Upload
colin-chambers
View
29
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
BELİRLİ İNTEGRAL. KONUNUN AŞAMALARI. KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON. BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ. KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI. a. b. . . . . . . . . x 0 < x 1
Citation preview
KONUNUN AŞAMALARIKONUNUN AŞAMALARI
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON
BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
a b
x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk<.......<xn-1<xn
P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, ......., xn-1,xn }
[a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)
[a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)
Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için;
Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için;
xk= xk –xk-1 sayısı xk= xk –xk-1 sayısı
[xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu
[xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu
x1= x1 –x0 x1= x1 –x0
x2= x2 –x1 x2= x2 –x1
x3= x3 –x2 x3= x3 –x2
xn= xn –xn-1 xn= xn –xn-1
....................
Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere
Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere
[a.b] aralığının uzunluğu
[a.b] aralığının uzunluğu
b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn
b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn
x1= x1 –x0 x1= x1 –x0
x2= x2 –x1 x2= x2 –x1
x3= x3 –x2 x3= x3 –x2
xn= xn –xn-1 xn= xn –xn-1
....................
Alt aralıklarının uzunlukları
birbirine eşitse
Alt aralıklarının uzunlukları
birbirine eşitse
P bölüntüsüne P bölüntüsüne
[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.
[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.
P düzgün bir bölüntü ise;
P düzgün bir bölüntü ise;
[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.
[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.
xk=n
ab = P
ÖRNEK:
ÖRNEK:
[2,7] ARALIĞI İÇİN
[2,7] ARALIĞI İÇİN
P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür.
P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür.
x1=
x1=
3
52
3
11 x2=
x2=
3
5
3
11
3
16 x3=
x3=
3
5
3
167
3
5
3
27P
3
5
3
27P
m1m2
m3 m4mn
y=f(x)
x1 x3x2 xk xn
x
y
0 a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b
ALT TOPLAMALT TOPLAM
)P,f(A
n
1kkk x.m Δ nn2211 x.m......x.mx.m ΔΔΔ
M1M2
M3 MKMn
y=f(x)
x1 x3x2 xk xn
x
y
0 a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b
ÜST TOPLAMÜST TOPLAM
)P,f(Ü
n
1kkk x.M Δ nn2211 x.M......x.Mx.M ΔΔΔ
x
y
0
y=f(x)
a=x0 t1 x1 t2 x2
f(t1)
x1
f(t2)
x2
xk-1 xktk
f(tk)
xk
xn-1 xntn
xn
f(tn)
RİEMANN TOPLAMIRİEMANN TOPLAMI
)P,f(R
n
1kkk x).t(f Δ
nn2211 x).t(f......x).t(fx).t(f ΔΔΔ
n
1kkk x).t(f Δ
n
1kkk x.M Δ
n
1kkk x.m Δ
Alt Toplam
Rieman Toplamı
Üst Toplam
Bu toplamlar arasındaki sıralama
ÖRNEK:
ÖRNEK:
f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için;
f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için;
[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;
[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;
Alt toplamınıAlt toplamını
Üst toplamını
Üst toplamını
Riemann toplamını bulalım:
Riemann toplamını bulalım:
x1= x2= x3= x4=
2
1
4
02
4
ab
P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}
P, düzgün bir bölüntü olduğundan
P, düzgün bir bölüntü olduğundan
Alt toplamı
Alt toplamı
y=x2
)P,f(A
n
1kkk x.m Δ
m1=f(0)=0m1=f(0)=0 m2=f(1/2)=1/4m2=f(1/2)=1/4
m3=f(1)=1m3=f(1)=1 m4=f(3/2)=9/4m4=f(3/2)=9/4
)P,f(A
n
1kkk x.m Δ 44332211 x.mx.mx.mx.m ΔΔΔΔ
2
1
4
9
2
11
2
1
4
1
2
10 2
1
4
9
2
11
2
1
4
1
2
10
4
74
7
y
x0 1/2 1 3/2 2
Üst toplamı
Üst toplamı
y=x2
y
x0 1/2 1 3/2 2
)P,f(Ü
n
1kkk xΔ.M
M1=f(1/2)=1/4M1=f(1/2)=1/4 M2=f(1)=1/4M2=f(1)=1/4
M3=f(3/2)=9/4M3=f(3/2)=9/4 M4=f(2)=4M4=f(2)=4
)P,f(Ü
n
1kkk xΔ.M 44332211 xΔ.MxΔ.MxΔ.MxΔ.M
21
421
49
21
121
41
21
421
49
21
121
41
4
15415
Riemann toplamı:
Riemann toplamı:
y=x2
y
x0 1/2 1 3/2 2
)P,f(R
n
1kkk xΔ).t(f
2xx
)t(f k1kk
2xx
)t(f k1kk
41
221
0t1
4
12
21
0t1
43
2
121
t2
43
2
121
t2
45
223
1t3
4
52
23
1t3
47
2
223
t4
47
2
223
t4
41
43
45
47
)P,f(Ü
n
1kkk xΔ.M 44332211 xΔ.MxΔ.MxΔ.MxΔ.M
)P,f(Ü 4321 xΔ).47
(fxΔ).45
(fxΔ).43
(fΔ).41
(f
21
1649
21
1625
21
169
21
161
821821
f:[a,b] R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir bölüntüsü P olsun.
s)P,f(Ülim)P,f(Alim0P0P
ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında İNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.
sdx).x(fb
a
sdx).x(fb
a
0P olması ne demektir?
[a,b] aralığının, [xk-1,xk] alt aralıklarının uzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir.
Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.
Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.
P parçalanması, düzgün bir parçalanma
olduğundan;
P parçalanması, düzgün bir parçalanma
olduğundan;
n0P
b
a
n
1kkkn
dx).x(fxΔ).t(flim
b
a
n
1kkkn
dx).x(fxΔ).t(flim
ÖRNEK:
3
0
2dxx belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım:
[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;
[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;
k{0,1,2,....,n} için,
k{0,1,2,....,n} için, n
3n
03n
abxΔP k
n
3n
03n
abxΔP k
;seçilirseolarakxΔ.kat kk ;seçilirseolarakxΔ.kat kk
nk3
n3
.k0tk nk3
n3
.k0tk
n
1kP
3
0
2
n3
).nk3
(flimdxx
n
1kP
3
0
2
n3
).nk3
(flimdxx
n
1k
23P
n
1k2
2
Pk
n27
limn3
nk9
lim
n
1k
23P
n
1k2
2
Pk
n27
limn3
nk9
lim
6
)1n2).(1n.(nn27
lim30P
6
)1n2).(1n.(nn27
lim30P
3
23
n n6)nn3n2.(27
lim
3
23
n n6)nn3n2.(27
lim
96
2.279
62.27
3
0
2 9dxx 3
0
2 9dxx
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ
f: [a,b] R fonksiyonu, [a,b] aralığında integralle-nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b] R fonksiyonu(a,b) aralığında türevli ve x(a,b) için, F’(x)=f(x)ise,
.dır)a(F)b(F)x(Fdx)x(fb
a
b
a .dır)a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a
ÖRNEK:
:bulalımegraliniintbelirlidx)4x3(2
1 :bulalımegraliniintbelirlidx)4x3(
2
1
dx)4x3( cx42
x3 2
142.42
2.3)2(F
2
142.42
2.3)2(F
2
2
111.4
2
1.3)1(F
2
2
111.4
2
1.3)1(F
2
2
17
2
1114)1(F)2(Fdx)4x3(
2
1
2
17
2
1114)1(F)2(Fdx)4x3(
2
1
f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında integralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise;
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[
π
2/π
dx)xcosxsin.3( = π
2/π
xdxsin.3 + π
2/π
xdxcos
= 3(-cosx)
+ sinx
3(-cosx)
+ sinx
-3.[(cos - cos(/2)]
+ [sin - sin (/2)]
[-3.((-1)+3.0)] + (0-1)
2 2
b
a
b
a
dx)x(f.cdx)x(f.c b
a
b
a
dx)x(f.cdx)x(f.c
8
3
8
3
dx.xln.4dx.xln.4 8
3
8
3
dx.xln.4dx.xln.4
5
1
35
1
3 dx.x.5dx.x.5
5
1
35
1
3 dx.x.5dx.x.5
6
2
6
2 xdx
.3xdx.3
6
2
6
2 xdx
.3xdx.3
a
a
0dx)x(f a
a
0dx)x(f
0dx.xln3
3
0dx.xln3
3
0dx.x1
1
3
0dx.x1
1
3
0xdx2
2
0xdx2
2
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f
5
1
1
5
22 dxx3dxx3 5
1
1
5
22 dxx3dxx3
1241125153x
.3 335
1
3
1241125153x
.3 335
1
3
124)124()1251()51(3x
.3 331
5
3
124)124()1251()51(3x
.3 331
5
3
c
b
b
a
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f c
b
b
a
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
[a,c] aralığında integrallenebilir bir f fonksiyonu için, a<b<c ise;