Bevezetés a geometriába

eloadó: Verhóczki László

ELTE TTK Matematikai Intézet

2013/2014-es tanév, 2. félév

2. eloadás. Szögvonal és szögtartomány

Definíció. Szögvonalon két közös kezdopontú félegyenesunióját érjük.

A közös kezdopont a szög csúcsa, a félegyenesek a szögvonalszárai. Legyenek adva az A, O, B nem kollineáris pontok. Az[O,A〉 és [O,B〉 félegyenesek unióját AOB∠ fogja jelölni.Tekintsük az a = 〈O,A〉, b = 〈O,B〉 egyeneseket.

Definíció. Az AOB∠ szögvonallal határolt konvexszögtartományon az AOB^ = [a,B〉 ∩ [b, A〉 alakzatot értjük.

Az AOB^ konvex szögtartomány.

Szögvonal és szögtartomány

Az a, b egyeneseken vegyünk olyan Ax és Bx pontokat,melyeknél az O pont az A és Ax pontok között van, illetve az Oa B és Bx pontok között van.Az [a,Bx〉 ∪ [b, Ax〉 alakzatot mondjuk az AOB∠ szögvonalhoztartozó konkáv szögtartománynak.

Definíció. Az AOBx^ és BOAx^ szögeket az AOB^ szögmellékszögeinek nevezzük.

Az AOB^ konvex szög mellékszögei.

A távolságfüggvény

Mint ismeretes, a tér pontjainak halmazát X jelöli. Adva vanegy d : X ×X → R nemnegatív valós függvény, amelynéltetszoleges A, B ∈ X pontok esetén a d(A,B) nemnegatívvalós számot az A, B pontok távolságának mondjuk.

A d távolságfüggvényre teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

I Bármely A, B ∈ X pontokra igaz d(A,A) = 0 ésd(A,B) = d(B,A).

I Ha egy C pont rajta van egy AB szakaszon, akkor fennálla d(A,C) + d(C,B) = d(A,B) egyenloség.

I Ha adva van egy [A,B〉 félegyenes és egy λ pozitív valósszám, akkor az [A,B〉 félegyenesen pontosan egy olyan Ppont van, amelyre teljesül d(A,P ) = λ.

Egy AB szakasz hosszán a végpontok távolságát, azaz ad(A,B) számot, értjük. A hosszra az AB jelölést isalkalmazzuk.

Az egybevágósági transzformáció

Definíció. Egybevágósági transzformáción (más szóvalegybevágóságon) egy olyan ϕ : X → X bijektív leképezéstértünk, amelynél tetszoleges A, B ∈ X pontokra fennáll ad(A,B) = d(ϕ(A), ϕ(B)) összefüggés.

Az egybevágósági transzformáció egy olyan bijekció, amelymegorzi a pontok távolságát (más szóval távolságtartó).

Az egybevágósági transzformáció egyenest egyenesbe,szakaszt szakaszba képez. Az egybevágóság félegyenestfélegyenesbe, félsíkot félsíkba, félteret pedig féltérbe visz.

Definíció. Egy félegyenesbol, egy félsíkból és egy féltérbol állóalakzathármast térbeli zászlónak mondunk, ha a félegyenesrajta van a félsík határegyenesén és a félsíkot tartalmazza aféltér határsíkja.

A félegyenest a zászló rúdjának, a félsíkot pedig a zászlólapjának szokás nevezni.

Az egybevágóságok jellemzése

Definíció. Egy félegyenesbol és egy félsíkból alakzatpártsíkbeli zászlónak mondunk, ha a félegyenest tartalmazza afélsík határegyenese.

Legyenek A, B és C nem kollineáris pontok. Ezek σ síkjábanaz [A,B〉 félegyenes és az [〈A,B〉, C〉 félsík egy síkbeli zászlótképeznek.

Az A, B, C pontokkal meghatározott síkbeli zászló.

Az egybevágóságokat az alábbi tulajdonság jellemzi.Ha adva van két térbeli zászló, akkor pontosan egy olyanϕ : X → X egybevágósági transzformáció van, amely az elsozászlót a másodikba képezi.

A pontra tükrözés. Egybevágó alakzatok.

Definíció. A térnek egy O pontra történo tükrözésén azt aτ : X → X leképezést értjük, ahol τ(O) = O és egy P (P 6= O)pont τ(P ) képét az alábbi feltételek határozzák meg.(1) A P, O, τ(P ) pontok kollineárisak és fennálld(O,P ) = d(O, τ(P )).(2) Az O pont a P és τ(P ) pontok között van.

A pontra tükrözés egy egybevágósági transzformáció.

Definíció. Legyenek adva az A, B alakzatok. Ezeketegymással egybevágóknak mondjuk, ha van olyan ϕegybevágósági transzformáció, amelyre fennáll ϕ(A) = B.

A szögek mérése

Az elozoek alapján már beszélhetünk egybevágó szögekrol.Definíció. Egy konvex szöget derékszögnek mondunk, haegybevágó a mellékszögeivel.

Legyen H az összes szögtartomány halmaza. Bizonyítható,hogy igaz az alábbi kijelentés.

A H halmazon egyértelmuen létezik egy olyan µ : H → Rfüggvény, amelyre teljesülnek az alábbi feltételek:(1) Tetszoleges S ∈ H szögre igaz µ(S) ≥ 0.(2) Ha S1 és S2 egymással egybevágó szögek, akkorµ(S1) = µ(S2).(3) Amennyiben az S szöget egy a csúcspontjából kiinduló, azS által tartalmazott félegyenessel felbontjuk az S1 és S2

szögtartományokra, akkor fennáll µ(S) = µ(S1) + µ(S2).(4) Ha az S szögtartomány egy derékszög, akkor µ(S) = 90.

A szögek mérése

Definíció. Egy S szög mértékén a µ(S) függvényértéket értjük.

Az alábbi ábra a µ függvényre megadott (3) feltételhezkapcsolódik.

Az AOB^ szög felbontása az [O,C〉 félegyenessel.

A továbbiakban egy AOB^ szögtartomány mértékét istöbbnyire az AOB^ szimbólummal jelöljük. A fenti ábra szerintiszögek mértékeivel teljesül AOB^ = AOC^ + COB^.

Töröttvonal

Definíció. Legyen adva egy A1, A2, . . . , An véges pontsorozat(n ≥ 2). A pontsorozat szomszédos elemeit összekötoAiAi+1 (i = 1, . . . , n− 1) szakaszok unióját töröttvonalnaknevezzük.

Az A1, An pontokat a töröttvonal végpontjainak, azA2, A3, . . . , An−1 pontokat csatlakozási pontoknak mondjuk.Az AiAi+1 (i = 1, . . . , n− 1) szakaszok a töröttvonal oldalai. Atöröttvonal nyílt, ha A1 6= An, illetve zárt, amennyiben A1 = An.

Egy egyszeru nyílt töröttvonal.

Poligonálisan összefüggo alakzat

Definíció. Egy B alakzatot poligonálisan összefüggoneknevezünk, ha tetszoleges P ∈ B, Q ∈ B pontok esetén vanolyan a B ponthalmaz által tartalmazott töröttvonal, amelynekvégpontjai P és Q.

Egy poligonálisan összefüggo síkbeli alakzat.

Megjegyzés. Vegyünk egy σ síkot és abban egy g egyenest.Világos, hogy a σ \ g alakzat poligonálisan nem összefüggo.

Sokszögvonal, sokszög

Definíció. Egy B alakzatot korlátosnak nevezünk, ha van olyanQ pont és r pozitív valós szám, hogy tetszoleges P ∈ B pontesetén fennáll QP ≤ r.

Egy zárt töröttvonalat egyszerunek mondunk, ha az összescsatlakozási pontja töréspont és bármely két oldalának azesetleges csatlakozási ponton kívül más közös pontja nincs.Definíció. Sokszögvonalon egy síkbeli egyszeru zárttöröttvonalat értünk.

Egy Π sokszögvonal a σ síkban.

Sokszögvonal, sokszög

A sokszögvonalra a Π jelölést alkalmazzuk. Az alábbi tételbenszereplo kijelentések a szemlélet alapján evidensnek tunnek,de a bizonyításuk valójában nehéz.Tétel. Egy σ síkban legyen adva egy Π sokszögvonal. Ekkorigazak az alábbi kijelentések.(1) A σ \Π alakzat poligonálisan nem összefüggo.(2) A σ \Π ponthalmaz eloáll két olyan poligonálisanösszefüggo alakzat uniójaként, amelyek közül csak az egyikkorlátos.

Definíció. A σ \Π ponthalmaz eloáll két poligonálisanösszefüggo alakzat uniójaként. Vegyük a ketto közül azt,amelyik korlátos. Ezen alakzat és a Π sokszögvonal unióját a Πáltal határolt sokszögtartománynak (rövidebben csaksokszögnek) mondjuk.

3. eloadás. A sokszög szögei

Egy σ síkban legyen adva egy Π sokszögvonal, melynek oldalaiaz A1A2, A2A3, . . . , An−1An, AnA1 szakaszok. Tekintsük a Πáltal határolt sokszöget és annak az Ai csúcspontját.Definíció. Az Ai−1AiAi+1∠ szögvonal által határolt kétszögtartomány közül vegyük azt, amelyikben van olyan nemszáron fekvo, Ai kezdopontú szakasz, amelyet a sokszögtartalmaz. Ezt a szöget mondjuk a sokszög Ai csúcsbeliszögének.

A háromszög

Definíció. Legyen adva három nem kollineáris pont A, B és C.Az AB, BC és CA szakaszok unióját az A, B, Ccsúcspontokkal meghatározott háromszögvonalnak nevezzük.

Jelölje σ az A, B, C pontokhoz illeszkedo síkot. Aháromszögvonal a σ síkot két poligonálisan összefüggoalakzatra osztja fel, melyek közül csak az egyik korlátos.Definíció. A korlátos alakzat és a háromszögvonal unióját azA, B, C csúcsokkal meghatározott háromszögnek mondjuk.(Ezen háromszögre az ABC4 jelölést alkalmazzuk.)

A háromszöghöz rendelt geometriai adatok

Legyenek adva az A, B és C nem kollineáris pontok. Aza = 〈B,C 〉, b = 〈C,A 〉 és c = 〈A,B 〉 egyeneseket hívjuk azABC4 háromszög oldalegyeneseinek.

Megjegyzés. Az ABC4 háromszög megegyezik az[a,A〉, [b, B〉 és [c, C〉 félsíkok metszetével, vagyis fennállABC4 = [a,A〉 ∩ [b, B〉 ∩ [c, C〉.

A továbbiakban az ABC4 háromszög oldalainak hosszairaugyancsak az a = BC, b = CA, c = AB jelölést használjuk. Acsúcsokhoz rendelt szögek mértékeire azα = CAB^, β = ABC^, γ = BCA^ jelölést alkalmazzuk.

Megjegyzés. Két alakzat egybevágóságát a ∼= szimbólum fogjajelölni. Világos, hogy ha két háromszög egybevágó, akkor amegfelelo geometriai adataik (oldalhosszak, szögek)megegyeznek.

Egybevágó háromszögek

Tétel. Legyen adott két háromszög A1B1C14 és A2B2C24.Létezik olyan egybevágóság, amely az A1 pontot A2-be, a B1

pontot B2-be és a C1 pontot C2-be viszi, amennyiben az alábbikét feltétel közül legalább az egyik teljesül:(1) A1B1 = A2B2, A1C1 = A2C2 és α1 = α2.(2) A1B1 = A2B2, α1 = α2 és β1 = β2.Bizonyítás.Az A1B1C14, A2B2C24 háromszögeket tartalmazó síkokatjelölje σ1 és σ2. Vegyünk olyan D1, D2 pontokat, amelyeknincsenek rajta a σ1, σ2 síkokon. Az [Ai, Bi〉 félegyenes, a[ci, Ci〉 félsík és a [σi, Di〉 féltér által alkotott zászlót jelöljeZi (i = 1, 2). Tekintsük azt a ϕ : X → X egybevágóságot,amely a Z1 zászlót a Z2 zászlóba viszi.(1) Tegyük fel, hogy fennáll A1B1 = A2B2, A1C1 = A2C2 ésα1 = α2.

Mivel igaz ϕ([A1, B1〉) = [A2, B2〉, azonnal adódik, hogyϕ(A1) = A2 és ϕ(B1) = B2 teljesül. Aϕ([〈A1, B1〉, C1〉) = [〈A2, B2〉, C2〉 és α1 = α2 egyenloségekbolpedig következik, hogy ϕ([A1, C1〉) = [A2, C2〉. ϕ megorzi apontok távolságát, amibol adódik a ϕ(C1) = C2 összefüggés.

(2) Tegyük fel most azt, hogy teljesül A1B1 = A2B2, α1 = α2

és β1 = β2. Ekkor a fenti ϕ egybevágóságnál igaz ϕ(A1) = A2

és ϕ(B1) = B2. Világos, hogy ϕ az [A1, C1〉, [B1, C1〉félegyeneseket az [A2, C2〉, [B2, C2〉 félegyenesekbe képezi. Ilymódon az [A1, C1〉, [B1, C1〉 félegyenesek C1

metszéspontjának ϕ szerinti képe megegyezik a másik kétfélegyenes metszéspontjával, vagyis fennáll ϕ(C1) = C2. �

Megjegyzés. A továbbiakban A1B1C14 ∼= A2B2C24 nemcsakazt jelöli, hogy a két háromszög egybevágó, hanem azt is, hogyvan olyan egybevágóság, amely az A1 pontot A2-be, a B1

pontot B2-be és a C1 pontot C2-be viszi.

Egyenlo szárú háromszög

Állítás. Egy ABC4 háromszögben teljesül AC = BC akkor éscsak akkor, ha igaz α = β.Bizonyítás.Alkalmazzuk az elozo tételt. Ha AC = BC, akkor az (1)feltételek teljesülése miatt van olyan ϕ egybevágóság, amelyC-t fixen hagyja és az A, B pontokat egymásba képezi. Ilymódon fennáll CAB4 ∼= CBA4. Ebbol adódik, hogy azα = CAB^ és β = CBA^ szögek egyenloek.

Amennyiben pedig igaz α = β, akkor a (2) feltételek teljesülésealapján igaz ABC4 ∼= BAC4. Ebbol pedig következik, hogyAC = BC. �

Párhuzamos egyenesek

Tétel. Legyen adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedoP pont. Az oket tartalmazó síkban van olyan egyenes, amelyáthalad a P ponton és nem metszi g-t.Bizonyítás. Vegyünk a g egyenesen egy A pontot és az APszakasz F felezopontját. Tekintsük a térnek az F pontra valótükrözését, melyet jelöljön τ . Ez a τ : X → X egybevágóság ag-t és P -t tartalmazó síkot önmagába képezi, a g egyenestpedig a P ponton átmeno τ(g) = h egyenesbe. A P pont nincsrajta g-n, emiatt g 6= h.

Párhuzamos egyenesek

Tételezzük fel, hogy a g, h egyeneseknek van egy M -mel jelöltközös pontja (vagyis M ∈ g ∩ h). Evidens, hogy M 6= F . A τegymásba képezi a g, h egyeneseket. Emiatt az N = τ(M)képpont közös pontja a τ(g) = h és τ(h) = g egyeneseknek. Aτ tükrözésnek F az egyedüli fixpontja, tehát M 6= N . Eszerint ag, h egyeneseknek van két közös pontja M és N , amibol azkövetkezik, hogy g = h. Ez viszont ellentmond azon korábbimegállapításunknak, hogy g és h különbözoek. Ezzel beláttuk,hogy a g, h egyeneseknek nincs közös pontja. �

Megjegyzés. A fenti bizonyításban szereplo g, h egyenesekpárhuzamosak egymással.

Következmény. A pontra tükrözés egy egyenest vagyönmagába képez, vagy pedig egy vele párhuzamos egyenesbevisz.

A párhuzamossági axióma

Az euklideszi geometriában az alábbi kijelentést olyanalapigazságnak tekintjük, melyet bizonyítás nélkül fogadunk el.Ha adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedo P pont,akkor P -n csak egy olyan egyenes halad át, amely párhuzamosg-vel.

Megjegyzés. A fenti kijelentést az euklideszi geometriapárhuzamossági axiómájának mondjuk.

Megjegyzés. A párhuzamossági axióma tagadására isfelépítheto egy geometriai elmélet, melyetBolyai–Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometriánakneveznek. Bolyai Jánosnak (1802–1860) dönto szerepe voltezen új geometria felfedezésében és kidolgozásában. Bolyaieredményeit 1832-ben publikálta az Appendix c. muvében.

A háromszög szögeinek összege

Tétel. Tetszoleges háromszögben a szögek összege 180◦.Bizonyítás.Vegyünk egy ABC4 háromszöget. Az AC oldal felezopontjátjelölje E, a BC oldal felezopontját pedig F . Az A, B, Ccsúcsoknál lévo szögek mértékét jelölje α, β és γ.

Tekintsük a g = 〈A,B〉 egyenest és azt a h egyenest, amelyáthalad C-n és párhuzamos g-vel.

Kapcsolat a háromszög belso és külso szögei között

Az A pontnak az F -re vonatkozó tükörképe legyen A′, a B-nekaz E-re vonatkozó tükörképe pedig B′. Az E, F pontokratörténo tükrözések g-t a h egynesbe viszik. Világos, hogy aCAB^ szög egybevágó az ACB′^ szöggel és a ABC^egybevágó az A′CB^ szöggel. A C csúcsnál lévoACB′^, ACB^ és A′CB^ szögek együttesen egyegyenesszöget adnak. Ily módon fennáll α + β + γ = 180◦. �

Definíció. Egy háromszögnél a csúcsbeli szögek mellékszögeita háromszög külso szögeinek mondjuk.

Megjegyzés. Az elozo tételbol következik, hogy a háromszögegy külso szöge megegyezik a nem mellette fekvo két belsoszög összegével. Emiatt a külso szög mindig nagyobb a nemmellette fekvo belso szögnél.

Az oldalak és szögek összehasonlítása

Állítás. Egy ABC4 háromszögben az a = BC, b = AColdalakra fennáll a < b akkor és csak akkor, ha igaz α < β.Bizonyítás.Tegyük fel, hogy az ABC4 háromszögben teljesül a < b,vagyis BC < AC. A CA oldalon vegyük azt a D pontot,amelyre fennáll CD = CB. Mivel a DBC4 háromszög egyenloszárú, DBC^ = CDB^ teljesül.

A CDB^ egy külso szöge az ABD4 háromszögnek, így az Acsúcsnál lévo α = CAB^ szög kisebb a CDB^ szögnél.Emiatt fennáll az α < CDB^ = DBC^ < β összefüggés. �

A háromszög-egyenlotlenség

Tétel. Tetszoleges ABC4 háromszögben az oldalak hosszairafennáll az a + b > c egyenlotlenség.Bizonyítás. Az 〈A,C〉 oldalegyenesen vegyük azt a D pontot,amely C-tol a távolságra van és amelyet a C pont elválasztA-tól. Eszerint igaz AD = a + b. A BDC4 háromszögbenfennáll BC = DC. Ebbol következik, hogy a CBD^, CDB^szögek egyenloek.

Tekintsük az ABD4 háromszöget. Világos, hogy a B csúcsnállévo ABD^ szög nagyobb a D csúcsnál lévo ADB^ szögnél.Az elozo állítás szerint ekkor a DA oldalhossz nagyobbAB-nél. Ily módon igaz az a + b > c egyenlotlenség. �

Két metszo egyenes hajlásszöge

Definíció. Legyenek adva a g és h egyenesek, melyek egy Mpontban metszik egymást. Az oket tartalmazó síkot a g, hegyenesek felosztják négy olyan konvex szögtartományra,melyek szárai a g, h egyenesekre esnek és közös csúcsuk azM pont. A két egyenes hajlásszögének mondjuk ezen szögekközül azokat (illetve azok mértékét), amelyek derékszögnélnem nagyobbak.

Definíció. Két metszo egyenesrol azt mondjuk, hogymerolegesek egymásra, ha a hajlásszögük derékszög.