BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 3 Kans- en wachtrijmodellen

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren

Hoorcollege 3

Kans- en wachtrijmodellen


Onderwerpen

KansenKansmodellenWachtrijsystemenAannamesVerdelingen


Kansen

Relatieve frequentie “zweetkansen”

Wiskundige modellen “weetkansen”

Subjectieve schattingen “zwetskansen”


Kansbepaling 1

Een schaamteloze fabrikant weet dat in een doos van 12 lampen die hij verkoopt aan een klant er 4 zitten die niet werken. De fabrikant wordt nerveus als de klant eist dat hij er drie uithaalt om te testen of ze het doen. Wat is de kans dat precies één van de drie het niet doet?


Antwoord kansbepaling 1

1e lamp 2e lamp 3e lamp

k

g

124

128

k

k

g

g

113

114

118

117

k

k

k

k

g

g

g

g

102

103

103

104

106

107

107

108

3

2

2

2

1

1

1

0

# kapot

107

118

124)1( xP

107

114

128

104

117

128


Kansbepaling 2

Wat is de kans dat in een gegeven groep van willekeurig gekozen personen er tenminste 2 op dezelfde dag van het jaar geboren zijn?


Antwoord kansbepaling 2

P(tenminste 2 op zelfde dag jarig)

= 1- P(niemand op zelfde dag jarig)

365365= 1 365

364 365363 365

1365 n

Stel de groep bestaat uit n personen

n = 50 P(tenminste 2 op zelfde dag jarig) = 0,975


Kansmodellen

Stochast: toevalsvariabeleDiscrete stochast kansverdeling

P(x = k) 0 P(x = k) = 1

Continue stochast kansdichtheid f(x) 0, voor alle x

1)( dxxf


Wachtrijsysteem

grootte

aankomstproces

Wachtrij-disciplinegedrag

bedieningsproces

“Callingpopulation”

WachtrijService

mechanisme

Output

wachtrijsysteem

service-faciliteiten

...

loketten


Kendalls notatie

Aanduiding wachrijsysteem

a/b/c a: verdeling aankomsttussentijden (aankomstproces) b: verdeling bedieningstijden (bedieningsproces) c: aantal loketten


Aannames

Oneindig grote “calling population”Aankomstproces: PoissonprocesGedrag

geen weigering wachtrij niet weggaan voordat men geholpen is

Wachrij-discipline: FIFOBedieningsproces: negatief exponentieel1 service-faciliteit, evt. meerdere loketten


Poisson-proces

Gebeurtenissen zijn onafhankelijk van elkaar

Gemiddeld aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is constant

= gemiddeld aantal gebeurtenissen


Negatief-exponentiële verdeling

0

0

0)(

tindien

tindienetf

t

T

1

)( TENeg-exp verdeling

0

0,5

1

1,5

2

2,5

00,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7 3

3,3

3,6

t

f(t)


Eigenschappen neg-exp verdeling

Geen geheugen de resterende tijd tot de volgende gebeurtenis is altijd

hetzelfde, ongeacht hoeveel tijd al verstreken is

Relatie Poisson-proces indien gebeurtenissen volgens Poisson-proces

gebeuren, dan zijn de tijden tussen de gebeurtenissen negatief-exponentieel verdeeld

verwachte aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is


Beschouwde wachrijsystemen: M/M/k

Aankomsten Poisson-proces gemiddeld aankomsten per tijdseenheid tussen-aankomsttijden zijn neg-exp verdeeld (1/ )

Bediening neg-exp verdeeld gemiddelde bedieningstijd 1/ aantal bedieningen per tijdseenheid Poisson-verdeeld ()

k loketten


Toestanden van het systeem

Transient state wachtrij-systeem is net opgestart toestand van het systeem is erg afhankelijk van

hoeveel tijd er verstreken is formules zijn niet bruikbaar

Steady state wachtrij-systeem functioneert al enige tijd toestand van het systeem is stabiel formules zijn bruikbaar


Waarschuwingen

Waag geen sprong in het duisterAlleen volgens handleiding gebruikenEen menukaart is niet eetbaarLegaliseer polygamiePygmalion

Documents

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 3 Kans- en wachtrijmodellen