1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana

adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses

Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika

bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705).

Suatu sebaran Bernoulli merupakan performans dari suatu percobaan

dengan hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau “Gagal”.

Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal

dilambangkan dengan q dimana p+q = 1. Sedangkan sebaran binomial berasal dari

percobaan binomial yaitu suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan

tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali.

Berdasarkan latar belakang diatas, penulis memberi judu lmakalah ini

“Bernoulli dan Binomial”. Tujuan penulis menyusun makalah ini adalah untuk

mengetahui lebih lanjut tentang sebaran Bernoulli dan binomial terkait tentang fungsi

kepekatan peluang, nilai harapan, ragam, fungsi pembangkit momen, dan fungsi

pembangkit momen faktorial. Dan agar dapat mengetahui kemungkinan (peluang)

kesuksesan maupun kegagalan dari sebuah percobaan.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dari

penulisan ini adalah :

1. Apa pengertian sebaran bernoulli

2. Apa pengertian sebaran binomial

1.3 Tujuan Penyusunan Makalah

1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Bernoulli, ciri-ciri Bernoulli,

dan sifat sebarannya.

2. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Binomial, ciri-ciri Binomial,

dan sifat sebarannya.

2

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Sebaran Bernoulli

Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu hasil dari suatu percobaan yang

hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “sukses” atau “gagal”. Percobaan tersebut

disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit

Nugroho : 2008). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:

1. Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”

2. Jika peluang sukses p, maka peluang gagal q = 1 – p

2.1.1 Fungsi Kepekatan Peluang

Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi

kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak

mempunyai nilai. Jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q dan f(1)=p dan

peubah acak Bernoullinya adalah : 1 jika e E

X (e) =

0 jika e E◦

Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernouli dapat diekspresikan sebagai

berikut : ƒ(x) = px q1-x untuk x = 0 atau 1 dan besarnya q = 1-p dan 0 < p < 1.

Dalam percobaan Bernoulli, dimana p adalah peluang “sukses” dan q = 1- p

adalah peluang “gagal”, dan jika X adalah peubah acak yang menyatakan kejadian

sukses, maka sebaran peluang Bernoulli dapat didefinisikan sebagai :

px q1-x ; x = 0, 1 , dimana 0 < p < 1

ƒ (x;p) =

0 ; x 0 atau 1 ( x lainnya ).

3

2.1.2 Nilai Harapan

Nilai harapan adalah sebuah ukuran rata-rata dari suatu peubah acak.

Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu sukses atau

gagal (1 atau 0) maka rumus nilai harapan dari sebaran Bernoulli didefinisikan

sebagai x = E(X) = p. Pembuktian rumus nilai harapan Bernoulli sebagai berikut :

Definisi 2.1.2

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang ƒ(x),

maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

( ) ∑ ( )

Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu “sukses” atau

“gagal” ( x = 0, atau , x = 1 ) dan jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q

dan f(1)=p, maka berdasarkan definisi 2.1.2 rumus nilai harapan Bernoulli dapat

ditulis sebagai berikut :

( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

Dari pembuktian rumus diatas, terbukti bahwa nilai harapan (x) Bernoulli adalah

p, secara umum ditulis x = E(X) = p.

2.1.3 Ragam

Ragam adalah sebuah ukuran dispersi dari peubah acak. Rumus ragam

sebaran Bernoulli dapat diperoleh dari rumus nilai harapan yaitu :

Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q

Bukti :

( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2x = Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q

Jadi rumus ragam sebaran Bernoulli dapat ditulis : 2x = p q.

4

2.1.4 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen adalah suatu teknik atau cara mencari distribusi

fungsi dengan beberapa peubah acak, fungsi tersebut merupakan jumlah peubah

acak bebas.

Definisi 2.1.4

Fungsi pembangkit momen peubah acak X diberikan oleh E(etX) dan

dinyatakan dengan MX(t). Jadi fungsi pembangkit momen dirumuskan

sebagai berikut : MX(t) = E(etX)

( ) ∑

( )

( ) ∫ ( )

(Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers : 1986).

Karena sebaran Bernoulli merupakan peubah acak diskret, maka berdasarkan

definisi 2.1.4 rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli dapat ditulis

sebagai berikut :

( ) ∑

( ) ∑

∑( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Jadi rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli adalah ( ) ( ).

2.1.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial

Momen faktorial adalah bentuk khusus lain dari nilai harapan peubah acak.

Definisi 2.1.5

Momen faktorial ke-r peubah acak X didefinisikan sebagai

E [ ( ) ( )]

dan fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak didefinisikan sebagai

Gx(t) = E(tx)

jika nilai harapannya ada untuk semua t dalam beberapa interval terbuka

yang mencakup nilai 1 dalam bentuk 1- .

5

Berdasarkan definisi 2.1.5 rumus fungsi pembangkit momen faktorial dapat ditulis

sebagai berikut :

( ) ( ) ∑

( ) ∑

∑( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

Jadi rumus fungsi pembangkit momen factorial adalah ( ) ( )

2.2 Sebaran Binomial

Sebaran Binomial berasal dari suatu proses percobaan yang terdiri dari

sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali. Dalam

percobaan binomial, kuantitas yang diamati adalah banyaknya ‘sukses’ dari

sebanyak n tindakan pengulangan. Secara langsung, percobaan binomial memiliki

ciri-ciri sebagai berikut:

1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali

2. Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikatagorikan sebagai

gagal dan sukses

3. Probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain

4. Percobaan yang berulang adalah saling bebas.

2.2.1 Fungsi Kepekatan Peluang

Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi

kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak

mempunyai nilai. Karena percobaan Binomial merupakan percobaan Bernaulli

yang dilakukan berulang-ulang, maka percobaan binomial menghasikan peluang

sukses atau gagal yang jumlah suksesnya dihitung dalam setiap n percobaan. Jika

peluang ‘sukses’ pada setiap tindakan Bernoulli tersebut adalah p, dan X

melambangkan banyaknya kejadian ‘sukses’, maka fungsi kepekatan peluang dari

peubah acak X dalam percobaan Binomial didefinisikan sebagai

( ) ( )

Fungsi kepekatan peluang Binomial diatas diperoleh dari uraian berikut ini :

6

1. Pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu.

Karena ulangan semuanya bebas, maka peluang tiap hasil yang berbeda

dapat digandakan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan gagal dengan

peluang q=1 – p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah pxqn-x.

2. Tentukan banyaknya semua titik contoh dalam percobaan tersebut yang

menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama

dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok

sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya, n-x hasil,

pada kelompok kedua. Banyaknya x hasil yang sukses dapat dinyatakan

dengan ( ).

3. Karena pembagian kelompok pada (2) saling terpisah, maka peluang x

sukses diperoleh dari hasil penggandaan ( ) dengan pxqn-x.

Hal yang harus diperhatikan adalah

∑ ( )

∑ ( ) ( )

Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka

sebaran binomial kumulatif yang ditulis P(X > r), dengan r<n, adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )

2.2.2 Nilai harapan

Nilai harapan X dari sebaran Binomial dengan parameter n dan p adalah :

x = E(X) =np

Bukti rumus :

7

( ) ∑ ( )

∑

( )

∑ ( )

( ) ( )

( ) ( )

∑ (

) ( )

( ( )) ∑ ( ) ( )

∑ ( )

( )

∑ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∑ (

) ( ) ( )

2.2.3 Ragam

Ragam dari peubah acak X berdistribusi Binomial didefinisikan sebagai :

2x =Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = np(np+q)-(np)2 = npq

Bukti :

Karena E[X(X-1)] = E[X2-X] = E(X2) – E(X), maka E(X2) = E[X(X-1)]+E[X]

Dari rumus nilai harapan distribusi Binomial, telah diperoleh nilai E(X) dan

nilai E[X(X-1)], sehingga nilai E(X2) dapat dicari seperti berikut ini :

E(X2) = E[X(X-1)]+E[X] = n(n-1)p2 + np= n2p2

– np2 + np = np(np) + np(1-p)

= np(np+q).

Jadi rumus ragam distribusi Binomial dapat ditulis sebagai berikut :

2x =Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = np(np+q) – (np)2 = npq.

8

2.2.4 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen sebaran binomial X dapat diambil dari definisi

Definisi 2.1.4 yaitu :

( ) ( ) ∑

( ) ∑

(

) ∑ (

) (

)

Berdasarkan penguraian binomial (pet + q)n maka dapat diperoleh

Mx(t) = (pet + q)n.

2.2.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial

Fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak x yang berdistribusi

binomial didefinisikan sebagai :

( ) ( ) ∑ ( )

∑ ( )

( ) ( )

2.3 Ilustrasi Percobaan Bernoulli dan Percobaan Benomial

2.3.1 Ilustrasi Percobaan Bernoulli

Pada saat pelemparan sebuah koin maka terdapat dua macam

kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

2.3.2 Ilustrasi Percobaan Binomial

Ruang sampel A untuk percobaan E yang terdiri dari himpunan tak hingga

tetapi masih terhitung dari titik – titik sampel:

Jika S = Sukses dan G = Gagal

E1: S (sukses pada percobaan pertama)

E2: GS (gagal pada percobaan pertama dan sukses pada percobaan kedua)

E3: SG (sukses pada percobaan pertama, gagal pada percobaan kedua)

E4: GGS (gagal pada percobaan 1 dan 2, sukses pada percobaan ketiga)

E5: GSG (gagal pada percobaan 1 dan 3, sukses pada percobaan kedua)

E6: SGG (gagal pada percobaan 2 dan 3, sukses pada percobaan pertama)

En : SSS....S GGG...G (sukses sebanyak x kali, gagal sebanyak n – x kali).

9

Jika peluang sukses dinotasikan dengan p maka peluang gagal adalah

q = 1 – p. Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan

yang saling bebas. Maka peluang X pada masing – masing percobaan E adalah:

P(X) = p untuk E1

P(X) = qp = pq untuk E2

P(X)=pq untuk E3

P(X)=q2p = pq2 untuk E4

P(X)=qpq = pq2 untuk E5

P(X)= pqq = pq2 untuk E6

P(X) = Pxqn-x untuk En

10

BAB III

HASIL DARI PEMBAHASAN

3.1 Contoh dan Pembahasan

3.1.1 Contoh sebaran Bernoulli

1. Di awal tahun ajaran baru, mahasiswa fakultas teknik biasanya membeli

rapido untuk keperluan menggambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis

rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan yang tintanya harus diganti

bersama dengan cartridgenya. Data yang ada selama ini menunjukkan

bahwa 30% mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang. Jika

variabel acak X menyatakan mahasiswa yang membeli rapido yang tintanya

dapat diisi ulang, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut:

Jawab :

1 jika mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat isi ulang

X =

0 jika mahasiswa membeli rapido yang cartidgenya harus diganti

p(1) = p(X = 1) = 0,3

p(0) = p(X = 0) = 1 – 0,3 = 0,7

p(x 0 atau 1) = P(X 0 atau 1) = 0

Maka fungsi kepekatan peluang fungsi Bernoulli dengan satu parameter

p = 0,3 adalah :

ƒ (x;p) = (p)x (q)1-x = ƒ (x;0,3) = (0,3)x (0,7)1-x ; x = 0 , 1 0 < p < 1

2. Anggap ada ilmuan yang melakukan percobaan, p adalah percobaan

probabilitas sukses. Anggap p =

(percobaan seperti ini hanya mempunyai

dua hasil yaitu sukses atau gagal, dan disebut percobaan Bernoulli). Misal X

adalah variabel acak yang sama dengan jumlah keberhasilan pada hari

11

tertentu. Dengan demikian X hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1.

Hitunglah fungsi kepekatan peluang ?

f(0) = P(X = 0) = 1 – p Grafik fungsi kepekatan untuk p =

f(1) = P(X = 1) = p F(X)

f(a) = 0 untuk semua nilai a yang lain 1-

0.8-

0,6-

0,4-

0,2-

0 1 2

Gambar 1.1

Selanjutnya kita dapat menghitung fungsi sebaran kumulatif :

f(a) = 0 jika a < 0 F(x) Gambar fungsi untuk p =

f(a) = 1-p jika a < a < 1 1-

f(a) = 1 jika a > 1 0.8-

0.6-

0.4-

0.2-

0 1 2 z

Gambar 1.2

3. Berdasarkan soal di atas, hitunglah nilai harapan ?

Jawab : Karena hanya memiliki nilai 0 atau 1 maka x = E(X) = p =

4. Berdasarkan soal di atas hitunglah varians ?

Jawab : Varians untuk p =

12

Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = 0.2 (1-0.2)

= 0.2 (0.8) = 0.16.

4.1.1 Contoh sebaran Binomial

1. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah

. Apakah

peluang dari tepat empat kepala muncul ketika suatu koin dilemparkan

sebanyak tujuh kali?

Solusi : Terdapat 27 = 128 keluaran yang mungkin.

Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka diantara tujuh pelemparan

adalah ( ) Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang

untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah :

(p)x(q)n-x=.(

)

(

)

(

)

(

)

. Akibatnya, peluang kemunculan tepat

empat muka adalah ( ) (

)

(

)

= (

).

2. Peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang

kegagalan adalah 5/6. Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap

keberhasilan maka : ƒ(3,5,

) =

( ) .(

)3 (

)5-3 = 0,032.

5. Untuk b(5; 5 0.20), di mana x = 5, n = 5 dan p = 0.20 sehingga q = 0.80

maka

μ = 5 ×0.20 = 1.00

σ² = 5 ×0.20 × 0.80 = 0.80

σ = 080. = 0.8944

6. 10 % dari semacam benda tergolong kategori A. Sebuah sampel berukuran

30 diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisi benda

kategori A :

a. Semuanya

b. Paling banyak 2 buah

Jawab : n = 30, p = 0,1

a. X =30

P (X = 30) = [

] ( ) ( )

13

artinya untuk mendapatkan benda kategori A sebanyak 30 peluang nyaris

nol

b. X paling banyak 2, berarti X ≤ 2

P(x≤2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

P (x=0) = [

] ( ) ( )

P (x=1) = [

] ( ) ( )

P (x=2) = [

] ( ) ( )

maka P(x≤2) = 0,0423 + 0,1409 + 0,227 = 0,4102.

7. Seorang penjual mengatakan bahwa 25% dari seluruh dagangannya rusak

akibat truk yang membawa barang itu mengalami kecelakaan. Jika seseorang

membeli barang dagangan itu sebanyak 10 buah, tentukan :

a. peluang orang itu akan mendapat 5 barang yang rusak

b. peluang orang tersebut memperoleh minimal 3 tetapi kurang dari 7 barang

yang rusak

c. rata-rata dan simpangan baku barang yang rusak

penyelesaian: Misalkan X = banyaknya barang yang rusak p = 0.25, n = 10

a. P(X =5) =P(X < 5) – P(X < 4) = 0.9803 – 0.9219 = 0.0584

b. P(3 < X<7)=P(3 < X < 6) = P(X < 6) – P(X < 2) =0.9991-0.6778 = 0.3213

c. μ = n.p = 10x0.25 = 25, = n.p.(1-p) = 10x0.25x0.75 = 1.875

14

BAB IV

KESIMPULAN

1. Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu performans dari suatu percobaan,

percobaan itu hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau

“Gagal”.Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau

percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit Nugroho : 2008)

2. Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernoulli dapat diekspresikan

sebagai berikut : ƒ(x) = pxq1-x untuk x=0 atau 1 danbesarnya q = 1-p dan

0 < p < 1.

3. Rumus nilai harapan sebaran Bernoulli : x= E(X) = p.

4. Rumus ragam saebaran bernoulli : 2x = p q

5. Fungsi pembangkit momen sebaran bernoulli

( ) ∑

( ) ∑

∑( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

6. Sebaran Binomial berasal dari percobaan Binomial yaitu suatu proses

percobaan yang terdiri dari sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas

dan diulang sebanyak n kali.

7. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran binomial : b(x; n, p) = pxqn-x dimana x

= 0, 1, 2, …., n.

8. Nilai harapan binomial x = E(X) =np

9. Varian sebaran binomial adalah :

Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = np(np+q)-(np)2 = npq.

10. Fungsi pembangkit momen sebaran binomial : Mx(t) = (pet + q)n

11. Fungsi pembangkit momen faktorial

( ) ( ) ∑ ( )

∑ ( )

( ) ( )