Bevezetés az informatikába

Bevezetés az informatikába

Csernoch Mária

http://www.inf.unideb.hu/~csernochmaria/bev_info/

Számrendszerek

Számrendszerek

• A számrendszerek a számok megnevezésével és lejegyzésével kapcsolatos eljárások összessége.– nem helyiértékes (pl. egyiptomi, maya, római;

nehézkes bennük a számolás)– helyiértékes

• Babilónia (i.e.1750): hatvanas számrendszer (idő-, szögmérés)• India (i.sz. 600): tízes számrendszer (számjegyek: 1, 2, . . . , 9)• arabok (i.sz. 750): megjelenik a 0• Európában 1200–1600 között terjed el általánosan

Bináris Ternális Kvintális Oktális Decimális Duodecimális Hexadecimális

0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

10 2 2 2 2 2 2

11 10 3 3 3 3 3

100 11 4 4 4 4 4

101 12 10 5 5 5 5

110 20 11 6 6 6 6

111 21 12 7 7 7 7

1000 22 13 10 8 8 8

1001 100 14 11 9 9 9

1010 101 20 12 10 a A

1011 102 21 13 11 b B

1100 110 22 14 12 10 C

1101 111 23 15 13 11 D

1110 112 24 16 14 12 E

1111 120 30 17 15 13 F

10000 121 31 20 16 14 10

Számrendszerek

Definíció: Az r alapú helyiértékes számrendszert a következő szabály definiálja:

(…𝑎2𝑎1𝑎0 .𝑎−1𝑎− 2…)𝑟=¿= ∑𝑖=−∞

∞

𝑎𝑖𝑟𝑖=¿¿=⋯+𝑎2𝑟

2+𝑎1𝑟 +𝑎0+𝑎−1𝑟−1+𝑎−2𝑟

− 2+⋯ .

Számrendszerek

• r szám: számrendszer alapszáma• jelek: a szám számjegyei• az számjegy által jelölt szám: a számjegy alaki értéke• hatvány: a számjegy helyiértéke

(i = 0;1;2; )• . (pont): az alappont

(…𝑎2𝑎1𝑎0 .𝑎−1𝑎− 2…)𝑟=¿= ∑𝑖=−∞

∞

𝑎𝑖𝑟𝑖=¿¿=⋯+𝑎2𝑟

2+𝑎1𝑟 +𝑎0+𝑎−1𝑟−1+𝑎−2𝑟

− 2+⋯ .

Számrendszerek

• valódi érték: az alaki érték és a megfelelő helyi érték szorzata

• érték:– a szám értékét úgy kapjuk, hogy az egyes

számjegyek értékét szorozzuk a helyiértékükkel, és mindezt összeadjuk

– valódi értékeket összeadjuk

Számrendszerek

számrendszer alapszám számjegyek alaki érték

kettes, bináris 2 0, 1 0, 1

Számrendszerek



nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Számrendszerek



nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

tízes, decimális 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Számrendszerek



nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

tízes, decimális 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

tizenhatos, hexadecimális

16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Számrendszerektízes számrendszer

3457,28 3457.28

3 E+4 sz+5 t+7 e+2 tized+8 sz á zad

3 ∙103+4 ∙102+5 ∙10+7+2 ∙10−1+8 ∙10− 2

𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2…𝑎2𝑎1𝑎0.𝑎−1𝑎−2…𝑎−𝑚

𝑆 (10= ∑𝑖=−𝑚

𝑛

𝑎𝑖 ∙10𝑖

Számrendszerek

• számrendszer alapszáma (tetszőleges p>1)– számjegyek: 0, 1, …, p−1

• kettes számrendszer (bináris)– p = 2– számjegyek: 0, 1

• nyolcas számrendszer (oktális)– p = 8– számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• tizenhatos számrendszer (hexadecimális)– p = 16– számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

n

mi

ii pa

n

mi

iia 2

n

mi

iia 8

n

mi

iia 16

10-es számrendszerbeli szám

• legnagyobb kitevő: n• legkisebb kitevő: −m• számjegyek száma: j = (n + 1) + m

n

mi

iias 1010(

Feladatok

• Számoljuk át tízes számrendszerbe az alábbi egész számokat!

– 10110011(2

– 456(8

– 235(16

– A2E(16

• Számoljuk át tízes számrendszerbe az alábbi tört számokat!

– 10001110.101(2

– 342.23(5

– 367.56(8

– A5D.F3(16

p-alapú (p>1, egész)számrendszerbeli szám

n

mi

ii pas 10(

Legkisebb és legnagyobbábrázolható számok

• Mi az adott számú pozíción egy számrendszerben leírható legnagyobb és legkisebb szám?

Bináris számrendszer

• legnagyobb• legkisebb• összes

Legnagyobb, összes ábrázolható számegész számok

• összes ábrázolható szám j pozíción (modulus: M)

• legnagyobb ábrázolható szám

• legkisebb ábrázolható szám

jpM

1 jpMax

0Min

𝑆𝑛=𝑎1 ∙𝑞𝑛−1𝑞−1

Legnagyobb, összes ábrázolható számtört számok

• egész rész– összes

– legnagyobb

– legkisebb

• tört rész– összes

– legnagyobb

– legkisebb1 k

e pMax

mt pMin

mkj ppM

j db

k db m db

ke pM

0eMin

mt pMax

11

mt pM

Mértékegységek

• bit– értéke

• 0• 1

– binary digit• kettes számrendszerbeli számjegy

• byte, bájt– 8 bit

Mértékegységek

Mértékegység Adatmennyiség

B (byte, bájt) 8 bit

KiB (kibibyte) 1024 byte

MiB (mebibyte) 1024 kiB

GiB (gibibyte) 1024 MiB

TiB (tebibyte) 1024 GiB

PiB (pibibyte) 1024 TiB

EB (exbibyte) 1024 PiB

Mértékegység Adatmennyiség

B (byte, bájt) 8 bit

kB (kilobyte) 1000 byte

MB (megabyte) 1000 kB

GB (gigabyte) 1000 MB

TB (terabyte) 1000 GB

PB (petabyte) 1000 TB

EB (exabyte) 1000 PB

1999, IEC (International Electrotechnical Commission) a számítástechnikában elterjedt váltószámok megnevezésére új prefixumok (kibi ← kilo binary)

Feladatok

• Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi egész számokat!

– 54(10=x(2

– 54(10=x(8

– 54(10=x(16

– 54(10=x(5

• Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi tört számokat!

– 45.55(10=x(2

– 111.45(10=x(4

– 23.45(10=x(5

– 23.45(10=x(8

– 54.45(10=x(16

Feladatok

• Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi számokat!

– 45.55(10=x(2

– 111.45(10=x(4

– 23.45(10=x(5

– 23.45(10=x(8

– 54.45(10=x(16

Számrendszerek, feladatok

Feladat

179 3

59 2

19 2

6 1

2 0

0 2

0 .45 3

1 .35

1 .05

0 .15

0 .45

1 .35

1 .05

0 .15

0 .45

1 .35

1 .05

20122.’1100’1100’1100’(3

0 .85 3

2 .55

1 .65

1 .95

2 .85

2 .55

1 .65

1 .95

2 .85

2 .55

1 .6520122.’2112’2112’2112’(3

179.45(10

179.85(10

20122.110011001100(3

20122.211221122112(3

Feladat

113 2

56 1

28 0

14 0

7 0

3 0

1 1

0 1

0 .45 2

0 .90

1 .8

1 .6

1 .2

0 .4

0 .8

1 .6

1 .2

0 .4

0 .81100001.0111001100(2

1100001.01’1100’1100’(2

113.45(10

1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

0

44

0

4321

2 222i

i

i

iSSS

q

aS

11

1

44

33

12

12,

2

12 qa

44

44

12

12,

2

12 rb

r

bS

11

2

15

2

12

2

2

1

2

11

2

1

4

4

3

4

3

1

S

15

1

12

2

2

1

2

11

2

1

4

4

4

4

4

2

S

45.020

9

5

1

4

1

15

3

4

1

15

1

15

2

4

1S

1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

𝑆=1

22+𝑆𝑖𝑠𝑚 𝑆 𝑖𝑠𝑚=𝐴1+𝐴2+⋯

𝐴1=1

23+1

24=2+124

=3

24

𝐴2=1

27+1

28=2+128

=3

28

𝑎1=3

24𝑞=

1

24

𝑆 𝑖𝑠𝑚=𝑎11−𝑞

=

3

24

1−124

=

3

24

24−124

= 324∙24

15= 315

𝑆=1

22+𝑆1=

14+315

=15+4 ∙360

=2760

=920

=0,45

𝐴=∑𝑖=0

3

2−3− 𝑖 𝑆 𝑖𝑠𝑚=∑𝑗=1

∞

𝐴 𝑗=∑𝑗=1

∞

∑𝑖=0

3

2− 3 ∙ 𝑗−𝑖

Aritmetikai műveletek különböző számrendszerekben

• Végezzük el az alábbi műveleteket a bináris számok körében!

01.1001

10.1001

11011

1111

0011

11.1111

10.11101

111.011101

111.010001

01.1001

11.1001

01.111

11.1001

1111.1001

0111.00001

10.1011

11.0011

Aritmetikai műveletek különböző számrendszerekben

• Végezzük el az alábbi műveleteket a hexadecimális számok körében!

A73.291

FED.CBA

1111

0011

83E.7A9

DCC.DCDC

50ED.80A

1010.001

E01.689

327.45A1

EBC.AD

11E.BEB

1111.1001

0111.00001

A10B.ED5

ECAE.CA

0.01’1100’1100’(2

2'1100'1100'.1100 y

x

1111

11001100

y

x

11011

1111

1100

1111

11011100

y

x

01234

01234

2121202121

22222

11011

27120816

012345

012345

202021212121

222222

001111

111100

11011

y

x

6000481632

60

27

y

x

20

9

y

x

45.0y

x

Feladatok

• Írjuk fel bináris, oktális és hexadecimális számrendszerben az alábbi decimális számokat!

– 3492.326(10

– 1000(10

– 1512.1533(10

– 112.3(10

– 12438.964(10

– 3096.123(10

– 12345.678(10

– 9977.66(10

Feladatok

• Írja át 10-es számrendszerbe a következő számokat! Az eredményt közönséges tört alakban adja meg!

– 1.333(5

– 7B.73’5’5…(16

– 102.2’32’32’…(4

– 1320.20’131’131’…(8

– 101110110.101’0101’0101’…(2

Documents

Bevezetés az informatikába