono di un software che controlla l’impianto stesso mediante determinati algoritmi. Il calcolatore gestisce segnali digitali, per cui è necessario discretizzare il segnale continuo in ingresso mediante l’utilizzo di un circuito di campionamento e tenuta (sample & hold) che si serve di un treno di impulsi per produrre un segnale campionato (PAM, pulse-amplitude-modulation). Ad esempio: L’holder tratterà l’impulso ottenuto all’istante t del clock dal campionatore fino al successivo ciclo di clock quando lo immetterà sul canale ed estrarrà dal segnale in ingresso un nuovo campione ripetendo la medesima operazione. Ad ogni impulso viene quindi associato un valore digitale da un circuito quantizzatore (che può essere ad N bit per cui si ottengono 2N livelli di quantizzazione e non è altro che un circuito integrato convertitore ADC, analogic to digital conveter). In ricezione il segnale ricostruito risulterà ritardato di mezzo periodo. Il periodo con cui viene effettuato il campionamento (periodo di campionamento) è legato alla banda delle frequenze del segnale che deve essere campionato. Il bisogno di porre un limite al massimo periodo di campionamento deriva dalla necessità di dover evitare il fenomeno di aliasing. L’aliasing è un fenomeno che provoca alterazioni del contenuto informativo del segnale post-campionato rispetto a quello in ingresso per il semplice fatto che se la frequenza di campionamento è troppo piccola si rischiano sovrapposizioni di impulsi spettrali adiacenti con alterazioni delle componenti frequenziali. In altre parole se il segnale oscilla ad una data frequenza, l’aliasing fa sembrare che la frequenza ad esso associata sia minore. Ciò impone la scelta di una frequenza di campionamento fs che soddisfi la seguente relazione:

fs ≥ 2B

tale da far sì che il segnale venga perfettamente ricostruito in ricezione. B è la banda base del segnale da campionare e 2B è detta frequenza di Nyquist. Tale relazione è esprime il Teorema del campionamento o di Shannon. Il problema dell’alias viene risolto quindi rispettando il Th. di Shannon e generalmente è opportuno utilizzare un prefiltro analogico anti-aliasing. Tale filtro è in grado di limitare la banda del segnale e ridurre l’alias. Utilizziamo un filtro anti-aliasing con banda vicina alla banda di controllo ωb del sistema, per cui la sua funzione di trasferimento può essere considerata facente parte dell’impianto. Se un segnale non viene campionato perlomeno alla frequenza di Nyquist, allora si dice che è sottocampionato. La precedente relazione fornisce un filtro ottimale detto filtro ricostruttore di Shannon Yá , per ricostruire in ricezione fedelmente il segnale.

s(t)

t

9

Il filtro di Shannon è un filtro anticipativo, quindi non fisicamente realizzabile. Inoltre, il fatto che presenti un andamento del seguente tipo per f = fs/2:

dimostra la sua fisica irrealizzabilità. E’ infatti una pura astrazione matematica (la trasformata di Fourier si un segnale del tipo sin(ωT/2)/( ωT/2) o Sinc(ωT/2)), che idealmente taglia tutte le frequenze maggiori di ωs/2. Presenta una pendenza troppo ripida (per essere realizzata) in prossimità della frequenza di taglio. In realtà è necessario scegliere frequenze di campionamento maggiori, proprio per evitare un problema del genere. Generalmente si sceglie una frequenza di campionamento tale da verificare che:

20ωb≥ωs ≥ 5ωb

Dal diagramma di Bode della funzione di risposta armonica W(jω) possiamo notare che il valore di ωb a -40dB dal valore di guadagno in continua è di 2,57 rad/s. Scegliamo ad esempio una frequenza di campionamento pari a 10ωb cioè ωs =25,7 rad/s, ovvero fs=ωs/2π=4,09Hz.

êYá(jω)|

ω-ωs/2 ωs/2

T

s(t)

t

10

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg)

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

System: Ws Frequency (rad/sec): 0.01 Magnitude (dB): 25.7

System: Ws Frequency (rad/sec): 2.57 Magnitude (dB): -14.3

Il periodo di campionamento è TS=2π/ ωs=0,2 sec, ovvero il campionatore campiona 5 campioni al secondo. Andiamo ora a ricavare l’espressione della funzione di trasferimento TD. Sappiamo che:

W(z)=(z-1)/(z)Z L -1(W(s)/s) La funzione di trasferimento TD in z può essere ottenuta con Matlab utilizzando il comando c2d ed ipotizzando di utilizzare un ricostruttore a circuito di tenuta di ordine 0 (zoh): >> Ts=0.2; >> Wz=c2d(Ws,Ts,'zoh') Transfer function: 0.02209 z^2 - 0.0001757 z - 0.0206 ----------------------------------------------- z^3 - 2.828 z^2 + 2.691 z - 0.8626 Sampling time: 0.2 Vediamo l’andamento della risposta ad anello aperto del sistema TD per un ingresso a gradino nel tempo rispetto alla risposta a tempo continuo. Utilizziamo Matlab per visualizzare gli andamenti delle risposte:

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Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

>> Ws=tf([1.151 0.1774],[1 0.739 0.921 0]) Transfer function: 1.151 s + 0.1774 ---------------------------------- s^3 + 0.739 s^2 + 0.921 s >> Wz=c2d(Ws,0.2,'zoh') Transfer function: 0.02209 z^2 - 0.0001757 z - 0.0206 ----------------------------------------------- z^3 - 2.828 z^2 + 2.691 z - 0.8626 Sampling time: 0.2 >> step(0.1*Ws) >> hold Current plot held >> step(0.1*Wz)

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Nella figura sopra è rappresentato un ingrandimento delle risposte TC e TD per i primi 15 secondi. I risultati del campionamento sono abbastanza soddisfacenti poiché il segnale discreto ricalca fedelmente quello a tempo continuo. Anche la risposta del sistema a tempo discreto, ad anello aperto, per un ingresso a gradino di 0,1 rad è visibilmente divergente rispetto al riferimento. Questo è ovvio, poiché dovrà comportarsi come quella a tempo continuo. Vediamo per completezza la risposta impulsiva TD ad anello aperto:

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

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Con Matlab possiamo trovare l’espressione della f.d.t. TD in funzione di poli,zeri e guadagno: >> zpk(Wz) Zero/pole/gain: 0.022088 (z- 0.9696) ( z+ 0.9617) --------------------------------------------- (z-1) (z^2 - 1.828z + 0.8626)

Gli zeri del sistema sono z=0,9696 e z=-0,9617. Si ha invece un polo in z=1 e due poli complessi e coniugati in z=0,9142+0,1637j e z=0,9142-0,1637j. È evidente l’instabilità della risposta al gradino. Il sistema presenta un polo in 1, che presuppone un modo di evoluzione a rampa, divergente rispetto all’ingresso di riferimento a gradino. Ciò, sostanzialmente, è legato al fatto che il sistema TD non è BIBO (bounded input-bounded output) stabile. La BIBO stabilità è una proprietà che fa sì che per un ingresso limitato il sistema produca una risposta limitata. In pratica, ciò avviene solamente se tutti i modi di evoluzione che caratterizzano una risposta sono convergenti ad un valore finito per k=0,1,2,3,4,…,n . Il fatto di avere un modo di evoluzione a rampa della risposta al gradino, pregiudica la BIBO stabilità. Essendo λi

k l’espressione dell’i-esimo modo di evoluzione della risposta impulsiva, il sistema sarà BIBO stabile se e solo se tutti i poli |λi|<1. Ma la nostra f.d.t. TD ha anche un polo in z=1. Il nostro sistema è quindi non BIBO stabile, come abbiamo anche potuto dedurre da considerazioni precedenti. Sintesi del controllore per discretizzazione Fondamentalmente, è necessario progettare il controllore tempo continuo e discretizzarlo mediante tecnica integrazione numerica. Passiamo al progetto del controllore C(s). Innanzitutto è interessante osservare l’andamento che assume il processo W(s) tempo continuo retroazionato. In realtà è necessario analizzare il processo W ’(s)=Ho(s)*W(s). Ho(s) è la funzione di trasferimento del ricostruttore. Di essa bisogna tenere conto nel progetto del controllore per questioni di precisione. L’applicazione aeronautica richiede, come precedentemente detto, sistemi di controllo molto precisi ed efficienti, seppur costosi. La funzione di trasferimento di un ricostruttore con circuito di tenuta di ordine 0 è la seguente: 1-e-st Ts Ho(s)= _________________ ≈ ___________________________ per l’approssimazione di Padè. Sostanzialmente, s 1+s*Ts/2 1-s*Ts/2 per basse frequenze si approssima Ho(s)≈ e-st. L’approssimazione di Padè pone e-st ≈ _________________. 1+s*Ts/2 1 In realtà nel calcolo di W ‘(s) si considera Ho(s)≈ ______________ perché il guadagno Ts del 1+s*Ts/2

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ricostruttore viene compensato dall’attenuazione 1/Ts introdotta dal campionatore. La scelta del periodo di campionamento Ts viene fatta a partire dalle specifiche sul tempo di assestamento. Imponiamo Ta5=8 sec ed S%=10% (ponendoci nel worst case,caso peggiore). Andiamo a calcolare il coefficiente di smorzamento ξ:

S%=100 e(-πξ /(√1-ξ²)) → 10=100 e(-πξ /(√1-ξ²)) → ln(0,1)= -πξ /(√1-ξ²) → → 2,3(√1-ξ²) = πξ → ξ≈0,59

per cui possiamo calcolare la pulsazione naturale ωn: 4 4

Ta5=_______ → ωn = _______ ≈0,84 rad/sec ωn ξ Ta5 ξ La ωn è una buona approssimazione della pulsazione di taglio ωt del sistema. La banda del controllo o banda passante del sistema è:

ωb≈10 ωt ≈84 rad/sec

Andiamo ora a scegliere la frequenza di campionamento. Sappiamo che 20ωb≥ωs ≥ 5ωb. Possiamo scegliere ωs in maniera da introdurre un polo reale negativo molto spostato verso sinistra nel piano complesso s, in maniera da non incidere negativamente sulla stabilità del sistema retroazionato. Prendiamo ad esempio ωs=18ωb= 152,54 rad/sec. In questo modo avremo Ts=1/ωs= 0,0412 sec. Avremo quindi che:

1 48,56 Ho(s)≈ ______________ = ____________

1+s*Ts/2 s+48,56

Quindi otteniamo che:

55,8877(s+0,1541) W’(s)=Ho(s)*W(s)= _____________________________________

s(s+48,56)(s2+0,739s+0.921)

Passiamo ora al progetto del controllore TC C(s) procedendo per tentativi e mediante l’ausilio del tool rltool di Matlab. Prima di fare ciò osserviamo che la W’(s) presenta due poli complessi coniugati in -0,3695±0,8857j. Essendo troppo vicini al limite di variabilità del guadagno (l’asse immaginario), questi due poli costituiscono un chiaro problema per la stabilità del sistema. In poche parole, per piccole variazioni del guadagno,dovute magari a variazioni parametriche interne del sistema provocate da cause esterne cui il boeing può essere sottoposto nell’atto del volo(vento, sovraccarichi in peso, altre condizioni ambientali di turbolenza), il sistema può chiaramente diventare instabile, generando un angolo di beccheggio crescente per t→∞ rispetto all’angolo formato dal moto del deflettore posteriore. Una tecnica utile può essere quella di una loro cancellazione mediante l’introduzione di due zeri complessi e coniugati all’interno del controllore in -0,3695±0,8857j. Effettuata la cancellazione dello zero del sistema mediante l’introduzione di un polo nel controllore in -0,1541, si introducono due poli complessi coniugati in C(s) che lo renderanno fisicamente realizzabile e influiranno sullo smorzamento e sulla pulsazione naturale del

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sistema, da cui ovviamente derivano anche Ta5 e Tr. Introducendo ad esempio due poli compl.con. in -3,9750±6,4342j ed un guadagno pari a 130 in C(s), si ottiene una situazione del seguente tipo:

Possiamo ora andare a visualizzare la risposta al gradino unitario del sistema ad anello chiuso dotato di un controllore C(s):

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

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che risulta soddisfare tutte le specifiche imposte dal problema di controllo in questione. Infatti si ha che:

• Ta5=1,34 sec; • Tr= 0,376 sec; • S%=8,74%; • e(∞)=0;

Tutte le specifiche di progetto sono abbondantemente soddisfatte. La condizione di instabilità viene raggiunta solo per aumenti estremamente grandi del guadagno, che risultano impossibili o, al limite, molto difficilmente raggiungibili. Il controllore TC progettato è quindi:

130(s2+0,739s+0.921)

C(s)=_____________________________________ (s+0,1541)(s2+7,95s+57,2) Viene rappresentata sotto l’espressione della f.d.t. TC a loop chiuso:

C(s)W’(s) 7265 Wo(s)= __________________ = __________________________________________________________

1+C(s)W’(s) (s+48,48) (s+3,933) (s2 + 4,091s + 38,11)

Il processo in retroazione controllato si presenta particolarmente complesso, ma evidentemente ciò dipende dalle dimensioni dell’impianto stesso ed in particolare alla difficoltà di effettuare un semplice controllo per la complessità stessa dell’impianto. Progettato il controllore tempo-continuo C(s), si passa alla sua discretizzazione. Sostanzialmente, le tecniche di discretizzazione di C(s) che utilizzeremo sono le seguenti: 1) Integrazione numerica

a)Regola dei rettangoli all’indietro o di Eulero all’indietro; b)Regola dei rettangoli all’avanti o di Eulero all’avanti; c)Trasformazione bilineare di Tustin;

2) Mapping poli/zeri; 3) Equivalenza della risposta al gradino; Iniziamo con le tecniche di integrazione numerica. Dalla teoria sappiamo che, nei tre casi: z-1 - Eulero all’indietro → s = _______ ;

z Ts

z-1

- Eulero all’avanti → s = _______ ; Ts

2 z-1 - Tustin bilineare → s = ____ ______; Ts z+1 Le differenze che sussistono tra queste tre tecniche possono essere osservate dalle relazioni tra i piani complessi s e z in termine di mapping della C(s). Come noto, la tecnica di Eulero all’avanti

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può destabilizzare il sistema complessivo poiché potrebbe mappare poli e zeri stabili in s nella regione instabile(esterna alla circonferenza unitaria) del piano complesso z. Per quanto riguarda Tustin, esso annulla l’aliasing ma provoca una compressione per alte frequenze. Vediamo le espressioni di C(z) nel caso di Eulero all’indietro, all’avanti e Tustin: Eulero all’indietro:

3,851 z (z-1)(z-0,968) C1(z)= ____________________________________

(z-0,9423) (z2-1,688z +0,7397) Eulero all’avanti:

5,356 (z-1)(z-0,968) C2(z)= ____________________________________

(z-1,047) (z2-1,623z +0,731)

Tustin bilineare: 2,2816 (z+1) (z2–1,968z+0,97)

C3(z)= _____________________________________ (z-0,9937) (z2–1,643z+0,7244)

Ciò che possiamo immediatamente osservare è l’evidente differenza in termini di guadagno dei due controllori discreti C1(z), C2(z) e C3(z) rispetto a C(s). L’utilizzo di controllori digitali permette di non essere costretti ad utilizzare controllori TC dotati di guadagni elevatissimi e quindi molto costosi. La successiva tecnica di discretizzazione che utilizzeremo è quella del mapping poli/zeri. La relazione che lega i poli di un segnale continuo ai poli del segnale campionato periodo T è z = esT. Si estende un legame analogo agli zeri, anche se ciò non è vero teoricamente. Come regola si impone che tutti gli zeri di C(s) all’infinito siano mappati in uno stesso numero di zeri in z=-1. Se si vuole includere un ritardo di un passo, uno zero in z =-1 viene mappato in z=0 e i guadagni in continua vengono eguagliati. Si ottiene la seguente espressione di C(z):

4,5849(z2–1,968z + 0,97)

C4(z) = _____________________________________ (z-0,9937) (z2-1,639z+0,7208)

L’ultimo metodo di discretizzazione di C(s) è quello dell’equivalenza della risposta al gradino, il quale sfrutta la relazione

C(z)=(z-1)/(z)Z L -1(C(s)/s) Si ottiene:

4,5516 (z2–1,968z +0,9698)

C5(z)= ____________________________________

(z-0,9937) (z2-1,639z +0,7208)

Inoltre, se W(z)=(z-1)/(z)Z L -1(W(s)/s), allora la W(z) sarà (utilizzando c2d di Matlab che già tiene conto del ricostruttore di ordine 0):

0, 00096896(z-0,9937)(z+0,992) W(z)= ___________________________________________

(z-1)(z2–1,968z + 0,97)

18

che chiaramente è non BIBO stabile. Retroazionando W(z) e controllando il processo con i cinque controllori precedentemente determinati si ottengono i seguenti andamenti delle risposte al gradino rispetto all’andamento della risposta per un controllore TC C(s):

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2

0

2

4

6

8

10

12

14

___ Eulero all’indietro; ___ Eulero all’avanti; ___ Tustin;

___ Mapping poli/zeri; ___ Equiv.risp.grad. ; ___ Tempo continuo; Possiamo notare innanzitutto che la discretizzazione con Eulero all’avanti ha portato a mappare i poli stabili nel piano s in poli instabili nel piano z, cioè al di fuori della circonferenza unitaria. La soluzione che sfrutta Eulero all’avanti va quindi scartata. La soluzione ottenuta con Eulero all’indietro è la più semplice da calcolare e stabilizza la risposta, ma non è particolarmente accurata a causa della frequenza di campionamento elevata. Infatti, ad una variazione di 1 rad dell’angolo del deflettore posteriore dell’aereo, il sistema risponde producendo un angolo di beccheggio di circa 0,3 rad. Le restanti soluzioni sono abbastanza soddisfacenti in quanto non destabilizzano il sistema retroazionato e seguono abbastanza fedelmente quanto ottenuto utilizzando il controllore tempo continuo C(s). Rappresentiamo nella seguente pagina tali risposte singolarmente, confrontandole con la risposta TC:

19

C(z) ottenuto con Tustin:

Step Response

Time (sec)

Amplitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: untitled1 Peak amplitude: 1.09 Overshoot (%): 9.15 At time: 0.783

C(z) ottenuto con il mapping poli/zeri:

Step Response

Time (sec)

Amplitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


C(z) ottenuto per equivalenza della risposta a gradino:

Step Response

Time (sec)

Amplitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Con Tustin, la risposta del sistema è molto più vicina a quella tempo continuo. Con il mapping poli/zeri e con l’equivalenza alla risposta al gradino, comunque, si ottengono risposte abbastanza soddisfacenti, anche se con sovrelongazioni leggermente maggiori rispetto alla specifica. Con Tustin la sovrelongazione permane entro il valore imposto dalla specifica (è la soluzione migliore).

20

Utilizziamo SIMULINK per verificare come la migliore configurazione (ottenuta con il metodo di Tustin) risponde se il sistema è sottoposto ad un segnale di rumore variabile.

Ingresso a gradino unitario e varianza Ingresso a gradino unitario e varianza del rumore pari a 0.001 dal valore medio del rumore pari a 0.01 dal valore medio

Ingresso a gradino unitario e varianza del Ingresso a gradino unitario e varianza del rumore pari a 0.1 dal valore medio del rumore pari ad 1 dal valore medio

21

Il segnale variabile di rumore introdotto tiene conto dei disturbi provenienti dall’esterno (ad esempio disturbi atmosferici), del rumore di quantizzazione, ecc. Il sistema reietta efficientemente i disturbi esterni se l’ampiezza del rumore è trascurabile rispetto al valore dell’ingresso. Quando disturbi ed ingresso cominciano ad essere confrontabili in ampiezza, allora il sistema produce una risposta via via più instabile con conseguenze catastrofiche sul processo stesso. Vediamo ora come vengono reiettati i disturbi di carico. Consideriamo la funzione di sensitività S(z) ed ipotizziamo per semplicità un disturbo costante a gradino d(kT) (ad esempio del rumore gaussiano bianco, a potenza costante). Consideriamo la seguente struttura:

Ф(kT) non è altro che l’errore in uscita dovuto al disturbo. Se il sistema presenta buone proprietà di reiezione dell’errore, Ф(kT) dovrà tendere a 0 per k → ∞. Dobbiamo applicare quindi il teorema del valore finale alla funzione di sensitività che moltiplica il disturbo in ingresso (il controllore è ancora quello ottenuto con Tustin):

d(z) (z-1) (z2 – 1,643z + 0,7243) Ф(z) = S(z) d(z)= __________________ = ____________________________________________ d(z) 1+C(z)W(z) (z-0,8511) (z2 – 1,789z + 0,8484)

Si ottiene il seguente andamento:

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

da cui possiamo osservare che l’influenza dovuta al disturbo a gradino tende ad annullarsi nel tempo.

S(z)

d(z) Ф(z)

22

Sintesi diretta del controllore mediante il luogo delle radici Sostanzialmente, il progetto del controllore nel piano Z prevede, come nel caso continuo, la conoscenza del comportamento della risposta del sistema ad un gradino, quindi smorzamento, sovrelongazione, tempo di assestamento. E’ necessario fare in modo che i poli del sistema ad anello chiuso siano interni ad una circonferenza di raggio ρ. Il valore di ρ è determinabile a partire dal valore della specifica sul tempo di assestamento. Nel caso peggiore (worst case) si ha: 5 Ts 5 Ts Ta= ________ = 8 sec da cui ln(ρ)= ________ e quindi ρ=e-0,125=0,88 se Ts=0,2 sec, come abbiamo ln(ρ) 8 potuto scegliere in precedenza a pag. 10 mediante i diagrammi di Bode ed il calcolo della banda del controllo. Il valore del coefficiente di smorzamento corrispondente al valore di sovrelongazione massima imposto dalle specifiche è ξ= 0,59. Nel piano Z, le regioni a smorzamento costante sono caratterizzate da una forma a cardioide. Dovremo mantenere i poli ad anello chiuso entro una cardioide corrispondente al valore di smorzamento desiderato. Vediamo come si presenta il luogo delle radici senza controllore: Il processo a catena aperta presenta due poli complessi coniugati in 0,9142+0,1637j e 0,9142-0,1637j con modulo molto vicino ad 1. Inoltre presenta uno zero in z =1 che rende il sistema di tipo 1, per cui l’errore a regime per un ingresso a gradino sarà nullo. Andiamo ad annullare i poli complessi e coniugati del sistema mediante l’inserimento di due zeri nel controllore che li cancelli. Per rendere il controllore fisicamente realizzabile, quindi non anticipativo, occorre inserirvi due poli, che comunque devono fare in modo che i rami del luogo delle radici siano tali da poter permettere il soddisfacimento delle specifiche e quindi che i poli del sistema ad anello chiuso, stabilito un certo guadagno, si mantengano entro la cardioide caratterizzata da ξ= 0,59 e la circonferenza di raggio ρ. Si inseriscono, dopo una serie di prove, dei poli reali in z=-0,495 e z=0,931. In questo modo si ottiene una situazione illustrata nel seguente luogo delle radici discreto:

23

I poli ad anello chiuso vengono mantenuti entro i limiti imposti. Ne risulterà una risposta ad anello chiuso per un ingresso a gradino del tipo illustrato nella figura sotto: Si ottiene una risposta caratterizzata da una S%=3,83%, un tempo di assestamento Ta=7 sec ed un errore a regime nullo, che soddisfano pienamente le specifiche imposte.

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling Time (sec): 7

24

Il controllore risultante è quindi: 25,1(z2-1,83z+0,863) C(z)= __________________________ (z+0,495)(z-0,931) da cui otteniamo che la f.d.t. ad anello chiuso TD è:

0,5544(z+0,9617)(z-0,9696) (z2–1,83z +0,863) Wo(z)= ________________________________________________________________________

(z-0,9713)(z2-1,828z+0,8615) (z2+0,08971z + 0,05811) Come nel caso precedente, verifichiamo come risponde il sistema controllato e retroazionato nel caso di rumore variabile mediante SIMULINK:


25

Ingresso a gradino unitario e varianza del rumore pari a 0.1 dal valore medio

Ingresso a gradino unitario e varianza

del rumore pari ad 1 dal valore medio Le considerazioni da fare per quanto riguarda il comportamento in presenza di rumore variabile, sono analoghe a quelle fatte nel caso precedente (progetto con il metodo di Tustin). Verifichiamo il comportamento della funzione di sensitività per un disturbo a gradino d(kT):

(z+0,495)(z-0,931)(z-1)(z2-1,828z+0,8626) S(z) =__________________________________________________________________ (z-0,9713) (z2-1,828z+0,8615)(z2+0,08971z+0,05811)

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Il sistema reietta ottimalmente i disturbi costanti all’aumentare di k (in circa 2,5 sec).

26

Scelta del regolatore standard digitale Si passa ora alla progettazione di un controllore a struttura fissa, molto utilizzato in campo industriale per la sua versatilità e per la facilità con cui può essere tarato. Il sistema TC presenta un polo nell’origine, che esegue di per sé un’azione di tipo integrale, eliminando l’errore a regime per un ingresso a gradino e rendendo, come detto, il sistema di tipo 1. Analoga considerazione vale per il sistema TD. Si progetta quindi un regolatore standard di tipo PD, che effettua un’azione di tipo proporzionale ed un’azione di tipo derivativo. L’azione proporzionale non consente errore nullo a regime, ma ciò è compensato dal termine integrale. Il termine derivativo consente di facilitare l’inseguimento, predicendo il comportamento futuro dell’errore. Il sistema è caratterizzato dal seguente schema a blocchi:

d e(t) u(t)= Kp e(t)+Td __________ da cui si ottiene u(s)= Kp 1+Td s e(s) dt Essendo Td·s fisicamente irrealizzabile, l’espressione di u(t) viene approssimata a:

Td s u(s)≈ Kp 1+ _______________ e(s) 1+ (Td /N)s che si comporta come un derivatore puro alle basse frequenze. N limita il guadagno alle alte frequenze ed è tipicamente scelto tra 3 e 20.

+Σ -

δe(t) e(t)

w(t)

θ(t)

Kp

Td ·d(e(t)/dt)

+

u(t)

N/Td

N

ω

Amplitude

27

Se non venisse posta alcuna limitazione al guadagno, all’aumentare della frequenza il guadagno crescerebbe indefinitamente, presupponendo un accumulo di energia infinito del sistema e quindi una situazione del tutto irrealistica. Per ricavare Kp e Td non è possibile utilizzare, nel nostro caso, il metodo di Ziegler-Nichols per ricondurre (o al limite approssimare) il processo ad una forma del tipo:

µ W(s)= _________ e-Rs

1+T s a causa del fatto che il sistema TC presenta un polo nell’origine, per cui la risposta del sistema al gradino unitario è divergente. Si procede quindi iterativamente per determinare Kp e Td. Scelto ad esempio N=20, mediante un programma sviluppato con Matlab, si sfrutta una serie di cicli while per impostare ciclicamente i valori dei parametri da determinare. Il programma visualizza, man mano che vengono impostati tali valori, la risposta del sistema controllato TC per un ingresso a gradino. Raggiunto il risultato desiderato (in termini di soddisfacimento delle specifiche), il programma procede alla discretizzazione del PD tempo continuo ottenuto, visualizzando in definitiva la risposta TC e TD su di uno stesso grafico, permettendo di osservare le differenze tra le due risposte. Il codice del programma denominato PD.m è riportato qui di seguito: disp(' Programma per il progetto del regolatore standard di tipo PD'); disp(' '); s=tf('s'); disp(' '); Ts=input(‘inserisci il tempo di campionamento); z=tf('z',Ts); disp('processo TC:') Ws=tf([1.151 0.1774],[1 0.739 0.921 0]) disp('impianto TD'); Wz=c2d(Ws,Ts) disp(' '); disp('valori iniziali di Kp e Td:') Kp=0.1 Td=0.1 N=20; Cs=Kp*(1+Td*s/(1+Td/N*s)); Cz=Kp*(1+Td*((z-1)/(z*Ts))/(1+Td/N*((z-1)/z*Ts))); c=1; Nonripetereciclo=0; while(Nonripetereciclo==0) c=1; c1=1; while (c==1) while (c1==1) disp(' '); Hos=1/(1+Ts/2*s); W1s=Ws*Hos;

28

continuare1=input('Modificare Td?(si=1, no=0) '); if(continuare1==1) nuovoTd=input('Td= '); Td=nuovoTd; Cs=Kp*(1+Td*s/(1+Td/N*s)); close step(feedback(Cs*W1s,1)); pause close else c1=continuare1; end end disp(' '); continuare=input('Modificare Kp?(si=1, no=0) '); if(continuare==1) nuovoKp=input('Kp= '); Kp=nuovoKp; Cs=Kp*(1+Td*s/(1+Td/N*s)); disp(' '); disp('premere un tasto per visualizzare la risposta al gradino del sistema TC...') pause step(feedback(Cs*W1s,1)); disp(' '); disp('premere un tasto per continuare...') pause close disp(' '); disp('PD digitale ottenuto:'); Cz=Kp*(1+Td*((z-1)/(z*Ts))/(1+Td/N*((z-1)/z*Ts))) disp(' '); disp('premere un tasto per visualizzare la risposta al gradino del sistema TD...') pause step(feedback(Cz*Wz,1)); pause close end c=continuare; end disp(' '); ripetereciclo=input('Uscire dal programma e visualizzare i risultati ottenuti?(si=1, no=0) '); end disp(' '); disp('valori finali di Kp e Td:'); Kp Td disp('il PD digitale finale ottenuto è:'); Cz=Kp*(1+Td*((z-1)/(z*Ts))/(1+Td/N*((z-1)/z*Ts))) disp(' '); disp('premere un tasto per visualizzare il confronto tra la risposta TC e quella TD...') pause

29

step(feedback(Cz*Wz,1),'r',feedback(Cs*W1s,1),'b'); disp(' '); disp('rosso=risposta al gradino unitario a loop chiuso del sistema TD controllato'); disp('blu=risposta al gradino unitario a loop chiuso del sistema TC controllato'); disp(' '); pause close clear all Per la determinazione del PD analogico si è tenuto conto del ricostruttore di ordine zero, inglobando la sua f.d.t. dentro quella del sistema, e si è scelto un tempo di campionamento Ts=0,2 sec, ricavandolo dal diagramma di Bode di W(s) a partire dalla determinazione della banda del controllo ωb. Infatti,nella realtà, la banda passante ωb del sistema è uno dei parametri più semplici a stabilire. La discretizzazione del PD analogico ottenuto utilizza Eulero all’indietro per discretizzare il termine derivativo. Dopo una serie di iterazioni, sono stati ottenuti i valori finali di Kp e Td:

Kp =2,65; Td =0,5;

In realtà, tali valori di Kp e di Td non permettono di soddisfare pienamente le specifiche su sovrelongazione e tempo di assestamento. Queste ultime, infatti, sono in netto contrasto. Effettuando le varie prove per determinare i valori finali di Kp e Td, si è osservato che al diminuire di S% aumentava Ta5, e viceversa. Si è quindi trovato un compromesso che permette di avere sovrelongazione e tempo di assestamento il più possibile vicini al valore imposto dalla specifica in maniera da ottenere una soluzione comunque soddisfacente. Il PD analogico ottenuto è il seguente: 0,5 s C(s)=2,65 1+ _______________ 1+ 0,025s che permette di ottenere una risposta del tipo rappresentato in figura:

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: untitled1 Settl ing Time: 12.7


30

con S%= 7,04% e Ta5=12,7 sec. Purtroppo, riducendo ulteriormente il tempo di assestamento aumenta notevolmente la sovrelongazione. Discretizzando C(s) si ottiene il PD digitale, che è il seguente:

1,858 z2 – 1,328 z C(z) = ______________________

0,201 z2 – 0,001 z

e permette di ottenere una risposta al gradino ad anello chiuso del tipo:

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: untitled1 Peak amplitude: 1.14 Overshoot (%): 14.1 At time: 1

System: untitled1 Settling Time: 12.6

con S%= 14,1% e Ta5=12,6 sec. E’ la migliore soluzione che è stata determinata inserendo per tentativi i valori di Kp e Td nel programma PD.m . Confrontiamo ora graficamente le risposte TC e TD visualizziamone le differenze:

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

31

Le risposte ottenute sono comunque soddisfacenti e non si discostano di molto da quelle desiderate, considerando il fatto che le specifiche di progetto sono particolarmente restrittive (quindi a volte difficili da soddisfare) e che comunque il velivolo gode di grandi spazi liberi per muoversi e conseguentemente di tempi adeguatamente ampi per assestare la propria risposta. Vediamo ora mediante SIMULINK quanto il PD digitale ottenuto renda il processo retroazionato resistente ai disturbi esterni variabili:



32

Come nei casi precedenti il all’aumentare dell’ampiezza picco-picco del disturbo, l’uscita viene via via deformata rispetto al suo valore ideale. Verifichiamo anche stavolta come il sistema reietti un disturbo a gradino d(kT) valutando la funzione di sensitività:

(z-1)(z-0,004975)(z2–1,828z+0,8626)

S(z) = _____________________________________________________

(z-0,9764)(z-0,2358)(z2–1,417z+0,6096)

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 30 35-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

In questo caso il sistema reietta i disturbi costanti ( la risposta al disturbo a gradino da parte di S(z) tende a zero nel tempo), ma lo fa in un tempo maggiore rispetto ai casi precedenti. Vediamo ora cosa succede se il tempo di campionamento è più piccolo. Ricavandolo ad esempio dalla specifica sul tempo di assestamento, sappiamo che Ts = 0,0412 sec. Mediante il programma PD.m, passiamo a calcolare degli adeguati valori di Kp e Td. Dopo una serie di tentativi si ottengono:

Kp =5,1; Td =0,8;

Il PD analogico ottenuto è il seguente: 0,8 s C(s)=5,1 1+ _______________

1+ 0,04s mentre il PD digitale risultante è il seguente:

4,29 z2 – 4,08 z

C(z)= _____________________________ 0,04127 z2 – 6,79·10-5 z

33

Andiamo a rappresentare ora le risposte dei sistemi controllati TC e TD:

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



Qui sopra è visualizzata la risposta tempo continuo per un ingresso a gradino unitario, caratterizzata da un valore di sovrelongazione pari al 3,54% e da un tempo di assestamento al 5% di 7,59 sec, pienamente entro i limiti imposti dalle specifiche.

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



La figura precedente rappresenta la risposta del sistema a TD controllato per un ingresso a gradino unitario, con un valore di sovrelongazione pari all’1,78% e tempo di assestamento di 7,58 sec, anche stavolta entro i limiti imposti.

34

Ecco ora le due risposte a confronto:

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Le due risposte sono molto simili, anzi il sistema controllato dal PD digitale produce una risposta con sovrelongazione minore di quello analogico. Il sistema TD discreto controllato riesce a riprodurre fedelmente l’uscita del continuo. Possiamo infatti osservare meglio come ciò avvenga visualizzando un ingrandimento della figura nella regione in cui si verifica la sovrelongazione:

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

35

Anche stavolta osserviamo come reagisce il sistema TD controllato ad un disturbo di tipo variabile, servendoci di una simulazione SIMULINK:



36

Chiaramente il sistema risente in maniera distruttiva del disturbo variabile esterno quando l’ampiezza dello stesso è di circa 1/10 rispetto al valore del guadagno in continua per un ingresso a gradino. Verifichiamo anche stavolta come il sistema reietti un disturbo a gradino d(kT) valutando la funzione di sensitività che moltiplica d(z):

(z-1)(z-0,001645)(z2 – 1,968z + 0,97) S(z) = _______________________________________________________

(z-0,9945) (z-0,9272)(z-0,8208)(z-0,1269)

Step Response

Time (sec)

Amplitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Il disturbo di carico a gradino viene reiettato dal sistema, che ne annulla l’influenza sull’uscita reale in circa 8 sec. Si è potuto notare che, utilizzando delle frequenze di campionamento maggiori, si riescono ad ottenere risultati migliori dal punto di vista del soddisfacimento delle specifiche, o perlomeno risulta più semplice la loro progettazione. Conclusioni e confronti tra i controllori progettati Il progetto dei controllori digitali per un’applicazione di questo tipo richiede particolari attenzioni. La scelta delle specifiche del progetto, fondamentalmente, è stata dettata, come già detto,da una stringente richiesta di sicurezza e stabilità di cui deve essere dotato un velivolo. Il tempo di assestamento di 8 sec è stato fissato considerando che il mezzo si muove in uno spazio sufficientemente ampio durante le operazioni di volo. Scegliere un tempo di assestamento più piccolo avrebbe significato porre limitazioni eccessive, in particolare perché il problema in questione è caratterizzato da una certa complessità di analisi e sintesi. La sovrelongazione imposta vuole evitare che il sistema sia soggetto ad eccessivi sbalzi e sollecitazioni meccaniche nell’atto di produrre un angolo di beccheggio desiderato. Si è potuto inoltre notare che la pulsazione naturale del sistema ad anello chiuso, una volta che sono stati progettati i controllori, è bassa. Ciò fa si che, durante l’assestamento della risposta, il sistema non sia soggetto ad eccessivi fenomeni ondulatori. Per ognuna delle soluzioni progettate, il tempo di salita della risposta al gradino risulta essere

37

significativamente inferiore al limite imposto dalla specifica. Per quanto riguarda le differenze tra i controllori progettati, possiamo effettuare delle considerazioni riferendoci a vari fattori, quali complessità e capacità di soddisfacimento delle specifiche. Il progetto per via indiretta, che si serviva di tecniche di discretizzazione di un controllore analogico, risulta più semplice per il fatto che la fase di progettazione prevede tecniche più maneggevoli e conosciute del controllo automatico e di semplici tecniche di integrazione numerica e discretizzazione di una f.d.t. continua. Tra le soluzioni raggiunte risulta, evidentemente, la migliore quella che digitalizza il controllore analogico mediante la tecnica di integrazione numerica di Tustin bilineare. Tale tecnica permette di riprodurre in maniera più fedele la risposta TC e di soddisfare pienamente le specifiche di progetto. Per nulla soddisfacenti sono le soluzioni ottenute tramite le tecniche di Eulero all’avanti ed Eulero all’indietro, mentre le soluzioni ottenute mediante il mapping poli-zeri e l’equivalenza della risposta al gradino sono abbastanza fedeli alle specifiche di progetto pur presentando un valore di sovrelongazione leggermente superiore a quello desiderato. Il luogo delle radici discreto è una tecnica di progettazione diretta mediante la quale è stato ottenuto un controllore che non presenta poli complessi coniugati, ma solo poli reali. Inoltre permette di ottenere tempi di salita minori rispetto ai controllori precedenti. Anche il valore di sovrelongazione ottenuto è più piccolo rispetto a Tustin, ma risultano tempi di assestamento leggermente superiori rispetto al caso precedente. Infine,l’utilizzo di un regolatore standard digitale di tipo PD, ha permesso di ottenere una soluzione molto vicina a quella desiderata, anche se ha costretto a trovare un compromesso tra sovrelongazione e tempo di assestamento, per mantenerli di poco al di fuori dei limiti di specifica (nel caso di un campionatore caratterizzato da Ts=0,2 sec). Risultati migliori si possono ottenere se si ipotizza un tempo di campionamento di 0,0412 sec, ricavato dalla specifica sul tempo di assestamento. Anche nel caso del PD, il tempo di salita della risposta è molto piccolo. Il controllore migliore non è comunque determinabile a priori da tali considerazioni poiché dove è migliore una soluzione è peggiore l’altra e viceversa. La scelta di un controllore piuttosto che un altro sarà determinata da quali saranno le specifiche che il costruttore vorrà sacrificare rispetto ad altre e da altri fattori (ad esempio l’ambito in cui dovrà essere operativo il velivolo , ovverosia militare, civile, ecc.).

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Beccheggio aereo