BILANGAN BULAT DAN PECAHANOleh :

Iceu Tria Taryani

Standar Kompetensi : Melakukan operasi hitung bilangan dan menggunakannya dalam pemecahan masalah

Kompetensi dasar : ● Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan. Menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat

dan pecahan dalam pemecahan masalah.

Indikator : Setelah mengalami proses pembelajaran ini, diharapkan siswa dapat :

Memberikan contoh bilangan bulat Menentukan letak bilangan bulat dalam garis

bilangan. Menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi,

dan pangkat bilangan bulat termasuk operasi campuran.

Menghitung kuadrat dan pangkat tiga bilangan bulat Menemukan sifat-sifat operasi tambah, kurang, kali,

bagi pada bilangan pecahan Menggunakan sifat-sifat opersai hitung, tambah,

kurang, kali, dan bagi pada bilangan bulat Memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis

bilangan pecahan Mengubah bentuk pecahan ke dalam bentuk pecahan

lain Menyelesaikan operasi hitung, tambah, kurang, kali,

bagi bilangan pecahan. Menggunakan sifat-sifat operasi hitung, tambah,

kurang, kali, atau bagi dengan melibatkan pecahan serta mengaitkannya dengan kejadian sehari-hari

Menuliskan bilangan pecahan bentuk baku

BILANGAN BULAT DAN PECAHAN

A. BILANGAN BULATBilangan bulat adalah bilangan yang memuat bilangan bulat positif, nol dan bilangan bulat negatif. Dan dinyatakan dengan B.Jadi B = { …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,… }Gambar bilangan bulat pada garis bilangan adalah sebagai berikut :

. . . . . . . . . . . -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

bilangan bulat negatif bilangan bulat positifPada garis bilangan di atas, jika suatu bilangan semakin ke kanan nilai bilangannya semakin besar, dan semakin ke kiri semakin kecil.

B. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan Dua Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnyaa. Penjumlahan dua bilangan bulat tanpa alat Bantu Contoh : -5 + 3 =…….

Caranya jika kita pinjam 5 kemudian membayar 3, maka kita masih punya pinjaman 2. Jadi -5 + 3 = -2

b. Penjumlahan dua bilangan bulat dengan garis bilanganContoh 1. 5 + (-3) =…….

. . . . . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

5 + (-3) = 2

2. -7 + 2 =…….

. . . . . . . . . . . -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-7 + 2 = -5c. Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat

Operasi pada himpunan bilangan bulat memenuhi sifat :1) Tertutup

Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, jika p + q = r, maka r adalah bilangan bulatContoh2 + (-5) = -3

2 dan -5 adalah bilangan bulat, maka -3 adalah bilangan bulat.2) Komunitatif

Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, berlaku p + q = q + pContoh1. 2 + 3 = 3 + 2 = 52. -3 + 1 = 1 + (-3) = -2

3) AsosiatifUntuk sembarang bilangan bulat p, q, dan r, berlaku (p + q) + r = p + (q + r).Contoh : (2 + (-1)) + 3 = 2 + (-1 + 3)

1 + 3 = 2 + 2 4 = 4

4) Mempunyai unsur identitasUntuk sembarang bilangan bulat p, maka p + 0 = 0 + p = p0 adalah unsur identitas ( elemen netral ) pada penjumlahan.

2. Pengurangan Bilangan Bulata. Pengurangan dua bilangan bulat dengan garis bilangan

Contoh :5 - 3 =……….

. . . . . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

5 - 3 = 2b. Pengurangan sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangnya

Dalam bentuk umum ditulis jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a – b = a + (-b)Contoh :1. 4 – 6 = 4 + (-6) = -22. 2 – (-3) = 2 + 3 = 5

c. Pengurangan dua bilangan bulat bersifat tertutupUntuk sembarang bilangan bulat p dan q, jika p - q = r, maka r adalah bilangan bulatContoh : 2 - 5 = -32 dan 5 adalah bilangan bulat, maka -3 adalah bilangan bulat.

3. Perkalian Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnyaa. Mengingat kembali arti perkalian dua bilangan

Contoh :1. 2 x 3 artinya 3 + 3 = 62. 4 x (-2) artinya -2 + (-2) + (-2) + (-2) = -83. (-7) x (-3) = 21Hal di atas menunjukan bahwa :1) Hasil kali dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

2) Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya adalah bilangan bulat negatif.

3) Hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.b. Sifat-sifat perkalian bilangan bulat

1) TertutupUntuk sembarang bilangan bulat p dan q, jika p x q = r, maka r adalah bilangan bulatContoh : 2 x (-5) = -102 dan _5 adalah bilangan bulat, maka -10 adalah bilangan bulat.

2) KomunitatifUntuk sembarang bilangan bulat p dan q, berlaku p x q = q x pContoh1. 2 x 3 = 3 x 2 = 62. -3 x 1 = 1 x (-3) = -3

3) AsosiatifUntuk sembarang bilangan bulat p, q, dan r, berlaku (p x q) x r = p x (q x r).Contoh : (2 x (-1)) x 3 = 2 x (-1 x 3)

-2 x 3 = 2 x -3 -6 = -6

4) Mempunyai unsur identitasUntuk sembarang bilangan bulat p, maka p x 1 = 1 x p = p1 adalah unsur identitas ( elemen netral ) pada perkalian.

5) Perkalian bilangan nolUntuk sembarang bilangan bulat p, maka 0 x p = p x 0 = 0Contoh : 3 x 0 = 0 x 3 = 0

6) DistributifUntuk sembarang bilangan bulat p, q dan r berlaku p x (q + r) = (p x q) + (p x r) p x (q - r)=(p x q) - (p x r)Contoh : 8 x ((-2) + 3) = (8 x (-2)) + (8 x 3)

4. Pembagian Bilangan BulatPembagian merupakan kebalikan dari perkalianContoh : a. 8 : 2 = 4 sebab 2 x 4 = 8b. -9 : 3 = -3 sebab 3 x (-3) = 9c. -10 : (-2)=5 sebab -2 x 5 = -10Dari contoh diatas terlihat bahwa :a. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positifb. Hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau

sebaliknya adalah bilangan bulat negative.c. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

5. Perpangkatan Bilangan Bulat.a. Mengingat kembali arti perpangkatan

Contoh1. 22 = 2 x 2 = 42. 44 = 4x4x4x4 = 2563. (-3)3 = (-3)x(-3)x(-3)= -27Secara umum perpangkatan ditulis :Untuk sembarang a bilangan bulat, dan n bilangan asil, berlaku

an =

b. Sifat-sifat perpangkatan Untuk sembarang bilangan bulat a,m dan n , berlaku1) amxan=am+n

2) am:an=am-n

3) (am)n=amxn

Contoh1. 52x53=52+3=55

2. 35:32=35-2=33

3. (23)2=23x2=26

C. BILANGAN PECAHAN

1. PengertianPengertian pecahan melalui benda konkrit gambar dan lambangnya,

1 bagian bagian bagian bagian

│ │ │ │ │ │ │ │ │

0

Jarak titik 0 sampai 1 dibagi menjadi 8 bagian yang sama, sehingga

terdapat bilangan , , , dan seterusnya.

2. Mengurutkan pecahanContoh :

Susunlah deretan pecahan dalam urutan naik

Jawab

Karena maka

Jadi, deretan pecahan dalam urutan naik adalah

3. Jenis-Jenis Pecahana. Pecahan Murni

Pecahan murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari

penyebutnya. Contoh : , , , dan seterusnya

b. Pecahan Tidak MurniPecahan tidak murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih dari

atau sama dengan penyebutnya. Contoh : dan seterusnya.

c. Pecahan CampuranPecahan campuran adalah pecahan yang terdiri atas bilangan bulat dan

bagian bilangan pecahan murni. Contoh : dan seterusnya.

Pecahan tidak murni dapat dinyatakan menjadi pecahan campuran dan sebaliknya. Contoh :

1. Nyatakan menjadi pecahan campuran

Jawab :

2. Nyatakan 3 dalam bentuk pecahan tidak murni.

Jawab : 3

d. Bentuk desimal1) Dalam sistem desimal, angka-angka dalam suatu bilangan

mempunyai arti :

Ribuan 1 2 3 4, 5 6 7 PerseribuanRatusan PerseratusanPuluhan Persepuluhan

Satuan

2) Dengan menggunakan pengertian tersebut, maka Bilangan desimal dapat diubah menjad pecahan campuran atau

pecahan murni

Contoh : 0,2 =

Pecahan campuran atau pecahan murni dapat diubah menjadi bilangan desimal.

Contoh :

e. Persen

Persen artinya perseratusan, ditulis dengan notasi %. Jadi pecahan dengan penyebut 100 disebut persen

Contoh :

Untuk mengubah pecahan menjadi persen :

, dengan b 0

Contoh :

D. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahana. Penjumlahan atau pengurangan dua pecahan atau lebih, dapat

dilakukan jika pecahan-pecahan itu memiliki penyebut yang sama

Contoh :

1.

2.

b. Untuk penjumlahan atau pengurangan yang penyebutnya tidak sama kita harus samakan dahulu penyebutnya dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya.

Contoh

1.

2.

c. Penjumlahan pecahan memiliki sifat-sifat berikut :1) Komutatif

Contoh

2) Asosiatif

Contoh

2. Perkalian dan Pembagian Pecahana. Hasil perkalian dua pecahan diperoleh dengan mengalikam pembilang

dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Contoh :

b. Untuk membagi suatu pecahan dengan pecahan lain sama artinya dengan mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua

Contoh :

3. Penjumlahan dan Pengurangan pada Pecahan DesimalUntuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan-bilangan decimal, maka tanda koma desimal diletakan pada satu lajur, sehingga angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan dan seterusnya masing-masing terletak pada satu lajur.Contoh :1. 234,56 + 45,678 disusun menjadi 234,56

45,678 +280,238

2. 67,27 – 21,213 disusun menjadi 67,27 21,213 – 46,057

4. Perkalian dan Pembagian pada Pecahan Decimal

a. Perkalian pada pecahan decimalPerkalian dengan 10,100,1000, dan seterusnya dilakukan dengan menggeser koma decimal ke kanan menurut angka nol pada bilangan-bilangan di atas2,723 x 100 = 272,3

Tanda koma bergeser 2 kali berdasarkan banyaknya 0Banyaknya tempat decimal dari hasil kali dua bilangan decimal dengan menjumlahkan banyak tempat dari pengali-pengalinya

Contoh :

2 tempat decimal 3 tempat decimal 5 tempat decimalb. Pembagian bilangan dalam bentuk decimal

Pembagian dengan 10, 100, 1000 dan seterusnya dilakukan dengan menggeser tanda koma kekiri menurut banyaknya angka nol pada bilangan-bilangan diatas.Contoh : 1,725 x 1000 = 0,001725

Tanda koma bergeser 3 angka.Untuk membagi suatu bilangan dengan bilangan decimal, buatlah agar pembaginya menjadi bilangan bulat contoh1. 13,2183 : 0,14 diubah menjadi :2. 1321,83 : 14 ( pembagi dan bilangan yang dibagi dikalikan 100 )

E. BILANGAN BENTUK BAKU

1. Untuk menuliskan barisan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 10 dengan 2 cara yaitu

a. dapat diubah

b. …, 10-4, 10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103, 104,…

2. Cara menulis bilangan bentuk baku :a. Menulis bentuk baku lebih dari 1 ( bilangan besar )

Rumus bentuk baku a x 10n dengan 1 a 10Contoh :Bilangan Bentuk Baku1. 800.000 8 x 105

2. 180.000 1,8 x 105

3. 2.340.000 2,34 x 106

4. 345,72 3,4572 x 102

5. 3.456.000 3,456 x 106

b. Menentukan bilangan bentuk baku antara 0 dan 1 atau bilangan kecilRumus Bentuk baku a x 10n dengan 1 a 10Contoh :

1. 0,087 =

2. 0,00081=

BENTUK ALJABAR

Standar Kompetensi : Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel

Kompetensi dasar : ● Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya Melakukan operasi pada bentuk aljabar

Indikator : Setelah mengalami proses pembelajaran ini, diharapkan

siswa dapat : Menjelaskan pengertian suku, faktor, dan suku

sejenis. Menyelesaikan operasi hitung ( tambah, kurang, kali,

bagi dan pangkat ) suku sejenis dan tidak sejenis. Menggunakan sifat perkalian bentuk aljabar untuk

menyelesaikan soal. Menyelesaikan operasi hitung ( tambah, kurang, kali,

bagi,dan pangkat ) pecahan bentuk aljabar.

BENTUK ALJABAR

A. PENGERTIAN SUKU, FAKTOR DAN SUKU SEJENISDalam matematika bentuk yang melibatkan variabel disebut bentuk aljabar, seperti 4a, 2x, 2x2, 4b dan -2ab.Perhatikan bentuk berikut :

2x2 + 3y – 4x + 5y + 7x + 2Dari bentuk di atas didapat :1. Suku-sukunya : 2x2 , 3y , –4x , 5 y , 7 x dan 2

2. Faktornya : ● 2 dan x2 adalah faktor dari 2x2

3 dan y adalah faktor dari 3y -4 dan x adalah faktor dari -4x 5 dan y adalah faktor dari 5y 7 dan x adalah faktor dari 7x

3. Suku-suku sejenis : ● 3y dan 5y -4x dan 7x

4. Suku tidak sejenis : 2x2 dan 25. Variable ( peubah) : x2, y dan x6. Koefisien : ● 2 koefisien dari x2

3 dan 5 koefisien dari y -4 dan 7 koefisien dari x

7. Konstanta : 2

B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Suku-Suku SejenisContoh :Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut ini!1. 7x + 2x2. 5b – 2b + 3b3. 2ab + 3ab4. 6x – 4x –xJawab :Dapat dipergunakan sifat-sifat distributif penjumlahan :1. 7x + 2x = (7 + 2)x = 9x2. 5b – 2b + 3b = (5 – 2 + 3) b = 6b3. 2ab + 3ab = (2 + 3) ab = 5ab4. 6x – 4x –x = (6 – 4 - 1)x = x

2. Perkalian dan Pembagian Suku-Suku SejenisContoh : Selesaikan perkalian dan pembagian suku-suku sejenis berikut ini!1. 3b x 2b2. -4y x (-3y)3. 6a : 2a4. 4xy : (-xy)Jawab : 1. 3b x 2b = 6b2. -4y x (-3y) = 12y3. 6a : 2a = 3a4. 4xy : (-xy) = -4

3. Pemangkatan Suku-Suku Sejenis Pemangkatan dapat diartikan sebagai perkalian berulang.Contoh :

Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut !1. (2x)2 3. -(2y)2

2. (-3a)2 4. (3ab)2

Jawab 1. (2x)2 = 2x x 2x = 4x2. (-3a)2 = -3a x (-3a) = 9a3. -(2y)2 = -(2y x 2y) = -4y4. (3ab)2 = 3ab x 3ab = 9ab

4. Penjumlahan dan Pengurangan Suku-Suku yang Tidak SejenisContoh :1. 4a + 2b – a + b=…..2. 8p – 7q – 3p + 5q=…..Jawab :1. 4a + 2b – a + b = 4a – a + 2b + b

= (4 – 1)a + (2 + 1)b = 3a +3b

2. 8p – 7q – 3p + 5q = 8p - 3p – 7q + 5q = (8 - 3)p + (-7 + 5)q = 5p – 2q

5. Perkalian dan Pmbagian Suku-Suku yang Tidak SejenisContoh : 1. 5x x 2y = 10xy2. (-2p) x 3q = -10pq3. 3a x (-4b) x (-2c) = 24abc

4. 6x : 2y =

5. 8a : (-2b) =

6. Pemangkatan Dua Suku yang Tidak SejenisContoh :1. (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2)

= x(x + 2)+2(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4

2. (3 - a)2 = (3 - a)(3 - a) = 3(3 - a) + (-a)(3 - a) =9 - 3a - 3a + a2

= a2 – 6a + 9

C. OPERASI HITUNG PADA BENTUK PECAHAN ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Konsep dasar penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar yang paling diperhatikan adalah penyebut harus sama. Bila belum sama penyebutnya disamakan dengan KPK dari penyebut pecahan-pecahan tersebut.Contoh :

1.

2.

3.

2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk AljabarPerkalian pecahan aljabar diperoleh dengan mengalikan pembilang dengan penmbilang dan penyebut dengan penyebut. Sedangkan membagi pecahan bentuk aljabar sama artinya dengan mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan yang kedua.Contoh :

1.

2.

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Standar Kompetensi : Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel

Kompetensi dasar : ● Menyelesaikan persaman linear satu variabel. Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel.

Indikator : Setelah mengalami proses pembelajaran ini, diharapkan siswa dapat :

Mengenali persaman linear satu variabel ( PLSV ) dalam berbagai bentuk

Menentukan akar penyelesaiannya PLSV Menentukan bentuk setara pada PLSV dengan cara

kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, dan dibagi dengan bilangan yang sama.

Memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan PLSV

Mengenali pertidaksamaan linear satu variabel ( PtLSV ) dalam berbagai bentuk dan variabel.

Menentukan bentuk setara pada PtLSV dengan cara kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Menentukan akar penyelesaiannya PtLSV

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

A. PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL ( PLSV )

1. PengertianKalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan disebut persaman. Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu.Contoh.1. x +2 = 52. 3 + 4 = p

3. 8 – y = 3Masing-masing persaman diatas hanya memiliki satu variabel yaitu x, p dan y. Tiap-tiap variabelnya hanya berpangkat satu.

2. Cara Menentukan Akar Penyelesaian PLSVPenyelesaian dari suatu persaman linear satu variabel sering disebut sebagai akar penyelesaian. Jadi jika variabel suatu PLSV diganti dengan akarnya maka persaman tersebut menjadi benar dan jika diganti dengan yang bukan akar, maka menjadi kalimat salah.Adapun cara menentukan akar penyelesaian PLSV adalah sebagai berikut :a. Dengan cara substitusi

Contoh :Tentukan penyelesaian dari persaman x + 3 = 7, untuk x variable pada bilangan asli.Jawab :Untuk x = 1, maka 1 + 3 = 4…………………..kalimat salah

x = 2, maka 2 + 3 = 5…………………..kalimat salah x = 3, maka 3 + 3 = 6…………………..kalimat salah x = 4, maka 4 + 3 = 7…………………..kalimat benar x = 5, maka 5 + 3 = 8 ………………….kalimat salah

Ternyata jika x diganti dengan 4, kalimat tersebut menjadi benar, maka penyelesaian dari persaman x + 3 = 7 adalah 4

b. Menyelesaikan persamaan dengan menambah atau mengurangi, mengali, dan membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.Konsep dasar1) Menambah atau mengurangi kedua ruas persamaan dengan

bilangan yang sama, bertujuan untuk variabel dan konstanta supaya terpisah tidak di satu ruas.

2) Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama, bertujuan untuk menjadikan koefisien dalam variabel adalah 1

Contoh1. x + 7 = 12

x+ 7 – 7 = 12 – 7 → kedua ruas dikurangi dengan 7, supaya tinggal x di ruas kiri, yaitu variabel saja.

x = 52. 4a – 8 = 4

4a – 8 + 8 = 4 + 8 → kedua ruas ditambah 8, supaya tinggal 4a di ruas kiri.

4a = 12 4a : 4 = 12 : 4 → kedua ruas dibagi dengan 4, supaya a

berkoefisien 1 a = 3

3. y + 6 = 12

y + 6 – 6 = 12 – 6 → kedua ruas di kurangi 6, supaya tinggal y

y = 6

y x 3 = 6 x 3 → kedua ruas dikalikan 3, supaya y

berkoefisien 1 y = 18

3. Memecahkan Masalah Sehari-Hari yang Berkaitan Dengan PLSVContoh :Dalam suatu ujian terdapat 40 soal, jika ada peserta yang sudah mengerjakan p buah soal dan sisanya tinggal 7 buah.a. Susunlah persamaan dalam p !b. Berapa buah soal yang sudah dikerjakan ?Jawab :a. 40 – p = 7b. 40 – p = 7

40 – p – 40 = 7 – 40 -p = -33

-p x (-1) = -33 x (-1) p = 33

B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL ( PtLSV )

1. PengertianPertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda <, >, ≤, dan ≥ serta hanya memiliki variabel satu, dan variabelnya berpangkat satu.Contoh :1. 6a < 82. P – 3 ≥ 63. 4y – 6 > 2y + 8

2. Cara Menentukan Akar Penyelesaian PtLSVMenyelesaikan akar PtLSP pada dasarnya sama seperti menyelesaikan PLSV hanya terdapat catatan yaitu :Ingat mengalikan atau membagi kedua ruas pada pertidaksamaan linear dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksaman harus diubah, tanda < menjadi >dan tanda ≤ menjadi ≥Contoh :1. Tentukan penyelesaian dari x – 4 > 2, untuk x variabel pada bilangan

1, 2, 3,…,10.x – 4 > 2x – 4 + 4 > 2 + 4 → kedua ruas ditambah 4, supaya tinggal y di

ruas kiri.

x > 6Penyelesaiannya adalah 7,8,9,10, karena nilai x > 6

2. Tentukan penyelesaian dari 6x + 3 ≤ 5x + 8, untuk x variabel pada bilangan 1, 2, 3,…, 10.6x + 3 ≤ 5x + 86x + 3 - 3 ≤ 5x + 8 - 3→ kedua ruas dikurang 3dulu 6x – 5x ≤ 5x + 5 – 5x → kedua ruas dikurang 5x, supaya variabel x

ada di satu ruas. x ≤ 5

karena tanda pertidaksamaan ≤ maka penyelesaiannya adalah 1, 2, 3, 4, dan 5.

3. Tentukan penyelesaian dari -2x - 6 > 4, x variabel bilangan bulat !-2x - 6 > 4-2x – 6 + 6 > 4 + 6 -2x > 10 -2x : (-2) < 10 : (-2) → Ubahlah tanda pertidaksamaan karena

dikalikan dengan bilangan bulat negatif x < -5

Maka penyelesaiannya adalah …., -8, -7, -6.

ARITMETIKA SOSIAL DAN PERBANDINGAN

Standar Kompetensi : Menggunakan bentuk aljabar, persaman dan pertidaksamaan linear satu variabel, dan perbandingan dalam pemecahan masalah.

Kompetensi dasar : ● Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persaman linear satu variabel.

Menyelaraskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel.

Menggunakan konsep aljabar dalam pemecahan masalah aritmetika sosial yang sederhana.

Menggunakan perbandingan untuk pemecahan masalah .

Indikator : Setelah mengalami proses pembelajaran ini, diharapkan siswa dapat :

Mengubah dan menyelesaikan masalah kedalam model matematika berbentuk persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.

Menghitung nilai keseluruhan, nilai perunit, dan nilai sebagian.

Menentukan besar persentasi, laba, rugi, harga jual, harga beli, rabat, bunga tunggal dalam kegiatan ekonomi.

Menjelaskan pengertian skala sebagai suatu perbandingan.

Menghitung faktor pembesaran dan pengecilan pada gambar berskala.

Memberikan contoh masalah dan menyelesaikan soal yang merupakan perbandingan seharga dan berbalik harga.

ARITMETIKA SOSIAL DAN PERBANDINGAN

A. ARITMETIKA SOSIAL

1. Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Perunit, dan Nilai Sebagian.Contoh :1. Pandi membeli 1 lusin buku tulis dengan harga Rp. 18.000,00. Berapa

rupiahkah harga setiap buku ?Jawab : 1 lusin = 12 buah

Harga 1 lusin buku tulis = Rp. 18.000,00

Maka harga sebuah buku tulis = Rp. 1.500,00

2. Pak Karjo menjual 10.000 buah buah genteng pada pembeli dengan harga Rp. 350.000,00 per 1000. Hitunglah jumlah uang yang diterima Pak karjo dari hasil penjualan genteng tersebut !Jawab :Harga genteng per 1000 buah = Rp. 350.000,00Harga 10.000 buah = 10 x Pr. 350.000,00 = Rp. 3.500.000,00Jadi jumlah uang yang diterima pak Karjo adalah Rp. 3.500.000,00

2. Harga Penjualan, Harga Pembelian, Laba dan Rugi.Seorang pedagang jika memperoleh harga jual lebih besar dari pada harga pembelian maka dikatakan pedagang tersebut memperoleh untung (laba) sebaliknya jika harga jual yang diterima lebih kecil dari harga pembelian maka pedagang tersebut mengalami kerugian (tekor).Jadi : Laba = harga penjualan – harga pembelian.

Rugi = harga pembelian – harga penjualan.Contoh :1. Seorang pedagang membeli 6 buah sepeda dengan harga rata-rata Rp.

200.000,00 per buah. Kemudian ia menjual 4 buah dengan harga Rp. 225.000,00 per buah dan sisanya dijual dengan harga Rp. 200.000,00 per buah. Tentukan laba yang diterima oleh pedangan tersebut !Jawab :Harga beli 6 buah sepeda = 6 x Rp. 200.000,00 = Rp. 1.200.000,00Harga jual 4 buah sepeda = 4 x RP. 225.000,00 = Rp. 900.000,00Harga jual 2 buah sepeda = 2 x Rp. 200.000,00 = Rp. 400.000,00Harga jual seluruhnya = Rp. 900.000,00 + Rp. 400.000,00

= Rp. 1.300.000,00Jadi laba = Rp. 1.300.000,00 – Rp. 1.200.000,00 = Rp. 100.000,00

2. Ibu yani membeli 1 keranjang mangga yang berisi 50 Kg dengan harga Rp. 150.000,00. Ia menjual 30 Kg mangga tersebut dengan harga Rp. 3.500,00 per Kg dan sisanya busuk sehingga tidak laku dijual. Berapa rupiah kerugian yang dialami ibu yani ?Jawab :Harga pembelian = Rp. 1500.000,00Harga jual 30 Kg mangga = 30 x Rp. 3.500,00 = Rp. 105.000,00Rugi = Rp 150.000,00 – Rp. 105.000,00 = Rp. 45.000,00

3. Persentase laba, rugia. Persentase laba dan rugi terhadap harga pembelian.

Persentase laba =

Persentase rugi =

Contoh :

Seorang pedagang membeli barang dengan harga Rp. 50.000,00 kemudian menjualnya dengan harga Rp. 60.000,00. Tentukan persentase labanya !Jawab : Laba = Harga penjualan – harga pembelian Laba = Rp. 60.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 10.000,00

Persentase laba =

= %

b. Menghitung harga jual bila persentase laba / rugi sudah diketahui.Contoh :Pak Burhan membeli pesawat televisi dengan haraga Rp. 1.000.000,00. Setelah beberapa waktu dijual, ternyata dari hasil penjualan tersebut pak Burhan mengalami kerugian sebesar 15 %. Berapa rupiah harga penjualannya ?Jawab :

Rugi 15 % dari Rp. 1.000.000,00 =

= Rp. 150.000,00Jadi harga jualnya = Rp. 1.000.000,00 – Rp. 150.000,00

= Rp. 850.000,00c. Menghitung harga beli bila harga jual dan persentase laba / rugi

diketahui.Misalnya persentase laba = p % dari harga pembelian maka persentase harga beli = 100 % dari harga beli. Persentase harga jual = (100 + p)% dari harga beli

Harga beli = x harga jual

Contoh :Sebuah barang dijual dengan harga Rp. 230.000,00 dan memperoleh laba 15 %. Hitunglah harga pembeliannya ?Jawab :Persentase laba = 15 %Persentase harga beli = 100 %Persentase harga jual = 100 % + 15 % = 115 %

Harga beli = harga jual

= Rp. 230.000,00 = Rp. 200.000,00

4. RabatRabat disebut juga potongan harga / diskon.Contoh :Toko Murah memberikan diskon 15 % kepada setiap pembeli. Sebuah barang dipasang dengan harga Rp. 75.000,00. Tentukan besar uang yang harus dibayar oleh pembeli untuk pembelian barang tersebut !

Jawab :

Diskon 15 % = x Rp. 75.000,00 = Rp. 11.250.

Besar uang yang harus dibayar pembeli = Rp. 75.000 – Rp. 11.250,00 = Rp. 63.250,00

5. NettoNetto berkaitan dengan brutto dan tara.Netto adalah berat bersih, tara adalah potongan berat dan brutto adalah berat kotor.Contoh :Sebuah karung berisi beras bertuliskan brutto = 80 kg dan tara 7,5 %. Tentukan netto !Jawab :

Tara 7,5 % dari brutto =

Jadi netto = 80 kg – 6 kg = 74 kg.

6. PajakPajak hampir sama dengan potongan lebih khusus lagi potongan yang merupakan kewajiban, misalnya pajak penghasilan.Contoh :Penghasilan pak Karjo Rp. 1.500.000,00 per bulan dan dipotong pajak 10 %. Berapakan penghasilan bersih pak Karjo tiap bulannya ?Jawab :

Pajak 10 % =

Penghasilan bersih pak Karjo = Rp. 1.500.000,00 – Rp. 150.000,00 = 1.350.000,00

7. Bunga Tunggala. Bunga uang adalah selisih antara uang yang didapat setelah tersimpan

di dalam tabungan untuk jangka waktu tertentu dengan uang pertama penyimpanan ( modal ).

b. Suku bunga adalah bunga yang dinyatakan persentase antara bunga dengan modalnya.

Suku bunga =

c. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung berdasarkan modal simpanan tanpa memperhitungkan bunga yang didapat.Contoh :1. Seorang penabung menyimpan uangnya sebesar Rp. 2.000.000,00.

Berapa suku bunga setiap bulannya jika jangka waktu satu tahun tabungannya menjadi Rp. 2.360.000,00 ?

Jawab :Bunga selama 1 tahun = Rp. 2.360.000,00 – Rp. 2.000.000,00

= Rp. 360.000,00

Suku bunga dalam 1 tahun =

Suku bunga dalam 1 bulan =

=1,5 %2. Pak Andi menyimpan uangnya pada sebuah bank dengan bunga 15

% setahun. Selama 6 bulan ia memperoleh bunga sebesar Rp. 150.000,00. Berapa rupiah modal Pak Andi ?

Suku bunga selama 6 bulan =

Persentase modal = 100 % dari modal

Jadi modal

B. GAMBAR BERSKALA

1. Pengertian skalaSkala adalah perbandingan jarak pada peta ( gambar ) dengan jarak sebenarnya.

Skala =

Skala dinotasikan denyan “ : ”.Contoh :Skala suatu peta 1 : 50.000, maka tiap 1 cm pada gambar mewakili jarak 50.000 cm atau 500 m

2. Menghitung Faktor Pembesaran dan Pengecilan pada Gambar BerskalaPada gambar berskala jika ukuran sebenarnya lebih dari ukuran pada gambar ( peta ), skalanya disebut faktor pengecilan, sebaliknya bila ukuran sebenarnya kurang dari ukuran pada gambar maka skalanya disebut faktor pembesaran.Untuk memahami bagaimana menghitung faktor skala perhatikan contoh berikut :1. Jarak kota Solo dan kota Jogja adalah 64 km. Pada gambar jarak kedua

kota itu 32 cm. Hitungkal faktor pengecilannya !Jawab :Jarak sebenarnya = 64 km = 6.400.000 cmJarak pada gambar ( peta ) = 32 cm

Skala =

=

2. Denah rumah digambar dengan skala 1 : 200, tinggi rumah pada gambar adalah 3 cm. Berapakah tinggi rumah sesungguhnya ?Jawab :Tinggi rumah pada gambar = 3 cmSkala gambar = 1 : 200, artinya tinggi pada gambar diperkecil dengan

x tinggi susungguhnya.

Tinggi rumah sesungguhnya = tinggi pada gambar x 200 = 3 cm x 200 = 600 cm = 6 m

C. PERBANDINGAN

1. Pengertian Perbandingan

Perbandingan antara besaran a dan b ialah a : b atau dimana a 0 dan b 0

dalam membandingkan terdapat dua cara yaitu :a. Membandingkan dengan cara mencari selisihnya.b. Membandingkan dengan cara mencari hasil baginya.Contoh :Panjang mistar Teguh 30 cm dan panjang mistar Fajar 25 cm, maka untuk membandingkan kedua ukuran tersebut dapat dilakukan a. Dengan mencari selisihnya yaitu 30 – 25 cm = 5 cm

b. Dengan mencari hasil baginya yaitu =

Untuk perbandingan dalam bentuk hasil bagi dapat digunakan untuk mengukur perbandingan dan besaran yang sejenis, misalnya :50 gram : 5 kg = 50 : 5000 gram

= 50 : 5000= 1 : 100

2. Perbandingan SehargaPerhatikan daftar hubungan antara banyak pensil dan harga pensil berikut !

Banyak pensil Harga pensil1234……n

40080012001600……x

Dari daftar diatas didapat bahwa :

Perbandingan

Perbandingan

Maka dari daftar tersebut perbandingan banyak pensil dan harga pensil adalah sama. Berdasarkan uraian diatas , dapat disimpulkan jika naik turunnya banyak pensil sebanding dengan naik turunnya harga pensil, maka perbandingan antara banyak pensil dan harganya merupakan perbandingan seharga.Contoh :Harga 2 kg gula adalah Rp. 8.000,00. Berapakan harga 9 kg gula ?Jawab :a. Perhitungan dengan cara satuan

Harga 1 kg gula =

Harga 9 kg gula = 9 x Rp. 4.000,00 = Rp. 36.000,00b. Perhitungan dengan cara perbandingan

2 kg → Rp. 8.000,00

9 kg → Rp. 36.000,00

3. Perbandingan Berbalik HargaContoh :Ibu membagikan kelereng pada 3 anak, masing-masing menerima 30 tanpa sisa. Berapa kelereng yang diterima masing-masing anak bila dibagikan pada 5 anak ? 9 anak ? 10 anak ? 15 anak ?.

Banyak anak Kelereng yang dibagikan3591015

30 butir18 butir10 butir9 butir6 butir

Daftar tersebut memperlihatkan korespondensi satu-satu antara banyak anak dan banyak kelereng yang diterima setiap anak. Hasil kali banyaknya anak dengan banyaknya kelereng yang diterima untuk setiap baris adalah sama, yaitu 3 x 30 = 5 x 18 = 9 x 10 = 10 x 9 = 15 x 9 = 90Maka,

Perbandingan

Perbandingan

Dari daftar tersebut terlihat bahwa perbandingan banyaknya anak merupakan kebalikan dari perbandingan banyaknya kelereng. Bentuk perbandingan tersebut merupakan perbandingan berbalik harga.Contoh :

Seorang pemborong memperhitungkan waktu yang diperlukan dalam menyelesaikan pembuatan sebuah rumah. Jika memakai 9 pekerja akan memerlukan waktu 32 hari. Berapakah banyaknya pekerja yang diperlukan jika rumah tersebut harus selesai dalam waktu 20 hari ?Jawab :a. Perhitungan dengan cara hasil kali

Banyaknya pekerjaan = 32 hari x 9 pekerjaan = 288 hari pekerja

Banyaknya pekerja selama 24 hari = = 12 pekerja

b. Perhitungan dengan perbandingan berbalik nilai9 ↔ 32x ↔ 24sehingga :

↔9 x 32 = 24 x↔ 288 = 24x

↔ x =

↔ x = 12