Bevezetés a zikába 2.

Csanád Máté

2017. április 10.

Tartalomjegyzék

1. H®tan 4

1.1. A h®tan alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. A h®mérséklet mértékegységei és mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. H®mennyiség, fajh® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Fázisok, fázisátmenetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4. A vízg®z, páraképz®dés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5. H®tágulás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.6. A h®átadás fajtái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Kinetikus h®tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. A h® kinetikus elmélete, az ekvipartíció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2. Az általános gáztörvény és következményei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. Az entrópia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Axiomatikus termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1. A termodinamika alaptételei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2. Állapotváltozások, körfolyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Elektromosság és mágnesesség 17

2.1. Az elektromosság alapjelenségei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. A Coulomb-törvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2. Térer®sség és er®vonalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3. A uxus és a Gauss-törvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Elektromos feszültség és elektromos áram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1. Az elektromos potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2. Az elektromos áram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3. Az Ohm-törvény, az elektromos teljesítmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4. Áramkörök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Mágneses tér és hatásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Mágnesesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2. A Lorentz-er® és a mágneses nyomaték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3. A mágneses uxus és Gauss-törvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.4. Mágneses indukció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. A mágneses tér forrásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1. Mozgó töltések és az áram mágneses tere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2. Az Ampère-törvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.3. Önindukció és transzformátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.4. Váltakozó áram¶ áramkörök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Elektromágneses hullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1. A Maxwell-egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2. Az elektromágneses spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6. Optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

TARTALOMJEGYZÉK 3

2.6.1. A fény terjedése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.2. Geometriai optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.3. Hullámoptika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. Modern zika 37

3.1. A részecske-hullám kett®sség, a kvantumvilág . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1. A fény kvantumtermészete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2. A részecskék hullámtermészete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2. A térid® modern fogalmának kialakulása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1. A newtoni mechanika és a Maxwell-egyenletek ellentmondása . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2. A speciális relativitáselmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.3. Az általános relativitáselmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3. Atom- és magzika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1. Az atomok felépítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2. Az atommagok kötési energiája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.3. Maghasadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.4. A magfúzió és összevetése más energiatermelési módszerekkel . . . . . . . . . . . . . . . . 47

A. Ellen®rz® kérdések 48

1. fejezet

H®tan

Kísérlet: jég olvadása sós vízben

• Két pohár, 3-3 dl víz, 1-1 darab jég, az egyik pohárban sós a víz.• Utak sózása alapján azt várjuk, a só segíti az olvadást.• Eredmény: a sós vízben lév® jég sokkal tovább megmarad.

1.1. A h®tan alapjai

1.1.1. A h®mérséklet mértékegységei és mérése

Az emberi h®érzet fogalmának kvantitatív kifejezésére született a h®mérséklet fogalma. Azért lehetséges a h®-mérsékletet zikai mennyiségként deniálni, mert (különféle mértékegységeket deniálva) mérhet®, azaz értékeireprodukálhatóak. A hétköznapi életben legtöbbet használt mértékegység a Celsius, amelyet a víz olvadáspont-jához (0 C) és a forráspontjához (100 C) kötve deniáltak. Az angolszász világban ehelyett a Fahrenheitethasználják, amely gyakorlatias h®mérsékletekhez köt®dik (0 F: hideg téli nap, 100 F: meleg nyári nap). A ket-t®t a TF = 9TC/5 + 32 egyenlet köti össze. A h®mérséklet, mint zikai mennyiség, akkor értelmes, ha mérhet®.Ezt különféle eszközökkel lehet megtenni, amelyeket el®zetesen kalibrálunk (azaz valahonnan ismert h®mérsék-letek melletti állásukat feljegyezzük). Ezen eszközök m¶ködésének alapja lehet például a gázok vagy folyadékokh®tágulása (ugyanis térfogatuk egyenletesen változik a h®mérséklettel), esetleg fémek ellenállásának változása,illetve az úgynevezett h®sugárzás vizsgálata is. Ezekr®l kés®bb olvashatunk valamivel b®vebben. A h®mérsékle-tet mindenesetre nem úgy deniáltuk tehát, hogy megadtuk a jelentését, hanem a mérésének módján keresztül.Hogy mit jelent a h®mérséklet, mire vezethet® vissza, ezt majd a kinetikus gázelmélet tárgyalása során érthetjükmeg.

A h®mérsékleti skálán lefelé haladva tehetünk egy fontos meggyelést: állandó térfogatú gáz nyomása li-neárisan függ a h®mérséklett®l, azaz adott h®mérséklet-csökkenéshez mindig adott nyomáscsökkenés tartozik.Amennyiben ez a viselkedés nem szakad meg, akkor egy bizonyos h®mérsékletnél nulla alá csökkenne a nyomás,ami viszont értelmetlen. Kiderül továbbá az is, hogy ez a bizonyos h®mérséklet a gáz anyagi min®ségét®l éstérfogatától is független:

Ez lehet®séget ad az abszolút nulla fok bevezetésére, amely Celsiusban −273, 15 fok értéket vesz fel. Enneksegítségével bevezethet® a Kelvin skála: TK = TC + 273, 15, ebben 0 K az abszolút nulla fok, ahol minden

4

1.1. A HTAN ALAPJAI 5

gáz nyomása nullára csökken. A zikai törvények többségében a Kelvin skálát használjuk majd. Ezen kifejezvemegadunk néhány karakterisztikus h®mérsékleti értéket:

• 2,7 K a ritka világ¶rben a kozmikus (mikrohullámú, elektromágneses) háttérsugárzás h®mérséklete,

• 4,2 K a hélium forráspontja normál légköri nyomáson (ahogy a továbbiak is),

• 77 K a nitrogén (N2) forráspontja,

• 273 K a víz olvadáspontja,

• 373 K a víz forráspontja,

• 600 K az ólom olvadáspontja,

• 6000 K a Nap felszíne,

• 107 K a Nap központi h®mérséklete,

• és 1012 K a nagyenergiás atommag-ütközésekben létrehozott h®mérséklet, ahol az atommag épít®kövei, aprotonok és a neutronok ismegolvadnak.

1.1.2. H®mennyiség, fajh®

Most, hogy már ismerjük a h®mérséklet mérésének módját, feltehetjük a kérdést, hogy mi okozza a h®mérséklet-változást? Ma már tudjuk: az energia egy fajtája, a h®energia (jele többnyire Q) felel®s ezért. Ennek mértékétpéldául kalóriában mérjük: 1 cal (kalória) az a h®, ami egy gramm vizet egy fokkal melegít fel. Miután ez azenergia egy formája, így Joule-ban is megadhatjuk: 1 cal = 4,186 J. Összességében megállapíthatjuk azt is, hogyegy adott közeg h®mérsékletének megváltoztatásához szükséges energia (h®) arányos a h®mérséklet-változássalés az adott közeg tömegével: Q ∝ m ·∆T . Az arányossági tényez® a fajh®, c, mértékegysége J/(kg K). A ∆Th®mérséklet-változáshoz szükséges energia (h®) tehát

Q = cm∆T (1.1)

A víz fajh®je c =4186 J/(kg K), azaz például 1 liter víz 20 fokról történ® felforralásához (a 100 fok eléréséhez)80 · 4186 J = 335 kJ h®re van szükség. Ha gyelembe vesszük, hogy 1 kWh = 3,6 MJ elektromos energiakb. 50 forintba kerül, akkor láthatjuk, hogy ez a folyamat elektromosságot használva minimum 5 forintbakerül (természetesen ha a melegítésre használt energia egy része elveszik, ahogy az ténylegesen mindig be iskövetkezik, akkor több energiára van szükség). A víz fajh®je a legnagyobbak közé tartozik, a hidrogén, hélium,ammónia, lítium fajh®jével egyetemben. Igen alacsony fajh®j¶ anyagok (amelyek egy kg tömeg¶ mennyiségekevés h® hatására is sokat melegszik) az ólom, az arany, a higany és általában a nehézfémek fajh®jük avízének kevesebb, mint harmincada. A leveg® fajh®je kb. 1000 J/(kg K), azaz 1 kg leveg® egy fokkal valófelmelegítéséhez kb. 1 kJ energiára van szükség. Ugyanakkor vegyük észre, hogy 1 kg leveg® igen sok: egyköbmétert tölt be, azaz egy tipikus szobában összesen 20 kg leveg® van. Ez azt is jelenti például, hogy ha aszoba leveg®je 20 fokos, és elhelyezünk benne tíz liter 50 fokos vizet, akkor ez (egyéb például a falakon áttörtén® h®csere hiányában) 40 fokra való leh¶lése során a szoba leveg®jét is 40 fokosra melegíti (hiszen ah® kicserél®dése miatt c1m1∆T1 = c2m2∆T2). Ugyanezért nehéz nyáron egy szell®ztetéssel leh¶teni a lakást ugyan a szoba leveg®jét kicserélhetjük 10-20 fokkal hidegebbre is, de a falak, berendezési tárgyak h®energiája eztgyorsan semlegesíti, érdemleges leh¶lés nélkül (számoljuk ki, hogy 1000 kg beton egy fokkal való leh¶tésekormennyi energia szabadul fel, és ez hány köbméter leveg® 10 fokkal való felmelegedésének felelne meg).

Miután a melegítéshez szükséges h® a tömeggel arányos, ezért tulajdonképpen az n = m/M anyagmennyi-séggel is arányos Q, hiszen Q = cm∆T = cnM∆T . Ez átírható úgy, hogy

Q = Cn∆T, (1.2)

ahol C = cM a mólh®, amelynek mértékegysége J/(mol K). Az egyatomos gázok mólh®je tipikusan kb. 12,5J/(mol K) (állandó nyomáson), szilárd anyagoknak többnyire 25 J/(mol K), kétatomos gázoknak pedig kb. 21J/(mol K). Ennek indoklását az általános gáztörvény alapján látjuk majd. A mólh® általánosságban is inkább azanyag szerkezetét®l, mint a konkrét elemt®l/molekulától függ. Érdekes felfedezni, hogy míg a fajh®ben az egyeselemek és egyszer¶ molekulák között 50-szeres arány is tapasztalható, addig a mólh® esetében alig kétszeresarányokat látunk. Ez a c = C/M összefüggéssel együtt magyarázza az el®z® bekezdés végén említetteket: a vízfajh®je azért magas, mert a móltömege alacsony. Ugyanígy, a higany móltömege magas, ezért a fajh®je alacsony.

6 1. FEJEZET. HTAN

1.1.3. Fázisok, fázisátmenetek

Ahogy azt mindennap tapasztaljuk, az anyagok/közegek különféle halmazállapotban vesznek minket körül:vannak gázok, folyadékok és szilárd anyagok. Azonban az egyes anyagok halmazállapota nem rögzített: gázbólfolyadék lehet, folyadékból szilárd közeg, és így tovább. Ezek az átalakulások valamekkora h®cserével együtttörténik, méghozzá legtöbbször adott nyomás esetén adott h®mérsékleten.

Az átalakuláshoz szükséges h®mennyiséget látens h®nek nevezzük (jele tipikusan L). Ezt úgy deniálhatjuk,hogy m tömeg¶ anyag halmazállapotának adott módon történ® megváltoztatásához

Q = Lm (1.3)

h®energiára van szükség. Maga az átalakulás tipikusan x h®mérsékleten történik, tehát csak akkor meleg-szik/h¶l tovább az adott közeg, ha teljesen átalakult az új halmazállapotba. Ezért f®zni csak 100 Celsius fokonlehet, akármilyen álláson van a f®z®lap: amíg az összes víz el nem forrt, nem történik további felmelegedés. Ésugyanezért tartanak állandó alacsony h®mérsékleten egyes berendezéseket folyékony nitrogénnel: ennek h®mér-séklete egészen addig nem megy 77 K fölé, amíg van folyékony komponense.

A látens h®re fontos példa, hogy víz olvadásh®je 333 kJ/kg, forrásh®je pedig 2257 kJ/kg. El®bbi azt jelenti,hogy 1 kg jég megolvasztásához 333 kJ h®re van szükség: ezt 10 liter víz nyolc fokkal való leh¶lése tudja fedezni ezért igen alkalmas h¶tésre a jég. A forrásh® mértéke pedig például azt jelenti, hogy 1 liter víz elforralásáhozközel hétszer annyi h®re van szükség, mint 20 fokról 100 fokra való felmelegítéséhez (335 kJ, ld. a fajh®r®lszóló bekezdést). Érdemes továbbá látni, hogy a jégkocka azért kiválóan alkalmas italok leh¶tésére, mert ahalmazállapotának átalakításához sok h®re van szükség amit a leh¶teni kívánt ital biztosít, leh¶lése által. Hakávét/teát szeretnénk melegen tartani, ahhoz például 50 fokon olvadó anyagból álló jégkockákra lenne szükség:ha ezt olvadt állapotban (zárt tégelyben) helyezzük az italba, akkor h¶lése és fagyása során rengeteg h®energiátadhat át annak. Erre szolgáló tárgyakat gyártanak is, lásd pl. a Coee Julies márkanevet.

Ahogy láttuk, a különféle anyagok adott h®mérséklet és nyomás esetén egy bizonyos halmazállapotban avagyfázisban vannak. Az egyes halmazállapotokat egy h®mérséklet nyomás diagramon fázishatárok választják el;ezeket ábrázolja a fázisdiagram. Ez víz esetén így néz ki:

Ezen több érdekességet is felfedezhetünk:

• Az olvadásponthoz (azaz a folyékony és a szilárd fázis határához) tartozó h®mérséklet a nyomás növelésévelcsökken (ez csak víz esetén igaz!): ezért olvad meg a curling k® alatt a jég (megkönnyítve annak csúszását),illetve a hótakaró alján ezért olvadhat meg a hó, visszafagyása esetén jégréteget alkotva.

• A forrásponti h®mérséklet a nyomás növelésével n®: ezért kuktában 110-120 C h®mérsékleten forr fel avíz, amit®l könnyebb/gyorsabb lesz a f®zés (hiszen a biológiai makromolekulák átalakulása így gyorsabbankövetkezik be). Ugyanezért nehéz nagy tengerszint feletti magasságon f®zni: itt a víz már akár 80-90 fokonis felforr, ilyen alacsony h®mérsékleten pedig lassan következnek be a f®zést jelent® szerkezeti átalakulások.Megemlíthet®, hogy a víz forráspontja a sózástól is emelkedik, bár igen csekély mértékben.

• A három fázis találkozik egy úgynevezett hármaspontban: ehhez 273 K és 6 mbar tartozik. Ennek nyomásaalatt semmilyen h®mérsékleten nincs folyékony fázisú víz, itt a szilárdból közvetlenül a gáz fázisba megyát a jég h®átadás esetén. Normál nyomások is ez a helyzet a széndioxiddal (hiszen hármaspontja 216 Kkörül van): a szárazjég nem olvad, hanem szublimál (és a hideg gázban lecsapódó pára füstszer¶ jelenségethoz létre, így m¶ködnek a füstgépek).

1.1. A HTAN ALAPJAI 7

• Igazi fázisátalakulás (folytonos vonallal jelezve) csak az úgynevezett kritikus pontig lehetséges: ennekkoordinátái 647 K és 221 bar. Az ehhez tartozó nyomás felett csak egyfajta folytonos átmenet van,hasonlóan a vaj olvadásához: az átalakulás nem x h®mérsékleten következik be, és látens h® sincs.

Ilyen fázisdiagramja persze nem csak a víznek, hanem bármilyen más anyagnak is lehet, fent említettük példáula széndioxid esetét. Az atommag anyagának is van fázisdiagramja, azaz az atommagok anyaga is megolvadhat,ezt nagyenergiás részecskegyorsítóknál kutatják. Itt említhetjük meg továbbá, hogy a sós víz fázisdiagramja egykicsit különbözik a tiszta vízét®l. Például a sós víz olvadáspontja alacsonyabb, mint a tiszta vízé. Így el®bbi márakár -10 vagy -20 fokon is megolvadhat (utóbbi a maximális, 20% (mm) feletti koncentráció esetén érvényes)

1.1.4. A vízg®z, páraképz®dés

Fontos látni, hogy vízg®z normál légköri nyomáson sem csak 373 K felett lehetséges, a szobah®mérséklet¶leveg®ben is van valamennyi gáz halmazállapotú víz, ugyanis a molekulák h®mozgásuk révét átkerülhetnek a gázfázisba. Egy adott térfogatban (adott nyomáson és h®mérsékleten) van egy maximális lehetséges vízmennyiség,ami g®z formában jelen lehet, ez a telítési mennyiség (amely nem függ a jelen lév® leveg® mennyiségét®l,s®t, vákuumban is ugyanezek a jelenségek játszódnak le). Ezt a maximális mennyiséget valójában egyensúlyikoncentrációnak kellene hívni, ugyanis ennél kisebb koncentráció esetén több molekula párolog el, mint ahánylecsapódik, míg e felett a lecsapódás dominál. Az egyensúlyi koncentráció felett tehát azt is mondhatjuk, hogya fölösleges vízmennyiség kicsapódik de csak ha van valami felület, ahol ez megtörténhet, egyébként akára maximális vízmennyiség háromszorosa is jelen lehet az adott térfogatban (azonban a leveg®ben mindig vanvalamennyi por, ami szintén kicsapódásra alkalmas felületet képez). Ez az említett maximális vízmennyiségavagy egyensúlyi g®zkoncentráció (légköri nyomású leveg®ben) 100 Celsius fokon 600 g/m3, 30 Celsius fokon 30g/m3, míg 0 fokon csak 5 g/m3. Az ehhez képesti értéket szokás relatív páratartalomnak nevezni.

Ezzel sok hétköznapi jelenség kapcsolatos. Ha például leh¶l a leveg®, az abszolút páratartalma megmarad, dea maximális lehetséges páratartalom lecsökken, ahogy a fenti számok mutatják. Emiatt a relatív páratartalom100% felé kerül, és így a maradék vízg®znek ki kell csapódnia valamilyen felületre (ha van), akár porszem-csékére. Ezért keletkezik a télen kinyitott ablakon pára (a benti meleg leveg® találkozik az ablak küls®, hidegfelületével, és emiatt leh¶l), az edény tetején lecsapódó g®z (a forró leveg® találkozik a valamivel hidegebbfed®vel), emiatt g®zölög a forró folyadék, de megemlíthet® a kondenzcsík, a harmat, a dér vagy a köd is.

A g®z állapotát általánosságban is értelmezzük, többnyire a nem túlságosan forró, a kritikus pontnál lénye-gesen hidegebb gázra értjük, amely egyensúlyban van egy kondenzált (szilárd vagy folyékony) fázissal. A g®zmolekulái által termodinamikai egyensúlyban létrehozott nyomást hívjuk egyensúlyi g®znyomásnak. A termo-dinamikai egyensúly itt azt jelenti, hogy ilyenkor ugyanannyi molekula vándorol a kondenzált fázisból a g®zfázisba, mint viszont, és így a két fázis mennyisége állandó. Természetesen az egyensúlyi g®znyomás függ a h®-mérséklett®l: nagy h®mérsékleten könnyebben kerülnek át a molekulák a g®zfázisba. Ha a h®mérséklet akkora,hogy egyensúlyi g®znyomás eléri a légköri nyomást, akkor forrás (vagy szublimáció) következik be; azaz a vízesetén 100 Celsius fokon az egyensúlyi g®znyomás éppen a 1 atmoszféra. Érdemes megemlíteni, hogy 20 fokonaz egyensúlyi g®znyomás kb. 2 kPa, azaz a légköri nyomás 2%-át adja a vízg®z. Érdekes ugyanakkor, hogy pla szilárd vas esetén is beszélhetünk egyensúlyi g®znyomásról: ennek értéke szobah®mérsékleten 10−65 Pa nagy-ságrendbe esik, míg 900 fokon már 10−6 Pa. Ez azt jelenti, hogy ilyen forró szilárd vas esetén már nagyszámúvasatom kerülhet a leveg®be is.

Fontos továbbá, hogy légköri nyomású leveg®vel kevert g®z esetén az egyensúlyi g®znyomásból a kés®bbtárgyalt gáztörvények segítségével kiszámítható az egyensúlyi g®zkoncentráció is.

1.1.5. H®tágulás

A h®energiával kapcsolatos további fontos (már a fejezet elején is említett) jelenség, hogy a legtöbb anyagmérete, térfogata a h®mérséklett®l függ. Gázok esetén globálisan lineáris kapcsolat van a térfogat és a h®mér-séklet között (állandó nyomás esetén, ahogy majd látni fogjuk), de ott az egész jelenségkört összetettebbentudjuk tárgyalni, ahogy majd kés®bb meg is tesszük. Szilárd anyagok esetén globálisan bonyolult a térfogat ésa h®mérséklet közötti kapcsolat, de kis h®mérsékletváltozás esetén mondhatjuk, hogy lineáris az összefüggés,pontosabban a ∆L hosszváltozás arányos a ∆T h®mérsékletváltozással:

∆L = L0α∆T (1.4)

ha L0 volt az eredeti hossz. Azt is mondhatjuk, hogy ekkor az új hossz L′ = L + ∆L = L0(1 + α∆T ). Ittα a h®tágulási együttható, ennek nagyságrendje tipikusan 10−6 1/fok, azaz 1/(1 millió K). Ez azt jelenti,hogy pl. 10 fokos h®mérsékletváltozás esetén az adott szilárd objektum egy százezred résznyivel lesz hosszabb.Az együttható konkrét értéke egyes anyagokra jelent®sen különböz® lehet: kvarc esetén pl. 0,5/millió K, mígfémekre: 20-30/millió K, ráadásul a h®mérséklett®l is függ.

8 1. FEJEZET. HTAN

A h®tágulás sok hétköznapi példában is megjelenik: emiatt görbülnek el melegben a vasúti sínek (hiszen ahosszuk megn®, de erre a nyúlásra nincs hely), emiatt építenek dilatációs rést hidakba és más építményekbe(hogy h®tágulás esetén ne deformálódjanak el), és ezért feszesebbek a távvezeték kábelek télen. Ezen az elvenm¶ködnek egyes id®kapcsolók is: két különböz® fém van bennük, amelyen bekapcsolás esetén áram folyik; az áramhatására felmelegednek, alakjuk a két fél különböz® mérték¶ tágulása miatt megváltozik, majd a visszah¶léssorán újra eredeti állapotukba térnek vissza megsz¶ntetve az eredeti kapcsolatot (ez a bimetál kapcsolók ésérzékel®k lényege).

A fentiekben a h®tágulás egydimenziós változatát vizsgáltuk, azaz a tárgyak hosszának változását. Ugyanak-kor h®mérsékletnövekedés hatására a dolgok térfogata is megn®. Hogy mennyire, azt egyszer¶en levezethetjük,egy L oldalhosszúságú kocka esetét alapul véve. Ennek ∆T h®mérsékletváltozás hatására L′ = L + ∆L =L0(1 +α∆T ) méretre változik az oldalhosszúsága. Ekkor a térfogata V0 = L3

0 helyett V ′ = L′3 = L30(1 +α∆T )3

lesz, azaz

V ′ = V0(1 + α∆T )3. (1.5)

Innen a kis x értékekre érvényes (1 + x)n ≈ 1 + nx közelítést alkalmazva (amely a binomiális sorból következik,ugyanis ebben x magasabb hatványai x 1 miatt elhanyagolhatóak)

V ′ = V0(1 + 3α∆T ), avagy (1.6)

∆V = V03α∆T (1.7)

adódik, vagy másképp ∆V = V0β∆T bevezetésével β = 3α.

Folyadékoknál is értelmezhet® a térfogati h®tágulási együttható, amely azonban a h®mérséklett®l er®sebbenfügg (mint szilárd anyagok esetében), és értéke általában nagyobb is. Szobah®mérsékleten higany, víz eseténα = 200/ millió K, míg alkohol esetén α = 1200 / millió K. Víz esetén érdekes módon négy fok körül α = 0lesz, majd 0 és 4 Celsius fok között negatívba fordul: azaz négy fokról tovább h¶lve a víz valójában tágul, nemösszemegy. Így tehát a nulla fokos víz fennmarad a tó tetején (keveredés híján), az ennél pár fokkal melegebbpedig alul gy¶lik össze, lehet®vé téve a vízi állatok és növények téli túlélését.

Kontroll-kísérlet: tintás jég olvadása sós vízben

• Két pohár, 3-3 dl víz, 1-1 darab jég, az egyik pohárban sós a víz. A jegekbe tintát kevertünk.• Eredmény: a sós vízben lév® jégb®l leolvadó tintás víz nem keveredik a többi vízzel, csak a pohár tetejénjelenik meg a tinta színe

• Só nélkül a hidegebb víz s¶r¶bb, ezért leszáll a pohár aljára, a meleg víz felmegy, beindul a konvekció• A sós víz azonban sokkal s¶r¶bb, a hideg víz ezért fentmarad a pohár tetején, sokkal kevesebb víz veszrészt a reakcióban.

1.1.6. A h®átadás fajtái

Miután a h® és a h®mérséklet változásával kapcsolatos legalapvet®bb jelenségeket megemlítettük, a h®átadásmódjainak is érdemes pár bekezdést szentelnünk. A h® alapvet®en három módon kerül át az egyik pontból amásikba: áramlással (ekkor a meleg és a hideg közeg helyet cserél, összekeveredik), vezetéssel (ekkor a h®thordozó molekulák vagy atomok adják át egymásnak az energiát, elmozdulás nélkül) illetve sugárzással (ekkora molekulák h®mozgásuk során elektromágneses sugárzást hoznak létre, ami akár vákuumban is terjed, energiáthordozva).

Gázokban és folyadékokban általában az áramlás h®csere f® oka: ezért h¶l ki gyorsabban egy tea mint egys¶r¶ krémleves, ez utóbbiban ugyanis lényegesen gyengébb áramlás tud megvalósulni (nagyobb viszkozitásaokán). A h®áramlás magyarázza a szelek és tengeráramlatok kialakulását, de ennek segítségével melegíti fel aszobát a f¶t®test is, ezért száll fel a füst a kéményben, és ez segít a folyadékok és gázok er®m¶vekben történ®áramlásában. A legnagyobb h®átadás turbulencia kialakulása során valósul meg, ekkor jön létre ugyanis azoptimális keveredés. Általában a h®áramlás hajtóereje az, hogy a melegebb közeg ritkább, így felfelé száll; vagya nyomása nagyobb, így a hidegebb pont felé törekszik.

Ahogy fent említettük, h®vezetés során a gyorsabban rezg® molekulák/atomok átadják a lassabbaknak azenergiájuk egy részét, azaz a mozgási energia, másképp kifejezve a h® terjed a renszerben, valódi mozgás nélkül.Szilárd testekben ez a h®átadás f® módja. A ∆t id® alatt d vastagságú, A keresztmetszet¶ felületen átadott h®mennyisége

∆Q

∆t= λ

∆TA

d, (1.8)

1.1. A HTAN ALAPJAI 9

ha a két oldalán ∆T a h®mérsékletkülönbség. Itt λ a h®vezetési együttható (nem a Boltzmann állandó!), mérték-egysége W/Km. Ebben kifejezve néhány tipikus értéke: rézre 400, üvegre 1, leveg®re 0,024, ház falára 1 alatti (jóesetben). A leveg® azért rossz h®vezet® (avagy jó h®szigetel®), mert nagy távolságon vannak benne a molekulák,így kevésbé tudnak egymásnak ütközések által h®t átadni. A habok, üreges anyagok is ezért szigetelnek jól, ésezért két- vagy többréteg¶ek a jobb ablakok is (ráadásul többnyire a két réteg közé a normálállapotú leveg®nélis rosszabb h®vezetés¶ gázt tesznek). A jeges h¶t® is ezért h¶t rosszul: a jég ugyanis igen rossz h®vezet®.

Házak és lakások energiaháztartásának vizsgálata során a vastagságot és a h®vezetési együtthatót szokásegyetlen U = λ/d-vel jelölt h®átbocsátási tényez®vel megadni, ezzel

∆Q

∆t= UA∆T. (1.9)

Ekkor U mértékegysége W/m2K, és azt adja meg, hogy egy négyzetméter felületen egy fok h®mérsékletkülönbségesetén mennyi energia távozik id®egységenként. Ez környezetzikai szempontból igen fontos, hiszen az így távozóh®energiát kell valamilyen f¶tési rendszerrel pótolni, azaz a h®átbocsátási tényez® minimalizálása az adottlakás vagy ház energiaigényét igen jelent®sen tudja csökkenteni. A tényez® értéke jó h®szigetel® (többréteg¶)ablakokra 0.5-1.0 W/m2K körül van. Ez konkrétan azt jelenti, hogy ha az ablak 1 négyzetméteres, és bent 20fokkal melegebb van, mint kint, akkor 10-20 Watt h®teljesítményre van szükség, hogy az ablakon át kiáramlóh®t pótoljuk.

A h®sugárzás jelenségét kés®bb fogjuk megérteni, de a lényeg, hogy az atomok és molekulák rezgése elekt-romágneses teret hoz létre, amely energiát sugároz ki, akár vákuumban is és ennek során a kibocsátó anyagmolekuláinak rezgése csökken, az anyagot h¶tve. Adott h®mérséklet mellett különböz® hullámhosszú sugárzás-komponensek is vannak, ezek összessége a kés®bb a kvantumzika által megmagyarázott Planck-spektrum, amelyaz alábbi ábrán látható:

Néhány száz kelvin esetén még nem látható a h®sugárzás, de ezer kelvin h®mérséklet környékén láthatóvá vá-lik: ez a vörösizzás. Ahogy növeljük a h®mérsékletet, a spektrum maximuma egyre kisebb hullámhosszok felétolódik, azaz a szín egyre több kéket és egyre kevesebb vöröset tartalmaz. 6000 K körül épp nagyjából egyenle-tesen tartalmaz minden színt a spektrum, így ez fehérnek t¶nik, felette pedig egyre kékebbnek. A Nap felszínih®mérséklete alapján éppen fehér sugárzást bocsát ki pontosabban nyilván a szemünk a Nap színe alapjánkalibrálja a színeket, azt éppen fehérre hangolva. Érdekes megemlíteni, hogy az univerzumban minden irány-ból kb. 2,7 K h®mérséklet¶ sugárzás észlelhet®, ez a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás. A h®sugárzáshozkapcsolódik továbbá a Stefan-Boltzmann törvény. Eszerint egy A felület¶, T h®mérséklet¶ tárgy által δt id®alatt kisugárzott h®energia mennyisége

∆Q

∆t= εσAT 4, (1.10)

ahol a Stefan-Boltzmann állandó σ = 5, 67 · 10−8J/(sm2K4), és ε egyfajta elnyelési és kisugárzási együttható,tökéletesen fekete test esetén 1 (míg egyes komponenseket el nem nyel®, azokat visszever®, azaz éppen ilyenszín¶ test esetén egy alatti ε értékek adódnak).

A h®csere három fajtáját az alábbi ábra illusztrálja:

10 1. FEJEZET. HTAN

1.2. Kinetikus h®tan

1.2.1. A h® kinetikus elmélete, az ekvipartíció

A XIX. század végére az atomhipotézis számos meggyelés magyarázatául szolgált, sokak véleménye azonbanaz volt, hogy a h®tan területén már nem alkalmazható sikeresen. A fordulópontot leginkább a Brown-mozgásfelfedezése és magyarázata jelentette. Bár a jelenségr®l ó- és középkori szerz®k is írnak, Brown volt az, aki ter-mészettudományos módszerekkel fogott a jelenség vizsgálatához. 1827-ben virágpor vízen történ® véletlenszer¶mozgását gyelte meg, ma ehhez kötjük a jelenség felfedezését, illetve els® tudományos dokumentációját. Ajelenséget Einstein és Smoluchowski magyarázta meg véglegesen: eszerint a véletlenszer¶ mozgás a közeg atom-jainak vagy molekuláinak h®mozgása miatt jön létre. Ezt elfogadva, az atomok nyelvén a h® mozgási energia, ah®mérséklet az atomok/molekulák átlagos energiájától függ.

Az atomok mozgási energiájának tárgyalásához felidézzük a szabadsági fokok denícióját (b®vebben lásda tárgy els® félévi jegyzetének vonatkozó szakaszát). Egy atomot tömegpontként képzelünk el, amely haladómozgást végezhet, ez f = 3 szabadsági fokkal jár, a tér három iránya miatt. Egy kétatomos molekulát egy kisszakaszként képzelhetünk el, így ennek további két forgási szabadsági foka lesz, azaz összesen f = 5. Bonyolultabbmolekulákat kiterjedt merev testekként képzelünk el, ezeknek összesen f = 6 szabadsági foka van, melyb®l hárommozgási és három forgási:

Megemlítend® még, hogy szilárd anyagokban potenciális energia és más, kollektív szabadsági fokok is elkép-zelhet®ek, ezért itt nagyobb f értékek is lehetnek.

A kinetikus h®tan alapja az ekvipartíció tétele: eszerint egy T h®mérséklet¶ közegben minden molekula vagyatom minden szabasági fokára átlagosan ugyanannyi energia jut, méghozzá

ε =kBoltzmannT

2, (1.11)

ahol kBoltzmann a Boltzmann-állandó, értéke 1,38·10−23 J/K. Az ekvipartíció (ami lényegében egyenl® eloszlástjelent) tételének oka tulajdonképpen az, hogy a h®mozgás során az energia kiegyenlít®dik, az egyenletes eloszlása legvalószín¶bb. Ebb®l kikövetkeztethetjük egy gáz részecskéinek átlagos sebességét, hiszen mozgásra háromszabadsági fok jut, tehát a mozgási energia 3ε = 3kT/2, ugyanakkor ez egyúttal mv2/2-vel is egyenl®. A ré-szecskék átlagos sebessége innen v =

√3kT/m. Egy adott irányban (nevezzük ezt z iránynak) a sebesség az

egyetlen szabadsági fokra jutó energiából adódik: vz =√kT/m. Légköri nyomáson a leveg® molekuláinak sebes-

sége tipikusan 3-500 m/s körül van, ami egyúttal azt is jelenti, hogy egy molekula másodpercenként átlagosantöbbször tízmillió véletlenszer¶ ütközést szenved el ez magyarázza, hogy a termodinamikai folyamatok mindiga legvalószín¶bb állapot felé haladnak.

Egy rendszer teljes bels® energiája összesen E = fNε, ha f az ε egyenként energiájú szabadsági fokokszáma, N pedig közeg részecskéié. A gáz teljes bels® energiája innen tehátl kifejezhet® a T h®mérséklettel

E =f

2NkT =

f

2nRT, (1.12)

ahol R = k · NA a Boltzmann-állandó szorozva az Avogadro-állandóval (1023), n pedig a mólszám. Miután Qh® átadásakor (egyéb folyamatok, azaz pl. tágulás vagy összenyomás hiányában) az energiaváltozás ∆E = Q,az állandó térfogaton vett mólh® kiszámítható. Ennek deníciója (Q = Cn∆T ) szerint C = Rf/2 adódik,ez egyatomos gázokra éppen 12,5 J/(mol K), ahogy a fajh®r®l szóló szakaszban láttuk. Részletesen lásd atermodinamikai átalakulásokról szóló szakaszban.

1.2.2. Az általános gáztörvény és következményei

A gázbeli nyomás a kinetikus gázelmélet szerint a molekulák/atomok ütközése miatt hat, gyelembe véve,hogy az ütközés során impulzusváltozás történik, amely (az ütközés id®tartamával leosztva) az er®t adja meg,

1.2. KINETIKUS HTAN 11

a nyomás pedig az adott felületra ható er®. Téglatestbe zárt gáz esetén levezethet® az adott h®mérséklet¶ éstérfogatú gáz nyomása, azaz az úgynevezett általános gáztörvény:

• A keresztmetszet¶, l hosszúságú edényben legyen N gázatom T h®mérsékleten.• Az ekvipartíció tétele alapján az egyes atomok átlagos sebessége a tér három irányában ugyanannyi,vx = vy = vz =

√kT/m.

• A nyomás a falnak ütköz® részecskék által kifejtett er®t®l függ p = F/A, az er® pedig az átadott impul-zustól: F = ∆pz/∆t.

• Egy gázatom által átadott impulzus (a z-irányú sebessége el®jelet vált): 2mvz.• Hány gázatom ütközik a falnak ∆t id® alatt? Mivel vz sebességgel közelednek a falhoz átlagosan, ezértazok érik el a falat, akik vz∆t távolságon belül voltak pontosabban ezeknek a fele, a másik felül a másikirányba megy.

• Ennek a résznek a térfogata vz∆tA, azaz az itt lév® részecskék száma Nvz∆tA/V , a falnak ütköz®ké pedigNvz∆tA/2V

• Az ezek által átadott impulzus pedig: 2mvzNvz∆tA/2V , egyszer¶sítve: Nmv2z∆tA/V .

• A nyomás tehát p = Nmv2z/V , azaz p = NkT/V , azaz pV = NkT .

Ehhez az alábbi illusztráció ad segítséget

A fenti levezetésben feltettük, hogy a gáz részecskéi között csak ütközési jelleg¶ er®k hatnak, és maguk arészecskék semekkora térfogatot nem foglalnak el. Az ilyen feltételeket teljesít® gázokat ideálisnak nevezzük, alevezetés végén közölt összefüggés az ideális gázok állapotegyenlete, avagy az általános gáztörvény:

pV = NkT. (1.13)

Bevezetve az R = k · NA gázállandót (ahol NA = 6 · 1023 az Avogadro szám), ez pV = nRT egyenletként isírható, ha n = N/NA az anyagmennyiség (mólszám). Mindebb®l néhány egyszer¶ törvény levezethet®:

• Állandó nyomás esetén V/T = Nk/p = állandó (h®tágulás, Charles-törvény).• Állandó h®mérséklet esetén pV = NkT = állandó (tágulás ⇒ nyomáscsökkenés, BoyleMariotte-tv.)• Állandó térfogat esetén p/T = Nk/V = állandó (h¶lés ⇒ nyomáscsökkenés, Gay-Lussac-tv).

Érdemes megemlíteni, hogy reális gázok esetén két plusz tag adódik. Az els®t az adja, hogy az atomoknak isvan térfogata, ezért a rendelkezésre álló térfogat lecsökken: V → V −nb. Továbbá a valóságban a molekulák nemcsak mint billiárdgolyók ütköznek, hanem vonzzák is egymást, csökkentve a nyomást: p→ p−an2/V 2. A fentieketis gyelembe vev® egyenlet a reális gázok állapotegyenlete, a van der Waals-féle egyenlet: (p−an2/V 2)(V −bn) =NkT . Ez az állapotegyenlet alacsony h®mérséklet esetén jelent®sen eltér az ideális gázokétól, de tárgyalásatúlmutat jelen jegyzet keretein.

Kísérlet: színes alkohol és víz helycseréje

• Két kis pohár, egyikben víz, a másikban valamely színes alkohol. Mindkét poharat teljesen tele kell tenni.• A vizes poharat egy kártyával a tetején megfordítjuk, az alkoholos pohárra tesszük.• A kártyát kicsit kihúzva a víz elkezd lefelé áramolni, az alkohol pedig felfelé száll.• Kis nyílás esetén nincs keveredés, a két folyadék helyet cserél.• Mi az oka a keveredésnek? Miért tudtuk megakadályozni?

12 1. FEJEZET. HTAN

1.2.3. Az entrópia

A h®tan egyik legfontosabb fogalma az entrópia, amelyet igazán a h® kinetikus értelmezése kapcsán érthetünkmeg. Az entrópia fogalma alapvet®en a rendezetlenséghez kapcsolódik, és egy rendszer mikro- és makroállapo-tain keresztül értelmezhet®. A mikroállapot a rendszer tökéletes leírása, minden komponensének/részecskéjénekösszes tulajdonságát rögzíti. A makroállapot ezzel szemben a rendszer globális állapotát adja meg, tekintet nél-kül egyedi részecskéinek állapotaira. Például egy pénzérmékb®l álló rendszer esetén egy adott mikroállapotbanminden pénzérme állását tudjuk, egy adott makroállapot azonban például az lehet, hogy az érmék fele fej, feleírás. Látható, hogy egy adott makroállapot sokféle mikroállapoton keresztül valósulhat meg. Gázoknál is ez ahelyzet: az adott nyomást és h®mérsékletet jelent® makroállapot sokféle konkrét molekula- és atomelrendez®désesetén is létrejöhet. Ebben a képben az adott makroállapothoz tartozó entrópia deníciója

S = kBoltzmann logw (1.14)

, ahol w a lehetséges mikroállapotok (elemi elrendezések) száma, amelyek mind ugyanezt a makroállapototvalósítják meg. A formulában szerepl® egyúttal az entrópia mértékegységét (J/K) is megadja.

Négy pénzfeldobásnál a fenti formulában négy fej esetén w = 1, fele-fele esetén w = 6. Az utóbi állapotentrópiája tehát magasabb. Érdekes észrevenni, hogy a négy pénzfeldobásos esetben a fele-fele arány a legvaló-szín¶bb. Ugyanígy, egy szobában sokkal többféleképpen lehet elhelyezni a tárgyakat úgy, ha bármelyik bárhollehet: ha a könyvek csak a könyvespolcon, a ruhák pedig csak a ruhásszekrényben lehetnek, akkor a lehetsé-ges mikroállapotok száma lényegesen alacsonyabb. Ez utóbbi lehet®séget a köznyelvben rendnek hívjuk: a rendsokkal valószín¶tlenebb, mint a rendetlenség. Az entrópia tehát a rendezetlenség mértéke. Ha egy 10 pénzérméttartalmazó dobozt megrázunk, akkor a véletlen folyamatoknak köszönhet®en minden bizonnyal kb. fele fej, feleírás lesz. Ha egy 1027 molekulát tartalmazó teremben a molekulák véletlen mozgását engedjük meg (ahogy az avalóságban zajlik), akkor a legvalószín¶bb az, hogy a molekulák fele a terem jobb oldalában, a másik fele a terembal oldalában lesz (ez igen szerencsés, különben ugyanis a terem egyik felében ül® hallgatók megfulladnának).Mindezeket az alábbi ábra illusztrálja:

Ugyanígy, a fenti kísérletben mindkét folyadék molekulái véletlenszer¶en mozognak és ütköznek. Sokkal valószí-n¶bb, hogy a két folyadék molekulái véletlenszer¶en rendez®dnek el, mint hogy az egyik fajta az egyik oldalon,a másik a másikon ezt is a fenti ábra illusztrálja. Ha elég sok mozgást és ütközést várunk meg, tényleg össze-keverednek. A kis réssel viszont elértük, hogy alig legyen köztük interakció, lényegében entrópiaváltozás nélkülzajlott le a folyamat, így helyet tudtak cserélni.

A fenti két bekezdés úgy is értelmezhet®, hogy az adott rendszer benne zajló véletlen folyamatok nyomán alehet® legvalószín¶bb makroállapot felé halad, és jgy a saját entrópiáját maximalizálja. Az entrópia tehát nemmegmaradó mennyiség, hiszen értéke magától zárt rendszer esetén is n®het (szemben az energiával: zárt, azazküls® hatástól mentes rendszer energiája nem változhat, hiszen az energia megmarad). Egyszer¶en az a legva-lószín¶bb, hogy az entrópia, azaz a rendezetlenség mértéke n®. Energiabefektetéssel persze csökkenthetjük azentrópiát, például rendet rakhatunk. Ekkor azonban az ezt (minket) is magában foglaló rendszer össz-entrópiájapersze n®: a rendrakás következtében létrejöv® entrópiacsökkenést b®ven kompenzálja az anyagcserénk kapcsánlétrejöv® entrópianövekmény.

1.3. AXIOMATIKUS TERMODINAMIKA 13

Az entrópiaváltozással nem járó folyamatok (például egy gáz gyors összenyomása vagy tágulása) megfor-díthatóak, reverzibilisek: oda-vissza egyformán zajlanak le. Ilyen folyamatokban egy kis dQ h®átadás hatásáradS = dQ/T entrópiaváltozás történik (nyilván nem zárt rendszerr®l beszélünk ekkor, hiszen a h® valahonnanérkezik). Más folyamatok (például két gáz vagy folyadék keveredése, egy jégkocka megolvadása, egy váza földreesése és széttörése) irreverzibilisek. Ezek során az entrópiaváltozás lényegesen jelent®sebb lehet, és zárt rend-szerben is n®het az entrópia ilyenkor. Ezek a folyamatok fordítva nem történnek meg: ugyan némi leh¶lés áránenergetikailag lehetséges lenne a váza darabjainak felugrása és újra vázává való összeállása, ez (a véletlen folya-matokat gyelembe véve) annyira valószín¶tlen, hogy sosem következik be. Ugyanígy, lehetséges lenne, hogy apohár víz egy része felmelegszik, egy másik része pedig leh¶l (és jégkockává áll össze), de annyira valószín¶tlen,hogy sosem következik be. A rendezetlenség csökkenése (a rend növekedése) annyira valószín¶tlen, hogy sosemkövetkezik be (zárt rendszerben, azaz magától).

Kísérlet: érmék a dobozban

• Egy dobozban van csupa fej állású érme. Ha összerázzuk, a fej/írás arány 50-50% körül lesz.• Ennek oka egyszer¶en az, hogy ez a legvalószín¶bb, és sok rázás során van id® a valószín¶ állapotkialakulására (gázok esetén nincs szükség rázásra: a h®mozgás hatására másodpercenként sok milliószorütköznek a molekulák)

• Néhány érme esetén jelent®s eltérések fordulhatnak el®, 1023 érme esetén azonban egy ezreléknyi eltérésis igen valószín¶tlen.

• A doboz összerázása irreverzibilis folyamat, az entrópia n®, ahogy a rendezetlenség növekszik. Extrémalacsony annak a valószín¶sége, hogy a doboz érméinek fej/írás aránya egy egyenetlenebb, alacsonyabbentrópiájú állapotot mutasson magától. Természetesen rendet tehetünk a dobozban, de akkor már aztnem tekinthetjük zárt rendszernek.

1.3. Axiomatikus termodinamika

1.3.1. A termodinamika alaptételei

A termodinamikát bizonyos értelemben axiomatizálni lehet 1+3 f®tétel segítségével Ezek közül a nulla-dik f®tétel a termodinamikai rendszerek tárgyalásmódját rögzíti. Fontos, hogy mindig egyensúlyi rendszerekr®lbeszélünk, amelyek maguktól nem változnak. A termodinamikai átalakulások is ilyen egyensúlyi állapotokonkeresztül történnek (itt tehát tulajdonképpen kváziegyensúlyról beszélünk, hiszen az egyensúly lényege éppenaz lenne, hogy ebb®l nem tér ki a rendszer). Fontos továbbá, hogy két termodinamikai rendszer egyensúlyaazt jelenti, hogy termodinamikai kapcsolatba helyezve ®ket, állapotuk nem változik meg; ebb®l az következik,hogy egyensúly esetén az egyes rendszerek intenzív állapothatározói (h®mérséklet, nyomás) megegyeznek. Magaa nulladik f®tétel pedig a következ®: ha két rendszer egyensúlyban van egy harmadikkal, akkor egymással isegyensúlyban vannak.

A termodinamika els® f®tétele azt mondja ki, hogy a rendszer energiájának változását a vele közölt h® és arajta végzett munka fedezi. Ez tehát tulajdonképpen azt jelenti, hogy az energia megmarad, és maga a f®tételígy fejezhet® ki:

∆E = Q+W. (1.15)

A rendszeren úgy végezhetünk munkát, hogy összenyomjuk; tágulás esetén a rendszer végez munkát, azazW < 0.Az állandó nyomáson végzett munka a W = −p∆V módon fejezhet® ki, hiszen a munka az er® szorozva az el-mozdulással (Fs), az er® a nyomás szorozva a felülettel (F = pA), míg a térfogatváltozás az elmozdulás szorozvaa felülettel (∆V = −sA, ahol a negatív el®jel azért van, mert az általunk kifejtett er® összenyomja a rendszert,csökken a térfogata). Ez az összefüggés csak állandó nyomáson érvényes, egyéb esetben innitezimálisan kicsielemekre kell bontani a folyamatot, és ekkor dW = −pdV lesz az összefüggés. A h®átadásra pedig (állandóh®mérsékleten, reverzibilis folyamatok esetén) a Q = T∆S összefüggés lesz érvényes, ami egyúttal az adotth®mérséklet melletti entrópiaváltozást is megadja. Ha nem állandó a h®mérséklet, akkor ismét innitezimálisankicsi intervallumokra kell bontani a folyamatot, amelyekben dQ = TdS. Ekkor összességében a

dE = TdS − pdV (1.16)

összefüggés lesz érvényes.

A termodinamika második f®tételének három egyenérték¶ megfogalmazása van, ezek az ekvivalens állításoka következ®k:

14 1. FEJEZET. HTAN

• A h®átadás iránya mindig a nagyobb h®mérséklet¶ rendszer fel®l az alacsonyabb h®mérséklet¶ rendszerfelé mutat. Ekkor a melegebb helyr®l átadunk Q h®t a hidegebbnek, és közben a rendszer W munkátvégez. Ennek ellenkez®je nem következik be, nem lehet tehát olyan hajót építeni, ami h¶ti a tengert, ésaz ebb®l nyert energiával körbehajózza a Földet.

• A hatásfok azt jelenti, hogy a melegebb helyr®l a hidegebbre Q h® áramlik, és közben W munkavégzéstörténik. A hatásfok ekkor a hasznosított munka és a hidegebb közeg által felvett h® hányadosa: η =Whasznos/Qfel. Az állítás az, hogy minden valós rendszer hatásfoka kisebb egynél (η < 1), azaz az átadotth®energiát nem lehet teljes mértékben a hasznos munkavégzésre fordítani.

• Zárt rendszer entrópiája nem csökken, itt zajló reverzibilis folyamatokban ∆S = 0, irreverzibilis folyama-tok során pedig ∆S > 0 (megjegyzés: zárt rendszer számára összesen Q = 0 és W = 0, de az egyik feleadhat át h®t a másiknak vagy végezhet munkát a másikon ekkor van értelme a fenti entrópiaváltozástvizsgálni)

Az els® és a harmadik verzió ekvivalenciája könnyen belátható: legyen egy T1 és egy T2 h®mérséklet¶ tartályközött Q h®átadás, az egyest®l a kettes felé áramló a h®vel. Ekkor az entrópiaváltozás az egyes rendszerben

∆S1 = −Q/T1 (mivel ® leadott h®t), és ∆S2 = Q/T2 a kettes rendszerben. A teljes változás: ∆S = Q(

1T2− 1

T1

).

Ez pontosan akkor pozitív, ha T2 < T1. Ezt illusztrálja az alábbi ábra is:

A termodinamika harmadik f®tétele azt mondja ki, hogy az abszolút nulla fokot nem lehet elérni végesszámú termodinamikai lépésben. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy ha T → 0, akkor S (néhány kivételt®l, például azüvegekt®l eltekintve) nullához tart, azaz elérjük a tökéletes rendezettséget. Az abszolút nulla fok azért is érhet®el nehezen, mert ehhez egy másik, ennél hidegebb rendszerre volna szükség; ugyanakkor az abszolút nulla fokonaz atomok/molekulák h®mozgása megsz¶nik, azaz lényegében megállnak ennél kisebb h®mérséklet pedig márnem képzelhet® el.

1.3.2. Állapotváltozások, körfolyamatok

Az általános gáztörvény és a f®tételek következményeként a különféle állapotváltozásokat egyszer¶en leír-hatjuk. Az állapotváltozások négy alapvet® típusa a következ®:

Izobár p = áll. W = −p∆VIzochor V = áll. W = 0, azaz ∆E = QIzoterm T = áll. Q = T∆S, továbbá ∆E = 0Adiabatikus (izentropikus) S = áll. Q = 0, azaz ∆E = W

Az egyes folyamatokat p− V diagramon vagy T − S diagramon ábrázoljuk:

Izobár állapotváltozáshoz állandó nyomású (tágulni képes), izochor változáshoz állandó térfogatú tartályravan szükség. Izoterm állapotváltozás esetén a rendszert megfelel®en nagy, állandó h®mérséklet¶ h®tartályban

1.3. AXIOMATIKUS TERMODINAMIKA 15

kell elhelyezni, adiabatikus állapotváltozásokhoz pedig igen jól szigetelt (h®cserét gátló) tartályra vagy nagyongyors lefolyásra van szükség.

Az adiabatikus esetben elmondhatjuk, hogy míg az energiaváltozás (az ekvipartíció miatt) dE = f/2 ·NkdT ,addig az ezzel egyenl® munka dW = −pdV = −NkT∆V/V , ahol az utóbbi egyenl®ség az általános gáztörvénymiatt áll fenn. Innen f/2·dT/T = −dV/V , ami lényegében egy dierenciálegyenlet a T (V ) függvényre, amelynekmegoldása T = C ·V −2/f , ahol C tetsz®leges (integrálási) állandó. Bevezetve a γ = (f+2)/f konstanst, TV γ−1 =állandó, vagy pV γ = állandó. A γ neve adiabatikus kitev®.

Érdemes még megemlíteni, hogy izobár vagy izochor állapotváltozás esetén kiszámítható a gázok mólh®je,és a két esetre különböz® értékek adódnak:

• Izochor esetben ∆E = Q = nCV ∆T = f/2nR∆T , azaz CV = f/2R.• Izobár folyamatok esetén W = −p∆V = −Nk∆T , azaz Q = ∆E −W = f/2Nk∆T + p∆V = (f/2 +

1)Nk∆T . Azaz Cp = CV +R

Egyatomos gázok izochor (állandó térfogat mellett vett mólh®je) például CV = 12, 5 J/(mol K), míg izobárfajh®jük Cp = 21 J/(mol K). A két érték kétatomos gázok esetén 21 ill 30 J/(mol K).

A fenti folyamatokból körfolyamatok rakhatóak össze, melyek során egy rendszer állapotai ciklikusan változ-nak. Ezen körfolyamatok során h® befektetése mellett munka végezhet®: erre épülnek a termodinamikai gépek.Ilyen körfolyamatok mennek végbe az er®m¶vekben és a robbanómotorban is például. A szokásos benzinmotoraz Otto-ciklust járja be: ez két adiabatikus és két izochor folyamatból áll:

A h®b®l munka keletkezik, pontosabban a rendszer felvesz Qfel h®t, lead Qle h®t (a körfolyamat ellentétespontjain), továbbá Wfel munkavégzés történik rajta, é Wle munkát végez (ad le). Ekkor az energiamegmaradásmiatt Wfel +Qfel = Wle +Qle, ahonnan (mivel a hasznosuló nettó munka Whasznos = Wle −Wfel):

η =Whasznos

Qfel=Wle −Wfel

Qfel= 1− Qle

Qfel.

Miután a h®leadás csak az izochor folyamat során történik, ekkor Q = nCV ∆T használható; az adiabatikusváltozások során pedig munkavégzés történik, és ekkor TV γ−1=állandó. Ezután az r = Vmax/Vmin kompressziósfaktort deniálva véve a hatásfokra η = 1−r1−γ adódik. Tipikus értékek (r = 8, γ = 7/5 = 1.4) mellett η = 0, 56.A benzinmotorok tehát a keletkez® h®t 56%-os termodinamikai hatásfokkal alakítják mozgási energiává. Továbbiveszteség keletkezik az égés tökéletlensége, a mozgási energia veszteséges (súrlódó) átvitele és sok más jelenségmiatt, ezért a tényleges hatásfok jóval alacsonyabb is lehet.

Lényegesen jobb hatásfokú lehet a Carnot-ciklus, amelyet két adiabatikus és két izoterm folyamat alkot. Afentiekhez hasonlóan itt is η = 1 − Qle

Qfel, azonban az izoterm átalakulásokra vonatkozó Q = T∆S összefüggés

miatt Qle/Qfel = Tmin/Tmax, azaz η = 1−Tmin/Tmax. Itt Tmin → 0 esetén η → 1, tehát a 100% hatásfok csak egynulla fokos közeggel lenne elérhet®, ami viszont nem létezik. Ennek jelent®sége az, hogy a Carnot-körfolyamat alehet® legnagyobb hatásfokú folyamat, és még ez sem 100% hatásfokú. A Carnot-körfolyamat T −S diagramon:

16 1. FEJEZET. HTAN

Végül gyakorlati szempontból fontos még a h®szivattyú, amely közeg hideg és meleg hely közötti ára-moltatásával a hideg helyet h¶ti, a meleget f¶ti: így m¶ködik a h¶t®gép vagy a klímaberendezés (többnyiregázkompresszorral, tehát a hideg helyen lecsapódik a ház, míg a meleg helyen felforr). Ekkor a h®energia áram-lása a természetessel ellentétes irányba történik, miközben munkát fektetünk be, tehát ez lényegében a fentleírt h®er®gépek inverze. Ilyen körfolyamatot valósít meg a földh®szivattyú is, amely a földben kell® mélység-ben télen-nyáron nagyjából állandó h®mérsékletet használja ki, és ennek a földfelszínhez képesti különbségérealapozza a h®cserét; nyáron h¶teni, télen f¶teni lehet vele, elektromos energia befektetésével.

2. fejezet

Elektromosság és mágnesesség

2.1. Az elektromosság alapjelenségei

Kísérlet: vattadarab lebegtetése

• Megdörzsölt m¶anyagrúddal vattadarabot vonzunk a rúdhoz. Néhányszor lerázva a vattadarabot a rúdról,a rúd taszítani fogja a vattát, így azt lebegtetni is tudjuk a rúd fölött.

• Az elektromos állapotba hozott testek a semlegeseket a polarizáció vagy a megosztás lévén (attól függ®en,hogy szigetel® vagy vezet® a semleges test) vonzzák.

• A vattadarab és a m¶anyagrúd érintkezésekor a vattadarab átvesz a rúd töltéséb®l, így azonos töltés¶véválnak. Kis mérték¶ átvétel esetén a polarizáció miatt még mindig vonzást tapasztalunk (egy-két lerázássala vattadarab visszavonzható a rúdra), de többszöri átvétel után taszítás gyelhet® meg.

• Sajnos ez a kísérlet csak egészen specikus anyagokkal m¶ködik, mert az egész az elektronok átdörzsolé-sén alapul.

2.1.1. A Coulomb-törvény

Az elektromosságot az ókorban fedezték fel (már a görögök is), pontosabban azt a jelenséget, hogy a sz®r-mével dörzsölt borostyán (elektron az ógörögben) tárgyak taszítják egymást, a sz®rmét pedig vonzzák. Ez kétféleállapot megjelenésére utal (és érdekes megemlíteni, hogy régebben ezen az elven m¶ködtek a fénymásológépek),ezeket jellemezzük pozitív és negatív töltésel. A modern korban Franklin (villám), Galvani (békacomb), Vol-ta (áram) és Coulomb (er®) kísérletei hozták létre a zika elektromosággal foglakozó ágát. Coulomb 1785-benpublikált törvénye így hangzik: A két ponttöltés közötti elektrosztatikus er® nagysága arányos a két töltésnagyságának szorzatával és fordítottan arányos a köztük lév® távolsággal. Az er® a töltéseket összeköt® egyenesmentén hat. Ha egyforma töltés¶ek, akkor az er® taszító, ha ellentétes töltés¶ek, akkor az er® vonzó típusú.(Érdekes észrevenni, hogy ez a törvény a gravitációs törvényhez igen hasonló, kivéve, hogy van negatív töltés is,míg negatív tömeg nincsen.) Ezt ma inkább egyenlettel fogalmazzuk meg, eszerint egymástól r távolságra lév®q1 és q2 töltés között (amelyeket Coulomb mértékegységben adunk meg)

F = kq1q2

r2er® hat, illetve vektorosan

#»

F = kq1q2

#»r

r3(2.1)

ahol k = 9 ·109 Nm2/C2 a Coulomb-állandó. A töltés egysége tehát a Coulomb, ami úgy is deniálható, hogy két1 C töltés¶, egymástól 1 méter távolságú töltés közötti er® 9 · 109 N (hivatalosan ennél trükkösebb a deníció,az áramon és az áramjárta vezet®k közötti er®n keresztül adott, ezt itt most nem tárgyaljuk).

A fenti k állandót k = 1/(4πε0) módon is megadhatjuk, ahol ε0 a vákuum elektromos permittivitásnak neve-zett állandó, értéke 8, 9 ·10−12 C2/Nm2. Ha a két töltés nem vákuumban van, akkor használható a közeg ε = εrε0permittivitása, ahol εr ≥ 1 a relatív permittivitás, ami a közeg polarizálhatóságával függ össze. Adott töltésekáltal létrehozott elektromos tér egy konkrét pontban vett értéke tehát polarizálható közeg hatására csökken.Víz esetén például εr = 80, ennek is köszönhet®, hogy a szervezetünkben az életm¶ködéshez nélkülözhetetlenzikai-kémiai folyamatok (amelyek például elektrosztatikus kötések szétszakításával járnak) megvalósíthatók.

Ma már tudjuk, hogy a töltés hordozói az atomok és az elektronok; a legkisebb lehetséges töltés értékétMillikan mérte meg el®ször, 1909-ben. Porlasztás során véletlenszer¶en töltött olajcseppek zuhanását gyeltemikroszkóppal, elektromos térben és anélkül. Ebb®l meg tudta határozni az elemi töltés értékét: ez e=1,6·10−19

C. Ez éppen az elektron (−e) vagy proton (+e) töltésének felel meg. Érdekes kiszámolni, hogy két 10−10 m

17

18 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

távolságra lév® elektron között az er® 2,3·10−8 Newton, ami megdöbbent®en nagy gyorsulást eredményezne(1022 m/s2).

Fontos azt is tudni, hogy az anyag m¶ködése javarészt az elektromos kölcsönhatáson, illetve a Coulomb-törvényen múlik: ez tartja egyben a szilárd testeket, vagy abszurd példával élve ez nem engedi átesni a sapjánkata fejünkön. A h®tan (molekulák ütközései, köztük fellép® kölcsönhatás), a (bio)kémia (a molekulák és atomokelektronszerkezetével magyarázható), de a súrlódás vagy felületi feszültség is (mindkett® elektromos er®) ezzelmagyarázható.

2.1.2. Térer®sség és er®vonalak

A Coulomb-törvény helyett máshogy is megközelíthetjük az elektromosságot. A töltések között ható er®(amely a töltések távolságának változását azonnal követi, távolhatást hozva létre ezzel) helyett vezessük be azelektromos tér fogalmát, illetve a térer®sséget. Hogy egy adott pontban E a térer®sség, az a következ®t jelenti:ha ebben a pontban elhelyezünk egy q töltést, akkor arra

#»

F = q#»

E (2.2)

er® hat. Hogy jobban megértsük ezt, fogalmazzuk át a Coulomb törvényt: a Q töltés elektromos teret kelt,melynek nagysága r távolságban

E = kQ

r2. (2.3)

Ez az E elektromos tér hat a q töltésre, méghozzá F = Eq mértékben. Ebbe behelyettesítve F = kQq/r2

adódik, azaz visszakapjuk a Coulomb-törvény eredeti alakját. A térer®sség jelentése még egyszer tehát: ha egyq töltés¶ próbatestre egy adott pontban F er® hat, akkor ott E = F/q térer®sség van. A térer®sség is vektorez alapján, az er® irányába mutat.

Valójában azt gondoljuk, hogy nem is a Coulomb-er® az, ami létezik, hanem az elektromos tér (vagyinkább mez®nek hívjuk sokszor). Ez sokkal szélesebb körben értelmezhet®, lényegesebb mennyiség, mint az er®.A térer®sség egy töltés esetén is létezik, azaz akkor is, ha nem eredményez er®t.

Az elektromos teret er®vonalakkal szemléltetjük. Az er®vonalak mindig a térer®sség irányába mutatnak,azaz az érint®jük adott pontban a térer®sség (emiatt nem is metszik egymást), az er®vonalak s¶r¶sége pediga térer®sség nagyságát jelzi az adott pontban. Az er®vonalak mindig pozitív töltésb®l indulnak ki és negatívtöltésben végz®dnek (vagy a végtelenben). Egy vagy két töltés terét egyszer¶ felrajzolni ezek alapján:

Érdekes kérdés, hogy ha az atomok semlegesek, akkor hogyan tarthatja mégis össze az elektromos er® ®ket mo-lekulákban, illetve szilárd testekben. Ennek az a magyarázata, hogy az atomok polarizálják egymást, és végered-ményben inkább két, d távolságra lév® q töltésb®l álló dipólusként képzelhet®ek el. Egy ilyen dipólus elektromostere a dipólustól messze, a tengelye mentén x d távolságban könnyen kiszámítható. Ekkor az egyik töltést®l

vett távolság x+d/2, a másiktól pedig x−d/2. Az elektromos terek összege ekkor E = kq[

1(x−d/2)2

− 1(x+d/2)2

],

ami d x miatt, az (1 + a)n ≈ 1 + an közelítést felhasználva

E =2kqd

x3=

qd

2πε0x3(2.4)

teret eredményez. Az ebben szerepl® qd mennyiséget a rendszer dipólus-nyomatékának is nevezzük. Ez a mole-kulák közötti másodrend¶ kölcsönhatás alapja. Az er® két ilyen dipólus között: F ≈ 6kq2d2/x4.

Kísérlet: világító uborka

• Egy uborkát rákötünk az elektromos hálózatra, majd változtatható feszültség¶ transzformátorral egyrenöveljük az uborkára kapcsolt feszültséget. Adott feszültség (kb. 100 volt) felett az uborka elkezd világítani!

2.1. AZ ELEKTROMOSSÁG ALAPJELENSÉGEI 19

• Az elektromos hálózat elektromos teret hoz létre, ez er®vel hat az uborkában lév® töltésekre. A pozitív ésa negatív töltésekre ellentétes irányú er® hat, ezért ezek szétszakadnak, ionizáció jön létre. Ezek a szabadtöltések már gyorsulni kezdenek, felforrósítva az uborka anyagát.

• A h® hatására buborékok keletkeznek, amelyekben viszont ívkisülések következnek be. Ezekben annyiranagy a h®mérséklet, hogy az a látható fény tartományában sugároz.

2.1.3. A uxus és a Gauss-törvény

A térer®sségen túl egy másik fontos absztrakt mennyiséget is deniálunk, mely a kés®bbiekben igen hasznoslesz számunkra. Ez a mennyiség az adott felülethez tartozó uxus. A uxust adott felületre vonatkoztatvadeniáljuk, értéke konstans térer®sség és sík felület esetén

Φ =#»

E#»

A (2.5)

ahol#»

A a felület nagyságával megegyez®, a felületre mer®leges vektor. Amennyiben a térer®sség változik, vagy afelület nem sík, akkor az A felületet fel kell bontani innitezimális dA felületelemekre, amelyeken már konstansa térer®sség, és ekkor

Φ =

∫#»

E# »

dA (2.6)

lesz a uxus deníciója. Fontos látni, hogy a térer®sség az er®vonalak lokális (felületi) s¶r¶ségét adja meg, ezértezt a felületre integrálva éppen a felületen átmen® er®vonalak számát kapjuk meg.

A denícióból következik, hogy ha egy zárt felületen belül nincs belül töltés, akkor a bemen® vonalak kiis jönnek (csak töltésben végz®dhetnek!), ezért ezen a felületen a uxus nulla. Gondoljunk el ezek után egy rsugarú gömböt egy Q töltés köré. Ekkor a képzeletbeli gömbfelület minden kis elemére

# »

dA párhuzamos a helyi#»

E térer®sségvektorral, és minden pontban E = kQ/r2. Emiatt erre a gömbfelszínre

Φ =

∫#»

E# »

dA = E

∫dA = EA = k

Q

r24πr2 = 4πkQ =

Q

ε0(2.7)

tehát Φ = Q/ε0 a gömb sugarától függetlenül. Ez általánosítható nem gömb alakú, de zárt felületre, illetve többtöltést bezáró felületekre is. A végs® következtetésünk a Gauss-törvény : összesen Qbent töltést tartalmazó zártfelület uxusa

Φzárt =

∫zárt

#»

E# »

dA =Qbent

ε0. (2.8)

A fentieket illusztrálandó, az alábbi illusztráción négy képzeletbeli felület uxusa látható:

A Gauss-törvényb®l néhány egyszer¶ gyakorlati következmény adódik:

a) Töltött, tömör vezet® test esetén a testen belül mindenhol E = 0, mivel különben a belül lév® szabadelektronok mozognának (ez a vezet® anyag deníciója: benne lényegében szabad töltések találhatóak,amelyek kis elektromos tér hatására is könnyedén elmozdulnak). Emiatt egy tetsz®leges, belül elképzeltzárt felüeltre Φ = 0. A Gauss-törvény miatt azonban ezen elképzelt felületen belül ekkor nem lehetnektöltések. Ez a képzeletbeli felület tetsz®leges, tehát a vezet® test belsejében sehol sem lehetnek töltések.Ez azt jelenti, hogy ilyenkor az összes töltés a test küls® felületén gy¶lik össze (és akár üreges testre iskiterjeszthet® a bizonyítás).

b) Elektromos térbe helyezett üreges vezet® test esetén viszont az következik ebb®l, hogy az üregben nemlehet elektromos tér sehol! Ez a Faraday-kalitka. Ezt majd a potenciál deníciója segítségével vezetjük le.

20 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

c) Töltött vezet® gömb elektromos tere a gömbön belül tehát E = 0. A tér a gömbön kívül úgy csökken,mintha ponttöltés lenne, azaz E = kQ/r2, miveil a köré rajzolt A = 4r2π felület¶ gömbön a uxusΦ = Q/ε0 = 4πkQ értéket vesz fel, és E = Φ/A.

d) Csúcs-hatás: az éles csúcs kis gömbgént viselkedik, itt tehát E = kQ/r2, a csúcshoz nagyon közel (kis resetén) E nagyon nagy lehet. Ez adja a villámhárító m¶ködésének alapját: a csúcs nagy elektromos tereionizálja a leveg®molekulákat, így vezet®vé válik a leveg®, és a csúcs elvezeti a feszültséget.

e) Egy λ [C/m] lineáris töltéss¶r¶séggel töltött vezeték elektromos tere a köré rajzolt (képzeletbeli) r sugarú,l hosszúságú hengerrel számolható. Ennek csak a palástjánvan uxus, hiszen a végein található síkokonnem megy át a térer®sség, hanem éppen árhuzamos azokkal. A palást felszíne A = 2rπl, az ezen belülitöltés Q = λl, innen a Gauss-törvény segítségével (Φ = Q/ε0) adódik, hogy E = Φ/A = 2kλ/r, ha λ atöltéss¶r¶ség (Coulomb/méter).

f) Egy σ [C/m2] felületi töltéss¶r¶séggel feltöltött síklap elektromos tere ugyanígy (képzeletbeli hasábbal)megkapható. Ennek csak a lapjain van uxus (hiszen az oldallapjai párhuzamosak a térer®sséggel), és haezek felszíne A, akkor a bezárt töltés Q = Aσ. Emiatt a uxus Φ = Q/ε0, és a térer®sség E = Φ/2A =σ/2ε0, azaz konstans (a kettes szorzó amiatt van, hogy összesen kétszer A felületünk van). Két ellentétestöltés¶ lap között a térer®sség ennek kétszerese, E = σ/ε0 = Q/(Aε0). Ezt hívjuk a kondenzátornak. Aztis mondhatjuk, hogy ezen E térer®sség esetén Q = EAε0 töltés jelenik meg.

Ezeket az alábbi ábra illusztrálja:

Kísérlet: alufóliába tekert mobiltelefon

• A fólia elég jó vezet®, így a belsejében az elektromos térer®sség nulla. Ez sztatikus (id®ben nem változó)esetre vonatkozik, de eléggé megzavarja a mobilkommunikáció során küldött jeleket is (amelyek perszetérben és id®ben változó elektromos tér formájában terjednek).

• A betekert telefont hívva az nem lesz kapcsolható: a fólián belül nem tud jeleket fogadni és küldeni.• Egy réteg fólia nem biztos, hogy elég, éppen a nagy frekvencia és a tér behatolási mélysége miatt.• Az alufólia elég hamar kilyukad, ami szintén elronthatja a kísérletet (a lyukon át mégis bejut a jel).

2.2. Elektromos feszültség és elektromos áram

2.2.1. Az elektromos potenciál

Ahogy láttuk, az elektromos térbe helyezett töltésre er® hat. Feltehetjük a kérdést, hogy mekkora energiára(munkára) van szükség, hogy egy töltést két pont között ezen er®tér ellenében mozgassunk? Vagy ekvivalensen,ha a töltést az er®tér mozgatja (gyorsítja) akkor mekkora munkát végez rajta, mekkora mozgási energiára teszszert? Mindezeket a munka deníciójának segítségével számíthatjuk ki. Ha ismert az a→ b út minden pontjábana töltésre ható

#»

F = q#»

E er®, akkor az út során végzett munka

Wa→b =

∫ b

a

#»

F#»

ds = q

∫ b

a

#»

E#»

ds = qUa→b, azaz (2.9)

Ua→b =

∫ b

a

#»

E#»

ds. (2.10)

Itt Ua→b a két pont közötti elektromos potenciálkülönbség, avagy elektromos feszültség. A deníció alapján haegy töltés adott U feszültségkülönbségen halad át, akkor qU energiára tesz szert. A feszültség és az eletromospotenciálkülönbség mértékegysége a deníciónak megfelel®en V=J/C. 1 volt feszültség egy elektront egy elekt-

ronvolt (eV) energiára gyorsít, ahol1 eV = 1,6·10−19 J energia. Az egy elektronvolt energiájú elektron sebességev =

√E/2m = c/1000 = 300 000 m/s.

Ahogy az el®z® félévben tanultuk, konzervatív er®tér esetén (és az elektromos er®tér ilyen) ez a munkanem függ a konkrét úttól. Ekkor Wa→b = Va − Vb szerint írható, azaz minden r ponthoz hozzárendelhet® egy

2.2. ELEKTROMOS FESZÜLTSÉG ÉS ELEKTROMOS ÁRAM 21

V (r) potenciális energia (szabadon választott nulla-szinttel). Ezzel az adott pont elektromos potenciája isdeniálható, U = V/q módon, és ekkor Ua→b = Ua − Ub. A potenciális energiához hasonlóan az U = 0 szint isbárhol felvehet®, többnyire a föld feszültségét vesszük ennek.

Érdemes megvizsgálni, hogy két nagyon közeli (végtelenül, innitezimálisan közeli) pont potenciálkülönbségemekkora: ezek között már határesetben konstans a térer®sség, így dU = − #»

E#»

ds írható fel. A szorzást kibontva−dU = Exdx+Eydy+Ezdz adódik, ami matematikailag megfordítva

#»

E = −(dU/dx, dU/dy, dU/dz) összefüggéstjelent, másképpen E = −gradU . A térer®sség tehát az elektromos potenciál gradiense ahogy a mechanikábanpedig az er® a potenciális energia gradiense. Ez valahogy azt jelenti, hogy a térer®sség a potenciál legnagyobbcsökkenésének irányába mutat, a töltések maguktól ebbe az irányba mozdulnak el ahogy egy változó magasságúterepen elhelyezett labda is a legmeredekebb irányban gurul el.

A fenti deníciókkal néhány konkrét esetben számoljuk ki két pont potenciálkülönbségét, illetve a nullaszintet deniálva adott pont elektromos potenciálját. Homogén elektromos térben (ahol E állandó) csak atérer®sség irányába történt elmozdulás számít. Itt h magasságban egy q töltés elektromos energiája V (h) =qEh (hasonlóan a gravitációs térhez, ahol Vgrav(h) = mgh), azaz homogén E térben h helyen az elektromospotenciál U = E · h. Másképpen d távolságon lév® U feszültség esetén a térer®sség átlagosan E = U/d. Vegyüktovábbá egy Q ponttöltés elektromos terét, amely r helyen E(r) = kQ/r2; erre szintén levezethet® az elektromospotenciál nagysága, az U =

∫∞rE(s)ds deníció alapján (csak itt az r távolságtól kell a végtelenik deniálni,

ha a nulla szintet a végtelenben helyezzük el). Az eredmény U(r) = −kQ/r, és ez a Gauss-törvény miatt nemcsak ponttöltésre, hanem gömbszimmetrikus töltéseloszlásra is igaz.

A fentiekkel a kondenzátorral kapcsolatban is egy további összefüggést kaphatunk. Ahogy korábban láttuk,két egyenletesen töltött síklap között E = σ/ε0 térer®sség alakul ki, itt tehát U = σ/ε0d. A síklap Q töltésétgyelembe véve U = Q/(ε0Ad). Ez alapján bevezethetjük a kondenzátor kapacitását: C = Q/U = ε0Ad, és ezazt jelenti, hogy a kondenzátor U feszültségre kapcsolva Q = CU töltést tud tárolni. Itt a kapacitás jele C,mértékegysége Coulomb/Volt avagy Farad. Ha a kondenzátor lemezei között polarizálható közeg van, akkor afenti kifejezést ki kell egészítenünk a közegre jellemz® εr értékkel, így a kapacitás tovább növelhet®. A feltöltöttkondenzátor energiát tárol, melyet a kondenzátor kisütésekor tudunk felhasználni. Az energia mértéke azzal amunkavégzéssel egyezik meg, amely a töltéseknek a kondenzátor lemezeire való felviteléhez volt szükséges. Egykis dQ töltést az aktuálisan U feszültségen lév® lemezpárra dW = U(Q)dQ munkavégzéssel vihetünk. Kezdetbena lemezek között nincs potenciálkülönbség, az a lemezek feltölt®désével együtt, a felvitt töltéss¶r¶séggel (a felvitttöltés mennyiségével) egyenesen arányosan n® a maximális U értékig. A fenti kifejezést 0 és U között integrálva

kapjuk, hogy az U feszültségre feltöltött kondenzátor energiája: E = 12QU = 1

2CU2 = 1

2Q2

C .

Kísérlet: feltöltött kondenzátor kisütése

• Egy kézzel (forgatással) tölthet® zseblámpában található kondenzátort töltsünk fel• A zseblámpát bekapcsolva tartva süssük ki a kondenzátort: eközben áram folyik át a két végén összeköt®vezetéken, így a lámpa világít.

• Ha a töltéskiegyenlít®dés megtörtént, nem folyik tovább az áram, a lámpa nem világít tovább.

Deniálhatjuk továbbá az ekvipotenciális felületek fogalmát: ezeken U=állandó, ez a gravitációs analógiábantulajdonképpen a térkép szintvonalainak felel meg. Az elektromos térer®sség (E) mindig mer®leges a szintvona-lakra (ne felejtsük el, a térer®sség iránya mindig az elektromos potenciál legnagyobb változásának iránya). azazaz er®vonalak és az ekvipotenciális felületek mer®leges hálózatot hoznak létre, ahogy az alábbi ábra bal oldalirajzán látható:

Az ekvipotenciális felületek nem érintkezhetnek - hiszen adott felületen U értéke adott, két felületen külön-böz®. Fontos ezzel kapcsolatban látni, hogy egy vezet® minden pontja ekvipotenciális, hiszen különben lennebenne térer®sség, és ennek hatására a vezet®ben jelen lév® szabad töltések elmozdulnának. A Faraday-kalitkáravonatkozó állítás könnyen bizonyítható ekvipotenciális felületekkel, amint azt a fenti ábra jobb oldali rajza ismutatja:

22 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

• Tegyük fel, hogy az üregben van térer®sség, azaz a potenciál pontról pontra változik.• Rajzoljunk az üregen belül egy adott pontot tartalmazó zárt, ekvipotenciális felületet (ilyen biztosan van,hiszen a fém bels® felülete azonos potenciálon van).

• Az er®vonalak erre mer®legesek, azaz ezen a felületen a uxus nem lehet nulla.• Az üregben azonban nincs töltés, így Gauss tétele miatt ellentmondásra jutottunk.• Ez egy módon oldható fel: ha az üreg egész bels® tere azonos potenciálon van, azaz itt nincs térer®sség.

2.2.2. Az elektromos áram

Ahogy láttuk, potenciálkülönbség hatására elektromos tér alakul ki (vagy fordítva), amely a szabad tölté-seket elmozdíthatja. Ez az áram jelensége: vezet® anyagra feszültséget kapcsolva a jelen lév® szabad töltésekvándorolni kezdenek. A töltések vándorlását az áramer®sséggel jellemezzük, amelynek deníciója az id®egységalatt átáramlott töltésmennyiség. A jele I, mértékegysége amper, amely Amper = Coulomb/sec módon deniált.1 A már elég nagy áram, egy háztartásban többnyire csak több készülék egyszerre való bekapcsolása hoz létreilyen nagyságrend¶ áramot.

Az áram nagysága konkrétan úgy alakul ki, hogy az elektronokat gyorsítja az elektromos tér, és mivel anyag-ban ütköznek a többi elektronnal, egyfajta közegellenállást tapasztalnak, amely a sebesség növekedésével n®.Amikor az elektromos tér gyorsító erejét éppen kioltja a megnövekedett közegellenállás, akkor az elektronoknem gyorsulnak tovább hasonlóan az es®cseppek zuhanási sebességénél tanultakhoz. Az elektronok ezen határ-sebességét driftsebességnek nevezzük. Hogyan függ az áram er®ssége ezen sebességt®l, illetve mi mástól függmég vajon? Ha minden más adott, akkor nyilván a sebesség növekedésével egyenesen arányosan n® az áramis, hiszen egységnyi ∆t id®tartam alatt, v sebesség esetén v · ∆t távolságból érnek el az elektronok az adottfelülethez. Ha a vizsgált vezet®ben a szabad elektronok térfogategységre es® száma n, akkor ebben a v · ∆thosszúságú, azaz Av · ∆t térfogatú részben ∆N = nAv · ∆t szabad elektron van, azaz id®egységenként ennyiéri el a felületet. Ez ∆Q = e∆N töltésnek felel meg, mert az egyes elektronok töltése e. Miután az elektromosáram nagysága az adott felületen áthaladó töltések id®egységenkénti mennyiségét jelenti, így

I =∆Q

∆t= e

∆N

∆t= enAv. (2.11)

Ebb®l a szabad elektronok száma az adott vezet®re jellemz®, a driftsebesség pedig arányos a megjelen® térer®s-séggel (hiszen ez gyorsítja az elektronokat), azaz az áramer®sség is: I ∼ E. Miután a térer®sség pedig E = U/Lmódon számolható (ha L a vezet® hossza, ahol az U feszültség kialakul), így végeredményben I ∼ UA/L, afenti képletb®l a keresztmetszett®l való függést is megtartva. Látható, hogy minél nagyobb a keresztmetszet,annál nagyobb az áram er®ssége: a metróból kiáramló tömeg is könnyebben kijut, ha szélesebb folyosón mehet-nek ki. Az áramot befolyásoló többi tényez® (az elektronokra ható közegellenállás, illetve a szabad elektronokszáms¶r¶sége) kizárólag az anyagra jellemz®. Ezt a tényez®t ρ-val jelölve

I = UA

ρL(2.12)

adódik, és ρ-t a vezet® fajlagos ellenállásának nevezzük (hiszen láthatólag ennek növekedése csökkenti az ára-mot). Ennek mértékegysége Vm/A (volt·méter/amper). Vezet® fémekre 10−8 Vm/A körüli értéke tipikusak (deezen belül arany fajlagos ellenállása 10× kisebb az acélnál), míg szigetel®kre, például üvegre értéke 1010−14

Vm/A. Ennek magyarázata az, hogy el®bbi anyagban sok a szabad elektron, és ezek szinte akadálytalanul ára-molhatnak. Többnyire a fajlagos ellenállás a h®mérséklettel n®, hiszen ekkor a h®mozgás jobban lassítja azelektronokat. Érdemes megemlíteni, hogy vannak félvezet® jelleg¶ anyagok is, amelyek ellenállása jelent®senfügg egyéb körülményekt®l: alapesetben kevés a szabad (vezethet®) elektron bennük, de energia (például h®)hatására az elektronok nagy mennyisége szabaddá tehet®, így az anyag jó vezet®vé változik.

2.2.3. Az Ohm-törvény, az elektromos teljesítmény

Amennyiben egy konkrét, L hosszúságú és A keresztmetszet¶ tárgyról beszélünk, akkor ennek deniálhatjukaz R = ρL/A ellenállását, amelyet a fenti formulába helyettesítve az Ohm-törvényt kapjuk:

U = RI (2.13)

azaz egy I áramot szállító R ellenálláson U mértékben csökken a feszültség. Az ellenállás jele tehát R, mértékegy-sége pedig ohm, amit írásban Ω-val jelölünk, és deníciója Ω=V/A. Miután ebb®l I = U/R adódik, így nagyonkicsi ellenállásra feszültséget kapcsolva (azaz feszültségesést létrehozva) nagyon nagy áram keletkezik ez arövidzárlat jelensége. Az Ohm-törvény ezen viselkedése a második Newton-törvényéhez hasonlít: eszerint szinte

2.2. ELEKTROMOS FESZÜLTSÉG ÉS ELEKTROMOS ÁRAM 23

nulla tömeg¶ testre er®t kifejtve szinte végtelen gyorsulás jön létre. A feszültségesés tulajdonképpen az er®nekfelel meg, az ellenállás a tehetetlenségnek (tömegnek), míg az áram a gyorsulás párja ebben az analógiában.

Fontos jelenség, hogy miután az elektronokat a gyorsító elektromos tér ellenében egyfajta közegellenál-lás avagy bels® súrlódás lassítja, ez energiaveszteséghez vezet, amely h® formájában jelenik meg. Ezért azelektromos áram folyásához folyamatos energia-pótlásra van szükség. Ennek nagyságát úgy kaphatjuk meg, hagyelembe vesszük, hogy egy e töltés¶ elektron U feszültségen való áthaladása során eU energiára tesz szert.Ugyanakkor ha U feszültség hatására I áram folyik, akkor az ∆t id® alatt ∆Q = I∆t töltést mozgat át Ufeszültségen, ez pedig ∆W = UI∆t munkavégzésnek felel meg. Ez alapján a

P =∆W

∆t=U∆Q

∆t=UI∆t

∆t= UI (2.14)

eredmény adódik. Eszerint ha U feszültség hatására egy R ellenálláson I áram folyik, akkor az itt leadottteljesítmény:

P = UI = I2R = U2/R. (2.15)

Ez a törvény nagyon fontos, hiszen ez szabja meg az elektromos eszközök m¶ködtetéséhez szükséges energiát.Ha például egy 1 Ω ellenállású eszközt kötünk a 220 V feszültség¶ elektromos hálózatba, akkor azon 220 A áramfolyik majd, azaz az ez által felvett teljesítmény kb 48 kW lesz, ami egy óra alatt 48 kWh fogyasztást jelent -ennek kapcsán 2017-es árakon Magyarországon kb. 1800 Ft költség keletkezik. A háztartási eszközeink ellenállásaennél általában lényegesen nagyobb: egy 60 W teljesítmény¶ izzó például az R = U2/P összefüggés alapján kb.700 Ω ellenállással rendelkezik. A régebbi háztartási biztosítékok is ezen az elven m¶ködnek: ha túl nagy áramfolyik rajtuk, akkor ezzel négyzetesen arányos h® keletkezik, ami megolvasztja a biztosítékot, megszakítva azáram folyását. Ezzel védekezünk a rövidzárlat és az extrém nagy áram illetve teljesítményfelvétel kialakulásaellen.

Az elektromos energiát távvezetékeken szállítjuk, pontosabban két különböz® feszültség¶ vezetéken. Erreminden fogyasztó rákapcsolódhat, energiát vételezve. Ugyanakkor a fogyasztóhoz az esetenként több tíz vagyszáz kilométerre lév® er®m¶b®l kell elvinni az elektromos energiát. Bár a távvezeték fajlagos ellenállása kicsiny,de összességében az ellenállása mégis nagy, az R = ρL/A összefüggés és a vezeték nagy L hossza miatt. ÍgyP = I2R miatt jelent®s teljesítményt veszítünk a távvezetéken. Ezt úgy lehet elkerülni, ha a vezetékben folyóI áramot valahogy lecsökkentjük. Hogyan érhet® ez el? Különböztessük meg a távvezetéken hosszában es® Utfeszültséget, és a vezetékek közötti, a fogyasztó által használt Uf feszültséget. A fogyasztóhoz eljutó teljesít-mény Pfogy. = UfI, míg a távvezetéken elvesz® teljesítmény Pveszt. = I2R = U2

t /R (az áram a két esetbenazonos). Míg Pfogy. értékét nem akarjuk csökkenteni, Pveszt. értékét igen: ez Uf növelésével érhet® el, hiszenekkor I csökken, és így Pt is csökken. Ezért tehát a távvezetékeken 220 V-nál lényegesen (akár százezerszer)nagyobb feszültség folyik, viszont igen kicsiny az áramer®sség. Ezeket a fogyasztóhoz közel transzformálják átnagyobb árammá és kisebb feszültséggé.

2.2.4. Áramkörök

Az elektromos feszültség és áram felhasználásával különféle eszközöket tervezhetünk, amelyek sokféle fel-adatot láthatnak el, a lámpakapcsolótól az autó elektronikai rendszerén át a számítógépekben található tech-nológiáig. A legegyszer¶bb áramkörben egy feszültségforrás és egy ellenállás található, ennek m¶ködését azOhm-törvény szabályozza: U feszültség és R ellenállás esetén az áramkörben I = U/R áram folyik. Az ilyen(és más) áramkörök vizsgálatakor fontos elv (illetve közelítés), hogy a vezeték és a feszültségforrás ellenállásanulla, ezért csak magát az R ellenállást kell gyelembe vennünk. Ez azt is jelenti, hogy az egybefügg® vezetékvégig azonos feszültségen van, hiszen ha lenne rajta feszültségesés, akkor végtelen nagy áram jönne létre. Abonyolultabb szerkezet¶ áramkörök viselkedését két egyszer¶ törvény segítségével határozhatjuk meg. Ezek aKirchho-törvények, amelyek egyébiránt szinte triviális állításokat mondanak ki:

1. Egy csomópontban a be- és kifutó áramok összege nulla mivel az áram (a töltés) nem veszik el2. Ha végigkövetjük egy zárt vonal (hurok) mentén a feszültség változását, akkor összességében nullát kapunk

hiszen a feszültség lényegében az ekvipotenciális felületek szintjében bekövetkez® változás, de mostugyanabba a pontba értünk vissza, tehát ebben nincs változás.

El®bbi egyszer¶en az elektromos töltés megmaradását jelenti, utóbbi pedig ahhoz az állításhoz hasonló, miszerintegy olyan hegyi túrán, amelynek során a kiindulási pontba érkezünk vissza, összesen ugyanannyit mentünk fel,mint amennyit le.

Két egyszer¶ áramkör esetén ezen törvényekkel könnyen kiszámolható a kialakuló áramok és feszültségeknagysága:

24 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

A baloldali ábrán két ellenállás párhuzamos kapcsolása látható, a számolás alapján ekkor az összesített ellen-állás 1/R = 1/R1 +1/R2 módon adódik két párhuzamosan kapcsolt ellenállás így eggyel helyettesíthet®. Soroskapcsolások esetén pedig R = R1 + R2 adódik az összesített ellenállásra. Érdekes látni, hogy több ellenálláspárhuzamos kapcsolása esetén a teljes ellenállás csökken, mivel több lehet®sége van az elektronoknak mozog-ni. Gyakorlásnak érdemes végiggondolni, hogy mi történik, ha kondenzátorokat helyezünk el az áramkörben ezekre az Ohm-törvény helyett az U = Q/C törvényt kell alkalmazni, ahol Q a kondenzátor két felén megje-len® töltések nagysága (természetesen az egyik oldalon +, a másikon − el®jellel). Figyelembe kell venni, hogykezdetben a vezeték minden pontja semleges, így két sorosan kapcsolt kondenzátor töltése azonos kell, hogylegyen, míg párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok esetén a feszültség azonos. Emiatt végül az adódik, hogypárhuzamos kapcsolás esetén a kapacitások összeadódnak (C = C1 + C2), míg soros kapcsolás esetén inverzenadódnak össze (1/C = 1/C1 + 1/C2).

2.3. Mágneses tér és hatásai

Kísérlet: vas mágnesezése

• A normál mágnes vonzza a mágnesezhet® anyagokat, például a vasszöget. Ha ennek súlya nem túl nagy,vagy a mágnes elég er®s, akkor a gravitáció ellenében meg tudja tartani, akár egy nagyobb vasdarabot is.

• Ekkor a vasdarab mágnessé válik, és vonzani tud más tárgyakat, kis gemkapcsokat meg is tud tartani.• Ha elvesszük az eredeti mágnest, a vasdarab is elveszti mágnesességét, a gemkapcsok leesnek. Mindezenjelenségek magyarázatát lásd alább.

2.3.1. Mágnesesség

Ókori, s®t, talán ®skori tapasztalat, hogy mágneses fémdarabok léteznek, amelyek vonzzák vagy taszítjákegymást, továbbá a Föld égtájainak megfelel®en állnak be maguktól. A mágnesek mind dipólusok, a két pólusukaz északi és a déli nevet viseli: az északi pólus mindig észak felé szeret fordulni, míg a déli dél felé. Egy mágnestkettévágva újabb dipólust kapunk, a tapasztalatok szerint mágneses monopólus nem létezik! A mágneses térjele B, mértékegysége tesla (T ). A Föld mágneses tere nagyságrendileg 30 µT, tipikus h¶t®mágnesek tere 5 mT(a mágneshez nagyon közel), hangszóró mágnes tere 1 T, míg az orvosi MRI készülékek mágneses tere néhánytesla.

Az anyagok mágnesességét az atomok spinje azaz egyfajta forgása okozza: minden spinnel rendelkez®atom kis dipólusként képzelhet® el (ahogy ezt majd kés®bb levezetjük). Ezek alapesetben véletlenszer¶en rende-zettek, mágneses tér hatására azonban egy irányba forgathatóak. Ez a paramágnesesség jelensége. Amennyibena rendezettség a mágneses tér hiányában is megmarad, az anyag mágnessé válik, ez a ferromágnesesség. Ez azú.n. Curie-h®mérséklet fölött (a h®mozgás miatt) megsz¶nik a hétköznapi mágnesek esetén ez jóval magasabb,mint a szobah®mérséklet (pl. vasra 1000 K körül van).

2.3. MÁGNESES TÉR ÉS HATÁSAI 25

2.3.2. A Lorentz-er® és a mágneses nyomaték

Oersted 1819-ben vette észre, hogy az áram hatással van az irányt¶kre, tehát az áram mágneses teret hozlétre. 1892-ben Lorentz megállapította, hogy a mágneses tér is hat a mozgó töltésekre illetve az áramra. Ezdeniálja tulajdonképpen a mágneses teret (ahogy az F = qE formula az elektromos teret), a Lorentz-er®:

#»

F = q #»v × #»

B (2.16)

mértékben, ahol × a keresztszorzat jele. Az er® tehát akkor maximális, ha a sebesség mer®leges a mágnesestérre, nagysága egyébként egy sin(α) faktorral csökken, ekkor F = qvB sin(α). Ha párhuzamos a sebesség és amágneses tér, akkor az er® nulla. Ez jelent®sen el®segíti a Földi élet fennmaradását, hiszen emiatt a világ¶rb®lérkez® kozmikus részecskék csak a Föld pólusainál jelennek meg, a többi helyen eltéríti ®ket a Föld mágnesestere. A pólusoknál ezek a részecskék hozzák létre a sarki fényt. Ez az er® mindig mer®leges a sebességre, ezérta sebességre mer®leges mágneses tér körmozgást hoz létre, ekkor a Lorentz-er® éppen a centripetális er®t adjamajd. Miután a centripetális er® nagysága mv2/r, ami itt qvB, ezek egyenl®ségéb®l adódik a pálya sugara:r = p/qB (ahol p = mv az impulzus).

Hasonlítsuk össze a fenti törvényt az#»

E elektromos tér q töltésre ható#»

F = q#»

E erejével! Láthatólag nagyonhasonló itt is az er® és a tér kapcsolata, csak egy sebességgel való keresztszorzás megjelenik az elektromos teretpedig a mágnesesre kell cserélni. Ha lennének mágneses töltések, azokra éppen fordítva lehetne felírni az er®ket de nincsenek. Azt ugyanakkor a kés®bbiekben is meggyelhetjük majd, hogy az elektromos és a mágnesesjelenségek alaptörvényei igen hasonlóak, csak néha egy sebességgel való keresztszorzást a mágneses esetben bekell írni az adott formulába. Ezt gyelhettük meg fent is, és kés®bb, a töltések mágneses tere esetében is.

Megállapíthatjuk azt is, hogy áramjárta vezet®re a benne mozgó töltések miatt Lorentz-er® hat. Mindentöltésre egyforma er® hat, így ez összességében q #»v × #»

B, ha q töltés van összesen ebben a vezet® szakaszban.Ha ezt egy

#»

l vektorral írjuk le, akkor itt a q #»v vektor a I#»

l vektorral helyettesíthet® (ez az áramról szólószakasz elején írtakból is látható, de a mértékegységek vizsgálata is ezt támasztja alá: C·m/s = C/s·m). Így azáramjárta,

#»

l vektorral jellemezhet® vezet®re ható er® l

#»

F = I#»

l × #»

B. (2.17)

Ha egy áramjárta hurkot hozunk létre, akkor ennek minden kis szakaszára is a fenti er® hat majd. Miután a hurokönmagában végz®dik, így az er®k összege nulla lesz (hiszen a

#»

B-vel való szorzás kiemelhet®, ahogy I is, így akis

#»

l vektorok összegét kell venni, ami a körbeérés miatt éppen nulla). Ugyanakkor az er®k forgatónyomatékaösszesen nem lesz nulla, ahogy azt egy téglalap alakú hurok esetén alább be is láthatjuk. Álljon a hurok α szögbena mágneses térhez képest. Ekkor a k hosszúságú oldalakra vízszintes Fk er® hat majd, méghozzá egyforma, deellentétes irányú. Ezen Fk er®k hatásvonala is egybeesik (a k szakaszok közepér®l indulnak, az ®ket összeköt®szakasszal párhuzamosan), így ezek forgatónyomatéka is összesen nulla. Az l hosszúságú szakaszokra ható er®kazonban különböz® vonalban hatnak, így ezek forgatónyomatéka összesen nem nulla lesz. Ha a forgatónyomatékota hurok középvonalára (mint tengelyre) nézve írjuk fel, akkor az er®kar nagysága k cos(α)/2 lesz (amit úgy ismegkaphatunk, ha a forgatónyomaték nagyságát | # »

M | = | #»r × #»

F | = rF sin(90−α) = rF cosα módon számoljuk,hiszen az er® és karja 90 − α szöget zárnak be). Azt is megállapíthatjuk, hogy az l hosszúságú szakaszokraható er® Fl = IlB (hiszen

#»

l ⊥ #»

B). Két ilyen er® hat, így összesen M = 2Flr lesz a forgatónyomaték, ésösszesítésben a forgatónyomaték

# »

M = I#»

A× #»

B, ahol#»

A a hurok felületi mer®legese. Ezt a levezetést illusztráljaaz alábbi ábra:

26 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

A fenti forgatónyomaték akkor nulla, ha a felületi mer®leges és a tér párhuzamosak, azaz a tér éppen átmegy azáramhurok kijelölte felületen. Az áramhurok tehát kis mágneses dipólusként és irányt¶ként viselkedik, a mágne-ses tér a saját irányába forgatja ®t. Az atomokban kering® és forgó elektronok is egyfajta áramhurkot hoznaklétre (ez az atomok spinje), ez okozza az anyagok mágnesességét. A #»µ = I

#»

A vektort mágneses nyomatéknaknevezzük, a szakasz elején lév® ábrán ezt jelöli az atomhoz rajzolt nyíl. Az atomra ható forgatónyomaték ekkor# »

M = #»µ × #»

B, ez forgatja be az atom spinjét a mágneses tér irányába, illetve összességében az irányt¶t is (azegyes atomoknál fogva).

2.3.3. A mágneses uxus és Gauss-törvény

Az elektromossághoz hasonlóan itt is bevezethetjük az er®vonalak fogalmát, amelyekre pontosan ugyanazoka szabályok érvényesek, mint az elektromos er®vonalakra: irányuk a mágneses tér irányát jelzi, s¶r¶ségül pediga mágneses tér nagyságát. Továbbá ugyanúgy bevezethetjük a mágneses uxust is:

sík felületre ΦB =#»

B#»

A, illetve tetsz®leges felületre ΦB =

∫#»

B# »

dA. (2.18)

A Gauss-törvény itt még egyszer¶bben levezethet®. Miután az er®vonalak csak töltésekben végz®dhetnek vagyazokból indulhatnak, mágneses töltések (monopólusok) viszont nincsenek; így a mágneses er®vonalak mindigönmagukba záródnak, vagy a végtelenb®l a végtelenbe tartanak. Ezért minden zárt felületbe ugyanannyi er®vonalmegy be, mint amennyi ki, így zárt felület mágneses uxusa mindig nulla. Ez egyenlettel így fogalmazható meg:

ΦB,zárt =

∫zárt

#»

B# »

dA = 0. (2.19)

Kísérlet: feszültség keltése mágnes mozgatásával

• Vegyünk egy vezet® hurkot, vagy több egymás utáni hurkot, azaz tekercset.• Mozgassunk a tekercs mellett egy mágnest, változtatva a tekercsnél észlelhet® mágneses teret.• A tekercsben feszültség jön létre, amelyet voltméterrel könny¶szerrel kimutathatunk!• Ez a mágneses indukció jelensége, amelyet a következ® szakaszban tárgyalunk.

2.3.4. Mágneses indukció

A fenti kísérlet azt mutatja, hogy változó mágneses tér hatására feszültség jön létre. A legegyszer¶bb példaaz, ha a fentieknek megfelel®en mágnest mozgatunk egy tekercsben, vagy ha egy tekercset mozgatunk helyfügg®mágneses térben. Egy zárt hurok alakú, A felületet körbezáró vezet®ben a mágneses tér változása során indukáltfeszültség nagyságát a Faraday-törvény adja meg:

Uind = −dΦBdt

= −AdBdt., illetve a feszültség denícióját ismerve

∫zárt

Edl = −dΦBdt

= −AB (2.20)

Ha nem egy áramhurok van, hanem N darab, azaz egy N menetes, A keresztmetszet¶ tekercs, akkor mindenegyes hurkon a fenti feszültség indukálódik. Végeredményben a teljes tekercsen létrejöv® feszültég is N -szerakkora lesz:

Uind = −N dΦBdt

= −N dΦBdt

= −NAdBdt. (2.21)

Váltakozó, B = B0 sin(ωt) jelleg¶ mágneses tér esetén a tekercsben Uind = −NAB0ω cos(ωt) feszültség induká-lódik, azaz az indukált feszültség amplitúdója U0 = NAB0ω módon függ össze a mágneses tér amplitúdójával.

2.4. A MÁGNESES TÉR FORRÁSAI 27

Ezt használja ki rengeteg hétköznapi eszköz, többek között a dinamó vagy a generátor: ez a forgási energiát(amelyet egy kerék vagy egy turbina forgása szolgáltat) feszültséggé, azaz elektromos energiává konvertálja.Az indukciós f®z®lap m¶ködésének alapja is ez a törvény: egy elektromágnes változó mágneses teret kelt, ezfeszültséget indukál az edény aljában (ezért nem m¶ködik a f®z®lap tetsz®leges edénnyel), ami áramot hozlétre, ez pedig h®leadással jár, tehát az edény felforrósodik. Ugyanígy, a hibrid és elektromos autók fékezéskorm¶ködésbe lép® energia-visszanyer® rendszere is ezt használja ki, de így m¶ködött régen (a GPS elterjedéseel®tt) a biciklik sebességmér®je is (a generált feszültség a kerék forgásával, azaz a sebességgel n®).

Amennyiben a létrejöv® (indukált) feszültséget hasznosítani akarjuk, akkor áramot kell termelnünk vele. Ezaz áram viszont mágneses teret hoz létre (ahogy azt majd a következ® szakaszban láthatjuk): természetesenez a létrejöv® mágneses tér fékezi azt a mágnest, ami a feszültséget indukálta, azaz negatív visszacsatolás jönlétre. Ha nem így lenne, ingyen tudnánk áramot termelni: egy alacsony súrlódású kereket jól megpörgetve ésrá mágnest szerelve. Például ha egy mágnest mozgatunk egy tekercsbe befelé, növelve ezzel a mágneses teret,akkor a tekercsbeli mágneses uxus növekszik. Ez feszültség indukál a tekercsben, aminek hatására áram folyikbenne. Ez az áram, ahogy majd a következ® szakaszban látjuk, mágneses téret hoz létre, ami fékezi a mágnesbefelé haladását.

Ezt Lenz-törvénynek nevezzük, és ezt fejezi ki a fenti egyenletekben a negatív el®jel. A Lenz-törvényt precí-zebben úgy fogalmazhatjuk meg, hogy az indukció során létrejöv® hatás ellentétes az ®t létrehozó okkal. Tehát amágneses tér változása feszültséget indukál, a feszültség áramot kelt, ami mágneses teret hoz létre: ez a létrejöv®mágneses tér gyengíti az eredeti mágneses teret, azaz negatív visszacsatolás jön létre. Ha nem így lenne, azazez a mágneses tér hozzáadódna az eredetihez (és er®sítené azt), akkor az még nagyobb indukciót hozna létre, azmég nagyobb mágneses teret, és így tovább: pozitív visszacsatolás jönne létre. A Lenz-törvény tehát az indukciósorán létrejöv® negatív visszacsatolást mondja ki. Különféle energia-visszatápláló rendszerek (pl Forma1-benKERS) m¶ködését befolyásolja ez, hiszen ha nem így lenne, örökmozgót építhetnénk, ahogy a bekezdés elejénis említettük. Továbbá a Lenz-törvényre épül a buszok és kamionok elektromos fékez®rendszere, a retarder. Ahagyományos fékkel ellentétben ez nem melegszik annyira fel, és fékez® hatása jobban szabályozható.

2.4. A mágneses tér forrásai

Ugyan már láttuk, hogy a mágnesesség magyarázata az atomok spinjében rejlik, de ennek okát még egyáltalánnem értjük. A f® kérdés tehát az, hogy mi hozza létre a mágneses teret. Azt már láttuk, hogy az elektromos teretaz elektromos töltések hozzák létre, és egy töltés elektromos tere t®le r távolságban

#»

E = 14πε0

Q #»r /r3. Mágnesestöltések azonban nincsenek, így nem világos, hogy ezt hogyan lehetne a mágneses tér esetére átültetni.

Kísérlet: elektromágnes

• Egy vasdarabot mágnessel mágnesezhetünk, de egy tekercsre egyenáramot kötve szintén magához tudvonzani kis fémtárgyakat: a tekercs a mágneshez hasonló teret hoz létre, ez az elektromágnes.

• A mágneses tér forrása tehát az áram, ez a magyarázata annak, hogy az atomok spinjük miatt (egyfajtaköráramként viselkedve) mágneses teret hoznak létre, amely az atomok egy irányba rendez®dése eseténmakroszkopikus méreteket ölt.

2.4.1. Mozgó töltések és az áram mágneses tere

A fenti kísérletb®l az derül ki, hogy a mágneses teret a mozgó elektromos töltések hozzák létre. Pontoskísérletek alapján megállapíthatnánk, hogy egy v sebességgel mozgó Q töltés mágneses teret kelt, amelyneknagysága a töltést®l vett #»r helyen

B =µ0

4π

Qv

r2, illetve vektorosan

#»

B =µ0

4π

Q #»v × #»r

r3(2.22)

Figyeljük meg a hasonlóságot a ponttöltés keltette elektromos térrel: itt 1/ε0 helyett µ0 = 4π10−7 Tm/A (vagyVs/Am) a vákuum mágneses permeabilitása szerepel. Ha nem vákuumban vagyunk, akkor ehelyett µ = µrµ0-tkell írnun, ahol µr az adott közeg relatív permeabilitása. A törvényben ezen felül Q #»r helyett Q #»v × #»r -t kellírnunk, hiszen csak mozgó töltés kelt mágneses teret. A tér akkor maximális, ha a töltés sebességére mer®legesirányban vizsgáljuk; a sebesség irányában pedig (a keresztszorzás tulajdonságai miatt) a mágneses tér nagyságanulla.

Ez alapján felírhatjuk egy innitezimálisan kis (dl) hosszúságú, I áramot vezet® szakasztól r távolságra mértmágneses teret is, ekkor a Biot-Savart törvényt kapjuk. Itt Q #»v helyett I

#»

dl szerepel, hasonlóan a Lorentz-er®nél

28 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

mondottakhoz. A törvény így írható fel:

dB =µ0

4π

I#»

dl × #»r

r3, (2.23)

Egy nem innitezimális vezet® l szakaszra integrálással kapjuk meg ennek mágneses terét (t®le r távolságra):

B =µ0

4π

∫l

Idl × rr3

. (2.24)

Ezzel a törvénnyel néhány egyszer¶ esetben kiszámíthatjuk a mágneses teret. Például egy R sugarú, I áramotvezet® hurok tere a kör közepén abból adódik, hogy a körvezet® minden egyes kis szakasza R távolságra van aközépponttól, így mindegyik kis dl szakasz mágneses tere µ0

4πIr2 dl. Ezt ha integráljuk, akkor a dl el®tti tényez®k

mind állandóak az összes szakaszra, így dl helyett a kör kerületét írhatjuk be, 2Rπ értéket. A végeredményB = µ0I

2R . A kört®l felületére mer®leges r távolságra is kiszámítható a mágneses tér nagysága: erreB = µ0IR2

2(R2+r2)3/2

adódik (gyelembe véve, hogy a kör minden kis innitezimális szakasz-elemének mágneses tere ugyanolyan nagy,csak az irányuk más (

#»

dl és #»r irányára mer®leges). Ebb®l az is kiderül, hogy egy kis, R sugarú (azaz A = R2πfelület¶) köráramtól méreténél sokkal nagyobb, r R (a felületre mer®leges irányban vett) távolságra a tér

B =µ0IR

2

2r3=µ0IA

2πr3. (2.25)

Itt vegyük észre a hasonlóságot az elektromos dipólus terével csak itt a qd dipólus-nyomaték helyett azáramhurok µ = IA mágneses nyomatéka jelenik meg. Ez a formula adja meg tehát a µ mágneses nyomatékkalrendelkez® atom mágneses terét is!

2.4.2. Az Ampère-törvény

A fenti törvényben szerepl® integrálást egy egyenes vezet®re is el lehet végezni az integrálást. Legyen a hossza2a, ekkor a mágneses tér a közepét®l r távolságra B = µ0I

4π2a

r√a2+r2

lesz. Ebb®l a r esetén (azaz nagyon, ideálisesetben végtelen hosszú egyenes vezet®re)

B =µ0I

2πr. (2.26)

adódik. A mágneses tér iránya pedig a jobbkéz-szabálynak megfelel® lesz: ha jobb kezünk hüvelykujját az áramirányába fordítjuk, akkor behajlított (kört formázó) ujjaink éppen a mágneses tér irányát jelölik ki. A mág-neses tér tehát körkörösen körbeöleli az ®t létrehozó áramot. Ebb®l egy érdekes következtetést vonhatunk le:ha az I áramot szállító vezet® köré képzelt körre kiintegráljuk a mágneses teret, azaz ezen a körön vesszük az∫ #»

B#»

dl kifejezés értékét, akkor (miután a mágneses tér párhuzamos a dl szakasszal, és minden pontban azonos,B = µ0I/(2πr) nagyságú) éppen µ0I lesz az eredmény (hiszen a 2πr a kör kerületével szorozva kiesik). Az az ér-dekesség derül ki, hogy ez nem csak kör alakú, hanem minden zárt görbére igaz lesz, és az így kimondott törvénytAmpère-törvénynek nevezzük Eszerint a mágneses tér elárulja az ®t létrehozó áramer®sséget, konkrétabban zárt(képzeletbeli) hurokra, amelyen I áram folyik keresztül:∫

zárt

#»

B#»

dl = µ0I. (2.27)

Tulajdonképpen∫Bdl helyett írhatnánk UB mágneses feszültséget (az elektromos feszültség

∫Edl deníciójához

hasonlóan), amellyel a törvény tömören UB = µ0I alakot ölt. Ez részben hasonlít a Faraday-féle indukcióstörvényre, ám ott áram helyett a mágnes uxus szerepel. Ezt az analógiabeli hibát fedezte fel Maxwell, ésmegállapította, hogy ha van változó elektromos uxus is, akkor az úgynevezett eltolási áramot is gyelembekell venni, melynek mértéke a ΦE elektromos uxustól függ. Ez módosítja a fenti törvényt, az ezt is magábafoglaló alak:

UB =

∫zárt

#»

B#»

dl = µ0

(I + ε0

dΦEdt

). (2.28)

Hasonlítsuk ezt össze a Faraday-féle indukciós törvénnyel: B-t és E-t kicserélve lényegében ugyanazt kapjuk (azelektromos áramtól eltekintve, ugyanis mágneses áram mágneses töltések híján nem létezik).

Lássuk az Ampère-törvény egy egyszer¶ alkalmazását! Ha sok hurkot kötünk össze, akkor tekercset kapunk,azaz tulajdonképpen egy elektromágnest. Ebben megkaphatjuk a mágneses teret, ha egy képzeletbeli, a tekercsen

2.4. A MÁGNESES TÉR FORRÁSAI 29

átmen® zárt hurkot rajzolunk. A küls® részen kicsi a mágneses tér (jó közelítéssel), így annak járuléka 0. Belülpedig l hosszan megy a vonal (ha a tekercs l hosszú), és mivel itt nagyjából állandó a mágneses tér, illetve azárt hurkon átfolyó áram összesen a menetszám szorozva az áramer®sséggel (NI), így a mágneses tér az erre azesetre alkalmazott Bl = µ0NI Ampère-törvényt kihasználva adódik:

Btekercs = µ0NI

l. (2.29)

2.4.3. Önindukció és transzformátor

Az indukció és az Ampère-törvény összesítéseként azt láthatjuk, hogy két tekercs tud egymásra hatni: azegyikben folyó változó áram változó mágneses teret hoz létre, ez pedig a másikban feszültséget indukál, azazebben is áram fog folyni ez a transzformátor m¶ködésének lényege. Itt az egyik tekercsben váltakozó áramfolyik, azaz I = I0 sin(ωt). Az ennek hatására létrejöv® mágneses tér is váltakozik, így a mágneses uxus is.Ez a váltakozó mágneses uxus feszültséget indukál a másik tekercsben, és mivel a uxus megegyezik (a kéttekercs zikailag egyben van), így: U1 = N1Φ, U2 = N2Φ, U1/N1 = U2/N2. Ezzel tehát a nagyfeszültség kicsivétranszformálható (miközben az áram megn®, és a P = UI teljesítmény összességében csak kicsit csökken le).

Valójában egy tekercs is vissza tud hatni így önmagára, ez az önindukció. Ha a tekercsben I = I0 sin(ωt)áram folyik, akkor ez a korábbiaknak megfelel®en B = µ0NI/l = µ0NI0 sin(ωt)/l mágneses teret hoz létre. Eza mágneses tér feszültséget indukál:

Uind = N ΦB = NAB = µ0N2AI

l= LI = ωLI0 cos(ωt), (2.30)

azaz a feszültség amplitúdója U0 = ωLI0 lesz, ahol bevezettük a tekercs L = AN2/l önindukciós együtthatóját.Mivel az I0 amplitúdójú áramhoz U0 = ωLI0 feszültség kapcsolódik, ezért ez olyan, mintha a tekercsnek egyfajtaellenállása (valójában impedanciája) lenne, amelynek mértéke ωL. Egyenáram (ω = 0) esetén ez nulla (erreszámítunk, hiszen egyenáram esetén a tekercs egy nulla ellenállású vezetékdarab, csak a váltóáram és ennekmágneses tere okozhat mást).

Korábban már említettük a kondenzátor 1/ωC ellenállását, és most látjuk, hogy egy tekercs is hasonlóanviselkedik, ωL ellenállása van. A tekercs és a kondenzátor kicsit valójában máshogy viselkedik, mint egy kö-zönséges R ellenállás, ezért a fenti értékeket nem ellenállásnak, hanem impedanciának hívjuk. Érdekes, és azelektrotechnikában fontos áramkör az RLC-kör, amely egy sorba kapcsolt feszültségforrásból, ellenállásból éskondenzátorból áll. Ennek ω = 1/

√LC sajátfrekvenciája van, így ilyen körfrekvenciájú feszültséget kapcsolva

rá azt igen feler®sít®. Az áramkör csillapítása ζ = R√C/2√L lesz, és pontosan az el®z® félévben a harmonikus

rezgéseknél tárgyaltaknak megfelel® csillapított rezgés jön rajta létre.

2.4.4. Váltakozó áram¶ áramkörök

A valóságban létrehozott elektromos hálózatban a feszültség nem konstans (azaz nem állandó feszültségr®lvan szó), hanem id®ben szinuszosan változik, azaz U = U0 sin(ωt), ahol ω = 2πf , és f = 50 Hz a hálózati frek-vencia. Ez a 19. század végén alakult ki, és két okból praktikus: egyrészt a váltakozó feszültséget könny¶ transz-formálni (lásd a távvezetékeken elvesz® teljesítményr®l illetve a transzformátorról szóló szakaszokat), másrészt azer®m¶vekben könny¶ eleve váltakozó feszültséget el®állítani. Ilyen hálózatokban a feszültség amplitúdója helyettannak eektív (átlagos) értékér®l beszélünk, ez Ueff = 230 V (korábban 220 V). Ez a feszültség úgy adódik, hogyegy R ellenálláson ekkora egyenletes feszültség esetén veszne el ugyanakkora teljesítmény. Miután a teljesítménynégyzetesen függ a feszültségt®l, azaz P = U2/R = U2

0 sin2(ωt)/R, ennek átlaga Pátl = U20 /(2R) miután a sin2

függvény átlaga egy perióduson 1/2. Miután Ue deníciója az, hogy Pátl = U2e/R, így Ue = U0/

√2. A 230

voltos hálózaton a feszültség amplitúdója valójában kb. 325 volt.

Ilyen váltakozó áramú áramkörökben kicsit máshogy viselkednek az áramköri elemek. Egy állandó feszültségalatt lév® kondenzátoron (lévén a két lapja nem érintkezik) nem folyik áram, azonban váltakozó feszültség eseténa két lap elektromos tere kölcsönhat, és virtuálisan átfolyik az áram a kondenzátoron, méghozzá a feszültségcsökkenése mellett. A feszültségesés arányos az áramer®sséggel, ez tehát olyan, mintha a kondenzátornak lenneellenállása. Ennek mértéke (ha a kapacitás C) 1/ωC, ahol ω = 2πf , és f az áramkör frekvenciája. Ezt onnanlehet belátni, hogy a kondenzátoron folyó áram nagysága I = Q = CU , tehát itt U = U0 sin(ωt) esetén azáram amplitúdója I0 = CU0ω, azaz U0 = I0/ωC. Ez olyan, mintha a tekercsnek 1/ωC ellenállása lenne (v.ö. azOhm-törvénnyel) Egyenáram esetén f → 0, tehát itt az ellenállás végtelenhez tart (ahogy azt várjuk is, hiszenegyenáram nem tud átfolyni a kondenzátoron).

Az önindukció következménye, hogy váltóáramú áramkörben a tekercsnek is lesz egy ellenállás-jelleg¶ tu-lajdonsága, amely a tekercsben indukálódó ellentétes irányú feszültség következménye. Az ohmikus ellenállás

30 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

mellett a tekercs induktív ellenállásáról szokás tehát beszélni, ennek mértéke pedig (ha a tekercs önindukciósegyütthatója L) Lω. Szemléletesen a nagy önindukciós együttható a tekercsben változó áram hatására nagyobbmérték¶ ellenfeszültséget indukál, hasonlóan a frekvencia növelése is, hiszen így a tekercsben változó mágnesesuxus fog gyorsabban változni.

2.5. Elektromágneses hullámok

2.5.1. A Maxwell-egyenletek

A fentiekben megismertük az elektromosság és a mágnesesség alapvet® törvényeit. Ezek közül a négy leg-lényegesebbet foglalja össze a Maxwell-egyenletek rendszere. Ezekben felhasználjuk az elektromos és mágnesesuxus illetve a feszültség

ΦE =

∫EdA , ΦB =

∫BdA , UE =

∫Edl , UB =

∫Bdl (2.31)

denícióit. Ezekkel

Elektromos Gauss-törvény, zárt felületre: ΦE =Q

ε0(2.32)

Mágneses Gauss-törvény, zárt felületre: ΦB = 0 (2.33)

Faraday-féle indukciós törvény, zárt hurokra: UE = −dΦBdt

(2.34)

Ampère-törvény az eltolási árammal, zárt hurokra: UB = µ0I + µ0ε0dΦEdt

(2.35)

Ugyanezek felírhatóak töltések és áram hiányában (azaz a I = 0, Q = 0 feltételek mellett), a uxusra és afeszültségre vett deníciókkal együtt. Ekkor az alábbi szimmetrikus alakot kapjuk:

∮EdA = 0 (2.36)∮BdA = 0 (2.37)∮Edl = −

∫A

dB

dtdA (2.38)∮

Bdl = µ0ε0

∫A

dE

dtdA (2.39)

Az egyenleteinket átalakíthatjuk integrálformából dierenciális formába, amelyhez kell a∇ = (∂x, ∂y, ∂z) vektor-operátor fogalma, amelynek három komponense a tér három dimenziója szerinti deriválás. Ebb®l származtathatóa divergencia és a rotáció fogalma, amelyet vektormez®kre vonatkoztatunk (ezek olyan függvények, amelyekértéke minden pontban egy vektor):

• Vektormez® divergenciája: forráss¶r¶ség mértéke adott pontban, azaz a pont körüli felület uxusa (a vek-tor felületen vett integrálja) a felület által bezárt térfogattal osztva. Ha a vektormez® egyfajta sebességetjelképez, akkor ez az adott pontból történ® kifolyás vagy befolyás mennyiségét adja meg.

• A divergencia deníciója divE = ∇ · E, azaz a ∇ vektorral vett skaláris szorzat.• Vektormez® rotációja: örvényer®sség mértéke adott pontban, azaz a pont körüli görbe mentén vett in-tegrál a görbe által bezárt felülettel osztva. Ha a vektormez® egyfajta sebességet jelképez, akkor a rotációéppen azt adja meg, hogy az adott pont körül alakult-e ki örvénylés.

• A rotáció deníciója rotE = ∇×B, azaz a ∇ vektorral vett keresztszorzat.

Ezt illusztrálja az alábbi ábra, ahol a pirossal rajzolt felületen a kiáramlás adja a divergenciát, míg a kékkelrajzolt görbe mentén történ® áramlás a rotációt. Az els® esetben mindkett® nulla, a második eset divergens, aharmadik örvényes mez®t mutat.

2.5. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 31

A fent deniált mennyiségekre vonatkozik a matematikai Gauss-tétel, mely szerint egy E vektormez®re∮EdA =∫

divEdV , ha az zárt A felület a V térfogatot tartalmazza. Hasonló állítást fogalmaz meg a matematikai Stokes-tétel is: eszerint egy E vektormez®re

∮Edl =

∫rotEdA, ha az l zárt görbe az A felületet fogja körbe. Ezekkel a

fenti Maxwell-egyenleteket átalakíthatjuk, és integrálok helyett a divergencia és a rotáció szerepel majd bennük.

Az így átírt Maxwell-egyenletek az alábbi alakot öltik:

divE = 0 (2.40)

divB = 0 (2.41)

rotE = −B (2.42)

rotB = c−2E (2.43)

bevezetve a c2 = 1/(µ0ε0) konstanst. Az egyenletrendszert tovább egyszer¶síthetjük, és ekkor a következ® kéthullámegyenlet alakú dierenciálegyenlet jön i:

E − c2E′′ = 0, (2.44)

B − c2B′′ = 0, (2.45)

ahol a két pont az id®szerinti kétszeres deriválást, a két vessz® a tér szerinti kétszeres deriválást jelenti, és ezekaz egyenletek a térer®sségek minden komponensére (Ex, Ey, Ez) külön-külön érvényesek. Fontos továbbá, hogyvalójában a kétszeres tér szerinti deriválás helyett a ∆ = ∂2

x + ∂2y + ∂2

z Laplace-operátor jelenik meg, amely atér minden dimenziója szerinti kétszeres deriválások összege.

Miután a fenti egyenletek hullámegyenletek, ezek megoldása egy c sebességgel haladó hullám, tetsz®leges ffrekvenciával és λ = c/f hullámhosszal. A Maxwell-egyenletek eredeti alakjából következik továbbám hogy Eés B mer®leges egymásra és a haladás irányára, továbbá |E| = c|B|. A hullámviselkedés pedig térben és id®benperiodikus váltakozást jelent, és a hullám frekvenciája/hullámhossza tetsz®leges lehet. Ezt egyenes vonalbanterjed® hullám esetén az alábbiaknak megfelel®en illusztrálhatjuk:

Az elektromágneses sugárzás energiát is hordoz, az intenzitása (azaz a felületegységre es® teljesítmény) arányosaz amplitúdó négyzetével

I =P

A= ε0c

E20

2= µ0

B20

2. (2.46)

Kés®bb kiderül, hogy az energiát kvantumok hordozzák, a fotonok. Egy kvantum energiája E = hf , aholh = 6, 6× 10−34 m2kg/s, és a fény az összenergiájának megfelel® számú kvantumból áll, az intenzitás változásaesetén a kvantumok száma változik egyedül.

Ahogy már a hullámegyenletr®l szóló el®z® félévi fejezetben is láttuk, egy pontszer¶ forrás esetén a hullám-egyenlet megoldása egy, a forrástól bármely irányban távolodva 1/r mértékben csökken® amplitúdójú hullámotjelent. Mivel az intenzitás az amplitúdó négyzete, így pontszer¶ forrás esetén az intenzitás 1/r2 mértékben csök-ken. Ez azért sem meglep®, mert a P teljesítmény¶ forrás köré egyre nagyobb, 4r2π felület¶ gömböket rajzolvaaz ezeken észlelt intenzitás I = P

A = P4r2π lesz.

32 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

Kísérlet mikrohullámú analizátorral

• A Maxwell-egyenletek tehát kimondják, hogy léteznek elektromágneses hullámok: egy vezetékre szinuszo-san változó feszültséget kapcsolva lehet ®ket létrehozni, egy másik vezetékben pedig (az eredetit®l akárjelent®s távolságra is) ugyanolyan frekvenciájú feszültséget keltenek. Így m¶ködnek az elektromágneseshullámokkal kommunikáló eszközök,.

• A mikrohullámú analizátor a GHz-es tartományba es® frekvenciájú hullámokat észleli, és intenzitásukatméri.

• A mobiltelefon elektromágneses hullámai id®ben er®teljesen változó intenzitásúak: az adatokat csomagok-ban küldik és fogadják a készülékek. Ett®l függetlenül észlelhet®, ahogy egy mobiltelefontól egyre messzebbmenve az intenzitás a távolság négyzetének inverzével változik, azaz I ∼ 1/r2.

2.5.2. Az elektromágneses spektrum

A Maxwell-egyenletek alapján tehát az elektromos és a mágneses tér hullámszer¶en tud viselkedni, lecsato-lódhat az ®t létrehozó töltésekr®l és áramokról, és akár vákuumban is tovaterjedhet, c sebességgel. A hullámzáshullámhossza avagy frekvenciája tetsz®leges lehet. Az elektromágneses spektrum ezen hullámhosszakat öleli föl,amelyen belül különféle hullámtípusokat különböztetünk meg. Sugárzásról akkor beszélünk, ha a forrástól többhullámhossznyi távolságban vagyunk, ezért a 300 kHz alatti frekvenciatartományban (amely 1 km-nél is nagyobbhullámhosszat jelent) nem elektromágneses sugárzásról, hanem elektromos ill. mágneses térr®l beszélünk.

Efelett a sugárzásokat a frekvenciától függ®en különféle kategóriákba soroljuk. Elektromágneses hullám arádióhullám, a mikrohullám (azaz a mobiltelefon, a WiFi, a GPS, a mikrohullámú süt® m¶ködtetése soránkeletkez® sugárzás), a fény (az UV és az infravörös is), továbbá a röntgen- és a gamma-sugárzás is Az egyessugárzások frekvenciáját és hullámhosszát az alábbi táblázat foglalja össze:

Sugárzás típusa Frekvencia-tartomány HullámhosszAlacsony frekvencia < 300 kHz >1 kmRádióhullámok 0, 3− 300 MHz 1 m − 1 kmMikrohullámok 0, 3− 300 GHz 1 mm − 1 m

Infravörös 0, 3− 300 THz 1 mm − 800 nmLátható fény 350− 750 THz 400− 800 nmUltraibolya 0, 75− 30 PHz 10− 400 nmRöntgen 0, 03− 30 EHz 10 nm − 10 pmGamma > 30 EHz < 10 pm

Az alábbi ábra is ezt illusztrálja, bemutatva, hogy a légkör a rádióhullámokat elég jól átereszti, míg kevésbéátlátszó a mikrohullámú tartományban: a mobilhálózat antennáit ezért sokkal s¶r¶bben kell elhelyezni, minta rádióadókat. Efelett a látható fény tartományában átereszt® a légréteg, de az infravörös fényt visszaveri (ezaz alapja az üvegházhatásnak: a látható fény felmelegíti a talajt, a légkör vagy az üvegtet® pedig nem engediki a talaj infravörös tartományú h®sugárzását), ahogy az ibolyántúli sugárzást is (ez az élet fennmaradásaszempontjából fontos).

2.6. OPTIKA 33

2.6. Optika

2.6.1. A fény terjedése

Látható fényr®l kb. 350-750 nanométeres hullámhossz között beszélünk. Egyéb frekvenciájú hullámokra ishasonló törvények érvényesek bizonyos tartományokban, de mi csak a fényt vizsgáljuk. A fény ugyan foton-adagokban terjed, de jó leírása az egyenes vonalban terjed® hullám, adott λ hullámhosszal, c sebességgel ésf = c/λ frekvenciával. Ebben és a következ® szakaszban a fénynek az anyag jelenlétében mutatott viselkedésétvizsgáljuk.

Nem vákuumban, hanem anyagban (leveg®ben, vízben, üvegben) terjed® fény esetén a vákuum-állandókhelyett az anyagra jellemz®eket kell használni: ε0 → ε és µ0 → µ, ennek megfelel®en a sebesség

c2 =1

µ0ε0→ c′2 =

1

µε. (2.47)

Az anyag elektromos permittivitása és mágneses permeabilitása úgy alakul, hogy ε = εrε0 és µ = µrµ0, aholaz r indexes állandók az anyag relatív állandói. Ezek értéke szokásos anyagokra egynél nagyobb. Bevezetjük atörésmutatót a közegbeli fénysebesség alapján:

c′ =c

n, azaz n =

√εrµr =

√µε

µ0ε0. (2.48)

Anyagban tehát lassabban terjed a fény, minél s¶r¶bb (optikailag), annál lassabban. Nem mágneses anyagokraµr ≈ 1, tehát itt lényegében n ≈ √εr. A leveg® törésmutatója például n = 1, 0003, vízé 1, 333, üvegé és átlátszóm¶anyagoké tipikusan 1,5-1,6 között van. A törésmutató függ a fény hullámhosszától is (ezért bontja fel a fehérfényt komponenseire a prizma, illetve a szivárvány is hasonló okból jön létre), de (gyelembe véve a látható fénykeskeny frekvencia-tartományát) többnyire gyengén.

Két anyag határán a beérkez® fénysugár nem egyenesen halad tovább: ez a fénytörés jelensége. A haladásta beesési mer®legessel bezárt α szöggel jellemezzük. A fénytörést a Fermat-elv határozza meg: két pont közötta fény a lehet® leggyorsabban akar haladni, tehát nem a legrövidebb úton. Ebb®l az elvb®l levezethet® afénytörés törvénye, amely szerint ha a fény egy n1 törésmutatójú közegb®l érkezik a beesési mer®legessel α1

szöget bezárva, és a másik közeg n2 törésmutatójú, akkor az α2 továbbhaladási szögre az alábbi törvény lesz

34 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

igaz:

(2.49)

Ez azt jelenti, hogy s¶r¶bb közegbe érkezve az α beesési szög kisebb lesz (közelebb kerül a fénysugár a beesésimer®legeshez). Ezt a törvényt akkor értjük meg, ha feltesszük magunkban a kérdést, hogy a tóparton állva egyfuldoklót (t®lünk kicsit oldalirányban is eltávolodva) megpillantva hogyan rohannánk be hozzá. Biztosan nemaz egyenes út a leggyorsabb, hiszen ekkor a tóban túl nagy utat kellene megtennünk: praktikus az oldalirányútávolság egy részét a parton, futva megtenni. Tulajdonképpen éppen az így optimalizált utat teszi meg a fényis a fenti ábrán.

További következmény a teljes visszaver®dés.Ha n2 > n1, akkor sin(α2) = n1/n2 sin(α1) < 1 feltétel nemteljesül egy adott α1 felett. Ezen α1 felett nem lehetséges olyan α2, ami teljesíti a törési törvényt. Efeletti beesésiszög esetén teljes visszaver®désr®l beszélünk, ekkor a fénysugár nem tud behatolni a közegbe. Erre épül példáulaz optikai kábel, a fényvisszaver® prizma. Üveg-leveg® határon ez a szög kb. 41 fok.

További érdekesség, hogy leveg® törésmutatója függ a s¶r¶ségét®l, minél s¶r¶bb, annál nagyobb. Ez magya-rázza a délibáb jelenségét: a fény a lehet® leggyorsabban akkor halad, ha lemerül az alsó, ritkább, és ezértkisebb törésmutatójú közegbe. Itt gyorsan haladva b®ven behozza azt a késést, amit a magasságváltozás soránelszenvedett. Ezt illusztrálja az alábbi ábra is:

Kísérlet nagyít®lencsével

• A fentieknek megfelel®en leveg®b®l üvegbe vagy m¶anyagba lépve megtörik a fénysugár terjedési iránya:emiatt használhatunk lencséket. Egy lencse fókuszpontjához közelre fényforrást helyezve a lencsét®l távolierny®n a fényforrás pontos (és fordított) képe alakul ki.

• Ezt egyszer¶en reprodukálhatjuk egy lencsével és egy izzóval: a lencsét jól elhelyezve az izzó pontos képétkapjuk a szemközti falon. Így m¶ködik a projektor is például.

2.6.2. Geometriai optika

A geometriai optika a fénytörést kihasználó eszközök (tükrök, lencsék) m¶ködését írja le. Ezek az eszközökegy adott tárgyat képeznek le, annak egy képét hozzák létre úgy, hogy a tárgyról érkez® fénysugarak (vagyazok meghosszabbítása) metszi egymást. Ha a tárgyról érkez® sugarak metszik egymást, akkor ott egy erny®nfelfogható a kép: így m¶ködik a projektor vagy vetít®gép. Ha a sugarak nem metszik egymást, de a meghosszab-bításuk igen (azaz úgy t¶nik, mintha egy pontból jönnének), akkor virtuális képr®l beszélünk, ezt erny®n nemtudjuk felfogni, de a szemünkkel láthatjuk (és virtuális metszéspontban lev®nek látjuk a képet).

A geometriai optikában deniáljuk a tárgy T méret®t és t távolságát (az optikai eszközt®l), a kép távolsága k,mérete pedig K. Ekkor az eszköz nagyítása a méretek hányadosa, amely megegyezik a távolságok hányadosával(hasonlósággal belátható):

N =K

T=k

t(2.50)

A legegyszer¶bb optikai eszköz a síktükör. A tárgy és a kép távolsága ill. mérete ekkor azonos (tehát a nagyítás1), de a kép a tükör mögött van (és így virtuális, hiszen a tükör mögé tett erny®n semmi sem látszik).

2.6. OPTIKA 35

A gömbfelszínen (illetve pontosabban egy parabola felszínén) kialakított (homorú vagy domború) tüköresetén deniálunk egy optikai tengelyt (a tükör szimmetriatengelyét). Ezt ismerve a tükrök m¶ködése az aláb-biaknak megfelel®en írtható le:

• A homorú tükör az ezzel párhuzamos sugarakat egy pontba gy¶jti (így m¶ködik a parabolaantenna is), eza fókuszpontja, amely a sugár felének megfelel® távolságra van a tükörtül (azaz f = R/2).

• A domború tükör az optikai tengellyel párhuzamos sugarakat szétszórja úgy, mint ha egy túloldali (kép-zeletbeli) fókuszpontból jönnének.

• Mint minden optikai eszköznél, itt is igaz, hogy egy sugár a megfordított irányban azonosan terjed, tehátpéldául a homorú tükör esetén a fókuszpontból jöv® sugarak az optikai tengellyel lesznek párhuzamosak(lényegében így hoz létre szinte párhuzamos, irányított sugárnyalábot a reektor vagy a zseblámpa).

• Gömbtükrök esetén a kép- és a tárgytávolság összefügg a fókuszponttal, az alábbiaknak megfelel®en:

1

f=

1

t+

1

k. (2.51)

Az optikai lencsék gömbfelszínekkel határolt, a közegt®l (amelyben a lencsét használjuk: leveg®, vákuum,vagy akár víz) eltér® törésmutatójú anyagból készült objektumok. Ezek fókusztávolsága a határoló gömbfelszínekR1 és R2 sugarától függ, és az anyag közeghez képesti relatív n = nanyag/nközeg törésmutatójától:

1

f= (n− 1)

(1

R1+

1

R2

), (2.52)

és homorú határoló esetén negatív sugárról beszélünk, és a negatív fókusztávolságú lencse szórólencse, mígpozitív f esetén gy¶jt®lencsér®l beszélünk. M¶ködésük így foglalható össze:

• Gy¶jt®lencse esetén az optikai tengellyel párhuzamos sugarak a fókuszba mennek; a fókuszból jöv® sugarakpárhuzamosan mennek tovább.

• Szórólencse esetén az optikai tengellyel párhuzamos sugarak szétszóródnak, mintha a fókuszból jönnének;a túloldali fókuszba tartó sugarak pedig párhuzamosan mennek tovább.

A fenti sugármenetekkel egy tárgy képét megszerkeszthetjük: a sugarak metszéspontjában lesz a kép (ha pedigcsak a sugarak meghosszabbítása metszi egymást, azt virtuális képnek nevezzük). Ezt illusztrálja az alábbi ábra(balra lencsékkel, jobbra tükörrel):

A szem egy 2,5 cm körül változtatható fókusztávolságú lencsével m¶ködik (az izmok megnyújtják a lencsét,amelynek így megn® az R1 és R2 sugara, így megn® a fókusztávolsága). Az látni kívánt tárgynak megfelel®távolságból jöv® sugarakat a retinára fókuszálja, így a retinán egy fordított állású kép alakul ki, amelyet azagy megfelel®en tud értelmezni. A nagyító egy x lencsével m¶ködik (a tárgyat a fókuszpont közelébe helyezvenagyon nagy nagyítás érhet® el). A távcs® és mikroszkóp több lencséb®l állnak, többszörös leképezéssel m¶ködnek(ahol az egyik lencse által létrehozott kép a következ® lencse tárgya).

Kísérlet: lézer szóródása CD-barázdákon

• A fény elektromágneses hullám, a hullámnak hol maximuma, hol minimuma van. Ha két hullám találkozik,fázistól függ®en kiolthatják vagy er®síthetik egymást: ez az interferencia jelensége.

36 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG

• A megfelel®en koherens (azaz azonos fázisú) és monokromatikus (azaz csak egyfajta hullámhosszú fényttartalmazú) fénysugár elemei interferálnak egymással, és interferencia-mintázatot alakítanak ki.

• CD-re lézermutatóval világítva a falon nem csak egy visszatükrözött pontot látunk, hanem többet: interferencia-mintázat alakul ki.

2.6.3. Hullámoptika

Ahogy a Maxwell-egyenletekr®l szóló részben láttuk, a fény nem más, mint elektromágneses hullám. Ahullámhosszával egy nagyságrendbe es® tartományok esetén emiatt a geometriai optikán jócskán túlmutatójelenségeket tapasztalhatunk: például két fényhullám gyengítheti vagy kiolthatja egymást. Ennek alapja az, hogyhullám (egy adott id®pillanatban) egy sin(2πx/λ) = sin(kx) jelleg¶ függvénnyel írható le. A szuperpozíció elveszerint ha két hullám találkozik, akkor ezek hullámfüggvénye összeadható. Ha az egyik hullám φ fáziskésésbenvan, akkor sin(k1x + φ) + sin(k2x) lesz az összegük. Azonos hullámszám (avagy hullámhossz) esetén kioltástörténik, ha a fáziseltérés éppen π (vagy páratlanszor π), maximális er®sítés, ha 2π (vagy párosszor π), ahogyaz alábbi ábra mutatja:

A hullámtérben minden pont valójában úgy viselkedik, mint egy hullámforrás, és folyamatosan az ezekb®la forrásokból érkez® interferenciát gyelhetjük meg. Ezt fogalmazza meg a Huygens-Fresnel elv: a hullámtérminden pontja elemi körhullámok kiindulópontja, a látott kép pedig ezek interferenciája. Az interferencia je-lenségét használja ki a kétrés-kísérlet. Ennek során koherens (x fázisú) és monokromatikus (x hullámhosszú)fényt irányítunk két d távolságú résre. Ekkor az erny®n interferencia-mintázat jelenik meg. Ha a hullámhossz λ,akkor α szögben kiszámíthatjuk az összeadódott hullám er®sségét. Az útkülönbség egyszer¶en adódik: d sin(α).A kísérletben fáziskülönbség a két hullám által megtett út különbsége miatt lesz. Ha az útkülönbség λ/2, azéppen π fáziskülönbségnek felel meg kioltás történik. Ha az útkülönbség λ, az 2π fázistolást eredményez, ekkormaximális er®sítés lesz:

A kioltás feltétele tehát d sin(α) = nλ+λ/2, a maximális er®sítésé d sin(α) = nλ. A kísérlet segítségével optikairácsok rácsállandója, vékony szálak vastagsága, illetve - ha a fénynél kisebb hullámhosszú hullámokkal dolgozunk- kristályrácsok szerkezete is meghatározható. Hasonló jelenség látható vékony olajrétegen, szappanbuborékon,s¶r¶ áttetsz® függönyön vagy párás ablakon átnézve, CD felszínén, stb.

A Huygens-Fresnel elv segítségével értelmezhetjük a réselhajlás jelenségét is. Egy keskeny résen áthala-dó fénysugár a rácselhajláshoz hasonló elhajlást mutat, er®sítési és kioltási helyekkel. Ennek oka, hogy a résminden pontját hullámforrásnak tekinthetjük, ahonnan koherens hullámok indulnak azonos fázisban. A kétrés-kísérletben tapasztalt interferencia azért fontos, mert ez a bizonyíték a fény hullámtermészetére, és ahogy kés®bbkiderült, az anyag (részecskék, atomok, molekulák) is hasonlóan interferenciára képesek, tehát az anyag is tudhullámként viselkedni: ez vezetett a kvantummechanika felfedezéséhez.

3. fejezet

Modern zika

3.1. A részecske-hullám kett®sség, a kvantumvilág

3.1.1. A fény kvantumtermészete

Fresnel és Young interferenciakísérletei óta ismert, hogy a fény hullám, méghozzá elektromágneses hullám.A 19. században azonban ezzel ellentmondásban álló meggyelések láttak napvilágot. 1839-ben Becqerel fel-fedezte fotovoltaikus hatást (Nobel-díjat kapott, de nem ezért), ennek során fény hatására félvezet®k vezetésitulajdonságai megváltoznak, így m¶ködnek ma a napelemek, és ez irányította a gyelmet a fény és az elekt-ronok kapcsolatára. A fotoelektromos jelenséget (fotoeektust) Hertz fedezte fel 1887-ben (Nobel-díjat kapott,egy másik hasonló felfedezésért), ennek során fémb®l elektronok lépnek ki fény hatására. A jelenséget Eins-tein magyarázta meg 1906-ban (Nobel-díját lényegében ezért kapta). Lénárd Fülöp 1902-ben egy ehhez hasonlójelensége talált, gázok ionizációját gyelte meg UV fény hatására (ezért Nobel-díjat kapott).

A fotoeektus során azt tapasztaljuk, hogy a kilép® elektronok száma a fény intenzitásával arányos, és nemfügg a frekvenciától. Van viszont egy legkisebb frekvencia, amely alatt intenzitástól függetlenül nem lépnek kielektronok. Ez a jelenség a hullámképpel teljesen összeegyeztethetetlen, ugyanis hullámok esetén azok nagyságahatározná meg, hogy kilépnek-e az elektronok, és a hullámok száma (azaz a frekvencia) határozná meg, hogyhány elektron lép ki. Gondoljunk csak egy csónakra: hiába jönnek s¶r¶n (azaz nagy frekvenciával) a hullámok,nem borítják fel a csónakot, csak ha a méretük (ami az intenzitásnak felel meg) elég nagy. Az ezzel ellentétesmeggyelésre az a magyarázat, hogy a fény kvantumok (fotonok) formájában érkezik, a fény intenzitása pediga fotonok számát jelenti. Az egyes kvantumok energiája csak a frekvenciától függ, nagysága

E = hf , ahol h = 6.63 · 10−34 Js, a Planck-állandó. (3.1)

A fotoeektus jelensége alább a bal oldali ábrán látható, a hullámkvantumokat (illetve azt, hogy a hullámhossza kvantumok nagyságát, az amplitúdó pedig a kvantumok számát jelzi) pedig a jobb oldali ábra illusztrálja:

A meggyeléseket részletesen az alábbiak szerint tudjuk megmagyarázni. Az elektron anyagból való kilökésé-hez szükséges energia (munka)W , és az elektronokat akkor lehet kilökni, ha hf > W ; ekkor a kilökött elektronokszáma csak a fotonok számától függ. Hiába hordoz tehát a fény nagy energiát (azaz nagy az intenzitása), ha ezsok kisenergiás fotonból áll össze, akkor nem tud elektronokat kilökni. Ha viszont extrém alacsony intenzitású,azaz kevés fotonból áll, de azok nagy energiával rendelkeznek, akkor elektronokat lökhetnek ki.

A fotonok létének elfogadásához további meggyelésekre is szükség volt. Compton 1922-ben vizsgálta megröntgensugarak szóródását paranon (és ezért szintén Nobel-díjat kapott). Azt látta, hogy a szórt sugárzásfrekvenciája lecsökken. Ez a fotonkép alapján egyszer¶en látható: egy a foton meglöki az elektront, ennek soránenergiát veszít, és így lecsökken a frekvenciája. Az is kiderült, hogy a fotonnak impulzusa is van, méghozzá

p =E

c=hf

c=h

λ. (3.2)

A Compton-eektust az alábbi ábra mutatja:

37

38 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA

A fentiek úgy összegezhet®ek, hogy a fotoelektromos hatás és a Compton-eektus (melyek során a fényenergiát és impulzust ad át elektronoknak) csak úgy értelmezhet®ek, ha bevezetjük a fotonhipotézist.

Felmerült, hogy mi történik, ha az el®z® részben tárgyalt interferencia-kísérlet során olyan alacsony inten-zitású fényt vizsgálunk, amelyben egyszerre csak egy foton megy át a két résen. Vajon ekkor is létrejön azinterferencia, azaz az egy fotonos nyaláb is két részre oszlik? Jánossy Lajos végezte el ezt a kísérletet nagypontossággal, és is interferenciát talált. Ez azt jelenti, hogy egy darab foton interferál önmagával, hullámkéntmindkét résen átmegy. Ráadásul, ha valamilyen módon meggyeljük, hogy melyik résen ment át a foton, akkormegsz¶nik az interferencia, azaz ekkor csak az egyik résen megy át a foton. Csak akkor megy át egy fotonmindkét résen, ha nem akarjuk tudni, hogy melyiken ment át! Ezen jelenségeire a klasszikus zikai modelleknem adnak magyarázatot.

3.1.2. A részecskék hullámtermészete

Az elektromágneses hullámok tehát bizonyos kísérletekben részecskeként viselkednek. Lehet, hogy a részecs-kéknek is van hullámtulajdonsága? Louis de Broglie 1924-es hipotézise alapján részecskékre is igaz a λ = h/pösszefüggés (ezért ® is Nobel-díjat kapott), a részecskék hullámtulajdonságát pedig úgy lehet vizsgálni, ha akétrés-kísérletet elvégezzük elektronokkal vagy nagyobb részecskékkel is. Ezt el®ször 1927-ben Davisson mu-tatta ki (és ezért Nobel-díjat kapott), de azóta atomokkal és nagyobb molekulákkal (pl. C60-nal) is sikerültinterferenciát kimutatni.

Sikerült továbbá úgy is elvégezni a kísérletet, hogy a két résen egyszerre egy elektron megy csak át, tehát azelektron valamilyen értelemben önmagával interferál, maga az elektron viselkedik hullámként (és nem az elekt-ronok találkozásakor jön létre az interferencia). Ha az egy elektronos kétrés-kísérletben (fotocellával) vizsgáljuk,hogy melyik résen megy át az elektron , akkor elt¶nik az interferencia! Tény, hogy az elektron mindig osztha-tatlannak látszik, de egyetlen elektron is interferál és az interferencia elt¶nik minden olyan kísérletben, ahol azutat is meghatározzuk. Tulajdonképpen arra gondolhatunk, hogy a lehet®ségek interferálnak egymással dehogyan lehetne ezt tudományosan, a matematika nyelvét használva megfogalmazni?

Elektromágneses hullámok esetén a térer®sség négyzete adja az hullám intenzitását (ahogy azt a Maxwell-egyenletek után tárgyaltuk), és a két hullám amplitúdójának összeadódása egy adott helyen az intenzitásbankioltást vagy er®sítést eredményezhet, a fáziseltérést®l függ®en. Anyaghullámokkal hasonló a tapasztalat, ezekléte kísérleti tényként kezelend®, a kísérletek megkövetelik, hogy a részecskékhez (és általában az anyaghoz)hullámokat rendeljünk. De kérdés, hogy mi a hullámzó mennyiség? Ha bevezetjük a részecske P (x) valószín¶-ségi eloszlását (azaz azt, hogy hol milyen valószín¶séggel található az adott részecske), akkor ez jelentheti azintenzitást. Ez lehet tehát az amplidúdó négyzete (ahogy az elektromágneses sugárzás esetén az intenzitás azelektromos és/vagy a mágneses tér négyzetével arányos). Legyen ezért P (x) = |Ψ(x)|2, ahol Ψ(x) a (komplexszám érték¶) hullámfüggvény. Egy háborítatlanul haladó részecske hullámfüggvénye ekkor az elektromágneseshullámokhoz hasonlóan sin(kx) módon írható fel, és ekkor λ = 2π/k a részecske hullámhossza. Az interferenciapedig teljesen a hullámoptikában megismertek alapján történik.

Eszerint egy atom körüli elektron is egy Ψ(x) hullámfüggvénnyel írható fel, melynek alakja azonban jelen-t®sen eltér az el®bbi egyszer¶ színusz-függvényt®l. A hullámfüggvény abszolútértékének négyzete az elektronvalószín¶ségi eloszlása, erre gondolunk elektronfelh®ként. A kvantummechanika további érdekes következmé-nyei közé tartozik a szupravezetés és a szuperfolyékonyság, amelyeket itt részletesen nem tárgyalunk. Két érdekeskvantummechanikai jelenséget azonban az alábbiakban bemutatunk.

Dirac fedezte fel a kvantummechanika és a relativiáselmélet házasítása közben, hogy létezhet az elektronnakegy antirészecske párja, az elektron (ezért Dirac Nobel-díjat kapott). Az 1928-as elméleti felfedezést 1932-benkísérleti bizonyítás követte (Anderson által, aki ezért szintén Nobel-díjat kapott). Ma már tudjuk, hogy mindenrészecskének lehet anti-párja, és anti-atomokat is tudunk má létrehozni. Egy részecske az anti-párjával találkoz-va teljesen megsemmisül, és energiává (fotonokká) alakul, a folyamat során 2mc2 energia szabadul fel (ha m azeredeti részecske és antirészecske tömege). 1 mg hidrogén és antihidrogén egyesülésekor 100 GJ energia terme-l®dne. A paksi er®m¶ éves energiatermelésének kb. 0,7 kg anyag-antianyag egyesülése felel meg. Az antianyagel®állításához azonban ennél még sok nagyságrenddel több energia szükséges, ezért nem hatékony energiatároló.

A kvantummechanika további fontos következménye a radioaktivitás. Elképzelhet®, hogy egy részecske hul-lámfüggvénye úgy változik az id®ben, hogy a hullám amplitúdója id®ben csökken. Ekkor a hullámfüggvény

3.2. A TÉRID MODERN FOGALMÁNAK KIALAKULÁSA 39

négyzete, azaz a részecske létezésének valószín¶sége egyre csökken, 2−t/T függvény szerint, ahol T a részecskefelezési ideje. A részecske folyton a létezés és a nemlétezés között lebeg, csak akkor derül ki, hogy megvan-emég, ha ránézünk. Egy adott részecskér®l sosem tudjuk, hogy mikor fog elbomlani, de átlagosan a valószín¶ség-nek megfelel®en kövektezik ez be, azaz sok instabil részecske esetén a részecskék száma követi ezt a csökkenést.Ha N részecske van jelen egy adott id®pontban, akkor T id® múlva fele annyi, N/2 lesz. A részecskék számánakid®függése ilyenkor N(t) = N(0) · 2−t/T , amely pontosan az el®z® mondatban leírt állítást vonja maga után. AT felezési id® helyett néha a λ bomlási állandót használjuk, melyet a 2−t/T = e−λt összefüggés deniál.

(3.3)

Sok atom viselkedik ilyen instabil módon, ezek megsz¶nése, bomlása a radioaktivitás. Az elbomló atommagokkibocsáthatnak magukból α-részecskét (hélium atommagot), röntgensugárzást (ha az elektronszerkezet insta-bil, azaz nem alapállapotban van), gamma-sugárzást (ha az atommag instabil), és β-sugárzást (ilyenkor egyneutron alakul át protonná, elektron kibocsátása mellett). Az alfa-sugárzás egyb®l elnyel®dik anyagban, akáregy papírlapban is, a béta-sugárzás valamivel vastagabb anyagban csak (pl. egy alumínium lapban), míg agamma-sugárzás elnyeléséhez vastag ólomfalra van szükség.

3.2. A térid® modern fogalmának kialakulása

3.2.1. A newtoni mechanika és a Maxwell-egyenletek ellentmondása

Bár Arisztotelész még azt gondolta, hogy a magára hagyott test megáll, és a mozgás magától nem maradfenn, Galilei és Newton óta tudjuk, hogy a mozgás relatív: semmilyen mechanikai jelleg¶ kísérlettel nem lehetmegállapítani, hogy két, egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszer közül melyik mozog a másikhoz képest azaz nem lehet különbséget tenni köztük. Sima tengeren lév® hajó vagy vasúti kocsik esetében sem lehetmegállapítani belülr®l (zárt ablakok mellett), hogy mozog-e vagy sem.

Az újabb és újabb zikai jelenségek felfedezése nyomán azonban felmerült a kérdés, hogy a fentiekben megfo-galmazott relativitási elv kiterjeszthet®-e nem mechanikai kísérletekre is, azon belül is a fényre, elektromosságraés mágnesességre. A XIX. század eleje óta ismert volt, hogy mozgó töltések mágneses teret keltenek, mozgómágnes hatására pedig elektromotoros er® jön létre. Ez azt sugallja, hogy az elektromágnesesség esetében még-is abszolút értelemben megkülönböztethet® a mozgás és a nyugalom, ellentmondva a newtoni mechanikának.Az is kiderült a Maxwell-egyenletek szerint az elektromágneses hullámok vákuumban c sebességgel terjednek,függetlenül az ®ket kibocsátó forrástól, ahogy a hangsebesség sem függ a forrás mozgásától. Olyan, minthaaz elektromágneses hullámok is egy közeghez (egyfajta éterhez) lennének kötve ez azonban ellentmond anewtoni mechanikában is jelen lév® relativitás elvének: a fény vizsgálatával mégis különbséget tudunk tenni állóés mozgó meggyel® között: az éterhez képest vett mozgás alapján. A kísérletek alapján azonban kiderült (Mi-chelson, Morley, Fizeau is mások munkája nyomán), hogy éter nem létezik, de a fény mégis minden meggyel®szerint azonos sebességgel halad tehát egy adott fénysugár sebessége független attól, hogy álló vagy mozgórendszerb®l nézzük. Ez pedig még a sebesség összeadásának kinematikai szabályait is sérti!

A fentiekben vázolt probléma feloldását Lorentz és Minkowski alapozta meg, és Einstein öntötte egységeskeretbe. Két posztulátumot (alapfeltevést) fogalmazott meg: a zika törvényei minden inerciarendszerben azo-nosak, illetve a vákuumbeli fénysebesség természeti állandó (azaz minden meggyel® számára azonos). Ebb®llevezette a speciális relativitáselméletet, amely tulajdonképpen a Galilei-féle relativitás kiterjesztése, hiszen im-már semmilyen kísérlettel (nem csak mechanikaiakkal) nem lehet megállapítani egy rendszerr®l, hogy mozog-evagy sem: a mozgás teljes mértékben relatív.

3.2.2. A speciális relativitáselmélet

A relativitáselmélet szerint a tér és az id® nem abszolút, be kell vezetni a (Minkowski-féle) térid® fogalmát,amelyben a tér és az id® a meggyel®t®l függ. Ezt Minkowski-diagramokkal világíthatjuk meg, amelyekben az

40 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA

adott meggyel® szerint érvényes derékszög¶ koordináta-rendszerben ábrázoljuk a térid®t, a vízszintes tengelyena teret, a függ®legesen az id®t. A meggyel® maga az x = 0 pontban tartózkodva mozog el®re az id®ben. Azid®skálát úgy állítjuk be, hogy a fénysebesség egy szimmetrikusan (45 fokban) haladó egyenesnek feleljen meg.

Ha egy mozgó objektumhoz képest szeretnénk a jelenségeket vizsgálni, be kell ülni az ® koordináta-rendszerébe. Ennek szabályait a Lorentz-transzformáció adja meg, amely szerint Minkowski diagramokon azállandó sebességgel mozgó meggyel® számára úgy torzul a térid®, hogy az ® koordináta-rendszerében is éppenszimmetrikusan középen legyen a fénysebesség egyenese:

A Minkowski-térid®ben a tér és az id® egyesül, és valójában térid®r®l beszülünk, amelyben a tér három koor-dinátájából és az id®b®l álló négyesvektorok vannak. A négyesvektorok komponenseit a Lorentz-transzformációmódosítja koordinátarendszer-váltás esetén, és ennek központi eleme az, hogy a térid®vektorok Lorentz-hosszaváltozatlan marad, amit a (t, x)→ (t′, x′) váltás során a√

x2 − c2t2 =√x′2 − c2t′2 (3.4)

egyenlet fejez ki.

A tér- és az id®tengely a fentiek alapján szimmetrikus a fénysebesség görbéjére, és mivel a tér és az id® méréseezen tengelyekkel való párhuzamos vetítéssel történik, két térid®beli esemény közötti id® és távolság nem azonosa két meggyel® számára. Ez a Lorentz-kontrakció, amelynek mértékét a γ = 1/

√1− v2/c2 Lorentz-faktor adja

meg (v sebességkülönbség esetén):

v/c γ10% 1.00550% 1.170% 1.490% 2.399% 799.9% 2299.995% 100

Továbbá a távolságok és id®intervallumok relativitását illusztrálja az alábbi ábra:

3.2. A TÉRID MODERN FOGALMÁNAK KIALAKULÁSA 41

Ez azt is jelenti, hogy a fénysebesség felével mozgó ¶rhajó kb. 10%-kal rövidebb a földi (álló) meggyel® szerint,mint az ¶rhajóban utazók szerint. Hasonlóan, az ¶rhajóban ül®k szerint az id® is 10%-kal lassabban telikszámukra. Ugyanakkor ez fordítva is igaz, azaz például a földi tárgyak az ¶rhajós szerint rövidebbek.

A relativitáselmélet fontos következménye, hogy a sebesség-összeadás módosul: v1 és v2 összege immár v1+v2,hanem

v1 + v2

1 + v1v2/c2. (3.5)

Ha v1 = 100 m/s és v1 = 100 m/s, akkor az összeg nem 200 m/s, hanem 199,99999999998 m/s. Tehát a korrekcióekkor kicsi, de 100 000 km/s és 100 000 km/s összege már 200 000 km/s helyett 180 000 km/s sebességremódosul. Itt már lényeges a korrekció. A képletb®l látható továbbá, hogy v2 = c esetén v1+c

1+v1c/c2= c, tehát

c-hez bármennyit adva továbbra is csak c-t kapunk. A fénysebesség állandó, bármilyen sebesség¶ meggyel®r®lnézzük: végre sikerült megmagyarázni a fénysebesség állandóságát!

Néhány további zikai mennyiség is a Lorentz-faktorral módosul, például az impulzus relativitáselméletideníciója p = mv/

√1− v2/c2, ami v c esetén visszaadja a klasszikus közelítést. Az imént leírt formulának

az az oka, hogy az impulzus és az energia is egyetlen négyesvektort alkot, ez a négyesimpulzus (miután enneknégy komponense van). Ennek a Lorentz-hossza is független a koordináta-rendszert®l avagy a meggyel®t®l,hasonlóan a térid®-vektorokhoz. Érdekes módon az derül ki, hogy a négyesimpulzus Lorentz-hossza éppen azadott tárgy tömegével egyezik meg (szorozva c2-tel), azaz következ® egyenlet lesz igaz:

√E2 − p2c2 = mc2 (3.6)

Ez azt is jelenti, hogy a nulla impulzusú (nyugvó) objektum energiája E = mc2 lesz, tehát a tömeg tulaj-donképpen a nyugalmi energiának felel meg. Egyúttal azt is láthatjuk, hogy az energia és a tömeg ekvivalensmennyiségek, ezért alakulhat át egy m tömeg¶ elektron és egy ugyanekkora tömeg¶ elektron 2mc2 összenergiájúfotonokká. Ugyanígy, ha valamely kémiai vagy atomi rendszernek van valamekkora kötési energiája, akkor ez atömegének módosulásával is együtt jár ahogy azt majd az atom- és magzikáról szóló részben is láthatjuk.

A relativitáselméletnek vannak furcsa és érdekes következményei:

• Az egyidej¶ség relatív: a mozgás sebességét®l függ, hogy két esemény egyszerre történt-e, egymáshoz képestmozgó meggyel®k err®l mást mondanak.

• A fénysebesség egyfajta határsebesség: aki gyorsabban megy, az id®ben visszafelé is megy, pontosabbanszámára két esemény sorrendje megfordul (azaz az ok-okozati sorrendet fordítva észleli). Ezzel az a prob-léma, hogy egy okozat ismeretében megváltoztathatjuk az okot, azaz megsérthetjük a kauzalitás elvét,mely szerint az ok el®bb van, mint az okozat. Például a meccs végeredményének ismeretében a meccs el®ttfogadást tehetünk, vagy (morbid példával élve) megölhetjük egy korábban élt egyenesági felmen®nket,saját megszületésünket megakadályozva (ami ellentmondásra vezet).

• Az id®dilatációt és a Lorentz-kontrakciót már fent említettük: mozgó rendszerben az id® lassabban telik,mint kívülr®l nézve, illetve mozgó tárgyak kívülr®l nézve rövidebbek!

A speciális relativitáselméletnek rengeteg kísérleti bizonyítéka van. Fontos példa a légkörben keletkez® koz-mikus részecskék (müonok) esete, amelyek olyan rövid élettartamúak, hogy fénysebességgel menve is csak kb.660 métert tudnak megtenni (ezután elbomlanak). Ugyanakkor nagy többségüket észleljük a Földön is, miutánáthaladtak több tíz kilométernyi légkörön. Ez azért lehetséges, mert nagy sebességük miatt számukra a megte-end® távolság nagyon lerövidül. Egy másik fontos példa, hogy ha két atomórát összehangolunk, majd az egyikkelegy gyors repül®vel teszünk egy kört, ez utóbbi óra kevesebbet fog mutatni, mikor újra egymás mellé tesszüka másikkal. Az eltérés mértéke éppen az id®dilatációnak megfelel® lesz.

3.2.3. Az általános relativitáselmélet

A speciális relativitáselméletet tovább általánosíthatjuk, ha gyelembe vesszük a tényt, hogy semmilyenkísérlettel nem lehet különbséget tenni egy gravitációs térben lév® kabin, és egy, a csillagoktól távoli ¶rbengyorsuló kabin között:

42 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA

Ez valamilyen értelemben azt jelenti, hogy a két rendszer között ekvivalencia gyelhet® meg, és a gravitációstér és a vonatkoztatási rendszer gyorsulása egyenérték¶. Erre az általánosításra azért is szükség van, merta speciális relativitáselmélet és a newtoni gravitáció is ellentmondásban áll egymással: a newtoni gravitációszerint, ha két objektum hat egymásra, és az egyiket eltávolítjuk, azt a másik azonnal érzi. Ez a hatás végtelensebességgel érne el a másik objektumhoz, ez a távolhatás a speciális relativitáselmélet szerint lehetetlen.

A fentiekb®l kiindulva vezette le Einstein az általános relativitáselméletet. Ennek lényege, hogy az anyagegyfajta görbült teret hoz létre, és a mozgást ebben a görbült térben kell értelmezni. A térid® görbülete a benneelhelyezett tömeggel n®, és ez a görbület hat aztán a további tárgyak mozgására. Az egész egyfajta súlyok általmegnyújtott gumileped®höz hasonlít, ahogy az alábbi ábra is mutatja.

Az általános relativitáselméletnek is elméletnek sok kísérleti bizonyítéka van. Az egyik fontos bizonyíték az,hogy a Merkúr pályája elfordul 100 év alatt 574 szögmásodpercet, és ebb®l kb. 43 szögmásodperc nem magya-rázható meg a newtoni mechanikával (illetve a többi bolygó jelenlétével), de az általános relativitáselmélet ezhelyesen adja meg. Meggyelték a gravitációs id®-dilatációt is: egy nehéz objektum úgy görbíti meg a térid®t,hogy a közelében lassabban járnak az órák, mint t®le távol. Ezt is gyelembe veszik a GPS m¶holdak tervezése-kor, naponta 45 µs eltérés keletkezik a földi és a m¶holdakon lév® órák között! Az anyag (pl. egy nehéz csillag)által meggörbített térben a fény is görbén halad, ami érdekes jelenségeket hoz létre, az úgynevezett gravitációslencse-hatás miatt. Az elmúlt évtizedekben sikerült úgynevezett Einstein-keresztet és Einstein-gy¶r¶t is meg-gyelni: ezeknél egy masszív objektum a mögötte lév® galaxis fényét négyszeresen (kereszt formájában), vagyakár kör alakban képezi le.

A fekete lyukak léte is az általános relativitáselméleten keresztül érthet® meg. Ha egy objektum extréms¶r¶séget ér el, kiseb lesz az úgynevezett Schwarzschild-sugaránál (amely a test tömegét®l 2Mγ/c módon függ,ahol γ a gravitációs állandó ez tehát a Föld esetében 9 mm, a Nap esetében pedig 3 km), akkor fekete lyukkáválik: az objektum közelében ekkor olyan er®sen görbült a tér, hogy még a fény sem juthat ezen sugáron kívül,minden az objektum középpontja felé zuhan (ezért hívjuk ezt fekete lyuknak).

A világegyetem id®fejl®dését is az általános relativitáselmélet segítségével vizsgálhatjuk. Eszerint az univer-zum egy ®srobbanásban keletkezett, kb. 13,7 milliárd éve, azóta folyamatosan tágul: a térid® szövete nyúlik megegyre jobban, ahogy azt az általános relativitáselmélet leírja. Erre az egyik fontos bizonyíték a Hubble-törvény:a messzi galaxisok (melyek relatív sebességét a Doppler-eektusból lehet meghatározni, távolságukat pedig úgy-nevezett szupernóva-robbanások segítségével) távolodási sebessége arányos a távolsággal (természetesen itt alátszólagos helyzetr®l beszélünk, hiszen egy távoli galaxist ott látunk, ahol akkor volt, amikor a most hozzánkérkez® fénye elindult). A másik a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás: a világegyetemben mindenhol észlelhe-t® egy kb 2.7 K h®mérséklet¶ sugárzás, amely az ®srobbanás utáni h®mérsékletet adja vissza (a Doppler-eektusmiatt sokkal alacsonyabb frekvencián azaz sokkal kisebb h®mérsékletet mutatva).

3.3. ATOM- ÉS MAGFIZIKA 43

3.3. Atom- és magzika

3.3.1. Az atomok felépítése

A gondolat, hogy az anyag diszkrét, oszthatatlan egységekb®l áll, az ókori természetlozóában gyökerezik.A 18. századig (vagy méginkább a 19. század elejéig) kellett azonban várni, hogy megkezd®djön a kérdés ter-mészettudományos módszerekkel történ® vizsgálata. Az els® lépéseket Lavoisier, Proust, Avogadro és Daltontették meg, kémiai reakciók vizsgálatával (amelyekben meggyelték a tömeg megmaradását illetve a reagensekarányainak állandóságára vonatkozó törvényeket). Utóbbi volt az els® atomelmélet megalkotója. A 19. századvégéig az atomelmélet azonban nem nyert általános elismerést, ellenz®i az atomok helyett az energiát tekintettékminden jelenség végs® alapjának (Ostwald és Helm). Mások (mint például Mach) a közvetlen érzékeléssel felnem fogható dolgok létezését értelmezhetetlennek gondolták. A kérdésben az döntött, hogy makroszkopikus je-lenségekben is sikerült az atomosság nyomaira bukkanni, és a h®t is sikerült az atomok és molekulák mozgásávalmegmagyarázni (lásd a kinetikus h®tanról szóló szakaszt). Az atomok szerkezetét azonban sokáig senki nemkutatta, oszthatatlannak gondolva azokat.

Thomson katódsugarak (amelyeket egy forró fémszál bocsát ki elektromos tér hatására) vizsgálatakor arrajutott, hogy a sugárzás, amely uoreszcens erny®n fényfelvillanást kelt, az atomokból származik, és töltöttrészecskékb®l áll. Megmérte ezen részecskék töltés/tömeg arányát, és ezzel tulajdonképpen felfedezte az elektront(ezért Nobel-díjat kapott). Ez alapján Thomson megalkotta a plum pudding névvel illetett els® atommodellt.Eszerint az atom egy pozitív töltés¶ levesb®l áll, amelyben úsznak a negatív töltés¶ részecskék, az elektronok.Ezek töltését (azaz az e elemi töltés nagyságát) kés®bb Millikan mérte meg: porlasztott (véletlenszer¶en töltött)olajcseppeket elektromos térbe helyezve gyorsulásukat mérte, és ebb®l töltésüket határozta meg (eredményéértNobel-díjat kapott).

A modellt Rutherford kísérlete cáfolta, aki egyúttal egy jobb atommodellt is alkotott. Rutherford megmér-te α-bomlásból származó (α-) részecskék arany fólián való szóródásában a szórt részecskék szögeloszlását. AThomson-féle atommodell alapján túlnyomórészt kisszög¶ szórást vártak, ezzel szemben a részecskék jó részeszóródás nélkül továbbment, kis részük er®teljesen eltérült. Ezt egyfajta pontszer¶ maggal lehetett magyarázni,és a kísérleteket a centrális er®térben való szóródásra vonatkozó egyenletekkel lehet kiszámolni. Nagyon nagyszögekre (visszaszóródásra) eltérést találtak ett®l a formulától: a maghoz nagyon közel men® α-részecskére nemtekinthet® pontszer¶nek a mag: ez a méretét mutatja lényegében, illetve a mag és az α-részecske sugaránakösszege. Arany esetében energiafüggetlenül ez kb. 13 femtometer. Rutherford atommodellje mindezek alapjánazt mondta, hogy a 10−10 m atom közepén egy roppant kicsi, 10−15 m méret¶ mag található, az elektronokpedig körülötte keringenek, egyfajta Naprendszert alkotva. Az elektronok energiáját ekkor egyrészt a Coulomb-kölcsönhatás potenciálja, másrészt a keringésb®l adódó mozgási energia adja. Ugyanakkor fontos látni, hogy akering® elektronok elektromos tere id®ben változó, így mágneses teret is keltenek, amely szintén id®ben változólesz. Ez végül elektromágneses sugárzást hozna létre, amelynek hatására az elektronok elveszítenék energiájukat,és az atommagba zuhannának.

Egy más jelleg¶ probléma is adódott a Rutherford-féle atommodellel. A modellb®l ugyanis arra következtet-hetnénk, hogy az atomok bármilyen kis energiát el tudnak nyelni: ekkor az elektronok energiája kicsit megn®ne;és ugyanígy, valamely elektron az atommaghoz kicsit közelebb kerülve kis energiát veszítene, és így az atomezt az energiát kisugározhatná. Gázok és g®zök elektromágneses sugárzási spektrumát tanulmányozva kiderültazonban, hogy ezen spektrumok (azaz a gázok színképe) diszkrét vonalakból állnak, amelyek szerkezete az ato-mokra jellemz®. Az atomok tehát csak néhány konkrét mennyiségnek megfelel® energiát tudnak elnyelni vagykibocsátani! Ezt úgy lehet magyarázni, hogy gázok sugárzás-elnyelése és kibocsátása során az atomok elektronjaikizárólag diszkrét energiaszinteken között mozognak, és az energiakülönbségnek megfelel® fényt bocsátanak kivagy nyelnek el. Egy olyan bolygómodellt jelent ez, amelyben nem lehetséges tetsz®leges pálya!

Niels Bohr a fenti két problémára válaszként egy konzisztens modellt épített fel (és ezért Nobel-díjat kapott),alapvet®en a bolygómozgás mintájára, egy hozzáadott posztulátummal. A modell lényege ez a posztulátum,amely szerint az elektron pályájának kerülete a hullámhosszának egész számú többszöröse lehet csak, ekkorugyanis az elektron éppen körbehullámozza az atommagot, a pálya kerületén egész számú hullám fér el, azaz2rπ = nλ = nh/p (ahol n egész szám). Ez úgy is megfogalmazható, hogy az elektronok perdülete csak a redukáltPlanck-állandó h/(2π) = ~ egész számú többszörse, L = mvr = pr = n~ lehet. Planck azt állította, hogy az ilyenpályákon nincsen gyorsulásból fakadó sugárzás. A modell oka ismeretlen, értelmezhetetlen, de jó eredményrevezet!

A Bohr modellben az elektronok energiáját úgy lehet kiszámolni, hogy kiindulunk a Coulomb-er® (a Ze

44 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA

töltés¶ mag és az e töltés¶ elektron között) és a pályán tartó centripetális er® egyenl®ségéb®l, azaz

kZe2

r2=mv2

r=

p2

mr, innen (3.7)

p2r2 = kZe2mr = n2~2, tehát az n. pályasugár: (3.8)

rn =n2~2

kZe2m. (3.9)

Az ehhez tartozó energiaszint

En =mv2

2− kZe2

r=mk2Z2e4

2n2~2− mk2Z2e4

n2~2= − 1

n2

mk2Z2e4

2~2, (3.10)

ami pontosan visszaadja a kísérletekben mért spektrum-vonalakat.

Nem világos azonban, hogy mi a Bohr-féle posztulátum magyarázata, és hogyan zajlik az átmeneti folyamat:a kvantummechanika képe ad teljesebb magyarázatot az atomok elektronszerkezetére. Ebben az elektronok máregyfajta P (x) = |Ψ(x)|2 valószín¶ségi eloszlással rendelkeznek, amely a hullámfüggvényük abszolútértékéneknégyzete. A kvantummechanika, illetve a hidrogénatom Schrödinger-féle modellje szerint ezen eloszlások azalábbi ábrának megfelel®en néznek ki (itt n az adott energiaszintet jelöli, l pedig az adott pályához tartozóperdülettel függ össze; jelen jegyzetben ezt ennél jobban nem tudjuk részletezni):

3.3.2. Az atommagok kötési energiája

Az atomok szerkezetét már ismerjük tehát, és tudjuk, hogy bennük egy igen kicsiny méret¶ atommag talál-ható. Világos, hogy egy Z rendszámú atomban Z darab elektron található, a mag pedig szintén Z töltés¶: Zdarab protonnak köszönhet®en. Ugyanakkor a proton tömegének ismeretében az is kiderült, hogy az atommag(avagy az atom) mérete egy A 6= Z tömegszámmal jellemezhet® kb. ennyiszerese az atom tömege a protoné-nak. Felmerül a kérdés, hogy mi a kapcsolat a tömegszám és a rendszám között. Könny¶ elemeknél Z = A/2,nehezebb atomok esetén Z < A/2 adódik, kell tehát még valaminek lennie az atommagban, ami a protonoktömegéhez hozzáadódva kiadja az atom teljes tömegét (az elektronok tömege ezekhez képest elhanyagolható)!Az a kérdés is felmerül, hogy mi tartja össze az atommagot a protonok elektromos taszítása ellenében.

A legfontosabb lépést ezzel kapcsolatban Chadwick tette 1932-ben, amikor felfedezte a neutront (amiértNobel-díjat kapott). Kiderült, hogy ez az atommag tömegének hiányzó részét kiadó részecske; a magban aprotont és a neutront pedig egy újfajta kölcsönhatás, a mager® tartja össze. A kémiai tulajdonságokat az elekt-ronszerkezet, azaz a protonok száma határozza meg, a neutronszám ilyen szempontból irreleváns ez csak azadott mag tömegéhez járul hozzá. Ráadásul egy adott kémiai elem többféle neutronszámmal is létezhet, azonosprotonszám (azaz rendszám) mellett. Egy adott atommag különböz® neutronszámú változatait izotópoknak hív-juk. Többnyire egy adott elemb®l csak 1-2 különböz® stabil izotóp fordul el® a természetben; a többi valamilyenbomlás (azaz részecskekibocsátás) mellett stabilizálódik. Az izotópok térképét alább láthatjuk:

3.3. ATOM- ÉS MAGFIZIKA 45

A proton és a neutron tömegének ismeretében kiderült az is, hogy az atomok könnyebbek, mint a megfelel®számú proton és neutron tömege. Ennek az az oka, hogy az atommagoknak van egyfajta kötési energiája, azennek megfelel® tömeggel könnyebbek, mint az alkotórészeik (és ezért stabilak). Ezt a kötési energiát a mager®(az úgynevezett er®s kölcsönhatás) okozza, ez tartja össze az atommagot. Az egy nukleonra (a nukleon a protonés a neutron összefoglaló neve) jutó kötési energia a tömegszám függvényében úgy változik, hogy a vasnál vanminimuma:

A vas környéki atommagok vannak tehát a legkedvez®bb állapotban. Nem kedvez® állapotból hasadással vagyfúzióval lehet kedvez®bbe jutni: a vasnál nehezebbek hasadni tudnak, a könnyebbek fuzionálni.

3.3.3. Maghasadás

A nehéz atommagok maguktól nem esnek szét többnyire, de neutronnal bombázva ®ket maghasadás indu-kálható, rengeteg energia felszabadulása mellett. A 235-ös tömegszámú urán izotóp lassú (1 eV körüli mozgásienergiájú) neutron hatására például széteshet kriptonra (A=92) és báriumra (A=141), emellett három neutronkeletkezik (vannak más bomlások is, mindet gyelembe véve átlagosan 2,4 neutron keletkezik), és sok ( 200)MeV energia, amely h®ként jelenik meg:

A hasadás gyors neutronok hatására is bekövetkezhet, de több MeV energia esetén a hasadás valószín¶sége többnagyságrenddel kisebb, mint lassú, eV körüli neutronenergia esetén. Ugyanakkor a természetes uránércben a235U aránya csak 0.7%. A 238U (természetes urán 99.3%-a) csak gyors neutronok hatására hasad szét, és akkoris elég kicsi valószín¶séggel. További fontos különbség, hogy egy bomlásban átlagosan 1,7 neutron keletkezik..

46 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA

Az urán hasadását használja ki az atombomba, láncreakciót hozva létre (hiszen egy hasadás nyomán egynéltöbb neutron keletkezik, ezért egyre több hasadás történik, és az összes mag elhasadhat a másodperc töredékealatt). Ugyanakkor egy urán-tömb felületen kiszökhetnek neutronok, esetleg más miatt nem okoznak hasadást.Így ugyan 2,4 vagy 1,7 neutron keletkezik, de nem mind hasít. A kiszökés els®sorban geometriai okból következikbe, felület/térfogat aránytól függ, kis tömeg esetén arányosan több a szökés, mint nagy tömeg esetén. Ha ahasadásban keletkez® neutronok közül átlagosan hasadásonként egynél több okoz további hasadást, beindul aláncreakció: az ehhez szükséges tömeget a kritikus tömegnek nevezzük. Ugyanakkor a kritikusság attól is függ,hogy milyen uránt használunk: a 238-as izotóp hasadása során eleve csak 1,7 neutron keletkezik, így ebb®l sokkalkevesebbnek szabad elszöknie. Hogy ésszer¶ méreten már kritikus legyen az urántömeg, nagyon fel kell dúsítani(85% fölé) az 235U arányát. Ugyan a keletkez® gyors neutronok miatt a 238U is hasad itt ugyan, de az akkorkeletkez® 1,7 neutron kevés, arra nézve nem éri el a kritikus tömeget az atombomba.

Az urán hasadását kontrolláltan az atomreaktorban tudjuk hasznosítani. Itt az a cél, hogy egy hasadásneutronjai közül mindig pontosan egy okozzon további hasadást. Ha egynél több tenné ezt (azaz a neutronsok-szorozódás egynél nagyobb), akkor felgyorsulna a láncreakció, azaz megszaladna a reaktor. Ha egynél kevesebb,akkor viszont leáll a láncreakció. Akkor m¶ködik stabilan a reaktor, ha minden hasadásból keletkez® neutronokközül pontosan egy okoz további hasadást. Ezt szabályzórudakkal érik el, ezeket a hasadóanyagba egyre mé-lyebbre engedve egyre több neutront nyelnek el, azaz csökkentik a neutronsokszorozódást. Éppen megfelel®entartva elérhet®, hogy a neutronsokszorozódás éppen egy legyen.

Azért, hogy a hasadás valószín¶sége nagy legyen, lelassítják a neutronokat, és így szinte mindegyik hasadásttud okozni (persze csak a 235U-ben). A hasadás nagy valószín¶sége miatt itt nincs szükség a 235-ös izotóp nagyarányára, 3-4% 235U arányt elérni. A neutronok lassítását végz® anyag az ún. moderátor.

Az atomer®m¶vek m¶ködésének lényege, hogy a reakcióban keletkez® h®t a felforrósodott moderátor-közegkeringése során elszállítja (primer kör), és felmelegít egy másik közeget (szintén vizet), ez g®zzé forrva hajtja aturbinákat. A legelterjedtebb reaktortípus, a nyomottvizes reaktor m¶ködését az alábbi ábra illusztrálja:

A magfúzió a reaktortartályban zajlik, az üzemanyag-rudakban jön létre. Az itt keletkez® h®t a primer körvezeti el, és még a reaktor betonkonténerében, egy h®cserél®ben átadja a h®t a szekunder körnek, felforralvaaz abban kering® vizet. Ez a g®z meghajtja a turbinákat, amelyek pedig a generátort, és így elektromosságjön létre. A szekunder köri víz h®jét (szintén egy h®cserél®n át) a h¶t®víznek adja át. Látható, hogy az ilyenreaktorokban a moderátor azonos a keletkez® h®t is elszállító anyaggal, többnyire mindkett®t víz vagy nehézvízalkotja. Az ilyen reaktorok f® beépített biztonsági eleme az, hogy ha megszalad a reaktor, a moderátor (víz)elforr, a neutronok nem lassulnak le, ezért nem okoznak hasadást, így a reaktor leáll.

A reaktorban keletkez® hasadványmagok viszont többnyire er®sen radioaktívak, ezek az elhasznált f¶t®ele-mekben rakódnak le. Ezek tárolása az maghasadás békés célú felhasználásának egyik kulcskérdése. A kiégettüzemanyagcellák avagy f¶t®elemek betonszarkofágokban helyezend®ek el, és jó megoldás lehet ezeket vízzárórétegek közé, földrengésbiztos helyre elhelyezni. Probléma ugyanakkor, hogy a keletkez® hasadványmagok közülsoknak a felezési ideje a millió évet is eléri; ugyanakkor semmilyen elhelyezés biztonsága nem garantálható ilyenhosszú távon. Ezen anyagok keletkezésének csökkentését, s®t, akár a korábbi kiégett üzemanyagcellák felhasz-nálását is ígérik a következ®, negyedik generációs reaktortípusok.

3.3. ATOM- ÉS MAGFIZIKA 47

3.3.4. A magfúzió és összevetése más energiatermelési módszerekkel

Ahogy fent láttuk, a könny¶ magok kötési energiája igen magas, így ezek egyesítése, fúziója során jelent®senergia nyerhet®. Ugyanakkor ehhez extrém magas h®mérsékletre van szükség (miután az atommagoknak azelektromos taszítást le kell gy®zniük, hogy egyesülhessenek). A csillagokban különféle folyamatok során négyhidrogén egyesül egy hélium-atommaggá, a Napban például tipikusan az alábbi módon:

Ezt a típusú magfúziót hasznosítja a hidrogénbomba is. Fontos ugyanakkor, hogy életük végén a csillagoklétrehoznak a héliumnál nehezebb magokat is (a földi anyag nagy része távoli, felrobbant csillagok maradványa).

A fenti reakcióhoz, ahogy írtuk, többmillió fokra van szükség. Ilyen magas h®mérsékletet nehéz a Földöntartósan fenntartani, hiszen semmilyen edény nem bírná ki azt. A csillagokban a gravitáció tartja össze a forrógázt, míg a Földön mágneses térben próbálhatjuk meg lebegésben tartani az anyagot, például egy tóruszbanáramló plazma formájában. Ennek egy megoldását tokamaknak hívják, ilyeneket sikerült már építeni és rövidideig üzemeltetni, de gyakorlati felhasználásuk még nem lehetséges.

Ha sikerülne megépíteni, igen kevés üzemanyag befektetésével rengeteg energiát lehetne termelni. Álljon ittegy rövid összefoglaló arról, hogy a különböz® zikai módszerekkel mennyi energia keletkezik egységnyi anyagbefektetésével:

• Anyag+antianyag: 1011 MJ/kg• Fúzió: 109 MJ/kg• Maghasadás atombombában: 108 MJ/kg• Maghasadás er®m¶ben: 106 MJ/kg• Fosszilis tüzel®anyagok: 50 MJ/kg

Természetesen nem mindegy, hogy milyen anyagot kell befektetni. A fosszilis tüzel®anyagok elfogyhatnaknem túlságosan sokára, ahogy az urán is, bár lassabban, és helyettesíthet® plutóniummal talán. Hidrogénb®llényegesen több van, antianyag viszont egyáltalán nem áll rendelkezésre. Fontos szempont még a hatékonyságés károsanyag-termel®dés is minden szempontból optimális lenne a fúziós reaktor, azonban egyel®re kétséges,hogy mikorra tudjuk legy®zni a technikai akadályokat. A megújuló energiák (persze a Nap is kiég egyszer,ahogy a szelek sem fújnak örökké) szerepe is lényeges lehet, fontos azonban látni, hogy ehhez is kapcsolódnakkáros anyagok, amelyek a gyártáskor keletkeznek. A kérdés (társadalmi és gazdasági vonatkozásaival együtt)túlságosan komplex ahhoz, hogy itt b®vebben tárgyaljuk. A különböz® energiaforrások jellemz®it azért alábbáttekintjük:

Rendelkezésre állnyersanyag?

Technológiakészen áll?

Milyenhatékony?

Keletkezikkáros anyag?

Kockázatosaz üzemeltetés?

Fosszilis er®m¶vek Gyorsan fogy Igen Kevéssé Sok NemMaghasadás Lassan fogy Igen Nagyon Kevés RészbenMagfúzió Igen Nem Extrém Nem KicsitAntianyag Nem Nem ? Nem ?

Megújulóenergiaforrások

Igen Részben Kevéssé Gyártáskor Nem

A. függelék

Ellen®rz® kérdések

Zárásként megadunk minden korábbi témához kapcsolódóan néhány kérdést (f® szakaszonként csoportosítva).Ezek célja, hogy segítségükkel az olvasó felmérhesse, megértette-e a kurzus illetve ezen jegyzet anyagát. A legjobbtehát, ha ezekre a választ ki-ki maga dolgozza ki, miután végigolvasta és feldolgozta a jegyzetet. Az el®adáshozkapcsolódó gyakorlaton rengeteg gyakorlati példa megoldására kerül sor, ezért az alábbiakban inkább elméletijelleg¶ kérdéseket teszünk fel, a kis számú, gyakorlatibb jelleg¶ kérdés azért szerepel, mert sokszor ez teszteliigazán a megértést.

1. Milyen h®mérsékleti skálákat ismersz, és mi köztük az összefüggés?

2. Mi a fajh®?

3. Mit jelent, ha egy anyag fajh®je 1000 J/kg/K

4. Mennyivel n® meg egy anyag h®mérséklete Q h® hatására?

5. Milyen fázisátmeneteket ismersz?

6. Hogy néz ki a víz fázisdiagramja?

7. Hogy változik a víz forráspontja a nyomással?

8. Hogy változik a jég olvadáspontja a nyomással?

9. Mit jelent a víz kritikus pontja?

10. Mi az a hármaspont?

11. Mi az a látens h®?

12. Mennyi energia kell egy liter víz elforralásához?

13. Mennyi h®re van szükség egy kg jég megolvasztásához?

14. Mi történik, ha -10 Celsius fokos jeget teszünk egy 120 Celsius fokos g®zzel teli kamrába?

15. Mi a h®átadás három formája?

16. Mi a h®átadás leghatékonyabb formája többnyire?

17. Hol jelenik meg h®áramlás a mindennapi életben?

18. Mit®l függ a h®vezetéssel átadott h®mennyiség?

19. Mi az a h®vezetési együttható?

20. Mit®l függ az ablakon át elveszett h® mennyisége (id®egységenként)?

21. Mondj jól/rossz h®szigetel® anyagokat.

22. Miért h¶t rosszabbul a jeges h¶t®gép?

48

49

23. Mi a h®sugárzás alaptörvénye?

24. Mi az a h®mérsékleti sugárzás?

25. Mi a h®sugárzás h®mérséklete és színe között a kapcsolat (mondj példákat)?

26. Miért fehér szín¶ a Nap?

27. Hogyan változik az anyagok mérete a h®mérséklettel?

28. Mennyi egy tipikus h®tágulási együttató?

29. Mi a kapcsolat a lineáris és a térfogati h®tágulás között?

30. Milyen anyagoknak kicsi/nagy a h®átadási együtthatója?

31. Miért görbülnek meg nyáron a sínek?

32. Mire szolgálnak a dilatációs rések hidakon?

33. Miért változik a fels®vezetékek feszessége az év során?

34. Miért nem fagy be a tavak alja általában?

35. A molekulák/atomok nyelvén kifejezve mi okozza a h®érzetet?

36. Mit jelent egy molekula szabadsági fokainak száma?

37. Hány szabadsági foka van egy molekulának?

38. Mi az az ekvipartíció tétele?

39. Mi a h®mérséklet deníciója molekuláris szinten?

40. Mennyi egy oxigén molekula átlagos sebessége 23 fokos leveg®ben (hogyan számolható ki)?

41. Mi okozza a nyomást molekuláris szinten kifejezve?

42. Mi az ideális gázok állapotegyenlete?

43. Milyen gáztörvények következnek az ideális gázok állapotegyenletéb®l?

44. Mennyi az ideális gázok bels® energiája?

45. Mennyi az ideális gázok mólh®je?

46. Mennyiben mások a van der Waals gázok, mint az ideális gázok?

47. Mi az az entrópia értelmezése?

48. Hogyan adhatjuk meg az entrópiaváltozást állandó h®mérséklet¶ rendszerben?

49. Hogy adhatjuk meg az entrópiát a valószín¶ségi képben?

50. Mit jelentenek a makro- és a mikroállapotok?

51. Mi a termodinamika nulladik f®tétele?

52. Mi a termodinamika els® f®tétele? Mi benne az egyes tagok el®jelének deníciója (mikor pozitívak/negatívak)?

53. Mi a termodinamika második f®tételének három megfogalmazása?

54. Mit tudunk termodinamikai folyamatok hatásfokáról?

55. Mit tudunk reverzibilis körfolyamatokról?

56. Mi a termodinamika harmadik f®tétele?

50 A. FÜGGELÉK. ELLENRZ KÉRDÉSEK

57. Mi az adiabatikus/izochor/izobár/izoterm állapotváltozás?

58. Gázok fajh®je izochor vagy izobár változás esetén nagyobb? Mennyivel?

59. Rajzold le p-V vagy T -S diagramon az adiabatikus/izochor/izobár/izoterm állapotváltozásokat.

60. Rajzold le az Otto-motor körfolyamatát p-V diagramon.

61. Mennyi az Otto-motor termodinamikai hatásfoka?

62. Rajzold le a Carnot-körfolyamatot T-S diagramon!

63. Mennyi a Carnot-körfolyamat termodinamikai hatásfoka?

64. Miért különleges a Carnot-körfolyamat

65. Minimum mekkora töltése lehet egy anyagdarabnak/részecskének?

66. Mekkora er® hat két 1 mm-re lév® elektron között?

67. Mi a Coulomb-törvény?

68. Mi az elektromos térer®sség?

69. Milyen elektromos teret kelt egy Q ponttöltés?

70. E elektromos tér mekkora er®vel hat q töltésre?

71. Mit jelentenek az er®vonalak?

72. Hogy néz ki egy ponttöltés elektromos tere er®vonalakkal lerajzolva?

73. Hogy néz ki egy dipólus elektromos tere er®vonalakkal lerajzolva?

74. Dipólus elektromos tere hogy függ a távolságtól?

75. Két dipólus (molekula) közötti er® hogyan függ a távolságtól?

76. Miért világít a nagyfeszülségre kapcsolt uborka?

77. Mi a uxus deníciója? Mire vonatkoztatva deniáljuk?

78. Mennyi a uxus értéke sík felületen, állandó elektromos térben?

79. Tetsz®leges felület és tér esetén hogyan számíthatjuk ki a uxust?

80. Mit mond ki a Gauss-törvény?

81. Mit tudunk a zárt felületre vonatoztatott uxusról?

82. Töltött vezet® testen belül mekkora az elektromos tér és miért?

83. Töltött vezet® testen hol helyezkednek el a töltések?

84. Mi a Faraday-kalitka, hogyan m¶ködik?

85. Mi az a csúcs-hatás, mi a jelent®sége?

86. Hosszú egyenes vezeték elektromos tere mekkora?

87. Nagy síklap elektromos tere mekkora?

88. Mit jelent a potenciális energia?

89. Elektromos térben hogy számíthatjuk ki a potenciális energia két pont közötti különbségét?

51

90. Mekkora egy töltés potenciális energiája egy másik töltést®l adott távolságra?

91. Mi az elektromos potenciál?

92. Mi az elektromos feszültség?

93. Mit jelent az elektronvolt mértékegység?

94. Mekkora a potenciál ponttöltést®l adott távolságra?

95. Két töltött síklap között mekkora az elektromos tér?

96. Adott távolságú töltött síklapok között mekkora a feszültség?

97. Mi a kondenzátor?

98. Mi az a kapacitás?

99. Mi a kapcsolat térer®sség és potenciál között?

100. Mik az ekvipotenciális felületek?

101. Mi az elektromos áram?

102. Mi az ellenállás?

103. Mi a fajlagos ellenállás? Mik a tipikus értékei?

104. Mekkora az elektromos áram által leadott teljesítmény?

105. Mi a soros és párhuzamos kapcsolás?

106. Milyen kapcsolásban hogyan számíthatjuk ki két ellenállás összegét?

107. Milyen kapcsolásban hogyan számíthatjuk ki két kondenzátor összegét?

108. Milyen alapvet® összefüggésekkel számíthatjuk ki egy áramkör állapotot (Kirchho törvények)?

109. Mi a mágneses tér mértékegysége?

110. Milyen tipikus mágneses térer®sségeket ismersz?

111. Hogyan hat a mágneses tér mozgó töltésekre?

112. Mi a vákuum mágneses permeábilitása?

113. A sebességre mer®leges mágneses tér milyen mozgást hoz létre?

114. B mágneses térben mozgó p impulzusú, q töltés¶ test mekkora körpályára áll?

115. Mekkora er® hat áramjárta vezet®re?

116. Áramhurokra mekkora forgatónyomaték hat?

117. Miért forgathatja a mágneses tér az atomokat?

118. Mi okozza az anyagok mágneses viselkedését (atomi szinten megmagyarázva)?

119. Milyen egy mágneses dipólus tere (er®vonalakkal)?

120. Mit tudsz a mágneses töltésekr®l?

121. Mekkora zárt felület mágneses uxusa?

122. Mi hozhat létre mágneses teret?

123. Mekkora egy mozgó töltés mágneses tere?

124. Mit mond a Biot-Savart törvény?

52 A. FÜGGELÉK. ELLENRZ KÉRDÉSEK

125. Mekkora egy szinte végtelen hosszú egyenes vezet® mágneses tere a vezet®t®l r távolságban?

126. Mit mond az Ampère-törvény?

127. Kör alakú vezet® mágneses tere mekkora (a kör közepén)?

128. Tekercs mágneses tere mekkora (középen)?

129. Mit okoz a változó mágneses tér?

130. Mit mond ki a Faraday-féle indukciós törvény?

131. Mekkora feszültség indukálódik egy tekercsben szinuszosan változó mágneses tér esetén?

132. Mi a Lenz-törvény?

133. Hogy m¶ködik a transzformátor?

134. Mi az önindukció?

135. Mekkora egy tekercs impedanciája váltakozó feszültség esetén?

136. Mekkora egy kondenzátor impedanciája váltakozó feszültség esetén?

137. Melyik négy törvény alkotja a Maxwell-egyenleteket?

138. Mi a Maxwell-egyenletek vákuumbeli alakja nagyjából?

139. Milyen egyenlet jön ki az elektromos és mágneses térre a Maxwell-egyenletekb®l?

140. Mekkora az elektromágneses hullámok terjedési sebessége?

141. Töltések hiányában milyen elektromos és mágneses tér lehetséges?

142. Anyagban hogy változik a permeabilitás és permittivitás?

143. Mi az intenzitás?

144. Hogy változik a pontszer¶ forrásból jöv® elektromágneses sugárzás intenzitása?

145. Mi a röntgensugárzás hullámhossz-tartománya?

146. Mi a látható fény hullámhossz-tartománya?

147. Mennyi a látható fény frekvenciája?

148. Milyen mikrohullámú eszközöket ismersz?

149. Az elektromos hálózat sugárzásának hullámhossza mennyi?

150. Mi a kapcsolat hullámhossz és frekvencia között?

151. Mi a törésmutató deníciója? Mik a tipikus értékei?

152. Mennyi a fény (és az elektromágneses hullámok) anyagbeli sebessége?

153. Mi a Fermat-elv?

154. Mi a fénytörés törvénye?

155. Hogyan mozog a fény közeghatáron?

156. Mi a teljes visszaver®dés?

157. Hogyan jön létre a délibáb?

158. Mi egy optikai eszköz nagyításának deníciója?

53

159. Mi a két nevezetes sugármenet gömbtükrök esetén?

160. Mekkora egy gömbtükör fókusztávolsága?

161. Mi a kapcsolat a fókusztávolság, tárgytávolság és képtávolság esetén?

162. Mi a lencsék két nevezetes sugármenete?

163. Mit®l függ egy lencse fókusztávolsága?

164. Mekkora a szem fókusztávolsága, és miért változhat?

165. Mit jelent az interferencia?

166. Mit jelent a két hullám közti fáziskülönbség?

167. Mikor olthatja ki vagy er®sítheti egymást két hullám?

168. Mi a kétrés-kísérlet lényege?

169. Milyen fényre van szükség a kétrés-kísérlethez?

170. Hol (milyen eltérülési szögnél) jelennek meg fényes/sötét foltok a kétrés-kísérletben?

171. Ha eleve koherens volt a fény, miért lesz mégis fáziskülönbség két komponense között a kétrés-kísérletben?

172. Mi a fotoeektus lényege?

173. Mi a Compton-eektus lényege?

174. Mi bizonyítja a fény részecske-természetét?

175. Mekkora egy foton energiája?

176. Mekkora egy foton impulzusa?

177. Mi bizonyítja, hogy a részecskék is viselkedhetnek hullámként?

178. Mit®l és hogyan függ egy részecske hullámhossza?

179. Mi a hullámfüggvény és mi a kapcsolata a részecske valószín¶ségi eloszlásával?

180. Mit tudsz az antirészecskékr®l?

181. Mi magyarázza radioaktivitást?

182. Mi a felezési id®?

183. Mik a speciális relativitáselmélet alapvet® feltevései?

184. Mik a speciális relativitáselmélet következményei?

185. Két esemény egyidej¶sége milyen feltétellel jelenthet® ki?

186. Mi az az id®dilatáció?

187. Mi az a Lorentz-kontrakció?

188. Mik a speciális relativitáselmélet fontos bizonyítékai?

189. Mir®l szól az általános relativitáselmélet?

190. Mik az általános relativitáselmélet fontos bizonyítékai?

191. Ha egy focipálya az atom, mekkora benne az atommag?

192. Mi az elemi töltés?

193. Mi bizonyította az atommag létét?

54 A. FÜGGELÉK. ELLENRZ KÉRDÉSEK

194. A Rutherford-modellben mi tartja az atommag körül az elektronokat?

195. Tipikusan mekkora az elektronok kötési energiája?

196. Mi volt a két probléma a mag körül kering® elektronok modelljével?

197. Mi bizonyította, hogy az elektronok energiaszintjei diszkrét értékeket vehetnek fel?

198. Mi Bohr modelljének lényege?

199. Ha nem keringenek az elektronok az atommag körül, hogy kell ®ket elképzelni?

200. Miért nem egyezik meg az atommagok rendszáma és tömegszáma?

201. Mi tartja össze az atommagot (az elektromos taszítás ellenében)?

202. Mi az atommagok kötési energiája?

203. Melyik atommag van a legoptimálisabb állapotban energetikai szempontból?

204. Mi a maghasadás, miért jöhet létre?

205. Mi a magfúzió, miért jöhet létre?

206. Hogyan m¶ködnek a csillagok, többek között a Nap?

207. Hogyan m¶ködik az atomer®m¶?

208. Mi az az urándúsítás?

209. Miért nem robbanhat fel a vízmoderált atomreaktor?

210. Mi az a kritikus tömeg?

211. Milyen energiatermel® mechanizmus esetén a legnagyobb a felhasznált anyag energiatartalma?

212. Mennyi a fosszílis tüzel®anyagok energiatartalma?

213. Miért nehéz fúziós er®m¶vet építeni?

214. Mi az a moderátor, és miért van rá szükség atomer®m¶vekben?