1

Bintang Boson Dua Fluida pada Temperatur Tertentu

Aldi Pratama Putra

1Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia, Kampus UI

Depok, Depok, 16424,Indonesia

E-mail: aldi.pratama@sci.ui.ac.id

Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui sifat astrofisika dari bintang boson dua fluida dan perbandingannya dengan model bintang boson satu fluida pada temperatur nol dan temperatur tidak nol. Persamaan keadaan bintang boson dua fluida didapatkan pada sistem nonrelativistik dengan menggunakan representasi termodinamika serta memenuhi persamaan Gross-Pitaevskii. Penelitian ini dibatasi dengan pendekatan bahwa bintang dalam kondisi statik dan simetri bola. Persamaan keadaan bintang boson dua fluida dijadikan input Persamaan Tolman-Oppenheimer-Volkoff yang dikerjakan secara numerik dengan metode Runge-Kutta dan metode cari akar. Didapatkan relasi massa dengan jari-jari bintang boson dua fluida dengan massa maksimum pada temperatur nol dan temperatur tidak nol adalah sekitar 0.51$m*$. Diketahui juga bahwa pada sistem bintang boson dua fluida pada temperatur tidak nol terdapat daerah ketidakstabilan bintang pada saat tekanan dan densitas energi rendah (limit mendekati nol). Kata Kunci: boson, persamaan Gross-Pitaevskii, persamaan Keadaan, persamaan Tolman-Oppenheimer-Volkoff

Two-Fluid Boson Star at Finite Temperature

Abstract

The purpose of this study is to find out the astrophysical properties of two-fluid boson star and comparison with boson star at zero and non-zero temperature systems. The equation of state of two-fluid boson star in a non-relativistic system was found using thermodynamics representation which satisfies Gross-Pitaevskii approximation. This study is constrained to a static and spherically symmetric approximation. The equation of state of two-fluid boson star becomes an input for The Tolman-Oppenheimer-Volkoff equation which then is solved numerically using Runge-Kutta and root-finding method. We find the mass-radius relation of two-fluid boson star whose maximum mass at zero and non-zero temperature is about 0.51$m*$. We also find, in non-zero temperature system, that the two-fluid boson star has instability region in low pressure and low energy density (limit to zero).

Keywords: boson, Gross-Pitaevskii equation, equation of state, Tolman-Oppenheimer-Volkoff equation

2

Pendahuluan

Berdasarkan fakta observasi kosmologi, 95\% dari alam semesta kita terbentuk

dari dua hal yang tidak diketahui yaitu dark matter dan dark energy. Dark matter tersusun

dari Weakly Interacting Massive Particle (WIMP) yang tidak terdeteksi akselerator. Ada

beberapa kandidat yang memungkinkan menjadi dark matter, yang paling terkenal adalah

axion dan WIMP. Kemungkinan dark matter dijelasakan dengan cara menggambarkan

dark matter sebagai fluida dengan tekanan efektif tidak nol juga dipertimbangkan di

beberapa literatur.

Pada tahun 1995 kondensat Bose-Einstein ditemukan, keberadaanya didapat dari

eksperimen dengan teknik pendinginan menggunakan laser serta teknik pendinginan

dengan evaporasi. Kondensat Bose-Einstein telah terobservasi dan dipelajari secara

intensif serta implikasinya pada ranah astrofisika juga dipelajari. Pada tahun 2012 telah

ditemukan partikel skalar boson yang dinamakan Higgs Boson pada eksperimen Large

Hadron Collider (LHC). Ditemukannya partikel Higgs Boson memberikan harapan

bahwa mungkin ada objek antariksa yang tersusun dari partikel skalar boson, atau disebut

bintang boson. Bintang boson dapat memodelkan fase ke-5 dari materi yaitu kondensat

Bose-Einstein (Bose-Einstein Condensate) dalam skala astrofisika. Bintang boson juga

menjadi salah satu kandidat “dark matter”.

Penjelasan tentang bintang boson yang mengikuti statistika Bose-Einstein pada

sistem non-relativistik dan menggunakan teori gravitasi Newton telah dipelajari oleh

Dehnen dan Gensheimer, mereka menjelaskan sifat astrofisika dari bintang boson

khususnya relasi massa dan jari-jari bintang pada bagian outer. Chavanis dan Harko,

meneliti bintang boson pada temperatur nol dengan menggunakan representasi

hidrodinamika. Mereka menganalisis kemungkinan objek kompak dalam skala astrofisika

yang dapat mengandung kondensat Bose-Einstein sebagai materi penyusunnya

berdasarkan sifat superfluiditas yang ada pada bintang kompak. Untuk mempelajari

kondensat Bose-Einstein digunakan persamaan Gross-Pitaevskii dengan suku nonlinear

yang menggambarkan permasalahan lebih umum seperti pada bintang boson. Dimana

pada kasus yang sederhana, suku nonliear yang digunakan dalam persamaan Gross-

3

Pitaevskii berasal dari potensial interaksi antar atom efektif namun pendekataan ini tidak

dapat menjelaskan kasus yang lebih umum.

Dalam penelitian ini dipelajari sifat astrofisika pada bintang boson dua fluida

yaitu bintang boson yang mengandung fluida boson dengan vektor kecepatan empat yang

berbeda satu sama lain. Sifat astrofisika dapat dilihat dengan mempertimbangkan efek

temperatur pada bintang. Pada penelitian ini digunakan representasi termodinamika untuk

dapat mengetahui efek temperatur pada bintang dengan tujuan agar perhitungan lebih

mudah dilakukan. Bintang boson yang ditinjau dalam penelitian ini menggunakan

pendekatan statik dan simetri bola.

LandasanTeori

Ketika kita meninjau sistem klasik, kita menggunakan statistika Maxwell-

Boltzman. Namun, ketika sistem yang kita tinjau adalah sistem kuantum maka kita harus

menggunakan statistika yang lain yaitu statistika Bose-Einstein dan statistika Fermi-

Dirac. Oleh karena itu, sistem kuantum mengenal dua jenis partikel yaitu boson dan

fermion. Boson merupakan partikel dengan spin kelipatan bilangan bulat dari !!!

yang

memenuhi distribui Bose-Einstein. Sedangkan, fermion merupakan partikel yang

memenuhi distribusi Fermi-Dirac yang memiliki spin kelipatan ganjil dari !!!!!

dan

memenuhi prinsip larangan Pauli, yaitu dua atau lebih fermion tidak dapat berada dalam

keadaan kuantum yang sama. Pada penelitian kali ini kami mengkaji suatu bintang yang

mengandung dua fluida boson sehingga kami menggunakan statistika Bose-Einstein

untuk merepresentasikan sistem tersebut.

Sebuah sistem fluida dapat digambarkan oleh persamaan keadaan. Untuk

mendapatkan persamaan keadaan sistem harus dikaji terlebih dahulu mekanika statistik

dari sistem tersebut. Keadaan dasar pada sistem partikel boson yang tidak berinteraksi

merupakan salah satu keadaan dimana semua partikel boson menempati keadaan level

4

partikel tunggal yang paling dasar atau keadaan sistem dimana temperaturnya mendekati

nol. Energi partikel tunggal bisa diformulasikan sebagai berikut,

Dalam mekanika statistik, ekspresi matematis dari potensial termodinamika untuk gas

ideal adalah

dengan merupakan fungsi grand partisi untuk partikel boson bebas yang

didefinisikan

Hamiltonian untuk partikel boson bebas bersifat hermitian sehingga bagian diagonalnya

merupakan energi. Sehingga dapat diketahui fungsi partisi untuk partikel boson bebas

adalah

µ merupakan potensial kimia dan dimana 𝑘!merupakan konstanta Boltzmann.

Maka potensial termodinamika untuk gas boson ideal adalah

5

Diketahui bahwa dalam mensumasikan daerah disekitar keadaan partikel tunggal dalam

limit termodinamika (semakin banyak jumlah partikel N, volume V semakin membesar

dan kerapatan jumlah partikel n memiliki nilai yang tetap) dapat digantikan dengan

integral di daerah sekitar vektor gelombang k,

ν merupakan faktor degenerasi yang berhubungan dengan spin. Dengan

mentransformasikan integral ke dalam bentuk energi maka didapat,

Potensial termodinamika dapat ditulis sebagai berikut

baris kedua didapat dari integral parsial, diasumsikan dan

.

Dari potensial termodinamika dapat diketahui rata-rata jumlah partikel N, yaitu

dengan menurunkan potensial termodinamika terhadap potensial kimia µ dengan

temperatur T dan volume V dianggap tetap,

6

Untuk menjelaskan sistem fluida boson yang pada temperatur di bawah temperatur kritis

menunjukkan fenomena kondensat Bose-Einstein dibutuhkan persamaan nonlinear klasik

yaitu persamaan Gross-Pitaevskii. Persamaan Gross-Pitaevskii tidak lain adalah

persamaan Schrodinger dengan tambahan suku nonlinear. Penurunan persamaan Gross-

Pitaevskii dimulai dari Hamiltonian sistem banyak benda yang menjelaskan N partikel

boson yang berinteraksi dan berada di keadaan kuantum yang sama serta terperangkap

oleh potensial eksternal 𝑉!"#, yaitu

Untuk menjelaskan kasus yang lebih umum, seperti pada bintang boson, dapat

diasumsikan sebuah suku nonlinear . Sehingga didapat persamaan Gross-

Pitaevskii secara umum, dapat ditulis sebagai:

dimana dan,

adalah rapat massa dalam bintang boson.

Bintang kompak merupakan bintang yang terbentuk setelah peristiwa ledakan

supernova, dan memiliki kerapatan yang sangat tinggi. Bintang pada keadaan seimbang,

maka tekanan yang berasal dari gravitasi memiliki besar tepat sama dengan tekanan yang

7

berasal dari materi nuklir di dalam bintang tersebut.

Pada bagian dalam bintang, terdapat distribusi materi, maka 𝐺!! ≠ 0, sehingga tensor

energi-momentum 𝑇!! ≠ 0, 𝑇!! fluida ideal:

Pada tahun 1939, Tollman, Oppenheimer dan Volkoff berhasil memecahkan

problem dari persamaan medan Einstein untuk bintang kasus statik dan simetri bola.

Sedangkan, jika tekanan arah radial tidak sama dengan tekanan arah tangensial maka

persamaan TOV termodifikasi menjadi:

dan

untuk memecahkan persamaan TOV, maka diperlukan input berupa ε (kerapatan energi)

dan p (tekanan), dan dengan menyelesaikan persamaan TOV tersebut, maka akan

diperoleh massa dan radius bintang.

Kondisi awal ditentukan dari pusat bintang, r = 0, dengan kata lain M(r = 0) = 0,

dan pada permukaan p = 0, maka solusi dari persamaan TOV dapat dicari dengan proses

iterasi dari p(r = 0) ≠ 0 sampai p(r = R) = 0.

Hasil dan Pembahasan

Pada model bintang boson dua fluida yang diteliti penulis, didapatkan persamaan

keadaan bintang boson dua fluida pada sistem nonrelativistik yang juga konsisten secara

termodinamika dan memenuhi relasi tekanan dengan densitas energi. Alasan

menggunakan pendekatan termodinamika adalah untuk mendapatkan persamaan keadaan

8

sistem yang dapat menjelaskan kasus bintang boson pada temperatur tidak nol.

Persamaan keadaan yang didapat adalah,

yang

dengan 𝑃!"#"$%&! adalah tekanan untuk boson bebas pada sistem non-relativistik di

keadaaan dasar.

dimana dan dengan kerapatan jumlah partikel n didapat dari

kerapatan jumlah partikel kritis 𝑛! yang didefinisikan

dan

Nilai-nilai yang didapat kemudian di-fitting. Hasil fitting berupa polinomial

dijadikan input pada persamaan TOV dengan variasi nilai inisiasi tekanan di pusat

bintang, sehingga memberikan nilai pada parameter-parameter sistem bintang boson dua

fluida. Dengan asumsi tekanan fluida 1 dan fluida 2 sama P1 = P2, rapat energi ε, tekanan

arah radial ψ, dan tekanan paralel Π digambarkan oleh persamaan di bawah ini:

dimana, .

9

Gambar 1. Plot densitas energi terhadap tekanan dengan variasi temperature dan nilai parameter b.

Dari Gambar (1) menunjukkan relasi antara densitas energi dengan tekanan,

dalam satuan MeV 𝑓𝑚!!, pada bintang boson dua fluida dengan variasi temperatur 0

MeV, 5 MeV, 15 MeV dan variasi nilai parameter b = 0.001, 0.0001, 0.0004. Dari

gambar terlihat relasi antara densitas energi dengan tekanan pada masing-masing kasus

mendekati linear yang artinya semakin besar tekanan semakin besar juga densitas energi

dalam sistem bintang. Dari gambar juga dapat dilihat bahwa tidak ada perbedaan yang

signifikan pada relasi densitas energi dengan tekanan baik pada temperatur nol maupun

pada temperatur tidak nol, tidak ada perbedaan signifikan juga baik pada nilai parameter

b = 0.001, 0.0001 dan 0.0004. Hal ini membuat penulis menduga bahwa tidak adanya

perbedaan yang signifikan disebabkan oleh variasi temperatur dan nilai parameter b yang

tidak terlalu besar.

Propertis Astrofisika direpresentasikan dengan gambar-gambar grafik yang

merupakan relasi antara massa tidak berdimensi dengan jari-jari tidak berdimensi pada

bintang boson dua fluida di limit temperatur nol yang ditunjukkan pada Gambar (2), dan

relasi antara massa tidak berdimensi dengan densitas energi serta tekanan, juga relasi

antara jari-jari tidak berdimensi dengan densitas energi dan tekanan yang ditunjukkan

10

pada Gambar (3).

Gambar 2. Relasi massa terhadap radius dengan variasi parameter b pada temperature nol.

Gambar (2) menunjukkan relasi massa yang tidak berdimensi dengan jari-jari yang tidak

berdimensi pada limit temperatur nol. Dari Gambar (2) dapat dilihat perbedaan massa

maksimum dari ketiga grafik di atas. Untuk grafik dengan nilai b = 0.0001 dengan grafik

dengan nilai b = 0.0004 terlihat berhimpitan atau sama, sehingga kedua grafik memiliki

nilai massa maksimum yang sama yaitu sekitar 0.50378m*. Grafik dengan nilai

parameter b = 0.001 memiliki massa maksimum sebesar sekitar 0.50369m*. Perbedaan

nilai massa maksimum yang tidak signifikan dari ketiga grafik pada Gambar (2)

dikarenakan nilai parameter b yang dipakai tidak terlalu besar selisihnya, nilai parameter

b merupakan suku koreksi dari persamaan densitas energi sistem bintang boson dua

fluida. Dengan demikian suku koreksi pada persamaan densitas energi sistem tersebut

memberikan pengaruh pada sifat astrofisika bintang boson dua fluida di temperatur nol

yang ditunjukkan pada hubungan antara massa dengan jari-jari bintang.

Pada Gambar (3) bisa dilihat relasi massa dengan densitas energi dan tekanan,

serta jari-jari dengan densitas energi dan tekanan pada bintang boson dua fluida di

temperatur 0 MeV.

11

Gambar 3. Hubungan antara mass yang tidak berdimensi dengan densitas energi saat T = 0 MeV (a), jari-

jari yang tidak berdimensi dengan densitas energi saat T = 0 MeV (b), massa yang tidak berdimensi dengan

tekanan saat T = 0 MeV (c) serta jari-jari yang tidak berdimensi dengan tekanan saat T = 0 MeV (d).

Dari Gambar (3) khususnya gambar (a) dan (c) dapat diketahui bahwa massa

bintang boson dua fluida naik seiring dengan bertambahnya densitas energi sistem dan

tekanan sistem, kenaikan massa bintang boson dua fluida terjadi sampai mencapai massa

maksimumnya lalu massa bintang boson dua fluida turun dengan tidak signifikan seiring

dengan bertambahnya densitas energi dan tekanan sistem. Pada gambar (b) dan (d)

ditunjukkan bahwa semakin besar densitas energi sistem dan tekanan sistem maka jari-

jari bintang boson dua fluida akan semakin kecil, namun terjadi kenaikan jari-jari bintang

pada saat awal bertambahnya densitas energi dan tekanan sistem. Tren pada keempat

grafik dalam Gambar (3) sesuai dengan karakteristik bintang kompak dimana bintang

kompak memiliki massa yang sangat besar dengan jari-jari yang sangat kecil, hal tersebut

diakibatkan besarnya tekanan sistem dan densitas energi sistem bintang kompak.

Pada gambar dibandingkan sistem non-relativistik dari bintang boson dua fluida

12

dengan variasi temperatur 5 MeV, 15 MeV dan nilai parameter b = 0.001, 0.0001 dan

0.0004.

Gambar 4. (a) Relasi antara massa dan jari-jari yang tidak berdimensi pada T = 5 MeV, (b) Relasi antara

massa dan jari-jari yang tidak berdimensi pada T = 15 MeV.

Pada Gambar (4), bisa dilihat relasi massa yang tidak berdimensi dengan jari-jari

bintang yang tidak berdimensi untuk sistem pada temperatur T = 5 MeV dan T = 15

MeV. Pada masing-masing plot grafik juga bisa dilihat pengaruh beda nilai parameter b.

Plot grafik pada Gambar (4) dimulai dari tekanan dan densitas energi yang cukup rendah

(besar tekanan mendekati 10!! MeV 𝑓𝑚!!) hingga tekanan dan densitas energi yang

tinggi (tekanan mencapai 5000 MeV 𝑓𝑚!!). Pada gambar (a) terlihat pengaruh nilai

parameter b tidak berbengaruh secara signifikan, ketiga grafik di gambar (a) seluruhnya

nyaris berhimpit. Begitu juga dengan gambar (b) dimana nilai parameter b tidak

berpengaruh besar jika dilihat dari ketiga grafik yang diplot. Plot ketiga grafik di gambar

(a) dan gambar (b) pada Gambar (4) memiliki perbedaan yang cukup signifikan dengan

Gambar (2), tren dari kedua gambar tersebut berbeda. Jika pada Gambar (2) diketahui

bahwa bessarnya massa maksimum pada bintang berbanding terbalik dengan besarnya

jari-jari pada bintang. Pada Gambar (2), tren yang terjadi adalah sebaliknya, terlihat

besarnya massa maksimum pada bintang berbanding lurus dengan besarnya jari-jari. Hal

tersebut tidak sesuai dengan ciri suatu objek kompak astrofisika dimana seharusnya objek

memiliki massa yang besar dengan jari-jari yang kecil.

Pada Gambar (5) dan (6) ditunjukkan relasi antara massa yang tidak berdimensi

13

dengan densitas energi dan tekanan serta relasi antara jari-jari yang tidak berdimensi

dengan densitas energi dan tekanan untuk temperatur 5 MeV dan 15 MeV secara

berurutan.

Gambar 5. Hubungan antara mass yang tidak berdimensi dengan densitas energi saat T = 5 MeV (a), jari-

jari yang tidak berdimensi dengan densitas energi saat T = 5 MeV (b), massa yang tidak berdimensi dengan

tekanan saat T = 5 MeV (c) serta jari-jari yang tidak berdimensi dengan tekanan saat T = 5 MeV (d).

Pada Gambar (5) (a) dan (c) diketahui bahwa semakin besar densitas energi dan

tekanan sistem maka nilai massa bintang boson dua fluida menuju nilai massa

maksimumnya. Setelah mencapai nilai massa maksimum, nilai massa bintang boson dua

fluida cenderung tetap atau konstan (pada daerah stabil). Untuk penjelasan jari-jari

bintang boson dua fluida, yang ditunjukkan pada Gambar (5) (b) dan (d), dapat diketahui

bahwa pada densitas energi dan tekanan yang rendah (pada daerah ketidakstabilan

bintang) nilai jari-jari bintang boson dua fluida meningkat sampai mencapai jari-jari

maksimumnya, setelah itu nilai jari-jari bintang menurun seiring semakin besarnya

14

densitas energi dan tekanan sistem.

Gambar 6. Hubungan antara mass yang tidak berdimensi dengan densitas energi saat T = 15 MeV (a), jari-

jari yang tidak berdimensi dengan densitas energi saat T = 15 MeV (b), massa yang tidak berdimensi

dengan tekanan saat T = 15 MeV (c) serta jari-jari yang tidak berdimensi dengan tekanan saat T = 15 MeV

(d).

Berbeda dengan Gambar (5) (a) dan (c), pada Gambar (6) (a) dan (c) diketahui

bahwa pada densitas energi dan tekanan yang sangat rendah atau pada daerah

ketidakstabilan bintang, nilai massa bintang menurun secara signifikan, setelah itu nilai

massa meningkat menuju nilai massa maksimumnya seiring dengan bertambah besarnya

densitas energi dan tekanan sistem. Pada Gambar (6) (b) dan (d), jari-jari bintang pada

daerah ketidakstabilan bintang menurun, kemudian nilai jari-jari bintang naik seiring

dengan bertambahnya densitas energi dan tekanan sistem, nilai jari-jari terus naik sampai

mencapai nilai maksimum jari-jarinya. Setelah itu, bintang berada dalam kondisi yang

stabil sehingga jari-jari hanya mengalami penurunan yang tidak signifikan.

Berikutnya akan dilakukan perbandingan model bintang boson dua fluida dengan

15

model bintang boson satu fluida. Perbandingan hanya dilakukan pada temperatur nol (T =

0 MeV) karena temperatur tidak nol yang digunakan penulis berbeda dengan temperatur

tidak nol yang digunakan pada penelitian sebelumnya. Perbandingan dilakukan dengan

membandingkan model bintang boson dua fluida yang menggunakan representasi

termodinamika dengan bintang boson satu fluida yang juga menggunakan representasi

termodinamika serta dibandingkan juga dengan bintang boson satu fluida yang

menggunakan representasi hidrodinamika.

Gambar 7. Perbandingan persamaan keadaan dari sistem bintang boson dua fluida dengan bintang boson

satu fluida pada temperature T = 0 MeV.

Pada Gambar (7) ditunjukkan perbandingan relasi persamaan keadaan (densitas

energi dan tekanan) antara sistem bintang boson dua fluida dengan sistem bintang boson

satu fluida. Dari gambar di atas terlihat bahwa orde persamaan keadaan dari sistem

bintang boson dua fluida sedikit lebih rendah dibandingkan sistem bintang boson satu

fluida. Ada hal yang sama yang dapat kita ketahui dari perbandingan pada gambar di atas

yaitu semakin besar tekanan semakin besar juga densitas energi dari sistem. Namun,

perbedaan orde dari sistem yang dibandingkan menjadi hal yang menarik karena adanya

perbedaan dipengaruhi oleh banyaknya fluida dari sistem tersebut.

16

Gambar 8. Perbandingan relasi massa yang tidak berdimensi dengan jari-jari yang tidak berdimensi dari

sistem bintang boson satu fluida pada temperatur T = 0 MeV dan sistem bintang boson dua fluida pada

temperature T = 0 MeV.

Gambar (8) menunjukkan relasi massa yang tidak berdimensi dengan jari-jari

yang tidak berdimensi dari ketiga sistem yang dibandingkan. Grafik kecil yang berwarna

pada gambar di atas adalah relasi massa yang tidak berdimensi dengan jari-jari yang tidak

berdimensi dari sistem bintang boson dua fluida, perbesaran dari grafik tersebut terdapat

di dalam grafik utama. Ada hal yang sama yang dapat diketahui dari perbandingan grafik

pada gambar di atas yaitu besarnya massa maksimum pada bintang berbanding terbalik

dengan besarnya jari-jari bintang. Massa maksimum dari sistem yang dibandingkan

kurang lebih sama, sekitar 0.5m*.

17

Gambar 9. Perbandingan relasi massa yang tidak berdimensi dengan densitas energi sistem bintang boson

satu fluida pada temperatur T = 0 MeV dan bintang boson dua fluida pada temperatur T = 0 MeV.

Pada Gambar (9) ditunjukkan perbandingan relasi massa yang tidak berdimensi

dengan densitas energi dari sistem bintang boson dua fluida dengan sistem bintang boson

satu fluida. Terlihat pada sistem bintang boson dua fluida memiliki massa yang lebih

besar daripada sistem bintang boson satu fluida. Besarnya massa meningkat seiring

semakin besarnya densitas energi dari sistem.

18

Gambar 10. Perbandingan relasi jari-jari yang tidak berdimensi dengan densitas energi sistem bintang

boson satu fluida pada temperatur T = 0 MeV dan bintang boson dua fluida pada temperatur T = 0 MeV.

Pada Gambar (10) ditunjukkan perbandingan relasi jari-jari yang tidak berdimensi

dengan densitas energi dari sistem bintang boson dua fluida dengan sistem bintang boson

satu fluida. Sistem bintang boson satu fluida memiliki jari-jari yang lebih besar daripada

sistem bintang boson satu fluida. Besarnya jari-jari cenderung turun seiring bertambahnya

densitas energi dari sistem. Dari Gambar (9) dan Gambar (10) menunjukkan kedua sistem

yang dibandingkan sesuai dengan ciri bintang kompak dimana memiliki massa yang besar

dan jari-jari yang kecil.

Kesimpulan

1. Pada temperatur lebih tinggi dari temperatur kritis, relasi antara tekanan dan

densitas energi linear, semakin besar tekanan maka semakin besar juga densitas

energi dari sistem bintang boson dua fluida,

2. Tidak ada perbedaan yang signifikan dari persamaan keadaan bintang boson dua

19

fluida dengan persamaan keadaan bintang boson satu fluida,

3. Terdapat perbedaan yang signifikan dari propertis bintang boson dua fluida

dengan propertis bintang boson satu fluida.

Saran 1. Dilakukan perhitungan ulang untuk kasus temperatur tidak nol khususnya (T = 15

MeV),

2. Memilih nilai parameter b yang perbedaannya signifikan ,

3. Memilih variasi temperatur yang perbedaannya signifikan.

DaftarPustaka

[1] Wolfgang Ketterle, Rev. Mod. Phys. 74, 1131 (2002).

[2] E. A. Cornell and C. E. Wieman, Rev. Mod. Phys. 74, 875 (2002).

[3] Glendenning, N. K. (1996) Compact Stars. Springer, Berlin

[4] S. Latifah, A. Sulaksono and T. Mart, Phys. Rev. D 90, no. 12, 127501 (2014)

[arXiv:1412.1556 [astro-ph.SR]].

[5] Yuri S. Kivshar, Tristram J. Alexander, and Sergey K. Turitsyn, Phys. Lett. A. 278,

225230 (2001).

[6] Heinz Dehnen and Ralph N. Gensheimer, ASS. 259, 355-369 (1998).

[7] P. H. Chavanis and Tiberiu Harko, Phys. Rev. D. 86, 064011 (2012).

[8] Stuart L. Shapiro and Saul A. Teukolsky, Black Holes, White Dwarfs and Neutron

Stars. The Physics of Compact Objects (Wiley-VCH Verlag GmbH and Co. KGaA,

Weinheim, 2004).

[9] Walter Greiner, Ludwig Neise and Horst St ̈ ocker. Thermodynamics and Statistical

Mechanics (Springer-Verlag New York Inc, 1995).

[10] . Lewis Ryder. Introduction to General Relativity (Cambridge University Press, New

York, 2009).