Embed Size (px)
Citation preview
А. М. ЗАВЬЯЛОВ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ЧАСТЬ 4
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная
академия (СибАДИ)
А. М. Завьялов
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Учебное пособие
Часть 4
Дифференциальные уравнения. Криволинейные и кратные интегралы.
Векторные поля. Ряды
Издание второе, доработанное
Допущено Учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 230105 (220400)
«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»
Омск Издательство СибАДИ
2010
УДК 517 ББК 22.1 М ЗЗ
Рецензенты:
А.К. Гуц, д-р физ.-мат. наук, профессор, декан факультета компьютерных наук, заведующий кафедрой кибернетики
Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского;
В.К. Окишев, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и механики Омского государственного университета путей сообщения
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в
качестве конспекта лекций для студентов инженерных и экономических специальностей.
Завьялов А.М.
М33 Конспект лекций по высшей математике: Учебное пособие. Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. Ч. 4. Дифференциальные уравнения. Криволинейные и кратные интегралы. Векторные поля. Ряды. 184 с.
ISBN 978-5-93204-383-7 Такой объем лекционного курса читается, как правило, в четвертом
семестре для ряда инженерных и экономических специальностей вузов. Тематика и содержание лекций отвечают требованиям образовательных
стандартов второго поколения. Данная книга окажет помощь в освоении указанного раздела высшей
математики студентами, будет полезна преподавателям в качестве пособия по методике чтения лекционного курса и ведения практических занятий. Достаточная краткость и сжатость сочетаются в ней с высоким уровнем строгости и полноты изложения материала.
Ил. 96. Библиогр.: 4 назв. ISBN 978-5-93204-383-7 © Завьялов А.М., 2010
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Лекция №1. Обыкновенные дифференциальные уравнения . . . . . . . 5 Лекция №2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка . . . . . . . . . 9 Лекции №3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка (окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Лекции №4. Дифференциальные уравнения 2-го порядка . . . . . . . . 19 Лекция №5. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Лекция №6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . 29 Лекция №7. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . 35 Лекции №8. Криволинейные интегралы и их приложения . . . . . . . . . 42 Лекции №9. Задачи, приводящие к кратным интегралам. Определение двойного и повторного интегралов и их свойства . . . . . . . . . 50 Лекция №10. Сведение двойных интегралов к повторным. Замена переменных в двойном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Лекция №11. Приложения двойного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Лекции №12. Тройной интеграл, вычисление и приложения . . . . . . 74 Лекции №13. Поверхностные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Лекции №14. Основные формулы интегрального исчисления для функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Лекция №15. Векторное поле и его основные характеристики . . . . . . . . 92 Лекция №16. Векторное поле и его основные характеристики (окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Лекция №17. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Лекция №18. Числовые ряды (окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Лекция №19. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Лекция №20. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Лекция №21. Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . 127 Лекция №22. Некоторые применения рядов Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . 132 Лекция №23. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Лекция №24. Ряды Фурье (окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Лекция №25. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Лекция №26. Операционные исчисление* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Лекция №27. Операционные исчисление* (окончание) . . . . . . . . . . . . . . 168 Лекция № 28. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уважаемый Читатель! Данная книга представляет собой четвертую часть учебного пособия «Конспект лекций по высшей математике». В этой части излагаются следующие разделы математики: «Дифференциальные уравнения», «Криволинейные и кратные интегралы», «Векторные поля», «Ряды».
В настоящем учебном пособии учтен накопленный автором опыт чтения курса лекций по высшей математике.
В книге дано систематическое изложение соответствующих разделов курса высшей математики на достаточном для втуза уровне строгости, разобраны примеры.
Автор рекомендует студентам не ограничиваться разбором примеров, содержащихся в учебном пособии, а обращаться к задачнику, указанному в списке литературы.
По мнению автора, принятая в книге форма изложения будет способствовать лучшему восприятию материала студентами высших технических учебных заведений.
А.М. Завьялов,
доктор технических наук, профессор
Чудеса нельзя приводить в доказательство.
Талмуд
Необходимое не приедается. Сенека
Рекомендуемая литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле-ние. – М.: Интеграл-пресс, 1997. – Т.2. – 416 с.
2. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – СПб.: Специальная литература, 1996. – 371 с.
3. Гусак А.А. Высшая математика. – Минск: ТетраСистемс, 2003. – Т. 2. – 445 с.
4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Под редакцией А.Н.Тихонова. – М.: Проспект, Московский университет, 2007. – Ч. 2. – 357 с.
Лекция № 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основные понятия
Под уравнением в математике понимают равенство, из которого надо найти какую-нибудь неизвестную величину или функцию.
Если неизвестная функция входит под знак производной, это уравнение называется дифференциальным, если под знак интеграла – интегральным.
Примеры: 1. 02 xxyy – дифференциальное обыкновенное
уравнение.
2. xfsdsxux 1
0
, , где sxu , и xf – известные
заданные функции, x – неизвестная функция – интегральное
уравнение; 0
yu
xu , где yxuu , – неизвестная функция –
дифференциальное уравнение в частных производных.
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию этой переменной y (т.е.
xfy ) и её производные nyyy ,,, . Порядком дифференциального уравнения называется
максимальный порядок, входящей в уравнение производной. Исходя из определения, дифференциальное уравнение n -го
порядка, можно записать в виде 0,,,,, nyyyyxF
(1) или
0,,,,, 2
2
n
n
dxyd
dxyd
dxdyyxF
(1*) Примеры: 1. 322 xyxyy – дифференциальное уравнение 1-го
порядка. 2. 132 yxyxy y – дифференциальное уравнение 2-го
порядка. 3. 0 yy – дифференциальное уравнение 3-го порядка. Определение. Решением дифференциального уравнения
называется всякая функция xfy , подстановка которой в уравнение обращает последнее в тождество.
График решения называется интегральной кривой данного уравнения.
Рассмотрим простейшие дифференциальные уравнения: 1) xfy . Решением его будут все первообразные для
функции xf , т.е. Cdxxfy . Таким образом, решение представляет собой множество функций, зависящих от произвольной постоянной C .
Пример.
Cdxxyxy 22 : Cxy 2 . Геометрически решение представляет собой одно семейство
интегральных кривых, получаемых посредством сдвига. 2) xfy . Очевидно, что Cdxxfy , откуда
21 CdxCdxxfy или 21 CxCdxdxxfy . Таким образом, решение представляет собой множество функций, зависящих от двух произвольных const , и может быть записано в виде
21,, CCxy . Определение. Общим решением дифференциального
уравнения n -го порядка называется функция nCCCxy ,,,, 21 ,
(2) зависящая от n произвольных постоянных и удовлетворяющая уравнению (1) при всех значениях этих констант, доставляемых формулой (2).
Определение. Если уравнению (1) удовлетворяет функция y , определяемая неявно из уравнения
0,,,,, 21 nCCCyx , (3)
то уравнение (3) называется общим интегралом дифференциального уравнения (1).
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
К дифференциальным уравнениям приводят многочисленные
задачи естествознания. Рассмотрим ряд таких задач. Задача № 1. Известно, что скорость распада радия прямо
пропорциональна наличному количеству радия. Определить количество радия R в момент t , если в начальный момент 0t было
0R . Обозначим коэффициент пропорциональности через k .
Скорость распада в данный момент kRdtdR
dtdR
.
Запишем, согласно условию задачи, дифференциальное уравнение 1-го порядка, при этом начальное условие 00
/ RR tt . Разделяя переменные
dtkR
dR
и интегрируя, получим общее решение tkeCR .
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем константу C .
00
tkeRC . Тогда решение дифференциального уравнения при заданном
начальном условии (частное решение) будет иметь вид 0
0ttkeRR .
Теперь при заданном значении коэффициента k , которое определяется по табличному значению величины полураспада радия, можно определить количество радия в любой момент времени.
Задача № 2. С некоторой высоты сброшено тело массы m . Найти скорость его падения, если кроме силы тяжести действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (рис. 1).
Запишем основное уравнение динамики в виде 21 FFma ,
где a – ускорение; 1F – сила тяжести; 2F – сила сопротивления.
Иначе это уравнение можно представить как
mgkdtdm ,
где – скорость падения. Поделив обе части уравнения на m и сделав подстановку
mkp ,
получим дифференциальное уравнение в виде
gptd
d .
Решив полученное дифференциальное уравнение, найдем величину скорости падения тела. Решение этого типа уравнения рассмотрим ниже.
kF 2
mgF 1
Рис. 1
Задача № 3. Материальная точка массы m притягивается к центру с силой, пропорциональной удалению от центра. Найти закон движения точки.
Основное уравнение динамики в векторном виде имеет вид
amF ,
где F – сила; a – ускорение. Представим эти величины в проекции на ось Ox (рис. 2):
2
2
tdxd
tddax ;
xF . В результате получим закон движения точки, заданный
уравнением 02
2 x
tdxdm или 02 xkx , где
mk
2 –
уравнение гармонических колебаний; k частота колебаний.
Лекция № 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
Дифференциальное уравнение 1-го порядка связывает только
переменную x , неизвестную функцию y и её производную y , т.е. имеет вид:
0,, yyxF . (1)
Мы будем рассматривать уравнения, разрешённые относительно y , т.е. уравнение вида
yxfy , . (2)
Его будем записывать зачастую в форме yxfdxdy , или в
симметричной форме:
0
х
Рис. 2
0,, dyyxQdxyxP . (2*)
Пример.
0
dyyxdxyxyxyx
dxdy
yxyxy .
Исходя из определений, введенных на лекции №1, общим решением уравнения (2) будет функция Cxy , , а общим интегралом 0,, Cyx . Считаем, что уравнение (2) решено или проинтегрировано, если найдено его общее решение или общий интеграл.
Задача Коши
В практических задачах (лекция №1) обычно требуется найти
решение дифференциального уравнения (2), удовлетворяющее дополнительному условию: 00
/ yxxy . Такое условие называется начальным.
Итак, если на дифференциальное уравнение yxfy , наложено начальное условие 00
/ yxxy , то говорят, что поставлена задача Коши.
Геометрически это означает, что из всех интегральных кривых надо выделить кривую, проходящую через заданную точку 00 , yx .
Очевидно, что если для уравнения yxfy , получено общее решение Cxy , [или общий интеграл 0,, Cyx ], то, подставляя в указанную формулу 0x и 0y , находим значение
0C и решением задачи Коши будет функция 0,Cxy или интеграл 0,, 0 Cyx .
Способы решения
Геометрический способ. Так как каждое решение уравнения геометрически представляет интегральную кривую, то геометрически решение уравнения сводится к отысканию ортонормированного семейства этих кривых. Если на плоскости зафиксировать точку 000 , yxM , то из уравнения (2), не решая его, можно найти 000 , yxfy , учитывая, что y есть тангенс угла
наклона касательной к оси Ox , то в любой точке 0M мы получаем направление интегральной кривой. Если построить такие касательные во всех точках плоскости, то получим поле направлений интегральных кривых данного дифференциального уравнения.
Пример.
xyy или
xy
xdyd в любой точке 0M ,
0
0tgxyy .
Из построенного поля направлений (рис. 1), очевидно, что
интегральные кривые суть прямые xCy . Чтобы облегчить построение интегральных кривых, находят такие линии, во всех точках которых направления одинаковы. Такие линии называются изоклинами (изо – равных, клино – наклоняю). Очевидно, что для уравнения (2) в точках изоклины consty Cyxf , – уравнение изоклины.
В предыдущем примере Cxy xCy – прямые,
проходящие через начало координат представляют собой изоклины.
Пример. 22 yx
xdyd
. Изоклины этого уравнения 222 Cyx
представляют собой окружности (рис. 2). Пусть
1C , 1tg y ; 4
;
2C , 2tg y ; 2arctg ;
x x0
y0
y
Рис. 1
3C , 3tg y ; 3arctg и т.д., по ним легко построить не только поле направлений, но и даже примерно сами кривые.
Аналитические способы. Рассмотрим аналитические
способы решения различных типов дифференциального уравнения (2).
Частные типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и отыскание их общих решений
Уравнения с разделяющимися переменными. Запишем дифференциальное уравнение 1-го порядка в
симметричном форме (2*): 0,, dyyxQdxyxP .
(3) Если функции yxP , и yxQ , могут быть разложены на
множители: yxyxP 11, ; yxyxQ 22, , то уравнение (3) называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно представить:
02211 yxyx xy 21
1
или
Cdyyydx
xxdy
yydx
xx
2
1
2
1
2
1
2
1 0
.
x
y
Рис. 2
Проинтегрировав, мы получим интегральное уравнение в виде Cyx . 0,, CyxF .
Примеры. 1. dyyxydxxyx 22 ;
2222
111011
xydyxydxyx
;
22 11 ydyy
xdxx
; C
ydyy
xdxx
22 11
;
C
yyd
xxd
11
21
11
21
2
2
2
2; Cyx 1ln1ln 22
или Ceyx 11 22 ; constCe , Cyx 11 22 – общее интегральное решение. (*)
Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию: 0/ 0 xy , т. е. интегральную кривую, переходящую через точку 0,0O . Из уравнения (*) следует:
11010 CC . 02222 yxyx – кривая 4-го порядка, вырождается в точку.
2. Рассмотрим задачу №1 из лекции №1 и найдем количество радия через 100t лет, если 0t , 5R г.
tdkR
dRtdkRdRkRtd
dR 00
,ln tkeCRCtkR найдем 00
00tktk eRCeCRC ; окончательно 0
0ttkeCRR ,
обычно дают период полураспада
kte tk 2ln
21
; 1005 keR ,
где t
k 2ln .
Однородные уравнения. Определение. Функция yxf , называется однородной
степени k , если при любом t yxfttytxf k ,, . Пример.
yxyxf , ; yxftyxttytxtytxf ,, – однородная 1-й степени.
1, yxyxf – не однородная. xyyxyxf 22, – однородная 2-й степени.
Рассмотрим уравнение 0,, dyyxQdxyxP (3). Такое уравнение называется однородным, если функции yxP , и yxQ , однородные, одной и той же степени, т.е. yxPttytxP k ,, и yxQttytxQ k ,, .
Однородные уравнения решаются подставкой xy , где некоторая неизвестная функция x , x . Тогда, подставляя
в уравнение (3) вместо xy , dxdxdy , получим xy . Таким образом, приходим к уравнению с
разделяющимися переменными x и . Пример.
0 dyyxdxyx ;
yxyx
dxdy
.
xxxxx
;
1
1x ;
1
1x ; dxdx112
;
C
xdxd
11
2
;
Cx lnarctg1ln21 2 .
Cx 2arctg21ln 22 , где xy
;
Cxyxy arctg2ln 22 .
Лекция № 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА (окончание)
Линейные уравнения 1-го порядка. Определение. Дифференциальные уравнения, в которых
неизвестная функция и все её производные входят только в первой степени и которые для n -го порядка производной можно представить в виде:
011
10 xfyxayxayxayxa nn
nn , называются линейными.
В частности, линейное уравнение 1-го порядка имеет вид: 0 xfyxbyxa или в приведенном в виде, когда 0xa ,
0 xqyxpy . (1)
Линейные уравнения 1-го порядка интегрируются с помощью подстановки
xxuy , (2)
причем обе неизвестные функции xuu и x находятся в процессе решения.
Пример.
01 22 xyx
yxxy
dxdy ; 0x .
Введем подстановку: uuyuy .
01 2 xux
uu ,
01 2
xuu
xu
(*) Подберем функцию xuu так, чтобы коэффициент при
был равен нулю:
01 u
xu . xudxudux
xu
dxud
.
При отыскании функции u const не учитываем, т.е. x
dxudu
;
xu lnln . После чего ставим в уравнение (*) найденную функцию u .
Cxdxxdxxx 2
002
2 .
Окончательный ответ:
Cxxy
2
2.
З а м е ч а н и е 1. Из примера следует, что после подстановки собираем члены с функцией и полученный коэффициент при приравниваем к нулю, так находим функцию u , причем при первом интегрировании константа не учитывается. Подставляя найденную функцию u обратно в уравнение, находим .
З а м е ч а н и е 2. К линейным уравнениям сводятся так называемые уравнения Бернулли:
myxqyxpy , где m – целое число, 0m , 1m .
Предварительно уравнение делят на my : xqyxpyy mm 1 ,
после чего подстановкой myz 1 уравнение сводят к линейному:
mmm
m yzyz
111
. Пример.
2322 yxxyy ; 312 22 xyxyy ;
1 yz , т. е. xzz ; 1 zy ; zzy 21 ; 22 yz ;
32
2 221 xzxzz
z
;
022 3 xzxz – линейное. Уравнение в полных дифференциалах. Рассмотрим уравнение
0,, dyyxQdxyxP (4)
Левая часть этого уравнения может оказаться дифференциалом некоторой функции двух переменных yxu , , т.е. уравнение может иметь вид
0
dyyu
dxxu
.
(5) Тогда уравнение (5) можно записать в виде 0, yxdu ,
откуда следует, что общий интеграл такого уравнения имеет вид: Cyxu , .
(6) Встают два вопроса:
1. Как среди уравнений вида (4) суметь отличить уравнение вида (5)? 2. Как по уравнению вида (5) найти функцию yxu , ?
Первый вопрос решается просто, учитывая, что частные производные, отличающиеся только порядком
дифференцирования равны, т.е. xy
uyx
u
22
, значит, уравнение
(4) для односвязной области будет уравнением (5) тогда и только тогда, когда
xQ
yP
,
(7) то есть достаточно для уравнения (4) проверить выполняемость равенства (7).
Второй вопрос решается так:
yxPxu , .
(8) Интегрируя равенство (8), при условии, что consty ,
получим: yCdxyxPyxu ,, .
(9) Продифференцировав (9) по y , имеем:
yCdxyxPyy
u
, .
(10) Остается из дифференциального уравнения (10)
yxQyCdxyxPy
,,
найти yC :
dxyxPy
dyyxQyC ,, .
Пример. 04663 3222 dyyyxdxyxx .
yxyP 12 ; yx
xQ 12 – уравнение в полных дифференциалах.
yCyxxyCdxyxxyxu 22322 363, ;
322 466 yyxyCyx
yu 4yyC .
Итак, 4223 3, yyxxyxu . Общий интеграл уравнения:
Cyyxx 4223 3 .
Дифференциальные уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной
На предыдущей лекции рассмотрены методы решения
дифференциальных уравнений вида yxfy , . Однако часто практические задачи приводят к уравнениям
0,, yyxF и т.д. (11)
Если уравнение (11) легко разрешается относительно y или x , то есть может быть приведено к виду
yxfy , или yygx , , то решение такого уравнения можно получить в параметрической форме.
Рассмотрим уравнение yxfy , ,
(12) положим py , тогда pxfy , .
Дифференцируя это равенство по x , имеем:
xdpd
pf
xfP
xdpd
pf
xf
xy
.
Считая x и p параметрами, мы уравнение (11) приводим к системе
,
;,
xdpd
pf
xfp
pxfy
(13) состоящей из уравнения, дающего зависимость функции y от двух параметров x и p , и одного дифференциального, указывающего на связь между ними. Решив дифференциальное уравнение (а оно
разрешимо относительно xdpd ), т.е. отыскав его общий интеграл
0,, Cpx , имеем решение дифференциального уравнения (12) в виде
.0,,;,
Cpxpxfy
(14) Такое решение (4) называется общим решением в
параметрической форме. Если удается исключить параметр p , то получим общий интеграл уравнения (2): 0,, Cyx .
Пример. 32 yyxy ,
(**) т.е. уравнение имеет вид yxfy , , (12): положим py ;
32 pxpy ; xdpdpxp
xdyd 2322 .
Уравнения сводим к системе:
.322
;22
3
xdpdpxpp
pxpy
)(
)(
б
а
032 2 xdpdpxp 232 px
pdxdp – имеем линейное
уравнение, ищем его решения в виде ux , где puu , p .
uux . 232 puuup ;
232 pupuup ; 02 uup ;
02 dpuudp ;
p
dpuud 2 ;
pu ln2ln ;
2
1p
u ; 22 31 p
pp ;
33ppd
d
; Cp 4
43 ;
Cp
px 4
2 431 ;
22
43
pCpx .
Решение дифференциального уравнения имеет вид:
.43
;2
22
3
pCpx
pxpy
(***) При таком способе отыскания решения, преобразуя
дифференциальное уравнение (б), мы теряем решения, в данном
случае делим на xdpd , значит, считаем 0
xdpd . Если же 0
xdpd , то
из уравнения (б) следует, что при 0p ; 0y (**). 0y – является решением дифференциального уравнения, решая (***), получит его невозможно.
З а м е ч а н и е. Подобно тому, как мы решили пример (**), решается любое уравнение вида yyxy , называемое
уравнением Лагранжа (частный случай которых – уравнения Клеро yyxy ).
Лекция № 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА
Дифференциальное уравнение 2-го порядка связывает yyx ,,
и y , т.е. имеет вид 0,,, yyyxF . Будем рассматривать только дифференциальные уравнения, разрешенные относительного 2-й производной:
yyxfy ,, . (1)
Общее решение [или общий интеграл] такого уравнения зависит от двух произвольных постоянных, т.е. представляет собой функцию
21,, CCxy 0,,, 21 CCyx , (2)
которая определяет на плоскости двухпараметрическое семейство интегральных кривых.
На такие уравнения обычно накладывают начальные условия в виде:
00/ yxy ; 00/ yxy . (3)
Геометрически эти условия задают на плоскости точку 00 , yx и некоторое направление в этой точке tg0 y ;
0arctg y . Условия (3) выделяют их двухпараметрического семейства кривых (2) единственную интегральную кривую, проходящую через точку 00 , yx и касающуюся указанного направления.
Т е о р е м а Коши. Пусть дано уравнение (1) и на него наложены условия (3). Тогда, если функция yyxf ,, и её частные производные по аргументам y и y непрерывны в окрестности точки 000 ,, yyx , то существует единственное решение xyy уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям. Эта теорема называется теоремой существования и единственности решения (3) дифференциального уравнения (1). Без доказательства.
З а м е ч а н и е. Зная общее решение 21 ,, CCxy уравнения (1), легко найти решение, удовлетворяющее начальным условиям (3). Достаточно продифференцировать решение и в систему
21
21
,,;,,
CCxyCCxy
подставить вместо yx, и y 00 , yx и 0y , после чего находим 01C и
02C . Таким решением будет функция 0
201 ,, CCxy .
Пример. 2yy . 1/ 0 xy ; 1/ 0 xy ; Cx .
py ; xdpdy ; 2p
xdpd ; 12 Cxd
ppd ; Cxp 1 ;
1
1Cx
p
;
1
1Cxxd
yd ; 1Cx
xdyd
;
21ln CCxy – общее решение. Находим решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,1;ln
1
21
Cxy
CCxy
,11
;ln1
1
21
C
CC
.1;1
1
2CC
Искомое решение 11ln xy ; 1ln1 xy ;
11
x
y .
Уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения 2-го порядка 0,,, yyyxF
сводятся к уравнениям 1-го порядка (говорят «допускают понижение порядка») в следующих простых случаях:
1) когда в уравнении (1) отсутствует переменная y :
0,, yyxF ; (4)
2) когда в уравнении (1) отсутствует независимая переменная x :
0,, yyyF . (5)
В первом случае применяем подстановку py и, считая p
функцией x , т.е. заменяем xdpdy .
Во втором случае применяем подстановку py и, считая p функцией только y , получим:
ydpdp
xdyd
ydpdy ; py ;
xdpdy .
1. 01 yxy ; 01 pxxdpd ; 0
1
xxd
ppd ;
Cxp 1lnln ; Cxp 1 ; 1
xCp ;
1
xC
xdyd .
2. yyy 2 py ; ydpdpy ; yp
ydpdp 2 ; dyydp 2 ;
12 Cyp ; dx
Cyyd
1
2 ; a
xaax
dx arctg122 ;
xy
Carctg1
1;
211
CxCCy
211tg CxCCy .
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общие вопросы
Будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения
2-го порядка xfyxayxay 21 ,
(6) где xaxa 21 , и xf – данные функции; y неизвестная функция.
Если 0xf , то уравнение вида 021 yxayxay
(7) называется линейным однородным уравнением 2-го порядка.
В связи с этим уравнение (6) называют уравнением с правой частью, а уравнение (7) – уравнением без правой части.
Обозначим левую часть уравнения (7) через yL , т.е. yxayxayyL 21 ,
(8) и будем называть yL линейными дифференциальным оператором (ЛДО)
Свойства ЛДО
01 . 2121 yLyLyyL , т.е. линейный оператор,
примененный к сумме двух функций xy1 и xy2 , равен сумме результатов его применения к каждой функции.
Д о к а з а т е л ь с т в о 2122112121 yyxayyxayyyyL 212221212111 yLyLyxayxayyxayxay .
02 . yCLyCL , constc , т.е. постоянный множитель выносится за знак ЛДО. Действительно,
yCxayCxayCyCL 21 yCLyxayxayC 21 .
03 . iLuLxixuL следует из свойств 01 и 02 . Из этих свойств вытекает ряд теорем о решениях линейного
однородного уравнения. Т е о р е м а 1. Если функция xy1 является решением
уравнения 0yL , то функция xyC 1 , где C – произвольная const , тоже решение этого уравнения:
Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть 01 yL , тогда
0
0\\
11 yLCyCL , что и требовалось
доказать.
Т е о р е м а 2. Сумма двух решений дифференциального уравнения 0yL также является решением этого уравнения.
Д о к а з а т е л ь с т в о Существует 01 yL и 02 yL .
00021
1
21
0
yLyLyyL , что и требовалось доказать. Т е о р е м а 3. Если уравнение 0yL имеет комплексное
решение xuxyRe , xxyJm т.е. xixuxy , то действительная часть xu и мнимая часть x каждая в отдельности также являются решениями этого уравнения.
Д о к а з а т е л ь с т в о 0 iuL по условию, по 03 0 iLuL ; 0L .
Определение 1. Система функций xyxyxy n,,, 21 линейно зависима на отрезке ba, , если существуют такие
n ,,, 21 , не равные нулю одновременно, что равенство 02211 xyxyxy nn
(*) выполняется во всех точках отрезка ba, и линейно независима, если равенство (*) имеет место, только при 021 n .
В частности, две функции xy1 и xy2 линейно зависимы, 2
1
2
1
xyxy , 0const , и линейно независимы в противном
случае.
Определение 2. Выражение 21
2121,
yyyy
yyW
называется
определителем Вронского для системы из двух функций или Вронскианом:
321
321
321
321 ,,yyyyyyyyy
yyyW – Вронскиан для системы из трех
функций, и т.д. Т е о р е м а 4. Если система функций nyyy ,,, 21 – линейно
зависима, то её Вронскиан 0W .
Докажем для системы двух функций. Пусть 2
1
yy ; 12 yy ;
12 yy , тогда 0,21
21
21
2121
yyyy
yyyy
yyW
.
Т е о р е м а 5. Если функции xy1 и xy2 линейно независимы на отрезке ba, и являются решениями (на этом отрезке) дифференциального уравнения 0yL , то Вронскиан этих функций 0W ни в одной точке ba, .
Д о к а з а т е л ь с т в о Предположим противное. Пусть в точке bax ,0
0, 21 yyW , т.е. 0
0201
0201 xyxy
xyxy, но тогда система двух
уравнений с двумя неизвестными 1C и 2C
0;0
022011
022011
xyCxyCxyCxyC
(**) имеет ненулевые решения, т.е. 01 C и 02 C ; одновременно следует, что функция 022011 xyCxyCy является решением уравнения (7), причем удовлетворяющее начальным условиям (**), в силу единственности решения 0022011 xyCxyC ; xy1 и xy2 линейно зависима, что противоречит условию.
Т е о р е м а 6 (основная). Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка 0yL является функция
2211 yCyCy , (***)
где 1y и 2y – любые два линейно-независимые частные решения этого уравнения, а 1C и 2C – произвольные константы.
Д о к а з а т е л ь с т в о По условию 01 yL и 02 yL , тогда
0
00////
2211
yLCyLCyL , т.е. функция 2211 yCyCy – решение уравнения 0yL . Остается доказать, что при любых начальных условиях 00/ yxy
и 00/ yxy определяются константы 1C и 2C , т.е любое решение уравнения 0yL можно получить из (***).
Действительно, составим систему
xxyCyCyyCyCy
02211
2211
0220110
0220110
xyCxyCyxyCxyCy
, а т.к. 0, 21
0201
0201
yyWxyxyxyxy
в силу теоремы 5, то система всегда имеет единственное решение, т.е. всегда определяются единственным образом 1C и 2C .
Обобщения. Все доказанные теоремы имеют место и для линейных однородных дифференциальных уравнений n -ого порядка, т.е. уравнений вида:
012
21
1 yxayxayxayxayyL nn
nnn . (9) Общим решением уравнения (9) является функция
xyCxyCxyCy nn 2211 , где xyxyxy n,,, 21 – n -линейно независимых частных решений уравнения (9), т.е. для которых 0,,, 21 nyyyW
0,,,
321
321
321
21
yyy
yyyyyy
yyyW n
.
Лекция № 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Будем рассматривать дифференциальные уравнения вида 0 yqypy ,
(1) где p , Rq , т.е. const .
Согласно теореме 6, общее решение уравнения (1) имеет вид: 2211 yCyCy , причем функции xy1 и xy2 могут быть
любыми частными решениями уравнения (1), лишь бы 0, 21 yyW .
Будем искать эти частные решения в виде xey , R , тогда
xey ; xey 2 ; 02 xxx eqepe ;
02 xeqp , но т.к. 0xe , то функция xey является решением уравнения (1), только тогда, когда
02 qp . (2)
Квадратный трехчлен (2) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (1). При решении уравнения (2) могут быть следующие случаи:
I случай. 1 и 2 – корни действительные и разные
042 qp . Уравнение (1) имеет два решения: xey 11
; xey 2
2 ,
0, 21
21
21
1221
21 xxxx
xx
eeee
eeyyW
.
Общее решение xx eCeCy 21
21 .
(3) Пример.
0352 yyy . 1. Составим характеристическое уравнение:
.5,0;3;
424255;0352
21
2,1
2
2. Запишем общее решение: xx eCeCy 5,0
23
1 .
II случай. 221p
– корни действительные и равные
042 qp . Имеем всего одно решение уравнения (1): xey 11
. Можно убедиться, что xexy 1
2 тоже решение уравнение
(1).
Действительно, xxx exexey 111112 1 .
xxx exeexy 1111
211112 21 ,
тогда xeqxxpxyL 1
11212 12
02 111
21 xepxqp ,
причем
011
, 112
1121
1
21
11
xxeexe
exeyyW xxx
xx
.
Итак, общее решение имеет вид: xxx exCCexCeCy 111
2121
(4) Пример.
02 yyy . 1. Составим характеристическое уравнение:
0122 ; 121 . 2. Общее уравнение:
xexCCy 21 . III случай. 1 и 2 корни комплексные сопряженные
042 qp , т.е. i1 ; i2 . Имеем два комплексных
решения уравнения (1): xiey 1~ ; xiey 2
~ которые можно представить
xixeeeey xxixxi sincos~1 , где 0 ;
xixey x sincos~2 .
По теореме 3 решениями уравнения (1) будут 21~~ yRyR ee ;
21~~ yJyJ mm , т.е. xey x cos1 ; xey x sin2 , причем
xexexexexexeyyW xxxx
xx
cossinsincossincos, 21
0cossinsincos
sincos 22 11
xx e
xxxxxx
e
.
Итак, общее решение: xCxCey x sincos 21 .
(5)
Пример. 0102 yyy .
1. 01022 ; i31912,1 ; 1 ; 3 . 2. Общее решение:
xCxCey x 3sin3cos 21 . Найти частное решение, удовлетворяющее условию
0/ 0 xy ; 1/ 0 xy ; xCxCexCxCey xx 3cos33sin33sin3cos 2121 ;
01 C ; 21 31 CC ; 31
2 C ;
xey x 3sin31
– частное решение.
Обобщения. Совершенно аналогично находится общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений n -го порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнений
012
21
1 ypypypypy nn
nnn , (1*)
здесь constip , т.е. Rpi . Для этого: 1) составляем характеристическое уравнение
012
21
1
nnnnn pppp ;
(2*) 2) решая его, находим n -корней; 3) по характеру корней выписываем частные линейно
независимые решения: а) любому однократному корню соответствует решение
xe ; б) любому r -кратному корню соответствует r -линейно
независимых решений ;,,, 1
rexxee xrxx
в) любой паре однократных комплексных сопряженных корней i1 и i2 соответствуют два решения
xe x cos и xe x sin ; г) любой r -кратной паре комплексных сопряженных корней
i1 соответствуют r2 -линейно независимых решений: xe x cos , xe x sin , xex x cos , xex x sin , xex x cos2 ,
xex x sin2 , , xex xr cos1 , xex xr sin1 . В общей сложности мы получаем n линейно независимых
решений nyyy ,,, 21 , и общее решения уравнения (1*) записываем в виде
nn yCyCyCy 2211 . Примеры. 1. 0 yy .
013 ; 011 2 ; 11 .; i23
21
3,2 .
xex
23cos2
; xe
x
23sin2
.
xCxCeeCy
xx
23sin
23cos 32
21 – общее уравнение.
2. 0 yyyy IVV . 0145 ; 0111 22 ;
121 ; 13 ; i 105,4 ;
xexeexee oxoxxxx sin,cos,,, . xCxCeCxeCeCy xxx sincos 54321 – общее уравнение.
Лекция № 6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Будем рассматривать уравнения вида xfyqypy
или (1)
xfyL , где xf – данная функция, Rqp , .
Покажем, что общее решение уравнения (1) можно представить в виде
*yyy , (2)
где y общее решение однородного уравнения 0yL ; *y какое-нибудь (любое) частное решение уравнения (1).
Частное решение *y обычно находят, ориентируясь на вид функции xf , методом неопределенных коэффициентов.
Действительно,
xfyLyLyyL 0**02
; xfyyL * . Функция (2) является решением зависит от двух
произвольных const , т.к. 2211 yCyCy , причем нетрудно показать, что при любых начальных условиях 00/ yxy ;
00/ yxy мы можем из системы
**;
2211
2211
yyCyCyyyCyCy
найти 1C и 2C . 1) Если baxxf , то *y записывают в форме,
BxAy * ; cbxaxxf 2 , то *y записывают в виде квадратного трехчлена CBxxAy 2* .
2) Если xeaxf , то *y записывают в форме xeAy * . 3) Если xaxf cos или xaxf sin , то
xBxAy sincos* , где CBA ,, и т.д. – неопределённые коэффициенты, которые находим, подставляя в уравнение (1) выражение *y .
З а м е ч а н и е 1. Отыскивая частное решение неоднородного уравнения *y в указанных выше формах, нам приходится домножать эти формы на x в следующих случаях:
а) если baxxf , а дифференциальное уравнение имеет вид xfypy , т.е. в этом случае *y берем в виде
BAxxy * ; б) если xeaxf , а является простым корнем
характеристического уравнения 02 qp , т.е. здесь xeAy * ;
в) если xaxf cos или xaxf sin , а i корень характеристического уравнения 02 q xBxAxy sincos* .
Примеры. I. 1332 xyyy . Общее решение *yyy .
1) Находим общее решение однородного уравнения y : 0322 ; 11 ; 32 .
xx eCeCy 321 .
2) Ищем частное решение однородного уравнения BxAy * .
Ay * ; 0* y . 1332 xBAxA ; 13323 xBAAx ;
;132;33BA
A
.
31
;1
B
A
Итак, 31* xy .
Ответ: 313
21 xeCeCy xx
II. xyy 2sin34 . Общее решение *yyy . 1) Находим общее решение однородного уравнения
04 yy . 042 y ; i22,1 ; xCxCy 2sin2cos 21 .
2) Находим xxBxAy 2sin2cos* ; xxAxxBxBxAy 2sin22cos22sin2cos*
xAxBxxBA 2sin22cos2 . xAxBxAxBxAxBy 2cos222sin22sin222cos2*
xxBxxAxxBxAxAxB 2sin32sin42cos4sin442cos44 .
;34
;04A
B
.43;0
A
B
Тогда xy 2cos43* .
3) Записываем общее решение:
xCxxCxxxCxCy 2sin2cos432cos
432sin2cos 2121
.
З а м е ч а н и е. 2. Если правая часть неоднородного уравнения представляет сумму двух или нескольких функций, т.е.
xfxfqyypy 21 , то общее решение имеет вид
** 21 yyyy , где y общее решение однородного уравнения 0yL ,
*1y частное решение уравнения xfyL 1 , *2y частное решение уравнения xfyL 2 .
Действительно, xfxfyLyLyLyyyL 212121 0**** ,
что и доказывает наше утверждение. Пример.
xeyyy x cos232 3 , найдем общее решение в виде ** 21 yyyy .
1) Находим y : 0322 ; 11 ; 32 .
xx eCeCy 321 .
2) Находим xAxey 31* , т.к. 3 , корень
характеристического уравнения: xxx eAxAAxeAey 333
1 3* . xxx eAxAeAxAAey 333
1 9633* . xx eeAxAxAAxA 33 236296 ;
24 A ; 21
A ; xxey 31 2
1*
3) Находим: xBxAy sincos*2 ; xBxAy cossin*2 ; xBxAy sincos*2 ;
xxBxAxBxAxBxA cossin3cos3cos2sin2sincos ; xxABxBA cossin24cos24 ;
02 BA
15124
ABA ;
2,051
A ;
1,0B . Общее решение
xxxeeCeCy xxx sin1,0cos2,021 33
21 .
Метод вариации постоянных
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение n -го порядка
xfypypypyyL nnnn
n
11
1 , где коэффициенты xpp ii и правая часть xf заданные непрерывные функции на интервале ba, .
Допустим, что нам известна фундаментальная система решений xyxy n,,1 соответствующего однородного уравнения:
0yLn . (3)
Известно, что общее решение уравнения (1) равно сумме общего решения уравнения (3) и какого-нибудь решения уравнения (1). Решение неоднородного уравнения (1) можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение однородного уравнение (3). Уясним этот метод на примере уравнения третьего порядка.
Итак, пусть задано линейное уравнение третьего порядка xfypypypy 012 .
(4) Пусть общее решение соответствующего однородного
уравнения есть xyCxyCxyCy 332211 ,
(5) где 321 ,, yyy линейно независимые решения уравнения (3) ;0iyL 3,2,1i .
Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4) в виде суммы xyCxyCxyCy 332211 (5), где
xCxCxC 321 ,, некоторые непрерывно дифференциальное функции, которые надо найти. Наложим на искомые функции xCi два условия:
3
1
3
1
.0
;0
iii
iii
xyxC
xyxC
(6) Тогда будет:
3
1
3
1
3
1
0//
iii
iii
iii yCyCyCy ;
3
1
3
1
3
1
0//
iii
iii
iii yCyCyCy ;
3
1
3
1 iii
iii yCyCy .
Подставив эти производные и саму функцию y в (4), получим
xfyCpyCpyCpyCyCi
iii
iii
iii
iii
ii
3
10
3
11
3
12
3
1
3
1
или
00////
2021222210111211 ypypypyCypypypyC
xfyCypypypyCi
ii
3
130313233
0//
.
Но выражения в скобках в левой части этого равенства равны нулю, поэтому
xfyCi
ii
3
1
.
(7) Таким образом, из уравнений (6) и (7) получим систему
,
;0
;0
3
1
3
1
3
1
xfyC
xyxC
xyxC
iii
iii
iii
(8) относительно неизвестных
321 ,, CCC с определителем 0 , потому что это есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений 321 ,, yyy , играющих роль коэффициентов. Поэтому данная система имеет единственное решение
xxC ii 3,2,1i , где i непрерывные на ba, функции. Откуда
dxxxC ii . (9)
При этом функции xCi имеют на ba, непрерывную производную частное решение неоднородного уравнения (1) имеет вид
xyCxyCxyCy 332211 , где функции xCi определения равенствами (9).
Пример. xeyyy 323 .
02322 kkkR ;
11 k ; 22 k . Следовательно, общее решение однородного уравнения
xx eCeCy 221 .
Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных 1C и 2C . Составим систему:
0,,2
,0 32132
21
221
xxxx
xxeyyW
eexCexCexCexC .
Решая систему, имеем xexC 21 ; xexC 2 .
Отсюда 2
2
1
xexC , xexC 2 и частное решение запишем,
как xxxxx eeeeey 322
21
21
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
xxx eeCeCy 3221 2
1 .
Лекция №7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определение 1. Система уравнений первого порядка,
разрешённых относительно производных от искомых функций nii xxxtfx ,,,, 21 , ni ,,2,1 ,
(1) называется нормальной.
Определение 2. Решением нормальной системы (1) на ba, изменения аргумента t называется всякая система n функций
txxtxxtxx nn ,,, 2211 , (2)
дифференцируемых на интервале bta , обращающая уравнения системы (1) в тождество.
Задача Коши для системы (1) формулируется так: найти решение системы (2), удовлетворяющее при 0tt начальным условиям:
0022
011 000
/,,/,/ nn xttxxttxxttx .
(3) Пусть имеем нормальную систему дифференциальных
уравнений
nii xxxtf
tdxd ,,,, 21 , ni ,,2,1 ,
(4)
и пусть функции ni xxxtf ,,,, 21 определены в некоторой 1n -мерной области D изменения переменных nxxxt ,,,, 21 .
Т е о р е м а Коши (существования и единственности решения задачи). Если существует окрестность точки
00000 ,,,,
21 nxxxtM , в которой функции ni xxxtf ,,,, 21
непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным nxxx ,,, 21 , то найдется интервал 0000 ; hthtt , на котором существует единственное решение нормальной системы (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).
Интегрирование нормальных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений
Метод исключения продемонстрируем на примере:
.;;
213
312
321
xxxxxxxxx
Продифференцируем по t обе части первого уравнения системы 2x и 3x вместо подставим их выражения через 321 ,, xxx .
321321 2 xxxxxx . (5)
Дифференцируем равенство (5) и подставим вместо 321 ,, xxx их выражения через 321 ,, xxx .
Получим 321 xxx .
(6) Выразим из первого уравнения системы и уравнения (5) 2x и
3x :
,21
21
;21
21
1113
1112
xxxx
xxxx
(7) и подставим их в уравнение (6).
Получим 11 xx , так как корни характеристического уравнения 1,1,0 321 rrr ,
то последнее уравнение имеет решение tt eCeCCx 3211 .
Если теперь подставить в равенство (7) функцию 1x и 11, xx , то получим общее решение системы:
.;
;
213
312
3211
t
t
tt
eCCxeCCx
eCeCCx
tgxtfx ij
i
jiji
1
.
Линейные нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их решение
Такой системой является система вида
tgxtfxtfx
tgxtfxtfxtgxtfxtfx
nnnnnn
nn
nn
11
221212
111111
(8) если в системе (8) 0tg i ni ,,2,1 , то система называется однородной. Если система (8) имеет постоянные коэффициенты, т.е. ijij af , Raij , то однородную систему можно решать при помощи характеристического уравнения матрицы A .
nnn
n
aa
aaA
1
111
, 0
1
111
nnn
n
aa
aa
.
Пример. Для решённой методом исключения системы имеем:
011101110
A .
Решение линейных неоднородных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод вариации постоянных
Рассмотрим систему xgyxfyxfyxfy ininiii 2211 ,
(9) где ni ,,2,1 . 0 xgi .
Эта система является частным случаем нормальной системы, поэтому может быть решена методом исключения. Однако её можно решать и методом вариации постоянных, методом Лагранжа.
Пусть общее решение однородной системы, соответствующей системе (9), 0 т.е. xgi имеет вид
xyCxyCxyCy niniii 2211 , ni ,,2,1 , (10)
тогда общее решение системы (9) можно найти в виде xyxCxyxCxyxCy niniii
2211 , (11)
где xCi неизвестные функции от x . xCi находятся посредством интегрирования решений системы линейных алгебраических уравнений относительно xCi
:
xgxyxCxyxCxyxC ininii 2211 . (12)
Определив nCCC ,,, 21 , затем находим:
.
;
;
222
111
nnn CdxCxC
CdxCxC
CdxCxC
(13) Пример.
.;
12
21xeyy
yy
Найдем сперва общее решение однородной системы, соответствующей данной неоднородной:
;;
12
21
yyyy решим матричным методом
0110
A
характеристическое уравнение 01
1
012 ;
12,1 . Тогда
xx eChheC
hh
yy
22
2
21
12
1
2
1 ,
где 12
11
1 ;hhh
и 22
21
2 ;hhh
собственные векторы. Найдем эти векторы: При 1 имеем
;0;0
21
21
hhhh
21 hh 1
11
h
.
При 1 имеем
;0;0
21
21
hhhh
21 hh 2
11
h
.
Тогда
.;
212
211xx
xx
eCeCyeCeCy решение общего однородного уравнения.
Применим метод Лагранжа, «поварьируем» постоянные 1C и 2C и решим систему:
;;0
21
21xxx
xx
eexCexCexCexC ;
21
xx eexC
;21
1 xexC 11 2CxxC .
;2
2
2
xexC 2
2
2 4CxexC
x .
Окончательно: x
xx eCxeeCxy
2
2
11 42;
xx
x eCxeeCxy
2
2
12 42.
Методом Лагранжа можно решать также и линейные уравнения любого порядка:
xgyayayay nnnn
11
1 . Так, если nn yCyCyCy 2211 общее решение
однородного уравнения 0xg , то, варьируя постоянные, получим частное решение исходного уравнения в виде
nn yxCyxCyxCy 2211* , где xCi ; ni ,,2,1 , находятся из системы уравнений
xgyxCyxCyxC
yxCyxCyxC
yxCyxCyxC
nn
nn
nn
nn
n11
21
1
2211
2211
21
;;0
;0
и dxxCxC ii . Пример.
xeyyy 323 . 0232 ; 11 ; 22 .
xx eCeCy 221 ;
;2;0
3221
221
xxx
xx
eeCeCeCeC
xexC 21 ; xexC
2 .
Отсюда, 2
2
1
xexC ; xexC 2 , тогда
xxxxx
eeeeey 322
21
2* .
xxx eeCeCyyy 3221 2
1* .
Очевидно, что между линейными системами (нормальными) и линейными дифференциальными уравнениями существует тесная связь.
От дифференциального уравнения линейного n -го порядка можно перейти к нормальной системе линейных уравнений, и наоборот.
Рассмотрим дифференциальное уравнение n -го порядка xgyayayay nn
nn
11
1 , введем функции xyyxyyxyy n
n1
21 ,,; , эти функции удовлетворяют следующей нормальной системе:
.;;
;;
121121
1
32
21
xgyayayayayyy
yyyy
nnnnn
nn
Пример.
.;;
213
312
321
yyyyyyyyy
321321 2 yyyyyy . (*)
322131323211 222 yyyyyyyyyyyy ;
321 yyy (**)
;22
;2;
2111
3211
321
yyyy
yyyyyyy
;21
21
;21
21
1113
1112
yyyy
yyyy
(***)
11 yy .
03 rr ; 012 rr ; 01 r ; 12 r ; 13 r .
.;
;
313
312
3211
x
x
xx
eCCyeCCy
eCeCCy общее решение.
Собственные числа найдем из характеристического уравнения.
011
1111
; 01 ; 12 ; 13 .
Тогда общее решение запишется в виде
tt eChhh
eChhh
Chhh
xxx
333
32
31
223
22
21
113
12
11
3
2
1
,
где собственные векторы ih определяются из систем
,0;0;0
321
321
321
hhhhhhhhh
которые получаются при подстановке вместо собственные чисел 1 , 2 , 3 :
;;
;0;0;0
32
31
21
31
32
hhhh
hhhhhh
при 13h ;
111
1h ;
;;0
;0;0;0
31
2
321
321
321
hhh
hhhhhhhhh
при 13h ;
101
2h ;
;;0
;0;0;0
21
3
321
321
321
hhh
hhhhhhhhh
при 12h ;
011
3h .
Лекция № 8. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Интеграл 1-го рода. Зададим в пространстве кусок гладкой кривой AB (кривая
называется гладкой, если в любой точке кривой существует касательная, которая непрерывно меняется от точки к точке, иначе если tx , ty , tz существуют и непрерывны в любой
,t ), и функцию трех переменных (скалярную) zyxfu ,, , определённую в любых точках данной кривой.
Кривая задана уравнениями (1), (2) ttrr , ;
(1)
.;;
tzztyytxx
(2) Проделаем следующие операции (рис. 1): 1. Разобьем кривую на n участков точками iiii zyxM ,, ,
длины участков обозначим i , ii max назовем параметром
разбиения. 2. На любом участке выберем точку iiiiP ,, и составим
интегральную сумму:
i
n
iiPf
1
.
3. Предел этой суммы при n и 0 , если он
существует и не зависит ни от способа разбиения кривой на
0
BM n
AM 0
2M
1M 2P
1P
y
x
z
Рис. 1
участки, ни от выбора точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода.
AB
dzyxfdef ,,: .
dzyxf ,, – для замкнутой кривой.
i
n
iiiin
AB
fdzyxf
10
,,lim,,
(3)
Физический смысл и приложение
Пусть 0Mf , для любой точки ABM . Тогда можно считать, что функция zyxf ,, задает распределение линейной плотности на кривой, следовательно, интегральная сумма выражает приблизительно значение массы кривой, а
AB
dzyxf ,,
дает точное значение массы кривой. Интеграл 1-го рода также позволяет вычислить центры
тяжести дуг кривых. Имеют место формулы:
AB
ABc
dzyx
dzyxxx
,,
,,
;
AB
ABc
dzyx
dzyxyy
,,
,,
;
AB
ABc
dzyx
dzyxzz
,,
,,
,
(4) где zyx ,, задает плотность, Mdzyx
AB
,, – массу кривой.
Вычисление. Пусть AB гладкой кривой задана уравнениями (1) или (2). Учитывая, что
dttrdttztytxd
222 ,
(5) сводим интеграл 1-го рода к определенному:
dtzyxtztytxfdzyxfAB
222,,,, .
(6) Пример.
Вычислить
AB
dzyx ,
где AB – дуга винтовой линии (рис. 2).
ktjtittr sincos ,
20
t .
;;sin;cos
tztytx
2
0 t .
1. Определяем d по формуле (5):
dtdtttdtzyxd 21cossin 222222 .
2.
2
0
2sincos
dttttdzyxAB
8,48
222
cossin222
0
2
ttt .
Случай плоской кривой.
b а
xy
0 x
y
A
B
Рис. 3
A
B
z
y
x
Рис. 2
0
bxaxy
ttyytxx
,)2;;
)1
– задание кривой
Если рассматривать кривую (рис. 3) как график функции ,xy bxa , то формулы (5), (6) приобретают вид:
dxyd 21 ; dxxd
dxxfdyxfb
aAB
2
1,, .
Примеры. 1. Вычислить центр тяжести дуги цепной линии (рис. 4).
xcheeyxx
2; 11 x .
0cx ;
AB
ABc
d
dyy
. const, yx .
dxeedxeedxydxxxx
2211
22
.
35,2121
2
1
1
e
eeedxeed xxxx
AB
.
dxeedxeeydxxxx
AB
1
0
221
1
2
422
2
22
1
0
22
212
21
21
212
21
21 eeexe xx
1,2,3
y
0 x
B A
1
1 1
Рис. 4
88,24
61
44
2
22
e
eee .
23,135,288,2
cy .
2. Вычислить центр тяжести дуги окружности (рис. 5).
;sin;cos
taytax
t0 .
0cx ;
AB
ABc
d
dyy
.
aABdAB
дл. ; dtadttatad 2222 cossin .
220
2
0
2 211cossin aatadttaydAB
.
aaa
ayc 64,022 2
.
2. Интегралы 2-го рода. Зададим в пространстве вектором ktzjtyitxtr
дугу гладкой кривой ABAB : и вектор-функцию трех аргументов, определенную в любых точках AB :
kzyxRjzyxQizyxPzyxa ,,,,,,,, .
(7) ABM , задан вектор Ma .
Проделаем следующие операции (рис. 6):
y
0
c
x a a B A
Рис. 5
1. Разобьем кривую на n участков точками iiii zyxM ,, ,
длины участков обозначим i ; i max . 2. На любом участке выберем точку iiiiP ,, и рассмотрим
на любом участке 2 вектора. kRjQiPPaa iiiiiiiiiii
,,,,,, . kzjyxMMr iiiiii
1 , где 1 iii xxx ; 1 iii yyy ; 1 iii zzz .
3. Составим интегральную сумму:
n
iiiiiiiiiiiiii
n
ii zRyQxPra
11
,,,,,,
. 4. Предел этой суммы при n и 0 называется
криволинейным интегралом 2-го рода
n
iiiiiiiiiiiiin
AB
zRyQxPrdadef10
,,,,,,lim:
или rdarda
BAAB
.
(8) dzzyxRdyzyxQdxzyxPrda
ABAB
,,,,,, .
(9) Физический смысл
Пусть вектор-функция zyxa ,, задает силу, под действием
которой материальная тело переместилось по AB из точки A в
AM 0 t
0
trr
ir
ia
1a
2a iM
1iM BM n 2M
1M 2P
1P y
x
z
Рис. 6
точку B , тогда интегральная сумма выражает приближенное значение работы при этом перемещении, то есть на любом участке работу подсчитываем приближенно, считая, что тело двигалось по отрезку ii MM 1 под действием силы постоянной ia . Переходя к пределу, получим точное значение работы:
dzFdyFdxFA zyAB
x
.
Итак, rdaAB
выражает работу по перемещению тела по
AB под действием силы aF .
Вычисление интеграла. Пусть AB гладкой кривой задана уравнением ktzjtyitxtr
, t , тогда криволинейный интеграл сводится к определенному:
dzzyxRdyzyxQdxzyxPrdaABAB
,,,,,,
dttytztytxQdttxtztytxP ,,,,
dttztztytxR ,, . Пример. Вычислить
AB
dzzdyydxx ; ktjtitr sincos ;
t0 ; AB – часть винтовой линии (рис. 7).
dttttttdzzdyydxxAB
0
cossinsincos
z
F
A y
x Рис. 7
0
B
22
2
0
2
0
tdtt – равно работе по перемещению по
AB под действием силы kzjyixF
. Случай плоской кривой (рис. 8).
jtyitxtr
1)
;;
tyytxx
t ;
2) xy ; bxa ; jyxQiyxPa
,, .
b
aABAB
dxxxxQxxPdyyxQdxyxPrda ,,,,
, поскольку xt , то
dtytytxQxtytxPrdaAB
,, .
Пример. Вычислить
OABO
dyxydxyx 22
Для замкнутого контура , получим (рис. 9)
BOABOAOABO
.
b а
Ba Aa
0 x
y
A B
Рис. 8
trr
1
0
1
1
2222 1 dyydxxxxxdyxydxyx
01
21
1
21
0
320
1
22
23221 xyyxxdxxxxx
3412
31
212
.
З а м е ч а н и е. Результат можно рассматривать как работу по перемещению тела по замкнутому контуру под действием силы
jxyiyxF 22 .
Лекция № 9. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К КРАТНЫМ ИНТЕГРАЛАМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО И
ПОВТОРНОГО ИНТЕГРАЛОВ И ИХ СВОЙСТВА
К кратным интегралам приводят многие задачи естествознания.
Задача № 1. Определить массу пластины D , если известна плотность пластины в любой её точке (рис. 1).
Рис. 9
xy 1
1 xy
x
A
B
0 1x
y
Решение.
yx, – функция, задающая плотность. 1) Разобьем пластину D на n произвольных частей
(участков) с площадями nSSS ,,, 21 и диаметрами nddd ,,, 21 .
З а м е ч а н и е. Диаметром называется расстояние между двумя наиболее удаленными точками области.
Пусть idd max . 2) На любом участке выберем произвольную точку, имеем n
точек iii yxP , . Считая любой участок однородным с плотностью, равной плотности в точке iP , найдем приближенное значение массы пластины:
i
n
iiinn SyxSPSPSPM
12211 , .
3) Переходя к пределу при n , 0d , будем иметь точное значение массы пластины.
i
n
iii
dn
SyxM
10
,lim .
(1) Задача № 2. Определить объем жидкости, протекающей за
единицу времени через сечение трубы D , если известна скорость течения yx,
в любой точке сечения (рис.2).
Рис. 1
id
y
x 0
iii yxP ,
Dyx ,
; i
n
iii SyxV
1
,
;
i
n
iii
dn
SyxV
10
,lim
.
(2) Задача № 3. Определить массу пространственного тела, если
известно распределение плотности в нем (рис. 3).
zyx ,, – распределение плотности
i
n
iiii zyxM
1
,, .
i
n
iiii
dn
zyxM
10
,,lim .
(3) Вывод. При решении рассмотренных задач мы приходим к
необходимости вычислять пределы. Пределы (1) и (2) называются двойными интегралами.
0
y
Рис. 2
x
D
z
Рис. 3
0
i
iP
y
x
Предел (3) называется тройным интегралом.
Определение двойного интеграла
Зададим на плоскости Oxy замкнутую ограниченную область D и функцию yxfz , , определенную в любых точках области.
Определение. Область вместе со своей границей называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует прямоугольник конечных размеров, вмещающий эту область.
Проделаем следующие операции (рис. 4):
1) Разобьем область D на n произвольных частей (участков) с
площадями nSSS ,,, 21 и диаметрами nddd ,,, 21 , idd max – называется параметром разбиения.
2) На любом участке выберем точку. Имеем n точек iii yxP , . Составим сумму (интегральную):
i
n
iiii
n
ii SyxSPf
11
, .
3) Перейдем к пределу при n и 0d . Если этот предел существует и не зависит ни от способа
разбиения области D на участки, ни от вектора точек iP , то он называется двойным интегралом.
D
dsyxfdef ,: или D
dydxyxf , .
:def i
n
iii
dn
D
Syxfdydxyxf
10
,lim, .
(4) Т е о р е м а. Если функция yxf , непрерывна в области D ,
то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от
D
Рис. 4
y
x 0
iP
iS
способа разбиения области D на участки, ни от выбора на них точки. Без доказательства.
Физический смысл двойного интеграла
Если 0, yxf в области D , то
D
dydxyxf , в силу задачи
№1 выражает массу пластины D , распределение плотности на которой задается функцией yxf , .
Геометрический смысл. Пусть 0, yxf в области D . Построим цилиндрическое тело, ограниченное снизу областью D , сверху поверхностью yxfz , , с боковыми прямыми параллельно оси Oz .
Рассмотрим интегральную сумму i
n
ii SPf
1
, любое
слагаемое суммы определяет объем цилиндра с площадью основания iS и высотой iPf , а вся сумма – объем ступенчатого тела, приближенно выражающего объем построенного цилиндрического тела (рис. 5).
При переходе к пределу при n , 0d имеем точное значение объема цилиндрического тела.
Вывод. Если 0, yxf , то
D
dydxyxf , определяет объем
цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D , сверху поверхностью yxfz , , с боковыми прямыми параллельно оси
0 y
x
z yxfz ,
iP
iS
Рис. 5
Oz . Если 0, yxf и 0, yxf в области D , то D
dydxyxf ,
определяет алгебраическую сумму объемов.
Свойства двойного интеграла 01 . Свойства линейности:
а) DDD
dydxyxgdydxyxfdydxyxgyxf ,,,, ;
б) DD
dydxyxfkdydxyxfk ,, , constk .
Д о к а з а т е л ь с т в о Следует из свойств линейности пределов.
02 . Свойство аддитивности. Если область D разбита на две области 1D и 2D (рис. 6) так,
что 21 DDD , причем 21 DD , то
21
,,,DDD
dydxyxfdydxyxfdydxyxf .
Д о к а з а т е л ь с т в о
1
1
, VdydxyxfD
;
2
2
, VdydxyxfD
;
VdydxyxfD
, ,
1V0
y x
z yxfz ,
1D
Рис. 6
2D
2V
т.к. 022 2 VVV .
03 . Т е о р е м а о среднем: D
D
Sfdydxyxf ,, ,
где существует точка D , . То есть объем цилиндрического тела равен объему цилиндра с площадью основания DS и высотой ,f .
Повторные интегралы
по правильным областям и их свойства
Определение. Плоская область D называется правильной в направлении оси Oy , если она ограничена прямыми bxax и кривыми xy 1 и xy 2 (рис. 7).
Координаты любой точки области D удовлетворяют неравенствам:
.;
21 xyxbxa
Определение. Повторным интегралом по правильной в
направлении оси Oy области D от функции yxf , называется число, полученное следующим двукратным интегрированием:
dxdyyxfJb
a
x
xD
2
1
,
,
при интегрировании в скобках x считается const . Пример. Вычислить повторный интеграл по области (рис. 8)
xy 1
xy 2
0
y
x x b a
Рис. 7
D
.1;10
2 yxx
1
0
63
11
0
31
0
12
331
3 22
dxxxxdxyxydxdyyxJxx
D
2815
21432
1
0
742
xxxx .
Определение. Область D называется правильной в направлении оси Ox , если она ограничена прямыми ,cy dy и кривыми yx 1 , yx 2 (рис. 9).
Координаты любой точки области D удовлетворяющие неравенствам:
.;
21 yxydyc
x 1
1
0
2xy
1y
x
y
Рис. 8
M
Рис. 9
yx 2
D 0
M
c
d
y
x
y yx 1
Определение. Повторным интегралом по правильной в направлении оси Ox области D от функции yxf , называется число
dydxyxfJd
c
y
yD
2
1
,
,
при интегрировании в скобках y считается const . Пример. Вычислить повторный интеграл по области (рис. 10)
.0;10yx
y
dyyyxyxdydxyxdyJ
yy
D
1
0
25
0
1
0
221
0 0
2
22
2815
72
41
72
4
1
0
272
yy .
З а м е ч а н и е. Области, правильные в обоих направлениях, называются просто правильными (рис. 11).
y
Рис. 10
1 0
y
1 2xy
1y
x
M
y
Рис. 11 0 b c
d
а x
xyxbxa
21
;
и
.;
21 yxydyc
По правильной области от yxf , можно составить 2 повторных интеграла:
b
a
x
xD dyyxfdxJ
2
1
,
;
y
y
d
cD dxyxfdyJ
2
1
,*
.
Геометрически правильные области обладают тем свойством, что прямые параллельны Ox и Oy , пересекают границу области не более чем в двух точках (рис. 12, а), б)).
Свойства повторных интегралов
01 . Геометрический смысл повторного интеграла.
Повторный интеграл по правильной в каком-либо направлении области D от функции yxf , равен объему цилиндра, ограниченного снизу областью D , сверху поверхностью
yxfz , , а по бокам прямыми, параллельными оси Oz (рис. 13). Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть область D правильная в направлении Oy .
.;
21 xyxbxa
Построим цилиндрическое тело, указанное в определении свойства 01 , и возьмем bax , .
Рис. 12
0
Неправильная в направлении y
x
y
D
а)
x
D
0
Неправильная y б)
Рассмотрим
b
a
x
xD dyyxfdxJ
2
1
,
.
xy 11 ; xy 22 .
xSSdyyxfdyyxf тркр
y
y
x
x
..
2
1
2
1
,,
–
площадь поперечного сечения цилиндрического тела.
b
aтцD VdxxSJ . .
02 . Повторные интегралы по правильным областям не зависит от порядка интегрирования, т.е. *
DD JJ .
y
y
d
c
b
a
x
x
dxyxfdydyyxfdx2
1
2
1
,,
.
Лекция № 10. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ К ПОВТОРНЫМ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Вычисление двойных интегралов ведется на основании теоремы.
yxfz ,
xy 1
x
z yxfz ,
Рис. 13
0
y
1y
2y xy 2
a b x
xS
Т е о р е м а. Двойной интеграл по правильной области D от функции yxf , равен повторному интегралу по этой области от этой же функции, т.е.
y
y
d
c
b
a
x
xD
dxyxfdydyyxfdxdydxyxf2
1
2
1
,,,
.
Д о к а з а т е л ь с т в о Следует из геометрического смысла двойного и повторного
интегралов. Пример. Вычислить
D
dydxxy по области (рис. 1)
Первый способ: представим область D, в виде
D
yx
D
xyx
D
21
;10;21
;0;10
: 2
,21
DDD
dydxxy т.е. 2
1
1
0
1
0 0
2
dxydyxdxydyxdydxxyx
D
65
1210
43
121
21
2
1
0
2
1
5 dxxdxx .
Второй способ: представим область D, как единую (рис.2)
.2;10
:xy
yD
D
1y
2xy
0 x x 1 2 x
y
Рис. 1
dxxydxxdyydydxxy
yyD
21
0
21
0
2
2
65
622
1
0
32
1
0
yydyyy .
Зададим D
dydxyxf , и сделаем замену его переменных по
формуле
.,;,
vuyvux
(1) Составим по формуле (1) определитель 2-го порядка, который
называется Якобианом замены переменных:
vy
uy
vx
ux
.
(2) Т е о р е м а. Если 0 в области D , то имеет место
формула dvduvuvufdydxyxf
DD
*
,,,, .
(3) Пример. Вычислить
D
dydxyxyx 23 по области ABCD (рис.3).
2xy
y y
0
M 1
1 2 x
y
Рис. 2
BCADCDAB
yxyxyxyx
;1;1
;3;1
Dxyx
xD
xyxx
2
1
.31;21
;11;10
Сделаем замену переменных, положив:
21
21
21
21
21
;21
;21
;;
vuy
vux
vyxuyx
.
В результате замены, получим область D* (рис.4)
.11;31
;1;1
;3;1
:*v
u
vvuu
D
0 B
2
2
1
1
C A
D
x
y
Рис. 3
dxduvudydxyxyx
DD *
2323
21
3
1
1
1
23
320
21 dvvduu .
Двойной интеграл в полярных координатах (рис. 5).
yxMiyixOMM
def,
.
yxM , – декартовы координаты точки M ; OM –
полярный радиус;
OXOM – полярный угол; ,M – полярные координаты точки M .
0 ; 20 . Формулы перехода:
.tg
;
;sin;cos
22
xy
yx
yx
(4)
00
3
1
1
1
x
y
Рис. 4
01
M
i
j
x
y
Рис. 5
В D
dydxyxf , сделаем замену переменных по формуле (4):
sincoscossin
;sin;cos
yy
xx
yx
.
ddfdydxxyDD
*
sin,cos ,
(5) где *D – область D в полярных координатах.
Формула (5) называется формулой перехода к полярным координатам.
Пример. Вычислить
D
dydxyx 221 по области :D 122 yx .
Область D рассмотрим в виде (рис. 6, а))
.11;11
: 22 xyxx
D
Перейдем к полярным координатам (рис 6, б))
.10;20
Воспользуемся формулой (5):
*
222222 sincos11DD
dddydxyx
Рис. 6
D
1 1 x
y
0
а)
01
x
y б)
83,33
12223
121
1
0
2322
0
1
0
2
dd .
Лекция № 11. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
1. Вычисление объемов и площадей. Решение этих задач основано на геометрическом смысле
двойного интеграла (рис. 1).
Dтц dydxyxfV ,. .
(1) Если положить 1, yxf , получим цилиндр высотой, равной
1, а его объем численно равен площади области D (рис. 2).
D
D dydxS .
(2) Если в формуле (2) перейти к полярным координатам (рис. 3),
получим формулу для вычисления площади в полярных координатах:
y
0 x
D
Рис. 2
x
yxfz ,
y
0
z
Рис. 1
D
*D
D ddS .
(3)
.;
:*21
D
2
1
ddxSD .
Примеры. 1. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром
122 yx , плоскостью 0z , 3 zyx (рис. 4, а), б)).
.10;20
:*
D
dddydxyxVDD *
cossin33
3cossin32
0
1
0
22 dd .
2
x
y
0
1
D
Рис. 3
Рис. 4 D
z
yxz 3
3
3 y
x
0
а)
z
y
x 0
в)
y
x
1
D 1
1 1 0
б)
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ;sin xy 0;cos xxy (рис. 5).
.cossin
;4
0:*xyx
xD
4
0
cos
sin
4
0
41,012sincos
dxxxdydxdydxSx
xDD .
2. Площадь поверхности. Рассмотрим кусок простой (две разные точки поверхности не
должны проецироваться в одну точку плоскости 0z ) поверхности yxfz , , ограниченный замкнутой кривой. Спроецировав его на плоскость 0z , имеем плоскую область 0D (рис.6).
Разобьем область D на n участков с площадями iS и
диаметром id , idd max и выберем на любом участке точку iii yxP , . Этой процедуре будет соответствовать разбиение куска
поверхности на участки с площадями i и фиксированными точками iiii zyxM ,, , т.е. ii SOxyПр ; ii PM OxyПр .
D
xcos
xsin
4 x
Рис. 5
0
y
D
0 y
x
z yxfz ,
iM
iP
i
Рис. 6
Очевидно, что площадь куска поверхности
n
ii
1
. За
приближенное значение i возьмем площадь куска касательной плоскости в точке iM к поверхности yxfz , , проецирующегося в iS области 0D .
Пусть i – касательная плоскость к поверхности в точке iM .
iiN – нормальный вектор (рис. 7).
iiii MzFM
yFM
xFN ;;
для поверхности 0,,
F
zyxfyxfz или 0F .
1;;
iiiii MzFP
yfM
yFP
xfM
xF .
1;; iii PyfP
xfN , 1;0;0k .
Пусть
kN iii xoy kNkN
i
ii
cos ;
1
1cos22
ii
i
PyfP
xf
.
Рис. 7
z
iS
k
j
i
x
y
iP
iN
iN
i
iM
i
i
0
Пусть iiiii SS cos**ПрOxy ;
iiii
ii SP
yfP
xfS
22
1cos
*
.
Итак, имеем приближенное значение площади к поверхности:
n
iiii
n
ii SP
yfP
xf
1
22
1
1* .
Переходя к пределу, имеем формулы для вычисления площади поверхности (рис.8).
n
iiii
dn
SPyfP
xf
1
22
0
1lim
dydxyf
xf
D
22
1 .
dydxyf
xf
D
22
1 .
(4) Пример. Вычислить площадь поверхности параболоида вращения
2
22 yxz , отсекаемой плоскостью
21
z (рис. 9).
Рис. 8
D
z
y
x
0
1;
21
;2 22
22
yxz
yxz – уравнение окружности,
ограничивающей область D .
Находим площадь по формуле (4): так как 2
22 yxz , отсюда
yyzx
xz
; .
2
0
1
0
222 11 dddydxyxD
83,33
1222123
213222 23
1
0
232
.
3. Центр тяжести плоской фигуры. Определение. Статическим моментом материальной точки
относительно оси называется произведение массы этой точки на её расстояние до оси.
Статический момент системы материальной точки определяется суммарно (рис. 10).
Определение. Центр тяжести – это такая точка, статический момент которой, при условии, что в ней сосредоточена вся масса системы, равен суммарному моменту.
Рис. 9
z
x y
D
21
z
0
а)
1
D 1
1 1
y
x 0
б)
Откуда
.
;
1
1
1
1
n
ii
n
iii
c
n
ii
n
iii
c
m
myy
m
mxx
(5) Зададим плоскую область D с распределением плотности yx, .
Разобьем область D на n участков с площадями iS и
диаметрами id , idd max , выберем на любом участке точку iii yxP , . Считая, что масса каждого участка сосредоточена в
выбранной точке iii yxP , и равна iii SPm , приходим к системе материальных точек (рис.11). В силу формул (5) находим приближенное значение координат центра тяжести:
cc yxA , 1A
2A 3A
y
x 0 Рис. 10
Рис. 11
y
x 0
iP
iS
n
iiii
n
iiiii
c
Syx
Syxxx
1
1
,
,
;
n
iiii
n
iiiii
c
Syx
Syxyy
1
1
,
,
.
Переходя к пределу при n и 0d , имеем формулы для вычисления центра тяжести:
.,
,
;,
,
D
Dc
D
Dc
dydxyx
dydxyxy
y
dydxyx
dydxyxx
x
(6) Пример. Найти центр тяжести однородного профиля (рис.12).
21 DDD .
;20;10
1 yx
D
.2;21
2 yxx
D
Так как профиль однородный, то 1, yx .
Рис. 12
y
x 0 1 2
1
2 2M
C 1M
xy
Тогда
D
Dc
dydx
dydxxx ;
D
Dc
dydx
dydxyy ;
25
DD
Sdydx .
3522
1
2
0
1
0
xD
dydxxdydxxdydxx .
61722
1
2
0
1
0
xD
dyydxdyydxdydxy .
32
cx ; 1517
25617cy
1521;
32C .
4. Момент инерции плоской фигуры. Определение. Моментом инерции материальной точки
относительно оси называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния до оси. Момент инерции системы материальных точек определяется суммарно.
Пусть задана плоская область D с функцией распределения
плотности yx, . Разбиваем на n участков с площадями iS и диаметрами id , выбирая на каждом участке точку iii yxP , (рис.13). Считая, что в выбранной точке iii yxP , сосредоточена вся масса участка iii SPm , имеем:
n
iiiiiOx SyxyJ
1
2 , ;
n
iiiiiOy SyxxJ
1
2 , .
Переходя к пределу при n и 0d , имеем формулы для вычисления моментов инерции относительно осей:
Рис. 13
y
x 0
iP iS
.,
;,
2
2
DOy
DOx
dydxyxxJ
dydxyxyJ
(7) Соответственно момент инерции относительно центра О
определится, как
DdydxyxyxJ ,22
0 .
(8) 5. Решение задач механики. Для решения задачи №2 лекции №9 (рис.14) получим
формулу для вычисления объема жидкости через поперечное сечение трубы (секундный расход)
dydxyxVD , .
(9)
Dyx .пл, .
Лекция № 12. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ, ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть задана пространственная замкнутая и ограниченная
область U и функция 3-х переменных zyxfu ,, , определенная в любых точках области V (рис. 1).
yx,
Рис. 14
y
x D
0
0
iP i y
x
Рис.1
z
Проделаем следующие операции: 1. Разбиваем область V на n участков объемами i и
диаметрами id , idd max примем за параметр разбиения. 2. На любых участке выбираем произвольную точку iii yxP ,
и составляем интегральную сумму:
n
iiiPf
1 .
3. Перейдем к пределу этой суммы при условии, что n и 0d .
Определение. Если предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на участки, ни от выбора точек iP , называется тройным интегралом
n
iiiii
dn
V
zyxfdzdydxzyxfdef
10
,,lim,,
(1)
V
dzyxfdef ,,: или V
dzdydxzyxf ,, .
Определение. Пространственная область V называется
правильной в направлении оси Oz , если координаты любых точек этой области удовлетворяют системе неравенств (рис.2):
.,,;
;
21
21
yxzyxxyx
bxa
Т е о р е м а. Тройной интеграл по правильной области
сводится к трехкратному интегрированию формулой
x
x
x
x
b
aVdzzyxfdydxdzdydxzyxf
2
1
2
1
,,,,
.
(2) Без доказательства. Пример. Вычислить
V
dzdydxzyxf ,, , где V – область,
ограниченная цилиндром 2xy и плоскостью 0z , 01 zy , 1 zy (рис.3, а), б), в)).
.10;1;11
: 2
yz
Dyxx
V
y
xV
dzxyzdydxdzdydxxyzf1
0
1
2
1
1
yxz ,11
xy 1 b
a x
Рис. 2
x
yxz ,22
y 0
z
xy 2
1
2
21
1
1
0
21
2
1
1
12
12
x
y
x
dyyxyydxxyzzdydx
1
1
75321
2
1
1
323
3261
323261 dxxxxxxdxyxyxy
x
1
1
753275642
421066123262261
6xxxxxdxxxxxxx
.15,010516
422
102
62
62
2412
1
1
86
xx
Замена переменных в тройном интеграле. Рассмотрим
V
dzdydxzyxf ,, и сделаем замену
переменных по формулам:
.,,;,,;,,
zzyyxx
(3)
Якобиан этой замены суть определитель 3-го порядка:
Рис. 3
z
1 y
x
0
а)
0 x 1 1
y 1 б)
0 x
y
z в)
zzz
yyy
xxx
.
(4) Т е о р е м а. Если в области V Якобиан 0 , то имеет место
следующая формула замены переменных: dddfdzdydxzyxf
VV
*
,,*,, ,
(5) где *V – область V в новых координатах; *f – функция f с учетом формул (3). Без доказательства.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
zyxMdef
kzjyixOMM ,, .
Пусть PM OxyПр , OP ; OxOP ; zM ,, –
цилиндрические координаты; 0 ; 20 ; z (рис. 4).
Формулы перехода:
Рис. 4
0 z j
k
i
Pz
M
y
x
z
.;sin;cos
zzyx
(6) Якобиан замены переменных (6):
01000cossin0sincos
zzzzzyyyzxxx
.
В силу формулы (5) имеем тройной интеграл в цилиндрических координатах:
dzddzfdzdydxzyxfVV
*
,,*,, .
(7) Пример. Вычислить тройной интеграл
V
dzdydxyx 22 ;V – часть
цилиндра 122 yx , ограниченного плоскостями 0z , 1z . DV OxyПр (рис. 5, а), б)).
Рис. 5
y
z
x
V
0
а)
x
y
1
D 1
1 1 0
б)
.10;10
;20:*
zV
V V
dzdddzdydxyx*
222222 sincos
242
1
0
41
0
1
0
32
0*
3
dzdddzdd
V
.
Тройной интеграл в сферических координатах.
zyxM ,, – декартовы координаты.
Пусть PM OxyПр , ROM ; OXOP ;
OZOM .
,,RM – сферические координаты (рис. 6). 0R ; 20 ; 0 , т.е. всегда рассматривается в полуплоскости
MOZ , . Формулы перехода:
Так как
sin
2cos ROMOP , и пользуясь
формулами (3), имеем:
.0sin;cos
;sinsin;cossin
2
RRzRyRx
(8)
Рис. 6
0 j
k
i
Pz
M (x, y ,z)
yz x
z
z
0sincos
cossinsincossinsinsinsincoscoscossin
RRRRR
cossinsincossinsincoscos
cos2R
cossinsinsinsinsincossin
sin
sinsincossin 2322 RR .
В силу формул (5) имеем тройной интеграл в сферических координатах:
dddRRRfdzdydxzyxfVV
*
2 sin,,*,, .
(9) Пример. Вычислить
V
dzdydxz , где – шаровой сектор,
ограниченный сферой 1222 zyx и конусом 0222 zyx .
Образующая конуса составляет с осью Oz углы в 4 (рис.7).
Так как zyzyx
x
;0;0
222 – биссектриса
координатных углов.
Рис. 7
z
x y
0
.20
;4
0
;10
:*
R
Согласно формулам (8), (9) имеем: dddRRRdzdydxz
VV *
2 sincos
4
0
1
0
42
0
4
0
1
0
3 2cos241
4cossin
RdddRR
.8
0cos2
cos8
Приложения тройного интеграла
Тройные интегралы позволяют: 1. Вычислить объемы и массу пространственных тел. В задаче №3 лекции №9 масса пространственной области V
с известной функцией распределения плотности zyx ,, определяется по формуле
V
dzdydxzyxM ,, .
(10) Формула (10) выражает физический смысл тройного
интеграла. Если в формуле (10) положить 1,, zyx , то получим формулу для вычисления объема пространственной области V :
V
dzdydxV .
(11) Перейдя к цилиндрическим и сферическим координатам,
получим соответственно:
*V
dzddV
11 – объем в цилиндрических координатах,
dddRRVV
*
2 sin
11 – в сферических координатах.
2. Центры тяжести и моменты инерции пространственных тел.
Имеют место формулы:
.,,
,,
;,,
,,
;,,
,,
V
Vc
V
Vc
V
Vc
dzdydxzyx
dzdydxzyxzz
dzdydxzyx
dzdydxzyxyy
dzdydxzyx
dzdydxzyxxx
(12)
VOz
VOy
VOx
dzdydxzyxxyJ
dzdydxzyxzxJ
dzdydxzyxyxJ
.,,
;,,
;,,
22
22
22
(13) Пример. Найти центр тяжести однородного многогранника
( const,, zyx ), ограниченного плоскостями 1x ; 1y ; 0z ; 02 zy (рис. 8).
.20
;10;10
yzyx
V
23
1 D
V
Vdzdydx .
43
22
212
21 1
0
1
0
22
0
1
0
1
0
yydyydzdydxxdzdydxx
y
V
;
32
32
21 1
0
1
0
32
2
0
1
0
1
0
yydyyydzdyydxdzdydxy
y
V
;
67
62
22
21 1
0
1
0
322
0
1
0
1
0
ydyydzzdydxdzdydxzy
V
;
21
2343cx ;
94
2332cy ;
97
2367cz ;
97;
94;
21C .
Лекция № 13. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Зададим в пространстве кусок гладкой поверхности 0,, zyxF и вектор-функцию
kzyxRjzyxQizyxPa ,,,,,, , определенную во всех
точках куска поверхности (рис. 1).
z
97;
94;
21C
2
x
y
1
1
Рис. 8
Поверхность 0,, zyxF – гладкая, если существует и
непрерывна производные zF
yF
xF
,, в любой точке поверхности,
причем одновременно не обращаются в нуль. Проделаем следующие операции:
1. Разобьем кусок поверхности на n произвольных участков с площадями i , ii
max .
2. На каждом участке выберем произвольную точку iiii zyxM ,, и рассмотрим на каждом участке два вектора:
kzyxRjzyxQizyxPMaa iiiiiiiiiii
,,,,,, , i
ii
NNn ,
где iN – нормальный вектор в точке iM , единичный вектор нормали.
kMzFjM
yFiM
xFN iiii
;
kjin iiii coscoscos ,
где
Oxnii ,
Oynii ,
Oznii . 3. Составим интегральную сумму:
n
iiiiiiiiii
n
iii zyxQzyxPna
11
cos,,cos,,
iiiii zyxR cos,, .
Тогда def
na iiin
0
lim
in
z
0
1a 1n in
ia iM
1M
i
i i
y x Рис. 1
.
cos,,cos,,cos,,
Fii
F
dna
dzyxRzyxQzyxP
(1)
Физический смысл поверхностного интеграла
Пусть вектор zyxa ,, задает скорость течения жидкости через поверхность F , тогда интегральная сумма приближенно определяет объем жидкости через кусок поверхности F в единицу времени в направлении нормали к поверхности (рис. 2). Действительно, поток через элементарную поверхность определяем, как
iiii
iiiiiii na
nnaanHn ii
,,ПрПр .
Переходя к пределу, получим
F
ii dna ,
который определяет поток жидкости через кусок поверхности F со скоростью течения zyxa ,, .
Вычисление интеграла. Пусть кусок поверхности F задан уравнением 0,, zyxF , которое однозначно разрешимо относительно любых неизвестных, coscoscos n – единичный вектор нормали, т.е. уравнение можно представить в следующих трех равносильных формах:
ih
H
Рис.2
iM ia
zyhxzxgyyxfz ,,, . (2)
Геометрически это означает, что прямые, параллельные осям
координат, пересекают поверхность равно в одной точке. Спроецируем поверхность на все три координатные плоскости (рис. 3).
Получим на них плоские области xzyzxy DDD ,, . Если элементарную площадку d (площадка лежит на плоскости, касательной к поверхности) спроецировать на координатные плоскости, то:
dxdyd xy ; dxdzd xz ; dydzd yz ;
,cos;cos;cos
dddddd
xz
yz
xy
(3) здесь «плюс» – если угол острый, «минус» – если угол тупой,
Из формул (1), (2) и (3) следует, что поверхностный интеграл сводится к трем двойным:
FF
ii dzyxRzyxQzyxPdna cos,,cos,,cos,,
FFF d yxd zxd zy
dzyxRdzyxQdzyxP
cos,,cos,,cos,,
0
yzd
xzd
xyd
n
n
Рис. 3
yzDz
y
x xyD
xyD
d
.,,,,,,,, zyzxyx DDD
dydzzyzyhPdzdxzzxgxQdydxyxfyxR
Пример. Вычислить
Fii dna , где F кусок плоскости zyx 22
02 , вырезанный первым октантом kzjxiya (рис. 4).
;01;022;022
zyBCzxAByxAC
;2
20
;20: xy
xD yx
;10;10
:yz
yDyz
220
;20: xz
xD zx
или
;220;10
yxy
.220;10
zxz
Fiii
Fii dOznzOynxOxnydna coscoscos
zyzxyx DDD
dydzydzdxxdydxyx2
22
y yz
dzydyxdxdzdxyxdy22
0
1
0
1
0
22
0
1
0
1
02
22
1
0
1
0
21
0
2 112121 dyyydzzdyy
0
2
1 A
C
B
i in
i
i
z
Рис. 4
y
x
1
.67
31
211
32313
1
0
321
0
3
yyy
Лекция № 14. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основной формулой интегрального исчисления функции xfy является формула Ньютона-Лейбница
b
a
aFbFdxxf ,
где xFxf , т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению значений первообразной на концах отрезка ba, .
Для функции многих переменных интегралы по плоским и пространственным областям сводятся к интегралам по границам этих областей.
1. Формула Грина. Пусть задана плоская правильная область D (рис. 1), граница
которой является гладкой кривой D , и функции yxP , и yxQ , имеют в области D и на границе D непрерывные частные производные по x и y , тогда имеет место формула Грина (положительное направление выбирается против хода часовой стрелки):
DD
dyyxQdxyxPdydxyP
xQ ,, .
(1) Д о к а з а т е л ь с т в о
xy 2
B
b a
Рис. 1
D A
xy 1
ya
x0
.;
:21 xyx
bxaD
dydxyPdydx
xQdydx
yP
xQ
DDD
;
xx
b
a
x
x
b
aD
yxPdxdyyPdxdydx
yP 2
1
2
1
,
b
a
b
a
dxxxPdxxxP 12 ,,
b
a
a
b
dxxxPdxxxP 12 ,,
DBAAB
dxyxPdxyxPdxyxP ,,,
.
Аналогично, представив область D :
,;
:21 yyy
dycD
получим
DD
dyyxQdydxxQ , .
Тогда
DDD
dxyxPdyyxQdydxyP
xQ ,,
DD
dyyxQdxyxP ,, , что и требовалось
доказать. Вывод. Формула Грина позволяет вычислять криволинейные
интегралы 2-го рода (на плоскости) по замкнутому контуру, сводя их к двойным.
Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода по заданной
плоскости (рис. 2), сведя его к двойному интегралу
D
dyxydxyx 22
2, yxyxP ; 2, xyyxQ .
xxQ 2 ; y
yP 2 .
.;10
:xyx
xD
dydxyP
xQdyQdxP
DD
– формула Грина.
DD
dydxyxdyxydxyx 2222
34
344
222
1
0
1
0
32
1
0
21
0
xdxxyxydxdyyxdxx
x
x
x
.
С другой стороны, площадь замкнутого контура можно определить при помощи криволинейного интеграла по его границе
(рис. 3), согласно формуле C
ydxxdyS21
.
2. Формула Остроградского-Гаусса.
Рис. 2
xy
xy
x
A
B
0 1
y
D
C
ydxxdyS21
Рис. 3
Пусть задана пространственная область V , ограниченная гладкой поверхностью V и пусть функции zyxP ,, , zyxQ ,, ,
zyxR ,, и их производные xP
, yQ и
zR – непрерывны как
внутри области V , так и на поверхности V , тогда имеет место формула Остроградского-Гаусса
VV
dRQPdVzR
yQ
xP coscoscos ,
(2) где cos,cos,cosn – единичный вектор нормали к поверхности V , направленный во внешнюю сторону области V (рис. 4).
Спроецируем область V на плоскость Oxy и докажем, что
dOZnRdV
zR
V V
cos .
нижний кусок 1FV , верхний – 2F :
xx
Dyx
x
xV Dxy zyxRddz
zRddV
zR
yxyx
21
2
1
,,
yxyx D
yxD
yx dyxyxRdyxyxR ,,,,,, 12
y
z
x
yxz ,1
yxz ,2
xyd
j
i
k
n n
n
Рис. 4
12
cos,,cos,,FF
dOznzyxRdOznzyxR
V
dOznzyxR cos,, .
Аналогично, проецируя на плоскость Oxz докажем, что
dOynQdV
yQ
V V
cos .
Проецируя на плоскость Oyz имеем
dOXnPdVxP
V V
cos (2).
Вывод. Формула Остроградского-Гаусса позволяет сводить поверхностный интеграл по замкнутой поверхности к тройному интегралу по пространственной области.
Пример. Вычислить
V
dzxy coscoscos , иначе
V
ii dna ,
где kzjxiyaRQP
. Область V задается координатными
плоскостями и плоскостью 0222 zyx (рис. 5).
z
2
y 1
1 0222 zyx
Рис. 5
x
0
;2
220
;120;10
:yxz
yxy
D
VV
ii dzxydna coscoscos
VV
dxdxzR
yQ
xP 100
yyyx
V
dxyxdydzdxdydzdydx12
0
1
0
12
0
222
0
1
0
2221
1
0
212
0
21
0
141214212
22
21 dyyyyyxyxxdy
y
3112
34202
21
342
212
214
21
1
0
3232
yyyy
.
31
V . 3. Формула Стокса. Пусть задан кусок гладкой поверхности с краем ( –
замкнутая пространственная кривая). Если функции zyxP ,, , zyxQ ,, и zyxR ,, и их частные производные по всем
аргументам непрерывны как по поверхности , так и на границе , то имеет место формула Стокса:
OynxR
zPOxn
zQ
yR coscos
dzRdyQdxPdOZnyP
xQ cos .
(3) Без доказательства.
З а м е ч а н и е. Направление нормали к поверхности и
направление обхода по контуру должны быть согласованными – составлять правый винт (рис. 6).
Лекция № 15. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Определение. Если в пространстве задана вектор-функция
трех аргументов kzyxRjzyxQizyxPzyxa ,,,,,,,, , то
говорят, что задано векторное поле. В частности, если a не зависит от времени t , то поле называется стационарным.
Для характеристики векторных полей вводят понятия: линия тока, поток векторного поля и дивергенция, циркуляция по контуру и ротор.
Определение. Линиями тока или векторными линиями называют такие линии, касательные к которым в любой точке совпадают с вектором, заданным в этой точке (рис. 1).
Пусть
tzztyytxx
;; – уравнения линий тока в параметрическом
виде.
0
n
n
x
y
z
Рис. 6
M
Ma
Рис.1
Запишем линии тока в векторном виде ktzjtyitxtr
, ktzjtyitxtr
– касательные к линиям тока, dzdydxdttrrd ,, – этот вектор параллелен касательному
вектору, RQPadzdydxrd ,,||,,
zyxRzd
zyxQyd
zyxPxd
,,,,,, .
(1) Из системы дифференциальных уравнений (1) определяются
линии тока. Пример. На плоскости задано векторное поле jxiyyxa
, . Найти
векторные линии. Запишем уравнение векторных линий в форме jtyitxr
.
jxiyajdyidxrd
|| в любой точке.
Cyxdyydxxx
dyddx
22 – семейство
окружностей (рис. 2).
Поток векторного поля, дивергенция
Пусть задано векторное поле: kzyxRjzyxQizyxPzyxa
,,,,,,,, , будем считать, что оно задает поле скоростей несжимаемой жидкости. Возьмем в пространстве площадку ( может быть плоской или куском поверхности), т.е. MaM . Тогда поток жидкости через площадку выразится интегралом (рис. 3):
x
y
Рис. 2
0
dna ,
(2)
в произвольном векторном поле интеграл (2) называется потоком вектора через площадку .
Возьмем 000 ,, zyxM и окружим её произвольной гладкой замкнутой поверхностью V , ограничивающей объем V (рис. 4). Нормали к поверхности V направим во внешнюю сторону. Поток векторного поля через V
V
dna
(3) характеризует производительность источников внутри объема V , т.е. если 0 , в области V имеются источники, 0 – стоки,
0 , нет ни источников, ни стоков, сколько втекает, столько же и вытекает. Так, например, будет для любой области,
расположенной в потоке воды, текущей в реке. Если V –
производительность источников в единице объема, если VV
0
lim , то
получим производительность источников в точке. Эта производительность, а в поле скоростей интенсивность называется дивергенцией (divergentia) – расхождение векторного поля в точке M .
M
n
Ma
Рис. 3
Определение. Дивергенцией векторного поля в точке M
называется число:
V
dna
Ma V
V
0limdiv .
(4) Т е о р е м а 1. Если функции zyxP ,, , zyxQ ,, , zyxR ,, и
их частные производные непрерывны в области и на её границе , то
MzRM
yQM
xPMa
div .
Без доказательства. Пример.
Найти Madiv , если kzyxj
yzxi
xzya
; 2,1,1 M .
zR
yQ
xPa
div ;
;;; 222 zyx
zR
yzx
yQ
xzy
xP
.41;2;2
M
zRM
yQM
xP
41
4122div Ma .
В точке M имеется источник мощностью 41 .
З а м е ч а н и я: 1) через adiv формула Остроградского-Гаусса записывается
компактно:
n n
Рис. 4
M
dnada div .
(5) 2) через оператор Гамильтона сама дивергенция записывается
тоже компактно: aa div ,
(6) здесь скалярное произведение оператора на вектор a .
VV
dnada .
kz
jy
ix
;
kRjQiPa ;
aRz
Qy
Px
a div
.
Циркуляция по замкнутому контуру, ротор
Будем считать, что векторное поле
kzyxRjzyxQizyxPzyxa ,,,,,,,,
является силовым, т.е. FMaM – сила
Возьмем в пространстве произвольную 21 AA , в любой точке
21AAM определена сила MF (рис. 5). Под действием этой силы можно совершить работу по перемещению материального
1A
FMa
2A
Рис. 5
тела из 1A в 2A по 21 AA . Эта работа называется линейным интегралом векторного поля вдоль 21 AA :
2121 AAAA
rdadzRdyQdxPA .
(7) Линейный интеграл вдоль замкнутого контура, называется
циркуляцией по этому контуру:
ee
rdadzRdyQdxP .
(8) Возьмем любую точку 0000 ,, zyxM и направление, заданное
единичным вектором e , 1e . Окружим точку 0M (рис. 6) плоской площадкой с площадью S , перпендикулярной e , согласуем направление на контуре s этой площадки с e (правый винт).
Вычислим в любом направлении e в точке 0M скалярную
величину S
rdas
s
0lim , где S – площадь площадки. Эти скаляры
позволяют построить в любой точке вихревой вектор (ротор) arot , считая, что
S
rdaa s
se
0limrotПр .
(9) Т е о р е м а 2. Если функции zyxP ,, , zyxQ ,, , и zyxR ,,
и их частные производные непрерывны в точке M и её окрестности, то
arot
e
Рис. 6
s
a
0M
RQPzyx
kji
aa
rot
(10)
kyP
xQj
xR
zPi
zQ
yR
.
Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть kzjyixa
rot .
S
rdaaz s
sk
0limrotПр ,
s – контур прямоугольника ABCD с центром в точке M , плоскость kABCD
, на контуре const0 zz (рис.7).
Dsss
dsyP
xQdyQdxPdzRdyQdxPrda
Грина Формула0//
.
Тогда
000 ,, zyx
k
z
0
x
y
B
C
A
D
Рис. 7
0z
yP
xQ
S
dsyP
xQ
S
rdaz D
ss
s
среднем о Теорема
00limlim
.
Аналогично, выбирая площадки через точку iM
и j
, получим:
zQ
yRax i
rotПр ;
xR
zPay j
rotПр .
Пример.
Найти arot в точке 2,1,1 M ; kzyxj
yzxi
xzya
(рис. 8).
kyP
xQj
xR
zPi
zQ
yR
RQPzyx
kji
a
rot ;
xz
yP
;
xy
zP
;
yz
xQ
;
yx
zQ
;
zy
xR
;
zx
yR
;
2 M
yP ; 1
M
zP ; 2
M
xQ ; 1
M
zQ ;
21
M
xR ;
21
M
yR .
kjikjia 4
21
2322
2111
21rot
.
z
2,1,1 M
x
arot
y 0
Рис. 8
З а м е ч а н и е. Выражение arot позволяет компактно записать формулу Стокса
rdadna rot .
и дать следующую формулировку теореме Стокса. Т е о р е м а Стокса. Циркуляция вектора a по замкнутому
контуру равна потоку вихревого вектора arot через произвольную поверхность , имеющую своей границей контур (рис. 9).
arot – аналог угловой скорости вращения .
Лекция № 16. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (окончание)
Потенциальные векторные поля
Определение. Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторой скалярной функции
zyxuu ,, , т.е.
kzuj
yui
xuzyxa
,, .
uzyxa grad,, . Свойства потенциальных полей
01 . Линейный интеграл потенциального поля не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от конечных точек пути (рис. 1), т.е.
12
21
MuMurdaMM
.
arot
Рис. 9
Д о к а з а т е л ь с т в о
212121 MMMMMM
dzzudy
yudx
xudzRdyQdxPrda
2
1
12
M
M
MuMudu .
02 . Циркуляция по любому замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю, т.е.
0rda (рис. 2).
Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть – замкнутый контур. Возьмем любую точку 1M ,
.2 M
1
2
2
12121
M
M
M
MMMMM
ddrdardarda
02112 MMMM . 03 . Для того, чтобы векторное поле, заданное вектором
kzyxRjzyxQizyxPzyxa ,,,,,,,, ,
было потенциальным, необходимо и достаточно, выполнение следующие условия: 0rot a .
Д о к а з а т е л ь с т в о Необходимость. Пусть векторное поле zyxa ,, является
потенциальным, т.е. kzuj
yui
xua
.
Рис.1
2M 1M
1M
Рис.2
jyx
uzx
uiyz
uzy
u
zu
yu
xu
zyx
kji
a
00
rot
////
2222
0
0//
22
kxy
uyx
u
, т.к. частные производные отличаются
только порядком интегрирования. Достаточность. Пусть 0rot a , тогда для любого
замкнутого контура в векторном поле (формула Стокса)
00rot rdadnarda
dudzRdyQdxPdzRdyQdxP 0
zuR
yuQ
xuP
;; – поле потенциальное.
В силу свойства 03 потенциальное поле называется безвихревым.
З а м е ч а н и я: 1. 0 gradrot u .
2. Свойство 01 , позволяет по заданному градиенту восстановить потенциал поля, т.е. по частным производным
zu
yu
xu
;; восстановить функцию zyxu ,, (рис. 3).
Пусть задан kRjQiPaa
grad , где ;xuP
;yuQ
zuR
. Возьмем фиксированную точку 0000 ,, zyxM и любую
точку пространства zyxM ,, .
CzyxuMuMudurdaM
MMM
,,00
0 ,
т.е. потенциал восстанавливается с точностью до const . Поскольку линейный интеграл не зависит от пути интегрирования, возьмем его по прямым (рис. 4):
z
00 ,, zyxM0z
0,, zyxM
z zyxM ,,
x
y
y
0000 ,, zyxM
x 0y
0x
Рис.3
zyxM ,,
Рис. 4
02 ,, zyxM
0000 ,, zyxM
001 ,, zyxM
на yMM :10 и z – const ; xMM :21 и z – const ; xMM :2 и y – const .
MMMMMMMMMM
dzRdyQdxzyxPdzRdyQdxPrda2211000
,,
z
z
y
y
x
x
dzzyxRdyzyxQdxzyxP000
,,,,,, 000 .
Пример. Задано векторное поле
kxyzjxzyiyzxzyxa 222,, 222 .
Показать, что оно является потенциальным и восстановить потенциал.
1. Находим arot :
kyP
xQj
xR
zPi
zQ
yR
RQPzyx
kji
a
rot ;
022
xx
zQ
yR ; 022
yy
xR
zP ;
022
zz
yP
xQ 0rot a – поле потенциальное.
2. y
y
x
x
M
M
dyxzydxzyxdzRdyQdxP000
02
002 22
z
z
y
y
x
x
z
z
xyzzyxzyxzyxdzxyz0000
23
23
23
23
0
3
00
32
00
30
0
3
000
30
00
32
32
32
32
3yxzyyxzyxzyxxzyx
Cxyzzyxxyzzxyzz 2
3332
32
3
333
0
30
3.
Cxyzzyxu 2333
333
.
Соленоидное векторное поле
Определение. Поле называется соленоидным, если его векторы являются rot другого векторного поля, т.е.
zyxbzyxa ,,rot ,, ,
вектор b
называется вектором потенциалом поля a .
Свойства соленоидного (соленоидального, трубчатого) поля 01 . Для того, чтобы поле kRjQiPa
было соленоидным, необходимо и достаточно, чтобы 0 div a . Без доказательства.
02 . Внутри каждого объема в соленоидальном поле нет ни источников, ни стоков.
0div VV
dVadna .
Следовательно, внутри V нет ни источников, ни стоков. Иначе поток вектора в направлении векторных линий через каждое сечение векторной трубки один и тот же, т.е. в поле без источников через каждое сечение векторной трубки (часть пространства, ограниченная векторными линиями) протекает одно и то же количество жидкости (рис. 5).
sdsna
sdsna
0
.
Пример. Показать, что векторное поле
n
n
Рис. 5
0S
0S
kzyzjyzixyzyxa
2,,
является соленоидным.
0div
zyzyzR
yQ
xPa – соленоидное поле.
Лапласовы векторные поля (гармонические)
Определение. Векторное поле, которое является одновременно и потенциальным, и соленоидным, называется гармоническим или лапласовым полем.
Свойства 01 . В любой точке гармонического поля 0 div a и 0rot a . 02 . Поскольку поле потенциальное, то оно является полем
grad некоторого потенциала zyxu ,, , т.е. kzuj
yui
xua
, а
поскольку оно соленоидное, то 0 div 2
2
2
2
2
2
zu
yu
xua , т.е.
потенциал гармонического поля должен удовлетворять дифференциальному уравнению
02
2
2
2
2
2
zu
yu
xu .
(1) Уравнение (1) называется уравнением Лапласа, а функции
zyxu ,, , удовлетворяющие уравнению (1), – гармоническими.
Лекция № 17. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1. Ряд. Сумма ряда. Пусть дана бесконечная последовательность чисел
,,,, 21 nuuu . Определение. Выражение nuuu 21 называется
рядом, а ,,,, 21 nuuu – членами ряда.
Коротко ряд записывается так:
1nnu .
Выражение для n -го члена ряда при произвольном n называется общим членом ряда.
Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член ряда.
Чаще всего общий член ряда задается формулой ufun , пользуясь которой можно сразу написать любой член в ряд.
Например, если nnu21
, то ряд имеет вид
n21
161
81
41
21 .
Если !
1n
un , то ряд таков:
!
1!3
1!2
11n
.
Иногда ряд задается при помощи рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущими. При этом задаются несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся члены ряда. Например, пусть
11 u , 21
2 u , а рекуррентная формула такова: 21 31
21
nnn uuu .
Последовательно находим:
1271
31
21
21
3 u , 2411
21
31
127
21
4 u и т.д.
Таким образом, получаем ряд: 2411
127
211 – ряд
Фибоначчи или 121 uu ; 21 nnn uuu ; 2113853211 .
Пусть дан ряд nuuu 21 . Сумму первых n его членов обозначим через nS :
nn uuuS 21 , и назовем n-й частичной суммой ряда. Образуем теперь последовательность частичных сумм ряда:
;;
;
3213
212
11
uuuSuuS
uS
;;
21 nn uuuS
С неограниченным увеличением числа n в сумме nS учитывается все большее и большее число членов ряда. Поэтому естественно дать следующее определение.
Определение. Если при n существует предел последовательности частичных сумм членов данного ряда
SSnn
lim , то ряд называется сходящимся, а число его – S
суммой. Записывается это так: nuuuS 21 . Если последовательность nS не стремится к пределу, то ряд
называется расходящимся. Отметим, что ряд может расходиться в двух случаях: 1) если nS ; 2) если последовательность nS – колеблющаяся, т.е. когда нет
предела ни конечного, ни бесконечного, например nnS 1 .
В обоих этих случаях говорят, этот ряд суммы не имеет. Пример. Рассмотрим сумму членов бесконечной геометрической
прогрессии: 12 naqaqaqa . Сумма n первых членов прогрессии равна
11
q
qaSn
n .
Если 1q , то 0lim
nnq и поэтому
qa
qqaS
n
nnn
11
1limlim .
Следовательно, при 1q сумма членов бесконечной геометрической прогрессии образует сходящийся ряд, сумма
которого определяется формулой: q
aS
1
.
Если же 1q , то
nnqlim , а
nn
SS lim , т.е. ряд
расходится.
Пусть 1q . Ряд 0 aaaa , naSn ,
nanlim .
Если же 1q , то получается ряд aaaa . Его частичные суммы aS 1 , 02 S , aS 3 , 04 S и т.д., то
есть nS – колеблющаяся последовательность, ряд – расходится. Таким образом, бесконечно геометрическая прогрессия образует ряд, которых сходится при 1q и расходится при 1q .
В рассмотренном примере мы устанавливали сходимость или расходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и неизвестной формулой для n-й частичной суммы. Однако в большинстве случаев этим путем идти нельзя, т.к. очень трудно найти предел nS . Поэтому при выяснении сходимости ряда пользуются признаками сходимости. Сделаем предварительно несколько замечаний относительно сходящихся рядов.
Рассмотрим сходящийся ряд nuuuS 21 . Разность между суммой ряда и его n-й частичной суммой называется n-м остатком ряда. Остаток ряда есть, в свою очередь, сумма бесконечного ряда, обозначим её через nr . Имеем
21 nnnn uuSSr . Исходный ряд по предположению сходится, т.е. SSnn
lim .
Следовательно, абсолютная величина остатка nn SSr будет как угодно мала, если только число n взять достаточно большим. Таким образом, имеется возможность подсчитать приближенно сумму ряда, взяв достаточно большое число первых членов. Однако трудность заключается в выяснении величины возникающей ошибки. В дальнейшем на частных примерах мы рассмотрим, как иногда можно оценивать величину ошибки и тем самым устанавливать, сколько нужно брать членов ряда, чтобы получить сумму его с заданной точностью.
Приведем теперь простейшие свойства сходящихся рядов. Т е о р е м а 1. Если ряд nuuu 21 сходится и имеет
сумму S , то ряд, образованный из произведений всех членов данного ряда на одно и то же число : nuuu 21 , тоже сходится и имеет сумму S .
Д о к а з а т е л ь с т в о Для доказательства обозначим через nS – n-ю частичную
сумму первого ряда, через n – второго. Итак,
nnn Suuuu 321 . Следовательно, SSS nnnnnn
limlimlim .
Т е о р е м а 2. Если сходятся ряды nuuuS 21 , то ряд nS 21 , образованный сложением соответствующих членов данных рядов nnuuu 2211 , тоже сходятся и его сумма равна SS .
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть nS и nS – n-е частные суммы. Тогда nnnnn SSuu 11 ; nnnnnnnnnnn
SSSSSS
limlimlimlim .
С л е д с т в и е. SSuuu nn 2211 . Т е о р е м а 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд,
полученный из данного путем приписывания или отбрасывания любого конечного числа членов.
Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть дан сходящейся ряд nuuu 21 и мы
отбросили конечное число членов 151082 ,,, uuuu . Чтобы не менять нумерацию считаем, что их место заняли нули. Тогда при
15n частичные суммы будут отличаться друг от друга на постоянное слагаемое 151082 uuuu . Существует предел одной из частичных сумм, следовательно, существует предел другой, причем они отличаются на 151082 uuuu .
С л е д с т в и е. Если сходится ряд, то сходится и любой его остаток, и наоборот.
2. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
Т е о р е м а (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера.
Д о к а з а т е л ь с т в о Имеем nnnnn uSuuuuS 1121 ; если ряд
сходится, то SSnn
1lim и SSnn
lim .
Поскольку предел суммы равен сумме пределов, запишем
0limlimlimlim 11
SSuSSSSu nnnnnnnnnn.
С л е д с т в и е (достаточный признак расходимости ряда). Если 0nu , то ряд не может быть сходящимся, он расходящийся.
Пример.
1100301
32012
1011
nn – расходится,
т.к. 1100
nnun при n ; 0
1001lim
nn
u .
Рассмотрим ряд n1
31
211 , который называется
гармоническим.
Здесь 01
nun , тем не менее расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о Докажем, что nS при n . Для доказательства
заменим некоторые члены ряда меньшими числами и убедимся, что даже сумма меньших слагаемых будет стремиться к бесконечности. Выпишем несколько первых членов гармонического ряда, разбив их на группы следующим образом:
161
91
81
71
61
51
41
31
211 .
Заменим все слагаемые в скобках последним:
8161
91
481
71
61
51
241
31
211 .
Сумма слагаемых уменьшилась и стала равной 21 . Поскольку
таких скобок можно брать сколько угодно, сумма их будет . Таким образом, сумма меньших слагаемых , значит, сумма больших слагаемых, представляющих собой гармонический ряд, и подавно.
3. Ряды с положительными членами. Обратимся специально к рядам, все члены которых
положительны: nuuu 21 0nu . Иногда в целях
упрощения нумерации членов удобнее считать, что 0nu , т.е. что среди членов ряда есть равные нулю.
Исследование сходимости таких рядов значительно облегчается следующим простым предложением.
Л е м м а. Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху: MSn , то ряд сходится (это не распространяется на ряды с произвольными членами:
aaaa ; 0а ; aSn , но ряд расходится).
Д о к а з а т е л ь с т в о Т.к. все члены ряда положительны, то частичные суммы по
мере возрастания числа членов только возрастают: nSSS 21 .
Но если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то по признаку сходимости Вейерштрасса она имеет предел, также не превосходящий числа М. Следовательно,
SSnn
lim ; MS . И обратно, если ряд с положительными
членами сходится, то его частичные суммы ограничены сверху и меньше суммы ряда SSn .
Из доказанной леммы следуют признаки сравнения для рядов с положительными членами.
Лекция № 18 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ (окончание)
Признаки сходимости ряда Признаки сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:
,211
n
kk uuuu 0nu
(1) и
,211
n
kk 0n ,
(2)
пусть каждый член ряда (1) не больше соответствующего члена ряда (2), то есть
kku ; ,2,1k . (*)
Тогда: 1) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1), 2) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о
Докажем сначала первую часть. Положим
n
kkn uS
1
,
n
kkn
1
, т.к. ряд (2) по условию сходится, то n , а из
условия (*) следует, что
SSS nnnn lim
лемма.
Для доказательства второй части заметим, что поскольку ряд (1) расходится, его частичные суммы неограниченно возрастают,
nS , т.к. nn S , то и n . З а м е ч а н и е. Признаки сравнения применимы и в том
случае, когда условию (*) удовлетворяют члены ряда не при всех n, а лишь начиная с некоторого Nn (свойство 3 сходимости рядов).
Примеры.
1. Делаем, что ряд n
12
11 будет расходящимся.
Для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом
n1
211 , т.к.
nn11
при 1n и гармонический ряд
расходится, то расходится и данный. 2. Определить сходимость ряда
nn21
231
221
21
32 ? Члены данного ряда меньше
членов ряда n21
21
21
21
32 , состоящего из членов
убывающей геометрической прогрессии. Поэтому данный ряд сходится.
З а м е ч а н и е. Однако трудность применения признаков сходимости заключается в необходимости подбора другого ряда, а это не всегда просто.
Перейдем к установлению признака, который позволит в достаточно большом числе случаев устанавливать сходимость ряда исходя только из выражения для его членов.
Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами
nuuu 21 0nu . (**)
Если при n существует предел отношения последующего
члена к предыдущему n
n
uu 1 , равный :
n
nn u
u 1lim ,
то при 1 ряд сходится, при 1 ряд расходится, а при 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Делаем для 1 . В силу определения предела всегда можно выбрать такое число N, что при всех Nn будет справедливо
неравенство 11
n
n
uu , где 0 берется настолько малым,
чтобы 11 . Тогда 11
N
N
uu , 1
1
2
N
N
uu , 1
2
3
N
N
uu и т.д.
Мы имеем:
.;
;
;
31213
21112
11
NNN
NNN
NN
uuu
uuu
uu
Отсюда вытекает, что члены ряда 321 NNN uuu , представляющего N-й остаток данного ряда, меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
NNN uuu 31
211 (знаменатель её 11 ).
Следовательно, N -й остаток ряда сходится, но тогда сходится и сам данный ряд.
Примеры.
1. Рассмотрим ряд
1 2nn
n . Здесь nnnu2
, 11 21
nnnu . Поэтому
1211lim
21
2:
21lim 1
nnnn
nnnn – сходится.
2. Возьмем ряд
1
1
npn
. Для него
111
1
p
p
p
n
n
nn
nn
uu
при n независимо от показателя p . При 1p получается гармонический ряд – расходится, при 2p – ряд обратных квадратов – сходящийся. Так что при 1p вопрос открыт!
Признак Коши. Если для ряда с положительными (неотрицательными)
членами nuuuu 321
(***) величина n
nu имеет конечный предел при n , т.е. nnn
u
lim ,
то: 1) в случае 1 ряд сходится; 2) в случае 1 ряд расходится. Без доказательства. Пример. Исследовать сходимость ряда:
n
nn
1273
52
31 32
.
Применяя признак Коши имеем:
121
12lim
12limlim
nn
nnu
nn
n
nn
nn.
Ряд сходится.
Интегральный признак Коши. Приведем еще один признак, который позволяет иногда дать
ответ в тех случаях, когда признак Даламбера неприменим. Этот признак основан на сравнении данного ряда с несобственным интегралом от функции xf , значения которой при целых
значениях аргумента дают последовательно члены ряда nfufufu n ,,2,1 21 .
Т е о р е м а. Пусть дан ряд nuuu 21 , 0nu , члены которого являются значениями непрерывной функции xf при целых значениях аргумента x , и пусть xf монотонно убывает в интервале ,1 . Тогда ряд сходится, если сходится
несобственный интеграл
1
dxxf , и расходится, если этот
интеграл расходится. Д о к а з а т е л ь с т в о
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линией xfy , с основанием от 1x до nx , где n произвольное
целое положительное число (рис.1).
Площадь её измеряется интегралом n
n dxxfJ1
.
Отметим целые точки основания 1x , 2x , 1 nx , nx . Рассмотрим две ступенчатые фигуры: одна (входящая) имеет
площадь 1uSn , другая выходящая nn uJ , где nn uuuS 21 . Тогда имеем nnnn uSJuS 1 , отсюда
получаем два неравенства
(á)(a)
.;
1
1
uJSuJS
nn
nn
Рис. 1
0
xfy
y
x 1 2 3 1n n
1) Пусть nnn JJ
lim существует, тогда JJ n и из
неравенства (а) при всяком n находим: JuSn 1 , следовательно,
частичные суммы ограничены лемма ряд сходится.
2) Пусть J не существует, тогда nJ при n , поэтому на основании неравенства (б) заключаем, что nS ряд расходится.
Пример.
ppp
np nn
131
2111
1
– ряд Дирихле. Для этого
ряда мы установили, что признак Даламбера неприменим, т.к.
11
n
n
uu , при n . Применим к нему интегральный признак.
Очевидно, что подынтегральной функцией будет функция
pxxf 1 . Тогда
1lim1
11
1 1
1
1
1
p
x
p
p xpp
xdxx
.
Полученный интеграл ведет себя следующим образом:
если 1p , т.к. 0lim 1
p
xx и
11
1
pxdx
p – интеграл сходится,
если 1p , то интеграл расходится, т.к.
1lim p
xx ,
при 1p интеграл тоже расходится:
11
ln xx
dx .
Таким образом, получаем еще одно доказательство того, что гармонический ряд расходится.
З а м е ч а н и е. Ряд
1
1
npn
удобно применять в качестве
«эталона» в признаках сравнения. Например, легко с его помощью
установить сходимость ряда
13 1n nn , т.к. 23
11 nn
n
, а ряд
обратных квадратов сходится 2p 3 теорема
данный ряд сходится.
4. Ряды с произвольными членами. Абсолютная
сходимость. Знакочередующиеся ряды. Перейдем к рядам с членами,
имеющими любой знак. Прежде всего остановимся на так называемых знакочередующихся рядах. В таких рядах члены попеременно имеют то положительный, то отрицательный знак. Знакочередующийся ряд можно записать так:
321 uuu , (3)
где 321 ,, uuu – положительные числа. Возьмем перед всем рядом знак плюс, что,, конечно, не ограничит общности. Укажем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.
Т е о р е м а Лейбница. Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, т.е. в ряде (3)
321 uuu , и общий член 0nu , то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше первого члена, остаток ряда nr по абсолютной величине меньше первого из отбрасываемых членов.
Д о к а з а т е л ь с т в о 1) mn 2 , тогда mmm uuuuuuS 21243212 . mS2 , будучи
величиной положительной, возрастает с увеличением m. С другой стороны,
0
2543212
mm uuuuuuS .
По той же причине сумма в квадратных скобках положительна; из этого следует, что 12 uS m при любом m. Значит, mS2 как возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет SS m 2lim , причем 1uS (то, что сумма S строго меньше 1u , следует из того, что 3212 uuuS m при 2m ).
2) 12 mn . Имеем 12212 mmm uSS . При m и учитывая, что 012 mu , находим SSS mmmm
212 limlim .
Итак, nS при n имеет 1lim uS . Остаток ряда 21 nnn uur представляет собой ряд, удовлетворяющий
всем условиям признаки Лейбница, поэтому 1 nn ur , что и требовалось доказать.
Теорема Лейбница позволяет, в тех случаях когда она применима, не только установить сходимость ряда, но и оценить погрешность, допускаемую при отбрасывании всех членов ряда, начиная с некоторого .
Пример.
n1
41
31
211 – ряд сходится,
погрешность 1
131
2112ln
n меньше
n1 , говорят, что
погрешность приближенного равенства равна n1 .
Абсолютная сходимость. Для рядов с произвольным распределением знаков (знакопеременных) приведем только один важный признак сходимости.
Достаточный признак сходимости. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда сходится, то сходится и данный ряд.
Д о к а з а т е л ь с т в о Обозначим через nS сумму n первых членов ряда 21 uu
nu , через nS сумму всех положительных членов, а через
nS сумму всех отрицательных членов среди первых n членов
ряда. Тогда nnn SSS и nnn SS , где nn uuu 21 . Так как по условию n имеет предел, т.е.
nn
lim , а
nS и nS – положительные и возрастающие функции
от n, причем nnS и
nnS , то и они имеют пределы, т.е. nnn SSS при n SSn , что и требовалось доказать
SSS .
З а м е ч а н и е. Этот достаточный признак не является
необходимым, т.е. ряд
1nnu может сходиться и тогда, когда ряд
1nnu расходится.
Примеры.
1. n1
41
31
211 – сходится, а ряд
n1
31
211 – гармонический, расходится.
2.
12
sin
n nn ;
12
sin
n nn ; 22
1sinnn
n
и
1 34
12cos
nn
.
Определение. Ряд, абсолютные величины членов которого образуют сходящийся ряд, называется абсолютно сходящимся.
Если ряд сходится, а ряд, образованный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный ряд называется неабсолютно или условно сходящимся.
Указанное разграничение абсолютной и условной сходимостей рядов является весьма существенным.
Оказывается, что некоторые свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды, условно сходящиеся ряды этими свойствами не обладают, например, свойством коммутативности. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать: SSS .
Лекция № 19. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Определение. Ряд nuuu 21 называется функциональным, если его члены являются функциями от x.
Рассмотрим функциональный ряд xuxuxuxu n321 .
(*) Давая x определенные числовые значения, мы получаем
различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися и расходящимися.
Определение. Совокупность тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.
Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от x. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через xS .
Пример. Рассмотрим функциональный ряд nxxx 21 . Этот ряд сходится при всех значениях x в интервале 1,1 ,
т.е. при всех x, удовлетворяющих условию 1x . Для каждого значения x в указанном интервале сумма ряда определяется как сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем x. Таким образом, в интервале 1,1 данный ряд определяет
функцию x
xS
1
1 , которая является суммой ряда, т.е.
3211
1 xxxx
.
Мажорируемые ряды
Определение. Функциональный ряд xuxuxu 321 xun (*) называется мажорируемым в некоторой области
изменения x, если существует такой сходящийся числовой ряд n 321
(**) с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения
nn xuxuxuxu ;;;; 332211 (***)
Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.
Пример.
Ряд 222cos
33cos
22cos
1cos
nnxxxx мажорируемый на
всей оси Ox . Действительно, 221cosnn
nx ,2,1n , а ряд
221
11 23
1
как известно, сходится. Отметим некоторые важные свойства мажорируемых рядов
(без доказательства). Т е о р е м а 1. Пусть функциональный ряд xuxu 21 xun мажорируем на отрезке ba, . Пусть xS – сумма
этого ряда, xSn – сумма первых n членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа 0 найдется положительное число N такое, что при всех Nn будет выполняться неравенство xSxS n , каково бы ни было x из отрезка ba, .
Проиллюстрируем это геометрически (рис. 1). Рассмотрим
график функции xSy . Построим около этой кривой полосу шириной 2 , т.е. построим кривые xSy и xSy . Тогда при любом n , где Nn график функции nS будет целиком лежать в указанной полосе.
З а м е ч а н и е. Всякий ряд, обладающий указанным свойством (не обязательно мажорируемый), называется равномерно сходящимся рядом на отрезке ba, .
Т е о р е м а 2. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке ba, , есть функция, непрерывная на этом отрезке.
З а м е ч а н и е. Из теоремы 2 следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке ba, разрывна, то ряд не мажорируем на
xSy
b ]
[ a 0y
x
y
Рис. 1
этом отрезке. Обратное предложение неверно: существуют ряды, не мажорируемые на отрезке, и, однако, сходящиеся к непрерывной функции. В частности, всякий равномерно сходящийся ряд на отрезке ba, имеет в качестве суммы непрерывную функцию.
Интегрирование и дифференцирование рядов
Т е о р е м а 3. Пусть имеем ряд непрерывных функций
xuxuxu n21 , мажорируемый на отрезке ba, , и пусть xS есть сумма этого ряда. Тогда интеграл от xS в пределах от до x, принадлежащих отрезку ba, , равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда, т.е.
x
n
xxx
dttudttudttudttS
21 .
З а м е ч а н и е. Если ряд не мажорируем, то почленное интегрирование ряда не всегда возможно.
Т е о р е м а 4. Если ряд xuxuxu n21 ,
(1) составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке ba, , сходится на этом отрезке к сумме xS и ряд xu1 xuxu n2 , составленный из производных его
членов, мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, т.е.
xuxuxuxS n21 . (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о
Обозначим через xF сумму ряда xuxuxF 21 xun и докажем, что xSxF . Так как ряд (2) мажорируем, то на основании предыдущей
теоремы x
n
xxx
dttudttudttudttF
21 .
Произведя интегрирование, будем иметь:
nn
x
uxuuxuuxudttF 2211 .
Но по условию xuxuxuxS n21 ; nuuuS 21 ,
каковы бы ни были числа x и на отрезке ba, . Поэтому
SxSdttFx
. Дифференцируя по x обе части последнего
равенства, получим xSxF что и требовалось доказать. З а м е ч а н и е. Требование мажорируемости ряда
производных является весьма существенным. Покажем это на примере:
2
4
2
4
2
4 sin22sin
11sin
nxnxx .
Этот ряд сходится к непрерывной функции. Т.к. он мажорируем, тогда
22
4 1sinnn
xn .
Однако ряд, составленный из производных членов исходного ряда xnnxx 4242 cos2cos2cos – расходится. Так, например, при 0x он превращается в ряд 222 321 n и т.д.
Лекция № 20. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд n
n xxaxxaxxaa 02
02010 , члены которого суть произведения постоянных ,,,,, 210 naaaa на степенные функции с целыми неотрицательными показателями от разности 0xx .
Постоянные ,,,,, 210 naaaa называются коэффициентами степенного ряда. В частности, если 00 x , то получим
nn xaxaxaa 2
210 , (*)
т.е. ряд, расположенный по степеням x . Будем рассматривать именно такие ряды, а подстановка 0xxx преобразует всякий степенной ряд к виду (*).
Для удобства n-м членом степенного ряда называют член n
n xa , несмотря на то, что он стоит на 1n -ом месте. Свободный член ряда 0a считают нулевым членом ряда. Рассмотрим наиболее важные свойства степенных рядов.
Т е о р е м а Абеля. Если степенной ряд (*) сходится при 01 xx , то он сходится, и притом абсолютно, при всяком x
лежащем в интервале 11 x,x , т.е. удовлетворяющем условию
1xx . Д о к а з а т е л ь с т в о
Так как
11
n
nnxa сходится, то его общий член 01 n
nxa ,
поэтому все члены этого ряда ограничены, т.е. существует 0M , что при любом n имеет место Mxa n
n 1 . Запишем ряд (*) так:
nn
n xxxa
xxxa
xxxaa
11
2
1
212
1110
и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда:
n
nn x
xxaxxxa
xxxaa
11
2
1
212
1110 .
В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со
знаменателем 11
xx , значит, сходящейся.
n
xxM
xxM
xxMM
1
2
11 .
Поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана.
З а м е ч а н и е. Несмотря на то, что nn
nn xaxa 1 , мы не
можем воспользоваться признаком сравнения, т.к. в условии теоремы не сказано, что в точке 1xx ряд (*) сходится абсолютно.
С л е д с т в и е. Если степенной ряд (*) расходится при 1xx , то он расходится и при всяком x, большем по абсолютной величине, чем 1x , т.е. при 1xx . От противного.
Перейдем к установлению области сходимости степенного ряда (*). Здесь возможны три случая:
1) Область сходимости состоит только из одной точки 0x , т.е. расходится всюду, кроме 0x , например:
nn xnxx 2221 ; действительно при фиксированном x, начиная с достаточно большого n будет 11 nn xnnx , т.е. общий член ряда не стремится к нулю.
2) Область сходимости состоит из всех точек оси Ox , т.е.
сходится ряд при всех x. Рассмотрим ряд n
n
nxxx 2
2
21 .
Для любого x, начиная с достаточно большего n, будет 1nx . Так
как 2211
2,
1
nnnn
nx
nx
nx
nx и т.д.,
то начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, ряд сходится при любом x.
3) Область сходимости состоит больше, чем из одной точки оси Ox , причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости.
Например, ряд nxxx 21 , представляющий геометрическую прогрессию со знаменателем x, сходится при
1x и расходится при 1x . В третьем случае на числовой оси наряду с точками
сходимости ряда имеются и точки расходимости. Из теоремы Абеля и её следствия вытекает, что для каждого
степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для
x , по модулю меньших RxR , ряд абсолютно сходится, а для всех x , по модулю больших RxR , ряд расходится.
Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (*) называется такое число R, что для всех x , Rx , степенной ряд сходится, а для всех x , Rx , расходится. Интервал от Rx до
Rx называется интервалом сходимости. З а м е ч а н и е. Что касается значений Rx и Rx , то
здесь могут осуществляться различные возможности: ряд может сходиться в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно (позже рассмотрим примеры).
Для степенных рядов вида n
n xxaxxaxxaa 02
02010 центр интервала сходимости будет лежать не в точке 0x , или для (*), а в точке 0xx , следовательно, интервалом сходимости будет RxRx 00 , . Укажем способ отыскания радиуса сходимости степенного ряда.
Прежде всего отметим, что для нахождения радиуса сходимости можно исследовать ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда,
nn xaxaa 10 ,
(**) т.к. интервалы сходимости рядов (*) и (**) совпадают. Тогда к ряду (**), члены которого положительны, применим признак Даламбера.
Если, начиная с некоторого номера, члены ряда идут без пропусков, т.е. коэффициент ряда 0 , то предел отношения последующего члена ряда к предыдущему можно записать в виде:
1limlim 11
1
n
n
nnn
nn
n aa
xxaxa
;
xRaa
xRn
n
n 1lim 1lim 1
n
n
n aa
x .
Для тех значений x , при которых этот предел будет меньше 1, ряд сходится, а для тех, при которых больше 1, ряд расходится. Отсюда следует, что то значение x , при котором этот предел равен единице, и будет являться радиусом сходимости ряда.
Может случиться, что найденный предел при любом x будет равен нулю. Это значит, что ряд (*) сходится при всех x и его радиус сходимости R . Наоборот, если при всех 0x предел окажется равным бесконечности, то ряд будет всюду расходиться (кроме точки 0x ) и его радиус сходимости 0R .
Примеры. 1. Найти радиус сходимости ряда
42
!1
!21
!111 x
nxx .
Имеем
01!1
!11
nx
nxnx
uu
n
n
n
n , при Rx .
Отметим, что в силу необходимого признака общий член
стремится к нулю: 0!
lim n
xn
n, при x . Это замечание пригодится
в дальнейшем.
2. Возьмем ряд nxxx
42
21 .
Имеем
xn
nxxnnx
uu
n
n
n
n
11
11 1 x ряд
сходится, если 1x расходится. Итак, 1R . На концах интервала: при 1x получаем расходящийся (т.к. гармонический),
а при 1x ряд 31
2111 сходится неабсолютно (по
теореме Лейбница).
3. Исследуем ряд
2
121
2
5
2
3
121
53 nxxxx
nn .
Здесь
11212
1212 2
22
122
2121
Rx
nnx
xnnx
uu
n
n
n
n
при 1x сходится, при 1x расходится на концах абсолютно (проверить самостоятельно).
4. Найти интервал сходимости ряда
22
3
2
2
21
231
221
211
nxxxx n
.
Составим отношение:
121
121
211
11
nnx
xnnx
uu
nn
nn
n
n и найдем его предел
21
1lim
21
lim 1
xn
nxu
unn
nn
. 12
1
x ряд сходится
212 x . Таким образом, 3;1 с центром 1x . На концах, как в примере 2, проверить самостоятельно, 3x расходится, 1x сходится условно.
З а м е ч а н и е. Аналогичным образом для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Коши, и
тогда для ряда (*) n
nna
R
lim
1 , по признаку Даламбера,
1lim
n
nn a
aR .
Общие свойства степенных рядов.
Т е о р е м а. Степенной ряд nnxaxaxaa 2
210 (*) мажорируем на любом отрезке , , целиком лежащем внутри интервала сходимости (рис. 1).
Д о к а з а т е л ь с т в о По условию R , а поэтому числовой ряд (с
положительными членами) nnaaaa 2
210 сходится.
Но при x члены ряда (*) по абсолютной величине не
больше соответствующих членов сходящегося ряда. Следовательно, ряд (*) мажорируем на отрезке , , что и
Интервал сходимости
Интервал мажорируемости
0
Рис. 1
R R
требовалось доказать. Тогда на ряд (*) переносятся свойства мажорируемых функциональных рядов.
С л е д с т в и е 1. Сумма степенного ряда (*) есть функция непрерывная в интервале сходимости ряда.
С л е д с т в и е 2. Степенной ряд, полученный в результате почленного интегрирования ряда (*), в интервале x,0 сходится для RxR к соответствующему интервалу от суммы xf ряда (*), то есть
x
nn
xxxx
dxxadxxadxxadxadxxf00
22
01
00
0
RRxxnaxaxaxa nn ,,
13213221
0
.
Говоря коротко: степенной ряд в интервале его сходимости можно интегрировать почленно.
С л е д с т в и е 3. Степенной ряд, полученный в результате почленного дифференцирования ряда (*), сходится в интервале RR, к производной от суммы xf ряда (*), т.е.
RRxxnaxaaxf nn ,,2 1
21 , или степенной ряд в интервале его сходимости можно дифференцировать почленно.
Применяя следствие 3 к первому произвольному ряду, найдем RRxxannaxf n
n ,,12 22 ,
ещё раз, получим 33 2123 n
n xannnaxf и т.д.
Итак, степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз.
Лекция № 21. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Ряд Тейлора и Маклорена. Известно, что для функции xf , имеющей все производные до 1n -го порядка включительно, в окрестности точки 0xx (т.е. на некотором интервале, содержащем точку 0xx ) справедлива формула Тейлора:
0
20
00
0 211xfxxxfxxxfxf
,! 10
0 xRxfnxx
nn
n
(1) где так называемый остаточный член xRn 1 вычисляется по формуле
10,!1 00
11
01
xxxfn
xxxR nn
n .
Если функция xf имеет производные всех порядков в окрестности точки ax , то в формуле Тейлора число n можно брать сколько угодно большим. Тогда, переходя к пределу при
n , получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:
af
naxafaxafxf n
n
!!1 .
(2) Последнее равенство справедливо тогда и только тогда, когда
0lim
xRnn.
(3) То есть условие (3) является необходимым и достаточным
для того, чтобы ряд Тейлора сходился и имел своей суммой xf . Достаточность: xRxPxf nn ,
где
af
naxafaxafxP n
n
n !!1; т.к.
0lim
xRnn, то xPxf nn
lim , но xPn есть n -я частичная
сумма ряда (2), её предел равен сумме ряда, значит, равенство (2) справедливо.
Необходимость: 0lim
xRnn ряд не представляется
данной функцией (хотя и может сходиться к другой функции). Если в ряде Тейлора положим 0a , то получим частный
случай ряда, который называют рядом Маклорена:
0!
0!2
0!1
02
nn
fnxfxfxfxf .
(4) З а м е ч а н и е. Если для какой-нибудь функции формально
написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд
представляет данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член 0 , либо каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции, в частности, можно пользоваться такой теоремой.
Т е о р е м а. Если в некотором интервале точки ax , абсолютные величины всех производных функции xf ограничены одним и тем же числом, то функция xf в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
Д о к а з а т е л ь с т в о Для каждой из элементарных функций существуют a и R
такие, что в интервале RaRa , она разлагается в ряд Тейлора или (если 0a ) в ряд Маклорена.
Примеры. 1. xxf sin . Ранее мы получили формулу
xRnxxxxx n
nn
2
121
53
!121
!5!3sin
.
Было доказано также, что 0lim 2
xR nn, тогда получаем
разложение xsin в ряд Маклорена:
!121
!5!3sin
121
53
kxxxxx
kk .
(5) Так как остаточный член 0 при x , то данный ряд
сходится и имеет в качестве суммы функцию xsin при x . Этим рядом пользуются для вычисления значений xsin при
различных значениях x. Например, вычислить 10sin с точностью до 510 .
174533,018
10 , то
753
18!71
18!51
18!31
1810sin .
Ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получим 3
1801
1818sin
.
Определим погрешность
655
1042,0120
118!5
1
.
В результате значение 10sin с точностью до 510 выразится числом 173647,0 , или
173647,018
sin .
2. xexf . Формально имеем:
!!3!2
132
nxxxxe
nx ,
(6) 0lim
xRnn
, x , так как Mex . Заменить x на x , получим
!1
!4!3!21
432
nxxxxxe
nnx .
(7) 3. xxf cos .
!2
1!6!4!2
1cos2642
nxxxxx
nn ,
(8) сходится при ,x .
4. 2
shxx eexxf
;
2ch
xx eexxf
.
Разложение этих функций легко получается путем вычитания или сложения рядов (2) и (3) и деления на два:
!12!7!5!3sh
12753
nxxxxxx
n;
(9)
!2!6!4!2
1ch2642
nxxxxx
n .
(10) 5. Разложим в ряд Маклорена функцию
mxxf 1 , Rm . З а м е ч а н и е. mx не рассматриваем потому, что если m не
целое положительное число (а только такой случай и интересен),
то производные от mx , начиная с некоторой в точке 0x , не существует.
Итак, 10 f , mxmf xm
0110 ,
,1110 02
mmxmmf xm ,
,111110 0 nmmmxnmmmf x
nmn
, Следовательно,
nm x
nnmmmxmmmxx
!11
!2111 2 .
Установим область сходимости ряда. Найдем предел абсолютной величины отношения последующего члена к предыдущему:
.1
lim
!11:
!111lim 1
xn
nmx
xn
nmmmxn
nmnmmm
n
nn
n
Согласно признаку Даламбера ряд сходится, если 1x , и расходится, если 1x . Доказательство того, что ряд сходится именно к рассматриваемой функции, вследствие его сложности опустим.
Итак, биномиальный ряд представляет функцию mx1 в интервале 1,1 .
nm x
nnmmmxmmmxx
!11
!2111 2 .
(11) З а м е ч а н и е. Если m – целое положительное число, то ряд
(11) обращается в формулу бинома Ньютона, если 0m , то ряд сходится к mx1 на отрезке 1,1 .
Частные виды биномиального ряда 1) 1m .
nn xxxxx
111
1 32 , 1,1x
– геометрическая прогрессия.
2) 21
m .
432
8642531
64231
421
2111 xxxxx
.1,1,28642
325311 1
xxn
n nn
3) 21
m .
,2642
125311642531
4231
211
11 132
nn xn
nxxxx
1,1x .
6. xxf 1ln . Воспользуемся свойствами степенных рядов.
1,1,111
1 32
xxxxxx
nn .
(*)
0
11
1
n
nn xx
.
Проинтегрируем ряд (*) в пределах от 0 до x .
Т.к. xxx
dx xx
1ln1ln
1 00
, то интегрируя почленно
кривую часть ряда (*), получим
1,1,1432
1ln 1432
xnxxxxxx
nn
.
(12) 7. Совершенно аналогично получается разложение функции
xxf arctg в ряд Маклорена. Для этого заменив в ряде (*) x на 2x , получим:
1,1,111
1 26422
xxxxx
xnn .
(**) Интегрируя в пределах от 0 до x и считая, что 1x имеем:
1,1,12
1753
arctg12
1753
xn
xxxxxxn
n .
(13)
З а м е ч а н и е 1. Можно доказать, что разложение (13) верно
и при 1x . Так, 71
51
311
41arctg .
З а м е ч а н и е 2. Разложения (5), (6), (8), (11)-(13) следует запомнить, т.к. многие другие функции могут быть разложены в ряды при помощи них (например, (7), (9),(10)).
З а м е ч а н и е 3. Полезно самостоятельно найти разложение функции xxf arcsin в ряд Маклорена.
Лекция № 22. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕЙЛОРА
I. Интегрирование функций
1. Допустим, что нужно найти интеграл x
a
dxxfxF ,
причем известно разложение подынтегральной функции xf в ряд Тейлора, а пределы интеграла лежат внутри интервала сходимости ряда. Тогда ряд можно интегрировать почленно. В результате получится ряд Тейлора для функции xF , имеющей тот же радиус сходимости, что и ряд для подынтегральной
функции xf . Если интеграл x
a
dxxfxF выражается в
конечном виде, то xF элементарная и мы находим её разложение в ряд Тейлора. Именно так мы поступали при разложении функций x1ln , xarctg . Если же интервал
x
a
dxxfxF в элементарных функциях не выражается, то
найденный ряд может служить выражением неэлементарной функции xF через самые простые основные элементарные функции – степенные, но уже не конечным выражением, а бесконечным. Представление с помощью бесконечных рядов не хуже, а во многих отношениях значительно удобнее, чем их представление с помощью конечного числа основных элементарных функций.
Пример.
x
xSidxx
x
0
sin – интегральный синус.
Делим ряд для xsin на x , получим
,,!12
1!5!3
1sin 242x
nxxx
xx n
n .
Интегрирование дает
12!121
5!53!3sin 12
152
0
nnxxxxdx
xxxSi
nn
x
,
ряд не сходится ни к какой элементарной функции, он является аналитическим заданием новой функции, но посредством не
конечного, а бесконечного числа операций. Функция x
dxx
x
0
sin
часто встречается при изучении некоторых разделов теоретической физики. С помощью приведенного ряда составлены все подробные таблицы.
2. При изучении теории вероятностей важную роль играет
функция dxexFx x
0
2
2
21
, называемая функцией Лапласа или
интегралом вероятностей. Вычислить интеграл в конечном виде
нельзя, т.к. dxex
2
2
не выражается в элементарных функциях. Разложим подынтегральную функцию в ряд, для чего в
разложение xe подставим взамен x величину 2
2x :
!21
!33!2221
2
2
6
2
422
2
kxxxxe k
kk
x
.
Тогда xF представится бесконечным рядом
12!127!325!223!1221
1
12
3
7
2
5
1
3
kkxxxxxxF k
k
,
сходящимся на всей числовой оси
11
121
12!121
21
kk
kk
kkx
. Значения xF удобно, т.к. ряд
сходится быстро.
3. Вычислим интеграл
21
041 x
dx .
В принципе этот интеграл можно выразить в элементарных функциях:
Cx
xxxxx
xdx
22
2
4 12arctg
42
1212ln
241
1.
Однако его выражение, как мы видим, сложно и мало удобно для вычислений.
В то же время, разложив подынтегральную функцию в ряд
,11
1 12844
xxx
x
9511 9
0
5
4xxx
x
x
,
мы сразу получим
91
21
51
21
21
1
9521
04x
dx .
Если ограничиться двумя первыми членами ряда (при этом
ошибка не превосходит 0002,091
21 9
), то 4938,0
1
21
04
xdx .
II. Интегрирование дифференциальных уравнений
Пусть задано дифференциальное уравнение и начальные
условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности точки 0x , в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд, расположенный по степеням разности 0xx :
202010 xxaxxaay .
Продифференцируем этот ряд с неопределенными коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и её производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из
которого и определяем неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда (их число равно порядку уравнения) определяются из начальных условий. Если полученный ряд сходится, то он и выражает искомое решение. Достаточно большое число членов ряда дает нам как угодно хорошее приближенное выражение решения в виде многочлена. Особенно удобно решать с помощью рядов линейные дифференциальные уравнения.
Пример. 1. 0 xyy при ;00 xy 10
xy . Решение будем искать в виде ряда, расположенного по степеням x :
nn xaxaxaay 2
210 . Коэффициенты 0a и 1a находим из начальных условий:
;000 xya 101 xya .
121 2 n
n xanxaay . Дважды дифференцируем ряд:
232 1232 n
nxannxaay . Подставляя в уравнение вместо y и y их разложения,
получаем тождество
2
33
222
32 1232 nn
nn xaxaxxannxaa
. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x ,
находим: 02 a , 03 a , 31, nn aann . Поэтому 43
14 a ,
05 a , 06 a , 7643
17 a , 08 a , 09 a ,
10976431
10 a и
вообще 0313 mm aa ; 13376431
13 mm
a m
.
Значит,
1374
13376431
76431
431 mx
mmxxxy .
С помощью признака Даламбера легко убедиться в том, что этот ряд сходится во всех точках числовой оси Ox и, следовательно, представляет искомое решение при всех x . Заметим, что порядок уравнения нисколько не влияет на метод решения его при помощи рядов.
2. 12 xyy при 01 xy . Это уравнение нелинейное, и поэтому подстановка вместо функции y её разложения в ряд
2210 11 xaxaay
привела бы к сложным уравнениям для определения коэффициентов.
Поэтому обычно поступают иначе. Продифференцируем уравнение несколько раз подряд:
.2666
;224
;2
2
2
2
yxyyyxyyyy
yyxyxyyy
yxyyy
v
Полагая в самом уравнении и во всех этих равенствах 1x и принимая во внимание, что 01 xy , последовательно найдем
,6,2,0,11111 x
vxxx yyyy
Так как
,31
!31,0
!21,1,0
13
121110
xxxx yayayaya
,41
!41
14 x
vya , то
nxxxxy
n141
311
43
.
III. Приближенное вычисление значений функций
Допустим, нам известны значения самой функции xf и её
последовательных производных в некоторой точке 0x и мы доказали, что функция xf в окрестности точки 0x разлагается в ряд Тейлора.
Тогда точное значение функции xf в любой точке этой окрестности может быть вычислено по ряду Тейлора, а приближенное – по частичной сумме этого ряда. Оценка остатка позволяет определить требуемое число слагаемых, то есть степень многочлена xRxfxP nn . При этом необходимо иметь в виду следующие:
1. Если рассматриваемый ряд знакочередующийся и его члены по абсолютной величине убывают (т.е. удовлетворяют условиям
теоремы Лейбница), то остаток ряда имеет знак своего первого члена и по абсолютной величине меньше его.
2. В случае знакоположительного ряда дело обстоит сложнее. Здесь стараются подобрать другой положительный ряд с большими, чем у данного, членами, который бы легко суммировался, и в качестве оценки для остатка берут величину остатка нового ряда.
Примеры.
1.
12
1
m m, получим оценку
1112
111
11
11
nmnmnmn nmmmmm
xR .
2.
1 !
11m
, оценка:
nnnnmnnmxR
nmnm
nmnmn !
111
!1
11
!1
!1
111
.
Лекция № 23. РЯДЫ ФУРЬЕ
Определение. Постановка задачи
Определение. Функциональный ряд
xbxaxbxaa 2sin2cossincos2 22110
вида или, более сжато, ряд вида
1
0 sincos2 n
nn nxbnxaa
(1) называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа naa ,0 и nb ,2,1n называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция xf с периодом 2 , так как nxsin и nxcos являются периодическими функциями с периодом 2 . Таким образом, 2 xfxf .
Поставим следующую задачу. Дана функция xf периодическая с периодом 2 . При каких условиях для xf
можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции? Эта задача и будет решаться в данной лекции.
Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье Пусть периодическая с периодом 2 функция xf такова,
что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале , , т.е. является суммой этого ряда:
1
0 sincos2 n
nn nxbnxaaxf .
(2) Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой
части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда (2). Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т.е. сходится положительный числовой ряд.
nn bababaa2211
0
2 .
(3) Тогда ряд (1) мажорируем и, следовательно, его можно
почленно интегрировать в промежутке от до . Используем это для вычисления коэффициента 0a .
Проинтегрируем обе части равенства (2) в пределах от до :
1
0 sincos2 n
nn dxnxbdxnxadxadxxf
.
Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в первой части:
00
2adxa
;
0sincoscos
n
nxadxnxadxnxa nnn ;
0cossinsin
nnxbdxnxbdxnxb nnn .
Следовательно, 00
2adxa
, откуда
dxxfa
1
0 .
(4) Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам
потребуются некоторые определенные интегралы, которые мы и рассмотрим предварительно.
Если n и k – целые числа, то имеют место следующие равенства: если kn , то:
I
;0sinsin
;0sincos
;0coscos
dxkxnx
dxkxnx
dxkxnx
, если же kn , то:
II
.0sin
;0sincos
;cos
2
2
dxkx
dxkxkx
dxkx
Например, т.к. xknxkndxkxnx coscos21coscos , то
0cos21cos
21coscos dxxkndxxkndxkxnx .
Аналогично можно получить и остальные формулы группы (I). Формулы группы (II) вычисляются непосредственно. Теперь мы можем вычислить коэффициенты ka и kb ряда (2). Для
разыскания коэффициента ka при каком-либо определенном значении 0k умножим обе части равенства (2) на kxcos :
1
0 cossincoscoscos2
cosn
nn kxnxbkxnxakxakxxf .
(*) Ряд, получившийся в первой части равенства, мажорируем,
т.к. его члены не превосходят по абсолютной величине членов сходящегося положительного ряда (3). Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке.
Проинтегрируем равенство (*) в пределах от до :
.cossin
coscoscos2
cos1
0
dxkxnxb
dxkxnxadxkxadxkxxf
n
nn
Принимая во внимание формулы (II) и (I), видим, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом ka . Следовательно,
kk adxkxadxkxxf
2coscos , откуда
dxkxxfak
cos1 .
(5) Умножая обе части равенства (2) на kxsin и снова интегрируя
от до , найдем, откуда
kk bdxkxbdxkxxf
2sinsin .
dxkxxfbk
sin1 .
(6) Коэффициенты, определенные по формулам (4), (5) и (6),
называются коэффициентами Фурье функции xf , а тригонометрический ряд (1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции xf .
Возвратимся теперь к вопросу, поставленному нами в начале лекции: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках (т.е. сходился именно к этой функции)? Достаточные условия представимости функции xf рядом Фурье дает следующая теорема:
Т е о р е м а. Если периодическая функция xf с периодом 2 кусочно монотонная и ограниченная на отрезке , , то
ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда xs равна значению функции xf в точках непрерывности функции.
В точках разрыва функции xf сумма ряда равняется
среднему арифметическому пределов функции xf справа и слева (т.е. если cx – точка разрыва функции xf , то
200 cfcfxs cx .
Данную теорему мы приводим без доказательства. В лекции будет дано доказательство другого достаточного признака разложимости функции в ряд Фурье, который относится в некотором смысле к более узкому классу функций.
З а м е ч а н и я: 1) если функция xf – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке ba, , то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если cx есть точка
xfy
xfy
0cf 0cf
0 c x
y
Рис.1
разрыва функции xf , то в силу монотонности функции существуют пределы
0lim0
cfxfcx
, 0lim0
cfxfcx
,
т.е. точка c есть точка разрыва первого рода (рис. 1); 2) из этой теоремы следует, что класс функций, представимых
рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных областях математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики.
Лекция № 24. РЯДЫ ФУРЬЕ (окончание)
Примеры разложения функций в ряды Фурье
Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье. Примеры. 1. Периодическая функция xf с периодом 2 определена
следующим образом: xxf , x .
Эта функция кусочно-монотонная и ограниченная (рис. 1). Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.
По формуле (4) лекции №23 находим
02
11 2
0
xdxxa .
Применяя формулу (5) лекции №23 и интегрируя по частям, найдем
0sin1sin1cos1
dxkxkk
kxxdxkxxak .
По формуле (6) лекции №23 находим
k
dxkxkk
kxxdxkxxb kk
21cos1cos1sin1 1
.
Таким образом, получаем ряд
kkxxxxxf k sin1
33sin
22sin
1sin2 1 .
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому её пределов справа и слева, т.е. нулю (рис. 1).
2. Периодическая функция xf с периодом 2 определена
следующим образом: xxf при 0 x , xxf при x0
(т.е. xxf ) (рис.2). Эта функция также кусочно-монотонная и ограничена на отрезке x .
Определим её коэффициенты Фурье:
0
00
11 dxxdxxdxxfa ,
000
0
sin1sin1coscos1
dxkx
kkkxxdxkxxdxkxxak
0
0
00
coscos1sin1sink
kxk
kxk
dxkxkk
kxx
5 4 3 2 0 2 3 4 5 x
y
Рис.2
y
3 3
x 4 2 0 2 4
Рис. 1
нечетном; при,4четном; при,0
1cos22
2 -kk
-kk
k
0sinsin1 0
0
dxkxxdxkxxbk .
Таким образом, получим ряд
2222 1212cos
55cos
33cos
1cos4
2 pxpxxxxf
.
Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции (рис.2).
3. Периодическая с периодом 2 функция xf определена следующим образом:
1xf при 0 x , 1xf при x0 .
Эта функция кусочно-монотонная и ограничена на отрезке x (рис. 3).
Вычислим её коэффициенты Фурье:
0111 0
00
dxxdxdxxfa ;
1212sin
33sin
1sin4
nxnxxxf
.
0
0
coscos1cos1
dxkxdxkxdxkxxfak
1
1
3 2 0 2 3 x
y
Рис. 3
.0sinsin1
0
0
kkxx
kkxx
нечетном. при,4четном; при,0
cos12cos2sin2 0
0
-kk
-k
kkk
kxdxkxbk
З а м е ч а н и е. О разложении периодической функции в ряд Фурье.
Отметим следующее свойство периодической функции x с периодом 2 .
2
dxxdxx , .
Действительно, так как 2 , то полагая 2x , можно записать при c и d :
2
2
2
2
2
2
2d
c
d
c
d
c
d
c
dxxdddxx .
В частности, полагая ,; dc получим
2
dxxdxx , поэтому
.
22
dxxdxxdxxdxx
dxxdxxdxxdxx
Вывод. Интеграл от периодической функции x по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение.
Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования , промежутком интегрирования 2, , т. е. можно положить (рис. 4)
.sin1
;cos1,1
2
22
0
dxnxxfb
dxnxxfadxxfa
n
n
(1) 4. Разложим в ряд Фурье функцию xf с периодом 2 ,
которая на отрезке 20 x задана равенством xxf (рис. 5). Эта функция на отрезке , задается двумя формулами:
2 xxf на 0, и xxf на ,0 . В то же время на отрезке 2,0 функция xf гораздо проще задается одной формулой xxf . Поэтому воспользуемся формулами (1) , приняв 0 :
211 2
0
2
00 dxxdxxfa ;
x
2
2 0 2 3 4 5 6
y
Рис. 5
3 4 2 x
y
Рис. 4
2
0cossin1cos1cos1 2
02
2
0
2
0
nnx
nnxxdxnxxdxnxxfan ;
nn
nxn
nxxdxnxxdxnxxfbn2sincos1sin1sin1 2
02
2
0
2
0
.
Следовательно,
nxn
xxxxf sin23sin322sin
22sin
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Из определения четной и нечетной функций следует, что если
x – четная функция, то
0
2 dxxdxx , xx
xx
0
0, от до 0.
Действительно,
0 00
0
dxxdxxdxxdxxdxx
000
2 dxxdxxdxx , что и требовалось доказать,
xx т.к. . Аналогично можно доказать, что если x нечетная
функция, то
00 000
dxxdxxdxxdxxdxx .
Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция xf , то произведение есть функция kxxf cos также нечетная, а kxxf sin – четная
010
dxxfa
;
0cos1
dxkxxfak
;
dxkxxdxkxxfbk sin2sin1
0
,
т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то
произведение kxxf sin есть функция нечетная, а kxxf cos – четная и, следовательно,
dxxfa
0
02 ; dxkxxfak cos2
0
; 0kb ,
т.е. ряд Фурье содержит «только косинусы». Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при
отыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданного функция является четной или нечетной.
Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье четную функцию
xf с периодом 2 , на отрезке ,0 она задана равенством xy (или xy на , . Эту функцию мы уже разлагали в
ряд Фурье (см. пример 2). Сейчас используем тот факт, что y – четная, тогда 0kb .
dxxa
0
02 ;
02
0
cossin2cos2k
kxk
kxxdxkxxak
нечетном. при,4четном; при,0
1122
2 -kk
-k
kk
222 1212cos
33cos
1cos4
2 kxkxxxf
.
Ряд Фурье для функции с периодом 2
Пусть xf есть периодическая функция с периодом 2 ,
вообще говоря, отличным от 2 . Разложим её в ряд Фурье.
Сделаем замену переменной по формуле tx
.
Тогда функция
tf будет периодической функцией от t с
периодом 2 . Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке x .
1
0 sincos2 k
kk ktbktaatf ,
(2)
где 010
dttfa
; dtkttfak cos1
;
dtkttfbk sin1
.
Возвратимся теперь к старой переменной x :
xttx
; dxdt
.
Тогда будем иметь: t , то x .
.sin1
;cos1;010
dxxkxfb
dxxkxfadxxfa
k
k
(3) Формула (2) получит вид
1
0 sincos2 k
kk xkbxkaaxf
,
(4) где kk baa ,,0 вычисляются по формулам (2). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 . На него распространяются все свойства рядов для функции с периодом 2 .
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию xf с периодом 2 , которая на отрезке , задается
равенством xxf (рис. 6).
Решение. Так как рассматриваемая функция четная, то
0kb ;
dxxa0
02 ,
нечетном. при,4четном; при,0
cos2cos2220
20
-kk
-kdxkxxdxxkxak
Следовательно, разложение имеет вид
2222 12
12cos
3
3cos
1
cos42 k
xkxxx
.
О разложении в ряд Фурье непериодической функции
Пусть на некотором отрезке ba, задана кусочно-
монотонная функция xf . Покажем, что данную функцию xf в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную кусочно-монотонную функцию xf1 с периодом ab 2 (рис. 7), совпадающую с функцией xf на отрезке ba, (т.е. дополним определение функции xf ).
Рис. 6
5 4 3 2 0 2 3 4 5 x
y
Разложим xf1 в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках
отрезка ba, (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией xf , т.е. мы разложим функцию xf в ряд Фурье на отрезке ba, .
Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция xf задана на отрезке ,0 . Дополняя определение этой функции произвольным образом (четное или нечетное продолжение) на отрезке 0, , раскладываем её в ряд Фурье (рис. 8, а), б)).
Примеры. 1. xxf на отрезке ,0 в ряд Фурье по синусам (рис. 9).
Решение. Продолжая эту функцию нечетным образом, получим ряд
33sin
22sin
1sin2 xxxx .
xfxf 1
x 0 a b 2 4
y
Рис. 7
«Четное продолжение»
0 x x
y y
0
Рис. 8
«Нечетное продолжение» а) б)
2. Разложить функцию xxf на отрезке ,0 в ряд по
косинусам. Решение. Давая этой функции на отрезке , четное
продолжение, т.е. xxf , получим (рис. 10)
222 5
5cos3
3cos1
cos42
xxxx
.
Итак, на отрезке ,0 имеет место равенство
222 5
5cos3
3cos1
cos42
xxxx
.
Лекция № 25. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО
МНОГОЧЛЕНА
Представление функции бесконечным рядом (Фурье, Тейлора и т.д.) имеет на практики тот смысл, что конечная сумма, получающаяся при обрывании ряда на n -ом члене, является приближенным выражением разлагаемой функции; это приближенное выражение можно довести до какой угодно степени
0
x
y
Рис. 9
0 x
y
Рис. 10
точности путем выбора достаточно большого значения n . Однако характер приближенного представления может быть различным.
Так, например, сумма n первых членов ряда Тейлора nS совпадает с рассматриваемой функцией в одной точке и в этой точке имеет производные до n -го порядка, совпадающие с производными функции.
Прежде чем рассмотреть, какой характер имеет приближенное представление периодической функции xf тригонометрическими многочленами вида
1
0 sincos2 k
kkn kxbkxaaxS ,
где kk baa и ,0 – коэффициенты Фурье, т.е. суммой n первых членов ряда Фурье, сделаем несколько замечаний. Допустим, что рассматриваем некоторую функцию xfy на отрезке ba, и хотим оценить погрешность при замене этой функции другой – x . Можно за меру погрешности взять xxf max на
отрезке ba, , т.е. так называемое наибольшее уклонение функции x от функции xf (рис. 1).
Но иногда естественнее за меру погрешности необходимо брать так называемое среднее квадратичное уклонение , которое определяется равенством
b
a
dxxxfab
22 1 .
На рис. 1 видно различие между средним квадратичным уклонением и наибольшим уклонением.
xfy
x
0 b a x
y
Рис. 1
Вернемся теперь к нашей задаче. Пусть дана периодическая с периодом 2 функция xf . Среди всех тригонометрических многочленов n -го порядка:
n
kkk kxkx
1
0 sincos2
.
Требуется найти путем выбора коэффициентов k и k тот многочлен, для которого среднее квадратичное уклонение, определяемое равенством
dxkxkxxfn
kkk
2
1
02 sincos22
1 ,
имеет наименьшее значение. Задача сводится к нахождению минимума функции 12 n
переменных nn ,,,,,, 110 . В результате получим, что среди всех тригонометрических многочленов порядка n наименьшее среднее квадратичное уклонение от функции xf имеет тот многочлен, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье функции xf .
Величина наименьшего квадратичного уклонения равна
n
kkkn baadxxf
1
222022
21
221 .
Так как 02 n , то при любом n имеем
n
kkk baadxxf
1
22202
21
221 .
Следовательно, ряд, стоящий справа, при n сходится, и можно записать
1
22202
21
kkk baadxxf .
(1) Это соотношение называется неравенством Бесселя. Отметим без доказательства, что 02 n при n . Тогда из
формулы (1) вытекает равенство
dxxfbaa
kkk
2
1
2220 12
,
которое называется равенством Ляпунова-Парсеваля. Это равенство доказано для значительно более широкого
класса функции, чем тот, который мы рассматриваем (т.е. кусочно-монотонных функций). Таким образом, для функции, удовлетворяющей равенству Ляпунова-Парсеваля, соответствующий ряд Фурье дает среднее квадратичное уклонение, равное нулю.
Отметим без доказательства также следующее свойства коэффициентов Фурье для кусочно непрерывной на отрезке ba, функции xf .
Т е о р е м а. Если функция xf – кусочно непрерывная на отрезке , ba, , то её коэффициенты Фурье стремятся к нулю при n :
0lim
nna ; 0lim
nn
b .
Интеграл Дирихле
Рассмотрим n -ю частичную сумму ряда Фурье для
периодической функции xf с периодом 2 :
n
kkkn kxbkxaaxS
1
0 sincos2
,
где dxkxxfak cos1
; dxkxxfbk sin1
; dxxfa
1
0 .
Подставляя эти выражения в формулу для xSn , преобразуя, получим
dn
xfxSn
2sin2
212sin1
.
(2) Интеграл, стоящей в правой части формулы, называется
интегралом Дирихле. Положим в этой формуле 1xf , тогда 20 a ; 0 ka ; 0kb при 0k , следовательно, 1xSn при любом n . В
результате получим тождество
1
2sin2
212sin1
dn
.
Практический гармонический анализ
Теория разложения функций в ряды Фурье называется
гармоническим анализом. Сделаем несколько замечаний о приближенном вычислении
коэффициентов ряда Фурье, т.е. о практическом гармоническом анализе.
Как известно, коэффициенты Фурье для функции xf , имеющей период 2 , определяются по формулам:
dxxfa
1
0 ; dxkxxfak cos1
; dxkxxfbk sin1
.
Во многих случаях, встречающихся на практике, xf задается или в виде таблицы (когда функциональная зависимость получается в результате эксперимента), или в виде кривой, которая вычерчивается каким-либо прибором. В этих случаях коэффициенты Фурье вычисляются при помощи приближенных методов интегрирования.
Будем рассматривать промежуток x длины 2 . Этого можно добиться соответствующим выбором масштаба по оси Ox . Разделим промежуток , на n равных частей точками 0x , nxx ,,1 . Тогда шаг деления будет равен
nx 2 . Значения функции xf в точках nxxx ,,, 10 обозначим
соответственно через nyyy ,,, 10 . Эти значения мы определяем или по таблице, или по графику
данной функции измерением соответствующих ординат. Тогда, пользуясь, например, формулой прямоугольников, определяем коэффициенты Фурье:
n
iiy
na
10
2 ; i
n
iik kxy
na cos2
1
; i
n
iik kxy
nb sin2
1
.
Разработаны схемы, упрощающие вычисление коэффициентов Фурье (см. литературу). Существуют приборы (гармонические
анализаторы), которые по графику данной функции позволяют вычислить приближенные значения коэффициентов Фурье.
Интеграл Фурье
Пусть функция xf определена на бесконечном интервале
, и абсолютно интегрируема на нем, т.е. существует интеграл
Qdxxf
.
(3) Пусть, функция xf такова, что она разлагается в любом
интервале , в ряд Фурье:
1
0 sincos2 n
nn xnbxnaaxf
,
(4) где
dttntfan
cos1
; dttntfbn
sin1
.
(5) Подставляя в ряд (4) выражения коэффициентов (5) и
переходя к пределу, при , получим
ddtxttfxf
0
cos1 .
(6) Стоящее справа выражение называется интегралом Фурье для
функции xf . Преобразуя интеграл, стоящий в правой части равенства (6),
раскрыв xt cos , имеем: xtxtxt sinsincoscoscos .
(7) Подставляя (7) в формулу (6) и вынося xcos и xsin за
знаки интегралов, где интегрирование совершается по переменной t , получим
dxdtttfxf coscos1
0
.sinsin1
0
dxdtttf
(8) Каждый из интегралов по t , стоящих в скобках, существует,
т.к. функция tf абсолютно интегрируема в интервале , , а следовательно, абсолютно интегрируемы и функции ttf cos и ttf sin .
Рассмотрим частные случаи формулы (8). 1. Пусть xf – четная. В этом случае ttf cos – функция
четная, а ttf sin – нечетная, и мы получаем
0
cos2cos dtttfdtttf , 0sin
dtttf .
Формула (8) примет вид:
dxdtttfxf coscos2
0 0
.
(9) 2. xf – нечетная. Тогда по аналогии получим
dxdtttfxf sinsin2
0 0
.
(10) Если функция xf определена только в интервале ,0 , то
её можно представить при 0x как формулой (9), так и формулой (10). В первом случае доопределим на интервале 0, четным образом, а во втором – нечетным.
Вернемся к формуле (8). Интегралы, стоящие в скобках, являются функциями от . Введем обозначения:
dtttfA
cos1 ;
dtttfB
sin1 .
Тогда формулу (8) можно переписать так:
0
sincos dxBxAxf .
(11) Говорят, что формула (11) дает разложение функции xf на
гармоники с непрерывно меняющейся от 0 до частотой . Закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты выражается через функции A и B .
Если в формуле (9) положить
tdttfF
cos2
0
,
(12) то она примет вид
dxFxf cos2
0
.
(13) Функция F называется косинус – преобразованием Фурье
для функции xf . Аналогично на основании формулы (10) можно записать
следующие равенства:
tdttf
sin2
0
;
(14)
dxxf sin2
0
.
(15) Функция – синус преобразование Фурье Пример. Пусть xexf , 0;0 x . По формуле (9) определим
косинус преобразование Фурье:
220
2cos2
tdteF t .
По формуле (14) определим синус – преобразование Фурье:
220
2sin2
tdte t .
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение. Бесконечная система функций
,,,, 21 xxx n (16)
называется ортогональной на отрезке ba, , если при любом kn выполняется равенство
0b
akn dxxx .
(17) При этом предполагается, что
02 b
ak dxx .
Примеры. 1. Система функций
,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnxxxxx ортогональна на отрезке , .
2. Система функций
,sin,cos,,sin,cos,1 xnxnxx
на ортогональна отрезке , . 3. Система функций ,3cos,2cos,cos,1 xxx ортогональная на
отрезке ,0 . 4. Система функций ,sin,,2sin,sin nxxx ортогональная на
отрезке ,0 . 5. Система ортогональных многочленов Лежандра, которые
определяются так:
,10 xP
n
n
nn xd
xd
nxP
22 1
!21 ,2,1n ,
они удовлетворяют уравнениям
Учебное издание
Завьялов Александр Михайлович
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Учебное пособие
Часть 4
Редактор Т.И. Калинина
Подписано в печать 2008 Формат 60x901/16. Бумага писчая
Гарнитура Таймс Оперативный способ печати Усл.п.л.11,5, уч.-изд.л. 11,5
Тираж 150 экз. Заказ № Цена договорная
Издательство СибАДИ 644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10
Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ
644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10
