BETONSKE KONSTRUKCIJE II

dr Dragan Nikolić, dipl.inž.građ.

nikolic@vggs.rsPredavanje: 5.11.2020.

Krstasto‐armirane ploče u zgradarstvu

Kod krstasto-armiranih ploča glavni problem je određivanje presečnih sila.

Opterećenje upravno na srednju ravan ploče izaziva u presecima momente savijanja (Mx, My), momente – torzije (Mxy) i transferzalne sile (Tx, Ty).

Krstasto-armirane pravougaone ploče linijski oslonjene na sve 4 strane razvrstane su, zavisno od uslova oslanjanja, u 6 (ali treba obratiti pažnju da je ly duža strana ploče) tipova:

STATIČKI UTICAJI

Za određivanje statičkih uticaja u pojedinačnim pravougaonimkrstasto‐armiranim pločama linijski oslonjenim na sve 4 ivice iopterećenim jednako raspodeljenim opterećenjem po celoj ploči,u praksi se najčešće koriste tabele koeficijenata. Koeficijenti ki i ridati su u prilogu.

Vrednosti momenata su M=ki*q*lx*ly gde je M momenat uodgovarajućem pravcu (x, y) i preseku (polje, oslonac), qopterećenje koje deluje na ploču, a lx, ly rasponi ploče.

Vrednosti reakcija oslonaca su Q =ri*q*lx*ly , gde je Q reakcija uodgovarajućem pravcu (x, y). Na osnovu reakcija oslonaca ploče,približno opterećenje oslonačke grede se određuje kao q=Q/l.

U svakodnevnoj inženjerskoj praksi rade se približni proračuniploča, za koje se u stručnoj literaturi mogu naći tablice i dijagramirazličitih autora.

Pomoću njih vrlo brzo i jednostavno se mogu proračunatipresečne sile potrebne za dimenzionisanje ploče, u zavisnosti odopterećenja i graničnih uslova.

Kontinualne ploče se tretiraju kao sistem međusobno povezanihpojedinačnih ploča. To znači da se analiza uticaja u kontinualnimpločama svodi na proračun pojedinačnih ploča sa određenimkonturnim uslovima. Određivanje konturnih uslova zavisi odrasporeda opterećenja i uslova oslanjanja.

Preseci ploča se dimenzionišu prema ekstremnim uticajima u svakom odpravaca.U slučajevima kada veliko korisno opterećenje ploče može tokomeksploatacije menjati svoj položaj (skladišta npr.), ekstremni uticaji seodređuju na taj način što se sva polja kontinualne ploče opterećujustalnim opterećenjem (G), a merodavna polja povremenim opterećenjem(Q) zavisno od traženog uticaja.

Za ekstremne momente savijanja u polju ploče merodavan je tzv.šahovski raspored povremenog opterećenja prikazan na sledećoj slici. Svapolja ploče su opterećena stalnim opterećenjem, a korisnimopterećenjem samo polje u kom se traži momenat i naizmenično svakodrugo polje:

Da bi se proračunali maksimalni momenti savijanja (na pr. u prvom polju),osim sopstvene težine i stalnog oterećenja (u svim poljima), potrebno jesvako drugo polje opteretiti promenjivim opterećenjem

Raspored opterećenjamaksimalni moment u polju

Raspored opterećenja –maksimalni moment nad osloncem

Ekstremni momenti savijanja u polju ploče

Ekstremni momenti savijanja na osloncem ploče

DIMENZIONISANJE I ARMIRANJE

Primer. 

Odrediti  šeme opterećenja i ekstremne vrednosti uticaja u ploči preko 3x3 polja sa rasponima lx=ly=7m, konstante debljine hpl=18cm opterećenu stalnim i povremenim opterećenjem G=7kN/m2 i Q=6kN/m2, sa kvalitetom materijala C25/30 i B500. Dimenzionisati ploču "a" u gornjem levom uglu. Geometrijske karakteristike: 

lx=7m; ly=7m, hpl=18cm,  

Opterećenje: 

g=7kN/m2;  q=6kN/m2 

Karakteristike materijala: B500  C25/30 

 

a) Statički uticaji u pločama 

21x

y

ll ploča se tretira kao površinski nosač ‐ krstasto‐armirana 

Stalno opterećenje po celoj ploči 

        yx llgG     G=343kN 

Povremeno opterećenje +q/2 po celoj ploči (simetrični deo) 

yx llqQ 2

   Q=147kN 

Ploča a) 

 

Mx.g.a=0.028*G    Mx.g.a=9.604 kNm/m 

Mx.q.a=0.028*Q    Mx.q.a=4.116 kNm/m 

My.g.a=0.028*G    My.g.a=9.604 kNm/m 

My.q.a=0.028*Q    My.q.a=4.116 kNm/m 

Mx.o.g.a=‐0.068*G  Mx.o.g.a=‐23.324 kNm/m 

Mx.o.q.a=‐0.068*Q  Mx.o.q.a=‐9.996 kNm/m 

My.o.g.a=‐0.068*G  My.o.g.a=‐23.324 kNm/m 

My.o.q.a=‐0.068*Q  My.o.q.a=‐9.996 kNm/m 

 

 

 

 

Q1.g.a=0.292*G    Q1.g.a=100.156kN 

Q1.q.a=0.292*Q    Q1.q.a=42.924kN 

Q2.g.a=0.208*G    Q2.g.a=71.344kN 

Q2.q.a=0.208*Q    Q2.q.a=30.576kN 

Q3.g.a=0.292*G    Q3.g.a=100.156kN 

Q3.q.a=0.292*Q    Q3.q.a=42.924kN 

Q4.g.a=0.208*G    Q4.g.a=71.344kN 

Q4.q.a=0.208*Q    Q4.q.a=30.576kN 

 

 

Ploča b) 

 

Mx.g.b=0.026*G    Mx.g.b=8.918 kNm/m 

Mx.q.b=0.026*Q    Mx.q.b=3.822 kNm/m 

My.g.b=0.021*G    My.g.b=7.203 kNm/m 

My.q.b=0.021*Q    My.q.b=3.087 kNm/m 

Mx.o.g.b=‐0.060*G  Mx.o.g.b=‐20.58 kNm/m 

Mx.o.q.b=‐0.060*Q  Mx.o.q.b=‐8.82 kNm/m 

My.o.g.b=‐0.055*G  My.o.g.b=‐18.865 kNm/m 

My.o.q.b=‐0.055*Q  My.o.q.b=‐8.085 kNm/m 

 

 

Q1.g.b=0.274*G    Q1.g.b=93.982kN 

Q1.p.b=0.274*P    Q1.p.b=40.278kN 

Q2.g.b=0.190*G    Q2.g.b=65.17kN 

Q2.p.b=0.190*P    Q2.p.b=27.93kN 

Q3.g.b=0.262*G    Q3.g.b=89.866kN 

Q3.p.b=0.262*P    Q3.p.b=38.514kN 

 

Ploča c) 

 

 

Mx.g.c=0.021*G    Mx.g.c=7.203 kNm/m 

Mx.q.c=0.021*Q    Mx.p.c=3.087 kNm/m 

My.g.c=0.026*G    My.g.c=8.918 kNm/m 

My.q.c=0.026*Q    My.p.c=3.822 kNm/m 

Mx.o.g.c=‐0.055*G  Mx.o.g.c=‐18.865 kNm/m 

Mx.o.q.c=‐0.055*Q  Mx.o.p.c=‐8.085 kNm/m 

My.o.g.c=‐0.060*G  My.o.g.c=‐20.58 kNm/m 

My.o.q.c=‐0.060*Q  My.o.p.c=‐8.82 kNm/m 

 

 

Q1.g.c=0.262*G    Q1.g.c=89.866 kN 

Q1.q.c=0.262*Q    Q1.q.c=38.514 kN 

Q2.g.c=0.190*G    Q2.g.c=65.17kN 

Q2.q.c=0.190*Q    Q2.q.c=27.93kN 

Q3.g.c=0.274*G    Q3.g.c=93.982kN 

Q3.q.c=0.274*Q    Q3.q.c=40.278kN 

 

Ploča d) 

 

Mx.g.d=0.021*G    Mx.g.d=7.203 kNm/m 

Mx.q.d=0.021*Q    Mx.q.d=3.087 kNm/m 

My.g.d=0.021*G    My.g.d=7.203 kNm/m 

My.q.d=0.021*Q    My.q.d=3.087 kNm/m 

Mx.o.g.d=‐0.052*G  Mx.o.g.d=‐17.836 kNm/m 

Mx.o.q.d=‐0.052*Q  Mx.o.q.d=‐7.644 kNm/m 

My.o.g.d=‐0.052*G  My.o.g.d=‐17.836 kNm/m 

My.o.q.d=‐0.052*Q  My.o.q.d=‐7.644 kNm/m 

 

 

Q1.g.d=0.250*G    Q1.g.d=85.75 kN 

Q1.q.d=0.250*P    Q1.q.d=36.75 kN 

Q2.g.d=0.250*G    Q2.g.d=85.75 kN 

Q2.q.d=0.250*P    Q2.q.d=36.75 kN 

 

Povremeno opterećenje ±q/2 po pojedinim poljima (antimetrični deo) 

yx llqQ 2

    Q=147kN 

Raspored opterećenja zavisi od traženog uticaja 

 

 

 

 

 

 

 

Ekstremne vrednosti momenata u polju 

Šema opterećenja 

 

Uslovi oslanjanja svih ploča su isti 

 

 

 

 

Mx.q.ant=0.044*Q   Mx.q.ant=6.468 kNm/m 

My.q.ant=0.044*Q   My.q.ant=6.468 kNm/m 

Qx.q.ant=0.044*Q   Qx.q.ant=36.75 kN 

Qy.q.ant=0.044*Q   Qy.q.ant=36.75 kN 

 

Ekstremne vrednosti momenata nad osloncem u pravcu x 

Šema opterećenja 

 

 

Uslovi oslanjanja ploča za extMx.o 

 

Mx.o.q.ant=‐0.084*Q      Mx.o.q.ant=‐12.348kNm/m 

Q1.o.q.ant=0.330*Q      Q1.o.q.ant =48.51 kN 

 

 

 

 

Ekstremne vrednosti momenata nad osloncem u pravcu y 

Šema opterećenja 

 

 

Uslovi oslanjanja ploča za extMy.o 

 

My.o.q.ant=‐0.084*P      My.o.q.ant=‐12.348kNm/m 

Q1.o.q.ant=0.330*P      Q1.o.q.ant =48.51 kN 

 

 

 

 

 

Dimenzionisanje ploča 

B500   C25/30   

c=1.5cm    Øpret=12mm  dx=hpl‐c‐Ø/2=15.9cm    dy=hx‐ Ø=14.7cm fcd=25/1.5=16.67MPa=1.667 KN/cm2 

fyd=500/1.15=434.78 MPa=43.478 KN/cm2 

 

 

PRAVAC X 

Presek iznad oslonaca između ploča a) i b) 

mkNmMMMMM

M antqoxbqoxaqoxbgoxagox

sd /22.62)2(5.1

235.1 ...

............

 

Bezdimenzionalna vrednost momenta savijanja 

252.0148.0667.19.15100

622722

KNcm

KNcmfdb

M

cd

Sdsd  

ec2=3.5‰ ; esa=11‰   w=0.166 

Potrebna površina armature: 

mcmffbdA

yd

cds /12.108.434

67.169.15100166.0 21    

 

  ‐ usvojeno BØ12/10cm   stv As1=11.31cm2 

 

 

Presek u polju ploče a) 

mkNmMMMM antqxaqxagxsd /84.28)(5.135.1 ......  

Bezdimenzionalna vrednost momenta savijanja 

252.0068.0667.19.15100

84.2822

KNcm

KNcmfdb

M

cd

Sdsd  

ec2=2.6‰ ; esa=20‰   w=0.073 

Potrebna površina armature: 

mcmffbdA

yd

cds /45.48.434

67.169.15100073.0 21    

 

  ‐ usvojeno BØ10/15cm   stv As1=5.24cm2 

 

PRAVAC Y 

Presek iznad oslonaca između ploča a) i c) 

mkNmMMMMM

M antqoybqoyaqoybgoyagoy

sd /27.62)2(5.1

235.1 ...

............

 

Bezdimenzionalna vrednost momenta savijanja 

252.0172.0667.17.14100

622722

KNcm

KNcmfdb

M

cd

Sdsd  

ec2=3.5‰ ; esa=8.5‰   w=0.201 

Potrebna površina armature: 

mcmffbdA

yd

cds /33.118.434

67.169.15100201.0 21    

 

  ‐ usvojeno BØ12/10cm   stv As1=11.31cm2 

 

Presek u polju ploče a) 

mkNmMMMM antqyaqyagysd /84.28)(5.135.1 ......  

Bezdimenzionalna vrednost momenta savijanja 

252.0080.0667.17.14100

84.2822

KNcm

KNcmfdb

M

cd

Sdsd  

ec2=3‰ ; esa=20‰   w=0.086 

Potrebna površina armature: 

mcmffbdA

yd

cds /85.48.434

67.167.14100086.0 21    

 

  ‐ usvojeno BØ10/15cm   stv As1=5.24cm2