Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Bevezetés azelméleti �zikába
egyetemi jegyzet
Az elméleti mechanika newtoni alapjai
Lázár Zsolt, Lázár József
Babe³�Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar
2011
TARTALOMJEGYZÉK
1. El®szó 7
2. Newton törvényei 9
3. A Galilei-féle relativitási elv 13
4. Mechanikai munka és energia 15
5. Impulzusnyomaték 175.1. Centrális er®tér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6. Pontrendszerek mechanikája 19
7. Kényszerek 257.1. Virtuális elmozdulás. Virtuális munka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2. A kényszerek általános alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.3. Szabadsági fokok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.4. Általános koordináták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8. A D'Alembert elv 33
9. Lagrange egyenletek 35
10.Minimális hatás elve 39
1. FEJEZET
El®szó
A �zika az a természettudomány, mely a legáltalánosabb formákkal és törvényekkel,szerkezetekkel és funkcióikkal, obiektumokkal és jelenségeikkel foglalkozik. Az embertkörülvev® világ végtelen változatosságának legegyszer¶ megközelítése az, hogy mindenelem és minden folyamat min®ségileg különböz®. Elménk matematikai beállítottsága mi-att mennyiségi változatosságot sokkal könyebben át tudjuk látni. A �zika hagyományaialapján a redukcionista �lozó�a szerint közelít a természet kérdéseinek megértése felé.A redukcionizmus a komplex rendszereket az azt alkotó részeinek összességeként fogjafel. A rendszer megnyilvánulásait, a különböz® jelenségeket visszavezeti az összetev®kkölcsönhatásaira illetve még alapvet®bb elvekre. A �zikai jelenségek egységes tárgyalásamindmáig kihívás az emberiség számára. Célunk a természet leírásának axiomatikus ala-pokra való helyezése.
7
2. FEJEZET
Newton törvényei
A mechanika egyik alapvet® fogalma a tömegpont, a továbbiakban részecske. Tö-megpont alatt olyan anyagi testet értünk, amelynek méretei elhanyagolhatók mozgásá-nak leírása szempontjából. A tömegpont helyzetét a térben az r helyzetvektor adja meg,amelynek komponensei az x, y, z Descartes-koordináták. r-nek az id® szerinti els® és má-sodik deriváltja:
v ≡ dr
dt≡ r , a ≡ dr2
dt2≡ r
a részecske sebessége illetve gyorsulása. Newton az 1687-ben kiadott �Philosophiae Natu-ralis Principia Mathematica (A természet�lozó�a matematikai alapjai)� cím¶ m¶vébenhárom törvényt fogalmaz meg, melyek a részecskék mozgását irányítják.A természetben végbemen® jelenségek leírásához vonatkoztatási rendszerre van szük-ségünk. Vonatkoztatási rendszernek nevezzük a részecskék térbeli helyzetét megadókoordináta-rendszert és a rendszerhez rögzített órák együttesét. A különböz® vonatkozta-tási rendszerekben általában különböz®k a mozgástörvények. Természetes módon merülfel az a feladat, hogy olyan vonatkoztatási rendszert keressünk, amelyben a mechanikaitörvények a legegyszer¶bb alakúak.
Els® f®törvény(a tehetetlenség elve) Minden magára hagyott test meg®rzi nyu-galmi állapotát vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását.
Azokat a vonatkoztatási rendszereket, amelyekben Newton els® törvénye érvényes tehe-tetlenségi vonatkoztatási rendszernek, másszóval inerciarendszernek nevezzük. Az inercia-rendszerhez képest gyorsulva mozgó, vagy forgó vonatkoztatási rendszerek nem inercia-rendszerek, mivel ezekben nem teljesül a tehetetlenség fenti törvénye. A további törvényeka fenti tulajdonsággal bíró inerciarendszerekben érvényesek.
A fenti axióma hiányossága, hogy nem lehet egyértelm¶en megállapítani, hogy egytestre mikor hat küls® er®, mitöbb az er® fogalma sincs tisztázva, vagy mit jelent amagára hagyott test fogalma. Egy test annál inkább megközelíti a magára hagyott testfogalmát, minél messzebb van más testekt®l. Viszont a gyakorlati esetek többségébena testek közvetlen érintkezés útján való kölcsönhatása vagy valamely er®tér jelenléteegyértelm¶en észlelhet® a meg�gyel® által és valószín¶tlenné teszi egy nem tehetetlenségivonatkoztatási rendszernek tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerként való azonosítását.
9
10 FEJEZET 2. NEWTON TÖRVÉNYEI
Az abszolút tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer tulajdonképpen absztrakció, mivel amindig ki vagyunk téve valamilyen er®hatásnak. Így se a Föld, se a Nap, még csak agalaxisunk se tekinthet® annak. A gyakorlatban egy bizonyos �zikai rendszer leírásakortehetetlenséginek tekinthetjük azt a vonatkoztatási rendszert, ami olyan er®hatásoknakvan kitéve, melyek elhanyagolhatóak a rendszer számunkra érdekes dinamikájáért felel®ser®hatásokhoz képest.
Példa
Egy forgószínpad mely percenként fordul körbe nem alkalmas egy teniszlabda ballisztikuspályájának tanulmányozására. Ugyanakkor atomi szinten zajló folyamatokra gyakorlati-lag nincs hatása ennek a gyorsulásnak. Ha a teniszlabda szempontjából tehetetlenséginektekinthet® a talajhoz rögzített vonatkoztatási rendszer ez már nem igaz, ha a távolhordóágyúk ballisztikájának vagy a f®bb szélrendszerek, mint például a passzát, dinamikájánakmegértése a cél.Egy test mozgásállapota (sebessége) módosul az elszenvedett er®hatások mértékénekfüggvényében. Ugyanakkor tapasztalati tény, hogy ugyanazon er®hatás különböz® tes-tek esetén eltér® mérték¶ sebességváltozást okoz. Ezt a tulajdonságát az anyagnak te-hetetlenségnek nevezzük és mértékének jellemzésére a tömeget használjuk. A nagyobbtömeg¶ test �tehetetlenebb�, azaz egy adott er®hatásra adott �válasza� kisebb mérték¶,mint azonos körülmények között egy kisebb tömeg¶ testnek. A test m tömege egy po-zitív, id®t®l független alapvet® skalár mennyiség. Mértékegysége az MKSA1 nemzetközirendszerben 1kg, dimenzióját M -el jelöljük. Az er® egy vektoriális mennyiség és mérték-egysége a Newton (N). Az er®nek a mozgásra kifejtett hatásának leírására bevezetjük aimpulzus(mozgásmennyiség) fogalmát. Az impulzus a részecske tömegének és sebességé-nek szorzata, tehát
p = mv .
Második f®törvény(a mozgástörvény) Ha egy részecskére egy F er® hat, akkora mozgás során az impulzusvektor id® szerinti deriváltja megegyezik az F er®vel.
A második törvény matematikai alakja
F =dp
dt. (2.1)
Ha a test tömege állandó a mozgás során
F = mdv
dt= m
d2r
dt2= ma ,
ahonnan a testen lérehozott gyorsulás (mozgásállapotának változási sebessége) adott er®hatására:
a =F
m,
annál kisebb, minél nagyobb a test tömege.
1MKSA = Méter-Kilogramm-Szekundum-Amper
11
Harmadik törvény (a kölcsönhatás törvénye) Ha két részecske er®vel hat egy-másra, akkor az er®k a részecskéket összeköt® egyenes mentén hatnak, azonos nagy-ságúak és ellentétes irányításúak.
Ha egy A test er®t fejt ki a B testre, akkor a B ugyanolyan nagyságú, de ellentétes irányúer®vel hat az A-ra. Jelöljük az el®bbi er®t FBA-val, utóbbit FAB-vel. A kölcsönhatástörvénye képlettel kifejezve :
FAB = −FBA, FAB + FBA = 0
Az er®hatások szuperpozíciójának elve Ha egy részecskére egyid®ben kéter® F1 és F2 is hat, akkor ezek helyettesíthet®k egyetlen olyan F er®vel, melyet azösszetev® er®k vektori összegeként kapunk:
F1 + F2 = F ,
ahol F az F1 és F2 er®k ered®je.
A fenti elv matematikai indukcióval kiterjeszthet® tetsz®leges számú er®re is. Ugyanak-kor belátható, hogy az elv fordítottja is érvényes, azaz bármely er® felbontható több,egyid®ben ható er®re, amennyiben ezek ered®je kiadja az eredeti er®t.
Az anyagi pont mozgása során bizonyos mechanikai mennyiségek id®ben állandók marad-nak, melyeket a megmaradási tételekkel fejezünk ki. A megmaradási törvények általánosalakja
f(t, r, r) = C ,
melyek els®rend¶ di�erenciálegyenletek és a mozgásegyenletek primintegráljainak nevez-zük. A megmaradó mennyiségek fontos szerepet játszanak a jelenségek leírásában, mertsegítségükkel leírható a rendszer id®fejl®dése a mozgás másodrend¶ di�erenciálegyenle-tének megoldása nélkül.A dinamika második törvénye önmagában is egy megmaradási tételt fejez ki. Amennyibena rendszerre nem hat ered® er®, akkor (2.1) alapján
dp
dt= 0 , azaz p = állandó .
A fenti egyenlet fejezi ki az impulzusmegmaradás tételét.
3. FEJEZET
A Galilei-féle relativitási elv
Könny¶ belátni, hogyha adott egy inerciarendszer, akkor a hozzá képest egyenesvonalúegyenletesen mozgó vonatkoztatási rendszerek is inerciarendszerek. Tehát végtelen sokinerciarendszerünk van.
A relativitás elve A természettörvények valamennyi inerciarendszerben azo-nosak.
Másképpen megfogalmazva, a természettörvényeket kifejez® egyenletek változatlanok ma-radnak, ha egy adott inerciarendszerr®l egy másikra térünk át. Ez azt jelenti, hogy egybizonyos természettörvényt különböz® inerciarendszerekben tér- és id®koordinátákkal ki-fejez® egyenletek azonos alakúak.Válasszunk egy K-val jelölt inerciarendszert és egy ehhez képest állandó Vsebességgelmozgó másik, K ′ inerciarendszert. Tegyük fel, hogy a t = 0 id®pillanatban a két rendszer,tehát az O és O′ vonatkoztatási pont egybeesett. t id® múlva az O′ elmozdulását O-hoz
képest az−−→OO′ = Vt vektor jelöli. Valamely P pontnak a helyét mindkét rendszerben
megadhatjuk az r illetve r′ helyvektorokkal. A K és K ′ rendszerekben mért r, illetve r′
helyvektorok egymással az
r = r′ +−−→OO′ = r′ +Vt
kapcsolatban állnak . A newtoni mechanika egyik alapfeltevése szerint:
Az id® minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz:
t = t′
Ebb®l a két összefüggésb®l, az id® szerinti els® és másodrend¶ di�erenciálással megkapjuka két rendszerben mért sebességek és gyorsulások közötti kapcsolatot :
r = r′ +V⇒ v = v′ +V,
r = r′ ⇒ a = a′
13
14 FEJEZET 3. A GALILEI-FÉLE RELATIVITÁSI ELV
Tehát a tömegpont gyorsulása, a két inerciarendszerben ugyanaz. Mivel a tömeg is inva-riáns a fenti transzformációval szemben, ezért a mechanika
ma = F
mozgásegyenlete változatlanul érvényes a K ′ rendszerben is :
ma′ = F′
ésF = F′.
Mivel a mozgástörvények mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanolyan alakúak, akét inerciarendszer teljesen egyenérték¶ mechanikai szempontból. Ez a felismerés Ga-lilei nevéhez f¶z®dik. Ezért az inerciarendszerek egyenérték¶ségét Galilei-féle relativi-tási elvnek, a helyvektorok és id®pillanatok közötti fenti összefüggéseket pedig Galilei-transzformációnak nevezzük.
4. FEJEZET
Mechanikai munka és energia
Egy részecskére ható F er® munkáját egy C görbe két A és B pontja között az alábbikifejezéssel határozzuk meg:
W (CAB) =∫CAB
F · dr. (4.1)
Egy elemi elmozdulásnak megfelel® mechanikai munka:
dW = F · dr .
A fenti meghatározásból kiderül, hogy:
Az elmozdulásra mer®leges er®k nem végeznek mechanikai munkát.
Az er®k szuperpozíciójának elve alapján az F er® egyértelm¶en felbontható egy az el-mozdulás irányába mutató (tangenciális) Ft és egy másik, arra mer®leges er®re Fn er®re.Az elemi munka:
dW = (Ft + Fn) · dr = Ft · dr = Ftdr ,
azaz az er®nek csak a mozgás pályájához érint®leges irányú összetev®je végez munkát.Mivel
F = mdv
dt, és dr = vdt ,
írhatjuk, hogy ∫ B
A
F · dr = m
∫ tB
tA
dv
dt· vdt = m
2(v2B − v2A) . (4.2)
A
T =mv2
2
mennyiséget kinetikus-(mozgási-)energiának nevezzük. Az (4.1) és (4.2) egyenletek alap-ján a következ® tételt fogalmazhatjuk meg:
15
16 FEJEZET 4. MECHANIKAI MUNKA ÉS ENERGIA
A kinetikus energia változásának tétele A részecske kinetikus energiájánakváltozása, megegyezik a részecskére ható er® munkájával az adott pontok között:
W (CAB) = T (B)− T (A)
Ha a két pont között végzett munka értéke nem függ a pontokat összeköt® görbét®l csaka pontok helyzetét®l, akkor konzervatív er®térr®l beszélünk. Ilyenek például az elektro-sztatikus és gravitációs er®terek. Nem konzervatív er®nek számítanak a súrlódási er® és aközegellenállásból származó disszipatív er®k. Konzervatív er®tér esetén belátható, hogybármilyen zárt C görbe mentén végzett munka értéke nulla:∮
CF · dr = 0 .
Ez azt jelenti, hogy F ·dr egy skalár ú.n. potenciális energia függvény teljes di�erenciálja:
F · dr = −dU(r) ≡ −∇U(r) · dr .
Tehát
F = −∇U , azaz Fx = −∂U∂x
, Fy = −∂U∂y
, Fz = −∂U
∂z.
Egy er®tér konzervatív jellegér®l meggy®z®dhetünk a
∇× F = 0 .
egyenlet teljesülésének ellen®rzésével.A mechanikai munka az adott rA és rB pontok között, konzervatív er®térben:
WAB =
∫ B
A
F · dr = −∫ B
A
∇U · dr = U(A)− U(B)
ahol U(A) ≡ U(rA) illetve U(B) ≡ U(rB) a potenciális energia értékei, az A és B pon-tokban. Összevetve a kinetikus energia változására vonatkozó tétellel egy újabb alapvet®tételt fogalmazhatunk meg:
Az energiamegmaradás tétele Konzervativ er®térben mozgó részecske ki-netikus és potenciális energiájának összege, az E a teljes energia, id®ben állandó:
T (A) + U(A) = T (B) + U(B) = E
Ha a részecskére úgy konzervatív mint nemkonzervatív Fnk er®k hatnak, akkor a teljesenergia változása, E(B)−E(A), megegyezik a nemkonzervatív er®k munkájával az adottC görbe A és B pontja között. Tehát a részecske teljes energiaváltozásának tétele:
E(B)− E(A) =Wn.k.(CAB) .
5. FEJEZET
Impulzusnyomaték
Vezessük be egy részecskeJ = r× p (5.1)
impulzusnyomatékát az O pontra nézve és az
N = r× F (5.2)
er®nyomatékot ugyanarra az O pontra vonatkozóan. Az impulzus változási sebessége:
dJ
dt=
d
dt(r×mv) = v ×mv + r× d
dt(mv) = N
RövidenJ = N .
N = 0 esetén a fenti egyenlet egy újabb megmaradási tételt fejez ki:
Az impulzusnyomatékmegmaradás tétele Ha egy részecskére ható er®nyo-maték N nulla akkor annak J impulzusnyomatéka állandó
(5.2) alapján az er®nyomaték nulla, ha az F er® nulla, az r helyzetvektor nulla vagyha a két vektor párhuzamos. Az r helyzetnek az F-re mer®leges összetev®jét az er®karjának nevezzük. A fenti meghatározásból az is kit¶nik, hogy az impulzusnyomatékúgy a koordinátarendszer, mint a vonatkoztatási rendszer sebességének megválasztásátólnagymértékben függ.
5.1. Centrális er®tér
Tekintsünk egy m tömeg¶ részecskét egy U(r) = U(r) potenciális energiával jellemzettcentrális er®térben. Az er®teret centrálisnak nevezzük, ha a potenciális energia kizárólagaz er®tér r = 0 középpontjában rögzített origótól mért távolságtól függ. A részecskéreható er® egy tetsz®leges r pontban:
F(r) = −∇U(r) = −∂U(r)
∂r= −dU
dr
r
r‖r
17
18 FEJEZET 5. IMPULZUSNYOMATÉK
Ennek nagysága az er®tér középpontjától mért távolságtól függ, az iránya pedig párhu-zamos a részecske helyzetvektorával. Az J = r× p pályaimpulzusnyomatékra vonatkozótétel alapján:
J = M = r× F = 0 .
Tehát centrális er®térben a J pályaimpulzusnyomaték vektora állandó. Az impulzus-nyomatékvektor és az r helyzetvektor mer®legességének következményeként a részecskemozgása az impulzusnyomatékvektorra mer®leges síkban történik.
Centrális er®térben a mozgás mindig síkmozgás (f = 2).
6. FEJEZET
Pontrendszerek mechanikája
Tekintsünk N darab részecskét melyek tömege, sebessége és impulzusa mi,vi illetvepi = mivi. Az egyes részecskékre hasson az Fi küls® er®, míg a j részecske részér®laz fij bels® er®. A következ®kben az i és j indexek egy és N között vesznek fel egészértékeket. Newton harmadik törvénye értelmében ez az er® a két részecskét összeköt®egyenes mentén hat és ellentétese az i részecskér®l a j részecskére kifejtett er®nek:
fij || ri − rj , (6.1)
fij = −fji . (6.2)
Newton második törvénye értelmében
pi = Fi +∑j
fij ,
Vezessük be aP ≡
∑i
pi
vektorösszegét az impulzusoknak és vizsgáljuk meg, hogy miként változik id®ben:
P =∑i
pi =∑i
Fi +∑i,j
fij =
=∑i
Fi +1
2
∑i,j
(fij + fji)︸ ︷︷ ︸=0
=
=∑i
Fi = F
(6.3)
A második sorban megdupláztuk a bels® er®ket tartalmazó összeget de úgy, hogy az iés j indexeket formálisan felcseréltük. Ugyanakkor kihasználtuk az (6.2) tulajdonságáta bels® er®knek. Az er®k szuperpozicíójának elve értelmében F a rendszerre ható küls®er®k ered®je. Az (6.3) egyenletb®l arra következtetünk, hogy a teljes pontrendszerre értel-mezett P mennyiségre hasonló törvény érvényes, mint az egyes részecskékre. Ezért ezt arendszer impulzusának nevezzük és megállapíthatjuk, hogy id® szerinti deriváltja egyenl®a küls® er®k ered®jével.
19
20 FEJEZET 6. PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA
Az impulzus szorosan kapcsolódik a sebességhez és az utóbbi pedig közvetlen függvényea vonatkoztatási rendszernek. Vajon miképpen függ egy pontrendszer impulzusa a vonat-koztatási rendszert®l? Jelöljük K-val azt a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszert, ami-ben a fenti rendszert alkotó részecskék sebességei vi. Ha áttérünk egy olyanK ′ ugyancsaktehetetlenségi vonatkoztatási rendszerre mely K-hoz képest V sebességgel halad, akkorGalilei transzformációs törvénye értelmében az egyes részecskék sebessége
v′i = vi −V . (6.4)
A K ′ vonatkoztatási rendszerben mért impulzus:
P′ =∑i
miv′i =
∑i
mi(vi −V) =∑i
mivi −∑i
miV =
= P−MV , M =∑i
mi
A megfelel®
V =P
M= állandó (6.5)
sebességre P′ = 0. Következésképpen, bármekkora is lenne a rendszer teljes impulzusa,mindig létezik egy olyanK ′ vonatkoztatási rendszer, melyben a rendszer impulzusa nulla.Ilyenkor azt mondjuk, hogy nyugalomban van az adott vonatkoztatási rendszerben. Ezegy természetes általánosítása egyetlen tömegpont nyugalmáról kialakított fogalmunk-nak. Ennek megfelel®en a (6.5) által meghatározott sebességet úgy értelmezhetjük, minta mechanikai rendszer egységes egészként való mozgásának sebességét. A fenti egyenletetírhatjuk az alábbi formában:
V =d
dt
(∑Ni=1miriM
). Bevezetve a rendszer
R ≡∑Ni=1miriM
,
ún. tömegközéppont vektorát, látható hogy
V = R
a tömegközéppont állandó sebességvektora. Integrálás után:
R−Vt = R0.
Ez a pontrendszer újabb három primintegrálját adja.Vizsgáljuk most a rendszer energiáját az egyetlen részecske energiájával analóg módon.A mechanikai munka az egész rendszeren két különböz® A és B állapot között:
W (CAB) =∑i
∫ B
A
(Fi +∑i 6=j
fij) · dri =∑i
∫ B
A
mivi · dri =
=∑i
∫ B
A
mivi · vidt =∑i
mi
2
∫ B
A
d(v2i ) =
= T (B)− T (A) , ahol T =1
2
∑i
miv2i
21
Miképpen viselkedik a T mozgási energia kifejezése a különböz® vonatkoztatási rend-szerekben? Végezzünk hát egy (6.4) Galilei-transzformációt a rendszeren, úgy amint azkorábban is tettük. A K ′ tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben:
T ′ =1
2
∑i
miv′i2=
1
2
∑i
miv2i +
1
2
∑i
miV2 −
∑i
mivi ·V =
= T +MV 2
2−P ·V
(6.6)
Válasszuk meg úgy a V sebességet, hogy K ′ legyen a tömegközépponti vonatkoztatásirendszer, azaz V = P/M . Így a rendszer, mint egész, nyugalomban van és kinetikusenergiája alkotórészeinek az álló tömegközépponthoz viszonyított mozgásából adódik.Ezt a Eb ≡ T ′ energiát bels® energiának nevezzük. (6.6) alapján :
T =MV 2
2+ Eb ,
ahol V a tömegközépponti sebesség. A fenti összefüggés Koenig második tételeként isismert.Visszatérve a munka fentebbi kifejezésére felhasználva, hogy a részecskékre ható er®kkonzervatívak Fi = −∇iUi és így :
∑i
∫ B
A
Fi · dri = −∑i
∫ B
A
∇iU · dri = −∑i
Ui
∣∣∣∣21
,
Legyenek a bels® fij er®k is megfelel® Uij(|ri − rj |) típusú potenciálokból származtatottkonzervatív er®k. Vegyük észre, hogy a mechanikai munka kifejezésében
∑i,j
∫ B
A
fij · dri =1
2
∑i,j
∫ B
A
(fijdri + fjidrj) =1
2
∑i,j
∫ B
A
fij · d(ri − rj)
akkor lesz az integrál független az úttól, ha az integrál alatti kifejezés egy függvénynek adi�erenciálja. Ez akkor áll fenn, ha :
fij · d(ri − rj) = −dUij(|ri − rj |)
A rendszer teljes potenciális energiája :
U =∑i
Ui(|ri|) +1
2
∑i 6=j
Uij(|ri − rj |)
A teljes energia :T + U = E = állandó
Az impulzushoz és energiához hasonló módon képezzük a részecskék impulzusnyomaté-kainak összegét
J =∑i
Ji ,
és tanulmányozzuk annak változását a küls® és bels® er®k hatására:
22 FEJEZET 6. PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA
dJ
dt=∑i
dJidt
=∑i
d
dt(ri × pi) =
∑i
ri × pi︸ ︷︷ ︸=0
+∑i
ri × pi =
=∑i
ri × Fi +∑i,j
ri × fij =∑i
ri × Fi +1
2
∑i,j
(ri × fij + rj × fji) =
=∑i
ri × Fi +1
2
∑i,j
(ri − rj)× fij︸ ︷︷ ︸=0
=∑i
ri × Fi =
=∑i
Mi =M
A teljes impulzusnyomaték megmaradásának tétele : Ha a rendszere ható ered® M er®-nyomaték nulla, akkor a rendszer J teljes impulzusnyomatéka állandó.Mivel az impulzus-nyomaték de�níciójában szerepelnek a részecskék helyzetvektorai, értéke általában függ akoordináta-rendszer kezd®pontjának megválasztásától. Olyan koordináta-rendszerekben,amelyeknek kezd®pontja a távolságra van egymástól, ugyanazon pont ri és r′i helyzet-vektorai között az ri = r′i + a kapcsolat áll fenn. Ezért
J =∑i
ri × pi =∑i
r′i × pi + a×∑i
pi ,
vagyJ = J′ + a×P .
Ebb®l a képletb®l látszik, hogy az impulzusmomentum csak abban az esetben nem függa koordináta-rendszer kezd®pontjának a megválasztásától, ha az anyagi rendszer mintegységes egész nyugalomban van (azaz P = 0). Ez a határozatlanság természetesen nemjelentkezik az impulzusnyomaték megmaradásának a tételében, mert zárt rendszerben azimpulzus szintén mozgásállandó.Vezessük le azt a képletet is, amely összekapcsolja az impulzusnyomatékot az egymáshozképest V sebességgel mozgó K és K ′ inerciarendszerben. Feltesszük, hogy a K és a K ′
koordináta-rendszer kezd®pontja az adott id®pillanatban egybeesik. Ekkor a részecskékhelyzetvektorai mindkét rendszerben azonosak, sebességük között pedig a vi = v′i + Vösszefüggés áll fenn. Ezért
J =∑i
miri × vi =∑i
miri × v′i +∑i
miri ×V .
A jobb oldalon lev® els® összeg a rendszer J′ impulzusnyomatéka a K ′ rendszerben; amásodik összegben vezessük be a tömegközéppont helyzetvektorát; ekkor:
J = J′ +MR×V . (6.7)
Ez a képlet adja meg az egyik vonatkoztatási rendszerr®l a másikra való áttéréskor azimpulzusnyomaték transzformációját, hasonlóan az impulzus és az energia transzformá-cióját leíró képletekhez.Ha K ′ az a vonatkoztatási rendszer, amelyben az adott anyagi rendszer mint egységesegész nyugalomban van, akkor Va tömegközéppont sebessége, és MV a rendszer teljesimpulzusa (K-hoz viszonyítva). Ekkor
J = J′ +R×P . (6.8)
23
Más szavakkal, a mechanikai rendszer impulzusnyomatéka két részb®l tehet® össze: azegyik a rendszer �saját impulzusnyomatéka� abban a vonatkoztatási rendszerben, amely-ben nyugalomban van, a másik a rendszernek mint egésznek a mozgásából adódó R×Pimpulzusnyomaték.
7. FEJEZET
Kényszerek
A legtöbb esetben a rendszer mozgása során eleget kell tegyen bizonyos geometriai vagykinematikai természet¶ feltételeknek, melyeket kötéseknek vagy kényszereknek nevezünk.Tekintsünk néhány példát:
1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejt®n vagy egy gömb bels® felületén mozog.
2. A hullámvasút vágányaira er®sített szerelvény vagy merev drótra f¶zött golyómozgása.
3. Egy elhanyagolható tömeg¶ merev rúddal összekötött két részecske mozgása.
4. Az 1. példában a lejt® vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyentengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet.
A fenti példákban a különböz® kötések sajátos tulajdonságokkal bíró ún. kényszerer®ketszülnek, melyek az elnevezésükhöz híven kényszerítik a rendszert a kötések tiszteletbentartására. Az 1. példában a kényszerer® szerepe az, hogy csak a felület menti mozgásttegye lehet®vé, azaz meggátolja a részecske áthatolását a felületen. Éppen ezért az er® afelületre és ugyanakkor a mozgás pályájára is mer®leges irányú. A kényszerekt®l függetlener®ket megkülönböztetés céljából szabader®knek nevezzük. Egyetlen részecske esetén amozgásegyenlet
mr = F+ F′ , (7.1)
ahol F a szabad- és F′ a kényszerer®t jelenti. A fenti geometriai kényszert a megfelel®felület
ϕ(x, y, z) = 0 (7.2)
típusú egyenlete határozza meg. Ennek di�erenciál- vagy más néven Pfa�-alakja:
∂ϕ
∂xdx+
∂ϕ
∂ydy +
∂ϕ
∂zdz = ∇ϕ · dr = 0 . (7.3)
A dr = (dx, dy, dz) vektort lehetséges elmozdulásnak nevezzük mivel kizárólag a kötésseláll összefüggésben és se a mozgásegyenletek se a kezdeti feltételek megszorításának nincsalávetve. A részecske valós elmozdulása egy a végtelen sok lehetséges elmozdulások közül.(7.2) a ϕ(r) skalárfüggvény egy szintfelületét határozza meg melyre a függvény gradiense
25
26 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK
mer®leges. Következésképpen a kényszerer® a ϕ gradiensének irányába kell mutasson.Tehát
F′ = λ∇ϕ . (7.4)
A (7.3) egyenletb®l nyilvánvaló az elmozdulás, azaz a pálya, és a kényszerer® ortogona-litása is. A kényszerer® által végzett munka a dr elmozdulás során
dW = F′ · dr = 0 ,
azaz az id®t®l független kényszerek esetén fellép® kényszerer®k nem végeznek munkát.Most már négy változó, x, y, z koordináták illetve λ, id®függését kell meghatároznunk.Ezt a (7.1) (3 egyenlet) és a (7.2) (1 egyenlet) azonos számú egyenletb®l meg is tehetjük.A 2. példában megjelen® kényszerer®k hatására a görbeként modellezhet® hullámvasútvágányát vagy a merev drótot nem hagyhatják el a rajtuk mozgó testek. Három dimen-zióban egy görbe felírható mint két, ϕ1 és ϕ2, felület metszésvonala, azaz a mozgás sorána
ϕ1(x, y, z) = 0 , ϕ2(x, y, z) = 0 (7.5)
egyenletek egyid®ben ki kell legyenek elégítve. A görbe tehát két kényszerrel egyenérték¶.Ha az elemi elmozdulás a görbe mentén dr és ez ortogonális mindkét függvény gradiensére,akkor azoknak tetsz®leges lineáris kombinációjára is mer®leges. A kényszerer® általánoskifejezése így
F′ = λ1∇ϕ1 + λ2∇ϕ2 .
Az így megjelent öt ismeretlenre � három koordináta, λ1 és λ2 � a (7.1) és (7.5) révénazonos számú egyenlet jut tehát a feladat megoldható.Ha rögzítjük két részecske közötti d távolságot, miként azt a 3. példában tesszük, akkora kötést a
ϕ(x1, y1, z1, x2, y2, z2) ≡ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − d2 = 0
hat dimenzióba ágyazott öt dimenziós �felület� egyenletével határozzuk meg. Ez esetbenmozgásegyenleteink az (x, y, z) három dimenzióra felírt (7.1) mozgásegyenleteknek az(x1, y1, z1, x2, y2, z2) hat dimenziós kiterjesztésének tekinthet®k, ahol
F′ = λ∇12ϕ(r1, r2) , ∇12 =
(∂
∂x1,∂
∂y1,∂
∂z1,∂
∂x2,∂
∂y2,∂
∂z2
).
A kötésnek a részecskék felcserélésével szembeni szimmetriája miatt belátható, hogy akét részecskére ható kényszerer®k � az F′ els® három illetve utolsó három komponense �bels® er®k, tehát azonos nagyságúak és ellentétes irányításúak.A 4. példa az 1. példa általánosítása id®t®l függ® kényszerekre. Ebben az esetben akényszert leíró egyenlet integrálformában
ϕ(x, y, z, t) = 0
alakú míg Pfa�-alakja
∂ϕ
∂xdx+
∂ϕ
∂ydy +
∂ϕ
∂zdz +
∂ϕ
∂tdt = ∇ϕ · dr+ ∂ϕ
∂tdt = 0 . (7.6)
Mivel a kényszerer® irányára vonatkozó követelmény ugyanaz, nevezetesen mer®leges kelllegyen a felületre, (7.4) továbbra is érvényes viszont a (7.6)-ban megjelen® utolsó tag
7.1. VIRTUÁLIS ELMOZDULÁS. VIRTUÁLIS MUNKA 27
miatt a kényszerer® és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. Ez annak tulaj-donítható, hogy az elmozdulásnak nem csak egy felület menti összetev®je van, úgy mintaz id®t®l független esetben, hanem ehhez még hozzáadódik a felülettel való együttmozgás-ból adódó összetev® is. Következésképpen id®t®l függ® kényszerek esetén a kényszerer®káltal végzett munka nem nulla.
7.1. Virtuális elmozdulás. Virtuális munka
Ilyen esetben szokásos a δr, ún. virtuális elmozdulás vektorral dolgozni, ami egy adottid®pillanatban a kényszerrel kompatibilis végtelen kis elmozdulást jelent (7.1. ábra). Úgyis mondhatjuk, hogy a rendszert egy másik, a kötés pillanatnyi állapotának megfelel®helyzetben képzeljük el. Ez végtelen nagy sebességgel történ® elmozdulásnak felel meg,azaz δt = 0. Mint ilyen, az id® tényez® szerepe megsz¶nik és a virtuális elmozduláskielégíti a
∂ϕ
∂xδx+
∂ϕ
∂yδy +
∂ϕ
∂zδz = ∇ϕ · δr = 0 (7.7)
egyenletet. A megfelel® virtuális munka pedig nulla.
δW = F′ · δr = 0 , (7.8)
Ha egy pontrendszer egyensúlyban van, akkor külön-külön minden egyes részecskére hatóer®k ered®je nulla:
Fi + F′i = 0 . (7.9)
A fenti er®ket megszorozva a δri virtuális elmozdulásokkal a kapott virtuális munkák isnullák lesznek. (7.8) alapján a teljes virtuális munka:∑
i
Fi · δri = 0 . (7.10)
7.1. ábra. Virtuális, δr, és lehetséges, dr, elmozdulások, adott ϕ(x, y, z, t) = 0 id®függ®kényszer esetén.
A gondolatmenet megfordításával kijelenthet® az alábbi elv:
28 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK
Virtuális munka elve Egy pontrendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban,ha a szabader®k munkája bármely virtuális elmozdulásnál nulla
(7.10) el®nye az eredeti (7.9) egyenlettel szemben az, hogy elkerüli a kényszerer®k kiszá-mítását. Helyette a kényszerekkel összeegyeztethet® virtuális elmozdulások bevezetésétteszi szükségessé. Bizonyos esetekben ezek könnyen el®állíthatók. Ha például az egyesδri virtuális elmozdulások egymástól függetlenek, akkor (7.10) maga után vonja az egyesFi er®k elt¶nését is. Általában viszont a kényszerek kapcsolatot teremtenek a virtuáliselmozdulások között és ezért a δW = 0 feltételb®l nem következtethetünk arra, hogyFi = 0. Ilyenkor a (9) szakaszban tárgyaltak szerint kell eljárni.
7.2. A kényszerek általános alakja
Írjuk fel az eddig tanulmányozott kényszertípusokat általános Pfa� alakban egy N ré-szecskéb®l álló rendszerre s darab kötés esetén. Az x1, y1, z1, ..., xN , yN , zN koordinátákraa homogénabb x1, x2, ...x3N jelölést alkalmazva keresett a kényszerek:
3N∑j=1
aαjdxj + aα0dt = 0 , α = 1, s , (7.11)
ahol az aαj együtthatók az összes koordináta és az id® ismert folytonos függvényei.Amennyiben ezek felírhatók mint egy megfelel® ϕα(x1, x2, ...x3N , t) függvények parci-ális deriváltjai, miképpen azt a (7.3)-ben láttuk, akkor azt mondhajuk, hogy a kényszerholonom. Ez esetben a másodrend¶ deriváltakra fennáll, hogy
∂2ϕα∂xi∂xj
=∂2ϕα∂xj∂xi
tehát a holonom jelleg feltétele a
∂aαi∂xj
=∂aαj∂xi
egyenl®ség teljesülése.Amennyiben a holonom kényszerek nem függnek az id®t®l, azaz aα0 = 0, α = 1, s, akkora rendszert szkleronomnak, ellenkez® esetben reonomnak nevezzük.A virtuális δxj elmozdulásokra fennáll, hogy
3N∑j=1
aαjδxj = 0 , α = 1, s ,
és a megfelel® kényszer®kre, hogy
F ′j =
s∑α=1
λαaαj , j = 1, 3N
ahol az s darab λα ismeretlen multiplikátor a 3N darab koordinátával együtt meghatá-rozható a 3N mozgásegyenlet és s kötésb®l.
7.3. SZABADSÁGI FOKOK 29
7.3. Szabadsági fokok
A térben szabadon mozgó (kényszereknek nem kitett) tömegpont helyzetét azx, y és z független koordinátával jellemezzük. N részecske esetén a 3N darabx1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN koordinátákkal tudjuk egyértelm¶en meghatározni a rendszerállapotát az Euklideszi-térben. Egy asztallapon mozgo részecske leírásához két koordi-náta, a matematikai inga esetén egyetlen φ kitérési szög szükséges.
Egy rendszer szabadsági foka alatt azon koordináták minimális számát értjük melyekegyértelm¶en jellemzik a rendszer állapotát.
A kényszerek kapcsolatot teremtenek a koordináták között így ezek már nem tekinthet®kfüggetleneknek. Tételezzük fel, hogy az (7.2) kényszer esetén például létezik egy egyen-érték¶ z = z(x, y) típusú explicit felírási mód1. Ebben a formában nyilvánvaló, hogy akényszer révén elégséges feladatunkat csak két koordináta függvényében felírni és megol-dani. A harmadik koordináta bármikor származtatható az el®bbi kett®b®l. Tehát a kötéscsökkentette egyel a szabadsági fokok számát. Úgy is mondhatjuk, hogy az eredetilegháromdimenziós rendszerünk egy két dimenziós altérben mozog. Görbe esetén két kö-tésünk, azaz két egyenletünk van � lásd az (7.5) egyenleteket � tehát elvben úgy az ymint a z koordináták kiküszöbölhet®k a mozgásegyenletekb®l és az x koordinátára kapottmegoldásból a teljes háromdimenziós mozgás megadható. Ez esetben a szabadsági fokokszáma egy. Általánosítva az el®bbieket a következ®t állapíthatjuk meg
Minden kötés eggyel csökkenti a szabadsági fokok számát. s darab kötésnek alávetettN részecskéb®l álló pontrendszer szabadsági fokainak a száma
f = 3N − s . (7.12)
Egy merev testet egy olyan pontrendszernek tekinthetünk, melyben bármely pontpárrelatív távolsága állandó, azaz
(ri − rj)2 − dij = 0 , i, j = 1, N
ahol i és j indexek az összes pontok halmazán futnak végig. Az a tény, hogy azN(N − 1)/2 kötések száma meghaladja a 3N értéket azzal magyarázható, hogy ezeka kötések nem függetlenek. Tudnillik, az a tény, hogy a a fenti pontrendszerben egyadott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezked® ponttólrögzített, automatikusan maga után vonja ugyanezt a tulajdonságot tetsz®leges má-sik három ponthármas esetén is. A rendszer szabadsági fokainak számát úgy szá-míthatjuk ki, hogy gondolatban egyenként visszünk be újabb és újabb részecskéket
1A függvény típusának és értelmezési tartományának függvényében létezik vagy sem megfelel® explicit
alak
30 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK
és minden lépésben könyveljük a szabadsági fokok és a független kötések számát:Részecske Szabadsági fokok Kötések
1. 3 02. 3 1 (távolság az els® részecskét®l)3. 3 2 (távolság az els® két részecskét®l)
i > 3. 3 3 (távolság korábbi három részecskét®l)Összesen tehát s = 1 + 2 + 3(N − 3) = 3N − 6 kötésünk van. Következésképpen:
Egy merev test szabadsági fokainak száma hat.
7.4. Általános koordináták
A gyakorlatban a kényszerek következtében lecsökkent dimenzionalitású rendszer moz-gását nem a fenti eljárás szerint tanulmányozzuk. Az (7.2) implicit egyenlet általábannem írható át explicit formába, de ha lehetne akkor se sokat segítene mivel a kényszer-er®k kiszámítása meglehet®sen bonyodalmas lenne. Viszont mindig van egy egyenérték¶parametrikus felírása is a (holonom) kényszerfelületnek:
x = x(q1, q2)
y = y(q1, q2)
z = z(q1, q2) .
q1 és q2 ún. általános koordináták.
Példa
Egy R sugarú gömbfelületen való mozgás esetén a kényszerfelület egyenlete:
ϕ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 −R2 = 0 .
A két általános koordináta a q1 = θ és q2 = φ szögváltozók lehetnek. Ebben az esetbena kényszert úgy is felírhatjuk, mint a
x = x(r, θ, φ) = r sin θ cosφ
y = y(r, θ, φ) = r sin θ sinφ
z = z(r, θ, φ) = r cos θ .
koordinátatranszformációt követ®
ψ(r, θ, φ) = r −R = 0 , tehát r = állandó .
kikötést.
7.4. ÁLTALÁNOS KOORDINÁTÁK 31
Példa
Egy l hosszúságú matematikai inga esetén az
x = 0 , y2 + z2 = l2
kötések vannak érvényben. Áttérve az ρ, φ, x henger koordinátákra úgy, hogy a hengeralkotója mer®leges a mozgás síkjára, azaz
x = x ,
y = ρ sinφ ,
z = ρ cosφ ,
a fenti kötések azx = 0 , ρ = l
alakot öltik.
Szemben az el®bbi két példával, nem minden holonom feltétel esetén áll módunkban olyanx1, x2, . . . , x3N → q1, q2, . . . q3N transzformációt végezni, melyben a k darab kötést meg-felel® számú q koordináta állandósága hivatott biztosítani. Ha a kötések nem holonómok,akkor a kötések még csak nem is vezetnek a koordináták számának csökkenéséhez.Általános koordinátákat nem csak akkor használunk, ha segítségükkel kötések egyszer¶b-ben kifejezhet®ek, hanem valahányszor a feladat sajátosságai révén a számítások könnyí-tését eredményezik. Ha például a feladatban megjelen® er®terek és/vagy a kezdeti ésperemfeltételek rendelkeznek valamely egyszer¶, például szférikus, hengerszimmetrikusvagy eltolással szembeni, szimmetriával, akkor megfelel® koordinátatranszformációkat kö-vet®en a nem triviális egyenletek száma csökken vagy megoldásuk egyszer¶södik. Errepélda a centrális er®térben való kényszermentes mozgás esete. (Lásd a centrális er®térrevonatkozó fejezetet a [4] jegyzetben)Vizsgáljuk meg, hogy miként módosulnak a korábban Descartes-i koordináta rendszerbenfelírt �zikai mennyiségek a koordinátatranszformációkat követ®en. Legyen a transzformá-ció
ri = ri(q1, q2, . . . , qf , t) , i = 1, N (7.13)
vagy a jelölés egyszer¶sége kedvéért
xi = xi(q, t) , i = 1, 3N ,q = (q1, q2, . . . , qf ) (7.14)
ahol f ≤ 3N . Használjuk azt az egyezményt, hogy a részecskék tömegeire vonatkozó mi
jelölésben az index, a koordinátákhoz hasonlóan, egy és 3N között változik, tehát fennáll,hogy m3k−2 = m3k−1 = m3k , k = 1, N .Egy tetsz®leges F (q, q, t) függvény id® szerinti teljes deriváltja:
d
dtF (q, q, t) =
∂F
∂qrqr +
∂F
∂qrqr +
∂F
∂t.
32 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK
Az F = F (q, t) sajátos esetben, azaz mikor nincs sebességfüggés:
d
dtF (q, t) =
∂F
∂qrqr +
∂F
∂t. (7.15)
A fenti egyenletb®l következik az:
d
dt
∂
∂qsF (q, t) =
∂
∂qs
d
dtF (q, t)
tulajdonság, azaz a kétféle derivált sorrendjének felcserélhet®sége.(7.14) és (7.15) alapján a sebesség:
xi =dxidt
= qr∂xi∂qr
+∂xi∂t
. (7.16)
A mozgási energia:
T =∑i
mi
2x2i =
=∑i
mi
[∂xi∂qr
∂xi∂qs
qr qs + 2∂xi∂t
∂xi∂qr
qr +
(∂xi∂t
)2]
= T2 + T1 + T0 ,
(7.17)
ahol
T2 =1
2αrsqr qs (7.18)
másodrend¶en homogén (kvadratikus) kifejezése az általános sebességeknek,
T1 = βr qr , (7.19)
els®rend¶en homogén (lineáris) kifejezése az általános sebességeknek, míg
T0 = γ ,
egy nemnegatív függvénye az általánosított koordinátáknak és az id®nek. Mivel αrs, βrés γ az általános koordináták és id® függvényei, ezért a mozgási energia egy T =T (q, q, t),q = (q1, q2, . . . , qf ) típusú függvény lesz. T1 és T0 csak nem elt¶n® ∂xi/∂tesetén jelenik meg. Következésképpen
Id®t®l független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus azáltalános sebességekben.
8. FEJEZET
A D'Alembert elv
A 7.1 szakaszban megfogalmazott virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmaz-ható. Hasznosságát tekintve, érdemes kiterjeszteni dinamikai rendszerekre. Az i. részecskemozgásegyenlete:
pi = Fi + F′i ,
ahol Fi a szabader®k és F′i a kényszerer®k ered®je. A fenti egyenletet átírhatjuk úgy,hogy
Fi + F′i − pi = 0 ,
ahol −pi tag úgy tekinthet® mint egy tehetetlenségi er®, ami a többi er®höz hasonló mó-don ad járulékot az ered® er®höz. Ezzel a dinamika második törvényének egy alternatívmegfogalmazásához jutunk. Eszerint egy testre ható er®k ered®je mindig nulla. Kihasz-nálva az F′i kényszerer®k és a megfelel® δri virtuális elmozdulások ortogonalitását a (7.10)virtuális munka elve az ∑
i
(Fi − pi)δri = 0 (8.1)
alakot ölti. Ez az úgynevezett D'Alembert elv.
33
9. FEJEZET
Lagrange egyenletek
Úgy a (7.10) virtuális munka mint a (8.1) D'Alembert-elv gyakorlati alkalmazását az atény nehezíti meg, hogy a δri virtuális elmozdulások egymástól nem függetlenek. Alkal-mazva az egységesített jelölést az indexekre a (8.1) egyenlet:∑
i
(Fi − pi)δxi = 0 , i = 1, 3N . (9.1)
3N darab in�nitezimális δxi mennyiség között s kötés teremt kapcsolatot. Tételezzük fel,hogy a kényszerek holonomok, tehát f = 3N − s darab független változóval jellemezhet-jük a rendszert. Legyenek ezek a q1, q2, . . . , qf általános koordináták, és kapcsolatukat aDescartes-i koordinátákkal a (7.14) koordinátatranszformációk adják meg. A δxi virtuáliselmozdulásokat is kifejezhetjük általános koordinátákkal:
δxi =∂xi∂qr
δqr , r = 1, f
ahol alkalmaztuk az összegzési konvenciót. A virtuális munka
δW =∑i
Fiδxi = Fi∂xi∂qr
δqr = Qrδqr (9.2)
ahol
Qr =∑i
Fi∂xi∂qr
, r = 1, f
az ún. általános er®k.A statikus rendszerekre alkalmazott virtuális munka elve a qr általános koordináták füg-getlensége miatt az általános er®k elt¶nését azaz a
Qr = 0
egyenl®séget vonja maga után.Az (9.1) egyenletb®l a D'Alembert elv megfelel® egyenlete:∑
i
pi∂xi∂qr−Qr = 0 . (9.3)
35
36 FEJEZET 9. LAGRANGE EGYENLETEK
A fenti egyenletben a Descartes-i és általános koordináták egyszerre vannak jelen, amihasználhatatlanná teszi. Próbáljuk meg kizárólag az általános koordináták segítségévelfelírni. (7.16) mindkét oldalát di�erenciálva qr szerint kapjuk, hogy:
∂xi∂qr
=∂xi∂qr
. (9.4)
pi∂xi∂qr
=d
dt
(pi∂xi∂qr
)− pi
d
dt
(∂xi∂qr
)(9.5)
d
dt
(pi∂xi∂qr
)=
d
dt
(mixi
∂xi∂qr
)=
d
dt
∂
∂qr
(mi
2x2i
)(9.6)
pid
dt
(∂xi∂qr
)= pi
∂
∂qr
d
dtxi = mixi
∂xi∂qr
=∂
∂qr
(mi
2x2i
)(9.7)
Behelyettesítve (9.6)-t és (9.7)-t az (9.5)-ba, az utóbbit pedig (9.3)-ba egy nagy jelent®-ség¶ egyenlethez jutunk:
Lagrange-féle másodfajú egyenlet
d
dt
(∂T
∂qr
)− ∂T
∂qr= Qr . r = 1, f (9.8)
Figyelembe véve a mozgási energiára megállapított (7.17), (7.18) és (7.19) egyenleteketa Lagrange-egyenletek másodrend¶ di�erenciálegyenletei a qr(t) függvényeknek. Ezértaz egyértelm¶ megoldáshoz szükséges úgy a koordinátákra mint a sebességekre kezdetifeltételeket szabni. Ezek q(t0) = q0 illetve q(t0) = q0 alakúak.Bár a virtuális elmozdulás fogalmára alapozva indultunk el, az eredményben ez mégse je-lent meg explicit módon. Sikerült általánosított koordinátákkal olyan mozgásegyenleteketfelírni, melyekb®l gyakorlatilag teljesen ki lettek küszöbölve a kényszerek.Az 4 szakaszban tárgyaltuk a munka, er® és potenciális energia fogalmait és a köztükfennálló kapcsolatokat. Alkalmazzuk az itt tett megállapításokat a δqr virtuális elmozdu-lás, δW virtuális munka és a Qr általánosított er® esetére. Feltételezzük, hogy az er® egyolyan �virtuálisan konzervatív� er®térnek tulajdonítható, melyet az U(q, t) potenciálisenergia jellemez1. A virtuális munka így:
δW = Qrδqr = −δU = − ∂U∂qr
δqr .
tetsz®leges δqr-re, tehát
Qr = −∂U
∂qr. (9.9)
Behelyettesítve a konzervatív általános er® (9.9) kifejezését a (9.8) Lagrange-egyenletbe,az utóbbi a következ® alakot ölti:
1Konzervatív abban az értelemben, hogy a tér által végzett munka zárt görbe mentén nulla, amennyi-
ben végtelenül rövid id® alatt járjuk be azt.
37
Lagrange egyenlet
d
dt
(∂L
∂qr
)− ∂L
∂qr= 0 , r = 1, f ahol L(q, q, t) = T (q, q, t)− U(q, t) .
(9.10)
Az L = T − U függvényt Lagrange-függvénynek nevezzük. Hangsúlyozzuk, hogy a moz-gásegyenletek fenti alakja konzervatív kölcsönhatás és holonom kötések esetén érvényes.
10. FEJEZET
Minimális hatás elve
A következ®kben a (9.10) Lagrange-egyenletet olyan formába írjuk át, hogy a virtuális el-mozdulások tényleges szerephez jussanak és ezáltal egy gyökeresen más rálátást nyerjünkNewton második törvényére. A δq(t) virtuális elmozdulást minden id®pontban másnak,azaz id®függ®nek vehetjük. Úgy tekinthet®, mint a q(t) valós pálya és a q(t) + δq(t)virtuális pályák közötti eltérés. Következésképpen a valós pályával szemben támasztottsimasági követelményt kiterjeszthetjük a virtuális elmozdulásra, azaz legyenek folyto-nosan deriválhatók. Ennek egyik következménye, hogy értelmezhet® a q sebességek δqvirtuális változása és fennáll, hogy:
d
dtδqr(t) = δqr(t) , (10.1)
azaz a virtuális elmozdulás id® szerinti deriváltja megegyezik a sebességben történ® vir-tuális változással. A továbbiakban nem tüntetjük fel a qr és származtatott mennyiségekid®függését.Egy tetsz®leges f(q, q, t) mennyiség megfelel® virtuális változása els®rendben:
δf(q, q, t) = f(q+ δq, q+ δq, t)− f(q, q, t) =
=∂f
∂qrδqr +
∂f
∂qrδqr =
(10.1)→ =∂f
∂qrδqr +
d
dt
(∂f
∂qrδqr
)− d
dt
(∂f
∂qr
)δqr =
=d
dt
(∂f
∂qrδqr
)+
[∂f
∂qr− d
dt
(∂f
∂qr
)]δqr
Vezessük be a
I[q; t0, t1] =
∫ t1
t0
f(q, q, t)dt
integráltat. I függvénye a t0 és t1 integrálási határoknak és funkcionálja a q(t) pályának.Ez azt jelenti, hogy minden q0 = q(t0) és q1 = q(t1) pontot összeköt® pályához azf = 3N − s dimenziós térben egyértelm¶en megfeleltet egy valós értéket. Egy δq(t)
39
40 FEJEZET 10. MINIMÁLIS HATÁS ELVE
virtuális elmozdulás els®rendben egy
δI[q; t0, t1] = I[q+ δq; t0, t1]− I[q; t0, t1] =
=
∫ t1
t0
[f(q+ δq, q+ δq, t)− f(q, q, t)]dt =
=
∫ t1
t0
δf(q, q, t) =
=∂f
∂qrδqr
∣∣∣∣t1t0
+
∫ t1
t0
[∂f
∂qr− d
dt
(∂f
∂qr
)]δqrdt
változást okoz az I értékében. Tekintsük a virtuális pályák egy olyan osztályát, melybena q0 és q1 végpontok rögzítettek, azaz formálisan: δq0 = δq1 = 0. Ebben az esetben afenti egyenlet jobboldalán megjelen® els® tag elt¶nik és:
δI[q; t0, t1] =
∫ t1
t0
[∂f
∂qr− d
dt
(∂f
∂qr
)]δqrdt
Mivel δq(t) tetsz®leges függvény, ezért egy ide vonatkozó matematikai tétel értelmébenaz integrál elt¶nésének szükséges és elégséges feltétele a
∂f
∂qr− d
dt
(∂f
∂qr
)= 0 (10.2)
egyenlet teljesülése1. A fenti összefüggés teljesülése esetén az I[q; t0, t1] els®rendben nemváltozik, azaz a funkcionál stacionáriusnak mondható q(t)-ben. A stacionaritás típusá-nak � minimum, maximum vagy áthajlás � megállapítása további tanulmányozást teszszükségessé. Err®l a következ® fejezetben esik majd szó.Próbáljuk meg ezt az eredményt a Lagrange-féle mozgásegyenletek esetén hasznosítani.A mechanikai rendszerek L(q, q, t) Lagrange-függvényére megállapított (9.10) mozgás-egyenletek azonosak a (10.2) egyenletekkel. Következésképpen a rendszer mozgását azalábbi elv formájában is megfogalmazhatjuk:
1Tétel: Ha egy f(x) folytonos valós függvényre fennáll, hogy∫ x1
x0
f(x)η(x)dx = 0
minden olyan η(x) folytonosan di�erenciálható valós függvényre, mely kielégíti a η(x0) = η(x1) = 0peremfeltételeket, akkor az f(x) függvény azonosan nulla az [x0, x1] szakaszon. A fenti tétel kiterjeszthet®
többváltozós függvényekre. Ez esetben, ha
m∑i=1
∫ x1
x0
fi(x)ηi(x)dx = 0 , ηi(x0) = ηi(x1) = 0 ,
és η1(x), η2(x), . . . ηm(x) egymástól függetlenek, akkor fennáll, hogy
f1(x) = f2(x) = · · · = fm(x) = 0 , x ∈ [x0, x1]
41
Minimális hatás elve) Egy f szabadsági fokú rendszer egy olyan q(t) =(q1(t), q2(t), . . . , qf (t)) pályán mozog a t0 és t1 id®pontok között a q(t0) pontból aq(t1) pontba, hogy az
S[q; t0, t1] =
∫ t1
t0
L(q, q, t)dt (10.3)
hatásfüggvény, vagy másnéven hatásintegrál, minimális.
A fenti, Hamilton-elvként is ismert, elvet Newton általános érvény¶ mozgástörvényéb®lvezettük le olyan konzervatív rendszerekre melyek kizárólag holonom kötéseknek van ki-téve. Mint ilyen kevésbé általános érvény¶ mint a Newton második törvényét képez®(2.1) másodrend¶ di�erenciálegyenlet. Ennek ellenére úgy van tekintve, mint az anyagmindenféle megjelenési formájának id®beli evolúcióját irányító univerzális elv. A látszó-lagos ellentmondás annak tulajdonítható, hogy az elv az elemi részecskék (terek) és ezekkölcsönhatásainak leírására érvényes. Ezen az alapszinten is értelmezettek a koordináta,impulzus és energia fogalmai melyek a Hamilton-elv �épít®kockái� Az anyag összetettebbformái és ezek makroszkópikus viselkedése
SZAKIRODALOM
[1] Landau L.D., Lifsitz E.M.: Elméleti �zika I, Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest(1988)
[2] Goldstein H., Classical mechanics, Addison-Wesley (1980)
[3] Nagy K.: Elméleti mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest (1989)
[4] Lázár Zs.I., Lázár J.: Az elméleti mechanika alapjai, egyetemi jegyzet (2011)
[5] Fenyman R.P., Leighton R.B., Sands M.: Mai �zika 7, M¶szaki Könyvkiadó, Buda-pest (1970)
[6] Fényes I.: Modern Fizikai Kisenciklopédia, Gondolat Könyvkiadó Budapest (1971)
[7] Gombás P., Kisdi D.: Bevezetés az Elméleti �zikába, Akadémia Könyvkiadó Buda-pest (1971)