Glava 2 2 BIOMEHANIKA

Grana fizike koja se bavi proučavanjem kretanja materijalnih tijela kao i uzroka usljed kojih nastaju promjene stanja kretanja naziva se mehanika. Pri tome pod kretanjem podrazumijevamo promjene položaja posmatranih tijela u odnosu na koordinatni sistem vezan za neko tijelo koje se uzima kao osnovno

Biomehanika je dio mehanike u kojoj se izučavaju mehanička svojstva i zakoni kretanja živih sistema.To je multidisciplinarna naučna oblast koja sadrži veći broj naučnih područja istraživanja , kao što su:

medicinska biomehanika, koja ispituje kinetiku i dinamiku zdravog i bolesnog čovjeka , mehanička svojstva njegovih organa i tkiva s ciljem da se što cjelovitije i efikasnije sagladaju i riješe određeni problemi u ortopediji, traumatologiji, hirurgiji, neurohirurgiji i drugim oblastima medicine.

tehnička biomehanika, ispituje biomehaničke sisteme radi rešavanja određenih problema u tehnici.

biomehanika sporta, vrši isipitivanje muskulno-skeletornog sistema čovjeka u cilju optimizacije fizičko-rekreativne aktivnosti čovjeka i postizanja vrhunskih rezultata u sportu.

biomehanika rada, izgrađuje naučnu bazu za realizaciju optimalnih zahtjeva radnog mjesta.

2.1 Osnovni pojmovi mehanike

Kretanje se u najširem smislu riječi može shvatiti kao skup promjena koje se odigravaju u toku vremena na posmatranom fizičkom objektu ili skupu objekta. Svako kretanje je objektivan proces koji realno postoji bez obzira da li ga neko posmatra, proučava ili mijenja. Geometrija mahom pručava prostornost tijela, tj. položaj tijela u prostoru, koji realno postoji. Kvantitativni prostorni oblici i veze predstavljaju važan dio kretanja svakog tijela. Razumije se da se pri pručavanju kretanja nekog tijela mora uzeti još neka veličina osim položaja tijela. Prva veličina koja se uzima u obzir jeste vrijeme. Otuda osnovna oblast fizike koja proučava kretanje tijela, kinematika, uzima u obzir prostor i vrijeme, odnosno, tretira kretanje geometrijskih oblika tijela ne vodeći računa o uzrocima koji ih izazivaju. Ona razmatra, dakle, samo pomijeranje tijela u zavisnosti od vremena.

25

Dinamika uzima u obzir i druga svojstva materije. Tu se prije svega misli na inerciju ili mjeru inercije - masu tijela. Dinamika izučava zavisnost između kretanja tijela i uzroka zbog kojih se tijelo kreće.

Matematička analiza operiše samo sa jednim osnovnim elementom - količinom, pojmom koji se prikazuje brojem i koji se provlači kroz sve egzatne nauke. Uzimanje u obzir i uzroke koji izazivaju kretanja uvodi se još jedan osnovni pojam - materijalnost. Što se tiče pojma materijalnosti, on je tijesno vezan za pojam mase tijela. Današnje naučno shvatanje ovog pojma bazira se na inerciji tijela kao jednoj prirodnoj osobini materije, koja se sastoji u tome da svako tijelo pruža otpor svakoj promjeni stanja njegovog kretanja. Tada se masa tijela,

koja je skalar, može smatrati kao mjera inercije tijela, tj. mjera otpora

promeni stanja njegovog kretanja. Stoga u mehanici ova tri pojma predstavljaju osnovne pojmove, a

odgovarajuće veličine su dužina, vrijeme i masa.

2.2 Određivanje položaja tijela

Položaj i promjena položaja nekog tijela (čestice) uvijek se određuju u odnosu na neko tijelo (ili tijela) iz okoline. To tijelo naziva se referentno ili poredno tijelo. Ako je za koordinatni sistem (referentno tijelo) u kojem se analizira kretanje tijela (čestice) u prostoru određen trenutak od kojeg se mjeri vrijeme, riječ je o referentnom sistemu. Ako se u takvom referentnom sistemu kreće tijelo na koje ne djeluju okolna tijela, odnosno tijelo ne interaguje sa okolinom, ono će se kretati ravnomjerno pravolinijski (bez ubrzanja) ili po inerciji. Ovakvi sistemi referencije nazivaju se inercijalni sistemi. U njutnovskom smislu pod inercijalnim sistemima podrazumijevamo sisteme referencije koji se, u odnosu na postulirani apsolutno nepokretni sistem referencije, kreću uniformno i bez izmjene orijentacije osa.

Međutim, za razliku od prethodne definicije inercijalnog sistema, Ajnštajn definiše da je inercijalni svaki sistem referencije u kojem tijelo na koje ne djeluje sila ostaje u stanju mirovanja ili uniformnog kretanja. Ovakva definicija inercijalnog sistema ima i praktični značaj jer omogućava direktnu verifikaciju.

Položaj tačke u prostoru može se odrediti na više načina. Analitički način određivanja položaja tačke bazira se na metodu koordinata. Pod koordinatama tačke podrazumjeva se skup triju veličina koji potpuno određuje položaj ove tačke.

26

Najpoznatija su tri koordinatna sistema: Dekartov pravougli, cilindrični i sferni koordinatni sistem (sl.2.2-1 ).

Z

M(x, y, z)

z

y

0 Y

x X M’

Sl.2.2-1 Položaj tačke M u prostoru određen je pomoću vektora položaja

i trima koordinatama: x, y, z ili z

U pravouglom sistemu položaj tačke M se određuje njenim rastojanjima x, y i z od triju međusobno normalnih ravni. U cilindričnom sistemu položaj tačke M se određuje rastojanjem njene projekcije M’ na stalnu ravan XOY od stalne tačke O, uglom između projekcije M’ i stalne poluprave OX i rastojanjem z od stalne ravni XOY. Najzad, u sfernom sistemu položaj tačke M se određuje njenim rastojanjem r od stalne tačke O, uglom između duži OM i stalne poluprave OZ i uglom između ravni ZOM i stalne ravni ZOX.

Veza između pravouglih i cilindričnih koordinata data je obrascima

x = cos, y = sin, z = z (2.2-1)

Na sličan način dobija se i veza između pravouglih i sfernih koordinata

x = rsin cos y = rsin sin , z = r cos

(2.2-2)

Jednačine (2.2-1) i (2.2-2) predstavljaju jednačine koordinatne transformacije i pomoću njih moguće je preći iz jednog u drugi koordinatni sistem.

27

Vektorski način određivanja položaja tačke sastoji se u tome da se on određuje pomoću vektora čiji je početak u jednoj stalnoj tački prostora O (koordinatni početak referentnog sistema), a kraj u posmatranoj tački M (sl.2.2-1). Ovaj vektor naziva se vektor položaja ili radijus vektor. Vektor položaja u

opštem slučaju je funkcija vremena , jer se čestica kreće. Hodograf ove

vektorske funkcije je linija po kojoj će se čestica kretati a naziva se putanja ili trajektorija čestice. Hodograf brzine predstavlja geometrijsko mjesto svih krajeva vektora brzine tačke (čestice), nanetih iz istog nepokretnog pola. Trajektorija tačke može se nazvati hodograf vektora položaja tačke.

Vektoru položaja čestice mogu se u datom koordinatnom sistemu pridružiti dekartove koordinate čestice, tj.

(2.2-3)

Koordinate tačke x, y, z su kao što se vidi sa sl. 2.2-1 , projekcije radijus-

vektora na ose referentnog sistema, dok su ortovi (jedinični vektori) osa.

Ove koordinate, u opštem slučaju, su funkcije vremena : x(t), y(t) i z(t), i one

najpotpunije moguće opisuju ( u Njutnovoj mehanici ) kretanje posmatrane čestice.

2.3 Brzina i ubrzanje tijela

Očigledno je da se kretanja razlikuju jedno od drugog time što tijela mogu da prelaze za jednake intervale vremena različite puteve, ili time što jednaki putevi mogu biti pređeni za različite intervale vremena. Ove razlike u kretanjima karakterišu se uvođenjem pojma brzine. Brzina je jedna od osnovnih kinematičkih veličina koja karakteriše kretanje čestice (tijela). Pod brzinom kretanja podrazumijeva se fizička veličina, utoliko veća ukoliko tijelo prelazi veći put za dati interval vremena.

Neka se za neki vremenski interval t čestica pomjeri iz tačke A u tačku

B (sl.2.3-1). Radijus vektor čestice će se u tom slučaju promijeniti od do

,odnosno, . Ovaj vektor naziva se vektor

pomjeraja ili priraštaj radijus-vektora. Odnos priraštaja vektora položaja (vektora pomjeraja) i njemu odgovarajućeg priraštaja vremena (vremenskog intervala) t naziva se srednja brzina čestice (tijela) za posmatrani interval vremena t, tj.

28

(2.3-1)

Vektor srednje brzine čestice ima isti pravac i smjer kao i vektor pomjeraja - pravac sječice ( sl. 2.3-1).

A

0Sl. 2.3-1 Srednja i trenutna brzina čestice. Trenutna brzina čestice

ima uvijek pravac tangente na trajektoriju.

Graničnim prelazom, kada se t smanjuje i teži nuli, vektor srednje brzine

teži nekoj konačnoj vrijednosti, koja je takođe vektor. To je brzina u datom trenutku ili trenutna brzina :

(2.3-2)

Trenutna brzina čestice (brzina čestice) jednaka je izvodu njenog radijus-

vektora po vremenu i ima pravac tangente na trajektoriju u datoj tački i smjer

kretanja čestice (sl.2.3-1). Dakle, može se zaključiti da pri kretanju čestice po putanji proizvoljnog oblika, pravac njene brzine stalno se mijenja u toku vremena. Pravac brzine čestice konstantan je samo kod pravolinijskog kretanja.

U toku kretanja brzina čestice se može mijenjati kako po intezitetu tako i po pravcu. Kinematička veličina koja karakteriše promjenu brzine čestice naziva se ubrzanje čestice. Ravnomjerno promjenljivim kretanjem naziva se kretanje u kome se brzina mijenja za isti iznos u toku jednakih i proizvoljno izabranih vremenskih intervala t . Kada ima isti znak kao i brzina, tj. Kad brzina po

brojnoj vrijednosti raste sa vremenom, kretanje se naziva ravnomjerno ubrzanim;

29

kad brzina ima obrnut znak, tj. kad brzina po brojnoj vrijednosti opada sa vremenom, kretanje se naziva ravnomjerno usporenim.

Neka se za neko vrijeme t čestica pomjeri iz tače A u tačku B, a brzina joj

se promijeni od do , odnosno, za = - (sl.2.3-3).

Odnos priraštaja vektora brzine i njemu odgovarajućeg priraštaja vremena t naziva se srednje ubrzanje čestice za interval vremena t :

(2.3-3)

Vektor srednjeg ubrzanja za vrijeme t ima pravac i smjer vektora .

A

B

Sl.2 3-2 Uz definiciju srednjeg ubrzanja

Graničnim prelazom, kada se t smanjuje i teži nuli, vektor srednjeg

ubrzanja teži nekoj konačnoj vrijednosti, koja je takođe vektor. To je ubrzanje čestice u datom trenutku ili trenutno ubrzanje :

(2.3-4)

odnosno,

(2.3-5)

Dakle, vektor ubrzanja u datom trenutku, jednak je prvom izvodu vektora brzine po vremenu, odnosno drugom izvodu vektora položaja čestice po vremenu.

2.4 Ugaona brzina i ubrzanje

Svako krivolinijsko kretanje na malom segmentu putanje može da se predstavi kao kružno kretanje. Kretanje čestice po kružnici zgodnije je opisati promjenom ugla koji opiše radijus vektor, koji je konstruisan iz centra kružnice ( sl.2.4-1). Promjena ugla obrtanja radijusa R i intervala vremena t u toku

koga je to obrtanje izvršeno, naziva se ugaona brzina čestice (tijela):

30

2.4-2)

Y R

A

0 X

Sl.2.4-1 Definicija ugaonog pomjeraja

Za neravnomjerno kretanje po krugu uvodi se pojam ugaone brzineza dati trenutak (trenutna ugaona brzina):

2.4-2) Neka pri promeni ugla tačka A pređe po krugu luk , tada je

2.4-3) S druge strane je

= , odakle je : v=

odnosnov = R

2.4-4)

Što je veće rastojanje tačake od ose obrtanja, to je, pri datoj ugaonoj brzini

veća njena linearna brzina v. Razne tačke tijela koje rotira, imaju razne

linearne brzine. Povežimo ugaonu brzinu sa periodom obrtanja tijela T. Za vreme

t = T tijelo načini pun obrt a ugao poraste za 2, tj. = 2, odakle iz

2.4-1) slijedi :

2.4-5)

31

Uvedimo i pojam broja obrtaja u jedinici vremena n. Pošto se jedan obrt izvrši za vrijeme T , to će broj obrta u jedinici vremena biti :

n =

pa je

2.4-6)

Pri neravnomjernom obrtanju ugaona brzina se mijenja sa vremenom, a tu promjenu karakteriše ugaono ubrzanje :

2.4-7)

Ako su vektori i istog smjera, rotacija je ubrzana (intezitet ugaone brzine se

povećava), a ako su suprotnih smjerova rotacija je usporena.Kod ravnomjernog kružnog kretanja intezitet brzine je konstantan ali se

kontinuirano mijenja smjer kretanja. Iz tog razloga se kod krivolinijskog kretanja ukupno ubrzanje sastoji iz dvije komponente: tangencijalnog ubrzanja :

2.4-

8)

koje karakteriše promjenu brzine po veličini, i normalnog ubrzanja :

= 2.4-

9)

koje karakteriše promjenu brzine po pravcu. Ovo se ubrzanje, koje je usmjereno prema središtu rotacije, naziva se centripetalnim ubrzanjem, a uzrokovano je centripetalnom silom:

2.4-10)

32

koja raste sa porastom mase i brzine a smanjenjem poluprečnika kretanja.

2.5 Centrifugiranje

Centrifugalna sila je osnova djelovanja centrifuge, uređaja za odvajanje čestica različitih masa suspendiranih u tečnostima, a sam taj proces naziva se centrifugiranje. Princip rada centrifuge prikazan je na slici 2.5-1.

talogvrijeme čista tečnost

Fc

r

jednolika suspenzija

a) b)

Sl. 2.5-1. Princip rada centrifuge

Sedimentacija je proces koji se odvija spontano pod dejstvom gravitacione sile, ali taj proces je vrlo spor. U centrifugi (separatoru) razdvajanje čestica izvodi se prinudno i brzo u zavisnosti od ugaonog ubrzanja. Tečnost koja rotira ne može prenositi stalnu centripetalnu silu potrebnu za održavanje čestica na kružnoj orbiti i zato se čestice kreću prama van, dalje od centra rotacije. Kao posljedica toga, čestice veće mase kreću se brzo prema dnu cijevi i grade talog. Kretanje sprečava sila viskoznosti koja zavisi od viskoznosti tečnosti i veličine dispergovanih čestica. Ako se u sudu nalaze dve ili više tečnosti različite zapreminske mase, one će se u centrifugi razdvojiti po slojevima. Ova pojava se koristi u medicinsko-biološkim istraživanjima, prvenstveno za razdvajanje organskih supstancija različitih molekulskih masa (razdvajanje biopolimera, virusa, submolekularnih čestica) hemiji, biohemiji i dr.

Brzina taloženja reguliše se promjenom brzine obrtaja. Za obične laboratorijske potrebe brzina ultracentrifuga iznosi oko 3 x 103 obrtaja u sekundi. Savremene ultracentrifuge imaju brzine i preko 5 x105 obrtaja u sekundi.

33

2.6 Biomehanika lokomotornog sistema čovjeka

Lokomotorni sistem čovjeka sačinjavaju zglobno-koštano-mišićni sistem koji mu omogućuje promjenu položaja u prostoru. Ovaj sistem čine pasivni dio(kosti, i zglobovi) i aktivni dio(poprečno-prugasti skeletni mišići). Na čovječe tijelo djeluju spoljašnje sile (gravitacione i druge) i unutrašnje sile (mišićne kontrakcije) koje se prenose neposredno na kosti. Neelastična struktura koštanoga tkiva daje stabilnost čovječjem organizmu. Kosti se ponašaju po zakonima poluge, dok zglobovi povezuju ovakve poluge u sisteme, omogućujući kretanja.

U zavisnosti od oblika i funkcija koje vrše kosti se dijele na duge, kratke i pljosnate.

Duge kosti u lokomotornom sistemu predstavljaju poluge pomoću kojih čovjek ostvaruje pokrete. Njihova jedna dimenzija je mnogo veća od drugih dveju. Svaka butna kost ima tijelo i dva okrajka (epifize) koji ulaze u sastav zgloba i prošireni su radi smanjenja pritiska u njemu. Primjeri dugih kostiju su butna kost i ramenica.

Kratke kosti imaju relativno malu pokretljivost u sklopu skeleta. Od velikog su značaja za kretanje jer su kičmeni pršljenovi glavni njihovi predstavnici, kao i kratke kosti u sklopu šake i stopala. Imaju slične sve tri dimenzije.

Pljopsnate kosti imaju uglavnom zaštitnu ulogu (kosti lobanje, karlice, itd ), ili služe kao oslonac nekoj drugoj kosti ( npr. lopatica kao oslonac ramenici).

Zglobovi predstavljaju spoj dvije ili više kosti, od kojih je obično okrajak jedne ispupčen i naziva se glava kosti, a okrajak druge izdubljen i predstavlja čašicu kosti. Prema pokretljivosti zglobovi se dijele na pokretne, polupokretne i nepokretne.

U pokretnom zglobu između okrajaka dveju susednih kostiju nalazi se zglobna šupljina. Ona je ispunjena sluzavom viskoznom tečnošću (sinovijom) koja podmazuje zglobne površine smanjujući tako trenje između njih. Pokretni se zglobovi prema karakteru rotacije, odnosno prema broju stepeni slobode rotacije, mogu podijeliti na : jednoosne ( zglob lakta i kolena, zglobovi prstiju), dvoosne ( zglob stopala i šake ) i troosne (zglob ramena i kuka). Ako se pri kretanju zgloba pređu njegove dozvoljene granice slobode, dolazi do pojave isčašenja.

34

Pelvis

Sacrum

Kod polupokretnih zglobova kosti su spojene međukoštanim vezama ili hrskavičavim koturom ( npr. susjedni kičmeni pršljenovi).

Nepomični zglobovi nisu od posebnog značaja za lokomotorne funkcije.Na sl. 2.6-1 predstavljen je skelet čovjeka.

Sl.2.6-1. Skelet čovjeka

2.6.1 Poluge i sistemi poluga

Poluga je svako čvrsto tijelo koje može da se obrće oko jedne nepokretne ose kroz određenu tačku (oslonac poluge) a koja služi da preinači dejstvujuću silu na račun stepena svog pomjeranja. Prema uzajamnom položaju napadnih tačaka sile F, sile težine Q u odnosu na oslonac O , poluge se dijele na poluge I, II i III

35

Patella

vrste. Prema vrijednosti koeficijenta prenosa poluge ( k = Q/F ) se dijele na poluge sile i poluge brzine, dok prema obliku dijele se na prave i ugaone poluge.

Normalna rastojanja a i b (sl.2.6.1-2) od oslonca O do napadnih tačaka linija sila F i Q nazivaju se kraci sila, dok proizvod sile i odgovarajućeg kraka

predstavlja moment te sile. Poluga je u ravnoteži ako je algebarski zbir svih

momenata sila koje dejstvuju na polugu jednak nuli, tj.

, odnosno

(2.6.1-1)

Izraz (2.6.1-1) predstavlja uslov ravnoteže poluge i naziva se Arhimedov zakon proste poluge.

a) b) c)

Sl.2.6.1-2 Vrste poluga prema uzajamnom odnosu napadnih tačaka dejstvujuće sile F, sile težine Q i oslonca O : a) čovjekova glava kao poluga I vrste; b) stopalo čovjeka izdignutog na prste kao poluga II vrste ; c) podlaktica čovjeka kao poluga III vrste.

Koeficijent prenosa (ili mehanička prednost ) poluge definiše se kao količnik iz inteziteta sile težine Q i inteziteta dejstvujuće sile F :

(2.6.1-2)

36

Poluga I vrste ima oslonac između napadnih tačaka sile F i Q. To je dvokraka poluga. Primjer za ovu polugu je čovjekova glava u normalnom položaju (sl.2.6.2-a), gdje sila F potiče od kontrakcije mišića pripojenih za potiljačnu kost lobanje. Koeficijent prenosa ove poluge je velik, jer je a>b, pa je dovolja i nekoliko puta manja sila F od sile težine Q da bi glava bila uravnotežena.

Poluga II vrste ima napadnu tačku tereta Q između oslonca O i napadne tačke aktivne sile F. Ona je jednokraka poluga. Uzdignuto stopalo na prste čovjeka je primjer za ovu polugu (sl.2.6.2-b). Sila F je ovdje posljedica djelovanja velikog lisnatog mišića, dok sila tereta Q predstavlja polovinu tjelesne težine. Zbog velikog koeficijenta prenosa k, relativno mali mišići stopala podižu čitavo tijelo.

Poluga III vrste je kao i poluga II vrste jednokraka poluga, jer im se napadne tačke obe sile nalaze s iste strane oslonca. Podlakat čovjeka predstavlja primjer poluge III vrste (sl.2.6.2-c). Oslonac je u centru lakta, sila F je kod ovakve poluge posljedica kontrakcije dvoglavog mišića (bicepsa), dok opterećenje Q može predstavljati predmet u šaci. Kod ove poluge F je znatno veća od Q, pa je

koeficijent prenosa relativno mali ( . Ako je koeficijent prenosa poluge

k >1, onda je to poluga sile, dok ako je k <1 radi se o poluzi brzine. Kosti se ponašaju po zakonima poluge, dok zglobovi povezuju ovakve poluge u sisteme poluga.

Sistem poluga je niz od više zglobovima povezanih poluga, na čijim djelovim dejstvuju sile. Proste poluge u organizmu se koriste za proizvođenje brzih pokreta i savlađivanje relativno malih tereta, dok za savlađivanje velikih opterećenja čovjekov lokomotorni sistem djeluje kao sistem poluga. Najjednostavniji i za lokomotorni sistem najvažniji sistem poluga predstavlja tkz. par poluga, natkolenica i potkolenica vezane jednoosnim zglobom kolena . Pri prelazu čovjeka iz čučnja u stojeći stav, noga, previjena, postepeno se opruža zahvaljujući kontrahovanju četvoroglavog mišića buta. Zato sistem poluga, koji čini natkolenica i potkolenica, savlađuje relativno veliki teret ( težinu tijela čovjeka i dopunska opterećenja koja on nosi), vršeći pri tome rad.

37

2.7 Elastičnost

Sva tijela se mogu manje ili više deformisati, u zavisnosti od prirode samih tijela i sila koje na njega djeluju. Pod deformacijom tijela podrazumijeva se promjena njegovog oblika i zapremine pod dejstvom spoljašnjih sila. Te deformacije mogu biti elastične i neelastične. Elastične deformacije su one pri kojima tijelo, po prestanku dejstva spoljašnjih sila, zadržava prvobitne razmjere i oblik. Ako deformisano tijelo zadržava razmjere i oblik koji je imalo u trenutku prestanka spoljašnjih sila, onda se takva deformacija tijela naziva neelastičnom ili plastičnom. Za elastične deformacije tijela postiji granica. Ako se ta granica elastičnosti pređe, deformacija tijela postaje plastična.

Sile koje se javljaju u elastično deformisanim tijelima nazivaju se elastične sile. One mogu biti privlačne (atraktivne) ili odbojne (repulsivne) i po prestanku dejstva spoljašnjih sila na tilelo one vraćaju tijelu prvobitne razmjere i oblik. To su međumolekularne sile i električnog su porijekla. Razmotrićemo elastične sile na primjeru monokristalnih čvrstih tijela, kao što su metali. Kod kristala, molekuli ili atomi su prostorno pravilno raspoređeni. Dimenzije molekule su reda veličine 10-10m. Molekul interaguje sa okolnim molekulima na rastojanju 10 -9m (sfera međumolekularnog dejstva). Na osnovu eksperimentalnih podataka, pokazalo se da projekcija sile koja djeluje između dva molekula na pravac koji spaja molekule, može izraziti kao

(2.7-1)

gdje su a i b konstante koje zavise od prirode kristala, r – je rastojanje između molekula.

Grafik zavisnosti sile F(r) koja djeluje između molekula od njihovog međusobnog rastojanja r, prikazan je na sl.1. Prvi sabirak u jednačini (2.7-1) predstavlja odbojnu silu Fodb između molekula, koja dominira na manjim rastojanjima od ro . Drugi sabirak prestavlja privlačnu silu Fpriv između molekula koja je dominantna na rastojanjima r > ro . Kada se molekuli nalaze na rastojanju ro, onda je sila međusobnog dejstva jednaka nuli F(ro) = 0. Ako se molekul pomeri iz položaja r = ro, sila koja djeluje na njega imaće uvijek smjer da

38

ga vrati u taj položaj. Molekul u ovom položaju (r = ro) ima minimalnu potencijalnu energiju (sl.2.7-2).

F (r) F(r)

ro

0 r r U

ro

0 r

Umin

Sl. 2.7-1 Sl.2.7-2

Ako se rastojanje između posmatranih molekula smanji na r < ro, njihova međumolekularna sila postaje odbojna i ima smjer da molekule vrati u ravnotežni položaj (sl.2.7-3a). U slučaju da se rastojanje između molekula poveća na r > ro , međumolekularna sila postaje privlačna i ima smjer da molekule vrati u ravnotežni položaj(sl.2.7-3b). Ako se rastojanja između molekula povećaju na r >10-9m, molekule se neće vratiti u ravnotežne položaje (sl.2.7-3d).

a) a)

b)

c) c)

ro d)

Sl.2.7-3

39

Dakle, ako na elastično tijelo djeluju spoljašnje sile, pa hoće da smanje ili povećaju rastojanje između molekula, u tijelu će se pojaviti elastične sile koje će nastojati da vrate molekule u ravnotežne položaje. Te unutrašnje elastične sile će uravnoteživati spoljašnje sile, i vraćaće tijelo u prvobitni oblik i razmjere po prestanku dejstva spoljašnjih sila.

2.7.1 Hukov zakon

Zavisno od pravca, smjera i napadne tačke spoljašnjih sila, razlikujemo četiri vrste deformacija čvrstih tijela:

- istezanje (ili sabijanje)- savijanje- smicanje- uvrtanje ili torzijaNa sve vrste elastičnih deformacija može da se primijeni opšti zakon

deformacije ili Hukov zakon, koji generalno tvrdi da između normalnog napona i relativne deformacije postoji linearna srazmerenost.

Normalni elastični napon definiše se kao količnik iz veličine sile koja normalno i ravnomjereno dejstvuje po uočenoj površini elastično deformisanog tijela i te površine

(2.7.1-1)

Kao mjera stepena deformisanosti tijela koristi se relativna deformacija. Ona predstavlja količnik iz razlike između dužine l tijela na koje djeluje sila F i prvobitne dužine lo tijela

(2.7.1-2)

Prema Hukovom zakonu, mehanički napon elastične deformacije , srazmjeran je relativnoj deformaciji

(2.7.1-3)

gdje je F – elastična sila, S - poprečni presjek tijela, - relativna deformacija, Ey - Jungov modul elastičnosti, koji zavisi samo od svojstava supstancije posmatranog

40

tijela. Pomoću Hukovog zakona elastična sila u deformisanom tijelu može se izraziti kao

(2.7.1-3)

gdje znak (-) označava da su elastična sila F i aplolutna deformacija suprotnog smjera. Koeficijent k = SEy / l naziva se konstanta elastičnosti.

Ako na sve granične površine tijela djeluju normalni naponi, tijelo može da se deformiše i promjenom svoje zapremine. Ta deformacija je karakteristična za fluide. Pritisak (nornalni napon) u slučaju deformacije zapremine pomoću Hukovog zakona može se izraziti kao

(2.7.1-4)

gdje je V/V – relativna promjena zapremine tijela (fluida), a EV – tzv. zapreminski modul elastičnosti. Negativan znak se uzima zato što se pri povećanju pritiska zapremina smanjuje, pa je veličina EV pozitivna ( V negativno). Recipročna vrijednost zapreminskog modula elastičnosti naziva se koeficijent stišljivosti (kompresipilnost) k

(2.7.1-5)

Koeficijent stišljivosti je najmanji za tečnosti, veći je za čvrsta tijela, a najveći za gasove.

2.7.2 Energija elastičnih deformacija

Da bi se tijelo deformisalo, potrebno je nad njim izvršiti rad. Isto tako, deformisano tijelo može da izvrši rad, što znači da posjeduje neku potencijalnu energiju. Ta energija se naziva elastična potencijalna energija, a koja je jednaka radu koji se izvrši pri deformaciji tijela, pod uslovom da se sav rad utroši na povećanje elastične potencijalne energije.

Izračunajmo potencijalnu energiju elastične deformacije pri istezanju nekog

tijela. Neka to tijelo istežemo silom tako sporo da je u svakom trenutku ova sila

41

jednaka po intezitetu elastičnoj sili u tijelu, tj. F = Fel . Ovakav proces se naziva kvazistatički proces. Neka se tijelo isteže od x = 0 do x = . Tada vrijednost potencijalne energije koju je tijelo steklo promjenom svoje dužine za iznosi

(2.7.2-1)

Pošto je , gdje je k = SEy / l , dobijamo za potencijalnu

energiju da je

(2.7.2-2)Pošto je energija elstično deformisanog tijela posljedica djelovanja

međumolekulskih sila, ona je raspoređena po cijelom tijelu, pa se zbog toga uvodi zapreminska gustina potencijalne energije deformisanog tijela

(2.7.2-3)

2.7.3 Energetsko razmatranje frakture kosti

Fraktura ili prelom jeste djelimični ili potpuni prekid kontinuiteta kosti. Nastaje kao posljedica djelovanja mehaničkih sila čiji intezitet i vrijeme trajanja prelazi granicu moguće fiziološke elastičnosti kostiju. U zavisnosti od načina dejstva sila na kost, prelomi kostiju mogu nastati usljed:

1) sile savijanja, koja dovodi do prekomjerenog savijanja kosti i nastaju tzv. fleksioni prelomi,

2) sile kompresije, odnosno, dejstva dveju sila suprotnoga smjera na kost, gdje nastaju kompresivni prelomi,

3) prelomi usljed sile uvrtanja, gdje nastaju spiralni prelomi kao posljedica dejstva sile na proksimalni i distalni kraj kosti,

42

4) sile otrgnuća , odnosno, dejstva dveju paralelnih sila suprotnoga smjera, a koje dovode do tzv. trakcionih preloma.

Vrijednost normalnog napona pri kojoj dolazi do preloma tijela naziva se

kritični napon ( ) tog tijela. Odgovarajuća gustina potencijalne energije naziva

se kritična gustina potencijalne energije Epc , a koja pokazuje koliko bi trebalo da se uveća potencijalna energija tijela pod dejstvom spoljašnje sile da bi došlo do njegovog preloma.

Dakle, pri određenoj kritičnoj vrijednosti energije (Epc) doći će do loma kosti. Ova energija deformacije može se izračunati, ako se koriste vrijednosti za napon kidanja (lomljenja) c koje su za određene skeletne strukture date u tabeli (2.7.3-1).

Tabela 2.7.3-1 Vrijednosti napona kidanja c za različite skeletne strukture i tipove deformacija

Skeletna struktura c ( N/mm2 ) Tip deformacija

kost 100 sabijanje

“ 83 istezanje

“ 27,5 savijanje

tetiva 68,9 istezanje

mišić 0,55 istezanje

2.7.4. Mišići

Mišići predstavljaju oko 40 % tjelesne mase čovjeka. Mišićno vlakno nastalo spajanjem velikog broja mioblasta građeno je uglavnom od mišićnih vlakanaca (miofibrile) cilindričnih struktura širokih 0.1-2 mikrometra. Mišićna vlakna su naslagana u pravilne snopove okružene epimizijem, spoljašnjom ovojnicom od gustog vezivnog tkiva. Skeletni mišići sastoje se od mnogo hiljada paralelnih i na razne načine grupisanih mišićnih vlakana. Kada je potpuno opušteno i nije opterećeno spoljnim teretom, mišićno vlakno se nalazi u određenom napetom stanju. To stanje naziva se tonus.

Za lokomotorne funkcije značajni su samo poprečno-prugasti skeletni mišići, koji najčešće imaju vretenast oblik, čija suženja na krajevima prelaze u tetive, koje srastaju za kost i tako za nju pripajaju mišić. Mišić može djelovati na kosti statički ili dinamički, suprostavljajući se spoljašnjoj sili aktivnim

43

djelovanjem, ili kada je maksimalno istegnut, suprostavlja se spoljašnjoj sili elastičnom silom tkiva. Dejstvo mišića na kosti određenom silom preko tetive, javlja se kao posljedica kontrakcije (skraćivanja) mišića. Ova kontrakcija mišića može da bude izometrička i izotonička. Pri izometričkoj kontrakciji dužina mišića se ne mijenja (statičko dejstvo), a napregnuti mišič drži samo ravnotežu dejstvujućoj sili i tijelo se ne pomijera. Dakle, elastična sila deformacije pasivnih elemenata mišića suprostavlja se dejstvujućoj sili. Kod izotoničke kontrakcije mišić se skraćuje usljed čega se tijelo pomijera, ali napregnutost mišića ostaje nepromijenjena.

2.8 Biomehanika tečnosti

Glavna osobina tečnosti i gasova, kojom se razlikuju od čvrstih tijela, jeste velika pokretljivost njihovih djelića, zbog čega se oni zajedničkim imenom nazivaju fluidi. Drugim riječima dovoljna je i minimalna sila da izazove klizanje jednih djelića po drugim, što znači da se fluidi skoro uopšte ne opiru promjeni svog oblika. Dakle, moguće je kretanje koje se svodi na pomjeranje različitih djelova istog tijela jednih u odnosu na druge; pri tom ako se može smatrati da je tijelo neprekidno i beskonačno veliko, onda se naziva neprekidnom sredinom. Neprekidna sredina može biti elastično čvrsto tijelo, i u tom slučaju u njemu mogu da se jave pomijeranja djelova jednih u odnosu na druge i oscilacije (talasi); neprekidna sredina može biti nestišljiva tečnost u kojoj mogu da se jave strujanja; na kraju , neprekidna sredina može biti stišljiva tečnost ili gas, u kom slučaju mogu da se jave kako strujanja tako i oscilacije.

Pokretljivost djelića fluida pri njegovom kretanju izaziva usljed dodira susjednih slojeva sa različitim brzinama unutrašnje trenje i ova osobina fluida naziva se viskoznost. Svi realni fluidi pokazuju u većoj ili manjoj mjeri viskoznost. Fluidi kod kojih je viskoznost tako mala da se može potpuno zanemariti nazivaju se idealni fluidi, a za razliku od njih realni fluidi nazivalu se viskozni fluidi.

2.8.1 Trenje u tečnostima. Viskoznost

44

Pri kretanju realnih fluida, kadgod postoji relativno pomjeranje jednih djelića u odnosu na druge, javljaja se unutrašnje trenje ili viskoznost i takva tijela nazivaju se viskozni fluidi. Sloj koji se kreće brže djeluje na sloj koji se kreće sporije ubrzavajućom silom. Obrnuto, sloj koji se kreće sporije djeluje na brži sloj silom koja teži da ga zadrži. Ove sile imaju pravac tangenata na površine slojeva. Veličina sile unutrašnjeg trenja f utoliko je veća ukoliko je veća površina S sloja koju posmatramo, a zavisi od toga kojom brzinom se mijenja brzina toka tečnosti pri prelazu od jednog sloja na drugi.

Neka dva sloja (sl. 2.8-1), koja se nalaze na međusobnom rastojanju z , kreću brzinama v1 i v2 respektivno. Označimo v1 - v2 = v . Pravac, duž koga se mjeri rastojanje između slojeva z, normalan je na brzinu toka slojeva.

z

v2

z S f

v1

0 y

x

Sl. 2.8.1-1 Na graničnoj površini između slojeva fluida djeluje viskozna sila f

Veličina koja pokazuje kojom se brzinom mijenja brzina pri prijelazu

sa sloja na sloj, naziva se gradijent brzine. Sila unutrašnjeg trenja proporcionalna je gradijentu brzine, tako da je:

(2.8.1-1)

ili u diferencijalnom obliku, ako

(2.8.1-2)

45

Veličina , koja zavisi od prirode tečnosti i od temperature, naziva se koeficijentom unutrašnjeg trenja ili koeficijentom viskoznosti tečnosti. Što je veći koeficijent viskoznosti, to se tečnost više razlikuje od idealne, to se u njoj javljaju jače sile unutrašnjeg trenja. Dimenzija za prema (2.8-1) je

Prema tome, u SI sistemu jedinica viskoznosti je:

1 12

N s

mPa s

kg

m s

dok se u CGS sistemu koristila jedinica : 1 1 0 12

din s

cmpoaz Pa s

.

2.8.2 Proticanje viskozne tečnosti kroz cijev. Poazejev zakon

Razmotrimo svojstva slojevitog (laminarnog) strujanja viskozne nestišljive tečnosti u horizontalnoj cilindričnoj cijevi malog poprečnog presjeka R (sl.2.8.2-1). Da bi se tečnost kretala kroz cijev stacionarnim kretanjem, mora da postoji sila koja savlađuje unutrašnje trenje. Cijev je horizontalna, te gravitacija ne utiče na kretanje tečnosti. U takvom slučaju kretanje se vrši samo ako postoji razlika pritisaka na krajevima cijevi.

Neka na krajevima cijevi vladaju pritisci p1 i p2, tako da je p1 > p2 .

R p1 r p2

dr

xl

Sl. 2.8.2-1 Tok viskozne tečnosti kroz horizontalnu cijev konstantnog poprečnog preseka

Razumljivo je da se tečnost kreće od većeg ka manjem pritisku. U ovakvoj cijevi slojevi tečnosti su koncentrični cilindri. Debljinu slojeva ćemo mjeriti od ose

cijevi. Prema tome, za cilindričnu površinu poluprečnika r površina sloja S će biti

46

, gdje je l dužina cijevi. Tako će sila trenja f , prema Njutnovom zakonu biti data izrazom :

(2.8.2-1)Ako je strujanje stacionarno, onda zbir sila koje dejstvuju na izdvojeni

element u pravcu x jednak nuli. Duž x - ose dejstvuje sila viskoznog trenja i

sile razlike pritisaka i , pa imamo

(2.8.2-2)

Negativan znak sile viskoznosti označava da je , tj. brzina v opada kad

r raste. Dobijamo da je

(2.8.2-3)

Integriranjem gornje jednačine po radijusu, u granicama od R, gde je brzina tečnosti na zidovima cijevi v (R) = 0, do r , gde je v(r) = v , dobijamo :

(2.8.2-4)

Prema tome, raspored brzina strujanja viskozne tečnosti je parabolična funkcija rastojanja r od ose strujne cijevi ka njenim zidovima. Njena maksimalna vrijednost je duž strujne ose (r = 0) i iznosi

47

(2.8.2-5)

a njena minimalna vrijednost je na zidovima strujne cijevi i jednaka je nuli vmin

= 0, (sloj tečnosti koji je priljepljen na zidove cijevi).Prema izrazu (2.8.2-4) vidi se da je razlika pritisaka proporcionalna dužini

cijevi. Drugim riječima, u horizontalnoj cijevi konstantnog prečnika, pritisak opada linearno sa dužinom cijevi. Opadanje pritiska duž cijevi može se posmatrati i sa gledišta energije. Tečnost ima konstantnu brzinu duž cijevi, te se njena kinetička energija ne može mijenjati duž cijevi. Pošto je kretanje tečnosti u horizontalnom pravcu, tečnost ne dobiva nikakav rad od gravitacionog polja. Međutim, da bi se tečnost kretala, mora se savlađivati sila trenja i time vršiti rad. Prema opisanim uslovima ovaj rad može da se vrši samo na račun energije pritiska, te on mora opadati.

Pomoću zakona raspodele brzina, izračunajmo protok Q ili zapreminu tečnosti koja prođe kroz proizvoljni presjek cijevi u jedinici vremena:

(2.8.2-6)

Element protok dQ kroz poprečni presjek dS = prstenastog strujnog elementa iznosi dQ = v , gde je v brzina strujanja tečnosti izražena jednačinom (4). Protok tečnosti kroz cio poprečni presjek cijevi jednak je integralu po svim elementarnim protocima od r = 0 do r = R

(2.8.2-7)

48

Formula (2.8.2-7) zove se Poazejeva formula. Iz nje se vidi vrlo velika zavisnost količine tečnosti koja protekne od poluprečnika cijevi.

2.8.3 Laminarno i turbulentno strujanje

Laminarno ili slojevito strujanje fluida je takvo strujanje u kome se mogu odrediti strujne linije. Pri ovom strujanju čestica fluida ne prelazi iz jednog sloja u drugi, već (uvijek) ostaje u okviru svoje strujne cijevi, što znači da se strujne linije međusobno ne sjeku. Matematičko predstavljanje toga strujanja je :

(2.8.3-1)

tj. svaka tačka prostora ima jednoznačno određen vektor u datom trenutku. Laminarno strujanje fluida dešava se pri malim relativnim brzinama između njegovih slojeva. Ono može biti stacionarno i nestacionarno.

Kad se brzina toka tečnosti povećava, tok gubi laminarni karakter i postaje neuređen. Javljaju se komponente brzine normalne na osu cijevi. U svakoj tački tečnosti javljaju se nepravilna odstupanja vektora brzine od njegove srednje vrijednosti. Takvo kretanje naziva se turbulentno. Prelaz od laminarnog na turbulentno kretanje u cijevima ili kanalima dovodi do naglog porasta otpora. Karakteristike turbulentnog strujanja su :

a) Nepostojanje strujnih linija i strujnih cijevi. b) Haotično kretanje cjelokupne mase fluida sa obrazovanjem lokalnih

turbulencija.

c) Strujanje je uvijek nestacionarno, tj.v

t0 .

d) Vrijednosti i p u svakoj tački osciluju oko nekih njihovih srednjih vrijednosti. Te srednje vrijednosti i p služe kao karakteristike turbulentnog kretanja.

e) Pad pritiska po cijevi konstantnog presjeka nije linearna funkcija brzine, već njenog kvadrata, tj. turbulentno strujanje se ne ponaša po Poazejevom zakonu.

Analiza turbulentnog kretanja je u teorijskom pogledu veoma složena, pa se obično pribegava empirijski ustanovljenim zakonitostima. Postavlja se pitanje pri kojoj brzini će laminarno kretanje preći u turbulentno? Ta brzina se obično naziva

49

kritičnom brzinom. Razna ispitivanja i analize pokazuju da ta brzina zavisi od više faktora. Na prvom mjestu pojava turbulentnog strujanja zavisi od koeficijenta viskoznosti , dimenzije mlaza koju ćemo kao opštu geometrijsku veličinu obilježiti sa l , a isto tako od gustine fluida . Ove veličine su precizno i jednoznačno definisane, pa se sa njima može jednostavno operisati.

Na osnovu eksperimentalnih zapažanja engleski fizičar Rejnolds je ustanovio da karakter strujanja viskoznog fluida zavisi od vrijednosti jednog bezdimenzionog broja, koji predstavlja odnos četiri veličine i naziva se Rejnoldsov broj

(2.8.3-2)

gde je - gustina fluida, - srednja brzina po poprečnom presjeku cijevi u pravcu

strujanja fluida i R - poluprečnik cijevi. Odnos = , naziva se kinematička

viskoznost koja potpunije karakteriše ulogu viskoznosti pri strujanju, nego , pri ostalim jednakim uslovima.

Za male vrijednosti Rejnoldsovog broja, strujanje fluida je laminarno. Međutim, sa povećanjem Re i njemu odgovarajuće brzine mjenja se karakter

strujanja fluida. Vrijednost broja i njemu odgovarajuća brzina , pri

kojima laminarno strujanje prelazi u turbulentno nazivaju se kritičnim vrijednostima. Eksperimentalni rezultati pokazuju da je strujanje fluida laminarno ako je Re < 2000 i turbulentno ako je Re > 3000 . U prelaznoj oblasti između 2000 - 3000 strujanje fluida je nestabilno.

2.8.4 Struktura tečnosti

Jedan od mogućih pristupa proučavanju strukture tečnosti zasniva se i na pretpostavci (Bernal ) da se kod tečnosti javlja simetrija petog reda. To znači da se u ravanskom modelu (sl. 2.8.4-1) svaki molekul tečnosti ima oko 5 najbližih susjeda, a u prostornom modelu oko 11. Iz ovih pretpostavki proizlazi više interesantnih činjenica.

Naime, lako je dokazati da se pri ovakvom “pakovanju” molekula tečnosti sa sigurnošću može govoriti samo o najbližim sudarima jednog molekula, jer se

50

ravan ne može potpuno prekriti pravilnim petougaonicima, što je, međutim, moguće pravilnim trouglovima, šestougaonicima ili kvadratima. Takođe se prostor ne može potpuno ispuniti geometrijskim tijelima čije su stranice pravilni petougaonici.

Energija uzajamnog dejstva čestica zavisi od rastojanja među njima. Ona ima minimalnu vrijednost pri r = d, a pri r > d ili r < d energija uzajamnog dejstva raste. Iz tog proizlazi da je na istoj temperaturi unutrašnja energija kristala manja od energije njegovog rastopa. Ovim se objašnjava zbog čega se pri topljenju kristala mora trošiti energija, pri čemu je iznos ove energije (po jediničnoj masi) svojstvo svake kristalne supstancije.

Poređenjem unutrašnje energije kristala i njegovog rastopa dolazi se do odgovora na pitanje zbog čega se pri niskim temperaturama tečnosti, po pravilu, kristalizuju. Ovo se objašnjava i činjenicom da svaki sistem čestica teži minimumu energije.

Mnogougaonicima petog reda simetrije ne može se obrazovati pravilna kristalna rešetka. Oni obrazuju djelimično kompaktne djelove prostora, čija gustina može da bude veća od gustine kristala. Ovakvi djelovi prostora nazivaju se pseudojezgra. Među pseudojezgrima se javljaju pukotine, odnosno, “prostorne šupljine”. Njihovo postojanje je razlog što je gustina tečnosti obično manja od gustine kristalne supstancije.

Pseudojezgra ne predstavljaju stabilni sistem čestica. Zahvaljujući većem broju šupljina, molekuli tečnosti mogu lako da prelaze iz jednog jezgra u drugo, obrazujući pri tome petougaonike različitih oblika. Kao rezultat toga proističe da tečnosti, za razliku od kristala nemaju jednu određenu strukturu već više njih, ali sa istom energijom sistema. Kako je entropija sistema određena brojem različitih

51

Sl. 2.8.4-1 Model strukture tečnosti

Na osnovu ovoga se može zaključiti da petougaonik koji karakteriše način pakovanja molekula tečnosti ima različite stranice. Ako se u kristalnoj rešetki sve čestice nalaze na rastojanju d jedna od druge (pri čemu je privlačna sila među njima uravnotežena odbojnom silom ), u tečnosti su neki molekuli na većem a neki na manjem rastojanju od d , dok je srednje rastojanje među njima približno d.

struktura koje odgovaraju jednom stanju (energiji), očigledno je da je pri istoj temperaturi entropija kristala manja od entropije njegovog rastopa.

2.8.5 Unutrašnji pritisak u tečnosti. Površinski napon

Na svaki molekul tečnosti djeluju sile privlačenja okružujućih molekula,

koji se nalaze na rastojanju ne više od 1 5 10 7. cm , tj. koji se nalaze unutar sfere

radijusa R = 1 5 10 7. cm, i koju nazivamo sferom molekulskog dejstva. Pošto je

radijus samih molekula približno jednak r = 5 10 8 cm , to je R , tj. radijus molekulskog dejstva približno je jednak jednom i po prečniku molekula. Slijedi da svaki molekul tečnosti je u međudejstvu samo sa susednim molekulima.

Posmatrajmo molekul (sl.2.8.5-1a) koji se nalazi u unutrašnjosti tečnosti. Sa svih strana on je okružen istim srednjim brojem molekula, zato je rezultujuća sila privlačenja neposrednih okolnih molekula jednaka nuli. Drugačija je situacija sa molekulima koji se nalaze u blizini površine tečnosti (sl.2.8.5-1b,c). Kako je koncentracija molekula koja se nalazi iznad tečnosti mala u poređenju s koncentracijom molekula u tečnosti, zbog neuravnotežnosti međumolekulskih sila, rezultujuća sila f koja deluje na molekulu neće biti jednaka nuli , i biće upravljena prema unutrašnjosti tečnosti.

Prema tome, na svaki molekul, koji se nalazi ispod površine tečnosti na manjem rastojanju od radijusa molekulskog dejstva, drugi molekuli dejstvovaće silom koja je upravljena prema unutrašnjosti tečnosti. Na cio sloj koji leži u blizini površine tečnosti djeluju sile u pravcu normale na površinu, usmjerene u tečnost.

Površinski sloj vrši na cjelokupnu

52

a b c a v

Sl. 2.8.5-1

tečnost pritisak, koji se naziva unutrašnji ili molekulski pritisak. Pod dejstvom ovog pritiska smanjuje se rastojanje između molekula, što dovodi do pojave sila odbijanja, koje uravnotežuju sile sabijanja koje potiču od površinskog sloja.

Kako je unutrašnji pritisak upravljen normalno na površinu tečnosti, to će masa tečnosti koja nije izložena spoljašnjim silama (sl.2.8.5-2a) zauzeti oblik lopte (sl.2.8.5-2b), jer će samo u tom slučaju sile unutrašnjeg pritiska biti uravnotežene. Takva pojava može se dobiti kod malih masa tečnosti, kod kojih je dejstvo sile teže zanemarljivo u poređenju sa silama unutrašnjeg pritiska. Sferni oblik imaju npr. male kišne kapi. Od svih geometrijskih tijela, sfera ima najmanju površinu pri datoj zapremini. Zbog toga prelaz date mase tečnosti iz ma kog oblika koji nije sferni u sferni oblik praćen je smanjenjem njene površine. Prema tome, dejstvo sila molekulskog pritiska, pod čijim uticajem tečnost dobija sferni oblik, analogno je dejstvu koje bi se javilo ako bi površina tečnosti predstavljala rastegnutu opnu koja teži da se skupi. Sve pojave koje izaziva molekulski pritisak mogu da se objasne i dejstvom jedne takve rastegnute opne.

Da bi se rastegnuta opna održala u ravnoteži, mora se normalno na njenu ivicu dejstvovati silom f, koja je tangencijalna na površinu tečnosti i koja se naziva silom površinskog napona. Očigledno, ta sila je veća što je veća dužina ivice opne l :

f = l (2.8.5-1) Koeficijent , koji zavisi od prirode tečnosti, zove se koeficijent površinskog napona. Iz (2.8.5-1) slijedi :

(2.8.5-2)

Prema tome, koeficijent površinskog napona brojno je jednak sili koja djeluje na jedinicu dužine kraja površine tečnosti. Za datu tečnost koeficijent površinskog napona zavisi od temperature: opada s povišenjem temperature , jer se sa povišenjem temperature povećava srednje rastojanje između molekula

53

a b Sl.2.8.5-2

tečnosti. Kada se temperatura tečnosti približuje kritičnoj temperaturi Tk , koeficijent površinskog napona teži nuli. Ova činjenica je razumljiva kada se zna da u kritičnoj tački nestaje razlika između tečnog i gasovitog stanja.

Vrijednost kojeficijenta površinskog napona zavisi i od vrste materijala sa kojim se granični tečnost. Isto tako, na površinski napon nekog rastvora zavisi od vrste i koncentracije rastvorenih supstanci u njemu. Npr. elektroliti povećavaju efekat površinskog napona , dok molekuli supstancija koje su nerastvorljive u vodi (hidrofobni, npr. žučne kiseline ili sapuni) , nagomilavaju se na površini i snižavaju površinski napon. Snižavanje površinskog napona uzrokuje stvaranje finih emulzija, što ima veliki značaj za živi svijet ( npr. usvajanje masti u crijevima) , a ima i veliku primjenu u raznim industrijama.

2.8.6 Pojave na granici između tečnosti i čvrstog tijela. Kapilarnost

Pri dodiru tečnosti s čvrstim tijelom treba uzeti u obzir kako sile uzajamnog dejstva između molekula tečnosti, tako i sile uzajamnog dejstva između molekula tečnosti i čvrstog tijela. Moguća su dva slučaja :

a) sile uzajamnog dejstva između molekula tečnosti manje su od sila uzajamnog dejstva između molekula tečnosti i čvrstog tijela.

b) sile uzajamnog dejstva između molekula tečnosti su veće nego sile uzajamnog dejstva između molekula tečnosti i čvrstog tijela; U prvom slučaju , kad su sile uzajamnog dejstva između molekula tečnosti manje nego sile uzajamnog dejstva između molekula tečnosti i čvrstog tijela, kaže se da tečnost kvasi čvrsto tijelo. U slučaju kvašenja, rezultanta sila u sloju tečnosti koji naleže na čvrsto tijelo usmjerena je prema čvrstom tijelu. Ugao između tangente na površinu tečnosti i tangente na površinu čvrstog tijela zove se ugao kvašenja (ivični, granični ugao). U ovom slučaju ugao kvašenja je oštar, tj. . Kad je 0, kaže se da je kvašenje potpuno.

54

a) b) a) b)

Sl.2.8.6-1 Tečnost koja kvasi tijelo Sl.2.8.6-2 Tečnost koja ne kvasi tijelo

U drugom slučaju kaže se da tečnost ne kvasi dato tijelo. Kad nema kvašenja, rezultantna sila u sloju tečnosti koji naleže na čvrsto tijelo usmjerena je prema tečnosti. U ravnotežnom stanju površina tečnosti zauzima položaj normalan na silu, usljed čega površina tečnosti pored vertikalnog čvrstog zida zauzima položaj kakav je prikazan na sl.2.8.6-2a. Na horizontalnoj površini kap tečnost koja ne kvasi zauzima oblik spljoštene sfere (sl.2.8.6-1b). Kad nema kvašenja, granični ugao je tup , kad je , govori se o potpunom nekvašenju. Na sl. 2.8.6-1a prikazan je položaj tečnosti koja kvasi uz vertikalni zid, a na sl.2.8.6-2b izgled kapi tečnosti koja ne kvasi na horizontalnoj površini.

Kad se stavi na horizontalnu površinu čvrstog tela koje potpuno kvasi, kap tečnosti se razlije. Kap tečnosti koja ne kvasi zauzima više ili manje sferan oblik (u zavisnosti od njenih dimenzija) i lako se kreće po površini. Jedna ista tečnost kvasi jedna tijela, a ne kvasi druga tijela. Tako, voda praktično potpuno kvasi čistu površinu stakla a ne kvasi , npr.parafin, živa ne kvasi staklo a kvasi čistu površinu gvožđa, itd. Pojava kvašenja u biologiji ima, po svojim posljedicama, veliki značaj. Zna se da tečnost koja potpuno kvasi neku membranukroz nju prolazi spontano. (što je posljedica smanjenja površinske energije). Ako tečnost ne kvasi membranu, da bi kroz nju prošla, potrebno je izvršiti određeni pritisak, utoliko veći ukoliko je tzv. ugao kontakta veći. Poznato je, npr. da će eritrociti ili mikrobi koji se nalaze na granici između dviju tečnosti (recimo, ulja i vode) preći u onu koja ih bolje kvasi. Isto se dešava i u sistemu tečnost-vazduh: laka nekvašljiva tjelašca ostaju u gasnoj fazi. Površina tečnosti koja kvasi, kad se tečnost nalazi u uskoj cilindričnoj cijevi ima izdubljen oblik (sl.2.8.6-1a), a tečnosti koja ne kvasi ima ispupčen (sl. 2.8.6-2a). Kriva površina tečnosti takvog oblika naziva se menisk.

Visina dizanja tečnosti utoliko veća ukoliko je manji poluprečnik r cijevi, tj. ukoliko je cijev uža. Zbog toga je dizanje tečnosti koja kvasi naročito primetno u uskim cijevima.Takve uske cijevi zovu se kapilarne cijevi, od latinske

55

riječi capillus, što znači vlakno. Sama pojava promjene nivoa tečnosti u uskim cijevima naziva se kapilarnost.

Kapilarne pojave imaju važnu ulogu u biološkim sistemima i tehnici. U kapilarama nastaju osnovni procesi koji su vezani za disanje i ishranu organizma. Mnogi složeni hemijski procesi povezani su sa pojavom difuzije u kapilarnim cjevčicama.

2.8.7 Dopunski pritisak ispod krive površine tečnosti. Laplasova formula

Ispod krive površine tečnosti osim unutrašnjeg pritiska stvara se još dopunski pritisak uslovljen zakrivljenošću površine. Neka tečnosti u tri suda imaju konveksnu, konkavnu i ravnu slobodnu površinu (sl. 2.8.7-1).

Ukoliko je površinski sloj tečnosti zategnuta opna ispupčene površine, teži da se smanji i postane ravan sloj , usljed čega se javlja dopunski pritisak p , koji je upravljen u istom smjeru kao i unutrašnji pritisak p (sl. 2.8.7-1a).

Izdubljeni sloj (sl.2.8.7-1b) u težnji da postane ravan teži da digne slojeve pa je dopunski pritisak usmjeren u suprotnom smjeru od unutrašnjeg pritiska. Ispod ravne površine dopunskog pritiska nema (sl. 2.8.7-1c).

p

p p

p p

a) b) c)

Sl. 2.8.7-1

Prirodno je zaključiti da dopunski pritisak nedvosmisleno zavisi od sile površinskog napona tečnosti i stepena iskrivljenosti njene površine, odnosno, od koeficijenta površinskog napona i radijusa R krivine površine. Karakter

56

zavisnosti je takođe očigledan: dopunski pritisak proporcionalan je koeficijentu površinskog napona obrnuto proporcionalan radijusu krivine površine tečnosti:

(2.8.7-1)

Izraz za dopunski pritisak ispod površine tečnosti ma kog oblika teorijski je izveo Laplas :

(2.8.7-2)

Ova formula, koja se naziva Laplasova formula, daje vrijednost dopunskog pritiska, koji vrši kriva površina tečnosti ma kog oblika.

Znak plus odgovara ispupčenoj površini, a znak minis izdubljenoj površini; R1 i R2 su radijusi krivina dva međusobno normalna presjeka površina.

U slučaju sferne površine R1 = R2 = R , imamo da je

(2.8.7-3)Dopunski pritisak, koji djeluje na sferne površine tečnosti koja kvasi zidove

suda, može biti uzrok smetnji pri proticanju viskozne tečnosti, naročito, kroz cijevi malog poprečnog presjeka. Naime, ako se u nekoj kapilarnoj cijevi, kroz koju teče neka viskozna tečnost koja kvasi zidove suda (znači postoji gradijent pritiska) , nađe neki vazdušni mjehur (embolus), on će razdvajati tečnost sa dvije sferne površine različitih poluprečnika R1 i R2 (sl.2.8.7-2).

Sl. 2.8.7-2

57

R1

R2

Kako je radije pokazano, centralni slojevi tečnosti kreću se maksimalnom brzinom, pa će zadnji dio sferne površine embolusa imati povećan radijus krivine R1 , u odnosu na radijus krivine R2 prednjeg meniskusa, tj. R1 > R2 . Kako se vidi iz jednačine (2.8.7-1), dopunski pritisak je obrnuto proporcionalan poluprečnicima krivine, pa je onda jasno što se javlja efekat usporenog kretanja embolusa kroz cijev. Ako se u kapailarnoj cijevi nađu više embolusa, ovaj efekat se pojačava i može dovesti do potpunog zaustavljanja toka tečnosti. Ovaj efekat je od posebne važnosti za kretanje krvi u krvnim sudovima, u kojima se mogu na razne načine stvoriti gasni mjehuri ( npr. prelaz organizama iz sredine gdje je vladao visoki pritisak u sredinu gdje vlada nizak pritisak, davanje injekcija, razni hiruški zahvati, itd.)

2.8.8 Kardiovaskularni procesi

Proticanje krvi kroz krvne sudove podliježe zakonima fizike koji vrijede za bilo koji zatvoreni sastav cilindričnih cijevi.

Kardiovaskularni sistem čine srce i krvni sudovi (arterije, kapilari i vene), koji su povezani u zatvoreni krvotok. Normalan rad svih organa i integritet njihovih funkcija su u upravnoj srazmjeri sa snabdjevenošću krvlju. Srce i krvni sudovi su takav sistem koji mora da omogući neprekidan protok krvi do tkiva i prilagodi krvotok trenutnim potrebama organizma. Srčano-sudovni sistem zahvaljujući svojoj transportnoj ulozi dotura kiseonik iz pluća do tkiva, a ugljen-dioksid odnosi u obrnutom pravcu. Pomoću njega se iz digestivnog trakta prenose hranljive materije neophodne za obnavljanje energije i tkiva, a iz endokrinih žljijezda se putem krvi prenose hormoni do odgovarajućih organa. Krvotokom se otpadni produkti dovode do bubrega koji ih izlučuje iz organizma mokraćom.

2.8.8.1 Srce

Srce je centralni šuplji mišićni organ koji omogućava dinamiku krvi. Sastoji se od četiri šupljine: dvije pretkomore ili atrijuma (lijeva i desna) i dvije komore ili ventrikula ( lijeva i desna). Kako su lijeva i desna komora i funkciono i fizički odvojene, srce se u stvari sastoji od dvije pumpe: lijeve, koja sprovodi oksigenisanu krv iz pluća do tkiva, i desne, koja vraća krv iz tkiva u pluća u cilju

58

izmjene kiseonika i ugljen-dioksida. Svojim snažnim ritmičkim kontrakcijama, srce, pod znatnim pritiskom ubacuje krv u početni dio aorte i plućne arterije, čime je ostvaren dovoljno veliki gradijent pritiska između početnog (arterijskog) i završnog dijela krvotoka (šuplje vene i plućne vene). Dakle, krv se kreće pomoću energije dobivene gradijentom pritisaka koji vladaju u pojedinim odsjecima krvotoka.

Mišićni zid srca (miokard) građen je od poprečnoprugastih mišićnih vlakna. Automatsko , ritmičko grčenje srca, reguliše se sinusnim čvorom ( Kejt-Flakov čvor), koji se nalazi u zidu desne pretkomore. Srčani ciklus može se podijeliti u dvije faze : sistolu (grčenje srca) i dijastolu (opuštanje srca). Sistola počinje sistolom pretkomora, usljed čega se krv istiskuje iz njih u komore. Poslije toga počinje sistola komora, kada se zatvaraju i atrio-ventrikularni zalisci, koji sprečavaju povraćaj krvu u pretkomore. Kada pritisak u komorama nadvlada pritisak u aorti i plućnoj arteriji, otvaraju se zalisci na početku ovih arterija i počinje period istiskivanja krvi iz komora u arterije. Poslije prestanka depolarizacije miokarda komora, započinje repolarizacija mišićnih vlakana i period dijastole – naglo sniženje pritiska u komorama i zatvaranje zalisaka arterija, pošto pritisak u njima opet postane veći nego u komorama. Dalje se otvaraju atrio-vertukularni zalisci i krv iz pretkomora ponovo počinje da utiče u komore. Pri sistoli komora nikada ne dolazi do njihovog potpunog pražnjenja, već samo oko 60%.

2.8.8.2 Krvotok

Tok krvi kroz srčane komore je laminaran. Međutim, ako se srčani zalisci između pretkomora i komora suze povećava se brzina krvi kroz njih i krvotok u komorama može da postane turbulentan. Zbog povećanog otpora pri turbulentnom kretanju krvi, dolazi do dodatnog opterećenja rada srca. Usljed interakcije vrtloga krvi i okolnog tkiva, nastaju vibracije tog tkiva, koje se pomoću stetoskopa mogu registrovati kao šumovi, ukazuju na nepravilnosti u toku krvi iz određenih razloga.

Elastičnost krvnih sudova od velikog je značaja za proticanje krvi. Pri sistoli komore, sistolni volumen krvi će se upumpati u arteriju sa energijom

, gdje je pritisak u krvnom sudu. Dio te energije djelovaće na

zidove suda arterije i transformisaće se u potencijalnu energiju elastične deformacije (proširenja) arterije. Na sl.2.8.8.2-1 prikazane su promjene elastičnog

59

zida aorte za vrijeme ubacivanja krvi iz srca: a) za vrijeme sistole komore, i b) po prestanku sistole komore.

Sl. 2.8.8.2-1

Po prestanku sistole komore elastični zid arterije se vraća u prvobitni položaj, čime se njena potencijalna energija elastične deformacije pretvara u kinetičku energiju arterijske krvi. Ovaj elastični talas se širi duž cijele arterije kao pulsni talas, koji omogućuje protok krvi i u fazi kad srce ne ubacuje krv u aortu. Brzina ovog talasa data je izrazom

(2.8.8.2-1)

gdje je Ey - Jungov modul elastičnosti arterije, – specifična gustina krvi, d – debljina zida arterije, r – njen unutračnji poluprečnik, C – empirijska konstanta koja zavisi od uslova proticanja krvi.

Međutim, ako dođe do smanjenja elastičnih svojstava krvnih sudova (npr. skleroze arterija), smanjiće se i efekat pulsnog talasa, pa će srce biti dodatno opterećeno.

Intezitet protoka ili protok krvi kroz krvni sud jednak je zapremini krvi koja protekne kroz krvni sud u jedinici vremena, tj.

(2.8.8.2-2)

60

b)a)

gdje je razlika pritisaka na krajevima krvnog suda, l dužina krvnog

suda, r njegov poluprečnik, dok je v brzina proticanja krvi kroz krvni sud. Otpor krvnog suda je

(2.8.8.2-3)

Promjena poprečnog presjeka krvnog suda, odnosno promjena otpora krvnih sudova dovode do promjene pritiska u krvnom sudu. Pri suženju (vazokonstrikciji) krvnog suda pritisak raste, a pri proširenju (vazodiletaciji) opada. Idući od aorte ka šupljim venama krvni pritisak progresivno opada. Otpor kretanju krvi raste sa smanjenjem poluprečnika krvnog suda, tako da je najveći u oblasti arteriola i kapilara a opada sa proširenjem krvotoka u šuplje vene. Brzina proticanja krvi kroz krvne sudove opada sa porastom otpora i obrnuto.

61