Bildungsstandards und das Niedersächsische Kerncurriculum für das Fach Mathematik

BildungsstandardsBildungsstandardsund das Niedersächsischeund das Niedersächsische

Kerncurriculum für das Fach Kerncurriculum für das Fach MathematikMathematik

Gliederung des Vortrags:Gliederung des Vortrags:

1. Kompetenzorientierter Mathematikunterricht1. Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

2. Bildungsstandards im Fach Mathematik2. Bildungsstandards im Fach Mathematik

3. Niedersächsisches Kerncurriculum3. Niedersächsisches Kerncurriculum

4. Leistungsfeststellung und Leistungsbewertung4. Leistungsfeststellung und Leistungsbewertung

1. Kompetenzorientierter 1. Kompetenzorientierter

MathematikunterrichtMathematikunterricht2. Bildungsstandards im Fach Mathematik2. Bildungsstandards im Fach Mathematik



KompetenzenKompetenzen

DefinitionDefinition

„„Kompetenzen sind die bei Individuen Kompetenzen sind die bei Individuen verfügbaren verfügbaren oder von ihnen erlernbaren Fähigkeiten und oder von ihnen erlernbaren Fähigkeiten und Fertigkeiten, bestimmte Probleme zu lösen, Fertigkeiten, bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen sowie die damit verbundenen motivationalen (= antriebsorientierten), motivationalen (= antriebsorientierten), volitionalen (= durch Willen beeinflussbaren) volitionalen (= durch Willen beeinflussbaren) und und sozialen (= kommunikationsorientierten) sozialen (= kommunikationsorientierten) Bereitschaften und Fähigkeiten, Bereitschaften und Fähigkeiten, die Problemlösungen in variablen Situationen die Problemlösungen in variablen Situationen nutzen zu können.“ nutzen zu können.“ (Weinert)(Weinert)

KompetenzenKompetenzen

Kompetenzen umfassen Kompetenzen umfassen

Fähigkeiten, Kenntnisse und Fertigkeiten, Fähigkeiten, Kenntnisse und Fertigkeiten,

aber auch Bereitschaften, Haltungen aber auch Bereitschaften, Haltungen

und Einstellungen, über die Schülerinnen undund Einstellungen, über die Schülerinnen und

Schüler verfügen müssen, Schüler verfügen müssen,

um neuen Anforderungssituationen gewachsen um neuen Anforderungssituationen gewachsen zu seinzu sein

Eine Schülerin oder ein Schüler ist im Fach Eine Schülerin oder ein Schüler ist im Fach Mathematik kompetent, Mathematik kompetent, wenn sie oder erwenn sie oder er

• über Fähigkeiten und Fertigkeiten zum Lösen von über Fähigkeiten und Fertigkeiten zum Lösen von mathematischen Problemen verfügt,mathematischen Problemen verfügt,

• auf vorhandenes Wissen zurückgreift bzw. sich das auf vorhandenes Wissen zurückgreift bzw. sich das notwendige Wissen beschafft,notwendige Wissen beschafft,

• zentrale mathematische Zusammenhänge versteht, zentrale mathematische Zusammenhänge versteht,

• angemessene Handlungsentscheidungen trifft,angemessene Handlungsentscheidungen trifft,

• Lerngelegenheiten nutzt,Lerngelegenheiten nutzt,

• motiviert ist, ihre bzw. seine Kompetenzen auch in motiviert ist, ihre bzw. seine Kompetenzen auch in Zusammenarbeit mit anderen einzusetzen.Zusammenarbeit mit anderen einzusetzen.

Kompetenzen im Fach MathematikKompetenzen im Fach Mathematik

Kompetenzen im Fach MathematikKompetenzen im Fach Mathematik

Kompetenzmodelle und BildungsstandardsKompetenzmodelle und Bildungsstandards

• Aufgabe der Kompetenzmodelle:Aufgabe der Kompetenzmodelle:• Sie beschreiben, welche Lernergebnisse Sie beschreiben, welche Lernergebnisse von Schülerinnen und Schülern in von Schülerinnen und Schülern in bestimmten bestimmten

Altersstufen in den jeweiligen Fächern Altersstufen in den jeweiligen Fächern erwartet werden.erwartet werden.• Sie beschreiben, welche „Wege zum Wissen Sie beschreiben, welche „Wege zum Wissen

und Können“ eingeschlagen werden können .und Können“ eingeschlagen werden können .

• Aufgabe der Bildungsstandards:Aufgabe der Bildungsstandards:Sie benennen Kompetenzen, die Schülerinnen Sie benennen Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler erwerben müssen, damit und Schüler erwerben müssen, damit bestimmtebestimmte Bildungsziele als erreicht gelten Bildungsziele als erreicht gelten können.können.

1. Kompetenzorientierter Mathematikunterricht1. Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

2. Bildungsstandards im Fach 2. Bildungsstandards im Fach MathematikMathematik



Konzeption von BildungsstandardsKonzeption von Bildungsstandards

BildungsstandardsBildungsstandards

• beschreiben die fachbezogenen Kompetenzen beschreiben die fachbezogenen Kompetenzen (einschließlich Wissensbestände), die Schülerinnen und (einschließlich Wissensbestände), die Schülerinnen und Schüler erreichen sollen und die in Aufgabenstellungen Schüler erreichen sollen und die in Aufgabenstellungen umgesetzt und mit Hilfe von Testverfahren erfasst umgesetzt und mit Hilfe von Testverfahren erfasst werden könnenwerden können

• folgen dem Prinzip des kumulativen Kompetenzerwerbs folgen dem Prinzip des kumulativen Kompetenzerwerbs (zielen auf systematisches und vernetztes Lernen)(zielen auf systematisches und vernetztes Lernen)

• werden nach Anforderungsbereichen gegliedertwerden nach Anforderungsbereichen gegliedert• geben den Schulen Gestaltungsräume für ihre geben den Schulen Gestaltungsräume für ihre

pädagogische Arbeitpädagogische Arbeit• weisen ein mittleres Anforderungsniveau ausweisen ein mittleres Anforderungsniveau aus• bieten Hinweise für Förderungs-/ bieten Hinweise für Förderungs-/

UnterstützungsmaßnahmenUnterstützungsmaßnahmen

Mathematikunterricht in der Grundschule

Allgemeine mathematische Kompetenzen

Darstellen

Problemlösen

Kommunizieren

Modellieren

Argumentieren

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen

Zahlen und Operationen

Raum und Form

Muster und Strukturen

Größen und Messen

Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit

Konzeption der BildungsstandardsKonzeption der Bildungsstandards

AnforderungsbereicheAnforderungsbereiche

Anforderungsbereich IAnforderungsbereich I

GrundwisseGrundwissen n ReproduzierenReproduzieren

Anforderungsbereich IIAnforderungsbereich II

Zusammenhänge Zusammenhänge erkennen und nutzen / erkennen und nutzen / herstellenherstellen

Anforderungsbereich IIIAnforderungsbereich III

Strukturieren, Entwickeln Strukturieren, Entwickeln von Strategien, von Strategien, Beurteilen, Beurteilen, Verallgemeinern und Verallgemeinern und ReflektierenReflektieren

Wiedergeben und Wiedergeben und direktes Anwenden direktes Anwenden gelernter Verfahren und gelernter Verfahren und Begriffe in einem Begriffe in einem abgegrenzten Gebietabgegrenzten Gebiet

und einem und einem wiederholenden wiederholenden Zusammenhang Zusammenhang

Bearbeiten bekannter Bearbeiten bekannter Sachverhalte,Sachverhalte,

indem Kenntnisse, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft Fähigkeiten verknüpft werden,werden,

Bearbeiten komplexer Bearbeiten komplexer GegebenheitenGegebenheiten

u.a. mit dem Ziel, zu u.a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformu-eigenen Problemformu-lierungen, Lösungen, lierungen, Lösungen, Begründungen, Begründungen, Folgerungen, Interpre-Folgerungen, Interpre-tationen oder Wertungen tationen oder Wertungen zu gelangen zu gelangen

AnforderungsbereicheAnforderungsbereiche

Anforderungsbereich IAnforderungsbereich I

GrundwisseGrundwissen n ReproduzierenReproduzieren

Anforderungsbereich IIAnforderungsbereich II

Zusammenhänge Zusammenhänge erkennen und nutzen / erkennen und nutzen / herstellenherstellen

Anforderungsbereich IIIAnforderungsbereich III

Strukturieren, Entwickeln Strukturieren, Entwickeln von Strategien, von Strategien, Beurteilen, Beurteilen, Verallgemeinern und Verallgemeinern und ReflektierenReflektieren

BeispieleBeispiele

1) 3 + 4 =1) 3 + 4 =

2) 54 - 27 =2) 54 - 27 =

3) Division mit Rest3) Division mit Rest

4) Ordne den Körpern 4) Ordne den Körpern die richtigen Namen die richtigen Namen zu.zu.

1) Zahlenmauern1) Zahlenmauern

2) Welches Haustier ist 2) Welches Haustier ist am beliebtesten?am beliebtesten?

3) Faltaufgaben3) Faltaufgaben

4) Meine dreistellige 4) Meine dreistellige Zahl besteht aus den Zahl besteht aus den Ziffern 2 6 9. Sie ist Ziffern 2 6 9. Sie ist kleiner als 600.kleiner als 600.

1) 10 gewinnt1) 10 gewinnt

2) 20 gewinnt2) 20 gewinnt

3) 0 1 1 2 3 5 8 13…3) 0 1 1 2 3 5 8 13…

4) Fermi-Aufgaben4) Fermi-Aufgaben

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

+ - - + + +-- - -

10 gewinntAus: Mathe 2000Aus: Mathe 2000

1. 1. Kompetenzorientierter MathematikunterrichtKompetenzorientierter Mathematikunterricht

2. Bildungsstandards im Fach Mathematik2. Bildungsstandards im Fach Mathematik

3. 3. Niedersächsisches Niedersächsisches KerncurriculumKerncurriculum


• Bildungsstandards im Fach … für den Bildungsstandards im Fach … für den PrimarbereichPrimarbereich

• Kerncurriculum für die Grundschule Kerncurriculum für die Grundschule Schuljahrgänge 1 – 4 Fach…Schuljahrgänge 1 – 4 Fach…

• Schuleigene ArbeitspläneSchuleigene Arbeitspläne

Bildungsstandards und KerncurriculaBildungsstandards und Kerncurricula

VorbemerkungenVorbemerkungen

1.1. Bildungsbeitrag des Fachs MathematikBildungsbeitrag des Fachs Mathematik

2.2. Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

3. 3. Kompetenzbereiche im Fach MathematikKompetenzbereiche im Fach Mathematik

4.4. Erwartete KompetenzenErwartete Kompetenzen4.1 4.1 Prozessbezogene KompetenzbereicheProzessbezogene Kompetenzbereiche4.2 4.2 Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche

5. 5. Leistungsfeststellung und LeistungsbewertungLeistungsfeststellung und Leistungsbewertung

6. 6. Aufgaben der FachkonferenzAufgaben der Fachkonferenz

GlossarGlossar

Aufbau des Niedersächsischen KerncurriculumsAufbau des Niedersächsischen Kerncurriculums

Mathematikunterricht in der Grundschule

Prozessbezogene mathematische Kompetenzen

Darstellen

Problemlösen

Modellieren

Argumentieren

und

Kommunizieren

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen

Zahlen und Operationen

Größen und Messen

Raum und Form

Muster und Strukturen

Daten und Zufall

Konzeption des KerncurriculumsKonzeption des Kerncurriculums

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen:Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen:• Verfahren der Addition verstehen, Verfahren der Addition verstehen, geläufig ausführen und bei geeigneten geläufig ausführen und bei geeigneten Aufgaben anwenden,Aufgaben anwenden,• Gesetzmäßigkeiten in arithmetischen Mustern Gesetzmäßigkeiten in arithmetischen Mustern erkennen, beschreiben und fortsetzen.erkennen, beschreiben und fortsetzen.Prozessbezogene mathematische Kompetenzen:Prozessbezogene mathematische Kompetenzen:• mathematische Zusammenhänge erkennen mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln.und Vermutungen entwickeln.AnforderungsbereicheAnforderungsbereiche•12a) I 12b) II 12c) III12a) I 12b) II 12c) III

„Wohl soll der Schüler auch künftig Kenntnisse und Fertigkeiten gewinnen – wir hoffen sogar: noch mehr als früher -, aber wir wollen sie ihm nicht beibringen, sondern er soll sie sich erwerben.

Damit wechselt des Lehrers Aufgabe auf allen Gebieten. Statt Stoff darzubieten, wird er künftig die Fähigkeit des Schülers zu entwickeln haben.

Und das Tun des Schülers ist nicht mehr auf Empfangen eingestellt, sondern auf Erarbeiten. Nicht Leitung und Rezeptivität, sondern Organisation und Aktivität ist es, was das Lehrverfahren der Zukunft kennzeichnet.“

Johannes Kühnel, 1950

Bereich: „Zahlen und Operationen“

Erwartete Kompetenzen Erwartete Kompetenzen am Ende von Klasse 2am Ende von Klasse 2

Überprüfungsmöglich-Überprüfungsmöglich-keitenkeiten

Zahldarstellungen, Zahldarstellungen, Zahlbeziehungen,Zahlbeziehungen,

ZahlvorstellungenZahlvorstellungen

(vgl. S. 19)(vgl. S. 19)

Die Schülerinnen und Die Schülerinnen und Schüler …Schüler …• fassen Zahlen unter fassen Zahlen unter den verschiedenen den verschiedenen Zahlaspekten auf und Zahlaspekten auf und stellen sie dar (handelnd, stellen sie dar (handelnd, bildlich, symbolisch, bildlich, symbolisch, sprachlich),sprachlich),• vergleichen, vergleichen, strukturieren, zerlegen strukturieren, zerlegen Zahlen und setzen sie Zahlen und setzen sie zueinander in Beziehungzueinander in Beziehung

Können die Schülerinnen Können die Schülerinnen und Schülerund Schüler• Zerlegungen der Zahlen Zerlegungen der Zahlen bis 10 finden?bis 10 finden?

• alle Zahlzerlegungen alle Zahlzerlegungen finden? finden?

• systematisch vorgehen systematisch vorgehen bzw. Strukturen (z. B. bzw. Strukturen (z. B. 0+10, 1+9, 2+8, …) 0+10, 1+9, 2+8, …) nutzen?nutzen?

Niedersächsisches KerncurriculumNiedersächsisches Kerncurriculum

Bereich: „Größen und Messen“



Größenvor-Größenvor-stellungenstellungen

Die Schülerinnen und Die Schülerinnen und Schüler …Schüler …• messen, vergleichen messen, vergleichen und ordnen und ordnen Repräsentanten aus den Repräsentanten aus den Größenbereichen Größenbereichen Längen, Geldwerte und Längen, Geldwerte und Zeitspannen (s. Zeitspannen (s. Kerncurriculum Kerncurriculum Sachunterricht)Sachunterricht)

Können die Schülerinnen Können die Schülerinnen und Schülerund Schüler• Strecken ausmessen Strecken ausmessen bzw. Strecken bzw. Strecken vorgegebener Länge vorgegebener Länge korrekt zeichnen?korrekt zeichnen?• Längen vergleichen und Längen vergleichen und ordnen?ordnen?• Messfehler und Messfehler und Ungenauigkeiten Ungenauigkeiten begründen?begründen?


Bereich: „Raum und Form“

Erwartete Kompetenzen am Erwartete Kompetenzen am Ende von Klasse 2Ende von Klasse 2


Flächen und Flächen und RauminhalteRauminhalte

Die Schülerinnen und Die Schülerinnen und Schüler …Schüler …

• bauen aus vorgegebenen bauen aus vorgegebenen Anzahlen von Würfeln ver-Anzahlen von Würfeln ver-schiedene Würfelgebäude.schiedene Würfelgebäude.


• bauen aus vorgegebenen bauen aus vorgegebenen Anzahlen von Würfeln ver-Anzahlen von Würfeln ver-schiedene Würfelgebäude schiedene Würfelgebäude und ermitteln Rauminhalte und ermitteln Rauminhalte konkret mit Einheitswürfeln konkret mit Einheitswürfeln und vergleichen sie.und vergleichen sie.


Bereich: Kommunizieren und Argumentieren




Kommunizieren/Kommunizieren/ArgumentierenArgumentieren


• drücken Vermutungen drücken Vermutungen über mathematische über mathematische Sachverhalte Sachverhalte verständlich aus.verständlich aus.


• stellen Vermutungen stellen Vermutungen über mathematische über mathematische Sachverhalte an, Sachverhalte an, begründen und überprüfen begründen und überprüfen sie.sie.

Bereich: Problemlösen




ProblemlösenProblemlösen


• bearbeiten vorgegebene bearbeiten vorgegebene Probleme eigenständig.Probleme eigenständig.

• nutzen Lösungsstrategien nutzen Lösungsstrategien und beschreiben sie.und beschreiben sie.


• bearbeiten selbst bearbeiten selbst gefundene gefundene und und vorgegebene Probleme vorgegebene Probleme eigenständig.eigenständig.

• kennen kennen Lösungs-Lösungs-strategien strategien und wenden und wenden diese an.diese an.• nutzen Zusammenhänge nutzen Zusammenhänge und übertragen sie auf und übertragen sie auf ähnliche Sachverhalte.ähnliche Sachverhalte.

Bereich: „Muster und Strukturen“



Gesetzmäßig-Gesetzmäßig-keiten in Musternkeiten in Mustern

Die Schülerinnen und Die Schülerinnen und Schüler …Schüler …• beschreiben beschreiben Gesetzmäßigkeiten Gesetzmäßigkeiten geometrischer und geometrischer und arithmetischer Muster (z. arithmetischer Muster (z. B. von Zahlenfolgen, B. von Zahlenfolgen, figurierten Zahlen und figurierten Zahlen und strukturieren strukturieren Aufgabenreihen) in Aufgabenreihen) in innermathematischen und innermathematischen und außermathematischen außermathematischen Kontexten und treffen Kontexten und treffen Vorhersagen zur Vorhersagen zur Fortsetzung.Fortsetzung.

Können die Schülerinnen Können die Schülerinnen und Schülerund Schüler• eine strukturierte eine strukturierte Aufgabenreihe Aufgabenreihe fortsetzen?fortsetzen?• Fehler (d. h. Störungen) Fehler (d. h. Störungen) in einer strukturierten in einer strukturierten Aufgabenfolge finden und Aufgabenfolge finden und korrigieren?korrigieren?• eigene strukturierte eigene strukturierte Aufgabenfolgen Aufgabenfolgen entwickeln?entwickeln?


Bereich: Bereich: „Muster und Strukturen“„Muster und Strukturen“

AufgabenbeispielAufgabenbeispiel

Addiere immer die beiden Ergebnisse!Addiere immer die beiden Ergebnisse!

350 350 + 70+ 70 350 +350 + 110110350 - 70350 - 70 350350 -- 110110

350350 ++ 8585 350350 ++ 165165350350 -- 8585 350350 -- 165165

nach Gerd Walther

Bereich: Bereich: „ Muster und Strukturen“„ Muster und Strukturen“

Problemlösen/MathematisierenProblemlösen/Mathematisieren

• Überraschende Feststellung beim Überraschende Feststellung beim Rechnen:Rechnen: Bei der Addition der Ergebnisse ergibt sich stets 700Bei der Addition der Ergebnisse ergibt sich stets 700

• Welches Muster verbindet die einzelnen Welches Muster verbindet die einzelnen Teilaufgaben?Teilaufgaben?

• Welche Gemeinsamkeiten/Unterschiede sind bei Welche Gemeinsamkeiten/Unterschiede sind bei

denden Teilaufgaben festzustellen? (In jeder Teilaufgabe Teilaufgaben festzustellen? (In jeder Teilaufgabe kommt 350 vor; bei jedem Aufgabenpärchen wird jeweils kommt 350 vor; bei jedem Aufgabenpärchen wird jeweils eine Zahl addiert und die gleiche Zahl subtrahiert)eine Zahl addiert und die gleiche Zahl subtrahiert)

nach Gerd Walthernach Gerd Walther

Bereich: „ Muster und Strukturen“

Problemlösen/Aufgaben selbst erfinden/Problemlösen/Aufgaben selbst erfinden/Entdeckendes Lernen/ArgumentierenEntdeckendes Lernen/Argumentieren

• Über das Gegebene hinausgehen/Verallgemeinern:Über das Gegebene hinausgehen/Verallgemeinern:

Denkt euch Aufgabenpaare aus, bei denen Denkt euch Aufgabenpaare aus, bei denen die Summe der Ergebnisse auch 700 ist!die Summe der Ergebnisse auch 700 ist!• Zunehmende Schematisierung/Ablösung von den Zunehmende Schematisierung/Ablösung von den Einzelfällen: Warum ist das Einzelfällen: Warum ist das immerimmer so? so?• Variation der Aufgabe:Variation der Aufgabe:

• Denkt euch Aufgabenpaare aus, bei denen die Summe Denkt euch Aufgabenpaare aus, bei denen die Summe der Ergebnisse z. B. 580 (581) ist!der Ergebnisse z. B. 580 (581) ist!• Was passiert, wenn man die Ergebnisse subtrahiert?Was passiert, wenn man die Ergebnisse subtrahiert? nach Gerd Walthernach Gerd Walther

Bereich: „ Muster und Strukturen“

Kommunizieren/Argumentieren/BegründenKommunizieren/Argumentieren/Begründen

• Was erhält man bei der Addition der Ergebnisse von Was erhält man bei der Addition der Ergebnisse von z. B. 350-70 und 350-74? Warum nicht 700?z. B. 350-70 und 350-74? Warum nicht 700? (Die Regel des Musters formulieren)(Die Regel des Musters formulieren)• Woran liegt es, dass sich bei der Addition der Woran liegt es, dass sich bei der Addition der Ergebnisse in den gegebenen Päckchen stets 700 Ergebnisse in den gegebenen Päckchen stets 700 ergibt?ergibt?

• Formal: 350+350+70-70 …Formal: 350+350+70-70 …• Was ist das Gemeinsame/die Struktur?Was ist das Gemeinsame/die Struktur?

nach Gerd Walthernach Gerd Walther

Bereich: „Daten und Zufall“


• Stochastik, die „Kunst des Mutmaßens“Stochastik, die „Kunst des Mutmaßens“• In der Grundschule wird kein Lehrgang zu In der Grundschule wird kein Lehrgang zu

Wahrscheinlichkeit durchgeführt. Es werden Wahrscheinlichkeit durchgeführt. Es werden Grundvorstellungen aufgebaut, eventuelle Grundvorstellungen aufgebaut, eventuelle Fehlvorstellungen korrigiert und Aussagen Fehlvorstellungen korrigiert und Aussagen über den Ausgang von Spiel- oder über den Ausgang von Spiel- oder

Wettsituationen gemacht.Wettsituationen gemacht.



• Schon vor dem Schuleintritt werden Erfahrungen Schon vor dem Schuleintritt werden Erfahrungen mit dem Phänomen „Zufall“ gemachtmit dem Phänomen „Zufall“ gemacht

• Training von ProblemlösestrategienTraining von Problemlösestrategien• Erkennen von allgemeinen „Mustern“ wird als Erkennen von allgemeinen „Mustern“ wird als

typische Arbeitsweise der Mathematik erfahrentypische Arbeitsweise der Mathematik erfahren• Vielen Erwachsenen fallen selbst einfache Vielen Erwachsenen fallen selbst einfache

stochastische Fragen häufig schwer, da sie ihr stochastische Fragen häufig schwer, da sie ihr Denken in stochastischer Hinsicht nie oder Denken in stochastischer Hinsicht nie oder erstmals in der 12. Jahrgangsstufe geschult erstmals in der 12. Jahrgangsstufe geschult habenhaben


Erwartete Kompetenzen am Erwartete Kompetenzen am Ende des Schuljahrgangs 2Ende des Schuljahrgangs 2


Datenerfassung Datenerfassung und und -auswertung-auswertung

Die Schülerinnen und Die Schülerinnen und Schüler …Schüler …• stellen Fragen und stellen Fragen und sammeln Daten dazu in sammeln Daten dazu in Beobachtungen.Beobachtungen.

• stellen Daten übersichtlich stellen Daten übersichtlich dar. dar.

• entnehmen einfachen entnehmen einfachen Tabellen und einfachen Tabellen und einfachen Schaubildern Schaubildern Informationen.Informationen.

Die Schülerinnen und Die Schülerinnen und Schüler …Schüler …• stellen Fragen und stellen Fragen und sammeln Daten dazu in sammeln Daten dazu in Beobachtungen Beobachtungen und und einfachen Experimenten.einfachen Experimenten.• stellen Daten stellen Daten in Tabellen, in Tabellen, Schaubildern und Schaubildern und Diagrammen dar.Diagrammen dar.

• entnehmen entnehmen Medien (z. B. Medien (z. B. Sachtexten, Sachtexten, Tabellen, Tabellen, Diagrammen) Daten und Diagrammen) Daten und interpretieren sie.interpretieren sie.





Zufall und Zufall und Wahrscheinlich-Wahrscheinlich-keitkeit

Die Schülerinnen und Die Schülerinnen und Schüler …Schüler …• finden in Vorgängen der finden in Vorgängen der eigenen Erfahrungswelt eigenen Erfahrungswelt zufällige Ereignisse und zufällige Ereignisse und beschreiben deren beschreiben deren Eintrittswahrscheinlichkeit Eintrittswahrscheinlichkeit mit den Begriffen immer, mit den Begriffen immer, vielleicht, oft, häufig, vielleicht, oft, häufig, selten, sicher oder nie.selten, sicher oder nie.

Die Schülerinnen und Die Schülerinnen und Schüler …Schüler …• beschreiben beschreiben Zufallserscheinungen aus Zufallserscheinungen aus dem Alltag und dem Alltag und vergleichenvergleichen deren Eintritts- deren Eintritts- wahrscheinlichkeit wahrscheinlichkeit qualitativ qualitativ mit Begriffen wie mit Begriffen wie sicher, sicher, wahrscheinlich und wahrscheinlich und unmöglich.unmöglich.• schätzen die Wahrschein-schätzen die Wahrschein-lichkeit von Ergebnissen lichkeit von Ergebnissen einfacher Zufalls-einfacher Zufalls-experimente qualitativ ein experimente qualitativ ein und überprüfen die und überprüfen die Vorhersage.Vorhersage.




KlasseKlasse Inhalte/Kompetenzaufbau/BeispieleInhalte/Kompetenzaufbau/Beispiele

1 - 21 - 2 • zufällige Ereignisse im Alltag erkennenzufällige Ereignisse im Alltag erkennen• erste Grundvorstellungen zur Wahrscheinlichkeit erste Grundvorstellungen zur Wahrscheinlichkeit aufbauen (z. B. Perlen aus einer Schachtel ziehen)aufbauen (z. B. Perlen aus einer Schachtel ziehen)• Strichlisten zur Bestimmung von Häufigkeiten Strichlisten zur Bestimmung von Häufigkeiten nutzennutzen• Grundbegriffe kennen: immer, vielleicht, oft, Grundbegriffe kennen: immer, vielleicht, oft, selten, nie selten, nie

3 - 43 - 4 • einfache Zufallsversuche (z. B. Münzwurf; einfache Zufallsversuche (z. B. Münzwurf; Würfeln, auch mit zwei Würfeln,)Würfeln, auch mit zwei Würfeln,)• Grundbegriffe verwenden: sicher, wahrscheinlich, Grundbegriffe verwenden: sicher, wahrscheinlich, unmöglichunmöglich• Versuchsreihen, Diagramme und Tabellen nutzen, Versuchsreihen, Diagramme und Tabellen nutzen, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen einzuschätzeneinzuschätzen

Bereich: „Daten und ZufallBereich: „Daten und Zufall“ “

Würfelexperiment mit zwei Würfeln: Welche WürfelsummeWürfelexperiment mit zwei Würfeln: Welche Würfelsummefällt am häufigsten?fällt am häufigsten? (1.Klasse) (1.Klasse)


11 22 33 44 55 66

11 2 3 4 5 6 7

22 3 4 5 5 7 8

33 4 5 6 7 8 9

44 5 6 7 8 9 10

55 6 7 8 9 10 11

66 7 8 9 10 11 12

Wahrscheinlichkeiten:Wahrscheinlichkeiten:

77: : 6 von 366 von 36, denn, denn1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+11+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1

44 oder oder 1010: : 3 von 363 von 36, denn , denn 1+3, 2+2, 3+11+3, 2+2, 3+14+6, 5+5, 6+44+6, 5+5, 6+4


Würfelexperiment mit zwei Würfeln: Würfelexperiment mit zwei Würfeln: Gewinnregel: Eine gerade Summe gewinntGewinnregel: Eine gerade Summe gewinnt (3. Klasse) (3. Klasse)


11 22 33 44 55 66

11 2 3 4 5 6 7

22 3 4 5 6 7 8

33 4 5 6 7 8 9

44 5 6 7 8 9 10

55 6 7 8 9 10 11

66 7 8 9 10 11 12

Wahrscheinlichkeit:Wahrscheinlichkeit:

Gerade und ungerade Gerade und ungerade Summen kommen Summen kommen gleich häufig vorgleich häufig vor


Würfelexperiment mit zwei Würfeln: Würfelexperiment mit zwei Würfeln: Gewinnregel: Eine gerades Produkt gewinntGewinnregel: Eine gerades Produkt gewinnt (4. Klasse) (4. Klasse)Ist diese Regel fair, wenn ein Spieler die geraden und Ist diese Regel fair, wenn ein Spieler die geraden und einer die ungeraden Zahlen nimmt?einer die ungeraden Zahlen nimmt?


11 22 33 44 55 66

11 1 2 3 4 5 6

22 2 4 6 8 10 12

33 3 6 9 12 15 18

44 4 8 12 16 20 24

55 5 10 15 20 25 30

66 6 12 18 24 30 36

Wahrscheinlichkeit:Wahrscheinlichkeit:

Von 36 Möglichkeiten Von 36 Möglichkeiten haben 27 ein gerades haben 27 ein gerades Produkt. Produkt.


Kompetenzbereich „Kommunizieren/Argumentieren“Kompetenzbereich „Kommunizieren/Argumentieren“

Der Austausch über mathematische Der Austausch über mathematische Sachverhalte fördert deren Verständnis und Sachverhalte fördert deren Verständnis und regt Schülerinnen und Schüler an, die regt Schülerinnen und Schüler an, die Gedankengänge anderer nachzuvollziehen Gedankengänge anderer nachzuvollziehen bzw. eigene Gedankengänge zu bzw. eigene Gedankengänge zu verdeutlichen. Die Schülerinnen und Schüler verdeutlichen. Die Schülerinnen und Schüler werden befähigt, Behauptungen und werden befähigt, Behauptungen und Argumente auf ihre mathematische Argumente auf ihre mathematische Schlüssigkeit zu überprüfen und zu Schlüssigkeit zu überprüfen und zu bewerten.bewerten.


Kompetenzbereich „Kommunizieren/Argumentieren“Kompetenzbereich „Kommunizieren/Argumentieren“

Wie heißt die nächste Aufgabe?Wie heißt die nächste Aufgabe?Welche Aufgabe Welche Aufgabe störtstört das Muster? Wie muss diese das Muster? Wie muss diese Aufgabe heißen?Aufgabe heißen?

a) 50 – 20 = __a) 50 – 20 = __ b) 17 – 14 = __b) 17 – 14 = __51 – 21 = __51 – 21 = __ 37 – 14 = __ 37 – 14 = __52 – 22 = __52 – 22 = __ 57 – 14 = __ 57 – 14 = __53 – 23 = __53 – 23 = __ 77 – 14 = __ 77 – 14 = __………………………….... ...…………….. ...……………..

c)c)46 – 25 = __46 – 25 = __ d) 63 – 32 = __d) 63 – 32 = __47 – 26 = __47 – 26 = __ 73 – 44 = __ 73 – 44 = __4488 – 23 = __ – 23 = __ 83 – 55 = __ 83 – 55 = __49 – 22 = __49 – 22 = __ 93 – 66 = __ 93 – 66 = __50 – 21 = __50 – 21 = __ 103 – 77 = __ 103 – 77 = __.......................................... ..............................................

Kompetenzbereich „Darstellen“Kompetenzbereich „Darstellen“

Erwartete Kompetenzen am Ende von Klasse 4:Erwartete Kompetenzen am Ende von Klasse 4:Die Schülerinnen und Schüler …Die Schülerinnen und Schüler …

• nutzen geeignete Formen der Darstellung für das nutzen geeignete Formen der Darstellung für das Bearbeiten mathematische Aufgaben (z.B. Skizzen Bearbeiten mathematische Aufgaben (z.B. Skizzen und Tabellen)und Tabellen)

• übertragen die Darstellung einer Aufgabe in eine übertragen die Darstellung einer Aufgabe in eine andere Darstellungsform (E-I-S-Prinzip)andere Darstellungsform (E-I-S-Prinzip)

• verwenden zur Darstellung ihrer Aussagen die verwenden zur Darstellung ihrer Aussagen die eingeführten mathematischen Zeichen sachgerechteingeführten mathematischen Zeichen sachgerecht


Kompetenzbereich: „Modellieren“

Erwartete Kompetenzen am Ende des Erwartete Kompetenzen am Ende des Schuljahrgangs 2Schuljahrgangs 2

Erwartete Kompetenzen am Ende des Erwartete Kompetenzen am Ende des Schuljahrgangs 4Schuljahrgangs 4

Die Schülerinnen und Schüler …Die Schülerinnen und Schüler …

• gewinnen Daten durch Zählen und gewinnen Daten durch Zählen und Messen.Messen.

• spielen Rechengeschichten, stellen spielen Rechengeschichten, stellen sie zeichnerisch dar und schreiben sie zeichnerisch dar und schreiben Aufgaben dazu.Aufgaben dazu.

• beschreiben Sachaufgaben in der beschreiben Sachaufgaben in der Sprache der Mathematik.Sprache der Mathematik.

• formulieren Rechengeschichten zu formulieren Rechengeschichten zu einfachen Termen.einfachen Termen.

Die Schülerinnen und Schüler …Die Schülerinnen und Schüler …

• messen und schätzen Repräsentanten messen und schätzen Repräsentanten von Größen und überschlagen von Größen und überschlagen Rechnungen um Daten zu gewinnen.Rechnungen um Daten zu gewinnen.

• Entnehmen Sachtexten und anderen Entnehmen Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen.die relevanten Informationen.

• Beschreiben Sachprobleme in der Beschreiben Sachprobleme in der Sprache der Mathematik, lösen sie Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und beziehen die innermathematisch und beziehen die Ergebnisse auf die Ausgangssituation.Ergebnisse auf die Ausgangssituation.

• formulieren Sachaufgaben zu Termen, formulieren Sachaufgaben zu Termen, Gleichungen und bildlichen Gleichungen und bildlichen Darstellungen.Darstellungen.


Kompetenzbereich: „Modellieren“Kompetenzbereich: „Modellieren“

RealesRealesModellModell

Mathematische Mathematische ResultateResultate

MathematischesMathematischesModellModell

ModellbildungModellbildung

Mathematische Überlegungen


MathematisierenMathematisieren

AnwendenAnwenden

Realität

InterpretierenInterpretieren

Mathematik

Vereinfachen

RealeSituation

Geschlossene AufgabeGeschlossene Aufgabe


Start

Offene AufgabeOffene Aufgabe

Ziel

Start


ModellierungskompetenzModellierungskompetenz

• wird gefördert, wenn der Unterricht einen wird gefördert, wenn der Unterricht einen systematischen und progressiven Aufbau systematischen und progressiven Aufbau dieser Kompetenz ermöglicht und zu ihrer dieser Kompetenz ermöglicht und zu ihrer Anwendung herausfordert.Anwendung herausfordert.

• gilt als erworben, wenn die Schülerinnen gilt als erworben, wenn die Schülerinnen und Schüler in der Lage sind, Sach-und Schüler in der Lage sind, Sach-probleme mathematisch zu beschreiben, probleme mathematisch zu beschreiben, innermathematisch zu lösen und die innermathematisch zu lösen und die Ergebnisse auf die reale Ausgangssituation Ergebnisse auf die reale Ausgangssituation zu beziehen.zu beziehen.



1. 1. SachsituationSachsituation

„„In der Klasse 2b sollen Sechsertische gebildet In der Klasse 2b sollen Sechsertische gebildet werden. Es sind 29 Kinder in der Klasse.”werden. Es sind 29 Kinder in der Klasse.”

2. 2. Mathematisches ModellMathematisches Modell

29 : 6 = 29 : 6 = oder 6 + 6 + 6 + 6 +5 = oder 6 + 6 + 6 + 6 +5 = oder eine zeichnerische Lösungoder eine zeichnerische Lösung

3. 3. Folgerungen im mathematischen ModellFolgerungen im mathematischen Modell

29 : 6 = 4 + 5 : 629 : 6 = 4 + 5 : 6

4. 4. Folgerungen für die Situation Folgerungen für die Situation

„„Die Klasse benötigt 5 Sechsertische. An einem Die Klasse benötigt 5 Sechsertische. An einem Sechsertisch sitzen nur 5 Kinder.”Sechsertisch sitzen nur 5 Kinder.”



• SachproblemSachproblem ( z. B. Fermiaufgabe): ( z. B. Fermiaufgabe):Wie oft gibt es den Buchstaben „e“ in unserem Mathematikbuch?Wie oft gibt es den Buchstaben „e“ in unserem Mathematikbuch?• Fragen:Fragen:

• Wie viele „e“ sind auf einer Seite?Wie viele „e“ sind auf einer Seite?• Gibt es auf jeder Seite gleich viele „e“? Gibt es auf jeder Seite gleich viele „e“? • Wie viele Seiten hat unser Buch? …Wie viele Seiten hat unser Buch? …

• Mathematisches Modell:Mathematisches Modell:• Annahmen: Annahmen: z. B.: z. B.:

• Eine Seite hat ungefähr 100 (50 / 200) „e“Eine Seite hat ungefähr 100 (50 / 200) „e“• Das Buch hat 113 / 127 SeitenDas Buch hat 113 / 127 Seiten• Es gibt Seiten fast ohne Buchstaben …Es gibt Seiten fast ohne Buchstaben …

• Rechenoperationen: Addition / MultiplikationRechenoperationen: Addition / Multiplikation

• Mathematische Resultate:Mathematische Resultate:

• 100 100 ∙ 113 = 11 300 oder 50 ∙ 113 = 11 300 oder 50 ∙ ∙ 127 = 6350 oder 200 127 = 6350 oder 200 ∙ 127 = 25 400∙ 127 = 25 400

• Folgerung für die Situation:Folgerung für die Situation:

• In unserem Mathebuch gibt es ungefähr 12 000 „e“.In unserem Mathebuch gibt es ungefähr 12 000 „e“.


Kompetenzbereich „Problemlösen“Kompetenzbereich „Problemlösen“

„„Von Problemlösen wird immer dann gesprochen, wenn Von Problemlösen wird immer dann gesprochen, wenn für eine Schülerin oder einen Schüler kein unmittelbarer für eine Schülerin oder einen Schüler kein unmittelbarer Lösungsweg für die Bearbeitung einer Aufgabe zur Lösungsweg für die Bearbeitung einer Aufgabe zur Verfügung steht …“Verfügung steht …“

In einem Stall werden 20 Tiere gezählt. In einem Stall werden 20 Tiere gezählt. Es sind Kühe und Schwalben. Es sind Kühe und Schwalben. Zusammen haben sie 76 Beine. Zusammen haben sie 76 Beine. Wie viele Kühe und wie viele SchwalbenWie viele Kühe und wie viele Schwalbensind es? sind es? (2 Schwalben/18 Kühe)(2 Schwalben/18 Kühe)

In einem anderen Stall werden 10 Tiere In einem anderen Stall werden 10 Tiere gezählt. Es sind Pferde und Fliegen. gezählt. Es sind Pferde und Fliegen. Zusammen haben sie 46 Beine.Zusammen haben sie 46 Beine.Wie viele Pferde und wie viele FliegenWie viele Pferde und wie viele Fliegensind es? sind es? (3 Fliegen/7 Pferde)(3 Fliegen/7 Pferde)

1. 1. Kompetenzorientierter MathematikunterrichtKompetenzorientierter Mathematikunterricht

2. 2. Bildungsstandards im Fach MathematikBildungsstandards im Fach Mathematik

3. 3. Niedersächsisches KerncurriculumNiedersächsisches Kerncurriculum

4. 4. Leistungsfeststellung und Leistungsfeststellung und LeistungsbewertungLeistungsbewertung

Leistungsfeststellung und LeistungsbewertungLeistungsfeststellung und Leistungsbewertung::

Zu unterscheiden:Zu unterscheiden:

• Aufgaben zum Lernen Aufgaben zum Lernen (Kompetenzerwerb im (Kompetenzerwerb im Unterricht)Unterricht)

• Aufgaben zum Erkunden, Entdecken, ErfindenAufgaben zum Erkunden, Entdecken, Erfinden• Aufgaben zum Sammeln, Sichern, SystematisierenAufgaben zum Sammeln, Sichern, Systematisieren• Aufgaben zum Üben und WiederholenAufgaben zum Üben und Wiederholen

• Aufgaben zum Leisten Aufgaben zum Leisten (Kompetenzüberprüfung in (Kompetenzüberprüfung in Klassenarbeiten und zentralen TestsKlassenarbeiten und zentralen Tests))

• Aufgaben zum AnwendenAufgaben zum Anwenden• Aufgaben zum (Selbst-) ÜberprüfenAufgaben zum (Selbst-) Überprüfen• Aufgaben zur DiagnoseAufgaben zur Diagnose• Aufgaben zur LeistungsbewertungAufgaben zur Leistungsbewertung

Leistungsfeststellung und LeistungsbewertungLeistungsfeststellung und Leistungsbewertung::

Üben und Entdecken

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010

1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020

2121 2222 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 3030

3131 3232 3333 3434 3535 3636 3737 3838 3939 4040

4141 4242 4343 4444 4545 4646 4747 4848 4949 5050

5151 5252 5353 5454 5555 5656 5757 5858 5959 6060

6161 6262 6363 6464 6565 6666 6767 6868 6969 7070

7171 7272 7373 7474 7575 7676 7777 7878 7979 8080

8181 8282 8383 8484 8585 8686 8787 8888 8989 9090

9191 9292 9393 9494 9595 9696 9797 9898 9999 100100

Hundertertafel Hundertertafel Forschen und findenForschen und finden

Wähle eine 2-stellige Zahl.Wähle eine 2-stellige Zahl.

Multipliziere die Zehnerziffer mit 3.Multipliziere die Zehnerziffer mit 3.

Addiere dazu die Einerziffer.Addiere dazu die Einerziffer.

Subtrahiere das Ergebnis von der Subtrahiere das Ergebnis von der gewähltengewählten

Zahl.Zahl.

Aus: Mathe 2000Aus: Mathe 2000


Beispiele:Beispiele: Zahl: 28 Zahl: 77 Zahl: 30 Zahl: 28 Zahl: 77 Zahl: 30 22·3+8=14 ·3+8=14 77·3+7=28 ·3+7=28 33·3+0=9·3+0=928-14=28-14=1414 77-28= 77-28=4949 30-9= 30-9=2222

Zahl: 49Zahl: 494·3+9=214·3+9=2149-21=49-21=2828

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010

77

1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020

1414

2121

14142222 2323 2424 2525 2626 2727 2828

14142929 3030

2222

3131 3232 3333 3434 3535

21213636 3737 3838 3939

21214040

2828

4141 4242 4343 4444

28284545 4646 4747 4848 4949

28285050

3535

5151 5252 5353 5454

35355555 5656 5757 5858 5959

35356060

4242

6161 6262 6363 6464 6565

42426666 6767

42426868 6969 7070

4949

7171 7272 7373 7474 7575 7676 7777

49497878 7979 8080

5656

8181 8282 8383 8484 8585 8686 8787 8888 8989 9090

6363

9191 9292 9393 9494

63639595 9696

63639797 9898 9999 100100


Ergebnisse: Vielfache von 7Ergebnisse: Vielfache von 7

Warum?Warum?

(a(a·10+b)-(a·3+b) ·10+b)-(a·3+b) = = aa·10+b-a·3-b ·10+b-a·3-b = = aa·10-a·3 = a·7·10-a·3 = a·7

Wähle eine 2-stellige Zahl.Wähle eine 2-stellige Zahl.

Multipliziere die Zehnerziffer mit 3.Multipliziere die Zehnerziffer mit 3.

Addiere dazu die Einerziffer.Addiere dazu die Einerziffer.

Subtrahiere das Ergebnis von der Subtrahiere das Ergebnis von der

gewählten Zahl.gewählten Zahl.


40 – 12 = 284∙10 - 4∙3 = 4∙7

• Leistungsbewertung in MathematikLeistungsbewertung in Mathematik

• berücksichtigt inhaltsbezogene und berücksichtigt inhaltsbezogene und prozessbezogene Kompetenzbereiche,prozessbezogene Kompetenzbereiche,

• bezieht sich auf mündliche, schriftliche und bezieht sich auf mündliche, schriftliche und andere fachspezifische Leistungen.andere fachspezifische Leistungen.

• Die Gewichtung der fünf inhaltsbezogenen Die Gewichtung der fünf inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche lässt sich aus der Anzahl der Kompetenzbereiche lässt sich aus der Anzahl der erwarteten Kompetenzen ableiten.erwarteten Kompetenzen ableiten.

• Prozessbezogene Kompetenzen werden mit Prozessbezogene Kompetenzen werden mit konkreten Inhalten erworben und mit diesen konkreten Inhalten erworben und mit diesen überprüft.überprüft.

Leistungsfeststellung und LeistungsbewertungLeistungsfeststellung und Leistungsbewertung

Schriftliche LernkontrollenSchriftliche Lernkontrollen

• Im Anfangsunterricht überwiegt die unmittelbare Im Anfangsunterricht überwiegt die unmittelbare Beobachtung, die im zweiten Schuljahr durch Beobachtung, die im zweiten Schuljahr durch kurze kurze schriftliche Lernkontrollen ergänzt wird.schriftliche Lernkontrollen ergänzt wird.

• Im dritten und vierten Schuljahr werden 6 – 8 Im dritten und vierten Schuljahr werden 6 – 8 schriftliche Lernkontrollen durchgeführt. Die schriftliche Lernkontrollen durchgeführt. Die Fachkonferenz entscheidet, ob pro Schuljahr bis Fachkonferenz entscheidet, ob pro Schuljahr bis zu zu

zwei Lernkontrollen durch andere schriftliche zwei Lernkontrollen durch andere schriftliche Leistungsnachweise ersetzt werden. Leistungsnachweise ersetzt werden.

• Bei der Bewertung sollen nicht nur Endergebnisse, Bei der Bewertung sollen nicht nur Endergebnisse, sondern auch Lösungswege und Teilergebnisse sondern auch Lösungswege und Teilergebnisse

berücksichtigt werden.berücksichtigt werden.


Schriftliche LernkontrollenSchriftliche Lernkontrollen

• Bei den Aufgaben müssen die Anforderungs- Bei den Aufgaben müssen die Anforderungs- bereiche I – III angemessen repräsentiert sein.bereiche I – III angemessen repräsentiert sein.

• Der Schwerpunkt liegt im Anforderungsbereich II.Der Schwerpunkt liegt im Anforderungsbereich II.

• Die Aufgaben beziehen sich schwerpunktmäßig auf Die Aufgaben beziehen sich schwerpunktmäßig auf Inhalte und Ziele des vorangegangenen Inhalte und Ziele des vorangegangenen

Unterrichts, umfassen aber auch Problemstellungen Unterrichts, umfassen aber auch Problemstellungen aus dem Wiederholungsbereich, um träges Wissen aus dem Wiederholungsbereich, um träges Wissen zu vermeiden.zu vermeiden.


Documents

Bildungsstandards und das Niedersächsische Kerncurriculum für das Fach Mathematik