Bioestadística,2006

Teoría Elemental De ProbabilidadesTeoría Elemental De Probabilidades

• Fenómenos aleatorios y determinista

• Definición de probabilidades

• Experimentos aleatorios

• Sucesos mutuamente excluyentes

• Sucesos mutuamente no excluyentes

• Sucesos independientes y dependientes

• Probabilidad Condicional

Fenómenos Aleatorios Y Deterministas

Los fenómenos de investigación se clasifican en dos clases:

a) Deterministas => son aquellos que pueden explicarse y predecirse con todo exactitud

b) Aleatorios => los que suponen un mayor o menor grado de incertidumbre y por lo tanto no pueden predecirse con toda exactitud

IncertidumbreIncertidumbre

Incertidumbre por ignorancia

Falta del conocimiento del fenómeno que se estudia

Ignorancia

Incertidumbre por Aleatoriedad

Producto de la imposibilidad de controlar las múltiples causas que el fenómeno presenta y que pueden considerarse aleatoria

Incertidumbre

Cálculo De ProbabilidadesCálculo De Probabilidades• Es una rama de las matemáticas

que tiene por objeto el estudio de los sucesos o eventos aleatorios, de los resultados posibles que pueden obtenerse, y de la medición de la magnitud de su incertidumbre

• El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial

Una Definición Más General:Una Definición Más General:

¿Cuál es la intención de la teoría de ¿Cuál es la intención de la teoría de probabilidades?probabilidades?

La probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de certeza con que este puede ocurrir

Es proporcionar un modelo matemático adecuado a la descripción del comportamiento (aleatorio) de nuestro fenómeno.A veces el comportamiento puede ser muy similar a modeloscomo Binomial, Poisson, Normal etc., pero en otras ocasionesnosotros lo formularemos

Experimento Aleatorio

Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener.

3. El resultado que se obtenga, e , pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.

Los casos posibles de un experimento reciben además el nombre de eventos o sucesos elementales, ya que no se pueden descomponer en términos de otros más sencillos.

El conjunto de todos los eventos elementales recibe el nombre de espacio de eventos o espacio muestral (U o S).

Ejemplo Nº 1 : Lanzamiento De Un DadoEjemplo Nº 1 : Lanzamiento De Un Dado

Si realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire, tenemos:

Sucesos o eventos elementales: 1,2,3,4,5,6

Espacio Muestral S = { 1,2,3,4,5,6 }

Ejemplos N º 2:-

Lanzamiento de :

Dos monedas

Tres monedas

Familia de tres hijos

Eventos posibles

CC, CS, SS, SC

CCC, CCS, CSC, SCC, SSS, CSS, SCS, SSC

HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM

Cada evento le vamos a asignar la letra “e” => 8 eventos en los 2 últimos casos

Espacio De EventosEspacio De Eventos

Es aquel que contienen todos los eventos de un experimento aleatorio; por ejemplo el espacio de eventos de lanzamientos de dos dados será:

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 36

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 eventos

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 ( U o S )

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Operaciones básicas con sucesos aleatorios

Unión Diferencia

Intersección

ProposicionesProposiciones

• El evento que consiste en la realización de al menos uno de los eventos A ó B lo denominamos evento unión o suma:

A U B = A + B

Σ Ai = A1 U A2 U .......U Ak

• El evento que consiste en la realización simultánea de los eventos A y B lo denominamos evento producto o intersección:

A ∩ B = A * B

╥ Ai = A1 ∩ A2 ∩.......∩ Ak

Más proposiciones..............Más proposiciones..............

• Si un suceso A puede presentarse de k formas diferentes, y un suceso B puede presentarse de j formas diferentes, el número total de formas diferentes en que pueden presentarse A y B, está dado por:

k * j

Ejemplo: Una moneda y un dado Moneda => k =2Dado => j = 6

k * j = 2*6 = 12 formas diferentes

Más proposiciones.......Más proposiciones.......

• Si un suceso A puede presentarse de k formas diferentes, y un suceso B puede presentarse de j formas diferentes, el número total de formas diferentes en que pueden presentarse A ó B, está dado por:

k + j

Ejemplo: Una moneda y un dado Moneda => k =2Dado => j = 6

k + j = 2+6 = 8 formas diferentes

Definición De ProbabilidadDefinición De ProbabilidadLa probabilidad es un idealización de la proporción de veces que ciertos resultados ocurrirán en repetidos sucesos de un experimento.

Se denota P(A) => probabilidad de que un evento A ocurra y es igual a la proporción de

veces que el evento A se espera que ocurra en repetidos eventos de un experimento.

Regla de Laplace =>Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles,y no existe ninguna relación que privilegie unos resultados en contra de otros, se calcula la probabilidad de un suceso aleatorio A.

P(A) = nº de casos favorables a A.

nº de casos posibles.

Visto de otra maneraVisto de otra manera

“Al jugar nos interesa obtener ciertos resultados para ganar, de manera que, para saber qué posibilidad tengo de ganar, debo ver qué peso tienen mis eventos con respecto al total que se pueden presentar en un juego dado”

Esta idea se expresa de la siguiente manera:

P (a) = a/c ; donde

P (a) => Probabilidad de obtener “a” eventos de un total de “c”

a => eventos favorables al jugador

c => total de eventos que se podrían presentar al jugador

Axiomas de la teoría de probabilidades

1. La probabilidad sólo puede tomar valores entre 0 y 1

0 ≤ P(a) ≤ 1

2. La probabilidad de un suceso seguro es 1, es decir, 100%

3. La probabilidad de un suceso imposible debe ser 0

4. La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de l,os sucesos por separado

P(A ∩ B) ≤ P(A) P(A ∩ B) ≤ P(B)

Axiomas de la teoría de probabilidades

6. La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado

P(A U B) >= P(A) P(A U B) >= P(B)

6. Si los sucesos son disjuntos debe ocurrir que:

P(A U B) = P(A) + P(B) dado que (A ∩ B) = 0

7. La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer;

P ( A ) = 1 – P(A)

Sucesos mutuamente excluyentes Sucesos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentesy no mutuamente excluyentes.

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden presentarse simultáneamente

A ∩ B = 0

A U B = A ó B = A + B

Dos eventos no son mutuamente excluyentes, si la ocurrencia de uno no imposibilita la ocurrencia del otro.

A ∩ B ≠ 0.

A U B = A + B - AB.

A B AB

Sucesos independientes y sucesos dependientes

Dos eventos A y B son independientes cuando la ausencia o presencia de A es independiente de la presencia o ausencia de B.

A ∩ B = (A) (B).

Dos eventos son sucesos dependientes cuando la ocurrencia o presencia de A es requisito para la presencia u ocurrencia de B

A ∩ B = (A) (B/A) donde / significa dado

A B A B

Para no olvidar..............

• La probabilidad de AUB se interpreta en el sentido de que por lo menos ocurre uno de dos eventos , en el caso de que ocurra A pero no B, o si ocurre B pero no A; o que ocurran ambos.

• El evento A y el evento B son mutuamente excluyentes porque no tienen ningún evento en común, es decir, no tienen eventos en intersección.

P (AUB) = P (A) + P (B).

La unión de dos o más eventos no excluyentes se obtiene de la siguiente forma.

P (A U B) = P (A) + P (B) – P(A∩B).

Ejemplo....................

1. Sucesos mutuamente excluyentes

Lanzar dos dados iguales ;

Evento A: { suma de las dos caras es igual a 6}

Evento B: { suma de las dos caras es igual a 9}

2. Casos no mutuamente excluyentes:

Lanzar dos dados iguales ;

Evento A: {las dos caras suman un nº mayor que 8}

Evento B: {las dos caras son idénticas}

Regla del producto de probabilidadesRegla del producto de probabilidades

Sean dos eventos, la probabilidad del evento intersección se usa para eventos independientes y dependientes será:

1.P (A∩B) = P(A) * P(B) eventos independientes

2.P (A∩B) = P(A)*P(A/B) eventos dependientes

Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional

Aquí hablamos de buscar la probabilidad de la ocurrencia de B a condición de que acontezca A, lo cual implica que A ya ocurrió o debe ocurrir forzosamente.

La probabilidad condicional de B en A se expresa:

P (B/A) = m (A∩B)

n(A)

esta indica que;

La probabilidad de B, a condición de A, es igual al número de eventos en intersección de A y B entre el número de eventos en A.

Otros conceptosOtros conceptos

• Evento Compuesto => es aquel que está formado por dos o más eventos elementales.

• La probabilidad de un evento compuesto es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales que lo componen ( eventos mutuamente excluyentes)

• Ejemplo: en el caso del lanzamiento de un dado, cae número impar o par

A = ( 1,3,5) P (A) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2

B = (2,4,6) P (B) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2

Que la realidad presenta sucesos compuestos, los que se forman uniéndolos, interceptándolos y complementándolos.

Dado los sucesos A y B, se tiene:

a) A B : sucede A y sucede B

P(A B ) = P(A) * P(B)

b) A U B: sucede A ó B

P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A B)

c) Ǎ = no sucede A, P(Ǎ) = 1 – P(A) ( complemento de A)

d) P(A B )= P(A/B)P(B) probabilidad condicional