Beschreibungsgrößen Wechselspannung: I … · Passiver Tiefpass / Hochpass / Bandpass Dezibel Bode-Diagramm 06.008.01 Wechselspannungskreis Definition Beschreibungsgrößen Wechselspannung:

06 / Teil C / Seite 01

06.002.03

Teil C:

Wechselstromkreis

Beschreibungsgrößen

Ohmscher, kapazitiver, induktiver Widerstand

Knoten- und Maschenregeln

Passiver Tiefpass / Hochpass / Bandpass

Dezibel

Bode-Diagramm

06.008.01

WechselspannungskreisDefinition

BeschreibungsgrößenWechselspannung:

U0

ω

φU

Amplitude

Winkelgeschwin-digkeit

Phasenlage beit = 0

messbarerMomentanwert

Um

U 0φU R

I U(t = 0)

Um

U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)komplexe Schreibweise:

06.008.02

WechselstromkreisDefinition

BeschreibungsgrößenWechselstrom:

I0ω

φI

Amplitude

Winkelgeschwin-digkeit

Phasenlage beit = 0

messbarerMomentanwert

Im

I 0

φI R

I I(t = 0)

Im

I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)komplexe Schreibweise:

φU

06.008.03

Wechselstrom / -spannungPhasenlagen

BeschreibungsgrößenWechselstrom:

R

I

I 0

φI

I(t = 0)I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)

U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)

In der Regel ist φI = φU

U(t = 0)


I 0

I(t)

ImImR

06.008.06

Rein ohmscher Stromkreis:

I(t) = I0 * ej(ω*t + φU)

I0 * ej(ω*t + φU)I(t)

Widerstand:

U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)

U0 * ej(ω*t + φU)U(t)R(t) = =

=I0

U0 = R

U 0

R

I U(t)

Um

Der Imaginärteil des rein ohmschen Widerstands ist 0.

Widerstand

06.008.07

Kondensator

Beschreibung:

I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)

U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)

Die Animation zeigt: φ I = φU + 90°(d.h. der Strom eilt um 90° voraus)

06.008.04

Widerstand

Beschreibung:

I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)

U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)

Die Animation zeigt: φ I = φU

Wechselstrom-quelle

Widerstand

06.008.05

Widerstand

IU,10V

7,5A

1,3Ω

R

45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Widerstand R istzeitlich konstant.


06.008.08

IU,10V

7,5A

1Ω

R

45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Widerstand R ändert sich zeitlich, wird sogar negativ.

Kondensator

06.008.09

Kondensator

Rein kapazitiver Stromkreis:

I(t) = I0 * ej(ω*t + φU + π/2)

I(t)

Widerstand:

U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)

U(t)R(t) = =

=

I0 * ej(ω*t + φU + π/2)

U0 * ej(ω*t + φU)

I0 * ej(ω*t + φU) * ejπ/2

U0 * ej(ω*t + φU)

Der Realteil des rein kapazitiven Widerstands ist 0.

I0I(t)

Im

ZC

U 0

R

I U(t)

Um

=I0

U0 = - jZC = konst.- j

06.008.10

Rein kapazitiver Widerstand

Bewegte Ladung pro Zeit wächst linear mit ω.

Stromstärke I wächst linear mit ω.

I0 = j * ω * C * U0 ZC = 1/j(ω * C)

I(t) = dQ(t)/dt = C * dU(t)/dt = j * ω * C * U(t)

Rein kapazitive Widerstände sind freq.abhängig.

Winkelgeschwindigkeit ω

(vgl. 06.007.26)

06.008.11


U(t) = * I(t)1jω*C

Rein kapazitive Widerstände sind freq.abhängig.

Regel: Frequenz verdoppelt Widerstand halbiert

R1.00*R

0.50*R0.25*R

ω

Grund-freq.

1. Ver-doppel.

2. Ver-doppel.

3. Ver-doppel.

4. Ver-doppel.

100 200 400 800 1600


06.008.14

IU,10V

7,5A

1Ω

R

45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Widerstand R ändert sichzeitlich, wird sogar negativ.

Induktivität

06.008.15

Rein induktiver Stromkreis:

I(t) = I0 * ej(ω*t + φU - π/2)

I(t)

Widerstand:

U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)

U(t)R(t) = =

=

I0 * ej(ω*t + φU - π/2)

U0 * ej(ω*t + φU)

I0 * ej(ω*t + φU) * e-jπ/2

U0 * ej(ω*t + φU)

Der Realteil des rein induktiven Widerstands ist 0.

I0

I(t)

Im

ZL U 0

R

I U(t)

Um

=I0

U0 = jZL = konst.j

Induktivität

06.008.12


log(R)1.00*R

0.50*R

0.25*R

.125*R log(ω)

Grund-freq.

100 150 200 300 400 500 600 800

1. Ver-doppel.

2. Ver-doppel.

3. Ver-doppel.

Regel:

Bildliche Darstellung wird günstiger, wenn die jeweiligenVerdoppelungen / Halbierungen gleichabständig sind.

Frequenz verdoppelt Widerstand halbiert

Gerade, "6dB pro Oktave"

06.008.13

Induktivität

Beschreibung:

I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)

U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)

Die Animation zeigt: φ I = φU - 90°


06.008.16

Rein induktiver Widerstand

Bewegte Ladung pro Zeit wächst linear mit ω.

Änderung der Stromstärke I wächst linear mit ω.

U0 = j * ω * L * I0 ZL = j * ω * L

U(t) = L * dI(t)/dt

Rein induktive Widerstände sind freq.abhängig.

Winkelgeschwindigkeit ω

∫ U(t) dt = L * I(t)

06.008.17

Vergleich Gleich- / Wechselstromwiderstand

Bauteil R Gleichstrom R Wechselstrom

ohmscherWiderstand

Kapazität

Induktivität

U = R * I

unendlich

0

U = R * I

U = j * ω * L* I

U = * Ij * ω * C1

06.008.18

Knotenregel(1. Kirchhoffsches Gesetz)

Die Summe alle Ströme eines Stromknotens ist null:

Σ Ik(t) = 0 zu jedem Zeitpunkt tk = 1

N

I1*ej(ω*t+φ1)

I2*ej(ω*t+φ2)I3*ej(ω*t+φ3)

I4*ej(ω*t+φ4)

I5*ej(ω*t+φ5)I6*ej(ω*t+φ6)

06.008.19

Maschenregel(2. Kirchhoffsches Gesetz)

Die Summe aller Spannungen eines Stromkreises(Masche) ist null:

U0

U1 U2

U4 U3

Σ Uk(t) = 0 zu jedem Zeitpunkt tk = 1

N


06.009.01

Kombination von ohmschen,kapazitiven und induktiven Widerständen

Ohmsche, kapazitive und induktive Widerständekönnen kombiniert werden.

Möglichkeiten:

Reihenschaltung

Parallelschaltung

Parallel- und Reihenschaltung

Diese Schaltungen haben eine große technischeBedeutung.

06.009.02

Tiefpass, Bandpass, Hochpass

Aufgabe:

Ausgewählte Frequenzen unverändert durchlassen;Andere Frequenzen unterdrücken.

Beispiel:

Frequenzweiche Lautsprecherbox

1kWmax.

HP

TP

BP

06.009.03

Tiefpass

Gewünschtes Übertragungsverhalten:

Frequenz f

Vers

tärk

ung

A

0

1

fgGrenz-freq.

Verstärkung:

A =AusgangsspannungEingangsspannung

06.009.04

Hochpass


Frequenz fVe

rstä

rkun

g A

0

1

fgGrenz-freq.

Verstärkung:

A =UaUe


06.009.05

Bandpass


Frequenz f

Vers

tärk

ung

A

0

1

fug foguntere

Grenzfreq.obereGrenzfreq.

Verstärkung:

A =UaUe

06.009.06

Tiefpass / HochpassRealisierung

ohmscher Spannungsteiler

Ua1(t) = Ue(t) * R1 / (R1 + R2)

Ua2(t) = Ue(t) * R2 / (R1 + R2)

UR

1(t)

UR

2(t)U

e(t) U

a1(t

)U

a2(t

)

R1

R2

ohm. / kap. Spannungsteiler

UR

(t)

UC

(t)U

e(t) U

aR(t

)U

aC(t

)

R

UaR(t) = Ue(t) * R / (R + ZC)

UaC(t) = Ue(t) * ZC / (R + ZC)

C

06.009.07



UR

(t)

UC

(t)U

e(t) U

aR(t

)U

aC(t

)

RC

UaR(t) = Ue(t) * R / (R + ZC)

ZC = jω*C1

1 + ZC/R1= Ue(t) *

= Ue(t) * 1 +1

1jω*C*R

AR(jω) = = 1 +1

1jω*C*RUe(t)

UaR(t)


- von ω abhängig.- komplex,Verstärkung AR ist

AR(jω) = = 1 +1

1jω*C*RUe(t)

UaR(t)

Werte für AR(jω) bei R*C = 1/400 ΩF:

ω0

100200

800400

1600

Re(AR(jω))

0.0000.0590.2000.5000.8000.941

Im(AR(jω))

0.0000.2350.4000.5000.4000.235

Winkel φ0.000°

75.964°63.435°45.000°26.565°14.036°

Betrag

0.0000.2430.447

0.8940.970

1 / 2

06.009.08




AR(jω) = = 1 +1

1jω*C*RUe(t)

UaR(t)

Ortskurve für AR(jω) bei R*C = 1/400 ΩF:

06.009.09

ω = 0

100

200300 400 500

700

1000

ω = 2000Betra

g A R(jω

)

φ Re(AR(jω))

Im(A

R(jω

))

10.5

0.5

06.009.11



UR

(t)

UC

(t)U

e(t) U

aR(t

)U

aC(t

)

RC

UaC(t) = Ue(t) * ZC / (R + ZC)

ZC = jω*C1

1 + R/ZC

1= Ue(t) *

= Ue(t) * 1 +1jω*C*R

AC(jω) = = 1 +1

jω*C*RUe(t)UaC(t)


- von ω abhängig.- komplex,Verstärkung AC ist

Werte für AC(jω) bei R*C = 1/400 ΩF:

ω0

100200

800400

1600

Re(AC(jω))

1.000

0.059

0.8000.5000.200

0.941

Im(AC(jω))

0.000-0.235-0.400-0.500-0.400-0.235

Winkel φ0.000°

-75.964°-63.435°-45.000°-26.565°-14.036°

Betrag

1.000

0.243

0.894

0.447

0.970

1 / 2

06.009.12

AC(jω) = = 1 +1

jω*C*RUe(t)UaC(t)

06.009.10


AR(jω) =Diagramm des Betrags = 1 +1

1jω*C*RUe(t)

UaR(t)

| AR(jω) | bei R*C = 1/400 ΩF

100 400 800 1200 1600 1900

ω

1.00

0.501 / 2

Es handelt sich um einen Hochpass.

Bezeichnung: Passiver Hochpass 1. Ordnung.



Ortskurve für AC(jω) bei R*C = 1/400 ΩF:

06.009.13

ω = 0

100

200300400500

700

1000

ω = 2000 Betrag AC(jω)

φ Re(AC(jω))

Im(A

C(jω

))

-0.5

- von ω abhängig.- komplex,Verstärkung AC ist

AC(jω) = = 1 +1

jω*C*RUe(t)UaC(t)

10.5

06.009.16


ohmscher Spannungsteiler

Ua1(t) = Ue(t) * R1 / (R1 + R2)

Ua2(t) = Ue(t) * R2 / (R1 + R2)

UR

1(t)

UR

2(t)U

e(t) U

a1(t

)U

a2(t

)

R1

R2

ohm. / ind. Spannungsteiler

UaR(t) = Ue(t) * R / (R + ZL)

UaL(t) = Ue(t) * ZL / (R + ZL)

UR

(t)

UL(

t)

Ue(

t) UaR

(t)

UaL

(t)

RL

06.009.17



UaR(t) = Ue(t) * R / (R + ZL)

ZL = jω*L

1 + ZL/R1= Ue(t) *

= Ue(t) *1 + jω*L/R

1

1 + jω*L/RAR(jω) = = 1Ue(t)

UaR(t)U

R(t

)U

L(t)

Ue(

t) UaR

(t)

UaL

(t)

RL

06.009.14


Diagramm des Betrags

| AC(jω) | bei R*C = 1/400 ΩF

100 400 800 1200 1600 1900

ω

1.00

0.50

0.196

1 / 2

Es handelt sich um einen Tiefpass.

Bezeichnung: Passiver Tiefpass 1. Ordnung.

AC(jω) = = 1 +1

jω*C*RUe(t)UaC(t)




Werte für AR(jω) bei L/R = 1/400 H/Ω:

ω0

100200

800400

1600

Re(AR(jω))

1.000

0.8000.5000.2000.059

0.941

Im(AR(jω))

0.000-0.235-0.400-0.500-0.400-0.235

Winkel φ0.000°

-75.964°-63.435°-45.000°-26.565°-14.036°

Betrag

1.0000.9700.894

0.4470.235

1 / 2

06.009.18


UaR(t)


Ortskurve für AR(jω) bei L/R = 1/400 H/Ω:

06.009.19

ω = 0

100

200300400500

700

1000

ω = 2000 Betrag AR(jω)

φ Re(AR(jω))

Im(A

R(j ω

))

-0.5


AR(jω) = = 1 +1

jω*L/RUe(t)UaR(t)

10.5

06.009.21


UaL(t) = Ue(t) * ZL / (R + ZL)

1 + R/ZL

1= Ue(t) *

= Ue(t) * 1


UR

(t)

UL(

t)

Ue(

t) UaR

(t)

UaL

(t)

RL

ZL = jω*L

1 +1

Rjω*L

AL(jω) = =Ue(t)

UaL(t)1 +

1R

jω*L

06.009.20



| AR(jω) | bei L/R = 1/400 H/Ω

100 400 800 1200 1600 1900

ω

1.00

0.50

0.196

1 / 2

Es handelt sich um einen Tiefpass.

Bezeichnung: Passiver Tiefpass 1. Ordnung.


UaR(t)



- von ω abhängig.- komplex,Verstärkung AL ist

Werte für AL(jω) bei L/R = 1/400 H/Ω:

ω0

100200

800400

1600

Re(AL(jω))

0.0000.0590.2000.5000.8000.941

Im(AL(jω))

0.0000.2350.4000.5000.4000.235

Winkel φ0.000°

75.964°63.435°45.000°26.565°14.036°

Betrag

0.0000.2430.447

0.8940.970

1 / 2

06.009.22

AL(jω) = =Ue(t)

UaL(t)1 +

1R

jω*L


06.009.23

ω = 0

100

200300 400 500

700

1000

ω = 2000Betra

g A L(jω)

φ Re(AL(jω))

Im(A

L(jω

))

10.5

0.5

- von ω abhängig.- komplex,Verstärkung AL ist

AL(jω) = =Ue(t)

UaL(t)1 +

1R

jω*L

Ortskurve für AL(jω) bei L/R = 1/400 H/Ω:

06.009.28

Tiefpass - HochpassVergleich real - ideal

| AL(jω) | bei L/R = 1/400 H/Ω

100 400 800 1200 1600 1900

ω

1.00

0.501 / 2

idealer Hochpass

idealer Tiefpass

| AR(jω) | bei L/R = 1/400 H/Ω

100 400 800 1200 1600

ω

1.00

0.50

0.196

1 / 2

06.009.24



| AL(jω) | bei L/R = 1/400 H/Ω

100 400 800 1200 1600 1900

ω

1.00

0.501 / 2

Es handelt sich um einen Hochpass.

Bezeichnung: Passiver Hochpass 1. Ordnung.

AL(jω) = =Ue(t)

UaL(t)1 +

1R

jω*L


06.009.29

Tiefpass - HochpassFestlegung Grenzfrequenz

| AR(jω) | bei L/R = 1/400 H/Ω

| AL(jω) | bei L/R = 1/400 H/Ω

100 400 800 1200 1600 1900

ω

1.00

0.501 / 2

1 / 2

Festlegung:

Folgerung: | AR(jωg) | = | AL(jωg) | =

Grenzfrequenz ωg wird so gewählt,

dass | AL(jωg) | = | AR(jωg) | ist.

06.009.33

Verhältnis von SpannungenDezibel

| AR(jω) |

| AL(jω) |

100 400 800 1200 1600 1900

ω

1.001 / 2

Beide Kurven stellen Spannungsverhältnisse dar:

Das gebräuchliche Maß dafür ist das Dezibel:

AL(jω) =Ue(t)

UaL(t)AR(jω) =

Ue(t)UaR(t)

Verhältnis = 20 * log10U1U2

Dezibel (dB)Einheit:

06.009.34

Diagramm des Betrags 1 + jω*L/RAR(jω) = = 1Ue(t)

UaR(t)


Regel: -3 dB-6 dB

Abschwächung auf 70,71%Abschwächung auf 50%( 20*log10(0.5) = -20*0.3 = -6)

| AR(jω) | bei L/R = 1/400 H/ΩdB

10010 200

ω

0

-9

-3-6

-12

400 800 1600

06.009.35

Betrag von

L/R = 1/400 H/ΩdB

10010 400200 800 1600

ω

0-6

612

-12

1 + jω*L/R=UaL(t)

UaR(t)


Regel: 0 dB Spannungen sind gleich

1 + Rjω*L

Abfall 6dBpro Oktave


06.009.36

Verhältnis von LeistungenDezibel

Das Dezibel wird auch zum Vergleich von Leistungenbenutzt:

Verhältnis = * log1010P1P2

Dezibel (dB)Einheit:

Zusammenhang:

P1 = U1 * I1 = U12 / R

P1 U1U12 / R

P2 = U2 * I2 = U22 / R

P2 U2U22 / R

z.B. Leistung am Widerstand R

10*log10( ) = 10*log10( ) = 2*10*log10( )

Bode-Diagramm

Animation zu Bild 06.009.16 zeigt:

Große Phasenverschiebungen zw. Strom und Spannung.

06.009.37

06.009.38

Bode-Diagramm

Verstärkung / Abschwächung und Phasenverschiebungim Wechselstromkreis wird durch A(jω) beschrieben.A(jω) ist komplex und abhängig von ω.

Beispiel Tiefpass:

Darstellung in der kom-plexen Zahlenebene(kart. Koordinaten):

AR(jω) = 1 + jω*L/R1 ω = 0

100

200300400500

700

1000

2000 Betrag AR(jω)

φRe(AR(jω))

Im(A

R(j ω

))

-0.5

10.5

06.009.39

Bode-Diagramm

AR(jω) = 1 + jω*L/R1

Bode-Diagramm: Darst. von AR(jω) mit Polarkoordinaten.

dB

10010 200

ω-9

-30

-6

-12

400 800 1600B

etra

g

10010 20 50 200

ω

20 50

-45°

0°

-90°

400 800 1600

Win

kel

R/L = 400 Ω/H

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Beschreibungsgrößen Wechselspannung: I … · Passiver Tiefpass / Hochpass / Bandpass Dezibel Bode-Diagramm 06.008.01 Wechselspannungskreis Definition Beschreibungsgrößen Wechselspannung: