Mat

emat

ik

20 LMFK-bladet 4/2015

Fysi

k

Denne artikel handler om bevægelse af en genstand under på-virkning af tyngdekraften og luftmodstand, hvor luftmodstan-den er proportional med farten . Vi vil se på situationen, hvor et legeme bliver skudt lodret op med en begyndelsesfart på v0 . Ved ingen luftmodstand er varigheden af opturen (top) det samme som varigheden af nedturen (tned) .

Spørgsmålet er så, hvorledes det forholder sig i virkelighedens verden, hvor der er luftmodstand til stede . Svaret er, at tned er større end top og man kan argumentere som følgende: Ved in-gen luftmodstand haves en begyndelsesfart på v0 ved jorden og den maksimale højde (ymax1) opnås i løbet af tiden top1 og på nedturen vil genstanden have opnået en fart på v0 efter tids-rummet top1 (målt efter at genstanden har toppet ved ymax) og dermed vil genstanden have nået jorden . Når der er luftmod-stand haves en begyndelsesfart på v0 og den maksimale højde (ymax) opnås i løbet af tiden top og på nedturen vil genstanden pga . luftmodstanden opnå en fart, der er mindre end v0 efter tidsrummet top (målt efter at genstanden har toppet ved ymax), og dermed vil genstanden ikke have nået jorden, og dermed er varigheden af nedturen længere end varigheden af opturen .

Dette argument gælder, uanset om luftmodstanden er propor-tional med farten eller, om det er proportional med kvadratet på farten . Nedenstående beregninger vil vise, at tned > top og et udtryk for tned – top =Δt vil blive udledt . Når legemet kastes lodret opad med en begyndelsesfart på v0, så er kræfterne tyngdekraften og luftmodstanden som begge virker nedad . Vi vælger et koordinatsystem med begyndel-sespunkt ved jorden, hvorfra genstanden bevæger sig opad . Koordinatsystemet er orienteret positivt opad . Ifølge Newtons 2 . lov har vi følgende differentialligning

m vt mg kvd

d =− − ⇔ =− − = >

dd hvorvt g av a k

m 0

Differentialligningen løses i intervallet

− − < ⇔ >−g av v ga0

Dette er opfyldt ved den opadgående bevægelse, idet legemets begyndelsesfart er v0 > 0, og når genstanden når den maksi-male højde (ymax) er v = 0. Differentialligningen løses vha. se-parationsmetoden:

∫ ∫− −=

d dvg av t

Vi foretager følgende substitution:

− − = ⇒ − ⋅ = ⇔ =−

g av z a v z v zad d d d

−= + ⇔∫

11a

zz t cd

(1)

− ( )= − − −( )= +1 11a z a g av t cln ln

Konstanten c1 bestemmes af begyndelsesbetingelsen, at til t = 0 er v = v0 . Vi har altså, at:

−

− −( )=10 1a g av cln

Indsættes ovenstående i (1) fås:

(2)

1

1

0

0

a g av g av t

ag avg av t

g a

ln ln

ln

− −( )− − −( )( )=− −− −

=

− − vvg av e

g avg av e

g av g av e

g av ge

at

at

at

at

0

0

0

− −=

− −− −

=

− − = − −( )− − =−

−

−

− −−

−+ + = ( )

( )= +

−

− −

−

av ega

ga e v e v t

v t e v ga

at

at at

at

0

0

0op −−ga

Når legemet opnå den maksimale højde er v = 0, og for at be-regne varigheden af opturen løses ligningen v(t) = 0.

(3)

e v ga

ga

ega

v ga

ev g

aga

avg

t

at

at

at

−

−

+

− =

=+

=+

= +

=

0

0

0 0

0

1

1aa

avg

mk

kvmg tln ln1 10 0+

= +

= op

Den maksimale højde bestemmes ved først at finde stedfunk-tionen for denne bevægelse .

v t yt e v g

aga

at( )= = +

−

−dd 0

Integration af ovenstående giver:

∫ ∫ ∫= +

−

+ =−

+

−d d dy v ga e t g

a t

y c a vga e

at0

2 01 −− −at

ga t (4)

Bevægelse med luftmodstand

Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium og HF

Mat

emat

ik

LMFK-bladet 4/2015 21

Fysi

k

"Gamle Protactinium-generatorer skal bortskaffes" SIS, Statens Institut for

Strålebeskyttelse April 2015

Se mere på vores webshop: www.skolebutik.dk - eller ring 4470 4000

LEVERANDØR TIL DE NATURVIDENSKABELIGE FAG

Godkendt af e-handelsfonden:Minigenerator Udtræksvæske 250mlBest.nr. 93494

Pris pr. stk. kr. 159,- excl.moms

Minigenerator(HCl) Cs/Ba-137Den kendte malke-ko med 156 sek. halveringstid er nu eneste udstyr til halveringstids-forsøg...Leveres med speciel udtræksvæske. Dryp væsken igennem minigeneratoren og mål på udtrækket. I en normal under-visningslektion kan minigeneratoren med godt udbytte malkes 3 gange! Godkendt af SIS!

Best.nr. 93491 incl. udtræksvæske, plastsprøjte og alu-skåle Pris kr. 2.885,- excl.moms

Se mere på vor udstilling på ÅRSMØDET

Konstanten c2 bestemmes af begyndelsesbetingelsen, nemlig at til t = 0 er y = 0. Vi har altså:

c a vga2 0

1=−

+

Indsættes ovenstående i (4) fås, at:

y a vga e g

a tat

op = +

−( )−−1 10 (5)

For at bestemme den maksimale højde indsættes tidsresultatet (3) for opturen i ovenstående formel . Vi har derved følgende:

’

(6)

y a vga e

a aavg

max = +

−

− +

1 10

1 1 0ln

− +

= +

−

ga

avg

y a vga

20

0

1

1 1 1

ln

max11

10

20

+

− +

=

avg

ga

avg

y

ln

max11

10

0

02ag v

ga

avavg

ga

+

+

− ln 11

1

0

02

020

20

+

=++

− +

avg

y av gvag a v

ga

avgmax ln

=++

− +

y ��v � gv

��g �vg��

�v�gmax

02 2

020

2

201ln

Lad os herefter behandle bevægelsen af legemet på nedturen, hvor tyngdekraften virker nedad, mens luftmodstanden virker opad . Vi indfører et koordinatsystem med nulpunktet ved le-gemets begyndelsessted (ymax), hvor begyndelsesfarten er nul, og den positive y–akse orienteret nedad .

I begyndelsesfasen er farten lav og dermed er gnidningen lille, men når farten øges pga . tyngdekraften vokser gnidningskraf-ten, og når gnidningskraften bliver lige så stor men modsatrettet tyngdekraften, så er den resulterende kraft nul, og legemet be-væger sig med konstant fart . Legemets slutfart må altså være:

k v m g v mgk⋅ = ⋅ ⇔ =slut slut

Newtons 2 . lov giver følgende differentialligning:

m vt m g k v

vt g a v

⋅ = ⋅ − ⋅

= − ⋅

dd

dd (7)

hvor a = k/m .

Differentialligningen løses i intervallet

g av v mg

k v− > ⇔ < =0 slut

Som beskrevet før er dette opfyldt på nedturen, idet begyndel-sesfarten er nul og vokser asymptotisk mod ovenstående slutfart . Ligning (7) løses vha . seperationsmetoden . Vi har altså følgende:

Mat

emat

ik

22 LMFK-bladet 4/2015

Fysi

k

∫ ∫− ⋅=

d dvg a v t

Vi indfører følgende variabelskift:

(8)

g a v w a v w

aww t c

a w t c

− ⋅ = ⇒ − ⋅ =

−= +

−⋅ = +

∫d d

d1

1

1

1ln( )

Konstanten c1 bestemmes af begyndelsesbetingelsen, nemlig at til t = 0 er v = 0 og dermed er w = g . Vi har altså:

1

1−⋅ ( )=a g cln

Ved indsættelse af ovenstående i (8) fås:

(9)

(10)

1a g w t

w g a t

wg a t

⋅ ( )− ( )

=

( )− ( )=− ⋅=− ⋅

ln ln

ln ln

ln

lln g a vg a t

ag v e

e ag v

v t gmk

at

at

− ⋅

=− ⋅

− ⋅ =

− = ⋅

( )=

−

−

1

1

ned 11

1

−

( )= ⋅ −

−

−

e

v t v e

kmt

gv tslut

ned slut

Farten vokser altså fra nul og nærmer sig asymptotisk slutfar-ten . Vi ønsker at bestemme sammenhængen mellem tiden og brøkdelen af farten i forhold til slutfarten .

v t vned slut( )= ⋅ < <a a0 1

Vi har altså følgende ligning:

(11)

a

a

a

a

= −

= −−= −( )

=−

−( )

−

−

1

1

1

1

e

egtv

t vg

gv t

gv t

slut

slut

slut

slut

ln

ln

tt mk=−

−( )ln 1 a

Vi ønsker nu at finde stedfunktionen for denne bevægelse.

dd slut slut

slutyt v v e

gv t

= − ⋅−

Stedfunktionen findes ved at integrere ovenstående. Vi har altså:

(12)

∫ ∫ ∫

∫ ∫

= − ⋅

+ = −

−

−

d d d

d

slut slut

slut slut

slut

slu

y v t v e t

y c v t v e

gv t

gv

2tt

slut

d

slutslut

t

gv t

t

y c v t vg e+ = +

−

2

2

Til tidspunktet t = 0 er y = 0 og dermed fås, at

c v

g2

2= slut

Indsættes ovenstående i (12) fås følgende:

(13)

y t v t vg e

y t mg

gv t

ned slutslut

ned

slut( )= + −

( )=

−21

kk tm gk

ektm+ −

−2

2 1

For at beregne varigheden af nedturen indsættes udtrykket for den maksimale højde (ymax) i ovenstående og ligningen løses mht . tiden t .

(14) y mg

k tm gk

ektm

max = + −

−2

2 1

Ovenstående ligning kan ikke løses eksakt . Inden vi forsøger at løse ligning (14) approksimativt vil vi vise, at varigheden af nedturen er større end varigheden af opturen .

For opturen haves en begyndelsesfart på v0 og et tidsrum for opturen givet ved top .

mk

kvmg tln 1 0+

= op

Vi vil nu beregne genstandens fart på nedturen svarende til ovennævnte tidspunkt top efter passage af toppunktet ymax og er farten mindre end v0, så har genstanden ikke ramt jorden endnu, og dermed er varigheden af nedturen længere end tids-rummet for opturen . Udtrykket for top indsættes i (11), og der-med ønsker vi at bestemme brøkdelen α, som genstanden har opnået af terminalfarten vslut:

(15)

mk

kvmg

mk

kvmg

ln ln

ln ln

1 1

1 1

0

0

+

=−

−( )

+

=−

a

−−( )

+

= −( )( )

−= + =

+

−

a

a

a

ln ln1 1

11 1

0 1

0 0

kvmg

kvmg

mg kvmg

11

1

0

0

0

0

− =+

= −+

=+

a

a

mgmg kvmg

mg kvkv

mg kv

Mat

emat

ik

LMFK-bladet 4/2015 23

Fysi

k

Genstandens fart er således:

(16)

v t v kvmg kv

mgk

mgmg kv v kv

mg

v

ned op slut( )= =+

⋅

=+

⋅ =+

⋅

a 0

0

00

00

1

1

Da vi har at:

kvmg kv

mg

v t v0

000 1

11> ⇒

+< ⇒ ( )<nedtur op

Altså er farten mindre end begyndelsesfarten v0, og dermed har genstanden ikke ramt jorden endnu, og dermed er varigheden af nedturen længere end varigheden for opturen .

Vi kan nu forsøge at løse ligning (14) approksimativt for at finde varigheden af nedturen.

(17) y mg

k tm gk

ektm

max = + −

−2

2 1

Højresiden af ovenstående ligning rækkeudvikles .

mgk t

m gk

e

mgk t

m gk

ktm

k tm

ktm+ −

≈

+ − + −

−2

2

2

2

2 2

2

1

1 1

=12

2gt

En rækkeudvikling til højere orden i k vil resultere i en 3 . grads

polynomium i t i højresiden af (17) og dermed en betydelig vanskeligere ligning at løse .

Varigheden af nedturen tned bestemmes tilnærmelsesvis som:

t ygnedmax=

2 (18)

Vi begynder med det eksakte udtryk for ymax og foretager en Taylor–rækkeudvikling af det:

y mkv m gvmkg k v

gmk

kvmg

mkv m

max =++

− +

≈

+

02 2

020

2

20

02

1ln

220

20

2

20

202

2 2

303

3 3

404

4 42 3 4gv

mkg k vgmk

kvmg

k vm g

k vm g

k vm g+

− − + −

Ovenstående rækkeudvikling gælder under forudsætning af, at

kvmg v mg

k v001≤ ⇔ ≤ = slut

Dette er opfyldt ved ikke for store værdier for begyndelses-farten, hvor luftmodstanden er forudsat at være proportional med farten . Ved store værdier for farten er det mere rimeligt at regne med, at luftmodstanden er proportional med kvadra-tet på hastigheden .

y mkv m gvmkg k v

gmk

m g kv m g k v mgk v

max =++

−

− +

02 2

020

2

2

3 30

2 2 202 3

012 6 4 33 404

4 43

12−

k vm g

Danmarks Tekniske MuseumGRATIS adgang til LMFK’s medlemmer

Undervisningsforløb for gymnasier og skoler bl.a.

Fabriksvej 25 • 3000 Helsingør • Tel. 4922 2611skoletjenesten@tekniskmuseum.dk • www.tekniskmuseum.dk

Børn/unge under 18 år gratis • Åbent: tirsdag - søndag 10-17

- Ene

rgikr

ise

n 1973 - Den industrielle revolutio

n - Innovation - Drømmen om at f yve -

Mat

emat

ik

24 LMFK-bladet 4/2015

Fysi

k

y mkv m gvmkg k v

m g kv m g k v mgk v kmax =

++

−− + −0

2 20

20

3 30

2 2 202 3

03 412 6 4 3 vv

m g k04

2 3 212

ymkv m gv m g k m g kv m g k v mgk v

max =+( ) − − + −0

2 20

2 3 2 3 30

2 2 202 3

0312 12 6 4 3kk v mkg k v

mkg k v m g k

404 2

0

20

2 3 212

( ) +( )+( )

y m g k v m g k v mgk v k vm g k m g kmax =+ − +

+2 6 3

12 12

2 2 403 3 3 3

02 5

04 6

05

3 4 3 2 3 4vv0

Ved bevægelse uden luftmodstand er ymax givet som:

y k vgmax =( )=0 202

Denne størrelse faktoriseres i ymax og vi har derfor:

y vg

m g k m g k v mgk v k vm g k m g k

max =+ − +

+02 3 3 3 2 2 4

0502 6

03

3 3 3 2 2 426 2 3

6 6(

vv

y vg

kvmg

k vm g

k vm g

kvmg

0

02

0202

2 2

303

3 3

02

1 3 6 2

1

( )

=+ − +

+

max

Ved indsættelse i (18) fås følgende udtryk for tned:

t vg

kvmg

k vm g

k vm g

kvmg

ned =+ − +

+

0

0202

2 2

303

3 3

0

1 3 6 2

1

Af ovenstående defineres følgende funktion:

f x

x x xx( )=

+ − +

+

1 13

16

12

1

2 3

I ovenstående er x givet som xkvmg= 0 .

Taylorrækken for funktionen f er:

f x x x( )≈ − +1 13

736

2

Vi har altså følgende resultat for tned:

t v

gkvmg

k vm gned ≈ − +

0 0202

2 21 3736

For top havde vi følgende udtryk:

t m

kkvmgop = +

ln 1 0

For at sammenligne med tned rækkeudvikles top .

t mkkvmg

k vm g

k vm g

vg

kvmg

op ≈ − +

= −

0202

2 2

303

3 3

0 0

2 3

1 2 ++

k vm g

202

2 23

Tidsforskellen mellem tned og top beregnes til første orden af k:

(19)

∆t t t vg

kvmg

kvmg

kymg

= − =

= ≈

ned op

max

0 0

02

2

6

6 3

Hermed fås, at nedturen tager længere tid end opturen . Ved ingen luftmodstand, dvs . når k = 0 er Δt = 0, dvs. at opturen og nedturen tager samme tidsrum . Desuden er forskellen mel-lem de to tider størst for lette genstande . Det er også interes-sant at bemærke, at tidsforskellen er kvadratisk med farten og dermed proportional med den maksimale højde .

Eksperimenter, hvor en fjerbold bliver slået lodret op, viser, at nedturen tager længere tid. Slaget blev filmet og indsat i Loggerpro, og vha . dette program blev tiderne bestemt . For en fjerbold, der blev slået ca. 6 m op var opturstiden ca. 0,80 s og nedturstiden ca. 1,12 s. For at eftervise sammenhængen (19) kan videometoden benyttes med en systematisk variati-on af den maksimale højde (ymax) samt massen .