BILANGAN PECAHAN - FOKUS BELAJAR – … · · 2015-04-18Tentukan penyebut dan pembilangan dari setiap pecahan berikut ini. a. 9 7 b. x y x , xzy ... 6 3, dan 10 5 adalah pecahan-pecahan

1 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

BILANGAN PECAHAN

a. Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yang dinyatakan dalam bentuk b

a, dengan a bilangan

bulat dan b bilangan asli, bilamana a tidak habis dibagi b. Dalam kasus ini a dinamakan

pembilang (numerator) dan b dinamakan penyebut (denominator). b

aadalah bilangan yang jika

dikalikan dengan b akan menghasilkan a, ditulis abb

a .

Contoh:

1. Tentukan penyebut dan pembilangan dari setiap pecahan berikut ini.

a. 9

7 b.

yx

x

, yx

Solusi:

a. Pecahan 9

7, pembilangnya 7 dan penyebutnya 9.

b. Pecahan yx

x

, yx ; pembilangnya x dan penyebutnya x – y.

2. Sebuah ruas garis panjangnya 150 cm. Berapakah panjang dari sepertiga, seperenam, dan tiga

perempat dari panjang ruas garis itu?

Solusi:

Panjang dari sepertiga dari panjang ruas garis itu = 1503

1 cm = 50 cm.

Panjang dari seperenam dari panjang ruas garis itu = 1506

1 cm = 25 cm.

Panjang dari tida perempat dari panjang ruas garis itu = 1504

3 cm = 112,5 cm.

3. Tentukan bagian dari sebelas huruf pertama, huruf vokal, dan huruf konsonan pada abjad

latin.

Solusi:

Abjad latin adalah a, b, c, …, z yang banyaknya ada 26 buah.

Huruf vokal adalah a, i, u, e, dan o yang banyaknya ada 5 buah, sehingga huruf konsonan

(huruf mati) ada 26 – 5 = 21 buah.

Huruf vocal adalah a, i, u, e, dan o yang banyaknya ada 5 buah.

Bagian dari sebelas huruf pertama pada abjad latin = 26

11.

Bagian dari huruf vokal pada abjad latin = 26

5.

Bagian dari huruf konsonan pada abjad latin = 26

21.

b. Jenis-jenis Bilangan Pecahan

Jenis-jenis bilangan pecahan adalah pecahan murni, pecahan tidak murni, pecahan campuran,

pecahan senilai, pecahan decimal, pecahan persen, dan pecahan permil.

1. Pecahan Murni, Pecahan Tidak Murni, dan Pecahan Campuran


Misalnya b

a, dengan 0b adalah suatu pecahan.

1) Jika a < b, maka pecahan b

adinamakan pecahan murni (pecahan sejati). Misalnya

5

1,

3

2,

37

17, dan sebagainya.

2) Jika a > b, maka pecahan b

adinamakan pecahan tidak murni (pecahan tidak sejati).

Misalnya 5

9,

2

3,

11

23, dan sebagainya.

3) Jika pecahan tidak murnib

adiuraikan menjadi bentuk pecahan

b

dc , dengan c bilangan

bulat dan b

dpecahan murni, maka pecahan

b

dc dinamakan pecahan campuran.

Misalanya 5

41

5

9 ,

2

16

2

13 ,

11

12

11

23 , dan sebagainya.

2. Pecahan Senilai

Pecahan senilai adalah pecahan yang mempunyai nilai sama. Misalnya 2

1,

4

2,

6

3, dan

10

5adalah pecahan-pecahan senilai, karena

10

5

6

3

4

2

2

1 .

Pecahan-pecahan senilai dapat diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi pembilang

dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang sama, asalkan bilangan itu bukan nol.

Untuk sebarang pecahan b

a, dengan 0b berlaku hubungan:

cb

ca

b

a

atau

cb

ca

b

a

:

: , dengan 0c

Contoh:

Carilah dua buah pecahan senilai sebarang dari

a. 7

2 dengan mengalikan pembilang dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang

sama.

b. 108

72 dengan membagi pembilang dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang

sama.

Solusi:

a. 14

4

27

22

7

2

dan

35

10

57

52

7

2

b.

36

24

3:108

3:72

108

72 dan

3

2

36:108

36:72

108

72

3. Menyederhanakan Pecahan

Cara menyederhanakan pecahan, yaitu mengubah suatu pecahan menjadi pecahan lain yang

senilai, yang pembilang dan penyebutnya tidak lagi mempunyai faktor persekutuan selain 1.

Pecahan b

a, dengan 0b dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan

penyebut pecahan itu masing-masing dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari a

dan b yang sama.

Contoh:


1. Sederhanakanlah pecahan 300

75dan

288

216.

Solusi:

6

5

15:90

15:75

90

75 (15 adalah KPK dari 75 dan 90)

4

3

72:288

72:216

288

216 (72 adalah KPK dari 216 dan 288)

2. Berapa bagian dari satu jamkah waktu-waktu berikut? Nayatakan hasilnya dalam bentuk

yang sederhana.

a. 15 menit b. 48 menit c. 1.400 detik

Solusi:

a. Bagian waktu 15 menit dari satu jam = 4

1

60

15

jam1

menit15

b. Bagian waktu 48 menit dari satu jam = 5

4

60

48

jam1

menit48

c. Bagian waktu 1.400 detik dari satu jam = 18

7

600.3

400.1

jam1

detik1.400

4. Desimal

Desimal adalah suatu pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan dari bilangan 10.

Pada penulisan bentuk desimal, bagian bilangan pecahan campuran yang bulat dan yang tidak

bulat (pecah) dipisahkan dengan tanda koma; bagian yang bulat diletakkan di depan koma

dan bagian yang pecah diletakkan di belakang koma. Jika bilangannya pecahan murni, maka

bilangan yang diletakkan di depan koma adalah nol.

Misalnya b,pqrs adalah bilangan desimal. Lambang bilangan desimal ini mempunyai arti

sebagai berikut.

Contoh:

1. 5

3

10

6

10

606,0

2. 4

17

100

257

100

5

100

207

100

5

10

2725,7 atau

4

17

100

25725,7

5. Persen

Kata persen berasal dari kata per cent artinya perseratus. Jadi, pecahan persen adalah suatu

pecahan yang penyebutnya seratus atau pecahan per seratus. Persen dilambangkan oleh %.

100%

xx (dibaca: x persen)

Contoh:

1. 20

3

100

15%15 2.

5

11

5

6

100

120%120

b, p q r s = 10000100010010

srqpb

10000

pqrsb

10

p

b 100

q

1000

r

10000

s


II. Permil

Kata permil artinya per seribu. Jadi, pecahan permil adalah suatu pecahan yang penyebutnya

seribu atau pecahan per seribu. Permil dilambangkan oleh ooo/ .

1000/oo

o xx (dibaca: x permil)

Contoh:

1. 200

3

1000

15/15 oo

o 2. 4

1

1000

250%250

b. Mengubah Jenis Pecahan ke Jenis yang Lain

1. Mengubah Pecahan Tidak Murni Menjadi Pecahan Campuran dan Sebaliknya

1) Mengubah Pecahan Tidak Murni Menjadi Pecahan Campuran

Ada dua strategi mengubah pecahan tidak murni menjadi pecahan campuran.

1. Melakukan pembagian antara pembilang dan penyebut pecahan akan diperoleh hasil

dan sisa.

b

dcdc

b

a sisa

2. Menguraikan pecahan itu menjadi dua bagian, sehingga bagian pertama akan

menghasilkan bilangan bulat dan bagian yang lain akan menghasilkan bilangan

pecahan murni.

b

d

b

x

b

a (dengan x kelipatan b dan d = a – x)

Contoh:

Ubahlah pecahan 6

29menjadi pecahan campuran.

Solusi:

Strategi 1: 6

545sisa4

6

29

Strategi 2: 6

54

6

54

6

5

6

24

6

29

2) Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan Tidak Murni

Pecahan campuran dapat diubah menjadi pecahan tidak murni.

b

dcb

b

dc

Contoh:

1. Ubahlah pecahan 8

72 menjadi pecahan tidak murni.

Solusi:

8

23

8

782

8

72

2. Gigih mendapat uang saku Rp 8.000,00 per bulan.Berapakah uang sakunya jika

mendapat tambahan 5

1bagian?

Solusi:

Uang saku Gigih jika mendapat tambahan 5

1bagian menjadi

8.000,00Rp5

11


8.000,00Rp5

11

8.000,00Rp5

6

= Rp 9.600,00

2. Mengubah Pecahan ke Desimal dan Sebaliknya

1) Mengubah Pecahan ke Desimal

Untuk pecahan yang penyebutnya 10 atau perpangkatan dari 10, pengubahan ke

bentuk desimal dapat dilakukan secara langsung. Pada pecahan decimal itu,

banyaknya angka di belakang koma sama dengan banyaknya nol pada penyebut

pecahan semula.

Contoh:

Ubahlah pecahan-pecahan berikut ini ke bentuk desimal.

a. 10

13 b.

100

175 c.

1000

82729 .

Solusi:

a. 1,310

13 b. 17,5

100

175 c. 827,29

1000

82729

Untuk pecahan yang penyebutnya bukan 10 atau perpangkatan dari 10, penyebut

pecahan itu diubah terlebih dahulu menjadi 10 atau perpangkatan dari 10. Tetapi jika

penyebutnya tidak dapat diubah, dilakukan pembagian biasa.

Contoh:

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke desimal.

a. 2

1 b.

25

16 c.

8

7 d.

6

19

Solusi:

a. 5,010

5

52

51

2

1

b. 64,0

100

64

425

416

25

16

c.

2) Mengubah Desimal ke Pecahan

Desimal dapat diubah ke pecahan.

10000,

pqrsbpqrsb

Contoh:

Ubahlah desimal berikut ini.

a. 9,75 b. 0,00125.

Solusi:

a. 4

39

100

75975,9 b.

800

1

100000

12500125,0

3. Mengubah Pecahan ke Persen dan Sebaliknya

0,875

8 7,000

0

70

64

60

56

40

40

0

Jadi, 785,08

7

d. 3,166…

6 19,000

18

10

6

40

36

40

36

4

Jadi, ...166,36

19


1) Mengubah Pecahan ke Persen

Ada dua strategi untuk mengubah pecahan ke persen, yaitu:

1. Mengubah penyebutnya menjadi 100.

%100

xx

Contoh:

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam persen.

a. 4

3 b.

8

51

Solusi:

a. %75100

75

254

253

4

3

b. %5,162

100

5,162

5,128

5,1213

8

51

2. Mengalikan pecahan itu dengan 100%.

Pecahan b

a, dengan 0b dalam persen adalah %100

b

a. Jadi, %100

b

a

b

a.

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam persen.

a. 5

2 b.

4

32

Solusi:

a. %40%1005

2

5

2 b. %275%100

4

11

4

32

2) Mengubah Persen ke Pecahan

Bentuk x% dalam pecahan dinyatakan sebagai 100

x. Jadi,

100%

xx .

Contoh:

1. Ubahlah persen berikut ini ke dalam pecahan.

a. 80% b. %3

133

Solusi:

a. 5

4

100

80%80 b.

3

1

100

1

3

100

100

3

100

100

3

133

%3

133

2. Carilah nilai 25% dari 800 liter.

Solusi:

Nilai 25% dari 800 liter = 25% × 800 liter = 800100

25 liter = 200 liter.

3. Uang saku Yuda naik 20% setiap semester. Jika uang sakunya pada semester

pertama Rp 5.000,00, berapakah uang sakunya pada semester kedua?

Solusi:

Uang saku Yuda pada semester kedua = 5.000,00Rp0%21

5.000,00Rp100

021

5.000,00Rp100

120

= Rp 6.000,00

4. Mengubah Pecahan ke Permil dan Sebaliknya


1) Mengubah Pecahan ke Permil

Ada dua strategi untuk mengubah pecahan ke permil, yaitu:

1. Mengubah penyebutnya menjadi 1000.

ooo/

1000x

x

Contoh:

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam permil.

a. 5

3 b.

125

9

Solusi:

a. ooo/600

1000

600

2005

2003

5

3

b. oo

o/721000

72

8125

89

125

9

2. Mengalikan pecahan yang bersangkutan dengan ooo/1000 .

Pecahan b

a, dengan 0b dalam persen adalah oo

o/1000b

a.

Jadi, ooo/1000

b

a

b

a.

Contoh:

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam permil.

a. 8

7 b.

25

161

Solusi:

a. ooo

ooo /875/1000

8

7

8

7 b. oo

ooo

o /1640/100025

41

25

161

2) Mengubah Permil ke Pecahan

Bentuk permil ooo/x dalam pecahan dinyatakan sebagai

1000

x. Jadi,

1000/oo

o xx .

Contoh:

1. Ubahlah setiap permil berikut ini dalam pecahan.

a. ooo/375 b. oo

o/3

1333

Solusi:

a. 8

3

1000

375/375 oo

o b. 3

1

10003

1000

1000

3

1000

1000

3

1333

/3

1333 oo

o

2. Jumlah penduduk di suatu daerah adalah 188.000 jiwa. Dari jumlah itu ooo/640 adalah

dewasa dan ooo/120 adalah balita. Berapa jumlah penduduk dewasa dan balita di

daerah itu?

Solusi:

Jumlah penduduk dewasa 000.188/640 ooo jiwa

000.1881000

640 jiwa

= 120.320 jiwa

Jumlah penduduk dewasa 000.188/120 ooo jiwa


000.1881000

120 jiwa

= 22.560 jiwa

b. Mengurutkan Bilangan Rasional

Misalnya a, b, c, dan k adalah bilangan-bilangan positif, maka berlaku:

1. kb

ka

b

a (pecahan senilai)

2. b

c

b

a , jika a > c.

3. b

c

b

a , jika a < c.

Aturan 1:

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan bertambah naik dengan nilai konstan, maka pecahan

yang terakhir adalah yang terbesar.

Contoh:

1. Diberikan pecahan-pecahan 3

2,

4

3, dan

5

4. Pecahan yangmana yang terbesar?

Solusi:

Strategi 1:

60

40

3

2 ,

60

45

4

3 , dan

60

48

5

4

60

48

60

45

60

40 atau

5

8

4

3

3

2

Jadi, pecahan yang terbesar itu adalah 5

4.

Strategi 2:

Kita lihat bahwa pembilang dan penyebut pecahan-pecahan itu bertambah 1, dengan

demikian pecahan yang terakhir, yaitu 5

4 adalah pecahan yang terbesar.


3,

7

5, dan

9


Solusi:

Kita lihat bahwa pembilang dan penyebut pecahan-pecahan itu bertambah 2, dengan




1,

7

4, dan

8


Solusi:

Kita lihat bahwa pembilang bertambah 3 dan penyebut bertambah dengan 1, dengan



Berdasarkan uraian di atas dapat digeralisasikan bahwa:

Dalam kelompok pecahan nyb

nxa

yb

xa

yb

xa

yb

xa

b

a

,...,

3

3,

2

2,,

Pecahan nyb

nxa

adalah pecahan yang terbesar, dengan x = y atau x > y.

Contoh:



1,

9

2,

14

3, dan

18


Solusi:





2,

17

4, dan

25


Solusi:



6 adalah pecahan yang terkecil.

Catatan:

Dari dua contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika a < b, maka aturan di atas tidak dapat

diaplikasikan. Maka dari itu digunakan metode sebagai berikut.

Aturan di atas dapat digunakan jika:

tamaPecahanpernpenyebutPertambaha

npembilangPertambaha

Tetapi jika

tamaPecahanpernpenyebutPertambaha


Maka pecahan yang terakhir dalah pecahan yang terkecil.

Jika tamaPecahanpernpenyebutPertambaha


Maka semua nilai sama.

Aturan 2:

Pecahan yang pembilangnya setelah dikali silang memberikan nilai terbesar adalah pecahan

terbesar.

Contoh:

1. Manakah yang terbesar 8

3atau

7

2?

Solusi:

Langkah 1: Kalikan silang dua pecahan yang diberikan.

Kita memperoleh 3 × 7 = 21 dan 2 × 8 = 16

Langkah 2: Karena 21 > 16 dan nilai terbesar mempuyai pembilang 3 yang terikat

dengannya, maka 8

3adalah pecahan terbesar.


11atau

22

19?

Solusi:

Langkah 1: 11 × 22 > 12 × 19

Langkah 2: Karena nilai terbesar mempunyai pembilang 11 yang terikat dengannya, maka

12


8

3

7

2



15atau

25

22?

Solusi:

Langkah 1: 15 × 25 < 22 × 19

Langkah 2: 25


c. Menggambar Bilangan Rasional pada Garis Bilangan

Bilangan pecahan dapat digambarkan pada garis bilangan dengan diwakili oleh titik yang terletak

di antara dua bilangan bulat. Untuk setiap pecahan positif b

a mempunyai pasangan bilangan

negatif b

a . Misalnya

7

3lawannya

7

3 ,

5

42 lawannya

5

42 , dan sebagainya.

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan rasional, maka

hubungan antara a dan b dapat dilihat dari letak titik

yang mewakili a dan b pada garis bilangan.

1. a < b, jika titik a ada di sebelah kiri titik b.

2. a > b, jika titik a ada di sebelah kanan titik b.

3. a = b, jika titik a berimpit dengan titik b.

Contoh:

1. Urutkan pecahan-pecahan 2

1,

4

3, dan

6

5, kemudian gambarlah pada garis bilangan.

Solusi:

Strategi 1:

KPK dari penyebut-penyebutnya 2, 4, dan 6 adalah 12. Pecahan-pecahan 2

1,

6

5, dan

4

3

senilai dengan pecahan-pecahan 12

6,

12

10, dan

12

9.

12

10

12

9

12

6 atau

6

5

4

3

2

1

Pecahan-pecahan 2

1,

6

5, dan

4

3digambarkan pada garis bilangan sebegai berikut.

Strategi 2:

5,02

1 ; 83,0

6

5 , dan 75,0

4

3

Jelaslah 6

5

4

3

2

1 .

4. Urutkan pecahan-pecahan 8

3 ,

5

3 , dan

3

1 , kemudian gambarlah pada garis bilangan.

Solusi:

Strategi 1:

KPK dari penyebut-penyebutnya 8, 5, dan 3 dalah 120. Pecahan-pecahan 8

3 ,

5

3 , dan

3

1

senilai dengan pecahan-pecahan 120

45 ,

120

72 , dan

120

10 .

a b a < b

b a

a > b

a = b

2

1

4

3

6

5

0 1


120

72

120

45

120

10 atau

5

3

8

3

3

1

Pecahan-pecahan 8

3 ,

5

3 , dan

3

1 digambarkan pada garis bilangan sebegai berikut.

Strategi 2:

375,08

3 ; 6,0

5

3 , dan 33,0

3

1

Jelaslah bahwa 5

3

8

3

3

1 .

5. Susunlah barisan setiap bilangan 3

2,

5

4 ,

8

5 , dan

9

8 dengan urutan naik, kemudian

sisipkan notasi ketidaksamaan < pada tempatnya.

Solusi:

Strategi 1:

KPK dari penyebut-penyebutnya 3, 5, 8, dan 9 adalah 360.

Pecahan-pecahan 3

2,

5

4 ,

8

5 , dan

9

8 senilai dengan pecahan-pecahan

360

240,

360

288 ,

360

225 , dan

360

320.

Susunan dalam urutan naik empat bilangan itu 360

288 ,

360

225 ,

360

240, dan

360

320 yang sama

artinya dengan urutan naik empat bilangan semula 5

4 ,

8

5 ,

3

2, dan

9

8.

Dengan menyisipkan notasi ketidaksamaan < pada keempat bilangan itu, diperoleh

pernyataan 5

4 <

8

5 <

3

2<

9

8.

Strategi 2:

67,03

2 , 8,0

5

4 , 625,0

8

5 , dan 89,0

9

8

Jelaslah bahwa 5

4 <

8

5 <

3

2<

9

8.

d. Menentukan Pecahan yang Nilainya di antara Dua Pecahan

Strategi yang digunakan untuk menentukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan adalah

sebagai berikut.

1. Jika kedua pecahan mempunyai penyebut yang sama, maka pecahan yang terletak di antara

keduanya mempunyai pembilang yang terletak di antara kedua pembilang pecahan itu,

dengan penyebutnya sama dengan penyebut kedua pecahan itu. Jika belum ditemukan

bilangan cacah yang terletak di antara pembilang kedua pecahan itu, maka kedua pecahan itu

diubah menjadi pecahan yang masing-masing senilai dengan pecahan semula, sampai

ditemukannya bilangan yang diminta.

Contoh:

Tentukan sebuah pecahan yang terletak di antara dua pecahan berikut ini.

a. 5

2dan

5

4 b.

8

6 dan

8

7

Solusi:

3

1

5

3

8

3 1 0


a. Sebuah pecahan yang terletak di antara 5

2dan

5

4 adalah

5

3.

b. Karena belum ditemukan sebuah pecahan yang terletak di antara kedua pecahan 8

6 dan

8

7, maka kalikan pembilang dan penyebutnya masing-masing dengan 2, sehingga

diperoleh

28

27....

28

26

16

14....

16

12

Perhatikan di antara kedua pecahan 16

14dan

16

12ada sebuah pecahan, yaitu

16

13.

Jadi, sebuah pecahan yang terletak di antara 8

6 dan

8

7 adalah

16

13.

2. Jika kedua pecahan penyebutnya belum sama, maka kedua pecahan itu diubah dahulu

menjadi pecahan-pecahan yang senilai dengan pecahannya semula, yang keduanya

mempunyai penyebut yang sama. Untuk menentukan pecahan yang terletak di antara kedua

pecahan itu, digunakan cara yang serupa seperti pada butir 1.

Contoh:

a. Carilah dua buah pecahan yang dapat disisipkan di antara 4

3 dan

6

5.

b. Carilah lima buah pecahan yang dapat disisipkan di antara 7

5 dan 1.

Solusi:

a. 6

5....

4

3(diketahui)

26

25....

34

33

12

10....

12

9 (belum ditemukan pecahan yang diminta)

212

210....

212

29

24

20....

24

18 (ditemukan sebuah pecahan yang terletak antara kedua

pecahan itu, yaitu 24

19)

312

310....

312

39

36

30....

36

27 (ditemukan dua buah pecahan yang terletak antara kedua

pecahan itu , yaitu 36

29dan

36

28)

Jadi, dua buah pecahan yang dapat disisipkan terletak di antara 4

3 dan

6

5 adalah

36

29dan

36

28.

b. 1....7

5(diketahui)

71

71....

17

15

7

7....

7

5(belum ditemukan pecahan yang diminta)


27

27....

27

25

14

14....

14

10(ditemukan tiga buah pecahan antara kedua pecahan itu, yaitu

14

11,

14

12, dan

14

13.

37

37....

37

35

21

21....

21

15(ditemukan lima buah pecahan antara kedua pecahan itu, yaitu

21

16,

21

17,

21

18,

21

19,dan

21

20.

Jadi, lima buah pecahan yang dapat disisipkan terletak di antara 7

5 dan 1 adalah

21

16,

21

17,

21

18,

21

19,dan

21

20.

e. Operasi Hitung pada Pecahan

Operasi hitung pada bilangan pecahan meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian antarpecahan dan bilangan bulat. Berkaitan dengan hal itu, kita harus memahami cara

menyatakan bilangan bulat dalam bentuk pecahan.

Bilangan bulat a dapat dinyatakan sebagai pecahan k

ka, dengan 0k dan k adalah bilangan real.

Contoh: 3 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan sebagai ...3

9

2

6

1

3

1. Operasi Penjumlahan pada Pecahan

1) Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Sama

Hasil penjumlahan dua pecahan atau lebih yang mempunyai penyebut sama diperoleh

dengan menjumlahkan semua pembilang pecahan yang bersangkutan, sedangkan

penyebutnya tetap.

b

ca

b

c

b

a , 0b

Contoh:

Hitunglah

a. 8

5

8

1 b.

12

2

12

11

12

5

Solusi:

a. 4

3

8

6

8

51

8

5

8

1

b.

2

11

12

61

12

18

12

2115

12

2

12

11

12

5

2) Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Tidak Sama

Untuk menjumlahkan pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama, maka terlebih

dahulu penyebut-penyebutnya disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebut-

penyebutnya. Setelah penyebut-penyebutnya sama jumlahkanlah pembilngan-

pembilangnya.

bd

cbda

d

c

b

a , 0b dan 0d

Contoh:

1. Hitunglah

a. 12

5

9

1 b.

3

2

6

1

8

5

Solusi:


a. 36

19

36

154

36

15

36

4

12

5

9

1

(36 adalah KPK dari peyebutnya) atau

36

19

108

57

108

4512

129

95121

12

5

9

1

b. 24

111

24

35

24

16415

24

16

24

4

24

15

3

2

6

1

8

5

(24 adalah KPK dari

penyebutnya) atau

24

35

144

210

144

962490

368

682381365

3

2

6

1

8

5

24

111

2. Mathman mempunyai seutas tali. Dia memberikan sebagian talinya kepada kawannya

Boy dan Legimin. Boy mendapat 5

2nya dan Legimin mendapat

4

1nya. Berapa

bagian talinya yang diberikan kepada kedua kawannya itu?

Solusi:

Talinya yang diberikan kepada kedua kawannya itu 45

5142

4

1

5

2

20

58

20

13 .

3) Penjumlahan Pecahan dengan Bilangan Bulat

d

ca

d

ca

d

cba

d

cba )(

Contoh:

Hitunglah

a. 8

56 b.

3

252

Solusi:

a. Strategi 1:

8

56

8

53

8

548

8

5

8

86

8

56

atau

8

56

8

53

8

586

8

56

Strategi 2:

8

56

8

56

b. Strategi 1:

3

27

3

23

3

176

3

17

3

32

3

252

atau

3

27

3

23

3

176

3

1732

3

172

3

252

Strategi 2: 3

27

3

2)52(

3

252

4) Penjumlahan Pecahan Campuran

d

cpba

d

cb

d

pa

)(

qd

qcpdba

d

c

q

pba

d

cb

q

pa

)()(

Contoh:


Hitunglah

a. 8

12

8

31 b.

3

25

3

7 c.

4

110

5

43 d.

8

35

7

219

Solusi:

a. Strategi 1: 2

13

2

7

8

28

8

17

8

11

8

12

8

31

Strategi 2: 2

13

8

43

8

13)21(

8

12

8

31

b. Strategi 1: 83

24

3

177

3

17

3

7

3

25

3

7

Strategi 2: 8173

21)52(

3

25

3

12

3

25

3

7

c. Strategi 1:

45

541

45

419

4

41

5

19

4

110

5

43

20

114

20

281

20

20576

Strategi 2:

45

154413

4

1

5

4)103(

4

110

5

43

20

114

20

1113

20

2113

d. Strategi 1:

87

735

87

89

87

879

8

35

7

99

8

35

7

219

56

3714

56

821

56

24572504

Strategi 2:

87

378214

8

3

7

2)419(

8

34

7

219

8

35

7

219

56

3714

56

3714

2. Sifat-sifat Penjumlahan antar Pecahan

Dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Sifat komutatif: b

a

b

c

b

c

b

a 2. Sifat asosiatif:

f

e

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

Contoh:

a. Periksalah apakah 5

23

7

6

7

6

5

23 ? Berilah komentarmu!

b. Periksalah apakah 4

1

3

2

6

5

=

4

1

3

2

6

5? Berilah komentarmu!

Solusi:

a. 35

94

35

149

35

30119

7

6

5

17

7

6

5

23

35

94

35

149

35

11930

5

17

7

6

5

23

7

6

Jelaslah bahwa 5

23

7

6

7

6

5

23 .

Jadi, dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat komutatif.

b. 4

31

4

7

36

63

36

91227

4

1

18

27

4

1

18

1215

4

1

3

2

6

5


4

31

4

7

12

21

12

1110

12

11

6

5

12

38

6

5

4

1

3

2

6

5

Jelaslah bahwa 4

1

3

2

6

5

=

4

1

3

2

6

5.

Jadi, dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat asosiatif.

3. Operasi Pengurangan pada Pecahan

1) Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Sama

Hasil pengurangan pecahan yang mempunyai penyebut sama diperoleh dengan

mengurangkan pembilang pecahan yang bersangkutan, sedangkan penyebutnya tetap.

b

ca

b

c

b

a

b

c

b

a

, 0b

Contoh:

Hitunglah

a. 9

5

9

8 b.

12

7

12

5

Solusi:

a. 3

1

9

3

9

58

9

5

9

8

b.

6

1

12

2

12

75

12

7

12

5

2) Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Tidak Sama

Untuk mengurangkan pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama, terlebih dahulu

penyebut-penyebutnya disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebut-

penyebutnya, setelah penyebut-penyebutnya sama kurangkan pembilang pecahan itu.

bd

cbda

bd

cbda

d

c

b

a

d

c

b

a

)(, 0b dan 0d

Contoh:

1. Hitunglah

a. 3

2

6

5 b.

15

14

8

7

Solusi:

a. 6

1

6

4

6

5

3

2

6

5 atau

6

1

18

3

18

1215

36

6235

3

2

6

5

b. 120

7

120

7

120

112105

158

814157

15

14

8

7

2. Di dalam sebuah kotak, 8

3dari isinya adalah klereng berwarna kuning, dan

4

1nya

kelereng berwarna hijau, dan sisanya kelereng berwarna putih. Berapa bagian jumlah

kelereng berwarna hijau dalam kotak itu.

Solusi:

Jumlah kelereng berwarna hijau dalam kotak = 8

238

4

1

8

31

8

3 bagian.

3. Di dalam sebuah kotak terdapat 12

5bola kuning dan

6

1adalah bola hijau. Jika

3

2 dari

bola yang terdapat di dalam kotak adalah bola kuning, hijau, dan putih, berapa bagian

yang merupakan bola putih?

Solusi:

Jumlah bola berwarna putih dalam kotak 12

258

6

1

12

5

3

2

12

1 bagian.


4. Mathman mempunyai seutas tali. Dia memberikan sebagian talinya kepada kawannya

Boy dan Legimin. Boy mendapat 8

5nya dan Legimin mendapat

5

3nya. Siapakah

yang mendapat tali terpanjang? Hitunglah kelebihan panjang tali itu?

Solusi:

40

1

40

2425

58

8355

5

3

8

5

Jadi, Boy mendapat bagian tali lebih panjang dari pada Legimin, dengan kelebihan

panjang talinya adalah 40

1bagian.

3) Pengurangan Pecahan dengan Bilangan Bulat

d

cda

d

ca

, d 0

d

cdba

d

cba

d

cba

)()( , d 0

d

adca

d

c , d 0

d

cdab

d

caba

d

cb

)()( , d 0

Contoh:

Hitunglah

a. 7

32 b. 4

15

11 c.

4

3812 d. 4

6

35

Solusi:

a. 7

41

7

11

7

314

7

3

7

72

7

32

atau

7

41

7

11

7

314

7

372

7

32

b. 15

43

15

49

15

6011

15

154

15

114

15

11

atau

15

43

15

49

15

6011

15

154114

15

11

c. 4

13

4

13

4

3548

4

35412

4

3512

4

3812

atau

4

13

4

13

4

316

4

344

4

34

4

3)812(

4

3812

d. 6

51

6

11

6

2435

6

64354

6

35

atau

6

51

6

5)45(4

6

554

6

35 atau

6

51

6

5)45(4

6

554

6

35

4) Pengurangan Pecahan Campuran

d

cpba

d

cb

d

pa

)( , d 0

qd

qcpdba

d

c

q

pba

d

cb

q

pa

)()( , d 0 dan q 0

Contoh:

Hitunglah

a. 5

42

5

37 b.

6

55

4

13

Solusi:

a. Strategi 1: 5

44

5

24

5

14

5

38

5

42

5

37


Strategi 2: 5

44

5

15

5

4

5

3)27(

5

42

5

37

b. Strategi 1: 12

72

12

31

12

235313

6

35

4

13

6

55

4

13

Strategi 2: 12

72

12

72

12

25312

6

5

4

1)53(

6

55

4

13

Dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.

Contoh:

1. Hitunglah


32

6

1

6

1

4


b. Periksalah apakah 6

5

4

3

8

52

6

5

4

3

8


Solusi:

a. 24

51

24

29

24

433

6

1

8

11

6

1

4

32

24

51

24

29

24

334

8

11

6

1

4

32

6

1

Jelaslah bahawa 4

32

6

1

6

1

4

32 .

Jadi, dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat komutatif.

b. 24

11

24

25

24

2045

6

5

8

621

6

5

4

3

8

21

6

5

4

3

8

52

24

172

24

65

24

263

12

1

8

21

12

1

8

21

12

109

8

21

6

5

4

3

8

52

Jelaslah bahwa

6

5

4

3

8

52

6

5

4

3

8

52 .

Jadi, dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat asosiatif.

2. Seorang ayah menghibahkan sebidang tanah kepada 3 orang anaknya. Anak sulung

menerima 5

2 bagian, anak kedua menerima

3

1bagian, dan anak ketiga menerima sisanya.

Jika anak ketiga menerima 8 hektar, tentukan berapa hektar tanah yang diterima anak

sulung dan anak kedua?

Solusi:

Anak ketiga menerima

3

1

5

21

15

4

15

1115

15

561

bagian = 8 hektar

Luas tanah yang dibuahkan Ayah 3084

15 hektar

Anak sulung menerima 12305

2 hektar

Anak sulung menerima 10303

1 hektar

3. Hitunglah

a. 12

111

8

13

6

5

3

22 b.

8

15

16

7

12

5

9

8

Solusi:


a.

12

11

8

1

6

5

3

2)132(

12

111

8

13

6

5

3

22

24

2113145824

24

22320164

24

254

24

2596

24

232

24

71

b. 144

181597125168

8

15

16

7

12

5

9

8

144

139

144

2706360128

4. Carilah angka yang hilang yang ditandai dengan tanda * (tanda bintang) dalam

persamaan

*6**2

16

1*

*6

110 .

Solusi:

Penyebut pada pecahan campuran pertama dan penyebut pada pecahan campuran

ketiga adalah enampuluhan, yang harus merupakan perkalian dari 17 (yaitu: 16 × 4 =

64). Maka dari itu persamaan menjadi:

64**2

16

1*

64

110

64**2

16

1

64

1)*10(

Karena 16

1

64

1 , maka

64

1akan meminjam 1 dari 10, sehingga

64**2

16

1

64

65)*9(

64

**264

61)*9(

64

**264

61)79(

64

**264

612

64

**264

612

Dengan demikian, persamaan itu menjadi 64

612

16

17

64

110 .

5. Operasi Perkalian pada Pecahan

1) Perkalian Pecahan Murni

Hasil kali pecahan diperoleh dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan

penyebut dengan penyebut.

db

ca

d

c

b

a

Contoh:

Hitunglah

a. 17

7

5

3 b.

25

18

8

5

Solusi:

a. 85

21

175

73

17

7

5

3


b. Strategi 1: 20

9

200

90

258

185

25

18

8

5

Strategi 2: 20

9

54

91

5

9

4

1

25

18

8

5

(5 dan 25; 18 dan 8 disederhanakan)

2) Perkalian Pecahan Campuran

Jika perkalian pecahan campuran, maka pecahan campuran diubah dahulu ke pecahan

biasa.

db

cdpa

d

cdp

b

a

d

cp

b

a

Contoh:

Hitunglah

a. 8

7

6

12 b.

4

31

9

53

Solusi:

a. 48

431

48

91

86

713

8

7

6

13

8

7

6

12

b. Strategi 1: 9

26

36

86

36

224

49

732

4

7

9

32

4

31

9

53

Strategi 2: 9

26

9

56

19

78

1

7

9

8

4

7

9

32

4

31

9

53

3) Perkalian Pecahan dengan Bilangan Bulat

Hasil kali suatu pecahan dengan suatu bilangan bulat adalah suatu pecahan pula yang

penyebutnya sama dengan pecahan semula dan pembilangnya adalah hasil kali

pembilang pecahan semula dengan bilangan bulat itu.

c

ba

c

ba

d

cdba

d

cdba

d

cba

)(

Contoh:

1. Hitunglah

a. 7

315 b.

18

524 c.

5

237

Solusi:

a. 7

36

7

45

7

315

7

315

b. Strategi 1: 3

26

18

126

18

120

18

524

18

524

Strategi 2: 3

26

3

20

3

54

3

54

18

524

c. 5

423

5

119

5

177

5

177

5

237

2. Jumlah siswa SD SUKASARI adalah 780 orang. Jumlah siswa laki-lakinya adalah

13

7nya. Berapakah jumlah siswa laki-laki dan perempuan masing-masing?

Solusi:

Jumlah siswa laki-laki = 42078013

7 orang.

Jumlah siswa perempuan = 780 – 420 = 360 orang

4) Invers Perkalian dari Suatu Bilangan


Invers (kebalikan) perkalian dari pecahan b

a adalah

a

b. Karena 1

a

b

b

a.

Contoh:

1. Carilah invers perkalian dari 8

53 .

Solusi:

8

29

8

53

Jadi, invers perkalian 8

53 adalah

29

8.

2. Suatu drum dua pertiganya terisi minyak dan ternyata volume minyak itu adalah 40

liter. Berapakah volume minyak dalam drum, jika drum terisi penuh?

Solusi:

3

2 dari keseluruhan volume minyak = 40 liter

2

3

3

2 dari keseluruhan volume minyak = 40 liter

2

3

Keseluruhan volume minyak = 60 liter

Jadi, volume minyak dalam drum, jika drum terisi penuh adalah 60 liter.

3. Luas rumah dan halaman Pak Mathman adalah 250 m2.

4

3dari halamannya ditanami

tanaman. 3

2 dari halaman yang ditanami tanaman itu adalah rumput. Jika luas yang

ditanami rumput adalah 48 m2, berapa luas halaman dan rumahnya masing-masing?

Solusi:

3

2bagian dari halaman yang ditanami tanaman itu = 48 m

2

Halaman yang ditanami tanaman = 72482

3 m

2

Halaman yang ditanami tanaman = 4

3dari halaman rumah

Halaman rumah = 96723

4 m

2

Jadi, luas halaman rumah = 96 m2 dan luas rumah = 250 – 96 = 154 m

2.

4. Seorang siswa menghabiskan 3

1dari uang sakunya untuk jajan makanan dan

minuman. 12

7dari sisa uangnya ditabung. Untuk membayar ongkos angkuran umum

sebesar Rp 4.000,00. Sisa uangnya sekarang adalah Rp 1.000,00. Berapakah uang

sakunya?

Solusi:

Untuk jajan makanan dan minuman = 3

1dari uang saku

Sisa ke-1 = 1 – 3

1=

3

2

Ditabung = 12

7×

3

2=

18

7


Sisa ke-2 = 3

2 –

18

7 =

18

5dari uang saku = 4.000 + 1.000

Uang saku = 000.18000.55

18

Jadi, uang sakunya adalah Rp 18.000,00.

5. Tessa membeli tas dan sepatu. Harga tas adalah seperempat dari harga sepatu.

Sepertiga dari uang sisanya dibelanjakan sebuah novel. Sisa uang Laras di

dompetnya sekarang adalah Rp 40.000,00. Jika uang Laras yang ada di dompet

semula adalah Rp 280.000,00. Berapakah harga sepatu dan tas masing-masing?

Solusi:

Sisa ke-2 = 40.000 = 3

1× sisa ke-1

Sisa ke-1 = 3 × 40.000 = 120.000

Harga tas = 3

1× harga sepatu …. (1)

Harga sepatu + harga tas = 280.000 – 120.000 = 160.000 …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

Harga sepatu + 3

1× harga sepatu = 160.000

3

4× Harga sepatu =160.000

Harga sepatu 000.120000.1604

3

Harga tas 000.40000.1203

1

Jadi, harga sepatu adalah Rp 120.000,00 dan harga tas adalah Rp 40.000,00.

6. Tangguh, Tekun, dan Kukuh adalah tiga anak yang bersahabat, mereka akan memulai

bermain kelereng. Karena Tekun dan Kukuh tidak mempunyai kelereng, maka

Tangguh memberikan 5

1bagiannya kepada Tekun dan

9

2bagianya kepada Kukuh.

Sisa kelereng Tangguh sekarang adalah 52 butir. Hitunglah jumlah dan selisih

kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh masing-masing.

Solusi:

Sisa kelereng Tangguh = 52

9

2

5

11 × Jumlah seluruh kelereng = 52

45

10945Jumlah seluruh kelereng = 52

45

26 Jumlah seluruh kelereng = 52

Jumlah seluruh kelereng = 905226

45 butir

Jumlah kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh = 909

2

5

1

9045

109

3890

45

19 butir.

Kita boleh mengerjakannya sebagai berikut.


Jumlah kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh = 90 – 52 = 38 butir.

Jumlah kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh = 905

1

9

2

= 90

45

910

29045

1 butir.

7. Jumlah uang Gagah dan Gigih adalah Rp 32.000,00. Setelah Gigih memberikan

5

1uangnya kepada Gagah, maka jumlah uang mereka masing-masing menjadi sama

besarnya. Berapakah uang yang dimiliki mereka masing-masing semula?

Solusi:

Uang Gagah + Uang Gigih = 32.000 …. (1)

5

4 Uang Gigih = Uang Gagah +

5

1Uang Gigih

5

3Uang Gigih = Uang Gagah …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

5

3Uang Gigih + Uang Gigih = 32.000

5

31 Uang Gigih = 32.000

5

8Uang Gigih = 32.000

Uang Gigih = 000.20000.328

5

Uang Gagah = 5

3Uang Gigih = 000.12000.20

5

3

Kita dapat mengerjakannya sebagai berikut.

Uang Gagah = 32.000 – 20.000 = 12.000

Jadi, uang Gagah semula adalah Rp 12.000,00 dan uang Gigih semula adalah Rp

20.000,00.

8. Pada hari Minngu, Afifah dan Annisa pergi berbelanja toko MAKMUR. dengan

jumlah uang yang dibawanya sebesar Rp 500.000,00. Setelah selesai berbelanja, uang

Afifah masih tersisa 3

1dari uangnya semula, sedangkan sisa uang Annisa adalah Rp

100.000,00. Tentukan uang yang dimiliki mereka masing-masing semula?

Solusi:

Uang Afifah + Uang Annisa = 500.000

Uang Annisa = 500.000 – Uang Afifah …. (1)

Uang yang dibelanjakan Afifah =

3

11 × Uang Afifah =

3

2 Uang Afifah

Uang yang dibelanjakan Annisa = Uang Annisa – 100.000

Uang yang dibenjakan Afifah = Uang yang dibelanjakan Annisa

3

2 Uang Afifah = Uang Annisa – 100.000 …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

3

2 Uang Afifah = 500.000 – Uang Afifah – 100.000


3

2 Uang Afifah +Uang Afifah = 400.000

3

21 Uang Afifah = 400.000

3

5 Uang Afifah = 400.000

Uang Afifah = 000.240000.4005

3

Uang Annisa = 500.000 – 240.000 = 260.000

Jadi, uang Afifah semula adalah Rp 240.000,00 dan uang Annisa semula adalah Rp

260.000,00.

5) Sifat-sifat Perkalian Pecahan

Dalam perkalian pecahan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Sifat komutatif: b

a

d

c

d

c

b

a

2. Sifat asosiatif:

f

e

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

3. a. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan:

f

e

b

a

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

b. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan:

f

e

b

a

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

Contoh:


12

5

3

5

3

4


b. Periksalah apakah

4

31

8

7

6

5

4

31

8

7

6

5? Berilah komentarmu!

c. Periksalah apakah 3

26

7

3

5

2

7

3

3

26

5

2

7

3

? Berilah komentarmu!

d. Periksalah apakah 12

5

9

21

8

3

9

21

12

5

8

3

9

21

? Berilah komentarmu!

Solusi:

a. 20

71

20

27

5

3

4

9

5

3

4

12 dan

20

71

20

27

4

9

5

3

4

12

5

3

Jelaslah bahwa 4

12

5

3

5

3

4

12 .

Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat komutatif.

b. 192

531

192

245

4

7

48

35

4

31

8

7

6

5

dan

192

531

192

245

32

49

6

5

4

7

8

7

6

5

4

31

8

7

6

5

Jelaslah bahwa

4

31

8

7

6

5

4

31

8

7

6

5.

Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sufat asosiatif.


c. 35

13

105

33

105

318

15

106

7

3

15

1006

7

3

3

20

5

2

7

3

3

26

5

2

7

3

35

13

35

106

35

1006

7

20

35

6

3

20

7

3

35

6

3

26

7

3

5

2

7

3

Jelaslah bahwa 3

26

7

3

5

2

7

3

3

26

5

2

7

3

.

Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

d. 216

11

24

1

9

11

24

109

9

11

12

5

8

3

9

21

216

11

216

11099

108

55

24

11

12

5

9

11

8

3

9

11

12

5

9

21

8

3

9

21

Jelaslah bahwa 12

5

9

21

8

3

9

21

12

5

8

3

9

21

.

Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

6. Operasi Pembagian pada Pecahan

1) Pembagian yang Hanya Melibatkan Pecahan Murni

Pada perkalian bilangan bulat dengan pecahan b

a

ba

1, maka

ba

b

aba

1: .

Untuk setiap pecahan b

adan

d

c, dengan 0b , 0c dan 0d berlaku

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

:

Contoh:

Hitunglah

a. 9

5:

7

6 b.

8

7:

3

2

Solusi:

a. 35

191

35

54

5

9

7

6

9

5:

7

6 b.

21

16

7

8

3

2

8

7:

3

2

2) Pembagian Pecahan yang Melibatkan Pecahan Campuran

Jika dalam pembagian pecahan terdapat pecahan campuran, maka pecahan campuran itu

dinyatakan terlebih dahulu sebagai pecahan biasa.

)(

::cdpb

da

cdp

d

b

a

d

cdp

b

a

d

cp

b

a

Contoh:

Hitunglah

a. 5

14:

9

2 b.

5

4:

7

22

Solusi:

a. 189

10

21

5

9

2

5

21:

9

2

5

14:

9

2 b.

7

62

7

20

4

5

7

16

5

4:

7

16

5

4:

7

22

3) Pembagian Pecahan dan Bilangan Bulat

1. cb

a

cb

ac

b

a

1: 3.

dc

bca

dc

bcad

c

ba

1:

2. a

bc

a

bc

b

ac

: 4.

bca

cd

bca

cd

c

bcad

c

bad

::

Documents

BILANGAN PECAHAN - FOKUS BELAJAR – … · · 2015-04-18Tentukan penyebut dan pembilangan dari setiap pecahan berikut ini. a. 9 7 b. x y x , xzy ... 6 3, dan 10 5 adalah pecahan-pecahan