Binomul Lui Newton

ORIŢĂ FLORENTINA PAULA -COLEGIUL TEHNIC „GENERAL DAVID PRAPORGESCU” TURNU MĂGURELE TELEORMAN

PROIECT DE LECŢIE

Data: Clasa a X-a EProfesor: ORIŢĂ FLORENTINA PAULADisciplina:Matematică Unitatea de învăţare:Metode de numărareTema lecţiei: Binomul lui NewtonTipul lecţiei: Lecţie de dobândire de noi cunoştinţe

Competenţe generale:1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite.2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţurile matematice.3. Utilizarea algoritmilor şi conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete.4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora.5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii – problemă.6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii.

Competenţe specifice:1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii –problemă date3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv4. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare5. Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor


Obiective operaţionale: Să identifice situaţiile în care pot aplica formula binomului lui Newton şi să o poată utiliza. Să cunoască şi să aplice formula termenului general din dezvoltarea binomului lui Newton. Sa rezolve diferite tipuri de probleme (egalităţi şi inegalităţi utilizând binomul lui Newton, sume, relaţii între termeni în condiţii date).

Valori şi atitudini:1. Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi acţiune.2. Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare.3. Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a

construirii unei teorii.4. Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme

practice.5. Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională.

STRATEGII DIDACTICE:

Metode şi procedee: conversaţia euristică, explicaţia, exerciţiul, problematizarea, lucrul individual, descoperirea dirijată Modul de organizare al clasei: frontal, individual Procedee de evaluare : analiza răspunsurilor primite; analiza şi compararea rezultatelor elevilor; aprecierea corectitudinii rezolvării

aplicaţiilor (verbală / notarea activităţii elevilor). RESURSE:

Materiale didactice: manualul, fişe cu probleme, tabla, creta Umane: 24 elevi Temporale: 50 min

Locul: sala de clasă.Bibliografie: programa şcolară, planificarea, manual matematică clasa a X M. Burtea, G.Burtea, Ed. Carminis, culegere probleme clasa a X Ed. Campion.


DESFĂŞURAREA LECŢIEI

Etapele lecţiei Conţinutul lecţiei MetodeModul de organizare

Procedee de evaluare

1. Moment organizatoric Verificarea prezenţei elevilor, notarea absenţelor în catalog. Conversaţie Frontal

2. Captarea atenţiei

Verificarea temei prin sondaj, prin confruntarea rezultatelor, iar dacă există probleme nerezolvate, acestea se rezolvă la tablă.

ConversaţieFrontal

Individualanaliza

răspunsurilor

3. Anunţarea temei

Se anunţă clasa că lecţia prezentată se intitulează Binomul lui Newton, se prezintă competenţele Conversaţie Frontal

observarea elevilor

4. Dirijarea învăţării

Pornind de la formulele cunoscute

şi observând că în membrul drept al egalităţilor coeficienţii apăruţi sunt cei din linia corespunzătoare a triunghiului lui Pascal, propun elevilor evidenţierea unor proprietăţi rezultate din observarea formulelor,cu privire la:

Numărul de termeni din dezvoltare , care este de n+1. Coeficienţii termenilor: coeficienţii egal depărtaţi de extremi

şi extremi sunt egali.

ConversaţieExplicaţie

Problematiza-rea

Exerciţiul

FrontalIndividual

analiza răspunsurilor


Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0, exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la cel mai mare, dar pentru orice termen din formulele de mai sus, suma exponenţilor lui a şi b este egală cu exponentul puterii binomului.

Vom arăta că pentru orice , are loc următoarea formulă (Formula lui Newton): Fie, . Atunci:

.

Demonstraţia se realizează prin metoda inducţiei matematice:Notăm P(n):

1. Pentru n=1

2. Presupunem P(m) adevărată şi demonstrăm că P(m+1) adevărată.

După ce ambele etape au fost verificate, rezultă P(n) adevărată pentru orice .Coeficienţii Cn

0, Cn1, Cn

2, …, Cnn se numesc coeficienţi binomiali.

Aplicaţii: Folosind formula binomului lui Newton să se dezvolte:

şi

Observaţii: Se face distincţie între coeficientul unui termen din


dezvoltare şi coeficientul binomial al aceluiaşi termen. dezvoltarea are n+1 termeni Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0,

exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la cel mai mare, dar pentru orice termen din formula de mai sus, suma exponenţilor lui a şi b este egală cu exponentul puterii binomului.

Coeficienţii binomiali egal depărtaţi de extremi şi extremi sunt egali (combinări complementare).

Pentru n par, coeficientul binomial din mijlocul dezvoltării este cel mai mare.

Pentru n impar, coeficienţii binomiali din mijlocul dezvoltării sunt cei mai mari şi sunt egali între ei.

Termenul general al dezvoltării este , numit şi termen de rang k+1.

Aplicaţii:

Determină termenul al patrulea din dezvoltarea

Determină termenul ce nu conţine a în dezvoltarea

Determină termenul din mijloc al dezvoltării Pornind de la formula binomului lui Newton se poate demonstra că:

Suma coeficienţilor binomiali de rang par este egală cu

suma coeficienţilor binomiali de rang impar


5.Intensificarea retenţiei

Propun rezolvarea problemelor:1. Demonstraţi că între doi termeni consecutivi ai dezvoltării

există relaţia .

2. Să se găsească rangul celui mai mare termen din dezvoltarea

ConversaţieExplicaţie

Problematizarea

ExerciţiulÎnvăţarea prin descoperire

FrontalIndividual


6. Asigurarea feed – back-ului

Fişă de lucruMuncă

independentăIndividual


7. Evaluare Aprecierea elevilor care au răspuns în timpul lecţieiConversaţie Frontal

Individual

8. Tema pentru acasă

Exerciţiile 1,2,3 manual pag 201Problemele rămase nerezolvate din fişă

ConversaţieExplicaţia

Frontal

Documents

Binomul Lui Newton