Bending of Beams

3.2 j La trave inflessa j 161

immediato rilevare dallequilibrio in direzione verticale delle azioni sul nodoC, in cui convergono le aste (1) e (2) aventi la stessa direzione orizzontale elasta (4), la quale risulta scarica N4 5 0 e che N1 5 N2.

Si noti lindipendenza della soluzione dellequilibrio dalle dimensioni geo-metriche della struttura. Le dimensioni geometriche h 5 ,4, a, b e , peraltrosono tra loro legate e relazionate al valore dellangolo a.

In seguito si vedr che le dimensioni geometriche della struttura e delle se-zioni delle aste sono di fondamentale importanza per la verifica di sicurezza difunzionalit e per quella di stabilit della struttura.

La soluzione statica trovata in termini di sforzi Ni, inserita nella relazione dielasticit ezi 5 Ni>ke, conduce alla determinazione delle deformazioni

assiali: , , .Tramite lintegrazione delle equazioni di compatibilit spostamento-dilata-

zione ezi 5 dwi>dzi, si ottengono gli spostamenti relativi di D rispetto ad A e aB, e di B rispetto ad A:

N3 5 2F sen a N4 5 0 N5 5 2F cos a0

DwDA 5 3,3

0

ez3dz 5 2Fb

ketana DwDB 5 3

,5

0

ez5dz 5 2Fa

ke

DwBA 5 3,

0

ez1dz 5F,

kesen a cos a

aB 5 F cos2 a aA 5 F sen

2 a

ez1 5F

kesen a cos a 5 ez2

ez3 5 2F

kesen a 5 ez5

ez4 5 0

Curvatura

3.2 j Trave inflessa

In questo paragrafo viene trattata la deformazione della trave rettilinea soggettaa flessione, viene introdotta la nozione di curvatura della trave e ricavata lequa-zione differenziale della linea elastica.

3.2.1 Nozione di curvatura

utile qui richiamare la nozione di curvatura di una curva piana j nel piano (z,y) (Figura 3.13), che in questo contesto rappresenta la linea elastica, e cio lacurva trasformata dellasse baricentrico della trave, per effetto della deformazioneflessionale. La j, che viene ipotizzata regolare, identificabile con il grafico dellafunzione spostamento v(z) della linea dasse. Si consideri sulla j un tratto di di-mensione infinitesima ds avente come estremi la sezione S e quella Q, corrispon-denti alla sezione di ascissa iniziale z e di ascissa incrementata z 1 dz rispettiva-mente. Siano wS e wQ gli angoli formati con lasse z dalle tangenti alla j in cor-rispondenza di S e Q rispettivamente. Si ha w 5 2arctg v9, in cui con lapice si indicata la derivata rispetto a z: v9 5 dv>dz.

Lincremento dellangolo nel passaggio da S a Q, a meno di infinitesimi diordine superiore, si pu calcolare tramite il suo differenziale:

Dw> dw 5dw

dzdz 5

2 d(arctanv9)

dzdz 5

2 v0

1 1 v92dz

03txtI_NUNZIANTE_2010 30/06/11 17:06 Pagina 161

162 j Capitolo 3 j Travi elastiche

z

z0 z + dz

v(z)

ds

SQ

d

y

S Q

Figura 3.13

La lunghezza infinitesima dellarco di curva fra S e Q, daltro canto vale. A questo punto si pu definire la curvatura x tramite il rap-

porto:

(3.6)

che esprime il cosiddetto Teorema Aureo (G. Bernoulli, 1694).Sotto lipotesi di deformazioni infinitesime, si assume che nella radice a de-

nominatore della (3.6), laddendo v92 sia trascurabile rispetto allunit, sicch lacurvatura assume il valore approssimato

(3.7)

Per riassumere, la curvatura della curva piana j, nel punto S definita tramite illimite del rapporto incrementale , con la derivata calcolata in S.

utile rimarcare che nella convenzione utilizzata le rotazioni w sono positivese antiorarie (verso positivo della rotazione che porta y su z), mentre le derivatepositive dello spostamento v rispetto a z corrispondono a tratti in cui la v 5 v(z) crescente, nel riferimento (z, y).

Rinviando la trattazione estesa della flessione della trave piana linearmenteelastica al Capitolo 6, in questa sede ci si limita solo a richiamare il principalerisultato di quella trattazione, consistente nella relazione lineare fra momento flet-tente Mx e curvatura elastica x:

Mx 5 kxx (3.8)

nella quale la costante di proporzionalit kx 5 EIx si chiama rigidezza flessionale.Questo il principale risultato della classica trattazione di Eulero-Bernoulli,

che parte dal dato sperimentale che una trave piana come quella di Figura 3.14,sollecitata alle due estremit da due coppie, di valori rispettivamente (2C, C),agenti nel piano (y, z) con y direzione principale dinerzia della sezione, soggettaa momento flettente costante M 5 C, assume una curvatura uniforme x.

ds 5 "1 1 v92 dzx 5

dw

ds5

2v0"(1 1 v92)3

x 5 2d2v

dz25 2v0

Teorema aureo di G. Bernoulli

limDsS0

Dw

Ds5

dw

ds


3.2 j La trave inflessa j 163

z

dzx

y

R

y

G

C

a)

P P

ds

y

R = y(P)

dz

b)

z

C

z z

d

d

+ +

Figura 3.14

Ne consegue che la fibra della trave inizialmente sovrapposta allasse baricentricoz, per effetto della deformazione flessionale si trasforma nellarco di circonferenzaj di raggio R e centro P, che viene detto linea elastica della trave. A causa del-lassunzione della curvatura, le fibre della trave parallele a z al disopra del piano(x, z) si contraggono, quelle al disotto si dilatano.

Questo risultato dipende essenzialmente dallipotesi cinematica che le sezionidella trave, che inizialmente sono normali allasse z, a seguito della deformazionesi mantengono ancora piane e convergono nel centro di curvatura P.

La deformazione ez delle fibre della trave parallele a z, presenti alla quota y,si determina osservando che la dimensione iniziale e quella deformata di un ele-mento dz sono dz 5 2Rdw, ds 5 (2R 1 y)dw. Assumendo per la dilatazione ez,come gi fatto nel paragrafo precedente, il valore , si ottiene , in cui la curvatura pari allinverso del raggio di curvatura (cambiato di segno). Qui R, raggio dicurvatura, stato assunto come ordinata del centro di curvatura P: R 5 y(P).

Sotto lipotesi di elasticit lineare (s 5 Ee, Equazione 5.205), si deduce unatensione data dalla ben nota formula di Navier sz 5 Eez 5 2Ey>R, con E modulodi Young del materiale isotropo e omogeneo costituente la trave (Capitolo 6).

Le sz sono, come le ez, lineari e omogenee sulla sezione. Il momento flettentesi calcola per equilibrio con gli sforzi interni sz:

ove il momento dinerzia della sezione rispetto allasse x, e fornisce la rela-zione momento-curvatura sopra richiamata: Mx 5 kxx, con kx 5 EI rigidezzaflessionale della sezione e la curvatura.

Lo spostamento v(z) legato alla rotazione w della sezione dallequazione

(3.9)

Mx 5 3A

sz ydA 5 2E

R 3A

y2dA 5 2EIxR

w 5 2dv

dz

ez 5 limdzS0ds 2 dz

dz

ez 5 2y

R

x 5 21

R

Relazione momento-curvatura

Ix 5 3A

y2dA

x 5 21

R



y

x

z

z

Figura 3.15

La curvatura geometrica della linea elastica j nella trattazione infinitesima valex 5 2d2v>dz2, sicch la (3.8) fornisce:

(3.10)

equazione che lega lo spostamento v della trave e la sua curvatura elastica x almomento flettente. La (3.10) fornisce dunque lequazione costitutiva della travedi Eulero-Bernoulli, che si riassume nella proporzionalit fra momento flettentee curvatura:

Mx 5 kxx (3.11)

a mezzo della costante di proporzionalit rigidezza flessionale kx 5 EIx. In Figura3.15 viene rappresentato il grafico delle sz tramite il diagramma bitriangolare.

Derivando la (3.10) rispetto a z e tenendo conto dellequazione di equilibriodMx>dz 5 Ty si ottiene

(3.12)

Questultima, derivata rispetto a z, tramite lequazione di equilibrio

(3.13)

conduce alla

(3.14)

equazione differenziale della trave inflessa linearmente elastica, che lega il caricotrasversale allo spostamento. Nel caso di rigidezza kx 5 EIx costante nella trave,le (3.12) e (3.14) si scrivono rispettivamente

x 5 21

R5

2d2v

dz25

Mxkx

Ty 5dMxdz

5 2d

dza kxd2v

dz2b

dTydz

5d2Mxdz2

5 2qy

d2

dz2a kxd2vdz2 b 5 qy

Curvatura elastica


3.3 j Equilibrio elastico della trave inflessa j 165

(3.15)

(3.16)

Questultima la ben nota equazione differenziale della linea elastica della traveinflessa la cui integrazione consente di ottenere lo spostamento trasversale dellatrave inflessa.

3.3 j Equilibrio elastico della trave inflessa

In questo paragrafo viene introdotto il problema dellequilibrio elastico della traveinflessa per la quale si considera la trattazione di Eulero-Bernoulli richiamata nelparagrafo precedente. Per fissare le idee si faccia riferimento alla trave rettilineadi Figura 3.16.

Le ipotesi che si assumono sono quelle esposte nel paragrafo precedente, chesono a base della trattazione linearizzata. Le azioni esterne che qui si consideranosono costituite dal carico trasversale distribuito qy 5 qy (z) e da forze fy e coppieconcentrate C di estremit. In questa sede si far riferimento esplicito alla soladeformabilit flessionale, e cio alla curvatura elastica x.

La curvatura della trave nel modello puramente flessionale di Eulero-Bernoulli stata definita nel paragrafo precedente tramite la:

(3.17)

Successivamente questo modello di trave verr arricchito tenendo conto anchedella deformabilit estensionale e di quella da scorrimento da taglio. Le coppie

2kxd3v

dz35 Ty

kxd4v

dz45 qy

x 5 limDzS0

Dw

Dz5

dw

dz

Equazione differenzialedella linea elastica

Equazione differenziale dellalinea elastica della trave inflessa

A

B

y

x

dz

z

qy(z)

qy(z)Ty + dTy

N + dN

Mx + dMx

Mx Ty

N

y

z

qy(z)

BA

dz

Figura 3.16



distribuite C che pure vengono prese in considerazione, in quanto determinanoeffetti statici, non sono per interessanti per la cinematica della trave, in quantonon associandosi a un ente spostamento duale in questo modello, non determinanoeffetti su spostamenti e rotazioni; tale questione trattata nellEsempio 3.7 e nelParagrafo 3.5.

Nel caso della trave inflessa lincognita principale costituita dallo sposta-mento trasversale v 5 v(z). La soluzione del problema di equilibrio elastico perla trave inflessa viene effettuata seguendo formalmente la stessa procedura giintrodotta per le aste in sforzo assiale, che viene qui specializzata nei cinque si-stemi di equazioni seguenti:

1) equazioni di congruenza con i vincoli presenti alle estremit della trave cheimpongono condizioni sullo spostamento v 5 v e sulla rotazione2dv>dz 5 w;

2) equazioni di compatibilit (3.10) fra spostamento e curvatura x 5 2d2v>dz2;3) equazioni di equilibrio interno fra carichi e sollecitazioni gi introdotte prece-

dentemente per la trave inflessa dTy>dz 5 2qy, dMx>dz 5 1 Ty, qy 5 2d2Mx>dz2;4) equazioni di equilibrio ai limiti alle estremit caricate Ty0 5 2fy0; Ty, 5 fy,;

Mx0 5 2C0; Mx, 5 C , che legano taglio e momento alle estremit della trave

con le risultanti delle forze e delle coppie ivi applicate;5) relazione elastica momento-curvatura x 5 2d2v>dz2 5 Mx>kx.Le prime due equazioni costituiscono vincoli di tipo cinematico per il campo dispostamento soluzione, la terza e la quarta impongono lequilibrio interno e ai limiti,lultima stabilisce il legame costitutivo lineare fra momento e curvatura elastica.

Il problema di equilibrio elastico della trave inflessa qui esposto si presta adue tipi di strategie solutive.

La prima strategia basata sullesecuzione delle quattro seguenti integrazioniin sequenza:

(3.18)

esplicitando le condizioni ai limiti, dalle quali si ottengono ordinatamente le fun-zioni taglio Ty, momento flettente Mx, rotazione w e spostamento v, quindi la so-luzione nella sua completezza.

La seconda strategia solutiva basata sullintegrazione diretta dellequazionedella linea elastica (3.16). Si ottiene cos una soluzione generale che tramite lim-posizione delle condizioni ai limiti di tipo statico e cinematico determina le fun-zioni risolventi. Nel seguito si espongono attraverso alcuni esempi le modalitoperative dei procedimenti qui esposti.

Ty 5 23qy dz (a) Mx 5 3Tydz (b)

w 5 3xdz 5 3Mkx dz (c) v 5 23wdz (d)

Equazioni del problemadi equilibrio elasticoper la trave inflessa

Le quattro integrazioni

Integrazione diretta

j Esempio 3.6 Si consideri la trave di Figura 3.17 doppiamente appoggiata alle estremit A eB e sottoposta a un carico trasversale qy 5 q uniforme. La trave, di luce ,, hamodulo di Young E e inerzia Ix costanti.

Strategia solutiva 1Lintegrazione della prima delle (3.18) fornisce: Ty 5 2qz 1 C1.

La successiva integrazione (3.18b) fornisce: Mx 5 2qz2>2 1 C1z 1 C2.



Imponendo le condizioni ai limiti di momento nullo Mx 5 0 nelle sezioni diestremit, in z 5 0 e z 5 , si ha: Mx(0) 5 0 1 C2 5 0; Ml(,) 5 0 1 C1 5q,>2 e le espressioni del taglio e del momento diventano: Ty 5 2qz 1 q,>2;Mx 5 2qz

2>2 1 q,z>2 e presentano i grafici di Figura 3.18. La curvatura elasticavale: x 5 M>kx 5 qz (2z 1 ,)>(2kx).

A questo punto il problema, dal punto di vista statico, completamente ri-solto; infatti si riconosce che le reazioni degli appoggi in A e in B si ottengonospecificando ivi i valori del taglio:

Inoltre sono note le funzioni taglio e momento, delle quali si forniscono i re-lativi grafici.

Si nota che il taglio lineare con valore nullo al centro della trave. Il momentopresenta andamento parabolico, con massimo al centro della trave di valoreMmax 5 q,2>8.

Lequazione dellequilibrio interno dMx>dz 5 Ty mostra che la derivata al-lorigine della funzione momento pari al valore iniziale del taglio: Ty (0) 5q,>2 5 (dMx>dz)z 5 0; tale tangente sottende pertanto un segmento di ampiezzaq,2>4 in mezzeria.

La soluzione del problema deformativo della trave viene ottenuta integrandola terza delle (3.18) nella quale viene esplicitato il valore della funzione momento(ove: kx 5 EIx):

Lespressione ottenuta per la rotazione w sostituita nella quarta delle (3.18) con-sente di determinare lo spostamento:

Le condizioni cinematiche ai limiti di spostamento nullo in corrispondenza degliappoggi in A e in B, consentono la determinazione delle costanti di integrazione:

e determinano la soluzione deformativa rappresentata dalle funzioni rotazionee spostamento:

i cui diagrammi sono riportati in Figura 3.19. Lo spostamento presenta valoremassimo pari a vmax 5 (5>384) q,4>kx in mezzeria della trave.Strategia solutiva 2Lo stesso esercizio qui sopra sviluppato pu svolgersi integrando direttamentelequazione differenziale (3.16) della linea elastica kxd4v>dz4 5 qy, la cui omo-genea associata : d4v>dz4 5 0

Lintegrale generale dellomogenea associata :

aA 5 T(0) 5 q,/2 aB 5 2T(,) 5 q,/2

w 5 3xdz 5 3Mx>kxdz 5 1>kx3(2qz2>2 1 q,z>2)dz 55 (1kx)(2qz

3>6 1 q,z2>4) 1 C3v 5 23wdz 5 2(1/kx)3 3(2qz3/6 1 q,z2/4) 1 C34dz 5

5 (1/kx)(qz4/24 2 q,z3/12 1 C3z) 1 C4

z 5 0 v(0) 5 0 z 5 , v(,) 5 0 1 C4 5 0 C3 5 2q,3/(24kx)

w 5 2(q/kx)(z3/6 2 ,z2/4 2 ,3/24) v 5 (q/24kx)(z

4 2 2,z3 1 ,3z)

y

Az

B

qy = q

q2aA = +

q2aB = +

Figura 3.17

Mx

z

z

Momento

Taglio

/2 /2

Ty

q28 q2

4

q2

q2

Figura 3.18

z

z

Spostamenti v

Rotazione

/2

q324 EI

5q4384 EI

q3

24 EI

v

/2

Figura 3.19



mentre un integrale particolare della (3.16) : v1 5 qz4>(24kx).Lintegrale generale della (4.28) pertanto dato da:

e le sue derivate sono:

Poich la trave staticamente determinata, le quattro costanti a, b, c, d vengonodeterminate tramite limposizione di due condizioni ai limiti di tipo statico edue di tipo cinematico, come nel seguito si riporta.

1a condizione cinematica. Spostamento nullo sullappoggio in A: z 5 0,v(0) 5 0 1 a 5 0.

1a condizione statica. Momento nullo sullappoggio in A. Tramite la (3.10) siha M 5 2kxv0, che calcolata in z 5 0 fornisce 22kxc 5 0 e quindi c 5 0.

2a condizione cinematica. Spostamento nullo sullappoggio in B: z 5 ,,v(,) 5 0, che determina: b, 1 d,3 1 q,4>(24kx) 5 0 da cui b 5 2d,2 2q,3>(24kx);2a condizione statica. Momento nullo in B: M 5 2kxv0 5 0, calcolata in z 5 ,fornisce 26kx d, 2 q,2>2 5 0 1 d 5 2q,>(12kx) che consente di esplicitarela b 5 q,3>(24kx).I valori sopra calcolati delle costanti determinano la soluzione in termini dellospostamento v:

Tramite la (3.9) si ottiene:

Noto il campo di spostamento, si determina il taglio Ty e il momento flettenteMx tramite le (3.13) e (3.12): infatti derivando la v9 si ha da cui si ottieneil momento .

Derivando la v0 si ha: v- 5 q(2z 2 ,)>(2kx) da cui si ottiene il taglio

v0 5 a 1 bz 1 cz2 1 dz3

v 5 v0 1 v1 5 a 1 bz 1 cz2 1 dz3 1 qz4/(24kx)

v9 5 dv/dz 5 b 1 2cz 1 3dz2 1 qz3/(6kx)

v0 5 d2v/dz2 5 2c 1 6dz 1 qz2/2kx

v 5 q(z4 2 2,z3 1 ,3z)/(24kx)

w 5 2dv/dz 5 v9 5 2q(4z3 2 6,z2 1 ,3)/(24kx)

Ty 5 2 kxvt 5q(, 2 2z)

2

v0 5q(z2 2 ,z)

2kx

Mx52kxv0 5q(z22,z)

2

j Esempio 3.7 Si consideri la trave di Figura 3.20 incastrata in A e appoggiata in B, di sezioneuniforme e materiale omogeneo con modulo di Young E. Il carico applicato linearmente variabile con legge: qy 5 q (z) 5 qz>,.Dalla (3.16) kxv IV 5 q(z) si deduce che per q(z) lineare la funzione spostamentov un polinomio di quinto grado. Lomogenea associata alla (3.16) la:

kxvIV 5 0



il cui integrale generale : v0 5 a 1 bz 1 cz2 1 dz3. Un integrale particolaredella (3.16) v1 5 qz5>(120kx,). Lintegrale generale della (3.16) si scrivele cui derivate sono:

Le quattro costanti di integrazione a, b, c, d si determinano imponendo le con-dizioni ai limiti legate al rispetto delle condizioni di vincolo in A e in B. Inparticolare, in A le condizioni cinematiche di spostamento e rotazione nullideterminano:

z 5 0 v(0) 5 0 1 a 5 0

z 5 0 w 5 2v9(0) 5 0 1 b 5 0.

In B la condizione di spostamento nullo conduce alla:

z 5 , v(,) 5 0 1 c 5 2[(,d 1 q,2>(120kx)]In B la condizione di momento nullo si scrive:

espressione che unita a quella qui sopra trovata determina: c 5 7q,2>(240kx),d 5 23q,>(80kx); la soluzione diventa:Tramite la w 5 2dv>dz, dalla v si ottiene:E con derivazioni successive: Mx 5 2kxv0; T 5 dMx>dz 5 2Mx 5 2kxv-.

I grafici di v, w, Mx, Ty sono rappresentati in Figura 3.21. Il momento massimoottenibile con la condizione dM>dz 5 0 si ha in e vale Mmax 5q(27,3 1 27,2z 2 20z3)>(120,).

Con i seguenti valori dei dati: , 5 600 cm; q 5 100 Ncm21; E 5 21 3 106

Ncm21; profilato IPE 200: Ix 5 1934 cm4 si ottiene:

v 5 2.573 3 1025 z2 2 5.154 3 1028 z3 1 3.404 3 10214 z5 cm

Mx 5 22.1 3 106 1 13500 z 20.02777 z3 Ncm Ty 5 13500 20.0833 z2

N

v 5 v0 1 v1 5 a 1 bz 1 cz2 1 dz3 1 qz5/(120kx,)

v9 5 b 1 2cz 1 3dz2 1 qz4/(24kx,) v0 5 2c 1 6dz 1 qz3/(6kx,)

vt 5 6d 1 qz2/(2kx,) vIV 5 qz/(kx,)

z 5 , M1, 2 5 2kxv0 1, 2 5 0 1 c 5 23,d 1 q12kx ,2

v 5 qz2(7,2>6 2 3,z>2 1 z3>3)>(40kx)w 5 2dv>dz 5 2qz 37,2>15 2 9,z>10 1 z3>(3,) 4 >(8kx)

Mx 5 2kxd2v

dz25

q,

2a2 7

60, 1

9

20z 2

z3

3,2b

Ty 5 2kxd3v

dz35

q

2a 3

20, 2

z2

,b

z 5 3,>2!5

yA z B

q

Figura 3.20



z

z

Mx

z

Ty

z

Spostamenti v

Rotazione

Momento Mx

Taglio Ty

v

Figura 3.21

j Esempio 3.8 La trave incastrata e appoggiata di Figura 3.22 di luce , caricata dalla coppiaC nella sezione B e presenta una distorsione rotazionale w in A e un cedimentod dellappoggio B. La sezione uniforme, il materiale linearmente elastico,isotropo e omogeneo.

Per determinare la soluzione della struttura si segue la procedura gi sviluppatanellesempio precedente. Lequazione differenziale della trave inflessa, poich qy5 0, coincide con quella omogenea: kxvIV 5 0 il cui integrale generale : v 5 a 1bz 1 cz2 1 dz3 e presenta derivate: v9 5 b 1 2cz 1 3dz2; v0 5 2c 1 6dz; v- 5 6d.Le condizioni ai limiti si specificano come nel seguito: z 5 0; v(0) 5 0 1 a 5 0;z 5 0, w(0) 5 2v9(0) 5 w 1 b 5 2C; z 5 ,, v(,) 5 d; z 5 ,, M(,) 5 2kxv0 5 C;c 5 (6kxd 1 C,2 22kx,w)>(4kx,3); d 5 (22kxd 2 C,2 22kx,w)>4kx,3.

La soluzione si esplicita come di seguito:

In Figura 3.23 si riportano i diagrammi delle funzioni risolventi, calcolati per iseguenti valori dei parametri:

, 5 450 cm; profilato normale a C: Ix 5 1911 cm4;modulo di Young dellacciaio: 21 000 kN>cm2Dw 5 0.01 rad; C 5 2800 kNcm; d 5 1 cm.

Le funzioni risolventi sono in (N, cm):

v52wz1(6kxd1C,216kx,w)z

2>(4kx,2)1(22kxd2C,222kx,w)z3>(4kx,3)w5w1(26kxd2C,

226kx,w)z>(2kx,2)13(2kxd1C,212kx,w)z2>(4kx,3)Mx52kxv05(26kxd2C,

226kx,w)>(2,2)1(26kxd23C,226kx,w)z>(2kx,3)Ty 5 2kxvt 5 3(2kxd 1 C,2 1 2kx,w)>(2,2)

v520.01z14.57231025z224.125z3 w50.01 2 9.14531025z11.237z2

M5 24.013131010(9.14483102522.4751931027z) T 5 9933.19

y

Az

C

B

Figura 3.22



z

z

Spostamenti v

Rotazione

z

Ty

z

Momento Mx

Taglio Ty

Mx

v

Figura 3.23

j Esempio 3.9La trave di Figura 3.17 di sezione uniforme caricata da una distribuzione dicoppie C uniformemente distribuite.

Sono gi state dedotte precedentemente le seguenti equazioni dellequilibrio in-terno in presenza di coppie distribuite:

dT>dz 5 2qy (a) dM>dz 2 T 5 2c (b)La prima di queste, poich qy 5 0, fornisce dT>dz 5 0 1 T 5 C1.

Per lequilibrio alla traslazione in direzione y dellintera trave risulta aA 5 aB.Pertanto si ha T 5 aB 5 C1 (c).

Per lequilibrio alla rotazione dellintera trave si ha c, 2 aB, 5 0 1 aB 5c; ne segue T 5 c (d).

La (b) a questo punto, per integrazione, fornisce:

La condizione al limite in B: z 5 ,, M 5 0 fornisce:

C2 5 (c 2 T), e M 5 (2c 1 T)z 2 (2c 1 T),

che grazie alla (d) definisce M 5 0 uniformemente nella trave.Lintegrazione della fornisce w 5 C3 che per la condizione di vincolo in

A: z 5 0, w 5 0, determina C3 5 0. Similmente integrando la , si ha v 5 C4,che associata alla condizione iniziale z 5 0, v 5 0 implica C4 5 0. Risultanonulli pertanto sia le rotazioni sia gli spostamenti. Ne discende che nel modellosopra trattato di trave inflessa, pur essendo presenti le coppie distribuite C, cheproducono taglio, non si hanno n momento n rotazioni n spostamenti.

M 5 (2c 1 T)z 1 C2

w 5 3M>kxdz v 5 23wdz



3.4 j Analogia di Mohr

Consideriamo i due grandi gruppi di equazioni risolventi del problema statico ecinematico della trave inflessa, nella loro forma integrale:

(3.19)

In questo paragrafo si considera la trave elastica piana ad asse rettilineo isostatica,caricata da carico trasversale distribuito q e da coppie e forze concentrate. Perquesta trave, come si gi mostrato precedentemente, le Equazioni (3.19a) condue successive integrazioni del carico trasversale q e le condizioni ai limiti, con-sentono di determinare taglio, momento e reazioni vincolari, quindi la soluzionesotto il profilo statico. Le (3.19b) poi, con due successive integrazioni della cur-vatura x 5 M>kx e le condizioni di congruenza ai limiti, determinano rotazionee spostamento trasversale, quindi la soluzione sotto il profilo cinematico. Il con-fronto dei due sistemi di Equazioni (3.19a) e (3.19b) mostra che gli operatori pre-senti sono gli stessi operatori di integrale rispetto allascissa z.

Il problema cinematico pu a questo punto leggersi in chiave statica, nelsenso che se la trave viene considerata soggetta a un carico fittizio pari alla cur-vatura elastica,

(3.20)

tramite due successive integrazioni, le (3.18a, b) determinano la rotazione e lospostamento quali taglio e momento fittizio:

(3.21)

Una volta osservata la similitudine fra i due gruppi di equazioni, si pu risolvereil problema cinematico riconducendolo al problema statico di una trave equiva-lente: la similitudine osservata va sotto il nome di analogia di Mohr (Corollaridi O. Mohr, 1868).

Peraltro, dagli integrali generali sopra determinati, necessario, tramite il sod-disfacimento delle reali condizioni di vincolo su rotazioni e spostamenti, deter-minare la soluzione cinematica effettiva, quindi gli integrali particolari. Resta dun-que da precisare quali sono le condizioni di vincolo che debbono essere presentisulla trave ausiliaria o fittizia di Mohr, capaci di interpretare in senso statico leeffettive condizioni cinematiche della trave reale.

Nella Tabella 3.1 si riportano le condizioni di vincolo reali e le corrispon-denti condizioni statiche della trave di Mohr, individuandone pertanto i corri-spondenti vincoli.

T 5 23qdzM 5 3Tdz

(a)w 5 3xdzv 5 23wdz

(b) con x 5 M>kx

q* 5M

kx

T*523q*dz523Mkxdz52w (c) M*53T*dz523wdz5v (d)

Analogia di Mohr

Taglio e momento fittizio

j Esempio 3.10 Come primo esempio di applicazione dei corollari di Mohr, si consideri la travedoppiamente appoggiata di rigidezza flessionale costante kx 5 EI e luce , (Fi-gura 3.24) sottoposta allazione di due forze F applicate rispettivamente alla di-stanza a dai due appoggi di estremit. Si voglia determinare la rotazione del-lestremo in A e lo spostamento della sezione di mezzeria.


3.4 j Lanalogia di Mohr j 173

Tabella 3.1

Vincoli trave reale Vincoli trave di Mohr

Appoggiodi estremit

w ? 0 S T * ? 0 Appoggiodi estremit

v 5 0 S M * 5 0

Cerniera interna Dw ? 0 S DT * ? 0 Appoggio esternointermedio

Dv 5 0 S DM * 5 0

w ? 0 S T * ? 0

v ? 0 S M * ? 0

Appoggio esternointermedio

Dw 5 0 S DT * 5 0 Cerniera interna

Dv 5 0 S DM * 5 0

w ? 0 S T * ? 0

v 5 0 S M * 5 0

Incastrodi estremit

w 5 0 S T * 5 0 Estremo libero

v 5 0 S M * 5 0

Doppio pendolodi estremit

w 5 0 S T * 5 0 Doppio pendolodi estremit

v ? 0 S M * ? 0

Glifo Glifo

Doppio pendolointerno

Dw 5 0 S DT * 5 0 Doppio pendoloesterno intermedio

Dv ? 0 S DM * ? 0

w ? 0 S T * ? 0

v ? 0 S M * ? 0

Estremo libero w ? 0 S T * ? 0 Incastro

v ? 0 S M * ? 0

B

F

A

F

Mq* = M/k

x

Trave reale

Trave di Mohr

BA

a 2a a

Figura 3.24



Le reazioni sono ambedue di valore 2F. Il momento flettente nei tre tratti valerispettivamente: M1 5 Fz; M2 5 Fa; M3 5 F (, 2 z).

La trave ausiliaria o trave di Mohr la trave appoggiata caricata dal caricocurvatura elastica q* 5 M>kx come rappresentato in Figura 3.24. Le reazionidella trave di Mohr sono a* 5 2Fa (, 2 a)>(2kx). La (3.21) consente di deter-minare la rotazione in A come taglio fittizio in A-destra nella trave di Mohr,quindi la cercata rotazione vale: wA 5 2T *A 5 1 a* 5 2Fa (, 2 a)>(2k).

Lo spostamento in mezzeria della trave in studio si ottiene calcolando il mo-mento fittizio della trave di Mohr in z 5 ,>2; con facili passaggi si ottiene ilcercato spostamento: v (,>2) 5 M * (,>2) 5 Fa (3,2 2 4a2)>(24kx).

j Esempio 3.11 Tramite lanalogia di Mohr si determini la rotazione della sezione B della travedi Figura 3.25.

Con semplici equazioni di equilibrio facile ottenere la funzione momento flet-tente nella trave. Tratto AB: M 5 2fz>5; tratto BD: M 5 2f (, 2 z).

La trave di Mohr, alla luce dellanalogia sopra determinata, presenta appoggioin A, cerniera in B e incastro allestremit destra; il carico costituito da q* 5 M>kx.La cercata rotazione in B si determina come opposta del taglio nella trave di Mohr.Tramite equazioni di equilibrio facile determinare w 5 2T *(B) 5 f,2>(125 kx).

j Esempio 3.12 Si determini lo spostamento dellestremit a destra della trave dellEsempio 3.11.

Il cercato spostamento dato dal momento nellincastro della trave di Mohr rap-presentata in Figura 3.25. Le equazioni di equilibrio scritte per la trave di Mohrdeterminano il cercato spostamento: v 5 M * 5 2f,3>(125 kx).

j Esempio 3.13 Con riferimento alla trave di Figura 3.26 di rigidezza uniforme kx caricata dauna coppia C in D, si determini il salto di spostamento Dv in corrispondenzadel doppio pendolo interno in B.

Il momento flettente costante, di valore M 5 C. La trave di Mohr quella rap-presentata in Figura 3.25, caricata dal carico q* 5 M>kx 5 C>kx.

B

f

A

M

q* = Mkx

Trave reale

Trave di Mohr

AB

/5

Figura 3.25


3.4 j Lanalogia di Mohr j 175

A

B

Trave reale

Trave di Mohr

M

D

DB

A

C Figura 3.26

Il cercato salto di spostamento assume il valore del salto di momento nella travedi Mohr. Lequazione di equilibrio alla rotazione della trave di Mohr determinala coppia fittizia del doppio pendolo esterno in B, cui corrisponde il salto di mo-mento fittizio e quindi il cercato salto di spostamento: Dv 5 c,2>(2kx).

j Esempio 3.14Si voglia determinare la rotazione della sezione D della trave di Figura 3.26.

Questa rotazione viene calcolata come opposta del taglio nella sezione D dellatrave. Lequazione di equilibrio alla traslazione verticale della trave di Mohr, diFigura 3.26, fornisce il valore della reazione dellappoggio in D della trave diMohr, cui corrisponde un taglio fittizio il cui opposto determina la cercata ro-tazione 2T * 5 w 5 C,>kx.

j Esempio 3.15 assegnata la trave di Figura 3.27 avente kx uniforme, caricata dalla forza Fy 5 Fin A. Si voglia determinare con lanalogia di Mohr la rotazione della piastra de-stra del doppio pendolo G.

/4

F

H

A D GH

/3 2/3

A D G

Trave di Mohr

Trave realeM

M = kx

Figura 3.27



3.5 j Equilibrio elastico della trave: trattazionegenerale

In questo paragrafo viene trattato il problema dellequilibrio elastico della traverettilinea piana, svolto in precedenza per travi soggette unicamente a deformazioneassiale (Paragrafo 3.1) o flessione (Paragrafo 3.3) in presenza delle tre sollecita-zioni di sforzo normale, taglio e momento flettente e delle deformazioni a esseassociate: deformazione assiale, scorrimento e curvatura. Questa trattazione co-stituisce la generalizzazione di quelle gi sopra esposte.

Si consideri la trave rettilinea piana soggetta a carichi distribuiti qz(z), qy(z) ea coppie distribuite C(z) di asse x (Figura 3.28). Il carico distribuito generalizzato rappresentato dal vettore

q 5 [qz qy c]T (3.22)

ove le componenti qz(z), qy(z) hanno dimensione [FL21] mentre la c(z) ha dimen-sione [FLL21] 5 [F]. Alle estremit sono presenti condizioni di vincolo di equa-zione u 5 u o forze e coppie concentrate raccolte nel vettore f 5 [fz fy C ]T. Leequazioni di equilibrio vengono scritte con riferimento alla configurazione rettilineaindeformata, grazie allipotesi di piccoli spostamenti; si assume come riferimentola terna centrata sul baricentro della base iniziale (G, e1, e2, e3). Il sistema pianonel senso che lasse della trave, una direzione principale dinerzia della sua sezione,dei suoi carichi e delle sue reazioni, appartengono al piano (y, z). Pertanto alle sol-lecitazioni taglio T e momento flettente M non necessario apporre pedici, essendochiaro in questo contesto che si tratta delle componenti Ty e Mx; similmente per lacoppia distribuita C 5 Cx(z). Le sollecitazioni nella trave sforzo assiale, taglio emomento flettente vengono raccolte nel vettore della sollecitazione s 5 [N T M]T.

3.5.1 Equilibrio

Le equazioni dellequilibrio interno o indefinite, ottenute precedentemente, si scri-vono:

Equilibrio alla traslazione in direzione z

dN>dz 5 2qz (3.23)

q* 5 2M

kx

Con semplici equazioni di equilibrio si ottengono le seguenti reazioni, taglio emomento nella struttura

La trave ausiliaria di Mohr quella rappresentata nella figura, che viene caricatacon il carico fittizio curvatura .

La cercata rotazione wG pari al taglio fittizio T *G in G della trave di Mohr.Per lequilibrio del tratto GH alla traslazione verticale si ha

e quindi la cercata rotazione in G.

aDy 5 F aGx 5 2Fl

4aHy 5 0 aHx 5

Fl

4

TAD 5 2F TDH 5 0 MAD 5 2Fz MDH 5 2F,

4

TG* 5

Fl

4kx

2

3, 5

F,2

6kx5 1wG


3.5 j Equilibrio elastico della trave: trattazione generale j 177

T + dTdz

TM

N

M + dMN + dN

qy

c

qz

y

Az

u(z + dz)u(z)

dzz + dz

z

n

n0 k

Sz

B z

S

Figura 3.28

Equilibrio alla traslazione in direzione y

dT>dz 5 2qy (3.24)Equilibrio alla rotazione intorno a x

dM>dz 2 T 5 2c (3.25)Negli equilibri, le forze si considerano positive se equiverse agli assi y e z, le cop-pie se antiorarie.

Le equazioni di equilibrio ai limiti si scrivono, sulla base iniziale e su quellafinale, rispettivamente:

(3.26)

3.5.2 Deformazioni e compatibilit

Il modello che qui si sceglie per definire il comportamento della trave elastica pianaad asse rettilineo quello che tiene in considerazione, oltre alla deformabilit assialee a quella flessionale, quella da scorrimento dovuta alla deformazione associata altaglio. Questo modello di trave, viene correntemente chiamato trave di Timoshenko(S. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw-Hill Book Company,1951). Questo modello di trave trae origine dal concetto di direttore per primo in-

fz 5 2N fy 5 2T C 5 2M

fz 5 N fy 5 T C 5 M

Scorrimento

Trave di Timoshenko



trodotto per il continuo polare da Duhem (1893), sviluppato dai fratelli Cosserat(1907-1909), ed esteso al continuo deformabile da J.L. Ericksen e C. Truesdell(1958). La generica sezione S della trave univocamente identificata, nella confi-gurazione iniziale indeformata, dalla sua ascissa z; inoltre, poich gli scorrimentipossono determinare rotazioni tra le sezioni e la normale alla linea elastica, ne-cessario associare a ogni sezione S il versore n a essa normale (Figura 3.28).

Nella configurazione indeformata iniziale della trave rettilinea, ogni sezionepresenta versore della normale n0 coincidente con il versore k dellasse z. Nellaconfigurazione deformata, la sezione S9 trasformata ruotata di w rispetto alla po-sizione iniziale S; quindi il versore della normale alla sezione trasformata, indicatocon n, forma langolo w con loriginario asse della trave che coincide con z.

La configurazione deformata della trave caratterizzata dalla curva j trasfor-mata della linea dasse baricentrico z, nonch dal campo dei versori n(z) normalialle trasformate S9 delle sezioni, che vengono chiamati direttori.

Lo spostamento generalizzato u della trave dunque rappresentato dalle duecomponenti dello spostamento del baricentro della sezione, rispettivamente assialew e trasversale v, e dalla rotazione w del direttore (Figura 3.28):

u 5 [w(z) v(z) w(z)]T (3.27)

Nella trave di Timoshenko la nozione di curvatura rimane la stessa gi sopra ri-chiamata per la trave di Eulero-Bernoulli; resta solo da osservare che qui le normalialle sezioni non coincidono con le tangenti alla trasformata j della linea dasse.

3.5.3 Scorrimento

Lo scorrimento, che verr trattato per esteso nel capitolo dedicato al solido di deSaint Venant, la deformazione della trave duale della sollecitazione taglianteT, e corrisponde alla variazione dellangolo inizialmente retto compreso fra lassez della trave e lasse y su cui giace la sezione trasversale S. Questo tipo di defor-mazione pu essere esemplificato dallo scorrimento che nasce tra le carte di unmazzo di carte da gioco o tra i fogli di un libro (Figura 3.29a). Altro esempio dimeccanismo di scorrimento quello che si ipotizza a livello macroscopico per itelai multipiani, detti shear-type sotto forze orizzontali del tipo sismico (Figura3.29b). Meccanismi di scorrimento da taglio si determinano anche nei solidi vo-lumetrici, quali per esempio i terreni in pendio, i banchi rocciosi composti da di-versi strati di rocce sovrapposti; lo scorrimento, frequentemente innescato nelbanco instabile da sismi o da saturazione di acqua dei terreni, pu produrre mec-canismi di frane o scivolamento dei pendii (Figura 3.29c).

Con riferimento alla Figura 3.30 si consideri la sezione S e la sua trasformataS9. Sia n il direttore di S9. Per lo spostamento della sezione S in S9, se non vifosse scorrimento da taglio la sezione S9 risulterebbe ortogonale alla tangente allalinea media deformata. Lelemento di trave di lunghezza dz fra S e Q si porterebbenella posizione S9Q*; esso invece si deforma cos da occupare la posizione de-formata S9Q9, in quanto avvenuto lo scorrimento g rispetto a S9Q*. Dalla geo-metria della figura agevole dedurre la seguente relazione geometrica:

(3.28)

che lega lo scorrimento g alla rotazione w della sezione e alla derivata rispetto az dello spostamento trasversale v della linea dasse trasformata j.

Se risulta w 5 0 si ha puro scorrimento di valore (Figura 3.30):

(3.29)

g 5 w 1dv

dz

g 5dv

dz


3.5 j Equilibrio elastico della trave: trattazione generale j 179

Strutturaa telaio nellaconfigurazioneindeformata

Strutturaa telaio nellaconfigurazionedeformata(meccanismoshear-type)

Porzione di terrenointeressata da possibilimeccanismi di scivolamento Terreno

c)

a) b)

Superficie discorrimento

Figura 3.29

S Qz z + dz

S

Q*

w(z)n

v + dvv(z)

dv

Scorrimento

n + dn

n0

Q

dz

dvdz

= + dvdz

Figura 3.30



Nel caso di scorrimento nullo g 5 0 si ha:

(3.30)

la trave si comporta come nel modello puramente flessionale di Eulero-Bernoullie il direttore n in ogni sezione tangente alla deformata della linea dasse.

La dilatazione e, lo scorrimento angolare g e la curvatura x descrivono la de-formazione della trave nella generica sezione e sono le caratteristiche della de-formazione, o deformazioni generalizzate della trave di Timoshenko.

Le equazioni:

(3.31)

costituiscono le equazioni differenziali di compatibilit cinematica fra sposta-menti e deformazioni.

Il vettore d 5 [e g x]T raccoglie le componenti della deformazione della trave.Noto il campo di spostamento u 5 [w v w]T, per derivazione tramite le (3.31) si

ottengono le deformazioni. Viceversa, assegnato lo stato di deformazione d 5 [e g x]T,lintegrazione delle (3.30) determina le componenti dello spostamento u:

(3.32)

la cui soluzione effettiva dipende dalle condizioni ai limiti di tipo cinematico.

3.6 j Principio dei Lavori Virtuali per la traveinflessa

In questo paragrafo viene introdotto il Principio dei Lavori Virtuali (PLV) per latrave inflessa, la cui deformazione stata descritta precedentemente. La trattazionepu considerarsi la naturale estensione alla trave deformabile del Principio giampiamente trattato per le travi rigide. Peraltro la trattazione esposta costituiscela riduzione, alla trave inflessa, di quel Principio valido in generale per il solidodeformabile, che verr introdotto nel Capitolo 5.

Il PLV di fondamentale importanza nella deduzione della generalit dei risultatisulla meccanica della trave, in tema di teoria dellElasticit, nella teoria della Pla-sticit e nellAnalisi Limite: infatti esso non presuppone alcun legame costitutivoe si pu dunque utilizzare in vaste parti della teoria e delle applicazioni in tema disolidi e strutture, indipendentemente dal comportamento del materiale costitutivo.

Il PLV costituisce un ponte fra il mondo della statica e quello della cinematicadella trave deformabile, in quanto fornisce condizioni di equilibrio e condizionidi compatibilit.

3.6.1 Equilibrio

Si consideri la trave piana F ad asse rettilineo di sezione S e di luce , di Figura 3.31sottoposta al carico distribuito trasversale qy 5 q(z), considerato applicato con op-portuna regolarit alla trave. La trave F assumer il ruolo di sistema forze-tensioni.

La trave, priva di vincoli, viene considerata libera nel piano; in dipendenzadel suo effettivo inserimento in una struttura pi generale, o quali effetti di vincolipresenti nel caso reale, sono presenti sulle sue due basi iniziale e finale S0, Slforze e coppie, connesse con la deformabilit flessionale, indicate rispettivamentecon (F0y, C0x) e (Fly, Clx).

e 5dw

dz(a) g 5 w 1

dv

dz(b) x 5

dw

dz(c)

w 5 3edz w 5 3xdz v 5 3(g 2 w)dz

w 5 2dv

dz

Equazioni di compatibilit

Indipendenza dal legamecostitutivo

Sistema forze-tensioniequilibrato


3.6 j Principio dei Lavori Virtuali per la trave inflessa j 181

Le azioni applicate alle due basi e il carico distribuito q(z) sono per ipotesi inequilibrio fra loro nel senso che soddisfano le equazioni cardinali della staticadellintera trave. Per lequilibrio esistente, il carico q(z) applicato insieme ai si-stemi di forze agenti alle estremit, sono in equilibrio con le sollecitazioni interneT(z), M(z) 5 Mx suscitate nella trave, nel senso che sono soddisfatte le equazioniindefinite di equilibrio interno della trave (Paragrafo 2.9):

(3.33)

e le equazioni di equilibrio ai limiti nelle sezioni di estremit coinvolgenti le sol-lecitazioni e le azioni esterne ivi applicate:

in e (3.34)

in (3.35)

3.6.2 Compatibilit

Si consideri poi la trave S di Figura 3.32, avente la stessa geometria (S, l) di quellagi introdotta, sulla quale si considera presente un generico campo di spostamentotrasversale v(z) appartenente a una classe V di spostamenti infinitesimi di oppor-tuna regolarit (per esempio di classe C (2)), al quale sono connesse le rotazioniinfinitesime w(z) e la curvatura x(z) linearizzata, soddisfacenti con lo spostamentole equazioni di compatibilit spostamento-deformazione:

(3.36)

(3.37)

dT

dz1 q(z) 5 0 (a),

dM

dz2 T(z) 5 0 (b)

T0 5 2F 0y M0 5 2C 0

x S0

Tl 5 F ly Ml 5 C l

x Sl

w 5 2dv(z)

dz

x 5dw

dz5 2

d2v(z)

dz2

Sistemaspostamento-deformazionecinematicamente compatibile

z

y

qy= q(z)

S0 SlFy0 F

yl

Cx0C xl

,

F

Figura 3.31

y

z

0v w0

wL

v(z)S0 SL

Lv

S ,

Figura 3.32



La classe degli spostamenti-deformazioni v(z), w(z), x(z) assunti nellambito dellacinematica infinitesima, costituisce un insieme chiamato spostamento virtuale.La S assumer il ruolo di sistema spostamenti-deformazioni.

Laggettivo virtuale sottintende in sintesi:

a) lindifferenza della scelta di v(z) allinterno della classe V;b) che v(z) sia infinitesimo e regolare;c) che da esso tramite le equazioni di compatibilit (4) e (5) si deducano rotazione

w(z) e curvatura linearizzata x(z).

Si nota qui esplicitamente che tra le forze-sollecitazioni presenti su F sopra in-trodotte e questi spostamenti deformazioni presenti su S non vi , in generale, al-cuna relazione di causa ed effetto.

3.6.3 Equazione dei lavori virtuali

Scriviamo ora il cosiddetto lavoro virtuale delle forze presenti sulla trave F pergli spostamenti della trave S. Questo lavoro, altrimenti detto lavoro delle forze olavoro esterno, il prodotto scalare degli enti forze e coppie presenti su F, per icorrispondenti spostamenti-deformazioni presenti su S:

(3.38)

Il lavoro virtuale non un lavoro realmente compiuto in senso meccanico, ma solo un prodotto scalare, uno strumento matematico che inferisce importanti ri-sultati su equilibrio e compatibilit delle travi.

Facendo uso delle (3.34) e (3.35), grazie allipotizzata regolarit degli enticoinvolti e del significato della funzione primitiva, la (3.38) si trasforma comedi seguito.

(3.39)

Nellultimo membro della (3.39), la prima parentesi tonda in forza della (3.33a) nulla, la seconda parentesi tonda grazie alle (3.33b) e alla (3.36) nulla, sicch lul-timo membro della (3.39) si riduce allespressione del cosiddetto lavoro virtualeinterno flessionale del momento presente su F per la curvatura presente in S: .

In definitiva si ottiene lequazione che esprime il Principio dei Lavori Virtualidella trave inflessa:

(3.40)

Le 5 F 0yv0 1 C x

0w0 1 F lyvl 1 C l

0wl 1 3l

0

q(z)v(z)dz

Le 5 (Tlvl 1 Mlwl 2 T0v0 2 M0w0) 1 3l

0

q(z)v(z)dz 5

5 3Tv 1 Mw 4 0l 1 3l0

q(z)v(z)dz 5 3l

0

c ddz

(Tv 1 Mw) 1 q(z)v(z) ddz 55 3

l

0

c a dTdz

1 q(z) b v(z) 1 a dMdz

w 1 Tdv(z)

dzb 1 Mdw

dzddz

Le 5 F 0yv0 1 C x

0w0 1 F lyvl 1 C l

0w l 1 3l

0

q(z)v(z)dz 5 Li 5 3l

0

Mxdz

Lavoro virtuale

Lavoro virtuale interno

Li 5 3l

0

Mxdz

Spostamento virtuale

Lavoro virtuale esterno



La (3.40) afferma che il lavoro virtuale delle forze agenti sulla trave F per glispostamenti della trave S, o lavoro virtuale esterno Le, eguaglia il lavoro virtualedella sollecitazione momento flettente equilibrato con le forze su F per la defor-mazione di curvatura compatibile con lo spostamento di S, chiamato lavoro vir-tuale interno Li.

Sotto opportune ipotesi di regolarit degli enti coinvolti valgono i seguentiTeoremi dei Lavori Virtuali.

Condizione necessaria di equilibrio

Nella dimostrazione svolta sopra si fatta lipotesi che le forze-sollecitazioni pre-senti sul sistema di forze F siano equilibrate nel senso delle equazioni cardinalidella statica e nel senso delle equazioni di equilibrio interno e ai limiti (3.33),(3.34) e (3.35). Si poi utilizzato lo spostamento virtuale v(z) con la rotazione ela curvatura w(z), x(z) ottenute da v(z) a mezzo delle equazioni di compatibilit(3.36) e (3.37): questa procedura d pertanto allequazione (3.40) del PLV il si-gnificato di condizione necessaria di equilibrio.

Il teorema si enuncia:

Condizione necessariadi equilibrio

Un sistema di forze-sollecitazioni [F y0, C x0, F yl, C xl, q(z), M(z)] in equilibrio sullatrave nel senso dellequilibrio globale, interno e ai limiti, soddisfa lequazione(3.40) del PLV

scritta con riferimento a uno spostamento virtuale v(z) e alle corrispondenti defor-mazioni compatibili.

Le 5 Li

Questo teorema si chiama anche teorema degli spostamenti virtuali, a sottoli-neare il carattere di parametro di prova o rivelatore assunto dal campo di spo-stamento virtuale v(z), e pu essere sintetizzato dalla seguente implicazionesimbolica:

Con tecnica dimostrativa analoga possibile dimostrare gli altri teoremi che quidi seguito si enunciano, rinviando per approfondimenti allampia letteratura esi-stente sullargomento [1, 25].

Condizione sufficiente di equilibrio

Un sistema di forze [F y0, C x0, F yl, C xl, q(z)] in equilibrio con le sollecitazioniM(z), T(z) se lequazione (3.40) dei lavori virtuali Le 5 Li soddisfatta per ognipossibile spostamentodeformazione virtuale v(z), w(z), x(z). Il teorema sinte-tizzabile con la seguente implicazione:

Condizione sufficiente di compatibilit

Se lo spostamento v(z), la rotazione w(z) e la curvatura x(z), assegnati separata-mente, soddisfano lequazione del PLV Le 5 Li, scritta per tutti i possibili sistemidi forze-tensioni equilibrati [F y0, C x0, F yl, C xl, q(z), M(z)], allora lo spostamento, larotazione e la curvatura v(z), w(z), x(z) soddisfano fra loro le relazioni di com-patibilit cinematica (3.36) e (3.37).

3F0y,C0x,Fly,Clx,q(z),M(z) 4 equilibrato 1 Le5Li per un 3v(z),w(z),x(z) 4 virtuale

Le5Li per ogni 3v(z),w(z),x(z) 4 virtuale 1 3F0y,C0x,Fly,Clx,q(z),M(z) 4 equilibrato

Teorema degli spostamentivirtuali

Condizione sufficientedi equilibrio

Condizione sufficientedi compatibilit



j Approfondimento 3.1

PLV per la trave: trattazione generale

In questo paragrafo viene generalizzato il Principiodei Lavori Virtuali gi presentato, alla trave nella qua-le sono presenti deformabilit assiali, scorrimento ecurvatura, in presenza anche di coppie distribuite.

Si consideri una trave piana ad asse rettilineo disezione S e di luce , sottoposta a forze e coppie con-centrate agenti sulle due basi, raccolte nel vettoref 5 [fz fy C]T, nonch al carico distribuito q 5 [qz qy c]T

lungo la trave (Figura AP3.1). Per lequilibrio ai limitinelle due sezioni di estremit, si ha:

(AP3.1)

Nellagenericasezioneallascissazdella trave, sonopre-senti le caratteristiche della sollecitazione s 5 [N T M]T

f 0z 5 2N0 f 0

y 5 2T0 C0 5 2M0

f ,z 5 N, f ,

y 5 T, C, 5 M,

equilibrate con i carichi q 5 [qz qy c]T nel senso del sod-disfacimento delle equazioni dellequilibrio interno(3.23) (3.24) (3.25).

(AP3.2)

Si consideri poi unaltra trave, avente la stessa geome-tria (S, ,) della prima, che presenta un campo di spo-stamento generalizzato piccolo u 5 [w(z) v(z) w(z)]T

(Figura AP3.2).

dN

dz5 2qz (a)

dT

dz5 2qy (b)

dM

dz2 T 5 2c (c)

c

y

qy

z

C = M

C0 = M0

Fy = +T

f z = N

f 0y = T0f 0z = N0 qz

q

Figura AP3.1

Teorema delle forze virtuali

Il teorema sintetizzabile con la seguente implicazione

Questultimo teorema, che costituisce una condizione sufficiente di compatibilit frav(z), w(z), x(z), si chiama anche teorema delle forze virtuali, in quanto utilizza i sistemidi forze-sollecitazioni equilibrati [F0y, C0x, Fly, Clx, q(z), M(z)] come campi di prova.

Il Principio dei Lavori Virtuali per la trave inflessa, qui sopra presentato, diventaun formidabile strumento per la ricerca di spostamenti elastici e per la deduzionedi incognite iperstatiche, come verr dimostrato operativamente tramite alcuniesempi di travi semplici elastiche sviluppati qui di seguito. Nel Capitolo 4 si ge-neralizzeranno queste nozioni introduttive a strutture pi complesse, in presenzadi carichi, cedimenti e distorsioni e utilizzando le tre deformabilit gi introdotte:assiale, da scorrimento e flessionale. NellApprofondimento 3.1 viene presentatalestensione del Principio dei Lavori Virtuali alla trave dotata di deformabilit as-siale, flessionale e tagliante, comunemente detta trave di Timoshenko.

Il PLV , daltro canto, utilizzabile anche in ambito elasto-plastico ed elasto-viscoso, come si mostrer nel Capitolo 8.

Le 5 Li per ogni 3F0y,C0x,Fly,Clx,q(z),M(z) 4 equilibrato 11 v(z), w(z), x(z) fra loro compatibili



Allo spostamento u considerato corrispondono tra-mite le (3.31), le deformazioni generalizzate

con esso compatibili. Questi spostamenti-deforma-zioni (u, d), assunti nellambito della teoria infinite-sima, per ipotesi sono dotati di opportuna regolaritmatematica e costituiscono uno stato di spostamen-ti-deformazioni chiamato cinematicamente compati-bile. Di norma si assume che u sia continuo con de-rivate prime e seconde continue.

Si nota esplicitamente che tra le forze-tensioni so-pra introdotte e questi spostamenti-deformazioni nonvi alcuna relazione.

Scriviamo ora il cosiddetto lavoro virtuale, che leforze del primo sistema compiono per i corrispon-denti spostamenti del secondo sistema:

(AP3.3)

tenendo conto delle (AP3.1), la (AP3.3) si trasformacome di seguito:

(AP3.4)

Poich le sollecitazioni s 5 [N T M]T sono in equi-librio con i carichi q 5 [qz qy c]T nel rispetto delle

LF 5 f ,zw, 1 f ,

yv, 1 C,w, 1 f 0zw0 1 f 0

yv0 1

1 C0w0 1 3,

0

(qzw 1 qyv 1 cw)dz

LF5 3Nw1Tv1Mw 4 0,1 3 ,0

(qzw1qyv1cw)dz5

53,

0

c ddz1Nw1Tv1Mw 21(qzw1qyv1cw) d dz5

5 3,

0

c a dNdz

1qz bw1 a dTdz 1qy b v1 a dMdz 1c bw1

d 5 3egx 4T 5 c dwdzaw 1 dv

dzb dw

dzd T

1 aNdwdz

1 Tdv

dz1 M

dw

dzb ddz

equazioni di equilibrio interno (AP3.2), le primedue parentesi tonde nellultimo membro della(AP3.4) sono nulle; la terza parentesi tonda produceil termine Tw.

Le equazioni di compatibilit spostamento-defor-mazione (3.31) consentono in definitiva di scriverela (AP3.4) nella forma:

(AP3.5)

Lequazione (AP3.5) esprime il cosiddetto Principiodei Lavori Virtuali (PLV) il quale afferma che il la-voro virtuale del sistema di forze del primo sistemaper gli spostamenti del secondo sistema eguaglia illavoro virtuale delle sollecitazioni equilibrate con leforze del primo, per le deformazioni compatibili congli spostamenti del secondo; questultimo si chiamalavoro virtuale interno Li.

opportuno notare che il lavoro di cui qui siparla, non un lavoro meccanico realmente compiu-to, ma semplicemente un prodotto scalare fra cam-pi di forze per certi spostamenti virtuali (lavoro vir-tuale esterno o delle forze), e fra sollecitazioni e de-formazioni generalizzate (lavoro virtuale interno). Lavirtualit dello spostamento utilizzato nellequa-zione (e delle corrispondenti deformazioni infinitesi-me compatibili) risiede nel fatto che lo spostamentou, arbitrario, il generico rappresentante di uninteraclasse di spostamenti infinitesimi, dotati di opportunaregolarit. Su tale questione il lettore interessato adapprofondimenti pu consultare diversi testi di livellosuperiore esistenti sullargomento.

Sotto opportune ipotesi di regolarit degli enti coin-volti valgono i seguenti teoremi dei Lavori Virtuali.

Condizione necessaria di equilibrioUn sistema di forze sollecitazioni [(f0, f1, q); s] equi-librato, in quanto in accordo con le equazioni ai limiti

LF5 3,

0

3Ne1Tg1Mx 4dz5Li

w

y

z

n

n

z

wl

vl

w0

v0

0

l

dvdz

v

Figura AP3.2



j Esempio 3.16 Ricerca di spostamenti e rotazioni mediante il PLV

Si voglia determinare lo spostamento della sezione D della trave elastica dellaFigura 3.33.

La trave isostatica, sollecitata da una forza F sullestremit dello sbalzo, presentale reazioni RA e RB deducibili tramite le due equazioni di equilibrio alla rotazioneintorno ai punti B e A:

Nei due tratti il momento flettente rappresentato rispettivamente dalle funzioni:

d2RAl 2 Fa 5 0 1 RA 5 2FalRBl 2 F1l 1 a 2 5 0 1 RB 5 F a1 1 al bdM1 5 1 RAz 5 2Fal z 5 z[ 30, l 4

M2 5 2F1l 1 a 2 z 2 5 z[ 3 l, l 1 a 4

z

yB

A

@

F

L a

(1) (2)

RA RBv(z)

vD

D

M(z)Figura 3.33

(AP3.1) e interne (AP3.2), soddisfa lequazione deilavori virtuali (AP3.5):

(AP3.6)

scritta per un qualunque campo di spostamenti vir-tuali u 5 [w v w]T compatibili con le deformazionid 5 [e g x]T. La (AP3.5) scritta sinteticamente:

LF 5 Lievidenzia luguaglianza fra il lavoro virtuale delleforze LF e il lavoro virtuale interno Li.

Questo teorema si chiama anche teorema deglispostamenti virtuali, a sottolineare il carattere di pa-

1 C0w0 1 3,

0

(qzw 1 qyv 1 cw)dz 5

5 3,

0

(Ne 1 Tg 1 Mx)dz

f ,zwl 1 f ,

yv, 1 C,w, 1 f 0zw0 1 f 0

yv0 1

rametro di prova o rivelatore assunto dal campo dispostamento virtuale u che entra nella (AP3.6), conle corrispondenti deformazioni compatibili d.

Condizione sufficiente di equilibrioUn sistema di forze [f0, f1, q] in equilibrio con lesollecitazioni s 5 [N T M]T se lequazione (AP3.6) soddisfatta per ogni possibile stato compatibile dispostamentodeformazione virtuale (u, d).

Condizione sufficiente di compatibilitSe lo spostamento u e le deformazioni d, assegnati se-paratamente, soddisfanolequazionedelPLV,scrittapertutti i possibili sistemi di forze-tensioni [f0, f1, q, s] equi-librati, allora u e le deformazioni d sono fra loro com-patibili, nel senso che soddisfano le equazioni (3.31).Questultimo teorema si chiama anche delle forze vir-tuali a sottolineare il ruolo di campi di prova assuntodei parametri forze-tensioni equilibrate [f0, f1, q, s].



M

z

yB

A

@

1

L a

(1) (2)

aA aB

D

(z)

F

1 M (z)2Figura 3.34

Al momento flettente presente sulla trave corrisponde la curvatura elastica ,dalla quale deducibile lo spostamento v, rappresentato in figura, ottenibile conla procedura pi sopra presentata di doppia integrazione.

La curvatura elastica e lo spostamento presenti sulla trave B sono tra lorocompatibili nel senso del soddisfacimento delle equazioni:

Il sistema @ costituisce dunque il sistema di spostamento al fine dellutilizzodel PLV.

Al fine della ricerca dello spostamento vD della sezione di estremit dellosbalzo, si utilizza la trave @F di Figura 3.34, uguale per geometria a quella dastudiare, caricata nella sezione D da una forza Fy 5 1 unitaria.

Per questo motivo la presente procedura nella letteratura anglosassone assumeil nome di unit force method. Nella trave @F si destano le reazioni .

Il momento flettente dato da:

Su questa trave ausiliaria @F, la forza unitaria Fy 5 1, le reazioni ai e il momentom sono fra loro equilibrati, nel senso del soddisfacimento delle equazioni car-dinali della statica e di quelle di equilibrio indefinito: il sistema (Fy 5 1, ai, m)agente sulla trave @F equilibrato.

Si pu quindi scrivere lequazione dei Lavori Virtuali fra la trave @F costi-tuente il sistema di forze in quanto equilibrato e quello @ quale sistema sposta-menti in quanto (x,v) costituenti la soluzione, sono fra loro compatibili. Lequa-zione si scrive:

e determina lincognito spostamento vD. Al sistema forze @F (Fy 5 1, ai, m) richiesto solo il soddisfacimento dellequilibrio: esso dipende dalla scelta dellaforza unitaria Fy 5 1 applicata in corrispondenza della sezione D, in quantoente duale del cercato spostamento vD, e cio con esso legato nellespressionedel lavoro virtuale esterno.

Con la scelta di una trave IPE 140 e dei seguenti parametri F 5 10 kN,l 5 5 m, a 5 1 m, I 5 541 cm4, si ottiene vD 5 1.4787 cm.

x 5M

EI5

dw

dz5 2

d2v

dz2

cm1 5 1 aAz 5 2al z 5 z[ 30, l 4m2 5 z 2 l 2 a 5 z[ 3 l, l 1 a 4

Le 5 1 # vD 5 Li 5 3b

mM

EIdz 5 3

l

0

m1M1EI

dz 1 3l1a

l

m2M2EI

dz

x 5M

EI

Sistema spostamenti

Unit force method

aA 52a

l

aB 5 1 1a

l

Sistema forze


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Bending of Beams