bài toán hình h · Hình học không gian là một chủ đề tương đối khó đối với học sinh, khó cả cách tiếp cận vấn đề và cả trong tìm lời

Trang 1

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

Hình học không gian là một chủ đề tương đối khó đối với học sinh, khó cả

cách tiếp cận vấn đề và cả trong tìm lời giải bài toán. Làm sao để học sinh học

hình học không gian dễ hiểu hơn, hoặc chí ít cũng giải được một số bài tập điển

hình nào đó là câu hỏi thường trực đối với giáo viên bộ môn Toán mà từng

ngày, từng giờ tìm câu trả lời.

Vectơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học định

lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài toán hình học được thuận

lợi. Để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của vectơ giải các bài toán

hình học, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương

pháp vectơ giải một số bài toán hình học không gian” ngõ hầu trao đổi với

các bạn đồng nghiệp những kinh nghiệm của mình trong lĩnh vực này. Đề tài chỉ

xin đưa ra một số ví dụ cho các dạng toán sau:

Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song

Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng

Chứng minh quan hệ vuông góc; tính góc và độ dài đoạn thẳng

Chứng minh các hệ thức hình học

B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Nội dung chủ đề vectơ trong chương trình Toán THPT

Ở chương trình lớp 10 vectơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức

lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương

pháp tọa độ trên mặt phẳng.

Chương 1 – Vectơ, trình bày các khái niệm cơ bản nhất về vectơ (vectơ,

vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ bằng nhau) và các phép toán cộng,

trừ vectơ, nhân vectơ với một số. Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu

Trang 2

về tọa độ: trục và hệ trục tọa độ trong mặt phẳng, tọa độ của vectơ, của điểm đối

với trục và hệ trục tọa độ.

Chương 2 – Tích vô hướng của vectơ và ứng dụng, bao gồm: định nghĩa, tính

chất, biểu thức tọa độ của tích vô hướng, hệ thức lượng trong tam giác.

Ở chương trình lớp 11, vectơ trong không gian là một bài trong Chương III

– Quan hệ vuông góc trong không gian. Các phép toán và tính chất của vectơ

trong không gian được hiểu tương tự như vectơ trong mặt phẳng, nên không

trình bày một cách tỉ mỉ. Chỉ có một khái niệm mới là sự đồng phẳng của ba

vectơ. Việc đưa vectơ trong không gian vào chương trình giúp cho việc chứng

minh một số tính chất về quan hệ vuông góc thuận lợi hơn và là một trong

những yêu cầu giảm tải của chương trình phân ban 2006.

Chương trình lớp 12 có đưa vào khái niệm tích có hướng (còn gọi là tích

vectơ) của hai vectơ, kí hiệu là ;a b

hoặc a b

, được xác định bởi biểu thức

tọa độ, để làm cơ sở viết phương trình mặt phẳng.

II. Sử dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học

Dùng vectơ và các phép toán vectơ chúng ta có thể giải nhanh gọn một số bài

tập hình học. Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng:

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng ta chứng

minh các vectơ AB

, AC

, AD

đồng phẳng, tức là AB k AC l AD

.

Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song (có thể trùng nhau)

ta chứng minh các vectơ AB

và CD

cùng phương, tức là AB kCD

.

Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), hoặc nằm

trên mặt phẳng (P) ta lấy trong (P) hai vectơ a

và b

không cùng phương

và chứng minh ba vec tơ AB

, a

, b

đồng phẳng; hoặc tìm một vectơ c

trong (P) sao cho AB

và c

cùng phương.

Để chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD ta chứng

minh . 0AB CD

.

Trang 3

Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn vectơ AB

theo các

vectơ đã biết và tính .AB AB

. Khi đó .AB AB AB

.

Để tính góc AOB ta xét tính vô hướng .OAOB

và dùng công thức

.cos.

OAOBAOBOA OB

.

III. Một số ví dụ hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ giải một

số bài toán hình học không gian

A. Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song

Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB

và

AC

cùng phương, tức là AB k AC

.

Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song, ta chứng

minh k , AB kCD

.

Ví dụ 1.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác

A’BD và CB’D’. Chứng minh rằng A, G, G’, C’ thẳng hàng.

Bước 1: Phân tích bài toán

Để chứng minh A, G, G’, C’ thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ AG

,

' 'C G

, 'AC

cùng phương.

Chọn một hệ vectơ cơ sở (gồm 3 vectơ không đồng phẳng) sao cho thuận lợi

nhất cho việc biểu diễn AG

, ' 'C G

, 'AC

theo hệ vectơ cơ sở đó, thông thường

ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh. Chú ý giả

thiết G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BD và CB’D’.

Bước 2. Thực hiện giải bài toán

Đặt AB a

, AD b

, 'AA c

Ta có: 'AC a b c

(1)

Vì G là trọng tâm tam giác A’BD nên:

1 1'3 3

AG AD AB AA a b c

(2)

Vì G’ là trọng tâm tam giác CB’D’ nên:

Trang 4

c

ba

G'

G

A D

C

C'

A' D'

B'

B 1 1' ' ' ' ' ' '3 3

C G C C C B C D a b c

(3)

Từ (1) và (2) suy ra: 1 '3

AG AC

, tức

là A, G, C’ thẳng hàng.

Từ (1) và (3) suy ra: 1' ' '3

C G AC

,

tức là A, G’, C’ thẳng hàng.

Vậy bốn điểm A, G, G’, C’ thẳng hàng.

Ví dụ 2.

Cho hai tia Ax, By chéo nhau, M di chuyển trên Ax, N di chuyển trên By. Giả

sử AM BN , I là điểm chia trong MN theo tỉ số IM kIN

. Chứng minh I di

chuyển trên một tia cố định.

Bước 1. Phân tích bài toán

Để chứng minh I di chuyển trên một tia cố định, ta cần dự đoán tia cố định

đó, muốn vậy ta xét một vài trường hợp đặc biệt:

- Khi M trùng với A, N trùng với B, gọi O là điểm chia trong đoạn AB theo

tỉ số OA kOB

.

- Lấy 0M Ax và 0N By sao cho 0 0AM BN và gọi I0 là điểm chia

trong đaọn M0N0 theo tỉ số 0 0

0 0

I MkI N .

Do vậy, điểm I di chuyển trên tia OI0.

Để chứng minh điều này, ta xét trường hợp M di chuyển trên Ax, N di

chuyển trên By và AM BN , I là điểm chia trong MN theo tỉ số IM kIN

, ta

chứng minh O, I0, I thẳng hàng. Hay các vectơ 0OI

và OI

cùng phương.


Gọi O là điểm chia trong đoạn AB theo tỉ số OA kOB

; tức là: 0OA kOB

.

Trang 5

Lấy 0M Ax và 0N By sao cho 0 0AM BN và gọi I0 là điểm chia trong

đoạn M0N0 theo tỉ số 0 0

0 0

I MkI N ; tức là:

0 0 0 0 0M I kN I

.

Đặt a OB

, 0b AM

, 0c BN

với

b c

.

Khi đó: 0 0 0 0OI OA AM M I

(1)

0 0 0 0OI OB BN N I

(2)

Từ (2) suy ra:

0 0 0 0kOI k OB BN N I

(3)

Vì 0OA kOB

và 0 0 0 0 0M I k N I

nên từ (1) và (3) suy ra:

0 0 01 1

1 1 1 1k kOI BN AM b c

k k k k

Thực hiện tương tự ta có: 11 1

kOI BN AMk k

Vì 0 0AM BN , AM BN nên 0. .AM t AM t b

; 0. .BN t BN t c

.

Bởi vậy: 01 1 .

1 1 1 1k kOI BN AM t b c t OI

k k k k

Do đó I nằm trên OI0 (đpcm).

Ví dụ 3.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc

đoạn C’D sao cho MN song song với BD’.


Đường thẳng MN song song với BD’, tức là có số thực k sao cho

'MN kBD

.

Giả sử điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C’D xác định bởi các

hệ thức MC mAC

, ' 'C N nC D

. Biểu diễn MN

và 'BD

qua hệ vectơ cơ sở,

thay vào đẳng thức 'MN k BD

ta tìm được m và n.

x

y

I0

N0

Mo

I

O

A

B

M

N

Trang 6


Đặt BA a

, 'BB b

, BC c

.

Giả sử điểm M thuộc đoạn AC và

điểm N thuộc đoạn C’D xác định bởi

các hệ thức MC mAC

, ' 'C N nC D

.

Theo giả thiết MN//BD’ nên có số k

sao cho

' 1MN kBD k a b c ka kb kc

Mặt khác

' ' ' '

1 2

MN MC CC C N mAC CC nC D m c a b n a b

n m a n b mc

Từ (1) và (2) ta có

131

23

n m k m kn k

nm k

Vậy, điểm M và n xác định bởi các hệ thức: 13

MC AC

, 2' '3

C N C D

.

B. Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh

các vectơ AB

, AC

, AD

đồng phẳng, tức là AB k AC l AD

.

Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), hoặc nằm trên

mặt phẳng (P) ta lấy trong (P) hai vectơ a

và b

không cùng phương và chứng

minh ba vec tơ AB

, a

, b

đồng phẳng; hoặc tìm một vectơ c

trong (P) sao cho

AB

và c

cùng phương.

Ví dụ 4.

Cho tứ diện ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của cạnh CD, M

chia trong AD theo tỉ số MA kMD

, N chia trong BC theo tỉ số NB kNC

.

Chứng minh I, J, M, N đồng phẳng.

c

b

a

N

A D

C

C'

A' D'

B'

BM

Trang 7


Để chứng minh I, J, M, N đồng

phẳng, ta chứng minh IJ

, IM

và IN

đồng phẳng. Hay có sự biểu diễn

IJ mIM nIN

.

Muốn vậy, ta chọn một hệ vectơ cơ

sở và biểu diễn các vectơ IJ

, IM

, IN

theo chúng, từ đó ta suy ra I, J, M, N

đồng phẳng.


Đặt AB a

, AC b

, AD c

.

Từ giả thiết M chia trong AD theo tỉ số MA kMD

, N chia trong BC theo tỉ số

NB kNC

, ta có:

1kAM kMD AM k AD AM AM AD

k

hay 1

kAM ck

1kBN k NC BN k BC BN BN AC AB

k

hay 1kBN b a

k

Từ đó:

12 1

kIM IA AM a ck

(1)

1 12 1 12 1

k k kIN IB BN a b a a bk kk

(2)

1 1 1 1 12 2 2 2 2

IJ IC ID IA AC IA AD a b c

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta thấy:

21 1

k kIM IN a b c IJk k

Vậy I, J, M, N đồng phẳng.

cba

M

N

I

J

A

B

C

D

Trang 8

Ví dụ 5.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các

cạnh AD, BB’, C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng C’D song song với mặt

phẳng (MNP).


Để chứng minh C’D song song với

mặt phẳng (MNP), ta chứng minh ba

vectơ 'C D

, MN

, MP

đồng phẳng.

Nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại hai số

thực x và và y sao cho:

' . .C D x MP y MN

.


Đặt AB a

, AD b

, 'AA c

Ta có:

1 12 2

MN MA AB BN a b c

1 1' '2 2

MP MD DD D P a b c

' ' ' 'C D C D D D a c

Giả sử ' . .C D x MP y MN

1 1 1 12 2 2 2

a c x a b c y a b c

1 1 1 12 2 2 2

a c x y a x y b x y c

112

1 1 202 2 3112

x y

x y x y

x y

Vậy 2 2' . .3 3

C D MP MN

c

ba

N

P

MA D

C

C'

A' D'

B'

B

Trang 9

Từ đó suy ra ba vectơ 'C D

, MN

, MP

đồng phẳng. Dễ thấy C’ không thuộc

mặt phẳng (MNP) nên suy ra C’D song song với mặt phẳng (MNP).

C. Chứng minh quan hệ vuông góc; tính góc và độ dài đoạn thẳng

Để chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD ta chứng

minh . 0AB CD

.

Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn vectơ AB

theo các vectơ

đã biết và tính .AB AB

. Khi đó .AB AB AB

.

Để tính góc AOB ta xét tính vô hướng .OAOB

và dùng công thức

.cos.

OAOBAOBOA OB

.

Ví dụ 6.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm

của AD va BB’. Chứng minh rằng 'MN A C .


Để chứng minh 'MN A C , ta chỉ cần khẳng định tích vô hướng

. ' 0MN A C

. Muốn vậy, ta chọn hệ vectơ

cơ sở thích hợp, biểu diễn các vectơ MN

,

'A C

qua hệ vectơ đó và tính tích

. 'MN A C

.


Đặt AB a

, AD b

, 'AA c

, ta có:

1 12 2

MN MA AB BN b a c

' ' ' ' 'A C A B A D A A a b c

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên: . . . 0a b b c c a

và

a b c x

(với x là độ dài cạnh hình lập phương)

Từ đó ta có:

c

ba

NM

A D

C

C'

A' D'

B'

B

Trang 10

1 1. '2 2

MN A C b a c a b c

2 2 21 1 1 1 1 1. . . . . .2 2 2 2 2 2

a b b b a a b a c a c b c cc

2 2 21 1 1 12 2 2 02 2 2 2

b a c x x x

Vậy 'MN A C

, suy ra 'MN A C .

Ví dụ 7.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một mặt phẳng đi

qua D’ song song với DA’ và AB’ cắt đường thẳng BC’ tại M. Tính độ dài D’M.


Chọn một hệ vectơ cơ sở, từ giả thiết của bài toán ta sẽ biểu diễn được 'D M

qua hệ vectơ cơ sở. Từ đó độ dài đoạn thẳng 2' 'D M D M


Đặt ' 'D A x

, 'D D y

, ' 'D C z

.

Một mặt phẳng đi qua D’M song song với DA’ và AB’ nên ba vectơ 'D M

,

'A D

và 'AB

đồng phẳng, tức là ' . ' . 'D M p A D q AB

Hay ' . . . . .D M p b a q c b p a p q b q c

(1)

Ba điểm B, C’, M thẳng hàng nên

' 'BC kC M

hay ' ' ' 'BB B C k C D DM

. . .a b k c p a p q b q c

. . 1 .a b kp a k p q b k q c

1 11 2

11 0

kppk p qqk q

c

b

aA' B'

C'

C

A B

D

D'

M

Trang 11

Vậy 1 1' . .2 2

D M a b c

Ta có 2

2 2 2 21 1 1 1 1' . . . . .2 2 4 4 2

D M x y z x y z x y x z y z

2 2 2 21 1 34 4 2

a a a a

Vì thế: 6'2

aD M .

Ví dụ 8.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Tìm góc giữa hai đường thẳng AB’

và BC’, biết '5

ABAA .


Biểu diễn hai vectơ 'AB

và 'BC

theo

một hệ vectơ cơ sở đã chọn và tính tích vô

hướng '. 'AB B C

.

Ta lại có:

'. ' '. ' .cos '; 'AB B C AB B C AB B C

từ đây ta xác định được giữa hai đường

thẳng AB’ và BC’.


Đặt AB x ; 'AA a

, AB b

, AC c

, với 5

xa

, b c x

Ta có: 'AB a b

' ' ' ' 'BC BB B C AB BC a c b a b c

2 2 222 2

0 0 0

3'. ' . . . .5 2 10x x xAB BC a b a b c a a b a c b a b b c x

22 2 2 6' '

5 5x xAB AB BB x

c b

a

A'

B'

C

A

B

C'

Trang 12

22 2 2 6' ' ' '

5 5x xBC BB B C x

Do vậy:

23

'. ' 110cos '; ''. ' 46 6.

5 5

xAB B CAB B CAB B C x x

Suy ra, góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ là α với 1cos4

.

D. Chứng minh các hệ thức hình học

Ví dụ 9.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung

điểm của cạn SC. Mặt phẳng qua AK cắt

các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N.

Chứng minh rằng: 3SB SDSM SN

.


Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD

lần lượt tại M và N, tức là bốn điểm A, K,

M, N đồng phẳng. Từ đó tồn tại hai số m

và n sao cho: . .AK m AM n AN

. Hay

1 . .SK m n SA m SM n SN

(*)

Đặt SB xSM

, SD ySN

, biểu diễn SK

, SA

, SN

theo ba vectơ không đồng

phẳng là: SA a

, SB b

, SC c

. Thay vào (*), đồng nhất hai vế, ta tìm được

x y .


Đặt SA a

, SB b

, SC c

là ba vectơ không đồng phẳng.

Đặt SB xSM

, SD ySN

, ta cần chứng minh 3x y .

N

Mc

b

a

K

B

D C

A

S

Trang 13

Ta có: 1 1SM SB bx x

; 1 1SN SD cx x

;

1 1 12 2 2

SK SC SK SD DC c b a

.

Theo giả thiết có: A, K, M, N đồng phẳng nên tồn tại hai số m và n sao cho:

. .AK m AM n AN

1 . .SK m n SA m SM n SN

1 12

m nc b a m n a b cx y

11 32 21 2 3

2 212

m n m nm x m x yx y nny

(điều phải chứng minh)

IV. Một số bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi B0, C0, D0 lần lượt là trọng tâm của các tam

giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G0 là trọng tâm của tam giác BCD và

B0C0D0. Chứng minh ba điểm A, G0, G thẳng hàng.

Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D trong không gian. Gọi M, N là trung

điểmlần lượt của các đoạn thẳng BC, AD. Chứng minh rằng nếu

12

MN AB CD thì / /AB CD .

Bài 3. Cho hai tia Ax và By chéo nhau. Trên Ax và By lần lượt lấy hai điểm M

và N sao cho AM kBN , k là một số dương. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn

thẳng MN.

Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên đoạn thẳng BD và AD’

lần lượt lấy hai điểm thay đổi M và N sao cho DM AN x 0 2x a .

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố

định.

Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, O

là trung điểm AG.

Trang 14

1. Tính độ dài AG theo a.

2. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau.

3. Chứng minh OB, OC, OD đôi một vuông góc.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho

2aBM , 3

4aDN .

1. Chứng minh MN AM .

2. Chứng minh SAM AMN .

Bài 7. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a. Trên

các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lấy các điểm M, N, P sao cho AM BN CP a .

Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt

phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L, M, N. Chứng minh rằng:

SA SC SB SDSK SM SL SN

.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC; G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng

(P) cắt SA, SB, SC, SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’. Chứng minh rằng:

3' ' ' '

SA SB SC SGSA SB SC SG

.

C. ĐÔI LỜI KẾT

Trên đây là những ví dụ sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán hình

học không gian, các ví dụ tác giả lựa chọn đưa ra nhằm minh họa sự thuận lợi

của vectơ để giải một số bài tập. Tác giả mong được các đồng nghiệp góp ý xây

dựng để làm tốt hơn công tác giảng dạy của mình. Hy vọng đề tài này là một ý

kiến trong khai thác vectơ giải các bài toán.

Bá Thước, tháng 4 năm 2009

Người viết: Đỗ Đường Hiếu

Documents

bài toán hình h · Hình học không gian là một chủ đề tương đối khó đối với học sinh, khó cả cách tiếp cận vấn đề và cả trong tìm lời