Berechnung eines gotischen Kirchenfensters .

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort.......................................................................................................................................21.1 Aufgabenstellung................................................................................................................21.2 Arbeitsgruppe.....................................................................................................................21.3 Grundlagen.........................................................................................................................2

2 Berechnung der Geometrie des Fensters................................................................................22.1 Konstante Werte.................................................................................................................22.2 Berechnung der Höhe und Breite des Fensters.................................................................22.3 Berechnung der zwei inneren Spitzbögen mit Kreiselement...............................................32.4 Berechnung des Kreiselements und seiner Fischblasen....................................................42.5 Zusammenfassung & weitere Infos.....................................................................................5

3 Konstruktion des Fensters.......................................................................................................63.1 Konstruktion der Grundform...............................................................................................63.2 Konstruktion der zwei inneren Spitzbögen..........................................................................63.3 Konstruktion der Kreise und der Dreipässe innerhalb der zwei kleinen Spitzbögen............63.4 Konstruktion des Kreiselements.........................................................................................73.5 Konstruktion der Fischblasen im Kreiselement...................................................................7

4 Anhang.......................................................................................................................................84.1 Skizze über Verwendung der Variablen..............................................................................84.2 Quellen...............................................................................................................................8

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Berechnung eines gotischen Kirchenfensters 1. Vorwort

1 Vorwort

1.1 Aufgabenstellung

Als praktische Arbeit in der zehnten Klasse im Fach Mathematik soll ein gotisches Kirchenfenster mit Hilfe des goldenen Schnittes berechnet, konstruiert und auf einem DIN-A1-Plakat abgegeben werden. Zusätzlich zu dem Plakat soll eine schriftliche Ausarbeitung angefertigt werden, die sich auf die Berechnungsschritte und Konstruktion bezieht und diese näher erläutert und begründet.

1.2 Arbeitsgruppe

Das Fenster und dieses Dokument wurden berechnet, ausgearbeitet, skizziert und angefertigt von Christina Marquardt und Jonathan Weber. Für nähere Informationen, weitere Materialien oder Rückmeldungen kann folgende E-Mailadresse verwendet werden: weber-jonathan@gmx.de

1.3 Grundlagen

Dieses Dokument setzt einige Grundlagen voraus: Gotische Fenster haben einen Spitzbogen, welcher über einem gleichseitigen Dreieck konstruiert wurde. Es werden außerdem fundamentale Rechenwege nicht näher erklärt und als nachvollziehbar vorausgesetzt. Dieses Dokument ist außerdem in zwei Teile gegliedert: Der erste Teil erklärt die Berechnung der berechenbaren Werte und legt somit die Grundlage für die spätere Konstruktion. Diese wird sich dann ausschließlich mit der tatsächlichen Zeichnung des Fensters beschäftigen und beschreibt die einzelnen Schritte, die dazu notwendig sind. In der Konstruktionsbeschreibungen werden die Werte aus der vorhergehenden Berechnung vorausgesetzt. Die Variablen werden nach Möglichkeit weiter verwendet. Ähnliche Variablen erhalten den gleichen Buchstaben mit darauf folgender, tief gestellter Nummerierung.

2 Berechnung der Geometrie des Fensters

2.1 Konstante Werte

Höhe des Plakates: 84,10cmBreite des Plakates: 59,40cmFormat des Plakates: DIN-A1Höhe des Fensters: 80cm

2.2 Berechnung der Höhe und Breite des Fensters

Zur Berechnung der Höhe der einzelnen Elemente des Bogenfensters wird der goldenen Schnitt verwendet. Dieser beschreibt die Teilung einer Strecke in ihre Glieder a und b, wobei sich a zu b verhält wie a+b zu a. Das Verhältnis beträgt dabei konstant 1,618 (gerundet auf die 3. Dezimalstelle). Durch die Teilung der gewünschten Gesamthöhe (a+b) durch diese Konstante (1,618) kann die größere der beiden Teilstrecken (a) berechnet werden. Bei den oben genannten Maßen ergäbe dies den folgenden Lösungswert:

80cm :1,618=49,44cm

Die Höhe des Fensterelementes (a) beträgt folglich 49,44cm. Die Höhe des Spitzbogens, der typisch ist für gotische Fenster (b), lässt sich nun auf einfache Weise berechnen:

80cm−49,44 cm=30,56 cm

Somit ist nun auch die Höhe des Spitzbogens (b) berechnet. Zusammenfassung: Das Fensterelement (a) ist 30,9cm hoch, das Bogenfeld (b) ist 19,1cm hoch. Zusammen ergeben beide Höhen (a+b) die Gesamthöhe; 80cm.

Die Breite des Fensters (c) muss dabei extra berechnet werden. In einem gotischen Spitzbogen der weder gestaucht noch gestreckt ist, ergeben die Endpunkte der Kämpferlinie (C und D) zusammen mit dem Endpunkt der Seiten a+b (C) ein gleichseitiges Dreieck, dessen Winkel exakt 60° sind (60°+60°+60° = 180° → Winkelsumme in einem Dreieck). Da die Höhe des Dreiecks durch die Berechnung oben bereits ermittelt wurde (b), kann nun einfach die normale Formel zur Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks nach a (Seitenlänge) umgestellt werden, um die Länge der Kämpferlinie und somit die Breite des ganzen Fensters zu ermitteln. Die Grundformel ist:

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Berechnung eines gotischen Kirchenfensters 2. Berechnung der Geometrie des Fensters

h=32∗a

Diese Formel wird nun nach a (der Seitenlänge) umgestellt:

a=h÷32

Nun kann in diese Formel der bereits ermittelte Wert der Höhe des Spitzbogens (b) eingesetzt werden. In folgender Formel wird die Formvariable a durch c ersetzt, da in diesem konstruierten Kirchenfenster die Breite mit c beschrieben wird:

30,56cm÷32=c=35,29cm

Nun sind also alle Grundrisse des Kirchenfensters berechnet:

a+b = 80cm Gesamthöhea = 49,44cm Höhe des Fensterelementsb = 30,56cm Höhe des Spitzbogensc = 35,29cm Breite des Fensters, Länge der Kämpferlinie

Die Konstruktion des abgerundeten Spitzbogens erfolgt später in der Konstruktionsbeschreibung. Die folgende Skizze soll die bisher berechneten Werte verdeutlichen:

2.3 Berechnung der zwei inneren Spitzbögen mit Kreiselement

Die zwei inneren Spitzbögen werden genauso konstruiert und berechnet wie der große äußere, bilden also daher ihren Bogen über einem gleichseitigen Dreieck. Die Bögen sollen als Kämpferlinie je die Hälfte der Kämpferlinie c verwenden und berühren sich somit exakt bei der Hälfte von c. Durch einfache Division des Wertes von c durch zwei kann die Länge der Kämpferlinie eines einzelnen, kleineren Spitzbogens bestimmt werden. Verwenden wir für diese als Formvariable c1.:

c1=35,29cm÷2=17,65cm

Die zwei Spitzbögen sind also 17,65cm breit und haben den selben Radius. Der Radius der Spitzbögen sei jedoch zu weiteren Berechnungen mit r beschrieben. r beträgt somit konstant 17,65cm. Die Höhe der Spitzbögen soll zur Veranschaulichung auch berechnet werden. Dafür kann erneut die Formel für die Berechnung der Seitenlänge in einem gleichseitigen Dreieck verwendet werden, die bereits im vorhergehenden Kapitel verwendet wurde.

h=32∗a

Da die Seitenlänge bereits bekannt ist (c1 bzw. c2), kann dieser Wert nun einfach in die Gleichung eingesetzt werden. Das Ergebnis ist folgendes:

32∗17,65cm=15,29cm

Da später ein Dreipass in diese Spitzbögen konstruiert werden soll, muss noch der Radius und die Position des Mittelpunktes des beinhaltenden Kreises berechnet werden. Es wird dafür von folgenden Variablen ausgegangen:

r2 = Radius des Kreisesc1 = Radius der Kreisbögen der kleinen Spitzbögen (=17,65cm)x1 = Abstand zwischen c1 bzw. 2 und dem Mittelpunkt

Dadurch kann folgende Formel aufgestellt und umgeformt werden:

r 22=c1−r 2

2−12c1

2

Grundformel mit Satz des Pythagoras

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Berechnung eines gotischen Kirchenfensters 2. Berechnung der Geometrie des Fensters

r 22=c1−r 2∗c1−r2−

12c1∗

12c1 Anwenden der Potenz

r 22=c1

2−2c1 r2r2

2−14c1 Anwendung der zweiten binomischen Formel

0=c12−2c1 r 2−

14c1 Wegkürzung von r2

2

2c1 r2=r2−14c1 2c1r2 wird auf die andere Seite gebracht

2r 2=c1−14c1 Wegkürzung des c1 links gegen die Potenz von r rechts

r 2=12c1−

18c1 Division durch zwei

r 2=38c1 Umformung zur endgültigen Formel

In diese Formel kann nun der bereits bekannte Wert von r eingesetzt werden:

3817,65 cm=6,62 cm

Nun die Zusammenfassung der in diesem Abschnitt errechneten Werte:

c1 = 17,65cm Länge der Kämpferlinie der Spitzbögenh1 = 15,29cm Höhe der Spitzbögenr2 = 6,62cm Radius des inneren Kreises, Entfernung zur Kämpferlinie c1.

2.4 Berechnung des Kreiselements und seiner Fischblasen

Über den zwei Spitzbögen soll ein Kreis liegen, der sowohl die zwei unteren, kleinen Spitzbögen, als auch den großen äußeren Spitzbogen berühren soll. In diesem Abschnitt wird der Radius dieses Kreises und die Position des Mittelpunktes errechnet werden. Da dieser Kreis zusammen mit den kleineren Spitzbögen sich über die ganze Strecke des Radius des großen Spitzbogens erstreckt, kann folgende einfache Formel aufgestellt werden:

r2r 1=c

Dabei ist r der Radius, wie im vorherigen Kapitel beschrieben, eines kleinen Spitzbogens und bereits bekannt und r1 der Radius des in diesem Abschnitt zu erstellenden Kreises. Auch c ist bereits berechnet und beträgt 35,29cm. Es können also nun die Werte eingesetzt werden. Anschließend wird die Formel bis zum Erhalt von r1 umgestellt.:

17,65cm2r 1=35,29cm2r 1=17,65cmr 1=8,83cm

Der Radius des Kreises ist somit berechnet. Es fehlt nun noch die Position des Mittelpunktes. Da der Kreis an keiner Stelle den äußeren Spitzbogen überschneiden soll, ist es logisch, dass der Mittelpunkt auf der Seitenhalbierenden von c liegt, also auf der Linie zwischen der Spitze des großen, äußeren Spitzbogens und dem Treffpunkt der beiden kleinen Spitzbögen. Der Abstand des Punktes zur Kämpferlinie des großen Spitzbogens kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden. In der Rechnung wird x für diesen Abstand verwendet:

x2=rr12−

12c2

Grundformel anhand des Satz des Pythagoras

x2=12c14c2

−12c2

Einsetzung, damit c einzige Variable ist

x2=34c2

−12c2

Zusammenfassung der Gleichung

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Berechnung eines gotischen Kirchenfensters 2. Berechnung der Geometrie des Fensters

x2=916c2−

14c2 Potenziere, um die Klammern zu entfernen

x2=516c2 Bringe auf gleichen Nenner und subtrahiere

x= 516∗c Ziehe Wurzel. Fertige Formel in Abhängigkeit von c

Diese nun hergeleitete Formel kann verwendet werden, um den Abstand zwischen c und dem Mittelpunkt des oberen Kreises zu berechnen:

516∗35,29cm=19,73cmDie Fischblasen, die hinterher in diesem Kreis liegen sollen, Haben einen eigenen Radius, der extra berechnet werden muss. Als Kreis, in welchem die Blasen errichtet werden sollen, verwenden wir den soeben errechneten Kreis.

Zwischen Kreismittelpunkt und Kreisradius lässt sich ein Quadrat errichten, das ähnlich wie in der nebenstehenden Abbildung aussehen sollte. Für die Berechnungen ist die Diagonale dieses Quadrates entscheidend. Diese Diagonale vom Mittelpunkt zur unteren rechten Ecke lässt sich in drei Teile teilen. Den Teil außerhalb des Umkreises, den Teil, welcher später durch die Fischblase verlaufen wird, und den Teil, der in der Mitte um den Mittelpunkt übrig bleibt, damit sich die Fischblasen nicht überschneiden. Es kann also folgende Formel aufgestellt werden:

2aa1a2=2 r

Außerdem lässt sich für das mittlere, kleine Quadrat mit der Seitenlänge a folgende Formel aufstellen:

aa1=2a

Eine dritte Formel kann für die Diagonale des großen Quadrates aufgestellt werden. R und a2 ergeben zusammen die Diagonale von r². Das ergibt folgende Formel:

ra2= 2r

Wenn diese beiden letzteren Formeln in die erste Formel eingesetzt und umgeformt werden, erhält man folgende Formel:

2−1∗r=a

Setzt man in diese Formel nun unseren zuvor berechneten Wert für r ein, so erhält man folgenden Radius für eine Fischblase:

2−1∗8,83 cm=3,66 cm

Der Radius einer Fischblase wird fortan mit f beschrieben: a = f

Als Zusammenfassung dieses Kapitels noch einmal die berechneten Werte:

r1 = 8,83cm Länge der Kämpferlinie der Spitzbögenx = 19,73cm Abstand zwischen Kämpferlinie c und Kreismittelpunktf = 3,66cm Radius einer Fischblase

2.5 Zusammenfassung & weitere Infos

Die berechenbaren Werte des Spitzbogens wurden nun errechnet. Als Zusammenfassung der

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Berechnung eines gotischen Kirchenfensters 2. Berechnung der Geometrie des Fensters

Berechnungen folgen hier noch einmal alle errechneten Werte:

a+b = 80cm Gesamthöhea = 49,44cm Höhe des Fensterelementsb = 30,56cm Höhe des Spitzbogensc = 35,29cm Breite des Fensters, Länge der Kämpferlinie

c1 = 17,65cm Länge der Kämpferlinie der kleinen Spitzbögenh1 = 15,29cm Höhe der kleinen Spitzbögenr2 = 6,62cm Radius des Kreises innerhalb der kleinen Spitzbögen

x = 19,73cm Abstand zwischen Kämpferlinie c und Mittelpunkt des Kreiselementsr1 = 8,83cm Radius des Kreiselementesf = 3,66cm Radius einer Fischblase im Kreiselement

Nun fehlt noch die Aufteilung des Fensterelements, also dem unteren Teil des Fensters. Diesem Teil soll als Grundstruktur eine einfache Dreiteilung zu Grunde liegen, die im Kontrast zur im Spitzbogen durch die zwei sich berührenden, kleineren Spitzbögen entstandenen Zweiteilung steht. Diese drei Felder müssen jedoch lediglich konstruiert werden, wobei auch dieses das Ziel der mathematischen Erläuterung des Spitzbogens verfehlen würde. Dieses Dokument beschränkt sich daher ausschließlich auf die Berechnung und Konstruktion des Spitzbogens.

3 Konstruktion des Fensters

3.1 Konstruktion der Grundform

Es wird eine Gerade d mit der Länge c von 35,29cm zwischen den Endpunkten A und B eingezeichnet. Orthogonal zu d wird folgend von den Endpunkten A und B eine Gerade mit der Länge von a, das entspricht 49,44cm, eingezeichnet. Die zwei neuen Endpunkte seien C und D, die zwei neuen Geraden e und f. Nun wird die Gerade g zwischen C und D eingezeichnet. Es sollte ein Rechteck mit einer Höhe von 49,44cm und einer Breite von 35,29cm entstanden sein. Es wird danach sowohl um Punkt C, wie auch um Punkt D ein Kreisbogen mit dem Radius c, also 35,29cm, geschlagen. Alles außerhalb des dadurch entstandenen Spitzbogens kann entfernt werden. Die Grundform des gotischen Fensters ist somit gezeichnet.

3.2 Konstruktion der zwei inneren Spitzbögen

Die zwei hier zu konstruierenden Spitzbögen befinden sich innerhalb des großen, in 3.1 konstruierten Spitzbogens. Es werden zuerst Kreisbögen um C und D mit dem Radius 1/2c, also 17,65cm, geschlagen. Diese sollten sich bei der Mitte der Gerade c berühren. Um diesen Schnittpunkt zwischen den Kreisbögen und der Gerade c, sei er im weiteren Verlauf E, wird nun wieder ein Kreisbogen geschlagen. Alles bis auf sich überlappenden Kreisteile und alles unter der Kämpferlinie c kann entfernt werden. Zurück bleiben die zwei zu konstruierenden Spitzbögen.

3.3 Konstruktion der Kreise und der Dreipässe innerhalb der zwei kleinen Spitzbögen

In beide kleineren Spitzbögen soll ein Dreipass innerhalb eines Kreises platziert werden, der alle Kanten (also sowohl die Kämpferlinie c, als auch die Bögen der Spitzbögen) berührt. Es müssen die folgenden Schritte für beide Spitzbögen durchgeführt werden. Es wird ein Punkt auf der Seitenhalbierenden der jeweiligen Kämpferlinie mit einem Abstand zur Kämpferlinie von c1 (6,62cm) markiert und um diesen einen Kreisbogen mit selbigem Radius geschlagen.Da bei einem Dreipass dieser Art die einzelnen drei Kreise sowohl den umfassenden, soeben gezeichneten Kreis, wie auch den Kreismittelpunkt berühren, beträgt der Radius eines einzelnen Kreises folglich 1/2r2. Es muss ein Kreisbogen um den selben Mittelpunkt mit dem Radius 3,31cm geschlagen werden. Nun wird ein Punkt am oberen Schnittpunkt zwischen der Seitenhalbierenden von c1 und dem inneren Hilfskreis eingezeichnet. Dieser Punkt ist G. Nun wird anhand der Tangente an Punkt G ein Winkel von 60° und von 120° abgetragen. An den Schnittpunkten mit dem Kreis werden die Punkte H und I eingezeichnet. Die drei Punkte G, H und I würden verbunden nun ein rechtwinkliges, gleichseitiges Dreieck ergeben. Als nächstes wird um jeden dieser soeben auf dem Hilfskreis eingezeichneten Punkte ein Kreisbogen mit dem Radius 1/4r2, also 1,66cm, eingezeichnet.Der Dreipass ist fertig, wenn die sich überschneidenden Kreiselemente entfernt wurden.

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Berechnung eines gotischen Kirchenfensters 3. Konstruktion des Fensters

3.4 Konstruktion des Kreiselements

Es wird eine Hilfslinie Orthogonal zu c gezeichnet, die durch den Punkt E verläuft. Auf dieser Hilfslinie wird in Richtung der Spitze des großen Spitzbogens bei einer Länge von 19,73cm der Punkt M abgetragen. Um den Punkt M wird nun ein Kreisbogen mit dem Radius r1, folglich 8,83cm, geschlagen. Das Kreiselement ist fertig konstruiert.

3.5 Konstruktion der Fischblasen im Kreiselement

In das Kreiselement mit dem Radius r1 von 8,83cm sollen nun vier Fischblasen eingefügt werden. Dafür müssen zuerst zwei Hilfslinien in einem Winkel von 45° und von 135° durch den Mittelpunkt des Kreiselementes eingezeichnet werden. Vom Schnittpunkt dieser Linien mit dem Radius wird eine Strecke von 3,66cm Richtung Kreismittelpunkt abgetragen und mit einem Punkt markiert. Um die vier neu entstandenen Punkte kann nun ein Kreisbogen mit dem Radius von 3,66cm geschlagen werden. Den Schweif, den eine Fischblase ausmacht, kann man jetzt einzeichnen. Dieser wird nicht konstruiert.

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Berechnung eines gotischen Kirchenfensters 3. Konstruktion des Fensters

4 Anhang

4.1 Skizze über Verwendung der Variablen

Die folgende Skizze soll vor allem im Teil der Berechnung des Fensters die Verständlichkeit verbessern und zeigt in einer groben und nicht maßstabsgetreuen Skizze die einzelnen Variablen:

4.2 Quellen

Für die Erstellung des Fensters und dieser kurzen Dokumentation haben wir uns an einigen Quellen orientiert:

http://kunst.gymszbad.de/architektur/arch-gotik/gotik/grundkonstruktionen/grund.htmhttp://www.michael-holzapfel.de/themen/gotik/masswerk.htm

Für die Erstellung der Skizzen wurde das kostenlose Grafikprogramm GIMP verwendet.

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