04/18/23 1

Menentukan Akar Persamaan Nonlinear

(1)

Topik: Metode Bagi Dua (Bisection)

04/18/232

Dasar Metode Bagi Dua

Teorema:

x

f(x)

xu x

Sebuah persamaan f(x)=0, dimana f(x) sebuah fungsi riil yang kontinu, memiliki paling sedikit satu akar antara xl dan xu jika f(xl) f(xu) < 0.

04/18/233

Teorema Jika fungsi f(x) dalam f(x)=0 tidak berubah tanda antara dua titik,

maka akar mungkin masih terdapat di anatar kedua titik tersebut

x

f(x)

xu x

04/18/234

TeoremaJika fungsi f(x) dalam f(x)=0 tidak berubah tanda antara dua titik,

maka mungkin tidak terdapat akar di antara kedua titik tersebut.

x

f(x)

xu x

x

f(x)

xu

x

04/18/235

TeoremaJika fungsi f(x) dalam f(x)=0 berubah tanda antara dua titik, maka mungkin terdapat lebih dari satu akar di antara kedua titik tersebut

x

f(x)

xu x

04/18/236

Algoritma untuk Metode Bagi Dua

04/18/237

Input Fungsi f(x) Tebakan awal xl dan xu

Error maksimum Iterasi maksimum

04/18/238

Output Akar persamaan

04/18/239

Langkah 1 Pilih x dan xu sebagai dua tebakan awal untuk akar

sedemikian sehingga f(x) f(xu) < 0, atau dengan kata lain, f(x) berubah tanda antara x dan xu.

x

f(x)

xu x

04/18/2310

Langkah 2Perkirakan akar, xm dari persamaan f (x) = 0

sebagai titik tengah antara x dan xu sebagai

xx

m = xu

2

x

f(x)

xu x

04/18/2311

Langkah 3Lakukan pmeriksaan dengan cara

Jika f(x) f(xm) < 0, maka akar terletak antara x dan xm; akibatnya x = x ; xu = xm.

Jika f(x ) f(xm) > 0, maka akar terletak antara xm dan xu; akibatnya x = xm; xu = xu.

Jika f(x) f(xm) = 0; maka akarnya adalah xm. Hentikan algortima.

x

f(x)

xu x

xm

04/18/2312

Step 4

xx

m = xu

2

100

barum

lamam

baru

a x

xxm

sekarangakar estimasi barumx

sebelumnyaakar estimasilamamx

Titik tengah

Pendekatan Galat

04/18/2313

Langkah 5

Periksa jika galat kurang dari yang toleransi ditetapkan atau jika nilai iterasi maksimum tercapai

Ya

Tdk

Stop

Gunakan tebakan baru untuk batas

kiri/kanan dari Langkah 3, kembali ke Langkah 2.

04/18/2314

ContohTentukan akar

010993.3165.0)( 423 xxxf

04/18/2315

Grafik fungsi f(x) 423 10x99331650 -.+x.-xxf

04/18/2316

Periksa jika batas validPilih batas

4

4

10x662.211.0

10x993.30.0

11.0

00.0

f

f

x

x

u

04/18/2317

Iterasi #1

055.02

11.00

11.0,0

m

u

x

xx

5

4

4

10x655.6055.0

10x662.211.0

10x993.30

f

f

f

11.0

055.0

ux

x

04/18/2318

Iterasi #2

%33.33

0825.02

11.0055.0

11.0,055.0

a

m

u

x

xx

0825.0,055.0

10x62216.10825.0

10x662.211.0

10x655.6055.0

4

4

5

uxx

f

f

f

04/18/2319

Iterasi #3

06875.02

0825.0055.0

0825.0,055.0

m

u

x

xx

5

4

5

10x5632.506875.0

10x62216.10825.0

10x655.6055.0

%20

f

f

f

a

04/18/2320

KonvergensiTabel 1: Akar f(x)=0 sebagi fungsi dari banyaknya interasi untuk Metode Bisection

Iteration x xu xm a % f(xm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.00000

0.055

0.055

0.055

0.06188

0.06188

0.06188

0.06188

0.0623

0.0623

0.11

0.11

0.0825

0.06875

0.06875

0.06531

0.06359

0.06273

0.06273

0.06252

0.055

0.0825

0.06875

0.06188

0.06531

0.06359

0.06273

0.0623

0.06252

0.06241

----------

33.33

20.00

11.11

5.263

2.702

1.369

0.6896

0.3436

0.1721

6.655x10-5

-1.6222x10-4

-5.5632x10-5

4.4843x10-6

-2.5939x10-5

-1.0804x10-5

-3.1768x10-6

6.4973x10-7

-1.2646x10-6

-3.0767x10-7

04/18/2321

Kunggulan Metode Selalu konvergen Dijamin selalu ada bagi dua untuk

akar yang dikurung.

04/18/2322

Kelemahan

Konvergensi lambat

04/18/2323

Kelamahan (lanj.) Jika salah satu tebakan awal terlalu

dekat ke akar maka konvergensi akan lebih lambat

04/18/2324

Kelamahan (lanj.) Jika sebuah fungsi f(x) menyentuh

sumbu-x maka tebakan awal tidak adapt ditentukan

f(x)

x

2xxf

04/18/2325

Kelemahan (lanj.) Fungsi berubah tanda tapi akar tidak

ada

f(x)

x

x

xf1