Biforcazioni Chaos

8/19/2019 Biforcazioni Chaos

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Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy

Circuiti con dinamiche complesse,

biforcazioni e caos deterministico

Modulo di Teoria dei CircuitiLaurea specialistica in IngegneriaInformatica, Elettronica e delle Telecomunicazioni

Prof. Massimiliano de Magistris


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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 2

• Un po’ di fenomenologia del comportamento asintotico perdiverse classi di circuiti

• Circuito RLC ferrorisonante, soluzioni periodiche ,subarmoniche e quasi-periodiche

• Qualche premessa sul caos deterministico

• Circuito RLCD e raddoppiamenti di periodo , soluzionicaotiche , finestre nel caos

• Strumenti per l’analisi di dinamiche complesse: attrattori

strani , diagrammi di biforcazione e mappe di Poincaré • Un paradigma del caos deterministico: il circuito di Chua

• Cenni alle applicazioni dei circuiti caotici

SommarioDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy


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• Esiste un unico regime, o viceversa il comportamento

asintotico non è unico?• È sempre possibile definire i bacini di attrazione per le

soluzioni asintotiche?

• Le soluzioni asintotiche mantengono sempre le “simmetrie” del circuito (caratteristiche, andamento dei forzamenti)?

• Come cresce il numero delle soluzioni asintotiche al variaredei parametri?

• È possibile individuare aspetti di regolarità nelle soluzioniasintotiche?

Comportamento asintotico 1Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy

Alcune questioni


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• Per i circuiti lineari asintoticamente stabili ilcomportamento per t ∞ è unico (regime).

• La soluzione di regime per i circuiti lineari è legata al tipo

di forzamento (es. stazionario, sinusoidale) e vale lasovrapposizione.

• Nei circuiti lineari per forzamenti di tipo diverso dal quellostazionario e sinusoidale è possibile applicare l’analisi diFourier (serie, trasformata)


Caso lineare


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• Per i circuiti non lineari il comportamento asintotico in

generale non è unico (dipende cioè dalle c.i.) dunquenon sempre si può definire un regime

• Il comportamento asintotico o le soluzioni di regimenon sono necessariamente legate al tipo di forzamento (es: oscillatore)

• non è possibile restringere lo studio ai soli casistazionario e sinusoidale per poi applicare l’analisi diFourier (non vale la sovrapposizione)


Caso non lineare


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• Circuito autonomo “debolmente” non lineare: soluzione di

regime unica (es. amplificatore)• Circuito autonomo non lineare: diverse soluzioni di regime

(es. circuito con diodo tunnel)• Circuito debolmente non lineare forzato sinusoidalmente:

soluzione di regime unica periodica (es. raddrizzatore)

• Circuito non lineare forzato sinusoidalmente: diversesoluzioni di regime periodiche (es. circuito ferrorisonante)


Esempi di unicità/non unicità


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• Circuito autonomo debolmente non lineare (es.amplificatore): soluzione di regime stazionaria

(simmetria ok)• Circuito autonomo non lineare (es. oscillatore): soluzioniperiodiche (rottura della simmetria)

• Circuito debolmente non lineare forzato sinusoidalmente(es. raddrizzatore): soluzione di regime periodica(simmetria ok)

• Circuito non lineare forzato sinusoidalmente (es. circuitoferrorisonante): soluzioni subarmoniche (rottura dellasimmetria)

Conservazione delle simmetrieDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy


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“Una soluzione di regime che abbia menosimmetria del circuito non può essere unica”

Rottura delle simmetrieDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy

Es. oscillatore autonomo:

x (t ) soluzione x (t’ ) soluzione con t’ =t +τ

Due i casi: – x (t ) = x (t’ ) per qualsiasi scelta di τ

– Le due soluzioni sono differenti se τ ≠Τ

Nel secondo caso abbiamo diversi regimi (∞)


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Il circuito è non lineare, del secondo ordine, non autonomoPuò rappresentare ad es. il modello di un trasformatore dimisura in sottostazioni elettriche

=( ) sen( )M e t E t ω 50

2

f Hz ω

π

= =

.

Circuito ferrorisonanteDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy

RC

Re t

i


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se E M è “sufficientemente piccolo” il comportamento è lineare(siamo completamente all’interno della regione lineare dellacaratteristica dell’induttore)

.

Circuito ferrorisonante /2Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy

La soluzione diregime è unica,indipendentemente

dalle condizioniiniziali, periodica(sinusoidale) con

periodo T =1/f

Aumentando un po’ l’ampiezza EM la soluzione rimane unica

e di periodo T ma nasce una distorsione


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.


Superato un certo valore per E M si osserva che nascono tresoluzioni di regime. Di esse, due sono stabili ed una instabile

Ciascuna soluzioneviene raggiunta apartire da determinate

condizioni iniziali.Tutte e tre le soluzioniconservano lasimmetria del circuito

Osserviamo dunque al variare di E M una “biforcazione” simile

a quella del circuito del primo ordine con diodo tunnel


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Si potrebbe pensareche la soluzioneinstabile separi i

bacini di attrazione.

Ciò non è vero nelcaso considerato!

.


Quali sono i bacini di attrazione di tali soluzioni di regime?

Di ti t di I i EL tt i U i ità di N li FEDERICO II It l


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Aumentando ancora E M (E M =300 V) la soluzione ritorna adessere unica, ma con un grado di distorsione maggiore

.


La soluzione diregime è unica,

indipendentementedalle condizioniiniziali, periodica

con periodo T =1/f

Dipa timento di I i EL tt i U i ità di N li FEDERICO II It l


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Continuando ad aumentare E M (E M =2300 V) , si ritrovanonuovamente 3 soluzioni di regime periodiche di periodo T

.


Di esse due risultano

stabili ed una instabile.Tali soluzioni peròmanifestano una rottura

della simmetria.

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Per alcuni valori dei parametri del circuito si può avereuna situazione nuova:

.


nascono soluzioni di periodo

multiplo (3T) del forzamento(subarmoniche)Si hanno ora quattrosoluzioni: quella interna(instabile) e “tre” esterne

che differiscono l’un l’altraper traslazioni di T e 2T

È possibile trovare valori dei parametri con comportamenti

anche molto più complessi (es. 41 soluzioni di cui 17 stabili!)

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Il concetto di “caos” è normalmente legato all’impredicibilità

della dinamica di un sistema, o al concetto di casualità (cioè

al risultato di un processo “aleatorio”). Ma possiamo legarel’impredicibilità al determinismo?

Esistono molti sistemi, generalmente complessi, per i quali ladescrizione della dinamica è di fatto impraticabile se intesa

in senso deterministico, ed a ciò siamo abituati. Ciò chesorprende invece e che ciò possa accadere anche in sistemi

semplici.

.

Premesse su caos deterministico /1Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy



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•La apparente “casualità” è spesso dovuta a:alta sensibilità alle c.i. con leggi note (e magari semplici): es. la

rouletteimprecisione nella conoscenza delle leggi: es. la fluidodinamica

estrema complessità dei sistemi: es. i gas

•Diverso è invece il caso dei fenomeni quantistici, nei qualil’elemento aleatorio è intrinseco al modello

•Noi presenteremo invece sistemi deterministici (circuiti)estremamente semplici che sotto opportune condizioni hannoun comportamento non “predicibile” se non in senso

statistico!

.


Premesse su caos deterministico /2



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Modello dinamico a tempo discreto:

.

Premesse su caos deterministico /3Dipartimento di Ingegneria ELettrica Università di Napoli FEDERICO II Italy

1( )n n x f x −=Esempio: caso lineare

21 0 2 1 0

0

( )

;n

n

f x ax

x ax x ax a x x a x

=

= = ==



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.

Premesse su caos deterministico /4Dipartimento di Ingegneria ELettrica Università di Napoli FEDERICO II Italy

1 0

1n

n

a x

a x

< ⇒ →

> ⇒ → ∞

x =0 è l’unico punto di equilibrio, e risulta

attrattivo se |a |


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Caso non lineare:

.

Premesse su caos deterministico /4p g g p y

21 1( )n n n x f x x b − −= = −

( )

2

1 022 2

2 1 0

4 2 20 0

;-

2

x x b x x b x b b

x x b b b

= −= − = − =

= − + −

x n risulterà un polinomio completo di grado 2n

!Risulta abbastanza difficile sapere a priori come va

a finire!



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.

Premesse su caos deterministico /6p g g p y

Esempio: f (x )=x 2- 2, x 0=0.5 e x 0=0.499

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0

-2

-1

0

1

2

3

x0

= 0 . 5

x0

= 0 . 4 9 9



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.


Edward Lorenz, 1972, “Butterfly effect”

“Il battito di ali di una farfalla in Brasile può

provocare un tornado in Texas?“

Dipendenza sensibile alle condizioni iniziali,

(soluzioni instabili secondo Liapunov)



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Possiamo parlare di caos deterministico se, inqualche regione dello spazio di stato del

nostro sistema accade che:•si verifica alta sensibilità alle c.i. (eventualmenteesponenziale)•c’è il “folding” delle traiettorie (che mantiene letraiettorie limitate nonostante la divergenza

esponenziale)•esiste una regione “densa” di orbite nello spaziodi stato (attrattore strano)

.




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Circuito non autonomo del 2°ordine (RLCD), con elementonon lineare a-dinamico (D) e dinamico (C), forz. sinusoidale

.

A variare del parametro ampiezza E M si osserva (t∞) unasequenza di raddoppiamenti di periodo e transizioni al caos

Circuito caotico con diodo (Hasler)



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E m =0.8 sol. asintotica periodica (T )

.

Circuito RLCD: dinamica asintotica/1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-2

0

2

4

t [ms]

q C

[ n C ]

charge dynamics

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

0

1

2

t [ms]

i L [ m

A ]

current dynamics

-0.5 0 0.5 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

qC

[nC]

i L [ m A ]

State space plot



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E m =2 sol. asintotica periodica (2T )

.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-2

0

2

4

t [ms]

q C

[ n C ]

charge dynamics

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

0

1

2

t [ms]

i L [ m

A ]

current dynamics

-2 -1 0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

qC

[nC]

i L [ m A ]

State space plot



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E m =2.4 sol. asintotica periodica (4T )

.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-2

0

2

4

t [ms]

q C

[ n C ]

charge dynamics

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

0

1

2

t [ms]

i L [ m

A ]

current dynamics

-2 0 2 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

qC

[nC]

i L [ m A ]

State space plot



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E m =4 sol. asintotica “caotica”

.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-5

0

510

t [ms]

q C

[ n C ]

charge dynamics

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

t [ms]

i L [ m

A ]

current dynamics

-2 0 2 4 6-2

-1

0

1

2

qC

[nC]

i L [ m A ]

State space plot

La dinamica è caratterizzata

da un attrattore strano



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La curva descritta (che è già epurata del transitorio)è aperiodica e non si chiude mai su se stessa. Ciò

nonostante rimane sempre confinata ad una certaregione (attrattore strano)

Le soluzioni caotiche così determinate risultanoinstabili: soluzioni arbitrariamente vicine in un istante

si separano in modo netto successivamente

.

Circuito RLCD: attrattore “strano”



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.

0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5

x 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 1 0

-9

t

q

i n i t ia l cond i t ion sensi t i v i ty (q)

re ference

0 .05% pe rtu rbed

Circuito RLCD: sensibilità alle c.i.



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Campionando (a regime)la sequenza temporale

ogni T si ottiene ildiagrammadi biforcazione

.

Circuito RLCD: diagramma di biforcazione

0 2 4 6 8-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Byfurcation diagram

Em

[V]

i L [ m A ]



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.

Circuito RLCD: Mappa di Poincarè

Se sull’attrattore (nelpiano di stato)

segnamo i punticampionati ogni T realizziamo una

mappa (o sezione) diPoincaré

-4 -2 0 2 4 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Poincarè map

q [nC]

i [ m A ]



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È considerato il “prototipo” della dinamica non lineare nei circuiti.Si tratta di un circuito autonomo del terzo ordine con un resistore attivo

non lineare (a tratti) detto “diodo di Chua”.Il circuito ha tutte le condizioni minime per poter presentare dinamiche “complesse” Il resistore variabile R sarà per noi il parametro di biforcazione

.

Il circuito di Chua/1



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È abbastanza agevole ricavare per il circuito le equazioni di stato. Lapresenza della caratteristica i

N

(v 1) rende il sistema di equazioni non

lineare. Il sistema si dice autonomo perché non vi è alcun forzamentovariabile nel tempo (in realtà occorrono generatori costanti perrealizzare concretamente il diodo di Chua)

.


1 1 2 1

1 1 1

2 1 2

2 2 2

2

( )N

L

L

dv v v i v

dt RC RC C

dv v v i

dt RC RC C di v

dt L

⎧ = − + −⎪⎪⎪

= − +⎨⎪⎪

= −⎪⎩

( )1 1 11 1N i av b v v = − − + − −



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Se consideriamo il caso stazionario otteniamo il circuito in figura. Aseconda del valore di G individuiamo una oppure tre possibili soluzioni

stazionarie. Sappiamo però che per un circuito non lineare possiamo avereanche soluzioni non stazionarie per t ∞!Quale sarà il comportamento asintotico del circuito? Come vedremo

dipenderà in modo piuttosto “spettacolare” dal valore della conduttanza G .

.


h d l d Ch /Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy


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Al variare del parametro (di biforcazione) che nel nostrocaso è il valore del resistore R è possibile osservare:

•soluzioni stazionarie stabili (con dipendenza dalle c.i.)• cicli limite stabile di periodo T

• soluzioni sub-armoniche, ovvero cicli limite stabili diperiodo 2T , 4T , ….

• soluzioni caotiche a “spirale”

• soluzioni caotiche “double scroll”

• finestre nel caos (es. ciclo limite di periodo 8T )

.

Dinamiche del circuito di Chua/1

Circuito caotico di Chua: simulazione SPICEDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy


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.

Circuito caotico di Chua: simulazione SPICE

R= 2050 ΩSOLUZIONE STAZIONARIA

STABILE

Per valori di R sufficientemente grandi

si ha che i punti di equilibrio delleregioni esterne sono stabili, mentre

la soluzione nell’origine è un punto

instabile. Il sistema si porterà, con

traiettoria a spirale, su uno dei punti

di equilibrio stabile (a seconda del

suo stato iniziale)

R 1980 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo T)



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.

R = 1980 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo T )

Fast Fourier Transform

Al diminuire diR

si osserva come ilnumero di oscillazioni per raggiungere

l’equilibrio cresce, fino a transitare al

caso di una soluzione periodica (ciclo

limite) di periodo T, attorno alprecedente punto di equilibrio

R= 1950 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 2T)



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.

R = 1950 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 2T )


Per valori di R ancora più bassi siosservano raddoppiamenti del periodo,

con orbite di periodo 2T, 4T etc. Lo

spettro in frequenza evidenzia le sub-

armoniche


R= 1938 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 4T)



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.

R = 1938 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 4T )

Per valori di R ancora più bassi siosservano raddoppiamenti del periodo,

con orbite di periodo 2T, 4T etc. Lo

spettro in frequenza evidenzia le sub-

armoniche


R= 1900 Ω: SOLUZIONE CAOTICA “A SPIRALE”



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.

R = 1900 Ω: SOLUZIONE CAOTICA A SPIRALE

Al diminuire ulteriore di R i cicli limite

assumono periodo 8T, 16T, 32T …,

fino a diventare praticamente infinito.

Si raggiunge un moto della soluzione

apparentemente irregolare in unaregione di tipo a spirale, detta

“attrattore di Chua”.


R= 1840 Ω: SOLUZIONE CAOTICA “DOUBLE SCROLL”



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.

R = 1840 Ω: SOLUZIONE CAOTICA DOUBLE SCROLL

Infine si può raggiungere un diverso

attrattore, caratterizzato da valori di

segno opposto per almeno una

variabile, detto attrattore “double

scroll”.


R= 1810 Ω: “FINESTRA NEL CAOS” (CICLO PERIODICO 8T)



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.

R = 1810 Ω: FINESTRA NEL CAOS (CICLO PERIODICO 8T )

Continuando a diminuire il valore di Rsi ottiene, oltre alla variazione della

forma dell’attrattore, alcune regioni

ambigue o “finestre” nel caos con

soluzioni periodiche.


Applicazioni analisi dei circuiti caoticiDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy


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• Analisi dello spazio dei parametri per circuiti esistenti eche possono dar luogo ad instabilità e comportamentianomali: ad esempio circuiti ferrorisonanti, power

converters, …

• Generatori di rumore, generatori di dinamiche “universali”

• Modulazione con portanti caotiche di segnali al fine dellatrasmissione sicura dei dati (crittografia basata sul caos)

• Test-bed per la validazione di tecniche di controllo robusto• Studio della sincronizzazione di reti complesse di sistemi

dinamici

.

Applicazioni analisi dei circuiti caotici

Riferimenti bibliograficiDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy


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1. M. Hasler, J. Neirynch, Nonlinear Circuits , Artech House, Inc, 1986.

2. F. C. Moon, Chaotic and Fractal Dynamics , John Wiley & Sons, 1992

3. H. G. Schuster, Deterministic Chaos , VCH, 1988

4. Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied BifurcationTheory , Springer-Verlag 1995.5. M. P. Kennedy, Three Steps to Chaos – Part I: Evolution , IEEE Trans. On Circuits

and Systems -I, 40-10, 1993.

6. M. P. Kennedy, Three Steps to Chaos – Part II: A Chua’s Circuit Primer , IEEE Trans.

On Circuits and Systems -I, 40-10, 1993.

7. D. C. Hamill, Learning about Chaotic Circuits with SPICE , IEEE Trans. On Education,36-1, 1993.

8. L. O. Chua, R. Madan, Sights and sounds of chaos , IEEE Circuits and Devicesmagazine, 3-13, 1988.

9. C. Tan, M. Varghese, P. Varaiya, F. F. Wu, Bifurcation, chaos, and voltage collapse in power systems , IEEE Proceedings, 83, 1484-1496, 1995.

Riferimenti bibliografici

Documents

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