84

ber - unideb.hu · 2008. 2. 22. · y Lszl Budap est szeptem ber IV FEJEZET V alsznsgi tr vnyek x x x x x x T artalomjegyzk ELSZ I AK olmogoro vfle v alsz n sgi mez I Av al sz n s

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • Val�sz�n�s�gsz�m�t�s

    Ketskem�tyL�szl�

    Budapest�����szeptember��

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    x

    ��x�

    x

    ��x�

    x

    ��x�

    ���

    ���������

    ����

    �����

    ����

    ��

    ���

    ���

    ��

    ����

    ���

    ����

    ���

    ���

    �������

    ����

    ������

    ����

    ����

    ���

    ��������

    ����

    ��

    ���

    ����

    ���

    ���������

    ����

    ����

    ����

    ���

    ���

    ��������

    ����

    �����

    ����

    ���

    �������

    ����

    �����

    ����

    ��

    ���

    ���

    �����

    ����

    ������

    ����

    ��

    ��

    �����

    ���

    ��

    ��

    ���

    ��

    ��

    ���

    ���

    ����

    ���

    ����

    �������

    ����

    �����

    ����

    ���

    ����

    ������

    ����

    ������

    ����

    ���

    ����

    �����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ������

    ����

    ������

    ����

    �����

    ����

    �������

    ����

    ��

    ���

    ����

    ���

    ����

    �����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ��������

    ����

    �����

    ����

    �����

    ����

    ��������

    ����

    ������

    ����

    ��

    ��

    ������

    ���

    ������

    ���

    ����

    ���

    ����

    ���

    ���

    ������

    ���

    ����

    ����

    �����

    ����

    ������

    ��

    �����

    ����

    ��

    ���

    ����

    �����

    ��

    �����

    ����

    �����

    ����

    ��

    ��

    �����

    ����

    �����

    ����

    ��

    ��

    ��

    ����

    ����

    �����

    ����

    �����

    ��

    ��

    ����

    ������

    ����

    �����

    ��

    ����

    ����

    ���

    ����

    ����

    ��

    �����

    ����

    ������

    ����

    �����

    ��

    ����

    ����

    ��

    ����

    ���

    ����

    ��

    �����

    ����

    ��

    ���

    ���

    ���

    ��

    ��

    ����

    ������

    ����

    ������

    ���

    ����

    ����

    �����

    ����

    �����

    ���

    ���

    ����

    ����

    ����

    ��

    ���

    ���

    �����

    ����

    ������

    ����

    �����

    ���

    �����

    ����

    �������

    ����

    ���

    ���

    ����

    ����

    �������

    ����

    ���

    ���

    ����

    ��

    �����

    ����

    ����

    ���

    �����

    ��

    ��

    ����

    ����

    ����

    ���

    �����

    ���

    ����

    ���

    ��

    ��

    �����

    ���

    �����

    ���

    ����

    ��

    ����

    Tartalomjegyz�k

    EL�SZ�

    I�AKolmogorov�f�leval�szn

    s�gimez�

    I���Avalsz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saximarendszere���

    I���P�ld�kvalsz�n�s�gimez�kre

    ��������������������

    I���K�s�rletsorozat�azesem�nyekrelat�vgyakoris�ga

    ��������

    I���Afelt�telesvalsz�n�s�g�sazesem�nyekf�ggetlens�ge�����

    I���Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ����������������

    II�Aval�szn

    s�givltoz�

    ��

    II���Avalsz�n�s�giv�ltoz

    fogalma�������������������

    II���Azeloszl�sf�ggv�nyfogalma���������������������

    II���Diszkr�tvalsz�n�s�giv�ltoz

    k��������������������

    II���Folytonosvalsz�n�s�giv�ltoz

    k�������������������

    II���Val

    sz�n�s�giv�ltoz

    ktranszform�cii��������������

    II���Av�rhat

    �rt�k����������������������������

    II���Magasabbmomentumok�szr�sn�gyzet���������������

    II�

    �Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ��������������

    III�Val�szn

    s�givektorv

    ltoz�k

    ��

    III���Val

    sz�n�s�givektorv�ltoz

    k�egy�tteseloszl�sf�ggv�ny�����

    III���Diszkr�tvalsz�n�s�giv�ltoz

    kegy�tteseloszl�sa

    ��������

    III���Folytonosvalsz�n�s�giv�ltoz

    kegy�tteseloszl�sa�������

    III���Val

    sz�n�s�givektorv�ltoz

    ktranszform�cii�������������

    III���Akovariancia�sakorrel�cisegy�tthat���������������

    III���Afelt�telesv�rhat

    �rt�k������������������������

    III���Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    �����������������

  • TARTALOMJEGYZ�K

    IV�Val�szn

    s�git�rv�nyek

    ���

    IV���Nevezetesegyenl�tlens�gek�����������������������

    IV���Val

    sz�n�s�giv�ltoz

    ksorozatainakkonvergenci�i���������

    IV���Anagysz�mokt�rv�nyei������������������������

    IV���Akarakterisztikusf�ggv�ny����������������������

    IV���Centr�lishat�reloszl�st�telek���������������������

    IV���Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    �����������������

    Jel�l�sek

    ���

    Ajnlottirodalom

    ���

    F�GGEL�K

    ���

    F�GGEL�K

    Astandardnorm�liseloszl�seloszl�sf�ggv�ny�nekt�bl�zata

    ��x��

    �p��

    x R ��exp

    � �t� �� d

    t

    ��HaX

    �N

    �m�d��akkorP

    �X�x���� x�m d� �E

    zentulajdons�g

    miattel�gcsakastandardnorm�liseloszl�st�bl�zat�tmegadni��

    ��Hax���akkor���x������x���Ezentulajdons�gmiattvana

    t�bl�zatbancsaknemnegat�vxargumentum�

    ��Ha��������akkorP

    � �u��X�m d

    �u�

    � ����u���������azaz

    ��u������ ��� u ������ ��� ��� �

    ��

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    EL�SZ�

    AjegyzetaBMEVillamosm�rn�ki�sInformatikaiKarInformatikusszak��

    nakVal

    sz�n�s�gsz�m�t�sc�tant�rgy�hozk�sz�ltseg�danyag�

    Ajegyzetazelm�letszok�sosfel�p�t�s�tk�vetven�gyfejezetretagoldik�

    afejezetekszakaszokb

    l�llnak�Azels�fejezettartalmazzaavalsz�n�s�gsz��

    m�t�saximarendszer�t�avalsz�n�s�gim�rt�klegfontosabbtulajdons�gait

    �skisz�m�t�s�nakklasszikusm

    dszereit�Am�sodikfejezetavalsz�n�s�gi

    v�ltoz

    kkal�aharmadikfejezetavalsz�n�s�givektorv�ltoz

    kkalfoglakozik�

    Anegyedikfejezetbenkapnakhelyetanagysz�mokt�rv�nyei�sacentr�lis

    hat�reloszl�st�telek�Afejezetekv�g�nnagysz�m�kidolgozottfeladat�s

    �n�llanmegoldand

    gyakorlattal�lhat

    �Ajegyzetv�g�nafelhaszn�lt

    jel�l�sek�szimb

    lumok�sszefoglal�sa�t�rgymutat

    �aj�nlottirodalmakje�

    gyz�ke�sf�ggel�kbenanorm�liseloszl�st�bl�zataolvashat

    m�g�

    AVal

    sz�n�s�gsz�m�t�sc�tant�rgyel�k�sz�tiaT�megkiszolg�l�sinfor�

    matikairendszerekben�sazInform�cielm�letc�tant�rgyakat�deolyanm�s

    t�rgyakis�p�tenekr��mintpl�aMatematikaistatisztika�Sztochasztikus

    folyamatok�V�letlensz�mokgener�l�sa�sszimul�cik�Megb�zhat

    s�gelm��

    let�Oper�ci

    kutat�s�stb�

    Avalsz�n�s�gsz�m�t�staxiomatikusfel�p�t�sbent�rgyaljuk�eleveelfo�

    gadottalapfogalmakb

    l�salapt�telekb�lkiindulvajutunkelazegyszer�bb

    t�teleken�sde�n�cikonkereszt�laz�sszetettebb�ll�t�sokhoz�sfogalmak�

    hoz�At�teleknagyr�szebizony�t�sokkalegy�ttszerepel�amiazelm�leti

    h�tt�rjobbmeg�rt�s�tszolg�lja�Ugyaneztseg�tikabemutatottp�ld�k�s

    kidolgozottfeladatok�valamintamell�kelt�br�kis�Az�sszetett�bonyolult

    bizony�t�sokatels�olvas�skormell�znilehet�af�bb�sszef�gg�sekan�lk�lis

    meg�rthet�k�

    Ez�tonmondokk�sz�netetDr�Gy�r�L�szl

    akad�mikusnakak�zirat

    gondos�tnez�s��rt�ajegyzetszerkezetifel�p�t�s�velkapcsolatostan�csai�rt

    �s�rt�kesszakmaimegjegyz�sei�rt�kieg�sz�t�sei�rt�K�sz�n�mPint�rM�rta

  • TARTALOMJEGYZ�K

    doktorandusznakis�hogyk�r�ltekint�enelolvastaak�ziratot��sseg�tettahi�

    b�k�pontatlans�gokkik�sz�b�l�s�ben�K�sz�netteltartozomGy�riS�ndor

    m�sod�vesinformatikushallgatnakis�akisokatdolgozottasz�veginter�

    neth�lzatrat�tel�vel�V�gezet�lk�sz�n�mSalferG�bortan�rseg�dneka

    LAT EXsz�vegszerkeszt�velkapcsolatostan�csait�seg�ts�g�t�

    Budapest��

    �szeptember���

    Ketskem�tyL�szl

    Aj�nlottirodalom

    ���R�nyiAlfr�d�Val

    sz�n�s�gsz�m�t�s

    Tank�nyvkiad�Budapest����

    ���Pr�kopaAndr�s�Val

    sz�n�s�gelm�let

    M�szakiK�nyvkiad

    �Budapest����

    ���VetierAndr�s�Szeml�letesm�rt�k��svalsz�n�s�gelm�let

    Tank�nyvkiad�Budapest���

    ���W�Feller�Bevezet�savalsz�n�s�gsz�m�t�sba�salkalmaz�saiba

    M�szakiK�nyvkiad

    �Budapest���

    ���A�N�Kolmogorov�Avalsz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai

    Gondolat�Budapest��

    ���PaulR�Halmos�M�rt�kelm�let

    Gondolat�Budapest��

    ���Bogn�rn��Mogyordi�Pr�kopa�R�nyi�Sz�sz�

    Val

    sz�n�s�gsz�m�t�sfeladatgy�jtem�ny

    Tank�nyvkiad�Budapest��

    �SoltGy�rgy�Val

    sz�n�s�gsz�m�t�s�p�ldat�r�

    M�szakiK�nyvkiad

    �Budapest����

    ��DenkingerG�za�Val

    sz�n�s�gsz�m�t�sigyakorlatok

    Tank�nyvkiad�Budapest����

    ����B�ASzevasztyanov�V�P�Csisztyakov�A�M�Zubkov�

    Val

    sz�n�s�gsz�m�t�sifeladatok

    Tank�nyvkiad�Budapest��

    ���

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    X�N�����azXvalsz�n�s�giv�ltoz

    standardnorm�liseloszl�s�

    X���n���azXvalsz�n�s�giv�ltoz

    n��param�ter�gamma�eloszl�s�

    X�Np����azXvalsz�n�s�givektorv�ltoz

    p�dimenzi

    snorm�lisvektor�

    �v�rhat

    �rt�k�vektorral�skovarianciam�trixszal

    �����x�az���param�ter�norm�liseloszl�seloszl�sf�ggv�nye

    ����x�az���param�ter�norm�liseloszl�ss�r�s�gf�ggv�nye

    ��x�astandardnorm�liseloszl�seloszl�sf�ggv�nye

    �x�standardnorm�liseloszl�ss�r�s�gf�ggv�nye

    Xn

    �v �XazXnvalsz�n�s�giv�ltoz

    sorozat�valsz�n�s�ggelkonverg�lX�

    hez

    Xn

    Lr �XazXnvalsz�n�s�giv�ltoz�sorozatr�edikmomentumbankonverg�l

    X�hez

    Xn

    st �X

    azXn

    valsz�n�s�giv�ltoz�sorozatsztochasztikusankonverg�lX�

    hez

    Xn

    e �XazXnvalsz�n�s�giv�ltoz�sorozateloszl�sbankonverg�lX�hez

    I�fejezet

    AKolmogorovf�leval

    sz�n�s�gi

    mez

    I���

    Aval�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi

    �marendszere

    Azalapfogalmakszeml�letb�lered��mag�t

    l�rtet�d�fogalmakatjelentenek�

    amelyeketegyszer�bbfogalmakseg�ts�g�velnemlehetde�ni�lni�hanemcsu�

    p�nk�r�l�rnilehet�ket�illet�legp�ld�katlehetmutatnir�juk�

    Hasonlan�azaxi�m�kbizony�t�sn�lk�lelfogadott�ll�t�sok�amelyek

    annyiranyilv�nvalak�hogycsup�naszeml�letb�lvezetj�kle�ket�

    I�����Alapfogalom�V�letlenk�s�rleten�K�olyanfolyamatot�jelens��

    get�rt�nk�amelynekkimeneteleel�rebizonyosanmegnemmondhat

    �csup�n

    az�hogyelvilegmilyenk�s�rletkimeneteleklehetnek�Av�letlenk�s�rletet

    ak�rh�nyszormeglehet�gyelni�vagyv�grelehethajtaniazonosfelt�telek

    mellett�

    I�����P�lda�

    a��Egyszab�lyosj�t�kkock�valdobunk�Nemtudjukel�remegmondaniaz

    eredm�nyt�deazt�ll�thatjuk�hogyaz������������rt�kk�z�lvalamelyiket

    kapjuk�

    b��Egyteljes�jlmegkevertcsomagmagyark�rty�b

    lv�letlenszer�enkih��

    zunk��lapot�Av�letlent�lf�gg�hogymelyikleszaza��lap�deazt

  • I�FEJEZETA

    Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�

    tudjuk�hogya

    �lap�sszesism�tl�sn�lk�likombin�ci

    jak�z�llehet

    csakvalamelyik�

    c��Egytelefonk�sz�l�ket�gyelvem�rj�kak�th�v�sk�z�ttelteltid�t�A

    lehets�geskimeneteleka�����intervallumpontjai�

    I�����Alapfogalom�AK

    v�letlenk�s�rletlehets�geskimeneteleitelemi

    esem�nyneknevezz�k�Av�letlenk�s�rletv�grehajt�sasor�nazelemies�

    em�nyekhalmaz�b

    lmindigcsakegyfogrealiz�l

    dni�Azelemiesem�nyek

    jel�l�s�reaz

    �esetleg

    iszimblumokatfogjukhaszn�lni�

    I�����De�nci��AK

    v�letlenk�s�rlettelkapcsolatos�sszeselemiese�

    m�nyhalmaz�tesem�nyt�rneknevezz�k�s��valjel�lj�k�

    I�����P�lda�

    a��Akockadob�sk�s�rlet�velkapcsolatoselemiesem�nyekaz����

    ����

    �rt�kek���f ����

    �����g�

    b��Ak�rtyah�z�sk�s�rletheztartoz

    elemiesem�nyeka

    ��escsomag�sszes

    ��laposr�szhalmazai�alapoksorrendj�tnem�gyelembev�ve���f

    a

    �k�rtyacsomagegy��elemsz�m�kombin�ci

    jag�

    c��Atelefonh�v�sokk�z�ttiid�tartamravonatkoz

    k�s�rletheztartoz

    elemi

    esem�nyekaz�������intervallumpontjai�

    I�����De�nci��Azelemiesem�nyekhalmazait�az�esem�nyt�rr�sz�

    halmazaitesem�nyekneknevezz�k��salatinabcbet�iveljel�lj�k�A�B�C�����

    Megjegyz�s�

    a��Azesem�nyekde�ni�l�s�tgyakranlogikai�ll�t�sokmegfogalmaz�s�val

    tessz�k�Ilyenkorazesem�nynekmegfelel�halmazazokb

    lazelemies�

    em�nyekb�l�ll�amelyekrealiz�l

    d�saeset�nalogikai�ll�t�s�rt�keigaz�

    b��Azegyetlenelemiesem�nyb�l�llesem�nyeketazegyszer�s�gkedv��rt

    atov�bbiakbanszint�nelemiesem�nyeknekfogjuknevezni�holottma�

    tematikailagazelem�sazelemb�l�llegyelem�halmazfogalmanem

    ugyanaz�Alegal�bbk�telem�esem�nyeket�sszetettesem�nynekisne�

    vezz�k�

    IV��

    Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ���

    P�A�azAesem�nyvalsz�n�s�ge

    P�AjB�azAesem�nynekaBesem�nyrevonatkoztatottfelt�telesvalsz��

    n�s�ge

    X�Y�Z�����Xi�Yi�Zi�������Rvalsz�n�s�giv�ltoz

    k

    FX�x�aXvalsz�n�s�giv�ltoz

    eloszl�sf�ggv�nye�FX�x��

    P�X�x�

    p i�

    P�X�xi�azXdiszkr�tvalsz�n�s�giv�ltoz

    eloszl�sa

    f X�x�azXfolytonosvalsz�n�s�giv�ltoz

    s�r�s�gf�ggv�nye

    f XjY�xjy�azX

    valsz�n�s�giv�ltoz

    nakazY�ravonatkoztatottfelt�teles

    s�r�s�gf�ggv�nye

    X�t��

    EeitX

    azXvalsz�n�s�giv�ltoz

    karakterisztikusf�ggv�nye

    EXazXvalsz�n�s�giv�ltoz

    v�rhat

    �rt�ke

    ��X�V

    XaXvalsz�n�s�giv�ltoz

    sz

    r�sn�gyzetevagyvarianci�ja

    �X�

    �p ��XazXvalsz�n�s�giv�ltoz

    sz

    r�sa

    R�X�Y�azX�sYvalsz�n�s�giv�ltoz

    kkorrel�cisegy�tthatja

    cov�X�Y�azX�sYvalsz�n�s�giv�ltoz

    kkovariancia

    FX��X������Xp�x��x������xp��FX�x�azX

    ��X��X������Xp�Tvalsz�n�s�gi

    vektorv�ltoz

    eloszl�sf�ggv�nye�illetveakomponensekegy�tteseloszl�sf�g�

    gv�nye

    f X��X������Xp�x��x������xp��f X�x�azX

    ��X��X������Xp�Tvalsz�n�s�gi

    vektorv�ltoz

    s�r�s�gf�ggv�nye�illetveakomponensekegy�ttess�r�s�gf�g�

    gv�nye

    EX�

    �EX��EX������EXp�TazXvalsz�n�s�givektorv�ltozv�rhat

    �rt�k�

    vektora

    X

    ��cov�Xi�Xj��i���������p

    j���������p

    azX

    valsz�n�s�givektorv�ltoz

    ko�

    varianciam�trixa

    X�I�A�vagyX�I�p�azXvalsz�n�s�giv�ltozazAesem�nyindik�tora�

    p�P�A�

    X�B�n�p�azXvalsz�n�s�giv�ltoz

    n�pparam�ter�binomi�liseloszl�s�

    X�Po���azXvalsz�n�s�giv�ltoz

    �param�ter�Poisson�eloszl�s�

    X�G�p�aXvalsz�n�s�giv�ltoz

    pparam�ter�geometriaieloszl�s�

    X�Pol�n�p��p������pr�azXvalsz�n�s�givektorv�ltozegy�tteseloszl�sa

    polinomi�lis

    X�U�a�b�azXvalsz�n�s�giv�ltoz

    egyenleteseloszl�s�az�a�b�interval�

    lumon

    X�E���azXvalsz�n�s�giv�ltoz

    �param�ter�exponenci�liseloszl�s�

    X�N�����azXvalsz�n�s�giv�ltoz

    ���param�ter�norm�liseloszl�s�

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    n P i��xi�

    x��x������xnn�tag��sszeg

    P x�Cxazonxvektorok�sszege�amelyekaChalmazhoztartoznak

    n Y i��xi�

    x��x������xnnt�nyez�sszorzat

    � n k� �n�

    k��n�k��nalattak�binomi�lisegy�tthat

    � x k� �x��x�����x���������x�k���

    k�

    �x�R�k�Naz�ltal�nos�tottbinomi�lisegy�tt�

    hat

    Ravalssz�mokteste

    Rpavalssz�mp�esekvektortere

    Rn�mavalskomponens�n�m�esm�trixokhalmaza

    Cakomplexsz�mokteste

    i�Cazimagin�riusegys�g

    x�Rpp�dimenzi

    soszlopvektor

    A�Rn�mn�m�esm�trix

    xT��x��x������xp�p�dimenzi

    ssorvektor��T atranszpon�l�sjele

    AT

    azAm�trixtranszpon�ltja

    A��azA�Rn�nm�trixinverze

    detAazA�Rn�nm�trixdetermin�nsa

    adjAazA�Rn�nm�trixadjung�ltm�trixa�

    �detA

    � adjA� T �A��

    diagA�

    �a���a�������ann�TazAm�trixdiagon�lis�banl�v�elemekb�l�ll

    oszlopvektor

    diag�a��a������an�egyolyann�n�esdiagon�lism�trix�melynekdiagon�lis�ban

    a��a������an�ll

    traceA�

    n P i��aiiazA�Rn�nm�trixnyoma

    En�Eazn�n�esegys�gm�trix

    K

    v�letlenk�s�rlet

    �aK�valkapcsolatoselemiesem�nyekhalmaza�abiztosesem�ny�illetve

    esem�nyt�r

    �lehetetlenesem�ny

    i��elemiesem�ny

    A�B�����Ai�Bi������esem�nyek

    � AazAesem�nyellentettesem�nye

    K�valkapcsolatosesem�nyekhalmaza�azesem�nyalgebra

    P

    �������valsz�n�s�g�

    I��

    A

    val�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi�marendszere

    I�����De�nci��AzAesem�nybek�vetkezik�haak�s�rletv�grehajt�sa

    ut�nolyanelemiesem�nyrealiz�l

    dott�amiazAeleme�

    I�����P�lda�a��Akockadob�sk�s�rlet�velkapcsolatosesem�nyaf����g

    elemiesem�ny�halmaz�melyeta�p�rosatdobunk logikai�ll�t�ssalisde�ni�

    �lhatunk�

    b��Ak�rtyah�z�sk�s�rletheztartoz

    esem�nypl�a��van�szakih�zott

    lapokk�z�tt �ll�t�shoztartoz

    k�rtya�kombin�ci

    khalmaza�amelyhezaz

    ���talkot� �� �

    db�elemiesem�nyb�l� �� ��� � �

    tartozik�

    c��Atelefonh�v�sokk�z�ttiid�tartamravonatkoz

    k�s�rletheztartoz

    esem�nypl�az��tpercenbel�lfogcs�ngeni �ami�ppena�����intervallum

    pontjaitde�ni�lja�

    I�����De�nci��AzAesem�nymagaut�nvonjaaBesem�nyt�haaz

    Aesem�nyr�szhalmazaaBesem�nynek�Jel�l�s�A�B�

    Megjegyz�s�AK

    v�letlenk�s�rlet

    elemiesem�nyeitjellemziaz�hogy

    nincsolyanB

    ��esem�ny�amely

    �tmagaut�nvonn��

    I�����P�lda�a��Kockadob�sn�la�hatostdobunk esem�nymagaut�n

    vonjaa�p�rosatdobunk esem�nyt�

    b��K�rtyah�z�sn�la�mindan�gy�sztkih�ztuk esem�nymagaut�n

    vonjaa�vanpirossz�n�lapakih�zottakk�z�tt esem�nyt�

    c��Telefonh�v�sn�laz��tpercenbel�lcs�r�gnifog magaut�nvonjaa

    �t�zpercenbel�lcs�r�gnifog esem�nyt�hiszen�������������

    I�����De�nci��AzA�sBesem�nyekekvivalensek�haA�B�sB�A

    teljes�legyszerre�Ekvivalensesem�nyekk�z�ttnemtesz�nkk�l�nbs�get�

    Jel�l�s�A�B�

    I�����De�nci��Lehetetlenesem�nyneknevezz�kazta��veljel�ltese�

    m�nyt�amelyaK

    b�rmelyv�grehajt�sasor�nsohanemfogbek�vetkezni�

    azaz�az�reshalmaz��megfelelakonstanshamis�ll�t�snak�olyanesem�ny�

    amielvilegsohanemk�vetkezhetbe�

    I�����De�nci��Biztosesem�nyneknevezz�kaztazesem�nyt�amelyik

    aK

    b�rmelyv�grehajt�sasor�nmindigbek�vetkezik�Ezazesem�nynem

    m�s�mintaz�esem�nyt�r��megfelelakontansigaz�ll�t�snak�

  • ��

    I�FEJEZETA

    Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�

    I�����P�lda�

    a��Akockadob�sn�la����n�lkisebb�rt�ketdobunk esem�nyaz��val�a

    �negat�v�rt�ketdobunk esem�nypedig��velekvivalens�

    b��K�rtyah�z�sn�l�vanalapokk�z�tthetest�lk�l�nb�z� ��val�m�ga

    �mindenlap�rt�kelegal�bbt�z ��velekvivalens�

    c��Telefonh�v�sn�l�valamikorcs�r�gnifog ��val��sohanemfogcs�r�gni

    pedig��velekvivalens�

    I�����De�nci��EgyAesem�nyellentettesem�nyeazaz� A�valjel�lt

    esem�ny�amipontosanakkork�vetkezikbe�amikorAnemk�vetkezikbe�� A

    azA�nakaz��ravonatkoztatottkomplementerhalmaza�azaz� A��nA�

    I�����De�nci��AzA�sBesem�nyek�sszeg�naztazA�B�veljel�lt

    esem�nyt�rtj�k�amelypontosanakkork�vetkezikbe�haA�sBk�z�llega�

    l�bbazegyikbek�vetkezik��A�BazA�sBesem�nyekunija��

    I������De�nci��AzA�sBesem�nyekszorzat�naztazABvagyA�B�

    veljel�ltesem�nyt�rtj�k�amelypontosanakkork�vetkezikbe�amikorAis

    �sBisegyidej�legbek�vetkezik��ABazA�sBesem�nyekmetszete��

    I������De�nci��AzA�sB

    esem�nyekk�l�nbs�g�naztazAnB�

    veljel�ltesem�nyt�rtj�k�amipontosanakkork�vetkezikbe�amikorA

    bek�vetkezik�deBnem��AnB�A�� B��

    I�����T�tel�Tetsz�legesA�B�sCesem�nyekreigazakazal�bbiak�

    a��A�B�B�A�

    b���A�B��C�A��B�C��

    c��A�A�A�

    d��AB�BA�

    e���AB�C�A�BC��

    f��AA�A�

    g��A�B�C���AB���AC��

    h��A��BC���A�B��A�C��

    i��A�A�

    j��A�B�

    � A�� B�

    k��A�B�

    � A�� B�

    Jel�l�sek

    �a�l�tezik kvantor

    a�mindenegyes kvantor

    ��akkor �illetve�k�vetkezik

    ��akkor�scsakakkor �illetveazekvivalenciarel�ci

    ��nemk�vetkezik

    �de�n�ci

    szerint

    �azonosanegyenl�

    �nemegyenl�

    f�A�BazAhalmaztaB�belek�pez�f�ggv�ny

    fx�y�z����gazx�y�z����elemekb�l�llhalmaz

    limx�a�

    f�x��f�a���azff�ggv�nyjobboldalihat�r�rt�keazapontban

    limx�a�

    f�x��f�a���azff�ggv�nybaloldalihat�r�rt�keazapontban

    exp�x��

    exazexponenci�lisf�ggv�ny

    lnxaterm�szetesalap�logaritmusf�ggv�ny

    ��x��

    � R e�t tx��dtagammaf�ggv�ny

    o�f�t���kisordf�t� marad�ktag�limt�

    o�f�t��

    f�t�

    ���

    O�f�t���nagyordf�t� marad�ktag�limt�

    O�f�t��

    f�t�

    ���

    f�x��min �xazf�x�f�ggv�nyminimaliz�l�sa

    f i�x��min �iadottx�n�laz�i indexbenminimaliz�l�s

    f i�x��min �jf j�x�azf i�x��min �iprobl�maaz�i indexn�lveszifelamini�

    mum�t

    �f�x�

    �x

    �grad�f�x��azfgradiensvektora

    ��f�x�

    �x�xT

    aHessem�trix

    ��

  • ��

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    I��

    A

    val�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi�marendszere

    ��

    l��A�� A���

    m��A�� A���

    n��A��A�

    o��A�����

    p��A����

    r��A���A�

    Bizony�t�s�Mivelazesem�nyekk�z�ttim�veletekahalmazokk�z�tti

    uni�smetszetilletveakomplementerseg�ts�g�velvoltak�rtelmezve��sott

    igazakaBoolealgebra�sszef�gg�sei�ittis�rv�nyeseklesznek�

    I������De�nci��AzA�sBesem�nyekegym�stkiz�r�ak�haAB���

    azazszorzatukalehetetlenesem�ny�Egym�stkiz�resem�nyekegyidej�leg

    nemk�vetkezhetnekbe�

    I������De�nci��AzA��A������An����esem�nyek�nemfelt�tlen�lv��

    geselemsz�m��rendszereteljesesem�nyrendszertalkot�hai�j�reAi�Aj��

    �p�ronk�ntegym�stkiz�rj�k��sP �iA

    i��teljes�l�

    Megjegyz�s�

    a��AK

    v�letlenk�s�rletegyv�grehajt�sasor�nateljesesem�nyrendszer

    esem�nyeik�z�lcsakegyik�kfogbiztosanbek�vetkezni�

    b��AzA�s� Ak�telem�teljesesem�nyrendszer�

    I�����P�lda�Afranciak�rty�b

    lvalh�z�sn�lazA�!�k�rth�zok �A�

    !�k�r

    th�zok �A�!�pikketh�zok �sA�!�tre"eth�zok esem�nyekteljes

    esem�nyrendszertalkotnak�

    I�����Axi�m

    k�AK

    v�letlenk�s�rlettelkapcsolatos�sszesesem�nyek

    rendszere�az��n�esem�nyalgebra���algebra�azazkiel�g�tiazal�bbi

    tulajdons�gokat�

    �o��

    �oHaA��� A�is�

    �oHaA��A������An������P �iA

    i�is�

    Megjegyz�s�

  • ��

    I�FEJEZETA

    Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�

    a��nemfelt�tlen�lesikegybe��sszesr�szhalmazainak��halmazrendsz�

    er�vel��bencsakak�s�rlettelkapcsolatbahozhat

    ��n�meg�gyelhet�

    esem�nyekvannak�Nemz�rjukki�hogylehetnek��nakolyanAr�szhal�

    mazai�amelyeketnemtudunkmeg�gyelni�azazlehetolyankimenetel�

    amiv�g�nnemtudjukmegmondani�hogyAbek�vetkezett�evagysem�

    Azaxim�kkal�ppenazilyenAesem�nyeketakarjukkiz�rniatov�bbi

    vizsg�latainkb

    l�

    b��Azaxim�knyilv�nval

    tulajdons�gokatfogalmaznakmeg�Az�opont�

    banaztk�vetelj�kmeg�hogyabiztosesem�nymeg�gyelhet�legyen�A

    �o�benazt�ll�tjuk�hogyhaazAesem�nytmegtudjuk�gyelni�akkor

    azellentettj�tismegtudjuk�A�o�banpedigazaz�ll�t�s�hogyhaes�

    em�nyeknekegyrendszer�tegyenk�ntmegtudjuk�gyelni�akkoraztaz

    esem�nytismegfogjuktudni�gyelni�amelyakkork�vetkezikbe�haa

    felsoroltesem�nyekk�z�llegal�bbegybek�vetkezik�

    I�����T�tel�Azaxim�kbllevezethet�k�nektov�bbitulajdons�gai

    is�

    a�����azazalehetetlenesem�nyismeg�gyelhet��

    b��HaA�B��A�B�is�azaza�oaximav�gessokesetreisigaz�

    c��HaA�B��AB�is�azazmeg�gyelhet�esem�nyekszorzatais

    meg�gyelhet��

    d��HaA��A������An������

    Y �iAi�isigaz�azazmeg�gyelhet�

    esem�nyekegy�ttbek�vetkez�seismeg�gyelhet��

    e��HaA�B��AnB��sBnA��azazmeg�gyelhet�esem�nyek

    k�l�nbs�geiismeg�gyelhet�ek�

    Bizony�t�s�

    a��Az�o�s�oaxim�kb

    ltrivi�lisank�vetkezik�

    b��AzA��A�A��B�A��A�������v�laszt�ssal�a�oaxim�b

    l

    k�vetkezik�

    IV��

    Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ���

    IV�����Gyakorlat�Egyszerencsej�t�kosmeg�gyeli�hogy�tlagosan�

    k�s�rletut�nnyer�H�nyszorkellk�s�rleteznie�hogy����valsz�n�s�ggel

    nyerjenlegal�bbegyszer#

    IV�����Gyakorlat�Egym�r�selv�gz�s�hezegypontatlaneszk�z�nk

    van�aholam�r�shib�jastandardnorm�liseloszl�s��Am�r�stn�szer

    v�gezz�kel�majd�tlagolunk�Mekkoralegyenazn�hogylegfeljebb����

    valsz�n�s�ggelt�rjenelaz�tlagam�rend��rt�kt�l����del#

    IV�����Gyakorlat�����osvalsz�n�s�ggelszeretn�nkgarant�lni�hogy

    ����p�nzfeldob�sb

    llegal�bbn�szerfejetkapjunk�Hogyanv�lasszukmeg

    n�et�haafejdob�svalsz�n�s�gep#

    IV�����Gyakorlat�AdottakazX��X������Xn

    �U�����teljesenf�g�

    getlenv�letlensz�mok�Ezekseg�ts�g�velgener�ljunkN�����norm�liselos�

    zl�s�v�letlensz�mot�

    IV�����Gyakorlat�Jel�ljeazX

    valsz�n�s�giv�ltoz

    karakterisztikus

    f�ggv�ny�tf�t��Fejezz�kkiazY

    �Xvalsz�n�s�giv�ltoz

    karakter�

    isztikusf�ggv�ny�tf�t��vel�

    IV�����Gyakorlat�Jel�ljeazX

    �sYf�ggetlen�azonoseloszl�s�va�

    lsz�n�s�giv�ltoz

    kk�z�skarakterisztikusf�ggv�ny�tf�t��Fejezz�kkiaz

    X�Y�sX�Y

    valsz�n�s�giv�ltoz

    kkarakterisztikusf�ggv�ny�tf�t��vel�

    IV�����Gyakorlat�LegyenekX��X������Xn�N�����teljesenf�gget�

    lenek��sY�

    n P i��X� i�AdjukmegYkarakterisztikusf�ggv�ny�t�

    IV������Gyakorlat�AdjamegaPo���diszkr�teloszl�skarakteriszti�

    kusf�ggv�ny�t�Eztfelhaszn�lvasz�moljakianegyedikmomentumot�

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    ������

    �� ����

    �f� �

    f�

    ���hiszenEX

    ��Vagyis��u����Ebb�l

    k�vetkezik�hogy

    �t��

    ��t��azaz

    ��t��

    �t��Teh�t

    �u������

    ��n

    � u �n��

    ��u�

    u�

    ���

    u �n�

    �u �n���n���

    � ��hiszen

    �u��

    ����u

    � ����u� �

    ������

    o�u����s

    ����

    � ������

    ���������Innen

    �u���u� �

    k�vetkezik�

    azazf�u��exp

    � �u� �� �a

    miastandardnorm�liseloszl�skarakterisztikus

    f�ggv�nye�HaX�Ystandardiz�ltjainakkarakterisztikusf�ggv�nyestandard

    norm�lis�akkorX�Yisnorm�lis�

    IV������Feladat�LegyenekX��X������Xn

    �E���teljesenf�ggetle�

    nek��sY�

    n P i��Xi�AdjukmegYs�r�s�gf�ggv�ny�t�

    Megold�s�Xk�kk�z�skarakterisztikusf�ggv�nye�Xk�t��

    ����it��gy

    Y�t���Xk�t��

    n�� � ���

    it� n �M

    ivel

    � R �n

    �n����zn��e��zeizt dz�

    �n

    �n����

    � R zn��ez�it��� dz�

    �n

    �n����

    h � it��zn��ez�it����n��

    �it����zn��ez�it�������������

    �n���n����

    �it���nez�it���i �

    �n

    �it���n��skeresetts�r�s�gf�ggv�ny�f Y�z��

    �n

    �n����zn��e��z�z���

    �Megjegyz�s�Y���n����azazn��param�ter�gammaeloszl�s��

    IV������Feladat�Jel�ljeazX

    valsz�n�s�giv�ltoz

    karakterisztikus

    f�ggv�ny�tf�t��Fejezz�kkiazY

    aX�bvalsz�n�s�giv�ltoz

    karak�

    terisztikusf�ggv�ny�tf�t��vel�

    Megold�s�Y�t��Eei�aX�b�t�eibtEeiX�at��eibtf�at��

    IV�����Gyakorlat�Egyp�rtraaszavaz

    kpvalsz�n�s�ggelszavaznak�

    ami�ltal�banismeretlen�Ak�zv�lem�nykutat

    kap�rtotv�lasztkpoz�

    it�vv�lasz�nak�samegk�rdezetteksz�m�nakar�ny�valbecs�likmegp�t�

    Mekkoralegyenamegk�rdezetteknsz�m�mint�ja�haaztakarj�kel�rni�

    hogyakapottrelat�vgyakoris�gp�t�llegfeljebb������delt�rjenel������os

    valsz�n�s�ggel#

    IV�����Gyakorlat�Legal�bbh�nymeg�gyel�ssz�ks�gesahhoz�hogy

    egy��n�lnemnagyobbsz

    r�s�valsz�n�s�giv�ltoz

    �rt�keinek�tlaga����

    osvalsz�n�s�ggelav�rhat

    �rt�k����sugar�k�rnyezet�beessen#

    I��

    A

    val�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi�marendszere

    ��

    c��HaA�B��akkor�omiatt� A�� B�isigaz�deakkorb��miatt� A�� B

    �isfenn�ll�de�jraa�oaxim�rahivatkozvaekkor� A�� B�A�B�

    isfenn�ll�Azutolsl�p�sbenaI����t�telj���si���ll�t�saithaszn�ltuk

    fel�

    d��Azel�z�h�zhasonl

    an�a�o�s�oaxim�kb

    lvalamintaDeMorgan

    azonoss�gokb

    lk�vetkezik�

    e���omiatt� A�� B�isigaz��gyc��miatt�AnB��A�� B��s

    �BnA��B�� A�isigaz�

    I�����Axi�m

    k�AdottegyP

    �������halmazf�ggv�ny�melyetva

    l�sz�n

    s�gneknevez�nk�AP

    f�ggv�nykiel�g�tiazal�bbitulajdons�gokat�

    �oP�����

    �oHaA��A������An�����p�ronk�ntegym�stkiz�rj�k�azaz

    i

    �j�re

    Ai�Aj���akkorP�P �iAi��P �iP�Ai��

    Megjegyz�s�

    a��A�oaxim�banmegfogalmazotttulajdons�gotavalsz�n�s�g��additi

    vit�situlajdons�g�naknevezz�k�

    b��Ameg�gyelhet�esem�nyekvalsz�n�s�geitkisz�m�thatnakt�telezz�k

    fel�AP�A��rt�kazAesem�nybek�vetkez�s�nekm�rt�ke�es�lye�AP

    halmazf�ggv�nyrendelkezikazokkalatulajdons�gokkal�amikkelminden

    m�sm�rt�kisrendelkezik�pl�hossz�ter�let�t�rfogat�t�megstb��A�o

    aximaazt�ll�tja�hogyegym�stkiz�resem�nyek�sszeg�nekvalsz��

    n�s�geazesem�nyekvalsz�n�s�geinek�sszege�mintahogypl�egym�st

    �tnemfed�r�szekb�l�lls�kidomter�leteegyenl�ar�szekter�leteinek

    �sszeg�vel�Az�oaximaaztposztul�lja�hogylegyenabiztosesem�ny

    valsz�n�s�ge���sehhezk�pestjellemezz�kat�bbiesem�nybek�vetke�

    z�s�nekes�ly�t�A�zikaimennyis�gekhezm�r�m�szerekszerkeszthet�k�

    hogyazadotttestegy�zikaijellemz�j�nekelm�leti�rt�k�tnagypon�

    toss�ggalmegbecs�lhess�k�Ilyenm�szerahosszm�r�sream�terr�d�

    t�megreakarosm�rleg�Ugyan�gy�mintm�sm�rt�kn�l�avalsz�n��

    s�geset�nisszerkeszthet�m�r�m�szer�amivelazelm�letivalsz�n�s�g

    sz�m�rt�kejlbecs�lhet�lesz�Eza�m�r�m�szer ak�s�bb�rtelmezend�

    relat�vgyakoris�glesz��L�sdazI���szakaszt��

  • ��

    I�FEJEZETA

    Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�

    I������De�nci��Az����P�h�rmastaK

    v�letlenk�s�rletheztartoz

    Kolmogorovf�leval�sz�n

    s�gimez�neknevezz�k�

    I�����T�tel�Avalsz�n�s�gaximarendszer�b�llevezethet�ekaval�

    sz�n�s�gal�bbitulajdons�gai�

    a��P�� A����P�A��

    b��P������P������

    c��HaA��A������An�����esem�nyekteljesesem�nyrendszertalkotnak�

    akkorP �iP�Ai����

    d��HaA�B�akkorP�A��P�B��

    e��P�AnB��P�B��P�AB��

    Bizony�t�s�

    a��A�� A���A�� A���s�o��omiatt��P����P�A�� A��P�A��P�� A��

    b��� ���miattazel�z��ll�t�sbltrivi�lis�

    c��MivelP �iA

    i���sazA��A������An����esem�nyekegym�stp�ronk�nt

    kiz�rj�k�azaxim�kblm�rk�vetkezikaz�ll�t�s�

    d��B�A�� A�B�sA��� A�B�����gyP�B��P�A��P�� A�B��Mivel

    P�� A�B����m�rk�vetkezikaz�ll�t�s�

    e��B�A�B�� A�B�s�A�B���� A�B���miattP�B��P�A�B��P�� A�B��

    MivelBnA!B�� A�gyaz�ll�t�sm�rk�vetkezik�

    I�����T�tel��Poincaret�tel

    HaA��A������An�tetsz�legesek�akkorP�

    n P i��Ai��

    n P i������n��Sn i�ahol

    Sn i�

    P�j�j ����j in

    P�Aj ��Aj ������Aj i��

    IV��

    Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ���

    Megold�s�Jel�ljeXam�k�d�g�peksz�m�t�Nyilv�nX�B�

    ��������A

    Moivre�Laplace�t�telb�lP

    � X�np�xp npq� �P

    �X��������

    �x��

    ��x��Mivel��

    ���������gyP

    �X��

    ��������vagyisaz�zemel�

    g�peksz�makevesebb�mint�

    ������kal�

    IV������Feladat�Egytanfolyamra���hallgat

    iratkozikbe�M�sel�

    foglalts�gamiattmindenhallgat

    ���valsz�n�s�ggelmegyelazegyes

    r�kra�

    Felt�telezz�k�hogyegym�stlf�ggetlen�ll�togatj�kaz

    r�kat�H�nyf�s

    teremkellahhoz�hogyaz

    r�ra�rkez�hallgat

    k����osbiztons�ggalelf�r�

    jenekateremben#

    Megold�s�Hallgat

    ksz�ma�X�B����������P� X������

    p ���

    x� �

    ��x������x�����������

    p ���

    �����akeresettteremkapacit�s�

    IV������Feladat�AdottakazX��X������Xn�U�����teljesenf�gget�

    lenv�letlensz�mok�Ezekseg�ts�g�velgener�ljunknorm�liseloszl�s�v�letlen

    sz�mot�

    Megold�s�Y�

    P i��X

    i�EY������Y�

    ���Acentr�lishat�reloszl�s

    t�telb�lk�vetkezik�hogyYstandardiz�ltjak�zelstandardnorm�lis�Teh�t

    Y�

    p ���N������

    IV������Feladat�Bizony�tsukbe�hogyhaX

    �sYf�ggetlen�azonos

    eloszl�s��sv�gessz

    r�s�valsz�n�s�g�v�ltoz

    k�akkorX�Y�sX�Y

    akkor�scsakakkorlesznekf�ggetlenek�haX�sYnorm�liseloszl�s�ak�

    Megold�s��HaX�sYnorm�liseloszl�s�ak�akkorcov�X�Y�X�Y��

    E

    �X��Y

    ���E

    �X�X�E

    �X�Y���miattX�sYf�ggetlenekis�hiszen

    norm�liseloszl�sn�lakorrel�latlans�gekvivalensaf�ggetlens�ggel�

    �Tegy�kfel�hogyEX

    �EY

    ���s��X

    ���Y

    ��k�l�nbena

    standardiz�ltjaikkalsz�moln�nktov�bb�Jel�ljef�t�ak�z�skarakterisztikus

    f�ggv�ny�ket�EkkorX�Y�t��f��t��sX�Y�t��f�t�f��t���s�X�

    �X�Y���X�Y�miatt�X�t��

    X�Y�t�X�Y�t��

    f��t�f��t�is�

    Legyen

    �t��lnf�t��Ekkor

    ��t��

    �t��

    ��t��Bevezetvea��t��

    �t��

    ��t�jel�l�st����t��

    ��t��

    ���t��

    �t��

    ��t��

    ��t��

    �t����t�����t�����t��Teh�t��u����� u ������� u ��������

    �n�� u �n������Ebb�lm�rk�vetkezik�hogy

    �u�u

    u �n�u �n

    �limt�

    �t��

    t

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    t�bl�zat�b

    lolvastukki��Ld�Af�ggel�kben��

    Megjegyz�s�Azel�bbi�sszegkisz�m�t�sam�gsz�m�t

    g�pre�rtprogram

    seg�ts�g�velsemtrivi�lisabinomi�lisegy�tthatkbanszerepl�nagyfak�

    tori�lisokmiatt�

    IV������Feladat�Egysz�v�g�p���sz�llaldolgozik�Annakavalsz��

    n�s�ge�hogyegysz�lid�egys�galattelszakad�����mindensz�lra�Hat�roz�

    zukmeg�hogy����valsz�n�s�ggelmilyenhat�rokk�z�ttv�rhat

    asz�lsza�

    kad�soksz�maegyid�egys�galatt#

    Megold�s�Jel�ljeX

    asz�lszakad�soksz�m�t�EkkoraMoivre�Laplace�

    t�rv�nyb�l�P

    � X�

    ��

    p

    ��

    ������x

    � �P

    �X������x�

    ����x��M�s�

    r�szt�������������azazx������n�l�P

    �X�����������

    ��P

    �X�������

    vagyisasz�lszakad�soksz�ma��n�lkisebbleszlegal�bb����osvalsz�n�s�ggel�

    IV������Feladat�LegyenekX��X������Xn����f�ggetlenazonoselosz�

    l�s�valsz�n�s�giv�ltoz

    kv�gessz

    r�ssal�Bizony�tsukbe�hogytetsz�leges

    xvalssz�meset�nlimn��P

    �X��X������Xn�x��f�������g�vagyisa

    hat�r�rt�kcsak�vagy���vagy�lehet�

    Megold�s�Acentr�lishat�reloszl�st�telthaszn�lva�

    limn��P

    �X��X������Xn�x��

    limn��P

    � X ��X������Xn�nm

    pn�

    �x

    � �

    ��

    � lim n��

    x

    � �aholm�EXi�����Xi�x

    �x�nm

    pn��

    Delimn��

    x�nm

    pn�

    �� � ����ham��

    ��ham��

    ��ham��

    �amib�lm�rk�vetkezikaz�ll�t�s�

    IV������Feladat�Haegygy�regyformaenergiaig�ny�g�peik�z�l�t�

    lagosan���m�k�dik�s

    ��v�rjav�t�sra�vagy�ppenjav�tj�k�akkor�t�

    lagosan���g�penergiaig�ny�tkellkiel�g�teni�Mennyienergi�tkellbiz�

    tos�taniakkor�ha������osbiztons�ggalszeretn�nkel�rniazt�hogymin�

    denm�k�d�k�pesg�pvalbanm�k�dnitudjon#�Feltessz�k�hogyag�pek

    meghib�sod�saegym�stlf�ggetlen��

    I��

    A

    val�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi�marendszere

    ��

    Bizony�t�s�n�revonatkoz

    teljesindukcival�

    n��esetben�

    A��A��A���A��� A���sA���A��� A����miattI����t�tele���ll�t�s�t

    felhaszn�lva�P�A��A���P�A���P�A��� A���P�A���P�A���P�A��A���

    Tegy�kfel�hogyaz�ll�t�sigazn��esetben�

    n���reaz�ll�t�sbizony�t�sa�

    n�� P i��A

    i�

    n P i��Ai�An����gy

    P�n

    �� P i��A

    i��P�

    n P i��Ai��P�An����P�An���n P i��Ai��

    �P�

    n P i��Ai��P�An����P�

    n P i��Ai�An����

    Azindukcisfeltev�sfelhaszn�l�s�val�

    P�n

    �� P i��A

    i��

    n P i��P�Ai��P ijP�AiAj��

    Pijk

    P�AiAjAk�������

    �����nP�A�A������An��P�An����

    n P i��P�AiAn����P ijP�AiAjAn�����

    ��������nP�A�A������AnAn���

    ahonnanatagokfelcser�l�s�velaz�ll�t�stkapjuk�

    I�����T�tel��Booleegyenl�tlens�g

    Legyen����P�Kolmogorov�f�levalsz�n�s�gimez��Akkorminden

    A��A������An�eset�n

    a��P

    � n P i��Ai �

    n P i��P�Ai��

    b��P

    � n Q i��Ai ���

    n P i��P� � A i��

    Bizony�t�s�

    a��

    n P i��Ai�A���A�nA����A�n�A��A���������Annn

    �� P i��Ai��

    Ezegydiszjunktfelbont�s��s

    A�nA��A��P

    �A�nA���P

    �A���

    A�n�A��A���A��P

    �A�n�A��A����P

    �A���

    � � �

  • ��

    I�FEJEZETA

    Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�

    Annn

    �� P i��Ai�An�P

    � A nnn

    �� P i��Ai �P

    �An��

    Avalsz�n�s�g��additivit�samiatt�

    P

    � n P i��Ai �P

    �A���P

    �A�nA���P

    �A�n�A��A�������

    �����P

    � A nnn

    �� P i��Ai �

    n P i��P�Ai��

    b��ADeMorganazonoss�gb

    l�

    n P i��� Ai�

    n Q i��Ai�

    n Q i��Ai�

    $gyaza���ll�t�seredm�ny�tisfelhaszn�lva�

    P

    � n Q i��Ai �P

    � n P i��� Ai ���P

    � n P i��� Ai ���

    n P i��P� � A i��

    I�����T�tel��Aval�sz�n

    s�gfolytonoss�gitulajdons�ga

    a��HaA��A������An�����olyanesem�nyek�hogy

    A��A������An�����

    � P i��Ai�

    limn��

    An�

    akkorP�

    � P i��Ai��

    limn��P�An��

    b��HaA��A������An�����olyanesem�nyek�hogy

    A��A������An�����

    � Y i��Ai�

    limn��

    An�

    akkorP�

    � Y i��Ai��

    limn��P�An��

    Megjegyz�s�At�telelnevez�seaz�rtjogos�mertfolytonosf�ggv�nyekn�l

    fenn�llaf�limn��

    xn��

    limn��

    f�xn�tulajdons�g�

    Bizony�t�s�

    a��LegyenA

    ���sCi�AinAi��

    �i����������

    EkkorCi�Cj���hai

    �j�mert

    �AinAi�����AjnAj����Ai�Aj�� Ai���� Aj�����hai

    �j�

    Tov�bb�

    � P i��Ai�

    � P i��Ci�

    IV��

    Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ���

    F�x��P

    �Xn�x��P

    �Yn�x��

    � � ���hax��

    � ��ha��x��

    ��hax��

    Legyentov�bb�X

    �I�A��sY�I�� A��EkkorX�Y���azazeloszl�s�

    f�ggv�nye

    G�x��P

    �X�Y�x��

    ��hax��

    ��hax����sXn�Yn

    ��I�A��aminek

    eloszl�sf�ggv�nye�

    Fn�x��P

    �Xn�Yn�x��

    � � ���hax��

    � ��ha��x��

    ��hax��

    L�that�hogylimn��

    Fn�x��F�x�

    �G�x��azazXn�Yn

    e �X�Y�

    IV������Feladat�Bizony�tsukbe�hogyhaXn

    st �X�sP

    �jXnj�K��

    ��mindenn�re�akkorXn

    Lr �Xisfenn�ll�

    Megold�s�E

    jXn�Xjr��KrP

    �jXn�Xj������tetsz�leges���

    eset�n�amib�lm�rk�vetkezikaz�ll�t�s�

    IV������Feladat�Legyenp n������tetsz�legesnullsorozat��s

    Xn�G�pn��Mutassukmeg�hogyYn�

    Xn

    EXn

    e �Y�aholY�E����

    Megold�s�P

    �Yn�x��P

    �pnXn�x��

    Pk �x pn��

    ��p n�k

    ��p n�

    ������p n��

    x pn�n�� ���e�x�

    IV������Feladat�K�zel�t�leghat�rozzukmegazA�

    ��

    P

    k���

    k��sszeget�

    Megold�s�LegyenX

    �B����������Ekkorakisz�m�tandA�sszeget

    fel�rhatjuk�A��

    ��

    P

    k��

    P�X

    �k�alakban�AMoivre�Laplace�t�telsze�

    rint�

    Pyk����

    p���x

    P�X

    �k����x����y��Most�gykellx�et�sy�tmeg�

    v�lasztani�hogy��������

    p ���y�s��������

    p ���xlegyen�Teh�t

    y������

    �����

    �sx�����

    �����������amivel��

    A����

    ���azaz

    A���������������e�����Af�ggv�ny�rt�keitastandardnorm�liseloszl�s

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    Megold�s�Anagysz�moker�st�tel�b�lk�vetkezik�hogyYn

    �v �m�

    M�sr�sztminfs��s������sng�np s�s ����sn

    �maxfs��s������sng��gyha

    s n�a�akkora�liminfsn�np s�s ����sn�np s�s ����sn�limsups n�a�

    azaznp s�s ����sn�a�Ebb�lm�rk�vetkezikaz�ll�t�s�

    IV������Feladat�LegyenekX��X������Xn

    f�ggetlen�azonosU�a�b�

    eloszl�s�valsz�n�s�g�v�ltoz

    k�LegyenYn�minfX��X������Xng�sZn�

    maxfX��X������Xng�Igazoljuk�hogyYn

    e �a�sZn

    e �b�

    Megold�s�AzU�a�b�eloszl�sf�ggv�nye�F�x��

    � � ���hax�a

    x�ab�a�hax��a�b�

    ��hax�a

    FZn�x��P

    �Zn�x���F�x��

    n�

    � � ���hax�a

    � x�a b�a� n �

    hax��a�b�

    ��hax�b

    ��hax�b

    ��hax�b

    �Zn

    e �b�

    FYn�x��P

    �Yn�x�������F�x��

    n�

    �� � �

    ��

    hax�a

    ��� b�x b�a� n �

    hax��a�b�

    ��

    hax�b

    ��hax�a

    ��hax�a

    �Yn

    e �a�

    IV������Feladat�Bizony�tsukbe�hogyhaXn

    e �c�akkorXn

    st �cis�

    Megold�s�Ackonstans�mintvalsz�n�s�giv�ltoz

    eloszl�sf�ggv�nye�

    F�x��P

    �c�x��

    ��hax�c

    ��hax�c

    Legyen���tetsz�leges�limn��P

    �jXn�cj����

    ���limn��P

    �c���Xn�c������limn��

    �FXn�c����FXn�c�����

    ���F�c����F�c������Xn

    st �c�

    IV������Feladat�Mutassunkp�ld�tolyanXn�Yn

    sorozatokra�hogy

    Xn

    e �X�sYn

    e �Y�deXn�Yn

    e �X�Y�

    Megold�s�LegyenA�olyanesem�ny�hogyP

    �A��

    � ��LegyenXn�

    Yn

    I�A��vagyisazAesem�nyindik�torv�ltoz

    i�K�z�seloszl�sf�gg�

    v�ny�k�

    I��

    P�ld�kval�sz�n�s�gimez�kre

    ��

    $gyP

    � � P i��Ai �P

    � � P i��Ci �

    � P i��P�Ci��

    limn��

    n P i��P�Ci��

    limn��

    n P i���P

    �Ai��P

    �Ai�����

    limn��

    �P�An��P

    �A

    ���

    limn��P

    �An��

    b��LegyenBi�

    � Ai�akkorB��B������Bn�����

    � P i��Bi�

    Mivel

    � P i��Bi�

    � P i��� Ai�ez�rt

    � P i��Bi�

    � Y i��Ai�teh�talkalmazvaaza��

    eredm�ny�t

    P�

    � P i��Bi��

    limn��P�Bn��

    limn��

    ���P�An�����limn��P�An��

    P�

    � Y i��Ai����P�

    � P i��Bi��

    limn��P�An��

    I�

    P�ld�kval�sz�n�s�gimez�kre

    I�����P�lda�Aklasszikusval�sz�n

    s�gimez��adiszkr�tegyenleteselos

    zl�s

    Ekkorazesem�nyt�rv�geselemsz�m�elemiesem�nyhalmaza�

    ��f

    ��

    ������

    ng�azesem�nyalgebra��sszesr�szhalmazainakrend�

    szere��smindegyikelemiesem�nybek�vetkez�s�nekegyformaavalsz�n��

    s�ge�P�f

    �g��P�f

    �g������P�f

    ng��Mivelaz�sszeselemiesem�nyek

    rendszereteljesesem�nyrendszertalkot�ez�rt��P����P�

    n P i��f

    ig��

    n�P�f

    �g��p i�P�f

    ig��

    � n

    i�re�

    $gy�haAtetsz�legesesem�ny�akkorP�A��

    P ��AP�f

    g��

    � n

    P ��A��

    kA n�aholkA

    azAesem�nysz�moss�ga�Vagyisazesem�nyekvalsz�n�s�ge

    ilyenkor�gysz�m�that�hogyazesem�nybek�vetkez�seszempontj�b

    lked�

    vez�elemiesem�nyeksz�m�tosztjukak�s�rlettelkapcsolatos�sszeselemi

    esem�nyeksz�m�val�

    Klasszikusvalsz�n�s�gimez�velmodellezhet�akockadob�s�ap�nzfel�

    dob�s�arulettez�s�ak�rtyah�z�s�alott

    h�z�s�atottippel�sstb�

    I�����P�lda�Geometriaival�sz�n

    s�gimez�

    AlkossonaK

    v�letlenk�s�rletelemiesem�nyeinekhalmazaegyv�gesm�rt�k�

  • I�FEJEZETA

    Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�

    geometriaialakzatot�Ilyenkorazesem�nyrendszerageometriaialakzatm�r�

    het�r�szhalmazaitjelenti��sazAesem�nyvalsz�n�s�g�taP�A��

    ��A�

    ����

    m

    donsz�m�tjuk�ahol�ageometriait�rm�rt�k�tjel�li�Hapl��inter�

    vallum�akkorhosszm�rt�k�has�kidom�akkorter�letm�rt�k�hatest�akkor

    t�rfogatm�rt�kstb�

    P�ld�ul�hax�syk�tv�letlen�lv�lasztott��s�k�z�es�sz�m�akkor

    mennyiannakavalsz�n�s�ge�hogyx�y���sxy�����lesz#

    �mostazegys�gn�gyzetlesz�azk�rd�sesesem�nypedigazal�bbi�br�n

    besat�rozottter�letnekfelelmeg�

    Abesat�rozottter�letnagys�ga�

    � R �����x

    dx�������

    ��

    I���

    K�s�rletsorozatazesem�nyekrelat�vgya

    koris�ga

    I�����De�nci��Tekints�nkegyK

    v�letlenk�s�rletet��sjel�ljeKn

    azt

    ak�s�rletet�amelyaK

    n�szeresazonosk�r�lm�nyekk�z�ttiism�teltv�gre�

    hajt�s�b

    l�ll�Kn�tegyn�szereskis�rletsorozatnaknevezz�k�

    I�����P�lda�Amikort�zszerdobunkegyszab�lyosj�t�kkock�val�akoc�

    kadob�shoztartoz

    t�zszereskis�rletsorozatr

    lvansz

    �Alott

    h�z�soksoro�

    zatat�bbmintharminc�ven�ttart

    kis�rletsorozatk�ntisfelfoghat��gyaz

    nk�s�rletsz�mraigazazn������Ultiz�sn�lmindenj�t�kel�ttazoszt�sn�l

    v�grehajtjukazI����%b��p�ld�baneml�tettK

    k�s�rletet�azazittiskis�rlet�

    sorozatr

    lvansz

    I�����De�nci��Haegyn�szeresk�s�rletsorozatbanazAesem�nykA

    �szork�vetkezettbe�akkorkA

    azAesem�nygyakoris�ga�r n�A��

    kA n

    pedig

    arelat�vgyakoris�ga�

    IV��

    Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ���

    jYjjXn�Xj�Legyen���tetsz�leges�P

    �jXnYn�XYj����

    P

    � jX n�XjjYn�Yj�� �� �P

    � jXjjY n�Yj�� �� �P

    � jYjjXn�Xj�� �� �

    Tov�bb��P

    � jX n�XjjYn�Yj�� �� �P

    � jX n�Xj�p � ���

    P

    � jY n�Yj�p � �����M�sr�szt�hay��tetsz�leges�

    P

    � jXjjY n�Yj�� �� �P

    � jY n�Yj�� �y

    � �P

    �jXj�y����han�y���

    Ebb�lm�rk�vetkezik�hogyP

    �jXnYn�XYj������

    IV������Feladat�Igazolja�hogyhaXn

    st �avalamelya��sz�mra�

    akkor

    � Xn

    st �� ais�

    Megold�s�P

    � jX n�aj�a �� ���P

    � a ��Xn

    � �����hoz�n

    �n�n

    eset�n����P

    � jX n�aj�a �� �P

    � a ��Xn

    � �

    A�

    Qn

    n�

    � jXn�

    ��a �� ��

    slegyen���tetsz�leges�

    P

    � A�n � X

    n

    �� a

    ��o��P

    �A�fjXn�aj�jXnaj�g��

    P

    � jXn�aj�a� ��� ����n����MivelP

    � � X n�

    � a

    ��� �

    P

    � � X n�

    � a

    ���A

    � �P� � X n�

    � a

    ���� A

    � �P

    � jXn�aj�a� ��� �P

    � � A��

    P

    � jXn�aj�a� ��� ���$gylimsupP

    � � X n�

    � a

    ��� ����smivel�tet�

    sz�legesvolt�m�rk�vetkezikaz�ll�t�s�

    IV������Feladat�LegyenekX��X������Xnf�ggetlen�azonoseloszl�s�

    valsz�n�s�g�v�ltoz

    k�EXi�m���Xi�d��Igazolja�hogy

    n P i��Xi

    n P i��X� i

    st �

    mm��d��

    Megold�s�Anagysz�mokt�tel�b�lk�vetkezik�hogy

    � n

    n P i��Xi

    st �m

    �s

    � n

    n P i��X� i

    st �m��d��Felhaszn�lvaazel�z�k�tfeladateredm�ny�t�m�r

    k�vetkezikaz�ll�t�s�

    IV������Feladat�LegyenekX��X������Xnf�ggetlen�azonoseloszl�s�

    valsz�n�s�g�v�ltoz

    k�EXi�m���Tekints�kaZn�

    np Y�Y����Ynval�

    sz�n�s�giv�ltoz

    t�aholYk�

    � k

    k P i��Xi�Igazoljuk�hogyZn

    �v �m�

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    �rt�ke�EX

    ���Ekkor

    ���eset�nP�X

    ����EX �

    �Legyen���

    tetsz�leges�ekkorP�jXn�Xj����

    EjXn�Xj

    ���n����

    Ellenp�ldaarra�hogyat�telnemmegford�that�

    LegyenekAn�olyanesem�nyek�melyekvalsz�n�s�geiP�An��

    � n��A

    sorozatelemeinekde�n�cija�Xn�

    ��

    n��

    �An

    ��

    ��An

    Megmutatjuk�

    hogyasorozatb�rsztochasztikusankonverg�lazX

    ���hoz�dem�rels�

    momentumbannem�

    L�that�hogyP�jXn�Xj����P�Xn

    ����

    � n��han�

    � �p�

    �azaz

    Xn

    st �X�DeE

    �jXn�Xj��EXn

    �n��� n�

    �n��amomentumban

    valkonvergencianemigaz�

    IV�����Feladat�Bizony�tsabeaIV�����t�telt�

    Megold�s�Ellenp�ldaarra�hogyXn

    L� �X�deXn

    �v �X�AIV����p�lda

    ittisj�mertham�n�k�

    E

    �jXm

    �Xj��EXm

    �� n��

    �Xn

    L� �X�deamintl�ttuk�Xn

    �v �X�

    Ellenp�ldaarra�hogyXn

    �v �X�deXn

    L� �X�

    LegyenekAn�ekolyan

    teljesenf�ggetlenesem�nyek�aholP�An��

    � n��Legyenasorozatelemeinek

    de�n�cija�Xn�

    ��

    n��

    �An

    ��

    ��An

    �ahat�rvalsz�n�s�giv�ltoz

    pedig

    X

    ���MivelE

    �jXn�Xj��EXn

    �n���Xn

    L� �X�Viszont

    megmutathat�hogyXn

    �v �X�

    IV�����Feladat�Igazolja�hogyhaXn

    st �X

    �sYn

    st �Y�akkorXn�

    Yn

    st �X�Y�

    Megold�s�P

    �j Xn�Yn��Y�X�j����P

    �jXn�Xj���jY n�Yj����

    P

    �jXn�Xj����P

    �jYn�Yj������

    IV������Feladat�Igazolja�hogyhaXn

    st �X�sYn

    st �Y�akkor

    Xn�Yn

    st �X�Y�

    Megold�s�jXnYn�XYj�jXnYn�XnY�XnY�XYj�

    jXn�X�XjjYn�Yj�jYjjXn�Xj�jXn�XjjYn�Yj�jXjjYn�Yj�

    I��

    A

    felt�telesval�sz�n�s�g�sazesem�nyekf�ggetlens�ge

    Megjegyz�s�Nyilv�nval�hogymindagyakoris�g�mindarelat�vgyako�

    ris�gkonkr�t�rt�kef�ggav�letlent�l�Arelat�vgyakoris�grendelkezikaz

    al�bbitulajdons�gokkal�

    I�����T�tel�Egyadottn�szeresk�s�rletsorozatn�l

    a��r n��������

    b��r n������

    c��HaA��A������An����egym�stkiz�resem�nyek�akkorr n�

    � P i��Ai��

    � P i��rn�Ai��

    Megjegyz�s�Azel�z�t�telazt�ll�tja�hogyarelat�vgyakoris�gren�

    delkezikavalsz�n�s�gtulajdons�gaival�K�s�bbl�tnifogjukaztis�hogy

    nn�vekedt�velr n�A��P�A�isfenn�ll��Nagysz�mokBernoulli�f�let�r�

    v�nye��Eztat�rv�nyszer�s�getel�sz�rtapasztalati�tonfedezt�kfela

    XVII�sz�zadban�mikormeg�gyelt�k�hogyarelat�vgyakoris�gegyrekisebb

    m�rt�kbeningadozikegy��s�k�z�es�sz�mk�r�l�Aklasszikusmatema�

    tikusok�ppenezalapj�nde�ni�lt�kazesem�nyekelm�letivalsz�n�s�g�t�

    azaz�rt�k�amelyk�r�larelat�vgyakoris�gingadozik�Arelat�vgyakoris�g

    teh�talkalmasavalsz�n�s�g&mint�zikaimennyis�g&m�r�s�re�

    Kolmogorovazaxim�ibanarelat�vgyakoris�ga���c��tulajdons�gait

    �r�k�tette�tavalsz�n�s�gre�minthogyahat�r�tmenetezeketatulajdon�

    s�gokatmegtartja�

    I���

    A

    felt�telesval�sz�n�s�g�sazesem�nyek

    f�ggetlens�ge

    AK

    v�letlenk�s�rletelemiesem�nyeisz�munkrav�letlenszer�enk�vetkeznek

    be�m�gpedigaz�rt�mertav�geredm�nytbefoly�solk�r�lm�nyekbonyolult

    komplexum�tnemismerj�kpontosan�Viszontismerj�kazegyesesem�nyek�

    elemiesem�nyekbek�vetkez�sies�lyeit&avalsz�n�s�get&�vagylegal�bbis

    tetsz�legespontoss�ggalm�rhetj�k�ket�HaviszontazAesem�nybek��

    vetkez�sik�r�lm�nyeir�ltov�bbiinform�cikatszerz�nkbe�vagybizonyos

    pontos�t

    felt�telez�ssel�l�nk�megv�ltozhatazAbek�vetkez�sies�lye�n�het

    is�decs�kkenhetis�Pl�akockadob�sk�s�rletn�l�a��osdob�sesem�nyval�

    sz�n�s�ge��hatudjuk�hogyadobott�rt�kp�ratlansz�m��s

    � ��hatudjuk�

    hogyadobott�rt�kp�rosvolt�

  • ��

    I�FEJEZETA

    Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�

    Hogyanv�ltozik�v�ltozna�azA

    esem�nyvalsz�n�s�ge�haazA�val

    egyidej�legmeg�gyelhet�Besem�nybek�vetkez�s�tismerj�k�ismern�nk�#

    Tegy�kfel�hogyaK

    k�s�rlettelv�grehajtottunkegynhossz�s�g�kis�rlet�

    sorozatot�AzAesem�nytkA

    �szor�aBesem�nytkB

    �szer�azABesem�nyt

    pedigkAB

    �szer�gyelt�kmeg�EkkoraBesem�nybek�vetkez�s�hezk�pest

    azAesem�nybek�vetkez�s�nekrelat�vgyakoris�ganyilv�nr n�AjB��

    kAB

    kB

    melyetazAesem�nynekaBesem�nyrevonatkoztatottrelat�vgyakoris�g��

    naknevez�nk�Ezazar�nyazAbek�vetkez�sies�lyeitpontosabbant�kr�zi�

    haaBbek�vetkez�s�r�lbiztostudom�sunkvan�mintazr n�A��

    kA n�

    Afelt�telesrelat�vgyakoris�gtulajdons�gainyilv�n�

    a����r n�AjB����

    b��r n�BjB����

    c��HaA��A������An�����egym�stkiz�resem�nyek�akkor

    r n�

    � P i��AijB��

    � P i��rn�AijB��

    Azr n�AjB��

    kAB

    kB

    �kABnkB n

    �r n�AB�

    r n�B�

    �t�r�sut�n�han���kapjuk�hogy

    r n�AjB��

    P�AB�

    P�B��

    I�����De�nci��LegyenekA�B�olyanesem�nyek�hogyAtetsz��

    leges�sP�B����AkkorazAesem�nynekaB�revonatkoztatottfelt�teles

    val�sz�n

    s�g�naP�AjB��

    P�AB�

    P�B�

    sz�mot�rtj�k�

    I�����T�tel�Tekints�kaz����P�Kolmogorov�f�levalsz�n�s�gime�

    z�t�B��P�B���r�gz�tett�

    EkkoraPB�A��

    P�AjB�felt�telesvalsz�n�s�greteljes�lnekazal�bbi

    tulajdons�gok�

    a����PB�A���

    �A���

    b��PB�B����PB������

    c��

    A��A������An������Ai�Aj���i

    �j��

    PB�

    � P i��Ai��

    � P i��PB�Ai��

    Bizony�t�s�

    IV��

    Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ��

    IV�����Feladat�Bizony�tsukbeaIV�����t�telt�

    Megold�s�Egyellenp�ld�tfogunkadni�amelyeloszl�sbankonverg�lva�

    lsz�n�s�giv�ltoz�sorozatlesz�deam�sikh�rom�rtelembennemkonverg�l�

    LegyenA�tetsz�legesP�A��

    � �esem�ny�legyenX�I�A��s

    Y�I�� A�indik�torvalsz�n�s�giv�ltoz

    �AzX�Yazonoseloszl�s��hiszen

    p

    �P�X����P�� A��

    � ��q

    �P�Y����P�A��

    � ��

    p ��P�X����P�A��

    � ��q ��P�Y����P�� A��

    � ��

    De�ni�ljukasorozatot�gy�hogyXn�X�

    n�re�Ekkornyilv�n�

    FXn�x��FX�x��FY�x��

    � � ���x��

    � ����x��

    ��x��

    MivelFXn�x��FY�x��ez�rtXn

    e �Y�dejXn�Yj��miattam�sikh�rom

    �rtelembennemkonverg�lhatXnazY�hoz�

    IV�����Feladat�Bizony�tsabeaIV�����t�telt�

    Megold�s�Konverg�ljonazX��X������Xn����valsz�n�s�giv�ltoz�soro�

    zatsztochasztikusanX�hez�azaz

    ���eset�n

    P

    �f

    �jXn�

    ��X�

    �j��g����n����

    Legyen���tetsz�leges�

    FXn�x��P�Xn�x��P�Xn�x�X�x����P�Xn�x�X�x����

    �P�X�x����P�X�Xn����P�X�x����P�jXn�Xj����

    FX�x����P�jXn�Xj����M�sr�szt�

    FX�x����P�X�x����P�Xn�x�X�x����P�Xn�x�X�x����

    �P�Xn�x��P�X�Xn����FXn�x��P�jXn�Xj����

    Ak�tegyenl�tlens�gb�l�

    FX�x����P�jXn�Xj����FXn�x��FX�x����P�jXn�Xj����

    Afentiegyenl�tlens�gbenn��hat�r�tmenetetk�pezve�

    FX�x����liminfFXn�x��limsupFXn�x��FX�x����

    Haxfolytonoss�giponjaFX�x��nek�akkorlim��

    FX�x����lim��

    FX�x����

    FX�x��$gy�limn��

    FXn�x��s�FX�x��

    IV�����Feladat�Bizony�tsabeaIV�����t�telt�

    Megold�s�Ehhezaz�ll�t�shozaMarkov�egyenl�tlens�getfogjukfelhasz�

    n�lni�LegyenX��olyanvalsz�n�s�giv�ltoz

    �melynekl�tezikav�rhat

  • ��

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    Megold�s�Jel�lj�kX�szelatal�latoksz�m�t�Al�v�ssorozatfelfoghat

    egyn����hossz�s�g�k�s�rletsorozatnak�aholameg�gyeltesem�nyac�l�

    ponteltal�l�sa�Ez�rtbinomi�liseloszl�s�n�����sp���

    param�terekkel�

    $gyEX�np�������������X�npq������������

    ��ACsebisev�

    egyenl�tlens�getalkalmazzukerreazesetre��

    p ���Xv�laszt�ssal�

    P

    � jX�EXj�

    p ���X� �P

    � jX���j�

    p ��� �����ahonnan

    P

    � jX���j�

    p ��� �P

    � ���

    p ���X����

    p ��� �

    �P

    ����X���������ad

    dik�azazal�v�sek���s���k�z�fognakesni

    legal�bb����osvalsz�n�s�ggel�

    IV�����Feladat�Egyautomatamin�s�gvizsg�ln�������elem�min�

    t�tellen�rizleegygy�rtsoronel��ll�tottsz�m�t

    g�pesalkatr�szt�megb�l�A

    vizsg�latut�nmilyenvalsz�n�s�ggel�ll�thatjuk�hogyamint�b

    lmeghat��

    rozottselejtar�nyak�szletelm�letipselejtvalsz�n�s�g�t�llegfeljebb�����dal

    t�rel#

    Megold�s�Xmostaselejtesterm�keksz�m�tjel�ljeamint�ban�Ekkor

    aselejtar�nyamint�banX �

    lesz�Nyilv�nX

    �B��������p��aholapis�

    meretlen�EX�np���

    p���X�npq���

    �pq�ACsebisev�egyenl�s�get

    most�������relalkalmazzuk�P

    �jX���

    pj�������

    �P

    � X ���p ������ ���

    �pq

    ���

    �������Alevezet�sbenfelhaszn�l�

    tuk�hogypq�p�p�������

    IV�����Feladat�Egy�zembencsavarokatcsomagolnak�Egy�egydo�

    bozba�tlagosan����csavarker�l�Acsavaroksz�m�naksz

    r�saatapasz�

    talatszerint��darab�Mitmondhatunkannakvalsz�n�s�g�r�l�hogyegy

    dobozbanacsavaroksz�ma

    ����s����k�z�esik�haazeloszl�stnemis�

    merj�k#

    Megold�s�Jel�ljeX

    acsavaroksz�m�t�EkkoraCsebisev�egyenl�tlen�

    s�gb�l�P

    �����X�������P

    �jX�����j��������

    ������

    IV�����Feladat�LegyenX

    standardnorm�liseloszl�s�valsz�n�s�gi

    v�ltoz

    �Astandardnorm�liseloszl�st�bl�zat�nakhaszn�latan�lk�lbi�

    zony�tsabe�hogyekkorfenn�llaP��

    �X�

    ����

    �p��

    egyenl�tlens�g�

    Megold�s�AMarkov�egyenl�tlens�gb�l�P

    �jXj�

    ��

    EjXj

    � �

    � p��

    amib�lm�rk�vetkezikP

    ��

    �X�

    ����

    � �

    � p��

    I��

    A

    felt�telesval�sz�n�s�g�sazesem�nyekf�ggetlens�ge

    ��

    a��MivelAB�B�ez�rtP�AB��P�B��teh�tk�vetkezikaz�ll�t�s�

    b��B�B�BmiattPB�B��

    P�B�

    P�B����sB�����teh�tPB����

    P���

    P�B����

    c��MivelazA��A������An����esem�nyrendszeregym�stkiz�resem�nyek�

    b�l�ll�ez�rtA��B�A��B�����An�B����isegym�stkiz�resem�nyekb�l

    �llrendszer��gyavalsz�n�s�g��additivit�situlajdons�g�b

    l�P�

    � P i���AiB���

    � P i��P�AiB��Mindk�toldaltosztvaP�B��velm�rad

    dikaz�ll�t�s�

    Megjegyz�s�

    a��Azel�z�t�telazt�ll�tja�hogyhaB�tr�gz�tj�k��s B�

    fC�C�A�B�A�g�

    akkora�B�B�PB�kiel�g�tiaKolmogorovvalsz�n�s�gimez�axim�it�

    b��VannakA�Besem�nyek�amelyekreP�AjB��P�A�teljes�l�azazAva�

    lsz�n�s�genemv�ltozikmeg�haaBesem�nybek�vetkez�s�tismerj�k'

    azAvalsz�n(s�gef�ggetlenaBbek�vetkez�s�t�l�

    I�����De�nci��LegyenekA�B�tesz�legesesem�nyek�AzA�sB

    esem�nyekf�ggetlenek�haP�AB��P�A�P�B�fenn�ll�

    Megjegyz�s�

    a��HaazA�B�esem�nyekf�ggetlenek�sP�A�P�B����akkorP�AjB��

    P�A��sP�BjA��P�B�isfenn�ll�vagyisazegyikesem�nybek�vetke�

    z�s�nekismerete�nembefoly�soljaam�sikesem�nyvalsz�n�s�g�t�

    b��Nemszabad�sszekeverniazegym�stkiz�resem�nyek�saf�ggetlenes�

    em�nyekfogalmait�Hak�tesem�nyegym�stkiz�rja�azazAB���akkor

    azegyikbek�vetkez�seigencsakmeghat�rozzaam�sikbek�vetkez�s�t�

    hapl�Abek�vetkezik�akkorBbiztosannemk�vetkezikbe�F�gget�

    lenesem�nyekeset�n�haazegyikesem�nybek�vetkez�s�tismerj�k�nem

    v�ltozikmegam�sikbek�vetkez�sival

    sz�n�s�ge�

    c��Azesem�nyekf�ggetlens�g�nekafogalmak�l�nb�zika�zikai�rtelemben

    vettf�ggetlens�gfogalm�t

    lis�A�zikaif�ggetlens�gaztjelenti�hogy

    azokozatnemk�vetkezm�nyeazoknak�teh�tittaf�ggetlens�gnem

    szimmetrikus�

  • ��

    I�FEJEZETA

    Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�

    I�����T�tel�HaazA�B�esem�nyekf�ggetlenek�akkor

    a��A�s� B�

    b��� A�sB�

    c��� A�s� B

    isf�ggetlenek�

    Bizony�t�s�

    a��P�A� B��P�AB��P�A��P�A� B��P�A��P�AB��

    P�A��P�A�P�B��P�A����P�B���P�A�P�� B�

    �A�� Bf�ggetlenek�

    b��P�� AB��P�AB��P�B��P�� AB��P�B��P�AB��

    P�B��P�A�P�B��P�B����P�A���P�B�P�� A�

    �B�� A

    f�ggetlenek�

    c��P�� A� B��P�A� B��P�� B��P�� A� B��P�� B��P�A� B��

    P�� B��P�A�P�� B��P�� B����P�A���P�� B�P�� A�

    �� B�� A

    f�ggetlenek�

    I�����T�tel�Az��s�esem�nyekmindenA�esem�nyt�lf�ggetle�

    nek� B

    izony�t�s�P��A��P�������P�A��P���P�A����sAf�ggetle�

    nek�P��A��P�A����P�A��P���P�A����sAf�ggetlenek�

    I�����De�nci��AzA��A������An�esem�nyekp�ronk�ntf�ggetle

    nek�haP�Ai�Aj��P�Ai��P�Aj��i

    �j��

    I�����De�nci��AzA��A������An�esem�nyekteljesenf�ggetlenek�

    ha

    k�f��

    �����ng�s

    ��i ��i ������i k�nindexkombin�ci

    ra

    P�Ai �Ai ����Ai k��P�Ai ��P�Ai �����P�Ai k��

    I�����T�tel�HaazA��A������An�esem�nyekteljesenf�ggetlenek�

    akkorp�ronk�ntisf�ggetlenek�Ford�tva�ltal�bannemigaz�

    IV��

    Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    ���

    romoseloszt

    k�zpontbanisnorm�liseloszl�s�naktekinthet�alakoss�gifo�

    gyaszt�s�hiszennagyonsokkisfogyasztered�jek�nt�llel��Lehet�hogy

    azegyesfogyaszt

    kk�l�n�k�l�nnemanorm�liseloszl�sszerintfogyasz�

    tanak�deaz�tlagosfogyaszt�stanagysz�mokt�rv�nye�rtelm�benbiztosan

    tekinthetj�knorm�lisnakmodelljeinkben�

    IV�����T�tel��AMoivre�Laplacet�tel������

    Legyen����P�Kolmogorov�f�levalsz�n�s�gimez��A

    �egypozit�v

    valsz�n�s�g�esem�ny�p�P�A����Hajtsunkv�greegyv�gtelenk�s�r�

    letsorozatot�vagyis�gyelj�kmegazAbek�vetkez�seitaz��������n�����edik

    k�s�rletn�l�LegyenXi�

    ��

    �A

    ��

    ��A

    �vagyisazi�edikv�grehajt�skoraz

    esem�nyindik�torvalsz�n�s�giv�ltoz

    ja�AzXi�kteljesenf�ggetlenek�s

    azonoseloszl�s�ak�

    p

    �P�Xi����P�� A��q�p ��P�Xi����P�A��p�EXi�p�

    ��Xi�pq�

    EkkoraZn

    X��X������Xn�n�p

    p n�p����p�

    valsz�n�s�giv�ltoz�sorozathozl�tezik

    olyanZ�N������hogyZn

    e �Z�vagyis

    FZn�x��P�Zn�x����x��n���

    x�R�

    Bizony�t�s�AIV����t�telspeci�lisesete�amikorazXi�I�A��azaz

    indik�toreloszl�s�ak�R�ad�sul

    FZn�x��P�Zn�x��P�n�Sn�p n�p�q�x�n�p��mivel

    r n�A��Sn�X��X������Xn

    n

    arelat�vgyakoris�g�sn�Sn�B�n�p���gy

    P�n�Sn�k��� n k� pk�qn�k�amib�lazeloszl�sf�ggv�nyre�

    P�n�Sn�p npq�x�np��

    Pkpnpq�x�np

    � n k� pk�qn�k�

    Pk�np

    pnpq�x

    � n k� pk�qn�k�

    Teh�tat�telazt�ll�tja�hogy

    limn��

    Pk�np

    pnpqx

    � n k� pk�qn�k���x��

    � p��

    x R ��e�t� �dt��x�R��

    IV���

    Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok

    IV�����Feladat�Egyc�lpontra���l�v�stadnakle�Atal�latvalsz�n��

    s�gemindenl�v�sn�l��

    �Milyenhat�rokk�z�fogesni����osvalsz�n�s�ggel

    atal�latoksz�ma#

  • ���

    IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek

    �sazonoseloszl�s�ak�azonoseloszl�sf�ggv�nnyelrendelkez�k�az����P�

    Kolmogorov�f�levalsz�n�s�gimez�n�L�tezz�kak�z�s��EXiv�rhat

    �rt�k�k�sak�z�s�

    ���

    �Xisz

    r�sn�gyzet�k�

    EkkoraZn

    X��X������Xn�n��

    pn��

    valsz�n�s�giv�ltoz�sorozathozl�tezik

    olyanZ�N������hogyZn

    e �Z�vagyisFZn�x��P�Zn�x��

    �P�X

    ��X������Xn�n��

    pn��

    �x����x���n����

    x�R�

    Bizony�t�s�AHellyt�telalapj�n�ld�IV����t�telt�aztfogjukbizony��

    tani�hogyZnZn

    karakterisztikusf�ggv�nyeineksorozataegyenletesenkon�

    verg�l��t��e�

    t� �

    �h�z�astandardnorm�liseloszl�skarakterisztikusf�gg�

    v�ny�hez�

    MivelXi�kazonoseloszl�s�ak��gyk�z�skarakterisztikusf�ggv�ny�kvan�

    melyetjel�lj�nkXi�t��g�t��vel�EkkorazXi��valsz�n�s�giv�ltoz

    k

    k�z�skarakterisztikusf�ggv�nye�

    �t��

    Xj���t��e�i��t�Xj�t��e�i��t�g�t��

    Af�ggetlens�gmiatt�Xi�X������Xn�n��t����t��

    n�

    $gyZn�t��X��X������Xn�n��

    pn��

    �t��

    h �tpn��

    �i n�

    MivelE�Xi������sE

    �Xi�������Xi���a

    �t�els�k�tderiv�ltja

    l�tezik��saIV����t�telmiattm�sodiktagig�k�r�lTaylor�sorbafejthet��

    �t����

    i�E�Xi���

    ��

    �t�

    �i���E�Xi����

    ��