bib.irb.hr filebib.irb.hr

RUDARSKO-GEOLOŠKO-NAFTNI FAKULTET

SVEUČILIŠTA U ZAGREBU

MOGUĆNOST POVEĆANJA PRIDOBIVIH ZALIHA UGLJIKOVODIKA PRIMJENOM POSTUPKA HIDRAULIČKOG

FRAKTURIRANJA

DISERTACIJA

MARIN ČIKEŠ

ZAGREB, HRVATSKA

VELJAČA, 1995.

ii

KAZALO

Stranica

POPIS SLIKA ....................................................................................................... v

POPIS TABLICA....................................................................................................x

NOMENKLATURA................................................................................................xi

SAŽETAK .......................................................................................................... xxii

ABSTRACT ........................................................................................................ xix

UVOD ................................................................................................................... 1

POGLAVLJE 1. DISTRIBUCIJA I KATEGORIZACIJA SLABO PROPUSNIH

LEŽIŠTA............................................................................................................... 8

1.1. DISTRIBUCIJA PROPUSNOSTI LEŽIŠTA NAFTE I

PLINA.............................................................................................. 9

1.2. KATEGORIZACIJA PROPUSNOSTI ..................................... 17

POGLAVLJE 2. MODELI PROTJECANJA FLUIDA U LEŽIŠTIMA NAFTE I

PLINA................................................................................................................. 19

2.1. TRODIMENZIONALNI LINEARNI PROTOK.......................... 20

2.2. RADIJALNI PROTOK............................................................. 23

2.2.1. Modeli s konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta ................... 25

2.2.1.1. Neograničeno ležište............................................................................. 25

2.2.1.2. Ograničeno ležište sa zatvorenom vanjskom granicom ........................ 32

2.2.1.3. Ograničeno ležište s konstantnim tlakom na vanjskoj granici ............... 34

iii

2.2.1.4. Prijelazni, polustacionarni i stacionarni protok ...................................... 36

2.2.2. Modeli s konstantnim tlakom na unutarnjoj granici ležišta........................ 38

2.2.2.1. Neograničeno ležište............................................................................. 38

2.2.2.2. Ograničeno ležište sa zatvorenom vanjskom granicom ........................ 41

2.3. PROTOK KROZ PUKOTINU - DVODIMENZIONALNI

LINEARNI PROTOK ..................................................................... 44

2.3.1. Model frakturirane bušotine s konstantnim protokom na unutarnjoj

granici ležišta ..................................................................................................... 48

2.3.1.1. Linearni protok u pukotini ...................................................................... 50

2.3.1.2. Bilinearni protok .................................................................................... 51

2.3.1.3. Linearni protok u ležištu ........................................................................ 52

2.3.1.4. Pseudolinearni protok ........................................................................... 53

2.3.1.5. Pseudoradijalni protok........................................................................... 54

2.3.2. Model frakturirane bušotine s konstantnim tlakom na unutarnjoj granici

ležišta ................................................................................................................. 58

2.3.3. Odstupanja od modela ............................................................................. 64

POGLAVLJE 3. TEORIJA HIDRAULIČKOG FRAKTURIRANJA ..................... 67

3.1. TEMELJNA NAČELA MEHANIKE STIJENA.......................... 69

3.2. MEHANIKA PUKOTINE ......................................................... 73

3.2.1. PKN model ............................................................................................... 81

3.2.2. KGD model ............................................................................................... 84

3.2.3. Radijalni model......................................................................................... 86

3.3. NENEWTONSKI FLUIDI........................................................ 88

3.4. GUBITAK FLUIDA.................................................................. 94

3.4.1. Carterova jednadžba ................................................................................ 99

3.4.1.1. KGD model u uvjetima gubitka fluida .................................................. 101

3.4.1.2. Radijalni model u uvjetima gubitka fluida ............................................ 104

iv

3.4.1.3. PKN model u uvjetima gubitka fluida................................................... 105

3.5. GIBANJE I RASPORED PODUPIRAČA .............................. 106

3.6. PRIJENOS TOPLINE........................................................... 116

3.7. TRODIMENZIONALNI MODELI........................................... 120

POGLAVLJE 4. KVANTITATIVNI POKAZATELJI MOGUĆEG POVEĆANJA

ZALIHA NAFTE I PLINA .................................................................................. 121

4.1. PRORAČUN KUMULATIVNE PROIZVODNJE

JEDNE BUŠOTINE ZA POJEDINE KATEGORIJE

PROPUSNOSTI .......................................................................... 128

4.1.1. Naftna ležišta.......................................................................................... 130

4.1.2. Plinska ležišta ........................................................................................ 140

4.2. PRORAČUN KUMULATIVNE PROIZVODNJE

HIPOTETSKOG PLINSKOG LEŽIŠTA ....................................... 145

4.3. DISKUSIJA REZULTATA PRORAČUNA............................. 149

4.4. OPTIMALIZACIJA PROCESA HIDRAULIČKOG

FRAKTURIRANJA ...................................................................... 152

4.5. REZULTATI PRAKTIČNE PRIMJENE

HIDRAULIČKOG FRAKTURIRANJA U REPUBLICI

HRVATSKOJ............................................................................... 159

ZAKLJUČCI ..................................................................................................... 170

BIBLIOGRAFIJA............................................................................................... 184

PRILOZI .......................................................................................................... 196

v

POPIS SLIKA

Slika Stranica

Slika 1. Procijenjena distribucija propusnosti u SAD ................................... 9

Slika 2. Trokut resursa prema Mastersu i Grayu ....................................... 10

Slika 3. Distribucija propusnosti I. grupe podataka.................................... 12

Slika 4. Distribucija propusnosti II. grupe podataka................................... 13

Slika 5. Korelacija između propusnosti i efektivne debljine ....................... 13

Slika 6. Korelacija između propusnosti i šupljikavosti................................ 14

Slika 7. Usporedba distribucije propusnosti za proizvodne bušotine i sve

izbušene bušotine...................................................................................... 15

Slika 8. Potrebna duljina pukotine za različite kategorije propusnosti ....... 17

Slika 9. Model trodimenzionalnog linearnog protoka................................. 21

Slika 10. Model radijalnog protoka............................................................. 23

Slika 11. Neograničeno ležište s bušotinom u središtu. ............................ 25

Slika 12. Tipska krivulja za neograničeni radijalni sustav, konstantnog

protoka na unutarnjoj granici ..................................................................... 30

Slika 13. Tipske krivulje za ograničeni radijalni sustav sa zatvorenom

vanjskom granicom i konstantnim protokom na unutarnjoj granici............. 34

Slika 14. Tipske krivulje za ograničeni radijalni sustav, konstantnog

tlaka na vanjskoj granici i konstantnog protoka na unutarnjoj granici. ....... 35


tlaka na unutarnjoj granici.......................................................................... 40


vanjskom granicom, konstantnog tlaka na unutarnjoj granici.................... 43

vi

Slika 17. Neograničeno ležište, presječeno vertikalnom pukotinom, s

bušotinom u središtu.................................................................................. 44

Slika 18. Model protjecanja fluida kroz pukotinu........................................ 45

Slika 19. Jednodimenzionalni linearni model protjecanja fluida iz ležišta

u pukotinu. ................................................................................................. 47

Slika 20. Tipske krivulje za frakturiranu bušotinu u neograničenom

ležištu s konstantanim protokom na unutarnjoj granici ležišta. .................. 49

Slika 21. Linearni protok u pukotini............................................................ 50

Slika 22. Bilinearni protok. ......................................................................... 52

Slika 23. Linearni protok u ležištu.............................................................. 53

Slika 24. Polulogaritamski prikaz tipskih krivulja za frakturiranu bušotinu

u neograničenom ležištu s konstantnim protokom na unutarnjoj granici

ležišta......................................................................................................... 54

Slika 25. Odnos bezdimenzionalnog efektivnog radijusa bušotine i

bezdimenzionalne vodljivosti vertikalne pukotine. ..................................... 56

Slika 26. Pseudoradijalni protok. ............................................................... 57


ležištu, konstantnog tlaka na unutarnjoj granici ležišta.............................. 63

Slika 28. Tipske krivulje za frakturiranu bušotinu u ograničenom ležištu,

konstantnog tlaka na unutarnjoj granici ležišta. ......................................... 63

Slika 29. Utjecaj in-situ naprezanja na orijentaciju i protezanje

hidraulički stvorene pukotine. .................................................................... 67

Slika 30. Shematski prikaz pokusa triaksijalne kompresije cilindričnog

uzorka stijene............................................................................................. 71

Slika 31. Model hidraulički stvorene pukotine............................................ 75

Slika 32. Kristijanovič-Geertsma-de Klerkov model pukotine. ................... 76

Slika 33. Perkins-Kern-Nordgrenov model pukotine.................................. 78

vii

Slika 34. Reološki model nenewtonskog fluida.......................................... 89

Slika 35. Model gubitka fluida.................................................................... 94

Slika 36. Određivanje koeficijenta filtracije i obujma izlijevanja prema

laboratorijskim mjerenjima. ........................................................................ 97

Slika 37. Shematski prikaz gibanja i filtriranja fluida................................ 108

Slika 38. Konstante A,B i C u funkciji n'. ................................................. 112

Slika 39. Shematski prikaz distribucije podupirača u pukotini ................. 113

Slika 40. Primjer reoloških svojstava fluida u funkciji vremena kod

određene temperature. ............................................................................ 116

Slika 41. Primjer reoloških svojstava fluida u funkciji temperature za

određeno vrijeme. .................................................................................... 117

Slika 42. Kumulativna proizvodnja jedne bušotine u funkciji vremena

proizvodnje - konvencionalno naftno ležište (k=10*10-3 µm2)................. 136


proizvodnje - naftno ležište osrednje propusnosti (k=1*10-3 µm2) .......... 137


proizvodnje - naftno ležište slabe propusnosti (k=0.05*10-3 µm2) .......... 138


proizvodnje - naftno ležište vrlo slabe propusnosti (k=0.01*10-3 µm2).... 139


proizvodnje - naftno ležište ekstremno slabe propusnosti (k=0.001*10-3

µm2)......................................................................................................... 139


proizvodnje - konvencionalno plinsko ležište (k=1*10-3 µm2) ................. 142


proizvodnje - plinsko ležište osrednje propusnosti (k=0.1*10-3 µm2) ...... 143

viii


proizvodnje - plinsko ležište slabe propusnosti (k=0.005*10-3 µm2) ....... 143


proizvodnje - plinsko ležište vrlo slabe propusnosti (k=0.001*10-3 µm2) 144


proizvodnje - plinsko ležište ekstremno slabe propusnosti

(k=0.0001*10-3 µm2)................................................................................ 145

Slika 52. Distribucija prosječne propusnosti 1000 bušotina hipotetskog

plinskog ležišta ........................................................................................ 146

Slika 53. Histogram kumulativne proizvodnje pojedinih bušotina

hipotetskog plinskog ležišta u funkciji prosječne propusnosti.................. 147

Slika 54. Histogram kumulativne proizvodnje svih bušotina hipotetskog

plinskog ležišta u funkciji prosječne propusnosti ..................................... 148

Slika 55. Koncept optimalizacije procesa hidrauličkog frakturiranja ........ 152

Slika 56. Dijagram toka za izradu NPV krivulje........................................ 154

Slika 57. NPV krivulje za diskontnu stopu od 15% .................................. 156

Slika 58. NPV krivulje za diskontnu stopu od 5% .................................... 157

Slika 59. Kumulativna proizvodnja plina u funkciji vremena, za bušotine

frakturirane do 31.12.1986. god., te bušotinu Mol-25. ............................. 162

Slika 60. Kumulativna proizvodnja kondenzata u funkciji vremena, za

bušotine frakturirane do 31.12.1986. god., te bušotinu Mol-25. .............. 162


frakturirane 1987-1990. god. ................................................................... 164


bušotine frakturirane 1987-1990. god...................................................... 164

Slika 63. Kumulativna proizvodnja plina u funkciji vremena, svih

bušotina, frakturiranih i uključenih u proizvodnju do VI/1994. god. ......... 165

ix

Slika 64. Kumulativna proizvodnja kondenzata u funkciji vremena, svih

bušotina, frakturiranih i uključenih u proizvodnju do VI/1994. god. ......... 165

Slika 65. Kumulativna proizvodnja nafte u funkciji vremena, za bušotine

frakturirane i uključene u proizvodnju do 31.12.1990. god. ..................... 167


frakturirane i uključene u proizvodnju 1991/92. god. ............................... 168


frakturirane i uključene u proizvodnju 1993/94. god. ............................... 168

Slika 68. Kumulativna proizvodnja nafte u funkciji vremena, svih

bušotina, frakturiranih i uključenih u proizvodnju 1989-94. god............... 169

x

POPIS TABLICA

Tablica Stranica

Tablica 1. Tipični raspon propusnosti slabo propusnih ležišta .................... 8

Tablica 2. Distribucija ležišnih svojstava za 1000 bušotina temeljena na

II. grupi podataka ....................................................................................... 14

Tablica 3. Distribucija propusnosti za 1000 bušotina, temeljena na

podacima za sve izbušene bušotine.......................................................... 16

Tablica 4. Prosječna svojstva prosječne bušotine ..................................... 16

Tablica 5. Konstantni parametri proračuna.............................................. 128

Tablica 6. Promjenljivi parametri proračuna............................................. 130

Tablica 7. Rezultati proračuna za nefrakturiranu bušotinu. ..................... 135

Tablica 8. Rezultati proračuna za frakturiranu bušotinu. ......................... 135

Tablica 9. Promjenljivi parametri proračuna............................................. 140

Tablica 10. Rezultati proračuna za nefrakturiranu bušotinu. ................... 140

Tablica 11. Rezultati proračuna za frakturiranu bušotinu. ....................... 141

Tablica 12. Kumulativna proizvodnja hipotetskog plinskog ležišta. ......... 146

Tablica 13: Ulazni podaci za optimalizaciju hidrauličkog frakturiranja

plinske bušotine. ...................................................................................... 156

Tablica 14: Rezultati hidrauličkih frakturiranja plinsko-kondenzatnih

ležišta u Republici Hrvatskoj.................................................................... 160

Tablica 15: Rezultati hidrauličkih frakturiranja naftnih ležišta u Republici

Hrvatskoj. ................................................................................................. 166

xi

NOMENKLATURA

A m2 - površina

[ ]33 mmB - obujamski koeficijent

C m s - efektivni koeficijent gubitka fluida (filtracije)

C m sc - koeficijent filtracije kontroliran svojstvima ležišta i

ležišnog fluida C m sv - koeficijent filtracije kontroliran svojstvima ležišta i

infiltriranog fluida C m sw - koeficijent filtracije kontroliran svojstvima filterskog

obloga

CA − - faktor površine crpljenja bušotine

CD − - Stokesov koeficijent otpora

CfD − - bezdimenzionalna vodljivost pukotine

CRD − - bezdimenzionalna vodljivost ležišta

( )[ ]KkgJC ⋅ - specifični toplinski kapacitet

c Pa−1 - stlačivost

c kg m3 - koncentracija podupirača u fluidu

d m - promjer

E Pa - Youngov modul

F N - sila

f − - Fanningov faktor trenja

G Pa - modul smicanja (Laméov parametar)

g m s2 - gravitacija

H m - dubina

h m - efektivna debljina ležišta

xii

h mf - visina pukotine

i dio - diskontna stopa

J J0 1, - Besselove funkcije

K Pa - modul stlačivosti

K Pa mIc ⋅ 1 2 - kritični intenzitet naprezanja (žilavost pukotine)

′ ⋅K Pa m1 2 - Barenblattov modul kohezije

′ ⋅K Pa sn - indeks konzistencije fluida

k m2 - efektivna propusnost ležišne stijene za ležišni fluid

k me2 - efektivna propusnost ležišne stijene za filtrat

k mw2 - efektivna propusnost filterskog obloga

k mf2 - efektivna propusnost podupirača (pukotine)

( )[ ]KmWk ⋅ - toplinska vodljivost

L m - stvorena duljina jednog kraka pukotine

L m0 - duljina penetracije fluida u pukotini

l m - duljina

( )[ ]sPapm - funkcija pseudo-tlaka

m Pa ciklus - nagib pravca (jedn. 31-33)

m m s3 - nagib pravca (jedn. 242-243)

′ −n - indeks ponašanja toka fluida

p Pa - tlak

p Pab - tlak zasićenja

pD − - bezdimenzionalni pad tlaka

pD − - Laplaceova transformacija bezdimenz. pada tlaka

p Pa0 - standardni tlak

Q m3 - kumulativna proizvodnja

QD − - bezdimenzionalna kumulativna proizvodnja

q m s3 - obujamski protok

xiii

qD − - bezdimenzionalni obujamski protok

qD − - Laplaceova transformacija bezdimenzionalnog protoka

q m si3 - ukupni obujamski protok pri utiskivanju

q m sl2 - gubitak fluida po jedinici duljine pukotine

R m - radijus pukotine

R m0 - radijus penetracije fluida u pukotini

Re − - Reynoldsov broj

Rn $ - godišnje povečanje prihoda

r dio - konačni iscrpak

r m - radijus

rD − - bezdimenzionalni radijus

r me - radijus crpljenja

reD − - bezdimenzionalni radijus crpljenja

r mw - radijus bušotine

rwD − - bezdimenzionalni radijus bušotine

′r mw - efektivni radijus bušotine

S diow - zasićenje vodom

s − - skin faktor

s - varijabla Laplaceove transformacije

T K - temperatura

T K0 - standardna temperatura

TD − - bezdimenzionalna temperatura

t s - vrijeme

tD − - bezdimenzionalno vrijeme u funkciji radijusa bušotine

tDA − - bezdimenzionalno vrijeme u funkciji površine crpljenja

tDxf − - bezdimenzionalno vrijeme u funkciji duljine pukotine

t sp - ukupno vrijeme utiskivanja

xiv

t ssp - vrijeme izlijevanja ("spurt time")

U − - step-funkcija: ( )

==0,10,210,0

>

<

ttt

tU

V m3 - obujam

V mf3 - obujam pukotine

V mp3 - porni obujam

V m msp3 2 - obujam izlijevanja ("spurt loss")

v m s - brzina

v m sc - brzina širenja uzdužnog akustičkog vala

v m ss - brzina širenja poprečnog akustičkog vala

v m s∞ - brzina taloženja kugle u neograničenom mediju

w m - širina pukotine

w m - srednja širina pukotine

x m - udaljenost u smjeru osi x

xD − - bezdimenzionalna udaljenost u smjeru osi x

x mf - efektivna (popunjena, vodljiva) duljina pukotine

Y Y0 1, - Besselove funkcije

y m - udaljenost u smjeru osi y

yD − - bezdimenzionalna udaljenost u smjeru osi y

Z − - faktor odstupanja realnog plina

z m - udaljenost u smjeru osi z

Γ - Gama funkcija

[ ]1−sγ& - brzina smicanja

γ J m2 - površinska energija

∆p Pac - kritični diferencijalni tlak

∆p Pas - pad tlaka zbog skin-efekta

xv

ε − - deformacija

η m s2 - hidraulička difuzivnost

η fD − - bezdimenzionalna hidraulička difuzivnost

η dio - djelotvornost fluida za frakturiranje

θ rad - kut

κ − - empirijska konstanta u jedn. 240 i 242

λ Pa - Laméov parametar

λ0 − - penetracija fluida u pukotini

µ Pa s⋅ - dinamička viskoznost

µa Pa s⋅ - prividna dinamička viskoznost

ν − - Poissonov koeeficijent

ρ kg m3 - obujamska masa

ρ p kg m3 - obujamska masa podupirača

′ρ p kg m3 - nasipna obujamska masa podupirača

ρ0 − - penetracija fluida u radijalnoj pukotini

σ Pa - naprezanje

σE Pa - naprezanje prouzročeno vanjskim utjecajima

σH Pa - najmanje horizontalno naprezanje

τ Pa - smično naprezanje

φ dio - efektivna šupljikavost ležišne stijene

φ f dio - efektivna šupljikavost pukotine

Indeksi

c - korigirano

f - pukotina

fl - fluid

h - hidraulički

i - početni uvjeti

xvi

p - podupirač

r - ležište

s - statički

st - stijena

t - ukupno

u - ulazni

w - bušotina

wf - dinamički uvjeti u bušotini

x - u smjeru osi x

y - u smjeru osi y

z - u smjeru osi z

xvii

SAŽETAK

Definicija dokazanih zaliha sirove nafte, prirodnog plina i njegovih

kapljevina podrazumijeva mogućnost ostvarenja rentabilne proizvodnje u

razumnom vremenu, čemu uglavnom mogu udovoljiti tzv. konvencionalna

ležišta nafte i plina. Međutim, prema "trokutu resursa" Mastersa i Graya,

konvencionalna ležišta predstavljaju samo manji dio ukupnih resursa, dok se

daleko veće količine nafte i plina nalaze u nekonvencionalnim, slabo

propusnim ležištima. To potvrđuju i studije vjerojatnosti distribucije

propusnosti ležišnih stijena, prema kojima konvencionalna ležišta

predstavljaju samo 33% ukupnog obujma svih ležišta nafte i plina. No,

primjenom postupka hidrauličkog frakturiranja, veći dio slabo propusnih

ležišta može se osposobiti za rentabilnu proizvodnju, te tako izravno povećati

pridobive (bilančne) zalihe, odnosno konačni iscrpak nafte i plina u

otkrivenim ležištima, a time omogućiti i povećanje neotkrivenog pridobivog

potencijala u još neotkrivenim ležištima. Ovu tezu je moguće dokazati

paralelnom simulacijom protjecanja fluida u ležištu i simulacijom procesa

frakturiranja, uz primjenu ekonomskih kriterija.

Matematički modeli protjecanja fluida u ležištima s frakturiranom i

nefrakturiranom bušotinom, za različite rubne uvjete, omogućuju kvantitativno

određivanje kumulativne proizvodnje jedne bušotine za određene ekonomske

limite (maksimalni, prihvatljivi radni vijek i minimalnu, prihvatljivu dnevnu

proizvodnju). Odabirom modela ograničenog ležišta sa zatvorenom vanjskom

granicom, omogućena je usporedivost kumulativne proizvodnje, odnosno

konačnog iscrpka frakturirane bušotine s nefrakturiranom. S druge strane,

xviii

matematički modeli hidrauličkog stvaranja visokoprotočne pukotine u ležišnoj

stijeni omogućuju određivanje parametara procesa hidrauličkog frakturiranja

(obujam fluida, masu podupirača, hidrauličku snagu), koji će rezultirati

stvaranjem pukotine zadanih karakteristika (duljina i vodljivost). Uvođenjem

ekonomskih mjerila, spomenuti modeli su objedinjeni u modelu optimalizacije

procesa hidrauličkog frakturiranja, temeljenom na konceptu maksimaliziranja

"neto sadašnje vrijednosti".

Konkretnim proračunima za odabrane ekonomske limite (u ovoj

Disertaciji to su: 40 god. radnog vijeka bušotine i minimalna dnevna

proizvodnja od 0.5 m3/d nafte, odnosno 1000 m3/d plina) dokazano je, da se

u konvencionalnim ležištima učinak hidrauličkog frakturiranja očituje samo u

skraćenju vremena crpljenja (dakle, u poboljšanju ekonomičnosti), dok u svim

kategorijama propusnosti nekonvencionalnih ležišta, hidrauličko frakturiranje

rezultira povećanjem iscrpka, odnosno pridobivih zaliha. Relativno povećanje

je to veće što je propusnost ležišta manja.

xix

ABSTRACT

POSSIBILITY OF HYDROCARBON RECOVERABLE RESERVES

INCREASE BY THE APPLICATION OF HYDRAULIC FRACTURING

Definition of proved crude oil, natural gas and natural gas liquids'

reserves implies the possibility of their profitable production in reasonable

time, which can be achieved mainly in so called conventional oil and gas

reservoirs. According to Masters & Gray's "Resource Triangle", the

conventional reservoirs represent only a smaller part of total resources (33%

by volume, as supported by numerous studies of probability distributions of

reservoir permeability), while fare greater quantities of oil and gas are

trapped in low permeable, unconventional reservoirs. However, the

application of hydraulic fracturing can make profitable production from the

majority of low permeable reservoirs possible and directly increase

recoverable reserves or ultimate recovery of oil and gas from discovered

reservoirs, as well as increase undiscovered potential recovery. This thesis

can be proved by simultaneous simulation of fluid flow in porous media and

by simulation of the hydraulic fracturing process in reservoir rocks, applying

economic criteria.

Mathematical models of fluid flow in reservoirs with fractured and

nonfractured wells, for different boundary conditions, make the quantitative

determination of cumulative production of a well possible for defined

economic limits (maximum acceptable well life and minimum acceptable daily

production). By selecting the finite reservoir model with closed outer

xx

boundary, the comparison of cumulative production (i.e. ultimate recovery) of

fractured and nonfractured well is made possible. On the other hand,

mathematical models of hydraulic fracturing enable the determination of

hydraulic fracturing treatment parameters (fluid volume, proppant mass,

hydraulic power) which will result in the creation of fracture with defined

characteristics (fracture length and conductivity). By introducing the

economic criteria based on the concept of maximizing "net present value",

these two models are combined in the hydraulic fracture optimization model.

Using the mentioned models and respecting anticipated economic limits

(in this Thesis they are: 40 years maximum well life and minimum daily

production of 0.5 m3/d of oil and 1000 m3/d of gas, respectively), it is proved

that hydraulic fracturing in conventional reservoirs can only accelerate

recovery (i.e. improve economics), while in all categories of permeability of

unconventional reservoirs hydraulic fracturing results in an increase of

ultimate recovery or recoverable reserves. The lower the reservoir

permeability, the higher the relative increase of ultimate recovery can be

achieved.

1

UVOD

Definicija i klasifikacija zaliha (rezervi) sirove nafte, prirodnog plina i

njegovih kapljevina (kondenzata) nije jedinstvena i razlikuje se od države do

države, odnosno od institucije do institucije. U Hrvatskoj je u uporabi

naslijeđeni ruski sustav, prema kojemu se "ukupne zalihe nafte, kondenzata i

prirodnog plina utvrđuju i svrstavaju prema stupnju istraženosti i stupnju

poznavanja kakvoće na: utvrđene rezerve kategorija A, B i C1, te potencijalne

rezerve kategorija C2, D1 i D2. Utvrđene rezerve nafte, kondenzata i prirodnog

plina kategorija A, B i C svrstavaju se u klase: bilančne i izvanbilačne."

("Pravilnik o prikupljanju podataka, načinu evidentiranja i utvrđivanja rezervi

mineralnih sirovina te o izradi bilance tih rezervi", Narodne novine: 48/92, str.

1124-1161).

U kategoriju A svrstava se one zalihe "koje su potpuno utvrđene

bušotinama s pritokom fluida dobivenim osvajanjem bušotina i kod kojih su

potpuno utvrđeni: geološka građa, oblik i veličine ležišta ili dijela ležišta,

kolektorska svojstva, hidrodinamički odnosi i fizikalno-kemijske karakteristike

fluida, te obavljena potpuna hidrodinamička ispitivanja na proizvodnim

bušotinama." U kategoriju B svrstava se zalihe "koje su utvrđene s nekoliko

bušotina iz kojih je pritok fluida dobiven osvajanjem i potvrđen

hidrodinamičkim mjerenjem ili pokusnom proizvodnjom. U ostalim bušotinama

prisutnost fluida određena je na temelju podataka karotažnih mjerenja,

2

jezgrovanja ili testiranja u procesu izradbe bušotina. Za rezerve kategorije B

određeni su: geološka građa, oblik i veličina ležišta ili dijela ležišta,

kolektorska svojstva, ležišni uvjeti, fizikalne i kemijske karakteristike fluida." U

kategoriju C1 svrstava se zalihe "utvrđene bušotinama", s tim da je "pritok

fluida ostvaren osvajanjem i hidrodinamičkim ispitivanjem najmanje na jednoj

bušotini. Granice ležišta određuju se na temelju podataka geološko-

geofizičkih istraživanja i hidrodinamičkih ispitivanja. Za rezerve kategorije C1

djelomično su poznati parametri ležišta, ležišni uvjeti i kvaliteta fluida."

Potencijalne zalihe nisu utvrđene bušenjem, već se njihovo postojanje

procjenjuje na temelju drugih pokazatelja, prema kojima su onda i

kategorizirane. Tako se u kategoriju C2 svrstava potencijalne zalihe "čija se

prisutnost procjenjuje na temelju detaljnih geološko-geofizičkih podataka, a

parametri prirodnih rezervoara i fluida se pretpostavljaju analogijom s

postojećim ležištima i bušotinama." Kategoriju D1 čine one zalihe koje se

može "prognozirati na osnovi regionalnih geoloških, geokemijskih i

geofizičkih istraživanja", a kategoriju D2 zalihe "koje se mogu pretpostaviti na

temelju osnovnih geoloških, geokemijskih i geofizičkih istraživanja".

Kao što je već rečeno u citiranom članku Pravilnika, utvrđene zalihe se

dalje klasificira kao bilančne i izvanbilančne. U bilančne zalihe svrstava se

"utvrđene količine nafte, kondenzata i prirodnog plina u ležištu koje se

poznatom tehnikom i tehnologijom mogu rentabilno eksploatirati". U

izvanbilančne svrstane su one utvrđene zalihe koje se "poznatom tehnikom i

tehnologijom ne mogu rentabilno eksploatirati" (tzv. nerentabilne zalihe), te

zalihe koje se "poznatom tehnikom i tehnologijom ne mogu eksploatirati" (tzv.

nepridobive zalihe).

S obzirom na zastarjelost i neprilagođenost tržišnom gospodarstvu,

očekivati je skoru izmjenu citiranog Pravilnika i njegovo usklađivanje s nekim

3

od međunarodnih sustava. Jedan od takvih sustava preporučila je studijska

grupa Svjetskih naftnih kongresa u svom Konačnom izvješću, od veljače,

1986. godine.1 Prema toj preporuci, zalihama se smatra samo dio "nafte u

ležištu" (Oil-in-place), odnosno "plina u ležištu" (Gas-in-place), koji se može

rentabilno pridobiti. Pritom su nafta, odnosno plin "u ležištu" definirani kao

ukupne količine nafte, odnosno plina, za koje se procjenjuje da izvorno

postoje u prirodnim nalazištima. Primarna podjela je na zalihe nafte i plina u

ležištima koja su već otkrivena i zalihe koje nesumnjivo postoje u drugim

ležištima u Zemljinoj kori, ali koja nisu još otkrivena. Stoga je daljnja podjela

zaliha različita za otkrivena i neotkrivena ležišta.

"Nafta u ležištu" ("plin u ležištu") u otkrivenim ležištima dijeli se na:

• dokazane zalihe: - proizvedeno

- neproizvedeno

• nedokazane zalihe: - vjerojatne

- moguće

• nepridobivi dio.

Naftu, odnosno plin "u ležištu" u neotkrivenim ležištima čini:

• neotkriveni pridobivi potencijal

• nepridobivi dio.

Prema citiranom Konačnom izvješću, u dokazane zalihe može se

svrstati bilančne zalihe kategorija A i B, te dio C1 iz hrvatskog Pravilnika. U

vjerojatne zalihe moglo bi se svrstati jedan dio zaliha kategorije C1, dok bi

preostali dio kategorije C1 i dio zaliha kategorije C2 činio moguće zalihe.

Preostali dio zaliha kategorije C2, te zalihe kategorija D1 i D2 činile bi

neotkriveni pridobivi potencijal. Međutim, ni ovakva podjela nije sasvim točna,

budući zalihe iz hrvatskog Pravilnika obuhvaćaju i nepridobivi dio nafte,

odnosno plina "u ležištu".

4

Inače, jednu od potpunijih klasifikacija objavio je 1962. god. J.J.Arps.2

On je pridobive zalihe klasificirao prema četiri kriterija:

1. Izvor slojne energije:

• primarne

• sekundarne

2. Stupanj dokazanosti:

• dokazane

• vjerojatne

• moguće

3. Stanje razrade (samo za dokazane zalihe):

• razrađene

• nerazrađene

4. Stanje proizvodnje (samo za dokazane razrađene zalihe):

• u proizvodnji

• izvan proizvodnje.

Međunarodno udruženje naftnih inženjera (Society of Petroleum

Engineers - SPE) prihvatilo je definiciju najinteresantnijih, dokazanih zaliha,

koja je gotovo u cijelosti uključena u preporuku Svjetskih naftnih kongresa, a

glasi:

"Dokazane zalihe sirove nafte, prirodnog plina i njegovih kapljevina su

procijenjene količine za koje geološki i tehnološki podaci ukazuju, s

razumnom sigurnošću, da će se moći pridobiti u budućnosti iz poznatih

ležišta, pod postojećim ekonomskim uvjetima."3

Iako neki autori2 upozoravaju na kontradikciju u definiciji (ono što je

procijenjeno nije i dokazano!), propisani uvjeti pod kojima se zalihe ležišta

može smatrati dokazanim uključuju i određena mjerenja (i proračune), koja

procjenu čine dostatno pouzdanom. U literaturi se često izričito govori o

5

pridobivim zalihama, no jasno je da se gornja definicija odnosi samo na njih,

pa stoga termine zalihe i pridobive zalihe treba koristiti kao sinonime. Pojam

konačnog iscrpka praktički znači isto, s tim da su tada (pridobive) zalihe

iskazane kao dio (postotak) nafte, odnosno plina "u ležištu".

Citirana definicija dokazanih zaliha podrazumijeva postojanje nafte i

plina u takvim uvjetima, da ih je fizički moguće proizvesti, te da će

proizvodnja biti ekonomski isplativa. Dakle, ekonomika ima ključnu ulogu u

određivanju zaliha: uz dostatno vrijeme, bez ekonomski ograničenog protoka,

svaka bušotina bi mogla iscrpiti sve količine pokretne nafte i plina iz pornog

prostora s kojim komunicira. Cilj je, međutim, naftu i plin proizvesti u

razumnom vremenu i uz profitabilan protok (dnevnu proizvodnju). Stoga,

svaki postupak kojim se postiže ili održava profitabilan protok u razumnom

vremenu, rezultira povećanjem (pridobivih) zaliha, bilo jednog ležišta, bilo

jedne regije ili države u cjelini.

Isti principi doveli su i do neformalne, ali u praksi prihvaćene podjele

ležišta nafte i, naročito, plina na konvencionalna i nekonvencionalna. Podjela

nije sasvim precizna jer se temelji na rastezljivoj definiciji konvencionalnih

metoda iskorištavanja nafte i plina, no u svakom vremenskom razdoblju se

prilično dobro zna što je konvencionalno, a što ne. Dakle, konvencionalna su

ona ležišta nafte i plina, čija geološka i tehnološka svojstva omogućuju

njihovo rentabilno iskorištavanje konvencionalnim metodama. Suprotno, pod

nekonvencionalnim razumijevaju se sva ležišta nafte i plina, čija svojstva

spriječavaju njihovo rentabilno iskorištavanje konvencionalnim metodama.

Takva su ležišta vrlo viskozne nafte, ležišta nafte i plina u slabo propusnim

stijenama (k < 1∗10-3 µm2 ) i razlomljenim laporima, te plin (metan) koji se

nalazi u ugljenim slojevima ili je otopljen u pretlačenoj slojnoj vodi. U njima

su zarobljene ogromne količine ugljikovodika, koje se, međutim, ne može

6

svrstati ni u kakve zalihe tako dugo dok se ne pronađe neki nekonvencionalni

postupak, koji će omogućiti profitabilnu proizvodnju u razumnom vremenu.

Takav nekonvencionalan postupak, kojeg bi se u razvijenim zemljama

Sjeverne Amerike i Zapadne Europe moglo već nazvati i konvencionalnim,

jest hidrauličko frakturiranje ležišnih stijena. Njime se veći dio slabo

propusnih ležišta (k=0.001∗10-3 ÷ 1∗10-3 µm2) već danas može osposobiti za

rentabilnu proizvodnju, a predvidiva tehnološka unapređenja omogućit će

daljnje sniženje donje granice propusnosti, kao i osposobljavanje ugljenih

ležišta za rentabilnu proizvodnju plina. Dakle, primjenom ovog postupka

izravno se povećavaju (pridobive, bilančne) zalihe ugljikovodika, a time, u

skladu s citiranom definicijom zaliha, i konačni iscrpak, kako jednog ležišta ili

polja, tako i neke regije ili države u cjelini.

Sudeći prema domaćoj naftnoj literaturi, hrvatska naftna industrija

očekuje povećanje (bilančnih) zaliha isključivo od novootkrivenih

konvencionalnih ležišta, pa kako su veća otkrića u Hrvatskoj, u zadnje

vrijeme, izostala, sugerira se intenziviranje istražnih radova.3a Međutim, u

zadnjem desetljeću, u Hrvatskoj je samo polovina iscrpljenih zaliha nafte,

kondenzata i plina nadomještena novootkrivenim zalihama, dok je druga

polovina nadomještena uvođenjem metoda za povećanje iscrpka naftnih

ležišta.3b Iako je u takve metode ubrojen i postupak hidrauličkog frakturiranja,

pošto se kao takav dokazao u praksi, težište je ipak na metodama

primjenjivim uglavnom u konvencionalnim ležištima. Stoga, teza, koju ovom

disertacijom želim teorijski dokazati, jest: primjenom postupka hidrauličkog

frakturiranja u nekonvencionalnim ležištima povećavaju se pridobive

(bilančne) zalihe, odnosno konačni iscrpak nafte i plina u otkrivenim

ležištima, čime se omogućuje i povećanje neotkrivenog pridobivog

potencijala u još neotkrivenim ležištima.

7

O kojim se potencijalnim količinama radi i kolike su mogućnosti

povećanja zaliha, bit će riječi u prvom poglavlju. Naime, u tom poglavlju će

biti obrađena distribucija i kategorizacija glavnog dijela nekonvencionalnih

ležišta, tj. slabo propusnih ležišta, temeljena na statističkoj analizi podataka o

propusnosti, šupljikavosti i efektivnoj debljini ležišnih stijena u

sedimentacijskim bazenima SAD.

U drugom poglavlju bit će dana teorijska podloga mehanizma koji

omogućava profitabilan protok, tj. povećava indeks proizvodnosti. Točnije, bit

će dani matematički modeli protjecanja fluida u nefrakturiranom i

frakturiranom ležištu, koji su osnovica za izračunavanje tempa crpljenja i

konačnog iscrpka frakturiranom i nefrakturiranom bušotinom, odnosno za

kvantitativno određivanje povećanja zaliha u slučaju primjene postupka

hidrauličkog frakturiranja.

Teorija hidrauličkog frakturiranja, odnosno matematički modeli procesa,

kao osnovica za izračunavanje potrebne geometrije pukotine, tema je trećeg

poglavlja. Time su stvoreni temelji za optimalizaciju procesa hidrauličkog

frakturiranja za svaku kategoriju propusnosti ležišnih stijena, a to je tema

četvrtog poglavlja. Naime, u tom poglavlju su dani kvantitativni pokazatelji

mogućeg, ekonomski opravdanog, povećanja pridobivih zaliha nafte i plina,

kako za pojedine kategorije propusnosti, tako i za hipotetskih 1000 bušotina,

čija je propusnost distribuirana sukladno statistički određenoj distribuciji

propusnosti u prirodi. Za potkrjepu tih pokazatelja navedeni su i rezultati

praktične primjene postupka hidrauličkog frakturiranja u Republici Hrvatskoj.

8

POGLAVLJE 1

DISTRIBUCIJA I KATEGORIZACIJA SLABO PROPUSNIH LEŽIŠTA

Godine 1980. američko Nacionalno vijeće za naftu (National Petroleum

Council - NPC) procijenilo je "plin u ležištu" u slabo propusnim ležištima

SAD-a na vrijednost od 25∗1012 m3, od čega se 17∗1012 m3 smatra tehnički

pridobivim.4 Plin se nalazi u 113 bazena, koji pokrivaju perspektivnu površinu

od 2.6∗106 km2. Nekoliko najvećih bazena dano je u tablici 1, zajedno s

procijenjenim rasponom propusnosti, koja je ponegdje u rangu propusnosti

cementnog kamena.

Tablica 1. Tipični raspon propusnosti slabo propusnih ležišta

BAZEN FORMACIJA PROPUSNOST (10-3 µm2)

Denver Muddy J 0.0001-0.03 Green River Almond 0.0003-0.3

Ft. Union 0.0001-0.1 Mesa Verde 0.0001-0.03

Cotton Valley 0.0001-0.3 Cementni kamen 0.0003-0.03

NPC je svoju procjenu temeljio na načelu simetrije koja vlada u prirodi,

prema kojem je očekivati da slabo propusnih stijena ima isto toliko, koliko i

dobro propusnih.5 Ovu simetriju je lako potvrditi ispitujući relativno mali broj

slučajno odabranih uzoraka stijena. Štoviše, ovaj princip vlada i u jednom

jedinstvenom, "homogenom" i "izotropnom" ležištu, što se može potvrditi

analizom distribucije pora u samo jednom uzorku. Tako procijenjena

9

9

distribucija propusnosti, koja se može primijeniti na cijelu Zemlju ili bilo koji

njezin dio, prikazana je na slici 1. Dakle, prema toj procjeni 98% ležišta

(obujamski) ima propusnost u granicama od 10-8 do 1 µm2. Od toga, samo

oko 33% možemo ubrojiti u konvencionalna ležišta (k≥10-3 µm2), dok

preostalih 65% čine nekonvencionalna, slabo propusna ležišta.

Slične procjene učinjene su i u bivšoj zapadnoj Njemačkoj, gdje se

potencijal slabo propusnih ležišta procjenjuje na 270-360∗109 m3 plina.6,7

PROPUSNOST (E-15 m2)

OB

UJA

M L

E@I[T

A (%

)

0102030405060708090

100

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

Slika 1. Procijenjena distribucija propusnosti u SAD5

1.1. DISTRIBUCIJA PROPUSNOSTI LEŽIŠTA NAFTE I PLINA

Distribucija svih neobnovljivih prirodnih sirovina upućuje na određenu

zakonitost. Dvojica autora publicirala su 1977/79. god. koncept "trokuta

resursa".8,9 Oni su, naime, ustvrdili da je razumno očekivati, da je većina

prirodnih resursa raspoređena kao u trokutu (Sl. 2).

10

10

PRVA KLASA

LE@I[TA SLABIJE KVALITETE

LE@I[TA NAJSLABIJE KVALITETE

TEHNOLO[KAPOBOLJ[ANJA

VI[ACIJENA

MALI CILJEVISEIZMIKAGEOLOGIJA

VE]I CILJEVIIN@ENJERINGGEOLOGIJA

VELIKI CILJEVIZNANSTVENAISTRA@IVANJA

Slika 2. Trokut resursa prema Mastersu9 i Grayu8

Najkvalitetnija (najčišća) nalazišta zauzimaju vršni, najmanji dio trokuta.

Općenito, kako kvaliteta resursa (sirovine) opada, tako njegova veličina

raste. No, za iskorištavanje takvih velikih, a manje kvalitetnih nalazišta,

potrebna je viša cijena konačnog proizvoda i poboljšana tehnologija.

Također, otkrivanje takvih ležišta zahtijeva drukčiji pristup. Dok je za

otkrivanje malih, kvalitetnih ležišta dostatna primjena konvencionalnih

metoda (seizmika, geologija), manje kvalitetna ležišta zahtijevaju dodatni

inženjering, a ona najveća i najnekvalitetnija i znanstveno-istraživački rad.

Mnogim geolozima je poznat koncept velikih, niskokvalitetnih ležišta ruda,

naspram malih ali visokokvalitetnih rudišta. Međutim, na takav način se

obično ne razmišlja o ležištima nafte i plina. Ipak, npr. u Kanadi, zalihe

"visokokvalitetne nafte" tj. nafte male viskoznosti u dobro propusnim ležištima

iznose samo 2.56∗109 m3, dok "niskokvalitetni" asfaltni pješčenjaci u državi

Alberta sadrže 160∗109 m3 nafte. Stoga je temeljni zaključak autora, da i

zalihe plina imaju sličnu distribuciju. Kako kvaliteta ležišta opada (tj. kako se

propusnost i šupljikavost smanjuju) količina zarobljenog plina raste.

Iako u prirodi ništa nije tako pravilno kao što indicira trokut, nedvojbeno

se može zaključiti da su mnogo veće količine plina i nafte prisutne u

niskokvaltetnim (nekonvencionalnim) ležištima nego u visokokvalitetnim

11

11

(konvencionalnim) ležištima. Takav zaključak potvrđuje i analiza podataka

(propusnosti) iz 561 bušotine u formaciji Travis Peak u istočnom Texasu, gdje

je zaključeno da "trokut resursa" izvrsno opisuje takva ležišta plina.10 Naime,

što je propusnost formacije manja, to je obujam ležišta veći a time su veće i

zalihe plina.

Studija vjerojatnosti distribucije prirodnih resursa ukazuje da je log-

normalna distribucija (slična onoj na Sl. 1) bila naširoko korištena u

opisivanju prirodnih fenomena i neobnovljivih prirodnih sirovina.11 Pregled

literature10 koja obrađuje važne minerale i elemente, kao što su zlato,

dijamant, srebro, uran, bakar, olovo, cink, nikal, kalcij, kalij, magnezij i torij,

jasno pokazuje da su čistoća i koncentracija njihovih rudača raspoređeni u

log-normalnom obliku. Geostatističke studije gustoće prirodnih pukotina i

rasjeda također ukazuju na log-normalnu distribuciju. Veličine naftnih polja

često slijede log-normalnu distribuciju.10

Propusnost većine ležišta već je bila opisivana ili log-normalnom ili

desno-zakrivljenom distribucijom.12-14 Novije studije sugeriraju familiju funkcija

vjerojatnosti za opisivanje distribucije propusnosti, uključujući i log-normalnu

distribuciju.15 Dakle, na temelju literature, distribucija propusnosti ležišnih

stijena je slična distribuciji mnogih prirodnih sirovina i prirodnih pojava. Stoga

se distribuciju propusnosti u ležištima nafte i plina može općenito

karakterizirati kao unimodalnu, desno-zakrivljenu i sličnu log-normalnoj

distribuciji.10 Potvrdu ovakve distribucije može se naći u rezultatima analize

podataka iz nekoliko poznatih geoloških formacija SAD-a (Cleveland, Cotton

Valley, Wilcox/Lobo, Travis Peak).11

Travis Peak formacija je detaljno analizirana, a rezultati su objavljeni u

literaturi.10,16 Kao mnoga slabo propusna ležišta, i ovo sadrži brojne propusne

i nepropusne proslojke, koji su dispergirani i vertikalno i lateralno u debelom,

12

12

kompleksnom sustavu. Tipična bušotina obuhvaća proslojke pješčenjaka,

siltita i lapora u ukupnoj debljini i preko stotinu metara. Proslojci pješčenjaka i

siltita imaju bitno različite vrijednosti propusnosti, šupljikavosti i zasićenja.

Zone većih propusnosti (k≥10-3 µm2) obično su tanke i manjih površina, dok

su deblji intervali većih površina i manjih propusnosti. No, za analizu cijelog

ležišta izračunate su prosječne propusnosti za pojedine bušotine. Bitno je

napomenuti da je prosječna propusnost izračunata kao aritmetička sredina

ponderirana debljinom, tj.

kh

k hi ii

n

==∑11

(1)

Tako određene propusnosti dobivene su iz dva izvora. Prvi, za 561

bušotinu, temelji se na laboratorijskim mjerenjima,16 a drugi, za 191 bušotinu,

osim laboratorijskih uključuje i mjerenja u bušotinama.17 Distribucija

propusnosti za I. grupu podataka dana je na slici 3, a za II. grupu na slici 4.

Kao što se vidi, statistička analiza obiju grupa podataka indicira zakrivljenu i

unimodalnu distribuciju, sličnu log-normalnoj distribuciji.


KUM

ULAT

IVNA

VJE

ROJA

TNO

ST (%

)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

Slika 3. Distribucija propusnosti I. grupe podataka16

13

13


KUM

ULAT

IVNA

VJE

ROJA

TNO

ST (%

)

0102030405060708090

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

Slika 4. Distribucija propusnosti II. grupe podataka17

Odnos između propusnosti i efektivne debljine, za II. grupu podataka,

dan je na slici 5, a odnos propusnosti i šupljikavosti na slici 6.


EFEK

TIVN

A D

EBLJ

INA

(m)

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

Slika 5. Korelacija između propusnosti i efektivne debljine17

Ovi su podaci u potpunom skladu s "trokutom resursa". Naime, kako se

istražuje prema bazi trokuta resursa, otkrivaju se sve veća ležišta s većim

zalihama plina u slabo propusnim stijenama. Dakle, kako se propusnost

smanjuje, smanjuje se i šupljikavost, ali se povećava efektivna debljina.

14

14


[UPL

JIK

AVO

ST (%

)

0

2

4

6

8

10

12

14

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

Slika 6. Korelacija između propusnosti i šupljikavosti18

Na temelju distribucije propusnosti II. grupe podataka, te odnosa

propusnosti prema šupljikavosti i efektivnoj debljini, distribucija ležišnih

svojstava uzorka od 1000 bušotina, izgledala bi kao u tablici 2.

Tablica 2. Distribucija ležišnih svojstava za 1000 bušotina temeljena na

II. grupi podataka10 Efektivna Broj Efektivna Efektivna

propusnost bušotina šupljikavost debljina (10-3 µm2) (%) (m)

40 11 12.65 6.06 10 25 10.65 6.97 4 58 9.50 8.18 1 107 7.99 9.70

0.4 159 7.13 11.21 0.1 188 6.00 13.33

0.04 178 5.35 15.15 0.01 134 4.50 17.88

0.004 80 4.02 20.00 0.001 39 3.38 22.42

0.0004 15 3.02 23.94 0.0001 5 2.54 25.45

0.00004 1 2.25 27.27

15

15

Kako su ovo podaci samo iz proizvodnih bušotina, njima treba dodati još

oko 40% bušotina čija je proizvodnost bila ispod ekonomskog limita, pa nisu

uključene u proizvodnju, a to znači da im je propusnost uglavnom ispod 0.001

∗10-3 µm2. Nova statistička distribucija prikazana je na slici 7 u usporedbi s

prethodnom, a u tablici 3 dana je nova distribucija propusnosti za hipotetskih

1000 bušotina.


KUM

ULAT

IVNA

VJE

ROJA

TNO

ST (%

)

0102030405060708090

100

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

PROIZVODNEBU[ OTINE

SVE BU[ OTINE

Slika 7. Usporedba distribucije propusnosti za proizvodne bušotine i sve

izbušene bušotine10

Srednje vrijednosti nove distribucije dane su u tablici 4. Kao što se vidi,

aritmetička sredina se bitno razlikuje od srednje (median) vrijednosti, koja

inače odgovara 50%-tnoj kumulativnoj vjerojatnosti. No, usporedbom

simulirane proizvodnje prosječne bušotine s prosječnom proizvodnjom svih

pojedinačno simuliranih bušotina, ustanovljeno je da srednja vrijednost

predstavlja bolju procjenu prosječne propusnosti ležišta nego aritmetička ili

pak geometrijska sredina, kako za očekivanu dnevnu proizvodnju, tako i za

konačni iscrpak.11

16

16

Tablica 3. Distribucija propusnosti za 1000 bušotina, temeljena na podacima za sve izbušene bušotine10

Efektivna Broj propusnost bušotina (10-3 µm2)

40 6 10 12 4 29 1 54

0.4 85 0.1 108

0.04 118 0.01 120

0.004 120 0.001 114

0.0004 96 0.0001 70

0.00004 40 0.00001 28

Tablica 4. Prosječna svojstva prosječne bušotine10 Parametar Aritmetička

sredina Srednja

vrijednost Propusnost (10-3 µm2) 0.581 0.0085 Šupljikavost (%) 7.5 4.5 Efektivna debljina (m) 10.36 18.29

Prema istom načelu, srednja vrijednost procijenjenih propusnosti svih

američkih ležišta iznosila bi približno 0.1∗10-3 µm2 (vidi Sl. 1), što zapravo

predstavlja centralnu tendenciju, oko koje je grupirana većina ležišta. Kako ta

vrijednost već pripada spomenutim nekonvencionalnim ležištima, nameće se

potreba detaljnije podjele (kategorizacije) propusnosti.

17

17

1.2. KATEGORIZACIJA PROPUSNOSTI

Jedna takva kategorizacija, nastala iz potrebe približnog određivanja

potrebne veličine hidrauličkog frakturiranja za različite propusnosti ležišta,

dana je na slici 8. O duljini pukotine bit će riječi poslije, a za sada samo treba

napomenuti da se radi o orijentacijskim vrijednostima, te da se

podrazumijevaju ostale optimalne vrijednosti, kao što je npr. vodljivost

pukotine.

Slika 8. Potrebna duljina pukotine za različite kategorije propusnosti19

Dakle, propusnost je kategorizirana kako slijedi:

• Dobra, u koju se može ubrojiti svih 33% konvencionalnih ležišta plina

čija je propusnost u granicama 1∗10-3 µm2 - 1000∗10-3 µm2 (za naftna ležišta

granice propusnosti su uvijek pomaknute na više za faktor 10);

18

18

• Osrednja, koja predstavlja 16% ležišta (prema distribuciji na slici 1)

propusnosti 0.1∗10-3 µm2 - 1∗10-3 µm2;

• Slaba, koja predstavlja 20% ležišta propusnosti 0.005∗10-3 µm2 - 0.1∗

10-3 µm2;

• Vrlo slaba, koja predstavlja daljnjih 10% ležišta propusnosti 0.001∗10-3

µm2 - 0.005∗10-3 µm2;

• Ekstremno slaba, koja predstavlja preostalih 19% ležišta propusnosti

između 0.0001∗10-3 µm2 - 0.001∗10-3 µm2.

Koje od ovih kategorija omogućuju rentabilno iskorištavanje

konvencionalnim metodama, a za koje je nužno primijeniti nekonvencionalni

postupak, već sugerira slika 8, no teorijska podloga za to, kao i matematički

model koji opisuje učinak hidrauličkog frakturiranja, teme su slijedećeg

poglavlja.

19

POGLAVLJE 2

MODELI PROTJECANJA FLUIDA U LEŽIŠTIMA NAFTE I PLINA

Matematički opis protjecanja fluida u poroznom mediju temelji se na

slijedećim fizikalnim zakonitostima:19

• zakonu očuvanja mase ili jednadžbi kontinuiteta;

• d'Arcyevom zakonu;

• jednadžbi stanja.

U svim oblicima protjecanja (fluida, topline, elektriciteta), jedan od

najvažnijih postulata jest načelo očuvanja (konzervacije). Ono jednostavno

znači da je neka fizikalna veličina konzervirana, tj. niti se stvara niti se

uništava. Kod protoka fluida u poroznom mediju najvažnija veličina jest masa,

za koju jednadžba kontinuiteta glasi:

maseni utok u element prostora minus maseni istok iz elementa

prostora jednako promjena mase u elementu prostora.

D'Arcyev zakon izražava činjenicu da je obujamski protok po jedinici

površine poprečnog presjeka u nekoj točki uniformnog poroznog medija,

proporcionalan razlici potencijala u smjeru protoka. Zakon vrijedi za laminarni

protok, a matematički je izražen kao

v k= − ∇ρµ

Φ , (2)

gdje je v obujamski protok po jedinici površine, tj. brzina protjecanja, Φ

potencijal, ∇Φ gradijent potencijala u smjeru protoka, µ viskoznost fluida, k

propusnost medija, te ρ obujamska masa fluida. Budući je potencijal dan kao

∫ +=Φp

p

gzdp

0ρ

, (3)

20

20

gdje je z visina iznad određene plohe, a p0 tlak na nivou plohe, za

protok u smjeru osi x , y i z , d'Arcyev zakon može biti pisan kao

v k pxx

x= −µ

∂∂

, (4)

vk p

yyy= −

µ∂∂

, (5)

+−= gzpkv z

z ρ∂∂

µ. (6)

Jednadžba stanja definira ovisnost obujamske mase fluida ρ o tlaku p i

temperaturi T . Stoga će za različite vrsti fluida biti primijenjene različite

jednadžbe stanja. No, budući se protjecanje fluida u ležištu može smatrati

izotermalnim procesom, jednadžba stanja bit će ovisna samo o tlaku.

2.1. TRODIMENZIONALNI LINEARNI PROTOK

Element prostora (poroznog medija) prikazan je na slici 9. Njegove su

dimenzije ∆x , ∆y i ∆z , u koordinatnom sustavu x , y i z . Obujamske

komponente utoka fluida u element po jedinici površine (brzine protjecanja), u

smjerovima x , y ,z , označene su sa vx , vy i vz . Stoga je maseni utok fluida u

element, u smjeru osi x , jednak umnošku obujamske mase fluida, ρ , brzine

protjecanja, vx , i površine poprečnog presjeka, ∆ ∆y z , tj. ρv y zx∆ ∆ , a maseni

istok fluida iz elementa, u smjeru osi x , jednak je ( )[ ] zyvv xx ∆∆∆+ ρρ . Razlika

ovih dvaju protoka (utok minus istok) predstavlja neto protok u smjeru osi x .

Po istom načelu može se odrediti neto protok u smjerovima osi y i z .

21

21

z

ρv

xy

x ρ ρ

ρ ρ ρ

ρρ

∆

∆

∆

∆

v + v v

v +

z

y

x

v v v

x x

z ρ zy

y + y z

v( )

)

)

(∆

∆ (

Slika 9. Model trodimenzionalnog linearnog protoka

Budući je masa fluida, sadržana unutar elementa, određena umnoškom

obujamske mase fluida, ρ , šupljikavosti elementa, φ , i obujma elementa,

∆ ∆ ∆x y z , promjena mase u vremenskom razmaku ∆t jednaka je razlici

φρ φρ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆x y z x y zt t t| |+ − . Dakle, jednadžba kontinuiteta za trodimenzionalni

linearni protok može se pisati kao:

− + + = −+∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆t y z v x z v x y v x y zx y z t t t[ ( ) ( ) ( )] [ | | ]ρ ρ ρ φρ φρ . (7)

Dijeljenjem jednadžbe s ∆ ∆ ∆ ∆x y z t slijedi

− − − =∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ φρvx

vy

vz t

x y z . (8)

Kako ∆ ∆ ∆ ∆x y z t→ → → →0 0 0 0, , , , konačni oblik jednadžbe

kontinuiteta glasi: ∂∂

ρ ∂∂

ρ ∂∂

ρ ∂∂

φρx

vy

vzv

tx y z( ) ( ) ( ) ( )+ + = − . (9)

Kombiniranjem jednadžbe kontinuiteta i d'Arcyeva zakona, tj. uvođenjem

jednadžbi 4, 5 i 6 u jednadžbu 9, slijedi

( )φρ∂∂ρ

∂∂

µρ

∂∂

∂∂

µρ

∂∂

∂∂

µρ

∂∂

tg

zpk

zypk

yxpk

xzyx =

++

+

. (10)

Konačna diferencijalna jednadžba, koja će slijediti iz jednadžbe 10, ovisi

o jednadžbi stanja za određeni fluid. Stoga će daljnje razmatranje biti

22

22

ograničeno na izotermalni protok fluida male i konstantne stlačivosti, koja je

definirana kao relativna promjena obujma fluida po jedinici promjene tlaka, tj.

cVVp p

= − =1 1∂∂ ρ

∂ρ∂

. (11)

Iz jednadžbe 11 slijedi 1ρ

∂ρ∂

∂∂xc px

= , (12)

odnosno ∂ρ∂

ρ ∂∂tc pt

= . (13)

Pretpostavimo li da je propusnost konstantna i izotropna, tj.

k k k konstx y z= = = ., te da su šupljikavost i viskoznost također konstantne, a

sila teža zanemariva, jednadžba 10 poprima slijedeći oblik

tp

kc

zp

yp

xpc

zp

yp

xp

∂∂φµ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ =

+

+

+++

222

2

2

2

2

2

2

. (14)

Budući je stlačivost mala, te pretpostavimo li i male gradijente tlaka tako

da su njihovi kvadrati zanemarivi, konačni oblik diferencijalne jednadžbe za

trodimenzionalni linearni protok fluida u poroznom mediju svodi se na

tp

kc

zp

yp

xp

∂∂φµ

∂∂

∂∂

∂∂ =++ 2

2

2

2

2

2

. (15)

Jednadžbu 15 naziva se jednadžbom difuzije, a konstantu kcφµ

,

hidrauličkom difuzivnošću, koju se često označava simbolom η.

2.2. RADIJALNI PROTOK

Radijalni model protjecanja prikazan je na slici 10. Protok je

jednodimenzionalan, u smjeru r . Maseni utok u element prostora jednak je

umnošku obujamske mase fluida, brzine protjecanja i površine određene

23

23

radijusom r r+ ∆ , kutom θ i visinom h , tj. ( ) hrrvr θρ ∆+ , a maseni istok iz

elementa jednak je umnošku istih varijabli, s tim da je površina određena

radijusom r , tj. ( )[ ] rhvv rr θρρ ∆+ . Razlika ovih dvaju protoka (utok minus

istok) predstavlja neto protok.

h

r

r +

ρ

ρ +∆(ρvr vr )

vr

∆

θ

r

Slika 10. Model radijalnog protoka

Promjena mase fluida u elementu omeđenom radijusima r i r r+ ∆ ,

kutom θ i visinom h , kad ∆r→ 0, jednaka je umnošku ( ) rhr∆∆ θρφ . Stoga se

jednadžbu kontinuiteta za radijalni protok fluida može pisati kao

− − =∆ ∆ ∆ ∆ ∆t h v r v r hr rr rθ ρ ρ ρφ θ[ ( ) ] ( ) , (16)

odnosno, kao ( ) ( )

trvr

rrv

rr

r ∆∆−=

∆∆−

∆∆ ρφρρ1 . (17)

Budući ∆ ∆r t→ →0 0, , te ∆∆( ) ( )ρ ∂ ρ

∂vr

vr

r r→ − , slijedi konačni oblik

jednadžbe kontinuiteta za radijalni protok 1r r

r vtr

∂∂

ρ ∂ ρφ∂

( ) ( )= − . (18)

24

24

Prema d'Arcyevom zakonu, brzina protjecanja definirana je kao

v k prr

r= −µ

∂∂

, (19)

pa jednadžbu 18 možemo pisati kao ( )tr

pkrrr

r

∂ρφ∂

∂∂

µρ

∂∂ =

1 . (20)

Slično trodimenzionalnom modelu, pretpostavimo li malu i konstantnu

stlačivost (definiranu jednadžbom 11), te konstantnu propusnost (k kr = ),

šupljikavost i viskoznost, jednadžba 20 postaje

tp

kc

rpc

rpr

rr ∂∂φµ

∂∂

∂∂

∂∂ =

+

21 . (21)

Pretpostavimo li još i mali gradijent tlaka, slijedi konačni oblik jednadžbe

difuzije za radijalni protok ∂∂

∂∂

φµ ∂∂

2

2

1pr r

pr

ck

pt

+ = . (22)

Rješenja jednadžbe difuzije ovise o definiciji početnih i rubnih uvjeta. S

tim u vezi razvijene su dvije grupe rješenja: rješenja za konstantan protok i

rješenja za konstantan tlak. Također, postoje rješenja za ograničena i

neograničena ležišta, te ležišta s konstantnim tlakom na vanjskoj granici

ležišta. Rješenja za konstantan protok standardno se primjenjuju kod

konvencionalnih ležišta, no za nekonvencionalna, slabo propusna ležišta,

ona su praktički neprimjenjiva, pa se uglavnom koristi rješenja za konstantan

tlak. S druge strane, rješenja za neograničena ležišta ili ležišta s konstantnim

tlakom na vanjskoj granici, pogodna su kod konvencionalnih ležišta, no za

nekonvencionalna ležišta daleko su pogodnija rješenja za ograničena ležišta,

tj. za bušotinu smještenu u centru određene površine crpljenja. Naime, tada je

moguće egzakto proračunati i predvidjeti dobit koju donosi frakturirana

bušotina u odnosu na nefrakturiranu. Neka od najvažnijih rješenja dana su u

nastavku.

25

25

2.2.1. Modeli s konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta

2.2.1.1. Neograničeno ležište

Neograničeno cilindrično ležište s bušotinom u središtu prikazano je na

slici 11.

rp

r s

r w

i

k

k

s

hNEPROPUSNEGRANICE

p wf

Slika 11. Neograničeno ležište s bušotinom u središtu.

Početni uvjet definira jednoliku rasprostranjenost ležišnog tlaka po

čitavom ležištu:

∞== << rtptrp i 0,0,),( .

Prvi rubni uvjet definira ležište kao neograničeno:

0,,),( >trptrp i ∞→→ .

Drugi rubni uvjet definira protok na unutarnjoj granici ležišta, tj. na

radijusu bušotine rw , koji podliježe d'Arcyevom zakonu

rpk

hrqBvw

r ∂∂

µπ−==

2. (23)

26

26

Dakle, drugi rubni uvjet definiran je kao ∂∂

µπ

pr

qBkhr

tr ww

= −2

0, > .

Rješenje jednadžbe difuzije za tlak kod radijusa r u vremenu t

glasi:19,20

−−−=

ktcrEi

khqBptrp i 42

12

),(2φµ

πµ , (24)

gdje je

∫∞ −

=−−x

u

duuexEi )( , (25)

nazvan eksponencijalni integral, koji za x < 0 01. , tj. za veliko vrijeme,

može biti aproksimiran s40

=−≅−−x

xxEiγ

γ 1ln)ln()( . (26)

Ovdje je γ Eulerova konstanta i jednaka je 1.78. Dakle, za 4 1002

ktcrφµ

>

jednadžba 24 glasi

p r t p qBkh

ktcri( , ) ln= − µ

π γφµ212

42 . (27)

Za specifičan slučaj kad je r rw= , jednadžba 27 predstavlja rješenje

dinamičkog tlaka u bušotini, pwf , u vremenu t , pa, nakon sređivanja

konstanti pod logaritmom, slijedi

+−= 80907.0ln

21

2)( 2

wiwf cr

ktkh

qBptpφµπ

µ . (28)

Prema definiciji skin faktora,20 dodatni pad tlaka zbog eventualno

promijenjene propusnosti, ks , u radijusu rs , tj.

=∆

khqBsps π

µ2

, gdje je

w

s

s rr

kks ln1

−= , može se pribrojiti drugom članu na desnoj strani jednadžbe

28, pa ona konačno glasi

+

+−= s

crkt

khqBptp

wiwf 80907.0ln

21

2)( 2φµπ

µ . (29)

27

27

Promjenom prirodnog logaritma u logaritam po bazi 10, te uvođenjem

ukupne stlačivosti sustava, umjesto stlačivosti jedne faze fluida, slijedi

praktično rješenje jednadžbe 29 za analizu pada tlaka u proizvodnom testu

+++−= s

rckt

khqBptp

wtiwf 87.0351.0loglog151.12

)( 2φµπµ . (30)

Naime, iz jednadžbe 30 slijedi da će graf dinamičkog tlaka u

polulogaritamskom mjerilu ( wfp vs logt ) dati pravac, nagiba kh

qBmπ

µ2

151.1= ,

kad bude zadovoljena logaritamska aproksimacija eksponencijalnog

integrala, tj. u kasnijoj fazi. Tada se propusnost ležišta može izračunati kao

k qBhm

= 1 1512

. µπ

. (31)

Preuređenjem jednadžbe 30 slijedi i rješenje za skin faktor

−−−

−= 351.0loglog

)(151.1 2

wt

wfi

rckt

mtpp

sφµ

. (32)

U praksi se koristi određeno vrijeme (1 sat) i odgovarajući dinamički

tlak, pa tada jednadžba 32 glasi

−−

−= 91.3log151.1 2

)1(

wt

hwfi

rck

mpp

sφµ

. (33)

Svojstvo logaritma, prema kojemu je

log log logax a x= + , (34)

iskorišteno je za razvijanje grafičkih rješenja jednadžbe difuzije pomoću

bezdimenzionalnih varijabli (tipske krivulje). Naime, analizom jednadžbi 27-

30, uočava se da je pad tlaka u ležištu, ∆p p pi r t= − , , proporcionalan nekoj

konstanti i bezdimenzionalnoj varijabli, koju se može nazvati

bezdimenzionalnim padom tlaka, pD , koji je pak funkcija bezdimenzionalne

varijable ktc rtφµ 2 , koju se može nazvati bezdimenzionalnim vremenom, tD .

Tada jednadžba 27 može biti pisana kao

p p r t qBkhpi D− =( , ) µ

π2, (35)

28

28

s tim da se skin faktor može jednostavno pribrojiti bezdimenzionalnom

padu tlaka, tj. umjesto pD , treba pisati p sD + . Dakle, bezdimenzionalni pad

tlaka može se definirati kao ( )

µπqB

ppkhp iD

−= 2 , (36)

a bezdimenzionalno vrijeme kao

t ktc rDt

=φµ 2 , (37)

što znači da su bezdimenzionalne varijable umnožak konstante, a , i

stvarne varijable, x , pa njihov logaritamski oblik glasi

( )ppqBkhp iD −+= log2loglogµ

π , (36-1)

log log logt kc r

tDt

= +φµ 2 . (37-1)

Odatle slijedi zaključak da je bezdimenzionalna vrijednost jednaka

stvarnoj, s određenim pomakom, što znači da log-log graf pD vs tD mora

izgledati identično log-log grafu ∆p vs t , ali s pomakom jednakim prvom

članu na desnoj strani jednadžbe 36-1, odnosno 37-1.

Izrazi li se i radijus u bezdimenzionalnoj formi,

r rrDw

= , (38)

bezdimenzionalni oblik jednadžbe difuzije za radijalni protok (jedn. 22)

glasit će ∂∂

∂∂

∂∂

2

2

1pr r

pr

pt

D

D D

D

D

D

D

+ = . (39)

Početni i rubni uvjeti tada su definirani kako slijedi:

p t rD D D= = ≤ ∞0 0 0, , < ,

p r tD D D→ → ∞0 0, , > , ∂∂pr

tD

D rD

D =

=1

1 0, > ,

a rješenje bezdimenzionalne jednadžbe difuzije je20

29

29

−−=

D

DDDD t

rEirtp42

1),(2

, (40)

koje za t rD D/2 100> ima slijedeću logaritamsku aproksimaciju

+

= 80907.0ln21),( 2

D

DDDD r

trtp . (41)

Za slučaj r rw= , rD = 1, jednadžba 41 reducira se na

( )80907.0ln21)( += DDD ttp , (42)

gdje je s p tD D( ) označen bezdimenzionalni pad tlaka na unutarnjoj

granici ležišta, dakle u bušotini, koji je jedini mjerljiv i stoga će u nastavku

uvijek imati isto značenje. Također, tD podrazumijeva bezdimenzionalno

vrijeme temeljeno na radijusu bušotine, rw , dok će u svim ostalim slučajevima

biti drukčije označen. U polulogaritamskom koordinatnom sustavu, jednadžba

42 predstavlja pravac karakterističnog nagiba 12

1 151log

.e

= . Za tD < 0 01.

približno rješenje bezdimenzionalnog pada tlaka dano je relacijom

p t tD D D( ) /≅ 2 π , (43)

dok je za tD < 1000 u literaturi taj odnos dan bilo tablično,20,21 bilo

grafički (tipske krivulje)22 (slika 12).

tD

pD

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+ 00

1.00E+ 01

1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+ 00 1.00E+ 01 1.00E+ 02 1.00E+ 03

30

30

Slika 12. Tipska krivulja za neograničeni radijalni sustav, konstantnog protoka na unutarnjoj granici

U praksi je, međutim, vrlo brzo ispunjen uvjet logaritamske

aproksimacije eksponencijalnog integrala, pa se jednadžbu 42 praktički može

koristiti bez ograničenja.

Pretpostavka male i konstantne stlačivosti, korištena za izvod

jednadžbe difuzije (jedn. 15 i 22), prihvatljiva je za opis protoka nafte kroz

šupljikavi medij, međutim ne i za protok plina. Da bi se izvelo jednadžbu

difuzije za plin (kompresibilan fluid), potrebno je definirati jednadžbu stanja.

No, kao prvu aproksimaciju, moguće je kombinirati rješenje jednadžbe difuzije

za naftu (jedn. 35) i zakon realnog plina

pV nRTZ= , (11a)

prema kojemu je srednja vrijednost obujamskog koeficijenta za plin, B ,

dana kao

BnRTZ p p

nRT pp TZ

T p pi wf

i wf

=+

=+

/ ( ) // ( )

2 2

0 0

0

0

. (11b)

Uvrštavanjem jednadžbe 11b u jednadžbu 35 slijedi približno rješenje

jednadžbe difuzije za plin, za r rw= , odnosno za p r t pw wf( , ) =

( )spkhTZTqppp Dwfi +=−

0

022

πµ , (35a)

odakle i definicija bezdimenzionalnog pada tlaka za plin

pT kh p pp q ZTD

i wf=−π

µ0

2 2

0

( ). (36a)

Definicija bezdimenzionalnog vremena ista je kao i za naftu, osim što su svojstva plina definirana pri srednjem tlaku, ( ) 2wfi pp + .

Bolje rješenje slijedi ako se primijeni funkcija pseudo-tlaka, koja je

definirana kao44

∫=p

p

dpZppm

0

2)(µ

, (11c)

31

31

gdje je p0 neki referentni tlak, tj. standardni tlak. Tada se jednadžbu

difuzije (jedn. 22) može pisati kao21,45

∂∂

∂∂

φµ ∂∂

2 1m pr r

m pr

ck

m pt

t( ) ( ) ( )+ = , (22a)

pa njeno rješenje tada glasi

m p m p p qTT kh

p si wf D( ) ( ) ( )− = + ′0

0π, (35b)

a bezdimenzionalni pad tlaka je definiran kao

pT kh m p m p

p qTDi wf=

−π 0

0

( ) ( ). (36b)

Definicija bezdimenzionalnog vremena ostaje ista, no svojstva plina

definirana su pri početnim ležišnim uvjetima, tj.

t ktc rDt i w

=φ µ( ) 2 . (37a)

U jednadžbi 35b skin faktor je označen sa ′s , što znači da on uključuje i

pseudo-skin prouzročen turbulentnim protokom plina.

2.2.1.2. Ograničeno ležište sa zatvorenom vanjskom granicom

Slika 11 može predstavljati i ovaj sustav, ukoliko radijus r zamijenimo

određenim radijusom crpljenja, re, čiji je bezdimenzionalni oblik definiran kao

r rreDe

w

= . (44)

Početni uvjet definiran je kao i u slučaju neograničenog ležišta

p t rD D D= = ≤ ∞0 0 0, , <

Prvi rubni uvjet definira vanjsku granicu ležišta kao zatvorenu, kroz koju

nema protoka: ∂∂pr

tD

D rD

eD

= 0 0, > .

32

32

Drugi rubni uvjet definira unutarnju granicu ležišta, gdje je protok

kostantan ∂∂pr

tD

D rD

D =

=1

1 0, > .

Uz pretpostavku da je r re w>> , rješenje Van Everdingena i Hursta

glasi:20

( )( ) ( )[ ]∑

∞

=

−

−+−+=

121

21

2

21

2

2

243ln2)(

n neDnn

eDnt

eDeD

DDD JrJ

rJerrttp

Dn

ααααα

, (45)

gdje je αn rješenje jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( ) 01111 =− eDnnneDn rYJYrJ αααα , (46)

a J1 i Y1 Besselove funkcije.40

Jednadžba 45 predstavlja egzaktno rješenje. No, i ovdje postoje

aproksimativna rješenja za određena vremena i radijus crpljenja. Kao prvo,

ako je t rD eD< 0 25 2. , ležište se ponaša kao neograničeno, pa se za

100 0 25 2< <t rD eD. može primijeniti jednadžbu 42.

Za tD >> beskonačna serija eksponencijala i Besselovih funkcija postaje

zanemariva, pa se tada jednadžba 45 svodi na21

p t tr

rD DD

eDeD( ) ln= + −2 3

42 . (47)

Za 25 0 25 2< >t rD eD. , približno rješenje glasi

( )( )22

244

2 1412ln43

125.02)(

−−−−−

−+≅

eD

eDeDeDeD

eD

DDD

rrrrr

rttp , (48)

koje se za reD2 1>> svodi na jedn. 47. Za slučajeve koji nisu obuhvaćeni

ovim približnim rješenjima, tablični prikaz egzaktnih rješenja dali su sami

autori,20 a njihov grafički prikaz dan je na slici 13 (za 1 5 10. ≤ ≤reD ). No, za

praktičnu uporabu dostatna je jednadžba 47, budući su oba uvjeta za njenu

primjenjivost gotovo uvijek ispunjena.

33

33

tD

pD

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

reD= 1.5

2

2.53 3.5

44.55

67 89 10

Slika 13. Tipske krivulje za ograničeni radijalni sustav sa zatvorenom vanjskom granicom i konstantnim protokom na unutarnjoj granici.

2.2.1.3. Ograničeno ležište s konstantnim tlakom na vanjskoj granici

Početni i jedan od rubnih uvjeta definirani su kao i za dva prethodna

slučaja:

p t rD D D= = ≤ ∞0 0 0, , < , ∂∂pr

tD

D rD

D =

=1

1 0, > .

Drugi rubni uvjet definira konstantan tlak na radijusu re

p tD reD D= 0 0, > .

Egzaktno rješenje Van Everdingena i Hursta glasi20

( )( ) ( )[ ]∑

∞

=

−

−−=

120

21

2

20

2

2ln)(n eDneDnn

eDnt

eDDD rJrJrJertp

Dn

βββββ

, (49)

gdje je βn rješenje jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( ) 00101 =− eDnneDnn rJYrYJ ββββ , (50)

34

34

a J0 , J1, Y0 i Y1 Besselove funkcije.40

No, ako je t rD eD< 0 25 2. , ležište se ponaša kao neograničeno, pa se za

100 0 25 2< <t rD eD. može primijeniti jednadžbu 42. Za t rD eD> 2 , beskonačna serija

eksponencijala i Besselovih funkcija postaje zanemariva, pa se tada jedn. 49

svodi na21

p rD eD≅ ln . (51)

Tablični prikaz egzaktnih rješenja dan je u literaturi,21 a njihov grafički

prikaz dan je na slici 14.

tD

pD

0.00E+ 00

1.00E+ 00

2.00E+ 00

3.00E+ 00

4.00E+ 00

5.00E+ 00

6.00E+ 00

7.00E+ 00

8.00E+ 00

9.00E+ 00

1.00E-02 1.00E-01 1.00E+ 00 1.00E+ 01 1.00E+ 02 1.00E+ 03 1.00E+ 04 1.00E+ 05 1.00E+ 06 1.00E+ 07 1.00E+ 08

reD= 1.52

2.533.54

68

1015

202530

4060

80100

200300

400600

10001400

20003000

Slika 14. Tipske krivulje za ograničeni radijalni sustav, konstantnog

tlaka na vanjskoj granici i konstantnog protoka na unutarnjoj granici.

2.2.1.4. Prijelazni, polustacionarni i stacionarni protok

Kao što vidimo, rješenja za tri prethodna hipotetska slučaja, u pojedinim

fazama, primjenjiva su na jednu te istu bušotinu. Naime, u ranoj fazi

proizvodnje tlak se uvijek ponaša kao u neograničenom ležištu. Taj period se

zove prijelazni ili transient period, a može ga se opisati jednadžbom 40,

odnosno jednadžbom 42. U kasnijoj fazi, kad su dosegnute granice ležišta,

35

35

ponašanje tlaka počinje odstupati od ponašanja neograničenog ležišta. Ako

se radi o ležištu sa zatvorenom vanjskom granicom, nakon t rD eD= 0 25 2. ,

primjenjiva je jednadžba 47, kada pad tlaka postaje linearna funkcija

vremena. Diferenciranjem dimenzionalnog oblika jednadžbe 47 slijedi

∂∂ π φpt

qBr h c

wf

e t

= − 2 , (52)

odnosno

∂∂pt

qBV c

wf

p t

= − , (53)

gdje je Vp obujam pornog prostora. Dakle, promjena tlaka u jedinici

vremena inverzno je proporcionalna obujmu fluida u pornom prostoru.

Ovakvo stanje se obično naziva polustacionarnim ili semi-steady state.

Prema načelu materijalnog uravnoteženja, promjena tlaka u ležištu

( )ppi − , prouzročena crpljenjem određenog obujma fluida ( )qBt , dana je

izrazom

p p t qBtr h cie t

− =( )π φ2 , (54)

gdje je ( )tp srednji ležišni tlak u vremenu t . Uvrštavanjem jednadžbe

54 u jednadžbu 47 slijedi

−=−

43ln

2)()( eDwf r

khqBtptpπ

µ . (55)

Dakle, razlika između srednjeg ležišnog tlaka i dinamičkog tlaka na

unutarnjoj granici ležišta je konstantna za vrijeme polustacionarnog stanja.

U slučaju konstantnog tlaka na vanjskoj granici ležišta, umjesto

polustacionarnog, uslijedit će stacionarno stanje. Budući se to može dogoditi

tek u kasnoj fazi, može se primijeniti jednostavan oblik jednadžbe 49, tj.

jednadžbu 51.

36

36

U svim dosadašnjim rješenjima pretpostavljalo se koncentrično

smještenu bušotinu u cilindričnom ležištu. Općenitiji oblik jednadžbe za tlak u

bušotini u polustacionarnim uvjetima glasi:

+

+−= s

rCA

khqBtptp

wAwf 80907.0ln

21

2)()( 2π

µ , (56)

gdje je A površina crpljenja, a CA faktor dan u tablicama za različite

oblike površine i raspored bušotina.22 Za cilindričan oblik s bušotinom u

središtu ovaj faktor iznosi 31.62.

U istim tablicama dana su i odgovarajuća bezdimenzionalna vremena

trajanja pojedinih stanja protoka, s tim da je bezdimenzionalno vrijeme

definirano površinom, a ne radijusom

t ktc ADAt

=φµ

, (57)

što za spomenuti cilindričan oblik daje odnos

t r tD eD DA= π 2 . (57a)

2.2.2. Modeli s konstantnim tlakom na unutarnjoj granici ležišta

2.2.2.1. Neograničeno ležište

Za slučaj konstantnog tlaka na unutarnjoj granici ležišta, prikladna

definicija bezdimenzionalnog pada tlaka bit će različita od one za slučaj

konstantnog protoka. Definira li se, dakle, bezdimenzionalni pad tlak kao

p p pp pDi

i wf

= −−

, (58)

bezdimenzionalni oblik jednadžbe difuzije bit će dan jednadžbom 39, a

početni i rubni uvjeti bit će definirani kako slijedi:

37

37

p t rD D D= = ≤ ∞0 0 0, , < ,

p r tD D D→ → ∞0 0, , > ,

p tD r DD = =1 1 0, > .

Dakle, početni i prvi rubni uvjet isti su kao i za slučaj konstantnog

protoka, dok drugi rubni uvjet definira konstantan tlak na unutarnjoj granici

ležišta. Prema d'Arcyevom zakonu (jedn. 23) trenutni protok na unutarnjoj

granici ležišta dan je jednadžbom

q t r hB

k pr

w

rw

( ) = − 2πµ

∂∂

, (59)

a kumulativna proizvodnja, do vremena t , integralom

∫=t

qdttQ0

)( . (60)

Adekvatnom definicijom bezdimenzionalnog protoka, qD , on postaje

funkcija bezdimenzionalnog tlaka, pD , koji pak predstavlja rješenje jednadžbe

difuzije (jedn. 39). Stoga, definira li se bezdimenzionalni protok kao

( )wfiD ppkh

Btqq−

=π

µ2

)( , (61)

uvrštavanjem jednadžbe 59, a zatim i jednadžbe 58 u jednadžbu 61,

slijedi

q prDD

D rD

==

∂∂ 1

. (62)

Iako je u slučaju konstantnog tlaka uobičajeno izračunavati kumulativnu

proizvodnju,20 u literaturi22,99 su dana parcijalna rješenja i za trenutni protok,

koja su objedinjena u tipskim krivuljama danim u prilogu (prilog 4a). Za

tD > 5 103⋅ rješenje recipročne vrijednosti bezdimenzionalnog protoka, 1 qD ,

može se aproksimirati vrijednošću bezdimenzionalnog pada tlaka, pD , za

slučaj konstantnog protoka (jedn. 42, tj. ( )80907.0ln21

)(1 += DDD

ttq

), uz

pogrešku od 2% (za tD > 8 104⋅ pogreška je 1%, a za tD > 5 1011⋅ 0.1%).22 Za

tD < 1 10 2⋅ − može se koristiti približno analitičko rješenje 1 q t tD D D( ) = π .20

38

38

Analogno stvarnoj kumulativnoj proizvodnji (jedn. 60),

bezdimenzionalnu kumulativnu proizvodnju se može jednostavno definirati

kao

∫=Dt

DDD dtqQ0

. (63)

Uvrštavanjem jednadžbi 61 i 37 u jednadžbu 63, te izvlačenjem

konstanti ispred integrala, slijedi

( ) ∫−=

t

wfiwtD qdt

pprchBQ

022 φπ

, (64)

odnosno, nakon uvrštavanja jednadžbe 60, konačno

( )wfiwtD pprch

QBQ−

= 22 φπ. (65)

Dakle, analogno slučaju konstantnog protoka, stvarnu kumulativnu

proizvodnju, Q, može se odrediti preko bezdimenzionalne kumulativne

proizvodnje, QD, koja predstavlja rješenje jednadžbe difuzije (jedn. 39) uz

naprijed definirane početne i rubne uvjete.

Egzaktno rješenje Van Everdingena i Hursta glasi20

( )( ) ( )[ ]∫

∞ −

+−=

020

20

32

2

14)(uYuJu

duetQDtu

DD π, (66)

no za tD ≥ 200 , rješenje se može aproksimirati kao

Q t ttD D

D

D

( ) . .ln

= − +4 29881 2 02566 , (67)

što je za praktične svrhe zadovoljavajuće. Za tD < 0 01. , približno rješenje

je

Q t tD D

D( ) = 2π

, (68)

dok se za ostale vrijednosti tD , odgovarajući QD može naći u

tablicama20, čiji je grafički prikaz dan na slici 15.

39

39

tD

QD

1.00E-011.00E+ 001.00E+ 011.00E+ 021.00E+ 031.00E+ 041.00E+ 051.00E+ 061.00E+ 071.00E+ 081.00E+ 091.00E+ 101.00E+ 111.00E+ 12

1.00E-02 1.00E+ 00 1.00E+ 02 1.00E+ 04 1.00E+ 06 1.00E+ 08 1.00E+ 10 1.00E+ 12 1.00E+ 14


tlaka na unutarnjoj granici.

Kao i u slučaju konstantnog protoka, za plin su bezdimenzionalne

varijable definirane drukčije nego za naftu. Ovisno o tomu da li se koristi

aproksimativno rješenje ili funkcija pseudo-tlaka, bezdimenzionalni pad tlaka

je definiran jednadžbom 58 ili kao

p m p m pm p m pD

i

i wf

= −−

( ) ( )( ) ( )

, (58b)

dok je bezdimenzionalni protok definiran kao

( )220

0

wfiD ppkhT

ZqTpq−

=π

µ , (61a)

odnosno, kao

q p qTT kh m p m pD

i wf

=−

0

0π ( ) ( ), (61b)

te bezdimenzionalna kumulativna proizvodnja kao

( )2220

0

wfiwtD pprchT

QTZpQ−

=φπ

, (65a)

odnosno, kao

Q p QTT h c r m p m pD

t i w i wf

=−

0

02π φ µ( ) ( ) ( )

. (65b)

40

40

2.2.2.2. Ograničeno ležište sa zatvorenom vanjskom granicom

Početni i jedan od rubnih uvjeta definirani su kao i u slučaju

neograničenog ležišta:

p t rD D D= = ≤ ∞0 0 0, , < ,

p tD r DD = =1 1 0, > .

Drugi rubni uvjet definira ležište kao ograničeno: ∂∂pr

tD

D rD

eD

= 0 0, > .

Rješenja jednadžbe difuzije za bezdimenzionalni protok u funkciji

bezdimenzionalnog vremena i bezdimenzionalnog radijusa crpljenja,

q t rD D eD( , ) , dana su u obliku tipskih krivulja u prilogu (prilog 4a),21 dok je

približno analitičko rješenje za t rD eD≥ 0 25 2. dano kao100,101

( ) ( )( )

−−

−=15.0ln

2exp5.0ln)(

12eDeD

DeD

DD rrtr

tq. (69a)

Egzaktno rješenje jednadžbe difuzije za bezdimenzionalnu kumulativnu

proizvodnju glasi20

( )( ) ( )[ ]∑

∞

=

−

−−−=

121

20

21

2 2

221)(

n eDnnn

eDnt

eDDD rJJ

rJertQDn

ααααα

, (69b)

gdje je αn rješenje jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( ) 00101 =− neDnneDn JrYYrJ αααα , (70)

a J J Y Y0 1 0 1, , , , Besselove funkcije.40 Za svaki reD postoji određeni tD , kad

beskonačna serija eksponencijala i Besselovih funkcija postaje zanemariva,

pa se QD približava svojoj maksimalnoj vrijednosti

Q rD

eDmax = −2 1

2. (71)

Za t rD eD< 0 25 2. , ležište se ponaša kao neograničeno, pa se može

primijeniti jednadžbe 67 i 68, odnosno tablice za neograničeno ležište. Za

41

41

ostale vrijednosti tD , za 1 5 1 106. ≤ ≤ ×reD , rješenja su dana u tablicama,21 a

njihov grafički prikaz dan je na slici 16.

tD

QD

1.00E-011.00E+ 001.00E+ 011.00E+ 021.00E+ 031.00E+ 041.00E+ 051.00E+ 061.00E+ 071.00E+ 081.00E+ 091.00E+ 101.00E+ 111.00E+ 12

1.00E-02 1.00E+ 00 1.00E+ 02 1.00E+ 04 1.00E+ 06 1.00E+ 08 1.00E+ 10 1.00E+ 12 1.00E+ 14

reD= 1.52 2.53 4 5 6 810

2050

100200

5001000

20004000

1000025000

100000250000


vanjskom granicom, konstantnog tlaka na unutarnjoj granici

42

42

2.3. PROTOK KROZ PUKOTINU - DVODIMENZIONALNI LINEARNI PROTOK

Idealizirani primjer frakturirane bušotine prikazan je na slici 17. Dakle,

radi se o izotropnom, homogenom, horizontalnom, vertikalno ograničenom, a

lateralno neograničenom ležištu, koje sadrži neznatno stlačiv fluid konstantne

stlačivosti c i viskoznosti µ . Porozni medij ima propusnost k , šupljikavost φ ,

debljinu h i početni ležišni tlak pi . Bušotinu presijeca simetrična, potpuno

penetrirajuća vertikalna pukotina (tj. h hf = ), poluduljine x f , širine w,

propusnosti k f , šupljikavosti φ f i ukupne stlačivosti cft . Svojstva ležišta i

pukotine su neovisna o tlaku, a protok u cijelom sustavu podliježe

d'Arcyevom zakonu. Gradijenti tlaka su mali, gravitacijski efekti zanemarivi, a

fluid utječe u bušotinu samo kroz pukotinu. Uz ove pretpostavke, protok fluida

može biti opisan jednadžbom difuzije u dvije dimenzije, s tim da se sustav

podijeli u dva protočna područja - pukotinu i ležište.23

rp

r w

i

k

hNEPROPUSNEGRANICE

p wfh f

w

x f

PUKOTINAk f

Slika 17. Neograničeno ležište, presječeno vertikalnom pukotinom, s

bušotinom u središtu.

43

43

Pukotinu se može predstaviti trodimenzionalnim linearnim modelom (Sl.

9) u kojem nema protoka u smjeru osi z (ρ ρv vz z= =0 0,∆ ), a dimenzije

modela su promijenjene tako da je ∆ ∆y w z h= =, . Takav, dvodimenzionalni

protok prikazan je na slici 18, gdje je bušotina predstavljena plohom, površine

wh .

x

y

x=0x=-x x=xf

f

BUŠOTINA

w

ρvy

ρvx

(x,t)

(x,t)

Slika 18. Model protjecanja fluida kroz pukotinu.

Analogno trodimenzionalnom modelu, neto maseni protok fluida u

segmentu ∆x , u smjeru osi x sada je jednak ( )xvwh ρ∆ . Maseni utok fluida u

pukotinu u smjeru osi y odvija se kroz dvije stijenke pukotine, ukupne

površine 2∆xh , brzinom vy , dok je izlaz jednak ništici, pa je neto maseni

protok jednak 2∆xh vyρ . Stoga, analogno trodimenzionalnom linearnom

protoku, jednadžba kontinuiteta za dvodimenzionalni linearni protok, odnosno

protok kroz pukotinu, glasi: ( )[ ] [ ]

tfttfyx xwhvxhvwht ρφρφρρ −∆=∆+∆∆−∆+

2 . (72)

Dijeljenjem jednadžbe 72 s ∆ ∆t xwh slijedi

∆

∆∆

∆ρ ρ φ ρvx

vw t

x y fb g d i+ = −2

, (73)

a budući ∆ ∆x t→ →0 0, , konačni oblik jednadžbe kontinuiteta za protok

kroz pukotinu glasi

( ) ( )ρφ∂∂ρ

ρ∂∂

fy

x twv

vx

−=+2

. (74)

Prema d'Arcyevom zakonu, brzina protjecanja kroz pukotinu dana je

relacijom

44

44

vk p

xxf f= −

µ∂∂

, (75)

gdje se pf odnosi na tlak u pukotini. Uvođenjem jednadžbe 5 i 75 u

jednadžbu 74, te uvažavajući jednadžbe 11-13 i pretpostavke o maloj

stlačivosti fluida i malom gradijentu tlaka, dolazimo do jednadžbe difuzije za

protok kroz pukotinu, koja glasi

∂∂

∂∂

φ µ ∂∂

2

2

2px

kwk

py

ck

pt

f

f

f ft

f

f+ = . (76)

Definira li se bezdimenzionalni pad tlaka u pukotini kao

( )

µπqB

ppkhp fifD

−=2

, (77)

bezdimenzionalni pad tlaka u ležištu kao

( )µ

πqB

ppkhp irD

−= 2 , (78)

bezdimenzionalno vrijeme kao

t ktc xDxt f

f=

φµ 2 , (79)

bezdimenzionalnu vodljivost pukotine kao

Ck wkxfDf

f

= , (80)

bezdimenzionalnu hidrauličku difuzivnost kao

ηφ

φfDf t

f ft

k ck c

= , (81)

bezdimenzionalne udaljenosti u smjeru osi x (uzduž pukotine) i u

smjeru osi y (okomito na stijenke pukotine), kao

x xxDf

= , y yxDf

= , (82)

bezdimenzionalni oblik jednadžbe difuzije za protok kroz pukotinu glasi

∂∂

∂∂ η

∂∂

2

20

2 1px C

py

pt

fD

D fD

rD

D y fD

fD

DxD f

+ ==

. (83)

45

45

Protok fluida u ležištu može se opisati jednodimenzionalnim linearnim modelom, u kojem fluid teče brzinom ( )txvy , okomito na pukotinu,

predstavljenu plohom visine h i duljine 2x f (Sl. 19).

k, φ, ct

x

y

x xf f

PUKOTINA (PLOHA)ρ vy(x,t)

Slika 19. Jednodimenzionalni linearni model protjecanja fluida iz ležišta

u pukotinu.

Analogno trodimenzionalnom modelu, jednadžba kontinuiteta za

jednodimenzionalni linearni protok glasi ( ) [ ]

ttty yxhvxht φρφρρ −∆∆=∆∆∆−∆+

, (84)

odnosno

( ) ( )φρ∂∂ρ

∂∂

tv

y y −= , (85)

a jednadžba difuzije

∂∂

φµ ∂∂

2

2

py

ck

pt

t= . (86)

Uvođenjem bezdimenzionalnih varijabli definiranih u jednadžbama

78,79 i 82, slijedi bezdimenzionalni oblik jednadžbe difuzije za protok iz

ležišta u pukotinu ∂∂

∂∂

2

2

py

pt

rD

D

rD

Dx f

= . (87)

46

46

Dvije parcijalne diferencijalne jednadžbe (jedn. 83 i 87) međusobno su

povezane rubnim uvjetima, a ovisno o definiciji početnih i rubnih uvjeta

razvijeno je i nekoliko rješenja.

2.3.1. Model frakturirane bušotine s konstantnim protokom na unutarnjoj

granici ležišta

Za sustav frakturirane bušotine u neograničenom ležištu, koja proizvodi

konstantnim protokom, početni i rubni uvjeti za jednadžbu 83 definirani su

kako slijedi (u dimenzionalnoj i bezdimenzionalnoj formi): ( ) 10,0,0;0,0,, ≤≤==≤≤== DDxfDfif xtpxxtptxp

f,

∂∂

µ ∂∂

πpx

qBwk h

tpx C

tf

x f

fD

D x fDDx

D

f

= =

= − =0 02

0 0, ; ,> > ,

∂∂

∂∂

px

tpx

tf

x x

fD

D xDx

f D

f

= =

= =0 0 0 01

, ; ,> > .

Dakle, početni tlak u pukotini jednak je ležišnom tlaku, utok u bušotinu

odvija se samo kroz pukotinu ukupne površine 2wh , prema d'Arcyevom

zakonu, dok kroz vrh pukotine nema utoka u pukotinu.

Za jednadžbu 87 početni i rubni uvjeti definirani su također u

dimenzionalnoj i bezdimenzionalnoj formi: ( ) ∞==∞== <<<< DDxrDi ytpytptyp

f0,0,0;0,0,, ,

( ) 0,;0,0,,0

>>fD

DxfDyrDf tpptyptyp ====

,

( ) 0,,0;0,,, >>fDxDrDi typtyptyp ∞→→∞→→ .

Dvije jednadžbe difuzije, međusobno povezane rubnim uvjetom p p trD y fD Dx

D f= =0 0, > , riješene su semianalitički za tlak u pukotini, pfD ,

47

47

odnosno za tlak u bušotini, pwD , koji je jednak tlaku u pukotini kod xD = 0 .

Pritom je bezdimenzionalni pad tlaka u bušotini definiran kao

( )

µπ

qBppkh

p wfiwD

−=2

. (88)

Rješenja su dana tablično i grafički, u obliku tipskih krivulja23 (Sl. 20).

tDxf

pwD

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+ 00

1.00E+ 01

1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+ 00 1.00E+ 01 1.00E+ 02 1.00E+ 03

CfD=0.63

π 2π

10π 20π 100π

Slika 20. Tipske krivulje za frakturiranu bušotinu u neograničenom ležištu, s konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta.

Približna analitička rješenja moguća su za pojedine vremenske

segmente, koje karakterizira određeni oblik protjecanja.24 Takva su rješenja

korisna za verifikaciju numeričkih rješenja, a predstavljaju i osnovicu za

analizu pada tlaka u proizvodnom testu, odnosno za analizu porasta tlaka.

2.3.1.1. Linearni protok u pukotini

48

48

Za vrlo kratko vrijeme, u kojem je glavnina utoka u bušotinu posljedica

ekspanzije fluida u pukotini, ali protok još nije razvijen po čitavoj duljini

pukotine, pa ju se zbog toga može smatrati beskonačnom, rubni uvjet ∂∂px

tfD

D xDx

D

f

=

=1

0 0, > ,

može biti zamijenjen rubnim uvjetom p x tfD D Dx f

→ → ∞0 0, , > .

Shematski je ovakav protok prikazan na slici 21.

PUKOTINABUŠOTINA

Slika 21. Linearni protok u pukotini.

Približno rješenje za tlak u bušotini, za kratko vrijeme, tada glasi

p tC

twD DxfD

fD Dxf f( ) = 2 πη . (89)

Kao što jednadžba 89 indicira, log-log dijagram tlaka i vremena dat će

pravac nagiba jedne polovine. Također, dijagram tlaka u odnosu na drugi

korijen vremena daje pravac, čiji nagib ovisi o karakteristikama frakture.

Trajanje ovog protoka određeno je bezdimenzionalnim vremenom

tC

DxfD

fDf

<0 01 2

2

.η

. (90)

2.3.1.2. Bilinearni protok

49

49

Uz rubne uvjete definirane za linearni protok u pukotini, za dugo

vrijeme, ili uz prvotno definirane početne i rubne uvjete, za kratko vrijeme,

rješenje jednadžbi difuzije (jedn 83 i 87) glasi

( ) 41

452

)(ff Dx

fDDxwD t

Ctp

Γ= π , (91)

koje nakon uvrštavanja vrijednosti gama funkcije40 postaje

p tC

twD DxfD

Dxf f( ) .= 2 45 1

4 . (91a)

Dakle, analogno linearnom protoku, log-log dijagram tlaka i vremena dat

će pravac nagiba jedne četvrtine, a dijagram tlaka u odnosu na četvrti korijen vremena daje pravac nagiba 2 45. CfD . Trajanje ovog protoka određeno je

bezdimenzionalnim vremenom, koje je funkcija vodljivosti pukotine:

- za CfD ≥ 3

tCDxfD

f< 0 1

2

. , (92)

- za 1 6 3. ≤ CfD <

( ) 53.15.10205.0 −−fDDx Ctf< , (93)

- za CfD < 1 6.

4

5.255.4−

−

fDDx Ct

f< . (94)

Protok je nazvan bilinearnim jer se dva linearna protoka zbivaju

istodobno: linearni protok u pukotini i linearni protok u ležištu (Sl. 22).

PUKOTINABUŠOTINA

Slika 22. Bilinearni protok.

50

50

Takav oblik protoka postoji sve dok glavnina fluida, koji ulazi u bušotinu,

dolazi iz ležišta, a da efekt vrha pukotine (granice) još ne utječe na

ponašanje tlaka u bušotini.

2.3.1.3. Linearni protok u ležištu

Za duža bezdimenzionalna vremena, rješenje jednadžbi difuzije svodi

se na rješenje za pukotinu neograničene vodljivosti25 p t twD Dx Dxf f

( ) = π . (95)

Dakle, kao i kod linearnog protoka u pukotini, log-log dijagram tlaka i

vremena dat će pravac nagiba jedne polovine, a dijagram tlaka u odnosu na

drugi korijen vremena daje pravac nagiba π . Početak ovog protoka određen

je bezdimenzionalnim vremenom, koje je funkcija vodljivosti pukotine

tCDxfD

f= 1002 , (96)

a njegov kraj je kod26 tDx f = 0 016. , (97)

iz čega slijedi da će se ovaj oblik protoka razviti samo u visokovodljivim

pukotinama (CfD > 100). Fizikalno, ovakav protok znači jednoliki utok u

pukotinu po čitavoj njenoj duljini, a pad tlaka u pukotini je zanemariv (Sl. 23).

BUŠOTINA PUKOTINA

Slika 23. Linearni protok u ležištu.

51

51

2.3.1.4. Pseudolinearni protok

Rješenje jednadžbi difuzije za dugo vrijeme može se proširiti i na niže

vodljivosti pukotine, pa tada ono glasi27,28

p t tCwD Dx DxfD

f f( ) = +π π

3, (98)

gdje drugi član na desnoj strani jednadžbe predstavlja dodatni pad tlaka

zbog ograničene vodljivosti pukotine. Ovim rješenjem pomaknut je početak

linearnog protoka na

tCDxfD

f= 1

2 , (99)

čime je znatno smanjen "prijelazni period" između bilinearnog i

linearnog protoka. Asimptotskom ekspanzijom jednadžbe 98, uz pogrešku od

1%, moguće je eliminirati i preostali "prijelazni period",27 za koji se može

primijeniti slijedeća jednadžba:

fDfD

DxDxwD CC

ttp f

f

230.0501.2)(31

+

= . (100)

2.3.1.5. Pseudoradijalni protok

Tipske krivulje za frakturiranu bušotinu u neograničenom ležištu (Sl.

20), odnosno semianalitičko rješenje jednadžbi difuzije za frakturiranu

bušotinu u neograničenom ležištu (jedn. 83 i 87), prikazano u

polulogaritamskom koordinatnom sustavu, izgleda kao na slici 24.

52

52

tDxf

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

6.00E+00

1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03

0.2π

π 2π10π

Slika 24. Polulogaritamski prikaz tipskih krivulja za frakturiranu bušotinu

u neograničenom ležištu, s konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta.

Kao što se sa slike vidi, nakon određenog vremena (tDx f > 3) sve krivulje

prelaze u paralelne pravce, tj. pravce jednakog nagiba ali različitih odrezaka

na ordinati, koji su funkcija vodljivosti pukotine, što se može izraziti

slijedećom relacijom29

( )fDDxDxwD Cfttpff

+= ln21)( , (101)

onosno

( )fDDxDxwD Cfte

tpff

+= loglog21)( . (102)

Dakle, nagib pravca 12

1 151log

.e

= jednak je onom karakterističnom za

radijalni protok. Stoga, izjednačavanjem jednadžbe 101 s jednadžbom za

radijalni protok (jedn. 42), uključivši i skin faktor, slijedi

( ) 4048.0ln −=+ fDw

f Cfsrx

. (103)

Uvođenjem koncepta efektivnog radijusa bušotine, ′ = −r r ew ws , u

bezdimenzionalnoj formi,30 ′ = ′r r xwD w f/ , jednadžbu 103 se može pisati kao

( )fDwD Cfr −=′ 4048.0ln . (104)

53

53

Koristeći semianalitička rješenja bezdimenzionalnog tlaka za tDx f > 3, te

jednadžbe 101 i 104, konstruiran je dijagram (Sl. 25), koji omogućava

korištenje radijalnog modela za frakturiranu bušotinu.24 Naime, za određeni

CfD očita se odnos ′r xw f/ , te izračuna efektivni radijus bušotine, ′rw , a odatle

skin faktor

s rrw

w

=′

ln , (105)

koji će uvijek biti negativan. Tada je bezdimenzionalni tlak dan

jednadžbom za radijalni protok (jedn. 42), s tim da se umjesto stvarnog

radijusa bušotine koristi efektivni radijus ili se bezdimenzionalnom tlaku iz

jednadžbe 42 pribraja (negativni) skin faktor iz jednadžbe 105.

CfD

0.01

0.1

1

0.1 1 10 100 1000

rw'=0.25kfw/k

rw'=0.5xf

Slika 25. Odnos bezdimenzionalnog efektivnog radijusa bušotine i

bezdimenzionalne vodljivosti vertikalne pukotine.

Kao što se iz slike 25 vidi, za pukotine veće bezdimenzionalne

vodljivosti (CfD > 10), efektivni radijus bušotine asimptotski se približava

vrijednosti ′ =r xw f0 5. , dakle direktno je proporcionalan duljini pukotine. Za

niže vrijednosti bezdimenzionalne vodljivosti (CfD < 1), efektivni radijus se

približava vrijednosti ′ =rk wkwf0 25. , što znači da glavnu ulogu ima vodljivost

54

54

pukotine, a ne njena duljina. Prvi slučaj najčešće se odnosi na ležišta manje

propusnosti, dok je drugi slučaj najčešći kod propusnijih ležišta. Početak pseudoradijalnog protoka je kod tDx f = 2 5. za manje vodljivosti

pukotine, do tDx f = 5 za velike vodljivosti, no manje rigorozna granica je

tDx f = 1 5. , odnosno tDx f = 3. Daljnje ponašanje tlaka funkcija je

bezdimenzionalnog vremena temeljenog na efektivnom radijusu bušotine

t ktc rDrt w

w′=

′φµ 2 . (37b)

Ovisno o vrijednosti bezdimenzionalnog vremena, tlak može biti opisan

jednadžbom za neograničeno ležište (jedn. 42), ograničeno ležište (jedn. 47)

ili ležište sa stalnim tlakom na vanjskoj granici (jedn. 51).

Fizikalno, uspostava pseudoradijalnog protoka znači svršetak

transformacije pravokutnog drenažnog oblika (linearni protok), preko

eliptičnog ("prijelazni protok") u gotovo radijalni oblik (Sl. 26). Naime,

površina crpljenja frakturirane bušotine nikad ne postaje potpuno kružna, no

ona je dostatno blizu krugu, da ju se, za praktične svrhe, takvom može

smatrati. Točnije, jednadžbe izvedene za radijalni protok može se koristiti za

pseudoradijalni protok, uz zanemarivu pogrešku.

55

55

BUŠOTINA PUKOTINA

Slika 26. Pseudoradijalni protok.

2.3.2. Model frakturirane bušotine s konstantnim tlakom na unutarnjoj

granici ležišta

Prema Van Everdingenu i Hurstu,20,31 rješenja jednadžbi difuzije za

slučaj bušotine koja proizvodi pri konstantnom tlaku, moguće je dobiti iz

rješenja za slučaj bušotine koja proizvodi konstantnim protokom, preko

relacije

p qswD D = 12 , (106)

gdje su pwD i qD Laplaceove transformacije bezdimenzionalnog pada

tlaka, pwD , odnosno bezdimenzionalnog protoka, qD , a s varijabla

Laplaceove transformacije. Za linearni protok u pukotini, jednadžba

bezdimenzionalnog pada tlaka (jedn. 89) proizišla je iz njene Laplaceove

transformacije24

pC swD

fD

fD

=π η

3 2/ . (107)

56

56

Uvođenjem jednadžbe 107 u jedn. 106, slijedi Laplaceova

transformacija bezdimenzionalnog protoka

qC

sD

fD

fD

=π η

12

. (108)

Inverzijom Laplaceove transformacije slijedi

( ) 21

21)( −

Γ=

ff DxfD

fDDxD t

Ctq

ηπ, (109)

gdje je Γ( )x gama funkcija, pa nakon uvrštavanja njene vrijednosti u

gornju jednadžbu,40 konačno rješenje bezdimenzionalnog protoka glasi

q tC

tD DxfD

fDDxf f

( ) = −

π η312 . (110)

Radi usporedbe s numeričkim rješenjima i rezultirajućim tipskim

krivuljama,32,33,34 uobičajeno je bezdimenzionalni protok prikazivati u

recipročnom obliku, pa se tada jednadžbu 110 može pisati kao

1 1 3

q t Ct

D Dx fDfD Dx

f

f( )= π η . (111)

Laplaceova transformacija bezdimenzionalnog pada tlaka za vrijeme

bilinearnog protoka dana je kao24

pC s

wD

fD

= π2

54

. (112)

Uvrsti li se jednadžbu 112 u jedn. 106, slijedi Laplaceova transformacija

bezdimenzionalnog protoka

qC

sD

fD=234π

, (113)

čijom inverzijom slijedi

( ) 41

432

)( −

Γ=

ff DxfD

DxD tC

tqπ

. (114)

Isto rješenje publicirano je u literaturi, kao rezultat semianalitičkog

pristupa, te potvrđeno numeričkim rješenjem.35,36 Uvrštavanjem vrijednosti

57

57

gama funkcije u jednadžbu 114, slijedi konačno rješenje bezdimenzionalnog

protoka

q tC

tD DxfD

Dxf f( )

.= −

2 72214 , (115)

odnosno njegove recipročne vrijednosti

1 2 722 14

q t Ct

D Dx fDDx

f

f( ).= . (116)

Dok je trajanje linearnog protoka u pukotini, za slučaj konstantnog tlaka,

određeno istim bezdimenzionalnim vremenom kao i u slučaju konstantnog

protoka (jedn. 90), kod bilinearnog protoka granice su drukčije, no također

ovisne o bezdimenzionalnoj vodljivosti pukotine:37

- za CfD ≥ 5

tCDxfD

f< 6 94 10 2

2

. × −

, (117)

- za 0 5 2. ≤ ≤CfD

t CDx fDf< 1 58 10 3 16. .× − , (118)

- za CfD = 2 8.

tDx f < 2 2 10 2. × − . (119)

Za 2 5≤ ≤CfD može se logaritamski interpolirati između jednadžbi 117 i

119, odnosno između jednadžbi 118 i 119.


linearnog protoka u ležištu dana je kao24

ps

wD = π2

32

. (120)

Iz jednadžbi 106 i 120 slijedi Laplaceova transformacija


qs

D = 212π

, (121)


58

58

( ) 21

212)( −

Γ=

ff DxDxD ttqπ

, (122)

a nakon uvrštavanja vrijednosti gama funkcije, slijedi konačno rješenje


q t tD Dx Dxf f( ) = −2

32

12

π, (123)


1 12

3

q tt

D DxDx

f

f( )= π . (124)


pseudolinearnog protoka u ležištu dana je kao28

ps C swD

fD

= +π π2 33

2. (125)

Iz jednadžbi 106 i 125 slijedi Laplaceova transformacija


qC

C s sD

fD

fD

=+

6

3 212π π

, (126)


( ) ππ 2213

6)(

21

+Γ=

f

f

DxfD

fDDxD

tC

Ctq . (127)

Uvrštavanjem vrijednosti gama funkcije u jednadžbu 127, slijedi

konačno rješenje bezdimenzionalnog protoka

q tC

C tD Dx

fD

fD Dxf

f

( ) =+

6

3 23212π π

, (128)


1 12 3

3

q tt

CD DxDx

fDf

f( )= +π π . (129)

Analogno slučaju konstantnog protoka, asimptotskom ekspanzijom

dobivena je slijedeća jednadžba:27

fDfD

Dx

DxD CCt

tqf

f

1574.0024.3)(

1 31

+

= . (130)

59

59

Trajanje linearnog i pseudolinearnog protoka određeno je istim

bezdimenzionalnim vremenima kao i u slučaju konstantnog protoka.

Analogno jednadžbi 63 za radijalni protok, bezdimenzionalna

kumulativna proizvodnja dana je kao38,39

∫=fDx

f

t

DxDD dtqQ0

, (131)

gdje je QD definiran kao

( )wfiftD ppxch

QBQ−

= 22 φπ, (132)

za naftu, a za plin kao

( )2220

0

wfiftD ppxchT

QTZpQ−

=φπ

, (132a)

odnosno kao

Q p QTT h c x m p m pD

t i f i wf

=−

0

02π φ µ( ) ( ) ( )

. (132b)

Nakon uspostavljanja pseudoradijalnog protoka (tDx f > 3) može se

primijeniti rješenja za radijalni protok (jedn. 65-71, odnosno tipske krivulje na

slikama 15 i 16), s tim da se umjesto stvarnog radijusa bušotine, rw , koristi

efektivni radijus, ′rw , određen pomoću dijagrama na slici 25.

Numeričko rješenje, u obliku tipskih krivulja, dano je na slici 27 za

recipročnu vrijednost bezdimenzionalnog protoka,34 te na slici 28 za

bezdimenzionalnu kumulativnu proizvodnju.39

60

60

1/qD

tDxf

NAFTA: qD-jedn.61

PLIN: qD-jedn.61a

ili: qD-jedn.61b

tDxf - jedn. 79

CfD-jedn.80

CfD


ležištu, konstantnog tlaka na unutarnjoj granici ležišta.34

61

61

NAFTA: QD - jedn. 132

PLIN: QD - jedn. 132a ili 132bCfD-jedn.80

tDxf - jedn. 79

FCD=CfD

tDxf

QD

xf/xe

Slika 28. Tipske krivulje za frakturiranu bušotinu u ograničenom ležištu,

konstantnog tlaka na unutarnjoj granici ležišta.39

2.3.3. Odstupanja od modela

Kao što će se vidjeti u slijedećem poglavlju, neke pretpostavke na

kojima se temelje rješenja bezdimenzionalnog tlaka i protoka ne odgovaraju

stvarnosti. Također, kako je u prvom poglavlju rečeno, slabo propusna ležišta

nisu homogena i izotropna. Takva odstupanja od modela obrađena su u

literaturi,27,29,31,32,35,36,37,41,42,43 a najvažnija su ukratko dana u nastavku.

U slučaju kad je visina pukotine veća od debljine ležišta (h hf > )

primjenjiva su rješenja dana za idealizirani model, ako se stvarnu

bezdimenzionalnu vodljivost pukotine, CfD , zamijeni prividnom, ′CfD ,

definiranom kao37

′ =C ChhfD fDf . (133)

Za razliku od modela, širina pukotine nije konstantna, već je funkcija

duljine i visine pukotine. Kako i propusnost pukotine može varirati i po duljini i

po visini pukotine, možemo govoriti o promjenljivoj vodljivosti pukotine. U

62

62

slučaju kad se vodljivost pukotine, k wf , jednoliko smanjuje od bušotine

prema vrhu pukotine, rješenja za bilinearni i linearni protok su primjenjiva,

ako se koristi prosječnu bezdimenzionalnu vodljivost, CfD , definiranu kao31

∫∑ ===

f

ii

x

f

f

f

n

ifDDfD dx

kxwk

xCxC

01

1 , (134)

gdje je

xxDi

fi

= l , (135)

( )

f

iffD kx

wkC

i= , (136)

za i n= 1 2, ,... , gdje je n ukupan broj uzdužnih segmenata pukotine, l i

duljina i -tog segmenta, te ( )k wf i njegova vodljivost.

Ako istodobno razmatramo vertikalne i horizontalne promjene vodljivosti

pukotine, prosječna bezdimenzionalna vodljivost je definirana kao37

∑∑= =

=n

i

k

jfijfD

fffD jij

hCxh

C1 1

1l , (137)

gdje hf j označava visinu sloja j pukotine, ijl duljinu segmenta i u sloju

pukotine j , te CfDij njegovu bezdimenzionalnu vodljivost (analogno jedn.

136).

Za višeslojna ležišta, gdje slojevi međusobno komuniciraju samo kroz

pukotinu, propusnost i umnožak šupljikavosti i ukupne stlačivosti moraju

predstavljati srednje vrijednosti ponderirane debljinom sloja, definirane kao32

kh

k hj jj

n

==∑11

, (138)

odnosno

φ φch

c ht j t jj

n

j=

=∑11

, (139)

za j n= 1 2, ,... , gdje je n ukupan broj slojeva, hj debljina sloja j , a k j , φ j

i ct j predstavljaju propusnost, šupljikavost, odnosno ukupnu stlačivost tog

sloja. No, da bi se moglo koristiti rješenja razvijena za jednoslojna ležišta,

63

63

bezdimenzionalno vrijeme, tDx f , treba zamijeniti izrazom t CDx RDf

2 , gdje je CRD

bezdimenzionalna vodljivost ležišta, definirana kao

Ck hk hRDj j

jj

n

==∑ η

η1

. (140)

U jednadžbi 140 η predstavlja srednju hidrauličku difuzivnost, tj.

η φ µ= k ct( ), a η j hidrauličku difuzivnost sloja j .

U slučaju da slojevi međusobno ne komuniciraju niti kroz pukotinu,

dakle radi se o odvojenim pukotinama, koje su još i nejednake duljine,

rješenja za jednoslojno ležište primjenjiva su ako se koristi ekvivalentnu

duljinu pukotine, x f , i ekvivalentnu vodljivost, k wf , definirane kao41

x C xf RD fj

n

j j=

=∑1

, (141)

odnosno

2

1

1

= ∑

=

n

jRDjjff jjChwk

hwk . (142)

64

POGLAVLJE 3

TEORIJA HIDRAULIČKOG FRAKTURIRANJA

Jedan od najvažnijih parametara, koji utječu na geometriju, orijentaciju

(vertikalno/horizontalno) i azimut hidraulički stvorene pukotine, jest in-situ

naprezanje (napon), kako u ležišnim tako i u pokrovnim i podinskim

stijenama. Opće stanje naprezanja u podzemlju određeno je s tri glavne,

međusobno okomite i nejednake komponente, σ σ σx y z, , (Sl. 29).46,47

Vertikalna pukotinaokomita na najmanje

naprezanje

Vertikalna pukotinaHorizontalna pukotina -

ograni~ena ve}im- vertikalno naprezanje

naprezanjima umanje od lateralnog

pokrovnim ipodinskim stijenama

DULJINA PROPORCIONALNA NAPREZANJUσ

σ

σ

z

y

x

σσ

σ

z

y

x

Slika 29. Utjecaj in-situ naprezanja na orijentaciju i protezanje

hidraulički stvorene pukotine.

Vertikalna komponenta, σ z , predstavlja geostatički tlak, koji se može

izračunati integriranjem obujamske mase pokrovnih stijena od površine

Zemlje do dubine ležišne stijene, tj.

65

65

∫=H

z gdhh0

)(ρσ . (143)

Tipične vrijednosti vertikalnog naprezanja u sedimentnim bazenima

kreću se u području 23 do 25 kPa/m. Pretpostavljajući linearnu elastičnost

ležišnih stijena, horizontalne komponente naprezanja, σ σx y, , određene su

jednadžbama

( )xEzx pp σσ

ννσ ++−

−=1

, (144)

( )yEzy pp σσ

ννσ ++−

−=1

, (145)

gdje je ν Poissonov koeficijent, p ležišni (porni) tlak, a σE naprezanje

prouzročeno vanjskim utjecajima, kao što su tektonski poremećaji, termalni

efekti itd. Upravo zahvaljujući naprezanju prouzročenom vanjskim silama,

dvije horizontalne komponente naprezanja nisu jednake, no njih je nemoguće

izračunati. Međutim, injekcijskim pokusom moguće je izmjeriti najmanju

komponentu, pa tako izmjereno naprezanje predstavlja najmanje glavno

naprezanje, koje može biti orijentirano u bilo kojem od tri spomenuta smjera.

No, prema iskustvu,47 na dubinama većim od 300-600 m, najmanje glavno

naprezanje uvijek predstavlja jednu od horizontalnih komponenti.

Naime, slijedeći "liniju manjeg otpora", hidraulički stvorena pukotina

uvijek će se usmjeriti okomito na najmanje glavno naprezanje, dakle u smjeru

koji zahtijeva najmanji utrošak energije. Stoga, ako je najmanje glavno

naprezanje jedna od horizontalnih komponenti, rezultirajuća hidraulički

stvorena pukotina bit će u vertikalnoj ravnini, a tlak utiskivanja bit će manji od

geostatičkog tlaka, σ z (Sl. 29). Ukoliko je pak najmanja komponenta σ z ,

pukotina će nastati u horizontalnoj ravnini a tlak utiskivanja bit će jednak ili

veći od geostatičkog. Kako je ovo moguće samo u plitkim bušotinama ili pak

u područjima s vrlo aktivnom tektonskom kompresijom, takvi slučajevi

predstavljaju iznimke, pa se u pravilu i u literaturi i u industriji tretira

66

66

vertikalnu pukotinu. Stoga će se sva daljnja razmatranja odnositi isključivo na

vertikalnu pukotinu, bez obzira na njen azimut.

Iz jednadžbi 144 i 145 slijedi da je veličina horizontalnog naprezanja

funkcija mehaničkih svojstava ležišnih stijena, iskazanih preko Poissonovog

koeficijenta. Stoga će u različitim horizontima ležišnih, pokrovnih i podinskih

stijena vladati i različita horizontalna naprezanja (Sl. 29), koja će imati

dominantnu ulogu u ograničavanju vertikalnog napredovanja vertikalne

pukotine. Dakle, mehanika stijena ima ključnu ulogu u matematičkom

modeliranju procesa hidrauličkog frakturiranja.

3.1. TEMELJNA NAČELA MEHANIKE STIJENA

Pretpostavka da se stijena ponaša kao linearno elastičan materijal

omogućuje značajno pojednostavljenje teorije elastičnosti, tako da su mnogi

problemi procesa hidrauličkog frakturiranja matematički obradivi i imaju

analitička rješenja. Kao što će se kasnije vidjeti, ova rješenja su bila presudna

za razvijanje teorije hidrauličkog frakturiranja. Sama pretpostavka o linearnoj

elastičnosti stijena izgleda opravdanom u uvjetima velikih in-situ naprezanja,

u usporedbi s kojima su naprezanja prouzročena hidrauličkim frakturiranjem

relativno mala.47

Temeljna pretpostavka teorije o linearnoj elastičnosti jest da su

komponente naprezanja linearna funkcija komponenti deformacije, što je

izraženo relacijama ( ) zyxx G λελεελσ +++= 2 , (146a)

( ) zyxy G λεελλεσ +++= 2 , (146b)

67

67

( ) zyxz G ελλελεσ 2+++= , (146c)

gdje su λ i G poznati kao Laméovi parametri. Jednadžbe su izražene u

takvoj formi da jedan parametar, λ + 2G , određuje odnos naprezanja i

deformacije u istom smjeru, a drugi parametar, λ , daje odnos naprezanja i

deformacije u druga dva ortogonalna smjera. Parametar G je poznat i kao

modul smicanja, no λ se rijetko koristi, već se koriste druga dva parametra

(Youngov modul elastičnosti i Poissonov koeficijent ili omjer), koji mogu biti

određeni eksperimentalno.

Youngov modul, E , definiran je kao odnos naprezanja, σx , i

deformacije, ε x , za jednoaksijalno naprezanje, tj. kada je σ σy z konst= = ., a

tada iz jednadžbi 146 slijedi

( )GGGE

x

x

++==

λλ

εσ 23 . (147)

Vrijednost Youngovog modula određuje se laboratorijskim pokusom

triaksijalne kompresije cilindričnog uzorka stijene, tako da se na plašt cilindra

(radijalno) djeluje konstantnim hidrauličkim tlakom, σr , dok se istodobno

uzorak opterećuje aksijalno silom F , na površinu A, mjereći pomak

(skraćenje) ∆l , odnosno deformaciju uzorka ε = ∆l l , za različite vrijednosti

aksijalnog naprezanja σ = F A (Sl. 30). Tada je vrijednost modula elastičnosti

određena kao

E = ∆∆

σε

. (148)

68

68

F

l

∆ l

d 1d 2

Originalnageometrija

Deformiranageometrija

A

Slika 30. Shematski prikaz pokusa triaksijalne kompresije cilindričnog

uzorka stijene.

Poissonov koeficijent, ν , definiran je kao omjer lateralne ekspanzije,

ε εy z= , i longitudinalne kontrakcije, ε x , pri jednoaksijalnom naprezanju, pa iz

jednadžbe 146 slijedi

( )G+=

λλν

2. (149)

Vrijednost Poissonovog koeficijenta određuje se istim laboratorijskim

pokusom kao i Youngov modul, s tim da se uz aksijalnu deformaciju, ε = ∆l l ,

mjeri i radijalna deformacija, ( ) 121 dddr −=ε (Sl. 30), te računa prema relaciji

ν εε

= −∆∆

r , (150)

gdje negativan predznak, prema konvenciji, označava ekspanziju.

Iz jednadžbi 147 i 149 slijede relacije između mjerenih parametara, E ,ν ,

i Laméovih parametara

( )( )νννλ211 −+

= E , (151)

( )ν+=

12EG . (152)

69

69

Osim ovih parametara u uporabi je i modul stlačivosti, K , koji je

definiran kao omjer hidrostatičkog tlaka i rezultirajuće obujamske deformacije,

dok se njegova recipročna vrijednost naziva stlačivost, c . Odnos modula

stlačivosti i ostalih parametara dan je kako slijedi:

K G= +λ 23

, (153)

( )ν213 −= EK . (154)

Osim pokusom triaksijalne kompresije, mehanička svojstva stijena može

se odrediti i akustičkim mjerenjima, ne samo u laboratoriju, nego i u

bušotinama. Naime, brzine širenja uzdužnog i poprečnog akustičkog vala, vc i

vs , određene su slijedećim relacijama:

( )( )ννν

ρ 2111

−+−= Evc , (155)

( )νρ +=

121Evs . (156)

Stoga se iz mjerenih akustičkih brzina Poissonov koeficijent može

izračunati kao

ν = −−

12

22 2

2 2

v vv vc s

c s

, (157)

a uz izmjerenu obujamsku masu stijene, ρ , preko jednadžbe 155 ili 156 i

Youngov modul, te pomoću jednadžbi 151, 152 i 154 i ostale parametre.

3.2. MEHANIKA PUKOTINE

Modeliranje hidrauličkog frakturiranja temelji se na pretpostavci

ravninskog (dvoosnog) stanja deformacije.45 To znači da će u linearno

elastičnim, neograničenim stijenama, u svim paralelnim ravninama

70

70

deformacija biti neovisna o susjednim ravninama. Konkretno, npr. svaka

horizontalna sekcija deformirat će se neovisno o drugoj, bez vertikalne

deformacije, tj. ε ε εxz yz zz= = = 0, a deformacije u horizontalnoj ravnini bit će

kako slijedi:

( )[ ]yyxxxx Eνσσννε −−+= 11 , (158a)

( )[ ]xxyyyy Eνσσννε −−+= 11 , (158b)

ε ν τxy xyE= +1 . (158c)

Ova pretpostavka je valjana u slučaju relativno debelih ležišta, odnosno

kada je duljina pukotine manja od njene visine. U suprotnom slučaju

pretpostavka o ravninskom stanju deformacije odnosi se na vertikalne

ravnine, okomite na ravninu pukotine.

Hidraulički stvorenu pukotinu u linearno elastičnom mediju može se

predstaviti elipsoidom, pa u uvjetima ravninske deformacije imamo problem

elipse s ekscentričnošću (omjer male i velike osi) koja teži ništici, odnosno

problem vrlo uske elipse. Za takav problem Griffith45,47 je još 1921. god.

definirao uvjet statičke ravnoteže

( )212

νπγ

−=∆

LEpc , (159)

gdje je ∆pc kritični, jednoliko raspoređen, diferencijalni tlak, γ

površinska energija stijene, a L duljina pukotine, odnosno veća poluos

elipse. Površinska energija, koju se može pripisati atomskim vezama u

materijalu, karakteristika je stijene i za tipične ležišne stijene njena vrijednost

iznosi 50-200 J/m2.

Između površinske energije i kritičnog intenziteta naprezanja u vrhu

pukotine (tzv. žilavosti pukotine - fracture taughness), KIc , čiju se vrijednost

može laboratorijski izmjeriti tzv. pokusom prstena, postoji jednostavan odnos

71

71

( )EKIc

21 22νπγ −= , (160)

pa jednadžba 159 poprima oblik

∆p KLcIc= . (161)

KIc predstavlja karakteristiku materijala, neovisnu o dimenzijama

pukotine, čija se vrijednost za tipične ležišne stijene kreće u granicama

0 5 1 0 1 2. .− ⋅MPa m . Stoga jednadžba 161 implicira da će jednoliko raspoređen

diferencijalni tlak od vrha pukotine do njenog centra rezultirati nestabilnom

pukotinom, čim se nadmaši određenu duljinu. Npr. za K MPa mIc = ⋅1 0 1 2. i

L m= 100 kritični diferencijalni tlak iznosi svega 0.1 MPa, što nije realno.

Stoga pretpostavka o jednolikom rasporedu tlaka, odnosno o potpunoj

eliptičnosti pukotine, nije prihvatljiva za pukotine većih dimenzija, o kakvima

je riječ kod hidrauličkog frakturiranja.

Prvu modifikaciju uvjeta ravnoteže učinili su Kristijanovič i Želtov,48

pretpostavivši da fluid nikad ne dotiče sam vrh pukotine, odnosno da

hidraulički tlak uvijek kasni za napredovanjem pukotine. Ovaj koncept je

unaprijeđen Barenblattovom49 teorijom o kohezijskim silama u samom vrhu

pukotine, koje nastoje pukotinu "glatko" zatvoriti, tako da njen oblik

djelomično odstupa od oblika elipse (Sl. 31).

p(x)

σ(χ)

σ(χ)

f=x/L

f=x/L

w(x)

LoL

+x-x

+y

-y

Odstupanje odelipti~nog oblika

72

72

Slika 31. Model hidraulički stvorene pukotine.

Za takve uvjete, England i Green47 su izveli jednadžbu širine pukotine između x L= − i x L= + (ili z hf= − 12 i z hf= + 12 ), koja je otvorena jednakim i

suprotnim, normalno raspoređenim tlakom fluida, p, na svakoj strani

pukotine, a kojemu se suprotstavlja simetrično raspoređeno in-situ

naprezanje, σH . Jednadžba glasi

( )

( )∫∫ −

∆

−

−=2

021

22

111

222

22)1(4)(f

Lx ffdffp

Lxf

dffGLxw

πν , (162)

gdje je ( ) ( ) ( )111 ffpfp Hσ−=∆ diferencijalni tlak između hidrauličkog

tlaka u pukotini, p, i komponente in-situ naprezanja u stijenama, okomite na

stijenke pukotine, σH . Drugim riječima, σH predstavlja najmanje horizontalno

naprezanje. Za slučaj jednolikog rasporeda tlaka u pukotini, točnije za

∆p konst= . uzduž čitave pukotine (2L ), jednadžba 162 svodi se na

( ) 2

112)(

−∆−=Lx

GpLxw ν , (163)

odnosno na

( )21)0()( Lxwxw −= , (164)

što znači da pukotina ima eliptičan oblik.

Na temelju jednadžbe 162, Geertsma i de Klerk50 razvili su primjenjivi

model, poznat pod imenom KGD (Kristijanovič-Geertsma-de Klerk model),

pretpostavljajući horizontalno ravninsko stanje deformacije. U takvim uvjetima

frakturirana zona će deformirati neovisno o pokrovnim i podinskim stijenama,

što znači slobodno klizanje između slojeva. Dakle, oblik pukotine ne ovisi o

njenoj vertikalnoj poziciji, zbog čega ni širina pukotine nije funkcija njene

visine, pa imamo pukotinu konstantne visine, pravokutnog uzdužnog presjeka

u vertikalnoj ravnini (Sl. 32). Ovakav model dobro opisuje slučaj kad je visina

pukotine veća od njene duljine.

73

73

Slika 32. Kristijanovič-Geertsma-de Klerkov model pukotine.

Ako u jednadžbi 162 x zamijenimo sa z , a 2L s hf , imamo slučaj

vertikalne ravninske deformacije, u ravnini okomitoj na smjer napredovanja

pukotine, što predstavlja osnovicu za PKN model, nazvan prema autorima

Perkinsu i Kernu51 te Nordgrenu.52 Takav je slučaj u vertikalno ograničenim

zonama, gdje je visina pukotine manja od njene duljine. Budući nema

vertikalnog protoka fluida tlak je jednoliko raspoređen po visini pukotine, pa

jednadžba 162 poprima oblik

74

74

( ) 2

211

)(

−

∆−=

f

f

hz

Gph

zwν

, (165)

odnosno ( )221)0()( fhzwzw −= , (166)

Dakle, vertikalni poprečni presjek pukotine ima eliptičan oblik a uzdužni

vertikalni presjek je pravokutan (Sl. 33).

Za slučaj radijalnog napredovanja pukotine, tj. kad vertikalnih barijera

uopće nema, pa je R L hf= = 2, Sneddon50,53 je izveo jednadžbu sličnu

jednadžbi 162, koja glasi

( )

( )∫∫ −

∆

−

−=2

21

22

1111

222

2)1(4)(f

RrRr w ffdffpf

Rrf

dfGRrw

πν , (162a)

Za jednoliko raspređen tlak gornja jednadžba se svodi na

( )Rr

GpRrw −∆−= 114)(

πν , (167)

odnosno na

w r w r R( ) ( )= −0 1 , (168)

što znači da poprečni presjek pukotine ima paraboličan oblik u

vertikalnoj i horizontalnoj ravnini.

75

75

Slika 33. Perkins-Kern-Nordgrenov model pukotine.

Primijeni li se Barenblattov rubni uvjet, tj.

∂∂wx x L=

=1

0, (169)

iz jednadžbe 162 slijedi47

LK

xLdxxpL

2)(

022

′=

−∆

∫ , (170)

gdje je ′K Barenblattov modul kohezije, definiran kao

76

76

( )21 νπγ−

=′ EK , (171)

a koji se prema kritičnom intenzitetu naprezanja odnosi kao

′ =K KIcπ2

. (172)

Za slučaj ∆p konst= ., iz jednadžbe 170 slijedi

∆p KL

= ′22π

, (173)

pa ako se za ′K uvrsti izraz iz jednadžbe 172, dobiva se jednadžbu

161, a to znači uvjet statičke ravnoteže definiran jednadžbom 159.

Međutim, prema Kristijanoviču i Želtovu48, raspored tlaka fluida u

pukotini koji udovoljava uvjetima ravnoteže, može biti aproksimiran s

p x p x Lf( ) ,= ≤ ≤0 0 ,

p x L x L( ) ,= ≤0 0 < ,

kada λ0 0= L L teži jedinici, gdje L0 predstavlja duljinu penetracije fluida

u pukotini. Za takav raspored tlaka, uz Barenblattov rubni uvjet (jedn. 169), iz

jednadžbe 162 slijedi

LK

xLdxxp

H

L

22)(0

022

′+=

−∫ σπ , (174)

odakle uvjet za penetraciju fluida, za KGD geometriju pukotine, koji glasi

+=

LpK

p f

Ic

f

Hσπλ2

sin0 , (175)

Treba napomenuti da u propusnim stijenama, u području između L0 i L ,

tlak može imati bilo koju vrijednost između ništice i ležišnog tlaka, što ovisi o

odnosu brzine punjenja novostvorenog prostora ležišnim fluidom i brzine

napredovanja pukotine.54 No, u praktičnim računima ovaj aspekt obično se

zanemaruje.

Primjenom Barenblattovog rubnog uvjeta na PKN geometriju pukotine

bit će određeni uvjeti za penetraciju pukotine u pokrovne i podinske stijene,

odnosno ležišta većih naprezanja. Ako σH1 i σH2

predstavljaju najmanja

77

77

horizontalna naprezanja u ležišnim, odnosno pokrovnim i podinskim

stijenama, h debljinu ležišne stijene, a hf visinu pukotine, uz uvjet

σ σH f Hp2 1

> > , te uz zanemarenje KIc, iz jednadžbi 162 i 169, slijedi

−−

−≅12

112

sinHH

Hf

f

phh

σσσπ . (176)

Mehanika pukotine, dakle, definira oblik pukotine kao funkciju tlaka

fluida u njoj. S druge strane, mehanika fluida definira raspored tlaka fluida u

pukotini poznatog oblika. Za protok nestlačivog fluida u pukotini konstantne

visine i promjenljive širine, analogno jednadžbi 74, jednadžba kontinuiteta

glasi

∂∂

∂∂

qxq A

t+ + =l 0, (177)

gdje je

q x t( , ) = obujamski protok fluida kroz poprečni presjek pukotine,

q x tl ( , ) = gubitak fluida kroz propusne stijenke pukotine (obujamski

protok) po jedinici duljine pukotine,

A x t( , ) = površina poprečnog presjeka pukotine.

Protok fluida, q , je u funkciji gradijenta tlaka uzduž pukotine, dok je ql

određen d'Arcyevim zakonom protjecanja fluida kroz porozni medij.

Jednadžbu kontinuiteta treba riješiti za tlak u pukotini, te širinu i duljinu

pukotine, a da istodobno bude udovoljeno uvjetima mehanike pukotine.

Rješenja su dana za svaki model ponaosob, pretpostavljajući, u prvoj

aproksimaciji, zanemarivi gubitak fluida, tj. ql = 0.

3.2.1. PKN model

Pretpostavke za PKN model su slijedeće (Sl. 33):51

1. Pukotina ima konstantnu visinu, hf , neovisnu o njenoj duljini, L .

78

78

2. Tlak fluida u pukotini, pf , konstantan je u vertikalnim poprečnim

presjecima, tj. presjecima okomitim na smjer napredovanja pukotine.

3. Stanje ravninske deformacije u ležišnim stijenama prevladava u

vertikalnim ravninama okomitim na smjer napredovanja pukotine. Dakle, u tim

ravninama, odnos visine pukotine, tlaka fluida i lokalne širine pukotine

definiran je jednadžbom 165, što znači da ti presjeci imaju eliptičan oblik, s

maksimalnom širinom u centru pukotine

( ) ( )

Gph

txw Hff σν −−=1

),( . (178)

4. Gradijent tlaka fluida u smjeru napredovanja pukotine, dakle u smjeru

osi x , određen je otporom protjecanja fluida u uskom kanalu, eliptičnog

poprečnog presjeka. Prema klasičnom rješenju (Hagen-Poiseuilleov zakon),

laminarni protok newtonskog viskoznog fluida određen je Fanningovim

faktorom trenja

f pL

dv

konsth= =∆2 2ρ

.Re

, (179)

gdje je ∆p L pad tlaka po jedinici duljine, dh hidraulički dijametar, ρ

obujamska masa fluida, v q A= srednja brzina protjecanja fluida, te

Re = ρ µv dh Reynoldsov broj, u kojem je µ viskoznost fluida. Za elipsu, čija

ekscentričnost teži ništici, konstanta u jednadžbi 179 iznosi 2 2π , a hidraulički

dijametar definiran je kao d wh = π 2, gdje je w manja os elipse. Stoga, za

elipsu veće osi hf i manje osi w, kad je h wf >> , iz jednadžbe 179 slijedi51,54

dpdx

vw

= 16 2

µ . (180)

Budući je površina poprečnog presjeka (površina elipse) određena kao

A wh f= π4

, (181)

nakon uvođenja izraza za srednju brzinu, te diferencijalnog tlaka,

jednadžba 180 glasi:

79

79

∂ σ

∂µ

π( )p

xq

w hf H

f

−= − 643 . (182)

5. Gubitak fluida iz pukotine u ležište je zanemariv, a zanemariv je i

utjecaj širenja pukotine na protok, pa je protok fluida uzduž pukotine

konstantan i jednak polovini ukupnog protoka, tj. q x t qi( , ) = 2 . Nakon

uvrštavanja izraza za širinu pukotine iz jednadžbe 178 u jednadžbu 182, te

integriranja, uz uvjet da je za x L= , pf H= σ , slijedi jednadžba diferencijalnog

tlaka kao funkcija udaljenosti od vrha pukotine

( )

41

43

3

12)(4),0(

−=−

f

iHf h

tLqGtpνπ

µσ , (183)

a njenim uvrštavanjem u jednadžbu 178, dobiva se rješenje maksimalne

širine pukotine u funkciji njene duljine

41

)(214),0(

−= tLqG

tw iµπ

ν . (184)

Dakle, oblik horizontalnog presjeka pukotine, odnosno maksimalna

širina pukotine u funkciji njene duljine, dana je kao

( ) 41)(1),0(),( tLxtwtxw −= , (185)

pa ukupni obujam pukotine (za dva kraka, tj. 2L ) iznosi

V L t h w t q tf f i= =25

0π ( ) ( , ) . (186)

Pomoću jednadžbi 186 i 184, može se iskazati širinu i duljinu pukotine u

funkciji vremena.

Pretpostavku o zanemarivom utjecaju širenja pukotine na protok

eliminirao je Nordgren,52 riješivši jednadžbu kontinuiteta (jedn. 177) uz uvjet

zanemarivog gubitka fluida, koju se tada može pisati kao

∂∂

π ∂∂

qx

h wx

f= −4

. (187)

Tada iz jednadžbi 178, 182 i 187, slijedi nelinearna parcijalna

diferencijalna jednadžba za w x t( , ) :

80

80

Gh

wx

wtf64 1

2 4

2( )−=

ν µ∂∂

∂∂

. (188)

Početni uvjet za gornju jednadžbu jest da je u početku pukotina

zatvorena, tj.

w x( , )0 0= ,

a rubni uvjeti su:

w x t x L t( , ) , ( )= ≥0 ,

q t qi( , )0 2= .

Kao što je već rečeno, ovdje qi znači ukupni utok fluida (protok, obrok

utiskivanja), koji se dijeli na dva kraka pukotine. Uz ove uvjete, analitička

rješenja duljine i širine pukotine u funkciji vremena glase:52

( )54

51

4

3

145.0)( t

hGqtL

f

i

−=

µν, (189)

( ) 51

512189.1),0( t

Ghqtw

f

i

−= µν . (190)

Eliminiranjem t , iz jednadžbi 189 i 190 slijedi rješenje širine pukotine u

funkciji duljine, koje se od onog danog u jednadžbi 184 razlikuje samo u

numeričkoj vrijednosti koeficijenta (3.65 umjesto 4).

Iz jednadžbi 178 i 190 slijedi izraz za diferencijalni tlak u ishodištu

pukotine, tj. kod stijenki bušotine

∆p t p t G w th

konst tf Hf

( , ) ( , ) ( , ) .0 01

0 1 5= − =−

=σν

, (191)

što znači da tlak u bušotini raste proprcionalno petom korijenu vremena

utiskivanja.

3.2.2. KGD model

81

81

Najvažnije pretpostavke od kojih polazi KGD model su slijedeće (Sl.

32):50

1. Visina pukotine, hf , konstantna je i neovisna o njenoj duljini, L .

2. Stanje ravninske deformacije postoji samo u horizontalnoj ravnini.

Stoga je širina pukotine, w, neovisna o njenoj visini, osim kroz rubni uvjet koji

definira konstantan utok fluida, q , u ishodištu pukotine, tj. kod stijenki

bušotine. Tada je širina pukotine funkcija omjera q hf , ali je ona konstantna u

vertikalnom smjeru, u skladu s mehanikom pukotine.

3. Gradijent tlaka fluida u smjeru napredovanja pukotine, određen je

otporom protjecanja fluida u uskom kanalu, pravokutnog poprečnog presjeka,

čija se širina mijenja u smjeru napredovanja pukotine, tj. u smjeru osi x .

Konstanta u jednadžbi za Fanningov faktor trenja (jedn. 179), za glatke

paralelne plohe, iznosi 24, a hidraulički promjer pravokutnog presjeka, širine

w i visine hf , kad je h wf >> , definiran je kao d wh = 2 .54 Stoga, iz jednadžbe

179 slijedi jednadžba za laminarni protok newtonskog viskoznog fluida

između dviju paralelnih ploha55

dpdx

vw

= 12 2

µ , (192)

odakle, nakon integriranja za konstantan protok, pad tlaka uzduž

pukotine promjenljive širine

∫=−x

txf wdx

hqtxptp0

3),(

12),(),0( µ . (193)

Barenblattov uvjet ravnoteže za penetraciju fluida, λ0 , definiran

jednadžbom 175, može se aproksimirati (uz zanemarenje KIc ) izrazom50

p pf H f− ≅ −σπ

λ λ2 10 02 , (194)

pa tada, iz jednadžbe 162, slijedi maksimalna širina pukotine, tj. širina u

njenom ishodištu

w tG

p L tf( , ) ( ) ( )0 4 1 10 02≅ − −ν

πλ λ , (195)

82

82

dok, iz jednadžbe 193, slijedi aproksimacija za tlak u ishodištu pukotine,

dakle u bušotini

p t p qLh w

ff t

( , )( , )

0 2110

302

= ≅−

µλ

. (196)

Uvrštavanjem jednadžbe 196 u jednadžbu 195, te znajući da je q qi= 2,

analitičko rješenje maksimalne širine pukotine u funkciji njene duljine glasi

( )41

2)(1212),0(

−⋅=f

i

htLq

Gtw µ

πν . (197)

Budući je obujam pukotine, eliptičnog horizontalnog presjeka jednak

V L t h w t q tf f i= =π2

0( ) ( , ) , (198)

analitička rješenja duljine i širine pukotine, u funkciji vremena utiskivanja

fluida, glase:

( )32

61

3

3

3

3

1212)( t

hGqtL

f

i

−=

µνπ, (199)

( ) 31

61

3

3

3

3 1221),0( tGh

qtwf

i

−⋅= µνπ

. (200)

Iz jednadžbi 194 i 195 slijedi izraz za diferencijalni tlak u ishodištu

pukotine

∆p t p t G w tL t

konst tf H( , ) ( , )( )

( , )( )

.0 01

02

1 3= − =−

= −σν

, (201)

što znači da će se tlak smanjivati proporcionalno trećem korijenu

vremena utiskivanja fluida.

3.2.3. Radijalni model

Analogno linearnom KGD modelu, iz jednadžbe 192 slijedi pad tlaka za

radijalni model pukotine, promjenljive širine

83

83

∫=−r

r trwrwdrqtrptp 3

),(

6),(),0(πµ , (202)

kojeg se može aproksimirati protokom kroz pukotinu konstantne srednje

širine, w , pa nakon integriranja imamo

p t p r t qw

rrw

( , ) ( , ) ln0 63− = µ

π, (203)

što zapravo predstavlja d'Arcyevu jednadžbu za radijalni protok u

stacionarnim uvjetima, budući se propusnost pukotine, srednje širine w ,

može iskazati kao k w= 2 12.

Primjenom Barenblattovog rubnog uvjeta, tj.

∂∂wx r R=

=1

0, (204)

na jednadžbu za radijalno napredujuću pukotinu (jedn. 162a), za

nepotpuno penetrirajući fluid, uvjet ravnoteže glasi

RK

rRrdrrp

H

R

rw 2)(0

22

′+=

−∫ σ , (205)

gdje je R0 radijus penetracije fluida, a R radijus pukotine. Kad ρ0 0= R R

teži jedinici, uvjet za penetraciju fluida može se aproksimirati (uz

zanemarenje ′K , odnosnoKIc ) izrazom50

( ) ( )

31

40 1101

−

≅−H

qR

Gσµ

νρ , (206)

a maksimalna širina pukotine, kao funkcija njenog radijusa, izrazom

( ) 41)(115.2),0(

−=

GtRqtw iµν , (207)

gdje je q qi= . Budući je obujam radijalne pukotine, paraboličnog

radijalnog presjeka, dan kao

V R w t q tf i= =815

02π ( , ) , (208)

kombiniranjem jednadžbi 207 i 208 dobivena su rješenja radijusa i širine

pukotine, u funkciji vremena, koja glase:

84

84

( )94

913

157.0)( tGqtR i

−

=µν

, (209)

( ) 919223186.1),0( t

Gqtw i

−= µν . (210)

Diferencijalni tlak u središtu pukotine slijedi iz jednadžbe 167,

( )( ) 31.)(,0

14),0(),0( −=

−=−=∆ tkonst

tRtwGtptp H ν

πσ , (211)

iz čega je vidljivo da, kao i kod linearnog KGD modela, tlak utiskivanja

pada proporcionalno trećem korijenu vremena.

3.3. NENEWTONSKI FLUIDI

Sva tri opisana modela pretpostavljaju protok fluida u skladu s

Newtonovim zakonom viskoznosti, koji definira linearan odnos smičnog

naprezanja, τ yx , i brzine smicanja (brzine kutne deformacije), dv dyx , izražen

slijedećom reološkom jednadžbom

τ µyxxdv

dy= , (212)

gdje µ predstavlja koeficijent proporcionalnosti, nazvan dinamički

koeficijent viskoznosti ili, jednostavno, dinamička viskoznost. Međutim,

glavnina fluida koje se danas rabi za hidraulička frakturiranja jesu tzv.

nenewtonski fluidi, kod kojih je odnos smičnog naprezanja i brzine smicanja

eksponencijalan, tj. izražen reološkom jednadžbom

n

xyx dy

dvK

=τ , (213)

često zvanom "zakon potencije".47 Dakle, nenewtonski fluid je

karakteriziran s dva parametra: K , nazvan indeks konzistencije, dimenzija

Pa sn⋅ , te n , nazvan indeks ponašanja toka, bez dimenzija. Derivacija dv dyx

85

85

predstavlja brzinu smicanja, dimenzija s−1, a označava se s γ& , pa drugi, češći

oblik jednadžbe 213 glasi

nKγτ &= . (214)

Slika 34. Reološki model nenewtonskog fluida.

Kao što se vidi iz jednadžbe 214, log-log dijagram smičnog naprezanja i

brzine smicanja dat će pravac, nagiba n , a odrezak na osi τ , kod &γ = −1 1s bit

će jednak K . Ovo svojstvo se koristi za određivanje reoloških parametara, n i

K , iz laboratorijskih mjerenja. Budući je indeks konzistencije, K , ovisan o

geometriji viskozimetra, tako određeni reološki parametri nose oznaku ′n i

′K , a njihov odnos prema n i K dan je posebnom relacijom za svaku

geometriju. Tako npr. za cijevni viskozimetar, odnosno za cijev općenito,

vrijedi relacija

n

nnKK

′

′+′

=′413 , (215)

dok je ′n jednako n . Po istom načelu postoje relacije i za druge

geometrije protoka, od kojih su ovdje najvažnije dvije: protok između dviju

86

86

paralelnih ploha i protok kroz uski eliptični kanal. Za paralelne plohe relacija

glasi

n

nnKK

′

′+′

=′312 , (216)

dok je za kanal eliptičnog poprečnog presjeka, kad ekscentričnost

elipse teži ništici, relacija dana kao

n

nnKK

′

′+′

=′412

34 . (217)

Iz jednadžbi 212-214 slijedi da će se prividnu viskoznost, tj. viskoznost

pri određenoj brzini smicanja, moći odrediti iz jednadžbe

1−= na Kγµ & , (218)

s tim da će se za svaku geometriju, umjesto n i K , uvrstiti odgovarajući

′n i ′K . Stoga se, prema Metzneru i Reedu,54 Reynoldsov broj za laminarni

protok nenewtonskog fluida može poopćiti uvođenjem prividne viskoznosti

(jedn. 218) i hidrauličkog promjera, dh , pa je on tada određen izrazom

1Re −′′= n

h

Kdv

γρ&

. (219)

Za tri osnovne geometrije protoka, indeks konzistencije, ′K , definiran

je jednadžbama 215-217, dok je brzina smicanja određena slijedećim

izrazima:

- za cijev, promjera d ,

dv8=γ& , (220)

- za paralelne plohe, odnosno za pravokutni prorez, širine w,

wv6=γ& , (221)

- za kanal eliptičnog poprečnog presjeka, kad ekscentričnost elipse teži

ništici, a njena manja os je w,

wvπγ 2=& . (222)

87

87

Korištenjem općeg oblika Reynoldsovog broja u jednadžbi za Fanningov

faktor trenja (jedn. 179), te izraza za hidraulički promjer, brzinu smicanja i

indeks konzistencije, definiranih za elipsu, uz konstantu 2 2π , slijedi

jednadžba protoka nenewtonskog fluida za PKN model pukotine

12

1 18)(+′

′+′

′=

−n

n

f

nHf

whqK

xp

π∂σ∂

. (223)

Za slučaj newtonskog fluida ( ′ =n 1) jednadžba 223 svodi se na

jednadžbu 181. Analogno postupku za newtonski fluid, kombiniranjem

jednadžbe 223 i 178, te integriranjem uz iste uvjete, Perkins i Kern51 su izveli

slijedeću jednadžbu za diferencijalni tlak u funkciji udaljenosti od vrha

pukotine:

( ) 221

22

121 )(12

228),0(+′

+′

′+′

′

+′

−′+′

=−n

nf

ni

n

n

n

Hf htLqGKntp

νπσ , (224)

dok je širina pukotine u funkciji njene duljine dana kao

( ) ( ) 221

1

)(12

228),0(+′′

′

+′

−′+′=

n

f

n

f

in

n

tLhhq

GKntw ν

π. (225)

Obujam pukotine tada je dan izrazom

V nn

L t h w t q tf f i= ′ +′ +

=π42 22 3

0( ) ( , ) , (226)

pa je ovisnost širine i duljine pukotine o vremenu tada jednostavno

dobiti kombiniranjem jednadžbi 225 i 226. Numeričkom simulacijom,56 za

q x q( ) ( )≠ 0 , ove jednadžbe su korigirane, tako da se prvi razlomak u

jednadžbi 225 može aproksimirati kao ( ) ( )[ ]{ }4075.0163112283 nnn ′−−+′⋅ ′ π ,

dok u jednadžbi 226 aproksimacija za ( ) ( )3222 +′+′ nn glasi ( ) ( )32 +′+′ nn .

Jednadžba protoka nenewtonskog fluida za KGD model slijedi iz

jednadžbe protoka fluida između paralelnih ploha. Stoga, ako se u jednadžbu

za Fanningov faktor trenja (jedn. 179) uvrsti opći oblik Reynoldsovog broja

(jedn. 219), s izrazima za hidraulički promjer, d wh = 2 , brzinu smicanja (jedn.

88

88

221) i indeks konzistencije (jedn. 216), definiranim za paralelne plohe, te

konstanta 24 , jednadžba laminarnog protoka nenewtonskog fluida tada glasi

12

162 +′

′

′= n

n

f whqK

dxdp . (226a)

Analogno postupku za newtonski fluid, integriranje gornje jednadžbe, uz

uvjet konstantnog protoka, daje pad tlaka uzduž pukotine

∫ +′

′

′=−

x

n

n

f txwdx

hqKtxptp

012),(

62),(),0( . (227)

Numeričkom simulacijom56 je dokazano da aproksimativno rješenje tlaka

u ishodištu pukotine za newtonski fluid (jedn. 196), predstavlja dobru

aproksimaciju i za nenewtonski fluid, ako se viskoznost newtonskog fluida, µ ,

supstituira prividnom viskoznošću nenewtonskog fluida, µa , definiranom

jednadžbom 218. Dakle, uvrsti li se jednadžbu 221 u jednadžbu 218, te

srednju brzinu, v , iskaže kao omjer protoka i površine, prividna viskoznost u

pukotini dana je kao

1

2

6−′

′=

n

fa wh

qKµ . (227a)

Uvrštavanjem ovog izraza u jednadžbu 196, ili direktno u jednadžbu

197, s tim da je q qi= 2, te njenim preuređenjem, slijedi širina pukotine u

njenom ishodištu, kao funkcija duljine

22

1

2)(167),0(+′′

′

−′⋅=nn

f

in

tLhq

GKtw ν

π. (228)

Analogno linearnom KGD modelu, za radijalni model, gdje je

v q rw= 2πb g, iz jednadžbi 221 i 218 slijedi prividna viskoznost u pukotini

1

23 −′

′=

n

a rwqK

πµ , (229)

a iz jednadžbi 179, 219 i 221, uz konstantu 24, jednadžba laminarnog

protoka nenewtonskog fluida u radijalnoj pukotini

89

89

12132 +′

′

′= n

n

wrqK

drdp

π, (230)

odakle, nakon integriranja uz uvjet konstantnog protoka, slijedi

jednadžba pada tlaka u radijalnoj pukotini promjenljive širine

∫ +′′

′

′=−

r

rntr

n

n

wwrdrqKtrptp 12

),(

32),(),0(π

. (231)

Kao i kod newtonskog fluida, jednadžba 231 se može aproksimirati

protokom kroz pukotinu konstantne srednje širine, w (čiji odnos prema

maksimalnoj širini slijedi iz jednadžbe 208), pa nakon integriranja i

zanemarenja rw , znajući da je q qi= , jednadžba širine pukotine za

nenewtonski fluid (dakle, za ′n < 1) glasi

( )22

1

22

1213

)(11853),0(

+′′−′

′

+′+′

′−′−

=n

nnin

nn

tRqKGn

tw νπ

. (232)

3.4. GUBITAK FLUIDA

U dosadašnjem modeliranju hidrauličkog frakturiranja pretpostavljalo se

zanemariv gubitak fluida iz pukotine u ležište, što se matematički iskazivalo

90

90

kao V q tf i= , tj. djelotvornost fluida, koja je definirana kao omjer obujma

pukotine i utisnutog obujma fluida

η =Vq tf

i

, (233)

iznosila je jedan. Međutim, i u vrlo slabo propusnim ležištima, gubitak

fluida je značajan i mora ga se uključiti u matematički model.

h

∆χ

v

A

ywyv

yc

Slika 35. Model gubitka fluida.

Tri mehanizma, odnosno tri zone kontroliraju brzinu protjecanja

(gubljenja) fluida iz pukotine u ležište (Sl. 35):

• filterski oblog promjenljive debljine;

• zona ispunjena filtratom;

• zona ispunjena samo ležišnim fluidom.

Protok u zoni ispunjenoj ležišnim fluidom može biti opisan jednadžbom

difuzije za jednodimenzionalni linearni protok (jedn. 86, odnosno 87). Uz uvjet

konstantnog diferencijalnog tlaka između tlaka u pukotini i ležišnog tlaka,

∆p p pf i= − , u neograničenom ležištu, rješenje jednadžbe 86 za brzinu

protjecanja glasi57

v p k ct

Ctc

t c= =∆ φπµ

, (234)

91

91

gdje je

C p k cc

t= ∆ φπµ

, (235)

nazvan koeficijentom gubitka fluida, kontroliranim svojstvima ležišta i

ležišnog fluida.

Jednadžba 234 također slijedi iz jednadžbe 124, tj. iz rješenja

bezdimenzionalnog protoka, za slučaj konstantnog tlaka u neograničenom

ležištu s pukotinom neograničene vodljivosti.

Pretpostavljajući trenutno uspostavljanje stacionarnog stanja, brzina

protjecanja kroz zonu ispunjenu filtratom fluida za frakturiranje dana je

d'Arcyevim zakonom

v k py A

dVdtv

e

a v

v= =µ

∆ 1 , (236)

gdje je yv dubina infiltrirane zone, V Ayv v= φ obujam filtrata u toj zoni, ke

efektivna propusnost ležišne stijene za filtrat, te µa prividna viskonost filtrata.

Integriranjem gornje jednadžbe slijedi izraz za dubinu infiltrirane zone

y k p tve

a

= 2 ∆µ φ

, (237)

pa njegovim uvrštavanjem u jednadžbu 236, jednadžba brzine

protjecanja glasi

v k pt

Ctv

e

a

v= =∆ φµ2

, (238)

gdje je

C k pv

e

a

= ∆ φµ2

, (239)

nazvan koeficijentom gubitka fluida, kontroliran svojstvima ležišta i

infiltriranog fluida.

Zona filterskog obloga karakterizirana je debljinom obloga, yw, i

njegovom propusnošću, kw . Debljina obloga je proporcionalna obujmu

isfiltriranog fluida po jedinici površine, pa ju se može matematički izraziti kao

92

92

y VAww=

κ, (240)

gdje je κ konstanta, koju treba odrediti eksperimentalno, a ovisi o vrsti i

koncentraciji krutih čestica u fluidu za frakturiranje.

Propusnost filterskog obloga neovisna je o njegovoj debljini, pa se

protok kroz njega može izraziti preko d'Arcyevog zakona kao

dVdt

k pyAw w

a w

=µ

∆ . (241)

Integriranjem gornje jednadžbe slijedi izraz za obujam fluida, isfiltriranog

kroz filterski oblog, u funkciji vremena

V k A p t m tww

a

= =2 2∆ κµ

. (242)

Dakle, u koordinatnom sustavu V vs tw , jednadžba 242 dat će pravac

nagiba m, kojeg se može odrediti eksperimentalno, mjereći obujam filtrata u

različitim vremenskim intervalima (Sl. 36).

93

93

Slika 36. Određivanje koeficijenta filtracije i obujma izlijevanja prema

laboratorijskim mjerenjima.

Deriviranjem jednadžbe 242 dolazi se do izraza za brzinu protjecanja

kroz filterski oblog

v mA t

Ctww= =

2, (243)

gdje je

C mAw =2

, (244)

nazvan koeficijentom gubitka fluida, kontroliran svojstvima filterskog

obloga. Kao što je već rečeno, koeficijent filtracije Cw se određuje

eksperimentalno za određenu vrstu fluida, te vrstu i koncentraciju dodanih

krutih čestica (dodataka za smanjenje filtracije, kao što je npr. kvarcno

brašno), no njegovo fizikalno značenje matematički je izraženo kao

C k pw

w

a

= ∆ κµ2

. (245)

94

94

Međutim, u procesu hidrauličkog frakturiranja ni jedan od opisanih

mehanizama ne djeluje samostalno, već sva tri djeluju istodobno, rezultirajući

efektivnom brzinom protjecanja, v , odnosno efektivnim koeficijentom filtracije,

C , u istom funkcionalnom odnosu s vremenom kao i svaki ponaosob58,59

v Ct

= . (246)

Sama vrijednost efektivnog koeficijenta filtracije određena je ukupnim

padom tlaka od pukotine do ležišta, koji je jednak sumi pada tlaka u sve tri

zone

∆ ∆ ∆ ∆p p p pc v w= + + . (247)

Iz jednadžbi 235, 239 i 245 slijedi odnos između pojedinih koeficijenata

filtracije i ukupnog pada tlaka: C pc ∝ ∆ , C pv ∝ ∆ 1 2 , C pw ∝ ∆ 1 2 . Omjer pada

tlaka u pojedinim zonama i ukupnog pada tlaka obrnuto je proporcionalan

omjeru koeficijenata filtracije, te slijedi gornje relacije između pojedinih

koeficijenata i pada tlaka (npr. ∆ ∆p p C Cv v= 2 2 ). Stoga jednadžbu 247

možemo pisati kao

12

2

2

2= + +CC

CC

CCc v w

, (248)

pa efektivni koeficijent filtracije slijedi kao rješenje gornje kvadratne

jednadžbe

( )[ ] 2122222 42

wvcwvwv

wvc

CCCCCCCCCCC

+++= . (249)

Kao što se vidi na slici 36, pravac, koji prolazi kroz glavninu

eksperimentalno dobivenih točaka, ne prolazi kroz ishodište, već na ordinati

daje odrezak Vsp , kojeg se naziva obujmom izlijevanja ("spurt volume" ili

"spurt loss"), a predstavlja obujam fluida izgubljen prije formiranja filterskog

obloga, dakle gubitak fluida kontroliran samo koeficijentima Cv i Cc . U tom

periodu, efektivni koeficijent filtracije, Cvc , dan je kao

95

95

( ) 2122 42

cvv

vcvc

CCCCCC++

= , (250)

pa je vrijeme trajanja izlijevanja ("spurt time"), tsp , određeno izrazom

2

2

=

vc

spsp C

Vt . (251)

U slučaju kad je Cw dominirajući mehanizam kontrole filtracije, obujam

izlijevanja se može smatrati trenutnim gubitkom, pa je tada ukupni gubitak

fluida po jedinici površine dan jednadžbom

V V C tsp wl = + 2 1 2 . (252)

Inače jednadžba za ukupni gubitak, prema slici 36, glasi ( )21212 spwsp ttCVV −+=l . (252a)

3.4.1. Carterova jednadžba

Definicija brzine gubljenja fluida (jedn. 246), pisana u obliku

v Ctl =

− τ, (253)

gdje τ predstavlja vrijeme početka gubljenja fluida a t sadašnje

vrijeme, predstavlja temelj na kojem je Carter60 izveo jednadžbu duljine

pukotine u uvjetima istodobnog gubljenja fluida iz pukotine u ležište.

Pretpostavljajući konstantnu i visinu i širinu pukotine, jednadžbu materijalnog

uravnoteženja može se pisati kao

dVdt

wh dLdt

q qf i= = −2 l , (254)

gdje je

∫ ∫ ∫ −===

A t t

td

ddACd

ddAvdAvq

0 0 0 ττ

ττ

τlll , (255)

a A h Lf= 4 . Uvođenjem jednadžbe 255 u jednadžbu 254, te njenim

sređivanjem, slijedi jednadžba

96

96

∫ −−=

t

f

i

td

ddL

wC

whq

dtdL

0

22 τ

ττ

, (256)

koja, nakon primjene Laplaceove transformacije i teorema konvolucije,40

poprima oblik

dLdt

qwh

e erfci

f

=2

2α α , (257)

gdje je

α π= 2Cw

t . (258)

Integriranjem i sređivanjem jednadžbe 257 slijedi rješenje duljine

pukotine u funkciji vremena

+−= απα

αα erfce

whtqLf

i 2

122 2 , (259)

pa je obujam pukotine dan kao

+−= απα

αα erfcetqV i

f

2

122 . (260)

Za produkt e erfcα α2 postoje različiti približni izrazi,40 no za α > 4 , što

znači za dugo vrijeme i/ili za veliki koeficijent filtracije, e erfcα αα π

2 1 1≅ << ,

dok je 2 1απ

>> , pa se, dakle, za velike vrijednosti parametra α , jednadžbu

259 može svesti na oblik

L q th Ci

f

= 12π

. (261)

Obujam pukotine tada je dan izrazom

V wq tC

q tf

i i= =π α π

2 , (262)

a djelotvornost fluida izrazom

ηα π

= =Vq tf

i

2 . (263)

Obujam izlijevanja (spurt loss) može se uključiti u račun tako da ga se

uključi u jednadžbu materijalnog uravnoteženja (jedn. 254), pa ona tada glasi

dVdt

q q V dAdti sp= − −l . (264)

97

97

Analognim postupkom dolazi se do rješenja duljine pukotine u funkciji

vremena

( )

+−+

= απα

αα erfce

hVwtqL

fsp

i 2

1222 2 , (265)

gdje je

α π=+22C

w Vt

sp

. (266)

3.4.1.1. KGD model u uvjetima gubitka fluida

Carterova jednadžba primijenjena je na KGD model, uvažavajući

činjenicu da širina pukotine nije konstantna niti u vremenu, niti uzduž

pukotine, već se mijenja u skladu s njenim eliptičnim oblikom. Budući je

obujam takve pukotine dan jednadžbom 198, tada je promjena obujma u

jednadžbi materijalnog uravnoteženja (jedn. 264) dana kao

dtdL

dLdwLwh

dtdwL

dtdLwh

dtdV

ff

+=

+= )0()0(

2)0()0(

2ππ . (267)

Kako iz proporcionalnosti w t L t( , ) ( )0 1 2∝ u jednadžbi 197 slijedi

L dwdL

w( ) ( )0 12

0= , (268)

jednadžba 267 svodi se na

dVdt

h w t dLdtf= 3

40π ( , ) . (269)

Da bi se primijenilo Carterovu jednadžbu, nužna je bila aproksimacija,

kojom bi se promjenljivu širinu zamijenilo "konstantnom", što je učinjeno tako

da je w t( , )0 u jednadžbi 269 supstituiran s 23

0w tp( , ), gdje t p predstavlja

konačno vrijeme, odnosno svršetak procesa frakturiranja.50 Uz takvu

aproksimaciju, rješenje duljine pukotine u funkciji vremena, u uvjetima gubitka

fluida, glasi

[ ]

+−+

= απα

απα erfce

hVtwtqL

fspp

i 2

128),0(

22 , (270)

98

98

gdje je

α ππ

=+

80 8C t

w t Vp sp( , ). (271)

Za slučaj kad je visina pukotine veća od efektivne (propusne) debljine

ležišta, dakle h hf > , jednadžba 270 poprima oblik

[ ]

+−+

= απα

απα erfce

hVtwhtqL

sppf

i 2

128),0(

22 , (272)

a parametar α postaje

α ππ

=+

80 8hC t

h w t hVf p sp( , ). (273)

Kao drugu relaciju između duljine i širine pukotine može se koristiti

jednadžbu 197 za newtonske fluide, odnosno jednadžbu 228 za nenewtonske

fluide, pa se obje nepoznanice može riješiti bilo iterativnim postupkom, bilo

numeričkom simulacijom pomoću kompjutora.

Za α > 4 , što je slučaj kod dugotrajnih, masivnih frakturiranja i/ili u

slučaju velikog efektivnog koeficijenta filtracije, uz zanemarivi obujam

izlijevanja (dakle, dominirajući Cvc ), jednadžba 270, odnosno 272 svodi se na

jednadžbu 261, s tim da se u slučaju h hf > , visina pukotine supstituira

efektivnom debljinom ležišta. Tada se jednadžbe 197 i 228 ne može koristiti,

no, kombiniranjem jednadžbe 261 s Biotovim rješenjem KGD modela,61,47

slijedi jednadžba širine pukotine u funkciji vremena

103

51

3

31)0( tChq

Gw

f

i

−= µν , (274)

pa relacija između duljine i širine pukotine postaje

( ) 51323 )(18),0(

−=G

tLCtw µνπ , (275)

s tim da se za nenewtonske fluide viskoznost, µ , supstituira prividnom

viskoznošću, µa (jedn. 227). Diferencijalni tlak u ishodištu pukotine definiran

je jednadžbom 201, pa ukoliko se uvrsti izraz za širinu pukotine iz jednadžbe

99

99

274, te izraz za duljinu pukotine iz jednadžbe 261, vidljivo je da se tlak

smanjuje proporcionalno petom korijenu vremena utiskivanja.

3.4.1.2. Radijalni model u uvjetima gubitka fluida

Analogno KGD modelu, iz jednadžbe 208 i proporcionalnosti

w t R t( , ) ( )0 1 4∝ u jednadžbi 207, slijedi jednadžba promjene obujma u

jednadžbi materijalnog uravnoteženja (u jedn. 264)

dVdt

w t dRdt

= 35

02π ( , ) . (276)

Da bi se primijenilo Carterovu jednadžbu i ovdje je bila nužna

aproksimacija, kojom se promjenljivu širinu zamijenilo "konstantnom", što je

učinjeno tako da je w t( , )0 u jednadžbi 276 supstituiran s 89

0w tp( , ).50 Tada,

uključivši i obujam izlijevanja, jednadžba materijalnog uravnoteženja za

radijalnu pukotinu postaje

∫ −+

+=

t

sppi td

ddRC

dtdRVtwq

0

22

22),0(158

ττ

τπππ , (277)

pa rješenje radijusa pukotine u funkciji vremena, u uvjetima gubitka

fluida glasi

[ ]

+−+

= απα

απα erfce

VtwtqR

spp

i 2

1215),0(42

152

2 , (278)

gdje je

α π=+

154 0 15

C tw t Vp sp( , )

. (279)

Budući se radijalni rast pukotine može očekivati samo u ranoj fazi, tj. za

kraća vremena, kao drugu relaciju između radijusa i širine pukotine može se

100

100

koristiti jednadžbu 207 za newtonske fluide, a jednadžbu 232 za

nenewtonske fluide.

3.4.1.3. PKN model u uvjetima gubitka fluida

Analogno slučaju zanemarivog gubitka fluida, Nordgren52 je riješio

jednadžbu kontinuiteta (jed. 177) za slučaj velikog gubitka fluida. Kako je

gubitak fluida po jedinici duljine pukotine, ql , određen efektivnom brzinom

protjecanja (jedn. 246) i površinom dviju stijenki pukotine

qh Ctf

l =−

2τ

, (280)

nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba za w x t( , ), analogno

jednadžbi 188, tada glasi

Gh

wx

Ct

wtf64 1

82 4

2( )−=

−+

ν µ∂∂ π τ

∂∂

. (281)

Jednadžba je riješena numerički i analitički. Za analitičko rješenje

pretpostavljeno je da je izraz ∂ ∂A t u jednadžbi kontinuiteta zanemariv u

odnosu na ql , pa je rješenje duljine pukotine isto kao Carterovo rješenje za

slučaj α > 4 (jedn. 261), što je dobra aproksimacija za 2 02h LC q wf i> ( ). Za

takve uvjete, maksimalna širina pukotine u ishodištu, u funkciji vremena,

dana je jednadžbom

81

412

3214),0( t

Chq

Gtw

f

i

−= µπ

ν , (282)

pa, analogno jednadžbi 191, diferencijalni tlak u ishodištu raste

proporcionalno t1 8 . Za slučaj h hf > , u jednadžbama 261 i 282, hf treba

supstituirati s h .

Usporedbom s numeričkim rješenjem, može se zaključiti da je analitičko

rješenje primjenjivo kad je bezdimenzionalno vrijeme, tD , definirano kao

101

101

32

2

5

2 1128

−=

i

fD q

hCGttµνπ

, (283)

veće od jedinice. S druge strane, ako je tD < 0 01. , primjenjivo je rješenje

za zanemarivi gubitak fluida, tj. jednadžbe 189-191.

Za nenewtonske fluide, ekvivalent jednadžbi 282, dobiven numeričkom

simulacijom,56 glasi

44122

1

1),0( +′

+′′

′−= n

nfi

n

f

i tChhq

hqK

Gatw ν , (284)

gdje je ( ) ( )( ) ( )( )[ ]{ } 221

4075.016311365.0123 +′′ ′−−+′′++′= nn nnnna ππ .

3.5. GIBANJE I RASPORED PODUPIRAČA

Gibanje podupirača kroz vertikalnu pukotinu moguće je modelirati kad je

poznata funkcionalna ovisnost dimenzija pukotine o vremenu trajanja

procesa. Kao što iz prethodnih razmatranja slijedi, za konstantna svojstva

ležišne stijene i fluida, te konstantna svojstva fluida za frakturiranje,

konstantan protok i konstantnu visinu pukotine, duljinu, odnosno radijus

pukotine, te širinu pukotine i diferencijalni tlak u njenom ishodištu, može se

općenito iskazati u funkciji vremena utiskivanja, slijedećim relacijama:

L t A t e( ) = 11 , (285-1)

w t A t e( , )0 22= , (285-2)

∆p t A t e( , )0 33= . (285-3)

Dakle, u logaritamskom koordinatnom sustavu, gornje jednadžbe dat će

pravce, nagiba e e e1 2 3, , , i odrezaka na ordinati A A A1 2 3, , , koje je za svaki

konkretan slučaj moguće odrediti provođenjem proračuna za dva različita

102

102

vremena. Općenito, konstante A A A1 2 3, , funkcije su mehaničkih svojstava

ležišne stijene, reoloških i filtracijskih svojstava fluida za frakturiranje, te

odnosa protoka i visine pukotine, dok su vrijednosti eksponenata e e e1 2 3, ,

karakteristične za svaki model i ovisne o reološkim i filtracijskim svojstvima

fluida za frakturiranje, točnije funkcije su indeksa ponašanja toka, ′n , i

djelotvornosti fluida, η. Kao donje i gornje granice, tj. za η → 0 i η → 1,

vrijednosti eksponenata za nenewtonske fluide (za newtonske fluide, n'=1)

dane su za svaki model, kako slijedi:61a,61b

• PKN model:

e1 1 2= , odnosno ( ) ( )32221 +′+′= nne ; (286-1a)

( )4412 +′= ne , odnosno ( )3212 +′= ne ; (286-2a)

( )4413 +′= ne , odnosno ( )3213 +′= ne ; (286-3a)

• KGD model:

e1 1 2= , odnosno ( ) ( )211 +′+′= nne ; (286-1b)

( )6432 +′= ne , odnosno ( )212 +′= ne ;

(286-2b)

( )323 +′′−= nne , odnosno ( )23 +′′−= nne ; (286-3b)

• radijalni model:

e1 1 4= , odnosno ( ) ( )63221 +′+′= nne ; (286-1c)

( ) ( )8822 +′′−= nne , odnosno ( ) ( )6322 +′′−= nne ;

(286-2c)

( )8833 +′′−= nne , odnosno ( )23 +′′−= nne ; (286-3c)

Širina pukotine u funkciji njene duljine i širine u ishodištu, u bilo kom

vremenu, w x t( , ), dana je jednadžbama 164, 168 i 185, za KGD, radijalni,

odnosno PKN model. Time je omogućeno određivanje tzv. prethodnog

vremena, tj. vremena početka gibanja podupirača koje mora udovoljavati

103

103

određenim uvjetima. Prvi uvjet jest da je u tom trenutku pukotina dostatno

široka da se u nju sa sigurnošću može utisnuti čestice podupirača određenog

promjera, dp . Prihvati li se uobičajeno pravilo da je dostatna širina pukotine tri

puta veća od promjera zrna podupirača, prethodno vrijeme dano je kao

21

20

3 ep

Ad

t

≥ . (287)

Drugi uvjet jest da se gibanjem kroz pukotinu podupirač ne smije toliko

približiti vrhu pukotine da bi lokalna širina pukotine bila premala za sigurno

gibanje podupirača, tj. w x t d p( , ) ≥ 3 . Konačno, treći uvjet jest da gibanjem

suspenzije kroz pukotinu i gubljenjem dijela fluida u sloj koncentracija

podupirača u pukotini ne smije postići kritičnu vrijednost, tj. koncentraciju pri kojoj suspenzija postaje nepokretna, dakle, ( )1max −′≤ pppc ρρρ , gdje ρ p i ′ρ p

predstavljaju obujamsku masu, odnosno nasipnu obujamsku masu

podupirača.

Slika 37. Shematski prikaz gibanja i filtriranja fluida

104

104

Drugi i treći uvjet riješen je numeričkom simulacijom.62 Pritom je brzina

gibanja suspenzije (podupirača u fluidu), u pukotini promjenljive širine,

određena jednadžbom kontinuiteta za protok nestlačivog fluida (jedn. 177).

Stoga, položaj bilo kojeg (i -tog) obujma mješavine fluida i podupirača u pukotini, ( )( ) 2

,,,,, imimimimim rprpff wwxxhV +−= , u vremenu t t m tm = + ⋅0 ∆ , dan je

jednadžbom ( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )imimimim

imimimimimimimimimimim

imrpfjrjr

rprfjroporjfp wwhyyyh

wwxhyyxyyxxhVx

,,,1,

,,,,1,,,,1,,,1

,,2

2++∆−

++−+−−+=

−

−−−

φφ

(288)

s tim da su početni uvjeti definirani kao V tq x x xf i o r jm i m i m i m i−

= = = =1

2 0, , , ,

;∆ ,

dok za svaki kasniji vremenski prirast vrijede slijedeći odnosi: x xo rmi m i, ,

=−1

,

x xr pm i m i, ,=

+1,

x xj pm i m i, ,=

−1.

Ovdje y predstavlja dubinu infiltrirane zone u pojedinim točkama uzduž

pukotine, što je funkcija vremena trajanja filtracije, dakle

( )φ

iei

tfy ,= , (289)

gdje te znači vrijeme trajanja filtracije (gubitka fluida), određeno izrazom

t te m= − τ, (290)

u kojem je vrijeme početka filtracije, τ , moguće dobiti preuređenjem

jednadžbe 285-1. Ovisno o tomu da li je vrijeme te veće ili manje od vremena

izlijevanja, tsp (jedn. 251), funkcija ( )etf može poprimiti dva različita

matematička oblika:

- za t te sp≤ :

( ) evce tCtf 2= ; (291)

- za t te sp> :

105

105

( ) ( )spewspe ttCVtf −+= 2 . (292)

Vertikalni raspored podupirača u pukotini funkcija je brzine taloženja

čestica podupirača u viskoznom fluidu. Prema Stokesovom zakonu, brzina

taloženja jedne čestice, sfernog oblika, u neograničenom mediju, v∞ ,

određena je koeficijentom otpora47,62

CgdvD

p fl

fl

p=−

∞

43 2

( )ρ ρρ

, (293)

čija je vrijednost funkcija Reynoldsovog broja, definiranog izrazom

1Re −′∞

′= n

p

flpp K

dvγ

ρ&

. (294)

U gornjem izrazu pγ& predstavlja brzinu smicanja oko čestice, koja je

dana izrazom

p

p dv∞= 3γ& , (295)

no, na temelju eksperimentalno dobivenih podataka, Novotny63 je

sugerirao korištenje efektivne brzine smicanja kao sume vektora koji

rezultiraju iz gibanja čestice u fluidu i gibanja fluida u pukotini

2

2

γγ && +

= ∞

pe d

v . (296)

Koeficijent otpora definiran je za različita područja Reynoldsovog broja

kako slijedi:

- za Stokesovo područje, tj. za Re p ≤ 2:

CDp

= 24Re

; (297)

- za prijelazno područje, tj. za 2 500< <Re p :

CDp

= 18 50 6.

Re .; (298)

- za Newtonovo područje, tj. za Re p ≥ 500:

CD ≅ 0 44. . (299)

106

106

Međutim, brzinu taloženja jedne čestice u neograničenom mediju treba

korigirati (smanjiti) na račun blizine stijenki pukotine i povećane koncentracije

podupirača u fluidu. Novotny je dao korelacije, koje su funkcija promjera

čestica, širine pukotine i Reynoldsovog broja, odnosno koncentracije i

obujamske mase podupirača.62,63 Poopćeno, korelacija između brzine

taloženja u ograničenom i neograničenom mediju može se prikazati kao64 ( )[ ] 211

aapo wdvv −= ∞ , (300)

gdje eksponenti a1 1≈ i a2 2 25≈ . vrijede za Stokesovo područje, a

a1 1 5≈ . i a2 1≈ za Newtonovo područje. Utjecaj koncentracije podupirača

može se općenito izraziti kao

v vc sa= ∞φ 3 , (301)

gdje φs predstavlja "šupljikavost" suspenzije, tj. obujamski dio

suspenzije koji zauzima fluid, a eksponent a3 varira od vrijednosti 5.5, za

Stokesovo područje, do 2 za Newtonovo područje. Još općenitija korelacija,

potvrđena pokusima s nenewtonskim fluidima, glasi65

( ) ( )[ ] ns

nnsc fvv ′′+′

∞= 11 φφ , (302)

gdje je ( ) ( ) ( )[ ]{ } 131 315exp11−

−−+= ssssf φφφφ .

Na temelju opsežnih istraživanja, Shah66,67 je zaključio da brzina

taloženja krutih čestica u viskoznom nenewtonskom fluidu odstupa od

Stokesovog zakona, ali ju se može izraziti empirijskom jednadžbom

y Ax CB= + , (303)

gdje su ( )2

222222

34Re

Kdg

Cyn

flpn

pnfl

n

n

n

pn

D ′−

==′−′+′′−

′

′−′− ρρρ

;

xv d

Kp

npn

fln= =

′∞

− ′ ′

′−Re2

13ρ

;

A B C konst, , .= .

107

107

Konstante A, B i C dane su grafički u funkciji indeksa ponašanja toka

(Sl. 38). Budući je y ovisan samo o svojstvima fluida i podupirača, jednadžba

303 omogućuje direktno računanje varijable x , odnosno brzine taloženja

podupirača, bez iterativnog postupka.

n'

A, B

*10,

C

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

AB*10C

Slika 38. Konstante A,B i C u funkciji n'.

Poznajući brzinu taloženja podupirača u svakom segmentu pukotine i u svakom segmentu vremena,vm i, , te položaj svakog segmenta, xpm i, i xrm i, , i

početnu koncentraciju, odnosno koncentraciju iz prethodnog vremenskog

segmenta, cm i−1, , moguće je odrediti visinu u pukotini do koje je podupirač

suspendiran u fluidu, te visinu do koje se podupirač istaložio (Sl. 39).

108

108

Slika 39. Shematski prikaz distribucije podupirača u pukotini

Od vremena tm−1 do tm, visina suspenzije se smanjila za

∆ ∆h v ts m imi, ,= , (304)

zbog čega se istodobno visina istaloženog podupirača povećala za

( ) pimp

pimsb c

chh im

im ρρρ

′+∆

=∆−

−

,1

,1,

,. (305)

Dakle, visina suspenzije u vremenu tm, u i -tom segmentu iznosi

h h hs s smi m i m i, , ,= −

−1∆ , (306)

a visina istaloženog podupirača h h hb b bm i m i m i, , ,

= +− −1 1

∆ . (307)

Obujam suspenzije dan je izrazom ( )( )( ) 2

,,,,,,, imimimimimimim rprpbss wwxxhhV +−−= , (308)

a obujam podupirača u suspenziji izrazom

( )( )[ ]2,,,,,,1,

,1

,1imimimimimimim rprpss

imp

imp wwxxhV

cc

V +−∆−+

=−

−

−

ρ, (309)

pa je trenutna koncentracija podupirača određena jednadžbom

cVV Vm i

p p

s p

m i

m i m i

,,

, ,

=−

ρ. (310)

109

109

Kao što je već rečeno, za vrijeme trajanja procesa frakturiranja, točnije

za vrijeme utiskivanja, koncentracija određena gornjom jednadžbom ne smije

postići vrijednost cmax , a lokalna širina pukotine mora udovoljavati uvjetu

w dp pm i,≥ 3 . No, nakon svršetka utiskivanja, račun se nastavlja sve dok

koncentracija ne postigne maksimalnu vrijednost, što predstavlja trenutak

zatvaranja određenog segmenta pukotine, ili pak dok se sav podupirač ne istaloži, tj. do ostvarenja uvjeta h hs bmi m i, ,

= . Koncentracija suspendiranog dijela

podupirača na svršetku procesa utiskivanja, cm i, , te srednja širina segmenta

pukotine, ( ) 2,,, imim rpim www += , predstavljaju osnovicu za izračunavanje

koncentracije podupirača po površini svakog segmenta pukotine

+=

pimimA c

wci ρ

11

,, , (311)

odakle slijedi konačna širina segmenta, tj. širina nakon zatvaranja

pukotine i oslanjanja stijenki na podupirač

w ci A pi= ′ρ . (312)

Kako je propusnost segmenta pukotine, k fi , definirana vrstom i

granulacijom korištenog podupirača, te tlakom zatvaranja pukotine, σH fp− ,

gdje je pf dinamički tlak u pukotini, jednadžba 312 omogućuje određivanje

vodljivosti svakog segmenta pukotine, ( )if wk . Budući je popunjena duljina

pukotine, x f , određena pozicijom segmenta s najvećim xp, jednadžbe 134-

136 može se koristiti za izračunavanje prosječne bezdimenzionalne

vodljivosti, CfD , s tim da je duljina svakog segmenta l i p rx xi i

= − .

Vertikalna distribucija podupirača u svakom segmentu pukotine na svršetku procesa utiskivanja, hsm i, i hbm i, , te srednja širina segmenta pukotine,

wm i, , temelj su za izračunavanje konačne vertikalne distibucije podupirača.

Naime, proces taloženja podupirača se nastavlja, uz istodobno gubljenje

fluida, koje rezultira porastom koncentracije i smanjivanjem širine pukotine.

110

110

Kako više nema horizontalnog gibanja mješavine fluida i podupirača, pa

horizontalna pozicija svakog segmenta, xpi i xri , ostaje konstantna, a ispunjen

je i uvjet za jednadžbu 292, srednja širina segmenta pukotine, u svakom

daljnjem segmentu vremena, dana je kao

( )

im

im

bf

wimbfim hh

thCwhhw

,

,14,1

, −∆−−

= −− . (313)

Stoga su jednadžbe 304-310 primjenjive i nakon svršetka utiskivanja, s tim da se u jednadžbama 308 i 309 izraz ( ) 2

,, imim rp ww + supstituira srednjom

širinom iz jednadžbe 313.

Konačna vertikalna distribucija podupirača dana je visinom istaloženog

podupirača, hbi , visinom suspendiranog, odnosno zatvaranjem pukotine

zarobljenog podupirača, hsi , te visinom pukotine bez podupirača, h hf si− . Dok

je širina dijela pukotine bez podupirača jednaka ništici, a dijela omeđenog

visinama hsi i hbi , definirana jednadžbom 313, širina pukotine unutar visine hbi

nije jednolika, zbog različitih vremena taloženja, ali ju se obično izražava

prosječnom vrijednošću. Kao što je već rečeno, širinom pukotine određena je

i njena vodljivost, pa je tako definirana i vertikalna distribucija vodljivosti u

svakom segmentu pukotine, što je preduvjet za izračunavanje prosječne

bezdimenzionalne vodljivosti pukotine, CfD , prema jednadžbi 137.

3.6. PRIJENOS TOPLINE

Za vrijeme utiskivanja relativno hladnog fluida u pukotinu uspostavlja se

proces prijenosa topline iz ležišta u pukotinu, što rezultira istodobnim

111

111

zagrijavanjem fluida i hlađenjem ležišta. Budući su reološka svojstva fluida

direktna funkcija temperature i vremena izloženosti toj temperaturi (Sl. 40,

41), nužno je modelirati promjene temperature u pukotini, kako za vrijeme

trajanja procesa frakturiranja, tako i za vrijeme zatvaranja pukotine, odnosno

taloženja podupirača.

Vrijeme [h]

n'[-]

; K'[P

a*s*

*n']

0.1

1

10

0 1 2 3 4 5 6

n'

K'

Slika 40. Primjer reoloških svojstava fluida u funkciji vremena kod

određene temperature.

112

112

Temperatura [oC]

n'[-]

; K'[P

a*s*

*n']

0.1

1

10

40 50 60 70 80 90 100

n'

K'

Slika 41. Primjer reoloških svojstava fluida u funkciji temperature za

određeno vrijeme.

Analitički model, razvijen za proces utiskivanja vruće vode,68 primjenjiv

je i za proces hidrauličkog frakturiranja,69 a, u odnosu na složeniji numerički

model,70 daje zadovoljavajuće rezultate.71,72 Zanemari li se prijenos topline u

vertikalnom smjeru (u smjeru osi z), bezdimenzionalna temperatura, TD , u bilo

kojoj točki uzduž pukotine i u okolnom ležištu, u bilo kom vremenu tijekom

utiskivanja, dana je kao

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

−−−+

+

−−++

+−=D

DD

D

DDDDDDD M

Myerfc

MMy

erfcyMUyxTδτ

δταδδτ

δταδδαδττ2

22

22exp

21,,

(314)

gdje je U step-funkcija, definirana kao

( )

==0,10,210,0

>

<

ttt

tU .

Pojedine bezdimenzionalne grupe analogne su ključnim fizikalnim

veličinama, a definirane su kako slijedi:

- bezdimenzionalna temperatura,

113

113

T T TT TDs

s u

= −−

, (315)

gdje je Ts statička ležišna temperatura, Tu ulazna temperatura fluida i T

trenutna temperatura u točki određenoj koordinatama x , u smjeru

napredovanja pukotine i y , u smjeru okomitom na stijenke pukotine;

- bezdimenzionalni položaj točke od interesa u smjeru osi x i osi y ,

x xhDf

= , (316)

y yhDf

= ; (317)

- bezdimenzionalno vrijeme,

τρ

= k th C

st e

f st st2 , (318)

gdje je vrijeme, te , određeno jednadžbom 290, kst predstavlja toplinsku

vodljivost ležišne stijene, Cst specifični toplinski kapacitet ležišne stijene, a ρst

obujamsku masu, odnosno k Cst st stρ predstavlja toplinsku difuzivnost ležišne

stijene;

- bezdimenzionalni protok,

qCk

qhD

fl fl

st

i

f

=ρ

4, (319)

gdje indeks fl označava fluid u pukotini;

- bezdimenzionalna brzina gubitka fluida,

αρ

= fl fl

st

fCk

v hl2

, (320)

gdje je vl brzina filtriranja fluida iz pukotine u ležište, određena

jednadžbom 253;

- bezdimenzionalna grupa, koja objedinjuje bezdimenzionalne varijable

α, ,q xD D ,

δα α

=−

12 2ln qq x

D

D D

, (321)

- bezdimenzionalna širina pukotine,

114

114

MCC

whD

mj mj

st st f

=ρρ 2

, (322)

gdje indeks mj označava mješavinu fluida i podupirača.

Porast temperature u pukotini nakon svršetka utiskivanja određen je

jednadžbom63

( )

−

∆

−∆−

∆=∆ 1

4exp2

2,

20

20

0

ty

kC

yt

Ck

tkCyerfctxT

st

stst

stst

st

st

ststD

ρπρ

ρ ,

(323)

gdje je ( )txTD ∆, bezdimenzionalna temperatura u pukotini na

udaljenosti x od ishodišta pukotine, nakon vremenskog prirasta ∆t od

trenutka svršetka utiskivanja. Bezdimenzionalna temperatura definirana je

kao

T T TT TDs

= −−

0

0

, (324)

gdje je T trenutna temperatura u određenoj točki uzduž pukotine, T0

temperatura u toj točki na svršetku utiskivanja (kod ∆t = 0), te Ts statička

ležišna temperatura. Parametar y0 predstavlja maksimalnu dubinu

pothlađenja ležišta u određenoj točki uzduž pukotine, tj. udaljenost od stijenki

pukotine u smjeru osi y unutar koje je u trenutku svršetka utiskivanja T Ts< .

3.7. TRODIMENZIONALNI MODELI

Iako opisani dvodimenzionalni (2D) modeli daju zadovoljavajuće

rezultate u izračunavanju dimenzija i karakteristika hidraulički stvorene

pukotine,73 pretpostavke na kojima se ti modeli temelje ponekad bitno

odstupaju od stvarnosti. U takvim slučajevima daleko realističniju geometriju

115

115

pukotine, distribuciju podupirača i ponašanje tlaka dat će trodimenzionalni

(3D) ili pak pseudo-3D model. Prednosti 3D modela mogu doći do izražaja

samo ako se osigura dodatne informacije o ležišnim karakteristikama, u

prvom redu informacije o promjenama najmanjeg horizontalnog naprezanja s

dubinom, kako u ležišnim, tako i u podinskim i pokrovnim stijenama.74,75

Prikupljanje takvih informacija znatno poskupljuje postupak hidrauličkog

frakturiranja, pa je praktična primjena potpunih 3D modela danas ipak

ograničena.

Pseudo-3D modeli razvijeni su iz PKN modela jednostavnim

uklanjanjem zahtjeva za konstantnom visinom pukotine.56,76,77 Dakle, visina je

funkcija pozicije uzduž pukotine i vremena. Primjenjivi su u istim uvjetima kao

i PKN model, tj. u uvjetima ravninske deformacije u vertikalnom smjeru,

odnosno za slučaj kada je duljina pukotine znatno veća od njene visine.

116

POGLAVLJE 4

KVANTITATIVNI POKAZATELJI MOGUĆEG POVEĆANJA ZALIHA NAFTE I PLINA

Matematički modeli protjecanja fluida, opisani u poglavlju 2, omogućuju

direktnu usporedbu performansi frakturirane i nefrakturirane bušotine.

Konkretno, kod nefrakturirane bušotine, bezdimenzionalni pad tlaka na

unutarnjoj granici ležišta u slučaju konstantnog protoka, pD , odnosno

bezdimenzionalna kumulativna proizvodnja u slučaju konstantnog tlaka na

unutarnjoj granici ležišta, QD, funkcije su bezdimenzionalnog vremena, tD

(jedn. 42 i 66), a u slučaju ograničenog ležišta i bezdimenzionalnog radijusa

(površine) crpljenja bušotine, reD (jedn. 45, 49 i 69). Kako je tD funkcija

ležišnih karakteristika, radijusa bušotine i vremena (jedn. 37), slijedi da je za

određeno ležište, tj. za određena svojstva ležišta i ležišnog fluida, pad tlaka,

odnosno kumulativna proizvodnja, funkcija samo radijusa bušotine i vremena.

Kod frakturirane pak bušotine, bezdimenzionalne varijable pD i QD

funkcije su bezdimenzionalnog vremena, tDx f , i bezdimenzionalne vodljivosti

pukotine, CfD , (Sl. 20 i jedn. 91, 95, 98 i 101, te Sl. 27 i jedn. 115, 123 i 128 s

jedn. 131) a u slučaju ograničenog ležišta i radijusa crpljenja bušotine, re (ili

xe ), točnije njegovog odnosa prema efektivnoj (vodljivoj) duljini pukotine, x f ,

ili prema efektivnom radijusu bušotine, ′rw , (Sl. 25 i jedn. 101-105, te Sl. 28). S

obzirom na definiciju parametara tDx f i CfD (jedn. 79 i 80), za određeno ležište

(dakle, za određena svojstva ležišta i ležišnog fluida) i određenu propusnost

pukotine, k f , (što je direktna funkcija vrste korištenog podupirača) pad tlaka,

odnosno kumulativna proizvodnja, ovisi samo o duljini i širini pukotine, te o

117

117

vremenu trajanja proizvodnje. Stoga ne treba posebno dokazivati da će u

određenom vremenu, uz konstantnu proizvodnju, pad tlaka u frakturiranoj

bušotini biti manji nego u nefrakturiranoj, odnosno da će uz konstantan

dinamički (radni) tlak, kumulativna proizvodnja frakturirane bušotine biti veća

od nefrakturirane. Također je evidentno da će smanjenje pada tlaka, odnosno

povećanje kumulativne proizvodnje, biti proporcionalno duljini i širini

pukotine, iako ograničeno površinom koju bušotina crpi.

Time, međutim, još nije dokazana osnovna teza ove disertacije o

povećanju pridobivih zaliha, odnosno konačnog iscrpka nafte i plina u

otkrivenim ležištima. Kao što je u uvodu rečeno za to je potrebno odrediti

ekonomske limite. S jedne strane treba odrediti razumno vrijeme proizvodnje

uz profitabilan protok, tj. maksimalni radni vijek bušotine i minimalnu dnevnu

proizvodnju uz minimalni dopušteni dinamički (radni) tlak, a s druge

optimalnu duljinu i širinu (vodljivost) pukotine. Koristeći modele protjecanja

fluida opisane u poglavlju 2, tada je moguće izračunati bilo kumulativnu

proizvodnju, bilo dinamički tlak u funkciji vremena, kako za slučaj frakturirane

tako i za slučaj nefrakturirane bušotine.

No, da bi proračuni za frakturiranu i nefrakturiranu bušotinu bili

usporedivi, potrebno je primijeniti model ograničenog ležišta sa zatvorenom

vanjskom granicom. Ovaj model praktički je bez iznimke primjenjiv u plinskim

ležištima, te u naftnim ležištima s režimom otopljenog plina (odnosno s

elastičnim režimom). Za ležišta s vodenim utokom ili na neki način

podržavanim ležišnim tlakom, prikladniji je model neograničenog ležišta ili

pak ograničenog ležišta s konstantnim tlakom na vanjskoj granici. Međutim,

sve ove razlike praktički se odnose samo na konvencionalna ležišta i ležišta

osrednje propusnosti. Naime, u ležištima slabe, vrlo slabe i ekstremno slabe

propusnosti, vrijeme uspostavljanja polustacionarnog stanja, odnosno vrijeme

118

118

dosezanja granica ležišta (t rD eD= 0 25 2. ), obično je znatno duže od radnog

vijeka bušotine, što znači da se čitav svoj radni vijek bušotina nalazi u

prijelaznom stanju (transient period), kojeg se može opisati modelom

neograničenog ležišta.

Ovo se može demonstrirati primjerom naftne bušotine, koja proizvodi

konstantnim protokom, koristeći parametre ležišta i pukotine iz tablica 5 i 6.

Dakle, u ležištu dobre propusnosti (k m= ⋅ −10 10 3 2µ ), prijelazni period trajat će

svega 123 dana (t rD eD= 0 25 2. ). Ukoliko se ležišni tlak podržava, nakon 1.35

godina (t rD eD= 2 ) uspostavit će se stacionarno stanje, u kojem pad tlaka više

nije funkcija vremena (jednadžba 51). Kako bismo izbjegli korekcije zbog

dvofaznog protoka, za ovaj račun uzmimo da je minimalni dinamički tlak

jednak tlaku zasićenja ( p pwf b≥ ). Uz ovu pretpostavku slijedi da

nefrakturirana bušotina može proizvoditi konstantnim protokom od 82.16

m3/d. U slučaju frakturirane bušotine, pseudoradijalni protok se uspostavlja

već nakon 12.5 dana (tDxf = 2 5. ), a samo stacionarno stanje, kao i kod

nefrakturirane bušotine, nakon 1,35 godina. No, za razliku od nefrakturirane

bušotine, frakturirana bušotina će, u istim uvjetima ( p pwf b≥ ), proizvoditi

konstantnim protokom od 252.61 m3/d. Time se, istina, ne može povećati

konačni iscrpak, ali se može bitno skratiti vrijeme crpljenja.

Ako se pak ležišni tlak ne podržava, uspostava stacionarnog stanja će

izostati, te će se nakon prijelaznog perioda uspostaviti polustacionarno

stanje. Budući je takvo stanje opisano modelom ograničenog ležišta sa

zatvorenom vanjskom granicom (jednadžba 45, odnosno 47), lako je

izračunati da će nefrakturirana bušotina, uz proizvoljno odabran konstantan

protok od 40 m3/d, za 7 godina, postići uvjet p pwf b= , dok će kod frakturirane

bušotine to trajati 11 godina. Dakle, kumulativna proizvodnja nefrakturirane

bušotine iznosit će 102,200 m3, što daje iscrpak od 8.16% (N=1,253,000 m3),

119

119

a srednji ležišni tlak bit će 209 bara, dok će frakturirana bušotina proizvesti

160,600 m3, iscrpak će iznositi 12.8%, a srednji ležišni tlak 168 bara. No, ako

se vrijeme proizvodnje frakturirane bušotine ograniči na 7 godina, tada će

uvjet p pwf b= biti ostvaren uz konstantan protok od 60 m3/d, što će dati

kumulativnu proizvodnju od 153,300 m3, iscrpak od 12.2%, a srednji ležišni

tlak tada će iznositi 173 bara. Dakle, i u jednom i u drugom slučaju

kumulativna proizvodnja frakturirane bušotine bit će veća od nefrakturirane,

iako se ta razlika smanjuje kako se produžava vrijeme proizvodnje. Tako je

npr. za ekonomski limitirani radni vijek bušotine od 40 god. razlika neznatna:

dok nefrakturirana bušotina može proizvoditi konstantnim protokom od 11.2

m3/d, kod frakturirane je to 12.3 m3/d. U prvom slučaju kumulativna

proizvodnja iznosi 163,500 m3, a u drugom 179,600 m3, dok su konačni

iscrpci 13.05%, odnosno 14.3%. S obzirom na napomenu u vezi minimalnog

dinamičkog tlaka, vrijednosti iscrpka treba uzeti uvjetno, no općenito se može

zaključiti da se učinak hidrauličkog frakturiranja u konvencionalnim ležištima

očituje uglavnom u ubrzanju tempa crpljenja, a manje u povećanju konačnog

iscrpka, na kojeg bitno utječe režim crpljenja, tj. način istiskivanja nafte.

Ležište osrednje propusnosti (k m= ⋅ −1 10 3 2µ ) može se tretirati kao i

konvencionalno ležište, iako su brojčani pokazatelji nešto drukčiji. Ovdje,

naime, prijelazni period traje 2.5 god., stacionarno stanje se uspostavlja tek

nakon 10 godina, a uz uvjet p pwf b≥ , nefrakturirana bušotina može proizvoditi

maksimalnim konstantnim protokom od 11.43 m3/d. Ako je ekonomski

limitirani radni vijek bušotine 40 godina, kumulativna proizvodnja će tada

iznositi 167,000 m3, a konačni iscrpak 13.5%. U slučaju frakturirane bušotine

razvija se samo bilinearni protok, koji traje samo jedan dan (t CDxf fD= 0 1 2. ), da

bi nakon dvije godine prijelaznog perioda započeo pseudoradijalni protok sa

polustacionarnim stanjem nakon 2.5 god. ili stacionarnim nakon 10 god.

120

120

Maksimalni konstantni protok tada iznosi 54.1 m3/d, što daje kumulativnu

proizvodnju od 790,000 m3, odnosno konačni iscrpak od čak 64%. Dakle,

doprinos hidrauličkog frakturiranja povećanju konačnog iscrpka je očit, pod

uvjetom održavanja konstantnog tlaka na vanjskoj granici ležišta. Izostane li

pak ovaj uvjet, pa se nakon prijelaznog perioda uspostavi polustacionarno

stanje, maksimalni konstantni protok nefrakturirane bušotine, uz uvjet

p pwf b≥ , iznosi 5.9 m3/d, a frakturirane 11.6 m3/d. U tom slučaju kumulativna

proizvodnja nefrakturirane bušotine iznosi 86,140 m3, a frakturirane 169,360

m3, što daje konačne iscrpke od 6.9%, odnosno 13.7%. Dakle, u ležištima

osrednje propusnosti hidrauličko frakturiranje će rezultirati povećanjem

konačnog iscrpka, no to povećanje uvelike ovisi o režimu crpljenja, što znači

da je za proračun vrlo važno koji model primijeniti.

U ležištima slabe propusnosti (k m= ⋅ −0 05 10 3 2. µ ) uspostava

polustacinarnog stanja traje gotovo kao i radni vijek bušotine (34 god.), dok bi

se stacionarno stanje uspostavilo tek nakon 136 godina. Tek značajnim

smanjenjem radijusa crpljenja ova vremena bi se skratila (za r me = 500

stacionarno stanje bi započelo potkraj radnog vijeka bušotine, točnije nakon

34 god., a za r me = 250 nakon 8.5 godina). U takvim uvjetima primjenjiv je

model ograničenog ležišta sa zatvorenom vanjskom granicom, prema kojem

slijedi da bi nefrakturirana bušotina postigla uvjet p pwf b= do kraja radnog

vijeka, uz konstantni protok od 0.9 m3/d. U frakturiranoj bušotini razvija se

bilinearni protok, koji traje jedan dan i pseudolinearni, koji započinje nakon 10

dana (t CDxf fD= 1 2 ), a svršava nakon jedne godine (tDxf = 0 016. ).

Pseudoradijalni protok se ne razvija, već se bušotina nalazi u prijelaznom

stanju do kraja radnog vijeka, koje je opisano semianalitičkim rješenjem

danim u obliku tipske krivulje (Sl. 20). Takva će bušotina postići uvjet p pwf b=

121

121

na kraju radnog vijeka, uz konstantan protok od 6.2 m3/d, dok bi uz protok od

12.7 m3/d taj uvjet bio ostvaren nakon 10 godina.

U vrlo slabo i ekstremno slabo propusnim ležištima (k m= ⋅ −0 01 10 3 2. µ i

k m= ⋅ −0 001 10 3 2. µ ), ne bi se uspostavilo ni polustacionarno stanje unutar

radnog vijeka bušotine, već bi se bušotina nalazila u prijelaznom stanju čitav

svoj radni vijek. Dakle, u oba slučaja, dostatan je model neograničenog

ležišta, no primjenjiv je i model ograničenog ležišta sa zatvorenom vanjskom

granicom. Ni u jednom od ova dva slučaja nefrakturirana bušotina, praktički,

uopće ne može udovoljiti uvjetu minimalne dnevne proizvodnje od 0.5 m3/d,

budući je već nakon dva dana (odnosno jedan dan) ostvaren uvjet p pwf b= . U

slučaju frakturirane bušotine, u ležištu vrlo slabe propusnosti, bilinearni

protok se praktički ne razvija (točnije, traje svega 15 sati), pseudolinearni

započinje nakon 6 dana, a linearni nakon 600 dana (t CDxf fD= 100 2 ) i svršava

nakon 7.4 god., od kada je bušotina u prijelaznom stanju do kraja radnog

vijeka. Uz konstantnu proizvodnju od 3.66 m3/d, takva bi bušotina ostvarila

uvjet p pwf b= na kraju radnog vijeka, no uz dvostruko veću proizvodnju, taj bi

uvjet bio postignut nakon 10 godina. Slično je i s frakturiranom bušotinom u

ekstremno slabo propusnom ležištu, gdje bi se pseudolinearni protok razvio

već nakon 12 sati, a linearni nakon 50 dana, te bi trajao dulje od radnog

vijeka bušotine. U tom slučaju, bušotina bi proizvodila 10 godina konstantnim

protokom od 2.7 m3/d, odnosno 40 godina protokom 1.36 m3/d, prije

postizanja uvjeta p pwf b= .

Dakle, može se zaključiti da je model ograničenog ležišta sa

zatvorenom vanjskom granicom primjenjiv u većini nekonvencionalnih ležišta,

bez obzira na režim crpljenja. Budući su upravo ta ležišta potencijalni

kandidati za hidraulička frakturiranja, u proračunu koji slijedi korišten je baš

taj model.

122

122

Međutim, ležišta slabe, vrlo slabe i ekstremno slabe propusnosti

praktički ne mogu udovoljiti uvjetu konstantnog protoka, već najčešće

proizvode pri manje-više konstantnom dinamičkom tlaku. To naročito vrijedi

za plinska ležišta, gdje je dinamički tlak određen tlakom transportnog

sustava, ali i za naftna ležišta kad bušotina proizvodi eruptivno ili plinskim

liftom. Stoga su, kako je već rečeno, za proračun mogućeg povećanja

konačnog iscrpka prikladniji modeli konstantnog tlaka, nego modeli

konstantnog protoka, pa će u proračunu koji slijedi biti korišten model

ograničenog ležišta sa zatvorenom vanjskom granicom, konstantnog tlaka na

unutarnjoj granici.

U nastavku je dan proračun kumulativne proizvodnje za sve kategorije

propusnosti naftnih i plinskih ležišta, te za hipotetskih 1000 bušotina u

plinskom ležištu, čija je distribucija propusnosti određena tablicom 3.

123

123

4.1. PRORAČUN KUMULATIVNE PROIZVODNJE JEDNE BUŠOTINE ZA POJEDINE KATEGORIJE PROPUSNOSTI

Proračuni su učinjeni za frakturirane i nefrakturirane bušotine koje

proizvode pri konstantnom dinamičkom tlaku iz svih kategorija naftnih,

odnosno plinskih ležišta. Svojstva ležišta i ležišnog fluida, koja su pritom

zadržavana konstantnim, dana su u tablici 5, gdje je također dan konstantni

dinamički tlak, te maksimalni radni vijek bušotine i minimalna, ekonomski

opravdana, dnevna proizvodnja. Svojstva ležišnog fluida definirana su kod

početnih ležišnih uvjeta, osim viskoznosti plina i ukupne stlačivosti plinskog ležišta, koja su definirana pri srednjem tlaku, ( ) 2wfi ppp += .

Tablica 5. Konstantni parametri proračuna

PARAMETRI NAFTA PLIN

Početni ležišni tlak, pi (bar) 280 350

Tlak zasićenja, pb (bar) 150

Dinamički tlak, pwf (bar) 20 50

Viskoznost ležišnog fluida, µ (Pa∗s) 5.0E-04 2.0E-05

Ukupna stlačivost sustava, ct (Pa-1) 8E-09 2.1-3.2E-08

Obujamski koeficijent, B (m3/m3) 1.3 4.7E-03

Faktor odstupanja realnog plina, Z 0.97

Ležišna temperatura, T (°C) 130 175

Radijus bušotine, rw (m) 0.1 0.1

Radijus crpljenja, re (m) 1000 1000

Maksimalni radni vijek bušotine, t (god.) 40 40

Minimalna dnevna proizvodnja, q (m3/d) 0.5 1000

124

124

Promjenljive veličine su efektivna propusnost, k , efektivna debljina, h , i

efektivna šupljikavost, φ , a u slučaju frakturirane bušotine i efektivna duljina,

x f , i vodljivost pukotine, k wf . Uzevši donju granicu propusnosti

reprezentativnom za svaku kategoriju propusnosti, kako je dano na slici 8,

odgovarajuće vrijednosti efektivnih debljina i šupljikavosti određivane su

prema korelacijama na slikama 5 i 6. U slučaju plinskog ležišta promjenljiva

veličina je i ukupna stlačivost sustava, ct , koja je uglavnom funkcija zasićenja

plinom, odnosno vodom. U naftnom ležištu ta ovisnost nije toliko značajna, pa

je ukupna stlačivost uzeta konstantnom. U oba slučaja zasićenje vodom

određivano je prema korelaciji55

S kw = −−log ..0 06 0 56. (325)

Potrebna efektivna duljina pukotine, za svaku kategoriju propusnosti,

određena je prema dijagramu na slici 8, ne ulazeći, za sada, u njenu

optimalizaciju. Pomoću jednog od modela opisanih u poglavlju 3 (KGD ili

PKN), te modela gibanja podupirača, koristeći prosječna mehanička svojstva

ležišnih stijena i prosječna svojstva fluida za frakturiranje, za svaku duljinu

pukotine određena je konačna distribucija podupirača u pukotini, a odatle,

prema jednadžbi 137, prosječna bezdimenzionalna vodljivost pukotine, CfD ,

odnosno, prema jednadžbi 133, prividna prosječna bezdimenzionalna

vodljivost, ′CfD . Treba napomenuti da ni vodljivost pukotine nije optimalizirana,

već je u svim slučajevima korišten isti podupirač (propusnosti 200 µm2), iste

završne obujamske koncentracije u pukotini (1200 kg/m3), pa je, u

slučajevima vrlo slabe i ekstremno slabe propusnosti za plin, te ekstremno

slabe propusnosti za naftu, ostvarena nepotrebno visoka bezdimenzionalna

vodljivost, što poskupljuje sam postupak frakturiranja.

Zbog određenih specifičnosti, promjenljivi parametri i rezultati proračuna

dani su zasebno za naftna i plinska ležišta .

125

125

4.1.1. Naftna ležišta

Promjenljivi parametri proračuna za svaku kategoriju propusnosti dani

su u tablici 6. Tablica 6. Promjenljivi parametri proračuna

Kategorija

propusnosti

k

(10-3 µm2)

h

(m)

φ

(%)

Sw

(%)

xf

(m)

CfD

Dobra 10 6.97 10.65 30 100 1.5

Osrednja 1 9.7 7.99 34 300 7

Slaba 0.05 15.15 5.35 42 650 70

Vrlo slaba 0.01 17.88 4.5 46 900 250

Ekstremno slaba 0.001 22.42 3.8 52 900 2500

Budući matematički modeli protjecanja fluida podrazumijevaju

jednofazni protok, u slučaju naftnog ležišta oni su primjenjivi samo ako je

dinamički tlak veći ili jednak tlaku zasićenja. No, primjenom Vogelove

korelacije, proračun je moguć i za područje ispod tlaka zasićenja.45,78 S

obzirom na relaciju između trenutne i kumulativne proizvodnje (jedn. 60), za

proračun kumulativne proizvodnje korelaciju se može pisati kao

( )

−

−

−+=

2

8.02.018.1

1)()(b

wf

b

wf

bi

bb p

ppp

ppptQtQ ,

(326)

gdje je Q t( ) kumulativna proizvodnja u vremenu t , pri konstantnom

dinamičkom tlaku p p pwf b i< < , dok je Q tb ( ) kumulativna proizvodnja u

vremenu t , određena prema jednom od modela iz poglavlja 2 za konstantni

dinamički tlak p p pwf b i= < .

126

126

Slično, analitičko rješenje slijedi iz jednadžbe difuzije (jedn. 22) ako se

adekvatno definira bezdimenzionalne varijable. Naime, u slučaju p pwf b< ,

promjenljive veličine u jednadžbi protoka su i efektivna propusnost za naftu,

ko i viskoznost nafte, µo i obujamski koeficijent za naftu, Bo , pa trenutni

protok na unutarnjoj granici ležišta, dan jednadžbom 59, treba modificirati.

Efektivnu propusnost za naftu može se izraziti kao produkt k kro⋅ , gdje je kro

relativna propusnost za naftu. Kod p pb≥ , kro = 1, no za p pb< , relativna

propusnost za naftu je funkcija zasićenja naftom, odnosno plinom. Kako je

zasićenje naftom (plinom) funkcija tlaka, slijedi da je i relativna propusnost

funkcija tlaka. Budući su i µo i Bo izravno ovisni o tlaku, može se, analogno

plinu, formirati funkciju tlaka u obliku F p kBro

o o

( ) =µ

. Za p pb< , F p( ) se može

aproksimirati kao linearna funkcija tlaka,99,102 pa ako se µo i Bo definira kod

p p pb i= = , trenutni protok na unutarnjoj granici ležišta bit će dan jednadžbom

( )wriioo

w

rp

pBkhrtq

∂∂

µπ 2

)( −= . (327)

U tom slučaju, adekvatna definicija bezdimenzionalnog pada tlaka

(ekvivalent jednadžbi 58) bit će dana kao

p p pp pDi

i wf

= −−

2 2

2 2 , (328)

a bezdimenzionalnog protoka (ekvivalent jednadžbi 61), u prikladnijoj,

recipročnoj formi, kao

dpBk

tqkh

q

i

wf

p

p oo

ro

D∫=

µπ)(

21 . (329)

Uz spomenutu aproksimaciju funkcije tlaka, rješenje integrala glasi

( )iooi

wfip

p oo

ro

Bppp

dpBki

wfµµ 2

22 −=∫ , (330)

pa će, dakle, adekvatna definicija bezdimenzionalnog protoka glasiti

( )( )22

)(

wfi

iiooD ppkh

pBtqq

−=

πµ . (331)

127

127

Naime, uvrštavanjem jednadžbi 327 i 328 u jednadžbu 331, slijedi

jednadžba 62, što znači da je bezdimenzionalni protok, qD , funkcija

bezdimenzionalnog pada tlaka, pD , koji pak predstavlja rješenje

bezdimenzionalnog oblika jednadžbe difuzije (jedn. 39). Uvrštavanjem

jednadžbe 331 i 37a u jednadžbu 63, slijedi definicija bezdimenzionalne

kumulativne proizvodnje

( )222

)(

wfiwti

ioiD pprch

pBtQQ−

=φπ

. (332)

Za slučaj p p pwf b i< < , aproksimativno rješenje integrala u jednadžbi

329 glasi99

( ) ( )ioob

wfb

ioo

bip

p oo

ro

Bppp

Bppdp

Bki

wfµµµ 2

22 −+−=∫ , (333)

što podrazumijeva F p const( ) .= za p pb≥ . U stvarnosti je F p F pb i( ) ( )> ,

pa bi se produkt µo oB⋅ u prvom članu desne strane jednadžbe 333 trebalo

definirati kod tlaka ( ) 2bi pp + , a u drugom članu kod pb. No, razlika je

zanemariva, pa adekvatna definicija bezdimenzionalnog protoka za slučaj

p p pwf b i< < , glasi

( )

( )[ ]bwfbbi

iooD pppppkh

Btqq

22)(

22 −+−=

πµ . (334)

Uvrštavanjem jednadžbe 334 i 37a u jednadžbu 63, slijedi i definicija

bezdimenzionalne kumulativne proizvodnje, za slučaj p p pwf b i< <

( )[ ]bwfbbiwti

oiD ppppprch

BtQQ22

)(222 −+−

=φπ

. (335)

Dakle, za slučaj konstantnog dinamičkog tlaka, kad je on manji od tlaka

zasićenja, kumulativna proizvodnja u funkciji vremena dana je kao

−+−=

b

wfbbi

oi

eDDDwti

ppp

ppB

rtQrchtQ2

),(2)(222φπ . (336)

Budući je kumulativna proizvodnja kod p p pwf b i= < dana jednadžbom

65, tj.

128

128

( )),(2)(

2

eDDDoi

biwtib rtQ

BpprchtQ −= φπ , (337)

jednadžbu 336 može se pisati kao

( )

−−

+=bib

wfbb ppp

pptQtQ

21)()(

22

, (338)

ili, radi usporedbe s Vogelovom korelacijom (jedn. 326), kao

( )

−

−+=

2

12

1)()(b

wf

bi

bb p

ppp

ptQtQ . (339)

Dakle, analitičko je rješenje po obliku slično Vogelovoj korelaciji, a

numerički razlika je zanemariva. Za konkretan slučaj, tj. za tlakove definirane

u tablici 5, razlika iznosi svega 3%, pa je za proračun korišteno analitičko

rješenje, budući je ono kompatibilno s proračunom srednjeg ležišnog tlaka.

Rezultati proračuna za slučaj nefrakturirane bušotine, prema

kategorijama propusnosti ležišta, dani su u tablici 7, a za slučaj frakturirane

bušotine u tablici 8. Osim kumulativne proizvodnje ostvarene do postizanja

jednog od ekonomskih limita, definiranih u tablici 5, u tablicama je dano i

vrijeme trajanja proizvodnje, srednji ležišni tlak u tom trenutku, te konačni

iscrpak, računat prema jednadžbi

( )we

p

ShrQB

NN

r−

==12 φπ

. (340)

Srednji ležišni tlak je računat prema jednadžbi 54 ako je p t pb( ) ≥ ,

odnosno ako je ( )bioi

tie ppBchrtQ −≤ φπ 2

)( . Za p t pb( ) ≤ , obujamski koeficijent,

Bo , je funkcija tlaka, koju se može aproksimirati kao

obb

bp

p o Bpppdp

B

b

21 22 −=∫ , (341)

pa tada jednadžba 54 glasi

p p t Q t t p Br h cbb b ob

e tb

2 22

2− =( ) ( , )∆π φ

, (342)

129

129

gdje je ∆Q t tb( , ) dio kumulativne proizvodnje ostvaren nakon postizanja

uvjeta p t pb( ) = , tj.

( )bioi

tieb pp

BchrtQttQ −−=∆ φπ 2

)(),( . (343)

Dakle, u slučaju p t pb( ) ≥ , srednji ležišni tlak je linearna funkcija

kumulativne proizvodnje, dok je u slučaju p t pb( ) ≤ , p2 linearna funkcija

kumulativne proizvodnje.100 Uvrštavanjem jednadžbe 343 u jednadžbu 342, te

pretpostavljajući konstantan Bo i ct za p pb≥ , slijedi jednadžba prema kojoj je

računat srednji ležišni tlak, kad je ostvaren uvjet ( )bioi

tie ppBchrtQ −≥ φπ 2

)( , tj.

−−=

tie

oibib chr

BtQppptpφπ 2

)(22)( . (344)

Tablica 7. Rezultati proračuna za nefrakturiranu bušotinu.

Kategorija

propusnosti

Propusnost

(10-3 µm2)

Kumulativna

proizvodnja (m3)

Vrijeme

(god.)

Tlak

(bar)

Iscrpak

(%)

Dobra 10 292,000 40 22 23.2

Osrednja 1 186,000 40 156 15.1

Slaba 0.05 22,400 40 266 1.97

Vrlo slaba 0.01 350 2 280 0.03

Ekstremno slaba 0.001 0 0 280 0

Tablica 8. Rezultati proračuna za frakturiranu bušotinu.

Kategorija

propusnosti

Propusnost

(10-3 µm2)

Kumulativna

proizvodnja (m3)

Vrijeme

(god.)

Tlak

(bar)

Iscrpak

(%)

Dobra 10 292,000 10 22 23.2

Osrednja 1 297,500 40 44 24.1

130

130

Slaba 0.05 190,000 40 159 16.6

Vrlo slaba 0.01 105,000 40 213 9.98

Ekstremno slaba 0.001 33,000 40 260 3.34

Usporedbom rezultata proračuna za nefrakturiranu i frakturiranu

bušotinu dolazi se do različitih zaključaka za pojedine kategorije propusnosti.

Kod konvencionalnih ležišta, učinak hidrauličkog frakturiranja očituje se

samo u skraćenju vremena proizvodnje (10 god. u odnosu na 40 god. kod

nefrakturirane bušotine), dok je kumulativna proizvodnja, odnosno konačni

iscrpak, u oba slučaja isti. No, glavnina proizvodnje kod nefrakturirane

bušotine ostvari se za 20 godina (283,000 m3), a kod frakturirane za 6.5 god.

(287,000 m3) (Sl. 42).

VRIJEME (GOD)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

5.00E+ 04

1.00E+ 05

1.50E+ 05

2.00E+ 05

2.50E+ 05

3.00E+ 05

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

NEFRAKTURIRANABU[ OTINA

FRAKTURIRANA BU[ OTINA

Slika 42. Kumulativna proizvodnja jedne bušotine u funkciji vremena proizvodnje - konvencionalno naftno ležište (k=10*10-3 µm2)

U slučaju frakturirane bušotine, bilinearni protok traje vrlo kratko (manje

od jednog sata, jedn. 118), linearni protok se uopće ne razvija, a

pseudoradijalni protok započinje već nakon 12.5 dana, kada se bušotinu

može tretirati kao nefrakturiranu, s efektivnim radijusom bušotine od 25 m.

131

131

Prvih 123 dana ponašanje bušotine identično je ponašanju neograničenog

ležišta, nakon čega dolaze do izražaja granice ležišta, određene radijusom

crpljenja bušotine. Kao što je već rečeno, u proračunu je primijenjen model

ograničenog ležišta, no kad bi se radilo o ležištu s vodenim utokom ili bi se

na neki način podržavalo ležišni tlak, trebalo bi primijeniti model

neograničenog ležišta (jedn. 66, odnosno 67). U tom slučaju kumulativne

proizvodnje bile bi znatno veće, no odnos između frakturirane i nefrakturirane

bušotine ostao bi isti: ono što nefrakturirana bušotina proizvede unutar

limitiranog radnog vijeka od 40 god. frakturirana bušotina će proizvesti za 10

godina.

Kod ležišta osrednje propusnosti, utjecaj hidrauličkog frakturiranja na

pridobive zalihe nafte, odnosno na konačni iscrpak, već je očit. Naime,

kumulativna proizvodnja frakturirane bušotine znatno je veća (60%) od

proizvodnje nefrakturirane bušotine, što se očituje i u konačnim iscrpcima

(24.1% prema 15.1% u korist frakturirane bušotine) (Sl. 43). Dok je

frakturirana bušotina dosegla praktički oba ekonomska limita, nefrakturirana

je dosegla samo vremenski limit, a dnevna proizvodnja je još uvijek značajna

(8.41 m3/d).

VRIJEME (GOD)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

5.00E+ 04

1.00E+ 05

1.50E+ 05

2.00E+ 05

2.50E+ 05

3.00E+ 05

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45



132

132

Slika 43. Kumulativna proizvodnja jedne bušotine u funkciji vremena proizvodnje - naftno ležište osrednje propusnosti (k=1*10-3 µm2)

Bilinearni protok, u slučaju frakturirane bušotine, traje samo 1.2 dana

(jedn. 117), linearni se ni ovdje ne razvija, a nakon 2 god. započinje

pseudoradijalni protok, od kada se bušotinu može tretirati kao nefrakturiranu,

ali s efektivnim radijusom bušotine od 120 m. Do 2.5 god. ponašanje bušotine

je jednako ponašanju neograničenog ležišta, nakon čega do izražaja dolaze

granice ležišta, odnosno radijus crpljenja bušotine.

Ležište slabe propusnosti očiti je kandidat za hidrauličko frakturiranje.

Dok će nefrakturirana bušotina proizvesti svega 22,400 m3 nafte, s konačnim

iscrpkom od svega 1.97%, frakturirana će proizvesti 190,000 m3, a konačni

iscrpak bit će 16.6% (Sl. 44). Ni u jednom slučaju neće biti dosegnuta

ekonomski limitirana dnevna proizvodnja, no, u slučaju frakturirane bušotine,

dnevna proizvodnja je i nakon 40 god. znatno veća nego kod nefrakturirane

(5.6 m3/d, u odnosu na 1.44 m3/d).

VRIJEME (GOD)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

2.00E+ 04

4.00E+ 04

6.00E+ 04

8.00E+ 04

1.00E+ 05

1.20E+ 05

1.40E+ 05

1.60E+ 05

1.80E+ 05

2.00E+ 05

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45



Slika 44. Kumulativna proizvodnja jedne bušotine u funkciji vremena proizvodnje - naftno ležište slabe propusnosti (k=0.05*10-3 µm2)

133

133

Što se tiče režima protjecanja, kod frakturirane bušotine bilinearni

protok traje manje od jednog dana (jedn. 117) , no nakon 10 dana uspostavlja

se pseudolinearni protok i traje približno 1 godinu. Pseudoradijalni protok se

ne uspostavlja do kraja radnog vijeka bušotine, pa granice ležišta uopće ne

dolaze do izražaja, što je slučaj i sa nefrakturiranom bušotinom.

Kategorija vrlo slabe propusnosti u konvencionalnom smislu više i ne

predstavlja ležište, budući su pridobive zalihe, odnosno potencijalna

kumulativna proizvodnja nefrakturirane bušotine, zanemarivo male (Sl. 45). S

druge strane, frakturirana bušotina omogućit će konačni iscrpak od 9.98%.

Glavni režimi protjecanja fluida kod frakturirane bušotine jesu pseudolinearni,

koji započinje već nakon 6 dana, te linearni režim, koji započinje nakon 600

dana i traje do osme godine. Pseudoradijalni protok ni ovdje se ne

uspostavlja, niti granice ležišta imaju utjecaja na ponašanje bušotine.

VRIJEME (GOD)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

2.00E+ 04

4.00E+ 04

6.00E+ 04

8.00E+ 04

1.00E+ 05

1.20E+ 05

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45




proizvodnje - naftno ležište vrlo slabe propusnosti (k=0.01*10-3 µm2)

Konačno, kategorija ekstremno slabo propusnih ležišta sa svojim

zalihama, također, može biti uključena u pridobive zalihe, ukoliko se primijeni

postupak hidrauličkog frakturiranja (Sl. 46). S obzirom na vrlo visoku

134

134

bezdimenzionalnu vodljivost pukotine, linearni protok se razvija nakon 50

dana i traje duže od radnog vijeka bušotine.

VRIJEME (GOD)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

5.00E+ 03

1.00E+ 04

1.50E+ 04

2.00E+ 04

2.50E+ 04

3.00E+ 04

3.50E+ 04

4.00E+ 04

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50




proizvodnje - naftno ležište ekstremno slabe propusnosti (k=0.001*10-3 µm2)

4.1.2. Plinska ležišta

Kao i za naftna ležišta, promjenljivi parametri proračuna za svaku

kategoriju propusnosti dani su tablično (tablica 9.).

Tablica 9. Promjenljivi parametri proračuna

Kategorija

propusnosti

k

(10-3 µm2)

h

(m)

φ

(%)

Sw

(%)

ct

(10-8Pa-1)

xf

(m)

CfD

Dobra 1 9.7 7.99 34 3.2 100 10

Osrednja 0.1 13.33 6 40 3.0 300 50

Slaba 0.005 20 4 48 2.6 650 600

Vrlo slaba 0.001 22.42 3.38 52 2.4 900 2300

Ekstremno slaba 0.0001 25.45 2.54 58 2.1 900 23000

135

135

Također, rezultati proračuna, prema kategorijama propusnosti ležišta,

dani su u tablici 10 za slučaj nefrakturirane bušotine, a za slučaj frakturirane

bušotine u tablici 11. Osim kumulativne proizvodnje, ostvarene do postizanja

jednog od ekonomskih limita (tablica 5), u tablicama je dano i vrijeme trajanja

proizvodnje, srednji ležišni tlak u tom trenutku, te konačni iscrpak.

Tablica 10. Rezultati proračuna za nefrakturiranu bušotinu.

Kategorija

propusnosti

Propusnost

(10-3 µm2)

Kumulativna

proizvodnja (m3)

Vrijeme

(god.)

Tlak

(bar)

Iscrpak

(%)

Dobra 1 2.9E+08 40 64.7 86

Osrednja 0.1 1.57E+08 40 190 50

Slaba 0.005 1.71E+07 40 330 6.2

Vrlo slaba 0.001 0 0 350 0

Ekstremno slaba 0.0001 0 0 350 0

Tablica 11. Rezultati proračuna za frakturiranu bušotinu.

Kategorija

propusnosti

Propusnost

(10-3 µm2)

Kumulativna

proizvodnja (m3)

Vrijeme

(god.)

Tlak

(bar)

Iscrpak

(%)

Dobra 1 2.9E+08 12 64.7 86

Osrednja 0.1 2.73E+08 40 71.8 86

Slaba 0.005 1.46E+08 40 179 53

Vrlo slaba 0.001 7.56E+07 40 248 31

Ekstremno slaba 0.0001 1.79E+07 40 318 10

Usporedbom rezultata proračuna za nefrakturiranu i frakturiranu

bušotinu dolazi se do zaključaka sličnih onima za naftna ležišta. Naime, i kod

plinskih konvencionalnih ležišta, učinak hidrauličkog frakturiranja očituje se

136

136

samo u skraćenju vremena proizvodnje (12 god. u odnosu na 40 god. kod

nefrakturirane bušotine), dok je kumulativna proizvodnja, odnosno konačni

iscrpak, u oba slučaja isti (Sl. 47). U slučaju frakturirane bušotine ne razvija

se ni bilinearni niti linearni protok, pseudolinearni protok traje svega 2-3 sata,

a pseudoradijalni protok započinje već nakon 5 dana, kada se bušotinu može

tretirati kao nefrakturiranu, s efektivnim radijusom bušotine od 50 m. Prvih

150 dana ponašanje bušotine identično je ponašanju neograničenog ležišta,

nakon čega dolaze do izražaja granice određene radijusom crpljenja

bušotine.

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

5.00E+ 07

1.00E+ 08

1.50E+ 08

2.00E+ 08

2.50E+ 08

3.00E+ 08

0 5 10 15 20 25 30 35 40




proizvodnje - konvencionalno plinsko ležište (k=1*10-3 µm2)

Kod ležišta osrednje propusnosti, utjecaj hidrauličkog frakturiranja

očituje se u gotovo dvostrukom povećanju kumulativne proizvodnje, odnosno

konačnog iscrpka (86% prema 50% u korist frakturirane bušotine), s tim da je

glavnina proizvodnje frakturirane bušotine ostvarena već za 25 godina

(2.64E+08 m3) (Sl. 48). Bilinearni i linearni protok ni ovdje se ne razvija,

pseudolinearni traje samo 6 dana, a nakon 2.5 god. započinje

pseudoradijalni protok, od kada se bušotinu može tretirati kao nefrakturiranu,

137

137

s efektivnim radijusom bušotine od 150 m. Do pete godine ponašanje

bušotine je jednako ponašanju neograničenog ležišta, nakon čega do izražaja

dolaze granice ležišta, odnosno radijus crpljenja bušotine.

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

5.00E+ 07

1.00E+ 08

1.50E+ 08

2.00E+ 08

2.50E+ 08

3.00E+ 08

0 5 10 15 20 25 30 35 40




proizvodnje - plinsko ležište osrednje propusnosti (k=0.1*10-3 µm2)

Ležište slabe propusnosti gotovo da i nije kandidat za proizvodnju bez

hidrauličkog frakturiranja, pošto ni u prvim danima proizvodnje dnevna

proizvodnja neće doseći vrijednost od 2,000 m3/dan, a konačni iscrpak nakon

40 godina iznosit će svega 6.2% (Sl. 49). S druge strane, frakturirana

bušotina će proizvesti 1.46E+08 m3 plina, s konačnim iscrpkom od čak 53%,

što je direktan doprinos povećanju pridobivih zaliha plina.

138

138

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

2.00E+ 07

4.00E+ 07

6.00E+ 07

8.00E+ 07

1.00E+ 08

1.20E+ 08

1.40E+ 08

1.60E+ 08

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45




proizvodnje - plinsko ležište slabe propusnosti (k=0.005*10-3 µm2)

Kod frakturirane bušotine uspostavljaju se pseudolinearni (nakon 2

sata) i linearni protok (nakon 6 dana), koji traje 330 dana, a pseudoradijalni

protok se ne uspostavlja do kraja radnog vijeka bušotine, pa granice ležišta

uopće ne dolaze do izražaja, što je slučaj i sa nefrakturiranom bušotinom.

Ležišta kategorije vrlo slabe propusnosti, u konvencionalnom smislu,

zaista ne predstavljaju ležišta, budući su pridobive zalihe, odnosno

potencijalna kumulativna proizvodnja nefrakturirane bušotine, ravne ništici

(Sl. 50). No, i u takvim ležištima, frakturirana bušotina omogućit će konačni

iscrpak od 31%. Glavni režim protjecanja u ovom slučaju jest linearni režim,

koji započinje već nakon 3 dana (pseudolinearni započinje nakon 1 sata) i

traje do desete godine, dok se pseudoradijalni protok ne uspostavlja, niti

granice ležišta imaju utjecaja na ponašanje bušotine.

139

139

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

1.00E+ 07

2.00E+ 07

3.00E+ 07

4.00E+ 07

5.00E+ 07

6.00E+ 07

7.00E+ 07

8.00E+ 07

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45




proizvodnje - plinsko ležište vrlo slabe propusnosti (k=0.001*10-3 µm2)

Dio zaliha plina u ekstremno slabo propusnim ležištima, također, može

biti uključen u pridobive zalihe, ukoliko se primijeni postupak hidrauličkog

frakturiranja (Sl. 51). Vrlo visoka bezdimenzionalna vodljivost pukotine

uzrokom je vrlo ranog uspostavljanja linearnog protoka (nakon 5 sati), koji

traje duže od radnog vijeka bušotine. No, i desetorostruko manja vodljivost

pukotine prouzročila bi samo kasnije uspostavljanje linearnog protoka (nakon

30 dana, dok bi pseudolinearni protok započeo nakon 4 dana), bez utjecaja

na kumulativnu proizvodnju, pa se time otvara pitanje optimalizacije

vodljivosti pukotine, odnosno čitavog postupka hidrauličkog frakturiranja.

140

140

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

2.00E+ 06

4.00E+ 06

6.00E+ 06

8.00E+ 06

1.00E+ 07

1.20E+ 07

1.40E+ 07

1.60E+ 07

1.80E+ 07

0 5 10 15 20 25 30 35 40




proizvodnje - plinsko ležište ekstremno slabe propusnosti (k=0.0001*10-3 µm2)

4.2. PRORAČUN KUMULATIVNE PROIZVODNJE HIPOTETSKOG

PLINSKOG LEŽIŠTA

Načela primijenjena u prethodno opisanom proračunu kumulativne

proizvodnje svih kategorija plinskih ležišta primijenjena su i u proračunu

ukupne proizvodnje hipotetskog plinskog ležišta s ukupno 1000 bušotina, čija

je prosječna propusnost distribuirana sukladno distribuciji danoj u tablici 3, a

grafički prikazana na slici 52.

141

141

40 10 4 1

0.4

0.1

0.04

0.01

0.00

4

0.00

1

4E-0

4

1E-0

4

4E-0

5

1E-0

5

PROSJE^NA EFEKTIVNA PROPUSNOST (E-15 m2)

0

20

40

60

80

100

120

BR

OJ

BU

[OTI

NA

Slika 52. Distribucija prosječne propusnosti 1000 bušotina hipotetskog

plinskog ležišta

Rezultati proračuna, za slučaj frakturiranih i nefrakturiranih bušotina,

sumirani su u tablici 12, gdje je dana kumulativna proizvodnja (do postizanja

jednog od ekonomskih limita, definiranih u tablici 5) pojedinih bušotina, te

kumulativna proizvodnja svih bušotina, prema rangu prosječne propusnosti

dijelova ležišta koje bušotine crpe.

Tablica 12. Kumulativna proizvodnja hipotetskog plinskog ležišta.

NEFRAKTURIRANO FRAKTURIRANOEfektivna Broj Proizvodnja Ukupna Proizvodnja Ukupna

propusnost bu{otina po bu{otini proizvodnja po bu{otini proizvodnja(E-15 m2) (m3) (m3) (m3) (m3)

40 6 3.05E+08 1.83E+09 3.05E+08 1.83E+0910 12 2.95E+08 3.54E+09 2.95E+08 3.54E+094 29 3.00E+08 8.70E+09 3.00E+08 8.70E+091 54 2.89E+08 1.56E+10 2.89E+08 1.56E+10

0.4 85 2.69E+08 2.29E+10 2.87E+08 2.44E+100.1 108 1.57E+08 1.70E+10 2.74E+08 2.96E+100.04 118 8.78E+07 1.04E+10 2.51E+08 2.96E+100.01 120 2.98E+07 3.58E+09 1.78E+08 2.14E+100.004 120 1.99E+06 2.39E+08 1.32E+08 1.58E+100.001 114 0.00E+00 0.00E+00 7.56E+07 8.62E+090.0004 96 0.00E+00 0.00E+00 4.44E+07 4.26E+090.0001 70 0.00E+00 0.00E+00 1.93E+07 1.35E+090.00004 40 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+000.00001 28 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

UKUPNO 1000 8.37E+10 1.65E+11

142

142

Kumulativna proizvodnja pojedinih, frakturiranih i nefrakturiranih

bušotina, u funkciji prosječne efektivne propusnosti dijelova ležišta koje

bušotine crpe, grafički je prikazana na slici 53, dok je kumulativna

proizvodnja svih bušotina, u funkciji propusnosti, prikazana na slici 54.

40 10 4 1

0.4

0.1

0.04

0.01

0.00

4

0.00

1

4E-0

4

1E-0

4

4E-0

5

1E-0

5

EFEKTIVNA PROPUSNOST (E-15 m2)

0.00E+ 00

5.00E+ 07

1.00E+ 08

1.50E+ 08

2.00E+ 08

2.50E+ 08

3.00E+ 08

3.50E+ 08

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

NEFRAKTURIRANA BU[ OTINA


Slika 53. Histogram kumulativne proizvodnje pojedinih bušotina

hipotetskog plinskog ležišta u funkciji prosječne propusnosti

Temeljni zaključak, koji slijedi iz rezultata proračuna, jest da će se

primjenom hidrauličkog frakturiranja, kumulativna proizvodnja čitavog ležišta

više nego udvostručiti. Konkretno, pridobive zalihe takvog ležišta time mogu

biti povećane s 8 37 1010 3. ⋅ m na 1 65 1011 3. ⋅ m plina.

Drugi zaključak jest da bušotine, koje crpe ležišta prosječna propusnosti

k m≥ ⋅ −1 10 3 2µ (101 bušotina ili oko 10% svih bušotina) i ležišta prosječne

propusnosti manje od 0 0001 10 3 2. ⋅ − µm (68 bušotina ili 6.8% svih bušotina), nije

potrebno frakturirati, jer se time neće povećati kumulativna proizvodnja

ležišta (jasno, uz ekonomske limite definirane u tablici 5). Sve ostale

143

143

bušotine (njih 831 ili 83.1% svih izbušenih bušotina) trebaju biti frakturirane,

jer se upravo na račun tih bušotina može povećati pridobive zalihe čitavog

ležišta.

40 10 4 1

0.4

0.1

0.04

0.01

0.00

4

0.00

1

4E-0

4

1E-0

4

4E-0

5

1E-0

5

EFEKTIVNA PROPUSNOST (E-15 m2)

0.00E+ 00

5.00E+ 09

1.00E+ 10

1.50E+ 10

2.00E+ 10

2.50E+ 10

3.00E+ 10

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

NEFRAKTURIRANE BU[ OTINE

FRAKTURIRANE BU[ OTINE

Slika 54. Histogram kumulativne proizvodnje svih bušotina hipotetskog

plinskog ležišta u funkciji prosječne propusnosti

Treći zaključak također je indikativan: od 1000 izbušenih bušotina njih

348 ili 34.8% (k m< 0 004 10 3 2. ⋅ − µ ) ne može biti uključeno u proizvodni fond

bušotina bez frakturiranja, dok se u slučaju primjene hidrauličkog frakturiranja

taj broj reducira na svega 68 bušotina ili 6.8% (k m< 0 0001 10 3 2. ⋅ − µ ).

144

144

4.3. DISKUSIJA REZULTATA PRORAČUNA

Radi usporedivosti rezultata, u prethodnim su proračunima varirani

samo oni parametri koji se nužno mijenjaju s promjenom kategorije

propusnosti ležišta. Dakle, varirana je efektivna propusnost, efektivna

debljina i efektivna šupljikavost ležišta, zasićenje ležišta vodom, što je kod

plinskih ležišta zahtijevalo i promjenu ukupne stlačivosti, zatim efektivna

duljina pukotine, koja je rezultirala i promjenom njene širine, a sve zajedno je

rezultiralo i promjenom bezdimenzionalne vodljivosti pukotine. Svi ostali

parametri, kao i modeli proračuna, nisu mijenjani s promjenom kategorije

propusnosti ležišta, što u praktičnoj primjeni nije slučaj, pa je neke od njih

nužno komentirati.

Kao prvo, primjena modela konstantnog tlaka na unutarnjoj granici

ležišta nije realna u konvencionalnim ležištima, a donekle ni u ležištima

osrednje propusnosti, u prvom redu zbog abnormalno visoke početne

proizvodnje. Tako bi npr. prosječna dnevna proizvodnja frakturirane naftne

bušotine u konvencionalnom ležištu, u prvoj godini, iznosila skoro 400 m3/d,

da bi nakon 3 godine bušotina proizvodila 72 m3/d. U slučaju plinske

bušotine, prosječna dnevna proizvodnja u prvoj godini bila bi 325,000 m3/d,

dok bi nakon 2 godine bušotina proizvodila 145,000 m3/d, a nakon 4 godine

svega 45,000 m3/d. Ne samo da su ovako velike promjene protoka

nepraktične, već su i nepoželjne s obzirom na moguće probleme s povratom

podupirača iz pukotine.79 Dakle, za takva ležišta bi u praksi trebalo primijeniti

model konstantnog protoka.

Primjer takvog proračuna za naftno ležište dan je u uvodnom dijelu ovog

poglavlja, gdje je pokazan značaj podržavanja ležišnog tlaka u

145

145

konvencionalnom ležištu i ležištu osrednje propusnosti, kako u slučaju

frakturirane, tako i u slučaju nefrakturirane bušotine. Budući je barem u

konvencionalnim ležištima očekivati bilo prirodni vodeni utok, bilo primjenu

procesa zavodnjavanja ležišta, prihvatljiviji su rezultati proračuna prema

modelu ograničenog ležišta s konstantnim tlakom na vanjskoj granici, s tim da

je tada konačni iscrpak funkcija djelotvornosti istiskivanja nafte vodom.

Slično bi se moglo zaključiti i za naftna ležišta osrednje propusnosti,

pogotovo ako bi se bitno smanjilo radijus crpljenja bušotine. Naime, radijus,

odnosno površina crpljenja, u svim je proračunima bila konstantna, s tim da je

kod nefrakturiranih bušotina površina crpljenja kružnog oblika ( A re= 2π), a

kod frakturiranih kvadratnog, gdje je duljina stranice kvadrata, 2xe,

određivana prema izrazu 2 2x re e= π . Dakle, smanjenjem radijusa crpljenja,

ubrzala bi se uspostava stacionarnog stanja, odnosno tlak na vanjskoj granici

ležišta došao bi ranije do izražaja. No, kako u takvom ležištu nije očekivati

dobar prirodni vodeni utok, smanjenje radijusa crpljenja imalo bi smisla samo

u slučaju primjene procesa zavodnjavanja ( p pb< - vidi tablicu 8), čija bi

djelotvornost također trebala biti poboljšana frakturiranjem injekcijskih

bušotina.

Kao što je već rečeno, a rezultatima proračuna i potvrđeno (tablice 10 i

11), za plinska ležišta svih kategorija primjenjiv je model ograničenog ležišta

sa zatvorenom vanjskom granicom, a za konvencionalna ležišta i ležišta

osrednje propusnosti prihvatljiv je i radijus crpljenja od 1000 m, odnosno

ekvivalentna kvadratna površina crpljenja.

Za kategorije slabe, vrlo slabe i ekstremno slabe propusnosti, zaključci

su isti i za naftna i za plinska ležišta. Naime, već je u uvodnom dijelu ovog

poglavlja zaključeno, a proračunima kumulativne proizvodnje potvrđeno, da u

svim ovim slučajevima granice ležišta ne dolaze do izražaja za radnog vijeka

146

146

bušotine, pa je primjenjiv model ograničenog ležišta sa zatvorenom vanjskom

granicom. No, to istodobno znači da je konačni iscrpak relativno mali,

odnosno da je i nakon svršetka radnog vijeka bušotine srednji ležišni tlak

relativno visok (tablice 7, 8, 10, 11). Stoga se, u slučaju nefrakturirane

bušotine, kao nužnost nameće smanjenje površine crpljenja, odnosno

progušćivanje mreže bušotina. Kod frakturirane, pak, bušotine, u obzir dolazi

i promjena oblika površine crpljenja, tj. zamjena kvadratne površine crpljenja

pravokutnom, tako da su dulje stranice pravokutnika paralelne s

pukotinom.45,47,80 Uobičajeni odnosi veće (2xe) i manje (2ye ) stranice

pravokutne površine crpljenja su x ye e: := 2 1 za ležišta slabe propusnosti, do

x ye e: := 4 1 za ležišta vrlo slabe i ekstremno slabe propusnosti. Pritom postoje

dvije opcije:

• zadržavanje iste površine crpljenja (2 2 2x y re e e⋅ = π ), što zahtijeva

stvaranje dulje pukotine;

• smanjenje površine crpljenja, npr. prema odnosu 2 2 22x y re e e⋅ = π , što

zahtijeva izradu dodatne bušotine, odnosno progušćenje mreže bušotina.

Koja će opcija biti odabrana ovisi prvenstveno o ekonomskim

pokazateljima, što znači da odgovor na to pitanje treba potražiti u

optimalizaciji procesa hidrauličkog frakturiranja, te općenito u optimalizaciji

razrade i iskorištavanja ležišta.

147

147

4.4. OPTIMALIZACIJA PROCESA HIDRAULIČKOG FRAKTURIRANJA

Kako je već rečeno, u prethodnim proračunima duljina i vodljivost

pukotine nije optimalizirana. No, upravo takvi proračuni čine osnovicu za

optimalizaciju ne samo duljine i vodljivosti pukotine, nego čitavog procesa

hidrauličkog frakturiranja.81,82 Jedan od mogućih koncepata optimalizacije

procesa hidrauličkog frakturiranja prikazan je slikom 55.

Slika 55. Koncept optimalizacije procesa hidrauličkog frakturiranja

Da bi se optimaliziralo postupak hidrauličkog frakturiranja, nužno je

proračunato (očekivano) povećanje prihoda (kumulativne proizvodnje) staviti

u odnos s troškovima izvođenja frakturiranja. Pošto će prihod biti realiziran

kroz određeno vrijeme, on mora biti sveden na nulto vrijeme, tj. vrijeme

izvođenja posla. Za to postoje dva načina, no oba koriste istu jednadžbu82

NPV Rinn

n

N

=+

−=∑

11b g Tro{ak, (345)

gdje je NPV "neto sadašnja vrijednost", Rn godišnje povećanje prihoda

(u odnosu na nefrakturiranu bušotinu) u n -toj godini, N ukupni broj godina

perioda koji se analizira, te i godišnja diskontna stopa (iskazana kao dio

148

148

cijelog). Ako je definirana diskontna stopa (koja mora biti barem jednaka

godišnjoj stopi inflacije), tada će za svaku veličinu posla postojati

odgovarajući prihod i odgovarajući trošak, pa dakle i odgovarajuća neto

sadašnja vrijednost. Drugi način jest da se iz jednadžbe 345 izračuna i uz

uvjet da je NPV jednako ništici. Tada i predstavlja stopu povrata investicije.

No, računanje NPV , uz definiranu diskontnu stopu, je prihvatljiviji način,

budući je tada optimalna veličina posla definirana kao ona koja korespondira

s maksimalnim NPV .83

Prema slici 55, duljina pukotine je približan indikator veličine posla,

iskazanog obujmom fluida, no sličan odnos slijedi i masa podupirača. Ako se

u fiksne troškove uključi cijena angažirane hidrauličke snage, a u jedinične

cijene fluida i podupirača, uz samu cijenu materijala, uključi i cijena

"pumpanja", ukupni troškovi su primarno funkcija obujma fluida i mase

podupirača, potrebnih da se stvori pukotinu određene efektivne (popunjene)

duljine i vodljivosti. S druge strane, prihod ili "sadašnja vrijednost" je funkcija

povećanja kumulativne proizvodnje, za koju je već rečeno da je, za određeno

ležište u određenom vremenu, funkcija duljine i vodljivosti pukotine. Odbijanje

troškova od prihoda rezultirat će karakterističnom zvonolikom krivuljom NPV

u funkciji duljine pukotine, pa je tada optimalna duljina pukotine određena

maksimalnim NPV .

Dijagramom toka, prikazanim na slici 56, detaljizirana je procedura

potrebna za konstruiranje krivulje NPV .

149

149

xf

Odabir modelapukotine

fluidaOdabir

Odabirpodupira~a

Simulacijahidrauli~kogfrakturiranja

Ograni~enja

Karakteristikepukotine

Simulacijaprotjecanja

fluida

Odabir modelaprotjecanja fluida

u le`i{tu

NODALanaliza

Kumulativnaproizvodnja

Obujamfluida

Masapodupira~a

Tro{kovi

Neto

Sada{njavrijednost

Ekonomika

Fiksnitro{kovi sada{nja

vrijednost

NPV

xf

Slika 56. Dijagram toka za izradu NPV krivulje.

Ukratko, procedura je slijedeća:

1. Odabir duljine pukotine;

2. Odabir odgovarajućeg modela hidrauličkog frakturiranja (KGD ili

PKN);

3. Odabir sustava fluida za frakturiranje, kompatibilnog s određenim

ležištem;

4. Odabir odgovarajućeg tipa podupirača s obzirom na maksimalni tlak

zatvaranja pukotine, tj. razliku između minimalnog horizontalnog naprezanja i

dinamičkog tlaka kod buduće proizvodnje;

5. Određivanje maksimalnog mogućeg protoka s obzirom na pad tlaka

zbog trenja u cijevima i mogućnosti opreme.

6. Simulacija procesa hidrauličkog frakturiranja u svrhu određivanja

optimalne geometrije pukotine, potrebnog obujma fluida, te potrebne mase

podupirača. Optimalizacija u ovom stupnju podrazumijeva usklađivanje

parametara utiskivanja (tlak i protok), maksimaliziranje djelotvornosti fluida, te

150

150

maksimaliziranje popunjenosti pukotine podupiračem, uz odabranu

maksimalnu koncentraciju podupirača za odabranu duljinu pukotine;

7. Odabir odgovarajućeg modela protjecanja fluida:

ograničeno/neograničeno ležište, konstantan tlak/konstantan protok,

kvadratna/pravokutna površina crpljenja;

8. Simulacija protoka fluida u ležištu na temelju prethodno izračunate

(optimalizirane) duljine i vodljivosti pukotine;

9. Analiza protoka u bušotini (NODAL analiza);

10. Izračunavanje kumulativne proizvodnje za različita vremena

proizvodnje;

11. Izračunavanje sadašnje vrijednosti bušotine (prihoda), za različita

vremena proizvodnje, na temelju odabrane diskontne stope;

12. Izračunavanje ukupnih troškova hidrauličkog frakturiranja;

13. Izračunavanje neto sadašnje vrijednosti, NPV , odbijanjem ukupnih

troškova frakturiranja od sadašnje vrijednosti bušotine. Time je završen ciklus

proračuna za odabranu duljinu pukotine;

14. Konstruiranje NPV krivulje, u odnosu na duljinu pukotine,

ponavljanjem gornjeg ciklusa za različite duljine pukotine.

Primjer takvog proračuna za plinsko ležište efektivne propusnosti

0 01 10 3 2. × − µm dan je u nastavku. Ulazni podaci za proračun sumirani su u

tablici 13, a NPV krivulje za vremenska razdoblja od 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20 i 40

god. prikazane su na sl. 57.

151

151

Tablica 13: Ulazni podaci za optimalizaciju hidrauličkog frakturiranja plinske bušotine.

Podaci o le` i{ tu Podaci o podupira~uVrsta le` i{ ta Plinsko Vrst podupira~a Sinter. boksitEfektivna propusnost, m2 1.00E-17 Obujamska masa, kg/m3 3700Efektivna debljina, m 18 Srednji promjer zrna, mm 0.69Efektivna { upljikavost, % 4.5 Efektivna propusnost, m2 1.75E-10Po~etni tlak, bar 350Le` i{ na temmperatura, oC 175 Podaci o fluiduRadijus crpljenja, m 1000 Vrst fluida Umre` eni HPGRadijus bu{ otine, m 0.1 Indeks pona{ anja toka 0.57Skin faktor 0 Indeks konzistencije, Pa*s**n' 3Ukupna stla~ivost, 1/Pa 3.40E-08 Koeficijent filtracije Cw, m/s**0.5 9.00E-05Viskoznost le` i{ nog fluida, Pa*s 2.00E-05 Obujam izlijevanja, m3/m2 0Obujamski koeficijent, m3/Sm3 7.68E-03 Pad tlaka zbog trenja, Pa/m:Z faktor 0.966 - za protok od 1 m3/min 2.00E+03

- za protok od 1.8 m3/min 2.50E+03Podaci o bu{ otini - za protok od 10 m3/min 1.69E+04Dubina do TSP, m 3000Dinami~ki tlak na TSP, bar 50 Operativna ograni~enjaUnutarnji promjer tubinga, mm 70 Maksimalni radni tlak, bar 700Duljina tubinga, m 2950 Maksimalni protok, m3/min 4Unutarnji promjer casinga, mm 127 Maksimalna koncentracija

podupira~a, kg/m3 1200Mehanika pukotineModel pukotine KGD EkonomikaNajmanje naprezanje, Pa 6.00E+07 Cijena podupira~a, $/kg 0.9Youngov modul elasti~nosti, Pa 2.00E+10 Cijena fluida, $/m3 200Poissonov koeficijent 0.25 Cijena hidrauli~ke snage, $/kW 5Visina pukotine, m 40 Fiksni tro{ kovi, $ 25000

Prodajna cijena plina, $/m3 0.1Diskontna stopa, % 15

DULJINA PUKOTINE [m]

0$

500,000$

1,000,000$

1,500,000$

2,000,000$

2,500,000$

3,000,000$

3,500,000$

4,000,000$

4,500,000$

5,000,000$

0 100 200 300 400 500 600 700 800

1 GOD.

2 GOD.

3 GOD.

4 GOD.

5 GOD.

10 GOD.

20 GOD.

40 GOD.

Slika 57. NPV krivulje za diskontnu stopu od 15%

152

152

Budući diskontna stopa bitno utječe na neto sadašnju vrijednost, na slici

58 dane su NPV krivulje za diskontnu stopu od 5% koju bi se moglo

primijeniti u slučaju da država dade neke olakšice, npr. u vidu manjeg poreza

na plin proizveden iz nekonvencionalnih ležišta.

DULJINA PUKOTINE [m]

0$

2,000,000$

4,000,000$

6,000,000$

8,000,000$

10,000,000$

12,000,000$

0 100 200 300 400 500 600 700 800

1 GOD.

2 GOD.

3 GOD.

4 GOD.

5 GOD.

10 GOD.

20 GOD.

40 GOD.

Slika 58. NPV krivulje za diskontnu stopu od 5%

Jedna od najkorisnijih primjena NPV koncepta jest mogućnost izradbe

parametarske studije, u svrhu određivanja značaja pojedinih parametara, bilo

ležišta, bilo samog postupka hidrauličkog frakturiranja, bilo pak ekonomskih

parametara. Neki od najvažnijih zaključaka takve studije mogu se sažeti u

nekoliko općih točaka:

1. Optimalna duljina pukotine raste kako se povećava vremenski period

koji se analizira;

2. Sa smanjenjem propusnosti ležišta smanjuje se i NPV , no optimalna

duljina pukotine raste;

3. Smanjenje dinamičkog tlaka rezultira povećanjem i NPV i optimalne

duljine pukotine;

153

153

4. Povećanje koeficijenta gubitka fluida za frakturiranje bitno smanjuje

optimalnu duljinu pukotine;

5. Povećanje propusnosti podupirača na račun povećanja njegove

granulacije ili reduciranjem oštećenja (dakle, ne na račun promjene tipa

podupirača, jer bi to moglo značiti i višestruku promjenu cijene!), rezultirat će

povećanjem optimalne duljine pukotine;

6. Povećanjem diskontne stope optimalna duljina pukotine se smanjuje,

uz značajno smanjenje NPV .

Uz ove opće zaključke, za svaki konkretan slučaj potrebno je učiniti

zasebnu studiju. Štoviše, takvu studiju treba uključiti u razradu čitavog

ležišta, a tada se, kao varijabla, pojavljuje i površina crpljenja, odnosno njen

oblik. Uključivanjem troškova izrade i opremanja bušotine u fiksne troškove,

NPV analiza rezultira optimalizacijom površine crpljenja pojedinih bušotina,

odnosno optimalizacijom mreže bušotina.

154

154

4.5. REZULTATI PRAKTIČNE PRIMJENE HIDRAULIČKOG FRAKTURIRANJA U REPUBLICI HRVATSKOJ

Na teorijskom planu, proces hidrauličkog frakturiranja nazočan je u

Republici Hrvatskoj prilično dugo. Naime, ubrzo nakon objavljivanja njegovog

prvog izvođenja, 1947. godine u SAD,84 proces hidrauličkog frakturiranja

opisan je i u hrvatskoj naftnoj literaturi.85,86,87 Prvi pokušaji praktične primjene

ovog procesa također su opisani u literaturi88 i prezentirani na simpozijima,89

no sve do osamdesetih godina to su bile rijetke operacije, bez značajnijih

rezultata.90 Nekoliko znanstvenih radova s početka osamdesetih

godina91,91a,62,92,93 svjedoči o zavidnom stručnom znanju u hrvatskoj naftnoj

industriji, no njena slaba opremljenost radnim sredstvima i popratnom

mjernom tehnikom, uzrokom su skromnih rezultata, a time i nedostatne, pa i

neadekvatne, primjene ovog procesa. Naime, sva dotadašnja frakturiranja

izvedena su s nedostatnim obujmom fluida i premalim protokom, uz izrazito

malu koncentraciju, pa dakle i ukupnu masu podupirača, što je sve skupa,

najčešće, rezultiralo kratkom, vrlo slabo vodljivom pukotinom. S druge strane,

izostanak značajnijih rezultata stvorio je nepovjerenje prema ovom procesu

što je sužavalo izbor bušotina-kandidata za hidrauličko frakturiranje na zaista

najlošije.

U tom smislu, prekretnicom se može smatrati 1985. godina, kada je, uz

angažman inozemne usluge, frakturirana plinsko-kondenzatna bušotina

Kal-5α, te, unatoč iznimno teškim ležišnim uvjetima, polučen izvrstan

rezultat.94 Nakon toga slijedi nekoliko serija takvih poslova koji su dobrim

dijelom opisani u domaćoj i stranoj literaturi.95,96,97 Kroz to vrijeme poboljšana

je i opremljenost domaće industrije, pa je glavnina poslova nakon 1989.

godine izvedena uz minimalno ili nikakvo angažiranje strane opreme.

155

155

Također, od tada počinje i sustavno praćenje ostvarenih proizvodnih

rezultata. U tablici 14 dan je usporedni prikaz proizvodnih parametara prije i

poslije hidrauličkog frakturiranja u plinskim, odnosno plinsko-kondenzatnim

bušotinama, dok je kumulativna proizvodnja plina i kondenzata, u funkciji

vremena, grafički prikazana na slikama 59-64.

Tablica 14: Rezultati hidrauličkih frakturiranja plinsko-kondenzatnih

ležišta u Republici Hrvatskoj. REZULTATI HIDRAULI^KIH FRAKTURIRANJA PLINSKIH BU[ OTINA U REPUBLICI HRVATSKOJ

DNEVNA PROIZVODNJA PLINA I KONDENZATA (m3/d) KUMULATIVNA PROIZV.DATUM BU[ OTINA PRIJE FRAKTURIRANJA POSLIJE FRAKTURIRANJA OMJER LIPANJ, 1994. DO VI/94. (m3)

H.F. PLIN KOND. PLIN KOND. I.P. PLIN KOND. PLIN KOND.V. 1985. Kal-5alfa 2,696.00 3.50 50,269.00 25.10 15.80 - - 8.46E+06 4,520.00

VIII. 1986. Kal-3 14,044.00 8.60 135,420.00 115.50 103.00 28,622.00 24.90 2.66E+08 234,000.00VIII. 1986. Mol-15 125,700.00 9.30 441,974.00 37.00 10.90 121,500.00 10.70 3.26E+08 27,600.00VIII. 1986. Mol-26 5,000.00 0.40 21,100.00 1.90 4.20 - - - -XII. 1986. Ok-34 12,860.00 7.50 79,770.00 14.90 10.00 39,500.00 7.60 1.42E+08 38,000.00X. 1987. StG-1 40,257.00 44.30 134,793.00 137.00 6.70 26,274.00 28.10 1.06E+08 112,000.00X. 1987. Mol-23 5,800.00 0.40 38,600.00 3.10 8.20 - - - -XI. 1987. Ok-23 10,857.00 1.40 23,853.00 2.00 3.60 16,800.00 2.30 3.35E+07 8,130.00VI. 1989. StG-2 2,351.00 1.60 52,527.00 67.30 131.40 - - - -VII. 1989. Kal-11 79,320.00 53.70 179,500.00 104.80 6.60 8,600.00 7.10 1.45E+08 124,000.00VII. 1989. Mol-25 166,670.00 11.90 253,200.00 16.90 4.40 325,600.00 23.60 3.51E+08 27,700.00VII. 1989. Mol-31 35,700.00 0.90 105,250.00 8.70 12.60 73,700.00 4.30 1.50E+08 10,100.00XI. 1989. OkD-3 15,989.00 2.40 35,731.00 11.30 3.20 19,800.00 6.60 2.98E+07 11,800.00VI. 1990. Ok-53alfa 4,599.00 2.00 23,980.00 7.70 76.50 14,900.00 5.30 1.21E+07 4,020.00VII. 1990. Kal-14 51,322.00 31.10 159,551.00 113.70 5.50 60,189.00 34.00 1.30E+08 84,200.00XI. 1990. StG-5 37,778.00 34.90 55,551.00 78.10 3.60 - - 2.17E+06 2,300.00XI. 1990. StG-6 94,461.00 103.80 140,537.00 154.00 8.00 70,105.00 74.80 6.38E+07 67,800.00XII. 1990. Ok-36alfa 4,000.00 1.40 55,828.00 20.00 170.50 87,700.00 33.10 4.94E+07 21,800.00X. 1992. Ok-55 5,000.00 2.10 77,833.00 18.10 36.70 - - - -III. 1994. Ok-57 36,645.00 18.70 171,682.00 51.40 11.80 - - - -

UKUPNO 751,049.00 339.90 2,236,949.00 988.50 893,290.00 262.40 1.81E+09 777,970.00SREDNJA VRIJEDNOST 15,016.50 5.50 78,801.50 22.55 9.10 39,500.00 10.70 1.06E+08 27,600.00PROSJE^NA VRIJEDNOST 37,552.45 17.00 111,847.45 49.43 31.66 68,714.62 20.18 1.21E+08 51,864.67

Kronološkim redom, tablicom su obuhvaćena sva frakturiranja plinskih

bušotina izvedena u razdoblju od 1985. god. do polovine 1994. god. Kao što

se vidi, frakturiranja su izvedena u različitim plinsko-kondenzatnim ležištima:

Molve, Kalinovac, Stari Gradac i Okoli. S obzirom na razlike među ležištima

bilo bi poželjno učiniti zasebne analize, no, za ilustraciju djelotvornosti

hidrauličkog frakturiranja u povećanju pridobivih zaliha, bit će dostatan i

površan pregled skupnih rezultata. Pritom će biti zanemarene i često

156

156

značajne razlike u parametrima samog procesa frakturiranja. To se

prvenstveno odnosi na masu utisnutog podupirača, koja je varirala od svega

50 tona do preko 600 tona po bušotini, što je rezultiralo bitno različitim

karakteristikama pukotine, posebno njene efektivne duljine.

Osim razlika među ležištima značajne su razlike i među pojedinim

bušotinama unutar istog ležišta, prvenstveno u efektivnoj propusnosti dijelova

ležišta koje bušotine crpe, što najbolje pokazuje ispitna proizvodnja prije

frakturiranja. Na temelju rezultata ispitivanja bušotina prije frakturiranja i

popratnih hidrodinamičkih mjerenja, većina bušotina crpi dijelove ležišta

kategorije osrednje i slabe propusnosti (k m= ⋅ ÷ ⋅− −0 054 10 0 2 103 3 2. . µ ), dok se

u samo četiri slučaja radi o kategoriji vrlo slabe propusnosti

(k m= ⋅ ÷ ⋅− −0 003 10 0 005 103 3 2. . µ , Kal-5, Mol-23, Mol-26, StG-2), a u jednom

slučaju radi se o konvencionalnom ležištu (Ok-57).

Niti jedna od frakturiranih bušotina nije bila uključena u proizvodnju prije

hidrauličkog frakturiranja, tako da dnevna proizvodnja prije frakturiranja

predstavlja ispitnu proizvodnju, pri kojoj je određen indeks proizvodnosti.

Dnevna proizvodnja poslije frakturiranja također je ispitna, koja je u svim

slučajevima ostvarena pri višem dinamičkom tlaku od onog prije frakturiranja,

pa tek omjer indeksa proizvodnosti predstavlja pravu mjeru učinka

hidrauličkog frakturiranja. Dakle, prosječno povećanje indeksa proizvodnosti

(aritmetička sredina) iznosi 31.66 puta, dok je srednja vrijednost povećanja

9.1 puta. S obzirom da je u nekim slučajevima (Kal-3, StG-2, Ok-53α,

Ok-36α) omjer indeksa proizvodnosti enormno visok, srednja vrijednost bolje

odražava stvarno stanje nego aritmetička sredina. Slučajeve enormnog

povećanja indeksa proizvodnosti može se objasniti postojanjem pozitivnog

skin-faktora prije frakturiranja, čijim se uklanjanjem, tj. premoštenjem

oštećene pribušotinske zone, multiplicira učinak hidrauličkog frakturiranja.

157

157

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

5.00E+ 07

1.00E+ 08

1.50E+ 08

2.00E+ 08

2.50E+ 08

3.00E+ 08

3.50E+ 08

4.00E+ 08

31/12/86 31/12/87 30/12/88 30/12/89 31/12/90 31/12/91 30/12/92 31/12/93 31/12/94

Kal-5alfa

Kal-3

Mol-15

Ok-34

Mol-25


frakturirane do 31.12.1986. god., te bušotinu Mol-25.

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

5.00E+ 04

1.00E+ 05

1.50E+ 05

2.00E+ 05

2.50E+ 05

31/12/86 31/12/87 30/12/88 30/12/89 31/12/90 31/12/91 30/12/92 31/12/93 31/12/94

Kal-5alfa

Kal-3

Mol-15

Ok-34

Mol-25

Slika 60. Kumulativna proizvodnja kondenzata u funkciji vremena, za bušotine frakturirane do 31.12.1986. god., te bušotinu Mol-25.

No, važnija od samog brojčanog iznosa povećanja indeksa

proizvodnosti jest činjenica da je tim povećanjem omogućeno uključenje

glavnine bušotina u proizvodni sustav. Istina, nekoliko bušotina je moglo

proizvoditi i bez frakturiranja, ali uz značajan pad tlaka, što u slučaju plinsko-

158

158

kondenzatnih ležišta s visokim tlakom retrogradne kondenzacije nije povoljno.

S druge strane, dvije bušotine (Mol-23, Mol-26) ni nakon frakturiranja nisu

bile osposobljene za proizvodnju, dok su dvije (Kal-5α, i StG-5) proizvodile

samo određeno vrijeme (Sl. 59-62). Bušotina StG-2 još nije u proizvodnji

zbog neriješenog problema odvajanja visokog udjela sumporovodika, H2S, u

ležišnom fluidu, a bušotine Ok-55 i Ok-57 čekaju izgradnju plinovoda.

S obzirom na različita vremena izvođenja hidrauličkih frakturiranja,

grafički prikaz kumulativne proizvodnje plina i kondenzata, u funkciji

vremena, podijeljen je u dvije grupe. Na slikama 59 i 60 prikazana je

kumulativna proizvodnja onih bušotina koje su frakturirane do kraja 1986.

godine (s iznimkom bušotine Mol-25), dok su ostale bušotine grupirane na

slikama 61 i 62 (bez onih koje još nisu u proizvodnji). Razlike u kumulativnoj

proizvodnji plina treba uglavnom pripisati već spomenutim razlikama ležišnih

karakteristika i karakteristika pukotine, dok na kumulativnu proizvodnju

kondenzata bitan utjecaj imaju karakteristike ležišnog fluida, točnije njegov

sastav.

Promjene kumulativne proizvodnje plina i kondenzata svih frakturiranih

bušotina, koje su uključene u proizvodnju do polovine 1994. godine, grafički

su prikazane na slikama 63 i 64. Kao što se sa slika vidi, do 1990. godine

promjene su eksponencijalne, što koincidira s tempom izvođenja hidrauličkih

frakturiranja i uključivanja frakturiranih bušotina u proizvodnju, da bi zatim

njen rast bio uglavnom linearan. Bez obzira koliko dugo će se nastaviti

ovakav linearan rast kumulativne proizvodnje, već sad se može ustvrditi da

se investicija u hidraulička frakturiranja plinsko-kondenzatnih ležišta

mnogostruko oplodila. Naime, ukupna vrijednost proizvedenog plina i

kondenzata iznosi 228,167,000 USD, dok ukupni troškovi svih izvedenih

hidrauličkih frakturiranja ne dosežu niti vrijednost od 15,000,000 USD.

159

159

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

2.00E+ 07

4.00E+ 07

6.00E+ 07

8.00E+ 07

1.00E+ 08

1.20E+ 08

1.40E+ 08

1.60E+ 08

31/12/89 31/12/90 31/12/91 30/12/92 31/12/93 31/12/94

StG-1

Ok-23

Kal-11

Mol-31

OkD-3

Ok-53alfa

Kal-14

StG-6

Ok-36alfa


frakturirane 1987-1990. god.

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

2.00E+ 04

4.00E+ 04

6.00E+ 04

8.00E+ 04

1.00E+ 05

1.20E+ 05

1.40E+ 05

31/12/89 31/12/90 31/12/91 30/12/92 31/12/93 31/12/94

StG-1

Ok-23

Kal-11

Mol-31

OkD-3

Ok-53alfa

Kal-14

StG-6

Ok-36alfa


bušotine frakturirane 1987-1990. god.

160

160

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

2.00E+ 08

4.00E+ 08

6.00E+ 08

8.00E+ 08

1.00E+ 09

1.20E+ 09

1.40E+ 09

1.60E+ 09

1.80E+ 09

2.00E+ 09

31/12/86 31/12/87 30/12/88 30/12/89 31/12/90 31/12/91 30/12/92 31/12/93 31/12/94

SVE FRAKTURIRANEPLINSKE BU[ OTINE

Slika 63. Kumulativna proizvodnja plina u funkciji vremena, svih

bušotina, frakturiranih i uključenih u proizvodnju do VI/1994. god.

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00E+ 00

1.00E+ 05

2.00E+ 05

3.00E+ 05

4.00E+ 05

5.00E+ 05

6.00E+ 05

7.00E+ 05

8.00E+ 05

31/12/86 31/12/87 30/12/88 30/12/89 31/12/90 31/12/91 30/12/92 31/12/93 31/12/94

SVE FRAKTURIRANEPLINSKE BU[ OTINE

Slika 64. Kumulativna proizvodnja kondenzata u funkciji vremena, svih bušotina, frakturiranih i uključenih u proizvodnju do VI/1994. god.

Nakon što se postupak hidrauličkog frakturiranja dokazao uspješnim u

plinskim ležištima, krajem 1989. godine započinje njegova intenzivnija

primjena i u naftnim ležištima, i to serijom od šest bušotina u ležištima polja

Okoli i Žutica (Tablica 15).

161

161

Tablica 15: Rezultati hidrauličkih frakturiranja naftnih ležišta u Republici Hrvatskoj.

REZULTATI HIDRAULI^ KIH FRAKTURIRANJA NAFTNIH BU[ OTINA U REPUBLICI HRVATSKOJPROIZVODNJA NAFTE PRIJE H.F. PROIZVODNJA NAFTE POSLIJE H.F - DO VI/94.

DATUM BU[ OTINA VRIJEME KUMULATIVNA DNEVNA (m3/d) VRIJEME KUMULATIVNA DNEVNA (m3/d)H.F. (GOD.) (m3) PROSJE^ NA PRIJE H.F. (GOD.) (m3) PROSJE^ NA POSLIJE H.F. VI/94.

X. 1989. OK-14alfa 3.00 1,866.00 1.70 0.00 4.50 34,800.00 21.19 47.50 15.30X. 1989. Ok-21alfa 4.00 5,790.00 3.97 0.00 4.50 9,110.00 5.55 24.70 1.20

XII. 1989. @u-261 0.00 0.00 0.00 1.00 4.40 14,790.00 9.21 7.80 14.50XII. 1989. @u-266 0.00 0.00 0.00 0.80 4.40 20,790.00 12.95 14.80 9.10

I. 1990. Ok-9 14.00 23,366.00 4.57 0.00 4.30 8,670.00 5.52 21.20 1.70I. 1990. Ok-10 11.00 48,319.00 12.03 0.00 4.30 5,790.00 3.69 16.20 1.50

XII. 1990. @u-271 0.00 0.00 0.00 1.50 3.40 10,830.00 8.73 10.90 5.50XII. 1990. @u-270 0.00 0.00 0.00 1.20 3.40 8,960.00 7.22 8.60 5.20XII. 1990. @u-127 11.50 4,854.00 1.16 1.20 3.40 3,640.00 2.93 5.10 1.40VI. 1991. Jam-76alfa 4.50 1,037.00 0.63 0.00 2.60 2,640.00 2.78 10.00 1.50VI. 1991. Bl-13 16.80 12,782.00 2.08 0.90 3.00 11,860.00 10.83 25.10 8.50III. 1992. Bl-17 0.00 0.00 0.00 0.80 2.10 2,240.00 2.92 8.70 1.40IV. 1992. @u-257 0.00 0.00 0.00 2.00 2.10 8,640.00 11.27 16.80 10.20IV. 1992. @u-253 4.50 3,800.00 2.31 0.00 2.10 216.00 0.28 1.20 0.40IV. 1992. Bn-40 33.00 11,495.00 0.95 0.00 2.10 4,870.00 6.35 14.50 3.30I. 1993. Cr-12 0.00 0.00 0.00 3.50 0.80 2,430.00 8.32 12.60 8.10III. 1993. Bn-57 27.00 7,427.00 0.75 0.50 1.10 2,760.00 6.87 15.40 3.50III. 1993. Jo-2 0.00 0.00 0.00 1.20 1.10 2,500.00 6.23 34.90 4.00V. 1993. Bl-3 18.00 3,957.00 0.60 0.60 1.00 5,910.00 16.19 23.50 10.60V. 1993. Bl-68 14.00 21,200.00 4.15 1.80 1.00 4,030.00 11.04 19.30 14.00V. 1993. @u-272 2.00 1,626.00 2.23 2.00 1.00 5,630.00 15.42 51.10 9.30XI. 1993. @u-275 1.40 2,767.00 5.41 4.00 0.50 2,230.00 12.22 3.50 19.10XI. 1993. @u-263 4.00 2,797.00 1.92 2.40 0.50 2,530.00 13.86 31.70 17.90II. 1994. @u-273 2.00 1,610.00 2.21 3.30 0.25 599.00 6.56 12.20 5.00

UKUPNO 170.70 154,693.00 46.69 28.70 57.85 176,465.00 208.15 437.30 172.20SREDNJA VRIJEDNOST 3.50 2316.50 1.06 0.95 2.10 5250.00 7.77 15.10 5.35PROSJE^ NA VRIJEDNOST 7.11 6445.54 1.95 1.20 2.41 7352.71 8.67 18.22 7.18

Za razliku od plinskih ležišta, kod naftnih se radi ili o starim bušotinama,

s određenim, ponekad i dugim radnim historijatom, ili pak o novim

bušotinama, ali kojima su otvorena već crpljena ležišta. Iznimke su jedino

bušotine Cr-12 i Jo-2. Stoga je u tablici 15, za stare bušotine dana

kumulativna proizvodnja nafte i vrijeme u kojem je ta proizvodnja ostvarena,

te izračunata prosječna dnevna proizvodnja prije hidrauličkog frakturiranja,

dok je u rubrici "dnevna proizvodnja prije H.F." dana proizvodnja nafte

neposredno prije izvođenja hidrauličkog frakturiranja. Bušotine, čija je

kumulativna proizvodnja prije frakturiranja jednaka ništici, nisu mogle

proizvoditi u proizvodni sustav, a dnevna proizvodnja prije frakturiranja

predstavlja ispitnu proizvodnju, najčešće pri minimalnom radnom tlaku.

162

162

Na sličan način prikazana je i proizvodnja nakon izvedenog hidrauličkog

frakturiranja i uključivanja bušotina u proizvodnju. Uz kumulativnu proizvodnju

nafte, vrijeme trajanja proizvodnje i prosječnu dnevnu proizvodnju, dana je i

ispitna dnevna proizvodnja neposredno nakon frakturiranja, te dnevna

proizvodnja u lipnju 1994. godine. Nažalost, o dinamičkom tlaku prije i poslije

frakturiranja nema preciznih podataka, pa je nemoguće izračunati povećanje

indeksa proizvodnosti, no prema nepotpunim mjerenjima općenito se može

reći da je, uz povećanje dnevne proizvodnje, redovito povećan i dinamički

tlak. Stoga, omjer srednje vrijednosti prosječne proizvodnje poslije i prije

frakturiranja možemo smatrati minimalnim omjerom indeksa proizvodnosti.

Osim toga, treba napomenuti da tablica sadrži samo proizvodnju nafte, pa u

slučaju kada je proizvodnja nafte nakon frakturiranja manja od one prije

frakturiranja (Žu-253), to znači bitno povećanje proizvodnje vode. Isto je i s

bušotinama gdje je proizvodnja nafte u lipnju 1994. god. bitno manja od one

neposredno nakon frakturiranja, što se vidi i iz trenda kumulativne

proizvodnje pojedinih bušotina u funkciji vremena (Sl. 65-67).

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00

5,000.00

10,000.00

15,000.00

20,000.00

25,000.00

30,000.00

35,000.00

31/12/89 31/12/90 31/12/91 30/12/92 31/12/93 31/12/94

OK-14alfa

Ok-21alfa

@u-261

@u-266

Ok-9

Ok-10


frakturirane i uključene u proizvodnju do 31.12.1990. god.

163

163

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00

2,000.00

4,000.00

6,000.00

8,000.00

10,000.00

12,000.00

31/12/90 31/12/91 31/12/92 31/12/93 1/1/95

@u-271

@u-270

@u-127

Jam-76alfa

Bl-13

Bl-17

@u-257

@u-253

Bn-40


frakturirane i uključene u proizvodnju 1991/92. god.

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00

1,000.00

2,000.00

3,000.00

4,000.00

5,000.00

6,000.00

31/7/93 30/12/93 31/5/94

Cr-12

Bn-57

Jo-2

Bl-3

Bl-68

@u-272

@u-275

@u-263

@u-273


frakturirane i uključene u proizvodnju 1993/94. god.

Sve primjedbe glede međusobnih različitosti pojedinih plinskih bušotina

primjenjive su i na nafne bušotine, s tim da ovdje još treba dodati razlike u

164

164

stupnju iscrpljenosti pojedinih ležišta ili njihovih dijelova. S druge strane,

razlike u parametrima samog procesa hidrauličkog frakturiranja nisu tako

velike kao kod plinskih bušotina, a općenito radi se o manjim operacijama

(25-70 tona podupirača), što je u skladu s relativno malom debljinom ležišta i

kategorijom slabe ili osrednje efektivne propusnosti

(k m= ⋅ ÷ ⋅− −0 05 10 2 103 3 2. µ ). No, bez obzira na sve razlike, općenito se može

zaključiti da je frakturiranjem omogućeno pridobivanje dotad nepridobivih

zaliha, bilo da su one zaostale nakon dugogodišnjeg crpljenja, bilo da ih se

nije moglo rentabilno crpiti novoizbušenim bušotinama.

VRIJEME (GOD.)

KU

MU

LATI

VNA

PR

OIZ

VOD

NJA

(m3)

0.00

20,000.00

40,000.00

60,000.00

80,000.00

100,000.00

120,000.00

140,000.00

160,000.00

180,000.00

31/12/89 31/12/90 31/12/91 30/12/92 31/12/93 31/12/94

SVE FRAKTURIRANENAFTNE BU[ OTINE

Slika 68. Kumulativna proizvodnja nafte u funkciji vremena, svih

bušotina, frakturiranih i uključenih u proizvodnju 1989-94. god.

Na slici 68 prikazan je rast kumulativne proizvodnje svih frakturiranih

naftnih bušotina, koji je eksponencijalan. No, već njena dosadašnja vrijednost

od 24,448,000 USD uvelike nadilazi ukupne troškove frakturiranja od nekih

4,200,000 USD.

165

ZAKLJUČCI

Slijedom svih razmatranja iznesenih u ovom radu, a posebno na temelju

• citirane klasične i suvremene literature iz područja naftnog

inženjerstva;

• teorijskih razmatranja i matematičkog modeliranja protjecanja fluida u

radijalnom i linearnom sustavu;

• teorijskih razmatranja i matematičkog modeliranja procesa hidrauličkog

stvaranja vertikalne, visokoprotočne pukotine u ležišnim stijenama;

• konkretnih proračuna pomoću opisanih matematičkih modela;

• opisanog modela optimalizacije procesa hidrauličkog frakturiranja

temeljenog na konceptu maksimaliziranja "neto sadašnje vrijednosti" (NPV);

• analize rezultata praktične primjene procesa hidrauličkog frakturiranja

u Republici Hrvatskoj, mogući su slijedeći zaključci:

1. Definicija i klasifikacija zaliha sirove nafte, prirodnog plina i

njegovih kapljevina (kondenzata) u hrvatskom "Pravilniku o prikupljanju

podataka, načinu evidentiranja i utvrđivanja rezervi mineralnih sirovina te o

izradi bilance tih rezervi" (NN 48/92, str. 1124-1161), nije u skladu sa

svjetskim standardima. Prema preporuci Svjetskih naftnih kongresa, od

veljače, 1986. god., zalihama se može nazvati samo onaj dio "nafte u ležištu"

(Oil-in-place), odnosno "plina u ležištu" (Gas-in-place), koji se može

rentabilno pridobiti, a s obzirom na stupanj dokazanosti mogu se

kategorizirati kao dokazane i nedokazane (vjerojatne i moguće) zalihe.

Ekvivalent ovakvoj definiciji zaliha mogle bi biti tzv. bilančne zalihe iz

hrvatskog Pravilnika, koje se definira kao "utvrđene količine nafte,

166

kondenzata i prirodnog plina u ležištu koje se poznatom tehnikom i

tehnologijom mogu rentabilno eksploatirati". Točnije, bilančne zalihe

kategorija A, B i dio C1, može se svrstati u dokazane zalihe, jedan dio zaliha

kategorije C1 činio bi vjerojatne zalihe, dok bi se preostali dio C1 moglo

svrstati u moguće zalihe. Uvodno citirana definicija dokazanih zaliha, isto kao

i definicija bilančnih zaliha, podrazumijeva pridobivanje nafte i plina u

razumnom vremenu i uz profitabilnu dnevnu proizvodnju. Stoga, svako

unapređenje "poznate tehnike i tehnologije", odnosno svaki postupak kojim

se postiže profitabilna dnevna proizvodnja u razumnom vremenu, rezultira

povećanjem (bilančnih, pridobivih) zaliha, bilo jednog ležišta, bilo države u

cjelini.

2. Ležišta nafte i plina, koja je moguće rentabilno iskorištavati

"poznatom tehnikom i tehnologijom", dakle konvencionalnim metodama,

svrstava se u konvencionalna ležišta, dok ostala, koja se može rentabilno

iskorištavati tek nakon primjene nekog nekonvencionalnog postupka, kao što

je npr. hidrauličko frakturiranje, čine nekonvencionalna ležišta. Prema

"trokutu resursa", autora Mastersa i Graya, konvencionalna ležišta

predstavljaju manji dio ukupnih resursa, dok se glavnina resursa (sirovine)

nalazi u nekonvencionalnim ležištima, odnosno u ležištima slabije i najslabije

kvalitete.

3. Uz ležišta vrlo viskozne nafte, te ležišta plina u razlomljenim

laporima, ugljenim slojevima i pretlačenoj slojnoj vodi, velik dio

nekonvencionalnih ležišta predstavljaju ležišta nafte i plina u stijenama male

propusnosti. Prema znanstveno utemeljenim procjenama, 98% ležišta

ugljikovodika (obujamski) ima propusnost u granicama od 10-8 do 1 µm2, od

čega se samo 33% može ubrojiti u konvencionalna ležišta (k≥10-3 µm2), dok

preostalih 65% čine nekonvencionalna, slabo propusna ležišta. Analogno

167

distribuciji svih neobnovljivih prirodnih sirovina i prirodnih pojava, distribuciju

propusnosti u ležištima nafte i plina može se općenito karakterizirati kao

unimodalnu, desno-zakrivljenu i sličnu log-normalnoj distribuciji. Potvrdu

ovakve distribucije može se naći u rezultatima analize podataka iz nekoliko

poznatih geoloških formacija SAD-a (Cleveland, Cotton Valley, Wilcox/Lobo,

Travis Peak).

U skladu s ovakvom distribucijom, propusnost ležišnih stijena može se

kategorizirati kao:

• dobra, u koju se može ubrojiti svih 33% konvencionalnih ležišta, čija je

propusnost u granicama 1∗10-3 µm2 do 1000∗10-3 µm2;

• osrednja, koja predstavlja 16% ležišta, propusnosti 0.1∗10-3 µm2 do

1∗10-3 µm2;

• slaba, koja predstavlja 20% ležišta, propusnosti 0.005∗10-3 µm2 do

0.1∗10-3 µm2;

• vrlo slaba, koja predstavlja daljnjih 10% ležišta, propusnosti 0.001∗10-

3 µm2 do 0.005∗10-3 µm2;

• ekstremno slaba, koja predstavlja preostalih 19% ležišta, propusnosti

između 0.0001∗10-3 µm2 i 0.001∗10-3 µm2;

Granice pojedinih kategorija propusnosti odnose se na plinska ležišta,

dok za naftna ležišta granice treba pomaknuti na više, za faktor 10.

4. Protjecanje fluida u homogenom i izotropnom horizontalnom

ležištu prema vertikalnoj bušotini, smještenoj u središtu cilindričnog ležišta,

opisano je jednadžbom difuzije za radijalni protok fluida male i konstantne

stlačivosti (nafte), odnosno jednadžbom difuzije za radijalni protok stlačivog

fluida (plina). S obzirom na definiciju početnih i rubnih uvjeta, jednadžba

difuzije riješena je analitički za dva slučaja:

168

• slučaj konstantnog protoka na unutarnjoj granici ležišta, i to za

- neograničeno ležište;

- ograničeno ležište sa zatvorenom vanjskom granicom;

- ograničeno ležište s konstantnim tlakom na vanjskoj granici;

• slučaj konstantnog tlaka na unutarnjoj granici ležišta, i to za

- neograničeno ležište;

- ograničeno ležište sa zatvorenom vanjskom granicom.

Rješenja daju funkcionalnu ovisnost bezdimenzionalnog pada tlaka,

odnosno bezdimenzionalne kumulativne proizvodnje o bezdimenzionalnom

vremenu proizvodnje i bezdimenzionalnom radijusu crpljenja. S obzirom na

definiciju bezdimenzionalnih parametara, slijedi da je za određeno ležište pad

tlaka, odnosno kumulativna proizvodnja, funkcija samo radijusa bušotine i

vremena proizvodnje, a u slučaju ograničenog ležišta, i radijusa crpljenja.

5. Protjecanje fluida u homogenom i izotropnom horizontalnom

ležištu, presječenom vertikalnom pukotinom, prema vertikalnoj bušotini,

smještenoj u ishodištu pukotine, opisano je jednadžbom difuzije za

dvodimenzionalni linearni protok (protok kroz pukotinu) i jednadžbom difuzije

za jednodimenzionalni linerani protok (protok u ležištu). Te dvije parcijalne

diferencijalne jednadžbe međusobno su povezane rubnim uvjetima, a ovisno

o definiciji početnih i rubnih uvjeta, riješene su semianalitički za:

• slučaj konstantnog protoka na unutarnjoj granici ležišta;

• slučaj konstantnog tlaka na unutarnjoj granici ležišta.

Numerička rješenja dana su samo u obliku tipskih krivulja, dok su za

pojedine vremenske segmente, tj. za linearni protok u pukotini, bilinearni

protok, linearni protok u ležištu, pseudolinearni, te pseudoradijalni protok,

razvijena i približna analitička rješenja. No, sva rješenja daju funkcionalnu

ovisnost bezdimenzionalnog pada tlaka, odnosno bezdimenzionalne

169

kumulativne proizvodnje o bezdimenzionalnom vremenu proizvodnje i

bezdimenzionalnoj vodljivosti pukotine. S obzirom na definiciju

bezdimenzionalnih parametara, za određeno ležište i određenu propusnost

pukotine (tj. za određenu vrst podupirača), pad tlaka, odnosno kumulativna

proizvodnja ovisi samo o duljini i širini pukotine, te o vremenu trajanja

proizvodnje, a u slučaju ograničenog ležišta, i o radijusu crpljenja bušotine.

Stoga, u određenom vremenu, uz konstantnu proizvodnju, pad tlaka u

frakturiranoj bušotini bit će manji nego u nefrakturiranoj, odnosno uz

konstantan dinamički (radni) tlak, kumulativna proizvodnja frakturirane

bušotine bit će veća od proizvodnje nefrakturirane bušotine. Također,

smanjenje pada tlaka, odnosno povećanje kumulativne proizvodnje bit, će

proporcionalno duljini i širini pukotine, iako ograničeno površinom koju

bušotina crpi.

6. Matematičko modeliranje procesa hidrauličkog stvaranja

vertikalne pukotine, određene duljine i širine, odnosno vodljivosti, temelji se

na načelima mehanike stijena i mehanike fluida. Mehanika stijena, odnosno

mehanika pukotine, definira orijentaciju (vertikalno/horizontalno), azimut i

oblik pukotine kao funkciju tlaka fluida u njoj, dok mehanika fluida definira

raspored tlaka fluida u pukotini poznatog oblika.

7. S obzirom na veličinu triju glavnih, međusobno okomitih i

nejednakih komponenti naprezanja u podzemlju, na dubinama većim od 300-

600 m, orijentacija hidraulički stvorene pukotine uvijek će biti vertikalna, a

njen azimut okomit na azimut najmanjeg horizontalnog naprezanja. Kako je

veličina najmanjeg horizontalnog naprezanja funkcija mehaničkih svojstava

ležišnih stijena, iskazanih preko Poissonovog koeficijenta, u različitim

horizontima ležišnih, pokrovnih i podinskih stijena vladaju različita

170

horizontalna naprezanja, koja imaju dominantnu ulogu u ograničavanju

vertikalnog napredovanja pukotine.

Pretpostavljajući linearnu elastičnost ležišnih stijena, hidraulički

stvorenu pukotinu može se predstaviti elipsoidom, pa u uvjetima ravninske

deformacije imamo problem elipse s ekscentričnošću (omjer male i velike osi)

koja teži ništici, odnosno problem vrlo uske elipse. Pretpostavljajući

horizontalno ravninsko stanje deformacije, razvijen je primjenjiv matematički

model, poznat pod imenom KGD (Kristijanovič-Geertsma-de Klerk model),

koji polazi od približno eliptičnog oblika horizontalnog presjeka pukotine, a

maksimalna širina pukotine (manja os elipse) funkcija je mehaničkih

svojstava stijene, razlike između hidrauličkog tlaka u pukotini i najmanjeg

horizontalnog naprezanja, te duljine pukotine (dulje osi elipse). Za slučaj

vertikalne ravninske deformacije, u ravnini okomitoj na smjer napredovanja

pukotine, razvijen je PKN model (Perkins-Kern-Nordgren model), kod kojeg je

vertikalni poprečni presjek eliptičnog oblika, pa je maksimalna širina pukotine

(manja os elipse) funkcija visine pukotine (dulje osi elipse), te mehaničkih

svojstava stijene i diferencijalnog tlaka u pukotini. KGD model dobro opisuje

slučaj kad je visina pukotine veća od njene duljine, dok je u vertikalno

ograničenim zonama, gdje je visina pukotine manja od njene duljine,

primjenjiv PKN model. Za specifičan slučaj, kad je ukupna duljina pukotine

jednaka njenoj visini, razvijen je radijalni model, kod kojeg poprečni presjek

pukotine ima paraboličan oblik u vertikalnoj i horizontalnoj ravnini, a širina

pukotine u ishodištu funkcija je radijusa pukotine, mehaničkih svojstava

stijene i diferencijalnog tlaka u pukotini.

8. Jednadžba kontinuiteta za protok nestlačivog fluida u pukotini

konstantne visine i promjenljive širine, odnosno za radijalni protok u pukotini

promjenljive širine, riješena je za tlak u pukotini, te širinu i duljinu (radijus)

171

pukotine, uz početne i rubne uvjete definirane mehanikom pukotine, za svaki

model ponaosob. Gradijent tlaka fluida u smjeru napredovanja pukotine

određen je Hagen-Poiseuilleovim zakonom, odnosno Fanningovim faktorom

trenja za laminarni protok newtonskog viskoznog fluida u uskom kanalu

eliptičnog poprečnog presjeka, za PKN model, odnosno za laminarni protok

newtonskog viskoznog fluida između dviju paralelnih ploha, za linearni i

radijalni KGD model. Za nenewtonske fluide, kod kojih je odnos smičnog

naprezanja i brzine smicanja izražen reološkom jednadžbom nazvanom

"zakon potencije", rješenje podrazumijeva opći oblik Reynoldsovog broja za

laminarni protok, prema Metzneru i Reedu.

Gubitak fluida iz pukotine u ležište određen je d'Arcyevim zakonom

protjecanja fluida kroz porozni medij, odnosno jednadžbom difuzije za

jednodimenzionalni linearni protok, a iskazan je efektivnim koeficijentom

filtracije, koji je proporcionalan brzini filtracije i drugom korijenu vremena

trajanja filtracije. Iz ove relacije slijedi Carterova jednadžba duljine pukotine u

uvjetima istodobnog gubljenja fluida iz pukotine u ležište, čijom su primjenom

u linearnom i radijalnom KGD modelu dobivena analitička rješenja duljine,

odnosno radijusa pukotine. Za PKN model, jednadžba kontinuiteta riješena je

numerički i analitički, s tim da su analitička rješenja dana za dva granična

slučaja, tj. za slučaj zanemarivog gubitka fluida u sloj, dakle, kad

djelotvornost fluida teži jedinici i slučaj velikog gubitka fluida, dakle kad

djelotvornost teži ništici.

Diferencijalni tlak u ishodištu pukotine, kao jedini mjerljivi parametar,

eksponencijalna je funkcija vremena trajanja procesa hidrauličkog

frakturiranja, gdje je vrijednost eksponenta karakteristična za svaki model i

ovisna o reološkim i filtracijskim svojstvima fluida za frakturiranje.

172

9. Gibanje i raspored podupirača u pukotini riješeni su

numeričkom simulacijom. Pritom je horizontalna komponenta brzine gibanja

podupirača određena jednadžbom kontinuiteta za protok nestlačive

suspenzije (podupirača u fluidu) u pukotini promjenljive širine. Vertikalna

brzina određena je Stokesovim zakonom, odnosno koeficijentom otpora pri

taloženju jedne čestice, sfernog oblika, u neograničenom mediju, čija je

vrijednost funkcija Reynoldsovog broja. Na temelju opsežnih istraživanja

može se zaključiti da brzina taloženja krutih čestica u viskoznom

nenewtonskom fluidu odstupa od Stokesovog zakona, ali ju se može izraziti

empirijskom jednadžbom. Općenito, vertikalna brzina gibanja podupirača je

funkcija razlike obujamskih masa fluida i podupirača, promjera zrna

podupirača, te reoloških svojstava fluida, a nužne su i korekcije na račun

blizine stijenki pukotine i povećane koncentracije podupirača u fluidu. Pritom

se u obzir mora uzeti i promjene reoloških svojstava fluida, u funkciji

temperature i vremena, što je riješeno analitičkim modelom prijenosa topline

iz ležišta u vertikalnu pukotinu.

Konačna distribucija podupirača u pukotini određena je položajem

svakog segmenta uzduž pukotine, visinom istaloženog podupirača, visinom i

koncentracijom suspendiranog, odnosno zatvaranjem pukotine zarobljenog

podupirača, te visinom pukotine bez podupirača. Time je definirana i

vertikalna distribucija vodljivosti u svakom segmentu pukotine, što je

preduvjet za izračunavanje prosječne bezdimenzionalne vodljivosti pukotine,

CfD .

10. Iako dvodimenzionalni (2D) modeli daju zadovoljavajuće

rezultate u izračunavanju dimenzija i karakteristika hidraulički stvorene

pukotine, pretpostavke, na kojima se ti modeli temelje, ponekad bitno

odstupaju od stvarnosti. U takvim slučajevima daleko realističniju geometriju

173

pukotine, distribuciju podupirača i ponašanje tlaka dat će trodimenzionalni

(3D) ili pak pseudo-3D model. Međutim, prednosti 3D modela mogu doći do

izražaja samo ako se osigura dodatne informacije o ležišnim

karakteristikama, u prvom redu informacije o promjenama najmanjeg

horizontalnog naprezanja s dubinom, kako u ležišnim, tako i u podinskim i

pokrovnim stijenama. Prikupljanje takvih informacija znatno poskupljuje

postupak hidrauličkog frakturiranja, pa je praktična primjena potpunih 3D

modela danas ipak ograničena.

11. Opisani matematički modeli hidrauličkog stvaranja

visokoprotočne pukotine u ležišnoj stijeni i modeli protjecanja fluida u

frakturiranom i nefrakturiranom ležištu primijenjeni su u proračunu

kvantitativnih pokazatelja mogućeg povećanja pridobivih zaliha nafte i plina,

u ležištima svih kategorija propusnosti, te su objedinjeni u modelu

optimalizacije procesa hidrauličkog frakturiranja, temeljenom na konceptu

maksimaliziranja "neto sadašnje vrijednosti" (NPV). Jedan od općih

zaključaka, koji slijede iz modela optimalizacije procesa hidrauličkog

frakturiranja, jest da, uz definirane ekonomske limite, optimalna efektivna

duljina pukotine raste sa smanjenjem efektivne propusnosti ležišta. Pritom se

pod definiranim ekonomskim limitima razumijeva definirano vrijeme

proizvodnje, uz profitabilan protok, tj. maksimalni radni vijek bušotine i

minimalna dnevna proizvodnja, uz minimalni dinamički (radni) tlak. U skladu s

tim, učinjen je proračun kumulativne proizvodnje za frakturirane i

nefrakturirane bušotine, koje proizvode pri konstantnom dinamičkom tlaku iz

svih kategorija naftnih, odnosno plinskih ležišta. Da bi proračuni za

frakturiranu i nefrakturiranu bušotinu bili usporedivi, primijenjen je model

ograničenog ležišta sa zatvorenom vanjskom granicom, za kojeg je dokazano

da je primjenjiv u većini nekonvencionalnih ležišta.

174

Prema kategorijama propusnosti, za naftna i plinska ležišta općenito se

može zaključiti slijedeće:

• kod konvencionalnih ležišta, učinak hidrauličkog frakturiranja očituje

se samo u skraćenju vremena proizvodnje, dok je kumulativna proizvodnja,

odnosno konačni iscrpak isti kao i u slučaju nefrakturirane bušotine.

• kod ležišta osrednje propusnosti, utjecaj hidrauličkog frakturiranja na

pridobive zalihe nafte, odnosno na konačni iscrpak, već je očit. Naime,

kumulativna proizvodnja frakturirane bušotine znatno je veća (60-70%) od

prozvodnje nefrakturirane bušotine, što se očituje i u konačnim iscrpcima

(24.1% prema 15.1% u korist frakturirane bušotine, u naftnom ležištu,

odnosno 86% prema 50%, u plinskom ležištu).

• ležište slabe propusnosti očiti je kandidat za hidrauličko frakturiranje.

Dok će nefrakturirana naftna bušotina iscrpiti svega 1.97% "nafte u ležištu", a

plinska 6.2% "plina u ležištu", kod frakturiranih bušotina konačni iscrpci će

iznositi 16.6%, odnosno 53%. Zamjenom kvadratne površine crpljenja

pravokutnom, s omjerom stranica 2:1, moguće je i daljnje povećanje

konačnog iscrpka.

• ležište kategorije vrlo slabe propusnosti u konvencionalnom smislu i

ne predstavlja ležište, budući su pridobive zalihe, odnosno potencijalna

kumulativna proizvodnja nefrakturirane bušotine, zanemarivo male. S druge

strane, frakturirana bušotina omogućit će konačni iscrpak od 9.98% u

naftnom ležištu, odnosno 31% u plinskom ležištu, kojeg se još može

poboljšati ukoliko se kvadratna površina crpljenja zamijeni pravokutnom, s

omjerom stranica 4:1.

• dio nafte, odnosno plina u ekstremno slabo propusnim ležištima,

također može biti uključen u pridobive zalihe ukoliko se primijeni postupak

hidrauličkog frakturiranja. Relativno skroman konačni iscrpak (3.34% u

175

naftnom ležištu, odnosno 10% u plinskom ležištu) može se bitno popraviti

zamjenom kvadratne površine crpljenja pravokutnom, omjera stranica 4:1.

Spomenute omjere većih i manjih stranica pravokutne površine crpljenja

treba shvatiti samo kao okvirne vrijednosti, a stvarne vrijednosti i omjera

stranica i ukupne površine crpljenja treba odrediti za svaki konkretan slučaj,

koristeći model optimalizacije hidrauličkog frakturiranja, s tim da u fiksne

troškove tada treba uključiti i troškove izrade i opremanja bušotine.

12. Na temelju proračuna kumulativne proizvodnje hipotetskog

plinskog ležišta s ukupno 1000 bušotina, čija je prosječna propusnost

distribuirana sukladno distribuciji propusnosti u poznatoj Travis Peak

formaciji, u SAD, a čija srednja vrijednost iznosi 0.0085∗10-3 µm2, zaključeno

je slijedeće:

• primjenom hidrauličkog frakturiranja kumulativna proizvodnja čitavog

ležišta će se udvostručiti. Konkretno, pridobive zalihe takvog ležišta time

mogu biti povećane s 8 37 1010 3. ⋅ m na 1 65 1011 3. ⋅ m plina.

• bušotine, koje crpe ležišta prosječne propusnosti k m≥ ⋅ −1 10 3 2µ (101

bušotina ili oko 10% svih bušotina) i ležišta prosječne propusnosti manje od

0 0001 10 3 2. ⋅ − µm (68 bušotina ili 6.8% svih bušotina) nije potrebno frakturirati,

jer se time neće povećati kumulativna proizvodnja ležišta. Sve ostale

bušotine (njih 831 ili 83.1% svih izbušenih bušotina) trebaju biti frakturirane,

jer se upravo na račun tih bušotina može povećati pridobive zalihe čitavog

ležišta.

• od 1000 izbušenih bušotina njih 348 ili 34.8% (k m< 0 004 10 3 2. ⋅ − µ ) ne

može biti uključeno u proizvodni fond bušotina bez frakturiranja, dok se u

slučaju primjene hidrauličkog frakturiranja taj broj reducira na svega 68

bušotina ili 6.8% (k m< 0 0001 10 3 2. ⋅ − µ ).

176

13. Iako prvi pokušaji praktične primjene procesa hidrauličkog

frakturiranja u Republici Hrvatskoj datiraju još iz 1957. god., intenzivnija

primjena ovog procesa novijeg je datuma. U zadnjih osam godina izvedeno je

dvadesetak hidrauličkih frakturiranja u plinsko-kondenzatnim ležištima i nešto

više od dvadesetak u naftnim.

Glavnina frakturiranih plinsko-kondenzatnih ležišta može se ubrojiti u

kategoriju osrednje i slabe propusnosti, dok se u samo četiri slučaja radi o

kategoriji vrlo slabe propusnosti, a u jednom slučaju radi se i o

konvencionalnom ležištu. Niti jedna od frakturiranih bušotina nije bila

uključena u proizvodnju prije hidrauličkog frakturiranja, iako je nekoliko

bušotina moglo proizvoditi i bez frakturiranja, ali uz značajan pad tlaka, što je

nepovoljno u slučaju plinsko-kondenzatnih ležišta s visokim tlakom

retrogradne kondenzacije. Frakturiranjem je omogućeno uključenje glavnine

bušotina u proizvodni sustav, dakle, omogućeno je pridobivanje dotad

nepridobivih (izvanbilančnih) zaliha plina i kondenzata. Rast kumulativne

proizvodnje plina i kondenzata svih frakturiranih bušotina, koje su uključene u

proizvodnju do polovine 1994. godine, još uvijek je uglavnom linearan. Bez

obzira koliko dugo će se nastaviti ovakav linearan rast kumulativne

proizvodnje, već sad se može ustvrditi da se investicija u hidraulička

frakturiranja plinsko-kondenzatnih ležišta mnogostruko oplodila. Naime,

ukupna vrijednost proizvedenog plina i kondenzata iznosi 228,167,000 USD,

dok ukupni troškovi svih izvedenih hidrauličkih frakturiranja ne dosežu niti

vrijednost od 15,000,000 USD.

Za razliku od plinskih ležišta, kod naftnih se radi ili o starim bušotinama,

s određenim, ponekad i dugim radnim historijatom (npr. bušotina Bn-40 na

starom polju Bunjani, koja je proizvodila 33 godine), ili pak o novim

bušotinama, ali kojima su otvorena već crpljena ležišta. Ležišta se može

177

ubrojiti u kategorije osrednje i slabe propusnosti, no međusobno se bitno

razlikuju, posebno u stupnju iscrpljenosti. Bez obzira na sve razlike, općenito

se može zaključiti da je frakturiranjem omogućeno pridobivanje dotad

nepridobivih zaliha, bilo da su one zaostale nakon dugogodišnjeg crpljenja,

bilo da ih se nije moglo rentabilno crpiti novoizbušenim bušotinama.

Uz srednji radni vijek od 3.5 god., srednja kumulativna proizvodnja

jedne bušotine prije frakturiranja iznosi 2316 m3, a nakon frakturiranja, uz

srednji radni vijek od 2.1 god., srednja kumulativna proizvodnja iznosi 5250

m3 po bušotini. Rast kumulativne proizvodnje svih frakturiranih naftnih

bušotina je eksponencijalan, no već njena dosadašnja vrijednost od

24,448,000 USD uvelike nadilazi ukupne troškove frakturiranja od nekih

4,200,000 USD.

14. Kako u Hrvatskoj još nema relevantnih procjena nafte, odnosno

plina "u ležištu" u nekonvencionalnim ležištima, poput one američkog

Nacionalnog vijeća za naftu, a osim pojedinačnih radova103 nema ni sustavne

statističke distribucije ležišnih karakteristika (propusnosti, šupljikavosti,

debljine) u ležištima koja se ne iskorištava (dakle, u većini nekonvencionalnih

ležišta), poput one za Travis Peak formaciju u SAD, nužno je znanstveno-

istraživačku djelatnost usmjeriti u tom pravcu. Prema prioritetima, takvu

djelatnost bi se moglo svrstati u slijedeće grupe:

• identificiranje i kategoriziranje nekonvencionalnih ležišta;

• odabir najperspektivnijih ležišta, uvažavajući aktualne mogućnosti

tehnologije;

• procjena proizvodnog potencijala ležišta;

• određivanje optimalnog postupka za razradu i iskorištavanje ležišta.

U sklopu takvog rada može se preporučiti izradu studije mogućeg

povećanja (bilančnih) zaliha nafte i plina primjenom postupka hidrauličkog

178

frakturiranja, u skladu s najnovijom svjetskom praksom,98 po slijedećim

skupinama ležišta ili dijelova ležišta:

• izvanbilančne - nerentabilne zalihe u ležištima koja se iskorištava, ako

je uzrok nerentabilnosti zaliha slaba propusnost ležišta. Do ovih podataka

relativno je lako doći, budući su u "Elaboratima o rezervama", u skladu s

hrvatskim Pravilnikom, iskazane i pridobive i bilančne zalihe, pa njihova

razlika predstavlja nerentabilne zalihe;

• slabo propusni dijelovi ležišta, na inače visokorentabilnim poljima;

• ležišta koja se ne iskorištava jer su im cjelokupne pridobive zalihe

svrstane u klasu izvanbilančnih-nerentabilnih;

• brojni istražni lokaliteti, gdje su ispitivanjem u zacijevljenim bušotinama

ili DST-om, dobiveni slabi pritoci nafte ili plina;

• neotkrivena nekonvencionalna ležišta, koja nesumnjivo postoje, ali za

čije je otkrivanje nužno primijeniti i nekonvencionalne metode.

179

BIBLIOGRAFIJA

1. A.R. Martinez, D.C. Ion Desorcy, H. Dekker, S. Shofner Smith:

"Klasifikacija i sustavi nomenklature za naftu i naftne rezerve", Konačno

izvješće Studijske grupe Svjetskih naftnih kongresa, veljača, 1986.

2. R.S. Tompson, J.D. Wright: "Oil Property Evaluation", II. izdanje,

1985., Golden, Colorado, IV. poglavlje.

3. "Proved Reserves Definitions", JPT, studeni 1981., str. 2113-2114.

3a. Ž. Matiša: "Energetske mineralne sirovine u energetici Republike

Hrvatske", Simpozij "Doprinos rudarstva energetici Hrvatske", Zagreb, 3.

prosinca 1993., Zbornik radova, str. 23-33., R-G-N fakultet Sveučilišta u

Zagrebu.

3b. A. Bauk, J. Sečen, B. Barić: "Razrada ležišta ugljikovodika",

Simpozij "Doprinos rudarstva energetici Hrvatske", Zagreb, 3. prosinca 1993.,

Zbornik radova, str. 137-155., R-G-N fakultet Sveučilišta u Zagrebu.

4. R.W. Veatch Jr., O. Baker: "How Technology and Price Affect U.S.

Tight Gas Potential, Part 1 - Technology of Tight Gas Production", Petroleum

Engineer International, siječanj 1983., str. 84-96.

5. O. Baker: "Gas Resources in Low Permeability Formations and the

Effect of Price and Technology", SPE/DOE Symposium on Low Permeability

Gas Reservoirs, Denver, Colorado, 27.-29. svibnja 1981., rad br. SPE/DOE

9897.

6. F. Brinkmann: "Status and Further Development of Fracturing Deep

and Low-Permeable Gas Reservoirs", U.N. Seminar on Improved Techniques

180

180

for the Extraction of Primary Forms of Energy, Beč, Austrija, 10.-14. studenog

1980., rad br. ECE/SEM.4/R.24.

7. F.W. Brinkmann: "Status Report on Fracturing of Deep and Low

Permeable Formations in West Germany", SPE/DOE Symposium on Low

Permeability Gas Reservoirs, Denver, Colorado, 27.-29. svibnja 1981., rad

br. SPE/DOE 9852.

8. J.K. Gray: "Future Gas Reserve Potential Western Canadian

Sedimentary Basin", Third National Technical Conference of the Canadian

Gas Association, 1977.

9. J.A. Masters: "Deep Basin Gas Trap, Western Canada", AAPG

Bulletin, Vol. 63, br. 2, veljača 1979., str. 152-181.

10. S.A. Holditch, Z-S. Lin, J.P. Spivey: "Estimating the Recovery From

an Average Well in a Tight Gas Formation", SPE Gas Technology

Symposium, Houston, Texas, 23.-25. siječnja, 1991., rad br. SPE 21500.

11. J.B. Rollins, S.A. Holditch, W.J. Lee: "Characterizing Average

Permeability in Oil and Gas Formations", 64. Annual Fall Meeting, San

Antonio, Texas, 8.-11. listopada, 1989., rad br. SPE 19793.

12. J. Law: "A Statistical Approach to the Interstitial Heterogeneity of

Sand Reservoirs", Transactions, AIME, Vol. 155 (1944.) str. 202-222.

13. F. Craig: "The Reservoir Engineering Aspects of Waterflooding"

New York , AIME (1971) str. 62-68.

14. J. Warren, F. Skiba, H. Price: "An Evaluation of the Significance of

Permeability Measurements", JPT, kolovoz 1961., str. 739-744.

15. J.L. Jensen, D.V. Hinkley, L.W. Lake: "A Statistical Study of

Reservoir Permeability: Distributions, Correlations, and Averages", SPE

Formation Evaluation, prosinac 1987., str. 461-468.

181

181

16. D.L. Luffel, W.E. Howard, E.R. Hunt: "Relationships of Permeability,

Porosity and Overburden Stress Derived From An Extensive Core Analysis

Data Base in the Travis Peak Formation", Low Permeability Reservoirs

Symposium, Denver, Colorado, 1989., rad br. SPE 19008.

17. Core Laboratories, Inc., 1981, Exh. 16: "In-Situ Permeability vs

Cumulative Frequency, Travis Peak ...", izvješće citirano u literaturi 10.

18. Bureau of Economic Geology: "The Travis Peak (Houston)

Formation: Geologic Framework, Core Studies, and Engineering Field

Analysis", GRI Topical Report (studeni 1983 - siječanj 1985), citirano u

literaturi 10.

19. C.S. Matthews, D.G. Russell: "Pressure Buildup and Flow Tests in

Wells", Monograph Volume 1, Henry L. Doherty Series, Society of Petroleum

Engineers of AIME, New York, Dallas (1967).

20. A.F. van Everdingen, W. Hurst: "The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs" Petroleum Transactions,

AIME (1949) 186, str. 305-324.

21. W.J. Lee: "Well Testing", SPE Textbook Series Vol. 1, I. izdanje,

Society of Petroleum Engineers of AIME, New York, Dallas (1982).

22. R.C. Earlougher, Jr.: "Advances in Well Test Analysis", Monograph

Volume 5, Henry L. Doherty Series, Society of Petroleum Engineers of AIME,

New York, Dallas (1977).

23. H. Cinco-Ley, F. Samaniego-V., N. Dominguez-A.: "Transient

Pressure Behavior for a Well With a Finite-Conductivity Vertical Fracture",

SPEJ, kolovoz 1978., str. 253-264.

24. H. Cinco-Ley, F. Samaniego-V.: "Transient Pressure Analysis for

Fractured Wells", JPT, rujan 1981., str. 1749-1766.

182

182

25. A.C. Gringarten, H.J. Ramey Jr.: "Unsteady-State Pressure

Distributions Created by a Well With a Single Infinite-Conductivity Vertical

Fracture", SPEJ, kolovoz 1974., str. 347-360.

26. A.C. Gringarten, H.J. Ramey Jr., R. Raghavan: "Applied Pressure

Analysis for Fractured Wells", JPT, srpanj 1975., str. 887-892.

27. C.O. Bennett, R.G. Camacho-V., A.C. Reynolds, R. Raghavan:

"Approximate Solutions for Fractured Wells Producing Layered Reservoirs",

SPEJ, listopad 1985., str. 729-742.

28. H. Cinco-Ley, F. Samaniego-V., F. Rodriguez: "Application of the

Pseudolinear-Flow Model to the Pressure-Transient Analysis of Fractured

Wells", SPE Formation Evaluation, rujan 1989., str. 438-444.

29. K.H. Guppy: "Analysis of Fractured Wells Producing at High Flow

rates Using Late-Time Data", SPE Formation Evaluation, prosinac 1987., str.

555-559.

30. M. Prats, P. Hazebroek, W.R. Strickler: "Effect of Vertical Fractures

on Reservoir Behavior - Compressible Fluid Case", SPEJ, lipanj 1962., str.

87-94.

31. C.O. Bennett, N.D. Rosato, A.C. Reynolds, R. Raghavan: "Influence

of Fracture Heterogeneity and Wing Length on Response of Vertically

Fractured Wells", SPEJ, travanj 1983., str. 219-230.

32. C.O. Bennett, R. Raghavan, A.C. Reynolds: "Analysis of Finite-

Conductivity Fractures Intercepting Multilayer Commingled Reservoirs", SPE

Formation Evaluation, lipanj 1986., str. 259-274.

33. R.G. Agarwal, R.D. Carter, C.B. Pollock: "Evaluation and

Performance Prediction of Low-Permeability Gas Wells Stimulated by

Massive Hydraulic Fracturing", JPT, ožujak 1979., str. 362-372; Transactions

of the SPE (1979), 267.

183

183

34. R.G. Agarwal, R.D. Carter, C.B. Pollock: "Type Curves for

Evaluation and Performance Prediction of Low-Permeability Gas Wells

Stimulated by Massive Hydraulic Fracturing", Transactions of the SPE

(1979), 267, str. 372A-372D.

35. K.H. Guppy, H. Cinco-Ley, H.J. Ramey Jr.: "Effect of Non-Darcy

Flow on the Constant-Pressure Production of Fractured Wells", SPEJ, lipanj

1981., str. 390-400.

36. K.H. Guppy, S. Kumar, V.D. Kagawan: "Pressure Transient Analysis

for Fractured Wells Producing at Constant Pressure", SPE Formation

Evaluation, ožujak 1988., str. 169-178.

37. C.O. Bennett, A.C. Reynolds, R. Raghavan, J.L. Elbel:

"Performance of Finite-Conductivity, Vertically Fractured Wells in Single-

Layer Reservoirs", SPE Formation Evaluation, kolovoz 1986., str. 399-412.

38. S.A. Holditch, J.M. Gatens, D.A. McVay, D.E. Lancaster: "An

Automated Method of Matching Production Performance Using

Dimensionless Solutions", SPE/DOE/GRI Unconventional Gas Recovery

Symposium, Pittsburgh, SAD, 13.-15. svibnja, 1984., rad br. SPE/DOE/GRI

12846.

39. J.L. Elbel, P.A. Sookprasong: "Use of Cumulative-Production Type

Curves in Fracture Design", SPE Production Engineering, kolovoz 1987., str.

191-198.

40. M. Abramowitz, I.A. Stegun: "Handbook of Mathematical Functions",

Dover Publications, Inc., New York, 1968.

41. R.G. Camacho-V., R. Raghavan, A.C. Reynolds: "Response of

Wells Producing Layered Reservoirs: Unequal Fracture Length", SPE

Formation Evaluation, ožujak 1987., str. 9-28.

184

184

42. J.L. Gidley: "A Method for Correcting Dimensionless Fracture

Conductivity for Non-Darcy Flow Effects", SPE Production Engineering,

studeni 1991., str. 391-394.

43. F. Rodriguez, H. Cinco-Ley, F. Samaniego-V.: "Evaluation of

Fracture Asymmetry of Finite-Conductivity Fractured Wells", SPE Production

Engineering, svibanj 1992., str. 233-239.

44.R. Al-Hussainy, H.J. Ramey Jr., P.B. Crawford: "The Flow of Real

Gases Through Porous Media", JPT, svibanj 1966., str. 624-636.

45. M.J. Economides, K.G. Nolte: "Reservoir Stimulation", 2. izdanje,

Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.

46. M.K. Hubbert, D.G. Willis: "Mechanics of Hydraulic Fracturing",

Transactions of AIME (1957), 210, str. 153-166.

47. J.L. Gidley, S.A. Holditch, D.E. Nierode, R.W. Veatch Jr.: "Recent

Advances in Hydraulic Fracturing", Monograph Volume 12, Henry L. Doherty

Series, Society of Petroleum Engineers of AIME, New York, Dallas (1989).

48. S.A. Khristianovic, Y.P. Zheltov: "Formation of Vertical Fractures by

Means of Highly Viscous Fluid", IV. Svjetski naftni kongres, Rim (1955)

Zbornik radova II, str. 579-586.

49. G.I. Barenblatt: "The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in

Brittle Fracture", Advances in Applied Mechanics (1962) 7, str. 55-129.

50. J. Geertsma, F. de Klerk: "A Rapid Method of Predicting Width and

Extent of Hydraulically Induced Fractures", JPT, prosinac 1969., str. 1571-

1581; Transactions of AIME, 246.

51. T.K. Perkins, L.R. Kern: "Widths of Hydraulic Fractures", JPT, rujan

1961., str. 937-949; Transactions of AIME, 222.

52. R.P. Nordgren: "Propagation of a Vertical Hydraulic Fracture",

SPEJ, kolovoz 1972., str. 306-314.

185

185

53. L.N. Sneddon: "The Distribution of Stress in the Neighbourhood of a

Crack in a Elastic Solid", Proc. Royal Society London (1946) A 187, str. 229.

54. N.R. Warpinski: "Measurement of Width and Pressure in a

Propagating Hydraulic Fracture", SPEJ, veljača 1985., str. 46-54.

55. J.W. Amyx, D.M. Bass, Jr., R.L. Whiting: "Petroleum Reservoir

Engineering", McGraw-Hill Book Co., New York, Toronto, London, 1960.,

str. 84.

56. B.R. Meyer: "Design Formulae for 2-D and 3-D Vertical Hydraulic

Fractures: Model Comparison and Parametric Studies", Unconventional Gas

Technology Symposium, Louisville, SAD, 18.-21. svibnja, 1986., rad br. SPE

15240.

57. G.C. Howard, C.R. Fast: "Hydraulic Fracturing", Monograph Volume

2, Henry L. Doherty Series, Society of Petroleum Engineers of AIME, New

York, Dallas (1970).

58. B.B. Williams: "Fluid Loss from Hydraulically Induced Fractures",

JPT, srpanj 1970., str. 882-888; Transactions of AIME, 249.

59. B.B. Williams, J.L. Gidley, R.S. Schechter: "Acidizing

Fundamentals", Monograph Volume 6, Henry L. Doherty Series, Society of

Petroleum Engineers of AIME, New York, Dallas (1979).

60. R.D. Carter: "Derivation of the General Equation for Estimating the

Extent of the Fractured Area", Dodatak članku G.C. Howarda i C.R. Fasta:

"Optimum Fluid Characteristics for Fracture Extension", Drill. and Prod. Prac.,

API (1957) str. 261-270.

61. M.A. Biot, L. Massé, W.L. Medlin: "A Two-Dimensional Theory of

Fracture Propagation", SPE Production Engineering, siječanj 1986., str.

17.-30.

186

186

61a. K.G. Nolte: "Determination of Proppant and Fluid Schedules From

Fracturing-Pressure Decline", SPE Production Engineering, srpanj 1986., str.

255-265.

61b. K.G. Nolte: "A General Analysis of Fracturing Pressure Decline

With Application to Three Models", SPE Formation Evaluation, prosinac

1986., str. 571-583.

62. M. Čikeš, J. Papo: "Gibanje i raspored podupirača u vertikalnoj

pukotini", Nafta 34 (1), siječanj 1983., str. 11-26.

63. E.J. Novotny: "Proppant Transport", SPE Reprint Series, No. 5a,

Vol. II., Well Completions, Dallas (1978), str. 208-219.

64. B.R. Meyer: "Generalized Drag Coefficient Applicable for All Flow

Regimes", Oil & Gas Journal, 26. svibnja 1986., str. 71-77.

65. D.E. McMechan, S.N. Shah: "Static Proppant-Settling

Characteristics of Non-Newtonian Fracturing Fluids in a Large-Scale Test

Model", SPE Production Engineering, kolovoz 1991., str. 305-312.

66. S.N. Shah: "Proppant Settling Correlations for Non-Newtonian

Fluids Under Static and Dynamic Conditions", SPEJ, travanj 1982., str. 164-

170.

67. S.N. Shah: "Proppant-Settling Correlations for Non-Newtonian

Fluids", SPE Production Engineering, studeni 1986., str. 446-448.

68. J.A. Wheeler: "Analytical Calculations for Heat Transfer from

Fractures", SPE Improved Oil Recovery Symposium, Tulsa, SAD, 13.-15.

travnja, 1969., rad SPE 2494.

69. A.R. Sinclair: "Heat Transfer Effects in Deep Well Fracturing", JPT,

prosinac 1971., str. 1484-1492., SPE Reprint Series, No. 5a, Vol. II., Well

Completions, Dallas (1978), str. 237-245.

187

187

70. A. Settari: "Simulation of Hydraulic Fracturing Processes", SPEJ,

prosinac 1980., str. 487-500.

71. M.A. Biot, L. Massé, W.L. Medlin: "Temperature Analysis in

Hydraulic Fracturing", JPT, studeni 1987., str. 1389-1397, Transactions of

AIME, 283.

72. B.R. Meyer: "Heat Transfer in Hydraulic Fracturing", SPE

Production Engineering, studeni 1989., str. 423-429.

73. N.R. Warpinski, Z.A. Moschovidis, C.D. Parker, I.S. Abou-Sayed:

"Comparison Study of Hydraulic Fracturing Models - Test Case: GRI Staged

Field Experiment No. 3", SPE Production & Facilities, veljača 1994., str 7-18.

74. R.J. Clifton, J.J. Wang: "Multiple Fluids, Proppant Transport, and

Thermal Effects in Three-Dimensional Simulation of Hydraulic Fracturing",

SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Houston, SAD, 02-05.

listopada, 1988., rad br. SPE 18198.

75. S.H. Advani, T.S. Lee, J.K. Lee: "Three-Dimensional Modeling of

Hydraulic Fractures in Layered Media: Part I.-Finite Element Formulations",

ASME J. Energy Res. Tech. (1990) 112, str. 1-9.

76. B.R. Meyer, G.D. Cooper, S.G. Nelson: "Real-Time 3D Hydraulic

Fracturing Simulation: Theory and Field Case Studies", SPE Annual

Technical Conference and Exhibition, New Orleans, SAD, 23.-26. rujna,

1990., rad br. SPE 20658.

77. M.P. Cleary, C.A. Wright, T.B. Wright: "Experimental and Modeling

Evidence for Major Changes in Hydraulic Fracturing Design and Field

Procedures", SPE Gas Technology Symposium, Houston, SAD, 22.-24.

listopada, 1991., rad br. SPE 21494.

78. J.V. Vogel: "Inflow Performance Relationships for Solution-Gas

Drive Wells", JPT, siječanj 1968., str. 83-92.

188

188

79. B.M. Robinson, S.S. Holditch, W.S. Whitehead: "Minimizing

Damage to a Propped Fracture by Controlled Flowback Procedures", JPT,

lipanj 1988, str. 753-759, Transactions of AIME, 285.

80. R.F. Lemon, H.J. Patel, J.R. Dempsey: "Effects of Fracture and

Reservoir Parameters on Recovery From Low Permeability Gas Reservoirs",

Annual Fall Technical Conference and Exhibition of the SPE, Houston, SAD,

6.-9. listopada, 1974., rad br. SPE 5111.

81. S.A Holditch, J.W. Jenninggs, S.H. Neuse, R.E. Wyman: "The

Optimization of Well Spacing and Fracture Length in Low Permeability Gas

Reservoirs", Annual Fall Technical Conference and Exhibition of the SPE,

Houston, SAD, 1.-3. listopada, 1978., rad br. SPE 7496.

82. R.M. Balen, H-Z. Meng, M.J. Economides: "Application of the Net

Present Value (NPV) in the Optimization of Hydraulic Fractures", SPE

Eastern Regional Meeting, Charleston, SAD, 1.-4. studenog, 1988., rad br.

SPE 18541.

83. R.W. Anderson, A.M. Phillips: "Practical Applications of Economics

Well-Performance Criteria to the Optimization of Fracturing Treatment

Design", JPT, veljača 1988., str. 223-228.

84. J.B. Clark: "A Hydraulic Process for Increasing the Productivity of

Wells", Transactions of AIME (1949), 186., str. 1-8.

85. J. Vučković: "Stvaranje raspuklina u slojevima", Nafta 9, rujan 1954.,

str. 246-254.

86. L. Berdon: "Sand-oil frac", Nafta 12, prosinac 1954., str. 335-338.

87. V. Peroš: "Sredstva koja se primjenjuju kod hidrauličkog stvaranja

raspuklina u slojevima", Nafta 2, veljača 1957., str. 45-53.

88. L. Berdon: "Frakturiranje slojeva u Lendavi", Nafta 6, lipanj 1957.,

str. 170-175.

189

189

89. J. Szabo, A. Ivaniš, R. Holub: "Hidrauličko razdiranje stijena s

visokim slojnim pritiscima i visokim temperaturama u ležištu Petišovci",

Simpozij o razradi ležišta i pridobivanju nafte i plina, Cavtat, 18.-22. listopada

1976., Zbornik radova I. Razrada ležišta nafte i plina, str. 92-98.

90. Ž. Škrinjar, Z. Nađaković, B. Lončarić, M. Čikeš, M. Režek:

"Tehnički problemi izvođenja specijalnih rudarskih radova u bušotinama

istočne Slavonije", DIT 10, lipanj 1982., str. 51-55.

91. K. Jelić: "Određivanje smjera frakturiranja u bušotini Klo-21",

Zbornik radova R-G-N fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, u povodu 40 god.

rada 1939-1979., Zagreb, 1979., str. 440-450.

91a. B. Molak: "Hidrauličko razdiranje stijena - veća proizvodnja nafte i

plina, I-III", Nafta 12, prosinac 1979., str. 593-597, Nafta 1, siječanj 1980., str.

8-13, Nafta 2, veljača 1980., str. 73-80.

92. M. Čikeš: "Opći pristup projektiranju masivnog hidrauličkog

frakturiranja", IV. Jadranski susret naftaša, Cavtat, 14.-17. listopada 1985.,

Zbornik radova, odjeljak 5, rad br. 5., DIT INA-NAFTAPLIN, Zagreb.

93. M. Čikeš, J. Papo: "Simuliranje procesa hidrauličkog frakturiranja

stijena-ležišta nafte i plina", VIII. Međunarodni simpozij "Kompjuter na

sveučilištu", Cavtat, 12.-15. svibnja 1986., Zbornik radova, Tema 6, str. 81-

88, Sveučilišni računski centar, Zagreb; Nafta 39 (7-8), srpanj-kolovoz 1988.,

str. 389-394.

94. M.J. Economides, M. Čikeš, H. Pforter, T.H. Udick, P. Uroda: "The

Stimulation of a Tight, Very-High-Temperature Gas-Condensate Well",

Unconventional Gas Technology Symposium, Louisville, SAD, 18.-21.

svibnja, 1986., rad br. SPE 15239; SPE Formation Evaluation, ožujak 1989.,

str. 63-72.

190

190

95. B. Omrčen, I. Ibrahimpašić, B. Lončarić: "Svladavanje složenih

prirodnih zapreka u funkciji iskorištavanja ležišta ugljikovodika u dubokom

Panonu", Nafta 38 (11-12), studeni-prosinac 1987., str. 623-632.

96. M. Čikeš: "Mogućnost povećanja pridobivih rezervi ugljikovodika

primjenom postupka MHF", Konferencija "Strategija znanstveno-tehnološkog

razvoja u geologiji, rudarstvu i metalurgiji", Opatija, 26.-28. listopada 1988.,

Zbornik radova, str. 169-180.

97. M. Čikeš, M.J. Economides: "Fracturing of High-Temperature,

Naturally Fissured, Gas-Condensate Reservoirs", 1990 SPE European

Petroleum Conference, Hag, Nizozemska, 22.-24. listopada, 1990., rad br.

SPE 20973; SPE Production Engineering, svibanj 1992., str. 226-232.

98. W.J. Lee, C.W. Hopkins: "Characterization of Tight Reservoirs",

JPT, studeni 1994., str. 956-964.

99. M. Golan, C.H. Whitson: "Well Performance", NTH, Trondheim,

Norveška, 1985.

100. M.J. Fetkovich: "Decline Curve Analysis Using Type Curves", JPT,

lipanj 1980., str. 1065-1077.

101. M.J. Fetkovich, M.E. Vienot, M.D. Bradley, U.G. Kiesow: "Decline

Curve Analysis Using Type Curves - Case Histories", SPE Formation

Evaluation, prosinac 1987., str. 637-656.

102. R. Raghavan: "Well Test Analysis: Well Producing by Solution-

Gas Drive", JPT, kolovoz 1976., str. 196-208; Transactions of AIME, 261.

103. K. Jelić: "Odnos gustoće i poroznosti s dubinom litostratigrafskih

formacija savske i dravske potoline", Nafta 35 (12), prosinac 1984., str. 637-

643.

191

P R I L O Z I

3

2

6,7

5

8,9

9

8

10

11

10

192

192

10

12-14

15

10

11

10,16

16

17

16

17

17

18

10

10

11

10

i10

17

17

Documents

bib.irb.hr filebib.irb.hr