Embed Size (px)
DESCRIPTION
ejercicios de Berman Gn
Citation preview
ProblelDasFdercIeIosdeanálisis
G.N.DerulBo
r. H. BEPMAHCBO'PIDl.K 3A,II,Aq no 'KYPCY MA,TElMATRI.lECKOrQAHAID13A
EDITORIAL MIRMOSCÚ
Problemasy ejerciciosde análisismatemático
G. N. BERMAN
@ Tladucoi611 al ospapo). Ediloria.1 Mm. 19nImpreso en la URSS. i917
Traduoídc del rU8() por N. N. Serdlukova
El presento Iíbro de ~i>rohlemas'1ejercictos de nnállaís matemátíco. ss destina a. los alumnos de Ingeníerfn que estudian el análisismatemático, de acuerdo con los programas correspoadíentss, en escuelas técnleas superíores.
Contiene drversos eJcrcicios que en su mayor .{lurte titmen porobjeto controlar y profundizar el nivel de conocimientos que hayanadquirido los alumnos en el análíeís -matemáríce. En el manual no$0 dan éx~HcaciO!\esteóricas ni lórmulas. Sé esríma que el lector Iasencontrará en cualquier manual de análisis matemático. Para unconjunto ce problemas "i ejercicios análogos por su contenido se danindicaciones instructivas, comunes para eitos.
Los problemas 'Y' ejercicios para cuya solución es necesario conocer las leyes de ñsica van precedidos de la correspondiente información. En los más difíciles (señalados por un aáterisco l*J.)se dan sugerencias para Su solución, que aparecen en la parte de ~Respuestas alos ejercicios».
Esta lis,la traducción, al español de UDa de las últimas vartanteadel manual escrito por los siguientes -autores:
L G. Aramanévlch , G. N. Berman, A, F. Bermant,B. A. Kordemski, R. 1. Pozoiski, M. G. Shestopul,
B. A. [(ordemskt1-1 de aeptiembre de 1916
Prefacio
146146
9914182426SO32323487
40505053717583909091102105H3H5H8119HO123
129129133138
-5CAPi'l'ULO 1. 'Punción , ,' .•••.. , .
§ '1. NocionU9 olcfOéDt.lile)¡ sobre la foncion "~ 2. Prop(edO,dos· más elementales do IIlJl ru,.ucioncs·' ~§ 3, Funciones mós simples ,.......,........§.f. Punción inversa. Funciones pot.cnci"l. oXI'0JlllnciaJ y Lógaritmka~ 5, Funciones trigonométric¡as )' funcionos trIgonométricas inversas§ G. Problema$ de cálculo • . . • . • . . • . • . . . . .
CAPiTU¿O n. Límite, Conlinuldad , • , , , , • , •• _§ 1. De(lnicioncs princl¡¡olas _ .§ 2. Ma8llitud~s inlinilai1:- Critorios de Olti~tllncill del límite§ S. Funciones continuas ......•.......•.•.§ 4. Opernc;fm do hAllar 'los límites. COnll1nrnclÓJl de los' magnitudes
Iníínltcslmnloe ....•.•.....•.•...••
c.4pi'TU.LO 111. Derivada y dilerendlnl. Cálculo ,dltorcncial§ 1. Derivada. Velocidad·.~o vn.rlacllln ele In Iunclén§ 2. O¡rofoncluciÓn do 105funcíunes . . . . • . ' . . . • . • .§ 3. Dlfereucín], Difl!tellciabilid"d de In funoi6n • . . • . . . • •§ 4. La .deri,Y,ada rom.o \'ll]ocidnd do vnriaei6n (litros ejemplo5)§ 5. Der)v~clon sucesIva .,......... _ . . . . . .
CAPiTULO IV. Anfitkis de 'las funciones y de sus grálicas
11. Comportamiento de la función ..,... - • .2. Aplicación de la primera derivado '" . _ . .3. AJllic8ci6n de la segunda derivado '" . _ . _
§ 4. Tareas cemplementártae, Resolución (le oeuaetenes§ 5. Fúrmule dI! Taylor y su aplicaciéu§ 6. Clltvl\~ura .•...§ 7. Problemas do clÍlculo . . • . . ,
(lA P trnu: V. IlltegraJ definida • . . . .§ 1. IntOl.{rnl ([eflnida y sus pr"piodndl" m6$ dClUentQlcs .,S 2. Proptedsdos íundamcntalus de l. i'ltogl'ul de(lntdu .
f;AP!1'V ¿O vr. Integral lodellnlda. Cñlculd Inlogro' •§ 1. ~Iétodlis más siruplos 'do lÍltc[¡r~o't\1l ....§ 2, MéI'orlos prtnclpulbs do iiltj:groóHíll . . . . .§ 3. Tipos principales dn las Iunclones integrables
CAPiTULO V 11. Métodos para calcular integroles definidos. integra-1113improjlias . . . . . . . . . . _ . . . . . .
§ 1. M6todos do intllg1'8ci'6n o~aotll ••. _ . , • • • , _ . . .
~ • • ,. • +' • .__.,' • • • ,. • • • • •t.'REFAC1Q
Indíce
. "
228228234
2362422452452411
2502M264
27t271275281
285285298302306'3f23153183H~319323
,324331'465
C,A,PITUJ.,O IX. Series ' .• I •• ! " '.' ••• ,.
~ 1. Series numéricas ,.... '" I • • • • •
§ 2. Series funclopalcs . . . . . . • : ;, ' , .§ 3. Se~ies de potencias • . . . oO. • • .',. .',.
§ 4. Algunas a¡iliCtlolones de las l!1lr~eÍ!,de 'TÍ!y,lo" . ,,'
CAPITULO X. Funeíones' ile vatiaS vatÍJ!])~~, Cálculó dilerential§ i. Funcíones de vl\l'iQs vi\ri<lblpt¡ . • .,;';, ' '. ,1 ' , • • • • •
§ '2. Propiedades ínás rJornen~ales de: las ¡fnnp~{l.Jle!, . ." . . . , _§ 3. Derivadas y dlíorencieles de ¡lis~fUlici()nes.de.varíes varíables§ 4. Derívacién de las 'fundones' _ ..... ' . . . , .§ fi. Periv.JIC.ióp, suceaíva . .,., . . . . . . .
CAP!TUW xt, A~I¡Ctlcione.s del cáléulo, dif~eiaJ de las fp.!lciolWSde ,varias variables . . . .'; . . . . . . . . . .
§ '1. Ji'órmulB,<lo¡TIjYlor:.Extrem9!1lle.llls,[uncioncs de varias variables§ 2. Lineas '¡llanas ....,.". "(' , ',' . . . . . . .§ 3. Funclóll YfíCtQ~jal del arg1.lm~ntAlCl.B~R.aro Lineas alabeadas,
Superficies ,.: •. '. . • . . . . . . . , . . . . . .§ 4. CampQ es.ca~!It. _Gr~dieJl1:~.Dérívada :cespectó Íl 1á direecíén.
CliP/rULO XIl, Integrales múltIples e Integración Olúltiplé .•..§ 1, JIl.tegral,eslIo).\le8 '1 :triples . . . . . . , • . . . . . . . .§ Z. lJ)~graclóu, lI\\Í}tl}llo ..,...............§ 3. Integrales én los' sls~1Íl8s de coordenadas polares, cilíndricas
y e¡¡féricas ..,....,..........,....§ lo, ;Apl¡~a.oionc'sde:integra.lesdobles y ti-¡ples • . . . - . , • .§ 5. Inte¡p-ales Impropias, Integrales d~Jlendientes. del parámetro
CAPJTULO .xIII. Jnte~ral~s cnrvmneae e ·integroles de superficie§ 1. Integrales ~1,lÍ\'i~DeM (la primer Q'~Dero. . . . . •§ 2. Integrales ~úrvilí.Dell;S.de segundo género ....§ 3. Integrales do superficíc .... _ . , . . . . ,
CAP1Tu,z.,o XIV. ,~~n8c!pnllS[dl!l!renciale.s§ L Eouaciones de. príraer orden . . ~ . . • . . . .§ 2. E()uocionés ¡lo"primer orden (c6nlilluaciQn), .. l••§ a. Ecuaeiones.de seID1odo'ordén y de órdenas :iuJlcnores! 4-. Ecuaciones .lineales, , -, . . " . ,", '~ • . • . ,§ .5. Siatcmiís'de ecu~ciones ,djferor¡.éi,ales§ (1:, Pro'blep\a$ de cálc,ulo • . .:. . t
CAPiTULO ,:XV., .$erle¡¡ ~r1goñomélrlea!J ,§ 1. ¡;oliIíÓDljOS.tdgollométriep5 ...,.§ '2. Series de Foul'ier' . . . • • . . , .§ 3. ~étodo de l\rilov. ~áliliis arménico • , . .
OAP1'1'ULO xvr; Elementos de la '~rfa del campoRESPÚESTAS A LOS EJERCiCIos ., , ... '..SÚl't,'EMENTO. T.nblils de ciertas fUIÍG¡OllQ~ elq:glontalee
155~5S164164181
192192197201204
2082082tO215219223
.-;...§ 2. Mitodos, BJ)ro-ximlldOll§ 3. Integrales ímpropiaa
CA etr ULÓ Vflt, Aplicaciones .de I&.tntegrak, .§ 1. Al~no8 probleTil'!S de ge~metrí~y ,!le~~ta~i(la§ 2, AlgunQ~problemos do lislea " . . .'. .. . r
8
!/
Construir su gráfica, uniendo los puntos con una línea .suave\).Siguiendo la gráfica 'Y determinando los valores de la función paraz = 2,5; 3,5; 4,5¡ 5.5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5, hacer la tabla más completa».
3. La función viene expresada por la gL'áJicarepresentada en 111lig. 1. Pasar el dibujo 8,1papel míhmetrado, elegir la escala y unos
Varíabl& independiente '" 1-~,51 0,5 I t I 1,5 I 2 I ~'Función 11 ••••••• -1 O 3,2 2,6
Varlable independiente :¡:4 I S I 6 7 I & 19 I roFuDclón!l ....•.. -i,8 -2,8 O ',1 t,4 '1.,9 2,4
Funciones y formas de 'su e:.rprcstónl. La suma de los ángulos interiores de un pollgeno convexo
plano es función del número de sus lados. Expresar anaHticamenteesta función. ¿Qué valores puede tomar el argumento?
2. La función V de x eslú dada en In síguíeute tobla:
.§ 1. Nociones elementales sobrela función
Función
Capítulo 1
'Pomendo el =;o e-._ = '1 )' 8 = 1. form¡¡'f la tabla de los valores de .lafunción daaa lHl~ r = 1,2, 3, ' .. , 4.0y'·C.~:n;;tfu¡_¡' SILgráfica uníendo'los ]luntos con una 15nea esuave». " s
6. Escribir la fuución (file·exprese Ti.1depGnden'cí~ entre el radio rde un, cilindro y Sil altura h SiCTldo e1volUllien<aadoV= i. Calcnlarlpi' valores de T, tel)íonM h los' sigU1Qpt¡¿svalores: 0,5; '1; ~,5; 2;2,5; 3; 3;.5;4; 4,5; S. Construlr la g~áfica tte.1",f9~~i6n. .
7. Expresar el área de UN trapecto is\Ssceles de liases (!.. y b comofllMI'ó'n d,eJ .ángulo a de P8_SC a.o ConstrÜit la gI'ÍlficQ de la funciónpara a = 2, b =1.
8. Expresar la dependencín ontee J'¡¡ longit.lld b de un catero de untriángulo rec'tilnguJo y ItI JOrlgj1,ud.a. de oüo cat~t.o. !1iel)dóhi hipot'e~1l1SI1eonstante e igual a e = 5'..eOI1·sp-lIJr.1:¡ gtáfica .de esta fur¡.élóp.
a) :~gulÍYal<.>'ros.de la variable independioutc hacen que la ;funciónse anule? '
b) ¿Cu6Ie!\deben ser los valores.de lit varinble índepeudiente para.~ue IR fUI1<i~6J) sea posittva?
cl ¿Qu41e$ deben ser los valores de la vatin:ble·independiente paraque In fuucíún SM nag:iti va?
5. La f6rolulIi de la ley de GOUlODlbexpresa In relación. de dependencia q;ue.existo .el) tre la fl¡e,tza F tl.e lnteraccíóu de dos cargas eléc.tricas e.lY .e~·,pOI' una .lll\~~te,l' la distancia r que media entre ellas,por 'o!J:a: ,
Fig.2
!I
cuantos valores de la varlable Indepeud íenta. Después de lee~ en eldtbuio.Ios valores do. la [unción. CorreSjioñeli.entes..a 108 valores elegidos de la variable indepelldieote, For,nÍ.ar'%. ti:Mii d'edichos valores,
4. La función viene dlidil p.OI' la g.ráfica representada en la fig. 2.Ateniéndose a la gráfica coutestar a 18,'; síguíentes preguntas:
.1";;. ,Cap, '1. FUnción10
f (b)-t.(a) ~0-4 .
.f'ig. 3y f (b) 00 el dibujo. ¿Cuál es Ja Intorpretacién geométrica de Jo relapión
~,,'DadIl5 Ins ~nl<i-cmt!s"'"'. ~(~ z-'2' \ "( 1;1;-21~) I x) =;;r;.:.r~ ; b) <p (X) =--;:::¡::¡-.hallar: 1(0); Hi).; í~(2);f( -2); / ( ":"~}¡;'j"(Y2)ill (i) 1; q>(O):
cp (1); ql (2); q¡:( -,2): q¡ (4). m:dsten f( -;.1), qJ (- '1)?1p. 'Dada la ·funcj'Ón1(u) '= u9 -- t. hallar " (1.); r (a,); f (a + i);l (a. - i); 21 (2a). ; : .. .1.1. Dadas las :functon~s Ji·(z) =.2~4 y (jl(z) = 2"'-\ hallar
F {OlíF (g); F (3); P ~-i)jF (2,.5); F (-i,!i) y q> (O); Ql (2); «p (-1);ip (x); '(p (':_1)+ Ji' (11). .~. . .
12. Dada 111.ftintllón ~i(t) = t-u', hallar 1jl(0): Ijlt1)¡ 1jl(-1)¡'Ijl (¿) i '"(a); 'i> (-a).
.t3~ !Jl (t) = ¿n + 1~Hallar cp (t~) Y [e¡¡ (t)P.i4. P (z) "'" :1.4 - 2xZ+ fi, Demostrar: que F (a) = P (-a.).15. (J) (z) == z3 - 5z. Demostrar que ,11> (-z) = - (J) (z).,
16. t (t) := 2t~+; +f+ 5t. Demonstrar que f (1.) = t (+) .i7. f (x) = sen .t - cos z. Demostrar que f (1)>O.lB. Ijl (.xl = Ig u. Demostrar qU.flIjl (x) + 'i> (x + t) = Ijl Ix (.2; ++ 1)1.19. F (z) ."" o'. 1) Demostrar que .para cualquier valor ele ;¡ es
válida la siguiente .relaclóuF (-z)·p (z) - f = O.
2) Demostrar queF (x).p (y) = (;'(x + y).
20. Dados Ja gráfica de la {unción y = I (x) y los valores a. -yb de la vartsblc Independlente x (véase I~ lig. 3), construir t (a)
V
§ t..'NociolllllS:"elementalos sobre la funci6n
Funciones compuestas30. y = z!l", : = x + 1. Expresar y como funci6n de x.31. !I =- V z + i, z = tgt x. Expresar y como función de x.32. y = z\ z =Vx + 1, x = al. Espresar y como fuñci6n de t.33. y ,a;- sen x; v = 19-y; .U =V1 += "l. Expresar u como fun-
ción de x. .34. y = 1+ x; z "" CO!) y; U =Y1 ~~Z2. Expresar v como fun-
cíén de::c, .,35. P:rosentor e~ forma de cadenas Íotmadas a base de las prin-
cipales "funciones elementales las slgu1~ntes 'funciones compueátas:i) y = senB x; 2) -y.= V(1+ :c)'i; 3) y = 19 tg z;4) y = sen3 (2x + 1),. 5) y -: 5(·3'l'+1)'.•36. t (x) ==1 :r' ~ x; Cj) (;t) = sen 2.2:: Hallana), ; [Ip (;~.)] i b) <j1 [1 (1)1; e) eH! (2)1;
J(",j)tf(Z~) >t(~)para todas los XJ =F x:.22. Dada lo función f (x) = x~ - 2x + 3. hallar ladas las raíces
de la ecuación al f (x) = f (O); /) f (x) = t (-1).23. Onda ltl función t (x) "'" 2r" - 5X2 - 23:&, hallar todas las
raíces de .la ecuación f (r) = f (-2).24. Dada JII funciórl f (31), hal lar por lo menos una raíz de la ecua-
ción I (x) = f (a). ' ,25. Señalar dos raleas de la ecuación f (x) -= I (:~~) , si es sabido
que la funoión I (x) está definida en el· intervalo [-5; 5], Hallartodas las raíces de La ecuación ,dada siendo [ (;'1:) = xt - 12x + 3.
26. F (x) = Xi + 6; .cp (x) = 5:1:. Hallttl' todas las raíces tle laecuación F (x) = I <P (x) l.
27. t (:¡;) = x + 1; Cj) (x) = x - 2. Hesolver la ecuacióu
I f (x) + <P (x) I = I f (x) 1 + I <P (x) [,28. Hallar los valores de n. y b en la expresión de la función f (x) =
= a;¡;2 + b«+ 5 para los cuales sea v~lid8 la identidad t (z + 1) -- I (:z¡) == 8x + 3.
29. Sea f (x) = a,cOS'(bx + e). ¿Cuálell debeil ser lbs valores dalasconstantes R, b y e para que se cumpla la identidad f (x + 1) -- t (x) == sen %1
21. Mostrar que si cualquier cuerda de la gráfica de l& funcíén11 =t (2l)está por encima de} arco qlie' aquélla subtíende, 'se veri.ficl)la desigualdad
.;.C:!p",.I.>.FuDci6~12
-38. Escriliir en forma explicita la funCión y dada' en forma impHcHa mediante la siguiente ecuacléu:
"'z 11'1) zI + y' = 1; 2) -;z-¡;z = 1;3) a;'J + 11 = tri 4) ;¡;y ;". C; 5) 2"'11 = 5;6) Ig;¡; + 19 (y -t 1) = 4; 7) 2"+11 (;¡;t - 2) = :r:' + 7;8) (1 + .:1:) COl> Y - z' :o O. .39*. Mostrar que 'l?!lra lE> O, la: ecuación U + I U I - x -I :Al I = O determina la funci6.u cuya grcHiclilierá la .bisectriz del
primer ángulo coordenado, mientras ~ue para x E.:;; O son las coordenadas de lodos los puntos del tercer ángulo' coordenado (inclutdossus puntos frontera) las que satisfacen a 111 ecuación dada,
Funciones tm,plicitqS
x, se troza une J:ectuparalela al eje O»hasta <I.\1ese corte en el punto Bcon la bisectriz de los ángulos' coordenados primero y tercero. Delpunto B se traza una recta paralsln al eje 011 hb.st.aqua se corte con13gráfica de la función 1 (x) en el punto C, Si del punto_'CSe trazauña recta jl¡tra)el{1al eje Ox, el punió D de su ínterseocíén ooú larecta NN' será el de la gráñcn de la functén P (x) correspondiente alvalor tomado de ;¡¡.
N
d) 1 [tp (x).J: .~}nI (:ti)]¡ f) 1{f [l (i)l)~g) Ql [I¡) (:1;)].,37. Demostrar que es váInl{l la siguiente forma .de construtr la ,
gráfico. de la tuncign, oompuesta y = 11cp (.2:)1=.F .(~),valiéndosede las gráficllS' conocidos, d'e las' ~ciolles ccmponentes: y =1(;1) •.y. = IP (~). Del puntó A: de la 'gráfica ae la íuncíéa IP (x) .(véáse lafig. 4), el cual corresponde al valor-dado de 111 variable independiente
13s 1. N~ionelr eleUl81)t.aJessobre la íuacíén
I ·Fi'g. 5 '
es igU!il '1Cl 2; .1; 'l"ll~Í'daae~ de: M~o, ~~~peéti,valnente, El pesó de,tst¡gmentQ_A.M 'cti,y,n,lp'n]5it'4d ~~.ift-UÍllll ~i. es función ae x, ¿Paro. q.u,~.vaXores;.tie~ ~:;t'4:dWnida est¡t fi:ulcióñ.? P~eseÍ1iá.r su fQcma'l:Inalítlcay coiistrill':;u gráfica:'
4'-:.. Una torre Cisne In siguiente forma: Un cono circular rectotruncado C\lYosrndíos de base..son 2R (inferior) y R: (supetíor) ycuya altura es R, sostiene ün eílíndrc. de Tl!.di<! R y de .altura 2!i.Eijte V-!timo sostiene, a su vez, UDa semiesfera de radio R. Expresarel. área S" de 1(lI,s!:lcci6D: ,~ranÍ5v,e:rs~l·'de:'tl:a. torr.é' como .flulcj_6nHdeladistancia .v que"mc(lia entre .Jlt·:S;!lf,ic~Ói:t-,y,la 'biYse .iJiÍi(I:'iQT ',<í'e1Gp.D.!l.;,Ccnsrruir la gráficll de .Ia nrn'ci6n- 8;, "",,_t-(¡t). ,.
45, Una. esíéra do radio R: lltlf.'l\; iDscrit,ó 'Un 'cHindro. Hallar ladependencill funcioonl-ontl'e el yo~time_n'V del ,cUi!lcfro y. su al tura s:rnalca~ el dominio de, a~fjnicfó:ri, de esta. funoion·, •
46. 'Ullñ e$fe~~de rágr.Q _,R lleva ln~cl'Íto v-i} ~on~ r~~o.1f!!!U~.rjodependeucia .(\l.lÍcional e~tl'l'! .el 1\:1'\18. de, ~I.\ ,SuP.ll.rIióle lá.trra~,S~ delc?~o_y .su gf!Ml'a'tt~ :f::lndicI\5.el dominio .rl,é dj3fin-ición ae esta Iun-
'C:9.~I! los ,Eieq:i~¡qS,41"""'9riíl\llitl' JQs 4oPi~ji';~s~ defi~i,ci61L~Ó i~hincion~ "'lInO '(;'0 i.¡;¡,d.~o~l).;
1;3g
§ 2., P.I'opi¡eda.des"1xi~~elementá.lkS'de las! funciones-... .1. t .... I t, . ;i. • .' .D.Oin'¡~Í(! ,?c!(!~f.inlción!~c .la .f¡¿!}.ciÓl~
40~:Fotmac 'hj·tt~bl'aM'los valo:tes",da"la fnnción"de argumentoen'tet'o y I=.l..¡ ~llra':'i~x~I~:'¡' "" . '. .
l' -41. El valor de. 'la ftil)<;i6n de argumento ellte.ro 'u = «jl (n) es
igual 11 10 contidn<l de n~erQS prtmos 'no 'J'{l.Qyore!lq_l,l.Q n. Formarla tabla de los valores de u., para '1 ~. i~~ 20. ,
42. El valor. de la ji-uncj:6l1 .dIl' I).rgilw'ef!.l,O entero u = f (n) esigu¡¡,l al JI(l~ero de di:v~sQié's;,cñtero¡¡d~. árgúlllento distintos do 1y d.e la misma n. Forfllar 111ta}),!1l de,:los valores .tIe u, para 1 ~.:;:;; r~~ 20. ' l" I "-;. ,
4.3. ha figura 5' pre:;qnta tilla «bi\i>ra1>,'r,ormaqa por tres segmentoscuyas longitudes s¡}oJgual,es a.J; 2; 11J'pi:d~' .de longitud, y el peso
,1.0" ~,' I~ 'I ......~ •
AE!;l:.~~:i~;:;,.<r&\';>1hJ;;lilll:illl ¡¡.¡,;l:-...-- ~'----y---.J
,14
§ 2, 'Propiednlios m'!l.s-elementaJelS-de Ias J.unoloneS' 1'5
Carocteristicas qel compottCimient,o de [unciones2
52, f (x) =¿t.1:~;indicar 01 dnmínío de deflníctén de Ia funciónI.(x) y mostrar que dicJxa fúncíén es no negatíva. _
53. Hallar los Intervalos de signos constantes .Y la:; raíces de lafunción:
1) ií =-3x - 6¡ 2) y = xt = 5x+ 6; 3} y = 2'"-i;4) y =z3 - 3X2+ 2x¡ 5) y = I :z; l.5-4. ¿.Qu~ funciones de 19,$que se. dan a contlnuaclón -scn pares,
impares y q:ué funciones no son pares ni Impares?1) y = x' - 2#; 2) y.= $ - .Jt~; 3) y.= C9S x; 4.) y = 2";
z~ .,s'5) ¡¡:=x-T+w 6) y\=senx; 7) Y=S&ll~-Cost;
8} y=1_x2.; 9) y,=tgz; 10) y=2->;';B~+a_.-)¡ . QX_fl-X I %
11) Y=~j 12) y,;;=~; 13) Y'=""-1;14) .....+i·.5 4"'-1l' "Y=a"-rj 1 ) Y=:Z;'a,:t~t;
x-~¡J, " 1-~ ~16) .y=2 ; .1.7)y=ltt<~+.í:·'ss. Presentar' cada una de las siguienl,es ,tunc~one.s como suma
4ie una función }>81' y otra impar: I
1) y = z~ + 3x + 2; 2) .y = 1 --- :f' - Z4 _ 2.x~;. 3) y = sen 2!0+ cos ~+ tg-x.
56. DemostrAr' qua ((:¡¿) + j (-x), es ~n¡¡ ·~ul;lcj6n.pAr Y que1"(x) ~ t r-x) es tina Juneíón 1111par. . '. .
.57. Presentar las siguientes funciones como suma de una funciónllar y ot;l'a..impar: .
1) Y ~- a'<; 2) y == (4 +~)lQO (!i.éase el ejercícío .56).
49. ¿S.o~. ídéo~~cll;s las funciones'" 1 ~z1.) f(x)='7 y <p(x)=-;;;~) 1(x)=-;- y c:p(x)=Z¡
B) I (:n)= x y c:P ($)=~; 4) f (x)=19$2 Y cp (x) <=o2lg z?50. 'Pensar UD. eJemplo de la fun'ción dada en forma analítíca:1) definida sólo Ien el intervalo - 2 ~ x ~ 2;2) deílntda s610 en el intervalo - 2< Ir< 2 '1 no definida
para. x = Oj,,3) definida. para todos 'los valores reales. de z, a excepción dex=
= 2" ;¡; = 3" re ... 4.51. HallaeIosdomintos d.e definición de las ramas univocas de la
,función .y = cp (3:) dada mediante Ia ecuación:t)· y" - 1 + log~ ~x _ 1) = O; 2) !f - 2xy9 + z? - :c = O,
Cap. f. FI1-~o[ón16
o '64. Conocíeado la gráfica de 18 funci6n y ~ t (z) constnrtr la'gráfica de la funci'ón: .
i1) Y = If (x) I¡ 2) Y =z{1 f (%) 1+f (xll;3) y =tll I (x) l-t(.7;)1.
Fig, 7 o
x:
ti
Fig.6
!I
58. Demostcar., q,,!é al- producto 'da dos .funciones pares es unaIUncion,poor,el d~ uOs imj>orcses una funcIón par .y el de 1,IDll par Yotra i:mpa.r es una ímpar.;
59. ¿Q\lé1unciones dalas que sé dan a continuación son periódicas?1) °Y = sen!:l;¡ 2} y <= sen w; 3) y = 3). cos x;, t"·~ .
4), y .... sen -; ; d~) V = 1 i+ tg x; 6) y = .5;7) Ji =·[~1; 8} 'oV.·= x - [xl.' o.
(La función [;tl se define. as~: si x es un número entero, Iin~OllCe!!txl :=- :t. Si x no es numerO'·enJ60rq, [xl 95 igual al número entero máxil!lo'menor que x' 'Allí, s~ tiene (2) = 2; (3, 251 = 3; [_;'1,371 =... ,--'2·) " " ." - ' ., • 6U,'oOOlls~J:uir.Ia ·gráf19ado una funciÓnperíódloe, tal qúe IS.!-} período Sea T = i 'J que en' su intervalo semiabiertc LO. 1) sea dada me-diante la fórmula: 00
1) 11 = Xi 2) Y = Xi. ,61. Indicar Ios intervalos de crecimiento y decrecimiento -y los
íntérvaloa en -que las ~ul1cionesson constautés1) y = 11,X 1; 2) V == 1 3l I '0= x.62. Indicar los valores máximo y mfnimo de las funcionest) y = son' x; 2) y .... COS,Ji 3) y = 1 - sen x; 4) 'y = ~~.63~Mediante la adíctéa de gráficas construír lo gráfica de la
función y "" I (x) + q> (x):1) para 11.\9. gráficas presentadas BLl 111 Iig, 6;2J para las gráficas presentadas en la Hg. 7.
1,7
69. Cierta cant'idad de gas ocupé el volumen de 107 Gms ala temperatura 20°C; para una temperatura igual n 40" e el"volumen llegó8 sor jgual 8. H/l cm'. ,
11) Apllcando..la ley d'e'Gay-Lussac formar la:funci6n que expresela dependenci~ entre el v,olum;ell'V d,~1gas 'y la tenlp'erat\ll'o t.
b) ¿Cuál seCill. el volumen ,a O~q .10." A1.comenzar un punto su movíruíouto uniforme a-, Jo largo
do una recta, al cabo de 12 s aJcn~zl,l'un puntp que' dista +32,7 cmde un cierto punto de dicho recta, mtentras que al cabo der20' s 111distancia llegó a ser igual a +43,4 cm. Expresar la dlstancía s comoIuncién de) tieDlp'o t.
71. En. mi' é¡r~uito Ia tensí'ón .jo disruinuyendol'iinifofmemente(de acuerdo c'o:n la l\l~ Imeal). Al com.jiln'lo,tlel'expl}dmelW~ ,!¡¡"tensión era igual+a :~2V 'Y 81 final 'del mismo e.JtJlerímellt~,- que, .dur68 5, la tensión desoendfé hasta 6,,4 y..Expre~ar 1~ te~sión V comofunción del tíempo t JI coüsteutr ra gráfica de, ijsta ídncíón.
72. Hallar el incremento de la función Iíneal y'= 2x ~ 7 81pasar 111variable independiente:c d'eJ vÍilo¡;"%1.= 3 al de:i.) = 6.
3) z I y2,517,23.2 6,8
2) x Iy. 2 14,3-1.6 O
1) a:ly
°143 O
Pr¡,nci6n lineal
65. Senil 1" inteJtsjd~d de corriente I = 0,8 A y la tensión E == 2,4 V. Aplicando la ley' de Ohm, expresar analíticamente la dependencia entre la intens,idad de corriente y In tonsíón, Construirlo. gráfl¡;8 de la función ballada.
66. Un Vfl~Q de forrua cualquíera.conttene un líquido. A la grofundidad h = ~5.3 cm la prestón del,Hq,uidq es p = 18,4 gf/cm .
8) Formada función que exprese la dopendencia eutre la presión-y la profundidad:
h) determinar la preaién a la proíunrlidad de h. ;: 14,5 cm;e) ¿a ,qué. proíundíded la p~G5i.6nresultará igllal a 26,5 gf/cm2?67. Un cuerpo efectúa movimiento rectilíneo bajo la acción de
la fuerza F..,.ParLiend,o 9-1lla ley de Newton escribir la funcíén queexprese la dependencia entre la Inerza F y la aceleración lIJ, si sesabe que cuando el cuerpo se mueve experimentando una aceleracíén de 1.2m/s\ en su trayecto s = 15 m se realiza un trabajo.iguala A = 32 julios.
68. Determinnr la función lincal y = QIt+ b valíéudcse delos siguientes datos:
§ 3. Funciones más simples
Cap, .r,YlÍDei61ii8
81. Gonstrllir la gráíice, o indicar los intervalos de ceecimíento ydecrecimiento de lo íuncíén:
1) y = ~x~; 2) y = x~ - 1; 3) y = 1 xt - 1 1; 4) y = 1 _ .1-.:1;
5) !J = XZ - x + 1,; 6) y => x - x~; 7) y = l.x _.:rZ 1;8) y = 2x~ +3;,!) y = 2xg - 6x + 4; 10) y = _&;2 + 6x - 1;H) y = I - 3x: + 6.1:- i 1; t2), y = -:l; Ix l.82. Escribir en Iorma analítica la función unívoca definida en
el Intarval o (-00, 61, si so 'sabe que sU' gráDc¡\' CODs&n de los pnruosdel 'ejj:l O» cuyas al1scisas 'S!J~menores qua ,_3, de 1011'puntos' Be InPol'ábola que es si uiEStiica' respecto .al eje Oy 'Y' q uo RéIlJa-por los'PuÍltos: A (-3, O~.8 (O; 5), 'Y de los 'puntos del segmento eV,cuyosextremos son e (3, O)y D (6, 2), .
Functán. cuadrática
'ÚJ;, Hallar er Incremento de. T1l función Iíneel y = -3x + 1,COtt,!!Sp,ondienteal-jneremento de, la v.I!-Hableindependiente A~= 2,
74.,:La función 'Y ='2,5x -+~ ',tuvo el inciémento Óy = ~O,HIl,I}ai' e. il).!lrem~íltp'del, argume,nto, ' - "_ ,
:75.' Dados la función 'y=a.k::~y: el volor inicia'] de ~a variableíndependieute Xl = a, - b, -haklar el valor finito a;~ de la variableibdilpendieiite ;¡; ,;pil(:'a el cú~l el, arg1l!Dento Alr = a':b'
th, ;L'a Iuncién q¡ (~r'Viel1e dadaasí: <p ~.t)='4- a;+2 para-oC << ':¡;~?i <P (xi = 5 -~ .'Ptlra 2 ~.'I: <, +00: Hnllar" analíjtca,y g!,~[ic.nmen.~e;.,lallrafcea.de la eeuncíén <p (x) = 2:r; - 4.
77. Construir Jo. glláficll. de, ]1\ funcÍl?n:1) y = Ix +1 1 + I:t' - '1 l. 2) Y - 1 ro +1 t - I:¡; - 1 1;3) y = 1 x - 3 1 - 2 1 X +1 1 +2 1 x I - s: +1.78", ¿Para qué valores de ;¡; es válida 1~ desigualdad
If (x) + q; (x) I < 11 (x) 1 + I <P (x) 1,si f (x) = x - 3 y cp (x) = 4 - x?
79. ¿Para qué valores de x es válido In desigualdad
I f (x) - "P (x) I> It (:.c) 1- I (j) (x) l.sÍ' f (:t) = $ 'Y tp (x) ... x - 2?
80, La Iunción t (x) está definida así: ClI cada lino de Ios intervalos n~:t < n + 1, donde n es un número entero positivo, t (x)vacía Iínealmente, siendo 1(71) = -1, ¡(n+'{)=O. Construir ia'gráfica de esta función.
19
! l'
93. Un cono recto dado Ilsva inscrito'.uD'·Qif.i,ndJ:o,ae :man,eTO, qUQlos planos y,los centros de las bases circulares del'cifind~o "J 'da),coooeoínclden. ¿Cuél debe secIa teJaciQDdo 108.radíos 'd~ las bases 1Melltndeo y del CODO para qua la superlicie lateral del cílíndro se~ lamayor posible?
~g. 8
83: Hallar- el valor mÓJ\imode la Iuncién:f) y =~~~"+:;¡;-1; 2) y=; -:rJ - 3:z; +2;3) y = 5 - Z1; 4) y '= -~~ +-0:& - 0.2; 5) 11 = all:¡;- l?:z.'.84. Hallar el valor mínimo d¡all! f,unci6n:1) y =z" +4~-2; 2) /J=2it2-1,5x +0,6; 3) y== 1- 3x +6'r¡4) y = aY +a'; 5) y 0= (a:& +b) (a:¡; - 20). .85. Presentar el número a.como suma de dos sumandos tales que
su producto sea el mayor postble.86. Presentar el número a CQIl19 suma de dos números tales que
la 9p~a desus cuadrados sea la menor posible.87. Se debe-levantar una valla de madera aliado de un muro do
piedra para cercar nn terreno, rectangula«, La longitud tC).tal de dichavalla es igual n 8 m, ¿Cuál debe eer 111Jongíeud de la parte de paredparalela 01 muro para que la val1!! abarqueIa mayor área posible?'88. LO.suma de los lados de un .~ngulo dado de un triáng¡.l}o es
igual a 100 cm. ¿CuántO deben medir los lados para que el área deltriángulo sea la 'mayor pOSible?
89. ¿Cuál de los cilindros ouyo perímetro dado de la sección uio.les igual a P .= 100 om tiene la mayor área lateraL?
OO. ¿Cu1Í1de 105 conos cl1yoperímetro de la seccíón axial es igual~ P, tiene la ,m~yor áreó latera:l?
IH. Coasíderemcs 'UO s61ldocuya,forma es 11\(te un cilindro círeular recto y que tiene colocado encjm;¡ de él un CODe? (de la mismabase). El ángulo del vérlico del cono es Igual a 60·. El perImetro dela sección a.x.ial es igual 8 100 om. ¿Cuál debe ser el radio del cilindropan que su .superficie lateral sea la mayor postble?
92. Un triángulo iséseeles de base a y altura h lleva inscrito unYectángulo de la manera representada en la lig. 8. ¿Cuál debe ser laahura del tect$ugulo para que su superficie sea la mayor posible?
Ca1" r FIlQCi6020
caja de superficie lateral máxima. Hallan el lado de los cuadradoé.cortados.
99. Es necesaeíc fabricor un modelo del paralslepípedo recto debase cuadrada con un alambre q_u,emide 120 cm. ¿Cuiínto debe medir18 cara de la basé para que la superñcíe' totñl de1 patolelepípedo. seala mayor posil51e?
taO. Se debe cortar un alambre de Iongítud Q: el);(los partes. Unapart4t estará ~BSt,inada par,a hacer un cuadrado, lo. otra, para ~ trl~gi:Jl'o eq,uiJátel'~)¡ ¿De q:ue ¡mllnerll: debe ser ocrtado-el' 1I1:!lmbl'e pura'qué la SÚJ1lR'de las'beas 'dé'líl.s·figuras obtenidas sea lli 'menor po~jb}ij?- 1,Qt,. En. la reota y = :t hallar' un' puntó tal que la suma de loscuadrados de la dístancta que 'media entré éste y los puntos (-a, O),(a, O),'''9 (Ó, b) 'sea la menor' posible. '
102. En la recta 11 .... :t +2'hallat'uo punto '!;al quaIs suma delos cuadrados de' la distancia que media entre és~e' y las rect¡¡1t 3x -- 41! + 8 = O y 3.:z: - 11 - 1 = O sea la menor posible.
Fig. 10Flg.9
94: Sell',dado 'ÜJ;l. cono Jiecto circular cuyo 'radio de base es igualn R ?J' su. 111tur11, ,N, J:¡lev,a inscrito un cilindro do manera qua lo:!plt\nofi y los centro8,.4_~ljls, bases circulares del oono ':y~del éil¡ndrpIloinc¡d.~n. tOuál,debe~ser el .raijio dsl-cíltndro para que la superñcístotal d~l mismo sea la 'tt1á,yQt po~H)]e? Cónsillerar los casos H >2RyI! ~ 2R. . .. ,"~ , "
9;>.'¿Cuál debe ser"elll'a:dio de un círculo paro. que el se,cto\' .cuyoperí'IXI,etroea igual a un número-dado P tenga la mayoe sUlledio1eposible? ' i" ', 96. Una vsntana de forma r8ctaqgu!ar está rematada en la parte
'superior· por Un trfáugu'lo ~quilátero. El pecímetro de la ventana esjgttal a PO. ¿Cu{(Jdebeser la base Q, del rMt,ángyI9, para (l\1.ll1,aven~anaíeo'gil la mayor sunetfitlie posible?
97. Uua ventana de fo~a .re<ltal)~ular e:stó rema_tBd:aen la parte •superior por un semícírculo. ¿C\Iá]. debe ser loa bass del rectángulopara qu~ la ventana tenga la mayor superficie siendo el perímetroigual a 2 m?
98. De UI1" <lartón.de tonna rectangular de düaenaiones 30 XX 50 cm' se deben corter cuadrados .de,manern que doblando In hojan lo largo de LIISIíneas punteadas (v'énse la fig. 9) se obtenga una
2t§ 3"FliñciODOS más simples
Ptm¡;ión. hcmográfica109. Aplicando. la ley de Bolle y Marrotpe, hallar la función que
exprese la dependencia en!re el VOhuIlOO dsl gas ~ lapresién a. t.== const Si es sñb'ido, que a la p~eslon 760 mm Hir el volumen delgaaes igual a 2',3/, EJibuJal' Ia gró.fiól! .de e~ta'Wnción.
110. La varin.blc'~ es Inversamente peoporcíoaal a y; y ,es inVersamente propcrcíonal a Z; Z:, a !¡U vez, es Ü).l¡ersa.mlll;l~q 'pfoPQr'cip'rt'al a,(l.'. ¿Q.tI~ dep,ep.d.en<;i)texist~ entre- ~ 11 II?~ u ,
toO. I¡~ vaJ'í,l,I'»l~.a;lBS i'nvétsa.m~J'l~e·,pr9P'Or,<c~ona:k!).~y; y, ,ªs:~irec~tamente propoectonal fl a, 3 es 'dü'ec:tame)lte P.l'o.p9.r<¡ípnal.a, I.l'\, quees a su vez inv~rsar_nei)te. propofcjon'al fÍ ,i?.,,¿.Ql.!~.,depe'tlªeJ;l'(;Í~fe,xisteentré x y v~ , - , . . - ," , . " ..
U2.1)u,!:unté in eLcé,tr6li$is"1a"c'!!)t,¡4~d;a~'~~!lucia que ~e des;prende en e]i.elect):od'o es d,irectaOle~tel pr,.qporóionlll.,a hi i;llt'~J1j!ia!!d,46 corriente: é$t~ es proporcional a 1;'(;«~!l4Íl(ltihnjd~:4del e'l-ec,~¡~~itó¡esta. ,úl~ima 'ils proporcional -a la, cOQceD'Llia~i6nidel,'e1ectt6n~o;:;~.Ql¡ldllciertn cantidad.' da sustanela, la CóJlcellt.r~ci§.O:¡!ls ¡nversa,rnento ipf9cporcícnal aci volumen del 50.1vente, ,o!.Q.ué.d"e,pen'dWieia,existe entre laeanttdadde .sUlj~~n.l{ia,i.iesPNtr,ül4~,eri,~'f'~le~tr.o.itQ,~j"eJvó.luJij~p dlllsolvente?
fOB. ];;¡ª-,corriel1te,eléctrica, J se ,distribuye yo.r.dos ramas deresis,tencia,s r1y'.,.~,{véasl:lla !ig" ~,O).Mostl:~rque ,tá,sipérdídas menores der!! e,D'e,rgíll '¡jlll{esada iP,a:ra"calentar el cónductor en-Ia unidad de tiempo. corresponden a una distrib,tlcj{w dQ Jas '()orti~ntes :inver5a'm~,ntepgo.pbr~io.M,' U'hlS 're~iS~l!n'éj'as'de. Ias: !I'~nli!s: (Partir de Ia ley: lacantidad de calor desprendida es Q = 0;24 .JsRt,)
10~. Tr1izfri'.la parábQla,y = :¡;'l y_, v:aUéndo.se,de.e1IIl, rqsQ.lv,ergrá-f.íca~e,nre las sigú:ieD;té$ ecuactenes: "
1) ;c2 - x ........'2,25 '= O; 2) 2~ - 3;1:- 5 = Q; 3) 3,1x2 -..._ '14w +5;,8 = O;9) 4X2 - 12x +,9 = 0.; 5) 3X2 - 8x +7 =O.
105. La Iuncíón q> (x) viene dada asbp (x)={-z- {-para -00<<x~~; q¡ (x).= 1 +x para ~ ~x -e +oo. Analátíca Y gráfioáÚ!i!-hte hallar- todas las raíces r.eales de Ia ecuación Icp (~W "'?= 7x +25.
i06. Señalar el dominio de definición de la Iuncióny = Ig. (a;¡:9 + bx +e).
107. Hallar f (x +1), dada la función t ($ - 1) = 2X2 - 3x +ilÓS", Mostrar que la funci6n f Lx) .~t:::'::a~·t~J!la cualquíer
valor- real st O<c~ f.
Cap: 1, Funcj6n'
s= ~ (véase la fig, 11) $9 hallan en la proporción ~=::!, los tra-... %"2 z,
peci.<iS rectilíneos M ¡M2N2Nt y,' }.![aM~N~Ns SOJ;l,equivalentes;2) si los puntos M¡.y M~,partenecél) !I JI! l{ráfica de la fU,ncian
y =~ (la ng. 12)" las .ársas de las fj~ul'aJ! A1Jl,f.1M:,4,2 y B11WrMdJs50n equivalentes entre ~L
t16. Construir' 'in gráfic'B de la funci6n'!/ =g:2+.1, 'mediante la ,'"adicIón gráfica.
F.ig. 12
:r
Fig, -ti
'H 3. Construtr la: g'l'áij~:.::d~la' i!.lQciój! hP.mográflcl!:1) '. ,;,;-1 2) ,', 2~" 3)' ·2~::::5'. :.,1\=";:::]1;' I l'(=:~ i '_·&:'=3,..;_'7.5;'·'J.)' Z '5) 4-3z , .... y=-, '-1-;' ,y '0= 3':""'2 25,2"
'I-]"z .,
H~. Síguieudo la gt~ca l!a]')1i~lDS valores máxtmo y mínimo.de Ia funcíQRhomo_gl'áf,iQa. é~ el intervalo .i.n:aiéaUo:
1) Y=;~1'1,.5'J; '2) iJ~,~5,l-'1, ~l;1-", "
3) y= '1+17 [0, ,:(ol.115. Demostrar: 1) ::;1las abscisas de 1.05 'cuatro .PIlJl\DS M¡(XI;
111),M: (::r~;Y~), M'3 '(xs. Ys), J1!fA (~4; y,) de la gl'á'ficl1 dé la función
23I
'§ .3,o,Funciones más simples
B'u,n,q tón potenctal.
124. Construir ]I!, gráfi¿~ de)il función:- .{ "~. '1 _,' .,~ .... '." 3-.....·'1.) .y=.':'¡jX'; 2) Y=.-2''''; vJ 1/.=;¡;-=r "";
• <l4). y=$3_:~+1; 5) IJ = -#+2jl;; ...,....~;:6)..JI~2z2;
5' •
7) ,y=-}xi'a ~ y:;.3{J.3;; 9) y=:tJ'J.,I; H» y,;:=.;¡¡o;92;
11) y =+%-o,~; .12) y::;:: 5/l)~z,~.;~3>.y=d - VJ % ¡:.125. Hallar gráficament~ los valores aprexímados de. las .raíces
reales !le la ecuación a:+3 = 4 ,vii.
. .H7. Hallar la fu.nci6n ~n:vpsa .a la .a~~:i) y=:I'; 2) y=~x; 3) y=1-;3x;I4)/y=:¡;.2+1;5), y =.!. ; ({j)-,y =~ ;(75i Y= :t~-""~i 8) y'::".~ ;¡;z+1;." \:? ,J.-x ~lj
~))y=10"·f;·10) V=1+'¡g(x+2); 1'1) !/=logx2; ., . 2-" . . . -iOx-iO-x .
12) Y=r,:¡:;]'X; 13) .y= 1OX+1O:-x +.1; 14)1 y.",..,2sen3x;
'15)Y",,1+2se<¡!i 16) y=4arcsenV~.118. Demostrar que' iá lunci6n inversa a la función homogréñca
y=~:¡~ (considerando q_ue ad-bc=FO) es también homográfica.U9. ¿C~áldebeser la condición para que la función homográfjca
del ejercicio 118.co~ncida con su. jnversa?120. MosJ.rar que sU (/1:) = yra - z", x > O. se tiene 1 1I (.;).J =
= x. Hallar la Iuncién inversa a la t (x).. .121. ¿Ouál es la caracteríetioa de la gráfica de la función Idéntica
a su inversa?i22. La función 11de x viene dada por la ecuación y~ - 1 +
.+logl!; (x - 1,)= O. HalT.arel domínto de d'~ijnjQióD de la Iuncíéndada y escribir la función inversa a la. dada.
123. La funcióu y. de x viene dada .Oledillbte la ecuación y~ ++sens x - y + 2 =' O. Hallar' la] función inversa a la dada.
Funcién. inversa
§ '4. Función InversaFunciones potencíat, exponencíaly logarítmica
24
Punciones exponenctai 'e hiperbólicas129. Construir la gráfica de la, 'función:f) y= --2~~ 2) y= 2"'+3; 8) y=~.3"¡
') 1-3"'-a .' 5) (.!.) ''''(. 6) 1'>4.q, y= , r: 2 ' !I.=f.' .130. Valiéndose de la gráfica de la Iuncíéu u > 2'" y sin recurríe
a otros cálculos, construir la gráfica de la flmci6n:1:! 1 =:;;11) U=2"-t; 2) Y'=12·22; 3) 1/=3,2 1I +1.
131. La gráfica de la función y :: a'" os 1mB llnea. Mostrar queIa gráfica de la fl,lAcióu (/ = k· 0," (~">' 6¡ es la misma línea pero,desplazada paralelamente al eje de coordenadas.
132. Mediante la adición gráficl,l construir la gráfica de le. fun-"ci6n:
i) y = ~ +2"; 2) y =xl - 2~.iSS. Resolver gráficamenté la -eeuacíén 2" - 2x =O.134. Construir la figura limitada por las Hneas y = 2". y,..
= t-;", Y :z: = a, Hallar por la gráfioa y de manera aproximada lascoordenadas de los puntos de intersección de las lineas indicadas.
18.t¡. ll~l1ar el mayor Valor posible de '1 para el cual ,2"> 1)/'para todas las x ~ 100 (11 'es un' entero).~ 134). Demostrar' que y = sh s e y = tJi· x son funcíones Impares,mientras y = ch:¡: es una función. par. ¿Son estas funciones peri6-dic8s?
1'26·. Dibujar la parábola cúbica y = :r:' y utilizarJá. para resol-ver, gráficamente las. ecuaciones: ' ~
1) ·rt' +x'~ 4,=(0; 2) -:i?,.... 3z2 ~ x +3 = O; ,. , 8) :r:' -+ 6xz +',~x--;!',4 = O; 4.), ;¡;8 +3x' :t,6,x t 4 t;::l~.
127:.' pe acuerdo con la -9~ildic(óndj¡,da,formar la e'cuac~6ny 1'8501-verla gráficamente! ",
-1)"¿El cuadrado ,de qué número es igual. al,mismo número sumadoa su valor inverso?
2) Ún. globo de madera cuyo radio mide 10 cm y .cuya _densidades igual a 0,8 g1cros, Ilota s.obrida superíícíe delxgna. Hallar la-altura, del segmento bun9iAd.., ' . _
3).'Un cubo y-úna ,pir"ámide<i~ b,aS,ecuadmda, ambcsde medera,'pesan junt6s 0,8 kgf. La'arista del,:cupo as 'igiial al-Iade.deIa base.de la pirámjde. La altura, de 18:'pirá)ll.Íde mIc~e,45cm. Hallar ia a:ristadel cubo. El peso éspecíñco de' la 'roMera ,es'igu~l a Q.8 gf/cm'.
128. Sea dada la runci6n y = z", x >O. ¿Para qué valores da xeste. funci6n. tiene valores mayores que, los de la, función ·inversa ypara qué valores de s: tiene valores ml!nol'es?
§ ;'l. Ftu!cioDOS po14noih1,esponencíel y log8l'itmica· 21)
:G1,"c¡one~trigonométrtcas143. Indicar la amplitud y e)"p;~rrod9'de-,la armólJt~:1) l/=sen3~; í) y=5cos2:&; 3) y=heM1Xj') 2 '" 5) 3'= " 6)" 3 5;<t y= seD-r;' y=sen'4; 1/= senT'
§ 5. Funciones trigonométricas.-y funciones trigonométricasinversas
Funct6n ~g41'itmica
138. Construir la gráfica. de la función:r 10,
1) U= -loge:t; ,2)y = 19""t; 3) .y = !Jg.x 1:4) y,=log21z1; 5) !/=11-lg(x+2); 6) y=log~li-xl;q) y= 1110114:'<; 8) y = log"2'.139. Vnl'iéndosB 'de la ,gráfica de la [unción y = 19 X, construlr la
gráfica da la fUllcióó:
1) y=}lg(:t+1); 2) y",,·2Ig(:ttl).
140. Sea dada la Iuucién y = x +19l.. Mediante la adición%
gráfica construir la grMiclII de la fUDci'ón dada y por in gráfica hallarel valor mínimo de dicha función en el semítntervalo (O, .2¡.
141. Móstrar' que la gráfica (le la f'unción.y .e:. Iog, (x +Y x~+ 1)es simétrica respecto al erigen de coordenadas. Hallar la' funcióninversa. . .
l42. peOlosttar que la ordenada de la grillca de In funcióny = loga x.eS igWl~.~·su correspondiente de la gráfica de' la funciónU = logan x multiplicada p'or Il.
137. Demostrar 18:validez: de ]>asslguíentes igualdades:1) ob' X - 5h':z; = t: 2) chu x + sh~ x = eh 2x; "3) 2 sh s-ch z = sh 2x; 4) ah (~ ± ~)= sh n-ch ~± sh ~ eh e:
S) ch(~±ll)=chee-ch ~± s~~·sh ~j 6) 1- Lh2x= cb~~;i
7) 1 - ot1l2j;=- S'i\i% .
'Cap. 1. Fuoei6026
." t44. tridi.c.al' 'lb, !JmpHt~a,_el, ,PériodQ, la .frecuencia 'y la Iase'ipj'cial de la arménica: '
1) y=2sen(3¡¡;+~1; ~) .11= _oosx-;i;. 1 . _. . l.." :1,.')' . 21+3
3) Y='rsen'2;r\ro-6", .;,4) ..y==seIl 1m •
.l~. Con')¡tru.ir,'!~'gr:f!ic;L de J.a:funci6n.:1) y= -sen;;; 2) y=1";"'880':¡;'; 3) y=1""'"-cos'z;
4-) s= sen 2.z; 5) V =.881)'¡'; 6) iJ= -2,sen f ¡7) y=cos,2X; $) y=2seo (.$- ~);9) y=2sen(3.z+S:); 10) Y=*56n(211x-1,2);
(1I,z Ir ) . x-te11) y=2+25eo T+ ~ ; 12)y=2cos-a-;
13) y=lsenxli 14) Y=lcosrl; 15) u=ltg.r.l;16) 'y=Ictg a¡1; 17) y = seox:· 1-8) 11"" cosece,
{
Cosa; para _1I~.X~O'19) y= 1. _"_ 0<%.< 1•
..!.. _"_ 1~z~2.:r.
146. Los lados de un triáng.~lo miden i cm y 2 cm, respectivamente. Construir la ,gráfica oel,'6i'ea«iel.tr¡~gulo cemo funoíón delángulo z comprendido entre dichos lados. Hallar el domínro dedefinició,n d,e esta función, "'J el valor del argumento 3: para el cualel área del' triángulo sea máxima.
147. Un punto efeQtúa movímiento üníforme a lo largo de unacírcuníerencia de .t:í!dlo R, con velocidad Itueal v cm/s, tsníendo pó;rcentro el origen de coordeáadas y en el sentido contrario al dé lasagujas del reloj. En el momento Iníoial Ia abscisa de dicho puntoe~a~a.Formar 18. ecuación de I~ oscilación arménica de la abscisa delpunto. .
'148. Un punto efectúa. movimíerttovuníforme !l lo larg9 do lacircnnferencía x~ +- y2 = 1. Én el momento to su ordenada era 110'en. el momento t1, Yl. Hallar la dependencia entre la or(jeul,lda delpunto y el tiempo, hallar tambiéñ el período y la fase íníeíal ele laoscílacíón. ., 14.9,La fig. 1·3muestra un mecanismo de manivela. El volante
(ísde radio R, la 'bIela·es de,l'ong~tüd'a. El volante gil'a uníformemente en el sentido, de Iasagujas-del reloj dando;7l>vuéltá¡¡ en 'UQ segundo.·EI,} el 'momento t=lO en el que 'la biela' y lo, manivela formarenuna mísma recta (po¡¡~ci6Jldel, punto muerto),' la cruceta (A) ocupó
§ '5. Funcionas ~r¡g9noméiric¡¡s
150. Mediante la adición gráfica. construir 111 gl'iÍ.íica de IIi fuución:
1.) Y= sell.x+cesx; 2) y == sen 2n:t+sen3te:t;3) y=2sen~+3sent: 4) !I¡=,x+sellx¡, '
~) y.=ll-seu.;¡;¡ 6) !I = - 2" + cos xo.151. Resolver g_táfí<.';Ilmente 1(1 ecuación:1J x :;:: 2 sen X; 2) s: = tg z; 3.) a; - cos :c=O;4) 4 <len x = 4 -~; 5) ~~ = cos z.t52. Hallar el período de In armónica compuesta:1.) y = 2 sen 31&+3 sen 2;¡;; Q) Ir = sen f +cos 2t;
lit m3) y'=senT+senT;'
4} y ""sen (2nt+ ~ ) +2sén (3nt+ ~ )+3 sen 5m.153. 'Presentat: en. forma de una armónica simple: ,
1) y>=sQnz+cos:1IJ; 2) y=senx+" '2sen, (~t+.:).
15~ CQmpl'obat.elsíguiente procedimiento grÍ\fiCó dé la a(no~ón de. lasoscilaéion~ ..armQWca's. Sean, dadaslas c8rmó.M<¡as " , .Al.,sen (0>:( +q1i):y42·sen (úfX;+'lPi)':
., . T!,llcem9s lés. v~ctores AJ ·i..A~·C'l\'YQS, .m édulos son:A... y A i' .respecttvamente, {orinando lo:¡-,állgl!los !jll Y:.<P.t'conel ejé l~oti~,ontal (véase la. fig ..H),
Pig. t4 Efeet.uail.do:.la, adicilln de: los' ....ecto-, .' '_ réS.,.Ál..,jr A'z',,)htéñdremós e¡'·v~ytol'.A
de ;qIódulo A. [nclínádo ..hilcia·el,ejobori~óDta)en'lln angulo cp. ·La,.4.Y !jiserán la amplitud y le. lasé 'inicial' qe·la s\Ul1a,~respectivamente
Al sen' ((¡)x +q>¡). +fA ¡ sen (~z. *:<Pí) ='.4' ~en (alx + q».
Fig. 13
el punto O. Hallnr.la dependencia entre el dasplasamianto :t de lacruceta (A) y el tiempo t. '
C~P. '1. l"!lnci9D.28
Funciones trigonométricas in.pers98,. ~ t. : ..-..c ~-1'57.. ConsLruÍi' la gráficn de la función: '
, ,', % •'1) y=Oycctgx; 2) 1I=2nfcsen'2i 3) g=i+aretg2x;
~ . 1-.:1:4) Y"=;T-arocos2%; 5) y=arcsen4.158. Un se~tpr ciiGu]ar de ángulo central o:. se arrolla engendran
do/ un cono. Hallar la depandencíá entre el, ángulo w en el vérticede cli,ého cono y el á'ngula 0:.., y ~co'nstr\l'í:rla,gráfión,159, Un cuadro de' o)tl.mi a cubIlla de lapared de modoJncltnado,
iormandose un ángúlo diedro Ip entre la pared y al cuadro. Un 'observador gUl! se enc~Snita' {renfe a la pared, a la distancia l. ve el bordeIníeríor del cuadro por encima' de, la' altura .de su vista (la díferencínes igual .a q). Hallar la dependencia entre el ángulo, 'V (fotmlldo entréla' vista del observador y el cuadro) y el áng-qlo <p.
160', Indicar la depeadencía.entre, el ángulo' <p de la vuelta queda la manivela (véase el eje~cjcj'o149) y el desplazamiento x do lecruceta.
161. Hallar el intervalo en que varia ;¡; para el cual S'6a válidala identidad:
, n ,í- y- n1) arcs6Ilx+arecoS;¡;=Ti' 2) arcsen y x+arccos" x=T:
3) arccosV1-xZ=arcsenxi 4) arccosV1-r=.-arcsenx;1 . 15) arctgx=a.rcctg-;; 6) arctgx=ar!lCtg-;--n;
i-zI!. el '1_",27) arccos t +",2 =~arctg.t; 8) aceces l+~ = - 2 arctg.:t;
'9) arctg % +arctg = arctg ~::: ;
10) arcLgx+arctg1-n+a~ctg !:::.162, Vulié,nd,ose de las Identidades ,deL,eiercic,lb i~t, hal lar el
dominio de definici6n y construír.Ia grá!i.ca de lo {unción:t) v=arcqosy1.-.r; 2) y=a.rcsenVi-.x+aTC..<>enyzi
1-",3 ,1. ,3) y=arccos 1+:tZ ; 4,) y=arctg.:r:-nrcctgz'
.i{í5J"'..Indícer' e], po[íodo··tt~ la función- y. 'construir 'su gráfica:"",' 'i (lsen:'1 sen.:!:)'
1) v='lsonzl+lcoszli, 2) Y='2 co;-;-+ I<:oul e
156. ij:&llar el-dominio de'demici6n y explicar el aspecto do 1,8gráfica de la íuncíén:
1) y= 19son~J<2)y= Y'li{se~:t; 3) y= V1g I'~!-"'I ¡.
29§ á. ~clonQ~ tr.,igonolDé;ricas
t67. Trazar ]'a gráfica de Ia función y =x9 +2xe - 4:1:+7 enel intervalo cerrado L-4,21 tomando los valores de x con in~er\rol()de 0,2. En el eje de ordenadas elegi~ la escala 20 veces menor quela del eje de J!I~ abscisas. HA'Uar los :yulotes m,á~imo y. mínimo de lafUD_cí611en el Intervalo cerrado [-'3, ~ de acúardo n.Ia gl'6.fiC;i. ¿Enqué punto pasa la :lllnci6R del crecimiento: al d.eOl:ec.imiéIlto? Hallarlo raíz de la funQióli en el intervalo ce.r.l'QdQt-4, 2]. La. exactituddel cálculo debe ser 0",i.· "
168. Al e5tlldil!r las leyes de di~peFs~ón .de l.u IDctl'Il1JIl (en lateoría ballstica de} tir.o) Os necesaoío construle la gráficl¡.de la función y = eA CD~Q "'; e ~ 2,718. ~lectu.iil' esta oparaoién p',ara A = 2,dende a ct, los valores .desds O'ha-s\a.9Q°-eon intérv,!I>lo(le 5°. El cálculo dehe ser .efectuado .con. exs'ctitud hasta.O,OJ.. 169. Seap ,dados, tras puntos, //1,1 (.1; 8;) M~ (5·; 6); M~ (9; 3).'trazar la pnrñbola y = q;¡;~ +bx+c que atraviese estos tres .111m:'to.s. tralla!' las raíces de la íuncíén a:r;9 +b» +c. La exactitud delcáfculo debe ser O,OL
170, Una lámina de hojalata de 30 X, 30 cm~ ha do servil' parafabric¡¡'r una caja de 1600 cm1.'docapacidad, recortando de ella cuadrados iguales. ¿Cuánto debe medir ello·do x de cada cuadrado cortado? La Bxact:ltud del cálculo debe ser 0,0'1.
171. Comprobar lo síguienter l!i, (}!:l'_ 111 eCl\áci6n :1;;1. + p,a:B ++ ya; ::r s = O ponernos x~ = y, d'i91~~c,6'uaC'iónserá sustítuida por-el sistema ,'_ .
~:. {" . . :r;2=y,, (y ~ Yo)Z4;' (:1; _; ~o)~i=·r.
d· a 1-'P q 2 ;,.,~ -"- '.'OD e y~=~ t +'9~~'~2 Y r ;=·I{o:r~ e,-S'-
Vnl4é'ndose tre este procedhníénto, ~j!so\'vet!gl.'áficBmlínte l¡(ecuación ?(I - 3xn - !3.i: ....:. 29=O: Mi exactitud'" 'del cá'lculd! (lsbeser 0,:1. " , .
:172*. Utilizando el procedímíentn del ejeré~cle 111 demostrar ]0slguíente: al efeQtlla~' u.n. C}ÓDibio'conípler.llen.t!lri'ci (te 18/ Víü'¡h,ble
§ 6. Problemas de cálculo
163*. Construir la gráfica dé 1!Ii función y = arcsen '(sen ¡¡:).Demostrar que 11){unCiÓ11 4t~t~a.d!l es períódíoa ,Yhallar su período.
16ft. Construir la gr~1icl\'ere ~a fiinctén y = arccos (cos x).165. Construtr' la, g~!Uic8,de la iU1\(\~6n.y = ,31'ctg (tg :¡¡).1,66. Construir 111¡rráfiea .de la función:1) y = :¡; - arctg- (tg x); 2) 'V =$ - arcsen (sen.':!;);~) y =;& arcsen (sen x); 4) y = arccos ('CO.8 .:t) .". aresen (sen z),
_Cap; '1, F,uDci6~ .:so
• Se admite aquí que si p (<p) <O.en el corrcapcndlentc r~yo no existe eJ.punto tic la gráfica.
z =~. +Ct, las raíces leales de l~ ecuación de cuarto grado r' ++aw +bx~+cx +. d "'"'Opueden ser halladas gráficamentj! sncontrando los puntos, de''Íotérsec~i.6p- de una cierta clrC\lUférenciil' COI:\Ia ptirábola y == 1I;~.
Viiliéndose de este fl:o'Ced¡n]iel:l.~OresolvlJl; gl'rUicam!ljlte .!'n ecuación ~ + 1,2.x8 - 22x - 8.91&+ '31 = O. 'T_a exactitud 'del cálculo debe ser 0,1..
173; Rallar gráiicaroente las raíces do la ecuación eX .ssn s: = t.e ~ 2, 718, comprendidas entre O·y 10.. Indicar In fórmula generasaproximada para los valores de las raíces restantes. La exactitu<!del cálculo ha de ser O,Oi.
J74. Resolver ¡gráficamente el 'sistema::¡:+y2=i; 16x~+y=·4.
La exactitud del cálculo ha de ser '0,01.175. Construir la. gl'rifica de la run~ión ·(en e] sistema de coorda
nadas polares) Rara los valores del ángulo polar q> con el poso igulit:a n/12. .).
t) P = ac¡> (espiral do Arquímedes); 2) p = oJt.p [espiral híperbó-,-Iíca}; 3) p = ~ (e ~ 2,718) (espíml Iogartimtce): 4) p == a s-en3tp(rosa de tres pétalos); 5) p = ti cos 2cp(rolla do dos pétalos); ..6) p = a (1. - coscp) (cerdioide). '
Efectuar los cálculos CO(l exactitud hasta 0,01. Conviene clc.gi-rcualquien Constante a> .0.
31§ 6. Problemas de cálculo
Eallal: lím vft.. ¿Cuál dehe ser el valoJ: de n para que e1 valor abso-'T\-CD " +
Juto de la diferencia entre 'Vn y su límite no sea mayor que 0;001?¿To~a fa flUrci6n VI' el. valor de su R~ojlip límite?. . t 5'18U. El ~.~rminogeneral un, de. la: suooJión Uf =2"' .u:~="4 '7 t7 . ·2n~1;.'u,~ 1f' U4~ T6 l' ••• tiene la forma. ~. si n es U¡'L nümero
"n+f',j¡l1pñr~y ~ 2" sl'·n. es un número pat.
nltcos-2,O" .;; ,un='---n- ;
Hallar Uro Un. ¿Qué valoe debe tener n. para qu'e la·diÉere.ncia<>_co
-sntre un ~ su limite sea menor que un número dado positiv.o 811.78. Demostrar que Un= :+~tiende a 1, al crecer n: en forma
liruite.iJ,n.¿Apartir de qué valor de n: el valor nbsoluto de la diíerenda entre Un Y 1 no es,mayor que 1O-4?
179. La íunctén. vn toma los valores;Jt. Sn
cos'T C051< , cosTu"=--l-'-; v2=!-2-~ v"·=--s-;
Funciones de argumento entero176. La función de arguménto entero toma los valores
u, = 0,9; Ui = 0,99; Us = 0,999; ... ,. ú", = 0,999 . , . 9;~
n reees¿Pi. qué es Igual Iím U1l? ¿Quévalor debe tener n para qne el valor
7\,"'~ -absoluto de Ia díferenóia éntre Un ysu límite no sea mo,yol'que O,0001?
177. La función un toma los valores1 i ·1
¡'f= 1., U2=4"; !La=g:; .,,; u"= -¡¡z; ."
§ 1. Definiciones principales
Límite. continuidad
Capítulo U
187. Demostrar el teorema; si las sucesiones IJ." 1': •. , .• un, ' '.'... y 11" u~, _ , ., Vn•... tienden al mismo Jimite común /1, la 5UCc'·si6n U,• v•. "t, 'Ii" ••• , U". Vn •••• tiende al mísmo límite.
188. Demostrar el teorema: si la sucesi6n It.. "h .. " u", ...tiende al Jlmíte a, cualquier subsucesíén su Y" (por elemplo, "l'!l•• U, . , ,) tíende al mismo lími'te.
189. La sucesión l¿l' Ut •... , n,. •... Lion.opor Iímite a ,-pO.Demostrne que 11)1\un":=,1. ¿Qtlé Sil puede decie sobre este Iimi-~-~ . ~te !Oi a =O? (CitlU' ~jeJUplos.).;l-0176
1) ltll '=nsen "; ;
donde 1)1, es un entero positivo. Hallae hm ti".jo~-~~
'184. Demostrar que lo sucesión 11>, = 1 + (_i)n no tiene límitecuando n. crece inliuitamente.
185. Demostrar qUB al..crecer n infinitamente la sucesién Un z,.
2A+( -2)" . . ,. . 2n+(-2)":lit no tleue !ten le, y la sucesión vn= 3" sí Jotiene. cA qué es igual éste?
186. ¿Tiene límite la sígutente sucesión:IIl'I
2) i¿n= se~: (n> 'l)?
m (",-J) (111-2) 1(m-(n-1)J. '. V'l= i .2·3 n. •••• ,
m(m-1)(m-2)lJa= 1.2.3 , ... ,
,n (".-1)1·2
Hallar Iim u".: ¿GulUdebe serelvalor de Il fata que in diferenciaentto 'IJ.~ y"ci"'v,alprabsoluto de su'límite 110 sea ,m~yo:r que W_"j que'un n.í!lnet:od~aó p.ositivo "e~ : '_ -. ., ~
181 D t 1 ., 4nZ+.t 1 "" . 1", '. emos rs,J,' 'que a sucesron n" = 3f1.~+1 ,a crecer ". m 1-I - ) • 4 l"nltahients, t¡e.Qd~ál limite igual a '3 crecíendo de modo monótono,
lA pv.rlir .de qué valor de n, la roagóitud f-u." no eS mayor queun número dado positivo fl,~
182. Demostrar que Un=~. ''tieIÍe por límite i. al crecer Il,infinitamente. ¿A partir de qué valor da ~ 'la rnagnítud 11-lIri Ino 8R mayol' que un número dado positivo' e?¿Qué ,oarácter_t!~nela vcrlable 11>n? ¿,Es.crecíeate o decrecíentej. 183. La funci6n' Vn toma los valores de cocñctentes b,inomjales:
33(S ,t. Defibicloñl!S.,prllie[pales
.l't11l.gni.ludes tnlmua«196. La Iunoién nn toma los valores
ll-) = 3. l~~= 5, l./;a = 7, ... , Un = 2n +t, "'Demostrb:r que ' Un es una magnitup. in~hli'tament6 grande 'clland~'n ~ ee , ¿A partir de qué valor de 1I la magnitud ·tl.n se hace roayoi:.que N? - ",'!.
197. Demostrae que el térml.no general Un de cualquier ]lrogre!!,iÓñLlI·¡tmét.iclI f$, 'una m~gnit;ud f(Ü.inHnlIÍ'e,ote gr(lnd~ cuando n',-;. oo.(<.Cuándo es positivo? ¿Negativa?) ¿'Es vállda esta asercién en elcaso de cünlquier' progresión geom6trics,_?j 98. Cuando :e -TO tenemos: y =I~2z -+ oo. ¿Qué condiciones
debe sa'ti'sfaccr' x para que s~ "el'ifique l~ desigualdad 'j y 1> 1_{)..4,?
§ 2, Magnítudes infinitas.Criterios de existencia del límite
Punciones dé argumento continuo
190. Sea y = x'. Cuaado ;¡; -+ 2, y4- 4. ¿Cuál debe ser el valorde 6 plU'll que- Ix - 2 I< 6 dé por resultado I y - 4 I< e == O,001?9. S "'Z_1 . 3
1 , ea y = :t~+I . Para IV_ 2, tenernos 1/.- 5" Wuál debeser el valor de 6 para que Iz-21 < (j dé por resultado
ly-i-I<O,i?o, r-I 1 i19í!. ,qua y = 2(.:r:+~) • Para x-3 tenernos: U-7j' ¿Cuul debe
'ser elvalor do apara que Ix- 31< 15dé por resultado If- y I< 0,0i?193. Demostrar que sen :c tiende a la unidad si x-+1t/2. ¿Qué
condíclones debe satisfacer x en 01 onjomo del punto ;¡; "" n/2 paraque se verifique la desigualdad 1 - sen x < O,01?
191,. Si :c crece infinitamente, la fu.nct6n y = .#~ i tiende o cero:
lím "+1 1 =0. ¿Cuál debo ser el valor de N para que Ixl>N déx..,..o:J ;e-por resultado u«; 81
195. Si x_ 00, 11= ;:.;! -+ '1. ¿Cuál debe ser el valor de Npara quo l:t I>N dé'por resultado Iy-11< B?
Cap. U" Límite. Continlridad34,
199. Demostrar 91,lé 'la fMci(m y= ;/~,3 es jl1ljni~rnente g~and8cuando ,.7:-..3. ¿CuH debe;',ser el v~lt),t de x para que la .magnltudIY'I sea JD,!l.yorque' fOOO? ' . ._ 200. CUándo x íiénde a L la ''fuiICió_n Y=(.¡\''':1)2 crece iM;nitá~
mente. Wu51 de~!:1,s~r.él-"alol: de ,¡¡ para 'que' Lx.....11</l dé por~ j ?- resultado (:z;_1jz.>,N =10·.
2p1'. La' f'\lnciÓll Y"'!o2"'~1 e~"ilIftnita!l1jmté grande. Para ;l:....¡.0.
~Qu6. ,desíg'ua1da.des: débe. S,at.isfacer :r; para que Iy I ~ea JJ\áyQl'que iDO? .' , J,.. ,-,·'~2. P,lfra :¡;,_" 00 tenemos: y =>19 :,rJ ... 00', ¿euá1 aébé' sor el va
tOI' qé M p!rrA que x ,,;>M dQ por resultado u ;» N .= tOO?'203. ¿Cuáles de las principales funciones elementales son acota
das en todo el dominio de su defInición?" 2()4. Demostrar que la Iuncíñn y =·i;z:z;<. es acotada en todo eleíe numérico.
205. ¿Es, acctads la fúnéi6n y = 1:.,5 en todo el, eje nuulérico?¿Sería acotada en el intervalo (O, 005? , ,
206. ¿Es acotada )a función y = 19 sen x en todo el dominio désu existencia?
La misma pregunta sobre la función y = tg tos e,207, -1). Demostrar que'Jas Iunciones y =x sen :c e y =:c cosx no
son .acotadas cuando ;¡;..,. 00 (indicar para cada una de ellas, poe Iomenos, una sucesión. ten pata .Ia cual Yn __ (0).
2) ¿Serán lnfinltamente grandes estas funciones?3) COnstruir sus gráficas.~(}8.COllS~~I!il' Ias grsfit¡as de ll).~ funciones f (x) ;= '2" 8en~
y f (~)= 2-,,~n ". Para ca'üll una de estas funciones indicar dossucesiones ,x,. y x~ de Jos valores de x talés, que Iím. 1 (xn) = 00,y Uro f (x~) =-0. n-9O
n-'9D209. ¿B;H8 qué valores de a la Iuncién y = Q.'" sen il: no es ¡¡cQtada
cuando X->- + 00 (:r.:~ - 00)721.0. ¿Se~'á infinitamente gr~nde la' funcíén no acotada:
1) f (;¡;) =1- tOS l. para :c -T O;,. ¡¡; :z;2) j (:e)=x al'ctg x para ,1:...,.. 00;~) f(;¡;)",,2~arcsen(sen,x) pata .'C- +.00;4) t(i)~e2+sen,;¡;) 19x lla1'lI x,.-.. +00;5) j(x)=(1+sénx).lgx pata x_ +oo?
'35_ § :2.,Milg;nt,tud_esinfini1asl-
Criteríos ae. existellCia ~l limite'216*. La fuociÓn Un toma Ios valoresI t 1 1 i 1u,=7 t u~="4+10 . ,.. , u"= s::t:T +¡¡q:-r +.,. +3"+1 '
pemqstrar que, 'Uo,.. tiende, a ci!j!r,tolímite ouando Ti -.r eo,217. L¡¡ f~nci6n ~tt tomO! los valores
"t 1+ 1, _ r.t ..... i + 1 '+ 1Ú'='T' ~="f 2..(",0',3-T '2'·4 2,4.6'" '0., .,.....,i +,! ll.:. + _ 1-.,."un,-Z· n'··· 2-4.,,(2n)'··'
DelÍlQ~trar que U" tienoe a ct~rté;l16,IIiité cuando ñ ~ oo.218: Demostrar el te,or!,lma:: . ' , 'Si la d'iferellcin entre dos iJ.m&.iflnas;ci _Infinitesimal cuándo la
v-aci~hle independiente varía ~é 'matrerá éx~ctamePt~ igllal, aten,douna de e~tlÍsfuncíones crec.íOiité 'y la',ot;r~ decreciente, las dos 'tiendena u.Ii 'mismo límite.
Demostro,r que, ltn es infinitesim'1I1 cuando n - ..oo,21,3'. ~eijlostrar que ,Y = .,o~t -- O cU8;ndo ,x0_" O. ¿Qué condí
cíones dlÍbo'satisfacer ',x para 'que 'se varífíqua la desigualdad Iy I<<10-41 '
214. Mostrar que la !Unción !f = V.:c +1- V-; tiende a cerocuando :X,+-~o ¿Cuál. debe ser el valor da N p~ra que y < e. cuandox~>N?, 2'15. Demostrar que si la función !(x) tiene por lfroite a paraj: ......00,110'fllnciQn t (:t),e!I ,s~cept¡b10 dl) ser .representada er\ formade la suma f (x) = {l, +Ql (:¡;;), dende- cP (;Ji) es infinitesimal para;¡;'-)'o 00'0 '" PrB'seutal' en forma de suma las siguientes funciones:
li;3 zt ,1-.;21) y= 0;3-i i 2) y=~ ; 3) y= 1+",?- •
21.'1. La, 'fw¡ciqn ul' t~ro8 los valores
, . 2 3 ,4 n+i'" ¡::', 1%2=T' Us= 'o ' .' o , u,.=---;tZ" • ' o
De~~s_trnr ~Ué UTI es iníi'níw$iD:!cnlcuando n -+ eo ,2t~. La fuMión Un toma fas valores
1 i 1~=-~~=-Tl~=W'~=T'"11-8.... ,Un=~'
r -2senx, Si x,,;::._!:...·-...:::2'
f(!l» = 1 Asenx+B, si 11: .1t-2'<x<2"
si nl oos e, 3:;a.T'
sea
si ~~1;si :t> <L
¿G'ómo debe ser elegido el número a. para ClUela íuncíón j (x)continua? (Oonstruir su g¡'áfíCiI,)
224. Sel;l
¿Es esta función continua?222. LO,5 radíos de Ias bases.de tres ciltndros superpuestos míden
3, 2 y i m, respectivamente. La altura de .cada uno dé los tres cílíndros es tgnal a 5 ID, 'Expte.&al'el área de la sección transversal delcuerp-o engendrado como función ae Ia 'di,stancia que media en~r!lla seccíén y la .hasll infel,'ior del cíhndro que ocupa la parte baja delcuerpo, ¿Será ests función oontínuaj Construír su g.ráficB.
223, Sea.
§ 3. Funcíoaes continuas221. La f\W.ci.ón ~ ~~á. definida de la manera. siguiente;
y ... O para. ~< O;y = x para O ~ ¡i;< 1;y =- xt + 4$ ~ 2 'Para 1 ~ x<3;y = 4 -;2; phra x> 3.
1.1"..1:+0"-1 u,n_t+2Vn_1U¡¡ 2 o; '''3, ,
..RárUendo. del teorerna,'eXpllest.o' en lél eje1'cici'oanterior, ilsmos.t1'ar.·~fl las dos s.\lcesioneS'l~y-,v" tienlien a-un inisID,9Ii1llite compren--dfdo ,'ent.re uq y Vo_ .
'22,0,. P.ad,1l'la sucesíén de 1l,ÚP!'!3!;os.u,.!
Uj=V6, ~=:V6+u¡; ... , u,,=Y6+un~, .. -Demostrar que esta sucesión tiene 'lill\it\l. Hallarlo,
Uo+ll' " "110+200'ul=.,-2-, 'llj= 3_."en gen,eral,
~.lJ..§jei!p ,~ai!.os,ªos.núh1~}'o§; Y9 y. Vo (Uf) <, Do)' Los :tétminos de'las sucesiones l/.n. y 'D,. son dados por las fówu)as¡ , '
31.
Construir Ia gráfica de esta función.232. ConstrUir la gráfica de la función t (x) = x Sen ::. ¿Qu,~
valor debe tonel' ia:funcl6n f (O)para que la función f (.2:) sea con~il'uva por todas parte,s? . , .
'23.3. m~most~ar que. la. función. y.=:¡t ~ ti,ene díscontlnuídad1·+,2;<
de prímer género en,'e)punto z d O, Coustrutr, de modo esqnemátíco,la 'grÍlf1ca dé I!.'ltll Iunoión en el entorno pcl punto i' = O.
234. A,Otlliiar el cQrácten' 'de la di,sC'ó~·tÍ1lu.idadd.~ .la. íuñci6lJ.l' .
tl~", .. ''V = 2- . en 'el pUNO' x =.1,. ¿Se puede de_finir 'Y, cuendo z :=;. 1',do tal ,mQdo que la función Ilegue a ser contínua para i;= 11.
1(x) =sen::' para s: #= O, f (O)=L
Elegir los números A y !J. de' tal modo que la Iuncién f (~) sea contí-:l1UR. CGus.t;ruir su gráfica. .
225. ¿E;1lqu6 puntas sufren disconrin uídades las funciones y =¡:::o ",~2 e y = \,:¡: ~ 2)Z ? .Constmíe las gráficos do las dos. E'.\.'1lHcar In diíereneia en el comportamiento de estas funciones cerca de lospuntos d~ discontinuidad. '
~26. La Iunción f (x) = :=! no-está definida para z =, 1. ¿Ouáldebe ser el valor de f (1')para que la función completada con estevalor Iloguo a ser continua para x = 1? .
227. ~Qllé géneros de dísconetnuidad sufren las 'fu.néioMS y =san.... cese O~M . 1 á d 1 áf'.=-",- e 11 = -z-, - para :t='. ostrar e car cter e as gr' ieas
ita estas luncíones en e] entorno del 'pun to x = O.228. Decir si es conrínua la función dada de1 modo siguiente:
y "'" 1;1 para; x "*Ó, y =ORara x = O. Construir la gráfica deesta Iunción.
229. ¿Cuántos puntos de disoontinuid ad (y de qué- género) tiene
la íunoíón y == 19~:c I j! Construir su gráfica.
230. La función y= arctg .i.no está definida en al punto .'1: = O.. ."
¿Es posible completar la í'Unéi'9n. f (x) en el punto :v =(}de tal modoqUE)llegue a ser continua en este puntor Construir su gráfica.
231. Decir si es continua la función definida de 111 matrera siguiente:
Cap. $lI.:'Ll.oiitií. Co'!ltinúid~d'38
rLn {1Ulción (xl es -igual al uúmero entero máximo no mayor que x(véase el eiercíclo, 59).1
240. Valiéndose de las propiedades de las funciones continuascomprobar que la ecuación :&6 - 3~ = 1 tiene, por 1.0 menos, unal'aí~ comprendida entre 1 y 2.
241"'. Mostrar que: a) el polinomio de grado impar tiene, por lomenos, una raíz. real; b) el polsuomio de grado, par tienó, por lo monos, dos ralees reales, si toma. al monos, un valor cuyo signo seacontrario del que tiene el coelíciente de su término de grado máselevado,
242. Mostrar que la ecuación x'2'" = 1 tione, por lo menos, unaraíz positiva no mayor que 1.
243. Mostrar que la ecuación x == a. sene + b. donde O< a<< i, b:» O tiene, por 10 mODOS, una l'aíz posl tiva siendo no mayorque b +4.
244*. Mostrar qua la ool13.ción) ~ + G\ +~ = O,Z-Jv1 z-J!.i: :&-'1-.'3
donde a.>0, ~ >0, n~>O y Al<"-z<~, tiene dos raíces realescomprendidas en los intervalos (Al. ~) y (~, Aa).
235. Analizar el carácter de discontinuidad de la función y =I(
2-:;<"--1=-1-- en el punto .l!"OC O.274-1236, La función' f (x)"está" definida' del modo sigllitlnto: f (x) =
1 j
"= (x + i) 2- (iXi + ¡) para x ~ O ~ t (O)= O, Demostrar que en 01intcrvttlo -2~x~2 la función I (x) toma todos IdS valores, sinexcepción, comprendídos entre f (-2) s f (2), y, sin embargo, esdiscontinua (¿en <Lué punto 'p1:~cisamente?), Construir s_U,gráfica,
,237, Deotr si es continua la función y = i +;18'" ' Esclarecerel earáoter de su gráfic(l.
238. La función cst(l dotlulda del modo sig'üertte: si x es un IIÚmero racional, f (~)= O; SI a: es un número ¡rracional', t (x) = x.¿Para qué valor 'dé x es contlnua esta función?
239. Decir si es conunua 11\función y construir su gréftca.
39§.3, Fuueioilés (:OlltiDU89
263.
262.
261.
260.
258,
256.
255.
253.
247. ~ f,:t!~+~::!~:.1000,,3+3112
249. ~~ 0.oot,.4-1ooll'+1'
251 J' (21l+t}4_(,~-1)'• n~~(2,.+t)a+(i.-j)~ '.
245, Iím n+1'J'l-oo n
En los ejercicios 2-15-'267 hallar los Iímítes.
Funclones de argumento entero
§ 4. Operación de hallarlos límites.Comparación de las magnitudesinfinitesimales
Cap. !l:I, Limite. €ontinui(lad40
278.
2.76.
UJJl (%-1)1(2-:274. J.J. ..,2 1,._1
270.
Eh Jos ejercicios..268-304; bailar Ios lilDcn:QS.26B. ;~~ $~;". ,;_/. 269. ~ (z3:':':,+i.' + 1)
¿ ~-3271. li~ ""+:rZ+1 .~vs27.3. Iím z3¿-3:tZ+2.1:
x--:2 :z:2-z-61 8~-1
275. m: 6.,=-5%+1•~2
.T, 277';~n;L~:t-1~:z:a)'-1:r2-;r+2 lt\?
Fun,ci6n de argumento cQn~in~
I• J" 2n_i267. un -, -.
f\-= -2" +1
, , 2"-t266. ~ 2"+\ .
§. 4. Operación de ballarlos pmite9
• 'En lOB pjeiuploa en qUG 'lIB presenta ;1) _ 1: 00 deben sor consirléradoseeparadam!!1lteloa casos do 2: _ +Ñ y _'"~ .: ee,
(n 'y In son núm~:ros enteros posítivos),
315. lím Lg J..-z; •x-o %
31-7"-lím !gn~ •, %-0 se, .z:
311. Iim (Yr-2x-1- y xZ-7.c+3).x,,",,:t.oo
312. Hui eV(x+ l):I-V(x _1)3 ..,_oo~
.313. Iím iF (V.2:'+1- Yxs-1)., ~oQ
310. Iím CV(:t+a) (:t+b)-x).%_:00
305. ¿De qué manera varían las raíces de la ecuacíén cuadradaa.z2 +bx +e = O cuando b y e conservan SUS valores constantes(b cpO) y la magnitud a tienda a cero?
En los ejEI.L'cici05 306-378 hallar los limites.
306. lím (V;:¡:a- V~. 307. lí01 ()Ir .2:2+1 - V.'toZ-1).-~ ~~308. lím (lf~+1-x)"·). 309. Hm x(V.l..2+1-x).
X"'::CIO :X-:QC)
" Iím VH.l:-Vr=;,,0O.
292 1, v;q:a-V7H• ~~ )/.7:'+1
294 l ' y.q:-;-t.;..n; ",2
296. Iím yz::I-2.,_s ,.:¡
V%+h-1f;298. lím h11-0
293. Iírn V1""+"7-1"'""'"0 '"
295. Ihn ~~-1"'_~, "a+16-4
297 1, l12-V'%. ;_~y~-1.
1, V1+.:tZ-{299. ~~ ~ .
301. lím. ~=ra=b (a>b).X"" a
~-1 ,302. 'lím (n y 111. son números enteros)."'...¡ ;.r;-\ '
303* ro yr.::¡:;:-Vi'=2X 304 n :rr.:¡:;3- v~• ~ z+.o>t • • "'~ .z:-~ •
Cap. tt limite: Continuidad42
347.
345.
344.
3~O. Hm C09az-cOS~",2
se02o:-selÍ2 p0:2_112
son {a+2h)-2 san (,,+'I)+SOO "-hJ.
342. líme-6
843. Hmn~o
3~f lí seD (a+"') -seD (..-z)f • ,,!g 19{a+z)-tg(a-z) .
11m cosa:-se.nzcos2:t335.
329. Um C09:!l11 1(t-sen",)":
%"'y
331. lis:; ( ~ --:c) tg:r."'"'"'i"
333. Iím (i - z) tg :'U2'.a:·.. 1
a:t -sen 2337. 11m----:~-__::_'=----
.,..n ces ~ (cosi-ee.n : )338. lím (2%tg:c-_J:_). 339. lím cO.!J(a+.:c)-cos(a-%).
11 C05% .x-o .-z«-:-
334. 11m(sen g-:;a . tg...!!?L) .l/-a .. 2..
800.(",- ~)336. U'm ~__;;"~.....:!!. Vz3 - coa .:c• o
Um 2111'C1100% •
,...0 3",r l-,cos-z,,:.~~.1(ro tg ct" .. o :¡Y(l-coS'0:)2Uro Lg~-senc<.. ... 0 0:3lím(_t 1_).".. o sen % Lg::t.
321.
~23.
325.
327.
43§ -i. Ó¡'era~ión'JlE) hallar los llmitos
319.
.3no Hin (cb,.t-shx). 37~. Iím tllx,.:t-~oo «-1'*00
369 ti Q,h-i. h~-r'3'(1,•. tiro ' ~;~{ •
I x.. 1 '%,-
360.
( %+1 )'"11m ., -1 .:<_,...., ~:r
Uro (1 +~)>:.x-co %
858.
354. !~~(1+ ~)"..,.x+l
356. ~~ ( ::;=~)-3-.
352.llim (1-+ r .l·....
368. Hro~.'X~e ;e-a
870' tí' éb-J• %-+~ 3:: .
372". Iím e;Xl~~zx....O e
, ,37Q, Íim' l'e6~.2:x_••?n "
x-o z'1
876. HJ.ntV(e">;-1).-0:......
367. Ilm {x [In (x-I-a) -ln x,I}.......~-o
365. Iím In (1.+.1:.1:) •z
363. Iím ('1+seo l'J)coseoX ••'t~O
359. líro (2.1:+1 )".X_"~Qi) :-1
(1 ),,936L L110 1+- .
~±co ..
aS7.
355. lím ("'+; )~t-t.%-~ ~--
351. Iím (i+'" )%.(_00 Z
,,'+1
353. Iím (1 +.!..)T._.. :r
3~9. 1ím lYt-nrOlg3:t-Vl-arCStnS';:,..-d Vi Ql'I:sen20: Vl+arctg20:
Vñ-'V~350*. Uro -"--,"'*r=---.,-.-1 V ",+'1
lilll l-cos :ryOOS"Z",2
Cap.. 1"1. blllllto, .Contllluldad
348.
l
400. 11m(eos x+sen x)" •*", ..0
398 li !lnC()9;r. m--z-'
:¡:... o %
491. lím (con +a sen bx) '¡'ox-o
394. Iím x (arctg .%:t:~-nrctg 1.,)·X'-OQ ..x: r-" % ,~
395". Iím 8l'e5CQ";"lCtg.r 396. 11m(1++')'" (n>O).:<-00 ,,_,¡... %
I397". lím (eosx)iiOñi.,,-o
...n%
899. Iím ('~) x-toen" •x....o Z
386. líDl~.~-,t tg~
2
384. Iírn Ilre~g¡¡: •.x..¡,¡.ca
38? lí 4"-0-" O"". m >c+ _" (a> ).~-..:i:oo" a
"93" lí ( . "'+ in).., • ID;¡; al'Ctg"'%'+T'-7 .%_~ % 1
388.
387.
388. liID~.%-00 x
385 Ií ~+1!!!nz. x!! z+eos % •
lím!!e1l (0+311)-350U (o +2h)+3801l (a+h)-~na1>-0 ~
Iím tg2-x(:¡f2sen2x+3se.n x+4- V sen2x +6 59nx+2).,...X-T
389. lim 1-«09(1.-<:OU)",-·0 ..
390". lim (cos. ~ -cos T " . cos :" ) .n-'"
39i. lim z:2 (1-00S'!_). 392. Iím (cos Vx+1-co!l Vi).-:e_O!) % S-DQ
n es: 1)3) cero.
380. Ifm x{Vx2+Vx"+1.-xV2).!r.~ ~.'-' I
381 1" a.'". • 1.01 a~+1 (a> O).*_:;-01)
Iim .(~11t. Cl>nstd~fl.lr·'~pará(lQf\\en't:e• íos ~aSOB en que:1:.".00 ,f'
un número entero po's'iti.vo, '2) un nÜJneró !lntero ~egat.ivo,
879.
Diuersos lcmftes
Eu los ~jerc¡ci:o~ 3.79-"40~-halíar' los límites.'
_§ 4, Opéro,ción.do bal1s.tlos lliIil~
Comprobar que Un Y Vn son fuilnitesimlVes del .mísmo orden, perono equivalentes,
405. Las funciones y =!¡:e y = i - V;: son Infinítesitnales cuando X ->' 1. ¿Cuál de las dos es de orden infinitesimal superior?
406. Dada la función y = :¡/J, mostrar que ó.y y 6x cuando 'f,x_ Oy &7; :;6 0, 500 infinitesimales del mismo ordeno
Comprobar que la magnitud lJ.y es Infiniteslmal de orden supertorqne i:\¡t cuando n; = 'O. -' ,
¿P¡u~a qUé' valor de ~ son ,equiv,li,lente¡; los ínerementbs ~1i.y (l:c?•407. Comprobar qué las magnftudes ,in,finlte'simij,les 1 - IF
Y, t - y:x ,~Ol1 del roismo orden infh¡'it,e¡;ii'l!aI cuando z _ L¿Son '(!ql.l~\'a.1Qn~cs?
líeS. Son i¡; ~ Q. ']tIlLollces y a +~l - Va (a :> O) es UDa magni-tud ínñnítesünal. Determinar su orden', respecto a z. .
409. Defi'nir el orderr, reweétll a 11:,' de la l'un_ciÓ.ñ Iañnitestmalpara !u"+o:
1);!:3+~OOOX2; 2~~,,?_lí,;¡;;o S) ~(¡t+\)/ J(;¡'- r ' f4:'tIz
y III magnltud Iníínitosímal Vn, respectivamente5 7 21l+i
VI =3. V2=-¡- I VS=T' "', vI' =--;¡r , ...
Comparar un YVn• ¿Cuál de las dos es de orden infinitesimalsupertorj"403. Lit iuoción Un, toma Jos valores
O s "" 8 n2_~u'j"", , u!!.=S' u!, 'l.7' ...• u,.=-n;t, ...,
y la función v,., respecttvamente5 10 .,.2+ 1
Vj =2, v~=T t va"== 27 ' ..... vn ~-nr-' ...Comparar estas dos magnitudes infinitesimales.
404, La magnitud infinttesímal Un toma los valores1 2. n-1llt=O, u-:,=~, U4-~9t 0-4°1 Un'=uz"' .. ,_,
Comparación de magniiudes infiniteíJimale8
402. La magnitud infinitesimal Un toma los valoresi i 1
1l'1=1. u3="2' U3=¡¡'" o, u"=ñ"" .,.,'1 la rn~gil¡tud infinitesimal .!ln respecí.ivamenté
t I i 1V, "",f. Ps=-¡¡r, va=ar' ,oo, v"'='"iif'
Ca¡i. 11. Limite, CplltiJlu~a44.6
Algunos problemas de geometria
4t5. Conslderemos un L.riángulo equilátero de lado a. Sus (res:alturas sirven para engendrar un nuevo triángulo equilátero Y asleucesívamcnte 11.veces. Hallar 01 límite de III suma do las ilresJ;'de10-dos los t,l'iángulos- cuando ,,~oo.
{,J6. Un circulo de radio R lleva rnscrttc un cuadrado; éste, .llevainscrüo un círculo el cual, a su vez, tiene ínscrH.Q un cuadrado, y asísucesívnmente 'lo veces. Hallar 'el límite de la suma de las áreas delodos los .círculos y el de 1/\suma de las áreas de todos los cuad-rados.cuando 11. _ 06.
417. Un triángulo ísésceles rectángulo cuya base está divididaen 2n partes iguales llevo inscrita una figura escalonada (Vé3~ lofig. 15). Demostrar que la diíetencía.entre el área del triángulo 'Y 10fígura escalonada es inlinJtesiml\l cuando 11. crece inñnltamente.
4t8. Un ,tr4áng.ulo is6sceles rectángulo cuyo cateto es igual a a,tieue dividida su hipotenusa .en n partes iguales. De los-puntos dedívlstén están trazudas"rectas par.álGla~11 los Ctlt;et,osresultando ,unaIínea quebrada, AKLMNOPQRTB '('lease la fig. ~6), cuya Iongitudes ignnl '3 2a para cunlquíer 11.. De aht qua el Uro.ita de su longitud esigual a 2a. Pero, por otra parte, ]a línea quebrada va aproximándose-
1) V'1+Vx-1; 2) V1+2x-1-Vi; 3) eVi-i;4) ~n"'_1; 5) ln(1+Vxsenx); 6) V1+xftg n; ;7) e"'-cosx; 8) e""-cosx; 9) cosx-VCbSi;10)sen(V1+x-1); 11) 1n(1+x2)-2V(c"'-1):;12)' arcsen (V" -1- 3,'2 - 2).
410. Demostrar que los íncrementos de las Iunciones u.= ay:;,y ti = bX2 para X'> O y parrr el incremento general ~ -?Oson delmtsmo orden hlfinitesíDHIlI: 'éPa¡a qué volor de ;¡: son equivalentes((J, y O sOIl'distinias de cero)?, '" '
4U, M()stra.'r que cuando x~ 1 las magnitudes infilli~eBima)es.t ~ :c y (1 (i - n), donde a .,p O y k es un número entero positivo,son del mismo orden infinites,imal. ¿Para qué valor de a son equíva-lentes? .
412. Demostrar que las funciones sec x - tg;p )' ':It',- 22; soninfinitesimales del mismoorden cuendc a-» n/2, ¿Son e:quiv.aleDtes~
413. Demostrar que las magnitudes infinitesimales r?' _ elty sen 2x-- sen :loson equivalentes cuando x'_ O.
4.t1i. Definir el orden de la Iuncién infinitesimal respecto a :i:cuando J; ->o O:
47§ 4. Operación do ha11ar 109 Ilm.it88
2: (véaseJIl flg. 17). Rallar al Iímítc de la longitud de dicha lineaquebrada coando n crece !ofinita:entl!". Comparar con el resultadodel ejerc"icío anteríur.I 420. ·El segmento AS cuya longitud es 11estl\ dividido en n partes
·iguales. Los .pequeños 's¡!Igmentos resuleantes sirven' de cüsrdas.y subMondeD arcos de circuoferencilt,.cada uno de los 'cuDles es igual a sdn:radián (véase la fíg. 18). Hallar 01 límite de la Üin:gitud de J,a Iluearesultante cuando IJ_ oo. ¿C6mo óambiarla el.resuítadc si Jas'cuer-das subtendiesen uoa" semícírcunlesenciaj v -
421. Una circunferencia euyo'{adio es.R es.t6, dividida por n.puutos M,. ilil-:.•.... 1I1n eh portes iguales, CkqR uno ..de los reíaridoapuntos sirve para trazar. desde él un arco do, oircunferencié (cuyoradlo os de' 11) hasta que 58 001'1:0 cen o~1!OS 'arcos tCIlZ~dos 'desds loa~Iun~os VeC(Ol.·0,5(!véll'~ela 'lig, 19), Halhl.l:' el lírnJte de }n Jongitu¡L~de l'alinea -cérrada 1'8SllHante cuando n. ccece 'ihfib'itia'roento. '
422,. Oó.s circules de radros fl_ y r ,resp,eotí.,vat4énte (.(1'> .1;), tocan el eje OY'en',Dl'origende eoordenadas y están colocados a Iadere-
Fig. 18
A~B
Flg.17
4l9. El segmento A B cuya longitud es 11,estll dividido en partesiguales por n puntos, desd.e los cuales se han trazado rayos en ángulos
Fig. 16
r
e
IJ
Flg. 15_
A
B
infini~8wenté ,s. la hipotenusa del triímgulo cuando n 1)t:6C6ilÚinltameJ,lte: Roe conslguionte, la -longitllll de la hipotenusa es iguala Ia suma de las longitudes de los. catetos . .sate razonamiento enclena un error. Hallarlo.
Cap. 11. Límite. CoritihVidad
.Problemas di! cálculo
425., Partíeudo de la equívaloncía de las funciones Vi +$-1y.-+z, cuando :v-O, calcular aproxímndajnente: ,1>..JI 105~2) V('H.2¡, '13) V260; 4) :¡/1632¡ fjJ 'VO\3~; 6) ·VO,OU.
';426~ 'MostrAr que lasfunciones ~'- '1 Y' xlrnon' infinitasímeles, equivalentes cuarldp.;¡¡ _,...O, :Valersc de, Qllo ipa,l1~calcular!l;pro:Xif\'li\d~mente Ias raíces: f) ~'1.047.}..2) ~St44;¡3}V~"~':4)'V1080, Hallar .el 'Valor de las refel'¡d(\s, raíces en In t,1lblaIoga-lr.í.tmIM.:Comparar, los nesulurdos. ", ,. '" . t , ¡' 1 l. ,1.' ' 4~'¡.VaUéndóse de la; equívalencía 'do- ·lw :'1 -+- z)" y .;r. cuandox -»O, calcular npTo~i!llllda!l)etltq·l.os. logaritD1!)s'natUl'¡ü~!1lnéPlIl'i~·nps)·:de.los siguientes números: 1 ,01-¡'1,02íd" 1;;,1,-~A;II\!J~ los"loga:ribmos:de.elmo:l"oB.de,10$,mism,Os ll{¡QleroS::-y-l)ó'mplll'ª:do~.,éoñ19~dato:;'preseqt,ádos.,. en 'Ia follllln,.-0116
423', El segmento lineal 'OP une el'~en~ro dé 1I1Hl circunferenciacon el',.punto P, que se halla fuera de nquélln; •.Dé-éste trazamos unataJigente P!f 8.'111; cizcuaíerenoía. De). punto r¡;' h~~am'os luna perpendicular, TN, sobre la .recta Op, Ek :PU!ltó '(I~,iÍl'~e.t'sccc)ójl de la rQcta6lP, con la' cj):cuQferenChi es ,.4.• Delil,(jgt't'P:l! quo 105 segmentos A Py' :!!N' -son -ínhmtesímales, equivalentes. cuando' P -t'iA. ." ,42~ ..En los puntos extremos '11 medio-del arco AB de una círcun
.ferencia se han Ima.zado'las: tangentes y les.puñtos A y B so han unido'por luna cuerda, Demostrar que la raión de-las ikeas ·(1I)'1do$t~iiÁngl1)08resultantes tiende a' {I, disminuyeude Inlinitamente el orco AB .
Fig.20Fig.19
cha del eje '(y.éase hdlg. 20). ¿p'e qué .orden, respecto: 1t :1:, son el seg'mento infJl'litesinllll'MM! 'Ylel iÍngolo'.~nf4I_i.t~simn~acuando ;¡; -4 or. ,
, - 49§ (,. Opernci6u:. do hallar Jos llm!to.S
8~t3+ ; ,111llJ8c In 'Velo¿i'iladmedIa de.fmovimiento OD el íntervalo de tiempodesde t ='4 h'ás1:at = 4,+ ~t, pomendo 6t =.2; 1; 0¡'1; Q¡03.
431., Ul;I.cuerpo efectúa In caída libre de acuerdo coa -la 10)'~$=.= ~;;, donde g.'('~ 9,80 .m/s?) ~sla aceleraoión' do 1'agr~vedad. Hallar!o velocid-ad,media del movimíeütoeñ el intervalb de tie!llpo'desdet \:='5 s 'hasta' (t +Ót)s;' poniendo' ót'-= 15,; 'Q\1Si 0,05:,8; -10',0018;hallar la velocidad del cuerpo en cruda: Ji.bre aUhialdel quihto"'Y:d~ldécimo' segundos. ',Obten,o'C,la.fórmúlil:~e'lal velocldad, del 'cueltpo 00caídA .libre par á 'Qualquior moment.ó"de.;.tiempo"t¡ ," ' " "
432, <i:oiísídcJ.lemQs.uno lión:a o:elgad'ü'as esitllc~a heterogéneaAB·cuYil:Jóngitüii¿r'=.20 cm'"La:'mnsa do un 'segmento,~M,itu'mentAproporcionalmente al cuadrado de la distanc'ia entre el tpunto M
A 19u1los probl~mas de [isiaa
1j28, Dada la ecuación del movimiento rectilíñec del punto:s = 5t +6,
billar la velocidad media del movimiento: a) en.los primeros fi segundos, b) en el intervalo de tiempo transeuerídc entre e1 final deltercer segundo basta. el final del sexto segundo.
4~, El punto M va alejándose de'! p,unto íinmóy.íl. .4 de modo quela distancia AM 'aumenta. siendo proporcional al, cuadrado de trampo. Al trnnscurrir 2 min desde que comenzó el movimiento, la dístancia AM era igual a ,12m. Hallar la velocídnd media del movimiento: :1) en los primeros 5 mini b) en el intervalo de tiempo desdet = 4 mín hasta t = 7 min; c) en el intervalo do tiempo-desde t "" t,hasta t = ~.
430. Dada la ecuación del -movímtento recttlínao:
§ 1. Derivada Velocidadde varíación de la función
Derivada y diferencial.Cálculo diferencial.
Capítulo TII
Punción dQrtvada
:4'4(). ifilll'ar el Incremento de la iuncion IJ = Jfl en, el puntox,M= '2; poblendo el ipcreme'nlio Á3J' da" :Ia vaetn ble jnd'opend~enti}igaal a: 1') 2; 2) 1; 3) 0,5; 4) O,f.
'Y el punto ,1, s,i~1I~?)~"m4~8d~l se~mGnt.Q11M = ,2 cm ¡g;Uat8:8"g;Hallar: a) lil1;lensidaa mocha lineal del segIIiéll.t,oA M = 2 cm de lit'barra; b) de toda la,~arrái,cHa d~rlllida,d de la b.ar{aen.eIJIU¡;l~~ M_.
433. La .masa «(111'II~de,un8'PllUa ªe1.g,~da 00 estrucrpr!l ñeterogeJ'1C3AB, que micle~0,cJ;O"e~tá d ístrtbuidadeacuerdo con la ley m == 3 l2 + 5 l, donde t es la Iongijud da un segmento de lar barra medida a partir de] punte ;.1. Hallar: 1) la ..depsidad media: ~iDeal de labar~a;'2}la,dl;i1!sí¡f!l'dlinea]: il) en !ír,:pilD'to que djst"'Z ='S'cm del punto A.ij ,.;b) en el1)lí.sW()~j)tl,ntoJ~h 'c)¡llD.elexttemo de. lit barra: ." ~
434, 1,;8}órml\Ja [P' = t +Ü'¡QQOOZe +0,OOJ1,o.oo~e es.ttlble.¡;6la .ca~tidad de' calor Q (elÍ"¡~?}tJrias)' necesaria pa1'a que .la: tsm pe'l'¡¡lura: de t "g de' agua" puse' de' ,O 'a· tOC.··· Calcular ;'?lacapncldad' calOl',ifléÍl del agua 'para 't.::: 3O,Q, t.=100°. . .. '-
435*. La velocidad, angular do la rotactén uniforme es definidacomo la razón del ángulo de giro respecto ,al correspondiente intervalo de tiempo. Dar la definición do la veIo\ii'daa angular de la' 'rotación no uniforme.
436. Si 'la desíntegractén radillcti'va se efectuase uniformemente,deheriumos comprender 11a)o l_a veloq~dl)c;fde destntegracién la. cantidud de sustancia desiruegrada en la ÍJt'li!i~,dcqf¡, tiem.po. Sio, embargo,en realídad dicho proceso se veríñca de 'modo 00 uniforme, Dar ladeñnicíén de la velocidad de' desintegractón radíacttva. '
437. La Intensidad de 13 oorríente e(¡Dtin.l,lu es i:leUni,da. como lacarrt,idad de electricidad quP paso pOI' la sección transversal del COJlductor enla unidad de tiempo. DarIa defin'ici6n de. Jo. intensidad de.la c'o'ITieiJte alterna,
438. Se Ilama coeficiente tikl1JJc'l.1 de dilaLación lineal de unabarra al .incremento de una-unidad do. su longítud al aumentar la.temperatura en fO e, suponiendo la expansión térmica 1l.1'1ifoTP')!;li.P~Ot ,en realidad, el proceso se ofectúl/- dQ modo no uniJqrme. Sea~= t (t). donde l'es la lO\:l!{i~udde Ia barra, t, lo temperatura. DaJla d'efiniéión del 'coeficiente d!l imataCión #J¡eílt. • ,
439. Se llama cpeficiente da tra'~ción del muel1e' al mcremenrode unidad Ide la tongitud del muelle bllio la acción de una fuarza Unitaria ejercida sohre cada -centímstro 'cuadrado de la sección transversal de) mismo. La tracción se supone proporcional al esfuerzo,ejercido (ley de Hooke). Dar la deíínicíén del coeficiente de traeción!e pata ,C) caso da desviación: de Jit ~ey de, fIo,!)ke, (Sean ,l la, longitud del muelle, S, el área de la sección transversal, P; la !uer:l;1I detracción, y 1= q) (P).)
S 1. Deñv,aQa,. ;V.é)óJ)idad).de vafin'éjóll.dll,,]a !lIncióll ,5i
,·.452.:,r!)!l.~.ostr.a1''lo sigiJiertte: si f {x) tiene lo derivada c~a!liló'.Z :::&tfa.,·'se ,t.le~e .' ,t '1-_ .." • II
lirn x/ (<1)-"( (:rl = f (0)- af' (a).X--(1 z-a
.." ~.• I ,~~3;)~Nl)io$t.rn~que l"l.,Q.!.~i~~da;~e.'1J~~rlUl~i6n.,p'ar .e~:.~a,f~.~~ión.i!i~iff""f.'l,lentrás,.que JI! del'l,~ªd.a ...dé 'W,la, fÍil}cloll Imp.ar·,~, 'UI:\DíunClón psr;:
Mostrar que cuando AX-4-0. el límite de la referida razón el} el'primer caso es igual a !.t, ~D el segundo, -{. en el tercero, ~.
442. .Dada la .fqn"ión y = x2, halla)' los valoras aproxímudea de1&derivada en el punto :c ~ 3, ponlendo sueesivamenta Ax Igual a:~) 0,5; h) 0,1; e). O,O~id)· 0,001.
44~. hx) =:1:2• Holiar r (5); r ( -2); f' (-f ).444. f(z)=xl. Hallor f'(i}¡ 1'(0); f'(-Y2); f' (~).445. f (z) = x~. ~ED flué punto f (x) = f' (x)?446. '~!llproblll' la sigui'élf41 aserción: para la funcióu t (x) = :r.~
es ~álida 'in 1:e'll!ch~o. j'..(a+ b) = l' (p.) + f' (b) ..¿Es vá,lida esto íd~l~tíd~rd .rll11:n_la funcíón f {x) = :1:'14.47: Hallar }a. dei'tvl\da dl))a Iunción y = sen ;¡; pnra :1; = O.448. ff.álrár 14 d(jl'j".!lif~ ile.l:i función y = 19.x para,.1; = '~.M9. Hallar la derivada "de la función y = 10" pata ;r; = O.450. Es sabido que la Iuación f (0)=0 y que exist.e e1líraite do
lb exprestón /(%). para :e_O. Demostrar que este limite es igoal. %
a l' (Q). .~. ,4.51.,:Demostrat el sigwe~)te teorema: si t (x) y q¡ .(x) SOA iguLllesa cetó.· curui'8 o ;1: ""', o 
Funciones e:¡;pc¡nellcia[e;¡
Bit 'los ISjercioios de este páreaío m, !l. s, t, 1/1, V, S son variablesindependientes, a, b, e, d; 1/1., n, p, q son constantes.
li06. Derivar In Iunclén:
§ 2. Diferenciación de lasfunciones
Interpretaci.ón 'geométrica' de la qértpada..liM. Rallar ,E)Í c\>eucient,e.áTlgulnr dc Iu t~Í\ge4te II 'l¡¡¡Jlo.r:ábola
y = x~ : l) enel origen de coordénadas; 2) en 'el punto (3; 9~; 3). enel punto (-2; 4). '4} en. los llu,~tos' de Intersección de 11\tangente conlá recta y """ 3:t -'2. - , .. " '.
4:i5. (-En qué 'P.'UutPIl,cs'igual a 3 el ~oefícien~e angulsl"de la tan-gente ti la. pllTáQol'Qcúbica 'f¡ == z'I? ' , . . • '~ •
45~. lEn (rué ·pU[l~O la tliJ;lgente. 11 In J.lar~bo~a y '= ~a ~) es 'Patal,ela ¡¡,l-eje OX¡ ~. forma un ,áü¡ful0. de 45 con el e1e Ox? ,
457; Uno. tangente' a-Ia ':pnr4b'oJa cúbica IJ .,;;, ;¡;3 ¿_puéde formarun ~gulo obt,UB!I. con gl ej!! O:¡;J , .'. 1_
4:58. éQué ángulos formal) 111cortarse ·la pltl'ábola y.= xi y la.recta 3x - y - 2 = O?
<i59. éQué ángulns Iurmnn al cortarse J3& l)l.I.rábola$ y =:¡;!1.e y"! =:x?
liGO. ¿Q\lé ángulo Iormnu al cortarse 4t hip~rlJoln y = l/x y laparábola y =- 1/Xií
46t. Escnbíc la ecuacién d'á )0 ¡,nagonte y de )0 normal n la curvay = .'1:3 ell el pun ~o cuya abscisn es 2. U\)llQr Ia subtangonte -y lasubnormal.
462. ¿Pata qué valor de la vartable índopendienta son pnrnlelaslas tangentes a los' curvas y '= a;~ o y = ,i:>"?
463. ¿En qué plinto la la.ngeuil.e a Ja parábola y = ,x~1) es, paralela al: u tecta y =.4.x, - 5; 2) es perpelldicultll' 11 JII recta 2x - 6y ++ 5.= O; 3) forma un ángulo de 4ñ~ con la recta ::Ix~ y + 1 == Ol
46~. Demostrar que la subtangente correspondiente n cualquierpun to de la parábola !I = (la;~ es igual a la mit-ad de la ahscísa delpuntó de tangencia. Valiéndose de est,ll circunstancia, formular elmétodo para trazar la t,llngente.H la parábola en el punto dado.
465 . Dernostrar que la normal a la parñbcla en cualquier puntoque pertenezca a é!>t,a dessm peña la función de hiseétrit. del ánguloIormndo entre el radío focal' del punto y Ia TCCt<1, paralela al eje dalo paráboln y qua pasa por el punto dado.
§ l¡, Il¡f~onc¡;lcióh,de ]ftS -funcioñes
1) 3a:2-5x.-1-1,¡ 2) :c4-; xU+2,5:¡;z-O,3x+O,t;
3)=2+bx+c; 4} Vx+'V2; 5) 2Yx-~ +Y3;6 O8 '/:: y3 1 % I! ..,3 ",:1) , V Y-o;a+ 5y~; 7) -;;-+ ; +-;jii"+ ~ i
8) mz2 + "..,1(; _ pV;. 9) mzZ+,.z+4P.V; r;; %. p+tJ'2
10).O,1·t-T- :;~4+t-~;11) (~-O,5)ii 12) yi(x3-Yx+1);13) (U+1)2(1I-1); 1q} O,5-3(a-x)2;15) ai3+bz2+c ~ 16) (mU+n)3.. (a+b)%' P.
467. j(x)=3x-2Yx ..Hallar: 1(1); 1'(1); 1(4); /'(4); f(a2);l' (a.!).
<>0 ) 12-51-f ( ( t )400. t (t = 1I . Hallar: t -1); t' ( - 1.); t' (2); t' o.- .469. 1(z) = 2:3-&:v's-t . Hallar: t' (!).410. t (re)= 4 - 5x + 2~ -:r'~. Mostrar que
t' (a) = l' C-a).En los ejercicios 471,-;-489derivar las Iunciones que se indican,471.1.) y=(x%-3x+3)(x2+2x-1);
.2) 11=(x-'-3x+2) (x4+x3-1);3) y=(Vx+1) (V; -1);4) y= (~'-'V3) (4xV;+ ~:) ;5) y =(Vi+2x) (1+ v.;;z+ 3x);6} y= (X2_~) (~:l_ 4) (x2-9);7} .Y·=..(1.tV;;) (1,+ Y2x) (1.+1(3X,)..
:t+i' I !.",t~' j +
47,2., y = 2l-i . 473, y=>~+1 '~+l ~-.474, s=~ 4?5. u= IIZ+!I+i .
a.:+b 77 ",~+i I I 2 1) (1 )416:_Y=c.:+d' 4 • z~''3(%2_:l)Tla;·- \'. -:&.
u5 . i-.:~478. u= ~-2' 479. y= 1+,ra"
eap -:HI. Dorh,oaa y D.ifer~cial
S'O 2 8 c%-u+1q • Y=-;s=¡· 4 1;. U aZ-3'• l'
1-~ 1482. y=; Vii . 483. z"7 ·t~+,t+1 • •.
I .'2",~484. s= tZ-3t+ü . 485. !/=-¡¡¡::::;;r'
",2+",_1 - -' 3'486. y= z3+f' 487. 11.",,: (1-u:2)(1-~') .
=+p:¡:2 oZb2;2488. y ~+bm!l' 489.. y (~-a)(%-b)(z-c>: ' _490. t(x)=(x2+x+i)(x3-x+1);hallar 1'(0) y PU).491. F(x)=(x-1) (z-2) (:c-3)¡ ·hallar F'.(O); F' (1) Y F' (2)
492. F (x) = "':f2 + :t2~ 1 ; hallar F' (01' y F' ( -1).S t!493. s (1)= 5-t +'5; hallar s' (O) y s' (2).
494. y (x) = (i +x') (5 - ~~) ¡ bailar y' (1) Y y' (a).
495. p (cp)= 1!<pZ ; hal lar p' (2) Y p' {O).
496. cp (z)=~¡:;,hallar <p' (1).
497. z(t)=Ofí3"+1)t; hallar z'(O).
En, los ejercicios 498-513 derivar las funciones que se indican498.1) (x-a) (z-b) (x-.c) (.:¡:-d); 2) (x~+1h 3) ('l._X)20;4) (i + 2.,;)3D; 5) (1 - a;~)IO; 6) (5r + .z2 - 4)~;7) (x. - X)I;
8) (7 x2 - ~ +G) 6; 9) s=(~- I~ + 3r;10) y= (:~!)~j 11) y= (~t:)&;12) y = (2z3+3X1+ 6.2:+ 1)4.
O ~+~ ~4 9. v= &+3 ' 500. s= (t-t)2 .l+V; 1-V~
501. y- I+V4' 502. y 1+V2i'
503. Y=Vl-xZ., 504. Y=(1-2Jt505. u=(~)'"., §Y=(:t2~2'V
507. y= va~~z2" ~508'5Y= -Vw·509. y {. 1+%
V1-:t4 ziI Y=Vl"":",'
55§:~;,bit8feDotacJóii iis las funciones
519. y=.!!=. -z
5Z2. ¡;=~1+C051 .
524. z sen '"y= 1-I-I¡.(2: .
526. f .!/='4tg•z.
528. /J = 3 se;nZx-~en3 z.
530. U~xsec2z-tgx_
532. y=s.eu;'ix.5iS4. y=3sen (3x+5).
536 . y= Vl +2 tgz.
538. !I c=; se~:(sBnz).
54.0. 0- ~IJ= tg'2'542. y =c,tiY j rt-:¡;2,
544-• y= v(1 +,tg (x +i,).
546'. 1/.=501)1 (coa 3x).
t527. y=cos:r--scosBx.
52~. y=ftg3x-tgZ+z.
531. y=sec8a:+cosecll¡¡;.533. y=etcosf.
535 .0:+1• . y=t8~.ó "1 '5.>7. y;=; sen 'i"'-.
539. y=eoss·4x.
541. y=seJl Yi+x~.543. y."",,(1+S~11i$t
• 1-11%'545. y-eos·-,--_-I+V:Il
21 sella a5 . Z =-a-+Teñ"Gt.523. = z •y sen z+co.s",
525. y=coszz.
y=sellz+cosx.z
y= 1-cos% .p= Ql sen <¡>+cosIP.
517.
518.
520.
Funciones trtgonomátricas
En los ejercicios 517-546 derívur las Iuuctones que se indican.
~ 1511. y ~. 512; u=- ~ _• :1 u-1 ~+,¡23 t ~ ~
51 . y= .V2.r-t + ~r(z2+2>S'3
5't~. u(v)=(v2+v+2):i; hal lar u/(J}.
515. U (%)= JI ::: ; halla!' y' (2).
516. y (;n).= ~; hallar' y' (O).
·Cap. 1Il. -DerivadA y Dííoreucíal
Funciones logoritmtaas
En los ejercicios 5i3-597 derivar las funcionesque se indican.573. y = XZ log"x. 574. y _ In3 z,575. y= :d¡p:, 576. y = 'V lnz.
%-1577. y= lug2%' ~78. y=zseoxln:c.~
554. af'Cr.(1!.t 555. u=Vx.arotg a.1/=---.:r556. y=(aceces X-jjI'CS~1Ix}""557. y=arcsecx. 558. 1/=4':'~ -lItctgx.
559. arcsen z 5GO. x=y= V1-;r2' y = IItctg:r .
561. y=al'cson (x-l). 562. ~~-1Y = arccos Va .
563. y =llrcLg x~. 564. y = acosen..! .z:
565. !J "?acosen (sen x). 566. Y=lIrctg21...'"/1-%567. y~Y1-(nrccos.ly. 568. y =arcson} 1+%'
569. l "JI YY=z 1' arcson xa+2z.
570. 1j=IUéSlln ~eu()';8lln;z:I eos Gt sen ;al
571. b~lJcosr 572. y ....nrctg (x- V 1+x~).y=afcc"s a+bC0'3:r'
Puneumes tl'lgon;omjlricas inversas
En los ejercicios 548-512 (l'erivarJIIS funciones' que S9 indican.areséh·.t;548. y=:r;nrcson:¡;. 5"9. U ... ~.
550. y=(IIJ'c~ellx}::. ~!)1. y=:¡;arcson:v+V,:¡:-'t2.1552. y=~. 553. y=xseDx~lJ·ctg,x.
547. Deducir -las f6rm1l1as:(sen "x cos Ilx)' = 11. senn~l :r;cos (/~+ -l) x;(son n.t SOIl~}' = 11. senlí..,!' x sen' (11.,+ 1) :t;(ces" :l:,ll~n/lx)',= n COS~-l j; cos (n + i1 ro;,(cos" x cos ru:)' = - n C05n-1 x sen {n:+ tl z.
§ ·2.• Diiereñc[8,Oí6ñede. IS5 flWcióñes
'"CQS": 609 2111=~. . y= JU.
sil. IJ=Vl+e"'.613. 1+."
Y=I-eX'eX
615. y= 1+r .617. y=e-X.'6'1.9, ,y Fev.m.621;' II'=' asen".-623. JI =édfqsén2;).:.
625., y ::,,:~'\(¡¡¡-¡..627. y ,..;10~...~!t. 3",
629. Y= In sen;/' arctg·e3';."'~
631. 1/= :¡;2e- 'íli.633. y = a"l'!r.
1-(1)"614. ye: 1+10' .616. y=,:rc" (co~x+son z).lB 8: y={oa ..~~.620. ~;""1se!1(2n.622. 11=aS~1\3'>;. '
62f,. '11=2°"".626•. y=sel\(~-l'-3~-:t).-628. 11=e11líJ ("",,+OX~).
630. y=ae-b2~.~2. 11= Ae-J¡!oe sen «(J):e + a).
607. 11- e" 608.-Taii"%'610. y=a..3_3".612. 1/= (.z2-2x+ 3)C.
601. :r 602. y_x·10"'. 603. !I=xe"',11=-¡¡;;.
604. '" 605. z~+2" 606. 11=c"'cos:;.1/=7<' 1/=-.-,,-.
Funciones exponenciales
En los ejercicios598-633 derivar las funcionesque se Indican.598. 1I=2·~. 599. y=10"', 600. y- ;:r'
-58 cap. 111. Derivada '1 OUeroncia) ,
579..¡
580. lo :r1I=1ñ7' y= -;:no
58t. 1-10., 582. In%'Y=t+Job' y= 1+..:2'
583. 1/=:17'lnx. 584. y= 11l+lnzx.585. y= In (1-2x). 586. y.."ln(:!!%-4x).587. 11= lo sen z. 588. 11=: loga (x:\-I).589. 11 = lo tg a. 590. 11= In nrccos 2x.591. 11 =)n4s(lnx. 592. y.= arct~ Un (ljx+ b)J.593. 11= (1+ In sen :i¡)''. 594. 11=log~rlog~ (IQg,xl].595. 11= ln arctgy 1+zZ. 596. 11=A.roscn:! In (aS +;1..3)1.
597. V %+311= lnsen-,,-.
Funciones divers(1.sEn los ejercicios 667 -770 derivar 111sfunciones que se índíean.
667. y=(1+,Y'X)S_ 668. Y=ILtg(f+b).669. y=v 1+ V2pr. 670. y=lll'ctg(~-3.i!+2).
vt-urcsenxI
660. y= 1+8rc~en31' 66i. y=x".
662. y =:zf"D". 663. . ( " ry= 1,+% .
664. y =2.1;11%. 665. y= 1$2+1)"ou",.
666. V" z("'%+I)y= (zZ-I)Z .
659. y=v xsonxV1-ex•
Dertuacián. logarítmicaEn los ejercicios 650-666 d~rivár las funciones que se indican
aplicando la regla de la derivación logarítmica.650. y = 1lf",9. 6.')l. y = x"7'.652. y = (sen~S "'). 653. y = (ln x)"'.654. y = (x + 1)21"'. 655. y = x3¿:t" sen 2$.656. (%-:.1)?V;:¡:::ry= (%-5)5
658. y (z+ t)SV~y (x-3)l
646.
647.
648.
635., El=In c11 :1:.637. y=;:tb,(i~:¡;a).639. y = clJ. (sh x).641. y ,,",eCb2o:,643. y=xsJla:-chx.
l' Z 1 s"645,Y=2lll::¡-6~b'2"
634. y = sita a:63~. y=!tI;é~g(th~).638. y=sh2x+chzx.64.0. y~V ~h~.64.2. y =·tli (ln z).6M. y=;I (1+th~X)3.
Eunctones ltiperbOlU:asEn los ejercJcios 634-649 .~~riva!' 111~funciones que se indican,
59§. '2.. Diforencia.ciÓD .dE¡ Iás, flioCjÓll&S
a;+lf¡=;2y=ln .ot.1-e"
!/=tg :1+,,'"
713. y
105.. y;;;:'cos'x V,1+sen3 x.7.06:' . O 41 - 2x-H O' 8 ) 2• 'y'=, , tC9S-2- - sen ,X •
". i7~7. y=x ..10~_ 706, y= tg22ic'
.':09. lI=in~;et-g~. 710.-y,=1n' %+J;;:Z-1 .711. y}::qY1.-l-x-V x+3. 'b' 712. y=.x2V t+V;·
,{
695. y=x- V·I-.x2l1fCS!lJl:r. 696.
697. Y'= ,Ix +lÍ·v+Vi 698.
699. ~('-IU..1: ) 700·.y=sen --",- .
7tH. !f,=oTetg vm-. 702.
í03. g= x arcsen ~111Ir). 704.
685. - 2 '" z 686 {~y - SIl1l T,ctg:r' .' y 3","
687. y=ln(x+V~). 688. y=:va~ctgVx.689. y='V t+1;gz,¡;+tg4x. 690. y=cos2x.lox.
2 t ;>;691. y = '3 arctg :11 +;'3 arctg' -:¡-::;¡ .692. y =arcsen(nsen.x).693. y = arcsen ]lSo'ii"$. 694. y = ~ sen" 3x- ~ sen8 3x.
arcsen ey=cos --2-'
arccos 'V1-3t.
y= IQg's(zll- sen x).
tgy+ctg f684. Y=-=--",_"":"
678. y=e-«:I lnz,x+f680. y =arctg :1:.-1 .
672. y = 3 cosz·x- cossx.6174. y I
'V~+Vi .676. y=seu;&·ecosx
671. y=dg(x-cos'X)"
673. y=ótg]-+tg ~ .
675. y-sen fsen 2x.
677. y=y •..yr8679. y= .(Vi +Ji tr6.81. y=e2".a (;¡:?-:c+~)'.
·Cl1p.llll. Detivadl/. y Qifetoncial60
748.
• 11/ ,,"'y=e"'sohxcos·:r. 744. y= V 9+6t"x'.y =x;-,ln (2ex+1 +Vt'li."-t4ex +- 1). ,
, 7 ".,.'1:Y=earc,gll'+,n(2x+:,j. 47. y= .
" ~rx!I=1n tg? - CLg:tIn (1.+5eo x) -¡¡;,
7/13.745.
746.
1
V~-i .733. y=e""(a senx-cos:t):. 734. y=xel-CIlSX.135 1 736" ( ') 3'". y arcLge-Z,,' ). g=e sen "x- cosdz}.737. y= 3x3lircsenx+ (~:2+2)'V 1- x2,
738. y= fY1+rVX .
739 2 ' , ",-2 Tí2' ". 1/= .arcsen '1(6 -" +',:r-$".740. v= In (e'" cosx+e~~slln x),741. y t+-" arp~gz . '742.Y1+:i2 Y . c08(x-cosi) .
, ¡¡-::;728. y=eV m.sen3,r
7,27. y 2sonZ.:z:cou'
7,29. 11=Va2 - x:> - tI al'CCOS .;..
730.. y ""'l/x~+1 ~ ln '(¿+Jii+- ~2 ).
73i. !/=~. <).0$2.:r •i+Gtgz T1+1!I%
732. y=ln(.1:+Y,'t2 1)
'"y =2i'ñ:X,Y= V-'-(a--x)"-("-x---b:-:-)- (a -b) arctg • í a-g; .. V :r--!J
725.726.
7t'5. In sen s 1f16. 'u=arcsán'1+yr ·xZ.y= loe,os;"
717. arcson 4", 1f8..- ,_L
y= i-4.2:·y:=e1n.",.
'719. 1 '1-.« 720, y.k10x,tg,,,,.y= n-'-e'"721. ,y =5e'02 3; •sen xa. 7~2. ' tC05%'
y= Vt¡~~ó723. . 'I'I,-~' 724. ' .1' 1.4-", 'ti ..
,Y=X 1+>12 ' !!='4'ln i-il: -2'arctgx.
§ ~:,DiferéñclliCion dil·Ias fll.DCiollO:s
V~(3-",)·- (z+'1)~754. y
749. y=2ln (2.:r:-3V1-4.:r:~)-6areSeJ12r.3.1;2-1 y--750. y=~+ln 1-;t..X2+8I'CLg.1:.
75t. y=! (3-:¡:)'V1-2x'-x2+2arcscn "';;_
752. y = In (x sen%y l-x'Z). 75:1. y=xV1+~2sen x.
Clip. lIJ. Derivada_y OilerllDcíelSi
~ z.77~. t=2-3.~+$~;expresar ~ mediante e.
L In i+v . dIO do778. lt='2 'i-v i comprobar In 1'Q1n01(1).dú ·'Tu=:1·779. Teniendo en CUenta gue las funciones arosenVi y sen~x SO'!l
recíprocamente Inversas y que (sen 3:t)" = s~n2x,h_!l.llar(arcseuYi)'.780. Desígnemos la Iunoién.. inv.orsa a la ~D.ción potencial expo
ueucíal y = x\ ,por el símbolo .(X. (-a;), es':decir" supcngamos \{\l,edeV = z" se deduce :c =~(y). flalIlIl' la Iórmu1s para la, cie,riv,lfdadela funoión ¡¡;=.ct. (.:1;). " o'"'
1St. Las funciones que son inversas a las funciones 14pe,lWlic¡¡s.son designadas por los símbolos Arsh ~. Arch x. Art.ha: Hallar lasderrvadas de astas funciones,
782. s=urt; hal lar d,'t.<$
783. y= 'I-:~. Expresar ~:r mediante z, mediante y. Mostrar'Tr ~. ,
que es v(ílicla la relación ~ . ~: =1,
786.x=y3-4y+1. Rallar ~~,
785. t=al'csen 2'. Hallar la expresién para :: medíaate s, med íaute t.
Funciones inversas
775. Supongnmos que la regla J,l1ll'<I derivar la función. potencialfue estáblécidn SÓlo para un exponente' entero posttívo. Deducir lafórmula paro dedvat In raíz, aplícandó In regla para derívar la función inversa.
776. {1:=e·res~nlll;ballal! In expresión para ddY,mediante y, medían-o:
77·2. DenlC~;;f,~}'_~uª li! íunctóu
JJ='~+i :tV~+\1+l~ V;c*VW-'+1'$8tj'sfá~e la rel~oióD 2y>=;¡;y' + lo y'.
e,t'CSetl:z 1)7.73. Demostrar Q).l6 la Iuncíén v= V 1!':";~ satisíace . a re (¡-
clón 1(1-.#),¡l-z.!ú=~.7,1-'J.~•.' CalOill~f)~!?:~!Illla) ~+ 2;1; -f 37)~ +' ... :.r 11$"-1; ,b) 2 + ~.~x ~._3 .~j;'+ ... + n,(n- '7'"1)it'-~.
ecuación,por la
806. cos (XV] = x.808. y =1+ %e".809. 'x sen y - CoS y + cos 2y~= o.'8tO. tgf='!v'~tgf· ;8H. y sen x - ecs (x - y) = 0.812. y = x + arctg y. "813. Mostrar que' la tuuctéú lr ¡Mfi-oida
.ty -in V "",.1, sa~¡srace tamhlén la rc}acjóq
y1.+(xy_1) ~ =0.
2 sen2 %-t i,cos Ir. (2SOltx+ 1)eos,:r; ., -I+$en.t tgtr
son ídénticamente iguales eutre S1.789. ¿A qué es, igual el coeficiente angnlac de la tangente a la
elipse {+~= 1 sn el punto (t, 'V'2)?790. ¿A qué es iguu], el coe1iciente angular de la tangente a 1"
hipérbola xy = a (a = O) en el punto (a. 1)?79t. ¿A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la
circunferencia (x - 1)' + {y +'?)2 = 17 en el punto (2, 1)?En los ojotcioJ\ls792-812 hallar lila derivadas de las funcioues
y dadas en forma impliclta.
792 %~ + y't 1 "'93 ~+i i. -;;:r 1i"=. , . x- y =G -
794. 1r3 +'y$ - 3 axy = O. 795. y~cose = a2 sen 3x.796. y3 - 3y '+ 2ax ?= O. 797. y! ._·2.1iy+ b~ ... O.798. 3t' + y. ::p x'i~. 7~9.:¡:l + ax2y +bxy'J.+ y3 = O.800. sen (xV) + ces (xy) = 19 (x + y). 801. 2X + 2" == 2x..~.!i02. 2y ID y = x. B03. x - y = arcsen x ~ nrcsan y.804. x~ = yX. 805. y' == ces (x + y). '
. 2 2 2
807. .el+!/.i=á8.
Funoiones dadas en forma implicll4
787. Apltcanrlo In derivación mostrar que las deri,vadn;; de losdos miembros de la Ignaldarl sen ~:r.= t - cos~x son idénticamenteiguales entre sí. .
788. Aplícando la derivación mostrar que los derivarlas de losdos miembros de la igualdad
786. Comprobar lo validez de la relación ~; . :!'; = I , lIi % e !Ise relacionan por OIf.!diode Jo depeudencia:
1} y = 113 +- a:z:+ b¡ 2) y = x-o;3) y = In (x' - 1).
: C~p; n r. Derivailay Diloreqci1tl
,! .. ,t .. 1 :" _. ,¡':: 0.-:. l.
Ap'~¡cacio¡j~~,'(!e l.¡¡Aer€l!a!laS~4. En la-par4b,Q'I,a ' ,y;. 7. 3i~',~~ .h~út,rqQr~ado,.dos puntos cuyas
Q'bl!cisasson ;¡¡ . = [,eX', ,;1= 3; I'Qf estos,puntos' plisa la, secante. ¿Eoq:~l:i1f!lto.deJa par~hl)~.'I~ ,t:a:Qg.,ªº,~e'aéll~a ell'paralela a la, secante:t(az+ada?' ," ,"" ~~ v ,: + -' ; • ,"U ': ,.;
13't5',Una cuerda éS~~n~t:á~:i!.aa.d~);llan!lra.qU,9 pasa poÍ! el, foco de'la,p,~~b.9)~'Ye's 'p~~~é~dieül!-r-~l e~'ed.e~:ésta;Por los puntos do .inters~ ¡'ón.;,c!..é¡ 19c~er~~>y,~:Ill;r,,pI1~al,lQ..~,;,pasaw,t@gentes., Demostrar que~'si,ªe:' c~.tta'n,,eo;'4nguJü recto, ,..' " ' , '.8t6! 'Escri,bf,r..la,ecuacíqn ..de lli tang~nJe r·.4e·Ja nO.rmal';ÍI la: hí- .
.pe¡obpla,.y = .1/:t .B!l.,j)l."P\ln~o.'ouya f!.t¡SC)8~'es x "?, ,-1~2., HllUa~ lasilb'tangente 'J 'la~ .suhnorural. ,',.'
,817. Mostrar .que él segmento deIa tangente' a.Ia hip~rbo'lll.'y ~=7comprendido entre Jo~ éjes de c~f~rJeilaa~s,'estádi~!4idq en~tl~,:p¡il'te'~.igu.illes .po~ .el·pun.to de .contácto, , "
8f$~Mo¡;trat que Iespec~9 4'J,a hlp€~bol!l;:~y. -- a, el área· del .tri-~áng.ulo formado .por cualg}1iér" 4.Dg~n~.E!;y ~os ej~, de cocrdenadae esigual al cuadrado del selJl!eje,..<le ¡ji hi,¡)ér;ból¡¡" , .
819. Un punto móvil S8 desplá.u sobre una recta de modo quesu distancia s del punto inlcíal al cabo de 't s es igual a s-=+ t',._4tl + Bt', ,
a) ,¡En. qué mOllle~~osse encontró en, el punto Inicia! el puntonlferidd?' b) ¿En qué'!lnoínentos -fue' i,güu,!tla éero sú velocidad? '
820. Un cll~rpQcuya lBaa.~es de 3 .kg e(ectl,Ía',movimi~nto rectilíneo de acuedro con la le:y .~~
8=1+t+,f'.s viene expresada en ~eht~llletr05: t. e'n segundos," peterrn!n¡¡r la'energía emética (~), delcdsrpo ál cabo da :s,s.al jlÜciar,el movi-míento •." •
82 •. Ei ángulo rl, de giro 'de una, polsaén funb16p del tiempo tviene expresado por la función'~ = t2 + 3t -,5. Hallan la velocí-dad ll11gu1.a.rpp,ra.1; ~ 5 -s. .', '.. ,"822. Uña ¡;liedl!~~\:a',d~ plO¿o. cpi~,el ,~~o d~ giro ~e~:.\P'¡:opÓrc.i9-naI al cuadrade de tiempo. La 'pnmera ,vu~~táh~,$ld9real'i.zad~en 8:3.Hallar la velocidad angular ij) al calíd de '32s al eomensar ~l movi-miento. . ...
828. El ángulo a.. que se' fOl'mll'al ~ar'j.1.I]1a:vueita una .rueda, ~1,cabo de, t seguados, es igual a a = p,t2, - 6t,+~,donde a. b;' e so...'constantes positWas. ':flan~r"I}¡¡,velociq~a"áÍlg')llar w"ile f!J.' fotaóióllde la rueda. ¿En qúé!'niómeil'toés ~gÍlal)a ¿éro 1Il've'ÍoCldlfd' ao'gu'lar? ' ,'j
5-0116
82~. La cantidad de electricidad que pasa por un.conductor a partír del momento de tiempo t".. 0, se calcula con la 16rmúla siguiente
Q = 2i9 + 3t + 1 (culombios).
Hallar la intensidad de col:lf.iente '01 fll1tll del quinto segundo.825. En la Iínea y = iXz (x - 2)2 hallar los puntos en los cuales
189 tangentes sean paralelas .alejé dé abscísas.826•.MQstr~ que la l1·nea'y.-=<,:Z6 + 5z -12 en todos sus puntos
está inclinada hacia el eje Ox, foí!D)ándQs8entre ellos un ángulo agudo827. ¿En qué puntos de la linea y = Xl + ;¡; - 2 la tangente
s' eUa es paralela a 18 recta' y = 4x - 1?828. Foclnar las ecuaciónes de las ta,ngentes a la linea y = x _!.. z
en loa 'pun.tos da su intersecci6J!' 'C'Onaleje de abscisas.829. FOt:I!lOf la ecunció,Dde la. t~n~en~. a la, linea y = re' + 3;¡;~-
- 5, 'perpendicular a la recta 2x - tiy + 1 = 'O.En los ejercicios 830-833 formar las ecuaciones de la tangentel
y de le normal a las lineas que.se indican.830. y = sen ~ en el punto M (x~, Yn).831. y = In z en el punto M t:,¡:o, Yo).
&>3832. Y=4a~+",?-..en el pUDiO cuya abscisa es x=2a.
3833. y2 =u."-:r. (oísoíde) en el punto M (:to. Yo)'834. MoStrar q1}ela .8'lbtangente a una p.arábola de n~ésÍJnoorden,
y = :C' es igual iI _!. parte de 'la a'bscisa del punto de contacto.n1ndicar el modo de ccnstruír la tangente u la linea y = :¡;".835. Hallar las subtaagentea y las' subnormales a la linea y = ;1;2.
/I~= x', :r,yZ, = f. Indicar el modo do construir las tangentes a lasIíneas- índlcadas.
8i!6. Fopn~r las. ecuac¡o'iles de la ta1lgente y do la' normal a laparábola :,tu = 4 liy en su punto (;co. Yo)' Mosirar' que la tangente en
- el Pu.n~Qcuya, ,~q~c~sa~~3;0 -~ 2u"!, tiene la a¡g\l}en:teecuac'ióll fD ~~~..JL, + am..«, ',' '1 ''ii;
m ~.837. .L1l cuerda de la llaráQolª. y = x' -e- 2~,-+ 5 une lÓ~'p\intos
cuyas abscisas 5l>Jf:c¡ .... ·1".x~=. 3.;F~i1D.á.r1!l,8Q~~i6nde 18tangente,a la parábo)a paralela a la cuerd.a".. . Ir.' •
838. Formar la ec~cióu de 1a.norma! a la 11nelly~.,.2_;:+fl.en al' puntó cuya Ilbsc}á~,es ~·=,3. ': ", "
,8U9~\ROqIj~tia: ~c~l.Ic~6~;d,e ,la' n.~r~al,,~~Il,.~e~ U ~ ..,..V;¡; +21en el, punto ds;,'su. mteer~ecclón¡ ,90n, .,ij,.~se,t:tr~rc4e~: }IrlIDel!. ,¡rngu.1ocoordenado.
·Cap, JlI. DerfvadA y Diferoncla!
en el origen de coordenadas.847. Dem~strar que las tan~~n~e~a la linea: y = 1B't~~trazadas
en los puntos en Jos cuales y = 1, se cortan en el origen de.cocrdenadas.
848. l:Fazar la norlI!~l'a Ia ),fnea y=;=! :r:'in. z quesea paralela a lalrecta ,2x - 2y + 3 = a. _ ", 'J
849. Hallarín .distaocia que '1l1edla entre el origen de coordenadasy la normal a la Iínea y ='e2x + xl., tro'zada en el 'punto ¡¡; =- O,
8.50. CO.D,1Itruir)a gr#ic¡¡ de la,funll:ió.ny =~!l ,(~x-nlM! y hallarel punto da interseeclén de las tangentes a la gráfica, 't;uad¡¡s enlos puntos C!lYaS abscisas son Xi = O Y .i~ == 511/42.
85.; Mostrar que lll) subtangente 'a la Iínea y = aé.l¿x ~dond&Di y'-b son-écastsotes) ,t.ie'.leloitgitu(l'copstante en todos Iós puntos,', 852. Mostl'áp que larsulinol'mlll a li\ linea'JJ = :C'1n'(c.x) (dondee es'
cualquier eonstante) en cualquier punto dé la lí:oéa referida es la.cuar-,ta proporcional a In abscísa-,aIa- ordenada y a la, suma de'!aá.b!!cis,ny',de Jé ordenada del puuto-I'aíerido. '. " , 1
85;J.Mostrar que cualquier tangente a la tine!1 1:,
, :~40~'FÓrm'aJ,',-la' IlCuációñ de ~Il;,:nQ:roIll8J á la" ,vl/..táº!>\~_yo ~' ~: :-,-4)z+,,6 operpemijeu:}a¡; >i\, Ja .'r~cta que ',ún_eel.'oi"igepc de?C09rd~nRd(\s,con el \tértice de la- Pát;á.botl.\, _ ' o o'", ~ , ,~?'SU. 'MostratOque' Jlis líoÍ'ma'les'a:1~línea 'y == .'t~~- z+j,; trazadas en los puntos cuyas abBclsª,~son Xl =O,.X,3= -:-1, Xli -¡=:,' ~/.2 .seco'rt'a,n,e~, un solo :punta," , ' -,' . ! " '
842.' En los -pniltos .de in~eráecci6n-de la recta 11! _.) Y + t =Oy",l~ j)ár~'bo,Ja,y=0i;; -4x,+'S ..están- ttazad9s,l~ normales 8 la'parábo~a., ' .
Hil,llp.r-'el' área dj!~ t,tli'áilgruo engendrado por hl's"bo~allls y' la' 'Q~~1~,,~lits.y,bt}~~~tt 10!? !;,ef~!itiQJ?,:p.:u.:cnto,sde ~ltte~~~j.ó*: _ 'a , "8~i!; ,Mos~(lr qtie, Ias t1lngontes8 la hipérhola y = ':~~ en Jos,'puntos de 811 intersección con, los ejes de coordenadas son paralelasentre sí. ., •
844. Trazat' la tangente a la hipél'bolá y = =,~~de modo queatraviese el origen de coordenadas.
845. En la línea y = J;:rJ. hallar el I1U!ltoenel cual la. tangentesea paralela al eje de abscisas.
846. Hallar la eCuacion' de la tangente -a la línea
xa (.t-+ y) = a~ (x- y)
punto (v6ase la If~g.21). Deducír él procedimiento para construir latangente y la normal a la elipse.
l:I57. 'Fol'm'~ ia8~i~ua.ciones,de las tangentes aIa hipQ¡;nOUl s-- 1172 = t.~ue seail pilrpendicu~~tep a ía .re'cta. ~.'4- 4y _' 3-= o:_! .'~, "i 1)~ ..... ~, .~V' t!
858. Una, r~ta -pasa pOI' el origen :de coordenadas y es :pa,ralela8 la tangente trazada 11 una curva en ~n' purito cualquisra:'.·M·de lamisma. Ha.ll~ el lugar geomét.l'tco·p as los puntos de íntersecci.9u·da la TeCtll.,referid¡i·con una .reeta que sea,paralela al eje de.'órdenaaa'sy qu~na~flpor el punto M. ' ' ; _'. I ,. • • -. '
.}Jallllr tales lllg~e! ge.o.tQ.átrí<¡os'pa~a' aHa p8fáhola ya T' 2pz,b) la .logllritniiea- 1/= logbx"'.c),,la: circu~~e¡'enel(l'.·x'+.yg¡= al,.d) la _tractriz ,
Fig. ~i
118 éorta~tf el éj~ de ordenadas en un punto equídístante. entre elp,rnto·ídeZeonta~to.1 el origen de, Coordenadas.
, a ya854. "~ost~r. que la, ~E!9nta 11 la el(pse ~ + b2', =1 ep el
'punto ,Mt(:z:o.Yo) tiene j~ siguiente ecu8.ci6.o':;0+W= 1.
.' .: 855. 'Mostrar .que la tangente a la:hipérbola ~ - :: =1 en el
lPllnto Mj{~, Yo). tiene la siguiente ecuación ~-.v:;=1. .856. D~mostrar que la noraíal á la elipse en cualquier punto que
le vertenozcajdivide en dos el ángulo entte los radios focales de este
;. _Clip.,1II.l>erivada;1 Düel'ebclal88
41 4+~y=-'O ~2 Q'_ Va:2-;Z2-. ,-Iímítado p.ol1~os. ejes de ordenadas y el punto de cont-acto, tienelQIIgillJ.d· conetante. A ~
• 869. Mostrar' que para-cualquier P'lnto M (zo. Yo)dela hipérbolaequilátera.;¡;2 _¡yZ ~,a3 el sE¡gmento de la -normal desde elpuntoMbasta el:'puntg de .ínterseccíén CQD eÍ eje de abscisas' es 19l1alal radiopolar del punto M.
870. Mostrar que el segmento cortado en el eje de abscisas por latangente en un punto cualquiera de la 'curva ;2+ :~~ i, es propor-cj~Da1.al\,pubqde.la absojs~,del punto,de,c()ntacto,~, .-.. 87·1. Qemos~rl\~qll11 la ordenada 'de .ou!\lq,uier,p\l.lltoi,4e..Ia finca2X'y2 - 2;' = e (donde. e es una constantej-es' ODame,~¡aproporoio,o,y
en el punto cuya abscisa es Cl'.866. Demostra-r que Ia suma de- los segmentos formados en 1011
f • I 1, ,1 ,e~~~,dé:\cpo.J'~e,Í).fl4!1spor la tangente a la llll¡rv.ax,2+~y':l,= rJ.'e~.ígua]a a ,para,..t;ó~~i\ ,sus .puntps, I , r .
2867. Mostr¡lI;'qu&el gegmen:to de 'la tangente a la astroide :cS+2 1 ~%1 • f.
''f ya = ¡Ji. !'limif.ado por lo.'! ejes de coordenadas tiene longitudcODsla'l!w e igual a a. .
868: Demostrar que el Segmento de la ~angente a, la 1ractri1.\,V a.~-xz
En\ los eje'roicio8..859~:luíllar Ios ,ángulos qul{se -forman alcortarse las lineas que se índícan. ' •
859 ,.,+f .,~+ú+8'• 1')' Y '"''',,+2'' e y=' . d6 " ,
-. ,r' '2) :y'=(¡¡;.i::2)i' &1. y b,4;¡;-:r;z,+4 , '860. 1) Z1+y1=8 o yZ=2r.
2) z:Z+1f-4i='- y:¡;1+y1+2u=9.
86'1 ~ • ·5 r JI: 1". ",--y-= y 18+8='"
,86? zZ+If=8a.z e y1.=2/J.'~~'
3 -:.. 8"a'868. x = 4ay e y - .,2+442'864. y = sen x e g = cos x (O..~ x: ~ it). ,865. Formar la ecuación de la tangente y de la normal a la Uneo
69
DeJivaci6n gráfica.87;í. Al pasar lá ~o:iTiente eléétrica 'Por .el devanadó "d~l·e~l1ét.ro
:imán'de un xn'~forha .sido mea ida 'JI! 't,emper¡ltul'a" Io cu~l 118:dado'los sigui,entes' ,resnl'tadós: ' -
!I
t.angentes trllzlldas eu los puntos cuyas abscisas son J8$ ~isl!las, S8!cortan en un ru,ismopuntó que perteríece' al ej~ de IÍbsciil!l~, '9'a'li'éodose de ello, señalar un proeedimiento 'senaiUo para construir la
tangente a l.a e1lpse.873. Mostrnr que la linea y = ~%
sen mz toca cada una de las lineasy = tI"". y = - Ir"': en todos los punt.OS que. son comunes para elles.
~74. Para construrr la tangente lA
la catenaria y = a eh ~ Be' procedede la manera siguiente: en i.a ordenadI! M N 'del punto M.- que ,sirve ,dil
--~~I--~~-"--~ diám:etro",'1$8 traza -una ~sem{eiréuo1e~o :r 'YOllCiii [(v~se. 'latHg. 23) i se!inarca, la,
<luerifll . ifV,Py= a,: 111I'recta: ,,MP 'seri 'latangente "büscada. Demoairiii'lól
¡¡'lg, 22
Illntre '~a,~b9GiBa.yla 'düerellcia entre la abscislI y la sUbnormal"tróza-da a la línea en el mismo punto. ' , '
872. Dadas las elípses ':~ +~~- f (111)'0 eje 2.a,.¡¡s, común; mien
tras que Jos ejes 2b son diferentes (véase la ligo 22), demostrar que las
Clip, Hl. Derivada 'i 'Djierencial',70
.Dtferenctal, 817. Hallar el incremento de la func,ión y, =x~ correspondienteal illcremento tu; de Ia-vaníable índependíente. -Calcular ó.y, sbx = 1Y I:..:z: '=! 01,1; O,01;o¿.QtIlil :será:el e~ror (absoluto 1 ll'elati'Vó)'ael-:valorde ó.y" s'ise Iímíta.al térn¡jno'que contíéna-séloel ptiI!leí:grado de 6,x?
878. Hallar el incremento ó.v del 'volumen '!1 de una esfera alaumenta, el raMo R = 2 eh' Mi.. Calcular: AV','si ó.R "= 0;5¡ U,1¡ 0,01.¿Cuál será el error en eJ valor (le b»,si se limitr;¡al término que contie-ne sólo :el primer grado de ó.R? .
879. Dada la función y = x3 + 2z, hallar el val01' del incremento y de su parte Iíneal principal que corresponden 1.1 la 'Variaciónde;¡: desde ;t = 2 hasta x = 2,1.
.§ 3. Diíeeencíal;Díferenctabílídad de la función
Flg. 24
876. La lig. 2:4presenta la curva de la subida que efectúa:la válvula- de adIIiisión del cilindro de UDa'máquina de vapor (de baja.presiéa}. Constru!l' Ja curva de velocidad aplícaodo la dseívacíóngrálica.
o o.tiz'0.04, '0,06: '0.08 0./0 '/11 .ti ';Is.
, TIempo t '(en 'I$l):~.~.:.~ . ;r.'~... :30 ,35' '140 . ,45: , :'${):;" 5.5<T.e~rat~t,a.°c ";" .. "'.' . '! 52-,5 ~:¡¡ .56:,". ',,58::,.59,5, 6í
;'.:" Qo'il,Strui" ú:I}i/gr~í~á,t-ªpro~i~áda ;di la dlWénd'é'nciacon!;j.nua.'1i~')~"te~pe"a,tux~'J~!L~#6n::~4ét,tlempo. :oe¡¡pÍ1~de 1uí1>~'e,fec'tuado..'la~de,¡vaci()llgrá{fcá, ~oñ'S'~iiir-Jiigiáficá \q1,l8m.uest~·~ qué velocí-dad varia la tEliñp'éf'attii:~:'en f\lnción d'~l'iiempO~. ", " _. :'
6- J Ay-élyl. "". I'MI .:~
886;' pata l~ {unc16n:y == 2"', cuando z = 2 y IJ.x = 0,4, hallan·gr~camente (trazando la gráfica en papel mílímetrado 8' gran e'8eále) el incremento y la diferencial y calcular los errores absolutoy,relaUvo al sustituir el in[)rem)g.tQ,\p9r-·:4í~dif~rencial.
887. El lado de un cuadi¡fá.a'~i'de·8-cm. ¿ED.~uánto aUll)el\~ar4su área,ó§iCá!l~JRdosé p~Ólolig!l;'e~L~h;:1~CWi;:i\b},.Ol5cm; C), O,icm?.Haltar la.par.te Iíneal priÚciÍlIU"'ihUiricre'ike-Í1tQ de1"área,del cuadradoy valorarel error relativo (en tanto PQr~~,~W9)(~J._!lu1!titui:r~l íncre-mento pot'· su pe;tte -Priñé~pal. ' ". . , ~" 888. Es sa)Jido' qUe a'l' aulherita,i:"'!lád,~:'4d9r'4e" VIi:cuadi'aag en·)O,il Cm 'la' Ílar~, lineaJ' príncípal-' de\.i~óteine~~~;f~el~,átea:-,Qo.Dsti1iÚlY(,'2,4 ClÜ2• '.aaUar-la ,parte; liilea,I·,p~l,D,!<ipl\l~~éU.n~¡:e.nient'o~.e1ár9.l!:''l1!6';co'rrespóndeal ihctemeiito 'de.~c.~:d,a'ladpren.: "Ii') ,O¡6'QIDj'b) iO,'7Jí~:cmje) 1,2 cm." "'.; , " ,. ,.' ~l~:.,:..' .. 889.1.Hlí.ll~'la difereno;ial de ~1I.;iuncióJi:. ~, ' .. !'...... ..-
• '",!.. • '~r.;;;'''' . 1'· ,-~ j' ii)O:,F5yxi.,2tG'; 3) O~S';2.'; ~)UT'ij 5:)ii(~;,6\ - '¡1 ',.' '~)i V{,-. Si 'P.,." 9)' "/Il::-'",. '; '1'0) m"l-'(I.') ,,,{i;' - a-fill' J tfiC' l", ..,0,2, ,;..... lT¡;;.·
, ~~",...t.-,,,SSO: iQUé '4ictemen'~:O te~ihe' la, fuoclón"'y'=='3Z' ';_ ir áI'Ííisili 'elv~lo¡j de la: var~aple independiente ,(le s:= J ~,:i; ~9__~;02? ¿Cu4l,t~~~l
! valor de l~ pa,rt~)li!leal ,J>;tinciMl c.orrll~llouQiel1~? Hallu,.'lª:?r.all.6n; en,~r.!l'~o.:JD-~alores, s~~':ll1,.~~ y 1P,;i~et!>...... .. .;', j' -c ., - .• ,:., ,;! 881. ados la fúÍlclon Y.-= f~f) y e¡ lIl<;I,"8TlleutoÁX j= Q,2 en1u~ p~nto' ..;t.i hiiUl!.rJal~~r¡v,á:d.~~n ~~'P,'lIl\.~ x, t_O~á_Ql,lo,.en-:cóIlSideJ:b.icíén 'rle-la parte pnnclpal"corres.po:ndtente del ,mcreínento 'de,!Ia fun-!.cjon. -result6_igilal ,a 0,8... 1_,__ -,~_'_'_"'"' ." '., .. _;;_. . I·~e~.Sell dj<ga la. fu'nc¡~n, t..(~)~ .l;~.,:EÍl{Bl1,J.M~ que en.~t}n_punto~ iI}.!lr~II1e!ltQqe l¡¡,y.#iapl~. illd~pén4iíi'ntl! ,6;¡;-~(Q,~le rQ.tNS-poHde:Ja párte pr,in~pal ,dkI::.¡nQ_r~me#ot~'~~·:i:1(tunciR!l·:~í.(;i;X7" ~·O;S.'HáUá,r el valO1: ~sf~~al:~4e":1-k'Vi~#~li~e;:J~ªl!pepst~l)te','. ' , . .:
883. Hallar el incremflñw y la;aUereneiái' de la funcién f¡ = ui! '_-;t para x=iQ y aa;=.,Q\.1•...Calculllt:.los..ertpres ';u>soluto, y relatívoq~e se. obtienen' ,~l sustitilir' et<i:ñcremen-to 'piir la diferencial. Trazarla gl'áfica. I " , ,
884. Hallar el ¡ncren1en~ó'y. la dije_renciat de ia función y =V;para :.r; = 4 y Il:i:.= 0,'41. Calóular les-errores ábsoluto y relativo.Trazar la gráiica.
885. y = .x3 ....:..p:. Para x ,=2 calcular ,~y y dy. dando a /::"t losvalores ~ = t; 1X:t = 0,1; && = 0·;01. Hallac Ies valores correspondientes del error relativo
72 Csp, IU. l?arivadll" y '.QiÍGffi!cial,t ..
1'1) (zZ+ 4~+t) (x2 _ Vii); t~)r Z'=1".1 '. :l'a)!:!t(i ., t ,. ' .,3_.{' '¡l'_t-2. '
\ _. ~+ + __ 1-'.1;4) ',(1+~_X2)3; 1,5) t'g~~: 16) '5hlli:<; , 17)2 eo,u;
í8):1~'ig (.; 1:.i)";- 19)~1~:a:;~'20}.Yárc~m¡.x ~H~~}~'~).~i~~\~':~'íi,;se:n1.f:':_'~,!\f'ctir:~~p·4"a"rf,~'(j~?-:},~r~t~~i'·
1 ,t, -:
22)' á-O;;:+3z3 -'% '1(;.'890. <tlculaf ,el 5~1~,~~~~',la ~iIere-9ciaJ de, ®, iunciÓ~:"
1) y ='(tg .0:+1)2 a:L....v!l~!~r"-Ia'"::ariabie- ,i!ldJ~p~n'dienfe.desde ;¡;=T~n ~, _~
hasta x =300; '2) y =cos2 ip ·atváJ.iar Ij> des,de 60' hasta 60'30'..
3) Y= seo 2<p al variar Ip desde ~";haara ~; 4) y= sen 3q¡ aLvm:iar lp ,desde..~ ha!!,ta ~!~;5) Y,=seo.; ~l Yllriar e desde ~'hasta ,6Jn: 'n. ' I~ 360", '" r ,,';: • fo" [r ' "
89j. ';Hallar et Yll:l~r, a;pfox1ma.do.d~~ íncreménto. de la,lruncióll>y = 89IIX al variar :x desde 3.0Qlla~ta 3,O°1{:.l;<\."gu~le'~;,ig~ áen.:300t~1
8~2; ,-n.al1!lÍ~·el 'v!tloi' 8p'lroximado .dek.mcremento, de Ha ;ruilciól>y = ~¡t~al: v,afiar, x ,desdo 45<>hasta 45~10'. ,. " I I ", ,~93:,lIaJrar I}l:,-va!pr aproximado. del' iI}crel)lel),'!oo,de, 14, fuQ.c~ó:¡"y 1+COSI:Ja1 ,-variar :¡;' desde} ~ hasta .i!L'T~.1,~?,s~. .' ,<", ',3 '; ,3 100
894: P "'"kV COS2q¡, mtHal.' dp•.:_ I~,¡- '.,
..,g~5;··y= 3~ +2 2~ +6 v'". Calcolar: dy para z.=1 y d.2:'=0,2.896. Calcular aproximadamente sen 60·3', sen 60'18', Comparan
109 resultados obt~p¡dos. con' dos da,tos tabulares, ,', '
897. Compraba}' i¡\l~ la funclpn y, t+,~z ,~tisface la rels-t • ¡ ,+,~.z , ~
cíén 2.#dy=(:t2y2+1)dx,898. Comprobar que-la fúnción y deñnída.por )a m;!ia'6i6riarctg ~ =
= ]n'V,:c2 + y'i, aatisface la ,relación ,x (d,Y - ~). = y (dy + dz).899. t {x) = eO.1:>.~1::;")'. €álculai':(iproxií'ínldamente t (1,05).
, ,90~. Cal~l,Llar.,I!rc~~ 11q~¡a.rctg Q,PU , "1
, ,- "', .,¡"/ (2,037)~ ''3,'', 9,Oj,~palculat ,8_pro:¡qÍllada~&l\le_J4' (2,037)2+5';'
'9Ó2.,C"lcillar aproximadamente atcsen Q;4988¡'903, ,Si la,longitud deluñ'hilo"pesado\(cable;'iea'déna),I.(véase li\'
,fig. 25) es-Igual a 2s, 'el medio tramo' es 1,..'Y la Hecha és igual a fi...
',' .'~ .tii[erenciabtlia.aa.~~: ~Cͧ. /Unc'iQh,es9O~. L~ fUÍl,ciºn y =0 I''Ji.] e,9'ctl'qtip.uQ ~pat¡i c'u\difui~r ":t, Com-
jprobar que n{) és der¡'VS:bls'cuaniÍo :z; =:' 0, . .-0" ,
9Q8•. Efectuañd'().· \ID aIl,álisi8,' ~9cit ,éi laJuQci61l y.;= I XI l' para-x = O es eoneínna' 'y Q,érívaolé:, o." .J.". ,,,':"0' ;/\" ~09••La ~!lAC~~1lt (ti) ellt~t' d~fi)Üd~a.Ide,:la manera, 'sigüiente:
.1 (x}~:'3"~ + ,t¡p¡J:rll :ll ~. O; i (~)",,;;='qi' ;pa,ra, 01< ..1;.<: '1;0[ (:ro) =;.2 +'$
~A,..---'-----8. f
.. 2S
Fig, 25
904. CUando se calcula un ángulo por su tangente y por su seno-con ayuda de tablas logarítmicas, se cometen err?Iils, 'Hacer un.paralelo entre éstos. es decir, comparar la exactitud de 1'0\1resultadosobtenidos para el ángut~ ;Z; con l¡\s·'fÓ'rm.,ula,s lg-sen x =' ss 19 tg·z = z-sí y y. Z son ,dad'i\s",cQn eerores 'iguales. /
905. Al efectua'r .cálculoatécntsós sé recurre; muy a- menudo, a lareduecién de :n; Y'vi (g'esja aCtlléxaci6n de 'la gravedá,dLen el caso-en que uno de bStos<nÚlDeros' está en el numerador y el otro. en eldenominador. lC!1ál es él error-l'e1at~v.o que Be.,comete~.
906. !9xp¡:esal 'la dife'rencial do la Iunción compuesta por medio.de la variable independiente y sn diferencia'l':
1) 1I=Yé+5:X¡ ,x=t3 +2t+1¡ 2) $=coi'::, ~=~:1
3) :r=arctgl/, Il':=~i 4) v=3->=', x='lntgs¡tg.•
5) 9= e", z,¡=...f.lnt, ~",,2u:i-&!;+1,;. .. '
6) 1~' 'u o 2.1I=lli t~ 2-'" 1.t=arc!!_8ll;:v'i o,v'=co~,.s.
$8 ,tiene la ~gua:l.dod aproximad..
B=l(1 +f in·, a) Calc.ularooliluécambio sufxe la longitud del hilo al varípr su'{lecha en 1a mlfgnitud df.
b) Tomando en consíderaeaén la variación ¡;l,s que .sufra la longí'tIld del hilo (por ejemplo, al 'alterarse Iá temperatura 'Ó la carga).-decír qué cambio se opf.lrca·en la flecha debido a ello.
,. Cap. ·IU. Derívada 'Y-.Diter~aia¡'
Velocidad relativa'91-7.Un plinto se mueve sobre In espitl.rl de Arquímedes p ;;; aq>.
Hallile la veloc:!(latl de la vanacién dijl radío polar p respecto alángulo polar lep, '
918. U.n punto se mueve sobre la espiral logarítmíca p = e"'l'.Hallar la velocidad de la, variación del radío ,polar si se sabe quegira con velocídad. angular (t)., ~19."Un-p'un'tése mueve sobte la ,élcunferel)ciá p =2r cose.f(a:1;lal' 'la -velocldad' 'de Ia variáción 'de -la ,a.bs¡¡fsa,"f la, ordeuada delpunto si el rá!l'io p,olál"'g'j['Qcon Velooidad angullit. oo.En este casoel e3&po'la1"'qéiSeñipeiía'la Iunctón del de l'lis' abscisaa, y el polo Jia deser consideradocome 01origen del sistema de coordenadas cartesianas.
§ 4. La derivada como velocidadde varíacíón (otros ejemplos)
.~,ra-' .b;;;;'x,~;2:y,:t (~r.=<3x,-",x~ ¡para, x;::': 2~, AVéliigunr- (ji laifuü¿ióti ¡f ,(x)',:e8'continua 'Y aclarae I-¡¡,eXlsteD:\)ia'y la ci'lntin\.lidad.-de -r :~), ' ¡ ~: ' - • ' ' - , " . -
,~tQ~La, función y =:t ;'1S8l), ,-;¡;'I"!l~ ¡cónt~nua para 1cualquier s.:Mo¡(trar:que no-es!'ñerivable cuandoee =~-O.'¿EXisten: otros valoees deJa,;l4\"ri.¡,¡b.le~ndepend:j~n\E! iar.a~los';ci,¡.áles la f1;lnQión'n9 ~ deriva'bls?
"91:1; Averigua)? íii 1{1'fill)ció'i¡ 11 = e~lxl es ~oútinl_.U1y deri,va:lilé ,¡pafu':!i1:.~r():" '-.','- 1, -",1, ' ,1' I
"9UC ¡(x) =;¡Seb.¿ .para' 'x';#O, /'(Ó) =p. ¿1J:s,d~riv8,h~e ia i~-cion, ¡(x) cuando :i:~f#O?,;, ,~ ,
'~{3. 1(~).='~-:-=~ , p~r~' x =# Q, 1:.(~)=.0, ' ¿E1í', 'derivable,yéontrnua ~a fúncf?~ t (x): c~n_do 1I1,"=OP, '~"'~'__ ---';".. 914; Dada .ía:;.f\1~ci~Jl.t(x) =<:,i+' V(12\ ~~)~, mostrar qu~ ,111
parte Iíneal príncipal' delfncremento de la función no ~ susceptihle4~ s~r despejada Cuando s: = 1 ,~, por lo tanto, la funcíée t (x) notiene derivada para x == 1. par la intepeetación geométrtoa del resultado,
'915. l'(.x) :i:: x Ji'rct,g l_ para x 9S O¡ t (O)=,O. ¿lJ)s continua la% , ,
Iuncíón f {~)cuando a;=Q? ¿'E-svllÍ'ilj.iJjle? Dar 'la intetp.retaci6n. geoinétrica del resultado., "
916. t('1I1)=---=--t- para x:¡"O y 1(0)=,0. ¿Es continua la1+." ,
1(llllCíÓD j (.'e) cuando z ='01 ¿Es derivable?
'75
920. 'Un.,círtmlo, de radio R rueda, sin 4l:sUzarse, spbre·unil'reét~.El centro del círculo.se 'mueve con ~eloeid8.dconstante '11. HaUar.I~velocidad de la VáJ;iacjó.o.de ~¡¡ áh~il!a x Ij la ordenada !I ¡¡lIlraUDpunto que pertenece -alIímite- del círculo. '
92J. La presión Jiarol1léttica p sufre á:lteraciones, al variar Jl~altura h de acuerdo eo{l~ lílnci6ill~ f,;=ch, don~e p¡o es)a}.resi6nnormal yc es U!Jaconstante. A la albUta"de 5540 m .la pI:e,gi!Sn'alc,un¡tla mitad de la normal.¡>HalhIT la velocidad 4e la variación de la'pi'eB¡6ñ llaroIiiétrica en tunci6'n de la altura: ,'.
922. Entre y 'y x existe la relación yS = 12%. El argumento :zcrece unüo.mymellte a, una velocidad de 2 unídades por segundo."lA 'qUé velocidad. aumenta V cuando \1: ;="a~ " ' , •
923. La ordenada del punto q\le d~rib~ Ia ,circuIl,fereDci~Xi + y2 = 25 decrece-con una velocidad de' t,5 é,m'lfft'.tK 9,Ué velocf'dad varia fa -absoisa "del, ~\Íil,to cuando la,ordeniúi,a llega a' ser 'igual8 4 cm? ' ", " : ~
924. \¿Er{'qué punto (le la elipse- 16z!!'+ 9!J~= 4001¡¡ ordenada'decrece con 'lá misn'ill velocidad 'con que crece la abscisa? '
925. El lado de un cuadrado aumenta con ~elocidad 1'1. ¿Cuáles la vslocídad .da 1<1variaci6n del perímetrQ y del ár.ea del mísrnc eilel momento en 'Q1Je.su ~,a4o.llsge. a ser igMI a a?.. 926'. El :rlldií,¡ de'uri 'círCulo ¿arullfa con "e~~ci4a~ u. ~~ál es .lavelocidad de, Ia variación de 'la longitud 'de su t>!roú:nIeféficia y deliToa en el momento en que su 'radio .Ilega 'l\ se~ igual a -r? \ +
927, El radio de 'una esfera cambia con velocidad ti. ¿Con quéveloctdad varía su v91nmeI}' ,f.. ~ _supet.ficie? 1
928•. ¿Pata qué valor del' ángiíl'ó su ~enÓ varía dos veces má~ lentoque él argumento?
929,,'¡Pai'a qué valor del ángulo 60n iguales las velocidades de"la váriaohíll,':d.e' sil, senol,y' de su. tangente?, t i ,
930, L~ ,vel'p~i~~~;,~el~r~9mieDto,~~:,si).Il.:~~~entó en n vece~.'¿Cu,ánta1l veCl8S,ªumel)'_tióla'veII,lClda¡HdeJ: 'CreCl:IDlento de la tangente?
- 931. Supongam9s que el volumen del tronco d'9 un árbol es pro»porcionalal c,ú])o de sú diámetro y'qUfj~:ésté:Grioede afio en afio,uníf?nn!ime'n~..Mos,tÍ'~ .que.Ie velocidad ae!,;,~,i.'eei~ien,to.:d~ :"Rl.~,~e~,~le~dº el d~~tl'o, ~SJlª),a ~Q c!p.I"e!l25 ,y~ces~ay,o,l"V!~la d.el,or~cl;miento P3,Illel caso Gel dfámetro .ígual a t8 cm.
''F~hcio'ne$\dadas, eti "jQr.ma: parametTica932.,: P.r!l.bar .sí un 'p,u~~ó dado, :PJIl'- ~~~~c~,o~d~il~~i.~,!l~r',~~ani$
:es~ IlU'Ja U-p,ellcu:ya;:eo\~cl!iD~~la¡ \l.n.to!'"ma~pa,~~~9~},ca:,,!I'~~'1f~~t~l¡¡Uñ,~O,(!?;11),,80,br~}a,,_clleunfer~nc!~:z¡'T',~'f ~c_Q~tf'Y~=" '7-,:",~"d~'+ 5 'Seu' ,t?"bU$s~,tJ,el. p_u!ltó,,f2~,l(3) ,,!3ob:;-e1!!ii'[email protected]}cÍ8"¡;":::¡_ 2 ,co~,.t,:'Y'=.~,sen"t? r.
Cap¡ rtr: DerIvada y Díterencial7.6
94- 3al Sol:, :l•.x=~. y= 1'+,,9 t,
!J:nlos ejercicios .946-949 hallar los coeficientes angulares de lastangentes a las líneas que $ íudícau.
M~. % = 3 cos t, y '"" 4 sen t en el punto (3V2/2, 2V2).947. x = t,- t', y = t'l. - f!l en el punto ,(0,0).948. x==> t8 -+ 1, y = (J + t + 1 en el punto (1,1).M9; 3l .., 2' coa t,·'lI'= sen t'en:el punto ·ti, ,- V8/2),...950. Para la Iínsa dada ~pará:métrioamente',rmo8trarr la reIacioñ
entre ell1árámet~ó t y el tínuglo a que forma la tangente á 'la lineacon el eje de abscisas, -
y"",bseD3<p.
y=a (1 -cos<p).lI=t-~,
'1-1Y'=-t-'y-l-arotgt,y = <pcos!p.
'y= (2~J '
y=e( cosr.
937. x=aoos3.p,
~38. z=a (q¡-sen <1»,
939.x=1-t',1+1940. x"i-t-.
941. x=ln(i+t1),942. x=cp(1-senep),
i+t3943. x= 1?-1'
944. %=e' sen t,
933. Constru¡'¡: las gráfica.s de lall fúncioI).!ls dadas sn formo. para- .métrica:' .'.,'
a) z, -= 3 COl} ~, Y .. 4. sell t:i, b) x -. t~ - 2t, ~,=t2 + ~t;.e) x'= cos t, y = t + 2 se~ t; d) x == 2i-t, y =+·(tI+ 1).
,'!»J4. De las ecuacíoues qUIf dau J¡\ lunción:'.en forma péramétrlcaetipljnar el parámetro: ., '. ' .,. . .
'~)~:Z¡ ~ 'St, y.~ 6t -\t~;.2) ':1).= eos t, y .="500 2t; , .3)~':2:= ra+ 1;. V = ·ta:... 4) ,x = cp ~'sen ep, y =:1 -. cose;q)~Z.=tg t, .y -:;.sen 2t +.~cos 2~. -935~Hallar. eL varar del parámetro que corresponde"a las coor
dehtidl,l.Í!'dadlls del punto sobre 11¡.línea CUYII eC~.9i6n se.'da en Jor.me;paramétricn: . '., 1) %'=,,3 (2·008 t - ces 2t), y "" 3 (2 sen, ,t ....;.'¡sen2t); ( ....9, O):2) z.- ti + 2t, y - t3 + t; (3,' 2);3) x. = 2 tg t, Y = 2 sen2i + sen-2t; (2, 2);4) ~ = ti -1, Y = ta -'ti (O, 'O)•.I¡:n los ~jerciCios 936-945, hallar ~as derívadaa de y respecto a z:OO~ x.acos~ y-bsen.
77
9¡)7. MostraT' que. clla~qúier~ lP,]e sea; le posi~iQn, 'd_!lÍlli1'c~lo. ge~e,adQl( de v'n¡¡' cicJpide e • la Ital)gente .y:·lll,~bb¡'~aI1m jl.j JlUJ1~0,"4:ofr.éspondisnte: d,!!la cic~oh:le pasan 'P.Pf. 's,u, .p):llito~.s~Plltior e in.fe,rior,vre&1:lpecrívamente. .'
• j 'H'V~ 1Ix=: V i+t.a.-lo. I ,fy= 'V1+t% '
~ti5faée la relscíón ~ =1/' (y' = ~~).9155. Comprobar que' la tuneión d_!lda en fo!,wlI paramétrica
_¡ne,diante las ecuaciones :l:=1~;nt. y' 3+~IM s'a~i9rácela rala-
eíqtli yy(.-=·2zy'2+1 '('y' =< ,;D.956. Hallar' los ángulos que. se 'formruI al cort:¡ú"~ las 'lfpeas:
, 's' . . .' ':""'''iI'('n~
{
:t ~'3 cos t', _, -. { $==. Q,;cos:qi -, { ::c =1'-t:.t~,. , ,1,) .'1= z'A, y', 2)· . "IT ,,\r-5 . ,. y=asenq)' J '<lt·v· 3
.y = -¡,sen t·; .., ': y =. t+IZ'
ti,
{
x=eosi+·t§eut~Téost,1) '. ¡l.
y=sen t~tcos e-;tS8U t;2) x = á C059 t, y = a .sen!t t; .
3) x= e costV 2 cos 2t, u= asen t -v 2cos2to"951. Comprobar.que'la función dada en Icrmapararcétríca median
te las ecuaciones x = 2t + 3t2., 'Y = t2,+ 2.tS ,sa.tisface la relaclén11 = y'" + 2y'S (la .p¡¡ima:denota la deriva~ión con respecto a x,esto 'es y' = iJy )., 'dz
952, Comprobar 'que Iá -íuncíón dsda eu forma .paraméttícadí t 1 o • 1+"'t ¡¡ + 2 t°J. }' 1me ian e as ecU8cIOIJes x=--:¡t"'"" ~ y=w T sao israce a re a,-
C)Ón 2lY'ª=j+U' (y' = !n o
953. Comprobar que la función dada el) fortrlil paramétrícs medíante las ecuaciones. x = eh. 2t, y = eh 2t sa'tiSface la relaciónyy' -$ = O (yl =~~+
954. Comprobar queol¡.¡. función dada en forma pl,lrométriell_medianta las ecuácíones
Cap::' ro: .llei:ivada .y!Diferenoiiil.78
Urofiad'o 'jJo:.:1.05. ~jes de: coerdenadas, es ígual il ~a. .En los -ejercicios 963-'-966 formar l'as"ec\U(ci'ónes de la tangel.lt&
y la .normal a l~slfnees que se ~~aican en, 1,08 ,p'u.n~o~oi~ados.,963.• x=2e, y=e ,pllfll, t=O.964.. x = sen t, y =ces 2t para t =n/6965'. Ji "" 2~lnctg t+i, .y = tg t+cgtt pOJ'o 't= n/4.
~3Qt ~' . 3,,12 ,-966. i) !x;=:I!+t~' - 1J.=:1+tz para t='2;
{X =t (t cos t - 2 .sen ~). '" n:2) para t=,_.y=t(tsent+2cost), . 4. '
3) x=sent, y=tal pª~a t=O, ,'.,987,.Moátrar que .en dos 'llUJltmrde Ja cardiglde~(véase'elejeJ;Cici<>
958)\ los. cuales correspondén a-Ios valores dé) ·parámetro t' que se-., ,
diferencian en ; n, las tallgen~.e8,,~nparalslae,968; 'D'empstrá'r que si 'las lineas'Or' y ON 'son 'fas perpsndicula-,
res ,pajndás !aesde er origen- de coordeni41as pást,a. !~tAAgeiite y. lanormal ~. la ~s,ttotde-en ci1al~i~).'á .de Iñls P1rDtOB(véase el ejeroi¡ifu!959)¡ ¡'Se 'tiene " .
4 ·O'T2 '+ O'N2 = a2_
y. '9 - a cos" t,:& = 2a ssnr + a sen t CO$2 ti
961. Hallar 11.\5longítudes de la tangente; ia normal, la subtangentf¡)'Y'la:subnoMlal a Ia evolveate de' la ciro~ferencia (véan~elasecuacíones ,de",ésti! ,ep el ei!lrcicio. auteríoe).,
962. Demostrar que el segmento -de Ia normal 11 la curva
f¡ =~(~i.:~J,cost).,x = (1 (cos!.+ t sen l)"
_ 9~!!,',..Ha'l;l8,¡las:~o!]gft.1.Ip.es"4e.18,tangente, la nOrlll,a1, la subtangente 'y'Ja ~ubnor.ql'~. 'a,la",c8,i'diotdll-' _ .'" . . l
.X"=' a" (2 cosi ~ 'é(is2t), .y' "",-:¡¡ (2 sen -, ~ sén 2t)
en -un: '~P'!lnto',~ua)q)l;i~¡'~: '¿tI! . ésta_ , .959. H~tlar: 11l,$;.16ngitudes-iJe¡'IX tangente, la normal, til' subtan-
, gente, 'la subnormal ,ji .la a:9~oi?~ ~
:Z:,"= a,sen3t" !l ..., a ºÓ!l~t
e)l·l,ui...:puntp cllÍllq,uiera d'e,~sta.._,'._~, ,96Q; Demog~at' que ,la .tan,wmté 'á In circunferencia :es.+ y'l = aS:
es',' al-mismo t~eriip'o,la not.rh'ill a: 'la evol'vent.ir de/la cireúnfe~nci~.
_ 71)
",1; 9691_Hal1ar .Ia, Jong,itnq, ,de la perpeudicuIÍlt bajada desdé elorigen de coordenadas' ruuita la tangente a la -linea' .
2x '!'" .a (3¡cos,t + cqs,3t), 2lf = a (31!!Bl1t + sen 3t).Mostrar gue 4p" = 3p~+442, donde p es el radio polae del pnn todado.-~)} :,e~I.!<;I";?~gitud de dicha perp~nd!ºular; "
Velocid,ad de la vai'iación, del radU, polar
971}. Dada la c.ircúnterellcia p = 2 r sen tpl hallar el augulo aformado por el radio polar y ,la tange-p-te, 11 el áJ:¡g\]lo~ que formanentre ,sí ~l eje polar') la. tangen~. , .. ;
~7t::,'Ilem9st~arqu~ para. Ia parábola p = a-see'~ la sume de losJ , ~
~ulos f0f.ma~i>8 PO! l~ tali~en~ 'con el radio polar y el ej(! pelan,es igual 'a'a9S' ánglllos"rectbs_ Val,íénd'ose de esta.propiedad construirla tangente 11 _1~ parábola. .
97~:,.])ad¡¡'Ú,'líilea p ;= (J¡ senaf (concoide), mostear ~e Gt == 48'(las designaCi?n~..!íso~ las que, se dan- en el' ejatcicio f}70). ,
973. Mostrar que dos parábolas p=a sec~ !y p => b cosec~ ~se cortan-íormaridn un ángulo recto.
974. }[allar él, valor de 1101ta;ngeute del á_ugulo .forma!!o entre el~je po'!!!.!'y. l¡¡. t~á~en'te ,~)A línea. p = .0,. sec '~q>'en, los puntos en quep = 24'" '-' , '
975. Hallar .la tangente ele) ángulo fonnado entre el eje polary la línea ta!l'gent~ en el onigen de coordenadas: 1) a la línea p - sen-lq>2) ti In línea "p = sen 5q¡.
976. Mo~tra~ que r dos ',caf,!ii9ldes p =~(1 -+ coS IP) 'Y p ==a (i - cos tp) se cortan formando un ángulo recto.
9-77. La ecuaoíónrde la línea en las coordenadas polares es dada~n forma pa¡;amé.trica; p =11 (t), q> = f2 (t). Expresar la tangente delángulo 9 formado eqtrll la línea tangente y el 'radio ,pQl¡¡t,comofunción de t. r:
, '978; Una- línea viene dada medinnte las ecuacíones p = at3,<p = bt··. Hallar el á:pgulo :ehtie él radio polar-y la tangeÍíte:
97·9.-Dadu tu elipse;J: ='ti «·os"it.~'Y =.,6' sen 't, exprésar~,eh,fadiopolar,p y eJ ánguJo polar <p cO,Ii1~dU1icióu-de¡-'])arámebrot. Va1i'éndosede la form'a así: obte~Jda pa:a ..~~l' .la ~~'ipge~~4l:cul'U" el.~g:~IM91'JA1l;~do entre la tang!lute..y el racbo po1a;c,," " , <,
Se, ¡lla):1la sub,tafl.$!mte,,polá_r",i¡..lJ~' pr9X!lC<!i6,n,-del ,~eg¡Delfto de la,tan,g!l~te a'llsde, el pu~n~ de I)Qntac~o,hastal~1l ,int.ersectiQ_ll~nda 'p~r;ópendicul¡ll' .levantIl4,8,:~1,t:!l.d¡0:polar'\ll}, !.ll p,olo:. soJm~ di~4ñ:.,~~pe%dicullll', De :iIiáloga manera se definé la subnor~l po~ar,~4'Q.!i!l~~~O'8sto"en consideractén, resolver )Q~' pro1;ilelll!lS;de, los ejercicios, 9.80-984.- :~, i " ' "
i > Cap, IU. Dé,riVa_d'a y,DUerno(a180
• :¡;2¡Z ds?987. La olJpse -;;2+ 1iF == 1i Ty=988. Lit parábola y~ = 2p.x; ds = ?
.h 1 . , t . 2 -" d. ?989. La pmoa o a sernrcu nca y ,=a:&"; diJ =990. La sínusoíde y = Son x; d,¡¡ = ?
e"'+t-'" J.991. La catenaria. Y=--2-(¡/=cb:t); a;==?992. La etrcuntorencía z""I'cosl. y=Ts9nt; :; =?
993. La cicloide x=a(t-sent), y=a(t-cost); :=?99{. La astroíde :r = a. C053t, y = a scn3t; ds = ?995. La espiral de Arquímedes :& = at sen t, y = al cos t; ds - ?
.. {x~a(20ost-coS2t),996. La caediotde (2 t 2t) ds=?u=» sen -soo ,i997. La traotriz
x=o, (eollt+1Jl tg{- )" y= a$on.t; as=7998. Ln ovolvente de la clrcuníerencía
z=a(cosj +tseo t),y =a(sent-tcos t); ~,=?999. Le bípérboíu x = a eh t; y == a sb t; ds = ?
6-0'iG
986. La cíecuuferencia r-+ y~=r~;
la longitud del arco de laEn los ejorcicios 985 -999 s designalinea correspondiente.
985. La recta y=ax+b; ::;=?
Velocidad de la pc¡riació", de la longitud
980. Deducir la f6rm¡Q8.para .la súbtangente polar y la subnorplalo.polo!: do la Irne.a. p =iJ (gI). -.,- 981. ,Mostrar que la ~O.~giti.iddo.la suhtengeute polar de la !lS.Piral
ti .. - 'hipllrb.6lica p =~ es I(on.st,ante:o o • •
982. Mostrar que la 10ng'i~ua 'de la subnormal polar dé la' espiralo ge:~Arq'uimQdes ¡;, ~ alp' es :c~mátante. .. t
983. Hallar la longitud de la subnormal, poliir de la espíÍ"j\1"Ioga-rí.tmi!ln p= alf. " ,.:' 'o, "> r_~ 98oi: Hallar' la lón'gituc:l 'de ,la si,{bnorm¡Ü polar da la 'espiral 10-garl~mica p = a"'. '
§ 4. L:i derlvi\~icomó,lve1ocidAd'da varlaci6n
Fig: Z7
¡;íC. 26
tOM. Ln fig. 26 muestra, de manera esquemática, el mecanlsmode manivela de una máquina de vapor: A es la cruceta, no' son 108correderas de la cruceta, AP es la bielo, P es el gorrón de maníveta ,
Velocidad. del movimlellto1000. UDa escalo, que mide 10 ID de longitud, tiene apoyado su
extremo superior contra una pared vertical. Su extremo inferior sehalla apoyado en el suelo y se desliza apartándose de la pared (\ 2:Dipor minuto. ¿A qué velocidad va descendiendo el extremo superiorde la escala cuando el inferior dista Oro de In pared? ¿Cuál el! la dirección del vector de la .velocidlld?
. iOOt. Un tren y un globo aerostüuco parten de LID luismo puntosimultáneamente. El tren So traslada (\ una velocidud uniforme deSOlun por hora. El globo sube (también uniformemente) a 10 km porhora. lA qué volocidad se aparta el uno del otro? ,Cuál es la dirección del vector de la velocídad?
t002. Un hombre de 1,'71.11de estatura se aleja, a G,34km por hora,de una fuente luminosa, gue se encueutm a 3;m de altura. lA quévelocidad se traslada la sombra que proyecta su oabeza?
1003. Un caballo corre a 20 km _porhora a lo largo de UDa circuníerencln en cuyo contra se baila un farol. El" el punto inicial de lacarrera del cahalle está. situada tina corea que sigue 111dirección de latangento a la circunferencia referida. lA qué Velocidad se desplazala sombra de) caballo a lo largo de la cerca en el momento en queéste hA recorrido 1/8 de la circunferenciai
C8p. Jfl. Derivalla y DifereDcial82
Funciones dadas en: [orina ezptictu;
1006. y = $'1. - 3x + 2; y. = ?t007. y>= 1: _.:1;2 - .:1;.; y- =?t,008. J ~x)= (x + fOri r (2) = ?1009. f (x) == ;r.ri '- 4x + 4; Pv (1) = ?tOlO. y = (x~+ 1)'; y' =? 10ft. Y = COS' Xi 11" = ?1012. t (>'1:) = ell.X-~i r (O)=? 10t3. t (x) = nrctg x; r (1) = ?'1014·1(3;)= '1~"'; fV (x)=?
10t~. y=~31IlX; yIV_? f016. /(x)= .,~ ; yN(X)=?Il·p i-r10t7. p=asen2q¡; d'Pe=? 1018. y=,+%; y(nl=?
En los ejercicios 1019 -1028 hallar Ias segundas derivadas de Josfuuciones
11019. y=xe"-o. '020. y=~.
f021.1I=,(1+x2)al'cLgx. 1022. Y=Va~-;¡;2.
1023. y= In (x+ 111+x::). 1024.. y= ,,+~;,JOU¡. y=eV;_ 1026. y=Yi-x?nrcsenx.1027. y = aresan (a sen x). 1028. y = r.En Josejercicios '1029-1040 hnllar Has expresiones comunes para
185 derivadas de n-ésimo orden de las Junciones:1029. y=e!>~. tOSO. y=e-x•j081. y=senax+cos~ 1032., y=sen2x.J033. y=xe"'. 1034. y=xlnx.
§ 5. Derivación sucesiva
Q es 01 volante. E;l -volante, ,de J;ad'iO R, gira uniformemente convelocidad angul-a-r o , La Jongiiud de la hiela es igual a l. ¿Cuál 9S laveloctdad que tiene la cruceta ,ab desplazarse, en el momento en q\!e.el volanta ha giJ:'aaQ un :Íl'lglilo ~~ , ,
tOOS,.Un volante que ha,MÍ' dado 80 vueltas por minuto quedóI roto. El radió del' ñijsln'c)~mitle,O;9 m. Su centro Se halla le.fun-tudopor Bollre '.Ell suelo, 111;distancia entre ambos, en línea vertical, mide':1 m. ¿Cuál es la velocidad a que !!fectu'ará su caídn 'hácia~el sueloel pedazo roto (designado por la letra #1 en In Hg. 27)1
§ 6. DerivaCifui Sil.US1n
" .' • d'/I<lLt, a~1a~1~, n son cODslantes),9t\tisface la relación (fii' = n·y·. t()50, ,Demostr~t que .la fu'ac.i:6n;~1r:;.'~9l\';(n.8J;c~en:i) satli~i3c$ laeelaoléu (1- :t~) y' .::...xy' +,·n?y, c¡;: ',~.: 1 ' . ,
10'51. Demostrar que la É}lJción e" lI!c..oen.,satisface la relación(1 - ;2:~) y. -xy' - a,2y ,,;, O: •
1052'. Demostrar 'que la' 'rJo.CiÓll y =,(~+Vx2+1t satisface la~l!l.ción (1+-a:Z}'y'!-h:r.yl -l,1Jy=t'0.
1049. Demostrar que, In funcíén
1042. Demostrar que la función JI = eX sen :Ii satisface 111relación'y. ,- 2y' + 211. ~ 1.0,. Olien~tl!-.s.]'~;función y = e-o; sen ;t. satisface larelación y' +2y' + 2y -= O,
1043. Demostrar que Iafuncién JI -= :z;-:-~ satisface la relación, %T~
2y" = (y - 1) )Jo.1044. Demostrar que la función JI = V2x _X2 satisface la [ela
ción y8y• + 1 = O.1045. Demostrar que la [unción U so: ef." + 2e-x satisface la 'rela-
1:i60 y'" - 'l3y' ~ 12y = Q.
1046. 'Demostrar que la 'funciÓn y = ey¡+ e-Vi sa~i8facll la] '6 It L i, '1 O'1'6SCl n xy -r T y - 4' JI = .t047. Demostrar qUG la íuncién y = C09 e"+ sen e" satisface la
rslactén yO _ y' + YB~'I:= O.' .1048. Demostrar que la función
y =,¡Á sen (Illt + (»0) -\- B cos «(J)t + (00)
(A, B, (J). (00 s~n constentee) satisface la relación
J2y +' °-;¡¡¡: (ll y = .
tOf¡,(). y=sen'x+cos'x.l~ f~nci6n y = (X2 - i)" satisface la,
1 "1039. Y'~ ;i:2':""3i+2 •104t. Demostrar 'que
"elación'(.:t~ - 1)11'R.,) + 2:z:!flt+t) - n. (n + 1)11(1') -= Q.
1036.y=ln (a.:r:+b).
1038. y= Z¡:"1 •
CliP: JlJ~DerivadA 'y'Diferencial
tJ.ú "-"+ bv+ 8 tfty ~-;¡¡= - b"'+~y+1 'J d7"" (b:t+<v+/)3
donde A es una constante que no depende de ,,'t e y.
se tiene
Funciones dadas en forma lmpUcUa
1056. bIl.tz+a2yz =a;b2; ~~ =?d'V d3y1057. z2+yZ=r!lj di3=? 1058. y= tg(:t+y); ¡¡;r=?
1059. s=.1 +te'¡ !~...? 1Q6O. y3+.xl-3nxy=O; !f,=?1061. y=sen(x+y); I/=? 1062.,e"<1I=zy; g~=? I
1068. Deducir la fórmula pata la -segunda derivada de la ¡funcióninversa' a la dada y = t (x).
1064. eV + xy = e¡ hallar y. (x) para .'1: = O.
1065. y2=2px¡ hnllur fu oxpresién k=V~'(1+v'2
, 1i066. Comprobar que de yZ+xt=R2 se deduce k=R' donde
k= I!I'IV(1+!I'Z)31067. Demostrar que si
ax'l + 2bxy + cll2 + 2gz + 211/ + h = 0,
2RT_ '1 11+----;;2;-.
(:~f3 (:n31055. Sea dado F (x) = f (x).q¡ (:c) siendo t' (x)q¡' (x)= C.Demos
trar que
. 11·,8(11")21OS3.·Demostrar que la !!J!:p~e,s~ónS =7" -"2 7. ~o vnr íat l' ¡"si sustituLalos y por v'; es:to es. si, pónemos !I=v¡,.se tie~e ~; -
-j({!-r=S. ,t05~: 'Sea dado. 1/_1(::). Bxpresar ;. me{liante ~ y ~.
3
] ". (t+y'Z)2 dMos\rar que .IÍ Iórrnula R "'" 11', es susceptible de ser re u-cída a la forma
85§ 5. Derlvaci6ñsÍleesi.,a
ds' = d:J;2 + dy" = [1(t) + r (t)J2 rUl•se tiene
1079. Demostrar- que six =:j (t)cos l - f' (t) sen t, y = t (t) sen t + l' (t) ces t
sa tisface la relación
Ú-x1) ~ -x ~ +k2//=0."
36y~ (v - 13%) = s: + 3.1078. Deniostra-c que la función dada paramétrtcamente mediante
las ecuaclonea -:¡;= sen t, y = san kt,
1075. x=ot cos t, y = al sen ti :~ =?t016. Demostrar que la función y = J (x) dada mediante las
eouaciones paramétrícas y = el cos t, x = el seo t, satisface la relación y. (x + y)~ = 2. (:ty' - y).
10n. Demostrar que' la función y = f (x) dada paramétricamente mediante Ias ecuaciones y = 3t - l', x = 3~ satisface larelación
2) X=I1COS2t, y ~ aseo:l; rPlI ?#~=.
'J074. 1) x=10t, y=t2_1; rPy =1d:r.2
2) x=nrcsent, y= In (1.-t2); i(l.y =~<k2 •
álI/1072. x=a(q>-S6IlW), y=o,(1-cos q¡); dif=?
1073.1) x=acos3t, y=asen3t; ~=?
1069. !L=at2, y=btJ; ~-?dya -.
1070. :z;·=acos¿, y""asent; d2r¿ _?d;l;~ -.
1071. X=ácoSt, y"",bsent¡aSJI17=?
Funciones dadas en forma paramétrica
I 111068. Demostrar que si (a + b:t)e7i' - x, se tiene
. rPy (d.Y ) aX3a;z= X-¡;-y •
Cap: lit. Derí,¡ada..·yDi!eroncial
Formulo: de Leibnizf088. Aplicar la fórmula de Leibniz para calcular la derivada:1) [(x· + 1) son xl(~QI;2) {e" sen x)('rt,; a) (:¡;3 sen <X.'t)''''.
,'4cele.miMrt. 'i)iZ mOVimiento
10~O.Un 'pun,to,(jfect'Ía,fl:Ió~¡til:i!into, rectilíneo, siendo S.=~t8--l+5.Hallar Ia acelcracíéu.e al fil;laLizarel 2~segundo (s.ellt~expresada 'en metros; P, en: s~g9ndo!!). . ..
i08J. Un mcvímíento rectilíneo se efeof,úa. ele acuerdo eón lafÓriníila s =..t~ ~ 4(+ 1. - ,. Hallar la velocidad y la lloel131'1Ioi611,del movimlento.,1082.'tJt1,punto"'éf~~t;u.!l~(jvim¡e.n:~orectdlínea, siendos=.{ X
rtt " , , ," . . .'X sen -:;- -t SO' Hnllar ht acclernctón al fi,QlI.lszntél primsr' segundo(S' está ;xpresada en cm, t, en $). _
1083. Un punto efect,(Lael movuaiento rectflineo , siendo s =Vt.Demostrar que el movimiento del punto es retardado "Y -quela aceleraci6n (J. es proporeionul cl cubo de la velocidad v.
1Q8.4.Unll viga 'pesada, que mide 13m, se:hace descender hacta el suelo da la manera síguiente (~éase la ligo 28): su' extremo irú'arior estásujeto a una vagoneta, míentras que el supericrse mantiene fijo con un cable devanado en,uncabrestante. El CaMe va desenroJláhd()$e a 2 IDpor minuto. éQué .aceleración experimenta lavagoneta cuando se aparto .rodnndo, en el momento en que dista 5 m del punto O?
1085. La cubierta de una 'burcaza se encuentra4 m más abajo de 111 altura del muelle. Tirandode la barcaza, la hacen acercarse p~1"8 que .59pongü al lado del muelle, mediante Ul1 cable,el,cual va devanéndose on un cabrestante a 2 ro lldr-segundo. ¿Que' acelerácrón experimenta Ia barcazaal moverse, en el momento eh que dista g m Fig. 28del muelle (en Iínoa horizontal)?
1086. Un punto efectúa movimiento rectilíneo de maneraque- su velocidad varia proporclonalmente 11 la raíz cundrcda deltral'ecto recorrido. Mostrar que el movimiento se efectúa lit octuaruna fuerza constanle sobre el punto indicado.
i087, Se tiene un punto materíal sobre el cual acttia una fuerzair!"{lIl'Salllenteproporcional a la velocidad del movimiento del punto.Demostrar que la ¡mergía cinética del punto es In función lineal deltiempo.
87§',5'.tDeriv8,_ción suc811Jva
~0;96: Y;::;.YZ;2; iP'y=? 1Ot}7~y=x!"r tPJJ=r109'8. 1I'=~~+:1.)S(x-·:L)~; dZ'y=?1099. y:= 4->:'; d2y = ~
rJtjerenciales 'de DI'dimes superiores
t-1'lcosn<p=an_<;!an-Zb2+C~l.!n-.lb4_ " .•
r' senmp= C:ia"-Ió - C~a"-3b8+ C~la"-~b~J
1 -_ eX1092. Demostrar que (t6"-le,,)(n)= (-1)";m.
10~:}.Mosttar que la funciórí !( ;= arcsen x satisface la relación(1 - x.2)y~= xyl. Apllcando 11 ambo.!).miéDlh~Qs de .esta ecuaeíénla fórmula, de Lelhníz , hallar y1nl (O) (n ~ 2).
r094. Aplicando la fórmula ds Leibniz It veces, mostrar que laIuncíón y = cos (m arcsen x) sa:tisface la relación
(1 - :i~)¡f"·2) - (2n + 1) X!f"H1 + (m2 - 11,2)y(1t) = O.. .1095. $i y = (arcsen :r:)~, SE! tiene
(.:1 - .#)y(fl+lI _ (2n - '1). xy\ll) _ «(.1, -', '1)2 11\11-\1 = o.m.Uar y' (Q), l/" (O)," 1. ~.\ yln) (O).
Aplicando Ja fórmula de Leibniz, llegar a Jas siguientes fórmulas:
1089. Mostrar que s~ y, = (1 -2!)-~e.-=, so tiene
(1-$) ~ =a.:xy.
Aplicando la fórmula de Leibniz mostrar que(i-:l!)yín+1) - (n+a.;x) yen) _ncty(n- t) =0.
1090. La Iuncién y.= ea.ucsen '" satisfaca 11)relacíón (1 - X2) y" --xy'-ct2y=O (véase el ejercicio 1051). Aplicando la fórmula deLeihníz y derivando esta i~lald!l4 n veces, mostrar que
('1-x2)",<"+2)- (2n+ 1) x1l("+\) - (lt2+ a;1) yen) =Q.
¡a9.i·. Mostrar que
(eRX COSb;¡;)I")=rné"'c;os (bx+n<p). donde r =y aZ+bz, tg Q>=!,a
88
l:tOO•. Y=1IfC·tg.'(~tg.X); d7-I.I'=? 110L. l/';"Vln2:¡;':_4'; tflY-=71-1~02"]L·~.~en~.:¡;;,?8y';"":?, 110~: p2 06~'q¡ -I!:sen:irp:= O;«'ti = ?
2 2 2.1104. x}+y8=aJ; rP.!li"':'·? '_
... L .... ;:- 1_
" 1_.,2_, . . l2 d' . ')1'1:05, y=Jn'1+~2; x='tgt; expresar ty meuíante, ~.'xyd:J¡.
~) t Y dt.,1106. Y ;= sen a; z _= (1."; p;. = ·f; expresar (tIy mediante: 1) f<
Y d~, 2) Ir'y dx; 3) t. Y dt.
89,l.. 1"·§ 5:;Dérivaci6n sucesiva
y = 3x. - 4x5 + 12x2 + 1.
i108. Pa~tiendo de la defi(lloión de la Iunclón creciente y dectsciente y de los ,PllJltos del máximo y del mlnimo , mostrar que la Iuncién y = w" - 3$+2 crece en el punto Xl, = 2, decrece en el punto;>"2=O. alcansa su máximo eu el puntó $3 = -1 y su míaime en~l punto :1:4 = 1.
H09. Igual que en el ejercicio HOS, mostrar que la función11= cos ~x crece en el ,punto XL c:::I ~-,; , decrece en el punto x~=~.alcanza su máximo en el punto 1:3=Q y su mínímo en el punto
".$.= 2'1HG. Sin recurrír al concepto de JI) derivada, analizar el compor
tamiento de la fun .. íón dada en el punto :+ "'" O:"~)y,=1-x'¡ 2) 1I=a..o-x$;, 3) y=Vii; 4) Y='V$Z;5) y=1.-··ii"Xi; 6), y=jtg.t1; 7) Y=Il)1(x+1Yl¡ :.8), .y=e~I,(I; 9) u=Yx3'+:z:?. f;HH . .,t'lfO;;tll1.l) que la íuncíón' 11= In (x2 + 2x - 3) crece en el
punto !¡;1.= 2, decrece .en el punto ,~~,= - 4 'Y no tiene puntee esw,·cíoüarios.. 1112. ESl,Ila'.;ecerel comportnmíento de In Iuucián y =" sen x ++ C05 $. en los puntos 'Xl =(J, xi=i. X3';= - ~ y 3;. = 2.
,ut3. Esclarecerel comportamíento de. la funcióny = x -lo ;!:~n los puntos'X~= 1/2, $2 = 2; Xs ~ e y $, ;= '1 y mostrar que si la
It07. Mostrar que el punto ,t =' O es el punto del mínímo de lafunción
§ 1. Comportamiento de la función
Análisis de las funcionesy de sus gráficas
Capítulo. IV
Teoremas de Rolle y Lagrange
1116. VeriJicar la validez del teorema de Rolle pata la función _y = z3 + 4X2 ~ 7x - 10 en el intervale[-1, 21.
1117. Vori(itlQt ']11 vaUdez del teorema dé Rolle para la funcló.ny = 111SGn% en el intervalo [ ~, 5:J,
1118. Verüicar la vnlidez del teorema de Rolle para la funcióny = 4-" en el iotervalo [O, nJ.
1119. Verifico.r la validez del teorema de Rolle para la funcióny =V~2- 3%+ 2 en 1>,1Intervalo U, 2],
U2O. La functón y =2-.,;¿ toma valores iguales en los extre-"mos del intervalo [-1,11, Mostrar que la derivada de dicha füuclén
no se reduce a cero en parte alguna del intervalo r -1, 1], y explicareata desviación del teorema de Rolle.
1121, La función y == 1 x , t'Oma valores iguales .en los extremosdel Intervalo [-a. al. Mostrar que la derivada de dicha función nose reduce !I cero en parte al.g.úna del intervalo [-a, al, y explicaresta desviación del teorema de Rolle. '
1122. Demostrar el siguiente teorema: si la ecuación(~o¡¡:n+ QJX"-I + ... + (l.n,.l :» = O
tiene la raíz positiva z = 3:0. In ecuación
lIaoX "_1 + (n -1) a,.x"~ +., .+ an~l =Otambién la ttene, siendo esta raíz menor que .!to'
§ 2. Aplicación de la primeraderivada
fllnpí6n.dad(\ creé e en e1llu.ñto. x == a::.> O, en cambio, decrece en elpunto. (fa.
1114, Esclarecer el.compQ~ta.1lliento de la funcióny = rarctg x
en los puntos Xi = '1, x2 = -1., .xs=O.1115. Esclarecer .al .eomporaamiento de fa función-
{sen~ para z::/= 0,
!/= '"i paru z=O
en Ios puntos :1:1= 1/2." /ll2 = -1/2 y :t, ;= O.
§ a. Aplill!)eión. de.la primera ~rivada 91
pura x,.p-O.para x=O.
,{ :trsen.:!.t(x) = ., •
o
siendo O< b ~ a.1133. Mediante In fórnluJa de Lagrangs demostrar las desigual
dadesa-n a-8 ~cosZm ~ tgll.- tg ~ ~ c;;;:;;; síeudn 0< p ~ «<e-
H34. Pm,a> b,demostrar mediante la 16rmu]a -de Lagrange lavalidez de Ias' desigualdades
nb"-' (a-b) <an_b"<na"-I (a.-b),
sIn.> '1, y las desigualdades opuestas, si n< 1.113~.:J,\nalicemoll la función' .•
I (:r.) = (x -1) (x - 2) (x - 3Hz - 4).
esclnrocer cuántas raíces reales tiene la ecuación f' (;,;)= O e indicaren qué intervalos esllÍn.
1126. Mostrar que la función f (x) = x"+ px + q no puede tener más de dos raíces reales siendo n par, y más de tres siendo n impar.
H27. Escrihir la fórmula de Lagl'ange para la Iuncíén y ==seo'3x en el intervalo [%tI ;f.~). I
H28. Escribir 11\ fórmula de Lagrange pata la función y=x XX (1 -In x) en el tntervalo la, bl.
1'129. Escrihir la f6rmula de Lagrauge para la función y =.... arcsen 2:r en el intervalo Izo, Xo + óxl.
t t3O. Verificar la validez del teorema de Lagrange para la función y = ,tn en el Intervalo [O, al; n> 0, (t> O.
H3J. Verifica!.'la valide ...del teorema de Lagrange para la fuoctén y = In x en el tntenvalo [1., ej.
1t32. Mediante la fórmula de Lagrauge demostrar las desígualdedes
t 123. Sea dada la función t (:1:) = 1 + z>n (:1: - 1)", dondem y n son números enteros positivos. Sin calcular la derivada, mastror que la ecuacíón t' ($) = O tiene, por 'lo menos, una raíz en elintervalo (O, 1).
t,124.. Mostrar que 11.\ecuacíéu ,r3 - 3x + e = O no puede tenerdos raíces dislinl.t18 en el intervalo (O, 1).
1J25. Sin calcular la derivada de la función
92 ~p. ¡V., AnúJis!s de IÍISJuncíoaes y de sus gr4ficas
paca calcular el logaritmo de N + 0,01 N. es decir. poniendo
1 (N+O 01.J\'··)= 1 N+ 0,43429 °01N 1 N+O,43~9Ir , g- O01 •• = g tOO5N+-rN •
cometemos un error m.encrr que 0,00001, es decir, obtenemos ctncocin-as exactas después de 18 coma si es que: Jg N viene dado OOD cincooitros exactas.
calcular los valores aproximados de 'las expresiones que se indican.1137. arcsen 0,541138. Jg,11. Comparar con los datos tabulares.H39. In (x+V 1+%2) para x=0,2.1140. 19 7, .sabíendo que 19 2 = 0,3010 y Ig 3 = 0,4771.. Com
parlu' el resultado con los datos tabulares.1141. 19 61. Comparar el resultado coa los datos tabulares.114;2. Confirmar que apllcandc la fÓ'rmuJa '
f(b)=f(a)+(b-a)f' (4tb)
%zsen ¿d:X"( 2~seni-coS{) ¡
do .donde ces ~ ~·2; seni-xsen¿. Hacemos uhore que z tienrlA11coro, en este caso S también tenderá a coro, y ,de este modo
il~ganlOs' a: lfm cos '+ =O.~... o "
.fjlxplicar este reaultado parndóitco.Ha6. Aplicando lo f6Wlula
t (xu+ L\Z) ~ t (%0) +1' (Xo+~) 6.:r.
8 la función t (z) = arctg % en el intervalo U; 1.11. hallar- el. valor·aproxlmado de arctg ~,1.
Bn los ejer:cicios 1137-1141 apltcandc la fórmula
i(l'o+ 6%) ~ f (lro)+ f' (xo+ Ó;) AX,
Obtendremos:
Es deríveble para cualquier valor de z. Escribamos para ella InIórmu18 de LagTali~ "911 el íntervslo lO, $J:
f (.1:) -:.) (() =.1:f (s) (O < G < x).:
93,§ ',2, A plieaei6n de la prlmera 'derivada
O<XI<X~< ~.
iISO. Hallnr los intervalos de monotonía de la funci6n y == x3 _ lb? - 9.:1;+ '14 y construir le gráficn en el mtervalo ( -2, 4)siguienclo sus puntos.
rtSt. Hallar los íntervalós de monotonía de la funci6n IJ =:r'-23:~-5.
Eo los eiercícíos 1152-1164: hallar los intervalos de monotoniade las Iunciones.
H52. y=(.i-2)B(~.:t-tL1:)4.usa. y=y(2.:t_~)(a_.:z:)1 (0.>0).
~ 1-x+x2 101154. ~= 1+~+",Z • 11.55. y= y.z:'! 9%3+6%'1156,. )¡=:r.-~c". 1157. y=:i'-e-"'.U58. y=:;, - 1>159. y=2xZ-]o:z:.use. y=_x-~sonz. (0:¡¡;;;.:z:~2n).1161, y=2 sen x+cos 2.2: ,O:¡¡;;;x~2:n;).tt62. -l/.=.:t-rcosx. 1163'. y_=ln(x+ Yl+xZ}.flM. y=x~VIi:c-¡¡;2 (a>O).En los ejercieios H65-H84 hallar los valores extremos de las
Iunclones, .1165.· y=2a;3-":"3.x1• í1.06. y=2.x3_-6zz-i8x+7. '
Comportamiento de las [unaiones en el isuerualo
1143. Mostrar que la función y = 2.i"-+ 3,xz-1.-2x + 1 decreceen el intervalo (-2. 1)_
11ft~.Mostrar que 111.función y = '1/23: - :¡;~crece en' el íntervelo (O, 1) y decrece en el Intervalo ('1, 2). Construir J~ gráfica de estofunción.
1145. Mostrar qoe la función y = r" + x crece por todas partes.H46. Mostrar que la función U = arotg x -:l' decrece por todas
partos.j t47. ~ostJ;'ar que 111fUllci6n y= .t2;t crece en cualquier ínter
vale que 110 tenga el punto x = O.U48. Most,ar que In lunción 11=::~;!:~varía do manera
monétona 01\ cualquier intervalo que no encierro puntos de discontinuidad de la función.
1t~9". Demostrar la tl.e~igu(llclad ~g.z:~ >!!. siendo, ·g"I.l:1
94 ~ Cap. LV. Añáli~ls de las Iuneionos, ;y~de' sus -¡¡rálicas
- 1~"'2 ' 4:71(3.1 • y=9~V.i-a;'
tá'Z4,. Y=rr~2':""4'f)2.:Ü76. y=;~:~n:"~~+~a),
1168. y=,Y'x3-aXZ+82•
H70L y=~-x2.y'.;¡;2+2.
;, , _ 3z2+;.t44H6¡,. y= v,:f:t+-1 .
1"9 • "i '1- 6 • Y ='ln \;,'+4.%34 30} ,
n1.1,. y =t Q;~i0:ox'::'7,,t1.73.y = J'-ba!- ' .•, " . ,4+{)~B
'117,5. y=x-,¡n (~+~)!Un. Y"== (;t_"5.)i,P'~x+1?;,1178. y=(xZ-2x)lux,-!a:2+4x.'9 1 (~ 1 . n 2 ",--j117. v=» ,z +1)arctgX-a-X --2-"
USO. y=}( :¡;Z--i) atcsen.x+{-xV1_:r- ~2 zZ.
t181. ¡¡=xsonx+c'OSZ-~XZ ( - ~ ~:¡;~ ~),
US2. y= ({-*) <;o,~$+sen:c- ~4:t (O~:t~T)'Jl83. V= 2;"'CoSn(z+3)+ ~2 sen($+3~ (O<x< 4).1.184.,lI=aeP"+be-P.''.En los ejeréieios 11'$5-4197 hallar los valores máximos y miní-
mos de 'las funciouC's dadas, -en 'los intervalos que se indlcan.H85 •. l/, = z· - 2.1..Ji+ 5; [-2. ~l.H8G. y -= x + 2V; (O, 4).H87. y = x$ ~ 5x' + 5.i8+ '1; [-1, 2).1188. y = :c"-;3z~ + 6x - 2; r~1, 11.U~9. y='V100-;¡;2 .(-6~x~8).190 l-x+xZ O1. . 11= j +z-",z (~:l:~i).
1 z-' .•1 91. Y=x.+,l (0~X";;;'i).
1192. y= : +1~;¡; (O<x< 1) (4)0, b>O),
{193. y =sen 2;2:'-,1; ( -'~ ~x"¡;;; ~ ) •
j194.. Y=2 tgx- tg2(. ,(O~x;<l-:) ,1195, y=x'e. (0.1::;;;x <09).1196.Y=Y(X~-2x)2 (O~m~3).
1197. y=a¡'otg;.+= (O~:i~1).
9~~\ ..
Fig, 29
Ejerctcios para. hallar los valores máxtmos y mEn¿mosde las funcione:
1,208. Dividir el n(imero 8 en dos sumandos tales que la suma desus cubos sea la menor posible.
1209. ¿Qué número positivo sumado a. su inverso da lugal" 8 Jasuma minima?
1210. Div'jdir el número 36 en dos factores tales que la suma deSU8 cuadmdcs 'sea la meno» posible.
121t. Se debe. ,hacer una clljn' con te,pa, cuyo volumen sea de72 cro3• Los lados de la base lino. !le estar en relación 1: 2. ¿Cuálesdeben ser las medídas de todos los lados pa\:<Ique la .superfície totalsea In menor posible?
1212. Da una hoí!) de cartón, d~ 18 x·1.8 ()'D)\ deben ser.fecortados cuadrndos igua'lell de modo q,la doblando 1,a lIDjD,siglliCJ,'dó las
(.2:# O).
(%>0).
(O<x<~).1206. S9n x+tg x>2:v",2
1207. cllx>1+T
(x> 1).
(.2:>1) .(x:;ol=O).
~x>O).
En los ejercidos 1398-1.207 demostrar la validez de las desigual-dades. -, ,
1198. 2Y:C>3--.!..• " %
1199. 0">1+.2:1200. a:>Jn(t+x)1201. 1nx> 2(_;¡--1)
• z+11202. Zxarctg;¡;~ln (1+.x2).1203. -1+xln"(x+V 1 +.!I}z)~V1 +X2.1204. ln(1+x» Il:~gz'!' ,(x> O).
:rS "'s1205. sen X<'x- T+ 120
De.~igUo.ldades
96 Gap. rv::. Anállsis ..de 'las (unciones ,y 'de Spl! gráficas
1-0170
llí4ea9!Runteadas (viase' Je:Jig.:,~).;..resqL~tt una' cllja. que, .tenga tam'áyor: t<apacidal;l.llos~(!l';.,¿~Uá~t9 debe medIr c;laa lailo del cl,la<U'á~o?: ~ l~la:-Resólver e~ prqbl.ema;' lUlt.er.íorpara el ilaso a,eJa"hoja.ré,e.tl;ln-glilat, -ds 18 X 5 ,cm~.. '.' . , . '
12i4. Al volumen de uji: pristtU\ trtsngular.!):e_g\Ü!!tss igual a J).¿Q\l~nto',debe méa'~Il,"E!lladQ'.:.de:lá 'base para que ·9li.,8\LpérñQie-to.t~1,89a'·')8.:' ).llenor. posib)e?" '.~ i:' ..' I _ •.
_,,t2f5;rUiUI tina a~jertre.~t'i'e-jle'Jafoitfia de,cifjnd'r6. Siendo su volu;ni~n;Jig)111ita V', ¿cuá~j~ébl)so!:el..r'!.a1o~deIa base y !a-:!.lltu.ra·para q,i~.su ::iúp~rj¡cia -tótal;sell .la n)iinl'tr~'P.~sibM '.•:.,12ti(;. -HallarIa, relaclén. ~ntrB.é~ radio J? y .la.aJt'Úl'á.fl. .de uncílíndro. que tiene la, menor .aupern-Cie. total posible. conociendo su vclu-mene- "
'1217_ Se 'debe -hacerv~UJI·embudo '(¡,6nioo'que tenga. In g6n6rat.I-i~.1(1:118') a. ,20 cm . .!Cuál debe ser la Rltura del embudo pflrll que BU','101",-"IDen sea el ,mayol' Tlositile? .
.1218. Un sector de, ángulo central, ~ está recortado de.un círculo.~Al enrollarse. el sector, ihli sJdo ebgep.drlida, 'uña .supe,rfiCle o_91;tioa.lCuál debe !ler la abertura del'ángulo' ex. para qU6..#1 volumen del conoobtenido sea el ~ayot. posWlo? .. .J219, E)'pe.ríinatro de UDt'tiángu1o Isóscelee.es 2]1.,¿Cuánto, deben
.medir sus lados para que el volumen. del, cuel',po~enge'ndradó ,por larotación del tl:i~riIDllo en torno!'·al¡¡U,base' sea el .mayor po~ilí16?. ~220, ~l perínietro, de un-taíángulo isósceles eSi,2pt ¿Cuánt.o deben
nl'edir sus lados 1'111'8.', que él volumen del' CQbO éngelidrado ppl: Inrotación· del ti'iángu:lo en torno 11 su altura bajada sobre la base sea .elmayor- .posible? . . .... 122f.· llllJlar la alt~a del cilindro que tenga e) volumen,mbJllloí!osibJ~;y que sea.susceptíble d!l ser ínscríto, en. una egf~(a (le rl\dj.o·l1'
·t222. Rallílr la: ah.ura del. cono de méxímo v~olll.m~n.que .seasuscepbible .de set .¡:nSl)ti~Qel) una ¡:Sferá de .radio R.," .1 ' .,.~. ·.1·228.Al actuar 111f-uerzl1''de 'gravedad:. sobre una ·,g~ta de' :U'iJ,;:vit¡.cuya-mesa ínícial.es.ígual-a molla-nace ·éael'. La gota :\1ae,"l4poJ:¡in~0l!8unifotmemente de, 'modo que la. .pérdida dll'1a, masa' éso p_roporcjpnalal tieit).'po (el ,cQef!ciente.de:prciporcionalidad es ·k): ¿:Al,~llbode-cuán;tos segundos al/comenzar lA. caíd'a será -máxima- la->.enerli'¡l\.~jj:réticade 111 gota 'Y cuál será 911 valor.? (Se presc'i'nd,e de la resistencia de].aíre.)» ~,. ,( ,. , .... .t224•. Una l>alanc~ de segundo género :tien~ ,,Á. :{i0ri.sy,;,fltloto dE)IlPoyo:.Del punto B ('itoJj ''r.a)está.fl_ls~.end~dá~la carga P. El peso do:;~~,~dild ~I'l'!a lopgilud d;~la'PJllan.P!l~I1siguaL!! ~,. ¿GuáLde~er,Ía .s.er:tª Iongttud, 'de la.¡p,ala~c¡l.~pata_qne. ~I}..'.ClUga.l? <L~il!i~el~eq\!~lib~~'ocon la·fl,lerza mínima? {El memento -de la fuerza ¿omJ)eJlsador~ d@~e\lgui"l'~~Ct. a 111, eu.pl'jj"de!lio!!1ijH~-ql.!l'lltQS aó la ~1!.J'gl\.. l!, Y, a~.~~lllil,!~ca,}
t225'" La suma. que se gasta eu".el o9mb,:ustible ep.ra el,hoga. de la,cl!1l)era de un harco es proporcional 'Í\1 cu:15º iJa 'lá Velocídnd. 'Es
97§, 2., ~'l:plica~J'(in:dela prt¡nllfll derivada
sabido qU6>si el barco marcha-a lO.kIIJ'.po¡:tlora, se.:gá!!tan 30 rublos(por .liora)'en el combuauble. Lo,'·:demlís gll.~tos,hque-'no"dilpcn~endela véloci'dád son de 480 TubJosJ.porhoea, -¿.A·,qu~'velocid-a'd dér:']farcoserían mínimos 109 gastos totales por lID:km? ¿Cu61'seHa,la"SIl111l~, to-·tal de 109 gastOs PO!: boro.? , ' ,o, 'rJ~'~ " "",
, t22G. 'Tres",puntos A; B 'y' e se' 'hallan sítuados de 'modo' queL ABé = 000: Un automóvil sale del punto A y'en.e.~mismo- mémento dsl- puntó B'parte UD tren, Elrauto avanea.hacta el puntotB,a SOkm1I0r hora, él Ijen se- dirige hacia el pun'to'C a ,50 k'eh'por horll.l'eniendo en cuenta que la distaucíaAB1:i ,200 Km, ¿eñ qUé momento, alcomenzár '~l ll'lóvlmiento, será .mlnima la .distancia entre ell, automovil y lil '~Í"en? ," ,',', •
1227. Dado un cierto punto A en una clrcunferancia, tra7.llr:un-aeuecda Be paralela' a 19.,tangente ,!ln el punto' A odemodo que, e~ láreade1 trl@gúlo. ABO se'a la l'liayo~: posible,' - , . _
1228. Hallar los lados del rectángulo de másrmo perímetroe inscrito en. una semicircunferencia det radío R, -
t229. Inscribir ehectángulo de mayor 'área .posihle en'un.segmen-t.o dado del circulo, ' " ' ,
1230. Circunscribir en torno 8. un cilindro dado el Cono que tengael ménor volumen posible (los f planos de las bases Qltculáres' delcilindro y de}"ctfno4~eberi, coincídíz). -r :, o"~ -,
1231,.' Hallér 'la -altura' del conoeecto circular,' .demenor volumenposible; círcunscríto en: tprno a 'P.Dá;'esfe.l'l.vde·',l'a.dio,R.. ,_
1'232. Hallan'el áugulo en el vértice de la. ¡¡e.coi6na'X.i~ldé '\JJl'·conoque' tiene la menor ·superficie :látera111osible 'y que está 'Circunscritoen torno a una e!ñera dada,
1233. ¿QUái ha de sec la abertura del ángulo en el ,vérticé,dé untriá'ngul'o-is6seeles, <te: área dada, Pllra .que el radio' de 'Un círculo ins-crito en dicho triángulo' Boa el _ma;y:or posible? ,
1~. Hallar, la :altura" de VJl oouo :c{'llG' tiene 01 menor volumen.l'OS~ble,.y~Ue·.estiiCirolinsérito eh."~Or,Dq-a 'una :semi~siera'l-ae, radio R(el- oontro de, la' bas!) del-cono ccíncide 'con el de Ja, ,~sferil).
1'235. ,¿_'C:uil}ha de sér la ªliw¡i de Uill/4fOno,¡fuscrito en, Un!! esferade tadio R -p~Ta que 81l(supérficie ll\tera1¡ísea. la. mayor posihler,
1236. Demostrar .que la cailt_ia~~ dar"tel¡~"necesaria para: -hácer -una tienda- 'de campaña. 'de-forma 'oónica ,_y'"de;capacidad -dada.._serlÍla menor posible en el caso de que su altura sea'1/2 veces mayol'-queel r¡{dio de',la hase." '¡, - ,1 . :~, " '), 'i',,__,
1237.-TiazB.r'\Üla ~ecia (f~'.niodo que 'p,'iSo"po¡'- :un' puntó, dadol,.P.(1; 9). y-~r~e,!~"Suplflde: ;}as \o~rt\l~es':dé: 'i,Os':'~g!!1enyls::~~~'iy~Cl>~.t~dlos }'o~ a!fh~' r~ct~ ,'en' 1(>s2¡~1!ls:,~e·:I.\PJr~~~~ll~,',se~_J<\~~en?r.posiu 8'. ~ '.- _. . • " .. \-' .,",. ~~ , ,. ,. ~, If238,' I;I~tiÍlr, l'oS"';}~d'o,s,:d,el :rrectá'nJfu1o'~'a6<~'máyl)iáre!1';pl>~i.ble.;l ~,' ...~.,... r [: t' ~'j z ~ ~ . ~.,_ ...... .e" ••• JO .... :tS'~
inscrito -'en )8 elip.~~~+-f'7 ,L" : " '" ~~';" ,
98 Cap,_ rv, ¡An"állsis':'IU',JII"5 '(uqcisn1e_, Y' dll' 8US, 'gráfieás
1239. Hallar Ja ·eHpse'-e.u~o·6.rea Sea lo.menot posible y que estáai'!Cu'nscrltn en tornó, {f u.n~~tánguio dado (el hea -de- ta' elipSli desemiejes a y b es igual -o ff itb) .• ' - ", -e
" t240: Sea .da._~8i~'~1iP#C";_'+'~ Q 1. 'itllz9~ una tingen~ d~modo que el ¡j'rea.~el" trián_g;Úí ellgendrado por d i~ha: tangente- y losejes d'e:eóotdenadasi"se)lllli. tiieno,f·po,silíle. ¿Por qué, punto de-la elipsedebé';)lasar d loha ;.thllgéi1W? -''" , , -, < , ' '"
,i:, ·12~i,.Sel\tt:'dados ~ai)sjun to~,--.4: (1, ,~) y 'B (3~Q) _err ia elipse,'2i~ ,*"ÍI~~' i8.~iJIan~~Ell',tlit!lbr':pullto'O lñl que ,él 6'1'80lIe:ttriángulo,ABe, 'sea la' IDaYilli",posible:;,:-:"·, ': o': " ,
, t~ .•'Seaia d~~osjil~_y:ar:.4:bolay~ "" 2p;; y' un ll'1ñ~o 'en-su eje.a -;i.mll"d-istancill a idel v~t.tice. 'Iudíeae lo abscisa $, del':,p,unto,de lapáIá.bglo más próximo al punto refel;'ido.
t2:43. Una banda de hierro'; de .ancbura aj ha de ser eneorvads demodo que tome la forma de canalón cilíndrico nbierto (la-.seceión del(:,ana16p ha de seOlejar~ -a un arco de seglp,¡¡ll.to. circular). ¿91Jál hade ser la abertura del áng1rlo cl!ntrñl que se apo;ya en este arco para'que~lá"cnpacidad del canalórisea la mayor'J,lostliJe? ,lo: !: 124q~: (lñ 'tronco ¡je 91'901' qU,e mide 20 m, 'li6ñe la forma de UDco'nó'tt:ü,¡fc(\do. Los d~ánl'ét~'O!!il~$US'bases mlden '2 m"y ~ lu'.:respectíYiún~9tfl,Se debtl,co;r~r~uUll ~tga !l'e,s~ccjqil trllsvl:Í'slIl cundrada.cüyo~je coinoid,a, CQ!}' el del troncoy cuyo volumen Slm el mayor posible.¿Q1J~i dlmensioues debe 'tener hl vlgb.? ' -
t·2~,5. Una S8!'ie ,Ile experimentos con la migllHud ;4 han dado.c,onid resultado I~ valores ¡(istillt(j~XI' !l:SI o'. '1 ir". COI~frecuencia seIfilmite CODlO'vnlor de A ün valor de :c tl\1 que '111suma de los cuadrados de sus desviaci~nes. de i,_". II:.t:. ••• , x" sea. lá_'menor posible. Ha-llar x que satisfaga esta' condición. '
1~. Un torpedero está anclado, 11. 9 km del punto más próximo:de 111 orilla. Se necesita envíar a un mensajero 111 campo'mento situado en la orilla. La' distancia entre: éste )' el pUllto-más-próximó referido, es igual a f5 km, Tenieñdo en cuenta que el 'mensajero recorrea pie 51un por 1101'0,. y:en unaberc«, remando, 4 km p'oYhorií. decirea qué punto de orilla debe desembarcar para .llegaraJ campamento19 mAlI' pronto' posibJe'.' . ",··'~i,~47.UuInról deba-ser cO,Jgaao exactamente enclma 'del' centroa~\.r18 plilzoléto 'oJi'culirr de l'adio 'R. lA qliéD;tlít(ra .~eberá' estB.1"elfil1:01 p1i.r~ qua üumtne, ..lo..;w9jó;r pÓS'iblll. 'Uno 8flJ)~a' qhe-' rodeo la,p'laz'i>letá?'(ta ilúm'inl;leió'n~de la'pJazoletll es ~f¡,ecla.ment~,prol!orcto'nlif !I~'éoséno diJ)·á.ngWó (te'jiléideJ:lcia de los':rayos Iumin6sos é Jnver·saJ..i¡entf·,J,)1;~P()~(i,ion,al;'Ql . .!lV,1ilWido'de d¡~ta,ncla "que'. iné~ia' entr~ el1#0 l,+qnnosp y "la' p)a~oleta'· 'en- meactéa.) '," ", ,l;t·248~ En oo' ~inent9', de longitud l que 'une ;clos manantialesdo luz de intensidad Iumincsa 11e 1,. hollar el -punt'lfpeor' ilumi·nado. ' r·
09,§.:!: Apiicacl'Ó)l'de la primera dedvada
"t24~. Un cuadro de alt~o 1,4- m cuelga de la .pared, de modo quesu borde- inferior está 1.,8 ro por e_uc;lmp,-,d.elradio de la vi.s~a de unobservador. ¿A qué diatancia de la pared debe colooarse el observadorpa~n, que su posición S8a 1\\ ,d9:''Yentaio~a" 'patn contempl.er el,c"adro(es',decir, pato q-ue.el'ángulo v'isri'aJ~a'el'ma;y:or posibléYl ".'t250. Una cátga 'de 'Peso ,p ',sttlllldl;l':en IJn plano horizontal debe
ser,desplazada .baio.Ia ac,oí6n,de h rueü.a F Ilplioada a ella. La iuerzade rozamiento es propoecíonal a la de 'quo aprieta el cuerpo contrael plano '1 tiene la díreccíéu.opuesta l),la .de la fuerza que .desplasnel cuerpo. El coeficiente de proporcionultdnd (el coeficiente de rozamiento) es igual a k. ¿Q,uéyalor debe ~en!lr él ángulo q> formado entreel borízocte y la fuerza F aplicada para tIPle lit valor de ésta l'el}1I1teel ,menor posible? Hollar el valo!; mínimo de la, iuer¡;a de desplazamjento.. 125t. Ln velocidad con la que pasa -el agUA por un tubo cilSodri
cd es directamente proporcional al Ilamado radio .hiQ_ráulioo R, quese calcula mediante la 'fórmula R-=~. donde S es el área de secciónP .del flujo del l;lgua ~entl'o del tubo, p es el peómetro de la sección deltubo hundido en el agua, La proporción (o el grado) en que el aguallena el tUbo, ~ earacterísa pOI el ángulo ce~tral que se apoya sobre1q superficie hor:izontnl dlll ¡.¡gua,«orie~~e. ~C\l!Íl b.a de's~ I}stn p,ropor,oi6[). para, que la .VJlloCldnddel paso a~\agl/-~ s~a la ~f,¡,yqrpos¡b),e?(Al t'esolve't el problemn, aparece una ~c\lac~6n'f¡¡,'anscen,dentecuyasraicElShan de ser hal)adlls.grlÍf!o~eute). .I '2,52. ,Ea una página de un li1?~o,el,.texto uapreso debe ocupar
S omt. Loa ~~ries superior e íníerioe deben ser igual~ a (1 cm, losde izquierda, yde derecha, iguales a ,b cm. Si tomamos en consideraci6n sólo la eccnomía del papel, ¿qué dimensiones de la pági,pa seríanIl\s mas ventajosas? ,
1253"'. Un emliudo céntco, de radío de base 1J y altura H, estálleno 48, "gu,a. Una esIerll pesada está sumergida. en el embude.¿Cuál 11a.de s~ el, radío. .de la, esfe~\ f;l,ara ~u~ el vp1\!Well,dCl,(\g,Il~expulsada _d~l,embudo p'or la par-t,e, s\!-,me'rg~dlld~ la, elifera, ~Ilq, elmayor posibÍ¡¡? .. ' , _ _ -_.,~_
1254. Una P!lráhola tiene BUV~l'tj~ situado sobre u_l~a<(\ifcurJ~rencía ae radio R, y el eje de la parábola sigue la· di..(e®1§'iqie1 Iliá"metro. ¿Cuál ha de-ser 01 par~me~I.:oJe le: parábola para ~~_e\ ~rn6l!del segl!lento l¡.mJtado por la parábilla y la cuerda común.' para, ésti¡.y,la círcuníerencia, seala mayor posi1~~.(.~~'~~a ~~1 se¡rñ~~~ parab6-Iico ~imé1.rico es igual ,ados terl!ioS:délprcidujftode silb/;ls~p<lJ,;l.á,1l1t.ura ,): ~255•.'Un plano, 1!atl\l~)o a; la-.í~~rie-rñtril~; .corta Jlií.',C9no C\l~~
radiO debase eil.R y cuya altru:a, u,~O~á~ha 41¡8erl~ ~,~~cia, 1l0~~e'l!l.lluell de_ilfte~ecoi6t~, d~ dlcl!ó"plan!l,¡pon é~;p.!ano~de l~'~sfi ~~ioiiy 111 centrp de,la,base cónica para ,qu,e e1.~relÍ'de secctén. se¡i·la.roayor'~osible? (V éass .tamhián el ejercicio anteribf'.) ,
100 Cap. IV. A:oáHsis de las (unciQPés y de sus gráCicas
donde 0< b ~ a es constante cuando x ~ O. Hallar el valor de estllconstante.
f 266. Coroprobae que las Iuncíones {- e2'<, e" ah IIy e" eh z dmerco en Una magnitud constante. Mostrar que cada IIna de las funciones indicadas es una función primitiva con respecto II la función e"'-.
"cos.:t+b 2 (-,la::¡ % )Y=lll'ecos +b - arct,g -+b tg... •a cos;o " ..
es couseante (es decir, 114) depende de :1:). Hallar su valor.t264. Mos~rar que la función y = 2 tIl't1tg.x+arcsen • :x 2 es
"T'"constante cuando :r ~ 1. Hallar el valor de esta constante.
1265. Mostrar que la función
Se llama. íuncíún primitiva de la.[unción I (x) o 10 función F (x)cuya derivada es igual a 111dada: F' (~)= f (z).
En 10B ejercicios j 2~O-1262 mostrar (derivando y sin derivur)que las funciones dadas son primitivas de una misma función.
1260_ y -= In ax e y = ln z, .126'1. y = 2 sen~x e y = -cos 2x.t26~..,y = (~;:+e~~)~ e y = (e" _ e-X)3.1263*: Mostrar que ta función
t256. §eá d.nd.ªla j>'aTáhoJa 'y'z o::=:~px y 'li normal BDun punto P.¿Dóndé, debe esta!: situado "el punto 'P p'lmi· que el segmento de lanormal situado dentro de lo. curva teuga la l!).ugitud iIÚilimn?
t257. El Segmento de Jo <tQngente a -UJÍa elipse comprendidoentre los ejes, tiene longitud mínima. Mostrar que' ln tangenw sedi'lide,"eTl'el pU'D.tO' de contacto, 'en dbS pnrtes...iguales 0.105 semiejesde la ,~Upse" re.gpecti.'I(a~en.te. ,
1~&BJDeinostra,r-rque 'ia 'distáncin entre' el centro' de Ja elipsey cualquter normal ó'o es súpéifoÍ a la diferencia de los semiejes.(Es cdaveníente recUrrir'3 la 'expresión Faram~trica de la elípse.)
i',259. En el .sístema ,de "t1oo¡<leml'dJlsrectal;Jg'\uaresu;Oy vienendados .el punto (q,', b~y la r.urva"ft= 1'(x). _~ostrar:que lá dist,'ancio.entre el punto constante «(1" b) y la variable (x, l'(x» puede ,~JC8n'l!arBU extremo sólo siguiendo In dirección de la normal 11 la curva y == f (z).
101.
Conveiídar!:!. cl!.ncQlJidad,._Runto8 de inflezí~ri r
1278. Aclarar si es' convexa o c6noava~ la Ifnea y di, ,!<6 _:_ Sr --i15;tl! +30 en Ios entornos de 105 puntos ('1, 11) y' (a, 3). -
.279: Aolarilr' ~i 'es-éonvexe- o' cÓl1ca,va Ila-.':l.fnQa y;;=:!. 'ar:cig 3l 'en,los elitornos:'de !GS' Puntos ..(1, ~!4), y C...11í: l;...J.l{i~)'. '" ' ,<.
(-280. Aclarar, SI es convexn o c6nca:va Iá Ilnea y = xlIII .1: enlos entornos de los, puntos lt, Q), y (1.1eJ.¡~+2/e·). 1'·' '.
f281. 'Mo~trnr que la grátiCl\ de la función y' = :z; arct;g-,~,és,cqn':i!:a~II,' ,en todas ¡i,~ltes. ,,~,. t ,".. ; " , ,',
, '1282. ''Mostra,t que la ,graflco de' 1).\"f.\tnci6n y = In '(*2' .!:.: '1') esCOllvel(lt,en' todIlS:.p-i¡j:t,88. . 1: )~¡,'IJi. ", i , ..',' "', ':,r,
,1283. Dem'ostrar, que. si. la: gráfjoa :Oe. la íunctén es"ton.y,ex'a'entodas partes o céncava en todas llartest fil función r~feriaá:;''Puftltetener no rná.:; qU,e un valor extremo.
tjene extremos en-los puntos x¡_ = i y x2 = 2. Mostror que paro. estosvalores de a y b la .función dada tiene el mínimo en el punto Xl'y el mhi!TlQ, 0l,\ el .puntc a¡~,
, '1"!(r.) "" asenz+-tsen'Sitiene el extremo para x ;q n/3? ¿perA máximó o b11nim(¡?
12,77. 'Hallar 108 valores de 'a ~ 11''p~ra lb8 cil)¡)es' iá !~ñciÓ[\ s ,
ti "" 0.10 x+ bX2+ z
Extremos• Apliqa,!Q,Oel concepto d~ la, seg,undo. iler.iy,ada,laHa,r.:'lQs' extrePl!l.s~d~.r1l1..Sj,fllJ!.ci9P~:~e se indiC¡¡ID",enlos :ejercicioll1~~7-1~75.
r,~~67. ti ~ .ya 'w ~,4=f,+ a.~~,.(t¡.- > O).' " , -
i~~8:..'Y:~'~~~(~i-!hx.)~~'',1269':ly=:~+a!l (d>O) .• 1 -: , '. ,x', '.' ",. ;a;
1270. p~i+V'1'=? '1271. Y=;xV-2-:¡f.'12iZ::y~cha;.· 1273. y=r.2e-r. ' ,
t
1274. 11,T' ~. t [2'75. /J:= x;,t276. ¿Poro. quétvalot' <fe Q,' ia .fÓ;u.c~ÓI1
'.'" . '... ,.
,'§, 3, A.plrdació:h dé'·¡,lf(·segundadérívada
.r,
t30l_ Mostrar que la línea y == :at\ tiene tres puntos de
il.nHi6n que estáú sítuadcs en u'ha tiüsro~tecta: ~ ; . ' ...., 1302. Mostrar .WIe, IQs .pu!ltos de ,inflexí,~'o' d~ 1111.IJnea., Y>'
d x shn:x están $ltllndos,~1lüi~lJllel!l',¡J'I:(~+ X2) =.4·a;~.',:' • : ."., . "sen z
1303. Mostrar que los puntos de hlflexi6n de lo líneo y ;= -z-
están sltuados en la lineo :y~(4+ Xl) = 4.t304. Confirmar que las gráficas de las funciones y = ±e-lC
e y =.e-r sen ~ (la curva de oscilaciones amortiguadas) tienep tangentes-ccmunes.en los plintos de inflexión de la linea y = eJ~''Senz,
tSOS. ¿P'arll 'fIUé valoras de a. 'Y b el punto (1., 3) es el e infle-xíén de Id líned 11= ax' ,+ bx~ .' I. t~.06. E~egir ~ y ~ tal~s que el punte A .(2; 2;5) sea el 4e infle
xión -de In Iíuea x9y 4-' ax + ~y = O. ¿Qué otros puntos de iñflexíéntiene la linea reférioo? ' •
t307. éPara qué valowes de a. tiene puntos de iJúlcxi6n In gráficade la {unción,.lI ~ e" + ax3?
1.; •• ~t.t
1294. y=a- y x ....b.
i~!Í6.¡¡/= In(1+ x~).-;»
1298. y=a-Y (:c-b)!!.1300. 11=,~ ~~,2ln:z: -7).
• ; :¡:3 _1293.:)/= %i+3a~ (a>O).
1295. y=&."'" (- ~ ~j;~)~).• w ¡ 1-
1297. 11=!.ln':' (t~';>O)"i.'. '" a .,., -
1.299. 11= e!'1018 "'.
O" -1284','Sea P (z)!· \\n,{pol,in~mlo.:.!le .coeticient~., positi~9s y' exponentes·.pares. Moj;tíu"" q,ue :JlI-'g~Mica .de la, 1unoi6n. Y"= P (~)"++ ax + ti es cÓnCava e.n todas pa-rtes. , "'.' ; ~"",¡~285.;,La:$ -línaás, "y~= !$Í!··(x).:,~.vlfJ=~~,(:C)':,son- cóncavas sobre 111intervalo ':('(.I,;:b)~,_¡Demostl·ar.'qll,é'! ;5O,títe.:dich,o'ill-t:et'Kalo:.a) la Íineay = 'cp(x);+ ~)(x);'.es ~6I1ca'Va}b) s~;;q>(tt) y jfl (;¡¡),son"yosltivl4!, y 'tie'oen'11l0 punto" mínimo cómún, la. line-a y = cp (x) 1)1 (;¡:). eS· cóncava.",,1 t2861 ldostrar':iqué.8specto. ofrece 1<!-grálica de -la f~iÍ!1.i ,'11 ~Sa:DtllQlle •en,; el·¡}fut,el)va)or;.(a., b):" ,1 -s: . ;. _" •. : ~
1) IJ > O, y' > 0,. y,:'<: O;, ...,2).. y> O; s' < O, :y.>0; .~\ 3) . ,y< Q, y~.>,'O",y.~>, Q;.. r. .4) ,y;:::; 0, ,y' ,;<. Q,.' yO ,<;,0,tl'~ 11 ,-los eje.rcicios t287.-1'aQO liai1a1'; los..púntos ,,!dé! intlc¡dpn,
intervalos de concavidad y de convexidad de los gráfill.as¡:qll' lasfunctones que se intHc8n,
1287. 11~ x~ - 5xu+ 3x -5. 1288. 11= (x + 1,)< + et,\1289, y = :r." -12;3 + 1j8x! - 50. .1290. y = x +S6xt - 2X'~ - W.t291_ y =3x5 ~- 5z' + 3;¡;-2 ..
Fig. as¡?ig.32
_.'$/
1312, Hacer lo mismo con respecto a Ia gráfica de la funciénpresentada en. la fíg, ·31.
13J3. Tndi!;!lr ·!.llIi¿¡p~tQ' de la g~áfica. de la función examinandola g~áfjca de su. dertvada '(véaseJa fig. 32).
y
Fig.31Fig. 30
!I
t30a. Demostrar que ra abscisa 'del punto de- inflexión en lagráfica de UIUl fUncióo no puede éoíncídfr con el-punto del extremode esta misma función,
1'309. Uemostj:a_r, que entre dos puntos de extremo de cualquierfunción derivada. dos veces-e,stá eituada JlQr,lo -menos una Il.Dsclsadel punto de inflexión de la grálic¡.i de-Is- Iuneíón.
1310. -Comprobar lo 'siguiente, tomando -Ia funci6n y = x' ++, Sz'l'+ ':l8i' + 8 como' ,ejemplQ(,'entré, las ebscísas; de 109 puntosde inflexíóu de 11.1gráfica de. la fipmióri puede no- haber puntos 'deextremo (comparar coú ,el ejercicio anterior).
t3ft. Obsef:vandoy examinando lá gráfica de' la 'función (véasela r,g. '30) itaCli(\ar.'el aspecto de las' gráficas' de su. prímere 'Y segundadeetvadas.
§ 4. Tareas complementarias.Resolución de ecuaciones.F6rmula de Cauchy y regla de L'lUJSpital
1318. Escribir la fórmula, de Caucby para 111,sfunciones / (x) .",= sen x y q> (x) = In x en el intervalo Ie, bl, O<a<b.
t319. t;!icribif la fórmula de Cauchy para las funciones f (x) == eA.>' y q¡ (x) = 1- + eX en el, Intenvalc la" /¡J.
1320. Comprobar la validez de' la Iórmulll de 'Cauchy para lasíunoíones t (x)= x· y cp (.2) = x' + 1 en el 'intervalo [1, 21.
1321. Comprobar la validez de la fórmula de cr.uc~y para lasfunciones I (x) = sen-e -y cp (;c) = x + cos x en el intervalo 10, 1Ú2].
f322. Demostrar que si en el intervalo [a, bl se cumple la expresión I f (.%') I ~ I rp' (x) 1, y c:p' (x) no se reáuce a cero, tambiénserá válida la expresíón I 6.j (x) I :;;;. I ~cp (.%') 1, donde tJ.f (x) == f (x + 6x) - / (z), Ácp (x) = c:p (x + Ax) - cp (;c), y x y tIf·+ 6xson cualesquiera puntos del intervalo [a, b].
1823. Demostrar que en. el interv.alo, [x, 11.21 (z ~ O) 4)1 ineremento de la función y = Jn (1 + x') es menor que 'el de la funcíén!I = arctgz', y en al íntervalo (~/2, :el. víceveesa, es decir, A arctg x<< ~In (i+x2). Valiéndose de esta última relación mostrar queen el Intervalo [1/2, 1]
arctg x -in (1 + x') -:;;;.~ - In 2.
En Jos éjercic¡.9~ 1324-1364 hallar los límites.1324. Iím ~-V<i . 1325. líJn~.'
«-a lf:r;- Va "..0 s13"6.)' .><-1 1327. Jim ~rR-c{)aw:.. lID-;=;;-. a..'«---o '4;z. ;t .. O e -oo9~!t
1~1~. Indicar el. ASpecto de la gr?fiea de la 1unpión ~amin.~ndola gr!lhea de:~p ,d,erl."a~il(véase la Hg. 33). ,. -. ~ ".
~3t5. La lifieá vrene dada en forma pammétríca por Jas ecuaciones i; ""',q¡ (t)! ~'''''=''IP.,{~).M:Q¡¡trat que 11 ros valores .de t, pa~a 108
cuales la expresfqn·iP.'.lP·;'llf!¡f cambia de signo (lll~ prima designola derívacíén con r:te$Pec,t.q,a:,t) y c:p' .(t) :1= 0, tes corresponden lospuntos de inIlexióO': dQ la linea .referída. . .
13t6. HaUá.I:los puntos de inflexión para la línea x = t~,Y == 3t + il., ."
t311. Hallnr lea puntos de inflexión para Jo linea x = el, y == sen t.
,§ 4~Tareas complementarlas, Ré¡¡olllcióode ecuaciones JOS
".1.;J58. Un~~'~.~:"~ ~'1tq;:,~Ó': .:. j
I .~(S56:)iJlíiJ{r.t2e?l~, 1'357."lfm tt'i;¡¡)2«-1t_".~I. ~-o .~~:.._:~..t_sc71~ .¿~\~~
I1,35,9. lím X111«"-I).
",_.4)
, 1'1355, HII{,[x\~¡_¡,,1~1.
;(_00 o.;• ..!!iri),l(.-.-' L.
.1 !lU, 1'· - lil%~......,... , lIIlÓ~'''''''~- ,
,-:'
'\
Variación asintótica' /le ~lds/IJ:ncLonesy asLntolos de las Líneas.j' • ;. r'" -
1371. Partiendo directamente de la definición, oomprobar quela recta y = 2x.+ t es 1108 nsíntota de la línea
. l' ....:.- ", 2.%'+~3+l
y= :e' .1372. Partiendo, dírectamehte d'¿ la 'definición, cO'mprobár ·trlle
la recta ;r + y = O es una asintota de 1\1 Iínen :z~y .+ ,'f!I'l = 1.•• '. !,~t#',:-.I'''¡
j373. Demost,~'~r que las' tíneas y ";"lV,o¡;;' +3X2 ~ y"= ~"'.:.1 seaproxnuan asíntétlcamenta (¡uAnoó '!l:'_.'·±!O(). ..
• I ,,'. -, " • ¡:t ,tg~1361. li~ (eX +xli. _ J..3.6.~,.,!¡ll')(2-- -) ,
~,...,o~."f" ..... 1.._,.... .:t~(l I -:+r::~ II i?li3. lilll (H:J,,) >1 , • 13p4. IIpl [:11, (!+:t)~~" .!,.],.I '..oj ~tiQ 'f' ~:oo.., Yo,.. .,'F-'" f..,.n"': %2. -: ~ \ :r~f,lr,i:¡ ~ ~! k" '. -;:" I.L." ~J ·.t~"n:e "J-- I~ • .,
t 365. CompToobar.,.que:lím : +SIÍ .. 'eltiste " pero no ilS' sua~co z; sen e
cepttble·a~~r- -c,a~c.tirl!dp.1de~a<!u~rdo.con )8 t-egla- de._',L1Hospil.al.J366. lEI valfJ~ de qué función "
(para valores suñéíentemente grandesde i) es 'mayor: a"'#' o iP~,'" ~ ,
J3~'l. elLos valores de qu~ .fullción(para valoréS':,~W'ic~e~té.metlte' grandesde a:) son mayores., " (x) o,"'w f (x) ticuando f (x), -+. 00, par~ x -+'~," _;::'<=--+ __ -=f-T-...l...._-I
1368. Sea x -+O. Demostrar queI '
e - (1 + ;¡;'Yes una i.ÍÜinitesÍlnal deprimer .orden rqspl!Cttoa~. ,', •
1369. Sea x -+0. Demostrar queIn (1+ x) -c In In (e + z) .ef! una Pig. ª4infinitesimal de segundo' orden res-pecto (\ 3;: ;. , ' , "
1370. La tangente trazada en el punto A a una.circunlerencia deradio T (véase "la flg. 84) l:leva ma~d9 un: segr,nent'ó1XN o\lya 1011gítoo es igual a la del arco AM. La recta MN corta la prolcngacíénael' diámetro AV en 'el 'Punt()' BYCoIDj)fÓliar que ' .' -1\ , 1 !'UI , ..... 'J'" )'1 ' OB=(',(af;oso:.-&Imu. .r,
I sencr é:i': , r, ,donde a es la medida en radianes"'del angulo ce.íitril1 correspcndíentaal OfOO AM, y mos,trar que ¡1m,O.B=~2r¡, "
!~Ol I
§ 4, !{'arQas,.éompfemeotar1~.,l:tes.olucI6n de l!Wacioncs 107~* j - -_ '_ - .~.~+~....~ .-
¿Cómo se podrían hallar las 8sín~otas paralelas a los ejes de coor-denadas? _
.1;J93.l'IalI[\r Ias eslntotas, da.Is l~llea:,~=,+I 1J = i~J '.- , ' ?o' l.'f3!!4. Hallar .las IlSIOLotas_ de la linea: x= ,:"'t I Y~t=jf.
J ' 1 H ?, /s1395. Hallar as asintotas de a mea: _of_=1':1%' Y =-r:;:::¡¡¡.
.0 *'lÍ!D "'.«:!', b= Iím [I~,(t)-acp (t)l.1...10<!" ( 1-'0. _
Si la ~uaclón de, la Ilsintotu es y = (~+ b, s_etiene__ .
1376. :z:y=a.431378.y=c+ (r-h)~'
1380. ya = a.S - r.1382. y2 (x~+ 1) = ;¡f (.:t~ - 1)!
son equivalentes aaíntéticamente cuando x -+ oo. Valiéndose deesta circunstancla calcular nproximadnmanta I (H5) y f (120).¿Cuál seria el error si pusiéramos f ('lOO)= c¡i (100)?
En los ejercjctos 1375-1391 hallar las asíntotas de las lineasdadas.
st JI';;1375.7-bí=1.'1 I13 7. y= ~-4.,+[, .
1379. 2y (x + t)~=%1.1381. yS = Gx'+ x'.t383. %y'1+ x~y = a3•t384. y (.xv - 3bx + 2b2) = lis - 3a.1,~+ aa.1385.(y+x+1)~=x~+t. 1386. y=:dn (e+'¡').
21387. y = xe". 1388. y = :re'x + 1.1389. y = x arcsec x. 1390. y = 2z+arcLg _~.
t391. y ... .,I:~~ta.donde f(x)- es un polínomío, (a*O).
(392. Unll linea es dada paramét.ricamente pOI:las ecuaciones:z: = q> (t), Y = 1j¡ (t). Demostear que las asínto tas no paralelasa los ejes de coordenadas pueden existir sólo cuando pura los valoresde t = to, existen s~multápea~eute
Um q, (t) =00 y lím '" (t) = oo ,i-'o ~-fo
1374~Demostrar que Ias funciones
i~ Cap. IV. AnáJisfs de las llLDciones Yo de 9US (tráIicl!s
142.7.lI=x+sonz.1429., V=}JI COSz,1431.y=z-2arctg.'t.
t4t9. y=:r.-lnJq;+1).I 1421. y=re-«z.
""t4~3. y=;xe - T·
1425. y=x+..!!.::..:::
O 2%-114 7. 1/= {:e-Ir'
z!I1409. y :1. (o:+1)Z .
t4.11. y(x3-t)=x1.1413. y= o:3+2fl~7:r-?
t415. (1I-:r.}x'+8=O.14.17, y=> z2e-X•
1403. y=(x2-1)3..
t1406. y=;¡;2+%2"':iJM08. y = ~-:4l .
1410. y(x~1)=xG.
1"19 (.>:-1)3'lo ... Y= (.,+1)3 •1414. xy=(xa-1)(x-2).14J6. y =;,..
J4tS. y= ~ .1420.y=ln(x2+1).
1422. y ... Z3e-i<.1J424. Y=¡r=y'
1426. /1=( 1+';')".f42~. y=a:senx.1't30. y= cos n-s-In cos s,
Ánálisls general de las tunetones ,Y ae las líneas
'~u jos eje~icjps i3'Sª ":':'i9.64 'efectuar un 'análisis e:iliauslivode Ias funciones que .se 'indicall y trazar sus gráficas.
1398. /1= 1;'~~' ' 1399.y= 1~a:2.
1400. Y=+-1 .z-_1401. y (x-1) (x-2) (~- 3)=1-
",2J402. 1/ .... ~-t .
14M. y=32xll(xt-l)3.
1405. y=J:..+4x2.s:
- . &tt~9.6;·Ha 11S,!:, '¡),a~ así,rlto\as' .del fO,lit? de Descartes: ,f ~ ,j -;PtS '. Bá~2y::; i+tlI .
j,iJ97" Hnllat: las asürtotas de la línea: z ...• I;:~, y= t(tZ~4}
§ 4. Ta,reas'c.omplomolitaritls, 'Resolu~6'n'~d&eéuucícnee l()!!
, o) I1463. y=1_-Xé-17r-i cuaude x*.O. y=i para :1:=0.t464. y=~-4Ixr +3.
~If"los ~J.e~icio!f 1465:':"1469analizar las funciones' da'(Jas enfOllPa poararo:§tr.icao·y tl'a,,;8! 'sus ,gráficas. I
1.465. $ "';'f' +~t+t, ;y:=t3 - 3t+1.f'.66. a:=t3-3n, y·'=tl'-6al·ctg.t .
.."" '3t - l.' 3t2t,4067. ,x= '1+IS' y= I+t"
~ ,r' ~i \", .!..... .-tU68. x=te) , y.=te.«4.69. x'';'';' 2~ cos t i: '~,COI! 2t, y = 2ft s.eobo·t - a sen 2t,:.., "o{car-
dioide), -;-,O':i - - _,,00 -: .,
1439. ¡f=6x2-X3•f44f. '.(y_~):1.=~¡;;G1443. yZ,=:x3 _ 11:.
1445. y2=z2(x-'1).
'.'1' -21438. ¡¡=(3:-1)?(x+1,~.
O" ·:r440.~(Y;;'X),2 ~;ts.1442. y2=.x~+1.1'Í44. y2= x fr;-W.
6 • x~-21'.4 . y-=~. M47. :¡;2y+x¡P=2.
1.448. y2..: xza+z (sstroíoíde) (ti.>O).a-x
1449, 9y2=-4x3-.x4. i450. 25y2=;r2~4-~'::)~.1~t. y2=r_x4. 1452. X2yll=4(x-1).1453. y2(2a_x}='x3 (císolde) (a>O).t454. x2y2=(x-1} (x-2).1455. z2yz=(a+x)3 (a-:t) (concoide) (a.>O)••456. 16y2=(x2_4)2 (1-.#). 1457. y2= (1_ x2)s.1458. y2.,x4=(X2_f)ª. 1459. y2=2eze-Z:<.
1t4liO. y=,f-x.!46~. t.{~>=sé; '" o. j (O}=1
t4S2, y=eo""~h'+~ (sin buscar puntos {je illi}exión):1433. !I= ea.n~~ sen x (sin buscar pun tos de Inflexión),t434. y=;!?-;x. 1435. y3=~(X2_4)3.
- H36. (3y"'¡:X)3=27,x.1437. Y=l'Y (x+ :1)Z_:;-#= 1.
ResoluclrJn de 6C1,l,actoñell• ~: '. ,_.. •• ';'. 1 ~ ~
, 1'482,. 'C(lmptolwl"' que .la epllaqión"z1! z; x? ...:.8x + 12 = O,tienes610 fina' raiz: simple XI = ......p y ln otra, doble x; ... 2. '
1483. Comprobar qu~ la ecuación x' + 2x' .- $x~ - 4z +~=Otieoe ~03. raí~es ,iló,blflS'.xl=, =! X2 = -2, ,
1484. Mostrar que .i¡¡ ecuación x arcson % ... O ~Le)letsólo uua~.atzrsal 3: =;0 sien~,? !iSLadoble,
1485. Mostrar qUll·l'as .raJces de; la eCllao'i~p f!: seu z = O tieDel~,la ~orOla y ':7",~(t. (~ =~,O, ±f, :±!?, " s .), c'orre~pon~lieD,do,-,al,val,ork .. O una raíz do'ble. mlui! es la mult'ipHillond de-Jas denlas raícel¡?'
H.86. ~Iostl:at que 111 ecuaétón Xli - &;n +;6\;¡:.r: f= Ó t,\0095610 ~na rnf?: 'real simnle .p\lrten~ie~t& al íntervqlo (O, 1). ~aUaresto. .J:o.ÍZj1;;0P: exnc1¡it;lidht!sta 0,1., aplicando, el método de pruebas.
1487. Mostrar que 111 ecuacíén Z' + 3.x~ - % - 2 = O tienedos. ~ sólo AOs,:z:ai~s rc~lc$ simples pertenecíectes 8 los intervalos(-1, O) y'(O, ,1)" resP!!ctiva'P~nte. ,Aplicando el método de 'prUebn~,naBar estas raites con, eXllctitlid 'hasta 0,1. I, ,1488. MOSlra-r ,(fu's la ecuacíén I (x) = a <f= O; donde f (x) es unpollnomío de coeñcientes positivos, siendo impares Ios exponentesde todos sus términos, tiene una, -y sélo una, J:aiz real, que puedeser múltiple, Añilliiat el caso de a "'"0, Hallar la raíz de la ecuac16J;1:7T + 3x. - 1= 0, con exactitud 'hasta 0,01 y ccmhínando elmétodo de pruebas con el de cuerdas.
. Bn.Joa ejerj}icios M70-147.7 analísar, las lineas"cuyas: ecuáciones~n'·d!!,48" en ~l !!isf<emade coordenadas polares (:véase la ;nota, en lapá'g.; 3l).;" "._., " ~! .~"';' -'! ' " '
"f~70. ,po=;: á'sen1'3,q¡ S('I'oáa~,¡¡'c tt~s:péta)o's)',i¡~7:'~p=''¡¡. tg ¿p/~ 1,472.~·p~:á(1+tg q¡)•.~~7ª-.PFa (1'+cos IP) ,(eatdilljda). '1.414,' pr;;: ¡;(1'+Q~8 <pHa >:0" o> 1).
',i41~.:,P ~ fl (litl!O) !j.- .. _\1 t2' ~ cp.1~7t}. jJ~'ífare\g ñ.'1477.~'p:':V1...:.í2, q'l=arcsent+y1-t~,
.En l~s' ~je(ciJliQs'M78":_{48~ ~nali~81's. construir Igs .~nBJÍJ¡-despulís 'de ~~,be..r'r.e(t\lc.ido ,Il,!~,ec*aclones á} l!isleI!l~di ~~.~eº~all,l!pólare$, . " "',' 1478. (X'a + y2)8 = 4a':t2y'. 1479. (zt + y') % = a~y_
t48O. ~ + y' ,=,a~(.r + y2).!48~. (x2 + yS) (~ _.y~)' =4x'1J:;'
§. 4. 'll1lÑM eomple,melltatias,.-Resbluóí6n de, écnft&iones 111
t~89. Demostene él siguiente .teorema: para que 'la ecuación:i'+ px + q = O tenga tres raices reales símptee, es necesario y sufi~ctente que 109 coeficientes p y q satisfagan la desigualdad 4p~-I:+ 279\ < 9. Hallar todas Jas ra,í~s ,de ,la ecuación :z;3 - 9x + 2 == O, con exactitud hasta 0,01. y combinando el n~étodo He pruebascon el de cuerdas. .
1490. Mostrar que la ecuación x' + 22;J - 6x + 2 = O tienedos, y sólo dos, raíces reales simples pertenecientes a los intervalos(0, f) 'y (t,.a), respect-ivamente. Hallar- .estas -;ralees con exactitudhasta 0,01 compitiendo 'el método de cuei'il:is·,.'C611'el ¡de tangentes.
t49t. Mosteat que la ecuación :t> + 5;¡:'+ t = O tiene una l'abreal simple perteneciente al intervalo ~-1. O). Hallar esta raízcon exactitud hasta 0,01 combinando el método de cuerdas con elde tangentes. .
En los ejercicios 1492-1497 deben. hallarse los Vil lores IWro.xi.madcs de las 'ralees de las ecuaciones combinando los tres métodos:el de' pruebas, el de cuerdas y' el de tangentes: (En caso aecesaeíoconviene usar tablas de Jcs valores de l.a.s Iüncíones que figureo enlas ecusciones). ' ,
1492. Mostrar que 10.ecuación xe'" ... 2 tiene solamente 'una, raízreal perteneciente al intervalo'tO, 1). Hallar esta raiz con exactitudhasta 0,01.
1493. Mostrar que la ecuación x In x = a no tiene raíces realescuando a< -1fe, tiene, uno. raiz 1'001 doble cuando a = -j/e,dos raíces reales simples cuando _1/e < a< O y una raíz real.simpleenaudo a;;. O. Hollar li raíz de la ecuacíén % In x = 0,8 con esacti-tud hasta 0,01. .
-1494..Mostrllr qu~ la Ilamada ecuación de. Kepler ;¡; = e sen x ++ a, dQ.n~e 0'·<, ti< 1 tiene una .raíZ rea'~.símple. Hallar esta. raízcon exactitua' hasta 0,001 para.e;;= 0,.538" y' C~= 1-
1495. Mostrar que la ecuación 0." = In pata a> 1.siempre tienedos, y sólo dos, ra[cé~ reales y positiva,s, siendo una igual a 1 y otra,me~ot,.may!>-r o"igual. ~ 1, Lo cual depeoQe ,de ~ a.es llljl'yor, .menoro igual Il I!. Hallar la 'segunde 'raíz do esta equllc.i6o con ex;!\ctjtudliastd' a,OO! cuando a "'"3... . , '. . :_' ,
1496. Moj¡t.rar que la ecu8c1óri. %zárctg z, l::-a, ~onde. a.*J',tiOOl(tl1.nnmiz real. H;allat: esta ra¡f~n e 'áCtitp;~hasta. 9,O'Ot;~!lJnaQa= . - , , , '
·t497. ¿Cuál ha 'de ser ¡,l'bp~. q. d~tuu'8i,Sl.eaia_~elogal'Itú¡o,S e.n_elque QxisLei'lnúmeros 'iguales a '8us'logarít"mos? .¿eutintos nt'Ullerbs .deeste ¡tipo puede haber? Hallar ~&·,niJ.iI!etcr:(C911 e~cHtu<!_ .Jv{stll0,01) paca a = 1./2.
112 ·Cap. -¡V. "AnáUsls :da las 'funcIones y_<1e>susgUfiC8$
Férmula: de Taylor,
1503. E~¡¡ribir la fórmula de Taylor d~ n-ésimo orden parú laIuuctén y =.!. cuando :1:0 = 'T"1..
;r;1504. Escribir in fórmula de Taylól' (la de Maclaurín) de' n-ésímc
orden para la 'función y;'" uf para :t'o- O.1505. Escribir la f6rmulu de Ta,ylor de n-ésimc orden 'pata la
Juncién y = V; cuando Xo = ~.1506. Escribir la fórmula de Taylor de 2n-ésimo orden para la. ex+rx d Ofunoíén y = ---;¡- cuan o ~;o = .1507. Escribir la f6rrnula de Taylo.l' de n.-éSiTijo orlifln para la
funetén 11 =o ;¡;3ln:v cuando a>o=:: t.1508. Escrihi.r la f6J'mula de Taylor de 2n-ásimo orden para la
función y = sen2;r cuando :1:0 = 0,1509. Escribir la fórmula de Taylor del 3·r orden para la [W.I-
cíén y = -=-( cuando Xo = 2 y construir las gráfícna de la función;r-
dada y de su poltnemío de Tllylot de tercer grado.1510. Escribir la fórmulu.de Taylcr de 2° orden para la Iuncí6n
'y = tg:t cuando :&0 == O y construíc la gráficlI de la función daday de Sil pofínomío de T¡lyJor de segundo ,grlíd'o.
151t. Escribir 1Q f6rmula 'de:Taylol~de Ser orden pata lá funcíóuy = arcseu z cuando :Cn =O y construir la grát'i.ca,. de la TU\lcíÓUdada y de su polinomio de Taylor de tercer grado.8-0176
§"S'. FÓl'lnUlll' de, Taylor"1'"_' , i -:.:; -;. '_:,
y. su a,plipaciqn,~ ..,~'1\., '. 0\,. •
J!8r.mu,la,' de ''l'ayÍQT parl,! lo« po.lillo.mt(1s
J498. Desarrollñr el >pol~ollli;_o ~ - 5zQ + x~ - 3z + 4 en po-tencias del binomio te .s:4. "
J499. Desarrollar !ll,p,ó1!no1)lÍo ~a + jix2 - '2x+ 4 en p~tencillsdel bínomí« x + 1.' .
i500. Desarrollar el polinomio ,ª,10 -3:c& + 1 en potencias delbinomio 'x - '1. ,,' .:
1501. Desarrollar la función f (x) := (x' - 3x + 1)3 en poten'cías de x, apltcando la fórmula de '1'ayló'1",.
1502. t (x) es un polinomio do-cuarto-grado. Sabiendo que / (2) Aa= -1, t' (2) = O, r (12) =2', r (2) = -12, fW (2) = 24, calcularf (-1), r (O).r (1).
_ itll....~ ':,_',§ !k Férmula ció T:lylor' y 511 Rplicáci6n
Algunas aplicaciones de la fÓrmu.la de Taylbr
En 1.08 ,ejercicios 15'14 -1519 analiz~r el comportamiento de lasIuncíonss dadas en los puntea que se indican.
1514. 11= 2X6 -x' +:3 en el punto a; "'" O.•5i5. y "'" xl1 + 3x6 + 1 en el punto :r =O.1516. y = 2 eos re+x~ en el puntO x = O.1517. 11= 6 In x ~ 2:i' + 9z" - i8z en el punto .:¡; = 1.1518,. 11= 6 sen IX+ ~.'J en el punto x = O.1519. 11= 24e(t - 24:r - 1'b' - 41;3 - x~ - 20 (lo. él pUBLo
x = O.1520. f (:r.) = .:¡;10 - 3x8 + .:r~+ 2. Hallar les tres primeros tér
minos del desarrollo por la. .f6tmula de Taylor para tCo = 1.. Calcularaproxlmadamente f (1,O~).
152f. f (x) = :¡;s_ ~:¡;1+ 5xe - x + 3. Hallar los tres primeros términos del.desarrollo porla fÓl'l.ll;\JlIl de Taylor para :ro = 2.Calcular aproximadamente 1t2~02) y 1(1,97).
1522. f ~x) ....ro _ rO + :ro .. Hallar los tres primeros ténainos del desarrollo de f ($) el) potencias 'de x -1 y calcular aproxí-madamente 1'(1,005). .
i523. t.(x) = -x5 - f);¡;9 +;¡;. Hallar los tres primeros técmiuosdel ·de'sa1.Tollo.en potencias de x - 2. Calcular aproximadamente1(2,1). Calcular.t (2,1.) exactamente y llllnar los '(mores flhsq.lutoy rlllntivo. " , ." ,
1524. Com,l?lohar que calcúl~1)do ~O$valores de la Iuncíén eXpara 0'< x ~ 1!~.con arreglo 'n la t4rOiula -aproxtmada "
;c • %2 • ~e ~1+x+2+&
so comete un error menor que 0,01~:Valiéndose de ello, hallar y;con tres cifras exactas. . - ,
15,211.Valiéndose' Qfi' ],0 for¡¡:¡ula' ,41'p'~o~imadoe"~1"+x++~ hollar ~ 'l calcular el erro:.
1512. Escribir la .fó'rm~lll.de Taylorl'~e 3er orden para, la.función11 = Ji cuando :¡:~ ,_ 1 y construir la gráfica de la función daday do su polinomio de 'l1a~I,orde terc;:etIgrado.
15.3·. Demcstrar que el número e en el:'término complementueiode la rórm.nla de Taylor de primer orden
h%f (a +h) = f ~a)+ hf' (a) +zJ" (a + eh)
tiende ~ 1/3 para h -+0, si Í" (x) es continua para z = (L y r (a) ::f=<#0.
114 _Cap. l.V. Análisis de las funcióoes y de sus grMicaB
En los ejercicios 1529-1536 hallar la curvatura de las líneasque Sé indican,
1529. De la hipérbola xy = 9 en el punto (2, 2).'2 1
1530. De la elipse :2 + ~z en los vértices.t531. y = x' - 4x3 -18z' en el origen de coordenadae.Hi32., y2 = 8x eh el punto (9/8, 3).t533. 11= In x en el punto (1., O).1534.. y = ln (3; + ]/1 + a;U) en el origén 'de coordenadas.1535. !J = sen x. en los puntos correspondientes a los extremos
de la roneíén.1536. Del tollo de Descartes Qj~+y5=3 axy en el punto
;(fa, fa).Eh los eiereicios 1537~1542 hallar Is. curvatura de las Iíneas
qua se indican en un punto cualqúí~J'a1(~,,y). '1537. y=x3• ¡53B. ~ ~ t~=1. 15~9.y=inSBC X.
!. ~! zTil 111 oc1540. :Z;:'+Y~=(l~. 1541. (iiil+ ¡,'" =1. 1542. y,=¡¡.ch4,En los ejercicios '15'4.3-1:549 'hallar Ja curvatura 1:10 Ias líneas
que se indican,1M3. :J) = 3't\ y = ~t - t9 para t = L1544. :t = a cosa t, y "'" a sen" t para t =,.t,.;1545. x = a (cos ~+ i sen t), y"" á (seó t - t coa t) para -t =i.
S"
§ 6. Curvatura
" 1'52§. COlDprobar.·qt¡'e:iPataJ~Il,.~gu105 meuEl'e$ que ..,28° el error'qúe 'lié\3l-11tariade 'habEfl:'tb~.~do la' exprest6n x - ~ + ~ ep: "el.de. S!l~x, sería ~.~iíÓ!'':que ~9,Qpo90f.Yaliép~oB{lde ello, calcularse)\ .200 cipn .seís ~ifr~s_ .~~a·<;.~a!1',. .'. '152'1-;Hallar él ~d~ ·i()'l. ,éon~8Xac.titud hasta 0,001. Mosttar quees '~lÜ'iciente tomar '~a'co t_respoI}.dfc'nte Iórmüla de Waylor de .segundooiq.el) p¡ua .íl1¡:¡¡,JlZl.l1;, la ,e.xíl.cti~ud' indicada. '
1&2{!. A,:pHca.nil'f·la~_·fór~\ulá:. aproxímada, .... , 2~' x4ln,(i·-t'or)~ ~- ~+~-T
haUár -el In '1.5 y calcular el error.
U,5;§:,_6, Curyatnrll
1546. ~ = 24 COS1, ~ a cos 2t, y = !la seil t - a sen 2t en tIDpunto >c!J.alquhiro,.
t$_!7. p = a~ en. el punto p = 1, tp = O.1M8. p - acp en' JlO. punto cualquiera.1549. p.-=- aIP" en un punto cualquiera.1550. HaUar. el ~a(Ho d(! curvatura de la elipse ~ +~:= i
en f,l1 'punto en que el segmento d.ela tangente' entre los ejes' no coordenadas se dívída en dós partes iguales por el punto de contacto.
1551. Mostrn'r que eleadto de cuevatura de la parábola es ig\lalal segmento doble de la normal compeendtdo entre los puntos deintersección de la normal con la parábola y Su directriz.
1552. Mostrar que el radio de curvatura de la cicloide en cualquíer punto suyo es dos veces mayor que la longítud de la normalen el mismo 'Punto.
1553. Mostrar que el radío de c~!\'at,!-ra de la Iemnlsoata p~==a~cos 211' es inversamente proporciona'l al radío polar COrrespondiente.
1554. Hallar la circunferencia de cuavatura de la parábola y == x' en el punto (i.j 1).
1555. Hallar la clrcunferencia de curvatura de la hipérbola%y = 1. eo el punto (1, 1).
1556. Rallar l~ circunferencia de curvatura de la línea y = eX410 el punto (O, 1). ,
1~~7. Hallar la oírennfereucía de curvatuea de la Iínea y=' tg xen el punto (n/4., 1).
15.58.I-llillllr la circunferencia de curvatura de la ci.soide (x~++ yil) $,- 2ay~=O'!ln el punto (a, q).En los ejercicios 1559-1562 hallar los vértices (es decir, los
puntos en 19S cuales la curvatura toma su valor extremo) de laslíneas que se indican •
. t559. Vi + yy = Va:: 1560, y = In x.1561. y = é",1562. x ",. a (3 cos t + cos 3t), y -= a (3·sen t + sen 3t).1563..Hallar el mayor {talor del -eadio -de curvatura de la línea
P = a sew.!... "+ - 3 ' I
1564. Mostrar que :ta curvatura en ~ull'p~ilto P de la. línea }J .==f (x) e, igual a I y' co·s3.(1,.1, d~Qdi}(1, es ~1~Il~lo forU)!\\fo,pOIla tangenj.e {l la línea en el punto P -conel' eje positivo de láS ~l{SciSll·s.
1565."Mostrar' qué· la curvatuea de 'U_~lllínea. en un punto cual-quiera puede ser expresada por la relaetón " ¡=:1as:.a I dond,/'~tiene el mismo significado, q;ue en, ~l eje:rciG10 antetíor.:
1566,z ·1.11{función Hu;) ell'tó.~tifi1lj._da~el n~o4p siguiente: 'f...(z)==:ts en el intervalo - 00 < .ti: ~ 1,!(x) = axZ + b:r + e en el·
H6 Cap. LV. Análisis .de 1~8 IUl1ei9n~ y de Su~ gt~¡c.a¡¡
es una catenaria.1576. Mostrar .qus in evnluta 4!l ,In esptral l~garftmj<la p = (lO
es exactaürente la ,tn~$),naespiral, l)efó' aespnl:til~a: ü.n poco pon ciertoángulo. ¿Sería posíhle liIeg'ir Illl valor.'demodo que la evoluta coíncída 'con la espira:l?
1571. Mostrar que cualquier envolvente de una circUrjfere~éiá'puede ser engendrada desplazando una. de. ellas. 9.on '\1l1> ángulo ' 00-irespoll.diente. -. .'. .
f578. M;os~rar lJue..lll iUsta:né¡~entré ji.ñ punto de la cicloidey e~.céntt~ d~.la,curv~~ur~ dél pfl.n~o,Íj6H~:;P..ondi~nte de ia evolutaes igual al dlametro doble ~el 'clrcultl ge.o.er!L.dot-,
t579. La parábola semicúbica py~ =~ (x - Zp}8 sirve deevoluta 'de la .Pllr¡ihola y~ = 4p.'I7. Hallar la longitud del arco de laparábola semicúbíca desde él fPico» basta él punto (x, y).
HFig,35
''''1(". ,
.~Üer:VlÍ,lo1 < :I><·.~~.,':'.C\!;áiJ?1ildel.>en s~r, 10.8 valores de a! b". e' ,paraqlte la:li:j.\ea y = t (:t) Jenga, una. cll'j;v~tura continua por ~,lYdÍ\s.p,ar.tes?',.• 1567. Son dado~',el;'arco :A1Jt} qe: la oi'rounfe~eDéi¡¡..de ra~¡o .ígual'.ll' ,5;:cuyo. centro e~.'el:r·pJ.lnt9:(9; ·5), , , '¡'. ,
y ,el":l!egm.ento._l/Cl. qar-JJ1.' rflo~lI que- '1 ~ !J 'I·CIíI.ÓO~'une 105 puntos B (1, 3) y (J .(1'.1, 66) ... :~v~MeJa·;fig.. 35)~ Es:.ne.c~s~do·'llnii; el J (o,~).·fI1U~Hl'M.,CO~ el ;puJitb"P',no;J'llfl' arco :~liil¡,a.b6)¡l;p.de,móatl,queJa ll:X1.e(iAJl¡fBCtepgf!. la ..curvatura co.ntiI).'Uapor todas .8(t ..:,}.Pa+~s.~ J;Ial!llt la: eg;u:!).ciQf!!le. JtI -pa- A"rápolA buscada (tomar la 'Parábola-de quinto orden). , .'
Bu .los eje~cjcios 156$-1574 .hsllar las coordenadas del.centro de lacurvatura y la ecuación de la evolutapara las Iíneaa que Se indican ..
1568. Parabola de n.·~itn:o. orden ¡j 9' 'l\1569. Hípérbola .!:-it =i, 157.0."A.sttoíde xj+ Vi~a:.157f... Parábola semícúbtca Il = aa;~.1'572. Parábola x = 3t, y =. t~- 6.
31573. Císoíde y'2 =~ .~,,-:&{
.7i=a(f+ cm¡Zt)sent,i574. Linea .y =q senll.t·cosi.f575. Mos~ar que la evoluta -dé la ttallttiz
~=-a(lTltg{+cost.), y=aseut
. '1J1
15M. Hallar el míntmo de 1(1 función y = ~ + :r;~+ x + 1con exactitud hasta 0,001.
t585'; Hallari el máximo de la funci6n y = x + In x -.<t? conexoctitud hast,1t O,OOL
1586. Hallar los valores máximo y- mínimo de la función y == 3;9 + 3 cos z en el intervalo (0, -f) COf~ exactitud hasta 0,01..
l581. Hallan los valores máxime y mínímo de la funci6n y == .x - e:r.'l en el Intervalo (0,2; 0,5) con exactitud hasta 0,00t.
1588. HalLai las coordenadas del punto de ¡aIlexióli de Ia 'línea
y= ;~ (.i'-6,xZ+19.lt-30)con.. e;actitud, ~8sta 0,01. "
1:589.fI!lUa,~las cocrdenadas de,1I1lUlto.de i,~f1!lx:ióil de IaIíneej .y = 6.z;°In x + 2z8 ._ 9z"
con ex.a!ltj,~d ij9J.!ta0,01.1590: Halla~ la curvatura de 1á Iínea y = .; en 'el !,unto de suJ 1% • <:.: _
intersecciqn· con la recta y <;=> ;t, :--.J ,. 90.0 exactitud hasta 0.0.t.159t, Bn la, líne,a y =,l~ i1< !lá.n!!ft con 'f3x¡¡,C~it1-!d111¡~tá'0,001,
las coordenadas 'del punto en ~é ..e~ ra~ío, d~,curvatll!'ii de la 11Sl(~adada es tres' vepes mayor que la a'b¡¡clsade este punto.
§ 7..Problemas de cálculo
'1580. Hellar la longitud de la misma evoluta de la elipse cuyossemiejes son iguales a a y ~.
-158t. Mostrai que la astrotde s: = a cos" t, y = a slln! t tienepo" evoluta W18 astrotds 'de dimenslones Iineales dobles y girada15°'.Valiéndose de ello calcular la longitud del aFCO de la. astroidecitada.
1582*. M05tT8r que la evoluta de la cardioide x = 211. C05 t -- a cos 2t, y = 211.sen t - a sen 2t es ~m bién 'una catdíoíde semejante a )a dada. Valiéndose de ello hallar la longitud del arco detoda la cardicide.
158a-. Demostrar el siguiente teorema: si la curvatura del arcode cierta linea S910 crece, o bien solamente decrece, las círcunfsrcnCill8 d'e' la -curvatura correspondientes a dlsti'ntos puntos de dichoarco' no se cortan 'y se hallan situadas una dentro de,la otra.
H8 Cap. IV. Análisi6 de 185 tuneíones y de 8US ,gráfica's
1592. Expresar por medio de una integral el área de la figuraJ,imitada P!)f Ias siguientes líneas:
f) los ejes de coordenadas, la reCÚl x = S y la parábola y == :tl + t; ,
2) el ejQ de abscisas, las rectas z = a. x = b y la linea y -= e'" + 2 (b> a).¡
'3) el eje di! abscisas y el arco .de Iaslausotde y = sen $ corres-pondiénte al primer semíperlodo:
4) Jos pe rábolas 1/ =:1;2 e y = 8' - X2¡
5) las parábolas y = 3;2 e y =vz:6) las lineas y. = In z e y = ln2 x.159S. La figura está limitada por el eje de abscisas y las rectas
y :¡= 2x, x = 4, x = 6. Hallar las áreas de las figuras de 71 .escalouess entrantes y salientes, dividiendo el intervalo 14, 61 en partes ig!lales. Mostrar que si TI. crece 41flnitamente, las dos expresionajl obtenidas t,ien~en.a un mismo limIte S, área de la, figura.Rallar los errores -abscluto y relativo al austitu,ir el área de lafiglU'L\dada por las de las figuras de n fesculonES» entrantes ysalientes.
'594. Un trapecio mi.xtillneo d.e base 12. SI está ~,imitado porla parábola y = ;r. Hallar los errores absoluto y relativo al sustituir el área dada por la de la fig~a entrante de 10 eescalones•.
t595. Calcular el área de la figura limitada por la parábolay = :x?/2, las rectas x = 3, x = 6 y el eje de.al!~isas,
t596. Calcular el área del 8,egmento de la puáboIa y = 3¡! cor-tado por ,la .tee,ta y = ~x ..¡.:. 3. .
t597. Calcular el .área del segmento parabólico de base a ="'"10 cm y la altura h =,6 cm. (La,base es una cuerda perpeÍldi~ularal eje de la _parábola, véase la fig. 36.)
§ 1.. Integral definiday sus propiedades más ~lementales'
Integra! deñnida
Capítulo V
1598. Calcular 01 4rea de la figura lilllitaaa por la parábolay. = a:~ -.\I~+ 5, el eje de abscisas y las rectas ;¡; = 3, x = 5,
1599. Calcular el área de' in fígurn'limitnda 'por' Jos arcos 48 laspnráholas y =t 3;~ e y = "a ~ ~,
1600. Cnlc\llnr el área de la figUra limitada por las parábolasu U = I1P - 6;¡:-+ 10 a y = 6x - a:~,t--~-~l 1601. Calcular el área comprendida entre 111
parábola y = :Lz - 2J: + 2, la tangente a ést;¡¡ enel punto (3, 5), el aje de ordenadas y el deabscisas.
_.. 1602, Un punto material efectúa el movímien-to a 'úna ,velocidad 11 == 2t + 4 cm/s, HnU(U'In di.stan,cia recorrida por el punto en los prime'TOS 10 B.
1603'. En la. caída Uhre la velocidad v esPig. 36 igual ,9. gt. Hallar 1:\ distancia recorrida ed los
primeros 5 s de caída,1604. La velocidad del movimiento, que es propnrC!9~al al
cuadrado del tiempo, era iguala 1 cruJs al I1nalizar el cuarto segundo, ¿Cllál es ]1\ distancia recorrida en los primeros 10 S?l .-
1605. Se saba que la fue.rrt.aque éjerce la reaccíéna la extensióndel muelle, .es proporcional al aJatga-m.;ientQde] mismo (lliYde Hooke),Al extender un. .muelle, lo hiéieron ,.4'Cnl. más largo, efe'ctuando CCIOello un trabajo igual a 100 julios. ¿QU9 trnha,Io se ptodu~iría alhacer el muelle in cm más largo?
1606. Para que un muelle se haga 2 cm más llago, es .necesarioefaptllar un trabajo igual a 20' julí'ós. ¿Cuánto más largo se hará elmuelJe si se aplica un trabajo igual '1) 80 julios?
1607. La veloci~d 11 de la desíntegractén rndíactíva es una ronc'i6n dada del tiempo,: 1/ = 11 (t), Expresar la cantidad lit de 18 sustOf!.Cia, eadiactlva desintegrada 'en, el espncio de ~iempo desde e')momento. 'lo b!lsta el momeJlt~ Ti: 'a) aptox'Hnnd~mente, lÍl.ediilnte1111(1. ~uótn)b) exactamente, mediante una 'integraL· . .. ' ,
1008. La velocidad a que se" cali'én,tiJ.el cuerpo es Una fÍln~i60'dada del tiemp9 Ij> (t), ¿Cuántos grados aumenta la temperatura S'del cuerpo en' el ()8RRciodel -tiempo comprendido entre el momentoro y el momento TI? Expresar el resultado: a) aproxrmadamente,medinnle una suma, b) exactamente: mediante una integral. -, t609. .La «miente alterna';[ es ,una Iuncíéu dlida· dé1"ti'cmpo
J =.[ (t). Expresar (aproxímadamente, medi~nte una suma,' 'yexact!.lmenta,:~ed'iailto una in~egra1)'I~·'co.ntJídadQ .de el.!ilCtrici(la:d,que pasa a través <lela secciónl transversal del-c\)nductor en "el·tiem,¡po l' desda que comienza. el expe~imento,. "1610. La teaslón E de 14 eo'rIjeilte alternn es Mil función dadadel tiempo E = q> (t). La corríent!}J es támbi'én una Iuncién dada>
Cap, V. Integral dofinida120
1
t616. Calcular la integral J~ da; sumando directamente y pao
Mudo después al limite. (Conviene dividir el intervalo de Integra-c~6n en n: partes Iguales.) ,
1611. Sumando directamente y pl.l8hndo luego al Ifmite, cnlculm'b
la integral J:r!'- dx, donde s es un número entero positivo (dividíaa
el intervalo de integración en partes tales que las abscisas de lospuntos de división formen" una progresión geométrica).
1618. VaJiélldoSl! de la .fórmula obtenida en el ejercicio ante-001', calcular las. íntegtales:
Cálculo de integrales mediante la suma
- del .tiempo [ = lj1 (t). Expresar el t;rabaJoA 'de la corriente 8D el'espacio de tteJJ1po cO~prejJdi~o entre el momento ,To y el momsntoT}: a) aproximadgmente, mediante uno sumo, b) exactamente,.medíante U1ln integrlJ.1, ' ,, 1611. (Jn circuito eléCtrico es alimentado por una' .hateria deacumuladores..Po:nlsp,¡lc'io)'de .1.0min 'la tens~ón en los bornes decrece\!tLifor,qi¡lment.e a,esde s; "'"'50 V h~tll E.= 40 V. 'La 'resistencia-delcirCIlll.o R = 20 .óhm. HaJll\r la cantidad de electríctdad que pasa,POt ;el circuito en. 10 mín. '• 16'i2~ La ~ensi6J¡i'd&'un circuiló·1eláctrico decrece únílormemente •.disl'.u(nuyootioQ'.= ~i5 V por ,~n"'minuto. LO. tensión inicial delcircui.~p Eo = 190 V, fa resistencía del miSID.ofl = 60 ohm. Ha,lll)l"el' trnbRjtl del oirc~to efectuado en 5 mía. Se p.rescindede la ínductanela y de la capacidad.
i613. En Un circuito se introduce uniformemente Jo. tensión,A} comentar el experimcnto,la tensión era igual 'a 'tero. Al cabo deun minuto la tensión alcanza 120 V. La resistencia del ctrcuito es.igual a 100 ohm. Se prescinde do la' induotancia y de In capacidad.Hallar el ~rabojo del círcutto durante 1 mio.
1614. La pared reclángUlar .de nn .acuarto lleno de agua tienebase (l. y altura b, Expresar la Iueréa 'P de ¡a presi6n delagua contrala pared: 11) ap~o~imadamente, JD4ldiante una, suma, li) exactamente,mediante una integral.
i6f5. a} €nlcu}1I1ó''Ia fuerza. P con In que el agua, que llena elaouurto , hace presión sobre UnO de sus paredes. Esta tiene Jormarectangular, longitud Q,= 60 cm, y altura. b = 25 cm. b) Dividirla pared del IIcunria con tilla re!lta.horizcntal de modo que las fuerzas>de presíén sobre las dos partes ele Ia pared sean iguales.
121:
2 4 I
f1:1) ) x3dx; 12) J ~ dx; 13) H ~6 -:) dx.1, O 1 O
f il'4-'2A+ +/1"1
1619.* Hallar líp::l 1<+'," para k> O. Calcular apro'X,t-, n~CIO "
madamente í 5+ 25+ ... + 1005•
11620• Calcul{lr Ia integral j ~, sumando directamente y pasan-
,do rl~egOalj Iímíte, (Dividir :1 intervalo de integración de-,modo,qu" las ~p.isas ele 101l puntes de divisi6n una progresión geomé-t"tiqa.) , .
r 2ít62t. Formar la suma integral para la integral J ~ dívídtendo
II-el lutervalo de integraci6n en n partes iguales. Eíectuando la compa-
ración con los resultados del ejercicio anterior, calcular
1
1 ~!~++n~l + 11~2 + ...+ 2!' )., (1 1 1 1) ,It622*; lim -+-+" + '+2 +..,+- (a es u.n número'tJ:-+'CG Il Il '.1. n. an ~
; ) Cal 1 . ad - te (1 f. ,.l." . 1)¡en:ero. ,cu ar '\Pfo:nm Ii1U~n '.l.OO+1li't""T 102''''' .. :...,...soo .~t623-. Calcular las integi,ale.s,sumando directamente y pasando
ilu~go al 'límite:[a 4 b
f~) ) x~"da:¡ 2) J In x dX;1 3) J ~Il: dx.l 0" t ,~ ,aE~ el 1)' dividir el int~rválo d,e ili~egi8ción o~ pintes ,iguales" en
,40, 2) y S) proceder igual. que en, el ejeréició 1620.1 - ,"
f
2, 5
7) J (2x+ 1)2dx¡I
-a
m6) f .,Z;::zm2 dx¡
oo
9) r (a+%}'t dJ--a- Xi
o
3) J x2dx¡
"T
•r b~)l(x-a) (x- b)dz;. a
"p) J (3:t~-z+ f)d.t;o
..+22) J :cd:r;¡
0-2
10J :z:d:z:;o
Copo V. Integral defi,nlda122.
Z 2
2) )'~;, dx 6 ):ca ds:l I
Vi •
1634. ~:carctg:z:d:t. i635. ~ .z2e-'" d:t.T •1636. Sin hacer ningún cálculo, averiguar cuál de las integrales
es mayor:I
1) ) u;2d:c Óo
·zIr ,,2+51631. J ",%+ 2 de.
ofiT
1633. J 1~:r~ dx:I'2
1632.
3.$r .,2 tJ:r •J %-1r.s6"T~ (1+ seo~x)d3J"-¡-
1630.
Eualuactén: de la integral10
t628.Demostr8J' que la integral ) z3~6 es menor quei.o
2
1629. Demostrar que la integral ~ ex'~:O;dx está comprendidao
ent.re Ve y 2e2•En los ejercicios 1630-f.635 evaluar las iálegrales.
Interpr-etQct'6n geométrica tU: la integral dejtn,rdiJ.1624; .Expre!farmediante 'UP8 i'ritegral el área de la hgura dímí
tad¡¡. por ~l arco de In sínusotds correspondiente al intervalo" O~~ :c ,::;;;;2n y por el. eje de abscisas.
t 625. ,áij~.~, el' área d~ la figura limitada por la parábolacúbioa y =:rfl y. la recta y = :r;. ".
·{52,? Calcular el área d~.la figura litni'to.da por las parAbolasy = ¡e. ~ .2z - ~ e y = ~ + 6i - '3. .
t627. Calcular el ároa de la figura Iímítada por las lineas y -=.xD_:z¡ey=x4_i.
§' 2. Propiedades fundamentales'de la. integ.;al defínida
'§ 2. Propiedades fundam~nfa!~ as la integral definida 123
1
i~41. Evall¡.ar la integral ~ Vl+';t1'dx apÚ~lIndQ;. \ ' -:"
U el teorema fundamental solll:e la evaluación de la; Integral,2) !JI resultado obtenido en el ajQt,cicio 1639,3)J¡¡ desigualdad, de Cauchy = E.!llD.Ía''lí,<lV'$y (véase el ejerci-
cío :lQ?$). ," .
~1~40. Evaluar la, integtal ¡;¡~2aplicando él resultado obte-
nido, en lil 'éjllreició ~Q39.
¡¡
(b-a) lL~)'tf(fJ) < J f(X)tlx< (b-a) t(b).~
b) si CJ\ él Intervalo ra', bl In funci6n / (x) crece. y tiene Silgráfica convexa, se tione
I!Ida;) fe (;t;)·d.1;1 ~ {J Ih (iWdx vJ (.f2(x));a.xn " "
i
demostrar que ~V 1+z8.dx<~,Mostrar que la aplicaclén de la :regla general produce la evaluaciónmenos exacta.. . ,
1639. Partfendo de constderaclones geométricas demostrar lassiguientes proposiciones:
11) si en el Intervalo [a, b) la función f (x) crece y tien~ su gráficacÓllc~va,se lJéñe I
b(b-4)j (a) < J f,(x}dx«b-a) f{a):;1(bJ ;
a
1638. Aplicando ]1) desigualdad de C~uchy- Buníakovsky
2 2
2) i2~· d:r. ó J 2"" dx,I 1
4 4
4~ J 1n x.dx 6 J (In x)Z dx.B 8
,1 1-
1) ) 2'" da: ó J 2.;3di,o 112 2
3) J In x dx 6 .~(hl:l;)~dx,l I
1637. Esclarecer cuál, de las integr'dles es mayo}':
Ca,p. :\1'. [qteg¡:a1 ,definida,
¡ntegral- de límite variable
1650. Calcular los integrales de limites superiores variables:
1) j rdx; 2) J ;r.6tlx; 3) J (;:-~) dx.o • I
1651. La velocidad del movimíento de un cuerpo es proporcionalal cuadrado del tiempo. Hallar la dependencia entre la distanciarecorrida s y el tiempo t, si es sabido que ea los primeros 3 s el cuezpo recorrió 18 cm y que el movimiento comenzó eo el momentos = O,
t652. La, fuerza que obra sobre: un punto material cambia uniformemente i'espé!),~oa In distancia recorrida. Al prlncípío del trayecto era ¡gua:! a 10 N y al desplazarse el punto 10 metros, la fuerzaaumenté hasta 600 N, l-lnllnr Io función que expresa la relaciónentro el trabajo 'J la distarlcla racorrida .
, falor máUo, de,','la it~nción", t 1~~2. Calcu.l;~, el yal.o~.rued,i'~.de la funCflón lioe,a~ Yero ¿ex + bo4ln,'~ Intervalo [;t~,~;t21',l'!'o]~a:J;',~}~untp,en que In,¡{uoclón t.oma estevalor, " ' .., , :,1,64/J.,.calcolll-r!,él'.,Y,llÍ01\ .lll~d,ío.de, Ia, Iuncíéu cu~dl·á..~icá y ~ a:t~
.en el,ints,¡;valo [);¡".;¡¡,l..¿Eo cuántós puntos, del ,inlervalo la ,f:u:nción~ollla .~te valor? '. 1644. Calcular. el. "lator"medio de la función 1/ = 2z2 + 3,:¡:+ 3
-eu ei .lDtervnlo T1, 4f. ..... ,!I.~5. Partiendo de coosi4era,Cio,ncs geométricas, 6Ji'lci1la1: el
valor medio de la .funclén y.rt= 'ViL! -x' ea el iqtervaló [-a, IIJ.1646. Pactiendo de ,,'éo1lsideraciones' geomét.ricas, índícar el
VIlIOl; medio de la fullció¡'¡ continua Impar en el Intervalo siméécícorespecto al otígen de coordenadas.
j647'" La secclén de un canalón tillns la forma del segmentopa~ab6)jco,. Su ,hase es igual It a =J. m, la p_fofundidad Ji "'" ,~,5m(vease la fig. 36 en la pág. 120). Hallar la profundidad medía del-canalén.
i64.8. La tansién del circuito' eléctrico crece unííormemente'por espacio de un minuto, desde E¿ = 1.00 V Mate El ~ 120 V.Hallar la intensidad meaia de la corriente correspondiente a estemismo espacio de ~i<impo. La 'eesisténcie del circuito es igual afO ohm.
164.9. La toasión del circuito elé.ctrico va deerecíendo uniformemente, disminuyendo 0,4 V por minuto. La tensión inicial en elcircuito es igual a 100 V. La resiStencia es i¡¡un1 a 5 ohm. Hallarla poteacía media de la corriente durante la peimera hora del funcionamiento.
§ 2. Pl'óplo,dades 1undalÍ1:eD~es de 'la lnt.Ggrol definida i2.',
'"11= ) sen z d:& para :r= O,
o1660. lA ct'\l~es igun] la derivada de la integral !'\lY9'límite !nfe
ríoe.es 'móvil y' el s.uperíor es c;onÍlt(l~tll.j resp'é~,toal Iímíte pf~l!ior\'6 • .
~66f. H811~ ló derivado de 1;1funcipn y'= ~ 11t+ xZ (Ix pll~a"
%=01' 11:= 3/4,_1662. Hallar la del'ivoda respectQ á ;& do, la fun'ffón y=
'21<
=J sc:"'d:r;,1[
'"J S_I.L.lty = 1+'+12dt paraz= 1-
o1659. Hallar la derivada na In, función
HiS3. La tansíón de un eírcuíto .eléctcico val!19,uniformemente,siendo igual ti El para t = t¡, y E. para t - t2• La resistencia Res constante, se' prescinde de la capacidad y de la autotnduécíén.Expresar el funcionamiento de 'la corríente como fu,nción del tiempo t transcurtído desde qUl\ comenzó el experimento.
1'654.La capac4d,apcaJorífica de un cuerpo depende de la temperatura del ruado sigulente: e = 'cu,~1-OI,t + ~ta. Hallar la funciónque ¡letermine la dependencia exístente 'élitre la oantíded de calorrecibida por el cuerpo al ser calentado desde cero hasta t, y la temperatnra t.
1655. Un trapecío m.ixtiljneo está limitado por la parábolay = :r;2, el eje de abscisas y una 'ordenada .mévíl. Hallar el valordel incremento !J.Sy de 'la dlfersneial as del área del trapecio cuando;¡; diO, y Ax '=: 0,1,.
1656. Un trapecio mixtilíneo está limitado por la linea y ==.y;¡;'Jo + 16, Jos ejes ,de coordenadas y una ordenada móvil. Hallarel valor de ie: diferencial aS del área del trnpecto cuando x =~y Aa; =' 0,2.
1657. Un' trapecio míxtllíneo está limitado por la Iínaa y = ,1.'3,
el eje de abscisas y una ordenada móvil. Hallar 105 'Valores delincremento !J.S del área, de su diferencial dS, los errores absoluto(a) y relativo (05= :S). que se cometen al sustituir el incremenlopor la d'lfer61iciaJ,.sI x =~y óa: toma Jos valores. 1; 0.1 'J 0,01.
1658. Hallar la derivada de la función
Cap. V. IntogrAl defulida126
Fig, 38Fig.37
~:
y
!I
>;
y= J (1+t) In (1+ t) dt.o
1669. Hallar la. curvatura en el punto (O, O) de la linea duda.por la ecuación
,lI
!/= J lt';¡;a para 2:=1.o
1668. dPaT!l qué valor de ;¡; la funci6n
I (x)= J ze -~. ck tiene extremo? ¿ A qué es igual?n
11 xJ eldt+ ) ces t,dt,=.O.o Q
t666. Hallar la derivada respecto a :IJ de la f,unci{lII y dado enforma paramétr!ca.:
t , " I1) x= J sen I di, !I=) costdt; 2) x= J tJntdt, y= J t2111dt.
o o t ,.
1667. Hallar el valor de Ia segunda derivada respect-oa z de larunci6n
2i:~669·,.Hallar.la derivada respecto a. ;- (le la' funci6n ,J'-ln~~ ck.
:;1665. Hallar la derivada :respecto a :c de la función y dada en
forma Implícita:
1663. Hallar la derivada respecto 's a: de la función." t
1) ,{ ~ , dZ; 2) 110,~?:z;,'
§ 2. P;opiodades Iundamentales do 11\ integral d\lfinid~ _ 121
.tinua,
1675. La, tangente a la 'gráfica de la función y 7 f (z) en el puntocu~a ab~,,¡sn, es x = 11., ror~!I un 3ilgll}O"de l- eQp el e.jo de. absc'ísea,Q)ieptras g,u'e en"e) punto ,c1~ya á~sci_sa.-es :v = b forma -un á'ngulo
b b , :
de .¡.. Cl\lcul~r J r (z) tÍz y J [' (x) f~ (x) eh; r (x) se supone con-G a
I
5) J 1';X2 ;o
"r4) ~ sac! x eh;
:1
.3) J el< dz;o
lfaT
6) J V~-%2f"'2
1674. La función I (x) tíene valores iguales en los puntos z, = ay x. = b, '71 una derivada, continua. ¿,A qué 0.5 igu¡¡] 111 integralblf' (;¡;) dx?4
" "'1) Isen X dXj 2) J' cosxd:r.
Dowrpretar geométricamente el resultado obtenido),
1.0)
2.
7} r -.~:J v la.ze01J (VZ-1)2 dz.~o
~r ( i:¡J x+-x) ax¡1
g
3) {3'VidX¡ 4.)
2-
6) J (Vi- Vx) d.%;f
12) r dil: •J .z9 t
4
41) r ~.J ;tZ '
I9
5) lVi(1+Vz)dx;•, b
8) ~ ~0'dt; 9) ~~(a>o, b>O)¡
1H73. Calcular las Integrales:
Pormuta de Neuuon. - Leibniz.1612. Calcular II1S iotegl:oles:
lG70. Hallar los puntos del extremo y los de 'inflexión de la:gtáfica de la funcién
;t
y= ) (x-2-3x+2) d», Construir la grñ[jcn de esta, función.o
1671. SigUiendo las gtáfíéns de las .fuDC\oneS presentadas en lasfig. 37 y 38, averiguar la forma de las gráficas de sus funcionespri.miti VI\S.
Cap. V" fotagr,al djlfinlda.128
1689. r (1-",)2 el:?;.•-.1 'x--~ .
f6?'. 1~Yr.'!l:z;·.1693... ~ a.2%;%2:3~~.:
1695. 5 éÓft::';¡\'Z % dfcl
'1697. r ctg2wax. <I J I
r (i4-!2±~)"d",1699. 'F.",Z(t+z2) .
1687. ) (2~-1.2+3r-O,8 _~n,88)ch.
1688. j C-:-~Ydz ..1G90. J (i+0~)9dx,t692. r d:r;J lf3-3z2'
" t+wsz'l:o1694. J'l+COS4 dx ..
1696. j tgz.:¡; dx'.
1698,..;-5 2 serí~T dx.; -
9-01;8
t678. r~.,168r. r d:i_.hy~f~B4, r (1-2u) du,
f680.• } .a.."'tr" ch.
1'677. J: V'iñ"ilZ.
En los ejereicios ~167~.!....1702 hallar las 'iQ~grp.1es!:u$~dÓ latabla de integr.ate~y aplicando las reglas elementales' para la integraclén.
1676• .iYi.d.z,1679. S.10"'&"
§ 1. 'Métodos más simples'de-integvaci6n
Integral indefinida.(}~rcülb~f.:lntegr.ar
Capitulo VI
t125. J ,:,p; . f726. J <hr (Of~lUH Yl-r CIls2:;:1l1+t¡:",'jt727: r C()s3zd(~}. 1728 í 4(1+-10':)J • J t\w(t+lnz)',:1.7~9.) co!iax:~~·, 1730. S (cos_a.-cos2x)q.,:,
:1~a1.,.S-so,1:(2~-3),d:¡;~ 1732. S cos(4-2x)4;r;.
,1733. J{cos (:2a;_:¡:)r- t734. 5 el<(seo é)~. ,
:t735 .r d <f+..i2)· 1,736. J'd (arC$lln z) 1737 J (2z;;,¡p) 4:,;;. • J '1+z2 • arcsen e • • j;2_-3..-+8·
i724. r (orctgzp thJ 1+z11. •
t722,
r ooozt4.J C<)S2",
J cos·:r.sen 2x dx,
1720.
1704. S 193x:d (lg;¡;).
1706, S (:r+ 1)~dx.
1708, J (4~~Z)C (e=#> 1).
1710. J V8-2:r.d:z;.1712. J 2xV xZ+!l.d:r.
1114. 5 x'l.~ w+2d:e.
1716. r rd% •J V4+~
m8. S (0",-5)4:,;2V3z~-5z+6'
1103. J sell~xd (sen~).
1105. r d(I+%~)J Y1+:t2'
1701. J ~.1709. J Y(8-3:r)6dx.
J711. S~4X.1713. J :eY1-x2.d:c.
17.5. S V:::i .1717. f z34%Vz4+1 .1719. J sena:ccosxdz.
1721. f CO/J''''a..:J Vsen2%'
1723. J Y~n'"de,
1700. J' (I..j..",)Zd.ta:('I+J:2) .
t 702. J (arcseu ,e+arecoe :e)ds,
En los ejercicios 1~Q3..".1780 ~J1ar las integrales, aplicando elteorems sobre la ínvarfancía de las f6rmulas de integración ..
Cap. VI. Integral Indeünída. C~lculo lnteg~al130
1771. J .~x_i d 1772. ~ (ex+1)~dx.--ex .x.
1773. J 1+", dx. 1774. J 3,r-1Yt-x' .,2+9 da;
1775. J .776. J x(t_-:t2) lk~d + x. . 1+z' .
1777,. J (+~dx. 1778. ) tlDV(·¡-:t2)3 (x+ y:t2_: t)2 .
1179. J '2%-Y~rcsen: :t d:c. t780·1.~J :t+(Qrcco~3i~2ds:yi-",~ Y1-9",3 '
11-
175B. J d (-;-) • 1759. J d:e
yt_(~)ll Y'1-Z:):t2'
1760, j 1:SzZ' 1761. J d",1762. J 2%::9 ..'V4:"':';ti'
1763. S OX 17M. 1;!1: 176.5. J xd.tY4~1l",2' V (J.. ~;t4:'
•7(¡6, J ",2 tkc 1767• r :¡o3d", . 1768. 1 exilz..6+4 . yr'l_..at e2"+"
1769. J 2Xdz 1770. ~ cosa&<1"1-4" . a2+se1l2 el •
t738. í c1z 'HM: :r, . :-rf.z.". ~740~<f' $~J . iz;.:...·f. ; . : J ~;;:+.pt . ro" .J:.?i.~d-,tf iid.i ,r .>l'd:t r "et" 'd3:
i'l~J. J ~Stf"" 17..2. ) t>l+J'" 1~4.3.J, t~o/a~;'1'Z~~. í tg x dx, F.4~'· S ¿tlt~,,4.q:·,· 1-746::S ~~~x'd~•.1747. J.'ctg(2z+:1)d,x. J748. '~'1~~~' :ax.,;';1,749.:'.~f¡, ': izo .J.'• . r J cos % :._~- ~ ~. D % .
1750. 1(1n;)l7t t4., 1751, j e:~nxd.,(;;p,.;).} ':"~~ y • - .. , 1:' ..! ~ r', .' .17.52.' J~sil}l'.xcos x dz: 1753. ) a3" de: . 175,4.'J 'a~.d~.
1755. J e-3»fol dx. 1756.1 j ex.":t:dz. 1757.• J e_-""rdx.
1311
r ¡k1803. J:~!+ü+5'1805.' r _ d.." • t806. rd~ ,
J V 4%-3-0:2 J y 8+6%-!Jz2
'807. r d!l: •J 'V2.-6Z-9z2.En los ejercicios 1.808-1831 hallar las integrales aplicando
fónuulas trigonométricas para tr~formar la expresión Integrando,
1808. r costxd.x. 1809. r sen::¡;dx.. f810. r.-!=--.J J J ,-cou\\ "
"aH,. r .\.d~.', . 18ti;¡1"'~C95% d t813' f t .....8eIi'%·U/1, J t+SOJl~'" , J 'I+éo~", Z. , J 1-'80D~ a.r.
81'- f (,;;:l' ~~" ?)'d .",' - 1.015 ooS,2z,a..· - '} ,-,',,1 ' .... J ·'6 %,.g % s; .0. 14-een,¡cosz'~ ,
,,18j6. J é()§i~n ~~dx1... '" ~ 1817. f .009'2:2;008'3% ds,
1818. k~p~s,e~5:xáx.,i'" 1819. I'c!ls~~!»a;~x;co¡¡3xdx.; f', d:i: r - - o' fo t -sen It ~. í SO'Q3",1820,.!.',~,-~~~'_ ;-" - :..182".:;.j ~¡~, r: 'A~?'í'.'¡1-'co¡s.%"4~{I
Ea lo~ ejerci~ios 1781-1790 hallar -las integrales, despejandola parte entera" dé la Iraccién bajo er signo de integraL
t7~t. J- ;~4dz. t782.,-J 2z~1 fh. 1783: h-:/u: ck.•784. .J i~:';¡z: 1785. Vl.%~~¡lo:: 1786. J ;:,!}a.x,
'1' (!+¡r}Z d 788 r ~-t, "9.f .r1787~ilj ,,,,2+t ,x. 1 'J ~~+¡"d.t. 1,,8. j J-g; dx.t r ra..790. J 'iZf'1' . j'
En los ej~Foicios 1791.'-1807 hallar las integrales aplicando elmétodó"'de deseómposici6n de la lexpresi6i1 integrando y !el 'métodopara despejar el cu-adrado perfecto. '
i79í. rj.(~~)· 1792. ~ :i (~+;;. 1793. J (~+t)~2a:-3),
1794. J Ca zfcL ;>:l; t,1,~. J ;:~!~.r. ;r796.J ..\l:i-~'it10·
1797. ) .%1+:-10' 1798. J 4z~~9' , 1799. J'2~3%3'
1800. 'Lz-tZ+4' .801. J~::}+a'1802. J%-::-2,5'1804. r, .¡/:Do
J Yt-(2z+SP'
Cap. ;V·l:.1ntl!lfl'&lJndeflllid8~1"Cálliulo. info¡rru
[l¿t~gra.ci6n por: partes
En los ejercicios 1832-1868 hallar las integl'll)~,.
1832. j x'Sen ~ ch. . 1833. J % cos x tb:. 1834. J :re""dx.
1835. J a;3xdz. 1836. j z"\I,la:dx. (n<;é-i).
1837.. J xllfc.tg¡r;,dx. 1838. J arccoS$.dz. 1839. J 8rctgl!id.%.
1840. f v:~7dic. 1841. J;¡; tgZ x dit•. 18~2. j xcos= xd«,
1343. J J!3Z a;:' 18/.4; f y;~~;dx.1845. f aV~~;dx,r r z2 dz.1846. J In (.%2+1)dz: 1847. J (1,-f'z2)~.' .
2848•. J ~" 1&49•• rJ.x21n(i4-'x)dx.
1850. S ;¡;2e-~ck. t8M. J r3e"d:¡;. ,t.85,*.~-Jx2a"ch.
1853. J r3sen~dz .. ,f85.~. J :¡;'J-cos2xch.• 1.855.J lo2xdz.
i856. 5 lu:t da: 1857. J i~'d:t·. 1858. J \(IIr.c~nx)'dx.
1859. J (arctg X)2 x ch. 1860. J eX sen x dx.:
1861. 5 e3"(sen2.i-cos2x)dx. 1862. J'eo:O:cosnxdx.
§ 2,,: Métodos príncípaleé, ¡ .>', ":'. J. ~
de integracién
I ~1~ .' - .I ....
11823 r co.s3 z:¡J"!.~. .,J ~Jl'.i" ....,
1826 • .r .cds3 i'Clx::J "
133
,($UsÚtuyendo' :t,= :" ó; x='co:"_' o ,,x'=iaclu).
1&90,; r ' d:eJ' .,z:Y:':Z+¡¡2(susti'tuyená~,x,=¿, o' x=a~z. o x='ash'z).-: ,.1~9t. r iJA~d.t'2 (súSUtuyerrQa'x>='cz,ssnz) ...,. ~ ...J I .:~ ~~~ - ¡J
1892. J 0:: . ':r :J('g;"'_a~
1887. r lntgi". d.'t.:i888. J ",~d:eJ suo'z.·co~z '" y ",3_%3 •
En los (ljercicios1869-1904 hallar las integrales.
1869. J :"'. (Sllstituy~ndo x+:1 =,:;2).1.+ x+t
1870. J Y~:t . 1871. J (!"'!ii& dx, '1872. J ., V~+1 •
1873. J zV~~2dx.1874. J 1+~~. 1875. J i!'(!";t) da:
i876. J",~~da; 1877. J i+t"'+1 1878. J Y/Ut.:b+m·
1879 \ Vi'a.. ( , d 6)• J ~-Vf sustituyen o :»=z .
1880. ({Ii(;; .1881. J y_a." V_oj 'j; . .:r-t) z+ '"\
t,,¿x/h 't863. .; . (sustítuyendo e"+ 1 =z'} .• 1 e"+ t
J dz. í Y1+1n z ;;J~18~. ~. 1885. J' %.lu u~.
1886. J Vi +cosZ x"sen,2,x ' ces2xdx.
1865-.,\ ~J V'1-",2
1868. J :r2e"'seI\:rdx.
Cambio de variable
1863. ~ sen io'i dx. t864. ) cosIn e de.
1866-. ~ Va2+z2dx.1867. J ,~~;.
Clip. Vl llillígr'1il jódefi.ñida. Cálculo integral'S34
J •V:< j een '" d1912. -v; dx, 1913. ~x.
1914. J ')f i _eX eXdz: 1915. J xcos:czdx.4 1 1 r 2.i'-3,t21916. S (2-3x:;)5' Z3dr. 191.7. 1+3.%3":' z6 dx,
1918. J V;;~. 1919. Sd;¡;
1+",2tX l~+e-")
1920. J d%1921. J 2>:+3 d»
tfX V 1-·e_'¿~ '\(1+",2' ,
1922. J 2,.-1 d 'l923. J ~;; dz.'V II.rZ-4: x,
Diversos problemasEn los ejercicios 1910-20U hallar las integrnles.
:1910. S (.r+'l)V.tz+2xdz. 191t..~ (1+e"')2eS:<dx.
1909.
1908.1907.
r 'j.
j893. J lrpa d;¡;. 1894. J y~;-"'~'dx.,:1895. r ik . 1896. r V~ az.,J y(a2-r:'2)3 • J •1897. r d:r .,' 1" '1898. r .d:z;;.('-'~ .;" , .....::.!il.
j :z:1 v;z=¡l . j "'Vi+z" .1899. r il:r.. ; 't9oo. r x~Y.4~~dx. '.J V {.t2_a2)3." J1901. J (z2+4¡Yrzq:y' ·!iI90Z -. J '~~ .. ";,,'1:.
1903. r 11>: i90~.. r (",+ 1) d.t• j V",->:3' J .:t'(l+z.~)'
En los ejercicios 1905-1909 hallar las integrales efectuandopl'l,mero el cambio de variable ,y luego ir!Wlirnndo por partes.
J905. J eVxdx. 1906. J sen ;;Zaz.
·, a35
t959.
) x sen % cos z-d»,
j t?'x31h.
,.1957.
l. ;
l ••
11125. j 2)tO~~;r\'
1927 í (an:tg:)" d .'. 1+.xz e.
1929. J~dX.cO~""
193L ) 1(tg'xsec'xdx.,
1933. 1 :~~.1935. j V::ú. ~.'1937. j xYa+:cdx.1.939. J Q,tM'bn>t d«.
) ai:i!tg frli.~r -., •J :rCOS(i).~~. '••• <
1956.
1958.
1938.
1936.
1928.
1930.
1932.
1934.
J926.
Cap',Nh In\egre,l ¡ndeflnida. Cálculo. integral
19M.
t35
1982. J e-:>;'x5 da; 1983. ) zS d,,:V'I+2.1:~
1984. ~ • rtJ:e . \ ) Vi.z!i-4zl~•' V(1-.z2)3
1985. d~.%
1986. r th ~987. J Yz2~8 ck.J z'Y.z'i+4 :z:~
1988. J Y4;zZ dx, 1989. J dzz* y z=!-3
1990. J l(:;;d", 1991. J .ya:+i+f d.x.~+1 yo:+1-1
1992. J do: 1993. J V:;;d,,:(2+",) Yl+", . % ('¡fi+V~)
1994. J y ~:z:+2.rti». 1995". J :Z:. d%, (1-.,2)5 -
1996. J d% 1997. )_ Y!;!""" dz:(~+b) Vi'
1980·
1978.
1974.
1976.
1960. j ~~z~ dx ;
1962. ) (::~)'r
__ _ _c. • ~ ._ e :c • e ,. _. _'_'_._
2012. JI zd", 20f3. ~:z:d:r;
,(:¡;+3.)(2",+tJ.) . 2.1:2-~.1:-2 •
2014. j 2:.z+41o:-01 ~.,%-,1) (%,r.3) ~;r;-<l)
2015. J d.z aors. J z5+:o'-8 d:z:..1).¡:3_7",2"':'3z '.~ ",3-4%
¡.~... J ",3....,..1 d:2017. --x4""'-% .
~018. r .32zk(2:-t) (~2-i6:t+t5)
2'019. ! :e'M., .., j (z:t?-~5ldz
zl-3Vl+.2 . 2020. ",0-5%1,+(; •
:2021. S",0_ 2z·+~-9:3+4 .d:z:
",5-5:.r;3+4% .
Ea 105 ejercicios 2012-2067 hallar las integrales.1) El denomi/Uldor tiene s6lo dtstintaS raices reales.
Funciones fraccionarias raciouales
§ 3. Tipos principalesde .las funciones integrables
2007. ) ~~r' •
2009. S In (:z:+V1+ :t2) d»,
2011. i 4z- •J cosa ",.1faco 2.1:
f 3z~-t--;-¡::::"are tg :r d«,2z y z
S Ve"-t da:2005.
2001. J ~~ ti1:.
2003.
1-999. r .rz5 dz •J ...r'+4
2004. S '.>' (1+e") c1»Vi-.U. .2006-. r ln(%+l)-lu: da: t
J z(.1:+1) I2008. S arccos ~ da,
r 3 / sen2z.20 ie. J )1 OOS14idx.
2002.
2000.
1998. J %dz 3
(1_",4)"2
Cap. Vol.. Integral Indefínidq. Cálculo .i!l!.egralt38
',.2026.
2028.
2030.
§ S,,'Tipos ptiñ9p'a)8SI,de las,lunel~n8S lrilégrnl»es _! _ 189
A 19uMs fun,f(iqnes irraciona.les
En los ejercicios 2068-2089 hallar las Integrales.
. ( "'V az+b1) Puncione» de la forma R x, . Ql~+~;l"
Cap, V~, TlItég~al';indofinida. Cálculo int,egral140
2104. ( dz 2105. ) dzJ (sen z+co,sl:)~ • 800Z+COSZ'
2106. 5 ti::; 2107. ~·tiz
,l()OS '"+ b 800 :r t¡P"'COS 2;t: •
2108. ) COS2 zdz 21 G9. ) d.v·sen :t·cos ¡jz 1+tg", .
2110. ) ti.. 2111. ) ·dz5-acos% 5+4 SOn.2:
2112. 1 2,-seO":l" ck - 2113. ) son~zd.::2+cosz . 1-lgz'
2114. ) dz • 2H5. ) . dz _4+tgz+4.ctg~ . (sen" + 2 sec::;)~
2116. ~ d: ,,' 2117. ~¡ d:r:
5-4senz+Scosz' '"3cos2z+5'scni., .
2118. j dz 2119. j <k1i'sen2z S9J14z
FunCf~na trlgono1T!4tr.icas::-. , .
2088.
2086.
-1- ,_...._-_.
2084.
i42 Cap. VI. 1nt.&gl1llinde~inidR. GálGulo llllogral
2120. J aasen1.;~b~cOSZ". 2121- ) sena~tg3,..
2122. r cos",d:rI!Otl3 J:-cos~J: •
r V1+senxd:c. J Vtgz2123. 2124. dx,sen ;rCOs..,
2125*. J 1/_3 2z dx. at26. ) clz51:115 .. IIscn3 .r cos" %
.
2t27. J d;; 2t28. J V1+cósec:z; dsa,V t-5004%'
2t29. ) (cos 2x.....~!dz 2130. ~d%
coo1a:VIo.,....CLg:;r • PJV zsenT cossT
213t. J Vtgzdz.Funcion.es hiperbólicas
En los ejerc(oio~ 2132-2150 hallar las íntegrales;
2132. ~ chzdz. 2133. ) sb z dx,
2134. 3 ctx' 2135. S ,"d:rebz+sh.i .
2136. ~ (ch1a:r+sh'ax)dz. 2137. J shz.xdx.
2138. S th2xdx. 2139. J cth::xdx.
2140. lshs xdx,· 2141. J ch'xdx.
2142. J .t.h4X~. 2143. J sh2zcb3xd$_
2t4~. J cth6:z:dz. 2145. J dzsh..,l:ba:
~146. 1·~~.i. 2147. 1 d:c(1+'c&'%)~•
2t48. J 'ytitx,da, 21~~. J "d;rI cih:l.,:a: •
21:;0. J ebtlz. sb'z·
2175. 5 rad:i 2176. 3 rthlz_I)12 :Ir-V:c2-1
2177. J xVa+.xd.v. arrs. J dxQ4!!mx+be-mi.' .
Diversas funciones
En Jos ejercicios 2175-2230 hallar las integrales.
2173. r (x-tldr ,J :tlll':lz2-2:o+' -
2169.
216t.
2174.
2172.
2171.
2167.
2165.
2163.
§ 3, ri~s prinCllpru.&s.do~as ,funcionos tuwgrilblos J.oI3
'(4~ Cap, VI, Integral ind~finid&',G41culo Integral
2179. '), ~,:t1T'" da: '2180,. ) ",4 a%VI....,,,, (",2-1) ("'i-21 •
218L. ~ '1~;a;;'" 2i82. ~a",',
(..:« t}Z •
2183. J 1n ..:+1. .d", • 218Q."~ (r+3:¡:+ 5)cos Zx'd:c.%+1'
2185. S rsll x d». 2186. ~ aretg (1+-Vx) da.2187. S nrc~n%d% 2188. ) ePdx: -
:rfZy -2189. rxef'x de. 2190. J (:r3-2x2+5) e3x(Z~.
'2191. J se~V~dx- 2192. 1 a.'<,I
:t8(%-'Ú2
2193. ,) __;:2_{ . 2194. ) V(Hz2}~ti"'0 x.
2195. ) .:',a", 2196. ~ti I-t"z d",'iv",a+i' 1+-(; '"
2197. ) el" 2198. ~ 1(2%+1 ~.,.~''\[(1.+",)~ . - ",% '
" r :z~d", 2200. ~ aJ;2J99. ,. J-.'='o,-';¡":' - • S90~:t 23en:t'
2201. r él", 2202. .~ eh1+cosi",. 43_:bZcOS2~
2203. .~xln(1+r)dz. 2204. ~(Iu-·i)~
102:2205. ) % In", Ik. 2206. ~ ;i/-e"005x da,
V.(:t3_'J)~
'2207. " )1 :,r.e·?(xzJ+ 1)dx. 2208. \ (/.¡::• V,~~n3%coe~'!"
2209. ) d", ·Z2'!O. l' 90)1.2% el",.~n6 .zcósA'" . cOS4''''+S:<id4 x •- l el", ~ 11tg~x+2 d»,'2211. 2212·.f+sen:t+eosx'
'2213. '~ l:z2-I)d", 2214'. "~ " ' .~:¡;
.,1( .:4+3%"+'1.' (;!%-3)1(4%-Zi .
2215. ~ ',~i<d%' )! .! . 2:!16: r l a;e"'.eh ., ,(t+~)!. 1(1+." . -
'2217. ~ arctg;;I1 (1% . ' 2218. ~~7~1') s' 'J 11+",2)~ :r,2219, ~. Ar~tgt'dx" i 2220. ~
.'!tr"-r , " (1 :zx)" '.'" l.(i -f"2l s e- •
10-0176
222i'. 1 (.a..+4"!'dx 2222. } dx""-tZ""+1• V1+e"=+e2%'r t"'(I' ~, 222~. } " ,.2223. \. . g.:. x .l ' ....• ..sen8/;i::ax.1+tg.:r;+tg2.t' ."
2225. J (3+",3)~,~¡.li1' ... r·;! 2226. ~~~~+7 d~•. (1"'¡:!z:2)S' ." ,.. , (:;3-3z'-10)2
~227. J "(lo; " rt~8. J .~z4:5eil¡Z) tU;se~4~+~~"~!J~~·~t • f+cosz .
2229*, ) ~-~ ti:: 2230. J eono: % cos' x-dlOO x da:",2+1 • V.1+x4 . . e. cos2.:r; •
§ 3, Tipos prlnhiMés de las (Unciones íntegrables .. _ l4:;
I -1
2231. j Vi +:r.dx. 2232, ) d"(n+;,r)3 .o -2
T 9
22311.V(.~.r)4
223l¡. j u-·]4 'Vy+i dy.z ,
I..Z 16
2235. ) sen ( 2;L - (Po) tu. 2236. ~c/z
v.:+9-V= .o oI 24
2237. ) (eX - 1)'e"dx, 2238- ) 7oc/z O~ (b>a> ).o oI <
2239. : J .,.dx 224.0. ) dx(a;z+t)~ . :tlV1-({1)",}2 •o. '1
• ~ 1
2241. ~ 1+lgx dx. 2242. ~e:t .í ", 1
Vi2 "2243. J ;;,,-Ib.
2244. ~ d~o Va2-.",zn 1 .rYt+1D% .
Aplicaclón directa de la f6rlllu/q. de Newlo¡lLeibniz
En los ejercicios 2231-2258 calcular las integrales.
§ 1. Métodos de integración exacta
Métodos para calcularintegrales definidas.Integrales impropias
Capítulo Vil
rto-
"T2200, ) x cos3;dx,
O
I22f19. ~ x~-~d:¡;.
O
En los ejercicios 2259-2268 hallar las integrales intf¡gráDdolsspor partes:
rrT
2258. J cos t seo (2t- : ) tU."-2
.:tT
2256. J ctg4 (JIdf9.
"
nOí
2254. J son2 (rox+q)o) dx:o
"T2252. S cos! x sen x 2.i~.
o
221)5."-T\ tcm3 rdxJ", fson", .-2
~ sen..!.2257. S-rdx.,
n2
2253. lVcos x - cos" X d».rr-'2
"2251. -Sz d.:
f+C08;t .
~Z l
2246. .~ ad.: .2247. 1 d.:(=-0) ('" 2<1) • 2.>:2+5>: :1 _
'o. aj 2
2248. ) dz 2249. r (1=",2+ (",+ f, • ",+%3 •o I1
2250. j iJ:¡;
-0,5 V8'¡"2.>:.-.:oZ
, V3Tr _. ..x3 rl.x- . . • •J. 5 .) JI 5 '1 (- - i4' . - _ ..r'T 8 8
2245.
147,§ f. M~todo&de"illtegr~i6D exacta
e, 1, '!".' ..~ \~:':2}.. ~:'Ún.-=~Y(i+i¡)..~éff2~~-:_~)" S' (1'''¡:~)~I:(n. es un en.tero pOBiiivo) y" mediante ésta calcular ,la integralI ~
5 d.zI I!~'
'(1-+",2)' '
,,~(t
nT
gral ~ senm.:l:cos"z dl: (m. y n son enteros positivos o ceros; eX8-
o ..minar los, casos ,particulares de valores, llares e Impares de In y n).
2271. Deducir la fórmula de raeurrencíe y calcular la integralQ ~~':¡;ne';dx (n es 'irii., entero posltivo)._1'~'t I: ,.:,'1 • 1 t· . 1 -/::':.f..,,1 4'!
2272~ D)mostrar. la f,6nnu!a de raeurrencía
~ Tintegrales Seos" xax 'Y 5 san" :tdz (JI. es un entero positivo o cero)
o oy calcuiÍlr las Integrales:
:re 1t "2' T "li'
a) 1slln6xdx; b) J cos8:cdx; e) ~ sen"xdx.o' 11 o
2270. Deduoir la fórmula de recur rencía para calcular la ínte-
2268. f lns;i;dx,1
de reeurrencía pata calcular las
n.T
2267. J et"cosxd.t.o
2269. Deducír las fórmull!s
"T ..2261. ) ~dz 2262. .f ;¡f.se\). x~, ,.senZ" •... o
T:>. ~~l
2263. J .2i log~:cdz, 2264. J m (,x+ '1) dx.1 o~r "2265. ,,3íiz 2266. ~Y 0,1> xa d;¡;."f'112+,,2 .o o
2290,
I
2288. J V (1-~)~ d»,o '-ltI 2
f V1-~d.x.Jo$
J~.o (..-2+ 3)2
'?Vi+:22284. J -z-2-,dx., •12
2286'. j ~ d~.1
"T2282". J c,?,:Y. 2x dái.
0,
,1 ~ s,' J:¡lz '2277. ....r-.'3 v 1+:r-29 " ,
2280~ r ~;,~ •~3+:; (:r;_2)2 •
i2276. r~.
! J t-bzo1./:-
2279. i v' .O¡¡Ix· ':, "J. V~:>:+.-71 ,, o
2287.
2285.
.2283.Ir ~d.1:J (t+z2)3"oI 'J V~ ik.V2'-z-2
J105'~'"ViI
2289. J~'V1,-~tk-oe,
2291•.¡:¡;+~.
;,
2281·. J ,sen' f d.1;,o
2278.
2275.
,C4mbto de varja¡jle en la integral, ílf¡finl,dq,," ~i.' r -, :-""
En. los ej~rcicios 2,275- '2295 calcular las integrales.- 1 ~ !.. •
, .2273. Deñiost~lIr que si JIIl~Jl~"'¡¡;df..'"~ tien,1l' l'.".=e-
•., ! -' ••-' ~
~,1[IJ riI-l (m es jin entero p'osi~ivo), "t '
2~74·. &llar la Integral J x"'(1- ~)g cl.1; (po Y' q -~'on ~.nteros. o
positivos).
"
-Vir %id>:2802. J (1.+%~}a'
o
Distintos problemas
2296. Calcular el valor med.io de la función y=Vi"+ .J-¡en el intervalo [1. 41.
2297. Calcular el valor medio de la funci6n f (~)= z2~ % en elintervalo ti; 1.5).
2298. Calcular el valor m6<dio de las funciones f (x)= sen s:y f(z) =senZx en el intervalo [O, nI.
2299. Calcular el valor medio de la función f (x)= ."'~t en elinte'l'valo lO, 2}.
2300, ¿Para qué valor de a el valor medio de la funci6n y -= In x en el intervalo (1, al es igual a la velocidad media con quevaria la función en este intex:yalo?
En los ejércicios 230i -2317 calcular las Integrales.
r (V25_.,a)S d2298. j ~ .t.2.~
Zf'. • dx2295. zV(il:~-2)íi '
V~
tOO Call. VU. Mé~dos para >~c.ul!l1 ~legr8t8s definidas
d% n
V '~-6 ~ 0;5231-30'21'
2323·. Mostrar que
1~6 F::: 0.523<,\ d:¡; < 'n .....0555J V4-IliZ-zS 4V2 ~', .
o
:rdes -¡> In.z >1 para a;>8, mo,'!tr1!f
es menor que 1, peto máyor que 0,92.2322"'. Mostrar gue
quedarse convencido de la validez de las desigualda-4
que .la io.~gral J ·.rtb:3 1 in",
2321. Al
nT
2318 M t í I<lb1dz 11; d d b. os rar ¡¡u.e J 'a;l.cos3",+b~s~n3", =í" on e t¡. y .sono
cualesquiera números reales distintos, de cero.s
2319. Resolver la ecuacíén 'í o/x ee ,1\2 •J.- "', z:?-1 >V'i'x
2320. Resolver la ecuacií'ín ) V tk : •In2 ~"'-1
2311.
, 2316. J' (3):.+,2) dz !.',o :("'~T.~+J)2 ,
I
2314·, J (arcssn ;)' dx.o'
Ir2
" .' r tk:23i3. J' :1' •O i+6 s,en?',:-
16,
23t5. 1!1rctg';¡f~-i cf.:c.1
t, s
n'-T
23U. r .z ~'o!i' az.J coss.;¡:O
151.
11 -.;r dJ "de jJ 1+tt = ) '1+t2 (::;>0)." 1
",2332*. a) MostraT que si t (t) es una ¡unción jmpar, 1/ (e)dl, a, ('oC x. "
es uná Iunclón .pan, es decir, que J t ~t)dt =") !'te) at. ' ' •.. , .... ., -.::
b) ¿8erf; la función S / (t) di ímpar, si la funci6n f (tl es par?o
2333". Demostrar, Ja validez de l~ ígualdád
I-;¡-
2331, r cos z ln t~:ck=O.1-'2
1 I2330. ~ ecos:o:dx=2 J eeos"'d-%.
-1 Q
JIT
2328. S :z;losenuxdr=O.
"-8
2326. Hallar los valores máximo y míuímo de la función"J(x)= j ta~t~2 dl en el intervalo [-1,1.¡.o
2327. Hallar el punto exp-emo y los puntos de inflexión de la'"gráficl,l de IaIuncíén y=~' (t-1)(t -2)3dt.o,
En los ejercíeíos 2328-2331 demostrar la validez de !as igualdades sJn calcular las integrales.
2324.Valiéndose de la desigualdadsenz>::;-~ ,queesválida para ::;>0, y de la desigualdad de Oauchy -e Búutakcvsld (véase,..
"2el ejercicio 1638),evaluar la integral ~ 'V~d::;,
o,1
2325-, Mostrar que 0,78<) v~ <0.93.o
1!>2 Gap. VH. t.till4d.o9.para ,.caloulIlF, iqtegrales dorírudas
nl' ~sen" dzJ 1+cos2z .u
2340*. Mostra! que si la Iuncíón 1 (x) es periódica cuyo pertodon+T
es igual a T, se tiene que ~ j (x) dz no depende de a.e
" "2339*. Demostrar que S xl.(seD'$)ds:=i J 1(seo ~) d%=~.2 Xo o
T ~x 5 1(sen z) dz=¡T J t (senx) dz. Aplicar el resultado obtenido pare
o oéalculer lli integral
"Ty j senZzdz.
o
.1tT
resultado .ohtenído para calcular las integra]es J cos2.i;d:r;o
T T23~. Demostrar que j 1(cosx.) r]z.= J t (sen z) ik. Aplicar el
o o
Qa
2335. Demostr!\r ~laIdentidad t. ,.. I _1 ! .~
8én'a % coa' x·
,ti _' J' afcsen,l(tdt+', f~~osVtdt=,~.o" o'.' ó: '
2386'. l)emoslil'ar' ia validez áe.\la· it\lhldad:.• r 1 \
) ;&"'(1-z)" dx= : :¡;n(1 -z)"'dz.o .~
2337. Demostrar la validez de la igualdadb 'h
l/(x) dz= 1f(a+b-x)dx.
« x~·j:r :2
) et1le-zt·d/¡;;;=.eT ): e':"Tdlt. ,o O
"...2344*, Sea In= ) tg" zdz(n> 1. y es un entero). ~.fobar que
o[J 'i D _. 1 t '1n+ ,.~2=ñ=T· (lmost~ru:.que, '2/1+2< n< 2..-2 .~~5~ .. pemostrar ~e la Sigu.i~Dt.B igualdad es v~lid,a:.
.naroiento.
2,. 2;t 2"
~{eh> ~ 5 ::'05% > ~tdx,o o o211
y, oor lo ~tiiO, í ¿ t > '? > Hallar el error en este razo-,. J 1)- cos e ,~o
Pero, :por otra parle, - 3<-;,COS:ll <+3, por consíguíenta,i i t
"2<5-3cos:r<8 Y2'> 5-3cosz>S' De donde
:In
2343, La integral r :;:= se halln sin ninguna dificultadJ cos eo
')Xlr sustitución tg i = z. Tenemos:
HI·5 ..• (ZII·-¡-11•
2341*. Sabemos que la funcíén f (:z;) es impar en el intel'Valo
rE - ~, ; ] y su periodo es ígyal 11 T. Demostrar que ft (t) dt es<1
también una funci6n períódlca cuyo periodo es el mismo.j
2342. Calcular la integral; (1 - x2)" dx, donde 1~es un entero
positivo, aplicando dos métodos, 11 saber. descomponiendo el gradodel binomio según la f61!Il1ulapara el binomio de' Newton, y porsustitución x = sen !p. Al comparar los resultados deducir la siguiente fórmula de la suma (C~ son coeficientes binomiales):
2·4·6 ..• 211
154 Cep. ·VU. Mót.od09 para -cilléúlar int.eg~ale9 definidal;
I ,2351. ) Vi +:¡¡'a.x (n= 'JO.).
o
t
2350. iV 1-~ d:t: (n=10).u
I l
~= ~V1-~~d.2:, o S0¡I, n=4JVi-;;v~d.~.o o
Aplicando las taglas de los reotángulos, de los trapecios y 1,11deSímpson, calcular allr(:rximª,da~e.n.~ el n(unerQ,:I't., dividiendo el~te'rvalo ~e ~tegraci6h [O, 1J en 10'j>~t.e$. Cómparar los resultadosobtenidos entre i!~con el dato tabular del .número n.
t ,
2348. Sabiendo que ~ l..!'zZ = ~, calcular aproxímadamente
01 mimero m, <iivi,dion.do el intervalo de integraciÓn en (O, partes, Comparar los -resultad,os obtenidos mediante distintas reglas,entre si y .con los del ejercicio antetíor.
10
2349. Calcular ln 10 "'" J ~ para n= iD, I1plica.ndo la reglat
d~ Slm_pson. ;Halla)' el módulo dé tranSición de ,los lQgllríj.j.nosuaturalas, ti- los dec'ímales, Comparar 'COIl los datos tabulares.
,En',los ejeroicios.2350-2355" aplicando la f6'rtn'1l1a de Siflj'ps()n,qlc~la.r apmxímadamente las :iutegrales f!'l!l no SQn susceptibles'de ser halladas en fotlna finita con ayuda de las funciones elementales . El número n de loS inte:rva~o,~,parciales está indicado entreparénteals .
§ 2. Métodos, aproximados.En: los ejerCicjos '2347 -2349 ef~ctu.1)l' los cálCtiío~ .con EI)fa4{titud
hasta 'O,OOi:. " ' ,?347. lDl área de la 'cuarta 'parte -de un Ilírq1'¡.ló c\.ÍY.oradío es ígunl
a 1, es igual a~. Poe otra parta, tom:ando un s'o.1o~ífcul0 cuyo ceatro se halla eh el erigen lIe coordenádas 'Y cuya ecüacíén es :t~+ yt ;ro= i, y aplicando la integración para calcular el área de' esta cuartaparte del círculo referido, obtenemos:
2,346-. Demostrar ,qne. A(I.1~,.~ . O '. b
l'iIil: b'~' ,-"{,, 'Si ,:f< 1 (ro>O, k>O, b>a>O),.. _ao S (t~6Í~>;~'d:>: 00, &i ~ = b
ti
(55'§"l!::Métodos ,apro~ilIlI~d,oa
AB ~ 3.ID, 418. = 2;92 .m, ~2:B,;'~ 2,75 m, A8B. = 2,52 in,.A,B, = 2,3{] m, A,Bs = 1,84 ro, A.Ba ,= 0,92 m.
'2859'• .Pl\ra'·o~lilu1'l\r el trabajo' real.izado' por el vapon' e'n unamáquina de vapor, se calcula el área del dtagrama de tndtcador, tJUO
f'ig. 39
2357. UD¡¡'recta toca a Id orilla del. río en Jos puntos A y B.Para calcular el árCll del ,tor,feno 'entr~ el río y la recta 4,E' ~an stdo
, tendidas 11 per;pendiculares desde3.00 el tío hasta A.B cada '5 metros
A r-~:----;';';2.Q;';;_2----~B (la longitud de la recta AB resul-A, "" ------------- tó igual a 60 m). Las longitudesAz ~ ~!t .,..4 ?_e dic~a8 IPerpen3d2icSul:res02r4esul64-
'l' ...,ron Igua es a , ;.q, ; ,,;AJ ';,-----~!~------.:tJ/I, 5,26; 4,98; '3,62; 3,82; 4,68; 5,2~i
.¡;¡. ,Z$Q 3,82; 3,24. Calcular el va Iq!'"A. --------- ~ aproximado del-área del ter~,eno,
~ , I:M 2358. Caloular el area "de In,As ~ ..J'___ sección transversal de, un baeco-4 "':._4.!!. iónf~ndo'en - é6i1Slderaci6:1l"~os
~ 's,iguientea dlltos'(véase la fig~ 39):A~ AAl <"= AiA2 = 4~3- ="iAíA. =
= A ....4'5 == il;Adj ...,;4~7 =0;4m;
.o: I 1,05 1,10
I1.15 I
1,20 1,25 follO I t,8SI (x) 2,36 2,50 2,74 3,04 3,48 3,95 4,60
'"'22354. ~ 111-0,18002q>dq> (n=6),
o"s
2355. J ~'dz (n=10) .•\ %o
2856. 'USando la í6cmul'n de Stmpson, calcular la integral1,35 " ,
) f (z) cltc, valiéndose de la, .síguiente tabl!, do los valoree d~ lo1,05Iunción I (z):
TIs2553. J y cos cp d¡p
a(n=6).
6
2352. J tkmi2
156 Cap, VD. Métcdos 'pw::a calcular illlA!gralesdefinidas
En 1013ejercicios 2360'-2363 conviene recurrir a' los métodosaproximados para resolver las ecuaciones, cuando se buscan loslímites de la ini.-egración.
2360. Hallar el área de la ~a limitada por los arcea. de lasparábolas y = 3;8 - 7 e y :::1 _2.2:2 + 3:¡;y por el eje de ordenadas.
Valiéndose de la f:6rmula de Símpson, calcular el área ASeDE.Las ordenadas son-dadas ~n'mílímetros. La longitud OF =88,7 mm(el punto F es la proyección común de los puntos e y D sobre el ejede abscisas).
Abscfssll' .. ~o %1 %: :>:3' :;4 "6Ordenadas dola l'ínen' ABe 60,6 53,0 32,0 24,4 t9,9 17,0
Ordel1aaU de, la linea 'SD 5,8 j .2 0,6 0,6 0,7 0,8
.AI'r-~i.sas . :te 11:7 "'8 %9 %1001deilad89 dela línea ABe 15.0 13,3 . 12,0 +1,0 6,2
I Ordenadas dola linea. ED O,~ 1,0 i ,3 1.8 5,7
Fig. 40
ordenadas de los puntos de las lineas ABe y ftD, que correspondeuti las abscisas $o, zt, %~, ••• , ~ó vienen dadas en la siguientetabla:
és. :la, .tepresentá~i6n: grá'~ca; da¡}.a.; dependéncie, que exiit.e entre 'InpresióQ 'del vapor en'el 'cilindro. y .elrecorrldo del,émbolo. .t~,fig.40muestta-'el diagrama de [n'dicador de Una. máquina de vapor. Las
f1
'157
""2366,< 1.~;.
j,
Integrales de Ui'(I;'itestniinitos
En Ios ejorcicios' 236fi-2~85, c:nl~1,Il~las integrales 'impropias(p clQf.(!9str~ su .d!Y~r~e~lCia). ,
§ 3'.'Integrales ~illlP'~ópias.'" - ..
do la línes BC: pl)v = const (lá línea Be se llama CUrL'U adiabát·ica),y = 1,,3. .La línea AB es una recta paralela al 'eje 0'11,
2365. La fig. 42 muestra el, diagrama de índicadon de un moto!"Diesel. El segmento AQ corresponde ¡¡,) -proceso .de la combustión(le la mezcla¡ la adisbata Be.;. a la expansión; el segmento CVt al(:\SC9:pey la adiabata DA, l!: Iacompresién, La ecuación de la adíabataBe es; fJul,~ == const. la ecuacién de la aQiabata Al) es; pV1•36 ='= consto P<\r~ielldº de las medídas indicl,ldas en el diseño (en mm)calcular ~l áron ABeD.
Fig.42
8C:=~~~35 70 v
Flg.U+o .
2361. Hallar el IÍreá de la, figura limitada por Iaparáboía y =,#y la recta y = 7:(x +-1). "
2362. Hallar .el área de la figura limit.ada por la parábola y == 16·- xg· y por la parábola semtcúbíca !J = -~~.
2363. Hallar 111área de la figure Iímltada por las líneas )J "'"=4-x· e y=7x.
2364. Lit Hg, 41 muestra el diag¡'al:!'iade Indicador (~hnplificado)de 1IJl.3 máquina de vapor. Partiendo de las nredídas indicadas en eldiseño (en milímetros) calcular el área ABODO, siendo la ecuación
p'A,B
158 Cap. YJl. ,Mé.todoll'pal1l' :calcuJa.r:,,integl'{lles defillid,aB
:JO
2393. j lb:! ', %(10.20)2
..2392. J:¡; ¡:;n.%·
"
eer ,,132388. J (~+z3+1)3 d:z:.
o2387. f%~;tdx,
o
..2386. J ~~i rlx.
o
"En Jos ejercicios 2386-2393 analizar Ia convergencia de lasi1) tegrales •
2385.
..J 1:z3 .O
... y;J (1+%}2 dx.I
2383.
..2381. J e-<''' cos bx dx,
o
..2379. J e-yX' tiz,
n
...2377. J :r:'e-",2 da.
o
..r d%2384. J (x2+1)a.-DO
..2382. J lIrC:r, ax.
o
..2380. J Ir"senxdx.
o
DO
2378. J :Dsenzd.'I:.G
..2376. j xe-"" d».
o
+ -.... 01) ~
237Z. j r(~,).I
2370.,
00 .(0 '-
:2368, ) e-<>oId±- (a'>O). .2369; J :2~~'O -~
159>-§ 3; iñtegrallllJ impropias
24t~: J y~:t_ .. o' "-i
"2417·11D~S:~'a!d:z;.
Q r;¡;
la 'éonvergencia ¡fe lasEn 10s ·efe.rclofos' 2M2-Q41-7' ~(lii"íal'lnt.egrales. -,
1 . - .
2M2. f.. V;: - &t.,.J ·':VJ-z4'. ·0" •
2409. J In(2;r)dz,-·1
j .1..""241.1•. \ ;¡-dx.o
o 12410. J ~ d:t.
-1
•2408. J ~ d:z;.
-1
2404.
2403.
2405.
b
J. zd:t (b)a< .." V (z-a)' (b-!I!)I
5 dx,'1-z2+2VI-:l:Z'o
2402.
2401. (a<b).
'2400.
1 2 z2394. J dz 2395. J da; 2396. J :ea>:
V2-.:2 .' :t~-4.%+s • -.--.o o 1 V;r.--j
1 .L z.2397. J J:w.zdot. 2398. r d;o 2399. J zt:z'.."bj2", •
o o j
Ihtegrales de las [anctones que ttenendíscor,¡tirntldadeS"thflnitas
En los ejercicios 239á-,;l4H oaleulac Ias iQtegraJes Improptas(o demostrar su d¡yM~ncill).
Il-Ol1~
.... 5 ",k2423. ¿Pora qué valores de k y t converge la illtegral -- a.v?01+",1
l'IT
¿p 'd Ia í 1 \ t -009:>: "24M. ora qUQ valores e m converge a mt&gra J. --.;m- dxrD
"242-5.¿Pora qué valores do k converge lA integral S~?o seD~"
En Los ejercicio$ 2426-2435 calcular las integrales impropias... I
2426. í dz 2427". {' 1 1+", ",3d:::..l ",yr-t' J 111_::~'I -1
2428. S'"' nrclg(.,-{)d."o .;t (",-1)~ ;..
M29. ) (42';:tZ)~ (n. es UD entero positivo).o..
2430. ) 3!'e-xib. (it es un entero 'posili·vo).O
(b<al?2422. ¿Seria posible bailar tal k para que converja la integral..
~ :r!'dx?o
br- lb:J (b-:t)k•
2421. ¿Pora qué valores de k converge la integral
convengant.c?2420. ¿fara qué valores de k convergen las irítegrales
D iuersos pr-o.b.lem_!Z$.2418. La funcióii / litres coritínua00 el mtervalc [a, ~) .y,/ (~) -+
-+A ;¡6O para x -+- oo. ¿'Puede converger la Integral ).f (.$) d;¡;?G...
2l¡! 9. ¿Pllra qué valores de " In integrol r z~ :r,f-sen:>:d» seráJ :e-S9D'"t
t61.§. 3.,.Illtegrn)os improploR
..24.4.2. S .i.2ne-"otk· (n es un entere positivo).
o
'"2441*,. \ :r;'e-:é' dz.O·
2440. r.~ ik..o
...2439. S e-oxtdx (a> O).
o
..i ,,880: .d:c.= ~ (integral de Dir1~blet),J.% CI' -o .
re-"'dx= V; (integral de Poísson},o
...f .,In% ,L O2437*. Demostrar que J (1+ ;¡;~)Z <== ,o
2438. Calcular la integral f V-2 dx.J.,8 ~-11
En Jos ejercjcios 2439-2448 calcular las integrales aplicando lasfórmulas
r dZ r #J.ik It2436·. Demostrar que J i+:4 = J 1+%< = 2. )12 .
o o
00
2435 5 d% (O<q.<~1C.).. (:-cosa) y:r:i_tI
2431. rxi"+Ie-"" d;¡; (n es un entero positivo).o1
2432. j (in zt dx (n es un entero positivo).o1
2433". í ;"'rb: para m: a)~par: b) impar. (m>O).J t_.,2o!
2434·. j (i:;r~n dx (n es un entero positivo).o
162 Cap, VII, Mdtodos ,para ealcuJii'I"'lntegrale$ definida.!!
"2451. S ;¡¡lnS~ll;xdx.o
n-;z
2450, S Insen zd»,os.'Z
2452·r J xotgxdx.ot
2454 5 In~d.:z: .',,' y1~.:z:2
o
tvor _primera vez calculada por E\l1~l,').El! '103 ejercicios' 2450'~ 245' calcular las integrales.
."2"q¡ (T)= - 1 in CO$ y dy
ó
cp(z)=2cp(f+·f),-2cp (~·-t)-:z::ln2.Val'iéndo,sede la relación hallada calcular t~,magpitud
2445.
(10 ~f •
)"f!j)ll2;;_4x. 2444'. (,sen,Ii.:z:, d:J;.
'! ~ -: ,7"1" ,~: :.-j ~·iJ3;.:z:eo9b% d:3¡ (0.>0, b>O).o '
• S"" 8e1l2:i: 2"'47*. S"" JiElIl~% ·tk. 24.48*" f lIIln'~.:z:tk2446, '--;a- d:t:.?, z J ',,~ .'6 O o
+ ,.-x. l' !
244~*'. Pongamós- qi (~) "'" - S lA~Qsy dy, (~8tá ",qtegr~l ~lI!,vlI111• • ~ _ -r b, -I
nombre dé Looachév8kQ Demostrár la relacíén
'163,_ ,§, 's. lnt,egralss !ÍDProplAB
A'rea ¡fe la figu.ra245';. Calc,!lsT,el áleo do 111figura limitada por las .líneas cuyas
ecuaciones son yl =~ + 1 y $ - Y -'~ = O.2456. Hallar el área de la figura comprendida entre Ia parábola
y = -x' + 4$ - 3 y las tangentes a ésta en los puntos (O: -3)'Y (3; O).
2457. Calcular el tires de la figura Ilmítada por la parábola1ft .., 2px y la normal u ést~ incltnada huela el e~ode abscísas Iormán-.dese e'otro ellos el ángulo de' 1359• '
2458. Cal'cu1ar01 área de la lig\(ra ltmítada por las parábolasy=;r;gey=Vx. '
2459. Calcular el órea de la figura limitada por las parábolas11' + 8x = 16 y y' - 24-"t;F 48.
2460. Calcular el área de la figura limitada por las parábolasy = x~ e y = :r:'/3.
2461. Lo cir01,loferlluc[a X2 + yi = 8 .está dividida p,or la parábola y = #/2 en dos partes. Honor las áreas de las dos figu~a8.
2462. Hallar .Ias áreas de los Iiguras en las cuales 1:aparñbolay' ='6x divide 10 .cltCllnfer!;l.nciRx" + y,a = 16. ,
2463. De un círculo de radio Q' está cortada; una elipse cUY,C) m'a yoreje coincide Con uno de los diámetros del efi·cu.lol' el.menor es iguala 2b. Demostrar que el área de la parte restante es igual al ár08 dela elipse cúyos semiejes 80(1 4- Y a' - ,b.
24M. Hallar 01 área de lo figura limitada por-el arco de una hipérbola y su cuerda -trasada desde el foco _perpeodicula1'mente al ejerBll,l. .
2465. La círcuníerencta ir}+ y2 =a~'está dividida por la hipér-bola x' - ,2y~'= a'/4 en treS partas. Calcular' ~U9 áreas, ,
2~66. Calcular 1118 áreas de las .figjlrns,curvílíneas formadas potILa inteJ'sec<»ón de lo elipsQ~ + lf' ="1 Y la htpérbola ~ - y. = 1:,
§ 1. Algunos problemasde geometría y de estática
Aplicaciones de la integral
Capítulo. VIU
2467. Calcular _~1'área de.-la. tigu,ra ccmprendtda éntre 'Ia línea, 1 . ~ .' ,- zJ<. - ,
y =" .,+-~.y la pJ4'rá~ol~.1/ '=-2- "1" r'4 L ;¡¡-- +. .' ti , 1
,~468\ Calcular- el ií.l;o.{l~e, lil. figprl1 comprendida entre 'la lineay = :J? (x ....,.,1)- :y ,el; 9je' 'de. abscis,aj¡.,
~6!l. Galcalar el á.rlin::de.la-fig1,!ra lim:itada por el oje,'il~'ordelladaa Yr~a,línea j):= y~(y~,-'1');,
247,Q.-Hallar el área de~'Una,,parto de la figura limitada :pQr laslineas.y"'·.=.:z;n e 1/"'.= x"~'.donde' ~k y /1 son enteros positiv_os.. Laparte buscada se h~11l en '01 primer cuadrante. Analtza» la cuestiónsobre el área total de lo fi~urll ,Sj3g{¡n.los números ,11. S' n.sean pareso, tmpares, ~
'2~7t. 9.) Calcular 01 área del tr.B_pecio ,mixtllilleo .limitado porel eje de abscísas Yo la Iínea y. = a; ..,...x.t 11';;,
b) Calcular el área de la figUJ'3 limitada por dos ramas de Ia linea('1/ ...,. ~:)a=~, y .p,or la rectn % = 4.
2472. Calcular el área de la figura limitada por la ISoea (y- %~ 2)~ = 9% :y los ejes de cuofdenadas.
2473. Hallar el área del lazo de la línea y~ ;= a; (% - t)t.247.4. Hallar el área de la Iígura limitada por la lfnea cercada
,,'= (1 - r)s.2476. Hallar el área de la ñgura limitada por Ia Iínea cerrada
!t = x' - x4•2476. Hallar el área de la fig,ura. [imitada por la línea cerrada
:z;4 - a:r!' + (l,2y2 = 0,2477. Hallar el área de la figul'a limitada por la línea :r?y' =
= 4 (z - i) y la recta que pasa por s~ puntos de inflexión.2478. Calcular el áraa de la ii~a Ituiltada por las líneas y = e",
11 = e-" y la recta :z: = 1-2479. Calcular el áreo.del trapecio -mixttlíneo limitado por la
Iínaa 11 =:'. ('!l,a-+ 2x) er y el eje de abscisas. ,2480. Calcular el área del trapecio mtxtllíneo 'limitado 'por la
Iínea- y =; et" (#+ 3x + 1) +- eS,. p'ol' el eje, Ox 'y por dos, rectaspnralelas 8,1eje Oy trazadas de manera que pasan por 105 puntos extremos de la función y.
2481. Hallar el área de la figurll limitada por las lineas y == 2z¡e" s.-y = -;¡;!le",
2482. o) Calcular 01 áreíl del t.rap_ecio lllü:l.ilioeo de base [a, b},limitado por la línea y = lo z.
b) <:;alcull;lr.el área, de la .figjlra !jqlitads pOI: ~8 lineo-y =In :ropor el eje de. ordenadas.y las rectas !!= In III Y =; In b,
2488. Calcular 'el ~iea de lo figura Hm,i~lldo por las lineas 'y' =¡:=,.}n x ,e .JI =, 4.1~,;C, I
2484. Calcular Il) .áren de' la ~igur.l!-Iimitada ,!>OD las Jípeas, Lo.:r; 1 'Y=-¡:. Y=:t 113;.
, 2495. a) Galéular,e~área que d"elicri])eel radio polar ejela} espiraldé Arq~f1I!edeSp = a<j) ~and9 'una- ·rev.oluoi6i1" si 'q> =,O corr~pc¡ndeal comtensc d~r.movímíento.
b) Cl,Ilculal'el área de la tig\lJ;a'. !'imitada por' la segunda :y la ter-cera espira de la esp'iral ypo¡:'~-!l-segineilt;o dehje polar, .. .., " ,'.
2496. aa lIar el área de la figura limito.da,.:por18línea p == a sen.2q>(rosa de dos pátaloa)., '. , '1.: '
( "R-r R-r%= R-r)cost+rcos--t. y=(R-r)sent-rsen-,.' ~¡; .,.
slendo R = nr (lI- es un entero). Aquí R es el radio de la círcuníeeencía inmóvil y r -esel de ,la otr4Ím6vil;' el centro de la círcunferenciainmóvil coincide con el origep de coordenadas¡ 1. es.el ángulo ·(Jo rotaclén del radío traaadó désde'''eJ centro de la cttcunferéncía i.om:6vilal: punto ll~'contacto.
2494. Hallar el área del lazo de la Ifnea:
i) % = 3t'; y = 3t - t!'¡ 2) x = t2 - i, 'ti = tS ~ t.
x= (R+r)coa t-r oosR+r t,r "
2) la hipociclcíde
2490. Hallar el lÍ.reade la figura limitada pOI' un arco de Ja oicloide x= a (t - Ij8Dt), 1/ = a (1 -.cOS' t) y el eje de abscisas.
2491. Calcular el área de la figura limitada por la astroide ::t ==4 eo~ t, y =4 sen! t.
2492. Hallar el área de 10 figura limitada por. la cardioíde z == 2a C05 t - a cos 2t, .'1 ... 20. sen t - a sen 2t.
2493. Hallar el lireo de la ñgura limitada llar: f) la epícícleíde
!l+r "A1/= (R+r.) sent-r~D:""'-~
2485. Calcular el área de uno de los triángulos cu:rvilÚleóslimitados por el eje de abscisas y las ]iile/lB~1I= sen z: e TI = (\o~~,
2486. Oalcular el ~rea del t,rjl!.ngu10 curvilíneo limitado'<;por-eleje de ordenadas y' las líneas 1/= tg ZJ e 11 = f 098 s, .
2487. Hallar el ¡lÍre.n.de la. figura limitada por la línea 1/ """= sens :¡;+ ooS':z; y por el segmento:,del eje de abscisas que UDedos puntós.sucosivos de la interseccióDlde la linea citada con.el ejede abscisas.
2488. Calcular el área de la figUl'a limitada por el eje de abscisasy las Iíneas JI =..aecseu s e 1/'= arccoa z.
2489. Hallar el área de la figura limitada por la línea cerrada(y - a.r.osenX)I = :& - :r? -
Cap. VI1L·Aplicaciones.de la Últegral
2512, Calcular el área, de la. figQ1'a comprendida entre la lino!!~ IY = '1+';¡ '1 su' asíntota.
1,;. En Ios ejercicios 2507-25't1 conviene haber pasado a las coorda-nadas .pola1'es y luego efe\)tu~ Ios cálculos. ,
2507. Hnllars} área de la jigura limit,aoa jJor la lemniscata doBernoullt (a;~+ )/)2 = r¡,<J. (Z2 _ y2). • ,', ¡.
250~. Halla" el área de In. par,te de la figura limitada por la lamníscata de J3ernou,lli (véase el ejerc,i.cio antaeíor} que se halle dentrede' la CÍ{cUnferenl)la :1:2 + y'!¡ = 0,212.
2509. Hallar et área de la figl,lra limitada por la línea (z:l++ ¡i')' - a2:¡f - b21/~ -= O;'2510. Hallar el área de la figura limitada por la linea
(:t2 + y~p ,.;, 4a2:;¡;y(~ _ y").
asu, 'C~Ú111ar e}l árM de la f<Íguealimitada llor la Iínea :z;~ ++ y"" """ :¡fA + y~.
249,'(, _tlnlÍlir al á¡;.ell de. 11}fj~llI'a Iímíhada por la l(ne.l!-P =~ ?i3~;5'knllat" ~ área de la: figura HD:litada,~ot' el caeaccl, de Pas-,c.aI·¡(.;,.4It{2i- cO.SIJI).; "," I
249~: '~aI1at .él .área d_e la figura limitada por la linea p =:f=. a,'tg '<jj ('a> O) "J la, recta q¡ = .n/4. ,
'2~OO., Hallar eLáJ:e~'deJa pal'te !l~mún..de las nguras limitarlas, p~r las:,Hneas p =' a + .co~~4qfyP = 2 ~ cos 41J1., -.2::¡(!{., Hallar eL:área:'d¡¡ lav,p.!Ulte:dela figuru'lili:ütad¡i porIa líneap = ,2 jT cos '2¡p, que s~ haH~. Iuera de 1!\ linea' p ';' 2+ sen.~." '25Q2;' Hallar, el bea. de la' fig,oJ;a límttada por, -la linea ¡l =
.::",aS:{!)p¡¡'~cp .(11. iea un erMro, pOSitivf;» •.. ' ..'~5Q3, M08var,.q,\Ie"el-~if!a.de.Ja figura limitada por cualesquíeea
dos l'l;idio!l'polarés,de'la ..\3?pl,fal hiperb6~cl!, p~;:;= á,,;y su 'ItrCQ,es pro-potcibnal"a la 'düerencia da estos radios.' ,
2504. Mostrar que el área deIa 'fignr1l' limiMd8' por cualesquieraradios polares de la espíral Iogarítmíca p = ae"''I' y 'Su arco, es proporcional a 111'diferencia dé los cuadrados de estos radíos.
2505*. Hallar el área de la tigura comprendida entre la parte I
extems e interna de la linea,p=asens-f.
2_506.Calcular el área de la figura Hruitllda por la linea
p=V1_t2, rq¡=arcsen:t+ V 1-tZ~~
• En los eje.rciclosen gua SB'c.alculanlu longitudes de los arcos. en casonecesario¡los p8~nt.esis Ilevan índícacíoaés sebrcel, intervalo de Ya.ñaoión dela v.ariab o independiente el cual correspondo 01 Brcó rectlficalile.
Longitud de la. ltnea •
25'19, Calcular la 10.Qgitud del Ill'CO de la catenaria y = a eh ..:a(desde XI =O hasta x~= b).
2520, Hnllar In longitud del arco de la parábola y' "'" 2px desdeel vértice hastn el punto NI (x, y). (Como In variable independienteha de ser tomada y.) .
252i. Hallar la longitud del arco de la línoa !I = lo x (desdeXl == y:3 hasta Z2 = V8).
2522. Hollar la. longitud del ateo de la línea y=ln(f-x'-)(desde ;1;1=0 hasta ~=i:).
. ,"+1,2523. Hollar la Iongítud del arco de lo línea 11=In ~-1(desae' Z¡=Q hasta, a':z=q).
2524. Calcular lo Iongítud ~el arco de Ja pará,holác~en¡I_Í,c(lb'ic8y2 = },(x - 1)' compeendída '4entl'o de la paráhola yS"~'i:."
2525. Calcular 111 l'ongitu¡l d~l arco de 'J:a-perábcla semicúbíca5y' = XII comprendida dentro 'de )~ círcuníerencía :tI + y" '!"i.,6.
25~j). Calcular la Iongitud. del lazo de' la I,ínéa 9áyl' ""'2; (x -- 3a)'. .
2513. Hallar el área de La figura éomprendída entre la línea:r'
y = a:e- 2y su esíntota.2514. RaUlU' el área de la figura comprendida entre 'la cisoiile
• ¡z:Sy- = 20.':":': Y su asíntota.
2515. Ha11sr. el área de .la figura comprendida entre In líneazga = 8 - 4:& y su -asíntota,
21;16·. i} Caloular-el áfea de la (igurá litlÚ'tada por la Iínea y == x~e-'" y. su ,t¡sl.ntota. ,
2) Caloular el 4T~a de In ljgu.ra limitada por la línea yi = xe-2x•25i7. Hallar el área de la figura comprendida entre la t:rflotri~
;Ti =o Q, (cos t + 111tg' ;), y = a sen t y el eje de absclsas.2518. Hallar 01área del lazo -y la de la figura comprendida entre
In linea p = ~os~ y su asíntota.1l0se¡:
Cap. 'V1II •.AplleaCllin'&s do la integral_!
J6í.I
(des[e ,ti= Q hasta t~= ",).2537. Calcular la longitud del arco de la linéa
s: = (ti - 2) sen t + 2t ros t,y = (2 - t2) cos t + ~t sen t
(desde t1= O, basta t~= n-).'2538. Rl\llar la 10Qgttu{1dql11l.'z'.o de,la linea x = .t2, !I = t ~ ¡._2539. Dos ctrcunferenciae de ,radios _igunle¡s a b, ruedan, sin res
balar, con velooídad angular ígllal¡ sobre uua círcuníerencía de r,a"dio a" pOl: dentro 1;.Ror ~uel'a'de ésta. En el momento t =,Otocan el.)lUlltO M de la cüc'UIlfe:re.ncia ínmévíl con sus puntos MI y M2 • .eMos·trar que la relacíén de laa distancias recorridas por los puntos M¡y M2 en cualquier lapso 'al¡ tiempo, es constante e ig1.le.la ::! ("Ié1!ise el. eiel'CiCi o 2493). 1;
y "'" R (sen t ~ t cos t)x = R (cos t + t sen t),
desde su, punto (O, a). hasta su punto (ai, y).2536. 'Hallar la. Jongitud del arco de la evolvente de la círcnníe
reacia
Z 2H II 1 1 (_~)3~ (J!.)3=. 1.2~33-~ a 8J; la ongítud de n línea u ' o
253~. Hallar la Iongítud de la línea lJ = a co,sst, !j = a sén' t:2535. Hollar la jojjg~t\ld del arco de la tl'actriz
x =a (cost+ln I;g±), y=aseu t
2527.' Hallar el pei;ím-etcll, :tle'W10'de los tl.'~áng:ulos ,?UI~villne~slimitados por e~ eje ~e abscis~s .Y PI?,r1\),5,li~ell5 Ir ,= In C9S'~ e Y == In S6p ..X. .
2528. Hallae 1'8:. longinid 'cl'él'arco ile la Iinea ~ =~ ,_.~.,comp'r~ñ¡jill0 e~tr!l ~ ..punto l11~du.ferlor -y ,el, v,értice- (~Ipunto ,d&.Ia' línea. qúe, tiene' la curvatura. extremll).'" 2529: ff311u. 4i l¿~gitltd-d~_'~'liJ¡ea'y == -Vx _.:¡:z + llrCSjlq"Vx.
;2530. gallar 1iI~Iougitud lle la Iínea (y ~ arcsen ,t)iI.= 1: '- x~.. 253'1. B alfar iíi:i punto 'de' Ia cicloide s: ~- a. (i .....sen, t}, !I;';== ~,(1. - cos t) el c\Ull d'Jyi'da la, Iongitud dé su primer I!rco en razónde i-nl.· . , _,. ~5.32.Bean dados la astroida ,1; =R cos" i, y = R sen" t )' los
"-'puntos en ella A (.n, O), Q (O, R). En el arco AB hallar el punto Mtal IIúe la longitud del arco i"M constituya la CUArta parte do la longttud del arco AB.,
1,61)
x = l' (t) sen i - !p' (t) MS t;U = r (t) cos t + ep' (t) sen t
correepondísntesa un mismo rntcrvalo de variación del parámetro t'tienen Iongttudes íguales.
2M3, Hallar la longitud del arco de la espiral de Arquímedesp = acp desde el -pnínctpto hasta 01 ñnal de la primera e~pira.,
2544, Demostear que el arco de la parátioJa y = iP~ correspondiente al intervalo ·0 ~ j¡ ~ a, tísne la misma Iongitud que elarco -de la espiral p = prp, correspondiente al intervalo O ~ p ~~ /l..
2545. Calcular la longitud del arco de la espiral hiperb61icaPI!' = i (desde Ij)l = 3/4 hasta (jl2 = 4/3).
·2546. Hallar' la. longitud de la. cardíoide p = a (1 + ¡;OS <¡}),2547. Hallar la longitud de la línea p = á sen" 1-(véase el ~jer
-cício 2505).2548. Demostrar que Ja- Iongitud de la línea p = a sonln!(m
1lS' un enter.o) es conmenaurable con .a ..cuando m es un número par yconmensurable eon la longitud de la é¡rcWlfer~n(Jia. de TBclié). f!.1 ouan.!'do m. es impar, '.
2549,. ¿J;>iuaqué valores 4el ¡¡xl1,~n;errteIr.(k' =1=; O) ,la loJ'lg~t,ud.dela. líñea y =a:rf viene .e;x:presa.d·~en Iuncíones '!llamen'tales? JCqn.~vien~ p'¡¡rtir del t~o.r~m.a<)0' Qptl)liSlle" ·501)[6.l!iE!,:ca~osde- ilÍteID:Qbi~Hdad .del bin~m.iodif~reticia1.) , . I ,"
2550. 'Hallar la longitud de-Ia lfne.a"dada p'01,' Ia eou\lóión." le;
1{= J Vcó;;d.••J'(
-1:
yy = ¡p (t) + t' (t)"x = f (t) - (P~(t),
2540', Demostrar que la. longitud del arco de 1a Iínea
;t.= f'" (t) cos t+ f (t) sen t,y = -1" (t) sen t+ t' (e) cos t
correspondiente Al intervalo (t.,• tt). ~"es igual a IJ (t) + f' (t)J I~:,2541. Aplicar el reeultado del ejercicio anterior para. calcular la
.Jo]lgi~uc,ldel 'arco de la línea x = e «(lOS t + sen t); I1 = é' (cos t -- sen .t) (desde ti '= O hastá t2 = t).
2542, Demostrar que los al'COS de 'las lineas
CQJl. ·V.IIr. AplleaotoR68 de. t.. I.ntoRJ,'al110'
Volumen del cuerpo
2555. Calcular el volumen del cuerpo limitMo por la su,perfioieengendrada por }.a'revolucióo de la pa'rábola y! = 4.1; alrededor desu eje {paraboloide de revolucíón)" y por _el plano perpendicular a sueje que dista una -uriídad del vértioe de la parébcle.
~6. Una alrpse cuyo eje mayor es de 24 y el 'menor, de 2b giraalrededor.f) del eje mayor; 2) del eje m.enor.Hallar el velamen de losalípsoides de revolución engendrados. En CRSO particular 'calcularel volumen de la esfera.
2557. Uo segmento psrabélíco siméteico cuya base !)S igual a ay la altura, h, gira alrededor de so base. Calcular el volumen delcuerpo de revolucíén engendrado (tlimón- de Cavalieri).
2558. UDa figura limitada por la hipérbola .2;2 - 11 = (12 Y larecta Z = (l + h q~>O). gira alre~edor del eje de abscisas. Hallar01 vol1l,mendel cuerpo de rsvolucién,
2559. Un trapecio' mixtilíneo limha(lo por IR linea y = X~.. ylas -rectas x, ... 1,. y = O. gira alrededor $lel eje de abscisas. H.all31;el 'VQlumen del cuerpo engendrado.
2560. La catenaria y = eh x gira alrededor del eje de abscisasIlienil.~oengeTidrll!i'auña 'sll)?erficié ,lillllDadll,oatenoide. Hallar el volumen dé}cuerpo u.mitado por lla catenoíde y dos plénos que dtstan, 1~~ b unidades desde el' origen y qüe son perpendíeularas al eje de abscisas.
,2561. Una figura Iímttada p,or 105 arcos de las parábolsa y ... ~e,y"= z, gira alrededor ¡;l.e.'l eje de abscísas. Calcúlar el volumen delcuerpo engendrado.
d.~s~~·'~fo~¡ge.ud: coor,de,Qad.!lshafota el punto ~ás pr6ximo ,que te¡lgl\la tang~n~e vertIcal. , - - _
2552. 'Dem'ostrai que la longitud del arco de la sínusoíde y == se.n~.z.correspondíenta al perfodo del seno, es igual a la longitudde -II!. éÚ'p~e¿u~os s'emi!)jesson .igualel¡ a Y2: 'Y 1. ,, ,29.5~"M05~l'arqua 111longi~d del arco de 111cícloíde, «acoreadaao lillaigadÍl~ x =mt - ,~sen ti y = m-n. cos t (m. 'Y n son llWne,.ros, posit:ivo,s)en el intervalo desde tI ....Ohasta t,= ,2n es igual iíla d~.laI:elipse cuyos semiejes son a = 1n+ n, b = 1m - n l.
25~.. Demostrar que la longitud de la elipse de semiejes ~y b satisface Ias dasigutildades n (a+ b)< L < nV2 ..Y:a.9+ bl(problema de I,. Bemoullt).
I- f sen-Y= J7dz
I
t= r cos~dz
~.<' .J- , '1
,2551. ,Calcular la longitud ~~t-arco de la línea
171
2562. Haila't ,el volumen 'de} c~er.pgenge)ldrado por la revol~cj¡¡nalrededor del (lje d~ abspis.8l? del trapecio ,rrue sé ]),0'110situado encimadel eje O» y (lue viene ·limitado por la Iíuea ,(x - 4) y' = X ex - 3).
2563. Hallar el volumen dé] cuenpo engendrado por la revolucíénalrededor del eje 03:.dcl' trapecio mixillíneo Iímltado por la líneay=ª~c~eI\':VY cU1a:..base es 10.. 1). ;
2564. Calcular el -volumen del cuerpo en~e,nd,!,ado_por la 'revoJucíén, alrededor del eje de. ordenadas de la figuta Hm¡tada por lap.arábqla y' = .2;t - X2 y 01 ~je dé abscisas, . ,
2565.,Calcular el volumen del CUl'llP'Ó engendrado pOI el trapeciomixtilíneo qua gína alrededor do}'ejo de ordenadas y qué es~á liofi:~ado por e]t arco de la sinusoide :11 = SBD x correspondiente al -ssmi-períod,o.' ,
'2566. La leo:inj~eata (x~+ y2)1l = 0.3 (Xl - y2) gira alrededor delejE)de abscisas. 'Hallar el volumen del cuerpo Iimítado por 1¡r super-~jci(l .sngéndrada. .
2567, Calcular' el volumen del cuerpo eugendeado por la figuraque gira alrededor del eje de abscísasas y. está lrmíeada pqr la-linea:i) w + y4 = q2Xll; ,2) x~+ yd = 3;8.
25~8. UD tl1'CO de la cíeloide.e = a 't - sen t), y = a (1 - ces t)gj.r~ alrededor 'd!l su beso. Colcu]tll' el volumen del euerpo limitadopor- lél superficie eugendrada, .
?569. La figura limitada por Un arco de l~ gicloidQ (-véase elejercici.o glttl!,riQ,~)'..y .por la. base de ésta, gira all'ede4o~ ,de la rectílperpendicular al C'e).l~J;ode la base (eje de simetría). 'Hallar el volumen del cuerpo eng~n.gxado.
257,0, .Hallar el volumen- del cuerpo engendrado ·pOI' la revolucíén. ~ ~ ~, " . >de l~ astrolde ;¡;3 + y3 = 0.3 alrededor de su eje de ilimetr~a.
257t. La Iigurn Iímitadu por él arco de la Uné'a';¡;= .: cosa t, y ===~ sens t (evoluta' a.fi la elipse) situada, en él primer cuad'ran~e, y
por !ps ejes .de-coofd~na.das,._g.i.rl!,il\f!!de.~\]r del e~~ de IlqBcisa!.\:~~~~llar el volumen df.l~ cuerpo c:ng~Tldra'ap:' .. ' . :.,
2572. Ca:lc,tla!.'·~l vol~men 4'el cú~.rPºlíi;ni~~.ªq~l!o.rYa.,s!;!pé.~fi¿iedel huso ;inÍj.ni-t6éngilndrado .ljo~l(ri)y~};üc;Íóná~)~·.'líne8! y ...""'t:~- - l· ~ -.."\+ - .'alrededor de Sil 'a'siñt~tl\.: .'. ,.,'" .,. . ,'o , . ~..;¡;.-'
257a. La )inoahy2 ""i' 2ex8'-I!.~giraalt~de~pdl~al,l a~intotf!. .J;la~l~p.el volumen q~l QUel'P0 lim.lt~d9,.'por' la "I3UpefH~~e,eng~Ildrild~,. . .
·~57~·. 1) La fJg,UfO lipt¡ta,da ..p.Ql' l¡¡.Y,nea JI.' = :e~7·y la:ª~r~tQt~de ésta gira alrededor del efe de ordenadas, Ca-!cülar el yoll¡'IÍlMl!(~)lcuerpo ·enge:lídra,do.. , " I • • .; t-?; ,
.2) La .in.ismá: ti:gw.~1g:i:ra aÚ'~d:'Cd'\)rdel ej~ d'e abscisas; Hallarel volumen del cuerpo engendrado, '.
172
2579-. Calcular el volumen del cuerpo Iimitado por el elipsoide;ril II'! ,2a2 + -¡;s-+-¡;¡r =1"
2580. 1) Calculnr el volumen del cuerpo limitado por el para-%;= fI~boloide ellptico z=4+2 y el plano l!=1.
2} Halla.l'z,2el velumou del cuerpo Iimítado POI' el hiperboloidede una noja 4 +~_zz= 1 y por los, planos Z= -1 y z= 2.
2581. Calcular los volúmenes de los cuerpos limítodos por elparaboloide z=':¡;%+2y~ y el alípsoíde a;:¿+2y:+z%=6.
2582, llallAr los volúmenes de los cuerpos engendrados 1112 2 .2
cortarse el hiperboloide de dos hojcs =r - ~ -ir=j y el elipsoideil gZ zZ'6+"+9'=1-
2583. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficiecónica (z-2)~=~+~ yel plano z=O.
25,84. Colcular el volumen del cuer,w limitado por el paeaboloíde"'~ l/a ",2 yt .'2z='4+1i 'J el cono '4+g=z-.
2585*. Hanar el volumen del cuerpo coetsdo de un cilindro oírculac por el plano q~\e pasa por el di.ánietl'o de la base (<<segmentociIíndrtco», véase la Iig, 43). En 1l00tlculaf,,ponef R = 10 cm ,Y Tí == 6 cm.
2586. Un cilmdro, parahólico e¡¡~!icortado _por dos planos unode los cuales es perpendicular a IjI. g~tU!fIlLl'j¡¡;.COlDO resultado se
,~15'" Calcular él volumen deI:\uerpo Jimítado ,por r\l superficieengeñilrada, al girar Ie Iínéa y =; re'-~' alrededor de su asíntota.
2576$. La tigura Iímítada por la linea y =!la:% y el eje de sbsetsas, gira alrededor-del eje'lie abscisas, entcrnar'al volumen del. cuerpo engendrado.
2577·. Hallar el volumen del cuerpo-limitado por 18 suporficieengendrada al girar la císoíde ¡¡'¡= 2a~% (a> O) alrededor de suasiD~ota. '.
2578. :.aáila:r el valumen del cuerpo llmitlido pde hi. superficieengendrada 81 girar la ~re.ctl'izz=a(cost+lnt,gT)' y=asentalrededor de su asíntota.
l''ig.45
volumen del cuerpo engilndrá:d,ó. La fig. 45 presenta las (lim~!lIl~oneslineales. . .' . ri;; 1 "
25~8,*. ,En todas 1!\1!cuerdas ,~e un c~cWi:i,de. radío ,'R paralelasJI ~Il: misma díreccíén están óonstruid,os·ségill..éIit08pa\,ÍI,bOliCoB,.s~méir).cósde ,alt.\ira cp~t~.nte,Hi. ~QS plál)O!l:'d9:~to~,sOl'!, perp,_éti'~lc,~-19rés al plAnO'd,e.l,8'circunferencia. Rallar' él volumen dQr ,cuerpoeDge~drad,!Ide e&ta manera., . ,. '"
, '25~9, Uuconó circular rectc)' <teradio' R Y"cle.'altura H .está 'cór,tado'eil.dos paJ,'~espor un pl§.nQ que 'palla por !ir eenuo"dli lit base .páta1~
¡
está -anla base, os.u = 8 cm, la altura del cuerpo h es de 6 cm. Ctucular el volumeu del cuerpo.
'2587. Un cílíndro cuya base es una elipse está cortado por unplano inclinado que paaa por el eje menor do lo elipse. Calculat el
Ftg, 43
obtiene, un cuery>omostrado ..en la fig-.44~ La base Cómútl de los .segmentcsparahéltoos es a = 10 cm, la altura del mismo segmento que
'174
Ftg.48
2590: El centro de un cuadrado de dimensiones variabfes sedesplaza a 10 'largo del diámetro de un circule de radio 4. Al mismot~JApo el plago en que se halla el c!-!-adrados.iguesiendo perllendicular $.1 del,cír:cul'o y dos vé~ces opuesWs[delCI13,di:ádose desplazansobre lo.circunferencia. Hallar el 'Volumendelcuerpo engendeada poreste cuadrado que se halla en movimiento.
25!H. Un ctrcule de eadto variable se desplaea de tal modo queuno de los puntos de su círeuníarencla sigue en él eje de a~scisaslmientras que su centro avanza sobre Ia círcuníerenoía x' + y? <= r~.y IIIplano del mismo es perpendteular al eje dé abscisas, Hallar elvolumen d.el cuerpo engendrado.
25l)~. Los ejes de dos oíllndros Iguales se cortan fonnsndo ei;áogu~lo recto. Hallar el volumen del cuerpo que forma parte común~.del
:Fig. 41
N
A
Fig, 46
s
':la}p:enfe'a.l!!.gen~~~t4.ip,(iV'~'ase.~~tig; 4~). Hallar Ids vQlúm.e.Q,e9'«e las,I!.:o~~pártes·del cono.. (La~.~.$'¡lcºiones'.dehionopor los. pl.!\)los',p~iÚelos. a la ·generatriz son. segmentes paxsb6licos)
i7;>
Area. de la superficie de revoluci6n
21j94.Hallar el área de la superficie engllndIoda por In revoluciónde la 'parábola y' = 4az -alrededcr del eje de absei!!!\s desde el vérticehasta el punto cuya abscisa as .:t = 311.
2595. Calculas el área de la superücte engeadradn por la revolúclén de la paré bola ,cúhtca 3y - :L~=Oalrededor del eje do abscíaas(desde :1:1-= ,Ohasta X2 = ,a).
2596. Calcular el área de 111 catenotde, superfioie engendrada porla rsvoluciéu de la catenaría y = a eh';' alrededor del eje de abscisas{desde Xl = O hasta ~ = a).
2597. Al girar la elipse ~ + ~ = i alrededor de su eje mayores engendrada In superñcíe- llamada elipsoide alargado de rcvoluclén,rni,!n~rascuando ,gira alrededor de su e'j~ menor es engendrada lasuperficie Ilamada alípsoídc acortado de 'revolucíén. Hallar Iaa áreasde las supe:r$icies de los j:\1ipsoidesalargado y acortado. .
2598. Calcular el área de la superfícíe fusiforme engendrada porla revolución de un arco de la sinusoida.y = sen x alrededor del ejedo a'bscis.as.
2599. El arco del tangensotde y = tg x desde su punto (O,O)has~asu punto (n/4, 1) gira alrededor del eje de ubsoisas. Calcular el beadI) la supoJ.:fi(li~engendrada.
2600. Hallar el área de la superfiCie PD~eDdrada.por la revolucíén il1rededor del eje de abscisas del 1.lIzo de la linea 9ay1 == x (3a - x)~.
2601. El ateo de la círcunferencís, x~ + y1 ~ all que se halla enel primer cundrante gira alrededor d,ala cuerda que 10 subtiende,Calcula» el área de 1(1.su,pet{i6íe'en~ei'idta(la.
260Z. ~allat el área. de 'l(l supérflc.ie engendrada por lb revoluci6n alrededor del eje do abscisas del arco de la línea :r; = e' sen ~.y = e' cos t desde tI = O basta t2 =.11/2.
2603. Hallar el área de la'sUpor!il!i~ e~.fendrada pOI: \B revoluci6n ile ]1\ astroíde :1; ::;= a cos~t, U (= a sen ¡t alrededor del efe deabsctsas. " ". ,,~'
2604., El 1l\'()O ele la cicloide g,il'~ah:ede40r de su eje<de sime~rfa.Hellar el áre.a de tErsuperficie epgen<{rada,(véase el ejercicic 2568).
f " ...
ciltndro ,~lalig, 47 presenta iif8 .dek-cuerpo).. (Exa$ar las .ssecio'nos engendrades por '10,splanos, Jlla:ra}él<lsa los, ejes ,de Ioa-dos cilfndros).
2593. Dos cilindros inclinados tienen la misma altura H, labase superior común de:radio R y sus bases inferiores se tocan (véasela Iig. (8). Hallar el volumen de la parte común de los cilindros,
Cap. VlIl. Aplicac¡iones de';lp, iDtegral176
110 El) todos 'Iós ejerelcloa do lleta' plUte (2610":"'2662) iil deIl'sidn'd ee tomaIgual n t,12-0178
Fig. ~
s:
S,
donde ~ !}S la abscisa del centro de gravedad del trapecio .míxtihnecde base [a, b.1 limitado por 111línea11 ~ I (x). '!I,
2613. [iIlH8I' el centl:o de gravedadílp. lIU segmento parabólico de base a yla llltu:ra h.
2614. Un rectángulo de lados a y bestá.dívJdi~.o en dQ9 partes por el arcode una parápo~,a '<U;y,o.vé~t,i~~ coincideCOIl uno tia los v~:rtioes del ~ectáhgulo.y que pasa por el, véJ<!.ice qpuesto deáste (véase la fig. 49). Hallar el eenttode gravedad de las dos partes S, y S¿del rectángulo. • ,
26(5. Hallar las coordenadas de~centro de gravedadi,de la semicircunferencia y 'FVr.2 ~,:ci.
2605.<Hallar el área dé..1a superfIcie engendradá po¡:;la/~voluci6n .de la .éarcUoide p .... a,_ (f: + cos q» alrededor' de §~~ej~_polar.
2606. Da ctrcunfereueía p,=,2r,s~n cp gira alrededor':d.éI'lije .po-Iar, ,HaUar ~1 área, .de-da supérfi,cie" fl_ngel'!d~lldq:.,' . " "
2607. La Ietlini5cá~a.'p~' ",;"f.a,' lio..s:!2c¡¡'gil:.1i 'ál,rededor",del'.'eje.'p,olar.Hallar~cl ár~al,dJl:.la-,l!.UPllrficie ~ng.e!l.¡lrada. _ . _ .. ~.
2608'.' El arco ipfin.it.q ,de le, línea 'y = e-7 corréspoodie~lte a Josvalores positivos de .:l. gira alrededor del eje de abscísás" CiI)G.ulaiel área. !le 11}s~.p!trrjcie~n&~~~rada., , '. ."
~09. La t1'8c!iiz r ;¡; "'1 a. (cor.:t;:r ln tg {-.), •V'=.a s~ t giM\alrededor del eje de abscisas. E:aU¡irel ár9a de Ia sup_erficíei~ülit~engendrada. .
Mome¡¡los y centro de .¡p:avedadt)'
2610. Calcular, el momento estático de un rectángnlc de base ay la 111tura }j con íe~pec~oa su )j,I!,~.
26-11.Calcular el momento e!;tát~?<l.ae un ~rián~lo rectángulo.is6scel~ CuYQScatetos son iguales 8 a,. con respecto a' cada uno désus lados. ,
26t 2. Demostrar que se verifica la. siguiente f6r.ID\lJa:b bJ (a:¡;+b)! (.21)dx=(at'+b) J f(~fdx.ti " •
171Í'i'.' Pcóblenuis-'de_ g~iiietríll y eSUtlca
12623. y=sen x e y= 2'(para un segmento).
2624.lI=r e y= lfi.2625. Hallar las ocordenadas del centro de gravedad de la fi
gura Iímitada por la Iínea cerrada y' = a:¡;3 - X·.2626. Hallar las coordenadas llel centro degravedad del arco de 111
catenaria y == a oh..!.. comprendida entre los puntos cuyas ab&oisas.Q ,
son lit =¡- a y ,:&, F. a. , ,,2627. Demostrar q'1,l9 el inomeÍl~Í)'estáti¿o dé un ,arcó cualquiera
de la par4hola"cón,.r9Specto al, ~je de'ia' iliisn{IÍ..;:espr9Porcion~ a ladiferencia,de lós radíos dé ourv~t~~~~~)o-s p~nto~ '~xtreÍll(ís,ael ~rc'b.El coafi.ciente.ae proporcionalidad eg'!gliat a'p/3,. ~()n'dép e~'el párá,:'metro de'.la ¡par,ábola. .' \..- . J
2628. 'HaU~1"las coordenadas, dé'l centro de gravedad del primerarco de; la. :9cloid!;lx '9' {J, (t - sen t)., y "" a (1. - ces t).,
2629,\:HillÍl;jI'las 'lloo1:Q'ehii1'lás'il'el':c'enirb'd\~'~{rl'a'Ved¡rd:de la fj~lIrnlimHadll por el primer arco de una cic16ide'y'eJ ,'eje'de 'aDsc'i§os';' '!tI ;
2630. HaU~ las coordenadas del centro de gravedad del arco .deJl\ astroide ~ ? ,q p,~s'~l.:jI, = a s,~nat e~,cti~,se llalla, en, el pnimercuadrante,
En los ejereici9s 2622-2624 hall ar oJ momento estático de lafigura límitaí14 'P'orlas 'lineas dadas, con respectO al eje de abscisas.
22622. y= 't",2 o ,y=.:z:2,
2616. Hallar les coordenadas .del centro de gravedad del>semioírculo 1!mHad~ por el oje de abscisas y la seuitcírcunferehoía y ==Yr2 ~,~~,
2617. Hallar el ce~tt'o de,grl.lvc'd<\ildel arco do la oircunferenciade radro'.R. el cual subtíende 'el.ángulo c.entrol:~.
12618.Hallar las coordenadaa del'100ntró de gravedad <.l(' la figura limitada por lbs ejes de coordsnatías y la parábola:Yi"+ 11;== lf¡¡. .
2619. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figuraIimítada por los ejes de coordenadas y el arco de la elipse ~ + s.,.i que 59 halla en el primer cuadrante.
2620. Hallar el momento estático del ¡IUCO de la elipse ~ +~== 1 el cual se halla en el primer cuadrante, con respecto al eje deabscisas.
2621. Rallar las coordenadas de! centro de groveáaÍl de la figuralimitada por el arco de la sinuscídé y = sen ;¡; y el segmento del ejede ahscisáa (desde !z\ ... O(hasta \t2 = n).
Cap. vnl. Apli_oaciones de JCIintegral.178
2640. ¡¿~ qué' dís~nncia del C8llt'ro ¡geométl'jcoi'~(l halla el' 'cént,tO-dé ~avedad' dela semíesfer;8 de radio B,?, " ~ loo.!
2641. Hallar él centro de gravedad de la superficie de la.sei.ú¡e~(era.
2633. Hallar las coordenadas ..par~e§il).,nqs del c¡fOYO de gravedaddel sector limitado ,por una semíespíra de la espiral de Arquímedesp = 4Ql (desde Qll =,9 hasta <p~.:b n).
2634. Hallar el centro de-gravedad de UD sector circular de radíoR cuyo ángulo central es igual 8 2a.
2635. Hallar Jas coordenadas cartestanas-del centro de gravedadde lo figura limitada por la cardioide 'p = a (i + cos cp).
2686. Hallas: Ias coordenadas cartesíanes' del centro de gravedadde la figura limitada por el lazo derechó de la lemniscata de Bernou-111 pi ... al cos 2cp. J
2687. Mostrar que las coordenadas .cartasiauas dal centro dogro.vedadfdel arco de la Iínee cuya ecuación es dada en 'Ias. coordenadas polares p = P (!JI), vienen expresadas del modo siguiente:
~ ~i flCOStpVpz+p': dI¡) S p sonq¡Vp:l+p'2dq¡
y="".,' y=.!!.........------..~ "'2 .S Yp2+p'2tIq¡ S Vp2+p'Zlfcp~ ~
2638. Haliar las coordenadas 'C8118s11l.naS de) centro d:e gravedAddel aroo de Ia espiral logar1tmica p = ae'l>' (desdo epl = 11/2 hastaIP~= n). '
2689; Hallar .Ias coordenadas cartesianas del centro dé gravedad,del arco de la cardioide p = o. (1 + coa rp) (desdo {PI =''0 histltiQls ... n).
._ ;'\2631·. -Hallax lllS: coordeaadas del centro de1gravQded'!fe.,lidigural~t~do.,pol' los éjElS as coordenades Y'el,arco'de ún'á,astroide'el éualse ,11'0.11.0..·.en el pti,~er cuadrante, - l¡-" . . 1 ' ,• 2632. Demostrar que 1(1asbcísa J', 1.0. ordenada del cllntro, dé kra-':yedl!d';del. sector li;ulita~o·p61.' dos.radios ,polares'Y pO_J'¡.la IÚ¡.ea cuyaecuación se. 'Qadm las ·coprt:denadas,\p61il:r~s. P =-'P (11'),. víenenexpresadas del modo siguiente:
.~S psCOS1p'44!
..2 _:...!.I-=- _x=3' 'l',
~ p1 dq¡<1'1
17!J§ i, -Prdblémú de geOlllóltla'y I13tátlco .
2642. S.~a¡idª-do,u¡;tcono circular recto' cuyo radío de 'base .'esR y.~a<altUl'II:'H.Hallar la distancia q-uemedia entre la basé de\ cono 'Y"elcentro de gravedad de su superficie lateral, de su superficie tótal yde su volumen,l., :26~. 1~.QUI\dis.t:ancía:medíe, entre la base y ~ canteo- de gravedadde un.'cu~~·p'b,'4é altura h, límítado por un paraboloide de revolucióny un plano psrpandiculan a su eje? .
2&44. HnUIII' el IDQ!Ílentode. inercia del seg)1len~o A B ,= l conrespecto al ejequa se llalla .en el mismo plsue. ·EI extremo A del segmento dlste ti unídades' del eje, el extremo B del segmento dista bunidades ~.eleje.
'2645 .. !Hallar el momento de .inercia de una circunferencia deradio R Conrespectó á su diámetro.
2646. Hallar el momento de Inercia de) arco de la linea y =10'Il' (o~;c.::;;; ~ ), con respecto al el.e de abscisas.
264c7:Calcular el momento de inercia, con respecto <J 'los dos eiesd~ las coordenadas, de un 8,r,CO de la cicloide .:¡; = a (t - sen t),y -= a (:1 - cos t).
2648. Hallar al memento de. tnercía de un rectángulo de ladosa-'Y b con respecto ~ sulado (~.." 2649. Hallar .eLmomento de inercia. de un triáügulo de base a rla: altura. h con respecto ,a;
i) la base;2) la recta que siendo paralela a la base pasa por el vél'tl<!li;3) lo recta "que síendc :paralela a la base; pasa por el centro de
gravedad del triángulo. .2650. Hallar el momento de inercia de ~11 semicírculo de radío R,
con respecto a su diámetro.265[, Hallar el' momento de inercia de un círculo (le radio R,
con respecto a su centro'.·2652. Hallar el -momento de inercia de una elipse de semiejes ª
y b, con respecto a Ioe-doeejlls de la misma.. 2653. Hallae el,~ómento de mercía de un cíltndro cuyo radio¡;le,ba,¡J$,es...~llal..'aRí:i 111.alt:urc¡,~.u..~9Q)lrl)e§.peqtP.:!!-:>s1J..~j~;, ... ,.' 265~. ,Hl\Ünr~tm'oJllentQ,~e'.ineF9~ad_9/Wi:cono cuyº, t\l4io d.o b.!i$~es.igual II';~','la altura 9:, con 'res'pect9' a su eje. "l' j~~5. . Hallar el .P;lÓltl9IM,4e 'ij1j}f.cia.,d~.u~ae$f~~/!..QIl ~1!.ªJo.:B,ce,o, .Ilél¡p~ctQ 11',str d¡;í.me~r~. " . ' ~ ," r
~656. l)ni ,elipse .gira alrededor de 'uno de süs ejes. H!aJ18J:l'~·!]lomelito'de ínercía-del cuel'p.o.,engen:drado(elipsoide de revclucíéú),'con respecto,. Al ~j'e de '~u:~i\v01ucr6n.'1', 2!ll>1..~~a~~.l!l..í",el :JIio1ñsn.to"de(~nel'cia'¡i con 'respect,O¡al 'eje,(i'é.i'evo-.Incíéu; 'de un' paraboloíd» de'tevpluc~6n;:cu':y.oradio de.haee-es Rwiá~t~t:I!; .Q•. ,~) H. ~ , (,' -,.. ,-!., 1,.'
Cap. VIH. ApliC8l\~OnOsde' la Integral
,2668. La velocidad del cuerpo es dada por la fórmula v oC)
=Vi +~mIs. Hallar' la 4ista,Dcia f!fcqrl'íd~' por el' cuerpo eillo.primeros 10 s al comenzar el movimiento'. " '.
.J
§. 2, 'Algunos' problemas de' física
gira alrededor del eje de ordenados. Hallar el volumeny la superficie del ouerpo engendrado. . .
2667. 11n cuadrado gira' alrededor de''UJ1Q'recta; que 'se halla enel mismo plano pasando por uno de 9us'vlk~ices. I.Cuál b~ de ser laposioiiJh,de Ia. .recta respecto al cnadrado para q'i1¡l"el volu.men delcuerpo de revolución 9l}.gendradosea mbím(¡? La misma' preguntal'espeetO' el tl'iángúlo. ' "
y'= - a (1 - cos t)',x = a (t ...,..sen t),y
Teoremas de Guldtn.
2663. 'Un hex,ágono .regular, d;o,laao ~a,gira alrededor .da uno desus 1a90s.Bs,.Ilal·'elvelumen del cuerpo engendrado. .
2664/'=Vna ~eIip~e,eúyO's ~jes sOll,A4~ =:.21z y BB1 = 2b gi.ra al~rededor 'a~)iDá 'recta' paralela al, ej'e AAl,. Sr.ue dtsta sh del mismo.Hallar el volúmen del' cuerpo e'ngendrado. .
2665. Una as,troid~ gira al.redeuor de ll.na' recta que atraviesados picos contiguos. Hallar el volumen y la su.perfi.ciedel cuerpoeQ~endr-ado(véase'el ejercicio 2630).
2666. La figUra engéndraaa por los·priJl).&os arcos de las ciclctdes:z: = a (t - sen t), y = a (1 - cos t)
• ~2658.;'CaJ.cular el momento' de inercia, con respe:ctó,-a1 :éle Os,dlel ctierpo liínitlJ.do por' ~l hlperboioitl,e de 'h'u~'hoi~!::.¡. ~....:'
., ". - ~ 11:,-- 1:',,:,, 1 Y.los planos ,Z = O Y ~ = 1.
2659. El trapecio mtxtflínec ltmítado por las líneas 'y = eX,,y = Q, ;¡; :;: O y ;¡;= .1 gü,a alrededor
1) del eje 9~,2) del ele alf., ~~,C~!!<':lta~.e,lmomento, de'ineroia del cuerpo ,eng¡¡ndrádo, corr tes~l1e,~tC?'"8~,,ej.!l.de p,w.qllJéión .." "'. • , t. . . ,
266Q. Hallar el. momento '4e, ¡'nareia- .de Ja-superñcie Jateral. doun cilindro cuyo radío.de hase es R y la altura, ,H; con respecto a sueje.
2661. Hallar el momento de inercia de la superficie lateral deun cono cuyo.rad ío de base es R y Ja altura, H, con respecto 8 SU• . I, '2662. 'Hallar el momento de inercia de la superficie de una esfera de radío R, con respecto a su díñmetro.
18t§ 2, Problemas de física
,1, j mMI iLn fórmula f = k-;r, donde m y M son Las masas de 108 pun-tos, r, la distancie que media entre éstos, y k, coe.riciente de proporcíonalldad igual a 6.67 .1Q-ll,. mS• (ley 'do Newton) establece la fuer-..g. s-za f de interacción de las masas de dos puntos. Tomando esto enconsideración resolver los problemas de los ejercicIos 2670-2678.~L8 d~nsldad se supone constapts.) ,.' 2670: 1:.a b'arr~ A B, !ie·lÓngf~ud. ¡,y de masa M.,.'ejerce In afr~c
{',_~6nsobre el punto p de 'masa m~el cual se I_lall~enIa prolo[)g~c160d~ l~ bareá. En t,rll el PlVlto r;~el, .~x-treino I1lfisp\'6xi~o,,B ~9 la .~¡uTameBill lá distancta a.·1I'P.Hap la {ue,rz;a .c!q ~lte~Il:IlCi9!l,dela p,a~~o.,y elJl1J.lllo. ¿Ql,lé masa pUÍl.tull\ .a·ebe. s.er:·cQlocad)\ en .,4 para que ésta~~~~~ s~ól;Jreq C?!1 ~a mism;¡, fue~~a q_ue'la,har~!1AB? Considerar ~lcaso de UÍI, punto que se halla e,o la"p.roloDgac1Qll Q!l ~a barra y. pnpl/:lro dísta /'1 de .!~b¡Irl;1I,!I1l~~a.. l?~sjl).é~•.d~splazán~o~e a lo Iatgode' la' rueta, que consti'tuye la rr610ngaclón de la barra, el citadopunto va acercándose ti 111'mísma, resultando entre ambos la distancia r1. ¿Qu6 tl'l\balo feQliza la fuerza de atracción en este caso?
2tl71. ~Cuál es Iafueraa-cou que el eemíaníllo de radio r 'Y de masadvl ejerce su ªc.ción:sobJ:e.~.punto ,p1a,te,rial de n;lasa·m.., .qua.se h.a!l~en su cenlra? •. e- r t , ~""s» AA72. ¿C~á~ es la lue¡;zii,con q~e el Bnil.lo .¡l~ alambre .. damasa.v.,y'de.lad,.iQ".:{1,..\,-ej.erc~su..8,c~6}l (iol>r~~lrPt.\t:\tM:n~~!lr'ilJ.l·,C,;~e·~.aªa!"i!,qlle SI) }'¡alla en'M ¡e~ta que.Rs.sa, por '6\ C;~I'J.Wo,dal anilI$!.,'p.érp~D,d~!!ullir a suIPlauo? La (!Jstancfil ~lft~~.el clta?~ punto y..el ~iintf9 JJ..~l¡lOiI10 es igual .a a. ¿Oulí tr~l!ajo realizarla la ~erz8.,d~ a.:tra.ccJº~<~desplazarse el punto' des4,e el inñnito hosia 'el centro del anillo?
2673. Apl'icando' el ~$ultadQ de1 eje~c!cío.anterior calcular lafuer1! ~OD que un...·aiscº,:p:la'no~ d.li' ~~diq~R··~de masa M. ejefce. suacción ~obre el punto material de masa m que 5,Shalla en su eje, dis-tando ./J. dpl c~ntró, .. . " , ..;''';..r e', 2674.",Apll<¡~n~p, eh·res!11~adQ 4el ojercic~o ~ntef.iol! cal'c\lla,r Iafuerza con 'que un plano .¡piinJt<? en el cual la mase, de de~d8.~
dz 211 (' am-¡¡¡=-;¡rcos -r+<Po)
donde f, es ej· tiempo; T, períódo de oscilacién; Cjlo, fase Inicial. Rallar la posici6n del punto en el momento ti si es sabido que en el momento ~ SI! halló .en el punto r =$,.I
2669. Cuando se efectúa 01 movimiento armónico oscilatorio8 1'0 lárgo Qel eje de abscísas, cerca del origen de coordenadas, lavelocidad ~ vi~ne dada por la Iérmula
Cap. VIU..Aplicaciones de 19 integral
~ :2979. a~j,o ll!c.IllÍJ\ión de la gr,l¡weqM U!lll go1!l 4q !.llJI.5l! il\jcia)
M efectúa la c1Ú4ª, Almismo tíeQlp,Q.VI!. jJvapoJá.!l~Q;!~vnüO_p:nm;l)9,Q~1Iperdiendo. por sogund~, ,1pla,ml!~a ig!lª.li <!o,m, ¿¡::II,álél! el tr{\bl,ljo reatizado por la gravedad desde que comenzó la caída hasta 'PIe,la gotaquedó .completamente evaporada? (Se prescinde de la resistencia delatre.) _
2680. ¿Cuál es él trabajo que "se debe realtzar para' amontonar1a arena en forma denconc truncado, de anura H, cUYQ,s radios debase sean B y r _(r ~ R)? El peso eS'p'ecif~coes igu~1 n d (1<1 prena sebace desplatar léválltándoll\ dé} sU~10, en el que s~ IIp'oya )'3 "basemayol' del cono). ' "
268,1. Las dimensiones de la pirámide de Cheops 501\ aproxima~ameJj~~,l8.S sigujen,tQs; la, altura e!¡;de HO' n~,~Jn.I!-r;i,l!tª. de.l~ base(del ,cuadrado), 20Q 'o}, Ji;~pe~o' e~P-!lc¡f,iQQ!le lll'l)iedr,tllllwple!l,da enla construcción es igual aproxímadamenta a 2,5 gf/om'. Calcular'el t,rebajo realizado durante la construcción para superar la gravodad.
2682. Calcular el trsbaie que ha de ser realizado para sacar elaguo de un recipiente cilindrico. de altura Il = 5 m cuya base es UD-clreulo de radio R = 3m.
2683. Calcular el trabajo que ha de ser realizado pare sacar unIíquídc, de peso especifico d, d,~ un recipiente. Este representa, porsu forma" un 'cono de vértice :invertido, cuya albura es H ye] radíode la base, R. lDe qué manera cambia el restrltado sI el conotíenesu vétt'ice en posicióÍl'nol'mal? . ,
26M. Colc.úlar·' el"trllbajo que ha dé sal' toaHzado 'pa,fars8aar elagua de un recipiente semiesférico de radío R = 0,6 m: -.
f:Soperfjcinl 6,. está dístrtbuíde. uníformemente, o.jeroo su nceiói;l :sobre1lJpWlt.o'lDateri~l de, maslI~. L!\ dIstancia enítll el punto 'Y el plano113 0.,' '
267'5; E$iste Un cono recto circular truncado 'cuy()~ radios. 'de,'bal:!8 son ~ y.r, la Altura, h" la densidad, y. En su v6rtice-llsti cole- ,cado un punto UlAtorial de .mass m.. ¡l,yuál es la fuerza de la acelóu<[uo 'e~eje¡;cidl!' poi: -élcóno 'sooro dicho punto? . _ v" .-
2676. ¿Cuál es-la atracción que ej~rCe la línea quebra'd(ilÍlaiarlal!I - r z. t + i 5Qbre'el pUIl,to material, ,de masa 1m, que se halla en elorigen de cóordenadlts? (La densidad lineal es i~-Ilal a y,) .
2677.. Domóst(ar 'que la linea material quebrada 11 = a I ;c ~++ j «(1,:;;;;' O)'ejetce~ln1atr'oceión sobre un punto matérlal que se halla en el origen de cooedensdas, Dicha atracción TJO depende de a, esdecir, de Ia abertúra ,d'(ll6ngtilo entre los lados de .la línea quebrada,
2678·. Dos barras iguales, siendo cada una de longitud l y demasa lI1.,. pf;!~te!lecen a una misma J'ec~n, ¡nicli(\lIuO entre ellas Indistllncil!- l. C~elJ}a¡: su t.IlJ'acciOn ,mutua , ,
183§ 2. Problemas de (isiea
cién transversal de la barra es S = 4' Í)m~;la longitud. í ,= 20 .cm;la deli¡¡il,la:dd~l"ma:te~iu1-de la barJ:u,"'ii"7 7.8' g/cm~.~"a-all8.dilépergia cíné~ica dll.rla :barra.'
Fig.52
La energia CiDéti~adel cuerpo que gira alrededor de un. eje ilJmóvil, es i~l a -} JroP, donde ro as la velecrdad angular, J es e.lmomento de inercia resp'ecto al eje de revoluci6n. Resolver los problemas de los ejercicios 2687-2692, tomando en consideración Josobredicho .. 2687: JLa"bamF.A.B(véase la fig. 52) gira en e1 plano ~orizolltal,a1·ed'lidÓr,déle1e'OO!'eóÍi la.jteloddad; iingUlar'wi= ,10ns';? ,La··see:.
...,.:;. • J 4¡' •• .' ._ "-
ol--T-----/ _- r --"'>-.0'loo". I ,,)
-...._----Qt------"
la caldera, H = 4 m. La Hena un líquJdo cuyo, peso espeoífico esd = 0,8 gf/cme. Calcular el trabajo que ha de ser reálísado para sacarel llquido.
2686. Hallar el trabajo que ha de ser realizado pare sacar elagua de una cisterna que tiene las siguientes dimensiones ~véa$~lafig. 51):';.4=0,75 mi b =1,.2,hi, R = 1 m. La superficie lateral dela cistetna represen~a u~ c~ilro parabóllco.
Flg. 51Fl& 50
2685. La caldera tiene la Iorma de paraboloide de ·revoluci6n(véase la .fig. 50). El radio de la base es R = 2 m, la profundidad de
Cap. VIII. Aplicacionesde la integral184
. I2693. Una lámina en forma de, triángulo éStá sum.er_tid,a, et;!posI:'
ción vertical, en el agua de modd que .su bi.!l!ése bal')a sobre l,a superficIe del ugua. La base do la Uni.hlll es 'ft,'la anura, h, ~
a) Calcular la fuerza 'de la presi6n qué 'ejerce el agua sobre c'8dá·uno de los lados de la láminll" ,
b) ¿En cuánto aumentará la presión si inverti~os la láminade modo, que su vértice quede en la superficie y la 'base sea paralela-al,\,- supel'fic,i,e del ll-g1!t\? ,
2694. Uriá lámina cuadrada est,~ su~e'rg!,d~, e,n pqs.icióq ve~.th·cal. en el agua de .mcdo que uno de los vertloal! del cuadrado. sehalla.sohre lo superficie del agua, estandoen contacto con elJa¡ i~jl·de las diagonales es paralela a la -superñcíe. El'lad,ó del :cuádradór~Igual a 0., ¿CIlI;Íl ea la [9-erzB de la. p'resion qp,e éjerce eJ agua sobrecada 'uno de los lados de la lámina? ' , '~
, ,268~,pua 'lámina, recta~gular,';cuyos, 'la'dos mldén ,(i. ;= 50:cm' y:~,~;=,,~cm, y el grosor es d; "9' 0,3 cm, gi.ra alrededor deUádQ a t~niendo la velocidad anguler ct. constante '~ igua] a 3ns-l, Hallar'la .energía cinétic~ de la lámina, La densidad del material -4e' la lá-.mína ,'\'= ,8 g/cmo.- . -,
~6.8,9: Una lámípa triangu)ar, cuya base es-s '0;= <10cm' y 1'0 altura,hr = '30<cm, gil.'a',aIred'edor dérsu '}Jase"tetiienao la vclo,cid'If~.aogu1ar(¡) constante (i Igual !I,-{j) 'i= ~1t:s,_L.'Hallar la e¡lergia c'inét'ica ,de la,lámina tomando ;en conaideracíén "qu~ 'Il"U " "grosor d ?" 0.2 cm y la densidad del material,de;, la; mísmn '\' = '.Q.~ g/c'UL~" "
. 2690. Una, lámin!), eX\'fotl;ill!. del seg~elltQIlnl'abólico (véase la {jg. 53) ,giro 'olreli6aordel 'eje de la parábola teniendo la 'Velocidadangular constante e igual n (¡) = 4n s..J. Labase de) segmento es a. = 20 cm¡ la altura,h =30 cm; el grosor de la lámín~, d = 0,3 cm,la densidad del materi.al '\' = 7 ,8 g/cm~, Ha- F'ig. 58llar la energíe cinétioa de la lámina, ' .
269t. Un cil índro circular' cuyo radio-de base 88'R'yJa al tura H,.gira alrededor de su propio eje t-eniendo la velocídad angular constante. e igual a U). LB densidad del material de la lámina es y. Hallarla energía cinética del cilindro., 2692. CiertO alambre fino, de masa 'M, na side combado adoptando La forma de semlcírcunferencla de radio R. 'Va girando alrededor del oje que pasa por los extremos de la semicÍl':cunferencia dandó-n vueltas por minuto, Cálculo.r su energía cinética. .
Calcular la enorgía cinéfica para, el caso' en «tus el eje de,revolu-,cién es la tangente en el punto medio de la semíoircunferencía.
§ 2, .Problemaa 40 <física
26~5. Calcula. la íuerza do la presión que ejerce el agua- sobre.'ia presa que, tieI}e 'la forma d~,Un 1Jl:apllciois6sceles cuya base superiol' e~a =,6,4 mi 18, infel'ior, b. = 4,2 m, Y la 'a]l!llra, H = 3'm.
269,6. La. mitad de una hímina en fotma de él ipse está slIlliergid-a'en el líquido, en postcíón vertical, de modo que uno de sus ejes<C\IY'a10ngJtud es jgun) a ·2b) se. halla 501ve la superficie, estando en-contactocon ella. ¿Cuál es.la fuerza de Ie presíón que ejerce el Iíquídosobre cada uno de los. J~dos ere la lámina? LIl Iongrtud de la partesumergtda del semieje de la. elipse es ig;u;ll a l1i el peso especifico .delIíqutdo, a..
2697. Una lámina rectangular cuyos lados son a y b (a> b),está.,sllmer;giaa en el Iíquído fo:rmá.ndose entre ésta y la superficie-del Iíquido el ángulo ,~_ El,lad.o' illa~or es .pnralslo a la superficie yse, haüa a la profufldiclad /)" Galcular la .presi6n que ejenee el liqu'id'Qsobre c'ada uno" de los lados de: la lámina· teniendo' eo cuenta que elpeso e~peci'f:jco del liqllíd,o. es a.
2698. El llg-ua 'Y el aceilé.(en proporciones iguales) Llenan un recipiente rectangular, si8ndo el peso ,del aceite dos veces 'menor que'el del agua, Mostrar que la presión: sobre. cada una de las 'Paredes delrecipiente disminuye éñluna: qu.iJ:lta'parte si se toma sólo el'licéite-en vez -de·Ia 'mezcla:. (Es necesarío 'teqer en cuenta que todo el aceite'Se halla enctma.)
Resolviendo los problemas d~,lo.s oj,t¡rcicioa2699-27.QO, hace, falta.ap,o.yaFlleen, 'el .prtncípío de 1.'\rq~Pll,ldes que qr~ lo siguientl;!: lafuerza <le e~p,u'f!l ~~ions.l, q,l\e eje.t;ce .sn accjón sq)lre el, sólido-sumergído en UD fl~¡~q es igual al PeAo del fluido. c!flsiÍ);Qjado.
2.(i99. Un 'fl~t¡¡:.aor.,de,J.l!.ll,d!llia,y. de .:for:macilínd.t¡cn c\cya s,upgrfi-cie de l>.~sees 'S = 4.000 CII!i~y, ~fl.~l~-qrll,.Jf =s 5Q c~, tlllta .!!ObT~la-superñcíe del agua ..El peso especifico ae la madera és d = 0,8 gf/cmB•8.) ¿Qúé tra'bajo ha de ser realizado para sacar el flotador del agua?b) Calcula!' el trabajo que hace fruta real~8.l' para sumergir el Ilota--dor de modo. que lo cu}J~~,el egu!!? '
2700. Uo~'~,s.f~~i!·'d~i~dio R; y d,El.p~soe~p~cí,fr<;o~ e.;;,tá:s~~rgi.Q."en el. agua ,d~' IAO~Q,~ue ~~á ~p.,R,on\8A~oCO!L J,B§l;pel'ij..cie',.• ¿~,~~'tflll!a¡(j ,ha d~:¡jer,~e~,lz:~d'ofa:¡':lk>sa9~Ja')~!Ú'fÍa d~ ag:~~?
Los prol>lem,as de 105 eieroicios 21,R1'-'-2.j,06otl:a,tl\~',~1,fellAméil.O~de¡ra oSlil:idacde f.l!liaos: de $ orí.¬ ::iOf.óJjeqÚ:eiío. l':;á' vel'ecidad_ con; qUe elJiquído- s¡(le del oríJí6io"',llnBétermina, 1'a rey de '''l1oriiCéll!i:',i) 'ª",;,,1(25:i!.j 4.onpe, h ~~,.l~a}tuf8" de 1,0..~lumk8: :~e~'~íC{lli~o~9~iéél~ri!icj~, y ~ e,s\!a~~~re.~á~i'óilj¡ la jti.a!,eda,d *),: . .,"" ~ .[¡1l-l0l'.fll,ª ,811.'q,ue.l.~Jey,de)rrllrt)~U;i se:a8'i~\lu~,[email protected]ólo;.l\l,Uqui;'.ati.a~:i!l~Ea ~ps.l:'I)í<M,d!l;.id~ª.!~qy!~~,daJ).re~Jt.l\~t~ ,~lo!.'pr~~~~IP.~~;,~~%l'!.~tac~\Ca.hecsu :qao,'dj), la f6r:ü1111a,TI;r;P.-Y' :l'glh¡ dOlllle"j.\,e" el'c"l0ficI8D te, que Ide,,peD~e as la v'isco9idad. dél lí~ti(ao'y._,lá:Jliltili'li.l0zá:ci~1',órl;f~c;lo;-dlÍl !Ii!,¡ s¡j,é ~~díquu1o. En el uso íDOS. ,s!lnc!llo del' aguo !1 "" 0;6':) , t
Cap, Vin..Apllca"ionés de la iutcegral186
Fig, 54
p~l'p"endicula¡¡ al eje del cjlio,dro) spn. iguª-les 8 b _(horizoIlLRI)y a(vertlcal), La genera.tri~ del ciltudro es ig\lal,a,!-" 1J:llIgu¡¡. Ilena hastala mitad la caldera .que tiene. ptl\c,t¡cªd~ ;en su fondo un orificio desuperñcíe S, ¿Cuántp. tiempo del>~ inver.tip el agua 811salir de lacald.era a través de este- orificio? " t "
270;;. Vn recip,il;1nteArismáticl', !)~llj) de-agua, tiene prllctic~~oea su pared 'Vert¡ca~ ul\¡l.)lendidu:,;_a t.e!fll;l;Qgular:\!e¡;~ic!ll.cu,ya al~ura,es igual a h.y !a.~l\cbura, -b."Entre ¡¡~hprM:p._upez;iQrdeJa··hptldid~ua,paralelo a la supstñcía <!elagua.•y esta v.ltilJl.~ media la, distancia Q,¿Cañota ~o.ntj,d~ddel agua ~,1I1e:qe)recjpiente por-segundo si el nivelqe\ .agua lIe ~all}ienQ a la'·misml.\o altupl,~, .CQnsiql\rar el Cl,l50 en .queH "" O (problem!l<s,c¡b,re el desag[ie)., .
270ey. U{l.recipjel)~e,Jlen.ode agu!l haata J,osbordes, ofrece la fo~~ma de para!~l!!pipedo cuya base .t_i~ne,el área-ígua] ,aJ.iOO cm~. 11:nsu pared vel',~icalhay-una hendidura, de alwrA rgual a 20 cm y _J.¡¡anchura igu~ a 001(c,01,(v,é¡lSeh f¡g.,,~J¡).,¿C\l~~O tiemp'o,se,-.invier~,Pilla.. qll.~ el .Iíi:v:~1del agua, en ek Irec~p;e!1~e 'dis!Il'inuya 'en a) 5 c~r,b) 10 Cal, é) i9 cm, d) 20 cm? (Aplicar el resultedo delejercicio anre-eíor.) ,
··2701. Un recipiente' eillndriciJ 'cuyá suporñcie de la. base es de1.00'GUl.y.1s·.:tltursf30 cm) !tieDepracticado un ol'ificio._Calcular Ias~'~~licie <!-o.éste Si.;59 sa}¡il'qúeal'a,uá queIlena el r9á\pJ~Ílteinvier.te"2 mIn ensal.ir deéLi'''' j' 1 - • • ", ,~~:. '
.... ,2702;, El "ague HBÍla, un ie'mbudo·;c6ilico· ,09, a'lt'll['f.l'1I =':20. cm;El J:llciio,de la pa'rte ~uj)eribres ID= 12'cm: De la parte inferior. <roetien:e el,óriücro dA'cadio"r'!= 0.3"cm. comiensa a 'salir el agua ..a) ¿Cuánto tiempo se ínvíerte para que el nivel del ~8gua baje en5 ¡;,qi? 'b) ¿Cuándo .q\1edara' Vacío ,el ,emhudó,?' ,
2708. La (}~dera..ofr.ece 'la forma' de semieSfera 'de radio R == 43 cm. En su fondo se ha' producido una abertura de superficieS = '0;2 cm'. ¿Cu6.rtto tiempo debe invettír ~l agua, -que llena Incalderil. para .salír de- éstn? '
2704. La caldean otrece la forma de cilindro elípuíco de eje horlzontal (véase la fig. 54). L09 semiejes de la sección elíptíea (que es
187
debe Ser .íntrodncído en el cilindro de modo que entre- el fondo deéste y el émbolo medie 1:0 cm (véase la Hg. 56)? La presíén atmosféficR es igual a 1,033'kgf/cm~: El proceso se"efec'túa de manera j~l)tél'mica, es decir, a temperatura constante. (Para obtener el valordel trabajo en 'kgm haca falta 1-~mar la presión en kgf/m~ y el volumen en. m3.)
2708. UIi recipiente cilindrico C~Y3 sección transversal es iguala 100 cm", contr~p'e el,lIilCebajo presíen'lI.bmosférica. Dentro está colocado un 8mpQlo,;inediandó entre éste y e1.>1fondo'deIrecipiente Ia distancia Inicial igual a' 0',1m, El cilindro se, encuentra en el vacíodebido ¡¡, lo cual se produéa 'II~;e~ilDsión del aíre contenido dentro,el cnal desaloja el émbolo, á) Calculan-el trabajo realizado por elahe dentro 'd,el é~IÍJi'dro-cuando hace ascender el émbólo a la a.llFur~de a) 0,,2 m, b) 0¡5"m" c) '1~. :2) JPuea~ el trabajo' aumen tar sjn limí':',tes s'i'dilatál'se >elgasin,fhiítam,énte? (Ig1).il1 que éiJ:, "el ejerqiciq, :a'nte~tlor, el pfdceso $~ ~féct:(ia';de malf.e.Il¡l',i8btemríc~,)i < ' " ;"
, ,2199, El'recipiÓJIte cilíildtic~ Ictiy~\'V'oll!meD'Vl¡;.=,,:!'Q'i1"'inS c.oiiti~'-tie.el' aire IItmosrérie~'''el cual es sometldthHa c,ó~'Pre$ión al:í'ñtrolrpcir, de manera ~orrápida" un ~'ti:i'b\)F"d~Dtro:{C:oñside~~tfló$q.!!e elpfoce.so,se. efectúa sin sei! 'réci_&ida ni 'cetl:rda niñgdña ,cantidad del, ea'loe, O'éea: é$,a~Hab:hi<i'ó)::¿Qué Waha;jil h,ÍI'díf ~~f' ~!l~l\iza¡io''j'líita coffi~prrmír rel ,itiie'¿CSihteii..idoen el reQi'p'jente, 'l'éiluCi~nao19 al ·volu'inenlI, == 0;03, Jils~.. (lía presión 'atliloSférica 'éS~:¡~ár a 1,,033 kgfY¿m~:)lilA 'I!l'esi6ñ,M.l.~¡¡s ~y,-e¡vó}~,menque ~~up'~~~n ~lll?:r:,9!!e,s4a~i_a,bá:í'[o~forman la ¡·elM19n..pvVji:::<Pov~ (ecullc!on"d\)·Polsson). Para los gasesdia,'t,6JDicos (támbJ~ll pata el al~e) y ~1,40,. "
Figr 56
n'II! _
.--t--;:.:::--~I r----- -I JI J
Flg. 55
La ecuación del gas periel.\to es 111slguíente: pv =RT, en la cualp es 'la presión, u, el volumen, T, la ,tempel'utura absoluta y R, la'constante del volumen dado del gas. Resolver los problemas de losejerc'icjos 2707-2709 considerando Jos g<lses como períactós.e;. 2707. UÍJ cilindro cuya pase es de área igual idO croz, y la. altura,igual a 30 cm, contlene el aire atmosférico. ¿Qué trabajo ha de serrealizado para que al émbolo penetre dentro del cilinuro 20 cm, o sea,
;}(Jcm
Cap. vm. ApllcaQio.lles de la integraliB8
2715. ha 'tensién en los bornes del circuito,eléctrico es V. = 120V,Uriifol'memMté e.n-el cíl'cuí.tOse 'inttoduce LUla reslatencíaa .0;1ohmiopor segundo. Además, el 'ci-rcuíto está: cónectado COn la' ¡eSistenciafija r "7 10 ohmícs. ¿Cuántos culombios de'eJectricidad,' pasat:.án.p<i;J'el .cifcuito durante dés lIÚ1lU.tOS?
Según la :léy. de Coulomb, la fl~erz;ide intera·ceióo.de dos cargasleléctficas es ígua]' a &6::,2' newtons, donde q~y' 172' SOl!los valores dé-las cargas en:culombrcs, 'r. Ja distaneta que media: epire las cargas,-en, m, la, constante dieléctrica "eo'= 8;85·!0~12 F/m.·(41te~= 1,.11XX '1.{)~10)",2, Ia ·permítrv:ids.d .del .$leaIó respectó :,al' 'Vacío {para el.aíre e'~ 1)•.(Sistema racíonalleadc MKSA:} Partiendo. de esta ley,.resolver los problemas (le Ios ejercicios 27~2-27-1á:, ,._
27·t2, UTl~ recta,' inf40ita está: oargada uníformemente de slectrí-cidad posttíva (la densi'dad 'líne~ -de cru;gll' ·el~ctrió¡l es (.1'.). ¿Cuál,es la fq~rz,a con <I\l11obca dic:ll8recta sobre una carga un·¡ta,ria que seh~lla enel punto.zí mediando entre ambos l.adistancia I,l? La permit:ivi'd!).d del medio es igual"a L
2713, Entre dos cargas .eléctricas IJ~= 6,67·10-8.C y tj~ == iD-iD-oC media la dlsjancia igual 8.10 cm. El aire sirve de medio-que las separa. Al príneípío, las dos cargas han estado fiJas, luego,$e ha liberado la carga q'1' que comianio a,desplazarse, bajó la acci6l}-de 11\repulsión, alejándose de 1'3 carga ql' ¿Qué trabajO es realizadopor la repulsión cuando 'la carga 0;)' líe ha alejado mediando, entreambas la. distancia igual á 30·c¡m, b) se alsia al infinito?
2-714. Bntre dos, cargas .electricas qt = 3313..10-;~ culombios y.q¡ = 40,,1.0-:0 culombios 'medi!! la dí~anC'ia igual Il,. 20 cm. ¿Qué-dístancía mediará entre ·las cargas si acercemoe.Ia segunda hacia laprimera .realísendo el trabajo Igual a 18, fO-5 julio!;? (El medio qua18'8 separa es el aire).
~.¡. ,&eg.únla\l~y. decNewtoIl,¡ la velocrdad 'con que ..Urr'C~.é~po,Se enfr)a ..es.,pró;porcio.nal Q ila·.tlíieren:c'¡!l.ellt;td!l"te.mpefati.írú~cgll.e'·lÍl)ha:lla y latBlIlpar'atum del' medio.<j:Ue.>iQ':J'odea•.Pa.T,tiebd,o d'e1este.p.tinciplo;resóll~er,~qlt'¡i~oble'mas nS'llba 1l1ex.ciéi9s\·27dO-27U." " .7 , •
!"'",2710~Un .cúe'í:po,cúya.·telJ1·pe~atlil:'a,.es igúa1 a 25°. éstá 5'limergídQ~Il.'.el'ter<!llostato!'{su. températulla, se ',mnntiene'jg'Ünl a oq). "¿CulntQtiempo débe S91' _invert-ido piu,!I 'que el cuerpo '5é~etifrie.hastñ 10· ~i.en:·20,.'ritm. .se-(éufría' J1ista ·,2(:n, '- H .' • ' r ,::' , • • ",
- 2711'; ITn' C'uézyo C!!''Y1l ~elÍlp.el'atui'a.'ésigúal a .30°, Íje 'érffrí[J clíast'a'22,5° ·a¡'-:per.i:naneCér;301miil.énd~1~'é¡;riioatat(lq.u~lse.}lIrU~.8·la' te)'hpe~atura}.00., ¿C¡¡.á}.'Sena ·la tlilmperlÍtuxa, del' cuenpé '¡jt cabo 'de 3.'hóras~l· corilenzar ef 'expe~e~to?
.189
1=10$11(2;1 _(ji,,)el;Ja;'cual Eo' lf'J-o,sonconatantes.'~lºs 'valotes Dláxlmo~ de, la tensión''y 'de' ~a·'Co'rricn.t~); 1;" ·e1 pG!I{oao;' 'lPó, 'la'.a;;~.Hamada di~erencia detase. Calodlar ,él, t.rabajo rei¡Jitado,.po:r.la ·corr.iente durante el :espaciodel tiempo 'desde ti ::;:o hastll t2~:= T y mystrar que esto trabajo alcanza su v'alot¡máx!lDo cuandoIa.díferencía d_efase·cpoes ígual a cero.
2720-. Hallar eltíempo durante, el cual el aparate eléctrico caltanta 1 kg de IIgul.l, c!.esde:20 hasta. 100"C. ,si la tensién de la. c.o~4eDteeS itrua! il '120·M;',1'a:l'esistiencia.l:1e,lll'.'espÍIal,~ 14;4..ohm:ios; la ..té~pe.raturá 'del"airs¡;en Ja habitaci6n, 200·C, y'si: ..tambiéCl es :sahilt~¡qne1 .kg do 'aguo' se'e.nJria 'desde 4Ó.hasta. 30° 'C en ·10tnlirL (Seg6n' la 'Ileyde ¡,oule '- Leifi,' fiJ.:=N~Rt-,donc\e',Q es>'Ja{;antidadllde calor en .j~líos, J. la corriente en amperios, R. I'a' resistencia sil ohmios, ~t
E -.Eo sen ( ~ f,) •y la corrieote, con la f6tlllule'
2716. Al principio', lo. teDsión en JOBbornes del cíccuito era i!nl~a 120 Vi decreciendo después. peco a poco err Ol01 V por segundo;Símultáneamente; en el mismo- 'Circuito $e iqtroduce una reststencía(! 0,1 ohmio por 'segundo. lo éual represento. también .UDa velooidadconstante. Además de 'ello, el circuito tiepe la reslstcncía fija iguala 12 ohmios. ¿Cuántos .culomhtos de electrícídad pasarán Ipor el círculto 1111 3 mio?"
2717. Al cambtar Ia temperatura, la resístencie da ]05 conductoresde metal varia (a temperaturas ordinarias) según ]0. ley El. ==Ro (1 +O,DMit), en la CJlal'R!l es la' resistencia a O"C y ~ ,esla temperatura :en grados Celsio. (Esto. leyes válida :paIQ la mayoríade los [metales puros.): La resistencia del oouductor es .igual a 10ohmios a O"C. éste se va calentando uníformements desde 'lrj = 20°'hasta 1'tt = 2000 durante 10 mino Al mismo ttempo, pasa por él conductor la corriente cuya tensi6ñ es igual a 120 V. ¿Cuántos culombíoede electricidad pasará por el conductor duránte este mismo espacio-del tiempo? '
27.8. La ley de' la variacíén de le tensi6n de.Is corriente.aínusoidal cuya frecuencia os '6), so expresa con ]a f6rmula!siguiente: EI== Eo .sen (Illt + <p), 'en la cuál liJo es la tensión mlÍxima; <P. )0 Iase;t, el tiempo. Hallar el valor medio d.81cuadrado de la tensión en '1período. Mostrar que la .oorriente altonaa desprende en f pertcde,
, siendo la resistenci(fija, la misma <:1\Dt1dad,ae calen que la conbínueouya tenstén es iguall a V (ES)iried. (JJe'1)ido a e11.0, ]0. expreslónV (E'Jmed se la 'nama la t.oDs16nefectiva 'd'e la corriente alterna.]
2719. La tensión' de la cotriente sinuso~iI!U se expresa con la fórmula
Cap. VI0 ..Aplicaciones de la integral100
2721. .:Elaire que ocupa un recipi6JJ,~eeu.ya cabtda es de 81, conne-.ne 20% del oxígeno. El recipiente, que tiene dos tqb9S'.recibe a través de uno de ellos, éLoxigeno puro, mielltras, que a trav~s del otro,sale la misma cantidad del aire.' i\Cuánta CIIl).tjctad del oxi'g!lpóvaa contener el recipiente después de que hayan pasado por él .iDI delgas?· .
2722. El aire contiellB,a%, (= 8%) 90~<Se le pace pasar por u'D'recipiente cilíndrico ,ttI,lJ~,~~JDti~pe~mása, flil;soclleJite cuya: capa finaabsorbe la cantídad del ga¡¡;proporctonal a su concentrscíén y su gro!lO1'. a) Si el aire que ha atra~~~~ó la 9.apa"de H cm (= 10 cm) degrosor, contiene b~ (= 2%) de 'CO!?;,¿de qué grosor H, debe ser 1111capa ~bsor~~nte para qu~ el. aire después de f!.j.'rav.~aTel ahsorhedor,!?Qnt~ngasólo c% (= 1%) del ácido ea:r,bóbic9?b) ·¿Cuánta cantidad(en %J queda en el aire que ha, atravesado la...capa absorbente si sugrosor es igual a 30 cm9 _'
~723. Cuando la luz atraviesa UIIIl capa de agua igual a 3 m, SE!'pierde la mitad de su cantidad inicial. ¿Cuánta cantidad ·dela luz:llega ala profundidad de 30 in? Lü cantidad' de la luz que es absorbidll'al atravesar una capa fina de agua, es proporclonalnl gl'OI:Qr de la'capa y a la canttdad de la l'u7o que ,incide sobre su superficie.
2724. Si la cantidad Iníctal del fermento, igual a 1 g, al cabo deuna hora llega a ser igual a 1,2g, ¿a qué será igual al cabo de 5 horaeal ccruenzar la rermentaci6p 'Sí se consídera que la velocidad delincremento del fermento es proporcional a su cunttdad disponible?'
2725. ¿Cuál era la, cantidad i.nicial. del fermento si al cabo de'dos horas de haber comenzado la iél'wentacíón Ta cantidad disponibledel fermento era Igual a 2 g, mientras que al cabo de tres horas eraigual a 3 g? (Véase el ejl;lrciaio'anterlce.)
2726. 2 kg de la sal se echan en 30 1 del agua. Al cabo de 5 mioi j¡g de la sal queda dísuelto. ¿Cuánto tiempo tarda en disolverse el99% de la cantidad,. inicial de la-sal? (La velocidad de la disolución esproporcional 8 la eantrdad de la sal no disuelta ya [a dlíerencín entrela concentración de la disolución saturada, igual a :L 'kgpor 3 1, y laconcentración de la disolución en el momento dado.)
el tiempo en segundos; el calor espeeíñco del agua .:s419b Ji1~;~'os .,Además de ello, spltcae ,la Iay de Nev._~onJs.9l>.i'&'·el enírtamiento;véase el ej'erciclo 2710,) , •..
19.§ 2. l'rQblemB.:f._M tf$ioo_ .,
1 1 '12727". T.2+"'273+ •.. +"'ñ"'(ii'+T¡ + .~.~728. /3 + 3\ + + (2n-1)\2n+1) + .. ''2729. ¿ + /7 + + (31t~2)~311+1)+...~730./4 .+-n-+ +n(n~3) +.... i i I '1:2731.T'fT3.!f+··' + (211 1-)(2H6)+ ...'2"32 ,,- "1 +' '.i. +" . + 1..J!.
1, • ,f".2,3, '2.3.4, ,.. ,.. '1fln+l)(4'+2) 1-·1'
'"2733; 1-f{'~+ + ~n.+,2.n-+ '-'6, ' ~ ....:' , - 6r" •• ,
3 +' J5" .:l.. - : ·"'2¡r+i·:2734. "4 36 I .... ;- n2+-(ri+1¡2 + ...'
- ,1 2 1:2~35. g:+2B"'+'" + (2n-j)a(2n+i)~+...
- ol i . t'27.36. tIl'c~g 2' +arctgs+'" +arctg Z.."2 +..
Conver~cnC-;4de la serie numérica
En los ejetcicios .2727-27.36 ]1;1.a cada ,ser\\}: 1) hallar t~ suma-de.Ios n prímeros t'érminos de-la sede (8)\)', 2) demostrar la convergencia de Ia seríe, pa,'l!t1enilo dlrecjamente Ué"!concepto /le convergenda y 3) bailar la suma de Ia serie (S).
§ 1. Series numéricas
Series
Capítulo IX
,13-0116
ee
2753. 2j * evnZo+II+1-'J(nZ-n+f}.=1
n=1
'"2752. ~¿(Vn+1-Yn-f).
..2i51. ~ .. / ~.
LJ. V 11."+1n_l2750, ¿j (Vñ-VII-'I).
.._1
2 ~ ln/l749. L.J ~r::o'y ti"n-!
..2748. ~ 1
¡f,¡Z'¡'2n.' on~t
2737, 1~2+ /23+, ."'IT (~I!~_!j'2z,n~1+ ' ,.2738 ~ .J.. n + .+ _~__.u.. sen"2 ' senT ~7 : .sen~ ...
1+2 1+11. •2739. 1+ 1+22 + ... + t+n.Z+...1 1 1
2740. 'í75+Til'+'" + (11+1)(11.+41 +..'2 s+ 11+1 +2741. '3+'8' ., .+ (11.+21n •.•
27 '"2 " + rr + 1 " +'t,. tgT tg'S ... ,Lgt,; ...
I 1 12743, 2+'5+' .. + nZ+1o +...
" t jO 1.27R 2"+5'+" .+3/1-1 '1- •••
2745. 1r~2+ ]~3 +...+ In(,,~ 1)+...
Sefiies de· términos 'positivos
EI\ los ejercicios 2737 -275"3· pa'rtieirdo de 'los criterloli dé cómparación datermínar !!~ las sOI'j~sdadas son convergentes.
.,,¡.• ' •
f93
2759. 2..+.!2..J.. + 1-3· ,,,' (2"-1) +3 3,1; I '.' sn.nl • ' ,
2760, sen ~ +4sen 7.-+ .. ,+1I?sen ;. +, ,,276 1 2 TI
1. 2f+a¡-+ .. , + (,,+t)1 +'"27 '2 2 2,3 (11+1)1 +6 . '2+;r.¡ +, ,' +""'iñ.ñ! ",En los ejercicios 2763-276fl demostrar 111 convergeucia (fe Jas
series <ladllll aplícando el criterio do lu radical de C¡mchy.
27""'. t + 1 + t +\N TnT Tri23+ .' . In" (n+ t) •• ,
2764. ++(ir + ;. , + ('(;+1)r+' ,,t I2765. arespn 1.+atcsen2 '2+ . ' . +arcsell h+ ' , ,+
(~). ("+ t )"2• 2:¿ 112766. 3+ \l.' ..!- r •• + - ¡s., + . ' .En los Ojel:Ci.CiO~·iftG~"':2770 acln'l'flr si las series dudás-son conver
gentes apl ícaudo ~'criterio do Ia integral de Cauchy. _1 e i"''';! .,_ -e- -1.'" -
27.6.7. :.:l~;¡,2+"UÜZ.3 ,.¡.. ",;:; + (n.+ ¡;IIIZ(I.+"i) +- : oo,_,
2768, 2[1.2+ 3113+...+-11-+ ...n I n ,n u-u , ..~• r-.. ! -.
2769. (~I~~l2r+U.t;z r+, ..+{ ::~~)2+ ., .00
2770 '<i;1 l. 1 r.+i,• -' 4J V,;¡ 11 ,.-,-'j"
n'C't2
2758.
!+!:!+ +2,5, ... ,(3,,-1) +1 1,5 ,'. 1-5, .. , -(4,. 3) ' ••
i 4 nta+1)+ ' , ,+ 3"+ .' ,2757.
En los ejercicios 2754-2762 demostrar 1<1convergencia do lasseries dadas npltcando el criterio de D'Alembent.
i 1 i2754., JI +5T+' , ,+ (2n-+l)1 + ' ' .
1 2 + n·2755, "2+ 2~ , ' .+z¡¡+' ..
Cap, IX. ,Ser~es194
2789. Iím (n!2~= o.n-e ee "
1: : "'\UII ~ n~2788. Iírll-( 1)2='0. 1 ,
n~oo tI.2787. 11m(2"")1=0."n_OC n
En los ejercicios 2785-2789 gemostr~r cada una de las relaciones!fle~ianto p~a se,l;¡~Cuyo térmiB9 com.jil1,5ea)a 1uncj~nrqrda).
2785. líITl7=O. 2786. lím {2:~r=0 (a> 1)."_00 n n.....,., a
2784·. seo :112'+sen ~ + ... +SCD 2:r.+ ...~ 111 "11 I ~¡,
En los ejercici()s<.~~7¡f-.2?84 ,.aplaror_cuáles _,~:b18sseries dadasson convergentes y'ccuales son divergentes. . ,
. 1 -, 1· l{2771. 'qfl +a'Va+- ('I+t)l.~ :;1- 1•.
2772. 1+i+· .. + 2,,"-t ~. : "
V· - ,./a- +,,/11+,12773. 2+y 2'+'" 'y ~~ ...4 ~z,
2774.1+n+." +;;,-+. '.t S - ,12+1'
2775. 2+T+ ... +-¡¡r+ ...277 1 2·· I 11
6. roor+ ZOOl + -.. + 100011+1 + .2777. 1~1a+ I:~ + ... + 1';~+ .
2778 f + 3 + .+,~tt-J +• S 3Z .. , ~ .•.
2779. arclg 1 +lll'ct",2-'21 + .•. + arctlt..!..+ ...r:a h!
<1 2"2780. 2+i1í+ .. ' +-;;0+' .'
2781. /3 + 6~7+... + (5n-4¡\41l-1) + ...3 9 3" I
2782. '2+8'+' .. +ñ-2n + ...278.3. 1+ 1;:+,..+ n!:+ ., .
",,'" Il ¡
.. ,,+1gen te; la sOl'la ~ -.n-·Gn también 10. será.
n""¡
...2!3Ó1~:Ntost'fb'¡.¡"q~esi' la '~erié ~'G" es a})só'lulamcnt.e conver-
. ¡
la seríe :z ti,.bJl es absclutamente convergente.n~\
..2800. Mostrar que si las series ~. a;\ Y ~ b;1 Son convergentes,
t\~t n_t
2799. ~ (_1)1\+1 2n~2.n=1
..2798. ~ j:::~:,.
11_1
2796. -1 + ;2 - ... +(_1)" Jn + .2797. i-{+ ...+(- 1)n.1 ~=+ .
2794. {--f· i2 + ... +(-1)"~1*.*+...279~ 2 3..L.. +( 1)"'1 1'+1 •'i). -2' 1 ••• - -,-.-" ..
1 12790.1-8"+'" +(-t)"1I 2n-1 +...2791. t-ir-+ ... +( _1)""'1 (2,)~l)S+ .. '
2792. 1~2-l~3+",+{-·1)n.I1n(~+1)+'··
2793. ~+~+ ~I-~+1 4 . • • n2 •••
En los ejercícios 2790-2799 aclarar cuáles de las series dadas sonabsolutamente convergentes, ouáles son convergentes'djl manera noabsoluta, cuáles Son divergentes.
Otras series. Convergencia.absoluta
Cap. I.X. Series198
n=1 Jl~t
{ 11+['11( ...)12 + 4+[!p(%)J~ + ...2821. Mostr!lr que ltl .se~¡e
J.. ,+ 112+[<p(:r:W + ...
28('9. ~ ~,~;Z:.
Convergencia !tltiforme (regu.lar)En los ejercicios 2817-2820 demostrar que lAS series dadas son
uniformemente (regularmente) convergentes el) todo el eje O».8 1 sen ;z: son IlZ2 j7. + -1-1+ ... +-"-1-+'"
§,2. S.~i'ie~'IuñcíonalesColw~~lJe),1.cl{~de,,l.as"serles[uncionaíes
En los ejercicios 2802"":'2816determinar ]'ós campos de conver-gencia de las series, '
2802. 1+.:c.+ ... + x" -+ ...'~O~. ~ ; -+ ln~.J:+ . . . ;; ~n? $ +2804', .:f +~+ . . . + X"I + . '. , .
x! .1;"-
2805. x+w+· .. +:¡;r+...,x2 -zll.
2806.x+ .r- + ... +-f-- + ...JI 2 1 n
2807. 1~z + i~'~ + ... + i~:.n + .2808. 2z+6x~+ ... +n(n,+1) x"+ .
% z2 ",n2809•.... +--;r-+ ... +~+ ...
.. 2+ r 2 n+ l' n.%:.2 %n
2810. t+zz+ t+z4 + ... +'1+z2n + .. ,2811 x I a;+ + z •. sen-r,seu1' ... sen.2ñ''''
2812 .w ;< + .2 I :t+ + .~..Ji +. x'l62 x ,g1' .. , -x ,gF ...sen 2z eau 11%2813. senx+~+ ... +~+ ...
28 1L ~+ cos2r + +~+ ..'l. eX e2>: • • • t"'" .2815. rx+e-""+ ... +e-<I'I'"+ ...
% 2'" 1.;<28t6. 7+~+'" +-;;ñX+'"
_ .. ,_iO'§ 2. Series iUDI;lonales
Mostl'jlf .qJl9tlB,"tlin:ciónt(r;),eHá definida y es \continua pata' cualquier x. Quedar convencido de que la funci6n t (x) es peri6dica cuyoperíodo es oo.
«(.1»(;).).
Mostrar que Ia Iuncíón f (,¡¡) está dGfinida y e.s continua paracualquier $. HallAr t (O), f (~ ) • I C~) . Quedar convencido de quees suficiente tomar tres términos de 1a serie parll calcular valoresaproximados de la {unci6!) 1. (x),. para !,-u¡¡',lqqiel'z, con exactitud,hasta Q,Q,OL Hallar f (~) y f (,-O,~) CPJh el1,~a'inisma, exactítud.r + ro!- I J ._ • -
28:!6. t:!l' funcill .t('z).' viene définids' por la ig1,illland '.' '
..
""2824. Mostrar qll6 la serie Z tJ,;" (1- x) es convergente de mane-"=1
ra no uniforme en el intervalo [O, 1).2~25. La functén ¡(x) viene. definida por la igualclad
es uniformemente (regularmente) convergente en cualquier intervalo en que viene definida lá fUtiCiÓil (ji (;2:).
2822. Mostrar que' la soríe .1" t + Y + . ,.. " 1+% 2 1+2%" !
' .. + 2"--1y1+,u: +, ..es uniformemente (regularmente) convergente en todo el semiejepositívo. ¿Cuántos términos deberíamos tomar 'para que pudiéramoscalcular, lIai-a cualquter Z 110 negattva, la suma de la seríe con sxactttud hasta O,001?
2~23". Mostrar que la serie lo (1/<:+$)+ 11)(;; 21') + ......+ Jll(~;,,""')+... es uniformemente convergente en el Intervaloi+ lb ~ z < 00, donde (~ es cualquier número posítívo. Quedarse convencido de que para cualquier x del interva'lo(2~ x:¡;;; 100)es suficiente tomar ocho términos para obtener la suma de la serie cnnexactitud hasta 0,01..
Cap. IX. Series198
-, ..~Después de haber quedado convencido de que .la fUllCióQ f Irp)
• lt )• y
~,l'1'nliou8 en el intervalo de integración d~do. cal~ular, \.f~(;¡;)á~:_ • l, , _.
n,1 s:.; I j_
xl %9 (, l¡+' ~tt ....172-TI+'" + -1) n(It+I)+'"
2830, La I1IJ1ción f (x) víeno definida por Jn iguoldatl
1(.7:) = e-;:+2e-2x +..,+ne-n• +' ,,Mostrnr que lo función f (:e) es conttnua en lodo Ql semieje
In ~
positivo Oe. Calcular } J (x) d».In 2
2831. La fu ncíén f (x) viene doünída por la igualdad
I(x) =1+2-3x+.. ,+n3n-1xn-' +.,'Mosirar que in función, 1(x) es continua en el intervaloI 1. O.12~
(-'3' '3). Calcular 5 1(x)dx,o
2832*, La función t (x) vlenu defill ¡d,n pOI' lu igualdad
!() 1. * 'J:t ,:¡;x =2 tg 2 +71tg 4+ .. ,+z,¡ tg"'iñ+' , .
,..; ~n-3x+T+'" + 4n-3 + .. ,2829, Hallar la suma de la serie
,:r:3 3;7 .z4n-l-3'+7+ ' ,.+ 4'¡;:"";f 1l-,,~,",'
eo el intervalo (-1, 1),282·!t HAllar la suma de 111~erie
Integración y derivaci6n de las series2827. Mostrar que la serle :r + ;. -+ ' , , '-f. .%.ri:C~ .' •• -. es
uniformemente convergente en el .intervalo - i+ (¡) ~ x ~ l' ~ (j),
donde (¡) es cualquier número positivo menor que 1. [ntegrando laserie dado hall/Ir la suma de In seri'Ó
t'.H § 2:.'Sifnc.slíuoclooales
es unüormemente convergente ~n toa'o e1 eje nt,11llér3$lo.fI'tostrarque esta serie no es suecepuble de ser derívada ~rmino a términoen ninguno -de. J01l ·int,e~valos.
283~. Pll!'ti.\lnd~ eJe 111 (gu;ldad t +x+.:t~+ ... =i":z (1x I< 1)s~níaÍ' '1~ll-"serie8 :1+".2~+'~\+... "!j-·ií±n.,+.~. y 1+;3a:+i ...
..L 11(11+1) "-1+ st 1'1 1+') +o' •• "¡O;- '-2 .;r;, ','" y mo rar que ·11 ser e ...3; ...
.. ,+'i1.t?-l+", ,~l'e's u¡!¡ifÓolihnetíte convergente en 8'1 intervalo,-P, pI, donde 11>1<1.
sen,2n.z + aeu4lT.1: I +~ L2' -r-,.... 2" .... " ..
2837. Demostrar g;Ij.S lp serie
..!._~+ +(_i)1It1 1·3.,. (211-1) +2 :/'·4 . . . 2·4 ... 2" ..•
hallar lo suma dl) la serie
o:t'2r 2" d n (2,.-t)(2 ..-3) ... 0·1J CQS x ;t= '2 . 2n (2n _ 2) ... o1.:¿ ,o
..2835. Partiendo de la relaci9JI J z~~.= n~" hal.lar la suena de
2
la serie 1~2+ 2.~ +... + n~"+ ...2836. Partiendo da la relación
de la serie:1 (-J)".I 1 (-t).'"
1) 1-1'+"'+ 311-2 +...., 2) l-s+".+"4ii=3+'"
I
j' .¡2834. Partiendo de la relación xll dx =-- hal lar 111suman+t
o
..eje uumértco, Calcular J t (;t) ds:
o
..= 2j ,.G~Z2 • Most.rar que la funcíén f(x) es continua en tqdo el
~""
I(x)-serie2833". La funcíén t (x) viene defiTlida por la
Gap. IX. Series200
2859. y = s,e'l4 .
Desarrollo de 11M funciones en .~8rte$ de potencias
281,1. Desnrrcllar J(1 Innoión y = In !~ en seríe de 'I'aylor en el'eutorno del punto a; = í (parn :1:0 = f ).
2842. Desarrolla- la f.unción y =V·~en serie -de >'1'8ylol'en nYentorno del punto :.r; = 1.
28~3: Desarrolfar la (unción 'Y = 1/x en serie de 'Taylor en el'entorno del punto x = 3.
28~1¡. Desarrollar la l&u)oión JI = sen ~'t: en serie dn Taylol' eu elentorno .del punto x = 2.
En los ejercicios 284.5-28q9 desaerollar las Iunciones dadas enserie de Taylor ell el OlltOI1\O del punto :r. =O(sede de Maclaurin):
2845. y.=cLx. 2R46. y=re"', 2847. y= COS (o;,JX.).284.8. y=e" sen 11:, 2849. y =cos x eh z,En Jos ejercicios 2850-2854 'hallar los cinco prim!ll:o,s ,térl1!inos,
de In serie de Tnylor paca las Iuncícnos dacias en 01entorno del punto,:.c =0.
2850. y=ln(1+e·'). 2851. y=eC°"~. 2852. y = cos"z.2853. y=-).n.cOS;¡;. 2854. y=-(1+:z;.)x.En los ejercicios 28fi5-2868 desarrollar las íunciones dadas en el
entorno del punto x = O. apltcaudo las fórmulas de desarrollo enla serie de Mnclaucin de las funciones e~',sen x, COS ¡c, In (1 + :.1:),Y (1.+ ;r;}m,
." • 28-~ {~para .t.p0"2855, y=e~, 2856. y=-e-:r:', al. y= %
1 para a;= 0_
§ 3. Series de potencias
2839. Mostrar la. validez ,d~ la igualdad1 2", ~ mxin-r' 'f .
1+= + ot+:z'l! + ... -v-¡::¡;:;m+ ... = i~% "
donoe '111.=2,,-1 y -1<x<1.2840. Mostrae que la. Cunoió,l 11=1- (x) def¡~ida Jlor \Ja serte-
:¡;+ .'Cz+-if + ... + {/l~n' + ... ,sát'l~facela reiufi6n Xl¡':='Y (z,:¡-1.) ..
S· 3.•,Serie.s de ppt6neias
[nteruo,lo de conuergencta
En loe Eljeréi~ios1.28,7S-2889hallar los intervalos de convergencia-dé series de',potenci~s. l';;¡....·, , " y. u ,'.
p~1&''''11.}b:+ i09~;'''¡'' . , , + 10"XR ;
2.879. x - ~+ + (_1,),RH,'::::' + .- ": -Ó»;. .!. ~\ ~', ,. j',, "-}:z_'Z ',-.1\ ~
2880. :c +'20:+ ... +M(i'ii=l + ...
2876. lím ( ~ _ o~..:.). ';t"~O:Z; ~
2860. y =cos2it. 286 t. ,y ={ se::¡¡ jiara ir ~ O.1 para x = O.
2862. y =(x - tg x), eose.2863. !I=11l(10+x). 286~. y';'.llln(1+a:) ..2865. y,""V i+:tZ. 28.66, y=Y'S-,:1.:3,,1 .:22867. y= u . 2868. y= f-'
l' J+:,;;3 '1 1-.,,21...l.%
2869. Desorroltar lo func.iÓ¡l !f = (j "':';)3 en el entorno del punto..z= ° en serio ~e T~YlOl:, Valiéll~,~8e do p.ste desarrollo, hnllar 11\SUUla de la sope 1 , "2 T ..• + 211-1+ ...
2870. Apltcando el desarrollo de IR Iuucién en SBtÜ'1 de Taylor,hallar el valor 'a&;
1) la séptima derívada do la. Iuncíón y= 1';;¡;2 para x= 0,
2) la ql.!inta derivada de ~11Juucíón ¡j =,z;~ ~"1 -1- x para x = O,3) lo décima derivada de la función y = xUex para x = 0,It) la curvatura do la Línea y = x Ly'(1+ X)4 - 11 en el origen
de coordenadas.En los Iljerclcios 2871-2877 calcular los límites, apHc¡lIHIQ el
-desarrollo de las funciones en' serlo de 'l'a~,Jol':
2871. Iím %,+lD(lf¡::¡:-;i-,d 2872.}' 2(tp;-s~n x)-;0;3,,-o p • ,.'....~ ,rs '2873 Ii In (1+r.+:2)+ln (1-:n+x2)
• ,,~ x (e:'<--t) •
2874. !~~[:c-:a:2ln(1++)]' 2875. ~~ (~ -ctg2X):
,:Cl!.p. !X. Serias
-"111 (.'C.Lo Y j +.t2)= r 1/", ~ y1+.t:~
e indicar el Intervalo de convergencia de. la serie obtenida.2891. Desarrollar la funci6n y=ln V!::: en sor¡a de Taylor
er¡ el entorno del punto :¡;=O pv,rtienllQ de .]¿I .1'o1/1ci60
1 ,./t+~ r d",11V 1-", = J 1-"'Z
oe iudícar el Intervalo de convergenqi'8 de la sElri~obtenida,
2892. Desarrollar In fuuc,i6n y "" 11\ [(~+ X)l+lCJ +4- ln (1 .._$)1-"1 en serie de Tnyloren el entorno del punto x =Oe indicar e.I íntervalo de convergencia de In serie obtenida.
2893. Desacrollnr la fünclén y = (1+ x) e-x ......(1 - x) e'.C enserie de Taylor en 01 entorno del pl,lnto x = Oe índtcar 'l1 intlll:ynlode convergencia de la !llll'ie obtenlda. Valiéndose del' dOS91'rOUO brillarla suma de la serie
l 1 "31+T!'+ ." + (2n+l)I +...
ni ~ (~rV21tlt.2887. x+4z2+ ... +(11$)"+ •..2888 ~ -,+!!!.! _,+ + Ln.{n:t1) _11+1 +• 2;¡;- a;¡;- .. . n+1 '" .
2889. 2x-t-(i-xr+ ... +[( n:lft]"+ .2890. Desarrcl lae la funq,ión y~lrl(x+V1 +x2) en serie de
Taylor en el enlomo del punto X =O partiendo de IR ralacíén
2881. 'l+x+, .. +nh:R+ ...~a82.1+2z?"'f'7 ... -, +2¡\-7l¡:·'''-''}'+'',i:,,·,~', ~
:z;3 .. ,,,,21\-1'2883. x_.. 3,¡¡i + ....+.( ..,..¡!t 1..(~n..;):,'),(:!iI'''_1)i'·+·28~. 1+. 3x+...+ (710-1) 3n~, ¿-,l'+ . __"885' % L .2"1.. '4-' .~ .TI+ 2·;J+ ' ,,+ n (,,+1)' .. ,
,~886:3: ';f ,(~)~4-;.. , \f (Il:t~+l~.¿~AnaliisJltlo lll.corrvergencie
en el extremo derecho d91 intervalo conviene tomar'en' cuen~~QU6_11alUactol'iriles dé ñúmeros g;rall'aes lllledeil ¡í' ~ipresa~{ls~'aproxirna-,dállie,ite por la fórmula do Stidlrtg: "
203§ S, Series .de póten6ias
Cálculo de valores 4pr(J~il1¡adoS de las funciones
28~l4,Calcular el valor aproximado de re tomando tres términos del desarrollo de la funcién t (.'t:) = il/C en S81'ie de Maclllurio, ycalcular el error.
2895. Calcular ¡d valor aproximado del sen H\O lomando trestérminos del dssarrolto de la función f (x) = sen 3;' en serlo de MáClaudo, Y' calcular el error.
2896. Calcular el valor apcoxünado de ~ =2V'1,25 tornandocuatro tér-mi;r¡oS"del desnrrcll« de la función t (x) = (1 + x)m enserie, de Maclanrín, y calcular el error,
En Ios ejorcicios 2R97-2904 calcular Ins expteslnnes que se darla continuncíón aplicandc la I'onlluJa de desarrollo de las f\Ul(l.Ípnese", sen x, cos z en see¡e de Maclaurin.
2897. ea con exac1.ftlld hasta ,0\001.2898, Ve: cOI1 exactitud hasta 0,001-2899. ~ C!)U exacsítud basta 0,0001.
.2900. ~con exnctitud hasta 0,0001.'2901. sen 1~ con exacti'tud hllst!l 0,0001-2902. cos 1.0 con exactitud hasta 0,001.2903. sen 10° con exactitud hasta 0.00001.2904. cos 101,con exactitud hasta Q,0001.En jos ejercicios 29G5'-29H, calcular }¡¡,S raíces que se dan a CQYI
tinuación con exactitud hasta 0,00-1r aplicando la Iórmula del desarrollo de la funeién ('1+ x)~ el! saríe dr;.Meclaurin.
2905. .y30. 290~. _y7D. 2901.' Y5mJ. 2908. ,Y1.015 ..2909._~. 2~10. P"129. 2911,~.En los ejercicios' 29j,2..J2914.-'llülc·u{at ')'3$ expresiones' dadas splf-
c.üJl4,~~"I(l!Úrl:(~~;~~J.r_des'¡¡,rrg)í~ope l!!Junoi6n Jn t:;'l)ri'serle deMaclaurín. " _- .?9i2, .In 3_ COn exactitud hasta O¡0001.
'~~f~.lie= I~\O"'co-qe~~ctitui ).\!lstl\ 0.00000'1.2914. Jg 5 con exactitud hesta 0,0001.
§ 4.Algunas aplicacionesde las series de Taylor
Gap, lX. Sel'ies
2~28. r '1~Jl9'
:tZ926. ( .w
~ Y'I-,z"
~2927. ) ''Í(1+x3' d.x.
Q
2 r V1+:r~-t d.929 • .1 ",2 ,It,Q ~,.
En los ejercicios 2930-29:34 calcular los valores aproximados delas integrales de:fiIlidas ,tomátHlo el número indicado de 11)5 t.ern¡inosdel desarrollo del integrando en serie; indicar el error.
~ iT T
2930' r OOS3:d (3 j' • ) 29"1 l' ",2,1_ (" H • ), • J ~.x .errlUnos. ..J. 1 e- """ " ...,r¡Dlno.~.~ oT
x2925; '~ 1:l.fJ;;R'" ,dx',
o
x
2924. r e-:<2 da;~
2923. J ~ dx.
Irüegracton. de laf [unciones
En los ejercicios 2920-2929 expresar Jos integrales. OIl formade series valiéndose del desarrollo de los 1ntegrandos en seríes; indicar los campos de ccnvergsncia de-Jas series obtenidas,
2920. J se:" d». 292\. ~ C~% iIa, 2922. J :'" dx;
Resolución. de 'eolUtdoites~~915,..S.e<l.dada ~a,oIl,cnact6'ñ'iit.yl~ 4·",~,Y';.1AIl1i'G;¡.~~0.~~t.m'6'todó
.de'cgeficientes ifidefiriidos hallar el désllfrollQ'dUi¡;Junéi6n fJ ~p.seriede rTaYlo;r en' potencías ;dé -z. I\e¡;ol"vülndo o) p~oblema' conviene hallar los -coeñcíentes.de la serie de T.aylor eíectuendc 111.deri.v(lci6n'sllce':iiva, 'i '",',_'<', _"" "'" . • ,'. ,
29i6. Sea dada ,la e,cuacj6n:~y== lñ (1 + xy - xy' ·Apl¡canoQfJ~m.~M90\r;tel1o~fi,e.i~nt~s,.iP.4\lliffid~s~haIlar"e}:dª~!l,llrol1~,~~_.l~funCl()¡)lVeó.'~rre ¡de"T~yl'o[' ~h;ilotl¡)';lCiásoe ;1;. 'Í{esolvi'endo' el prolJl4}Olaconviene hallar los o.oeJicieniés de, Ta serie M 'f,aylor efectuali'ao laderi'vacló'h, sucesiva. '" " " -'" "....
'E~ los ejerCicios 2917~29~9 resarv~i:las ecú'a6iones, res'pécto 8y (esto' es, hallar la expresión e~I}J'í'cH'ade y) rnedtante la 86J.'ledeTaylor dé dos manares. es decir, 8J>liC~Ddoel método de cooñcíontes,indefinidos,y efectuando In derivaci6W·sucesi¡va -,
29~7. y5 + Xli = 1 (hiJ.lJlldf9S términos dlll desarrollo).,2~18. 2 sen x + sen y = x",," ,y (hallan dos, términos del desa
rrol1oh_,29H1. el' - eIJ = xy (hallar tzes t~r4)\nos del. desarrof lo},
"2941. Desarecl lar la lunc!6n Y=~"~ .~e-"'d.¡; en serie do T.a.ylor
ode dos malleros, esto es, calculando directamente las derivadassucesivas, para :t=O, y multiplicando las series entre sí.
• . I
2942-. Culculnl' Ia int()g!~ ~ :r."eax.. ¡'_,.., o:t
29.43, Calcular l~ i.ntE:1l{rll!, f.esen~ rk co.l~o~actitud hasta 0,000'1.,.' oTt·'.:t11'f ~l
2944. Calcular la in.~~gral J YCOsXdx con exactitud basta 0,001.o
calcu lar 1i con '10 cifras exactas,
~ 4 t 1T = nrcl,g5' ~ 01'ctg 239'
t2933. j t; dx (6 términos).
0,1
i
2932. T './ ti.. (2- términos).n y j+~'Vila-
2984. } ,iIarctg x dx (2 térmtnos).o
En los éj~rcicioB 2935-2n38 calcular las integrales con exactitudh.llsta O,OQL .
0,2 0.5
935 \ e-X 2936 r .aretg X ~_ •.2 . J 7 dx. .' J .:t "'"0,1 O
. n, B . 'lOe $ t1:r.2937.. ) XIO 500 ;C dx: .2938. J 1+"" .
• O D
2939. Mostrar que en ol intervalo (-0,1; 0,1) la (uoción:<r zS •J e-I" d,t pe díferencta tia la función urctg x- 10 no más que enD0,0000001.
2940. Tomando un cuenta lo identidad
Cap. l!X. Sorio,200
D tversos problema«2945". Calcul¡¡.~ ,elj;~f.(3[\"J~if}~~aü~1;por:Ia ,l.~e!l V!t= ~ + 1, el ej&
de ordenadas y lA' recta ~:t<=:1'/2, ,'g9ftij'i~~iiC~lt~d,.lí~sta0,001.2946\1'r Calcular el. úrea del 6val'o ~~+ y4 = 1 con exactitud'
h!lstª 0,01. . ~(.)"',., ;...',~9411~Calcular Ja longit.ud' 'de i:t línea '2Sy' ,:, '4;1)6desdael pic.~
hasta.el punto de iht~rªecc;.i;ól}c9.~;Iij...paráb9~a .5y ,.. ..,'t~, con 'exactitudhas;tq¡ ,0,QtlÓ1. 1- '1~ u~ \.' !'!¡I.H <l"'.' .f1 :2:94~. C~lmilar la longitud djl una semionda de la sinusoídey = seo x coa exactlLlld hasta 0.,001. ,
2949. La figura 'l'j:q¡itada por la' -llnea y = IIrj:tg ':t, e}."eje. de abscísas -y la recta x = tl2 g.í~B,alred'Eujo-rdel ej6 de abscíses r Calcularel ,'o]1¡n\en del cuerpo de revolucién con ex.actitud' hasta 0,001.
.2950, L,a :f.igUfa)'¡!l):i.toda,ppr 1I!p¡l¡~~a8~0',;:-:t! ~ i, 4U + :c8 =0 ..la recta y 1= 112 ':1 el e)G de ordena.das, gira ¡¡lie<ledQ~del eje de ordenadas, Calcular el volumen del cuerpo de revolución coa exactitud;hasta 0';0'01': . , .
295j. Calcular con exactitud basta 0'\00'1 las cbordenadas delcenrro' do graveda-d dél arco de'la TtiÍp'érbola y'= 1/:&, limitado' porlos puntos cuyas .<lbsyis,l)s Son 'x, = iJ4, X~.T 1/2. .
2952. Cálculílt ,COT,lexactItud ~astq 0',0'1"J1IS c'oordena.ilas del cen'Lro de 'grave(la-a. «el trapeiJlo m,i,uUineo Hmitado 'por 111 línea y ==rh:;~las -rÍ)C~8'9:r.,= 1,5 'Y ;t = 2 y el eje de ah5ci~as.
'.. ,+. r§ 6. Aplica!)lonnsd,s las sarles de TlIylor
2953. Expresar el volumen s de) cono en Iuucién de su generntriz.2: y la altura y.
295~. Expresar el área S del:,trit\ngulel en función de sus tres ladosx. y. z.
2955. Formar la Labia, de los valores de lu Iuncíón Z = 2x -- 3y + i dando a las yariabie~ índependientes los \;ValQ~s desde Ohasta 5 COIl intervalo de una unidad.
2956. Formar la ta &111'die l'Oavalores de la funci6n z = lf$2 + y'dando a las vartables tndspendienres los valores desde Ohasta 1 conintervalo de 0.1. Caleular los valores de la fUllción con exactitud1)85ta 0.01.
2957. Hallar los valores de las funciones:
'1) _(arctl!(z+yl)1 _1+113 _I-Ifa.z- arctg("--yl para a: - 2 ,y- 2 '
2) Z"" e"flll (;C+v) para x = y =~;3) z=y"'-~+x¡l-l-I para x'=2. y=2; x=1. 11=2; $=2. y='1.2958. Sea' dada la Iuncíén
F(:r; y)"" <p(z)lj>(¡¡)-Ij)(:I')q¡(l/l •• lj) (zul ,~(.zJl)
Hallar F (q., 1/a). En particular, poner q> (u) = u9, 1jl (u) = Il' Ycalcular F (a, tia).
2959. S,!II dada la {unCión l' (x, y) = y" - .;.. /J;v. Si 3J e y cambian con la misma velocidad, ¿Wlé '1i.11'IcI6ncrece con más rapidez(para x = 3, y = 2): la que se óbhene de F siendo fija y y cambiandosólo z, el 11.1 que se obtiene para ~ fija (cambiando sólo y)?
§ t Funciones de varias vanables
Funciones de variasvariables.Cálculo diferencial
Capítulo X
Demostrada,2963. Probar <toela función z 6 F (x, y) = xg satísfnce la ecua
'ción diferenclol
F(az+bu., cy+dv)=o cwF (z., y)+bcP(u, y)+adF(z, v)+bdF(u, v)2964. Probar que la {unción a =o F (x, y).= In x In y saLisface
la ecusotén- diferenciél ':. ,.F (xy, uv) =F (x, u).-+.,F (z••v)·~F{g/u)+F (y, v)
(x, y, U, !I son _positivas).2965, Deñnír z como función expUcita de a; e y ateniéndose
a la· ecuación ~+~+;i=1- ¿Será éSta funo1ón:unÍvoclÍ? ..2966. Sea d'ado' la 'fUDc~6ncompuesta z == ¡~",'donde u.= x ++ y. 1) = :t - y. I:ralla.n el valor: de, lo funcién: 1) para, 4i :;: O.
y ~ 1; 2) para x = i.,y = 1; 3) paraz -= 2, y = 3; 4) para z = O,y = O; 5) p'a~t\ x =- 1, y = - 1. '
2961. z= U+V j u=wt, v:;ow-;~; w=Vx+y¡- f.:!;: 2 (:c-yf.l.IIf • ,
Exp:re~ar a dtrectamente, en, forma de la, función de :t; e 'yo, ¡:Es zune Iunoión raqlonal. de u y V, de IV y. t, de x e y?14-0170
~60, S08 .dada la íuncién" " y+~
q>(~. y, :)=yZ-.(ycoslil+¡¡.coslI)~+zI(-~;Las.varjali)()g y y z:gua'r~d~'iJo~;valores f).jos.de'Yd;Y'de Zo ~iepdn·yo """= azoo ¿Qu6 t:epreS8nta la;gtáfj,GIl de 'in fnnci6n 11"':' q> (x,. !Jo, .zo)?~¿Es'lli..fuh¿ioÍlúqt:{i.-rl;--z)'~4.) Iina'''Íu~cióólTacionill'~e y"hM ~).;2)llñ,~'func¡~n."'e'ntGre..\d¡Vx7'· . ,X . « : l. ,:.'" '., •• - ..: , f
~61"'. La función 'z = t (x, yff'que satl'sf,¡oe:.jdénii90me!ít.8 lo.relación \( ," '.J •'!' \1 'i -..- ~!~ "$""~(!:. ¡~•• ,.J
f "rnz, ,rnJ/.) = 7fl-"f (;, y~.pli~ncualtl~i~r>m .-.... '\ ~ ~.. "" , ¡ ---:01. V t •
es Ilamada función -homógéilea..:dé 'k-ésimo. 'orden. Mostrar que laIuncién, hODl9génea de k-ésimo orde.n z = I (x, y) siempre puede sel'representada en forma z = xhF ( '~ )
2962. El carácter ·~omogéneo-d41una 'f"ocí6n de cualquier númerode vartables ipde_Rend~entes p,uepe ser determtnado de manera análoga a Ia función de !_losvari¡ibl~s, :vo~ ejemplo, I (x, UI .::) es una función homogénea de'k.é~lmo orden si •
f (mJJ,4my, mz)= m~. f (.:f, y, z) para cualquier m,,Tatnb,ién tiene lugar la propiedad:
f(JJ,y,z)=:v~F.(?, 7)':'
209§ t: F.unciopes'11.0 'varias varlablo!
Dominio- de ..deflnicit¡Tl
297·5í~iEJ:.don1itl.io!lestó.;.ltfultá.po'p.oe :('1 paralelogram'o de') Indos". 1 1 •... -" .
.y•.=::: 0, !! ~,:;~I~Y;O::: '2 ;t:1"y,,=t< •.~.2; -;:-;1. ¡¡"1I ~rop~ep,!,\del,mismo seélimína. :J):tc ·es~él'abiñinio'·por·des¡gúsldades.
~G: 'fii ;ci:oniinio~l'ePreseiltll.~li%fjgúrn l~mit'ndnpor lás pnl'~holnsy :=:; ;t~ Y x = ye (incluyendo larvfróiiteras). Dar 'este':aotllinió 'PordJl&i_g.uf.ldades. .
2977: Escrí'bii, en :.forl!ls 'de desigualdadés, un 'd9minio 8bie.rtp-que- ~éJÚ'éMill~i.'\lfl,tTi¡ffgulo:1~q_uin~ter()'~~'dél.lio.p9 iguáles· a 1l·-,'éll·YOvértice se hal1'iil si'üaílo ·en··tcl"órigetide=cbdrdenadáá. lino 'lie~'Ii)~
§ 2. Propiedades más elementalesde las IDIIl0ioáés
2968. Sea dada la función compuesta ~= U-w+w"". donde1~=:J;+y, I)=x-'y, u:=:r.y. Expresar 11 directamente en forma dela [1,nclén de "X e y.
2969, u= (64-Tt,)B_'S'-1j': s= "·ie"'; '11"'" e(¡j~e'" I (O==:11I(:z;2'+.!l2+~.). <p=4In.(x+y+z}. Expresar 'u dírectamente enforma Qe la hmcíén de x, y y a, ¿És u una fll,\lci6n -racíonnl enterade ~-.y.,'I)I..de ú) y 'P., de x, 11, z?
2970. Presentar la función compuesta
z= (Z2+:ry+g2 )"" +xZ+rf::e2-.ry+;¡.
en forran do nnn «cai_hJ.llallde dependencias compuesta ele dos 051,1-bonos.
2971. 'Tnvestignr la grál'ic8. de 'la funoi6n z oc -} (;¡;i _ Ve) IIpl ¡cando el ~étodo do íntersecctonos. '¿Qu~ representen las Interseccio ...nss por los planos ¡¡; = const, y = co1\Sb, :>; g= const?
2972. lnvest.i!!sl' la gráfica de la IlIllción ¡; = XII aplicando elmétodo de intersecciones. ¿Que representan las íntersecciones porlos planos :r.= const, IJ = coust, z = const?
2973. Investigar la gráfica de la. función z ='l)t - z!l aptícnndoel método de Interssécionea.
2974. loves~ígllr la grMica de. la función
z3 = tU' + by~ (a> O, b > O)I'lTJlir~I)«" el método de intersecciones.
··aRp. 'X ·CBlnÜjQdiferencial
{.""
2987 z= __ 'f _ .r. __ '1_ 2988 11-1., . . V%Tli'¡O -¡1%~¡¡' l. • Z = arcsen -;-,..,
29.~9. z = lJ\Jl2Y,,," ·2990: z= V x.,....Yi/..9 ,zZ+V229. l. z = arcseu -2--+arcsec (%2+ rP).
1\ -2984. : -1~·(¡f-4x+8).
2986. z=11x+y:.¡..y;::t.. ../...z:l- 1122983. $= V 'l-7-i;2'
2'985. .! '1z= R'I. 2:Z._1/'"·
lad~ tl~.n~,la m"is~a}.dire~\Q!!,,,~e ~l se~iej~ positivo O:r: (f,!"1trián·gulo esta· situado, eñ' el pl'lm~rq cuadrante). ' " "
2978, El domínío .~slá,)iil!Hadq, pot'''\ll\ cílmdro circular iJlIin,itode radío ,R (eliminadas JaS1 fron\eras) 'cuyo' eje parslelo al"eje Ozpasa ppr el punto ,(4. b, e). par esle dominio mediante las de~igual.dad es. ~,'
2979., ES1;rlhir"j,erl formaf;aa desigualdades, 'el'· d()~i.nlo .,uni'i't!ldopót )ti eslera 'de".r~di.0R cutQ"cont.co ~c.,blJl1a e!! el punto ;(40" ,h, e)'(incluidas las fronteras). , ' ,
2980. Los vértices de UD f,ri'ánguj~l'ect6ngu19"se hallen sH,lIadosdentro del círculo d~ radio R, El IÍt~,S"dej triángulo es funci'ón desus c!l:tlltos !t' e 'y:.S =-9>·{x~.'Y)" ¿G'llál;':'e~el d'olÍli'n'i9 de, dtilini'cionde la función S = cp (:r, y)? •
2981. La esíera de radio R. lleva inscrita una pirámide de baserectangular cuyo vértíoe $& pro-yecto ortogonalmente en el punto deinterseccíón de las diagonales de Ilnbase. ,El vohnnen .v.4e la pirámide esIunoién de los le,dos x 9 y de ~U base,¿Sel·ií. este iunc'ipn ,u,'IÚ\vqéa?,.Presen-,tar su forma unulí,tictl, Hallar el domínío de de[iuicion "d'o 10 función,
2982. Una tabla cuadrada ofrecela forma de cuadrfcula cuñdruplo, teniendo dos' cnqa¡'O$ blancos 'y dosnegros, como 'lo muestra. 1(1lig. 57.Coda lino de 5US lados mide una unídad de lO,n,gHnd.Examinemos el rectángulo cuyos ,lodn!! s: e y son 'pe,rale·los a los de 1" tllhla y uno de los ánglllos coincide con el del cuadro negw.El atea de 'la parte negra dél rectán- Plg: ,57Ig'llo ,\;orá función de.:¡; e V. tCuA}.será ,SU''1uominío:'de deíinici6n? Presentar su forma analibica.
En 10$ ejercicios 2983-3002 hallar Jos dominios de.defin'icióode los' Jiunoiones que se 'dan 8 contínuación.
§ 2. Propfudadoe"máS, aiOlD¡jiíl~es de lu funciones ,2'i'f
t _+--1,seu,,,
Lfmite. Co';Ú'~,!Úlidde la f.unción•• I ~',
- ":t;;mlós ejercicios 3003-3008 calcular los lÍtnites de las funcionesque(s~)~ª'it~ continunci~n, esrtmandc q))O'las varíables independtantes,íielfd'~~i:de ma;¡era,arbitl'Í.rria, 11 sHs valores ,lfmitee.
~:'lí~ :2+r 300" H__ V~-l• I!':V\!'" ~ ~, <J .'l. Ulll i+ ',·,1 '''..0 r.;_.,z+g~+1-1 .,..0 '1l Y
;i~"sen(;i3--h) l . ~7° 1_009(:r:2+yZ)3005. x-o j2.+!lí.. 3Q06. :~ (%1+!íi)~1!2 .
l/-O t ,¡ u-o
30" 07'. .,- ""+11; , -~lím %4+iI' • 3008. 11m(.1.+ x2y2) x +v••x.o x-o1/.. 0' 1Í-O
s009.,M()~ti):arque 111 íuncién I'=':~~para z ......O,y-+-O, puedetendet Q cualquier límite (dependiendo de cémo tienden a Cat9! e 1I),,'piií;'ejemplQ:I. que:'IllU8stre~ -íales '~ll!jaeíolles ~e '%.8Y paraque: a~·'lím;u=;j_~-b)'llIm;u=~.'t' j . - ".-
3010. Hallar los pun_tos'jl,td'8··.~d,isconttnuidad.de la ·ru!,ci6p,l!= :et!'-r. ¡ ¿~é~ :qar.tacio"Q~~sufre !a '_func!ó~ !lo, ~l enlXtrnlJ delpunto d~ d'iIlCQD\inuidadr
3O\t~'_'~a'l~~f,Ios ,pu~to.~ de discontin~~dad de la" t4,~.cionz= aoni~+SJlIl~ny
30i~ lEn-'qu~ parte es' !diScontinua'ta. función z'==-k?~ ,~ \ .. ~ Z-!I
3013. llin -q~é'.,..J'rte eáY illgcontinulI la función '·Z='.~:,:+,.., • ~eM'n%
> -212
. i,- Lineas y superficie$ de niuel,.•~ t
3016. Sea dada la función .: = t (x, y) = rS+ 1/1' Construir laslíneas de nivel deesta funci6n para z = 1, 2, 3, 4.
3017. La. ~nl}i6n z = I (x, y) está dada fe la ~8.Dera siguiente:en el punto P (:xi, y) su valor es igual allíhgul.o con que Sil ve desdeeste punto UDsegmento A 8 dap.QllP¡el plano O~y. Hallar las I;n'lllsde nivel de la 'funci6,n f (:r, y).
En los ejeroicios 3018-3021 trazar las lineas de nivel de lasfuncl'ones qú~~e~d'ariIt continnaciór¡;dnndo a' e los valores "djl8de -5ha9ta ':"""5 con Iñtervalo igual 8' una unidad. .
S018. Z=~Y.' lW19. ':=.,1;11+%.3020.z=~·(zS+1). 3021~z= :ey:-1 .
- ~ %..
3022. Construir las ,:t~e,as.de ~nh'eL rde la Junclén z =; (:& +. . a+ y~). - 2 (~8- yl) dando u z los valores desda -1 hasta z con
.iníervñlo ¡guaI a r.3023. ConStruir' las 'lineis 'd& ñive'} de la runci6n t dádl'l 'iinplí
t;~;~~~t~ Jpo-rt,lB: ·MU}lCi.~"'(.:}J~11~·T:$).~+Y!l '7(irl(~-+~~*112)dando a z los valores\Jldesde.,..;.4 IhasUi¡;,'~con inter.valo igu8l fJ 1_
8024. Con~.~ruif/l~!!1in~tlsdé'J.lj~),lde ;¡a,fuoción.1i dll~1I impiJciLamentepor hvecuá(l~óW;/)~t= f.l",,-(~,¡.l. ,t)"dando a~zlos ~810re&desde -3 hasta 3 con íntsrvalo igual a 1.
802&. Hallar las Iíneae de nivel de Iu [unción; dada implícttamente por Ia ecuacíén z + x In z + y = O.
'/(0,0)=0.
1(0,0)=0.
I(Q, O) =0,;:(0., 0)'=o.
que median en;tr-e el punto mencronado y dos puntos (lados: A (;Z;~,y" %.), B (~, Yf' &3)' Iudícar 18lq;up~rfieies,d~ n¡vel"de la IunclénI (:.t, y, .1),
3028. Hallar 105 superficies de nivel de lo funcién
lt=ln 1+,y",t+1I2+2" ,1-yz3+v2+.:í
3029 Ha'lla '1 j" d ' 1 d l' f' ' , ;2+v.2.. : ' r as, super retes ,e mve e' a un~19,!,l'r\~li" !,\',--¡ "'j!¡;
~Q30._~aUItf }as ~up~rficie~};~~t~V~d~~18~clá~_1) U;=52U3~--"" 2) u=tg(r_+!i~,~,2%~), ,'." __ ,3031. La fig: 58 mue!ttra "7,1'5,•bííea's "'efe -ni,ver' dé'(\la tuDé'¡6n
z=I\x, l/Y. Constr\lir 'aa"gbiñ"c~I!"M'la:¡funci6n';:1) ~-'=,t(;C;,O);. .,2), ~9:1(f~-4);,>, > ~.)".z\":,,.f{(~~rl.l);"'4) :-=,1,,( - 5(Y,);l1.J 5), ;'=J (~,,~~);,6)f ~~t,(',c,,~)r
Fia. 58
3926, E~ el espacto víene ,PtldR ,el punto A., L? dis~an~!¡L quemedia entre el punto voriable M y er punto A es fUílCió.n de tes coordenadas del pllOto /lifi, H¡¡jlal' las supoeñcies-de -ni,valíde esta fúociónlos cuajes correspondan n lll~ di~tall,!I~1I5iguale/¡ a 1, 2, 3, 4,
Sj)27. LlI función u "'"f (i, Y;'i) es¡"ádada. d'a 'la-manera sig'uiehte:en el punto P (x, !JI '.1) su valor es igualo Ja suma de las distaucins
'1'214.
3046. z= xv.
3044. z -= tlrctg !...11
3039. :=.!!..+.!!..11 Il
23+¡¡3z= %2+112'
z=.~l/Y+ Vi .30~O.
3042.304l. z= (5x2y_y3+7)3"
30~S. z= In (x+ 'V!Cz+-II~).3()45. z·,.. __ 1>_.
nrctg¿
309'2. El volumen d'é gas 11 os {-¡u¡(:Í'órlde su tempe~Úlra y pi'éS'lón,:v '""f (p, 1'). El coqfi~feute·.m:e;4.iodo ] a" ,~¡tP~l1S.~9i.!1'r.O:eJ;g~&;..il lapresi6n constante, y ,.~l.cam.~i~.Ae,Jatempol'l.Íturn desde 1!" I,as,ta Tese traduce por la eipre~¡'6íl'" ~~'_uIT )' ¿Qué'-es '1'0:que podría~los
Vi 2- 1 4...J •
denominar el coeficiente de expansión, a la PJ1i5).~nconstante y 11 latemperatura dada To? .,
3033. La temperatura en un punto A dado d'iI l¡(~lJilrra 0% eS [unción de la. abscisa' x de] pn:nto'A y el tiempo t: 6' "'"f (x, t)'. ¿Cuálseria la interpretación física de las dorivadoS' parciales ~ l' :?
3034. El úrea S de1 rectángulq 50 expresa por la.rÓ¡¡mula S = bh,donde b es la_b34B y k •..la altura. T-rállQr ~, * y d~~,íuterpretaciéngeomáruca de los res'ul~ados oh~enJdos.
3035, Sean dadas dos funcíqnes: u= 'Vaz':....:¡;z (4 es constante)
V-- d~ IJ¡'Y z= y~_'3:z. Hallar d:zi y -¡¡;. OOmplU:Rt los resultados.
En Los ejercicios 3036-3084 hallar r~S.derivadas parciales dolas {unciones que se dan a continuaci6n respecto a cada una de lasvariables mdependíeates (:t, y, =\ u, v, t, q> Y ,¡; soq 'V.I~riable!»;
3036. Z"';¡;-y. ~3.037.'/.=ry-!fx.3038. e ....axe-'+bt (o, b son constnnte;)~.
Derivadas 'parciales
§'. ~. -iDerixªqas ,y.::dijérepyi~e..sde"las funciones de farias'varüfules -
=
3057,. z='Xy,1n (x+y).3059. U-= ¡¡iyz:a061. u= Yr'x""'z-+-y"""2"';':¡_""-"ZZ.'30'62. u== i"+UZZ+3yx- x +z3063,.. UJ,=~yz+ll~ +~U:l\+IJ:[,!/..
30M,. lb;:: ¡¡~¡i*-lIt:¡,.t),. 3065. lt'=sen (;t~+yl+ti).'306.6. q,=.ln,(x.+y+z).
~'3067. u::;x7.,. 3068. !!.'=x'lI·'.,3069. ni,!i)'-;;"x+y-""'Vx'l'''''YZ en el punto (3,4).3070. z = In (ll±t) en'er 'punto (1,.~y~ _ '3071. ~=(ú+W,,,fl). t 'SQ72. ~=(t+lo~~'~)~,.3073. z,=xyéSeflmcv. - r ,
30 J. (2 Z) i~ Y7+ii27,.,. z? x,-I¡,.y , .1' ,,", ".J; '. 'f+I',:i;2'H,2
3015, k","árctgtV~. • ,3016. lP=2111jI-:;~.V ',+" "'11
3077.. z=lnl;~+yxa+'v~~(zy~+y.:r.'l.)i]. •~ e'o' I~~'t. . +:.'3~78.,z"",y r,':.';. (.;~"r-t~~ren z~¡¡,
.. y'_ - ¡"·'l. '"'f,.j"arcl:g :-"!';1. . . '
3079: z~llictg"'(Iu:ct'/¡o JLt;¡' ~ .._.::h .:z: l' "areig".:l!:("-_' ":1 2~ ,v z. . . arot~>~+·.!..,+ "'_ u/,: ..: . er~.. Iti~~.:. '..~ .~\.... t~!,
3080.' u' :i:;,,(:2~'~~+'I!)a' , n. t?081. r,¿ d>'Ár~~~~Jt' ", . 'z,' '(~d;V'iil!+IIl1+:)!
3082. u=(sen,x)V . 3083. u=ln ,F ..-, j .....~;~~.";';;'.;¡- .• ' • 1+ V ,:~+yz+!a."
3984: ;;'Z;;~iiii¡2t;+'závt:::~ZlI)+lncQ?(xi~¡t~"z21l':xfp.v)~
3058. i=x'rlll.30'60. u=xy +yz +zx.
3(156. z=(f+xy)lI_
3052.$,= In (z+ In y).
3054. z= sen~cos JL.JI :z:
'",
S051. Z='6 - V.
30-3 . t II+W::t • U = .are g;;::¡ji.1!
3055.z=Hr·
3049. z=al'cséli l(~,. ~'3050. z=ln,tg.!..1(z2,:!-1I'1.' JI,
2"l6
Di,fere.f1,ciales .. 9áh;u{PS, aprp;rimados
I 'En" los ,ejerc~cJos 3094-'11097 -hallar [liS I.l'iferenei¡¡les' Pllrc'i<llt)'s'de las funciones que se dan a continuacl6n, respecto 'a ;e;ád~"ünade'1'I.\a'varill.lHeS indepen.l.li'eRte$. ,. '
'3094. z = xyB _'3;t2Y%'T'.2y4.
3~95.,;.=cV~+y2.'3096. z= :r;t.:::g2'
3097. tt,b rri (XS+2yil_'"'.z3).3098. z=v X+y2. Hap,a~ ~~;¡ <para :t='2, y,=5, 6.y=O,OL3099. $=Y In xy. HaiiÜ·:·d~i\para_.f=c1; y= 1,2, lI.x= 0,016_
• A¡:iltcac.ton6$ a los cálculos3110. Rallar el valor cíe la diferenclal totaJ de Jo función z c;o
=:r; +. y,_y~3 -+= y~ par(l. !ti = 3, y = 4, Ax = O,1r Ay = 0,2,3tH. Hallar el valor de-la d.ifereJ1ciol .tolínl de,la función z' '=, i?"
para x = 1, Y = '1, Ax = 0.15, óy =; 0,4.., '31't2, ~all'lIr ef valo!,' de .11 di'{erencíol tbl:al d'o la funoién'
z= a"'Yz para ':1;,=2', y""'1, 'Ax=O,Oi, Ay >=0,03,.:r: -y31'13. Caiculal' aproxímadamente- la 'Val'i'aciou de la Inncíén
z= =.::::! al va.riar ¡r destl,a ft,l =2 hasta,:Cz ~'~,~ e y a~sde Y1.= 4hasta Ya= 3,:>.,
3114. Calcular aproximadamente In (V1.03+VO:98-1),3.i 15. Calcular' aproximadamente 1,042,020.3116. Hallar-la l'ongitud del' segmento de la recta :t = 2, y = 3
!(oIrAPren~Id<lle:Q~l';~1!\:'_~l-pe:r;!i9!ejZ ';= ,.'t~ fo',Y'f Y. ~s!l::,p.lano ~g~nte-e~ el" ]luilt;O' (~, 'l~..,2), , i~<i ..' '. e ' :r, .. , - . ". ,;' ,
31t7, J¡]l cuerpo ha si_~(j,pesado en ,~~,:!l.i:reL(~;1C4':e,!, g,f),<y.;filnl:~~ague' (1'¡8.± 'OJ2 .gf). Hallar él PéS(!~_~~pecíflcl);,:de1!<uetpO'e,Jnfl:,ical'.el 'errér .del cálciilo, ,,' ,'. - "
-3118.El raa!!) de,la hase dei -cono- mide 1.0;2'~:Q'1cm, 'lil9"g€meTatrj~ mide 44,6 ,± Q,1 cm, Aullar' el volumen 'del cono e in!Uc~~ el~nor 'del cálculo , ' .' .. ' - -6 "'.
. 3119. Para oa!~ular el, área S de~ t!;i,B,JW.l!lo p,or s,111a.qo_'~<l\y~losángul<?s B! e se usa la Iórmula
S - 1 a 5Il¡!'.8 sen C..1.':;-:-,2~.!',8en(:B-¡".C)'
3104. z= arcsen ..::.., 'JI
3106, z=~tctg."'+!I ,l-.:r:y3108. ,Z =1I1'ctg (;¡;g) , 3109, u =;¡;li~.
:t+'!lSi03. z=.-'.,:JI-'V
3105. ~=imn(xy) ,
, ~-l-y23t07. z=",z_lI2'
3100. u=p- ~ +l(p+(1+r, ~u.r d)!u pata. p=1 •• q=3,
.r=5, ~p=O,OLEn l!?s ej(ltcici\)~~iOt-:;¡~09 hallnr 13s diferenciales totales de
las fuMfones que se dan a· conriuuacíén. '3iOt. z=ryl-3i:tyá+x*1Il" 31i02. z=j In-(ar~+y:ry
::l18
FI,f/llfi1611 compuesta
:-J12". ij=e",-ZlI, donde x=seI.it, y=t3, ~~=?
312.5. U=.z2+y2+zy·, z=seot, v=et, ~ =1
3126. ~=arosen(z-y), z=3t. y.~4t3; : =1
§ 4, Derivación de ras funciones
8123. La fig. 59 muestre el arco AB de una círcuníorencia,Expresar el error al calcular el radio T 'de dicho arcó tomañdo en consideración la cuerda ~s y la fl~ch!l P 1)01:.los GuoréS d.sJ 'dp. Calculatdi" para '28 = 19,45 cm ± 0,5' mm p = 3,62 cm ± t>;3 mm.
Pig. 59
¡ialll!t:,el eUOI .re.lativo 6s Rafa calcular S si 195 errores relatlvos al, calculilr los.'elemen.tos ineJi¿iOlUfdQs -son {lo. 6B. '60, I:éspec~~va,me'nte." ,3"20. Un lado del triángulo mide 2,4 m y aumenta con la veloeidl!~ 4e 'lÓ ·cr;01p;-.·Él se~un~olfrÚo Ji,lide'1 ,,5' irl"y .dJ~niinu'Ytl' COI) Javelociaad de ~ CIJ)/s. El 'ángulo iQrmado por estós dos lados mida60" y aumsnrá coz:¡!la':'V~!.oc¡aad.dé 2~.:al,seg,uw'fo~¿CÓ1DO:~·;vIit[ae~árep. de! triángulo 'Y con qué véloeídad? ' . .
3121. Los radios de las bases de un-tconé truneado- midelil;W == 30 cm, r = 20 cml la a)tü'ra /1; S: 40 cm. ¿Cómo varlarís el volumeo del CODO si ~um:~táfeln~S .~ él! 3·x;un,,~, en 4 mm, "h,.e,u .~ uu.n?
3122, Mostrar- que para calcular el pertcdo T de la osoilacíéndel péndulo, deter~nad~ por lad6:rmula
T=nV+(siendo l su longitud y g la aceleración. de. la.gro:'Iedlld') el error relativo es igual a la semtsutna de los errores rclaUvos cometidos al calcular los valores de l y g (todos los errores son supuestos bastantepequeños).
2i9
3137. Mostrar que la función z=arcig ¡, donde x=u+v,f 1 1 ,', {iz (li: u-vY=u-lJ, satis ace !l re ación ,84'+QV'=u1.+u'l:'
3188. Mostrar que la Iuncíón z=q>(XZ+y2)" donde q¡(u) esuna Iuncíén derivable, sfltisfa~ la relación y :: -z ;: =0.
, ' " 8u ..3139. ',If¡ =.8eJ}.x+" _(~n.:y-sen,x)i mos~rar- qu~, ~ ()O!!'l!'+Bu ", ;., \10'" ':',+ '1 + \.+ ox e~~.y=_s:r~~3:CQ!HI.·!i?al(¡Jlie~ que sell,1~fup~~~n,derívablq¡~,
3·t'/.0 y 1 ih: 4 Q:, }"'i • Z =~); mostrar que -"r .¡. - ";¡-=-;:¡- cua quiera, 1,,,, -y, ., ,vX y .'!1I 'v-
qúe ~~~ú~¿1tt~cJ~~~\!JJ~v~;et~\~.l~'H'>'j.';':"iO,f, º . '3141, MOstrar ,que la 'funclón 'dellivable, hómogénc;¡a de orden
'ceró.z'"" F ( f) «téMe él ejercicio;¡ 296'1,) '.sa-ti~face la :relaciónOt' (}S' "~ or+,y '8y :rO. ,e, ,.', : ,;" " .. ~
'31:~.~~osirár ,~crU~:~~l~\>fun~i~h¡J~0m.,0~?~ell~,~~'e ~~:!s~~¿?~denu=$lF( -;,¡ ~). dÓI~'~'e'F es una Iunoién 'del'1.'váble, satiSface laT~lación x :~ +/*::\i;Z:::'=kU, '" <" ll,·,tJí ,- -. "X:t ...
~=?OJl
.:!:_ - ?8y -,
, . ~,+113 8.3135. z= (x2+ y2) e '%1/; 8:" =?
~, (Ix3136. z = t(~2_y2, e--):' ÍJz=?
1 •• ª~27,. z=z.'l:y-y2:x, donde x-=ucos.v, y=U'senv; :~ =1 ::'=1u 3 2 8,~8,.~8128, z.=r.x2jpy, x=-;;, y= u- v; ¡¡;z=.s, a;=r
3129. u=ln (~"+eV); :: ~?' HaUar :: sI .y.=;¡;S.~
31·30. z=arctg~XY)'i blJ!lIau' ~ si y=c". I., , f'
'3' . '/1;, 'd d 'í~l d~ 9, 31 1. u=aresJ!Il.,¡" QU e z =" x-+ 1; 4 --., . 1 «r: 'ra '3132. z=tg(3t+2,xZ-1I), x=¡. y=v t; (jj'=?
313.'3. u ~:2~~%)' y=ase.n.:i:, Z=COSX;. ~ =7'3134. z= xy.ªrctg (zy+.",+ 11); liz=?
"'+11,
~dap,X, 'Cál_culo difei'ép.eiai.220
d% dy4+Zbz+c%:l=a+2by+cyZ'
3161. ",2 + 1/2 +~=1' !!.=? .!:..=?aZ b3 C. I íJ% BV
S160. Demostrar que de a + b (z + y) + cxy = m,(a: - y) ,sededuce:
31·5'2. arotg :.±1!_~= O.(1 (1
3154.' ye'·+ev-=O.3i53. y:r.'J.= eV•
3155. y"'=z.v.'3t56. F (x, y) = F (y, x). Mostrar, que la. derivada de y respecto
a x puede ir expresada mediante una fracción cuyo numerador seobtiene del denominador permutandó lBS letras y 'i x.
3157. xl + yt _ 4z - 10y + 4 = O. Hallar ~ para :z: = 6,y = 2 y x = 6, !I = 8. Dar interpretaeíón geom.étrica de los resultados obtenidos. e3158. x4y + xy' - a,:r;ly' = a~. Ballar tt! para x = y = 11.
3J59. Demostrar que de :¡;Sy' + :r:' + y' - 1 = O se deduce:
~+___,!L=O.V1-.z:· V1-y4
3146. x~yZ-:¡;4-y4=a'.3~4& (zt+yz)2.I_a2(:¡;2_y2)=O.- 2 2 :!'
3l50';' x3+y3'= a3.3t4.9.scn(xy)-eXII-.x2y=O.
315t. xy-ln y,=a.
nes dadas ímplfcitamente.3145. ry-y3T=a4.3t47. xell+ye':-e"'v= O.
Funciones dadas impUciia y paramétriccrnente- .~ J ., ( •. ' tI .._ ~- I
El) Jos ejercicios :i145-3f55 hallar- la derivada d! de las funcio-
314:t. Comprobar-s la proposición ~d,ol ojer6icio 3'162 para 111. -' '- :2~T"i-yt -...... - ,~- ........función u' =~¡~,.sen.--:;r-.
:¡; ""3144. Sea"dada la f~'nció~ d6riv.~)¡le f (:c/"y) .• Dillllostrar;'qlle si
sustituimos 1:15 variables z, y por laf!,~funciones lineales hó~og~neasde 'Xi, y, la función obt'onidll II '(X,>rhlstar~untdg ,GOn' la",funcHSndadl\ por la relacíón .- •• , 'a,' .!"
I '01 et ~-1JF ';1 oF I~'x-az+Y 011=Xw+} W·
~2j§ 4. Derivaci6n~d~_lBS'" funciones
( ou .!!!!.._,pu,~) (8z Iv _ 8% íJ.J/ ) =':1 .0% oy ay íJ.i' 8u 1111 íJlI 'ou '
3167. Hallar la diferencínl total de la fuución a, deñnídapor IRacuacién 0053,% + cos2y+ cos': = 1.
3i68. La función Z vielte dada paramétrícamente: Ji ,.., U + 11.Y = Il - V, Z = uv. Expresar z como Inncién explicita do x 9 g.
3169. :Jj = u + V, Y =u$,,'¡' ¡;2, • = 1.1.8+ v8• Expresar z comoflJoción explicita de a: e y.
3t70. x "" ,u cos u, ii = lJ.'sen v, z "" ku. Expresar z como lunc.i'ónexplicita de x e y.
En los ejercioios 31,7.1-31.75expresar dz,a través de z, y, s, dxy dy de las funciones' dad:¡s en fQrm,o parllmáLrica.
u2+vlI ' t ÍI~-~3f7t. x=-;¡-, Y=-' -2-,¡; ... UIJ.
3172. x=YCi(senu+cosv), y= Yo(oosu-senv), z= 1+.:t'sen (u.-v).
3t7:J. x=I,+V, y=u-v. l<=u2¡¡2., ,,1 '3114t x=,!f'cosp, y~u~nv, z,=u~.! ••" "'\( '.,
3115. X=VCOSI¿-U 'Cosu+sen I'/', y = v'sen u-usenu,-cos u,Z = (U_V)2', ',,' :,:::" ,_ r,. ";.,.-f' ,
3t76. x"'i'liueosv, y.=euse!,'v, .z=U!!. EXpl'6S1\f dz medtanta I¿.~tj¡, da;~y,dy. ., ~ (l1.,' ,'1 "r,' •• ':J , ,l' I ' ;" ap1. Los relaciones u = f (i, y), v = F (m, y), donde t y<:F''So'ri'funciones dertvables do ;i; e "11', daterminarnz é 'y como.ftmciones deri-vables !Ie u Y v. nem~~trar, ,qQ.a. - '~-' _.,;_
3166 . .P (x, y, z)=O. Demostrar que
3 11."- J O !J~ =? 1.;.=?...... e -:I)g1.= ; fJ:¡; 111/
3165. Mostrar que cualquiera que !len la función derivable !P.da In relacíón q¡ (ex - 4~, ey - b~) = O se deduce:
a~+b lJ: -c.{I:!; íJu
Cap",x.. 'C6lculb d
!I' 8': lP:3184. z=l\rctg -;,-' Mostrar que 8y~i)x.-: ilz~y'Z.·
En los ejeroic;os 3185 - 3192 hallar ;;, 8~2~ Y :~ de lASfunciones que se dRn ;t contíuuactén.
3185. Z=íV(X2+y2)3.~· 31~~.z=ln(x+V:rz+y2).;z;.LII· ,
3187. Z=lIfctg 1,-ZV: 3188. z=sen2(a.l:+by)., ,
IJ u' tfl.s tfI..z=% . Mostrar que o;q¡¡= 8r¡8z .
ifl· tfI.~z=e"(cosy+xseny). Mostrar que a.:;!I ~~.3182.
3183.
§ 5. Derivación sucesiva, (J~t a2:
318t. x==~~+:ry~-5~·!i'+!I&.l\'fosir'ar que TrQV= 8!JiJJ: •
3178. u y v son funciones ,dé.:!;"y, s que s8tisfaceI\.la~ relacíonesUlJ = 3x - 2y + 3, r)l = x' + y~+ z~.Mostr3r~lque t
011- bu Iiu Ox IIz +.y~IIV +z 8: = .
3179, Sean y=f(:c, t), '-~'(:f.y, t)=O. Comptoliar que, [JI. 8'F tJ{ 8Fay Tr:7t-818z
dz ~ .:lJ/. IIf . ,'8F •'{it 8g +a¡
3180. SeMl f ({ti, y, z) =)Oe- ,COD\p~obarqueal 8F ap 11/
1111 ~T.-Tr:T:72= Of i}F fi¡t DI'
Tu iJ: -8iiT:
2,23 ~
¡p$ 03: I ~ )2""'0azi BII'! - \, 8%.Bv . •. (flu 8'"3200, u =e"'(xcosy-ysen.y). Mosbrar quo 87+ OyZ=D.·
f " 0211 {)Zu, O3201. u= InV Ití+yf; mostrar que 8ií+ VII?= .
'1 ' • ij2u I)Zu a'tu3202. u ¡ mostrar que -o z +az+"'P'=O.
V.2:2+lIz+s'! %!I'-
3203. r=V.r.+yl+ZZ;. mostrar que ,"¡¡2r íP-r IPr 2 íJ2(In r) + íJ2(In r) +íJ1(ln r) =..!..8%iI+ :q¡¡r+ il1-,2=r ' 8:r;z 8111 ·lJ.~ ,2 •
3204. ¿ Para q\lé valon de la, coastante r.¡ la función v=x'+iflv 821)+a:r.ya satisface la ecuacíén iJ:c.Z+ay2 =O?
11 0'4; 02:3205. z·· 2 Z Z ; mostrar que - =aZ ....-u••y -4 % íJz2" •'t t d '
3206. v= --+--+--; mostrar que::-JI y-o :-g
¡po .J.. ¡PI) +~ + 2 (...!!::!_+~ +.-.!:'!._) =O8.2:2 'íJllz {},2 V:< 1Jy 8% 8: iJ; lJ% •
3207 .. z=!(fl), y), s";¡;+U,.11=x-y. Comprobar queai: •qi,. ai:&'2-TI=4 o...... •"u ~y.,
3208. v=:tln(~+r)~r; :dondé r2=.:r'2+yll. Mostrar que!:!'.'4! ,#-v -:...._1_'U%2 éI!!~-:r;+r' It,
• ';!_ 11 ' d7-3~09. 'Hallar la expresión..para_ .~a segunda d~r\vllda .d7:~-~e la
l :.-" ,,{. , .'función y dada -implíoitamente por '111 ecuación j t», y) = O.
. . fJ2)j =' fJ~II\' ...3210. y=q>(x-at)+\jJ(x+at). Mostrar que 8'12 =a%"íJ:r2 cuáles-
quiera que sean las funciones :-cp :y 'l> derivh:bleli' doS veces.' ,.
3i98. v~~"'y"''/,'Dl
3199. lI=ln(e"+eV)¡
_!::_- ?OroyZ - •
lJ3w _'Jo:c.lJll (J: -,
a6¡¡O%.~y88i'¿=1
mostrar qua ;; + ;; =1 Y que
3196. % = sen %[/;
Cap. X. C.álculodiferencial:224
15-011ti
{l217. tt=e%lI=. Mosll'UI' qué(}3u /Jau iJu
-8 ' • =.xIJ ~/J +2X--Q+ 11.x vI/u: "Ix y :r.
3218. 11,=ln rZ_y~. MosUar queJ:!!
fJ3u íJ'u OSu oSu (l 1)/J.r;s+a:D201l- a:r.8yZ-lJy3 =2, ys---¡s .
En los cjercíctos 3ZÚl-3224 bullar las diforencíales de segundo.orden de las Iuncioues que se dan a C,QIl.tiíll,1.ación.
8219. z=!ty2-X2!J., 3220.z=ln(x-y).13221. z=2t:t2+yg). 3222. z=xsen2y,
3223. 'Z'=e~lI. 3224. l~,p.:r;!J%.
3225. t::;o¡¡en ,(2:1:+y). HRUar ah en las puntos ~O.")i(-~,~).
3215,
iJ2,¡ a2 a ( aU)8%2 = f . ay y'l 'ol! .
11i,=:z[Ip(j;-y) +'IjJ,(x+y)J. Mostrar que
..!._ (X2!:!') =~ i)Zuax '0% 8i/2 '
3216. Ti.= xe.lI+yex.. Mostrar quecPu {¡3,. éf3!J.. 03,.~6Y3=,1; 8x ClIP +1' íJ%21J1I •
321.1. ¡¿= cp (;z;) +1I>'?V),rI-'(i - y) ;~«V)lCo~p~óliar~¡¡Ue( , ) gzu, 81/.:r;~J! ~; ay' '=;-¡g
«(ji y cp ~~n las .nu)éiones a'e1:j;ya,blésdos 've~OS).-r-: , " • - t, '1 uZO- i' q; .-?212. ~=Y<P($2_Y:¡) .Comprobar que -;aI+"j¡-oÍ! ~~' (,Ip es
la nml;iÓn de¡iv!lble),.3213. r=xq¡(;z;+ly~+y\P (;i,+ y},;,'·Mo.strar que,
fflr 2' 82t ''''_ tP.r ,(;) ,fJ:r.2• - '1J;Z¡-8~'f wi··",·
(Ql y 'IJ¡ son fonoiones derívables dos veces).
3214. u= :!_Iq¡,(a;t+y)+'Ijl(a.x-y)]. .Mostrar que!I
!/'25
das 'pol~l'cs p, <¡l ••
1 8.3238. La fu!1ción z depende' de X, y. Bu a expresión Yo;--:t~ efectuar el cambio de los variabfes in'dependIentes' conayuc.li\. de Ias ·fórmulas :&='uoo5:1I, y,='l.tseall.
a 13S' coordena--'y'3237. Transformar-la e~pre'l!i6n k=-~"""'3;-
O+yI2)Z
las fórmulas
ily_",,+Vd%-;=Y
a la)!,coordenadas- Jl.olnres que' están relacionadas conepctesianRJ; ;¡; = p cos ql, y = p sen «1.
poniendo re= sen t..323.3. 'l~ransfol'mal'la expresión dilerencíal !fr + JI tomaodo y
como variable índependlante y x. COOl.O su flln~i6n.3234. Transformar la expresión y'y" - 3y"~ tomando y como
variable independiente.32.%. Trausíormar la expresión yy. - 2 (y2 + !f'Z) a la nueva
función V, poniendo y = .:!. .u3236. Transformar la ecuación
poniendo x = e:.3232. Transforma!." la expresión düereTICial
IPII ay ,(1-X2)--¡¡;if-X -¡¡;¡-ray,
poniendo x = 1ft.3231. Transformar la expresión diferencial
;iJy. - 4xy' + JI,
Cambio de variables
3230. Transformar la expresión diferencial
• ffl..!I +2 3 dll +.1: -¡;¡: X;¡; Y I
3226. u.=o ~n.(;t'+11+s)i d2u - ?¡¡;2 1/2 t2
32.27. -;;i'+ bZ +-cr-=1; tP..=?3228. zo-3:z:yz=a'; d2z=?3229. 3:r.2y~+ 2'1h;y - 2;:$3 + 4zy" - 4 =- U. Hallar d't, en el
punto (2, '1, 2).
Cap. X.: C~oulo -,diIe,renc;.ia]2?6
coordenadas polares.
3240. T.raosformar la expresión =~+~ +1."Z a' las éoordenadas p'a!~res constderéndcrque- -Z='~ (p). depende solamente de p yno depende de «p.
32'''1 En Ia asnresf iflr 2' Ifll=. + u2a'- bí 1 - blt, 'n,!!' expresron ¡lxZ T' iJ:r.l)y o;r' eam uu: as-,vana es:l: e '11 'llor las variables u y V, Y ,10.' fllDci,ón s, por la' vaclable ¡o,-oonalderaudo que 'BSUlS: variables- están unidas por las relacíones
3239. Transformar _e'l operador de Laplncc !:!;_..t- /PU a lasiJz2 I iJII2
:121§ 5. Deri""ci9D suc~vo
F6rmula de Taylor
3242. 1(:&, Y)=X'+2y3_xy; desarro lar la hmcíén 1(x+h,y+k) eo potencias de h y k.
3243. I(x, y)Ó':x·+¡¡~-6xy-39x+18y+4; hallar el incremento que recibe al pasar las variables independientes de los valores-x=5, y=6 a los valores x=5+h. y=6+k.
:ty3 ;il-y2.3244. 1(x,y) ""'-4-_y¡¡;3+-2--2x+3y-4¡hallar el incremento que recibe la Iunclón al pasar las vartables independientes de lag valores x = 1. Y = 2 1\ los valores :z; = 1. + h,11= 2 + k. Calcular t (1.02: 2,03) limitándose a los términos de 2°orden ínclnstvs,
,32!J.1. f (x, y, z) - Ax2 + 8¡¡~+ Cz' -1- Da:y + EY7i + P'zx.: de.sarrollar f (x + h, y + k, s+ l) en potencias de h, k, 1.
3246. Dasarroltar z=senxS8oy .en potencias de. (x- :) y
(y - :'). Hallar los ~érminos dé pi'i.D.1er,o y segundo ótíd'enes yR~ (térurmo complementa-rio de segunde orden),
3217. Desarrollar la función z ==!:.z:uen potencias -de (:.z:- -1),(11 .. _1)hallando los térmínos Justa, el tercer ceden inclllslve. Ap\icarel resultado ol)teniclópara calCIllar.(Isin recurrír o. las ta'blasl;) 1 ,~J,.011.
3248. '(:t. y) = ex son y; desaccoflar , (x + h, y +~)en potencias~e h y k. Hail¡¡6,ndose 11 los términos de segundo orden respecto o h: -y k.Aplicar el resultado pa~ calcular ea.l sen 0,~91t·.
,§ 1. Fórmula de Taylor.Extremos de las funcionesde varias variables
Aplicaci,9nes del cálculodiferencial' del' las funcionesde varias variables
Cápítulo- XI
3266.u= 2x'+y~+ 2z~xy.-xz.3267. u=31nx+21p y+S In~+In (22- x-y-t.).3268. La .t!g, 60 mue$t.~t\l!ls lineas de nivel de la Iuncíón z =
= t (x, y). ·¿QQ.é 'p8,flic!,!Jaridades.ofrece.Ia.functén en los puntos Ji,B, e, D y en la línea EF'? .
"
ExtremosEn los ejercicios' ~259-3297 1Ji\:llaT ¡];05 puntds eseaeíonaríoe de
la-s funciones que Sé dan a cóntinuación.3259. z,=2;¡;~+:ty2+5iJ:2+ria.3260. z= e2:t(x+!I~+ 2y).·3261. z=xy.(a-x- y),3262. z='(2~ _'$2) (2by- 1/")•.
3263. z=senx+.seny+cos(x7Y) (O~x~ ~\.32M. z= a+bz+.ClI .'.
V1+x2+y2 ...
3265, ~=yy,i+x+;tV1+y.
'$249,. Hallar -v3J.ios ,pr~llr6s,t4rminos de desarrollo, d40!!! f\lljcién .e." sen '11 .en serie .dr "aylor en el entorno deL llunts); (0, .0),.
3250, Hallar varios },.meros J;ér,mioosde desarrollo de Ia función tÍ"' In (:1+ y) en serta de Taylor en el entorno del punto (O,O),
E.D los ejercicios 32.51:-;-13256desarrollar las funcíones q.nese dana contínuacíén en serie"d.e 'I'aylor Jll11'3..3;O =O, Yo·= O.
t '. ~-y3251. z=1_",_,,+1'Y' 3252". z.=:arcl.g 1+ .., "
3253. z= In.(1 .: x),l.n (!l-'y~. . ~2M.:' z = lJ1 t -/<- u+zy .,; . < 1,-2:-1/
32l)5. ~=se9'(t¡i2+y2). 3256. z=e" cos y.325,7. Rallar 'Varios p:riID'ér.o~térmínos de desarrollo en -poten.
cías pe> Z ~ d, .1/ - 1 de la función z dada ímpllcltamente por laecuaelén )
1,'8 + yr. - 3;y~ - x~=O.La función dada es igua! a 1 cuando íC = 1, Y = 1[,
3258. Obtener la fórntula aproximada
C9S x ::::'1-! (a;2_ a)tos y : 2· y
para los valores suficientemente pequeños de Ix 1! 1y l.
229
minimo ~o: el punto x=y= .~.,, .'3
3275. Mostrar que la función, z = x4 + y~ - 2x' ~.4l:y ":»2y~&-ieneminimo, cU8JJdox =ñ,y = 112 y x = - V2', y = -:-V2
3276. Mostnu"que In funcióq. z=~'+ .y~~ 6zy ~ 39á!+ {Sy ++ 20 tiene mínimo, cuando ;¡¡".= 5, y =t 6. .~'3277. Hallar los puntos. &$iª,cionariosJ de la rIJ.llciótJ z = :í!.y,2, ('i~-
- x - 1/.) que: satisfagan Ia con!l.!,~i6n 0;,>' O, 11">'O y. a!1l!Ji7.~rsucarácter.. ' , , , .. l· ,1
3%78.}{allat los plintos '!l~ta-cion8r¡d~ :ae ra.'iunción :z ";"I':Í!' ++ 11 - 3xy y 'analiZar su ooráéter:' ,
3270. La 'Íul;lcióuz viene dada en forma implícita: (i;¡¡~ -1- 5y' ++ 5z' - 2:z;y' - 2xz - 2Y$l - 72= O. Rallar 'S11S puntos estacionarios.
8271. Hallar los puntos extremos de la 'función z = 2xy -- ar - 2zt + 10.
3212. Hallar los puntos extremos de la funcién z = 4 (x - y) --x' _ yt ..3273. Hallar los puntos extremos de la Iuncién z = x~ + xy +
+yl+X_Y+1. •, I Z
3274. Mostear que 111 [unción z=x2+xy+yZ+.!...+S' ,tiene,, ,"" 1/'
Fili. 60
'",
3269. La Iuncién z viene dada en forma Impliclta: ~~ +; 2y'.l ++ z·+ 8xz - z + 8 = O. Hallar sus puntes ·~qj;ac¡onarios.
Cap. Xl. AplieaéioneJ ilel_ Cálculodiferencial2SO
Extremos eondtctonaaosEl) 1.05 ejercicios,32~1-3296 analizar si las ·funciones que so dan
a cOlltinuación Meilen 'extremos.3291. z=x"'+,y'ri'(,n>1) para x+y=2 (x>O"y>O_).3Z92. z=·:¡;y para ~+y;=2cr:.·
x = 0, U = 0, x = 1, y = 2.
8281. Hallar el valor mhimo deJa función z = ';r,:y (4 - :z; - y)• en el triángulo Iímítádo por Ins ~~t!lS .ii; = 0, 1/ =' O,.~ +.y_ = 6.
8282. Hallar los valores máximo ') mínimo de la _función'
j¡=e-~-II' (2~ + 3y2)
en el círculo $2 + y2~4.3283. Hallar los valores máximo y mínímo de la función ::=
= sen x + son y + sen (x + 1/) en el rectángulo .0~.x~$I/2iO~y~t(/2.
328ft. Desarrcllar el número positivo a en tTe:; sumandos- positivos do modo que el producto de éstos tenga el valor máxímo.
,3285, Representar. el número positivo a en forma de 'productode eUII'tEofact'ortl~poaitivo$ cuya -suma sea lll' meno.r posible.
3286. En el pIaDO O:r;y hallar, el punto tal que la suma de loscuadrados de ~lstl\nCill!lque medien eul¡re l,a:) tres nietas x = 0,y = 0, :r + 2y - 16,= O y el punto buscado sea la menor posible.
3287. Trazar un plano de modo qqe pase pOJ: el punto «(l., b, ely que-el, volumen del tetraedro recortado por dicho plano del triedrocoordenado sea el menor posible.
3288. Sean dados n puntos: A·i (.:elt YJ' %1)' • , ., A" (z".. Yn' z.,).En el plano Oxy hallar el punto tal que la,suma de los cuadrados de.dístancias que medien entre todos los puntos dados y el punto buscado, .sea la menor posible.
3289 •.Sean dados 'tree .puntos A (O, 0" 12), B (0, .O¡ 4) ye (8, 0, 8). En .sl plano Qlt_y hallarun .punto D ta] que Ia, es(ecaque pase por estos titQS puntos tep,ga el menee radio posible.
3290. Inscribir, en la esfera dada de díamotro 2R un paralelepípedo 'rectaogular -que tenga el '1Dayor volumen posible.
V_aloresmáximos, y ~íllímos
3279 -. Hallar lQs villol'es máximo y mínimo, do 'In !'UOclÓD' z == x~-:-IY~ en 01 círculo X2 + y~.~ ~..
3280., H~llar los valoree m.Ó0ilno 'Y míniq¡Q do Ju-fuucién .Z' ==,zn + 2xy ~ ~ + 8y en rec:tángulo limitado por las rectes. ,
231: .. . -r, S i. Fórmula· de Ta,ylor •
329~ 1+ 1 J i J030 z=-¡ y para -;3+ y"!=r "Z-'
3294. z=a'cos~$+bcoS2!Lo para y-x= ~'o
3295, I~=$+y -loZ pOloa !.+..1+l= 1-, If Y ;
{1) .r.+y±z =5.
3296. U=xyz para. 2) 8xY+:t'Z±yz= o
3297·. Deipostrar que la siguíente relación es v,álidaIfl +:1+'0' +~~:;¡, ( .tI+.t'2+ oo' :r",,, )a• ,. -::Y, n, " o ,
329);¡. f (x, y) = $~ - 3z!/" + 18y, siendo 3x"1/ - 11 - 6x = O.Demostra-I'q\l~ la función ,f (x, 'y) !l,l~!lnza"su. extremo en los puntosx = y= ±Y~. '
3299, Hallar el mínimo de la función u = ax2 + by' + cz2,donde .a,·b, e son constantes positivas y x, yt z estén. unidas por la-relacíéu e + y + '1l = 1.
3300. Hallar los valores máximo y mlnimo de la (uJlción R ....= y' + 4z' - 4yz - 2xz - 02zy para. 2¡¡:2+ 3yo + 6:· == 1.., 3301. Eñ el.pIano 3x - 2.z = O hál18r el Plluto'tn] que la sumá
de los cuadrados de lns distancias que medien entre dicho puntoy los puntos A (.1," 1, :1.) y B (2¡ 3" 4) sea la menee j1o:Si~le.· , •
330Z. En '01 plano x + ti 0- 2z = O halJ,81' el pu:n~,ó -tal que Ineürnn -da IQ~ cuadrados de las dtstaneías qué unedien entre dichopunto y los plano; :t +- 3z "'" 6,¡¡ y + 3,. = 2 sea ola menor posible .
•3303. Sean dadosIos-puntós A (04, O. 4), B (4,4,4); e (4;4, O).tEn-la superficie de rla e!!ferll· z'¡+'yS + Z',= 4 hallar el punto Stal qua el volumen de la pirámid,f 8-AB,C sea: -a}' el Iílayol' posible,,ti~"'el,meuo'r;posible, C:Omprohar 'l¡¡'o,respuesta de manera geométricae1emon·tal~ .: " ,~ , , '" ,'.. , ',",• 't\a304. anUar el 'parálelepípedo rectl\ogu.lar''de vclumen=dadoV que, teIlga,la menor área posible. ' ~. " ..t.; aa05¡·,Hl:IUar· eu paralel¡¡)~ípild'9. lJ'eclnn,gul~ "deo, ár.ea od~da S elcual tenga ,el. mayor 'volumen ' posíble.. 1 ~. i. ,. ~ .; , ,
3306. Hallar' el 'Volumen del Ili,ayoj -pllralelepípodu,~r.eot!lngular'que sea susceptible de ser inscritó en el.elipsoide de .aemiejes.i(i¡.iQ.c.
3307. La tienda de campaqít.,t,ielle'Ja Iormao'de cUiñdr9~emotndQpor un GODO. ¿Cuáles deberían, ser las relacionas entre sus .dímenstoneslineales ppra que la Mntida¡J.-Q.etel~ ''1ecesar1a-,pnra su fabríoeciéusea ,mih'ímil siendo, e1 volumen '4ádo?, '. .,_ ~o
, ',33~.' L~,seqci6n del canal prese~ta)a 'f,ormll' de trl\pe¡:~oísésceJes de Ilrell.dada (véase' lo ,fig., 61).,~Cuál~s tl'eh,erian 5~):Sus,diIt!.en!!.\'o';:nes plll,'lI qué' la .superñcle lava!lli ,d!!I,c<1;oa1::s,e~.'lamenQ,l' pos~l))o?
3309."De toB;ós,-los pnralelépípe'dQs ,rect,ailgUlares -que' ti8'!Iéb ladiagonal dada 'hallar el que tel)~a él- mayor- volúmen=fposible.,
papo-Xl. Aplicaciones'_deh~culo dlferenc:\al232
y el plano z = O.3317: Hollar los lados (le un triángulo rectángulo cuyo. perí
metro seo mínimo siendo dada su área S.3318. El cono recto elíptico cuyos semiejes de lá .Qase'mídén
a y 'b y cuya altura es 11, lleva inscrito un prisma de base rectangularde tal modo que los Indos de la base son paralelos a los eje$Y11.1íntersanción de las diagonales de loa bl)SB se halla, en el centro de lE!el ipae;¿Cuáles' .d!!lierla'n, sél: los lados de la, ~lIso··y 1'11,al tura del.pnísms pllraque su. volumen sea, el mayor. posible? 4A qué ser~8igual este -volu-meD mayo",? ..... . .
3319\ Hallar Ia .pjrámjde regular triangular de 'volumen (lado tal'que la suma de SÜ5 -aristas sea" r3 menor posible.
3320 .• Seaf! dados dos puntos en la elips¡l;. Hallar .uno terceroen 'la niisma elipse tal que el ál:eó.del triángulo qus'tiehe los dos.primeros puntos por sus'vértices, sea la 'mayor posible.
\~~+ 3y~+ 2z~+ 2zz = 6
33'11. Hallar el .volunten máxhno del paralelepípedo siendo la'suma de todas sus aristas igual a iZa:
33t2. Circunscríbír 'en' torno a una' elipse dada un triángulo debase paralela al eje mayor cuya bea sea la menor posible.
3313, En la elipse ": + u¡ = 1 hallar los -:pJutos tates qué 11.15.
diflhll\oi;¡_s1eIIJtre éstos y la recta 3x + y - 9 = O sean míuimasy máxímes.
331~. En 111parábola a;2 + 2zy + Jlt + 4y = O hallar el 'pllnto·túl que la d istancía entr~~.e, .1\. la,recta ax - 6y + 4:= O sea lamenor posible. ••
33t5. En la parábola 2;¡;t - 4xy + 2y' - x - y = O hallar elpun~o m~ pr6ximo a In recta 9x - 7y + 16 = O.
33J6.rlalla~ la dístancia máximn que medía entre los puntos.de la superficie
Fig. 6t
\_ll .. /J.' t: ---
33tO .. Calcular las dimensiones exteriores que deberja tener. un.c8j6.Lnllillrto (sin la iapar de forma de paralelepípeao rectangular;(fel: qu~ se dan el'eSpesór da 'p~edés' a. y el volumen V,.J>.a1'8_que 'alfabricarlo se gastecla -menor cjintldad posible de material.
PIl."tbs stligülaresEl1Jos eje:rc'¡cjO¡¡í;I$28-3S~, -1i:~J~ar~~sp@tgs 5¡nglÜ~s. 9.~-Jas
Jílll)as, '3328, yZ::'d:f.(x-1). 3329, 1l2,x2.=(.x2 '¡:'y~).u~·3330. y!!'=ax2+~b.:z:~..: 333l. y~=,ir.(:t-'Q,)~.
2 2 ~2 ._ •
3332. -~~.+y~ ~ atr. 3333 •. ti'+y' - ~i2-- fOyi +f(~.= o.3334. !é~,12a;,~ --6113+,36;o/+:2!zy2"":81=,0.
Tangmtes, y noJ1m,alesBn 105 ej\lr,clcios 3324-332~ escribir las ecuaciones ,d~la tangente
:y deIa normal a Ias lineas en los puntos que S9 Indícan,3324. ;;r!ly + yax :!:3 - ;'CDIf en el punto ('1, 1).3325,. 1~2(X'+y·)_.x3y~= 91" (JO el punto (a,2a).332~, co~.:~y=.x +2y en e} punto ('1., O).3327. 2;¡:S'_:':#v+3lf+.4xy,-5,t.,..,$y,+6¡;=O en el PU~lto'\de ..1:i4
iuterse~.ció!lcon'.el_eje,9}>,
§ 2, Líneas planas
Valiépdo5Ó de ello, hallar Ia distancia mluima entre la elipse..;1;2+ '2;&y+ 5y~ - 16y = O y la recta x: + y - 8 = O.
. 11 ,.,2. y23321. l'razal' la norma a, a elipse aZ + b~ = 1 de modo quela distul,lciQ' que medie entre .el, origen de coordenadas 'Y la norma).huscada sea ·1,&. mayor posíble.
3322. :En el elipsoide de revolución ~; + y'l,+ Z2 = 1 hallarJos pilotos las distancias 6Qtre los cuales y el-plano 3:c+!ty + 12z =.= 2.8~ sean la mayor ,po$i,~ll!:y 111menor posible., 3a23. Sean dacias las Iineas planas t (XI y) = Oy «p (:e, y) = o.
:Most,rlU'que, el extremo .ds d'istancía entré los puntos {IX., j}) y (~. TI)-quo so hal18.J1en estas líl1éM, respectivamente, so vériñcll si se-cumple 1ft siguiente condición
Cap. _XI., A'plill8ciooesdel 'cálculo. díferencial
E;.volllefl,t~8
334:1. Escri-bir la.~cúa:!,ióodeJa envolvente de la flloliH" de rectasu = ax + f (a). Eh. particular, poner f tal = cos a.
a3~2. Hallar la envolvente de la "familia de rectas y <= 2111$,+ m',3343: Un h.811 de rectnslcsiá ttRzado' de tal modo qué pasa por
4lJ,'punto k(a, O). ,Hallar ,la' envolvente de la lllinilia de normalestrllzada..5 ,8 las, erecta,s del hll71 en dos -puntos de S4 intersección 'COI)el ole Oy.
33M. Hallar 10 envolvente de la familia de parábolas y~ =- a (x - a),
3345. Haltar la envolvente de la Jamilio de parábolas (!..1;o++ a'y = 1.
3346. Hallar la envelvente de la familia de parábolas y =_ al (x _ a)s. ,
3347. Hallar la envolvente de la falIiilia do parábolas semícübioas~y - a)' = (x ~ 'a)8.
3Ma. Hallar la envolvente d~ la familia de lineas ;¡:3 + a,y~= a~.3349. ,Ralllil'lá envotvcnte de '1¡¡ 'familia de eltpses ~ +~ = 1.
siendo la suma de 'Semiejes de cada .altpse igual n d.3350. Los radios de la c¡rcunfer:enOi~ son proyectados a sus dos
diámetros perpeudtculares entre sí. En ¡¡asproyacclones, que sirven-de s8IXliejeS',son trazados las elipses. Hallar la envolvente de laftun.ilin. de elipses obtenida.
3351. Hallar la envolvente as ~a familia de circunferencias quetil¡}neDsus centros sobre la parábola y = bx~ y que pasan por suvórtice.
3352. La recta ~~desplaza de t!ll modo que la suma de longitudesde los, segmentos cortados por la ¡fecta en los ej"9s de coordenadassigue constante e igual a 11.. Hallar la envolvente de la Iamilla derectas Qbtenida.
3353. Hallar la envolvente del diámetro del círculo que rueda,sin deslizarse; sobreuna recta dadaíel' radío del circulo es Igaala R).
3354. Las cuerdas de u,o circulo (CUyo radio es igual"a R) paralelas a la dirección 'd~daqua sirven de diá'mj!tl'os, llevan clrcunsorítaa'unas cíecuníereactaa. Hallar' la envolvente de esto. funúlia de elecuníerencíss. -
3355. La recta se des¡i')~zadé tal modo que él: producto Íle lossegmentos-cortadoa por ésta en Jos eles de coordenadas'. as íguul a la.mognitud constante 11.. Hallar In envolvente de estas rectas.
'3336. r+y2=1t+y' ..33~. ,y~=se)l3x .3~4Q.~ió=(!f_rr.2)1,
333§r·:&'+7f.+3axy= O..3337. y=x1n:c.:3339: ií~';:{!!l-~~$.
295§,2, , Liil,e~ planas.
.Ag.u! u 'Y vo son Iuncíones vectoriales del argumento 'escalar ·t"~361:'.'Sea tla_do'1'.J::'1' (t). ,}rallar 'las d~rivl:\'dtlS. ..
, : . .. .. (. \ :ti .p¡..<1i) !,('I'!); ~) f.-('1' ~¡).;'·,C)',!, 'F~':~'; .~)_·~-t~.,a:"a;..;}"!,)
3362." Los vectQ):CS'?' (t.) :y a;¡ 50,0 <!ail,o§ como 'C?~inear$3.pum. lP4o' ti)todos los. ~lQ'@s-de' j.,DP':m,o,sJ;tar~·:Q1ié!1Q.S,~~~o):e~ 'ata... ;ú~;rt ";,¡, .•. , '~~' .. son tamhíéu (lolliiearelpll 'vector . 'r (t):
3363. Demosttl)~ q1.le,s¡"'el·,~6·áuJ6'.1·',)",;1 QC ¡a.fu:rlciO'n '1' ,(t), giglJ&.c.?ilStaJlte'plll:& todosIos valores de t. se tian:. ~. ~ ,r: (¿P1fá~}~hl~'ilitlterJ>l'.4t'a~j6u g,~.oíi:l,~rti.c!l,t!e 'ea_te, fleclio~,),¿·Si'i'.Y.~ri.flql\.el ~ie.<)J~~ijwef;!O~
li'wu;ión. oeetortal del argumento escalar
3360. Demostrar 13s siguient,es fórmulas ,de decívación
d dv'\d'¡~ d( dI) d'u.4t·'C1(tV)".=.tt Tt+1JiiI' <rt; U. X v) =~,X Te+ ¡ú: X '11•
§ 3. Función vectorialdel argumento escalar.Líneas ~1a:6eadas.Superíícíes
3356. M:OS~Rt que ,tO{j,aH!l,~:,es, envolvente 'de fa familia ,de 511Stangentes.. .
3357.• Mostrar !Tl1ela evólutá de la línea es la en"ol\leñ~i{$l!l lafamiha dé sus normales-:Haliar -lil' evoluta de lo, parábola; y~ '=~-'2px'como lugar geométrico de los centros dé curvatura y como envolvente de la famílía de normales. Comparar los resultados.
3358. Demostrar el teorema: si la línea .(A) ¡¡S la envolventede l~,fl!m~lill dé rectas ;¡; cos t + Y Sen t - t-W = O, la -avoluta de'la línea (.4) os la eJlvolv~nte de la familia do rectas -x sen t ++ 11 CQS t_ f (t),= (J. , .
. 3359, El radio yectgl' OM dll9ief,to punto M de la )1ip,évbolaequi'látera xu = 1 es proyectado ~9b~e ~IlS Ill)íntotas de. la .Jupérhola,Halla!' la envolvente de.lastelípses trazadas en les pzoyeccionss OMsirviendo éstas de semiejes.
Cap. Xl • .Ap)icAlliQDÓ$ ~.el ,clUculo.difereneial:¡,36
'l' = a cos t + b sen t + o.
3364: Sea. dadó ')! ea.w'conllt + l¡ seó wt, donde a y 'b son veetores: constantes, ,:Demostrar' 'que ..1:;,~·. ~Idr' ' ,,'. ' ", rP-r '.1,).tr X-'dí =(J)a X b Y 2) 7+(/)-1'=0,' ....' ..3365-,1Demastrar' que;1!i. e ,as ve'otór t1nitll~-)o de la d¡~l!cc..i6n"IJ 11 Ir.' ;-1', ~ '1 .,¡ -Ex dE~el .v~tQr :E~ ~~"V~~'e X,de =;er, ~ e:,. .
3366., Detnos,lr:ir .g\'e~si1',pQ.ejoj+:b'e,-"'. donde a iJ b son vec-,," .. ' _'. tPr _' '.
iQr~s.éo\lst,¡¡n~es, 59 tien6'W--:;W"r=O,
~S6,7. u=a(:r¡" y, Z, t)i+~(x, y, s, t):J-t-), (x, y,' s, t)'k,dcntle z, y, z SOn Juncionos de t: D@Íllósl,rlll' que
di!, =!.!!.+~ e,':~W:!'y"+ 'ou, .!!!..dt·· 81 8x dt -;r¡ {Ji¡ '111 o: tl~·
3368. Sea dado '1'= l' (u), u=q>(x). Exp~osar, las derivadostIt' ,¡a;. d},. di d tIr IP'r d3,.í&" 1 -¡¡;Z. d;:f por me o 9 Tu' duZ' •tlu3 • , .
3369. Demostrar que si para la funci6n vectorial l' ~ 7' (t) severifica le. reÍaoión ~;' = «'1', donde a = cense, la hodóirnfa dele. íucqíóu 'l' (t) es un l'~'Y0 que sale del polo. .
3.370. Sea, r {i) una función definida, continué y derivable enel i!ntefva'lo ,(t\, 't9), Siendo 1" (tJ) = r (l.,). Aplicar' ti! teorema doHolle a la. Iunctén (;1,.,', donde a 95 cualquier vector constante. Darinterpre.taclón geométríce del resultado. ,
3371. Sea dado el radio vector de OJI punto móvil '1;{a sen t,...:'-a cos t, btll} (donde tes, eJ tiempo,. a. y b son constantes). Hallarla!! hodógrafas de la velocidad y la aceleración,
3372. Hallar la trayectoria del movimiento ¡lara el cual el jnd iovector del pontó m6vil satisfaga lo condición ~ = ti, X ~'" dondea os vector constante.
3373. El plinto mllterial 50 desplasa de acuerdo con la ley", ==vot + ~'{Jt'J (r es el radio vector del mismo pnrlt,Q en el momento t, Vo y O son vectores dados). Mostl'ar que: i) la energfa cinéticlIdel punto material es uno luOci6ii cuadrática del tiempo; 2) !Joes la velocidad inicial (esto es, el valor del vector de la-velocidad ailel momento t =; O); 3) el movimiento se eIe~tún siendo. la acelernci6n ecnstante 9 igual al vector Oí 4) el movimiento se ofectúa $0111'0la 'J)Il\'á'bola (8 no ser c6lineo'l'es los vectores Vo 'Y (J) cuyo eje 'os para-Islo al -vector g. • ". 8374, La ley d!l;l movímieutn del punto ulIltel:.ial .se da por Infó¡lnlllla
Líneas alabeadasEn 105 ejorci<¡-jos3376-39a3 forrn,¡¡rlas eouaciones de la recta
tangente y del plano normal 'pata 'las. llneas dadas en los puntosindicados.
( ,4 ,8 ,2) ¡4 l3 (l3376.1" T' T' T' esto es, z=T' .="3' Y=-2 en un
punto cualquiera.k3377. z=a.cosep, y=asenlj), ;¡;=2itq> en el punto dado
( a V2 a V2 !)--r-. 2. • 8 .Demostrar gllO la tll)1g(m~4l en todos los PUl)~OSdo la línea Iorma unmismo ángulo con el eje Os,
3378. a:=a.t, y=}ata, z=j.ata en el punto (6a, 1&, 724).,3379. x=t-sent, y=1-c,osf, ::¡=45e02 en él punto
(n/2-,.1,,2V2).3asp. y2 + s, = 25, :.c~+ y~ = 10 en el punto (1, 3. 4).3381. 2,x'l+ 3yD + ~,= 47. xli + 2y2 = z en el punto (-2; 1.6).3382. x' + y' "'" z'. X Q Y en el punto- (xo,. Yo, lío)33,83. _x3 + ZS = a3,' It + Z3= I>f en, un punto cualqili,er,ll,3384. En In Ilnea ,1"{c~n"sen, t,_;,I} hallar. el, punto 011,01_ cual
la tangente sea ]lal'a1eln al plano V 3.7; + y - 4 = 9. .ETIlos ejerciciOS '3385-3387 Iormar Ias ecuaciones del'plano OSCU~
lador, lo normal principal y biO~i1TIar~ I~ línons rl'~dns en los PlPltosindicados. -.
3385. 'yq "'?'x.),x2 = z en los-puntos (1,.1, i).3386. .:¡;2 := 2azt y2 = 21>: en,U{Ipunto cualquíern.3387'. ;'.(i, e-i, lV2} en el punto (e, e-I" '](2). •33S,8. Mostrilr;"q1,lO las'ta'l~gent~;' lus .riormnles ,p~cipa1es. # bl
normales (lo la línea e {el cos t) e' sen t; el} f9rm8J~ állgulos cónstantea coa el eje O:.
donde Jos vectores a y b son perpendiculares entre sí. Dot~rmiDarla trayoctocia del movimiento. ¿En que momentos sería ,extremadala velocidad del movímientof ¿En, -qué momentos sería extremada~n aceleración?
3375. Las fórmulas 1'IU'a pasar de las coordenadas 'oa.;tesianasa las esféricas pteaenlao In slgurante Iorma: :t "'" P san a cos IJ),y = p sen e sen 'P, Z .... f C099, donde p es lo distancia que mediaentre (\1punto dado y e polo, a es su latitud, q¡ es el ácil;tut,osea.la longitud. Hallar Jos componentes de la velocidad del movimientodel punto material dirigidos hacía los vectores ortogonales unitarios
.Ca,p. Xl. Aplicaciones de-l cálculo dUereDciaJ
Longitua del arco de la. línea. alabeada
En los ejercicios illt02-3409 hallar la longitud del arco de laslineas que so Indican.
3402., If' {.2t, In t, t2} desdo t = 1 hasta t = 10,3403. ,,·{acost·, c sen z. alncost} desde el._punto (a, O, O) hasta
• , (, IJ V2 a v.i 11 1 2)el punto -:r-' -r-. -2' n .
E~ ,)-os !)jercicios- ~3&~~33~~, l,PP,llll.ll las ecuaciones-de .l~ tect~tangente, el plano, normal, In. bi~!,rmlll. el plano osculador, la norID4;llprínclpal y el plano rc~tificlllltp, a las líneas dadas en .los ,puntos.in1li~a.dós. ... <
338,9,' x = t2', y = 1 - t, ;:= t3 en el pillrto (i, 0, í).3390• .:r;~+ yl"-'-¡- r. ",3,r 'i2+ iJ2 = 2, en el punto (~. i, 1).., . , , ' ' ('va, "vll ,)~~9t. ".{s~nt,,~os~, t~,~}en elllunto -ro T' ~.:t3~2, ". (t$ - t3 - 5, 3t~+ 1, 2& - ~6} en. el punto corres
po,nMeftte al valor del par~~etto i =; 2.: 33jJ3. Mostra» que, la -línea ". {2t + 3. 3t - 1.• t'} tieqti en. todoslos puntos un tnismuplan» osculsde», 'Interpretar es~ehecho desdeel J.l~to: de vistá geométrico.
3394."Demostt'&r que 'la línea
". {a1tz+b1t+Ch ~t2+bit+C~, aatz+b,t+C3}
es 'Plana y formar la ecuación del plano en que se halla situada,3395. Hallar el radio de torsión de Ia línea". {cos t, sen t, eh t}.~. Hallar el radio de C1UVIlt.Ul:9, de la línea". '{In cos ~, In sen 4
V2t}, 0< t < n/2. Mcstrar 9111'1la torsión en cualquier 'Puntosuyo es igual a la curvatura en este punto.
3397. Mostrar que para Ia. Iínea ". (el cos t. el sen t, el} (véaseel ejercicio 3388) la relución entre la curvatura y 19,tol,lsión se mantiene constante para todos )'05 pontos de la curva.
3398. ¿C6mo podría S61' expresada la curvatura de la HUila 0.18-beada dada por las ecuacloues !I = Ip (e), z = '"(;¡;)1
3399. Expresar los vectores TI> VjI j},_ por medio de las del'ivadas del radio vector del punto en la curva". = r (t).
34.00. Expresar cada uno de los v(lct,otea 't\. "l. 111 por medio ¡J~los, otros dos.
3401. Hallar el vectoe ID(s) (vector de Darbour) que ~a"isf8gli!las sigoien tes condiciones:
UTI dVI ~j ~""il$ =(1) X "51; -¡¡¡-=6l X V,I; 73=(1)X 1>'1-
.§,;3,-FuncJ6n 'vectorial del argumenw escalar
~..L VoY +~~i, !l"a I\., l!~ "c2 •
3~2L '"Trazar el plano tl.l[l·g_f~t~a! "'e!i!lsoid,'e'-*9 + 2y,· t,.z2'= 1,.da tal tll"Odó que sea paralelo al p)ano $ - ,y + 2z = O. "
sigufeút~ forma:
Superjiciee
En tos ejm:cicios 3410-34,,19 esorlbtr tas ecuaciones ,de los plenostan'gentes y las normales en 'los puntos indlcados, pata las superficie.s dadas.
3.410. :;= '~?;~ - 4y2 en el punto (2, 1, 4).3411. z ;=tr,y en el punto (1. '1,1).3412.. i z3-3:~!I+y3 en el, punto (a, a, -a).
3413. z=y~+y~xy e"l);el, pnnto (3,4, -7).'3414. z=l1rctg ¿ ell el punto ('I, ~,f).
x2 y2 ::1 ( a ¡(g ¡, ¡fa e Va )i14i5. ;¡;2'+b2+C2=~ e~ al jumto -3-' -8-' -3-·'
:3416. x3+u"+z3'+.:cyz-6=O eJ1. el 'Plinto (4\ 2, -t),3U? -3x4_;~y3z+,4zJxy-4zs:r+ 1<""O en el punto (:1, 1. 1').3418. (Z2 :"";:t_2),:¡;yZ ,..."...y~" <= 5"Jon é!i])uD,to, Ü, 1; 2).3419. 4 +V';¡;~+¡f+z~=x+y+t ,en 'el punto '(~;' 3,,,0),.~~20. Mostrar que'l¡¡ ~cu~oi.6n,,~el,'pl~C) "tallgellte al, elipsoíde
~ ~ ~ , " .•aJl.+12 +Cf" == 1 ~u ~'l,lalquier" ]l-qn,Yt .suyo MQ (:t~1.,Yo, Zq) ~Iene In
3404 . .,.fel~s't, ef"S'ent, él} desde el punto 'tI, P. "i\ hasta. el\. " _ r , " (
punto co~r~~PO~.I,~i~?~,~al 'p~~á"metiip t. ,3405. a:2= 3y, 2xy=9z desde el punto (O,0, Ó) hasta el punto
~3,3, 2)':" .:" 34.06, Z3'::::2ax, "9y2¡=16'zz, desde el punto (O, O, a) hasta el
punto (2a" 8a/S", '2a) , . "3407:4aX'b,(y+i)1I\ 4X2+3y2=3z2 desde el or.jgan de coorde-
nadas hasta el punto (Xl y~¡a), . "
r ?#3408. '11=1 2a:i-x;, z=aln..,,-L- desde 01 origen de coorde-+ .' • + ... 4-,):
'n'ad/(s hasta el punto {X, y,"2}.
3409. y'=a arcsen !., .z= -41aJ;n'~:+x' desde el orlgen de coorde-a a-xn 1 I 1 ' 1 (J. "alf (11 31)llaMa U¡sta e punto \2' 6' 4 It "
:240
cortan !il eje de tevolucién.3434, Trazar un plaX!ot~l\geAte e la s'Uperfi~¡e ,¡¡;9,r- y. -- 3z - O
de tal lílódo que l,-áss''por él punto Á (O; O, -'t) y ijüe sea paralelo1 t r -u za a, rec a 1:=T = l' .
IO-Ot7d
z=f(V2..2+,Y~)
-e 3422,. T'tazlW' ~1'plaD~ 'til,ng,IlD:te~!,~eliJ,>~o¡de,~ + :!+';~~1. de,t¡il modo que cO~,e seg,nj!D~os' de igual lOI,l~tu& en, los sl!!l}iejeil,~oslti'vos. ' -; " " , '", ~2a~ Mostrar -qua las, 51lP,~rli!)i~~x -t: 2y '-lo t + 4 '=': o y,
xe -: xy - &c+ z+ ~5,=,'0 sOJi"t6il~ntés] esto B{!, tíen,en un planocomún tapg_eilte, en":'el{puhto,',(~, '-:-'.il. '1). "",,,'8t¡24, Demostrar' gua todt'!¡ -lol:!l!laÓos,>tangeote,s' JI la &ilperfi.cie
z =~I(,ffl:l6: 'cr;)1',~aD ;~"~ ,miS'l;!lo 'p.d~~Q,:'" .. ,"'''','~~.' E,scri~ti'las e~u'ácilj:ii~s:de(,PJaiíQ t~i~h~~y d-t)a ;fi¿-rm,1l1
R, 11)é,sJ~\:li'.¡., {lf <¡,os..!!-.i ,Ji~éD~!",:~V,ai,--; '~~~ell' et¡I).unto,'1'o {~ ..Yº, ZO},1842ft ESC¡:'lbli: las ecuacienee del pleúó 'tangente y de la normal
al paraholotde hiperbólico '1' {a (u + v). b (u - v). ltv len un puntocualquiera (3:0, Yo, ~o}·
3427. Demostrar que las euperñcíes x.' + y2 + Zl = a:t y x:l;++ y' + zS =; by, SOD,. ortogo,nale!!' entre, ~i. '3428. Mostrar que el plano tangente S: la sup,erficie xyz = as
en cualquier punto !!úyo,IorJll'a "u,il tetl;'a:eil~o\de,',vblumen constanteCOn )'OSplanos de coordenadas, Determinar este volumen,
3429. Mostrar que los planos tB.llgentes 8 la superñcíe Vi++Vil+ ')(;=".V¡ cortan, en los ej~s de coordanadaa, segmentoscuya sumé: es igual a Q"
34M. Escribir la' ecuación, del plano tsng,ente 'psl1lendicuJ.¡n ala recta ~12= Y12 == "=11 para la\súperf~eie ,,_";';;y.
34:31. Mos~rar que la ]o.Qgi~ud de} segmento de la normal. e~trela superficie i'J.'+ ya +' Z9 = Y' 'y el, plaño x()y es igual a la distanciaque media entra el origen de coordenadas- y'la"Proyecé~6¡j da la nor-ma! eq este plano. . _ .
3432. Demostrar que la .normal. a la superficie, del ellpsoíde de'revolución ;t2tzZ + fsl'= 1 en cualquier puntd suyo f (.11, u. z)forma áng~,os iguale;s con, Ias rectas PA y PE, sj A (O, -41 O)y 8'(0.4, O)., '
'3433, Demostrar qus todas las normales a la superfioie de revolución
24.t
Gradiente
34.39,1) 1jI (x, y) = a:~ - 2xy + 3y - L Hallar Itl5 proyeccionesdel gradient.e en el punto (1. 2). .
2) l¿ = 5xSy - 3x¡f.+ y'. Hallar las proyecciones del gradienteen un punto cualquiera.
3440. 1) z = ~'+ y'. Hallar grad z en El) punto (3, 2).2.) Il = lí4 + :r.' + '¡¡l. Hallar, grad z en el punto (2. t).3} : = arctg f. Hallar grad, x en el punto (xo, Yo).3441. 1) Hallar la pendiente ,más pronunciada que caracteriza
la superficie ascendiente z = In '(Xl+ 4y') en el punto (6, 4, In 100).2) Hallar ta p~~i~t~, má:!¡,prqnuuciada .de ID $.uperflcie,,, =i
=x en el punto (~, 2', 4.)... , ' _,3442. ¿Cuál es la' díreectón: de la mayor' \1lÍl'illción ,,~)a ["Unción,
q> (x" Y. ti), ~:;X ~en.z - y ces z en el o]ígen de- cQPr,de~lId~.,.0 ~ z! " .
3443. t) t = arcsen z+lf' Hnllar el IÍ:ilguJoentre los grodient~de ésta funoíón en los pun~?-s, 'Eh 1:). y (~, 4).
2) Sean dadaa Ias funciones z' = 'V:r;~ '+ y' y lS = Z - 3y ++ Yazg. Hallar el áng1lJo entre los gr:\~jentes, de estas ~~cioI!~e~ el pu~toj3. 4).. I~. • ,-' , 1 I •
. S4~4. 1)Ha.l~¡\'r.llil ,pun, ,eo al. ~u~ ~~ gnldiente il,e 1tl fun-
ción z=-ln (z+~) sea igúal a i- ~J.
§ 4. Campo escalar. Gradiente.Derivada respecto a la dirección
3485. En la superficie :r;2+ y~+ z, ~ 6y + {.z = 12 hallarlos puntos en Jos cuales los planos tangentes sean paralelos a losptlUl,OS coordenados.
34S(¡.Formal' la ecuaci6n del plnno tangente a la superficie;¡;= I¿ + v, y = tt~+ tr, z = !<ª + v8 en un puuto cualquiera.E.xpl'osor los cceñcíentes de esta ecuación
a) a través de los valores de los parámetros u'o y VOl
1>,) a través dI) 1a,5coordenadas xo, YO! %0 del punto de tangencia.3437'. Hallar 01 Iugar geométríco de as bases do las perpendícu-
Iares bajadas desde el origen de coordenadas 1.1 los planos tangentesal paraboloide de rcvolucién 2pz = ;¡;~+ y2.
3438. Hallar el lugar geomét-Fico de las bases do las perpeodicuIaees bajadas desde el origan de coordenados n los 'planos tangeqtesa In superficie xyz = (1¡s.
Clip.Xl, Aplic8~lonesdel cálculo dilerencial.
Dertoado respecto. a la dil'ecct6nBft5t. 1) Hallar 18 derivo da de la. Iuncíén z = :ns - 3:DJy ++ 3xy' + t en el punto !ti (3, 1) en la dirección que va desdo este
punto hasta el punto (6, 5).2) Hallar la derivada de la función z = aretg xy en el punto
(1, 1) en la dirección de la bisectrir. del primer ángulo coordenado.3) Hallar la derivada de la función z = xty' - xy'l - 3y - f
en el punto (2, 1) en Ia dírcoclón que va desde ésto al origen de coordenadss.
4) Hallar la derivada du Ia Iuncién z = In (eX + e") en el. ocigonde coordenadas en la dirección de) rayo que tOI'ma el ángulo (lo conel ejo do abscisas.
s-,
3447, 1.) u (x, y. a)=.x2y2Z. Hallar los proyecciones de grad lA
en el punto (XD' Yo, zo).2) u.(.:c, y, z)=YZZ+Ui+ZZ. Hallar grad u,
3448, Mostrar que la Iuncíóo 1J. = In (xl + yl + .a') satisfacela relación u.= 2 In 2 - In (grad u)·.
3449, Demostrar gue si z', y, Z son Iuncíones de t, se tiene
1rt(x, y. z)=gradf' ~; ,
donde t' = ~-i.+ ]Jj + sk,8450. Aplicar la relación demostrada en el ejercicio anteríor
para hollar el gradiente de lA función:
1) f-=r2¡2) 1=lrl;3) /= F(rl)¡ 4)1= (ll'r) ({)r): 5) t=(abr);donde a y b son vectores constantes.
2) Hollar- los puntos en los cuales el módulo do) gtadiim.té-ae la", 1 3 , - \
función z = (xl+ y~) ieaa igual a 2. ,,''·34~5. Demostrar' las' s'igíJ'iGntes relactones (ip y ~ s'on~fulJ;¡;'ione5
derivables, e es constante): . ,
grad (q¡+ ip) =grlld q¡+grndijli grad (c'+'~~';"gra'ci 11>; ,grad (cQl)= C grad q>; grad (N) =~grad 11)+Ijrgrnd ¡p;grad (IP"')=n(j)n-I grlld Ql;grad lep(~)l "" 11" (1jl) grad lJl.
3446, ¡; =~Ip (u, u), u='Ijl (x, y), v = e (x, y): Mostrar qU\)
grad ¡:= :.,grad lA+'.~~'g~jl,dIJ.
,§ 4. C'lInpo escalar. Gradiente
6U la dit·ccci.óJl e!e su. grpdíente,
3452. Hollar In darlvada de la función JI = In (:z; + y) en el punto (1, 2) perteneciente a la parábola )lt = 4:&en 18 dirección de ésta.
3453. Hallar la derivada c!.e la función z= orctgi en eJ puntoiI'
(f; ~3). perteneciente 11111cireunfnrsnciu #+yll-2li=0, en ladirección de ésta.
3454.. Demostrar que la derivado de la función JI =~ en cualle
quícr punto de la elipse 2:z;t+ y~ = 1 en 18 dirección de la normalhacia la elipse, es igual Q cero.
3455. 1) Hallar )a derivada de la función ~ = :&yD+ iI - :z;yzen el punto JltI (1, 1, 2) en la dirección que rorma ángulos de 60°,4'50,.60°, respect.ívamente, con los ejes .de coordenadas,
2} Hallar la d'erivada de la función w = xyz en el puntoA (5, 1. 2) en la dtreceíén que va desde este 'PUDto al punto8 (9, /1, 1/¡). .
34(1). Hnllar la dertvada de la función !.L - :z;'y'z.' en el puntoA (1, -1., 3) en la dirección que va desde este punto al punto8(0,1.1).
. .%~ 1/23457. Demostrar que lo dérivada de 111 fuución u=Qi"+bi"+
+ :~en cualquier punto M (;D, y, z) en 11\ di reccíou que va desdo
éste al origen de coordenadas, 95 igual 11 - 2: • donde r=_V:z:Z+yZ+Z2.
3458. Demostrar que la derivada de 11\ funci6n l' =.,' (x, Y, z)en lit dirección de su gradiente es igual al módulo de este.
3459. Hal lar la derivada de la íuncíén
Cap. Xl. Aplicaciones ~J e<\lculo difatenGÍo.L
Evaluar las integrales en los ejercicios 3466-3476,
13'466. ) 5 (:IJ+Y+ 1Q)dG, donde D es el circulo X~+Jl2~ 4.D ..
3467. ) J (x2+~y2+ 9) da, donde D es al círculo x·+y3 ~ 4'.11
3468. J J {x+V+1)do', donde D es el rectángulo O~':!;~ 1,D
O~y~.2.
346(l. Una placa fina (se prescinde de su espesor) se halla en elplano :f!Oy ocupando el dominio J)- La densidad de la. placa es función del punto "{= y (P) = ''f(¡t, y). Bullar la masa de la placa •
.3~6{' Por la ~js~1l plllca (yé.aseel ei\l7c.ioio anterior). está distribuida la enliga eléctrtea do densidad superficial ct == G (P) = a (x, .y).Focmac la expresión para ~l) carga global de la placa. . .
::¡462. La misma placa (véase el ejerci'~ío 3460) gira alrededordol ojp O» con la velocidad angular 0). Formar la expresión parala energía cinética de la placa.
3463. El QIIJor especifico do Iu placa (Vé~sé el ejercicio 3460)varía de acuerdo coro la .loy e = e (P) = e (x, y). :HalJIIl' la cantidadde calor qué reoíbié la pl¡lea al ser calentada desdo la temperaturatJ hasta, tó'
3464. El CU'eI:pOocupa un cierto dominio Q en el espació. Sudensidad es f.\mcióu del punto 'Y = 1 (P) = y (z, I1, z). Hallarla masa del cuerpo.
3465. Por el mismo cuerpo (véase el eJercicio 3464,) eS,tó distribuida, de manera no homogénea, la carga eléctrica. cuya dénsidad esfunción del punto Ó = S (x, VI z). Ha.llar la carga: glohal del cuerpo.
§ 1. Integrales dobles y triples
Integrales. múltiplese lrltegración múltiple
.'
Oapítale XlI
. Integral dob~. Domlnio rectangular~ñ losejorclclos 3477-3484 calcular lás.tntegralea.doblee 1.9,Oladas
sobre los domlntos rectangulares de Integracién D, dados por los da-tos ,inQ!p~rl~lIentre paréntssjs. .''. 3477'.n xyd:.cdy (O~:r~t, O~y~2).
o , '.'3478. neX~.l)dxdy (O ~ x ~ i, o ~ y ~ {).
D
,§ :2'. Integracíón múltiple
~R~.
3475. )) J (x+y+z)dv, donde Q es' el cubo x;:. 1, y~1,11
z>1, ~ ~ 3, y ~ 3, z ~ 3.
3476. J) j (x+y-z+lO)dv. donde Q es la esfera, X2+.y2+!I
3469. )) (x+xy_x2_y2)da, donde O es el rectánguloD .,
O~z~1, O~y~2'.
3470. )) ~~ (:¡;ty)da, donde O es .el cuadrado O~ x ~ 2,D
O~!I~ 2.
3ft7t. )j(x+l)~da, donde D es él cuadrado O~x~2.D
O~ y~ 2.3/172. ) 1 (:t2+ !f-2 V;%;+y~+2)da, donde D es el cuadrado
D
O~ X~ 2, O ~ y ~ 2.
M73. ) ~ (x~+y2-4x-4y+lO) da, donde O es el dominioD
acotado por la elipse r+4y~-2x-16!1+1,3=O (incluyendo lafrontera).
3474. J J J Jx'/.+lf+Z2)dv, .donde Q es la esfera :ll'l.+y1+Z1~n
Cap. XIl. Integrales múltiples246
Integral doble: Cualquier dominioEn, los ejercicios 3485-34.97 hallar los limites de la integra)
iterada de segundo orden J ~ f (x, y) & dy siendo)if\dOB Ios domiD
mos finitos dé jntegrnllión D.3485. Paralelogramo cuyos lados sona; =3, x = 5, 3.:c - 2y + 4 == 0, 3:& - 2y + i = o.3486. Trí~nguJo cuyos 'lados son :c = O, y =O. a:+ y =2.3487. xl + y: <. 1, x> o. JI:> O.3488. x + u<. t, x - v «; 1, x:> O.31..89. y >- r, y <.4. - :::~.
~ y23490. T+9'::;;1. 3491. (x_2)2+(y_3)z,::;; 4.
3492. 1J está limitad() por las parábolae y = x' e 1/ = ~.M93. Triángulo cuyos Indos son y = x. JI = 2!C, X + JI= 6.8494. Paralelogramo cuyos lados 90n JI =:r:, JI = x + 3, JI =
= -2x + f, Y= -~ + 5.3495. y - 2x <. O, 2y - x >- O, xy <.2.3496. y~<. 8zJ y <. 2x, y <. 4x - 24 <. o.3497. D está Iímítado por la hipérbola JI' - x'.= 1 y por la
ctrcuuíerencta r, -r yl ....9 (se tiene en cuenta el dominio que contiene el origen .de coordenadas).
En los ejercicios 3498-3503 cambiar el orden de integración.1 Yv ,-,l· - Y:r::-ii
3498. f dy JI/. t (:tI y) d»; 3499. J d% J f (%, y) dy.~ -1 o
§ 2.. In~gmCí6u múitiple ?-47
3479. J J 1:V2 thdy O'::;;:z;~1, O.::;; y '::;;1)D
3480. 1j udu (o.::;; x ~ t, O,:::;;y'::;;-1)., (%+u+1)~D
341>1. } J V~d9 3 (O'::;;x~ 1, O<.Y"~ 1)D C!+x2+y2)Y
)) xsen(x+v)dxdj¡ (O ~:z; <.n. !"n3482. U~Y~2)D
3483. J J :J!-yl!'''' dx dy (O'::;; z.::;; i, O'::;; V''::;; 2).D
3484. ) J afy COi; (xy"') dx dy["n O.::;; JI'::;; 2).(O'::;;x'::;;2'
D
Fía. 65
!I(2,J) (J,J)
8(:.1) r4,')
nI ..'"
'Flg. '~3
!I
Fía, 62
ti
r
3500. ) dxo
1'2",-., Ij 2 Yí 1"4-ii" J (~, y) dy. 3501. ~ dx I J (X, y):dy.
I.r--y:z r4-:<32 1., 2 6-"
3502. ) dx lf (:I!, y) dy. 3503. j d:t J f (:r;, y) dy.1 ~ o 2"
3504. Camhiando el orden dé integraci6n escribir la e~presi6ndada en forma de una Integral iterada de segundo orden:
t '" :& 2-"1) ~ dx ~ t (:r;, y) dy+Itb: ¿ /(z, y) d~;
8-0:1., ,-Z-
2) \ dx J f (x, y) dy + J dx J f (x, y) (¡Yi11 o I oI :,l/a t 1- ¡f~
3) J dx J f(x, y)dy+ J dx J I (x, y)dlJ·o o 1 o
3505. R.epteseotl!J' le integral dobleJ J f (.%, y) da: dy, dondeD
O son los d0íl;liniosindicados en las figs. 62, 63, 64, 65, en forma de
Cap. XII. Integrales múlliples248
a- b o
8518. 5 d~ J dl/' 5 (z+v+.:.:) ds,:0 o o
I 2 3
3517. J dx J dy 5 .d~.~ o o
1niegrat triple
E!n los ejercicios 3517-3524 caleular 103 Integrales.
la BUPl~de Ias \~teiP.'aleait~!!ld~s de segundorordén (con el menornúmeto.'~p,6síhlede §ufuanaós).,Las íiguras,.'dll Ias, Ilustracíones 64'i 65 representan ..rectas 1 ¡I):!=-o~de cjic~ufe¡;e,ii:,ci!ls~ ,
En los ~jércicios 350,6-351~ calcular [as ¡nt~g,rnle¡sdadas., .. y; 4, , 'Z%, -, ' r. '111,11
3fí06. 1j 5 dx J dy; 2) J.d:c f ~,dl1,; 3) f dy \ {e" <J,x.o o 2 "i, li ~
3507, j J f[;3y1.d3;dy,D es i¡ll círculo x2+¡fl'~·R2.'D
,3508. Jj ,(x'1l+'y)didy" D;,es, un dominio'I!\CQt¡l'dQpor lái:i paráD
bolas ,¡p::= 0;1. e y~=1Ii.
35Q9~!5 "': dzdy, D es un dominio acotado por, las l'éctas x=2,jj 1)'
!I = x y .ls hipérbola xy =1,
3510. J S COq(z+y) d.:¡;dy, u es un domínío acotado por lasD
rectas x~ ..O, y,='lt e y,=:¡;.3511. J SY1.-x2~y2d.:tdll. D es la ,CU8J'ta parlé (del circulo
D ,~+y~:::;;: 1 que se halla e.n el primer cuadrante.
3512. j j xZy.2Y1-w'-ySdxdy, » es un dominio acotado porDla Iíneá ~~+ylt=1 y los ejes de ceotdenadss.
3513. ,Rallar e1 valor medio de la función z = 12 - 2x - ayen el do,Jllinio acotado por las rectas 12 - 2z - 311= O, ¡¡; = 0,11 = O.
351,4. Hallar el valor medio de la fu~ciQJl z= 2%+ y en eltriángulo li1:Vtado por los ejeS de coordenadas y la recta x + y = 3.
35t5. Hallar el valor medio de la Iuncíén z = :r + By en eltr~ángulo Hmi~ado po¡: les rectas y = X, U = 5x ,Y:&,...=;::;¡-1_'---:t--.
35t6. Hallar ,el valor medio, de la función z = V R'}. _ xt _ y.en el círculo zg + yt :::;;:Rt.
,249§ 2: '11lfegrnción¡jnúltíple -,
Integral dable
t;(} los ejercicios 3525-3Sil4. p'asar a las coordenadas polares!) y <P (% "'" P cos <p, JI == P sen Ip) en la integral doble lJ f (3:, y) d;r; dy
Y apuntar Jos límites de integración, .3525. D és,¡¡!,;cí.Í;cllld:Ji)"'w', +- yi ~ R~i2) ~ + yl"~'(lg:; 3),x?++ 1)'.,~:by: . .' 'Jo .' . ,', •• ,Ir
~~6,!,.l) ~ :un demínío .Ilmítado 'por las"ci~c:ü._nférinl.~iás,.x;. ++ 'y' '= "'Íx, '';2;2'i+ y" == ,8;¡;' y ·las rectAS"y =·x~ y =1. 23;,'" ;,p3527. ,D .es el.. :domi'nio.qú.e Q-9 la parte CÓwú.o Ide"dos' círculcs
,:r;'i +- yQ~~ a;C; :1;2+ y<J ~ by,3528. D es un dominío limitado por las rectas, t. ..,._r: ... ,
Y',=iX y=o X x=1-~. ?',:- ¡f'.~ . I '.
35~~. D.es el menor de los segme~fO!;en qpe escortado 8l circu-lo, X2 + lla~'~ 'por la rect'a.:c+ y = 2. .
3530:,l) -es la ,;Parte.' iJlterfo( del lazó dereeno 'de la .Iemniscataae BernouUi (;t~.+ 111)' :-" a! (It~- y').
§ 3. Integrales' en los sistemasde coordenadas polares,cilíndricas y esféricas
(1 x ·xu3520. r dx J dy J ·z3tf.70 dz.
~ o 11
11 x V'
~519.J di J ay J :xyz,dz.o o o...·1 0-,,-1 "'+)+~
3521. r dx J ay In (:-z,-y) de;~ o ,(",-~)<",+y-e), .
3522. ) J J (%+a:~~ i)" ;;¡ es [un dominio limitado por 105. . g'
planos xo=O, y=O, z=O, ,x+y+z=1.3523. S¡J xy dxdy ds, Q es, un dominio llmitado 'por el para
boloide 'hiperbólico 'f,=XY y los planos x+y=1 y Z=O (z"> O).
3524. ~ J J y,COl! (1;+x) dx)ly dz, ,g 9l¡ un dominio limitado porIl
el cilindro y =Vi y los planos y =O, z=O y ,:1:+ z=~/2.
Cap, XII. Integl'lIAes 'múltiples250
3541. Partiendo de razonamientos geométricos mostrar que silas coordenadas cartesianas se transforman de acuerdo con las fórmulas .x = ap cos Cj), y = bp sen (!l (a y b SOIl constantes), el elo-
~RZ.
8539. J J YR2-Z%-yZck dy, donde D es el círculo ~+y~ ~D«s».
3540. ~ ~ arotg +dzay, doude D es una parto del círculoD
,il+yZ~1, r+y2~9, Y~Va' !I~zV3.
11
~a.XR'"3535.) ) f (f) dy+
o o
n YnJ-".} dx . J f ( 1-) dll·R Qy¡-:¡:n;
En los ejarcícios 3536-354.0 calcular las integrales dobles pasando a las coordenadas polares.
B 1'11'_",.3536. S dx J In (1 +z%+ y!) dy.
o o
8537. } ) y"'·!"'¡-a;-.;z'-¡-:,": r#dy., donde el dominio D viene deterD
minado ¡>or las desigualdades z%+ yll :¡;;; 1, x ~ O, y;;;;. O.
3538. 1J (h-2x-3y)dzdU, donde D es el círculo :t'+y'~D
·R "R1_~3534. } dz J f (~+ y~)dy.
o o
tn y.2I1r-lI'~533. (,'ay .' t(:c ~y) ds:•
• ~ ¡¡.~
• B \(R;-",'
3532. itlx '1 N:c" y)dy.
3531. D es un .do~inio defjni~o por las desiguamñdes x> O,y >- O, (x' + y')8·:¡;;;~a'i2yt.
El) los ej~rcicio!i'35S~-3535 t¡:ansformor las integrales doblesa las coordenadas polares.
-§ 3. Coordenadas polares¡tcilindrica! y esférica! 251
Integral triple
En los~~j~'rcicios3547- 3551 pasar. a lus coordenadas cilílldrjcae p, !jl, ¡¡(x =- p cos ep, y = p sen ep, ¡¡=z) o a las coordenadas esféricas p,B, W(x~pcos epsen6., 'y=,p.s!)n_ep sen 9, z"'" p cose) en 111in~
~p'gruJ, t~~p]~ ~Jl:t(a:,y,z).dxdKqZ,~ .wdjcar. los límJ~,~ ,4~ ínte-• ,)7. ' a -.
grLlcl6n.
En 109 ejercicios 3542-3544 transformar las integrales dobles.aplicando el resultado del ejilrcíicio anterior y seleccionando a y bde manera conveniente.
3542. J J [(x, y) d:& dy, donde el dominio D está limitado porD
lit elipse : +~= 1-
3543. J Jl,(iX, y) d;¡;dy, donde el domínlo D está limitado por• I>
la linea (z:+ ~ )z=x2y,---=--..,..
3544. J J í ('V 4 - :: - ~) ehdy, donde D es una parto delD
. ,zz yZ z2 lit.anillo elíptíco limitada por las elipses az+'ii2=1, U+W-',y situada en el l>r1mel' cuadrante,
3545. Calcular la integral 5 ~ xVdxdy, donde D es nn domlD
nio límítado por la elipse :~+~=1 y situado en el primer
cuadrante.
3M6. Calcular la integral J J y xy dx dy, donde D es un doD
.' . í (';1:3 y')4 xvminio Iimitado por la 1nea '2 +8 = 'jf6 y situado en elp~íUler .cuadrants.
da = abp dp d!jl.
mento de área será el siguiente:
Cap, XII" Integrales m6,hiplea252
35~7.~~r.el!~·~p:m~.ni9.,<J\!..e~,t~a!lJi si~Y,ad~.~ñ,~} primer 00-tante .Y ll.iru!ado por el éiliodro zt2':'¡"y3='RZ .y, los planos z=O,
,p- ~ Iz= ~"!J¡=.z., .y.= y .3. .} + ~ + " ''''40 'It! 1I
ª5~8, Q es ~n' dominio .liruít~d~ por. el cilindro x~+yll= 2x, elplan.Q',z=Ó y el paraboloide z=x!"f"yt ,"\
3pfo~', ~ es una parte de la lesf~ru,z2+¡f.+zZ~R2 ~i~i1_;¡'~ eJlél.~fün.~~ÓCLilJl~e.. . " _ ., - ..I • ~~SO.:Q es ;uña y,ltrW'4'd~1a~~~a xa+¡f'+'%ª~R~ s¡t.lJ.a~ den..'·Iltó déi cilíndro ('~-F'V3)2~Rll ~XZ-"y2) (x>j)).i a5.~t.Q e$ la 'paJ,'~r' .!W:íiiÚll de ~.o.s,esfer8§
z2 + y~+ ,'1.2 ~ '82 : y -xl+'¡¡2 +,,(z'__;:1l)? ~ R'.~ . ·c I !
En los ejercicios 3552;-3558 calcular 10.5. ¡nt!)gral(~pasando 8 lascoordenadas cilfndrícas o 11 las esféricas.
i 1'1.-"" •3552. } dx J dy ) dz,
o _ lr:¡::;¡2 l'l1.x_o." o
:i553. J di; 5 d,y j zY¡¡;2+lfeh.o o o,11 lFn2._"" VR~_,,2_VZ
35M. J dx J cly J (¡¡;2+!?)dt-B _1f R2_~ o1 ~ V¡-",.-u'
3555. ) da; 5 dy 5 Vi2+ gZ+z~d%:o o o
3556. J J J (x.z+1f)dxdydz. donde el dominio Q Viene deterg
minado por las desigualdades 2:>0, r2~.z3+yhl-z2~R~:3557. r r ~ ihdyd;. donde ~ es la esfera .t2'-J-'y2+ji· -v "'%+Ílz+(,.-2)~' , . ,
§ 3; Coordehndas'.Jlolllrea",oUlndrieas·,Y'.esl~~icIlS 25.3
Volwnen del cuerpo. ]En 10$ ejercicios 3559-3596 hallar ]OS volúmenes de 1013 cuerpos
Iimitados .por las superficies que.se Indícan, aplicando Ia integracióndoble (los parámetros que se indican en los eiercicíos se consideranpcsitivos).
3559. Por los planos de coordenadas, los planos:} = ~e y =~y el pamboloíde. de revolución z = x· + y' + 1..
3560. Por los pIaDOS de coordenadas, los planos x = 0" Y = b,y el paraboloide elíptico Z =$+ ~.
356t. POl' el plano .¡+ f + 7- = 1 y los planos coordenados(pirámide).
3562. Por los plenos y =O, z =O, 3x + y = 6, 3x-+ 2y = 1.2y:r; + y + z = 6.
3563. Por el paraboloide de revolución ::l = x' + y", los planoscoordenados y el plano z + y = 1:
31)64.Por el paraboloide de revolucíén Z' - x' + y' 'Y los planosz = O, y = 1, y = 2z, y = 6 - e. .
3565; Por los cilüidroa 11= Vi; Y' =2 VX-, y los planos z = O.x + z = 6.
3566. Por los planos coordenados, eJ plano 2x + 3y - 12 = Oy el cilindro z = yS/2.
3567. Por el cilindro z = 9 +s", los planos coordenados y elplano 3z + 4y = 12 (y:> O).
8568. Por el cilindro z = 4. - r, los planos coordenados y elplano 2x + Y = 4 (x":> O).
8569* Por el cflíndto. 2yl =;1;, los planos i+i+i=1 Y ~=0.~ 3~70. Por-el cilíndro circular de radic-r- c.uyo'·ejees el de orde-nadas, por 1.05'Planos coordenados y por" el plano ~..+~= f.
3571. Por- el cilindro elíptíoo =:+ y' = 1, Jos planos z == t2 - ,&:2: -:: 4» y z = 1.. . .
3572."Por los éíltndros x.'+ yl = R,' y~.:tl -le z2 -= R'.~573. Por.. Ios .dl índros z = 4 - f¡2, Y =:; Y. el ple!l9 Z - O.,. ~3574. Por ros cilindros Xl + y2 = RR, Z =~ y el -plano z =O
(%:;;¡¡:. O).
§ 4. Aplicaciones de integralesdobles y triples
Cnp. xn. Integrales. múltiplas
• '" 3&85. Por in: supsrfície eóníca 4yll = :t ~2 _.~) ,(conoparabólico,véase 'la fig, 67) y JO!! planos z = 0' l' x.-+ z = 2.
3586. ,BoÍ' 1'1,1 superñcíe- Z == COª :¡;;cosy y los' planos z = 0,y = O, z =O Y u; + y = n/2.
Fig, 67
fJ
!I
Fig, 66
z.
35;'!>.. Por :.e1 'piü'ii!JCi1ojde',.híperhéltcc z' = x?-. - ;iJ~ y:jl"Ds .ptános¡: = 0, x. = 3. ,~,», $.576l }!'or e}-.f!ahb'ó·i,ÓldMl~perlióIicó'Z =¡X!I, lir cÍliiJ(lro y, =~rxy Jqs plahos ~,+!l .O? 2, ,Y <=o ,O, y' Z' =,O. " ' ,
357,7. P(JI' el páríiboloide ~"==;¡¡"t y', el cili*aro y"= x.1 'y 'losplanos '!I'=i -y €: = O. '
"3578. Por 'el c'cfin'drb slíptíco h:;~+ í22, =.1 y l~s 'plaños y=4· t: '
='¡x, y'~O y ZI=O..(X~O): ', ¡¡,2~.,z-4gZ "', .
'3579; Por el -paraboloide z (J', ,y el plano. ª,= O.3580. Por los cilrndros ,y = ?, x = é~lt. Z "'i' e2 ~ y2 Y él plano
z=~ . , ,3581. Por los cílrndros y = In >t, Y = In' '! ,y los !planos. ~ =; O
ey+z=1.35&2". Por los cilindros z == In x y /O = In y y los planos z = O
y x -+ y =..2e (x >- 1).3583. Por los cilindros y = x + sen x, ff, = j; - sen x y' z =
=,<Z¡v) (crlíndro pl.\I,;l,Ibg!i:c.ocuyas generatrices ,60n paralelas a larecta e - y = O, z = O) ,y el ,plano.~ = 01:(0< x <~,y ~O).
3584, POI' la su_perficiCl cónica z~= xy (véase la fjg .. 66), elcilindro Vi + 'Vy= 1 y el plano z = o.
§ 4, Aplícacíones de' integrales doblas y; tl!iples' 255
Area de la figura pla.na
En los ejercicios 3597-3608 hallar las áreas de los dominiosque se índlcan efectuando la integración doble.
3597, Del 'dominio limitado por las rectas a: = O, y = O, s: ++ y =1-",
3598. Del dominio limitado por las rectas y =x, y = 5:&,¡;' "'" 1,-x2 y2 +
3599,' Del dominio límitado por l(! elipse ';ii'+W;=.t,8600.• 1).e1 dj)mtn~o, comprandid» 'entre I~ parábola 'ytJ,;.~'l.x 'Y. '.11 "~o
la recta y.= -;;-:r:. )13601. I:>el domíuio ·limitado por las pará·bolas y = VZ', Y.·:;=
.,. 2VZ',r y. 'la recta .t1i. = 4. .1. " '-36Q2.. J),lll ·clp·m.illi~Ilmítado por la . línea, (~l+ yt)2 = 2a.xB.3603. Del dom{n,iQ limitado p/ll' ltl. lhíeti. (xi + y~)S. = .1;4+ y ••:%.04., 'D.~l,dºooiñio.I-imitac}Q,'PQI re:~Hnei.;(H·+ 'Y2)' ="2a,t!(:rf-
_ Y')(le.mn1S.cata;,·d·~J3eq¡oul),j')t.- '. '.."r , i . ,360[>: ;Del:,d'ominio11\~itado, ,poI' da linea .i' ,_ y3 = 2.iy situada
en el primer cnadranté (lazo). .
3587 .. Por el cilindro ;¡;~+ yi = 4, los planos t =" O y ~ == X + Y + 10.
3588, Por !lL clltndro 1fI+ y'l< = 2x, Los planos 2i - z == Oy 4x -:¡ == o.
3.'>89.Poi' el cilindro Xi + yt = R!, el paraboloide Rz = 2R':++ ;¡;2 + y' y -el plano Z = O.t\- - . d.r b x2+¡¡2.35:10. POl' el cílin o zll + ya = 2ax, el par-a olcída z = ~
y el plano z = O.3591. Por la esfera x'l + y" + oZ2 = (l" -y el cilindro x" + y" =
= 114:. (Problema de Vlviani).3592. P.or el paraboloide .htperbólíco z = ~ I el cilindro ,r2 +a+ y~"'== 'Y el plano z =O (x> O,. y >- O).3593. Por los cil índros ;u2 + ya = Z y $70 + y" = 2.1;, el para
boloíde s =;¡;a + ya -y los planos x + 11 = O, o: - y =:0 y z = 0,35~M. Por 105 cilindros X2 + y' = 2x, :ti + rl = 2y -y por los
planos Z = s: + 2y y II = O. .3595. Por lo, superficie cónica;} = :r;y y el cilindto (X2 + y'!)' -
= 2xy (x> O, u» 0, z>O).3596. Por el belícoide (-«esc~lera da caraeol») z --11, arclg !!..,z
el cilindro x" + r/~=Ri'y los planos.x = O, z = o (x:;P 0, y> O).
Cap. XII. totcg'lllJes múltiplos .256
Afea dé la ~~upf!rfici'e
3626. Calcular la 'Parte del plano 6x + 3y + lis = 1.2 qu~'e!l~~sltuada lln.:'elP\'i:mer"p.ctl)~tll. .
3627. Calcular ..11" áp~4!¡tief~5i pa;r:.tll de -lPJS11Pl1rlicie 3.' =.23)11 lacual se halla 'Por' \l1).~¡Pl8·4a1 ~e¿t6.ng~Q.:.5ituadQ e.D,el ¡iJp-qo z =Oy limitado por ,lM"tetit;!.S ;¡;=O. y ='Q-i'.:l; ,.. 3, y = ~"17-0176
VoLUnie!l del cuerp». JIEn los·ejereiclos'3aQ9-3625·ca,íc.rulU'los volúmenes de lós cuerpos
lim:¡taaQS por las sup~d¡ciel!'d~dl!s efectuando la integ):l!cióD.tripleCÚ,-sp·IU'~.mG~J'Osque se ihd~dlti.eu'loselé~ciciosse consideran po~ltiv()~).
3609. Por los cilindros t = 4 - y~ y Z k 1/9 + 2 'Y por losplanos x = -i y x = 2., 36tO. Por los paraboloides 11= :t:~'+ y' y .z = ,t' + 2yl Y los
planos y =X, Y = 2x y x = 1. "86t1. POf los paraboloides ~ = ~ + y~ y ¡¡ "" 2r + 2¡¡', el
cilindro y =r y el plano y = ~. 'S6i2. Por' los ¡:ilUid-rÓ9'Z = In (~ ~ 2) y z = ln (6 - -z) y los
planos x = O, :z: + y = 2 y x - y = 2. '86j.S*. Por' .elpaJiaboloid~(x -r- 1)9 + yt= Z y. el plano '2x+z= 2.36.14·. pQl' el J>arabo~oid"z =:& + y' y. 01 plano z = x + y.
,. ~t615"'.fór., la esíera x' + y' + Zl ".; 4 y el péraboloíde x' ++ /Í' = Sa. ¡I 3Pt6. Por la esf¡¡r.!lXl +. y' + Z2 7' RI y el pal'll'b'oloiqe :z;Z ++ .y'lo = JI (R ....2z) (s ~ O). ' ....~'.;S617., Por 'el Pl}tll;bqll)íde z =?t' +,11' y el CÓDO Z2 = x!I." .• 8618; PO,t la e!jfe,l'ax' + y' +;.' =.4Rz - 3R· y el cono 'z' =
... -4 (xl.+ y~) (se,Hen.s·en cueD~ la pari~ de la esfer_!!situada aebtrodel conó)." .,,t .3619*. (~+.yZ+Z2)3=.43x., "3620. (x-a:+yl+z~)Z""axlJ~i· 3621. (x2+y2+~Z)~c:;azz~.·.; 8622'. (x2+y',+Z2)3= $:+112 .,'
.1>' '3623; (Xl '+ y~+ 'Z2)8 4: a' (~I + 'U2)':3624. (~ + y2)2 + z· <= a~z.3625. :¡;2+ lIg + z'.= 1, :z:2 + y2 + z~= 16, "E = :# + U', x =
= O, 11 .... O, :3 =O (x ~ O; 11 >,0, z >'0). •
9606;,Del :domiñio·limHaqo.:..P9J:" Ia linea (x + y)~ =::xy situada~':' el primer cuadi~nt8 (11l_Z0)., . .· '8601.. Del domi.o.iorlimitlldQ porIá línea (x +- y)& = xl!!, situada
enrrel ;pllimel.' cúadranta (lil'zo).360S*:.Del dominio limitado por la lineal' ~ ; 1 " .J " '
( z2 .' y2 )z· w. "I( ",,2 II~ )~ ::2+112.~) á2 +b2" =11"" 2) T+T. ":"~"
S 4. Aplkaclonos do integr¡¡les dobles·y trlplo, 257
Mom.ento$" v' centro de gi:avedad
En los ejerciCios 3643-3646 "aJl8~.19~#lomen tos: estáticos de~8S fjgura,.ll planas homogéne~SI~plican.d'oIa Integración doble (ladénsl'dad 'V ='1). '
3643. Del rec~ángulo de, lados" Y"b_:tesp,ecto' al lado a.3tj4'4. Del' semt6~routó 'respeélb· al "diámétro.3645. Del· cfrculQ l'8spect'o If UDa tQÍiglll,lte.,3646. Del, hexágon9 1'eglilar 'respecto- ¡j;s\i.~'lado.
3628. Hallür el á,rea de la i parte (i~l cono z' = ¡¡:1I+ !I~ sit\ladapor encima de) plano Oxy y reeortada por el 'Pl~oo z=V2 (T '*' 1. ) :
En los ejercicios 3629-3639 hallar las treos de lO_5partes Indi-cadas de lns superfíctas dadas. .
3629. De lfl"PJ~l'tetJ ,='x',+ y2 recortada pOl: eloilíndroa! _ 2py.3600. De-la parte'y2 + z' = Zl sttusda-dentro deh::illndro,;tl ++ y' = Rl. I '
3631. De la parte yl + z' = :t' recortada por el cilindro x' -- y' = (1.' y los planos y =' b,'y = -b.
,3632. De la par~f;I,z' = 4x recortada por el cilindro y2 = 43:,Y, el plano IX '?" 1.•< ~(j33. pe la' parte : = xy J:.ecort8~a Pllf el el] indro Z2 + y' = R'k,, 3634. De la parte 2&=.:i- + y' reco,et!ldll por el cilindro x' ++ yt = i.
363q. De la parte r + y' + ::'= al recortada por el cilindroz. + yl "" RD (R ~ a).- ~6,36. De -la parte Xl + y~+ Z2 = R2 recortada por el cilindr&
Zl + yt =01 R:¡;. , ,, 3637. De la parte Zl + y1 + z~= R't recortada por la, superñcíe
(zD + y~)' = fl2 (x~ - ¡f).3638. De I~ parto z = ;¡~irecortada por las supecfícíea
x~+ ¡), ,.. iI x~+ y' =,4 ,qJ,l9 es~á situada en al pl'il!ler ocia o te.3639'. De la parte (x cos a + y sen 11;)' + 7" = a,a situada ~ el
primer. octante,_(ex. < n/2).3640·. Calcular el área de la superfil?je terrestre (consíderándola
esférica y siendo su l'adj;o R I~ 64QO lto;¡) .~ompre1idida entre, los~e¡¡iaián,~s 9> =~QO\.cp = 60° ¡y los¡ p8Ia1;~los O~ 45° Y 8. =! 60°.
a~~t..:C!\,lc1J.l~ent'en tota), tl,e l,n suhep.~!~ d~l cuerpo li):nii'ad_opor la esfera Xi + y' + ;:2 ='3a.~y 01 punliololde ;# + y' = 2f!~(z ~ O). . • _ .,
3642: 105 '~)esde d.os ~ilindros iguales, de radio R, se cortanfor-man,dp-e} ángulo recre. itaUár el área de la :parte MIs s\{penJciede uno -de )09,dos ciündrost'!1a ..cual-se 1},Il11a',d,entI'0del otro cllíndro,
,Cap,)OJ:' IO,tegralli.! m,últiplo5
En:lÓs ejercic~Qs,'3648"::3652" hallar ,1011ceateos de graved~d, da,'las fig\lras planas homogéÍl~é!s efectuan40 la inLegraci()rl drible. r >
'" ,~E¡_~&:'I,'Da"lo, :fígüÍ',8, F,m_t.ta'~apor)a mitad sup~ciot,de, la elipsela cUdl,!sG apuya en él iéje'mayor. 'O" ',' '-'
,3649 • ..De la. figura' li:ñrtta,da porl11\ sillueoide y ~ ~n(~" ,:el :oj0'Ox'Y 1il' 'recta z ... n/4. " ,.' '
36¡)Q. Del secton círculac cO,rrespó'lIdi'ente 111ángulo central ct(el rad!o :d~l cízcnlo f,ls,-igua:l,¡afl) ••
365t. JJ81 segmento circlJI~ correspondíente 111ángulo central.a. (el radio del circulo el! igual a R)·. ,, 3652.))'e la figura limit¡_¡.d¡¡por la Jíneo,cerrada y' = XS - x'(x:;... O). , '
En los -ejercioios. 8653-3659 hallar los momentos de inercia delas fJgurns ,Jllapas h?n:togéneas (la' de~sidad V¡ = 1).
3653. Del clji;uh~ ,de' radio R, con: respeetc a su 'tangente,36M. De) cuadrado, dS"ladb a, 'con respeoto a su vértice.3655. De la elipse con respecto a su centro.3656. Del rectángulo", de lados a y b, con respecte Al punto dé
i~terl!ecci6'n da las diagonales.': '3657. Del tríángulc isósceles, de base a y la altura h, con respecto
a SIl 'Vél'tico. ' ' -3658. Del círculo de radio R con respecto el punto situado sobre
su eírcunferencta. :.' ,- 3659. Dei segmento de Ia parábola cuya cuerda 8S p8;l:pend-icul81al eje, con respecto 01vértice de la parábola (!a longitud de la cuerdaes igual a a, la flecha, h). .
3660. Demostrar que el momento> de inercia del anillo circular,con respecto al centro, es dos veces may~r que el momento de inerciacon' respecto a cualquier e}é'que pa:fa por el centro del añillo y sehalla situado en su plano, I
;,.' 3661. Demostrar que Ia suma do 105momentos de inercia de laffguf!l"'P,lána'F"\coJ;! respecto a cualquier pÍí¡:'de,'ej'es perpendiouleres,-entre sl", qu~ I!!l hallan situados en el mismo pleno ,que la figura'y quepasan por lln ,p,u,nto inmóvil' ,O, es una magnitud constante,
3662*., DemOi!trar que el momento de inercia de la figura plana,cOllJespeclo;;a'.1}Ptleje;.es igiial a Mdt.+ /.,doóde M 'es la -masa 'distribuida por la,.íÍ\jpérfici~",-d- es olla di~t~nl}ia que-media en~re el e.jóy 'el eantro- d~ gt8yodlld,de.la ,fígur~ .. / o ~ el momento de 'inercia conl'esJl.!lcto al eje que' es .paralelora] eje dado Y'qú.e pasa por el 'centróde gravedad de la figura (teorema de Steiner). '-
3647.;.Demostrar que el tl!om~nto estático del triángulo de basee, respecto a esta base deD~ge'·so"1o.de la altuta del ¡mismq. •
§ 4. Apliea,Gioñes da''¡.nt.egraJes...dClblo, y triples , 259
EIl10S :éjeré,iéios 3675T'3Q8();b·atl~i' 14;lsmomentoárds inilrcia,·do108 cuerpos :homogéneos cuya~'masa 'e~,<~gu,l\la /I{!.
5675. Del paralelepípedo: t!.lcto,. i;le':Íllistas, 'Gi" V, Yo c:, ,,óc¡n'respeel,o 8, cada -una, de -las miSniis, y~con: respacto a) centro -de,gra'-vedad. .
8676. De la esfilra con r~p~oto a üna tangtlnte recta.
En'los ejercilliQs-9673~~674,-balla,rlos cen,tr9Sde.gra:VEiiia.a;de,'¡a~'lIuperficies homogéneas, '
3673. pe la- P8t:te d~,lo esfera.~.s~tuadn'.~1l'el pr~~ q!)ta_nte.• 367~ ,De_.la 1?8tte ,dp!,p.8i'lllioloidfj :¡;~+ y' ~.~ J~9~ada Rq~
el P"laP,o.~ = 1, '-
En, los ejercWos 366!>-3672, halle.r io~ centros d~ gr~v.~dadde Joseuerpo;; homogéneos 'ltmltados' Íl9r ros .planos dados. .
5666. Por los planos :r; =:' O, y;ji O, Z¡ = O, :D = 2, y = 4 'Yx + y + z..:: 8 (lIarale)epípedo trunéad:o).
3667. Por el,elipsoide :: +~+!= 1 y los planos coordenados (se tiene en cuenta el cuerpo situado en e\ primer octante).
3668. Por el :cilindro Z'= ~ y los planos x = O, y = O, z =Oy 2z + 3y - 12 = O. ,
8669. Por los cíltndros y -= Vi, y = 2V; y los planos z = Oy x+ z = 6. . ' .
"~+!I'l t3670. Por el paraboloide ::= ~ y III esfera ;¡;l + Y ++ z, = 3a.s (:(;;:i. O).
3671,. Por la esfera :r;J + Y~,+ z· = R' y el cono :: tg o. ¿,7'" :Vii:t- ¡f. :(se~.tor e,s1~deo):
3672. (x' + y~ -+- r:)' = a3z.
En los ej@l',eicios 36~g-3665 hallar los momentos- estáticós delos cuerpos hQIÍlo'g~neos(la densidad 'Y = 1).
S6t¡3. DIlI plI,l';tlolepípedorecto, de aristAs a, b y e, con respectoa sus caras.
3664. Del cono circular recto (el radío de la base es R, la !,Iltura H), cqn respecto al plano que:pasa -por el -vtil'tice.sielido paralelo8 la base.
3665. 1M cuerpo limitado por el elipsoide :: +-'+ ::= 1 yel plano Oxy' cotí res'p!lCtoa este 'mismo,
Cap. XlI.¿nte~les múltiplas260
,$68~. J{~l~F .Ia ,masa de una lámina, cuadrada, de l!lclO 2(1;.,si
la, dénsídad del lAsteria. de la misma les' proporcional al cuadradode 4ist0.fléia B.' P'!.;ilt.tl' del punto de ~nte¡;secci'Qn de .las diagonalesY,el). lB~ esquinas iJcl·{lu~drlldo,es igual a 1. ".
3685-. Un anillo :plano eS~!Í: Iímitado. pOr d'qs circunferenciasconcéntricas cuyos radio SO_f1 dé R Y r (R >'1'). Tomando en conaíderacién que ~a densidad del material ~ inversamente proporciona]a la dístancía desde el centro de Ias circunferencias, hallar la masadskaniUo .. La densidad ,sobttJ.!¡j circUnferenciQ del círculo iiltedQres jg,ü'~.,a 1'- ... , . , ",,' ."
3686. Uno. Iigura, linl'itad_!1 por una elipse !le s,emiejes a Y b.llevo.'vdistribuida: sobre ·sí. una, masa de tal: modo que ~, densidades :Pr,?,Ror,cionál."a. la di~allC~a .desde é~'llja.;ma~ol', síendo l.gu¡_ila y ala ;UWdad de dista,n:cla del lÍIismo ,eje. Ha.lla't toda, ~¡¡masa.
~7. ELc':Lerp!i:;\l¡;t~ l:iUlLtado por dos ~lU1erft~¡Íls.9l!féric~ co~céntrlcas cuyos radros son jglJsles I! r :Y R (l! > r]. Te¡ti¡¡n.(Io eneueJ,l'ta·q;n,eIa.densided dl!l :J_1)F1~l'iales in'Vilt$aple-q.t,e.proporcional a ladj!ltanci\l des4!l e) ce~V'o dli¡ las &Ilfacas.y. que. 8.Jl:\ di~tl\APia ,íguala la unidad, la densidsd es igual a '\'1I,~¡¡118Itoda II!-mllsa·_4~J.cuerpo.
Diversos problemas
: Eí'i"'íos,ejét,cicio)l 36811;;;';'3683 'ca:l"cu1ár ios momentos de 'inercia~e liís 'paiiÁis b~di~adal!de las sup,l¡ldiei~shom~g6neaS (la masa deeada. parte es ig\lIiJ'.a N). ' " "
3681. J;le 1'a,supsrñcie lateral dol·lfilindro (de, .radto de. la bas~R y,~1l altura 1[)'. ,lion resp~~to al eje qtW plXsapo-r<su 'cen't:roQS, ¡ffave-liad'. Y:,~i perp'éDdjéUi~r ,,1 eje a,el, cll'[ndro; '
3682. De la parte tdel pa:ra~úlf9Fle.~~+ ~l = 2éz Tecorflld'll'porel plano ...lO '7" e" ¡(ln t!lSp,~cto al ele 02;:.. . I . ' ... 8683. De 1~ 'sú]erlicíe' lateral del cono -t;rul,i.¡>adó{los 'radlilg dela base son igual~s a R y T, la altura H), con respecto a lIU eje.
36'ii;;1)~r:'el,ipS9iáé .E,i-_:y2,T·~2 =t é~il~J'~spectO~I Cilda,"üno, . ;11. 'o';"~ ,," ':' .. , ~ ,(12, ,lf' p~'., ,;. :'d~i"su¡¡ 't,¡:es ejes. ' ¿', ",;:' '". .,'
, " 367~,;iDal 'cili»di* '¿!r~Wñt r!c\Q~(el tad.l? do Ia bese es R, la~lt\lÍ'~, EJ.)\ con ,respecto: a~ díámet.t:o de la Dasé 'Y, con respecto al\iiáméiro, 'de SU 'l¡~c¿ión'~medía. : ," 13679:-De la esfel18"v.acíacc\t)'o tlÍd'io exterior' eS, iguál a 'R y aliJl'teriQr~ 'r, con fé~p~to al (li,~llÍth.ro) :-" ; ;.1;' '36S0;;'DeJ 'j)ara'bólQid!3 ;ªe ró'V9).\fcI6n, (de 'radio de, la base IIy de jl'tuia H), 'con 'r~f?Pe(l,to~al,e5e~t¡l!epasa poi su cent-ro de 'gx:a"'edaa'i:~ per'penaicU'I!\:'1'~1"e_!~'d;,e révéluctén (moP'lsn't~recustortal}.
281'~ 4.. ~pti08ci.iiDja.5:de'·int.eglale:s doJilés y triPle!
Resolver los problemas de "l~ ejtii'c\oios' -3695-",,3698 b~sáDdosaen la ley de ~avitac¡6n universal de lSewton (véase la }n'dicaci61i.ante al ei~cícfo 2670). .,." I •
3695. Sea dada tina esfera homogénea de radIO R y. de-densidad y,Calcular la fuerza COn la cual' atrlle él puj\to:lllateriaf de la masa Inqua se.encuentra a la d¡staficia,igi.lIil.~8' ~ (a >,R):ile 5U- c~ntro>,Mostrnr'que la fuerz" de ínteraccíén 'es"tal cuaf si 'L,oda'la masa de'1'8 esfera; e,st:uvies8 ooncllILttnda en. s,á (lSiÍ'tro.', '" _ " .\, '3696., Demostrar que la' fuerza de~interacc~6Ii, newtól;lia~a entredos esferas bomogéneas es tal, cual si-l'ns mas8.8 aiS Iáe esIeras' estú=viesen concentradas en SUl! centros:
• 3688 .. CoI9.ul8l" la masa del.cuerpo limítodQ por un cili~>d,J;Q circular recto de radio R y de altu,ra"H 'si' su densldad en cualquierpunto es ,'numéricamente' igual al cuadrado de distancia. que' ,media~ntlP este !lljsroo puntQ' y el, C!_lAtl'O ·d:é,la,. base del etlíndro.: ", 3689,*'. Oycular la masa'. del: cu~.rpo J lmítado .por un cono circular cuya altura es igual a Iv y él ángulo fOllmado entre el ,eje y ,8.generatriz es, Igual a.Gt. Se debe t~ner en cuenta, que 111d,eQSidad esproporcíooal al n-éslmo grado de distancia d,es¡\e el pIa.no ..trazadopor el vértiC(! del. cono paralelamente a la' base siendo: ig_uai a ji.a la dístancta igual a la unídad (n> O)., 3690. Hallar la masa de-la esf.era de T,l\dioR teniendo eo, cuentaque la densldad es proporcíóna], al onbo dé distancia desde el cenLroe igual a 'V. a la dista ocia igual a la. unidad.
36~1. H~lar la, .mllsa del c.l!er,po ]'im.i,tndo,. por ElI parabolotde)tI 4- liD = .2a,t Y la ellJ~~aX2' + y2 + z'.= Sa' ,(z >. ,O). si la, densidaden cada: puntó es 'igual 8 la suma de 'los cuadrados de coordenadas.
36~2•• La densidad de la esfera x2 + yZ + z;, ~ 2Rz qll cualquier punto suyo uumértoamente -es igual al cuadrado 'de díseaacieque media entre este punto y el_origen de eoordenadas, llallar lascoordenadas del centro de grat~d8.dde la esfera.
3693"'. Hallar ~I momento estático de la parte común. de, lesesferas" ex'+ yll-+ z,~~ l!.' ,!.:rJ -1- y,~+ z~~ 2/lz respecto al planoO.zy. I1a densidad e;n cualquier punto del cuerpo numériéamente esigual a le distancia que media entre este punto y el planomOyo . ,
3694*. Demostrar que el momento de inercia de un cuerpo conrespecto a cualquier eje es igual a MrP + Te. donde /JI! es ,la masadel. cuerpo, ,d. la distancia desde el eje hasta el centro de gravedad'del cuepro, e le eS'81momentó do inereia con respecto al eje que esparalelo al eje. d~do y que pasa._por el cent~o d.e·gr!lvedád del cuerpo(~eorema de Steíner: compárese, con el ,e~erCle{o 3662),
(.'~ , Capl XII, Integrales múlttplO,!l262
;sé 'llama el centro d~ presión al punto de aplicación de Ia- rasul-, ta.nte de- todas l'i~~,fl!.éi'ZIls,de pr_9sióJ.l sobre la ti~,)J'~a plana dada(todas las: fuerzas de:'pres)6n-.son perpendlculajes al plano de J~ Ilgur~); Determinando Ias coordenadas del' centro de p,rés)ón'se partedel concepto de que' el momento estático de la resultante (es decir,de la presión sobre toda la superñcte) respecto a cualquter eje esig-q/lJ,8 la suma de .los mOlAentolles~áticos de cana fusraa por separado respecto al mísmo eje, Partíen,do 'de todo 1.0 sobredicho resolverlos problemas de los ejercioi~ 3699-3701..
8P.!J!). Hallar el centro .de presi6n del rectángulo de lados a y b(a ':> '5) cuyo lado 'mayor se halla Situado a. 10 largo de la superficielibre del liquido, ~ el plano del rectángulo ,85 perpendíeular a estasuperficie. ,
Mostr8!l' que la posiclén delcentro de presión, respecto al rectángulo, no sufrirá ningún camhío sí el plano del rectángufQ está inclinado hacia la ~uperlicie del líquido formando el 'ngulo ry, (cr. :F O).¿Cómo camhtartan los resultados~anteriores si el lado mayor a. estuviese situado no en la superficie del líquídc sino a la profundidad h(siguiendo paralelo i:i la superficie)?
3100. Un triá:ngtilo do altura' hse halla situado.en el plano lncli.Dado hacia la superficie libre."dE}} 'líquido formando el ángulo ry"
¿Á qué peoíundtdad ee halla el centro de.presión de este triángulo si:a) la base (iel1riángulo está en· 18 supenicie' del lí.quido;b) el vértice está en Ia superficie y la base es paralela a ésta?8701, Hallar 'el-centro de ,presión de la ,figura.JiDlitada Ror una
elipse'de semi'ejes'a-y q (/1>b~,si-el' eje maYQ~ea}J,erpe'ndieulata 11\superficie dell,iquido y el 8xttemo.supet~or del mismo eje se encuentra8 la -distancia h de' la supenici9'., - .. 370~~. Demosrrer que la presión del líquiª,o sobre una ª'IJ~perficieplana .sumsrgída libremente al ag_ua8S ígual+a] peso'de la. 'oQlúinnacilíndrica de este líquído situado encima de la superíícíe- si éstaestá, situada horízontalmente a la ptófundidad dé 811 centro, de gravedad,
3697 i. Sea dada Ía esíera, jnaeíaa heterogénell :!Ji + yi + Z2 < ,R2euyaz"de'!isidad varía 'f.deIIc~~~go~on la ley 'V =~,.9alculal la fuetzaCOD Ia cl.lalatrae el p.,ü.Dto}mAteti_nlda masa m, si é~te se halla en eleje i, a la distancia igj.u~l at 2~,d.!ll centro.de.la esfera.
3698,. Sea' da"i.lQ'Un' cüerpo -hómógéneo Iimítado' por dos. esferascon~éiiti'icas (capa ~éj)¡éa). Demostrpr 'rl0' J~ arracoión qua ejerceesta. 'capa sobre 'un 'punto situado, dentro 'de 'la"cavidad del cuerpo,es ig:ua'l a cero,
_l. _
00 co . CID 'i)O
.3710·. J d2;,S e-ut dy. 37W', J dx J :r;FII"~;¡j "'Ji,O ~ O O "
En Ios eje:rcicio.s3712-3715 esclarecer cuáles de las íntegnalesimpropias -tomadas a 10 largo, del: circulo de radie R. con eL centroen el origen da. coordenadas; .son -ccnvergentés,
171_2.,:JlrDV~+y2d~.cty,.' 3713,~JI~;:;; d~dy,D ,'. :'l' .. .J~ ':,. D, ,
3714. r I een'(;i:-f'Í/2) tk ~g":". 'aiis. r (!i:~c(.t~+yZ) ,dz s:. -- J Y(#+1I2)S .. ~ .. ,_. - J~. ~2+y~ I ",Y_. D f I ! '_ \o' D ,;.1 ¡'
3716. ¿Podrla -ser seleccíonado- el níiroer9. ',nt de tal .modo q~ela integral llDPr.op{a;U V a,,: all·'. :ext¿hailla pOI' todo ~t riiano
. I , .J J. (z%'+¡¡a)m, ' ".,,'1, ,', ."".,
'sea convergente? . . ", . .. p'- .,}'.' -
En' los, ejercicios ,3717~,37-1~ 'calctlÍ'ar lRs'1mtegrl)les.ímp:r(jpi~s~~~~ ~~.
3717. f t i ddifd~ l: r ¡. :tll¡¡z dy ¡J .J J 'J V(~+,"+y+a)7 . 37t8. J J J (1+::z+y2+-s2)9'00,'0 ' o~o
00 00
9708, . ~ ~ ~ye,·",1-1I2dX dy,
3706... (D'
3705. ) r (Zz::~q~)2'o ...co 00
j3707. J J (;¡;+y)e-("'~II)d.x4y,,o (1
00 ...
,~709", ) J e (~'+Zl<Vcoa "+:11') d;¡; r{y.O O
_:JO _'po
f f dzd¡¡ ~.-00 -00 (1!+zZ+V2)8ro ce .J S e-¡o:l-.I1IIdzdy.
_l'O -:00
3704.
En los, ajer¡;icios 3703~37U calcular l!ls mtegrales ímpropías'0 probar ·su'·'dfventep,cia.,
Integrales, impropias dobles y tripl.eB
§ 5. Integrales, iJpPfGpiflS.bttegrales d~lle~.J1l6ntes.delparámetro
372j. 5 i' r In V.,z+V2+:1 tkd dJ J ~:t+vt+,2 JI Z,Q
3722. j J r (Z2+:Z:~z+.~)I,dx dy ds.O
3723. Calcular lo integral j I 5 In (x' -} y' + L~) d:r; dy ds,Q
donde el domínió Q es una esfera de radio R con el centro en el orígen, de coordenadas.
3724·. Calcular el volumen del s6lido limitado por la superficie11 = (xa + y') e-(x'-tu') y el plano z = Q.
97.25. Calcular el volumen del s6lido Iímitado. por la superficiez = x'll-e-C'''+II') y el plano z = O.
8726. Calcular el volumen del sólido llmítado por el plano z =Oy por una parte de la superficie s = xe-(x'+u') situada por encimade este plano.
3727. Sea dado un s61ido homogéneo ~inlitado por 'luí cilindrocircular recto (cuyo radio de base ea R, la altura, H, y'la densidad, V).Hallar la fuerza que obre sobre el P!1Dto do masa m sttuado en elcentro de la base del cilindro.
8728. Sea dado un. sélído homogéneo Iítuitndo por un COIl!)circular recto (ouyo radío de buse es R.la altura, H, y la densidad, V).Calcular In fuérza. con que este s6lido atrae el punto de masa 111-situado en el vértice del cono. '
3729. Sea dada una esfero maciza heterogéneo. de radio R cuyadéllsidad y y la distanoia desde el centro r están unidas por la relaci6n " = a - br (a>O, b>O).
a) Hallar las. constantes a y b s~ es .sahido que la densidad mediade lo esfera es'Yin. y' la densidad sobre lll"superfici'e dela esfera es 'Yo'
b) E:olcular ,lo' ruer1l8 de atrªcci6'n ejel\ci'dll por la, eSfet8 sobre01 'punto de masa nt situado sobre la superficie de la esfera.
', ..1 ..
En Jos ejer.cicios 3720-3722, esclarecer si son cohye¡;gente,S Iasi'ntegrllles Im,P'tOpiIlB tomadas sobre la esfera Q de radío ,R 90D elcentro en el origen dé coordenadas,
3720, r.r r" d", dv eh.'. J ~ J VIz2+yl+,1j3inVz2+yi+sa'
rai ee, 00
37t9-. 5 f J e-";-V1-:'tkdyds._QO _co_oo
265§ ".-ln~gr'a]eS imPloplas.
""ral J (%z!"z}n (n 9S un entero positivo).
o
3735. Calcular el valo!, ,eJela ~nteg~81:'/r e·o",:cn~l4z (n es un
entero poltitivo) para a>O, deSp,ué~de ,q,aberhallado r e...."q:,;. 'e-, • o
3736·. Par~iendo' de la i~~~ldad ,-'(v6asé el ejerC~ciQ ~3.18)1< :iiT 't\ ,tk ~ 1'( h 11' f' .' .. ' ,ti.,. •~ 4ícos2-%+~a'se'(l~,,",--:-~~,.11161 a ~r ~ '.<i!a;q8z.,.2:fbl~~~ilZ~):•
En los ,.ejel'ci'cips'3737-3749' o!\lcü'ta:1'las ''Írlteg~aJesdertvandcrespecto aJ parámetro.' • " "
b
,la integra'! J (1:~~tiZ)D •!>
37M. Partiendo de la igualdad r "Z~z2 = ~ calcular la ¡nteg.o
b
3733. Partiendo de la igualdad 5 -'!!!""'_='!'arctg!' caltlll)oro~"z+%a el el
b
obte-~
d al r tk tI3732. Valiéndose e la igu dad J 11+".2: =4' n (1+ab),_ o
ner la siguiente f6rmula derivando respecto al parámet.i·o:
cuya abscisa es z=1.
2:<r SOIl ctz .373t. Hallar la curvatura de la Iínea y= J ""'"'(%'" dit en el punto"
1ntegratee dependientes del parámetro.Reglo. de Leibniz.
3730. Hallar el ¡dominio de defínlcíón de la función f (z)=I
J ds'= Y.tJ+sz•o
Cap.-XlI. lntegniles. múltiplos266
"O'. S L:",d:r:.:1
n-y3750. Después de calcular la integral r lIrc¡tg.(a tg %) dx ha llarJ tg", 'o
..3748. ) e-4X cosb,,;coa e.1: dx (1% >0).
o11T
3749". J ln (a:l.cos'x+b1s&nax) d»,o
..3747., ) e->: ~nb:a::aoDc", d:r; (a>O).
o
r i -ox~ (1 , J1t3745. ~ -;1. d~ (a> O) sabiendo que t e-""I ck'='2 V tí
(11>O). (véase el ejereleio 2439).
3746". r '-""·:;t-b..ed:r: (a>O, b>O).o
"z3744. Jln(1+o.&90.z:)_!:_(a~<f).1-a,en;z: sens
O
..3744 r· arétg= d.r
.... )' % (i+zt) ,o
I ,
3740, ') In t.-~.d.r (aa<1')'. O;¡;ll I-:Dl
I
~42. f lD(1-a2~) d:r: (al<:1.).J lf"F-';i_ ...O
j
3739. t .ar<:tg tl% da:J :z; Y1-%2' .o
267f 5. IJlt6gTales impropias
En los ejercicios 3755-3756 calcular las integrales aplicandoel resultado del. ejercicio 3754.
00; OQ n b 1\
3755. 1ofotga",.:-ofCLgb"dx_ . .375.6, ,r·.-~ :e-.x (],x (n.:;>O).o t- - .
3757-. Se.~la funcióli f(x) continua para :t:;;:'O y h integral"" .r tJ;! dtrJ CQñ~!lt~ent'~ para, cua-Iq'uicr4~?Q. I:i~wo~~~~t,.~om~nAoen,A _consideracíén, todo esto', que" si a.>O y .b>.O, se tie!l8""F(QX):-f (bz)d.z= i.(onn ~ ... (Co~p~rese, con el ,ejl¡rc'iciq 3754·.)o
Diversos problemas3754. Sea la funci6n t (x) continua para x~O, y cnandc x_ O
la función f (x) tiende aY limite finito t (00). Tomandc todo estoeh conside~acjón demostrar ·.que si Íl:>Q. y b>O, se tiene..) f(a;&)~f(b",} dx =dl (00) - f (O)lln -%.o
00
3752. Valiéndose de 'Ia igualª-'9d 2a. J e-aS"'~~d~=y;t (vé'ase elo
.., ,,~ .b2
ejercicio 2439), calcular la integral, 4 (e::-"iir-e-Xi') tW.o ..
3753. Deducir la isualdad ,~ = .~_.}e-'o",dz (x> O) de layx!y1tg,
relación re-.~ilz=~rr (integral de Poísson) y utiJizal'lR, parao
calcular las íntegrales (integrales de difracción o de FteSDel):
al S" ces :¡;dx • b) S"" .sen",t4J -:¡-=- , .,- .o y.l¡ o y%
integral
i
3751'. Valiéndose de- la· igua.l!le.'d ~ _x".d.,x.=-n~'1 • calliular lao
Cap. XJI. ;¡:n~gra.l.~.múltiples.~ _'.~_~ .c. _ .
·268
l'rí
Jo(r)=; 1cos(xsenB)dB
se llama funci6n de Bessal de orden cero. Demostrar que:
1) f_e-·"'Jo(X)dx=· ,/~ (a>O)¡q ,,1+4
DO 1 ~ · si a;;;d;2) ) :;e:= Jo (x) dx= arosen a, silal~i;
n n .-2' 9Ia~-1.
""• (' cose.JCI(X)=- J-t- ...t (ecoseno
'""'-Integrala}, Demostrar que
r senxsi(r)dx= r cosxei(z)dx ....-T'o o
3765-, La funcíón Jo (x) definida por la igualdad
376.1, rb'.66D!L"-oseobzdi.J %t •
..3759, J C'?9a.t~COSb.i(h.-
o
...f r4>'_,-"" j-.3758. ~ l.:: ~
J- "-'CIO
8760. J seD 4Z~san 1;.,ax:o
ti.'!. .001",3762-.) 'SIl:i% -ds:'O
3763". La función dé Laplace S9 define asl: $ (.:e)= ~::: j t-t~dtl' ~ o
(esta Íllnci6n des.empeña. .un papel muy importante en la .teoría deprobabilidad). Demostrar las relactones: .
r ~-""'~-1 ro'. 1i) J $(az)dz= a'Jfñ +~ (az): 2) J [i -$ (x)} dx= Vil .
o o8764-, Las funciones si (.11) y ci (.:e) suelen ser definidas del modo
Siguiente;
si (x)=- r !le: e dt (eseno Integrnl») y
E~,'lós ejercici.ós.·:il:Z58,-3762 calcular las infegrales apltcandoel .resultadó del::~jGr()icr9.,ip757(U'>,O, b >O). . '
260
..3768'. Demostrar IItle la funcíón JI:' 5 (1~~~;n+!_tk. rsat:r.sf~Q~ JIl
oecuaoión diféraTlcilíl xy" ~ 2ny' -I-:tg .... 1.
3769*. lJemostr~r que la función de Bessel de orden ceroItT
J'O (z)'= !J eos·(.:t'lieD6) da satisface la ecnacíon diferencial ;Jó (x)+o .
+.J~(.,)+Jo(x) ==0.1<
I37~7*.Demostfar qué la función Y=J (z.2_1)n-le~iICiz satisfaC0
. • el,la ecuáci~n diferelfcinl :tll"+2'n.1I'- xy =O•
3766. Demostrar"que la futlcíón JI? r j~~d~.sjltisfaile la ecuarI
ci~\l dl.ferenQjal y.+y=1/x.
Cap.xn. .liitegi'ales':mÚlJiple.sa70
e álculo de tntegrales
'lEn los eje'!'Ciciqs 3770-3775 caJcy1at las Integrales 'cur;y:mneo.s.
118770. J .i:~~, donde.L es un segtp,!lnio, de lo. recta 11=;=}¡¡; - 2L
comprendído entre los puntos A"(O, -2) y B(4, O).3771: J xy ds, donde 'L es el contorno de un rectángulo cuyos
Lvértices son A (O, O), B (4, O), e (4, 2) -y D (O, 2).
3772. f 11 tUi, donde L es un arco de la parábola y' = 2px. recorL
tado por la parábola x' = 2py,(13173. J (:¡;t.+ y')"ds, donde L- es la circunferencia
Lx = a 00$ t, Y '7' a sen t.
8774. ~ ';ryds, donde L es la cuarta -parte de 10 (llfp~e, r::+L+:=1 situada en el primer cuadrante•
.3775. J V21/ ds, donde L es el primerlafco de la cicloideIL ,
, :~ =..a (t - sen t), y =:, a (1 - c08 t).8776. D~duGir la fórmula para col~ular la Int~gra] J F ,(x, y) {1~
. .: Len coordenadas' polares, si In línea u viene dada por Io ~eunci6np =.P (q¡) _(~ ~ q>~ q>2)' \. '
. ... A'si,de~Oin(n'~rimo8'1M ~lltegr8108de: tipo ~" (:1;" vl 'rúo dondo • <lII lalongitud. (N~la ,tUI :r.)
§ 1.' Integrales curvilíneasde ,primer género'·)
Capítulo xm'IntegFales curvilíneas
~ t , ::"
e .íntegrales de, superficie
Aplicaciones de las integrales3784. f{8.lt~j::); "~~sa' de;;u~~.fl'ag~e.~·to dé, ia línea 11 ~ lo- IV
comprendido entre1]o~>pun~os'.,cu:y.al!'·ab.sc¡~!ls~0l! XJ -s :¡;~;si la densldad. de ~a~}.j_tÍeaép rcada Í!urito es' ígual al cuad,rado de la abscisadel 'pillitCj': JI' '>1'1" , '¡; v,.'~. '- '.: .' .+' f' ,,' ~ '~' ~
'. ~7~¡,::tI~}Jarla. mas~, de.Ul~tr:~!lffll}~\o...~e la ?Il~nar~a y. ~,'~"ch';'c9mpr~nd¡d() entra los puntos cuyas ¡¡J¡,si:.\.sª~SQn ,:1:1=',0 Y .11,.= q,si la densídad de la línea en cada punto es iúver¡jamente pl'QPol'Qfona'laIs erdenadadel punto slen'dli,Ü}densi:dadi,'eli,!eb'piJnto1 (O,~a) iguala 5, .
I
3783. Calcular la íntegral J (x + y) ds, donde L es una 'Cuarta. - ~
p8rt~ de la eircunfel'encia /&' + ya + .z2= R2, y = x, situada enel p~iInerl octan'ta: " "',, '1 ,':
»= t.y = t .sen i,:r. = t cos t.
3777*. Calcular ,'111.. integral ) (~- y) as, dOJld~ L es III cír-,¡: " '.f'->.. L. .+
cuníerencia ~ + y. = á$.' ,
B'n8~Oalcúla.f.,lla i'ategraJ . J.'.%V $'1. - f)," ds, donde L es unaL
línea dada por la ecuación (~ + y2)~ = a.~(,'I;~- y') (x >- O) (mitadde la Iemníscata).
3779. Calcular la integral 1al.'ctg~ ds, ~onde L es una parte't; -"
de la. espiral de J\rquímeéles, p~ ~cp, comprendida deritro de uncírculo de, radio .,R con.' el centro·' en 'el" origen .de coordenados.
3780. Calcular la intégral j :Z;:~2\ d.onde L es la primera
" .espíra de la hélice x=~cos t, ti= asen 't; z = at,37St. Ga1cular la integrál' J xy'z,ds, !to1).deL es una cuarta parte
L , •de la cirouuíerenoia ~.+ya+z2=Rz. X~,+y2,= ~. , situada en elprimer octante.
3782. Calcul!
J 8-0 110
(z~O) ("bénad1Jrl\ cüín-
z23792. XZ+yt=R2, z=R+'1f"
3793. ,r¡z=2px; z=1/2px,.-4x2•'3794 .. YZ=~(X_'1)3. z=2-Vx.3795. xS+y2=R3, 2Rz=xy.3796 ",!\, lIa .
• 112 +¡;r=1, z= kx: y z={)drtca'').
8797. y=Y2px, z~y y:t=fp.8798. -Calcular 91,8.rslI de' la sup.Qdicie' recol'cadjl, de 110 ciLin.dro
circular (le, TaOío R.por .otto ciHndro'rsemejap tq si ,loS·ejes de estosdos ctltndeos sé c6rbn Iortnando el ángulo recto (compárese con lasolución II(lJ problema en el ejercicio 3642).
En los ejeroicios 3792-R797 calcular las áreas de )~S partes delas superficies cilíndricas comprendidas entre el plano Oxy y lassuperfioies indicadas.
3786. ,q¡¡llar la,'.Illl!sa de '1¡na CIJ8rt:~ parte de la elípse x = a cos t,y = b sen t·, situada en el p.rill).l!r cuadrante si la dsnsídad en elidapunto es igual a la ordenada de ,e~te punto.
3787. Hallar fa' masa de la prj;;e~a espira de.1n M~ice:c ~ a cos t,y =.a.sen t"z =l!k (luyo: cJellsi.P4d .en elida' punto es igual al cua-drado, 401 eadio polar. de. Qste .~Ui,lto. .. 8788. Hallar ia masa del arco d_e la Iínea x. "" .e' cos t, y =
= e' sen t.::. == el d~~e el PU{lto éorrespondicnte Q t = o hasta unpunto cualquíeea silla densidad delarco esInversamente proporcional al cuadrado del radio pólllr y 'en el punto (1, '0, .1) es iguala ,.
'S7g9: Hallar las cocrdenádas del centro de gravedad de la primern semieSpira de. la hélice x = a cos t, y = a sen t, z = ó~, considerando la densidad' constante.
8790. Calcular el momento estáti,cQ de la primera e,spira de lalínea halícoídal cónica x c;= t ces t, y ..... ,t sen t, % = t con respectosi plano Oxy, considerando la, densidad proporcional 1l.1cuadradode distancia desde este ptano p_=k,,2.
319t. Calcular Iós momentos de Inercia, con respecto 11. los ejesde coordenadas, de la primera espira de la hélice :z; == a C98' t, y =
Ir.=- Q, sen t, II = íi1: t.
278§ t. Integralos cur.'i1inaallele primor giDero
<1>;f=mIJd;,~!
3803. tCon qué. fuerza actúa la corríente 1 que pasa pOI' UÍl círcuitQ cerrado elípuico, sobre el punto de masa, rQ¡¡gné-tica.m, sltu;_adoen el foco de JI\ 'elipse? - ,
3804. ¿Con qué fuerza actúa lá c;,9t;t¡e:nto.J (tu~,lrasny.0:r U!1'!rltcuito llsrabó.l.il'0 infinito, sobre, :el pun,~(f Qe·\ma.~a '.Il~ag!1ética 'rnsi;t1,1!1.d(l !l11...~LJo~ da JIl' pal'á,bola} 'La dis,taJlci.¡¡,que ..:;nedia ~qJr~,elvértice y el: (óco es ,igual a p/2,. . "
38tl_5. ¿Con qué 'fuerea actúa <)(1 corriente 1 que ,p'a_sa.por un _~-4'.r'cuüo eírculnr dé eadio R sobre .6' p;iJtt.to,de ':m~S8 l1!agp~tica m;stli\la~o'en ~1'pUlltO.P que se 4al>la a la distal\'ci!l7¡;d~de'el,'pr~n:'o del círculoy 'éñ·~la:p.erpeo'd~(jul~, ;'¡ev:a(Í.til4¡\.,:~!1..',:~!{QeIÍ¡;~o.dell.IÍ.lis:ii¡.o?~lPaFa1Cfú9"va<lor c}e'-P é~ta:iftie.bta',:{.et'¡~,~ái:tiDl'a'ili8n.doi~k'dadá?
De' '(Iouerdo con l¡¡ ley" Biot _,;.Sl1vai.'t; .~ el~metJt9."de -corrlenteejerce la accióu sobre la masatrnagnétjea in. Con la li:tel'7.a igúál 'rJ)
17JI ~;~~~s:dondo r e~: l~ corctente, ds es el 'elemento ¡fe ldngiWdde} cpnc1uct()'];,1~~Jª dts1ia)l'{;la 'CJ.~emedia en't~eel ~J~m~u~ode. co..,'r.~eAteYo lo: ui!lsa. miígn!hicn, ct es 01 6~g,¡po f(lr-';Ilad~'on'tr;.~la díreccién de la recta que une 111Q)8Samagnétiea y el elemento de cor,r¡eDt!'l, y la'.di~ec~,~ópdel rm:i~¡1,10elell,\!l~t,ode corr+ente. Picha f;ü¡¡ria~tá d~¡gida. 'sig"i,endó la ñOÍ'l1la1, ha'c.la ~.l"P'JUlO qué' I;Qntié~~ eieLemeñt(¡ de coiTiente y el punto el~quese hallª, SitiHld;n 'la !lÍQsamagné~ícll. Ladírecctén de la hwrz8 so ést.able·c~i'de a~ue/)d9 c~)Jilaregla de A'ínpere (tDmliién.la 'r~g]iIdel sacácorchos); f'ártleil:dó' dee~a' leYI fesolyer 105"problsIt'l'as de los eje.tcicios 3800l;:!.l3805.:< '3800. fÍaUar ·'lil.'fUflr'fá' eón, qúe 'la eo¡1~iellt'é'1en un,':conductorrecttlíneo infinito ejerce su acción so,br&"eJ-punt<i de ·mas¡\ magné-ti.ca m lllytl1!dolª ~a dj\?tl\ncja. a desde, Lel90.ndqc~ór., .,' • : ,
3801. Por 01 cil>cu;itQde ,foru,a cl).¡liiPa3a cuyo .ll.ldo' es a, .pass.la corriente l. ¿Con qué fuel'za. dicha. corríen te ROI.uasobre el pu ntode mall!l magnétíca 1)~-situado en ~I cent,w del cuadrado?
3802. MostrlÚ"que la corriente L que -pasa par 'el arco de 111líneae'uya ecuación en las coordenadas polares presenta la forma p == P ('Pj, ejerce la acción sobr-e 01 punto de masa magnética situadoen ,~1polo 8·plic!,\ndg la fuerza'
_', ,3799. H~nl\r' el área d~ UUA lltirte d'Il')'a sUperficIe I(le! clHndr,o;¡;3' 11- ¡?"dl'R'¡¡¡ cbi:lIprendida a'elitro de ~á\0'sfqra .f3. '1- 'r/' +'$~== RW,.
2.74.
(Nolo dtl r.)
§., 2', Integrales curvilíneasde segundo género*)tálcul()" de integrales
En los ejarme-ios 3806_:382~ calcular las integrales curvilíneas.3806. J s: dy-, Qoodc,,[, es el contorno de u~ tt'ián'gulo lofmAdo
c.por .los ejés de cooédenadas :r la- recta,if"t = 1 en dtreeclénposi~ivlI (es decir, en sentido contrario 111 de lus aglljal3- dj)) re1oj),
SSO? J x' dy, donde L es un segmeñto 'do lo re~~n.¡+ } = tL ,
desde el punto de su intersección con el- eje do abscísas hasta elpunto de su intersección eon el eje de ordenadas. .
8808. ) (xl! - y~) dz; donds L es el arco de lo. parábola desdeL
el punto (O, O) .basta el punto (~, 4).
3809. \ (x~+ gl) dy, donde L es el contorno dn UI1 cuadriláteroL .
cuyos vértices se hallan en los puntos A (0, O), B (2, O), e (4, 4)y D (O, 4), índícados según el orden de recorrido.
(n, :!.:t)
~tO. l -x cos y dx + y sen x dy R lo largo del segmento(o. O)
que une los puntos (O, O) y (n., 2n).(1. t)
3811. J x,y d» + (y - x) d n ]0 largo de In l)nea 1) y =x,(O O) _
2) y .... 1;1\, 3) y~ =., z, 4), iI "'" :r,3.(1, 1)
3812. ) 2,xy dz + Xl dy l\ lo largo de le línea i) y =:z:.(O, O)
2) y = r, 3) y =;tI, 4) y~= z.• 38t3. 1 y dx + $\dy, donde L es e!¿;}ladra..~·te djl la círcuníeren-
• L .• 1 .\ " " - • - _.c.ia :1: = R ((OS t, y, ¡=_R sen t desde- t¡_,,=.O.. h?sfa~ t2 ;= nJ~.
~, \ .. , - -"'... .." Asf denominaremos los integrales de tipo ) P (;;. y) d%,+'Q (3l~1/) dl/.
t.
2i5_§ 2. lntegráJes c¡irvilioeal!;Qe s¡gunao gónero
Férmula de Green.
En los ejercicios 3822-3823 transformar las integrales éurvil.íneas tómadas'·:1I 10. largo de los con.tornos, cerrados ~; en sentldopoeítívo, en Ias- integrales dobles sobre los don'linios.l[iñitados por'estos mismos contemos. .
3,822. J_(1 ::_,x~) y d:r:·+ ;t (f + yD). dy.L
3814. J y dx - x dy, donde L es ]a elipse ~ = a cos t, y =L
- bRen t recorrida en sentido posítivo.
3815. J ?~+~:dY ! donde L es la ssmicircunferencía x =L
=acost, y=asent desde t¡=·O hasta t!=n.
3816. J (2a - y) dx - (a - y) ay, donde L es el primor arcoL
(desde el origen do coordenadas) de la cicloide x = a (t - sen t),y = a (1 - cos t).san. \ :r.2d~-Y:tk , donde L es 111.cuarta parte de la astroíde
i z.1i+riijx= RClJs3 t, y=Rsen3t desde el punto (R, O) hasta el PU1\to (O, R).
3818. , x dtD+ y dy + (:t + y - t) dz, donde L es un segI.
mento de Ia recta desde el punto (1, 1, i) basta el punto (2, 3, 4).3819. Iyz d;¡; +u dy + xy dz, donde L es 110 RICO de la hlilicc
L
:.1: ... R cos ~, !f = R sen t. z =~ desde-el punto de la intersecciónde In hélice con el plano .t = O hasta el punto de su intersoceténeou 01 plano z = a.
(4. 4. II3820. r y zdz+vdy+zik a 10 Iargo de la recta.
J V+II'+:2 z-u+2.t(l. l. 1) -
382L t y2 d~ + z~ dy + ;¡;2 dz, donde L es 18, línea do Intersec-1.
c¡ó" do ~a' esíera (1;~+ y2 + ZZ = R- y dpl cilindro .,;2 + yl == R;¡r(R, >·0, .~>O). slendc ·recorrida, eo: sl=proceso do 'i~tegtlJ,cién, en sentido contrario al de las agujll8 del reJ oj si ~emira desdeel ocigen do. éoordenádes, '
Cap. XIU. Integrales curvilíneas276
J!= J (:r:+y):dx-(x-y)Zdy,.-\1'lJ
don do AmE es 110 segmento de 111 recta que une los puntos A (O. O)y B (1. 1) y AllB es el arco de 1;\ parábola y = .2;'.
3828. Mostrar que la integr al
~ {:¡; cos (N, .11) -. Y sen (N, :r)} ds,L
donde (N. :¡;) es 1111 ángulo Iormado pOI' la normal exterior a )1\ Hilen'! por la dirección positiva del eje do abscíses, calculada sobre el.contorno cerrado L on 'sentido positivo, es igulIl nl área doble do laIigurn limitada PO(' el contorne L.
3829. Demostrar que la magnitud de In íntcgrnl ~ (2xy - y) ds: +L+ xi dy, donde L es un contorno cerrado, as igunl al áren del dominio
limitado por esto contorno,
y
382"3, ~ (e"U + 2%cos y) dx + (e"'U - %2 sen y) ch,¡.L
3824. Calcular la integral d_é] ejercicio 3822 de 'dos modos consldersndc la clrcuníetencta :r? + y~ = R~ como contorno de integraciQn L:
i) dlteetamente, 2) ap!icalldo, 11.\,fór')l\Ila 'do Creen,
3825'. Calcular ro integra:l ) ~xy+.'t+)¡)dx+(xy+x-y)dy,I ./J
dOllde' l" ,~: 1) la elipse :f':+- ~:'= 1; 2)' la Ci'l'c:Ullfel'encia,.,2;2++ yZ, "" az. La iiltegraci6n debe .efeetunrse en sentído positivo.(Calcular la integral' de dos modos: i) dlrectnmente, '2) aplícandola fórmula de GrtlBD).
3826. Demostrar que la integral
J (yx"+eU) dx + (xyS + xev - 2y) dyL
es igual a cero, si L e." una HIlen cerrada y simétrica respecto al ejede ooordenadas.
3827. Vahéndose de la fÓl'Tll\lla de CI'etln calcular ]11 díícroncinentre las integrnlos
1.= J (x+y)Zd,lI-(x-y)Zdy.'1mB
277§ 2, Integrales.nurvllinaás de segllndo género
Indepondencia de la integral del contorno de {ntegmoion. M étodos para hallar la jl,nctón prtmtüis:
En los ojercicios 3831-3835 probar que lA!! intograles tomadasn Jo Inl'go de los contornos cermdos son iguales a cero C1Jale!(J uiara quefuesen 111,$ funciones que forman parte de los íutegrandos.,'., '3831. \ Ql (11:) dx + ,()(1/) dy,
13832. J f (xy) (y dx + x dy).
t.
3833, r f (!L) :t.d!l-,/1 tk,J :r. :1;3z,
3834. 111 (x+ y) + f (x - y)1 dx + fl (x + y) -.f(x - y)J dg.L
3835. J f(xD + y~+ ,,2) ix d» + y d,¡+ :,¡ dz).L
3836". Demostrar ~ue la íntegra] j "'~:t!l%torunda o lo largoT.
de cualquier Contoruo cerrado que encierre el origen de coordenadas,en sentído pllsni"Q, es iglU\l a 2n.,
3837. Calcular la inlegl'1I1 J %::¡IjIlIPch; 8 lo Iaego de la circuuL
Ierencia :c2+ ya",,- J en sentido posüevo.~n Jos o~rGicjos 3838- 3844 calcular las intognUes ¿ilrVqineas
de las ,diferencia'les totales, ' ,(2".3)". ' (2. 1) ,
3838. J gdX+:r;dy. 3839. J 2x!ld.~+X2dy.-(1, 2)- (O. O)(5. ~2~ ,r :z; dx+v,dv (1' .' d . d d h }I38~O. 'J ,,;,z+IP e erigen ,e, coor ena ,(lS 119 se e, a ent~. r.)
01 contorno de iiJteg,racióll),¡FS) _ r .
384,.1. j. %dx+VdV donde los .puntos PI y P2 están(PI) V¡tz+v2
3830. Demostrar que In integral 5 Ql (y) dx -\- [X<f)' (y) -1- ill' ayL.
.es,igua~ nl momento de ine;«lll_triple de nna figura plana homogénea.li-p;¡itlldn por el Contorno f." respecto al eje de ordenadas.
Cap. XU!ftlnlegralos, ~urviJÍ!!e8S,.2;8
sitüades sobra. i-¡15:' .eitcup.ferencjas c·~ri'e.ép..tri~\ls':el.lyos "centil",os ~.e'hallan 1.10 01 brigti.(l, 49 coprdenadas 'Y ']QS iad;lós:son iIDIaléi',a Rl.y R'Ji :reSll.ectlvn-IDootEf(el. origen de .coordenadás-uo se ,hnÍl.!l en 'elcontorne de integración)" '1," , , I
(z. J. S)•.38~2. ~ XdX-y2'dy+zdz,
(-1. -=·1.2)(,3,2,;1,)"
3843. J" yzdx,+zx'dy+:uydz,(1,2,. s)(5, ~, II
a844' ¡. ,~ d11-f:'7,1Idiz-;:,y~~' (el"'co,11torno ,de i:"t.eO'l'l\ci6ri:M, '.. J . (z 1(.)- u.¡ '"(7.2, 3\
corta. la superficie í=-=:., y-, '~n .·}ós ejcrcicioa '3895-.:iR52 hUl:lal' las. 'funciones sic'nd'o'ri:a'ildaslas di.[el'énQi"les totales.• 3845. du. ci=. ~2 d.-p + y~ dy. 3&46, d4- = 4 (~ - 1/) (a;) d.Z -- y c1y). ' ,
38~7 d _ (!r+l!lI) <bI+y,ll¡¡'" 1/,- "(r+u)'~ '.'
301.,8. d" '- :1; - d' (.tJ.+,y.;q::y2',) d' ,0"1 ,l(.=-~ $- y,V V ;f,~+!J2 y~ V"'Z+Y" ,
3849. uu= h;=:~2+$] dx+ [(y':",)Z -¡?]dy.3850. al~=(2x'cos y-y2.sen1V) dx+(2yc6s~._tll~ell y) dy,
30fi" • g..;.(r-.ell) (~Y."~ ) .:0<'.\ du (1+",2)24:1;+, 1+~2 +'1 dl/,
38"2 a' (3y,"':':<) <bI+(u-3,,:').<!vnz. u '(",+yp', 38~. S'!ll'eccjo'n~~el número n !le tal modé 9il~, la ex.dresiÓn(~-:-Y~!":[i;;;)Ild~,sea la díferenclal, total'. Hallar. In fuo·c.ión corres
pondiente ..' J8M. Seleccionar las a y.. ~ cónll4tn\es d~ tíll lllo,do, que l~
exprnsién (1I.2+2ry+a",z~;:+~i;/~XY+lili!~'dYsea la dif~re)JClal,'total,
Hallar la nl)l"ión !lorresPol\dí~hte... En los ejercj~'jo~ 3855.3860 ha1L~ Jas íunclones ~iell¡ro dadaslas difel'on!,}lales !otales.
3855.' du: q:r,+·dy.+¡!z-" :c:;t.-,i,I+z'
_ 3856,' tU¿=~th¡,.y d¡j+..r. d;r. 3857.._ du..="Hzd!c+z;4u±~¡¡d",}'/'",2+U2+22 - 1+..,2!1"'~ t,
Trabato3869. En cada, PUIltQ del plano, sobro el punto material actúa
una fuerza CUYCI valor es constante e igual a F y cuya dirección siguela del eje positivo de abscisas. Hollar o) trabajo efectuado por estafuerzo euandc el punto se desplaza a lo largo del arco de Ia círcunferencia Xl + JI' = R2, situado en el primer cuadrante.
3870. En cada punto del plano, sobre el punto material actúala fuerza F cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas soniguales a X = :cy, Y =_x + y. Calcular el trabajo' de 1a:fl!erza J?ni dasplazD.1'S1lel punto desde el origen de ccordenadas hasta el punto(1, t) a 10.lII,l'go de: '1.)-1a'tect~ y = :tj, 2) la t>8'l'á~018,JI. = ~..~)unaHnea' ,qlleb~aaa do '-dos Oslah9nes..cuyos' lados "so'IJ'paralelós a losejes dé coérdenadns .(consfderaf dos, oasós). ,
3871, En cada punto A{ de. 'la, elip~~o:¡¡ ~ ¡t .cos t, y = b :sep, te~t&aplicada 'la fu_crzll.)i'cuyo valor es igual'a Ia distanCia' que, ¡;il.~,(UOentre el punto JIf y el centro 'de lá eltpse, y dlrigida hacia -el Q8n't1'0de la elipse. a) Calcular el trabajo de la Iueráa '1:' al désplazarse' elpunto a 10 largo del arco de Ja elipse situado en el prlmereuadrante.b) Hallar el traba]c cuando el punto recorre+toda la elipso.38n. Las proyecciones de Jafuerza sobre 105_ejes de coordenadasson dAaa!l por las f6rmulas X = 2xy y Y = x~. Mostrar; que el
Aplicaciones de las integrales
En 105ejercicios 386i-3868 calcular los áreas de Ias figuclls limi-tadas por IlIs líneas cerrados, mediante la integral curvilínea.
3861. Por la elipse ;r; = fl COS t, IJ = b sen t.3862. Por la a.stroide x = a cos' t. y = a sens t.3863. Por la enrdioide z = 2a cos t - a cos 2t, IJ = 2a sen t -
- a sen 2t.3864'", POI el Iazo del folio de Descartes :rf1+ !I - 3az!! = O.3865. POI' el lazo de 111 línea (x + y)* = xy.3866, PO'r el 11l~0 de la linea (x + y)f = x'l¡¡.3867•. PorIa lemniscata de Bernoulli (x' + 1/1)2 = 20.' (.1.'2 _ yt).3866. POI' el 1111.0de la Línea ('Vi+'Vi/)12=xy.
~3860. du=eX" dx+"-1_ (;;: (:+1) +zeJl%) dg+ (
3858.
3859.
e~p._XlII. ':Integrales"eurvilínou280_
Lntegmle« de superjiote de primer género
En los ejetcicies 887fi-::l884 calcular. las integrales.3876. r j (z+2X+} y) dq, clonde S es una parte del plano
sef+f +1-=1 sítuadn en el primer octante.
3.877. ) J :IJ~ d,g, donde S es una. 'Piule del plano $ "1- y + z= 1.1l
situada en el primer octante.
3878. J J :'1:dq, donde S es uno parte de la esfera .x2+y~=Z2=S
=R:'1., situada en el primer octante.
3879. J J ydq, donde s os 1.. St~nti~sferaz= Y1f¿_;:¡;z_y2.S
§ ? Integrales de superficie
trabajo ,de,la rue¡;,zil.',~I·~e,$.'P~llz·a¡·se:~punto, dependo sóló dé Silposición inicial y iiP:1!i y no' depende de 'la forma dei tJ:sYccto. Calcular In .mngnitud .del tr.abajo 111desplazarse desdé, el punto (1" O)hasta el punto (P, 3). '
3873, La, ni!lg)':¡j-tl.l~,de J;I fuerza .es inversamente propcrcionala. la, distnncia q,ue' media entre ,el ,puñio de Su áplícación.y el plano xOy .. Dicha, f;uel'Z8.e*í dirigída hacía el origen de coordenadas.Calcular e,! trabaJó" ni desplilzatlie,.el punto baJo la ~c_eióD efe estafuerza a lo llirg() d~ 1,3.'recItá ,-:L 'C= al, y = bt, z = cr.desde el puntoM (a, ,b. ¡:) hasta el pyO'to N (Za, 2b" 2c).
3874. La magnítud de Ita1uél'~i\,:e!;invarsamenre p¡;.QPordoDI.IIa ladistancía. que media en,tIi·~.el punto de su ¡¡plicllci6n,y el eje,0",Dlcha fue,u!!. os pe.rp,B.J;Idicl!lal' a ,estil ejé y éS'tá djr.igjd~ Melé} él.Hallar el íl'abajo ds Ia fuerza 111desplazarse el punto bajo la aCQiónde dicha Iuerzn a lo largo do la clrcuníereucta. ;¡: =;: cos t. y = 1,z = seo t desde el punto M (1, 1, O) hasta el punto N (P, 1, 1),.
3875. Demostrar que el t,rllbajo de la 'fuer~::t dé grllvito,ción dedos masas puntuales, efecttua!i9 ªr_d~p'~~za~se una {leellas no dependede la forma del trayecto. La ~JlgÍlit}J;d de In fuerza de atraccíén Fla establece la ley de Newton F·:o;> km:r~n2, donde r e~ 111distanciaentre los puntos, tfI-J y m2 son las masas concentradas eJi dichos puntos,k os In constante de gra ....itaci6.n.
§ '3:,lntéplllss"de, StIpetficle
Lntegrales dt superficie de segundo género
En los ojercicios 3887 -3893 calcular las integrales de super-ficie. •
3887. JJz ay dz + y dit.-ds+ z'd~ dy, donde S es el lado, posís
tivo del cubo Jor~ado por los 'l?la.nos x = 0....y, = O, .::-= O.:·~= 1,y = 1, z = L
ª888. ~ i.-cV'z ~ dy, donde S es él l<laó' positivo·íle la mitads. . , , ,
illf!lrjor a~ 1(\ e$ff)!'a:I)~ + y,~+ z~=,R~. -_ /3889. ~ ) z d:tdy., donde 8 ....es la. .cara exteJiiol' d~ -elípsoide
S '%1; 1/2+ ~z ".". -a2 + bZ Cí"=1;
3880; :) J V ft~,:_ X2_ y2 dg. d<II!«e S es \1\ SBLIlic_sféTll. s
z=VR?_Xt-y2.
388~._I~;¡;2y?rk¡\ donde $, es 111 ;¡el,Jlíes~erll z =Ir~ - yZ.S I
3882'. J S ~i, donde S ~ el cilindro ¡¡;~+!f=W,,1ill\¡tado pors
19S plenos %=0 y z=H, r es. I~ distancia que litcdie entre elp~I1~O (,111superñcie y el ongeu de ccordenedas.
3883, S f·~~',donde S. ~s' la ester:1 ,-¡:2+y2'+ 1:2=R~t r es ]1'11;) ,
'distancia que, O1,édia él\t~e el punto de 111 esfera y 1.'1punto fijoP,'(O,.0, e) '(t;>R). ,
388ft, S S '~ 1 donde $ és \1118 'Parle de la super~cie del para-s
boloide hiparhólíco z=xy, recortada por el cilindro r+lf=Rz.r es JI). distancia que media entre el punto de la superficie y el'eje Oz.
3885<1<.Hallur In malla de una esíeru si la densidad de superficieen cada punto es igual a la distancia que medía entre dicho PWl~Q ycierto diámetro fijo de 1(\esfera.
3886. 1Ia,li0/.1~.\o¡.~S)1d~Üll'H..,~s~er@..,~i~~"':deIj.sidadde s~perficieeu cada pu.nto es IgniU al cua~ratro d"edíatancfa que medía entredicho punto y cierto díémetro lijo de 111esfera,
Cop::XJll.·lrl~eg1"Íllos curVilíneas
Férmulo: de Ostrogradski
3896. Aplicando la fórmula de Ostrcgradakí transformar la lotegral sobre la suparñcíe cerrada en una integral ~riple sobre el volumon del cuerpo limitado por esta superficie;
J) :t~dy cJ.1I + yl el;¡; dz + z= d» dUo
J3894_. Apltcando Ia f6rwula de Stokes, transformar la integralJ (yt + z:) ds + (x! + z=) dy + (:¡:2 + y!) ~ tomada a lo largo
l.de cierto contorne cerrado, eu 13 integral de superficie dendidntsobre este contorno.
:181)5. Calcular lo. integral ~ ;¡;=yS dz + dy + z dz, donde ell.
contorno ,L es la círcunferencia .1]2 + tlz = ~\ z = O: 0.) directamentey b~ nplícandó la lórmuln de Stokes y considerando la semiesferaz = +lf R= _;2 - yUcomo superficie. La integración, a lo largo(le Jn circunferencia en. el plano :tOy, debe eíectuarse en sentidopositivo,
Fig, ~
Férmul« de Stokes
S890. J J Z2~ dy, (l'onde '8 'es 13 caen 'ext.erior - del eltpsoida
¡t) 111" $z~ },I-
;t'+ b:i +-"C2 T,1"3,891. j j, Xl: d:¡; dy + :ty dIJ dz + JIZ tls: dz, donde S·"C.9 111 ,Ca~tI
s ' 'exterior de la· pirámide formada poi los planos It= 0, y = 0, z = Oy x + 11 + ~= 1.'; 3892. ))1 yzd.:t;dil'+'%::dycIJ:,+lXyd:t~,t.' 's'~oQde 8 es la .cara exterlor de jJ~supes;.fi-,cie si tUR.i:ln en al p.dmar octante y .formadapor el cilfadró .:t~:..r:yf'= R~ Iyilos' plánosx "" 0, y = O, z = O y z =R,
3893. 1° -1 'Y~ z 'd.z dy + xi dy' ¡iz'+ '.~ ~x~y r1:i da. donde S i!s lo cara éx(eÍ:ióÍ" de lasuperficie situada eu el priDl'lll:'octante yforruada por el paraboloide de revolución z = x' + y~, por el cíl índro 0;2 + y2 =:1 Y los planos de coordenadas (véase la Hg, 68).
283§ 3,1ntegrale~ de ,suplll'tll\¡e
La .integracjón debe ef~ctuarse sobre la caro. ,exterior de I~ superficie S.
3697. Apltcando In f6rmula de Ostrogradski tranaformar In integral sobre In. superficie cerrada en unn integral trtple sobre el volumen deJ cuerpo limitado por esta superñeíe:'
j) Ya..4l+y3+Z2 {CIl!J (lV, x)+cos(N, y)+cos(N. t)}dcr,8
donde N es la normal 9.lileriol' 1) 1ft sll].l~l'ficie S.3898. Cnlcull\1'I,n integral ~81 ejl)[cició 3897, si 8 es la esfera de
radio .R, cuyo centro se .halla-situado en al origen de coordenadas,3899" Calcular la itl.ttlgrlÍl
'IJ [.:¡;sces (N, x) + rt ,C08 (N, ¡J) + zlt cos (N. -z)] da.8.
donde S' 8S la esíera de radío R cuyo centro ll8 hallo situado en, elorigen de coordenadas )' N es la normal exterior.
3900. Aplicando la fórmula de Ostrogeadslcí calcular las integrales de los ejercicios 3891-3893.
Copo xur. lntegra1el! eurvílíneas:'284
3910 ' .l:+U :l;-Y•. ,y +sen -2- == sen ""'T'" .3911. ~n bllHstiéa establece IU"dependeneía sntra JI! 'Veloc.ida~ v.
del proyectil y la distancia ~·recorrida l'oi::ésta en el cañón del ¡¡'tOlamediante la -signiente ecunción:11= b~~n, donde 11= ~~ Y It< 1. ~1I118r, In dependencía entreel tieo1po t del movímíonro del proyectil y la distancia l recorridapor dentro del cañón.
3912. Si :r. es la-cantidad de ácido yodhidriCO RJ qué sé ha doscompuesto para el momento de t.iétllpOt, 111 velocidad de descom-
poslcíén (~) la deter.mino l~ ect¡llción difllrencial ~li=kt XX ( '-,,11:)2_"2 (_:)2, I .. , k T,.... (011.. 9 "" '!! Y lJ son constantes, ntegrnresto QCMci6n,
3909. y' = H):t+v,3908. e-O (j + :) ~1.
Ecuaciones con uariables seporable«
En los ejercicíoa 3901-39iO hallar las solueiones generales de lasecuaciones díferenciales. .
3901. (zyZ + x) ~ + (11 _, ry) dy = O.90 -'" "9'03 '_ i-2%3 2. lEyy' =1-i.-. ". YiI--v-'
:i90(¡. y' tgx- y=a. 3905. xy' +y =yZ.. ,./1-v2a906. y + V ~=O.
3907. 111-yZdx+ yVf=iidy=O.
§ 1. Ecuaciones de primer orden
Ecuaciones diferenciales
Capítulo XIV
En los ejercicios 3913-3916 hallnr las soluciones particulares delas ecuaciones difereuciales..9ue saU!\fllgoll las condiciones inicialesdadas.
39t3, 1I'S611x=ylny; 111 ,,=e,-.,39t4, y' = l++Y~; Y 1=0=J~
.l1 z-39t5. seJiycosxdy=cosyseuxdx¡ IJI .... Q= ~ ,
39'16, IJ - xy' = b (1 + xV); y 1.._, = ~.39'17. Hallar In línea que pase por el punto (2, 3) y cuya propie
dad Seo 10 siguionte: el segmento de cualquier tlUlgenté suya comprendido en't_w.l?5 e~~.s..rte !X'o~~eOU~09 59 ·4i~M.e ~n dos-partes iguales ene1 puntó'l:'dejcQJitoct()~') . ! ., - ",,). I~.
3918. Hallar lo Iínea que pase por el punto (2. O) y cuya propiedad sea la siguiente: el.,segmeoto de In tangente entre el punto decontacto y el eje deordeundas tiene la, longitud constante e jgu~ I11 dos. - . .
39t9. Hallar todas las líneas p~lr¡¡ las cuáles ¡ll segmento de latangente comprendido enlre el punto de contacto y el ajé do abscísaese divide en dos partes iguales en el punto de intersección con el ejede ordenndas.
3920. HAllar todas las líneae pata 109 cuajes la subtangente seaproporcionnl a la abscisa del. punto de contl\Cto,,{el ceeñciente ríepcoporclonalídad es ígua] 3 k).
3922. Hallar la ijne~ que pasa ).lor el punto ·(a. 1) y cuya suhtangente tenga la longitud constante e igual a a.
3922. Hallar la línea para la cual la Iongitud de la normal (susegmento desde el punto de la misma ]1115ta el eje de abscisas) sea lamagnitud constante a.
3923. Hallar Jo línea para la cual la suma de las longitudesde la tangente ~' de la subtangente en cunlquíer punto suyo sea proporcional 111produeto de las coordenadas dol puntii' de contacto (elcoeficieúte <te propórcícnalídad' e¡¡ igual '1\ -k)': .
3~24¡ Hollar la Iínea y = f (;¡;) (1 (:r) ~. 0-; 1,(0) ¿" O) que límiteel trapecio mixtilínec de base, [O, xl' y euyn IÍrea sea proporcíónal a~grado (n + t) de t (x). Es slli.)ido que t (~)= 1.
8925. El punto. matertal-cuya: masa' les 'igM:l a 19, efeptulI. él'movimiento rectilíueo b,ajo 18' acción de le f''llerza.'dítectsID6llte1prQ.POf,OiQTJ.II!al ~ien~pó .calcülado 'a41llrtil' dei momento 't ~ O é '¡",ver-5a~e~t8 propcrclona} a .la velocidad del JJlo~.imíeilto de.dícho .pünto:En él memento t ,=,"10 s .la vel.oeldad era.~g\lal_ a. 0,5 m/s;.y la fuerza,4.10-6 N·o''lA qué·'será igUal In velocidad ;a'1 éabo de'·1 min ce conie)l~zar el movímíento? ~ , ' ..
3926. Un ponto material efectúa el movimíénto rectilíneo siendosu energía cinética, en el momento t, directamente proporcíonal a 1a'
Cap. XLV. Ecuaciones dJferenciales·281)
Vf!lOilido.l}:medía -élel l)lÓviru¡l)llto;.'e"n:¡e1~i'ntety.niode' tiempo .desde .e1cero ,~.~!'tn,t. Jj:s sÍi'biiW.([\I~i?,i'Wd9:;l= O'el tr~yeot~. ~s,s-= 'él, Mostrarqbe :~l:"Di oll,i'tnj~l,1~d'¡éS:')wiJortile:' • ' ,", . ' ~
39~7. 'Una lnnchti nü~ol'óó"il 50 de.splU1.LIa Jó velocí4a4 (le p == iO kmlli, estannoJas.,¡\g).llls ~ri\n.quilas, EII plena.marcha su.motorfue ueSconectado, .A1i'calío de,t, ,=_'20 s .}!l velocidad de la lancha bUJóhasta: .v¡' = 6, k~(h" .9RP'si.Qt:!!\~dQ_'<l,ue 1t1rUfrza, de JIl.$ist;en,ciú delagua ~,l pioV!mlenti>, de Ja lancha es proporcicnrd a la velocidad deéstn, ,hlltlllr l~ v.e.lóliidad d~,!CI,19!,\pl\l! a IQ$ do~ l1li.nv.-tosde liar~r elmotor. RaU!I'r' tai'j¡,tiLéri\la d·isfilll'éia'.recorrída por, la lancha' dúi'l\n:teun ~j[iuto· despuQs d~"patal: el,molor.
3~28! Un recipjeIite ~H(illirWoi'~e tiene i}l'ajo "Y!ttticji} y. Quyase\lci~n ,ttsns,verSill el!. S. tiene en 511,fondo un P¡3qU\lÓO orifióio ,ci;,:cular cuyn área e¡;'(J. cerrado pQr un diafrllgl1lf¡' (cómo en el objetiv'ode uña cámllt,~dé fo1;9g~~[ilf).'El ~,eoipjll~te conttcue UlI l!ll"Qidocuya'altura es h, Bn el momento t = O e~dÍlI~l'llgni¡) oomíenza " abrirsesiendo el área del oriñcíc proporcional al"tierilpo. El oríficio quedatotalmenle nbierto en J' s. ¿Cuál sel'á la'aJt"ura:.H' del liquidó M copode :r s íJ.ecomenzar el e~perÍl_Ill1nto?(Véansiílo$_\éj~cjciós 27M -2706).~ ,3929~ L~ velocidad ..del ,enfriameI!t\), p'e un cuerpo ..~s_prop~rcional¡f la difóteñcia d'á 1ás·télnp'9Ji!Jturas del. cuorpo 'i del 'ñiédió Il'mbient.e.En- loIí ejM~doiSs~21i1'0:...::~'trHiénios.éons¡ae:ra.do¡ii' ccieficiént~ (le- pro-'porcíonalídad como constan te , En algunos cálculos -c()nsi~i'At) quedepende linealmente del tiempo: k -= {.10 '{1+ ~().Tomando enconslderaotón este 1'3Zimamiento, hallar la dopodencíu entl'lllá temperatura del cuerpo e y el tiempo t. eeusiderando que siendo t = O.111 temperatura del cuerpo 'es7e "" eo, y la' del medio ambiente es el'
3930*. La velocidad del cceeímlento de á.relil'-de '\lJJa bOja .10';'00de la planta Victoria regia (también taropé), que ~iene, COl1l0essabido, formu circular, es proporcional a la círcuníeeencíu de ll!hoja y a le. cantidad deja luz 'solar :que cae sobre ésta. La. cantidad deIa Iuz , a su vez, es proporcional al lh'ea de la hoja y al coseno delángulo,entre Ia direccíón de Ios rayos.y la verucal. :I:Ia!lnt la dopenóencia entre el área S de Ia hója y el tiempo t sí So sabe qua a lasseis de la; mariana dillhá,.~rtlllera .ig1,lll,l !) .(600 (:~\~y.tl las/sels de latarde, !i 25QOcm2, (Considerar que la obsef.X~Ción.se ,~fept.úó el] eJecusdcn, en el momento de equinocélo en qüe ~j jTl@I(l' fOl'll!ad'oenJ.I:8la dfrec¡¡ióp de .Ies rayos: sc;Jllll'es;~ la 'Vtll'tjAa~es 'suseeptibl1r decotisi~ilró.¡;'igua[ 1190° a l~~:séi'Sdé la.mañana 'y ñ J¡is'~e¡'sclli t~til:r~e":éigual a 0° ~ll-medigd{a.) '. ' , . " .'
En 10s 'ejercicios '~~31-3933; mediante la 8ustHucii)n de la 'función. büscada, r~dligJr; .lasecuaciones dadas 3 las ecuaciones con va-rdables 8e'P.I~1'~hl~·iv jesol'Vl1tlÍl!l', '.
393t. i!/ ,= c9Íl,(x _.. yf (panel' u: =":11 - ¡j).3932. g; = si - 2y-+8: 3933. y' y..,..1..::.+;:.:....:lI-+~y=' ,z+ 1/ -1
'287'
3949. Reducir Ja ecuacióq 'y'=.l!,.+q¡ (.~), a la '()uadratuF3..' .,; .11, ,
¿Cuál (Ie~¡¡ría ser la funoión: ~,t~).para qua y= lñ'''C;J;''j se'!!'lB so-'lución gerieval Ue .la .ecuacíén A(lli\\~:' _ '" ~,,'. .. 3950. Ha'lla,r JI!. líne,o 'pnra. la .(}ual. el.\l)uadradQ' de la .longitud, ~e"
uu 'segmento recortado por cualquier, \aÍlg~TJ~e.i;!.cl. .eje.de-Qrd~'g:a.dl!,1i,sea :igual {JIproducto de las ooordenádas'del'punto decontacte, ' .. ~.. 3!!51. :I:ra~lo'rJa:.l~e~ pará.l~ C,!;1~á':,o~déJi.¡i4~jJ.lic1~f'á.9~¡j~ÜCJ,1.l.i~r
t~nge}ltc el> Igual ,o. la subD9frpal c.oF.~pºn,~iente, . <1, ,.'3952*. SaUar la línea para)9,_cu.anll·lQ~itud del radío.polar de
cualquier punto ISuyo 1If es' ig:\llll 9..,10.~djstaIici8 :qüe .media, ~!Í~lieelpunto é!e)ntel'seceión .del 'eje OYI·y·ltf 't9.J¡lge1lte.O'l} el punto !vl...-'i eló\'ige!l «!! 'jlooofd!!uadi\s. ,1" ," . , ,
y1>=1 = -1.39~1 ,_y3_2",y_;;::1.1 • Y -1I:e+1zy-.~,
3948. y (!)1l+2~t-1J =0;
3942. :ty'=y ln..!L ..:t
394.3. (3y't + 3xy -r ..2) d:x = (Xi + 2xy) dy.
391t4. y'= !+lp,(~) .!P h;-)
En los ejercicios 3940-3948 hallar las soluciones particularesde las ecuaciones díferenoíales q;ue !l&tisfagari 'las condiciones iniciales dadas,
3945. (xy'-y)a1'()~gJ!.=x; U!_I=O,;1;
3946', (yZ - pzZ) dy +2xy d:c=0; yll_o =L
3939, %1/~y= V :rZ+y2..V
394'1. y' =ew+..!L.'"
i 2:cy3937. y =---..--..z--y·
3935. 11,="'+11.x-I/'
EC;UlUíones homogéneosEn los ejercici{)$ 393~-3944 hallar las soluciones general,es de las
ecuectonss dadas,
3934. "f= ~ -2..Y ;:t'"
3936. xdy-ydx=ydy.
G;ap. XIV, -Ecuacio_o8S diCereMi$l,es288
tU-(,l.7(1
:t: +_ ;'(;: X 'I.! _it. ",S e":'o:;"~'{¡'Z::l1'TIJe-Y-d7, forlll~lIdo la ecuaci6'ti' diferencial. (paTaO"ho ,0
x
'fhncióTI'j (.~)-="J,e~'<'-pdz y'~iesolve'uln.n
E',iÚi'éii1n'.és"ltheális• E11H1.9S· éjerCiciós 3954-,,3961t,'lialll\r, Iaa solücíones 'genél'aleéde las
.ecuacíóríes dadas.3954. y' + 2y = 4x. 3~55.!"y'+,~y ';= xe"1'~,'3900b ¡.'" 1"'20,:, f1 ;, t 1I i:-,'a2 ,!I.=c ;.1 ,:
'3957~';;(t1¡- tt3)"il ...l:2xy- <= (1\+ a:~)~.3958;, :Y' + ir ",;¡,COS Z'." 3959. ' y' ,,+ ay ~,'i!":<.'3960: 2y da: + '(y~ - 6x) ay = O.' '',,{)6';' ,¡ , ", '!J09 1. 11 = :!.%_y2 • ",3~62. ,y,:;::;: Zjilo'Í/+ir'"-'%'
39~3.:c (y' - y) == (1+ z~)'~~. "'3964; y' + y<ll~(x) - g> (x) (1)' '(±) -="O~' donde '~(x) llS 111fun
ci6n dada ,En,:los "~J~ré¡cios 39~S'-3~68 Iial,lar''<J~~SÓhiCi\)Dé$pa~tl'cUMres:de
1'IlS eeu~¡)~<?nesq~lE¡,satisfAgoll la:s ,cQJldié,ioi:ies'in¡ci~les dadtl$.'3965.,' ¡/ - y tgu> 1Jecq::¡ iJ 1:>:.=0=" O.3966. iz:y' + !/ ;_'r?' = o; l/ I~=ll= 1139(l7. rclJ' ~, +11 1 == xi iJl,.",,! =0,
, '"3968. ,t (Vt-tZ),dx =(x+:tt2..,..m !l~i xlt;a.t";T - Z "13969.. ;Seml Y1 1) 'y~ dqs d,istinta's sól'Qctón'es de Ia eCÍlQció n .
y' -+ l! ,(rc)'<':¡¡' +QI(~~;. a)' Demostrar que 'y = 1(1+ le (lIo¿ ..... lÍJ) 'és- ]a"lfoluciÓJi'ge,neral'de, 18. lliisol!l! ecuación (e es ¿ónst.añte)'.
b) ¿Cuál d'ebería ser la relación entre las constantes Gt y,~ 'pa¡;a.que-la IlOlll;binación,lineal '~y.1 +.~!l2 sea.la sql~c~óllda.la .ecuacíéndada? ' ,.;:
'c:)"D¡¡U~oS,tlp'):', q:ue.,;li !Y3 '00 ljl. ,t,eYOi1f,!l~iuct6.ñ",pac~!qtJ¡!lr. (llstJ,~ta'de y'¡ l! iJ~. la ,):ié}a'ci'ón'Ú2-lIt', es' constente.
. YS-1I13970. Demostrar la identidad (véalle el ejercieÍo 2345)\
- ,¡:>.95a"'{, ~,Qué clª:ie:'~de, ~á.'superficle da ).'éyolüéió'.í\,~re~e.ota el;e~p'ej.o'·d~;u'Q,:,p'r~Yllc~óP'lli1ºª,.rayó'l¡~1IlÍlli¡io901!"que,~aIit9(hleUQm.~7,n-¡uiti'al p~~fforme; al 'rQUejarse. se ptOpOl<8n;.formando,tUll' haz'Jlará:lel<io?
3971. Hallar' la Iínea para la cual la ordenada inicial de cualquier ta~enté sea, dos,unidades. de escala menos-que-Ia-nbscisa- de).punto: de 'contacto.' , "
3972·. Hallar la JiIlIlLl pata I~ cual el área del rectángulo construido sobre la abscisa do cualquier punto y sobre la ordenad» inicia! de la tangente en este punto es una msgnttud Constante (= aS).
3973*. Hallar la linea 'Para fa 'cual el área de un triángulo for-mado por el eje de abscisas, la tangente y el radio vector del puntode contucto¡ sea constante (= a').
3974. Un punto de masa m. efectúa el movimiento r;ectilíneo. Sobre dicho punto actúa UM fuerza proporcional al tiempo (,,1 coeficiente de preporcicnaltdud es k¡) transcurrtdo desde el momento enque la veloctdad era igual a, cero. Además, .sebre el mismo puntoactúa la fuerz~ de resistencia del mepiQ, que es preporcional-.a lavelocidad (el coeficiente de .proporcioñal.idad es igual a k), Hallar ladependencia entre la: velociaaa''Y el tiempo.
3975. Un punto de masa m efectú,a el movimiento recrilíneo.Sobre dicho punto actúa una fuerza, proporcional al cubo de tiempotranscurrido desde el momento en que la velocidad era igual' 8 l)
(el coeítcíente de proporcicnalidad e~.igual a k). Además; sobre eYmismo punto ejerce su .accíén el medío, esta, acción es proporcionalal producto de la velocidad y el tiempo (IlI coeficiente de proporcíoaalidad es igual a k¡). Hallar la dependencia entre Ia velocidad y eltiempo.
397.6. La temperatura inicial 9~e del cuerpo es igual a la delmedio ambiente. El cuerpo recibe el calor de un aparato calentador(la velocidad con que pasa el calor es una función dada del tiempo:el¡)(t), donde e es la capacidad calorífica ccnstaate del cuerpo). Además. el cuerpo cede el calo, al medio ambiente (Lavelocidad de ClIIriamlento es proporctonal a la dífereucia entre las temperaturas delcuerpo y del medío); Hallar la dependencia Q'{l8 existe'~n~oo la temperutura del cuerpo y el tiero-po medido al comenzar -el experí;mento.
, ~esolv~r los protllema's de lós ejeroiil1os'3977~978' tomando 'enconsideración 10 siguiente. Si la corríente eléctrica alterna J = 1 (t)pasa por .el conductor téniend9 el coéffciente de íuductancía Igual aL y la resistencia R, 18. caída del tenSiÓn.a lo largo' del conductor seráigual a LtM- + Rl·
3977. La diferencia ¡le potencial en 108 bornes 'de una, bobino vadlsmilluye!Id.Q uoifQr~emeli.t'e ele'.tE...o= :2V 'haata.. El =- f V 'durante1.0 segundos. ¿A qué ser~ Igual 111'tñtensi.dad tle la corriente al finalizar el décimo segundo si ilr principio' del prperill)ento era. igual 8
f6 iA?La re~8te~cia de la bcbína.ea igual a 0,12 ohm, el coeficientede índuotancía, 0,1 H.
Cap. XIV. Ecuaciones diferenciales
3990.¿ ":COSIl~8CD;¿Y'
3991. (x - 2xy - y'l) ay + y~ d.x = O.3992. y' +.y cos x = sen X !lOS z.3999. (;¡; + 1)y' - ny = er (x + 1)n+l.399li. y-tJ.:¡; = (y' -x) dy.3995. (~)2 -(x+y) : +$Y=O.3\)96* -su' sen $ = cos re (sen ;¡; - y'),3997. y' = (x + y)'.3998. Verificar que las ecuecloues (1 --:-Xl) y' +.:ty =ax ;tienen
por curvas; integrales-llls elipses e 'hipérbolas CUYOB:c~n~B están enel puoto (O,·a) y cuyos ejes, son paralelos a 10Bejes de ccordeaadas,teniendo cada cuna un. eje constante de longitud igual a -2.
En los ejercícios 3999'-4002 hallar las soluciones partdculareade los ecuaciones que satisfagan 19s condicíonsa iniciales in'd_icadas.
y_",y'3999. ",+,yy' ~ 2; y 1"~1=J"
- ¡ y4000.1I-\-7i=1-!-.'t'¡ yl=o=1.
3987. (;¡;-lIcos.E....) dx+xcosL dll=O.r ~ ~
3 "88 ., 2'" ..:t. <>989 clz dvi] • y =e -u'y. ". _~ + "=-2-~--, •..---Z!J 11" Y--%I/
, %)j'-v v3986. -- ..- ... tgz.
'Dtiersos 'pro'bleritas(Ecu{lcto7lts C011- uariables separables, ,hcmog€'lieas yltneal~)
1
En..los ejercicios 3979 -3997 hallar las soluciones gen.cla)~~ !l.1l; laseccacíonee dadas. ,- -'3979~ ¡j=%~4:+y~. 3980/i2dll+(3-2xLdx~,O,
:3981. :(i(x2+f)y' +1I"".1l('J +X2)2.3982 ,_!g+1 3983 ¡ ,i+v1,• y -~. • y =zv(l+,,~)·3984. (8y+10;r) dx+ (5y+7x) dy=O.
3978. Hallar. la intensidad de,'I-9-coeyieq,te en 'la Iiohíná er;i:el momento t si su Í'esis~il«ia es R, él coeficiente de ínductancia, L" la co.triente inieial10 =0, la''fuerza eiectromotriz vlíríñ':de acuerdo conla ,ley E. ;= ~D sen wt.
291§.~bEG08éioDes 'de. primer otdeol
4003. Demostrar quo sólo las rectas y = In: l' las hipérbolasxy = m tienen la siguiente proptedad. La lon.gltud dol radio polardo 'cualquíem de sus puntos es Igual a·Ita,de la tangente trazada en~tt:, mismo P1.\"tO., ,.
4004-. Hallar la línea para la cual la longitud de su. cormal seoprcporcionel al cuadrado de la ordenada. El 'coefioiente do proporiiíonaliiiad es igual a k, -
4005. Hallar la línea para la cual cunlquler taugerite.ee corta consi eje di) ordenadas en el punto eqntdístante sntre el punto da con-tacto y el origen de coordenadas. . •
4006. Hallar la ecuaci6n de la linea que COtW' aLeje de abscisasen el punto :& =1y que tiene l8. siguiénle propiedad: ~a longitud dela subnormal en cada 'punto de la .línaa es 'igulIl 111promedio aT,itmético de ceordenadás en. El.ste punto.
4007. Hallar la linea para la -cual el área del tr¡lp8cio,6ngendl'ndo1l(1[ los ejes de coo;r.:denados,la ordenada de un punto cuajqutera ,YIntangente en este -pnnto , sea igual a 11\mitad del cuadrado de loahseísa.
4008. Hallar la línea para. la. cual el área com prendida. entro 01eje de abscisas, la misma línea idos ordanadas una de las cuales esconstante y-ltl,otra, varíable, sea"iguaJ a la relación. del-cubo de la.ordenada variable B In ábscísa vaeinble.
4009. Hollar la Jínea para la cual el área' de la. figluB Iimitadapor el eje de ahscíses, dos ordenadas ir el arco MM' deesta Iínea,sea prororoional al orco .MM' 'cunlc'sqtiierll; que sean los puntos!vIyM. .,'
4010. Hallar la línea para-Ia cuálle abscisa a~rcentro de gtu.vtJdad del trapecio mixttlfueo engendrado, por-Ios cjes de' coordenadas,
ln recta ;¡; = el Y la misma línea , sen jgu,"-q,~ cualquíera.que.sea a.4GB". Hallar lo. Unen ta1 -que 'todas 'la,s· tao~ente's <3'eHa,~pasc.n
por' el punto dud,ó (1111),1/'0)' ; l. ,~. i .;r~"", , 4(112.,,110llar,fa'línea que'~á5¡¡' p(we}, orlgeu,rde' cool'tlénñs!líi;y.''p~1'aIn c'üal"tol,ia~ sus 'nórJiia'lest.pB·s~ ]>0l.",lil~imtpldado',(xó ...'y6)' , ~, ' '4013'. ~Qu.é·li'!I~ tiene 18. síguíente propiedá(i.::el,ángú},b formadoentre e!.~ja OiE''y lo 'tangente, ifllil' f!liSID&. ijilea .en cul!lquier:.opuntógIlYo,. es1....dos veces .!J]jayor"quelll·,iin~\ílb·Jónnado,¡uil(te'Lel :mism'o <eje'~'I!hra'di'o: ¡5'ó~t del iJulI!:.<S<de'c¡o~¡Íptb?: 1'·~·19f.,,, e' :' "",.:;M " ' ,
4Q1'4. SOb¡;8un cuerpo. de :maso. 111.= f Mt4¡i. UDa ·Iuerza"p'l'opOrcional 01 tiempo (el coeficiente de proporcionálidaa~es ign'al' 8 k¡).Además, el cuerpo es oqjéto d" 19 reacciéa del'vnedill ~bil!n.te,Olle os proporctonal.a la .."i,¡}oo'Ídálidel cuerpo (eL~o$ciehte 'aé' pro-'" ~
1/1_0"=0.
y 1...... 0 = 1.
4001. (L+ eX) yy' =eV;
" . ti002: g' =3~!i~'x6+z2;
Cap. XIV. Ecuaciones diferenciales292
porcionaljdad es iguaJa k:). Hallar la ley del movimientc délcueepo(la dépenden.cja· ent~é-el tl'iI.yectg' Y'"'el tiempo).; a .
I .40f5,; 'Unil partícula 'docma Já.caíde .en el med,io cuya.resistenciaes prapQl·ciohalál,clladrado·.de ,1'8velóetdad de ~~.pl.lrticula. Mostrarqll_eI~ eC}lfl:cj_6ndel ~ó,violje.nto"es J.t~S.igwé.nl:e:.g¡ =" ¡f-"-.kv', ~~n¿i'ek .es constante, g¡es la aceleractóu-de la .g1'8vednd. 1otegl\at eata 'ecuación y' mostrar q~ev"Üendea"V:-¡k- p··atat -+60 .• '_. . . ..__ . y~ ._ - \.. J
4016: La Juersa de r01.limierrto 'que .retarda el movimiento giratorio de un díscoren'un medio líquido, és proporcionol a la velocidadangulan-de: la. to,tación. : :¡
'1)' IEl discó .¿ómexi:zó $\1. movímiento-igjrator.io 'con la. '\'elol!i'dailangular de .3 vueltaé-por segundo, al cabo de4, -mínutc girll, COR.lavelocidad aDg1Uarrde.2 rv\le'1te.s poi' segundo. ¿Cuál fiería:S11 velocidadangular-s! cabo de 3 minutos de comenzar la ro'tación?
2) El disco comenzó a girar teníendo Ja velocidad angular de 5vueltas por segundo, al-cabo de' 2 mínutosgíra con la velocidad angular de 3 vueltas por segundo. ¿-Alcabo de cuánto tie.IlWo despuésde comenzar l.a fotación, la velocidad angular del disco será da -1vuelta por seguodo~
40'17. La bal'a :penetra una Labla cuyo grosor es h =,0,1 m, conla velocidad Ug ;;;-·200·m/s. Alatravesarla; sale por el otro lado conla' velocidad' JJ1·'.= 80;;m/s. COnsiderando la ·fuerza de la -resIsten.ciaque orrede" la tahla al paso, de la 'hal!!.. proporoional-al cuadrado ~e JI.!velocidad de ésta, ca lcular el tiempo -in:ver~ido por la .bal.a en :i.LrIlTvesar la tabla.
4018". Una gota de agua cuya masa inicial es igual e M o g seevapora uniformemente con la. velocidad n~,gIs, moviéndose porinercia con la velocidad inicial u~ cm/s.'·La 'ruerza de la eesístenciadel medio es-proporcional '&.la velocidad del mo'viroiénto:de .la gol!)y 8 su. radio, siendo en el momento Inieial (t =;T O) igual a, jo. dínas,Hallar Ia dependencia entre la velocidad. de le gotn y el. tiempo.
'Ol~"',.~Una.gota.de I1g!).adMmas·á.inicial Mo& se evapora-con lavelocidá_d;.,II.·gIs, efectuáridose la .caída Ubre en·ell aíre, L~}uel:1oa d~resistencia es.proporcional aIa velocidad de1..UloviDlion·tó pe Ia gola(el cceficiente..de p!,oporciona1idad es.igual a k).
Hallar la dapendencíu entre la~~elocidad del )D.ovj.rnjentode lagota y 'el :ti~:po_ transcurrido' desde que comel)t6 a. caer la gotll,teniendo en-cuenta que .en el.momeqto, inicial; del I,iempo la velocídad de 'la gota·'a:il'igual a óero·.·.Coilsider8J;,'que:k.,=¡b ..2.m.
4020*. Resolver el mismo problema queen el ejercici9 anteuior,pero con respecte a una gota de forOlIl esférico. consíderando lafuerza de resistencia, del aire proporcional al producto de )a velocidadde la gota y el área de Sil superficie. La densidad del liquido es ignal11 y. (Reducir a las cudraturas.)
§ i. 'Ecuaciones'de:primer ordeD
4.02t", Sí en el curso dé ciertc proceso una substaocia se transfOTOlI1 en OtTO, siendo, IR-velocidad con que se efectúa la [otmaci.óndel producto, proporcional a la eantídad disponible, de la substaneíaqne-suíre la transformación, este proceeo se llamo reaccíén (proceso)de prfwer orden.
Ciortá substancia cúyn cautídad íulolal en Igual a mo. Vil trsnsformándose en otra, siendo .ínmedíato el comienzo del segundo proceso, debido 111cual surge el segundo producto. Ambas transformacinnes se efectúan como reacciones de, primer ordan. Los coeficientes
de proporcionalídad SOlll /el para el primero, y k~ paro el segundo proceso.
¿Qué cantidad del segundo producto ser: O obtiene al cabo 'de t unidades del tiempo¡I,t::==i::t~=::¡ii después de .comenzar. el proceso?
4022. Un 'recipiente cuyo volumen es de100 i contiene'si1lJ;nuera que' Ileva disljeltos10 kg de la-sal. En el rscípíente entra elagua, con la velocidad de 5 l/m in, peoducténdose una mezcla que, o. Sl.I vez, se trasvMa, con la misma velocídad , al segundorecipiente, de igual cabida (es, decir. 10Q1)
y relleno previamente de agua pura. De este segundo Teci)1iente sale el exceso del líquida. ¿CuáJt~ cantidad de la sal contlane ..el segundo r'eoí.lliim~e 01' pasau tina horo? ,¿Cuál os Ia cantHllltl máximode 111sal en el segundo feci'piente? ¿Cuándo se lorga est& cantidad' máxima? (La coÍlcentraci6n de La sal se mantiene uniformemezclándose el contenido.)
4023. La t¡¡nsión y la reststencln de un 'circuito van variando11oifórtuem ente , por espacio deuu minutov desde el ceco ,has.Ll:I.'12QV,y desdé' el ceto' hasta 1200, respecuvamente '(véanse los ejercicios3977-3978). ,La.iOd\lc\:ancia del circuito es constante (1. hencio)·. Lacorriente in'ici¡¡]. es de.lo' HallarJa dependencia entre la comente:v. el tiempo .en el curso-del primer minuto. del exp~imeQ.;to.~ ~024"';'tiD: ,esLi'eclio 'Mho cilícdrlco :y herizcntal, AD:,':,certildo
'liemiéticllmeQte, eneierl'a el gas', GiI'a uniformemente, 000" la'INelo~cidad ungular Cal, alrededor del·ej!! vertical 001 que pasa por IlJlOde Jos extremos del tubo, segúnlo-::muestra lll~fig. 69. El ..tub·O'·midel'cm de longitud, su 'se(ición :,t¡ransver$lll.es ,d~8 ,cm~".la masa del gasen~ortildo es.M lf, lá presi'óll,·deñtro·del"tuno:.en,'reJ?_llso !lS, e01Wtañte11 lo Jargó de tollo el tubo e igual-a_·vo}'Ha) lar la dIstribuclóu' de, lallfCsión a 10 -largo del' t!lbo cuando eféCt6a e1 movimiento giratorJ.o,es decir, éxpresllr'p como función ful z,
eap. XIV. Beuacícnes diJere_nciales294
Otros ejemplos de ecuaciones ete prtmer ordenEn los ejercicios tl025 -4037 hallar ·las soluclones ;g'¡metalés de
"1M eoúacíones reduciéndolás' 11 lineales ti homogénllas efectuillúf'ó elcumplo de varlables. "
"025 ' 2g-z-S 4'026 I 2.,-11+I, . y 2r-y+4' , . y =~'"4027. (x+ y+1) dz= (2.1:+ 2g-1) dy'~_1.028 ,2(¡.C+'l.)! 4029." II~:""'", • y =(i'*lI-J)z' y,:", ¡!Y(;l;+!)'
4030. y' =2(;:-,-:2)' 4031. (1-XV+,x2yZ)#=i!~dy.4032. (X2y3 - 1) y' + 21:y3 = o.033 ' i (:tl\+ 1/2 ) Z4 • YY + x= 2" -",- .40a4. xy' + 1 = eU.4035. (x' + y~ + '1) dy + xy rk = O.4036. x da:+ y dy + :z: (x ay - y tix) = O.4037. (x'! + !l + y) iLt - x dy.En los ejercícios 4038-4047 resover las ecuaclonos de' Bernoulf.(,031:1.y'+2x¡¡=2xV. 4039. ¡/+"~I+j¡z=;0.
4040. y"-l(a,y' +y)=x. 4041. :lidx= (~ -y~) dy.4042. xy' + y = yt ln z. 4043: y' - y tg X + ya cos X =O.4044. '+ 2v = 2lrv . 4045. xy'-4y-r,ry- =0.y '" cl\5~;¡: l'
O 6 '" 1ll/2 b d3J" " . yay --;zdx=-;;r.
4.0oi7.!I' = yrp:~;¡y2, (Jaoeo q> (x) es In función dada,
4048. Hallar la 11nea para Ia cual un segmento recortado en aleje de ordenadas por la tangente en cualquier punto sea prcporctonal:• 1,) al cuadrado de la ordenada -del punto de contacto,
2) al cubo de la ordenada del punto de contacto.4049. Hallar las lineas dadas por las ecuaciones de la forma p =
= I (q¡) pera las cuales ol área delos sectores limitados por la mísmnIínea y el .radío polar de 1111 punto constante (Po. <)lo)y el otro móvil(p, ,cp) da la línea, see proporciona] al producto de las coordenadaspolares P y !p do este plinto m6vil. m coe1'iciente do proporcional idarles igunl a k.
2955.·1. EeUDClionas de. primér orden
Factor truegmnte:-1 En IQ.sejerc¡~ios 4_Ql'\8-40621uI1I6f el factor integrant,e. y. ~s solu-
ei/lIíes generales de 'las ecuaciones.4(1)8. ~x~+ y) dx .....;.x ily = O.4059·,1/ (1.+ ~y) da; - a: dy = O.406Q~-(x~+ y2 + 2x)"d,t + 21/ dy = O.4061. !cl:&+üP-1ox) dy=O.4062~ (z cos:.y - y sen y),dy + (x sen y + y cos y) dai = ,0,4063. Mostrar qua In ecuación lineal ~ +p (x) y == Q (~) ,.~igne
por factor in'tégraote 11l fl,\nción _eS P (J,)cl~. : ",
4064. H¡¡Ülltel:factór' inie'gr!l~t~·d~"'la _l,lclla~r6n de J3é~~o\1nj- ,". . li' :f-. P: (x) !i'~, !l'Q11'a:):
.. - , d' ~. v t' , -,~X1_o.~;~~r:"'i~s:'-~.o~;dicioQ·es:·,p.ar~·· J~~~c~ale.s la ·ec.u~éjóÍl
..X'-(z, ~) (lz' ,+ 1" (:VI' y) di;,' .... o' ." , '+-. ~: . "i .1\ ' ! . . • ~.""" --:',.. . J 'la~!Illt{i:IlUaptor ínL~grante.de.lt¡;So.ri;QQ.·· ..~r<=P-(x *' 11)' .: . '49.6~~peter~lnar' Ias .~()I1d:i.c.i(W~s::4>atalas cuales.,la tecuacíén
, .¡ l~ ' ..... '.li t," -v'(" 'y)' d:t;!!'1 .,v- (~.,11 "")";1 'O I~>,. I 'í'i"~.•, . ,o!" x,.J '. ~;~'Tj-:r1.?f:!.{" .~.=4'lIdmita el í~etor' integrante de la forma M = F (x· y).
+( 1 !I :z: '" '1) 0-cos---.-sen-+7 dy'=',;< '" Y" y y.
Ecuaciones en dijerenoiales totales.En Jos ~jercicrC?84050-4057 '1;~11Ilrlas soluciones generales M
las _IlC\l.acionC;lSdadas.409,0 .•, (2:1:3 - :r,y"2.)da: + (2y~ - 3)~y) (iy ~ O.
4051. ,.::~lIv1.=( zZ~y2 -1) d».4052. e"d:x + exev - 211)'Ciy = o. /tosa. y,T.~-ldx+ xV ln e dll = o4054. :r dz+!I ay y d.:-:r ay
y' :r2-t-112:r;?' ,
4055 y",¡"sen·z·¡;.os2 (.ry) dz +- _'''_. dy + sen y doy - O• cosZ (xli) cos2 (:ry) -- •
4056. (1+xV xZ+y1.)dx+(-l+ V xZ+"y'l.)!J4y=0,4057. (J..sen 3.._+cosJL+ i)' a.v+
y 11 '" '"
Cap. XliV.IEc",acionos,diforaDciales296
4083. xy' cos.!L=y C03JL -x.,% '"
4084. (:reo:s. ~.+ysen f) 11 dx+ (xeos.!-y sen ~ ) zdy= O.
408Q. Y·='co:lI-tg,y.4086. y 7" l(CO~:t= f1tcbS~~(i-sen z),
- ",t+~. t ¡4M7. '2W=e-"-+ % ~y -2a:.
.'" '"4088,; (i+e7)dx+cv (1-f) dy=O,
4.089. Hallar la linea para la cual la subnormal' en ¡¡1J8.}.9uiºf.punto sea a-la' suma de- la abscisa )¡·Ia ordenada cemo la ordenada (le-estepunto es a la abscisa. ' • . ' . I
4090. Hallar]a línea qua tenga la propiedad do·que U!! segmentode la ,tang'eJi.itlj,el). cUálqnier puntó, O'dmjlrénd~dl¡'enH'~ :e1 'eje' OX"'y 111rectá 'y ~ izx + b. sé divide por el 'p'unto 'de cont'áCto'ell dos pal"testgunles, I '
409 .. Hallar laIlnea para la cual lB. d_istancía que> in!!d'i~'~.ntrela normal en cualquier punto suyo y el origen do ,coordénadaS" y la
Diversós pnoblema»
, ,~~ lqS"ejerci¡;ios: 4067-4088 4.aliar 41ls soJ,úl¡ione{jgJlnli~¡\.1eSdelas eC~II({i.o.p.e~:. . .
1106,7. y' r= a» +,qy ..¡., p. ,1 " A.068. ay'·,;;!- ,by+cy'!'·=,0.4069 ".%+v-i 4070' _ y2+'%V~Z2• y 1I.-%~4 . • Y.- ',112 •
4p71. y' ~ (%t~)z. ~07.2;'1/' (!J'l.-,x) =y.2zh IIz-3.1:3?0.73. ya+~ dy=D:
, '1 .:. , ~~t:1074. ,(2y +-x.y3)* + (f+.:z:ZitZ) dy~O'-,4075. t2ltit'*;x2y+~) d!(;-~_(X2+y,2)t.Zy~0:
4076. y' ~ (1+ ")a .'% (y+1)-%-
4077. rdll+ydz+y2(zdy-ydx)=0.4078. [~- ___!f:_] da:+[_:il_ - 1.:] dy =O
, .;r _.(".-:-y)1, .t 1(~-::~~'" ,r ',:~ . ~',4079. y' =x'Vt+ :r.;!.. 1 . 4Q~~. ~ S~'!x~~:ces z=1.
4081. y'._y+y2cos:n=O. 4082. 'y,=chá':seo!l+tgz%sen:.C:O&!I
Campa de dtr1!cciones. Isaolinas
le095. Sea dada lo ecuación y' ... -:... a) Construir el campo deydirecciones determinado por: la ecuación dada. b) Esclarecer 'la postci6n del vector del campe respecto al radlo polar de cualquier puntodel campo. e) Hallar la forma de las curvas Integrales de la ecuaciónvaliéndose del campo de direcciones. d) Hallar las. curvas integralesresolviendo lo ecuación dada apl icando el procedimiento órdinario(os dectr, separando las vaeiablea). e) Señalar le familill¡. de i~cljnasJl81"ÍI la ecuscrén dada. . . ,
4096, Esoribir Jo ccusctén ·difeteocial cuyas ísoclínas sean;1) las hipérbolas equiláteras ~y =- ('j,2) las p'iuábolas '!JI -d- 2pz;
3) las ...círcu~fer~Cflas. Xi + y. '7" R': . . ..4Q91. 'H.t\Jl~ar~á5j$Odinas de .la I}C\1Il,c!6n'djferBn.<iiaJ ,defl~f~mj·
Iia de 'porúbolll$ y = a:r., Hacer un dib'l~(). Interpretar ,e~ resultado,~eo.métticDme'l\te. . '" ,- • '.' ."
40~8. M'ostra~ que. ll!~ rectas q_IlB, Il~!lan per el ~rlgell,_.de coordeiiadas &,00., ísoclínas de la .eg\lál<ipll horpogén.elX, y solamente l1omog~.n~. ,
~099. Indicar las ecuactcacs J íneales.cuyas ísocltnas sean-rectas.~100, ~ea~ Yí. ~~, y,las o,rde!ladas' de cualesquíeta t-~és.iscclinas
§ 2. Ecuaciones de primer orden(contínuacíón)
q1H~media entre la misma normal y 01 punto (a, b) estén en l'o1.ón<lonstaote e igual a k.
4092. Hallar la Iíuea para la cual la distancia que medio entre elorigen de coordenadas y la tangente en cualquier punto equivalgaa la que media entre el orígenda coordenadas y IR normal en el misroo punto.
409S·. Hnllar Ia línea que tengo la propíedad de que la ordenadade cualquier punt-o suyo sea le, media rrOPOl'CiOool entre la abscisay la suma ele la abscisa y la subncrrna trasada a,acia la linea en 01mismo punto.
4094. En el circuito eté¡¡trico cuya resistencia es R = 3/2f.l, seíneroduce unltormemente, durante dos minutos, la tensión (desdecero hasta 120 V), Además, se Intcoduco automáticamente tina inductanela de modo que el númoro do henrtos en el circuito equivale alnúmero con que se mide la corrtente en amperios. Hallar la dependencia entre In corriente y el tiempo durante los dos primeros minutosdel experimento.
Cap. ,XlV .. EcOJlcíDO~S diCor,enc1ales29S
1ntegra.ción apl'oximadiz de las ecuacionesdifel'enciales
4t01. Sea dada la ecuacíén y'" -= :r;2~1I~ • Co~t~i~" de modo
aproxtmado, lUUI curva jotegraL que .correspcnda al intervalo 1.-<:-<: x <5 y que pase por el punto M (1" 1),
~f02, 'Sea dada In e6uaei6n 1/ = ."ZtIl1..'COnstfl'iir. de modo
aproxlrnadc, mio. curva qlle corresponda alIntervnlc 0,5 -<: .t -<: 3,5f '1110 pose por 01 punto (0,5; 0,5). ,
410a, Sea dndá In ecuacién y' = xy' + t1;". Calcular Ji C(Jn dosci[ra:s dl'ciOlales, para x = 1, aplicando el -método de Euler y romnndo en consideraci6u que y e~ la solución particular que satisíneea la cqnd ícién inicial 1/ I ,.-0 = O. •
4tO(,. Sea dada la ecuaci6n y' =Vi'-II' + 1. Calcular 11 liara:r. = 2 npljcando el método de Eulor y tomando en consideracién queJI es tu solución parttcu lar gue sati~face JI 111condición inicialy I :<-t = O. Calcular y con 'dos ci:fms decimales.
4105, Sea dada la ecuación y' = t- y la ,condiCíó(I inicialy l"..o = 1. Resolver la. ecuación exactameute y halla a' el valor de 11para :¡;= 0,9. Luego, hallar aste valor aplicando el método aproximado dividiendo el íntrevalo (O; 0.9t -en nueve partes. Indicar elerror relativo del último resultado. _
1i.106. Sean d'ad¡[s la ecuación y' =; x3';:+1 y 111C01.lc!.i~iónlnicilll 11 1~1 = O. Resolver la ecuación exaotamente, -Y,-calcular elvalor de ~ para 11 = 1 aplicando 111g(tn·mét.odo aproximadc parai.ntcgrlll' las ecuaéíónes (comparar con el valor de :r que-haya sidooluenido en la soluci6n exacta). ,,'
4107, yf = y2+ $11+ x,, Aplicando DI método de .1!proxima(;iOI)9S sucesivas hallar la segunda aproxiruaci6p p¡u:a.la soluciónque satisfaga 9 la condición inicial-y -1,-0 = 1.
4108. y' = xIf - 1. Hallar el valor de la ecuactén dada, para.x = 1, que satisfaga a la condioién rnícíal 11 1"'''0 = (l. Siguien40 01método de aproxímaoíones suces¡'-vlIs-l.imltat-ie n la ter~Elra aproximación, ~rec~u¡u, los cálculos COl)dos cifras dectmales,
En JO¡; eierctcio)3 4109.-4H6 h,allal' varios prtmeros té¡;n1.i.nosdelnesnrrollo en serie de potencias de Las soluciones de las ecuacionespan las condíciones iniciales ürdícadas.
~109. y' = !I' -~; y 1 %=0 = 1.
de cierta ecuacíén l:i-0081 correspondtentes a una abscisa. Mos~ra¡' quela rarén 112- lis COnS()fVII un"mismo sígníñcarlo cualquiera' que' sea lah-h ~. -abscisa. -
§ 2. EeuJlclones.-'do primor oraon.. (continuación)
Soluci!!1l~ stngulares. Ecuaciones de Clairaut yLagrang«
En los ajercícios 4117-4130 halla,r Ins soluciones ,~net'(lle~ ':1singulares, de las ecuaciones de Clairan]; y do Lagronge.
4H'l. 'y =xy' + 'y':. 4118. y = .xy' - 3y'~.4119. y=:iy;+:.. 4.120. x=;l:Y'+ Y'J+y':.4t21. y = :ty' + sen y'. 41.22. .zy' - y = In y'.4123. y = y';,(% ~ 1). 4t24. 2yy' = x (y" -1- 4).4125. y = yy',S + 2%y'. 4126. y = z (1 + y') + v".4127. y't,= 1n (xy' .:...y). 4128. y = 11' (x + t) + y'~,4129.y=!lx+a.;'1-y's.dso. .x=rY ( ;-;' ~*).En Ios ejercicios 4131-'/¡.f33 -hallae' las soluciones singulares de
J8S ecuaciones aplicando el mismo' procedimiento que el que so emnljla en el caso de 18u~úaciones .de~~graJ;lge.y de Clairaut.
4tSt. g" - gy' + /J~,= O,,U3~.1:¡;Sy'2 _~ 2 (xy - 2) y' + Y,'t ='0.~fa3~'f/' (y' - ~xr "? 2 (y - x't),. ,4t84~ 'Dem9stra'r' él ~eore1.Jla: si ulJ'á"ecuac~6n d·j'fere.noiaHihen'l
es 111de Clliirout, la Iamí lia de SUS~O\I'r~as¿int~g~a'lesC9p'ré5e4't.8. 'Ii~ihl!z de rectas" .'
4t35. El área del. triángúlo png!/lfdra"do par una tang~te' e laIínea buscada y los ejes de cOQrd'enaa~!I, es"Wl'é constante, -Hallar leJin'ea.
4t·S6."Hallar lil lineo cuyas tangentes corten,toen los ejes de coordenades, segmentos- é'LIya.~,nma,$el\ iguat a.2a._ . 4187.; Hallar ía~Hnéa pafa l~"cÜIJl ,ª) pró,iihclO de JI!S'dístancícsque JDflirian' e,ntre c1)sl¡fuier' tá.\'gen'té y 'd'os(PlIlttos dadcs se,~ cons-tabt'e, '-: ' ". '
4t88. .Hallar la linea para la «tuil el ,Are á, ,del ;rebt.á'Ílgúl~ que tietle',por sus lados tangente y normal en cualquier=punto equ(vll.Je al
IIUO. ,{ <= :t}y' '-". ti y I _ó = i.4111. Y'~=.7;'- yD; Y J :<-0 = O.
12 ' l-r~" 1 I4t . Y =-0.-+ ; y _0= 1.
11113 y" Il'JI ... 111 -OI • l' t+z.+ 11' ,\.,.~ - •4114. y' = el' + ZYi !/I"""o ~ O.41t5. yI. = sen II ,,- {jBJI $; JI I .~'o= O.4116. !f~.=1 +:r 7,:r;1 - 2yt; !J I,...~~ J.
Cap. XIV . .Ec:uacJones dHeroncla.le.!I
En los ejer~icios ~142~4147 hallar las, t"l!-yectorias ortogonaíes alas que se Indican. .
4142, A las -e1Ip¡;es ,cuyo eJe mayor es igual a.2a.4143-.A las pal'~'bQlas y'" = 4 Ci - al.: .liiM. A Ias circunferencias a:~+ lÍ' = 2á3;.4145. A las cisoides (2a - ;¡;) y' = :Loa,4146. A las parábolas iguales q1-letoean a una feota dada siéndo
1')1vértice de cada parábola ,ªl punto tia -ponta.cto. .4t!i7. A los círculos de un mismo radio cuyos. centros se encuen-
eran sobra una recta dada. ".4148. .Hallar la familia de I,ra-yectotjas' que cortan la§ lineas
:c\l= 2a (y - x Y3) formándose el áng.~lo Ct = t¡O°,4149. Haflar las trayectorias i!iogonale~.de la fa1llília de parábo-
las y'J =m, el ángulo formado 'és a.. 0;= 45°. ," ,. .4150*. Hallar las liosas de pTop~gatíóndal sonido por' el plano,
si a lo largo de una dirección sopla el viento a·l~ velocidad constante¡¡",L:a.~en,tpdell!onid9.es inmóv.u Y; se;h.a)l.aen.el ttJ.is~oplaJtP•.
En los 1ljercicios 4151-4154 híihai' las ~v01ventes de 11:\S lineasque S(~ tndiean,
415J~De 11hciNUllferencil! ;¡;2 + 11'" = .R2,.
4152. D.~ 'la catenar~~ y =a cll:¡'-4153. De III svolvente del círculo ,
x = a (CQst + t sen t),' y = 'a,(seh t";_ t:cosi.),4:154_De la parábola semir;úbica.y =,,:'It~.·1~'..-2¿3.
Trayeotoriq.s ort/)gQnal~. 8,. isogonales,Eooloente«
áre~,~_tv,'i3ct~?~~)~"c:,';l}'~?!i}!ldos 500.' igp..~e~a, ~~ l,on.g!tu1i.!l~la abscis.a.y\laRord¡m'a1:la'.a~.~sté'pub:tto.,..."I"i}~}"1.~ h ." ~:
4H!9. :Hall{l.r l%.~l'!..~ª;~9>r,~.,l~,c'f~l,l~;!?uw.ag~}a.qol'~al y ]a 'subnormal sea p¡,oporcllfo.M¡·a'·'1·aa'bsoisa~ .'•. ;¡ ";" '. .
., ~tq!1* sÓ:Hall.¡1-r.la J$'(t~a,p~r,a la c'L1cd,~lsegmentQ,Ao la normal compren~id~ ·orif.re'·lbsejés lc1e'cóo'rdenl,ldá's:tenga, la lor)git~l!lconstante eigual- a ....4-. ,. . '. oo, - • ".: , • ,.:. ,,< ,.;-
414t. La velocidad de un _puo.tQmflter,ial. ~n.'Q~ªl~ier 'm9¡n~ntQde tieW'Po, se d:ire~~nctl.\~e la. v.eh.Jcida,d~edi~, (dé~de q\lJ~comenzéel movimiento basta·r~~e_¡;n<lrt¡.eqt~~;enuna :oiagn¡'~ua'l>ro.p'ó~¡Q~!!l alit 6Qe~gía 'cinética del ..punto' ~ lnvarsamenle I'I'l'oporciónal' al' trempotranscurrido desdcsqüe .comew)6'~E!bllovimiento..,Hall¡lr, 1~ dependen-cía entre e) trayacf.9 y ¡f,) tiempo. ..
'301
sustitución conveniente: yy' =p. (yl~~ - P. xy' = p, u= p; 0tG.
4183. xyy· + x (y')' 1:::: 3yy'. ~184. :zy. = y' (e" - 1).4t85. yy·+.(y')2=X' 4186. y"+-~y'- :2 =0.
tf1.y (all )"4187. z2Ycr;;¡:- x,~-y =0."41.88. yf/ =.!I (2 Vii?- y').
4i68. a2y. - y = O.
4170~y.+ "':)1 (y')2=O.
C!lSOS particulares de, las ecuaciones de segundo ordenEn Jos ejercicios 4155-4182 hallar 135soluciones generales de los
ecuaciones que Se iud ican .• 4155. yO = :z:+ sart z. 4156. y' <zo nrctg z.4157. y. =]n z, 4.158. xy' = y'.4i59. ·y"=y'+x. U60. y·=L+x.
'"416'1. (1 + xl) y. + (!J')~ + 1 = O.M62. x¡j'=!i'lI1L.
'"4163. (,/')' = y/. 4164. 2xy'y' = (y')~ + 1-4165. yO - 2 cLg%'1/ = seos:r.4166. 1+ (y')1 = 2yy".4167. (y')~ + 2yy" =O.4169. y" = ~r'
4 l' v"171. Yll + (y')' = 1. 4f72. yy. = (¡¡')II.4173. 2yy' - 11 (y')2 = 4y2.4174. Y ('1 - In y) y. + (1- + In y) (y')t =O.4175. yP = 2yy'. , ,
4176.oosy· :~+senY(~r=!!.4177. yy' _ (yl)~ ". y2y'.4t78. YV' - yy' In y _ (y')J:.
U 79. y' =4 (Y~ - 2 'V ~ - 4.) .4180. (x + ~)y' + x (y:)' = y' .
.. 418t*. ,yyly~, = (U.'},$ + (y")2.4.18~.~!!;..,...f(~l)~.,..y' =0.. • ! ,
En Iós ejercicios 4.183-4iS&''tesplv.f)J: las ecuaciones mediante una.: , .~
§ 3. Ecuaciones de segundo ordeny de órdenes superiores
Cap. XIV. Eeuacíones diforenclnJ6lI302
En los ejel'cici'os 4189-4199' hallar las·soluéioJes. parttculares de1as ecuaciones para las, condiciones iniciales que se Indican.
4l89. yN ('#+1')=2xy'; !l1~0= 1~ y'lx_o=·3.41,90. x¡f -f"X.(y')2- y' =.0)1 Y·I.,=~=2/. V'I_'¡'2 =f ..4'9." y"=L+ "':: YI=o=O, !ll~,,=4.·'
. % 114'9~.. ·2y~';;""3y2;· YI __ 2=1, y'j';"'_'{=-1-4193. yy'=(y')'!-_(y')l; 111_1=1. y'1.....I= -1.41.94, y3y"=-'1-; YI%=s'= 1, Y'lrl "'70.
k195. 1t~1ÍY= 1; YI=o= y.2', Y'I_o= ~.'4196. y"=e2V; y 1-0=0,. /1'1;1'=0=1.4197. 2 (y')2=y"1 (¡/-'l); 111=1=2, 1/'1"""1=::-1.4198-. (I;'y·= (y - x1J')~: y 1_1=;1. y' 1.-1=1-4199. y"=xy'+II+t; YI~=o=t. y')"""o=O.~2()()•. ¿Cuál es In linea cuya propfedad consiste en que el radio
de curvatura en cualquier plinto es 'proporcional a la longitud de Lanormal? Considerar el coolicier\te dePl'op~'l:ciOlralidlld igual a k = -1. +1. !I-2, +2,
4201. Hallae Ia línea para la cualla proyccci6n del radío 'lo curvatura sobre el eje Oy sea una constanteigual a a.
4202. Hallar la línea que pase porel origen de coordenades y para la T p s:cual el5rea del triángulo MTP (véasela ljg. 70) engendrado por la tangente Flg, 70en un punto M de la linea buscada', por .la ordenada MP de este puuto y ppr el eje de ahsc~sIlS, y el área deltriángulo mlxttlíneo OMP, estái.1en razón constante e ígunl 111númerok(k>{).
4203. Hallar la Iluea para la cual la Iongitud del ~rco medidadesde un cierto punto, es proporcional al coeficiente angular de latangente al punto extremo del areo.
4204. Un punto de masa m es lanzado .hacía arriba vertioalmento,con Ia velocidad iniciol vo. La fuerza de 'rosisteuchl del aire es iguala kv', Si consíderaraoa la vertical cómo el eje Oy, para el movlmíentodirigido hacia, arnh,a, tendremos:
tP¡¡ 2ni. cita= -mg-kv ,
303§ 3: ·Ecuaciolles de ségundo orden.
.yo¿¡+.cfllne&:aw:qxtlnq.dqs4218. M estudiar l.as oscilaciones' delUn ~iste'rbá m'aleriá'l de un
grado (lo libertad, se pre.santa la éCÜl)O~9ndiferencial de la Iligllfonteíormn y' = t, (x) + t, (y) fn'(V')PResol'ver esta ecnacíén grlili-
y parn la caída tendremos:,~y k:...M-a,-= -mg+ Ir,
doude ",= ~~ , Hal lar 1<1,velocldad del cuerpo eu ,el momento enque efectúa la Cll{~B. .
4205. Un MIo flexible y no oxtsnsíble es. suspendido POt sos dosextremos. ¿Cuál seria la forma qpe adoptase, el! estado de equilibrio,el hilo hajo la aooi6n de una> carga distribuida uníformemerite a lolargo de la J~royeooiQn del hilo -sobre el pleno horizontal? Se prescíude del peso del hilo.
4206. Hn.lJru:~lll ley del movimiento roctilineo eíectuado por unpunto Olate~ial de Jl)~sa T{f ~i se .~ab~ que el trabajo realisado por lafuerza que nene 11l.'1l11Smn (l.tré·CCIOIl que el movímíento y que dependedel 'trn¡yocto, eS. 'prnporclonal al' tiempo. tra-nsctrt'Xidó desde que comonzé. El coeficiente de proporéioaulldad- ea igual ji k.
4207"'. Un ray,o de ]us, procedente del aire (fo¡iice. de re.íracci6nmol incide' sobre un liquido cu.yo índice de refracci6n es vaeíabte. El,ángulo de íncídeneia Iormado entre 1¡J.vertíeal y la di.reGció.Il del rayoes aQ' El índice de (ofracoi6)} del Ilquido depende Iínealmante de laprofundida.d y es constante en 'el plano paralelo al horjzonte, míen~rl\sque 11 In superficie ~rulíquido es igualll'n~,~, la,.p.r9IuDdidl1-ll.h,19on1 11mz• HaUQf I¡\ for)l11ldel rayo de lu:t en el Iíqutdo. (El índícede raÍl'Mei6n del medio. es jo,versamE!'(I.~eJlroJlorcio~al.a" la velocídnd do la :pfoPagaci6n diO lus.)
-.casosparuculares de las ecuaciones de órilenaiy,peri ores
En los ejercicios 4208-421. 7 hallar-las soluciones generalas de lasecunniones;
4,208. y" =..!.. 4209. Iy" =cos 2:1:.- J "x ~ z(lX' • ',.42tO~ 1/ ~e ,.¡ @,U, Xl'y";= (1/')\4212. ~yV=yIV. 4213. y"=(y')s.42-14. y'y".= 3 (y')~. • ~1\)" yy" - y'¡/' .".O.~216. 'y"¡1":I- {!I)t~=ay' (1/)2, . .
4~1_7.. (y.)2~y';"= {V~r
,Cap. XJ~~.&uaciQlIos dif,!TOociale9304
camentc, sifVt~(:1;),= O, jdll) ..,-~_:~¡¡,. f; (y') ~ Ol~~'" , .y,)_o ~
= !J' 1_0 = O;2)'f' \(x)':;! "-~ 1.·:¡·'u) = O '1' (Y!)'= '-0'''111' - O 1y1a."a.·I ,1 -::' ~ I ,.. \ t t:1 .' ., •
y 1.~...~= y', 1_0 ';';;1."'42'19,-v" ..:::.!lY" ~ zlI; 111_0=i, .y' 1_0 _, ,1.11)'Resolver' esta ecuaelén gráficamente. '2) -Hrdlar varios primeros tél'minos de desarróllo de.Te-solucíén
en,;s8l'le' dé potencias",'4'220. 'Hid,lru;.lós!5eis. prim&rós-fétlIÍíbos' de·.desal:tI'QHoen serie de"
la- 5o.fúciQti·~t·i~'ecuaci6n dJf~.l'éncial y" ...:.:~ - ~qU~' s'9tisi~¿Ii·las.condtcíones inicililes:\¡j 1.. -1.= 1, 11.' 1:iC"'1= O. ..,
4221. Hallar la soluci6n par.ti9u.llir de la eQll,aci6n,y. = 3; sen. y;,buscándola en Iorrna de serie de potencias, que satisface las coadí-
cienes iniciales yaLr4_l.=.Q; .y' ,.I~~¿~ ll<:.Ir!jni~~~a seis primeros
términos.) ,.4222. Hallar-la solución. particular y!= t (x) de la eeuccíén y. =
= »vv', buseándola en forma deseríe ,de.potencias. La solución 811-tL'Ifaco las condiciones' Iniciales f (O) == i, l' (O) = 1. Si se linii.f,a 11los dínco prtmeros -témninos .de-desarrollo, laon bastantes paravcalcurar f (...;:::0,5)'·(loo··eX'8.~tl\dHasta 0;001?
4223. Halla!" los siete primeros términos de desarrollo en seriode In sclucíéu de la ecuacténrr-dtíerenctal y¡/ + y! + Y= O, quesatisface las condiciones iniciales y I.,~Q - 1, 1/ 1..=0 =0. ¿De quéorden ínñnítesímal es la diíerencia y - (2 - x - e4 para z ~ 01
4224. Hallar los 12 primeros ténnfnos'do desarrollo en serio .dola soluci6n de la eouaci6n diferencial y' + yy' -.2 :::;O, que.satlsInca las condiciones Iniciales !I 1:<""0 = O, '11' 1'i"'o= 0. Calcular- la
I '
illl~gl'al ) y tlx. Con eXLlct,itl1l1hasta 0,001. Calcular' TI' 1_0.5 cono
exactitud hasta 0,00001. '4225~. U'n circuito eléctrico está compuesto de 111Induetancla
L ... 0,4 henrios 'Y un baño eléctrico, los cuales están conectadossucesivamente. El baño contieua 1 Iítro del 'ogUa acidulada con unpoco de ácido sulfúrico, TJo corriente eléctrica descompone el ogUadebido 1\ lo cual cambian lo' concentracíén y, como consecuencia, Jorc~istencia de la disol!lcióIl on EiJ baño. La tensión en los bornes selÍloutíetlO constante' '(20 Y)., La of},ÍItidl.ld de sustánciiJ. desprendidadurante la electréltsís es proporcional 1.1 10 'corriente, al tiémpo ;y aleqúlvá)eilte electroquímico de la sU.~táncinI (ley de' ·Farlid-a·y). Elequivalente cleotroquimico del agua es ikilo) a' 0,000187 g/C. Al20-0176
305S 3. Ecuaciones 'de .sOgundo ,orden
4221. Las funcíones :t' y %' satisfacen cierta ecuacíéu dlferencüillineal. homogénea de segundo orden.. Comprobar que ..constituyeo elsistema fundamental 'Y formar la ,ecnác.ióñ:.
4228., Lo ínismo, con 'respecto n las',funciones. e" y;¡:'e",.4Z29~Las funciones ;o, :t!J, e" .Iorman el s-:is~em,-,,\iundamellt81!de
soluciones de la ecuación dilorenclal Jincal, hómogéoeA, de .ti~rC<ll·orden. FOJ:Dlorestá ecuacíón,
4230. Las funciones ~ y,x9 for.Ihiln 01 sistema fundamental desolucíones de la eeuscién diJeren,cía! lineal homogénea de segundoorden, Hallar la solución de esta ecuación que .iI&tisfaga las condi-ciones, iniciales y L~~l'=, 1., !7' 1,,=0= O. r
4231:. ,La~ funciones C052:z: y S()IJll 1i sati~~00I1 cierta ecuación lineal .homogéuea de ¡¡~gu,ndo orden:
a} comptoQaI:_ cple f.o.rmlln el sistema Iundamental de solucíonea;:'Jj) formar la.' eCU8ClOn;i' 1, " ',c) mostr¡rr ,fJ,tie ,laS' ñmcíones 1 y cos ~;r. son otro sist\lma funda-
meD't,a'ldé esta misma ecuncíén. ,'423~iJ-rS¡ y~:e;:t Ji sol~.ciAn pasticular 'de !ltl"ecu!lción., 'jf" +~rp(lJ~'t yQ (x-r = d; ,
I!n~9ilC~,
§ 4. Ecuaciones' lineales
comienzo del experimento la resistencia de la disolución fue igual '8Ro =.2.,9:, la coqie-I.~Jej,nicialt ,10A. Haltar Ia depedencia (en,fq~made una sé'i-ie' de poten'cjas) entre. el volümen del agua en el recipientey entre el tiempo.
42~6'; Un cjr<;u.íto, eléctrico está compuesto de la íuductancíaL = 0,4 heorios ':1 WI bailo eléctrico. los cuales están conectadossucesivamente. La "resistencia inicial del Iiquído eh: el baño Iuoigual a 2 ohmios. Un li,tro del agua en el baño lleva, d¡~ueltos\'::1\Ogde cloruro de htt;lrógeM. La corriente Illéctl'iga descompone el ,á~ido.cambtandorlaconcentracióu' de la ,disohlcián (compárese con el éjel'Ciclo' anterior en .que cambia no 111canttdad de sustancta disuelta,sino el v()lum'sp del disolvente). La tensión en los, hot:J1eses igúal a '?O V, el e,q:ujvalent~ elec~ro5l~~m!,c<9:t del clo,rplo .d~jhidrógeno esIgual a 0,OQ0381 g/el' la comente 'lDlclalj 1.0A,líf_alhl.i" In dependencía (en forma de una secíe dé poten,cías) entra la canttdad del ácidoelorhídríco en la dlsoJQ6ióo y, Éll'tiempó;
300
4246. Hallados seis primeros términos de desarrollo en-serie dopotencias de la solución de la ecuación diferencial Y~ - (~ + ,3;2) !J == Oque satisfaga las condlctonés.iníciales y 1,,-0= -2, y' 1_0 = 2.
4247. Hallar los nueve primeros térmíncs, de desal'rollo .eu serittde potencias de Ia solucíén de la ecuación diferenoial. ,U' = x!y _ y'que ~utísfl)gll las condtcíones inici"les y 1_0 = 1, y' lx~o = Q.
" 2% ,+"J.Y O4240. !I -:- :02+1 y ~=.424i. Hallar la soluclón gene!,!!lde lA 'ecuación
,:rfJ y" ,_ 3.%~y·+ 6:cy' - 6u = O,conociendo las .solucíoucs pnrtícularés Y1 = X, y, = :el.
En los ejercicios 4242-424~ bailar .Ias selucíones generales delas ecuaciones no homogéneas,
4242. X9U• _ %y' + Y ... 4x8•4243.y. __ .T._, -U'+-" -y=:¡;-L
%-1 :1;-14244: (3:c + 2X2), y' - G (1+ ;¡;) ,y' + 61/ = 6. •4245. Lll ecuaclén (~ + ;¡;i) y' + 2x!J' -:- 2(1 = 4x" + 2 es SU8-
ceptíble de tenerIa siguienle solución.pa'rtic\ihll': y = x'. Hallar lasolución de esta ecmict6n que satisfa'ga lá'álcon~iciones !J I:rc<-l= O.y' 1_-1 = O.
• Q2_33,¡HalJar la solucióp .gelleral_ -de lar ecuacién (1 ~ ,t;)~!l_- 2zy; + 2y '=: O, 'C9pociondo".su sohiéió_o particular YI~"" Z Y VII-J:iéndose, deo-la, fórm,ula,_ del'r.ejercicio 4232. ' , " ' ',. L
•4~34, ltes'óN~~\~ª ~~uaciÓJt'y"+: y' +y,=¡,O cOQo~i~ndosli solu-o ni.! t' , • ,r '1" ti: ~ ~• !....., Ir ..:
éión .partíéíilar y,';"~, '~ \1'
4235, La e<lRDcióu,.,,(2x .,....;;;) y' *' (x' _ 2) 1/'.+ 2 (1- - z) y== O tiene Ia siguiente' soLuci6\1: y,= e". Hallar la solución de laec118cr6ri' que "5:ntiSfaga las' ctllÜÜcíones inicinTes -y"I;'l ~ O.y' I~l oc: -1. , ,\ • _, ,
1í236*~,'HapÍl..rla,.condiqi'qq:,neé.e{!nrill y $llric~entG pll~R iilie lnecuaciéu y" ~ Y.'p (~)- yQ';{x); = O' tenga dos solucíones Iinaalmelito jllrlBpelldientes y, o Yt:\iue satisfacen' la condición YJY~ ~ 1.
4237*. Hallar la solucién gonerd de la ecuacién(1 _ xa) y. - :cy' + 9u = O)
si su solucióu particular es UD 1l01jn<'!l'Íliode tercer grado.En los ejercicios .4238-:-4240. es fáéil dar con un'á solución par
ucular (sin tener en cuenta 18.'Solución trivial U =O) para la ecuaci6n dada, Haltar los solucíonos generales de estas ecuaciones.
4238. y·_tg:e.y·+2y=0. 4239, 'y"_y'+..!L=O.:r;
307_ : ..... §14:\Ecuuc:iónes TinélileS ¡.",
4~8. Bscríbtr en forma de serie do potencias la solución pottieular da la ecuación. y' - XV' + 11 ~ , = O, 11 1""'0 = O, y! lXE'o '= O.
4249. Escribir en formo de, serie de potencias la solución generalde la ecuacíón y' = l/e". (Limlterse a los seis pr,imoros términ,os.)
4250. Escri.li'ir en forma tle seríe de 'potenctas .In solución geri'el'aldo lo. ecuación y' + xy' - xIII = O. (Limitarse n los seis primerostérminos).
Ecuaciones con coeficientes conBtantesEn Jos ejercicios 1t.251-4261_ hallar l:ns soluciones generales lit'
Ins ecuaciones.4251. ( + y' ,- 2y = O. 425? y' - 91/= O.l¡~()3" 11 - 4!i = O. 4254. y' - 2y' - y = O.4255. 3y" - 2y' - By = O. 4256. y' + IJ = O."257. y. + 6y' + 131/= O. 4258. 4.y. - 8y' + 5y = O.
4259. y. -2V + !/=O. 4260. 4' ~~ -20 ~ +25x=0.4261. 2g" + y' + 2 sea' 15~ C05.2 15°y =O.En los ejercicios 4262-4264 hallar las soluoíones de las eeuar io-
nes que satisfag¡¡n Jos condiciones iniciales que se Indícaa.4262. 11"·,...Ay' +3y =O; y 1=0=6, 1/1=0"'" 10.426S. y'+4y'+29y=O; YI=o=O, y'l.=o=15.4264. 4y"+4)1' +11=0; 111=0=2. y' 1=0 =0.4265. Sea dada lo sclución paeículan de cierta ecuacíórr Hneal
homogénea de segundo orden, 'COA coeficf'entes constantes y} = e1''''.El discriminante de la correspondiente ecuación caractcrfstica esigual n cero. Rallar 10. solución 'particulal" do osta ecuación diferencíal, In cual, junto con su derivada, se reduce a 1 para x = O.
~266. Hallar la curva integral 'Qe la ecuacién // + 9y = O quepase por el punto JI( (ti, -1) y que toque lo recta JI + 1 = x-n;en esto mismo punto. .
ft267. Hallar la curvn integrol de la ecuación y' + ky = O, que1'(l~1) por el punt<,>1If (xo, Yo) yoque toque la, recta y - 1/0 =1+ (q;:;"";¡, ~:o)en oste mismo' punjo. , '
En los ojorciciQs 4268-4282 fO,l'lp:jr la" ,!¡oluci'op~s.,gefler.;.~lc's.delas ecuuoíones ~6, hqnwg~ea9)~\lP9!lnfto ,:!\I~.~oluci~nes"PW~o~~smediante la ~l,ecc~QI) c'onyenie,nte Q bien aplicando el Jllé~<>d.ó~!lvnriaclén de las constantes arbitr_ari.a,s.
4268. 2y' + yf - Y = 2e"'. -4269. ~ + a'y = e",i7
~270. y," -7y' +6)/=ison ~i ~71.,¡/ :1-2y' + 5y"" """2" qo.s 2:r.4272. ,y" "- ;6y"+ 9y .ée 2:JlI '..,...,$:4, S.' .427.3. y. ~c211' + ~!)+ 2x~. :~¡4':y".+ 4y"~ 5y =- i.(1275. y. -:'·3y( +.2y .pf (x), 'si / (x) es igual. 1.1.:
1) 10e...:r~.~). 3eD";'3) 2 seo z; ~) ~ ::.:..30;; ~) ,2e" co~i i
Cap. xrv. EeWlClloD85 diforenclales308
6) x- e~2?+.. 1;',qLes(3(~'4a;)i",8)r3z + 5ésej},2i;9) ~"" - e-2'<; 10) sen 'x sen 2x; 1..1), sh x.4276. 2y" + 5y'. = f (x» si ~t ~':IJ)'es igual R:4,) 5xa - 2,,,, _:. 1; 2) .,e'''; 3) ,29 'CO!?x; 4) r.l>s~'(l:;5) 0.1~:~,&·~<-.; 25 'sen. ,2.,.5x; '6). 29it sen z: 7) t(lOx:e-:'< <;'95',X;8)' 3·,,¡jll,~'.2;,4277. y":_ 4yl * 4y = f (31)" si f (x) es igual a:t) 1¡·2) C"OI; 3) ~~~; ..4) 2 (sen 2x+ a;);',S) senx'cos'2:r;¡6) 'l!ells:6; 7:) ,8 (X9 + é~''',-+,sen 2x).: 8) sh 2:r:;,9l '!ih x + sen Xj JO) .eX ~ sh (;¡;. - '1)~.,,@78. y",+ y ......t ,(z), si .f ($) es, igual a: ,1) 2# - x + 2; 2) -8 cos 3x;' ¡n,-cos x;' 4), sen x ~.2c-";5) cos x (los ~¡ 6) ·24selld.:t; 7) eh z.4279. 5y" .....6y' +5y = t (x), si f (x) ,e§ igual a:
~ 3'1) 5e-r"¡ 2) sen -}x; 3) é"..f-2xS-x+2; '4) e'T.co(¡;;
1. 4 '5) e b •sen 5'x; 6) 13 eX. ch $.
1i280. y"+.y+ctgrt·x=O. 428L yP_'2y'+y= ;:;'1'4282. yH'_II"=,/($), si'f(x) es igual a:
f) ,j~~t'" ; 2) e~oe'V 1':" eV<; S) ez" ces e:t..'En los ejeréi~ios 4283'-4287 hallar Ias sehrctones particulares de
11\5 ecuacíones que sat'isfagan ]/1$ good'jejones ¡Oicia'les';que se Indican." 8
4283. 4y'+.1:6y'+15y=-4e-T"'; YI~=o=3,YI_o=-5\5,'4284. y" - 2y' + 10y = fOw + 1&:+ 6t !/ 1'_0 "= 1) y' 1.... 0' =
= 3,2.4285. yN - 1/ = 2 (1 - x); y I~~o=> '1, y: 1_0 = '1. ,4281;' yH - 2y' = e'l (x" + x - 3); ¡j 1>:=0 = 2, y' 1,=0= 2.4287. y. + JI -+ sen 2x ;= Di Y I.:=it = y' J~="= 1.4288*. Mostrar- que la solucfén partloulár ji de la ecuación ooY" ++ alY.' -f' azY = A#" (aO! ItJ1 az son los coeficientes constantes, p
y A son los números l'e.~IG¡¡o complejos) ti~ne la 'forma -y=~ eI'x,~,¡p no es la naíz de la ecuación cnractertsttca q> (r) 33·(lor~+ (1.tt'++Cl2=0; .V<= rp1'(Pl ~j)." si p es la raíz simple do la eeuaciónourac
terfstlea; y == ,::;P¡,e!'x, si ;p es la ~a'iz doble de la ecuacíón cnracterístíca.
Eh, los ejercicios ~289-4292 hallar las soluciones generales de lasocuacicnes de Ruler.
§_4'. Ecmaeiónes líné:alus_
donde m es la masa del disco. a. es 01'número constante que dependedel 'Lip'9de sujeción. qlle .se el1Jp"lenen 195 extremos A y /3; ro es lavelocidad angular deIa revolución, e es la excentrícídad del centrode gravedad del disco. Hallan'Js i'ntegr'¡ü general de esta, ecuación.
4294. V,! punto material-de masll.de~1~ l.l¡sQtúª,;,el moJúmié'n~o derepulsión a lo la,rg.O de un; recta, desdo un centro: L;l. f,uel'Z¡¡de repulsión es p!,opo:rc~o:n(U~ ~a.dist~fleitl q.:ue.¡:q~~ia entre el punto y elIl.en~r,o(el cOl,)fjc.ient.ed:~pr,o,v.oreiQI)alid¡\q, ~~igt,W),a 4), La .re,s.i;§tilUC!¡¡del medio es proporolonal a la velocidad ~eJ movimíeuto (el coefíciente de. proporeíonuljdad es jgu,a:l.a 3).. tit comenzer el movtmlsnto,la diHauci" ent~~ el puntó y: el. centro es igl1al a t-cm, la velocídad,igual :a cero. Hallar la ley del movimiento.
4295. Unll' parríeula de masa i!5\lal a i g avanza a lo la~go d,e:quarecta' hacía el punto. A, b;¡j.!).lll~acctóri, de .cie~ta fuerza d'E,!<}trl!.llcióuproporcional a 'I:adj§tanqia. que medie ....entr~:i!a.jpartíc!IIa y'el p:lln.$oA.A la distancia igual a 1 cm ,ilc~úajl!;i(~{,z~. !g,~aJa. .1},1din. I¡~,:ire~i5-tanda .del medio. es p,roporciona:!- ad:a. ye\oc!dad:.de1 movímiento oigual n 0,4 dio ~ .la,ve)'oc~4ad d~ LC(~~;.J~n:. el 'lllomen,to,t ='Q lapartícula se hu.Hald.O CI1J d~l.íh'lii.t:oAy su'Velocmád:'es' igual' :i cero.Hallar la dependencia 'e,'ltl:e 'la' distancia-ry- 'eh~iémpó"yl(lalculan IRdistancia para t·= 3 s (con exacti~ud hasta, 0101.cm). .-42~', l1n punto' n1:ate't''ialde masa'lw se desplaza. á '10 la.rgo de la
l'()C~I!;¡.1~~pun\Q A .alpunto l!¡. bªj91~,~c~\Ó)ldf l~~J.:J!e~~~~(W~lI;nteF, 'La resisténei¡¡,del medío QS .pto·porc!OJlIf} a la 'dísrancla que .medieentre :el cuerpo .'Y el punto B, En et momento ínicla]. (en 01 I1ii.ntQ·:.4)es igJ¡al a f (j :<.F), La velocidad J'niciá'Ldell'punto;·.éS: fg.\1;al':acero,¿Cu'6.l'ltQt'i~.m:potllrqará el punto eh desplá~lir$ede .4<a":B.?(AB.·=.a)¡
Fig; 71
está en el eje, la ne:l:ión 'y del eje del ál'hol (véase In Hg. 71), al giraréste, satisface la e(l.\I8ci.ón
¡P '1J...+ (- - Ú)~)y=s cos (j)t+1.i12iJdP m'.\: '
4289. xV' -.9xy' + 21y,;::: O. 1.1290. ;cAy' + a:y' + y = s:y' 11 2,"fr
429L y"--;-+Xi"¡;;:~'4292. a;ty" ~ 2ft/ji- + 2y + x' - 2w' = O.4293. Si el eje del árbol deuna turbina. éstA eolocado horízontal
mente --; si el centro de gravedad de un disco que lleva e1 al!bol; no
Copo XLV.. Ecúaciones di(llrencia)es310
, : EClLaciones ele érdencs superiores -EII Jos ejercicios ~30 1-4311 hallar lns soluciones generales de
las ecuaciones.480t. 1/-'+9y' =01~303. y(tV) =8y" - l6y.4305. y" - 13y' - 12y = O.4306. y'" - 3¡/' + 3y' - y = O.4307. y¡lVj +2y" +,¡f =0. 4308. yllll.= !¡t"'-~,4309. y(lV)+Y=O'.43 tO. ti4ylVIDl +48(/\"1)+12y<I\')+y. :- O.43ft. y'''l+-r y,n-¡+ "(~:;1) Y',...1)+ '" +-rY/ +y ~O.4312. y"=-y'; VI:c_o=2. 1)/1_0=0, ,1/1..=<0=-1.43t3. l/IV)_y'; y)_o ...o\ yll~-o~1. ¡j"'),,_o=O;
y" t....o=1. y(fV) 1..... 0";' 2.
4Z97. Un cuerpo de masa .ugual 8200 g está colgadó del.muelle.All 'seG extendidos éste en 2 cm.; el 'cuerpo fue saeado del-estado dereposó y 1u.e-suelto ,,~in yelocidad,uoiciíll). Hallar 'lo' 'e"éqación 'delmov~micllto' del cue(po con9ider:u?a~".lll reslstGliCÍl\ 'clél;'meai:~ ,propcrcíonal ('\ la velocidad ,ael, movimiento. sr el cuerpo ·S!)qesplRzlIn la vel(icidqd 1, cm/s, ~e.lmedto ofrece la resisteDc'í~·igualll-0!1;"lqr.r.Lo: tensión del muelle (\1 ser extendid'!) ert"2 ero, 'Ós i¡(na} (I.,10;ikgf.Se prescinde de) paso del muelle. .... ":': "' •• ~n
4298. Un zoquete do madera cilíndrico (S"* 100' ~óill~'h=.". 20 cm, 'V = 0.5 g/cm' ha sido sumergido con¡p)otai'dente ón elagua ytsoelto sin. velocidad iniciah,eonsi'deran'da que la fuerío derozámieDtq, es peopcrcioua! a ro' altUrA (le la 'porte '~~l!1\ergída:,,esclarecer cu~l efebe Se! ~ico~fic~llnte ~~ ..proP9rói~naUdll'd k _para quesou,re In superñcte. d,el ngu.a a.paÍle~()~c;xactaf'\énte In mitad 4el 7.0-(1I1fÍi6. ~t¡nlo ~eoslllta(lb ere lA.lf.rt,'ll~I'~~.~bidar\ ~ o .., ,1 ,. ~t;:
.ICuánto ttempo (t,) durad. la pnmera tlulHda?¿Cuál es la ecuncién de) movimiento du.x:ant~la;-e.rímera subida?4299*. Un 'tlibó.lhégo y cst'l'eéh:ó,g:h'li·a.J.rildeéi'or,:'deun oje verti-
cal y perpendicular a aquM. COI! velocidad at:lgull!t~. En el momento inicial. a la rlístnncía ao del eje?eIi·eJ,Ii\\t6tlbr~del tubo hubo unpequeño globo de masn m. Considerando que en,el morqento inicialla velocidad del glol)o. respecto 111tubo, erá 'igull1 11 coro, h~IJ3r laley dol movlmieuto del, -globo respecto al tubo. "
1i300. Resolven el problema del ¡ejercido "unteillo'r suponiendoque el globo está ,sujeto ni plinto O con un muelle, La fuerza conqua 91 uiuol'lé IIctú.n sobre el globo es proporcíonal !I la deformacióndel muelle, la fllena igual 11k dinas rnodiñcn-la longitud del muelle011 I CI1l; La Iongitud del n:íúelle en estado libre es igual ~.ao'., '
3u• '§'4. Ecuaciones lineales 1 .,
§ 5. Sistemas. de ecuacionesdiíerenciales
E,~ IÓ5 ~je.reiciosq3'l4~4320 formar las soluciones generales delas ecuacíones -no hcmogéneae, buscando sus soluciones pa1:tícularosmediante' la. seleocíón conveniente o bJeT1 aplicando al 'm4todo devauiacién dé Ias constantes atbitra-L'íás.
4314. y'" ~ /fy. +- 5¡j' - 2y = 2Z> + 3.4315. V" ,3il' -h 2y = e-O: (43;2 + 4x - 10).4316. y(lV) + By·' +- 16y = cos x.4317. y!IV) + 2a.2y' + 'a'u = cos a;¡;.4iJ18. II(V}+ y'.' = xa - 1..4319. y,(IV) - y = .+e" + cos.z,432(}. y(!V). - 2y" + !J ... ,8 (eX + é-") + 4 (sen x + COs 3:).4321. y" + 2y" + y' + 2e~$'"= Or y 1""0 = 2,
yl 1"'=0 = 1, !I' 1"""0 == 1-4322. y" - V' = 3 '(2 - x~)~ y 11'""0= y' I~o' = l 1,..=0 ~ 1.4323. Resolver la ~ecua.ciQnde Eular :rfSy" -+' xy' - y '= O.
Cap, XVI. Éeu8ciones diferenciales
xll..ó =1.y,I,=o =zlt=o= U,.
Z'x=o=~'1.1
XII=1 =3;jYI,=!= --:3'
111_0=1.;
ElI los ejercicios 4336-433!lllaUap las solucíonés partIculares delos sistemas de ecuaciones dtferenciales que satisfagan las condloiouesin Icialas ¡,'n'dic!lda·s,
4.335. ~ =_!!j¡_ =_!!=_s-y .r-~ Y-jL
ro { z=y'(:Z--U)2,~331. '('y=z z-y)-,
, ,{'~Y' =u:432~. ',.'xzz,"¡~,;t2+y-= O.
{
'.' (,;' ti¡p '),;y?y .=* \'11., :;= ti:t, '"
4327. , 'ca ')y'l:z'=x,(z! =~", "l q;r
, . Ik tiy .
{4.Tt~dT+3x·~$ent,ti", 1.-;tt+U=cos t,
{
iPx du 4- I7tF'+Tt :1:= e.4.334. • dz ¡fl",
df+7=1.
{
y'4330,
Z'
(328:
4326.
43,25.
313
4340. Hallar la paroja de lineas que posean las siguientes propiedades: a) las tangentoa tra7.adas en los puntos de abscisns iguales, secortan en el eje de ordenadas; b) los normales trazadas en.los puntosde abscisas, iguales, se cortan en el eje de abscisas¡ e) nDIJ' de lns lineas pasa por 81 punto (1, 1.), la otra, por el punto (1, 2).
(Il~~1. Sean dadas dos Jíneas: !t = f (xl, que pasa ]lOI' el punto
'"(0,1) e y = J f (1,)dt, que pasa por 1'1 plinto (O, {) ,......
Las tangentes trazadas a las dos líneas en lOS puntos de abscisasiguales, se cortan en el eje de abscisas. Hallar 111linea !1 = t ($).
4342. Hallar la linea alnbOtldo que paso por el punto (O, 1, 1)y que posea 1115 sigulentes propiedades: 1\) nl desplazarse el puntodo contacte a lo largo de la Iínea, la proyección do la tangente on elplano Oxy describe 111bísectrlz del ángulo fol'tllado entre las direcciones poslttvaa do los ejol! O» y Oy; b) la distllllcil\ <!t1C med ín entrola citada proyeccíéu y el ol'igen de. coordenndas es Igual a"la coordennda z dol punto de contacto.
"343. Dos pequeños globos de sendas nll\SIIS ,n, estí\n ligados porun muelle muy ligero'(su alargamiento es proporcional a la fuerzade extensión). "La longitud del muelle 110 extendido es lo. El muellefuo extendido hasta l. y Juego, en el momento t = O.ambos globossituados verticalmente uno encima dal otro, comienzan a caer (seprescinde de la resist.sncill del medio). Al calló de-un ll?opso.de tiempoigu!l1 a T, la Iongítud del rulo se reduce hasta lo. Hallar la, lf)y dellnov,¡miento de ,'l.~dauno de los globos. , ~.. .: ,
4344. Un tubo horizontal gira alrededor del .eje vértícal convelocidad angular, igunl a 2 radlantes pOl' segündo. En're!fnteríce deltubo se encuentrnn 'dos pequeños globoR de masas igU~~s \\ 91>0 gy 200 g, respectivamente, estsudc más" alejado del eje ~e"revoluoi6nel que pesa más, "Están ligados po¡"uii muelle' imponderable elásticoy no extendido do 10 cm de longitud. La fuerza de extensión Igual a0,24 N actúa sobre el muelle debidoa lo cual éste queda alsrgndo enIcm. El centro do grl\vedl\d del sistema de los globos se haUn alejado10 cm del eje de rev9IuciM" Los globos SI! mantíeneuen la,polli;ci6ndescrita poi> cíeeto met;o.uJsmó. En el momento considerado coma dereíerencia pa!,s comenzar 1.1 medir "el tíempo, J¡u)\.\c!6!~ª~¡neoanjsmocesa, y los globos so ponau en movimiento. Hallar la ley del moví-
1&1,=0=0,
zlt=o- --1;
Cap. XIV. Ecuaciones difereocJales314
§ 6,. 'Problemas, de cálculo4348. Un aparató eléctrico CRUenta ~ kg del sgua, siendo sumar
gldo en su 'in'terior, 1.a capacidad caloríñca del agua sri' consideraconsta lite y 1(\ temperatura inicial igual 11 60, La resistencia R delaparato eléctrico 'depende lluenlmento de In 'Lempllratura e: R == Ro '(1+' O,OM6). donde Ro es la resístencla a 0° G (asta loY' esválida para; 11(Oluyór.íade los metales· puros). El ter!lloa,lslamle.otode la vasiju es perfecto debido a 10 cual 'se prescindo de la pérdida de
ttüe~t? de cn'!}a:'unode> los.,glóbó3"l'ésp~ctó,;a,hl~QO':,(Se 'pr!:scj~'de[elrozamisnto.} , " , " .
•,4345. La·, veloeídad del·crecjm¡entó; de los t'bLtt(vllsc,m¡Úó15rgáonicos 'es,ptopol'c'i6nát 1I,ESU,'oan~idild!~R,Ja·:.cani!d'ad;:t!ispqñibledésustsuciss. nu~ri.tiY:115,,(~I,lcoefJci~lltQ',d'é.,)iT0)l0fQlóna)id¡j,d;'es- iglialn '"). L;l velocidad ae ,diifui.núdjólld~',s.l!stailéjila:nl1triti;vas, '¡;lS proporCiOIl'¡Hé' 8 un' ,Cli.n~id'~d"disp'onibk'd'e'",t!íiccó'6rga'ñ\5r\'1lis (el,"coeftcjéntede:'propó1:cionalidll.d¡"éSI'5g,1;lala,kíh M comienzo il'el ~'XpetjmGfi'to;eula. v,isija hubo Aa 'mi~óargan.iSm6s.yBo~u,stanci'ásnUl~~tiV:as.J3ÍlUatla 4Bpcn!iellcia ep.tré la callt.idad. 'A ele m iCl:oÓrg1tnisiJ,J'os,,'y 'l'p. '6'ilntjdad~; de' susfencíes 'Íliltfitivas', "y él'1¡iempo,(kSi-O.,'KJ ,3> Q),~" ,,. "4a46~. Silpoug!lmos ,({\le Jasj'baé~rÍ'!i's'se muJti'plljcáJ1féonu"élo'éi~dad'.;P,i:oporci'OruiJ":i,su,'cañtidrut\¡J'i,s'pórilfi!e'(el coeficieñté~de-propor-'cionaltdad es.igtfa~ a a), pero '11'l~mismol'tíempo' élaboraIi.·uu·'vólleno~úe Ias va matando, con velocidad proporolona] a .la. cnntidad delveneno y a la. cantidad de bacteliia$ '(él ¡coeficiente. -de.proporeionalidad es igual 11b). Supongamos ts.:m'bién qUé.1'a velocid'4d cbn que seelabora el veneno, es proporcional a la, canttdad díspoulble de bacterias (el coe~iojelltede pto,l?l>rciotiaHdail' es.¡gtiaI a e), Prlmero ,la cantidad de ba,C"terillscrece alcauzandc ciértó,.y'nlol' máxímo, pero luegodecrece tendieudo a cero. Mo.stl'a~' que para cualquier momento tLAcantidad N dé bectertasse da por la fÓl1mnla
, ~N (~:+e'"'ltt)2 •
donde M es el máximo de bacterias y el tiempo t somide a paetir delmomento en que N =M., k es-cierte (lÓDstti.nte.
43.47. Do:L cilfudros cuyas .hases se hallan en un. m'ili)lló _planoestán unidos abajo por un tubo oapital'y contíonen. un liquido, dealtuua desigual' '(H, y [{e). En una unidad de tiempo, cielito volumen del Iíqnido pasa 11 ,través' del tubo, siendo pcoporclonel 1.1 11adíf{\reucin.'de'ahul'as, es decir, igual n CJ.·(hl - hz)¡ donfla CJ. es .elcoeíictente de proporcíonalidad. Hallar 'la ley 'que 'l'ige el cambiodo lo altura del, Iiqnídc 00 los cílmdros situados encima del. tubocapilnr. La scccíén transversal de los ctlíndrcses SI y S'J:'
3.15e:b §:6; FtoliletDa5la¡¡ cálcuJo--,':
calor, liÍ!alJar la dependencia entre la temperatura e yoel tiempo ten el intervalo O~ t ~ T si:
1).La tensión'.E se introduce nníforrnemente desde E = O hAstaE = El,·por espacio de T s. Calcular con exactitud hasta 1·, cuántosgrados, aumentará la temperatura dd agua al .NnaJi.zar.el décimo mínutn si 60 =O~..El = U.o V, R¿ = iOn y T -= iG rnin.
2) La tensión cambia. de acuerdo con lE!.rey E = 80 sen 100' su,Calcular, con exactitud hasta '1°, cuántos grados aumentará Ja temoperatura del agua 'al fínnllzan el décimo minuto si. 90 = 0°, Eo ::;= HO V y Ro ,= 10Q. .
4349. UnA espiral 0111'8 resistencia es ígual a 24Q 'calionta unlitro dolo agua quacede, 'Por .511 parte, $U calor al medio ambientécuya temperatura es igual a 20~e (.la velocidad del enfríamionto espróporcionál 8 la dtíerenóia 'de la temperatura dsl cuerpo y. la delmedro), Se sabe quesl la corríente se desconecta" la'tempetlltura de)agua .baja· do 4.0· fl 30· en 10 minutos. La. t;e.mpe¡';l\turti.ülic(a) delagua os de-20°C. i;CuáI será.iln tempanarura del ligua al ,cslCJlI.A¡S6diez minutos si: ,
i) La tensión se introduce uniformemente desde Eo =O hastaEl ~ 120 V por espacio de 10 minutos? La oxactitu(l debe ~F de0,:1,0, .
2) La corriente es alterna, b tensión camhia de acuerdo C011lafórmula E = 110 sen tOOn't? La, exactitud debe ser 0.,1°.
4350. Sea dedil.la e(1)8ciQJ\ y' = f - 3;2. Formar )0 tllb)1I (I(} losvalores de la 'solución que sattsfaga la condición inicial y I,,=! = 1dando a x los valores de 1. hasta·1,5 con Intervalo igual-n 0,05. Loscálculos .deben efectuarse. hasta la tercera cifra .decímal ..
~35J. Para e = 1. calcular él valor de la seluctén particular de laecuación aiferenci:.aJ yf == Y -l- x que satisfaga la .eondfcíón injcitlly 1==0=;; 1.. Calcular las cinco 'pJ)imeras aproximaciones Yll Y2' YSly" Ys(has~a la cuarta ci.fra-.decimal) a.plicando el-método do.las aproxímacloues ~1lccsi,yas:.Comparar Jos resultados,
4s5lt 8&'..$Jl'60 'que ,~8' íM~r¡ij ''J rx'l (Ix no 'se puedo C1\llteSl\rmediante funciones eleménfa.Jés. A,provechando 'que la función 'y =
:r
<= e-'o' 'í lJ~t' dt, esla solucién do la ecuación .d~ferencin1.!/ = '2:¡;Y +'ó. 05
+~" calcula» .....y 8~' odx. 4pJjca.1' !ll m~toao.de las apt;0;\iimacioDesQ'
sucésivas .yo' liJl!itl!rse a 1.3 quinta ,~pr9xUnac~óJV Comparar el resul:!,¡Ido CÓ~'.el v'aloI.,!\ptoxi!Dlidó caloulado' PO¡'o)a.1iég'la ,de S:iT.r¡.pSOD .
.4&~3.; y ,- j (q:)" es.1a _-\l~Iúci'ón 'pe la eputIlli6p" dif~I:ellci.an\lIl.i.==F= !I~ ~'I1'.si~l!~o ia,;coudiciM ;inicial.y I"'~D=- 1. Hallar la cuarta.
Cap. :KI:v.. Bcua()ione5,diIerellciale~3H,
aproxunacíén (y,) aplicando el método de 13s aproxiñiacíenes sucesivas limitá,ydosll18 tao. canudad.de, snmand q!!¡.ctD8'sea necesaria paraca 1cu IIIr y"~b-¡3)J1¡jori~tres¡~cjfjaS\J(f~ciíbiLte.s':-l_,uegó\.,holla!.' vanos prtmeros térIúiDos de desarrollo do 'na;) e-q sede de potencias; calculart (0,3) con tres clfrns exactas después de la coma; consíderandoI (0,3) como resultado más exacto, evaluar 01 error de Y. (O,;l).
~354. y == f (x) es lo, solución de la acuactén diferencial i/ <=>
= !L _.1. dadas las condiciones iniciales y 1_0 =1, y' 1 lFO= O.!J ;¡;
Hallar j ('1.6) con exactitud de O,OO!.4355*. y =' f (x) e~ 18 solución <:lela ecuación diferencial -¡( =
= y' - Y + x dadas lo)! condiciones iniciales 11 IP':I = t, y' 1"""1== O. H!lUIlt¡iJt("~,~~,)\con, exactit\/..a~deJ,0,0000,01'. " ("
'i35fi*. - Ji ~ t (~)es la' soluciÓI(de la 'iícuici6n aife¡'oncial y" == xII' - y + eX dadas, 11.15 condiciones iniciales y 1"",0= i,y' 1"'-0 0= O. Hallar f H") con é.'iac't'itud de 0,0001.
4357. La línea viene dada pOI' la ecuación y = t (x). Hallar el,desarrollo de la Iunclón I (x) en serie ~llb¡_e.Qdo_quesa:lJsface la ecuación diferencial y. = xy y 'las (\q~~icio~es infciales._ g 1""0 = O,1/,,"D -= ~. Calcular la curvatura dé láHnellen el punto cuya IIbSGi-SR os igual 11. 1, con. exactutud de 0,0001. .
817§ 6. Problemas da eálcu lo
4362. Demostrar las relaciones:1) cos(j)fcos3<p+ ... +oo5(2n-1)q¡=~e~:
lUp (/1+1:) q>sen-2- sen ~2) sencp+sen2(p+ ... +senncp=----~-
seo ..!.2
. . eix + t-b4358. Vali~ndq~ de las fórnluIDS de Epler sos%= 2~fx _ ,-iXi
J sen z= Zi demostrar que las funcíones ~ell";¡; y cosn:z;son susceptibles de ser presentadas en la forma do polínomtnosttigonowétTfcos 'de n-ésimo oipcn.
4359. Demostrar las relaciones2n 2Jt5 86J111,xCOIm¡¡;d.:z¡= J seDn$senm.xd~=O u Zn 2"
= J cos"xcosmxdz= 5 cos~xsellm$d;z;=Oo o
si m> n (m y ,l son números enteros).4360. Mostrar QUO cada polinomio t.rigonométrico de ,.-ésirno or
den que contiene solamente cosenos, os susceptible de ser presentadoen la forma P (cos lp). donde P (x) es 01polinomio de n-ésimo ordenrespecto 11 z.
4361. De'Qlostrar la relación valiéndese de la fórmula de Euler(Véase el ejercicio 43~&)
§ 1. Polinomios 'trigonométricos
Series trigonométricas
Capítulo XV
§ 2. Series de Fouríer4366. Mostrar que la función y =z' sarl..! • para a; =#= Oe y ... ()% ,
cuando a: ... O en, el intervalo I-n, nl, es continúO. [unto con su prímera derívada, pero no satisface las condícíones del' teoremn de Dirichlet, ¿Es posible desarrollarla en serie de Fourier un el mtervuloI-n, nI?
Resolver los problemas de los ejeroicios 4367-4371 en el supuestode qu,~ la fUllqión j (~) es continua.
4367. Lu función f (x) satisface la condlcíónj (x + rt) = -j (x).
Demostrar que todos sus coeficientes pares de Fonríer son iguales acero (aD = al! = b'l.= lL, = b. = ... = O).
4368. La {unción f (x) satisface la. condiciónt (x + 11) :E f (x).
Demostcar que todos sus coeficientes impares rlé Fouríer son ígualesti cero.
4369. La función f (x) satlsíaco las condiciones I (-x) = f (x) yf (x + rtl = -1 (e).
en el intervalo '10, III -,Ciene múxímos en los puntoji tr~1 •
3 n~t •... , (21) - 1) II~'¡ Y mínimos en los puntos ~,
2 2n; }.' 2n n' 11+1'n' "',\q-1)-,-, • donde g=T' si 11es par y lj'=-2-Si n es impar.
4365-. Demostrar que el polinomio trigoñoméll'ico sin términolibre$;, (ip)' = al CÍ)S c{l -1' b1 sen q> + ... + an COS']íq>+ bn sen nq>
no igual ídéntícamente 1\ cero, no puede conservar el signo constantepara todas las !p,
y
4i}63. -Hallar 195 coros de los políncmies ttigollomét_ricossen q> + sen 2q¡ + . . . + sen-nrp
,-cos q> + C,OS 2q>1+~.. ' '+ oos {HPen el -intervalp ID, ,2h.}.
4364. Mostrar que el polinomio trigonométricos m+' ~etl2cp + + scnll'fIeH " '~_. ~., 'Ji"
3,19-(- - -; .
Hg. 72
los ¡..torvalos para 105 cuales sean válidas las IÓl'mullls obtentdns.4iJ75. DesatrolllAr, la luu'cióJI y =~- f Gil el intel'yaLo~,(g~ n-)
en serie -da cosenos.4376. Desarrollar la.iunéión y = ;¡f en serie de Fourier: 1) OH 01
i!ltervalg (=¡t, n)¡ ~) 81\ eJ .intervalo .(0, 2rt) (vé!lll~Jas ~igutas72 y 73). . _
Valiéndose de los.desarrollos obtenidos calcular, las sumas de-Jasseries:
4-i:l72..Desarrollar Itl Iuqción, igual a - 1 en ~rie de Pouríer en elintervalo (-n, O)e igual a f en el intervnlo (O. Jt)., 11373. Desarrollar lB Función y = .¡. - ~ en el inlo.rvalo (O, n)en serie de senos.
4374. Valiéndose de los resultados de los ojercicios 4372 y 4373obtener el desarrollo para las funciones y "" x e y =~'2'". Indicar
~\/.JA¡.·
Demostrar que bl == b: = b3 = . . . = Oy ao = ag = a.~=... =0.
(,370. Lit función f (x) satisface las condicionesf (-x) = -1 ('x) y t ($ + n) <=: -1 (z).
Demostrar que (lo .... al = a, = ... = O y b2 = b~ t;= ba =... =0.
4371. La función 1 (x) satisface las condiciones:a) 1 (-x) ...,I (3:) y f (x+ Jt) = f (x),
It b) f (-x) = -1 (Jl) Y f (x+ n) oc f (e),¿Cuáles de sus coeficientes de Fourier se reducen a .cero?
Cop,_~. B!rj~_l;tigoDoID6Lr¡ea9
. Flg. 73
4377. La función y =:r? en el Jntecvalo (O. 11) en serie de Senos.4878. 'La'fuoción y = ri' en el intervalo (-n, n).. '4379. La función t (x) igual a 1 pllnl -n <:z;< O e igual a 3
para O < x < rt.4380. La lunción t (;1) igulIl 1.1 1 en el intervalo (O, 4) e igtrl.l1a O
011 01 intervalo (h, :rt) en serie de cosenos (O <h< n).4381. La función continua {'(x) igual 9 1 pllta x = ° e igual a O
eo el intervalo (2h. n) y Iíneal en el intervalo (0, 2h) en serie de cosenos (O<h <n/2).
4382. La (unción y = I:z; I en el intervalo (-l, 1).4383. LI\ función y = e'7.- 1 en el intervalo (O. 2n).4384. La función y = eZ en el intervalo (-l, l).4385. La función y = cos ax e!l el intervalo (-n, n) (a no os
un número entero). ./j386. La función y = sen ax en el ínteevalo (-n. n) (11 no es un
número entero).4387. Lo función y = sen a» (a es IIp número entero) eo el in
tervalo (O, TI) en serie de cosenos.4888. Lu función y = 00$ as: (11 es UD númerc ·elltero) en d in
teuvalo (O. 11) en serie de ·l¡I1.110S.~3~9. La función y - sil a.:¡:, 'en el intervalo (-1t, 11).4390. La 1\111Ciól1 y =- ch x en el intervalo (0, n) en serie de co
senos y en serie de senos.4·391.Desarrollar en serie de Fouríor la (unción cuyo.grátlca está
representada en la fig. 74,.~392•. Desarrollar en serio de Fourier 111 función cuya gráfica
está representada en IaIig. '15.21-0178
En los ejercicios 4377~4390 desarrollar en serio de Fourier lasIuucíones dadas en los íntervalos que se indican.
32j§: 2 .. Se.ries do Fourlor
iFig,77~3'94. QesarroÍll)r lb.'fúuci6h ~• ..:. x'(1t' - Ji) !lit florio. ilQ, 511nl)s en
el int.~~:yl)'lo,(0, n)..AvHcar el 'resultado obÍ'eo'iClo 'fI~'r.h,icllJ'c"li1r']nsu'rtih a/¡'~Jnl'Ber~ ,
J _.1 i_ (-i).....11 .... aa +.~5~>-'u¡a .r ... .....,(2" - H9+ ...
4395. Sen la función <p (x) = (nA:: :¡;t)2.
Fig.76·
pig. 75., -¡. ¡ji ., """
4393*. Desnrrollar en, ,s~~;~de Fouríor las fun()i,óp!l~ cuyas grlÍlicas están representadas en lWl figuras 76 y 77.
!I
:r:
Fig. 71iYA
u
Cap. ~'V'. Seriés trigoDomét.r¡.cas322
Fr¡¡Ha;'la'~xpr.l.lsiót)¡'ap~.o~i~adade estas funciqnes.en forma de unpolinomio tl·jgó!lomefui¡bo' (le segundo 'orden. o,
~f·
,'.', ,- ,
':r I o 1i.1.!!_1~1~15~ I·'n j' 7~ ~I.,~.'"~11+j:t.l~ .."~. 632,36.: """T."""J 3 ., Z :r, 6
11·(~+7.;~F2 1~5'lso, 12~ 1" l' 122. 126: ',130 132 136,20 . ,:18;jI. _. ,
!f(:¿J0,4310,871 o,e{o,s7f 0,28 "0. l~d;3ol'-o·,641~0.~510:04j 0042/b08~~::{:o)·112~3·r3.212~~ } 1,.61~M --0:21,,"",0:4r 0.31;, o,; 1'--0.9'1 jr2"'1,6
4396·0 '" ~senlt:l: (k~4) ..L:J n3+1=J..
4397·, ¿: (_1)n-1 :2:t; sel'lnx (~""'2).,n-t
"398 .... ~ ;,'2+t (. 4~ . ¿; n4+i Qosn:i: k= )',n=O'
naee ¡¡senT
4399*. 2J ¡¡.2-t cos,~ (k=5).nt.:2 .,'
4~OO. Las Iuncionos ti (:f) (.f = 1, 2, 3)' slm"dllditsen el. intervalo[Q Z'ltl por la sigulente'tallJa'
, § 3. Método de Krílov,Análisis armónico
En Jos ejercicios 4'396-4'399'mejóra» in convergencia de las se...les tiigQnomét).'i~s' haciendo- que los coeficíentés alcatroen eVlii(lenk indicado entre paréntesis.
a)- Mos,tratl qua Se ,,-orifican 1M 'igualdades'tp (-4t) = q¡ (rr), q/ ~-1r.)!: !p' (1i:);y !p" !-=<Í) ,=~IP.'(n)
[peró «l'" (-;n;) ,#<p'" (a)1:1;;),'",al¡én'd~se,,'qe;l'1<l~9'~~uí~~.d:O~:~q,~teDídoa, d!ts~J¡ollar la funcíón
1p'(z) ~n",l'Ser,je'do Fourier en el int,e¡:v~lo (-k, n).c)"CaJcular la suma de ,la: serie
i 1, f " (_1}n-l1~'2. +ar-"F+"'+ nl +..,
§' ,3: 'Mé~¡¡o, dé, ~i1bV. ~náüsis artaéníco
..' Lus'eJorcieios t¡UO contienen 'problemas retereutes 11.105prople¡l'ade8delClU'llpn c!colar y su .!r"!ldiC¡¡~8 Ilpareconun el § 4 ,ele!:wl!itulo xi,
Campo uectorial: dive(genero 11rotor440ti IiAllar las lí"eas vectoriales del campo homogéneo A. (P) =
= a';' + b1 + ck, donde a, b y e son constantes.4402. 'i:rall!\l' Ias l ineas vectortales del campo plano Á (P) =
=- -myi> + ro~j, donde ro es constante.4403. Hnllnr Ins líneas vectoriales del campo, A (P) = -
- my</¡+ ro;r;j+hk, donde (J) I Y h son constantes,4404. Rallar las líneas vectoriales (1elcampo: .1) A (P)=(y + :a) 'í - xj - xlo;2} Á (P) = (z - /1) ·t + (x - s) .1+ (y - x) k;3) Á (P) = x (y' - z:) 't - y (z!+ .t~)j + .z (x' + gt) k.En los ejercicios 4405-4408 calcular la divergencía y el rotor
de los campos vectol"ialci! dados.4405. ~4.(P) = x'l.+ yj + zk.4406. A (P) = (yll + Z2) 'í, + (Zi + xt) j + ($2 + ¡¡2) k,4407. A (P) = x~y:'¡+ xy2zj + xy:2k.4408. 4. (P,~= grad (;¡;2 + /1' + z~).4409. El campo vectorial esta Iormndu por una fuerza que biene
el vB~or constante F y la díeeceíén positiva del ejo de abscísas. C9J;cular ~a."aivcigén.c:ia y el 'rotor ~doo~t.e.t<ii1ll.p0., \
44l0. 1~1campo vcctóriá1' plano e!jt~ Iormado ,lloro una :fu:erzSlinversamente proporclonal al "cuadrado 'dé distancia q\\e me'diá entreei punto de su-apficación y el ol:igbn de'coordenadas, y d,lt'igido.haciaeL.origen do ccordenadas. (por 'ejemplo, el catnpo eléctr_iS9 plano Iormadói P.Ol·P.QII. carga puntual.) ,fIlIll,ai Ia, d;¡vergencia y el roto,r d¡leste campo.' ...
Mi L ):-laBat la dívergencf'a. y..~I rotor del campe espacial cuyasprQpilldadej; '5.0n las. mismas ,q:u~ cnracterjznn el-campo en-el ~jer'lci(}io4410. >,
'Elementosde la, teoría del campo"
Capítulo XV(
..4.(P}=j (1 '1'1 )i!.Demostrar que la divergencia del campo es igual a cero solamentecuando j ( Ir 1) "" ~ . si el campo es espacial, y f (1-r 1)= I ~ l'si al campó es plano, donde e es cualquier número constante.
4420. Demostrar que
T,ot [Al (P) + A: (P)I= l'ot.A1 (P) + l'ot A~ (P).
4.42L Calcula]' rot r'.pA (P)I, donde cp = fp Ix, y, z) es una fun-ción escalar.
4422. Calcula'!: l'ot ra donde a es un vector constante.4423. Calcular rot (a, X r) donde a es un vector constante.M24. Un sólido gira con Ia-veloctdad angular constante IDAlre-
dedor del eje. Hallar la divergencia. y el rotor del C3IllPO de velocidades Iineales.
donde q> = q> (:t, y, z) es una función escalar,4.416. Cnlcular d'ív b ('1'a.) y div '1' ('1'a), donde a y b son vecto
res constantes.44t7. Calcular dtv (a X 0)'), donde a, os un vector constante.4/d8. Sin pasnr .a las coordenadas, calcular la divergencia del
campo vectorial:1.) _¿L(P) = ').(ar) - 2ao)'~;2 ..4. (P) _ t'-'ro) - 11·-,ro 13
3) grnd I l' t "0 I .
44t 9. Calen lar la divergencia del cam po vectorial
44t2. El campo vectorial está formado por una fuet.za. inversamenté proporcional, a la :dista.!fcia 
Po~enc.ial.4430 . .El campo vectorial está Iormado por el vector constante lA:
Verificar que eS~é campo tiene potencial y hallarlo. "4431. El campó véc;t$)ri!ll est~ fora;iallo por la fuena· proporcional
a la distll'ñcia que media 'entre el' punía de su 'aplicación.:y el origende- coordenadas; y dirigidá h'acia 'el otígen de cobrd~l)aiillll:Mos~rarque este campo es. conservativo, y haUáD 'el pctenclal. \. ,"
4426. Demostrar que ".·'Vi" =.nrn-. donde". es el radio vector.44.27. Demostrar las relaciones:1) rot g¡'ad u = O; 2) div rot. A = O.4428. IDemostrar que
, . ó2u O!u ó2udív grad IL =8ii'+w+8.2.
(Esta expresión so llama operador da Lsplace y suele ser destgnadapor 411., Tambíén puede ser usado el operador de Hamíltoa para es,crib'i11a en la siguiehte formn 41.1. = ~W) u.= Ve!") ~, ltl!29. Deipostrru:'que• rot (01. it (F) = gcad dív .4 (-F.) ~ 4.él (P)¡
donde U (P) "= ÁA..<t+ 4AI/';+ 6.4 t:k.
VXV u= fot grad 11;V (V X A) .. div ro~..4;
rLa aplicaci6n de este operador o uns u o~ram8!lni~ud (escalar o vectcrial)
dobllser comprendida do la manera slg\.Úll1lte: conviene erectuar. de acuerde conlas regles dol 61gobra'v(!clorial, la mulUplicación do este vector por la magni-'ud dada; luego la Illultlpüeac!óndo) eimbolo :-, ete., por la magnítud ~ dO~9
'vZ I
ilQu&i4erllnocomn la húsqu.ed, ~e la derivAda coerespondteute, E\l.t(lUC~8·5~úti~negrad ti, = 'i7u; dlv IJ.=VA:; rot ..4,1= 'i7 X' ¿f..
El operador de I-lamiltoo os vá1ido t.mbién para ser aplicado a Ins op~r¡jc;lono$·diretenclalc8 do segundo órdeo:I •
VVu = div grad 11;W (Vd) = grad div <1:
V X (V X A) = rot ru; <1.
Es sumamento COll-vollíente aplicar el vector simMlico V (el operedor-nsblado Hamiltcn) a lus oparaetonea diferenciales del anAIl8is vectoríal (grad, div,rot):
Q iJ e<:/=0; '+a¡i+8i'k .
4425. Demostrar la. relación I
If!' (grad (.án) - ro'h(Á :S< '11.» .", div A,si '11. es un vector consrante singular.
. Gap. XVI. Elementos. de la teoria del campo¡¡Z6
Potenctal d.e [uerza de. atracci6n*)
4438, Sea dada una barra homogénea AB 'de longit~'d 2l y dedensidad lineal o, situada en el plano OSi'¡ y en, (i)'e'je Os simétricorespecto' al origen de coordenadas (véaseIa fjg. .79),
,. ,AquI (e!l'los eJ~ro.joi05t4438~49fse tieae'en'clléntala iu~rzilde 1Il'~a·vedad que &C~\);l¡tl~ a!)Í).~rdocollla.le)' de Noy¡ton. 'En voz,do,declr,el.«po\llnclll,lde la m,asa, situada sobre (o,dontr\) de) un objeto geométrico, diMllOS,'paraabreviar, el .potencial ([el objeto dados. . ,
!I
Obtener dé aquf, ';'01)'),0 caso Particular,el poteÍlc}a~ ;ítra'ctivd ,de la masa ·p'u~!h~l.'Y el potencial del campo para el ejercicio443'1.
4437, Hallar el trabajo de Jos fuerzasdél campo .A (P) = ;1;-!/,t,+~zj +X2l7t al des- Fjg. 78plnsarse el punto de masa m. a lo largo de " ''una línea. corra da compuesta de. un seg.!XlinFo.dJ~)'~ re,<;:tll, x + z,= 1,y :;= O, la ~uilria parte dé la' circu)lf~reñcja x'.l 4; ,y~ =, 1, z: = O yun segmento d€la recta 11 + .z ;;:.-:{ x =:= O (véal?e l~ fjg. 78y s.ogúllla dtreccítin índlcada en el'di.bujo', ¿Cómo camblat(R Gl valor deltr.¡¡:bs:jósi, el ~roo BA Iuese sustituido por In Iínea quebrada BOA o1101:el tlegllleuto BA,?
eII.(X, y, e)= IfFTI)i:lr(r-= V.$2+y2+Z2).a
. ~32,. LJI&fuerz~.s.a,p..~~.mp6'!l9DiJlv!lrsament.e~y.ro~?Jlc'it>oaJes a la~4Is~~,l;ic.l~que m~~'Hvep:tre: Ios puntos a~,su ·~p}¡caclOn,;y.: el :p'b,MQXÍ}, '1'/' ,~~r~gl~~$:,hacia e!r"óltigen,'ªQ coordenadas.: ¿Es"cotlscrvati voeste- campo?'
4433. ~L~ fuer~al\, .d~l/cal1lpo' .soa pr()porciODa~.es,al c:.~pdta.do'dedístatrcia ,(lll~ ,!úe.gi,a'entre 1'1>5püntos, do' su 'apli,caci6n 'Y" el eje O"y d~,r¡Zidas hacia 61origen el de coordenadas, ¿,Es conservatívoestecamp,o?'
4434....EL campo: v'eOtOl'iW':e,~i,áXo]¡m'pdopor la fuerza, ínversatnente proporcional a la dist~pci~"quemedía entreel punrc de SlJ itpliea'ci{m y el ~ie 9z. por¡>endicl,llo,r a este ~jo y 'ditig'id& .hacia él. Mostrar -que.este cam¡.>oos cónsGl.'VativQ y hall~I")¡u potencia]. '
4435 . .El campo w'octoríl,ll: está ~r~11do p<?r válocídades linealesde los puntos de un 'sólid'o qü'e,gira alrededor, de 'sil· eje. ¿Tiéne poten-cial este campo? -. 'v- ' .
4436. Las fuerzas del campo son dadas del modo siguiente:
.ti (P) =! (r) f (elllsi Ilamado campo centrado). Mo¡¡ttar que el po-tcncial del o?-rllpO es igual a %'
32'7'
fig. 79
= 2:kfi seo ~ (a+~), donde k es la constante de la gravitación(C es 18 proyección del punto P sobro el eje O~, (;Il es el ánguloARC, ~, el án,gulo BP.C).
4439. Hallar 'el potencial de Ia circunferencia XU + iJ2 =Ri,Z = O en el punto (8, 0, 2R)." si la densidad eh cada punto es igualal valor absoluto del seno del ángulo. formado· entro el radio 'Vects>rdel punto y el eje de abscísas.
444.0. Hallar el potsncíalda la primera espira de la bélice homogénea (la densidad es igual a 8) x = a· cos t, y = a sen tI Z = lit QDel origen de coordenadas. .
M41. FIalll\'t el ppte,ncial del cuadrado homogéneo de lado aOA densidad superficial es igual a ,B) en une de sus vér~.ices. ,
4442. En Bt plano O:.cy viene' 4istribufda, 'una J:ila~iIde d~i)~a$l.iI'6, qué va dismíunyendo de.sdé. el qrige!l de CQ<1I',denllda5'lll~diand()
entre ~llos la: distan~la P, de' aéilatd.o. con la .rey' ~ ~ 1..t..Pf' Ha:!la'r ,elpotencial CII el punto (0, O,;h). (C(j!lsidera:¡; tres 'caSÓ5~ lo< 1, h:= "y h>1.).
~443*. Calc.ulAr el potencial de l'? supei'ft"fii homogéuea lateralde un 'cilindro círcular:
1) en el centro de su base, . .2) en el ceutro de su eje (et x:iidlo Q.l!lciJincji:o,es.R. la altur,a H,
la densidad superficial, 6).4M.4. Calcular 'el. Jlotenciál de la sqp~r,fi,éh~·ili~~r!l,l'.bomo~l).ea de
un-cono circular recto (el radío de la ,b.a!!C!'eS }l/la ahlifa., ~').,én suvértiw·
a) Hallar IV. potencial u (lt, y) de la barra,·h) 'Mos~rar que las 1)royeociollas X. o y, de la f.uorza de atraccién
sobre el punto P de IDIIS3 T/'Í; cuyas coordenadas son '~1=Xl ¡I'i =fYI'son iguales a '
X ...mkll ( p~ - lB ), y= _ m:1l (~!+~~)y el valor de la fuerza resultante R es igual 8 R =
Oaj¡, XYI. ~t6montoS. dlllll'.<t(lotia ,llel cámlÍo328
Fluio y ctrculactón (ca-$O plano)
4450. 'Calcular el flujo y la circulación del vector constante A alo largo de UDa curva cerrado cualqu íara L.
4451. Calcular 01flujo y la circulacíéu del nc;tot.<l (P) = aro donde (l es escalar constante y r es el radío vector del punto P, a 10 largo, de una curva cetrada cualquiera ,L.
4452. Calcular el flujo y la circulación del vector .A(P) = X'¡, -- yj a lo largo de una curva cerrada cualquiera L.
4453. Calcular ElI flujo y la circulación del vector ..t. (P) == (z$ - y) i + (yS + z) j a lo largo de la circunferencia de radio RGUYO centro so halla en el orige)i de coordenadas.
/lAija. El potencial dol campo de veloctdades da las p8,1'tículusde un fluido ccreíente es igual a It = l.n r, donde r =,1I;¡;'l+ yQ.Calcular la cantidad del líquido que sale del contorno cerrado Lque rodea el origen de coordenadas, en la unidad de riampc (el (lujo) y la cantidad del liquido que peso en la unidad de tiempo a lolargo de este contorno (la cireulacién). ~C6mo cl\mblor¡\ el resultadosi el origen de coordenadas se halla fuera del contorno? .
4455. El potencial del campo de velocidades de las partículas deun fluido corriente es igual a u.= !p, donde q¡= arctg JL , Determinar.z:el flujo y la circulación del vector- a lo Iargo del contueno cerrado L.
44M'.· Sea dudo 'un¡.cili.tldl'Q ,:~írCIJ111~homogéneo (~Jradto tle labase ',ei?(.a, loa altlUa,.¡.lf, 111':d~lí~íclad, 6),
1) Hallnr el potéJj~tl)l 'en :eJ.¡:outro de su .base,2) Hallar el pl)tQPOiAl en el centro de su eje,44:46. Se.íl dado un cono recto circular homogéneo (el radio de In
base es l!." la altura, H, la de.t!sidail·, 6), Hallar 1)1potencial del conoell su vértíce, ' . "
4/147.. Hallar, el potencial deIa semíestera homogénoa x~+ yl'++ :¡;!<R! (z ~ O) cuya densidad en el punto A (O. O, a) es-Igual8 O. (Considerar dos casos: a..> R y a<R),
M4&~¡ Hallar e1:potencinl.del ~uerpo homogéneo límítado por doso6feraS,~(,oncéntricas d'o'radiQ: R _y r (-R> r), respectivamente, "Y eledensidad 6, en al punto que dista a de~ centro de .la esfera, '(Constderar tres casos: IJ, ~ R, a.<: r, r ~ a. ~ R.) !\Ilpstrar que si .el puntose halla dentro de la cavídad, del cuerpo, la. fuerza do gravita.ci6nque acrol} sobre este punto, es igual a cero.
4449. Ballnr el potencíal de la eslera maciza no homogénea;'(:2 + y2 +~~<R
en el punto A (0, O, a) (o,> R), si 111densidad 6 = )'Z2, es decir, esproporcional al cuadrado de distancia que media entre dicho puntoy el plano Ozy,
l29
'z == 2.(1.-.:r;2 _ 112)recortada por el' plano z == O.
Fluio y' ctrwl.aci(Íl~ (caso espa.cia,l)M57. Demostrar que el flujo dol radio vector '1' a través de cual
-quier superfície certlldll- es igual al volumen triple del cuerpo limitado por esta superficie}
1a458. Calcular el flujb del radio vector 8, través de la superficielnter(ll del cihndro clrcular M radio de base es R, ]0. alw;ra, In, si~looje ,del cilindro pasa pÓl' ei, Cl'l'igell'de ccordenadas.
4459'. nl'-ter¡ninnr a ([UÓ setá igllol el flujo de] eadro vector a trn",és' de ambas bases do') cilindro <lei ejercicio Ill\t0rior valiéndose delos resultados obtenidos en los ejercicios 4457 -445&,
4460. Calcular el flnjo del radio vector 1\ través de la superficieIatornl del. cono circular cnya base so encuentra en el plano :vOy yel eje coincide con el oje Os. (La altura del ctlindeo es 1, el radlo debase 2). .'
1j(¡6L Rallar el flujo del vector A (P) = xyi + ylj + xzk a Lravés de lo. Iínea dívísoria do 111 parte de la asícrn :¡;:+ y~ + ZZ = :1-que se halla en el primer cctaute.
44G2*. Hallar 01 ,Uuio' de1 vector A.. (P) = y~"¿+ xzj + XVle 11travós de lt. superficie luter,al de la pirámide cuyo vdrtioe se halla on'()I (Junto S (O, 0, '2) 'y cuya baso es él triángulo de vértices O (O, O, O),A (2, O. Q) y B (0, i, O). '
4463. Cálcular la circulación del radio vector n lo [argo de unaespira AB de la héüce :¡;= ti COi> t, U = a sen t, z ~ bt, donde A yB son, los puntos que corresponden a los "al ores de los 'parámetroso y 2n.
4464. Un sólido gira COII Jo velocidad angular constante f{). alrededor del (¡je 01., Calcular la circulación del campo de-velo~~¡1l1desliile'l\hi'~a lo largo d~ lb ciJ.'cn!Úe~rJrl()\I\:d~1'l\di~R ~u'Y,0cep't.r~_,~e.h.~lilen el eje a,o revoluclón y 'el plllÍiQ: e§ p¡ll'pélld~culat lit. eje ,de 'rlltolu'ción en el 's'enlido de la l'évol'tici6ti. l'
4465"', Calcular el fluj'O del rotor del campo.de vectores A (P) d:,= ,y1,+zj +~1c a través de la superficiedel paraboloide 'de revolu-ción - .
4456. El potencial del campo 'de veloctdados de l~s };1sf.treulasde un f.luido corriente es igual a:,u (':1:; 1/) = ,1. (;¡;2 - 3y=). Galcul.ar.lacantidad del liquido (fue pasa en la=untdad de tic¡mpo ¡j ~l'aVÓS del:segmento de la l'oct!.l'q'UI)'\lM el óTIgIJlÍ de coorderradas 'Y el.punto (1,1).
Cap ..XVI. EJ9mel1t<%~de la '189!ta de"!'camp"
Al capítulo 1t. Todos lGSDÍlmeros n pcrr.euecin 8 la serie .natura], e¡(capt!) n .. 1 y,,= 2. Si la 8\1(011 de los 6ngu.los es S r 1l1.Ilúm.~rn(dl}Indos n,' SG.tionó S =
- '"(n- 2). ' .4. a) Pata," = -2, % ... t, :r; = 6 la {unción se reduce n eere:b) para % < -2. -2 < % <" % > (l La funci6n es pesttíva;e} para 1 <:r; < 6 la fuMión es noga~iva.
1 ,,!_b2- #',t~6. r \/lÚI', 7.8=--4- tg.o.. $. b;= V ~.a,!.
9:,t(0)~-2: /(1)=-0.5; 1(2)=0; 1(-2)=~; ~(-{ )=-5;I ('Vi) = -0,242 ... , If (t)I=1; ~ (O)o:> 2; cp (i1=0,5; .,cp (2) = O; cp(-2) = -4; cp (4)= 0,4(' 1 ('-lo) no existe; <p (-1) no exíste,
10. t (1')= 0\ 1 (a) = ,,~-1; Ita + 1) - ,,0+ 30" + Sa; f (a - 1)=- (].' - 3ai + 3a - 2; 21 (2u) '"" i60" - ·2.
t . 1 ,r.;ti. F (O)=-¡ ; Ji' {2)=i; F (8)=21' F,(-i)=;,S; P (2,5)= v 2;
P (-1,S)?)! :28 ; Ql(O)=¿';cp (2)=1;"cp ("'!'1l=f;
cp (x) = 2x,' parn x> O y tp (x},"'" 2-"-' p~ra :r <[ O; (JI (-f) + F O) = 1-. 1-a'
12.111(0)-=-0; '¡'(l)=a; 1)I(-ll=-¿; 1jJ(~)~a-4-; Ijl(a)o:!:aa+l:
~<-a)'=-al-... Ilit. cP <l') = t' +1; [!ji (1)11 = " + :w ~¡..1. , ,20. La relación .f lbl- f (a)es igual a la tangente del lÍugulo Iermado eQ~re
-ala secante quo..pa~a p!lr los puntoa (a,' f (11» y. (~,'¡(b,)), y el sentilJo positivo deleje Oz. .
22. a) %1= O, %r = 2; b) %L= -1, %I¡ = 3.23'1%1= -2, %t = 5, %s =-}.2(. z = tl siempre será uon rJz.
Respuestas a los ejereíeíos
..n·I,1 121314151 V 1718 91101 ti 1i2lj·sI141'~51'61t7r.j8' "i9 20
" I oJo lo ,1j r°12 ro 12 1 '1210 r r, I o1~I ~ 1 a I o 14 o' oS
%11213141516vI Ifl ~ 1~lriolrio
25.... '1 - 2; -2. 2. 4. to.26. %}= -3; '"2 = -2, %3= 2, %. = 3.27• .:t <: -1 -.¡ '" ',> 2.28. a = 4, t,= -1.
1 129. a=- 2sen 0,5 ".;-1,04 (poniandosen ().5~0,4.8); b='I; c=-:r+
j t+21<" ó,a= 2sen 0,5 ,,;1,04; b=-'I; <=2:+(2{<+1)" ("~O, ±1,
±2, ... ).30. 11=(;<+1)2. 31. v=l w::r l. 32. !I=V(at+l~2..
33. u=y t+\lgs.:.nz)2.. 34. v=seD(l+.:t).35. ~) y = v', v~ sen ro 2) 11= ·VD. 11- ..t, u = "'+ i; 3) y = 111 v,11= tI! %; 4) y = ....u. - sen. e, v = 2%+ 1; 5) 11= 5", If = ti', l)= 3",+ t.
3G. II}-t- b) O; el sen 12; d) -SOIl 2ft cos? 2",.e}.2;' - 3",' + 3zb - 2.t"+"';f) O; g) son (2 sen 2",).
«rr+z»: b ,/'-- ~•.r:;;--:::¡ (.'311.1) y=± v 1-",', 2l=±. v.,a-a·; 3) V=l' aS_.:3; 4) !/=-;:;
:i) V"'" log,5; 6) y= 10000 -1; 7) !/=log..<,,3+7)-log,(z:l-2)-;<;"', .:r
%1-8) g=r\roeosi+z .
39·. S08D % > O e y > o. entonces se tieno y + ¡¡ - % - ;r;= O; 1/ = %(111gráfica es la biso'ctrlz 1101 primer ángulo coordenado). Sean," > O n !I <O.entonces se tíene y - y - % - :r= O; :r = O (lu ~Aljeu es el semj~eienel!ul~voO,,). Sean '" <O e !I > O, entonces se tiene ,,+ " - %+ '"= O:.. y = O (l.grnfloll os el semieje J;lCIlOUVO O;c), Sean a: <O o V < 0, entonces se tieue 11 -- y - % + % = O,' que es la id'Qutidad (la gráliCIJ os el conjunte de todos 10$PUIlIOS interiores del tercor ángulo C0Q1deD3do).
40.
-,Respuestas al cap. 1332
43., Sí t (.r}, es ~¡p,e,80"t.fd·segplpJ'toAl]'f,. se Wí-n(!, f ("') "= ~ po,ra¡O<.:¡;<< 1, ~ ~~)'=','2 +"1'2'~:0,!L;p~r~~~ <z ~ 3, / (x) f'.;r;,+ Q ,pofa 3 «,.. -< 4.'La. funclon viene de.tllrm·41a.(ja:'Cu1l.)l~O'O'4'z ~ 4. '
, 44. Pa,rey,O:< z ~ R S':;> 1(, (2J{_ - .T)", para R <""<3R $ = nR2, plir,a3R ~ q;. ~ (¡R, S = ¡t f,6R:t -,¡.• .:....8R?), Fu,oÍ'1Idel 'iu.l:wválO [O. 4Rl la' Iun-'d60 S '"' t (.-¡;} no esta lleCorii\inada\. ' ' .
45. V=,;:; (112- %t) ; O<~<2R.46 S- n;¡;Z ...F4Ri s- O ,'oR•. ~ 2R V· -:"", ~.:t~~"
47. ~) '" > 1): 2) :..:> ~3;, a~ '4 { i '.)- 00 /!;:. :l'~,O';5) todo el ojo nu, mérito, aXIl01ltolo~'tHiii1¡ns:r'±";;' .1;'6) to4i¡ él~j9 ~un'\iíi¡co;:1,t;JlOestá, ¡iet,0I'miMdo sólo para z = O, ..:= ,-1', z = ,1,;, '8) todo al Ole nli:mórHlo oxc~pto. los puntos1.= 1 y:t' == 2: 9) -1 <% < j¡ fO}- 00 < It <O y4 <'"< 00;,11.) - eo << % < 1 Y 3· -< ....< 00; 1>11 el intoevnl9 (l. 31 1a Junclén 00, os~1Í.d~finh18;12) - 00 < '"< t Y 2 <.l: < ec ; en el intor.vlI, o [t , 2118' (¡,1uci6n110 está defl-.nida; 13) ~/l~;r;<4; H}1~",<3; 1,5)O<,;~1; 16) ~~~X'<.¡.;
17) O<,x <}; 18) ~i ~:t ~ ~i 19) ~ "". <,.' 'F O; 20) no IfOlle aentido:2t} t ~.r.. <i; 22) 2kn < :Ií <: ('2k+ i') n, donde k"e9 un entero; 23) 2-klt ~~,~ ~ (2k + 1) n, donde 'k es 'IR entero; 24) O <;::& <,l, y i <:t < 00, •
" ' 'o , ' d48. 1) -2 ~ ,:t <'O y O<., < i; 2) ~t. -< j; <'3; 3) 14 X' <4; 4)-r <
<., < :1Y 2 <3;< CO; 5) ISldominio de'dnfjniciún 'consta 8(110,Iel punto ¡~= 1;6) -4 <", < O y 1 <:r.< 2; 2 < '"< OQ I7) 3 -~;t <'"< 3- - ni 'S < :t <,<4; 8) -4 -< -1' ~ -n y O~ '" ~ ft: g) 2kt\. <..< (2k + 1) ,(, donde k es'UDentero; '10) '- < s: < 5 y () <.íI< 00; ll) no e9t~ doñuia.8 sil parte aIgunn;12) -1 < '"< i Y 2 "'r < :~:13) tildo el- eje flIUnél'icQ:, t4) 4 ~,,<6; 15).2 < x < 3,
~9. 1) Sí: 2) son idénticll.s eu CUahl\lior intervnlo que no contenga el, 'Punlo'.:z; = O; 3) SOn i'd'éolic:as en ,,} iot,or\"al(i 10" 00 Ji 4) ~orí'HléntlQ8s en el intervalo(O, 00),
50. t) Po~ ejemplo. !I=V~¡ 2) por ejemplo, y= V1 :r 4.-",a
3) por ejemp.!o, Y=_!_2 +~+__!_,..3:- Z-·.-) .%-~
51. t) 1. <,." 4'3; 2) 1) ~:r <+ ce pat.a dos rIlUlRSy1 ~ x <+ I'!" parll-oteas (los ramas.
i'>2. - 00 < :Il < ""'.53. 1) y > \)para x > 2; y < O 'para ,~< 2; IJ = O para", = 2; 2) y > O
pnra % < 2 y IP> 3; JJ < 01!~rll'2 <;1l <1t: y = ()pllra Zt;;= 2 y "'z,= 3; 3) U>>Omi el intorvalo (- OCI. oo),:la (uliCión no t'i~'néCOfj1!1; 4) iJ > U 011 los~ll1tBrvlllos (O, 1), (2·,+ 00); y < Q, UI!1~5 intecval_os (- 00" Q) y (t, ~);'y = u pa~8.tI =,.0, ;t. = t, .t3'" '2; 5) y >Opara", *.'0; Y = ,Opa,ra % "'" O.
-54. 1). 3), 8), l(l), H)¡ t5) son PlmS; 5), ,(),),fi), ií), 1,4.), pi 80'~lmpares;'~}',4). 7)" f3), ~6).no S<IIl.,parcs ui im[1ar~s.. ,
55'. 1) y = (""+ '2)+3",: 2) V == ~t:_;t") + (~ - 2","); 3) U ==(90n 2", + tg x)+ c!>s'~f.
33:(
Fig. Si
lit. 1) En el! lotorva:Il),,("- dQ... Ó) ile(\rej)0, en el Intervalo (Q, + oc>)I croce;2) an el intervalo (- ro, Ú) decrece, NI el Intervalo (0, + 00) conserva su valor.'constante, ifIll)·es',i>lI~er.o,.,'1,,'1" ,J" I"~' ", l,• 1)2, 1) EJ."'1l1Q~,m¡¡):¡mo,c~;1,(el v,~~or,~JÚnlmo es O;~), el v111U;fmli~ó es í ,
111vlllof mínírno es ¡guar a -1; 3/ el "valor ñüíA'Jmo es ~" el valor iíllnl.mo ,(.IsO;,4) no tí()nc valor müximo, 91míntmo es t.
E ... ,., \' I jI!, ¡ h 'IJ ~ .'!..., '_ '8'.65. 1=¡¡-'. ,~6.a) p=~,n7h; b) 10,$ gf/cm-; e) 36,4 em. 67. Ji=45'w.
'> ' ..68: Ü,v,-i: z+4; 2) ,1I=1,'il95:<+1.91J); 3) !I='-O,57",+8"~S." 69. a)' V ~ .106 Jt'~),~5¡(J.¡~lii60 c'm3l'
170. s= t6,6' + ~,34.t. 71. l' =¡ 12 - 0.71.'0, 72.' Ójr= 6, ,~{I"~'Y=;, :r6.., 7l•. "A",' fF 4.
75. 'El vnlQrtflnft,ó, ",.I.fi¡2a.- '71!~:.x'= t;,&.(áItCajl11Sinll·~é)lh!sQÍlllu:purlto' t!1!;'¡nt,erser,,,lóh de 111gráfiw¡ de111llinclOn' 11= IP .(",l W la" feCea.'lIf,¡¿,:;J!~,,,,.. ~J '-:,.. '
78". EiI b~~sJli\d :p'iM\;u-~liitl\\o)'óíf,!i;'<l'4é' fós da,to's dor p~¡;J:¡lema[(eVIII)suprimido:)!b siglio"iló !·g!hUü¡\~.ile. ,lb'~iJir!P!etvá)ji)'a J'~1~ci6n'I 1'.(;t)!;'h!tJ {2l):,1 '"~ I f (x/I + I '1' ,(xl l. La e¡¡trlcta dOSlgIlQtdaC!t s'l."vetlflCa .para'''''' ~,3 31:21:..->4.,El p~ob ému''1lócde' !;er''tIo~iI<:ibn8d_OI,j::ons~ruten'l& lé,9 gráfi~..all, tle las¡(Ol\ejolles!l) (z) == I f (:t)+ qJ (x) I y Ij> (xl =- 1 J (.¡) ,14- , <P (xl.!,
'19. II! <: ,2'. Véase la j)ldi68Ci4!! al, ejercício 7S·"
Fig.80
.s:
ax t ---r-¡ _y -:c1)"'=__T_.._r..l-~':/ 2 . ',2, •
?)y ~+~~+K-~- ~+~~-~-~~- :1 + 2
,59. !;Q$ Iunciones 1~,5), 6)~·'8)..60. VÓ8J\S6las grá!lcns en los tigs. 80 y 81.
5104."'1~-1.i; ~¡::$2,1; i) %j= -1, .1'~=y; 3) %1=0,5. %2",,4,t.'1) %,=%~=f; 5) no tiene ralces reales.
105. :r\= -~, x'2_= 8. 'En )u soluctén gráfico so j¡'ISca el puoto dé tntorsoecíén do 8 ¡(rAIlelt de Ju fuuci6u, JI - 'P (;¡-¡ y <la In ,pIiJ'6bola u.= 7:.:,.,¡. 25., HIG. ,~¡,,¡p.,..{lllC' > O'y. rt ;> O"la Iuncióu est~ dofinida on,todo.:el.ejc numé-,.po, excepto.el Jntervalo ;i ..:;;_% <: "",donde %1 Y"'_ eon llls raíces del -trincruic.>Para,b) - "ua >Oy a <,o fo.Cul\cion está deíiniJo,s610 cuando"'l <,. <; ", ••~
tuJ. El PU.Ilt.O buscado 08 (if. {).( \5 37)102. El punto buscado es IT' IT .
4) 1/=Q' llM!I :r.=0; 5) (/7-ib~.p~ra\%-= ;~.a Q. a n. t.
85. a=2'+'2' 86. u=Y-:''lr' 87. "-:ro. 88. Coda uno u 50 cm ..
89. Aquel cuya scccíén "xial es un cuadrado: , ,, 90. C.umto menor es la altura del COIlII. -tanto mayor 03 Sil supcÍ'l'iñlc taw-ra], Lo CllucióD alcanza su valor máximo cuando el rndio du 'Iv base. es iguala ~ •es dooir, cuando' el cono degenera en un disco pIaDO.
91. i2.5 cm. . .92. La altura del reotárogulo debe SN ig:ual a 18 mitad de la BIL.m' det
tri¡;ngulo. ., ,. I
113. ~1"lldio del oilindro dche slir 'igll"!' a la mltnd d¡,1 radío 1]01cono.
04. El fs.dio del ,;!I¡¡id"a (le&0 ser _lglla). n 2 (~'!_11) pllra H;> 21!¡ pnra!H'¡;; 211 lo 9'lpl!rfic.ic tollOl de) cllíudrn inscrito serÁ l:tIlLOmayor cuanto .Illayor~8 ~l rsdiu de su oo!!(>.
95. :.. ss. a= ~/,,,. 97. +4, .L G-v.~ 11 ..
98. Ellndo debe S\!f ¡gll,,1 1\ 100m. •.!lO. El1'ldo \le Ja' baso y csaa una de las aristas doholl medir 10 cm.
100. El lodo del tr¡ál!gulo debe.SC~ ~al o 9+8: 'Va
2' , ' t ,a:< - 21 sobro el intcrV$lo lB; 6J.7 J' i7 3
83.1) v=-:s para :='4; 2) J"':¡;A. 'p~ra' "'- -1'; 3) 1/=5 pnra.7a2 a 113 at
:<=0; 4) II=-ff' para %-=4~ 5) .>J=6fti pora %-W· _84: i) 1/= -6 para z'=-i¡ 2) ~.=O.á',815parn :t=%; 3) y=i para.
1 ."'=';f "
sobre.eUlliét:V~lo (...::..",,¡-8)¡
~br~ el i~;~~nlo(-3; 31,
, •.Respuestas al' cap. '1
-Il.tl. iJ:. -'-11. 122, i <:t ~ 3; ,!! "" 1 + 21-xt,. r
123, v= arcsen t x.-x2 .......2. •1~.5JXl. ~ -O, , "'~:,.;±4~"'ll ~ 5'(,,5. ." .126", t) ;1'1::::;:.1/., lila ·d·~ni~:;..r8íccs .~,oh,i""_agiíÍlirias; "'1 es lit nbs¿Jil;! d,ol'
punto,dC'ultersc<;ciú,p·d·s las gráilC8s"(lil lÍ'~ '!I¡pC;ióqes cfibicn y Iineal: v·= ;¡:3Ü [/1= .....,:t +- !'; 2)'.al,,= 1,' X' ""'. """.,. :I1l-=;.:3;'~s CÓJ\.v,eniente-'.81l11tariíl i:-ambiode,)a variable ;j:.;;;: :i -f. ct salecdlonando« de tal módo, (lUO el coeficiente de
117t) Y=%'2/ y=.:!!-' 3) ,,_1-,.. '4) y=±,r:c_i' 5) ¡¡=.!.;• .' 2 I • - 3 l. v· .2:
6) y=%-I; imlÍ=l±VZ+'1: 8) y=± Vz3-1;\.:t "~,... 1
9) v.=-Jg 1~ ; -lQ) y= -2+jO~-I; 1.1) 11==2 x;. '" \ t ';t' 1. ~13)~=log2,-.¡;::;:;;; 13) lI=:r.·!g'2"=X; 14) 'Y=3'>llrC,Sl\(I '2;- Z.-·tt+ar~~n """'r
l' 15}y=. . :.:-1l.....,arcsen ~
1 . 1 I -')Y=T (e va or maxrmoj;
11=-2 (el valor mínímo);y=l (eLvalor máximo):y= -~ (el v'slor mínimo},
<J
2)para .s-= -1,
para. '" _2,a) para ",=0.
para ",=4.
SI ". - 4ac <O ":{a.> 0, la, Iuncíén esta,.dc[il'1ida mi todo o) eje numérico. Sib3 - 4M <O y 11 <0, Ia función 110 está definí,da en parte alguna. P-Qr fin,para ,," - 411':- = O la ·il).llción ~stá, definida 01\. todo el lije numérico exceptp unpunto, a sabe!", r = -:1a sl. a > O, pero si a < 0, la función no está definida enparto alguna,
107, f (x+ 1) = 2:r3+ 5% -+ 3.2.+2· '108*. Sea ~+:+¿m, clon<l~m e~ cualquier aúmoro real, entonces,
(m - 1) 11;' + 2 (2m - i) ;Ji + e (3m. - 1)= O. '81 ~rgull.I(\I\L[)'" debe SO,l' unnúmero real, por conSiguieute, 12m -'1)" - (m - 1) (3/>1c - <):> O Ó(4 - 3<) m' + 4 (e - 1) m - (e .,...1.) ;;Jo 0, pero come m es un número real,esta desigualdad. !I su voz. os válida s61u cnnudo
{4:-;)',>04 (c-1)2+(4-3.) (o-i)"¡;; 0,
.¡JI! donde °~ e ~ 1. pero como r,* Q. por eonstguiente, O < r ~ i.109. pu = 1748.110. LI,\ vllrhl»le "' es tnversnrnento proporcional a v.111. La varlable ~ él; dtrectamente IIroporujo'Oál á v.~12. La canttdad de Ia sustancia desprendida es Inversamente proporcional
al volumen il()l snlvontq.il4. 1) para .i'~!. {i=4 (,,¡ valor máximo);
pura ,,=5. y= f (el va'lor uiínímo);
llespue.s~s '&,1. cáp~1331)
dondo ~'I'o=,a(c~D.'tr' ,r-. , 5+2 va
=0,,9, %2=2,85, %3=.1,8;.5) o:dste un sinnúmeeo de raíces: :t¡=O,TI . kpoco menos qua 2'"" .:raes UJ). poco mayor 'que ;t"", etc.
'52. f) 2(l; ~) 2n¡ 3) 24; 4) 2.
rss, ~) I/=,Y,ísen (.+ ~) :2llJ~ V5+2V~son.(~+'l'o),
( .VI lt 0)147. %=Rsen jf+T+arCC08"'jf •
1<\8.u=se,ll [;I:.t~o (arcsen y¡-aqseu lIoJ+aros8n 110];
T 2."'1 (tt:-tO). tt'8r<;8an'Yo-:-tourCsonYiátesen ¡t.-arcsen Yo' " C¡>lnlo- II-'-to
149. ;<=R (~.,..:COS'l')+a- -v ti!-R2sen2.:p, ,donde 'I'=2.nn!.·"51:. t) %¡=O"Z!.3"'='± t,9; 2) %=,0; ±,4,5; ±7;72: luego, coneiactitud
eonsíderable se puedá apreciar z:<::<±(2,.-tY "(n>3); a) %:<::<0,14;4) Xt="'2 es UQ
"'~'.$e,[eii\lzdaa.cero: Y.'i~.egb. como en·c1IJ.l!nt9 :I};'3) xl"'" 4, x~.=:t. = ,1; véase'la lhd.icailióh' al p.untci 2)(·4) :tl. =,,-:_:1, láe ,deQlM'ratees sol\,iil18¡¡iMria,s;!véase"la jndi"aeióll alllunto 2)":' " , '
127. 1:)'1,4'65 . , .; '~) ~t4,2~ cnií~3réa~t 6,8 cm,128. Si, Yi= ,,,,!l,, Ya -= ~ se',tie!}8CÚII.Da.O n.> 1 ,)'a-ra°< '"< i lit <Y. y par!! 1 <, r < 00 VI> V.,cuando O <: '1 <t ,par4 Q ~~"f< 1, s« > 1/., ,'f par8,l,. < '"< 00 v« -< 11..cuando -,~ < '"<: O'J)8:I'II.'O'< r'<'l"UI'< Y." Yll,a~a',t <:t < <!" Ut ;:>,Y.,cuándo '1 < -t pnrs,'O <, :¡; < 1 lit > U" Y. para t < 3} < ec y, < y".tas'.,"'t=t,%¡='2.' '".-" '134. Los punt6s de íntersecclén son (l. ~1;'-(3,8)~(li, 1--J: (-t,S; Ú,.-S),.i35_;It,'F.15.,', ,~13!!. Pintiendo 'dé: la definh;l(!n, do Ies iun.clones hip~rb6lieaa es posible
,deQl.o~Lr.ar,',qua'.;Sb ,(:-::-,:¡i) -=- -sli;;, tb (-xl"!' ..,...th .r.., ~h (-z). = eh e, E!tasfunciones no son periodicas.
t40. l/mio ~ O,~ para :r; ~ 0,4'.141. La gráfica de la fuucíón P,S ~imé¡'U«;irespecto al origen de coorde-
.. aX-a-':nadas porque la Úlnc~6n es IlXlpar. Y=-.-2--'
, 2. .•143.1) A=1, T'=Tlt: 2~A~5, T=T!j 3)A=4. T=2¡
." S t64) A=2, T=4n; 5) .4=1, T=3': 6} A=3, T=S n,
1q4 t 2' 2n. 3,. 5' 2\ t: 4,,' i 3n-l •3) 1 1. 1 n• ) I T' 2n"1 • . ' .• "'41t --~- ~ T;; ~-8;
l. 62• _1_.,_1_4), 1, n-; 6n2 • 2n .146. El domíuíe de de¡¡nición es (O. n). EL área ,0.11 mnfma cuandon
.%'=7,'
337
155!. 1).ar periodoe~~. Sohre el íntervelo [O,2n)la Iuneíén es suscepubled's ser praacJltlldlldo In sigt7ienw Iorma:
y-senr+cosz sobre el intervalo [o. TJ.!I c: son z-cos z sobl'9 el intervalo [ : ; nJ .u=-seJl%-eos% eobre el intervalo [n, 3;J.
. [3rt Jy= -sen ",+C(¡s:; sobee el íntervalo T' 2n •
2) El periodo es 2lt. Sobre el intervalo fO. 2n) la (unción es euueptiblo deser presentada do la siguiento forma:
//=tg %sobre al intervalo [O. ~).
v=O sobra el Intezvalo (~ • -l-1I= -tg;¡; sobre el intervalo [n. t n) .U=O sobro el intervalo (~II', 2n].
1&6.-t) El dominio de definición ostií compuesto de una infinidad de intervalos de la Iorma (2'111, ,(2/\+ 1l :t), donde n = O. ±1. ±2, . , .; JlO CS pOT 1.1.1impar; pcrlóclica. el período.es 211. Sobr~01 Intervalo (O. i) elsono crecedesdeOhasta í , por consiguiente. Ig sen z creee }lasta Osin dejar de ser negativo. En el
intervalo (i, n) el seno decrete desde i basta O, por consígulentc, decreceIg sen "" En el intervalo (:1, 2n) 81seno tiene valores ncgauvos, por consiguiente.la funoión Ig sen % O() eslá definida. 2) El dominio de deñuiclón está ccmpuesto
nde puntos sepnrados de la forma a; - "2 + 211.n, donde ,.= o. ± 1. ±2, ...En (!6l0SJll,!nto~y = O"L.s,_grálic8sou puatos sueltos del(!jo da Ias ahsctsus. Sl La(unción está doíinlda en t(!dóel eje numérico, exceplo1da puntea ;¡;.= ,nn, donden = O. ±I, ±2 •.. ' .
~ a (leos cp+ bsencp)J58. coa:ZafCSOD ~; 1.59. v=arctg b=+G+a(b,eos.q¡ tSiIl)Cji)'
". '. [ .,(24-Z)" ]160. C1.=arcco8' _1 ?-R (~+R 3:) •16t, i'~ -1' -c :t <Ji
. 2 O~.r ~·1; 3) 0< % ~ 1; 4l -1 ~ %<O;5).O< x < coi6 -=- co < % < O; 7-) O < % < COi 8) - OC> <i <O;
. 9) - 00 <:; <~; 10) 1 <:r: <oo.16.2, t) -1 -<% < 1; 2) 0<% < 1; 3) - 00 <:r < 00; 4) ~á definida
por tedas portes. excepto ''''.= .0. .:163". -el pe¡;iodoIIs·2n."Véasela gráfica en la Lig.82. I_ndLt¡p,cI4n. Sobre el
L ti .n· d' 1IDlorv~o - '2 ~, '" '" '2' _tene~os 1{ *" Mesen (sen .z) El % e .acnerdo con o
_ Respuestas al cap. 1338 .
22·
l7Ii. Iím u,. = 1, n ~ 4,.fI_177. Iím un.= O; 71 > :-k. 178. n= 19999.
n;.oo V _e119. Iím u" = O; /l :;;"1000. La magnitud 0'1 orA es mayor que su limite
" ....00ora menor, ora Igual 8 él (en o."Ío último ~8S0 paro n "" 21<+ j, donde k ...= O. 1, 2, •.. ).
t80. lím u7l=i; ,,:;;..14; n:;;"log.2.."_00 e..i ../s=1ie '" 5 5181. ti;;;;' 3 V ~,ili e"""6; n-O, [sl &>6'
182. 7l;¡;' r a '; la sucesión Un es decrecionte., 8 (2+8)
Al capitulo II
Flg. 82
deflnlclón de fa función arceen "'. P)lra obtener la: gtállca de la función sol/re eln n • •
lnt.etvalb 2: ~ % ~ 3 '2 pODemOS! =~- '1, entonces tonamos ~ "".1( + ~¡
-i~z<f,V "" ON:·sen(sen 0:) = arcscn sen (=+ '1) = -Brcson (sel! :) = -1;
11 ea: 11 - %1 etc..167. IIméx ;::; 15, IImJn ~ (í,S: 1ft íuncíén pijsa del crecimiento al decrecí
mieDLopara a:= -2. CIIrode la Iuneién: Z ;::;-3,6.169. V =b (261 - 10", - r') 6 11= -Q.03~2.1:t- 0,3125%+ 8,3.4'; ce
ros de la funclén:%l::;; -22.09. XI::;; 12,09. Pata obtener raíces con exactitudbasta 0.01 los coeücíentes debon BU tomados con exactitud basta O,OOOt.
./70 • .1'1;::> 2.60' qÍl.·"'4 z 1.87 cm.171. Ir. ;::; -2,3, "'az ll; las demás ralees son imQgln~rlas.172·. Seleccáonar " de modo que el cooñciente de ~., se reduzca a cero;
%1 z -S.6, "'~z -2,9. %~ z 0.6. "'. z 4.8.178. %t Z 0,59, ~ z 3,'10. "'3 -::::6.29, .:oc 'Z 9.43; en gederal, z z
z "'ti (n > 2).174. %, ;::> -0,57. y, z -1,26; %l = -0,42. Y.z 1,19. "', ::: 0.~6, 1/#%
z 0,7'. ". z 0,54, U. ::::.-0.68.
339Respuestas· ~ cap. II
183. 11m VII '"" Oi I1n alcanaa su línil~para IL= m + 1, porque, a par\Lr de este"';;;¡or de /l, un :s O.
185. 0.i86. 1.) No. 2) Si,189. CU81ldo a=O este límito puade.aer 19u1Il G cualquíer número o no
C!.i~Uf.2
lOO.6·<V4-Fi"-2; 6<0.0002.5. 191. 6<2-V3. 192. 6<13'
193. Iz- ~ 1< ~ -srcseo 0,99 F'> 0,1.36.
t94.N¡;;"Y +-1, !I e<1; N=O, si e>l .
../r-: 4 4lOS. N";;> JI 7-3, si '~~3;N=O, si 5:=-1", N-1,96. n>-z-.197. Un es UMmagnitud positiva infinitamente gran do si la diferencia de
la progresión d >Po! y negativa, ~~aDdo d <O. En el caso do la progresi6n geométrica. esta asercien es válida solo cuando el Vl,\lor absolnt~ del denominadorde la progreslén os mayor quo t.
i 1 seoo seoo198. - 10'+2 <%< 10'-2' i99.f6(H"<O:<OOg'
1200.1l< VÑ-O'01. 201.1og,0.99,<..,<Jl)gll~'01.
202. M;;' iON=10,1)0. 203. sen e, C03'" )' todQ~ las Ifunciotles trigoDomé
~rlC88Úlversas. 205. No. Sí. 206. No. 207. i) Por' ejemplo, I'f¡= ~ +2nny "'11=.2nn; 2) No,
209. SI (1> t. .la [unGlóo no es acolada (pero no es WIDltameule grlUlde)euando :r. _ + "";cuando z -. - OC> tiende a cero, SI O <a <i. la fullC!ÓlÍD(I es acotada para;t; - - 00 (pero la función. no es Inlinitrunentc gr811dó). Cunndo :..,., + 00, tiende 11 coro. Para a = 1 la, fUIlCl\ÓI\,~s acotada en todo el ajonumérlce. '. '
210~ '1), .3) y 5) DO; 2) Y ~) 91,. -1 t213. tli6Qr<'~ li9ii9'
214. N ~ ( I;&2)2i i -1 2
215. ()'y=.i+~; 2) V=2'+2(:W+1); 3) 1I=-1+~.216·. CQmpaiar' Un con 18 suma de los términos de"la progJeSión geom6-. i 1 t i ~
LrICIJ.3, 11' '21' ..:.:~. 220.3. ,221.81. ,222. f (,,) =plt plU'lI. Q, ~ z -45; f (~~= 4n pnro 5 < z ~ 10; f (%) = rt,
para 10 <% -< i", La lnncién 6S élls«!nt~n!la ,cuando", = 5 "J z = fO.223. (1'= 1.226. A = -L, B = 1. 225: ,,= 2¡ " ." .-2.. 2.26.2/3.
94Q Respuestas ~1 cap. 11
221 •. La JU.!lcitn u ;;>, gel~o: ~ione. ~nel Piloto x -- 0, una ¡liªC9iitlJl\ltdlld
5i,l'per~bl~, la Íl,mci,oniI"'" pb_¡ z~.'tron(l uña' dj5~ol1't¡nllid8d de segundo. génoro
(.iDíliiita)'.. '~28. un Iuncíón 05' discontdnun titando", = O,229.. LaIuncién t.'i'lD8tre¡;':pUottl8 oó' disconrinutdad. Par'!:.;= O hl disecn
tin.u!~'ad ~s superable, ,ll~t8 ':D'= :±.1 'l.n, discontinuidad Cll! po, segundo género(lnfilll~II):' ",. I
230, No. SI ,. _ O 11 -Iv derecha, f' lo:) _11./2; .si :í;". Q B In Izquierde,1 (.i;) -. n/2. .
2¡¡t. 'La función 'eS'::diSCÓlltinúQ cuando ':1i = O. 23,2. O.231,. NCi. Si"' ......I ,tl'Ia'~dere.cha. y .... 1: st. '" -1'a la iill1llerd'l, u r+ O.~35. Sí ",.-,0 Q la '¡j&réclll\',,;y,~ ti ~i'f ....o a. la ízquíerda, 11 ...... -'t.
o 2.36'. JJ8 (unci¡)n es dill6on,t(il48 cuando '" = o (diecóntinuidail de primer'g~Dero). . '
2111. L~ Junciao 'tiene dls&oJitinlljtla'dcs de primer género, en los pUllt:oS X,=
:=~ (211+ i),~¿l3S. Cuando r,= ()la función ~ contínua] Glrando:f"p Ola fpnción es dís-
ccnttnua. .'239. Las tres Iuncionea son tl.i.Stontinuas"cuando z el! Igual ti un cntéeo (ne
gativo o pcsltrvo) o a cero.
241.. Escribir ór¡¡olinomio en la forma j:ll (!ao+; +..'.+ :~ ) y ana
liz~l' su eomportamlento p¡trB, ;!! -- ± ce.244", Construir, de modo esquemático, la gráfica de la Iuneióli
y=~~+~ anallzaudo ,911 comjlor.taruiento en 109 entornos de%-/10' %-"';'. X-A3
Ios puntos "1 ~ 'As· '245. 1. 24fL 112. 241. 3, 246. éO. 249. O. 250. O, 251. W11..252. 1. 253. O. 254'. 4.255. 1. 256. O. 251. O, 258. 'O.'~9'. 1.260. M'l. 261. 1/2. 260. -1/2. 263. -1-264•• 'L F·ljarso en que (__!_,) =...2_t _1.. 26;;' -!-. 266. L 267. 01
,,~ 11 n- n ..268. a. 269. !.27Qoo. 271. O. 272,0
273. -2/5. :m. 1/2. 275. 6. ~16. 00,27.7', -1. 278. oc>. 279, O. 280. ml n, 281. O. 282. 00.283. 1/Z.284. ~~. 285. O, 286. 1/4. 287. -1/2, 288. iDO. 289. -1.290. ·1,.291. ee , 292. O.293. O, 29~. co, 295. ~. 294). 1/4. 297. 3.
298. 2~' sl .,>0; =, $1~=O. 29,9.+. 300. !1 1n'1
30~. <laVu-b . 302. -;¡. 303*. 2.. SIIOlar'J restar UDa unidad al
numerador. 304. -1/4. 3()5. Una raíz elende a -o{.ti otra, a eo,30G. O. 307. Q. 308. O. si '" ~ + <lO: ee , si '" _ - ee, 30!l. 1/2, sI s: -~
....+ 00; - 00, si z-.. - eo, aJO. a.,t~,si z-..+ oc; eé, si ...... - <O.
ReSRU¡js~S ,al tlllp. Il
2. 854. ,mA. 35&. eG. 356. ~-'3.31>1. ,~. 35'8. O, si <l' - + oó~ ee, si :t - - ec , 85!). 00, si ., -+ + 00; O,
~j '" -+ - ee , 360. 1, S61. co, si ., .... + O<l; O, si :r -.. - ee ,S62, e'. 363. e. 364. V;: 365. k. 366. ita. 867. (l. 368. 1/".369. ln (l. 310. 2/3. stl. e. 372".,3/2; sumar y restar una unidad al nume-
rador., 313. 2. 374•. 1. 375. 11 - b. 376. 1.377. O, si "' + ce; 00, si ..._-co,378. 1t si ;r; + 00; -l, si z-- - ee ,379. tI a"; 2) O. si JI ± O; a", si A =O Y • V= O. y ee , si JI = 0= Oi1.
3) ,+,.11'380. 0, si % -++ <lO; - 00, si '" -+ - ee,S81. 'Para a > 1,óHlmltu ca ígl(nl a t, si r __+ ee , o Igu$11\O, si '" -+ - ee ,
Paro a <i el límíte es igulIl a O. al "'- + 00, e igunl o í , si", '* - oo. Pllroo - '1 el límite es ígonl 11 1/2.
382. Pnra a > 1. el Umite es igual a i, si % .... + 00, ~ igual a -t. si z ......... - oo. Para a < i. vícéverea. 'Para a = i el límite os igual a O.
383. O. 384. Q. 385, 1.386. O. -387. -cos a. 388, tlt2. 389. 1/8.
390., se~ z, MulUpliee.r y dividir por sen ;n .S9!. 1{2, 392. O. 393·. -1{2. VaJerBede la fórmula arctgb-arcLga=
_ t b -1): 39'4 1 'S".. i S 'l' ' ' . -z-.lIfQ ,g1+ab . . • "2' 1 "". "F' use LUJ! aresen e por IIrctg 1(_f -x§y roow:rlr a, la lndiéileló'll al ,ejercicio ~93',
¡¡nG,oo,'si ,; <1;' 1, si ,. = 1: 1,' si. tt > ,i.3n7.. í • Tc;ti,wr lo: exproslo'll J. - (1 - CQS z) en vez de cos z.398. -1/2. 300. tI•. ¡(OO.e. 421. ¿lb,402~ 1>,. es de ord~ íoflnlteslm_iil suQerlor, 403. ~ Y &In son mago.ltudes
lo[ínitosim",leJI 8'l'1h'a1onl.o$. 405. So~ dl!1 mismo orden, 406. ,Pan 2: - O el
orden ínCioltesim81 es dllltlnlo. Cuando :c-.", :t:~3 185 mftgnltude_sAy Y ~r ~D
equtvaleatea. 407. No. " 'A08. Ofl te~~r orden. ,~09. 1) 2; 2) 1h¡i a) 1; 4) -10.
L 'V- .-;;¡- 1 1. i41Q.%=2' 'ib'l" 41t. a=k. 412, No. '414. t) 3'; 2) "2¡ 'a)2' ¡
353. L852.351• ...!...•Ponar arccos ~=!l.3""·_1-ev 'lf2n'
S346. t. 341. 6. :Jl.8. "2' 849.-LVi345·S·344. 2 sen"
cesS,. •
34t. coa3 ex. :l42. se~~21l.
Jl
~a_ct21140.-2-'-
el-
SIL +5/2,312. O, ara, L 314. 3. 315. k, !lIS. ,,/11. Sl7. 2/5.318. !í. si n.> 171; 1, el n = m; ee , sí, n < m. 319. 2/8, 32(f. '1/3.321. 112.322. S/á. 323. oo. iI~. -1. 3~. 1/2.326. ec . 327, O.828. uz. 329. ee , 330. -8/2. S31. l. 332. 11/2, 338. u«.
V'2 Vi335.T' "as. 2. 337.T' 338.-2. $39.-2ilQD.O.
Ro:spuesfas, al cap. Ir342
432. al ,_L. IV 40 .JL. o) 4L ..!e..,_, donde 1 ce la longitud del ~g'cm. • cm f cmmel\.tO A.M.
433. ,1) 95L; 2) s) 35 L¡ b) 5 ....!L; e) 185 -L.cm cm cm cm
434. i) .1 002 calorías =4198 juUo~ . 2) i 013 calorlas ., . g.,.grados ' Iq¡..grados' 'g. grados
43:¡". TnhodllcJT la velocidad a,ng'll)8r media, Iucgo, pasando al límite.ebteuer la máguitud buscada.
~38. K= r(~;), donde k es él coeííetente de In dilataclón Iíueal.
4.'19. k=S ~ (~1.440. i) 56; 2) 19; Sl 7,625; 4) i,261.-441. 1) 4.52;~) -0,249; 3) 0,2.45. 442. a) 6,5; '11) 6,1;' e) 6,01: d),6,OO'i.
443. f(5)=10; t' (-2)=~~; t' (-i) =-3. 444.3: Ó; 6: ~. •4'4'5.. "1 = O, z. = 2, ~46. Para la Iuncién f (z) = :r!' no es váHdn, 447. 1-448. 0,4843.449. 2,303.454~ i) O'j 2) '6; 3) -4; 4) 1'1"'" 2" k,= 4. '455. (1, i. ; (-1. -1). 456. i) (O,O); 2) (1/2, 1/4). 4S1. No puede.
1 1 sr. 3458. 1%1=atetg¡, O:2=ar()~g ITl' 459. (%.¡';=2' ~=arctg4'
460. lj.tctg3. 461. y=12",-,t6; ,..+Uy-98""l0; la aubtaugente es igual n-}, la subnormnl es iguol a 1l6~
462. Para z'= O y' para", = 'i/3.
Al capítulo tu428. a) 5; b) 5. 42{1.a) 11=0,25 ~; b) ,,=0,55 7 ¡e) \~~ ~.
430. 75,88; 6(),85;49,(\3,' 48,05'. 431. 53,9 ~ ; 4':9,49 ~, 49,25'~'~ S toS'
'i) as'~n,(jnite~i:mlllequiv,íi\Ó<itej,:'i) es iilfiD\tcsUnnl 6(f\llvall),nte; '6) 1; 7) ,115' ínñnit~sim<ll equivalente; 8) 2; 9) 2;' lO)'~; H) 2/3,; t2) 2.
~J$'.a.~~ 4t6: 2ITR~; 4R~. ' , .~t8. La, tínea quebrada v;e¡¡o Apéoxiniándó_seIl 111recta ea el sentido de
gU8,·~)Is..punto~ se l\'P19x,Jman":P~'o !l.o,ello no $0<lerll1ce que lu loogltu~ do lahneu qu~b~uda tiond1l,lI' Ia JO¡jgit\l\l ,del segmento.
, JT&I 2 '/ '419. a. 420. a~T' ·421..11 ~R-f-;r). ,42.2. El segmeu to ~ 'el úng!lÍo 'son' üet ordon, 1/2 •. '42S. 1) fO.25;, 2), ~O,,;,2¡ 3) ,~~,j~5; 4) 40 ..4; 5) 0¡558¡ ,6) 0;{45.426. 1) ~0,16¡2)' 20,,12; 3}ri,.D2. 4) t,04.427'. In 1,01~ b,Of; 1ri"!',P2-z 0;Q,2; Jn i,{ :;::'0;1; lo 1,~ ~ 0,2.
463. 1\ l2. 4); 2) (-3/2. 9/4);3) (-'1, tI y (1/4. Vl6).1466. 1) &:,-5; 2) 4",3-%2+5..,-0,3; 3) 2a..,+b: 4) '1- i
, 3... ;i'2
5) ~+~, ,6) ~""IQ!l2_~' 7}¡..!._~+~_1¡nZV", ;1:2' W ' !/S' ti %~ m2 .,s
8) .!.niVi+.!.. ti Vr+..!.+ p V'-' 9) ~'." O 2 ~ , . p+q .f>
10) - 115I-~+7.281-2.4 - ~~~ ! 11) a.-J¡l'" I
12 a,s.:~Vr-1+2~;;; 13) 3'v2t2v-l; 14.)j6(a-%);
15}~+ b " 16)3111 (m,,±,,)Za+b a+b (4+b).,2' p'
467./.(1)=1; 1/(1)=2; 1(4)=8; n,4)=2,5¡ l(a2}-=3a2-2jal: l'(a2) ...~""s-¡¡¡¡.
468./{-1)=-5; 1'(-1)=-8; 1'(2)=~; l' (+)=3é+10a3_aZ,
469. 13. 471. 1) '¡i!-3.,z-8Z+9; 2) 7%c-l0x'+8%3_-l2rl+4.,+3;
3) -~(1+.!..); 4)1 !..(~-+-+ ·~!.-4¡¡j/27",í)i:1.1('" a; 11 V6 .,V%E ·~itz
5) t +12% +O~rxz+iO.:o~t36",V;Z. 6) ~ (3z4-28"z..L.~9)'3Y",: 3-:;-.,2' . ,
7) 1+V2+Vá±2'V2r+2V3;+2 V6;+2%v'6. llY;; .2 ~ 'J-%~ r. &'-61-'1
472. (lO_I)2' .1S. (1+.:&2)2' 41.. (1 1)2 •
47~•. v'+2v3+5_~Z-2 "76 ~" ([J?T..t+~)~'·'· (c¡¡;-f.d)2·
4", ' 211'(v3 -5) 6,,2,4_71. -3(,¡:2~1)2+1±2z-3"z. 478. (~03_:?)2 • 479. -(.,s-t1):l·
S",z 211-.1 3x2' ?t..l.1480. -(:r:3~i)2' 481: nZ-.3· 4;82.-1fñ"' 483.(~+¡+1)~'
_~~2t r 4~(2b2~?) 1+2z+a%~-2V-z'484. (~-3t+Gl~' 485. (b2 01:2)2 .. 486.- (\+.:3)2 •
487 6:t (1.+'&- 5.t3). 488 11+26.,• (~-lt~):I(1_'l!%a)a' . n«a+b",),'
480. _ a2bZe,2 [(",~b) (z-c) + (%-A>)(,.-a,)+(z-a)(z-:-bH.(%, a)Z (z ....b)2 (r. "p .
RospUe5I38_ al cap, 1II
5 ' ~ z32.3cos8z 533. -1fsen 3"-o, _~,a".. seo32z .
521. (acosa-sen a) (ck-- .5en;,,)· 522. 1+~st'523 senz+cosz+z(sen z-cos:¡;)
. J+sen2z(1+tg:¡;) (sen.%+% OQSz)-z sen z!oCc2;r;
f>24. (l+19 %)~ 52ó. -!len 2z.
526. tg:i.:¡:sec2x. 527. -sen3z. 528. -~ seu 2'1' (2 ....500 %). &29. tg' z_
518.
m~nri(l_u)m~ci •
.2z508. - .•
3V(t-fzZ)i
497. s!«()}=1.498. 1) ~3~~:(a+b+c:+d)+2:t(ab+at+ad-f-be+db+c4}- •
-(abe +abd+ acd+ bcd); 2) 8% (zZ+i)3; '3) -2O(1-s)18; 4) OO'(1+~)_e;~) -20%- (~'-'l'2)9; 6) 5 (15%2+2%) (5z3+.z2-4)C; 7) 6 (3:z;r.-1,)(%S_.%)5~
8) 0(14.%+:2) (7r2-!+Sr; 9) 4 (StZ+~) (tS_-}+8)S;10) 4 (.%+t) 11) o (zz+2z-1)(l+:iZ)' 12) 24(:¡;z+:t+i)X
'(.%-1)$ ; (t-fz)8, i
X (2.z3+3.r;Z+6.r+t)3. 499. ('~82~;t4)(3-I)t2 • 1-1(2 4
500. (1_t}S' 501. 2yiCHV2z)Z' 502. S~(1+V2?)%'
""" "_ 504 _ 4CI-2Vz)9"";J. y1- ,,2' " 'Vi [,oo.500 4(2:z:-1) -(j' z
. - (.;:3-:.+1.)3' a 7. V(a:'-:tl'p'S09 2.;:3+1",' :;10. 3-", • 511. %(zZ+~Z) .
• V(1-Z¡'_~)3 . 2V {1~-z.)3 V (%2,..02)3
512. v+~. 513. - • 2 vm.aZy ¡¡2+02 3 ji (2x-l}4 2 (%1.+2)1
514. u' (1)= !J•• 515-.Y·(2)=_17. !)tll. O. 511. ,cos",-senz.
490.1'(0)=0; /,(1)=6. 4(11.Y/(O)=11; F'(1)=2; f'I (2) =-1.. 1 ·1 3 17
492. F'(O)"'~4; P' (-J)'=2; 498.,'{O)-=W; $'(2)=15'
, 2 5494. (1)=16,; y' (1t¡""i5~e+ p-~,-'L 695" pi (2)-li; p'{0)=1.
'0+1 ..,4~6.q>' (1)=-4'"
Respllest.aS al cap. III
;540. -pS1!tl3'",e.en (2.éos3x). 548'. arcsen x+ V "'. .1-,x2
1t • 550. 2. arcs~njI:. 551. arcsen .'!l•
2 (areco!t.T.¡2·\(i-z2 Vi-:r2i
.549.
sen (2 t-~). 1+V;
645, «r: ,r-) •.V 3:(1+ V Jt#
1c:os,l¡
{i37. ----;r_r-. 536. Ci/S(S;;J\.>:').cos,x. 5:,19. -1~éós24.rsen4.r.
2. .,x.+1'oos·-z534. 9000 '(3.T.+5). 5l15.
Respu ~stas lit>,eap. nf.346
688. ¡;:t,.. ( s.+ In a) . 634. 39hz:t eh 2'. 635. th:r. 636. _,12:r Q I :r .
637. -cl21~ 11)' 638. 2sh 2%. 699. '!Ih{sbxl eh:r. 640. ,S~,I \'-" 2 V eh e
oha" ,,1 . 3 th.7:641. e sh .%. 642. h2 (1 )' 643. x cb r. 64~. • ~ •:re n z 2ch2:r}f !+lll2,e
645. ---. 64U. ~ñ.===;¡:=- 6~7 1.. , r 'h ~h.-· i t • I sh' x •4ch"i 2. V e." ..
640 % (4+ y;)sh 22:+2 (2.,:.1/;;;-1) eh 2sc. 2.%2 •
.t'63X-640. 91.2;& [(3%+2)ell",-%o)l%J.
650. :t.,~.t(210%+1).651. %,-<"0>;" (lD~,,+ln.x+¿).652. (SODx)oo,,,, ( r:::: -sen % IDsen x ) • 653. (In .x)'" (dz + In lnz) •
Sr." 2 )trI +. \2 [ __ 1__ In (;ll+1) J.,.._ l'.z: "/ .'" (x+ 1) ..,2 •
6.55. %~tx'sen 2:t (3+2.1;2+ 2.z; ctg 2.,).
656. 2(z-2)(z2!11z+l) . 657.2%10 .. -110 ....3(z-5}'V(%+1)Z
57%~-ao2x+i\(1I.(:r+1)2.;r;::2658. 20(:¡: 2)(.2> 3) V(x-'3)2
659.{-V:rseu V~-e" (!+CI'IP~-}' 1'::~:C) .
Ji .Lz660. r· ,1-drQ~p", . li51..," ('l-m ",):1
lf 1.-z~'[(OrC~n %)2-1] 1-1,·oTC5e.n'"
662. ",.un.. (cos.,l11,%+ se~,,') . 668. (x~J" (;~.i'+lnSi)'~-4, [2:tsen~ ]664. iI' (2+10 x). 665. (:¡2.+1)19D" 2'2'+t' +'cos<>ln (%2+1) •
·SS(J. %4+6:1'2+1 V' ",(",~+l) 1, '66~ (t+f/Z)U3%(~.z:') . Ixz 1)'1' '~.,K~ "
6G8. 4 • 669. p •kcw (~H) 2Vl+ V2p:tYip.,
SS1.
Respil~st~5,al eap.Jll
3. G12. ZcSeD.2.=(Cos.r-2).
-Respliestas al cap. nr
Respuestaaa] ~p_ n1
800 !IG*~(z+v) (eas(zl/)-sen (zlIll-1 801 2,,"y2v-J. zcosZ'(:r+!I) (COS(Z!I)-scn (z!I)) l' • 1-2""
802. ~"_..,;;I.,--..,,.. 80a. _lf.:..":1==-=Y:::,2_".(i_-_V.:..,,:1:=-=",,,,2)c....:q1+lny)' 'Vl-z2(1-V1-u~) ,
80 y2_Z¡¡ In V 80" sen ("'+lI) 800 1+,~seD (%1/)<l. z~ "'l/Inz' a. 1+5cn(:r+!I) . . "'5el\~JI)
3 r+:1!07 - 1/ L, sos. ~ 809. sen y. r % 2-11 . ~~níy-senV-%CO.!!!I .
810. lft'='k% . 811. !I<:OSZ~(.r-II).'1+ I:c08 % 'seu ¡"-Y)-5cD"1+u2812, --¡¡r--. 814. (2/1).
SIG. V+ 4x + 4. ~ O; lIy - 2x + 15 = O; la suhtaugente es igual e \/2:'la aubuormal 08 1"gullla - 8.
8111. a) t, = O. t~= S: b) j, = O, (,.= 4. t. = 8.820.181,5.103 ergo 821.w,c13.!!. 822. (I)~2n!!.
11 s,
823. w=(2 ..¡-b) :d : la velocidadse I'!duce4. cero ouendo I=! s.824.23.4.825. (O, O); (1. 1): (2.0), 821. (1, O); e-f. --4).828. IJ = 2.z- 2; JI = 2.x + 2. 829., 3z + ,,+ 6 = O.8BO. La tllngeJUe 08 !I - U. = (:r - 1'0) CO~zo; la normal es !I - Y. ""
"'" - (z - "'o) seu %0'831. La ~a.n!leDto es Zó (y - Yo)= % - :t.; In normal es (i! - Yo) +
-1- Zo (x - :ro) = O.832. La tangente 08 ",+21/=4a.; ID normal C5 !/=2",-3a.833.La lnngent.e e, II-Vo= ::(~=::}2(:-"o); la normal el! y-Jlo~110{Za-ZO)2= :1(54 ,%0) ('%-zo).
835. Las subtaagoates son iguales a z/3; 2.%/3 y -2:. respectivamente; \assubnormeles 50.11 iguales a -Bz'; -3:I!-/2 y 1/2~. rospeclivDlIlente.
:ro(' :rO) Za') 7836.s= 2n %-7 j lI-Uo-~~("'-"'o, 83 .2",-y+1-=O,, S'38. 'J.7;¡; - 3y - ,79 "" O. 839,. 2", - !I - 1,,,?, O.SItO. 4:0' - 411 - '2i = O. 842. 3, 75. 8~. % + 2511= O; '"+,'y= O.845. (O, 1). 8~. y = x. 84'8. z - !/ - Se->= O. 8"9. 2/t/T850. (1 + 1(3/2¡ i). ' '857. 2" - y ± I = O. .858. SI v = I ("')c51~ ecuQción de J~,CUl'V8 dada, la eC'lBci6n del lugar geo-
méLrico busoado es y= :rl' (::), e} La parál>Ol~y' = f p",; b) la le<:t8 paralela l1
IIj~ 0'" V= J:b; e) 111CUrvAckappB. "Va' - ,,'+ ¡tI = O; d) 1a.eireunferoncJIl31'+ ¡¡" = 'a. I l.
, 18' 88S9, 1") 'PI = (J, '1'> = arotg'81': 2) arctg ni' 862. t) tl.rc~g3. 2) 45°.
861. 90·, S62~ 45~ y '90·. 863. 8J'ctg' 3.- 864. 81'Ctt (2vi)~
Respues,l,as al cap: I! J~52
~65.CuaednJI es jlllllllT .ia ~\\~~e!l'te:C5 ~+t=2,. 11l;\lol'm~~'i1§QZ,~y=
'7<1¡~,-,b~~iU)llmdo," es par !_as tl1!l~nt08:.SÓ~ 7·.±t=2,' las. nol'1l1~!c~'.50n"±_=~-~ .,
. ~,·dll:819. A'y=I,4Gi; dy=t,4. 880.6/1.=0,1012; dil=0,l;"~~-0,9880,.(~',," , 'ay'.
8St. 4. 882!.lL2: tl83. ,t{!i:"'Y~~'9i';'d!l,='1,9;6y-1I11";;;;0¡O(;o;.;,611:-# .;=;" 'o'!F' ".'.
0'OO5~ '0<>1, '.' '01" '-0"0'5 ",... o.oéss AII,.!-:'dg- ,'"= . , "",""".'"'11= , : 4Y=, ,;' w ; 6:y-.(I1I= - , Qlov; --¡-:-==-0\025,8s5·~~x it= ti:;' ¡,,10:1, -1,,~rJ¡O;Ot . 111
Oy= 18, j,~61. 0,110601,¡lu = '1'1, 1.1, O,t~:"Ay - au ssa 7, 0,061. O,00060t.
Ay-dll' " , ' ,6=---¡¡;¡-::; 0,39, 0,05~6" ,0,0055,
'6 ' ,. 'J oll-du ';ª8 • ll.y<:::'1,-3¡ illl'~ l,i; /!¡y-dy::z0,2~ 6='~"""'0,f'S.
887: a) 'dy='t6, IW-;t %=5,88%;b) r1 ~ 8 ÓY7:dy' '%' 3 03°/.lJ- 1 A"y¡ --=., 70,
ts'-dy , ,uj dq=\,6; JI ' %=0,62%_ Ay .
888. 11) av ",,4;8, cm.2; 'b) Oy=6,O cm2: e) d!l~9,6 emz.0,'1'25 5 ih: 4 dz d., d:J:
&19.1) Vi. ctx; 2) '3~ ,¡ 3) -~; ~ -'7; 5) ,,":",,~V; ;ü) __ d_z_. 7) dz . 8)~ plng d .
31'a:J¡';;' .2 (iL.,f b) l/'Z • g;¡¡;',
9) _ O,'2(m.-ri) ti. 10) (1;;+1»11", ,. .,I,2:r, UVi. 'ti) [(ZzH) (~2 - V¡-}+~x2+4;c.+'I)(2x- z;r; )] d$¡
'J r,:¡:2d.t ,2't,at •. ' z.1r "12) -1:1:3"::J)2'; 13) l1-t2)2; 14),,~(1+x.,....%,)·.(~-2;¡;)dzí
I15) 2 tga;, ih:' 16)sin~gx210 s,d¡(. 17) -2"~ '(11:2s~1,1z. dz;
costz 1 sauz,;' ..' . . Oos2.%: t
11:. J'9)" ("..2"::'1),~",~2reos~ ~_','18) ? .:c da:; (1 ;t2}2 "'"
-seor20) (_ t, ' , . -+ 2 8r~~., ) ,I:z;;
'j2.Varc.sen %V1~~2 1--1'z-
(5- 1 ')Ü
21) V1-z2. - '1'+i2 z.-¡'2~-O 170
353.RBS'pUést¡j~,al'eap~' 1ft
-O),unjd~d,es,....,2 " s. en(el punto ~á,cIli' .'s"7~e~ e}..¡rOJ;lto!;-13, '4).
5) d, ~ (4t.t-3) du2V2i#-3u+1
908. ~@ conttnua .y 'dl}r.lvable •.009. La fUDQlónt (z) es continua pO!' todas·partes excepto Ios pontos 'll= O
y x =.2; Ir (..) o'X.isteY' es coiitinua pOI todas partes excepto los puntos :e = O.'1, '2, donde;no existe.
910. Para :e ~ kn, doude k ea ~aJll'\IÍel' entero.91L Es continua, ,plltQ DO es del'lvaJile.912, r (O) =: 0:1 ~. - .913', ,Es contin1Í'a~ pero.no ea derlvabla,914. /:'y y. /:,zsónIes rÍllI¡¡l.\~~ui;l~~de ,dl~t.S:~9ord~~ ínr~lli~ll.si¡)l,al.915. J:ls'¡C'Ql\tihulI,;\p~ro'iIO' e~ o.érivoblo;!.916·, Si¡ no.. 917,.;,-¡¡•.918. a<ii.¡~qJ,
• 91"9. La ~lisci~1Í'(aria COAla nlocidad v",'= -2rw Íleó 211';]á'ortleaada VlI-Wl ~n la ;ve¡o.ci.d,l)~i"~'=. -2~~ C~8.2ij1.". .. oo' _. •
920 •. llA 'Velocidaéi de la·varJacl6.iJ 'd,6J~ fl]jeclsa ~~.I/:t.=v!~-+ co~·cpl.. 1aveljlc~lId dl! la vlitia.c[o,º de. la ordenada llS.Í'u·= 11 SOD !p (<¡l~s élllqgillo Iormadoent1e el ~je.!de-:ó'rdenB4Ilsr,el' ra.!1~'?,Jl.61'!i!"dolliJl.nt~Ü~,
92 1 . p 111'2.,..... O 0001?". ,¡i540"'" -.' . .()p.
92'l. 2 uni~ál.ies en el puntD· (3,6) .Y
22) (¡r la ....Lln3+9"a;Il':"'_2_).,¡!z.' .. 8 Vi
890. 1) ''-0,0059: 2) -0,0075': 3) '010086; 4) O; 5} 0,OOZS7, 89j. 6.!J """~ 0.00025; sen 50·1' {::¡ 0,50025. 89Z. 0,00582. 893. -0,0693,
894. d{>= k.a~ 21j1d<¡l.. ,lfco~2,p •
895;' o;346Ei; ~{l6. sea, 60" 05' ='O,~6V5: 5~0 60·18' = O,86{l6,899. 0;995,
900. 8.rGtgt ,02 % 0, ?95; lIic~ 0,97 ~ O!170. 001. 0,355, 902. 0,52164,
90S, 8.) Bl eambio q~a surre 1¡¡.longitud d41 hl1.oes: 2a.= ~~dI;b) el eam-
blo operadc 00 lo. Ul'GAS ~: ar={T d"904. El error producido al ~UI8C el áogulo por 511seno es: A%.=
=tg",,6y; el orror ptocJueido nl'caIc'uwr' 01 ;áJ¡gUJ'ó' por 8\1 Lallgonta es; 6.Z7'==-21sen 2:1:;6.. (donde tiy, /:'1 son loe errores de. las magnitl!des.·u y -z); ~zs=
<,r - uitT
=co.:zz ; la exacti~u.a obtenida para el ángulo C\lU_. ~y!!.dp del rogarit!!ll! dosu tangllnte ee mayor quo la o.Jrt6DidameQjante el-l,Og&rilmo de Sil .seno,
905. 03%. 000. '1) dll= . (2t3+4t+:7) (3¡2+Z).,u. , S{! [{t3+2t+ {)t13-1:- 2t+-.6)J2
I ¡2-1 :Hn32) d$=-'2seo ~dt; '3) th= -ds; 4) Gil
Re~pú.eJlta8al .cap. nl354
23·
formado entre la tangente y el radio polar. es filial D (bZ_a!) sen2t •
9.20\.En loa puntos. (3,16/3) y,{-3, -16/3).925~'4p Y 2a.~926. \2.nl1'y{!nry. .
927. 4.nr'. y 8nl1/:928.par~:.;= 2nk ± -i y pa.ra :z: = ~"lk ±~ .929. Pore II-= 2.nk. 930. En. 1/n' .v~ces.932. a) SI: b) ño. • "934. 1) ~ - 18%+ Sy = Q; ~~ 4.rS (1 - xJ); 3) ti ¿. (% - i)';
~r--'~,.......,",2.(1'+%-::2)4) z-Arcoos(l-y):t= v 2V-lh ·5~·lí~ , 1+::3 ", '.,'. ~,.
9SS. 1) t ... (2k + 1) n; 2) 1= 1; SI .í - n/4 + nk; 4~ i.";' .f, t.= -l.b .;' b .s» . ", (ji 3t2::" ~.'Í
936. - a otglll. !1II1. --¡~g'P. 938, ctgT' llá9. ~'.'1
940. -1. 941.2'2 coscp-cpeenip 943 1+t2
94. f-S8Dcp-q>COI!q>' • t(2+3/-13) .964 1.-tg t 94.;. t (2-1') 946. --3{' 94.1. o y -!- .
. l+IIP' f_2t3 o
948. No existe. 949. 11]/6.950. 1) I - n/2 :.r a; ~)i= n - <1; 3) t - n/6 + alS, dondea es ellíngu-
lo formadoentro la tsngeni¡¡' y el ej~ O",. .956. 1) boa curvas 911.eortsn en dos puntos formá.nuoselos ángulos !J.t =
= a. = arclg ~ % 87° 12'; 2) las curvas se cortan: en tre~puntos f~~álldoeeJos ángulos al.= a,= SO· y a, ~ O'. •
958. Lll longltnd de la ttmgenle es r-=:I--!a 1; lo iongItud de I~I 50n2"1
normal es N=-I~ I~in longitud do In 811btangeote es ST= IiIetg ~II;ros '2 t
la longitud de 18 subnormal as ~S¡"=I!I tgi '1.959·ll~' l. I.se~ll, Il/tgl)~' Igclgtl·
961.) &e~t 1, 1 c!t [. 11Iergll y lllt.gll.963. o: + 2y - 4 = O; 20: - 1j - S = O. 964. ~% + 2y - 3=O; 2%
- 4y+ 1= O.965. !I- 2, % = f. 96&. 1) 4%+ Sy - i2a = O¡a", - 4¡¡ '" 6a = o:
~ :rt1f2'2) %+/1"" J6 ; !J-:tJ=--2-¡ 3} y=1+ ....lna.969. p - 20 ces t. 970. El;=.<I>J-~= ~~.974. S; -3. 916. 1) O;2) O; V 3; -V3.
'1 (1)ti (1) O' 2 2 . 2971. tí (1) <= tg . 978. Iltctgs/),...arctgS tp.
979. p=Vazcosi,+b2Sen2t ; cp=ilrctg (~181) ,lat&D1!8Dtedel6Jlgulo2ab
355
I pZ!lBO. La subtangtnte polar es S r=-;¡¡;- ; la subnoema) -polar es S...,=
tz¡pdi' , ti á ,r~== dip • 9.83. ,m'a' 904, p In e. 985. V 1+0.
r r 11b·;tlI+ o'u'I!l8Ci. 'VrZ-:tZ 11' 981. bZz
!l8S. '"/1+ ,P 4,t Ó y-Ji2:i:jj2 d.:c,989 •• /1+ 4 ,.v -~Zx • y .V Iloz,r eX+~990. v 1+cos~ .:cdz. ·991. 2 y. 992. r,
993 • .2a!le1l4-. 994. 3IJcos r sen I dt. 99ó. a..V 1+tz dt.
9llG. 4a senTlft. 91l7. a ctgtat. 99.8,. ato 999. 'aYch2t at,
reee, ¡IIl/ml'l; el vector dli In velocidad estol (iírigi~o v~rtical~el\tc haéi'
abajo. '1001. 101/26 ~ 51 kmlJlora; el vector 'de In velocidad es paralelo' 8 Ia
hipoteÍlu$¡fdel .n6ngulo roctánguloMI Clateto' dol cual es horizontal o igual a50 lwI..,y 0.1 otr,o. ea ve~~íeal e .ig\l1l_I.a~Q km.
,1002. 14,63 ,kto.Ihor~. 1003. 40 km(hora.
(Raen 2a )t004.R... sena+- ' t005. 9.43 to/B. 1006. 2.
. ,nf'¡Z-RZsenz""10.07.-24.,. 1008. 2b7 seo. 1009. 360. 1010. 6 (5~ + &:2 + 1).
, 1· ~10H.4se02% .• 1012. e'. 101.3. -'2' 1014. (1.-~)e '
6 '''''(1'+1) . l'IUI5. -:;. 1011J. .:cn..~ • 1017. 611. sen 2q:,
18 2 (-1}n/t! t • 0:21S' 2 S) o 6.:c(Z",:t-i)10 • (t +:.:)n.+l • 019. I 2e' .:t T x • 102.. (.:c3+,')3
2% " 1 a2lUZI.-1+ • +2arcl.fx. 1(,122· ...r .
:r- V (.112- .zl\)~
"102""-. .z 10"4 Q +3 V;'" <l.' ," V(~+'!t~)3.• "'. 4.;:V~(J¡í.+.V''Z?''1~~r;. e1f.;<lf.:;_:-'1) -, W26. '~~e~:~~-::::-;Z
4.qf.:¡:. ,. . . " . ;tr.(1,~ ..:z: )
1027: _a;(a2'-1)~n:¡: . 1021!';í%1"[<I,Oc:C+I)í+1.]' .11(1-";2'oo02:r)3' i"V 'f ' .:z:, " _
,1029., a"$QX. 'reae. (~.I),'J''::'!', ~ ~"
. 1M!." aft ~:( .~~ nT');~Wbr.-~~.~bz+;¡ -f) .1032,+211~::,~~1~23';+(n~t)· ~.1.;.,.033~ -..eX ("'+ rt):
Res¡iile:Sl.!!~ ªl óap. JIJ
"1) e" ~ C~sen (:z;+ k ~ ) j :3) a.n~ sen ( q;t -I-n -1:)+ 3'),ctn-,:z,.z X
~-oXBon[Cit.t+( .. -l) ~ ]*3n (n-j) all-e::sel)[a:z+(/I-2) ~ ]+" l,,-I)X
'X (/1-2) etn-3sen [=+(n-3) ~ J.I09;~. 1/":1) (O)= O; .y""+1) (O)= (l.a·5 ..• (2n - 1)1'.1095. 11(·.. ·11 (O) = O; 1/"") (O) = 2 (2 ·~·6 ' •. (2/1 - 2)]2.
2~~ ,1096. - ---.:;=-. 11197. (/1(m-t) (rn-2) %111-3 d:r*.
9z1' 3: •
1098.4(z+1),(5z2-2z-i)dzZ• to~g; 4-x·.2.1n4.·(2:r:~,h¡4-1)~,1100. ab(42-bZ)'S9,D~.w~. 1101. 41n;z:.~/.-ln3z d~,
Ca2cos:1.,%+ b2 sen3z)Z .,2'V (loa'", -4)8 '
1061. (1-eoS~Z+!I)fJ' '1062,tf!.lJ
lOOR. 't{Z" diZ 1064 1065. _ p2dy? =(:!)a . • ";2' V(y2+ p2)S
. 2a al i 31¡ ces!1069. - 9bZt4 > 1(170.-7=- asenso,,' 107j. - a3sen&' .¡ i , c0s2t-4een!j. ~ . 1=(1072. a (1-008 lp):1.' 1073. 1) 9a2cos7,uen8 t • -) O, porque z+!I .
1074. 1} 4t2; 2) --1 2 .' t075. ( ~+~ )$' 1080. 16 m/!fo.-1- ..ces -t senI1081.v=21-4, 11=2. 1082. -~~'18 em/sZ. t084. -0,0015 m/s'Z.1085. -1/8 mjs'Z.1088. 1'-(:I:~-379)sen;t-40zC09.%j
357.
10M.
H 10. 1) Es 01 punto. del máximo: 2) decrece: 3} crece; ') es el punto dlllmínimo; 5) es el puntodel máximo; 6) es 61 runto del mínimo; í) es el punto delmínuno; 8) ns 011punto del mñxímo: 9).09'0 punto del mínimo.
1112. 'En 111 punto xl = O el'cee: en ot"punto r, = 1 deorece, 00 01 punro'"J - -n/2 croes y en e punto, rr. = 2 decrece.
1113. Eln C)I'punto 3:¡ = t/'J. decrece. crece Gil los pilotos Xl = 2 y ;1'3" f;el punto del tlÚ'"mo es %.= 1.
I t 14. Crece en 01 punto ,r, = 1. decrece en el punto "" = -1; el punto d(;lmiulmo es ~~ oc O. '
1115, Decrece en el punto JO, = t/2, crece en 01 puueo .t.= f/2: el puntodel máximo es "'3 = 1).
'1\25. Tres raícee peTI1lIlCoionlcS 11109 intervalos (1.2), (ll, a) >' (S, ~), res-poolivamellw; -
1127, 801l'8,r~ - sen 3%¡= a (:r. - XI) cos'S~, dondo "'1 < S < :r,~,tt28. a (1 - In al - b (1 - In b) = (b - a) ln ~, donde a < $ < b,
t!29. 1l1'Cl!en(2(zo+o,r)]-ore¡;en2:ro= 2t..z ,dondezo<s<"'o+or... lft-4¡a1135. Para :t -+ O t tiende a coro tomllnao no todo! lo. valores intermedios
sino ~ul sucesión de éstoB paro la, cual C()Sr tiende 11cero.1136.0,838. H37.0,57. !'lS8. t,041.9. 1139.0,1990. 1140. 0,8449,1l41. .,,1853. .1149*. Lo deslgunldad ncceMl'ia os debidll al crecimiento d~ 11\ fUllci6n
!/= l~ '" en 01 Inl.ervaJo (o, ~ ) .1150.·{.... oo,:_:oj·) crece. (-l. 3) decrece, (8, 00) crece.'tl5!. - 00, -1) decrece, -l. O)cre~dO. t) liecrccc,('1, 00) crece.11~2. - ec , -1/2) crece, ~,....1/2. 1t/18Vd.ecrc~e. (H/18. ,00) crece,
:! 2:' ';1,~53. (-00, a~)C)rec~. ('jj'Cl, a.)}~CNge, (a, co) crece. ,h5,4; ¡- ce" -1:) crece, (-1': {),d~crc."e,(1, ,00) CI'OCO, , ,1155. - ce, O) decrece. (O, 4/2) decrecc;'(l/2, h 'crece, (t"oo) dcetocc.H56. - .CIO, O) <:l1l1:e" (O, 00) decree¡¡, , .'H51. - 00, O) decrece, (O, 2) crece, (2. '00) decrece. .1158: (O, t), d~c.reoe•. (l,,~) deo rece, (e~.'~) ,ore~.1159'. fO, il2! .decreéa, (1/2, 00) crece. -1160. O, 11(8 decrece. n/3,,51t/3) crece, (SIt/3,2n dÓCI'e<:é., .,1i61-, O, Jll6 'criiCo,;¿-t~6.¡,iiI2Plecicic'e'; (ñl~;:~ñ/~rc.f6~en5n/6.Rn/2) de-
creco, (3rd2, 2n) croco.' ,
Al capítulo IV
1102, -4scn~d,-,3. U93. ± S:VCI:~(1+5tgtq»á~.
2-
1104. a3 d%'1 HOS. n cJ1.v_~a"'Z% 4(1+8",') drl.--3-1-' ""-1 (zl_J}2"g,,;rw2
2) tPlI= -4!ec' 2t d('.1106. 1) d'V = GOS :<12" - sen ~ d:~;
2) tPV ~ 4" COS«(1") 11\a d'", - a·X In' a (aX S4.'n a" - tOS aX) dr;3) ct'1I .. atSln 11 [cos a') (rol + .9.t" In a) - n14 sop Ilts9t' ln 41 dr'.
F!espU8!tas al cap. IV358
1162. Crece.de manera monótona. it63. Crece-do manera mon6tona.
( 3)' 1~3 ):; . - -' .: ", 'HM. O,1>!l ;. c~cº' \<t.~a,~... d~c~ec:e, , 'o, ' ::.: • '1165. lIm4x,=.,0 -para ~ - 0', l/ruin F -1 para '" = 1':\1~:~,6¡;'lfll"¡~..~ H ,p.!l~da;~= -,1, lIm1t1:,;,,-41 pftrll 3),= ~••.t',H67. IlmU ,;J '4-Par,a r'"'fF O¡ 1!;"1~Q.·'S/3' pa,tn'.I: ';" -'-2.' ..'1,168. lImé.- = c2~para", = 'O, YmlnF,j!i¡ para -"1 .... 2. . ,: . ;.~i . . +.~ ~ I -~ " -
1169. Y~tIx = 1l} 3 para a; - -;' 1110~l/mAl<= O para", = O.
1171. lI';'dX = 'O:paril'z", O, Yml.n'7'- -'2(3' para %;"'j t: _ .1172. Ymlo= 21'ara '" = 2/8. 1173. ;¡~,:",.=;1(205110 p~,~ ;<_;.;. 12/5.ti14.. l/mAX= y;;¡ para", = O, Umln";' O para -'"= ±a,.,1175. l/mSn=Q;'pnra...zo= O. 1176. Crece de manera mon6ton,lL,., 81 ~/'- 1 'i ,"o .tl71. Ymá.x=T'Y iR parl\ z=2' ymsll=O para ~=-1. y para .,-5.
e (4-e) ,tl7a, )1",6:1:=2,5 para z= 1, IIlt1fo= 2 "" 1.76 poro 1'=,(.
1179. /1mb: =; 112 para r'" O. IImln= n/8 para %=1.3'\(3-21< 1
1180·lImll1=Oparo.:z;=O,!Imln 48 pota "~2'6n"8-n'+ 18 nusr. V1D4x= 36 -f"1,13 para z=±T,Ymln=l para %=0.. t ~ !uss. Urnü=sen:r+' "6 'paro ""=2"
\' .36V3-i?1tV3+i2-n2+On lt
VinJo i~ para "'=6'1183. Ymóx= l/re para., = 1. l/mm= :"'1/n para :r = 3.1184. Si oh ~O, no oxf81cn valores extremos. SI a/)> O ya>!l, aa,tleDO
Vmln'" 2 y;íi para a;= 21p In 7; ~1ah> O yo <O, so tiene VmAl= -2 "Ifa51 t b
para %= 2p = ~p lo a .1185. 13 y ,. 1186. 8 y O. 1187.-2 y -tO, US8. 2 y -12, 1189. 10 y 6.U90. i y' 3/5, .t191, 8/S',y -1.1192. ,El valoemlnímc os iguala {",+ q}t, el valor máxtmo no existe.t193. rr./2 y -tl!2.1194. El valor máximo es igu~J a 1, .el valor mínimo, 110oxiste.
,.. __!_ -
1195. El valor míuimo G.S igual a (~)' , el valor máximo no existe.,
V- It lt t06. 9 y O. ll97. T yO. 1208, " y 4.1209. 1. 1210\ 6 y G:t21t. 3; 6 Y 4 cm. 12t2. 3 cm. 1213. f cm. 1214. 1f4ü.
V-1215. El redio de lo base ce igual a 111 altura, 'igual 8 .!. .1f
359(Respulllitu. '.$l..esp. IY
20V3 • /"?1216. R="I.R, 1217.-'-3- om. 1218.211V i~293"56'-1219. El lado es igual a 3p/4. la baso os iguAl a pl2, l220. El Indo~s igual
8 3p/5, la bnse e~ igual a 4p/5, .2RVa ., 4 2mo 2' m~Z' • • / 24~
1221. --,,-o '222. a!l' 1223. 3k' 17--¡¡r;. 1·224. V-k-'271225. 20 km/hofn, 720 rublos, t226. Al cabo de 1. 43 hora ze i IIóra 38
mínutos.t 227. La distllllCJ,D .que.ansdie entre la cuerda y .elpuato A t1o~ ser igual
a aft,. del íliamstro d~ la circunferencia.1228 4Ry5 . lq!5
. 5 'Y 5 .I y~-:lh.
122~;.,..L& altura del rectángulo es fgulIl u ~, .• donde h es
la distannia desde ,,1ee.ntr.ode la cuerde que subtiende el ara. del s.egmeJlto. Jles 01 rad'ib del círculo.
i230. Él radio de Ia baga. del 00,011 debo ssr i .5' veces rnayor ({UI)el del ct-JJndro.
1231. "R, t2S2. ~49·. 1235. 50'. 123oi. RV3. 1235.t a.1237. f+t=,1. 1238. áy2 Y ,,1(2.
Iril,9. El áre.a del rectángulo 9$ igual a"!' X el ¡il'C~de la elipse.n-1240, Por (11punto (2,3). iMJ. e (-Ve:: -"'V'6).1242. % = a - p, si 11 >- p; t = O, si (J ~p.1243. La sección- del canalón ha de ~ene~,lIi forru~ (le ·5émicíNU!o.t.244. La .lo1)gitud de la viga es de f3 f m. el lado de la. sección 't'~nS'\'er-
L d 2V·298 es.e'-am.1245. El valor buscado es iglfal a la media liritlllética de los resultados do
los cólculos:Il+zt+· ..+rnz-= .
:. ~. n., . ."''.. +
1246. Que dlsta,á' km del campamento. 12U. A l~thltUl'a1l1fW2. .12~8.-La dlst1ncia;¡¡he fue'di'a 0Dth,'el:"p\u"i~ó'1í~stJ~q'1. iÍ1ini!~;¡~}lal, . »rr:
de lu,z.de í~te~id~d~tUI~lÍ"'o~~ [.10. és'lgusln ~ ;~~ " eD' oil'ss 'íraiabr¡¡s,- - 11 ¡ 8 .
la "dístlUl'oia 1, ·sOl. divide por. ~~i punto bnscade. á f816p de V1i: i/7;·1249. 2',4'm~- ..'''~, 1 • ~. ~ , .. " ... ,
'1250 f.. ,."., .,~ 'para cp-'Qrc~H"k,'. mln . 1t1+/¡2 . -, •i251'. "'f4,5, , !" .
• / Sb • /To.. ._1252. ~b)+ ti, '7 y. 2a+'V' T'
aBO
1258*_ '(t.=:R~f+2R) , donde L; e(I l~ ,1!enef~\flz dol eODO_. tomar ent, f_ ;;\ "'i' l... _, • _'lo '. ' ....
ccnstderactén qUÍl III dif_erenclo.entro la dtstqoeia que nl~dlll ontro el centro UO,1,~ eS,~O~,B"r:~l,v_ái1.Í_!!,6 d~l ~ooo, ,Y 01 rll~i~" do ~_ f)sfe.a ,~I!¡glla,l 8, la ,\lHp5ellc¡R 00-{re '101'o.llurB~ilelilonQ'"y~la'oltllro ilMla'parto '8\lmerglda, ~ol.fIIlgmeq.to, ' - _J
12'64, 7l/4. 1255. R/2. 12&6. P (p, ±i>Vi). <1 ' - • , , ,a .~, ,¡, , :",26~:>. 'T-,-Comq JI! J,!nc!~'e8 con9.tan~e ,fv'.'= QJ.; 8U vaJ<¡l(¡us1911a1ul \'B-
lor de la fUllO!6udada para el!a.lqui!~¡V810Tdl!;¡:,por ejemplo, PIl.!CI.;t=Q., - I ,. -- _. _ 4 •
I~, rr. 1265. o. 1~7'IV}IIhTt743 -p<aa r=3' Vlllt.Q~(}~r.!, "'=12.a' ,4 , •• 1'" , -
;t,~ 'VIDfx'=16 pa¡:a %<=-'2' VmJn'='O- pafR,-r,,::,O y pl?ra :="',, \ t ....' , ,'. . j'" ~.
1269. YmAx= -2 .. ,Para., = -4, VmilÍPi 2á parn : = 'Q_"1270, Ym4r = 5/4 pota' :IJ ""'StA... .1271. V';"áx=' 1 pUB :t - 1, Ifmto = ~t pafa J! ... -1.1272. Ymtn =1 1 para :t - O. ,1273. 11mb = la/~ para r - 2, Vml~= O parn %= 0_ ...127~. Vuún=• para %,.. e. 1275. 11m»:= ropan" = e.1276, Para 4= 2 es máximo. 1277, a = -213. b'" -116.1278. ~ convexa en el elilorno del punto (1,11), c6ucava en el entorno del
punto (3, _3), • - - ~1270. 'Es {lODVCxa en el entorno deL punto (1, n/lo), céncava-én 01 ectorno
dal PUl\to (-t" -:tIlo). ,128,D. E~ convexa en el en,tornQ del punto (tl.~',-2M), cóncuva U!I 01 an
torno del 'PUlÍto (1, 'O).1287. El punto de Infloxión es (s/a, -250/27). Los intervalos son! ¡Jo:l!'
convexIdad (- ~,'S/3), da la concavidad (5/3, 00)_1288. N~ tleilQ p_lI[!loli.J.d'linf.lalt.lón, la. grá1ico.· 98 cóncava.1289. L~8yunl{)S de inflexión 1I0n (2, 62) y (4, 206). Los intervalos son: do
la coneavJd~.d (- .00.2), dala cop;vexidaci (2, '11 da la concavidad (4), 001.1290. Los PUDtosele ¡nflexión son (-"3, 294} Y (2, t14). LoSJutctVa'lo:J son:
de)a convexidad (- 00, -3), de la eoneavíded (-3, 2), dela convexidad (2, 00).1291. El punto de iuflo.xi6n es (:l., -1.). Los íntervalcs 60n: de 14 eonvexl
dad (- ec , 1), de la concavidad (1, 00).t 292. No Ueno pUn\08 do inflé:dóA.' 111.'gráfica 'es c6ncava.1293" Los ,pUDto~de ,¡nJI~xi6n son (-3a, -941.4). (O,Jh,\ (3a, 9aJ~). LOS
intcrvnlo, son: de la p'qr,leav,idaO. (-.COI. -80), do la eOllvexldílñ 't-'31.1.. O), dola eencevidad (O, 31.1), ~6 In ~6hvexldM ~3,~.aoJ. ,- _ ,
1294, El punto (le Uülllxión es (b, a), Los tnter.valos 900: de la ccuvexidad(- 00, o), do la coricllvidail (b, 00).
(1(5"-1 V!-t)
1293, El punto de inflexl6n uOSln--,2--'. - . Lo~ inle:rvalos
son: de la coaeavídad (- T' arcsen 1~-1 ), dé la C(¡OIlOlC ida,1
(nrC.SCD,J(~..,..1 , ~)_.
1296. L05 puntosde inflexl6n (+1, In 2). Los intorvnlo5 son: do 1" CORVCxldad (- 00, -1), de 111.ccncavtdnd (-1. -t), de lo convexidad (1,00).
361'Rospuostas-al cap. IV
In!.l' biaae. -1"' 1331. 2. 1,332. ~ o.m-n. 1333. --" ' 1~~4, ~2., ~335. 2..¡lid . , '
1336. Ju f, IS¡¡7. coso. 1338.2. ,t339.1. 13'.0, i; 1341. iis,' !M,2. 16.. . - '1.
1M3. L 1344. 1• .1.345. ':"'2. 1346. O. 1341. O. 1348. a. 130\9.2"4' 2'
'I3áO. +. 135t, :;-,1-, 1352, O.
, , a+b+c1353. ee , t35~. '~' 1355. 1. ,
- '1'3$.6':".;: 11:357. 't:. ,t'i1~8."i._)359. i:' 1.360" , • .1'361', .,2. Hi6z._~~. 13631' 1,, 1364.• 1!2~ '1966. Los va.lores de %"'~50nms'r,ore!j,'!Íoe l¡l¡¡ d'o 'a~z:i;~'" , ..13tn.,Los valoree dol (%) soil:iriáy'~re,.!'Cfúe,los~aeln1''(.~r.",'~' , .. ~. .1$14'. t <1,~5l.;::::'1~!)20'!l9Qlj'(f20) ;::::':.1.7281201 l6;<~tóo ¡::'-O,\q~.(~¡ro¡'abso-
loto}. ~ . , ,.(1. "" •
1375, 11""' ..'±Jl.. 137..6.. ",~O; ¡f=O. IS?7. 11=0, 1318. :t=b, !/='"• ..._ .' ';':,l _ ' ';'1 ' - C"
. J319. z= -1. II=-}:",;-"t. '1384),%+11=0'. 1881,y=",+2.", . '1382. 11= ±%...1ª8.'l. >f- o",;y,., Oj x + /1 = O; .
- 1384, ~ = b,; %= .2~; r/::;: z =f- 3 (b- - a).1385, y + j .: .0; ~ + )J + 1 - o. 1386. "'= -lf., 11= '"+,1/••
." 11:';_ J387. % = O, Y,,= %. 1388. :t:. '= O. !I= % + 3. 1381). 11 '" 2':t:. -: 1.
j~90. U 92.0: ::f,,,!2.
3 3'1 (- 3 --)1297. El'llUnto de' inflexión es a.'¿':r.e 2 . Los íntervalcs son: 08
3 aIn' convexidad "'(~>ae2}, 48; la, concavidad' {Qe2, oo}. i298. No t'ieJll! J\tIQtll$ deillflexión. La g íiea es cóncava. '. J' . ,
1299. El Pilotó de jnflóici'ón (4-, •arOI:í) .El intervalo deja concsvldad1 " . I
es ( -00, z) ; el !lo la .coD\'exid,lId es {2:' "") . r-
Jaoo. El'pulIto de 'lMlexion, es (l. -7,). Los' intervalos Salir do la convexidad{O, 1). de In concavtdad (-1, co).
1305. ti -= '-'8/2.,' ~"";,,9t2. 1306. ti,= -20/S. ~ ... 4/3. Los jlUnl9$(-2: -2,5l y (O, O) tambiéll .800 puntos de inflexión.
t307, I?aro' (L ~ -e/6 Y,Pilra ,e.>·O. '1316. Los puntos de inflexión son (t. ~)y ('l. -4). . ..1317. Para I = 3rr/lt J08. puntos do inflé¡ci61l.S01)' ±kn (k = IÓ,>1, 2, ... l.
s8n,b-sen ti1318, b =~908~. donde 11¡.<~<I!.in-a
1319. eb-e"=2.i, donde a<s<[o¡''1"'" '2 13"'~ O 13''''' 1 13°1 Ct '328·.!.s· 13".9. V~¡;·."4ó'L -::O¡::. "u. '. '-'J, • Io,;¡-, t <-
Sra ~
Respuestas. al eap .. IV362
IS91. V = ~¡ si. t (",)Do:es cOlllllaIlte ídénuce, .1392.'51 lim o¡t (1»<> Ce y Uro 1j),(t)';=",b,TF beS'alltntota,sj~~~rp. \jl (t) ~
i~to- 1-1. t--t. . "= 00 y HUI <p (1) >= D, entollC)e~ '"= a es asínto~. ' ," 'l,..t'u • .. .. , "
1 ' 1, " t1898. "'21'--1, I{:=,Q, ,!lp~.Yo=T·,!,-i¡e. la95', 1f>7;:!: 2' "'-2"<,IS90, So + Y+ a = O. 1897. %= 2,: 2", + 8U + t c:: O;. 6;; - <iOy++ 9 = O. ',;' , ..' ".1 '
. q~8. Está deiiDlda p_or10d,\'-8parl,t's. La grlÍ~icó. es slmétri'ca raspe~to 01orl(!llti. lIin» .,.412 para % = 1. '11mIn =' ...,.1/2, para. '" = -1. LoS punlos detnrrexión'de'l~ gráfica so~ (':'Y3. '-lf314), (O.:O)'y 013, Y3i4)~J,.a asíntotaes y = O. i'· ,.'~. .,. ·189\l .. ~!!táAofinjda.,por ~O!III~part~5.'~~9IlPl0 l.qs .Yalo~<!s%,d, z1. 1;a gráfiCA e,~fs,!W,6t,rlparesp~G\,o-.s,l u,}Ot.deordenadJls;No t10nn _¡nh....m05.-UU>!D= t para., - o. ,,wo tiene puntos de InneXión. 'Laa nSlntotss"son ., "" +1. 1I== O:
HM. Es'W_de flnidl,l' por to4119 partes -: elteepto(.lo~ \lolrir)¡a '" "" +i, J¡~groflca \\9 simétrjc~ r-espQOtoal origen. No tiene oxtroll\o$. BI pllll~(l dé fnOo-1o:\ónes (O, O). Las asintotaa son ;r. = -,1. % ="tl,,'1/ "" 0"
1401. 'Estn. defInIda por todas partes •. excopto, 108 valores z '.= 1. al ~ :\
z. = 8. UmA.~ -2,60 para % z 2,58, Ymlnz 2,60 paro.~ z 1,4-2. ~o tlCI\epuntos de inflexión. Las así~t<lta! son '" = 1, z. = 2, ~ .:.. s. 11 -= O. ,
1402. No es~ d.efinida cuando", =' ±t. ba gr'áfica es simétríca respectoal eje de ordenadas, Yrotu= O para; % = O. No tieno'mlnimos, Cuaudo e < -iI)J'I)ce;cuando '" > 1. decrece. LI,Igráfica no tiene puntos de InO'éxl60. Las asín-totas sciil',; = +f.' y = l. >,'
1403. Estáíi.eopidll por toJas partes, llli griifl~a ~8 simétrica respecto al cíede ordolladas. Vmln"" -t paro. z""" O; (l. a) 1 (":"~·;'O)60ñ:puntbs da ioflo:tlÓDda la gtMica co~ la, tangente hotilont¡¡l; 109puntos de 10110xlón'son (±Y5tS,-64H25) .• No, uene esfl)toi.as. .
t404. Está delinida por todas partes; la grtili.cri él! almétriea re5PJ!cto aleje do ordenadas. Jlm... = O para ~ = O,U",1n "" -27/8 pl'l'a " ... ±t.l2. Lospuntos do íoOoxióú"de-Já.grálica eODla tlllljfl)nl.ehor'ttonta1aon (+L, O).'Cuandoz z lf!0.'1 y'..,:::::+0,26 '~mbI6n existen otrio9 cuatro puntos de 1ñflexión de ragn\1ica. No tieoe asintotas.
f405. Eslá 'deü.nlda por todae portes, oxaeptClZ?' O. VIDlJl= ,3 pBra z =oc {/2, Na tien,e mlÍ:x.ÜI)os,El punto de ioIle~·i6n da la.llráfJca CS' <-t;2/2. O).r;a asíntota es !r "" O., t 406. Está deñnida por todas parte~ CXrAlp'to ';¡:= O. La gráfica er stmé
trloa respecto 111eje '¡le QfdollOdllb, l/mln =,2 -pál'8 :ll= ;tI. No tiene' máximos.ba gráfica 1\0 tlcoé puntos :00 IllflexíÓIl.· La.lIsíÍltoto es z. "'- O. '
H07. Est,; defioi'4\1 por todas p8.!'~eB, excopto :r = 1. tlro[n = -1 para:t = O. No tiene máx'iln'os. Ell'pun~o de inllo:óóD de i.1 gráfica es (---t/2. -8/9).Laa nSÚltotos son z= t e UJ- O.
1'08. Está delInida por (oda'll 118rtes, excepto z = ±VS: na, grálica esslméltiC8 respecto al origen de coordenadas. 11.,,1\.. = -4.SP8l'8 It= 3, Ymrn-=,= 4,& pllJ'O '" = -3. Bl punto do lnflexIón gil·la gr6!ic¡l os (O,O). Las ~s¡n\olDS9011, %= ±V~ y z + y = o. .:'. • .
1409. 'J!atll definida -pnr tO(lB~ partes, elteeplO :z: =- -'1. No tleoo mlnl.l1los.11 '
IIl1ld~',"" -3 8' pUfa '3: ~ ~ll. El p\lnto de ~Q,llo;dón de la grlÍfiQ~,es (O, O). Lileia8¡tltó~nssou z = -1e y ~ ¡¡-" - 1,
363'RÍl&)!uestas al up;.IeY
'1410. Está dcliJ)ida llor todas partes, cx~pLo '" = 1. No t¡on,~ máximos.Ymln= 27/4 para :1< = '8/2, El 'punto de infle.'(iúh de la gtlÍ.fica,"s (O;,O)!La asintoL" es :c.= j.
14u. Estií delinida por todas partes, excepto ",=1. Yn\á.=O p~ro",=0,4 "/7. srr .Y!IlJn=3' l' 4 pnra :t=,., 4.. EL punto de inflexión de la' gri!i(l<l es
(-;t2, .- ·}Vi). La 8plntot1l.S son z=t 11 !/=;r.
1412, Es.~á detinlda p'o~ todas palotes, excepto ,» >=> ,-í. YIDAX= 2f27 para.r; ""' 5, :l/rotn - O ,para ;r, ~.1. ["n~ ahscisas de I()~l'untos do ínflexíén do la gr~·¡ica. SOD lí ±2V3. Lo.s asíntotes 5011 ir = -1 e y "'" O.
tAt3. 'Está dofinJaa 'por "Lo:d~spartos, excepto '" =- O. Ymáx= 112 para;¡; =' t, /lmllx' = -:H/6'~a~a~>= -3. !lm!n ~ '27/81iara.;,; = 2. La j¡'lJsci~~delpunL!>, qa iDfJexi~ñ de la gráilC<l.éS 9/1. U:s a,5¡n~otas sun'",,= O e 11 = t :l::+ 1,
J"140.• E5t~ d<lfinlda' por to'dflS partes, excepto", = O. No tiene máximosYmln ::::s ~(),28 para e ::::s t ,46H¡lt<abacisn del punto do .inn,,~ón de 111'gráficaes -;t2. La ~s¡lÍtota es :t.=O.
i~i5, 'Está gefL~i91l<P9r todas partes, excepto ;¡:= O. IImt\x= -2,9 para.'"= -2; nO tiene .mnimó'a • .Lw gráfica no ~¡e!l'l p\ln~f;I,Scío ¡nf),Q¡t,Iójl. Las nSlll-tetas son '"= O o y =x. .
1416. Está dé-linidá por todas partes. Ym~lt= 1/6 para ;¡:= 1.. No tiene
ID)'oi¡¡105.~1 plLb.t'odo jli.fJ()~ió)ldé lu gr8Jjc~ os' '( 2, j) ,La asmtol.á eS!J = O.
14,17. Elst(\ definida po~ 'to,<!,Bs,llattes,Yriúll< = 4lt~J)31'1I '" = 2" 1IrnJil= Oparo", = O, Las ahstces do 101;pU,atos qQ illUerión de la gráfica son 2 ±.'V'2".La asi,at,ota el! y =,0. ' ,. ' ".
1418. Está,d.e!inld,a p~.r t.94as partos, excepto e = O,,,~in~.= e p,~a "':"' :1;No tl06DGmbolll')OS.,La, 'gráfica nÓ tl,~n~ puntos de 'i!!ll~i!;lón. Las a.sintotás son;t = . Ji = ,
14il¡. 13$~~dc(in¡dapar!l"'(>-:-1. Ymln =;; O-pllra,~""O.No'tienem~os.LIl gráfica co tióne',púntos .de. IIifLéxióo-. L~ Il$í¡itota, ~8 :r. "" -1" ". 142.0. Está al}t¡j¡ia~ por t(¡aj¡~partes. f:a gráf:~c-~98,~¡lÍIétr~~n,ri(S!l,4!lJ.~.a}
j)~o,do,.oldon84l!B.,Ymtn :;:: 'O.l?~.JII,,%=: O~No t''ll!e~m,~:.tmIo~'i'fiqs pUJl~oS:íl,~.}nílexiQn'lie ,18, gr(l!iC1l'''SOll~( +1. 1n.;2.). .No 'tíonp- asllÍtotl(S¡" I _, , , -
, . , 1421, Está _,~~í!l(d~-1>'fj..~d,a~~¡¡~f,(~<~~~~"gtiáfil<ll,~~~~!~6~ricare:'~O~ ·al!ll~:,d!}or~~)ladIl5" llaib 9'- paro, '!i'''.k;!:: 1., 'y-mf~~q'fPnrilt~\:;oQ; l-IXS',abecísas•_' , " ~,' .,' ti· 1" zr , i , •..:t't-.~~._,_ •
da 1~1l!~nJ~;~~jt.f.~eltI6n do, Ia ~á(jca :~~ .:t' V:-~·tl("17.. Lt:I.8,s¡n~~ta eay=,O,r " '.. ~ '" ;fJl '. ." - :.. J
. f'~2. Esto' !lefilii<{a '~ot' t<itl¡'~~~aÜils, !i~~x ~'27)&a: para ;-=,3. Nd ti.no1U¡ní,I)lO~O''Las:_Qp§cisa!!, de les, p,)!l!rps' de.illfl~~~6D"~,90~:'O<'y,,3,rl;;V[~La:Ils(ntotllQSyc=. "l '.;-' - ... '4-""
.: - 1423.\ Esfá definida 'p,6r 'ti>d)¡_¡¡' partés. Lo gr¡\(ica. es simétrica ~pecJ.o QJ.", r denad 1 ;1 1oFlgao A coordena aa 11mb '" 'Ve para .1'=~. !/lIllu'= - Vii. ¡1~ra :z:;=¡- .
Respuestas al cap, IV
.J t - ,. sf:.os • ~t~tos I -de llÚloxíon ..dp.:·,·t~ grlÍrjQo 'son' ~(O;.Q)" (Va,;Vz,,- 2)a • . '. 'y ~~V3,·"-(3.-~).'ta'8SÍlltbi's es !I=O. " ., , ~.. "" 1.4"24"Es.tll d.e,fi!l.i~!I:porl~da8Ip,l!tles. Cl[(lopIO.%= O."No uano ~{lfomolj.l,¡a~grt!!~[I"~<1If.eDe..~u.n~OBA9;,~!~lt1~n':(.t:tQSllsll)wtas BO"'. :,,'=;;,0t 11 -: o Gi=.~,)425. E_st;> de(¡!lida P8~¡¡';'.;. O~No 'Ueoll' 8J:~m>oS. "Ei' ~\lli.io de i'Dflex.ló~, ·9·~3· , ~a'! " ro' , ..~t'de.l~ gr6.Ú~··:é8 (? i'+'_Z3 e~~i\: Í.á~asintotas sOu'i~Q'e y='~. ..«',. \'" ¡ • f,o ...... J ¡~ :¡¡,...... ;), ~ ',..,-' 0'- .i : + ~. '1' 1,.- ¡
':;:",'14.26"'1;0 funeió.Ti'osi6 lI&finl·do.'ei.lilpd:¡....~ ce <% <;~1·:y cuaudo 0,.0::::;<: ':r < oo~ En ellnte_rvalo (00:- 00, -t) crece desdo. hMta DO; un el iD'LoIlVa~<i(0\ + OOf~M.J18dosd~ basta'., l1elgrtÍliila conste de des eames 8eplll,dll5. [;85aSlntot"s son Y},-='''"t_y'%''= ':""'1'; 1. _. - '" " , I ;--. ',.
,.t~,27.Es'tá dófinlda. ,por, ladas partes. No tienol i~~re~os .. Cuando ,;.=~ ±kTl '(".,= i. 3, 5, ,,> •• ) es jast.llciooJ\fla...La gráf-ica ea 8im4r(!ca:1e~r,octo alorígen ¡le coordenadas, DO tiene Yrnto~s: I~s pu.nt{)s do !!Ín~xi~'n500 Iut, .I.-n}(k = O, ±t, ±2, ... ); en los puntos do tnllexl6D ta gráfico cruza o re<:t.aU~3;.. iI l. 't, ',1 ,t •
1428. Está dl\lhiidl1 P9f 'o.dne partes. La. gr¡\ficB eS sim6Lrlc<l 'respecto aleje 110crdeaadae. Los puntos extramo! sati.sr8~n.\8 .e~uaci6n Ig:l::: -:r., LII.5abscisas de 105 puntos de inflexión satisfacan lé ecuación :r tg' .&= 2, No t(enoasinlolo5., , _. ,
142!l:, Est¡l (~o{in!dAen }.?S hlteryalps (-~t~+ 2~,!',' h/2 + 21m), don~ek = O, ±i, ±2, •.. E¡l perlado es 2n.. La grá.he:! es Slm~tr¡oa 1'esllCGto 01 é]ede or~oDada5. Ymu = Opalll " = 2k.n, La gráfica no 'Uene puntoa de inflexi6n.LaB n,lntobus son -.:,,= .11/2 + k1l. . ,
11¡30. EstlÍ aeflniaB en los iute~álo~ t-1t12 -f 21<n~11/2+ 2lin)\ dondek= O, +1, +2, . , . El período 0112n:, Da griífi03 as aim~ti'ícarespeoto '11.1ejed8 oroonadas:-Yrnlr"" l para '"= 2,k¡1.La gráfica !,lO t.ion.!! puntos de !oflex.i6n.Las aslntetas son % ;;: 11/2+ 1m. '• l4S1.. ~á. Ueíl.ni<lnppr ~odM, P.act;es. La. g¡Mlcl~ c~·slm~trio.a,.re8pllCto al
origen UQ coerdenadas. Yj¡;ú,"= 1(1.2.~C]lIlJ'3 ",.= .,..1, Yinln = t:-'1I/2 parll~= 1. El punto de ~floltI6!1 011(O, O)._L~ as¡nlO,~s son !J? :1: + rt,, ,1482. E8t~ dwnidll po~ todu pli~és~ e:xecpto,~ = 1 'y % =1', '!1mb.= tltpare:r = 2 .. NOIUenomlnlmqs. r,AS 3l1fbtótas811D.:r.",.~,:r::= 3.0,11='\.
1Jj33. Está definldll por tO,dasv.a.rtcs,•.E1 p'ef¡~do C52'l:.Jlmrn = ':(parll '" == kn; do?de,. = O.±~.±2 •... í YIDJ.xc: , -1 pan ~~ + 2/at.e,Vlllu== 1.+ 1te 'pilla ~ -= o31t/2 + 2.kn. No tieno fts[ntot~s.
'434', Bató ?sfiliidll;p,or todas pertes -,Yn¡1I!<~."/27 pare. % = S/?-7'.lImlJl=- O-pora :r. = O. La. gráCica no"tiene P\lUt08 de lnflo;¿!6n, ni BS[ntotIlS. '
1435. Está definida por tooaa part.cs, L~ gr6.fiea es.simétrlco respecto nI ojede ordenadas: lImu .;",O plll3 % = O, 'Ymla c:: -'3 'Jla~az; "" ±i. {la grlÍfica DOtíefm Plllltc¡s¡do'lnfllixión, ni aslntota!!. o. ",' ,,... ,
1436; .E·stIÍdo{itiidA pOI' todas portes, LII gtáflca C~•.8imÓtri¡;ll f9Bpucto al{lr~llen de coordonodas; IImdx.= 2/3 para %.= 1, )Imln "':' -2/3 p'ilta x "" -f.el punto de lnfioxión do.le. gráfica OS,(O, O). No ~Jál;\.el\$ÍDtQtil!.
'1437. E~~ (len~J~a.P!lr t~~M.pa~tCt",Y_¡qIl'X= 2 ~ar8 .~= 0, VIXlI!\·... OJln~l!.,"" -l. lHpUllto(le InClax.l6n'de]Q grl\f'lI~ ea (-·tl2, 1):1.,0 aslntota ~aU'" l,
14~8•.,Está de(inida por wdas Jln.rU!s.lIln'Ólt#- 2,2 p!Ú'a~= 711'1;Umln= 1)pus Ir=¡ 1. Las ab.scisl! de l~ puntos de iDrlcxión de"la gráfica son -1 y7±si!a ' , ,--1-1- • No tifllle.3&1n\0\811.
ses"
1439. Bstá definida por todas partes. IIm'.s = 2V4 pura s: = 4, "mili = O]lorll :z: = O. El punto de 'Infleii6n d'e IQ gráfina os (6. O). La' aslntota es :z: ++y-~ ,
t440. LaluDci60 cstÁ delinida cuando s: > o. es bívalente. La fU1lci6n 11 == '"+"V~!(cama s~'petlor á~ la gróiica)'cfece de manera m'onótono, [,8 Iuneiólf V ee z - V;' (tama,!iDccribr,de'la grMiea)'llolie IDt\xhno para iz: - V 20/5.La 8ráfiea no tIene punto.s de ,infl,edón, ni Qs!ntotaa. ,
tUl. Está dénnida para 3t :;¡.O, ea lliva(eote. La función 11 ~ r +V;¡(ramn superior c)!) la gr.4J1ca) c~ do lI!.lll1l1ra tnonótonn. La Mción TI = :z:~ --V";! (rama iñferior de la gráfica) tieñe uiúclmo éuando ;r= 16/25. La a:bsélsa del punto de infloxlón de la rama.nníertor de fa griliGB 88 ~/2~. No tieDOfts!ntotas. ' •
1442. Está delíaida para'",;;,.. -1;, ee ',bivalonu. No tiene extrornos. L~gráfica es slmétrtca respaclo al eje de ebscísas, sus puntos de inflexi6n 50n (O. j)y (O, -t), ?fa ~iene asmttltus.
1M3. Estª deflfllcl,ll 00 ,los il)tervalos [.....'1, 01 y (1, ....}. es bívalente. Lagrá(lGB ea lIj.métric(I ruap'ee~,oal, ejó de a!:>s'~isa!':.'1 IIIll!A'I = Vi2/S para ,,== -V3IS. La abseiS8 de 105puntos do inflexión de la gn\fíéa es
V1+'~.No tiene 8SÚllo~.
1444.. EstlÍ definida. para '" ~ O. es bivalente. La gráfica ea simólrica respoeL(Jal eje de IlbSCls8S, 1,11rmil.:= VWO para "' = t/3. La gráfica J\O tienopuntos de inno~6u. No lfe:n9 asíntotes.
H4ü. EsL~ deIlolíJa pnra:z: = O y para s: :;;;.. 1. El origen de coordenades esun punto ~5Iudo. La gráfica' es simétric!l r~spo~to 01 ~jé, de p.I!~i:¡§as.No 'tienetlxtromo$, Los PJlfltóS do injlQ,~ip'i\ ~li la g~'~[iCI180n4 qfa '(3.., -9-) , No tione IIs[ntollls.
1<146, Está deflnida,plll'8 '" < o y'para:i -;¡.. -vz; es bívalente. La grúl!ca esslmiétriea respecto al ejo do IIbsc(Íla2. I )/1104>:= 1 para '"= -t. La grKlics DO
tiene puntos de Inr!e~i6n. Las asíntotas son r = O Il ,¡= ,:ir y3!3. .146.'l' 'Está !lofln.éia parn r ~ -2, y para '" > O. es hlvalenle. La gráfica
69, sÍlnélfiC;ll reSJi'2C~O1..10. rocta y = 'z."Vm4x ~ -2 pora z ~ l. La grAnen nctioue p.u~tjJ~,de'i~19xf6n. f,.t\s aSÜlLotas"'són.i: = O, y'=, O Y,:t + 117' O" ••
1448. E~tlí dC¡fI,l[dt\p~i'B~-a'~''''':r.<: tl;,es blvnlenl-P. f!¡'agr<lfiC¡bt!S
Rlm6trica r~~¡>e_ctó,al:; pjf de '3~;C.i~~. I ti ImAs-a V·5.'v:,~.-I..jj" .pbril" .,-=• t. ~ Jo, .... ~....~ .. ~ _ ••/1 z ,--t '. -; '(, I I
... - -2Q<vJi-;th No Uego pun~ ae ~~fl9~¡6il. La ,'á.\IDiOtaes 2:~ti. ,.t .. • .. ..
t~4.9. 'Est,! definido puo O ~ % 4'4. e3'J¡lvalonta. La 'grá{icjI ,~l!sj(llétrica~espocto al f)f~'de'alise!98!. I lI)m' i:<,y;8,po!¡¡%= 3. La ab~'de los ,íiunlo,do inHo,x.iÓ'¡}(I.!i')a gráfico' és 8'.,... "II.3~:~o't.io¡joasiD'totos. ' ,
1450. Está 'definida ~8ra '~2,~ .,:'§~2, eil blvnlento. -La.'g.ráfiG1> ,C6 'simÓ·iric~ r.esp~t,o¡~)?Sele~~d~Goord,o~~~:~;~1¡/ln}d~~l.3;V:3/~."k~~;'::,'7':!!L Lospuntose,e i¡lfle:tlón ~e ~o g'r~¡¡cl\s!ln lO. :º),Y~(.±\f.8,.:ty8[S),'.1I!Ii:~¡~~e~r!l t~h8." 't4~t..;¡¡;,st~,ldorl.lll1lli,J1Dra,,;r;~.~.t,~ 2. cB'.bl~,I\i~nt~, LII' gt')1f1CO'es '81mb
trloo resp(!c~o a los eje! de, GOordonadilli'. 1 y '1mb - 1/2 'P~B ",'=±V~::,¡::,Ipunto de iofle:ri6n de lo grállco es (O, O). Na tiene Bslntotoa. '.
RQSP.uestas al cap, rv366
.:1'452·'"'Está, dt¡Iini.4.1'\ p~ral!~ ~·1 r ~9;!~~vQloDtc.:La·grlÍn<;~ eS;8jro~.ltj'ca faspoeto al ejGldo 8b!cis~s.·I'.j¡ 11'n;¡*ó~:1'pai"IIo,Z -~. ~ ¡¡bsclslI d~ Ice-puntos do.; , . '6·;.p.2Va - " .. T,,1 J..:. ' .. " '.~' ..1I1t)8~io!ies'· --2--: ...l;8.~ás{Jltola, os' V '= O. .}. '. I ,
. '-!f S. J ~. . :-.¡" , I'\¡ l),~ _. -: ~t • • - i1453. 'Está definida para O,~, '" < 2<1,es bívalente. L,6-gn\fIQ'!\~ssiroécrjca
respeotó. ~ ejol'~a;!ali~cj9a5'-No:.tieDQ,~:¡ctr¬ mo,$.'NQ ~iQM(puntO$:.de #"nc¡dón.l!.n oslntoto.,.es 'lI'"lF,.2a., ' . ,¡; ;'" ,h :. ' '\' ~ ,,_,; . L4;i4': 'E~tá~d9Einid,a; para:."" «oO¡"l'l\,fQo-O'~· -r~~ ~,Y paro..'~:;;;" 2,.~ bíva
leÍlté,,-lis1!rUi.<lo es:síiJiétrlca'rc~pecl9'o,L'iijo do 8hScj~s,_ticn~ [ss ssíntotas, queeon %=,o B !I =: :tJ. y dos punto.s de m(Jexión. No·tienJl extremos., "t45á. Éetá'delinid" ',parlÍ ..;.ar~ ¡¡;.<O y para O <;:" <1, 'es bivaJlmle.Lllfgr~fit'as, 8im~tr¡ca respecto nl,e1a ~.~nb5ciSllS.,No,t(enl!JextrcJUo3. 1;08p,untos(i~i;;rlJ:l¡~~rd~'IQ"lgrA'ii~n,3ci~{~<'(vlf~iJ ),' '±d ~~,~f¡~ {ts¡~t!>ta'e~';~,,=.0.""1456.~~~\(I defiíii'dll',p~r8A-1~~; ....'~j, y PBr.1.\;2;,= 'tt2, 'ej. ~I!~l,e!l.t~.La
gráfica e3'81mElrlea respecto S. JOS-Q~fdll C::oo~deDRa~'y. ).ioo.lIdos pUlItos a151,1I"dos: (±2. O), 1 V 101Ú ~ 1 para .e = O. No tlene puntos de innoxiólI y asinto-taso - , ,
, '14&7. Esló d,finida' parn'-1 '" $ ~ t, ~~b'iVaJoilte, La grlifiea es simé\riclIrO$pecto e,~os'lIi,6~d9 coorden.sdas.1 ÍlllDjlJ- == i ,i>~ra:% "'" Q. Los puntee do Inlle-ión de ']11,grá,f!ClIjon (~;Y27,2., ±V214), ~o tleD,B.~intOt8S.
1458. Está daíínída 1)ara ., <,-I~· para %>" 'es biva1IUlt'1._.Ln gráficaes -slmétríca rasl.8Clo 'a Jos ejos do coordeuadas. No tie)le oxlre_mos. L.O! puntosdo inOéxión de I!\_¡¡r:iliea son (.±'Y2. ±i/2). Lae aSlotows son 11 -= ±z.
145,9",,¡;:9~~,definiál! i>8~8 :lO >Q, es blvnlcnte. ,La. gráfica es. simé.trioa respecto a] o;ó de absoíaas. 1.!Ilme", = f para e - i(2 •.La RnsolsD di51o! punt08 do
inflexíón de la grMica es l.+r2. . La asíntota ~~ IJ = O.
1~(j(). Estn Cfef~l}ídapOI lodos partas, excepto ;¡:= o. No tiene extremes,Los puntee do inflexión da la grál'ica son (-U2, e-2 + 1/2). Lag n_siñtota'e sonII:=OYZ+I/=i.
1461. Estó dofinld~ pot' todas partes, excepto ,. "'" nl,Z+ kit, donde. k.== 0\ ;t'h ±2" .1:> •••• El p~r¡~do e8 n, No·tiene extremos. 'L8 gráJillO no tieno pun-tos ce in'flexI6n. Las :a~Dt·OUls'son z=. n/2+ kn. '
1462. 'Es~á deñulda por todas partes. La grlÍfillll es simétrica respecto aleje ,de ordenadas, Los pUlltQ!>extremos lIaI,lsre.conla Ilcuncl6n ., "'" \g %. La asínteta es y-O., M..~8, ES_IIÍderjni~8 !l0r lodas lla;r\-!ls. Nq tione ~xl,rOm(\3. ~.~ S,rifles 110
tlcll~ :Jluntó9 de ¡nnexion. CuIIlld,O ;Il :,;;; O la hlncI6l).,e5 Idéntlcamento 19uAI R 10¡uncion )]ne8) 1/ = 1 - %. La ealntota es rr. + y ¿, 3. (O'"'1) es el, punto IllJgulsrde la grlÍJ1Go.con dos tangentes dllerentes.
i464 • .EstA definida por todas j>4i'tes. La srtUiea es simétrica respecto aleje de ófdoPDd8ll, Vm4x= 3 para., :" ~"".¡nft) = ~1~ para '" ;t 2.. La grálicB notI.epe ~unt.oB do inflexión. ni 88fritotá5'!-.8Ubbrte derecho. fepresoñta uua porte delo parabola U .,. %' - 4.7;+,8, 'sitilÍlda-ñ "lfl 'derecba dél, éjo:de ,ordenadas. (O, 3)~s e.lj'p,II{1W',nngultlt do lu g~áfjcl!. con, do~. tllngcl;I~~s glful:6ntes.
'1'65. % (1) e 11 (t) astári definida" pata tódas las t, e 'y (;21), para todas llls x,(-3, p}.1l!! el a.ulximo, (5, -1) l'S e1ll)lllilno, (t, 1) es 01 :punto do inflexión. Ne.li9no':asii't.tot~. 'Cuando z - co, el "ngulo de inclióe.ci6n de la ,línea hacia eleje de abseieall tiend'e a 45". ' .
1!66. ;r; (1)' e y <,> est-lÍn deIlnidas para' todlt;'la,fl t, o 71(:¡:), pMa todos 108%.
861Resp.u~tes al 'cC4p. ',IV
L!!$ a.síntotu son 1/ = ;r. Q 11= :il+ Bn¡ (.....!1 - 3n •.... 1+ 3n/21 es el. máx ímo ,(1 - 3;'.1 - Sn/2) es 01m!hUoO,¡.-Sn •.O) os el. punto de.infle~.¡6n. ;, 1467. :Il (t) e y (1) están de.Hn das para tódAs las 1, 01~p(O -! = -1. La
85lJltotQOS%+ 1/ + 1=O. (O, O},os 01 puntolmúlllple, los.ejos de c90rd4!nad8~sirven de toó~ntes en esté punto. No uonen puntos do in1lexión. En el primer®irdrelltb esta un Iaso corrado. . . ~ •••
. .1468. a: (t) II 1/ (.t) osllÍn 'do(inJdas para ,todas. laS t. Cuando :r < -il~:ta'(ull~jón 1J ( .. ) DO está ,datinida, cuando -11e < z < O esto~mÍ3ma !ullol6n e.$bivalento, collnd,o·%> O 08 untvo)eílta ..L~ 1lO1!8ees siO:II~trloa~"'i!5'p'ecto8.' la recta%+ '1 "" O. El ~mhilllo es (" i/.V Existou dos puntol! do inUplllSn. L08 ejes' decoordenedas baeen de asíntetas. " •. 1469: B1I1U)8 Ifnea cotTad.a.~im&tric, respecte al ojo de :c.b.,"CÍ54&, COn WIpunto-de retroceso (a, O). ,
1470. Es una rosa,cerrada da tras Jlétal(¡s.La función está deUnida en losIntervalos [O, '1/.81,'(21Sn,.1tr,. (4I3n, 5(311): 'Los extremos,c,gsten- cuando' q> =t= '11/6, (ji -= 5n!e y <p = 311/2:, 1It7L La {unción está definida en los intervalos (O, n,¡'Z), (In, 3,,/2). La'gráfica de la: función es simétrica r0.5peew al polo. L8lI recua % =a,y %= -4> SOD.las i!sÍntotas·. e J '
1472. La función está definida en los iutervalos (0, ',,/2), (Sn/4, Bn/2),[7n/"'¡ 2n)., La gráfica do IIt.función $SsimótriC{! respecto !Ü:polo. Las aa1ntot83son x - a ,y z:F ¿"4, EIJel.polo la Cl,!ll''(ateca la r90W q¡,,~_,3:rt/4. ¡ "
H7!i. Ji:Xl~te para.todos los'vlllorcs'~de (ji, Cuando (ji =0 el~4¡ruo 118,Iguala 24, cunado (ji == IT '01 mín'imo OSIgíJlIl 11O. LlllhíQ8, (,>~ cerrad'w y'simétricarespecto nI eje polar-. El polo es .el punto de retrocoao: .. ~ I. 1474. La "func;ión eltá definida en los iDtervalos (0, nl2+.arccos tlb),
(311/2.... DfCC03.ilb, :>.nJ. Bo. el pnnto~cp = O la Janei6n tiene ~I ~áxiQ)o 'iguAla a (1 + b)•. en los pu.n.Los W= 11/2+ Qrceos llb y q¡= 3,,/2 - erccos 1/btiene él mínl,ó<j igl1al .a 0, L;t grWca do III funcióh es slruét¡'!~$.~resjlocto· aloJel~olar. ' , , '1': '
U7S. Existe para <p > O. EtpUIlto do ,inUexiÓD es <'V2:t; 0.5). El eja pq1arel; la. 4Sfntot.'l. ba I{n'ea !ro áesl!l'tóllll alrededor del' polo en-'formo de espiral,acercándose a éste.de manera asintótica.. 1476. 'E.xl.,te pa,ra q> :> O, :pa gráfico es uno espiral que parte del polo y lit'acerca, di> JÍ1anero ,asintótica, s'la circunferencIa p,.,. L ' .
14'/7. Exislc l!Rro -1 ~ t ~ 1 aituads Íntegramente n' la ~1!reoho. dél ejede 'orcloundos. Líilell'oerrada. El mÁXiJno·,exisw.cuapdo,t ='0 (q¡.=; ,1 radián"p= t}. ND tiWlÉl'll)intos do ínflexién.. Gunnd'o f =¡'±\.toca el eje' de o,rdonodils.
H18. nosa de cuat·rop6ta1o!;; El origen de coordenada.8 es el'punto "u~o~lIn-gonciaJ doble,' ;'
• - 41112 ,.VZ1It79. Lu línea perteuece lntegrameDle o la banda - z- ~% ~ o-z--;.s.s siJ1).~~rl<;11tO!l1~.utoIII·o~l~~n.~,Ij,B:SÍntota os_O;7.. O/J9, 'O)eseJ.'pu·n~' <l,~l.pp.e7~t!~~::1~n~u~ ~~\1~O'do ~~S~IS4S~lrv4i'"do'.t~~.g~te ..~~J~l9n ~tro~"~.ós.~l\úJ.',~J.:~~~
" -. _'l'"' - ~ ": ~ ~ '. .. •• " v'~á80. E:s uña 1l1l'&1Islm:8t~iJ18:reap.eeto,8~!~.cuatro ejll!l-:'I:..= 9n~,'"-O,
V=':r, !( "" -%, CQ)'l'ada, que t!e,:,e'c\,stro j)1!D~~e .r;eltoce.so!,.S.'!l!'~0!1.(a, O),(O, ár. (-4; O) y 10¡~4). :E~~.ng'~'Jd~~eoo.r4~~~~e~ re.un·P\',o;p~!'.181!,d,o~.l. ':.,, ',Jti8f.. 'Ee'unliJ1n~!I¡81m'tnca rttaJl1lC~o~,l~,elea de c9,9rden'!-dasy ~b,ie~ct~l.'e~ dQ Jos ,lÍnglll¡¡'!.;~oor'i1ellllaos•.r::~J'á8IiH¡).~'8~'s~n:~':I:.it U),a~'i'.1 El' ~rl~9~ de
.(.. \ , ,. t '. I 1I. ! 1 t r~' \ 4 '. + ';.. ~ , ,
- ,. ~u esto ejoroiGlo;,al ¡~a1' CI!le'li.líIloli!lyJ! 8igu9~.lU~8 ahajo, 1~8,.~L,Ot3s;vienen dadas en el sistomll de coordeoad8B'óa,rt~l"nlls en.el,c,l!ll,l J!lJJlIllotarhacO'i1'HjÓ de a~,1 y, la, P9fP.eiitil_eltlQ~,lt...'t~i_a,!el'ejo p'!)lar ..•que PIll!\\1lot el;pulo, ,baca,de eje de (lTden~,las. . •
Respllestas Al cap. 1V
24-0116
coordenadas el! el'punto clIidruplo. En 61, las<raroes 'de la lfnoa tocan, 10ft elesdO eoordonades. 'Ca 1{nea' preSenta' ja 'forma de ·«mollno.. i
t485. Las demás ralcoe eon elmples, .1486. 0,1; ..;:;:,<.0,2. :1487. -Q,7 < -Z1 <-0;0 y 0,8 < z'¡ <:: 0,9.t4~8. Q,a2'.~~.~~~<Q',S3._,. . . ••. :,. " \.1~8!!.-8;4.1.'< tl < -S,.{O, (j';2~«.z • .;::/0,.28 y 2,8$<"'~.<2~89~'1490.0.,38 <,>:1.<::0,39 }"1;2.4 <."'t <·1,25. .> \1491. -0,20 < :t < -0,19. 1492.O;H4<: z <.0185. U9a •.i,63_<':z¡'~1.6'.1~94. 1',5117< r < i,598. 1495, 0,826 < '" < 0,827. 1~1l6.i;096"<: << ',097. . !~ •. ..".... '. . . . ,1497. 0.64 <", < 0,65. Para O <.a < f existe un aolo número real igual• . . ..: " , _- - - '• .l... ~!. I
a su propio logaritmo. sien~o menor .•quej.. P"'fl.l 1 < a < t: '. existen dos nümero! dIstintos Iguales a eus prápios'''rogaritmós: uño do ásto!lpertoliéee 'al íntervaío
t11, el' el ntro, pertenece a] iÍltórV(I]o (~, + ca). Para a ... tO ~I único DÍlmero.gua o,eu logaritmo es el número" (es la raíz doble do lo eCllac~~~ )oga: = :1:).
Para tO< a < CQ no exísteu núm.eros reales' quo sean Iguales a sus propios logaritmos.
1498. t"' -e-e 4)·+ i' (z - 4)1'+37 (z~ 4)' + 21 (z - 4) - 56.1499. % + 1)4- 5 (:z: + i) -;I¡ 8. .1500. '" -1)1· + ro (% - 1) + 45 ('"- t)a+ 120(z _ {)'++ 2iO (:z: - 1)· + 249 (z - 1)·+ 195 (z -1)' + 90 (: - i)"+ t5 (r- 1)'
- 5 (:z: - t) -1. ,1501. X" - 9",. + SOz' - 45.z1+ SOr - 9., + t.15Q2.f (~f) -= 1.43; t' (O)= -60; r(l) = 26,1003.-i-{z+1)-(z+I)2_ ... -(z+t)I\+(-I)""I l-t~t(;.7~)I'lw
dondeO.<8<L~ ~ ~. ~ ~ .
1504. "'+ 1 + .2l + ... + (n-1)!+ (~-rt)l (9z+II+1)e " [donde0<8< 1.
1505.
¡¡61l'Resp,uestas at.C8Jr. I.V
1538.
Compurandocop 1>, expresión en el texto obtenemos:r 112 ¡,'
,. 21 Ir (a+OI¡)-f (otlJ=e¡- l" (a+611'),es' deciJ' ,-. 'r (a+eh)~r (,,) Or (a+Oh)-t' (a) .L r (+6 h)
j h =- 611 =,S' Q l'
Sólo queda pasar al límite '[Jaral...... O.15t4. La funcl6n decrecó, (O,al es el punto do inUexi6nde 1!1grtUlco.1515. La fun~16n tJ4!II0 el mÚ)imo igual a 1-1516. La funeíén uene 01minimo igual C!, 2-J517. La función liene 01máximo il!.u~la -H.Uila. LtI función crece. (0, Qles el punto de Inflexi6n de la gráfl,ca.1519. La Iuncíén creee, (O,4) 'es el punto de inflexión de la gráfica. •1520. f (.,) = 1 - 6 (:e _ il+ (:e _' ~)t+ . , .; '(t"03)'~ 0,82-
.. "j~2L ,-(:e) = 321 + 1087(:e _ 2)-+ 1648'(:0. - 2)' + ' ,.; t (2,02) ::::::% 3/13,4;f (1.Il7)~ 289,9.
1622. I.(:C~=1 + 60 (,. - t) + 2570 (" - i)·+ ; f (1¡005)% 1,a64.,1!i23.1. (o: = -6.+..21 (:e - 2)+ 50 (% - 2)' + ; f (2,1)% -3,4;
1(2,1) ="-3,6399; 6 .20,086; 6' z 0.011= 1.1~6.1524.1,65.1525. 0.78, 11< O,OL1526. 0,342020. 1527. 0,085. 1528. 0,40, " <·O,Ot.
Vi ti b -JG.1529, -r' 1530. b2; ~. ~5..'1t.36. 1M2. 0,128. 1533. 4 .
5S O 1C~. t~Q4 8V,2 1537 61""1 4. . ...,.,. 1. .,,,.,. 34" !! .(t+9o:C)2
~M 1• • 1::.89.,Icoa...[, J04O. ~r:-i7.:'T ••, -' . 8 r a 1%1) , .
(1i4:r;24'a'U2)Z . - ,••• 1, . _ I(m- i) (~b~m (%U)~2,;. _ 1 1.
t5U" _ 3 • 1,,62;.-- ...-. 1M3. 6'(bam~2+42mv:"",zi2 tioh"4'
2 "2. S i1544. 3,q;~ 2~ll • 154b, ñ4' t546. ~. • 1547. -aal~n +,1, V1-tJn~.".
3(,,3H. b2)2.. '2ab'l.t'1
Respuestas RJ oap. IV370
24·
11
3) J s9u",tir;O
3 ~
t!l92. t) j (%~+1)1Ü,; 2) J (e~+2)d~;o a2 1:
4) }IS-Zi3)d%; 5) ) (Y:-i2)Ík¡ S)-2 D
j,593. •2))- ~ (y 20+ *; "'CI¿; a~ ;,. •
Al capítulo V
S7í
"-1 T1609.'Q,,= .z q,,) (t'+l-t,). lo-O. I,,=T; Q= ) 1 (1)Ijl.
~o on-I
1610. a) Án-= ~ tp(G,)op(g,) (t,+.-I¡), ·la=To• L,,=T,;1"0TI
b) ...-llp (1) 1» (t) at.
lBit. 1500 culombios, 16~. I'::j 87600 julios. 1613. 2880 [ulíos.,,-1 b
1614. a) Pn= ~ at¡(<%I+I-Z¡), %0=0, "-1>=b; b) P= ) cuch.1",0 o
4bz161/i. 8} 7=-18, 7~ kgf; b) 10 I'8llta debe ser ~rl\Ud8 de tal modo que
potro ella y la 5upedlcili módie la al~L8noill igual a , ~ .. ,:,>!7, 7 cm,• ,1 • • v 2
blo•l_ ah1 74'1616. e- t. 1617. k+ f • 1618. 1) 50; 2) 4a; S) T:
) 7 (: a ) ) 4 ., ~ ..... . (a_b)3 1134 '8 ab2;.5) a, 11 - 2+~ ; 6 T m; .7)' 3!Pi 8).'-6-; 9) 8';fO) a('¡"Z-3abf,3b~). 11») 4' 12) 0'6 .1_, IS) O
:1{II-b)l' • • 15' ,. 1 . . ,. . . .
1619-. "+1 i ~t ,67 .1_Qu. Escribir 111 QXp,resi6n cuyo límite es buscado enrorma. di! lá 1l'1!!lma suma intégral de cio~ fu.nci6n.y tl;¡fe.P,}. 1621. ~\2; i~~2i' in ~¡ !o ~ '7 i,1. V~aD!9 IO~ejercicios 1620
" f{Inb):I-(ln a}Z'1623-. i) aed-e"+1¡ 2~ a lo ~-a+.t;3} 2.. •La .expres!'6n g + 2i 4-- ... + 1Iq" sé halla medíante la derl"aniólI
,dJ.;la suma de los términos de la progreéión geomélric8.
,,-11608. a) 0..== ~ '4> (M("+1-lt), lo=To• tn=Tt;
P.o
nb) m= \ l)(t)41.
T.Ti
b) 0= J ",(1) dI.T.
,,-1t607. arm,,= ~ u(t,)(t'+I-t,), 'o:sTo, t,,=T\:
1491594. 0.""-000 I'::j 0.U8¡ s ~ 0,039 ..
15~~. 'SI,5.1696. iOli. 1597. .j.ah._40 cml\. t598. 10i.
1599. 8. 1600. 21 t. 1601. 2~ . 1602. '140 cm. 1603. ,.. 122,6 m.
'6M. 20 f 9JII. 16051 625 julios. 1006. 4 cm.
Respuestas 81 cap. V372
el 2:c
SlImB do lAS iDt.egTales J. I~ r 4+ Ill);¿~ cf~, donde G>O.
'" "
5 lIeu2r •166l. -1, --¡-. 1662. -",- , 1663. 1) %; 2) -ú Ine.b
1664", 2I.Qa2z-1~z. Prosontar la iDu~a] J 1n.2",rk en forma file J.
'"
16~O .=..!..{~ _'+-ll.t:+R>./) d d =E,-Bl 1I.=8,/.-E.11"".... R 2'-"" .,. , 00 e a. t,-tl' l' ,12 t, •
16M. Q-cot+~ ,¡_t + ~ t'. 1655. dS='10,AS''''.10,100038... ,t656. ss -l.1657. tu: ÓS ss « 6
i 02,25 64 '28.2& Q;4420,1 6,644 6,4 0,244 0,03820,01 0,6424 0,64 O.OO~ 0,00376
1658. }. 1659. O; J!f.; 1. 1660. ! J J(1J) dz_ -1(r).
%,_",53) '"""2()'
,={-ts. 11)52.A,-dOO.+'25.r2 julios, e es' la diato.ncia tool)rrld. en16~t.metros.
1649. Vmed=-t <",f+.r1%2+ ,d). Sl .:IÍsz,;;;,O, en' un solo punto¡[si %1<0
y "'1>0, en des puntos aiendo \'éIidl\s [las dealgualdados- ;"'~'%S~-2z¡,en caso contrario. en un solo punto.
na 21M'. 124,S. .1~. -4-' 1640.1). (1647.Th_1 m.
1648. ti A. 164.\), ~ t558 V. 1650. 1) ~ ; 2) .,B;4\
2n 1< ,.f' 2 r i, ,64 J , "81624. J Isenz IdZ=r J sen z dz, 1625. "2' 1626. 3" 1627. 5"o o
1630. S<1<9,8. 1631. S< ¡di, 1632.JJ < 1;< 2ft. t6_~!~.~r;::.r<t.'. re ' 2", .•, dZ_1 .,;'.-..1'684.'9<1<3" t685._ ~"_I,<r<,"t2.
1636. 1) L,a.pti_m~Í'!I; 2Haisegundá.. '.1637. i} .c.a'prlm'erO¡ '2)111\segunda; 3) fa pnmera¡ 4) la segunda.1640. 0,85'<1 <0,90.' ,164L. 'a) í <'1 < y2'z 1,1<.14; .
1+'\12 ../1'b) 1<1<~;;,s 1,2({T;"c) ,1,<.I"<'r-. T~1,095.
k(zt+"")+b Z1+"'1I16&2. Vmed= 2 ¡ --2-
373llespuostas Iil:cap, V- ,
Al capítulo VI
DDt' CQ3~ d!l dI!t""".y =---,v-' 4\lfi6.1) u.=ctgl; 2) -;¡;-=-tIl. 1661.-2.1668. Para: = O es igual al mínimo. 1 (O)= O. 1669. t.¡1670. !1mb;== 5/6 para ;ti = t, Vl1lln= 2/3 para :r - 2. ElIpunto de inlle-
slóll de la.'gláfiéa: es igual a (8/2, 8/4.).' ,.'3 15 5 1 -t872.1)'4; 2)- 52; 8) 52; 4)46'; 5)45'6; 6)~ 0,08: 7}2-1(2;
2 (1 {) sr-s' 4. ,/:1 ..¡:¡I 8). 6S; 9) ª Fa-Vb :. {O)-r-s (V ',- l' 'ól+~t-fo.
1673. i) 2; 2)0,3) " - t: 4) 1; 5)n/4; 6) n/6. 1674.O. 1675. i - .vf: -1.
Réspuestas al esp. VI374
J: •1758. ercsea 3'+C,
'I7ti9. {-areson 5~+C.1'150.iarótg 3~+C. 176t. 6reeent-+e.-
1762. ,irarctg ](2 ...+C 17'''' .!.. • ...;;,.,~L.~ _L""3 v 2 3 .' \>O'. 3 ~~"""":fTl""!
17M. f-~rctg :2+C., 1765.iu_o¡:: -pe.• 666. ~l'Ctg -~ +C.
1 i' ~ - Ilrc!ll)p2" In67. T8reeen.zC+C.-t768"'Z aretg.,-'t+C, \1769:~+C. I
t71.:2.1-V(:r:2+1)3+C.1713. e·-f :V,(i~i~)1.
5 V--1714.T8 (.:03+ 2)'-+ C••
171S.~+c. 1716• .} lM-tJ:G+Ci.i717;{V(Z'+f)!+C v
t .1118.l!~:"..S%+6+C. 17,,9. -¡son'~+C. ~720.,IICc~tP.
~r:r=-= .. 2 . 2,r--'112,t.. 81' """i!'+<:¡' !722. C-:;Srco~~vr. 17~a•. a"V (ln%}3,+C.
(arotg)8 1 Jo. , r--j724.,-. -3-+C. J725. F. 2(arcs&n"'p: 172~··~\v'+tlt_"'+C.1727. sen 3%+ C. 1128. tg (1+ In z) + e,
i 'f ,11729. asen3z+C. 17301:r:C08ct-'280n2z+C. 1731, C-ZCOS (2",-3).
• 1 i ) ff) 1 I1132.C-'2 sen(l-2z). t733. '2 la \ 2%-T +C,ó '2.(tg4.r~sec 4.,)+C.e
1734. C - coa (ex). 1735.In (1+ z') + C. 1736.1n 1aresen % I+ C.. j 1:
--i7a7. 1ri (r - 3%+ 8) + C. 738. ''iln 12., - 111- C.
1739. .!.ln I c% + mIl + c.1 ' t
1740. '210 (..1+1)+ C'. 1741.s':lnl.r+ 11+ C. J742. In (~~+ 1)+ C11743. 2' In (.'" + ,,1) + C. HU. C - In I cos 3l l. 1745. lo I sen s I+ C.
t • 1 "-1746, C -3 In 1oos3" l. 1147'zlnl sen (2,,+ 1) 1+ C.114.8. C - lo (1+ cos' ...). 1749. lo I In" 1 + C.
lnmHz1750. ",,+1 +0, si m,p -::-11/JJllln%I+~, si n~_-1-
'bS" -_"1151.elcn,,+C. 1752. ~••D"+C. 1753. 31D4 +C. 17M.C-1:4,,l--''' i.,55. C--3-. t7SO.O,s?d"'+C.t757. C-"3.-x'.
3iS:Respuestas al cap: VI
1 Ib~;r.11794.-b-1n -- +C.-4 a-:r,
1 1%-51'1796.3m :;='2 +6,
J 1'2%'-311193. "51n ",+1 +C.
1795. z+lnl~+1I.+c.
1797_ i-lul=+~I+c. 1798. t~ ln'I~:+';I+c_1 IV2+z1f~ l' . t %-11199. «rs: 111 1,12 V +C. 1800. Torctg-2-+C.
2v'S 2-r, ,31. ",+1. . 2 J-2.x
.801. V_nrc~ ~r-+C. t802~-3,.arctJ¡-g-, ,:!-e.Z , "v·2, , l.""
~~oi.~arciígU+2>t+o. 1804.g{-aresen(~+3)+C,.+ ~ • ¡
t8O&h-¡¡~ (z_.:?,).,t, c-" ,.~806!,'t ort:~ ~,;"~ *,C. ', '1 az,f:t ,z !!8l12z -,,1801. g8.TC«IIl , J;li",t,C" ,1~~2&7T+O.
V", '.. I'¡t ." (sen.'2,z '.' '. _ '::1 . 8 tez 2!..) ,t,~~. ¡-±-"41' ;f.c.., .'810."C~,c¡~g"2:',·,U1, .lg,~'2."" 4' ,+.C~
'I!l',~.¡~Jg~if.z+.&.:tl.m".2'11f)(~,+-~-~.():;:':¡"'.i::;1-e:
1770• .!. a.rctg ~+c_ 177t. e"+'-"+C,a . a
1772.{~>;+t.i2:C+3e"'+"+C.1773. arcaen:t-Vr=;2+C.3 i z ,¡--
1714. 2ln (z2+9~-3lítetg3+0. 1775. arcsenx+v I-~+C.
1716. -}nrctgz?·-i'ln(~+1)+C. 1777. arésen:+V1~x2 +C,
i77!!. ; [~-lf(z\l~1)31-.,+c. 1779.C_21!i-Z2=-}v {1It'csl!n~)3
t780. C-i IV .1-9i~'+(arccQS&:)~1- 1781. .,-4Iu 1.,+41+0.
1782.+[.,-iln.I2.x+1IJ+c. 1783.~ [~-i:lnlb.,+aIJ+c.1784. C - :!' - 6 In I 3 - z l. 1785. 20:+ .3 In I ,z - 2 I+ C.
t786_ 4- .,+{-In I 2", - 1 1 + C. ¡787. '" + In (:r.' + 4) + C.. i 1 i
1788. z-2arctgz+C. 1789. ~-4:z4~ 3~-2:tCz-:r-l111 1-"'1.1
1790. t -z.+~rctg.,+C. 1791.In1,,;11+0; .~792. 1.In L.~II+c-
BespueSLas al cap.-VI
z i1~. "ln.{zZ+t)-2z+2arotg%+C. J847..C '121(1+1%2)+'2arotg.%.
184,8:zZV'i+z2-i V(2+zZ)S':¡"C,
1849.(a3+t) ~ (2+%) r~t+~ _ '~-'+9. 18SÓ.a..,-.-~.(2+'2z+.zZ).
181¡. ttg3z+.C.':·1¡8t5. 1n(2+sen~l+C¡
1 (COS4z ). .i,. ' .•, t - . .i;18l6. C--4' ---¡z-+COS,2.r , 18f71,jiii'8IlJl5z+2BeD~-fC.
1818. {rsen az'- '1~ sen"zY-C~-'1819~ !(~+SIlIl2z+ ~ seó.4z+! smBz')+C.
1820. mi tg ( ~+f) I+c. 182t. ,11(i+~z)+C:
lsn. ~2 z -llllcos~l+c. "823, ,1---"3 ~s·...4'0.J - sen", I sen: z
. ~r- (coS%o. )' "1' '1824.2 V cosct --g--1 +C._ 1825.tgz+1rtg3 ",+C.• 98n8% i"
1826. /lOa %--3-+0. 1827.T Ig3%-lg:+3:+C.
2 1 '1828. C-eos %+3 cos1z-S cos5z.
1829.!%-! seh 2.,+ ~ sen4z+C.
1 2 i1830. Tlg3%+lnlcoul+C. 1831. C-ctgz-TctgS"'-sctI:l5z.
1 11832. -¡ sen~-'2zoos2z+r.. 1833. zsen.z+o()s.t>+C.8"1834. ¡C-r-oe{z+l)_ 1885. jjii3(zln3-i)+C.
1.z1'+i ( i) "'z+1 %1836... +1 lnz-n+i +C. 1837. -rarctgz-í'+C,
1838.. urccou-V 1-z'+C1 183&.zarctgVz-Vz+acrtg VZ+C•1840. 2V%+1arcBeDz+4Vt=i+c.
%21841. % tgz-T+1n Icose I+C.
"z t j. . 1 ( ...1'7\t842. Try",SOD2z+SCOS2z+C. 1843. C-2Zílg !t v e¡
1844. V1+rarctgz-In (z+V1+~)+C-I1845. 2 (~,::V'z-1 aresen Vz)+C.
377fle'spuesws- 81' Gap,VI
y luego ~ 1f~_",ai1z trallSformAr 11 la [onDa.( Poner 'du== ~ r~ ik , •.\ V 1-",:"
J V-;-=z:Z'ik.)1866*.; iVai+z:Z4--~ In (:z:+-vaa+:z:z)+c. (Poner u=VaZ,+i;Z).
1867. :+~e:>!+O. ~86S. { [~z:Z-'i)aen,t-(z-1)2eoU] "':,,+C.1869.2«'¡( :z¡+l..,¡.JnÚ+V.:t+1)]+C.1870. iyi='i (iíz3+6z2+8%+16)+C.a5 ,
11 4 • 'l,l(~-f¡"187L C-~)Z-;::=2' 1812. In ~r~ - .+C._".__' ",~, '+ v ~+\+!
,~r--::. ,r- , • /4:-2181,3.2 v z-¡;+v 2 ~~If;V,'-2 ,&c.187'. 2IVi'-ln '(1+ V:Z>l+·c .. -t1875.,'2aretg;1fz+C,
.~ji76¡;.~~(1{.¡'-iuc;ttV:i),+p." La-" i
'i877. i{%+'i)'C¡¡;(:+1)i +31nÜ+.;t z--l-,i(t~C.
18Si. <"(:.-3-3x2+6.z-6)+C. 1Bli2. a,,(¡f¡¡-I::a +~~ )+c.1853. C.-.,scosi+8:r;2sim.z+.6zoo3,z-6~nz¡. i 1 l tlB:;;4. 6 ~s+4':t2sell2.%+T,"C082z-Tsen~%+C.
i1855.:z:(lo2",-~In.,+;¿)+G\ 1856.C-7 (ln3;1:t3·lniz+6Inz+6).
1857. C-28V'i3(flO~~+3In"'+2).1858. %(ate~0:¡;)Z+2aresenz'V2-z2-2%+C.
(x2+t ,11859.T (e,rctgz}2-:z:o.rctg z+ T lo (,1+.;:2)+C.
~"(50n.t-'009 ~) ea"1860, 2. +C. 1861'13{sen 2~-5 tOSZZ.)+C.'.~ z -,1862. z---+ 2; (llsenit.l:+I.!()osnz)+C, 1863. -2 (fjenln.:z:-·cosln.r)+C.
a " ",1864. i (coalu+aeoln:t)+C. ¡IlOO·. C- ~ V 1-.z:¿+,~ e,rcsen z.
Respuestas al cap. VI278
:i:arC891U f !O(l-"i)-t',c.Vl-%~ +2uretg %- ~ (atetgz~)- .~(árGtg':J'+C:J9()8.
t902'l. Ili:ce<)~~- yz't-l +o. (Se puedol'6lllizal 1$~u:s'itllolóll "' ... .!. )J %1 ~ . &
1903·. 2 ai.'j),'l~.!)vi+c. (Se jiuede reali~ la I5)JstitlUlí~ ~=IMl!I~~.)
lOO..."'.. In r i~:" I+ e- <M,ulti,plicu el numerador y 01 ~enoJliiDa<lor pIIY
4". Y pODet.· Z!I"=s.) 190.5. 2e f'X(y;;;_t)+C.," ... ~" .J906. a l(2-V.r~)cosY'i+2r; senV;I+e.
t~ . .!. (Se"'_4) V(e"'+1)' *C, 1884. fu '¡.I:~-t '-fe.21 .' ._~ - - " 'Vl-F_O:+~"1885.2Vr.:¡r¡:¡¡-;--lnflhzl+2ln Iyt+mz-t 1:I-c.1886. O.41:f.(1+cosa z)' (a-a ~ z)+6;'(;'1887'..{ Í11lit i+'C ..
2 -- )224' á' ~·1888.C-9VaS-~(24S+~). 1889. -r+jii::'-H1nlz~-41+C.lf",1I+(!2~ a'J;.,..>:. Ii: .;-. -.-
1890. C-~. t89t. Tarc8411lii"-::2,¡v a2_",1I+C.. .1893.C-~.
t879.z+ 6\? -Ir 3t?+'2Vi+3 VZ+S-'Y;T6"'in:f~.-tl+c.'laso. }~1tqj-ab,¡.1;r;-1I.+-.có '
.881. 2yt;-4V%+41n (i+V;)+a.t~. t-W~'+2_l-Yz5+'2lnll~'-í,Il*,C.
19Q9.In ("',1 : uctgz--2i (8rct.g",)~+O.. V1+:r.Z-
t910. ~ 11(",2+2zJ~+C. 11911.}(l+.3X)~+C. 1912.2.h+C.8
1913•• -0080:+,C. i9". 0-1 (._~'<)2., 1.915. ~ sen ..2+C .
• 85 a'5. t1916,C-2r(2-3,,¡:). ,t9t? C-31n 11+3;:3-,2:'1.
32 -1918. -¡¡-In(1+",2)+C. 1919.C-Jn!3+.-,,).~
1920.C-SIc:;enr". 192,k2 Vl+~~+31n (x+V'i+"i)+C.f .. '.
1922. 912lf~-3InI3%+ v!l;;:z-411+c."r- . ID,,'" it\)23. 2 sonv r+C. 1924.arcsenva +c. 1925. C-2"1nI'1-1n2;r [,
1926.~ +ln(z+Vx2+i)+C."Z+l
(arctg z).n.'t927. ,.+1 +0. si n ';:-1. y lnlarot.g:rl. si 1>=-1.
!1928. C-2 ctg2ql, 1929.2,,-tg ...+C. 1930.'5 tgs%+C.
19S1.!Vtg4:t' (51g1",+9)+C, ,1932: ~ (t.g3.t+lncos23'zHC.
;tS",Z 1 11933.3-2+% -In 1,1':+ 1 I+C. 1984.C-z":1-[2(x':'_:l)"
1935.y~(.,~i) +C. 1936.",Vi+2z- :~V(t+2i)3+C.
• :&.. .r--" r~llli!'(.:Ts"J;Jz<!::,2g}~v,(4+g:)J-I;Y·
Respuestas al cap, VIaSQ
'" lO
t967. 21n (.,2+ e-Z)+C. 1968.e''''+C. 1969.! .2.<2+C.1970. ~[31n(:t+'Vl+%2)++{.:z:1-2)~J+C.
1971. :r-Yr=ziarc8Oo.:z:+C. Ui72. 'C-.~ (80:&.., +atg .. ) .
197a. '; (1. 2sen2ztC:OS2%)+c. 1974:+<t¡.:z:+loltgzll+C.
1945. C.:":Vª:._ 2,z-~1:""4 arcseo ~;.t946. : [11l(~2'U4~!j..'17)~+aret~.,~;:-f.J+ft1)47. 3V.:z:Z+2z+2 '4 l'n(.:z:+1+V'll;+2>:+2}=\-.t.
(%-4)2 . •1948. lo 17=311::C.1949. ; y~9.:z:1+';.6.:z:.=l-}+iibi>:(a.,+i+V9%:"¡¡~+Z)+:C.'
TrI1950. C-lnl~~,---a.,+jl .
.. '29 .' , !k.:f-S a195i. 45 aretg-g--m lo (5%2+&+ (8)-1-C.
61 - ' 5 '1952. 16In !&+9+41(4;¡;i!+9:c+1 1-4 'V¡;~+9%+I+C.
t H I 11 .r: ti 2/1955. 1f 1f3%2-H:r+:!+OValo "'-6+ v :",13",+'3 +C.
1954. ~ 1f2z1+3:r- 4~2In (z+t+Y",1+ S; )+C.195!!. 1f(a-z)(.:z:-bl-(a-/¡)nrctgViL~ +C.
1 i It9S6. ",a¡'ctgz-T10 O+:r:2l+C. 1957.aSGo 2:r-T~ef)82.:z:+C,
i9Sa. :3 l((o)2"Z-2)seo ID:t+26l'%cOSCMJ+C.
( 1 3 '3 3)1959. «2$ 2' :rS'-T :r:2+T"'-T +C.1960. tgz.lníoos",)+tgz-.:z:+C. 1961. lnIlDBcn.:z:I+C.
1962.+[lo (t+"')+ 1~z4J+C-
1968. ir (lO Itg}f 1+&08 3%)+C. 1964. -+ tg ( i+ ~z ) +C.19S" e -_!_ lo 2+cos 2z 1966. In ""e+'"1+C.... 8 2-0052",' ""
'RlIspuostu,aJ:eap.~ VI
1991• ..,+4¡/,.+t+41~,.(1Ir:¡::;-I)+C. 11192. 28telgVl+z+C.
1993. ln (V;~l}a+C. 1994, 1/,.2+2%+10 1.l:+I+V ,.2+2:I+c.,.6
19115",8 (1_za)4+O" (Es conveniente la BlJ8L1tuclón Z=8II1l u.)
3
2 • /Q; (1+,.6>21996. ~a.rctg V b'+C. t997. O 120%12
1998. ~ '+C. 1999.~ ,,2 Yzl+4-Ln (,.%+V,.'+4)+O'.2Vt-zI ..
2000. In IV~-.~1+0. 2001. c-1. . f'1=%3-.!.·arcsell,g.111:,+1 " .. 3 V -;3 3' ,. r"'-.r 3r Sarctg ..
~2. C-'(I+':c;)2-'8(tT:r~)*~'
2003. (":¡+I)~~ctg:r 2 yi+c. 2004., aeceen e~-·V1-.2>l+C.V"z. 1: ... - I ''¡
~OQS•. 211~)~~-:;l~t~l(.t?'-t+c..•,200\)\ C:;-{ 1,!l2 (1.+.¿}(
'.1 \ . i {1!U8t1t~fen~o:":"t:f-~.;; 1,': ,j,2007r< 8n:tgz+::;--3~+C ..
~ 1",a.r~CO:'.~'"7J(.;-aretgY;~=t-c.
1990.
1988.
1985. I,~ ..-a ,r-- ,r-- 11"5 V (zZ-aZ}6-T V (:rZ_a3)8+,..V ",2_11%+115 &reMDjZf+C,
1I¡:¡:;i(rt-2) +0 1987 V~+C24%5 " • 24zS •
~ (zZ-6).l..C 1989 ¡/T-3 (2.0:2+3)+C120%5 •••• 21:3 '
: W~-ln (V%i+1)I+C.
1986.
1975. bq8llu+coszl+C. 197G.! lo Itg (i +- ~) I+C.1971.IlCOz-lgz+z+C. 1978.ae!lz-arer.ge&nz+C.
1979.V2Inltgii+C. i980.mz·ll1lJ1z-lo..,+C.
:t' ( 2 11981. ~ ~ -t) +C. 1982.IC-2~-""(z'+2zt+2).
t ..rn-:;:;: z (z2-3) S1983. '6(",%-1) v t72%2+C. 11184..O' 2V;_z~-2arcaenz.
Respuestas al cap. VI
2012. ln2.±.!J..+C•':¡(,,2z-hiÍ' '
2013. ~ In [(:-2)11(2%'+1]+C. 2014. 'lDl(~~~!~'·(~~·'J6I+c.3 2 J -
2015. ti ln13:+11+'3310 12z-31-311l1 %I+C.:r;3 z~ 'I.t:HZ-2)5'1· ,,'.'201G. 3+2+4%+10 (%'+2)~ +c;,
2Ot7.{z+InI "'1- :slnI2",-tl-196JI\'I:2r+ti+C.2018. 1012%-11-611:112>:-3 1+51n 1'2%-5++0.2019.~+C.
2020.2 ~310 I:~01+~ln I~ !+e.2021. ~z+]DI.r(r-2)·~(~-;Ii(.:r:+t)31+c.
2022. lo 1.:r:~t!-'¡-z¡t+C'92023. 410 Ir 1-31n1%-il-;=¡+ C.
2010. ~ Vtgr;(5tjlt.o:+1'l)+.C.
201t. ~(tg2Z+5) llij%+C.
383
l!:ospuestas al cap: VI384
Resllnoslas al cap.l:v.J
Respuestas alcap. VI386
2tt!$. COS3i(cos:-seD,:t) -~Il)lcos.,-sen:eI+C.
(1 a 2. 1I2114. :!5'%- :l5 In I \.gz+2.I+ :)(tg%+2) -rslo Ieos s l+oc·
2H2.
2HI.
2109.
21U7.
2106.
2103.
2102. c- 2e:n~;z;+ ; In Itifl.~ln 11+tgz 1+';' 8911",cosz+C.4 I-tg% ~
C-1+\gz' 210.';. ~11l1~8(~+~)1+c.1 I %+lIfctgi-1
y,;q:¡i In tg 2 +c.lo C.sen:z:l. 2108. In IC·sen",1 .I Veoaz", Vi-Hanz z
~ [,,+lnlsenz+coull+C. 2UO.~ nrctg.(2tg'~ )+c.2 StgfH'3 arotg 3 +C.
tn:(2+cosr)+ :aarctg (~31g.; )=tc.
210'.
. [Vis av.;ro 3 tr» r."'iJ .20811. tf -ia--' ¡O~· +T..I.. t +c, doode{uFt+lY%.
2090. ~.CosS;!>(3Cll9Za:-5)+C. 201ft. '~~!s'l1I:- C:S;%+C., l' 1 32092. In I tgzl- 2eiin!;E+C. 209¡}.. tg :;+T,sen2~-"2"'+C.
2094. !(fgZ!z-cLgz.:t)+2ln Itg.>:I+C.
2095. (\~Z-I¡'(trt~-:1()'tg2Z+i) +C. 2096. :OS!.-14C.t ~ j :t.
2097. zctg'2-T ctg3"2 + c.Ó S i ( S 15) .298. i6"'+i2senZz cos·lt'+l'co~z+8 +C.
·1 i 12099. ~-'3etg3",+ctgz+C. 2too. Titg4z-Z 181 r-In IC03 rl+C.
i t 12101. "'-Te'" %+-¡¡- ctg$",'isctg3z+ctgz+C.
387RespueSt.8s·.iI)Icap. VI .
coo20:-1:\ + 4 4se1l.2x+1 e2115. t514+Siln2,,} i5yi5 arcsen ~+s~u~ + .
1 12116.---¡-+C. 2,L17. 3arc~g(¡Hg",)+(;.2-tg 2'
2Hg .. J] llreq¡ (¡(ir 19:c}+C.
1. j -crt: 1 l¡1t.g:c2119. ~tIP:+ ,r- a.rctgw 2tgx)+C. 2120 Obarctg~C.w \.:2~v2
, 1 [ 1 ( 19a: )]2121. (;-1" ctg.r+ V¡¡ Ill'c~g V''2 .
21"" 1 Wtg-;::TI Y! "1' 2tg%+t +C~". n ur 3 M_g ,r- .ji f.gZ",+I!p:+1 v a
2i23.2 (seu f-CQR 3) +c para los '\'filorcs (1(" '" QUO sntisfai)~1I III
d~9igullldodSoU 7+C05 T;;' (),'Y -2 (.en f-cos ~ ) +c J]ara109 valorCII
de .,. que lll1ltsfacou In dcsi$uahlad SC,ii+cos ~..;; (L
212,.. 2~-t-C,!2125~. c- l«í yctg~r. (POJler !!=,;;",..,,).iJ
21;?6. 4.r1g", +C. 212;. J:r luCVZtg;6+¡(1.+2Igz:r.l+C.
2128. Z¡¡rCsCII'V séni+C. :Wi9. c-.1. tg:t'(2+ IgZ ¡¡:) '¡(4-ctgZ,x ..,t. ~ 'I+VC"S~
2Ul(). Vi. +:lArGlg cos ;"-In ~- +C.$ ~'~
COS '2 1- cos¡r
2iSI. .;_ ,¡IÍI (,wo:ll+cosa;-'V sen 2rl+al'csén (SCIl ;:-cosx)'J+C.~V._.:¿- ,- c; -" , ' ,
·2132.• sh ir¡+ C•.2·l1la. 'eh x + C. 2134. th x + C. 2135. :¡: + C.
"HlG ....Lsl ~ .J-(J 21.'l1. l!hz..cli';~~+G~. ~. ~~a L Ga.'t', . •• ~ • ¡
, ,• .' i .·2H¡S. .:t~tl\x+C. 2139. "I--:.ctb'",+';'. 214.0.'3Ch3.x-ch:t+C.
21tH. sb;Z;'+~Sti3",+C. 2~42. a;-t.lix-§ tba",+C.
. i. i 1'> -, t ~ -l ;,::lI'.3. )f.sM :r+5"511'"'+C. 21M. ln ]slt"'I~2ctn~.1t-'t.ctb4",,+C.
2145. htl th:r 1~f.·C:~U.6. In [\11.1- [+i" 21'/.7. ftli -w-f~h3-t4C.
'Respuestas -al.cap. VI\'188
2148.'{In ;i:,+t~11tTG-" 'a-rdt ·...¡tl;,~+a. 2. 1 'I.-'I/tl)'z-I ' "; g \~. I
2f49. '" Lbz-In ehz+,C. 2150.C'- ~~I': •,1·5! :t
2151*. In. J,c/~! ' '. (se: ,puede apllcar la snsntuctón, 'por, 2+-,,+~n x2+$.,J.,~ • ,. 1 1,)9)Smp0. :;=-.z' .'
2152, +arccos 2 :;:: +G. 2153; arcson :t_:::+C~-,,' tv~ " z¡i2
21l14. C-~ ]Jl!VH;¡;-:rZ'+l{2 +~I.'V2 '" 2V.2 '
«rszrrts: 4 +' I~':..2t:i5. ]" 1:r+'I+ V 2.>;+i2 I vr+V2,;;-+",Z21¡i6, C_~ln¡3+az+21f3{';e2+:¡;+I)I.Va 11!-1
2157. •e__ 1_ In I z+6+y·.".6(".J:z-----,,15:-;".....~ 1,y15 ~:r; a, ,21¡¡8. f(x-1) V'·;¡;?-t.'I'-I-ln 1z- J +V''''x2''''_-:-:-~x--'''''"'t1+C.2159.1- (:'C-i) ySzz 3x+i +aValn IVa$Z i!x+l +
+~ {:!.v-I)I+c.
216n. ~ [(:r:+2)Vt.-~x-"'2+¡;nrcSl<n ~~J+e.3 s2161. é-., .' , -..-:-lnl'2,,-I-i{.2x-1-2Vx2-x+1) 2
-'Z'V""",2:-_-%-+~11+2 In 1 '" - lfx~- x +tl.
2162. In Iz+lf",;q:ll V~ +é.2.163. 1-V:~~U+2 +ln (.z+·J +lfZ,2+2>:+2)+C.
21M. t (3-x\1(1-2z-;.2 +Z'sl'cson W+c.2165. :CV z2!-2x.+li-510,(x-l+l{z2_2z+5}-1-C.
2Hi6. c--} (3x-'I9.)'V3-2z-x\l +14nrcson xti .
2167. (aJ-5x+ro) yz2+~+á-'15111 (:Z:'-=r2V~+4:X-j-5He.2168. (~.,2-{~+i) V:t:¿+22>+:l'+{ 1J)(:z:+1+v"x+2Z+2)+Có
3
«r 3+~+4 1 i V2r~+2.z+9.l217\\. In Y': - ,r;;2 ~[elg" +CV-:vZ+Z",+4,f-1 y .. 1"'+1 •
217S. C ti'8('%-1)" 3("'- t)G
2176. ~ [~+ V(%·-1)3J+C. 2l77.
2178. ro ~ )rctg (4""< vi-)+c.i ",+2 «rr+»2179. 2IU'csen%-I~ " ·l-~+C.
2t80 '=::_z.,+~lnl%-lll;l:+2)lll+c. 2 6 1:+1 j3 •
2181. finl !:::: l+farol.¡f%+c.3 ;1: 3 1"'-1 I2182·Saret.gz 4 (%'-t) 161n r+1 +C.
_ 2183. 2 V,,+1(lnlz+il-21+C.2184. (.:} "'+i-) coa 2.1:+H~+t~+{) son 2.%+ c.'2185'. if:2eh %-2",lih;l:+2ch",+C.~186. zarc~;(l+ Vz)-V;+ In1~%+~nr;+21+C.2187. in 11""- 1f~ 1_arcs: % +,C.
2188. ~fr7(~r;L~fn+2>+C.2189. &Vi(W-SVi'+2Oz-GO y;,¡+120 )f;-t20)+C .• '9 .•. l f 1...lI • 2 +' 13).J·C2. O.',,.;':\"31"" .....%"+8'"' '"9 "lo, •
'2191. .2 (sen' Y'Z,-ViC08VZ) -FC.2192. Y~~~%::+2) +f8l'ctg'lfi=i+C.
ResPU08tall al cap. VI
.391Respuestés ..~ call. VI .
Al capítulo VII2 ,/,," ' 1 .,", ~r- 22231. T(V 0-1)'.,2232. 72:' 2233. -5("" 16-1,). 2234. 7a.
22¡¡5. ~ ~,os,~."~i~:12. ~7. O,2(c-:l? ~238., ajó ~::"(l'. 1.' . lt. .:. l' ,r: it.
22;i9,;4' ~o. Ti, 2241. !L+,'219e, 224.2. e-,V e. 2243. 6n.'
2244.2. 2g45,.j. 2246. l~i. 2247" O¡21n~ -, 2248, arctx-t.
""~9 1 1 ,8 22-0 n 2""1'?' 22;52 2 ')"03 4""'" . 2} l.\-:g-' ~. ij' ,"'", -', . T' ~...,.a''. :re l. .,,' • 2',~ ¡ ctg!! a; .;
225~.Tw' 22(i5. -0,083, .. 22i.>6.T+T-CL""-'3-' -:-,ctga;.
2215. 1~z +C.
2216. 2.~lf.j:¡:;x-~V1'+tP'-21ti ~r::j:f;i_i +0.l+e"'+1
"217 ..!.l i+n:, _ nrctg:e __ 1_+C.. 'tin zlI 3x~ 'Sx1l •
2218 e arctg.z 3"N¡tg,'"+ %. ':¿(I+x2) + (, 4:(,1+,,2) .
') I.!:. Ix+tl _ arctg.;¡: 1.,2_1\1... In V·;r.:l.+l 2(1+x)3 41';;+11 f-C.
2220. ",-log~1'1-2"'I+l:2 [1~2'" I 2(1~2")Z +3('1~2;t)aJ+a.. '. 'I+~x_ 111+~+e~x2221. ar'ctfJlc"-"-")+C, 2222. In . , , +0., !-r+V i+e"'+cZ;c, 2 'l+2tgz
2223. :r.- va lIrctg va +C.
2224. 132~:r.-isen2x+t~8$i)1l4X+ i4 .sOD3;!%+10~4SOIl8:e+C.
2225, +a;~+iln ('1+x2H' (I;:iZ)Z +C.2226 8 27 30 1 lx-51 e
'49(%-5) 49"(,,,+2)+w n z+2 +"VI .
2227.C-z- árctg (V2ctg 2-0)'.2228. ;¡: tgf+C.
2229", J'2 arccos :~~~ +0, (DiVidir el numerado" y el denomtna
dor JiOI ;¡;. Y realizur hl.$ustitucíón "'+¿=z.)2230. eS811"'(x-Séc,z)+C,
Res~uest,asal cap. VIf392
2282·. :5' Poner ,.;= ~. 22!!3. ;3'2284. ,f:¡ 2 + In 2+ va 2285 8 228G ,fa JI. v --ln 1+'Ví' . ~. . v -7'
2" 1 ( 7vii 8) 08 3 ')? n207. 32 1l+ ---¡¡- - • 220. 16:'t· ~S9. 16'
22\10:kf+ln(2-V3). 2291. ~. 2292. ~3. 22';13. ~.
1 ¡(TI n V'ii ""nI! 202294. 3rctg '"[. 2295. T7+~. """!. 9'
si In es par '1 rt ós par, so lleneJ ( ...-1) (n-S) ... g·i·(m,-1}(m-3) ... ·S·I nm,n (m+n)(m+n-2)\m+n-4) ... 4.!! 'T'
2271.(-f)1<nJ[l-¿ (-h+ ("-':1)1 + ...+-f¡-+{)J.2272. ~8i+ ~!~ • 2214.*. ( tq! 1)1 . Poner~ ';-=Sj)1)2Z'Y apliclÍr el resul-.. ."'... p_.q+' .
Lado del ejercicio 2270. 2275. 7+2 lo 2. 2276. 2 _ ~ . 2277. 3;.
2278. -3S-2102.2279. In c+~. 2280.8+ 31(3 :l•.1+ 2 <-
2281·. 1~n. Poniendo ",=2; Jt'lInstormamos la integral dado eo
«(71-1)(,,~-3) ... 4·2si m es lm PUl:, SI) Ul'D8
Jm•1l
,393
6 2 1 . '2~91. 2 ln"5 "".0,365. Z298. ll; T' 2299. 2+10 e2-+1 •
1 8 22300. PIIl'8 a=e. 23M.. "2' lnS' 2302. 45'
2303.8In'8-15In2+ ~3. 231i~. 1~2 (5+7W). 2305. ~.
:2306. a2 IV2-ln (1(2'+1)1. 2307. 1(3-{lo (.2+va). 23U8. ~~ .•
7+21('1 n 12309.4-~. 2BIO.In 9 . 2311. '4-2'
~12; ~ arctg V'5" .zai3. ; vf. 23L4. ~; -3n2+2i:
16lt· , f·- 19 5 "t Ia I2315. -a-2 V 3. 23t6 •.Z¡-SV6' 2311. ~lD "'F •'23t9. :r; '"' 2. 2310. :It = l:n '<. 2322·. Utilizar ,las relacíenes 4 - '" ::;¡:.
::;¡:..¡, - ~ - ti' >- 4 - 2r, qua son válidas para O~% ~ 1. .2323'. Utilizar las desigualdades
Vr=:zi..,nri-",Z".~t, donde -t~.:z:~1 y 1l;;¡'1
2a~4.1.098 <1 <l.HO,2325. • Para ov;\l'uar lo integra) porabaje, utilizar}n deaigualdad 1+",.<< (1 + ,;")',y p~r8 eValu8.l'lo ¡íQt arrtba, emplear la desigualdaQ de 'Caucby
Bu.nillkovs:ki.2326. J (J) .:;::::1,66 es el volar máxímo, 1 (- i)~-O,j.i 1)8 el valor
mínimo.2327. El mínimo existe para :t = i ÚJ = -i 7/12), los puntos de í:nflexióll
son (2. -4/3) y (413, -H~(B1). ' '2332'. a) Sustituir !1! variable de la integración de acuerdo con la. fól'-,
mulo t = -", dividir el interv,alo [-a,. -x] en dos intervaloa, Ii Silbar.L~(J, ay la, _"'] teniendo en cuenta quo la integral d.euna fu'nelón 1lilp~r sobre.el íntervalo [-o, 01 es igualo. .eero. b) N~. si '4 =lo O; ai, sl (1 = O.
2333'. Poner t = 1/:...23.~8. '(1!ida una de las intogral05 es Jg\II'J Il 11/4.233~·. E!oner;;;= ~,- z> La io'tegral es iguaJ ~ n"'/f¡.,.2342'. Divratr Q). ,intervalo de¡ integraéió:O' [0., '0.';-1< Tj en los .inter:valo8
[a, (¡l, [0, TI y ('7\ a..¡.. ~J.y lueg~, valiiínd'o!lO'dé LapCJ)piedad I (:ir = t (;¡:+ T),demostrar ,qüa, .'
(l 0+11'J t(,,) d:r= J' f{:') th:.o T.
2341•. La igualdad que' d~,be ,~r demostrada equtv81~110la ~aldo.d",+TJ J(~)~=O.
'"
ReSpII9stas al .c_aP.. VII394
Que.dar conVBlleid<! ·de,.qua 10 illtagrol on el tUiem..bro izquierdo do esta igualdadd d d . 1 .., 2342 2·'.6., .. 2n
no opOD,e,.ez·, yponer'uego :t""'~T" ',I':¡'5.,.{21S-I¡,1j',234.3. La sustituci6n,;~' 111"':12no Q5 válida pOtlTUe}~ (fun'Ció~ tg11:h es
díscomloue para :¡;= ~, ..," . ,.,2344'. P,MIl éval\lNl,f" vnl~cso: de q~le,[ri decrece cl'!lcillndo n.236.5-. Sustituir la varinblo de la integración do Muerdo con la fórmúlD
s = ~ y tomat en eousideraeién la propiedad de la integral do una función par,2346-. Sustituir, 18 lIariable de la ·integraci6n· de acuerdo 'con la 1ónnula
t ... kcu':r;2, y luego',ap~car III regla de l'HoSJl~tal. ,2347. De acuerdo con la regla do 1Q5.rectabgulos.n % 2,90~ (por defecto)
y n ~ 8,805 (por exceso), Do acuorao córr-la fórmula de lóS (rapeclos, n-::::"'" S,iOi. Oe acuerdo eón la ,fórmula de'-;8imPSOll, 1t ~ 3,127. I
2348. De' ácilérd'o 'cop la' r()gl~ de 'los ~ct.6).1gulos, It % S.04 (por dtllecto 1yn % 3,24. (por excesó}. 'De acuerdo cou la fómn.illl do Ioa trop,llcios, n.,:; 3,140.pe acuerde con la fór;mula de Slmpson,n :::::3,iI'it6 (todas \08ci.fra.sson ~ót.~s),
<>O 1 ~ 1...,49. ln.iO~2,3t. J1f= lotO ~O.433. 2350.~O,88 •
285t. :::::1.09. 2352. ~2,59. 2353. %0,950. 2354. :::::1.53.2355.t¡% 0.9~5. 2356. ~ 0,957. 2357. % 239 '·ID~(por l¡¡ fórmula de Simp-
sen).2358. ;:: 5.7 m' {por IIIf6rmula deSimpson). 2359.:::::,1950 mm'.2360. % 10..9. 236L :::::56;2, 2362. % 98,2. ,2363. :::::\1.2. ,2364. ~ 569 mm~. 2365. :::; iSS mm'. 2366. lIS. 2367. Diverge,2:168. ila. 2369. Díverge. 2S72. n.2371. Dlverge.
2S72.:1-ln 2. 2313. ~. 2374.. ~. 2375. In V?1t+ 1 •
2376. 1/2. 2371. 1/2. 2318. Diverge. 2379. 2. 2380. t(2.lO n i
2381. I ~,si 4:> O, diverge, si 8 '" O. 2382 T+T In 2.,
2n ." 1,n~. 3VSo23M'2' 23M. 2'4'2886. Converge. '2387" Divotg'e. 2388. COllverge. 2889. Diverge,2390. Converge. 2S91. Dlllorgo • .2392. Díverge.2393. Converge. 2394. n/2. 2395. 'Divetg\l. 2S96. S/3.2397. -114.. 2398. 1. 2399. Di:vorge, 2400. Q2401. n,
t 33" ,- n l'!~02. 2 n (4+b). 2403. -2-' 2404. 3V;r 2405. V3'
4 tO. 91~06. 147' 2407. 7' 2408. Díverge, 2409. 6 ....Y In-8.
J 2410. -2(~. 2411. Dlverge. 2412. (;()O,vergb.24.13.Plverge.24111-;Converge. 2415. Converge. 2416. Diverge. ~17. Con...erge,2418. No. 24t9. Cuando ,H < -1 converge, cuando ¡, ';1> -1 díverga,2420. 1) Ct!ail.dó k> -1 cQnverllq, (lunndo k~ i iliverB1',
2) 1 i , JI; k> t; dlvergB si k~ i.(l<_l)(ln2)k-i
¡j95Ro~puestal! al- cap. VII
J 00 1'1
= J + ) • en 111.segu~¡Jo pencr %= !. 24<18.O. 243\1. iV~.o I
2440. Vi. ~41". Vñ/~. Efoctuar In iDtegraclóD p'o' p'~rres.
24"2 {·3·5 .,. (2n-1) ti. 24'" ~• . 2" 2. • , -eo, 2. •
244<\, ;<12. si a > O; ,o', al a = 0;'--"l/2. l!i,a < O"2~t,5. ni'/" si a ~'b: Vr,/I¡. al <1= b; 0,'81 <1 <b.24'46". nI'?. ¡Ücr,tuir ,JtI inlégrtle!Q{l.JlP""Ílnflé~.2447·. -rc/4.Prescnl8~. el numQrad,or cerno 'la d¡rertluclll. dll los St'JlQS do J09
arcos rnul(iples, , . . " .' "241,8•• rt/4. EllljlleAr lo! mismos íllélc)úos quo 106que fueren utilizados OJl
los ejercicios'2446 y 2447. ..
2449*. POlli:tl<!o !I""f ~ -., hacemos .que cp (:a:) LODglI la forma IP. (z)=" .T-x,J. ~nseu .. lk. be nClucrdo con la fórmulu sall~=2suu+'cós~ di:vJ!11mos1t11
..2~S7·. Presentar 1" ln'ugr~J cerne ln SIIIUII 110 dos lntllgr¡¡]'os: J =
U
2421. Pata k < 1 c.mvorge, 'J)lIrn k ~ 1, d¡v~rgn,2422. Díverge para eunlqulcr k.2423'. qtluv!,rgc a ~Qndir,1611'do tille Sé veri'fiqll('" slrnnltáneeménie las de-
sJ!lulIldodc":rt> -1 y 1>I<.+~. ,242/0.. Pala In < a r.llJlvui'go, pnrll m ~ 3 divcrge.2421\. Pura k < 1 OQI)YOlg0, pura k"> t rllvergo.2~2G. rt, 2~27". 5n/S. "()Il~r.t "" cos cp y'efectuar In intogrocilln 'por l)arWs,
3+2'\(3' 3 .2~28. -. -, -4-- n-2' 1112.J.73·¡¡ ... (2)>- 3) 1t
242'J. Z.4.(j .•. (211. 2)' 2,,~"-1 .
2-\30. nl. 2431. n!/~. 2432. (_I.)n nI
2"3S* ) (m-1)'(m-,Il)." 3·1 1r. b) (m-I) Cm-3) , . , ,¡¡l :Pon~r1.8 "."("'2),,,4.'2,2' m.(m.-2) ... 3.1·
. . 2.. (211-2) ".4·2::=SO.l1cp.24M-. 2 (2".t-1) (211 1')" .3.1' POllllr'$trSen2q>.
243S. n-a (1~1 cuando a=rc).sena;2436*. Para, dOlnr¡s.trar In- iguRldad de las intcgruln.s poner en. una do ollas
r'" tlt. Luego, calcular ElI Slunll valléndcse de la j"on~idod,+,,2 j (1 1)1+,,·=][ l+~Z+%'\(~+ 1'+~-zVí .
Respuestas al cap. V11
2/055. ~. 24.'>6. i. 2457. ~6 p2. 24.';8,. ~. 2451.1. ~ Vii2 1 .) + 4 6 4241.0. 4' 246.1. _n a'Y lt-a·
21¡62. 4 (4!t+ 1(3) y * (8n- Va).2464. !::.-abln c+b=bl&"-oln(g+1(f!-2-Ül, donde E es In OlCcpn-
a atrInidad.
246.s. 112 [ ~ _1~11n(1(3+ 112)1; ,,2 [~ - ~i In (va+vi) ] ;y aa [ 2; -1-V¿ III(V1l+ Vii) J .
2/.66.S,=Sa=:l- V;_'ltu 3-~ UJ'CS~1l V:t ""0,46;S!=2 (ll-Sj).2~G7_ ~ -f. 246M. -k-o 21¡69. II~.
2470."/1.-=11 1;41 m-+", l. si 111 y n son fWrcq; 21 "'+-"1, si m ~ n sonlA , " "''' mil'"
impares; Im-;"I. si m y " SOIl !I~ l)nrÍlI,ul distinta.m,-n
2471. 11) l:~ ; b) 7.'1+.'/.41'1.. '1 (tu Ifgllr(, COIlSUl 111: ,l()1l ¡I¡,rlos ¿II.\"I~ (iru,,~ sou ,,:plnl~'¡ [I"L¡',· sl),
8 3, -r: f"247:1. 15' 2474. 41t· 2~1.1. F'
Al capítulo VIII
la jll~ral en tres, 1103 do 188 cnllleso:se -halia dtreetameete. A.plicanrl" elprocedfmícuto dO! t;I'robio de la9 variubles, tal> otrasl dO!! intcgroléj¡ sercdocen
a 1,,5 Integrales del. tipo inIcial; ~ ( ~ .)=~lo 2.
2/.50. -~·ln2. 2451..:.....~ln2~
2452&. ~ In2.. -gleétunT lil' h:LllgrOlCióllpor 1';I.t05.
245.,.. ~ 102. Aplicando 1'1 cambío de 141varj(lblc. so rcdll~ a] ejercleto
uJ.llG~i()r.
2~511.- ~ ln 2.
397..Respuestas ~!!Icap. ~
ru¡2 (..., /: '.2 .,j 2 )2476.-8-' 2477. 8 V 1+3V3-arctg V 1+'3 va .1 3 182478•• +-;-2. 24711.4. 2'80. ~(.a-4). 2481. -;¡r-2.
2482.a) b (IDlI-l)-a.(ltia-i)¡ b) o-a, 2483.3- e,
24M 3-2102-21032 2485 2_"r2 2486 '!'+I 113. t6 • . v, . a o 2 .5 -- .,r.; n2487. 1iV 2. 2488. v:l- t. 2489. 4'" 20\90. ma2•
249t. ~ na2. 2492. Bita!.
:nR'l nR22493. i) -nZ (n+1) (n+2)¡ 2) ""ii2 (n-j)(1I-:!).
2494 I) 72 .,ro 9) 8 2495 j) " 3 u, 2) 76a2ns. Tv3; - 15' '. :rOla". -S-,na2 ... : tuJa
2496. T (rosa de itos pétalos). 2497. T' 2498. 18",,:.
42 37n «r« 51)fa - •24~. 8"(4-n), 2500. -6--5 v 3. 2.'101.----W-. 2502. a".
2505~.a2 5n+ ~~ya. Para construtr In linea cenvlene cOll!llderarila
varlaclén de '" desde O IulatllJ 3n. 2500. T' 2507. n~.
2508. a2 (1+f-~a) .2509. ; (a2+b3). 2510. 41.. 2.')jl. nV2. 2M2. n, 2513. 2.
2514. 3M2. 2515. 411, 2516*. 1) l/ñ/2¡ 2) Vit. Valerse de que
j t-;z;?d;r:>= ~ (Iolegt¡¡l,rte Poisson),O •
.1' na2 7t' - n' . b2517. '"jf" 2518. 2-íf '1 2+~.. 2519. a SII-¡.
25"" .!!...yy3·+..2+1.10Y+~· 2521 1..l....!ID~"". 2p r: 2 p' •• 2 2 .
, -j I tb-~-b 8 (5 /5 ~)252? lne--r. 2523. ln~. 2.524, '9 t l 2'-i .
",... J
2B .. J n . 3n n " r \2526; 427, 2526.4aV3. 2521. T+2JntK-:¡¡-=:r+211l.IV2+f.-
252!j. i+¡'~ns, .2529 •. ,~. 25.3.0, .~.
253t. Parlll= a;; [z=a (Z; ~ ~a). 11-~J.
Rhpuestas al. cap. VlII398
..257i1+. ,¡t~. Vnlerse ílti que ~ S9n:< d",= -~ (¡'I.~graL de Dil'iclllet).
TI ~
y ~Pl¡c-ar el teQr&roa sobre 1" evaluacién de lac ·intell"al. 2ó¡\S.. 2n.
2f...'l6. 1) 1- "<lbz; 2) ~ ltCl2¡'.
11 lINI. ft2557. 15nli~a. 255~.T (30.+11), 2S5<j. 'T (el_i).
n. [.2ó_e-~b e2a_e-Za . ] are2;;60.T --.2-----2--+2(b~a). 25tH. 10'
256_2.~ (i5-16ln 2). 2563. n( ~2 -.2) -, 2564. 8: 2565. 2n2•
2.'¡66. n:t V21n (1+ V2)--}] . 2.'\67.1.) -} na3';2) ~. ,2568. 5,,~(l3_
(3n2 8) ?5 32 $ ~6:tc6, 57 W2569. :na3 "2-3' -10. 1I)5,..a. 2571. 105aQz, 2 2.T
2573, ';: 2.'574·"i). 1'[; 2) 1tJI" ~. Véase ta in.atcac~on al ejerci-
cio 2i>16.
257:í~~31t~2n. V€aS!! la Jadícación ~I \liuJ:'Cicio2516.
,.Ji
n=4I{ll'aZ·cos2t+b2se.!iZt+ yaz;¡en2t+b2co;;Zl}dt,Q
2N+( 2N2549. " tleoo ~eller la Iorma -W- o 2N-1' donde N es U11 entero.
2550, 4. 2á'51. In ~. 2.l>M·. Demostrar qUe la longiLud de lú olipee-es suscepühle de ser .eootita en Ia forma
SijlS" R' .2532, Para t=i: ("',=-s-R. 11=8)"
Z' b+b2 '2!).33!: 1/ -:~b ,., Pono¡:·,:ec=;a·cós3t. u=b~en~,t.
25~'. s{i+2 ~ 1lI (~+va)l 2535. a luf. 25311. ~~-'fi-
·2537.ni/a. asss, "v?, 254i,2'(fl_1)_ 2543. nal!l+4n2++t In (2n+ lrrtm.1.). 25!1S.10f+~~'.
. n¿ ... 325~6. $". .."... 2' :ia.
Respuestas_ al 'cap. '1Illi' 39í)
aJt22010. T'
[.r· ~r- 2ñ+Q] .2Iioo 3 22599. l"[ ,,5- r ,2+ In }í5+1' .' 1lll.
2601. lloz,VZ (2- ~ ) . 26tJ? 2rr ¿12(e"_2). 2603. ~:ta1.
21104, 8nhz ( :t--t) . 2605. 3;. ru¡2.. 2606. '1I2r2•
21;07.2n02(2-1"·2). 261)8. :rlY.2+1D.(i+Ví)j. 2f¡()9.4:ta2•
2..',"b :tb2 I+r,25!17. 21lb2+-¡;- arcsen e y 2rw2+-s- lrl-r=e. donde e 113.10exccn-
,tr¡cI(I~d00 'la ,olipso. 2:\98. !iit'nf:i...¡-I¡t(i+:¡(2')1.
2&93.}U11I.",,22596. -:r(e2-r2+4).
8 3 .,~'''' J! n325111, "3 "Ir • ....,~~. 3 •
2595. ~ O' (t+tr')S_j).
2li90. }a3.
!j(¡ . 22.'i9lo. --;::Jta •
"1t:UI'! -4 !_ N 28 3 ee 2. ~u t "...ou. 15 ana = l cm, 2'<07. 3' abJJ= 1",,3' eru .
22:',88·, -r nJ(lll. Él área del segmento parabólico ~imétfico es igual
28 a ah, donde a es 1I1 Lose del ecgUl~nto y h, In .flllclllt&.
/121f ( " ) /lZfT( 4 )2589-. -U- 1t+3" y -11- rr--¡¡ ! (WIlSU lo ill(!icnciólI el e.jerciaio
2588).
92585~. i R2H=400 cm:!. El ojo do 13 simctl'íll de In base debo sor to-
JD8do por 01 de abscisas,
2.~80. '1) nJl'l; 2) 36"1.
2581.I1I=J'tV2(2 Y6- id ). 1'2=0 lfí (2vti+ '; ).2l\82.vl=v3=4n(lfii+ Y¡j-4). ,;z =8n (10- Va).2583. Bnre. 2¿8' 8¡, ~ <l. n.
:(2
IQ V - J S (.~)rUr, (londd S (3;) es el área lié fa sección transversal.>;,
2577·. '2stZa3• E5 ccoveniente pasac a lo forma puramétrica poniendo
2 • 2asen3 t 2-78 2 .' ?"7 it 4 b \)' l f'%"'- asen~t, II=~. ti. "3 110·, ~., U • -¡¡-na c. I JI iesr a orrnu-
ReSJluUSUlSal cap. VIJ[400
4 á 32639. t=SIl. '1="5u• 2640.SR.26.41. El cénko de gravedad se halla an el eJ~ de ln~tría,l!ledi~D110 entr~
dloll:o.centro ., el ce'ntro. de la semiesfera la i1iBh,.nCiai¡¡ulil a Bf2.
2642.- .!.. H vRz'+1i2 H 2643. .!:3 • 3 (R+ YR1'+H2)'T' ,. ,,,.¡ ,,,,Ji_3 . 1«1
264.4. ,!,,(a~+ob+/)2). 2~ T=MT (M es la .masa.. ae la semi-circnnfel1lncfll) .28-017S
a ~2:r_.~n11='5---"'-'
t/f_e2
2620. ~+ ~b aecsens, donde e I!!I la 'e:l:óentricidad de la allpse,¿, _8
:rt n Jt4 nV3 S2621. S=2' :rt=S' 2622. 7+5' 2623. 1F+S' 2624. 20"
S . 4¿+M~-'12625.,t=S.1, 1)~O. 2626. 5=0, '1]=-0 4~(e2-1) •
2628. t=rra, '1=ta. 262.9.s=Slá, 'I]=}a.2 2 256'1 2564
2630. 6=5:',11,1]=5'4. 2631. S- 31lí ' '1]= 3i5n .lía (4-l(:\) 21lCnZ-S)
2633. G . na • '1- na
2634. El centro de gravedad se halla en el eje dé la sÁmouia del ~ctor. 1I1&
diando entre dicho centro y el centro del circulo la distancia igual ni rs:cr. .. 5 Vi2G35. ~='5a.'1=0., 2636. G=T1fIl, ll=O.
,-'2M3. tI centro. de gra'o!o\taA.s\l,hBlla,'lo el eje, da la' lli!lillt'l'ía, del se¡p'nanlo,medlendo eJi~re-díchocenírc y'ta 'baBe )á diStáncili l~al af h. ,,'
, '3' '3, ,'3,' 32&t4, Para.).l: ;''''''5Il, 'IJ=gb; para S21 ~,=Wa! lJ=Tb,
- 2r. +.. 4r261'5, 6=0, l)'7-;¡-. 261ft. ~>=O, 'IJ""3ñ'
,261,7. ,El eqntro d~ ará;i'édiid s~ Ílal(\\ 9ñ~lo bisectriz del an~lo Ilontral quasubuende e} arco, medtando entre dicho eentro y el centto' de la' Circunferencia la
, ,lllIñ'~ ,- ..
distancia i,I,1<U8 ~r__!'a;
_?6t8. ~=~, 'iJ=f.
40.1"ResPlléstas al cap: VID
2656. 185nab', donde 2a ea In magnitud del eje alrededor del cual ~efectúa 18 revolucíén.
2651. ~ nR4H, ,~6~8,.*: 2659. i) J",= 1t (t';-1.) ¡ 2) 1u~=41t(S-,).
2660. MRB, dO!!deM ea la ~ de la .!Iu[leTflololateraf del ei.liDdro.i 2 92661. 2A~R:, 2662. J'MR.Z, 2663. '2'143• 2664.6n3IJbZ•
. 3V2·. -2665. El volumen es igual a ~8-n~, la 5uperflclÍe, 6V2na2 •
.2666. El volumenes i~1I1 i <lZrt8a', la superficie, 82ntal,2661. 81 eje da revolucI6n debe eer pe:rpendícul!lr r~spooto a la cliagoua.l del
euedredc: el \lje de revolación debe sE1r,p9fpeodieu)ar respecto a_l~ med,iana.2668.~2a,7 m. 2669. r~""zl+~n ( ~2: +CPO)-,B~ ( ~J. +11'0)'2670. "mM'. a+l 111 'kmM In rt (r~tl). 2671.. 2kmM
a (a+¿) a ' 1 T~(r,+I) ~BkmMa "mM cosScp , -
2672. , r "".. donde cp ell el 6.ngulo fOlllUldo entra, v fR.l+ 42)& a- "las ~taiI q'!e uoel\ el 'J)WltO e eon el centro del anillo y eon cualquiera,,~, ',' kmM' .de 109 puntos del mismo; -¡¡-o
2km,M ( : a ) ,',,2678.-R~- 1 "r .' 2614. 2n.kmo.• 'v a~+RZ •2675*. 2w<my/>(1 'V : k,.. ,:,2)' ;;.2ltkm)'h(1:'_Oós,cx)', 'troo.de' a.-ea 01
'k2+(R .......r)2- --ángulo forma'lIóen\re, la geDctlltriz' dElICODOY SU eje'. Valerse de la soluciÓDdel eJercicio 2S7S,
2676. 2km'i 2678·. I k~~ !n:~; lri~nro, ~ uecesi,:io~~Jul,¡¡r lafuen¡¡ de .lutaraccióD del.' el~rlLil1Ito',dr,:dc ta-'prlmore. barra y. ,Iln "l!eg"l1l)aa(valerse del resultado del ojerclclo 2670},.y, luego, ~,l()ulat la e,~!acc.ión,'otal.
82M3 rrJPd' 2. :_. , " "2679. 6ma 26S0.. ti: "(R +~~.t.~)·12681.,.~ 1;6~_.i~~1/(giU-,' '2~2. 8S3;25Q kg"" ••
n dR.'ZiJit redR.,¿e~~',_ , .. '-2683. 1,2 ' .' 4 . En 1ilii ~pue5taa a los e,lerCl91!lS '?683- ~
'BO!!puostos al, cap, Vl1I402
=' 2lf:ig S y¡;, donde S es fll ~f}a, de la 'hendidura.
11706. a) ;:::< 2.4 ~; b) z ,6;3 s, e) ;:< 5a:,~id) pár'n'~ .....1 DC>.
2707. 'Z 3,4 kgm. 2708.}~~llr ~ i',1,6..!t~::b)· ry:Hi,6 kgmí,e). <'02'3.8"kgm;2) al dilatá.t!le el sas i¡)finit¡qnen~'. el tfs,b,ajl)"aument,a 'sin lírtutea. '
2709. z 1600 kgm, ~7jO. z 82 nú,ó~ut()~.2711. Un poco Dl~S do 5~. -2112. 2:eo: 2713".~1_4~1q-fjulios; b) 6·10-8';ulios, 2714.:' cm.27'1 5. z·9~·culombi(J$,2i16, z 1092 eulombto« 27'l1..z 5110 culombtos.271'8. .!$-. La te1lsión etcr,lIvlI do la corriente alterna es JJl'\I,ala .V~O-•
~ • 2. ,)
'2719.' E~/o 7'éQSQrq. 2720. '~7 mloút05. '1, 2721. ~2,915",
~tl,a-ln~ _2'122. a) lft;;;of/ .lna-"I~Ií,' ~1 .. em» ]ú,<=::lO.125%.
2723. ilk de la cantidad inicial". 2724. ,;6-2.~9_;,. ;;25 .•,f s.2726. ::::t37';a minlitos:'
,el vlllo.r 4el.traba,fo .se, Indtca, '~n /tt:"',;" -ai_~jjl¡ d;~taI\c;ia,~,~ mide' en metros:el peso 'I!sped.fíco) en ¡,g/Jm'. .
&04 n,ctR' '01'8 k ssss. n dRzIF ~O800 L,""""'-.--¡:-- l;¡..... , Cf'!" """,,',' 6 ,. ,~ __ "igm·
4 ,Sl3(l)Zy , , ,~686. E'8<ÚiH2=24Q kgl)lJ 2687. --e--,;::;Q,418 kJ/t¡I.{:;:;4/2 jullo(_
268(\. aba~'I'I,_,2''''' 1,16 ';.gin. 2689. 'a1i3~6)ty ""O;Q5 "gm, ,
A(LS lÜiJ2y rtR'Hm't'l,2690.\" 6Ó, ' ~O.Oi5 kg¡r>. 2~9t. -:-~.
nd' MR2:r,2r,Z" MR2(3it ....8)nIl2,m~~! '360&" ':" 3600'
aJé· ' ~ '.'269~. a) -6-; b) .dos veces. 2694. -2 '~ ,2605, 2~:2)1).
2696. .~ daZa. 2697. abd (h+ : ~en,a).2699. nl ~=32 !tern, b) ~ SH2:(I-dJ2=2,.k§:7f'·
40~,
-o do la desiguAldad seo %> !%, si 0<", < ; •2700. OOOYOTge, pero 00 D.bsoll,ltnmoote. ;!791. Cónvorge 8J)soluta.m~nte.2792. Converge, pero .no ebsolutarneate. 279a. Converge absolubnmente.2794. Converge absolutamente.2795. Diverge. 2796. Converge, pero no absolutamente.:2797. Converge ebsolutameute. 2798. Converge, poro no absolu la monte.2799. Diverge, 2802. -1 < z; < t.'2803. !.< :z:< e. '2804. -1 <:z: -c 1. 2805. -t -c '"< L
6
.l:+t ksen -2-. - o: senZ ex.sena+son 2<:t+ ..• +SOQ ka=-----:"'::----
sen T
272i·. S,,~1- ,,~t • S%1. Cada término de la serie ha de eor presentado como Jó. suma do dos sumandos.
2128.S1I=1- (1- 211~1) . S=+.j ( f) 1::2'129.Sn=;r 1- 3n+1 ,S"",'3'1( 1 t i I t) 11:2730.S,,=3' i+T+3-ñ+T--¡;::¡:2- t,+3 ,,5'=18'1( 1 1 { 1 1) 232781.S~=6 1+'3+5- 2..+1- 211+3 -z¡¡:¡:5 ,8"'00'1[1 1 ] 12732. 8"=2' 2 (11+1) ;~+2) • S~T',1 1 1 3
2135. Sn=1,2'-"'i»- 2.3" ' S-2~I
2734. S,,=-1- (l1+t)2 .8=1.
f [ 1] 12735.S,.='8 (211+1)2 'S=S'11 n
2196. S,,=acctg 11+1 ' s=-¡-_2737. Converge. 2738. Convorge. 2739. Divel'llc. 2740. Convl)rgc.274t. Diverge. 2142. Dívorge. 2745. Converge.2744. Divergo. 2745. Divergll. 2746. Converge,27(,7. Conv&ge. 2748. Dtvsrge. 2749. Converge.2150. Dlverge. 21ñl. Converge. 2752. Converge.2753. Dlverga, 2767. Converge. 2768. Diverge,2761). Converge. 2170. Converge. 2771. Oonverge,2772. Dlvergc. 277¡¡. DIV'Qrge. 2774. Converge.2775. Dtverge. 2776. Dlverge. 2771. Diverge.2778. Converge. 2779, Cooyerge. 2780_ Drverga.2181. CoDvargo. 2782. Diverge. 2783. Converge.2784'. Dlverge, Valerse de la Jérmula
Al capítulo IXRe5l>neslM al C8.p. IX
""283S·. ii.Valerse de lo fórmula 2; :2= ~3,
,,=1
2854.1)! (ln2+;¡¡~; 2) 2~i[ID(1+V2>+~J. 2835.lu2.
~••" 2-Vi""""'. 2 •2831. La serie dada no e8 !SUsceptible,de sor derivada térmlno a t6rmino 00
nUlguno do loa intervalos. En efecto, él términe general de I~ serie de dcrlvedasof~ le Iorma n cos (2"lt%). PQr pequeño que sea el lntol'vl\lo (0:.. 6) y'dondoquiera Que esté en el eje numérico, dentro de él s.iempro oxJstirán loa númerosde la forma ~, donde k es un entero, y N, un número entere positivo suficien·
2tement!' grande. Pero, cuando :r = ; la serie d(; derivadas dlverge porque pua
todas los n > IV ~U8 térmtnos llegan a ser Iguales 8 n.1 I
2838. (1-:r)2 y (1-:c)3 .
28/ti. (:c-l) (221)2 +...+(_I)M' (%-n)" + ..."3 [ 1 (*_i,2 I (.2:-1)'
284.2. 1+2" (%-'J) + 2 21 2,2 31 + ...
+(_ I)n 1·S '" 1211-5) {z-t)"', ]... 2"-.1 nI T·,,·
.!.._ ",-3 + (z-3)! _ +(_')1\+1 (%-3)n-1 +2843. 3 9 27 .. . • 3" • . .
( n)2 (%-2)2 . (1' )~1I_2 (z_2)2n-22844.t- T' ~+ ...+(-i)It.1 4' (2i~-2)1 + ...
.,2 :r~"-22845. i+2T+ ...+ 12f1-2}1 + ...
2S8z·. In ~ • Valerso de 111relacíon coa ~ ces f ...,coa 2~ .. , =BOU:%:---o'"
2831. 0.2.t21130. T'2829. (z+!) In ("+1)-,,,..
1 J.. 1 lo' J+z2828. T arctg % '4 -r=;- .
2806. -t ..;;z < 1. 2807. :1 <-1 Yz:> 1.2808. -i < z <1.2809. -t <:;;:.% <;1. 2810. % =P ±1. 2&11. Para cualquier %.2812. -2 < % < 2. 2ej~. Pbra cualquier :2:. 2814 • ..r; > O. 2815. z > O.2816. %;;;.. O.2822. 11 ~énnlnos. 2823". Valerse dé lo desigualdad In (1 '+ a) ~ CI
i .(:n:) i (iC) 442825. {(0)="9; T T =-l1ir;! T = 1001 i /(1)=0,049;1(-0,2)=0,108.
1 1+% 12827.T lD~-2atctB'"
:Rospuestas al cap, IX
llespuestas al' CAp. IX"'os
z3 z'2921. C+lnl;>;I-~-¡:¡¡-- .,.~
4 .. +(-J)" 2n.(21l.)! +... (-ce <%<0 y 0<%<00).,.z Z"
2922. C+lnj%l+z+TF+ '" +n.iif+ ..,(-00 <JI: <O y 0<.,< (0).
•. 1 Z ",z .:t"2\)23.C--;+.lnlzl-l:'-r+TIf+"· + 11 (n+l}1 + ...
(-oo<z<O y·O<..<oo).
2869. 1+22.1:+... +,,3.1:,,-1+ ... , 5=12,d05' .'.101 8
2870.: {) -71. 2) 16' 3) -¡¡- y 4) T'281t, 1/6. Za7Z. u« 2818~1'. 2814.• 1/a, 2876. 2/S, 2874h1/3 ..2877. ti/SO. 2878. """'1/10 ',<: '2' < 1/to. 2879. -1' < .t ~ i.2880. -tO ~z < dO. .288t, z"'" o. 2882. -V2l2 <.% ,< V2'/2;2883. - 00 < % < 60.:"'2884.-113' <.t <113.2885. -1~~'"-< t'•.,2886. -1/4~' Z < 11e. 2887. z =O. 2888. -1 ~ % < i.2889....-..!_<%<~.• •
1 z3 ,·3..,5 ,,+11·3... (2n-3) z2-l2890.z-23+-r.¡--5--· ..+(-1) 2"-I(II-~ll z.z=r+ ...
(-1E;z";1). .z3 ....tn..'
289l, t;-'3+'" + 2"+1 +... (-{<:t<1)..xl :r:-2.n
2892. zZ+ 2,3 + ...+ 11(2,,-1) + ... (-i'¡¡;;:c~1),
(""' .- 2:z:6 n.z!nf!) 1
2893. 4. 31+5(+'" + (2n+i}1+ ... (-00<"'<00), 2;"'2894. 1,39, el error es igue.l a O,Of. 2895.~0,3090, el o~[or os'igual a 0,0001.2896. 2,1M, el orror 09 ig\lal a 0,001.ZlJ~·. 7,389. 2898.1,649.2899. Q,S679.2900. 0,7788.2901. 0,0175. 2902. 1,000.2903. O,i1365. 2904. 0,9848.2905. ,3,107. ,2906. 4,1'21.. 2007. 7,937. 2\'108. 1,005.2909. 3,017. 29tO. 5,053. 291t. 2,00i. 2912. 1,0086.29t~. ,0,434294. 2914. O,~!)90.
2915.1+20:+; %z+ ... + [2+{+ ;!+ ...+ (,,':1)1 ] z,,-j+, ,"
2916.%- : z2-+ti z3-...+(_on+l[ t+-}+ ~ + ... +f}n+...% z3 -% 5z3
21117. 1-3+81+", 2918. -'2+-32"'+ ...2919. z-z2+W+, ..
~ . :t2n-12920. C+r- 3.3! + ...·1-(-1)">1 (211-i) (2,,-1)1 + ...
(-DO <.=<ce).
407R98P1189tas~ al cap. IX
295~.
"'='3(,tl!II-y3).
tS="4 y(:r+V+3) ("'+!I-z)(,;;
29MI.
Al capítulo X
r' ",5 ,tl!n-i2924. .%-'3"+ s:2f- ...+(-1)>>+1 (2,. I)(n I)l + ...
(-00 <z< eo]•• 3 I,%S %'n ..1. ' ,
2025.z-ga+sr-· ..+{-1)""'S (2,.-1)8+ ... (-l..;.c ....i).
2926 +...!...-=:.+ 1-3 ~+1.3 ... (2ft-a)~+• z 2 5 2.~ 9 2n-1 (,.-1)1 4n-S ...
(-JE;z ....t),
2927 ' ...!..~ __ I- ~ +(-1)" 1·S ... (2n-S) ~n·"_-22+ ...· "o 2 4 2·4 7 . ... 2"-1 (1'-1)1 "
(-1 ~.z .... 1).:10 a:10 zin41
2928. a:+"'IQ+i9'+ ... + 9,.-8 (-1 ~:z:<j).
2929 1.,.9 _.!....=:.+ +(_1),,+[3.7 '" (4n-5) e'ln-I +· T T 4·8 7 ... 411·nl 411 1 ...(-f ....s: .... 1).
2930. 0,3230, el error e&' Igual a 0,0001. 2931. 0,24488, el error es igual a0,00001.
2932. 0,4971. el error 88 igual 80,0001. 2.9S3.3,518, el error es igual a 0.0012934. 0,Ot2, el error es Igual 8 O,OOi.29~5. 82,831. 2936.0,487.2937. 0,006., 2938. 0,494. 2940. 3,141592654.""'" + 2 3+ 22- ~+ + 2,,-1 2n-1+",,,I.:Z: WZ -r:1j':5" .... 1.3"5 ... (2..-1) '" ...
2942'. 1- ~ + '3~ - ••• +(- 1)',,+1 :n +... Presentar _,,:z: en la forma." ID "', desarrolJar en serie de poteaCltt3de :z: la e o inl<!grar las expresionesde la forma ",ro)Dn:z:.
294.3. 0,6449. 2944. 0,511 2945. 1,015.2946-. 3,71. Resulta poco cómodo ealeular el area medJanta la lórruuJa
1
S = 4 J .y 1-':' d± porquo pal'~ :z:= i 111aorla ecrreapondíente converge. Jeao
lamente.Convienocalcular el área dollieclor JímitadQpor la Iínea, el eje de ordODlldns
y la blsectri7.del primer ángulo coordenado. Esto origina UDa serie rápidamentocon~rgente.
2947. 0.2505. 2948. 3,821. 2949. O,H9. 2952. 1,225.2951. (0;347; 2,996). 2952. (1,7f¡ 0;94).
Respuestas al cap. X408
21157. t) 196 ; 2) '1; S) 16¡ 2;'2 •
. cp'a)'Ijl(';')~Ij>(a)(df)2958. lJl (1.¡ Ij> (ti ; a~ -;¡.2959. La segunda Junoióa crece coe más rapidez,2,960. ha parábola de ecgundo orden; 1) .no, 2) '110:2961, Poner m = j ls: 2965. La Juncíén .no es uniVoca,
\11O,t 1 0.21 0,3 10•4 '1 ~.51 0.6 0,71 ~',81 0,,9 1
,o t ..
o 0.00 O,'JO 0,20 0,31) 0,40 0,50 O,SO 0,'70 lI,SO 0,90 1.,00 ,0, t 0,'10 0,14 0.~2 0,32 0,41 0,51 0,Q1 0,'11 O,SI 0,90 1,000.2 0,20 0,22 0,28 .o.se 0,45 0,54 0,6S 0,13 0,82 Q,92 1,010,3 0,30 0,32 0,36 0,42 0,50 0,5S 0,67 .0,76 O,B5 0,95 1,040.-\ 0,40 0,41 O,~ ,0,50 0,0:7_ 0,64 0,72 ~,8i 0.89 . 0,Q8 1,08 '0,5 0.50 0.,51 0,,51. ÍJ,58 Q,64 0,71 0,7$ 0,,86 0,94 LOS 1,12 'O,S 0,60 0,61 0,63 0,67 Q,,2 0,7'8 0,85 ,0,92 1,00 d.,Q8 ,1,160,7 0,70 0,71 0,73 0,76 0.,81 0,86 0,92 O,91l 1;06 '1,14 i,22 ,0,8 . 0,80 0,81 0',62 0,85 0,8.<) 0,94 i,OO .1',06 1.;13 ti,.20 1,2S !0,9 0;90' 0;9.1' 0,92 a,95 0,98 '1 ;03 ':1,08. :1,14 r,Zó ~,,27 .1,34 ;i 1,00 1,00 1,02 1,04 1,08 1.,1Z t,16 1,22 1 ;28 1.,34 i\41.' :
I- .
2956.
\1 °1 11 z 1 1, -
3 (, 5
O I 1I Si 51 i I al, 11
1 1-21 01 2 4 I 61 8
2 1-5 J -3 J~1 . 1.1 al 5
3 t -81 -si -41 -2 I O 2:
4 1-11I ~9l -71 -5 I -3 ~j
5 1-141-121-tO I -8 I -6 1-4
2955.
_40~Respuestás aí c_ap:~
( "+11)9 .2970..... u:=v +u; u=z2+y2; ,,=:ty.
2971. ""= CODSl 09 una parábola, y = coust e! UDS. parábola, : = eonst '*.. O8& una hipérbola, t: = Oee una pareja de l;ecUlS.
2972. % ~ CODat, V "" OOD9t son rectas, , = eonat * O es UDa hip6rbola,.. "" O es una 'parejo .de' rootos.· "
2973. % .., CODst r..:1UDa parábola. !i = conSL 0Il uno por6boh. éúbioa, ....- canal 4> O,es une curva do LerCl'f orden. i:. - O ce UIlO parábola semícúbica,
2974•• T COD~t>.O 99 una eltpse, % = conat o !l = const son ourvas deltercer orden Cfar8. % = Oo 11= O son parábolas sBmloúbicas).
j ..r:2975.0<lI<2; --1< 1I-'2:Z: <O. 2976. :z:IO;;;;II'~v z.2977, O< y <",1(3; V < (a - %}VB.2978. (.t - o.~+ (11- b)t < Rti -: ce <. < ce.2979. (% - (I)t + (y - W + (1 - ,,)" '" m. 2980. :tI + VG < 4.R~.
298J, v= }:z:v (2R ± V~R2~.,2_y2); la función no esunívoca. El doml.4110de defi.Jci6D (le 111función es :z:2+lIz~4Rti ''>0, y>O.
2982. P~ta 00;;;;%110;1, O"'v~t S=:tl/;p¡u'a 00;;;;%0;;;;1, '1'¡¡;;v S~%i.plU'll i 0;;;;;; O", 1/~ 1 &=y;paraio;;;;z0;;;;2¡ t~1I"¡;;2 8="1/-%-11+2;JlIIm i~%';;;2; 2';;;11 S=:z:;para 2~~ 1";1I~2 8=11;~r8 2";;;:11, 2<50;1/. S~2.
. . ::l. JlI2983. q¡+tp;.,;;;t. 2984.1/2>4;r;-8.
2986. todo el plpoD. excofto"lbs punto! de 1(1eh'r.unfó.rencia z' + v'- = R!.2986. ~l{ parte illterlor do ángulo derecho vorttol\l formadopor la)!.b.lsee~ri-
<:8& de tos áj¡gulos coorilenad~9, lneluyendo laS mismas bisectrices :z:'+111:;;;. O,e - V >0.' ,
2987. Lo mlsmo- que en 01 ejercicio 2986, poro aln fronteras.2988. L!I parte Inténor de 10' ángulos verticalea derecho e uquierdo 10l'lllo,
~o, por las IeGtas11= i + % e 11= t - %, inoJuyendo estll5 mismas rectaa, peroaln 108 plintos de IJItersocci6n: •
1. - % '" Y < t + % (,1: > O),i+ " <, ."<; f - % (:t <O)
{cuRndo :z:= O la funcióD no .estó daflnid&,). • '.2989. PIU'Ledel plano 4ituado dentro do los ángulos coordllDlldo!prlmero
7 tBrcero (sin fron tora5).
2966. t) 1; 2)~; 3)-}; 4) no está delinida; 5)1.
2967. I = {~+ !I)~-U + .{:.:+ lI)v·"', ('" + 11)> O; ~ ~ la función roolonal de u y de. u, pero no do w, 1, .71 e !J.
2968 •• = (:r. + 1I)"U + ("'I/)ax.
2961). U={:t2+1I1-f.!)2- .zZ+!i:+~2 ({:r.2+y2+~~)z+3{"'+Y+&)'I; u os~14 funci6n entera racional respecto a ~ y '1, .2', Y Y ~¡ pero ae TC8ptlCto• ti> Y <p.
RS;'PUBSt¡j¡S al cap. X410
Fig, saParo % > O JI > :z + 1, pllra ., <O. :1: < 11 < Ir.+ t.8000. Parte del -plnno ecmprendida ..entre la lineo. 11= .,~,,~~y su ASlnlota,
jnoluyendo la frontera. 3001. :z; > O, Y > 0, z >O.3002. Parte del ospacio comprendida entre 110.9os[erllS :¡fl + y! + i' = r!y~+ v' + r} = RI, lnc1uyeodo la. superficie de la esfora o:rterior y elt¿luyondo
l. IlUperfjcie de la eslen interior.3003. 2. 3004. O. 3005. O. '3()06. La funci6n no tieno limito para z 40 O. 11 -+ O. 9007. O. 3008. t.3009. a) V =O Ó !J oc :" (a. > 1), z -+ O do acuerdo con la ley arbitraria;
b) 1/-f ..,_.;(1 do' acuerdo con la loy arbitraria.SOlO. Es 111punto (O,O). Bu ololltor.llo de-eHte punto la funci6n puede tom~'
'"a\or08 positivos tan grsndes como quíeran. '301 L Son ~Od09Jos punt05 cuyas ceordenadaa son númer09 Doteroe.3()12. EJl la. recLa !I = x,80t8. En tu rectas :t = m, 11 = " (m y 11- son aümeros Dotaros).
2990. Dominio cerrado situado entre o] 5Cmiojo positivo do absclsl1s y laparáboh y·_'f"J (incluyendo la (rontera): ;l;> 0, r :> O; :t} »».
. '299t·. AnUlo :ontt'e ¡B,~ nlrcUll(ocenoias ",,+ y = t Y :z"+ ,r = " (lnclu'Y1Indo1119mismas círcunterenctes t ~ r+ I¡l ~ 4.• '299Z~ Parte' del' 'plaño' situada dentro de la po.ráholll y" = lÚ'o entre 18.peráboln y la cirounferenoia,"" + lit "'" ~, incluyendo al arco·de Id parábola IUCCp'to SU,vé¡tiee, ex.¿luyendo -el arco do la·,círcunjerencla. '
2993. Par~ del pl~no situado fuera de, 1lIS cirounroN)nclo9 de ra.dioB iguaJos• t. cuyos centro9 se lIallan en 1'08puntoa (-t, O), y (1, O). Los 'PllJ:It08,da lap,rilnez:a GÚ'cu¡¡Je!;&Dclll,pertenepon 0.1doai¡nio; loa pUOt.ol de la ~a. nopertenecen:
2994. SolAmente loa pUDtos de la circnnJoreneill r+ v' = }ll.2995. Todo ¡jI plano oxcluyendo la; I'IIct95 '"+ V = " (n ea cualquier nü
moro ant.oro positivo o negativo, o cero).2996. Parte interior' dol circulo 7,s+ 11' = t y de .lO! 'IInlllos 2i1 '" -,,'++ ~~2" + t (n es un entero), lnol\1)'ondo las lronteras.2997. Si z';> O, se tIene}2M <11 ..; (2r¡,+l) n;51 z < O, se tiene n ea UDentero.
(2,,+t) '" y'¡;; (2,,+2)n;2998. z > O; 2;,..'(<!I < 2 In + 1) ,.. (n es un entero).2999. El' dort.inio rllysdo abIerto (véase la. Hg. 83).
l\ospUOSUlS al ,Gap. X
2 ((c-~)~3028. Son 188 Gsfer~~ 0:2+ y~+.= .e+i •donde ct= e14'.
3029. Son los paraboloides de revoluclén :;2+ Jl2 = Ct.3030. 1¡ Son IQSplanos 2,.+ 3y _ ; = C; 2) 500 los:hiperbololdea de;.r&
volucíéu o el cono :;2+ y2 - 2.~ = C.1 iJz¡
0032. V"ar para 1=To·
3033. : os la velocidad del oambío de.ln temperatura en 01punto dado;
:- es lo v~loCid8d-del cambío de la temperatura en él DIamanto dado :deltiempo a lo largó' de la barra.
'SOM. :: = b es la ~~Ioc'¡dll[l de 'í'oriación de) !Írea. en funci6n de la88altura: ijb= h es Jo velocidad do variación del Arell en función de_ln::_.basu
del rectángule•
.3086.8; =1, ~= -1.1{}:f 1111
SO.'7· Ih, ',~·'Z '3 {)z _, 3 2".,. O~=,,:t,/I~V i (iu =""'-. y a;
3038. :: ""1i4";!:":~ =-airt+~.. ,::•. 0.111 Dz 1fJ30~9.Qir'=-¡-:-;¡¡Z; ~=-~+:;r'
a,' . %~+3~¡¡a:_2i¡;3 iJz" • 'l!'+3:z:3¡¡z-2,.ag3040. D.~= (.;c;+y~~ i . 8Y' ~; '("'ª+118)~ •
30.11 g:_-~ {5."ié';:_,;'{+7):2' ,.'• 0",-- y %'11 11 ,c'I!:·" 0% + ':.':JW'.,~ 1", '. ;,.
~:;=3<5x2y_y3+r¡)2 (5a:2-3p!).oq '\, ~.;!I:<r;<' • '.
3014. En lo ptl~tÍbota y' = 2$..3015. 1) es cQntlnua; 2) es discontinua; es coutlnua con respecto a :11 e·y
por s~p81:8d~;a} es eontíoua¡ q} es discontinu.a; 5) es discontinua; 6) ¡¡g.d,iseontl-D).I8. "Pasar II Ias 'coordenaoas' potares; .
3916. Son las citcunJ'e~en9ias cUYI>Scentros so hallan en el ~t¡gOD de coor-, .' V2 Vi idonndns y cuyos radios SOl! f, T r T 1 '21 eespectlvamente,
SOi7_.S!ln las oir.ounrerc!1CÍss que :pasan por 105jmntos A y B.8025. Son 'lBs,.téct~sy = tt(JI + b, aonde a. = In b,:3026. Son Ias esferas concéntrlcas 'ClIYO c~ntro se halla en el punto Á y
cuyos radios son iguales a 1, 2, 8, 4,302,1. Son ros ellpsotdes de. royotuciÓl1 C~lyOSfQCOS1Iehallan C'U los puntos
Á s s. .Y(~-.:cI)~+(U'-1I1)2 . t- ::J~+
+Y{%':"':r2)~+(U-!l21i!+(z-~)a=const,
Bespueétas al eap. X
" .,in 1 -- {jz 3> --305t. -¡;= -Ii t ~; {jy = u'J. ~ 11
3052. ~ 1 o' t{J% %+loy (Jy= y(z+loy)
3053 ~ =__ w__ • ~ 'l_.- {)lJ 1,;2.+1113 I ih.o t'~+li)Z
~8.{ s: l/JI ,; Y3054. o:t =liCOS Veas-Z+7sen ySOO;-;
8z :r :r 11 f ~ !IDi":: -y:r- ooey cos -; -z sen g-sen -;
th 11 ~ f-J!..3055. T"=~3-7ln3; -='=--3 '"lna.
v.!!: J!'" QI/ z
3OS6. :; _lIi(t+zy)V-I; :~ =zy (1+z/I)v-t+ (t+zl/)V InJt+%yl.
o~ r'; 8, .,JI3Ol)7.-¡;-lIln(z+uH- x-t-y ; Qy=.. ln(z+v)+-;rv'
él: u Qz"JI3058. T"IOOZXzU-1 (11 In:+ t]; -=:rIJ~ lnZ....os 811
3059. ~~=JI.; !!!_="";.!!!!_=%/1.uzo {Jy {J:
8u lJu. üu3060. o:;;-~y+:; a¡¡-=Z+2; 1#=z+lI.
Z
8. .1'-_ JI •S042. ~{J """ /I---¡¡=:-,% 3'y":l:4304a!:_ 1 . /JI:
. ék=V~+yt' {jy
413
8061. .!!:1.= % i (IIJ 11¡¡ce lf%~+y2+.Z -¡¡-= Vz2+112+.2i)", ~
-¡¡= JI' !tz+ lI!+.t. a" 8u bu3062.Tz=3:tZ+311-t: 8//=z3+9:&;0.-2/1&+1.
Ou> fJw3009. & ~/('+IIJ+~Y; a¡¡=:.c,-rrv+lJ.1:.
lIw 1IW~F"'Y+II.+11"¡ Tu=uz+""'+O:II.
3064. :~ = (3:<1I+1I~+;2)t,,(x'+1I'+>'11
~u =2xllt",(;t:4f11+z"¡ ~= 2xu~"'+lIt+.)'vII tnBu Bu3065. 8Z'=2xcOS(:;1+y2+.2}i Bi-2!1cos(z2+112+IZ)í
.!!:= 2.1ces (..,~+IIz+C~)./JI
3066• .!!!..= éJu 8« 1lJz ¡¡JI lJz z+u+" .Ou lLl alL. 1 ~ í}lt U 1- .
SIl07. -1) • =.!. :t ; ::-IJ =- ..:J; ln z; -;c-=- -:;-:1; lIt"'"r. ~ 1J:S v:.Ja_
• ~~ b ~ b 1/'S068. 6;"=-11''% i Yy"y<-Iz" luz¡ Ts=U'z . lu~,lny.
2 1 13069. 5' S' 3070. 0, T'
3071. :;, _2 (2x+y)2""'lIli+ln (2x+II»)¡
: _(2r+U)~:t4'II[l+In(2r+II)I.
9072 .!!..__ 3_ (~+Ül",):/.. ~ __ ~(i~.lDl:)~• O., - % In!i "fii7' lJU - I/Inz 11 lo JI •
307S. :; =ye""""~(1+nzllCOSx%?I): .:~ =",.&cun~(I+iI':I;PC08"zll).
D:: • t .:::.:ca -- ya - V;z.:¡:¡¡z .8074. Tz' (t+i!x2+U2)' 211'.
O:z i-",2_y!_V,,2+112-- . 2118y (1+V%2+g2)1 •
tn 11~ as lr~ In:9075. /J:r; 2.z:(I~:tII) al! = 2(1+:r;1I}
lIespueslas 81 CAp. X4t4
41!092.30'. 3093. orctg1' ,
. i3S!)90. - 22' 3091. 45°.
( O"') 3".~6f '=>1>=-T V bi:=;;2'1"",-
(¡¡", ) 3b _ /oóJ)
8086. {ji.-1I =2 V ~;t=A
11'2 33087. 1 y-t. 3088. '2' 3089. 2"
~ Tu 82 2. ,/ .... ..,.....",-:--,0lIII8S. -;-=y""-'z-= r(r2 t)' donde r= r z2+U2'¡".l2.
iJID 8w8084-.h=(2~2_ysu) 193(%.; Tu'='- (:?%2.u-z.w) tgsc,¡íJID iJID-¡;-= (2w1-%yL') \g3 a; ¡¡¡¡=- (~2e-%)p) te3a,
donde a.=.,zll't+,Zv2-zIlW,S08S. 4.
/Ju8u8u
B~76. ~=-"- y-83: (1,¡-Y%Y)V%lI-"'Zy~8. %
Ty=- (l+Yr.!() Vr.y-:t2.,23a71. 88~ l/2+2zy IJ: z3+2.3:y
- yt+(zui+y",~)~ ; Tv= y1+_(zyz+yz2j!3078 • .!!.- -_!_ • / "Y-~--lj. !:...= _ _!_ ~ /'>:-y----,,--y
8;; - %2 V -lOy+z+y' ~y - yZ V ;¡;Y+z+u', {Js 11 [ ~HarctgZ~ t+2'lITct~~ ]
3079. '¡¡;-= (z2+yZ) (1'+IltCtgZ}) (J+arctg -fy ;, 2
a. z[(1+arctgz'f) +~tg$~J
-¡¡¡ (.,~+1/2) (H-atctg2 f) (l+arctg fr'lJu '4kx bu /;ky ,
3080. Tz= (z2+!I~+ ..a)3 Tu (~+u'1+&i)a811. 4~",'8;= \V+¡¡2+:2)3UU • (Z-y)z-I 8u •{z-y) ...... ,
0081. 0;'- '1+ (z_y)z. ; -¡¡¡= 1+ (%-./I)2ir 'Bu. (%-y)' ln{%-,u!
. iJa 1+(-lO-Y)2.>Bu bu8082, a% '""11' (aen z)uz-1 cos e: Tu""" <senz)II']1l sen z:
íJu8z = 11 (sen %)11%lo tieD z,
Respuostas al cap. X
3094. d..,s=(y3_62:y2)il:t; 4y.=(3zy2_6:rt1l+8y3)áY.xdz JldJ/;1095.d"z_ :;¡.........,.-.,.; dy' 'f =
" x2+y. l .::2+¡¡~V (!l1'_~) dw :r (::;2_yi) dy
3096. d",¡. <%2+112,)2; du%~ ~.r2+lIZ)Z •
3r tl::; 6112dy -3:2 th3091. d"u ",a+:!yl":":3; d¡jfJ.= x3+2~y3_~ i az,. ",3+2yS_:a'
3098. 2;0' 3099. ~0.OtS7. 3100.~.310t. ZI) r(2y~-3"'!l2+ 4z211)11,;,+ (4y2",-3/1z2+2z3) dy),3102. rdz+Y4u. 3l03. 2(~dY-!l&) 310~. 'Ilclz-",dy
z2+yZ " (31-y)2 11VVZ-;r2
3105. (31dy+y d,.)JlDS(zy)'. 310G. t-~:.:2- + 1-':y2 .
3107 4:r.j¡(zdy-ya<tl. 3108. .xdll+y(i..r• (:I)2_y2)2 1+,,2y:!-, .
3109, "",11-1 (yt> 11,;,+n In :r. qy + :;y jo", á:). 3Hq. O,OS. 3Ht. 0,25".3HZ. A. 31t3. ::::7,5. 31.14, :::: 0,005,3115. "'" 1,08.3116. 5. 3117. r.a ± 0.2. 3118. 4730 ± tOO.
6i18sen,C 5cCsflnB3U9. 2(1,,+ SBnBoou(8+¡;) + sane sen (B+C)3120. (lrece CaD la ,,~I~cid'adIgual a 4.4.4",n.~/3.31:¡1. En % ~57S cm~.
3t23. iI~=~ d$+ (4-- ;;2) ap=O,16 cm, es, decir, cerca dé 1%.3124. ~sen'~2" (cos t _ 61:"). 3125. sen 21+ 2¿3t+ el (sen t + ces O.3126. 3-t212 •
V1-(3t-4tSY.la-3127. a~ co3u3senucoeu(cosll-sen o);
iJ.O~ =W(SSDV+COSiJ) (t-3senl7cosll).
o: ,. 3ug3128. ¡¡;=2t;i'l:JJ (3u-2u)".uZ (3u.-2u) i
iJ; 2¡;,z . ~!12~= -7 In (3u-211) ,,~(¡¡u~2ul'
. . .Ou eX dJl ."'+3~.,:iz28129. o; = .,,+~u; k - e."'-j-e""
di! e'" (x+1) Bu.. 1S130. dz 1+zZ~%' ;U3L Tz= .1+",1I
. a.; ( 4 1). ( 2 .r-)8132. Tt= 3-"18-- 2'VI seco 3t+ ~-I' t •
du3133. a;,-=eaxsonz;
Rl18puestaa ~I oap ..X416
y
il167. tI== _ ,ssu :bl.d.r.+ ~en 2y rJysen z
3:161l. z=3.ry;-.y;a 81741. ",=kllrctgf. 317J. tI~= x;¡dz - y:y .3172. cI-- xlix + yd}/ 3ml. dz=V";('tdx-!ldy).~- a a·317~. 2 Ix d» + iI dy.).317S. 2. ~'f dx + 1/ dy).3116. dz=e-'" [(vc·osv-u SCD 1)) d.:r:+(IHOSIJ+uBenu»)dy) •.a 185. t/4, I~ +.y2 iJ2% ",2+,2y:'>' 8'1.. .:>:.y
a;r= Vx2+U2; ay2 "Vi~+!l2; axdg V x2+JlZ'
3H!G. iPz=_ x . 1}2:_ .rS+(z2-y2)V~ .iJ.~2 ~'í}y~- ¡¡ •
(;c~+y2);' <.:z+ y2)1i (r+ V.:t2+1i~)2,iflaa;;¡¡¡= ,¡ .
(.c2+{/~)2
41 iBespuastas- al cap. X
322l. (~-9'!) d:J:2+8:ry d:tdl/+(Sy2-.x2) dH'Z- (%:+112)3 •
3222. 2s(1) 2y dz dy + 2%005 21' dy". 3223. ertl 111/ d:r + %-rlpl' + 2d:r dI/J·11224. 2 (s ih d/l+ y d",d:+ :r ay 'd.).3225. -co~(2%+ y) (2 d%+ dy)'; (2 ¡Ix+ dula; o.3226. _son (r + U+ z}'(dz + dy + lb)'.
ce [(.1)2 . J3) d:t'?o '4il/ (11'l. J2) /IVZ ]8227. -~ 12+Cí -az+Q2iií d:tclU+ ;;z-+-;jí -¡;:¡:- •3228. ~ [lty3 d:t~+(:t1y2+2.:cyt~-~·) dz (IV+.2:3/1 duZ]
(S2 z,y)!
{JI &~f(jy '§;Oj,
(dr-ilu)?.._ (:r-y)?- •3220•
o
=un2 ;;,
l\esplLestas al arpo X418
32.';0.
3248. el!![sen 1I+;'58n U+k Q()Sy+{ (h2seny+2hkco§'v-k1.sen y)+
+f (1l39rul y+3h2T¡ COSg-3h..l:2 son y-!.';¡oos y)]+ •.. ; '1 ~ 1,105i.-\ 1v+zY+2:z2Y-eV3+ ...
1 111+ 2f(2z¡¡- y2)+ar (3z1.y_3.r1l2+2y3)+ ...
3249.
3242. :i' + 2y' - "'/1+ /¡ (3::' - !I) + k (6y' - ",) + 9",10' ~ /ah.++ 6tJkz + h' + 2.1<).3243. 6. ""15,., - filo" + kU + "s.3244. tu.., -21. + 7Ir - 4h2+ lihk + 27<0- v.' -
- h:k + f h'" + {~- h'" + fh'k2+ tll1.";1(1,02; 2,Q31% 2,1726.
3245. 11::'+ Bu~ + c~~+ D%y + Byz + Fu ++ (2.A.t + ny + 11.1 h + (28¡¡ + D:r+ Eo) k ++ (2C. + Ey + P=) 1+ .IJ»+ 8k' + CP + Dhk + Ekl + Fhl.
3246. '=f+]- ("'-7) +t (v-'¡')--f [(=-T)2 -2 (z-'¡) (v-i)+ (v-¡' tJ-
-{ [ cos§eos11(:t-'¡' )3+3sou;eos '1 (z-T)2 (v-'¡)++3oos~son '1(z-i) (U-f)2 +SOQ~Ca9T] (!I-i) 3J.
.,3247. %= 1+(z-1)+(.,-I) (11-1)+2'(z-'J)~ (11-1)+ ... ; '1"" t.t02'f.
Al capítulo XI
do ?p'~ PP'+p23236 ... ~237.' -; 3• • ~=p. <1
WZ+p~)'ii3238.
3240.
3233.y-:t!. 9234.3231.y'-5y'+y.v'+2v3235. - -¡;r- .
~J9Respuestas al cap. XT
00 I W -oQ 001
32~. ~.:.:::. ~ (-1).l yln _~, ~ (-1)" ""'"1/2".LJ mi .LJ (2t1)1-.LJ .LJ mi (2n)! •m-O n=0 'In-On-1)
a257. ,=1+(z-1>+t tu-1l-~ l:t-'l) (1I-1)+-&<II-t)2+...3259. (O,O),(-513, O). (-1. 2). (-1, -2).3260. (1/2 ->1).3261. {O. 0). (O. a\. (a, O). (0/3. ,,/S).3262. O, O), (0, 2b), (a, b), (20, O). (20, 2b).3263, n/6. nI6).3264. (bldl c/a). 3265. (-2/36 -213).32M. (2, l. 7). 3267. (6, 4, t ).8268. A II e son 108mñxímos, B es si mínimo; en DIentorno de O lu super
Iície 'ofrecelo íorma de ellsilladura, a lo largo de EF la funci6n conserva 8U valorconsrantc.
3269. (-2. O), (1S/7, O). cada \IDo de los puntos es oslar.ionol'io para unade las camAS de la fuoción.
3270. (1, 1), (-1, -1 l.5211'. (n, O).Para comprobar que el punto haU~do es el del máximtl hasla
presentar la función Qn lo, Iorrua ,,<&' 10 - (Jl - !J)1 - 2.:n~ _ yi.3272.~' -2).327a. -1, 1).3217. n 01punto (6, 4) se halla el máximo.3278, En 01punto (O,O) no e.xisteal extreme. En el punto (1, i) 90 haUa el
mínimo.;1279. Los valores máximcs y míuim~ sohallan en 18frontera del dominio;
el miíximo os z ... 4 V·s·o.b:aHo en 105.puntos (2, O) '1 (-2, O); el mínimo es • =~ -4 y Be halla. en 'os ,PUIII,oS (O)2) Y (O, -2).'ElI punto eslnclonario (O,O)noda. extremo.
3280. El valor máximo; = 17~e hallo en el pUDtO' (1, 2); el valor mínimo,= -3 se b8Ua en el punto (i. O); el punto estacionarlo (-4, 6) so eucuentrafuera, del dominio dljdo.
3~1. El valor má.."timo e = " se halla en el punlo estacionario (2. 1) (deeste medo 'esta punto result,ll elllunto dol máximo]. Bl valor mínhné 1: =- -64se halla an DIpiloto (4. 2), en la frontera.
3262. El valor míntmc do la función es 1)= 0')/ se halla en el punto (O,O).El valor mi\rlmo es : = ah y 58 halla en los 'Puntos (O, ±tl.
39..83.'OIB.=-t Va en el punto (i-, -i) (máximo).=u\ln""O en el punto (O,O) (en la Irontara).
$284. Toclo~los sumandos s<!uiguales entre aL
1 i (-1)113252*. :t-Y-3(:ta_1i3)+5(.x5_U~)-•.. + 2n-+1 (:t:lll+I_gtn.I)+ .,.
. . :t-yFilarso en qU&arclg I+zV =o.relg :c:.-acctg!J.
Respuestas al cap. ~r420
~3()O. u.máx-~' "mrn=--}. allOI. (~, 2, ~).3802. (3, -1, 1). 8308. a) (-2, O,O);b) (2, O,0.).
8a.bc3304. El cubo. 830$. El cube, 8306. «rs :3 l' 3
3307. SI R es el radio de la baso de la tienda de cumpaiía; H. la altura dola parte cónica; h, la altura de la CÚSlIido oúniClB,deben vorlf1carse las siguientesrelácionee:
R=hyg u_!!..2' '.- 2 .
3308. Si l es 01 lade del trapecio. b, lb baso y Gt, el állgUJO do ínclínaciéndel Iado, deben verificarso las siguientes relaciones:
¡~b= W .a~]-. donde Á es el 6rClidada de In seecíén. La superlieio
lijvnd" es u=2V8·vA":::::2,632 VA.3309. El cubo.
• a••11=bc+ao+ab;
ab.. - .,.bc-+.,....:;a<~+-r:aLb •
n "2i J:r ~ Uf,.. 1 ¡~I ( .r.:;; ) ( r-)3288. z=-n-' Y=-n-' 3289.. 3, l' 3lJ. p; 3, -1 as. O.
8290. El. cubo. 3291. J!:nel punto (l. f) ~stt\ el míntmo, e :: 2.3~9~. (a. a) 6 (-4. -a), • = u.1 (el máximo). (u, -a) ti (-a, a), : - -a'
(el mlDII1lO). '"3293. (-aYa. -aY2i. & = -1(2i..(01mínimo), (0'\1'2, aY2i.:~ 1(27a
(al máximo).. t b J Q.
3294. Los punlOo9eslacmnurr.Jos 80n z~ - "2 Arotg -;¡ , Y=2 Aretg b'3295. (3, 3, 3), Il= 9 (al mínimo),3296. Cada una do dos do las vRrlahlos es igual -a 2, lo torcera es j!rll~1 1\ .¡
(01mínimo igual n I¡)i cada una deríos de las vsriahlee esígunl a f .la tercera ea
iguDI ti f (el máximn igual a ~~2) .
3297". Analizar si la Iunclén 4+4+··· +rn tiene el mínimo GllGltolo"
~t+z2+ ... +z,,=A, En genernl, os valida la relación 2i4;;¡,( 2i"'¡ )~,,. n
3285. Todos los Iactores 5011 igunles entre 61.
3~6 (~~) 8ZS7. ,.!.-,.,.!L,+.E..,=:1l .. 5'5' o-'b e
Respuestas al cap. Xl
3S10. Cada uno de ros lados de la hase es igual a 2ct+-V.iV. la altura el>d05 veces menor: (ct+i:~). 3311, aS (el cubo),
33t2. El úl'Efa mfnl= D5 iglUll a S Y3al1.sns. ( V5' :5) -y ( - ~g . - ;5).3314. (-{, -.}). 8315. (3,'5). 3316.lfmáx=2.
3317. LO~ Ludas del triángulo SOII v'Ts". 'V"2.f y 2 ys,Ti . 2aV,2 2b yi
3318. La aHuro. es 3' los lados de la base son ~:y --3-'
Sel volumen es V='i!f' abR.
33i9. Es el tetraedro.3320. La normal a la elipse. en el punto buscado débe ~rperpendioulnt'a la
línea que une los puntos dados.Sazt. ("a !lormál debe ser trazado en ~l punto cuyes coordenadas SO)'I
(± a,V /Z~-b • ±hVa~I1)'3322.(9,*,~); (-9,-i,-~). 332S.2y-á.
(3321. ;t+ 11 = 2~ 1J = x, 3325. !1i - y. + a = O; ~ + y - ,3<1= O.3326. ::r+ ~y - 1 '" Oi 2x - !I - 2 = O.3327.• .t: -!I +~=Ojz+ p. - 2 = 0.3328. (O. 0).3329. (0,0). 3330 .. (0, O).3331. ~a,O). 3332, (O, a), (0, -lIl, (a, O), (-a, O).8383. 2, O}.(_2, O). 3334.. (O, 3), (-3, O}. (-.6,3).3335. O,O) es .el punto doble. 333S. (O. O) ea el punto aíslado,3337.. O. O) ea in: terminal.3338. kn: k = O. r 2, , .. 900 Jos puntos tle retroceso.33311. (a, O) 9$ el punto do l'tlt)'oce!lo, 3349. (O, O),~a~t.x=. -t' (al. !I= f (a) - (if (a); 11 = '"arcsen It + V 1 - ~.334". 16,y* + 27"¡' '" O. 3342. y' = 4aw. 3844, 11 ~ xl" O 11~. -xlz.33~5. y = -,;,/4. 3M6, !I= O Y '1611 = (1110.;1347. y = ·ze 11=; '" - 41'p. Lª primen, ecuación es el luga~geométrico
do los puntos singulareSi' Ia segundll, 'la envolvente, ,"2 2 2-
2. ?, - - "33<i8. ,,,,2+ .r- ¡¡z=,O v ~- -:r y$=O, 331i9.:i+.i =<f ,. 3' f 3. . • ;1 l' ;¡ .3350. 4 rectas iZ! ¡.!; li. "" ±R. 3aS.!: 2b¡j (Xl+ ¡j~)+ q;2 = Ó.3352. Paeábola ~ +Vv= VQ.
335,3.. Ci~loide z=1- (I-;eot), y= ~ (1-cost).¡
y~ a3354. Elipse z2+T=Jl2. as 55. Hipérbola %1I=<¡-.
3;157. Evolula de l~ parábola ¡p- 2~P (z_p)9.
"3-9 a" • b l f 1o o. Jp~r o as xV=2 'Y. ;ti!= -2"
Raspu.estas al cupo ;xI
l.' k~""'''+li+---;r:t=-¡t- ..
M'r~ &la 3
, dt' (l)3370. De la igualdad n,"""'dt"=O. doucJe ti< '\'<1:.
!Seqeduca 11"11eh lalinea C6rrl\d~ (debtdo a la 19ualñail r (/,.) = '1' (t~» habrá unpunto, en ~l cual la. tangente sea 'jl(,r'poJirliclIlar a cualquier ilirec.ción prevínrucnta' d$(h,\.
3371. La hodógraJn de_la velocldad 'v {a CO$ t, tI sen t, 2btj es 111.18hé)j~o" laboQ.\)grnfuda la tlce)'oración 10_('':-11 0071 " <l cos 1', 20) .()8 une cireunlerencia,
d1' d,,.3372. La multiplicación ~.sl\lllnppor (¿ y por '1' da: fl.¡j[ =0, "di = 0, De
donde: .... = const, 08'1. ecuación del plauo, r" = e<lilSL. asla ecuaetón de>I~ esíera, t1l !:1'~J'O(l.tOl'i8buscada -1)5una c,ircuMereucia ,cuyo plano 9S 1l\:rpcnd!oulRJ' alveceor (f,
3374. Elipso_ t,'q velocidad es má):iniK RP elmomento eu quO01punto mll\eeial so halle ,al final dél semieje meuor, y es minirna en el momento en qué elpunto so halle al tinal del semieje mp~'(lr,[¡9 lIoelerll-cí/¡n es m¡I",j¡nn.(n,ínima)un 01 momento en Que la velocldad es minlma (mí,xima).
337Ji. Oompnnantes de In velocidad ':J:; r ~;; ¡l :;enq> ~~. Inrj¡c4tiÓIJ.
d-,.. Idl'. urHallar 1!)S lP'OUUC(,usési:alarcs Tt ep: Tt oql; dt to·
pi t3 ~2.t-T Y-T ~-'T. tO l' ~
:~71l. --¡r=-t-'-=T: i-z+lv+,- ~+"3+2'aV'~ 'a ¡tZ kz--¡- 1/--2- :-'8
3:i77. =--'-Q y~ " V2 {,'
¡¡" dl .. 1S31a. a} 4''''7 =\21'"I,--;w-;'
b} (!~'r+'" ~;; e)~'X ~; ~
(1) (".!!!:. aar )dt dt3 •d..3362. De la igualdud -;¡¡=a. (¡)." se doduco
d2r da , a., (da . )di2""-¡¡¡- ..,+a.d¡= Tt+aa ,·=p(t).r, etc,
3363. Derívando 'la igualdad ,4,,,,, con9~ (vés,~e el ejeréTt<io3'S61)'o))t:enemos'1',~'= O, La tltng,ent:e n_la Iínea esférica (o ~~"!! in linea situada, 00 la, eslera)es perpendícular al radío de lo Ilsfera' trazade- al punto ,do ~ntM¡o, TDmbtén 'l1livel\lfiaa el teorema ¡'1l'~erso.
dr dI" ,p..,. '¡-¿1' el-r3368, -¡;= du IV'; ¡k2= a,,~ 1j)'2+Tuq¡';
,p.,. ,p.. ~I' ¡J,.a;,r=-;¡¡;3 ,p,a+3 fii]i: ip'","+Tu !p".
423Respuestas .al cap ..xr
%-1 Y 0-13389. 2= -.=-3-; 2;-y+3.-5=0:
.,-'1 11 z-1 %-1 !l :-1-3-="3=-=1'; 3z+3y-x-2=O; -g-""-H=-=a:8%-t;l.u~9:·H""O.
Zc-i 11-1 :-1 ' z-1 v-1 :-t3390.-1-=-=1=-0-; z-U=O¡ -0-=-0-=-1-;
%-1 g-1 :-.h=d¡ -1-=-1-=-'-0; %+/1-2=0.
yi V2z-- 1/--.-3391. .1':' =~=;:-1 ; J(lix-f2V+4:=4:
r 2 -1' 2 ..V- ,n5",_2 lI-d2 2 :-t ,r· .1'-y'j ,=317T=-.-; l' '2%+3l' 211+·-5=0;
z-Vi-Vl!sb'l'
t/1- e1
Z-t-t-=
:-10-(a~.b) .
Y-l/o
V 2bzo
~_)f2 .
Vi1
1 (ro "'-~ Y-e3387.• :z:-ty-l 2:+2=(); --1= e
3380. ",-1 /1-3 ~-412 =-=r=""T;%+2 y-i a-627"= 28 =-¡-;3381.
Q''"'8 e-: v-iBa s-72a +6 +36 2~"'",..,. . "-""=--6--=-3-6-; ~ ., := lvuu.
",-~+1 -2 .11-1 s-2V2 V- n
3\110. i =-1-= Vi ; "'+11+' 2'$=2'+'"
Respuestas al cap. XI424
:--2 y-l z-~3410.a",-Sy-z=4; -8-=-=S= -'t .
, .z-1 y-t ,·-1MiL ;t+iI-,,-,j~O; -1-='"1'=-=:1' 3412.=+11=0, %'=0:, y=a.
",-3 y--' =-1''134l3.17",·j-1ill+S.=60¡ ~=-1-='---'• r J i)
o ( 'l )3409.2'1+~ \n3 .
3,¡1)9, =~ A = ".I,xl'" "=(.,,lx'r")X,r·~ 1,"1' 1'1 I"')(""J' 1 ',r'H"'X"'¡-
3400. 't¡_= 'II, X fli: 'lit =~ X 't,,~Ih = '1 X",.MOl. El vector buscado (1) (si ea que c.xis.lAl)es susceptihle d~ see presentado
en la forma(1) = «(I)~¡)'tl + (lnv,) ". + (M~¡)ji,. (1)
Do todos los I!ll,t.o~QlC.pue$t(l~en oJ 4?joroiclo(teniendo en cuenta los IÓrtinllns deFréoet) se deíhJCo que
I1lX'lt=k\lt; IIlXV¡=-J""t+Tlh; (!)X~l=.,...T'\Il' (2)Mul\iplicando ellta¡¡ ig't!al'daQ'es de mollera 'ceci,llar por '\11,~, 'f., reepectivameate, obtenemos (l)ll'" T. (I)'\I¡= O, (I)~, = k y. 1)0r consiguiente. (1) = 2',,'1++ k¡>'. La sustitución en 1115'Fórmlllús (2) muestra que I)!te vector s$tisLl.ce losdatos expuestos en el ejercIcio, .r~ 3n3402,. 99+ In 10 ~ 101.4.3. 3403. a In (1 + V 2) "" a In tg -¡¡: .
34040.1(3' (ct - i). 3405. 5. 3406. 4.., 3407 .• V2:. V2d+Vx3408. a ln - r .V2a~1 :r.
1:1 ~ :31=',:~~:1 6, 02 bs .tI "2
3396. R=V2coS<Jc2t.,,~
gil9f;. c'b" t .S. ~
Yí . y2.z-T Y-y :-1---¡r=---=s= -4 Vi; -132:+,3y+4V2z+Y2=O ..,+1 y-13 :.3392.-r=--gr-=T; :¡,"+3y+6~=a1;
",-H lI-f3 •-(S~""'-'2-=-::a; 6,:¡;+2y-3~'=W.:
:1'+1 1I-{3' 1)--r=--=-6='2; 3.z-6y+2s= -SI.
3393. Para Gualquler' punto de la linari lR ech~ciol) del plano oS$lul~dot\es3.x - 2.1' - H = O. () 5(,8, tolla ~a tine8' per¡~nooe B esta plano.
3394. m plano osculador es el mismo l)MS todos los plintos de la Iínea. Sueouacién e,s
Ri¡spuestas al clil1. Xi
.:r.:t :c- { 11-1 z-T
34t4,~-!J+~-2=O; -'1-=' ~1 =----:¡-- .., y = .r-MtS. -;-+-¡;+c= r 3;
a (z_a:r3) =b (u- b fa) ~~(z_c ~'3)._ :r.-1 V-2 _+1
3616. x+ Hif+;,,,-i8=0; -t-="'1f"=-s-, r-'j y-J %-(
3!i11, 3,,;-2¡¡-2:+1=Ú; 3""=~=~'",-1 11-1 :-2
3418. 2%.+y+1h-25· ... 0; z-='-t-=--:¡-:¡-', ",-2 y-S .:-6
13419. 5¡¡:+41J+z-28=0; -s=-'-T=-¡-'~/ti . ../TI3421.%-y+2:= V '2 )' x-Y-r-2:=- JI 2'
3422.x+li+t= Ya2+bt+c2•34~. Todos 1<>.5 plnnos pasan por el nrlgeJi de cocrdenadas,
342;>, "'O"'+Yov+%os=a2; '::"'_L="'::","'o Yq Z¡¡
3426. !t:tO_11110"",2 (~+ ), a'(z-<rtl) = b,{y-y.o) =-~oaZ bZ ZIJ 'bzq alfó 2ab •93428.:ra2. 3430. 2.7:+y-:=2, 3434. ~-2y-3a+3.
3435, Es paralel,) 1\1plano "ay en los puntos ,(0, 3, 31 y (O, 3, -ilo al .plllf\oya. en los puntos (5',3, -1.) y (-S, 3, -2); al plano ±O% en los plLU(OS (O, -l!..-;l.) Y (O,S, -2). ".
3{¡llG, 'al ~OVDX - 3 (40 + vol y + 2J + (tlo+ 170) ("o - 4"óv. + ~)= O;h) .s (;t~ -, 1/,0):r: - 3"0 (11+ Yo) + 2: + 4'0 =- O.
3437, 2. (:i' +- y' + :')+ p (:e'-+ y1) = O.3438. (x~+ ,y' + ~~):t= 27"lll''1S. .3439. 1.) {-2, 1); 2) {1()xy - a¡¡a, 5",2 - 9,~y2+ 4y3).3440. f) 6t+4j.; :l) ~. (2i+i); 3) -!¡~;ioj .·3<H1. 1) tg q> ~ 0.31.2. !ji Z 18° 52'; 2) tg op, :::::: 4,S1. q, z 78° U'.3442. El semleie negatlvo /J. .3443, 1) coa a:;::::' 0.99, (:t. = 8°; 2) 'cos ex.z -0.199, '" Z 1(11·30",
34'44. tI ( - ~. !):; (~ j - ~ ) i 2) Los 'puntos situados en la
clreuníerencia .l:?+yz=f.
Respuastas al cap. xr426
/ (:r, y) dy.
3488.1 l~",
j d:r. J I (It, y) dy.o x-l
.!. }'r::;i2 2
.3490. J ti". 3 J-!: --f v'{':ii
2. 2-;c
3486. ) d% j f ("" /JI d/J.o o
n3484. -¡tU'
24<1<72.3477. 1. ~78. (I-I)z.
2-y23481.lU--;r¡r.1+ y"
vi lo-x-
3489. J dz J f (:r, y) dl/.- vi ".~
3482.n-2. 3485.2.soc+¡
~ -2-
3485. J ds J f (x. y) dU·~ 3x+t-z-t V l-.y2
3487. ) d:r. ~ f(z,lIldy.o o
3474.0<1< : nR5. 31.15.3476. 28nya< 1<52n ya.
3468.2< I <8.
3471. 4<1<36.
34M. E= r J J 6(%, Y. z)dv.Q
3467. 361t<T<fOOIt.2
5469.-8<1 <S' 3470.0<1 <64.
M72.4<I<8(5-2YZ), 3473.4n<I<2.ll.
.3461. E"", J J a(,." vldo.D
S46(). M= JI ')'(".q)do,D
3t62. T"", ~ (J)l ) J y2y (:r, v) da~D
3463. Q=(t2-1,) J J ~(z. 1I»)'(z. 11)da.O
3t64. !ti = J IJ l' (z, y, :) duoO
3466.8n (5-1(2'.1< 1<8" (5+ YZ).
j3~1i9.7'3~56. -22-
Al capítulo XII
983455. 1) 5; 2) 13'1.3453. T'
3450. t) 2.·; 2) 2-1'~ ; S) 2.l1"(;·2)1'; 4) a.(b'l')+t.I(fl·r); 5) lt X 1>.'1'1
34:jt.t)O¡ 2)~2; S) -y5; 4)COSo:1seua• 3452. ~2.
427Respue$ls 01 cap. xn
2 u '23.'i02. J dy J I (x, y) dz+ J d!l J 1(x, y) cl.%.
t 1 2 11'2
I V~J dll J I (z, y) d»,- ¡I;-::v.t
Vi V '-21(13501. J dy J ; (z, g) dz.
-V2 -¡lt-2I1'
3 1'9-:'
+ J tIz J 1(z, l/)dV.2 _ ¡tg::;J
8500. J dV Í /(x. U) dz.r- Yr§-u'
t "
3'498. S <Ir. S j (r, 1/) dy. 3499.
o l:'
.2. l'~ 2 V'1+x'34!l1. J dz S f(;r, Y)dv+ J dz J fez, y)dg+
-3 _ ¡l'S=;¡ -2 _ Y 1+'"
a 24-4.,
+ J eh, J fez, /I)4y.
f -21'5
2 2:.: 3 6-x3403. J dz ( f (e, y) dg+ J dz J /(x, y) dy.
o '" 2.:t1 2 •
3494. T dr "'f 1(". 1/) utt+ I d:z"f /('1', v) (11/+ I dx 'tfez, U)d.y.2 1-2." 1" .2"
-'3 T T2
1 ~x 2 7'SI¡g:i. } dz J f(z. y)dy+ J d.c J I(r. y)dl/.
0;'( 1"~ '2
92 2..1: 2" 21rii
3~!J6. ~. dz 5 t v, y)dy+ J dz .~ 1(:r.. y).ty+-2 ffx 2 -2 VÚ
I .r:r3492. J dx J /(z, g)dll·
n ~'-
4 3+1··h:-.....
3491. J dz J f(z, 11)dv.o 2- "4>:-><'>
Respuestas al cap. XII428,
3500. 1) i); 2) 9¡ 3) i. 3[..07. O. 3508. I~' ;\.'j()9. *.3StO. -2. 35H. ~ . 5512. j~5' 3513.4. 3514. 3. )1515. 12i.3516 ~R· 0'17 6 3~·1S.abc(a+b+c) ""I"..!:. .,~.,,, ~. 3 . .,., • . v 2 . "" v. 48 . oN/JJ. 110'• 1 ( ñ ) 1 n2. 18521. 2e-5. 3522. T Ln2-1f . 3523. ~BO' 352f •• -¡¡¡--'2'
2:< R.
352:;. 1) J d<p J f (JI eos!p. p seo '1') P dPiD on2' O;COSQ1
2) j dlp ~ I (P COS (P, P sen <pI fJ dPi1( o
-Tn b sen qJ
3) ) dq> J I (p coa q>, p sen <pI p dp.o o
I (r, lI)dx.
a t+ 1"~7~.);-.'t:
3) ) tlz j f (x, U)dy;-1 11
9_113 T
2) ~ dy ~ j (:r, 11)d:t;I JI.,..l
-2-
i s+,.'¡-::vi 2' 2+ l(t¡¡:¡¡'i
4) ) ay J t (r, 11)dAl+) dg )o 1-1'l-V~ 1 2-1' 21/-11:
u+o2 2v h T
Sl\05. 1) J dy ) /(J:, 11)k+ J dy J j (:r.. l/) d:t;n 11 2 211- 3
"2
• t e 6-U
3503. ) dy ) f (x, y) t(:r;+ J dlJ ) f (:t. y) k.o o 4 o
1 2-~ t 3-2u35M. 1) ) dy ) f (r, 1/) <4; 2») dy .i I (z, 1/) q"i
o ~ o lf¡¡
I 2- r'2W-~i3) ) dV j f (;¡:, 11) tIz.
(i 3.u-
429Respuest~ al Gap. XII
,,-T a',um2q>
3MIl. J IIcp 1 j (p cos tp, p sen rp) Pdp.l' O
"T R.3582. S dtpJ f({1 COS ff" p son 1Jl) p dp.
O Ott:r 2RS61ltR
3533. ) dIP. S j (1' cos 'P, p sen !p) p dp.
" n. ~.R aret¡¡R
353Q. ~ S f (p~)pap. 3535. 3i- J J (111rp) dcp.o O
:i536. T [(1+R~rln.(i+R1)-R21·
3~11. llítt:¡-2) . 3538. nJ12h. 3539. ~s (n-- i). 3.'\40. ~2
-:¡T "VCOS)!qi
3.'í30. ) d'l' ~ r (p C09 '1'. P IlIlD 1Jl) p ap." Ó--¡-
1t
T see e3.'12&. S d<p J f (1' ces <P, p son cp) p dp.
·0 o"T z
3529. ) aq> } f (1' C08 (ji, (,l sen <p) P t(p.
O 'V2oee(<p-i>
"+ J d'P"j"I' f(l'cosq¡, pS~Dp)p·ilp.
Bretll¡, o
.rct8 2 8 ces '"1152ü. S ¿¡<p' S t (p cos 'P, p 5e~ cp) p tIp.
11 4 ces '"4"1lrClfl'i ~sen",.'
3527. J tlq> .í I (p coscp, p san '1') Pdf:>+o
nesJ!uflIltas al cap. X.U
n2A ir 2Rco5e
+~ (l¡p lson e lit) ¡ J «(' COI! '1' eeu e, p 8011 <p son e, ,.,eos 6) p2 dp .
T3552. T' 5553. ~ n'l.. 3S:;4. I~ nR5• esss. ~ .
n2,. T R
j dq>J sen O ae ) !«(1 cos/¡J sen O. l' sen '1' sen e, l'cos O) ,)2 dl'+o o o
R 11'12,. '!! 1/RS_.2
5S51. J cl,!, J pdp J J(p cos'll. pseD!p, .)dJs óo o R- }I ¡¡2-p~
TRI/cm; 2IP 1/ Ro¿_ 02
J drp J jJ dp J 1 (p cose, "sen(Jl, .¡ch.- T o _yR2_"Z
3550.
i T R
3.')49. J ooll.8d(! J clip J .r(peos<j¡s~na, p son rpllell e, p cosa) p2dp.o o o
ltT 2coscp I)QJ clc¡¡ J P dp) .1 (IJ CÓS<JI, P san!p, .) rb.
" o 11-T
3&~8.
1ti, T )l
J do J jJep J l(pcOSCF. 11I!CD "'. ;¡)'P<lP·O 11 O
T
""'i 23644. :r=apcos'll, ¡¡=bpsso'l'¡ I=ab J <ir¡> J /(Y4-f)'t)pap.
O I
3543. %=p coS"', s=Y3 psene:n 1"1eos' c¡> sen q>
l=ya J dQl 1 ¡(pC08(jl, yapsep<p)p<lp.o o
2" 1
3542. %=~pcos'P. y=3¡¡800'll; 1=6 J dq'l J t(2pcoscp, .!jp~en'll>pdp.o o
4S1Resp.uestas al Clip. XJl
3556.-&ntR5_;~). 3557. 2; . 3558.n[:q(ffi+ID1~-=:'~-l'rí-8]"
:1.;59. 186f. 35611. i (~z+ ~). a56l. n:c . 3562. Ü!. ilS6:!.{,
35M, 78 ;~ . 3565. ~ 1f6. 3M,i(i. 16. 3~\i7. 4-::;,
3568. t3i. 3569.1'6+.3570. ar2 (~ --}). 30m. 22n., '16 . "·4I1b 33572.T R9. s.~7a. 122T; 3'á7~.15ii2' 3:;7:;.27. 351(í.8"3'77 88 3578 J 11 lll"79 naS 3.íSO .) ( 2_ 2eS+ f)'n • 105' . '3a e •• 0 • T,' .~ e -9-'
3.~81.U-8. 3l>82", 4e~.2~ l. El cuerpo es slrnétriM respecto 111 plnno
Y=if. 35S3.2 (:¡'l._. 3;) • 3(',84. r,~'i • 3M~;;. ~6. a.~(i. ~ .
OC07 'O 3588" ~«'9 s R3 ¡¡-'lO 11 3"'-'Q ~ IJ n. , . _Jt. 'J.ro .. 2' 3t . .... t ;rzr_a ;
"~91' 11 z(:'t 2) 3-92 tis ~"'9~ 1.5( ~¡r +. 1)_,a . '31L '7-'3 . a . 24' .>;'loo>. '8 S . .
3- 1. 3 (1( ) 3-" rr 112 0<') • :t~Rzh <9" 1all... '2 2-J . ,,9,1. -V;-. ".•.4:.~. 3·, 1'2". ~9B 2 ~",,,. b' 3" ub • 60'1 16¡j•. ,"~iJiJ.ll,I. "UO'O' ¡I '3
3(i02~. -S5!l1l2• Pl1$& a 11\;;coOrlle"l'dllS polares. 3603. 4",."
::16M.Zaz, alio!\. *. aceu. Ii~ . 3f107. liGo'
:~6()8a, 1') aJ2¡~2 ; 2) ~ 11. Vulerse ('el rcs\ll¡e¡)(, del ejorctcío 11541,c'" .. ll
S611n.8. a610. 17~, :~(jt'- ~~ . ~(jl2, 4 (4.- :;I.llJ.3).
36Ü·. ~. Lu "J'oY~cd6ndel C(I(!J1l0 al plnuo OXII es UD circulo,
<lG!4, ~ . Pus"r al origen de coordenadas al punto (~. { I O) ,·ig t-5· ., ..361.\·. T". y Tre, Pasar I! 1M C()9rtlcn3.d~s e..Hnqrlr.as.
3616, 1~ reRs, asrr, ~, 36tS. ~!nR3.¡¡61!1".{"a3, PIISlI[ 1\ las cocrdenadas esférlcrls. 362\1. íl~~'
362'1 4 3 362? 4 3 36?3 64 a 3624 "za3, '4' tia' • ~. 3'1(0, _. tOlí"a , • -6- .
3625. :21 (2; Y2).1t. 3tJ26. jtÍ. 3627. 31l. a621t 8".
Respues~s d' cap. XlI432
28-0176
36Z!1.2 V"¡¡ lIpZ. 363~·, 2nRz, Proyectar la supcrfic!ó ~obru el ]llano Oy:.u
:i~f. 8Y2¡z(1, :1632. ~ (VS-1), 36~,t 2; ((I+R2)2_i),
3634. 2; (YS-1). 8635. 411(1(a.-V¡¡~-JI2).
3636. 2F(~(n-2). 36S7. 2R! (/t+ 4-'- ]12).3638. ~ {3 Vi-l/jj- '\(22 In 2+ Y210(1(8+Yi)}. 3639. ~1l21. •
.. • ' .' eCD o:
:l6to*. ~z (ys- "Ií) :::;:3.'2· I()8/rmz, Pasar n 1M coordcnudhs esféricos.
364'1. '~GlIa:¿. 3642. 8R'l. 3643. o~ • 3644, t R3•• 3641i, nR3,
ti' ah'/..364(í, T43. 3M7. El momento e81áLléo C$ Iguol ¡, T'31>48.El centro de gravedatl SO Iwll:.t en 01do menor. " la dist.'\ncio igulll
a ;:; tlel ('le nllIyor (b es ~l eje menor).
3640.s-= (1-T) (·t/'i+t). 11=a{ (.y-l) (2+'\(2).3650. El eoatre de Itrnv~d"d se ¡milo 00 lu blBcclriz nOI oI.ngulo a. 11 1M
r:t4 seltz
tlisl.ancilt IgUQI n 1fEl -G(-- del centro del elrculc.
3.151. .El centro de grnvot!nd se h~1l11en 1" hisectrh: dl:1 (wgulo a. o la
$ttl3~4 2
distancio 18mlln "3R a-sen G( del centro del circulo.
:i6.'i2. ~- ~ , '1~O. 3058, f:t114. 86.'>4.iOA. 3655. ~'lll.a+b21.nb(02+b~) al.. 31tR' (2h2 cr.~)
3b'OO. '12 ' ~7. 48'(0-+'2"Z). S6.~8. ~. 36l\9. Dr, 7+90 '31,60*. Solcccí(lhar ",1sistema de coordenadas d~ tal. n,(I(I" que ~I or¡gon do
coordenados ~(/¡llcldl\ COII eJ centro de gruvMad d(1 la ¡rgura r que uno do 10$ejes de eClor¡Jeo!\d.n~seu paralelo al oju respecto "' epol 9~ bttSG11 d mcmeato ,lleinercia.
3'''''' n2br, Qb2, a/W- stitl4 ~ sees nabe'<""". 2 2 Y 2' • 4' • t,. 1'4 211 8. a 3 :¡
:'1(,(16.'-15 111='75' t=1f' .i667·I;=ao, 11=1fh, t""sc.?r.Lw' & 12 _ S 31'09.'8 15.r:...;2.>vuo. ~-S' 11=5' "=5'" .$~T' q~16V 1), ""'7'"~ • ISa (6'/1' )",,70. ~-o,'1=0, \''''''8'3 v ¡H..5 •
~ 3R .Mil. S=O, Tl~O, ~=8(t+cosa).
433Respuesto.s 111cap. XII
3612._~=o, ~1=O, {= ~-- 3673.~=4}, 'I""~ • i.= ~ .. 55+9Y~
367'_ 6='0, '1",,0. e 130
307lí. + ,11 (b2+c2). -}-M (~z+a~), {-M (112+&2) Y 112 Al (aZ+b~+cll).
3676, -tMRS. ~611.?lIf(bZ+c2). tM(C'l+I'S), i.N[(a~+c2)-
, 8 f(R~., 1P) M 'z "'z " 2. Rfi_"s367 . .J" TTT y JZ (JI +31< ). a,l7\I. 5"M w=;:a-.
3(i80. ~nRa}'{(3RZ+Jl2). 3681. {M (fli+-}flZ) . an82. S.')+6~l(3Mc2•
3683. ~ (R2+r2).' 3684. iu,2. 36M. 2JtrfR-r),
31)86. il'ab2, 3687. 2Jty (RZ- ~). 3688. nR;L{ (3RZ+2.82),Jt'l'Ii"'s tg2 ('1.3689*. I! '3 . Si 01 ojt¡ O. SIl,toma por el rlel CODO y el ortgen do
coordenadus, POl 1. vértíce, la ecuación del cono (Osa:2+U2-z2 tgZ<:t=O.
a6~O. {.n1'R6, 3091. n;s (18ya-~ ).. S '
3692", ~=O, 1')=0, 1;=:.r R. lYasar 8 Ies coordenadas c1lindl'iCus.
¡jG9S·. ,,5890ItR6. VéMe la illdj~ac(6n ni ejúrcicio anterlor., • I
3694"'. Seleccionar el .sistomn ~o coordenadas de t¡¡lll'1odo que el ori;gel).deeoordenadas coincida con el. centro de gravedad del cuerpo y uno (l{l105ejes decoordenadas sea paralelo all)je.-1!lBjlccto al (lual se busca el momento de inercia,
3695. M~m" donde lr1 es '1j1masa de Ja oslora, y k es 111 constante g~avi-a»tectonal.
3696·. Vale.f\!Odel resultado del ejerctcío anterior.-l7 kM ' •
'36,97. "56 Jfi' I k es ]a constan 11)gravi tn"ioDaJ.~699. Ji;I,ce.nt,ro do prll~ló~ se hallo ~o 111eje de simeMíá d'el. r@ctó.ngl,llo
perpendtcular Rl'I~!lo <1, B In dt8~nñc'ia Iguul o {¡¡ ael 111110sitlilldo e~ la.supsrficle, En el 8O&ugdo !lJI80(e) lado 11 situlIdQ 1),' In profundldad igual tÍ "l.la distancill que (T1e~ioentro. ~1 :conl<ro !le presión 'y el Jado superior ser!, igual
320 b+~'l. "'. _ . ." "
11'3 ,b+2¡ , tl.ondo-z='sen.a • (Para Z;;' Ii 01 centro de llfll,S16n casi ~¡nclde'GOIl, el del !'ilct~ilgutQ.)
" .' 3 •3700. al ir Sella¡; b) Th.800 11..
3701. El centro de 'll~esíón so hlüla en el ojo m::(yor do')~ eli¡iSé, ~ ~1Ia'di,st~n!li:j igual il a+ '4 (a+/i.) da 611 extrémoBI!1lurior .
Respuostas al .cap. X'II434
28*
3741. ~ rn('J+a). si a~O; - ~ ln(l-a), si a";;O.
3742. I 1+V~n 11 23743. n. arcsen eh 3744. ntllCSOna. 371.5. lfro;.
3740. ,,\Y~-I).
7t vn; valerse de la In legra.
" 3702·, Seleccionar e~ ~istQma, ~o:~oord()nadás ail -tal modo que uno' de 1'69planos de eooordena~as ccíncida cpn \llde Ia.píaca y U,I;>ode ]o$,ej~8, con la línea¡I~\ntQ.r5\lcCl9MI."la superficie de1..)Iqi,ijdl!con el.plan.o de ,la p)alll\..
3703. Diveege. 3704. 2.lt.
3705. -fa,. 3701i. 4. S701, 2. $'l()8. +.3709". -2 IX • Pasar a las coordenadsa potares.
sana
371M. i. Camhlar el orden de integración.
37t1. la. Véaso la indicaoi6n al. ejercicio Dntol·io~.
a71Z. Converge, 3713. Oiverge. 37t4. Converge.'1715. Dlverge. 3716. Nó.
J 8 3 lt37 7. t5' 718. 1f ."" V-
de POiSSuD J é·"~dz= 2'11.O
372(l. Diverge. 3121. Convergo. 3722. Dívergo,
3723. : nita (In R - ~ ) • a72.4*. n. "(W-aBe la Indícncíén al elaroi-
, ,n V"jf , + ./--clo 3719.) 3725.4' 8726.-2-" 3727.2nlnlly (R H- l' R~+Ji?l·La fuerza-está dirigida 8 lo largo del éje del cilindro, k es la constante grav¡t~cioDal.
2rtkm"JIS728. --¡-- (L-Jl). donde L es l~ generatrIz del cono. L3 tQotza e/lt6.dirigida a lo. Jugo. iM ojo 1M cono,
o, ) • 'l.. 4 ( ) 4 kM",3729. ¡t (l=4'Vc-~ro. b=lf "e-Yo); b T"k11Yc=nr'3130" Est~ dMhlidll por t(IOnS p~,rt(!l!¡)~~opt();;="0. 3731. 8.1.
b {5a~t.gb. a . b}3733. 8aT (a.2+bZ)'l+7ib arctg:";" ,
1·3·5 ... (2"~3) nR7M. 2.4.6". (211 21 2ó:2n.-l (n> f).
(n-m .• n(aZ+b,2.). ,. ,3735. --",-, - . 3n~. 41 a/J I~ : Derivar re~pecto a (1 ''/ ti '! sumar
ros resultados.3137. 10(1+0'). 3138. ~ .ln(t+a).
435Respuestas al"cllP. xrr
..,f sen,r n;.y tener 00 ouentn (IU'~ J -x- d:C":r (uJtcgruL de Dlrlohlut).o
~) MnIlz c:' (,;5~nO) d»
1)
pum lal>1 y lal~1. Para ello rrunsíortnar 1.. t'xpJ'l!8lóu del numurndor,
00 00 he= tim[ r f (l>iI') ,d3)- f 1'("") dJl:] =lim r I (%) dZT
~...o J $ J:r e""O J .r.e E o.eEvaluamos la ólthlHI iot,egrul sustit\Jyendo / (x) pur SIIS valores máximo y mínlOlO en 01 Intervalo (ae, bt), y pasamos al Ilmítc.
37[>8.Jo..!.. 3759. In..!.. 37GO. ~. lo Ia+ ~ ,. 37jjl. ab lo..k. .o tI ,a-v (f
3762-. t ln S. Presl)lI~aJ.do !K'p3 '" en rUrlll~ do la d¡r~rollci. tI(' los senos d8
los arcos ml~ltipIQl), mducímoa Ql~)roblolna di' liste, ~jercil:io al del ejol'cicio 11I1Iqrlor ($clccciooallllo convuniu.lltlmontQ o y b).
376;{·. Po." du,"os~l'nr las .relaclones so pU~II~ valerse de 1105métodos, 8suber: 1) efectuando lü ¡n~l!llraoj6n por Jl9I'WS; 2\ llu.llbiflJldo al orden do inle·graclón ~o)3 ¡lIlegraJ dohle <1'") se obti ..no dl"'puÍ>S do 8l1~tituir $ (,,~)por bioLc:groJ. .
3764·. VCÍll9¡¡.lh illuJc.ación 01 nj')rclc!o 3763,3765·. Valnrs(! del s9~undo rnétedn de h. resolüeién del x..3763, l'átn do
mostrar la segundn relaclon os necesar!o anullzar la integrul
.. V+.3752. yii (h-a). 3753. ) ~,)I!a: dr J sen",d.cVi V;
Q Q
3755. n 1 11, 3756. _!_]o..t.T liT' n a ...3757·. J~ Iím r J 1(0.1:) - I (b..,) dzJ=e-O y,;
e
ErM~ual In integrar.tón rt'llpoctot+Pln t+a'
""75 _¿:_ d.r.= ~ 1112. :)751*.~g., ..:1 parámetro 1l dc~1Ala; hasta p.
3746-, yñ (Vb- Y'á).Ocr,iyar respecto u 11o respecto a. b.
i1747·. arolll.!..-arctg":"=urr.tg ti ~b-f-b") . Derivar respecto 11 b o ,.a a IJ - eI na+b~ a+J>3148.2" lo a~+cz 3749·. n 111-2-, Pcrivor resjléélll n • O &.
375(J. ~ ln(1+a), si Il>(); --!-IO('I-,,), 510<0;
3810. 4n." , 1
3809.37 T'"'7 !.lb:-100. T3606. S.
2mttlRt:r
(h2+R2)2
;181)8. -*.3805.21tm!38M.
p
~ 3
3784. +1(4+ 1)2 -(,:'J+ 1)1' j. 378,';. /ja.
a786. ~ + ~:,.tIrcseil e, dondo e es la excr,JltricidRd do 111'elípSll
3787. (2rt,~~+S:n;b2 ) Y;;r:¡:¡;2. .3788. (l-e-l) 1(¡¡.. a
3'189. (o, ;:. b~). 379(). ~ 1(31tZ-l) (2JtL!-.lj'f +11-
3791. J",= 'v= ("22+ I~ ) 1143f2a2+h2• 1.=112V4n'.a2+k2•
3'792. 31tR2. 3793. nt. 37!)4. ~i. 37115. R2.
3191i. ka (O! ?22 In a+t) , donde c= l/a~-bZ. 1'11)'" tI,=b S=2ka2.e a-e'>~97 lJl> 2 2 a a \J\ 2Jm",. - Sf'P ,. 379B. 8R . 3799. <iR. .8(",. -4-'
3801. g/h/o y2 3803. 2'11:;;.Jf1, donden y b son los semiejes do la
371:13.R~ Vi.
3780.J
11'179. *I(R2+4}2-8J.
3782. 2 ~2 H1+21tZl+-'I).
377!l. j!ns Vi3
R· 1(¡¡3181. ---sr .
3777*,
3776.
3774.
pZ37.72. '3 (5 V6-1),3770. 0/5 In 2.
Al capítulo XUI
3'(:61·. En. 01 primer miembro do la iguáldt\d sometida U. pt\lOb8. lIoner JI!!!oxpl'esion'es pllra.,Y' e y" que se ol}tlel\eU dn¡iivi\llllQ In integral y respout') 1).1 pa.rámetro. Efi>ctua,r 111illtégraC~Ó.l)Jor PlItt!lS de. 1100de. lo$,sumándce optqoidos,
3768·. VéaSlJ 1~ indicácjOn.. ejercicio' 3767.3769~, Vél).S0 la i,ldlcacion al"\\jercicit. ·3767,
437Ret¡puestas al eep, XUJ
all_bc.387·1.a) -'-2-' -:; b)O. ~2. O.
3867•. 2n2• Poner !I=,d~ t.- ;_-
z-y3854. 4=b=-1. !I=·.z2+V~+C.3855. ¡¡.=lnl.z+y+zl+C. 3$56. u=y"z+!lll+z~+C.3857.81'Otg.z!l=+C. 3858. u.=_2!_+c.:r.-.y%
.z,3860. u.r=q< (",'t1}+eU'-e-"
88~. u- V~+i +c.JI
g f:r2 y338~. u=lnlr.-yl+ ",_y +T-T+C'3850. U=;l~C08!1+y'2GOS.il+C •
• -, . ,1 ;!I-1 +..!..c 3u~2' x-y +C38a,. 11= 1+",2 . 'y" "" • u (x + y)2 »,
3853. n='l, U=! ln(x2+IIZ)+arctg ~ +C.
) r . t 17 13m· '1 ,3 i ~)i'2.; 3). 30"¡ 4) -20'3812. En 195euat~o casos la integral es igual a ~.•;t..38t3. O. 3814. -2nab. 3S{ti. - .; (l. 381<i.nlJ~.
3 $- ,/,3817. 10 1ill r R. 381S. ss. 3819. O; aey20. S I! 3,
3822. J J (.zIl+y2¡d.+<lV. 3823. J J (y-z)exVi/;rdg.J)' D"R~ fl(lª . 1
3I!24. -2-' 3825. 1) O; 2) -T' 3827. 8"3836". Aplicar la fórmula de Green al denriuio doblemente conexolimitado
por el coutorno L y y cualquier circunferencia cuyo centro se halle en el origen(le coordonades y que no se corto .con el cODlOT,{lOL.
13· tÚBS37. n. 3838. 8. 3839. 4. 3840. In 5' .-3841. R. - Rl' 3M2.a'
9 • ~+y83843. O. 3844. -T' 8845. u=~+ C·
"
Réspuestas al- cap. XlII438
,(.¡
b~:t: .3916. 1/= i+~"' a917. Hipérbola xy=6.
3918. Trae~iz s=Y~+ 21u12- ~i;Z7I.·l.
y-13905.C"=-I/-'
:Al capítulo XIII3901. 1+lI~=C ({-z2), 3902. :::2+y2~ 10Cz2.3903. 11="(c+3%-ar~. 39()4. y=.Csen :1:-4.
3899, E. n1l5•53898. O,38()7.
3873. k V Gt;b2+C~ lo 2 donde k. ~ el ,coefJoiento do l'roporcló1l.lllidad.
3874. 0,5 /i In 2¡ dond!l':k es 01 coeficiente de ppoJlOrcloDalidod... /.- va ru¡33816. It l' 61. 3877. f20' 3878. ~. 8879. O.'"ItRo - o3880. nR!- 388!. .r::¡:¡r. 3882.· 2¡r.a(Ct:?ñ. v
2nR I 'r' '1 t· J l. •3883. ~{,,_~. (c-R)"-3 .....(c+¡?l)-! ....paro 11'1=2;-,
2JtR c+R-,-lo ,,,,,R ~ 1&=2.
3~: n IR YR2+Hln (R+ YRZ+i)J.38&3-, n2R3. valerse do Ina coordenadas ~éden8,
8886. ~ nEt. 3887. 3, 8888. 2~r, a8~!). ~ I1Jlbc, .3891).O.
f • (2R ·ni[ ) 1t3891.8" 3892.R2/{ 3+-8-' 3893. 8''3894. 2 J 1(x-y) rlzdll+(v-n) dgd.+{:-%) dzd:.
s3895. - n:& - 3896.:l)) ) {%+y+=)dzdydz.
IJ
439'Respuestas al.CIlp.:A.IV
3946. Ji3=1I2_",2.. 8947.71=-%. 3948.y2=5±2lÍS",
3949. Si .!.=<I, ó Inlzl=S d~ : ip(u)=-_J" Ó t;J (-=-)=% 'P (-¡;- ) tI- 11
~ V-=_JL ±2 .!. •%;1.' 3950. :z:=C, :te 3951. "=/IloICIII. 3952. :r2=2Gy+C-.
3958'. Presenta lo CormR del paraboloide de .revolución. Sea el plano O:ryel plano meridiano do la suporfl¡itG tI!)1elipok· ""ti Illlea buscada P,effoneco tieste plano. La ecuaci6n diferoncial se obtiene si Igualamos Los te.ngllntes de losángulos de incidencia y de' retlellió,n expresadoa medíante z, 11, r.
3954. II=C.-b+2%-L 3955. y=~-"'"(c+ ~) .·i
i!966. v=C%~e'" +:r:~. 3957. V""'(",+C)(1+",Z).t9958. lI=c.-r+T(c09:&+se.nlO).
3959. Si m#-IJ, se tiene ¡j=Cror+ '+- ; ai m=-a, se tillD8 1)='1tI a-~+~~~ .
3944. C"'=q> ( !).'"3943. (:r+11)1._ C.iJe- X+II.
1139'¡I.IIlIC.zI=-e-X-
¡¡
au~o. e7=Cy.3939. :o:2_cz+2Cy.
3942. II=U1+C".
3936. Ln1v 1+-=-=0.y
x-y e .-3931.;r+clg-2-=C. 3932. 411-6.-7= r~.:1. 8---
3983. :t+C=2u+slolu-1(-T)O(<I+2), donde "=Vl+x+lI'3994.1I-2:t=C.v(II+w), allilS. ofctg...!!..=lnC y';t¡1l+y2,
::;
3937. ~+y::=Cy. ,303!!. y=±",y':!lnIC.rI.
La funoión S (t) CSl8 delinJda para 6 ~ t';;;;1S.
3925. ¡::;:2,1~. 3'.121. Q.4G7 "km ; 8.'5,2m,Z ',.ora.
[ ./~ V2c J2 I 0.,-6, I ko3928. ll= r li--¡¡rgT. 8929. lu O-el =7 (2t+ut2).3930·. Sl t es el tícmpe oalculadc a partir do la medianoche y expresado
en horas, la eeuacíéu difcroncinl ofrece la siguiente formaes 1((1-(2). , 160000
S y'S _kcos 12 lit, de dcnde é [ n(t 12) JZ •9-sen 12
39J9, Pnrábolas 1/2= C%.
,'1922, (.z-C)2+!l2=4a.
Respuestas al cap, Xl V440
31187. son ~ +lnl;r(=C. 3988. !I=Ce-t",+.;<-·l •
.3989. 11(y-2",}3=C (y-,,)2. .3990. y=CeSOI'I/-2(t+seny).L
S99\. :e=yZ(t'+C"Y:), 3992. lI~.C.-·"Jb:+SOIl.:r-i.. 3993. y=(C+~"")(1+.>:)'" 39M. y4=4xy+C,
z3!)95. g=C.ex e V=C+ .~ .
+'l2.+C 6'3996 • 11 =3sen" ~. Reducíl' l\ In M\13Ci D Iineal respecteo • = y~.
~3!lBS. 2r=Ce-"íjji,
arctl:f i3979. "'~(!" . 3980. ¡¡=C;r.2+7.
'3981. y=.E_ y"Z"¡-l+ (1+",2)2 398ll. y=C;¡;-i.;j; 3" .
3983. U+:zfo)(l-h21=C:t2, ~984. (z+II)Z{Zx+II}3=C,
Jlt[Q),l.e~T+/tsen¡,¡J-{t)Lc()s(lJl}'397J!. 1
3977. 9.03 a.
1,= .!l!!!!.kl'
,...á91~. 1i=.!:J... (t_'!!!'+"'!!!:' e,-"')k k k •
3!)75. 1I=(VQ+b)t-""+b«!1~-1), donde a.= ::n i1
3976, fl-GO..,.-ht ~ <p(t) e!t1 iJt.o
396(1. y~-2:J:=C!i3. Sill)1, ;t.=.C~V+! :y2+ ~ !/+ ¡..e ., )3962. :<:=tJ lnY+-y' 3963. y=(x (lnl ~ 1+ ~ +Ce.x.
31)64. Y=Ce'"Q)(X)+II>(x)-1, i.l1l65.1I=_,_:t_., . .~S.r..3966. 11 . e"+:b~"" ¡¡_g67.!/= z+1 (.i.-l+ln1;1'1)·
3968. :¡:=-~3rC~l)'t. 3969.. b) (j;+~=1. 3971. !I=c~-.2lln\I:t;I-2 •. 2 '
3972*. .y=Ci";j: ~l: . 'l-a ecuecíóu diferijnój,i11del ~¡Orcjeio esI:ty-~1.Il'I=l/.2. ~ .
3!l7S·. x=Cu ±7' La acunclén diferencial dllJ ojerc;C¡\l 6S
I ik I!:ty-y2di/ =211'2.
~e!Wllesta8 al, eáp..x,¡V
399,7.arctg(;r+I/)=z+C. 3999. aralg ~.+I:n(:r2+~2J= ~ +ln2.1 .ít+-" . ,/-4000. 1/=7 V -:r=;- [2+;t r t '-r.~+arcscn'XJ.
'''01 '} l. 1+"'" 40'02 5 "" 1 (?+ '-)'UJ • ('I"y e~V=ul~+l--". • Y=Tt -3 ~ x".
4004. 1/= ik 1/,x+o+t~~·Ó>j-e'l. 4005. :;;2+y2=C",.4006. (1/ - r)3 (z + 2y) = 1. 4007. Parábolas y = r.+ C:rJ.4008. (2y' - ",~)3= e11;2, 4Q.09. Oatenaria. 40rO. !I = C..,;·;4011-. Ha~ do rcctos 'y - Yo= c: (:u - ",.) .. La eouaci6n dlíeroncial es
~ - 119,= V' ($ - ",.).4012. GircllDfere.llcia cuyo centro so halla 'en ol punto ("0' 116): ,"- + v·=
= 2 (#q+WJ)' '401:1. C\láJquier circlInforencla cuyo centro S6 llalla eu el ej(l '(:})I y que toq_ue
-el eje ex.4014. Si al ·trayeeto es S :! el tiempo t, se I,iene S=So+(!8-¡'~I--* 1+ !lk~2tZ, donde Bo ~ el lrlly~cto inicial , y "1 Y k': son coefi~jc~tell
de proporr.ionalidftd,
4016'. i) ~ ~ueltBs l)Q'i' segunde; 2) al cabo de' 1) mln rs s, 4017. O,O¡¡082 s.
_~¡o S ,---4018·, V=1I0(1- ;o,tfl e m.. ( 1- V ~- ;;'0 t).
'La fuerza ereo~i...o. 1!es igual B; 'd (~,'II) . l'Qfll resctver el prcbleme do este eíeecícíoy los dos stguíentos eá necesarío tener en eue)lta qua la masn 1)1 es una magnitud'variablo qua depende del tiompo l. La velocidad 11 osI" función buscada.
. k ?
401,9-,1)= 2JnR_k (MO-ml) [(1.- Zo t)m--_1J. Véase la indlcactén
al ejercicio 4018.j
4020-. v=.!L lt1>2/3 f, l'e-"J...2/~dt, donde Il-=Mo-mt, l<í= 3".k X!l • '
Oa /--X V ~;;. VéaSó la ind~~nción al ejercicio 40i8,
4021·. Y = /1I0;t. k/':!J.ff2 .(k~~-I,!t_"J.-lr.t), donde t 05 ~I tjérupo, : 05 lacantídad del segundo productO .. Sí ¡r. es la cantidad del primer producto formado al cabo de t unidades dol tiornpo. SIl tíena ': d k¡ (mó.- x). JiJe ,donde
hnllumo5 ,:t"",,,, (1)'. 1'.a volocidad ~~; d~ la forwaclón del segundo producto
es pt'opórcioTllll a )1\, magmrud :e-Ji.4022. 2¡Q,1kll' do llb$al. 1!11mb:.iuio se QbM'r,m_o pntlU =r' 33 i i~¡ny,es Igual
a 3,68 kg.
Respuestas ;al caRo xrv442
Plite~(i¡'"''P' 1
~ ehO)';r:~1ko '
4025. (zo+y-i)l=C(%-!J+3). I<OZ6.'Zz-it.Y+Y~+;r.-,y=C.I,-\;z arctGv+~: ,
4()27.y-2y+Jnlx+III=C. 4028. e ,"'-a=C(II+~).112
4020. Y~=""+(¡t'+i)¡D';!:~1 . 403Ó.'y'z/"7 =;Ó. I
1. '. .>' a:4031. u=r-: tgln 10$1, 4032, ~y2+L=CII. 4033. C:r=I--¡---+ 2 •
.$ .; - %- Y4034. ('J + C'I') .11= 1. 4035. y4 + 2x~y3+ 2¡f = C.4036 • .". -1- 1I~= e (y - 1)".1 4037. !! = s: t~k~T S)·
1 2,,' ·1· o 9 '14038. -¡¡z=Ce '·+j;2+t. ·43.!) (1+;r.HC+hIIH-~IJ'-1t¡!l!_
4040. ny"=I;C-a-+llx_a. 'MI. ;:2=1I~~C.....~92)"4042. 11(1.+ 1n ll:+é,~)=1. 4043.y (",+ C)=5CÓ~.
(C+l"I':()sxl ,)2 '. :f.~4044. !I= x +tg.;!: '. 4tM5ry.:=-t'InZ Iex l·
y t defjnil.1vamonte,
" • " J¡,!<:~W'~ " .1tf402~ • !?: f. ." donde k= 2-PoIS .
~ e-kwíxatlJ)¡¡ •
'l',ieneimportaneía práctica elcaso ..n C¡u¡¡liI os RlllY grandu,(el caso do 1101! contrífuga). f.n vez da calcular. !II intógral en el dODOmi1\Qdb~ stendo dada <1) ~1I0puede ser .expreseda .en funCiones elementales) calculan üm n ~vétl$e el ejor-, • \\, ~.....oó ••-c.ii:lo 2439), La ecuacíén diferencial de~ problema presenta !/\ 'Iorma
S rJ.p = 'ID. :td""donde d"" 09 la tnasa dol elemento c.n. Luego, ~'=~hl' (000. dí>las form,!\s,detuIlly de Boyla-Mariotto; 91 ·coO(¡);ícó.tc de proPQ~é¡onaUd(ld viene deslgt:i~do por~k"para sjmpllficar la OQ.tllciÓ¡1 m.ás abajO)'\ tlm = ,?S tl",= 2kpS dr, Como re-$uJ tado obtenemos In ecuacíén con '~daJ¡ es. sep'atl1J.tles. ' '
..!:E..=2J,Ol~xdx. h'iect'\l8D\I,o'su l'!ltegración, obtenemos p=CtllI'~",,". Luogo, J.,,='P .... I ~ •
M I
= J tlm=:C·2I4" J "h.ru·'I''%.a%, de donde se .llalla C. Tónemos:o o
J~fehQl~~ , .. ' -"1> ~~(_ k~~p--= I ' paro Vo=<-{'PO''F.~'' -~
2kS !c/tól2",2 Ik '"o
'Respuestns 31' fop. XlV
~'>5. Ig(.:z:v)-C,jSX-C()Sl/=C.
4056. f ,r(II:~+y2)3+:&-i-!l3=(;.
~057. BCnJ!.-c:\os;: +:o:-.1.=C.z y y
4.058.z-JL=C. El factor integl'llntc C!$ ¡i (z)-~.'" :r:
'4059*, ;¡;2+~ ...C. Buscar el (llctor mtcgranto en Iorma de la [uución11
¡.t (11).iP In '"4060. (%Z+y2)~=C. 4QGI. 2+-I/-=C,
-(n_ j)~ p(x)dl:4062. (z:senv+vooslI-:senll)t"-=C. 4064. ",=Y""'e .
.• Y'z-X'4065. La expresron X y y dabe ser la función de (",+u).Y'",-X'y
4066. La expresión xX yy dobo ser la Iuucién d~ xy.
("' -Ilb", 1
4067. "1>,,,+ b'V+,,+bc =C.,ox. 406!l. 1/=[C.--O-i]T'=iñ.4069.%'+2zV-!p-4z+811=C.
2.r '.4070.-;=y+ln I"'+111+31n 1II-"I=C.
4071. "'+11=0 tg'(C+~). 4072. ¡fl-3xy= C.oi073 ,.2_I/"=CV3, ®74. 3z,y+"SV3=C.
4075. !i(%~++!I.)=C'-:' 4076.lntl+Yj_l;lI=C.
4077. !J·-t+C%II=O. .ro-78•. ....5!_ +11l1.!.l~C.3:-'1 y
6079. 1lYii=c·V;;o:=I+x·-t. ~OIlO:y=sen;>:+Ccosx.6081. U 2.,- 4082. tgx-~-~.C+.x (cos;,<+oonx) . sen e
seD!!4083. '" iI'=C ..4QM. '!YCOs!..=C. 4085. senll=:z:-i+C.,-".z
,,'¡l-v' ':Xt:gx+sec:. - % ji4086.!/= C+tIIlllz • 4()8i. lnICzl·=-e . 4088.3:+11" =C.
4048.1) ~+!=I' 2). ~+ b. ee L.~049.~= (Po-k)rp •'" 11 ' ,,2 -¡¡r P Po'l'o
4.o.~O.:c'_:r2y2+y'=C. 4051. ",+arotg.! ~C.'"
4052."ell_y2=C. 4053. zlI~C. 4.054. Y.J>:+1I2+.!.=C.z
Respuestas al cap. XIV
.:4+C44093.·. !!'=~. Ln ecunetón (.Ufurenciut del újorclcio es,!I~=."(.,-yy').
t4094.I=T'1a091'i.El vector del campo e" Cl8dePW)((1 es pcrp_Ullüicu)ar al rndio polar
del punto. Les curvas illtogr{l10s es una I"milill de clrcunlcrenclas C'lI)()'¡lItriclIseuvo cuutro so hollu en el orlgen do cuordenadus, Ln 'ÍCllllolón di) la familia es.?+ u· = C. LAs iSÓ"IiU8~ SU,) una ltill\1Ii1l dil-I'()ctas q.l¡, pasan por el origen d~coordenadas.
4096.1) 1/'-/(""11); 2) y'=f (11:); 3) /1'''''(%'+11').40117. Las rectas y = C". El r<lsllltado pUQqe ser llrcs~lItnd.o-en Ioruiu del
tl)nrema go'lmlílrlco slguionlo: si cruzamos UII8 ramilia do pnrúhol:ls que lIl!1l~uun eje c",n,1II y 1111vll";c:u común IIIIT unu rectn quu pase por 01 vértico. 189 tangentes a dilercntos llUráholQ5 en fll3 pu"IUS do 5U illtqr!!lll:ción con 11'recta. son]lllxalel,.s O(ltro si.
~I)!)ll. y'= ay+b+C; (1' =ay+II.'I'+C.:r
4103. P81~ t:.:r = 0.05 11 ;;::; U,31. ~tO'. PAro tU = 0.05 y := 1,GB.",
4105. La Solul,lirírr vx,rr'II, es JI =- .T= 1(.1')' 1(0, 9) = 1,!!2.44. Lil sotución 'l'pro~lrnada I'S I ((l. 9) = J.!!J~2. El error relativo es Igunl 11~2.5%.
4101i. Para 18 Solucí(¡u P:t3Clll 7: = ~3 (e - i};;::; -1,727; dlvídiondo 01intervalo en 4 pnrtes y ulcctuundo I~ inh'grM.ión numérice ubtenemos '" ::! 1,;2.
3 " 4::1 1 I 14107. 1/2= I +.~+'2 .r.2+1f.r3 + 24. ",4+'4 ,r('+"j]'.r6+ 63 ",l.
41118. -{.:!S. 4J09. y=t+~+%'+2zSt- ~1 ..,4+ ...'(.'~ :t'4 xft
6110, Y=I-:t+T-T+S+'"I I "4111.11='3",3- 7.1) ,(1_ 1.1;.27 ",1'_ ...
4112. y=1+;!z-.;(~+ f ",~-~.z4+ ...z'l. 2,,:1 tlr
4113. y=O. <\114. v=:r+7+-¡¡- +T.IT+'""'~ ¡¡;3 .rG
4116·11= -"2í'-'F-Iif-'"
4089.y=:r In I C:.:I. 4090. y':._ by'" iizg =C.~k '4091. La cjrcuIl10r~n(lla .t!L+u~- 1<+1 (a."+bv)=C(,'-~-t),, la circun-
(Crencia:¡:'+Y~-k::l(~+b!l)=C(k""i);Sik=-1 6"=1, es tú Tecta
.;u;+by=C.4092. Las espirales lagarJ&micb~
__ .._ -, ±3rotg H.Vz'+Y',..,Ce w-
MS
4ltG !1=i+' _')_ (r-t)2 +' 2(%-1)- t- 4(.%-1)' 60 (.%-i)5+' . \r. 21 l'; 31 41 51 ,.,
4117. !I = Cr + ca; li1 In'tegrill singular es ",t + 4!1=' O.4118. !I= C;¡; .. 3C2, 18 intagral síngular es gil ± 2rV;-= o.4H9. I/=C"+ ¿. ; la in;egrb' !¡¡¡g~lar ca 1/:\=4r.
4120. x=Cr+V:¡::¡:::c2; lu Integral sWgulQt'es z2+y2_i.4121. !I=e.r+seJ1 Ci la solueién singular es !I" z(n - arcccs z) +
+V1-zZ• ~
4122. %=C,..-Io C; la .sol~pi6nlIillgulal' es 1I~ ln,,+ t.4123. y=(y'r+I+C)'¡ In solución singubr es U=O.
4124. II=CzZ+ ~ ; 111intogral síngular 9i1yZ_4rz=O.4125. 2C,,= C' - y~¡ :18 integral ,slngulnr fin e:rlsto.4126. :t = Crl' + 2 (,i - 1). 11'= '''' (1+ p) + pOi IR intégral síngulnr
n,o oltiste.' I
4'121. II= C'r - eC; lo solución singuldr es 11'" :r (1" x - 1).4128. 11= C~+ C + cai In soluclén singular es 11= - -} (r + 1)'.
4129.!I=Cr+afl J-CI ; In'iDtegr(l1 singular es VY;-'V~=lf;;a·4ISD. (e - .:t) 11= C2; lo 5<lI,u¿ióil singular 98 !I = 4.,.41St. y' - 4é>""'" O, 41~2.':tij ..,"1, '4133'. 211- r:,d O. ,14,135. La hipéHIOJoól(Ítllátera 2zV'" +á', donde a~C8 el á~oa del triángulo;I ',- C2
ln 861uci6n trivial es cualquier récta de la Iamílla 11= ± '2 z + aC.413G. (/1 - Ir. - 2a)" - 8ar, 4131. Elipses o h¡p~rboJ8S.
1 .: 1Ce- Zp2 O+pt) Ce-Z¡;: (¡i!+1)C
4138. '" pl y "'--- , 6 zri p lfpV~+~>-e lfP
1)= V(p2+2J~· , ,J
L 2_ -ít. ~.:c:2.. 1119. y -q;r; I-Zk+4 •
{v-cqsct (~+fsen2'~)·
41~O·. .':z:=seDC/. (I1_C_3.. S8D2a)2 -
En la oeuacién diferenciol ObleJ\id\ PO;hl!f :: "" t.g a., luego, e~pNS8l' %
m~dinnte y y el parámotro ex. hallar, cb:J 'áu~tHuif d:r,por IdO • Y resolver• go:)0 ecuacién defereaclal u.sr ob~et¡¡dn, C,Ollsidernnd·ó V como Iuncién de ex.
4t4~. S"" 01', donde: 'l. ~s ,Ciol'ta..coustpnte 'deUl'lidé_ -e«
4142, :' +!l = 2a~ = In I G:r l. 4143. y = C«-2.4144. y= e (r + ,h 4165. (r + !I")" = C (u·+~).
lIospueslas al cap: XIV44G
a:donde b=± Vv" q> es Gl j)ar4.metro.
4151 .... =~sen t+.R (¡;OSl+tsen t). y= ~C ~Í)S '+.R (sen 1-1 ciOSl).e . o •4t!i2. :<=OiiT+a (t-tb tI. y=G th t+Oiit.
~153.;r-=a(C()llt+rsen't}~cos'l(at te),y=a (S801+l4lO"e)-sen f (a: I C.)
4154 . .2:~C 5011.1+2tg l. !I=tg~l-e cClS~-2.;,;a
4155,. Y=T-seJlx+Cj;¡;+C~.
'15' a1'4ltgz z J i< I~(" ,<, 6. y=--¡¡-(x -~)-2LU l+x·}+C,.,+C.,
;¡:'/J [' 3 Jmn. !I=T 1n:'-2 +Cj;¡;+C2'4lllS. /J=C,~+C2'
. HAS., Si ~lp~rárueLro '~eIIA~.pal'fiboIBH5i¡fuul 6 2p y 111recta es cói)sl(!0,ra(la.como el "Je de ordenadus, las. OCUIl.CI(1)CS de lns tra1eetotias son:
C ' 2,~g <= .,.. 11V -=;;--1:'-.,
1jtt;7. 'TJ:actri'ces. , .41(,8. Mlu'oanrl'oct:lngl.tlo ~ unlWló illllllsdoSPOSll11c$direcciones obfenemos
ItI ccüaoíén do In fQmilin
Il//J- .",,?ir+;¡¡2)j=C'
4t~!). ~13rcando el ángulo« en una di>I,,~ dos posibles direccionos obtenemosJa ecuacíén de la fn.milifL
In (2%2+Zy+y2)+ ,~ ... ~:ró~g -z;-;;!! =c_v I ~ v 7
41(;0·. So pucd~ adrnrtír, por IIjempJj>, qua él vieuto pasa á lo ¡~rgo del ejeO.r.Las Ilunas dOé la ,propagación del sonido p'or el plano Oxyson trayectoriall'orto_gonales de. la familia do cireunférencias 'Ix - Ilt)'+ y" '=' (llot}2. donde tes el tiempo tráIlseurrido después do salrr la: onda Sonora do la fuente, y va ~51.,vo]oc_ida<!del sonido en el alre itl!1Hívj!., : '
Para cu~l<illier t njllda le ec'U~c~6,J.lctircre~cinl do las 1;rayoctQrias buscadases // = :t;!..al junto con la ecuación de la fllll\i'1ia de circunferencias.
Bxcluyentlo t obtenemos cie~ta ecuación ile Lagrange. Su soluciún general ~s.1
z=C{cosq>+h) (tg ~ f',I, b
tI""'C~q>(tg~;)
,.Respuestas at CII_P.·XTV'
• .%t . 1IL151l.y=C¡t"+Cg-;::-T' 416(1. g~T.%3+Cl:rll+Ce.4161, y=(1+CDlnl:r.+C,I-C,l:+C2'
'" +111102.y=(c,z,-eDe-¡¡¡- +1':2' 1i1f>3.v=A(Y+C'J3+GiI.
?4164. !I= 3e. V(C,:z:-'ll3 +c2•
1, ,(.% SU1l2;l!),.16!).v=-T8en3.z+C, Y---4- +C,.4166. (x+C!lt=4C, (y-C,).
2 -=-_~41(;7. y=Cd%+c~)7. 41G8. y=c,.a + (.'~,«., V-l-4 2' , . T ",+C,41119."=-3"" (v -2(;,) v +C(+C~. 4170. y= .l:+C~ .4171. (z + e~)~ - 1/2 _ e" 10172. y = ClcO:".4173. 11cos: (o> + C,l =. e•. 4114. (z + C.l lu 11= %+ el'4115. Si. la constante nrbltr:orja introducid" por 111prlmom Intogrnci6t1,
os IlOsitlvo (+~l, se til'!lO1I-"dg(el",+C2): si es lIogntiva (-en, so I.jone
,1 +.2(CI~..¡.c;)U=C, l_c~iO'I'"+CI) =-C,cth(C,,,,+C2);
91Oj=O, se t.ieno s=>- ,j"'~(;2 •
/l176. a:=C,+COB C~In 1111 y't.c~ l. ',177. C,.%+C~=In 1 I/;C, l.4178. :r.~C, =C,8relg (C,lny). C1>0.
4179. IJlIC,y 1=21g (2:z:+C,).
4180. y=lnl,,2+etl+.r J • lnl z-.~~ [+C2' si C,<O,l' -el .:z:+ -("
c.y=ln l.úiz+C,I+ J~II1ctg:VC; +Ce, sl 0,>0.:
4181". Después do ofcotu~r la su~LHué¡Qti y' = p la ecuncíón so divido endos unn de 13S cuales pottClIl'CO III tipo de Clairnut. Su solución. general os y == CI+ CtcCv:. y las soluetoues singulares son
u~_._4_. La otra el'lIlléión l'S 11'=0.(;-z
418~. y=C,:r(:r-C,)+C,2. y tes soluciones slngularcs snn y= ~ +9·
41,83. ¡j2=GJ.r<"¡'C.J• 418.4. ",=10 I C~~:~¡ j. ,4185.1/=-'/ -}..z3+Cp:+C,. 10186. y=Ctx+ :~ •
Respuosl.as al cap.,JfIV448
4208. y =",2 In 1í.iO+c1",z+C2",+Ca1{22tl-Ql'7G
("''2 -"'11-;+",¡I,h
donde ID
42117·. Que ~I ei~ de 8~isn& esté dirigido vCtticnllllente hacia abajo, elorigon dé ccordonadns ~lé a la supé.rlicie del llquído, la ecuación del rayo,y"",J(~). A la profundidad a; tenem-os 5&' s;n.:t IQ! =m+4171, dondo ID es ~linditau' Q. --1 ~) rnde refracción o In profumlidad e, ex. el;el áqg!liú (ormudo entro la vertical y la tan.gelito, ~J fS,.YO do luz. ~~ evidente qué tg Oi es i!lu.a1a y'. Después de abrir 108 .paréntcsis en In ecuacron m. seo o: = (n, + dm) (sen:Oi cos da.± coa a. sen da) ysuprtuur las Inñuttestmales de. ordeu superior U uno, olítenemos: m&t "'"= -dm tg a., de donde. !!!! = - "(ld~ '2 • Bíectuando la integraci6n do' esta
, 111. 11' II~) .eoua()ión' hallarnos 11 como [unción de m. SÍlstitllytloi,lo,m por Sil ~.t'p[esi6n~)Dc,<liante .r e integrando In. segunda "BZ, obtenemos In sohrctén:
y mohSGl!ao JnI11l+1f¡~2~m~Slln::cxQI +C~-~ ,
~206.
4205. Parábolu,
{Xl,.1I~98·•.y=%. E[ettllnl1· J~ sustttuctón y"" ¡¡X. 1¡.J99. !}=2c -1.
4200·, La ecuación aUerellcial de In línea es. dx- 'v' dY..:.., ,
(VII/)'>-1dOlIdo le es el coeficiente d\J proporC¡(l~Pli~ad,. Si ¡,=1. so liO(l~ 1/==, 2~l [eC!"+C'+e-(Ci~'-!'O~)l c"(C.~t+Cz,es IIOIl catenm-ia, Si k=-l,
se llene (z+Ci)2+¡¡2=Cf; C$ una circunferencia. Si k=2, setieoo{z+C2F'=
=4C'lll-C.): es una p<\rábola. SI /c= -2, se. !.i¡mll d<== VT:_~;ydy; es 111ecuaciéu díftlrcncilll ¡l(l 1(1.cicloide.
u42\11. ;:a.=C~3re ('¡+CJ). ~2()2. Cx=y2h-.I.
4197. y= ",,+1. •.¡:.4195. iI=1ft+é2x. 4,1l(l.4t=-hljJ.-.rr
"RellPuostns -al. cap, XI;\1
i4209.s= --¡¡ son 2z +C1z2+C2.r+Cs.42.0. 1/ "'" ::: + PI/ (p¡ es el polluGlDiode ncvano grado respecto a % con
ooefioientes arbitrarios).z'l~2U. y=C'T+c¡,z+c,-q(-,,+C¡) 101",+C11.
l.2l2. JI=Clit&+ C.i!'+ C~,,' + C•.r + el'I!
Ut3. y= i- (CI_2%)2+Ca.r+Ca·4214 • .2l= C¡yl + Ca!!+ C.. ,4215. Las 80 uclones son suscepubles de 90r presentadas de tres maneraa:
!! '"" C, 900 (C,,,,'¡" C.) ó 11== el sil (e=",+ C.l 6 v - e) oh (e~:z;+ C,l.4216. (",+Cz)2+(v+C¡)%=C1.
4217. I/=C, (nC"'_ ~. eC1r)+es.z'l 2,.;3 8%' 1~
4219.2) u=t+"'+2f+3'I+-¡¡-+sr+ ... ·(.o:-j)2 2(;z:-1). 3(;z:-l)~
4220.l/=t--2-, ----41-+ SI +...'921 ..,!;:.( -1)+ (.2l-1)2 + (%-1)3 1.t-l)O 4.·(.. -t)' +..~ . v- 2. % 2[ si 41 51 ...
,.J ..... 2,,;' 3~ • .:r,3 2...-'4222. II-=H.:c+']f' 41+51+'" Slf(zJ~1+%+3i+Tt,
parn 0;= -0,5, resulta tina serio num~r'ieaaltcrnClntoy 01 valor de los primeros términos suprlmtdoa es menor que 0,001,
~",S...-'Wi.4z8 .4223. y"",J-2f+Jj-1T+sr--ij-+ ...; de quínto orden.
'4224. g-=~- 1~ z,+ io ",8_ 4400 .,11+ ... ; O.StS; 0.96951.
4225-. La ecuacióa d.iforonciDl dol problema es E=L .~~ +~?xx Vo-;;."Q • donde'Q es la cantldDd do olectrlcidaCl que -PMÓ por el circuitopor el espacio de tiempo desde el comíenzo del e~erlroefito basta el momento t.Después de expresar Q mediante V (V es lu.eantldad disponible dol aguoon .,1 blllío en el momento-r) y dI!determinar los .coeíícíoatos 'PUliendo delos dotos del problema, llogllJ1\Oª3 la ,ecuIlClí6DV·+ aYV'- -+ b= O, donde11 = ~ = O,OO~,,h -= kt =- o.cesss, Dadas los siguientes cond'ietones Vo= ,= 1000 cm", V~,= -J<lo= -0,00187 cm8/~, Or(le~\1I1f.l\05la. inte8!'8cl6n do laecuacíén y obtenemos la serie V = 1000 - 0.POf87t.- 10-· [2.91t° -- 8,0011.+ 3:S4t6 - 3,04t' -1'- 2,111' - ... J, qVtl es, II.ltc!'Dllñte y cuyos coeítclentcs decrecen t~ndJond'on cero, lo cual' os muy c6m090 para eícctuae 1McÁlculos.
42ZS·. La ecuaoi6n diferencial del ojorcielo presenta. Ja forma
L.tf2Q +~. k. ::E.¡uz dI ~ ¡l~o-kQ_ ,.
Respuestas al cap. XIV450
Tc'ronlldo como (unción buscada la cantidad 11de cloruro dc hldrógeno n:o descompuesta para el momento 1, reducimos la eeüacíén o I~ Iorms 1Iy"+ ay' ++ by ... O, donde a = !t ""~O, b = k.f = 0:0191. D~t1l1s las condicionesirlfclu:les110 =}do =.10; y~ ... -kIt =' -q,OQ3{lt, 4)toctunmo,s la integrRl\ióndo estll ecuBciQn y cipt.eríomoe In t;er~e ..
y= 10 -"O,00381t+ fO-10¡iJ (1.~1 - qU+ ...).4227. ru' - 6"V- + ,2y .... O.4228. zy' - (2:r+ 12 !J' + (:r.+ 1) y = O,4229. (:r!' - 3~ + 3,r) U'" - (.zI - 3", +~) 11" - 3.. (1 -.¡e) 11'+
+ S (1 - z) 11= O.4230. y = 3:r2 _ 2,....·
sena",4231. a) cOsz~::/: 90U9t; b) 11" sen 2,,- 2Y.":l:05,2"=O.4232·. 3) De acuerde COI) la fórmula de OstrOllrnclski
1lit lIi 1_ c. -l p(o:ld"vi !/i - ~
o, nh¡'ipndo el determtuaate de Wl'on.sk.i(wronskiane): 1I11I'-lIiy~=~e - SP(xldz•Dt>spués do dividir las do! miembros de la écuacíéu por vf, obtenemos
.!.. (J!L) =__;. •- ~P(OCld... , de donde se .hallQ la relnci611 buscada.tk YI Y¡
4233. U=eirJn 1!~=1-2CS+Ctx.4234. ¡te: CI ~+e. ~ 4235. y:o;z:2_1"'"".
;; .. Z I
4236". Las Iunciones P y Q doben esta1\'llidaslpor IRrelación Q' + 2p.Q~= O. Poner lit= .!. en la fámula del ejercici() 4282 (que so deduce de. la rór-, y. .mula de OstrogradSki), derivar dos veces la relación Asl ebtenlda, y poner vi •.v; 011la ecuación deda. .
4287*. 11= e, (4z" - 3r) + Cz'Vt="Z> (~r~ -1). De acuerdo con .lacondicién ponemos Y, = A"e + DJS1 + c'"+ D. Pon.ioodo 111 en In ecuación. 4. .dad" obtenemos B = O,D ~ O. Ale =" _3.6 A = 4k, e = -3k. De ahl, lasolueíén JlBrlicular es II¡ - k 14,,~- 3",). Eo·eOj1(orOlidad con l~ prcpíedad de laecuacíén lineal se puede admhir que k = 1, entonces 90 tiene 11,= 4z' - Sr.Sabiondo una solución parMculnr y aplicanao elp'rocedlmlontc¡ ordínarie, hallomos la segunda soloéion y formamos la 'solúcién goneral.
4288. y=C¡SE<,o:z+Ct[1-sen ..In1'8 (~ +f) IJ.r ,Xci"~239. y=CI%+C~", J -;ro 4240. y=Cj",+C,("Z-'I).
~241. y ~ elo::+ C2xa + c:.#, 4242. y = 3!J +~(el + c~ lo j .2\ n.4243. u - c,~'"+ C~",- x~- 1. 4244. y = elr + C~ (x + i).-:r-,
4245. y=2+3x+z ( ~ +2 OI'lllgX) +zz.
451Respuestas al .cap. XI!;
x4263.1l=3"·2~sen5,,,. 4264. y"",. -'2 (2+ ...1.42tl5. y=!f+(i-m)x).m>:.426ti. y=cOs3:t-tsen e:
4267. Si k>O, so tieno y~ v¡ s.nIYk(z-.:roll+uoCOsx
x J"Yk(r.--"o)]; SI 1«0. so tlene '1= ,~_ (fvo vr.+,,)~1Ilii(,.-~,.+, 2 V k,
+(Vo vk:i-<e),.- v'iijC;:-"Ol¡, donde ", = -Ir.~ ~
42Al6. y=Cje--"+C~.2 +.'" /<269. Y=C,,'Cl)S~%+c:sen~,..+ 02+1 •
"""Q C 5 '+C 1'+ '5 seo'z+ 7 cos'.:.'U,' • g=, te" t' 74
44271. II=~"'(C, COS2z+C~5en 2.:¡-'2C<)$2:r-2son2z.2 5 11 •
&272. 1/= (C¡+C1",)".'''+9 %427-"+"27 '42,S. rI=~"(C,COS%+C2~JlI!')+,1'+1.42,4'- u=C1e"'+C2c-6"-O,2, '4275. !I=C,e:<+C~eh·+ii. dOl1C1eY es ~guQI 1\ 1) t.--,,:;
+..}
. r ..' 7rJ4246.1I=-2+2.:-r-+:r-T+IlO-'"2..,' 2%4 2,,6 2.z7 62,,8
4241.y=1+41-51+6f-71+-S-I--'":z:ll [ .t4 6,~6 5r8 (211_1) ",2),+2,
"248.1/='"2+ .4¡+liI+sr+"·+ (~1I.t-2)1
(%:",3.,4",5 )
4249. !J=C, 1+y+-¡¡+ 12 +'"N'+'" ++C, (z+ ~ +~~+;~! ...).
4Z.~O.II=C, (1+~+".)+C2(.z-~ +:::+,..).4251. y=G,e"+c2r2>1. 4252. y=C,eh+C:¡c-a x,4253. g=C,f.4,,+C2• 42:í4. ~=C,.(lt1l¡¡)··+C1.(I-VE).~.
4 ,42ü5. lI=cle2~+C~.-Tx. 4255. y=C¡Cos.r+Ctsen",.4257. g=.-3"(C, cOS2",+C28eo~ s:).
4258. y=e:C (C1cosf+C.SCllt).
4259. y=e" (C,+C:JI!).4260. %=(CI+C,I) .:,".,1.2111. y=(C1+Ctx).-T"'. 4262. y=4e"+2.s;\,.
Rospuesfas al cal'. XIV452
ft 571 r",,(iO.r+i8)IKm.r-(W,,+I)c(l!Iz)¡ 8) :0 (f;:rx- -z.-'j'X).
- - I 14277. lI=eZx(CI+C2:t}+II, dend» y es ¡gllal n: ÜT; 2) Üe-X;
S 1 l"3) T.1:Z63~; 4) Teos 2.r+ 2 x+2';
{I) 1!~ ( -;;5 &C1l3z+6cOS3:r)-io (3scn'%+4coa.:);~. jAl 100 (85C1l.r+1 coszl+¡mj/5 sen3'%-J2 cos3z);
7) 2;¡;2+4z+3+4z2.,2x+c-os2r; BI + (z2tS~-t.-zx);!J) +(.x_~e"")+ ;¡; (3sellZ+~COS2'); 10) ."'-+e~l+ 1~ el-=,4278. II=Clé(l!l.+C~sen ..+v, .Jonde¡¡es igllal D: '1) 2rr-t3z+;!;
1 I i ( i )2) cosaz; a) Tzsenz; 4J-2'",cosz-t-O:; 5)T %SOIP:-¡;c{)soh ;
6) 9+4 cos2.r-O,2 0054:r; 7) 0,5eh z¡ 8) 0,5+0,1 eh 2l:.3
4279. IICS43"(CIC08ix+C~!Mill4-~)+Y, dondoJ/ es igual D:
:\25 ¡;-x '15 4 40 d
1) 16 t i 2) 219 St'1I1fx+F9C08 [, "'ia
3) .L ..2.~+.!.(2,.3+ 3G r'l.t i07 z- 908). 4) _!cosz-e T~13 r, 5 25 'i25' lJ
J1 7'" "5) -8 u' ros 5'" :0) O ,S.2x+i ,3.
2) LeZx' 3) 3 • 1 •. 4) _'+ 9 s+ 21 J5 .~ , "Scos"'''t'5SCU;t, .... '2'" "2""'-T'
5) -} eX [ tOS f+2 sen ~ ] ; fi) foZ+~-11~.-2%; 7) eX (.2J;t+,r);
8 t lS}:rx+(i_"(9+3col\2.1:-sen2.r); 9) -2.r.e"'---¡rrZ.>:;'l 3 7 9 i,1
fU} -:wcm¡,<- 20 sen.r+2110cos 3"+2ijQ,sen3:r; 1-1)- 12 "-"-:lux,~_Ij_" 1 s 7
4276. II",C1+C2e ,? +J, dO,ncleií es igual a: 1) '3.t3-5'",z+ 25.ti1 . ~. 5 12) Te'~;a) 5 sen ~- 2 COSxi ~, 10z+ iii4 sen 2.r - Ti COS2,,;.;
ResjlUest:.1S al cap .. XIV
. '"4290. lI=:r+C, cosllllzl+Cesen In Ixl.42.91. y=:t;ICt+~tlnl:vI,+1tI~I%Il·4292. JI = % ln 1,% 1+ eIl:+ C2z! + :ri'.
4293. Sí I~ >~. se ~iene- y=Cjcoskt+C2,sen..kt+ ka« 1»7. 008 (ot+tc¡j~ , I 1 . 'R+-¡i'""' donde k2='m;;:~(¡j2. Si1Wí<IJiL, se Llcne _y=C1.~'+C~~1-
,« _.<iJl. j ,""" 1 ( j' _!- k2+c.¡1I CO!l(l)I-* donde 1;2=Ul2_-;¡¡¡¡ . «=~. '="5 4.t +t 4).
4295. s= e-O," [10 tOS (O,245(l + 8,16",on (0,245/,)); .11",. % 7,07 cm.
4296. 1= 1"/a"> t F+ v'lfIF=7í,., J n F-f .4297. s = e-o,ml [2 C()í¡ ({56,61)+ 0,00313 son (15S',6fj].
1 JI ~ lUnas42!18". k = 33 "3'"171= ¡l3 '3 'C -¡;;;- ¡ t = 0,38 s¡ la -altura de 1~ parte
sumerglde 'del 'I.OIJWllil ,ae 'msO,era eS';r == 1) la + tOS (8,16t)]. Formando la0QU30iói! cousíderar e = tOOO ,crr¡ls'.
4~9·. r = ~_(.,.,1+ e~.,t). ',I'odo ocurre de tlll modo como 5¡ él ~ll~O.rueE~í,ml1óvil, pOI'Oscbre f¡11gloho á:étúlI la mena igual !i ¡n.(l)tr ,(f es la distlÍtici~qO&modia entre 91.oJ.edo ['oyolución y',e1 globo).
4300. Si k>mliJ~. se tieno r=. ao. -z'¡'k-m!f1.e.os'(¡ >,/ k ~(J)z-)J;u 'H-mM _ ~ JI .ni..
S.i ,Ti.", 17l00Z" se I;¡ener= aó (1 +'2~,'t2 ) 1
Si k<:m(!l'Z', se t,ieuo1'= n,t;i)~O_k[ ,tI(~2cb (, V(I)~- ~ )-)'J,
4211~~1I=2+C!, ces ",+C:2sen ~+C08:b In Itg 1-}'4281. y=e'" (CI+C2;r'-lnV .t:a.+j+xa~c!g",>.4282. 1) y=~"(:;+C,)-(¡j"+{)ln(~x+,t}+C2;
1 ,r-- .. 1.r......---2) 1/="'2 '''[~rcse'llex+ex V 1-t2x+C,J+"3 V ('I-cZ"')s+C2;
3) y=C1t"'-COS.e'"+Cz·3 b
4283. !/=o'{1+z¡,e-!i +2e-2""'.4Zlj4. '"= .'"(0.1.6 coa 3",+ 0.28, sen 3:i) +~+ 2,2", + 0.84;4285. y = e" + q;'. 4286. y = e'" (e" - :z~ - z + 1).
1 . i4287. V=TsoJl2z-"3StlllX-COSll'.
4288~. Efectu~r dos veces la derívacién de las expresiones indicadas p~~a,l/~en Ia.ecuacíén Introducir 11, U' o V". E1l19~ tres casos se (¡).¡eleneuna Identidad.
4289. y = z" (Cl + C"z').
Bespucstas ni c.w. XIV
4324.7.
432/Í.2. {.1>.=CJet+Co#!I, 4324.3 {x=.t({Jt cos3t+C~sen 3t),1I,=-C,.t+3C~eSI. ., lI,=r(elS9D 31-C,cQS 3th
{:t.=Cle1+C2t2-l+Ca,,_I, { .1:=C.+302•2',11=C,el-3Cs'-" ~4,5. u= _2C~e2'+C8.-I.z=Cjel+C¿z!zi-5Cart• t=C,+Caeu-2C;¡e-t.
{%=0",+ e,e2t+C",'51.y=.C¡.t_2C2"21+C3~1,~=-:-CJe' -3C2"'21 +3C:¡eH•
{
- ",,,,,C,c2t+e31 (Ctl105t+C3sent),!J=fl.3t [(02+C3) COS1+ (C3-C,) son t].t=C¡4lir +e3, [(2C2-C3) C-O$1+(~!+~Cs)S01lti.
4324.6.
'301. y = C, cos~.;:+ C~80n 3l' + O•.4302. 11= C,"'" + C.r'''' + C3e'"+ C••-sx.4393. 11- (C.I + O2,,,,) .ix + (~3 + C.z) e-·".4304. 11= eJeO>;+ e.e,"'''' + el COS2t f C. son 2.,.4305. y = C,e-'" + C••""',, .¡,. Ca""'.~306. 11= e,e'"+ e,u'" + C811·~';.4307. y =_e)+ C.1J1+ ,c •• -x + e,u-x•4308. y = C{e""+ c.•.-= + Cora--3 + e.¡:<"'" + ... + Cr,-,'"T Cn·
" se •
4309·11=' V'l( G,eosY;+CIiSO.D;2:)+.~ (C3cos72,+c~,5ell;2)'43iO. 9=(CI+C.or+CS"~) ces f+(d~+C5"'+Ci#)~n j-+C,.;+C8.4811. u= e-X (C1+ C.Z' + C,z2 + _.. + Cni,,-i)_04312. y = t + cos z.4313.11= ~+ COSl' - 2."l314. y = (Cl + CaZ)eX + C.~ -:c - 4.4315. 11= (Cl + C.:r) ~x+ 0",-2x + (..;.+ " - 1) .-x.
i4316. 11= (Cl + C.z) CQS 2;¡:+ (Ca + C.z) <jan 2%+ T eos $.
, ~COSD:J:4817. y~(lJt+e2x) cos"",+(C3+C~) sen a",-~.
1 14318. u=60 "'S-2:' ",S+C¡.j;2+ C.x+C3+C. COSX+C5senz.
x2-3z I4319.Y=Ct8"+C2e-"'+C3sen%+C&,cosz+-s-'''-r;xS(ln,.,.4JI20. 11= (él + Clz + :2;2)eX+ (e.+ C.x + .;:2) e-:<+ sen:¡: + ces s:432!. y = 4 - 3r'" + ...."'.4322. 11= e'" + ..,3.,4323. Y = z (el + C21n , ;, + C,ln'l' z 1).
{Z = .,-tI (Gj (lOS t + c.sen t),
4324. t. 11= rol f(C, + G\) cus t + (C~~ C,) sen ~l.
Respuestas al -eap, xrv
4337.
4335.
4334.
4333.
4331.
4329,
á32!!.
4327.
4326.
4325.
30-0176
% r.so 1,35_11.40 I ~,45 ¡ t,SO
11 0,959 O,94~ 1> 0,928 r 0;001 I 0,876
11 11,0001 t.oool O,~ 1°,9921 O,~ 1°,978
4~. r---,---.----,---,,---.----,,---,z 11.00 11.05 .It•to 1."{5 11,20 1.,.,25
dN=<N y TcoO en el momont<J en que N=M.
'SHSt1'"47 1 S,N,+S.Ji~+2a.... (9,_ g.),-a 8;82'W '~j S,+S~ $,+$: • •
, a.St+S1h,,- S,U,-r$2B2 S, (H -B ) - S,§S- S,+S~ 8,+S,.1 2·
E2t343/08.1) e-eo+O,OO2(&%-6~)=O,~i en sao;GE~
2) 9-80+°,002 (E)2-e~)=lIj¡o"~O' • (2O()1If-sen 2OOJ'I1);en 76°,4349, i) 44,5°; 2) 46,2.·,
tt-JiBa 2:,.40, 11-::;!:'(0346*,Si l' OS Ia canttdad del veneno, so ucne dN -nN-b.NT, iJT=~, di dt
4341. //=e'J.X.
~~ 1 . t~ % =- "2i'JI+ 21"-1 Icos.2kz+ C:¿ACOI! (2k-2) ~
• ~ I - ,1 -- j-C~"c9S,(~"':'~)1+."; +c1i"~2kI;cos2!<+' "'~ *If0S.(2Íc+J),z.+ C,h..".cos;'(2.k-1) "'+
, l'·~.. .:': ,.:¡-b~HIClOS(~k-a)",+... +C~~+tcos:z:J.4360. ~cosñ,ti>"';;;eo!~-=·éfciii '¡;;'",- se!!l", f c1 coa "4 '"sen' :t... Como
los oxponontes dOl-SOU-. "'- -aólo-sOn;nÚl110ros"!par03, -eos "'3) -85 srsceptibLe de sere.tpreaadq raclqDabriente mediante cos...:... ,21'1 ,2lt .. I
~ •.i).qI='II=- .y.!p=-v. l.I,",., ••donde_,,~O. t, .2,_••• , n;1" n" .
. '2it \ ', ~ '1 I '~,,:,"_' ,donde '11=1. 2, ••• , n-t para n impar, y '11=
·c~ (-1)-~n2k%= i: t~[~OS2h-C~Acos(2k_2)z+
.fcto eos (2Ic-4) "'- ... + (-liA-I~A I coa 2:1;
eenn•l",= (;~"J[seD(2Ic+1):z:....:'ch+18IlII(2k-I)",+
+"~I'6eII(2k-3)s- .-, +(-J)1t.a~~+lsen",.;
Al capítulo XV
Paro //. el error relativo es del orden 0,1%.4352. 0,4B128¡ lo mlsmo de la 'f6rmul", do Simpson {lara 2n = tOo 'rod8ll
las cifras aon e:iCftct&9,:z:2 2",S '7.-' 5,,:5 16.1:64853.V4=i+;z+T+T+Tz+-12+75""+ etc: YdO,3)~1.543:
:z:2 2%3 7z4 'tiz5 22zG .1(;z)=t+:+T+,,"l!-tT2+20+ 45 +etc¡ f(O,S) ,,:d,M5.El errorNmonor que 0,2%.. -~. 0,808.
4355-, 1,001624. El resultado se obtiene dO]8 manen más rápida si lafunci6n buscade se busea directamente en (ofma da ona serie de pºtoncies.
'356-. 1,0244, Véase la indicación el ejercicio antertor,LO"7 + 2 _,,+2,5 ,2,5 ... (3n-1) 3_' r: 2297...,.,.I/OC," T;<" 71+''':+ (3nfl)I z +...;"",,0. •
2,513,161is~ ~ 3,37500 13.42500 13.43472
Reslll!estas al'lIlip. }CiV
1;' ;..:' 00 ,
t383. e·n-1:[.2..+ '-' ( cos·,u: :....~)]_I• '- SI ·2 LJ l+nZ - 1,,+,,2. .
11c:l
ee-4379, 2+' .i.-~-'aeD (2."+1) % •
11 LJ 2n+1 •.... 0
..4378. ~ (-1)"( ~!_2:2 )serinz.,,-.
..m6. t) ~2 +01 ,Li (.-1)" co:;z ;
- "*"1.. 002 '
2) ~+4 ~ ~-'n ~~.3 LJ,,2 L.J 11 •nGJl n==1
n2 n2 n2S.=6' 5....·12. S8=S'2 ... {~2-
4377-_' ~ (- f)n+I) ~+- [(-1)"-tl) sen 11%.n ¿¡ "nS....1
tt~.% .,. Li 880"nz (O, 2n).n"·'
'!'"~ 5eD)!%U14. %-2 LJ (-1),,-I-n-(-n. n);,,~I
437&• ..!. ~ 009(211+1) %SI L.J (2n+1.)2 •,,=0.
4372. !i SIlnJ!~~1) ~, 4373',~
, SI=1.2 ..... n parQ n pIIrry'q>~(2v-i)-;¡::¡:Y1 donde ved •. 2t .... ,,+1.2"---- ,__o
4365-. Fijarse en que í ~n (ep) drp=O. '::¡3G6. SI.o
4371. a) b."'"bs!=b,- '... ='0 Y '41'=o,1'=a$;;'" ... ==' Ob) ao=al=a.=-.:. :',0 Y /;;=;;1I3"=b;";;',:. ~O.
-RéspucstÍls 111'C8]1: X;r¡
4391.
. ..).
4390.
{
4 [ 'lCln;¡) 3 son ilx 5 sen s.., ]-1i ª"~-1~ + a?-~2+ .42_52 I ... (<< es par)¡4388 C0saa:-• . - 4' 2 seD 2", l.son 4a.; 6 SIlD 6.i . .-1'[02.-22+~+ ¡j,~~~+'" J (o es IInpar).
;!seD'7t4 (..!..+~_~+ )4985. st 2n 1-a~' 22-aZ . •. •
Bespuestes ni cap, XV460
4380 para
(n_;,:)2 jt2 ~ ,,2_14398",--4--12+ .LJ ,1!2{ll'+~) OoallZ.
. n.:;t:.j
Derivar la serie y valerse de la solucíén en 01 ojeroioio 4374 y tumbíén de q\le
.,. ~ n-143ll7*, -2 + (-i)'·-j sen n... (véase el Bjlltcicio 4374).1I (Jl2+i)
,nrt' •'" sen-- ~ 3 "," ;32 ( 1&1t • _ ,!lIT)4392·, J (X) T+ 21t L.J --:;¡i- C<lsaseñ 2m:-SenT~~21lX =n=1
=..!!..+ 3 ,la ( sen 2:l: _ OO,~3.,-+ sel!-~,,_ ,se? 10-1'_+ ... )_6 811: 12 21 42"~~,, 52. .
_J.... ( COS2_'" +~+~+ cQ,51j)x _L ), 8:1' -¡r 2.2 . 4~ '51!, ","1" ,. •• •
V1ile~ dol reaultadu del ejcrricio ,436¡l.
4393*. ') 1'( .}..i ( senil·SCn ~, +seD 3et,sen 3"'+ ) •J "'.n 12, . . ?~ _ ,. ... ,
2) f() a (n-a) I ~ 1.... cos2i1a 2%' -=---1'1-- - -;:c LJ ")1.2 COS fl·% ==
,,=1a(n-a) 2 (sen2o: ..coS:!x~5en2:!(l..eOS4;r+ )
It 'n t:1. ! 22 . ,. •VaJerse,iI~1resultado del ejércicfo 4871.•
~-:o.::0__ •
"MI02, SOIl las ctrcuníerenctas cuyo centro se oncnsn rra en el origen de coee-Ii·enndas .,' + yt = R~.
4liOS. Son las hélices cuyo pasó esIgual a 2:11 sitlllldnM en los clliudroe cuyoeejes colncíden con el eje z; '" = R cos (rol -1- a). y = n sen (oot+ a), ..==./¡t.+ ~.,donde fl., a'y., 8ón.t;()Ostantll8~$r:t;itral'Ías. -• 4l¡o'4. Son Ias cirCUO(CI'QnciIIS fnrrMffa:i l'(Ir la Intorsecclén de las esforaa
cuyo centro se. halla en el origen dé coordenadas, y de los planos paralelos. 81·plano bisector y - ¡ = O: ;\lo+ ,,"+ :' = 1l~.!/ - z + e = O. donde R y eSQn 1;()llstnlltQS lI~b¡tpIri3.. '
2) SOl) las eircunlerencíaa formadas por la intOI'$(lcción ·de las es1N8.8cuyocentro se halla en el origen de coordenadas, y de los JlIIlDOS qUé c'ó~tnnen I.osejes de coordenadas segmentos que !fOO(gllDles por su valor 'Illot 5\) signo: ,.a ++ yZ + zt = R'. ;z; + y +. z = C. .
3) Son las tinuas do IlÍté~9cci6n do las esferas :i' + y' +:"= 11,~''Y de 109paraboloides 'hip0l'bóLicog "y = C;z;.
4405. dlv d = ~, rot ti",. O.4406. div Á = O, rot ti= 2 r(1I -~) l + (:- -l') J'+ (%- .y) kl.1j407. div Á = 6:CY'1 rot a "= ., (z' -~!,\\,+ g (i' -,c:.')J + ,''(y. - i:» k.MOS. div I.l= 6, r.ot A =O. 4409. di\, ..;I = O, rot.a = o:4410. di" a =~, donde " es el coeñctente de proporcionalidad" r es 111
dista-ncia que medla entro el punto de .oplieaciiin d'é h fuana h$-,tael ongen decoordeuades, rol A-O.
4411. div A = O, rol A = o. 4(12. div A. =' 0, rot.tl = O. Eu los punto!!del eje O, el campo no esta. definido·. -. - . ..
441S. div A =-::.-,V- k , PO~dBk ~ el cooficient, de prPJlO~clo-.',) 14 1,., t..i~rl -z'2'.:w.y,1+:1 ." I ,~,: .. , I
naJida.d. En los puntos del plano O,~y,el ~m,l)o no esté definido. . ~ 'E'44.4. Sa, 4416'. dív () (.1,a:) = (c¡.~).\aiv ''''(''(lJ)\= 4'(rá): .; '"~4p, e. 441S. ,) (J, ~) O, 3)·O.
4,4t9. dlv,¡l =.2,.(r) + ff(7') , si el campo es. espacl.al. dIv A:;=. f (r). +... r, ,,":_ • . _:_~•. 1 r.i~!._~._--.-~, ',¡ .- . - :,., ,.:... ·'r·'11'/' (:r), si 'el campo es ¡plano:"> ,_'
~'i rXa.. 44Z1. íprotél+(grodcpX A). 4422. ~I •-1'''''' ~""";;;4423. ,211•. oi424!•.2ooio°.don'ae;?lo,cs 01vectoe-úníeo plIl'alelo··s11tlje\de:·ravolU'''''0[60. 4430. u = ,4.;' + '(J. ' ~.
144111.r¡= -: Tk(~r.<+!I~tF1l+_qJ
0\401. Son hts"'l:eetas ¡)Ari¡Jel~gdi veeto, Á{a, 'b, e}: %-%0 V-II0 :::o--It-=--b-
Al capítulo- XVI
4400. /¡ (..,)~ 2í,8 + 6,5 cos ti; - 0,1 5011.$ - 3.2 cos 2..,+ 0.1 son 2~l. (o:) -;::::0,24 + 0,55 cos e + O,25gM:r: ~ 0,08 cos2a: ~ 6,t3l!eu 2z¡f•.(x) "" O,t2 + 1,32 cos e + 0,28 SM :ti - o,óieos Z;.+ O,Mfsen h
Re&puesta.~ al cap; ;XVI462
lIllra r ~ a ~ R. Trn2'M la esfera concéntrica de radio o. '!j I!plicllt Jos re!n1.ll.ado9de los dos primeros eneas.
4449. ~ [H ~ (~) ~]. donde M es la tnaIla del globq,
.. En las respuestas a loa ejercicios 4A39-4449 k es la C0l19tllD.te grevllactoDal.
4448*.
2) !m'li [JI y 4R' +JI' -1ft +"RO In B+lf~]. vélise la2 2R '
indicación al ejercicio 4443,4446, lIk6H (1- H), donde L es la generahiz del cono.
l2 ~'(Rs6[( a')2 (a) 3 3" -- ]4447. u=3"-"-'-' 1+Ri' - R - 28 +, para a;;.R;
3
,,= ~ kn4~'6[ ( 1+ ~: )z- ( ~ r+ ~(~r-2 ] paraa~ R;
/ml('(i (' ./- )u=--3- 11r 2-3 para 4=R.41in6' kM
u=~ (R$-~)~-I!- (M es la WIIS{\ del cuerpo]JI~1r1l4;;"8;u=21m6(81-r·J para a~r;
4kJta • .u=aa- (áo_r3)+2kn6(RI-a')
443,g.. 4k,~y~l.....t).¡.. .
4441. 2k~, 1.0 ~, t J"2),., .~.' V'~k .arcCósh, el 11';';::1,W~ Si h..c1~
'1:-112 , .l.\.i
''1' , ¿,tic - -i~(h+y,.~"';';i). 's!~"~~'iry~-~ , 1
!. • + JI:':-10f:;;·' ~"'J- lO
t443*. 1) 2kJtRóIDJI+V:~.~ '.)'&2)"rf~khllQhiJHl(~R -''>el.".._.28,- t. ..rr .,G\.J~ - -:> ,-'. r;- . ~
I{íyíd,i~ el cilipd~ 0'l: dos RÍlrtos ¡guales>Ípor. la seóci61i' 'paralela 'ti la base, ,ycalcular ~] potencial de 18,superiiO!Q lateral del ellíndro como suma de los potanciales de las super(tcílls ll\.lel"al~~de las dos mitades apJtcando el resultadodel puntoL
41144.2ImR6,
4~45".i) kn6[B.yR-+HO-.(Jl+R'ln H+V~J,
4~3~.,-No. ~,., .N.o.
24435. No. 4437. 3"'
!1'1 !e
4450. El nuJo }' lo círculacién sou iguoJes n O.4451. El Ilujo ea ¡flnl 11"208, lIondl' S ll3 el ma del dominio limitado por
el contorno L. La circulaci6n ea Igual a O.4452. El flujo 'i la clroulaclón son ig)lalea 11 O.4453. El'flujo es Igul\l El. t 1I[I',)a circIIloc1611es Igual a 2nR2.4454. En el caso en que el oTigen do ecordenedes &l1 hulla dentro del con
torno, 01 nlljo ea igual R 2.n. en caso contrarío el !llljo es Igtlal 8 O. En QJ1lb09ca-8OS)a clrculaci6n 08 igual 8 O.
4<\55. LII circulaCión es igunl 8 2:n, si el origen IIp. coordeuados so bailadentro dol eontorno, Q ¡!llIal a Q r'IC~1l do) coutorao. En mtl!.los casos 01 O\ljo 0&igual a O.
4456. 2. 4458. 2nRtB. 4459. «ms. 4400. 4". Cl1louJo.rel flujo a travésde la baee de) cono y valerse del resultado del ojorcic;Jo4457.
4461. *. 4462., !. Valerse de la fórmula de OstrogrndskJ y cal
ouIar el tH~Jo,a tra v('6 do la base. do 111PirállÚdo.446l1. 2Jtc¡'t. 4404. 2nwR'. "465. -lT. Apliear <:1teoreme de Stokes teman
do la Jlno3 de illte[~ccoióD del parabcloide con 01plano Dril como el eontcmo L.
Rosplloslus al cap. XVI
137 •.5,60 ua,2
i~'HH51 IGII,.466 16~.256 17'1.D54 la? ,4á3 186.Q~2lit
0,500 0,57'7m·' g~l&',» ,64.9!l&9 G7~
o,~1i 0,700¡'Slt 727«02 754616 'Sí829 $J Q
-1.00011,707.2i'fT
QO,O
2.74711,Q40!l05 OH4'75 1)27m·m¡:¡,~~?)m
1,.953 $91SSI aaa<1.04 &1li
2,90.ilZG
o'm376891~()1
0.4'234SS4'~~4694Só.
o,o'oqo O,OOQO - '1,000'
, om 011.55¡,g !:m'gm m~IIl."I, ~90O~98 ,n69Q14: 3' 998o'~mo'~m.tUl n'm1Un 122&, 8, I~ ~9S'13~ 14 1 7 ,11 900156 1~~··U.31 gas
'o,m o,m ur5 m2(),j 2t& 4,700 978225 231 4.531 97.o.m (249 ~:mo,m27~ I,m 487 961202 306 2H 956309 325 ª,078 05'1
1.0000,9020,97'8:m0,8630, B080,,746.
1,000
+1.000
+1.0'30+1.• 200+t,bS7+.-t'J.íl65+2.MZ+s.aM+~.7~8 I
+14,10
0"lQ7
1).711(1,na, o ,MJ6 ;'8910.QJ2O, O&~
&:m
nT0,80,0l,o1,.1i ,2I,SJ,4,1.5
o0,10,20.30,40,50,60.·1
H.861,651,S6S,O66.674 ,580',28G,1
9.1,1-70 97,4611 103,168 108.9~.7,- !l4, G66 120.~65 128.1~~ Ul,8
62 135,061
OD
8~S8818685848382!tI80197871/787!)'a1912.TI
0,3M!l844(14424~1~o'm~fO~325¡;'
'ol'!l'~.,4'667S9
Hi,1L12fU1101516111819
2021222,32,1.2~26272829
I ". 1 u ¡ ien a' I" I r~Q ¡anea
SuplementoTablas de clerta~ ñmcíonsselementales1. Filncíones trtgonométrícas
Buplémento
4,1444,5685,031'"5,5576,,132
., 6:,769 '7[,4748;,253g..H5 ;10:,07H,t212',2913,58'15',00'6',57
: 18¡,3f20,,:14. I22:,3624;,7121,31
J'. '4:,0224,,4574,9375,4666,0~O6,.69517,406., 8,192! 9',060
, ~0.021kOS ,~2';25~3.54p4,91da.54~8,2920,2122,;¡'¡24.6927.29
3,4.,3',;;3,.0'3,73,83,,94,0
2".1~ -2,2''2,3 .2,,4'215 j
2,62.7
: 2,8· •'2,9 ¡,3';0 I3,1 ,'1
' 3,2,3,3 I
Ir.oos
- ~,602" ~O~
L08l1,128 '1,185. '1,255'~,33(~,433'1,543i ,~69~,¡¡U
, 1..9?1 I2,151 i2,~2
! I 2.,5782,828,~,167
o oO,J 0,100
, {)',2- 0¡20~i 0,3 ' 'g;'QQlí
O,<i ,-, O,4H,0',5 0;521¡0.,6 Ó;637'0,7 0,759:
" q.a : 0,888,1: '0,9 i t ,027~
1,0 : ~ 1,f75,,: 1,1 '1336
r.a ¡ 'i:509,1,3 I 't ;698,
'~1;4 r,904¡I.:S ! 2,$29'
'1 ',6 i '2 ¡g76t,7 ,2,,646'i.s ~ 2:94.2
,; t ,9' 3,268 ,3,4'18'
I2,(1. , '8,627: 3,762 '
1~~ __ ~ __'__'~~~ __ ~'__~~+1~ ~ ~ __~_1\1, _ 1
, , Para %>4 88,puede ~n.sldérlU' ;quesh, ... ",. eh % """ ~~ con exactitual h¡ll!ia 0,01.I l'
,~-i!-% eX+t-X
I eh"'= ---2-' -; eh ~=-,-~--i :, , '= ,< "1=e1i:%+ch Zj • e"'l"",cosZ~¡IjEIDZ
2, Funciones hiperb6licas
Suplemento-466
1, 3. M(Lgnttudes inversos, rafee.v. cuadradas y cúbicas a '
.- loga~itrrL()S; funci6T1: ex ponencial. ..
461Suplólli'ento'
x, I I I)IX I 11mI 3;-i 13 '-I'ro=- lpl Inx I eX I .<J; , ,. l' lU" r 100,T
4,8 208 jO 93 6!f 63 83 681 569 122, 1,.8 ¡",O 204 21 1,01) 70 66 88 600 580 13.4 , 4.95,0 10,200, 2,24 i ,07 1,11 3,68 7,01.. 6!l9 1,609 148 S,O ¡
5.1 196 26 14 72 71 99 708 620 164 5,15,2 1!l2 2S 21 73 73 8,04 716 649 181 5.25.S 180 30 28 74 76 09 724 668 zoo 5,S5'14 185 32 ss, 7S 78 14, ,732 686. 221 5,4 I5,5 0,18,2 2,$S 7,42 t ,77 I 3,80 8,19' 74.0 1,705 245 5,5
151,6 H9' 37 48 78 sa 24 Ha 723' 270 ¡¡,6 I
5,7 175 39 65 79 85 29 756 740 299 5':715,8 t72 41 ' 62 80 87 34 763 758 330 5,8 I5,9 169, 43 68 8i 89 39 771 775 385 5,96,0 ~,167 2,45 7,75 1,82 3,91 8,~ 778 1,792 403 S,\)S,I 164 47 81 ss M 48 7!SS 808 446 G,I6,2 j6t 49 87 84 9G 1>3 ' 792 825 493 6,26,S 159 5i 94 85 98 57 799 841 545 e.aG,4 156 53 8,00 86 {t.OO 62- 806 856 ()O2 6.4
0.5 0,154 2,,$5 8,06 1.87 4,0~. 8i~,6' 81'3 1,872 66S 6\,56,6 1521 57 t2 88 04 71 820' W1, 7S5 0,1l6',7 149 59 19 89 06 75 826 902 ,812 6,76-,8 t47 6f 25 89 011 79 633 917 898 6,66,9 145 63, 31 90 1Q. ~, 839 992 992 0,97,0 0,143" 2,65' 8,37 1,91 4,1Z 8,88 MS 1.946 1097 7.07,'1 W S8 49 92 J4 92 851 960 12f2 7,11 , 139 68 40 03 16 96 857 974 1839 7.2,-7.3 137 70 54 94 18 9,00 863 988 1480 7,3'7,4 135 12 00 95 20 OS.. 8&.1 ,2;001 1636 ' 7,47,5 d,J33 ' 2,74:' 8,66 1,96 4,~2 > 9.09' 875 2,015 t808,~ 7',5'7,6 43~r 76 72 , 97 24 fa- ~1
¡ 028 ' 1998 7,a' I7 ;7 iSil ¡¡- 77 97 25 17 886 041' , 22os' .,.,7~,. 27 892 " 24417,8 i28 79 83 98 ' 21 054 7,87,9, 127 ~{. 89 99 29 2' 898 061 2697 7,98,0 0,125- 2 SS· 8,94 2,00 4,3l 9,28 JOO3 2,079 2iJ8í 8,0 i/, ,s.« 123 ' 85 9,00 011 ~3 32 908 09'2 ~ 8¡1 .8,2 ' t22 , 86 ' 06 02 ' 34 36" , 914 tO~'1 3P4t· 8,28,S 120 ;, ~8' H ()2 ,
36 4.0 01P Ha 4024"" 8',38,4' _ H9,; ~O; ·~7 OS 38 44 ' > 924" "128' 4,441 , 8,,48,5 0,1113>'2,~~ Il 22 2,04:, 4¡40" 9,~7 ' 929 2.140 491'5 8.5'. ,8,6 Ü~ , , 9a·,- ~7 05 . 41' I 51 ' 9aS 1~2' 5432 B,6. .~...._ -''''-' ~
Contin une .6,.
e SUJ!l_emento468
I '" I j I ¡(:« IYffil j,r~ vr~lv~ IIlX I lox 1 ." I >r1 ;::-¡
8,7 1t~ 95 3~ 06" 43 55 !)~O HIS 00il3 8,7I ~,8 114 97 :18 ()¡) 45 58 944 t-75 66&..4 8.88,9 112 98 43 07 46 02 949 1811 7332 81!)
I '9,659,0 0,111 3,00 9,49- -!l,08 4._48' 054. 2,1~7 8~03 9,09,1 HO 02 ' 54 \ 09 50 .~~ 95~ 208 8955 9,11l,Z 109 03 '5.9', 1Q\c. '~;I . 73 ~ 964 219 \)tw7 9,29,3 198, 09 64' '10 :).3 76 gGB 230 l09a8' g,,3.9,4 106 07 69 11 55 80 '9t3 . ~4t I d~088 9,49,5 0.105 3,08 9"7,5 2,'-L2 4,;>6, 9,83 978 2,251' '43360 9,59,6 104 iO 80 .fa 58 81> 982 2j}2 14765 9,69,7 ~03 ji 85 13 59 9Ó 9B7 :!72 16318 '0,7s.s 102 13 '00 14 (\i. 9~ 991 2112 ~8034 948
I 9,9 101 15 95 15' 63 I 979116 :l93 {99119· 9.9
, 10,0 0,100 3.16 10,00 2,15 4,64 10,00 000 2,303 22026 10,0
(
La columna 19.:r;contíene manrísas d~ 108 L()~tiLrnos d~(lirMI,¡s.Para hnl.L\r logarítmoa naturales de 109 números mayo~ que' 10 y rntluores
I que; 1, 50 recurre n la fórmul~
1In(x·lOfo)==lulI:+klo to.
Notemos que
¡ 111 10=:.1. ,30:-1; In ((J2='¡ ,fi05:19x.=(,!,434S IO¡l:j lo :<=2.a031g""
Fórmulos para o:a;traccióu aproximada !lo las ralees:ft lt' 'i-n "
'1) :.¡Ii+.:r;~l+n + 2f1~;¡:z para l"'l<i.:
Tl~ (, b t-I~ bZ) I b I2) Ji Q +b",," lT -_- +--:1.'- para - <::4..1I~ll ~1I (lZII a"
CónliriuacjÓI1
4119Suplemonto
A ~'HIF;STnQS Lx;;m'oRíJ;S:
fMir. edito. ¡Jbr,oa~o,v¡éUeps trailllj:Jao~"al eSpll~, 'Dol, lJiglés, fraoQés, 'ár8~41'Y'o~r9~idj~~~: ,Ent!'0eUQ3figul!on 1Mmejores'obras ,do las tli$t¡n,t8~.rIllll8,Sde lací~Il$ia y la l~()JÜca:.l'nanualeBpe'lidQ5,ceuLtos:do en:a,~ñ8Dz.a~pil¡:i9r¡y' es~u,el~ tct:nl\lógi'éB,s;Ut.ef8tur8sobre' cíeacias' na tura1<!!'y.médicas, Tam.bléÍll!&ínclu-
"yBn 'monografías, libros dé div\l1gllción científica yciencla-fJcci6n, , '. :. j)J~iján8U8op'jD!~nes~ la EdHótigL~ln, 1Rizn-*1 por" 2, 129820, ',N!n~u, 1'110, OS;p, URSS.
Los resultados obtenidos por el eminente matémático soviéticoAn8tollvánovicl~ Málts~v han i~uido grlUldement~.én el desarrollodel álgebl!a moderna. Elproíeeor ~Máltsev ad~máll'de gran científico,Ju.e nn destacado pe.dfjgogo.'}f'fhi'Üí6;',unigrupo considerable de cientilico! soviéticos. Durante 'lilll.aíí,oS)qu~ ~ál)ajó en los centrol! deenseñansa superior preparÓ. "f dict-6 un. gran número de. cursos endiferentes ramaS del álgebra. El libro 'qu~ofrecemos al Ieotor es elresultado de la gran labor' realizaaa por' A. L 1'4ált.sev durante la
preparación: de los Icvrso~de ,álgebra lineal .."Su primera. edición en ruso tuvo. una amplia 'acogiday se agotó' rápidamente. En los (¡ltimo!! años de su vida, ~} 'Qu\or.se propuso unamodiñoaclón sustancial del líhro, pe¡:'o;110 pudo realizar .sus planeey sólo alcanzó a escribir tres capítulos. toá inailúscríthlJ correspondientes fueron preparadoepara la, puhliciH:ióo'po'¡¡ UD.'gtupo dé alumnos de A. 1, M~tsev e incl_ui(!.o~elt la ti,ªg'l1lldaedición (capitulo 1,2'y 8) en. ruso. Los demás capitulos teproducen casi íntegramente el
texto dé la edicI6n anteríoe, "," e
Entre los libros de álgebra, Iíneal existentes, el de A. 1. Máltsev sedestaca por .su originalidad, la plenitua y claridad de la exposición'Y porque resalta constantemente la conexión que existe entre losobjetos que estudia ,el álgebra lineaP.(matriees, especíos y formasalgebráicas). En el-último. capitulo se exponen los elementos de futeoría de espacios afines multiIlÍIJle~~~onale$,que ha pasado a ocupar uno de los lugares centr_¡llésen una, r~n tan importante da lasmatemáticas aplicadas cómo 'lrS Ja tebría de operaciones. El Iihroes un manual para los estudiantes de eapecíalídades matématicasde las uníversidades. Al,lemtl.s resultará útil para 1013ingenieros yeconomtstas qua trabajan en diferentes ramas de la matemátio,9apltcada y que desssn profundizar sus conocimlentos del ~gebra
lineaLLa obra se reedita a solicitud de los lectores extranjeros.
MAl:. TSE V A.
Fundamentos de álgebra lineal
VEI'lTSEL E.Elementos. de la teorla tle los jllegos
YAGLO!.1:f.Algebra erlra9tt,L¡;flllria.
TRAJ1ENBROt B.Los algoritmos y la solución automáuca (le prcblemas
ROSENFELD s., SE.RGEEVA N,Proyecóién estereogl'áfil:a
NATANSON 1.Problemas elementales de máxímo y mínímoSuma de cantidades ,infinitamente pequeñas
MAl,lKV,,')HEVJCIf. A.
Cu.r;a.'i maravillosasNúmeros complejos y répresentaciones conformes
Funciones- maravillosas
En el año HJ77salen a la 1~ los,síguientes librosde la sf;lrie "Lecciones populares de matemétíeas":
BARSOV A.
Qn6 es programación lineal
S'ES!{[N 'N.Ilepresentacíéu de ñgn ras espaciales
B01'.;TIANSlUV.I;,a envolvente
![Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico (G. N. Berman) [MIR, 1977]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5695d0591a28ab9b02921b0c/problemas-y-ejercicios-de-analisis-matematico-g-n-berman-mir-1977.jpg)
![Aaa8lxs - Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico (G. N. Berman) [MIR, 1977]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/577c7e9f1a28abe054a1dd38/aaa8lxs-problemas-y-ejercicios-de-analisis-matematico-g-n-berman-mir.jpg)
