Bianchini-Metodologie_Numeriche_02_2010

UNIVERSITA’ DI FIRENZEFacoltà di Ingegneria

Dipartimento di Energetica “S.Stecco”Sezione di Macchine – HTC group

Metodologie numeriche

parte 2

Introduzione alla modellistica della

turbolenza

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� Update: 01/12/2009� Autore: Cosimo Bianchini [email protected]



� Turbolenza: stato di moto fortemente irregolare di un fluido caratterizzata da variazioni "caotiche”delle grandezze termofluidodinamiche nel tempo e nello spazio.

� Origine della turbolenza� Instabilità di un flusso laminare: fenomeno della transizione.

� Interazione fra fluido e pareti solide o fra correnti di fluido con velocità differenti (shear layer).

� Principali caratteristiche della turbolenza� Fenomeno intrinsecamente non-stazionario e 3D.

� Esistenza di un ampio spettro di scale spaziali e temporali.

� Fenomeno “continuo”: le più piccole scale sono comunque molto più grandi di qualsiasi scala molecolare.

Fenomenologia della turbolenza

Pag. 2

� Fenomeno “continuo”: le più piccole scale sono comunque molto più grandi di qualsiasi scala molecolare.

� Possibilità di una descrizione statistico-probabilistica del campo di moto: fenomeno caotico ma coerente.

� Dipendenza dal numero di Reynolds (al crescere di Re cresce l’intensità di turbolenza).

� “Energy cascade”: continuo trasferimento di energia dalle scale più grandi verso quelle più piccole eviceversa (“back-scattering”).

� Fenomeno fortemente diffusivo e dissipativo: forte incremento del trasporto di massa, quantità di moto edenergia.

� La dissipazione avviene solamente alle scale più piccole mediante conversione energia cinetica in energiatermica

� Estrema sensibilità alle condizioni al contorno ed iniziali

� Memoria del flusso: le strutture di moto di maggiori dimensioni persistono nel flusso per lunghezze (e tempi)relativamente elevati � lo stato dinamico del flusso in un punto non può essere correttamente correlatofacendo riferimento esclusivamente allo stato locale ed istantaneo



Fenomenologia della turbolenza

Pag. 3

34Re

K

L

l≡

34Re

K

T

t≡



Approcci alla Modellistica della turbolenza - definizioni

� Direct Numerical Simulation (DNS)� HP: Le equazioni di NS contengono tutte le informazioni necessarie alla modellizzazione fisico-matematica di

un flusso turbolento

� Risoluzione delle equazioni su di una griglia sufficientemente fine e con passi temporali sufficientementepiccoli da cogliere l’intero spettro delle scale spaziali e temporali

� Large Eddy Simulation (LES)� HP: Large Scales:

� Caratterizzano la dinamica del flusso, regolano la transizione e la produzione di energia cineticaturbolenta

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turbolenta

� Dipendono dalle condizioni al contorno e sono anisotrope

� Contengono la maggior parte di energia cinetica turbolenta (80%)

� HP: Small Scales:

� Rispettano l’ipotesi di isotropia di Kolmogorov, carattere universale

� Responsabili della dissipazione viscosa

� Risoluzione diretta delle scale più grandi

� Modellazione delle scale più piccole (subgrid scales)� Filtro spaziale definito localmente sulla dimensione della mesh

� Reynolds (Favre) Averaged Navier Stokes equation (RANS)� Tutte le scale vengono modellate, la soluzione è la media statistica

� Solo gli effetti della turbolenza sul moto medio vengono inclusi

DNS

LESRANS



Approcci alla Modellistica della turbolenza – pro e contro

� Direct Numerical Simulation (DNS)� Risorse di calcolo enormi e tempi computazionali molto lunghi

� Impossibile affrontare con questo strumento flussi di interesse applicativo (Re elevati)

� Strumento fondamentale dal punto di vista scientifico per lo studio delle proprietà della turbolenza

� Estrema sensibilità alle condizioni iniziali e al contorno

� Large Eddy Simulation (LES)� Crescente interesse da parte della comunità scientifica e industriale

� Applicazioni limitate principalmente da risoluzione a parete (vincoli su x+, y+ e z+)→geometrie semplici

( )3 94 4

33

Re ReK

LN

l

≡ ≡ ≡

Pag. 5

� Fondamentale per fenomeni strettamente in relazione con la turbolenza (combustione turbolenta, effettidi scia, reazioni chimiche)

� Approcci ibridi: Detached Eddy Simulation filtro spaziale opera un passaggio tra una modellazioneRANS vicino parete e una modellazione LES nel freestream

� Necessità di condizioni al contorno adeguate

� Reynolds (Favre) Averaged Navier Stokes equation (RANS)� Stato dell’arte per simulazioni di interesse industriale con scambio termico

� Poco costosa computazionalmente per fenomeni stazionari

� Condizioni al contorno semplici da assegnare

� Vincoli sulla risoluzione a parete solo in direzione y

� Case dependent modeling

� Ipotesi di equilibrio→ non affidabili per zone con gradiente di pressione avverso e zone di separazione



� RANS: Reynolds Averaged Navier Stokes (Equations)

� Descrizione del flusso in termini di grandezze statistiche

� Media alla Reynolds (o alla Favre) delle equazioni di moto

� Decomposizione delle grandezze fluidodinamiche incomponenti medie e fluttuanti

� Proprietà del filtro

Approccio RANS

Tensore di Reynolds

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Flusso termico turbolento

� Tensore di Reynolds simmetrico 6 incognite, Flusso termico turbolento altre 3

� Problema della chiusura: determinare relazioni matematiche che consentano di esprimere i termini incogniti infunzione delle variabili che definiscono il flusso medio

� Assenza di teoria fisico-matematica rigorosa: necessaro ricorrere a formulazioni approssimate.

� L’insieme delle relazioni che legano i termini incogniti ed il flusso medio costituisce quello che vienecomunemente indicato come modello di turbolenza.



L’ ipotesi di Bousinnesque

� Alla base della maggior parte dei modelli fin qui sviluppati ed in particolare dei più usati

� Ipotesi fondamentale: analogia fra il comportamento delle molecole a livello microscopico ed i “vortici” checostituiscono la turbolenza.

� Possibilità di correlare attraverso uno coefficiente , detto viscosità turbolenta, il campo del tensore deglisforzi di Reynolds con il tensore delle velocità di deformazione medio

tµ

ρ ρ δ µ δ − = − −

i j ij t ij kk ij

2 1U U k 2 S S

3 3

1

2ji

ijj i

UUS

x x

∂∂= + ∂ ∂

kkk

k

US

x

∂=∂

µ

Pag. 7

� Problema ridotto alla determinazione del campo dello scalare

� Dalla teoria cinetica dei gastµ

� I modelli basati sull’ipotesi di viscosità turbolenta differiscono per come vengono determinati e

� Modelli algebrici: stima per mezzo di funzioni algebriche

� Cebeci-Smith, Baldwin-Lomax interesse storico

� Modelli ad una equazione: risoluzione di una equazione di trasporto per la scala di velocità(funzione algebrica per la lunghezza caratteristica)

� k-l usato nei modelli Two-Layer (extended wall function)

� Spalart-Allmaras per calcoli aerodinamici sfrutta equazione di trasporto per viscositàturbolenta

� Modelli a due equazioni: risoluzione di due equazioni di trasporto aggiuntive

� k-epsilon, k-omega

* *t U Lν ≡

*U *l

*U k≡

tν ν≡ ɶ



Modelli a due equazioni

� Per le scala di velocità e per la lunghezza integrale si ha

∝ =* ' '12

i i

1U k U U

2 ε∝*

32k

L

� Vengono quindi risolte:

� Un’equazione di trasporto per l’energia cinetica turbolenta

� Un’equazione di trasporto per la dissipazione dell’energia cinetica o analogamente per

32

12

2

t

k kC k Cµ µν

ε ε= =

εω =

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� Un’equazione di trasporto per la dissipazione dell’energia cinetica o analogamente perk

ω =

itip x

TkuTc

∂∂⋅−=⋅⋅⋅ ˆ''ρ

t

ptt

ck

Prˆ ⋅

=µ

� Per il flusso termico turbolento si procede definendo una diffusività termica turbolenta che viene generalmentecalcolata a partire dalla viscosità turbolenta attraverso la definizione di un numero di Prandtl turbolento

� Il termine di produzione ha la seguente forma:



� Risoluzione di 6 equazioni aggiuntive: una per ogni sforzo di Reynolds

� Manipolando le equazioni di Navier-Stokes è possibile costruire un set di equazioni esatte, ma non chiuse, per iltrasporto degli sforzi di Reynolds

( )+⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅⋅−∂∂+

∂∂

⋅⋅⋅−∂∂⋅⋅⋅−=

∂⋅⋅⋅∂

+∂

⋅⋅∂ikjjkijkiikjkji

kk

jki

k

ikj

k

kjiji upupuuuuuxx

uuu

x

uuu

x

uuu

t

uuδδττρρρ

ρρ'''''''''''

''''

∂

⋅+∂

⋅−

∂

+∂

⋅+ ijji 'u'u'u'up ττ

Modelli Reynolds Stress

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∂∂

⋅+∂∂

⋅−

∂∂

+∂∂

⋅+k

ijk

k

jik

i

j

j

i

x

'u

x

'u

x

'u

x

'up ττ

� All’interno di queste equazioni sono presenti termini aggiuntivi che non compaiono nelle RANS e che necessitanodi una appropriata modellazione

� Potenzialmente molto più accurati in quanto frutto di una modellizzazione fisico-matematica delcomportamento della turbolenza molto più fedele alla fisica.

� Non facile modellazione dei termini incogniti (in particolare i termini di interazione fra fluttuazioni di velocità epressione).

� Molto pesanti dal punto di vista computazionale (6 + 3 + 1/2 equazioni aggiuntive).

� Problemi di stabilità numerica.

� Non sempre si ha un incremento dell’accuratezza della soluzione che giustifichi il loro utilizzo.



� Filosofia dell’approccio LES

� Simulazione “grandi” scale (dipendenti da geometria e dinamica del problema specifico)

� Modellazione piccole scale (universali)

� Filtro temporale RANS diventa un filtro spaziale (dimensione del filtro è implicitamente data dalla griglia)

� Stesso tipo di equazione mediata: effetti di sottogriglia considerati attraverso una viscosità disottogriglia

� Necessità di modellare solamente le scale più piccole:

� Maggior universalità dei modelli

Approccio Large Eddy Simulation (LES)

* *sgs U L Sν ≡ = ∆ ⋅ ⋅∆

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� Minore dipendenza della soluzione dal modello di sottogriglia

� Simulazione intrinsecamente tridimensionale ed instazionaria

� Descrizione più fedele della fisica del flusso.

� Possibilità di studiare fenomeni che dipendono fortemente dalle locali instabilità del flusso.

� Sound source predictions, aeroacustica, combustione

� e loro combinazioni:

� Aero-thermo-acustica (camera di combustione turbina a gas)

� Importante in flussi “dominati dalla turbolenza” (sistemi di raffreddamento e camere di combustione)

� Risorse di calcolo richieste molto elevate ma comunque decisamente inferiori alla DNS



� Costi elevati per risoluzione diretta delle strutture coerenti a parete

� Non si conoscono bene tutti i meccanismi di formazione e redistribuzione delle fluttuazioni in prossimitàdelle pareti

� Modelli di sottogriglia inadeguati alla trattazione nel boundary layer

� Per attached boundary layers l’approccio RANS si comporta abbastanza bene

Approccio Large Eddy Simulation (LES)

( )110

910

333

2.7ReRe Re

LU LUN τ

ν ν

− ≡ ≡ ≡ ≡

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� ricorso all’approccio DES (Detached Eddy Simulation)

� Stesse equazioni per la zona RANS e per quella LES, modello a una o due equazioni

� La lunghezza caratteristica cambia automaticamente tra la distanza a parete (l* RANS) e la dimensione del filtro (l* LES)

� Storicamente applicato al modello SpalartAllmaras

� Esteso successivamente a molti modelli RANS

* min( , )DESl y C= ∆

LES

RANS



� In generale modelli di turbolenza più “semplici” forniranno risultati meno accurati e corretti a fronte di un risparmiodi tempo di calcolo e di semplicità di interpretazione dei risultati

Modellistica della turbolenza – esempi

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Vorticity contours.

Constantinescu and Squire, AIAA J., 2000



Il trattamento delle zone vicine a parete

� Le equazioni viste in precedenza sono basate su ipotesi verificate solo per elevati numeri di Reynolds

� In prossimità della parete il numero di Reynolds locale diminuisce a causa dello sviluppo dello strato limite

� Lo strato limite è sede di forti gradienti di velocità e temperatura

� Strato limite cinematico

� Strato limite termico

� Un’accurata trattazione del flusso in corrispondenza delle pareti è fondamentale per un’accurata valutazione delcoefficiente di scambio termico e del coefficiente di drag

� Comportamento universale degli strati limite in termini di variabili interne

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� Comportamento universale degli strati limite in termini di variabili interne

u+

y+

++ = yu

ρτ /

uu

w

=+

Bylnu += ++

κ1

νρτ /y

y w⋅=+

wwf y

uC

∂∂⋅=≡ µτ

( ) ( )wawwaww y

T

TTA

k

TTA

qh

∂∂⋅

−⋅−=

−⋅=

Viscous sublayer Log layer

Buffer layer



Il trattamento delle zone vicine a parete

� Nella CFD vengono solitamente utilizzate tre metodologie per valutare le grandezze all’interno dello strato limite

� Approccio alle “Wall Functions”

� Modelli zonali o “Two-layer”

� Modelli “Low Reynolds”

� Approccio “Wall Function”

� ognuna delle grandezze all’interno del Near Wall Layer èdeterminata in base a funzioni di andamento prestabilito

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Il trattamento delle zone vicine a parete� Approccio alle wall functions

� è possibile utilizzare mesh il cui primo elemento a parete abbia il baricentro fino a y+ = 200/300� Grande risparmio in termini di risoluzione della griglia in prossimità della parete q quindi tempi di calcolo ridotti� Ipotesi fondamentali non sempre soddisfatte� Risultati poco accurati

� Approccio “Two-layer”� L’equazione dell’energia cinetica turbolenta viene integrata fino a parete.� Il valore della dissipazione viene imposto algebricamente

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� Il valore della dissipazione viene imposto algebricamente� Nello strato limite viene utilizzata una forma modificata dell’equazione dell’energia cinetica turbolenta valida

per bassi Re� La prima cella a parete deve essere inferiore a y+ = 2/3 per calcoli dinamici e intorno a 1 per calcoli di scambio

termico� Griglie composte da un numero di elementi molto maggiore di quello corrispondente all’utilizzo delle WF

� Approccio Low Re� Entrambe le equazioni vengono integrate fino a parete� Necessaria la completa risoluzione del sottostrato laminare (y+ < 11): y+ < 1 con almeno 5-6 elementi nel

sottostrato laminare� Numero di celle a parete elevato

� Non sempre ad un approccio di maggior complessità corrispondono risultati più accurati



� Data l’enorme differenza nell’accuratezza ma anche nel costo dei diversi modelli è necessario un usointelligente degli strumenti a nostra disposizione.

� Lo strumento utilizzato deve essere sempre commisurato alle informazioni che si desidera acquisire.

� Modelli RANS a due equazioni sufficienti per la comune pratica progettuale (purchè utilizzati conconsapevolezza)

� LES: strumento potenzialmente utilizzabile per applicazioni industriali

� Destinato a divenire importante soprattutto in settori dove la presenza delle pareti svolge un ruolodi minor importanza rispetto alle non-stazionarietà (combustione, aeroacustica)

� Sviluppo di approcci DES

Conclusioni

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� Sviluppo di approcci DES

� Le capacità di calcolo vanno rapidamente crescendo

� In ogni caso non può essere utilizzato come strumento di progettazione in maniera estesa: il suoutilizzo deve essere limitato a quei casi in cui sia necessario cogliere elementi altrimenti impossibilida riprodurre (stabilità di combustione, …)

� Strumento scientifico: consente, a fronte di un notevole risparmio rispetto alla DNS unaconoscenza comunque dettagliata del campo di moto.

� DNS: strumento esclusivamente scientifico



� Bibliografia� Mathieu, J., Scott, J., “An Introduction to Turbulent Flow”, Cambridge University Press,2000.

� Pope, S.B., “Turbulent Flows”, Cambridge University Press,2000.

� “Introduction to Turbulence Modelling”, Lecture series by the Von Karman Institute for Fluid Dynamics,Bruxelles, 2002

� Wilcox, D.C., “Turbulence modeling for CFD”, 2nd ed., DCW Industries, 2000.

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