BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije, V ...Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Stanko Brčić Betonske konstrukcije

Grede T ili Γ presekaMali ekscentricitet - dijagrami interakcije

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1Osnovne akademske studije, V semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke nauke,GRAÐEVINARSTVO

Državni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1


Sadržaj

1 Grede T ili Γ presekaUprošćeni proračun T preseka - nastavakTačniji postupak proračuna T presekaDvostruko armirani preseci - alternativne tablice

2 Mali ekscentricitet - dijagrami interakcijeMali ekscentricitet sile pritiskaDijagrami interakcije M-N



Uprošćeni proračun T preseka - nastavakTačniji postupak proračuna T presekaDvostruko armirani preseci - alternativne tablice

Sadržaj






Grede T ili Γ preseka

Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakU slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je:

- statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi)- geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, dp)- mehaničke karakteristike (MB,σv)

Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi:- površina potrebne armature (Aa)- položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σbp)





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakSračunaju se granični statički uticaji

Mu =∑

γuiMi

Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature dozategnute ivice a1, pa se odredi statička visina

h = d− a1

Iz uslova ravnoteže momenata odredi se napon pritiska usredini ploče:

σbp =Mu

B dp

(h− dp

2

)Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1




Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakU slučaju da se dobije da je σbp > fB, postupak se prekida ivrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra)Iz veze σ − ε odredi se dilatacija u sredini ploče:

εbp = 2(1−√

1−σbpfB

) εa = 10 ‰ ⇒ s0

Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa:

x0 =εbp

εbp + εa

(h− dp

2

)= s0

(h− dp

2

)




Uprošćeni proračun T preseka

x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x0 > dp/2neutralna osa je ispod ploče (u rebru)





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakDilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovoljiuslov:

εb = εbpx0 +

dp2

x0≤ 3.5‰

Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x0 ≤ dp/2), presek sedimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B × dAko je neutralna linija u rebru, odn. za x0 > dp/2, potrebnapovršina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteženormalnih sila)

Aa =Mu

σv

(h− dp

2





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakUkoliko se utvrdi da se neutralna osa nalazi u ploči, presek sedimenzioniše kao pravougaoni širine BZa sračunatu statičku visinu izračuna se bezdimenzionalnikoeficijent k:

k =h√MuB fB

Na osnovu dobijenog k iz tabela za dimenzionisanjepravougaonih preseka očita se vrednost mehaničkogkoeficijenta armiranja µ̄ ili koeficijenta kraka sila ζ





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakSa ovim se izračuna potrebna površina armature prema relaciji

Aa = µ̄× B × h100

× fBσv

ili prema izrazu

Aa =Mu

z × σv=

Mu

ζ × h× σv





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakSa određenom potrebnom količinom armature Aa usvoji seprečnik i broj šipkiUsvojena armatura se raspoređuje u preseku (vodeći računa očistom razmaku a0)Sračuna se težište armature a1 i odredi se tačna vrednoststatičke visine hStatička visina h se upoređuje sa računskom i u slučajuodstupanja proračun se ponavljaPosle konvergencije prikaže se presek i armatura (u razmeri1:10)





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1Odrediti potrebnu količinu armature Aa za gredu T presekapoznatih dimenzija i poznatog graničnog momenta Mu

Dato je:- granični momenat savijanja . . .Mu = 600 kNm- dimenzije T preseka [cm] . . . b = 40, B = 120, d = 60 idpl = 12

- kvalitet materijala . . .MB 30, RA 400/500





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1Za usvojeni materijal betona i čelika je:

MB 30 ⇒ fB = 20.5MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400MPa = 40.0 kN/cm2

Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature dozategnute ivice: a1 = 0.1 d = 6 cmStatička visina preseka

h = d− a1 = 60− 6 = 54 cm





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1Napon u sredini ploče:

σbp =Mu

B dp

(h− dp

2

) =600 · 102

120 · 12 · (54− 122 )

= 0.87 kPa

Dilatacija u sredini ploče:

εbp = 2

(1−

√1−

σbpfB

)= 2

(1−

√1− 0.87

2.05

)= 0.481 ‰





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je:

x0 =εbp

εbp + εa

(h− dp

2

)=

0.481

0.481 + 10

(54− 12

2

)= 2.20 cm

Kako je x0 < dp/2 = 6cm, neutralna linija se nalazi u ploči ipresek se računa kao pravougaoni širine B = 120 cmBezdimenzionalni koeficijent k je

k =h√MuB fB

=54√600·102

120·2.05

= 3.458





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1

Iz tablica se dobija εb/εa = 1.70/10 ‰, kao i koeficijentneutralne ose s = 0.145

Prema tome, neutralna osa je na rastojanju

x = s h = 0.145 · 54 = 7.84 cm < dp = 12cm





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1Sa ovim se izračuna potrebna površina armature prema relaciji

Aa = µ̄×B × h100

× fBσv

= 8.851× 120× 54

100× 2.05

40= 29.39 cm2

ili prema izrazu

Aa =Mu

ζ × h× σv=

600× 102

0.947 · 54 · 40= 29.33 cm2

Usvojeno 6RΦ25 (29.45 cm2)




Uprošćeni proračun T preseka - primer 1





Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakU slučaju slobodnog dimenzionisanja poznato je:

- statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi)- mehaničke karakteristike materijala(MB,σv)- geometrija poprečnog preseka: širine B i b i debljina ploče dp

Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi:- površina potrebne armature (Aa)- visina poprečnog preseka (d)





Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakIzračunaju se granični statički uticaji

Mu =∑i

γuiMi (i = g, p,∆)

Usvaja se napon u betonu u nivou srednje ravni ploče σbpZa veći usvojen napon, presek je manje visine i ima višearmatureNapon σbp se usvaja u granicama 0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB





Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakSa usvojenim naponom σbp izračunava se statička visina:

h =Mu

B · dp · σbp+dp2

Iz poznate veze napon-dilatacija za beton i sa usvojenimnaponom u sredini ploče izračunava se dilatacija u sredini ploče

εbp = 2

(1−

√1−

σbpfB

)a usvaja se εa = 10‰




Radni dijagram betona - veza σ − ε

σb =

{fB4 (4− εb) εb za 0 ≤ εb ≤ 2‰fB za 2 ≤ εb ≤ 3.5‰

⇒ εbp = 2(

1−√

1− σbpfB





Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakOdređuje se položaj neutralne ose u odnosu na srednju ravanploče:

x0 =εbp

εbp + εa

(h− dp

2

)Veličina x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče dp/2Ako se utvrdi da je neutralna linija u rebru x0 > dp/2, presekje oblika TAko je neutralna linija u ploči x0 ≤ dp/2, presek jepravougaonog oblika širine B





Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakAko je u pitanju T presek, potrebna količina armatura seodređuje prema

Aa =Mu

(h− dp2 )σv

Ako je u pitanju pravougaoni presek, za sračunatu statičkuvisinu h određuje se koeficijent k

k =h√MuB fB

Iz tablica se za dobijeno k očitaju vrednosti mehaničkogkoeficijenta armiranja µ̄ i/ili koeficijenta ζ





Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakU tom slučaju, potrebna količina armature se određuje izrelacije

Aa = µ̄× B × h100

× fBσv

ili prema izrazu

Aa =Mu

z × σv=

Mu

ζ × h× σv





Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakSa određenom količinom armature Aa usvoji se profil i brojšipki, pa se rasporede u preseku (širina je poznata ili usvojena),vodeći računa o razmacimaOdredi se položaj težišta raspoređene armature a1 i izračuna se(pa usvoji zaokruživanjem) visina preseka d:

d = h+ a1

Konačno se konstruiše i prikaže poprečni presek(u razmeri 1:10)





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature Aa zagredu T preseka zadatih dimenzija i poznatih momenatasavijanja Mi

Dato je:- momenti savijanja . . .Mg = 200 i Mp = 250 kNm- dimenzije T preseka [cm] . . . b = 40, B = 180 i dpl = 10- kvalitet materijala . . .MB 30, RA 400/500






MB 30 ⇒ fB = 20.5MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400MPa = 40.0 kN/cm2

Granični momenat savijanja

Mu = 1.6× 200 + 1.8× 250 = 770 kNm

Usvaja se napon betona u sredini debljine ploče

σbp = 0.3 fbk = 0.3 · 30 = 9.0 MPa = 0.9 kN/cm2





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2Izračunava se statička visina h

h =Mu

B × dp × σbp+dp2

=770 · 102

180 · 10 · 0.9+

10

2= 52.53 cm

Sa usvojenim naponom σbp izračunava se odgovarajućadilatacije betona u sredini ploče:

εbp = 2

(1−

√1−

σbpfB

)= 2

(1−

√1− 0.90

2.05

)= 0.502 ‰





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2Izračunava se položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče:

x0 =εbp

εbp + εa

(h− dp

2

)=

0.502

0.502 + 10

(52.53− 10

2

)= 2.27 cm

Kako je x0 < dp/2 = 5.0cm, to se presek dimenzioniše kaopravougaoni širine BIzračunava se bezdimenzionalni koeficijent k:

k =h√MuB fB

=52.53√770·102

180·2.05

= 3.636





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2Iz tablica se, za izračunato k, očitava

εb/εa = 1.575/10‰ µ̄ = 7.903%

pa se izračunava potrebna količina armature

Aa = µ̄× B × h100

× fBσv

= 7.903× 180 · 30

100· 2.05

40= 38.30 cm2

Usvojeno: 8RΦ25 (39.27 cm2)




Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer2




Sadržaj







Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupakAko je računska širina ploče B manja od 5 širina rebra b:

B < 5 b

pri čemu je još i neutralna osa na delu rebra, posmatrani Tpresek dimenzioniše se po tačnijem postupkuTo znači da se ne zanemaruje nosivost dela rebra u ukupnojnosivisti T presekaPosmatra se složeno savijanje - veliki ekscentricitet sa silompritiska (ili zatezanja)




Tačnije dimenzionisanje greda T preseka

Računski model sa uzimanjem u obzir nosivosti pritisnutog delarebra

∑Ma1 = 0 : Dbu × z = Mau = Mu +Nu (yb1 − a1) ⇒ s

Dbu = Dbu1 −Dbu2





Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupakPoznati su granični uticaji u preseku Mu i Nu

Postavlja se uslov ravnoteže momenata za težište zategnutearmature∑

Ma1 = 0 : Dbu × z = Mau = Mu +Nu (yb1 − a1) (1)

Sila u betonu je data kao razlika dve sile

Dbu = Dbu1 −Dbu2

Sila Dbu1 je ukupna sila u zamišljenom pravougaonom presekuB × xSila Dbu2 je sila u dodatom delu preseka ispod ploče, a doneutralne ose i ova sila se oduzima od Dbu1





Pritisnuti deo betonskog preseka

Dbu = Dbu1 −Dbu2





Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupakAko je u pitanju vezano dimenzionisanje, uz pretpostavljenotežište zategnute armature a1 odredi se statička visina hJednačina ravnoteže momenata (1) se, na način kao i zapravougaone preseke, svodi na relaciju

k =h√MauB·fB

iz koje se iz tablica očita bezdimenzionalan koeficijent položajaneutralne ose sSa time se odredi položaj neutralne ose x = s h, pa se proverida li je neutralna osa u ploči (x ≤ dP ) ili u rebru (x > dP )





Sila u pravougaonom pritisnutom delu preseka data je sa

Dbu1 = αb1 ·B · x · fB

gde je- αb1 = αb1(εb) . . . koeficijent punoće dijagrama napona- η1 = η1(εb) . . . koeficijent položaja rezultante Dbu1





Sila u fiktivnom delu preseka (oduzima se) data je sa

Dbu2 = αb2 · (B − b) · (x− dp) · fBgde je

- αb2 = αb2(εb) . . . koeficijent punoće dijagrama napona- η2 = η2(εb) . . . koeficijent položaja rezultante Dbu2





Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupakMoguć je i alternativni pristup u kome se odredi zamenjujućaširina pravougaonog presekaUmesto da se ukupna sila pritiska u betonu sa udelom delarebra odredi kao Dbu = Dbu1 −Dbu2, odredi se ekvivalentnaširina preseka bi na celoj visini do neutralne oseEkvivalentna širina preseka data je sa

bi = K ·B

gde je

K = 1− αb2αb1×(

1− δ

s

)×(

1− b

B

)gde je δ =

dph





Širina zamenjujućeg (ekvivalentnog) preseka

bi = K ·Bgde je

K = 1− αb2αb1×(

1− δ

s

)×(

1− b

B

)gde je δ =

dph





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3Odrediti potrebnu količinu armature Aa za gredu T presekazadatih dimenzija i poznatih momenata savijanja Mi

Dato je:- momenti savijanja . . .Mg = 200 i Mp = 250 kNm- dimenzije T preseka [cm] . . . b = 30, B = 60, d = 60 i dpl = 10- kvalitet materijala . . .MB 30, RA 400/500






MB 30 ⇒ fB = 20.5MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400MPa = 40.0 kN/cm2

Granični momenat savijanja

Mu = 1.6× 200 + 1.8× 250 = 770 kNm

Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armaturea1 = 9 cm, tako da je statička visina jednaka

h = d− a1 = 60− 9 = 51 cm





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3Pretpostavlja se da je x < dp, odn. da je u pitanjupravougaoni presek širine BBezdimenzionalni koeficijent k dat je sa

k =h√MauB·fB

=51√

770×102

60×2.05

= 2.038

Iz tablica za pravougaone preseke očitava se s = 0.348, takoda je neutralna osa određena sa

x = s h = 0.348× 51 = 17.7 cm odn. x > dp = 10 cm

Pretpostavka o položaju neutralne ose nije tačna, pa presekmora da se dimenzioniše kao T presek





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3Kako je pri tome B = 60cm, b = 30cm, dn. kao jeB/b = 2 < 5, posmatrani T presek mora da se računa tačnije,odn. sa učešćem nosivosti i pritisnutog dela rebraKoristi se pristup sa ekvivalentnom širinom pravougaonogpreseka, tako da je širina zamenjujućeg pravougaonika data sa

bi = K ·B

gde je koeficijent K dat sa

K = 1− αb2αb1×(

1− δ

s

)×(

1− b

B

)gde je δ =

dph

Postoje tablice za određivanje koeficijenta K













Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3Sa novom ekvivalentnom širinom bi = 45 cm, dobija sekoeficijent k

k =h√MauB·fB

=51√

770×102

45×2.05

= 1.765

Iz tablica za pravougaone preseke očitava se s = 0.501 ≈ 0.5

Takođe, iz tablica se očitava µ̄ = 40.533%, pa je potrebnakoličina armature

Aa = µ̄ · B · h100

· fBσv

= 40.533 · 45 · 51

100· 2.05

40= 47.67 cm2

Usvojeno: 10RΦ25 (49.09 cm2)








Sadržaj






Vezano dimenzionisanje

Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatogpravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnogi povremenog opterećenja. Dati su podaci:

- stalno opterećenje . . .Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN- povremeno opterećenje . . .Mp = 680 kNm, Np = 800 kN- dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm- kvalitet materijala . . .MB 40, RA 400/500





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4Za usvojeni materijal betona i čelika je:

MB 40 ⇒ fB = 25.5MPa = 2.55 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400MPa = 40.0 kN/cm2

Granični uticaji Mu i Nu (u odnosu na težište)

Mu = 1.6Mg + 1.8Mp = 2000 kNmNu = 1.6Ng + 1.8Np = 2400 kN





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature dozategnute ivice a1 = 8cm, statička visina preseka je

h = d− a1 = 90− 8 = 82 cm

Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu natežište zategnute armature:

Mau = Mu +Nu

(d

2− a1

)= 2888 kNm





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4Bezdimenzionalni koeficijent k je

k =h√Maub fB

=82√

2888×102

40×2.55

= 1.541

Iz tablica se za k = 1.541 očitava: εb = 3.5‰, kao iεa = 1.10‰Kako je εa = 1.10 < 3.0‰, presek se dvojno armiraIz tablica se, za εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰, očitava: k∗ = 1.719i µ̄∗ = 43.589%





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4Granična nosivost jednostruko armiranog preseka zaεb = 3.5‰ i εa = 3.0‰

Mabu =

(h

k∗

)2

bfB

tako da se dobija

Mabu =

(0.82

1.719

)2

0.40× 25.5× 103 = 2321 kNm





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4Razlika u graničnim momentima:

∆Mau = Mu −Mabu = 2888− 2321 = 567 kNm

se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armatureUz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature dopritisnute ivice preseka jednako a2 = 5cm, pritisnuta armaturaje

Aa2 =∆Mau

σv (h− a2)=

567× 102

40 (82− 5)= 18.41 cm2





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4Ukupna površina zategnute armature je

Aa1 = µ̄∗1 b hfBσv

+∆Mau

σv (h− a2)− Nu

σv

odnosno,

Aa1 =43.589

10040× 82× 2.55

40+ 18.41− 2400

40= 49.55 cm2

Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armaturesu: Aa2 = 18.41 cm2 Aa1 = 49.55 cm2





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4Kako je Aa2 < Aa1, obe zone se armiraju prema izračunatimpovršinama armatureUsvaja se sledeća armatura:

zategnuta armatura: Aa1 = 49.55 cm2 . . . usvojeno 8RΦ28(49.26 cm2)pritisnuta armatura: Aa2 = 18.41 cm2 . . . usvojeno 3RΦ28(18.47 cm2)




Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka





Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izraziPosmatra se pravougaoni presek koji je izložen složenomsavijanju u oblasti velikog ekscentriciteta pritiskaPoznati su granični uticaji Mu i Nu, kao i dimenzije poprečnogpreseka b/d, dok je kvalitet betona i čelika usvojen: vezanodimenzionisanjeOdređen je granični momenat za težište zategnute armature(uz pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature a1:

Mau = Mu +Nu

(d

2− a1

)





Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi

Za dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi εb = 3.5 ‰, kao iεa = 3.0 ‰, odgovarajući koeficijenti iz tablica zapravougaone preseke su:

k∗ = 1.719 µ̄∗ = 43.927% ζ∗ = 0.776

Granični momenat loma jednostruko armiranog pravougaonogpreseka je dat sa

M∗au =

(h

k∗

)2

· b · fB (2)





Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izraziRazlika graničnih momenata data je sa

∆Mau = Mau −M∗au =

[1−

(k

k∗

)2]×Mau (3)

Potrebna površina zategnute armature usled graničnogmomenta savijanja iznosi

Aa1 =M∗auz∗bσv

− ∆Mau

(h− a2)σvgde je z∗b = ζ∗ h (4)






Posle unošenja vrednosti za M∗au i za ∆Mau, datih sa (2) i(3), izraz za površinu armature (4), posle sređivanja, može dase napiše u obliku

Aa1 =Mau

h · σv· ka −

Nu

σv(5)

Na sličan način, koristi se izraz za površinu pritisnute armatureAa2:

Aa2 =∆Mau

σv (h− a2)





Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izraziPosle malo transformacija, dobija se izraz za površinupritisnute armature:

Aa2 =Mau

h · σv· k′a (6)

Koeficijenti ka i k′a dati su izrazima

ka =(1− α2 − ζ∗) · (k/k∗)2 + ζ∗

(1− α2) ζ∗

k′a =1− (k/k∗)2

1− α2gde je α2 =

a2h

(7)






U izrazima (7) vrednosti k∗, ζ∗ i z∗b = ζ∗ h odgovarajugraničnom momentu nosivosti jednostruko armiranog presekaM∗au

Koeficijent k se odnosi na ukupni granični momenat savijanjaMau

U izrazima za površinu armature za silu pritiska se unosiNu > 0, a za silu zatezanja Nu < 0

Ako je k < k∗ presek se dvojno armira, a ako je k ≥ k∗, presekse tretira kao jednostruko armiranPostoje tablice za koeficijente ka i k∗a





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4aOdrediti potrebnu površinu armature za presek zadatogpravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnogi povremenog opterećenja. Dati su podaci:

- stalno opterećenje . . .Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN- povremeno opterećenje . . .Mp = 680 kNm, Np = 800 kN- dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm- kvalitet materijala . . .MB 40, RA 400/500

(alternativno ponovljen primer 4)





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4aDobijeno je, za a1 = 8 cm i statičku visinu h = 82cm,

Mu = 2000 kNm, Nu = 2400 kN, Mau = 2888 kNm

Koeficijent k koji odgovara granično momentu Mau iznosik = 1.541, dok je za εb/a = 3.5/3.0‰ koeficijent k∗ jednakk∗ = 1.719

Prema tome, odnos koeficijenata k i k∗ je

k

k∗=

1.541

1.719= 0.896 ≈ 0.90





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4aUz pretpostavljeno rastojanje težišta pritisnute armaturea2 = 8 cm, dobija se

α2 =a2h

=8

82= 0.0976 ≈ 0.10

Za vrednosti k/k∗ = 0.90 i α2 = 0.10 iz tablica se očitavaka = 1.255 i k′a = 0.211

Ukupna površina zategnute armature je data sa (5):

Aa1 =Mau

h · σv·ka−

Nu

σv=

2888 · 100

82 · 40·1.255−2400

40= 50.50 cm2

U primeru 4 je dobijeno Aa1 = 49.55 cm2





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a

Površina pritisnute armature data je sa (6):

Aa2 =Mau

h · σv· k′a =

2888 · 100

82 · 40· 0.211 = 18.58 cm2

U primeru 4 je dobijeno Aa2 = 18.41 cm2



Mali ekscentricitet sile pritiskaDijagrami interakcije M-N

Sadržaj






Mali ekscentricitet sile pritiska

Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentricitetaPosmatra se naprezanje preseka usled normalne sile pritiska,koja deluje u ravni simetrije preseka i malo je ekscentrična uodnosu na težišnu osuGranični statički uticaju su Nu i Mu = Nu · e, pri čemu jeekscentricitet e relativno mali: e < d/6

Normalna sila pritiska je unutar jezgra preseka i ceo presek jepritisnut“Donja” ivica 1 je manje pritisnuta, a “gornja” ivica 2 je višepritisnutaOvako stanje napona i deformacija je karakteristično zastubove




Deformacijska stanje preseka

Mali ekscentricitet sile pritiska - oblast između linija g i h




Proračunski model za ekscentrični pritisak, maliekscentricitet





Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta

Granične dilatacije u preseku se kreću u intervalu od εb1 = 0‰do εb2 = 3.5‰, zavisno od ekscentriciteta normalne sile, pado εb1 = εb2 = 2‰, što odgovara centričnom pritisku (oblastizmeđu linija g i h)Ceo presek je pritisnut, odn. neutralna osa je izvan poprečnogpreseka (x ≥ d)Preseci koji su napregnuti u oblasti malog ekscentricitetaarmiraju se, po pravilu, simetrično postavljenom armaturom






Minimalan procenat ukupne armature je µa,min = 0.8%(najčešće je u granicama od 0.8% do 1%, ali i do 3%) uodnosu na bruto površinu betonskog presekaImajući u vidu dijagram dilatacija u preseku, dilatacija na višepritisnutoj ivici “2” je

εb1 ∈ [2.0÷ 3.5] ‰

Dilatacija na manje pritisnutoj ivici “1” je zavisna od dilatacijena ivici “2”:

εb2 =14− 4 εb2

3





Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentricitetaDakle, kod ekscentrično pritisnutih elemenata u fazi malogekscentriciteta ceo presek je pritisnut, odn. εa ≤ 0‰, pa segranični uticaji određuju sa maksimalnim vrednostimaparcijalnih koeficijenata sigurnostiPri ovakvoj vrsti naprezanja (ceo presek je pritisnut), nemaprslina u preseku, pa je aktivan ceo betonski presek, odn.ukupna površina betona Ab, kao i površine armatura Aa1 i Aa2




Proračunski model za ekscentrični pritisak, maliekscentricitet






Uslovi ravnoteže sila u porečnom preseku glase (redukcionatačka za momente je težište preseka Gb):∑

N = 0 : ⇒ Dbu +Dau1 +Dau2 = Nu∑MGb = 0 : ⇒ Dbu · yd +Da2u ·

(d

2− a)

−Da1u ·(d

2− a)

= Mu = Nu · e

(8)

Kako je presek po pravilu simetrično armiran, to su rastojanjatežišta armatura Aa1 i Aa2 međusobno ista: a1 = a2 = a






U jednačinama ravnoteže (8) spoljašnji uticaji su granične sileu preseku

- Nu =∑γuiNi . . . granična sila pritiska

- Mu =∑γuiMi = Nu e . . . granični momenat savijanja

kao i granične unutrašnje sile- Dbu . . . sila pritiska u betonu- Da1u, Da2u . . . sile pritiska u donjoj i gornjoj armaturi






Broj jednačina ravnoteže (8) je dva, tako da se biraju dvanezavisna parametra preko kojih mogu da se izraze ostaleveličineZa dva nezavisna parametra usvajaju se:

1 εb2 . . . dilatacija betona na jače pritisnutoj ivici2 µ = Aa

Ab. . . ukupni koeficijent (procenat) armiranja

Uvode se oznake (zbog usvojenog simetričnog armiranja)- Aa1 = Aa2 = Aa

2 . . . površina armature uz obe ivice sumeđusobno iste

- a1 = a2 = a . . . rastojanje težišta armature do bliže ivicebetona





Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentricitetaIz dijagrama napona pritisaka u preseku može da se odredirezultanta, odn. granična sila pritiska u betonu:

Dbu = αd b d fB

gde je αd koeficijent “punoće” naponskog dijagrama:

αd =125 + 64 εb2 − 16 ε2b2

189

Položaj rezultujuće sile pritiska u betonu (težište naponskogdijagrama) je dat sa

yd = kd · d





Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentricitetaKoeficijent kd položaja rezultante sile pritiska Dbu dat je sa

kd =40

7· (εb2 − 2)2

125 + 64 εb2 − 16 ε2b2

Dilatacija u manje pritisnutoj ivici betona

εb1 =

(1− d

x

)εb2

Na primer,- za εb2 = 2.0‰ . . . εb1 = 2‰, kd = 0, αd = 1.0- za εb2 = 3.5‰ . . . εb1 = 0‰, kd = 0.084, αd = 0.809





Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentricitetaSile pritiska u armaturi dole i gore

Daiu = σai ·Aai (i = 1, 2)

Napon u armaturi

σai =

{Ea · εai za εai <

σvEa

σv za εai ≥ σvEa

(i = 1, 2)

Dilatacije u armaturi dole i gore

εa1 =

(1− h

x

)· εb2 εa1 =

(1− a

x

)· εb2





Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentricitetaPovršine armature dole i gore

Aai = µi ·Ab (i = 1, 2) µ1 = µ2 =µ

2

Geometrijski koeficijenti armiranja

µi =Aaib · d

(i = 1, 2) µ̄1 = µ̄2 =µ̄

2

Mehanički koeficijenti armiranja

µ̄i = µi ·σvfB

(i = 1, 2)





Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentricitetaKao što je rečeno, minimalan ukupni procenat armiranja zasilu pritiska i mali ekscentricitet je µmin = 0.8÷ 1.0%

Ukupni koeficijent ariranja µ je definisan u odnosu na ukupnupovršinu betona:

µ =AaAb

=Aab · d

Na ovaj način, sve veličine koje figurišu u jednačinamaravnoteže (8) su izražene preko dva izabrana parametra εb2 i µRešavanjem jednačina ravnoteže i odgovarajućimtransformacijama i sređivanjima mogu da se odrede sve veličine




Sadržaj







Dijagrami interakcije M-NNavedeni izrazi su komplikovani za primenu i takav pristup zadimenzionisanje nije praktičanEkscentrično pritisnuti AB elementi u oblasti malogekscentriciteta dimenzionišu se primenom interakcionihdijagramaDijagrami interakcije M −N su grafička interpretacijagranične nosivosti presekaKonstruišu se na osnovu uslova ravnoteže, za usvojeni oblik idimenzije preseka, raspored i količinu armature i mehaničkekarakteristike materijala





Dijagrami interakcije M-NPrimena dijagrama interakcije najviše se koristi za ekscentričnipritisak u oblasti malog ekscentriciteta, ali može da se proširipraktično na čitavu oblast naprezanja Mu i Nu, odnosno Mu iZu

Interakcioni dijagrami “pokrivaju” svih petnaponsko-deformacijskih oblasti, pa mogu, načelno, da sekorista za dimenzionisanje i drugačije opterećenih presekaZa usvojeni oblik i dimenzije poprečnog preseka, raspored ikoličinu armature i mehaničke karakteristike betona i čelika,bira se stanje graničnih dilatacija u presekuSa poznatim rasporedom dilatacija, potpuno je određen iraspored napona pritisaka u betonu, kao i veličina napona uzategnutoj i pritisnutoj armaturi





Dijagrami interakcije M-NIz uslova ravnoteže normalnih sila i momenata savijanja zatežište betonskog preseka, jednoznačno se određuju graničnimomenti Mu i odgovarajuća granična normalna sila Nu kojidovode presek u stanje granične nosivosti pri odabranimdilatacijama u betonu i armaturiPonavljajući postupak za konačan broj različitih stanjagraničnih dilatacija, dobija se niz tačaka koje odgovarajuusvojenom koeficijentu (procentu) armiranjaVariranjem količine armature u preseku, dobija se familijakrivih linija u funkciji mehaničkog koeficijenta armiranja kaoparametra




Dijagram interakcije M-N

(a) za pojedinačan presek(b) familija krivih u bezdimenzionalnoj formi za sva naponska

stanja preseka





Dijagrami interakcije M-NDa bi se uopštila i proširila upotreba dijagrama interakcije, onise prikazuju u sistemu bezimenzionalnih koordinata mu − nuBezdimenzionalne koordinate su bezdimenzionalni graničnimomenat savijanja

mu =Mu

b d2 fB

kao i bezdimanzionalna granična normalna sila

nu =Nu

b d fB





Dijagrami interakcije M-NTako konstruisani dijagrami interakcije mogu da se koriste zaproizvoljan odnos strana b/d pravougaonog preseka, kao i zabilo koju marku betonaDijagrami interakcije konstruišu se za izabran oblik poprečnogpreseka, za usvojen kvalitet armature (GA ili RA), za usvojennačin armiranja: odnos donje i gornje armature, kao i položajarmature definisan odnosom a/d (odnos položaja težištaarmature i visine preseka), a parametarski zavisno od nizavrednosti mehaničkog koeficijenta armiranja





Dijagrami interakcije M-NDijagrami interakcije prikazuju računsku nosivost preseka zaizabrane parametreSigurnost u odnosu na lom preseka je zadovoljena kada jegranična nosivost preseka veća ili jednaka nosivosti tog presekaza granične uticajeZnači, ako se granični uticaju mu i nu nalaze unutar površineoivičene graničnom krivom i koordinatnim osama, za određenimehanički koeficijent armiranja





Dijagrami interakcije M-NPostupak vezanog dimenzionisanja preseka primenomdijagrama interakcije je sledeći:

1 za poznate granične uticaje Mu i Nu, kao i dimenzije presekab/d i kvalitet betona fB , odrede se bezdimenzionalne veličine

mu =Mu

b d2 fBnu =

Nu

b d fB

2 zavisno od kvaliteta (σv), položaja (a/d) i rasporeda(Aa1/Aa2) armature, bira se odgovarajući dijagram interakcije

3 iz dijagrama interakcije, za određeno mu i nu, očitaju semehanički procenat armranja µ̄, kao i dilatacije u betonu iarmaturi εb2 i εa1





Dijagrami interakcije M-NSa određenim mehaničkim koeficijentom armiranja, potrebnapovršina armature se određuje

Aa = µ̄ b dfBσv

Očitane vrednosti graničnih dilatacija u betonu i armaturiolakšavaju određivanje parcijalnih koeficijenata sigurnosti(provera da li su granični uticaji Mu i Nu dobro određeni)Analogno se konstruišu dijagrami interakcije za, npr. kružni ilisandučasti poprečni presekTakođe se konstruišu dijagrami interakcije i za presekeopterećene na koso savijanje


















Documents

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije, V ...Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Stanko Brčić Betonske konstrukcije