Bianca Borem Ferreira CONTROLE DE CAOS APLICADO À …w2.files.scire.net.br/atrio/ufrj-pem_upl//THESIS/10/pemufrj2012dsc... · tempo que sempre desprendeu para me ajudar! À CAPES,

Bianca Borem Ferreira

CONTROLE DE CAOS APLICADO À DINÂMICA DOS RITMOS CARDÍACOS

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de

Pós-graduação em Engenharia Mecânica,

COPPE, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Doutor em Engenharia

Mecânica.

Orientador: Marcelo Amorim Savi

Rio de Janeiro

Setembro de 2012



TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Marcelo Amorim Savi, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Paulo Batista Gonçalves, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Jorge Audrin Morgado de Gois, Dr. – Ing.

________________________________________________

Prof. Aline Souza de Paula, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

SETEMBRO DE 2012

Ferreira, Bianca Borem

Controle de Caos Aplicado à Dinâmica dos Ritmos

Cardíacos / Bianca Borem Ferreira. – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2012.

XV, 78 p.: il.; 29,7 cm.


Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2012.

Referências Bibliográficas: p. 74-78.

1. Dinâmica Não linear. 2. Ritmos Cardíacos. 3.

Controle de Caos. I. Savi, Marcelo Amorim. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Mecânica. III. Titulo.

iii

Aos meus pais, Deloina e Dervan, e ao meu marido, Maurício.

iv

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado tranquilidade, sabedoria e

perseverança para conquistar mais esta etapa do meu desenvolvimento acadêmico e

profissional.

Aos meus familiares, em especial à minha mãe, meu pai, a minha irmã, à Fátima,

à Sônia e ao Brito, pelo carinho, apoio, confiança e incentivo que foram essenciais para

que eu chegasse até aqui.

Em especial, agradeço ao meu marido, Maurício, por estar sempre ao meu lado,

por sempre estar disposto a me escutar, pelo carinho, companheirismo, paciência,

compreensão... Enfim, por tudo e tantas coisas que se torna até difícil expressar!!!

Agradeço aos amigos do Laboratório de Vibrações e Acústica (LAVI) por esses

anos de convivência e apoio. Em especial, a todos os que integram ou já integraram a

família/grupo de Fenômenos Não-Lineares e Caóticos (FENÃO) pela paciência, apoio,

companheirismo, amizade, carinho, incentivo e por sempre podermos compartilhar

nossos conhecimentos, dificuldades, dúvidas e anseios. Todos marcaram muito e de

forma especial esses últimos 4 anos da minha vida!!!

Também agradeço a todos os amigos que fiz no LTTC, LMT, LMS, LabRob e

em outros laboratórios, que passaram, permaneceram ou já se foram da minha vida, pela

paciência, principalmente com o meu falatório, carinho e pelos almoços, cafés e

lanchinhos animados e renovadores.

Ao professor Marcelo Savi pela paciência, amizade, incentivo, conselhos

acadêmicos e profissionais e, principalmente, pela orientação em todos os passos do

trabalho e por sua confiança na minha capacidade de concluí-lo.

À professora Aline Souza de Paula pela amizade, carinho, paciência e pelo

auxílio fundamental e essencial em vários momentos do trabalho. Muito obrigada por

todas as vezes que me recebeu na UnB e em sua casa. Muito obrigada também pelo

tempo que sempre desprendeu para me ajudar!

À CAPES, ao CNPq e à FAPERJ pelo suporte financeiro.

v

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)



Setembro/2012


Programa: Engenharia Mecânica

A dinâmica dos ritmos cardíacos vem sendo amplamente estudada pelo fato do

coração desempenhar um papel fundamental na fisiologia dos seres vivos e por

apresentar um comportamento rítmico complexo. Os ritmos cardíacos podem ser

periódicos ou caóticos, e cada tipo de comportamento pode estar relacionado com um

funcionamento fisiologicamente normal ou patológico. Métodos de controle de caos

podem ser empregados em sistemas dinâmicos propiciando uma reação rápida,

modificando suas respostas. Neste trabalho avalia-se a capacidade do método de

controle por realimentação com estados defasados estendidos (ETDF) para estabilizar

comportamentos cardíacos caóticos patológicos, mais especificamente, a fibrilação

ventricular. As análises são realizadas em dois sistemas: um oscilador que reproduz o

comportamento de um marca-passo natural cardíaco; e três osciladores conectados por

acoplamentos com defasagem no tempo que reproduz os sinais de eletrocardiograma

(ECG). Cada um dos osciladores é modelado a partir da equação de Van der Pol

modificada. Os resultados obtidos mostram que a técnica de controle ETDF é eficaz

tanto na estabilização das órbitas periódicas instáveis quanto na supressão do

comportamento caótico. Desta forma, a abordagem pode ser empregada para minimizar

os efeitos da fibrilação ventricular, gerando comportamentos menos críticos.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

CHAOS CONTROL APPLIED TO CARDIAC RHYTHM DYNAMICS


September/2012

Advisor: Marcelo Amorim Savi

Department: Mechanical Engineering

The dynamics of cardiac rhythms has been widely studied since the heart plays a

vital and fundamental role in the physiology of living beings and also for presenting a

complex rhythmic behavior. The rhythms can be periodic or chaotic, and each type of

behavior may be related to normal or pathological physiologically functioning. Methods

of chaos control can be employed in dynamical systems establishing quick reactions,

modifying their responses. In this work we evaluate the ability of the extended time-

delayed feedback control method (ETDF) to stabilize pathological chaotic behaviors of

the heart, specifically, the ventricular fibrillation. Two systems are analyzed: an

oscillator that reproduces the behavior of a natural cardiac pacemaker; and a three

coupled oscillators system connected with time delay that reproduces electrocardiogram

(ECG) signals. Each oscillator is based on a modified Van der Pol equation. Results

show that the ETDF control technique is effective for both stabilization of unstable

periodic orbits and for the suppression of chaotic behavior. Therefore, this approach can

be employed to minimize the effects of ventricular fibrillation, generating less critical

behaviors.

vii

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................... IX

LISTA DE TABELAS ............................................................................................... XIV

LISTA DE SIGLAS ..................................................................................................... XV

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 1

1.1 Controle de caos ................................................................................................ 7

1.1.1 Controle de caos aplicado aos ritmos cardíacos ............................................. 10

1.2 Objetivo do trabalho ........................................................................................ 11

1.3 Organização do trabalho .................................................................................. 12

2 MÉTODO DE CONTROLE DE CAOS .................................................... 14

2.1 Identificação de órbitas periódicas instáveis (OPIs)........................................ 14

2.2 Método de controle por realimentação com estados defasados estendidos

(ETDF) ............................................................................................................ 15

2.2.1 Expoente de Lyapunov de uma OPI .............................................................. 17

3 MODELAGEM MATEMÁTICA DO FUNCIONAMENTO CARDÍACO

........................................................................................................................ 20

3.1 Modelo matemático de um marca-passo natural cardíaco............................... 20

3.1.1 Simulações numéricas .................................................................................... 22

3.2 Modelo matemático do sistema cardíaco......................................................... 25

3.2.1 Reprodução dos sinais do ECG ...................................................................... 28

3.2.1.1 ECG normal ................................................................................................... 30

3.2.1.2 ECG com flutter ventricular ........................................................................... 33

3.2.1.3 ECG com fibrilação ventricular ..................................................................... 37

4 CONTROLE DE CAOS APLICADO A UM MARCA-PASSO

NATURAL CARDÍACO ............................................................................. 42

4.1 Simulações numéricas ..................................................................................... 42

viii

4.1.1 Representação do sistema proposto para o cálculo dos expoentes de

Lyapunov ....................................................................................................... 43

4.1.2 Controle de caos ............................................................................................. 44

4.1.3 Supressão de caos........................................................................................... 51

5 CONTROLE DE CAOS DO SISTEMA CARDÍACO ............................. 53

5.1 Controle de caos utilizando uma análise desacoplada ..................................... 53

5.2 Controle de caos utilizando uma análise acoplada .......................................... 57

5.2.1 Supressão de caos........................................................................................... 67

6 CONCLUSÕES ............................................................................................ 71

6.1 Trabalhos futuros ............................................................................................. 72

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................... 74

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1: Esquema do coração (GOIS & SAVI, 2009). ................................................ 1

Figura 1.2: Esquema de um ciclo cardíaco. ...................................................................... 2

Figura 1.3: ECG de um adulto normal

(library.med.utah.edu/kw/ecg/mml/ecg_normal.html). .................................................... 3

Figura 3.1: Esboço do espaço de fase do oscilador de Van der Pol modificado proposto

por Postnov et al. (1999). ............................................................................................... 21

Figura 3.2: Atividade normal de um marca-passo natural cardíaco em regime

permanente: (a) Resposta no tempo; (b) Espaço de fase. ............................................... 23

Figura 3.3: Bacia de atração com coexistência de um atrator periódico de período-1 (em

preto) e um atrator caótico (em rosa).............................................................................. 24

Figura 3.4: Atividade de um marca-passo cardíaco com comportamento patológico: (a)

Resposta no tempo; (b) Espaço de fase; (c) Seção de Poincaré; (d) Espaço de fase e

seção de Poincaré............................................................................................................ 24

Figura 3.5: Atrator periódico de período-1: (a) Resposta no tempo em regime

permanente; (b) Espaço de Fase e seção de Poincaré. .................................................... 25

Figura 3.6: Modelo conceitual geral para o comportamento cardíaco. .......................... 26

Figura 3.7: Modelo conceitual do ECG normal. ............................................................ 31

Figura 3.8: Comparação entre o ECG normal numérico e o experimental. ................... 31

Figura 3.9: Espaços de fase relacionados ao ECG normal: (a) ECG, (b) Nódulo SA, (c)

Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje. ........................................................................ 32

Figura 3.10: Seções de Poincaré do ECG normal: (a) ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo

AV e (d) Feixe de His-Purkinje. ..................................................................................... 32

Figura 3.11: Expoentes de Lyapunov do ECG normal. .................................................. 33

x

Figura 3.12: Modelo conceitual do ECG com flutter ventricular. .................................. 34

Figura 3.13: ECG com flutter ventricular experimental

(ocw.tufts.edu/Content/50/lecturenotes/634401/634452) e numérico............................ 34

Figura 3.14: Espaços de fase do ECG com flutter ventricular: (a) ECG, (b) Nódulo AV e

(c) Feixe de His-Purkinje. ............................................................................................... 35

Figura 3.15: Seções de Poincaré relacionadas ao ECG com flutter ventricular: (a) ECG,

(b) Nódulo AV e (c) Feixe de His-Purkinje. .................................................................. 36

Figura 3.16: Expoentes de Lyapunov do ECG com flutter ventricular. ......................... 36

Figura 3.17: Modelo conceitual do ECG com fibrilação ventricular. ............................ 37

Figura 3.18: ECGs experimentais de pacientes com fibrilação ventricular. .................. 38

Figura 3.19: ECG numérico com fibrilação ventricular. ................................................ 39

Figura 3.20: Espaços de fase relacionados ao ECG com fibrilação ventricular: (a) ECG,

(b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje. ......................................... 39

Figura 3.21: Seções de Poincaré do ECG com fibrilação ventricular: (a) ECG, (b)

Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje. .............................................. 40

Figura 3.22: Expoentes de Lyapunov do ECG com fibrilação ventricular. ................... 41

Figura 4.1: (a) OPI de período-2 identificada e (b) expoentes de Lyapunov máximos. 44

Figura 4.2: OPI de período-2 estabilizada, utilizando e : (a) Espaço de

fase em regime permanente; (b) Resposta no tempo; (c) Perturbação no tempo. .......... 45

Figura 4.3: (a) OPI de período-4 identificada e (b) expoentes de Lyapunov máximos. 46

Figura 4.4: (a) Bacia de atração considerando e ; (b) Estado do sistema

no momento em que a ação de controle é iniciada. ........................................................ 46

Figura 4.5: OPI de período-4 estabilizada, considerando , e

: (a) Espaço de fase em regime permanente;

(b) Resposta no tempo; (c) Perturbação no tempo. ........................................................ 47

xi

Figura 4.6: Órbita de período-1 encontrada, considerando , e

: (a) Espaço de fase; (b) Resposta no tempo em

regime permanente; (c) Perturbação no tempo. .............................................................. 48

Figura 4.7: Comportamento caótico encontrado, considerando , e

: (a) Espaço de fase; (b) Resposta no tempo; (c)

Perturbação no tempo. .................................................................................................... 49


: (a) Espaço de fase em regime permanente; (b)

Resposta no tempo; (c) Perturbação no tempo. .............................................................. 50

Figura 4.9: (a) OPI de período-10 e (b) expoentes de Lyapunov máximos. .................. 50

Figura 4.10: (a) Órbita de período-2 encontrada, utilizando e , e (b) a

perturbação no tempo. .................................................................................................... 51


perturbação no tempo. .................................................................................................... 52

Figura 5.1: ECG com fibrilação ventricular (em preto tracejado) e do ECG com controle

(em rosa), utilizando a abordagem desacoplada, com e . ....................... 54

Figura 5.2: Espaços de fase do ECG com fibrilação ventricular (em preto) e do ECG

com controle (em rosa), utilizando a abordagem desacoplada, com e : (a)

ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje. ............................... 55


(em rosa), utilizando a abordagem desacoplada, com e . ....................... 56


com controle (em rosa) , utilizando a abordagem desacoplada, com e :

(a) ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje. ......................... 56

xii

Figura 5.5: OPI de período-2 identificada: (a) Nódulo SA, (b) Nódulo AV e (c) Feixe de

His-Purkinje. ................................................................................................................... 58

Figura 5.6: OPI de período-2: Expoentes de Lyapunov máximos do sistema acoplado. 59


(em rosa), utilizando a abordagem acoplada, com e . ............................ 59


com controle (em rosa), utilizando a abordagem acoplada, com e : (a)

ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje. ............................... 60

Figura 5.9: Perturbação no tempo utilizada na estabilização da OPI de período-2 do

sistema cardíaco acoplado. ............................................................................................. 60

Figura 5.10: OPI de período-4 identificada: (a) Nódulo SA, (b) Nódulo AV e (c) Feixe

de His-Purkinje. .............................................................................................................. 61

Figura 5.11: OPI de período-4: Expoentes de Lyapunov máximos do sistema acoplado.

........................................................................................................................................ 61


com controle (em rosa), utilizando a abordagem acoplada, com e , e a

ação de controle começando em : (a) ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e

(d) Feixe de His-Purkinje. .............................................................................................. 62

Figura 5.13: ECG com fibrilação ventricular (em preto tracejado) e do ECG com

controle (em rosa), utilizando a abordagem acoplada, com e , e a ação de

controle começando na vizinha da OPI de interesse. ..................................................... 63



ação de controle começando na vizinha da OPI de interesse: (a) ECG, (b) Nódulo SA,

(c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje. .................................................................. 63

xiii


sistema acoplado. ............................................................................................................ 64


de His-Purkinje. .............................................................................................................. 64


........................................................................................................................................ 65

Figura 5.18: Esquema do bloqueio de ramo do feixe de His (DUBIN, 1996). .............. 66

Figura 5.19: ECG com flutter auricular

(http://hugoveiga.atspace.com/Flutter_Auricular.htm). ................................................. 66


com controle (em rosa), utilizando e : (a) ECG, (b) Nódulo SA, (c)


Figura 5.21: Perturbação no tempo utilizada para suprimir o sistema em uma órbita de

período-1. ........................................................................................................................ 68





período-2. ........................................................................................................................ 69

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1: Parâmetros para simulação dos ECGs. ........................................................ 29

xv

LISTA DE SIGLAS

AV: Nódulo atrioventricular

DDE: Equação diferencial com defasagem temporal (do inglês “Differential Difference

Equation”)

ECG: Eletrocardiograma

EDO: Equação diferencial ordinária

ETDF: Realimentação com estados defasados estendidos (do inglês “Extended Time

Delayed Feedback”)

HP: Feixe de His-Purkinje

OGY: Ott-Grebogy-York

OPI: Órbita periódica instável

PPF: Realimentação com perturbação proporcional (do inglês “Proportional

Pertubation Feedback”)

SA: Nódulo sinoatrial

SC: Semi-contínuo

TDF: Realimentação com estados defasados (do inglês “Time Delayed Feedback”)

1

1 INTRODUÇÃO

O organismo humano é composto por diversos sistemas interconectados e a

maioria deles possui características não lineares. Vários padrões caóticos já foram

detectados no organismo humano tais como a distribuição anatômica das árvores

arteriais, venosa, brônquica e do sistema His-Purkinje, além de variáveis fisiológicas

como o intervalo entre os batimentos cardíacos, a pressão arterial, o fluxo sanguíneo, a

respiração e a marcha, dentre outros (GODOY, 2003). Padrões caóticos encontrados no

sistema cardíaco estão associados a patologias severas indesejáveis. Sendo assim, é

importante encontrar estratégias para controlar ou suprimir o caos nos ritmos cardíacos.

A dinâmica dos ritmos cardíacos vem sendo amplamente estudada,

principalmente pelo fato do coração desempenhar um papel fundamental na fisiologia

dos seres vivos. O coração é um órgão oco, musculoso e ativado por estímulos elétricos

que tem como função bombear o sangue para os pulmões, órgãos e tecidos. O coração

dos mamíferos é dividido em quatro cavidades: dois átrios e dois ventrículos, ilustrados

na Figura 1.1.

Figura 1.1: Esquema do coração (GOIS & SAVI, 2009).

O sistema de condução cardíaco pode ser tratado como uma rede de elementos

auto-excitatórios composta pelo nódulo sinoatrial (SA), nódulo atrioventricular (AV) e

2

o feixe de His-Purkinje (GOIS & SAVI, 2009; GRUDZINSKI & ZEBROWSKI, 2004),

onde a excitação elétrica é gerada primariamente em uma região especializada do átrio

direito, o nódulo SA. Ele inicia o impulso elétrico que se difunde sob a forma de onda,

estimulando ambas as aurículas. O impulso então alcança o nódulo AV, que é a conexão

elétrica entre os átrios e os ventrículos. O nódulo AV é estimulado, iniciando-se um

impulso elétrico que desce pelo feixe de His-Purkinje, de onde é distribuído para as

fibras de Purkinje, que transmitem o impulso elétrico para as células miocárdicas,

produzindo contração simultânea dos ventrículos. O nódulo AV é um componente

essencial da função cardíaca porque ele gera uma propagação com atraso que permite o

enchimento ventricular e assim facilita um eficiente bombeamento do sangue (SANTOS

et al., 2004).

No estado normal, o nódulo SA determina a frequência dos batimentos

cardíacos, sendo chamado de marca-passo cardíaco normal. O nódulo AV trabalha

como um marca-passo potencial, também denominado marca-passo ectópico ou foco

ectópico, que dispara em caso de falha na emissão do impulso elétrico vindo do nódulo

SA. Os marca-passos potenciais estão em todas as partes do coração, inclusive nos

átrios e nos ventrículos, determinando a cadência quando os mecanismos normais de

marca-passo falham (DUBIN, 1996).

Figura 1.2: Esquema de um ciclo cardíaco.

Existem diversas formas de se registrar e avaliar o funcionamento cardíaco. Na

maioria das vezes, esses registros são feitos através de medidas não invasivas.

Atualmente, o mecanismo mais utilizado é o eletrocardiograma (ECG) onde os

impulsos elétricos relacionados ao funcionamento cardíaco são registrados em forma de

ondas, representando a corrente elétrica em diferentes áreas do coração (SAVI, 2005). O

3

sinal captado pode ser utilizado para medir a frequência e a regularidade dos batimentos

cardíacos, assim como o tamanho e a posição das câmaras cardíacas.

Na Figura 1.2 é apresentado o esquema de um ciclo cardíaco, composto

basicamente pela onda P, o complexo QRS e a onda T. A onda P representa o impulso

elétrico gerado pelo nódulo SA. Sua primeira parte representa a despolarização do átrio

direito, enquanto a segunda parte representa a despolarização do átrio esquerdo. Neste

momento o sangue está passando dos átrios para os ventrículos. O complexo QRS é a

parte do ECG que possui maior amplitude. Durante este processo o sangue é forçado

para fora dos ventrículos, indo do ventrículo esquerdo para os pulmões e do ventrículo

direito para todo o restante do corpo. A onda T representa a repolarização dos

ventrículos, a relaxação do coração. Neste período o sangue não oxigenado do corpo

entra no átrio direito, enquanto o sangue oxigenado vindo dos pulmões entra no átrio

esquerdo. Nesta ocasião, o coração está preparado para o próximo impulso (SANTOS et

al., 2004). Na Figura 1.3 é apresentado o ECG de um adulto sadio. Observa-se que o

ECG apresenta ciclos contendo as três formas básicas de onda. Quando o traçado do

ECG não apresenta ciclos cardíacos que se repetem continuamente com um

comportamento aparentemente periódico significa que o coração possui algum tipo de

distúrbio.

Figura 1.3: ECG de um adulto normal

(library.med.utah.edu/kw/ecg/mml/ecg_normal.html).

A dinâmica dos batimentos cardíacos vem sendo analisada tanto através de

modelos matemáticos quanto através da análise de séries temporais. Van der Pol & Van

der Mark (1928) realizaram o primeiro estudo no qual foi esquematizada uma

representação dinâmica do coração. Nesse trabalho eles apresentaram uma analogia

entre as batidas do coração de mamíferos e um circuito eletrônico acoplado composto

por osciladores não lineares acoplados. Após este trabalho, alguns autores têm

4

desenvolvido modelos matemáticos que representam o sistema cardíaco real, com a

finalidade de compreender e prever com antecedência e eficácia possíveis anomalias

cardíacas.

Grudzinski & Zebrowski (2004) propuseram uma variação no oscilador de Van

der Pol original com o objetivo de reproduzir a série temporal do potencial de ação

gerado por um marca-passo natural cardíaco, isto é, nódulo SA ou nódulo AV. Santos et

al. (2004) apresentaram um modelo simplificado da dinâmica cardíaca composto por

dois osciladores de Van der Pol acoplados assimetricamente, representando o

comportamento dos dois marca-passos cardíacos, nódulo SA e AV, e das fibras

nervosas que transmitem os impulsos nervosos, discutindo diferentes termos de

acoplamento. Gois & Savi (2009) representaram ECGs através de um modelo

matemático composto por três osciladores de Van der Pol modificados, que representam

o nódulo SA, nódulo AV e o complexo His-Purkinje, conectados através de

acoplamentos defasados no tempo. Este modelo é capaz de reproduzir ECGs normais e

patológicos.

Arritmia significa, literalmente, sem ritmo. Entretanto, utiliza-se este termo para

indicar ritmos anormais ou interrupção na regularidade do ritmo cardíaco (DUBIN,

1996), sendo identificadas e diagnosticadas de forma rápida e precisa através do ECG

(DUBIN, 1996; GLASS & HUNTER, 1990). As arritmias são causadas pela

combinação do reingresso de impulsos às câmaras cardíacas com excitações geradas por

focos ectópicos anormais no coração. No entanto, as arritmias estão longe de serem

completamente compreendidas e bem controladas (SANTOS et al., 2004).

Diversos estudos caracterizam algumas arritmias cardíacas com base nos

princípios físicos da dinâmica não linear (CHRISTINI et al., 2001; FERREIRA et. al.,

2011; GARFINKEL et al., 1992, 1995; GLASS et al., 1983, 1987; GOIS & SAVI,

2009; KAPLAN & COHEN, 1990; SAVI, 2005) o que tem gerado novas formas de

análise e um maior interesse no campo cardiológico (SANTOS et al., 2004). Isso está

relacionado com as características determinísticas de algumas dessas arritmias

(WITKOWSKI et al., 1995). De uma maneira geral, o maior potencial para aplicação

terapêutica da teoria do caos está relacionado com as taquiarritmias aperiódicas,

incluindo a fibrilação atrial e ventricular. Isto é importante porque pode auxiliar no

diagnóstico de arritmias complexas e sugerir estratégias terapêuticas diferentes das

abordagens clássicas (BABLOYANTZ & DESTEXHE, 1988; CHRISTINI et al., 2001;

5

GLASS et al., 1983, 1987; KARMA & GILMOUR JR, 2007; GOIS & SAVI, 2009;

SAVI, 2005).

Wessel et al. (2007) apresentaram um panorama geral da física cardiovascular

apontando os desafios de se desenvolver métodos que sejam capazes de melhorar o

diagnóstico médico, diminuindo o risco para pacientes. Neste sentido, a física

cardiovascular interliga medicina, física, biologia, engenharia e matemática,

representando uma colaboração interdisciplinar de diversos especialistas. A análise da

dinâmica cardiovascular introduz a ideia de que os ritmos fisiológicos constituem uma

característica central da vida.

Glass et al. (1983) desenvolveram um modelo biológico da disritmia cardíaca e

analisaram, numérica e experimentalmente, as dinâmicas encontradas. Para isso, eles

estudaram os efeitos da estimulação periódica dos osciladores cardíacos, utilizando

dados experimentais das células ventriculares colhidas do coração de um pinto na forma

embrionária. Os resultados apontaram evidências de comportamentos relacionados à

dinâmica não linear como bifurcações por duplicação de período e dinâmica caótica

quando alterados os valores dos parâmetros das simulações. Alguns anos depois, Glass

et al. (1987) analisaram o modelo biológico desenvolvido anteriormente, aplicando-o na

interpretação de ritmos parasistólicos, verificando a existência da dinâmica não linear

nos dados numéricos e experimentais. Os ECGs experimentais foram retirados de

registros de Holters de pacientes ambulatoriais que apresentavam frequentes batimentos

ectópicos.

Com a ajuda de algumas ferramentas da dinâmica não linear, Babloyantz &

Destexhe (1988) estudaram os ECGs de quatro humanos sadios a fim de avaliar se a

atividade cardíaca normal apresentava as características dinâmicas de um oscilador

periódico. Eles verificaram que, mesmo o funcionamento cardíaco normal sendo

aparentemente periódico, ele segue a dinâmica determinística de natureza caótica e que

em poucos pacientes os dados não são inteiramente imprevisíveis.

Tong & Liu (1990) utilizaram um modelo matemático baseado na equação do

tipo Hodgkin-Huxley, onde foram incluídos alguns componentes de correntes iônicas,

para descrever o comportamento de células cardíacas e simular as curvas de transição de

fase dos osciladores. Com isto eles estudaram as interações de dois osciladores sinusais

acoplados e a estimulação periódica de um oscilador ventricular, além de esclarecer os

6

mecanismos de algumas arritmias. No mesmo ano, Kaplan & Cohen (1990) utilizaram

ECGs de cachorros em fibrilação para gerar uma representação do espaço de estados da

fibrilação ventricular e determinar se esta patologia é uma instância de caos

determinístico. Os resultados sugeriram que a fibrilação é similar a um sinal randômico

não caótico. Entretanto, eles observaram que o comportamento não caótico,

aparentemente aleatório, poderia ser gerado por sistemas determinísticos não lineares.

Witkowski et al. (1995) verificaram evidências determinísticas na fibrilação ventricular

aplicando um método de identificação de estruturas determinísticas em séries temporais

aos dados coletados do coração de cachorros induzidos a patologia eletricamente.

Bezerianos et al. (1995) utilizaram técnicas de análise de séries temporais não

lineares para calcular a dimensão de correlação de ECGs de pacientes saudáveis e de

pacientes que eram fumantes crônicos, em repouso e se exercitando moderadamente.

Eles concluíram que não havia diferenças dinâmicas importantes entre estes sinais,

observando evidências de atrator determinístico, cujas dimensões de correlação estariam

entre 5 e 6, quando a correlação temporal entre os pontos foi removida. Além disso, em

praticamente todos os casos, a transição do repouso para os exercícios moderados

implicou em um aumento na complexidade da dinâmica cardíaca.

Kantz & Schreiber (1998) investigaram séries temporais de ECGs de humanos

estabelecendo uma comparação entre aspectos estocásticos e determinísticos não

lineares. No final, os autores explicaram que “flutuações estocásticas, instabilidade

intrínseca e as mudanças no ambiente agem em conjunto para produzir os padrões

intrigantes observados”. Além disso, eles mostraram a importância da utilização de

ferramentas não lineares na investigação da dinâmica cardíaca.

Para confirmar se a resposta ventricular na fibrilação atrial é caótica, Stein et al.

(1999) desenvolveram um algoritmo de previsão não linear, analisando registros de

intervalos R-R de 16 pacientes durante fibrilação atrial crônica, investigando a

previsibilidade e a sensibilidade às condições iniciais desses conjuntos de dados. Eles

verificaram que o algoritmo, como é uma ferramenta para análise qualitativa de

sistemas dinâmicos, demonstrou que a fibrilação atrial não é um ritmo caótico. Christini

& Glass (2002) exibiram um panorama geral do mapeamento de arritmias cardíacas e

controle.

7

Gois & Savi (2009) realizam uma análise de séries temporais cardíacas

representadas pelos sinais de ECG. Consideram-se ECGs normais e com fibrilação

ventricular. É realizada uma comparação qualitativa entre os resultados obtidos através

da análise dos sinais gerados através do modelo matemático proposto e os obtidos

experimentalmente. O estudo confirma que o ECG normal está associado a um

comportamento periódico, enquanto a fibrilação ventricular está relacionada com o

caos.

1.1 Controle de caos

O controle de caos se baseia na riqueza de padrões periódicos existentes no

comportamento caótico e pode ser entendido como a utilização de pequenas

perturbações no sistema para estabilizar uma trajetória dentro desses comportamentos

periódicos (DE PAULA & SAVI, 2009 a, b; DE PAULA et al., 2012). Segundo Chen

(2001) os métodos de controle de caos possuem algumas propriedades características

importantes que os diferem dos métodos de controle convencionais e que são

específicas para tratar sistemas com respostas caóticas. Nos métodos de controle de caos

o controlador explora a sensibilidade a pequenas perturbações e o conjunto denso de

órbitas periódicas instáveis (OPIs) que os sistemas caóticos possuem. As OPIs são

padrões periódicos imersos no comportamento caótico. Neste contexto, o controlador é

projetado para estabilizar uma OPI de período qualquer conforme a necessidade do

usuário. Em situações reais onde o comportamento caótico não é desejável, chegando a

ser nocivo, torna-se importante intervir sobre o sistema, identificando e controlando ou

suprimindo este tipo de comportamento.

Os métodos de controle de caos podem ser classificados em contínuos e

discretos. Dentre os métodos de controle contínuos, os que mais se destacam são os

métodos por realimentação com espaços defasados (Time Delayed Feedback - TDF)

(PYRAGAS, 1992) e com espaços defasados estendidos (Extended Time Delayed

Feedback - ETDF) (SOCOLAR et al., 1994). Dentre os métodos discretos, os mais

consagrados são o OGY (OTT et al., 1990) e o semi-contínuo (SC) (HUBINGER et al.,

1994; KORTE et al., 1995), podendo também ser citados o OGY multiparâmetros (DE

PAULA & SAVI, 2008) e semi-contínuo multiparâmetros (DE PAULA & SAVI, 2009,

b).

8

O trabalho considerado marco inicial das pesquisas na área de controle de caos

foi proposto por Ott et al. (1990). Nele foi desenvolvido o método de controle discreto

chamado OGY, que possui esse nome em homenagem aos autores do trabalho Ott-

Grebogi-Yorke. Além do OGY, outro método de considerável importância, utilizado na

estabilização de sistemas caóticos em OPIs, é o método TDF, proposto por Pyragas

(1992).

O método de controle TDF se baseia na realimentação da diferença entre estados

atual e defasado do sistema, possuindo as propriedades de inserir pequenas perturbações

no sistema e de ser independente do modelo dinâmico do sistema, o que favorece sua

implementação experimental. Entretanto, existe uma dificuldade na implementação

desta estratégia de controle, a determinação do tempo de defasagem e, principalmente,

do ganho do controlador. Normalmente, utiliza-se a periodicidade da órbita a ser

estabilizada como tempo de defasagem.

O método TDF se diferencia fundamentalmente do método OGY pelo fato do

primeiro exercer uma atuação contínua e ininterrupta sobre o sistema, o que favorece o

controle em sistemas contínuos muito instáveis, onde não é possível a estabilização

atuando somente quando o sistema cruza uma seção de Poincaré. Pyragas (1992)

observou que, em controladores baseados no método OGY, há uma permanente análise

computacional dos estados do sistema. Além disso, como a atuação é discreta no tempo,

existem dificuldades na estabilização de OPIs com alta instabilidade, associadas a

expoentes de Lyapunov positivos e elevados, se comparados com o tempo decorrido

entre estas perturbações. Pyragas (1992) ressaltou também que um controlador discreto

possui uma maior sensibilidade a ruídos externos se comparado com controladores

contínuos.

Socolar et al. (1994) propuseram uma alternativa ao método original, o método

ETDF, visando contornar a dificuldade do TDF em estabilizar OPIs de periodicidade

elevada, utilizando vários estados defasados do sistema e considerando um novo ganho

na lei de controle.

No ano seguinte, Pyragas (1995) define uma região de valores dos ganhos de

controle com os quais o controlador se torna eficiente, além de definir a qualidade do

controle nesta região. Isto é feito através do cálculo do expoente de Lyapunov máximo

9

de alguns sistemas dinâmicos onde é aplicada a estratégia de controle ETDF. Entretanto,

para isso, é necessário o conhecimento das equações de governo destes sistemas.

A análise de estabilidade de sistemas realimentados por funções que possuem

defasagens temporais é muito difícil. Segundo Pyragas (2001), utilizando o método

TDF é possível estabilizar somente uma certa classe de OPIs caracterizadas por uma

torção finita no espaço. Assim, qualquer OPI com um número ímpar de multiplicadores

de Floquet reais maior que um não pode ser estabilizada através do TDF. Esta afirmação

é provada, primeiramente, por Ushio (1996) para sistemas discretos e, posteriormente,

Just et al. (1997) e Nakajima (1997) para sistemas contínuos. No ano seguinte,

Nakajima e Ueda (1998) provam esta mesma limitação para o método ETDF. Então,

Pyragas (2001) propõe um controlador instável baseado no método ETDF que elimina

totalmente esta limitação do método.

Kapitaniak (2005) apresenta uma revisão de alguns métodos básicos de controle

de caos, com e sem realimentação, e da sincronização de caos. Além disso, são

mostradas algumas aplicações numéricas e experimentais dos métodos apresentados. No

ano seguinte, Pyragas (2006) realiza uma revisão dos métodos contínuos para controle

de caos desenvolvidos a partir do TDF citando implementações experimentais e

aplicações numéricas.

De Paula & Savi (2009 a) utilizaram métodos contínuos em um pendulo não

linear, definindo os parâmetros do controlador a partir do cálculo do expoente de

Lyapunov de uma OPI. Bessa et al. (2009) propuseram um controlador robusto baseado

em uma estratégia de controle por modo deslizante, aprimorado com um sistema de

inferência fuzzy adaptativo estável que lida com as imprecisões da modelagem.

Simulações numéricas são realizadas considerando um pêndulo não linear. Os

resultados mostram que o controlador é capaz de realizar o controle de caos, mesmo em

situações em que estão envolvidas grandes incertezas. De Paula et al. (2012) aplicaram

o método de controle ETDF para controlar bifurcações em um sistema pendular

utilizado para colheita de energia a partir das ondas do mar.

De Paula & Savi (2011) apresentam uma análise comparativa da capacidade de

estabilização de diferentes estratégias de controle. São analisados seis métodos

discretos, OGY, OGY multiparâmetros, SC e SC multiparâmetros, abordagem acoplada

e desacoplada, e dois métodos contínuos, TDF e ETDF. Os métodos SC e SC

10

multiparâmetros, abordagens acopladas e desacopladas, apresentam um desempenho

melhor na estabilização do sistema livre de ruídos. O método SC multiparâmetros

acoplado é o que apresenta a melhor eficácia dentre os métodos analisados. Sendo que a

abordagem desacoplada também apresenta uma eficácia alta e dispensa a determinação

de alguns parâmetros de controle. O método ETDF se mostrou menos eficaz porque

estabiliza poucas OPIs, apresenta dificuldades na estabilização de OPIs de alta

periodicidade e algumas órbitas estabilizadas são diferentes das desejadas, mas, como

vantagem, cabe ressaltar que sua atuação começa assim que se inicia a fase de controle.

Na presença de ruídos, o método ETDF apresentou um desempenho muito superior aos

demais métodos. Entretanto, o método SC multiparâmetros desacoplado apresentou um

bom desempenho, mantendo as características mencionadas anteriormente.

1.1.1 Controle de caos aplicado aos ritmos cardíacos

O controle da dinâmica biológica é importante para ciências médicas uma vez

que ritmos fisiológicos anormais podem ocasionar risco à vida (HALL et al., 1997).

Diversos estudos evidenciaram a natureza não linear de alguns ritmos cardíacos, bem

como a utilização de estratégias de controle para eliminar ou suprimir respostas

patológicas críticas (ATTARSHARGHI et al., 2009; CHRISTINI et al., 2001;

DUBLJEVIC et al., 2008; FERREIRA et. al., 2011; GARFINKEL et. al., 1992, 1995;

GLASS et al., 1983, 1987; GOIS & SAVI; 2009; HALL et al., 1997; KARMA &

GILMOUR JR, 2007; LÓPEZ et al., 2010; SAVI, 2005).

O controle de batimentos cardíacos irregulares ou caóticos é uma questão

fundamental em cardiologia. Existem algumas estratégias de controle baseadas tanto no

uso de fontes externas de sinais periódicos e quasi-periódicos, bem como a utilização de

pequenas perturbações para estabilizar órbitas periódicas imersas na dinâmica do

sistema (GRUDZINSKI & ZEBROWSKI, 2004).

Um dos trabalhos pioneiros na utilização de técnicas de controle de caos

aplicadas à dinâmica dos ritmos cardíacos foi elaborado por Garfinkel et al. (1992;

1995). Eles aplicaram uma estratégia de controle de caos por realimentação com

perturbação proporcional (Proportional Pertubation Feedback – PPF), baseada no

método de controle OGY, no tecido ventricular de coelhos in vitro no qual a arritmia foi

induzida por drogas.

11

Hall et al. (1997) aplicaram a estratégia de controle ETDF em amostras de

coração de 5 coelhos dissecados estimuladas eletricamente a fim de suprimir um tipo de

arritmia, conhecida como alternância cardíaca. A alternância dos ritmos cardíacos é

caracterizada por uma alternação de ajuste ou morfológica da atividade elétrica do

coração entre um batimento e outro. Os autores propuseram um mapa como modelo do

ritmo cardíaco e o controle da alternância foi realizado direcionando o sistema para o

ponto fixo instável. Dubljevic et al. (2008) analisaram a capacidade do método de

controle PPF, proposto por Garfinkel et al. (1992; 1995), em suprimir, em tempo real,

alternâncias cardíacas no coração extraído de coelhos.

Christini et al. (2001) aplicaram um algoritmo de controle de caos adaptativo

para controlar um tipo de arritmia clínica de baixa dimensionalidade, a arritmia

reentrante. Essa técnica se mostrou eficaz em 52 das 54 tentativas de controle feitas em

cinco pacientes, sendo muito eficaz já que não é necessária uma fase de aprendizagem,

podendo ser aplicada assim que a arritmia é detectada no paciente.

Attarsharghi et al. (2009) utilizaram o mapa logístico para modelar o intervalo

entre batimentos durante arritmias cardíacas e aplicaram um método de controle

adaptativo com realimentação defasada para evitar ou controlar esse tipo de

comportamento patologicamente indesejado.

López et al. (2010) utilizaram um algoritmo de controle baseado no ganho

proporcional do controlador e na norma de monitoramento do sinal de erro, aplicado

ao modelo cardíaco proposto por Gois & Savi (2009), com a finalidade de retirar o

batimento cardíaco de um comportamento cardio-patológico.

Ferreira et al. (2011) aplicaram o método de controle ETDF a um marca-passo

natural cardíaco, modelado pela equação de Van der Pol modificada proposta por

Grudzinski & Zebrowski (2004) a fim de avaliar a eficácia deste método para controlar

ou suprimir respostas caóticas, evitando comportamentos que estivessem associados a

patologias cardíacas críticas.

1.2 Objetivo do trabalho

Neste trabalho propõe-se uma análise da dinâmica dos ritmos cardíacos,

avaliando situações normais e patológicas, associadas respectivamente aos

12

comportamentos periódicos e caóticos. Além disso, aplica-se o controle de caos para

estabilizar órbitas periódicas instáveis.

Neste sentido, o trabalho é dividido em duas etapas. Primeiramente, apresenta-se

uma modelagem matemática da dinâmica do coração considerando três osciladores

acoplados, conforme sugerido por Gois & Savi (2009). Cada marca-passo é modelado

utilizando um oscilador de Van der Pol modificado conforme proposto por Grudzinski

& Zebrowski (2004). Duas situações são tratadas: marca-passo natural e sistema

cardíaco com 3 osciladores.

O método de controle de caos ETDF é utilizado nas duas situações. Essa

estratégia de controle é escolhida pela facilidade na implementação, por realizar uma

atuação contínua sobre o sistema e por essa atuação começar assim que se inicia a fase

de controle. Isso é vantajoso quando se trata da aplicação em sistemas biológicos

complexos, evitando um tempo de espera para o início da atuação, necessário quando

aplicam-se os métodos de controle de caos discretos e semi-contínuos. A ideia é avaliar

uma situação caótica, verificando a eficácia do método em eliminar esse comportamento

indesejado do coração.

1.3 Organização do trabalho

Este texto é dividido em 5 capítulos. Este primeiro capítulo apresenta uma

introdução ao trabalho, abordando suas motivações, objetivos e organização. Além

disso, é apresentada uma revisão bibliográfica sobre os modelos matemáticos propostos

para representar o funcionamento do coração e seus marca-passos naturais. A presença

de comportamento não linear e resposta caótica associada aos ritmos cardíacos, em

especial os patológicos, principalmente nas arritmias cardíacas, também é discutida.

Além disso, discute-se a literatura sobre a aplicação, numérica e experimental, de

técnicas de controle de caos no controle ou supressão desse tipo de comportamento nos

ritmos cardíacos.

No Capítulo 2 é apresentado o método de controle ETDF. Além disso, mostra-se

como é realizada a identificação das OPIs e o cálculo do expoente de Lyapunov de uma

OPI, utilizado na determinação dos parâmetros do controlador.

No Capitulo 3 são apresentados os modelos matemáticos utilizados para

reproduzir o funcionamento do coração. Inicialmente, apresenta-se o modelo utilizado

13

para reproduzir o comportamento periódico e caótico de um marca-passo natural

cardíaco. Em seguida, é apresentado um modelo matemático utilizado para reproduzir

os ritmos representados por sinais de ECG. Simulações numéricas são realizadas para

mostrar a dinâmica dos ritmos cardíacos.

No Capítulo 4 a estratégia de controle ETDF é aplicada em um dos marca-passos

naturais cardíacos a fim de avaliar a capacidade desta técnica em eliminar ou suprimir

respostas caóticas patológicas indesejadas. Já no Capítulo 5 o método de controle ETDF

é aplicado ao sistema que descreve o ECG com fibrilação ventricular, analisando sua

eficácia em controlar ou minimizar os efeitos desta patologia.

Finalmente, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões referentes ao trabalho.

14

2 MÉTODO DE CONTROLE DE CAOS

A ideia central dos métodos de controle de caos é estabilizar as OPIs imersas na

dinâmica do sistema utilizando pequenas perturbações, ou seja, com um pequeno gasto

de energia. Nesse sentido, o controle de caos pode ser entendido como uma técnica

dividida em duas etapas. Na primeira etapa ou fase de aprendizagem identificam-se as

OPIs imersas no atrator do sistema e determinam-se os valores dos parâmetros do

controlador. A segunda etapa ou fase de controle consiste no emprego da lei de controle

utilizando os parâmetros definidos anteriormente para impor as perturbações necessárias

à estabilização da OPI previamente escolhida. Vale ressaltar que é determinado um

conjunto de parâmetros do controlador para cada OPI que se deseja estabilizar.

Neste capítulo, primeiramente é apresentado o método utilizado para

identificação das OPIs. Em seguida aborda-se o método de controle ETDF. E,

finalmente, discute-se a determinação dos parâmetros do controlador que é realizada

através do cálculo do expoente de Lyapunov de uma OPI.

2.1 Identificação de órbitas periódicas instáveis (OPIs)

A identificação das OPIs consiste numa fase fundamental no emprego dos

métodos de controle de caos. Neste trabalho, utiliza-se pelo método dos pontos

recorrentes próximos, proposto por Auerbach et al. (1987), para esta identificação. Este

procedimento deve ser implementado em uma seção de Poincaré a partir de uma série

temporal. Considerando-se um forçamento periódico sobre o sistema, a seção de

Poincaré representa uma amostra estroboscópica onde os seus pontos são determinados

sempre que o forçamento passa por uma fase definida. A busca de uma órbita k-

periódica é realizada varrendo-se todos os pontos da série temporal contidos na seção de

Poincaré, , verificando-se quais os pares que satisfazem à condição:

(2.1)

15

onde é o número total de pontos na seção de Poincaré, é a tolerância na qual pode-

se distinguir os pontos recorrentes e é o período máximo da órbita que se deseja

encontrar. Quando essa condição é satisfeita, armazenam-se os pontos

pertencentes à órbita -periódica, localizada na seção de Poincaré

referente à fase de forçamento escolhida.

Durante essa busca, uma determinada órbita pode ser visitada mais de uma vez,

sendo então necessário verificar dentre as órbitas de mesmo período, aquelas que podem

ser consideradas idênticas a menos de uma tolerância que mede a distância entre duas

órbitas. Se duas órbitas equivalentes forem encontradas para um dado período, faz-se a

aproximação da órbita real pela sua média aritmética.

2.2 Método de controle por realimentação com estados defasados estendidos

(ETDF)

O método de controle TDF foi o primeiro método de controle de caos contínuo

proposto (PYRAGAS, 1992). Entretanto, apesar de apresentar um bom desempenho

quando aplicado numérica e experimentalmente, este método apresenta falhas na

estabilização de OPIs de elevada periodicidade. Para contornar essa limitação, Socolar

et al. (1994) propuseram o método de controle ETDF. Essa estratégia de controle pode

ser modelada por um conjunto de equações diferenciais ordinárias (EDOs) não lineares

conforme apresentado a seguir:

(2.2)

onde e são variáveis de estado, e definem a dinâmica do sistema

enquanto está associado a ação de controle. O método ETDF se baseia na

realimentação da diferença entre o estado atual e os estados defasados do sistema. A

perturbação é dada por:

16

(2.3)

onde , , é a defasagem no tempo, e são os

parâmetros do controlador. Em geral, é infinito, mas pode ser definido em função do

sistema dinâmico. Cabe ressaltar que para qualquer valor de e , a perturbação da

Equação (2.3) é nula quando a trajetória do sistema está sobre uma OPI uma vez que

para todo se , onde é a periodicidade da -ésima OPI. De

acordo com a escolha correta dos valores e torna-se possível estabilizar o sistema

em uma de suas OPIs. Cabe mencionar que o método ETDF é equivalente ao TDF

original quando .

O sistema dinâmico obtido, incluindo a lei de controle, Equações (2.2) e (2.3), é

composto por equações diferenciais com defasagem temporal (Differential Difference

Equation - DDE). Para resolver esse tipo de equação é necessário considerar uma

função inicial no intervalo – . Neste trabalho, essa função é estimada

a partir da expansão em série de Taylor conforme proposto por Cunningham (1954) e

apresentado a seguir:

(2.4)

Com isso, o seguinte sistema é obtido:

,

onde

. (2.5)

17

Verifica-se que as DDEs têm dependência de estados do sistema em instantes de

tempo anteriores, ao contrário das EDOs que dependem somente da solução do sistema

no estado presente. Durante a integração do sistema é necessário lidar com esses estados

defasados. Neste trabalho, o método de Runge-Kutta de quarta ordem com interpolação

linear das variáveis defasadas no tempo é utilizado para integração numérica do sistema

(MENSOUR & LONGTIN, 1997).

Nota-se que a expansão em série de Taylor é utilizada somente no início da

integração, enquanto . Uma abordagem alternativa seria adotar o início da

ação de controle somente quando todos os estados defasados necessários são

conhecidos, (DE PAULA et al., 2012; FERREIRA et al., 2011). Neste

trabalho, consideram-se três estados defasados do sistema, . Dessa forma, na

Equação (2.5) tem-se que as perturbações realizadas pelo controlador têm início apenas

quando , sendo o tempo inicial da integração.

Durante a fase de aprendizagem é feita a identificação das OPIs e a determinação

dos parâmetros do controlador, e . Em seguida inicia-se a fase de controle

propriamente dita com a aplicação das leis de controle, utilizando os parâmetros

definidos anteriormente para determinar as perturbações necessárias à estabilização da

OPI escolhida. Neste trabalho, analisa-se o expoente de Lyapunov de cada OPI de

interesse para definir os parâmetros do controlador (DE PAULA & SAVI, 2009 a; DE

PAULA et al., 2012; FERREIRA et al., 2011), conforme apresentado a seguir.

2.2.1 Expoente de Lyapunov de uma OPI

No método de controle ETDF constrói-se uma perturbação contínua no tempo

conforme apresentado na Equação (2.3). A ideia dessa estratégia de controle é que a

OPI de interesse, contida no atrator do sistema, não seja modificada, mas apenas seus

expoentes de Lyapunov (PYRAGAS, 1995), ou seja, somente sua estabilidade. Neste

sentido, é necessário escolher os parâmetros do controlador de forma que os expoentes

de Lyapunov se tornem todos negativos. No entanto, considerando-se um sistema não

autônomo para a análise da estabilidade de OPIs é suficiente determinar apenas o maior

expoente de Lyapunov (PYRAGAS, 1995). Em outras palavras, é necessário buscar

situações onde o expoente de Lyapunov máximo seja negativo (DE PAULA & SAVI,

2009 a; DE PAULA et al., 2012; FERREIRA et al., 2011). Desta forma, a partir do

18

maior expoente de Lyapunov é possível obter intervalos de valores de , considerando

constante, onde o controle pode ser alcançado.

O cálculo do expoente de Lyapunov de DDEs é mais complicado do que de

EDOs. Isso acontece porque os termos associados com a lei de controle do ETDF,

Equação (2.3), envolvem o conhecimento de estados do sistema defasados no tempo.

Considerando três estados defasados, , observa-se que a equação do sistema,

Equação (2.2), consiste na DDE mostrada a seguir:

(2.6)

Portanto, o cálculo de num instante maior que implica no

conhecimento prévio da função , com , no intervalo , onde

corresponde à dimensão do sistema sem a lei de controle. Equações deste tipo consistem

em sistemas de dimensão infinita e devem apresentar infinitos expoentes de Lyapunov,

dos quais apenas uma quantidade finita pode ser determinada a partir de uma análise

numérica. No entanto, para análise de estabilidade de OPIs em sistemas não autônomos

é suficiente determinar apenas o maior expoente de Lyapunov, , situação

em que a órbita torna-se estável (PYRAGAS, 1995).

Neste trabalho, o cálculo do expoente de Lyapunov é conduzido aproximando-se

a evolução contínua do sistema de dimensão infinita por um número finito de elementos

cujos valores mudam em passos discretos no tempo (FARMER, 1982). Neste contexto,

a função , no intervalo pode ser aproximada por amostras

espaçadas entre si por intervalos de tempo de , que corresponde ao passo de

integração. Desta forma, ao invés de variáveis de estado mostradas na Equação (2.6),

agora consideram-se variáveis. Estas variáveis estão representadas pelo vetor

, onde os componentes estão relacionados com as funções originais do

sistema no tempo e os componentes são valores das

funções nos períodos de tempo , relacionados aos estados

defasados de no intervalo .

19

∆ ,…, − ∆

(2.7)

Neste trabalho, essa aproximação é realizada com base no procedimento

utilizado por Sprott (2007). Sendo assim, a partir das variáveis definidas, representadas

no vetor , a DDE é substituída por um conjunto de EDOs. Com isso, o sistema

contínuo de dimensão infinita apresentado na Equação (2.6) é representado por

EDOs de dimensão finita, conforme apresentado a seguir:

, (2.8)

onde . Este sistema pode ser resolvido por qualquer método de

integração padrão, como o Runge-Kutta de quarta ordem. Utilizando a representação

apresentada na Equação (2.8) pode-se calcular os expoentes de Lyapunov a partir do

algoritmo de Wolf et al. (1985). Além disso, a fim de calcular o expoente de uma OPI

específica, o sistema é integrado ao longo da órbita de interesse.

20

3 MODELAGEM MATEMÁTICA DO FUNCIONAMENTO

CARDÍACO

Neste capítulo são apresentados os modelos matemáticos utilizados para

reproduzir o funcionamento do coração. Inicialmente, é apresentado o modelo usado

para reproduzir o comportamento do potencial de ação gerado por um marca-passo

natural cardíaco. Usualmente, esse marca-passo é o nódulo SA, mas também pode

representar o nódulo AV. Neste trabalho, utiliza-se o modelo proposto por Grudzinski

& Zebrowski (2004). Simulações numéricas são realizadas a fim de reproduzir os

comportamentos periódicos e caóticos, assim como a coexistência de atratores.

Em seguida é apresentado um modelo matemático do sistema cardíaco que

reproduz os sinais de ECG. Utiliza-se o modelo conceitual proposto por Gois & Savi

(2009) que considera três osciladores acoplados, conectados com acoplamentos com

defasagem temporal. Realizam-se simulações numéricas com a finalidade reproduzir o

ritmo cardíaco normal, bem como algumas patologias. Os expoentes de Lyapunov são

empregados para definir a caoticidade dos sinais obtidos.

3.1 Modelo matemático de um marca-passo natural cardíaco

O primeiro trabalho utilizando o oscilador de Van der Pol ocorreu em 1928

(VAN DER POL & VAN DER MARK, 1928) com a criação de um circuito eletrônico

composto por uma lâmpada de neon, um capacitor, um resistor e uma bateria. Este

sistema possuía um comportamento não linear e, com ele, os autores esquematizaram

uma representação dinâmica do coração. Esta foi à primeira vez em que sistemas de

osciladores não lineares foram aplicados com esta finalidade. A partir daí, a equação de

Van der Pol tem sido frequentemente utilizada em modelos teóricos das funções

cardíacas já que as características presentes nos sistemas biológicos apresentam grande

semelhança com sua resposta dinâmica, tais como ciclo limite, sincronização e caos

(FERREIRA et al., 2011; GOIS & SAVI, 2009; GRUDZINSKI & ZEBROWSKI, 2004;

SAVI, 2005). Além disso, a equação de Van der Pol adapta sua frequência intrínseca à

frequência do sinal acionado sem alterar sua amplitude, o que se torna muito importante

já que o marca-passo cardíaco é um elemento que possui uma frequência muito elevada,

a qual todos os outros osciladores devem se ajustar (GRUDZINSKI & ZEBROWSKI,

21

2004). Segundo Santos et al. (2004), outros critérios que justificam a utilização da

equação de Van der Pol como modelo fenomenológico do batimento cardíaco, tais

como: (i) a simplicidade paramétrica; (ii) cada oscilador, quando não acoplado a outros,

apresenta um ciclo limite único e estável; (iii) a amplitude da oscilação independe da

taxa de oscilação; e (iv) o oscilador está apto a ter uma resposta em frequências com

valores diferentes, quando comparadas com suas frequências naturais e livres.

Figura 3.1: Esboço do espaço de fase do oscilador de Van der Pol modificado proposto

por Postnov et al. (1999).

O modelo proposto por Grudzinski & Zebrowski (2004) se baseia no oscilador

de Van der Pol modificado proposto por Postnov et al. (1999) e é utilizado para

reproduzir o comportamento do potencial de ação gerado por um marca-passo natural

do coração.

No oscilador proposto por Postnov et al. (1999), Equação (3.1), o forçamento

harmônico da equação clássica é substituído por um forçamento cúbico não linear.

(3.1)

onde determina a amplitude do sinal. Um esboço do espaço de fase deste oscilador

está ilustrado na Figura 3.1, onde observa-se a presença de três pontos de equilíbrio,

, um centro, uma sela e um nó estável, respectivamente.

Entretanto, este modelo não permite modificar a distância entre a sela e o nó.

Para realizar essa mudança sem alterar a estrutura do espaço de fase, Grudzinski &

22

Zebrowski (2004) introduziram o parâmetro . Isso permite controlar o período de

contração auricular ou ventricular. Além disso, Grudzinski & Zebrowski (2004)

substituíram o termo de amortecimento, , por um termo assimétrico,

. Para preservar a característica auto-excitatória do sistema, e têm que

possuir sinais opostos ). A equação do novo sistema está apresentada a

seguir:

(3.2)

onde modifica o formato do pulso, o que resulta na alteração do tempo que o coração

recebe o estímulo, e é um forçamento externo.

Neste trabalho, o oscilador de Van der Pol modificado, modelado através da

Equação (3.2), é utilizado para reproduzir alguns comportamentos de um dos marca-

passos cardíacos, normal ou patológicos. Para simular esses comportamentos, são feitas

modificações em alguns parâmetros do sistema.

3.1.1 Simulações numéricas

Simulações numéricas de um marca-passo cardíaco, modelado através da

Equação (3.2), são realizadas de forma a avaliar o comportamento dinâmico do sistema

para diferentes parâmetros e condições de forçamento, reproduzindo as respostas

periódicas e caóticas, relacionadas respectivamente aos comportamentos normais e

patológicos.

Em todas as simulações utiliza-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem

para integrar o sistema. Além disso, é importante mencionar que as séries temporais

associadas ao funcionamento do marca-passo natural cardíaco possuem pontos,

sendo o número de pontos por período de forçamento e o número de períodos, e

passo de integração , sendo a frequência de forçamento. Consideram-

se os seguintes parâmetros obtidos a partir de uma análise de convergência: e

.

23

Inicialmente, analisa-se uma resposta periódica associada à atividade normal de

um marca-passo natural cardíaco. Para isso, utilizam-se os parâmetros propostos por

Grudzinski & Zebrowski (2004), , , , , ,

e . A Figura 3.2 mostra a resposta típica

através da história temporal e do espaço de fase. Observe as características típicas de

um comportamento periódico.

(a) (b)

Figura 3.2: Atividade normal de um marca-passo natural cardíaco em regime

permanente: (a) Resposta no tempo; (b) Espaço de fase.

Respostas caóticas em sistemas cardíacos podem estar associadas a

funcionamentos patológicos, como a fibrilação ventricular que é uma das arritmias

cardíacas mais perigosas e que traz maior risco à vida dos pacientes (ATTARSHARGHI

et al., 2009; CHRISTINI et al., 2001; DUBLJEVIC et al., 2008; FERREIRA et. al.,

2011; GARFINKEL et. al., 1992, 1995; GLASS et al., 1983, 1987; GOIS & SAVI;

2009; HALL et al., 1997; KARMA & GILMOUR JR, 2007; LÓPEZ et al., 2010;

SAVI, 2005). Para representar uma atividade cardíaca patológica alguns parâmetros do

sistema foram alterados. Nessa condição, considera-se , , ,

, e , onde e . A Figura 3.3 apresenta a

bacia de atração do sistema para os parâmetros considerados, mostrando a coexistência

de um atrator periódico de período-1 (pontos pretos) e um atrator caótico (pontos rosa).

Note a multiestabilidade do sistema relacionada à coexistência de atratores.

24

Figura 3.3: Bacia de atração com coexistência de um atrator periódico de período-1 (em

preto) e um atrator caótico (em rosa).

O atrator caótico pode ser observado na Figura 3.4, que apresenta a resposta do

sistema no tempo, o espaço de fase e a seção de Poincaré para

, uma condição pertencente à bacia caótica.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.4: Atividade de um marca-passo cardíaco com comportamento patológico: (a)

Resposta no tempo; (b) Espaço de fase; (c) Seção de Poincaré; (d) Espaço de fase e

seção de Poincaré.

25

Considerando-se agora diferentes condições iniciais,

, pertencente à bacia periódica, obtém-se um atrator periódico de período-1. A

Figura 3.5 ilustra a resposta no tempo em regime permanente e o espaço de fase com a

sua seção de Poincaré.

(a) (b)

Figura 3.5: Atrator periódico de período-1: (a) Resposta no tempo em regime

permanente; (b) Espaço de Fase e seção de Poincaré.

Essas simulações mostram os comportamentos periódico e caótico de um marca-

passo natural cardíaco. Na próxima seção apresenta-se um modelo matemático que

reproduz os sinais de ECG.

3.2 Modelo matemático do sistema cardíaco

Muitos estudos vêm sendo desenvolvidos no sentido de modelar a dinâmica dos

ritmos cardíacos (ABARBANEL, 1996; FERREIRA et al., 2011; GOIS & SAVI, 2009;

GRUDZINSKI & ZEBROWSKI, 2004; HODKIN & HUXLEY, 1952; SANTOS et al.,

2004; VAN DER POL & VAN DER MARK, 1928). Esses modelos são utilizados como

ferramenta de análise ou, até mesmo, de predição do comportamento do coração,

possibilitando a elaboração de estratégias de prevenção de algumas patologias,

principalmente as que possam culminar no óbito do paciente.

Basicamente, o funcionamento do coração está associado à emissão de um

impulso elétrico pelo nódulo SA que se difunde sob a forma de onda, estimulando as

aurículas. Quando essa onda alcança o nódulo AV, ele é estimulado e inicia um impulso

26

que desce pelo feixe de His-Purkinje, de onde é transmitido para as fibras de Purkinje e

para as células miocárdicas.

A combinação das ondas advindas do nódulo SA, nódulo AV e do feixe de His-

Purkinje é responsável por formar o traçado do ECG. Desta forma, espera-se que

osciladores acoplados possam representar a dinâmica geral do batimento cardíaco, onde

cada um dos osciladores representa o sinal de uma região diferente do coração (GOIS &

SAVI, 2009).

Usualmente, a literatura apresenta modelos matemáticos da dinâmica cardíaca

utilizando dois osciladores acoplados, representando fisiologicamente os nódulos SA e

AV. Entretanto, verifica-se que esses dois osciladores não são capazes de reproduzir o

sinal do ECG porque o primeiro oscilador corresponde à ativação do nódulo SA e dos

átrios e o segundo oscilador corresponde à ativação do nódulo AV. Neste contexto, Gois

& Savi (2009) incluíram um terceiro oscilador em seu modelo conceitual, representando

a propagação do impulso através dos ventrículos. Este terceiro oscilador representa

fisiologicamente o feixe de His e as fibras de Purkinje.

O modelo conceitual proposto por Gois & Savi (2009) e utilizado neste trabalho

é apresentado na Figura 3.6, onde estão ilustrados os osciladores, os acoplamentos entre

eles e os forçamentos externos incorporados ao sistema. Considera-se que todos os

acoplamentos são assimétricos e bidirecionais com a finalidade de construir um modelo

geral que seja capaz de reproduzir a maioria dos comportamentos cardíacos.

Figura 3.6: Modelo conceitual geral para o comportamento cardíaco.

27

O modelo conceitual é representado matematicamente pelo conjunto de equações

diferenciais apresentado na Equação (3.3). Este modelo é similar ao utilizado por Gois

& Savi (2009). Entretanto, neste trabalho, os osciladores que compõem as equações de

governo do sistema são modelados utilizando a equação de Van der Pol modificada

proposta por Grudzinski & Zebrowski (2004), Equação (3.2).

(3.3)

onde é um forçamento externo, é o termo de acoplamento e

, com representando a defasagem e , onde corresponde a

dimensão do sistema. Nota-se que os termos associados aos acoplamentos possuem

defasagens temporais, , que foram inseridas a fim de reproduzir o tempo gasto na

transmissão dos sinais entre as regiões do coração. Sendo assim, verifica-se que o

sistema proposto é um sistema de equações diferenciais com defasagem, DDEs, sendo

necessário estimar uma função inicial no intervalo – .

Segundo Gois & Savi (2009), a ideia geral dos osciladores acoplados é que o

sinal do ECG seja formado pela composição dos sinais de cada um dos osciladores.

Sendo assim, o sinal do ECG é dado pela combinação linear mostrada na Equação

(3.4), abaixo:

28

. (3.4)

E, analogamente, define-se:

(3.5)

3.2.1 Reprodução dos sinais do ECG

Simulações numéricas são realizadas com a finalidade de avaliar se o modelo

proposto para representar os ritmos cardíacos apresenta uma boa concordância

qualitativa com os sinais de ECG experimentais.

Como o modelo matemático é composto por DDEs faz-se necessário estimar

soluções do sistema em instantes de tempo anteriores a . Para isso, é realizada uma

expansão em série de Taylor (CUNNINGHAM, 1954), conforme apresentado na

Equação (2.4). Além disso, utiliza-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem com

interpolação linear das variáveis defasadas no tempo (MENSOUR & LONGTIN, 1997)

para lidar com os estados defasados durante a integração numérica. Em todas as

simulações realizadas os sinais obtidos possuem pontos, passo de integração

, sendo e , e condições iniciais:

.

A partir de agora passa-se a discutir simulações numéricas associadas a

diferentes comportamentos do coração. Consideram-se três situações distintas que

possuam ECGs representativos de comportamentos normais e patológicos: normal;

flutter ventricular; e fibrilação ventricular. Os dois últimos são patologias comuns sendo

a fibrilação ventricular um comportamento irregular, caótico, potencialmente perigoso.

Cada uma das simulações está relacionada a um conjunto de parâmetros ajustados de

forma artesanal, utilizando como referência os valores propostos por Grudzinski &

Zebrowski (2004), Santos et al. (2004) e Gois & Savi (2009). Sendo assim, adotam-se

os parâmetros relacionados na Tabela 3.1.

29

Tabela 3.1: Parâmetros para simulação dos ECGs.

Variáveis ECG

Normal

Flutter

Ventricular

Fibrilação

Ventricular

1o oscilador:

3 3 0,5

1 1 0,97

-1,9 -1,9 -1

1,9 1,9 3

0,55 0,55 6

2o oscilador:

3 3 3

0,5 0,1 0,5

-0,5 -0,1 -0,5

4 4 4

0,67 1,5 0,67

3o oscilador:

7 7 7

1,65 1,65 1,65

-2 -2 -2

7 7 7

0,67 1,5 0,67

Amplitudes e frequências dos forçamentos externos:

0 0 2,5

0 0 5

0 0 20

0 0 1,9

0 0 1,9

0 0 1,9

Acoplamentos:

3 0 3

0 0 0

0 0 0

55 30 55

0 0 0

0 0 0

Defasagens:

0,8 0,8 0,8

0 0 0

0 0 0

0,1 0,1 0,1

0 0 0

0 0 0

IMPORTANTE:

Em todas as simulações utilizam-se: ,

, , , , e .

30

Além disso, cabe mencionar que o ECG padrão é composto por doze derivações

separadas, seis periféricas e seis precordiais (DUBIN, 1996). As derivações são, na

realidade, posições/ângulos diferentes para se registrar a mesma atividade cardíaca.

Neste trabalho, opta-se por utilizar os sinais da segunda derivação. A escolha da

segunda derivação é baseada no fato desta ser umas das derivações mais características

no estabelecimento de diversos diagnósticos, portanto, bastante representativa da

atividade elétrica do coração (GOIS & SAVI, 2009).

A dinâmica de cada comportamento é ilustrada através de curvas como o ECG, o

espaço de fase e a seção de Poincaré. Os expoentes de Lyapunov também são estimados

com o objetivo de caracterizar a resposta do sistema.

Para realizar o cálculo do expoente de Lyapunov utiliza-se o algoritmo proposto

por Wolf et al. (1985). Quando o sistema dinâmico possui um modelo matemático

estabelecido que permite a linearização em torno de uma determinada trajetória, este

algoritmo calcula os expoentes com precisão (SAVI, 2005, 2006). Além disso, é

importante mencionar que para caracterizar o processo dinâmico como caótico ou

periódico é suficiente conhecer apenas o maior dos expoentes de Lyapunov, pois desta

forma, é possível saber se trajetórias vizinhas divergem (SAVI, 2006). Se , o

processo é caótico; se o processo é quasi-periódico; e se o processo

é periódico.

O modelo matemático apresenta defasagens temporais, sendo necessário um

tratamento especial para lidar com elas. Aqui utiliza-se a expansão em série de Taylor

que faz com que o sistema passe a ter infinitas dimensões, apresentando infinitos

expoentes de Lyapunov. Para solucionar este problema, as DDEs são aproximadas por

um conjunto de EDOs, como proposto por Sprott (2007) e apresentado na Equação

(2.8).

3.2.1.1 ECG normal

Embora o modelo conceitual geral apresente acoplamentos bidirecionais, o

funcionamento normal de um coração apresenta um acoplamento unidirecional do

nódulo SA para o nódulo AV e do nódulo AV para o feixe de His-Purkinje. Isso faz

com que o modelo conceitual do ECG normal seja apresentado como ilustrado na

Figura 3.7. Analisando os dados da Tabela 3.1 observa-se que os parâmetros associados

aos acoplamentos bidirecionais são nulos de forma a eliminar essas conexões.

31

Figura 3.7: Modelo conceitual do ECG normal.

Na Figura 3.8 é apresentada a comparação entre o ECG normal obtido utilizando

o modelo matemático proposto (em rosa) e o ECG normal experimental (em preto

tracejado). O ECG experimental foi obtido no banco de dados “Physionet”

(www.physionet.org/physiobank/database/#ecg). Verifica-se que o ECG numérico

captura o comportamento de um coração humano sadio, apresentando boa concordância

com os dados reais. Além disso, analisando o detalhe apresentado na Figura 3.8,

observa-se que o ECG numérico apresenta as ondas mais importantes: onda P,

complexo QRS e onda T.

Figura 3.8: Comparação entre o ECG normal numérico e o experimental.

Nas Figuras 3.9 e 3.10 estão ilustrados, respectivamente, os espaços de fase e as

seções de Poincaré do ECG normal e das projeções bidimensionais do espaço de fase

hepta-dimensional, representando a dinâmica de cada oscilador cardíaco, nódulo SA,

AV e ao feixe de His-Purkinje. Observa-se que o sistema apresenta um comportamento

aparentemente regular.

http://www.physionet.org/physiobank/database/#ecg

32

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.9: Espaços de fase relacionados ao ECG normal: (a) ECG, (b) Nódulo SA, (c)

Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.10: Seções de Poincaré do ECG normal: (a) ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo

AV e (d) Feixe de His-Purkinje.

33

Na Figura 3.11 apresenta-se a história temporal dos expoentes de Lyapunov do

ECG normal. Os valores convergidos são: .

Nota-se a existência de dois expoentes nulos e quatro expoentes negativos. Isso,

juntamente com o comportamento dinâmico avaliado nas seções de Poincaré, onde

observa-se a presença de uma trajetória fechada, Figura 3.10, caracterizam um

comportamento quasi-periódico.

Figura 3.11: Expoentes de Lyapunov do ECG normal.

A seguir são estudadas duas patologias cardíacas identificadas facilmente através

da análise do ECG: o flutter ventricular e a fibrilação ventricular.

3.2.1.2 ECG com flutter ventricular

O flutter ventricular é uma arritmia cardíaca produzida por um único foco

ventricular ectópico que descarrega o estímulo elétrico numa frequência rápida, entre

200 e 300 batimentos/minuto (DUBIN, 1996). Esta patologia é caracterizada

principalmente pela falta de funcionamento do nódulo SA (GOIS & SAVI, 2009).

Sendo assim, não há transmissão de sinal do nódulo SA para o nódulo AV, o que é

representado no modelo matemático pela eliminação do acoplamento entre o 1º e o 2º

osciladores. Isto também pode ser observado através do modelo conceitual desta

patologia, apresentado na Figura 3.12. Os parâmetros utilizados estão relacionados na

Tabela 3.1. Além disso, considera-se .

34

Figura 3.12: Modelo conceitual do ECG com flutter ventricular.

Os ECGs, experimental e numérico, associados ao flutter ventricular são

apresentados na Figura 3.13. Observa-se que o ECG apresenta ondas senoidais regulares

com grandes oscilações e sem definição clara do complexo QRS e onda T, pois a

resposta dos ventrículos passa a ser diferente e, devido ao ritmo mais rápido do nódulo

AV, a frequência do sinal é mais alta. Analisando o ECG numérico observa-se que essas

características foram qualitativamente capturadas, apresentando características similares

ao ECG experimental. Quase invariavelmente o flutter ventricular evolui para a

fibrilação ventricular que é uma patologia bastante perigosa podendo levar a morte

(DUBIN, 1996).

Figura 3.13: ECG com flutter ventricular experimental

(ocw.tufts.edu/Content/50/lecturenotes/634401/634452) e numérico.

35

Nas Figuras 3.14 e 3.15 estão ilustrados os espaços de fase e as seções de

Poincaré do ECG relacionado ao flutter ventricular e a algumas projeções

bidimensionais, representando a dinâmica do nódulo AV e do feixe de His-Purkinje.

Observa-se que o sistema apresenta um comportamento aparentemente regular.

(a)

(b) (c)

Figura 3.14: Espaços de fase do ECG com flutter ventricular: (a) ECG, (b) Nódulo AV e

(c) Feixe de His-Purkinje.

36

(a)

(b) (c)

Figura 3.15: Seções de Poincaré relacionadas ao ECG com flutter ventricular: (a) ECG,

(b) Nódulo AV e (c) Feixe de His-Purkinje.

Para caracterizar o comportamento do ECG com flutter ventricular é realizado o

cálculo dos expoentes de Lyapunov. A Figura 3.16 apresenta os expoentes calculados

que possuem os seguintes valores convergidos: . Os expoentes nulos

em conjunto com as seções de Poincaré associadas a esta patologia, Figura 3.15,

indicam um comportamento quasi-periódico.

Figura 3.16: Expoentes de Lyapunov do ECG com flutter ventricular.

37

3.2.1.3 ECG com fibrilação ventricular

A fibrilação ventricular é uma arritmia cardíaca grave, produzida por numerosos

focos ectópicos localizados em vários pontos dos ventrículos, cada um disparando com

uma determinada frequência. Como eles disparam ao mesmo tempo, cada um

descarrega somente uma pequena área, resultando numa contração ventricular caótica e

irregular (DUBIN, 1996). Na fibrilação ventricular, pequenas seções do músculo

cardíaco se contraem de maneira desordenada e muito rápida, tornando o ritmo do

coração frenético e irregular (KAPLAN & COHEN, 1990; WITKOWSKI et al., 1995).

Não havendo sincronicidade na contração das fibras musculares cardíacas dos

ventrículos, não existe uma contração efetiva. Como o sangue não é bombeado para

fora, esta patologia acarreta uma consequente parada cardiorrespiratória e circulatória.

Este círculo vicioso, se não revertido por tratamento imediato, leva a morte.

Figura 3.17: Modelo conceitual do ECG com fibrilação ventricular.

Para descrever a fibrilação ventricular, considera-se o modelo conceitual

utilizado para reproduzir o comportamento do ECG normal, incluindo forçamentos

externos responsáveis por excitar o sistema representando o estímulo dos focos

ectópicos que causam esta patologia. A Figura 3.17 mostra o modelo conceitual para o

sistema cardíaco com fibrilação ventricular.

A fibrilação ventricular é uma situação patológica facilmente reconhecida

através do ECG pelo aspecto totalmente irregular, de amplitude variada e ondas

grosseiras do seu traçado. Observando os ECGs de pacientes com fibrilação ventricular,

Figura 3.18, nota-se que não é possível determinar um padrão ou regularidade nesta

38

patologia e que ela se apresenta de forma diferente em cada situação. Além disso, não é

possível identificar nenhuma das ondas características do batimento cardíaco normal:

onda P, complexo QRS e onda T. Sendo assim, pode-se dizer que a fibrilação

ventricular é uma patologia irregular e caótica, facilmente reconhecida por esse aspecto

(DUBIN, 1996).

(www. geicpe-tripod-com)

(users.matrix.com.br/grace/fv.html)

(www.nigeriandoctor.com)

(www.ecg.med.br)

Figura 3.18: ECGs experimentais de pacientes com fibrilação ventricular.

Na Figura 3.19 é apresentado o ECG associado à fibrilação ventricular obtido

através da simulação numérica utilizando o modelo matemático proposto e os

parâmetros relacionados na Tabela 3.1. Verifica-se um padrão irregular que descreve de

forma qualitativa as características observadas no traçado dos ECGs experimentais.

39

Figura 3.19: ECG numérico com fibrilação ventricular.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.20: Espaços de fase relacionados ao ECG com fibrilação ventricular: (a) ECG,

(b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje.

Os espaços de fase e as seções de Poincaré estão apresentadas nas Figuras 3.20 e

3.21. Apresentam-se o ECG com fibrilação ventricular e as projeções bidimensionais

associadas à dinâmica do nódulo SA, nódulo AV e feixe de His-Purkinje. Note que o

sistema apresenta uma resposta com uma estrutura aparentemente caótica.

40

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.21: Seções de Poincaré do ECG com fibrilação ventricular: (a) ECG, (b)

Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje.

A presença de comportamentos não lineares e respostas caóticas relacionadas à

fibrilação ventricular são confirmadas em alguns estudos realizados nos últimos anos

(GARFINKEL et al., 1992, 1995; GOIS & SAVI, 2009; LÓPES et al., 2010;

WITKOWSKI et al., 1995). O cálculo dos expoentes de Lyapunov pode confirmar a

caoticidade do ECG fibrilado. A Figura 3.22 mostra que a evolução dos expoentes

converge para os seguintes valores: .

Nota-se a presença de dois expoentes positivos e quatro negativos, o que caracteriza e

confirma a natureza caótica desta patologia.

41

Figura 3.22: Expoentes de Lyapunov do ECG com fibrilação ventricular.

42

4 CONTROLE DE CAOS APLICADO A UM MARCA-PASSO

NATURAL CARDÍACO

Neste capítulo o método de controle de caos ETDF é aplicado ao marca-passo

natural cardíaco. A ideia central é avaliar a capacidade deste método em evitar respostas

patológicas caóticas, estabilizando o sistema em uma de suas OPIs ou mesmo

suprimindo o caos.

4.1 Simulações numéricas

O fato de algumas respostas caóticas em sistemas cardíacos estarem associadas a

funcionamentos patológicos (ATTARSHARGHI et al., 2009; CHRISTINI et al., 2001;

DUBLJEVIC et al., 2008; FERREIRA et. al., 2011; GARFINKEL et. al., 1992, 1995;

GLASS et al., 1983, 1987; GOIS & SAVI; 2009; HALL et al., 1997; KARMA &

GILMOUR JR, 2007; LÓPEZ et al., 2010; SAVI, 2005) é muito importante porque isso

possibilita o surgimento de novas formas de diagnosticar e tratar doenças

cardiovasculares.

Para analisar o desempenho do método ETDF quando aplicado em um marca-

passo natural cardíaco considera-se a lei de controle associada ao modelo proposto por

Grudzinski & Zebrowski (2004), conforme apresentado na Equação (4.1),

(4.1)

onde representa a perturbação de controle.

Na primeira etapa da estratégia de controle, identificam-se as OPIs imersas no

atrator caótico do sistema. Neste trabalho, essa identificação é feita utilizando o método

dos pontos recorrentes próximos (AUERBACH et al., 1987). Este método é

implementado na seção de Poincaré obtida a partir da série temporal relacionada à

atividade caótica do marca-passo natural cardíaco, ,

ilustrado na Figura 3.4, onde é a ordem da amostra e é o

43

intervalo entre duas amostras do sinal, sendo adotado igual ao passo de integração,

. Como sistema é excitado harmonicamente, a seção de Poincaré representa uma

amostra estroboscópica do sinal. A busca considera órbitas até a periodicidade 10.

Depois da identificação, o expoente de Lyapunov máximo de cada OPI de

interesse é calculado para diferentes valores dos parâmetros de controle, e .

Entretanto, por causa da inserção da lei de controle do ETDF, o sistema passa a ser

composto por DDEs. Sendo assim, para realizar o cálculo dos expoentes de Lyapunov é

necessário utilizar uma representação alternativa do sistema com a qual são eliminadas

as dependências de estados defasados no tempo, conforme apresentado a seguir.

4.1.1 Representação do sistema proposto para o cálculo dos expoentes

de Lyapunov

Para calcular o expoente de Lyapunov do modelo apresentado na Equação (4.1),

é proposta a representação alternativa mostrada na Equação (4.2). Com isso, o sistema

original com controlador é reescrito como um conjunto de EDOs. Desta

forma, assumindo-se , e considerando-se as variáveis para a

aproximação de no intervalo , o conjunto de equações que governam

o sistema dinâmico é dado por:

, para 2

(4.2)

onde e é o passo de integração. Desta forma, o conjunto de EDOs de

primeira ordem dado pela Equação (4.2) pode ser integrado numericamente utilizando o

método de Runge-Kutta de quarta ordem e o maior expoente de Lyapunov é calculado a

partir de um algoritmo proposto por Wolf et al. (1985). É importante ressaltar que a

trajetória da OPI associada ao sistema original é substituída pela série temporal

44

da órbita, obtida na identificação da mesma (DE PAULA & SAVI, 2009 a; FERREIRA

et. al., 2011).

Sendo assim, a estabilização da órbita escolhida pode ser alcançada para

parâmetros relacionados a valores negativos do expoente. Além disso, a escolha dos

valores dos parâmetros deve ser realizada de forma que o expoente de Lyapunov

máximo esteja próximo do seu valor mínimo, o que segundo Pyragas (1995) fornece

uma taxa de convergência maior das órbitas próximas para a OPI de interesse. Na

segunda etapa, o sistema é perturbado a fim de alcançar sua estabilização. Os resultados

obtidos na segunda etapa são mostrados a seguir.

4.1.2 Controle de caos

Iniciando a análise do emprego do método de controle escolhe-se uma OPI de

período-2. A Figura 4.1 mostra a órbita identificada e os expoentes de Lyapunov

máximos calculados para diferentes valores dos parâmetros de controle, e . Regiões

associadas a valores negativos do expoente de Lyapunov máximo indicam que a

estabilização do sistema pode ser alcançada para qualquer valor de , inclusive para

, considerando-se valores adequados de .

(a) (b)

Figura 4.1: (a) OPI de período-2 identificada e (b) expoentes de Lyapunov máximos.

A Figura 4.2 mostra o espaço de fase e a resposta do sistema no tempo em

regime permanente e a perturbação imposta pelo controlador utilizando e

. Além disso, considera-se , correspondente à periodicidade 2, e

45

. Verifica-se que o controlador é capaz de estabilizar

a OPI e, conseqüentemente, retirar o sistema de um comportamento caótico indesejado

através de pequenas perturbações.

(a) (b)

(c)

Figura 4.2: OPI de período-2 estabilizada, utilizando e : (a) Espaço de

fase em regime permanente; (b) Resposta no tempo; (c) Perturbação no tempo.

Em seguida, analisa-se uma OPI de período-4. Na Figura 4.3 estão ilustrados a

órbita identificada e os expoentes de Lyapunov máximos considerando-se

, correspondente à periodicidade 4. Verifica-se que a estabilização da órbita

pode ser obtida para uma faixa de valores de , quando , e .

46

3

(a) (b)

Figura 4.3: (a) OPI de período-4 identificada e (b) expoentes de Lyapunov máximos.

(a) (b)

Figura 4.4: (a) Bacia de atração considerando e ; (b) Estado do sistema

no momento em que a ação de controle é iniciada.

Para a estabilização da OPI de período-4 adota-se e . Entretanto,

analisando o desempenho do método de controle nota-se que, de acordo com as condições

iniciais, o controlador pode levar a trajetória do sistema a diferentes comportamentos. A

Figura 4.4 (a) apresenta a bacia de atração do sistema com o controlador, utilizando os

parâmetros de controle em questão. Verifica-se que, de acordo com as condições iniciais, o

sistema pode convergir para um atrator periódico de período-1 (pontos pretos), pode

estabilizar a OPI de período-4 (pontos azuis) ou pode apresentar um comportamento caótico

(pontos rosa). A Figura 4.4 (b) apresenta o estado do sistema no momento em que se inicia

a ação de controle, em , juntamente com os pontos fixos da OPI de período-4

(pontos verdes). Novamente, os pontos em preto, azul e rosa indicam, respectivamente, a

47

convergência para a órbita de período-1, a estabilização da OPI de período-4 e um

comportamento caótico, em regime permanente. Mais ainda, verifica-se que quando o

sistema está na vizinhança da OPI de interesse ao se iniciar a ação de controle, a chance de

se estabilizar a órbita é maior.

Seguindo a análise do sistema com ação de controle considerando e

, utiliza-se e ,

correspondente à periodicidade 4. Na Figura 4.5 estão ilustradas a órbita estabilizada, a

resposta no tempo em regime permanente e a perturbação imposta. Observa-se que foi

possível estabilizar a OPI, aplicando pequenas perturbações ao sistema.

(a) (b)

(c)


: (a) Espaço de fase em regime permanente;

(b) Resposta no tempo; (c) Perturbação no tempo.

48

Em seguida, alteram-se as condições iniciais para

e considera-se, novamente, . A Figura 4.6 apresenta a

órbita de período-1 encontrada, a resposta no tempo em regime permanente e a

perturbação aplicada ao sistema. Verifica-se que, utilizando essa condição inicial, o

sistema converge para o atrator periódico apresentado na Figura 3.5. Desta forma, o

comportamento obtido não consiste na estabilização de uma OPI do sistema, na

realidade, a perturbação realizada transfere a trajetória do sistema do atrator caótico

para o periódico.

(a) (b)

(c)

Figura 4.6: Órbita de período-1 encontrada, considerando , e

: (a) Espaço de fase; (b) Resposta no tempo em

regime permanente; (c) Perturbação no tempo.

Novamente modificam-se as condições iniciais, agora para

e mantém-se . Na Figura 4.7 estão ilustrados o espaço de

49

fase, a resposta no tempo e a perturbação imposta ao sistema. Verifica-se que, com

essas condições iniciais, o controlador não se mostrou eficaz na estabilização do

sistema, apresentando um comportamento caótico.

(a) (b)

(c)

Figura 4.7: Comportamento caótico encontrado, considerando , e

: (a) Espaço de fase; (b) Resposta no tempo; (c)

Perturbação no tempo.

Analisando as Figuras 4.5 a 4.7 pode-se dizer que o sistema contendo a lei de

controle e utilizando os parâmetros do controlador e possui 3 atratores

coexistentes, sendo dois periódicos e um caótico.

Entretanto, observa-se que também é possível estabilizar a OPI de período-4

mantendo as condições iniciais com as quais na primeira análise não foi possível

estabilizar o sistema, , utilizando e

modificando os parâmetros do controlador. Sendo assim, adotam-se os parâmetros de

50

controle e . Na Figura 4.8 estão ilustradas a órbita estabilizada, a resposta

no tempo em regime permanente e a perturbação imposta ao sistema.

(a) (b)

(c)


: (a) Espaço de fase em regime permanente; (b)

Resposta no tempo; (c) Perturbação no tempo.

(a) (b)

Figura 4.9: (a) OPI de período-10 e (b) expoentes de Lyapunov máximos.

51

A fim de verificar a eficácia do método de controle ETDF em estabilizar órbitas

de alta periodicidade analisou-se a OPI de período-10. Nesse contexto, considera-se

, correspondente à periodicidade 10, e

. A Figura 4.9 ilustra a OPI de período-10

identificada e os expoentes de Lyapunov máximos. Verifica-se que não existem

expoentes negativos, sendo assim não é possível estabilizar a órbita através o método de

controle utilizado.

Os resultados mostram que o método é eficaz na estabilização de OPIs de baixa

periodicidade. No entanto, nota-se uma dependência das condições iniciais,

determinante para a estabilização da órbita. Verifica-se que, de acordo com as condições

iniciais, o sistema pode ser estabilizado em uma OPI de interesse ou apresentar

comportamentos diferentes. Além disso, é importante mencionar que quando a ação de

controle se inicia na vizinhança da OPI de interesse, há uma maior chance de

estabilização desta órbita. Entretanto, a estabilização de órbitas de elevada periodicidade

não pode ser alcançada utilizando o método ETDF.

4.1.3 Supressão de caos

Uma alternativa para evitar o comportamento caótico é a supressão do caos. Esse

procedimento foge da ideia central do controle de caos de utilizar pequenas

perturbações para estabilizar OPIs que pertencem à dinâmica do sistema. No entanto, no

caso dos ritmos cardíacos pode ser utilizado para suprimir o comportamento caótico em

uma situação de emergência.

(a) (b)


perturbação no tempo.

52

Nesse contexto, De Paula & Savi (2009 b) mostram que o aumento do esforço do

controlador, representado pelos parâmetros de controle, pode suprimir o comportamento

caótico. Sendo assim, opta-se por utilizar e . Na Figura 4.10 estão

ilustradas a órbita de período-2 encontrada e a perturbação imposta ao sistema.

Em seguida, utiliza-se e . Na Figura 4.11 estão ilustradas a

órbita de período-1 encontrada e a perturbação aplicada ao sistema.

(a) (b)


perturbação no tempo.

Para os dois conjuntos de parâmetros utilizados é possível suprimir o

comportamento caótico utilizando valores elevados dos parâmetros de controle. Neste

caso, o comportamento obtido não consiste em uma órbita natural do sistema e as

perturbações não são pequenas. Entretanto, mesmo fugindo da ideia central da estratégia

de controle, verifica-se que a supressão é uma alternativa importante, pois elimina o

risco iminente de morte em situações emergenciais críticas.

Finalmente, pode-se concluir que, para o sistema analisado, tanto a estabilização

de OPIs quanto a supressão do caos são eficazes, pois eliminam respostas

patologicamente indesejadas de um dos marca-passos cardíacos.

53

5 CONTROLE DE CAOS DO SISTEMA CARDÍACO

No Capítulo 3 comprova-se que a fibrilação ventricular apresenta um

comportamento caótico. Estudos relacionados com esta patologia são essenciais porque

ela é uma arritmia cardíaca grave que, se não for tratada rapidamente, torna-se letal ao

organismo humano. Sendo assim, neste capítulo avalia-se a eficácia do método de

controle de caos ETDF em controlar, suprimir ou minimizar os efeitos das respostas

caóticas nos ritmos cardíacos associadas à fibrilação ventricular. Com isso, torna-se

possível simular a inserção desta técnica de controle de caos em um marca-passo ou

microdesfibrilador. O modelo utilizado agora considera três osciladores acoplados,

sendo capaz de descrever os sinais do ECGs.

Para isso, a lei de controle é incorporada ao modelo matemático do sistema

cardíaco, apresentado na Equação (3.3). Considera-se que o controle é aplicado no

marca-passo natural, o nódulo SA. Inicialmente, para determinação dos parâmetros do

controlador, analisa-se a dinâmica desse sistema desacoplado dos demais. A partir daí, o

sinal controlado é utilizado com um sinal de entrada para os outros nódulos.

Depois dessa análise, passa-se a tratar todo o sistema acoplado. Com isso, os

parâmetros do controlador são obtidos através do sistema com três osciladores

acoplados.

5.1 Controle de caos utilizando uma análise desacoplada

Primeiramente é realizada uma análise desacoplada do controle de caos do

sistema cardíaco. Para isso, é resgatado o estudo do controle de um marca passo natural,

realizado no Capítulo 4. A ideia é utilizar o sinal controlado como um marca-passo,

sendo um sinal de entrada para os outros sistemas, segundo e terceiro osciladores.

Sendo assim, considera-se o sistema de controle associado ao modelo dos ritmos

cardíacos. Nessas condições, a dinâmica do sistema é governada pelo seguinte conjunto

de equações:

54

(5.1)

onde e são conhecidos, consistindo nos sinais controlados do marca-passo natural,

previamente obtidos no Capítulo 4. Com isso, simula-se a inserção do sinal de controle

no primeiro oscilador, associado ao nódulo SA.

Nas simulações são empregados os parâmetros de controle, e , calculados e

analisados no Capítulo 4, com os quais é possível controlar os sinais caóticos de um

marca-passo natural cardíaco. Utilizam-se as seguintes condições iniciais

.

Os mesmos casos tratados anteriormente, no controle do marca-passo natural,

são utilizados aqui. Inicia-se a análise, avaliando o controlador com e ,

anteriormente aplicados para estabilizar a OPI de período-2. Na Figura 5.1 estão

ilustrados o ECG com fibrilação ventricular (em preto tracejado) e o ECG controlado

(em rosa).


(em rosa), utilizando a abordagem desacoplada, com e .

55

Na Figura 5.2 são apresentados os espaços de fase do ECG com fibrilação

ventricular (em preto) e do ECG controlado (em rosa) e algumas projeções

bidimensionais representando a dinâmica do nódulo SA, nódulo AV e feixe de His-

Purkinje. Após a inserção do sinal controlado, o nódulo AV, o feixe de His-Purkinje e o

ECG com fibrilação ventricular passam a apresentar uma dinâmica com um padrão de

comportamento que tende a ser menos crítico.

(a) (b)

(c) (d)


com controle (em rosa), utilizando a abordagem desacoplada, com e : (a)

ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje.

Em seguida, considera-se a estabilização de uma órbita de período-4, onde

utilizam-se os parâmetros de controle e . Na Figura 5.3 são mostrados o

ECG com fibrilação ventricular (em preto tracejado) e o ECG controlado (em rosa). A

Figura 5.4 apresenta os espaços de fase do ECG com fibrilação ventricular (em preto) e

56

do ECG controlado (em rosa). Além disso, na Figura 5.4 também estão ilustradas as

projeções bidimensionais que representam a dinâmica do nódulo SA, nódulo AV e feixe

de His-Purkinje. Note que o controlador é capaz de levar o ECG com fibrilação

ventricular, o nódulo AV e o feixe de His-Purkinje a comportamentos dinâmicos com

padrões mais adequados e menos complexos.


(em rosa), utilizando a abordagem desacoplada, com e .

(a) (b)

(c) (d)


com controle (em rosa) , utilizando a abordagem desacoplada, com e :

(a) ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje.

57

5.2 Controle de caos utilizando uma análise acoplada

Neste momento, realiza-se uma análise desempenho do controle de caos aplicado

ao sistema cardíaco que representa os ritmos cardíacos. Entretanto, as análises são

realizadas considerando o sistema acoplado. Como realizado na seção anterior, o

controlador atua no marca-passo natural, primeiro oscilador do modelo proposto. A

diferença para o caso anterior é que nesta seção os parâmetros de controlador são

determinados através do modelo acoplado, contendo os três osciladores, conforme

mostrado na Equação (5.2).

(5.2)

O processo de controle se inicia com a identificação das OPIs imersas na

dinâmica do sistema. Essa identificação é realizada utilizando o método dos pontos

recorrentes próximos (AUERBACH et al., 1987). Este método é empregado à seção de

Poincaré obtida através da série temporal relacionada ao funcionamento caótico do

coração, ilustrada na Figura 3.20. Além disso, utiliza-se , e

.

Investigam-se órbitas até a periodicidade 7.

58

Depois da identificação é realizado o cálculo dos expoentes de Lyapunov

máximos para cada OPI que se deseja estabilizar, considerando diferentes valores dos

parâmetros do controlador, e . Inicia-se o estudo analisando a OPI de período-2. A

Figura 5.5 mostra a órbita identificada e as projeções bidimensionais associadas

representando a dinâmica do nódulo SA, do nódulo AV e do feixe de His-Purkinje. A

Figura 5.6 mostra os expoentes de Lyapunov máximos, considerando ,

correspondente à periodicidade 2. Analisando as regiões relacionadas aos valores

negativos dos expoentes de Lyapunov máximos, observa-se que é possível estabilizar o

sistema com qualquer valor de , considerando-se adequadamente os valores de .

(a) (b)

(c)

Figura 5.5: OPI de período-2 identificada: (a) Nódulo SA, (b) Nódulo AV e (c) Feixe de

His-Purkinje.

59


Verifica-se que há uma coerência entre o resultado obtido através do sistema

acoplado e a abordagem desacoplada utilizada na seção anterior, visto que através da

análise dos expoentes conclui-se que também é possível utilizar e para

estabilizar a OPI de período-2. Além disso, nota-se a similaridade entre os ECGs

controlados (em rosa) obtidos na análise atual, Figura 5.7, e anterior, Figura 5.1. Bem

como das seções de Poincaré e projeções bidimensionais associadas às dinâmicas do

nódulo SA, AV e feixe de His-Purkinje atuais, Figura 5.8, e anteriores, Figura 5.2. Além

disso, na Figura 5.9 é apresentada a perturbação imposta ao sistema. Observa-se que é

possível minimizar os efeitos da fibrilação ventricular no sistema cardíaco caótico

utilizando de pequenas perturbações.


(em rosa), utilizando a abordagem acoplada, com e .

60

(a) (b)

(c) (d)


com controle (em rosa), utilizando a abordagem acoplada, com e : (a)

ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje.


sistema cardíaco acoplado.

Em seguida, analisa-se a OPI de período-4. Na Figura 5.10 está ilustrada a órbita

identificada e as projeções bidimensionais representando a dinâmica do nódulo SA, do

61

nódulo AV e do feixe de His-Purkinje, e na Figura 5.11 são apresentados os expoentes

de Lyapunov máximos para diferentes parâmetros de controle, considerando

, associado à periodicidade 4.

(a) (b)

(c)


de His-Purkinje.


62

(a) (b)

(c) (d)



ação de controle começando em : (a) ECG, (b) Nódulo SA, (c) Nódulo AV e

(d) Feixe de His-Purkinje.

Analisando a Figura 5.11, observa-se que, escolhendo adequadamente os valores

de , é possível estabilizar o sistema com qualquer valor de . Sendo assim, para

estabilização da OPI de período-4 adota-se e . Na Figura 5.12 são

apresentados os espaços de fase do ECG com fibrilação ventricular (em preto) e do

ECG contendo a lei de controle (em rosa) e algumas projeções bidimensionais,

representando a dinâmica do nódulo SA, nódulo AV e feixe de His-Purkinje. Nota-se

que o método de controle não apresenta um bom desempenho.

Até o momento, em todas as simulações realizadas, a ação de controle se inicia

somente quando todos os estados defasados necessários do sistema são conhecidos, em

. Entretanto, conforme concluído através da análise da Figura 4.4 (b), quando o

sistema está na vizinhança da OPI de interesse ao se iniciar a ação de controle, há uma

chance maior de se estabilizar a órbita.

Na Figura 5.13 estão ilustrados o ECG com fibrilação ventricular (em preto

tracejado) e o ECG contendo a lei de controle (em rosa) e na Figura 5.14 são

63

apresentados os espaços de fase associados ao ECG com fibrilação ventricular (em

preto) e ao ECG controlado (em rosa) e algumas projeções bidimensionais. Entretanto,

para esses resultados é necessário um tempo de espera para que com controlador inicie

sua atuação sob o sistema. Sendo assim, o controlador espera, primeiramente, até que os

estados defasados necessários sejam conhecidos e, em seguida, até que o sistema esteja

na vizinhança da OPI de período-4. Depois disso a ação de controle se inicia.

Figura 5.13: ECG com fibrilação ventricular (em preto tracejado) e do ECG com

controle (em rosa), utilizando a abordagem acoplada, com e , e a ação de

controle começando na vizinha da OPI de interesse.

(a) (b)

(c) (d)



ação de controle começando na vizinha da OPI de interesse: (a) ECG, (b) Nódulo SA,

(c) Nódulo AV e (d) Feixe de His-Purkinje.

64

Na Figura 5.15 é apresentada a perturbação imposta ao sistema. Nota-se que foi

possível estabilizar o sistema na OPI desejada utilizando, para isso, pequenas

perturbações. Além disso, observa-se que o controlador demora mais tempo para iniciar

a atuação. Isso ocorre por causa do tempo de espera. Além disso, verifica-se que

aplicando o método ETDF ao ECG com fibrilação ventricular é possível levar o sistema

para um comportamento dinâmico mais suave.


sistema acoplado.

(a) (b)

(c)


de His-Purkinje.

65

Para avaliar a eficácia do método de controle ETDF em estabilizar órbitas de alta

periodicidade analisa-se a OPI de período-7. Na Figura 5.16 é apresentada a órbita

identificada e as projeções bidimensionais representando a dinâmica do nódulo SA,

nódulo AV de do feixe de His-Purkinje. Além disso, na Figura 5.17 estão ilustrados os

expoentes de Lyapunov máximos, considerando , correspondente à

periodicidade 7. Nota-se que não há expoentes negativos, não sendo possível estabilizar

esta órbita através do método de controle utilizado.


Entretanto, os resultados mostram que o método ETDF apresenta um bom

desempenho na estabilização das OPIs de baixa periodicidade associadas ao sistema

cardíaco caótico, mais especificamente do ECG com fibrilação ventricular. No entanto,

nota-se que os ECGs controlados e a dinâmica do sistema observada através dos

espaços de fase são a mesma quando utiliza-se a abordagem desacoplada e acoplada.

Sendo assim, conclui-se que análise do sistema de forma acoplada não é interessante

porque demanda um maior tempo computacional na determinação dos parâmetros de

controle.

Neste momento vale destacar que os ECGs obtidos quando o sistema é

controlado possuem a característica da patologia conhecida como bloqueio de ramo,

mais especificamente do feixe de His, também conhecido como bloqueio de ramo do

feixe. Nas Figuras 5.3 e 5.13, onde é estabilizada a OPI de período-4, observam-se

algumas características do flutter auricular.

66

Os bloqueios são distúrbios na condução elétrica do coração que detêm a

passagem dos estímulos, podendo ocorrer em três regiões, no nódulo SA, no nódulo AV

ou no feixe de His e seus ramos. O bloqueio de ramo do feixe é ocasionado pelo

bloqueio do impulso dos ramos direito ou esquerdo do feixe de His (DUBIN, 1996). No

funcionamento cardíaco normal os ventrículos se despolarizam simultaneamente, já no

bloqueio de ramo do feixe há um retardamento do impulso no lado correspondente a

ocorrência do distúrbio (DUBIN, 1996). Sendo assim, um ventrículo se despolariza

pouco depois do outro, fazendo com que dois complexos QRS se juntem, conforme

apresentado na Figura 5.18. Isso faz com que o complexo QRS aparente estar alargado.

Figura 5.18: Esquema do bloqueio de ramo do feixe de His (DUBIN, 1996).

O flutter auricular, por sua vez, é uma arritmia cardíaca produzida pela presença

de outro foco auricular ectópico, além do nódulo SA, disparando com frequência de 250

a 350 batimentos/minuto (DUBIN, 1996). Conforme observa-se na Figura 5.19, o ECG

desta patologia se caracteriza por uma série de ondas P iguais, em sucessão rápida, se

assemelhando aos dentes de uma serra. Essa característica também pode ser verificada

nos comportamentos cardíacos obtidos quando é estabilizada a OPI de período-4,

conforme nota-se nas Figuras 5.3 e 5.13.

Figura 5.19: ECG com flutter auricular

(http://hugoveiga.atspace.com/Flutter_Auricular.htm).

http://hugoveiga.atspace.com/Flutter_Auricular.htm

67

Sendo assim, observa-se que os ECGs controlados possuem as características

presentes tanto no bloqueio de ramo quanto no flutter auricular. Isso é muito

interessante porque quando o paciente apresenta uma dessas duas patologias, o

tratamento é bem mais brando do que o tratamento da fibrilação ventricular. Desta

forma, pode-se dizer que a aplicação do controle de caos é eficiente no sentido de tornar

a dinâmica bem mais tolerável para o paciente.

Além disso, através da análise realizada no Capítulo 4 e do resultado do

expoente de Lyapunov máximo da OPI de período-7 conclui-se que o método de

controle ETDF não se mostra eficaz na estabilização de órbitas de alta periodicidade.

Neste caso, uma alternativa é a utilização da supressão de caos. Os resultados da

aplicação dessa estratégia alternativa são apresentados a seguir.

5.2.1 Supressão de caos

Na supressão de caos utilizam-se grandes perturbações, com as quais o sistema é

estabilizado em uma órbita que não é natural, aumentando-se o esforço de controle.

Nesse sentido, na tentativa de estabilizar a OPI de período-7 utiliza-se, primeiramente,

e . Na Figura 5.20 estão ilustrados os espaços de fase relacionados ao

ECG com fibrilação ventricular (em preto) e ao ECG suprimido em uma órbita de

período-1 (em rosa). Além das projeções bidimensionais da dinâmica do sistema. Já na

Figura 5.21 é apresentada a perturbação imposta ao sistema.

68

(a) (b)

(c) (d)





período-1.

69

Em seguida adota-se e . Na Figura 5.22 estão ilustrados os

espaços de fase associados ao ECG com fibrilação ventricular (em preto) e ao ECG

suprimido em uma órbita de período-2 (em rosa), juntamente com as projeções

bidirecionais que representam a dinâmica do nódulo SA, do nódulo AV e do feixe de

His-Purkinje. Já na Figura 5.23 é apresentada a perturbação aplicada ao sistema.

(a) (b)

(c) (d)





período-2.

70

Verifica-se que utilizando os dois conjuntos de parâmetros de controle propostos

é possível suprimir o comportamento caótico presente no ECG com fibrilação

ventricular. Entretanto, analisando as Figura 5.20 a Figura 5.23 nota-se que as órbitas

encontradas não são órbitas naturais do sistema e que são utilizadas grandes

perturbações. Sendo assim, mesmo fugindo da ideia central do método de controle

ETDF, conclui-se que a supressão de caos é uma opção em situações emergenciais e

que leva o ECG com fibrilação ventricular a comportamentos mais suaves.

71

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho é realizada uma análise da capacidade do método de controle por

realimentação com estados defasados estendidos (ETDF) em estabilizar

comportamentos cardíacos caóticos, patológicos, mais especificamente, a fibrilação

ventricular. Sendo contribuição inédita na literatura a utilização do método ETDF com

esta finalidade.

Inicialmente, é realizada uma revisão bibliográfica que revela a importância do

estudo do funcionamento cardíaco e do controle de caos como uma nova estratégia

terapêutica para controlar, suprimir ou minimizar respostas caóticas indesejadas do

coração. Nota-se também que vários estudos realizados confirmam a natureza não linear

e caótica de algumas arritmias cardíacas. Dentre elas, a que possui maior potencial para

aplicação terapêutica das técnicas de controle de caos é a fibrilação ventricular.

Primeiramente realiza-se o estudo do comportamento de um marca-passo natural

cardíaco modelado através de uma equação de Van der Pol modificada. Então,

simulações numéricas são realizadas, reproduzindo dois tipos de comportamentos,

normal e patológico, associados respectivamente à resposta periódica e caótica de um

dos marca-passos naturais do coração, o nódulo SA ou o nódulo AV.

Em seguida, são reproduzidos alguns funcionamentos cardíacos utilizando um

modelo matemático onde são considerados três osciladores de Van der Pol modificados

conectados por acoplamentos com defasagem no tempo. Simulações são realizadas e

mostram que o modelo proposto é capaz de capturar de forma qualitativa o

comportamento geral de alguns ritmos cardíacos. Nestas simulações são reproduzidos o

ECG normal e o ECG de duas patologias, o flutter ventricular e a fibrilação ventricular.

Além disso, é realizado um estudo da dinâmica dos sinais obtidos.

O próximo passo é a aplicação da técnica de controle ETDF aos sistemas

propostos em regime caótico e avaliação da sua capacidade de estabilização.

Primeiramente, esta estratégia de controle é aplicada a um marca-passo natural se

mostrando eficaz tanto na estabilização das OPIs quanto na supressão do

comportamento caótico, eliminando respostas patologicamente indesejadas.

72

Por fim, o método de controle é aplicado ao ECG com fibrilação ventricular,

utilizando uma análise do sistema cardíaco, desacoplada e acoplada. A lei de controle é

incorporada às equações associadas ao primeiro oscilador do modelo que representam

fisiologicamente o nódulo SA. Dessa forma, simula-se a incorporação da técnica de

controle ETDF a um marca-passo ou microdesfibrilador atuando na aurícula direita. As

análises mostram que esta estratégia de controle de caos é eficaz no controle quando o

sistema é analisado de forma acoplada e desacoplada, minimizando os efeitos da

fibrilação ventricular e levando o sistema a comportamentos mais adequados e menos

críticos. Entretanto, nota-se que para as duas abordagens são obtidos resultados

semelhantes para as OPIs analisadas. Sendo assim, conclui-se que é mais interessante a

utilização da abordagem desacoplada porque o tempo utilizado na determinação dos

parâmetros de controle é menor.

Os comportamentos cardíacos obtidos após atuação do controlador apresentam

características que estão presentes em duas patologias, o bloqueio de ramo do feixe de

His e o flutter auricular. O tratamento dessas duas patologias é bem mais brando do que

o da fibrilação ventricular. Sendo assim, conclui-se que embora o controlador não leve o

ECG com fibrilação ventricular a um comportamento normal, com ele é possível levar o

ECG caótico a comportamentos cardíacos bem menos complexos. Desta forma, é

possível associar mais de um tratamento para levar o paciente a apresentar um ECG

normal.

Um fato que não pode deixar de ser mencionado é que o método de controle de

caos ETDF também não se mostra eficaz na estabilização de OPIs de alta periodicidade

associadas a respostas cardíacas caóticas. Nessas situações, contudo, o método continua

sendo útil para promover a supressão do caos o que representa uma solução emergencial

em situações críticas.

De uma maneira geral, entende-se que a abordagem dinâmica proporciona uma

compreensão adequada do comportamento dos ritmos cardíacos, sendo útil na

identificação, monitoração e controle do sistema cardiovascular.

6.1 Trabalhos futuros

Pyragas (2001) propôs um controlador baseado no método de controle ETDF

com o qual é possível eliminar totalmente todas as limitações desse método. Sendo

assim, como sugestão para continuação deste trabalho propõe-se a aplicação desse

73

controlador a fim de contornar a dificuldade do método ETDF em estabilizar órbitas alta

periodicidade.

Além disso, observou-se que a estabilização da OPI de interesse está

condicionada a determinação adequada dos parâmetros de controle e a definição correta

das condições iniciais. Esta sensibilidade às condições iniciais foi observada no estudo

do marca-passo natural. Então, sugere-se fazer a bacia de atração também para o

sistema acoplado.

Outra sugestão para trabalhos futuros é a identificação de outras OPIs do sistema

acoplado, sendo possível, dessa forma, encontrar outras patologias cardíacas menos

agressivas que a fibrilação ventricular e diferentes das já observadas ou, até mesmo, um

comportamento que se aproxime do ECG normal.

74

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Bianca Borem Ferreira CONTROLE DE CAOS APLICADO À …w2.files.scire.net.br/atrio/ufrj-pem_upl//THESIS/10/pemufrj2012dsc... · tempo que sempre desprendeu para me ajudar! À CAPES,