Beitrag zur Risikobeurteilung von alten Brücken unter Schiffsanprall

Beitrag zur Risikobeurteilung

von alten Brücken unter Schiffsanprall

Von der Fakultät Bauingenieurwesen der Technischen Universität Dresden

zur Erlangung der Würde eines Doktor – Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigte

Dissertation

vorgelegt von

Dipl.-Ing. Dirk Proske

Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Manfred Curbach Prof. Dr.-Ing. habil. Wolfgang Graße Prof. Dr.-Ing. Balthasar Novák

Tag der Verteidigung: 26. Juni 2003

Danksagung Die hiermit vorliegende Dissertation entstand während meiner sechsjährigen Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Tragwerke und Baustoffe an der Technischen Universität Dresden. Obwohl diese Dissertation, wie jede andere auch, als eine eigenständige wissenschaftliche Arbeit betrachtet wird, ist sie nichts anderes als die Summe der Reflektion von Dingen, an denen ich während dieser Zeit teilgenommen habe, von denen ich gehört, ge-lesen, oder etwas gesehen habe, gewürzt mit einigen Gedanken, die in der einen oder anderen ruhigen Minute das Licht der Welt erblickt haben. Es ist nun die undankbare Aufgabe der Gutachter, diese Gedankensplitter in den nicht gerade sparsam folgenden Seiten zu destillie-ren. Doch bevor ich mich für diese Mühsal bedanken möchte, will ich am Anfang meine Freude darüber zum Ausdruck bringen, Herrn OBR Nitzsche vor ca. sechs Jahren kennengelernt zu haben. Bereits vor über einem Jahrzehnt hat Herr Nitzsche den Bedarf für die im Rahmen dieser Dissertation behandelte Untersuchung alter Brücken mit geradezu visionärer Weitsicht vorhergesehen. Ohne die zeitliche, finanzielle und moralische Unterstützung durch Herrn Nitzsche wäre diese Arbeit undenkbar gewesen. Dafür gilt Herrn Nitzsche mein Dank. Herr Prof. Dr. Curbach war es, der erkannte, daß mit den Hilfsmitteln der Wahrscheinlich-keitsrechnung, denen bereits im Diplom mein Interesse galt, vielleicht eine Lösung für die von Herrn Nitzsche benannten Probleme bestand. Doch nicht nur dafür danke ich Herrn Curbach, sondern vor allem auch für die Ermutigung zur Präsentation und Diskussion der hier angewandten Verfahren und Ergebnisse in der Öffentlichkeit. Herrn Prof. Dr. Novák danke ich wie Herrn Prof. Dr. Graße für die Mühe, sich mit der Arbeit zu befassen und für die Übernahme des Korreferates. Ich hoffe zutiefst, es Ihnen nicht zu schwer gemacht zu haben. Die zeitlich umfangreichste, häufigste, offenste und problemnaheste Unterstützung erhielt ich aber von meinen Kollegen. Ich möchte auf Grund der Vielfalt und der Anzahl der Hilfestel-lungen, die ich erfahren habe, meinen Kollegen (in alphabetischer Reihenfolge) Regine Beyer, Petra Drache, Cornelia Dehne, Frau Reis, Silke Scheerer, Kerstin Speck, Anett Wag-ner, Lars Baumann, Lars Eckfeldt, Torsten Hampel, Frank Jesse, Harald Michler, Sebastian Ortlepp, Jens Tusche, Silvio Weiland und Herrn Wiese an dieser Stelle meinen tiefsten Dank zum Ausdruck bringen und verbinde diesen Dank mit dem Wunsch, daß jedem der noch nicht promovierten wissenschaftlichen Mitarbeiter der erfolgreiche Abschluß einer Dissertation vergönnt sei. Auch meinem zweiten Chef, Herrn Prof. Dr. Stritzke, gebührt Dank für die Möglichkeit der Präsentation von Arbeitsergebnissen während des Brückenbausymposiums. Den Kollegen des Lehrstuhls für Stahlbau danke ich für das bereitwillig zur Verfügung ge-stellte Wissen und die fruchtbaren Diskussionen: Holger Flederer ganz speziell für die ge-meinsame Bearbeitung der Problematik Quasi-Zufallszahlen, Steffen Leihkauf, Peter Lieber-wirth und Jochen Rodemann insbesondere für das Excel-Makro. Ich danke weiterhin Herrn Dr. Neumann von der mathematischen Fakultät, Herrn Rainer Hempel als Leiter und allen Mitarbeitern des Baustofflabors Semperstraße, Herrn Dr. Schie-kel für die Durchführung der mikroskopischen Untersuchungen, Herrn Prof. Dr. Weiß vom Forschungszentrum Rossendorf e.V., Herrn Prof. Joachim Lege von der juristischen Fakultät, Herrn Matthias Schulz und Herrn Frank Schulz von der Fakultät Maschinenbau für die bereit-gestellte Software, Herrn Dr. Heiner Siedel von Institut für Geotechnik, Fam. Röttinger in

Lohr und dem Lohrer Heimatverein und Studenten, die mich unterstützt haben, insbesondere Falk Schaudienst und Günther Grunert. Im Kapitel Akzeptables Risiko wird die Zahl für das Verhältnis von Arbeitszeit zu Lebenszeit angeführt. Auch wenn ich diese Zahl für den Beruf des Bauingenieurs als mutwillige Irrefüh-rung halte: sie liegt in Deutschland etwa zwischen 12,5 und 15 %. Diese Zahl läßt vermuten, daß es noch etwas anderes außer der Erstellung einer Dissertation oder der Arbeit gibt: das Privatleben. Arbeits- und Privatleben sind aber keine voneinander entkoppelten Dinge, son-dern stehen in immerwährender Wechselwirkung und bedingen einander, so wie ein gutes Training immer auch eine Erholungsphase bedingt. Wenn diese Aussage stimmt, dann habe ich die größte Unterstützungen durch Menschen erhalten, die primär mit dieser Arbeit nichts zu tun haben: meine Eltern, meine Freunde und Verwandten. Manch Tropfen aus einer Suppe meiner Eltern (wie Jack London in Martin Eden schreibt) und manche Ermunterung wird sich in einer Seite widerspiegeln. Ich danke deshalb aus tiefstem Herzen meinen Eltern und Geschwistern, ich danke Antje Schote, Frau Höppler, Ulrike Köh-ler und Dirk Kranig. Letztendlich ist es ein hoffnungsloses Unterfangen, allen per Namen zu danken, deren Unter-stützung ich im Laufe der Jahre erfahren habe. Zum Abschluß danke ich deshalb noch all den unbekannten Unterstützern, diejenigen, die ich nicht bewußt wahrgenommen oder hier ver-gessen habe. Ich hoffe, Sie verzeihen mir meine Unterlassung, den Dank nicht mit dem Na-men auf Papier gebannt zu haben! Aber vielleicht ist die Danksagung für eine Hilfe nur der kleinste Teil der Rendite ... Dresden, Sommer 2002 Dirk Proske

für Willi

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Zielstellung .............................................................................................. 17 2 Einwirkung Schiffsanprall................................................................................................ 25

2.1 Allgemeines zur Einwirkung Schiffsanprall ............................................................ 25 2.2 Anprallhäufigkeit als Zeitabhängigkeit der Anprallkraft ......................................... 29

2.2.1 Einleitung ......................................................................................................... 29 2.2.2 Anprallhäufigkeiten gegen Brücken weltweit.................................................. 31 2.2.3 Häufigkeit von Binnenschiffahrtsunfällen in Deutschland .............................. 32 2.2.4 Häufigkeit von Schiffsanprallen in Deutschland ............................................. 35 2.2.5 Zusammenfassung der Anprallhäufigkeit ........................................................ 38

2.3 Herleitung der Stoßkraftfunktion ............................................................................. 39 2.3.1 Mechanische Grundlagen der Stoßkraft ........................................................... 39 2.3.2 Ansätze zur Modellierung der Stoßkraft .......................................................... 42 2.3.3 Abschätzung der Verteilungsfunktion der Stoßkraft........................................ 45

2.4 Bemessungsstoßkräfte im Vorschriftenwerk ........................................................... 46 2.4.1 Bestehende deutsche Vorschriften ................................................................... 46 2.4.2 Einige Bemerkungen zur E DIN 1055-9 .......................................................... 49 2.4.3 Internationale Vorschriften .............................................................................. 54 2.4.4 Bemessungsstoßkräfte für andere Verkehrsträger............................................ 56 2.4.5 Zusammenfassung der Schiffsstoßkraft ........................................................... 60

2.5 Abschätzung der Verteilungsfunktion der Anprallhöhe........................................... 61 3 Widerstandsseite Brücke .................................................................................................. 63

3.1 Allgemeines.............................................................................................................. 63 3.2 Vorstellung der Bauwerke........................................................................................ 63

3.2.1 Sandsteinbogenbrücke – Alte Mainbrücke Lohr.............................................. 63 3.2.2 Stahlfachwerkbrücke mit Natursteinpfeilern – Mainbrücke Segnitz ............... 65

3.3 Bauwerkserkundung der Mainbrücke Lohr.............................................................. 69 3.3.1 Ortsbegehung ................................................................................................... 69 3.3.2 Bohruntersuchung ............................................................................................ 69 3.3.3 Sichtung der Bohrkerne.................................................................................... 71 3.3.4 Chemische, spektrographische und mikroskopische Untersuchung ................ 76 3.3.5 Materialtechnische Untersuchung der Bohrkerne ............................................ 77

3.4 Bauwerkserkundung der Mainbrücke Segnitz ......................................................... 80 3.4.1 Bohr- und materialtechnische Untersuchungen ............................................... 80 3.4.2 Visuelle Sichtung der Bohrkerne ..................................................................... 81

3.5 Statistische Eigenschaften der Baustoffe ................................................................. 81 3.5.1 Vorüberlegungen zur Wahl der Verteilungsfunktionen ................................... 81 3.5.2 Statistische Widerstands- und Einwirkungsgrößen.......................................... 85

4 Berechnungsverfahren...................................................................................................... 87 4.1 Strukturmechanische Modellierung ......................................................................... 87

4.1.1 Allgemeines zu FEM-Verfahren ...................................................................... 87 4.1.2 Dynamische Berechnungen.............................................................................. 88 4.1.3 Das deterministische FE-Modell der Alten Mainbrücke Lohr......................... 90 4.1.4 Das deterministische FE-Modell der Mainbrücke Segnitz .............................. 96 4.1.5 Abschätzung der Eigenfrequenz der Brücke.................................................... 99

4.2 Mauerwerk ............................................................................................................. 100 4.2.1 Modelle für zentrische Mauerwerksdruckfestigkeit....................................... 101 4.2.2 Modelle für Schubtragfähigkeit des Mauerwerks .......................................... 105

4.3 Probabilistische Berechnungsverfahren ................................................................. 109 4.3.1 Einführung...................................................................................................... 109

4.3.2 FORM............................................................................................................. 111 4.3.3 SORM-Verfahren ........................................................................................... 119 4.3.4 Monte-Carlo-Simulation ................................................................................ 125 4.3.5 Verknüpfung von Einzelsicherheitsindizes.................................................... 130

4.4 Verbindung von Strukturmechanik und Probabilistik............................................ 134 4.4.1 Das Antwort-Flächen-Verfahren mit quadratischem Ansatz ......................... 134 4.4.2 Erstellung der Antwort-Flächen mit genetischem Algorithmus .................... 136 4.4.3 Weitere Antwort-Flächen-Verfahren ............................................................. 138 4.4.4 Programmtechnische Umsetzung................................................................... 139

5 Berechnungsergebnisse .................................................................................................. 141 5.1 Vorhandene operative Versagenswahrscheinlichkeit............................................. 141 5.2 Risikopotential bei Versagen infolge Schiffsanprall.............................................. 145

6 Akzeptables Risiko......................................................................................................... 149 6.1 Rechtliche Grundlagen und Judikatur .................................................................... 149 6.2 Alltägliches Risiko ................................................................................................. 151 6.3 Naturkatastrophen .................................................................................................. 158 6.4 Technische Risiken ................................................................................................ 160 6.5 Gesundheitliche Risiken......................................................................................... 163 6.6 Soziale Risiken....................................................................................................... 166 6.7 Subjektive Wertung von Risiken............................................................................ 167 6.8 Risikonachweis....................................................................................................... 169

6.8.1 Operative Versagenswahrscheinlichkeit ........................................................ 169 6.8.2 Sterbehäufigkeiten.......................................................................................... 172 6.8.3 F-N-Diagramme ............................................................................................. 174 6.8.4 Lebensqualitätsindex...................................................................................... 175

6.9 Kritik an statistisch basierten Risikonachweisen ................................................... 184 7 Zusammenfassung und Ausblick ................................................................................... 187 8 Literatur.......................................................................................................................... 189 9 Anhang A: Problematik.................................................................................................. 205 10 Anhang B: Schiefer Schiffsanprall............................................................................. 209 11 Anhang C: Beschreibung von Unsicherheit in Form von Zufallsgrößen................... 213

11.1 Einleitung ............................................................................................................... 213 11.2 Parameter zur Beschreibung der Verteilung von Daten......................................... 214 11.3 Graphische Darstellungsformen............................................................................. 218 11.4 Ausreißer ................................................................................................................ 219 11.5 Zensierte Daten ...................................................................................................... 221 11.6 Prüfung der Verteilungsfunktion (Goodness of Fit Test)....................................... 222 11.7 Verteilungstypen .................................................................................................... 228 11.8 Bemerkungen zum Korrelationskoeffizient von Stichproben................................ 231 11.9 Lineare Regression................................................................................................. 233 11.10 Nichtlineare Regression ..................................................................................... 235 11.11 Vergleich von erforderlichen Stichproben ......................................................... 237 11.12 Statistische Tests ................................................................................................ 237 11.13 Stochastische Felder........................................................................................... 240 11.14 Bootstrap Methode ............................................................................................. 241 11.15 Quasi Zufallszahlen............................................................................................ 242

12 Anhang D: Prüfung der Verfahren ............................................................................. 247 13 Anhang E: Beispiele der Berechnung der Brücken.....................................................253 14 Anhang F: Ermittlung der statistischen Eigenschaften der Zufallsgrößen..................291

Abkürzungen AFV Antwort-Flächen-Verfahren DLF Dynamischer Lastfaktor DWT Dead Weight Tonnage EPA Environmental Protection Agency FDA Federal Drug Administration FF Frontalanprallkraft FL Flankenanprallkraft F-N Frequency-Numbers-Diagramme (Häufigkeits-Anzahl-Diagramme) FORM First Order Reliability Method HSW Höchster Schiffbarer Wasserstand MW Mauerwerk o. V. Operative Versagenswahrscheinlichkeit SORM Second Order Reliability Method tkm Tonnenkilometer USNRC US Nuklear Regulatory Commission FEM Finite Elemente Methode FE Finite Elemente

Bezeichnungen Einwirkungsseite – Griechische Buchstaben λ Mittlere Ankunftsrate χ Mittlere Rate des Verlassens des Weges pro Zeiteinheit Φ Standardnormalverteilung - Wahrscheinlichkeitsfunktion λ0(x) Unfallrate je Zeiteinheit σu Hilfswert für die Log-Normalverteilung (Standardabweichung) σFu Hilfswert für die Log-Normalverteilung der Schiffsanprallkraft Einwirkungsseite – Lateinische Buchstaben a Beschleunigung B Breite des Schiffes c Faktor für die hydraulische Masse eines Schiffes. Wenn ein Schiff schnell abgebremst wird, muß neben der

Masse des Schiffes auch eine bestimmte Wassermenge in der Umgebung des Schiffes abgebremst werden. C beschreibt diese Menge in Bezug auf die Schiffsmasse.

DWT Dead Weight Tonnage von Schiffen Edef Deformationsenergie – entspricht der kinetischen Energie des Schiffes Ekin Kinetische Energie f ( m1,v1,t ) Funktion der Schiffsanprallkraft abhängig von der Masse des Schiffes, der Geschwindigkeit des Schiffes

und der Zeit f(y) Bedingte Wahrscheinlichkeit des Kollisionskurses F|| Frontalanprallbemessungskraft in europäischen Vorschriften F┴ Flankenanprallbemessungskraft in europäischen Vorschriften F2 Schiffsanprallkraft F2(t) Anprallkraftfunktion FA Anprallkraft allgemein Fd Dynamische Anprallkraft nach ENV 1991-2-7 Fdyn Dynamische Bemessungsanprallkraft nach DIN 1055-9 FFdyn Dynamische Frontalanprallkraft nach DIN 1055-9 FLdyn Dynamische Flankenanprallkraft nach DIN 1055-9 fM ( x ) Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungsfunktion der Masse von Schiffen Fmu Mittelwert der Verteilung der Schiffsanprallkraft G Gesamtmasse der passierten Schiffe H Wahrscheinlichkeit für einen Schiffsanprall pro Schiffspassage bzw. pro Schiffsbetriebsstunde k Äquivalente Schiffsmasse K1 Steifigkeit des Schiffes K2 Steifigkeit der Brücke

L Länge eines Schiffes ld Länge der plastischen Verformungen an einem Schiff bei einem Schiffsanprall m Schiffsmasse M Masse eines Schiffes M1 Masse von Körper 1 / hydraulisch aktive Masse des Schiffes M2 Masse von Körper 2 / Masse der Brücke mA Mittlere Wiederkehrperiode eines Anpralls gegen eine Brücke Meff effektive Masse des Schiffes beim Anprall, berücksichtigt auch eine bestimmte Wassermenge mF Mittlere Wiederkehrperiode der Bemessungskraft mF|A Mittlere Wiederkehrperiode einer Anprallkraft bei dem Ereignis Anprall mt Mittlere Wiederkehrperiode eines Ereignisses n Anzahl der betrachteten Schiffe je Zeiteinheit N Anzahl der Schiffspassagen pro Jahr Ni Anzahl der Schiffspassagen der Schiffsklasse i pro Jahr nSchiffe Anzahl der passierenden Schiffe nUnfälle Anzahl der Unfälle P(V ∩ A) Operative Versagenswahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit eines Anpralls

(zeitabhängig) P(A) Anprallwahrscheinlichkeit, Anprallhäufigkeit, Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A P(B|A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, wenn das Ereignis A stattfindet P(F ∩ A) Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Anprallkraft F P(F|A) Wahrscheinlichkeit, daß, wenn ein Anprall eintritt, die Anprallkraft F erreicht wird. P(F>Fsd) Wahrscheinlichkeit, daß die Anprallkraft größer als die Bemessungsanprallkraft ist P(V|A) Operative Versagenswahrscheinlichkeit während eines Anpralls (nicht zeitabhängig) PA Wahrscheinlichkeit, daß ein Schiff vom Kurs abkommt, einschließlich der Möglichkeit, einen Anprall zu

vermeiden PA,i Wahrscheinlichkeit, daß ein Schiff der Schiffsklasse i vom Kurs abkommt, einschließlich der Möglichkeit,

einen Anprall zu vermeiden PAB Wahrscheinlichkeit, daß ein Schiff unter optimalen äußeren Bedingungen vom Kurs abkommt PA-norec Wahrscheinlichkeit, daß ein Schiff vom Kurs abkommt ohne die Möglichkeit, einen Anprall zu vermeiden Pc Wahrscheinlichkeit eines Brückenversagens infolge Schiffsanprall Pc(x,y) Bedingte Wahrscheinlichkeit einer Kollision Pci,k Wahrscheinlichkeit eines Brückenversagens infolge Schiffsanprall einer Schiffsklasse i PE Wahrscheinlichkeit, keine Maßnahmen zur Vermeidung eines Anpralls nach Abkommen vom Kurs zu

unternehmen Pf Operative Versagenswahrscheinlichkeit PG Wahrscheinlichkeit, daß ein vom Kurs abgekommenes Schiff eine Brücke rammt PGesamt Gesamtversagenswahrscheinlichkeit einer Brücke PGi,k Wahrscheinlichkeit, daß ein vom Kurs abgekommenes Schiff der Schiffsklasse i eine Brücke rammt PPfeiler Versagenswahrscheinlichkeit eines Pfeilers einer Brücke r Weglänge vom gewollten Kurs zum rechnerischen Anprallpunkt s Länge des passierten Weges t Betrachtete Zeiteinheit (1 Jahr) T Höhe eines Schiffes u1 Verformungen des Schiffes während des Anpralls u2 Verformungen der Brücke während des Anpralls v Geschwindigkeit des Schiffes v/N Wahrscheinlichkeit für einen Schiffsanprall pro Schiffspassage v0 Geschwindigkeit bei Verlassen des Kurses xmu Hilfswert für die Log-Normalverteilung (Mittelwert)

Widerstandsseite – Lateinische Buchstaben d Durchmesser des Zylinders fcyl1/2 Zylinderdruckfestigkeit eines Sandstein/Betonprobekörpers mit dem Verhältnis 1:2 fcylh/d Zylinderdruckfestigkeit eines Sandstein/Betonprobekörpers mit dem Verhältnis h:d fWN200 Würfeldruckfestigkeit eines Würfels mit der Kantenlänge 200 mm h Höhe des Zylinders s Empirische Standardabweichung xm Empirischer Mittelwert

Berechnungsverfahren Deterministische Modelle – Lateinische Buchstaben A Querschnittsfläche des gesamten Mauerwerks AA Querschnittsfläche der Mauerwerk-Außenschale AA1 Querschnittsfläche der ersten Mauerwerk-Außenschale AA2 Querschnittsfläche der zweiten Mauerwerk-Außenschale AI Querschnittsfläche der inneren Mauerwerksschale AMW Gesamte Wandfläche des Mauerwerks b Steinbreite d Wanddicke d’ Ausbruchtiefe des Mörtels (wenn nicht vor Ort ermittelt, dann gilt näherungsweise ≈ 1,7·tm für MG I und

≈ 1,58·tm für MG II in Abhängigkeit der mittleren Fugendicke) Ei Elastizitätsmodul der Innenschale EMörtel Elastizitätsmodul des Mörtels EStein Elastizitätsmodul des Steines h Höhe I Flächenträgheitsmoment des ungerissenen Querschnitts des MW k Wert für Vollfugigkeit, ≈ 0,3 bei Vollfugigkeit und ≈ 0,4-0,5 bei ausgezwickeltem Mauerwerk Ncr Zulässige Normalkraft des Mauerwerks bei zweischaligem MW NW,0 Normalkraft auf die Außenschale des Mauerwerks sk Knicklänge t Fugenhöhe (Dicke der Lagerfuge bzw. der überwiegenden Fugendicke zwischen Stein und Zwickelstein bei

ausgezwickeltem Mauerwerk) u Ungleichförmigkeitsfaktor v

R Querdehnzahl des Mörtels (ermittelt bei mehrachsigen Spannungsverhältnissen, ≈ 0,5 für MG I und ≈ 0,4 für

MG II) vMörtel Volumenanteil Mörtel im Mauerwerk vStein Volumenanteil Stein im Mauerwerk vHohlraum Volumenanteil der Hohlräume im Mauerwerk F Kraft K Steifigkeit M Masse C Dämpfung Griechische Variablen αϕ Einflußparameter der Spannrichtung des Mauerwerks bei Vorspannung α Winkel βD,M,i Druckfestigkeit der Mauerwerks-Innenschale βD,Mö,m Mittlere Druckfestigkeit des Mörtels βD,MW Senkrechte Druckfestigkeit des Mauerwerks βD,MW,5% 5 % Fraktil der senkrechten Druckfestigkeit des Mauerwerks βD,MW,m Mittlere senkrechte Druckfestigkeit des Mauerwerks βD,St,M Mittlere Druckfestigkeit des Mauerwerksteins βDM Senkrechte Druckfestigkeit des Mauerwerks βDS Steindruckfestigkeit (Prüfkörperschlankheit ≥ 1, d ≥ 5 cm) βHS Haftscherfestigkeit βMörtel Druckfestigkeit des Mörtels βZS Steinspaltzugfestigkeit (geprüft an Bohrkernen, nach DIN 1048, Teil 5, d ≥ 5 cm) µR Reibungsbeiwert σD,MW Mauerwerksdruckfestigkeit der äußeren Schale (einschalig berechnet) σDA Mauerwerksdruckfestigkeit der äußeren Schale σDA1 Mauerwerksdruckfestigkeit der ersten äußeren Schale σDA2 Mauerwerksdruckfestigkeit der zweiten äußeren Schale σDI Mauerwerksdruckfestigkeit der inneren Schale σMW Mauerwerksdruckfestigkeit σx Spannung in x-Richtung des Mauerwerks σxb Spannung des Steines in x-Richtung σxm Spannung des Mörtels in x-Richtung σy Spannung in y-Richtung des Mauerwerks σzb Spannung des Steines in z-Richtung

σzm Spannung des Mörtels in z-Richtung ρ Reibungswinkel von Mörtel, nach BERNDT ≈20° für MG I ≈30° für MG II τ0 Grundwert der Schubspannung τBruch Grenzwert der Schubbeanspruchung τ1;τ2;τ3 Grenzen der Schubspannung

Berechnungsverfahren – Probabilistische Modelle fxi(xi

*) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen xi Fxi(xi

*) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen xi xi

* Vorläufiger Bemessungspunkt der Zufallsvariablen xi mxi

* Mittelwert der genäherten Normalverteilung σ xi

* Standardabweichung der genäherten Normalverteilung Φ Standardnormalwahrscheinlichkeitsverteilung, Standardgaußwahrscheinlichkeitsverteilung Φ−1 Inverse Standardnormalverteilung φ Standardnormalwahrscheinlichkeitsdichteverteilung, Standardgaußwahrscheinlichkeitsdichtevertei-

lung φ−1 Inverse Standardnormalwahrscheinlichkeitsdichteverteilung, Standardgaußwahrscheinlichkeitsdichte-

verteilung V(f) HARDY-KRAUSE-Variation λ LEBESGUE Maß A (E ;n ) Anzahl der Punkte xj, die in der Untergruppe E liegen Dn

(d) Diskrepanz von Punkten n Stichprobenumfang Pf Operative Versagenswahrscheinlichkeit Ps Operative Überlebenswahrscheinlichkeit F ( Pf ) Fehlerterm β Sicherheitsindex, allgemein β(V) Sicherheitsindex für das Versagen der Brücke β(V∩A) Sicherheitsindex für das Versagen der Brücke und der Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit eines

Anpralls βn; βi; βj; βk; βl Sicherheitsindizes βerf Erforderlicher Sicherheitsindex βsys; βt,s Systemsicherheitsindex βt,i Sicherheitsindex der einzelnen Grenzzustände n Anzahl der Elemente xi

(k) Vorläufiger Bemessungspunkt im Originalraum yi

(k) Vorläufiger Bemessungspunkt im Gaußnormalraum αi

(k) Koeffizient an der Tangentialhyperebene ρ Korrelationskoeffizient zwischen den einzelnen Grenzzustandsgleichungen A Koeffizient für die quadratische Antwortfläche B Koeffizientenvektor für die quadratische Antwortfläche C Koeffizientenmatrix für die quadratische Antwortfläche X Vektor der Zufallsvariablen h Faktor für den Abstand der Randpunkte vom Zentrumspunkt im Punktraster für die Erstellung der

Antwortfläche xm Neuer Zentralpunkt im Punktraster für die Erstellung der Antwortfläche µ Mittelwert der Basisvariablen xD Letzter errechneter Zentralpunkt im Punktraster für die Erstellung der Antwortfläche xm1, xm2 Zentralpunkt im Punktraster für die Erstellung der Antwortfläche im ersten und zweiten Iterations-

schritt g(X) Grenzzustandsgleichung zm Meßpunkt

Berechnungsergebnisse und Akzeptables Risiko β( V | A ) Sicherheitsindex während eines Anpralls (nicht zeitabhängig) β(V ∩ A) Sicherheitsindex unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit eines Anpralls (zeitabhängig) B Erwarteter Nutzen der Konstruktion C Erwartete Konstruktionskosten D Kosten im Falle eines Versagens e Mittlere Lebenserwartung

F Häufigkeit (Frequency) g Pro-Kopf-Einkommen (mittlerer Beitrag am Bruttosozialprodukt) K Konsequenz des Eintritts eines Ereignisses L Lebensqualitätsindex N Anzahl von Bauwerken, bei denen die Sicherungsmaßnahme durchgeführt wurde N Anzahl der Todesopfer bei Eintritt einer Katastrophe (eines Ereignisses) NF Anzahl der durch eine Sicherungsmaßnahme verhinderten Todesopfer P Wahrscheinlichkeit des Eintritts eines Ereignisses P( V | A ) Operative Versagenswahrscheinlichkeit während eines Anpralls (nicht zeitabhängig) P(V ∩ A) Operative Versagenswahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit eines

Anpralls (zeitabhängig) Pf1 Operative Versagenswahrscheinlichkeit im Originalzustand der Brücke Pf2 Operative Versagenswahrscheinlichkeit nach Verstärkung der Brücke t bzw. tNW Lebenszeit ohne Arbeitszeit tW Gesamtlebensarbeitszeit w Verhältnis Lebensarbeitszeit zur mittleren Lebenserwartung

Verwendete Software ANSYS 5.1, 5.2 und 5.5 ANSYS, Inc. Dynamisches FE-Modell Mainbrücken Lohr und Segnitz USER01.FOR EP, ANSYS, Inc. Antwort-Flächen-Verfahren (AFV) ATENA Cervenca Consulting Statisches FE-Modell Mainbrücke Segnitz FORTRAN 77 WATCOM Interpreter FORM/SORM/Importance Sampling/AFV FORTRAN Compiler IBM unter AIX FORM/SORM/Importance Sampling/AFV EXCELMAKRO Rodemann, J. (TU Dresden) Wahrscheinlichkeitsplots APPROX Schulz, F. (TU Dresden) Genetischer Approximationsalgorithmus VISTA 5.10 Statistische Auswertung Versuche/Anprallkräfte SIMSTAT Statistische Auswertung Versuche/Anprallkräfte ENVEMA 4.10 Hartmann, L. (TU Dresden) Mischverteilungen entmischen SIMAN IV Microlab Statistische Auswertung Versuche/Anprallkräfte RACKV16.FOR EP FORM/SORM/Importance Sampling/AFV STOSS.FOR EP i.Z. mit Nitzsche, W.M. Verteilung der Anprallkräfte nach Einbau einer Schutzeinrichtung STOME5.for EP i.Z. mit Nitzsche, W.M Anprallkräfte nach Einbau einer Schutzeinrichtung EP: Eigenprogrammierung, die Algorithmen finden sich in dieser Arbeit

Prolog „Was er sah, war sinnverwirrend. In einer krausen, kindlich dick aufgetragenen Schrift be-deckte ein phantastischer Hokuspokus, ein Hexensabbat verschränkter Runen die Seiten. Griechische Schriftzeichen waren mit lateinischen und mit Ziffern in verschiedener Höhe ver-koppelt, mit Kreuzen und Strichen durchsetzt, ober- und unterhalb waagerechter Linien bruchartig aufgereiht, durch andere Linien zeltartig überdacht, durch Doppelstrichelchen gleichgewertet, durch runde Klammern zu großen Formelmassen vereinigt. Einzelne Buch-staben, wie Schildwachen vorgeschoben, waren rechts oberhalb der umklammerten Gruppen ausgesetzt. Kabbalistische Male, vollständig unverständlich dem Laiensinn, umfaßten mit ihren Armen Buchstaben und Zahlen, während Zahlenbrüche ihnen voranstanden und Zahlen und Buchstaben ihnen zu Häuptern und Füßen schwebten. Sonderbare Silben, Abkürzungen geheimnisvoller Worte, waren überall eingestreut, und zwischen den neckromantischen Kolonnen standen geschriebene Sätze und Bemerkungen in täglicher Sprache, deren Sinn gleichwohl so hoch über allen menschlichen Dingen war, daß man sie lesen konnte, ohne mehr davon zu verstehen als von einem Zaubergemurmel.“ THOMAS MANN: „Königliche Hoheit“ 1909 Der Autor hat sich diese Kritik zu Herzen genommen.

Kapitel 1: Einleitung und Zielstellung

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1 Einleitung und Zielstellung Bauwerke sind die einzigen technischen Erzeugnisse, deren Nutzungsdauer die Lebensdauer eines Menschen in der Regel übersteigt. Diese Aussage gilt auch für Brücken. Auf Grund der außerordentlich hohen Lebensdauer besteht die Möglichkeit, daß sich die Rahmenbedingun-gen während dieser Zeit ändern. So können ehemals unbedeutende Einwirkungen durch die Weiterentwicklung in anderen technischen Bereichen zu maßgebenden Einwirkungen werden, die beim Entwurf gar nicht berücksichtigt werden konnten. Der auf Grund wirtschaftlicher Zwänge vorhandene Anstieg des Transportgewichtes und der Geschwindigkeit von Binnenschiffen in Verbindung mit dem Ausbau des Wasserstraßen-netzes in Deutschland kann dazu führen, daß die Einwirkung Schiffsanprall zu einer Gefähr-dung der Standsicherheit alter Brücken mit Natursteinpfeilern wird. Binnenschiffe erreichen heute eine Länge von knapp 200 m, eine Breite von bis zu 12 m und ein Gewicht von mehre-ren tausend Tonnen. Abb. 1-1 zeigt ein Schubschiff bei der Fahrt durch die Alte Mainbrücke Lohr und erlaubt dem Betrachter anhand des Größenvergleiches eine subjektive Beurteilung der Sicherheit der Brücke bei einem Anprallereignis. Neue Brücken werden entweder gegen diese Einwirkung bemessen oder die Schiffahrtsrinne wird beim Neubau pfeilerfrei gestaltet. Bei alten Brücken bestehen diese Möglichkeiten nicht.

Abb. 1-1: Schubschiff fährt durch die Alte Mainbrücke Lohr. Jahr Streckenlänge der Eisenbahn in „Deutschland“ in km 1840 549 1850 6044 1870 19575 1910 61148 Tab. 1-1: Entwicklung der Streckenlänge der Eisenbahn in „Deutschland“ nach MANN [177] Als alte Brücken sollen im folgenden Brücken bezeichnet werden, die zeitlich etwa zwischen der Gründung des Deutschen Reiches 1871 und dem Beginn des 20. Jahrhunderts errichtet wurden. Deutschland erlebte etwa ab den 60er Jahren des 19. Jahrhunderts den im Vergleich zu anderen europäischen Nationen verspäteten Übergang in das Industriezeitalter [177]. Die-ser zeichnete sich u.a. durch einen wachsenden Bedarf für den Menschen- und Gütertransport aus, der zu steigenden Investitionen in der Infrastruktur (Tab. 1-1) und auch zu einer Vielzahl neuer Brücken führte. Die in der damaligen Zeit häufig errichteten Steinbogenbrücken und Stahlfachwerkbrücken erfüllen in vielen Fällen bis heute ihren Dienst. Gerade die Natursteinbogenbrücken sind durch ihr einfaches, aber wirksames statisches System des Bogens und der teilweise sehr hochwerti-


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gen Natursteine in der Lage, die zunehmenden vertikalen Verkehrslasten aufzunehmen. Auf Grund des hohen Gewichtes durch die meist massiv hinterfüllten Bögen zeigen diese Brücken auch einen sehr hohen Widerstand gegen horizontale Lasten, wie z. B. Eislasten. Die Pfeiler der erwähnten alten Brücken liegen i.a. in ihren Abmessungen etwa bei 3-6 m Breite und 8-14 m Länge. Eine Berücksichtigung der heute möglichen Schiffsanprallkräfte zum Zeitpunkt des Entwurfes der Brücken erfolgte aus verständlichen Gründen nicht.

Ob ein Schiffsanprall in unserer Zeit eine reale Gefährdung der Standsicherheit darstellt, soll in der vorliegenden Arbeit beispielhaft an zwei Brücken untersucht werden. Die Darstellung der Gefährdung erfolgt in Form von Versagenswahrscheinlichkeiten und Risiken. Diese Form erscheint hierbei als guter Ansatzpunkt, da neben der Unsicherheit bei der mechanischen Be-schreibung der alten Brücken auch die Wahrscheinlichkeit eines Schiffsanpralls explizit mit berücksichtigt werden kann. Die Quantifizierung der Gefahr eines Versagens infolge Schiffsan-prall durch Ermittlung von Versagenswahrscheinlichkeiten und Risiken an zwei alten Brücken

ist Inhalt dieser Arbeit. Eine vergleichbare Untersuchung ist dem Verfasser nicht bekannt.

Genaue Angaben über die Anzahl aller schiffsanprallgefährdeten Brücken in Deutschland lie-gen dem Verfasser nicht vor. Deutschland verfügt über ein Binnenwasserstraßennetz mit einer Länge zwischen rund 6500 km [261] und 7350 km [232]. Die Gesamtanzahl der Brücken über schiffbare Gewässer in Deutschland beträgt nach eigenen Zählungen 1490, wobei sich dieser Wert aus 1310 Straßenbrücken und 180 Eisenbahnbrücken zusammensetzt. Detaillierte Anga-ben zu dieser Zählung finden sich im Anhang A.

Nach [235] gibt es auf dem Main 70 und auf der Mosel 35 anprallgefährdete Brücken. Mit der Anzahl der Brücken von 111 auf dem Main und 48 auf der Mosel und der Anzahl der anprall-gefährdeten Brücken auf diesen beiden Flüssen kann man den Prozentsatz der gefährdeten Brücken mit 70 / 111 × 100 = 63 % auf dem Main und mit 35 / 48 × 100 = 73 % auf der Mo-sel angeben. Wendet man den hier errechneten geringeren Prozentsatz auf die ermittelte Ge-samtanzahl der Brücken von 1490 an, so erhält man für Deutschland ca. 950 anprallgefährdete Brücken. Allerdings dürfte fraglich sein, ob eine solche Extrapolation ausreichend genau ist. Sie wird aber auf Grund des Mangels anderweitiger Daten hier verwendet.

Über die Altersstruktur dieser ca. 950 Brücken liegen dem Verfasser ebenfalls keine genauen Angaben vor. Die in Abb. 1-2 angegebene Altersstruktur von Brücken in Bundeshand bezogen auf die Brückenfläche (35.000 Fernstraßenbrücken) dürfte kaum für die Altersstruktur der Ge-samtanzahl der Brücken über schiffbare Flüsse maßgebend sein. Der überwiegende Anteil der alten Brücken ist nach Meinung des Verfassers in der Hand der Länder und der Kommunen, da über diese Brücken entweder kleinere Staatsstraßen führen oder sich die Brücken in Städ-ten befinden. Insofern ist vermutlich der Anteil der alten Brücken am Gesamtbrückenbestand größer als in Abb. 1-2 dargestellt (dort unter einem Prozent der Brückenfläche). Eine grobe Schätzung von 5-10 % der ca. 950 als schiffsanprallgefährdet eingestuften Brücken würde ca. 50 bis 100 alte schiffsanprallgefährdete Brücken ergeben.

Als Beispiele für alte anprallgefährdete Sandsteinbogenbrücken über schiffbare Flüsse seien die Alte Mainbrücke Lohr (1875), die Mainbrücke Marktheidenfeldt (ca. 1846 nach [260]), in Dresden die Albertbrücke (1875), die Marienbrücke (1846) (Altersangabe nach KOETTNITZ & SCHWENKE [151]), die Augustusbrücke (1910) und die Alte Bogenbrücke Pirna (1875) genannt.

Für die Festlegung der Gefährdung ist jedoch nicht nur die Brücke selbst maßgebend, sondern auch die zulässige Tonnage der Schiffe. Diese richtet sich nach der Wasserstraßenklasse ent-sprechend des am 24. März 1993 durch das BMV eingeführten neuen, europakonformen Klassifizierungssystems. Im Rahmen von Flußausbauten wird dieses System allerdings ständig aktualisiert. In Abb. 9-1 und Abb. 9-2 im Anhang A ist die Einstufung und Organisa-tion des Wasserstraßennetzes in Deutschland dargestellt.


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Änderung der Methodik zur Erfassung des Straßengüter-fernverkehrs 1990/1991

Binnenschiffverkehr

Eisenbahnverkehr

LKW-Fernverkehr

Rohrfernleitungen

Abb. 1-3: Entwicklung des Binnengüterfernverkehrs aller Verkehrsträger in Deutschland seit 1960


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Um eine Prognose über das zukünftige Verkehrsaufkommen auf den deutschen Binnenstraßen geben zu können, soll kurz ein Vergleich der Entwicklung aller Verkehrsträger in Deutsch-land erfolgen. Prinzipiell kann man feststellen, daß der Gütertransport auf dem Straßenweg die größten Wachstumsraten im Wettbewerb der Verkehrsträger erreicht (siehe Abb. 1-3). Die Wachstumsraten der Binnenschiffahrt sind vergleichsweise bescheiden (Abb. 1-4). In den letzten Jahren fand in der deutschen Binnenschiffahrtsflotte sogar ein Abbau an Trans-portkapazität, wie in Abb. 1-5 erkennbar, statt. Der Beschluß für den Abbau erfolgte bereits 1989. Zehn Jahre später galt der Umbau als abgeschlossen. Es erfolgte ein Abbau von ca. 15 % Flottenkapazität mit dem Ziel der Beendigung der Wirtschaftskrise im Binnenschiff-fahrtsverkehr. Dieser Abbau erfolgte allerdings nicht gleichmäßig über die Flotte. So ver-ringerte sich am Rhein 1997 die Binnenflotte nur um ca. 7 %. Im einzelnen erfolgte ein Ab-bau um 7,5 % in der Trockenladungsflotte, aber nur 4 % in der Tankflotte. Die Schubleichter-flotte verringerte sich sogar nur um 3 %. Das Wachstum des Verkehrsaufkommens kann nur durch größere Schiffe, eine höhere Ausla-stung der Schiffe und einer Erhöhung der Kilometerleistung der Schiffe zustande gekommen sein. Abb. 1-5 veranschaulicht diesen Sachverhalt. Dort ist deutlich der stärkere Abbau der An-zahl der Schiffe im Vergleich zur Tonnage erkennbar, was nichts anderes als eine Verschie-bung der Flottenstruktur hin zu schwereren Schiffen darstellt. Für die nahe Zukunft geht man davon aus, daß sich das beförderte Containervolumen im Ver-gleich zum Jahre 1997 bis 2010 verdoppeln wird (WÜNSCHT [330]). Für den Rhein wie auch für andere Flüsse wird von einer jährlichen Zuwachsrate von 6,7 % für den Containerverkehr auf Binnenschiffen ausgegangen. Ähnliche Zahlen nennt auch MÜNTEFERING [201]. Das Wachstum wird sich jedoch hauptsächlich auf den Rhein und das Seehafenhinterland in Bre-merhaven und Hamburg beziehen. Möglichkeiten für ein kräftiges Wachstum des Container-transportes auf bayerischen Binnenwasserstraßen sehen auch GÜNTHNER & SEGERER [113]. Für den Rhein umfaßt der Containerverkehr derzeit allerdings nur 5 % des Binnenschiffahrts-volumens [337]. Das bedeutet, daß das kräftige Wachstum des Containerverkehrs nur geringe Auswirkungen auf die Entwicklung des Transportvolumens der Binnenschiffe zeigen wird. Beim Transport von KFZ und LKW auf Binnenschiffen wird nur von einem schwachen Wachstum ausgegangen. Auf Grund des bisherigen Verkehrsaufkommens und der prognostizierten Entwicklung kann man davon ausgehen, daß keine signifikanten Änderungen des Verkehrsaufkommens auf Bin-nenschiffahrtsstraßen zu erwarten sind. Auf den Effekt der Eröffnung des Rhein-Main-Donau-Kanals wird in Kapitel 2 noch eingegangen. Der Anteil ausländischer Schiffe bei der Bewältigung des Güterverkehrs auf deutschen Wasser-straßen wurde bisher nicht behandelt. Abb. 1-6 stellt die zeitliche Entwicklung des Beitrags ausländischer Schiffe am Gesamtverkehrsaufkommen dar. 1999 lag dieser bei etwa 60 %. Der hohe Anteil ausländischer Schiffe auf deutschen Schiffahrtsstraßen spiegelt sich auch in der Unfallstatistik (Abb. 1-7) wider und erreicht ähnliche Größenordnung wie der Anteil am Verkehrsaufkommen. Mit den bisher genannten Fakten ergibt sich folgendes Bild für das Binnenschiffahrtswesen in Deutschland und für die gefährdeten Brücken: In den nächsten Jahren wird voraussichtlich keine wesentliche Erhöhung des Verkehrsaufkommens auf den deutschen Binnenschiffahrt-straßen zu erwarten sein. In der Flottenstruktur ist ein Trend zu höheren Transportmassen der Schiffe erkennbar, eine klare Aussage ist aber auf Grund des großen Anteiles ausländischer Schiffe auf dem deutschen Binnenschiffahrtsnetz nicht möglich.


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Rheinverkehr Stand 31.12.1999

Abb. 1-4: Entwicklung des Binnenschiffahrtsverkehrs in Deutschland in Milliarden tkm seit 1900

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Anzahl der Frachtschiffe >20 Tonnen

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Trendlinie Tragfähigkeit der SchiffeTrendlinie der Anzahl der Schiffe

Abb. 1-5: Entwicklung der Binnenschiffflottenkapazität in Deutschland seit 1978


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Gesamtverkehr in Deutschland

Verkehr mit Schiffen aus Deutschland

Abb. 1-6: Entwicklung des Binnenschiffgüterverkehrs in den 90er Jahren in Deutschland (nach ELWIS -Elektronisches Wasserstraßeninformationssystem im Internet)

Deutschland

Niederlande

Slowak. Rep.Schweiz

Portugal

Ungarn

Luxemburg

Bulgarien

JugoslawienFrankreich

Belgien

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Tsch. Republik

GUS-Staaten

NorwegenÖsterreich

Polen

Rumänien

UkraineSpanien

Abb. 1-7: Verhältnis der Anzahl der Schiffe nach Flaggen bei Verkehrsunfällen in Deutschland 1998 (Gesamtanzahl der Verkehrsunfälle 1321) nach STEDE [282]


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Für die Einwirkung Schiffsanprall ergeben sich damit zwei Vermutungen: Die Anzahl der Schiffanpralle müßte mit zunehmendem Verkehr ebenso steigen wie die Kraft der Schiffsan-pralle mit zunehmender Tonnage der Binnenschiffe. Diese beiden Vermutungen werden im folgenden Kapitel „Einwirkung Schiffsanprall“ untersucht. Im Anschluß daran werden die beiden Brücken im Kapitel „Widerstandsseite“ vorgestellt, für die eine ausführliche Berechnung mit dem Ziel der Ermittlung der Versagenswahrscheinlich-keit bzw. von Risiken bei Schiffsanprall erfolgen soll. Um die Grenzen der hier vorgestellten Berechnung zu verdeutlichen, werden die verwendeten „Berechnungsverfahren“ im gleich-namigen Kapitel nach der Vorstellung von Einwirkung und Widerstandsseite behandelt. Dem ausschließlich an dem Ergebnis interessierten Leser sei empfohlen, ohne Umwege das Kapitel 5 „Berechnungsergebnisse“ aufzuschlagen. Dort werden die im Rahmen dieser Arbeit ermittelten Ergebnisse vorgestellt und kommentiert. Die eigentlichen Nachweise mit dem Vergleich zulässiger Werte finden sich im Kapitel 6 „Akzeptables Risiko“. Eine umfangreiche Diskussion dieser Werte und die Ausdehnung des Gefährdungsbegriffes von der im Bau-wesen üblichen operativen Versagenswahrscheinlichkeit auf Darstellung von Risiken erschien dem Verfasser notwendig, da die Verwendung der Versagenswahrscheinlichkeit mit einigen Unzulänglichkeiten behaftet ist.

Kapitel 2: Einwirkung Schiffsanprall

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2 Einwirkung Schiffsanprall

2.1 Allgemeines zur Einwirkung Schiffsanprall Bauwerke unterliegen im Laufe ihrer Existenz verschiedenen Einwirkungen. Diese Einwir-kungen kann man in Abhängigkeit vom Charakter ihres Zusammenwirkens mit dem Bauwerk bzw. dem Baustoff einordnen. Eine mögliche Einordnung der Einwirkungen auf Stahlbeton-konstruktionen gibt die folgende Tabelle wieder. Chemische Einwirkung Korrosion des Bewehrungsstahls im Beton Karbonatisierung

Chloridangriff Zerstörung der Betonmatrix Säureangriff

Sulfatangriff Alkalireaktion

Physikalische Einwirkung Frost- und Frost-Tausalz-Angriff Abrieb Lasten (z.B. Eigen- u. Verkehrslast) Anprall

Tab. 2-1: Einwirkungen

Nach ZILCH & ROGGE [339] folgt die E-DIN 1045-1 (12.98) dieser Einteilung. Ähnliche Zu-ordnungen von Einwirkungen lassen sich auch für andere Baustoffe, wie z. B. Naturstein-mauerwerk erstellen. Damit ist der rechnerische Nachweis der Tragfähigkeit ein Sonderfall des Nachweises einer physikalischen Einwirkung, die unterschiedliche Ursachen besitzen kann, wie z. B. Wind, Schnee, Eigen-, Verkehrslast und Vorspannung. Wichtig für den Inge-nieur bei der Klassifizierung der Einwirkungen ist die Art der Nachweiserbringung der Si-cherheit des Bauwerkes. Während der Nachweis einiger Einwirkungen rechnerisch erfolgt, werden andere Nachweise nur durch pauschale Regelungen, im Stahlbetonbau z. B. durch konstruktive Regelungen, abgedeckt. Der Schiffsanprall zählt zu den Einwirkungen, die rech-nerisch nachgewiesen werden müssen. Die rechnerischen Nachweise der Sicherheit erfolgen üblicherweise mit nur einem charakteri-stischen Wert einer zeitlich veränderlichen Einwirkung. Die Diskussion eines derartigen Wertes unter Berücksichtigung der statistischen Eigenschaften der Einwirkung Schiffsanprall ist ein wesentlicher Inhalt dieses Kapitels. Auf die Beschreibung der Sicherheit mittels wahr-scheinlichkeitstheoretischer Grundlagen wird in Abschnitt 4.3 eingegangen. Es sei an dieser

Stelle nur erwähnt, daß dieses Modell der Beschreibung, auf welches in den folgenden Kapiteln

zurückgegriffen wird, Eingang in das vorhandene moderne Vorschriftenwerk gefunden hat. Physikalische Einwirkungen auf die Tragfähigkeit von Bauwerken können über die Zeit ein kontinuierliches, differenzierbares Verhalten zeigen oder zu diskreten Zeitpunkten eine plötz-liche Zustandsänderung (Puls) aufweisen (Abb. 2-1). Anpralle gehören als Pulsprozeß zur zweiten Gruppe der stochastischen Prozesse der physikalischen Einwirkungen. Die Dauer der Einwirkung ist im Vergleich zur Lebensdauer des Bauwerkes vernachlässigbar gering. Da Anpralle ein sehr seltenes Ereignis sind, werden diese Prozesse als POISSON-Prozesse abgebil-det. Die Überführung der Binomialverteilung in eine POISSON-Verteilung bzw. einen -prozeß zur Beschreibung seltener Ereignisse wird an dieser Stelle nicht behandelt. Kontinuierliche zeitliche Prozesse, wie z. B. Wind, lassen sich als Zufallsvariablen darstellen, denen über die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion eine Wiederkehrperiode zugeordnet


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werden kann. Dazu wird meistens aus dem kontinuierlichen Verlauf eines Jahres ein Extrem-wert ermittelt und aus diesen Extremwerten eine Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion entwickelt, beim Wind z. B. häufig die Gumbelverteilung [273]. Mittels dieser Verteilung ist es dann möglich, Bemessungswerte und charakteristische Werte für Nachweise der Tragfä-higkeit in Abhängigkeit von ihrer Wiederkehrperiode pro Jahr bereitzustellen.

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Zeitachse Abb. 2-1: Beispiele für zeitabhängige Einwirkungen (Oben: Verkehrslasten in Hochbauten; Mitte: Impulslasten, wie z. B. ein Anprall; Unten: Windlast) Bei Stoßprozessen ist der Bezug auf ein Jahr im Sinne einer Extremwertverteilung nicht mög-lich, da das Ereignis viel zu selten eintritt. Vielmehr stellt man eine Verteilung für den Betrag der Einwirkung, im vorliegendem Fall also für die Anprallkraft, auf, wenn das Ereignis An-prall stattfindet. Fraktilwerte dieser Verteilung können bereits als Beträge mit einer zugehöri-gen Wiederkehrperiode dargestellt werden. Da aber nicht jedes Jahr ein Anprall stattfindet, wird noch ein zweiter Term notwendig: dieser Term ist die Anprallwahrscheinlichkeit P(A). Daß der Anprall von Schiffen gegen Brücken kein Ereignis ist, welches erst in den letzten Jahren oder Jahrzehnten zu einer realen Bedrohung für Brückenbauwerke geworden ist, ver-mitteln die folgenden Darstellungen eindrucksvoll. Neben den Bildern, die Anpralle aus dem 19. Jahrhundert und vom Anfang des 20. Jahrhunderts zeigen, befinden sich in der Zusam-menstellung auch Beispiele über Anpralle aus den letzten Jahren. Unfallhergänge im Einzelnen sollen an dieser Stelle nicht weiter untersucht werden. Detail-lierte Beschreibungen von Unfällen findet man z. B. in folgenden Quellen: Der Unfall an der Alten Mainbrücke Lohr 1999 wurde ausführlich in der Mainpost vom 12.5.1999 beschrieben. Ein neuerer Zwischenfall auf der Mosel wird in [249] dargestellt. Eine Beschreibung von Schiffahrtsunfällen in Basel findet sich bei GROB & HAJDIN [107], für den deutschen Raum schildert KUNZ [160] einige Unfälle. Eine Zusammenfassung von Unfällen weltweit findet sich in FRANDSEN [91]. Die Beschreibung des Unfalles der CSX/Amtrak Railroad Bridge kann PHILLIPS [229] entnommen werden. Erwähnt sei an dieser Stelle noch der Anprall der Seestern im August 2000 gegen die Bahnhofsbrücke in Warnemünde. Dabei wurde der Über-bau der Brücke um einen halben Meter verschoben (Ostseezeitung vom 10.8.2000). Die letz-ten dem Verfasser bekannten Unfälle mit Todesopfern ereigneten sich im September 2001 in Texas und im Mai 2002 in Oklahoma. Am Rande erwähnt sei noch ein Schiffsanprall der be-sonderen Art: 1988 stieß ein deutsches U-Boot mit der Oseberg B Erdölplattform in der Nord-see zusammen (AMDAHL & EBERG [5]).


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a) Donaustaufbrücke bei Regensburg, 1837 b) Baugerüst der Hammer Eisenbahnbrücke am Rhein, 1869

c) Elbebrücke Dresden, 1906 d) Maraçaibo Brücke, Venezuela, 1964

e) Hopewell Bridge, Virginia, USA, 1977 f) Sunshine Skyway Bridge, Florida, USA, 1980

g) Tjörn Brücke, Schweden, 1980 h) Tjörn Brücke, Schweden, 1980


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i) Strängnäs Brücke, Schweden, 1990 j) Carnafuli Brücke, Burma, 1991

k) Kattwyk-Hubbrücke, Hamburg, 1991 l) CSX/Amtrak Railway Bridge, Mobile, USA, 1992

m) Schiff nach Anprall, Mainbrücke Volkach, 1992

o) Schiff nach Anprall (Beispiel)

p) Mainbrücke Lohr, Pfeiler II, 1999 q) Mainbrücke Lohr, Pfeiler II, 1999


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r) Mainbrücke Lohr, Pfeiler II, 1999 s) Mainbrücke Lohr, Pfeiler II, 1999

t) Mainbrücke Segnitz, 2000 u) Port Isabel, USA, 2001 (8 Tote)

v) Webber-Falls, USA, 2002 (12 Tote)

Abb. 2-2: Beispiele von Schiffsanprallen gegen Brücken

Bei der Zusammenfassung einzelner Schiffsanpralle stellt sich automatisch die Frage, wie häufig derartige Ereignisse eigentlich auftreten.

2.2 Anprallhäufigkeit als Zeitabhängigkeit der Anprallkraft

2.2.1 Einleitung Die Häufigkeit des Ereignisses Schiffsanprall gegen Brücken bzw. die daraus abgeschätzte Wahrscheinlichkeit ist eine wichtige Größe bei der Bestimmung einer Bemessungsanprall-kraft. Die Bemessungsanprallkraft soll basierend auf wahrscheinlichkeitstheoretischen Grund-lagen gemäß Normenwerk eine mittlere Wiederkehrperiode von 10.000 Jahren (Tab. 2-2) be-sitzen. Die mittlere Wiederkehrperiode mt ist mit der Wahrscheinlichkeit eines Anpralls mit


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einer bestimmten Kraft F über 11 ( )tm

P F A=

− ∩bzw. 1( ) 1

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P F Am

∩ = − verknüpft. Die Ein-

trittswahrscheinlichkeit eines Anpralls mit einer bestimmten Anprallkraft wird aus ( ) ( ) ( | )P F A P A P F A∩ = ⋅ ermittelt. Die Anprallwahrscheinlichkeit geht in diese Berech-

nung direkt ein. Bei einer später noch genauer behandelten probabilistischen Berechnung wird der direkte Einfluß der Anprallwahrscheinlichkeit noch deutlicher. Ermittelt man die Ver-sagenswahrscheinlichkeit einer Brücke unter Schiffsanprall, so ergibt sich die Gesamtver-sagenswahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines An-pralls zu: ( ) ( ) ( | )P V A P A P V A∩ = ⋅ . Im Wert )|( AVP stecken alle weiteren Wahrschein-lichkeiten, z. B. für Festigkeiten oder die Anprallhöhe. Damit ergibt sich:

|

1 10.000 Jahre.1 ( ) ( | )t F A F Am m m m

P A P F A= = = ⋅ =

− ⋅

Keine andere Größe hat einen so direkten Einfluß auf das Endergebnis wie die Anprallwahr-scheinlichkeit. Die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind noch einmal in Abb. 2-3 symbolisch dargestellt. Hierbei wird insbesondere die Entkopplung der Versagenswahrscheinlichkeit der Brücke bei Schiffsanprall gemäß E DIN 1055-9 klar er-kennbar (unterer Teil des Bildes).

P(A) P(V|A)

P(V|A)-P(F|A)

P(A)

GruSiBau

DIN 1055-9

P(H|A)P(f |A)

P(A) P(A)

P(F|A)

P(F|A)

P(F|A)

P(V|A)-P(F|A)=const.=10-2

Zielwert für Bemessungskraft: const.=10P(V|A) P(F|A)=∩ -4

Zielwert für Bemessung: =10P(V|A)∩ -6P(A)

P(...|A)

P(A):

P(V | A):

P(F | A):

P(H | A):

P(f | A):

P(...|A):

Wahrscheinlichkeit, daß ein Schiffsanprall gegen eine Brücke stattfindet Wahrscheinlichkeit eines Brückenversagens bei einem Schiffsanprall Wahrscheinlichkeit der Schiffsanprallkraft bei einem Anprall Wahrscheinlichkeit der Anprallhöhe bei einem Anprall Wahrscheinlichkeit der Baustofffestigkeit bei einem Anprall Wahrscheinlichkeit einer weiteren beliebigen Bauwerkszufallsgröße

Abb. 2-3: Symbolische Darstellung der verschiedenen Wahrscheinlichkeiten nach GruSiBau [211] und E DIN 1055-9 (3/2000) [72] Leider ist die wahre Anprallwahrscheinlichkeit unbekannt. Man kann aber anhand der erfaß-ten Anprallhäufigkeiten der letzten Jahre eine Schätzung der Anprallwahrscheinlichkeit abge-ben. Anhand verschiedener gesichteter Quellen sollen darum Anprallhäufigkeiten zusammen-gefaßt werden. Name der Einwirkung (E.) Norm Überschritten Außergewöhnliche E. Charakteristische E. (Verkehr) Charakteristische E. Seltene E. Nicht-häufige E. Häufige E. Häufige E. Quasi-ständige E.

DIN 1055-9 DIN FB 101 DIN 1055-100 DIN 1055-100 DIN 1055-100 DIN 1055-100 DIN FB 101 DIN 1055-100

1 × in 10.000 Jahren 1 × in 1.000 Jahren 1 × in 50 Jahren 1 × in 10 Jahren 1 × in 1 Jahr 300 × in 1 Jahr 50 × in 1 Jahr 50% der Zeit

Tab. 2-2: Wiederkehrperiode verschiedener Bemessungseinwirkungen


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2.2.2 Anprallhäufigkeiten gegen Brücken weltweit LARSEN [163] gibt eine Statistik der Anzahl schwerer Unfälle zwischen Brücken und Schiffen für den Zeitraum 1960-1991 weltweit an (Abb. 2-4). Die Unfälle beziehen sich sowohl auf den

Binnen- als auch auf den maritimen Bereich.

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Abb. 2-4: Anzahl schwerer* Unfälle weltweit zwischen 1960 und 1991 nach LARSEN [163] * Das Wort schwer ist in diesem Zusammenhang nicht definiert Eine Zusammenstellung schwerer Unfälle findet sich auch in MASTAGLIO [180]. Dieser Quelle

ist die folgende Liste (Tab. 2-3) der Schiffsanpralle an Brücken mit Todesfolge zum über-wiegenden Anteil entnommen. Neuere Anpralle wurden vom Verfasser hinzugefügt. Name der Brücke Jahr Anzahl Todesopfer Summe pro Jahrzehnt Quelle Severn River Railway Bridge, U.K 1960 5 [180] Lake Ponchartain, USA 1964 6 11 [180] Sidney Lanier Bridge, USA 1972 10 [180] Lake Ponchartain Bridge, USA 1974 3 [180] Tasman Bridge, Australien 1975 15 [180] Pass Manchac Bridge, USA 1976 1 29 [180] Tjorn Bridge, Schweden 1980 8 [180] Sunshine Skyway Bridge, USA 1980 35 [180] Lorraine Pipeline Bridge, Frankreich 1982 7 [180] Sentosa Aerial Tramway, China 1983 7 [180] Volga River Railroad Bridge, Sowjetunion 1983 176 233 [180] Claiborn Avenue (Judge Seeber) Bridge, USA 1993 1 [180] CSX/Amtrak Railroad Bridge, USA 1993 47 48 [180] Port Isabel, USA 2001 8 Tagespresse Webber-Falls, USA 2002 12 bisher 20 Tagespresse

Tab. 2-3: Schiffahrtsunfälle mit Todesopfern überwiegend nach MASTAGLIO [180]


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In SCHEER [257] findet sich eine Zusammenstellung für Schiffsanpralle (Abb. 2-5). Diese Zu-sammenstellung unterscheidet allerdings ebenso wie alle bisher genannten und vorgestellten Zusammenfassungen nicht zwischen Binnen- und Hochseeschiffahrt.

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Abb. 2-5: Brückenversagen infolge Schiffanprall nach SCHEER [257]

Alle drei Zusammenfassungen zeigen eine Häufung von Anprallen Ende der 70er und Anfang der 80er Jahre. Insbesondere die letzten beiden Unfälle in den USA 2001 und 2002 zeigen aber, daß die Gefahr eines solchen Ereignisses mit Todesfolge weiterhin existiert.

2.2.3 Häufigkeit von Binnenschiffahrtsunfällen in Deutschland Bevor auf den Sonderfall eines Binnenschiffahrtsunfalls, den Schiffsanprall gegen Flußbrük-ken, eingegangen wird, sollen zuerst ein paar allgemeine Zahlen über die Unfallentwicklung auf den Binnenschiffahrtsstraßen in Deutschland genannt werden. Unter einem Binnenschif-fahrtsunfall werden neben einem Brückenanprall z.B. auch Zusammenstöße zwischen Schif-fen, Uferanfahrten oder Anfahrten gegen Schleusen, verstanden. Abb. 2-6 gibt die Entwick-lung der Anzahl der Unfälle auf deutschen Binnenschiffahrtsstraßen wieder. Deutlich erkenn-bar ist der fallende Trend der absoluten Unfallzahlen seit den 60er Jahren. Insbesondere die 70er Jahre zeigen einen starken Rückgang. In den 90er Jahren bildete sich ein Plateau. Für den Main (KUNZ [158]) und die Donau (KUNZ [159]) liegen detaillierte Angaben sowohl zu den längenbezogenen Unfallzahlen als auch zum Verkehrsaufkommen vor. Die Werte für den Main finden sich in Tab. 2-4. Mit den Zahlen für die Staustufe Rothenfels liegen sogar Werte nur für einen einzelnen Abschnitt am Main vor (KUNZ [158]). Wie bereits in Abb. 2-6 erkennbar, ist auch in Tab. 2-4 eine Abnahme der Unfälle in den 70er und 80er Jahren zu beobachten, die allerdings in den 90er Jahren nicht mehr fortgesetzt wer-den konnte. Sowohl die Zahlen für den Main (Tab. 2-4) gesamt als auch für die Staustufe Ro-thenfels (Tab. 2-5) speziell zeigen eine Zunahme der Unfallzahlen, insbesondere seit 1993.


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Dieser Effekt kann auf die Eröffnung des Rhein-Main-Donau-Kanals am 25.9.1992 zurückge-führt werden. Damit wurde eine 3500 km lange Schiffahrtsstraße zwischen Nordsee und Schwarzem Meer eröffnet. Dadurch ist auch die Zunahme des Verkehrsaufkommens ab 1993 in Tab. 2-4 zu erklären. Die Verteilung der Unfälle auf die Wasserstraßen in Deutschland ist in Abb. 2-7 dargestellt. Die Binnenschiffahrtsunfälle sind ungleichmäßig auf das Wasserstraßennetz in Deutschland verteilt. Jahr Anzahl der

Fahrzeuge nSchiffe

Anzahl der Unfälle gesamt

Anzahl der Unfälle auf der Fahrstrecke

nUnfälle

Unfälle zu Fahrzeuge

Mittlere Fahr-strecke s [km] ⋅

Unfälle

Schiffe

nn s

1969 17691 206 178 0,0101 208,5585 0,0000482 1970 17144 227 191 0,0111 213,4579 0,0000522 1971 20638 249 202 0,0098 218,4724 0,0000448 1972 21453 242 190 0,0089 223,6047 0,0000396 1973 19020 249 200 0,0105 228,8576 0,0000459 1974 16422 183 137 0,0083 234,2338 0,0000356 1975 14613 143 102 0,0070 239,7363 0,0000291 1976 16195 174 127 0,0078 245,3682 0,0000320 1977 14037 150 109 0,0078 251,1323 0,0000309 1978 14463 133 89 0,0062 257,0318 0,0000239 1979 14090 133 96 0,0068 263,0699 0,0000259 1980 12977 109 85 0,0066 269,2498 0,0000243 1981 12039 130 106 0,0088 275,5750 0,0000320 1982 11907 135 110 0,0092 282,0487 0,0000328 1983 11359 98 76 0,0067 288,6745 0,0000232 1984 10427 114 96 0,0092 295,4560 0,0000312 1985 9607 98 78 0,0081 302,3967 0,0000268 1986 9424 101 87 0,0092 309,5005 0,0000298 1987 8555 109 94 0,0110 316,7712 0,0000347 1988 9487 100 85 0,0090 324,2127 0,0000276 1989 9511 96 79 0,0083 331,8290 0,0000250 1990 9854 115 106 0,0108 339,6242 0,0000317 1991 8428 102 78 0,0093 347,6026 0,0000266 1992 8961 103 79 0,0088 355,7683 0,0000248 1993 10730 125 101 0,0094 364,1259 0,0000259 1994 11162 137 99 0,0089 372,6799 0,0000238 1995 11423 139 110 0,0096 381,4347 0,0000252 1996 11089 128 89 0,0080 390,3953 0,0000206

Tab. 2-4: Unfallzahlen auf dem Main von 1969-1996 nach KUNZ [158] Jahr Anzahl der Unfälle 1983 7 1984 5 1985 3 1986 2 1987 3 1990 3 1991 2 1992 1 1993 7 1994 6 1995 4

Tab. 2-5: Binnenschiffahrtsunfälle auf dem Main, Staustufe Rothenfels, nach KUNZ [158]


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3500

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1984

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1990

1992

1994

1996

Jahr

Ver

kehr

sunf

älle

in d

er B

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nsch

iffah

rt

Abb. 2-6: Entwicklung der Unfallzahlen in Deutschland nach STEDE [282]

0

20

40

60

80

100

120

140

Rhe

inge

biet

Rhe

in

Nie

derr

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Mitt

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ein

Obe

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el, S

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Elbe

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Wes

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Anz

ahl

UnfalldichteUnfallrate

Abb. 2-7: Unfallrate und Unfalldichte nach STEDE [282] in Anzahl pro 1 Mrd. tkm Güterbe-förderung *Die Spalte Berlin umfaßt zusätzlich Mecklenburg-Vorpommern und Brandenburg ** Mittellandkanal *** Westdeutsches Kanalgebiet.


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2.2.4 Häufigkeit von Schiffsanprallen in Deutschland Bisher wurde von längenbezogenen Unfallzahlen ausgegangen bzw. wurden Gesamtunfall-zahlen angegeben. Ob Unfallzahlen repräsentativ sind für die Untergruppe der Schiffsanpralle, muß der direkte Blick auf die Anprallzahlen zeigen. In der folgenden Tabelle ist die Anzahl der Binnenschiffahrtsunfälle mit Brücken, Kais und Schiffahrtszeichen und die Anzahl der Unfälle mit Schäden an Brücken für die 90er Jahre zusammengestellt (Zahlen von 1991 bis 1996 nach STEDE [282], 1997 & 1998 [283]).

Jahr Unfälle mit Brücken, Kais, Schiffahrtszeichen

Unfälle mit Schäden an Brücken

1991 112 12 1992 175 32 1993 191 31 1994 198 15 1995 201 11 1996 190 12 1997 176 kein Wert bekannt 1998 199 20

Mittelwert 180,2 19

Tab. 2-6: Unfälle mit Schäden an Brücken Nach Auskunft von HORN [125] sind die extrem hohen Unfallraten im Berliner Raum (Abb. 2-7) zu Beginn der 90er Jahre auf die wirtschaftliche Umstrukturierung der neuen Bundeslän-der zurückzuführen. Laut HORN [125] hat sich durch die Währungsunion eine drastische Veränderung der Flottenstruktur ergeben. Zusätzlich fand eine Vielzahl von Baumaßnahmen in Berlin statt. Diese Baumaßnahmen sollen längerfristig zu einer Verringerung der Anprall-zahlen führen. Extreme Beispiele für Anprallbrücken im Berliner Raum sind die Meckernsee-brücke (3 Anpralle in einer Woche) und die Sandkrugbrücke ([125]). Nach LOHRBERG & KEITEL [169] galt für den Zeitraum vor 1990: 9 Unfälle/Jahr mit Brückenpfeilern bei 17,9 Millionen Brückenpassagen pro Jahr Für das gesamte Binnenschiffahrtsnetz gilt 1 Unfall pro 2.000.000 Brückenpassagen bzw. H = 0,5·10-6 /pro Passage 1 Unfall pro 850.000 Betriebsstunden bzw. H = 1,18·10-6 /pro Betriebsstunde

Mit den in Kapitel 1 geschätzten 950 anprallgefährdeten Brücken in Deutschland ergibt sich entweder mit dem in Tab. 2-6 angegebenen mittleren Wert von 19 Anprallen mit Schäden an Brücken pro Jahr 20 / 950 = 0,021 und mit den Werten nach LOHRBERG 9 / 950 = 0,0095 als jährliche Anprallhäufigkeit bzw. Anprallrate. Unter Zugrundelegung der Angaben des Straßenbauamtes Würzburg können Anprallwerte zumindest für den Verantwortungsbereich des Straßenbauamtes zwischen Schiffen und Brük-ken für den Zeitraum 1997-2001 Bauwerken zugeordnet werden (NITZSCHE [208], [209] (Tab. 2-7). Auf dem Main befinden sich ca. 70 anprallgefährdete Brücken [235]. Damit ergibt sich mit den vorliegenden Daten im Straßenbauamt Würzburg eine jährliche Anprallhäufigkeit pro Brücke zu (8+14)/(20 Jahre × 70 Brücken) = 0,016 (der Wert 8 ist [235] entnommen) anhand der letzten 20 Jahre. Im Bereich des Straßenbauamtes Würzburg gibt es 10 anprallgefährdete Brücken. Damit ergibt sich für die Kollisionsrate 14/(20 Jahre × 10 Brücken) = 0,07. Um eine Verfälschung durch Unfallschwerpunkte zu vermeiden, wurde im weiteren mit 0,016 pro Jahr pro Brücke gerechnet. Dieser Wert liegt deutlich über dem in [235] angegebenen Wert von 0,008 für den Main.


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Lfd. Nr. Bauwerk Straße Datum Schiffstyp 1 Mainbrücke Wertheim St 2440 14.3.1997 Kein Schubverband 2 Mainbrücke Marktheidenfeld B 8 1.11.1997 Schubverband 3 Mainbrücke Marktheidenfeld B 8 22.12.1998 Schubverband 4 Mainbrücke Marktheidenfeld B 8 21.3.1999 Schubverband 5 Alte Mainbrücke Lohr St 2437 10.5.1999 Schubverband 6 Mainbrücke Karlstadt St 2435 12.2.2000 Schubverband 7 Mainbrücke Segnitz St 2273 24.4.2000 Schubverband 8 Mainbrücke Marktheidenfeld B 8 10.9.2000 Schubverband 9 Mainbrücke Volkach St 2260 30.11.2000 Schubverband 10 Mainbrücke Marktheidenfeld B 8 5.12.2000 Einzelschiff 11 Mainbrücke Marktheidenfeld B 8 30.1.2001 Schubverband 12 Mainbrücke Segnitz St 2273 29.3.2001 Einzelschiff 13 Mainbrücke Segnitz St 2273 30.7.2001 Schubverband 14 Mainbrücke Marktheidenfeld B 8 28.3.2002 Einzelschiff

Tab. 2-7: Anpralle an Brücken im Bereich des Straßenbauamtes Würzburg 1997-2002

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1

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5

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1984

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1995

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1997

1998

1999

2000

2001

Jahr

Anz

ahl d

er A

npra

lle im

SB

A W

ürzb

urg

Abb. 2-8: Anzahl der Schiffsanpralle an Brücken im Bereich des Straßenbauamtes Würzburg pro Jahr Datum Brücke 26.3.1906 Marienbrücke – Dresden 1928 Marienbrücke – Dresden 26.7.1978 Marienbrücke – Dresden 24.2.1981 Marienbrücke – Dresden 17.4.1984 Alte Brücke – Torgau 13.9.1986 Augustusbrücke – Dresden 18.12.1986 Augustusbrücke – Dresden 20.2.1987 Marienbrücke – Dresden 28.12.1987 Augustusbrücke – Dresden Anfang 2002 Augustusbrücke – Dresden 16.4.2002 Augustusbrücke – Dresden 21.9.2002 Augustusbrücke – Dresden 10.4.2003 Augustusbrücke – Dresden

Tab. 2-8: Anpralle gegen Brücken im Bereich des Wasserstraßenamtes Dresden


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Auch für den Bereich des Wasserstraßenamtes Dresden liegen einige Angaben zu Schiffsan-prallen vor, die in der Tab. 2-8 zusammengefaßt sind. Auf Grund mündlicher Aussagen des Dresdener Wasserstraßenamtes muß man aber davon ausgehen, daß diese Tabelle nicht alle aufgetretenen Unfälle beinhaltet. Die Mehrzahl der Un-fälle erfolgte nach gleichem Muster: bei hohem Wasserstand (Herbst & Frühjahr) und eventu-ell noch Wind fuhren Schleppkähne durch die Brücke und anschließend stellten sich die Schiffe auf Grund von Motor- bzw. Navigationsproblemen quer und wurden gegen die Brük-ke geschoben. In den 80er Jahren zeigten die Unfallzahlen einen Höhepunkt. Der Rückgang der Unfälle seit Beginn der 90er Jahre basiert wahrscheinlich auf einer Verringerung des Ver-kehrsaufkommens auf der Elbe Höhe Dresden von 4 Millionen Tonnen im Jahre 1990 auf ca. 1,5 Millionen Tonnen im Jahre 2000. Berücksichtigt man die letzten 20 Jahre, so ergibt sich für Dresden mit 9 Brücken (2 Eisenbahnbrücken und 7 Straßenbrücken) eine Anprallhäu-figkeit bzw. Anprallrate von 7/(20 Jahre × 9 Brücken) = 0,038 Anpralle pro Brücke pro Jahr. Fluß Anpralle pro

Jahr pro Brücke Anpralle pro Brücke pro Schiffpassage

Quelle

Themse (U.K) 0,2300 10,7·10-6 [235]Seine (F) 0,0313 [235]Seine (F) 0,0556 15,7·10-6 [235]Drogden Channel (DK/S) 1,7561 59,0·10-6 [235]Main (D) 0,0088 0,7·10-6 [235]Main (D) 0,0160 61,0·10-6 Eigene WerteLohr (Main) (D) 0,0351 21,0·10-6 KUNZ [158]Mosel (D) 0,0370 0,7·10-6 [235]Donau (Vilshofen) (D) 0,1580 KUNZ [159]Deutschland 0,0210 STEDE [282] & STEDE [283]Deutschland 0,0095 0,5·10-6 LOHRBERG & KEITEL [169]Dresden 0,0380 Eigene Werte

Tab. 2-9: Anprallhäufigkeiten auf verschiedenen deutschen Flüssen. Zum Vergleich sind ei-nige europäische Flüsse und Kanäle mit angegeben.

Neben der Kollisionsrate bzw. Anprallhäufigkeit kann man auch die Häufigkeit eines An-pralls pro Schiffspassage angeben. STEDE [282] gibt Unfallraten basierend auf den Angaben des Statistischen Bundesamtes an. Damit ist eine Ermittlung dieses Wertes möglich. Ein di-rekter Vergleich der Zahlen von KUNZ [158] und STEDE [282] setzt allerdings die Kenntnis der Flottenstruktur voraus, da gilt:

sGn

xfsn

n UnfälleM

Schiffe

Unfälle

⋅⋅=

⋅)( .

Ermittelt man anhand der Flottenstruktur für den Main einen gewichteten Mittelwert für die Schiffsmasse, erhält man 1525 t. Damit gilt:

5101,6 tkm000.000.000.1

t152540)( −⋅=⋅

=⋅

⋅sG

nxf Unfälle

M . Dieser Wert ist mehr als doppelt so hoch wie

der Wert, der von KUNZ [158] angegeben wird (2,1·10-5 Anpralle pro Brücke pro Schiffspassage). In Tab. 2-9 sind alle bisher genannten innerdeutschen Anprallraten zusammengefaßt und wer-den mit anderen europäischen Schiffahrtsstraßen verglichen. Sowohl der Dogden Channel als auch die Themse sollen hierbei aber nicht als Maßstab dienen, da sie Hafenhinterland sind und teilweise seefähige Schiffe diese Wasserstraßen befahren. Für die Donau muß erwähnt werden, daß die Unfallraten auf längenbezogenen Werten basieren. Längenbezogene Unfall-zahlen können aber nach Meinung des Verfassers nicht ohne weiteres in objektbezogene An-prallraten umgewandelt werden.


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So liegt die Anprallhäufigkeit beim Main bei 0,016 pro Jahr pro Brücke und bei der Mosel bei 0,037, aber die gemessene mittlere Unfallrate pro 100 km pro Jahr liegt beim Main bei 33 und bei der Mosel bei 24 (siehe Abb. 2-7). Die Anprallhäufigkeit gegen Brücken ist auf der Mosel 3,4 mal so groß wie auf dem Main, aber die Unfallrate pro Jahr pro 100 km beträgt auf der Mosel nur ungefähr 2/3 der des Mains. Damit ergibt sich ein Unterschied um den Faktor 3,5. Die sich in Deutschland ereignenden ca. 200 Anpralle pro Jahr gemäß STEDE [282] gegen Kais, Wasserschiffahrtszeichen und Brücken ergeben bei einer Binnenstraßenschiffahrtslänge von 7350 km [232] eine Kollisionsrate von 0,0272 pro km pro Jahr (2,7 Unfälle pro 100 km pro Jahr.

2.2.5 Zusammenfassung der Anprallhäufigkeit

0

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100

150

200

250

300

1969

1971

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1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

Jahr

Unf

älle

pro

Jah

r

0

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35

Anp

ralle

geg

en B

rück

en p

ro J

ahr

Unfälle auf dem Main nach Kunz (l.A.)

Anpralle gegen Brücken in Deutschland nach Stede (r.A.)

Unfälle mit Brücken, Kais, Schiffahrtszeichen

in Deutschland nach Stede (l.A.)

Anpralle gegen Brücken im Bereich des SBA Würzburg (r.A.)

Eröffnung Rhein-Main-Donau-Kanal 25.9.1992

l.A. - linke Achser.A. - rechte Achse

Abb. 2-9: Zusammenfassung aller vorliegenden Unfall- und Anprallzahlen in Deutschland Praktisch alle dem Verfasser vorliegenden Daten zeigen eine Zunahme der Unfälle zu Beginn der 90er Jahre des letzten Jahrhunderts in Deutschland. Der Beginn der Steigerung war etwa 1992, der Maximalwert lag zwischen 1993 und 1995 und danach erfolgte ein Abfall. Seit 1995-97 ist jedoch wieder ein Anstieg erkennbar. Im einzigen Fall, in dem für den Zeit-raum nach 1998 aktuelle Unfallzahlen vorliegen (Straßenbauamt Würzburg), setzte sich dieser Trend fort. Da die Entwicklung der Anpralle im Bereich des Straßenbauamtes Würzburg i. a. in Übereinstimmung mit dem gesamtdeutschen Trend der Anpralle gegen Brücken lag (STEDE), müßte man davon ausgehen, daß in Gesamtdeutschland eine Zunahme an Unfällen zu verzeichnen ist. Im Jahre 1992 stellte der eine Unfall im Bereich des SBA Würzburg ein dreißigstel der in Deutschland verzeichneten Anpralle dar. 1998 ereignete sich im Bereich des SBA Würzburg ein Unfall von 20 in Gesamtdeutschland. Rechnet man mit diesem Faktor die Anpralle der Jahre 2000 und 2001 hoch, so ergibt sich für Gesamtdeutschland ein Wert von ca. 60 Anprallen pro Jahr. Entweder hat die Häufigkeit von Schiffsanprallen seit 1997 in


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Deutschland dramatisch zugenommen, oder das Unfallverhalten im Bereich des Straßenbau-amtes Würzburg hat sich vom Unfallverhalten in Deutschland entkoppelt. Zwei abschließende Bemerkungen zur Anzahl und den Konsequenzen von Schiffsanprallen. Der P&I-Club [220] gibt an, daß Kollisionsschäden mit 8 % der Schäden im Binnen-schiffahrtsverkehr in Deutschland insgesamt über dem Weltdurchschnitt liegen. Im Rahmen von Bestandsversicherungen wird Brücken über schiffbaren Gewässern ein hohes Gefahren-potential infolge Schiffanprall zugeschrieben. Die Münchner Rück AG als weltweit größter Rückversicherer bewertet das Risiko pauschal wie folgt [199]: „Wenn Brücken schiffbare Gewässer überqueren, ist die Gefahr eines Schiffsanpralls sehr groß.“

2.3 Herleitung der Stoßkraftfunktion

2.3.1 Mechanische Grundlagen der Stoßkraft Neben der Häufigkeit eines Anpralls stellt die Stoßkraft die entscheidende Größe für die Gefährdung der Brücke durch ein solches Ereignis dar. Grundlagen für die Bereitstellung ei-nes Formelapparates zur Berechnung der Anprallkraft werden im folgenden gegeben. Beim Anprall eines Schiffes gegen eine Brücke handelt es sich um einen Stoßvorgang. Es wird davon ausgegangen, daß zwei Körper mit gegebener Relativgeschwindigkeit aufein-andertreffen. Im vorliegenden Fall hat nur das Schiff eine Geschwindigkeit, die Brücke kann im üblichen Sinne als stehend angesehen werden. Beide Körper zeigen in Abhängigkeit von ihren Festigkeitseigenschaften bei einem Anprall eine Verformung. Es gelten die beiden Gleichgewichtsbedingungen:

1 1 1 1 2

2 2 2 2 1 1 2

( ) 0( ) ( ) 0

M u K u uM u K u R u u

+ − =+ − − =

&&

&&

(2-1)

unter Verwendung der bekannten Anfangs- und Randbedingungen. M2 sei die Masse der Brücke, M1 die Masse des Schiffes, K2 die Steifigkeit der Brücke, K1 die Steifigkeit des Schif-fes und u2 und u1 die Verformungen der Brücke und des Schiffes. Bei einem Schiffsanprall sei jedoch vereinfachend angenommen, daß das Verformungsverhal-ten der Brücke im Vergleich zum Schiff vernachlässigbar sei ( 1 2u u ). Damit können die Gleichungen entkoppelt werden zu

1 1 1 1

2 1 1

2 2 2 2 2

( ) 0( ) [( ( ))]

( ) ( )

M u K uF t K u tM u K u F t

+ ==+ =

&&

&&

. (2-2)

Einen derartigen Stoß bezeichnet man als weichen Stoß. Die Strukturveränderung und Schä-digung bei einem stoßenden Fahrzeug, welches in der Tat relativ weich ist im Vergleich zur Baukonstruktion, wird viel eher einsetzen und viel dramatischer sein, vorausgesetzt das Bau-werk selbst bleibt funktionstüchtig. Abb. 2-10 belegt das unterschiedliche Verformungs-verhalten des Schiffes und des Bauwerkes. Deutlich erkennbar sind im linken Bild die großen plastischen Verformungen des Schiffskörpers. Das Verhalten des stoßenden Körpers ist damit i. a. unabhängig von der Reaktion des gestoßenen Körpers. Damit ist es möglich, die Steifig-keit des anprallenden Fahrzeuges und die Anprallfunktion im Versuch zu bestimmen und auf andere gestoßene Körper, wie Bauwerke, zu übertragen.


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Abb. 2-10: Schäden an der Brücke Volkach und am stoßenden Schiff nach einem erfolgten Schiffsanprall 1992. Die Beschreibung der Stoßcharakteristik des stoßenden Körpers, also des Schiffes, in Form von Kraft-Zeit-Funktionen erfolgte durch verschiedene Verfasser. Bevor auf die Unterschiede eingegangen wird, werden die mechanischen Gemeinsamkeiten behandelt. Die Kraft-Zeit-Funktion lautet allgemein:

2 1 1( , , )F f M v t= (2-3) und kann in ein FE-Modell gemäß

2 2 2 2F M x D x K x= ⋅ + ⋅ + ⋅&& & (2-4) eingebaut werden. Die physikalischen Größen wie Geschwindigkeit und Massen sind jedoch nur ein Teil der Größen, die für die Ermittlung der beobachteten Anprallkräfte notwendig sind. Für die Ab-schätzung der anprallenden Masse ist zu beachten, daß es sich bei der anprallenden Masse nicht nur um die reine Masse des Schiffes, sondern auch um eine sogenannte hydraulisch ak-tive Masse handelt. Die Obergrenze der Masse der Schiffe wird durch die Befahrbarkeit der Flüsse begrenzt. Kritisch dafür ist die Größe der Schleusen. Die Masse der Schiffe ist aller-dings eine veränderliche Größe. Sie hängt vom Zustand der Beladung und von der Tragfähig-keit des Schiffes ab.

2.3.1.1 Masseverteilung – Flottenstruktur Für die Masseverteilung der Schiffe bzw. die Flottenstruktur auf verschiedenen Flüssen in Deutschland liegen dem Verfasser verschiedene Angaben vor, die ausgewertet in den Bildern Abb. 2-11, Abb. 2-12 und Abb. 2-13 dargestellt sind. Um die Angaben Dritter zu prüfen, wur-den durch das Straßenbauamt Würzburg eigene Zählungen durchgeführt. Die Auswertung durch den Autor findet sich in Abb. 2-14. Die unterschiedlichen Masseverteilungen ergeben sich aus unterschiedlichen Ausbau der Was-serstraßen und damit einhergehenden Wasserstraßenklassen (Rhein VIb und VIc, Donau: VIb; Main Vb) und aus örtlichen und zeitlichen Besonderheiten des Verkehrsaufkommens.


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250 400 650 1000 1500 2000 2500 3000 mehrTonnage

Rel

ativ

e H

äufig

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Abb. 2-11: Massenverteilung der Flotte auf dem Rhein nach [337]

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200 600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 3800 4200 4600Tonnage

Rel

ativ

e H

äufig

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Abb. 2-12: Massenverteilung der Flotte bei Lohr auf dem Main nach KUNZ [158]

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Tonnage

Rel

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e H

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Abb. 2-13: Massenverteilung der Flotte bei Vilshofen auf der Donau nach KUNZ [159]


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30%

35%

40%

45%

50%

0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200

Tonnage

Rel

ativ

e H

äufig

keit

Abb. 2-14: Massenverteilung an der Mainbrücke Segnitz nach Zählungen des Straßenbauam-tes Würzburg und eigener Auswertung

2.3.1.2 Geschwindigkeitsverteilung Zur Geschwindigkeit auf den Binnenschiffahrtsstraßen ist anzumerken, daß diese in den letz-ten Jahren zugenommen hat, d. h. die Schiffe fahren im Durchschnitt schneller. Genaue Anga-ben über Geschwindigkeitsprofile lagen dem Autor aber nicht vor und hängen z. B. auch von den örtlichen nautischen Gegebenheiten ab.

2.3.2 Ansätze zur Modellierung der Stoßkraft Die ersten Ansätze für die Abschätzung der Anprallkräfte von Schiffen stammen von MINORSKY [256] und wurden in den 50er Jahren entwickelt. In Deutschland wurden Ende der 70er und Anfang der 80er Jahre Versuche von WOISIN [328] durchgeführt. Für Schubver-bände wurden in den 80er Jahren Versuche von MEIER-DÖRNBERG [185] durchgeführt. Auf dieser Arbeit beruhen die E DIN 1055-9 [72] und auch die US-Regelung [51]. Im Konzept von MEIER-DÖRNBERG werden zwei Regelungen unterschieden [185]: • Die Anprallkraft ist so groß, daß plastische Verformungen im Schiffskörper auftreten • Die Anprallkraft reicht nicht aus, um plastische Verformungen im Schiffsköper zu

verursachen. Das Unterscheidungskriterium zwischen diesen beiden Fällen stellt die Verformung des Schiffskörpers ld um ca. 0,1 m dar. Die Anprallkraft wird gemäß MEIER-DÖRNBERG (KUNZ [158]) in Abhängigkeit davon ermittelt: mit ( )3,1 1 0,13 1d Defl E= ⋅ + ⋅ − (2-5)

0,1 mdl < (2-6)

( )2 186 1 0,13 1DefF E= ⋅ + ⋅ − bzw. 2 10,95 DefF E= ⋅ (2-7)


Seite 43

Hierbei handelt es sich um elastische Verformungen. Diese Formel findet sich nicht in der E DIN 1055-9, aber im US-Guide. Im folgenden Fall wird die plastische Verformung berechnet. Diese Formeln finden sich in der E DIN 1055-9 (3/2000) [72] und im US-Guide [51]:

0,1 mdl ≥ (2-8)

2 5 1 0,13 DefF E= ⋅ + ⋅ (2-9) Die erforderliche Energie ergibt sich in beiden Fällen zu:

2 2

2 2eff

Def

M c ME v v⋅= = ⋅ .

(2-10)

Der Faktor C ist ein Wert für die hydromechanische Masse. Dieser Wert kann i. a. nur grob geschätzt werden. Das Modell von WOISIN errechnet die Anprallkraft gemäß (WOISIN [328], LARSEN [163], SAUL & SVENSSON [256], [51]):

2

20,88 DWT3 27

vF = ⋅ ⋅ ⋅ (2-11)

Schiffsanprallkraft nach MEIER-DÖRNBERG Schiffsanprallkraft nach WOISIN Abb. 2-15: Maximale dynamische Anprallkräfte in Abhängigkeit von der aktiven Masse und der Geschwindigkeit des Schiffes nach MEIER-DÖRNBERG und WOISIN

2.3.2.1 Verlauf der Kraft-Zeit-Funktion Auch in der Kraft-Zeit-Funktion spiegelt sich der Übergang vom elastischen in den plasti-schen Bereich wieder. Ab einer bestimmten Anprallkraft ist das Schiff selbst nicht mehr in der Lage, die Anprallkraft zu steigern, da plastische Vorgänge im Schiff auftreten, die Anprall-energie umwandeln und damit der weiteren Erhöhung der Anprallkraft eine Ende setzen. Die-ser Vorgang ist in der Kraft-Zeit-Funktion des Anpralls als Plateau sichtbar, wenn die An-prallkraft groß genug ist, in diesen Bereich vorzudringen. Abb. 2-16 zeigt eine derartige Kraft-Zeit-Kurve. Bei Anprallen im elastischen Bereich folgt die Kraft-Zeit-Funktion einer Sinusfunktion.


Seite 44

Zeit in Sekunden

Kra

ft in

MN

0,0 0,4 0,8 1,2

2,0

4,0

6,0

8,0

0,2 0,6

Abb. 2-16: Qualitativer Verlauf der Kraft-Zeit-Funktion eines Frontalanpralls eines Binnen-schiffes, sinngemäß entnommen CURBACH [43]

2.3.2.2 Schwerefunktion Nun zeigt aber die Erfahrung, daß ein Unterschied zwischen den genannten theoretischen An-prallkräften, die allein aus der Bemessungsgeschwindigkeit und der Bemessungsmasse der Schiffe ermittelt werden, und den beobachteten Konsequenzen von Unfällen, die bedeutend geringere Anprallkräfte vermuten lassen, existiert. So gibt SCHRÖDER [261] einen relativen Vergleich der Unfallfolgekosten zwischen Binnenschiffahrt, Eisenbahn und Straßengüterver-kehr an: Binnenschiffahrt Eisenbahn Straßengüterverkehr

1: 12: 178

Tab. 2-10: Unfallfolgekosten in Abhängigkeit der Verkehrsträger nach SCHRÖDER [261]

Zu einem ähnlichen, allerdings nur pauschalen Ergebnis über die Schwere von Binnenschiff-fahrtsunfällen kommt STEDE [282]:

„Im Zeitraum von 1991 bis 1996 war im Jahresdurchschnitt nahezu jeder zweite (Binnen-schiffs- d.V.) Verkehrsunfall ein Unfall, bei dem zum Zeitpunkt der Unfallaufnahme keine nennenswerten Schäden oder sonstige Unfallfolgen festgestellt wurden.“

Auch das Statistische Bundesamt [283] in Wiesbaden gibt eine verbale Beschreibung der Schäden an den Schiffen wie folgt an: Schäden an Fahrzeugen 1998 bei Zusammenstoß mit Brücken, Kais, Schleusen und anderen Bauwerken

Anzahl

Gesunken 1 Schwimm- oder Fahrfähigkeit beeinträchtigt 53 Leichte Schäden 63 Keine beobachtbaren Schäden 99

Tab. 2-11: Schäden an Binnenschiffen nach Anprallen [283]


Seite 45

Alle drei Quellen zeigen, daß die Schwere der Unfälle bei Binnenschiffahrtsunfällen i. a. und bei Schiffsanprallen im speziellen relativ gering ist. Die Abweichung der Anprallkräfte zwischen Theorie und Praxis kann durch die Vielzahl weiterer mitwirkender Parameter erklärt werden. So werden die Schiffsführer in den meisten Fällen vor dem Anprall versuchen, das Fahrzeug zu bremsen oder abzulenken. Im Gegensatz zu Straßenfahrzeugen ist dieser Sachverhalt auf Grund der großen Masse aber schwieriger zu realisieren. Als Vorteil kann die geringe Geschwindigkeit der Schiffe angesehen werden. Ob sich ein Unfall ereignet, hängt nach LARSEN [163] und ENEVODSEN et al. [79] von: • Windverhältnissen • Wellen und Strömungsverhältnissen im Fluß und an der Brücke • Sichtverhältnissen • Schiffstyp • Geometrie des Flusses • Geometrie der Brücke • Lage und Art von Navigationshilfen • Ausbildung, Erfahrung und Zustand des Schiffsführers • Funktionstüchtigkeit des Schiffes ab. Die Berücksichtigung der Eingangsgrößen im Einzelnen ist hier nicht möglich. Es ist je-doch nicht unüblich, anstelle der Berücksichtigung der einzelnen Parameter eine Unfallschwe-refunktion einzuführen, die pauschal alle o. g. Parameter berücksichtigt. Leider ist die Ermitt-lung dieser Schwerefunktion mit erheblichen Unsicherheiten verbunden. In [51] werden ver-schiedene Klassen von Schwerefunktionen angegeben. Eine willkürliche Festlegung der Schwerefunktion ist jedoch abzulehnen, da die Schwerefunktion erheblichen Einfluß auf die rechnerischen Anprallkräfte hat. Aus Sicht des Verfassers sollte die Schwerefunktion immer auf der sicheren Seite liegend gewählt werden, also die Verschiebung der Anprallkraft von der theoretischen zur bemessenden relativ gering sein.

2.3.3 Abschätzung der Verteilungsfunktion der Stoßkraft Auf Grund der Unsicherheit bei der Aussage über eine Anprallkraft soll diese durch eine stati-stische Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben werden. Es wird an dieser Stelle nicht weiter auf die Herleitung und die statistischen Grundlagen dafür eingegangen. Es wird auf den An-hang C verwiesen. Um einen Fraktilwert als charakteristischen Wert der Anprallkraft angeben zu können, ist es notwendig, den Typ und die Parameter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion der Anprallkraft zu wählen. Bei der Untersuchung (Goodness of Fit Test – siehe Anhang C) der von KUNZ ([161], [158], [159] bereitgestellten Daten zeigte sich ein gute Beschreibung der Daten durch eine Log-Normalverteilung und eine Gumbelverteilung. Bei kleinen Variationskoeffizienten unter-schieden sich die Werte der beiden Funktionen nur geringfügig (RACKWITZ [238]). Der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt aus, daß unter bestimmten Bedingungen jede Summe unabhängiger Zufallsgrößen asymptotisch normalverteilt ist. Das heißt, wenn genügend viele, zufällig verteilte Einzelgrößen auftreten, wird die Summe dieser Größen asymptotisch normalverteilt sein. Bestimmte Bedingungen bedeutet z. B., daß eine Größe keinen zu großen Einzelbeitrag zum Gesamtwert leisten darf. Logarithmiert man einen Produktansatz, so erhält man einen Summenansatz. Damit gilt der zentrale Grenzwertsatz auch bei Produkten und führt zu einer Log-Normalverteilung.


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Wenn man die Entstehungsgeschichte eines Schiffsanpralls untersucht, stößt man auf eine Vielzahl bereits genannter zufälliger Prozesse, die Einfluß auf die Stoßkraft haben. Es er-scheint darum möglich, bei der Stoßkraft eine normalverteilte (Summenansatz) bzw. log-nor-malverteilte (Produktansatz) Zufallsgröße zu unterstellen. Eine Log-Normalverteilung wird auch dann zwingend, wenn ein geringer Erwartungswert und eine hohe Standardabweichung vorhanden sind, zugleich aber praktisch keine negativen Werte auftreten dürfen. Bei den Anprallkräften liegt diese Bedingung anscheinend vor. Außerdem ist im Vergleich zu anderen theoretischen Verteilungen die Log-Normalverteilung recht einfach zu handhaben. Zusätzlich scheint die Wahl einer Extremwertverteilung, wie der Gumbelverteilung, auf Grund des geringen Datenumfanges zweifelhaft. Es kann aber nicht ausgeschlossen werden, daß die Anprallkraft einer anderen eindimensionalen Verteilungsfunktion folgt. Für die alte Mainbrücke Lohr wurde auf Grund der vorliegenden Daten eine Log-Normalver-teilung mit einem Mittelwert von 2,04 MN und einer Standardabweichung von 1,5 MN ange-setzt. Diese Werte wurden auch für die Mainbrücke Segnitz verwendet. Mittels der bisher abgeschätzten Anprallrate bzw. Anprallwahrscheinlichkeit und der nun ge-wählten Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Anprallkraft sollte es möglich sein, die in den Vorschriften vorgeschlagenen Bemessungswerte für Schiffsanprall nachzuvollziehen. Dazu werden im folgenden Abschnitt verschiedene Vorschriften für Schiffsanprall vorgestellt.

2.4 Bemessungsstoßkräfte im Vorschriftenwerk

2.4.1 Bestehende deutsche Vorschriften In der Weiterentwicklung des Vorschriftenwerks spiegelt sich die verbesserte qualitative Be-schreibung des Schiffsanpralls wieder. Ältere Vorschriften haben deshalb meist deutlich hö-here Bemessungsanprallkräfte als moderne Vorschriften, um trotz der ungenauen Modelle auf der sicheren Seite zu liegen. Die Deutsche Vorschrift für den Rhein [27] gab für Flußpfeiler eine statische Ersatzlast in Fahrtrichtung von 30 MN und für Vorlandpfeiler von 6 MN an. Diese Werte werden durch GROB & HAJDIN [107] stark kritisiert, da sie ein elastisches Verhalten des Schiffes beim An-prall voraussetzen. Die Deutsche Vorschrift für die Saar, entnommen [107], gibt zwischen 7 und 15 MN an. Auf Grund der damaligen hohen rechnerischen Anprallasten wurden in den 80er Jahren im Auftrag des Bundesamtes für Wasserbau in Karlsruhe Versuche und theoretische Ansätze von MEIER-DÖRNBERG [185] entwickelt, um realistischere Angaben für Binnenschiffe zu erhalten. Die dabei gewonnenen Erkenntnisse wurden bereits vorgestellt. Das Formelwerk für schiefen Anprall ist in Anhang B beigefügt. Bei der Methode von MEIER-DÖRNBERG wurde die bei den bisherigen Modellen übliche An-nahme des reinen elastischen Verhaltens des Schiffes während des Stoßes verlassen und teil-weise ein plastisches Verhalten angenommen. Die Reaktion des Bauwerkes wurde auch wei-terhin vernachlässigt. Das Verfahren von MEIER-DÖRNBERG hat sich dahingehend bewährt, daß sich in Deutschland keine Brückeneinstürze in Verbindung mit Schiffsanprall ereigneten. Beispielhaft seien hier einige Kräfte für in den letzten Jahren untersuchte Brücken angegeben.


Seite 47

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Anprallkraft in MN

Rel

ativ

e H

äufig

keit

Abb. 2-17: Rechnerische Häufigkeit der Anprallkraft unter Berücksichtigung eines Schwerefak-tors bei Lohr am Main nach Daten aus KUNZ [158]

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Anprallkraft in MN

Rel

ativ

e H

äufig

keit

Abb. 2-18: Rechnerische Häufigkeit der Anprallkraft unter Berücksichtigung eines Schwerefak-tors auf der Donau (Vilshofen) nach Daten aus KUNZ [159]


Seite 48

Für die Autobahnbrücke Dresden, A4, Elbe-km 63,105 [316] wurden folgende Werte für ei-nen Frontalstoß basierend auf einem Bemessungsschiff Schubverband 185 m × 11,45 m (Schiff-fahrtsstraßenklasse Vb) verwendet: Richtung vmax über

Grund [km/h]

Beladung Tiefgang [m]

Masse [t]

Stoßhöhe über HSW [m]

Stoßlast FF starr [MN]

DLF geschätzt

Stoßlast FF dynamisch [MN]

Zu Tal 14 Leer 0,60 1100 4,40 7,10 1,3 9,2 14 Voll 2,80 5000 2,20 12,07 1,2 14,5 Zu Berg 9 Leer 0,60 1100 4,40 5,89 1,3 7,7 9 Voll 2,80 5000 2,20 8,60 1,2 10,3 HSW=NN+105,82 m

Tab. 2-12: Bemessungsanprallkräfte für Frontalstoß an der Elbebrücke Dresden

Für den Flankenstoß wurde eine maßgebenden Schiffes von 110 m × 11,45 m (Va) angesetzt: Richtung vmax über

Grund [km/h]

Beladung Tiefgang [m]

Masse [t]

Stoßhöhe über HSW [m]

Rechnerischer Anfahrwinkel [°]

Stoßlast FF starr [MN]

DLF geschätzt

Stoßlast FF dynamisch [MN]

Zu Tal 14 Leer 0,60 700 4,40 10 2,49 1,7 4,2 14 Voll 2,80 3000 2,20 10 5,03 1,5 7,6 HSW=NN+105,82 m

Tab. 2-13: Bemessungsanprallkräfte für Flankenstoß an der Elbebrücke Dresden

Für die Alte Mainbrücke Lohr, Main-km 198,2, wurde für die statischen und dynamischen Berechnungen folgendes Schiff angesetzt: L = 185 m, B = 11,4 m T = 2,7 m, M = 4450 t (et-was weniger als Schiffahrtsstraße Vb) [24]. Damit ergeben sich: Statisch Anprallkraft in [MN] Dynamisch Anprallkraft in [MN] Obere Werte Frontalstoß 18 Voll Frontalstoß 13,0 Obere Werte Flankenstoß 8 Voll Flankenstoß 5,0 (+Reibung) Untere Werte Frontalstoß 12 Leer Frontalstoß 8,0 Untere Werte Flankenstoß 3 Leer Flankenstoß 2,3 (+Reibung)

Tab. 2-14: Bemessungsanprallkräfte für die Mainbrücke Lohr

Bei der Alten Mainbrücke Marktheidenfeld [260] wurden die gleichen Anprallasten verwen-det. Die Marienbrücke in Dresden wurde noch 1993 mit 30 MN Frontalanprall und 15 MN Seitanprall statisch gerechnet [234]. Für Berlin werden durch METZING [188] Anprallasten von 250 kN für die Rahmenstiele der Sandkrugbrücke genannt (Wasserstraßenklasse IV Schiffstyp „Leichter Europa I“ bzw. Schubverband 80 × 9,5 m). Zusätzlich wurde noch ein Leitwerk ausgeführt, daß für ein 1750 t Schiff mit einer Geschwindigkeit von 7 km/h und einem Anfahrwinkel von 10° bemessen wurde. Auf Grund der guten Erfahrungen, die mit dem Verfahren von MEIER-DÖRNBERG gesammelt worden sind, entstanden in den letzten Jahren Bestrebungen, die Normwerke für Schiffsan-prall zu aktualisieren und das Verfahren von MEIER-DÖRNBERG in die Normen zu integrieren. Basierend auf ENV 1991-2-7 vom August 1998 [83] erschien im Juli 2000 in Deutschland die DIN V ENV 1991-2-7 [65]. Dort wird zwischen Inland-Schiffahrtsstraßen und Seeverkehr unterschieden. Die entsprechenden Kräfte finden sich in den Tab. 2-15 und Tab. 2-16 und zeigen bereits eine gute Übereinstimmung mit in den Tab. 2-12, Tab. 2-13 und Tab. 2-14 ge-nannten Bemessungsanprallkräften:


Seite 49

CEMT class* Length L

[m] Mass m

[ton] Force Fd

[kN] ENV 1991-2-7 (1.1996)

Force Fd [kN]

DIN V ENV-1991-2-7 I 30-50 200-400 6000 4000 II 50-60 400-650 8000 5000 III 60-80 650-1000 10000 6000 IV 80-90 1000-1500 12000 7000 Va 90-110 1500-3000 17000 11000 Vb 110-180 3000-6000 24000 15000 VIa 24000 11000 VIb 110-190 6000-12000 35000 15000 Vic 190-280 10000-18000 40000 22000 VII 300 14000-27000 50000 22000

*Durch einen Erlaß des BMV vom 24. März 1993 wurde diese Klassifizierung eingeführt.

Tab. 2-15: Bemessungsanprallkräfte Inlandverkehr Class of ship Length L

[m] Mass m

[ton] Force Fd

[kN] ENV 1991-2-7 (1.1996)

Force Fd [kN]

DIN V ENV-1991-2-7 Small 50 3000 25000 15000 Medium 100 10000 40000 25000 Large 200 40000 80000 40000 Very large 300 100000 120000 80000

Tab. 2-16: Bemessungsanprallkräfte Seeverkehr Die Regelwerte für dynamische Stoßlasten Fdyn nach Entwurf DIN 1055 Teil 9 (Tabelle 5) [72] sehen wie folgt aus: Klassifizierung von Wasserstrassen Wasserstraßenklasse Bemessungsschiff Tonnage

[t] Frontalstosslast

FFdyn [MN]

Seitananprall FLdyn [MN]

III Gustav König 650-1000 4,0 2,0 IV Europaschiff 1000-1500 5,0 2,5 Va Großes Rheinschiff 1500-3000 8,0 3,5 Vb/VIa Schubverband (2-gliedrig, 1-spurig) 3200-6000 9,5 4,0 VIb Schubverband (2-gliedrig, 2-spurig) 6400-12000 14,0 5,0 VIc Schubverband (3-gliedrig, 2-spurig)

(2-gliedrig, 3-spurig) 9600-18000 17,0 8,0

VII Schubverband (3-gliedrig, 3-spurig) 14500-27000 20,0 10,0

Tab. 2-17: Bemessungsanprallkräfte Binnenschiffsverkehr Entwurf DIN 1055 Teil 9 [72]

2.4.2 Einige Bemerkungen zur E DIN 1055-9 Um dem bemessenden Ingenieur eine normative Grundlage für die Beanspruchung Anprall-kraft durch Binnenschiffe zur Verfügung zu stellen, wurde in der E DIN 1055-9 ein Abschnitt „6.5 Anprall von Schiffen“ eingeführt. Dieser Abschnitt wird sich auch in der abschließenden Fassung der DIN 1055-9 wiederfinden. Im Abb. 2-20 ist der schematische Ablauf der Ermittlung einer Bemessungsanprallkraft durch Schiffsanprall dargestellt. Prinzipiell werden zwei verschiedene Verfahren bereitgestellt. Be-vor jedoch das Verfahren ausgewählt werden kann, müssen die Randbedingungen für den Einsatz der Norm geprüft werden. Insbesondere die Prüfung der statistischen mittleren Unfall-rate dürfte sich dabei als Problem herauskristallisieren. Für die hier vorliegende Arbeit wur-den entweder Unfallzahlen des Straßenbauamtes Würzburg, des Statistischen Bundesamtes


Seite 50

Wiesbaden oder Gutachten der Bundesanstalt für Wasserbau verwendet. Nach mündlichen Aussagen des Statistischen Bundesamtes wurde die Auswertung der Binnenschiffahrtsunfälle ab dem Jahr 2000 durch das Bundesamt eingestellt. Der Autor hat darum probeweise sämtli-che Wasserschiffahrtsdirektionen in Deutschland angeschrieben, um derartige Unfallraten zu erhalten. Dabei konnten nur in einem Fall Zahlen angegeben werden. Auch die Bundesanstalt für Wasserbau in Karlsruhe als Entwickler dieses Normenabschnittes veröffentlichte Unfall-zahlen bisher nur in Gutachten. Der Autor schlägt deshalb das folgende vereinfachte Verfah-ren zur Ermittlung der Bemessungsanprallkraft unter Berücksichtigung der Flottenstruktur und der Anprallrate vor. Es gelten folgende Annahmen: • Anpralle können als POISSON-Prozeß beschrieben werden. • Die Anprallkraft folgt einer Log-Normalverteilung. • Die bisher ermittelten Anprallhäufigkeiten (Anprallraten) sind repräsentativ. Dann ergibt sich: • POISSON-Prozeß mit

exponentialverteilten

Zeiten zwischen den

Ereignissen: ( ) exp[ ( ) (1 ( | )]P F P A t P F A= − ⋅ ⋅ − (2-12)• Log-Normalverteilung

der Anprallkraft: ln( | ) mu

Fu

F FP F A −

= Φ σ

• bei einen Pfeiler: ln( ) exp ( ) 1 mu

Fu

F FP F P A t −

= − ⋅ ⋅ − Φ σ

(2-13)

• zwei Pfeiler bei Serien-system:

2( )Gesamt PfeilerP P F= (2-14)• Gesamteintrittswahr-

scheinlichkeit: 2

ln1 1 exp ( ) 1 muGesamt

Fu

F FP P A t −

= − − − ⋅ ⋅ − Φ σ

(2-15)• invertiert ergibt sich für

die Bemessungskraft: 1 1/ 2exp( (( ( ) ln((0,9999) )) / ( )))sd mu FuF F P A P Aσ −= + ⋅Φ +

(2-16) Damit kann man die erforderliche Bemessungsanprallkraft in Abhängigkeit von der Flotten-struktur direkt berechnen. Es ergibt sich folgende Rechnung: Klasse VI b Klasse V b Klasse V b Klasse V b Mittlere Anprallkraft 2,8 2,04 2,04 2,04 Standardabweichung der Anprallkraft 1,85 1,5 1,5 1,5 Rechenwert für Log-Normalverteilung 0,848 0,497 0,497 0,497 Rechenwert für Log-Normalverteilung 0,602 0,657 0,657 0,657 Rechenwert für Log-Normalverteilung 0,661 0,735 0,735 0,735 Anprallrate 0,07 0,025 0,016 0,07 Anzahl der Pfeiler 2 2 2 2 Rechenanprallrate 0,035 0,013 0,008 0,035 erf. Wahrscheinlichkeit der Anprallkraft 0,99857 0,99600 0,99375 0,99857 erf. Wahrscheinlichkeit des zeitlichen Abstandes 0,99995 0,99995 0,99995 0,99995 Verknüpfung der Wahrscheinlichkeit bei Seriensystemen 0,99990 0,99990 0,99990 0,99990 Bemessungswert 14,1 9,4 3,7 11,7 Vorschlag lt. E DIN 1055-9, Tabelle 5 14,0 9,5 9,5 9,5

Tab. 2-18: Bemessungsanprallkräfte gemäß des vorgestellten Verfahrens


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Zuerst wurde mit den bekannten statistischen Parametern (Mittelwert 2,8 MN und Standard-abweichung 1,85 MN) der Klasse VI b der Brücke Vilshofen der Bemessungswert der An-prallkraft ermittelt. Setzt man anschließend die dabei ermittelte Anprallrate von 0,07 auf die nächste Wasserstraßenklasse an, ermittelt man eine Bemessungsanprallkraft von ca. 11,7 MN anstelle der in der Norm vorgeschlagenen 9,5 MN. Der Verfasser ist sich selbstverständlich darüber bewußt, daß eine einfache Übernahme der Anprallrate in eine andere Wasserstraßen-klasse nicht möglich ist. Dennoch paßt der Wert von 11,7 MN sehr gut zu den in der DIN V ENV 1991-2-7 genannten 15 MN, den bei der Mainbrücke Lohr verwendeten 13,0 MN und den bei der Autobahnbrücke Dresden verwendeten 14,5 MN. Als konkretes Beispiel für die Unterschiede soll die Anprallkraft für die Berechnung der neuen BAB 4 Brücke in Dresden dienen. Als maßgebendes Schiff diente ein Schubverband SV 185 m × 11,45 m und einer Masse von 5000 t. Die Bemessungsgeschwindigkeit der Elbe beträgt v = 14 km/h = 3,89 m/s. Die Eingangsgrößen sind [316] entnommen. Damit ergeben sich:

MNm8,3789,32

5000000 2 ==defE und MN08,128,37128,010,5 =⋅+⋅=dynF .

Das Berechnungsergebnis nach dem ersten Teilschritt des Verfahrens I der E DIN 1055-9 fällt bereits geringer aus als der ursprüngliche Wert von 14,5 MN ([316]). Dieser Wert darf in Ab-hängigkeit des Flottenstruktur und der Kollisionswahrscheinlichkeiten weiter abgemindert werden. Auch laut Tabelle 5 E DIN 1055-9 ergibt sich ein geringerer Wert von 9,5 MN.TabF = Dieser Wert darf infolge des Abstandes der Pfeiler vom Fahrrinnenrand zusätzlich abgemin-dert werden. Die Elbebrücke besitzt in der Hauptöffnung eine Spannweite von 126 m. Geht man von einer Fahrrinnenbreite von 2 × 25 m aus, wird der Bemessungswert der Anprallkraft zu

MN6,650,7 MN5,9 =⋅=dynF . Zur Abminderung der Anprallkraft in Abhängigkeit von der Entfernung des gestoßenen Pfei-lers zum Fahrrinnenrand schreibt FJELD [89]:

„Different criteria will often be implemented for the navigation span as compared to the sidespans. However, this practice might be questioned inasmuch as severe collisions have occurred a long way from the navigation span. Saul und Svensson ([256] d.V.) have recorded 18 major collision disasters, 13 of which concerned the sidespans and only 5 the main span.”

Hierbei handelt es sich allerdings um Unfälle auf Seestraßen. Im Binnenbereich findet auf Grund der Ufernähe eine Begrenzung des Fahrweges statt. Ein Beispiel für ein Schiffahrtspro-fil und die Fahrrinnenbreite ist der Neubau der Moselbrücke Mehring mit 2 × 30 m Fahrrinne und ca. 20 m Entfernung Fahrrinne zum Pfeiler [162]. Gesetzliche Grundlagen für die Gestal-tung von Fahrrinnen finden sind in [315]. Selbst ohne die Berücksichtigung des Abstandes Fahrrinne zu Pfeiler ergibt sich eine Verrin-gerung der Bemessungsanprallkraft von 14,5 MN ([316]) auf 12,08 MN und abschließend auf 9,5 MN ohne eine Änderung des mechanischen Modells, da in allen drei Fällen der Formel-apparat von MEIER-DÖRNBERG verwendet wurde. Dieser Unterschied rührt vermutlich aus der unterschiedlichen Berücksichtigung der Ein-trittswahrscheinlichkeiten eines Anpralls. Im Verfahren I der E DIN 1055-9 geht man von folgendem wahrscheinlichkeitstheoretischem Ansatz für die Anprallkraft aus:


Seite 52

40( ) ( ) ( , ) ( ) d d 10 /sd c dynP F F n t f y P x y P F F x y a−> = ⋅ ⋅ λ ⋅ ⋅ ⋅ > =∫∫ (2-17)

und benötigt die Parameter Anzahl der Schiffe pro Zeiteinheit n, eine Fehlerrate λ (längenbezo-gen), eine bedingte Wahrscheinlichkeit eines Kollisionskurses f(y), eine bedingte Wahrschein-lichkeit des Kollisionseintrittes Pc(x,y) und die Wahrscheinlichkeit der dynamischen Anprall-kraft P(F>Fdyn). Die Kollisionswahrscheinlichkeit wird über den streuenden Stopweg, den

streuenden Kurswinkel, den Abstand der Pfeiler, die Bereichsgrenze (Trefferwahrscheinlich-keit) und die Fehlerrate erfaßt, die wiederum mittels Anzahl der passierenden Schiffe und über

die Unfallstatistik ermittelt wird. Diese Vorgehensweise ist nicht unüblich und findet sich z. B. in anderer Schreibweise in RACKWITZ [236] oder im Eurocode für Kraftfahrzeuganprall:

20( ) [ 2 ] ( , ) ( , )

2 2b bP A P v a r x y x y

r r = > ⋅ ⋅ ∩ φ − ≤ α ≤ φ − ⋅ ⋅

(2-18)

0

-

( ) ( | , ) ( ) s s yP t t P A x y f y dy dx∞

∞ −∞

= ⋅λ ⋅ χ ⋅∫ ∫ (2-19)

mit λ als mittlere Ankunftsrate, χ als mittlere Rate des Verlassens des Weges pro Zeiteinheit

und a ist die Beschleunigung (Bremsen), v0 ist die Geschwindigkeit bei Verlassen des Weges.

Abb. 2-19: Graphische Darstellung der Variablen Der Nachteil in diesem Verfahren liegt in der Vielzahl der notwendigen statistischen Daten. Woher erhält man eine statistisch abgesicherte Fehlerrate über das Verlassen des Weges? Es ist kaum anzunehmen, daß Schiffsführer das Abkommen vom Kurs melden, wenn kein Schaden eingetreten ist. Dieses theoretische Problem als auch die genannten empirischen Unterschiede zwischen den berechneten Anprallhäufigkeiten, die bereits am Beispiel Main und Mosel erläutert wurden, zeigen, daß die Verwendung von längenbezogenen Fehlerraten, wie sie im DIN Entwurf vorgeschlagen werden, mindestens ebenso mit Problemen behaftet ist, wie die objektbezogenen Fehlerraten. Die vom Verfasser vorgestellte Berechnung, basierend auf objektbezogenen Fehlerraten, geht von einem Produktansatz aus Anprallwahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeit der Anprall-kraft aus, um die Problematik der längenbezogenen Unfallrate zu umgehen. Die hier vorge-stellte Methode ist nicht in der Lage, Sondereinflüsse aus den beobachteten Anprallhäufig-keiten herauszurechnen. So führten die Eröffnung des Rhein-Main-Donau-Kanals und Pro-bleme mit dem Ausbildungsstand von Schiffahrtsführern auf dem Main in jüngster Vergan-genheit zu einer deutlichen Zunahme der Unfälle. Die Bundesanstalt für Wasserbau filtert deshalb die längenbezogenen Schiffahrtsunfälle, um daraus neue Anprallraten zu ermitteln. Die Art und Weise der Filterung ist, soweit dem Autor bekannt, nicht veröffentlicht. Die Er-mittlung der Bemessungsanprallkraft nach der neuen DIN 1055-9 ist dem Verfasser deshalb nicht gelungen.


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Prüfe, ob temporäres Bauwerk

Nein

Prüfe, ob denkmalgeschütztes Bauwerk

Nein

Prüfe, ob „sehr große“ Brücke

Nein

Prüfe, ob nur Binnengüterschiffe

Ja

Prüfe, ob Daten vorhanden sind zu: • Wahrscheinlichkeit des Anpralls (Unfallgeschehen, Fahrlinie, Geometrie der Brücke) • Flotten- und Verkehrsstruktur (Schiffsgrößen, hydrodynamische Zusatzmasse, Kraft-Verfor-

mungsverhalten der Schiffe, Verkehrsrichtungen, Geschwindigkeiten, Belastungszustände, Stoß-höhen)

• Winkel des Anpralls • Wasserspiegellagen • Dynamische Steifigkeit des gestoßenen Bauwerkes/-teiles

Ja Nein

Verfahren I

2

2vmEdef =

defdyn EF ⋅+⋅= 128,010,5

40( ) ( ) ( , ) ( ) d d 10 /sd c dynP F F n t f y P x y P F F x y a−> = ⋅ ⋅ λ ⋅ ⋅ ⋅ > =∫∫

Prüfe, ob maximal 2 Pfeiler der Brücke im Fahrwasser

Ja

Prüfe, ob die Pfeiler ganzjährig erreichbar sind

Ja

Prüfe, ob geradliniger Wasserstraßenabschnitt

Ja

Prüfe, ob statistisch mittlere Unfallrate

Ja

Verfahren II (Tabelle 5) Klassifizierung von Wasserstraßen

Wasserstraßenklasse Bemessungsschiff Tonnage [t]

Frontalstoßlast FFdyn [MN]

Flankenanprall FLdyn [MN]

III Gustav König 650-1000 4,0 2,0 IV Europaschiff 1000-1500 5,0 2,5 Va Großes Rheinschiff 1500-3000 8,0 3,5 Vb/VIa Schubverband (2gliedrig, 1spurig) 3200-6000 9,5 4,0 VIb Schubverband (2gliedrig, 2spurig) 6400-12000 14,0 5,0 VIc Schubverband (3gliedrig, 2spurig)

(2gliedrig, 3spurig) 9600-18000 17,0 8,0

VII Schubverband (3gliedrig, 3spurig) 14500-27000 20,0 10,0 Abminderung der Anprallkräfte nach 2(1,0 0,0015 0,00017 )sd TabF d d F= − ⋅ − ⋅ ⋅ und Tabsd FF ⋅≥ 4,0

Abb. 2-20: Rechenablauf in der E DIN 1055-9


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2.4.3 Internationale Vorschriften Die Schweizer Vorschrift für den Rhein wird durch GROB & HAJDIN [107] vorgestellt. Dieser Quelle ist auch das Diagramm in Abb. 2-21 entnommen.

Mit Bauwerksklasse I: Hohes Schadensrisiko Bauwerksklasse II: Bedeutendes Schadensrisiko Bauwerksklasse III: Beschränktes Schadensrisiko Unterhalb Mittlere Brücke: Unterhalb der Mittleren Brücke in Basel im Rhein Oberhalb Mittlere Brücke: Oberhalb der Mittleren Brücke in Basel im Rhein

Abb. 2-21: Anprallkräfte für frontalen Schiffsanprall im Fluß- und Uferbereich nach [107]

In Schweden wird das Modell von WOISIN verwendet [235]. Norwegen empfiehlt prinzipiell eine umfangreiche Untersuchung, auch eine Risikountersuchung ist möglich. Die minimale Bemessungskraft wird in der folgenden Tabelle wiedergegeben [235]: Brückenbauteil F┴ [MN] F|| [MN] Pfeiler 1,0 0,5 Überbau 0,1

Ansonsten wird die Anprallkraft gemäß WOISIN ermittelt [235]:

0,98vF DWT⊥ = ⋅ ⋅ bzw. || 0,5F F⊥= ⋅ .

Die Geschwindigkeit wird mit mindestens 4 m/s angesetzt. Für die Größe des Entwurfsschif-fes wird angenommen, daß nicht mehr als 50 größere Schiffe pro Jahr die Brücke passieren. Ist die lichte Weite zwischen den zwei Pfeilern der Brücke bzw. Brückenwiderlagern kleiner als die Länge L des größten Schiffes, so werden die ermittelten Kräfte mit dem Faktor 2 ver-größert. Zwischen einer lichten Weite von L bis 2·L darf der Erhöhungsfaktor linear interpo-liert werden [235].


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In Frankreich wird die außergewöhnliche Last infolge Anprall recht einfach festgelegt. Die folgende Tabelle gibt die statischen Ersatzlasten an [235]: Schiffahrtsklasse F┴ [MN] F|| [MN] Klasse I bis III 1,2 0,24 Klasse V 10 2,0 Die Tabelle gilt für Binnenschiffe. Im Fall von seetüchtigen Schiffen, wie bei der Normandie Brücke, werden umfangreiche Studien durchgeführt [235]. Für die Berücksichtigung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Schiffsanpralls gibt es inter-national verschiedene Empfehlungen, die [235] entnommen wurden. Land Formelapparat USA (AASHTO) A A G cF N P P P= ⋅ ⋅ ⋅ IABSE

, ,i i k i kA i A G Ci k

F N P P P= ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑

Eurocode 4( ) (1 ) ( ) [ ( , ) ] ( ) 10d A d SP F F N p x P v x y k m F f y dx dy −> = − λ ⋅ ⋅ > ⋅ =∫ ∫

Großbritannien A A Norec Z G E CF N P P P P P−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) A NorecP x dx− = λ∫ , 1EP = , exp( (1 / )E c recP z t t= ⋅ −

Deutschland 1 2( ) ( ) ( ) v N x W x W x dx= ⋅ λ ⋅ ⋅∫

Theorie (1 )A Norec A Gv N P p P−= ⋅ ⋅ − ⋅ ( , , , , , , , , ,...)A Norec AB Waway Ship Traf Curr Vis Time Ice NaidsP f P P P P P P P P P− =

Tab. 2-19: Wahrscheinlichkeiten eines Schiffsanpralls pro Schiffspassage v und Wahrschein-lichkeit der Schiffsanprallkraft gemäß verschiedener Vorschriften [235] Die bisher ermittelten mittleren relativen Anprallhäufigkeiten auf verschiedenen europäischen Flüssen [235] ergeben sich zu: v/N = H A NorecP − ABP Main 0,7·10-6 2,4·10-6 1,1·10-6 Mosel 3,1·10-6 10,6·10-6 9,7·10-6 Nieuwe Waterweg 6,4·10-6 28·10-6 - Thames 10,7·10-6 40·10-6 - Seine (Paris) 15,7·10-6 - - Drogden Channel 59·10-6 - -

Tab. 2-20: Häufigkeiten eines Schiffsanpralls pro Schiffspassage v und Häufigkeit ABP für das Verlassen des Kurses gemäß verschiedener Vorschriften [235] In [235] wird aber darauf hingewiesen, daß auf Grund mangelnder Daten der Wert für ABP zur Zeit noch nicht abgesichert bestimmt werden kann. Damit wird die Vermutung bestätigt, daß die Ermittlung genauer Daten für das Normenformat zur Bestimmung der Bemessungsan-prallkraft noch nicht abgeschlossen ist. Nach der Diskussion der verschiedenen Vorschläge zur Ermittlung der Bemessungsanprall-kräfte für Schiffsanprall bietet es sich an, auch andere Bemessungsanprallkräfte zu hinterfra-gen und damit zu vergleichen. Darum wird im folgenden auf Regeln für Kraftfahrzeuganpralle gegen Bauwerke und Schienenfahrzeuganpralle gegen Bauwerke kurz eingegangen.


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2.4.4 Bemessungsstoßkräfte für andere Verkehrsträger

2.4.4.1 Bemessungsstoßkräfte für Straßenfahrzeuge

Abb. 2-22: Dortmund, Brücke über die A 2, 1979 (SCHEER [257])

Abb. 2-23: München, mittlerer Ring, 1981 (SCHEER [257])

Nach RACKWITZ [236] liegt die Wahrscheinlichkeit für einen Anprall pro Bauwerk und Jahr unter 10-7. Eine Absolutzahl der Anpralle pro Jahr läßt sich aus der Unfallstatistik ermitteln. Die Anzahl der Unfälle in Verbindung mit Anprallen gibt die folgende Tabelle an [280]: Unfälle mit Personenschaden Anprall auf Hindernis neben der Fahrbahn

insgesamt mit Getöteten mit Schwerverletzten mit Leichtverletzten

Baum 21.556 1.593 9.194 10.769 Mast 4.593 118 1.443 6.497 Widerlager 379 19 149 211 Unfälle insgesamt 395.689 7.091 91.748 296.850

Tab. 2-21: Anpralle von Kraftfahrzeugen gegen Hindernisse mit Personenschaden [280] Wieviel Prozent der 379 Anpralle gegen Widerlager von PKW bzw. LKW waren, ist leider unbekannt. Nimmt man die bayerischen Zulassungswerte repräsentativ für Deutschland, so sind 14 % aller in Deutschland zugelassenen Fahrzeuge LKW, Busse bzw. Zugmaschinen. Das Verhältnis von LKW/PKW für den ausländischen Verkehr beträgt in Bayern 1:1 [213]. Daß heißt, der Anteil an LKW Verkehr dürfte in Deutschland über 15 % liegen, auf Autobah-nen wurden bereits Werte von nahe 50 % gemessen. Auf Grundlage dieser Schätzung wird die Anzahl der Anpralle von LKW gegen Widerlager mindestens 60 pro Jahr betragen. Die z. Z. gültige Regelung für den Anprall von Straßenfahrzeugen gegen Brückenbauwerke ist die DIN 1072 [59]. Dort heißt es in Absatz 5.3 „Ersatzlasten für den Anprall von Straßenfahr-zeugen“ :

„(1) Tragende Stützen, Rahmenstiele, Endstäbe von Fachwerkträgern oder dergleichen sind in der Regel für Fahrzeuganprall zu bemessen und durch besondere Maßnahmen zu sichern.“ „(2) ...waagerechte Ersatzlasten ± 1.000 kN in Fahrtrichtung in 1,2 m Höhe über Fahr-bahnoberfläche anzusetzen“


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Auch die neue Norm E DIN 1055-9 [72] folgt diesem Ansatz (Tab. 2-22): 1 Kategorie Fahrzeugart Ersatzlasten [MN] in Fahrtrichtung rechtwinklig zur

Fahrtrichtung 2 Straßen außerorts LKW 1,0 0,5 3 Straßen innerorts bei v ≤ 50 km/h1) LKW 1,0 0,5 4 Straßen innerorts bei v > 50 km/h1)3) 5 - an ausspringenden Gebäudeecken LKW 0,5 0,5 6 - in allen anderen Fällen LKW 0,25 0,25 7 Hofräume LKW 0,1 0,075 8 PKW 0,05 0,025 9 Trankstellenüberdachungen2)3) LKW 0,1 0,1 10 Parkgaragen für PKW3)4) PKW 0,04 0,025 11 Gebäude mit Räumen, in denen LKW ver-

kehren können bzw. mehrgeschossige Ge-bäude mit PKW-Verkehr

LKW 0,1 0,1

1) Nur anzusetzen, wenn stützende Bauteile der unmittelbaren Gefahr des Anpralls von Straßenfahrzeugen ausgesetzt sind, d. h. im allgemeinen im Abstand von weniger als 1 m von der Bordschwelle. 2) Nur anzusetzen, wenn die stützenden Bauteile nicht am fließenden Verkehr liegen, sonst wie Zeile 2 bis 6 3) Nur anzusetzen, wenn nicht nachgewiesen werden kann, daß bei Ausfall der stützenden Bauteile die Standsicherheit von Gebäuden/Überdachung/Decke nicht gefährdet ist. 4) Auch anzusetzen für Anprall an Brüstungen von Rampen, Parkpaletten, etc.

Tab. 2-22: Bemessungsanprallkräfte für PKW/LKW gemäß E DIN1055-9 [72] Im Gegensatz dazu stellt RACKWITZ hierzu in [236] fest: „Die in DIN 1072 empfohlenen Stoß-kräfte erscheinen im Lichte der Nachrechungen ... so klein, daß sie ihren Sinn verfehlen.“ und schlägt die Werte in Tab. 2-23 vor. Ähnliche maximale Werte finden sich auch in der europäi-schen Normung (Tab. 2-24). Art des Verkehrswegs Fahrzeugtyp Maximalkraft F [MN] Bremsweg rbr [m] Fernverkehr LKW (90 km/h, 38 t)

LKW (90 km/h, 18 t) 2,5 1,75

100 100

Stadtverkehr LKW (50 km/h, 38 t) LKW (50 km/h, 18 t)

1,3 0,9

45 45

Parkflächen LKW (10-15 km/h) PKW (15 km/h)

0,4 0,1-0,15

5 5

Diese Werte gelten für Hindernisse, die näher als 4,5 m bei Fernstraßen und 1,5 m bei Stadtstraßen von der Mittellinie der rechten Fahrbahn entfernt sind.

Tab. 2-23: Bemessungsanprallkräfte für PKW/LKW gemäß RACKWITZ [236]

Straßenklasse Masse m

[kg]

Geschwindigkeit v

[km/h]

Bremsen a

[m/s2]

Anprallkraft F0

[kN]

Bremsweg sbr [m]

Fernstraßen 30.000 90 3 2.400 90 Ortstraßen 30.000 50 3 1.300 40 Straßen in Wohngebieten - nur PKW - PKW und LKW

1.500

30.000

20 15

3 3

120 400

5 5

Parkflächen - nur PKW

1.5000

10

3

90

4

Tab. 2-24: Bemessungsanprallkräfte für PKW/LKW gemäß ENV 1991–2–7 Eurocode 1 [82] Größere Werte als die normativ festgelegten sind insofern vorstellbar, da z. B. Mercedes-Benz Deutschland bei Anprallversuchen von LKW gegen feste Barrieren bei einer Geschwindigkeit von 35 km/h und 10 t Eigengewicht Anprallkräfte von bis zu 12 MN ermittelt hat. Die Last wirkte allerdings nur über einen Zeitraum von 20 msek. Insgesamt treten die Anprallkräfte von Kraftfahrzeugen im Vergleich zu Schiffsanprallen sehr kurz auf. Während die Anprall-zeiten bei Schiffen zwei bis drei Sekunden erreichen können, zeigt Abb. 2-24 typische Kraft-


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Zeit-Verläufe von Kraftfahrzeuganprallen im Bereich von 50 bis 150 msek. EIBL & FEYERABEND [73] haben sich mit den Auswirkungen von kurzen Stößen auf Stützen befaßt. Höhere Geschwindigkeiten (> 35 km/h) werden bei LKWs nicht getestet. Nach Aussagen von Mercedes Benz macht es keinen Sinn, Anprallversuche mit höheren Geschwindigkeiten durchzuführen, da bei höheren Geschwindigkeiten kein Schutz mehr für Insassen realisierbar ist. Der Insassenschutz war bisher das eigentliche Ziel derartiger LKW-Anprallversuche.

Abb. 2-24: Typische Stoßkraft-Zeit-Verläufe nach RACKWITZ [236]

2.4.4.2 Bemessungsstoßkräfte für Schienenfahrzeuge Zugunfälle wurden auf Grund der Schwere in letzter Zeit wesentlich stärker von der Öffent-lichkeit wahrgenommen als PKW oder Schiffsanpralle gegen Brückenbauwerke. Hierbei sei insbesondere der Unfall in Eschede im Jahre 1998 erwähnt. Trotzdem muß man auch hier feststellen, daß die Bemessungsanprallkräfte relativ klein erscheinen. Der größte Wert, der sich in der neuen E DIN 1055-9 finden läßt, nennt 10 MN Anprallkraft (Tab. 2-25). Auf der anderen Seite gilt für den Zuganprall üblicherweise, daß nicht die relativ steife Lok bzw. der Triebwagen gegen ein Hindernis stößt, sondern die weichen Waggons (Abb. 2-27) und daß dadurch, ähnlich wie beim Schiffsanprall, eine Obergrenze der dynamischen Kraft beobacht-bar ist. Der Unfall in Brühl im Jahre 2000 zeigte, daß die Regel des Nichtentgleisens der Lok auch nicht mit 100 protzentiger Sicherheit vorausgesetzt werden kann.

Abb. 2-25: Eschede, Deutschland, 1998 Abb. 2-26: Brühl, Deutschland, Februar 2000


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Sicherheitsanforderung Übliche Erhöhte Ersatzlast in MN

Abstand a der Stützkonstruktion von der Gleisachse

Art der Stützkonstruktion

Fx Fy Fx Fy Wandscheibenenden, wenn kein Anprallblock vorhanden 4,0 2,0 10,0 4,0 Wandscheibenenden oder Stützen hinter Anprallblock 2,0 1,0 4,0 2,0

a ≤ 3,0 m (3,2 m)1)

Mittenbereich von Wandscheiben (Abstand > 2 m vom Wandende) 1,0 - 2,0 Wandscheibenenden, wenn kein Anprallblock vorhanden 2,0 1,0 4,0 2,0 Wandscheibenenden oder Stützen hinter Anprallblock Zwischenstützen von Stützenreihen mit lichtem Abstand ≤ 8 m Auf Bahnsteigen oder auf Fundamenten mit Höhen ≥ 0,38 m bzw. ≥ 0,55 m: -Wandscheibenenden -Stützen

1,0 0,5 2,0 1,0 3,0 (3,2 m)1) < a ≤ 5,0 m (6,0 m)2)

Mittenbereich von Wandscheiben (Abstand >2 m vom Wandende)

0,5 - 1,0

5,0 (6,0 m)2) < a ≤ 7,0 m

Wandenden, Stützen Kein Anprall 2,0 1,0

a > 7,0 m Alle Arten Kein Anprall 1) Die Abstandsgrenze a = 3,0 m gilt für Gleisradien R ≥ 10 000 m. Bei R < 1000 m ist die Abstandsgrenze auf a = 3,2 m zu vergrößern 2) Die Abstandsgrenze a = 5,0 m gilt für Gleise ohne Weichen und in Weichenbereichen mit gesicherten Weichenstraßen. Für ungesicherte Weichenstraßen, z. B. in Bahnhofsbereichen, ist die Abstandsgrenze auf a = 6,0 m zu vergrößern. Art und Lage der Überbauung Übliche Sicherheitsanforderungen Erhöhte Sicherheitsanforderungen Überbauungen mit Aufbauten Alle Arten unabhängig von der Lage v ≤ 120 km/h 2) Überbauungen ohne Aufbauten Über Bahnsteigen v ≤ 120 km/h v > 120 km/h Über Bahnhofsbereichen 1) außerhalb von Bahn-steigen

v ≤ 160 km/h v > 160 km/h

Außerhalb von Bahnhofsbereichen v ≤ 300 km/h 1) Bahnhofsbereiche sind die Bereiche zwischen den Ein- und Ausfahrten. 2) Bei v>120 km/h ist ein Sicherheitskonzept aufzustellen.

Tab. 2-25: Bemessungsanprallkräfte nach DIN 1055-9 [72]

Triebwagen

Harte ElementeMittelharte Elemente

Weiche Elemente Typische Form der Entgleisung von Zügen Steifigkeit der Schnellzuglokomotive

der SBB Re 6/6 mit 120 Tonnen und 11 000 PS

Abb. 2-27: Typische Entgleisungsform von Zügen und Steifigkeitsverteilung in einer Zugma-schine nach GROB [106]


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2.4.5 Zusammenfassung der Schiffsstoßkraft Es kann auf der einen Seite festgestellt werden, daß in den letzten Jahren die normativen Be-messungsanprallkräfte für den Binnenschiffsanprall gesunken sind, obwohl das Gewicht der

Binnenschiffe zugenommen hat. Die gleiche Tendenz mit der Zunahme des Gewichtes ist auch

bei den Transportmitteln Bahn und Straßenverkehr erkennbar, und auch dort hat zumindest

keine Zunahme der Bemessungswerte in Deutschland eingesetzt. Auf der anderen Seite sind

aber im Bereich des Straßenbauamtes Würzburg signifikante Zunahmen der Anprallhäufigkeit

von Schiffen gegen Brücken beobachtet worden. Diese Zunahme von Anprallhäufigkeiten

wurde, soweit dem Verfasser bekannt, bei den anderen Verkehrsträgern nicht beobachtet. In-wieweit wirklichkeitsnähere Beschreibungen des Schiffsanpralls unter Berücksichtigung des

Überganges vom elastischen zum plastischen Stoß innerhalb des Schiffes diese Zunahme kom-pensieren können, ist bisher wissenschaftlich nicht untersucht worden. Eine Aussage, ob die

Bemessungsanprallkräfte auf der sicheren Seite liegen, kann pauschal nicht gemacht werden. Es

erscheint deshalb günstiger, eine explizite Berücksichtigung der Anprallhäufigkeiten und der

statistischen Eigenschaften der Schiffsanprallkraft in einer genauen Berechnung der zu untersu-chenden Brücken mit einfließen zu lassen.

0

10

20

30

40

50

60

70

I II III IV Va Vb VIa VIb VIc VIICEMT-KLasse

Stat

isch

eA

npra

llkra

ftin

folg

eSc

hiff

sanp

rall

(Bin

nens

chiff

)

ENV 1991-2-7 März 1996Richtlinie für Schiffsstoß September 1996E DIN 1055-9 März 2000DIN V ENV 1991-2-7 Juli 2000

DLF=1,3 (DIN 1055-9, ENV Juli 2000), DLF=1,5 (Richtlinie), DLF=1,2 (ENV März 1996)VIb Elbe, Donau, Rhein, Nord-Ostsee-Kanal; VI c Rhein (deutsch-niederländische Grenze)

Trendlinie

Abb. 2-28: Entwicklung der Bemessungsanprallkräfte


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2.5 Abschätzung der Verteilungsfunktion der Anprallhöhe Da die Anprallkräfte auf Anprallversuchen von Schiffen gegen feste Widerstände basieren, muß für den Kraftfluß innerhalb der Brücke auch die Anprallhöhe berücksichtigt werden. Die Anprallhöhe für den einzelnen Schiffsanprall ist unbekannt. Deshalb soll auch hier wieder eine statistische Beschreibung dieser Größe erfolgen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Anprallhöhe hängt von verschiedenen Fakto-ren ab: vom Aufbau des Pfeilers und hierbei insbesondere von der Erreichbarkeit des Anprall-punktes durch das Schiff (z. B. Behinderung durch eine Betonmanschette), von dem Bugauf-bau und dem Beladungszustand des Schiffes und letztendlich vom Wasserstand. Angaben über den Flottenaufbau und damit über die Bugformen liegen dem Verfasser nicht vor. Insbesondere auch unter der Problematik des im Kapitel 1 genannten großen Beitrages der

Binnenschiffahrtstransporte durch ausländische Schiffe dürfte eine statistische Erfassung der

Bugformen mit hohem Aufwand verbunden sein. Auch über den Beladungszustand kann keine

Aussage getroffen werden. Als letzter Punkt bleibt die Wasserstandshöhe. Die Wahl des Wahrscheinlichkeitstyps der Wasserstandshöhe erfordert i. d. R. einen umfang-reichen Datenbestand, der durch Pegelmessungen bereitgestellt wird. Häufig erfolgt schon die Pegelmessung für die Datenerfassung nicht an der zu untersuchenden Stelle. Man kann die Datenauswertung von Pegelmessungen an anderen Flußabschnitten verwenden, wenn sich der Flußquerschnitt nur geringfügig ändert, wie es häufig bei ausgebauten Flüssen anzutreffen ist und wenn keine oder nur kleine Zuflüsse zwischen Meßpunkt und zu untersuchendem Punkt zu finden sind. Für die Wahl von Extremwertverteilungen für Hoch- bzw. Niedrigwasser exi-stieren häufig Angaben, die aber im vorliegenden Fall nicht verwendet werden können, da normalerweise bei extremen Wasserständen die Schiffahrt nur eingeschränkt möglich ist bzw. ganz im davon betroffenen Flußabschnitt eingestellt wird. Insbesondere bei Hochwasser besteht aber dann auch wieder eine erhöhte Gefahr an Kollisionen durch losgerissene Schiffe. Neben diesen regionalen Effekten gibt es auch noch lokale Effekte des Wasserstandes, wie z. B. ein Strömungsprofil um die Brücke, welches aus Sicht des Verfassers aber vernachlässigt werden kann. Sehr gern wird auch der innerjährliche Durchfluß angegeben. Dieser hängt vom Klima und dem Infiltrations- und Rückhaltevermögen des Einzugsgebietes ab. Durch die Prüfung der Eingangsparameter mittels statistischer Untersuchung der Regenmenge ist eine Plausibilitäts-kontrolle möglich. Die Streuungen für den mittleren Jahresdurchfluß basieren nach DYCK et al. [70] auf folgenden Grundlagen: • Unabhängigkeit der aufeinanderfolgenden Jahresdurchflüsse (reiner Zufallsprozeß) • kurzfristige nichtzyklische Persistenz • langfristige Persistenz • zyklisches Verhalten. Die mittleren Jahresdurchflüsse aufeinanderfolgender Jahre werden unabhängig sein, wenn die Jahresniederschlagsmenge unabhängig ist (DYCK et al. [70]). Die Jahresdurchflußrate kann man anhand der Regenmenge des Einzugsgebietes kontrollieren. Unter Persistenz ver-steht man das Beharrungsvermögen des Wetters. Es drückt die Tendenz zur Gruppenbildung von Naß- und Trockenjahren aus. Das übliche Maß für diese Erscheinung ist der Autokorre-lationskoeffizient. Man unterscheidet langfristige und kurzfristige Persistenz. Die kurzfristige


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Persistenz wird hervorgerufen durch Übertragungen aus dem Vorjahr, Verdunstung der Ein-zugsfläche, inkonsistentes und inhomogenes Beobachtungsmaterial (DYCK et al. [70]). Bei ho-her Rückhaltekapazität der beobachteten Region ist sie bedeutend größer als bei geringer Rückhaltekapazität. Die langfristige Persistenz (DYCK et al. [70]) beruht auf der Behauptung, daß die mittleren Jahresdurchflüsse Zyklen von 2-3, 5-7 und 11-12 Jahren zeigen. Als Ur-sachen dafür werden genannt: • außer dem zufälligen Einfluß gibt es noch einen unbekannten regelmäßigen Einfluß • es gibt keine derartigen Zyklen, die Zyklenbildung ist eine natürliche Eigenschaft statio-

närer stochastischer Prozesse. Nach bisherigen Untersuchungen scheinen beide Begründungen kaum gültig zu sein (DYCK et al. [70]). Die hier nur angerissene Problematik der Festlegung einer Momentanverteilung für die Was-serstandshöhe zeigt die Schwierigkeiten bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anprallhöhe. Da die Schiffahrt nur ab einer bestimmten bzw. bis zu einer bestimmten Wasserhöhe überhaupt praktisch durchgeführt werden kann und die Bughöhen nur zwischen Null und wenigen Metern variieren können, zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion zusätzlich eine Stutzung am oberen und unteren Schwanz. Auch die Schleusen am Main füh-ren zu einer spürbaren Begrenzung der Streuung des Wasserstände. Zumindest die untere Be-schränkung wäre durch die Wahl einer Log-Normalverteilung erfüllt. Ohne auf diese ausführlichen Überlegungen zur statistischen Verteilung der Jahresdurchflüsse einzugehen, wurde mit den von der Bundesanstalt für Wasserbau vorgelegten Daten der Was-serstandshöhe gearbeitet (KUNZ [158]). Diese Daten wurde durch eine Log-Normalverteilung bei statischen Verteilungstests (Goodness of Fit – siehe Anhang C) für die Wasserstandshöhe im Bereich der Mainbrücke Lohr am besten beschrieben. Auf Grund der vielen Einflußfaktoren für die Anprallhöhe hat sich der Verfasser aber für eine Normalverteilung entschieden. Es ist anzunehmen, daß der Bemessungspunkt eher bei einem hohen Anprallpunkt erreicht wird, da, wie bei den statischen Berechnungen der Mainbrücke Lohr noch zu sehen ist, ca. 80 – 90 % der Anprallkraft über das Pfeilerfundament abgetragen werden. Insofern liegt diese Wahl auf der sicheren Seite. Aussagen über die statistischen Ei-genschaften der Bughöhen über Wasser für die Schiffe lagen dem Verfasser nicht vor, so daß eine deterministische Annahme getroffen werden mußte (KUNZ [158]).

Kapitel 3: Widerstandsseite Brücke

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3 Widerstandsseite Brücke

3.1 Allgemeines Eine Aussage über das Verhalten von Brücken unter Anprall erfordert neben der ausführli-chen Diskussion der Einwirkungsseite auch eine gleichwertige Betrachtung der Widerstands-seite. Eine Generalisierung der Widerstandsseite vergleichbar mit der erfolgreichen Abstrak-tion der Einwirkung unter Berücksichtigung der Flottenstruktur ist durch die Vielfalt von Brücken bisher nicht gelungen. Eine Beschränkung der Menge aller Brücken erfolgte bereits in Kapitel 1 durch das Untersuchungsziel „alte Brücken“. Doch auch aus dieser Untermenge können nicht alle Brücken im Detail betrachtet werden, wie anhand der Beschreibung zweier Bauwerke noch zu sehen sein wird. Darum hat sich der Verfasser als Kompromiß zwischen Verallgemeinerung und Berücksichtigung objektbezogener Besonderheiten dafür entschieden, zwei Referenzbrücken als typische Vertreter jeweils einer Brückenklasse ausführlich zu un-tersuchen. Diese beiden Brücken werden im folgenden vorgestellt.

3.2 Vorstellung der Bauwerke

3.2.1 Sandsteinbogenbrücke – Alte Mainbrücke Lohr Als Vertreter der Sandsteinbogenbrücken wurde die alte Mainbrücke Lohr gewählt. Die Brük-ke befindet sich ca. 30 km nordwestlich von Würzburg in der Stadt Lohr an der B 26. Im Rah-men des Mainausbaus und der damit geplanten Erhöhung der zulässigen Schiffsgröße auf dem Main stellte sich beim wasser- und schiffahrtsrechtlichen Planfeststellungsverfahren die Frage der Standsicherheit der Brücke bei einem Anprall. Diese Frage konnte nicht abschließend im Sinne der üblichen Normen beantwortet werden. Bei der Brücke handelt es sich um eine Sechsfeld-Steinbogenbrücke mit Flutöffnungen, die in den Jahren 1872-1875 errichtet wurde. Die ursprüngliche Konstruktion wurde überwiegend in qualitativ hochwertigem Quadermauerwerk aus rotem Mainsandstein erstellt. Eine Ansicht und Draufsicht des Bauwerks zeigt Abb. 3-1, aus der auch die Abmessungen entnommen werden können. Abb. 3-2 a zeigt die Brücke aus unterstromiger Richtung, wie sie sich dem Betrachter bei Hochwasser darbietet. Das Fundament wurde bei Erbauung der Brücke flach auf Mainkies gegründet (Abb. 3-2 b). Nach Angaben der Lohrer Zeitung [170] wurden bereits in den Jahren 1939-40 die ursprüngli-chen Holzspundwände der Flußpfeiler im Rahmen der Mainkanalisation und der damit ver-bundenen Absenkung der Flußsohle durch doppelte Stahlspundwände ersetzt und die Pfeiler-füße mit einer Betonmanschette versehen. Im Jahre 1945 wurde der Pfeiler III zusammen mit den benachbarten Bögen 3 und 4 ge-sprengt. Bereits im gleichen Jahr begann der Wiederaufbau, nachdem eine Behelfsbrücke er-richtet worden war (Abb. 3-2 c). Der Wiederaufbau des Pfeilers erfolgte nach Beräumung etwa ab Oberkante Betonmanschette (Abb. 3-3). Diese Vermutung wurde 1985 durch eine Bestandsaufnahme bestätigt, bei der Taucher von zahlreichen Rissen in der Betonmanschette dieses Pfeiler berichten [274]. Diese Risse sind vermutlich im wesentlichen auf die Sprengung zurückzuführen.


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Die 1945-46 wiedererrichteten Bögen 3 und 4 wurden laut Planung aus einem B 15 mit vor-gemauerten Stirnbögen und aufgesetztem Spargewölbe erstellt. Die Abb. 3-2 d und e zeigen den Wiederaufbau, wobei Abb. 3-2 e die Errichtung der Spargewölbe dokumentiert. Eine weitere Baumaßnahme erfolgte 1968 zur Verbreiterung der Fahrbahn. Dazu wurde eine ca. 30 cm dicke neue Fahrbahnplatte aufgebracht. Die jüngste Baumaßnahme aus dem Jahre 1994 beinhaltete die Sicherung des Pfeilers IV am Lohrer Ufer durch eine Stahlbetonman-schette bis Oberkante Gelände.

Abb. 3-1: Ansicht und Draufsicht auf die Alte Mainbrücke Lohr

a) Ansicht der Brücke 1996/97 bei Hoch-wasser

b) Pfeiler II der Brücke in den 30er Jahren

c) Behelfsbrücke d) Einfahren der Bogenrüstung


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e) Wiederaufbau des Bogens f) Wiedereröffnung am 25.5.1946

Abb. 3-2: Aufnahmen aus der Geschichte der Mainbrücke Lohr

Abb. 3-3: Schematischer Aufbau der Brücke (ohne Hinterfüllung im Sandsteinbogen): Links oben sind die drei Flußfelder der Brücke mit und links unten ohne Vormauerung dargestellt. Rechts sind die einzelnen Elemente der Brücke aufgeführt (Explosionsdarstellung). Die historisch gewachsenen baulichen Besonderheiten und die damit verbundenen Unregel-mäßigkeiten werden noch einmal sehr schön in der Explosionsdarstellung in Abb. 3-3 deut-lich.

3.2.2 Stahlfachwerkbrücke mit Natursteinpfeilern – Mainbrücke Segnitz

Bei der Mainbrücke Segnitz handelt es sich um eine Stahlfachwerkbrücke mit Betonfahrbahn und, wie bei Lohr, um Pfeiler aus Naturstein-Quadermauerwerk. Die Brücke ist als Vierfeld-durchlaufträger ausgebildet und überquert den Main zwischen Segnitz und Marktbreit. Die Ortschaft Segnitz liegt in der Nähe von Würzburg. Über die Brücke führt die Staatsstraße 2273. Die Brücke Segnitz stammt aus dem Jahre 1893, wurde allerdings ebenso wie Lohr am Ende des 2. Weltkrieges teilweise zerstört. Der Wiederaufbau erfolgte 1947, ein Umbau 1974/75.


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Abb. 3-4 gibt eine graphische Ansicht der Brücke wieder. Abb. 3-5 zeigt die Brücke vom Se-gnitzer Ufer aus. Da die Pfeiler wesentlicher Inhalt der vorliegenden Arbeit sind, findet sich in Abb. 3-6 eine Skizze eines Flußpfeilers und eines Widerlagers.

Abb. 3-4: Ansicht und Draufsicht der Brücke

Abb. 3-5: Ansicht der Mainbrücke Segnitz von der Segnitzer Seite aus

Abb. 3-6: Querschnitt der Pfeiler


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Auf Grund des unterschiedlichen Aufbaus der beiden Brücken werden die Vorbehalte einer Verallgemeinerung des Verhaltens aller Brücken bzw. aller „alten Brücken“ unter Schiffsan-prall verständlich. Neben der rechnerischen Untersuchung der vorgefundenen Brücken unter Schiffsanprall bie-tet es sich aus Vergleichsgründen auch an, konstruktive Verstärkungsmaßnahmen der jeweili-gen Brücke mit zu untersuchen. Verstärkungsmaßnahmen können zwingend werden, wenn Brücken nicht die erforderliche Sicherheit erbringen, aber weitergenutzt werden sollen. Auf der Widerstandsseite erscheint eine Erhöhung der Schubtragfähigkeit z. B. durch Erhö-hung der aktivierbaren Schubfläche und das Einbringen eines Materiales, welches Zugkräfte aufnehmen kann, sinnvoll. Die Bemessung des konstruktiven Elementes zur Zugkraftauf-nahme bei einem Anprall zeigt Abb. 3-7 mit einem einfachen Stabwerkmodell. Als konstruk-tive Lösung bietet sich das Einbringen einer schlaffen Bewehrung oder das Aufbringen einer Vorspannung an. Beides erscheint für die vorgefundenen Materialen Mauerwerk und Beton möglich. Über die Vorspannung von Mauerwerk bzw. Natursteinmauerwerk gibt es vielfältige Literatur, siehe z. B. GANZ [99], HALLER [115], ULLRICH [295], STIESCH [287] und NIETZ-HOLD [207].

D

9 m

F

4 m

1

Z

Abb. 3-7: Einbau eines Zugkraftelementes Z, F sei die Anprallkraft Vorspannung kann aufgebracht werden, wenn eine Reserve zwischen der maximal vorhande-nen und der maximal zulässigen Normalspannung in den Mauerwerks- bzw. Betonpfeilern nutzbar ist. Diese Vorspannung erhöht die Tragfähigkeit gegenüber horizontalen Lasten. Es ist jedoch zu beachten, daß die maximalen zulässigen Normalspannungen über den Pfei-lerquerschnitt oft nicht konstant sind, da die Pfeiler alter Brücken mit Verfüllungen errichtet wurden. Die Verfüllungen im Pfeilerinneren bestehen aus qualitativ geringerwertigem Bau-material und erlauben deshalb nur geringe zulässige Spannungen. Weiterhin können relativ große Vorspannkräfte erforderlich werden. Diese großen Vorspannkräfte können zu Veranke-rungsproblemen sowohl im Fundament als auch an der Oberseite des Pfeilers führen. Außer-dem sind bei dem weichen Material Mauerwerk hohe Spannkraftverluste zu erwarten. Eine Spannkraftüberwachung und eine Nachspannmöglichkeit sind dann unvermeidlich. Diese Probleme vermeidet man durch eine konstruktive Verstärkung mit Stahlbetonbauteilen. Unter Berücksichtigung der zur Verfügung stehenden Bauvolumen können zwei konstruktive Lösungen vorgeschlagen werden: Das Einbringen von Großbohrpfählen in der Alten Main-brücke Lohr als Maximalvariante mit erheblichem Aufwand und großer Bauwerksstörung und die Verwendung von GEWI-Stäben in der Mainbrücke Segnitz als Minimalvariante mit mög-lichst geringem Aufwand und geringer Bauwerksstörung. Selbstverständlich ist auch der Ein-satz von GEWI-Stäben bei der Mainbrücke Lohr möglich. In Abb. 3-8 werden die beiden ge-nannten möglichen Verstärkungsmaßnahmen dargestellt.


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Sollten die beschriebenen Verstärkungsmöglichkeiten auf Grund ungenügender Bauwerksab-messungen oder der vorgefundenen Baumaterialien nicht möglich sein, z. B. durch zuwenig Fläche für den Einbau von GEWI-Stäben oder Spanngliedern, können auch die Abmessungen der Pfeiler im unteren Bereich vergrößert werden (Abb. 3-8). Diese Idee eines Mantels um den Pfeiler führt zwangsläufig zum nächsten Verstärkungskonzept, bei dem man den Kontakt zwischen diesem Verstärkungsmantel und dem Pfeiler aufgibt: der passiven Schutzeinrich-tung, die um einen Pfeiler herum geführt wird.

Vor-mauerung

Spannglieder

Vor-mauerung

schlaffe Anker (z.B. GEWI-Stäbe)

Beton-verkleidungdes Pfeilers

8,1 m 0,7 m

9,5 m

Hinterfüllung

Vor-mauerung

1 m

Abb. 3-8: Mögliche Verstärkungsmaßnahmen

Eine derartige Konstruktion führt zu einer Erhöhung der Sicherheit der Brücke durch die Be-einflussung der Einwirkungsseite. Zum einen wird die Häufigkeit der Anpralle gegen den geschützten Brückenpfeiler abnehmen, da die Schutzeinrichtung teilweise den Anprall allein auffängt und zum zweiten wird die Anprallkraft des Schiffes gegen den Pfeiler auf Grund der zur Überwindung der Barriere erforderlichen Energie verringert, wenn die Schutzeinrichtung nicht in der Lage ist, den Anprall komplett aufzufangen. Für die verschiedenen Varianten der-artiger Konstruktionen gibt es umfangreiche Literatur, beispielhaft sei nur [51] genannt. Für die Mainbrücke Segnitz wurde eine Schutzeinrichtung aus Stahldolben um die Pfeiler herum mit einem maximalen Kraftabtrag von 4,2 MN Frontalstoß und 0,486 MN Querstoß entworfen [317]. Beim Frontalstoß kann maximal eine Energie von 9,5 MNm und beim Quer-stoß von 0,251 MNm umgewandelt werden. Auf Grund der beiden o. g. Effekte wurde eine neue Verteilungsfunktion für den Frontalstoß mit einem Mittelwert von 0,0465 MN und einer Standardabweichung von 0,837 MN berechnet. Die mechanischen Grundlagen dafür finden


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sich teilweise im Anhang B. Die Ermittlung der statistischen Parameter erfolgte sinngemäß nach KUNZ [158]. Eine Prüfung der Lagesicherheit des Überbaus während des Anpralls erfolgte im Rahmen dieser Arbeit nicht. Insbesondere auf Grund der Erfahrung an der Mainbrücke Retzbach-Zel-lingen (siehe CURBACH [43]) könnte eine derartige Untersuchung an der Mainbrücke Segnitz angebracht sein. Auch Grundbruchnachweise zur Prüfung der Standsicherheit der Pfeiler bei Schiffsanprall erfolgten nicht im Rahmen dieser Arbeit. Die komplette Untersuchung kon-zentriert sich auf das Schubtragverhalten der Brückenpfeiler. Dadurch wird eine optimale Vergleichbarkeit der Berechnungsergebnisse der beiden Brücken gewährleistet.

3.3 Bauwerkserkundung der Mainbrücke Lohr Unter Bauwerkserkundung werden im folgenden alle Untersuchungen verstanden, die direkt am Bauwerk bzw. mit aus dem Bauwerk entnommenen Material erfolgten. Sie gliedert sich in verschiedene Abschnitte. Diese werden in den folgenden Unterkapiteln behandelt. Ziel der Erkundung ist die Bereitstellung detaillierter Angaben über die Geometrie, den Aufbau und die verwendeten Materialien für die sich anschließende, rechnerische Untersuchung der Brücken.

3.3.1 Ortsbegehung Auf Grund der vorab teilweise bekannten wechselhaften Geschichte und der unvollständigen Unterlagen war eine Sichtung der Brücken unumgänglich. Die frühzeitige Erkennung von Differenzen zwischen den Bestandsunterlagen und dem realen Bauwerk ist notwendig, um Fehler bei der Modellierung der Brücke zu vermeiden. Bei Begehungen der Mainbrücke Lohr wurden sowohl die Spargewölbe als auch die Spreng-kammern in den Flußpfeilern besichtigt und teilweise vermessen (Abb. 3-9). Die Sprengkam-mern waren vermutlich bei der Errichtung der Brücke nach dem Deutsch-Französischen Krieg 1871 und nach dem II. Weltkrieg eingebaut worden. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß die Sprengkammern nicht dokumentiert waren. Erst auf konkrete Anfrage bei der Bun-deswehr war eine Handskizze der Sprengkammern erhältlich. Zu diesem Zeitpunkt waren die Sprengkammern aber bereits durch die Bohrungen aufgefunden worden.

3.3.2 Bohruntersuchung Für die rechnerische Untersuchung werden neben der Geometrie auch Materialkenngrößen benötigt. Die Materialkenngrößen wurden durch materialtechnische Versuche ermittelt. Um die dafür notwendigen Probekörper zu beschaffen, gibt es vielfältige Möglichkeiten. Für Mauerwerk findet sich in der Literatur der Vorschlag der Entnahme von nicht benötigten

Steinen aus einem Bauwerk (STIGLAT [288]). Auf Grund der Größe der Natursteine in der alten

Mainbrücke Lohr, der mit der Entnahme einhergehenden Beschränkung der Funktionalität der

Brücke und der z. Z. vorhandenen guten Funktionalität der Brücke wurde diese Lösung als nicht

praktikabel eingeschätzt. Auch sollte aus denkmalschützerischen Gründen die visuelle Ver-änderung des Bauwerkes durch Baumaßnahmen so gering wie möglich sein (BUDELMANN [23], WENZEL [322]).


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Spargewölbe

Sprengkammer

Mauer-werk

Spreng-kammer

0,5m

1,8 m 0,6 m

0,6

m

4 m

1,8 m

2,15

m

Beton

8 m2 m 2 m

Vertikalschnitt durch den Pfeiler III in Höhe der Sprengkammern und der Spargewölbe

Horizontalschnitt durch den Pfeiler III in Höhe der Sprengkammern

Abb. 3-9: Darstellung der Sprengkammer im Vertikal- und im Querschnitt und Aufnahmen der Sprengkammer. Links oben sind die Spargewölbe im Betonbogen dargestellt.

Auch die Möglichkeit der nachträglichen Herstellung von neu gewonnenen Steinen aus ver-gleichbarem Naturstein und wenn möglich sogar aus den gleichen Steinbrüchen und adäqua-tem Mörtel erscheint unpraktikabel. Zwar konnte mit Unterstützung des örtlichen Geschichts-vereines in Lohr eine Zuordnung zu alten Steinbrüchen erfolgen. So kamen die Steine für den Bau der Mainbrücke wahrscheinlich aus dem Neuendorfer Steinbruch der Gebr. Schönmann und aus dem Steinbruch von Karl Dietrich. Weitere Steine kamen aus verschiedenen Wald-abteilungen, in denen Findlinge gesucht und behauen wurden. Dazu wurde eine eigene Wald-schmiede errichtet. Außerdem sollen Steine aus Neustadt, Wombach, Neuendorf, Nantenbach und Waldzell verwendet worden sein. Beim Wiederaufbau 1946 wurden die vorhandenen Steine geklopft und wieder eingebaut. Zusätzliche Steine kamen aus Reistenhausen und Bet-tingen. Die ermittelten Steinbrüche sind jedoch seit vielen Jahren geschlossen. Eine Wieder-eröffnung dürfte mit hohem Aufwand verbunden und teuer sein. Auch die Herstellung des alten Mörtels dürfte Schwierigkeiten bereiten, so daß insgesamt von diesem Vorschlag Ab-stand genommen wurde. Auch wenn die Materialentnahme durch Bohrungen lt. STIGLAT [288] und BERNDT [16] für die Abschätzung von Mauerwerksfestigkeiten Unsicherheiten in sich birgt, überwiegt der Vorteil der einfachen technologischen Gewinnung diesen Nachteil. Die Bohrungen dienen ne-ben der Materialbeschaffung auch zur Prüfung des Aufbaus der Brücke und der Fundamente. Die visuelle Störung des Bauwerkes ist im Verhältnis zur Menge an gewonnenem Material außerordentlich gering. Mit den zahlreichen Bohrkernen ist eine statistische Auswertung der Materialgrößen möglich, die die Unsicherheit bei der Beschreibung der Materialgrößen be-


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rücksichtigt, die wiederum später die Grundlage für die probabilistische Berechnung ist. Inso-fern ist zumindest teilweise damit der o.g. Kritik Genüge getan. Neben den Materialproben und dem möglichen Blick in das Bauwerk erlaubt der Bohrvor-gang selbst Rückschlüsse auf Mauerwerkseigenschaften. Ein wichtiger Indikator für den vor dem Bohrvorgang vorhandenen Porenraum im Mauerwerk stellt der Verlust an Kühlwasser dar. Ebenso können die Bohrprotokolle mit den an den Bohrkernen gesichteten Materialien verglichen werden. STIGLAT [288] empfiehlt, Bohrkerne nicht kleiner 200 mm für die Ermittlung der Belastbar-keit von Natursteinmauerwerkswänden zu verwenden. Dieser Empfehlung konnte auf Grund technologischer Rahmenbedingungen nur teilweise gefolgt werden. Die Horizontalbohrungen erfolgten mit einem Durchmesser von 200 mm und die Vertikalbohrungen mit einem Durch-messer von ca. 130 mm. Der Bohrplan für die alte Mainbrücke Lohr ist in Abb. 3-10 dargestellt. Die Wahl der Bohrun-gen basiert im wesentlichen auf einer umfangreichen rechnerischen Voruntersuchung.

Abb. 3-10: Bohrplan für die alte Mainbrücke Lohr

3.3.3 Sichtung der Bohrkerne Nach der Gewinnung der Bohrkerne wurden diese gesichtet. In den beiden Bildern Abb. 3-11 und Abb. 3-12 sind die Bohrkerne der vertikalen Bohrungen durch jeweils einen Mauerwerks- und einen Betonpfeiler dargestellt. In Abb. 3-11 befindet sich auf der linken Seite Material, welches in der Nähe der Fahrbahn-platte, also sehr weit oben im Pfeiler entnommen wurde. Auf der rechten Seite des Bildes sind Bohrkerne aus dem Bereich des Fundamentes sichtbar. In Abb. 3-12 befindet sich die Ober-seite des Pfeilers unten im Bild. Die Betonabschnitte sind Hinterfüllungen der Bögen. Oben im Bild sind wieder Bohrkerne aus dem Bereich des Fundamentes erkennbar. Die Zahlen auf den Bohrkernen geben die Tiefe der Bohrkernentnahme von OK Fahrbahn an. Es ist erkenn-


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bar, daß besonders im Bereich des Bogenansatzes sehr gutes Steinmaterial verwendet wurde (Abb. 3-12: 7-9 m Tiefe). Gemäß Definition DIN 4022 [61] sind die gewonnenen Bohrkerne überwiegend großstückig, im Gegensatz dazu im Bereich des Fundamentes stückig bis klein-stückig.

Abb. 3-11: Vertikalbohrung durch den Betonpfeiler (Pfeiler III)

Abb. 3-12: Vertikalbohrung durch den Mauerwerkspfeiler (Pfeiler II). Die Zahlen stellen die Lage des Bohrkernes von der OK Fahrbahn auf der Brücke in Meter dar. Anhand aller Bohrkerne erfolgte eine subjektive Einstufung des verwendeten Natursteins und des Betonmaterials. Bei dem Naturstein handelt es sich um roten Mainsandstein (Buntsand-stein). Dieser Quarzsandstein zeigt i. a. ein feinkörniges, äußerst dichtes Gefüge, eine hohe Dauerhaftigkeit und hohe Festigkeitseigenschaften (bis zu 140 MN/m2 Druckfestigkeit). Zahl-reiche Bauwerke im In- und Ausland wurden aus diesem Material errichtet. Der vorgefundene Mainsandstein wurde in drei Varietäten unterteilt:


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1. roter Mainsandstein (Abb. 3-13 a), regelmäßige Struktur, keine oder kaum farbliche

Störungen, die teilweise nach der Trocknung sichtbaren weißen Bereiche sind im Ver-hältnis zur Varietät 2 kleiner und seltener (Abb. 3-13 b), eine Schichtung ist nicht oder nur durch kleine Farbänderungen abschätzbar, sehr kratzfest, ohne Risse, die sichtbare Porengröße liegt unter 0,25 mm (vermutlich Dietenhain-Rot Mainsandstein)

2. roter Mainsandstein, Grundfarbe heller oder dunkler als 1, gelegentlich fast ziegelrot, regelmäßige Struktur mit weißen Streifen und dunklen Einschlüssen (Abb. 3-13 c), beim Kratzen weicher als Varietät 1, Poren sind nicht erkennbar (vermutlich Dorfprozeltener Mainsandstein)

3. roter Mainsandstein, Grundfarbe wie 2, keine oder kaum farbliche Störungen, aber grö-ßere Höhlräume im Stein bis 0,5 cm in unregelmäßigen Abständen mit einer schwarz-braunen Oberfläche in den Störungen (Abb. 3-13 d), eine Schichtung ist nicht erkennbar, die Porengröße in der Struktur liegt zwischen ¼ und ½ mm, nach der Trocknung regel-mäßige weiche Bereiche (vermutlich Ebenheider Mainsandstein)

a) Typisches Beispiel der Schnittfläche ei-nes Probekörpers aus den Bohrkernen der Varietät 1 a im trockenen Zustand

b) Typisches Beispiel der Schnittfläche ei-nes Probekörpers aus den Bohrkernen der Varietät 1 b im trockenen Zustand

c) Typisches Beispiel der Schnittfläche ei-nes Probekörpers aus den Bohrkernen der Varietät 2 im trockenen Zustand

d) Typisches Beispiel der Schnittfläche ei-nes Probekörpers aus den Bohrkernen der Varietät 3 im trockenen Zustand

Abb. 3-13: Beispiele der Varietäten des Sandsteines


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Der Beton wurde visuell anhand der Haufwerksporigkeit in drei verschiedene Klassen einge-teilt. Als Größtkorn wurden ca. 10 cm geschätzt. Zuschlagstoff war überwiegend Sandstein, der aus den Resten des gesprengten Pfeilers gewonnen worden war. 1. Bei der Klasse 1 handelt es sich um dichten Beton ohne Fehlstellen (Abb. 3-14 a). Das

Bindemittel hat die übliche graue Farbe. Der Bruch bei den zentrischen Zugfestigkeits-versuchen geht durch den Zuschlagsstoff aus Mainsandstein, teilweise auch durch andere vorhandene Zuschlagstoffe.

2. Beim Beton der Klasse 2 sind Fehlstellen von 1-2 cm Durchmesser (Abb. 3-14 b) erkenn-bar. Der Bruch bei Zugfestigkeitsversuchen geht teilweise durch die Zuschläge aus Sand-stein. Die Farbe des Bindemittels ist etwas heller als bei Klasse 1.

3. Beton der Klasse 3 ist extrem porös (Abb. 3-14 c). Das Material ist sehr schlecht verdich-tet. Das Korngerüst ist räumlich erkennbar. Das Bindemittel ist teilweise sandfarben.

a) Typisches Beispiel der Schnittfläche ei-nes Probekörpers aus den Bohrkernen des Betons der Klasse 1 im trockenen Zustand

b) Typisches Beispiel der Schnittfläche ei-nes Probekörpers aus den Bohrkernen des Betons der Klasse 2 im trockenen Zustand

c) Typisches Beispiel eines Bereiches aus den Bohrkernen des Betons der Klasse 3 im trockenen Zustand

Abb. 3-14: Beispiele der Betonklassen


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Die Schichtung der Sandsteine hat ebenso wie der Wassergehalt oder die Porösität der Steine Einfluß auf die Steinfestigkeit. Auf Grund der visuell schwer feststellbaren Schichtung kön-nen aber kaum Angaben dazu gemacht werden. Es wird angenommen, daß bei der Errichtung der Brücke eine einheitliche Schichtung beibehalten wurde. Die Bohrkerne zeigen, daß zwischen innerem und äußerem Mauerwerk in den Mauerwerks-pfeilern der Mainbrücke Lohr unterschieden werden muß. Die Erfassung der jeweiligen Vo-lumenanteile in den Bohrkernen ergab im äußeren Bereich der Pfeiler hochwertige großstük-kige Sandsteinkerne mit geringem Mörtelvolumen und geringem Hohlraumanteil. Im Gegen-satz dazu zeichneten sich die Bohrkerne aus dem Inneren der Pfeiler durch viele kleine Stein-stücke, viel Mörtel und große Hohlräume aus. Diese Tatsache gilt für das Pfeilerinnere mit Ausnahme der Kämpferbereiche (Abb. 3-12). Sicherlich wurde schon bei der Errichtung aus Kostengründen nur eine Verfüllung der Mau-erwerkspfeiler geplant und ausgeführt. Diese Tatsache erfordert im weiteren eine Abgrenzung der rechnerischen Mauerwerksfestigkeiten zwischen dem Äußeren und dem Inneren des Mau-erwerkspfeilers. Basierend auf den Bohrkernen und der subjektiven Einteilung in Varietäten bzw. Klassen er-folgte die Entwicklung eines Höhenmodells der vermutlichen Verteilung der Festigkeiten des Sandsteines und des Betons in den untersuchten Pfeilern der Mainbrücke Lohr. Das Modell für den untersuchten Mauerwerkspfeiler stellen die vier Säulen in Abb. 3-15 dar. Im Gegen-satz dazu sind auf der rechten Seite die später bei den Versuchen ermittelten Sandsteindruck-festigkeiten in den Quadraten dargestellt. Eine grobe Übereinstimmung kann durchaus bestä-tigt werden, aber im Detail finden sich zahlreiche Unterschiede.

Abb. 3-15: Subjektive Einteilung der Bohrkerne. Maßstab kennzeichnet die Lage der Probekör-per in den Pfeilern in Abhängigkeit von der Tiefe ab OK Fahrbahn in Meter. Die links neben dem Maßstab angegebenen Quadrate geben meßtechnisch ermittelte Festigkeiten an. Links daneben ist die subjektive Beurteilung der Bohrkerne über die Höhe darstellt.


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3.3.4 Chemische, spektrographische und mikroskopische Untersuchung Überwiegend zeigten die Bohrkerne einen homogenen Aufbau, der eine nahezu zweifelsfreie Zuordnung zu den Bauteilen erlaubt, wie z. B. Fundamentbereich, innerer und äußerer Mau-erwerksbereich oder Hinterfüllung. Auch die verwendeten Materialen wie roter Mainsand-stein und Mörtel oder Beton mit ähnlicher Farbzusammensetzung finden sich immer wieder. An drei Stellen tauchten jedoch in den Bohrkernen in einem geringen Umfang Materialien auf, die sich sowohl in der Struktur als auch in der Farbe von dem ansonsten aufgefundenen Sandstein und Mörtel unterschieden. Das Material war kratzbar und deutlich heller, fast gelb. Es besteht die Möglichkeit, daß es sich dabei um anderen Mörtel handelt, der zu einem späte-ren Zeitpunkt, z. B. durch Verpressen, eingebracht wurde. Interessant war insbesondere eine Probe, in der verschiedene Schichtungen des unbekannten Materials mit einer Dicke von je-weils ca. 1 cm an einer Stelle übereinander auftreten. Die einzelnen Schichten wurden einer chemischen Prüfung mit Salzsäure ausgesetzt. Bei allen

Schichten wurde ein Aufschäumen beobachtet, was die Vermutung nahelegt, daß ein kalkhal-tiges Material vorliegt. Kalkstein findet sich normalerweise nicht in Sandsteinvorkommen, da es

sich bei Kalkstein um ein Flachmeersediment und bei Sandstein um ein Tiefmeersediment han-delt. Es liegt somit die Schlußfolgerung nahe, daß es sich bei allen chemisch geprüften Schichten

um Mörtel und nicht um Kalkstein handelt. Um weitere Nachforschungen zu ermöglichen, wurden sowohl röntgenmikroskopische Auf-nahmen (Abb. 3-16) als auch massenspektographische Untersuchungen dieses Materials durch-geführt. Zum Vergleich der massenspektographischen Diagramme wurde Cottaer Sandstein

getestet. Die Untersuchung bestätigte, daß es sich nicht um Sandstein handelt, konnte in letzter

Konsequenz aber auch keinen Ursprung des Materials angeben.

Abb. 3-16: Röntgenmikroskopische Untersuchung des Materials Natürlich besteht die Möglichkeit, daß durch Auswaschungen kalkhaltige Stoffe eingetragen wurden. Die ansonsten in den Bohrkernen der Mauerwerkspfeiler beobachteten Auswaschun-gen zeigen jedoch von der Farbe her ein völlig anders gestaltetes Aussehen. Die Bohrungen, bei denen die hier beschriebenen Materialien festgestellt wurden, waren verti-kale Bohrungen im Bereich der äußeren Mauerwerksschale zweier alter Sandsteinpfeiler. Das Material befand sich immer in Höhe der Oberseite des Anschlusses Bogen - Pfeiler im Kämp-ferbereich. Dieser Fundort kann während der Erbauung ein Platz gewesen sein, an dem Mörtel


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gemischt wurde. Ähnliche Funde hat man z. B. auch an der Marienbrücke Dresden gemacht (GRUNERT, GRUNERT & GRIEGER [110]). Obwohl die Frage nach den Materialien nicht mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlich-keit beantwortet werden kann, wurde im folgenden davon ausgegangen, daß

a) kein Verpressen dieser Mauerwerkpfeiler stattgefunden hat und b) es nur eine Grundgesamtheit des Mörtels gibt.

Auch die anderen Materialien wurden im folgenden als eine Grundgesamtheit angesehen. Weitere Ausführungen zur Problematik der Grundgesamtheit finden sich in den Vorüberle-gungen zur statistischen Auswertung (3.5.1).

3.3.5 Materialtechnische Untersuchung der Bohrkerne Aus den Bohrkernen wurden nach Sichtung und Bewertung, soweit möglich, Probekörper für Materialversuche gewonnen. Tab. 3-1 gibt die Materialparameter und die Anzahl der Versu-che zur Ermittlung der statistischen Eigenschaften an. Eingangsgröße Anzahl der Versuche Druckfestigkeit Beton 115 Druckfestigkeit Sandstein 60 Betonzugfestigkeit 115 Steinspaltzugfestigkeit 60 E–Modul Beton 115 E–Modul Sandstein 60 Mörteldruckfestigkeit 10 Wichte (alle Versuchskörper) 535 Haftscher- bzw. Schubfestigkeit 10 Stein- und Fugenhöhe 60 lfd. m Bohrkern

Tab. 3-1: Anzahl der Materialprüfversuche mittels Probekörpern aus den Bohrkernen

Die Anzahl der Versuche richtete sich nach der Menge der aus den Bohrkernen herstellbaren Versuchskörper. Gleichzeitig sollte für eine statistische Auswertung der Materialparameter eine ausreichende Anzahl geprüft werden. So gibt Tab. 3-2 eine Wertung der Anzahl von sta-tistischen Versuchen an. Bis auf die Haftscherfestigkeit und die Mörteldruckfestigkeit konnte der Mindestwert von 30 Stichproben eingehalten werden. Bei der Diskussion der Modelle zur Beschreibung der Mauerwerksfestigkeit wird sich zeigen, daß die Mörteldruckfestigkeit eine untergeordnete Bedeutung besitzt. Insofern ist dieser geringe Wert akzeptabel. Stichprobenumfang n Statistische Aussage <10 Unbrauchbar 10-20 Abschätzend 20-30 Brauchbar >30 Geeignet

Tab. 3-2: Wertung von statistischen Untersuchungen basierend auf dem Stichprobenumfang nach [279] Die Anzahl der Materialparameter der Widerstandsseite kann auch entsprechend der noch unbekannten Auswirkungen dieser streuenden Größen auf das Endergebnis festgelegt werden. Hierbei wurde stellvertretend auf bereits existierende dynamische Untersuchungen von GROßMANN & JULI [108] zurückgegriffen. Die Ergebnisse dieser Studie über die Einflüsse streuender Größen bei Stoßprozessen lassen sich wie folgt zusammenfassen: Die Streuung der sich im Laufe des Stoßprozesses ergebenden Verformungen wird bei kurzen Stößen durch die Streuung der Masse, bei zunehmender Stoßzeit durch die Streuung der Steifigkeit dominiert.


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Diese Aussage entspricht auch den Erkenntnissen der deterministischen Dynamik, denn bei langen Stößen verliert sich der Einfluß der Massenträgheitseffekte. Bei einer Stoßzeit, die die Hälfte der ersten Eigenschwingzeit beträgt, sind die Unsicherheiten aus der Masse praktisch ver-nachlässigbar. Die Bemessungsstoßzeiten für die Anprallkräfte an der Alten Mainbrücke Lohr liegen zwischen 0,16 und 2,7 Sekunden. Basierend auf diesen Überlegungen und den noch zu behandelnden Eigenfrequenzen werden sowohl die Unsicherheiten aus Masse als auch aus Steifigkeiten einen nicht zu vernachlässigbaren Einfluß haben. Masseermittlung (Dichte) und Steifigkeitsermittlung (E-Modul und Geometrie) erfolgten deshalb mit einer entsprechenden großen Probekörperanzahl. Die Auswahl der Materialparameter ist abhängig von der Art und Weise der rechnerischen Mo-dellierung der Brücke. Darauf wird im Kapitel 4: „Berechnungsverfahren“ ausführlich einge-gangen. Die versuchstechnische Ermittlung des E-Moduls für Beton und Natursteine erfolgte gemäß DIN 1048 [57]. Die Abschätzung der a-priori Bruchlast bei Naturstein und Beton erfolgte durch die Zuordnung zu den Varietäten des Standsteines bzw. den Klassen des Betons und durch räumliche Zuordnungen in der Brücke, wie z. B. ein Druckfestigkeitsversuch und ein E-Modulversuch an einem Stein. Wie sich bei den Versuchen zeigte, ist die ehemalige räumli-che Nähe von Probekörpern innerhalb der Brücke allein kein ausreichendes Prognosehilfs-mittel für die Bruchlast. Die versuchstechnische Ermittlung der Rohdichte von Beton erfolgte gemäß DIN 1048 [57] und für den Naturstein in Anlehnung an DIN 52 102 [62]. Die versuchstechnische Ermittlung der Druckfestigkeit des Betons erfolgte ebenfalls gemäß DIN 1048 [57] und die versuchs-technische Ermittlung der Druckfestigkeit von Naturstein in Anlehnung an DIN 52 105. Für den Naturstein ist von Bedeutung, daß die Druckfestigkeitsversuche nach Herstellung eines ausgleichsfeuchten Zustandes durchgeführt wurden, da die Druckfestigkeit von Natursteins nicht unbeträchtlich von dessen Wassergehalt abhängt (WINKLER [327]). Die Ermittlung der Spaltzugfestigkeit von Naturstein erfolgte in Anlehnung an die DIN 1048 [57]. Die versuchstechnische Ermittlung der zentrischen Zugfestigkeit von Beton ist eine Sonder-prüfung [29]. Die Untersuchung des Betons mittels zentrischer Zugfestigkeit zeigt normaler-weise recht hohe Streuungen und erfordert einen hohen versuchstechnischen Aufwand, den man üblicherweise vermeidet. Da in der folgenden Untersuchung aber gerade Wert auf die Berücksichtigung der Streuung gelegt wird, hat sich der Verfasser für die Durchführung die-ser Versuche entschlossen. Die Erfassung der geometrischen Größen des Natursteinmauerwerkes, wie Steinhöhe, Fugen-höhe, Hohlräume erfolgte durch Anzeichnen von vier Mantellinien am Bohrkern, Ausmessen der Anteile, Erfassung in Listen und statistische Auswertung. Die Ermittlung der Haftscher- bzw. Schubfestigkeit des Mauerwerkes erfolgte in Anlehnung an die DIN EN 1052-3 [64] (Abb. 3-17). Es handelte sich um eine Sonderprüfung. Es gelang, sieben, teilweise unvollständige und mit Beton erweiterte Probekörper aus den Bohrkernen herzustellen. In DIALER [55] befindet sich eine Zusammenstellung aller bekannter Versuchs-aufbauten für Schubversuche. Dort wird ausdrücklich darauf hingewiesen, daß Kleinkörper-versuche höhere Schubfestigkeiten erbringen. Im vorliegenden Fall schließt sich noch das Problem der schwierigen Gewinnung und Herstellung der Versuchskörper an. Der Autor ist sich dessen bewußt, daß es sich nur um einen Anhaltspunkt für die Abschätzung der Schub-


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festigkeit des vorliegenden Mauerwerks handeln kann. Er erlaubt aber spätere Vergleichs-rechnungen.

FF

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s

Sandstein

Fuge Abb. 3-17: Versuchsaufbau mit zwei Fugen Bei der Prüfung von Mörtel muß man prinzipiell zwischen Proben aus bestehendem Mauer-werk und Proben für neues Mauerwerk, die in einer speziellen Schalung erstellt wurden (nach DIN 18 555 [60]), unterscheiden. Die Eigenschaften eines Mörtels, der in einer Stahlschalung erhärtet, sind anders als die Eigenschaften eines Mörtels, der im Mauerwerk erhärtet. Bei-spielhaft genannt sei nur der Feuchtetransport zwischen Mörtel und umgebendem Material, der erhebliche Unterschiede bei den beiden genannten Fällen aufweist. Bei der Herstellung von Mörtelproben aus bestehendem Mauerwerk entsteht das Problem der zerstörungsfreien, besser zerstörungsarmen Gewinnung der Mörtelproben. Bei regelmäßigem Mauerwerk können Mörtelproben nur aus Fugen gewonnen werden. Fugen sind in der Regel flach. Diese Eigenschaft führt zu besonderen Probeformen bei Mörtelprüfkörpern. Beispiel-haft genannt seien: 80 mm × 80 mm × 12 mm [53], 50 mm × 50 mm × 12 mm SCHUBERT & SCHMIDT [264] und 20 mm × 20 mm × 12 mm [53]. Für die Mörteldruckversuche wurden 21 Bereiche in den Bohrkernen ausgesucht. Leider konnten nur zehn Probekörper erfolgreich aus den Kernen gewonnen werden. Es wurde im Gegensatz zu den o. g. Prüfkörperformen Würfel mit einer Kantenlänge zwischen 30 mm und 50 mm gewählt, da diese im Vergleich zu den flachen Probekörpern bei der Herstellung beständiger sind. Die Ermittlung der Druckfestigkeit von Mörtel erfolgte in Anlehnung an DIN 1048 [57]. Die Materialversuche mit Ausnahme der Mörteldruckfestigkeit erfolgten entweder an Zylin-dern mit einem Durchmesser von 110 mm oder 50 mm und einem Durchmesser-Höhen-Ver-hältnis von 1:1 oder 1:2, wobei die kleinen Zylinder aus großen Zylindern herausgebohrt wurden. 50 mm entsprechen den Mindestanforderungen in SCHUBERT [262].Ein einheitliches Durchmesser-Höhen-Verhältnis der Zylinder war leider auf Grund der vorgefundenen Bohr-kerne nicht realisierbar. Die Umrechnung der unterschiedlichen Zylinder erfolgte gemäß WESCHE [324]:

1 2

2,52

hcyld

cyl

ff

dh

= ⋅ +

und bei Bedarf in Würfel mit 1 2

200

851,18

87,5cyl

WN

ff

⋅= ⋅ , mit h als Höhe

des Zylinders und d als Durchmesser des Zylinders. Mit den bei den Versuchen ermittelten Materialparametern ist es möglich, im Gegensatz zu den bisher nur subjektiv gewonnenen Einschätzungen vergleichbare objektive Aussagen zu er-halten.


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3.4 Bauwerkserkundung der Mainbrücke Segnitz

3.4.1 Bohr- und materialtechnische Untersuchungen Die Bohruntersuchung an der Mainbrücke Segnitz erreichte im Vergleich zur Mainbrücke Lohr einen weitaus geringeren Umfang. Es erfolgten nur drei horizontale Bohrungen. Die Lage zweier Bohrungen ist in Abb. 3-18 dargestellt. Diese Bohrungen erfaßten direkt eine Fuge. In Abb. 3-19 sind in der Fuge aufgeklappte Bohrkerne dargestellt.

Abb. 3-18: Lage der Bohrkerne am Pfeiler 2 der Mainbrücke Segnitz

Abb. 3-19: Aufgeklappte Bohrkerne aus dem Pfeiler 2 der Mainbrücke Segnitz


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Soweit mit den gewonnenen Bohrkernen möglich, wurden Materialuntersuchungen durchge-führt. Die Untersuchungen erfolgten analog zu den Materialuntersuchungen an der Mainbrük-ke Lohr.

3.4.2 Visuelle Sichtung der Bohrkerne Auf Grund der visuellen Sichtung der Bohrkerne konnte die Natursteinart eingestuft werden. Bei dem aus der Mainbrücke Segnitz gewonnenen Naturstein handelt es sich wahrscheinlich um Trigonoduskalk, eine Sonderform des Muschelkalkes, der in der Nähe von Würzburg zu finden ist. Das Material zeigt einen lückig-porösen, feinkörnigen, kristallinen Aufbau mit Mu-schelfragmenten (Lumachellen). In der Literatur wird dieser Kalkstein als außerordentlich wetterfest ausgewiesen. Neben den o. g. Begriffen wird gelegentlich auch die Bezeichnung Quaderkalk verwendet (DIENEMANN & BURRE [56], GÄBERT, STEUER & WEISS [98]). Für das dichte Material (ohne große Hohlräume) werden in der Literatur Druckfestigkeiten zwischen 20 und 90 MN/m2 angegeben (SCHUBERT [263]).

3.5 Statistische Eigenschaften der Baustoffe

3.5.1 Vorüberlegungen zur Wahl der Verteilungsfunktionen Alle materialtechnischen Untersuchungen zeigen Streuungen der bei den Versuchen ermittel-ten Eigenschaften. Diese Streuungen sind sowohl bei dem natürlichen Werkstoff Naturstein als auch für die künstlichen Werkstoffe mit natürlichen Zusätzen Beton und Mörtel immer vorhanden und werden gelegentlich als baustoffinhärente Unsicherheiten bezeichnet. Diese Unsicherheit soll Bestandteil der vorzunehmenden Untersuchungen der Brücken sein. Es wird im folgenden vorausgesetzt, daß die materialinhärente Unsicherheit statistisch be-schrieben werden kann. Damit findet das gleiche Werkzeug wie bei der Beschreibung der Einwirkungsseite Verwendung. Dort waren mittels beobachteter Häufigkeiten Wahrschein-lichkeiten abgeschätzt worden. Basierend auf der Annahme der statistischen Beschreibung werden einige Festigkeits-, Steifigkeits- und Massewerte als Zufallszahlen modelliert. Räum-liche Effekte im Sinne von stochastischen Feldern werden vernachlässigt. Die durchgeführten Materialuntersuchungen stellen die Basis für die Abschätzung des Typs der Wahrscheinlich-keitsverteilungsfunktion (im folgenden nur noch Verteilungsfunktion) und die Ermittlung der notwendigen statistischen Parameter dar. Im Anhang C finden sich die verwendeten Formeln und Vorgehensweisen. Bevor auf die einzelnen Materialparameter eingegangen wird, werden einige allgemeine theoretische Ansätze erwähnt und Beispiele aus der Literatur mit den je-weils darin verwendeten Wahrscheinlichkeitsfunktionen für verschiedene Materialkenngrößen genannt. Die Wahl der Wahrscheinlichkeitsfunktion hat direkte Auswirkungen auf die Ergeb-nisse der probabilistischen Rechnung (DITLEVSEN [66], MÖLLER et al. [192]). I. Der zentrale Grenzwertsatz sagt aus, daß unter bestimmten Bedingungen jede Summe

unabhängiger Zufallsgrößen asymptotisch normalverteilt ist. Das heißt, wenn genügend viele, zufällig verteilte Einzelgrößen auftreten, wird die Summe dieser Größen normal-verteilt sein (VAN DER WAERDEN [303]). Bestimmte Bedingung bedeutet z. B., daß eine Größe nicht einen zu großen Beitrag zum Gesamtwert leisten darf. Auf alle Bedingungen sei an dieser Stelle nicht eingegangen, sie können der Literatur z. B. [303] entnommen werden. Wenn man die Herstellung des Betons betrachtet, stößt man auf eine Vielzahl zu-fälliger Prozesse, die Einfluß auf die Eigenschaften des Materiales haben. Es erscheint


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darum logisch, bei vielen technisch–physikalischen Eigenschaften dieses Materials, wie die Druck- und Zugfestigkeit, normalverteilte oder log–normalverteilte Zufallsgrößen zu unterstellen. Die Log-Normalverteilung kann ebenfalls auf den zentralen Grenzwertes in Produktform (Logarithmieren der einzelnen Zufallsgrößen) zurückgeführt werden. Eine Log–Normalverteilung wird bei solchen Eigenschaften zwingend, die einen geringen Er-wartungswert und eine hohe Standardabweichung besitzen, zugleich aber praktisch keine negativen Werte annehmen können. Ein Beispiel dafür ist die Zugfestigkeit von Beton.

Beim Sandstein wurde z. B. festgestellt, daß die Steine aus verschiedenen Steinbrüchen und aus Findlingen gewonnen wurden. Auch wenn die Steinbrüche Teil nur einer geolo-gischen Schichtung sind, wird es eine Vielzahl von Einflüssen geben, wie unterschiedli-che lokale Eigenschaften der Steine, unterschiedliche Gewinnung, Einflüsse des Trans-portes und der Behauung der Steine etc., die Auswirkungen auf die Eigenschaften des Steins haben. Die Vielzahl der streuenden Einflüsse könnte gemäß obiger Überlegung auch in diesem Fall die Wahl einer Normalverteilung bzw. Log-Normalverteilung für die Unsicherheit verschiedener Eigenschaften unterstützen.

II. In Tab. 3-3 werden zahlreiche Beispiele von Verteilungsfunktionen für verschiedene Materialgrößen genannt. Es handelt sich hierbei natürlich nur um einen Überblick, aber die Dominanz der Normal- bzw. Log-Normalverteilung ist offensichtlich.

Materialeigenschaft Wahrscheinlichkeitsfunktion Quelle Betondruckfestigkeit Normalverteilung ONKEN & ROSTASY [215],

NOAKOWSKI [210], STEWART [286], BARLETT & MACGREGOR , [10] ALEXANDER & MILNE [3], SPAETHE [273], PLATE [231], RÜSCH, SELL & RACKWITZ [250] LU, LUO & CONTE [171]

Betondruckfestigkeit Log-Normalverteilung FISCHER [87], [88], RACKWITZ [238], CRESPO-MINGUILLON & CASAS [42] KANDARPA, KIRKNER & SPENCER [140] BERGMEISTER [14], ÖSTLUND [216], VIESMANN & ZILCH [306] PILISZEK [230]

Betondruckfestigkeit Normalverteilung und Log-Normalver-teilung

EIBL & SCHMIDT-HURTIENNE [74], KÖNIG et al. [152], SOUKHOV & JUNGWIRTH [272], MÖLLER et al. [192]

Betondruckfestigkeit Kombination aus Lognormalverteilung und Polynomansatz

JAEGER [133]

Betondruckfestigkeit Normalverteilung, Lognormalverteilung, Arcussinusverteilung

WESCHE [324]

Betonzugfestigkeit Normalverteilung ONKEN & ROSTASY [215], NOAKOWSKI [210], CHUN [146]

Betonzugfestigkeit Log-Normalverteilung KIEFER [147] RÜSCH, SELL & RACKWITZ [250]

Zentrische Betonzugfestig-keit

Weibullverteilung MAI [176] BAZANT & XI [12]

Mauerwerksfestigkeit allge-mein

Normalverteilung KIRTSCHIG [149] FRANKE & GOREZKY [93]

Mauerwerksfestigkeit allge-mein

Log-Normalverteilung TSCHÖTSCHEL [293] FRANKE, DECKELMANN & GOREZKY [92]

Beton-E-Modul Normalverteilung ÖSTLUND [216] MERZENICH [186] MERZENICH & SEDLACEK [187]


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GUAN & MELCHERS[112] Beton-E-Modul Log-Normalverteilung KANDARPA, KIRKNER, SPENCER [140]

KIEFER [147] Steindruckfestigkeit Normalverteilung GRUNERT [111] Steindruckfestigkeit Normalverteilung und Log-Normalver-

teilung MÖLLER et al. [192]

Eigengewicht Normalverteilung VIESMANN & ZILCH [306] BERGMEISTER [14], SCHNEIDER [259]

Eigengewicht Log-Normalverteilung PHAM [228] Maßabweichungen Normalverteilung VIESMANN & ZILCH [306]

BERGMEISTER [14], MAAß & RACKWITZ [173]

Tab. 3-3: Verschiedene Vorschläge für Wahrscheinlichkeitsfunktionen für Materialkenn-werte in der Literatur

III. Zwischen der Verteilungsfunktion der statistischen Unsicherheit und der Art und Weise,

wie das Versagen eines Materiales, hierbei insbesondere das Zugversagen, stattfindet, be-steht vermutlich ein Zusammenhang. Unter Art und Weise wird an dieser Stelle duktiles oder sprödes Versagen des Materiales verstanden. Zur Beschreibung der Eigenschaft Sprödheit finden sich in der Literatur, z. B. in GETTU, PRAT & KAZEMI [102], verschie-dene Modelle, z. B. HILLERBORG’S charakteristische Länge, CARPINTERI’S Sprödheits-zahl, das JENQ-SHAH Modell oder BAZANT’S Prozeßzonengröße. Zur Einordnung der Sprödheit des Betons im Vergleich zu anderen Materialien ist in Tab. 3-4 HILLERBORG’S charakteristische Länge angegeben.

Material von bis Glas 0,000001 Silikazement 0,001 Zement 0,05 0,15Mörtel 0,1 0,2Hochleistungsbeton 0,15 0,3Normalbeton 0,2 0,5Massenbeton max. Zuschlagsstoff 19 mm 0,6 Massenbeton max. Zuschlagsstoff 38 mm 0,7 Massenbeton max. Zuschlagsstoff 76 mm 0,9 Beton mit Glasfasern 0,5 3Beton mit Stahlfasern 2 20

Tab. 3-4: HILLERBORGS charakteristische Länge in Meter

Glas zeigt im Vergleich zu Beton eine deutlich größere Sprödheit. Diese Tatsache wird damit begründet, daß lokale Vorschäden (GRIFFITH FLAWS) zum globalen Versagen füh-ren. Häufig wird für die Beschreibung von Glas ein sogenanntes klassisches Kettenmodell verwendet. Die Festigkeit einer solchen Kette mit normalverteilten Festigkeiten der Ket-tenglieder folgt einer Weibullverteilung. Bei Glas wird sowohl allgemein als auch ganz speziell die Biegezugfestigkeit mit einer Weibullverteilung (BUTTON ET AL. [32], GÜS-GEN, SEDLACEK & BLANK [114]) beschrieben. Es handelt sich um ein klassisches Serien-system. In der Realität treten aber häufig Mischsysteme auf. RACKWITZ & HOHEN-BICHLER [239] haben auf theoretischem Wege versucht, Verteilungen für derartige Sy-steme anzugeben. Dabei mußte zwischen großen und kleinen Systemen unterschieden werden. Dieser Effekt ist auch bei Glas beobachtbar: Die Wahrscheinlichkeit des Ver-sagens steigt mit der Größe der belasteten Fläche, da auch die Wahrscheinlichkeit größer wird, Vorschäden mit zu erfassen. Bei großen Systemen mit elastisch-sprödem Materialverhalten wurde eine Normalverteilung ermittelt. Bei kleinen Systemen konnte kein abschließendes Ergebnis nachgewiesen werden. KANDARPA, KIRKNER & SPENCER


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[140] haben versucht, für weggesteuert geprüfte spröde Materialien auf theoretischem Wege eine Verteilung zu entwickeln. Sie schlagen eine Log-Normalverteilung der Bruch-dehnung von Normalbeton vor. Zwar finden sich in Tab. 3-3 zwei Beispiele für die Verwendung einer Weibullverteilung zur Beschreibung der statistischen Unsicherheit der Betonzugfestigkeit, aber sowohl theoretische Untersuchungen als auch die Unterschiede in der Sprödheit zwischen Glas und Beton lassen vermuten, daß für die Betonzugfestig-keit keine Weibullverteilung gewählt werden sollte.

Abb. 3-20: klassisches Modell eines Parallelen Reihensystems oben und eines Reihensy-stems mit Ausgleich zwischen den Reihen unten

In Abhängigkeit von der Art des Versagens zeigt Mauerwerk unterschiedlich sprödes Verhalten. Betrachtet man nur das Versagen unter Schub, welches für den Anprall wahr-scheinlich maßgebend wird, so zeigt das Versagen in den Fugen (COULOMB’sche Rei-bung) ein wesentlich duktileres Verhalten als das Zerreißen der Steine im sogenannten Schubbereich II [310]. Diese Überlegung erschwert erheblich die Wahl einer Verteilungs-funktion der Schubfestigkeit von Mauerwerk. Wenn also, wie behauptet, die Sprödheit ein Indiz für die Art der Verteilungsfunktion einer Materialfestigkeit ist, dann läßt sich die Verteilungsfunktion von Mauerwerk auf Schub nur noch im Rahmen der Schubberei-che festlegen. Sie müßte also, bei sprödem Versagen der Steine auf Schub eher Richtung Weibullverteilung tendieren, bei Fugenversagen wahrscheinlich eher eine Normalvertei-lung oder Log-Normalverteilung. Da aber Mauerwerk unter Schub immer eine deutlich weniger sprödes Verhalten als Glas zeigt, wird letztendlich eine Normal- bzw. Log-Nor-malverteilung eine ausreichend genaue Beschreibung liefern.

IV. Es muß erwähnt werden, daß nur Verteilungsfunktionen ausgewählt werden können, die bekannt sind. Dabei ist keinesfalls klar, ob es sich im jeweils vorliegenden Fall überhaupt um eine theoretisch bekannte Verteilungsfunktion handelt. Daneben kann es auch vor-kommen, daß mehrere verschiedene Verteilungsfunktionen eine gleichwertige Beschrei-bung der Versuchsdaten erlauben. Das ist insbesondere bei mehrparametrigen Vertei-lungsfunktionen der Fall, die durch eine günstige Wahl der Parameter eine sehr gute An-passung erlauben. So sind bei kleinen Variationskoeffizienten die Unterschiede zwischen Log-Normalverteilung und Gumbelverteilung sehr klein (RACKWITZ [238]). Weiterhin muß man davon ausgehen, daß die gewonnenen Daten durch Gewinnungsverluste zensiert sind. Die genannten Probleme zeigen, daß mathematische Werkzeuge allein nicht ausrei-chen, sondern ingenieurwissenschaftliche Vorüberlegungen zwingend notwendig sind.

Es stellt sich zusätzlich die Frage, ob in den ermittelten Verteilungen für die verschiede-nen Materialparameter weitere Grundgesamtheiten vorliegen. Zum Beispiel ist die Ver-teilungsfunktion von Straßenverkehrslasten eine Mischverteilung aus PKW- und LKW-


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Verkehr (SPAETHE [273]). Im vorliegenden Fall besteht die Möglichkeit, daß Sandsteine unterschiedlicher Art verwendet wurden. Um diese Möglichkeit zu prüfen, wurde neben einem mathematischen Verfahren zur Aufspaltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungs-funktionen (HARTMANN [118]) auch auf die visuelle Prüfung der Natursteine zurückge-griffen. Dazu wurde, wie bereits erwähnt, eine subjektive Klassifizierung auf Grund von Struktur, Farbe, Oberflächenbeschaffenheit etc. vorgenommen. Die gleiche Vorgehens-weise wurde beim Beton genutzt. Wie Abb. 3-15 verdeutlicht, ist jedoch keine absolute Übereinstimmung zwischen den subjektiven Werten und den Meßwerten vorhanden, so daß eine subjektive Trennung in unterschiedliche Grundgesamtheiten nicht erfolgte. Auch statistische Tests zur Prüfung auf verschiedene Grundgesamtheiten legten eine Trennung in mehrere Grundgesamtheiten nicht nahe. Es wurde deshalb mit einer Grundgesamtheit für den Naturstein und einer Grundgesamtheit für den konstruktiven Beton gearbeitet.

3.5.2 Statistische Widerstands- und Einwirkungsgrößen

Die statistische Auswertung der durchgeführten materialtechnischen Versuche gemäß Anhang C

unter Berücksichtigung der Zensierung und von Ausreißern in Verbindung mit den Vorüber-legungen und Prüfungen zur Wahl einer Verteilungsfunktion (Anhang F) erlaubt die Bereitstel-lung von Eingangsgrößen der Widerstandsseite für die probabilistische Berechnung. Damit er-geben sich konkret die in Tab. 3-5 zusammengefaßten statistischen Beschreibungen der Ein-gangsgrößen der Einwirkungs- und Widerstandsseite. Die Angabe von deterministischen

Größen wie Geometrie, Bodensteifigkeiten etc. erfolgt an dieser Stelle ebenso wenig wie die

Angabe einzelner Ergebnisse der materialtechnischen Untersuchungen. Siehe dazu CURBACH & PROSKE [45], [46], [47], [48]. Der Vollständigkeit halber wurden in Tab. 3-5 auch die statisti-schen Eigenschaften der Einwirkungsgröße dargestellt.

Materialparameter Verteilungstyp xm Einheit s Einheit Mainbrücke Sandsteindruckfestigkeit Normal 21,2 MPa 2,4 MPa Segnitz Sandsteinspaltzugfestigkeit Normal + Lognormal 0,38 MPa 0,094 MPa Mörteldruckfestigkeit Normal 15,5 MPa 3,58 MPa Schiffsanprallkraft (Frontal) Lognormal 2,04 MN 1,5 MN Schiffsanprallkraft (Anprallschutz) Lognormal 0,046 MN 0,8368 MN Schiffsanprallkraft (Seite) Lognormal 0,61 MN 0,385 MN Anprallhöhe Normal 3 m 0,5 m Pfeilerauflast Normal 0,242 MPa 0,0242 MPa Alte Sandsteindruckfestigkeit Lognormal. 75,40 MPa 21,30 MPa Mainbrücke Betondruckfestigkeit Lognormal 47,90 MPa 22,28 MPa Lohr Sandsteinspaltzugfestigkeit Lognormal 4,72 MPa 1,30 MPa Betonzugfestigkeit (einaxial.) Lognormal 1,15 MPa 0,69 MPa Sandstein E-Modul Lognormal 28534,60 MPa 7079,60 MPa Beton E-Modul Lognormal 22552,60 MPa 8682,10 MPa Dichte Sandstein Normal. 2,27 kg/dm3 0,15 kg/dm3 Dichte Beton Normal 2,26 kg/dm3 0,10 kg/dm3 Mörteldruckfestigkeit Lognormal 11,00 MPa 7,25 MPa Steinhöhe (Außenschale Pfeiler) Normal 0,7 m 0,13 m Steinbreite (Außenschale Pfeiler) Lognormal 0,8 m 0,08 m Fugenhöhe (Außenschale Pfeiler) Lognormal 0,037 m 0,048 m Schiffsanprallkraft (Frontal) Lognormal 2,04 MN 1,5 MN Schiffsanprallkraft (Seite) Lognormal 0,61 MN 0,385 MN Anprallhöhe Normal 3 m 0,5 m

Tab. 3-5: Zusammenfassung der statistischen Eigenschaften der verwendeten Zufallsgrößen, xm ist der empirische Mittelwert und s die empirische Standardabweichung, x0 = 0 bei Log-Normalverteilung

Statistische Angaben zu den Parametern empirischer Mittelwert und empirische Standard-abweichung wurden durch Bootstrapping (siehe auch Anhang C) geprüft (Ergebnisse Anhang F). Damit ist es möglich, eine Aussage über die Fehler bei der Abschätzung dieser Parameter


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zu treffen. Eine Berücksichtigung der Unsicherheit der statistischen Parameter wie z. B. durch PENDOLA, HORNET, LEMAIRE & MOHAMED [226] erfolgte an dieser Stelle nicht. Zur Frage der Korrelationen zwischen den einzelnen Zufallsgrößen sei auf Abb. 11-4 und Abb. 11-5 im Anhang C verwiesen. Die relativ große Unsicherheit beim Rückschluß vom empirischen auf den existierenden Korrelationswert bei den „geringen“ Stichprobenumfängen würde normalerweise eine Parameteruntersuchung erfordern. Um den Umfang der Rechnung zu begrenzen, fanden Korrelationskoeffizienten keinen Eingang in die Rechnung. Mit Abschluß dieses Kapitels sind die für eine rechnerische Untersuchung der Brücken notwen-dige Eingangsgrößen sowohl auf der Einwirkungs-, als auch auf der Widerstandsseite aufgear-beitet. Es schließt sich die Frage an, wie man die aufgestellten Eingangsgrößen verarbeitet, um

zu dem im Kapitel 1 genannten Ziel zu gelangen.

Kapitel 4: Berechnungsverfahren

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4 Berechnungsverfahren Nach der Diskussion der Einwirkungs- und Widerstandsseite sollen geeignete mathematische Berechnungsverfahren ausgewählt werden, um das Zusammenwirken beider Seiten realitäts-nah numerisch beschreiben zu können. Auf Grund der Größe der Brücken ist eine versuchs-technische Untersuchung von Schiffsanprallen gegen Brücken aus Sicht des Verfassers kein gangbarer Weg. Auch der Weg der Modellversuche an verkleinerten Systemen erscheint auf Grund der erforderlichen maßstabsgerechten Berücksichtigung von Steifigkeit und Masse der Brücken als sehr schwierig. Es wird deshalb versucht, einen Anprall gegen die Brücken über ein mathematisches Modell numerisch zu beschreiben. Für diese Beschreibung stehen ver-schiedene Berechungs- und Modellierungsverfahren bereit, die in diesem Kapitel erläutert und zusammengefaßt werden. Die Beschreibung der Berechnungsverfahren gliedert sich in zwei Bereiche. Zuerst wird ein geeignetes Verfahren zur Beschreibung des strukturmechanischen Verhaltens von Brücken unter Schiffsanprall und zur Modellierung von Mauerwerk kurz vor-gestellt. Im Anschluß daran werden geeignete wahrscheinlichkeitstheoretische Verfahren zur Berücksichtigung der streuenden Eingangsgrößen diskutiert.

4.1 Strukturmechanische Modellierung

4.1.1 Allgemeines zu FEM-Verfahren Zur mathematischen Modellierung der Strukturantwort der Brücken unter Anprall wurde das Verfahren der Finiten Elemente gewählt. Durch die von ARGYRIS & CLOUGH initiierte Ent-wicklung dieses Verfahren wurde bis heute ein beeindruckender Fortschritt bei der mathema-tischen Beschreibung des strukturmechanischen Verhaltens von Bauwerken erreicht. Diese Entwicklung in Verbindung mit dem gemäß MOORES beobachteten exponentiellen Wachstum der Rechnerkapazität (STILLER [289]), sprich der möglichen numerischen Umsetzung des Finiten-Elemente-Verfahrens, hat dazu geführt, daß dieses Verfahren heute praktisch zum Alltag des Bauingenieurs gehört. Das Verfahren der Finiten Elemente ist eine Strategie zur näherungsweisen Lösung partieller Differentialgleichungen. Kontinuierliche Probleme werden dabei in endlich-dimensionale Ersatzprobleme umgewandelt. Dieser sogenannte Diskretisierungsprozeß findet sich in Ver-fahren wie den FEM, Differenzen-Methode und der Randelementemethode. Es wurde überwiegend das Programmpaket ANSYS verwendet. Das Programm hatte nach Angaben des Vertreibers CADFEM in Deutschland 1998 einen Marktanteil von 20 % und wurde ca. 16.000mal weltweit installiert. In Deutschland wurde das Programm ca. 5.000mal installiert (CADFEM [35]). Für die Diskretisierung und die Auswertung der Rechnungen sind Pre- und Postprozessoren in das Programm integriert. Bei den verwendeten Elementen zur Beschreibung der Brücke fanden Verschiebungsansätze Verwendung. Die Spannungen werden aus den Ableitungen des Verschiebungsansatzes er-mittelt. Andere Ansätze, wie z. B. hybride Finite Schnittkraftelemente arbeiten mit Schnitt-kraftansätzen im Elementinneren und Verschiebungsansätzen längs der Elementränder bzw.


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Elementrandflächen. Derartige Finite Elemente lagen dem Verfasser in dem verwendeten FEM-Programm ANSYS aber nicht vor. Bei der Berechung des strukturmechanischen Verhaltens wurden teilweise auch Nichtlineari-täten des Materials bzw. der Struktur mit berücksichtigt. Die Beschreibung basierte zum einen auf dem Stoffgesetz von WILLAM-WARNKE (Betonverhalten) [325] und zum zweiten auf dem Einbau von Fugen beim Mauerwerksblockmodell nach JAGFELD [134]. Probleme bei der nichtlinearen Modellierung von Mauerwerk mit dem Programm ANSYS sind dem Verfasser bekannt (CHIOSTRINI, FORABOSCHI & SORACE [38]). Bei nichtlinearen Berechnungen muß man auf ein iteratives Berechnungsschema zurückgreifen. Im Rahmen dieser Berechnung wurde das NEWTON-RAPHSON Verfahren verwendet.

4.1.2 Dynamische Berechnungen Ein Anprall kann prinzipiell unter Verwendung eines dynamischen Lasterhöhungsfaktors auch statisch untersucht werden. Dabei werden aber gewissen Vorkenntnisse über das dyna-mische Verhalten des Bauwerkes eingefordert, um den Lasterhöhungsfaktor geeignet zu wählen. Eine dynamische Berechnung eines Anpralls verzichtet auf diese Vorkenntnisse und verspricht durch die Berechnung im Zeitbereich und die explizite Berücksichtigung der Mas-senträgheit eine höhere Genauigkeit. Es erfolgt deshalb im vorliegenden Fall eine dynamische Beschreibung des Verhaltens der Brücke beim Anprall. Die Differentialgleichung zur Be-schreibung des dynamischen Verhaltens von Bauwerken lautet:

( ) ( ) ( ) ( )M x t C x t K x t F t⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & , (4-1)

wobei M die Masse des Bauwerkes, C die Dämpfung und K die Steifigkeit des Bauwerkes dar-stellen. F ist die aufgebrachte Anprallkraft und x ist die Verschiebung, x& die Geschwindigkeit

und x&& die Beschleunigung von Raumkoordinaten. Die kontinuierlichen Koordinaten x werden

nur in diskreten Knoten des FE-Modells ermittelt. Es erfolgt eine Lösung im Raumbereich. Die Berechnung über den Zeitbereich erfolgte mittels des NEWMARK-Verfahrens, da dieses Verfahren in ANSYS integriert ist [34]. Das NEWMARK-Verfahren umfaßt die Näherung eines Verschiebungs- und eines Geschwindigkeitsvektors, um die Differentialgleichung zum Zeit-punkt t+∆t lösen zu können (BARAKAT [9]):

t t t t t t t tM x C x K x F+∆ +∆ +∆ +∆⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & , (4-2)

Die Näherungen haben die Form:

])2/1[(2 ttttttt xxtxtxx ∆+∆+ ⋅+⋅−∆+⋅∆+= &&&&& ββ , (4-3)

txxxx tttttt ∆⋅⋅+⋅−+= ∆+∆+ ])1[( &&&&&& γγ , (4-4)

∆t ist die Differenz zwischen tt+1 und tt (zwischen den Zeitschritten). Zum Zeitpunkt tt müßten der Verschiebungs-, der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsvektor bekannt sein. Un-bekannt sind diese drei Vektoren für den Zeitpunkt tt+1. Das Verfahren hängt von den Para-metern β und γ ab. Je nach Wahl dieser Parameter gilt (BARAKAT [9]): • Bei β = 1/6 und γ = ½ wird das Verfahren zur linearen Beschleunigungsmethode (bedingt

stabil) • Bei β = ¼ und γ = ½ wird das Verfahren zur konstanten Beschleunigungsmethode bzw.

zur Trapezregel. Dieses Verfahren ist unbedingt stabil bei linearen Untersuchungen.


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• Bei β =1/12 und γ = ½ wird das Verfahren zum FOX-GOODWIN-Verfahren. Ein Zeitintegrationsverfahren ist unbedingt stabil, wenn jeder beliebige Zeitschritt genutzt werden kann. Ein bedingt stabiles Zeitschrittverfahren erfordert die Abschätzung eines kleine-ren Zeitschrittes als ein sogenannter kritischer Zeitschritt (BARAKAT [9]). Der kritische Zeit-schritt hängt von den NEWMARK-Parametern und der Eigenfrequenz ab. Die Eigenfrequenz der beiden Brücken wird noch behandelt. Eine Dämpfung kann hinzugefügt werden, wenn γ > ½ gewählt wird. Das NEWMARK-Verfahren ist ein implizites Verfahren. Implizite Verfahren lösen die Bewe-gungsgleichung zum Zeitpunkt t+∆t

t t t t t t t tM x C x K x F+∆ +∆ +∆ +∆⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & . (4-5)

Im Gegensatz dazu lösen explizite Verfahren die Gleichung zum bekannten Zeitpunkt t t t t tM x C x K x F⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & . (4-6)

Nach Meinung des Autors werden in Zukunft explizite Verfahren zunehmend an Bedeutung gewinnen, und zwar nicht nur für dynamische Berechnungen, da sie eine hohe Akzeptanz gegenüber Nichtlinearitäten besitzen. Nichtlinearitäten sind für die realitätsnahe Beschreibung der Tragfähigkeit der Baustoffe Natursteinmauerwerk und Stahlbeton unabdingbar und wer-den in zunehmendem Maße eingesetzt. Implizite Verfahren verbrauchen bei hochgradig nichtlinearem Materialverhalten, was bei beiden Baustoffen vorkommen kann, den sonst vor-handenen zeitlichen Vorteil. Schon heute wird bei Anprallberechnungen im Kraftfahrzeugbe-reich fast ausschließlich mit expliziten Verfahren gearbeitet. Auch bei Schiffsanprallunter-suchungen sind dem Verfasser Beispielberechnungen mit expliziten Verfahren bekannt. Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

inkrementelle Lösungsverfahren

explizit implizit Zeitdiskretisierung

Lösung von im Zeitschritt unab-hängigen Differentialgleichungen

mit der zentralen Differenzen-methode

Lösung von gekoppelten Diffe-

rentialgleichungssystemen inkrementell iterativ

Ortsdiskretisierung Explizite

FDM Explizite

FEM Explizite

BEM Implizite FEM

Tab. 4-1: Einordnung expliziter und impliziter Verfahren


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4.1.3 Das deterministische FE-Modell der Alten Mainbrücke Lohr Nach der groben Darstellung der numerischen Beschreibung der strukturmechanischen Zu-sammenhänge bietet es sich an, einen Blick auf das konkrete verwendete FE-Modell zu wer-fen.

Abb. 4-1: FE-Modell ohne die Darstellung von Massenelementen und Stirnvormauerung

Abb. 4-2: Maßangaben für das FE-Modell

Prinzipiell wäre es wünschenswert, Symmetrien in den Bauwerken zu nutzen und nur mit einem halben Modell zu arbeiten, daß heißt, einen halben getroffenen Pfeiler, einen an diesen Pfeiler angeschlossenen Bogen und einen Nachbarpfeiler zu modellieren. Dadurch würde in spürbarem Umfang Rechenzeit gespart werden. Auf Grund der beschriebenen Geschichte der


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Brücke und des damit einhergehenden inhomogenen Aufbaus und der unterschiedlichen Ma-terialen sind die gewünschten Symmetrien jedoch nicht nutzbar (Betonbogen – Mauerwerks-bogen, Betonpfeiler – Mauerwerkspfeiler und Sprengkammern in den Pfeilern), auch wenn Abb. 4-1 den Eindruck erweckt. Die teilweise verwendeten Faltwerksmodelle für die Stirnvormauerung und die Spargewölbe und Massenelemente sind in Abb. 4-1 nicht darge-stellt. Das abgebildete Modell wurde sowohl für den Frontal- als auch den Seitanprall sowohl für Pfeiler II als auch für Pfeiler III verwendet. Auf Grund des parametrischen Aufbaus der Eingabedateien wurden im wesentlichen nur noch Materialkennwerte variiert. Der Boden wurde sehr voluminös modelliert, um Störungen der dynamischen Rechnung durch Reflektio-nen am Rand des Modells gering zu halten. Die Sprengkammer wurde mittels Elementen mit sehr kleinem E-Modul abgebildet. Es wurde überwiegend eine Elementkantenlänge von ca. 0,5 m verwendet. Die Elementgröße und Netzfeinheit im verwendeten Modell stellt nach Meinung des Autors einen guten Kom-promiß zwischen problem- und belastungsabhängiger optimierter Modellierung (notwendige Genauigkeit) und dem in Kauf genommenen Aufwand dar. Im Rahmen der Weiterentwick-lung der Rechentechnik in den letzten Jahren wird man heute sicherlich teilweise eine ge-nauere Modellierung wählen können. Die Anfänge der Modellierung der Mainbrücke Lohr liegen im Jahre 1997. Die Berechnungen der Mainbrücke Lohr erfolgten an einer Workstation IBM RS 6000/2 mit 256 MB RAM Arbeitsspeicher (1997-1999). Eine dynamische Rechnung dauerte an dieser Workstation bis zu 50 Minuten. Bei einem FE-Modell erfolgt immer eine Idealisierung eines realen Objektes im Hinblick auf bestimmte interessante Bereiche. Im vorliegenden Fall wurde angenommen, daß das Versagen der Brücke im Pfeiler stattfindet. Deshalb wurde besonderes Augenmerk auf die Modellierung des Pfeilers gerichtet. Da davon auszugehen ist, daß ein Großteil der Anprallkräfte an einem Pfeiler über das Fundament des Pfeilers abgetragen wird, mußte dieses gerade durch seine Vielzahl von verschiedenen Elementen (innere und äußere Spundwand, Betonmanschette, Fels) relativ aufwendig modelliert werden. Die deterministischen Rechnungen bestätigten diese Annahme. Ca. 80-90 % der Frontalanprallkraft wurden über das Pfeilerfundament und ca. 10-20 % der Frontalanprallkraft über die beiden Bögen abgetragen. Für das FE-Modell der Alten Mainbrücke Lohr wurden Volumen-, Faltwerks- und Massenele-mente verwendet. Das Element SHELL63, ein vierknotiges Faltwerkselement mit sechs Frei-heitsgraden pro Knoten wurde für die Abbildung der Bögen und der Stahlspundwände ver-wendet. Für den Pfeiler wurde das achtknotige Volumenelement SOLID65 gewählt, welches den Einbau des Betonstoffgesetzes nach WILLAM/WARNKE [34] erlaubt. Jeder Knoten hat drei Verschiebungsfreiheitsgrade. Für die geometrisch recht komplexe Betonmanschette am Pfei-ler wurde das vierknotige Volumenelement SOLID72 verwendet. Das Fundament (Kies) und der anstehende Boden wurden mit dem achtknotigen Volumenelement SOLID45 mit drei Verschiebungsfreiheitsgraden pro Knoten modelliert. Außerdem wurde für den Überbau noch das Element MASS21 mit sechs Freiheitsgraden verwendet. In einigen Lastfällen wurden Fugen im Mauerwerkspfeiler bei der Mainbrücke Lohr modelliert. Hierbei wurde das zwei-knotige Element CONTAC52 für Kontaktflächen zwischen Flächen mit jeweils drei Ver-schiebungsfreiheitsgraden eingesetzt. Im Bereich des Fundamentes (Betonmanschette) traten Vernetzungsprobleme auf (unsymmetrisch, ungünstige Elementgrößen und Winkel), die allerdings vom Autor als vernachlässigbar angesehen wurden. Es wurden sowohl statische als auch dynamische Berechnungen durchgeführt. Die 40 unter-suchten deterministische Lastfälle mit variierten FE-Modellen der Alten Mainbrücke sind in Tab. 4-2 aufgelistet. Auf eine Diskussion der einzelnen Berechnungen wird im Rahmen dieser Arbeit verzichtet.


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LF-Nr. Ersatzlast Schiff Richtung Pfeiler Bogen Stirnvormauerung Materialverhalten Fuge Steifemodul Fels MN/m2

1 Eigenlast II - linear elastisch - 200 2 statisch Voll Frontal II keine linear elastisch - 200 3 statisch Voll Seite II 3 keine linear elastisch - 200 4 statisch Leer Frontal II keine linear elastisch - 200 5 statisch Leer Seite II 3 keine linear elastisch - 200 6 statisch Voll Seite II 2 keine linear elastisch - 200 7 statisch Leer Seite II 2 keine linear elastisch - 200 8 Eigenlast III linear elastisch - 200 9 statisch Voll Frontal III keine linear elastisch - 200 10 statisch Voll Seite III 3 keine linear elastisch - 200 11 statisch Leer Frontal III keine linear elastisch - 200 12 statisch Leer Seite III 3 keine linear elastisch - 200 13 statisch Voll Frontal II Alter Bogen linear elastisch - 200 14 statisch Voll Seite II 3 Alter Bogen linear elastisch - 200 15 statisch Leer Frontal II Alter Bogen linear elastisch - 200 16 statisch Leer Seite II 3 Alter Bogen linear elastisch - 200 17 statisch Voll Frontal II keine JAGFELD ja 200 18 statisch Voll Seite II 3 keine JAGFELD ja 200 19 statisch Leer Frontal II keine JAGFELD ja 200 20 statisch Leer Seite II 3 keine JAGFELD ja 200 21 statisch Voll Frontal III keine JAGFELD ja 200 22 statisch Voll Seite III 3 keine JAGFELD ja 200 23 statisch Leer Frontal III keine JAGFELD ja 200 24 statisch Leer Seite III 3 keine JAGFELD ja 200 25 statisch Voll Frontal II keine WILLAM-WARNKE - 200 26 statisch Voll Seite II 3 keine WILLAM-WARNKE - 200 27 statisch Leer Frontal II keine WILLAM-WARNKE - 200 28 statisch Leer Seite II 3 keine WILLAM-WARNKE - 200 29 statisch Voll Frontal III keine WILLAM-WARNKE - 200 30 statisch Voll Seite III 3 keine WILLAM-WARNKE - 200 31 statisch Leer Frontal III keine WILLAM-WARNKE - 200 32 statisch Leer Seite III 3 keine WILLAM-WARNKE - 200 33 dynamisch Voll Frontal II keine linear elastisch - 10 × 200 34 dynamisch Voll Seite II 3 keine linear elastisch - 10 × 200 35 dynamisch Leer Frontal II keine linear elastisch - 10 × 200 36 dynamisch Leer Seite II 3 keine linear elastisch - 10 × 200 37 dynamisch Voll Frontal III keine linear elastisch - 10 × 200 38 dynamisch Voll Seite III 3 keine linear elastisch - 10 × 200 39 dynamisch Leer Frontal III keine linear elastisch - 10 × 200 40 dynamisch Leer Seite III 3 keine linear elastisch - 10 × 200 Tab. 4-2: Deterministische Lastfälle der Mainbrücke Lohr Auf Grund der komplexen geometrischen Struktur und der zahlreichen unterschiedlichen Materialien wurde eine einfache Kontrolle der FEM-Rechenergebnisse anhand des vorgestell-ten Modells unmöglich, aber gleichzeitig auch außerordentlich notwendig. Es war deshalb erforderlich, mit verschiedenen Modellen zu arbeiten und eine Modellentwicklung vom einfa-chen zum komplexen Anprallmodell vorzunehmen. Nähere Angaben zu anderen Modellen finden sich bei der Diskussion des FE-Modells der Mainbrücke Segnitz. Die Prüfung des FE-Modells erfolgte über die Prüfung der Normalkräfte am Kämpferbereich, am Fuß des Pfeilers und über die Stützkräfte des gesamten FE-Modells. Zusätzlich wurden die Verschiebungen des Bogens unter Eigenlast geprüft. Günstig sind im Rahmen der Kontrolle von Modellen immer Nachrechnungen von vorhande-nen Schäden an den Bauobjekten. Beim Lastfall Eigengewicht konnte ein vertikaler Riß im Betonpfeiler infolge ungleichmäßiger Belastung durch die beiden nebeneinanderliegenden Bögen nachgewiesen werden.


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Bei den nichtlinearen Lastfällen wurde in Abhängigkeit von der Modellierung der Nichtlinea-rität eine maximal mögliche Schiffsfrontalanprallkraft zwischen 9 und 13 MN errechnet. Bei Verwendung des Stoffgesetzes von WILLAM-WARNKE [325] wurde eine geringere Frontal-anprallkraft ermittelt als bei der Anwendung des Verfahren von JAGFELD [134], bei dem Fugen eingebaut wurden. JAGFELD beschreibt Mauerwerksverhalten, in dem Blöcke abgebildet werden. Blöcke sind Volumenelemente, die durch Fugen (CONTAC52-Element) begrenzt werden. Ein Block ist jedoch immer größer als ein Stein. Bei der Mainbrücke Lohr wurden zwei bis drei Blöcke am gestoßenen Pfeiler gebildet. Die deterministische Rechnung zeigt, daß bei den zu erwartenden Anprallhöhen und –kräften der überwiegende Anteil der Horizontalkraft über den Pfeiler abgetragen wird. Die Ausbil-dung der Hauptdruckspannungen im Pfeiler bei maximalem Anprall ist in Abb. 4-3 darge-stellt. Deutlich erkennbar ist die Druckstrebe durch den Pfeiler. Im Bereich der Spundwand treten auf Grund der hohen lokalen Steifigkeiten der Spundwand Störungen (sehr große Druckkräfte) auf. Diese wurden vom Verfasser vernachlässigt.

Lokal zerstörter Bereich

Hohe Druckspannungen inder Betonmanschette infolgeRotation des Pfeilers

Hohe Druckspannungen in denKämpferbereichen der Bögen

Bereich mit Zug-spannungenunterhalb desAnprallpunktes

Anprallrichtung

Hohe Druckspannungenin der SpundwandBeachte: Zu grobeModellierung

Ausbildung einer Druckstrebeim Boden

Bereich mit geringenZugspannungen im Boden

Ausbildung einer Druckstrebe im Pfeiler

Abb. 4-3: Hauptspannungsbild durch den geschnittenen Pfeiler Verwendet man die im FE-Modell über die Zeit ermittelten Hauptdruckspannungen zur Ent-wicklung eines Stabwerkmodells, so läßt sich der Stoßablauf gemäß Abb. 4-4 erklären. Als Beispiel für das Anheben des Pfeilers sind in Abb. 4-5 die vertikalen Verschiebungen der Knoten am Kämpfer auf der Anprallseite des Pfeilers über die Zeit dargestellt. Die Verschie-bung allein infolge Eigengewicht dürfte etwa bei 0,002 m gelegen haben (Stauchung). Eine umfangreiche Angabe von Spannungen im Pfeiler ist nicht Gegenstand dieser Arbeit. Basierend auf dem linearelastischen Spannungsbild in Abb. 4-6 ist die Entwicklung eines Stabwerkmodells auch für den Seitenstoß möglich.


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K

K Fundament

Pfeiler

F Anprall

BogenK KM M1:

Zu Beginn des Anpralls bildet sich aus der hori-zontalen Anprallkraft und den Masseträgheitsef-fekten des Pfeilers und der Bögen eine schräg nach unten verlaufende Druckstrebe aus. Die Resultie-rende geht noch durch den Kernbereich.

M MK K

K

K Fundament

Pfeiler

Bogen

F Anprall

2:

φ

Bes

chle

unig

ung

Die Anprallkraft erzeugt ein Moment, welches der Eigenlast des Bogens und des Pfeilers entgegen-wirkt. Es kommt zu einem Anheben der vorderen Pfeilerkante. Eine Bewehrung könnte jetzt die nicht mehr von der Masse gelieferte Vertikalkraft über-nehmen.

M MK K

K

K Fundament

Pfeiler

Bogen

F Anprall

3:

φ

Bes

chle

unig

ung

Der Winkel der Druckstrebe in das Fundament wird flacher. Die Resultierende vom Pfeiler in das Fun-dament wandert nach rechts - die Brücke versagt.

Abb. 4-4: Stabwerksmodell für den Anprall im Pfeiler

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0Zeit in [sek]

Vers

chie

bung

in[m

]

Knoten 13394 Knoten 4414

Knoten 13922

Knoten 4436

Abb. 4-5: Vertikale Verschiebungen von Knoten im Kämpferbereich des Pfeilers/Bogens


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Stabwerkmodell für einen Seitenstoß im hin-teren Bereich des Pfeilers. Bei linear-elasti-scher Berechnung bilden sich eine starke Zug-strebe (siehe rechtes Bild) in Längsrichtung des Pfeilers und eine schiefe Druckstrebe längs und quer zum Pfeiler aus.

Dargestellt sind die Normalspannungen in Längsrichtung des Pfeilers im hinteren, gesto-ßenen Teil des Pfeilers. Erkennbar ist eine Zugstrebe (links oben) mit einer Zugspannung von 4 N/mm2 und eine Druckstrebe nach rechts unten.

Abb. 4-6: Hauptspannungsbild durch den geschnittenen Pfeiler

Da das Versagen der Brücke unter Anprall ein Schubversagen ist und das FE-Modell bisher nur zur Nachrechnung eines Risses unter Eigenlast geprüft wurde, wäre es wünschenswert, auch die Schubtragfähigkeit an einem realen Fall zu prüfen. Auf Grund der Sprengung des Pfeilers III im Jahre 1945 war eine Überprüfung der Rechenannahmen beim Nachweis der Schubspannungen im Pfeiler II möglich. Damals war ein einseitiger Horizontalschub von über 12 MN durch den Mauerwerkspfeiler aufgenommen worden, der nur noch von einer Seite eine Bogenhorizontalkraft erhielt. Die mittlere Schubspannung betrug ca. 0,3 MN/m2. Im Kämpferbereich und vermutlich auch an der Einspannung des Pfeilers in der Betonmanschette traten Rotationen ein. Die Tragfähigkeit des Pfeilers unter dieser Last konnte nachgerechnet werden. Auch der Schiffsanprall im Mai 1999 scheint das FE-Modell zu bestätigen (Abb. 2-2). Nach Angaben der örtlichen Zeitung war zwar eine Schädigung der Betonmanschette, nicht aber eine Beschädigung des Pfeilers selbst erkennbar (Abb. 4-7). Sollte diese Aussage stimmen, so werden die FEM–Ergebnisse bestätigt, daß die Spundwand in Verbindung mit der Betonman-schette eine sehr steife Konstruktion darstellt. Die steife Konstruktion ist einer der wesentli-chen Gründe, warum nur ein geringer Teil der Last über die Bögen abgetragen wird.


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Abb. 4-7: Pfeiler II der Mainbrücke Lohr, 1999, nach Anprall

4.1.4 Das deterministische FE-Modell der Mainbrücke Segnitz Auch die numerische Modellierung der Mainbrücke Segnitz erfolgte überwiegend mittels des Programms ANSYS. Dabei wurden, soweit erforderlich, die gleichen Elemente eingesetzt. Zusätzlich wurde bei der Mainbrücke Segnitz für den Überbau ein räumlicher Biegebalken mit sechs Freiheitsgraden verwendet (BEAM4). Für die Ermittlung der Torsionssteifigkeit des Fachwerküberbaues für den Ersatzstab im FE-Modell wurde die Umrechnung in eine Vollwandscheibe der Dicke ti durchgeführt (PETERSEN [227]). Als Ergebnis dieser Rechnung zeichnete sich aber ab, daß die Torsionssteifigkeit für die FE-Modellierung vernachlässigt werden kann. Das Pfeilermodell ist in Abb. 4-8 dargestellt. Das Modell konnte wegen mangelnder Daten-angaben über die Hinterfüllung und wegen einfacherem Aufbau des Fundaments im Vergleich zur Alten Mainbrücke Lohr erheblich vereinfacht werden. In Verbindung mit neuerer Re-chentechnik (Rechnungen erfolgten im Jahre 2001) und dem einfacheren Modell konnten selbst nichtlineare dynamische Berechnungen in wenigen Minuten an einem PC durchgeführt werden. Bei den Erläuterungen zum Modell der Alten Mainbrücke Lohr wurde bereits auf die Not-wendigkeit von Kontrollen der FEM-Rechnungen eingegangen und auf die Nachrechnung von beobachteten Schäden zur Prüfung eines Modells. Im Fall der Mainbrücke Segnitz bot sich nun insbesondere die Möglichkeit an, einen bekannten Schiffsanprall nachzurechnen. Bei Tauchuntersuchungen war ein horizontaler Riß an einem Pfeiler entdeckt worden, der von einer Stirnseite des Pfeilers auf beiden Längsseiten ca. 3 m in Richtung der anderen Stirnseite reicht (siehe Abb. 4-9). Der Riß ist ebenfalls in Abb. 3-18 dargestellt.


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XY

Z

M

MBalkenelement

K

Abb. 4-8: FE-Modell eines Pfeilers der Mainbrücke Segnitz

8

9,6

Abb. 4-9: Horizontaler Riß in der Lagerfuge im Mauerwerk (Unterwasser) und Einordnung der Lage des Risses zum Anprall des Schubverbandes Talion/SL Bavaria im Jahre 2000

Zuerst erfolgte mit einfachen Modellen eine Abschätzung der erforderlichen Horizontalkraft, um diesen Riß zu erzeugen. Abb. 4-10 zeigt das verwendete Modell nach [1], Abb. 4-11 zeigt die Spannungen über den Pfeilerquerschnitt basierend auf einer linearelastischen Berechnung unter Berücksichtigung der Normalkräfte und Horizontalkräfte aus verschiedenen Lastfällen. Im Anschluß daran fanden statische nichtlineare Berechnungen des Pfeilers mit dem Pro-gramm ATENA und dynamische nichtlineare Berechnungen mit dem Programm ANSYS statt (Abb. 4-13). Im letzten Schritt wurde die mögliche Anprallkraft mit am Schiffskörper beo-bachteten plastischen Verformungen geprüft.


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d cl

F

hy

yR

PhFld ⋅⋅

−⋅

=3

23

FlPy

⋅⋅

=6

yhyR −= c – Breite des gerissenen Bereiches

Abb. 4-10: Einfaches Kippmodell zur Bestimmung der Horizontalkraft [1]

Vereinfachter Quer-schnitt des Pfeilers 2 in Höhe der Rißfuge

Spannungen im Quer-schnitt unter Eigenlast

Spannungen im Quer-schnitt unter Eigen- und Verkehrslast

Spannungen im Quer-schnitt unter Eigen-, Verkehrs-, Wind-, Bremslast und Rück-stellkräften

Spannungen im Quer-schnitt unter Eigenge-wicht und maximalem Schiffsanprall

Abb. 4-11: Spannungsbilder am Querschnitt des Pfeilers 2 in Höhe OK Fundament

beob

acht

eter

Ber

eich

Bre

mse

n un

d W

ind

max

imal

er S

chiff

sanp

rall

Abb. 4-12: Vergleich von möglichen Rißflä-chen und beobachteter Rißfläche im Pfeiler basierend auf den linearelastischen Berech-nungen


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XY

Z

Anprall-kraft

Risse

Risse

XY

Z

~ 3 m

~ 6,5 m

Abb. 4-13: Bild des Pfeilers während des Anpralls, im rechten Bild ist die Zunahme der Riß-länge am Fußpunkt des Pfeilers bis auf 3 m erkennbar Die in Tab. 4-3 zusammengefaßten Rechnungen zeigen nach Meinung des Verfassers eine gute Übereinstimmung bei der Berechnung der erforderlichen Anprallkraft. Anprallkraft Verfahren Statisch in MN Dynamisch in MN Einfaches Modell (ABRAMS & XU [1]) 4,5 3,5 Statisch nichtlineare Berechnung (FEM-ATENA) 4,0-5,0 3,07-3,85 Dynamisch nichtlineare Berechnung (FEM-ANSYS) 3,25 Abgeschätzte Anprallkraft mittels Schiffsangaben (2 km/h) 3,1-4,3 2,38-3,3 MEIER-DÖRNBERG (0,1 m plastische Verformung – am Schiff gemessen) 3,4 Als dynamischer Lastfaktor wurde in den statischen Berechungen 1,3 nach E DIN 1055-9 verwendet.

Tab. 4-3: Anprallkraft zur Erzeugung des beobachteten Horizontalrisses im Pfeiler 2 der Mainbrücke Segnitz und Ermittlung der Anprallkraft aus den Schiffsverformungen

Basierend auf dem hierbei verwendeten dynamischen ANSYS FE-Modell wurden alle fol-genden Berechnungen der Mainbrücke Segnitz durchgeführt.

4.1.5 Abschätzung der Eigenfrequenz der Brücke Die rechnerisch ermittelten Eigenfrequenzen stellen ebenfalls ein geeignetes Mittel dar, um die Modelle auf ihre dynamischen Eigenschaften zu prüfen. Daneben hängt die Schrittweite des NEWMARK-Algorithmus von der höchsten an der Systemantwort mitwirkenden Eigenfre-quenz ab. Die Zeitintervall sollte 1/20·f dieser Eigenfrequenz [34] nicht überschreiten. Als Vergleichswert wurde die Eigenfrequenz zuerst an einer Betonwand ermittelt. Diese besaß ähnliche Abmessungen wie die Pfeiler der Alten Mainbrücke Lohr, wurde jedoch nicht von Bögen gehalten. Zum Vergleich mit der alte Mainbrücke Lohr wurden ferner ein Wert der Mainbrücke Marktheidenfeld und für die Mainbrücke Segnitz ein Wert der Brücke Retzbach-Zellingen in Tab. 4-4 angegeben.


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Brückentyp Eigenschwingzeit in Sekunden Frequenzen in Hz Oben Freie Betonwand 1,38 0,72 Alte Mainbrücke Lohr Bogenbrücke 28 m 0,25 4,00 Marktheidenfeld (schömig plan) Bogenbrücke 28 m 0,43 2,32 Mainbrücke Segnitz Stahlfachwerkbrücke 1,1 0,91 Retzbach-Zellingen Spannbetonbrücke 1,4 0,71

Tab. 4-4: Ermittelte und bekannte erste Eigenfrequenzen und Eigenschwingzeiten

Prinzipiell muß festgestellt werden, daß die ermittelte Eigenschwingzeit für die Mainbrücke

Lohr als sehr gering erscheint. Das kann seine Ursache in dem sehr steifen Unterbau der Brücke

haben. Auch die ermittelte erste Eigenschwingzeit der Mainbrücke Segnitz liegt mit 1,1 Sekun-den etwas unter den Erwartungen. Bei vergleichbaren Eisenbahnbrücken wurden Eigen-schwingzeit von ca. zwei Sekunden gemessen [103]. Da diese Brücken meistens etwas steifer

auf Grund der höheren Verformungsanforderungen, aber auch üblicherweise schwerer sind, sollte die Eigenschwingzeit für die Mainbrücke Segnitz etwa im Bereich um 1,5 Sekunden

liegen. Die Mainbrücke Retzbach-Zellingen liegt etwa bei 1,4 Sekunden [44]. Nach Meinung des Verfassers können die ermittelten Eigenfrequenzen nur als grobe Nähe-rungswerte angesehen werden, da die Eigenfrequenz von Mauerwerksscheiben erhebliche Abhängigkeiten von dem vorhandenen Rißbild aufweist (BUTTMANN [31]). So dürfte die Inhomogenität im Bereich der Hinterfüllungen sowohl in den Pfeilern als auch in den Bögen eine nicht unbedeutende Rolle bei der Entwicklung der Eigenfrequenzen spielen. Im FE-Modell wurden diese Bereiche als homogen, allerdings als weichere Bereiche angesehen (Hälfte des E-Moduls des Schalenmauerwerks).

4.2 Mauerwerk Die bisherigen Erläuterungen behandelten die linear-elastische und nichtlineare FE-Model-lierung. Gerade die linear-elastische Berechnung bietet auf Grund der Kontrolle und der schnellen Rechenzeit Vorteile, auf die im Rahmen dieser Arbeit zurückgegriffen wurde. Ein Großteil der im Kapitel 5 behandelten Rechenergebnisse wurde basierend auf linear-elasti-schen FEM-Berechnungen ermittelt. Die im Rahmen derartiger Berechnungen ermittelten Spannungen müssen mit zulässigen Spannungen verglichen werden, um ein Kriterium für das Versagen eines Bauteils der Brücke zu besitzen. Da das Augenmerk bei der Untersuchung der Brücke auf Mauerwerkskomponenten ruht, wird in diesem Abschnitt ausführlich auf die ver-schiedenen Mauerwerksmodelle eingegangen. Mauerwerk ist ein Mehrkomponentenbaustoff. Auf Grund der enormen Vielfalt der physika-lischen und geometrischen Eigenschaften der Komponenten wurden zahlreiche rechnerische Modelle, die für spezielle Situationen ausgelegt waren, entwickelt. So findet sich in KRÄMER [154] eine Sammlung von 18 verschiedenen Formeln zur Bestimmung der zentrischen Druck-festigkeit von Mauerwerk. Ein Teil dieser Formeln ist allerdings auch der Historie der Mo-delle zuzuordnen. Im folgenden Kapitel sollen nur einige wenige moderne Verfahren zur Beurteilung der Mauerwerksdruckfestigkeit von Natursteinmauerwerk genannt werden. Prinzipiell ist das Tragverhalten von Natursteinmauerwerk noch nicht ausreichend erforscht. Diese Aussage spiegelt sich auch im Aufbau der DIN 1053 [58] wieder. Die Vielfalt der Materialeigenschaften und der Geometrieverhältnisse von historischem Mauerwerk wird in


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den Vorschriften nur unzureichend berücksichtigt. Wirtschaftliche Berechnungen von histori-schem Mauerwerk sind nach DIN 1053 kaum möglich. Im Rahmen des SFB 315 wurden für Natursteinmauerwerk verschiedene neue Modelle ent-wickelt (WENZEL [321]). Gleichzeitig hat der aufstrebende Denkmalschutz und die Wieder-errichtung von Natursteinbauwerken wie der Frauenkirche in Dresden zu einer Intensivierung der Forschung in diesem Bereich geführt. Im folgenden werden Formeln für die Beschreibung der zentrischen Mauerwerksdruckfestigkeit und der Schubfestigkeit behandelt.

4.2.1 Modelle für zentrische Mauerwerksdruckfestigkeit

4.2.1.1 Einschaliges Natursteinmauerwerk Empirische Ansätze (SCHUBERT [262], KRÄMER [154]) Empirische Ansätze zur Beschreibung der Druckfestigkeit von einschaligem Mauerwerk be-sitzen auf Grund der einfachen Modellbildung (Regression) eine weite Verbreitung. Ein übli-cher Ansatz ist

cMöD

bStDMWD a ,,, βββ ⋅⋅= (4-7)

Diese Gleichung findet sich z. B. im Eurocode 6. Dort wird das 5 %-Fraktil der Mauerwerks-druckfestigkeit mit folgender Formel über die mittleren Druckfestigkeiten von Stein und Mörtel ermittelt.

0,75 0,25, ,5% , , , ,0,40D MW D St M D Mö Mβ β β= ⋅ ⋅ (4-8)

MANN gibt für diesen Ansatz folgende Parameter:

0,66 0,18, , , , , ,0,83D MW m D St M D Mö Mβ β β= ⋅ ⋅ (4-9)

Diese Ansätze liefern für Natursteinmauerwerk meistens unbefriedigende Ergebnisse. Modell nach HILSDORF (nach WEIGERT [319], WEDLER [318],) HILSDORF entwickelte ein Modell, das auf einem mehraxialen Spannungszustand in Stein und Mörtel basiert. Dieser mehraxiale Spannungszustand entsteht aus dem geringen E-Modul des Mörtels, der jedoch in seiner Verformung durch den Stein behindert wird. Dadurch entstehen Querdruckspannungen im Mörtel und Querzugspannungen im Stein. Ursprünglich nahm HILSDORF an, daß ein unverschieblicher Verbund zwischen Mörtel und Stein besteht. Diese Aussage revidierte er 1969. Das Berechnungsverfahren wurde für künstliche Steine entwik-kelt. Trotzdem kann das Verfahren auch für Natursteinmauerwerk verwendet werden. Als nachteilig ist der sogenannte Ungleichförmigkeitsfaktor anzusehen, da die Angaben über die Wahl dieses Faktors nur teilweise nachvollziehbar sind (WEIGERT [319]).

,

( )

DSZS DM

D MWZS DS

au

a

β β ββ

β β

⋅ + ⋅=

+ ⋅

(4-10)

mit u als Ungleichförmigkeitsfaktor im Bruchzustand und 1,4

ht

a =


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Abb. 4-14: Spannungszustand im Mauerwerk unter Normallast nach HILSDORF Modell nach MANN (nach WARNECKE, ROSTASY & BUDELMANN [314]) MANN stellte fest, daß das Verhalten von Mauerwerk aus künstlichen Steinen und Natur-steinmauerwerk nicht vergleichbar ist. Die Ungleichförmigkeit der Steine und Fugen führt zu einem qualitativ anderen Verhalten des Mauerwerkes. Ursache dafür ist eine im Vergleich zu künstlichen Steinen höhere Zugfestigkeit der Natursteine und eine geringere Mörtelfestigkeit des alten Mauerwerks im Vergleich zu modernem Mauerwerk. Darum wird das Versagen des Mörtels für das Versagen des Mauerwerks maßgebend. Allerdings widersprechen die Ergeb-nisse von Versuchen an Mauerwerk mit Sandfugen (also Druckfestigkeit des Mörtels = 0) den Aussagen von MANN, da die Mauerwerksdruckfestigkeit nach MANN Null wäre, das Versagen jedoch infolge Zerreißen des Steines auftrat.

üfDMWMD ⋅⋅= ββ , (4-11)mit

α42

cos3211

198

⋅

⋅−−

⋅=

bt

f

MW

S

AAü =

DIN 1053(11/1996) [58] Die DIN 1053 ist für die Berechnung von Mauerwerkskonstruktionen vorgesehen. Im Kapitel 12 wird Natursteinmauerwerk behandelt, wobei die Ermittlung der Mauerwerksdruckfestig-keit auf MANN zurückzugehen scheint, da die Steindruckfestigkeit nur geringen Einfluß auf die Mauerwerksdruckfestigkeit lt. DIN 1053, Abschnitt 12, Tabelle 13 hat und die Steinzugfe-stigkeit nicht angesetzt wird.


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Modell nach BERNDT (BERNDT [15], BERNDT & SCHÖNE [16], WENZEL [321]) BERNDT geht von einem Spaltzugversagen der Steine aus: Er addiert die Spaltzugkräfte in-folge Ausbreitung der Druckkraft im Stein von der Fugenbreite auf die volle Breite des Stei-nes und die Spaltzugkraft infolge Dehnungsbehinderung des Mörtels im Stein.

, ' 0,7

1

DSD WM

DS

ZS

t v b dkh v h b

ββββ

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + −

(4-12)

mit 0,3...0,5k = , 'tan 45

2

td tρ

≈ + +

und ' min10 cm

hh

=

.

Modell nach SABHA (SABHA & SCHÖNE [252], SABHA & WEIGERT [253], WENZEL [321]) SABHA geht vom gleichen Ansatzpunkt wie BERNDT aus: Dem Vorhandensein zweier Mecha-nismen zur Erzeugung von Spaltzugkräften im Stein. Allerdings berücksichtigt er die Lage der Maxima der Spaltzugkräfte, die nicht identisch ist. Während die maximale Spaltzugkraft infolge Kraftausbreitung in halber Höhe des Steins liegt, befindet sich das Maximum der Spaltzugkraft infolge Verformungsbehinderung des Mörtels in der Nähe der Fuge im Stein. SABHA addiert darum die beiden Spaltzugkräfte nicht (WENZEL [321]) und erhält deshalb höhere zulässige Festigkeiten als BERNDT.

,2 DM ZS

D MWZS

DS

k

k

β ββ ββ

⋅ ⋅ +=

+

(4-13)

mit

1,6 1,45 1 ZS

DS

tkb

ββ

= +

BOYE [20] stellte eine Erweiterung des Verfahrens von SABHA vor. Wertung der Modelle (nach WARNECKE, ROSTASY & BUDELMANN [314]) In Tab. 4-5 sind Versuchs- und Rechenergebnisse zur Ermittlung der zentrischen Druckfestig-keit von Natursteinmauerwerk zusammengestellt (WARNECKE, ROSTASY & BUDELMANN

[314]). Die vorgestellten rechnerischen Modelle der Normalkrafttragfähigkeit von Naturstein-mauerwerk zeigen große Unterschiede in den Ergebnissen.

Regelmäßiger Schichtenverband behauener Velpker Sandstein

Regelloser Verband bruchrauher Elmkalkstein

Mörtel M I βD,Mö=7,5 N/mm2

Mörtel M III βD,Mö=29,0 N/mm2

Mörtel M I βD,Mö=7,5 N/mm2

h/d=5 h/d=10 h/d=5 h/d=10 h/d=5 h/d=10 exp βD,MW 10 13,1 25,2 21,2 5,1 4,5 cal βD,MW HILSDORF 45 67,5 12,5 cal βD,MW BERNDT 20,3 20,3 5,1 cal βD,MW SABHA 22 40 12,5 cal βD,MW SABHA mit ü 18,7 34 7,5 cal βD,MW MANN 60,8 226,5 16,5 cal βD,MW MANN m. DIN Mörtel 6 93,9 1,6

Tab. 4-5: Vergleich von Berechnungs- und Versuchsergebnissen der zentrischen Mauerwerks-druckfestigkeit nach [314]


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Zuerst einmal stechen die großen Abweichungen des MANN’schen Modells ins Auge. Auch das Modell von HILSDORF überschätzt die Festigkeiten im Vergleich zum Versuch deutlich. Die besten Ergebnisse werden mit den neueren Modellen nach BERNDT und SABHA ermittelt. Das zweite Modell von SABHA verwendet einen Korrekturfaktor ü zur Berücksichtigung der Steingröße. Insgesamt schneidet nach Meinung des Verfassers das BERNDT’sche Modell am besten ab. Es zeigt sich aber auch, daß einfache Modelle, wie in der Vergangenheit häufig verwendet, durchaus ihre Berechtigung haben. Eine grobe Abschätzung der Tragfähigkeit von Ziegel-mauerwerk besagt, daß die Mauerwerksdruckfestigkeit mindestens 1/10 der Steindruckfestig-keit ist.

4.2.1.2 Zweischaliges Mauerwerk Da die Brückenpfeiler über die Breite nicht komplett gemauert sind, sondern anhand der Boh-rungen nachgewiesen wurde, daß die Pfeiler hinterfüllt sind, handelt es sich bei den vorlie-genden Pfeilern nicht um einschaliges, sondern um zweischaliges Mauerwerk. Die Grundla-gen des Tragverhaltens zweischaligen Mauerwerks werden z. B. in (WARNECKE, ROSTASY & BUDELMANN [314]) erläutert. An dieser Stelle seien nur die Modelle von WARNECKE und EGGERMANN erwähnt. Modell nach WARNECKE (WARNECKE [313]) WARNECKE verwendet ein Interaktionsdiagramm für die Bestimmung der zulässigen Schnitt-kräfte. Dabei geht er von der Annahme aus, daß eine korrekte Wiedergabe der Festigkeiten allein aus Bohrungen nicht möglich ist. Für eine kohäsive Innenschale werden folgende For-meln verwendet:

1=++ HohlraumSteinMörtel vvv (4-14)

Stein

Stein

MörtelMörtel

Stein

i Ev

vEv

E+

⋅−

=2)1(1

(4-15)

Stein

MörtelMörteliMD v

v−

⋅=1,, ββ

(4-16)

Die Druckfestigkeit der Außenschale darf nach den bisher genannten Verfahren für einschali-ges Mauerwerk ermittelt werden [318]. Modell nach EGERMANN (WENZEL [321]) Folgende Annahmen werden in diesem Verfahren getroffen: • Außenschalen in Ziegelmauerwerk und Läuferverband, Schlankheiten kleiner 13,3 • Kohäsive Innenschalen • Glatte Grenzfläche zwischen Innen- und Außenschale • Ebener Verschiebungszustand • Symmetrische Lagerungsbedingungen (Volleinspannung an Mauerkrone und Fuß) • Starre Bettung des gesamten Querschnitts Der Grundwert der zulässigen Druckspannung der Außenschalen darf wieder wie für einscha-liges Mauerwerk bestimmt werden, allerdings gilt:


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MWDDA ,σαασ ϕλ ⋅⋅= (4-17) σDA Mauerwerkdruckfestigkeit der äußeren Schale σD,MW Mauerwerkdruckfestigkeit der äußeren Schale (einschalig berechnet) αϕ Einfluß der Spannrichtung bei Vorspannung

αϕ = 1 Spannrichtung || zur Lastrichtung αϕ = 2 Spannrichtung ⊥ zur Lastrichtung

αλ = 1 für 0,21

Wcr NN ≥

0,2

W

cr

NN

⋅=λα für 0,21

Wcr NN <

MWDAW AN ,0, σ⋅= AA Querschnittsfläche der Außenschale

22

0,7crk

E INs

π ⋅= ⋅ ⋅ Knicklast

MWDE ,1000 σ⋅≈ Steifigkeit I Flächenträgheitsmoment des ungerissenen Querschnittes 0,7 Abminderung für gerissenen Querschnitt sk Knicklänge

AA

AA

AA I

DIA

DAA

DAMW σσσσ ⋅+⋅+⋅= 3,175,075,0 22

11

(4-18)

Es erfolgt eine Abminderung der zulässigen Mauerwerkdruckfestigkeit der äußeren Schalen und eine Erhöhung der zulässigen Mauerwerkdruckfestigkeit der inneren Schale, da sich ein räumlicher Spannungszustand ausbildet. Sowohl bei der Alten Mainbrücke Lohr als auch bei der Mainbrücke Segnitz wurden vergleichbare Werte für die einschaligen und zweischaligen zentrischen Mauerwerksfestigkeiten ermittelt. Damit bietet sich die Verwendung einschaliger Modelle an, um Rechenvereinfachungen zu nutzen. Die Modelle für die Tragfähigkeit des Mauerwerks unter Normalkräften ist nur für die Ein-wirkungskombination Eigenlast und Verkehr maßgebend. Die Anprallkraft stellt aber eine Ho-rizontalkraft dar, die Schub im Pfeiler und im Bogen verursacht. Deshalb schließt sich die Behandlung von Mauerwerksschubmodellen an.

4.2.2 Modelle für Schubtragfähigkeit des Mauerwerks Theoretische Arbeiten zu Festkörpern mit Schubrissen sind u. a. in VAIRIS [301] und LAWN & MARSHALL [165] zu finden. Da Mauerwerksbauwerke schon seit langem für Schubbelastun-gen ausgelegt werden, bestehen für Mauerwerk zahlreiche Lösungen zur Beschreibung des Schubtragverhaltens (BERNDT [15], SEIM [266], SEIM & SCHWEIZERHOF [267], DIALER [55], LAURENÇO [164].


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σx

σy

σx

σy

Versagenskriterien für Mauerwerk nach GANZ (links) und DHANASEKAR (rechts) nach [266]

Versagenskriterium nach LAURENÇO [164]

σx

σy

Versagenskriterium nach SEIM [266]

Abb. 4-15: Versagenskriterium (Hüllkurven) für die Schubfestigkeit von Mauerwerk nach verschiedenen Autoren

Neben diesen für FEM-Programme bereitgestellten komplizierten Verfahren gibt es auch ver-einfachte Vorgehensweisen. So stellen die Versuche von MANN/MÜLLER (BAIER [7]) erste Anhaltspunkte für den Schubspannungsnachweis dar. BERNDT [15] hat für den Schubnach-weis von Naturmauerwerk, insbesondere Elbsandstein, das folgende Verfahren entwickelt. Demnach werden für Sandsteinmauerwerk unter Schubbeanspruchung drei Versagensarten unterschieden:


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I. Versagen der Lagerfugen infolge Reibung

Bruch HS R xτ β µ σ= + ⋅ (4-19) II. Versagen des Steinmaterials durch Überschreitung der Steinzugfestigkeit

12max

1,40,7 0,7

DS

DS DS

ZS ZS

k

k k

σ

σ σ

βτβ ββ β

+

= ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ +

(4-20)

III. Versagen des Steinmaterials durch Überschreitung der Steindruckfestigkeit

2 2 22

, 2

1 1 1,40,7 0,7 1 0,72 2

DS DS DS

ZS ZS DS ZSD MW DSBruch

k k

A A A

σ σ

τ

β β τ ββ β β β

β β

− − ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ + = + +

(4-21)

2 22 21 10,7 0,72 2

DS DS

ZS ZS

k kA σ σβ ββ β

+ − = ⋅ + − ⋅ −

oder näherungsweise

2

, 2

0,71 1,42 10,7

2

DSDS

ZSDSD MW Bruch

DS DS

ZS

k

kk

στ

σσ

β βββ τβ β β

β

+ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ − ⋅ ⋅

+ ⋅ +

(4-22)

Die Darstellung der einzelnen Versagensarten im kartesischen Koordinatensystem ergibt nachstehend abgebildeten Hüllkurvenzug, wobei für alle Wertepaare σx - τ innerhalb der Hüll-kurve die Schubtragfähigkeit gewährleistet ist.

τ

σx βDMW

Schubbereich

I II III

COULOMB'-sche Reibung

Schiefe Haupt-zugkräfte

Schiefe Haupt-druckkräfte

βHS

Abb. 4-16: Hüllkurvenzug für schubbeanspruchtes Sandsteinmauerwerk

In der DIN 1053-1 [58] wird eine maximale Schubspannung von 0,3 MN/m2 für Naturstein-mauerwerk zugelassen. Eigene numerische Simulationen zeigen mögliche mittlere Mauer-werkschubfestigkeiten größer 3 MN/m2 und 5 % Fraktilwerte zwischen 2 und 3 MN/m2 [7].


Seite 108

Die bisher diskutierten Modelle sind alle für statische Versuche entwickelt worden. Materialge-setze für das dynamische Schubverhalten von Natursteinmauerwerk sind dem Verfasser nicht

bekannt. Auf Grund dieses Mangels wird im folgenden auf die statischen Materialgesetze auch

für die dynamischen Berechnungen zurückgegriffen. Dafür wird das Modell nach BERNDT ver-wendet, weil es zum einen im Vergleich zu Versuchen sehr gute Ergebnisse erbrachte, weil es

relativ einfach zu handhaben ist (Schubnachweise) und weil es eine durchgehende Nachweis-struktur für Normalspannungen und Schubspannungen bietet. Mit diesem Verfahren werden

zulässige Spannungen ausgerechnet, die mit den bei linearelastischen FEM-Rechnungen ermit-telten Spannungen verglichen werden. Alle bisher vorgestellten Berechnungsverfahren und Modelle basieren auf diskreten Zahlen-werten für Einwirkungs- und Widerstandsseite. Im Gegensatz dazu werden aber nun gerade bei

diesen Brücken viele Materialeigenschaften innerhalb eines größeren Bereiches nicht konstant

und homogen sein oder sie sind einfach nicht ausreichend bekannt. Die materialtechnischen

Untersuchungen bestätigen diese Behauptung (Kapitel 3). Die Lösungen der nichtlinearen FEM-Rechungen bzw. die linear-elastischen FEM-Rechnungen in Verbindung mit den Mauerwerks-formeln können eine Genauigkeit vortäuschen, die die Genauigkeit der Eingangsgrößen über-steigt. Diese Tatsache erfordert eine Variation des Berechnungsverfahrens, die zur Ermittlung

der operativen Versagenswahrscheinlichkeit führt und im folgenden Kapitel behandelt wird. Sie

ist die logische Fortsetzung der Berücksichtigung der Anprallhäufigkeit bzw. Anprallwahr-scheinlichkeit aus Kapitel 2 bei der Beschreibung der Einwirkungsseite und ist außerdem im

Sinne bereits vorhandener Normen.


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4.3 Probabilistische Berechnungsverfahren „Das Gehirn ist ein probabilistisches System, auch unseres. Man hat mich gelehrt, an alle Dinge probabilistisch heranzugehen. Ich rechne mir die Chancen aus...“ STANISLAW LEM, Die Jagd: Die Verhandlung, 1972

4.3.1 Einführung Bauwerke müssen sicher sein (Landesbauordnung, Verfassung, deliktrechtliche Produkthaf-tung § 823 Abs. 1, BGB; § 1 Abs. 1 des PHG). Im Bauwesen ist Sicherheit die qualitative Fähigkeit eines Tragwerkes, Einwirkungen zu widerstehen (DIN 1055-100). Die Entschei-dungsgrundlage über das Vorhandensein dieser Fähigkeit erfordert ein quantitatives Maß. Die Zuverlässigkeit eines Tragwerkes ist ein quantitatives Maß für die Fähigkeit eines Tragwer-kes, Einwirkungen zu widerstehen. Die Zuverlässigkeit wird in den gegenwärtig vorliegenden Bauvorschriften als Wahrscheinlichkeit interpretiert (DIN ISO 8930, 1.1 & 1.2). Zusätzlich wird bei außergewöhnlichen Einwirkungen gestattet, ein Restrisiko zu akzeptieren (Eurocode 1, DIN 1055-9). Damit wird neben der Wahrscheinlichkeit des Versagens auch die Konse-quenz des Tragwerkversagens berücksichtigt. Dieses Maß erlaubt zusätzlich die Einordnung der Gefährdung durch Bauwerke im Vergleich zu anderen natürlichen und technischen Risiken (DIN 1055-9) und wird ausführlich in Kapitel 6: Akzeptables Risiko behandelt. Bereits bei der Bestimmung der Anprallkraft im Kapitel 2: Einwirkungsseite und im Kapi-tel 3: Widerstandsseite wurde auf das Maß der Wahrscheinlichkeit im Sinne von Verteilungs-funktionen für Eingangsgrößen zurückgegriffen. Bei der vorliegenden Aufgabenstellung bie-tet es sich also an, die Wahrscheinlichkeit des Versagens der Brücken unter Schiffsanprall als Zuverlässigkeitsmaß zu ermitteln und darauf aufbauend das Risiko abzuschätzen, welches sich für die Gesellschaft bei der heutigen und zukünftigen Nutzung ergibt. Diese Vorgehens-weise ist eine Verallgemeinerung der in den Normen bereitgestellten Berechnungsverfahren (DIN 1055-100 [71], DIN 1055-9 [71], [72], Eurocode 0 bzw. 1 [81], [83], [84]). Damit ist die vorliegende Arbeit auch nicht als Arbeit zur Entwicklung von Verfahren zu verstehen, son-dern eine Arbeit zur Anwendung bereits bekannter Verfahren. Die ersten Vorschläge zur Verwendung von Wahrscheinlichkeiten im Bauwesen gehen auf eine Arbeit in Deutschland von MAYER (1926) [182] und in der Sowjetunion von CHOCIALOV (1929) zurück. In den 30er Jahren befaßten sich bereits, unabhängig voneinander, STRELECKIJ (1935) in der Sowjetunion, W. WIERZBICKI (1936) in Polen und PROT (1936) in Frankreich mit der Beschreibung der Sicherheit von Bauwerken als Zufallserscheinungen (MURZEWSKI [202]). Bereits im Jahre 1944 wurde in der Sowjetunion ein Dekret durch die Volkskommis-sare zum Beginn der Arbeiten für die Einführung der wahrscheinlichkeitstheoretischen Me-thode der Grenzzustände herausgegeben (TICHÝ [292]). 1947 veröffentlichte FREUDENTHAL seinen bekannten Aufsatz über die Sicherheit von Bauwerken [95]. In den 50er Jahren flossen die ersten Erkenntnisse in Bauvorschriften ein (MURZEWSKI [202]). In Deutschland erlebte die Forschung zu diesem Thema in den 70er Jahren eine Blüte durch die Einrichtung des Sonderforschungsbereich 96 ,,Zuverlässigkeitstheorie der Bauwerke“ in München. Zur Zeit wird durch das Joint Committee on Structural Safety der IABSE, CIB, RILEM, fib and ECCS bereits an einem ersten vollprobabilistischen Modelcode gearbeitet [137].


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Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen sind heute fester Bestandsteil moderner Vor-schriften im Bauwesen (GruSiBau [211], E DIN 1055-100, DIN 18 800, Eurocode 0 bis 8). Ziel der Durchführung derartiger Berechnungen ist, wie bereits o. g., die Ermittlung der Wahr-scheinlichkeit bzw. eines äquivalenten Ersatzmaßes des Strukturverhaltens. Dies geschieht durch sogenannte wahrscheinlichkeitstheoretische bzw. probabilistische Berechnungen. Eingangsgrößen derartiger Berechnungen sind keine deterministischen, eindeutig zuordenba-ren Zahlen, sondern Zufallsvariablen, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gehorchen. Die Zufallsvariablen für die Berechnung der beiden Brücken wurden bereits in Tab. 3-5 zusammengestellt. Die einzelnen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen kann man multiplika-tiv verknüpfen und erhält daraus eine Verbundwahrscheinlichkeitsdichte. Die Verbundwahr-scheinlichkeitsdichte bildet in Abhängigkeit von der Anzahl der streuenden Größen und der Art und Weise der einzelnen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ein mehrdimensionales Volumen. Das Volumen selbst bzw. das Integral hat über alle Zufallsvariablen von minus unendlich bis plus unendlich immer den Wert 1. Durch beliebige funktionale Zusammen-hänge der Zufallsvariablen, im vorliegenden Fall die Tragfähigkeit des Pfeilers unter einer Schiffsanprallkraft, wird das Volumen in zwei Teile geschnitten. Der eine Teil des Volumens ist die Überlebenswahrscheinlichkeit und der andere die Versagenswahrscheinlichkeit. Im Bauwesen ist es auf Grund der o. g. gesetzlichen Forderungen üblich, daß die Versagenswahr-scheinlichkeit sehr geringe Werte annimmt. Den funktionalen Zusammenhang bezeichnet man üblicherweise als Grenzzustand bzw. Grenzzustandsgleichung g( )X ≤ 0. Im Falle der Untersuchung der Alten Mainbrücke Lohr und der Mainbrücke Segnitz ist die Grenzzustandsgleichung nicht mehr analytisch geschlos-sen darstellbar, sondern sie beinhaltet Ergebnisse der dynamischen Finite-Elemente-Berech-nungen.

Abb. 4-17: Darstellung der Zuverlässigkeit als Wahrscheinlichkeit der Überschreitung eines Grenzzustandes, der eine Funktion der Einwirkung S und des Widerstandes R eines Tragwer-kes ist. Die Unsicherheiten der beiden Größen folgen statistischen Verteilungsfunktionen. In Abb. 4-17 wird die erläuterte Problemstellung für eine zweidimensionale Aufgabe verdeut-licht. Ein Maß für die Wahrscheinlichkeit des Versagens ist genau derjenige Teil des Volu-mens f r f s dr dsR S( ) ( ) ∫∫ , welcher durch g R S( , ) ≤ 0 abgetrennt wird. Die Aufgabe der pro-

babilistischen Verfahren besteht nun darin, das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunk-tionen zu ermitteln: P f x dxf x= ∫∫ ... ( ) (4-23)


Seite 111

Grundlage für die Wahl der Wahrscheinlichkeit als Zuverlässigkeitsmaß ist eine statistische Beschreibung der Eingangsgrößen der Nachweise. Dieser Hintergrund spiegelt sich in den existierenden Bauvorschriften allein durch die Tatsache wieder, daß die charakteristischen Werte von Eingangsgrößen überwiegend als Fraktilwerte von Widerstands- oder Einwir-kungsgrößen definiert sind. Mit der statistischen Beschreibung der Eingangsgrößen wird natürlich implizit vorausgesetzt, daß genügend Informationen über die Zufallsgröße vorhanden sind und daß in der Tat die veränderlichen Einwirkungen und Eigenschaften von Materialien zufälligen Schwankungen unterliegen. Systematische Fehler können also durch diesen Ansatz nicht berücksichtigt werden. Um solche Fehler auszuschließen, werden grundlegende Forderungen erhoben, die sich sowohl auf die Bauplanung als auch auf die Ausführung beziehen (DIN 1055-100 [71]). Die Zielwerte der Versagenswahrscheinlichkeit und das akzeptable Risiko werden in Kapitel 6 behandelt. Im Vergleich zu anderen technischen Bereichen sind die Zielwerte der Ver-sagenswahrscheinlichkeit im Bauwesen sehr klein.

4.3.2 FORM Diese geringen Versagenswahrscheinlichkeiten erlauben es, bestimmte Vereinfachungen bei der Ermittlung des mehrdimensionalen Integrales einzuführen. Die Vereinfachungen haben zu einer drastischen Verringerung der bis dahin erforderlichen Rechenzeit und auf Grund des einfachen Algorithmus zu einer weiten Verbreitung dieser Verfahren geführt. Die Grundidee besteht darin, die mehrdimensionale Integration näherungsweise in eine Extremwertaufgabe zu überführen. Ziel der Rechnung ist dann nicht mehr die Versagenswahrscheinlichkeit bzw. das Volumen selbst, sondern der Sicherheitsindex β, ein für das Volumen repräsentatives Längenmaß. Der Sicherheitsindex ist der geringste Abstand zwischen Grenzzustandsgleichung und Koordina-tenursprung im Gaußnormalraum. In diesem Raum ist der Sicherheitsindex ein Maß für das durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und die Grenzzustandsgleichungen gebildete Volumen gemäß ( )fP β= Φ − . Im Gaußnormalraum folgt jede Zufallsvariable einer standardi-sierten Gaußnormalverteilungsdichtefunktion. Eine standardisierte Dichtefunktion hat den Mittelwert Null und die Standardabweichung Eins. Die grundlegende Annahme für dieses Verfahren ergibt sich aus der erforderlichen Bedingung der Transformierbarkeit jeder beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in eine Gaußnor-malverteilungsdichtefunktion. Zusätzlich wird angenommen, daß die Grenzzustandsgleichung näherungsweise liniearisiert werden kann. Aus dieser Linearisierung rührt auch der Name dieses Verfahrens: First Order Reliability Method (FORM).


Seite 112

0Sicherer Berei

ch βUnsicherer Bereich

y2

h y

yy

( ) = - -

= 0

β αα

1

2

1

2

y*1 = α1 β

y* 2 =

α

2β

u1

arccos α1

arccos α2

y1

Abb. 4-18: Darstellung des Sicherheitsindex, y steht für die transformierten und normierten Zufallsgrößen und h ist die Grenzzustandsgleichung im Normalraum Das Ergebnis dieser Rechnung ist aber nicht nur der kürzeste Abstand zwischen Koordinaten-ursprung und Grenzzustandsgleichung, sondern zusätzlich der Wert jeder Zufallsvariablen, unter der der geringste Abstand erreicht wird. In Abb. 4-18 werden diese Werte *

1y und *2y

genannt. Transformiert man diese Werte wieder in die Originaldichtefunktion, entsprechen sie denjenigen Werten der Zufallsgrößen, bei denen mit der höchsten Wahrscheinlichkeit das Ver-sagen eintritt. Diese Werte werden als Bemessungswerte bezeichnet. Diesen Begriff findet man auch in den Vorschriften. Interessant ist in einer vollprobabilistischen Rechnung aber, daß die Bemessungswerte von den statistischen Eigenschaften der anderen Zufallsgrößen abhängen. Diese Tatsache wiederum spiegelt sich nicht in den Vorschriften wieder und zeigt die in den Normen vorgenommenen Vereinfachungen.

4.3.2.1 Verfahren von RACKWITZ-FIEßLER Im folgenden wird das Verfahren von RACKWITZ-FIEßLER (entnommen SPAETHE [273]), wel-ches auch als Normal-Tail-Approximation bezeichnet wird, kurz beschrieben. Das Konzept dieses Verfahren läßt sich in wenigen Worten zusammenfassen: Transformation aller normal-verteilten und nichtnormalverteilten Zufallsvariablen in normierte normalverteilte Zufallsva-riablen, Transformation der Grenzzustandsgleichung und Extremwertsuche des kürzesten Abstandes zwischen dem Koordinatenursprung und der Grenzzustandsgleichung. Die Transformation in den standardisierten Raum von nichtnormalverteilten Zufallsvariablen erfolgt gemäß:

−= *

**

** 1)(

i

i

i

ix

xi

xix

mxxf

σϕ

σ,

(4-24)

−= *

*** )(

i

i

ix

xiix

mxxF

σΦ

(4-25)


Seite 113

mit *ix als Bemessungspunkt, *

ixm und *ixσ als Mittelwert bzw. Standardabweichung der

Normalverteilung, die als Näherung der Originalverteilung gewählt wurde. Eine Umformung nach diesen Größen ergibt:

)))((()(

1 *1*

*ix

ixx xF

xf i

i

i

−= Φϕσ (4-26)

))(( *1***ixxix xFxm

iii

−−= Φσ . (4-27)

Anschließend erfolgt die Iteration nach dem Verfahren von RACKWITZ-FIEßLER: 1. Setze den Iterationszähler auf k = 0 und wähle einen vorläufigen Bemessungspunkt )(k

ix 2. Rechne alle nicht normalverteilten Zufallsgrößen näherungsweise in normalverteilte Zu-fallsgrößen nach den folgenden Formeln für Mittelwert und Standardabweichung um:

*( ) 1 ( )( )

1 ( ( ( )))( )i i

i

k kx x ik

x i

F xf x

−σ = ϕ Φ (4-28)

*( ) ( ) ( ) 1 ( )( ( ))i i i

k k k kx i x x im x F x−= − σ Φ (4-29)

mit i = 1, 2, ..., m und m als Anzahl der Zufallsgrößen. 3. Berechne den zugehörigen Wert von )(k

ix im standardisierten Raum )(kiy

( ) *( )( )

*( )i

i

k ki xk

i kx

x my

−=

σ.

(4-30)

4. Berechne die Grenzzustandsgleichung und die Ableitungen der Grenzzustandsgleichung im Punkt )(k

iy . )x()y( )()( kk gh = (4-31)

( ) ( ) ( )

*( )

k k k

kii

i i i i

xh g gy x y x

= = =

∂∂ ∂ ∂= ⋅ = ⋅σ

∂ ∂ ∂ ∂y y x x x x

(4-32)

5. Berechne die Koeffizienten der Tangentialhyperebene an 0)y( =h im Punkt ( )ky .

( )

( )

( )1/ 22

1

k

k

iki

m

j j

hy

hy

=

= =

∂∂

α = ∂ ∂ ∑

y y

y y

(4-33)

( )

( )

( ) ( )

1( )1/ 22

1

( )k

k

mk k

jj jk

m

j j

hh y yy

hy

= =

= =

∂−∂

δ = ∂ ∂

∑

∑

y y

y y

(4-34)

6. Ein neuer Näherungswert für den Bemessungspunkt im Orginalraum kann wie folgt ge-schätzt werden:

( 1) *( ) *( ) *( ) ( )i i

k k k k ki x i xx m α σ δ+ = − ⋅ ⋅ (4-35)

mit i =1,2,...,m


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7. Prüfe, ob )()1( ki

ki xx ≈+ , wenn erfüllt, dann ist der Bemessungspunkt gefunden und für den

Sicherheitsindex gilt δβ = bei h(0) > 0. Ist die Bedingung nicht erfüllt, führe die Iteration mit Schritt 2 fort. Das vorgeschlagene Verfahren ist äußerst praktisch und ergibt recht genaue und schnelle Lö-sungen bei Verteilungen, die nicht allzu stark von der Normalverteilung abweichen und bei nicht zu stark gekrümmten Grenzzustandsgleichungen mit möglichst nur einem Bemessungs-punkt. Die große Verbreitung wahrscheinlichkeitstheoretischer Ansätze basiert zu einem nicht unbeträchtlichen Teil auf der theoretischen Arbeit zur FORM von HASOFER & LIND [119] und der hier vorgestellten algorithmischen Umsetzung von RACKWITZ und FIEßLER [86].

4.3.2.2 Andere Transformationen Daß eine Transformation von nicht normalverteilen Zufallsvariablen oder Variablen mit un-bekanntem Verteilungstyp auch anders erfolgen kann, soll im folgenden gezeigt werden. Zwischen zwei Verteilungsfunktionen, deren erste vier Momente identisch sind, herrscht in der Regel eine große Übereinstimmung (PENDOLA, HORNET, LEMAIRE & MOHAMED [226], TUNG [294]). Die ersten vier Momente werden im Anhang C vorgestellt. Eine Möglichkeit, die Informationen aus den ersten vier Momenten einer Grundgesamtheit für weitere Rechnun-gen zu erhalten, ist die sogenannte Normaltransformation der ursprünglichen Zufallsvariablen. Es gibt Normaltransformationen verschiedener Ordnung. Eine Normaltransformation dritter Ordnung kann wie folgt beschrieben werden:

33

2210 ZaZaZaaX +++= (4-36)

mit X als ursprüngliche Zufallsvariable, Z als standardnormalverteilte Variable und a0 bis a3 als Koeffizienten des Polynoms dritter Ordnung. Es ist natürlich wünschenswert, die Koeffi-zienten so zu wählen, daß sie eine optimale Anpassung der standardnormalverteilten Zufalls-variable an die ursprüngliche Zufallsvariable erlauben. Zur Wahl der Koeffizienten sind ver-schiedene Verfahren entwickelt wurden, die kurz vorgestellt werden sollen. Produkt–Momenten–Methode (PM) nach TUNG [294] Die vier Koeffizienten können ermittelt werden, indem die ersten vier Momente der ur-sprünglichen Zufallsvariable mit den ersten vier Momenten der transformierten Größe in Be-ziehung gesetzt werden. Nach mehreren Umformungen ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem:

0 2x a aµ = + (4-37)2 22

1 1 3 2 36 2 15x a a a a aσ = + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ (4-38)2 2

2 1 1 3 22 ( 24 105 2)x a a a a aγ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + (4-39)2 2 2 2 2

1 3 2 1 1 3 3 1 3 2 33 24 ( [1 28 ] [12 48 141 225 ])xk a a a a a a a a a a a= + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (4-40)

wobei µx dem Mittelwert, σx der Standardabweichung, γx der Schiefe und kx der Kurtosis der Zufallsvariablen X entspricht. Das Gleichungssystem hat eine Lösung, wenn gilt:

21,58837 1,8683x xk > ⋅ γ + (4-41)


Seite 115

Methode des Minimum der Summe der Fehlerquadrate (LS) nach TUNG [294] Man kann Gleichung (4–36) für den Fall von Einzelfraktilwerten umschreiben:

33

2210 pppp zazazaax +++= (4-42)

wobei xp und zp die p–ten Fraktilwerte der Zufallsgrößen sind. Sind mehr als 4 Fraktilwerte der ursprünglichen Zufallsvariable bekannt und werden die zugehörigen Fraktilwerte der standardnormalverteilten Zufallsvariable berechnet, kann man die Koeffizienten a0 bis a3 so wählen, daß die Summe der Fehlerquadrate der Differenzen der p–ten Fraktilwerte der ur-sprünglichen Zufallsgröße und der Transformation minimal wird. Das Hauptproblem hierbei liegt in der Frage, wieviel p–te Fraktilwerte ausreichend sind, um eine gute Annäherung für den gesamten Definitionsbereich von X zu erreichen. In [294] wird darauf hingewiesen, daß bei einer Anzahl von 9 Fraktilwerten und 19 Fraktilwerten praktisch keine Unterschiede mehr bei der Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten auftritt. Deshalb wird 9 als Mindestwert der Fraktilwerte (= Stützstellen) angenommen. FISHER–CORNISH (FC) Asymptotic Expension Methode nach TUNG [294] Wiederum basierend auf den ersten vier Momenten wird folgende Transformationsgleichung angegeben.

34

2343 )31(' pppp zhzhzhhx ++−+−= (4-43)

mit

x

xpp

xx

σµ−

='

63xh γ

=

243

4−

= xkh

(4-44)

Außerdem gibt es eine verbesserte Version für dieses Verfahren

2 33 4 3 4' (1 3 )p p p px kh k h z kh z kh z= + − + +% % % % % % % % (4-45)

mit

3 4 2 1 1,5( 3)x

x

hk

γ=

+ + −%

4

1 1,5( 3) 118

xkh

+ − −=%

24

23

~6~21

1~

hhk

++=

(4-46)

Für die verbesserte Variante wird 3/7>xk gefordert. Alle drei genannten Transformations-verfahren wurden in dem Programm Excel programmtechnisch umgesetzt. Vergleich der Verfahren TUNG [294] hat die hier genannten Verfahren in einer Parameterstudie mit log-normal-, gum-bel- und weibullverteilten Zufallsgrößen verglichen. Die Ergebnisse der Untersuchung lassen sich wie folgt zusammenfassen. Ist die Verteilung der ursprünglichen Zufallsgröße unbekannt,


Seite 116

zeigt die FC-Methode bei kleinen Stichprobenanzahlen die besten Ergebnisse. Mit steigender Stichprobenanzahl zeigt die LS-Methode die beste Qualität. Ist die Verteilung bekannt, zeigt die LS-Methode die besten Ergebnisse und die FC-Methode die schlechtesten. Die PM-Me-thode liegt immer in der Mitte. Die Anfälligkeit der LS Methode bei kleinen Stichprobenan-zahlen wurde z. B. auch schon von KASPERSKI & HOLMES [142] festgestellt. Die Transformation kann auch angewendet werden, um Aussagen über die Schwänze einer statistischen Größe anhand der vorhanden Stichproben zu schätzen. Auf Grund der Dominanz der Normal- und Log-Normalverteilungen bei den streuenden Größen bestand im nachhinein kein Bedarf für den Einsatz der hier vorgestellten Transformationen.

4.3.2.3 Hypersphere Division Method Einen Sonderfall der Extremwertsuche stellt die Hypersphere Division Method dar. Hierbei ver-sucht man nicht, durch eine analytische Extremwertsuche eine Lösung zu finden, sondern probiert systematisch den gesamten Lösungsbereich durch. Im Gegensatz zu einem Gitter bieten die Kugelkoordinaten aber den Einbau von a-priori Informationen in den Radius mit an. Deshalb werden bei dem Verfahren zuerst alle Zufallsgrößen in Kugelkoordinaten trans-formiert:

∏−

=

=1

11 cos

k

jjrx θ

(4-47)

11

cos sin = 2, 3, ..., -1; 3k i

i j k ij

x r i k k−

+ −=

= θ θ ≥

∏

(4-48)

1sinθrxk = (4-49)

= 1, 2, ..., -22 2j j kπ π

− ≤ θ ≤

πθ 20 1 ≤≤ −k ∞≤≤ r0

und man erhält die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die –dichtefunktion in Kugelkoordinaten

−= 2

2/ 21exp

)2(1)( rrf kR π

(4-50)

rrIrrfP kkkkk

Dk

Rf fd dd...dd cos...coscos),(...)(

2/

2/

2

012212

12

31

21

0

⋅⋅⋅= ∫ ∫∫−

−−−−−−

∞ π

π

π

θθθθθθθθ

(4-51) wobei gilt:

∉∈

=f

fD D

DXI

f X wenn0X wenn1

)( (4-52)

{ }1

( ( ) 0)m

f ll

D g X=

= ≤X U (4-53)

∫ ∫==f

f

D alleDf fIfP

X

Xd)X()X(Xd)X( (4-54)


Seite 117

Die Oberfläche der Grenzzustandsfunktion als Funktion von r wird berechnet nach / 2 2 1 / 2

1 2 3 11 2 2 1 2 2 1

/ 2 0

2( ) ... cos cos ... cos d d ...d d( / 2)

k kk k k

k k krS r r

k

π π −− − −

− − −−π

⋅ ⋅ π= θ ⋅ θ ⋅ ⋅ θ θ θ θ θ =

Γ∫ ∫ . (4-55)

Die Differenz der Versagenswahrscheinlichkeit bei einer Variation des Radius wird wie folgt ermittelt:

/ 2 21 2 3 1

1 2 2 1 2 2 1/ 2 0

( ) ( ) ... ( , ) cos cos ...cos d d ...d df

k k kf R D k k kP r f r r I r

π π− − −

− − −−π

∆ = ⋅ θ ⋅ θ θ θ θ θ θ θ∫ ∫ (4-56)

An dieser Stelle wird eine Unterteilung der Winkel mit konstanter Schrittweite αj mit

1, 2, ..., 1j k= − für alle Zufallsvariablen eingeführt. Damit setzt sich die Oberfläche der Grenzzustandsgleichung aus Teilflächen zusammen (Abb. 4-19):

2 2 1 11 1 2 2

1 1 2 2 2 2 1 1

( 1) ( 1)( 1) ( 1)2 3 1 1

1 1 2 2 2 2 1cos d cos d ... cos d (cos ) dk k k k

k k k k

j jj jk k

i k k kj j j j

s− − − −

− − − −

+ ⋅α + ⋅α+ ⋅α + ⋅α− −

− − −α α α α

= θ θ θ θ θ θ θ θ∫ ∫ ∫ ∫

(4-57)

α2

2α2

j2α2

j2+1α2

j1+1α1

j1α1

α1

2α1

Einheits-Hypersphere

- /2π

π/2

- /2 /2π ≤ Θ ≤ πl

≤ Θ ≤ 2π2

{(j +1) ,j }2 2 2 2α α {(j +1) ,(j +1) }1 1 2 2α α

{j ,(j +1) }1 2 2 2α α{j ,j }2 2 2 2α α

Si

Θ Θ Θ=( , )1 2

0

Abb. 4-19: Darstellung der Teilflächen Summiert man diese Teilstücke, erhält man die Fläche der Grenzzustandsgleichung für den Wert r mit

∑=

=cN

iisS

1

)1( . (4-58)

Die Anzahl der Unterteilungen mj von 1, 2, ..., 1j k= − , die Schrittweite der Winkel der jeweiligen Zufallsvariablen αj mit 1, 2, ..., 1j k= − und die Anzahl der Teilflächen Nc sind wie folgt verknüpft.


Seite 118

=1,2,..., -2jj

j kmπ

α = (4-59)

11

2k

km−−

⋅ πα =

(4-60)

1

1

k

c jj

N m−

=

= ∏ . (4-61)

Die jeweilige Versagenswahrscheinlichkeit, die zu einem solchen Flächenelement bei kon-stantem Radius gehört, ist

1( , ) ( ) ( , )f

kf i R D i iP r f r r I r s−∆ Θ = ⋅ Θ ⋅ (4-62)

mit Θi die jeweiligen Koordinaten des i-ten Elementes und 1, 2, ..., ci N= . Es gilt damit näherungsweise:

/ 2 21 2 3 1

1 2 2 1 2 2 1/ 2 0

1

1

( ) ( ) ... ( , ) cos cos ...cos d d ...d d

( ) ( , ) .

f

c

f

k k kf R D k k k

Nk

R D i ii

P r f r r I r

f r r I r s

π π− − −

− − −−π

−

=

∆ = ⋅ θ ⋅ θ θ θ θ θ θ θ

≈ ⋅ ⋅ Θ ⋅

∫ ∫

∑

(4-63)

Anschließend muß nur noch über den Radius integriert werden, um die Gesamtversagens-wahrscheinlichkeit zu ermitteln. Es erscheint jedoch sinnvoll, diese Integration nur über einen bestimmten Bereich durchzuführen, denn obwohl der Radius von 0 bis ∞ definiert ist, wird nur ein begrenzter Bereich für baupraktische Belange von Bedeutung sein und muß untersucht werden. Im standardisierten Raum würde eine Integration im Bereich r < β keinen Beitrag zur Versagenswahrscheinlichkeit leisten. Die Möglichkeit der geschickten Wahl der Grenzen von r und die Tatsache, daß mehrere Grenzzustandsgleichungen gleichzeitig berücksichtigt wer-den können, bilden die Vorteile dieses Verfahrens (Abb. 4-20). Durch eine Einführung sinn-voller Grenzen RL und RU für den Radius erhält man:

0

( )d ( )dU

L

R

f f fR

P P r r P r r∞

= ∆ ≈ ∆∫ ∫ , (4-64)

und um eine Integration zu vermeiden, wird anstelle des Integrales wieder eine Summe einge-führt

{ }11

1 1 1 ( )d ( ) ( , )

w w c

f

N N Nk

f f R l l D l i il l i

P P r r f r r I r s wη

η

+−

= = =≈ ∆ ≈ ⋅ ⋅ Θ ⋅ ⋅∑ ∑ ∑∫

(4-65)

mit w als konstante Schrittweite des Radius r bei der Summation. Diese Ausführungen wurden überwiegend YONEZAWA, PARK, & OKUDA [336] entnommen. Das Verfahren wurde nicht für die Untersuchung der Brücken verwendet, da der Aufwand der Abtastung der Grenzzustandsgleichung in Verbindung mit den FEM-Rechung zu groß wird. Eine Abtastung der Antwort-Fläche mit diesem Verfahren ist möglich, aber bei der verwen-deten quadratischen Antwort-Fläche erscheinen insbesondere die im folgenden zu behandeln-den SORM-Algorithmen ausreichend genau.


Seite 119

rl

Versagens-bereich: Pf

Hypersphere mit Radius rl

si

Einheits-Hypersphere

Sicherer Bereich

f (r )r sR l l ik-1

[r , ]l iΘ

rl 0R

Wahrscheinlichkeits-dichtefunktion

fR(r)

fR l(r )

Abb. 4-20: Systematische Darstellung der Absuche im Kugelraum

4.3.3 SORM-Verfahren

4.3.3.1 Verfahren von BREITUNG Bei den FORM-Algorithmen wurde davon ausgegangen, daß die Krümmung der Grenzzu-standsgleichung vernachlässigbar gering ist. Man kann aber versuchen, die Krümmung der Grenzzustandsgleichung in die Ermittlung des Sicherheitsindex mit einfließen zu lassen. Da-durch erzielt man u. U. eine höhere Genauigkeit des Sicherheitsindex im Vergleich zur FORM-Rechnung. Das Verfahren von BREITUNG zur Berücksichtigung der Krümmung der Grenzzustandsgleichung wird in diesem Abschnitt vorgestellt. Die Näherung der Grenzzustandsgleichung wird dann wie folgt beschrieben:

0)yy(B)yy(21)y()yy()y()y( ***** =−⋅⋅−+∇⋅−+= y

TT hhh (4-66)

By ist die Matrix der zweiten und gemischten Ableitungen von h(y) im standardisierten Raum am Bemessungspunkt. BREITUNG nähert die Versagenswahrscheinlichkeit mit folgender For-mel:

11/ 2

1

( ) (1 )m

f ii

P a−

−

=

= Φ −β − β ⋅∏ (4-67)


Seite 120

mit ai und i = 1, 2, ..., m - 1 als Hauptkrümmungen von h im Bemessungspunkt im standardi-sierten Raum. Die Ermittlung der Hauptkrümmungen ist das eigentliche Problem dieses Ver-fahrens und gestaltet sich wie folgt. Um die Hauptkrümmungen zu ermitteln, wird eine Drehung des Koordinatensystems notwen-dig. Zur Durchführung dieser Drehung benötigt man eine Matrix, die mittels des SCHMIDT’schen Orthogonalisierungsverfahrens bestimmt werden kann. Es gelte

uDy ⋅= (4-68)bzw. für die neuen Koordinaten im gedrehten System

yDu ⋅= T . (4-69)Für die Matrix gelte:

Tm )d,...,d,d(D 21= (4-70)

mit α=1d und k

kk f

f=d , wobei ∑

−

=

−=1

1

d)de(ek

lll

Tkkkf 2, 3, ...,k m= und ek = k-ter

Einheitsvektor. Im neuen System gilt dann

* * ( ,0,0,...,0) T T= = βu D y (4-71)und

1

,0,0,...,0 T

uu

gg hu

∂∇ = ⋅∇ = ∂

D (4-72)

0)u( * =ug , DBDB yT

u = (4-73)

und damit wird der Tayloransatz zu * * *

1 11

1( ) ( ) ( ) 0 2

Tuu

gu uu

∂− ⋅ + − ⋅ ⋅ − =

∂u u B u u .

(4-74)

Die Hauptkrümmungen sind die Wurzeln der Gleichung

1

ˆdet 0

/u

u

ag u

− ⋅ = ∂ ∂

B I . (4-75)

uB̂ ist die Matrix der zweiten und gemischten Ableitungen und wird aus uB durch Streichen der ersten Zeile und ersten Spalte erstellt. I ist die Einheitsmatrix. Die Näherung von BREITUNG gibt gute Ergebnisse, wenn die Krümmungen klein und der Si-cherheitsindex groß ist. Das Verfahren wurde SPAETHE [273] entnommen.

4.3.3.2 TVEDT’S Korrektur für BREITUNG (aus KÖYLÜOGLU & NIELSEN [153]) Die Näherung der Versagenswahrscheinlichkeit erfolgt durch drei Terme (4-77). Zwei Terme können als Korrektur für das Verfahren von BREITUNG interpretiert werden. Damit ist das Verfahren von TVEDT eine Erweitung des Verfahrens von Breitung. Dieses Verfahren wurde nur probeweise in die Berechnungen integriert und ist nicht Bestandteil der beispielhaft im Anhang dargestellten Berechnungsergebnisse. Der Rechenablauf gliedert sich wie folgt, wo-bei die Hauptkrümmungen ai wieder bereitgestellt werden müssen:


Seite 121

fP−= 1γ (4-76)

)(1 321 AAA ++−=γ mit (4-77)1

1/ 21

1

( ) (1 )n

jj

A a−

−

=

= Φ −β + β∏ (4-78)

1 11/ 2 1/ 2

21 1

[ ( ) ( )] (1 ) (1 ( 1) )n n

j jj j

A a a− −

− −

= =

= βΦ −β − ϕ β ⋅ + β − + β +

∏ ∏

(4-79)

1 11/ 2 1/ 2

31 1

( 1)[ ( ) ( )] (1 ) Re (1 ( i) )n n

j jj j

A a a− −

− −

= =

= β + βΦ −β − ϕ β ⋅ + β − + β + ∏ ∏

(4-80)

Das Verfahren von TVEDT liefert im Gegensatz zum Verfahren von BREITUNG nicht nur gute Ergebnisse bei großen, sondern bereits bei mittelgroßen Sicherheitsindizes. Bei kleinen Si-cherheitsindizes reichen die beiden Korrekturterme nicht aus, eine ausreichend hohe Genau-igkeit des Sicherheitsindex zu gewährleisten [153]. Das gleiche gilt für negative Krümmun-gen. Aus diesem Grund hat TVEDT das Verfahren weiterentwickelt.

4.3.3.3 Exaktes Verfahren nach TVEDT (aus KÖYLÜOGLU & NIELSEN [153]) Für paraboloide Grenzzustandsgleichungen ergibt die folgende Formel exakte Ergebnisse. Die Krümmung darf positiv oder negativ sein, auch der Sicherheitsindex darf beliebige Werte annehmen:

fP−= 1γ (4-81)21

12 2 1/ 410

1

1 1 exp( 1/ 2 )0,5 sin arctan( ) d2 (1 )

n

j nj

jj

aa

∞ −

−=

=

− θγ = + βθ + θ θ π θ + θ

∑∫∏

(4-82)

Der Nachteil dieses Verfahrens ist die erforderliche numerische Lösung des Integrales. Des-halb wurden weitere SORM Verfahren entwickelt.

4.3.3.4 Verfahren von KÖYLÜOGLU & NIELSEN [153] KÖYLÜOGLU & NIELSEN [153] stellten das folgende Verfahren vor. Ausgangspunkt für ihre Überlegungen war die Tatsache, daß die meisten SORM Verfahren bei einem kleinen Sicher-heitsindex nicht funktionieren, z. B. BREITUNG oder TVEDT’S Korrektur für BREITUNG. Gemäß der üblichen Formel für SORM-Integrale

fP−= 1γ (4-83) und unter der Annahme, daß alle Krümmungen ai positiv sind, geben KÖYLÜOGLU & NIELSEN folgende Formel an:


Seite 122

1

1 0,1

2 21 1 1

1,1 2,11 1 10,1 0,1 0,1

31 1

3,11 10,1 0,1

11 ( )1 /

1 1 1 22 1 / 4 1 / 1 /

1 28 1 / 1 /

n

j j

n n nk k k

k k kk k k

n nk k

k kk k

a c

a a ac ca c a c a c

a aca c a c

−

=

− − −

= = =

− −

= =

γ = − Φ −β+

⋅ + + + + + + + + + +

∏

∑ ∑ ∑

∑ ∑2

1

1 0,1

31

1 0,1

1 /

+12 + 1 /

nk

k k

nk

k k

aa c

aa c

−

=

−

=

+

+

∑

∑ K

(4-84)

Für ausschließlich negative Krümmungen ai ergibt sich: 1

1 0,2

2 21 1 1

1,2 2,21 1 10,2 0,2 0,2

31 1

3,21 10,2 0,2

11 ( )1 /

1 1 1 22 1 / 4 1 / 1 /

1 28 1 / 1 /

n

j j

n n nk k k

k k kk k k

n nk k

k kk k

a c

a a ac ca c a c a c

a aca c a c

−

=

− − −

= = =

− −

= =

γ = − Φ +β−

⋅ + + + − − + + + + +

∏

∑ ∑ ∑

∑ ∑2

1

1 0,2

31

1 0,2

1 /

+12 + 1 /

nk

k k

nk

k k

aa c

aa c

−

=

−

=

+

+

∑

∑ K

(4-85)

Die generalisierte Form für positive und negative Krümmungen ai der Grenzzustandsgleichung lautet gemäß KÖYLÜOGLU & NIELSEN wie folgt:

1 1

1,20,20,2

1 1

1,11 0,10,1

1

1,11 0,10,1

1 1( ) ( ) 12 1 /1 /

1 1 1 12 1 /1 /

1 1 ( ) 12 1 /1 /

n nk

j m k m kj

m mk

j k m kj

mk

k kj

ada ca d

aca ca c

ada ca d

− −

= =

− −

= =

−

=

γ = Φ β + Φ −β + + −− ⋅ − + + ++

− Φ β + + ++

∏ ∑

∏ ∑

∑

K

K

K1

1

1 1

1,21 0,20,2

1 1 1 12 1 /1 /

m

j

n nk

j m k kj

aca ca c

−

=

− −

= =

⋅ − + + −−

∏

∏ ∑ K

(4-86)

In Abhängigkeit davon, wann die Terme abgebrochen werden, ergeben sich verschiedene Nä-herungsansätze. Bei einer Ein-Term-Näherung für positive Krümmungen wird der Koeffizient zu

0,1( )( )

c Φ −β=

ϕ β,

(4-87)

und 01,21,1 === Kcc und bei einer Zwei-Term-Näherung zu


Seite 123

0,1( ) 1( ) 1 1 ( ) / ( )

c Φ −β

= ϕ β + − βΦ −β ϕ β

, (4-88)

1,1( ) ( )1( ) ( )

c ϕ β βΦ −β= −

Φ −β ϕ β

(4-89)

und 01,31,2 === Kcc . Bei drei Termen ergeben sich die Koeffizienten zu:

1,10,1

1 ( )( )

cc

ϕ β− =

Φ −β,

(4-90)

1,12,12

0,1 0,1

1 ( )2 2( )

cc

c cβϕ β

− + =Φ −β

, (4-91)

21,1 2,1

3 20,1 0,1 0,1

1 ( 1) ( )3 6( )

c cc c c

β − ϕ β− + =

Φ −β

(4-92)

und 01,41,3 === Kcc . Diese drei Gleichungen können zu einer kubischen Gleichung mit mindestens einer positiven reellen Lösung umgeformt werden. Diejenige Lösung für c0,1, die kleiner als

0,1( ) 1( ) 1 1 ( ) / ( )

c Φ −β

= ϕ β + − βΦ −β ϕ β

(4-93)

ist, sollte verwendet werden. Für die andere Krümmung ergeben sich bei einer Ein-Term-Näherung die Koeffizienten zu:

0,2( )( )

c Φ β=

ϕ β

(4-94)

und 02,22,1 === Kcc , bei einer Zwei-Term-Näherung zu

0,2( ) 1( ) 1 1 ( ) / ( )

c Φ β

= ϕ β + + βΦ β ϕ β

(4-95)

1,2( ) ( )1( ) ( )

c −ϕ β βΦ β= +

Φ β ϕ β,

(4-96)

und 02,32,2 === Kcc , und bei einer Drei-Term-Näherung zu

1,20,2

1 ( )( )

cc

ϕ β+ =

Φ β,

(4-97)

1,22,22

0,2 0,2

1 ( )2 2( )

cc

c cβϕ β

+ + = −Φ β

, (4-98)

21,2 2,2

3 20,2 0,2 0,2

1 ( 1) ( )3 6( )

c cc c c

β − ϕ β+ + =

Φ −β

(4-99)

und 02,42,3 === Kcc . Diese drei Gleichungen können zu einer kubischen Gleichung mit mindestens einer positiven reellen Lösung umgeformt werden. Diejenige Lösung für c0,2, die kleiner als


Seite 124

0,2( ) 1( ) 1 1 ( ) / ( )

c Φ β

= ϕ β + − βΦ β ϕ β

, (4-100)

ist, sollte verwendet werden. Bei einer Näherung der d-Terme durch eine Ein-Term Formulierung erhält man:

1,01,0 2cd = , 2,02,0 2cd = und 01,21,1 === Kdd und 02,22,1 === Kdd . In der Berechnung der Brücken wurde diese Näherung des d-Terms und eine Ein-Term bzw. eine Drei-Term-Formulierung für die c-Faktoren gewählt und umgesetzt.

4.3.3.5 Verfahren von CAI & ELISHAKOFF [37] CAI & ELISHAKOFF [37] nennen die gleiche Kritik wie KÖYLÜOGLU & NIELSEN [153] an BREITUNGS Verfahren. Sie teilen das ursprüngliche SORM-Integral in zwei Teile und nähern die Funktion dann durch eine TAYLOR-Reihe an. Das Verfahren von CAI & ELISHAKOFF [37] ist relativ einfach zu handhaben:

2

1 2 31( ) exp ( )

22fP D D D β= Φ β + − + + + π

K . (4-101)

Die einzelnen Glieder der TAYLOR-Reihe werden wie folgt ermittelt: 1 j

j

D = λ∑ (4-102)

22

1 32 j j k

j j k

D≠

= − β ⋅ λ + λ λ

∑ ∑

(4-103)

2 3 23

1 ( 1) 15 96 j j k j k l

j j k j k l

D≠ ≠ ≠

= β − ⋅ λ + ⋅ λ λ + λ λ λ

∑ ∑ ∑ .

(4-104)

Basis für die Berechnung sind wiederrum die Hauptkrümmungen, die allerdings schon bei der SORM-Berechnung mittels BREITUNGS Verfahren bereitgestellt worden waren:

2j ja = − λ . (4-105)

4.3.3.6 Wertung der SORM-Verfahren Nach ZHAO & ONO [338] kann man die Aussagen zur Genauigkeit der SORM-Verfahren zu-sammenfassen: • Alle SORM-Verfahren zeigen eine Abhängigkeit der Lösung von der Anzahl der Variablen

und dem durch FORM ermittelten und bereitgestellten Sicherheitsindex. • Alle SORM-Verfahren bringen hinreichende Näherungen bei großen Radien (kleine Krüm-

mungen) und einer kleinen Anzahl von Variablen. • Für Grenzzustandsgleichungen mit Krümmungen, die unterschiedliche Vorzeichen besit-

zen, zeigen alle Verfahren beachtliche Fehler. Für positive Krümmungen und wenige Variablen erbringen BREITUNG’s Formel und TVEDT’s Formel gute Ergebnisse. CAI & ELISHAKOFF’s Ansatz erbringt bei positiven Krümmungen nur gute Ergebnisse, wenn der Sicherheitsindex der mit FORM ermittelt wurde, nicht zu groß ist. CAI & ELISHAKOFF’s Vorschlag erbringt immer gute Ergebnisse bei negativen Krümmungen.


Seite 125

4.3.4 Monte-Carlo-Simulation Die Monte-Carlo-Simulation ist im Gegensatz zu den bisher behandelten Extremwertverfah-ren ein Integrationsverfahren. Der Name dieses Verfahrens unterstellt eine gewisse Universa-lität und legt nahe, daß auch eine Anwendung in anderen Bereichen des Lebens als nur Bau-wesen möglich ist. Das Prinzip dieses Verfahrens folgt dem Motto des wahllosen Probierens. Die einzige Bedingung besteht in der Qualitätsanforderung an die Realisierung von wahllos. Dazu verwendet man Zufallszahlengeneratoren, die sogenannte Pseudo-Zufallszahlen erstel-len. Solche Generatoren sind bereits in viele Programme integriert und in umfangreichem Maße in der Literatur dokumentiert [212]. Der große Vorteil dieses Verfahrens ist in der unkomplizierten Anwendung zu sehen. Mathematisch wird das Verfahren wie folgt beschrie-ben:

Nff

VfVdVf22

−

±≈∫ . (4-106)

V entspricht dem Volumen. Die eckigen Klammern entsprechen dem arithmetischen Mittel-wert der Funktion über die Anzahl N der Stichproben:

∑∑==

≡≡N

ii

N

ii xf

Nfxf

Nf

1

22

1

)(1 )(1 . (4-107)

Der “plus-minus”-Term stellt hierbei den Ein-Standardabweichungs-Fehlerschätzer unter An-nahme eines normalverteilten Fehlers des Integrals dar [212]. Ein großer Vorteil der Monte-Carlo-Simulation wird hier bereits deutlich. Der Fehler ist unabhängig von der Anzahl der Dimensionen, also der Anzahl der veränderlichen Eingangsgrößen (der Zufallsvariablen). Der Ablauf gestaltet sich wie folgt: Prüfe unter zufälliger Variation der Eingangsgrößen, ob die Grenzzustandsgleichung eingehalten ist, erfasse die Anzahl der Fälle, in denen die Struk-tur versagt und setze sie ins Verhältnis zur Gesamtanzahl der Rechnungen. Das Ergebnis ist die Versagenswahrscheinlichkeit der Struktur. Solche Rechnungen lassen sich relativ einfach in viele FEM-Programme einbinden, die eine eigene Programmiersprache beinhalten, wie z. B. Sofistik, DIE oder ANSYS. Die erforderliche Stichprobenanzahl für eine ausreichende Genauigkeit der Monte-Carlo-Si-mulation kann nach verschiedenen Verfahren abgeschätzt werden. Im folgenden seien zwei Beispiele nach FLEDERER [90] genannt:

2

(1 )11

f ferf

P Pn

Pε

−= ⋅

− ε bzw. 2

(1 )f ferf

P Pn kε

−= ⋅

ε

(4-108)

mit Pε als Signifikanzniveau, ε als Konfidenz (statistischer Fehler) und kε als ein Faktor. Gerade bei den im Bauwesen üblichen geringen Versagenswahrscheinlichkeiten werden da-durch erhebliche Stichprobenumfänge notwendig. Als Beispiel (nach MACKE [174]) soll eine Versagenswahrscheinlichkeit von 10-6 mit einem statistischen Fehler von ε ≤ 50% errechnet werden. Der erforderliche Stichprobenumfang beträgt 4 × 106. Wenn ein statistischer Fehler von ε ≤ 10% gefordert wird, so muß die Stichprobenanzahl bereits 108 betragen. Die hohen erforderlichen Stichprobenanzahlen führen insbesondere bei komplexen mechani-schen Modellen wie sie die strukturmechanische Beschreibung der beiden Brücken bei einem Anprall darstellt, zu einer Rechenzeit, die den praktischen Einsatz des Verfahrens fraglich erscheinen läßt. Um diesen Nachteil zumindest teilweise auszuschalten, sind verschiedene


Seite 126

Verfahren entwickelt worden, die zusätzliche a-priori-Informationen in die Berechnung ein-fließen lassen. Eine Möglichkeit stellt die Varianzreduktion der Lösung durch eine Transfor-mation der Verteilungen in den Bereich des erwarteten Versagens dar. Damit wird klar, daß für diese Lösung eine grobe Schätzung des Lösungsbereiches bekannt sein muß. Die Trans-formation wird im folgenden erläutert.

4.3.4.1 Stichprobenreduzierte Monte-Carlo-Simulation Das ursprüngliche mehrdimensionale Integral zur Bestimmung der Versagenswahrscheinlich-keit, welches

∫ ∫<

=0

xd)x(...g

xf fP (4-109)

lautete, wird durch die Einführung einer Indikator- oder Wichtungsfunktion auf den gesamten Definitionsbereich erweitert, also ∫ ∫=

x alle

xd)x()(... xf fxIP , wobei für I(x) gelten soll:

≥<

=0)x(00)x(1

)x(gg

I . (4-110)

Erweitert man das neue Integral um eine passende Verteilungsdichte hv(v) zu

alle x

( )... ( ) ( )d( )

xf v

v

fP I hh

= ∫ ∫vv v vv

, (4-111)

kann man eine erwartungstreue Schätzung für die Versagenswahrscheinlichkeit mit folgender Formel ermitteln

1

1 ( )ˆ ( )( )

cmx n

f nnc v n

fP Im h=

= ∑ vvv

. (4-112)

Auch die Varianz der Schätzung kann angeben werden:

2

2

1

1 1 ( )ˆ ˆVar[ ] ( )1 ( )

cmx n

f n fnc c v n

fP I Pm m h=

= − −

∑vvv

. (4-113)

Das Problem bei diesem Verfahren liegt in der Wahl der passenden Verteilungsdichtefunktion hv(v). Hat man eine ungefähre Vorstellung über die mögliche Lage der Bemessungspunkte, kann man damit hv(v) wählen. Dann erhält man bei der Rechnung einfach mehr erfolgreiche Stichproben und kann damit die erforderliche Anzahl der Stichproben teilweise drastisch verringern. Dieses Verfahren wird als Importance Sampling (SPAETHE [273], SONG [271], MAES, BREITUNG & DUPUIS [175], IBRAHIM [129]) bezeichnet. Man kann sich auch vorstel-len, die Dichte hv(v) dynamisch nach jeder Stichprobe neu anzupassen und von den bisher ermittelten Ergebnissen abhängig zu gestalten. Dieses Verfahren wird als Adaptive Sampling bezeichnet (BUCHER [22], MORI & ELLINGWOOD [195]). Weitere Verfahren zur Verringerung des Rechenaufwandes bei der Monte-Carlo-Simulation seien nur am Rande erwähnt, wie z. B. Stratified Sampling, Recursive Stratified Sampling, Antithetic Variances oder das Latin Hypercube Verfahren.


Seite 127

4.3.4.2 Quasi-Zufallszahlen Dieser Abschnitt widmet sich einem weiteren Ansatz: Für die Monte-Carlo-Simulation werden i.d.R. Pseudo-Zufallszahlen verwendet. Ziel bei der Berechnung derartiger Zahlen ist ein möglichst hohes Maß an Zufälligkeit, um die Bedingung des wahllosen Probierens zu erfül-len. Diese Forderung führt aber auch dazu, daß diese Zahlen zufällig verdichtete Gruppierun-gen bilden können (siehe z. B. Abb. 4-21). Geschickter wäre es, die Zahlen so gleichverteilt wie möglich zu erzeugen. Ein regelmäßiges Gitter erfüllt diesen Anspruch ideal, aber der Aufwand wächst exponentiell mit der Anzahl der Dimensionen, weshalb die numerische Inte-gration mehrdimensionaler Integrale, z. B. mittels SIMPSON- oder Trapezregel praktisch nicht mehr durchführbar ist. Dies ist auch einer der Gründe, warum die in den vorangegangenen Abschnitten behandelten FORM- und SORM-Verfahren entwickelt wurden. Außerdem müßte im voraus die Genauigkeit des notwendigen Gitters bekannt sein. Optimal wäre ein Verfahren, welches nicht den exponential wachsenden Aufwand eines Git-ters besitzt, aber die Gruppenbildung üblicher Pseudo-Zufallzahlen vermeidet und eine suk-zessive gleichmäßige Füllung des Raumes erlaubt. Eine Lösung dieses Problems gelingt mit sogenannten Quasi-Zufallszahlen. Der Begriff Quasi-Zufallszahlen ist irreführend, denn es handelt sich um einen klar definierten Mechanismus zur Erstellung der Zahlen. Das Kriterium beim Erzeugen der Zahlen ist das maximale Ausweichen der zugehörigen Punkte im d-dimen-sionalen Raum voreinander. Die Zahlen sind bei gleicher Anzahl der Dimensionen entspre-chend dem angewandten Verfahren bei jeder Realisierung identisch. Um das zu verdeutlichen, sind im Anhang C Quasi-Zufallszahlen nach dem Verfahren von FAURE für drei Dimensionen in Tab. 11-4 aufgelistet. Die Zahlen wurden mit dem in [4] vorgestellten Programm errechnet. Abb. 4-21 erlaubt den Vergleich der Füllung einer quadratischen Fläche mit Pseudo- und Quasi-Zufallspunkten. Deutlich erkennbar ist die wesentlich homogenere Füllung in den lin-ken Bildern durch die Quasi-Zufallspunkte. Es existieren verschiedene Verfahren, die natürlich zu unterschiedlichen Lösungen führen. Einige Verfahren zum Erzeugen von Quasi-Zufallszahlen seien kurz nach ihren Entwicklern genannt: HAMMERSLEY, HALTON, VAN DER CORPUT, SOBOL, FAURE, NIEDERREITER, WEYL. Fehlerbeurteilung Um den Vorteil bei der Verwendung von Quasi-Zufallszahlen abzuschätzen, wird im folgen-den auf die Fehlerbeurteilung der Monte-Carlo-Simulation mit Quasi-Zufallszahlen eingegan-gen. Der Fehler bei der Integration hängt von zwei Eigenschaften ab: • der Punkteverteilung der Stichproben • dem Änderungsverhalten der Funktion. Für das Änderungsverhalten von Funktionen wurde die Variation der Funktion eingeführt. Es gibt z. B. die sogenannte VITALI-Variation oder die HARDY-KRAUSE-Variation V( f ). Die Verteilung der Punkte kann durch den Begriff der Diskrepanz beschrieben werden. Die Dis-krepanz ist ein Maß für die Abweichung einer Folge von Zahlen von der Gleichmäßigkeit. Mathematisch wird die Diskrepanz von n Punkten x1, ..., xn ∈ [0,1)d, d ≥ 1 wie folgt beschrie-ben:

( ) ( ; )sup ( ) = − λdn

E

A E nD En

, (4-114)


Seite 128

wobei das Maximum über alle Untergruppen von [0,1)d der Form E = [0,t1 ] ×···× [0,td ], 0 ≤ tj ≤ 1, 1 ≤ j ≤ d bestimmt wird. λ ist das LEBESGUE Maß, A (E ;n ) ist die Anzahl der Punkte xj, die in der Untergruppe E liegen (PAPAGEORGIOU & TRAUB [221] & [222], PASKOV [224], SLOAN & WOŹNIAKOWSKI [268]). Das bedeutet nichts anderes, als daß Teilvolumen ausgezählt werden und die Anzahl der Punkte im Verhältnis zum Teilvolumen ermittelt wird. Liegt dieser Wert nahe am Verhältnis aller Punkte zum Gesamtvolumen, weisen die Punkte eine niedrige Diskrepanz auf, weshalb die Quasi-Zufallszahlen auch als Low Discrepancy Numbers bezeichnet werden.

Verteilung v. 100 Quasi-Zufallszahlen in [0; 1)2 Verteilung v. 100 Pseudo-Zufallszahlen in [0; 1)2

Verteilung v. 1000 Quasi-Zufallszahlen in [0; 1)2 Verteilung v. 1000 Pseudo-Zufallszahlen in [0; 1)2

Abb. 4-21: Darstellung zweidimensionaler Quasi- und Pseudo-Zufallszahlen

Mit dem Maß der Variation der Funktion und der Diskrepanz kann eine obere Schranke für den Fehler bei der Verwendung von Quasi-Zufallszahlen bei der mehrdimensionalen Integra-tion angegeben werden. Diese Schranke ist als KOKSMA-HLAWKA-Ungleichung (PAPAGEOR-GIOU & TRAUB [221] & [222], PAKOV [224], SLOAN & WOŹNIAKOWSKI [268]) bekannt:

( )

1

1 ( ) ( ) ( )=

− ≤ ⋅∑∫n

di n

i

f x dx f x V f Dn

. (4-115)

Dieser theoretische Hintergrund erlaubt die Abschätzung des Fehlerterms für Quasi-Zufalls-zahlen mit (log n)d/n. In der Tab. 4-6 ist die Abnahme des Fehlerterms anhand verschiedener


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Verfahren und basierend auf empirischen Beispielen aus der Literatur in Abhängigkeit von den Dimensionen zusammengefaßt. Dabei ist n der Stichprobenumfang. Je größer der Betrag des Exponenten, um so effektiver ist das Verfahren. Fehlerterm Pseudo-Zufallszahlen theoretisch n-0,5 Quasi-Zufallszahlen theoretisch (log n)d/n Quasi-Zufallszahlen nach HAMMERSLEY theoretisch (log n)d-1/n Gitter theoretisch n-1/d Quasi mit 15 Dimensionen (Beispiel) theoretisch (log n)15/n Gitter mit 15 Dimensionen (Beispiel) theoretisch n-1/15 = -0,067 Quasi-Zufallszahlen nach [222] empirisch n-0,82 Quasi-Zufallszahlen nach [212] empirisch n-0,67 Quasi-Zufallszahlen nach [90] empirisch n-0,80 Quasi-Zufallszahlen nach [221] empirisch n-1,00

Tab. 4-6: Zusammenfassung von theoretischen und empirischen Fehlertermen Der theoretische Fehlerterm der Quasi-Zufallszahlen verspricht nur in geringen Dimensions-zahlen einen Vorteil. Bei hohen Dimensionen tritt der gleiche Effekt wie bei einem Gitter auf, das heißt der Vorteil geht verloren. Das ist nicht verwunderlich, da Quasi-Zufallszahlen nichts anderes als ein optimales Gitter für eine allmähliche Füllung des Raumes darstellen. Der theoretische Grenzwert für die Dimensionen basierend auf der KOKSMA-HLAWKA-Un-gleichung liegt etwa bei 12-15 (siehe Tab. 4-7). Tatsächlich erreichten verschiedene Autoren aber empirische Fehlerterme um die Ordnung n-0,80 bei Dimensionen bis 30, teilweise sogar bis 100. Das entspricht auf der sicheren Seite liegend einer Einsparung von 80 % (4/5) der erforderlichen Rechenzeit (FLEDERER [90]). Diese guten Konvergenzwerte bei hohen Dimen-sionen waren nicht mehr durch die klassische Theorie zu beschreiben. 1997 gelang SLOAN und WOZNIAKOWSKI [268] der theoretische Beweis, daß für verschiedene Klassen von (Grenz-zustands-)Funktionen in der Tat nur eine schwache Abhängigkeit des Monte-Carlo-Integrati-onsfehlers von der Dimension existiert. Die Größenordnung des Fehlers liegt im Bereich C·n-2 … C·n-1. Der Beweis, daß die Lösungen, die von FEM-Berechnungen gebildet werden, zu diesen Klassen von Funktionen gehören, wurde bisher nicht erbracht. Empirisch gewinnt man jedoch den Eindruck, daß FEM-Berechnungen zu den genannten Klassen gehören. Empfehlung der maximalen Dimension Quelle d < 12 (Zusammengefaßte Quellen durch ... [221] d ≤ 15 (Zusammengefaßte Quellen durch ... [255] d ≤ 30 [224] d ≤ 30 [90] d ≤ 30 [268] d < 100 [246] d < 100 (Untersuchungen durch ... [221] d ≤ 360 (Untersuchungen durch ... [224]

Tab. 4-7: Empfehlung für die Dimensionsanzahl, bis zu welcher Quasi-Zufallszahlen vorteil-haft sind

Damit ergibt sich ein Anwendungsgebiet im Bereich mittelgroßer Dimensionen, ca. 10-30, und relativ großer Versagenswahrscheinlichkeiten. Diese hohen Werte erreicht man z. B. bei den Nachweisen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit oder bei Anprallereignissen. Bei den genannten Dimensionszahlen zeigt das noch zu behandelnde Antwort-Flächen-Verfahren Konvergenzprobleme und bei zu kleinen Versagenswahrscheinlichkeiten wird der rechneri-sche Aufwand für Monte-Carlo-Simulationen in Verbindung mit komplexen Grenzzuständen


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zu groß. Die Anzahl der streuenden Größen liegt selbst bei komplexen FE-Modellen meistens unter 20, im vorliegenden Fall der Brücken bei nicht mehr als zehn. Insofern wäre das Verfah-ren für die Untersuchung der beiden Brücken geeignet gewesen. Der Verfasser ist jedoch erst nach bzw. bei der Durchführung der Berechnungen auf dieses Verfahren aufmerksam gewor-den, so daß es nur noch teilweise in die Berechnungen Eingang fand. In Erweiterung der hier vorgestellten Lösung gelten für Quasi-Zufallszahlen die gleichen Möglichkeiten der Durchführung von Stichprobenreduktionen, wie für Pseudo-Zufallszahlen. Damit kann man z. B. das Importance Sampling oder Adaptives Sampling und Quasi-Zufalls-zahlen verbinden. Relativ neu ist die Verwendung von Quasi-Zufallszahlen mit dem Latin-Hypercube-Verfahren, da dort die Anzahl der Stichproben im voraus festgelegt werden muß (ROBINSON [246], [247]).

4.3.5 Verknüpfung von Einzelsicherheitsindizes Die Hypersphere Division Methode und die Monte-Carlo-Simulation sind in der Lage, meh-rere Grenzzustandsgleichungen bei einer Berechnung zu berücksichtigen. Bei den FORM- und SORM-Algorithmen wird aber immer nur eine Grenzzustandsgleichung untersucht. Bei dem Schiffsanprall gegen den Pfeiler gibt es unterschiedliche Nachweisgleichungen und da-mit unterschiedliche Grenzzustandsgleichungen. Die Unterschiede betreffen i. w. die Lage des Nachweisbereiches in den FE-Modellen. Die einzelnen Grenzzustandsgleichungen müssen miteinander verknüpft werden, um einen Gesamtwert für die Brücken angeben zu können. Hierbei müssen Annahmen über die Korrelation zwischen den einzelnen Grenzzustandsglei-chungen getroffen werden. Zuerst sei angenommen, daß die Sicherheitsabstände für die Grenzzustandsgleichungen sto-chastisch unabhängig sind. Dann ist die Systemsversagenswahrscheinlichkeit

∏=

−−=n

jfjf PP

1

)1(1 . (4-116)

Sind die einzelnen Versagenswahrscheinlichkeiten recht klein, kann man anstelle des Pro-duktes mit einer Summe arbeiten:

∑=

≈n

jfjf PP

1

. (4-117)

Der Fehlerterm für die Summe ist nicht größer als 2

121)(

≤ ∑

=

n

jfjf PPF .

Wählt man anstelle der Versagenswahrscheinlichkeit den Sicherheitsindex, kann man einen Systemsicherheitsindex nach folgender Formel angeben:

1 1

1 1

1 ( ) ( )n n

sys j jj j

− −

= =

= −Φ − Φ ≈ −Φ Φ −

∏ ∑β β β .

(4-118)

Gibt es eine Korrelation zwischen den einzelnen Grenzzuständen, kann man eine mehrdimen-sionale Normalverteilung aufstellen. Dabei gilt für die Korrelation

1 1 2 2 ...Tjk j k j k j k jm km= = + + +ρ α α α α α α α α , (4-119)


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wobei )...( 21 jmjjTj αααα +++= die Wichtungsfaktoren der m Zufallsvariablen der j-ten

Grenzzustandsgleichung und jβ der zugehörige Sicherheitsindex ist. Die Korrelationsmatrix für die Grenzzustände wird zu

12 1

21

1 2

11

1

n

n n

R

=

L

M

M O M

L

ρ ρρ

ρ ρ

(4-120)

und der Vektor der Sicherheitsindizes zu

1

2

n

=

M

ββ

β

β

.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Seriensystem erhält man durch folgende Umformung sf PP −= 1

1

1 ( ( ) 0)n

jj

P g X=

= − ≥

I

(4-121)

1

1 ( ( ) 0)n

jj

P h Y=

= − ≥

I

Transformation in den Stan-dardnormalraum

1

1 ( ( ) 0)n

jj

P l Y=

≈ − ≥

I

Linearisierung der Grenzzu-standsgleichung

*

1

1 ( )n

j jj

P Z=

= − − ≤ β

I

(4-122)

1 ( , )n= − Φ Rβ (4-123)wobei ( , )nΦ β R die n-dimensionale standardisierte Normalverteilung ist

11

1 21/ 2/ 2

1 1( , ) exp d ,d , d2(2 )

nT

n nny y y

R−

−∞ −∞

Φ = − ∫ ∫R R yL L

β β

β ψπ

. (4-124)

Für die Ermittlung dieser Funktion gibt es verschiedene Computerprogramme (SCHERVISH [258], GENZ [100], LOHR [168], DREZNER [68]). Für den Sonderfall gleicher Korrelation zwischen den einzelnen Grenzzuständen ergibt sich:

11

1

R

=

L

M

M O M

L

ρ ρρ

ρ ρ

(4-125)

zu

1

( , ) ( ) d1

ni

ni

xx x+∞

=−∞

+ ⋅Φ = Φ

− ∏∫R β ρ

β ϕρ

. (4-126)

Eine Möglichkeit bei verschiedenen Korrelationskoeffizienten ist die Berechnung und Ver-wendung eines mittleren Korrelationskoeffizienten. Diese Näherung liegt in den meisten Fällen auf der sicheren Seite. Man kann die einzelnen Werte der Korrelationsmatrix auch als


Seite 132

Produkte auffassen, die man in die einzelnen Faktoren zerlegen kann. Die Matrix kann dann wie folgt geschrieben werden:

1 2 1

2 1i i

1 2

11

, 1, 1, , = 1, 2, ...,

1

n

n n

R i j n

⋅ ⋅ ⋅ = < < ⋅ ⋅

L

M

M O M

L

λ λ λ λλ λ

λ λ

λ λ λ λ

(4-127)

und für die Normalverteilung gilt

xxxn

i i

iin d

1)()R,(

12∫ ∏

∞+

∞− =

−

⋅+=

λλβΦϕβΦ .

(4-128)

RACKWITZ (entnommen SPAETHE [273]) hat auf Grundlage dieser Modifikation der Korrelati-onsmatrix der einzelnen Grenzzustände ein Verfahren zur Abschätzung von oberen und unteren Schranken entwickelt.

kjjkkj ≠≤⋅ ρλλ für eine obere Schranke der Versagenswahrscheinlichkeit (4-129)

kjjkkj ≠≥⋅ ρλλ für eine untere Schranke der Versagenswahrscheinlichkeit (4-130) Es gilt wieder 1 ,1 ≤≤− kj λλ . Eine optimale Anpassung erreicht man, wenn jkkj ρλλ =⋅ , das wird aber nur in den seltensten Fällen möglich sein. Haben die verschiedenen jkρ ungefähr die gleiche Größenordnung, kann man folgende Wahl für die Faktoren treffen

kjjkjj ≠= }{max ρλ für die untere Schranke und (4-131)

kjjkjj ≠= }{min ρλ für die obere Schranke. (4-132)

Dafür muß natürlich gelten, daß der kleinste Wert jkρ positiv ist. Eine bessere Schätzung kann man durch eine Wertung der Bedeutung einzelner Grenzzu-stände erreichen. Wählt man nämlich die drei Grenzzustände mit der größten Versagenswahr-scheinlichkeit bzw. dem kleinsten Sicherheitsindex, so kann man die Faktoren besser anpas-sen als durch die alleinige Wahl des Größt- bzw. Kleinstwertes. Diese Grenzzustände erhalten die Nummern 1, 2, 3 und die Faktoren werden nach folgender Regel ermittelt:

1 2 12 2 3 23 1 3 13, , ⋅ = ⋅ = ⋅ =λ λ ρ λ λ ρ λ λ ρ (4-133)

12 13 21 23 31 321 2 3

23 13 12

, , ⋅ ⋅ ⋅= = =

ρ ρ ρ ρ ρ ρλ λ λρ ρ ρ

(4-134)

und für die verbleibenden Werte gelte

1min 4,5... jk

j k jk

j≤ +

= =

ρλ

λ für obere Schranken

(4-135)

1max 4,5... jk

j k jk

j≤ +

= =

ρλ

λ für untere Schranken.

(4-136)

Die Bedingung 1 ,1 ≤≤− kj λλ kann jedoch bei diesem Verfahren Probleme hervorrufen.


Seite 133

Bei Seriensystemen steigt die Versagenswahrscheinlichkeit, wenn die Korrelation zwischen den Grenzzustandsgleichungen abnimmt. Man kann die genannten Gleichungen für die Versagenswahrscheinlichkeit als Schranken für die Systemwerte verwenden. Die Schranken lauten dann wie folgt:

∑∏==

<−−≤≤n

jfj

n

jfjffjj

PPPP11

)1(1max (4-137)

bzw. für den Sicherheitsindex

1 1

1 1

min 1 ( ) ( )n n

j sys j jjj j

β β β β− −

= =

≥ ≥ −Φ − Φ > −Φ Φ −

∏ ∑ .

(4-138)

Auf der Basis des allgemeinen Additionssatzes von Wahrscheinlichkeiten kann man genauere Schranken angeben. DITLEVSEN (entnommen SPAETHE [273]) schlägt dazu folgende Formel vor:

1 2

1min

( ) max ( )n n

fj j kk jj j

PP F P F F

<= =

≤ − ∩∑ ∑

(4-139)

11

21

0( ) max

( ) ( )

nj

fj j j k

k

P P FP F P F F

−

==

≥ + − ∩

∑ ∑

(4-140)

Der Term des Durchschnittes der beiden Versagenswahrscheinlichkeiten kann wie folgt genä-hert werden

);,()( 2 jkkjkj FFP ρββΦ −−≈∩ . (4-141) Setzt man diese Näherung in die Schranken von DITLEVSEN ein, verschwinden die Wahr-scheinlichkeiten und die Gleichungen werden zu:

21 2

1min

( ) max ( , ; )n n

fj j k jkk jj j

Pβ β β ρ

<= =

≤ Φ − − Φ − −∑ ∑

(4-142)

11

2 21

0( ) max

( ) ( , ; )

nj

fj j j k jk

k

P ββ β β ρ

−

==

≥ Φ − + Φ − − Φ − −

∑ ∑.

(4-143)

Die zweidimensionale Normalverteilung kann approximiert werden gemäß

1 1 1 12 2 2 2 2

1 1

( ; ; ) ( ) 1 1

x w x wx x w dwλ λρ ϕλ λ

+∞

−∞

+ ⋅ + ⋅Φ = Φ ⋅ Φ ⋅

− − ∫

mit 1λ ρ= , 2λ ρ= für 0ρ >

1λ ρ= − , 2λ ρ= − − für 0ρ < .


Seite 134

Die hier vorgestellten Verfahren wurden programmtechnisch umgesetzt. Es wurde dabei da-von ausgegangen, daß es sich bei den Brücken um Seriensysteme handelt, d. h. wenn auch nur ein Element versagt, versagt die ganze Brücke. Als eigene stochastische Elemente wurden bei Lohr sowohl Bogen und Pfeiler, als auch ggf. verschiedene Schichten innerhalb des Pfeilers betrachtet, in denen die Grenzzustandsgleichung aufgestellt wurde. Im Anhang E findet sich ein Beispiel einer Verschmelzung dreier Grenzzustandsgleichungen. Der Vollständigkeit halber sei für ein paralleles System noch die Ermittlung des Systemindex wie folgt angeben :

, ,1 ( 1)

t i t sn

nρβ β + ⋅ −

= ⋅ (4-144)

mit βt,s = Systemindex, βt,i = Sicherheitsindex der einzelnen Grenzzustände, n = Anzahl aller Elemente, ρ = Korrelationskoeffizient mit ρ = 0, wenn der Ausfall eines Elementes keinen Einfluß auf andere Elemente hat, und ρ = 1, wenn alle Elemente gleichzeitig versagen.

4.4 Verbindung von Strukturmechanik und Probabilistik Die bisher vorgestellten Verfahren mit Ausnahme der Monte-Carlo-Simulation und der Hy-pershpere Division Methode basieren auf einer analytisch geschlossen bekannten Grenzzu-standsgleichung, die differenzierbar sein muß. Wenn aber in der Grenzzustandsgleichung z. B. Terme aus einer FEM-Rechnung enthalten sind, so gilt diese Grundlage nicht mehr. Durch die Beschreibung des Anprallverhaltens der Brücke mittels dynamischer FEM-Berechnungen tritt dieser Fall ein. Es ist darum notwendig, für die FORM/SORM-Algorithmen ein Verfahren zu verwenden, welches aus den einzelnen Lösungen der FE-Modelle eine differenzierbare Fläche entwickelt, das aber, im Gegensatz zur Monte-Carlo-Simulation oder der Hypershpere Division Methode, die Anzahl der Aufrufe der FEM-Rechungen so gering wie möglich hält, um eine einiger-maßen akzeptable Rechenzeit zu erhalten. Ein derartiges Verfahren ist das Antwort-Flächen-Verfahren. Dieses Verfahren kommt ursprünglich aus der chemischen Versuchsplanung. Auch dort versuchte man, durch eine optimale Strategie eine funktionale Abhängigkeit zwi-schen Eingangswerten und einem Versuchsergebnis zu beschreiben. Im Bereich der Ermitt-lung der Versagenswahrscheinlichkeit stehen noch weitere Verfahren bereit (GRUNDMANN & HARTMANN [109]), die aber nicht Inhalt der vorliegenden Arbeit sind. Zwar gibt es verschiedene FEM-Programme, wie z. B. PERMAS, SLANG, NESSUS oder ANSYS 6.1, die bereits dieses Verfahren bzw. andere probabilistische Berechnungsverfahren integriert haben, aber diese Programme waren entweder zu Beginn der Untersuchung noch nicht auf dem Markt oder standen dem Autor nicht zur Verfügung.

4.4.1 Das Antwort-Flächen-Verfahren mit quadratischem Ansatz Die Idee des Antwort-Flächen-Verfahrens wurde bereits in zahlreichen Veröffentlichungen entweder allgemein (BOX & DRAPER [19], REINHART [243]) oder auch mit spezieller Ausrich-


Seite 135

tung auf das Bauwesen (BUCHER & BOURGUND [21], RAJASHEKHAR & ELLINGWOOD [240] beschrieben. Das Ziel der Untersuchung besteht darin, einen funktionalen Zusammenhang zwischen ver-schiedenen Eingangsgrößen und einer nur punktweise ermittelbaren Ausgabegröße aufzustel-len. Die Funktion f (X, K), wobei X der Vektor der Eingangsgrößen und K der Vektor ver-schiedener Konstanten in der Funktion ist, mit dem Ergebnis g = f (X, K) sei analytisch ge-schlossen unbekannt. Gleichwohl existiere ein Verfahren, entweder versuchstechnisch oder mathematisch, um einzelne Funktionswerte zu ermitteln. Da die Funktion selbst nicht bekannt ist, wird eine Näherungsfunktion ( )g X% eingeführt, um f(X, K) lokal approximieren zu kön-nen. Die Form der Näherungsfunktion kann frei gewählt werden. In Abhängigkeit von der Anzahl der einzelnen ermittelten Funktionswerte und der gewählten Funktion sind die Koeffizienten der Antwort-Fläche entweder unterbestimmt, bestimmt oder überbestimmt. Wenn mehr Funktionswerte vorhanden sind als für die Berechnung der Koef-fizienten der Antwort-Fläche notwendig, sind die Koeffizienten überbestimmt. In diesem Fall sollte ein Kriterium mit einer Minimierung des Fehlers verwendet werden. Insbesondere im Anhang C sind verschiedene Verfahren zur Erstellung von Funktionen aus einzelnen Funktions-werten mittels linearer oder nichtlinearer Regression dargestellt. Auf Grund der einfachen Handhabung, der Möglichkeit der Beschreibung von Krümmungen und der geringen Anzahl der Funktionsaufrufe wird sehr häufig der quadratische Ansatz für die Antwort-Fläche gewählt. Entweder gelte ohne gemischte Glieder ~( )g X a b x c xi i

i

n

i ii

n

= + ⋅ + ⋅= =∑ ∑

1

2

1

(4-145)

oder unter Berücksichtigung der gemischten Glieder ~( )g X A T T= + ⋅ + ⋅ ⋅X B X C X , (4-146)wobei A, B und C Konstanten sind.

B =

BB

Bn

1

2

M; C =

C C CC

C C

n

n nn

11 12 1

21

1

L

M

(4-147)

Die Koeffizienten A, B und C können, wenn sie nicht überbestimmt sind, durch die Lösung eines

linearen Gleichungssystems ermittelt werden. Dies wäre z. B. bei einem quadratischen Ansatz

für zwei Variablen in Abb. 4-22 der Fall. Verallgemeinert man diesen Fall auf n-Variablen ohne

Berücksichtigung gemischter Glieder, benötigt man 2 × n + 1 Funktionsaufrufe. Bei ausreichen-der Anzahl der Lösungen von f kann man dann schreiben:

( ) ( , )g f=X X K% . (4-148) Auf Grund der lokalen Approximation und der Minimierung der Anzahl der Funktionsaufrufe sollten die Eingangsgrößen zur Ermittlung der Funktionswerte mit Bedacht gewählt werden. Es gibt hierfür verschiedene Modelle, auf die im einzelnen in dieser Arbeit nicht eingegangen


Seite 136

werden soll. Eine Verschmelzung des FORM-Algorithmus mit der Erstellung der Antwortflä-che geschieht wie folgt:

( )( )( ( ) ( ))m D

D

gx xg g x

µµ µµ

= + −−

, (4-149)

mit xm als neuem Zentralpunkt im Punktraster wie in Abb. 4-22 dargestellt, µ ist der Mittel-wert der Basisvariablen, xD ist der Bemessungspunkt berechnet durch FORM unter Verwen-dung der quadratischen Antwort-Fläche [21]. Der Startpunkt des Punkterasters war in [21] der Mittelwert der einzelnen Zufallsvariablen. Wenn man den Mittelwert der Basisvariablen µ durch xm1, und xm durch xm2 ersetzt, kann man eine Iteration durchführen. Dieses Iterations-schema ist vom Verfasser verwendet worden. Das verwendete Punkteraster ist [240] entnom-men.

Ein entscheidender Vorteil des Antwort-Flächen-Verfahrens ist die einfache Anwendung. Die Integration in bereits beste-hende Programme ist oft möglich. Die Rechnung ist leicht verständlich und nachvollziehbar und die Anzahl der Rech-nungen ist i. d. R. relativ gering, gleichwohl Ausnahmen, insbesondere bei einer großen Anzahl von Eingangsgrößen und komplexen Grenzzustandsgleichungen, auftreten. Dieser Nachteil führt dazu, daß ggf. nur grobe Lösungen möglich sind [240]. Diese Aussage stimmt auch mit den Erfahrungen des Autors überein. Als Beispiel sei die Ant-wort-Fläche der FE-Rechnung der Schubdübel in MICHLER [190] genannt, siehe dazu auch Anhang C. Gleichwohl in RAJASHEKHAR & ELLINGWOOD [240] auch weitere Vorschlä-ge für die Lösung des Problems angeboten werden, wurde hier ein anderer Weg beschritten.

Das hier vorgestellte Antwort-Flächen-Verfahren ermittelt die Koeffizienten nur anhand der letzten Rechnungen. Überzählige Lösungen werden in dem Antwort-Flächen-Verfahren nicht berücksichtigt. Im Rahmen einer derartigen Iterationsrechnung kann man aber alle Ergebnisse speichern und später darauf zurückgreifen. Der im folgenden vorgeschlagene Algorithmus erlaubt die Verwendung aller Berechnungsergebnisse.

4.4.2 Erstellung der Antwort-Flächen mit genetischem Algorithmus Das Verfahren, mit dem der o. g. Gedankengang beschritten werden soll, erfordert eine regres-sive Bestimmung der Koeffizienten der Antwort-Fläche, da diese überbestimmt sind. Für die mehrdimensionale Regression, die damit erforderlich wird, wurde das Approximationspro-gramm APPROX [179] von MARQUARDT & SCHULZE verwendet. Nähere Angaben zur linea-ren und nichtlinearen Regression finden sich im Anhang C. Es wird eine Näherungsgleichung g(X) in der Form ~( )g c x xn

i

i

njn nX = ⋅ ⋅

=∑ 1

12 ,

(4-150)

angenommen.

2

x1D1

xD2

g( )=0Xg( )=0X

~

xh σ

x

Abb. 4-22: Punktraster für die Antwort-Fläche mit zwei Va-riablen


Seite 137

Auch hierbei handelt es sich wieder um ein Polynom wie bereits bei dem behandelten qua-dratischen Antwort-Flächen-Verfahren. Allerdings sind die Anzahl n der Terme und die Ex-ponenten i und j nicht mehr vordefiniert, sondern können in Grenzen dem jeweiligen Problem automatisch angepaßt werden. Obwohl das Programm Polynome bis zur 10ten Potenz erlaubt, sollte man derartig hohe Exponenten mit Vorsicht wählen, da diese Funktionen in Randberei-chen schnell große Abweichungen von den Versuchwerten erreichen. Da die Bemessungs-werte normalerweise im Randbereich liegen, besteht diese Gefahr. Als Kriterium zur Anpassung der Antwort-Fläche an die Funktionswerte wird das bekannte Kriterium des Minimums der Summe der Fehlerquadrate gewählt:

S c c c S c z gN mm

M

( , , , ) ( ) ( ~( ))1 21

2

K = = −=

∑ X (4-151)

01 2 1 2

= = −∑ ∑ ∑+ +∂∂ S cc

c x x z x xij

i ji j

mi i

mj j

mm m

imj

m

( ),

,

. (4-152)

Ggf. versprechen Polynome höherer Ordnung eine bessere Beschreibung der unbekannten Funktion als z. B. die bisher verwendeten quadratischen Ansätze. Wenn allerdings alle mögli-chen Polynome bis 10ten Grades auf ihre Eignung geprüft würden, stiege der Rechenaufwand enorm. Eine geschickte Strategie bei der Auswahl der notwendigen Polynomterme erscheint darum sinnvoll. Ziel ist dabei, diejenigen Polynomterme herauszufiltern, die nur einen gerin-gen Beitrag zur Lösung beitragen. Die Entscheidung, welche Terme einen wichtigen Beitrag leisten, erfordert normalerweise eine Kombination aller möglichen Terme. Diese kombinato-rische Vorgehensweise ist auf Grund des dafür erforderlichen Rechenbedarfes nicht praktika-bel. Um diesen Rechenaufwand zu verringern, verwenden MARQUARDT & SCHULZE [179] einen

genetischen Algorithmus zur Wahl der Polynomterme. Ziel des Algorithmus ist das Trennen

wichtiger Terme von unwichtigen Termen. Dafür wird zuerst eine gewisse Anzahl von Zufalls-vektoren mit einer gleichen Anzahl von Zahlen erzeugt. Diese Vektoren werden als Generation 0

bezeichnet. Aus ihnen werden verschiedene Polynomgleichungen zur Beschreibung der Ant-wort-Fläche gebildet. Die Qualität der Anpassung unter Verwendung dieser Vektoren kann über

das bereits erwähnte Fehlersummenquadrat geprüft und verglichen werden. Anschließend wird

überwiegend, aber nicht ausschließlich, aus dem besten Vektor eine Nachfolgegeneration er-stellt. Es stehen drei verschiedene Möglichkeiten dafür bereit: • Eine Zahl wird ohne Änderung übernommen. • Eine Zahl wird zufällig geändert. • Eine Zahl wird mit einer aus einem anderen Vektor ausgetauscht. Abb. 4-23 gibt einen vereinfachten Überblick über diese Prozedur. Es konnte nachgewiesen werden, daß eine kontinuierliche Erzeugung neuer Vektoren zu einer Verbesserung der Ap-proximationsgleichung führt, sowohl was die einzelnen Terme als auch die Gesamtgleichung g~ (X) betrifft [179]. Das Verfahren wurde teilweise bei den Berechnungen der Mainbrücke Lohr verwendet. Es zeigten sich jedoch zwei Nachteile: Durch den genetischen Algorithmus waren die Ansatz-funktionen bei einem neuen Durchlauf nicht kontrollierbar und die Qualität der Antwort-Flä-che blieb teilweise gravierend hinter den Erwartungen zurück. Die Anwendung dieses Verfah-


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rens zur Berücksichtigung aller Funktionswerte hat sich im Rahmen dieser Berechnung nicht bewährt.

Generation 0

Mutation Rekombination 02 02 30 13 13 21 23 23 ⇔ 12 10 ⇔ 31 10 ⇔ 00

Generation 1 02 02 30 13 13 21 23 12 23 10 00 10

Abb. 4-23: Prinzipieller Ablauf

4.4.3 Weitere Antwort-Flächen-Verfahren

4.4.3.1 Polyhedrale Antwort–Fläche nach ROSS, BUCHER & BAYER [248] Das übliche Antwort–Flächen–Verfahren benötigt in Abhängigkeit von der Wahl des Punkte-rasters eine bestimmte Anzahl von Lösungen der Grenzzustandsgleichung. Diese Festlegung führt zu zwei Nachteilen: Zum einen ist die Mindest- bzw. Maximalanzahl der Lösungen fest-gelegt und zum Zweiten werden immer einige Lösungen in uninteressanten Bereichen benö-tigt. Neuere Verfahren versuchen, diese Probleme zu umgehen. Ein Beispiel dafür ist die sogenannte polyhedrale Näherung der Antwort-Fläche. Die Realisie-rungen der Grenzzustandsgleichung werden Pi(x) genannt. Diese werden eindeutig durch ei-nen Vektor pi von einem beliebigen Punkt M, normalerweise dem Mittelpunkt beschrieben, der wiederum vom Koordinatenursprung durch den Vektor m im Raum der Eingangsgrößen beschrieben wird. Der Punkt M sollte im sicheren Bereich der Grenzzustandsgleichung liegen und durch die Mittelwerte der Basisvariablen beschrieben werden. Der direkte Vektor vom Koordinatenursprung zu den Punkten Pi(x) wird li genannt. Der Winkel zwischen einem neuen Punkt Pj und den Realisierungen der Grenzzustandsglei-chung Pi(x) ergibt sich dann zu:

cos

Ti j

iji j

φ⋅

=⋅

p rp r

(4-153)

Die Hyperfläche jeder Realisierung der Grenzzustandsgleichung soll in der HESSE’schen Nor-malform vorliegen:

Tpi ij j if =e r p (4-154)


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Dann kann mit Hilfe der Faktoren

maxcos: →

=ijij

Tpi

ij re

pf

φ

(4-155)

die Näherung der Grenzzustandsgleichung geschrieben werden:

)()()(~ xrxmxg jjf+= . (4-156) Diese Näherung der Grenzzustandsgleichung wird normalerweise strahlenförmig in Bezug zu dem Punkt M ermittelt. Sie ist senkrecht zu den Strahlen aus einzelnen Ebenen zusammenge-setzt. Ein ähnlicher Ansatz findet sich auch bei GUAN & MELCHERS [112]. Den Aufbau und die Zusammenführung der Ebenen kann man z. B. durch sogenannte Sekan-ten-Hyperflächen verfeinern. Diese neueren Ansätze fanden in der Rechnung keine Berück-sichtigung. Sie seien jedoch der Vollständigkeit halber erwähnt. Insgesamt ist die Problematik der Antwort-Flächen-Verfahren Gegenstand großen wissen-schaftlichen und praktischen Interesses. So werden in zunehmenden Maße in zahlreichen In-dustriebereichen, wie z. B. in der Automobilbranche, robuste Antwort-Flächen-Verfahren in Verbindung mit leistungsfähigen Extremwertsuchalgorithmen zur Optimierung verwendet.

4.4.4 Programmtechnische Umsetzung Die Realisierung des quadratischen Antwort-Flächen-Verfahrens als Verbindung der struk-turmechanischen Berechnung mit der wahrscheinlichkeitstheoretischen Berechnung erfolgte als Modul für das FEM Programm ANSYS [49]. Das Programm ANSYS bietet die Möglich-keit, eigene Berechnungsroutinen in das Programm zu integrieren. Diese Fähigkeit wird in-nerhalb des Programms ANSYS als UPF (User Programmable Features) bezeichnet und be-dient sich des sogenannten ANSCUSTOM Utility [254]. Dazu muß die zu integrierende Berechnungsroutine in der Programmiersprache FORTRAN77 als SUBROUTINE bereitge-stellt werden. Es wurden das beschriebene FORM-, drei SORM-Verfahren und die Impor-tance Sampling Monte Carlo Simulation in FORTRAN77 umgesetzt. Die Auswahl der über-gebenen Variablen vom Hauptprogramm zur SUBROUTINE erfolgt durch die Auswahl einer entsprechenden SUBROUTINE, die vom Programm ANSYS angeboten wird (z. B. USERCR für ein eigenes Kriechgesetz eines Materials, USERSW für ein eigenes Schwindgesetz eines Materials). Die vorgestellten wahrscheinlichkeitstheoretischen Berechnungsverfahren wurden in die SUBROUTINE USER01 eingebaut. Da, zumindest soweit dem Verfasser bekannt, keine SUBROUTINE in ANSYS mit freier Wahl der Rückgabe der Variablen von der SUBROUTINE an das Hauptprogramm ANSYS existiert, mußte ein Umweg über Dateien erfolgen. D. h. die vom Antwort-Flächen-Verfahren im selbstgeschriebenen ANSYS-Modul ermittelten neuen Ausgangswerte für die nächste strukturmechanische Berechnung der Brücken, wie z. B. Betondruckfestigkeit, Betonzugfe-stigkeit, Sandsteindruckfestigkeit u. s. w., wurden in Dateien geschrieben, die wiederum vom Hauptprogramm von ANSYS während jeder neuen Iterationen eingelesen wurden. Es sei an dieser Stelle ausdrücklich darauf hingewiesen, daß ANSYS während einer gesamten wahr-scheinlichkeitstheoretischen Berechnung mit mehreren Iteration unter Verwendung des Ant-wort-Flächen-Verfahrens ein und dieselbe Datei mehrmals neu geschrieben und gelesen hat.


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Auf Grund dieser Tatsache mußten die Rechnungen in einer UNIX-Umgebung stattfinden. Dort war es nur notwendig, daß diese Datei vor dem Starten von ANSYS bereits existierte. Die Implikation der wahrscheinlichkeitstheoretischen Verfahren und des Antwort-Flächen-Moduls erfolgten deshalb in die ANSYS Version 5.1 und 5.2. auf einer IBM Workstation un-ter dem Betriebssystem IBM AIX 4.1 bis 4.3.1-4.3.3. Durch die Datenfülle war es nicht möglich, alle Zwischenergebnisse der Iteration der Ermitt-lung des Sicherheitsindexes bzw. der operativen Versagenswahrscheinlichkeit abzuspeichern.

Kapitel 5: Berechnungsergebnisse

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5 Berechnungsergebnisse Nach der Herleitung der Einwirkungsgrößen, der Widerstandsgrößen und der Erläuterung der verwendeten strukturmechanischen und probabilistischen Rechenverfahren erfolgt in diesem Kapitel die Auswertung der rechnerischen Untersuchungen.

5.1 Vorhandene operative Versagenswahrscheinlichkeit Die Ergebnisse der durchgeführten probabilistischen Berechungen der beiden Mainbrücken sind in Tab. 5-1 zusammengestellt. In der Tabelle befinden sich die ermittelten operativen Versagenswahrscheinlichkeiten und umgerechneten Sicherheitsindizes für das Ereignis Ver-sagen, wenn ein Anprall gegen die Brücke P( V | A ) & β ( V | A ) stattfindet und unter Berücksich-tigung einer Anprallwahrscheinlichkeit P(V∩A) & β (V∩A). Diese Werte wurden für die bei-den Brücken im Originalzustand und unter verschiedenen Verstärkungsmöglichkeiten ermit-telt. Es handelt sich hierbei um eine Auswahl aller vom Autor durchgeführten Berechnungen. Im Laufe der rechnerischen Untersuchung ergaben sich auch unterschiedliche Ergebnisse in Ab-hängigkeit von der Anzahl und Auswahl der Zufallsvariablen und der verwendeten Berech-nungsverfahren.

I II III IV V VI VII VIII IX X XI # Brücke Last Bauteil Version P(V|A)·10-6 β(V|A) P(V∩A)·10-6 β(V∩A) P(V∩A)·10-6 β(V∩A) o.V. p. Anprall o.V. p. Jahr o.V. p. Jahr

1 Segnitz Pfeiler 2 Schädigung 313667,7 0,4854 5018,7 2,5745 2 Pfeiler 2 Keine Schädigung 154256,0 1,0183 2468,1 2,8111 3 Pfeiler 2 Schutzeinrichtung 1540,5 2,9595 24,6 4,0605 4 Pfeiler 2 Pfeilervergrößg. ×2,3 11843,4 2,2621 189,5 3,5541 5

Frontal- stoß

Pfeiler 2 Ideelle Zugfsgkt. × 2 43179,2 1,7149 690,9 3,1985 6 Eigenl. & Verkehr Normalspannung 240,0 3,4919 4,8 4,4259 7 Quer- Pfeiler 2 Keine Schädigung 328986,4 0,4427 5263,8 2,5580 8 stoß Pfeiler 2 Schutzeinrichtung 84539,3 1,3751 1352,6 2,9994 9 Lohr Pfeiler II Mit Sprengkammer 80760,0 1,4002 1292,2 3,0132 596,0 3,2410

10 Pfeiler II Ohne Sprengkammer 23300,0 1,9904 372,8 3,3722 172,0 3,579911 Pfeiler II Vorspannung 340,0 3,3977 5,4 4,3958 2,5 4,563912

Frontal- stoß

Pfeiler II Stahlbeton 32,0 3,9976 0,5 5,0370 0,2 5,037013 Eigenl. & Verkehr Normalspannung 203,0 3,5363 4,1 4,4619 4,1 4,461914 Frontal- Pfeiler III Mit Sprengkammer 35930,0 1,8004 578,8 3,2511 265,2 3,465115 stoß Pfeiler III Ohne Sprengkammer 28720,0 1,9004 459,5 3,3143 212,0 3,524916 Pfeiler III Vorspannung 30,0 4,0128 0,5 5,0493 0,2 5,049317 Bogen 1500,0 2,9681 24,0 4,0652 11,1 4,242118 Quer- Pfeiler II Ohne Sprengkammer 25670,0 1,9491 410,7 3,3454 54,9 3,867819 stoß Pfeiler III Ohne Sprengkammer 10720,0 2,3006 171,5 3,5809 36,1 3,9688

Tab. 5-1: Operative Versagenswahrscheinlichkeiten (o. V.) als Vielfache von 10-6 für die Main-

brücken Lohr und Segnitz pro Anprall und pro Jahr unter Berücksichtigung der Anprallhäufig-keit von 0,016 pro Jahr pro Brücke für Segnitz (Spalte VIII & IX) und der jeweiligen für Lohr aus

[158] (Spalte X & XI). Zeilen 6 und 13 beziehen sich nicht auf einen Anprall!


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Zuerst soll überprüft werden, wie sich die Mainbrücken Segnitz und Lohr unter Eigen- und Verkehrslast verhalten. Die operative Versagenswahrscheinlichkeit erreicht bei beiden Brük-ken etwa den Wert von 200 × 10-6 unter maximaler Verkehrsbelastung. Zum Vergleich mit anderen Brücken sind in Tab. 5-2 Ergebnisse aus der Literatur angegeben. Die Ergebnisse für die Brücken zeigen deutliche Unterschiede. Diese liegen aber in der Größenordnung der Unterschiede der Ergebnisse einer Brücke bei verschiedenen Modellen.

Eine normengerechte Bemessung der Brücken unter Eigen- und Verkehrslast sollte in beiden Fällen zur gleichen Sicherheit führen und damit als quantitativer Ausdruck der Sicherheit zur gleichen Versagenswahrscheinlichkeit bei vergleichbaren Rechenmodellen führen. Diese Bedingung scheint mit Werten von 203 × 10-6 und 240 × 10-6 bei der Verwendung des BERNDT’sche Normalkraftmodells für die jeweiligen Pfeiler der beiden Mainbrücken erfüllt zu sein. Wie in Abb. 5-1 erkennbar, zeigt das MANN’sche Normalkraftmodell für den Pfei-ler II der Lohrer Brücke nicht nachvollziehbare grobe Änderungen der Versagenswahrschein-lichkeit in Abhängigkeit von der Verkehrslast. Das Verfahren von BERNDT reagiert auf unter-schiedliche Beschreibungen der Verkehrslast ermutigend unsensibel. Auf Grund der geringen Variationen der Rechenergebnisse der Versagenswahrscheinlichkeit der Alten Mainbrücke Lohr unter Eigen- und Verkehrslast wählt der Autor dieses BERNDT’sche Modell. Im Kapitel Mauerwerk wurde bereits auf die Unzulänglichkeiten des MANN’schen Modells eingegangen.

Nachweise unter Eigen- und Verkehrslast Durchschnitt Maximalwert Minimalwert Muldenbrücke Podelwitz (GZG*) [192] 591,50·10-6 1183,0·10-6 0,21·10-6 pro JahrFlöhabrücke Olbernhau (GZT) [193] 0,04·10-6 pro JahrSyraltalbrücke Plauen (GZT) (Variante II) [193] 730,90·10-6 pro JahrMainbrücke Lohr (Mauerwerksmodell n. Berndt) 4,10·10-6 pro JahrMainbrücke Segnitz 4,80·10-6 pro JahrMarienbrücke Dresden (GZT) [30] 1279,00·10-6 2555,0·10-6 2,11·10-6 bei BelastungLohr (Mauerwerksmodell n. Mann) 33430,00·10-6 66810,0·10-6 48,12·10-6 bei BelastungLohr (Mauerwerksmodell n. Berndt) 248,00·10-6 337,0·10-6 159,20·10-6 bei BelastungSegnitz 203,00·10-6 bei Belastung*GZG-Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit, GZT-Grenzzustand der Tragfähigkeit

Tab. 5-2: Operative Versagenswahrscheinlichkeiten für verschiedene alte Brücken unter Ei-gen- und Verkehrslast

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

Sich

erhe

itsin

dex

nach MANNnach MANNmit Stau

nach BERNDTnach BERNDT mit 0,3 MPa

nach BERNDT mit Eigengewicht

nach BERNDTmit Stau

Abb. 5-1: Zusammenfassung der Rechenergebnisse unter Eigengewicht und Verkehr nach den Verfahren von MANN und BERNDT


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Nach dem Vergleich der operativen Versagenswahrscheinlichkeiten der Brücken unter Eigen- und Verkehrslast ist es möglich, auch die anderen ermittelten Werte untereinander in Relation zu setzen. Die operativen Versagenswahrscheinlichkeiten pro Anprallereignis für die unbe-schädigte Mainbrücke Segnitz mit 0,154 und für die Alte Mainbrücke Lohr ohne Spreng-kammer mit 0,0233 für Frontalstoß unterscheiden sich um den Faktor 6,5. Die unbeschädigte Version der Mainbrücke Segnitz und die Mainbrücke Lohr ohne Sprengkammer wurden ge-wählt, um Besonderheiten der Brücken, wie sie z. B. die Sprengkammer bei Lohr darstellt, soweit wie möglich zu vernachlässigen und damit die Plausibilität der Rechnungen einfacher prüfen zu können. Anhand deterministischer Größen wie der Eigenlast der Brücken und der jeweiligen Mauerwerkseigenschaften soll der Faktor des Unterschiedes von 6,5 geprüft werden. Die Eigenlast, die zumindest im Bereich der COULOMB’schen Reibung beim Schub-spannungsnachweis, welcher für das Anprallereignis maßgebend wird, linear eingeht, unter-scheidet sich zwischen diesen beiden Brücken um den Faktor 7,4 (siehe Tab. 5-3). Die maxi-male zulässige Schubspannung zwischen den beiden Brücken unterscheidet sich dagegen um den Faktor 2,7. Vereinfachend kann festgestellt werden: Auf Grund des höheren Eigenge-wichtes bei der Mainbrücke Lohr kann dort auch eine höhere Schubspannung abgetragen wer-den. Die erhöhte Eigenlast drückt sich aber auch in der vorhandenen Normalspannung aus. Dieser Wert unterscheidet sich zwischen den beiden Brücken um den Faktor 3,2. Da aber die Eigenlast selbst auch wieder eine Belastung für den Pfeiler darstellt, muß auch die ausnutz-bare Normalspannung berücksichtigt werden. Dieser Wert liegt bei Lohr etwa um den Faktor 2,5 höher. Letztendlich kann man die maximale dynamische Anprallkraft einer nichtlinearen Berechnung vergleichen. Auch hier besteht eine Unterschied zwischen Lohr und Segnitz um den Faktor 3. Der Unterschied zwischen den operativen Versagenswahrscheinlichkeiten von 6,5 läßt sich problemlos mit dem Unterschied der Eigenlasten von 7,4 erklären. Ein ähnlicher Faktor findet sich aber nicht bei den anderen erwähnten Parametern. An dieser Stelle muß auf zwei Probleme der Plausibilitätsmodelle hingewiesen werden: Zum einen ist das dynamische Verhalten nicht nur von der Masse, sondern auch von der Steifigkeit, die in diesem Faktor nicht berücksichtigt wird, abhängig und zum zweiten ist die Schubfestigkeit von Mauerwerk nur im ersten Bereich linear von der Auflast abhängig und steigt nach Erreichen eines Maximalwertes nicht mehr. Dann bringt eine weitere Zunahme der Auflast keinen Vorteil mehr für den Schubspannungs-nachweis und kann sogar wieder zu einer Verringerung der maximalen Schubtragfähigkeit führen. Basierend auf diesen Überlegungen erscheinen aus Sicht des Verfassers die errechneten Werte glaubhaft. Alte Mainbrücke Lohr Mainbrücke Segnitz Versagenswahrscheinlichkeit pro Anprall 0,023 (1,0) 0,15 (6,5) Versagenswahrscheinlichkeit unter Eigen- & Verkehrslast 2,030·10-4 (1,0) 2,400·10-4 (1,2) Fläche m2 48 (1,9) 25 (1,0) Eigenlast in MN 37 (7,4) 5 (1,0) Vorhandene Normalspannung in MPa 0,84 (3,2) 0,26 (1,0) Zulässige Normalspannung MPa ca. 25 (2,5) ca. 10 (1,0) Maximale statische Schubspannung MPa 0,8 (2,7) 0,3 (1,0) Maximale dynamische Anprallkraft in MN 13,0 (2,9) 4,5 (1,0) Fraktilwert der Anprallkraft in % 99,99 97,00 (X) Werte in Klammern sind die Faktoren zwischen den beiden Vergleichswerten Tab. 5-3: Vergleich einiger Parameter der Mainbrücken Lohr und Segnitz


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Im nächsten Schritt sollen die Ergebnisse der Rechnungen mit konstruktiven Verstärkungs-möglichkeiten gewertet werden. Prinzipiell kann festgestellt werden, daß sowohl die operative Versagenswahrscheinlichkeit mit als auch ohne Rißschaden an der Mainbrücke Segnitz zu sehr hohen Werten führt bzw. die Brücke eine sehr geringe Sicherheit unter dieser Einwir-kungskombination zeigt. Interpretiert man die Werte von 0,1542 bzw. 0,313 als Wieder-kehrperioden eines Anpralls, muß man feststellen, daß jeder siebte bzw. jeder dritte Anprall rechnerisch zum Einsturz der Brücke führt. Deutlich bessere Werte werden bei der Main-brücke Lohr erzielt. Die Werte von 0,0807 für den Mauerwerkspfeiler mit Sprengkammer, 0,0234 für den Mauerwerkspfeiler ohne Sprengkammer und 0,0359 bzw. 0,0287 für den Be-tonpfeiler mit und ohne Sprengkammer liegen ca. eine Zehnerpotenz unter den Werten der Mainbrücke Segnitz. Damit führt im Mittel jeder zwölfte (0,0807) Anpralls bzw. jeder 43ste (0,0234) Anprall zum Einsturz der Alten Mainbrücke Lohr. Durch den Einbau einer passiven Schutzeinrichtung an der Mainbrücke Segnitz erreicht man eine Verringerung der operativen Versagenswahrscheinlichkeit auf 1/100 des Wertes der un-beschädigten Brücke (0,00154). Würde man den Pfeiler um den Faktor 2,3 verbreitern und damit das Eigengewicht und die Fläche erhöhen, erhält man etwa 1/10 des vorhandenen Wertes der unbeschädigten Brücke (0,0118). Dieser Wert ist auf Grund der Geometrieverhält-nisse des Pfeilers vergleichbar mit der Alten Mainbrücke Lohr. Der Pfeiler in Lohr hat ca. die 1,92-fachen Abmessungen des Segnitzer Pfeilers. Bei einer Vergrößerung des Originalpfeilers von Segnitz um den Faktor 2,3 ergibt sich ein Flächenunterschied von 0,8 (1,92 zu 2,3) und ein Breitenunterschied von 0,6 (4 m zu 2,3 × 2,6 m = 5,98 m). Wenn also der Segnitzer Pfei-ler ca. die doppelte Breite des Lohrer Pfeilers hat, erhält man ca. die halbe operative Versagenswahrscheinlichkeit der Lohrer Brücke. Dieser Quotient erscheint nicht unplausibel. Die Einführung einer ideellen Zugfestigkeit für das Mauerwerk an der Mainbrücke Segnitz zur Darstellung eines Effekts aus Vorspannen, Schlaffstahlbewehren oder Verpressen des Pfeilers verringert den bisher vorhandenen Wert der operativen Versagenswahrscheinlichkeit der unbeschädigten Brücke auf ein Viertel des ursprünglichen Wertes (0,0432). Obwohl der Lastfall Vorspannung auch bei der Mainbrücke Lohr berechnet wurde, ist der direkte Ver-gleich hier unangebracht, da die Vorspannung in der Berechnung der Mainbrücke Lohr durch Vorspannkräfte bzw. Umlenkkräfte weitaus realitätsnaher modelliert wurde. Auch die bei der Mainbrücke Lohr beobachtete Veränderung der Versagenswahrscheinlichkeit der Brücke ohne Sprengkammer zur vorgespannten Brücke erscheint glaubwürdiger. Die Vorspannung des Mauerwerkspfeilers führt zu einer Abminderung der Versagenswahrscheinlichkeit der Brücke Lohr auf 1/70 im Vergleich zur Brücke ohne Sprengkammer. Das Aufbringen von Vorspannung auf die Pfeiler stellt ein effektives Mittel zur Erhöhung der Sicherheit dar. Die Verfüllung der Sprengkammern bringt beim Mauerwerkspfeiler der Mainbrücke Lohr eine geringe Verbesserung der Zuverlässigkeit mit sich (auf ca. ein ¼). Die untersuchte Stahlbetonlösung sah den Einsatz von jeweils drei Großbohrpfählen mit einem Durchmesser von einem Meter an jeder Pfeilerstirnseite vor. Diese konstruktive Lösung stellt quasi einen Neubau des Pfeilers dar. Damit ist die deutlichste Verringerung der operativen Versagenswahr-scheinlichkeit und damit einhergehend die drastischste Erhöhung der Sicherheit erreichbar. Es handelt sich allerdings auch um die aufwendigste Lösung. Ob eine derartige Lösung überhaupt realisierbar ist, darf bezweifelt werden. Deutlich eleganter erscheint hier der Einbau von Gewi-Stählen. Diese haben den Vorteil, mit leichtem Bohrgerät (Durchmesser der erforderlichen Bohrung ca. 10 bis 15 cm) und ohne große Störung der vorhandenen Bausubstanz einsetzbar zu sein. Eine rechnerische Untersuchung der Versagenswahrscheinlichkeit dieser Lösung erfolgte im Rahmen der vorliegenden Arbeit nicht.


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Die operative Versagenswahrscheinlichkeit unter Querstoß zeigt bei beiden Brücken ver-gleichbare Verhältnisse zu den Werten für Frontalstoß. Während bei Lohr für die Version ohne Sprengkammer praktisch der gleiche Wert für Frontal- und Querstoß ermittelt wurde (0,0233 bzw. 0,0256), unterscheiden sich die beiden Werte bei der Mainbrücke Segnitz um den Faktor 2. Allerdings ist auch dieser Unterschied nicht unglaubwürdig und ist vermutlich auf die außerordentlich schmale Ausbildung des Pfeilers an der Mainbrücke Segnitz zurück-zuführen. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß die rechnerischen Ergebnisse der probabili-stischen Untersuchung der Mainbrücke Segnitz und der Alten Mainbrücke Lohr ohne Berück-sichtigung der Anprallwahrscheinlichkeit aus Sicht des Verfassers im Vergleich der kon-struktiven Lösungen und im Vergleich der Brücken untereinander plausibel erscheinen. Es kann deshalb der nächste Schritt von der ereignisorientierten operativen Versagenswahr-scheinlichkeit zur zeitbezogenen Versagenswahrscheinlichkeit durch die Einbeziehung der Anprallwahrscheinlichkeit gegangen werden (Tab. 5-1, Spalten IX bis XI). Es wurde wiederholt vom Verfasser darauf hingewiesen, daß der dafür notwendige Wert der Anprallwahrscheinlichkeit bzw. -häufigkeit Inhalt weiterführender Diskussion ist. Für die Mainbrücke Lohr wurden Werte durch die Bundesanstalt für Wasserbau bereitgestellt. Die verwendeten Zahlen für die Mainbrücke Segnitz wurden im Kapitel 2 ausführlich diskutiert, können aber nur ein Ansatz sein, da lokale Besonderheiten an der Brücke nicht mit berück-sichtigt wurden. Mittels der Anprallwahrscheinlichkeiten kann eine operative Versagenswahr-scheinlichkeit pro Zeiteinheit, in diesem Fall pro Jahr, angegeben werden. Damit ist der di-rekte Vergleich mit zulässigen Werten in den Vorschriften möglich.

5.2 Risikopotential bei Versagen infolge Schiffsanprall Die operative Versagenswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit nennt zwar eine Konsequenz beim Eintritt des Ereignisses Schiffsanprall, nämlich das Versagen des Bauwerkes, erlaubt damit aber keinen direkten Vergleich mit anderen Risiken. Deshalb soll im folgenden der Begriff der operativen Versagenswahrscheinlichkeit zum allgemeinen Risiko erweitert werden, wel-ches üblicherweise als Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit P eines Ereignisses und einer allgemeiner gefaßten Konsequenz K des Eintretens dieses Ereignisses verstanden wird. Damit ist es möglich, in die bisher genannte Konsequenz Verlust eines Bauwerkes auch andere Kon-sequenzen, insbesondere die möglicher Todesopfer, mit einzubeziehen und das Risiko zu schreiben:

KPR ⋅= . (5-1) Es wird also im folgenden neben der bereits zeitabhängigen operativen Versagenswahr-scheinlichkeit unter Schiffsanprall auch der zu erwartende Schaden beim Versagen der Brücke abzuschätzen sein. Dieser Schaden setzt sich aus verschiedenen Teilen zusammen. Zuerst ist der materielle und ideelle Wert der Brücke zu beklagen. Der materielle Wert umfaßt neben dem Bauwerk auch sekundäre zusätzliche Aufwendungen wie z. B. Umleitungsverkehr, wenn die Brücke nicht mehr verfügbar ist. Unter ideellen Werten sei der Verlust der Brücke als Kulturgut zu verste-hen.


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Daneben müssen auch gesundheitliche Schäden für die Nutzer der Brücke während des Versagens, vermutlich sogar Todesopfer erwartet werden. Die Anzahl der Todesopfer erlaubt den Vergleich mit anderen vorhandenen Risiken. Deshalb wird der finanzielle und ideelle Wert der Brücke im folgenden nicht weiter betrachtet, wohl aber eine Schätzung für die zu erwartenden Todesopfer aufgestellt. Dazu muß das Nutzungsprofil, im Fall der Mainbrücke Lohr das Straßenverkehrsaufkommen, abgeschätzt werden. Über die alte Mainbrücke Lohr führt die Staatstraße 2437. Das durchschnittliche Ver-kehrsaufkommen pro Tag beträgt nach Angaben des Straßenbauamtes Würzburg ca. 6600 Fahrzeuge. Ein hohes Verkehrsaufkommen von 660 Fahrzeugen pro Stunde ist im wesentli-chen nur am Morgen und am späten Nachmittag zu verzeichnen. Teilweise soll sich in diesen Stunden kurzzeitig Stau auf der Brücke entwickeln. Die eigentliche Flottenstruktur der Kraftfahrzeuge auf der Brücke ist dem Verfasser nicht bekannt. Es kann aber vermutet werden, daß die Flottenstruktur zu erheblichen Anteilen aus PKW’s besteht. In der Stadt Lohr gibt es eine Maschinenbaufirma, so daß gelegentlich auch Sattelschlepper die Brücke queren werden. Allein aus der Anzahl der Fahrzeuge pro Tag und der mittleren Überquerungsdauer von 20 bis 30 Sekunden ergibt sich eine Nutzungsdichte von keinem, einem oder zwei Fahrzeugen zusammen auf der Brücke mit wahrscheinlich nicht mehr als fünf Personen gleichzeitig auf der Brücke. Letztendlich kann aber ein Bus auf der Brücke oder ein Anprall während der Zeit des hohen Verkehrsaufkommens nicht ausgeschlos-sen werden. Darum soll auf die Vergleichswerte bei Brückenversagen infolge Schiffsanprall zurückgegriffen werden. Glücklicherweise sind, soweit bekannt, in den letzten Jahrzehnten in Deutschland infolge Schiffsanprall keine Brückenversagen mit Todesopfern zu beklagen gewesen. Die bisher inter-national bei Brückenversagen infolge Schiffsanprall bekannten Todeszahlen wurden in Tab. 2-3 genannt, sind in Abb. 5-2 aber noch einmal in graphischer Form zusammengefaßt. Es zeigt sich, daß überwiegend Unfälle mit kleinen Opferanzahlen auftraten. Von den fünfzehn erfaßten Unfällen waren bei zwölf Unfällen maximal 20 Opfer zu beklagen. Die großen Opferzahlen (47 und 176) traten bei Eisenbahnbrücken auf. Es darf vermutet werden, daß bei Eisenbahnbrücken prinzipiell größere Opferzahlen auf Grund der größeren Anzahl von Men-schen pro Fahrzeug (Zug zu PKW, Bus oder LKW) zu erwarten sind. Der Mittelwert der Todesopfer bei Brückenversagen infolge Schiffsanprall lag nach eigenen Rechnungen in den letzten Jahrzehnten bei ca. 22. Dieser hohe Wert berücksichtigt aber nicht die genannten Unterschiede zwischen Straßen- und Eisenbahnbrücken. Rechnet man deshalb nur mit beobachteten Werten von Straßenbrücken, soweit eine Trennung bekannt ist, erhält man einen Mittelwert von ca. neun Todesopfern pro Brückeneinsturz infolge Schiffsanprall. Die beiden Unfälle in den letzten Jahren (2001 & 2002) in den USA bestätigen einen Wert um zehn. Basierend auf diesen Überlegungen werden für die Risikoanalyse der Mainbrücke Lohr Op-ferzahlen von 10 und 22 verwendet. Da für die Mainbrücke Segnitz keine Angaben zum Ver-kehrsaufkommen vorliegen, werden diese Zahlen auch für die Mainbrücke Segnitz verwendet. Bevor der Nachweis für die operative Versagenswahrscheinlichkeit und das Risiko geführt werden, erfolgt im nächsten Kapitel die verschiedenen Formen zur Darstellung von Risiken. Diese Diskussion der numerischen Risikodarstellung ist notwendig, da die Vorschriften, die eine Risikoanalyse zulassen, weder Aussagen zur Art der Darstellung des Risikos noch eine quantitative Angabe zu einem akzeptablen Risiko geben.


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0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40 80 160 360

Anzahl der Opfer bei Brückenversagen infolge Schiffsanprall

Häu

figke

it

Abb. 5-2: Häufigkeit der Anzahl von Todesopfern bei einem Brückenversagen infolge Schiffs-anprall in verschiedenen Klassen

Kapitel 6: Akzeptables Risiko

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6 Akzeptables Risiko „Aber in der Geschichte wie im menschlichen Leben bringt Bedauern einen verlorenen Au-genblick nicht wieder, und tausend Jahre kaufen nicht zurück, was eine einzige Stunde ver-säumt.“ STEFAN ZWEIG: Sternstunden der Menschheit, Die Eroberung von Byzanz, 1927 Soziale, gesundheitliche, natürliche und technische Risiken beeinflussen unser Leben, ohne daß wir, zumindest bei vielen dieser Risiken, eine freie Eintscheidung über die Akzeptanz be-sitzen. Es ist in Deutschland nicht üblich, daß vor einer Brücke ein Schild mit der Angabe einer operativen Versagenswahrscheinlichkeit angebracht ist, um dem Nutzer die Entschei-dung freizustellen, ob ihm die Sicherheit als ausreichend erscheint, und er dieses Bauwerk nutzen möchte. Der Nutzer geht stillschweigend davon aus, daß der Staat gemäß seiner Schutzpflicht die Festlegung und Einhaltung eines akzeptablen Risikos prüft. Es sei bis auf weiteres ferner angenommen, daß der Staat versucht, ein homogenes Niveau der Sicherheit über alle Bereiche des Lebens in einer Gesellschaft zu verwirklichen. Die speziel-len Risiken in allen nur denkbaren Bereichen des täglichen Lebens sollten eine ähnliche Grö-ßenordnung besitzen. In anderen Worten, ein Mitglied der unbeteiligten Öffentlichkeit sollte nicht ohne Warnung einem signifikant höheren Risiko ausgesetzt werden, als es dies sonst ist. Die Definition der Sicherheit in Form eines akzeptablen Risikos wird damit zur fundamenta-len Grundlage für das Zusammenleben der Bewohner in Deutschland. Die von allen Bewoh-nern anerkannte Grundlage ist die Verfassung. Es wäre deshalb vernünftig, bei der Suche nach einem übergeordneten akzeptablen Risiko bei der Verfassung und anschließend bei ihren Verfeinerungen, den Gesetzen zu beginnen.

6.1 Rechtliche Grundlagen und Judikatur In der Tat ist die Frage der allgemeinen Sicherheit im Grundgesetz, Artikel 2, Absatz 2 mit dem Recht auf Leben und körperliche Unversehrtheit verankert. Ähnliche Abschnitte finden sich in den Verfassungen nahezu aller entwickelter Staaten und in der 1948 von der UNO-Vollversammlung angenommenen Menschenrechtserklärung. In der Rechtsprechung wird weiterhin im Sinne von Sicherheitsanforderungen der Begriff der Gefahrenabwehr verwendet. Bezüge zur Gefahrenabwehr finden sich im Zivilrecht (Scha-densersatz § 823 Abs. 1 BGB), im Produkthaftungsgesetz § 1, Abs. 1 oder in der Verwal-tungsordnung § 123, 80 Abs. 5. Ganz speziell im Bauwesen wird die Sicherheit z. B. unter § 3 Allgemeine Anforderungen in der SächsBO (Sächsische Bauordnung) gefordert [17]:

„(1) Bauliche Anlagen sowie andere Anlagen und Einrichtungen im Sinne von § 1 Abs. 1 Satz 2 sind so anzuordnen, zu errichten, zu ändern, instandzusetzen und instandzuhalten, daß die öffentliche Sicherheit und Ordnung, insbesondere Leben oder Gesundheit oder die natürlichen Lebensgrundlagen nicht gefährdet werden. ...“


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In der Rechtsprechung wird ein akzeptables Risiko als „de minimis“ Risiko bezeichnet. Der Ausdruck „de minimis“ stammt aus dem lateinischen Satz: „De minimis non curat lex“, der soviel bedeutet wie: „Das Gesetz befaßt sich nicht mit Kleinigkeiten“. Diese Gefahren sind nicht Thema für die Öffentlichkeit und sind vernachlässigbar. Das heißt aber nicht, daß solche Unfälle nicht eintreten können. Was aber nun die Unbedenklichkeit einer Gefahr bzw. ein „de minimis“ Risiko in Zahlen dar-stellt, darüber hält sich der Gesetzgeber bedeckt. Gelegentlich werden unklare Gesetze durch Gerichtsurteile für die Allgemeinheit verständlicher, darum soll noch ein Blick auf verschie-dene Gerichtsverfahren geworfen werden. In der Tat gibt es in diesem Zusammenhang in Deutschland einige Gerichtsurteile. 1975 ent-schied das OVG Münster, daß die Eintrittswahrscheinlichkeit eines atomaren Störfalls von 10-7 pro Jahr als akzeptables Restrisiko betrachtet werden darf [218]. Zu dem gleichen Ergebnis kam das VG Freiburg 1977 [304]. In dem gleichen Jahr befaßte sich auch das VG Würzburg mit dieser Thematik [305]. Allerdings wurde 1997 durch das Hessische VGH die gerichtliche Entscheidung über einen akzeptablen Wahrscheinlichkeitswert zurückgewiesen [122]. In Be-zug auf Schiffsanprall gegen Brücken gab es im Jahre 2000 durch das OVG Rheinland-Pfalz eine Entscheidung betreffs der Frage, ob durch eine Fahrrinnenvertiefung eine Erhöhung des Risikos eintreten würde. Diese Frage wurde durch das OVG Rheinland-Pfalz verneint [219]. Das Bundesverfassungsgericht hat sich in der Kalkar-Entscheidung ansatzweise mit der Fest-legung von akzeptablen Risiken befaßt. Es finden sich dort allerdings nur Begriffe wie „prak-tisch unvorstellbar und ausgeschlossen“ oder „unerheblich“, ohne daß eine Festlegung eines Wertes erfolgt (MRASEK-ROBOR [197]). In der amerikanischen Rechtssprechung findet sich zumindest in einem Fall ein Hinweis auf ein akzeptables Risiko [299], auch wenn ein erheblicher grauer Bereich bleibt. Zitat:

„If, for example, the odds are one in a billion that a person will die from cancer by taking a drink of chlorinated water, the risk clearly could not be considered significant (10-9). On the other hand, if the odds are one in a thousand (10-3) that regular inhalation of gasoline vapors that are 2 % benzene will be fatal a reasonable person might well con-sider the risk significant and take the appropriate steps to decrease or eliminate it.”

In England befaßten sich bereits 1949 Juristen mit der Problematik des Vergleiches von Risi-ken, wie folgendes Zitat beweißt:

“„Reasonably practicable“ is narrower term than „physically possible“ and seems to me to imply that a computation must be made by the owner in which the quantum of risk is placed on one scale and the sacrifice involved in the measures necessary for averting the risk (whether in money, time or trouble) is placed in the other, and that, if it be shown that there is a gross disproportion between them – the risk being insignificant in relation to the sacrificed – the defendants discharge the onus on them.” (Richter Asquith, Ed-wards v. National Coal Board, All England Law Reports, Vol. 1, p. 747 (1949))

Basierend auf diesem Entscheid wurde das sogenannte ALARP-Prinzip (As low as reasonable practicable) entwickelt, welches im englischsprachigen Raum weit verbreitet ist.


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Im folgenden seien noch zwei Fälle genannt, bei denen die Gerichte nicht der Meinung waren, daß die vom Hersteller als akzeptable Risiken festgelegten Werte den Anforderungen an ein „de minimis“ Risiko erfüllten. Patricia Anderson klagte Mitte der 90er Jahre gegen General Motors, weil bei ihrem Auto nach einem Auffahrunfall der Tank explodierte. Dem Auto-hersteller war der Konstruktionsmangel bekannt. Es wurde mit 500 Schwerverletzten bzw. Toten pro Jahr bei 41 Millionen Fahrzeugen der Firma General Motors gerechnet. Der Kon-zern berücksichtigte rechnerisch die auf geltender Rechtslage basierenden Schadensersatzfor-derungen in Höhe von 100 Millionen Dollar pro Todesfall pro Jahr. Tatsache ist aber, daß das Gericht auf Grundlage des Wissens um den Mangel General Motors mit einer Schadenser-satzsumme von 4,9 Milliarden Dollar belegte [285]. Als zweites Beispiel sei eine Klage gegen Ford Ende der 70er Jahren genannt, weil der Tank des Ford Pinto explosionsgefährdet war. Ford ging damals von 200.000 US$ für ein Men-schenleben und 67.000 US$ für eine schwere Verletzung aus. Es wurden ca. 11 Millionen Fahrzeuge verkauft. Pro Jahr wurde mit 2.100 verbrannten Fahrzeugen gerechnet. 1978 wurde Ford von einem Gericht in Kalifornien zu 128 Millionen Dollar Schadensersatz für einen verletzten Fahrer verurteilt (FORD vs. Weinberger, Romeo). Zusammenfassend kann man feststellen, daß Gesetze einen Zahlenbetrag zur Definition eines akzeptablen Risikos schuldig bleiben. Bei den Gerichtsurteilen gibt es sowohl Zahlenwerte, die akzeptiert wurden als auch unakzeptable Werte. Dazwischen muß das akzeptable Risiko liegen. Einen weiteren Ansatzpunkt für die Suche nach einem akzeptablen Risiko findet man in einer der üblichen Beschreibungen für eine nichtakzeptable Gefährdung in LÜBBE-WOLFF [172] mit: „gewisse erhebliche, das allgemeine Lebensrisiko signifikant erhöhende Größe der Gefahr“. Diesem Ansatz der pauschalen Festlegung des akzeptablen Risikos über das allgemeine Le-bensrisiko folgen auch die Bauvorschriften. Ein Schiffsanprall zählt zu den außergewöhnli-chen Einwirkungen (DIN 1055-9). Sowohl der Eurocode als auch die DIN 1055-9 lassen für außergewöhnliche Einwirkungen eine Risikoanalyse zu. Dazu heißt es z. B. im Eurocode 1, Abschnitt 3.2, Bemessung für außergewöhnliche Situationen [84] (oder in der DIN 1055-9 5.1 (2) sinngemäß):

„Der Ausschluß eines Risikos kann in den meisten Fällen nicht erreicht werden, somit ist es erforderlich, ein gewisses Risiko zu akzeptieren. ... Bei Festlegung der Risikostufe sollte auch ein Vergleich mit Risiken, die bei vergleichbaren Bemessungssituationen von der Gesellschaft akzeptiert werden, durchgeführt werden.“

Es gilt also, das von der Gesellschaft akzeptierte Risiko festzustellen.

6.2 Alltägliches Risiko Dazu müssen Risiken aus allen Bereichen des Lebens erfaßt und zusammengestellt werden. Die erste hier behandelte Darstellung von Risiken sei die reine Nennung der Sterbehäufigkeit bzw. Sterbewahrscheinlichkeit pro Jahr pro Person bzw. das Sterberisiko pro Jahr pro Person für eine Gruppe von Menschen. Darunter soll ein Ereignis mit einer bestimmten Wahrschein-lichkeit und dem Tod eines Menschen als Konsequenz verstanden werden. Damit beschreiben die Begriffe Sterbehäufigkeit und Sterberisiko den gleichen Sachverhalt. Tab. 6-1 ist eine umfangreiche Zusammenstellung zahlreicher in verschiedenen Quellen ge-nannter Sterbehäufigkeiten in den verschiedensten Ländern. Einen Überblick über den Bereich

der Sterbehäufigkeiten bzw. Wahrscheinlichkeiten gibt Abb. 6-1. Die höchsten Werte ohne be-


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wußte Wahl eines Risikos scheinen in entwickelten Industrieländern in Friedenszeiten etwa bei

1,0·10-4 zu liegen. Für die geringsten Werte kann man nur grobe Schätzungen anstellen, derar-

tige Werte sind einfach zu selten. Todesursache/Sachverhalt Relative Sterbehäufigkeit/Jahr Quelle Dschungelkinder in den ersten zwei Lebensjahren in Irian Jaya 2,5·10-1 Säuglingssterblichkeit in Mali 1,2·10-1 [340] Deutscher Soldat im II. Weltkrieg 7,0·10-2 [217] Säuglingssterblichkeit (Entwicklungsländer) 6,4·10-2 [340] Storebælt Link Brücke (<19 Todesopfer) rechnerisch 2,0·10-2 [67] Allg. für Männer zwischen 54 und 55 Jahren in der DDR 1988 1,0·10-2 [273] Allg. für Frauen zwischen 60 und 61 Jahren in der DDR 1988 1,0·10-2 [273] Verlust einer Raumfähre pro Mission (NASA 1989) 1,0·10-2 [203] Allgemeine Sterbehäufigkeit in den USA 9,0·10-3 [223] Allgemeine Sterbewahrscheinlichkeit (USA – 1999) 8,6 10-3 [77] Säuglingssterblichkeit (Industrieländer) 8,0·10-3 [340] Krebs (USA – 1999) 5,7 10-3 [77] Herzkrankheit (USA – 1999) 5,7 10-3 [77] Muttersterblichkeit bei Geburt (Entwicklungsländer) 5,0·10-3 [340] Akzeptables Risiko in der britischen Schwerindustrie (alter W.) 4,0·10-3 [225] Rauchen (USA – 1999) 3,6 10-3 [77] Herzkrankheit in den USA (1975-1995) 2,9·10-3 [223] Krebs (jedes Alter, U.K.) 2,8·10-3 [139] Bergsteigen (international) 2,7·10-3 [238] Raumfahrer (ESA CRV) 2,0·10-3 [139] Akzeptables Risiko in der britischen Schwerindustrie (neuer W.) 2,0·10-3 [225] Canvey Island (England) 2,0·10-3 [225] Hochseefischerei 1,7·10-3 [238] Gewaltverbrechen (Johannesburg 1993) 1,5·10-3 [244] Untertagebau (D 1950) 1,3·10-3 [120] Fliegen (Crew) 1,2·10-3 [238] Allg. Männer zwischen 17 und 18 Jahren in der DDR 1988 1,0·10-3 [273] Allg. Frauen zwischen 35 und 36 Jahren in der DDR 1988 1,0·10-3 [273] Bergsteigen (USA – 1999) 1,0 10-3 [77] Akzeptables Risiko bei medizinischen Operationen 1,0·10-3 Akzeptables Risiko auf britischen Erdölplattformen 1,0·10-3 [225] Akzeptables Risiko auf norwegischen Erdölplattformen 1,0·10-3 [225] Untertagebau (USA 1970) 8,4·10-4 [120] Untertagebau (U.K. 1950) 7,4·10-4 [120] Untertagebau (Kanada 1970) 6,2·10-4 [120] Untertagebau (D 1980) 5,9·10-4 [120] Versagen von Dämmen 5,0·10-4 [77] Unerwarteter Tod (USA) 3,7·10-4 [307] Kohlebergbau 3,3·10-4 [238] Lungenkrebs in Deutschland 3,2·10-4 [6] Untertagebau (U.K. 1970) 3,0·10-4 [120] Verkehrsunfälle mit Motorfahrzeugen (USA – 1967) 2,7·10-4 [273] Unerwarteter Tod (Australien) 2,5·10-4 [307] Autofahren 2,2·10-4 [238] Autounfall (USA – 1999) 2,0 10-4 [77] AIDS (USA 1995) 2,0·10-4 [223] Bauarbeit 1,7·10-4 [238] Ford wählte als akzeptables Risiko (70er Jahre) 1,6·10-4 AIDS (USA 1996) 1,5·10-4 [223] Bergbau 1,4·10-4 [139] Fliegen (Passagier) 1,2·10-4 [238] Verkehrsunfälle mit Motorfahrzeugen (D 1988) 1,2·10-4 [273] AIDS weltweit 1,2·10-4 [25] Versagen von Brücken 1,1·10-4 [77] Hausarbeit 1,1·10-4 [238] Zulässiges Risiko für alte Bauwerke 1,0·10-4 [225] Unfall zu Hause (USA – 1999) 1,0 10-4 [77] Stürze (USA – 1967) 1,0·10-4 [273] Haushalt 1,0·10-4 [139] Gewaltverbrechen (USA 1981) 1,0·10-4 [312] Allgemein 14 jährige Mädchen in den Niederlanden 1,0·10-4 [225] Krebsauftrittswahrscheinlichkeit mit Handlungsbedarf 1,0·10-4 [308]


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Muttersterblichkeit bei Geburt (Industrieländer) 1,0·10-4 [340] Gewaltverbrechen (USA 1981) 9,8·10-5 [312] Straßenverkehr (U.K.) 9,1·10-5 [139] Todesopfer bei Polizeiaktionen in den USA 8,6·10-5 [223] Stürze (D 1988) 8,1·10-5 [273] Schiffsverkehr (Linienfahrten) 8,0·10-5 [139] Flugverkehr (Linienflüge) 10.000 Meilen pro Jahr 6,7·10-5 [139] Gewaltverbrechen (USA 1998) 6,3·10-5 [312] Kernkraftwerksversagen in D (Früh- und Spätfolgen) 5,8·10-5 [120] Fabrikarbeit 4,0·10-5 [238] Feuer und Explosionen (USA – 1967) 3,7·10-5 [273] Storebælt Link (20-200 Todesopfer) rechnerisch 3,0·10-5 [67] Ertrinken (USA – 1967) 2,9·10-5 [273] Gewaltverbrechen (London 1993) 2,5·10-5 [244] Dammversagen mit Todesfolge in den USA 2,5·10-5 [167] Drogenkonsum (D 1999) 2,2·10-5 [26] Flugzeugunfall (USA – 1999) 2,0 10-5 [77] Arbeitsunfälle (U.K.) 1,4·10-5 [139] General Motors wählte als akzeptables Risiko (90er Jahre) 1,2·10-5 [285] Akzeptables Risiko 1,1·10-5 [40] Feuer (USA – 1999) 1,0 10-5 [77] Versagen von Hochbauten 1,0·10-5 [77] FDA zulässige Krebswahrscheinlichkeit einer Substanz 1,0·10-5 [225] Zulässiges Risiko für neue Bauwerke (Niederlande) 1,0·10-5 [225] Akzeptables Risiko (Niederlande) 1,0·10-5-1,0·10-6 [259] Flugverkehr (USA – 1967) 9,0·10-6 [273] Straßenverkehr (10.000 Meilen pro Jahr, vorsichtiger Fahrer) 8,0·10-6 [139] Gebäudebrände 8,0·10-6 [238] Gasvergiftungen (USA – 1967) 7,9·10-6 [273] Eisenbahnverkehr (USA – 1967) 5,0·10-6 [273] Eisenbahnverkehr (D 1988) 4,4·10-6 [273] Storebælt Link (>200 Todesopfer) rechnerisch 3,0·10-6 [67] Erfrierung (USA – 1967) 1,6·10-6 [273] Naturkatastrophen in den USA 1,4·10-6 [223] Flugverkehr (D 1988) 1,2·10-6 [273] Maximale zulässige Sterbewahrscheinlichkeit 1,0·10-6 [225] De minimis Risk 1,0·10-6 [184] De minimis Risk 1,0·10-6 [143] Dürre USA (1980-2000) 1,0·10-6 [223] EPA zulässige Krebswahrscheinlichkeit einer Substanz 1,0·10-6 [225] Gefährdung von Individuen durch Kernkraftwerke USNRC 1,0·10-6 [225] Akzeptables Risiko 1,0·10-6 [85] Hunger, Durst, Erschöpfung (USA – 1967) 9,7·10-7 [273] Naturkatastrophen (Erdbeben, Hochwasser u.ä.) (USA – 1967) 8,2·10-7 [273] Tod durch Überflutung in den USA (1967-1996) 5,4·10-7 [223] Blitzschlag (USA – 1967) 4,4·10-7 [273] Wirbelstürme USA (1967-1996) 3,7·10-7 [223] Blitzschlag USA (1967-1996) 3,2·10-7 [223] Bisse und Stiche von Tieren (USA – 1967) 2,2·10-7 [273] Bauwerksversagen 1,0·10-7 [238] De minimis Risk für Arbeiter 1,0·10-7 [225] Tod eines Menschen auf dem Arbeitsweg mit ÖPNV/Bahn 1,0·10-7 [50] De minimis Risk 1,0·10-7 [77] Blitzschlag (U.K.) 1,0·10-7 [139] Hoher und tiefer Luftdruck (USA – 1967) 6,5·10-8 [273] Erdbeben (1990-2000) 5,1·10-8 [223] Hagelstürme USA (1990-2000) 3,1·10-8 [223] Vulkanausbruch USA (1990-2000) 2,2·10-8 [223] Massensterben in der Erdgeschichte 1,1·10-8 [194] De minimis Risk für die Öffentlichkeit 1,0·10-8 [225] Akzeptables Risiko für Krebs Ende der 50er (erste Zahlen) 1,0·10-8 [144]

Tab. 6-1: Sterbehäufigkeiten nach verschiedenen Quellen. Gleiche Aktivitäten können auf Grund unterschiedlicher Regionen und unterschiedlicher Bezugszeiten unterschiedliche Ster-behäufigkeiten besitzen.


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Abb. 6-1: Einige rechnerische Sterbewahrscheinlichkeiten und empirische Sterbehäufigkeiten basierend auf verschiedenen Tätigkeiten und Umständen aus Tab. 6-1 Handlung Todesursache 1,4 Zigaretten rauchen Krebs, Herzinfarkt ½ Liter Wein trinken Zirrhose der Leber 1 Stunde in einem Kohlebergwerk verbringen Schwarze Lunge 3 Stunden in einem Kohlebergwerk verbringen Unfall 2 Tage in New York oder Boston leben Luftverschmutzung 6 min mit einem Kanu fahren Unfall 10 km mit einem Fahrrad fahren Unfall 250 km mit dem Auto fahren Unfall 1600 km mit dem Flugzeug fliegen Unfall 10 000 km mit dem Flugzeug (Jet) fliegen Krebs durch kosmische Strahlung 2 Monate in einem üblichen Mauerwerkshaus Krebs durch natürliche Radioaktivität Eine Röntgenuntersuchung in einem guten Krankenhaus Krebs durch Röntgenstrahlung 2 Monate mit einem Raucher zusammenleben Krebs, Herzinfarkt 40 Eßlöffel Erdnußbutter essen Krebs durch Aflatoxin B 1 Jahr das Trinkwasser von Miami trinken Krebs durch Chloroform 30 12-oz Dosen eines Diät Soft Drinks trinken Krebs durch Saccharin 1000 24-oz Soft Drinks aus Plastflaschen Krebs durch Acrylonitrile Monomere 100 gegrillte Steaks essen Krebs durch Benzopyrene 150 Jahre im 20 km-Radius eines Kernkraftwerkes leben Krebs durch Strahlung

Tab. 6-2: Handlungen, die die Sterbewahrscheinlichkeit um 1:106 erhöhen Todesrisiko/Unfallrisiko Quelle Eisenbahn (Japan) 1,3·10-12 Passagierkilometer [139] Eisenbahn (Gütertransport Deutschland) 2,0·10-6 Güterkilometer [139] Eisenbahn (allgemein) 4,7·10-4 Zugkilometer [139] Straßenverkehr (Japan) 1,5·10-10 Passagierkilometer [139] Straßenverkehr (allgemein) 2,1·10-5 Fahrzeugkilometer [139] Flugverkehr (Linienflüge) 1,1·10-10 Flugkilometer [139] Straßenverkehr (Europa) 1,0·10-8 Passagierkilometer [157] Straßenverkehr (Europa-Autobahnen) 3,0·10-9 Passagierkilometer [157] Speziell für den Flugverkehr gibt es Kritik an der Kalibrierung des Risikos anhand der geflogenen Kilometer, da Flugzeuge für das Zurücklegen großer Entfernungen gedacht sind. Es wurde bereits vorgeschlagen, das Risiko pro Start/Landung an-zugeben. Dann wird ein teilweise 100fach höheres Risiko für den Flugverkehr ermittelt.

Tab. 6-3: Fahrlängenbezogene Risiken verschiedener Verkehrsträger


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Man kann Tab. 6-1 auch invertieren, einen Zielwert festlegen und entsprechende Handlungen

wählen. In VISCUSI [307] und MCBEAN & ROVERS [184] wird die Erhöhung der Sterbewahr-scheinlichkeit um 1,0·10-6 bei der Durchführung nachfolgend genannten Tätigkeiten aufgelistet

(Tab. 6-2). KAFKA [139] und KRÖGER & HØJ [157] geben für verschiedene Transportmittel

fahrlängenbezogene Risiken an (Tab. 6-3). In Tab. 6-1 findet man für das de minimis risk mehrmals den Wert 10-6. Dieser Wert findet sich als Zielversagenswahrscheinlichkeit auch in den noch zu behandelnden Baunormen. Die Herkunft dieses Wertes bleibt umstritten. Häufig wird hierbei auf Arbeiten von Mantel und Bryan verwiesen. Diese gaben jedoch 1961 noch 10-8 als akzeptable Sterbewahrscheinlichkeit an. Zwischen an 1973 und 1977 verringerte die U.S Food and Drug Administration (FDA) diesen Zielwert auf 10-6 (KELLY [143]). Die Darstellung von Katastrophen mit der reinen Sterbewahrscheinlichkeit erlaubt es nicht, die

Schwere einer einzelnen Katastrophen zu erfassen. Die Aussagekraft der Sterbewahrscheinlich-keit als Parameter für Risiken ist darum begrenzt. So, wie beim Pressen eines Apfels durch ein

Sieb der Geschmack des Apfels zwar erhalten bleibt, die innere Struktur aber verloren geht, so

kann die Zahl der Sterbewahrscheinlichkeit relativ wenig über dem Umfang einzelner Katastro-phen aussagen. Will man also, bildlich gesprochen, die Struktur des Apfels erhalten, muß man

andere Darstellungen wählen. Häufig verwendet man deshalb sogenannte F-N-Diagramme (Frequency-Numbers Diagrams). In diesen Diagrammen werden die Konsequenzen eines Versagens bzw. eines Unfalles der Häu-figkeit gegenüber gestellt. Die Konsequenzen werden überwiegend in der Anzahl von Todesop-fern, gelegentlich in monetären Einheiten angegeben. Es besteht dann aber die Frage der Über-führung von dem Einen in das Andere. Auf diese Problematik wird später noch eingegangen. Auf Grund der Berücksichtigung der Anzahl der Todesopfer spricht man auch von kollektiven

Risiken. Die Darstellung im F-N-Diagramm erfolgt doppeltlogarithmisch. Derartige Dia-gramme sind genau wie die Sterbehäufigkeiten immer nur für bestimmte Regionen und be-stimmte Zeitrahmen gültig. Als Zeiteinheit für die Häufigkeit der Ereignisse werden üblicher-weise Jahre verwendet. Es ist verständlicher von einer Häufigkeit von einmal in Hundert Jahren

zu sprechen als von 1,1·10-8 pro Stunde, wie es z. B. bei Flugzeugen üblich ist.

Die Risiken innerhalb eines solchen Diagramms werden allgemein in vier Gruppen unterteilt. Risiken der Kategorie 1 sind statistisch gut abgesichert. Kleinere Unfälle treten relativ häufig

auf. Schwere Unglücke sind sehr selten. Diese Risiken besitzen im F-N-Diagramm eine fallende

Gerade. In die Kategorie 2 gehören Risiken, bei denen die Schwere des Unglückes nicht von der

Häufigkeit abhängt oder mit der Häufigkeit zunimmt. Diese Risiken zeigen eine flach fallende, waagerechte oder sogar ansteigende Kurve. Risiken der Kategorie 3 sind nur theoretisch be-kannt. Sie liegen hinter dem Ereignishorizont, und es gibt keine statistischen Daten darüber. Kategorie 4 sind Ereignisse, die als Schaden die Menge der Erdbevölkerung übersteigen. Unab-hängig von der statistischen Häufigkeit sind auch diese Ereignisse nicht bekannt [302]. Ein konstantes Risiko müßte in diesem Diagramm eine fallende Linie mit einem 45° Winkel

besitzen und läßt sich theoretisch begründen (ELMS [78]). Risiken der Kategorie 1 folgen dieser

Annahme sehr gut. Risiken infolge Naturkatastrophen verlaufen allerdings etwas flacher und

zeigen Charakteristika der Risiken vom Typ 2. Auf Grund des Anwachsens der Weltbevölke-rung zeigen die Kurven in den letzten Jahren außerdem eine Verschiebung nach rechts. Weitere Ausführungen über die Anstieg der Risikokurven findet sich in BALL & FLOYD [8]. F-N-Kurven finden sich in zahlreichen Veröffentlichungen (LARSEN [163], US-Guide [51], RACKWITZ [238], HANSEN [117]), teils allgemein, teils auf bestimmte Probleme bezogen. Sie

sind hervorragend für Vergleiche verschiedener technischer Lösungen geeignet. So werden in


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der Schweiz F-N-Diagramme für die Entscheidungsfindung von unterschiedlichen Straßenfüh-rungen (eine Lösung mit Tunnel, eine ohne Tunnel) verwendet. Bei der bisherigen Betrachtung des Sterberisikos bzw. der Sterbewahrscheinlichkeit wurde

keine Unterteilung nach Ursachen vorgenommen. Gerade unter dem Gesichtspunkt des Ver-hältnisses der Eintrittswahrscheinlichkeit einer Gefährdung und der mittleren Lebenszeit eines

Menschen lassen sich die Naturkatastrophen aus der Menge aller Gefährdungen herauslösen. Während die Gefährdung durch Kraftfahrzeuge erst seit 100 Jahre besteht, kann man z. B. für

Anatolien die Gefährdung durch Erdbeben schon sehr lange zurückverfolgen, allerdings mit

einer weitaus geringeren Häufigkeit als Autounfälle.


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Autoverkehr

Insgesamt

Flugzeugabsturz (insges.)

Feuer

Explosionen

Dammbruch

Chlorfreisetzung

Flugzeugabsturz(Personen am Boden)

Kernkraftwerke

Kernkraftwerke

TodesfälleTodesfälle

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Tornados

Erdbeben

Hurricans

Meteore

Naturereignisse insges.

Autoverkehr

Todesfälle

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150 BilliardenUS-$5 Millionen10 Milliarden

106

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K 1

K 2

Erfahrungshorizont

Konstantes Risiko

Abb. 6-2: HANSEN gibt die oberen Bilder für Naturkatastrophen und technische Risiken an [117], im unteren Bild erfolgt die Klassifizierung der Risiken nach VAN BREUGEL [302]


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6.3 Naturkatastrophen Natürliche Risiken beziehen sich auf den Eintritt von Naturkatastrophen durch Schneestürme, Hagel, Dürre, Überschwemmungen, Wirbelstürme, Vulkanausbrüche, Erdbeben und Meteori-ten. Letztere sind ein Risiko, das durchaus der Kategorie 3 oder 4 zugeordnet werden kann. Ob-wohl die Erde pro Jahr ca. 20.000 Meteoren mit einer Geschwindigkeit von bis zu 10.000 km/h ausgesetzt ist (Abb. 6-3), sind die Erfahrungen mit Einschlägen von Meteoriten auf der Erde sehr gering. Es handelt sich hierbei um eine Ereignis mit einer außergewöhnlich gerin-gen Wahrscheinlichkeit, im Falle eines Eintrittes aber mit hohen möglichen Konsequenzen. So wird vermutet, daß das sogenannte K/T Boundary Extinction Event auf den Einschlag ei-nes Meteoriten im Bereich des heutigen Mexiko zurückzuführen ist. In der Konsequenz dieses Ereignisses starben 17 % aller biologischen Familien (u.a. die Saurier) innerhalb kürzester Zeit aus. Das größte Ereignis dieser Art von Massensterben war die Permian Katastrophe. Innerhalb von 100.000 Jahren starben auf der Erde zwischen 50 % und 90 % aller biologi-schen Arten aus. Tab. 6-4 listet die nachgewiesenen Ereignisse von Massensterben in der Erdgeschichte auf. Meteoriteneinschläge haben vermutlich einen nicht unbedeutenden Beitrag dazu geleistet. Tab. 6-5 nennt einige Beispiele von Meteoriteneinschlägen. Als weiteres Beispiel für Risiken mit einem hohen Schadenspotential seien Erdbeben genannt. Die Häufigkeit von Erdbeben ist im Vergleich zu Meteoreinschlägen bedeutend größer. Das ermöglicht aber auch eine bessere statistische Aufbereitung. Als Beispiel für das Risiko in einem Erdbebengebiet sei Anatolien genannt. GORE [104] gibt basierend auf geologischen Untersuchungen an, daß sich in den letzten 4.000 Jahren in Ana-tolien ca. 60 Erdbeben mit einer Magnitude größer 7,5 ereignet haben müssen. Teilweise las-sen sind auf Grundlage alter Schriftstücke sogar die Jahreszahlen ermitteln. Die Stadt Antioch wurde 115, 526, 588 und 1872 von schweren Erdbeben betroffen. Was die Schwere der Naturkatastrophen angeht, so führen Erdbeben die Liste der zivilen Ka-tastrophen mit den größten Verlusten an. Tab. 6-6 listet die schwersten erfaßten Erdbeben in der Geschichte der Menschheit auf. Zeitalter Vor Prozent der biologischen Familien, die aussterben Ordovician 440 Millionen Jahre 25 % Devonian 370 Millionen Jahre 19 % Permium 250 Millionen Jahre 54 % * Triassic 210 Millionen Jahre 23 % Cretaceous 65 Millionen Jahre 17 % (K/T Boundary Extinction Event) Mittelwert des zeitlichen Abstandes 88 Millionen Jahre entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 1,14·10-8 pro Jahr

Tabelle nach MORELL [194], * Nach HOFFMANN [123] starben im Permium 90 % aller Meereslebewesen auf der Erde aus. Tab. 6-4: Massensterben von Tierarten in der Erdgeschichte Name Zeitpunkt Besonderheiten Nördlinger Rieskrater 15 Millionen Jahren Alter Barringer Krater vor 50.000 Jahren 170 m tief Ensisheim 1492 Allende Meteorit 8. Februar 1969 4 Tonnen Bruchstücke Sikhote-Alin-Meteorit 12. Februar 1947 200 Krater, größter 27 m Durchmesser Tunguska Meteorit, Mittelsibirien

30. Juni 1908 1000 km weit zu hören, 7 Millionen Tonnen schwer, 1.600 km2 Wald zerstört

Tab. 6-5: Beispiele von Meteoriteneinschlägen [200]


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Abb. 6-3: Am 31. Juli 2001 von Paul Brown in Rochester, New York, 18:18 Ortszeit aufge-nommener Meteor (Pennsylvania Bolide). Der Meteor konnte von Kanada bis Virgina gese-hen werden. Die Explosion erschütterte Häuser.

Datum Land/Ort Todesopfer Magnitude23. Januar 1556 China, Shansi 830.000 27. Juli 1976 China, Tangshan 255.000* 8.0 9. August 1138 Syrien, Aleppo 230.000 22. Mai 1927 China, Xining 200.000 8.3 22. Dezember 856+ Iran, Damghan 200.000 16. Dezember 1920 China, Gansu 200.000 8.6 23. März 893+ Iran, Ardabil 150.000 1. September 1923 Japan, Kwanto 143.000 8.3 5. Oktober 1948 UdSSR, Turkmenistan, Ashgabat 110.000 7.3 September 1290 China, Chihli 100.000 28. Dezember 1908 Italien, Messina 70.000-100.000 7.5 November 1667 Kaukasus, Shemakha 80.000 18. November 1727 Iran, Tabriz 77.000 1. November 1755 Portugal, Lisabon 70.000 25. Dezember 1932 China, Gansu 70.000 7.6 31. Mai 1970 Peru 66.000 7.8 1268 Italien, Asia Minor, Sizilien 60.000 11. Januar 1693 Italien, Sizilien 60.000 30. Mai 1935 Pakistan, Quetta 30.000-60.000 7.5 4. Februar 1783 Italien, Calabria 50.000 20. Juni 1990 Iran 50.000 7.0 *nach offiziellen Angaben. Andere Schätzungen gehen von bis 655.000 Todesopfern aus.

Tab. 6-6: Liste der schwersten erfaßten Erdbeben [300]

Aber nicht alle Erdbeben erreichen diese furchtbaren Dimensionen. In den USA kosteten auch schwere Erdbeben in den letzten 10 Jahren nur 130 Menschenleben, allerdings aber auch 25 Milliarden Dollar (PARFIT [223]). Hier zeigen die umfangreichen Vorsorgemaßnahmen Wir-kung. Die überwiegenden Arten von Naturkastrophen zeigen aber Eigenschaften der Klasse 2 von Risiken. Das gilt für allem für die am häufigsten auftretenden Naturkatastrophen, die Wetter-unbilden (Stürme, Blitze, Fluten etc.). So sterben im Mittel in den USA pro Jahr weniger als 350 Menschen durch Fluten, Blitze, Wirbelstürme, Erdbeben, Vulkanausbrüche und Hagel (PARFIT [223]). Der amerikanische Wetterdienst gibt an, daß in den USA im Zeitraum von 1967 bis 1996 pro Jahr durchschnitt-lich 138 Menschen durch Fluten, 83 Menschen durch Blitze, 94 Menschen durch Wirbel-stürme (Tornados und Hurrikans) starben. Hagelstürme töteten in den 90ern in den USA 8 Menschen. Die Dürre und Hitzeperiode im Jahre 1988 in den USA verursachte zwischen


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5.000 und 10.000 Todesopfer und kostete ca. 40 Milliarden Dollar (PARFIT [223]). Der Vulkan-ausbruch des Mount St. Helens tötete 57 Menschen. Aber wie bei den Erdbeben muß man für die Einordnung der Naturkatastrophen klar die geo-graphische Lage beachten, in denen Naturkatastrophen eintreten. In anderen Erdregionen erreichen Überschwemmungen verheerende Auswirkungen. So starben im Oktober/November 1998 in Mittelamerika 2.000 Menschen bei den Überschwemmungen (WILLIAMS [326]). 1997/1998 starben weltweit schätzungsweise 2.100 Menschen bei einem El Niño. Die Kosten wurden auf 33 Milliarden US$ geschätzt. In Peru allein wurden ca. 300 Brücken zerstört (WILLIAMS [326]) Ob die Anzahl der Naturkatastrophen in den letzten Jahren zugenommen hat, ist z. Z. noch Gegenstand reger wissenschaftlicher Diskussionen. Z. B. weiß man beim El Niño, daß die vier stärksten El Niño’s des letzten Jahrhunderts in den letzten 20 Jahren auftraten. Dazu in [75]:

„…the bottom line is the past 20 years are different from the previous 30.“

Es gibt aber auch schriftliche Zeugnisse über El Niño’s in Peru seit mindestens 1525. Wissen-schaftler vermuten, daß es seit mindestens 13.000 Jahren El Niño’s in Peru gibt [75]. In In-dien soll 1789-1793 eine Dürre infolge eines El Niño ca. 600.000 Menschenleben gekostet haben [75]. Auf andere natürliche Risiken sei an dieser Stelle nicht weiter eingegangen. Es sei aber er-wähnt, daß natürliche Risiken und technische Risiken immer mehr verschmelzen.

6.4 Technische Risiken Am 7. August 1975 versagte nach mehr als 26 Stunden sintflutartigen Regens der Banqiao Damm in Zentral China in der Provinz Henan inklusive weiterer Dämme, wie z. B. dem Shi-mantan Damm. Dabei wurden 600 Millionen m3 Wasser freigegeben, die sich mit einer Ge-schwindigkeit von ca. 50 km/h über die dahinter befindlichen Täler und Ebenen bewegten. Nach chinesischen Angaben starben innerhalb der nächsten 24 Stunden ca. 85.000 Menschen. Infolge des Hungers und der Ausbreitung von Krankheiten als Folge der Überschwemmung starben noch einmal 145.000 Menschen. Sollten die Angaben korrekt sein, ist die Henan-Ka-tastrophe hinter dem Tangshan-Erdbeben von 1976 die zweitgrößte registrierte zivile Kata-strophe überhaupt. Sie gilt als die größte erfaßte technische Katastrophe aller Zeiten (LIND & HARTFORD [167]). Deutlich erkennbar ist in diesem Beispiel die Verbindung von natürlichen und technischen Risiken. Außerdem werden die sekundären bzw. indirekten Auswirkungen einer Katastrophe sichtbar. Derartige Auswirkungen werden auch als Folgekatastrophen bezeichnet. Eine sekundäre Auswirkung von Zerstörungen ist z. B. die beschränkte Erreichbarkeit der Regionen nach Naturkatastrophen. So gibt es in Japan Untersuchungen über die Auswirkung des Einsturzes von Brücken auf die Erreichbarkeit von durch Erdbeben zerstörten Regionen (KIMORA & AOYAMA [148]). Die Auswirkungen des Versagens von Dämmen wie beim o. g. Beispiel lassen sich aber nicht verallgemeinern. Üblicherweise hat das Versagen von Dämmen keine so gewaltigen Aus-maße: Von 1960 bis 1996 versagten von ca. 23.700 Dämmen in den USA 23 Dämme (LIND &


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HARTFORD [167]). Dabei waren 318 Todesopfer zu beklagen. Basierend auf dieser Daten-grundlage kann man die Sterbewahrscheinlichkeit in den USA pro Jahr mit 1:40.000 angeben. Damit handelt es sich weder um ein sehr häufiges noch um ein sehr seltenes Ereignis. Ein Beispiel für ein technisches Risiko mit einer großen Sterbehäufigkeit ist der Individual-verkehr. Seit 1960 sind in Europa 5 Millionen Menschen durch Verkehrsunfälle tödlich ver-unglückt. Allein 1997 starben 120.000 Menschen in Europa. In Deutschland starben in den

letzten Jahren ca. 7.000-8.000 Menschen pro Jahr, und es wurden ca. 500.000 Verletzte gezählt. Trotz dieser Zahlen kann man die Entwicklung der Sicherheit in PKW’s als Erfolg ansehen. Die

Anzahl der Todesopfer pro Jahr ist auf dem Stand von vor 40 Jahren, und das, obwohl sich das

Verkehrsaufkommen dramatisch erhöht hat. Auf eine Milliarde gefahrener Kilometer kommen

heute zehn Todesopfer. Vermutlich war Autofahren niemals sicherer als heute (KRÖGER & HØJ

[157]). Auf der anderen Seite gibt es technische Risiken mit einer außergewöhnlich geringen Ein-trittswahrscheinlichkeit. Als Beispiel sei hier der Tod durch Flugzeugabsturz auf der Erdober-fläche genannt. Tab. 6-7 nennt einige Vorkommnisse dieser Art. Im Zeitraum von 1954 bis 1983 stürzten etwa 5000 Flugzeuge ab, wobei diese Zahlen nicht die Abstürze in der Sowjetunion und China berücksichtigen. Pro Jahr ergeben sich damit 166 Abstürze. Unter der Annahme, daß ca. 1 % der Fläche eines Landes bebaut ist, ergibt sich eine Trefferwahrscheinlichkeit für ein Gebäude durch ein abstürzenden Flugzeug in einer Größenordnung von 10-8 pro Jahr (VAN BREUGEL [302]). Jahr Land/Beschreibung Opfer 1987 Deutschland, Privatflugzeug stürzt in Restaurant nahe München 6 Tote 1987 USA, A-7 Corsair stürzt auf Hotel in Indianapolis 14 Tote 1987 Deutschland, Harrier Jump-Jet stürzt auf Farm nahe Detmold 1 Toter 1988 Deutschland, A-10 Thunderbolt II stürzt ab und trifft 12 Häuser nahe Remscheid,

sechs Wohnblöcke fangen Feuer, 6 Tote, 40 Verletzte

1988 Schottland, Boeing 747 explodiert über Lockerbie, Teile treffen Tankstelle und drei Häuser

280 Tote

1989 Brasilien, Boeing 707 stürzt auf Slum nahe Sao Paulo 17 Tote, 200 Verletze 1990 Italien, Militärflugzeug fliegt in Schule 12 Tote 1992 USA, Hercules Transporter stürzt in Restaurant/Motel in Evanswille 16 Tote 1992 Niederlande, Boeing 747 fliegt in ein zehnstöckiges Gebäude 43 Tote 1992 USA, C 130 fliegt in ein Haus in West Virginia 6 Tote 1996 Brasilien, Fokker-100 stürzt in Sao Paulo ab, zahlreiche Häuser brennen 98 Tote 2000 Griechenland, Militärflugzeug fliegt in Haus 4 Tote 2000 Indien, Boeing 737-200 stürzt nahe Patna ab, zahlreiche Häuser brennen 57 Tote 2000 Frankreich, Concorde stürzt in Motel nahe Paris 113 Tote

Tab. 6-7: Unfälle mit Flugzeugabstürzen auf Bauwerke [302]

Ein technisches Risiko mit einem möglichen hohen Schadenspotential ist der Einsatz von Kernkraftwerken. In HAUPTMANNS, WERNER & HERTTRICH [120] wird eine Studie zu den Unfallfolgen an 19 Kernkraftwerkstandorten in Deutschland vorgestellt. Dabei wurde für die Folgen von Unfällen ein Durchmesser von 2.500 km und eine betroffene Bevölkerung von 670 Millionen Menschen zugrundegelegt. Frühschäden entstehen in einem Umkreis von 20 km. Diese Untersuchung ermittelt maximal 16.600 Tode durch Frühschäden und 100.000 Spättode mit einer Wahrscheinlichkeit von 5·10-10 pro Jahr (5,8·10-5 pro Jahr für die deutsche Bevölkerung). Auf Grund der absoluten großen Opferzahlen sind bei Kernkraftwerken frühzeitig Risikostu-dien durchgeführt worden. In Tab. 6-8 sind einige ermittelte Werte angeben. Zum Vergleich


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sind die Zielversagenswahrscheinlichkeiten von Flugzeugen und die Wahrscheinlichkeit von Bränden in üblichen Bauwerken mit angegeben. Staatliche Organi-sation

Quelle Sachverhalt, Ereignis Ziel pro Jahr (pro Reaktor)

DoE (USA) [298] keine Sicherheitsanforderungen - DoE (USA) [298] Sicherheit des Benutzers 1,0 10-3 DoE (USA) [298] Sicherheit des Benutzers, weitere Nutzung 5,0 10-4 DoE (USA) [298] Sicherheit des Benutzers, weitere Nutzung, kein Austritt von Materialien 1,0 10-4 DoE (USA) [298] Sicherheit des Benutzers, weitere Nutzung, kein Austritt von Materialien

mit erhöhten Anforderungen 1,0 10-5

U.S. NRC [184] Beschädigung des Containments eines Atomkraftwerkes (Core Damage Frequency - CDF)

10-4

U.S. NRC [184] frühzeitiger Austritt von radioaktivem Material (Large Early Release Fre-quency - LERF)

10-5

U.S. NRC [225] Reaktorkernbeschädigung 10-3 bis 10-4 U.S. NRC [132] Kernschmelzhäufigkeit 10-5 GRS „Precursor“ [101] Ausfall eines Frischdampf-Abblase-Regelventils 2,1·10-6 GRS „Precursor“ [101] Störungen an Armaturen in Treibwasserschleife 3,3·10-6 GRS „Precursor“ [101] Transiente beim Anfahren nach längerem Stillstand 4,7·10-5 GRS „Precursor“ [101] Leck in Kühlwasserleitung eines Notstromdiesels 3,0·10-6 GRS „Precursor“ [101] Unvollständiges Öffnen eines Druckbegrenzungsventils 1,9·10-5 GRS „Precursor“ [101] Schäden an Abgasleitungen von Notstromdieseln 4,7·10-6 GRS „Precursor“ [101] Fehlauslösung von Reaktorschutzsignalen 1,4·10-5 GRS „Precursor“ [101] Reaktorschnellabschaltung infolge einer Dampferzeugerniveauabsenkung 3,4·10-6 GRS „Precursor“ [101] Verdrahtungsfehler an Zeitstufen für Notstromdieselgeneratorschalter 5,4·10-5 GRS „Precursor“ [101] Reaktorschnellabschaltung nach Lastabwurf 2,4·10-6 GRS „Precursor“ [101] Brand in Leittechnikschränken 1,0·10-3 GRS „Precursor“ [101] Brand in Kabelverbindungen 1,0·10-4 GRS „Precursor“ [101] Brand mit Ausfall aller Sicherheitsfunktionen 1,0·10-7 GRS „Precursor“ [101] Systemschadenszustand pro Jahr pro Kraftwerk 3,8·10-6 GRS „Precursor“ [101] Kernschadenszustand pro Jahr pro Kraftwerk 3,8·10-7 NPP Rußland [251] Schwerer Unfall in Kernkraftwerk 1,0·10-5 NPP Rußland [251] Bruch des Reaktordruckbehälters 1,0·10-7 NPP Rußland [251] Strahlung, die die Evakuierung der umliegenden Bevölkerung erfordert 1,0·10-7 Australien [52] Versicherung bei Einsatz einer Rakete durch eine Firma gegen Schäden

mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,0·10-7

USA [105] Versagenswahrscheinlichkeit eines Militärflugzeuges 1,0·10-6 /h USA [139] Versagenswahrscheinlichkeit eines Zivilflugzeuges 1,0·10-9 /h Deutschland [50] Zerstörung eines Gebäudes durch Brand 2·10-4 DoE Department of Energy, U.S. NRC U.S. Nuklear Regulatory Commission, GRS Gesellschaft für Anlagen- und Reaktor-sicherheit „Precursor“ Analysen, Weitere Zahlen vorhandener Versagenswahrscheinlichkeiten finden sich auch in MICHAELIS & SALANDER [189].

Tab. 6-8: Zielwerte und rechnerische Werte von Auftritts- und Versagenswahrscheinlichkei-ten technischer Störungen in Kernkraftwerken. Zum Vergleich sind Zielwerte von Flugzeugen und Bränden in Gebäuden in Deutschland angegeben.

Der in Abb. 6-4 für 1996 angegebene Wert von 0,17 tödlichen Unfällen pro 100.000 Flug-stunden kann in eine mittlere Wiederkehrperiode eines tödlichen Unfalles alle 588.000 Flug-stunden umgerechnet werden. Dieser Zeitraum entspricht etwa 67 Jahren Flugzeit für eine Person [28].


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Abb. 6-4: Unfälle in Deutschland zugelassener Flugzeuge über 5,7 t pro tausend Flugstunden [28] Für Industrieunfälle im allgemeinen gibt es gut abgesicherte Überschlagsformeln. Ein be-kanntes Verhältnis für die Häufigkeit ist 1:29:300 für schwere Unfälle, leichte Unfälle und Unfälle ohne Verletzungen basierend auf 5.000 Unfällen). Ähnliche Werte von 1:30:60:600 für Unfälle mit Todesfolge oder schwerer Verletzung, Unfälle mit leichten Verletzungen, Unfälle mit Beschädigung von Sachgut und Unfälle ohne Verletzungen und ohne Beschädi-gungen (basierend auf 1.753.489 Unfällen gibt HANAYASU & TANG [116] an. Auf Grund die-ser Untersuchungen kann man für verschiedene Arten von Unfällen F-N-Kurven für unter-schiedliche Industriezweige angeben. Eine weiterführende Diskussion zu Industrieunfällen findet sich in KAFKA [139].

6.5 Gesundheitliche Risiken Die bisherigen Erläuterungen von Risiken gingen davon aus, daß alle Risiken außerhalb des Menschen entstehen. Es ist aber bekannt, daß wir uns selbst während unserer gesamten Le-benszeit mit gesundheitlichen Risiken auseinandersetzen müssen. Gesundheitliche Probleme sind die größte Gefährdung für Menschen. Herzkrankheiten kosteten von 1975 bis 1995 im Durchschnitt pro Jahr 743.000 US-Amerika-nern das Leben (PARFIT [223]) und sind damit Todesursache Nummer 1. Auch für Deutsch-land erhält man vergleichbare Zahlen (siehe Abb. 6-5). Auch die Gefahr, Krebs zu bekom-men, ist eine reale Bedrohung. Die Risiken dafür während eines gesamten Lebens sind in Tab. 6-9 nach [297] zusammengestellt. Daß nicht nur Krankheiten, sondern auch notwendige biologische Vorgänge mit einem er-höhten Risiko verbunden sind, zeigen die folgenden Angaben der Säuglingssterblichkeit und Müttersterblichkeit in Tab. 6-10 nach ZWINGLE [340].


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Atmungssystem 5,8 %

Sonstige 2 %

Todschlag & Selbstmord 1,4 %ungewollte Unfälle 2,7 %

Myokardinfarkt 10 %

Krebs 25 %

Erkrankungendes Herzkreislauf-systems 48 %

Verdauungssystem 4,8 %

Abb. 6-5: Todesursachen in Deutschland 1999 nach Angaben des Statistischen Bundesamtes Wiesbaden Krebsverursachende Situation oder Stoff Krebsrisiko w. der Lebenszeit 1. Sonnenbaden (Hautkrebs) 3,3·10-1 2. Zigaretten rauchen (mindestens eine Packung pro Tag) 8,0·10-2 3. Natürlicher Radongehalt innerhalb eines Hauses 1,0·10-2 4. Natürliche Strahlung außerhalb von Gebäuden 1,0·10-3 5. Passiver Raucher 7,0·10-4 6. Künstliche Chemikalien innerhalb von Gebäuden 2,0·10-4 7. Luftverschmutzung in Industriegebieten 1,0·10-4 8. Chemikalien im Trinkwasser 1,0·10-5 9. Chemikalien im Essen allgemein 1,0·10-5 (a) 2 oz. Erdnußbutter pro Woche (natürliches Aflatoxin) 8,0·10-5 (b) einmal im Jahr Forelle aus dem Lake Michigan essen 1,0·10-5 10. Ausgetretene Chemikalien aus Mülldeponien 1,0·10-4-1,0·10-6

Tab. 6-9: Krebsrisiko in der Lebenszeit nach [297] Land Säuglingssterblichkeit mittlere Säuglingssterblichkeit Kolumbien 28/1000 Industrieländer 8/1000 Brasilien 43/1000 Entwicklungsländer 64/1000 Nikaragua 46/1000 mittlere Muttersterblichkeit bei der Geburt Mexiko 28/1000 Industrieländer 0,1/1000 USA 7/1000 Entwicklungsländer 50,0/1000 Rußland 17/1000 Großbritannien 6/1000 Italien 6/1000 Türkei 42/1000 Deutschland 5/1000 Mali 123/1000 Ägypten 63/1000 Nigeria 63/1000 Botswana 60/1000 Iran 35/1000 Saudi-Arabien 29/1000 Indien 72/1000 China 31/1000 Japan 4/1000 Bangladesh 82/1000 Papua Neu-Guinea 77/1000 Australien 5/1000

Tab. 6-10: Säuglings- und Müttersterblichkeit in verschiedenen Ländern nach [340]


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Diese Zahlen belegen eine drastische Verringerung des Sterberisikos durch die Verbesserung der Lebensbedingungen. Bereits bei der Nennung der Opfer durch Flutkatastrophen deuteten sich Unterschiede zwischen Industrie- und Entwicklungsländern an. Nimmt man an, daß die mittlere Lebenserwartung ein Maß für das allgemeine Sterberisiko ist, dann ist die Summe aller Risiken in den entwickelten Länder um ein Vielfaches geringer als in Entwicklungslän-dern. Das verdeutlichen auch die folgenden Diagramme (Abb. 6-6):

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Entwicklung der mittleren Lebenserwartung in Europa seit 1500 nach COHEN [39] & in den USA seit 1900 nach [205]

Mittlere Lebenserwartung in verschiedenen Ländern in Abhängigkeit vom Pro-Kopf-Ein kommen [206] und Statistics Finland [277]

Abb. 6-6: Entwicklung der Lebenserwartung in der Geschichte und abhängig vom Brutto-sozialprodukt

Lebenserwartung Einkommen pro Einwohner in US$ Sierra Leone 34 Nigeria 50 1211Sambia 37 Australien 78 21382Indien 59 1628Saudi-Arabien 70 10283Frankreich 78 23357Rußland 67 4582China 71 3686Japan 80 24938Brasilien 67 6007Argentinien 72 9861USA 76 30462Mexiko 72 7499Kanada 78 23296 Abb. 6-7: Mittlere Lebenserwartung und Pro-Kopf-Einkommen [206] in verschiedenen Län-dern Die bisher genannten Zahlen über Opfer lassen den Eindruck entstehen, daß Technik nur Ri-siken schafft. Diese Aussage ist falsch. Der Einsatz von Technik verringert in der überwie-genden Anzahl der Fälle andere Risiken erheblich. Eindrucksvoller Beleg dafür ist die Zu-nahme der mittleren Lebenserwartung seit Beginn der industriellen Revolution (Abb. 6-6). Die menschliche Geschichte belegt bisher die Aussage, daß Technik und wirtschaftlicher Er-


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folg in Friedenszeiten nicht nur ein angenehmeres Leben, sondern auch eine längeres Leben ermöglichen. Diesen Erfolgen hat sich erst in den letzten Jahrzehnten ein sich entwickelndes gesellschaftli-chen Bewußtsein für technische Risiken entgegengestellt, welches in der Vergangenheit zu politischen Reaktionen (z. B. Ausstieg aus der Kernenergieerzeugung in Deutschland) in Form zahlreicher Gesetze führte und dies auch in Zukunft vermehrt tun wird. In Verbindung mit einer kritischen Betrachtung von Risiken bleibt aber bisher die Tatsache bestehen, daß die Opferzahlen aus technischen oder natürlichen Risiken (ungewollte Unfälle) bei weitem nicht die Größenordnungen von Todesfällen infolge gesundheitlicher Probleme erreichen. Zwingend bei der Angabe von Todesopfern infolge Krankheiten ist aber die Berücksichtigung der starken Verschiebung der Auftrittshäufigkeit im Alter. Es ist also ein Modellfehler, die Sterbewahrscheinlichkeit infolge koronarer Herzkrankheit mit der Sterbewahrscheinlichkeit infolge Brückenversagens zu vergleichen. Dazu muß auf ein weiteres Vergleichskriterium von Risiken ausgewichen werden, das solche Unterschiede berücksichtigen kann. Beim Konzept der verlorenen Lebensjahre wird einem Todesereignis infolge Krankheit in einem Alter, wel-ches der mittleren Lebenserwartung entspricht, kein zusätzliches Risiko mehr eingeräumt, sondern es wird als natürliches Ereignis betrachtet (COHEN [39]).

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ieru

ng)* auf den Durchschnitt der U.S. Bevölkerung gerechnet

Abb. 6-8: Verlorene Lebenstage in Abhängigkeit von verschiedenen Lebensbedingungen nach COHEN [39] im Vergleich zur mittleren Lebenserwartung. Man beachte die unterschiedlichen y-Achsen

6.6 Soziale Risiken In Abb. 6-8 ist ein Teil der bereits als Sterbehäufigkeit (Tab. 6-1) und als F-N-Kurven (Abb. 6-2)

dargestellten Risiken in verlorenen Lebensjahren angegeben. Auch hier findet sich die bereits

genannte Rangfolge wieder: gesundheitliche Risiken vor technischen und natürlichen. Aber ein

neues Risiko tritt deutlich hervor, welches bereits bei der mittleren Lebenserwartung in Ab-hängigkeit vom Pro-Kopf-Einkommen erkennbar war: soziale Risiken. Es gibt kein größeres

Risiko in Friedenszeiten für einen Menschen auf der Erde, als in einem armen Land oder in einer

armen Familie geboren zu werden. Armut und Einsamkeit sind die Todesursachen Nummer


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eins. Ein alleinstehender Mann stirbt in entwickelten Industrieländern im Durchschnitt sieben

Jahre vor seiner mittleren Lebenserwartung [39]. Noch größere Risiken ergeben sich natürlich durch Kriege. Kriege führen zu einer so drasti-schen Anhebung des Sterberisikos, daß sie in einem Kapitel zur Behandlung eines zulässigen Sicherheitsniveaus sicherlich nicht relevant sind. Um aber einen Vergleich zu ermöglichen, seien hier einige wenige Werte genannt. In Deutschland starb während des zweiten Welt-krieges rund jeder 8 männliche Bewohner. Das waren im Zeitraum von 1939-1945 5,3 Millio-nen Männer. Von den 42 Millionen jeglichen Alters in Deutschland lebenden Männern waren 18,2 Millionen im Krieg. Mehr als jeder vierte Soldat ist gestorben. Allein im Januar 1945 verstarb eine halbe Million (OVERMANS [217]). Mit über 50 Millionen Todesopfern stellt der II. Weltkrieg eine in der Geschichte der Menschheit

beispiellose Katastrophe dar. Die einzige natürliche Katastrophe ähnlichen Ausmaßes war die

Pestwelle in den Jahren 1347-1352. In diesen Jahren starben vermutlich 25 Millionen Menschen

in Europa, ca. ¼ der gesamten Bevölkerung. Diese Katastrophe wäre aber heutzutage mittels

technischer Hilfsmittel vermeidbar. Wenn Technik, wie in diesem Fall, eine solche Katastrophe verhindern kann, was führt dann dazu, daß Menschen technischen Risiken kritischer gegenüberstehen als gesundheitlichen Risiken?

6.7 Subjektive Wertung von Risiken Menschen erkennen und unterscheiden sehr bewußt, ob sie einem Risiko hilflos ausgesetzt sind oder eine aktive Rolle spielen. Sie nehmen gewöhnlich ein um bis zu drei Zehnerpoten-zen höheres individuelles Risiko auf sich, wenn sie selbst darüber entscheiden können, als sie ein bedingungsloses kollektives Risiko von der Gesellschaft akzeptieren würden. Bergsteigen ist ein Beispiel für ein bewußt eingegangenes individuelles Risiko.

-1

0

1

2

17-19 20-24 25-29 30-39 40-49 50-59 60-69

Altersklassen in Jahren

Opt

imis

mB

ias

Männer Frauen Durchschnittsfahrer

(3- Bin der Meinung, daß ich sehr viel besser als der durchschnittliche Autofahrer fahren kann, 0 Besitze Fähig-keiten des durchschnittlichen Autofahrers, -3 Fahre sehr viel schlechter als der durchschnittliche Autofahrer) Abb. 6-9: Mittlerer „Optimism Bias“ von Autofahrern über ihre Fähigkeiten beim Autofahren


Seite 168

Eine Ursache für diesen Effekt ist der sogenannte „Optimism Bias“. Er beschreibt den syste-matischen kognitiven Fehler bei der Einschätzung von Risiken, auf die der Mensch selbst Einfluß ausüben kann. Ein typisches Beispiel dafür ist der Autofahrer (Abb. 6-9). Der durch-schnittliche Autofahrer behauptet von sich, daß er besser als der durchschnittliche Autofahrer fährt! Ironischerweise zeigen nach der Untersuchung in JOB [136] nur depressive Menschen eine realistische Einschätzung von Risiken. Neben dem Effekt des „Optimism Bias“ gibt es noch die sogenannte „Homeostatis“. Darunter versteht man die Konstanz des Risikos, die Menschen unabhängig von den technischen Hilfsmitteln auf sich nehmen. So führen z. B. sicherere Straßen oder sicherere Autos nicht zwangsläufig zu weniger Unfällen, vielmehr nutzen die Autofahrer die neuen technischen Hilfsmittel, um risikoreicher zu fahren, und hal-ten damit das Gesamtrisiko konstant. Die falsche Einschätzung von Risiken, insbesondere auch bei Krankheiten, wird noch einmal sehr schön in Abb. 6-10 sichtbar. Herzkrankheiten werden dort subjektiv im Vergleich zu den erfaßten Häufigkeiten um eine Zehnerpotenz unterschätzt. Ein weiterer Beleg für die subjektive Wertung von Risiken ist die Migration von Menschen in den USA. Sowohl die Küstenregionen Floridas als auch Kaliforniens weisen erhebliche Risi-ken durch Naturkatastrophen auf. Diese, der Bevölkerung sehr wohl bewußte Tatsache, zeigt jedoch keinerlei Einfluß auf das Zuwanderungsverhalten in diesen Regionen (PARFIT [223] Abb. 6-11 und Abb. 6-12). Soziale Risiken und Lebensqualität sind neben gesundheitlichen Risiken die offenbarsten Risiken und treten mit der kürzesten Wiederkehrperiode auf. Armut und Arbeitslosigkeit spürt man jeden Tag, einen Hurrikan vielleicht einmal in 50 Jahren. Menschen versuchen soziale Risiken zu vermeiden, in solchen Fällen sind natürliche und technische Risiken zweitrangig.

Alle Krankheiten

mittlere Anzahl Todesopfer pro Jahr

Subj

ektiv

e Sc

hätz

ung

der T

odes

opfe

r pro

Jahr

1

10

100

1.000

10.000

100.000

Abb. 6-10: Subjektive zu erfaßten Todeshäufigkeiten pro Jahr VISCUSI [307]


Seite 169

Abb. 6-11: Risikoverteilung in den USA (PARFIT [223])

Abb. 6-12: Bevölkerungsdichte in den USA (PARFIT [223])

6.8 Risikonachweis

6.8.1 Operative Versagenswahrscheinlichkeit Nach einer Übersicht über reale Risiken sollen in diesem Kapitel normative Grundlagen und Empfehlungen für erforderliche Risiken im Hinblick auf das Bauwesen zusammengefaßt werden. Dabei wird in den meisten Fällen eine Zielversagenswahrscheinlichkeit für das Bau-werk, ggf. unter Berücksichtigung der möglichen Opferzahl, angegeben. 1974 wurde ein maximaler Wert der Versagenswahrscheinlichkeit von 10-5

pro Jahr (MATHIEU

& SAILLARD [181]) genannt. Bereits 1976 erfolgte eine Verfeinerung durch die Angabe von

Zielversagenswahrscheinlichkeiten für Stahlbetonbalken (Tab. 6-11) in [138]. Das Comité Euro International du Beton [41] veröffentlichte 1976 ebenfalls Zielwerte (Tab. 6-12) von Versagens-wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der gefährdeten Personen. Spannweite eines Biegebalken in [m] Nutzungsart 6 8 10 12 14 Büro 3,7·10-6 2,1·10-6 1,3·10-6 9,3·10-7 6,8·10-7 Verkaufsraum 1,4·10-6 7,9·10-7 5,1·10-7 3,5·10-7 3,6·10-7 Lagerraum 1,2·10-5 6,7·10-6 4,3·10-6 3,0·10-6 2,2·10-6

Tab. 6-11: Zielversagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr gemäß [138]


Seite 170

Durchschnittliche Anzahl der ge-fährdeten Personen

Wirtschaftliche Folgen

gering mittel groß Gering ( < 0,1) 10-3 10-4 10-5 Mittel 10-4 10-5 10-6 Groß ( > 10) 10-5 10-6 10-7

Jedoch soll gelten: 510 Nutzungsdauerzul

Anzahl der gefährdeten PersonenfP− ⋅

< .

Tab. 6-12: Zielversagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr nach Comité Euro-International du Beton [41] Nach MÜLLER [198] gibt es aus dem Jahre 1977 folgende Annahme unter Berücksichtigung der möglichen Anzahl der Todesopfer:

4 4 1610 10 5 10 1 5 10

10fTP

L

− − −−⋅ ξ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅ bzw. 4 1

610 5 10 1 2,3 1022fP

− −−⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ mit T als Nut-

zungszeitraum in Jahren und L als die Anzahl der Menschen im Gefährdungsbereich. Gefahrenpotential ξ Bauwerke mit öffentlichen Menschenansammlungen, Staudämme 5·10-3 Wohnhäuser, Verwaltungs-, Handels- und Industriegebäude 5·10-2 Brücken 5·10-1 Türme, Masten, Erdölplattformen 5

Tab. 6-13: Gefahrenpotential

Die Zielwerte für die untersuchten Brücken ergeben sich danach zu 5,0·10-6 bzw. 2,3·10-6. HENKE [121] gibt 1979 Zielversagenswahrscheinlichkeiten für Stahlbetonstützen bei Brand-fall unter Berücksichtigung der Art des Gebäudes, der Art und Bedeutung des Traggliedes, der Wahrscheinlichkeit des Vorhandenseins von Löschmitteln und der Wahrscheinlichkeit der Verfügbarkeit einer Feuerwehr an. Die vorgeschlagenen operativen Versagenswahrscheinlichkeiten lauten: pf1 = 10-6 Sicherheitsklasse 3 für Teile des Haupttragwerkes pf2 = 10-5 Sicherheitsklasse 2 für sonstige wichtige Bauteile pf3 = 10-4 Sicherheitsklasse 1 für untergeordnete Bauteile. Diese Werte dürfen zusätzlich noch durch die vorhandene Brandabschnittsfläche gewichtet

werden: fizul

fi pA

Ap ⋅=' mit Azul=2.500 m2. Erste normative Regelungen über Zielversagenswahrscheinlichkeiten aus den 80er Jahren

finden sich in den Tabellen Tab. 6-14, Tab. 6-15, Tab. 6-16 und Tab. 6-17, die SPAETHE [273]

entnommenen sind. Aktuelle Regelungen in Deutschland für erforderliche Sicherheitsindizes bzw. Zielversagenswahrscheinlichkeiten finden sich z. Z. in der GruSiBau [211] (Tab. 6-18), dem Eurocode 1 und der DIN 1055-100 (Tab. 6-19).


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Versagens Art des Bruches -folgen zäh Spröde nicht schwer 6,2·10-3-1,3·10-3 1,3·10-3-2,3·10-4 schwer 1,3·10-3-2,3·10-4 1,3·10-5 und weniger

Tab. 6-14: Zielversagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr nach ELLINGWOOD, 1982, Grenzzu-stand der Tragfähigkeit (GZT) (SPAETHE [273]) Sicherheitsklasse Folgen im Versagensfall Versagenswahrscheinlichkeit im GZT pro Jahr Niedrige Sicherheitsklasse Leichte Personenschäden

Unwesentliche wirtschaftliche Verluste 1,0·10-4

Normale Sicherheitsklasse Einige Personenschäden Wesentliche wirtschaftliche Verluste

1,0·10-5

Hohe Sicherheitsklasse Erhebliche Personenschäden Sehr hohe wirtschaftliche Verluste

1,0·10-6

Tab. 6-15: Richtlinie der Last- und Sicherheitsvorschriften für den bautechnischen Entwurf der skandinavischen Länder , 1987, Werte pro Jahr, GZT, (SPAETHE [273]) Sicherheitsklasse ökonomische

Verluste Wahrscheinlichkeit des Verlu-stes von Menschenleben

Sicherheitsindex

Windlast dominiert Andere Lasten dominieren 1 Klein Vernachlässigbar 1,0·10-2 6,9·10-4 2 Mittel Klein 1,0·10-2 3,4·10-4 3 Groß Groß 4,7·10-3 1,6·10-4

Tab. 6-16: Niederländischen Norm NEN 6700, 1989, GZT, Werte für die Nutzungsdauer, die Umrechnung von Werten in Nutzungsdauer und Jahr erfolgt nach ( ) 1 (1 (1))n

f fP n P≤ − −

Zuverlässigkeitsklassen Folgen Sicherheitsindex I Sehr große Gefahren für die Bevölkerung

Sehr große wirtschaftliche Folgen Katastrophenartige Zustände

1,0·10-7

II Große Gefahren für die Bevölkerung Große wirtschaftliche Folgen Große kulturelle Verluste

1,0·10-6

III Gefahren für Personengruppen Wesentliche wirtschaftliche Folgen

1,0·10-5

IV Geringe Personengefährdung Geringe wirtschaftliche Folgen

1,0·10-4

V Sehr geringe Personengefährdung Sehr geringe wirtschaftliche Folgen

7,0·10-4

Tab. 6-17: Entwurf der DDR [94] für die Zielversagenswahrscheinlichkeit pro Jahr, GZT Mögliche Folgen von Gefährdungen, die Art des Grenzzustandes Sicherheits-

klasse vorwiegend die Tragfähigkeit betreffen

vorwiegend die Gebrauchsfähig-keit betreffen

Tragfähigkeit Gebrauchstauglichkeit

1 Keine Gefahr für Menschenle-ben und geringe wirtschaftliche Folgen

Geringe wirtschaftliche Folgen, geringe Beeinträchtigung der Nutzung

4,2 bzw. 1,34·10-5

2,5 6,21·10-3

2 Gefahr für Menschenleben und/ oder beachtliche wirt-schaftliche Folgen

Beachtliche wirtschaftliche Fol-gen, beachtliche Beeinträchti-gung der Nutzung

4,7 1,30·10-6

3,0 1,35·10-3

3 Große Bedeutung der bauli-chen Anlage für die Öffent-lichkeit

Große wirtschaftliche Folgen, große Beeinträchtigung der Nut-zung

5,2 1,00·10-7

3,5 2,33·10-4

Tab. 6-18: Zielwerte für operative Versagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr in der GruSiBau Grenzzustand Lebensdauer Jahreswert Sicherheitsindex Versagenswahrscheinlichkeit Sicherheitsindex Versagenswahrscheinlichkeit Tragfähigkeit 3,8 7,24·10-5 4,7 1,30·10-6 Ermüdung 1,5...3,8 - Gebrauchstauglichkeit 1,5 6,68·10-2 3,0 1,35·10-5

Tab. 6-19: Zielwerte für operativen Versagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr in der DIN 1055-100 [71] Anhang A oder im Eurocode 1 [81].


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Alle hier angeführten Daten scheinen eine Zielversagenswahrscheinlichkeit im Bereich von 10-6 pro Jahr zu bestätigen. Ob die erforderlichen Sicherheitsindizes in den verschiedenen Vorschriften für einzelne Grenzzustände oder für Systemwerte gelten, ist nicht eindeutig festgelegt. Da aber in den mei-sten Fällen eine starke Korrelation zwischen den einzelnen Grenzzuständen herrscht, ist es möglich, die erforderlichen Sicherheitswerte für den jeweiligen Grenzzustand zu verwenden (RACKWITZ [238]). Die durchgeführten Berechnungen bestätigten diese Annahme Damit wird die Nachweisgleichung vorh zul f fP P≤ für die Mainbrücke Segnitz unter Frontalstoß mit passiver Schutzeinrichtung zu vorh Pf = 24,6 ·10-6 > zul Pf = 1,3 ·10-6 (Verhältnis 20:1) und für Querstoß mit passiver Schutzeinrichtung zu vorh Pf = 1352,6 ·10-6 > zul Pf = 1,3 ·10-6 (Verhältnis 1000:1). In beiden Nachweisen sind die errechneten vorhandenen operativen Versagenswahrschein-lichkeiten größer als die zulässigen Werte. Damit sind die Nachweise nicht erfüllt. Alle weite-ren Nachweise sind bereits in Tab. 5-1 dargestellt, da dort die Angabe der errechneten operati-ven Versagenswahrscheinlichkeit pro Jahr auf 10-6 bezogen ist. Wie sich zeigt, erreicht nur die Stahlbetonlösung (Bohrpfähle) des Mauerwerkspfeilers und die Vorspannung des Betonpfei-lers der Alten Mainbrücke Lohr die Zielversagenswahrscheinlichkeit. Selbst die Nachweise unter Eigen- und Verkehrslast erreichen nicht die geforderten Zielwerte. Die Überschreitung um den Faktor vier dürfte allerdings akzeptabel sein und liegt im Rahmen der Rechenunge-nauigkeiten. Für die Mainbrücke Segnitz und teilweise für die Alte Mainbrücke Lohr konnte mit der ope-rativen Versagenswahrscheinlichkeit kein erfolgreicher Sicherheitsnachweis erbracht werden. Es wird deshalb ein anderer Parameter zur Abschätzung der Sicherheit gesucht. Dazu wurde vorab eine Vielzahl verschiedener Risikodarstellungen diskutiert. Im folgenden wird die Ster-behäufigkeit als Risikoindikator verwendet.

6.8.2 Sterbehäufigkeiten Zuerst einmal kann man die absoluten Sterbehäufigkeiten des Brückenversagens infolge Schiffsanprall mit anderen technischen Risiken vergleichen. Diese Werte sind in Tab. 6-20 dargestellt und lassen den Schluß zu, daß das Versagen von Brücken infolge Schiffsanprall i. a. in Deutschland oder den USA als außerordentlich gering eingestuft werden kann. Man darf jedoch diese Aussage nicht für die beiden konkret behandelten Brücken heranziehen. Hierzu ist vielmehr die Berücksichtigung der in Kapitel 5 diskutierten möglichen Anzahl von Todesopfern und die tatsächlich errechnete operative Versagenswahrscheinlichkeit der Brük-ken notwendig. Tödlich Verunglückte pro Jahr Kraftfahrzeug Weltweit ~1 Million Europa ~120.000 USA ~40.000 Deutschland ~7.000-8.000 Fliegen USA ~800 Brückenversagen infolge Schiffsanprall Weltweit ~8 (330 seit 1960) USA 8 (2001)

Tab. 6-20: Anzahl der tödlich Verunglückten pro Jahr für KFZ, Flugzeug und Schiffsanprall


Seite 173

Zur Berücksichtigung der bereits erwähnten subjektiven Risikoakzeptanz wird die in den Nie-derlanden verwendete Gleichung zur Berechnung des akzeptablen Risikos basierend auf Ster-behäufigkeiten verwendet (VRIJLING et al. [311]):

( ) ( ) 100i i iE N k Nσ β+ ⋅ ≤ ⋅ (6-1)mit

E ( Ni ) Erwartungswert der Anzahl von Todesopfern bei einer Tätigkeit pro Jahr σ ( Ni ) Standardabweichung der Anzahl von Todesopfern bei einer Tätigkeit pro Jahr β Politik-Faktor (liegt zwischen 0,01 für unfreiwillige Gefährdungen ohne

direkten Nutzen und 100 für absolut freiwillige Maßnahmen mit direktem Nutzen bzw. Erfolg für den Ausführenden)

k Vertrauensbereich k = 3 Mit den geschätzten mittleren Opferzahlen 10 bzw. 22, einer Standardabweichung der Opfer-zahlen von 8 und 23 und einem Politik-Faktor von 0,01 (Gefährdung erfolgt absolut unfrei-willig), wird die Nachweisgleichung für die Mainbrücke Segnitz unter Frontalstoß mit passiver Schutzeinrichtung zu: Bei 22 Todesopfern: 6 622 24,6 10 3 24,6 10 23 0,343 0,01 100 1− −⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = < ⋅ =

Bei 10 Todesopfern: 6 610 24,6 10 3 24,6 10 8 0,119 0,01 100 1− −⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = < ⋅ = Beide Nachweise sind jetzt eingehalten. Weitere einfachere Nachweisgleichungen, die i. a. die Form kP A N −< ⋅ haben, ergeben (Zusammenstellung der Formeln nach [235]):

510iP −≤ Formel CEB-FIB Model-Code 6 4 522 24,6 10 5,41 10 10− − −⋅ ⋅ = ⋅ > nicht eingehalten Nachweis Mainbrücke Segnitz 6 4 510 24,6 10 2,46 10 10− − −⋅ ⋅ = ⋅ > nicht eingehalten Nachweis Mainbrücke Segnitz

510SP

N

−

≤ Formel CEB-FIB Model-Code

54 6102,46 10 1 10

10

−− −⋅ > = ⋅

nicht eingehalten Nachweis Mainbrücke Segnitz

54 7105,41 10 4,5 10

22

−− −⋅ > = ⋅


4 610 10iP− −≤ ≤ Formel Dutch Ministry of Housing 4 4 45,41 10 2,46 10 10− − −⋅ > ⋅ > nicht eingehalten Nachweis Mainbrücke Segnitz

3

2

10SP

N

−

≤ für 10N ≥ Formel Dutch Ministry of Housing

(VROM-Regel) 3

4 62

105,41 10 2 1022

−− −⋅ > = ⋅


34 5

2

102,46 10 1 1010

−− −⋅ > = ⋅


Passagiere: 4 610 10iP− −≥ ≥ Formel British Rail

Passagiere: 4 4 4 65,41 10 2,46 10 10 10− − − −⋅ > ⋅ > > nicht eingehalten Nachweis Mainbrücke Segnitz

Angestellte: 3 610 10iP− −≥ ≥ Formel British Rail

Angestellte: 3 4 4 610 5,41 10 2,46 10 10− − − −> ⋅ > ⋅ > eingehalten Nachweis Mainbrücke Segnitz 40,5 10

SPN

−⋅≤

Formel CIRIA

44 60,5 105,41 10 2,3 10

22SP−

− −⋅= ⋅ > = ⋅


44 60,5 102,46 10 5 10

10SP−

− −⋅= ⋅ > = ⋅



Seite 174

2 4

2 2

10 10SP

N N

− −

≤ ≤ Formel Statoil’s Corporate

2 44 5 7

2 2

10 105,41 10 2 10 2 1022 22

− −− − −⋅ < = ⋅ < = ⋅


2 44 4 6

2 2

10 102,46 10 1 10 1 1010 10

− −− − −⋅ < = ⋅ < = ⋅


Auch wenn sich bei diesen Nachweisen kein einheitliches Bild bietet, so ist die überwiegende Anzahl der Regelungen der Nachweise weder bei 10 noch bei 22 Opfern eingehalten. Auch die Einordnung der rechnerischen Sterbewahrscheinlichkeit an der Mainbrücke Segnitz nach Einbau der passiven Schutzeinrichtung in die Liste der gesammelten Sterbehäufigkeiten in Tab. 6-1 legt die Vermutung nahe, daß das Risiko des Brückenversagen infolge Schiffsan-pralls zu hoch ist. Es wäre in diesem Zusammenhang interessant, nicht nur die absoluten Zah-len zu vergleichen, sondern auch die Form der F-N-Kurve.

6.8.3 F-N-Diagramme In Abb. 6-13 wird der Versuch unternommen, das Brückenversagen in die Kurvenschar ande-rer Risiken mit zu integrieren. Der Vergleich der erwähnten natürlichen und technischen Risiken mit dem Risiko des Versagens der beiden Brücken infolge Schiffsanprall in Form eines F-N-Diagramms leidet an den unterschiedlichen Bezugsgrößen. So kann man die Kurve der Kraftfahrzeugunfälle auf eine Stadt, einen Kreis oder ein Land beziehen. Bei den beiden Brücken ist das nicht möglich. Deshalb ist Abb. 6-13 nur als relativer Bezug zu verstehen.

AutoverkehrInsgesamt

Flugzeugabsturz (insgesamt)

Feuer

Explosionen

Dammbruch

Chlorfreisetzung

Flugzeugabsturz(Personen am Boden)

Kernkraftwerke

Todesfälle bzw. €

Häu

figke

it(E

reig

niss

e/Ja

hr)

Meteore

Alte Mainbrücke Lohr

Mainbrücke Segnitz (passive Schutzeinrichtung)

Brückenallgemein

Abb. 6-13: Relative Risiken durch Schiffsanprall der beiden Brücken Die Kurven für die beiden Brücken wurden kalibriert, indem die Sterbehäufigkeiten im Stra-ßenverkehr und die operativen Versagenswahrscheinlichkeiten der beiden Brücken herange-zogen wurden. Die Alte Mainbrücke Lohr zeigt ein um ca. eine Zehnerpotenz geringeres Ri-siko als die Mainbrücke Segnitz. Das Unfallbild bei einem Brückenversagen dürfte unter Be-


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rücksichtigung des Verkehrsaufkommens an der Alten Mainbrücke Lohr im wesentlichen dem eines Verkehrsunfalls gleichen. Vermutlich sind aber Unfälle mit größeren Opferzahlen um die 22 häufiger als vergleichbare Straßenverkehrsunfälle, so daß die Kurven bei beiden Brücken etwas länger flach verlaufen als die Kurve infolge Autoverkehr. Zwischen 30 bis 50 möglichen Opfern beginnen die Kurven der beiden Brücken stärker zu fallen. Der zweite Knick in den Kurven korrespondiert mit den großen Todesopferzahlen bei Eisenbahnbrücken. Eliminiert man diese Zahlen aus den Kurven, so verschwinden der zweite und dritte Knick in den F-N-Kurven der beiden Brücken und die Kurve fällt steil nach unten. An der x-Achse der F-N-Diagramme findet man häufig auch die Angabe monetärer Einheiten. Grundlage für diese Angabe ist sowohl eine Umrechnung in einen statistischen Wert eines Menschen als auch die Berücksichtigung der Kosten des Versagens der Struktur. Die Problematik der Darstellung von Risiken durch monetären Werte, insbesondere auch der Wert eines statistischen Menschenlebens wird im Folgenden behandelt. Risiken, welche nur unter Verwendung von monetären Werten bei der Konsequenz des Ein-trittes eines ungewollten Ereignisses dargestellt werden, entsprechen nicht den individuell und gesellschaftlich empfundenen Risiken. Bekanntlich wird menschliches Handeln häufig, aber nicht ausschließlich, durch monetäre Werte stimuliert. Zahlreiche menschliche Bestrebungen stehen sogar im Gegensatz zu monetären Werten. Die individuellen Wertesysteme von Men-schen sind in vielen Bereichen ähnlich, in anderen Bereichen auf Grund der Einzigartigkeit jedes einzelnen Menschen und seiner Lebensumstände unterschiedlich. So zeigen moralische Werte, die KANT1 zu den zwei größten Wundern unserer Welt zählte, in großen Bereichen bei fast allen Menschen Übereinstimmung. Sie unterscheiden sich aber nicht unwesentlich in vielen Details, wie wir jeden Tag erleben können. Die bisher durchgeführten Risikostudien sind deshalb nur als ein Modell zur Beschreibung der Unsicherheit von Brücken unter Schiffsanprall anzusehen. Andere Modelle sind möglich und gleichberechtigt. So wie Physiker das Phänomen Licht durch zwei sich einander wider-sprechende Modelle beschreiben: das Wellenmodell, also ein über den Raum gleichverteiltes Medium, und das Quantenmodell, ein über den Raum diskret verteiltes Medium, so kann eine Risikostudie unter Verwendung monetärer Einheiten nur eine Seite eines Risikos beschreiben. Die zusätzliche Berücksichtigung weiterer Faktoren wie z. B. des Verlustes von Kulturgütern, das Aussterben von Tieren oder Pflanzen, die Veränderung von Lebensumständen nach dem Eintritt einer Katastrophe für Einzelne und die Gesellschaft oder die, teilweise drastischen, Wertschwankungen monetärer Einheiten erscheint erforderlich. Eine geschicktere Möglichkeit der Berücksichtigung von monetären Einheiten stellt die An-gabe des Risikos in Form des sogenannten Lebensqualitätsindex dar.

6.8.4 Lebensqualitätsindex Der Begriff Lebensqualität wird häufig in Verbindung mit sozialem Wohlstand einzelner Be-völkerungsschichten gebracht. In den letzten Jahren hat dieser Begriff aber in immer stärke-rem Maße Einzug in der Medizin gehalten, hierbei insbesondere im Bereich der Krebsbe-handlung. Bei einer absehbaren Begrenzung der Lebensdauer infolge einer Krankheit spielt die Bewertung der noch zur Verfügung stehenden Lebenszeit auch im Sinne der Auswirkun-gen einer lebensverlängernden aber lebensfähigkeitseinschränkenden Behandlung eine immer größere Rolle. Die Lebensfähigkeit wird in diesem Fall durch den Begriff der gesundheitsbe-

1 I. Kant: „Zwei Dinge erfüllen das Gemüt mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht, je öfter und anhaltender sich das Nachdenken damit beschäftigt: Der bestirnte Himmel über mir, und das moralische Gesetz in mir“.


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zogenen Lebensqualität beschrieben, die ein Maß für die dem Individuum gegebenen körper-lichen, geistigen und sozialen Möglichkeiten bzw. Einschränkungen ist. Der Begriff der Lebensqualität selbst beschreibt eine Vielzahl von Umständen. Nicht nur ob-jektive Indikatoren sind für das Wohlbefinden eines Menschen verantwortlich, sondern auch auf den jeweiligen Erfahrungen und der Individualität des Menschen basierende Wahrneh-mungen und soziale Beziehungen fließen in die Bewertung der Lebensumstände mit ein. Die wohl umfassendste Beschreibung für Lebensqualität findet sich im HDR [296] von 1990: Le-bensqualität als Summe der Möglichkeiten, die sich einem Individuum in einer Gesellschaft eröffnen. Die Problematik der Einführung eines objektiven Indikators für die Lebensqualität besteht in der konsequenten Reduktion dieser Vielzahl von Einflüssen und in der Einführung von ad-äquaten Referenzwerten. NATHWANI, LIND & PANDEY [204] stellten 1997 einen Parameter vor, der in der Lage zu sein scheint, Lebensqualität objektiv zu beschreiben und damit ein Werkzeug bereitzustellen, welches objektiv Schutzmaßnahmen zur Vermeidung oder Verrin-gerung von Risiken bewerten kann. Dieser sogenannte Life Quality Index L erfreut sich seit einigen Jahren zunehmenden wissenschaftlichen Interesses. Die Anwendung reicht vom Bauwesen über die Sicherheit bei Seeverkehr bis zum Umweltschutz. Die im folgenden dargestellte Vorgehensweise wurde teilweise VOORTMANN [309], VRIJLING at al. [311], KRISTIANSEN & SOMA [156], FRIIS-HANSEN & DITLEVSEN [96] und RACKWITZ [237] entnommen. NATHWANI, LIND & PANTEY [204] schlagen einen Produktansatz aus der Funktion der Freizeit (Lebenszeit h(t), die nicht für die Arbeit verwendet wird) und aus dem Pro-Kopf-Einkommen f(g) vor:

( ) ( )L f g h t= ⋅ (6-2)Die Lebensarbeitszeit wird über einen Faktor aus der mittleren Lebenserwartung berechnet:

Wt w e= ⋅ , (6-3)und die Nicht-Arbeitszeit ergibt sich dann zu

(1 )NWt t w e= = − ⋅ . (6-4) Die Lebensarbeitszeit w wird mittels der Lebenserwartung e berechnet. Grundlage für die Ab-schätzung der Lebenserwartung sind sogenannte Sterbetafeln. Sterbetafeln wurden bereits im 18. Jhd. in Australien und 1837 in England und Wales eingeführt. Einige Zahlen für die Zu-sammenstellung in Tab. 6-1 wurden Sterbetafeln entnommen. Für die Lebenserwartung e gilt

max

0

( ) a

e f a da= ∫ . (6-5)

Allerdings treten im Laufe jedes Lebens Phasen auf, die eine Beeinträchtigung des Wohl-befindens darstellen. Die WHO definiert Gesundheit als einen Zustand umfassenden physi-schen, geistigen & sozialen Wohlbefindens und nicht nur als Abwesenheit von Krankheit oder Behinderung. Es gibt bereits Parameter, die eine Umrechnung von Krankheitszeiten auf die mittlere Lebenserwartung erlauben (HOFSTETTER & HAMMITT [124]): • QALY’s (Quality Adjusted Life Years) • DALY’s (Disability Adjusted Life Years) • HYE (Health Years Equivalent) Die Parameter werden in Abb. 6-14 beispielhaft am Gesundheitsprofil eines Menschen erläutert.


Seite 177

Ges

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Lebenszeit in Jahre

QALY'sDALY's

Abi

lity

0,0 1,0

0,01,0

Perfekt

Todmittlere

Lebenserwartung

10 20 30 5040 7060

YLL bzw. LLE

Abb. 6-14: Graphische Darstellung des Gesundheitsprofils eines Menschein

Die Krankheitsgeschichte dieses Menschen besteht aus Gelbfieber kurz nach der Geburt. In den nächsten Jahren treten diverse Kinderkrankheiten auf. Im Alter von 16 Jahren erleidet die Person einen Skiunfall und im Alter von 24 Jahren einen schweren Motorradunfall. Mit 40 gibt es ein Burn-Out-Syndrom und mit 49 einen Herzinfarkt mit nahezu vollständiger Gene-sung. Mit 57 wird Hautkrebs entdeckt, der vorübergehend geheilt wird, sich dann aber doch über die Jahre verschlimmert. Mit 70 wird Lungenkrebs entdeckt, der mit 71 zum Tode führt. In dem Diagramm sind die dunkelgrauen Flächen die Quality Adjusted Life Years (QALY’s) und die hellgrauen Flächen die Disablity Adjusted Life Years (DALY’s). Die Fläche zwi-schen dem Zeitpunkt des Todes und der mittleren Lebenserwartung sind die bereits behan-delten Years of Lost Life (YLL) oder Days of Lost Life Expactancy (LLE) (Verlorene Le-benstage oder Lebensjahre). Die sogenannten HYE Health Years Equivalent sind eine Zu-sammenfassung der Quality and Disability Adjusted Life Years. Damit ist es möglich, Krank-heitsverläufe explizit in der mittleren Lebenserwartung mit zu berücksichtigen Die zweite Variable im vorgestellten Produktansatz für den Lebensqualitätsindex ist das mittlere Pro-Kopf-Einkommen g als personengebundener Beitrag zum Bruttosozialprodukt. Es wurde bereits darauf hingewiesen, daß es einen Zusammenhang zwischen Risiken und Ein-kommen gibt (mittlere Lebenserwartung in verschiedenen Ländern). Das Bruttosozialprodukt beschreibt die gesamte wirtschaftliche Leistung einer Nation innerhalb einer bestimmten Be-richtsperiode, ausgedrückt in monetären Einheiten. Vereinfacht drückt das Bruttosozialprodukt aus, was in einem Staat von allen erwerbstätigen Bürgern innerhalb eines Jahres geschaffen wurde. Das Bruttosozialprodukt wurde in diesem Fall als Abgrenzungskriterium für ein be-stimmtes Gebiet vorgeschlagen, in dem üblicherweise die Grundregeln für eine Gesellschaft relativ konstant sind. Diese Abgrenzung kann insbesondere bei grenzüberschreitenden Inve-stitionen zu Auslegungsproblemen führen. So befindet sich rein territorial innerhalb des Staates Südafrika das Land Lesotho. Lesotho wurde vor wenigen Jahren von der UNO als eines der zehn ärmsten Länder mit einem ent-sprechenden Bruttosozialprodukt eingestuft (540 US$ pro Jahr pro Einwohner). Im Gegensatz dazu wird Südafrika als eines der reichsten Länder Afrikas eingestuft (2670 US$ pro Jahr pro Einwohner). Während des Highlands-Water-Projektes investierten Südafrika und die Euro-päische Union in großem Maße in Baumaßnahmen in Lesotho. Wenn der Lebensqualitätsin-dex, wie später noch gezeigt wird, als Optimierungsmittel für Investitionen in notwendige Sicherheit verwandt wird, stellt sich die Frage, welches Bruttosozialprodukt wendet man dann an, das von Südafrika oder das von Lesotho? Solche Beispiele lassen sich auch in Europa fin-den. So halten die Proteste in Deutschland und Österreich gegen das Kernkraftwerk Temelin


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auf Grund unterschiedlicher Sicherheitsanforderungen an. Der Lebensqualitätsindex würde in der Tat unterschiedliche Investitionssummen basierend auf den unterschiedlichen Bruttosozi-alprodukt und damit dem Pro-Kopf-Einkommen bestätigen. Nach dem Einbau des Pro-Kopf-Einkommens und der Lebensarbeitszeit in den Produktansatz, einigen Vereinfachungen und dem Einbau von Randbedingungen, wie z. B. der Tatsache, daß Menschen üblicherweise Arbeitszeit und Nichtarbeitszeit für eine maximale Lebensqualität optimieren (dL/dw = 0), ergibt sich folgende Formel für den Lebensqualitätsindex (genauere Ausführungen dazu finden sich z.B. in RACKWITZ [237]):

)1( ww egL −⋅= . (6-6) Die Optimierung der Lebensqualität unter Berücksichtigung der zur Verfügung stehenden Finanzmittel und der erzielten Veränderung der Lebenszeit ergibt eine Differentialgleichung:

01

dL de w dgL e w g

= + ⋅ ≥−

. (6-7)

Eine sinnvolle Investition in die Sicherheit und damit einhergehende Abnahme der finanziel-len Mittel (dg < 0) sollte zu einer Verbesserung der Lebenserwartung (de > 0) führen. Das Differential der Veränderung des Pro-Kopf-Einkommens auf Grund einer Investition in die Sicherheit kann auch als Differenz genähert werden:

11

1 1weg g

e

− ∆ −∆ = ⋅ − +

. (6-8)

Wählt man dann als Differenz der Lebensdauer die mittlere Lebenserwartung und bezieht das Einkommen auf das Lebenseinkommen ergibt sich nach RACKWITZ [237] (ICAF-implied cost of averting a fatality):

11

1 1weICAF g e

e

− = ⋅ − + ⋅

(6-9)

Mittels dieses Parameters kann man den statistischen Wert eines Menschenlebens ermitteln. Es geht hierbei nicht um den finanziellen Wert eines realexistierenden Menschen, sondern um eine Hilfsgröße, die die finanzielle Bereitschaft der menschlichen Gesellschaft zum Schutz von Menschen vor möglichen Gefahren beschreibt. Im folgenden ist der Wert für Deutschland nach dem Ansatz von KRISTIANSEN & SOMA [156] ausgerechnet:

1 23742 77,5 1 0,125 3.220.0004 4 0,125

g e wICAFw

⋅ − ⋅ −= ⋅ = ⋅ = $ bzw. €

VISCUSI [307], [308] führte bereits vor vielen Jahren in der Bevölkerung Befragungen durch, um

einen Anhaltspunkt für Lebensrettungskosten zu erhalten. Diese Werte sind ebenso wie die nach

o. g. Berechnungsverfahren in Tab. 6-21 dargestellt. Es zeigt sich, daß beide Wege, die subjektive

Schätzung der Bevölkerung und das mathematische Hilfsmittel L zu ähnlichen Werten führen. Die Tabelle erlaubt zusätzlich den Vergleich der Zahlen von 1850 und ca. 2000 und den Ver-gleich von staatlichen Regelungen und Privatfirmen. Die Regelungen staatlicher Behörden und

von Konzernen zeigen relativ große Unterschiede (Zeilen 33-50). Hier ist zu bedenken, daß

staatliche Behörden Sicherheit als vordringliche Aufgabe ansehen und sich weniger unter

ökonomischen Zwängen befinden als am freien Markt operierende Firmen, denen allerdings

Schadensersatzforderungen drohen können. Gleichzeitig operieren Firmen nicht im rechtsfreien

Raum und haben sich den gesellschaftlichen Sicherheitsanforderungen unterzuordnen.


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Zeile Land Jahr g 3) M e w ICAF 4) CF Nr. Pro-Kopf-

Einkommen Sterberate Mittlere

Lebens-erwartung

Lebenszeit für ökonomische Aktivitäten

in US-$ 1999

Form der Sterbe-rate

1 Großbritannien 1850 3109 0,01 1) 39,5 0,15 1) 1,74·105 2 USA 1850 1886 0,01 1) 29,5 0,15 1) 7,88·104 3 Finnland 1850 1840 0,01 1) 40 0,15 1) 1,04·105 4 Niederlande 1850 2482 0,01 1) 37,3 0,15 1) 1,31·105 5 Schweden 1850 1394 0,01 1) 43,9 0,15 1) 8,67·104 6 Deutschland 1850 1400 0,01 1) 37,1 0,15 1) 7,36·104 7 Australien 1850 4027 0,01 1) 46 0,15 1) 2,62·105 8 Japan 1850 969 0,01 1) 38 0,15 1) 5,22·104 9 Sierra Leone 2000 510 0,01 1) 34 0,15 1) 2,46·104 10 Nigeria 1998 1211 0,01 1) 50 0,15 1) 8,58·104 11 Sambia 2000 880 0,01 1) 37 0,15 1) 4,61·104 12 Australien 1998 21382 0,01 1) 78 0,15 1) 2,36·106 13 Indien 1998 1628 0,01 1) 59 0,15 1) 1,36·105 14 Saudi-Arabien 1998 10283 0,01 1) 70 0,15 1) 1,02·106 15 Frankreich 1998 23357 0,01 1) 78 0,15 1) 2,58·106 16 Rußland 1998 4582 0,01 1) 67 0,15 1) 4,35·105 17 China 1998 3686 0,01 1) 71 0,15 1) 3,71·105 18 Japan 1998 24938 0,01 1) 80 0,15 1) 2,83·106 19 Brasilien 1998 6007 0,01 1) 67 0,15 1) 5,70·105 20 Argentinien 1998 9861 0,01 1) 72 0,15 1) 1,01·106 21 USA 1998 30462 0,01 1) 76 0,15 1) 3,28·106 22 Mexiko 1998 7499 0,01 1) 72 0,15 1) 7,65·105 23 Kanada 1998 23296 0,01 1) 78 0,15 1) 2,57·106 24 Kongo/Zaire 2000 345 0,01 1) 49,4 0,125 2,98·104 25 Luxemburg 2000 30352 0,01 1) 77,6 0,125 4,12·106 26 Kanada 1999 19170 0,0073 76,4 0,125 2,56·106 0,14 27 USA 1999 31872 0,0087 77,1 0,125 4,30·106 0,16 28 Deutschland 1999 23742 0,01042 77,5 0,125 3,22·106 0,13 29 Schweden 1999 25580 0,01061 79,1 0,125 3,54·106 0,14 30 Japan 1999 24898 0,00834 80,1 0,15 2,83·106 0,13 31 Frankreich 1999 24900 0,00909 77,6 0,125 3,38·106 0,15 32 Kolumbien 1999 5500 0,00523 69,3 0,15 5,40·105 0,20 33 Neuseeland Highway Safety 0,30·106 34 Neuseeland Highway Safety 0,80·106 35 USA Federal Drug Administration (FDA) 5,00·106 36 USA FDA – Raucher 2,50·106 37 USA EPA 6,00·106 38 USA Highway Safety 6,00·106 39 USA 1990 British Petrol 1,00·106 40 USA Risikobezahlung (Jobs) 5,00·106 41 USA FAA (Flugwesen) 3,00·106 42 USA VISCUSI [307] 5) 5,00·106 43 USA ACKERMANN & HEINZLERING [2] 5) 6,10·106 44 Schweiz Tunnelbau 13,50·106 45 Großbritannien British Rail 4,00·106 46 Großbritannien Department of Transport 1,50·106 47 Großbritannien Offshore – Plattformen 3,00·106 48 Großbritannien Offshore – Plattformen 15,00·106 49 Deutschland2) Befragung von Kollegen 2,90·106 50 USA PATÉ-CORNELL [225] 2,00·106 51 USA US Nuklear Regulatory Commission (USNRC) [225] 5,0-10·106 1) Eigene Annahme 2) Eigene Befragung unter Kollegen, wobei nur sieben Kollegen bereit waren, diese Frage zu beantworten. Den Kollegen waren vorher keine Zahlen bekannt. 3) Brutto-Sozialprodukt: CIA WorldFactBook, teilweise RACKWITZ [237], 4) ICAF von Firmen und öffentlichen Organisationen teilweise unveröffentlichte Angaben, privater e-mail-Verkehr mit Mitarbeitern der Firmen und öffentlichen Organisationen, Berechnung nach Gleichung (6-9) 5) Gleiche Beträge mit unterschiedlichem Zeitbezug des Dollarwertes (1990 und ca. 2000) Tab. 6-21: Lebensrettungskosten und Parameter für den Lebensqualitätsindex


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Das übliche Arbeitsmittel der Politik zur Durchsetzung von Sicherheitsanforderungen sind Gesetze und Verordnungen. Man kann die Homogenität verschiedener Verordnungen im Hin-blick auf die verwendeten finanziellen Mittel vergleichen (Tab. 6-22). Die dabei aufgedeckten Unterschiede sind dramatisch: Während bei der Einführung des Sicherheitsgurtes im Auto ein Wert von ca. 0,3 Millionen US $ pro Menschenleben investiert wurde, basieren die gesetzlichen Regelungen zum Schutz vor Asbest auf einem dreihundertfachen Wert (89-104 Millionen US$ pro Menschenleben). Man hätte also vermutlich mit diesen Geldern in anderen gesellschaftli-chen Bereichen mehr Menschenleben retten können. Die Ergebnisse werden in einer zweiten Studie von VISCUSI & HAMILTON [308] bestätigt. In dieser Studie werden die rechnerischen Kosten, um einen Krebsfall durch kontaminierte Mülla-ger zu vermeiden (Cost per Cancer avoided), verglichen. Es werden Summen zwischen 20.000 $ und 961 Milliarden US $ pro vermiedenem Krebs mit einem Median von 418 Millionen US $ genannt. In 36 von 130 untersuchten verseuchten Flächen lagen die Kosten unter 100 Million US $ pro vermiedenem Krebsfall. Die Unterschiede dieser Werte zu optimalen ICAF-Zielwer-ten zeigen die Inhomogenität bei gesetzlichen Sicherheitsanforderungen. Diese großen Unter-schiede werden auch durch die Studie von TENGS et al. [291] bestätigt, in der mehr als fünfhun-dert Regelungen untersucht wurden. Eine Studie mit Zahlen in Schweden wurde von JOAKIM, RAMSBERG & SJÖBERG [135] vorgelegt. Risiken and Kosteneffizienz in verschiedenen US-Reglungen

Vorschriften Jahr undStatus (b) Organisation Risiko (a) Jährlich Men-

schen gerettet Kosten pro gerettetem Leben in Millionen US-$ 1984

Raumheizgeräte 1980 F CPSC 2,7·10-5 63 0,1 Öl- und Gas-Bohrungen 1983 P OSHA-S 1,1·10-3 50 0,1 Flugkabinen Brandsicherung 1985 F FAA 6,5·10-8 15 0,2 Passive Gurte (KFZ) 1984 F NHTSA 9,1·10-5 1850 0,3 Tiefbaukonstruktionen 1989 F OSHA-S 1,6·10-3 8,1 0,3 Alkohol und Drogenkontrollen 1985 F FRA 1,8·10-6 4,2 0,5 Service von Fahrzeugfelgen 1984 F OSHA-S 1,4·10-5 2,3 0,5 Unbrennbare Sitzpolster i. Flugz. 1984 F FAA 1,6·10-7 37 0,6 Notbeleuchtung in Fluren 1984 F FAA 2,2·10-8 5 0,7 Arbeitsplattformen kranabgehängt 1988 F OSHA-S 1,8 10-3 5 1,2 Beton- und Mauerwerkskonstruktionen 1988 F OSHA-S 1,4·10-5 6,5 1,4 Gefahrenkommunikation 1983 F OSHA-S 4,0·10-5 200 1,8 Emission von flüchtigem Benzol 1984 F EPA 2,1·10-5 0,31 2,8 Holzstaub 1987 F OSHA-S 2,1·10-4 4 5,3 Uranminen 1984 F EPA 1,4·10-4 1,1 6,9 Benzol 1987 F OSHA-H 8,8·10-4 3,8 17,1 Arsen- u. Glas Fabriken 1986 F EPA 8,0·10-4 0,11 19,2 Ethylenoxid 1984 F OSHA-H 4,4·10-5 2,8 25,6 Arsen-Kupfer-Schmelze 1986 F EPA 9,0·10-4 0,06 26,5 Uranmühle, passiv 1983 F EPA 4,3·10-4 2,1 27,6 Uranmühle, aktiv 1983 F EPA 4,3·10-4 2,1 53 Asbest 1986 F OSHA-H 6,7·10-5 74,7 89,3 Asbest 1989 F EPA 2,9·10-5 10 104,2 Arsen u. Glas Bearbeitung 1986 R EPA 3,8·10-5 0,25 142 Benzol Lagerung 1984 R EPA 6,0·10-7 0,043 202 Radionuclid/DOE Einrichtungen 1984 R EPA 4,3·10-6 0,001 210 Radionuclid/elem. Phosphor 1984 R EPA 1,4·10-5 0,046 270 Benzol/Ethylbenzol/Styrol 1984 R EPA 2,0·10-6 0,006 483 Arsen/Niedrig-Arsen/Kupfer 1986 R EPA 2,6·10-4 0,09 764 Benzol/Maleinsäureanhydrid 1984 R EPA 1,1·10-6 0,029 820 Bodenentsorgung 1988 F EPA 2,3·10-8 2,52 3500 EDB 1989 R OSHA-H 2,5·10-4 0,002 15600 Formaldehyd 1987 F OSHA-H 6,8·10-7 0,01 72000 Notes: (a) Anzahl der Todesopfer pro Jahr. (b) F, P, R = gültige Vorschrift, Entwurf, abgelehnte Vorschrift Tab. 6-22: Finanzieller Aufwand in verschiedenen Vorschriften, um statistisch ein Menschen-leben zu sichern [307]


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Nach der Beschreibung der Differenz des Pro-Kopf-Einkommens infolge der getätigten Inve-stition und einem kurzen Ausflug zum statistischen Wert eines Lebens soll nun die Verände-rung der Lebensdauer näherungsweise unter Berücksichtigung der lebensjahreabhängigen Sterberate angegeben werden:

Fde dMCe M

≈ − ⋅ (6-10)

dM/M Änderung der Sterberate -CF Parameter zur Beschreibung der Form der Sterbekurve über das Lebensalter, nach

RACKWITZ [237] liegt dieser Wert in hochentwickelten Ländern zwischen 0,1 und 0,2, in Schwellenländern zwischen 0,2 und 0,3 und in Entwicklungsländern bei 0,5.

Ein Optimum des Lebensqualitätsindex erhält man dann (RACKWITZ [237]), wenn gilt:

11

1 1 01

w

FdL dM w eCL M w e

− ∆ = − ⋅ + ⋅ − + ≥ −

.(6-11)

Ersetzt man

FNdMN

= , (6-12)

ergibt sich

1 21 ( )F F

f fw C NC N g P P

w M N−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − . (6-13)

Der Nettogewinn einer Konstruktion muß aber auch die Kosten im Falle eines Versagens mit berücksichtigen. Der finanzielle Erfolg Z einer Baumaßnahme ergibt sich dann aus dem Bruttogewinn B, den Baukosten C und den Versagens- bzw. Rückbaukosten D zu:

DCBZ −−= (6-14)Bei der folgenden Untersuchung werden in finanzieller Hinsicht nur die Konstruktionskosten ohne Verzinsung berücksichtigt. Zuerst soll beispielhaft eine hypothetische Maßnahme behandelt werden, die mit 100 % Wahr-scheinlichkeit den Eintritt eines Schadens ausschließt. Für die Mainbrücke Lohr und Segnitz sei

angenommen, daß einmal im Jahr ein Brückeneinsturz mit zehn Todesopfern zu beklagen ist. Eine Sanierung bzw. ein Neubau, der das Versagen der Brücke unter Schiffsanprall ausschließt, dürfte dann gesellschaftskonforme Kosten gemäß folgender Formel erzeugen:

1 F Fw C NCw M g−

= ⋅ ⋅ und es ergibt sich 1 0,125 0,13 10 23742 20.734.376

0,125 0,01042C −

= ⋅ ⋅ ⋅ = $ bzw. €

Mit den im Rahmen dieser Arbeit ermittelten vorliegenden Versagenswahrscheinlichkeiten der beiden Brücken unter Schiffsanprall sowohl im Originalzustand als auch nach Verstär-kungsmaßnahmen kann nun eine realistischere Kostenermittlung durchgeführt werden. Damit ist es möglich, die Effektivität der jeweiligen Baumaßnahme objektiv zu bewerten. Es wird die folgende Gleichung verwendet:

1 21 ( )F

F f fw CC N g P P

w M−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − . (6-15)


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Bleibt man bei einer Opferzahl von zehn, so kann man z. B. für die Mainbrücke Lohr unter Berücksichtigung der operativen Versagenswahrscheinlichkeit der Brücke und der Anprall-wahrscheinlichkeit die zulässigen Kosten für die Verstärkungsmaßnahme Vorspannung des Mauerwerkspfeilers II:

1 0,125 0,13 10 23742 (0,00129216 0,00000544) 26.6790,125 0,01042

C −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = $ bzw. €

und für die Verstärkungsmaßnahme Stahlbeton des Mauerwerkspfeilers II: 1 0,125 0,13 50 23742 (0,00129216 0,00000051) 26.781

0,125 0,01042C −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = $ bzw. €.

berechnen. Basierend auf den beiden geschätzten Opferzahlen (10 & 22) wurde die folgende Tabelle erstellt.

I II III IV V VI VII VI II IX lfd. # NF Originalzustand + zugehöriges Pf1 Verstärkungsmaßnahme+ zugehöriges Pf2 Climit

1 10 Segnitz Pfeiler 2 mit Rißschaden 0,00501868 ohne Rißschaden 0,00246809 52.885 €2 10 Frontalanprall mit Rißschaden 0,00501868 passive Schutzeinrichtung 0,00002464 103.548 €3 10 mit Rißschaden 0,00501868 Pfeilervergrößerung. × 2,3 0,00018949 100.130 €4 10 mit Rißschaden 0,00501868 Ideelle Zugfestigkeit. × 2 0,00069086 89.735 €5 10 Seitanprall kein Rißschaden 0,00526378 passive Schutzeinrichtung 0,00135262 81.095 €6 10 Lohr Pfeiler II mit Sprengkammer 0,00129216 Sprengkammer füllen 0,00037280 19.062 €7 10 Frontalanprall mit Sprengkammer 0,00129216 Vorspannung 0,00000544 26.679 €8 10 mit Sprengkammer 0,00129216 Stahlbeton 0,00000051 26.782 €9 10 Pfeiler III mit Sprengkammer 0,00057488 Sprengkammer füllen 0,00045952 2.392 €10 10 mit Sprengkammer 0,00057488 Vorspannung 0,00000048 11.910 €11 22 Segnitz Pfeiler 2 mit Rißschaden 0,00501868 ohne Rißschaden 0,00246809 116.347 €12 22 Frontalanprall mit Rißschaden 0,00501868 passive Schutzeinrichtung 0,00002464 227.806 €13 22 mit Rißschaden 0,00501868 Pfeilervergrößerung. × 2,3 0,00018949 220.287 €14 22 mit Rißschaden 0,00501868 Ideelle Zugfestigkeit. × 2 0,00069086 197.416 €15 22 Seitanprall kein Rißschaden 0,00526378 passive Schutzeinrichtung 0,00135262 178.410 €16 22 Lohr Pfeiler II mit Sprengkammer 0,00129216 Sprengkammer füllen 0,00037280 41.937 €17 22 Frontalanprall mit Sprengkammer 0,00129216 Vorspannung 0,00000544 58.695 €18 22 mit Sprengkammer 0,00129216 Stahlbeton 0,00000051 58.919 €19 22 Pfeiler III mit Sprengkammer 0,00057488 Sprengkammer füllen 0,00045952 5.262 €20 22 mit Sprengkammer 0,00057488 Vorspannung 0,00000048 26.202 €

Tab. 6-23: Optimale Baukosten für die erzielte Absenkung der Versagenswahrscheinlichkeit

In Tab. 6-23 sind in Spalte IX die akzeptablen Kosten Climit für die Ausführung verschiedener Verstärkungsmaßnahmen der Brücken unter Berücksichtigung der Differenz der operativen Versagenswahrscheinlichkeiten von Originalzustand zu Verstärkungszustand basierend auf dem Lebensqualitätsindex zusammengefaßt. In der Zeile 1 der Tab. 6-23 werden der Sanierung des Pfeilers 2 vom Zustand mit Horizontal-riß in den Zustand ohne Horizontalriß basierend auf der Änderung der operativen Versagens-wahrscheinlichkeit unter Anprall und mit Berücksichtigung der Anprallwahrscheinlichkeit maximale Kosten von 52.885 € zugebilligt. Bei größeren Kosten für die Sanierungsmaßnahme ist die erreichte neue operative Versagenswahrscheinlichkeit bzw. der Verstärkungseffekt im Vergleich zu den Kosten uneffektiv. In anderen Worten: Die Baumaßnahme kostest viel und bringt wenig Nutzen. Bei der Mainbrücke Segnitz zeigen mit Ausnahme der reinen Rißsanierung alle Verstär-kungsmöglichkeiten ein ähnliches Kostenniveau. Bei einer geschätzten Opferzahl von zehn Menschenleben liegen die Kosten überwiegend zwischen 80.000 und 100.000 € und bei 22 Menschenleben liegen die Kosten zwischen 180.000 und 230.000 € pro Verstärkungsmaß-nahme. Diese Werte erscheinen durchaus realistisch. Da der technologische Aufwand für die


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passive Schutzeinrichtung vermutlich am geringsten ist, sollte diese konstruktive Lösung be-vorzugt werden. In der Tat wurde an der Mainbrücke diese Verstärkungsmaßnahme gewählt.

Abb. 6-15: Errichtung der passiven Schutzeinrichtung am Pfeiler 2 der Mainbrücke Segnitz Für die Wiederherstellung der Brücke Segnitz in den Zustand vor dem Schiffsanprall im Jahre 2000 durch Verschließen des vorhandenen Risses wird nur die Hälfte der finanziellen Mittel wie für die anderen Verstärkungsmaßnahmen bereitgestellt. Dieser geringe Betrag im Ver-gleich zu den anderen Verstärkungsmaßnahmen rührt daher, daß die Verstärkungsmaßnahme unzureichend ist. Die Mainbrücke Segnitz war also bereits ohne Rißschaden akut anprallge-fährdet gewesen. Eine Wiederherstellung des unbeschädigten Zustandes erbringt nur eine un-zureichende Sicherheit. Die Kosten für Verstärkungsmaßnahmen an der Alten Mainbrücke Lohr sind im Vergleich zu den Werten der Mainbrücke Segnitz auffällig gering und inhomogen (zwischen reichlich 2.000 und knapp 30.000 € unter der Annahme, daß zehn Menschen verunglücken, und reich-lich 5.000 bis 60.000 € unter der Annahme, daß 22 Menschen bei einem Brückeneinsturz in-folge Schiffsanprall verunglücken). Die geringen zulässigen Kosten machen deutlich, daß die Alte Mainbrücke Lohr bereits jetzt ein nahezu akzeptables Risiko erreicht. Man erkennt au-ßerdem, daß ab einem bestimmten Wert der neuen Versagenswahrscheinlichkeit nach einer Sanierung eine weitere Verbesserung wirtschaftlich nicht mehr belohnt wird. Beredtes Bei-spiel dafür ist die Sanierung des Mauerwerkspfeiler mittels Vorspannung und Stahlbetonlö-sung. Die operativen Versagenswahrscheinlichkeiten unterscheiden sich um den Faktor zehn, aber die zulässigen Kosten dieser beiden konstruktiven Verstärkungsmöglichkeiten sind na-hezu identisch (bei konstruktiven Lösungen ca. 27.000 € bei 10 Opfern bzw. ca. 59.000 € bei 22 Opfern). Ein derartig geringes Risiko, wie es an der Mainbrücke Lohr nach der Sanierung mittels Stahlbetonbohrpfählen existieren würde, ist nicht im Interesse der Öffentlichkeit und wird daher auch nicht durch die Bereitstellung zusätzlicher ökonomischer Mittel belohnt. Verwendet man die hier vorgestellten Rechenergebnisse zur Beurteilung alter Brücken über schiffbare Flüsse, so muß man feststellen, daß derartige Bauwerke durchaus einer Gefährdung unterliegen. Für Brücken mit einem vergleichbaren Aufbau, wie z. B. die Brücke Markthei-denfeld, die nahezu identisch zur Alten Mainbrücke Lohr mit Ausnahme der Fundamentaus-bildung ist, lassen sich relativ einfach grobe Angaben zur Sicherheit machen. Etwas schwieri-ger sieht es aus, wenn man einen Konsens für die Grundgesamtheit sucht. Unter der An-nahme, daß die Anprallwahrscheinlichkeiten auf dem gesamten Binnenschiffahrtsnetz iden-tisch sind (was nicht der Fall ist) und der Annahme, daß ca. 50-100 alte Brücken anprallge-fährdet sind, dürfte sich ein Investitionsvolumen von ca. (100.000 € Brücken wie Segnitz + 30.000 € Brücken wie Lohr) 130.000 € · 25 = 3.250.000 € bzw. 130.000 € · 50 = 6.500.000 € ergeben. Die Frage der Anzahl der alten schiffsanprallgefährdeten Brücken bedarf aber bei Festlegung eines genaueren Investitionsplanes umfangreicherer Recherchen.


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6.9 Kritik an statistisch basierten Risikonachweisen Das Risiko aus dem Versagen von Bauwerken ist integriert in eine das Leben jedes Einzelnen und die ganze Gesellschaft umfassende Summe von Gefahren (Abb. 6-16). Die Verteilung der vorhandenen begrenzten Mittel auf alle wirtschaftlichen Bereiche zur Herstellung eines ho-mogenen Sicherheitsniveaus ist das Ziel aller Risikountersuchungen.

Sicherheitsbedürfnis

AutoBahn

Flugzeug Lebens-mittel

HandyVerbrechen

Medikamente

Bau-werk

Kampfhunde

Abb. 6-16: Sicherheitsbedürfnis über alle Einflüsse des Lebens

In letzter Konsequenz besitzt aber jeder Mensch das Recht auf eine eigene subjektive Wer-tung von Risiken, die die Festlegung eines homogenen Sicherheitsniveaus erschweren. Die Gesellschaft kann nur versuchen, einen Grundkonsens zu etablieren. Dieser Grundkonsens sollte mit den Mitteln der Demokratie gefunden werden. Während in den letzten Jahren in allen Bereichen der Gesellschaft die Fragen, wann mensch-liches Leben beginnt (embryonale Stammzellen) und wann und wie es endet (Sterbehilfe, Gehirntod), zu erbitterten und notwendigen öffentlichen Diskussionen geführt haben, muß sich, wenn Risikoanalysen von der Öffentlichkeit akzeptiert werden sollen, diese auch der Diskussion in der Öffentlichkeit stellen. Die Annahme eines akzeptablen Risikos nach einer Diskussion bedarf einer politischen Entscheidung. Das Arbeitsmittel der Politik sind Gesetze. Die Frage des akzeptablen Risikos von Bauwerken ist nicht von gesetzlicher Seite geklärt und damit nicht juristisch abgesichert. Die übliche Kategorisierung von Fehlern in Verbindung mit Unglücken, wie „höhere Gewalt“, „unbeabsichtigt“, „fahrlässig“, „grob fahrlässig“ und „vor-sätzlich“ (BUXMANN [33]), ist bei einer Risikountersuchung aber nicht mehr gültig, denn der Verlust von Leben wird rechnerisch berücksichtigt. Der Tod ist das Ende eines Lebens. Die Möglichkeit der schöpferischen Teilnahme an der Ge-staltung der Welt ist dem verstorbenen Wesen unwiderruflich verschlossen. Der Tod ist der

Verlust des größten uns bekannten Wertes, für den Betroffen, aber auch für die Menschen, die

den Verstorbenen auf seinem Lebensweg begleitet haben. Der Verfasser ist sich der Tragik der

hier behandelter Thematik trotz der zahlreichen Verwendung von Todesopferzahlen in den

Risikountersuchungen bewußt, gibt aber auch zu bedenken, daß die vorliegende Arbeit eine Katastrophenvorsorge darstellt und den Leser gegenüber der hier behandelten möglichen Ka-tastrophen sensibilisiert. Die Anwendung von Todesopferzahlen in Risikoberechnungen für technische Erzeugnisse bleibt aber moralisch umstritten. Doch nicht nur die Risikoanalyse mit der Annahme von Todesopfern selbst, auch die dafür notwendige probabilistische Berechnung der operativen Versagenswahrscheinlichkeit muß sich einer Kritik unterziehen, die in den nächsten Absätzen dargestellt wird. Weitere Ausfüh-


Seite 185

rungen dazu finden sich z. B. in MÖLLER et al. [192] und ELISHKAKOFF [76]. Insbesondere MÖLLER arbeitet deshalb an einer Verallgemeinerung des Sicherheitsbegriffes. In einem Sachstandsbericht [214] für probabilistische Untersuchungen für Kernkraftwerke wurden bei Benchmark-Tests Unterschiede bei der Ermittlung der Versagenswahrscheinlich-keit durch verschiedene Experten um den Faktor 1,5 ermittelt. Die Ursachen dafür liegen in An-nahmen über unterschiedliche Modelle, unterschiedliche Berechnungsverfahren und unbe-kannte Parameter. Es zeigt sich, daß derartige Rechnungen zahlreiche Eingangsparameter be-nötigen und durchaus sensibel auf kleine Veränderungen der Parameter reagieren können. Um die daraus resultierenden Probleme zu verringern, wird, wie bereits erwähnt, durch das Joint Committee of Structural Safety ein Model Code für probabilistische Berechnungen im Bauwe-sen entwickelt [137]. Oft müssen statistische Angaben über Eingangsgrößen geschätzt werden. Gerade auf Grund der umfangreichen Kritik an den Verfahren der Induktiven Statistik wurde im Rahmen dieser Arbeit ein hoher Aufwand zur Ermittlung der statistischen Parameter betrieben. Nimmt man an, daß die ermittelten statistischen Parameter selbst nur wieder streuende Größen sind, so wird die ermittelte operative Versagenswahrscheinlichkeit auch eine Zufallsgröße sein. Dieses Verfahren ist bekannt (PENDOLA, HORNET, LEMAIRE, & MOHAMED [226]), wurde auf Grund der Problematik der Festlegung einer akzeptablen Versagenswahrscheinlichkeit und der hohen Versuchsanzahlen aber hier nicht verwendet. Der letzte Punkt bei der Kritik der operativen Versagenswahrscheinlichkeit wiegt sicherlich am schwersten: Ist die Annahme zufälliger Änderungen der Material- und Widerstandsseiten berechtigt. So entsteht doch die überwiegende Anzahl von Bauschäden nicht durch die Wahl eines akzeptierten Risikos oder durch statistische Unsicherheiten, sondern durch menschliches Fehlverhalten. Deutlich wurde dies in den letzten zwei Jahren am Main, als auf Grund von wirtschaftlichen Zwängen die Qualität der Ausbildung der Schiffsführer drastisch abnahm. Die Folge davon war eine so drastische Zunahme von Schiffahrtsunfällen, daß die Öffentlich-keit auf dieses Problem aufmerksam wurde und die dafür zuständigen staatlichen Stellen in für Behörden ungewohnt schneller und unkomplizierter Weise reagierten. Menschliche Fehler sind in Berechnungen nur schwer abbildbar, weshalb z. B. die DIN 1055-100 ausdrücklich darauf hinweist, daß derartige Fehler bei Baumaßnamen ausgeschlossen werden müssen. RACKWITZ [238] zeigt in einer Zusammenstellung von 800 Bauschäden, daß dieser Fehler in der Realität die überwiegende Ursache für Schäden darstellt (Tab. 6-24). Ursachen der Bauschäden Anteil an den gesamten Fehlern Ignoranz, Sorglosigkeit, Fahrlässigkeit 37 % Mangelhafte Kenntnisse 27 % Unterschätzen von Einflüssen 14 % Vergeßlichkeit und Irrtümer 10 % Ungerechtfertigtes Verlassen auf andere 6 % Objektiv unbekannte Situation und Einflüsse 6 %

Tab. 6-24: Ursache von Fehlern bei der Planung und Ausführung von Bauwerken [238] MÜLLER [198] gibt in Tab. 6-25 Zahlen für Irrtumswahrscheinlichkeiten an. Ereignis P Irrtum des Architekten P(A) 0,1 Irrtum des Entwurfsingenieurs P(E) 0,4 Irrtum bei der Ausführung P(C) 0,5 Irrtum der Überwachung P(I) 0,1

Tab. 6-25: Wahrscheinlichkeit von Fehlern bei der Planung und Ausführung von Bauwerken


Seite 186

Diese auf den ersten Blick sehr hohen Irrtumswahrscheinlichkeiten werden jedoch durch die Einführung von Prüfungen, also einer Überwachung, erheblich verbessert. So gilt:

01,01,01,0)()()|( =⋅=⋅= APIPAIP 04,04,01,0)()()|( =⋅=⋅= EPIPEIP 05,05,01,0)()()|( =⋅=⋅= CPIPCIP

An der überwiegenden Anzahl aller Versagensfälle ist menschliches Fehlverhalten beteiligt. Meistens gibt es mehrere Ursachen für ein Versagen. Diese Tatsache gilt auch für andere Un-glücke. Menschliches Fehlverhalten ist eine latente Erscheinung und führt nicht zwangsläufig zu Unglücken oder Schäden. Gerade weil man weiß, daß menschliches Fehlverhalten auftritt, entwickelte man in nahezu allen technischen Bereichen Kontrollmechanismen. Die berech-nete operative Versagenswahrscheinlichkeit ohne Berücksichtigung von menschlichen Feh-lern sollte kleiner als die tatsächliche Versagenswahrscheinlichkeit sein. Bei ca. 35.000 Straßenbrücken auf dem Bundesfernstraßennetz der Bundesrepublik Deutsch-land [276] müßte bei einer jährlichen Versagenswahrscheinlichkeit von 10-5 alle drei Jahre eine Brücke einstürzen. Das ist wohl kaum der Fall! Entscheidende Punkte für die hohe Si-cherheit von Bauwerken sind das Versagen mit Vorankündigung und die regelmäßige Durch-führung von Kontrollen und Sanierungsmaßnahmen. Ein Beispiel für einen systematischen Fehler war das Versagen einer ganzen Gruppe von Konstruktionen Ende der 60er Jahre in Thüringen und Bayern. Infolge des seltenen Zusam-mentreffens von Schneelast und Regen stürzte in den genannten Gebieten eine Vielzahl von Leichtmetalldächern zusammen. Neben der Entwicklung von Typenprojekten, die den spezi-ellen Schneeverhältnissen des Standortes nicht mehr angepaßt wurden, spielte auch der Weg-fall der Vorankündigung des Versagens eine Rolle. Bei den traditionell verwendeten Holzdä-chern traten im Vorfeld des Versagens Geräusche auf, die meistens zu einer Beräumung des Daches führten und damit den Einsturz verhinderten. Dieser Schadensfall belegt die These, daß Unfälle meistens auf das Aufeinandertreffen mehrer Umstände zurückzuführen sind und i.d.R. menschliche Fehler ein Teil davon sind (DRIGERT & WIESE [69]).

Kapitel 7: Zusammenfassung und Ausblick

Seite 187

7 Zusammenfassung und Ausblick In der vorliegenden Untersuchung wurde versucht, mittels wahrscheinlichkeitstheoretischer Grundlagen und unter Berücksichtigung der Besonderheiten von realen Objekten eine Aus-sage über das Gefährdungspotential eines Schiffsanpralls gegen alte Brücken zu geben. Dazu wurden zwei Bauwerke ausgewählt, die repräsentativ für zwei Typen von alten Brücken ste-hen sollen. Als numerischer Parameter für die Gefährdung wurde primär die operative Versagenswahrscheinlichkeit verwendet, später andere Risikodarstellungen. Im Fall der Mainbrücke Segnitz steht auf Grund der hohen operativen Versagenswahrschein-lichkeit sowohl ohne Berücksichtigung als auch mit Berücksichtigung der Entwicklungen der

Anprallhäufigkeit in den letzten Jahren ein Handlungsbedarf in Form von Sicherungsmaßnah-men außer Frage. Im Falle der Alten Mainbrücke Lohr lassen die ermittelten Werte nicht ohne

weiteres eine endgültige Aussage zu. Auf Grund der Probleme bei der Wertung der ermittelten

operativen Versagenswahrscheinlichkeit wurde diese in ein Risiko gemäß den normativ bereit-gestellten Möglichkeiten überführt. Auch damit kann letztendlich keine eindeutige Aussage

über die Akzeptanz der Sicherheit bzw. der Gefährdung für die Öffentlichkeit erbracht werden. Abschließend wurden für die Gesellschaft akzeptable Kosten zur Ertüchtigung der Brücken

berechnet. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß alte Stahlfachwerkbrücken mit Naturstein-pfeilern in schiffbaren Gewässern in Deutschland in Abhängigkeit von den jeweiligen bauli-chen Besonderheiten einer Gefährdung durch Schiffsanprall unterliegen, die zumindest, so-weit noch nicht erfolgt, rechnerisch untersucht werden sollte. Es erfolgte eine quantitative An-gabe dieser Gefährdung für ein derartiges Bauwerk ebenso wie die Angabe der erforderlichen finanziellen Ausgaben zur Ertüchtigung des Bauwerkes. Mauerwerksbogenbrücken dürften i. a. durch ihr hohes Gewicht kaum oder nur in geringem Maße einer Einsturzgefährdung durch Schiffsanprall ausgesetzt sein. Bei der Alten Main-brücke Lohr zeichnet sich eine Gefährdung ab, die an der Grenze akzeptabler Werte liegt bzw. diese leicht übersteigt. Die Frage eines akzeptablen Risikos erfordert nicht nur weitere wissenschaftliche Untersu-chungen, sondern auch die Integration der Bevölkerung in diese Diskussion. Die Sicherstel-lung eines gewählten Wertes für technische Güter obliegt dem Repräsentanten der Bevölke-rung: dem Gesetzgeber. Beides ist bisher nicht erfolgt. Aus dieser Sicht heraus sind die Mög-lichkeiten von Risikountersuchungen im neuen Vorschriftenwerk als unpraktikabel einzustu-fen. Traditionell sind die Anforderungen der Bevölkerung an die Sicherheit von Bauwerken sehr

hoch. Das ist auch verständlich, denn Menschen verbringen einen Großteil ihrer Lebenszeit

innerhalb von oder mit Bauwerken. Bauwerke im allgemeinen und Brückenbauwerke im

besonderen zeigen im Vergleich zu allen anderen technischen und natürlichen Risiken ein aus-gesprochen geringes Gefahrenpotential und eine hohe Sicherheit unter ständigen Lasten und

Verkehrslasten. Stark vereinfacht kann man sagen, daß die Wahrscheinlichkeit, beim Überque-ren einer Brücke durch Brückenversagen umzukommen, mindestens zwei Zehnerpotenzen

kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit, durch einen Verkehrsunfall auf der Brücke tödlich zu

Kapitel 7: Zusammenfassung und Ausblick

Seite 188

verunglücken. Brückeneinsturze während der Nutzungsdauer, wie der Einsturz der Hintze-Ribeiro-Brücke über den Douro im Frühjahr 2001 in Portugal mit über 50 Todesopfern, stellen

sehr seltene Ereignisse dar und sind in den meisten Fällen auf unzureichende Kontrolle bzw. unzureichende Wartung der Bauwerke zurückzuführen. Die rechnerische Modellierung eines Schiffsanpralls gegen ein Bauwerk kann bereits mit den

heute vorliegenden technischen Mitteln deutlich schärfer erfolgen als in der vorliegenden Ar-beit. Die Entwicklung der Rechentechnik wird auch in Zukunft weitere Verfeinerungen von

Stoßprozessen und dem nichtlinearen Verhalten der Baustoffe erlauben. So erfolgte parallel zu

dieser Arbeit im Rahmen eines DFG Forschungsthemas in Weimar die Integration von Mauer-werksstoffgesetzen in das FEM-Programm ANSYS. Auch sind heute standardmäßig die Monte-Carlo-Simulation und das Antwort-Flächen-Verfahren in ANSYS bereits integriert. Somit lie-gen bereits heute, zum Ende dieser Arbeit, bessere numerische Werkzeuge vor.

Kapitel 8: Quellen

Seite 189

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Anhang A: Problematik

Seite 205

9 Anhang A: Problematik Schiffahrtsstraße Strecke Anzahl der Brücken Flüsse von bis insgesamt davon

Eisenbahnim Bau in Planung

Grundlagen der Zäh-lung und Quellen

Donau Kelheim dt.-öst. Grenze 46 8 [334] Elbe (mit Hamburg - Norder- und Südelbe)

dt.-tschech. Grenze

Nordsee 42+15(HH)

= 5715+5(HH)

=203 [54], [332]

Ems Lingen Papenburg Meppen Nordsee 11 2 [54], [332]

Lahn Wetzlar Rhein 54 12 1 [54], [332] Main Hallstadt Rhein 111 19 [334] Mosel dt.-frz. Grenze Rhein 48 6 2 [54], [332] Neckar Plochingen Rhein 91 7 [54], [332] Oder dt.-poln. Grenze dt.-poln. Grenze 8 2 [54], [332] Peene Malchin Ostsee 12 3 1 [54], [332] Rhein dt.-schweiz.

Grenze dt.-niederl. Grenze

66 16 2 [331], [54], [332]

Ruhr Mühlheim Rhein 16 6 [54], [332] Saale Bad Dürrenberg Elbe 27 5 2 [54], [332] Saar dt.-frz. Grenze Mosel 22 3 [54], [332] Weser (in Bremen ohne kleine Weser)

Fulda & Werra Nordsee 57 11 1 [54], [332]

Kanäle/Wasserstraßen Dortmund-Ems-Kanal 185 [126] Main-Donau-Kanal 114 8 [335] Mittellandkanal (einschl.Stich- und Verbindungskanäle) 385 [333]

HH-Hamburg allein Tab. 9-1: Anzahl der Brücken über Flüsse in Deutschland


Seite 206

Abb. 9-1: Lage der Binnenschiffahrts- und Seewasserstraßen in der Bundesrepublik Deutsch-land


Seite 207

Abb. 9-2: Organisation der Bundeswasserstraßen in Deutschland (Wassser- und Schiffahrtsdi-rektionen)

Anhang B: Schiefer Schiffsanprall

Seite 208


Seite 209

10 Anhang B: Schiefer Schiffsanprall Für einen Schiffsanprall gegen ein starres Hindernis unter einem beliebigen Winkel wurde der von MEIER-DÖRNBERG [185] vorgeschlagene Formelapparat in Verbindung mit dem Straßen-bauamt Würzburg programmtechnisch umgesetzt. Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

2 /hydrm m h b= ⋅ ⋅ (10-1)

wβ = α − α (10-2)

wsin( )sina r wv v v α − α

= + ⋅α

(10-3)

x xm m= ρ ⋅ (10-4)

y ym m= ρ ⋅ (10-5)

²s y i mθ = ρ ⋅ ⋅ (10-6)

y hydrm m m= + (10-7)

0 sinn av v= ⋅ α (10-8)

0 cost av v= ⋅ α (10-9)

0ˆ( ) x x x x xm v v F F dt− = = ∫ (10-10)


Seite 210

0ˆ( ) y y y y ym v v F F dt− = = ∫ (10-11)

ˆ ˆs y s x sF x F y′θ ϕ = ⋅ − ⋅ (10-12)

ˆ ˆ ˆsin cosn x yF F F= ⋅ α + ⋅ α (10-13)

ˆ ˆ ˆcos sint x yF F F= ⋅ α − ⋅ α (10-14)

bx x sv v y ′= + ⋅ϕ (10-15)

by y sv v x= + ⋅ϕ& (10-16)

sin cosn bx byv v v= ⋅ α − ⋅ α (10-17)

cos sint bx byv v v= ⋅ α − ⋅ α (10-18)

0nv = (10-19)tanby bxv v= ⋅ α (10-20)

sinby

t

vv =

α

(10-21)

tan (1 tan ) 0sx y s

s

yv v xx

⋅ α − − ⋅ϕ ⋅ − ⋅ α =& (10-22)

0tv = (10-23)

x sv y ′= − ⋅ϕ (10-24)

y sv x ′= − ⋅ϕ (10-25)

0 0( ) ( )s y s y y x s x xm x v v m y v v′θ ϕ = ⋅ − − ⋅ − (10-26)

tan (1 tan ) 0sx y s

s

yv v xx

′⋅ α − − ⋅ϕ ⋅ − ⋅ α = (10-27)

0 0

( ² ²) ²x s x y s y

y s x s

y v x vi x y

ρ + ρ′ϕ = −

ρ + + ρ

(10-28)

00 0

yx y a

x s

xv v v

yρ

+ ⋅ =ρ

(10-29)

( ² ²) ²x s

ny s x s

yki x y

ρ=

ρ + + ρ

(10-30)

n ak v′ϕ = − ⋅ (10-31)

x s n av y k v= ⋅ ⋅ (10-32)

y s n av x k v= ⋅ ⋅ (10-33)

0ˆ (1 ) sin cosn a x s n y nF m v y k x k = ⋅ ρ − ⋅ α + ρ ⋅ α (10-34)

ˆ (1 ) cos sint a x s n y s nF m v y k x k = ⋅ ρ − ⋅ α − ρ ⋅ α (10-35)

t nF F< µ ⋅ (10-36)

01 1ˆ ˆ cos2 2reib t t t aE F v F v= ⋅ = ⋅ ⋅ α

(10-37)

01 1ˆ ˆ sin2 2def n n n aE F v F v= ⋅ = ⋅ ⋅ α

(10-38)

2 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2kin s x x y y a x s nE m v m v m v y k′= θ ⋅ϕ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ρ ⋅ ⋅

(10-39)


Seite 211

212a a x reib def kinE m v E E E= ⋅ ⋅ρ = + +

(10-40)

ˆ ˆt nF F= µ ⋅ (10-41)

ˆ ˆ(cos sin ) (sin cos )x yF Fα − µ ⋅ α = α + µ ⋅ α (10-42)

ˆ ˆ (sin cos )x nF F= α + µ ⋅ α (10-43)

ˆ ˆ (cos sin )y nF F= α − µ ⋅ α (10-44)

1 (sin cos )xx

k = ⋅ α + µ ⋅ αρ

(10-45)

1 (cos sin )yy

k = ⋅ α − µ ⋅ αρ

(10-46)

2

2s s x

z y xs y

x yk k ki x

ρ= − ⋅ ρ

(10-47)

0 ctg ctg sx y z

s

yk k k kx

= + ⋅ α + α −

(10-48)

0 00

1ˆ ( ctg )n x yF m v vk

= − ⋅ α

(10-49)

0 0 ctgx y av v v− ⋅ α = (10-50)

0

ˆ an

vF mk

= ⋅ (10-51)

0

1 xx a

kv vk

= −

(10-52)

0

yy a

kv v

k=

(10-53)

0

zs a

kx vk

′ϕ = (10-54)

0 siny z

t a

k kv v

k+

=α

(10-55)

1ˆµ ( )2reib n to tE F v v= −

(10-56)

1ˆ2def n noE F v=

(10-57)

2 2 2 21 1 1 12 2 2 2kin s x x x x y yE m v m v m v′= θ ⋅ϕ + ⋅ + ⋅ + ⋅

(10-58)

22 2 2 2

02 20

1 1 ( )2kin a y z x x y y

s

iE m v k k k kk x

= ⋅ ⋅ ρ + ρ − + ρ

(10-59)

212a x a x reib def kinE m v E E E= ⋅ ⋅ρ = + +

(10-60)

m nN F= (10-61)


Seite 212

Anhang C: Beschreibende Statistik

Seite 213

11 Anhang C: Beschreibung von Unsicherheit in Form von Zufallsgrößen

11.1 Einleitung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung zufälliger Ereignisse und die induktive Statistik zur Be-schreibung zufälliger Änderungen spielen in vielen Wissenschaftsbereichen eine große Rolle. So gibt in der Physik die sogenannte SCHRÖDINGER Gleichung die Wahrscheinlichkeitsdichte des Aufenthaltsortes des Elektrons im Atom an (WEIßMANTEL et al. [320]). In der Biologie basiert die ursprünglich von DARWIN aufgestellte Theorie über die Evolution der Tierwelt auf zufälligen Änderungen der Gene (GAARDNER [97]). In der Medizin und Psy-chologie gibt man die Erfolgsquote von Medikamenten und Therapien in Wahrscheinlich-keiten an (z. B. Sterberate für Herzinfarkt). Im Umweltschutz benötigt man die Statistik zur Entdeckung von Veränderungen von Umweltbedingungen (MCBEAN & ROVERS [184]). Selbst in den Rechtswissenschaften spricht man von Wahrscheinlichkeiten z. B. bei „mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit“ oder bei den gesetzlichen Grundlagen für die Si-cherheit von Betonfußboden an Tankstellen (PROSKE [233], WÖRNER [329]). Auch in der Wirtschaft sind Wahrscheinlichkeiten und die stochastische Beschreibung von Vorgängen ein wichtiges Hilfsmittel. So verfolgt man in der sogenannten Konjunkturtheorie neben anderen Theorien auch stochastische Ansätze. SLUTZKY [269] erkannte bereits 1937 die Übereinstim-mung zwischen Konjunkturschwankungen und stochastischen Zeitreihen. KRELLE [155] beschreibt 1959 die Entstehung, Frequenz und Amplitude von Konjunkturschwankungen rein stochastisch. Auch in der Versicherungswirtschaft wird das Versicherungsrisiko auf Grund-lage von Wahrscheinlichkeiten ermittelt. Als weitere Anwendung der Wahrscheinlichkeits-rechnung sei die Spieltheorie genannt, eine der Auslöser für die Entwicklung der Wahr-scheinlichkeitsrechnung. Die Auflistung der folgenden historischen Schriftwerke wurde dem Statistik Skript der Fach-hochschule Gelsenkirchen [278] entnommen. Schon im 16. Jahrhundert erschienen Bücher über die Wahrscheinlichkeitsrechnung: • GEROLAMO CARDANO (1526): „Liber de ludo aleae“ • GALILEO GALILEI (1564-1642): „Sopra le scorpeste dei Dadi“ (ein Buch über die Wahr-

scheinlichkeiten beim Spiel mit drei Würfeln). Berühmt wurden die Anfragen des Spielers ANTOINE CHEVALIER DE MÉRÉ (1610-1684) bei dem französischen Mathematiker (und Philosophen) BLAISE PASCAL (1623-1662) zu ver-schiedenen Zufallsspielen. Daraufhin kam es zu einem Briefwechsel zwischen PASCAL und dem Mathematiker PIERRE DE FERMAT (1602-1665) in den Jahren 1651-1655, der als Beginn der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen wird. Weitere historische Bücher Bücher sind: • JAKOB BERNOULLI (1654-1705): „Ars Conjectandi“ (Kunst des Vermutens). • PIERRE SIMON DE LAPLACE (1812): „Théorie analytique des probabilités“ • THOMAS BAYES (1702-1761): „An essay towards solving a problem in the doctrine of

chances“.


Seite 214

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung sei an dieser Stelle aber nicht weiter das Thema, vielmehr wird auf die induktive Statistik eingegangen, die für die Ermittlung der statistischen Material-parameter herangezogen wurde. In der induktiven Statistik versucht man gemäß dem Motto “Die Vergangenheit ist ein großes Warnsystem” aus vorhandenen Stichproben die für eine unbekannte Grundgesamtheit stehen, Informationen zu extrapolieren. Dazu verwendet man die sogenannte schließende oder induktive Statistik. Die Ursachen für eine Begrenzung der Anzahl der Stichproben sind vielfältig: • Kostengründe, • Zeitgründe, • Datenqualitätsgründe oder einfach • Technische Machbarkeit. Im folgenden werden einige Parameter und Verfahren vorgestellt, die bei der Extrapolation helfen können.

11.2 Parameter zur Beschreibung der Verteilung von Daten Der arithmetische Mittelwert ist das erste Moment der Daten um den Ursprung und wird auch als Schwerpunkt der Daten bezeichnet. Der Mittelwert ist der am häufigsten verwendete Wert zur Beschreibung der mittleren Tendenz von Daten.

n

xx

n

ii∑

== 1 und N

xN

ii∑

== 1µ

(11-1)

Der Median ist der mittlere Wert aller vorhandenen Daten, d.h. die Hälfte aller Daten ist ge-ringer und die Hälfte aller Daten ist größer als der Median. Bei einer Dichtefunktion ist die Fläche links vom Median gleich der Fläche rechts vom Median. Der Median ist identisch mit dem 50 %-Fraktil. Der Modalwert ist der am häufigsten auftretende Wert. Bei einer Dichte-funktion ist der Punkt mit der Ableitung Null der Modalwert. Bei einer Wahrscheinlichkeits-funktion ist der Punkt der Wendetangente der Modalwert. Bei Stichproben ist es möglich, daß kein Modalwert existiert, daß mehrere Werte mit der gleichen Anzahl auftreten. Der Harmonische Mittelwert wird wie folgt berechnet:

∑∑==

== n

i i

n

i i x

n

xn

H

11

1111 .

(11-2)

Der Geometrische Mittelwert wird wie folgt ermittelt

nn

iixG ∏

=

=1

. (11-3)

Er ist bei schiefen Daten ein besserer Wert zur Beschreibung der mittleren Tendenz der Daten als der arithmetische Mittelwert. Zusätzlich gibt es noch einen generalisierten Mittelwert, der alle anderen Mittelwerte als Spezialfälle oder als Grenzwerte beinhaltet. Ebenso wie auf den sogenannten quadratischen Mittelwert soll jedoch hier nicht weiter darauf eingegangen wer-den.


Seite 215

Neben den genannten Parametern zur Beschreibung der mittleren Tendenz der Daten gibt es noch weitere Parameter. Im folgenden werden die Parameter zur Beschreibung der Streuung der Daten aufgezählt. Die Varianz ist das zweite Moment der Daten um den Mittelwert und wird theoretisch wie folgt ermittelt

N

xV

N

ii∑

=

−== 1

2

2)( µ

σ und für Stichproben 1

)(1

2

2

−

−=

∑=

n

xxS

n

ii

.

(11-4)

Der Unterschied zwischen den Formeln zur Ermittlung der Varianz basierend auf der Popula-tion und den Stichproben begründet sich durch die Tatsache, daß bei der Varianz für die Stichprobe der Mittelwert in der Formel nicht bekannt ist, sondern nur geschätzt werden kann. Darum wird ein sogenannter Biaskorrekturfaktor eingeführt, der auf der BESSEL’schen Fehler-funktion basiert und die Unsicherheit des Mittelwertes widerspiegeln soll. Anstelle von N wird n-1 verwendet und die Varianz erhöht. Bereits ab einer Stichprobengröße von 15 sind die Unterschiede allerdings vernachlässigbar gering (MCBEAN & ROVERS [184]). Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz, also

N

xN

ii∑

=

−= 1

2)( µσ (Population) und

1

)(1

2

−

−=

∑=

n

xxS

n

ii

(Stichprobe).

(11-5)

Das Programm Excel 95 bietet beide Formeln an: Stabwn (Population) und Stabw (Stich-probe). Die Standardabweichung ist das am häufigsten verwendete Maß zur Beschreibung der Streuung der Daten, wahrscheinlich, weil die Standardabweichung die gleiche Einheit wie der Mittelwert besitzt. Die Spannweite (Range) der Daten ist entweder der Abstand zwischen Ma-ximal- und Minimalwert oder zwischen 90 % und 10 %-Fraktilwert. Die Modifizierte Inter-quartil Spannweite (MIQR) entspricht dem Abstand zwischen dem 75 % und 25 %-Fraktil-wert geteilt durch 1,34. Bei einer Normalverteilung sind MIQR und Standardabweichung gleich, bei schiefen Daten sind beide unterschiedlich. Die MIQR wird im Gegensatz zur Stan-dardabweichung nur wenig von Ausreißern beeinflußt. Die Mittlere Abweichung der Daten wird nach folgender Formel berechnet:

n

xxAbweichungMittlere

n

ii∑

=

−= 1 .

(11-6)

Die Schiefe von Daten kann wie folgt berechnet werden:

für die PopulationN

xxN

ii∑

=

−= 1

3)(α und für Stichproben

)2)(1(

)(1

3

−−

−=

∑=

nn

xxna

n

ii

.

(11-7)

Die Schiefe ist das dritte Moment der Daten um den Mittelwert. Ebenso wie bei der Varianz gibt es einen Biaskorrekturfaktor, der beim Vergleich der Formel zur Bestimmung der Schiefe für die Population und die Stichproben deutlich wird. Neben dem Moment gibt es noch einen bezogenen Wert für die Stichproben, die normierte Schiefe

31

3

)2)(1(

)(

Snn

xxnC

n

ii

s −−

−=

∑= .

(11-8)


Seite 216

Auf Grund der dritten Potenz der Abweichungen vom Mittelwert zeigt die Schiefe ein sehr empfindliches Verhalten gegenüber den einzelnen Stichprobenwerten. Eine robuste Schätzung der Schiefe erfordert mindestens 50 Stichproben (MCBEAN & ROVERS [184]). Bei unimodalen Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit einem Gipfel) ist die Schiefe ein sehr guter Anhaltspunkt zur Unterscheidung. Einer bezogenen Schiefe zwischen 0 und 0,5 kann eine symmetrische Verteilung zugeordnet werden, Werte zwischen 0,5 und 1 zeigen eine mäßige Schiefe. Eine positive Schiefe entsteht, wenn der „Berg“ der Verteilung nach links verschoben ist und eine negative Schiefe nennt man eine Verschiebung des „Bergs“ nach rechts. Neben der Schiefe, die auf den Momenten beruht, gibt es noch den PEARSON‘schen Koeffi-zient der Schiefe:

Erster PEARSON‘scher Koeffizient der Schiefe SModexCs

)(3 −= .

(11-9)

Zweiter PEARSON‘scher Koeffizient der Schiefe S

MedianxCs)(3 −

= . (11-10)

und den Fraktilkoeffizient der Schiefe (Perzentilkoeffizient der Schiefe)

1090

105090'

2PP

PPPCs −

+−= .

(11-11)

Stimmen Mittelwert und Mode bzw. Mittelwert und Median überein, werden die PEAR-SON’schen Koeffizienten Null. Die Kurtosis ist das vierte Moment der Daten um den Mittelwert. Die Kurtosis ist ein Maß für die Wölbung der Daten bzw. der Verteilung und ermittelt sich:

bei Population zuN

xxk

N

ii∑

=

−= 1

4)( und für Stichproben zu

)3)(2)(1(

)(1

42

−−−

−=

∑=

nnn

xxnK

n

ii

.

(11-12)

Der bezogene Wert für die Stichproben ist

41

42

)3)(2)(1(

)(

Snnn

xxnC

n

ii

k −−−

−=

∑= .

(11-13)

Weil der bezogene Wert für die Normalverteilung 3 ist, wird noch ein weiterer Wert einge-führt

3)3)(2)(1(

)(

41

42

−−−−

−=

∑=

′ Snnn

xxnC

n

ii

k .

(11-14)

Dieser sogenannte Koeffizient der Kurtosis für die Normalverteilung ist Null. Programme wie Excel 97, SPSS 9.0, ESBStats V1.1, Vista 5.1 berechnen den Koeffizient der Kurtosis wie folgt:


Seite 217

)3)(2()1(3

)3)(2)(1(

)()1( 2

41

4

−−−

−−−−

−−=

∑=

′ nnn

Snnn

xxnnC

n

ii

k

(11-15)

der gemäß FISCHER [88] eine gute Schätzung abgibt. Das Programm Statistica 5.1 berechnet den Koeffizient wie folgt:

4

2

1

2

1

4

)3)(2)(1(

)1()(3)()1(

Snnn

nxxxxnnC

n

ii

n

ii

k −−−

−

−−−+

=∑∑

==′ .

(11-16)

Man erhält aber damit die gleichen Ergebnisse wie oben. Das Programm WinStat verwendet allerdings eine andere Formel, die auch zu anderen Ergebnissen führt. Ist Ck’ positiv, spricht man von einer leptokurtischen Verteilung, ist der Wert negativ, spricht man von einer platy-kurtischen Verteilung und eine Normalverteilung ist mesokurtisch. Eine platykurtische Ver-teilung ähnelt mehr einer Gleichverteilung, während eine leptokurtische Verteilung mehr ei-nem Einzelwert gleicht. Die Empfindlichkeit der Kurtosis gegenüber einzelnen Ausreißern ist noch größer als die der Schiefe, da die Werte mit der 4ten Potenz eingehen. Höhere Momente sind möglich, werden in der Praxis aber kaum angewendet, da mit steigen-der Potenz der Einfluß einzelner Stichproben immer größer wird. Außerdem gibt es noch einen sogenannten Fraktilkoeffizient der Kurtosis (Perzentilkoeffizient der Kurtosis), der nach folgender Formel ermittelt wird:

1090

2575 )(5,0PP

PPCk −

−=′ .

(11-17)

Der Variationskoeffizient (C.o.V.) beschreibt die relative Streuung der Daten zum Mittelwert

xSV = bzw.

xSV 100

= in %. (11-18)

Der C.o.V. ist einheitenfrei. Ein großer Variationskoeffizient (>1) kann auf eine vorhandene Schiefe der Daten bzw. Verteilung hinweisen. Der Standardfehler des Mittelwertes

nS

x =σ (11-19)

ist ab einer Stichprobengröße n > 30 normalverteilt, selbst wenn die Zufallsvariable nicht nor-malverteilt ist. Da der Mittelwert ausgehend von einzelnen Stichproben ermittelt wird, ist er selbst eine Zufallsgröße. Der Standardfehler beschreibt im Gegensatz zur Standardabwei-chung die Unsicherheit bei der Ermittlung des Mittelwertes, während die Standardabweichung die Unsicherheit (Varianz) bei der Ermittlung der Daten beschreibt. Mit Hilfe des Standard-fehlers des Mittelwertes kann man einen Vertrauensbereich für den Mittelwert angeben, der üblicherweise ermittelt wird:

nStxbereichVertrauens ±=

(11-20)

mit t als Wert der Student-t-Verteilung. Die t-Werte sind in vielen Büchern zu finden, z. B. in MCBEAN & ROVERS [184].


Seite 218

Der Standardfehler der Standardabweichung für eine Stichprobengröße > 100 ist

nS

S 2=σ .

(11-21)

Diese Formel gilt allerdings nur, wenn die Zufallsvariable normalverteilt oder annähernd normalverteilt ist. Der Standardfehler des Median ist

nSmed 2

1=σ .

(11-22)

und der Standardfehler des C.o.V. für eine Stichprobenanzahl > 100 und eine normalverteilte Zufallsvariable ist

nVV

V 2)(21 2+

=σ . (11-23)

Programme wie SPSS 9.0 oder Statistica 5.1 berechnen ebenfalls den Standardfehler der Schiefe und Kurtosis.

11.3 Graphische Darstellungsformen Bei der Erstellung eines Histogramms werden die Daten in Klassen unterteilt und ihre abso-lute oder relative Häufigkeit dargestellt. Ein Histogramm erlaubt eine sehr gute optische Be-schreibung der Daten. Die Auswirkung der Wahl der Breite der Klassen ist zu beachten. Wer-den die Klassen zu klein gewählt, so zeigt das Histogramm ein sehr unregelmäßiges Verhal-ten, werden die Klassen zu groß gewählt, so kann die Form der Daten verfälscht werden. Mit anderen Worten, die Form eines Histogramms unterliegt einer subjektiven Einschätzung. Für die Wahl der Breite der Klassen gibt es verschieden Empfehlungen, STORM [290] empfiehlt:

1

5 log

(1 3,32 log )

k n

k nd R n −

≤ ⋅

≈

= ⋅ + ⋅

(11-24)

mit k = Klassenanzahl, n = Anzahl der Stichproben, d = Klassenbreite, R = Spannweite. Dabei soll die Anzahl der Klassen zwischen 6 und 20 liegen. PLATE [231] schlägt folgende Formel vor:

∆xs

nx≈

⋅3 493

, ~

mit x∆ = Klassenbreite, xs% = Standardabweichung und n = Anzahl der Stichproben Bei Wermuth [323] findet man:

5=k 25≤n nk ≈ 10025 ≤< n

nk ln5,41+= 100>n MCBEAN & ROVERS [184] schlagen vor, die Klassenbreite zwischen ¼ und ½ der Standard-abweichung zu wählen.


Seite 219

Bei einer großen Anzahl von Stichproben sollte man sich gemäß DIN 53 804 [63] an folgende Regel halten: Anzahl n der Stichproben Anzahl der Klassen

100≤n 10≥k 1000100 ≤≤ n 13≥k

100001000 ≤≤ n 16≥k 10000010000 ≤≤ n 20≥k

Um den Unterschied zwischen den Häufigkeiten und den Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufzeigen zu können, werden sogenannte Hängende Histogramme verwendet, die in den je-weiligen Klassen die Differenz (Residuals) zwischen Verteilung und Stichproben zeigen. Speziell für die Prüfung der Daten auf Normalverteilung verwendet man sogenannte Roto-gramme. Dabei wird die Wurzel der relativen Häufigkeiten anstelle der Häufigkeiten darge-stellt. Sind die Daten normalverteilt, so müssen Histogramm und Rotogramm von der Form her das glockenförmige Bild der Normalverteilung zeigen, da die Wurzel von einer normal-verteilten Größe wieder normalverteilt ist. Bei der Verwendung von Wahrscheinlichkeitspapier wird die Wahrscheinlichkeit der Stich-proben in Diagramme eingetragen, die entsprechend der jeweiligen gewählten Verteilungs-funktion transformierte Achsen besitzen. Infolge der Transformation der x-Achse erscheint die jeweilige Verteilung als gerade Linie und man kann überprüfen, inwieweit die Daten die-ser Linie folgen. Der Vorteil bei der Verwendung von Wahrscheinlichkeitspapier ist der Ver-zicht auf Klassen. Eine zweite Möglichkeit neben dem genannten Wahrscheinlichkeitspapier (Probability–Probability–Plots) sind sogenannte Quantil–Quantil–Plots (bzw. Fraktil–Frakil–Plots). Man muß allerdings darauf hinweisen, daß es verschiedene Formeln zur Bestimmung der Frakilwerte gibt (MCBEAN & ROVERS [184]). Dies gilt umsomehr für Fraktilwerte im Bereich der Schwänze, wie z.B. der 5 %-Fraktilwert der Betondruckfestigkeit (HUNT & BRYANT [127], JAEGER & BAKHT [133]). Der Box & Whisker Plot gibt einen guten Überblick über die Streuung der Daten. Ausreißer und Extremwerte werden recht deutlich sichtbar. Für die zentrale Tendenz der Daten wird entweder der Mittelwert oder der Median verwendet (meistens der Median), der als Strich oder kleines Rechteck abgebildet wird. Die Streuung der Daten wird oft durch die Standard-abweichung, aber auch die 25 % und 75 % Fraktilwerte (Interquartil Range), in Form einer Box dargestellt. Die Whisker (engl. Barthaar) umfassen einen Bereich vom Median (oder Mittel-wert) bis 1,5mal die Standardabweichung nach beiden Seiten. Von diesem Bereich bis zu einer Entfernung von 3mal die Standardabweichung werden Werte als Ausreißer eingestuft. Werte, die weiter als 3mal die Standardabweichung vom Wert der zentralen Tendenz weg liegen, werden als Extremwerte bezeichnet. Es muß darauf hingewiesen werden, daß es sich auch hierbei um Ausreißer handeln kann.

11.4 Ausreißer Ausreißer sind Werte, die untypisch für eine Grundgesamtheit sind. Ein einzelner Ausreißer kann einen großen Einfluß auf die statistischen Parameter haben und zu einer erheblichen Verschiebung dieser Größen führen. Trotzdem besteht natürlich auch die Möglichkeit, daß der atypische Wert sehr wohl reale Daten repräsentiert. Tests für Ausreißer prüfen, ob es einen statistisch signifikanten Anhaltspunkt dafür gibt, daß der Ausreißer nicht zur Grundgesamtheit


Seite 220

gehört. Neben dem statistischen Test sollten auch andere Untersuchungen durchgeführt wer-den, ob z. B. eine andere Maschine für die Messung der Zufallsgrößen verwendet wurde, ein neuer Mitarbeiter die Messung durchführte oder ein anderer Anhaltspunkt für den atypischen Wert gefunden werden kann. Die hier vorgestellten Verfahren verlangen in den meisten Fällen normalverteilte Daten. Zu-sätzlich ist zu beachten, daß zensierte Daten ein erheblichen Einfluß auf die Verteilungstyp-Tests (Goodness of Fit) haben können. Folgende Verfahren zur Ermittlung von Ausreißern sind dem Verfasser bekannt: 1. Eintragen der Stichproben in Wahrscheinlichkeitspapier bzw. in x-y-Diagramme

Auf die Verwendung von Wahrscheinlichkeitspapier wurde bereits eingegangen. Ebenso können Ausreißer sehr gut in x–y Diagrammen festgestellt werden. So kann z. B. der Kor-relationskoeffizient zwischen zwei Zufallsvariablen einmal mit und einmal ohne den po-tentiellen Ausreißer errechnet werden. Sollte sich der Korrelationskoeffizient dabei er-heblich ändern, ist Vorsicht geboten.

2. Prüfen des Einflusses eines Einzelwertes auf die Standardabweichung. Dazu wird zuerst ein Ranking der Stichproben erstellt und anschließend werden Standardabweichungen mit und ohne Extremwerte ermittelt.

3. Beim Standard-Normal-Test für Ausreißer werden zuerst Mittelwert und Standardabwei-chung der Stichproben ermittelt. Ermittle anschließend für zwei Werte:

Sxxt −

= max

bzw. Sxxt −

= min

und prüfe, ob dieser Wert mehr als 3mal die Standardab-weichung vom Mittelwert entfernt liegt (MCBEAN & ROVERS [184]).

4. DIXON’s Test für Ausreißer erfordert zuerst ein Ranking der Daten. Anschließend wird, entsprechend einer Formel, die abhängig von der Anzahl der Stichproben sind, DIXON’s Statistik ermittelt. (MCBEAN & ROVERS [184], DIN 53 804-1 [63])

5. BARNETT & LEWIS Test (Maximum Normal Residual und Extreme Student Abweichung für Ausreißer) prüft ebenfalls

Sxxt −

= max*

bzw. Sxxt −

= min*

gegen eine Statistik (McBean & Rovers [184]). 6. CHAUVENET’s Kriterium, daß bei normalverteilten Zufallsvariablen angewendet werden,

lautet: Ist die Wahrscheinlichkeit der Abweichung vom Mittelwert größer als 0,5·n, so sollte dieser Wert abgelehnt werden (MCBEAN & ROVERS [184]).

7. GRUPPS Test nach FISCHER [88] oder DIN 53 804-1 [63] 8. DAVID-HARTLEY-PEARSON-Test nach FISCHER [88] 9. Wölbungstext bei Normalverteilung nach FISCHER [88] 10. Residuenanalyse nach FISCHER [88] 11. Nach [11] ist bei n + 1 Meßpunkten xn+1 ein Ausreißer in einer normalverteilten Grundge-

samtheit, wenn gilt: skxxn ⋅+>+1

mit x als Mittelwert ohne den Wert xn+1 s als Standardabweichung ohne den Wert xn+1 k Koeffizient gemäß Abb. 11-1


Seite 221

Abb. 11-1: Faktor k in Abhängigkeit der Anzahl der Sticnproben

11.5 Zensierte Daten Eine Zensierung von Daten erfolgt, wenn ein bestimmter Bereich des Definitionsbereiches der Zufallsvariable nicht erfaßt werden kann. Zum Beispiel können sehr kleine oder sehr große Werte nicht gemessen werden. So kann man z. B. bei Dauerhaftigkeitsversuchen von Beton nicht warten, bis alle Prüfkörper funktionsuntüchtig geworden sind, sondern wird bei einer bestimmten Anzahl an ausgefallenen Prüfkörpern den Versuch abbrechen. Oder infolge sehr geringer Festigkeit können Festigkeitsversuche gar nicht erst durchgeführt werden, weil der Probekörper bereits vorher schadhaft geworden ist. Es sollen kurz drei Verfahren zur Be-handlung von zensierten Daten vorgestellt werden. 1. Bei der einfachen Substitution der Größen, über die nur bekannt ist, daß der wirkliche

Wert kleiner als die Meßgrenze ist, werden diese Werte z. B. bei kleinen Werten zu Null, zur halben Differenz zwischen Null und der Meßgrenze oder zur Meßgrenze gesetzt. Meßgrenze soll der Wert sein, bis zu dem gemessen werden konnte, z. B. konnte eine Festigkeit kleiner 1 N/mm2, die nicht mehr erfaßt werden kann. Mit diesen substituierten Werten erhält man Grenzen der statistischen Parameter.

2. COHEN’s Test ist ein anderes Verfahren, daß angewendet werden kann, wenn bis zu 90 % der vorhandenen Daten zensiert sind. Der Test wird wie folgt durchgeführt: Zuerst wer-den Mittelwert und Standardabweichung aller Stichproben errechnet, die über der Meß-grenze liegen:

∑=

=m

iid x

mx

1

1

und )1(

)(1

2

−

−=

∑=

m

xxS

m

ii

d

. Anschließend ermittelt man die beiden Parameter gemäß

nmnh −

= und )(

2

DLxSd

−=γ

. DL ist die Meßgrenze. Mit Hilfe dieser Werte kann man einen Rechenwert λ aus den ent-sprechenden Tafeln entnehmen (MCBEAN & ROVERS [184]). Damit wird ein korrigierter Mittelwert und eine korrigierte Standardabweichung geschätzt:

)( DLxxx dd −−= λ und 22 )( DLxSS dd −+= λ .

COHEN’s Verfahren ergibt Maximum Likelihood Schätzungen für den Mittelwert und die Standardabweichung einer zensierten Normalverteilung. Obwohl das Verfahren für bis zu 90 % zensierter Daten zugelassen ist, sollte es bei mehr als 50 % zensierter Daten nicht


Seite 222

mehr verwendet werden (MCBEAN & ROVERS [184]), da die Fehlerrate bei Überschreiten dieses Wertes erheblich anwächst.

3. AITCHISON’S Methode basiert ebenfalls auf der Annahme einer Normalverteilung der Stichproben, allerdings wird unterstellt, daß die zensierten Daten Null sind. Die mit der Methode von COHEN bereits ermittelten Mittelwerte und Standardabweichungen für die Meßwerte, die über der Meßgrenze liegen, können wie folgt weiter verwendet werden. Der korrigierte Mittelwert und die korrigierter Standardabweichung sind gemäß AITCHISON:

dxndx

−= 1

und )1()(

1)1( 2

2

−−

+−

+−=

nnxdnd

Sn

dnS dd

. Grundlagen für die Ermittlung statistischer Parameter oder von Ausreißern oder Zensierungen von Daten war häufig die Annahme einer normalverteilten Grundgesamtheit. Diese Annahme war bisher nicht geprüft worden. Die folgenden Tests beschreiben die Prüfung der Verteilung der Stichproben, welche hierbei durch eine theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilungs-funktion beschrieben werden sollen.

11.6 Prüfung der Verteilungsfunktion (Goodness of Fit Test) Für eine Vielzahl weiterer Berechnungen ist die Kenntnis des Verteilungstyps der Zufallsvariablen nützlich. So wird für die Erstellung von Toleranzgrenzen, z. B. für die Betonfestigkeit, der Verteilungstyp der Zufallsvariablen benötigt. Folgende Verfahren zur Prüfung auf Verteilungstyp werden häufig verwendet. 1. Der Variationskoeffizient kann als Parameter für die Verteilung dienen. FISCHER [87]

schlägt für Materialdaten bis zu 20% Variationskoeffizient eine Normalverteilung, dar-über hinaus eine Log-Normalverteilung vor. MCBEAN & ROVERS [184] lehnen bei einem Variationskoeffizient von größer 100% eine Normalverteilung ab.

2. PLATE [231] gibt ein Diagramm für Verteilungstypen in Abhängigkeit von der Schiefe und Kurtosis Abb. 11-2 an. Das Verhältnis von Kurtosis (Standardisiert) zu Standardfeh-ler der Kurtosis kann ebenfalls zur Prüfung auf Normalverteilung verwendet werden. Wenn das Verhältnis kleiner als –2 oder größer als 2 ist, kann eine Normalverteilung ab-gelehnt werden [275].

3. Vergleich der Häufigkeiten und der theoretischen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen in Histogrammen. Folgende Programme bieten diesen Vergleich an: SPSS 9.0, Statistika 5.0 und SimStat. Außerdem kann man z. B. im Excel 95 einen solchen Vergleich mittels der vordefinierten Verteilungsfunktionen erstellen.

4. Wahrscheinlichkeitspapier 5. χ 2 Test

Dieser Test ist einer der vielseitigsten Tests in der Statistik. Der Test ist immer einseitig. Allerdings ist die Qualität der bei der Ablehnung von Verteilungen eher gering. Gerade in den Schwänzen von Verteilungen versagt der χ 2 Test auf Grund der hohen erforderlichen Anzahl von Stichproben. Der Test wird wie folgt durchgeführt:

I. Unterteile die Daten in Klassen, wie z. B. in einem Histogramm. Die Breite der Klassen kann unterschiedlich sein, wird jedoch meistens konstant gewählt. Es wird empfohlen, über mindestens 5 Stichproben pro Klasse zu verfügen.

II. Ermittle die Häufigkeit der Stichproben pro Klasse. III. III Ermittle die theoretische Häufigkeit der Stichproben pro Klasse, in dem die

theoretische Wahrscheinlichkeit der zu vergleichenden Verteilungsfunktion für


Seite 223

den Bereich einer Klasse ermittelt wird und anschließend mit der Anzahl der Stichproben multipliziert wird.

IV. Ermittle für jede Klasse i

iii e

enD

2)( −=

V. Bilde ∑= iD2χ und vergleiche diesem Wert mit den entsprechenden kritischen χ 2. Die Freiheitsgrade für die Ablesung des kritischen Wertes k-1-p, mit k als Anzahl der Klassen und p als die Anzahl der Parameter, die für die theoretische Verteilung benötigt werden. Ist der kritische Wert größer als die Test Statistik, so gibt es keine signifikante Abweichung zur theoretischen Verteilung.

Abb. 11-2

Bereiche der Gültigkeit verschiedener Verteilungsfunktionen nach Plate. Fol-gende Verteilungen sind enthalten: U = gleichförmig, N = normal, LN = log-normal, P = Pearson (Gamma), LP = log Pearson, GG = verallgemeinerte Gamma, E = Exponential, W = Weibull

6. KOLMOGOROFF–SMIRNOFF Test

Der KOLMOGOROFF–SMIRNOFF Test basiert auf der Idee, einfach den größten Unterschied zwischen theoretischen und gemessenen Wahrscheinlichkeitsfunktion zu prüfen.

I. Dazu wird die gemessene Wahrscheinlichkeitsfunktion gemäß nixF i /)( )(* = und

II. anschließend die Differenz zu { )()( ,1

max )()(* ii xFxFni

D −=

= ermittelt.

III. Ist der kritische Wert dn,α (z. B. aus [184]) größer als der Zielwert, gibt es keine signifikante Abweichung von der theoretischen Verteilung. Die Freiheitsgrade sind die Anzahl der Stichproben.

Eine Stichprobenanzahl von mindestens 50 wird empfohlen, bei einer Stichprobenanzahl von kleiner 25 müssen die Abweichungen zwischen theoretischer und gemessenen Wahr-scheinlichkeit recht groß sein, um die theoretische Verteilung abzulehnen.

7. Der SHAPIRO–WILK Test bzw. der SHAPIRO–FRANCIA Test bei Stichprobenanzahl > 50 Der SHAPIRO–WILK Test für eine Stichprobenanzahl gleich und unter 50 bzw. der SHAPIRO–FRANCIA Test für eine Stichprobenanzahl größer 50 ist ein anderer Goodness of Fit Test. Der Test gilt als einer der besten numerischen Tests zur Prüfung auf Normalver-teilung und erfaßt besonders gut Abweichungen von der Normalverteilung im Schwanz-bereich. Der SHAPIRO–WILK Test kann von jeder Stichprobenanzahl von 3 bis 50 ver-


Seite 224

wendet werden. Selbstverständlich steigt die Fähigkeit des Tests mit der Anzahl der Stichproben. Der Test wird wie folgt durchgeführt.

I. Ordne die Daten vom kleinsten zum größten Wert und umgekehrt. II. Ermittle die Differenzen zwischen den beiden geordneten Reihen.

III. Wichte die Differenzen gemäß den Koeffizienten z. B. aus [184], Seite 293-294

IV. ∑∑=

+−+−=

−==k

iiinin

k

ii xxabb

1)(11

1( , mit x(i) als kleinsten Wert der Stichprobe und k

als größte Ganzzahl gleich oder kleiner n/2. V. Errechne die Test Statistik zu

VI. 2

1

−

=nSbW

VII. und vergleiche mit dem kritischen Wert. Die kritischen Werte können z. B. aus [184] entnommen werden. Eine Normalverteilung wird abgelehnt, wenn der Testwert kleiner als die kritische Größe ist. Bei einer Normalverteilung wird eine große Test Statistik ermittelt.

8. LILLIFORS Test (eine Korrektur für KOLMOGOROFF–SMIRNOFF Test) 9. n ω2 – Test nach KLUGE [150] 10. Quantil-Korrelations-Test nach KLUGE [150]

2/1

1

22

1

1

)()(

))((),(

−⋅−

−−=

∑∑

∑

==

=

n

ixxxi

n

i

xxxi

n

ixip

iii

iii

i

mMmx

mMmxMxr

12. CRAMER-SMIRNOV-VON-MISES Test nach BOCK & KRISCHER [18] Ebenfalls ein Test zur Prüfung eines Verteilungstyps. Die Prüfgröße wird als Funktion der Verteilungsfunktion der Stichproben Sn(x), der theoretischen Verteilungsfunktion F(x) und der Dichte der theoretischen Verteilung f(x) ermittelt.

13. Runs- bzw. der Vorzeichentest [18] Der Vorzeichentest basiert auf der Idee des Wechsels der Vorzeichen der Differenzen zwischen beobachteter und theoretischer Verteilungsfunktion. Wenn die Abweichungen nur zufällig sind, dann müßte die Hälfte aller Differenzen ein positives und die Hälfte eine negatives Vorzeichen haben. Der beobachtete Wechsel der Vorzeichen kann mit einen Vertrauensbereich der Anzahl der Wechsel verglichen werden. Der Mittelwert der beobachteten Wechsel (Runs) wird berechnet nach

NMNMRE

+⋅⋅

+=21)( und die Varianz nach

)1()()2(2)( 2 −++

−−⋅⋅=

NMNMNMMNNMRV

mit M als Anzahl positive und N als Anzahl negativer Werte. Setzt man eine Normalverteilung der Streuung des Mittelwertes voraus, kann man mit Hilfe der Streuung und der Anzahl der Stichproben den jeweiligen Vertrauensbereich für den Mittelwert abschätzen.

14. Der ANDERSON-DARLING Test nach KENDALL & STUART [145] 15. FINKENSTEIN-SCHAFER Test für Exponentialverteilung [178] und unbekanntem Mittelwert 16. GNEDENKO TEST (für zensierte Daten) für Exponentialverteilung [178] Kann keine Verteilung gefunden werden, besteht immer noch die Möglichkeit, die Daten zu transformieren, um eine Verteilung zu finden. Es läßt sich zeigen, daß immer eine oder meh-rere Transformationen existieren, um die Daten in eine Normalverteilung zu überführen.


Seite 225

Bei der im Bauwesen so wichtigen Ermittlung von Fraktilwerten besteht die Möglichkeit, ohne die Festlegung einer Wahrscheinlichkeitsfunktion zu arbeiten und hybride Mischver-teilungen nach JAEGER & BAKHT [133] zu verwenden. Das Verfahren von JAEGER & BAKHT [133] gestaltet sich wie folgt. 1. Sortierung der Daten (z.B. mittels Excel und den Extras-Analyse-Funktionen-Rang und

Quantil) 2. Berechnung des Mittelwertes. Dabei wird festgelegt: Bei einer ungeraden Anzahl von

Versuchergebnissen (Stichproben) ist der Mittelwert der mittlere Wert (also eigentlich der Median). Bei einer geraden Anzahl von Versuchsergebnissen (Stichproben n = 2 k) sei der Mittelwert:

2)( 1++

= kk xxxµ

3. Für jedes Versuchsergebnis x wird ein y ermittelt:

µ

µ

xxxx

y⋅⋅

+=

2

22

4. Wähle einen charakteristischen Wert, z.B. ein 5% Fraktil. Wähle den entsprechenden

Wert einer Normalverteilung, also für ein 5% Fraktil z* = -1,645. 5. Wähle aus der folgenden Tabelle ein z1, z2, und/oder z3 entsprechend der Anzahl der Ver-

suchsergebnisse n.

Versuchsanzahl z1 z2 z3 10 -1,34 -0,91 -0,60 11 -1,38 -0,97 -0,67 12 -1,43 -1,02 -0,74 13 -1,47 -1,07 -0,79 14 -1,50 -1,11 -0,84 15 -1,53 -1,15 -0,89 16 -1,56 -1,19 -0,93 17 -1,59 -1,22 -0,97 18 -1,62 -1,25 -1,00 19 -1,65 -1,28 -1,04 20 -1,67 -1,31 -1,07

Als Näherung kann empfohlen werden:

21 0011,00649,08004,0 nnz ⋅+⋅−−=

22 0016,00885,01935,0 nnz ⋅+⋅−−=

23 0021,01096,02788,0 nnz ⋅+⋅−=

6. Ermittle den charakteristischen y-Wert:

2

1

*1

1

*1*

22

+

+

−

=zzyy

zzyyy nn

7. Ermittle den charakteristischen x-Wert: 2*** )(1( yyxx ++= µ

Für die Ermittlung von charakteristischen Werten sei auch auf HUNT & BRYANT [127] ver-wiesen. Dort findet sich eine Zusammenstellung von verschiedenen Verfahren zur Schätzung der charakteristischen Werte einer Festigkeit (5 %-Fraktil) bei geringer Datenbasis:


Seite 226

Normalverteilung (siehe hierzu auch Eurocode 1 [81] und FISCHER [87]) skxL ⋅−=

1

)( 2

−

−=

∑n

xxs

i

Wenn man eine Normalverteilung und einen 95% Vertrauensbereich unterstellt, ergibt sich k = 2,91 (aus der Student-t-Verteilung)

Log-Normalverteilung ' *L y k s= − ⋅

mit ' ln( )L L= , y der Mittelwert der Datenpunkte s* die Standardabweichung der Daten-punkte ln( )i iy x=

LEICESTER Methode

⋅

−⋅=n

vAL 7,21

mit A als empirischer 5% Fraktil der Versuchsdaten durch lineare Interpolation ermittelt, n Anzahl der Versuche, v Variationskoeffizient gemäß

xsv =

, der kleiner als 0,5 sein sollte. Die Anzahl der Versuche n sollte größer 30 sein.

ÖFVERBECK-Power-Limit

∏−

=

−−=1

1

)1/(1q

i

qiq xxL εε

Eine Tafel für die ε findet sich in HUNT & BRYANT [127].

Nonparametric Tolerance Limit (ASTM D2915-94) Es besteht auch die Möglichkeit, sogenannte statistische und probabilistische Prüfvorschriften gemäß REID [242] zu verwenden: Australian Standard Procedure for Statistical Proof Loading Der Entwurfswert einer Widerstandsgröße (z.B. Festigkeit) wird nach dieser Vorschrift wie folgt ermittelt:

FR

R nd

min,=

mit Rd als Designvalue, Rmin,n als Mindestwert der Widerstandsgröße, der bei n-Versuchen nicht unterschritten wurde und F als Korrekturfunktion. Die Korrekturfunktion ist an einen Faktor k gekoppelt, der den Einfluß des Vertrauensbereiches, der Versuchsanzahl und des gewählten Fraktilwerts berücksichtigt.

RV

pncncpk

−−

=)1ln(

)1ln(),,( Korrekturfaktor

mit c als Vertrauensbereich (üblicherweise 50 % oder 90 %), n als Anzahl der Versuche und p als gewählter Fraktilwert (üblicherweise 5 % Fraktil für Widerstandsgrößen). Damit kann der charakteristische Wert der Widerstandsgröße wie folgt ermittelt werden:

),,(min,

, ncpkR

R ncp =

,


Seite 227

mit Rp,c als charakteristischer Wert der Widerstandsgröße als p-Fraktilwert mit dem Vertrau-ensbereich c. F kann wie folgt berechnet werden:

p

ncpkFϕ

),,(=

,

wobei ϕp der Vorschrift entnommen werden muß. Als Beispiel sei F für eine weibullverteilte Widerstandsgröße mit einem Variationskoeffizient von 0,2, einer lognormalverteilten Bela-stung mit einem Variationskoeffizient von 0,3 und einem Zielsicherheitsindex von 3 in der folgenden Tabelle angegeben. Es handelt sich hierbei um übliche Zahlen. F Anzahl der Versuche c = 90 % c = 50 % 1 3,92 3,00 2 3,36 2,57 3 3,07 2,34 4 2,88 2,20 5 2,73 2,09 6 2,63 2,01 7 2,54 1,94 8 2,46 1,88 9 2,40 1,83 10 2,34 1,79

Zusätzlich kann damit auch der Teilsicherheitsfaktor γw für die Widerstandsgröße ohne eine weitere probabilistische Berechnung ermittelt werden.

,p cw

d

RR

γ =

Australian Standard Procedure for Probabilistic Load Testing (AS 1597.2) In dieser Vorschrift wird der Entwurfswert der Widerstandsgröße als Produkt aus Korrektur-funktion und dem Verhältnis von Prototype–Faktor zu Serienfertigungs–Faktor ermittelt.

ld T

sf

mRm

φ= Entwurfswert für die Widerstandsgröße

22 2

2,115exp 3 0,32r

T rv vφ

= − − +

Korrekturfaktor

222slnr vvCv += Variationskoeffizient der Widerstandsgröße

)3(11

−−

+=nnnCn Varianz der Tests

mit φt als Korrekturfaktor, ml ist der Mittelwert des Widerstandes bei den Versuchen und msf ist ein Korrekturfaktor zur Beschreibung der Unterschiede zwischen Prototype und Serienfer-tigung, n ist die Anzahl der Versuche, vl ist der Variationskoeffizient der Versuche und vs ist ein Faktor, der die Entnahme der Proben bewertet: für konzentrierte Entnahme vs = 0,1 und für breit gefächerte Entnahme vs = 0. Grundlage für diesen Vorschlag ist die Annahme log-normalverteilter Widerstands- und Be-lastungsgrößen. Für die Belastungsgröße soll ein Variationskoeffizient von 0,3 gelten, der Zielsicherheitsindex liegt bei 3,0. AISI Standard Prozedur für Probabilistische Tragfähigkeitsversuche (AISI 1990) Die AISI Vorschrift benutzt ebenfalls einen Produktansatz für den Entwurfswert mit


Seite 228

pd RR φ=

01,5 exp( )m mM F vφ β= ⋅ ⋅ ⋅ − Korrekturfunktion 2222

0 qpfm vCvvvv +++= Variationskoeffizient des Sicherheitsabstandes

)3(1

−−

=nnC Test Varianz Korrektur Faktor

mit Rp als Mittelwert der bei den Versuchen ermittelten Widerstandsgröße, Mm und Fm als Mittelwerte eines Materialfaktors und eine Produktionsfaktors, β ist der Zielsicherheitsindex, vm ist der Variationskoeffizient des Materialfaktors, vf ist der Variationskoeffizient des Pro-duktionsfaktors, vp ist der Variationskoeffizient der Versuche und vq ist der Variationskoeffi-zient der Last. C ist ein Korrekturfaktor für die Varianz während der Versuche. Alle Zufallsgrößen wurden als lognormalverteilt angenommen. Der Korrekturfaktor C wurde mit einer Student-t Verteilung geschätzt. Die drei statistischen und probabilistischen Prüfverfahren wurden in Excel umgesetzt. Zum Abschluß sei die Anwendung von JOHNSON bzw. PEARSON Verteilungen (siehe PENDOLA, HORNET, LEMAIRE & MOHAMED [226] oder TUNG [294]) genannt, um die Verteilung an den ersten vier Momenten der Daten anzupassen. Auf diese Verfahren soll aber an dieser Stelle nicht weiter eingegangen werden.

11.7 Verteilungstypen Nachdem die Einteilung in verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen behandelt wurde, sollen in diesem Abschnitt einige Arten und Zusammenhänge zwischen Verteilungsfunktio-nen genannt werden. Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Wahrscheinlichkeitsfunktionen. In Tab. 11-1 werden einige aufgelistet. Davon stehen wiederum viele in engen Beziehungen zu einander. Einige bilden sogenannte Familien. Ein Beispiel dafür sind Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, die der PEARSON’schen Differentialgleichung (PLATE [231]) genügen:

2

( ) ( )− =+ ⋅ + ⋅

df x x f xdx a b x c x .

Andere Funktionen wurden für bestimmte Zwecke entwickelt. Die PARETO-Verteilung wurde beispielsweise von dem Wirtschaftswissenschaftler VILFREDO PARETO (1848-1923) zur Be-schreibung der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Personen mit einem Einkommen von mehr als x monetären Einheiten eingeführt. Neben den stetigen Funktionen gibt es noch die sogenannten diskreten Wahrscheinlichkeits-funktionen. Diese sollen kurz behandelt werden, da zu dieser Klasse gehörende POISSON-Verteilung in dieser Arbeit verwendet wurde. Die Hypergeometrische und die Binomialverteilung werden oft anhand des Urnenexperimen-tes erläutert. In dieser Urne befinden sich M schwarze Kugeln und N-M weiße Kugeln. Die Gesamtanzahl der Kugeln sei N. P sei die Wahrscheinlichkeit, mit der man bei n Versuchen X


Seite 229

mal eine schwarze Kugel zieht. Wenn die gezogenen Kugeln nicht wieder in die Urne gelegt werden, kann P nach folgender Formel berechnet werden:

( , , , )

− − =

M N MX n X

P X n M NNn

Geht man davon aus, daß die Kugeln wieder zurückgelegt werden, erhält man die Binomial-verteilung. Die Näherung des Erhalts der Kugelanzahl kann verwendet werden, wenn die Grundgesamtheiten sehr groß sind. Die Formel lautet:

( , , ) (1 ) − = −

X n Xn

P X n p p pX

.

Zieht man die Kugeln sehr häufig und ist die Erfolgswahrscheinlichkeit bei der Ziehung der Kugeln sehr gering, so kann man aus Grenzwertbetrachtungen aus der Binomialverteilung die POISSON-Verteilung entwickeln

( )( , , )!

−

=X npnp eP X n p

X, wenn → ∞n und 0→x . Da für den Mittelwert und die Varianz der

POISSON-Verteilung 2 n p= = ⋅µ σ gilt, schreibt man diese Verteilung auch oft in der Form

( , )!

X eP XX

−

=µµµ . Die POISSON-Verteilung ist eine Näherung der Binomialverteilung für

große Anzahlen und kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten, also seltene Ereignisse. Ein Schiffsanprall gegen eine Brücke scheint diese Bedingungen sehr gut zu erfüllen, da jeden Tag zahlreiche Schiffe eine Brücke passieren, aber ein Anprall üblicherweise nur im Abstand mehrerer Jahre erfolgt. Die POISSON-Verteilung hat eine lange Tradition und wurde bereits zur Untersuchung von Pferdetritten in der Preußischen Armee von 1875-1894 herangezogen (SOKAL & ROHLF [270]) oder zur statistischen Beschreibung des Auftritts von Aufständen und Kriegen (RICHARDSON [245]).


Seite 230

Abb. 11-3: Verknüpfungen zwischen den verschiedenen Verteilungen nach FISCHER [88] Name der Verteilung Bemerkungen χ-Verteilung für a=1 Normalverteilung der Absolutwerte, für a=2 nach RAYLEIGH, für a=3

nach MAXWELL allgemeine PARETO-Verteilung Arcsin-Verteilung Betaverteilung für b=1 Potentialverteilung Binomialverteilung BIRNBAUM-SAUNDERS-Verteilung Rißwachstum unter wiederholter Belastung. BREIT-WIGNER Verteilung CAUCHY-Verteilung ERLANG-Verteilung für a=1 Exponentialverteilung Exponential-Verteilung Extremwertverteilung Typ I max GUMBEL-Verteilung oder doppelte Exponentialverteilung Extremwertverteilung Typ I min GUMBEL-Verteilung oder doppelte Exponentialverteilung Extremwertverteilung Typ II max FRÉCHET-Verteilung Extremwertverteilung Typ II min FRÉCHET-Verteilung Extremwertverteilung Typ III max Extremwertverteilung Typ III min WEIBULL-Verteilung FISHER-Verteilung für a=1 und b=2 logistische Verteilung FRÉCHET-Verteilung Extremwertverteilung Typ II F-Verteilung SNEDECOR-Verteilung Gammaverteilung (Γ-Verteilung) GAUSS oder Normalverteilung Generalisierte Extremwertverteilung Generalisierte PARETO-Verteilung Geometrische oder räumliche Verteilung GUMBEL-Verteilung Hypergeometrische Verteilung KRICKIJ-MENKEL-Verteilung für b=1 Γ-Verteilung, für b=2 χ-Verteilung, für b=a nach WEIBULL


Seite 231

LANDAU-Verteilung Verwendung in der Physik LAPLACE-Verteilung logarithmische PEARSON-Typ-3 Verteilung logarithmisch-logistische Verteilung Logistische-Verteilung Lognormal-Verteilung LORENZ-Verteilung MAXWELL-Verteilung PARETO-Verteilung PEARSON, Typ III, Gammaverteilung für natürliche a ERLANG-Verteilung PEARSON-Typ-3 Verteilung POISSON-Verteilung Polyaverteilung statistische Beschreibung der Ausbreitung von Infektionskrankheiten Potentialverteilung für a=1 Rechteckverteilung Potenznormal-Verteilung RAYLEIGH-Verteilung Rechteck oder Gleichverteilung Reverse WEIBULL-Verteilung ROSSI-Verteilung Verteilung zur Beschreibung des Einkommens SIMPSON oder Dreieckverteilung Sinus-Verteilung SNEDECOR-Verteilung F-Verteilung STUDENT-t-Verteilung für a=1 Verteilung nach CAUCHY TUKEY’sche Lambdaverteilung WAKEBY-Verteilung Die Betaverteilung ist ein Sonderfall der Wakebyverteilung. WEIBULL-Verteilung für a=1 Exponentialverteilung, für a=2 nach RAYLEIGH, WISHART’s-Verteilung Z-Verteilung FISHER-Verteilung Tab. 11-1: Verschiedene theoretische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen nach KLUGE [150], BOCK & KRISCHER [18], MANN, SCHAFER & SINGPURWALLA [178], SPAETHE [273], MURZEWSKI [202], RASCH [241], FISCHER [88]

11.8 Bemerkungen zum Korrelationskoeffizient von Stichproben Viele Zufallsgrößen weisen untereinander Abhängigkeiten auf. Diese Abhängigkeiten kann man durch den Korrelationskoeffizient beschreiben. Der Korrelationskoeffizient (KK) der Grundgesamtheit wird wie folgt definiert:

yx

xyxy σσ

σρ =

und der KK der Stichproben als

∑∑

∑

==

=

−−

−−==

n

ii

n

ii

n

iii

yx

xyxy

yyxx

yyxx

SSS

r

1

2

1

2

1

)()(

))((.

Der KK wird auch als PEARSON’scher KK bezeichnet. Er ist einheitenlos und liegt zwischen -1 und 1. Absolute Werte in der Nähe von 1 weisen auf einen starken linearen Zusammenhang zwischen den beiden Zufallsvariablen hin. Ein großer Wert des KKen der Stichproben muß jedoch nicht unbedingt einem großen Wert des KKen der Grundgesamtheit entsprechen. Des-halb sollte die Signifikanz des ermittelten KKen überprüft werden. Unter der Annahme, daß beide Zufallsvariablen nomalverteilt sind, kann ein t–Test durchgeführt werden. Dabei wird geprüft, ob der ermittelte Wert signifikant von Null abweicht. Dazu werden in verschiedenen Quellen Tabellen bereitgestellt, z. B. in MCBEAN & ROVERS [184] oder STEEL & TORRIE [284]. Ermittelt man z. B. bei 10 Stichproben einen KK von 0,59, so wird der KK der Grund-gesamtheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % größer als Null sein.


Seite 232

Abb. 11-4: Zusammenhang zwischen Korrelationskoeffizient der Stichproben und der Grundgesamtheit im 95% Vertrauensbereich

Abb. 11-5: Zusammenhang zwischen Korrelationskoeffizient der Stichproben und der Grundgesamtheit im 99% Vertrauensbereich


Seite 233

Ein zweite Möglichkeit, um Rückschlüsse aus dem ermittelten KK–Wert der Stichproben auf den Wert der Grundgesamtheit zu ziehen, sind die in STEEL & TORRIE [284] veröffentlichten Diagramme (Abb. 11-4 & Abb. 11-5). Anhand dieser Diagramme kann man sehr gut den Streubereich des KKen der Stichproben abschätzen. Ein alternativer Weg ist eine Transformation des KKen. Für die transformierte Variable existieren Tabellen für den Bereich der Grundgesamtheit. Es wird deutlich, daß bei einer geringen Anzahl von Stichproben eine Aussage über den Zu-sammenhang zwischen zwei Zufallsgrößen nur sehr schwer möglich ist. Auch kann eine Transformationen einer Zufallsgröße erforderlich sein, um die Bedingung eines linearen Zu-sammenhanges zu erfüllen.

11.9 Lineare Regression Wenn ein Zusammenhang zwischen zwei oder mehreren Zufallsvariablen besteht, wird man bestrebt sein, diesen Zusammenhang mathematisch zu beschreiben, um später Prognosen tref-fen zu können. Der Zusammenhang zwischen zwei Zufallsgrößen soll mit folgendem Modell beschrieben werden

iii xy εβα ++= , (11-25) wobei εi eine unabhängige normalverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert Null und der Va-rianz σ 2 sei. Ein vorhandener Mittelwert der Fehlergröße sollte in den Variablen zur Beschrei-bung des Modells eingebunden werden. Da die Werte für die Grundgesamtheit nicht vorhanden sind, wird mit den Werten für die Stichproben gerechnet, und die obige Gleichung wird wie folgt geschrieben: bxay += . Es wird versucht, eine optimale Anpassung der Parameter a und b zu erreichen. Die optimale Schätzung der beiden Parameter liefert die Gleichung einer Gerade, die optimal an die vorhandenen Punkte angepaßt ist. Eine optimale Schätzung stellt eine minimale Varianz des Fehlers da. Da die Varianz der Po-pulation unbekannt ist, muß die Varianz der Stichproben ermittelt werden. Die Schätzung dieser Varianz sieht wie folgt aus:

( ) ( )∑∑==

+−−

=′−−

=n

iii

n

iiie bxay

nyy

nS

1

2

1

22 )(2

12

1 (11-26)

und wird als Standardfehler der Schätzung bezeichnet. Der Term n-2 dient zur Biaskorrektur. Um den minimalen Wert des Standardfehlers der Schätzung zu ermitteln, muß die Gleichung nach a und b abgeleitet werden.

0222)(22

=++−=−−−=∂

∂ ∑∑∑ iiiie xbnaybxay

aS

(11-27)

0222)(2 22

=++−=−−−=∂

∂ ∑∑∑∑ iiiiiiie xbxayxbxayx

bS

. (11-28)

Bei einer Erhöhung der Anzahl der Parameter der Regressionsgleichung muß die Schätzung ebenfalls nach den weiteren Parametern abgeleitet werden. Die Lösung für die Parameter sieht wie folgt aus: xbya −= mit y und x als Mittelwerte der jeweiligen Stichproben. Also wird die Regressionsgleichung auf jeden Fall durch den Mittelwert der Stichproben der Variablen x


Seite 234

und y gehen. Die Ermittlung des Winkels der Regressionsgraden ist etwas schwieriger und kann als

∑∑

∑∑

−

−−=

−

−= 222 )(

))((xx

yyxxxnx

yxnyxb

i

ii

i

ii (11-29)

geschrieben werden. Führt man einige neue Bezeichnungen ein,

( )∑ ∑−=2 2 iixx xxnS (11-30)

( )∑ ∑−=2 2 iiyy yynS (11-31)

( )( )∑ ∑∑−= iiiixy yxyxnS , (11-32)

so kann man die Gleichung zur Bestimmung des Anstieges der Geraden ebenso neu schrei-ben:

xx

xy

SS

b = , (11-33)

wie die Gleichung zur Schätzung der Standardabweichung des Fehlerterms

xx

xyyyxxe Snn

SSSS

)2()( 2

2

−

−= .

(11-34)

Da die Parameter der Regressionsgleichung anhand von Stichproben und nicht mit einer Grundgesamtheit ermittelt wurden, kann man für sie auch einen Vertrauensbereich angeben. Mit Hilfe der Student-t Tafeln kann man für

xx

xxe nS

xnSSta

2

2/)(+

±= ′αα und xx

e SnStb 2/αβ ′±=

(11-35)

schreiben. Neben dem Vertrauensbereich für die Regressionsparameter gibt es noch einen Vertrauensbe-reich im Abstand von den Mittelwerten von X und Y. Man kann z. B. auch mit dem Vertrau-ensbereich prüfen, ob zwei ermittelte Regressionsgeraden einer Grundgesamtheit angehören oder nicht. Dazu wird ein Hilfswert ermittelt:

( )2 22 2

2 1

1 2

( ) ( )( ) / ( )

2 2

ij i ij i ij i ij ii

beide

Y Y X X Y Y X Xs

n n=

− − − − − =

− + −

∑ ∑ ∑ ∑

(11-36)

und fein t-Test durchgeführt:

[ ]∑∑ −+−

−=

222

211

2

21

)(/1)(/1 XXXXs

bbt

jjbeide

. (11-37)

Grundlage dieser Form der Regression sind lineare Modelle. Ein lineares Modell ist eine Funktion zur Beschreibung eines Zusammenhanges zwischen einer oder mehreren unabhän-gigen Variablen und einer abhängigen Variablen, die aus einer Linearkombination von Basis-funktionen besteht. Diese Basisfunktionen selbst dürfen nichtlinear sein, z. B. x2. Nur die ver-änderbaren Parameter müssen in einer Linearkombination auftreten. Damit haben die linearen Regressionsgleichungen immer folgendes Modell:


Seite 235

∑ ⋅= )()( xfaxy ii . In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele angegeben: Bezeichnung Formel Linie xaay 10 += Parabolische Kurve (Quadrat) 2

210 xaxaay ++= Polynom dritter Ordnung 3

32

210 xaxaxaay +++= Polynom vierter Ordnung 4

43

32

210 xaxaxaxaay ++++= Hyperbolische Kurve

xaay

10

1+

=

Exponentialkurve xaby = Logistisches Modell

gaby x +

=1

Gomperz Modell bxpqy =

Tab. 11-2: Beispiele linearer Regressionsmodelle Obwohl einige der Gleichungen auf den ersten Blick nichtlinear erscheinen, kann man durch eine geeignete Transformation eine äquivalente lineare Beschreibung erreichen. So kann man die Exponentialkurve auch wie folgt schreiben: xaabxay 10)ln()ln()ln( +=+= oder das Gomperz Modell xaaqbxpy 10)ln()ln()ln( +=+= . Noch einige Bemerkungen zu den Annahmen der linearen Regression. Bei dem hier vorge-stellten Modell wird davon ausgegangen, daß der Fehlerterm parallel zur y-Achse verläuft. In Abhängigkeit von der Planung der durchgeführten Stichproben mag diese Annahme zutref-fend sein oder nicht. Es kann z. B. möglich sein, daß alle Werte zufällig gezogen wurden und also auch die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von x Werten mit größerem Abstand zum Mittelwert immer geringer wird. Genauso können z. B. drei Punkte auf der x-Achse systema-tisch untersucht worden sein, und die x-Werte streuen um diese drei Punkte. Zusätzlich kön-nen einzelne Ausreißer sehr großen Einfluß auf die Ermittlung der Regressionsparameter ha-ben. Ist man sich im unklaren darüber, welchen Einfluß die einzelne Stichprobe auf die Er-mittlung der Werte besitzt, kann man die Regressionsparameter einmal mit und einmal ohne die verdächtige Stichprobe ermitteln. Die Ermittlung solcher Regressionsparameter ist in vielen Programmen enthalten, z. B. in Ex-cel 95, SPSS 9.0, ESBStats V1.1, XStat, Statistica 5.1, Axum 5.0 etc. Die mehrdimensionalen Regressionen der Antwort-Fläche erfolgten mit dem Programm APPROX und mit dem Pro-gramm DataFit. Die hier vorgestellte Vorgehensweise wurde bei der Erstellung der Antwortfläche als quadra-tisches Polynom als Abschlußrechnung der Iteration des Antwort-Flächen-Verfahren durch-geführt.

11.10 Nichtlineare Regression Bei nichtlinearen Modellen muß der Nutzer immer eine passende Transformation der Daten finden. Es wäre wünschenswert, unabhängig von der Bedingung der Linearkombination Mo-


Seite 236

delle zu erstellen. In der Tat existiert ein solches Verfahren. Die zu optimierende Gleichung wird im Gegensatz zur linearen Regression folgendermaßen geschrieben:

2

1

2 ),()( ∑

=

−=

N

i i

ii xyyσ

χa

a (11-38)

mit N als Anzahl aller Datenpunkte, xi ist der i–te x-Wert, yi ist der i–te y-Wert, σi ist die Stan-dardabweichung am Punkt i und y(xi,a) ist die gewählte nichtlineare Regressionsgleichung. Die Wertung zum Vergleich der Stichproben und der Näherungsgleichung ist die χ 2-Funk-tion. Je kleiner der Wert ist, um so besser ist die Übereinstimmung zwischen Modell und Stichproben. Die Optimierung der Parameter a wird mittels TAYLORreihe zweiten Grades und der Tangen-tenmethode durchgeführt. Die mathematische Formulierung für die TAYLORreihe sieht wie folgt aus:

[ ])(211 nnn aHaa χ∇−+= −

+ (11-39)und für die Tangentenmethode:

)(21 nnn c aaa χ∇−=+ (11-40)

Die erste Ableitung der Optimierungsfunktion sieht wie folgt aus:

k

iN

i i

ii

k axyxyy

a ∂∂−

−=∂∂ ∑

=

),(),(2

1

2 aaσ

χ . (11-41)

Für die Entwicklung der TAYLORreihe wird die HESSEmatrix benötigt. Die HESSEmatrix ist die Matrix der zweiten Ableitungen und der gemischten Ableitungen. Darum muß die zu op-timierende Gleichung noch einmal nach jedem Parameter abgeleitet werden:

∑=

∂∂

∂−−

∂∂

∂∂

−=∂∂

∂ N

i lk

i

i

ii

l

i

k

i

lk aaxyxyy

axy

axy

aa 1

2

2

22 ),(),(),(),(2

aaaaσ

χ (11-42)

Der Gradient-Vektor und die Matrix der Krümmungen ergeben sich zu:

k

iN

i i

ii

kk a

xyxyya

G∂

∂−=

∂∂

−= ∑=

),(),(21

1

2 aaσ

χ (11-43)

∑=

∂

∂∂

∂≈

∂∂∂

−=N

i l

i

k

i

lkkl a

xyaxy

aaC

1

22 ),(),(21 aaχ

(11-44)

Der Term der zweiten Ableitungen in Ckl wird vernachlässigt, da die Werte sehr klein sind und zu einer Destabilisierung des Iterationsprozesses infolge Ausreißern führen kann.

k

NP

klkl GaC =∑

=1 δ , mit NP als Anzahl der Parameter

ll cGa = δ

(11-45)

Die LEVENBERG–MARQUARDT Methode entwickelt eine neue Matrix, die beide Verfahren vereinigt, da beide Verfahren Vor- und Nachteile haben. Die neue Matrix lautet:

(1 ) wenn wenn

ii ii

ij ij

M C i jM C i j

λ= + = = ≠

. (11-46)

Damit kann ein lineares Gleichungssystem zur Ermittlung einer Verbesserung des Parameter a um δa geschrieben werden.


Seite 237

∑=

=NP

kklkl GaM

1δ

(11-47)

Wenn λ groß ist, ist die Matrix M diagonal dominant, daß heißt das Tangentenverfahren wird verwendet. Ist λ sehr klein, nähert sich das Verfahren der TAYLORapproximation. Durch die Änderung von λ kann man die Verfahren innerhalb der Iteration auswählen. Die Iteration der Regressionsparameter kann man wie folgt zusammenfassen: 1. Ermittle χ 2(a) mit a als Startwerten, meistens mittels einer linearen Regression geschätzt. 2. Wähle ein λ (z. B. 0,001) und löse das lineare Gleichungssystem für δa 3. Ermittle χ 2( a + δ a ) 4.Wenn χ 2( a + δ a ) > χ 2(a) erhöhe λ und gehe zu Punkt 3, ohne a zu aktualisieren, wenn χ 2( a + δ a ) < χ 2(a) verringere λ, aktualisiere an+1=an+δ a und gehe zu Punkt 5 5. Prüfe |χ 2 ( a + δ a ) – χ 2(a)| < Toleranz, wenn nicht erfüllt, gehe zu Punkt 3. Die Beschreibung basiert auf HYAMS [128]. Für solche Berechnungen stehen verschiedene Programme zur Verfügung. Als Beispiel seien die Programme DataFit und CurveExpert Version 1.3 (Shareware) genannt. Beide Verfahren verwenden die LEVENBERG–MARQUARDT Methode zur Ermittlung der optimalen Parameter der nichtlinearen Regressionsgleichung. CurveExpert 1.34 stellt 35 Modelle (Stand 18.3.97) und DataFit 1.3 stellt über 30 Modelle zur Verfügung. Das Programm SPSS 9.0 ermöglicht ebenfalls nichtlineare Regressionen nach dem gleichen Verfahren. Auch dieses hier vorgestellte Vorgehensweise wurde bei der Erstellung der Antwortfläche als quadratisches Polynom als Abschlußrechnung der Iteration des Antwort-Flächen-Verfahren durchgeführt, allerdings nur bei der Mainbrücke Segnitz.

11.11 Vergleich von erforderlichen Stichproben Ein Maß für die Präzision bzw. die Menge der Informationen über eine Zufallsvariable kann nach folgender Formel geschätzt werden,

2σnI = ,

(11-48)

also mit dem inversen Standardfehler des Mittelwertes. Um die Qualität zweier Stichpro-benmengen zu vergleichen, gibt es eine Formel zur Ermittlung der relativen Effizienz mit

2112

2221

)3)(1()3)(1(snnsnnRE

++++

= . (11-49)

Ein weitere Variable zur Beschreibung der Informationsmenge ist die sogenannte Entrophie, auf die hier aber nicht weiter eingegangen wird.

11.12 Statistische Tests Statistische Tests werden dazu verwendet, Unterschiede zwischen verschiedenen Daten zu finden. Man kann z. B. untersuchen, ob sich Mittelwerte oder Varianzen im Laufe der Zeit verändert haben oder ob es signifikante Unterschiede bei der Herstellung von Beton in zwei


Seite 238

unterschiedlichen Mischstationen gibt. Dazu wird als erstes eine sogenannte Hypothese auf-gestellt, z. B.: Es gibt keine Unterschiede im Mittelwert. Das wichtigste Werkzeug für solche Untersuchungen bei nur zwei Daten ist der sogenannte Student–t–Test oder t–Test. Die Test-statistik wird wie folgt berechnet:

nS

xt

µ−=* ,

(11-50)

das heißt, der Testwert ist die Differenz der Mittelwerte pro Standardfehler. Auf Grund der Formel wird schon die erste Anforderung des Tests erkennbar: die Varianzen bzw. die Stan-dardabweichungen der beiden Datengruppen müssen identisch oder zumindest ähnlich sein. Weiterhin sollte es sich um normalverteilte Daten handeln, und die Stichproben müssen unab-hängig sein. Der ermittelte t* wird mit einem kritischen Wert verglichen. Dieser kritische Wert basiert auf der Student-t-Verteilung. Die Werte können der Literatur entnommen werden [184]. Entsprechend der Freiheitsgrade (n-1) und des Vertrauensbereiches α wird die Hypothese angenommen oder abgelehnt: t* > t, es ist ein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Mittelwerten t* < t, es ist kein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Mittelwerten. Der Vertrauensbereich α richtet sich danach, ob ein Test einseitig oder zweiseitig ist. Einen einseitigen Test verwendet man, wenn man sich z. B. sicher sein kann, daß der eine Mittelwert nur größer als der andere sein kann. Einen zweiseitigen Test führt man durch, wenn der Mit-telwert größer oder kleiner als der Vergleichsmittelwert sein kann. Bevor man also den beschriebenen Test durchführen kann, müssen die Testanforderungen geprüft werden. Die Prüfung der Verteilungen wurde bereits beschrieben, die Prüfung der Unabhängigkeit der Stichproben hängt von der jeweiligen Stichprobenentnahme ab. Die Prü-fung der Konsistenz der Varianzen wird mit dem F-Test durchgeführt:

22

21*

SSF = ,

(11-51)

wobei S1>S2 gelten muß. Dieser Wert wird mit dem kritischen F-Wert verglichen, der wie-derum einer Tafel entnommen werden muß [184]. Der kritische Wert hängt nur von den Frei-heitsgraden der beiden Stichprobengruppen ab (n-1). Es gilt: F* > F, es existiert ein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Varianzen, F* < F es existiert kein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Varianzen. Gibt der F-Test an, daß es keinen Unterschied zwischen den beiden Varianzen gibt, so kann man eine sogenannte mittlere Varianz berechnen. Diese mittlere Varianz, die aus den beiden zahlenmäßig unterschiedlichen beiden Varianzen bestimmt wird, ist notwendig, um den t–Test durchführen zu können, da der t-Test nur eine Varianz erlaubt. Die gemittelte Varianz ergibt sich wie folgt:

2)1()1(ˆ

21

222

2112

−+−+−

=nn

SnSnS . (11-52)

Der Standardfehler der beiden Mittelwerte wird zu:

+=

21

2 11ˆnn

SSm . (11-53)

Damit kann der t–Test durchgeführt werden:


Seite 239

−+

−+−+

−=

2)1()1(

21

222

211

21

21

21*

nnSnSn

nnnn

xxt .

(11-54)

Die Anzahl der Freiheitsgrade wird zu df = n1 + n2 - 2. Ergibt der F–Test unterschiedliche Varianzen, kann man modifizierte Formen des t-Tests anwenden. Eine Möglichkeit ist z. B. SATTERTHWAITS’s modifizierter t–Test. Der Test wird wie folgt durchgeführt:

2

22

1

21

21*

nS

nS

xxt

+

−=

(11-55)

und die Ermittlung der Freiheitsgrade für die Ablesung des kritischen Wertes wird den unglei-chen Varianzen angepaßt:

11 2

2

2

22

1

2

1

21

2

22

1

21

−

+−

+=

nnS

nnS

nS

nS

df .

(11-56)

Bei COCHRAN’s Näherung des BEHRENS–FISHER t-Test wird der t* Wert genauso wie bei SATTERTHWAITS’s Verfahren ermittelt. Auch bei diesem Verfahren erfolgt eine Anpassung der Freiheitsgrade. Der kritische t Wert wird wie folgt ermittelt:

2

22

1

21

22

22

11

21

nS

nS

tnSt

nS

t+

+= ,

(11-57)

wobei t1 und t2 den t Tafeln entnommen werden müssen (mit jeweils n1-1 bzw. n2-2 Freiheits-graden). Der Paired t-Test wird verwendet, wenn die Stichproben bzw. Daten nicht unabhängig von-einander sind. Dieser Test ist eine Variation des t-Test. Anstelle des Vergleiches der Daten wird die Differenz der Daten verglichen. Bei jahreszeitabhängigen Daten kann die Differenz ein völlig anderes Verhalten zeigen, als die ursprünglichen Daten. Die Nachweisformel kann wie folgt geschrieben werden:

nS

Dt

D

Dµ−=* .

(11-58)

Von den hier vorgestellten Test sind die meisten in zahlreichen Statistikprogrammen zu fin-den. Aber auch das Standard–Tabellenkalkulationsprogramm Excel 97 bietet mehrere Tests an, darunter befinden sich die folgenden statistischen Tests. Name des Tests in Excel, Extras, Analyse–Funktionen Name des Tests Zweistichproben t–Test: gleiche Varianzen t–Test Zweistichproben t–Test: unterschiedlicher Varianzen entspricht SATTERTHWAITS’s modifiziertem t–Test Zweistichproben t–Test: abhängige Stichproben Paired t–Test Zweistichproben F–Test: gleiche Varianzen Vergleich von Varianzen


Seite 240

Die Analyse der Varianzen (ANOVA) erlaubt den Vergleich von mehreren Stichprobengrup-pen. In vielen Fällen vergleicht man es nicht nur zwei Stichprobengruppen, sondern mehrere Gruppen. Um einen solchen Vergleich durchführen zu können, wird die Bedingung ver-gleichbarer Varianzen der Stichprobengruppen gestellt. Kleine Abweichungen der Varianz nennt man ein Verhältnis von maximaler zu minimaler Varianz kleiner 4. Mittleren Abwei-chungen verursachen einen wahrnehmbaren Fehler und liegen im Bereich von 4 bis 10. Bei einem Verhältnis zwischen größter und kleinster Varianz größer 10 können solche Vergleiche nicht mehr durchgeführt werden [184]. Eine erste Möglichkeit des Vergleiches der Varianzen der Gruppen besteht in der Verwen-dung des Boxdiagrammes. Einen numerischen Vergleich erlaubt LEVENE’s Test. Allerdings sind in letzter Zeit Kritiken an LEVENE’s Test laut geworden, die darauf hinweisen, daß dieser Test selbst eine Homogenität der Varianz benötigen. Diese Umstand wird teilweise als „fatal flaw“ bezeichnet [281]. Die bisher vorgestellten Test basieren auf Annahmen, die in realistischen Situationen nur schwer prüfbar sind. Deshalb wurden Verfahren entwickelt, die mit Mindestanforderungen an die Daten auskommen. Diese Verfahren, die meistens auf dem Ranking der Daten basieren, werden nichtparametrische Tests genannt. Teilweise wurde bereits bei der Abschätzung von Fraktilwerten darauf eingegangen.

11.13 Stochastische Felder Stochastische Felder sind als Erweiterung der stochastischen Reihen in den mehrdimensiona-len Bereich von VANMARCKE entwickelt worden. Stochastische Felder berücksichtigen den Effekt, daß bestimmte Eigenschaften in der näheren räumlichen Umgebung größere Überein-stimmungen untereinander aufweisen, als weiter entfernte. Sie werden heute häufig im Be-reich der Geotechnik verwendet (beispielhaft genannt seien MRABET [196], LEPETIT, BAC-CONNET, BOISSIER & GOURVÈS [166], CAFARO, CHERUBINI & COTECCHIA [36]), oder auch bei Nachweisen der Dauerhaftigkeit von Beton bei Chlorangriff KARIMI & RAMACHANDRAN [141]. Die Anwendung wäre auch in dieser Untersuchung für die Steineigenschaften möglich gewesen. VANMARCKE führte neben dem Mittelwert und der Standardabweichung noch die sogenannte Fluktuation ein. Dieser Parameter beschreibt die Länge, über die noch eine starke Korrelation einer Eigenschaft erkennbar ist. Abb. 11-6 zeigt ein Beispiel für zwei stochasti-sche Reihen mit gleichem Mittelwert und gleicher Varianz, aber unterschiedlichen Fluktua-tionen. Das heißt, im linken Bild ist eine starke Korrelation über eine größere Länge vorhan-den.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Tiefe in [m]

Fest

igke

it in

[MPa

]--

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,5 4,5 8,5 12,5 16,5 20,5 24,5 28,5

Tiefe in [m]

Fest

igke

it in

[MPa

]--

Abb. 11-6: Stochastische Prozesse mit unterschiedlichen Fluktuationen


Seite 241

11.14 Bootstrap Methode Möchte man die Ungenauigkeit der Parameter einer Zufallsgröße, z. B. Mittelwert, Standard-abweichung etc. näher prüfen, kann man ein sogenanntes Resampling durchführen. Damit kann man eine statistische Aussage über den Parameter erhalten, ohne daß man weitere Ver-suche durchführen muß. Die Grundidee dabei ist, die vorhandenen Stichproben als Grundge-samtheit zu betrachten und aus diesen Stichproben wieder Stichproben zu ziehen. Anhand der gezogenen Stichproben kann man die statistischen Parameter erneut ermitteln. EFRON, der dieses Verfahren entwickelt hat, konnte zeigen, daß man unter bestimmten Bedingungen mit diesem Verfahren gute Schätzungen der Parameter erhalten kann. Bootstrap Methoden sind z. B. in WinStat, Modern Industrial Statistik 1.0 und in Statistica 5.0 enthalten. Ein einfaches Makro unter Excel erlaubt die Ausführung des Bootstrapes des Mittelwertes und der Standardabweichung. Die statistischen Parameter kann man beliebig verändern. So kann man z. B. den 5 %-Fraktilwert der Stichproben bootstrapen und eine Aussage über die Sicherheit bei der Ermittlung dieses Fraktilwertes erhalten. Das vorgestellte Makro schätzt das 5 %-Fraktil unter der Annahme einer normalverteilten Größe! In Spalte A stehen von Zeile 1 bis Zeile 50 die vorhandenen Stichproben. Sub Bootstrap() ' ' Makro zum Bootstrapen von Stichproben ' Es wird der Mittelwert, die Standardabweichung und das ' 5% Fraktil ausgehend von einer Normalverteilung berechnet. ' x5%=xmittel-1,645*Standabw ' Das Datenblatt muss Tabelle1 heissen, ' die Zufallsgroessen gehen von Feld A1 bis Feld A50. ' Eine Anpassung kann im Macro erfolgen. ' Es werden 1000 Wiederholungen vorgenommen. ' Makro am 1/3/00 von Dirk aufgezeichnet ' Dim X1(50) As Variant Dim Bmean(1000) As Variant Dim Bstand(1000) As Variant Dim Bfuenf(1000) As Variant Dim N1 As Integer Dim NS As Integer Dim Sum As Variant Dim quersum As Variant Dim help1 As Variant Dim help2 As Variant Dim help3 As Variant Dim y1 As Variant Randomize ' For l = 1 To 50 X1(l) = Worksheets("Tabelle1").Cells(l, 1).Value Next l N1 = 50 'Anzahl der Stichproben NS = 1000 'Anzahl des Resamplings 'Bei Veraenderung bitte Feldgroesse anpassen For j = 1 To NS Sum = 0 quersum = 0 For i = 1 To N1


Seite 242

help1 = Int(N1 * Rnd) + 1 'Zeiger fuer die gewaehlte Stichprobe If help1 > N1 Then help1 = N1 y1 = X1(help1) Sum = Sum + y1 'Summe de Stichproben quersum = quersum + y1 * y1 'Summe der Quadrate der Stichproben Next i help2 = Sum / N1 'Mittelwert help3 = (N1 * quersum - Sum * Sum) / (N1 * N1 - N1) 'Varianz fuer Stichproben Bmean(j) = help2 'Mittelwert Bstand(j) = Sqr(help3) 'Standardabweichung fuer Stichproben Bfuenf(j) = help2 - 1.645 * Sqr(help3) 'Ermittlung eines 5% Fraktilwertes 'unter Annahme einer Gaussnormalverteilung! Next j For k = 1 To NS Worksheets("Tabelle1").Cells(k, 2).Value = Bmean(k) Worksheets("Tabelle1").Cells(k, 3).Value = Bstand(k) Worksheets("Tabelle1").Cells(k, 4).Value = Bfuenf(k) Next k End Sub

Man kann z. B. auch Korrelationskoeffizienten bootstrapen. Die Beispiele machen deutlich, daß Bootstrapen eine Kontrolle zu den Vertrauensbereichen der jeweiligen statistischen Pa-rameter darstellt. Dadurch ist es möglich, den Vertrauensbereich und die Ergebnisse aus dem Bootstrapen miteinander zu vergleichen, da das Bootstrapen eine Verteilung für die jeweilige statistische Größe liefert. Der Begriff Bootstrap-Verfahren stammt von dem englischen Satz: “pull yourself up by your own bootstraps”.

11.15 Quasi Zufallszahlen Die Auswirkungen des Einsatzes von Quasi-Zufallszahlen werden an drei Beispielen demon-striert. Alle Berechnungen wurden in ANSYS durchgeführt. Die Monte-Carlo-Simulation und die Verteilungen wurden mittels der ANSYS Parametric Design Language realisiert. Die Be-fehlssequenz für die Erstellung der Quasi-Zufallszahlen findet sich in diesem Anhang. Als erstes Beispiel wird ein analytisch lösbares Problem gewählt. Dabei werden drei normalver-teilte Größen verwendet. Die Grenzzustandsgleichung lautet g(X)= 0 = X1 -X2 -X3. Die statisti-schen Parameter können Tab. 11-3 entnommen werden. Die theoretische Lösung erhält man aus:

1 1 11 2 32 2 2 2 2 21 2 3

8 3 0,3 (1,652) 0,04922 2 0,3

fm m mP − − −

− − − − = Φ = Φ = Φ = σ + σ + σ + +

Das Konvergenzverhalten des Beispieles 1 ist in Abb. 11-7 dargestellt. Im zweiten Beispiel wird eine Schubwand aus Beton mit nichtlinearem Materialverhalten (WILLAM-WARNKE [325]) in ANSYS modelliert. Die einwirkende Horizontalkraft, die maxi-male Zugspannung des Betons und die Auflast sind streuende Größen. Die Wand hat eine Länge von 10 m, eine Breite von 3 m und eine Höhe von 6 m. Die Lagerungsbedingungen sind in Abb. 11-8 angegeben. Die statistischen Parameter lauten wie im Beispiel 1:


Seite 243

Verteilung Mittelwert Standardabweichung Horizontalkraft Normalverteilung 8 MN 2 MN Zugfestigkeit Normalverteilung 3 MPa 2 MPa Auflast Normalverteilung 0,3 MPa 0,3 MPa

Tab. 11-3: Eingangsgrößen für Beispiel 1 und 2 (für Beispiel 1 ohne Einheiten)

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

100 400 700 1000 4000 7000 10000

Stichprobenumfang

Ver

sage

nsw

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Quasi-Zufallszahlen

Pseudo-Zufallszahlen

Lösung

Abb. 11-7: Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen für das Beispiel 1

Abb. 11-8: Beispiel 2, Schubwand Abb. 11-9: Beispiel 3, Schubdübel


Seite 244

0,35

0,37

0,39

0,41

0,43

0,45

0,47

0,49

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Stichprobenumfang

Ver

sage

nsw

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Pseudo-Zufallszahlen

Quasi-Zufallszahlen

Abb. 11-10: Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen für das Beispiel 2 In Abb. 11-10 ist das Iterationsverhalten der Monte-Carlo-Simulation für Beispiel 2 unter Verwendung verschiedener Zufallszahlen dargestellt. Deutlich erkennbar ist wiederum das konsistentere Verhalten der stochastischen Simulation mit Quasi-Zufallszahlen. Die anhand einer Monte-Carlo-Simulation mit Quasi-Zufallszahlen gewonnene genaue Lösung beträgt etwa Pf = 0,425. Als letztes Beispiel wird ein sehr komplexes Modell einer Lasteinleitung oberflächenparalle-ler Kräfte in Beton verwendet. Die Lastabtragung eines derartigen Bauteiles (Schubdübel) hängt im wesentlichen von der Ausbildung mehraxialer räumlicher Spannungszustände ab. Um das Tragverhalten des Schubdübels unter hohen Lasten realitätsnah zu simulieren, wurde das Stoffgesetz von OTTOSEN (MICHLER [190]) für Beton in ANSYS integriert. Das Modell wird ausführlich in MICHLER [190] erläutert und ist in Abb. 11-9 dargestellt. Auch für dieses Modell soll die Versagenswahrscheinlichkeit ermittelt werden. Als streuende Größen werden die Horizontallast, die Betondruck-, die Betonzugfestigkeit und der E-Modul gewählt. Die geometrischen Größen seien konstant. Korrelationen zwischen den einzelnen streuenden Grö-ßen sind möglich, wurden aber im Rahmen dieser Berechnungen nicht berücksichtigt. Eine einzelne Lösung des Modells erfordert auf einer IBM-Workstation RS/6000 mit Power III Prozessor und 2 Gb Hauptspeicher ca. 2,0 - 2,5 Stunden Rechenzeit. Die probabilistische Rechnung erfolgte mit drei Methoden: Antwort-Flächen-Verfahren in Verbindung mit FORM (First Order Reliablity Method) und SORM (Second Order Reliability Method), Monte-Carlo-Simulation mit Quasi-Zufallszahlen und mit Pseudo-Zufallszahlen. Die Lösung mittels des Antwort-Flächen-Verfahrens lag bei ca. 21 Rechnungen zwischen Pf = 0,02 und 0,08. Die Lösung der Monte-Carlo-Simulation unter Verwendung von Quasi-Zufallszahlen mit 100 Rechnungen lag bei Pf = 0,055 und die klassische Monte-Carlo-Simu-


Seite 245

lation lag bei Pf = 0,04. Der große Fehler des Antwort-Flächen-Verfahrens beruht auf der komplizierten unstetigen Form der Antwort-Fläche. Weitere umfangreiche Modelle und Beispielrechnungen mit bis zu 20 Variablen und ver-schiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen finden sich in FLEDERER [90]. Allerdings wur-den die Simulationen dort nicht mit ANSYS berechnet.

Dimension 1 2 3 Anzahl 1 0.9876544 0.7654321 0.2098766 2 0.0041152 0.4609054 0.5843621 3 0.3374486 0.7942387 0.9176955 4 0.6707820 0.1275720 0.2510288 5 0.1152263 0.9053499 0.0288066 6 0.4485597 0.2386831 0.3621399 7 0.7818930 0.5720165 0.6954733 8 0.2263375 0.0164609 0.8065844 9 0.5596708 0.3497942 0.1399177 10 0.8930042 0.6831276 0.4732511 11 0.0411523 0.7201646 0.7325103 12 0.3744856 0.0534980 0.0658436 13 0.7078189 0.3868313 0.3991770 14 0.1522634 0.1646091 0.5102881 15 0.4855967 0.4979424 0.8436214 16 0.8189301 0.8312757 0.1769547 17 0.2633745 0.6090535 0.2880659 18 0.5967078 0.9423869 0.6213992 19 0.9300412 0.2757202 0.9547325 20 0.0781893 0.3127572 0.2139918

Tab. 11-4: Beispiele von FAURE-Zahlen für 3 Dimensionen (gerundet) ATMOST=10 *DIM,PRIMES,ARRAY,40 PRIMES(1) = 1, 2, 3, 5, 5, 7, 7,11,11,11 PRIMES(11)=11,13,13,17,17,17,17,19,19,23 PRIMES(21)=23,23,23,29,29,29,29,29,29,31 PRIMES(31)=31,37,37,37,37,37,37,41,41,41 *ASK,DIMEN, GEBEN SIE EINE DIMENSION EIN, 3 *IF,DIMEN,LT,1,THEN *MSG,NOTE,DIMEN DIESER WERT IST NICHT ZULÄSSIG < 1 *ASK,DIMEN, GEBEN SIE EINE DIMENSION EIN, 3 *ELSEIF,DIMEN,GT,40,THEN *MSG,NOTE,DIMEN DIESER WERT IST NICHT ZULAESSIG > 40 *ASK,DIMEN, GEBEN SIE EINE DIMENSION EIN, 3 *ENDIF *ASK,NUMB, GEBEN SIE DIE ANZAHL EIN, 3 *IF,NUMB,LT,1,THEN *MSG,NOTE,DIMEN DIESER WERT IST NICHT ZULÄSSIG < 1 *ASK,NUMB, GEBEN SIE EINE DIMENSION EIN, 3 *ELSEIF,NUMB,GT,10000,THEN *MSG,NOTE,DIMEN DIESER WERT IST NICHT ZULAESSIG > 10000 *ASK,NUMB, GEBEN SIE EINE DIMENSION EIN, 3 *ENDIF QS=PRIMES(DIMEN) TESTN=QS**4 HISUM=NINT(LOG(ATMOST+TESTN)/LOG(QS)) *IF,HISUM,LE,40,THEN *MSG,NOTE,HISUM


Seite 246

DER WERT VON HISUM IST NICHT ZULAESSIG! *ENDIF *DIM,COEF,ARRAY,20,20 COEF(1,1)=1 *DO,I,1,HISUM COEF(I+1,1)=1 COEF(I+1,I+1)=1 *ENDDO *DO,J,1,HISUM *DO,I,J+1,HISUM COEF(I+1,J+1)=MOD(COEF(I,J+1)+COEF(I,J),QS) *ENDDO *ENDDO NEXTN=TESTN-1 HISUM=3 RQS=1.0/QS ! ********************************************************************** *DIM,YTEMP,ARRAY,21 *DIM,QUASI,ARRAY,40 ! Quasi-Zufallszahl (ZZ) maximal 40 Dimensionen *DIM,COFL,ARRAY,40 *DIM,QNUMB,ARRAY,40,10000 ! Alle Quasi ZZ maximal 40 Dimensionen, 10000 Zahlen *DO,S,1,NUMB ! Schleife der Zahlen KTEMP=TESTN LTEMP=NEXTN *DO,I,HISUM,0,-1 KTEMP=KTEMP/QS MTEMP=MOD(LTEMP,KTEMP) YTEMP(I+1)=(LTEMP-MTEMP)/KTEMP LTEMP=MTEMP *ENDDO R=YTEMP(HISUM+1) *DO,I,HISUM-1,0,-1 R=YTEMP(I+1)+RQS*R *ENDDO QUASI(1)=R*RQS IS=0 *DO,K,2,DIMEN ! Schleife der Dimensionen QUASI(K)=0.0 R=RQS *DO,J,0,HISUM ZTEMP=0 *DO,I,J,HISUM ZTEMP=ZTEMP+COEF(I+1,J+1)*YTEMP(I+1) *ENDDO YTEMP(J+1)=MOD(ZTEMP,QS) QUASI(K)=QUASI(K)+YTEMP(J+1)*R ! Quasi-ZZ fuer diesen Satz R=R*RQS *ENDDO *ENDDO NEXTN=NEXTN+1 *IF,NEXTN,EQ,TESTN,THEN TESTN=TESTN*QS HISUM=HISUM+1 *ENDIF *DO,I,1,DIMEN QNUMB(I,S)=QUASI(I) *ENDDO *ENDDO

Tab. 11-5: Listing zur Erstellung von Quasi-Zufallszahlen in ANSYS

Anhang D: Prüfung der Verfahren

Seite 247

12 Anhang D: Prüfung der Verfahren In Tab. 12-1 sind einige aus der Literatur bekannte Beispiele mit den in der Arbeit vorge-stellten probabilistischen und programmtechnisch umgesetzten Verfahren nachgerechnet. Die maximale Iterationsanzahl ist auf 2500 für den FORM Algorithmus beschränkt, Die Im-portance Sampling Monte-Carlo-Simulation besitzt einen Stichprobenumfang von 1000, Folgende Möglichkeiten bei Iterationsproblemen wurden verwendet: • Iterationsgrenze ändern • Iterationsanzahl ändern • Konvergenzfaktor ändern • Mathematische Beschränkungen einführen oder außer Kraft setzen • Module ausschalten • Einheiten ändern • Startwerte ändern • Ableitungsabstand ändern. Außerdem sind einige Beispiele der Näherung einer analytisch nicht geschlossen vorhandenen Grenzzustandsfunktion mit dem Programm APPROX in Tab. 12-2 beigefügt. Auf Grund der dort erkennbaren Schwierigkeiten wurden die Beispiele vertieft. Es ist zu beachten, daß die Funktionen, die mit dem Programm APPROX ermittelt wurden, bei jeder Rechnung anders sind. Damit ist die Aussage von Nachrechnungen eingeschränkt! Weiterhin sind die Parameter der Erstellung der Funktion zu beachten, das insbesondere in den Bildern Abb. 12-1 und Abb. 12-2.

Abb. 12-1: Beispiele der Näherung von Funktionen mit Hilfe des Programmes APPROX

Vergleicht man in diesen Bildern die vorhandene mit der durch das Programm geschätzten Grenzzustandsgleichungen, kommt man zu der Aussage, daß auch die genetische Optimie-rung nur einen mangelhaften Ersatz liefern kann. Durch etwas Übung kann man allerdings die Qualität der Ergebnisse deutlich steigern.


Seite 248

Mittel- Standard-

# Quelle Grenzzustands- funktion

Typ wert abweichung X0 Wert βRF/Pf βBR/Pf βN1/Pf βN3/Pf βCAI/Pf βMC/Pf

1 [273] X1-2/2,14*X2 2 26,5 2,5 16 2,858 2,84225 2,85758 2,85905 2,85916 2,85917 2,8716 4 18 2 0,00213100 0,00224 0,00214 0,00213 0,00213 0,00213 0,00204

2 [265] 1-X1**2-X2 1 0,1 0,1 4,657 4,65787 4,59618 4,61425 4,5972 4,59714 4,58557 1 0,05 0,2 0,00000160 0,0000016 0,0000022 0,0000020 0,0000021 0,0000021 0,0000023

3 [265] 1-X1**2+X2 1 0,1 0,1 5,150 5,14804 5,15394 5,1783 5,15752 5,15749 5,30628 1 0,05 0,2 0,00000013 0,0000001 0,0000001 0,0000001 0,0000001 0,0000001 0,0000001

4 [240] 0,01846154- 1 0,001 0,0002 2,330 2,34116 2,34054 2,33762 2,33759 2,34419 2,34116 0,07476923*X1/X2^3 1 0,25 0,0375 0,00969700 0,00962 0,00964 0,00971 0,00972 0,00955 0,00962

5 [80] X1*X2-146,14 1 78064,4 11709,7 4,677 4,80916 4,68895 4,74681 4,7076 4,70738 4,8765 1 0,0104 0,00156 0,00000145 0,0000008 0,0000014 0,0000010 0,0000013 0,0000013 0,0000005

6 [183] X1-X2/X3 1 600 30 2,270 2,2697 2,25803 2,2571 2,25622 2,25624 2,25357 1 1000 33 0,01161256 0,01161 0,01199 0,01201 0,01204 0,01204 0,01213 1 2 0,1

7 [183] 570-X1/X2 1 1000 33 2,126 2,12561 2,10438 2,10275 2,10088 2,10086 2,12884 1 2 0,1 0,01676781 0,01677 0,01769 0,01776 0,01785 0,01785 0,01665

8 [183] X1-X2 1 1200 33 2,988 2,988 3,19137 3,20123 3,20589 5,99744 2,98266 9 1000 50 900 0,00140458 0,0014 0,00071 0,00068 0,00067 0 0,00143

9 [183] X1-X2*X3/X4 1 33000 1000 3,494 3,48853 3,48946 3,48964 3,48947 3,48951 3,49233 1 50 2 0,00023814 0,00024 0,00024 0,00024 0,00024 0,00024 0,00024 1 1000 33 1 2 0,1

10 [191] -738,656*X1+X2 1 200 30 4,070 4,06959 4,06948 4,06948 4,06948 4,06948 4,06266 1 288000 26400 0,00002352 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002

11 [191] -738,656*X1+X2 6 200 30 0 2,980 2,97999 2,9939 2,99514 2,99522 2,99523 2,99709 2 288000 26400 199000 0,00144131 0,00144 0,00138 0,00137 0,00137 0,00137 0,00136

12 [13] X1-X2 3 16 2,4 2,753 2,72707 2,75071 2,7531 2,75335 2,75339 2,76076 1 8 2 0,00296000 0,0032 0,00298 0,00296 0,00295 0,00295 0,00289

13 [13] X1-X2 3 16 2,4 2,382 2,38614 2,38283 2,38237 2,3823 2,3823 2,39788 4 8 2 0,00863000 0,00851 0,0086 0,00861 0,00861 0,00861 0,00825

14 [13] X1-X2 3 16 2,4 2,562 2,55198 2,5617 2,56282 2,56287 2,56287 2,57216 11 8 2 0,00521000 0,00536 0,00521 0,0052 0,0052 0,0052 0,00506

15 [13] X1-X2 3 16 2,4 2,263 2,28187 2,26625 2,265 2,2639 2,2639 2,31243 6 8 2 0 0,01182000 0,01125 0,01173 0,01177 0,0118 0,0118 0,01039

Tab. 12-1: Einige Rechenbeispiele mit den vorgestellten probabilistischen Verfahren (Verteilungstypen siehe Tabelle 12–3)


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# Quelle Grenzzustandsfunktion APPROX (SCHULZE) Fehlersummen-quadrat

Anzahl der Funktions-aufrufe

subjektiv eingeschätzte Qualität

1 [273] X1-2/2,14*X2 1,0*X1-0,93458 *X2 0 100 1 2 [265] 1-X1^2-X2 0,87-100,0*X1^2*X2+1,2*X1 0,9025 5 3 3 [265] 1-X1^2+X2 0,983+2.667*X1^2-10.0*X1*X2 0,9025 5 3 4 [240] 0,01846154-0,07476923*X1/X2^3 -74,605*X1^2+1566411,9*X1^3*X2^3+0,01689*X2^3 0 5 3 5 [80] X1*X2-146,14 -146,137+1,0*X1^1*X2^1-0,009*X1^1*X2^4+600,38*X2^4 0,00133 37 1 6 [183] X1-X2/X3 1,002*X1^1-41,77*X1^1*X2^-1*X3^-2+50,96*X1^2*X2^-2*X3^-1- 59,6971 39 4 -1,034*X2^1*X3^-1+0,014*X1^-1*X2^2*X3^-1+0,016*X2^1*X3^-2

7 [183] 570-X1/X2 570,44-1.0*X1^1*X2^-1 148,46 40 1 8 [183] X1-X2 -0,99*X2^1+0,99*X1^1 0,00007 7 1 9 [183] X1-X2*X3/X4 -0,006*X1^1*X2^1*X4^-1+20,55*X1^1*X2^1*X3^-1+ 0,00378 5 4 -0,86*X2^1*X3^1*X4^-1+15,04*X1^1*X3^-1*X4^1

10 [191] -738,656*X1+X2 1,0*X1^0*X2^1-738,65*X1^1 131 40 1 11 [191] -738,656*X1+X2 1,0*X1^0*X2^1-738,65*X1^1 0 10 1 12 [13] X1-X2 1,0*X1^1-1,0*X2^1 0 36 1 13 [13] X1-X2 1,0*X1^1-1,0*X2^1 0 39 1 14 [13] X1-X2 -0,99*X2^1-0,0015+1,0*X1^1 0,00038 23 1 15 [13] X1-X2 0,0024*X1^3-0,027*X2^2 0 3 5

Tab. 12-2: Einige Rechenbeispiele mit dem genetischen Algorithmus zur Approximation der Antwort-Fläche

Sicherheitsindex/ Versagenswahr-scheinlichkeit

Methode Typ Verteilung

βRF/Pf Rachwitz-Fießler (FORM) 1 Gaußnormal βBR/Pf Breitung (SORM) 2 Log-normal (2 Parameters) βN1/Pf H.U. Köylüoglu & S.R.K. Nielsen (I) 3 Log-normal (3 Parameter) βN3/Pf H.U. Köylüoglu & S.R.K. Nielsen (III) 4 Extreme Type I highest value βCAI/Pf G.Q. Cai & I. Elishakoff 6 Extreme Type II highest value βMC/Pf Importance Sampling MCS 9 Extreme Type III lowest value 11 Gamma (2 Parameters)

Tab. 12-3: Schlüssel zu den Tabellen Tab. 12-1 und Tab. 12-2


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Beispiel Formel 1

# sum of squares: 0.00000 p ( x1, x2 ) = \ -0.93458 * x1**0 * x2**1 + \ 1.00000 * x1**1 * x2**0

2

# sum of squares: 0.90250 p ( x1, x2 ) = \ 0.87000 * x1**0 * x2**0 + \ -100.00000 * x1**2 * x2**1 + \ 1.20000 * x1**1 * x2**0

3

# sum of squares: 0.90250 p ( x1, x2 ) = \ 0.98333 * x1**0 * x2**0 + \ 2.66667 * x1**2 * x2**0 + \ -10.00000 * x1**1 * x2**1

4

# sum of squares: 0.00000 p ( x1, x2 ) = \ -74.60534 * x1**2 * x2**0 + \ 1566411.90070 * x1**3 * x2**3 + \ 0.01689 * x1**0 * x2**3

15

# sum of squares: 0.00000 p ( x1, x2 ) = \ 0.00235 * x1**3 * x2**0 + \ -0.02668 * x1**0 * x2**2 + \

Abb. 12-2: Beispiele der Näherung von Funktionen mit Hilfe des Programmes APPROX


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Vor der Integration des quadratischen Antwort-Flächen-Verfahres war versucht worden, mit dem Verfahren von MAYMON [183] zu rechnen. Mit der dort vorgestellten Idee kann man z. B. relativ schnell das in Abb. 12-3 dargestellte Problem mit dem FEM-Programm ANSYS lösen. Es handelt sich hierbei allerdings um eine sehr einfache Aufgabe. Bei diesem Verfahren werden die in ANSYS integrierten Optimierungsroutinen zur Erstellung der Antwort-Fläche genutzt.

a=1,25 cm

T35 Profil mit W=1,25 cm

F

3

Statisches System des Beispiels

Statistische Eigenschaften der Eingangsgrößen

Wer

t der

Var

iabl

en

0200400600800

1000120014001600

0 5 10 15 20 25Iteration Nr.

Iteration zur Bestimmung der Bemessungswerte der Eingangsgrößen in ANSYS

/BATCH,LIST /FILNAM,versuch1 PI=3.141592653 X=1200. ! Startwert der Basisvariablen 1 entspricht Mittelwert XM=1200. ! Mittelwert der Basisvaria-blen 1 XSIG=33. ! Standardabweichung der Ba-sisvariablen 1 Y=1000. ! Startwert der Basisvariablen 2 entspricht Mittelwert Y0=900. ! Unterer Grenzwert der Verteilung der Basisvariablen 2 YM=1000. ! Mittelwert der Basisvaria-blen 2 BETA=2.1013491 ! im Text Kappa genannt SIGMA=4.8587E-5 ! im Text Lamda genannt /PREP7 /TITLE, Beispiel1 FINISH ! Normalverteilung fuer Variable 1 P1=1/(SQRT(2*PI)*XSIG)*EXP(-1/2*((Y-XM)/XSIG)**2) ! Weibullverteilung fuer Variable 2 P2=BETA*SIGMA*(Y-Y0)**(BETA-1)*EXP(-SIGMA*(Y-Y0)**BETA) P=10-P1*P2 /OPT OPANL,versuch1,lgw OPVAR,X,DV,10.,5000. OPVAR,Y,DV,10.,5000. OPVAR,P,OBJ,,,.000001 OPSAVE,versuchvar,opt OPTYPE,SUBP OPSUBP,15 OPPRNT,ON OPEXE,OPLIST,ALL,,1 FINISH

Befehlstext unter ANSYS 5.1 für die Optimierungsroutine

Abb. 12-3: Beispiel 8 aus Tabelle 12–1 mit dem Verfahren von MAYMON

Die hier genannten Beispiele wurden ebenfalls in ANSYS mit dem eingebauten quadratischen Antwort-Flächen-Verfahren gerechnet. Die Iteration des Sicherheitsindex für Beispiel 1 ist im folgenden angegeben. 3.296693 2.968085 2.873106 2.851234 2.846045 2.844751 2.844409 2.844312 2.844282


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Insgesamt zeigte das quadratische Antwort-Flächen-Verfahren relativ gute Ergebnisse. Pro-bleme traten bei der Rechnung des Pfeilers III der Mainbrücke Lohr mit und ohne Spreng-kammer auf. Bei zahlreichen Rechnungen der Schubspannungsnachweise dieses Pfeilers ohne Sprengkammer ergab sich ein Sicherheitsindex von ca. 4,2. Erst Nachrechnungen mit verän-derten Startwerten erbrachten den jetzt angegebenen Sicherheitsindex von ca. 3,5.

Anhang E: Beispiel der Berechnung der Brücken

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13 Anhang E: Beispiele der Berechnung der Brücken Im Anhang E finden sich Beispiele der probabilistischen Berechnungen der Alten Mainbrücke Lohr und der Mainbrücke Segnitz unter Verwendung der vorgestellten FE-Modelle und der probabilistischen Verfahren. Die Beispiele dienen zur Veranschaulichung des Berechnungs-ablaufes. Die Antwort-Flächen-Iterationen sind nur auszugsweise dargestellt. Mainbrücke Segnitz Rechnung I. Pfeiler wird Frontal getroffen, Pfeiler ist ungeschädigt. **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 Normalverteilung X = 3.042688132951550 Bemessungswert der Anprallhöhe XM = 3.000000000000000 Mittelwert der Anprallhöhe SIGM= 0.500000000000000 Standardabweichung der Anprallhöhe (wie bei Lohr) ALPHA= 0.083831662775090 Wichtungsfaktor TYP = 1 Normalverteilung X = 7.150136338414310 Bemessungswert der Anprallhöhe XM = 7.150000000000000 Mittelwert der Mauerwerksdruckfestigkeit SIGM= 0.715000000000000 Standardabweichung der Mauerwerksdruckfestigkeit ALPHA= 1.872329816266340D-004 Wichtungsfaktor TYP = 1 Normalverteilung X = 0.376948192085365 Bemessungswert der Anprallhöhe XM = 0.380000000000000 Mittelwert der Zugfestigkeit des Mauerwerks SIGM= 0.038000000000000 Standardabweichung der Zugfestigkeit des Mauerwerks ALPHA= -0.078857351286345 Wichtungsfaktor TYP = 1 Normalverteilung X = 7990.894849567770000 Bemessungswert der Anprallhöhe XM = 8000.000000000000000 Mittelwert der E-Moduls des Mauerwerks SIGM= 800.000000000000000 Standardabweichung des E-Modules ALPHA= -0.011175482598831 Wichtungsfaktor TYP = 3 Log-Normalverteilung X = 3.157610769883500 Bemessungswert der Anprallhöhe XM = 2.040000000000000 Mittelwert der Anprallkraft SIGM= 1.500000000000000 Standardabweichung der Anprallkraft ALPHA= 0.993291953829863 Wichtungsfaktor X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 16 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.018349170684810 Sicherheitsindex FORM pro Anprall PF = 0.154256042773688 operative Versagenswahrscheinlichkeit pro Anprall SORM NACH BREITUNG BETA= 1.020687108289530 Sicherheitsindex SORM pro Anprall PF = 0.153697891531286 operative Versagenswahrscheinlichkeit pro Anprall SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.021883112596060 Sicherheitsindex SORM pro Anprall PF = 0.153414886201815 operative Versagenswahrscheinlichkeit pro Anprall SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 1.021893503860800 Sicherheitsindex SORM pro Anprall PF = 0.153412428874620 operative Versagenswahrscheinlichkeit pro Anprall SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.021894962652890 Sicherheitsindex SORM pro Anprall PF = 0.153412083901424 operative Versagenswahrscheinlichkeit pro Anprall STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.035422000205000 Sicherheitsindex pro Anprall PF = 0.150235307628511 operative Versagenswahrscheinlichkeit pro Anprall


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Anprallkraft85%

E-Modul1%

Zugfestigkeit7%

Anprallhöhe7%

Wichtungsfaktoren Die mittlere Lebensdauer des Bauwerkes beträgt dann unter Berücksichtigung der Anprallrate von 0,07 pro Jahr oder im Mittel einem Anprall alle 14 Jahre:

1 1 1 1 95,2( ) ( ) ( | ) 0,15 0,07 0,0105tm P F P A P F A

= = = = =⋅ ⋅

Jahre

und bei einer Anprallrate von 0,016 pro Jahr: 1 1 1 1 416,7( ) ( ) ( | ) 0,15 0,016 0,0024tm P F P A P F A

= = = = =⋅ ⋅

Jahre


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Segnitz Rechnung: Es werden nur 70 % der Fläche des Pfeilers angesetzt (Ist-Zustand im Pfeiler 2).

Segnitz Rechnung : Es wird das inverse Problem mit einer Zielversagenswahrscheinlichkeit von 10-6 untersucht. Es werden nur 70 % der Fläche des Pfeilers angesetzt (Ist-Zustand im Pfeiler 2). Zielwert für die reine Versagenswahrscheinlichkeit ist 0,01 pro Anprall. Das Ergebnis sind die statistischen Eigenschaften der Anprallkraft: Mittelwert 0,5 MN Standardabweichung 0,45 MN.

**** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 3.020352546952110 XM = 3.000000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.083843754714508 TYP = 1 X = 7.150064858531210 XM = 7.150000000000000 SIGM= 0.715000000000000 ALPHA= 1.868457841527330D-004 TYP = 1 X = 0.378554590891865 XM = 0.380000000000000 SIGM= 0.038000000000000 ALPHA= -0.078348376533284 TYP = 1 X = 7995.680857685090000 XM = 8000.000000000000000 SIGM= 800.000000000000000 ALPHA= -0.011120648956017 TYP = 3 X = 2.220916339637820 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 ALPHA= 0.993331804644544 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 14 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 0.485480755567551 PF = 0.313667696509086 SORM NACH BREITUNG BETA= 0.486582678856370 PF = 0.313129538459069 SORM NACH TVEDT BETA= 0.485480755567551 PF = 0.311945103208814 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 0.488587983378938 PF = 0.312419646092953 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 0.488601566895492 PF = 0.312414839811421 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 0.488602256717261 PF = 0.312414595731327 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 0.487979746308451 PF = 0.312634892648570

**** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 3.084024739802060 XM = 3.000000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.072572859217192 TYP = 1 X = 7.150269468274940 XM = 7.150000000000000 SIGM= 0.715000000000000 ALPHA= 1.627548791680710D-004 TYP = 1 X = 0.373918066090120 XM = 0.380000000000000 SIGM= 0.038000000000000 ALPHA= -0.069116236508394 TYP = 1 X = 7981.907615143670000 XM = 8000.000000000000000 SIGM= 800.000000000000000 ALPHA= -0.009766336660094 TYP = 3 X = 2.190603501331610 XM = 0.500000000000000 SIGM= 0.450000000000000 ALPHA= 0.994917462053950 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 17 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.315270185470580 PF = 0.010299049664415 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.318441756464220 PF = 0.010224560555468 SORM NACH TVEDT BETA= 2.315270185470580 PF = 0.010115191355183 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.318837936156620 PF = 0.010213799105860 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 2.318841441814750 PF = 0.010213703925590 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.318844341545460 PF = 0.010213625197120 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.341828933164460 PF = 0.009605975665964


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Rechnung Segnitz: Es wird das inverse Problem mit einer Zielversagenswahrscheinlichkeit von 10-6 untersucht. Pfeiler 2 wird als ungerissen angesetzt. Zielwert der Versagenswahrscheinlichkeit bei einer 10.000 Anprallkraft ist 0,01 **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 3.073926626183510 XM = 3.000000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.063526543908933 TYP = 1 X = 7.150236845391220 XM = 7.150000000000000 SIGM= 0.715000000000000 ALPHA= 1.423240304224260D-004 TYP = 1 X = 0.374665197020961 XM = 0.380000000000000 SIGM= 0.038000000000000 ALPHA= -0.060317453511413 TYP = 1 X = 7984.118716751550000 XM = 8000.000000000000000 SIGM= 800.000000000000000 ALPHA= -0.008529192805717 TYP = 3 X = 3.136337282689090 XM = 0.600000000000000 SIGM= 0.650000000000000 ALPHA= 0.996119184073728 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 17 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.327045917510990 PF = 0.009981387782979 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.329877927531270 PF = 0.009917865905400 SORM NACH TVEDT BETA= 2.327045917510990 PF = 0.009824601333671 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.330222601648780 PF = 0.009908748474672 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 2.330225312132540 PF = 0.009908676805088 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.330227511702400 PF = 0.009908618645229 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.363449783984780 PF = 0.009063460142831


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Rechnung Segnitz: Es wird angenommen, die Pfeiler sei im Rahmen einer Sanierung um den Faktor 2,3 vergrößert wurden. Der Faktor 2,3 erscheint relativ plausibel, wenn man bedenkt, daß Lohr ca. den Faktor 2,0 besitzt. **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 3.094862836709620 XM = 3.000000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.083858948983099 TYP = 1 X = 7.150304554705600 XM = 7.150000000000000 SIGM= 0.715000000000000 ALPHA= 1.882688455622400D-004 TYP = 1 X = 0.373111128298242 XM = 0.380000000000000 SIGM= 0.038000000000000 ALPHA= -0.080126160825183 TYP = 1 X = 7979.523087711600000 XM = 8000.000000000000000 SIGM= 800.000000000000000 ALPHA= -0.011313261027909 TYP = 3 X = 7.180617602230960 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 ALPHA= 0.993186520779766 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 17 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.262169361114500 PF = 0.011843434173970 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.265750919078890 PF = 0.011746839185609 SORM NACH TVEDT BETA= 2.262169361114500 PF = 0.011604411669429 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.266223181669890 PF = 0.011732366047786 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 2.266227944183960 PF = 0.011732220172823 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.266231780349300 PF = 0.011732102672903 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.279977759755310 PF = 0.011317572709796 QUASI-ZUFALLSZAHLEN STICHPROBENREDUZIERT MCS BETA= 2.347464581666540 PF = 0.009461897647690

Rechnung Segnitz: Es wird eine Erhöhung der zulässigen Zugfestigkeit (auch im Sinne einer verschmierten Bewehrung) angesetzt. **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 3.045387721345250 XM = 3.000000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.052927645356952 TYP = 1 X = 7.150144999464330 XM = 7.150000000000000 SIGM= 0.715000000000000 ALPHA= 1.182424030890930D-004 TYP = 1 X = 0.960902550010678 XM = 1.000000000000000 SIGM= 0.200000000000000 ALPHA= -0.113969759354375 TYP = 1 X = 7990.313069191720000 XM = 8000.000000000000000 SIGM= 800.000000000000000 ALPHA= -0.007060043167497 TYP = 3 X = 4.995303477978010 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 ALPHA= 0.992048221291377 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 17 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.714927673339840 PF = 0.043179210376108 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.696479425407410 PF = 0.044933025981136 SORM NACH TVEDT BETA= 1.714927673339840 PF = 0.047918230862600 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.693868932103070 PF = 0.045180640372015 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 1.692124410070500 PF = 0.045346725256458 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.692130428482670 PF = 0.045346151438939 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.700556123127110 PF = 0.044548522240460 QUASI-ZUFALLSZAHLEN STICHPROBENREDUZIERT MCS BETA= 1.815514281012000 PF = 0.034753651959809


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Rechnung Segnitz: Berücksichtigung der Veränderung der Anprallwahrscheinlichkeitsfunktion infolge des eingebauten Anprallschutzes. **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 2.929337141887270 XM = 3.000000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.024808082347488 TYP = 1 X = 6.898370087258980 XM = 7.150000000000000 SIGM= 0.715000000000000 ALPHA= 0.000596666438825 TYP = 1 X = 0.364061621323244 XM = 0.380000000000000 SIGM= 0.038000000000000 ALPHA= -0.023034021523693 TYP = 1 X = 7709.725550818670000 XM = 8000.000000000000000 SIGM= 800.000000000000000 ALPHA= -0.003224101798463 TYP = 3 X = 3.049222005521430 XM = 0.046450000000000 SIGM= 0.836800000000000 ALPHA= 0.999421433169615 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 18 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.959537029266360 PF = 0.001540577088159 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.960742727836070 PF = 0.001536106126120 SORM NACH TVEDT BETA= 2.959537029266360 PF = 0.001529877652851 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.960828742810090 PF = 0.001535677139688 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 2.960828896810590 PF = 0.001535676371732 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.960829306869160 PF = 0.001535674326891

Rechnung Segnitz: Querstoß des ungerissenen Pfeilers **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 2.915735639801560 XM = 3.000000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.102130318483887 TYP = 1 X = 6.897948264551300 XM = 7.150000000000000 SIGM= 0.715000000000000 ALPHA= 0.002452286783926 TYP = 1 X = 0.365031871993897 XM = 0.380000000000000 SIGM= 0.038000000000000 ALPHA= -0.094453939984995 TYP = 1 X = 7712.627171333470000 XM = 8000.000000000000000 SIGM= 800.000000000000000 ALPHA= -0.013233172458254 TYP = 3 X = 0.642259344863043 XM = 0.611000000000000 SIGM= 0.385000000000000 ALPHA= 0.990185179206430 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 12 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 0.442714005708694 PF = 0.328986345534617 SORM NACH BREITUNG BETA= 0.443865988715288 PF = 0.328413659600269 SORM NACH TVEDT BETA= 0.442714005708694 PF = 0.327121522479830 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 0.446199529360969 PF = 0.327570899870850 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 0.446217239147438 PF = 0.327564507344665 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 0.446218135597754 PF = 0.327564183763229 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 0.496409807097371 PF = 0.309657366505428 QUASI-ZUFALLSZAHLEN STICHPROBENREDUZIERT MCS BETA= 0.405386842971528 PF = 0.342434635284254


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Rechnung Segnitz: Berücksichtigung der Veränderung der Anprallwahrscheinlichkeitsfunktion infolge des eingebauten Anprallschutzes für den Querstoß **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 2.943189682901330 XM = 3.000000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.074289730093751 TYP = 1 X = 6.898850997317620 XM = 7.150000000000000 SIGM= 0.715000000000000 ALPHA= 0.001789133405867 TYP = 1 X = 0.363070632933591 XM = 0.380000000000000 SIGM= 0.038000000000000 ALPHA= -0.069254805920983 TYP = 1 X = 7706.816941575450000 XM = 8000.000000000000000 SIGM= 800.000000000000000 ALPHA= -0.009684519450307 TYP = 3 X = 0.638369726423752 XM = 0.305500000000000 SIGM= 0.288750000000000 ALPHA= 0.994780241300908 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 16 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.375170588493350 PF = 0.084539341224521 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.377593908285570 PF = 0.084200701514199 SORM NACH TVEDT BETA= 1.375170588493350 PF = 0.083633084914953 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.378317414972650 PF = 0.084089031574314 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 1.378323149187530 PF = 0.084088146968588 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.378324593043520 PF = 0.084087924228946 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.424069316563620 PF = 0.077250953115326 QUASI-ZUFALLSZAHLEN STICHPROBENREDUZIERT MCS BETA= 1.393398357940700 PF = 0.0817865841399771



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Berechnung der Mainbrücke Lohr (Pfeiler) unter Verwendung des Programms APPROX, Frontalanprall Mauerwerkspfeiler, streuende Größen Anprallhöhe, Anprallkraft, E-Modul: Eingegebene Matrix Höhe Kraft E-Modul bezogene Normalspannung 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.25000 1.00000 1.00000 0.95388 1.50000 1.00000 1.00000 0.61190 1.00000 0.85714 1.00000 1.00686 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.14286 1.00000 0.99314 1.00000 1.28571 1.00000 0.98628 1.00000 1.42857 1.00000 0.97941 1.00000 1.57143 1.00000 0.97255 1.00000 1.71429 1.00000 0.96569 1.00000 1.85714 1.00000 0.95883 1.00000 2.00000 1.00000 0.95197 1.00000 2.14286 1.00000 0.94510 1.00000 2.28571 1.00000 0.93824 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.60000 1.16881 1.00000 1.00000 2.20000 1.25504 1.00000 1.00000 2.80000 1.30912 1.00000 1.00000 3.40000 1.34685 1.00000 1.00000 4.00000 1.37497 1.00000 1.00000 4.60000 1.39688 1.00000 1.00000 5.20000 1.41455 1.00000 1.00000 5.80000 1.42916 1.00000 1.00000 6.40000 1.44148 1.00000 1.00000 7.00000 1.45204 Folgende Näherung wurde mit APPROX erstellt: 1. Versuch # sum of squares: 0.00388 p ( x1, x2, x3 ) = \ -0.43804 * x1**3 * x2**1 * x3**3 + \ 0.44226 * x1**0 * x2**1 * x3**3 + \ 0.37324 * x1**2 * x2**0 * x3**1 + \ 0.70106 * x1**1 * x2**0 * x3**0 + \ -0.06743 * x1**3 * x2**1 * x3**2 2. Versuch # sum of squares: 0.00153 p ( x1, x2, x3 ) = \ -0.70910 * x1**3 * x2**2 * x3**3 + \ 0.64149 * x1**2 * x2**3 * x3**1 + \ -0.03014 * x1**1 * x2**1 * x3**0 + \ 0.70107 * x1**2 * x2**0 * x3**0 + \ -0.12952 * x1**2 * x2**0 * x3**2 + \ 0.71399 * x1**1 * x2**0 * x3**3 + \ 0.69052 * x1**0 * x2**2 * x3**2 + \ -0.63667 * x1**0 * x2**3 * x3**2 + \ -0.23817 * x1**3 * x2**0 * x3**1


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Gleiches FE-Modell wie bei APPROX, jetzt aber mit Antwort-Flächen-Verfahren, streuende Größen Anprallhöhe, Anprallkraft, E-Modul, Mauerwerkspfeilers bei Frontalanprall **** E I N G A B E D A T E N ****** TYP = 1 X = 2.284459484888720 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 TYP = 1 X = 5.045191045561380 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 TYP = 1 X = 25898.690411171700000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 14 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.039042472839360 PF = 0.020722826500050 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.362709706392850 PF = 3.862051185225480D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.771873401487890 PF = 0.038240664418312 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.784537057683500 PF = 0.037200619522246 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.820190920985210 PF = 0.034395976941120

**** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 2.258516548594010 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 TYP = 2 X = 5.111519465419790 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 TYP = 1 X = 27629.732524067300000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ****** ITERATIONSSCHRITTE: 13 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.731199145317080 PF = 0.041708088050634 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.804982306137550 PF = 0.002518790396653 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.382265083162060 PF = 0.083481683598426 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.370016050508150 PF = 0.085377001191999 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.652799918345920 PF = 0.049222498449818

**** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 2.258975323302570 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 TYP = 2 X = 6.954949708171250 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 TYP = 1 X = 27695.429845244100000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 13 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.198171377182010 PF = 0.013968399135574 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.177883418743260 PF = 0.000742452372200 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.612657724628630 PF = 0.053447065067776 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.567570970045160 PF = 0.058528989098385 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.158301887049630 PF = 0.015469416864891

**** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 2.223539990048110 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 TYP = 2 X = 10.047714626832500 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 TYP = 1 X = 27694.876869802700000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 14 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.757418155670170 PF = 0.002913045993777 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.785510335961510 PF = 7.672398279426520D-005 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.128988495847900 PF = 0.016645938638730 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.940339854068230 PF = 0.026195223640123 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.736250430124670 PF = 0.003110742821230


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**** E I N G A B E D A T E N ********* TYP = 1 X = 2.278221472259580 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 TYP = 2 X = 7.659396740263450 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 TYP = 1 X = 27792.326263704400000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 14 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.344608545303340 PF = 0.009523513595584 PROBLEM: KAPPA-WERTE, EIGENWERTE, 2.ABLEITUNGEN SORM NACH BREITUNG BETA= 3.390810716934730 PF = 3.486913834672560D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.749322595573020 PF = 0.040151336050692 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.723091300326210 PF = 0.042470615352957 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.322920434571540 PF = 0.010103480046594

**** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 2.300402637683900 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 TYP = 2 X = 11.407964984299100 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 TYP = 1 X = 28009.660223034800000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 14 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.950090169906620 PF = 0.001588474522112 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.841241922881620 PF = 6.122467968261990D-005 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.074374679862580 PF = 0.019042729903893 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.796138499751360 PF = 0.036268201204639 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.965166033016640 PF = 0.001514186693320


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Beispiel der Verschmelzung der Nachweise an einem Pfeiler. Dazu erfolgte die Formulierung der Grenzzustandsgleichung auf drei Höhen im Pfeiler des FE-Modelles. Die ermittelten Werte werden gemäß den Regeln für eine Seriensystem miteinander verschmolzen. BEI ANNAHME EINES SERIENSYSTEMS **** E I N G A N G S D A T E N *********** 3 Grenzzustandsgleichungen C ****** Matrix der Wichtungsfaktoren: 0.113525 0.9932 -0.02665 0.2922 0.9547 -0.5499 C ************* Einzel Sicherheitsindizes 2.757 1.5105 2.95 ************* A U S G A N G S D A T E N ***** ELEMENTARE SCHRANKEN UNTERE GRENZE : 0.065457971068568 1.510803387 OBERE GRENZE (PRO): 0.069664417009953 1.478583415 OBERE GRENZE (SUM): 0.069963682972789 1.476348889 SCHRANKEN NACH RACKWITZ UNTERE GRENZE : 0.068496333296677 1.487376487 OBERE GRENZE : 0.068174279677160 1.489821143 SCHRANKEN NACH DITLEVSEN UNTERE GRENZE : 0.068890185245517 1.484398839 OBERE GRENZE : 0.068890260007831 1.484398275


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Berechnung der Alte Mainbrücke Lohr – Vorspannung an einer Pfeilerseite 2 × 1 MN (links) oder 2 × 2 MN (rechts) pro Pfeilerseite. Streuende Größen Anprallhöhe, Anprallkraft, E-Modul **** E I N G A B E D A T E N ********* TYP = 1 X = -2.709073812082940 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.997190220981553 TYP = 2 X = 0.837439112101992 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 ALPHA= 0.029444117379374 TYP = 1 X = 25138.233865220400000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.068881325082411 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 200 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 10.081858634948700 PF = 3.389907832538830D-024

**** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = -2.530689130515370 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.943321787287041 TYP = 2 X = 8.674295555153920 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 ALPHA= 0.319392406678081 TYP = 1 X = 22213.431925680400000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.090181105964136 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 200 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 9.957775115966800 PF = 1.188886893878980D-023

**** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 2.231561950140910 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.008743391249610 TYP = 3 X = 1.599009083645720 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.004906595411947 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = -849.425119857084000 XM = 28156.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.999949802469861 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 600 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 4.217594146728520 PF = 0.999987645950311 SORM NACH BREITUNG BETA= 4.217416088524960 PF = 1.235404968902290D-005 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.735464954531280 PF = 0.003118177330999 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 4.178459496554760 PF = 1.467302850000070D-005 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 4.269027658643710 PF = 9.814264295057720D-006

**** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 2.230411870532120 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.009257340295892 TYP = 3 X = 1.596945911018610 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.004368604881638 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = -900.736437305672000 XM = 28156.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.999947600573397 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 600 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 4.232100963592530 PF = 0.999988416510350 SORM NACH BREITUNG BETA= 4.231916575071860 PF = 1.158348964980240D-005 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.741711657378120 PF = 0.003059492074998 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 4.175574128093280 PF = 1.486032126118970D-005 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 4.279338169528380 PF = 9.370386540930540D-006


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Berechnung der Alte Mainbrücke Lohr – Vorspannung an einer Pfeilerseite 2 × 1 MN pro Pfeilerseite. Streuende Größen Anprallhöhe, Anprallkraft, E-Modul, Haftscherfestigkeit und Reibungsbeiwert **** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 2.225405850998930 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.011592053371352 TYP = 3 X = 1.587376904734600 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.001936527230365 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = -940.651476460405000 XM = 28156.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.999903204454892 TYP = 1 X = 0.022503457835232 XM = 0.023000000000000 SIGM= 0.026000000000000 ALPHA= -0.004500715107716 TYP = 1 X = 1.498992594210340 XM = 1.500000000000000 SIGM= 0.040000000000000 ALPHA= -0.005935307322831 **** A U S G A B E D A T E N ********** ITERATIONSSCHRITTE: 600 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 4.243566989898680 PF = 0.999988992962543 SORM NACH BREITUNG BETA= 9.261955607226270 PF = 9.999999682655230D-021 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.191655683519470 PF = 0.014218213764485 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.068220840589900 PF = 0.019330343739042 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 4.252531731596750 PF = 1.056633604094190D-005


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Berechnung der Normalspannung bei Vorspannung ohne Anprall Nachweisgleichung nach BERNDT, Streuende Größen Sandsteindruck-, Spaltzugfestigkeit, Steinhöhe, Fugenhöhe, Steinbreite **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 75.368355606385600 XM = 75.400000000000000 SIGM= 21.300000000000000 ALPHA= -4.198244001358740D-004 TYP = 1 X = 0.130668509350071 XM = 4.720000000000000 SIGM= 1.300000000000000 ALPHA= -0.998707871126761 TYP = 1 X = 0.691322353107060 XM = 0.700000000000000 SIGM= 0.130000000000000 ALPHA= -0.018877661243217 TYP = 2 X = 0.026641873341730 XM = 0.037000000000000 SIGM= 0.048000000000000 ALPHA= 0.046880568226047 TYP = 1 X = 0.801502293059993 XM = 0.800000000000000 SIGM= 0.080000000000000 ALPHA= 0.005311556736933 *** A U S G A B E D A T E N ********** ITERATIONSSCHRITTE: 45 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.534826517105100 PF = 2.040632455347230D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 4.395044175721620 PF = 5.535469869623510D-006 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.253824689356350 PF = 0.000569802522990 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.199202206608480 PF = 0.013947531936083 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.388326502140320 PF = 3.518659658816170D-004

**** E I N G A B E D A T E N ****** TYP = 1 X = 75.337926318481200 XM = 75.400000000000000 SIGM= 21.300000000000000 ALPHA= -0.000844094782352 TYP = 1 X = 0.264494304693485 XM = 4.720000000000000 SIGM= 1.300000000000000 ALPHA= -0.999976415256833 TYP = 1 X = 2.261040351496830 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.006442151034920 TYP = 1 X = 2.034037324495210 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 ALPHA= -0.001159756953714 TYP = 1 X = 28579.883703557200000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= 0.001891053978826 **** A U S G A B E D A T E N ********* ITERATIONSSCHRITTE: 17 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.427409648895260 PF = 3.047341109818910D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 4.378821456749450 PF = 5.964063180952880D-006 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.351717195451240 PF = 0.009354431831868 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.196483814939220 PF = 0.014044520110836 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.432862362837780 PF = 2.988345345166680D-004


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Berechnung der Normalspannung bei Vorspannung ohne Anprall Nachweisgleichung nach BERNDT, Streuende Größen Sandsteindruck-, Spaltzugfestigkeit **** E I N G A B E D A T E N ***** TYP = 1 X = 75.326180701774800 XM = 75.400000000000000 SIGM= 21.300000000000000 ALPHA= -0.001010471446246 TYP = 1 X = 0.289342726641180 XM = 4.720000000000000 SIGM= 1.300000000000000 ALPHA= -0.999999459572065 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 17 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.408216714859010 PF = 3.269956747891890D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.408301081299780 PF = 3.270827813305400D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.408295652805770 PF = 3.270892904428950D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.408295621598080 PF = 3.270893278632570D-004 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.408295621598510 PF = 3.270893278627400D-004 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.428528095012400 PF = 3.036483935288790D-004

**** E I N G A B E D A T E N *********** TYP = 1 X = 75.336835614576200 XM = 75.400000000000000 SIGM= 21.300000000000000 ALPHA= -0.000859500898770 TYP = 1 X = 0.266890231722246 XM = 4.720000000000000 SIGM= 1.300000000000000 ALPHA= -0.999999593541319 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 17 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.425487279891970 PF = 3.068985613026100D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.425582236871200 PF = 3.069613008749310D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.425578121413590 PF = 3.069659525485320D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.425578103124430 PF = 3.069659732207980D-004 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.425578103124640 PF = 3.069659732205520D-004 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.445734724115590 PF = 2.849533260326650D-004


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Prüfung der Normalspannung bei Vorspannung ohne Anprall Nachweisgleichung nach BERNDT, Streuende Größen: Sandsteindruck-, Spaltzugfestigkeit, Steinhöhe, Fugenhöhe, Steinbreite, Anprallkraft, -höhe, Sandstein E-Modul **** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 75.368966147069700 XM = 75.400000000000000 SIGM= 21.300000000000000 ALPHA= -4.115965713525460D-004 TYP = 1 X = 0.129317153830187 XM = 4.720000000000000 SIGM= 1.300000000000000 ALPHA= -0.998730916727405 TYP = 1 X = 0.691410628522559 XM = 0.700000000000000 SIGM= 0.130000000000000 ALPHA= -0.018680510221376 TYP = 2 X = 0.026593641665421 XM = 0.037000000000000 SIGM= 0.048000000000000 ALPHA= 0.046352723777083 TYP = 1 X = 0.801488479384587 XM = 0.800000000000000 SIGM= 0.080000000000000 ALPHA= 0.005261280882341 TYP = 1 X = 2.255589482953200 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.003161147723858 TYP = 1 X = 2.036994453934650 XM = 2.040000000000000 SIGM= 1.500000000000000 ALPHA= -0.000566596807342 TYP = 1 X = 28557.161714786700000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= 0.000925211856102 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 45 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.535785913467410 PF = 2.033237115486540D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 5.830427919491630 PF = 2.758474948163940D-009 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.603479384522950 PF = 1.570786403102260D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.511297752472420 PF = 2.231043115263530D-004 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.399057482529660 PF = 3.383426664762360D-004


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Alte Mainbrücke Lohr, Mauerwerkspfeiler, Seitanprall: Streuende Größen Anprallhöhe, Anprallkraft und E-Modul: **** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 2.919859032344980 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.687655740399149 TYP = 2 X = 1.126382901246270 XM = 0.610000000000000 SIGM= 0.385000000000000 ALPHA= 0.692209500568104 TYP = 1 X = 25512.846913351800000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.219033510267062 **** A U S G A B E D A T E N ****** ITERATIONSSCHRITTE: 23 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.948474645614620 PF = 0.025679028756559 PROBLEM: KAPPA-WERTE, EIGENWERTE, 2.ABLEITUNGEN SORM NACH BREITUNG BETA= 3.717603593192690 PF = 1.006038559418570D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.885628703451310 PF = 0.029700830826303 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.893012283080930 PF = 0.029206136330890 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.640410856063460 PF = 0.050496895583931

**** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 4.679478391885520 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.238650552028768 TYP = 2 X = 0.666973663805718 XM = 0.610000000000000 SIGM= 0.385000000000000 ALPHA= 0.049546040505097 TYP = 1 X = 7038.847125868150000 XM = 28534.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= 0.969840728626809 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 200 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.391533851623540 PF = 0.082031857035645 PROBLEM: KAPPA-WERTE, EIGENWERTE, 2.ABLEITUNGEN SORM NACH BREITUNG BETA= 3.682197431896790 PF = 1.156699715329580D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.386255005524850 PF = 0.082871188709001 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.385977596840350 PF = 0.082913525912767 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 5.202074874470660 PF = 9.840210081376260D-008


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Seitanprall Pfeiler III Beton, Streuende Größen sind die Betonzugkraft (Weibull!); die Anprallkraft und -höhe und der Beton E-Modul **** E I N G A B E D A T E N ********* TYP = 9 X = 0.210872221425030 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.735319280573222 TYP = 2 X = 0.573102226920005 XM = 0.610000000000000 SIGM= 0.380000000000000 ALPHA= 0.076035081390363 TYP = 1 X = 2.237828134410130 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.010461105319632 TYP = 1 X = 36148.212160878400000 XM = 22552.000000000000000 SIGM= 8682.000000000000000 ALPHA= 0.673360714098017 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 16 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.325857400894170 PF = 0.010013056400233 PROBLEM: KAPPA-WERTE, EIGENWERTE, 2.ABLEITUNGEN PROBLEM: KAPPA-WERTE, EIGENWERTE, 2.ABLEITUNGEN SORM NACH BREITUNG BETA= 4.006149994845960 PF = 3.086147058490320D-005 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.198053381035710 PF = 0.013988449665415 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.221407909144370 PF = 0.013176661465161 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.342934090790570 PF = 0.009577571606003


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Berechnung Mauerwerkspfeiler der Alten Mainbrücke Lohr linear-elastisch mit alter Anprallkraft (1997). Die Anprallkräfte wurden im Laufe der Berechnung durch die BAW Karlsruhe geändert, daher rührt die Bezeichnung alte Anprallkraft. **** E I N G A B E D A T E N ********* TYP = 1 X = 2.316040054854900 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.055845987727903 TYP = 1 X = 4.882032743505660 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.962348829650183 TYP = 1 X = 23370.825256268400000 XM = 28156.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.266018702299025 **** A U S G A B E D A T E N ********* ITERATIONSSCHRITTE: 300 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.655037403106690 PF = 0.003965023630262 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.298717267904690 PF = 0.010772989158576 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.482766060744470 PF = 0.006526039791976 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.379872781587570 PF = 0.008669486351553 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.366472243154920 PF = 0.008989798186435 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.341334689509060 PF = 0.009618702206612

**** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 2.262539449369140 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.009829813237354 TYP = 3 X = 6.930653237536610 Rechnung Fall mit τ=0,29 MN/m2 σN=0,63 MN/m

2 (mittlere Werte für 3,5 m Pfeilerlänge rund 1/3 der Länge des Pfeilers) XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.997928746133773 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 27011.200988335400000 XM = 28156.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.063572549925611 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 14 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.539687395095830 PF = 0.005547602069340 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.494293220077580 PF = 0.006317871960786 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.292659631125480 PF = 0.010946479119871 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.069979166184190 PF = 0.019247790194906 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.990013169861420 PF = 0.023318672621294 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.481388459428540 PF = 0.006551319133357


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Berechnung des Mauerwerkspfeilers der Alten Mainbrücke Lohr mit Alter Anprallkraft und Sprengkammer. **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 2.384789961819950 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.145524567560224 TYP = 3 X = 4.584859560560380 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.987397702738091 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 27341.150028094800000 XM = 28156.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.062195653853530 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 14 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= -1.849506020545960 PF = 0.967807671089613 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= -2.511985062500620 PF = 0.993990197000000

**** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 2.242984261246610 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.002492639717268 TYP = 3 X = 1.641903892901540 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.011715373191521 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = -5850.111748612490000 XM = 28156.000000000000000 SIGM= 7079.000000000000000 ALPHA= -0.999928301031413 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 600 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 5.630609035491940 PF = 9.003280003729870D-009 SORM NACH BREITUNG BETA= 6.789351314368550 PF = 5.615272706271370D-012 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.253630291065170 PF = 0.000570192635584 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.165706995386900 PF = 0.000774248983367 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 4.412262089227770 PF = 5.112812814165800D-006


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Pfeiler III Schubkraft Beton (Breite 1.86 m) nach EC 2 (Auflast neu) mit Betonzugkraft als Weibullverteilung Die Normalkraft wird als Funktion der streuenden Größen Anprallkraft, E-Modul und Anprallhöhe beschrieben. **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 9 X = 0.405261495935228 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.753810608187211 TYP = 3 X = 2.344547213922370 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.448807080863740 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 2.241872324894230 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.010787937683571 TYP = 1 X = 28828.884229056500000 XM = 22552.000000000000000 SIGM= 8682.000000000000000 ALPHA= 0.479818147449428 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 23 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.506801605224610 PF = 0.065930786455528 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.486964685163600 PF = 0.068550700488327 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.517046052275000 PF = 0.064666220984557 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 1.490958343193770 PF = 0.068024867995972 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.487259334903400 PF = 0.068511798121267 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.404782524661380 PF = 0.080080229981800


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Pfeiler III Schubkraft Beton (Breite 4. m) nach EC 2 (Auflast neu) mit Betonzugkraft als Weibullverteilung Die Normalkraft wird als Funktion der streuenden Größen Anprallkraft, E-Modul und Anprallhöhe beschrieben. **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 9 X = 0.323387967615498 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.706416607148364 TYP = 3 X = 1.950916991033040 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.189204133647421 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 2.238804115986610 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.011730427394930 TYP = 1 X = 33853.415626899600000 XM = 22552.000000000000000 SIGM= 8682.000000000000000 ALPHA= 0.681938199777987 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 23 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.908843159675600 PF = 0.028141096672322 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.008222580934800 PF = 0.022332992050147 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.019965200311670 PF = 0.021716181157555 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 2.018492142716260 PF = 0.021792759302854 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.080309678295290 PF = 0.018768798489366 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.852130625299280 PF = 0.032033250123734


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Alte Mainbrücke Lohr – Betonpfeiler (linearelastisches Stoffgesetz) (Pfeiler III) Die Spannungen wurden dem FEM-Modell während des Anpralles entnommen, gemittelt und mit den zulässigen Werten gemäß Schubkräfte ohne Bewährung verglichen. Betonpfeiler Da die Gleichung nach EC 2 nur 2 streuende Komponenten enthält, können die Auswirkungen unterschiedlicher Verteilungen und Parameter recht gut dargestellt werden: Frontalanprall

Breite Auflast Betonzugfestigkeit Anprall-kraft

Beta

ohne Spreng-kammer

mit Spreng-kammer

neu alt normal log-normal weibull neu alt

1 × × × × 1,75 2 × × × × 2,04 3 × × × × 3,17 4 × × × × 3,61 5 × × × × 2,71 6 × × × × 3,29 7 × × × × 1,74 8 × × × × 2,03 9 × × × × 3,24 10 × × × × 2,86 11 × × × × 2,98 12 × × × × 2,49 13 × × × × 1,44 14 × × × × 1,72 15 × × × × 1,97 16 × × × × 2,33 17 × × × × 1,78 18 × × × × 2,20 19 × × × × 1,65 20 × × × × 1,65 21 × × × × 1,77 22 × × × × 2,07 23 × × × × 1,58 24 × × × × 1,91


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Pfeiler III Schubkraft Beton (mit Sprengkammer) nach EC 2 mit Betonzugkraft als Weibullverteilung Die Normalkraft wird als Funktion der streuenden Größen Anprallkraft, E-Modul und Anprallhöhe beschrieben. **** E I N G A B E D A T E N ****** TYP = 9 X = 0.405261495935228 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.753810608187211 TYP = 3 X = 2.344547213922370 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.448807080863740 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 2.241872324894230 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.010787937683571 TYP = 1 X = 28828.884229056500000 XM = 22552.000000000000000 SIGM= 8682.000000000000000 ALPHA= 0.479818147449428 **** A U S G A B E D A T E N ********** ITERATIONSSCHRITTE: 23 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.506801605224610 PF = 0.065930786455528 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.486964685163600 PF = 0.068550700488327 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.517046052275000 PF = 0.064666220984557 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.490958343193770 PF = 0.068024867995972 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.487259334903400 PF = 0.068511798121267 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.404782524661380 PF = 0.080080229981800

Pfeiler III Schubkraft Beton (ohne Sprengkammer) nach EC 2 mit Betonzugkraft als Weibullverteilung Die Normalkraft wird als Funktion der streuenden Größen Anprallkraft, E-Modul und Anprallhöhe beschrieben. **** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 9 X = 0.323387967615498 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.706416607148364 TYP = 3 X = 1.950916991033040 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.189204133647421 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 2.238804115986610 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.011730427394930 TYP = 1 X = 33853.415626899600000 XM = 22552.000000000000000 SIGM= 8682.000000000000000 ALPHA= 0.681938199777987 **** A U S G A B E D A T E N **** ITERATIONSSCHRITTE: 23 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.908843159675600 PF = 0.028141096672322 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.008222580934800 PF = 0.022332992050147 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.019965200311670 PF = 0.021716181157555 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.018492142716260 PF = 0.021792759302854 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.080309678295290 PF = 0.018768798489366 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.852130625299280 PF = 0.032033250123734


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Pfeiler III Schubkraft Beton (ohne Sprengkammer ) nach EC 2 mit Betonzugkraft als Weibullverteilung Die Normalkraft wird als Funktion der streuenden Größen Anprallkraft, E-Modul und Anprallhöhe beschrieben. **** E I N G A B E D A T E N ******* TYP = 9 X = 0.304650244802094 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.667913308203201 TYP = 3 X = 0.641590374633105 XM = 0.748000000000000 SIGM= 0.640000000000000 ALPHA= 0.077749291720863 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 2.237877721206780 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.011550350799542 TYP = 1 X = 36038.754230120700000 XM = 22552.000000000000000 SIGM= 8682.000000000000000 ALPHA= 0.740076649581325 **** A U S G A B E D A T E N ********* ITERATIONSSCHRITTE: 21 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.098997116088870 PF = 0.017908514594377 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.239326735462100 PF = 0.012581716308769 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.250148648792240 PF = 0.012233781625803 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.254932799391480 PF = 0.012082643423464 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.451195130662890 PF = 0.007127548741757 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.077162281167040 PF = 0.018913647008899

Seitenanprall an Pfeiler III Schubkraft Beton (ohne Sprengkammer) nach EC 2 mit Betonzugkraft als Weibullverteilung Die Normalkraft wird als Funktion der streuenden Größen Anprallkraft, E-Modul und Anprallhöhe beschrieben. **** E I N G A B E D A T E N ********* TYP = 9 X = 0.324263120498762 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.699672995092296 TYP = 3 X = 0.804913836770535 XM = 0.748000000000000 SIGM= 0.640000000000000 ALPHA= 0.243842556126871 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 2.238844912834210 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.011597247974941 TYP = 1 X = 33766.720340765600000 XM = 22552.000000000000000 SIGM= 8682.000000000000000 ALPHA= 0.671464040933256 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 52 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.923743724823000 PF = 0.027193289219011 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.983969942881800 PF = 0.023653779069648 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.003521656251720 PF = 0.022584028350821 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.989172293979290 PF = 0.023365059929711 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.047479454636180 PF = 0.020327068336943 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.855924563199580 PF = 0.031761716013516


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Seitenanprall an Pfeiler III Schubkraft Beton (ohne Sprengkammer) nach EC 2 mit Betonzugkraft als LognormalverteilungDie Normalkraft wird als Funktion der streuenden Größen Anprallkraft, E-Modul und Anprallhöhe beschrieben. **** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 3 X = 0.506551044884261 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.548056681114720 X0 = 0.000000000000000 TYP = 3 X = 0.873021594207730 XM = 0.748000000000000 SIGM= 0.640000000000000 ALPHA= 0.263999281247926 X0 = 0.000000000000000 TYP = 1 X = 2.237295755718250 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= -0.011590430785719 TYP = 1 X = 37656.293675910300000 XM = 22552.000000000000000 SIGM= 8682.000000000000000 ALPHA= 0.793601828720379 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 109 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.192193508148190 PF = 0.014182718830755 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.125196690815050 PF = 0.016803579274592 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.152461373979770 PF = 0.015697966339673 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.123895510894910 PF = 0.016857967961655 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.122087242580840 PF = 0.016933802574723 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.101315578091890 PF = 0.017826037440484


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Pfeiler III Schubkraft, Beton (ohne Sprengkammer) nach EC 2 **** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = -0.251228159506348 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.991665689149534 TYP = 3 X = 1.843214295169880 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.128838047821210 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N *********** ITERATIONSSCHRITTE: 13 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.048084497451780 PF = 0.020275792982370 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.014291212488360 PF = 0.022012401643684 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.012944433786560 PF = 0.022083211204105 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.008659400493560 PF = 0.022309785199095 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.008578866121860 PF = 0.022314062207529 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.034344962116590 PF = 0.020980503040399

Pfeiler III Schubkraft, Beton (ohne Sprengkammer) nach EC 2 **** E I N G A B E D A T E N ********* TYP = 1 X = -0.054147708842561 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.992067040380753 TYP = 3 X = 1.797788704177360 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.125710282321865 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 15 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.759151220321660 PF = 0.039275869133927 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.727890275595350 PF = 0.042038394836057 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.724663058917960 PF = 0.042328660758303 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.721108647697020 PF = 0.042650228814046 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.721037746863350 PF = 0.042656663249038 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.746434545472800 PF = 0.040401538339316


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Pfeiler III Schubkraft, Beton (ohne Sprengkammer) nach EC 2 Betonzugfestigkeit Lognormalverteilt **** E I N G A B E D A T E N ***** TYP = 3 X = 0.397880725822652 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.532099803757812 X0 = 0.000000000000000 TYP = 3 X = 7.222555963739060 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.846681665369675 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 20 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.076747655868530 PF = 0.001046430479198 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.107048505084550 PF = 0.000945739656869 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.109469849184340 PF = 0.000938020823298 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.109818227938600 PF = 0.000936915025270 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.109973007080310 PF = 0.000936424121071 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.175898539371270 PF = 0.000747552080585

Pfeiler III Schubkraft, Beton (ohne Sprengkammer) nach EC 2 Betonzugfestigkeit Lognormalverteilt **** E I N G A B E D A T E N ******* TYP = 3 X = 0.422482072337029 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.436607345750381 X0 = 0.000000000000000 TYP = 3 X = 9.929753773709790 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.899652194189427 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ********* ITERATIONSSCHRITTE: 19 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.501769304275510 PF = 2.311339772685440D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.540543723451900 PF = 1.997732704684460D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.542909210458700 PF = 1.979894570324210D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.543366688698280 PF = 1.976461947142650D-004 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.544107925350370 PF = 1.970911984386930D-004 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.613816126643200 PF = 1.509424241672080D-004


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Pfeiler III Schubkraft, Beton (ohne Sprengkammer) nach EC 2 (Auflast alt) Betonzugfestigkeit Weibullverteilt **** E I N G A B E D A T E N ********** TYP = 9 X = 0.185348475010316 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.575679958136562 TYP = 3 X = 7.084165588374230 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.817675065063450 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 20 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.145351648330690 PF = 0.000829503076551 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.333476112078680 PF = 4.291816380765110D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.342032470056350 PF = 4.161647731405480D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.346070757723860 PF = 4.101493617548840D-004 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.295813666725850 PF = 0.000491091314094

Pfeiler III Schubkraft, Beton (ohne Spengkammer) nach EC 2 (Auflast neu) Betonzugfestigkeit Weibullverteilt **** E I N G A B E D A T E N ******* TYP = 9 X = 0.170806541601947 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.722204180595861 TYP = 3 X = 4.497671570135330 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.691679957442546 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ********** ITERATIONSSCHRITTE: 21 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.592764139175420 PF = 0.004760434534240 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.772794181834680 PF = 0.002782012547645 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.785279043196220 PF = 0.002677103305762 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.790553224147010 PF = 0.002633868313037 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.714860547891500 PF = 0.003318999364409


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Auflast neu, 1,86 m Breite Betonzugfestigkeit normalverteilt **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = 0.162940350265991 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.955052957488014 TYP = 3 X = 2.047505732763020 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.296435140227132 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 18 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.497845411300660 PF = 0.067086739661621 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.427318834332910 PF = 0.076781829267392 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.424542291488000 PF = 0.077182536029695 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.410756452578280 PF = 0.079195637330184 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.409583361543220 PF = 0.079368757447892 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.447343380058560 PF = 0.073938590524971

Auflast alt, mit Sprengkammer Betonzugfestigkeit normalverteilt **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 X = -0.012528920111114 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.949064543195719 TYP = 3 X = 2.189985109741330 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.315081592799051 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 21 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.775243043899540 PF = 0.037928834798494 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.694183640303350 PF = 0.045150731151518 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.698973880648430 PF = 0.044697439542174 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.681335448641530 PF = 0.046384807220964 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.679817423534540 PF = 0.046532385385636 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.720947381064580 PF = 0.042664865317278


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Auflast alt, mit Sprengkammer Betonzugfestigkeit lognormalverteilt **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 3 X = 0.533000013844359 XM = 1.150000000000000 SIGM= 0.690000000000000 ALPHA= -0.475427379111579 X0 = 0.000000000000000 TYP = 3 X = 5.234027895732360 XM = 1.873000000000000 SIGM= 1.193000000000000 ALPHA= 0.879755000080043 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 19 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 2.333864688873290 PF = 0.009801382636786 SORM NACH BREITUNG BETA= 2.369262538132690 PF = 0.008922260424006 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 2.373793715864400 PF = 0.008813532204134 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 2.374422700348320 PF = 0.008798531510290 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.374535326875420 PF = 0.008795847835898 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 2.427434509047760 PF = 0.007611989125123


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Alte Mainbrücke Lohr – Probabilistische Berechnung unter Eigen- und Verkehrslast nach MANN und BERNDT Zentrische Mauerwerksdruckfestigkeit nach MANN mit Mörtel und Verkehrslast als streuende Größen: **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 3 Lognormalverteilung für Mörteldurckfestigkeit X = 0.907171882427135 Bemessungswert Mörteldruckfestigkeit XM = 11.000000000000000 Mittelwert Mörteldruckfestigkeit SIGM= 7.250000000000000 Standardabweichung Mörteldruckfestigkeit ALPHA= -0.984410618172933 Wichtungsfaktor X0 = 0.000000000000000 TYP = 4 Extremwertverteilung Typ I Max für Radlast SLW X = 38.990274746988600 Bemessungswert für die Verkehrslast (SLW) XM = 37.000000000000000 Mittelwert SIGM= 3.700000000000000 Standardabweichung ALPHA= 0.175885506997161 Wichtungsfaktor **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 23 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.915245771408080 Sicherheitsindex PF = 4.517453517759510D-005 operative Versagenswahrscheinlichkeit SORM NACH BREITUNG BETA= 3.891359504293510 Sicherheitsindex PF = 4.985388555144480D-005 operative Versagenswahrscheinlichkeit SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.893327338821160 Sicherheitsindex PF = 4.945092012009770D-005 operative Versagenswahrscheinlichkeit SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 3.890148904421800 Sicherheitsindex PF = 5.010332543121320D-005 operative Versagenswahrscheinlichkeit SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.890142012352760 Sicherheitsindex PF = 5.010474888489380D-005 operative Versagenswahrscheinlichkeit STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.902953173586430 Sicherheitsindex PF = 4.752370035210030D-005 operative Versagenswahrscheinlichkeit


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Mittels der Vorschrift von BERNDT (ohne Stau), Streuende Größen Sandsteindruck-, Spaltzugfestigkeit, Steinhöhe, Fugenhöhe, Steinbreite und wo erforderlich Radlast **** E I N G A B E D A T E N **** TYP = 1 Normalverteilung für die Steindruckfestigkeit X = 75.351569308085300 Bemessungswert XM = 75.360000000000000 Mittelwert SIGM= 21.300000000000000 Standardabweichung ALPHA= -1.104018599568260D-004 Wichtungsfakotr TYP = 1 Normalverteilung für die Steinzugfestigkeit X = 0.065360126333921 Bemessungswert XM = 4.720000000000000 Mittelwert SIGM= 1.300000000000000 Standardabweichung ALPHA= -0.999699235669688 Wichtungsfaktor (dominant) TYP = 1 Normalverteilung Steinhöhe X = 0.695626024380010 Bemessungswert in m XM = 0.700000000000000 Mittelwert SIGM= 0.130000000000000 Standardabweichung ALPHA= -0.009393099513196 Wichtungsfaktor TYP = 2 Lognormalverteilung Fugenhöhe X = 0.024475250970038 Bemessungswert Fugenhöhen XM = 0.037000000000000 Mittelwert Fugenhöhe in m SIGM= 0.048000000000000 Standardabweichung Fugenhöhe in m ALPHA= 0.022484020335457 Wichtungsfaktor TYP = 2 Lognormalverteilung Steinbreite X = 0.796816333496860 Bemessungswert XM = 0.800000000000000 Mittelwert in m SIGM= 0.080000000000000 Standardabweichung in m ALPHA= 0.002756139061105 Wichtungsfaktor **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 43 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.581569671630860 Sicherheitsindex PF = 1.708064354190240D-004 Versagenswahrscheinlichkeit SORM NACH BREITUNG BETA= 3.579840876714490 Sicherheitsindex PF = 1.719997659672770D-004 Versagenswahrscheinlichkeit SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.246093290318640 Sicherheitsindex PF = 0.000585509371560 Versagenswahrscheinlichkeit SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 2.612059441176150 Sicherheitsindex PF = 0.004505206406800 Versagenswahrscheinlichkeit SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 2.462734364842690 Sicherheitsindex PF = 0.006902249733753 Versagenswahrscheinlichkeit STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.448936600875520 Sicherheitsindex PF = 2.815950097140860D-004 Versagenswahrscheinlichkeit


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Nach MANN mit Stau **** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 0.018548980270478 XM = 11.000000000000000 SIGM= 7.250000000000000 ALPHA= -1.000000021683420 TYP = 1 X = 0.037000009776248 XM = 0.037000000000000 SIGM= 0.003700000000000 ALPHA= 1.744410832199740D-006 **** A U S G A B E D A T E N ******** ITERATIONSSCHRITTE: 26 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 1.514682888984680 PF = 0.064926390005549 SORM NACH BREITUNG BETA= 1.514988208927780 PF = 0.064926390005549 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 1.514988208927780 PF = 0.064926390005549 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 1.514988208927780 PF = 0.064926390005549 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 1.514988208927780 PF = 0.064926390005549 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 1.519334323566560 PF = 0.064377870452110

Mittels der Vorschrift von BERNDT (mit zusätzlicher Auflast 0,3 N/mm2 im Pfeiler) **** E I N G A B E D A T E N ******* TYP = 1 X = 0.211008337444162 XM = 75.360000000000000 SIGM= 21.300000000000000 ALPHA= -0.999999982869967 TYP = 1 X = 4.719939629115250 XM = 4.720000000000000 SIGM= 1.300000000000000 ALPHA= -1.305478878527600D-005 TYP = 1 X = 0.699995927652153 XM = 0.700000000000000 SIGM= 0.130000000000000 ALPHA= -8.802595719414650D-006 TYP = 2 X = 0.022590396060390 XM = 0.037000000000000 SIGM= 0.048000000000000 ALPHA= 2.028401712409440D-005 TYP = 2 X = 0.796030529980830 XM = 0.800000000000000 SIGM= 0.080000000000000 ALPHA= 2.691332083538880D-006 **** A U S G A B E D A T E N ********* ITERATIONSSCHRITTE: 41 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.528121709823610 PF = 2.093020898722770D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.528218020267810 PF = 2.093135420024930D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.528216999241120 PF = 2.093143496263440D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.528216998307360 PF = 2.093143503649390D-004 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.528216998307450 PF = 2.093143503648640D-004 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.428798187323940 PF = 3.033463193062210D-004


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BERNDT (ohne zusätzliche Auflast) **** E I N G A B E D A T E N ******* TYP = 1 X = 75.359997801441900 XM = 75.360000000000000 SIGM= 21.300000000000000 ALPHA= -4.129172232313890D-016 TYP = 1 X = 4.719999950037060 XM = 4.720000000000000 SIGM= 1.300000000000000 ALPHA= -0.999999998988181 TYP = 1 X = 0.699999964132610 XM = 0.700000000000000 SIGM= 0.130000000000000 ALPHA= 1.768004645565510D-008 TYP = 2 X = 0.022588772656467 XM = 0.037000000000000 SIGM= 0.048000000000000 ALPHA= -4.073910619049010D-008 TYP = 2 X = 0.796029772458613 XM = 0.800000000000000 SIGM= 0.080000000000000 ALPHA= -5.405747820837010D-009 TYP = 3 X = 0.036816376616025 XM = 0.037000000000000 SIGM= 0.003700000000000 ALPHA= -2.028747904944010D-021 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 39 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.630769252777100 PF = 1.413238667617230D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.710874955156310 PF = 1.033170514787270D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.716401973691670 PF = 1.010834238703850D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.708603768945800 PF = 1.042482743393130D-004 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 5.997437926395690 PF = 9.999999717180690D-010 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.378191459259550 PF = 3.650978878723160D-004

Verfahren von BERNDT (Stau auf der Brücke) **** E I N G A B E D A T E N ******* TYP = 1 X = 1.090756439719450 XM = 75.360000000000000 SIGM= 21.300000000000000 ALPHA= -0.999979396281927 TYP = 1 X = 4.748929649832020 XM = 4.720000000000000 SIGM= 1.300000000000000 ALPHA= 0.006382636265241 TYP = 1 X = 0.699893696363458 XM = 0.700000000000000 SIGM= 0.130000000000000 ALPHA= -2.340318568539420D-004 TYP = 2 X = 0.022631120002549 XM = 0.037000000000000 SIGM= 0.048000000000000 ALPHA= 0.000539750522603 TYP = 2 X = 0.796049674943146 XM = 0.800000000000000 SIGM= 0.080000000000000 ALPHA= 7.148845124619530D-005 TYP = 3 X = 0.036816376616025 XM = 0.037000000000000 SIGM= 0.003700000000000 ALPHA= 0.000000000000000 X0 = 0.000000000000000 **** A U S G A B E D A T E N ***** ITERATIONSSCHRITTE: 56 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.486891031265260 PF = 2.443804643794490D-004 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.486691933714910 PF = 2.446785765228470D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.486668945097980 PF = 2.446996129643610D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.486668441335940 PF = 2.447000739662080D-004 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.486668441336000 PF = 2.447000739661530D-004 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.395494109872010 PF = 3.427787427756090D-004


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Alte Mainbrücke Lohr: Berechnung bei Verstärkung mit Bohrpfählen

Tragfähigkeit der Betondruckzone in dem Bohrpfahl mit streuender Betondruckspannung und Anprallkraft (die Hälfte der Fläche und volle Anprallast) **** E I N G A B E D A T E N ******* TYP = 1 X = 20.027414181492500 XM = 28.000000000000000 SIGM= 2.800000000000000 ALPHA= -0.713930837835615 TYP = 1 X = 3.646327281941980 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.700216256344860 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 16 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.988335132598880 PF = 3.328457236112550D-005 SORM NACH BREITUNG BETA= 3.988256170136450 PF = 3.328457238977400D-005 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.988256170124220 PF = 3.328457239148990D-005 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 3.988256170125410 PF = 3.328457239132260D-005 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.988256170125800 PF = 3.328457239126780D-005 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 3.988925656921560 PF = 3.319075952046040D-005

Überschlag der Tragfähigkeit der Betondruckzone in dem Bohrpfahl mit streuender Betondruckspannung und Anprallkraft (ein Viertel der Fläche und volle Anprallast) **** E I N G A B E D A T E N ******** TYP = 1 X = 27.322601390038500 XM = 28.000000000000000 SIGM= 2.800000000000000 ALPHA= -0.454179797236189 TYP = 1 X = 2.487280646798880 XM = 2.250000000000000 SIGM= 0.500000000000000 ALPHA= 0.890910044708922 **** A U S G A B E D A T E N ******* ITERATIONSSCHRITTE: 14 FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 0.532702803611755 PF = 0.297119652690600 SORM NACH BREITUNG BETA= 0.532308574204376 PF = 0.297119652831300 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 0.532308573721612 PF = 0.297119652998329 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDERBETA= 0.532308573721612 PF = 0.297119652998329 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 0.532308573721612 PF = 0.297119652998329 STICHPROBENREDUZIERT MONTE-CARLO-SIMULATION BETA= 0.516585480080000 PF = 0.302582311761089

Anhang F: Ermittlung der statistischen Eigenschaften der Zufallsgrößen

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14 Anhang F: Ermittlung der statistischen Eigenschaften der Zufallsgrößen

Beispielhafte Angaben zur statistischen Auswertung der Materialkenngrößen:

14.1 Statistische Auswertung der Betondruckfestigkeit (alle Probekörper = eine Grundgesamtheit) Statistische Auswertung der Stichproben (Mittlwert und Standardabweichung in N/mm2) Mittelwert 47,944 Std Err 2,228 Kurtosis -,574 Median 50,745 Std Dev 22,281 S.E. Kurt. ,490 Modalwert 3,170 Variance 496,461 Schiefe -,141 Minimum 3,170 Sum 4794,370 S.E. Schiefe ,245 Maximum 97,570 Range 94,400 Valid 100,000 95% Confidence Interval for the Mittelwert = [ 43,522 to 52,364] Mit dem Bottstrap Verfahren wurde der Mittelwert geprüft. Using 500 subsampling with 100 observations (Seed = 910298660) Mittelwert = 47,944 Stimmt überein Statistische Auswertung des Mittelwertes Mittelwert 47,914 Std Err ,099 Kurtosis -,259 Median 47,870 Std Dev 2,218 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 42,083 Variance 4,919 Schiefe ,105 Minimum 42,083 Sum 23957,119 S.E. Skew. ,110 Maximum 54,166 Range 12,082 Valid 500,000 Bootstrap Vertauensbereiche Bias Corrected 90,0% [ 44,425, 51,703] [ 44,568, 51,850] 95,0% [ 43,672, 52,329] [ 43,782, 52,393] 99,0% [ 42,250, 53,670] [ 42,277, 53,868] Mit dem Bottstrap Verfahren wurde die Standardabweichung geprüft. Using 500 subsampling with 100 observations (Seed = 237768229) Standard deviation = 22,281 Stimmt überein Statistische Auswertung der Standardabweichung Mittelwert 22,048 Std Err ,061 Kurtosis -,287 Median 22,149 Std Dev 1,356 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 17,598 Variance 1,839 Schiefe -,178 Minimum 17,598 Sum 11024,080 S.E. Skew. ,110 Maximum 25,366 Range 7,768 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereiche 90,0% [ 19,891, 24,055] 95,0% [ 19,261, 24,506] 99,0% [ 18,493, 25,230]


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Histogramm der Betondruckfestigkeit mit 10 Klassen

Function Sq ErrorNormal 0.0104 Beta 0.0116 Triangular 0.0126 Weibull 0.0177 Uniform 0.0243 Gamma 0.0258 Erlang 0.0267 Lognormal 0.0399 Exponential 0.0488


Function Sq ErrorTriangular 0.0115 Normal 0.0119 Beta 0.0137 Weibull 0.0189 Uniform 0.0236 Gamma 0.0261 Erlang 0.0267 Lognormal 0.0385 Exponential 0.0438



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Normalplot

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106

Betondruckfestigkeit [N/mm2]

STPR

NV

OPTI

m = 48.39s = 21.93

Lognormalplot (2 parametrig)

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106


(F-1

(q)-m

)/s

STPRSTPROPTIOPTI

m = 48.39s = 21.93


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-2,5

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6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106


(F-1

(q)-m

)/s

STPRSTPROPTIOPTI

m = 48.39s = 21.93

Weibullplot

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0,0

0,5

1,0

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6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106


(F-1

(q)-m

)/s

STPRSTPROPTIOPTI

m = 48.39s = 21.93


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14.2 Statistische Auswertung der einaxialen Betonzugversuche (alle Körper = eine Grundgesamtheit) Statistische Auswertung der Stichproben (Mittlwert und Standardabweichung in N/mm2) Mittelwert 1,149 Std Err ,110 Kurtosis -,372 Median 1,220 Std Dev ,688 S.E. Kurt. ,784 Modalwert ,000 Variance ,473 Schiefe ,275 Minimum ,000 Sum 44,800 S.E. Skew. ,392 Maximum 2,950 Range 2,950 Valid 39,000 95% Vertrauensbereich für den Mittelwert = [ ,9257 to 1,3717] Mit dem Bootstrap Verfahren (Orginaldaten) wurde der Mittelwert (Mittelwert) geprüft. Using 500 subsampling with 39 observations (Seed = 607327514) Mittelwert = 1,149 Stimmt Statistische Beschreibung des geprüften Mittelwertes Mittelwert 1,157 Std Err ,005 Kurtosis -,166 Median 1,156 Std Dev ,107 S.E. Kurt. ,219 Modalwert ,898 Variance ,011 Schiefe ,167 Minimum ,898 Sum 578,685 S.E. Skew. ,110 Maximum 1,491 Range ,592 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich Bias Corrected 90,0% [ ,988, 1,338] [ ,980, 1,321] 95,0% [ ,948, 1,377] [ ,942, 1,370] 99,0% [ ,910, 1,438] [ ,902, 1,433] Mit dem Bootstrap Verfahren (Orginaldaten) wurde der Standardabweichung geprüft. Using 500 subsampling with 39 observations (Seed = 956306714) Standard deviation = ,688 Stimmt Statistische Beschreibung des geprüften Mittelwertes Mittelwert ,674 Std Err ,003 Kurtosis -,005 Median ,672 Std Dev ,068 S.E. Kurt. ,219 Modalwert ,480 Variance ,005 Schiefe ,090 Minimum ,480 Sum 336,767 S.E. Skew. ,110 Maximum ,878 Range ,398 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich 90,0% [ ,559, ,784] 95,0% [ ,542, ,815] 99,0% [ ,499, ,848]


Seite 296

Histogramm der Betonzugfestigkeit bei 6 Klassen

Histogramm der Betonzugfestigkeit bei 8 Klassen Function Sq ErrorBeta 0.0143 Normal 0.0176 Weibull 0.023 Triangular 0.0305 Gamma 0.0318 Uniform 0.0361 Exponential 0.0391 Erlang 0.0391 Lognormal 0.0754

Histogramm der Betonzugfestigkeit bei 10 Klassen


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Normalplot

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einaxiale Betonzugfestigkeit [N/mm2]


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(F-1

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)/s


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-2,0

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0 0,5 1 1,5 2 2,5 3


(F-1

(q)-m

)/s

Weibullplot

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0 0,5 1 1,5 2 2,5 3


(F-1

(q)-m

)/s


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14.3 Statistische Auswertung der Sandsteindruckfestigkeit (alle Probekörper = eine Grundgesamtheit) Statistische Auswertung der Stichproben (Mittlwert und Standardabweichung in N/mm2) Mittelwert 75,421 Std Err 1,730 Kurtosis -,447 Median 76,000 Std Dev 21,325 S.E. Kurt. ,397 Modalwert 23,000 Variance 454,749 Schiefe ,173 Minimum 23,000 Sum 11464,000 S.E. Skew. ,199 Maximum 131,000 Range 108,000 Valid 152,000 95% Vertrauensbereich für den Mittelwert = [ 72,003 to 78,838] Mit dem Bootstrap Verfahren (Orginaldaten) wurde der Mittelwert (Mittelwert) geprüft. 500 subsampling with 152 observations (Seed = 772148276) Mittelwert = 75,421 Stimmt überein Statistische Beschreibung des geprüften Mittelwertes Mittelwert 75,286 Std Err ,074 Kurtosis -,104 Median 75,237 Std Dev 1,652 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 70,145 Variance 2,728 Schiefe ,130 Minimum 70,145 Sum 37642,993 S.E. Skew. ,110 Maximum 80,586 Range 10,441 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereiche Bias Corrected 90,0% [ 72,645, 78,086] [ 72,893, 78,375] 95,0% [ 72,266, 78,523] [ 72,567, 78,841] 99,0% [ 71,191, 79,184] [ 71,694, 80,098] Mit dem Bootstrap Verfahren (Orginaldaten) wurde die Standardabweichung geprüft. 500 subsampling with 152 observations (Seed = 727190582) Standard deviation = 21,325 Stimmt überein Statistische Beschreibung der geprüften Standardabweichung Mittelwert 21,173 Std Err ,050 Kurtosis -,408 Median 21,188 Std Dev 1,123 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 18,283 Variance 1,260 Schiefe -,098 Minimum 18,283 Sum 10586,474 S.E. Skew. ,110 Maximum 24,049 Range 5,765 Valid 500,000 Bootstrap Confidence intervals 90,0% [ 19,251, 23,007] 95,0% [ 19,034, 23,322] 99,0% [ 18,310, 23,691]


Seite 300

Function Sq Error Beta 0.00304 Weibull 0.00326 Normal 0.00485 Erlang 0.00488 Gamma 0.00497 Triangular 0.00506 Lognormal 0.0105 Uniform 0.0345 Exponential 0.0656

Histogramm der Steindruckfestigkeit bei 12 Klassen




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Normalplot

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Sandsteindruckfestigkeit [N/mm2]


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(F-1

(q)-m

)/s


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(F-1

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)/s

Weibullplot

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Sandsteinsdruckfestigkeit [N/mm2]

(F-1

(q)-m

)/s


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14.4 Statistische Auswertung der Spaltzugfestigkeit der Sandsteine

(alle Probekörper = eine Grundgesamtheit) Statistische Auswertung der Stichproben (Mittlwert und Standardabweichung in N/mm2) Mittelwert 4,716 Std Err ,171 Kurtosis ,946 Median 4,630 Std Dev 1,314 S.E. Kurt. ,638 Modalwert 1,550 Variance 1,727 Schiefe ,473 Minimum 1,550 Sum 278,230 S.E. Skew. ,319 Maximum 9,020 Range 7,470 Valid 59,000 95% Vertrauensbereich für den Mittelwert = [ 4,3733 to 5,0582] Mit dem Bootstrap Verfahren (Orginaldaten) wurde der Mittelwert geprüft. Using 500 subsampling with 59 observations (Seed = 423824687) Mittelwert = 4,716 Stimmt überein Statistische Eigenschaften des Mittelwertes Mittelwert 4,720 Std Err ,008 Kurtosis ,331 Median 4,721 Std Dev ,171 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 4,176 Variance ,029 Schiefe -,003 Minimum 4,176 Sum 2360,029 S.E. Skew. ,110 Maximum 5,254 Range 1,078 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich Bias Corrected 90,0% [ 4,439, 4,985] [ 4,424, 4,965] 95,0% [ 4,394, 5,042] [ 4,353, 5,031] 99,0% [ 4,219, 5,209] [ 4,193, 5,201] Mit dem Bootstrap Verfahren (Orginaldaten) wurde der Mittelwert geprüft. Using 500 subsampling with 59 observations (Seed = 839585071) Standard deviation = 1,314 Stimmt überein Statistische Eigenschaften des Mittelwertes Mittelwert 1,293 Std Err ,007 Kurtosis -,267 Median 1,290 Std Dev ,151 S.E. Kurt. ,219 Modalwert ,910 Variance ,023 Schiefe ,062 Minimum ,910 Sum 646,618 S.E. Skew. ,110 Maximum 1,768 Range ,859 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich Standardabweichung 90,0% [ 1,044, 1,536] 95,0% [ 1,009, 1,588] 99,0% [ ,927, 1,663]


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Histogramm der Spaltzugfestigkeit bei 7 Klassen

Function Sq ErrorErlang 0.00807Gamma 0.00837Normal 0.00974Beta 0.0104 Weibull 0.0113 Lognormal 0.0142 Triangular 0.0373 Uniform 0.118 Exponential 0.149


Function Sq ErrorErlang 0.0107 Gamma 0.011 Normal 0.0139 Beta 0.014 Weibull 0.0147 Lognormal 0.0161 Triangular 0.0406 Uniform 0.0973 Exponential 0.127



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Normalplot

-3,0

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Spaltzugfestigkeit des Sandsteins [N/mm2]


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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


(F-1

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)/s

STPRSTPROPTIOPTI


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-3,0

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


(F-1

(q)-m

)/s

STPRSTPROPTIOPTI

Weibullplot

-3,0

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


(F-1

(q)-m

)/s


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14.5 Statistische Auswertung der E-Modul-Tests an Beton (alle Probekörper = eine Grundgesamtheit) Statistische Auswertung der Stichproben (Mittlwert und Standardabweichung in N/mm2) Mittelwert22552,619 Std Err 1339,673 Kurtosis -,061 Median 25504,500 Std Dev 8682,075 S.E. Kurt. ,756 Modalwert 1387,000 Variance 75378423,3 Schiefe -,954 Minimum 1387,000 Sum 947210,000 S.E. Skew. ,378 Maximum 34480,000 Range 33093,000 Valid 42,000 95% Vertrauensbereich für den Mittelwert = [ 19847 to 25258] Mit dem Bootstrap Verfahren wird der Mittelwert geprüft. Using 500 subsampling with 42 observations (Seed = 155912704) Mittelwert = 22552,6 Stimmt überein Statistische Eigenschaften des Mittelwertes Mittelwert22594,408 Std Err 59,638 Kurtosis ,264 Median 22607,381 Std Dev 1333,552 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 18359,619 Variance 1778359,97 Schiefe -,181 Minimum 18359,619 Sum 11297203,786 S.E. Skew. ,110 Maximum 26637,690 Range 8278,071 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich Bias Corrected 90,0% [ 20202,976, 24737,762] [ 20061,206, 24539,123] 95,0% [ 19788,464, 25095,452] [ 19663,713, 24983,296] 99,0% [ 18566,190, 25933,798] [ 18471,109, 25733,990] Mit dem Bootstrap Verfahren wird die Standardabweichung geprüft. Using 500 subsampling with 42 observations (Seed = 521931264) Standard deviation = 8682,07 Stimmt überein Statistische Eigenschaften der Standardabweichung Mittelwert 8552,787 Std Err 44,535 Kurtosis ,089 Median 8593,367 Std Dev 995,830 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 5302,674 Variance 991677,875 Schiefe -,165 Minimum 5302,674 Sum 4276393,531 S.E. Skew. ,110 Maximum 11178,490 Range 5875,816 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich 90,0% [ 6851,291, 10137,040] 95,0% [ 6482,825, 10567,304] 99,0% [ 5795,050, 10867,129] Verteilungstyp


Seite 308

Function Sq ErrorTriangular 0.0218 Beta 0.0373 Normal 0.0435 Uniform 0.0646 Weibull 0.079 Erlang 0.0987 Gamma 0.11 Exponential 0.143 Lognormal 0.188

Histogramm E-Modul Beton mit 6 Klassen


Function Sq ErrorBeta 0.0314 Triangular 0.0395 Normal 0.0403 Uniform 0.0497 Weibull 0.0624 Erlang 0.0751 Gamma 0.0814 Exponential 0.0977 Lognormal 0.124



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Normalplot

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Beton-E-Modul [N/mm2]


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4,0

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

Beton-E-Modul [N/mm2]

(F-1

(q)-m

)/s


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14.6 Statistische Auswertung der E-Modul-Tests Sandstein (alle Probekörper = eine Grundgesamtheit) Statistische Auswertung der Stichproben (Mittlwert und Standardabweichung in N/mm2) Mittelwert28534,587 Std Err 891,947 Kurtosis ,633 Median 27105,000 Std Dev 7079,609 S.E. Kurt. ,617 Modalwert 14521,000 Variance 50120861,2 Schiefe ,521 Minimum 14521,000 Sum 1797679,000 S.E. Skew. ,309 Maximum 50053,000 Range 35532,000 Valid 63,000 95% Vertrauensbereich für den Mittelwert = [ 26751 to 30317] Mit dem Bootstrap Verfahren wird der Mittelwert geprüft. Using 500 subsampling with 63 observations (Seed = 742263085) Mittelwert = 28534,5 Stimmt überein Statistische Beschreibung des Mittelwertes Mittelwert28555,266 Std Err 41,177 Kurtosis -,253 Median 28536,214 Std Dev 920,756 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 25901,587 Variance 847792,496 Schiefe -,076 Minimum 25901,587 Sum 14277633,175 S.E. Skew. ,110 Maximum 30883,698 Range 4982,111 Valid 500,000 Bootstrap Confidence intervals Bias Corrected 90,0% [ 26945,190, 30045,111] [ 26931,526, 30040,853] 95,0% [ 26720,738, 30363,762] [ 26687,562, 30356,425] 99,0% [ 26226,056, 30641,056] [ 26218,562, 30638,525] Mit dem Bootstrap Verfahren wird die Standardabweichung geprüft. Using 500 subsampling with 63 observations (Seed = 36636974) Standard deviation = 7079,60 Stimmt überein Statistische Eigenschaften der Standardabweichung Mittelwert 6997,194 Std Err 33,295 Kurtosis -,347 Median 6986,704 Std Dev 744,490 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 4926,347 Variance 554264,819 Schiefe ,063 Minimum 4926,347 Sum 3498596,846 S.E. Skew. ,110 Maximum 9072,833 Range 4146,486 Valid 500,000 Bootstrap Confidence intervals 90,0% [ 5810,002, 8221,569] 95,0% [ 5566,041, 8461,873] 99,0% [ 5190,957, 8879,130]


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Chi Square Test: No. of intervals = 4 Degrees of freedom = 1Test Statistic = 2.24 Corresp.p-value = 0.15 Kolmogorov-Smirnov Test: Test Statistic = 0.112Corresp. p-value=>0.15 Function Sq ErrorNormal 0.0102 Beta 0.0132 Triangular 0.0162 Weibull 0.0187 Erlang 0.0328 Gamma 0.0358 Uniform 0.0685 Exponential 0.0884 Lognormal 0.103

Histogramm E-Modul Sandstein mit 7 Klassen


Chi Square Test: No. Of intervals = 7 Degrees of freedom = 4Test Statistic = 4.33 Corresp.p-value =0.381 Kolmogorov-Smirnov Test: Test Statistic = 0.112Corresp.p-value =>0.15 Function Sq ErrorNormal 0.0151 Triangular 0.0177 Beta 0.0179 Weibull 0.0208 Erlang 0.0311 Gamma 0.033 Uniform 0.054 Exponential 0.0659 Lognormal 0.0761



Seite 312

14.7 Statistische Auswertung der Mörteldruckfestigkeiten (alle Probekörper = eine Grundgesamtheit) Statistische Auswertung der Stichproben (Mittlwert und Standardabweichung in N/mm2) Mittelwert 11,050 Std Err 2,293 Kurtosis -1,436 Median 13,400 Std Dev 7,251 S.E. Kurt. 1,549 Modalwert 1,900 Variance 52,574 Schiefe -,158 Minimum 1,900 Sum 110,500 S.E. Skew. ,775 Maximum 21,800 Range 19,900 Valid 10,000 95% Vertauensbereich für den Mittelwert = [ 5,8631 to 16,236] Mit dem Bootstrap Verfahren wird der Mittelwert geprüft. Using 500 subsampling with 10 observations (Seed = 390401819) Mittelwert = 11,050 Stimmt überein Statistische Eigenschaften des geprüften Mittelwertes Mittelwert 11,364 Std Err ,096 Kurtosis -,289 Median 11,310 Std Dev 2,141 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 4,630 Variance 4,585 Schiefe -,126 Minimum 4,630 Sum 5681,880 S.E. Skew. ,110 Maximum 16,590 Range 11,960 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich Bias Corrected 90,0% [ 7,710, 14,810] [ 7,139, 14,274] 95,0% [ 7,090, 15,530] [ 6,324, 14,869] 99,0% [ 5,600, 15,875] [ 4,634, 15,743] Mit dem Bootstrap Verfahren wird die Standardabweichung geprüft. Using 500 subsampling with 10 observations (Seed = 640945947) Standard deviation = 7,251 Stimmt überein Statistische Eigenschaften der geprüften Standardabweichung Mittelwert 6,789 Std Err ,045 Kurtosis 2,542 Median 6,871 Std Dev 1,004 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 1,766 Variance 1,007 Schiefe -,984 Minimum 1,766 Sum 3394,647 S.E. Skew. ,110 Maximum 9,018 Range 7,252 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich 90,0% [ 5,142, 8,210] 95,0% [ 4,545, 8,418] 99,0% [ 2,753, 8,907]


Seite 313

Function Sq ErrorUniform 0.08 Beta 0.0803 Triangular 0.102 Normal 0.105 Weibull 0.111 Gamma 0.112 Exponential 0.112 Erlang 0.112 Lognormal 0.13

Histogramm der Mörteldruckfestigkeit mit 5 Klassen

Function Sq ErrorBeta 0.0635 Uniform 0.0771 Exponential 0.0845 Erlang 0.0845 Gamma 0.0927 Weibull 0.0961 Lognormal 0.101 Normal 0.103 Triangular 0.114




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14.8 Statistische Auswertung der Betondichte (alle Probekörper = eine Grundgesamtheit) Statistische Eigenschaften der Stichproben (Mittelwert in kg/dm3) Mittelwert 2,257 Std Err ,008 Kurtosis 1,757 Median 2,280 Std Dev ,099 S.E. Kurt. ,408 Modalwert 1,890 Variance ,010 Schiefe -1,108 Minimum 1,890 Sum 325,050 S.E. Skew. ,204 Maximum 2,450 Range ,560 Valid 144,000 95% Vertrauensbereich für den Mittelwert = [ 2,2410 to 2,2736] Mit dem Bootstrap Verfahren geprüfter Mittelwert. Using 500 subsampling with 144 observations (Seed = 710611996) Mittelwert = 2,257 Stimmt überein Statistische Beschreibung des geprüften Mittelwertes Mittelwert 2,257 Std Err ,000 Kurtosis -,225 Median 2,257 Std Dev ,008 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 2,235 Variance ,000 Schiefe -,051 Minimum 2,235 Sum 1128,578 S.E. Skew. ,110 Maximum 2,278 Range ,044 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich Bias Corrected 90,0% [ 2,244, 2,270] [ 2,244, 2,270] 95,0% [ 2,242, 2,272] [ 2,241, 2,272] 99,0% [ 2,237, 2,278] [ 2,237, 2,277] Mit dem Bootstrap Verfahren geprüfte Standardabweichung. Using 500 subsampling with 144 observations (Seed = 120132637) Standard deviation = ,099 Stimmt überein Statistische Beschreibung der geprüften Standardabweichung Mittelwert ,098 Std Err ,000 Kurtosis -,142 Median ,098 Std Dev ,008 S.E. Kurt. ,219 Modalwert ,077 Variance ,000 Schiefe -,018 Minimum ,077 Sum 48,798 S.E. Skew. ,110 Maximum ,123 Range ,046 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich 90,0% [ ,084, ,110] 95,0% [ ,082, ,113] 99,0% [ ,078, ,118]


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Function Sq Error Weibull 0.0168 Beta 0.0191 Normal 0.024 Gamma 0.0412 Erlang 0.0424 Triangular 0.0428 Lognormal 0.0539 Uniform 0.113 Exponential 0.159

Histogramm der Betondichte bei 12 Klassen


Function Sq ErrorWeibull 0.0222 Beta 0.0232 Normal 0.0273 Triangular 0.0391 Gamma 0.0395 Erlang 0.0403 Lognormal 0.0489 Uniform 0.0918 Exponential 0.126



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Normalplot

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2 2,05 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5

Betondichte [kg/dm3]


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2 2,05 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5


(F-1

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)/s


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2 2,05 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5


(F-1

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)/s

Weibullplot

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0,0

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2 2,05 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5


(F-1

(q)-m

)/s


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14.9 Statistische Auswertung der Sandsteindichte (alle Probekörper = eine Grundgesamtheit) Statistische Eigenschaften der Stichproben (Mittelwert in kg/dm3) Mittelwert 2,274 Std Err ,011 Kurtosis 119,886 Median 2,270 Std Dev ,152 S.E. Kurt. ,368 Modalwert 2,110 Variance ,023 Schiefe 10,158 Minimum 2,110 Sum 402,450 S.E. Skew. ,184 Maximum 4,120 Range 2,010 Valid 177,000 95% Vertrauensbereich für den Mittelwert = [ 2,2511 to 2,2963] Mit dem Bootstrap Verfahren geprüfter Mittelwert. Using 500 subsampling with 177 observations (Seed = 235672610) Mittelwert = 2,274 stimmt überein Statistische Beschreibung des geprüften Mittelwertes Mittelwert 2,273 Std Err ,000 Kurtosis ,435 Median 2,272 Std Dev ,011 S.E. Kurt. ,219 Modalwert 2,251 Variance ,000 Schiefe ,650 Minimum 2,251 Sum 1136,476 S.E. Skew. ,110 Maximum 2,324 Range ,072 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich Bias Corrected 90,0% [ 2,258, 2,293] [ 2,260, 2,298] 95,0% [ 2,255, 2,298] [ 2,258, 2,301] 99,0% [ 2,253, 2,304] [ 2,254, 2,311] Mit dem Bootstrap Verfahren geprüfte Standardabweichung. Using 500 subsampling with 177 observations (Seed = 739972130) Standard deviation = ,152 stimmt überein Bemerkung: Die Verteilung der geprüften Standardabweichung ist definitiv keine Normalverteilung! Statistische Beschreibung der geprüften Standardabweichung Mittelwert ,137 Std Err ,003 Kurtosis -,919 Median ,152 Std Dev ,066 S.E. Kurt. ,219 Modalwert ,055 Variance ,004 Schiefe ,240 Minimum ,055 Sum 68,359 S.E. Skew. ,110 Maximum ,316 Range ,261 Valid 500,000 Bootstrap Vertrauensbereich 90,0% [ ,058, ,248] 95,0% [ ,057, ,250] 99,0% [ ,055, ,314]


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Function Sq ErrorBeta 0.00483Triangular 0.00541Weibull 0.0062 Normal 0.0068 Gamma 0.00936Erlang 0.00955Lognormal 0.0143 Uniform 0.0319 Exponential 0.0667

Histogramm der Sandsteindichte bei 12 Klassen




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Normalplot

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2 2,05 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5

Sandsteindichte [kg/dm3]


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2 2,05 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5


(F-1

(q)-m

)/s


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2 2,05 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5


(F-1

(q)-m

)/s

Weibullplot

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1,0

2,0

3,0

4,0

2 2,05 2,1 2,15 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5


(F-1

(q)-m

)/s


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14.10 Statistische Auswertung der Schiffsanprallkraft

Function Sq Error Lognormal 0.022 Gamma 0.028 Erlang 0.037 Beta 0.017 Triangular 0.190 Normal 0.065 Exponential 0.113 Uniform 0.241

Histogramm der Schiffsanprallkraft

Statistische Kennwerte des Anprallkraft (Mittelwert und Standardabweichung in MN) Mittelwert 2,041 Std Err ,015 Kurtosis 6,730 Median 1,500 Std Dev 1,499 S.E. Kurt. ,049 Modalwert 1,500 Variance 2,246 Schiefe 2,104 Minimum ,500 Sum 20533,000 S.E. Skew. ,024 Maximum 16,500 Range 16,000 Valid 10058,000 95% Confidence Interval for the Mittelwert = [ 2,0122 to 2,0708]

14.11 Statistische Auswertung der Anprallkraft (Seitstoß)

Summe Fehlerquadrat Lognorm 0.00367 Expon 0.0153 Erlang 0.0173 Gamma 0.0176 Beta 0.0243 Unif 0.539 Tria 0.43 Norm 0.133

Statistische Eigenschaften Mittelwert ,748 Std Err ,006 Kurtosis 12,673 Median ,500 Std Dev ,640 S.E. Kurt. ,049 Modalwert ,500 Variance ,410 Schiefe 3,256 Minimum ,500 Sum 7479,000 S.E. Skew. ,024 Maximum 5,500 Range 5,000 Valid 9998,000 95% Vertrauensbereich des Mittelwertes = [ ,7355 to ,7606]


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14.12 Statistische Auswertung des Wasserstandes

Function Sq Error Lognormal 0.151 Gamma 0.156 Erlang 0.157 Weibull 0.16 Beta 0.161 Triangular 0.171 Normal 0.173 Exponential 0.183 Uniform 0.201

Statistische Kennwerte des Anprallhöhe (Höhe über NN) Mittelwert 147,747 Std Err ,026 Kurtosis 2,949 Median 147,680 Std Dev ,497 S.E. Kurt. ,256 Modalwert 147,350 Variance ,247 Schiefe 1,615 Minimum 147,290 Sum 53927,530 S.E. Skew. ,128 Maximum 149,550 Range 2,260 Valid 365,000 95% Confidence Interval for the Mittelwert = [ 147,69 to 147,79]

Documents

Beitrag zur Risikobeurteilung von alten Brücken unter Schiffsanprall