Bilangan Kompleks Lengkap

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

Oleh:

Drs. Toto Bara Setiawan, M.Si.(Email : [email protected])

BAB IBILANGAN KOMPLEKS

Dengan memiliki sistem bilangan real saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA

Definisi 1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = 1.

Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS

DEFINISI 2Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2.

DEFINISI 3Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)z1 z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2+x2y1)

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi Jadi = { z | z = x + iy, x, y }.Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga . Jika Re(z)=0 dan Im(z)0, maka z menjadi iy dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan imajiner.

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleksHimpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian ( ,+,) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut: 1. z1+z2 dan z1z2 . (sifat tertutup)2. z1+z2= z2+z1 dan z1z2= z2z1 (sifat komutatif) 3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1z2) z3= z1(z2z3) (sifat assosiatif) 4. z1(z2+z3)=(z1z2)+(z1z3) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0 , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan)

6. Ada 1=1+i0 , sehingga z1=z (1elemen netral perkalian7. Untuk setiap z=x+iy, ada z=xiy) sehingga z+(z)=0 8. Untuk setiap z=x+iy, ada z-1=sehingga zz-1=1.

Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.

Contoh soal:

1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 z2= (x1 x2)+i(y1 y2)2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5i. tentukan z1 + z2, z1 z2 , z1z2, dan

Kompleks Sekawan Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,y) = x iy.Contoh:sekawan dari 3 + 2i adalah 3 2i , dan sekawan dari 5i adalah 5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :

Teorema 1 :

a. Jika z bilangan kompleks, maka :1.2.3.4.

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :1.2.3.4. , dengan z20.

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

Tugas :Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 :Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis z = x+iy = Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah

Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,maka z z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat dititik z1 dengan jari-jari r.Bagaimanakah dengan z z1 < r dan z z1 > rGambarkanlah pada bidang z.

Teorema 2 : A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku : 1.2.3.4.5.

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :1.2.3.4.5.

Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !

1. Bukti:

2. Bukti:

3. Bukti:

4. Bukti:

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari BilanganKompleks Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

Adapun hubungan antara keduanya, dan adalah :x = r cos , y = r sin, sehingga = arc tan adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat juga Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis . dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ).

Definisi 5 :Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut dengan 0 < 2 atau - < disebut argument utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.

Definisi 6 :Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan sekawannya adalah re-i.Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et dengan mengganti t = i.

Contoh :Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

Contoh :Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !Jawab :z = 1 + i, r = , tan = 1, sehingga = 45= Jadi z = (cos + i sin ) = cis =

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan PemangkatanTelah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan z z z z z = zn ?

Jika diketahui:z1 = r1(cos 1 + i sin 1)z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 zn = r1 r2 rn[cos (1 + 2++n) + i sin (1 + 2++n)] . Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1

Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.

Pembagian:Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagaiberikut:Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengansekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), makadiperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]Dari rumus di atas diperoleh: arg 1-2 = arg z1 arg z2.

Akibat lain jika z = r(cos + i sin ), maka:Untuk: .Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawanpenyebut, maka didapat : . . . . . . . 2

Dari 1 dan 2 diperoleh: , Dalil De-Moivreberlaku untuk semua n bilangan bulat.

Contoh:Hitunglah :

Jawab :Misalkan maka

karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi

Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +2k , k bulat.Akibatnya dan Jadi . . .

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleksw = r(cos+i sin) adalah:z = [cos( ) + i sin ( )],k bulat dan n bilangan asli.Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,,(n-1);0 < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,,zn sebagai akar ke-n dari z.

Contoh :Hitunglah (-81)1/4Jawab :Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaianpersamaan z4 = -81.Tulis z = (cos +i sin) dan 81 = 81(cos1800+i sin1800),sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),diperoleh 4 = 81, atau = 3 dan .Jadi z = 3[cos( )+i sin( )] Keempat akar yang dicari dapat diperoleh denganmensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

Latihan Soal Bab I1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan z = (x,y) = x + iy.2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 i. Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z23. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi sifat:a. z-1 = z dan b. 5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 i.

7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. z 5 = 6 dan z 5 > 6 b. z + i = z i c. 1 < z i < 38.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen !9. Hitunglah (-2+2i)1510.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0

BAB IIFUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN

Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi KompleksHimpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.

1. Lingkungan/persekitarana. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yangterletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo,berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau z zo < r.b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titikzzo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau0< z zo < r.

Contoh :a. N(i,1) atau z i < 1, lihat pada gambar 1b. N*(O,a) atau 0< z O < a, lihat pada gambar 2

2. KomplemenAndaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S.

Contoh :Gambarkan !A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.B ={ z | 2

A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.B ={ z | 2

3. Titik limitTitik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) maka N*(zo,) S . Jika zo S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.


4. Titik batasTitik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.


4. Titik batasTitik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.

5. Batas dari himpunan Sadalah himpunan semua titik batas dari S.

6. Interior dan EksteriorTitik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.


7. Himpunan TerbukaHimpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.


7. Himpunan TerbukaHimpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.

8. Himpunan TertutupHimpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.

9. Himpunan TerhubungHimpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.


10. Daerah domainHimpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.


10. Daerah domainHimpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.

11. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.

12. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.

Contoh :1.Diberikan A = { z / |z|

2.Diberikan B = { z / |z|

3.Diberikan C = { z / |z| 2}, maka:

Titik-titik interior C adalah { z / |z|

Fungsi KompleksDefinisi :Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang W, yaitu (z,w).Fungsi tersebut ditulisw = f(z).Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.

Bidang ZBidang W

Contoh :a) w = z + 1 ib) w = 4 + 2ic) w = z2 5zd) f(z) =

Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali z =

Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y.Apabila z = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ).

Contoh :Tuliskan f(z) = 2z2 i dalam bentuk u dan v !

Contoh :Tuliskan f(z) = 2z2 i dalam bentuk u dan v !

Jawab : Misal z = x + iy, maka fungsi w = f(z) = 2z2 i = 2(x + iy )2 i = 2(x2+2xyi-y2) i = 2(x2-y2) + i(2xy-1). Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.

Jika z = r(cos + i sin).Tentukan f(z) = z2 + i

Jika z = r(cos + i sin).Tentukan f(z) = z2 + i

Jawab f(z) = z2 + i= [r (cos+i sin)]2 + i= r2[cos2 - sin2 + 2isincos] + i= r2 (cos2 - sin2) + r2isin2 + i= r2 (cos2 - sin2) +(1+r2sin2)iberarti u = r2(cos2 - sin2) dan v = 1+r2sin2) .

Komposisi FungsiDiberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg.Jika Rf Dg , maka ada fungsi komposisi (gf) (z) = g (f (z)), dengan domain Df.

Jika Rg Df , maka ada fungsi komposisi (fg) (z) = f (g (z)), dengan domain Dg.

Tidak berlaku hukum komutatif pada (gf) (z) dan (fg)(z).

Contoh : Misal:f(z) = 3z i dan g(z) = z2 + z 1 + i

Jika Rf Dg ,maka (gf) (z) = g (f (z)) = g(3z i) = (3z i)2 + (3z i) 1 + i = 9z2 6iz 1 + 3z i 1 + i = 9z2 3z 2 6iz

Jika Rg Df ,maka (fg) (z) = f (g (z)) = f(z2 + z 1 + i) = 3z2 + 3z 3 + 3i i

Karena 9z2 3z 2 6iz 3z2 + 3z 3 + 3i i Jadi (gf) (z) (fg)(z) atau (gf) (fg), (tidak komutatif)

Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z.

Contoh 1 :Diketahui fungsi w = 2z 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 5i. Gambar dari z1, z2, w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini

Contoh 2 :Diketahui fungsi w = z2. Dengan menggunakan z = r (cos+i sin), maka diperoleh w = z2 = r2 (cos2+i sin2).Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0 arg z dipetakan menjadi daerah 0 arg w 2.

Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.

Diketahui daerah D pada bidang Z dan titik zo terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali di zo.Apabila titik z bergerak mendekati titik zo melalui setiap lengkungan sebarang K dan mengakibatkan nilai f(z) bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu wo pada bidang W, maka dikatakan limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, ditulis :Limit

Definisi : Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian hingga|f(z) wo |< , apabila 0

Perlu diperhatikan bahwa :Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju zo dari segala arah.Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati zo.

Contoh 1 : Buktikan bahwa :

Contoh 1 : Buktikan bahwa :

Bukti:Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga: , untuk z 2Lihat bagian sebelah kanan

Dari persamaan kanan diperoleh:

Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh.

Bukti Formal :Jika diberikan > 0 , maka terdapat , sehingga untuk z 2, diperoleh

Jadi apabila

Terbukti

Teorema Limit :Teorema 1 :Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.

Teorema Limit :Teorema 1 :Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.Bukti:Misal limitnya w1 dan w2, maka

Teorema 2 :Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik zo = (xo,yo) = xo+iyo di dalam D atau batas D. Maka jika dan hanya jika dan

Teorema 3 :Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z zo)2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z zo)3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z zo) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !

Contoh 1 : Hitunglah

Contoh 1 : Hitunglah

Jawab:

Contoh 2 :Jika . Buktikan tidak ada !

Contoh 2 :Jika . Buktikan tidak ada ! Bukti :Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka Sedangkan di sepanjang garis y = x,

Dari 1 dan 2, terbukti tidak ada

Kekontinuan FungsiDefinisi :Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo,maka lim f(z) = f(zo).

Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :

Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.

Teorema 4 :Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).

Teorema 5 : Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-masing fungsi :1. f(z) + g(z)2. f(z) . g(z)3. f(z) / g(z), g(z) 04. f(g(z)); f kontinu di g(zo),kontinu di zo.

Contoh 1 :

Fungsi f(z) = , apakah kontinu di 2i

Jawab :f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 4i,sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i, jadi f(z) diskontinu di z = 2i.

Contoh 2.Dimanakah fungsi kontinu ?Jawab : Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah

BAB III. TURUNAN

3.1 Definisi Turunan Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan zo D.Jika diketahui bahwa nilai ada, maka

nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik zo.Dinotasikan : f(zo)

Jika f(zo) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di zo.Dengan kata lain :

Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f terdifferensial pada D

Contoh 3.1.1Buktikan f(z) = z2 terdifferensiasi diseluruh

Bukti : Ditinjau sebarang titik zo Karena zo sebarang maka f(z) = z2 terdefferensialdi seluruh

Teorema 3.1 Jika f fungsi kompleks dan f(zo) ada, maka f kontinu di zo

Bukti :

Bukti : Diketahui f(zo) adaAkan dibuktikan f kontinu di zo atau sehinggadengan kata lain f kontinu di zo.

Contoh 3.1.2Buktikan f(z) = |z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial di z = 0

Bukti :f(z) = |z|2 = x2 + y2 berarti u(x,y) = x2 + y2 danv(x,y) = 0u dan v kontinu di D, maka f(z) kontinu di DJadi f(z) terdifferensial di z = 0

3.2 Syarat Chauchy-RiemannSyarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di zo = xo + i yo adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.

Terema 3.2.1 (Syarat Chauchy-RiemannJika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di zo = xo + i yo, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (xo,yo) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy Riemann

derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan

Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (xo,yo) makaf(z) = u(x,y) + i v(x,y) tidak terdifferensial di zo = xo + i yo

Contoh 3.2.1Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z 0Bukti :f(z) = x2 + y2 sehinggau(x,y) = x2 + y2v(x,y) = 0Persamaan Cauchy Riemann

dan (2) tidak dipenuhi jika x 0 atau y 0,jadi pasti f tidak terdeferensial di z 0

Catatan :Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.Contoh 3.2.2Buktikan fungsi f(z) = dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-RBukti :u = dengan u(0,0) = 0v = dengan v(0,0) = 0ux(0,0) = = 1uy(0,0) = = -1

vx(0,0) = = 1vy(0,0) = = 1Jadi persamaan Cauchy Riemann terpenuhi Tetapi Untuk z 0Sepanjang garis real y = 0 = 1 + i

Sepanjang garis real y = x = Jadi tidak ada sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipunpersamaan C-R dipenuhi di (0,0)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perluf(z) = u(x,y) + iv(x,y), zo = xo + i yof(z) ada maka , , , berlaku C-R yaitu : = dan = dan f(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0)ada di (xo, yo)

ii. Syarat cukupu(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y) kontinupada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipenuhi C-Rmaka f(zo) ada

Contoh 3.2.3 Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensial untuk setiap z dalam Bukti :u(x,y) = excos y ux(x,y) = excos yuy(x,y) = -exsin yv(x,y) = exsin y vx(x,y) = exsin yvy(x,y) = excos yada dankontinu disetiap (x,y)

Berdasarkan persamaan C-R :ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di (x,y) , dan ada kitar dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (x,y).Jadi f(z) ada z .Dan f(z) = ux(x,y) + i vx(x,y) = excos y + i exsin y

3.3 Syarat C-R Pada Koordinat KutubJika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cos dan y = r sin , diperoleh z = r cos + i sin , sehingga f(z) = u(r, ) + i v(r, ) dalam sistem koordinat kutub

Teoreama 3.3.1 Jika f(z) = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (ro, o) dan jika dalam kitar tersebutur, u, vr, v ada dan kontinu di (ro, o) dan dipenuhiC-R yaitu: = dan =, r 0 maka f(z) = ada di z = zo dan f(z) = (cos o i sin o) [ur(ro, o) + i vr(ro, o)]

Contoh 3.3.1 Diketahui f(z) = z-3,tentukan f(z) dalam bentuk kootdinat kutub

Jawab : f(z) = z-3 = r-3 (cos 3 - i sin 3), maka :u = r-3 cos 3 , sehingga ur = -3r-4 cos 3 dan u = -3r-3 sin 3v = -r-3 sin 3 , sehingga vr = 3r-4 sin 3 dan v = -3r-3 cos 3keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z 0Jadi f(z) = z-3 terdiferensial untuk z 0Dengan demikian f(z) dalam koordinat kutub adalah : f(z) = (cos i sin ) (-3r-4 cos 3 + i 3r-4 sin 3) = cis(-) (-3r-4) cis(-3) = -3r-4 cis(-4)

3.4 Aturan PendiferensialanJika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleksserta f(z), g(z) dan h(z) ada, maka berlaku rumus-rumus :

3.5 Fungsi AnalitikDefinisi 3.5.1Fungsi f analitik di zo, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f(z) ada untuk setiap z N(zo,r) (persekitaran zo)f diferensiable Fungsi analitik untuk setiap z dinamakan fungsi utuh

Contoh 3.5.1f(z) = f(z) = x3 + iy3diperoleh : u = x3 ; v = y3 sehinggaux = 3x2 ; vx = 0 ; uy = 0 ; vy = 3y2dengan menggunakan persamaan C-R : 3x2 = 3y2 y = x dan vx = uy = 0 persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris y = x berarti f(z) ada hanya di y = xJadi f(z) tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. analitik kecuali di z = 0

Sifat sifat analitikMisalnya f dan g analitik pada D, maka :f g merupakan fungsi analitikfg merupakan fungsi analitikf/g merupakan fungsi analitik dengan g 0h = g f merupakan fungsi analitikberlaku aturan Lhospital yaitu :

3.6 Titik SingularDefinisi 3.6.1Titik z1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z1 tetapi untuk setiap kitar dari z1 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik.

Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain : Titik singular terisolasiTitik zo dinamakan titik singular terisolasi dari f(z) jikaterdapat 0 demikian sehingga lingkaran |z zo| = hanya melingkari titik singular lainnya. Jika seperti itu tidak ada, maka z = zo disebut titik singular tidak terisolasi.

2. Titik Pole (titik kutub)Titik z = zo disebut titik pole tingkat n, jika berlaku . Jika n = 1, zo disebut sebagai titik pole sederhana.

3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.

4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular zo disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika f(z) ada.

5. Titik Singular Essensial Titik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.

6. Titik Singular tak hingga Jika f(z) mempunyai titik singular di z = , maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0.

Contoh 3.6.1 g(z) = berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z)h(z) = |z|2 tidak merupakan titik singulark(z) = ln (z2 + z 2) maka titik cabang adalah z1 = 1 dan z2 = 2 karena (z2 + z 2) = (z 1) (z + 2) = 0

3.7 Fungsi Harmonikf(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = vxKarena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = vx diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D berlakuuxx + uyy = 0vxx = vyy = 0

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.

Contoh 3.7.1Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 12x3y, (x,y) Jawab : Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y) jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada sedemikian sehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx ux = 4y3 12x2yvy = 4y3 12x2yuy= 12xy2 4x3v= y4 6x2y2 + g(x)karena vx = uy maka 12xy2 + g(x) = 12xy2 + 4x3 sehingga g(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + CJadi v = y4 6x2y2 + x4 + C

Cara Milne ThomsonCara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)sesuai persamaan C-R : f(z) = ux(x,y) iuy(x,y)z = x + iy dan = x iy sehingga diperoleh f(z) = ux iuy

Suatu identitas dalam z dan , jika diambil = z maka f(z) = ux(z,0) iuy(z,0)Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)

Contoh 3.7.2Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy3 4x3y, (x,y) , jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.Jawab :ux = 4y3 12x2yuy= 12xy2 4x3f(z) = ux(z,0) iuy(z,0) = i( 4z3) = 4iz3sehingga f(z) = iz4 + Af(z) = i(x + iy)4 + A = 4xy3 4x3y + i(x4 6x2y2 + y4) + A

Cos(1+ 2)=cos 1cos 2-sin 1sin 2 sin(1+ 2)=sin 1cos 2+cos 1sin 2

Documents

Bilangan Kompleks Lengkap