Biostatistiques et statistiques appliquéesaux sciences expérimentales

ANOVA à deux facteurs

Pascal Bessonneau, Christophe Lalanne et Jérémie Mattout*

*jeremiemattout@yahoo.fr

Cogmaster A4 2006-2007

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• Principes généraux des dessins expérimentaux multi-factoriels

• Modèle d’ANOVA à deux facteurs

• Notion d’intéraction

• Tableau d’ANOVA et tests

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Programme de la séance

• 2 types d’effet pour le facteur• effet fixe: les modalités du facteur sont choisies par l’expérimentateur (e.g. dose d’unproduit administré, durée de présentation d’une cible à l’écran)

• effet aléatoire: les modalités du facteur sont issues d’un processusd’échantillonnage (e.g. dose d’un produit administré, sujet)

• Conséquence à 2 niveaux:• au niveau de la formulation du modèle

• du point de vue des effets que l’on peut « généraliser » à la population parente

• Distinction entre 3 modèles d’ANOVA:• type I: modèle à effet(s) fixe(s)

• type II: modèle à effet(s) aléatoire(s)

• type III: modèle à effets mixtes

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Principes généraux

• Plan factoriel: plusieurs variables indépendantes/facteurs

• Cellule ou bloc: unité d’intersection entre les modalités de chaque facteur

• Plan équilibré: chaque cellule contient le même nombre d’observations(plus généralement: même nombre d’observations par cellule, de façon indépendante pour chaque modalité d’undes deux facteurs)

• Plan avec répétitions: chaque cellule contient plusieurs observations

• Mesures répétées: les mêmes sujets ont été utilisés pour les observationsau sein de différentes cellules (appariement)

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Principes généraux

Dans le cadre de plans factoriels équilibrés, on s’intéresse ici au cas général,avec répétitions et sans appariement (mesures non répétées).

• 2 facteurs A et B à 2 niveaux (groupes indépendants)

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a2b2a1b2b2

a2b1a1b1b1

a2a1

A

B

Principes généraux

• Notation: dessin expérimental 2x2

• Formulation:A + B (sans interaction)A + B + AxB (avec interaction)

• Interaction:modifications d’un effet principal du fait de la variabilité de l’autre facteur

• Modèle complet:

• moyenne générale

• écarts à la moyenne des moyennes de groupe pour le facteur A

• écarts à la moyenne des moyennes de groupe pour le facteur B

• écarts à la moyenne des moyennes pour les traitements A x B

• erreur (variance non expliquée ou résiduelle)p. 6/16

ijkijjiijky !"#$µ ++++= ),0(~ !" Nijk

µ

i!

j!

ij!

ijk!

Modèle d’ANOVA à 2 facteurs

• Hypothèses sous-jacentes- modèle linéaire

- les facteurs A et B agissent sur la moyenne de façon additive

- les données suivent une loi normale de variance (l’erreur expérimentale)

- les effets et des variantes des facteurs A et B sont certains (effets fixes)

• Conditions d’applications:

- indépendance des observations

- homogénéité des variances

- normalité des résidus

• Estimateurs sans biais des effets:

- pour

- pour

- pour

- pourp. 7/16

Modèle d’ANOVA à 2 facteurs

µ2

!

i!

j!

xm =

xxaii!=

xxb ji !=

jiijij baxxc !!!=

µ

i!

i!

ij!

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…Xijn………X22nX21n…X12nX11n

…………………………

…Xijk………X22kX21k…X12kX11k

…………………………

…Xij2………X222X212…X122X112

…Xij1………X221X211…X121X111

…bj…b2b1…b2b1…b2b1

ai ……a2a1

Modèle d’ANOVA à 2 facteurs

• Tableau des observations

• Notations

ijnij Xx 1=

inpi Xxb

1=

jnpj Xxa

1=

N

Xx =!! ==

j

ij

jk

ijki XxX

!! ==

i

i

ik

ijkj XxX

!=k

ijkij xX

!=ijk

ijkxX

• i: niveau de A ; j: niveau de B ; k: numéro d’observation

• n: nombre de répétitions ; N = npapb : nombre total d’observations

• ddl de la résiduelle obtenus par soustraction (ddlt – [ddla + ddlb + ddlc])p. 9/16

pb – 1Facteur B

pa – 1Facteur A

N – 1Totale

papb(n-1)Erreur

(pa – 1)(pb – 1)Inter. AxB

CMddlSCEVariation

( )! "=

i

iba xxnpSCE2

( )! "=

j

jab xxnpSCE2

( )! +""=

ij

jiijc xxxxnSCE2

!=ijk

ijkr eSCE 2

( )! "=

ijk

ijkt xxSCE2

Modèle d’ANOVA à 2 facteurs

1!=

a

aa

p

SCECM

1!=

b

bb

p

SCECM

( )( )11 !!=

ba

cc

pp

SCECM

( )1!=

npp

SCECM

ba

rr

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Modèle d’ANOVA à 2 facteurs

• Equation de l’analyse de la variance

rcbatSCESCESCESCESCE +++=

• Interprétation

- Indépendamment des effets principaux des facteurs et de leur interaction,CMe est une estimée de l’erreur σ2

- Si les αi sont nuls, CMa est une estimation de σ2, indépendante de CMe

- Si les βj sont nuls, CMb est une estimation de σ2, indépendante de CMe

- Si les γij sont nuls, CMc est une estimation de σ2, indépendante de CMe

3 Hypothèses à tester grâce à la statistique de 3 Hypothèses à tester grâce à la statistique de Fisher-SnedecorFisher-Snedecor::ll’’interaction doit être testée avant les effets principaux!interaction doit être testée avant les effets principaux!

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Notion d’interaction

A1 A2

B2

B1

Pas d’interaction

A1 A2 A1 A2

Interaction croisée Interaction ordonnée

effet B

effet A

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Tests

• Tests: 3 hypothèses conduisant à trois estimées différentes de l’erreur résiduelle

- L’interaction ou effet d’ordre 2 (A x B) H0: pas d’interaction ; H1: interaction⇔ cas 2x2 H0:

- L’effet principal du facteur A H0: αi = 0 ∀ i ; H1: ∃ i tq. αi ≠ 0⇔ cas 2x2 H0:

- L’effet principal du facteur B H0: βj = 0 ∀ j ; H1: ∃ j tq. βj ≠ 0⇔ cas 2x2 H0:

• Statistiques associées

- Interaction A x B: est comparé à la valeur critique

- Effet principal A: est comparé à la valeur critique

- Effet principal B: est comparé à la valeur critique

22211211xxxx !=!

.2.1xx =

2.1.xx =

e

c

cCM

CMF =

( )( ) )]1(,11[1 !!!!

nppppF baba"

e

a

aCM

CMF =

( ) )]1(,1[1 !!!

npppF baa"

e

b

bCM

CMF =

( ) )]1(,1[1 !!!

npppF bab"

On On distinguedistingue les les deuxdeux cascas possiblespossibles……

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Tests

• L’interaction n’est pas significative

Les effet de A et de B sont dits « purs » et on peut supprimer le termed’interaction du modèle qui se restreint alors à:

et l’erreur expérimentale est estimée par:

ce qui conduit à un test plus puissant des effets principaux.

• Si de plus, l’effet principal du facteur A (ou B) se révèle non significatif, l’effetdu facteur B pourra être estimé par le modèle simplifié:

ijkjiijky !"#µ +++=

1+!!

!!=

ba

batr

ppN

SCESCESCECM

ijkjijky !"µ ++=

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Tests

• L’interaction est significative

- Cela signifie que l’effet du facteur A n’est pas le même selon lesmodalités du facteur B

- Si les deux effets principaux sont significatifs, pas de problème.

- Si un seul des effets principaux est significatifs (e.g. A), il fautanalyser les données sur chacun des niveaux de l’autre facteur (B):on parle d’effets simples pour A.

- Il se peut que seule l’interaction soit significative⇔

En moyenne et pour le domaine expérimental considéré, les effets de A et de B s’annulent.

- Effets principaux

effet A =

effet B =

- Effets simples

effet A|B1 =

effet A|B2 =

- Effet d’interaction

Interaction croiséeInteraction croisée: l’effet du facteur A s’inverse en fonction des niveauxdu facteur B, e.g. et

Interaction ordonnéeInteraction ordonnée: l’effet du facteur A est consistant quelque soit le niveau du facteur B, e.g.

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Tests

• Analyse des effets

22

12112221xxxx !

=!

22

21112212xxxx !

=!

1121xx !

1222xx !

2111xx <

2212xx >

jxx jj !>21

- Même principe que pour les plans à un facteur

- Attention: le nombre total de paires de moyennes est

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Tests

• Comparaisons multiples

( )2

1!baba pppp