BLOQUE 5Saberes Conocimientos HabilidadesActitudes y valores SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJEUNIDAD DE COMPETENCIAReconoce trinomios que no son cuadrados perfectos, como producto de factores lineales.Trinomios de la forma x2+bx+c.Trinomios de la forma ax2+bx+c, con a0, 1.Polinomios que requieren combinar tcnicas.Identifca expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplifcadas.Reconoce expresiones racionales en forma simplifcada a partir de factores comunes y la divisin de polinomios.Realizatransformaciones algebraicas IIBLOQUE 5Saberes Conocimientos HabilidadesActitudes y valores SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJEUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos aritmticos, algebraicos y grfcos aplicando las propiedades de los nmeros reales y expresiones algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representacin y resolucin de situaciones y/o problemas algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.Identifca las caractersticas presentes en tablas, grfcas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico.Escribe trinomios de la forma x2+bx+c como producto de dos binomios cuando:a) c es positivo.b) c es negativo.Escribe trinomios de la forma ax2+bx+c como producto de dos binomios con factores:a) enteros b) no enterosElige, entre varias tcnicas posibles, la ms apropiada o simple para factorizar una expresin.Combina dos o ms tcnicas diferentes al factorizar ciertas expresiones.Resuelve o formula problemas de su entorno u otros mbitos; interpreta soluciones y argumenta stas utilizando distintas formas de comunicacin y representacin matemtica.Expresa trinomios de la forma x2+bx+c como producto de factores lineales.Expresa trinomios de la forma ax2+bx+c, con a0, 1, como producto de factores lineales.Utiliza una o varias tcnicas de transformacin para descomponer un polinomio en factores.Obtiene factores comunes, factorizando con las tcnicas aprendidas y reduce stos.Ejecuta divisiones entre polinomios.Escribe expresiones racionales en forma simplifcada utilizando factores comunes y la divisin de polinomios.Expresa ideas y conceptos mediante representaciones en lenguaje comn, simblico o grfco.Utiliza las tecnologas para procesar e interpretar informacin.Construye hiptesis y disea o aplica modelos.Aprecia la ventaja de realizar diversas transformaciones algebraicas para simplifcar o interpretar resultados.Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, dentro de distintos equipos de trabajo.Acta de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.168B5 B5 Enestebloqueanalizaremosalgunasreglasquepermitenrealizarla multiplicacin de un cierto tipo de binomios de una manera directa, es decir, sinrealizarcompletamenteelprocedimientoenelbloqueanterior.Reglas queademspermiteneldesarrollodelclculomental,vistoindispensable eneldesarrollodediversascompetencias.Tambinrevisaremos,adems elconceptodefactorizacindepolinomiosylosdiferentescasosque sepresentan,ascomolaaplicacindestaenlasimplifcacinyenlas operaciones con fracciones algebraicas.Resuelve los siguientes ejercicios.1.58716512+ - =

2.72455663 =3.(3x + 5)2 - 3(x + 5)(x 6) =4.(2x 3)(4x2 + 6x + 9) =5. 4 8 2042 2 3 3xy xy xyxy- +=rea de un cuadradoConsidera las siguientes situaciones y responde lo que se indica.1.Elarquitecto Gmezcomprunterrenocuadradode80mdeladoenun nuevo fraccionamiento.INTRODUCCINEvaluacin diagnsticaActividad B5 169B5 Realiza transformaciones algebraicas IIAlmedirlosediocuentadequeelterreno tena, en dos de sus caras, 20 m, por lo que el terreno restante lo dividi entre sus tres hijos de acuerdo a como se formaron los terrenos.a)Qusuperfcieletocaalarquitecto Gmez?b) Qu superfcie le corresponde al hijo 1?c) Qu superfcie le corresponde al hijo 2?d) Qu superfcie le corresponde al hijo 3?e) Calcula la superfcie total del terreno:Sumando las superfciesUtilizando la frmula de clculo para el rea de un cuadrado2. Supn ahora que el terreno meda de lado x y que al medirlo, su lado meda a unidades ms.a) Determina una regla para calcular la superfcie total del terreno. b) Explica brevemente la regla.Lasactividadesanterioresestnrelacionadasconciertasreglasespecfcas quenospermitenmultiplicaralgunoscasosparticularesdepolinomiosde manera mental.Binomio al cuadradoEn el caso del arquitecto Gmez, el rea del terreno puede calcularse al sumar las reas de cada uno de los terrenos parciales.PRODUCTOS NOTABLES170B5 B5 A = AG + AH1 + AH2 +AH3A= (80)2 + (80)(20) + (20)(80) + (20)2A= 802 + 2(80)(20) +202A= 6400 + 3200 + 400A= 100,000 m2Queeselmismoresultadodeaplicar lafrmulaparaelclculodelreadel cuadrado.A = (80 + 20)2 = (100)2 = 100,000Si observamos el procedimiento, tenemos que al desarrollar un binomio al cuadrado: elcuadradodelprimersumando(802), ms2veceselproductodelprimer sumando por el segundo, (2)(80)(20), ms el cuadrado del segundo (202).Si generalizamos la regla a cualquier binomio elevado al cuadrado, tenemos:(x + a)2 = x2 + 2ax + a2Si los signos del binomio fueran contrarios el nico signo que cambia es el del doble producto, pues (-a)2 = a2La manera directa de desarrollar un binomio elevado al cuadrado es: Ejemplos1. (x + 3)2 = x2 + 2(3)(x) + 32 =x2 + 6x + 92. (m 8)2 = m2 2(8)(m) + 82 = m2 -16m + 643. (3x + 5)2 = (3x)2 + 2(5)(3x) + (5)2 = 9x2 + 30x + 25Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado1. (x + 3)2 =7. (1 + 3x2)2 =2. (5 + a)2 = 8. (2x + 3y)2 = 3. (6x + y)2 = 9. (a2x + by2)2 = 4. (9 + 4x)2 = 10. (3a3 + 8b4)2 = 5. (7x + 11)2 = 11. (4m5 + 5n6)2 = 6. (a + b)2 =12. (7a2b3 + 5x4)2 = Actividad B5 171B5 Realiza transformaciones algebraicas II13. (4xy2 + 5wz3)2 =23. (x - 3y)14. (8x2y + 9m3)2 = 15. (x10 + 10y12)2 =24. (2x + 6) 25. (3x - 5)16. (x + 5) 17. (x - 7)18. (a + 1) 26. (6x - 8y) 27. (0.2x - 3) 28. (5a - 0.3) 19. (m + 21)29. (34x- 5) 20. (x - 2) 21. (x - 18) 22. (p + 5q)30.23342a b

Binomios conjugadosOtro producto que aparece frecuentemente en distintos procesos matemticos es el producto de binomios conjugados, donde dos binomios son conjugados sinicamentediferenenunsigno;porejemplo,lassiguientesparejasde binomios son binomios conjugados:a + b y a b x + 3 y x 33x2 8 y 3x2 + 85m2n + 4y -5m2n +4 Si multiplicamos dos binomios conjugados como polinomios tenemos:(x + a)(x a) =x2 ax +ax a2Si observamos los trminos remarcados, vemos que son trminos semejantes, que tienen el mismo coefciente pero signos contrarios, por lo cual se anulan y el resultado queda:(x + a)(x a) = x2 a2El cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino.Directamente:172B5 B5 Ejemplos(a + b)(a b) = a2 b2 (x + 3)( x 3) = x2 - 9(3x2 8)(3x2 + 8) =9x4 - 64 (5m2n + 4)(-5m2n +4) = (4+5m2n)(4-5m2n) = 16 25m4n2(a2b3 2 ) (a2b3 +2) = a4b6 2Realiza los productos de binomios conjugados.1. (a+3)(a+3)=9. (2x 1)(2x + 1) =2. (3x+2)(3x-2)= 10. (n 1)(n + 1) =3. (6x+2y)(6x-2y)= 11. (1 3ax)(3ax + 1) =4. (x2-4) (x2+4) = 12. (2m + 9)(2m 9) =5. (x + y)(x y) = 13. (x3 x2)(x3 + x2) =6. (m n)(m + n) = 14. (y2 3y)(y2 + 3y) =7. (a x)(x + a) = 15. (1 + 8xy)(8xy 1) =8. (x2 + y2)(x2 y2) = 16. (6x2 m2x2)(6x2 + m2x2) =Binomios con trmino comnDecimosquedosbinomiostienenuntrminocomncuandounodelos trminosdeunbinomioesidnticoauntrminodelotrobinomio;por ejemplo, las siguientes parejas de binomios tienen un trmino comn:(x + a) y(x + b)(x + 3) y(x 5)(m + 4) y(m + 6)(m2 8)y(m2 2)(4xy2 6) y(4xy2 + 3)(x 3) y(4 + x)Veamos cmo se obtiene la regla.Al multiplicar directamente los binomios tenemos:(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + abActividad B5 173B5 Realiza transformaciones algebraicas IIObservaquelostrminosremarcadossonsemejantesypuedenreducirse sumando sus coefcientes, as tenemos:(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + ax+ bx + ab = x2 + (a + b)x + abEs decir:El producto de binomios con trmino comn es igual a: el cuadrado del trmino comn, ms la suma (o resta) de los trminos no comunes multiplicada por el trmino comn, ms el producto de los trminos no comunes.Si los trminos no comunes tienen el mismo signo (los dos positivos o los dos negativos), se deben sumar y si son de signos contrarios, se deben restar. En el producto de los trminos no comunes deben respetarse las leyes de los signos.Ejemplos(x + 3)(x 5) = x2 +(3 5)x + (3)(-5) = x2 2x - 15(4xy2 6)(4xy2 + 3)= (4xy2)2 +(-6 + 3)(4xy2) + (-6)(3)=16x2y4 12xy2 - 18(m + 4)(m + 6) = m2 +10m + 24(m2 8)(m2 2) = m4 10m2 + 16 (x 3)(4 + x)= (x 3)(x + 4) = x2 + x - 12(m 9) (m + 2) = m2 7m 18(x + 5) (x 12) =x2 7x 60(x 7) (x 8) =x2 15x + 561. (x + 3)(x + 6) 6. (y - 3)(y +8 )2. (y - 4)(y + 5) 7. (xy - 4)(xy + 9)3. (m -7)(m + 2) 8. 2x + 3)(2x - 5)4. (x2 + 3)(x2 - 6) 9. (4x2 + 1)(4x2 - 7)5. (x - 11)(x + 6)Binomioscontrminosnocomunesocontrminos semejantesEn este caso ninguno de los binomios tiene un trmino comn pero los trminos delprimerbinomiosonsemejantesalostrminosdelsegundobinomio;por ejemplo, las siguientes parejas de binomios tienen trminos semejantes:(2x + 5) y (5x - 6)Actividad 174B5 B5 Actividad El producto de binomios con trminos semejantes es igual a: la suma de los productos de las parejas de trminos semejantes y los productos de las parejas de trminos no semejantes.1. 2 3 5 6 15 12 18 x xax xbc+ ( ) + ( )= + + + 10x2

( ) =10x2 + 27x + 18Primeros trminos: 2x, 5xTrminosmedios: 3, 5xTrminosextremos: 2x, 6Segundos trminos: 3, 6a.El producto de los primeros trminos:(2x) (5x) = 10x2b.Sumadelproductodelostrminosmediosconelproductodelos trminos extremos:[(3) (5x) + (2x) (6)] = (15x + 12x) = 27xc. Producto de los segundos trminos:(3)(6) = 182. (2x 3) (4x + 1) = 8x2 10x 33. (5y + 3) (2y 3) = 10y2 9y 91. (4m + 3)(2m 7) 6. (6xy - 7)(2xy 5)2. (3x + 5)(2x 9) 7. (5m3 + 4)(2m3 + 7)3. (8m + 11)(7m 4) 8. (6z - 1)(2z + 9)4. (5y + 3)(2y 1) 9. (7y2n - 3)(4y2n 5)5. (4m2 - 5)(2m2 3) 10. (4m - 11)(7m + 4)Actividad B5 175B5 Realiza transformaciones algebraicas IIActividad Binomio al cuboComo su nombre lo indica, desarrollaremos ahora un binomio elevado al cubo:(x + a)3 = (x + a)(x+a)2 = (x+a)(x2 + 2ax + a2) = x3 +2ax2 + a2x + ax2 + 2a2x + a3 = x3 + 3ax2 +3a2x + a3En el caso de un binomio con signos contrarios el desarrollo es: (x - a)3 = (x - a)(x-a)2 = (x-a)(x2 - 2ax +a2) = x3 -2ax2 + a2x - ax2 + 2a2x - a3 = x3 - 3ax2 +3a2x - a3La regla es, por lo tanto:Unbinomioalcuboesiguala:elcubodelprimertrmino,ms(omenos) eltripleproductodelprimertrminoelevadoalcuadradoporelsegundo trmino,mseltripleproductodelprimertrminoporelsegundotrmino elevado al cuadrado, ms (o menos) el cubo del segundo trmino.(x2 1)3 = (x2)3 + 3(x2)2(1) + 3(x2)(-1)2 + (-1)3 =x6 3x4 + 3x2 1(3x3 + 4y2)3 = (3x3)3 + 3(3x3)2(4y2)+3(3x3)(4y2)2 + (4y2)3= 27x9 + 108x6y2 + 144x3y4 + 64y6(x 2)3 = x3 6x2 + 12x 81. (x + 5)3= 6. (a + 8)32. (m 4)3= 7. (2x + 1)3 =3. (z 3)3= 8. (3x 2y)3 =4. (x + 6)3= 9. (a 2b2)3 = 5. (x 7)3= 10. (2m 5n)3 =

Productos especialesUn tipo especial de producto notable es el de un binomio por un trinomio muy particular:( x+ a)( x ax+a ) = x ax+ a x + axa x + a= x+ 2 3 2 2 2 2 3 3 2- - - aa3Observemosquenoesuntrinomiocualquiera,sinoqueestformadoporel 176B5 B5 cuadradodelprimertrmino,elproductodelosdostrminosdelbinomio, peroconsignocontrario,yporelcuadradodelsegundotrmino.Enestas condiciones obtenemos una suma de cubos.Anlogamente puede mostrarse que: (x - a)(x2 + ax + a2) = x3 a3En forma directa, multiplicamos el primer trmino del binomio por el primer trminodeltrinomio,ms(omenos)ymultiplicamoselltimotrminodel binomio por el ltimo trmino del trinomio, respetando leyes de signos.Ejemplos(x + 3)(x2 3x + 9) = x3 + 27(m 4)(m2 + 4m + 16) = m3 641. (m + 2)(m22m + 4)2. (x 6)(x2 + 6x + 36)3. (5x + 2)(25x2 10x + 4)4. (y 5)(y2 + 5y + 25)5. (2x2 + 9)(4x4 18x2 + 81)6. (3xy + 8)(9x2y2 24xy + 64)7. (t + 7s)(t2 7ts + 49s2)8. (4x2 3y)(16x4 + 12x2y + 9y2)Loimportanteparadesarrollarunproductonotablees,primeramente, identifcarlascaractersticasdelosbinomiosqueenlintervienen,esdecir, a qu caso de los productos notables pertenecen, y posteriormente aplicar la regla correspondiente. Lasiguientetablamuestralosproductosnotables,laformaespecialdel polinomio con la cual se asocia y los nombres que reciben.Actividad B5 177B5 Realiza transformaciones algebraicas IIProducto notable Desarrollo Regla NombreBinomio al cuadrado(a b)2 = a2 2ab + b2Elcuadradodelprimertrminoms(omenos)el dobleproductodelprimertrminoporelsegundo, ms el cuadrado del segundo.Trinomio cuadrado perfectoBinomios conjugados(a b) (a + b) =a2 b2El cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino.Diferencia de cuadradosBinomios con trmino comn(x + a) (x + b) =x2 + (a + b)x + abElcuadradodeltrminocomn,mslasuma(o resta) de los trminos no comunes multiplicada por el trmino comn, ms el producto de los trminos no comunes.Trinomio de la formax2 + bx + cBinomios con trmino no comn(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bdLasumadelosproductosdelasparejasde trminos semejantes y los productos de las parejas de trminos no semejantes.Trinomio de la formaax2 + bx + cBinomio al cubo(a b)3 =a3 3a2b + 3ab2 b3El cubo del primer trmino, ms (o menos) el triple productodelprimertrminoelevadoalcuadrado porelsegundotrmino,mseltripleproductodel primertrminoporelsegundotrminoelevado alcuadrado,ms(omenos)elcubodelsegundo trmino. Productos especiales(x + a)(x2 ax + a2) = x3 + a3Elprimertrminodelbinomioporelprimer trmino del trinomio ms (o menos) el producto del ltimotrminodelbinomioporelltimotrmino del trinomio.Suma de cubos(x - a)(x2 + ax + a2) = x3 a3 Diferencia de cubosComomencionamosaliniciodelbloque,losproductosnotablesdesarrollanla habilidaddelclculomental,entreotrashabilidades,quedesembocanenel desarrollo de competencias.EjemplosUtiliza productos notables para calcular el resultado de las siguientes operaciones:a) (46)2,b)(84)(76)c) (25)(27)d) (34)(48) e)(14)3Solucina) (46)2 = (40 + 6)2 = 402 + 2(6)(40) + 62 = 1600 + 480 + 36 = 2116 o bien, (46)2 = (50 - 4)2 = 502 - 2(4)(50) + 42 = 2500 - 400 + 16 = 2116En ambos casos, desarrollada la operacin como un binomio al cuadrado. b) (84)(76) = (80 +4)(80 4) = 802 - 42 = 6400 16 = 6384178B5 B5 Desarrollada la operacin como un producto de binomios conjugadosc) (25)(27) = (20 + 5)(20 + 7) = 202 + 12(20) + 35 = 400 + 240 + 35 = 675d) (34)(48) = (40 6)(40 + 8) = 402 + 2(40) 48 = 1600 + 80 48 =1632Desarrolladas ambas operaciones como producto de binomios con trmino comn.e) (14)3 = (10 + 4)3 = 103 + 3(10)2(4) + 3(10)(4)2 + 43 = 1000 + 1200 +480 + 64 = 2744Desarrollada la operacin como un binomio al cubo.Desarrolla los productos notables que se indican. 1. (2x + 3y) (2x 3y) =2. (1 7x2) (1 + 7x2) = 3. (11xy3 6x2) (11xy3 + 6x2) =4. (x + 3)2 = 5. (x 5)2= 6. (2x + 9) (2x + 1) =7. (x + y + 1) (x + y 4) =8. (5y2 2)2 = 9. (ax + 2by)2 = 10. (x + 3) (x + 5) =11. (y 9) (y + 1) =12. (a2 + 7) (a2 4) = 13. (x5 7)2 =14. (5w 3) (5w 4) =15. (4b2 + 1) (4b2 7) =16. (2x + 5) (4x 1) = 17. (3x + y) (4x 2y) =18. (7y2 2) (2y2 1) = 19. (x + y + 1)2 = 20. (a b + 3)2 =21.(2x + 3y)2 =22. (5x 6y) (5x 6y) =23. (x + y + 1) (x + y 4) =24. (a + b 5) (a + 5 + b) =25. (5x + 4)3 =26. (x 7y)3 = 27. (a2 2b2)3 = 28. (2mn 5m2n2)3 = 29. (2x + 9) (2x 9) =30. (5x 6y) (5x 6y) =31. (a + b 5)(a + 5 + b) =32. (3x + 4) (2x 3) =33. (x2 5) (x2 + 2) =34. (x 9y) (x + 7y) =35. (xy + 8) (xy + 6) =36. (xy + 10) (xy 3) = 37. (x2 6y2)2=38. (x3 10)2 =39. (2xy + y2)2 =40. (6x2y2 9)2 =Actividad B5 179B5 Realiza transformaciones algebraicas IIUnmedioquefacilitaencontrarlosfactoresnumricos(coefcientes)del desarrollo de un binomio elevado a la n-potencia, conocido como binomio de Newton, es el Tringulo de Pascal.EnlasiguientetablasemuestraelTringulodePascal.Lascolumnasse relacionanconcadarengln;alaizquierdaconelbinomioelevadoala potenciacorrespondienteyaladerecha,coneldesarrolloasociado,donde se resaltan los coefcientes de cada trmino.n = 1, 2, 3, Tringulo de Pascal Desarrollo(a + b)01 1(a + b) 1 1 1a + 1b(a + b)2123 1a2 + 2ab + 1b2(a + b)31331 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3(a + b)414641 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4(a + b)5115101051 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5.........Observaciones sobre el desarrollo mostrado en la tabla anterior: 1.Se escribieron los coefcientes 1 slo con la fnalidad de hacer ms explcita la aplicacin del tringulo de Pascal, pero en general, stos se omiten.2.El nmero de trminos de cada desarrollo es n + 1, donde n es el exponente delbinomiocorrespondienteycadacoefcienteobtenidoenel Tringulo de Pascal es un factor en cada uno de los trminos del desarrollo.3. Para completar cada trmino del desarrollo se multiplican los coefcientes yaobtenidoseneltringulodePascalporlostrminosdelbinomio, elprimeroconsideradoenformadecrecienteyelsegundoenforma creciente, siendo el mayor exponente al que est elevado el binomio (n), y el menor exponente 0.4.Lostrminosdeldesarrollosesuman,esdecir,elsignoresultante(+o-) depender de los signos en los trminos del binomio.TRINGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTON180B5 B5 EjemplosUtilizandoelTringulodePascal,yatendiendoalasobservacionesnecesarias,se muestran los siguientes binomios de Newton con su respectivo desarrollo.1. (x + 5)4 = (x)4 + 4(x)3(5) + 6(x)2(5)2 + 4(x) (5)3 + (5)4= x4 + 4x3(5) + 6x2(25) + 4x(125) + 625 = x4 + 20x3 + 150x2 + 500x + 6252. (2x 3)5 = (2x)5 + 5(2x)4( 3) + 10(2x)3(3)2 + 10(2x)2(3)3 + 5(2x) (3)4 + (3)5 = 32x5 + 5(16x) ( 3) + 10(8x3) (9) + 10(4x2) (27) + 5(2x) (81) + (243)= 32x5 240x + 720x3 1080x2 + 810x 2433. (x + 2)7 = (x)7 + 7(x)6(2) + 21(x)5(2)2 + 35(x)4(2)3 + 35(x)3(2)4 + 21(x)2(2)5 + 7(x)(2)6 + (2)7= x7 + 7x6(2) + 21x5(4) + 35x4(8) + 35x3(16) + 21x2(32) + 7x(64) + 128= x7 + 14x6 + 84x5 + 280x4 + 560x3 + 672x2 + 448x + 128Observa que si los trminos del binomio tienen signos contrarios, entonces el polinomio resultante alterna signos.1. Encuentra los coefcientes de los binomios elevados a las potencias 6, 7, 8, 9 y 10, continuando la construccin del tringulo de Pascal antes mostrado.2. Utiliza el tringulo de Pascal para encontrar el desarrollo de los siguientes binomios elevados a la potencia que se indica:1. (x + 1)4 =2. (3x 5)6 =3. (2x + 3y)5 =4. (a2 b2)7 =5. (x2 y2)5= 6. (x3 2)8 = 7. (8xy + y2)4 = 8. (2x2y2 3)4 = 9. (x + 4)8 = 10. (x y)10 = 11. (a2 + 2b2)5 = 12. (2mn m2n2)4 = 13. (6a2 2b2)5 = 14. (3mn + 5m2n2)4 = 15. (2ab2 + 4a2b3)5 =Actividad B5 181B5 Realiza transformaciones algebraicas IIFactorizar un polinomio es representar a dicho polinomio como un producto de dos o ms factores simples.Unfactorsimpleesunpolinomioquenoesposiblerepresentarlocomo productodedosfactoresdiferentesalaunidad;porejemplo,x+3,2x+3 son polinomio simples.La siguiente tabla muestra la forma especial del polinomio y su factorizacin respectiva, la cual corresponde a alguno de los productos notables, indicando nuevamente los nombres que reciben.Forma especial de polinomio Factorizacin Producto notablePolinomio con factor comnac + bc dc= c(a + b - d) Por factor comnDiferencia de cuadradosa2 b2=(a-b)(a+b) Binomios conjugadosTrinomio de la formax2 + bx + cx2 + bx + c = (x + n) (x + m)donde: n + m = b y nm = cBinomios con trmino comnTrinomio cuadrado perfectoa2 + 2ab + b2 = (a + b)2Binomio al cuadradoTrinomio de la formaax2 + bx + cax2 + bx + c =(rx + n) (sx + m)donde: rs = a, ns + rm = b y nm = cBinomios con trminos semejantesSuma o diferencia de cubosa b= (ab) (a ab + b )2 2 3 3 Productos especiales Factor comnEl primer caso a considerar al intentar factorizar un polinomio es determinar si tiene factor comn. Unpolinomiotieneunfactorcomnsiexisteunnmerodistintodela FACTORIZACIN182B5 B5 unidad o una variable (o ambos elementos) que dividan exactamente a todos lostrminosdelpolinomio,esdecirsitodosloscoefcientessondivisibles por dicho nmero, o bien una o ms variables estn contenidas en todos los trminos de dicho polinomio.EjemploEl polinomio:3x4 + 24x2 27xva a tener factor comn pues, por lo menos, la variable x aparece en todos sus trminos.Por otra parte, el polinomio: 3x2 + x 5notienefactorcomnpuescontieneuntrminoquenotienevariable(eltrmino independiente)ynoexisteningnnmerodistintode1quedividaatodoslos coefcientes de sus trminos.Elfactorcomndeunpolinomioestformadoporelmximocomndivisor,los coefcientesyporla(s)variable(s)queaparecenentodoslostrminosytenganel menor exponente.Parafactorizarunpolinomioporfactorcomn,primeroseobtienedichofactor.El otro factor al dividir el polinomio a factorizar entre su factor comn.EjemploFactoriza16x4y3-4x3y2+12x2yObservamos que el MCD de los coefcientes es 4 y que las variables comunes a todos los trminos son x e y; adems, el menor exponente de x es 2 y el de y es 1, por lo tanto, el factor comn de dicho polinomio es4x2yAl dividir el polinomio entre el factor comn obtenemos:16 4 1244 34 3 3 2 222 2xy xy xyxyxy xy += +Por lo tanto, la factorizacin se expresa como:16 4 12 4 4 34 3 3 2 2 2 2 2xy xy xy xy xy xy + = + ( )Anlogamente, la factorizacin de los siguientes polinomios queda:8m4n3 + 12m3n6 =4m3n3(2m + 3n3)25x2y5z3 10x4y2z7 + 15xy6z5 =5xy2z3(5xy3 2x3z4 + 3y4z2)Antes de intentar otro tipo de factorizacin debe descartarse la de factor comn, ya que es posible que, adems de sta, se efecten otras ms.B5 183B5 Realiza transformaciones algebraicas IIFactoriza las expresiones por factor comn.1. 6x - 12 =2. 4x - 8y =3. 10x - 15x2 =4. 4m2 -20 am =5. ax + bx + cx =6. 4a3bx - 4bx =7. 3ab + 6ac - 9ad =8. 6x4 - 30x3 + 2x2 =9. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =10. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =11. 24a - 12ab =12. 14m2n + 7mn =13. 8a3 - 6a2 =14. b4-b3 =15. 14a - 21b + 35 = 16. 20x - 12xy + 4xz =17. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 18. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4= 19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =20. 34892 2xy xy = 21. 1214181162 3 3 4 2 5 4 2a b a b a b a b + + = 22. 43512581516252 2 3 3a b ab a b a b + =

Diferencia de cuadradosUnadiferenciadecuadradosesunbinomiocuyostrminostienensignos contrarios. Se representa como:x2 a2Para factorizar una diferencia de cuadrados se le extrae raz cuadrada al valor absoluto de sus trminos, y los binomios factores se obtienen como binomios conjugados.EjemploFactoriza:1.x2 36 x2= xx x x236 6 6 = + ( )( )= 6x x x236 6 6 = + ( )( )2. 4a2 9b4 = (2a + 3b2)(2a 3b2)3. n2 13 = (n 13 )(n + 13)Actividad 184B5 B5 Factoriza.1. 9a2 25b2 =2. 16x2 100 =3. 4x2 1 =4. 9p2 40q2 =5. 36m2n2 25 =6. 49x2 64t2 =7. 169m2 196 n2 =8. 121 x2 144 k2 =9. 92549362 2a b - =10. 1259164 4x y - = 11. 3x2 12 =12. 5 180f2 =13. 8y2 18 =14. 3x2 75y2 =15. 45m3n 20mn =16. 2a5 162 a3 = Trinomio de la forma x2 + bx + cEn el trinomio de la forma x2 + bx + cidentifcamos un trmino cuadrtico (x2), un trmino lineal (ax) y un trmino independiente (c).Parafactorizaruntrinomiodelaformax2+bx+cextraemosrazcuadrada al trmino cuadrtico y buscamos dos nmeros n y m tal que, multiplicados, den el valor del trmino independiente (c) y que, sumados o restados, den el coefciente del trmino lineal (b). Si el trmino independiente es positivo, los dos nmeros n y m son del mismo signo y se suman. El signo que les corresponde es el del coefciente del trmino lineal. Si el trmino independiente es negativo, los nmeros son de signo contrario y al nmero mayor n o m le corresponde el signo del trmino lineal.La factorizacin se realiza tomando binomios con trmino comn.Analicemos los siguientes casos:Ejemplos1. Factoriza el trinomio x2 + 7x+ 10Al extraer raz cuadrada al trmino cuadrtico tenemos:x x2= Actividad B5 185B5 Realiza transformaciones algebraicas IIPuestoqueeltrminoindependienteespositivo,necesitamosdosnmeros multiplicadosqueden10,quealsumarsedencomoresultado7,yaambosles corresponde el signo del trmino lineal, es decir, positivo.Dichos nmeros son 5 y 7, pues:(2) (5) = 10 y 2 + 5 = 7 La factorizacin queda como:x2 + 7x+ 10 = (x + 5)(x + 2)2.Analicemos otro ejemplo.Factoriza el trinomio x2 3x 28Al extraer raz cuadrada al trmino cuadrtico tenemos: x x2=Puestoqueeltrminoindependienteesnegativo,necesitamosdosnmerosqueal multiplicarse den -28 y que al restarse den como resultado -3; por lo tanto,al mayor le corresponde el signo del trmino lineal, es decir, negativo; por consiguiente, al otro, el signo contrario, es decir, positivo.Los nmeros buscados son 4 y -7 pues:(4)(-7) = -28y 4 + (-7) = -3 La factorizacin queda: x2 3x 28 = (x 7)(x + 4)Anlogamente se factorizan los siguientes trinomios:m2 10m + 21 = (m 7)(m 3)x2 4xy 12y2= (x 6y)(x + 2y)x2 -10x + 25 = (x 5)(x 5) = (x 5)2Si los binomios son iguales, entonces la factorizacin es un binomio al cuadrado.Actividad 186B5 B5 Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:1. x2 + 4x + 3 =2. b2 + 8b + 15 =3. 25m2 - 70 mn + 49n2 =4. 25x2 + 70xy + 49y2 =5. r2 - 12r + 27 =6. x2 - x - 2 =7.16m2 - 40mn + 25n2 =8. x2 - 12x + 35 =9. x2 + 14xy + 24y2 =10. m2 + 19m + 48 =11. x2 + 5x + 4 =12. x2 + 10x + 25 =13. b2 - 12b + 36 =14. y2 - 3y - 4 =15. m2 - 2m + 1 =16. 4a2 + 4a + 1 =17. a2 + 7a + 10 =18. 49x2 - 14x + 1 =19. 36x2 - 84xy + 49y2 =20. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =21. 1 + 6a + 9a2 =22. h2 - 27h + 50 =23. 25a2c2 + 20acd + 4d2 =24. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =25. s2 - 14s + 33 =26. m2 7mn + 12n2 =Trinomio de la forma ax2 + bx + cEneltrinomiodelaformaax2+bx+cidentifcamosuntrminocuadrtico (ax2), un trmino lineal (ax) y un trmino independiente (c).Para factorizar un trinomio de la formaax2 + bx + c primero extraemos la raz cuadrada del trmino cuadrtico sin su coefciente, es decir:x x2= Ahora buscamos dos parejas de nmeros (r y s) y (n y m) tales que el producto de r y s del coefciente del trmino cuadrtico (rs = a) y que el producto de m y n del trmino independiente (mn = c);y quela suma (o resta) de los productos delosnmerosdelaprimeraparejaconloselementosdelasegundadel coefciente del trmino lineal:(rm sn = b o rn sn = b)Sieltrminoindependienteespositivo,losproductossesumanyaambos lescorrespondeelsignodeltrminolineal;ysiesnegativo,serestanyal producto mayor le corresponde el signo del coefciente lineal, y al otro el signo contrario.Ejemplos1. Analicemos el proceso factorizando el trinomio8x2 14x 15x x2=Actividad B5 187B5 Realiza transformaciones algebraicas IIExtraemos raz cuadrada al trmino cuadrtico sin el coefciente. Necesitamosdosnmerosquemultiplicadosdencomoresultadoelcoefciente cuadrtico(8)ydosnmerosquemultiplicadosdencomoresultadoeltrmino independiente (15).Comoeltrminoindependienteesnegativo,losproductosdeloselementosdela primera pareja y los elementos de la segunda se deben restar, de tal manera que den como resultado el coefciente del trmino lineal (-14).Las parejas de nmeros son 4 y 2, y -5 y 3 pues (4)(2) = 8 y (-5)(3) = -15Adems (4)(-5) + (2)(3) = -20 + 6 = -14 La factorizacin queda como:8x2 14x 15 = (4x + 3)(2x 5)Observa que los factores se forman con los trminos que no se multiplicaron.2. Analicemos otro ejemplo:14x2 + 43x - 21 La factorizacin queda: 14x2 + 43x 21 = (7x 3)(2x + 7)Anlogamente se factorizan los siguientes trinomios:2x2 5x + 2 = (2x 1)(x 2)4x2 + 9x 9 = (4x 3)(x + 3)Factoriza los siguientes trinomios.1. 5x2 + 11x + 2 =2. 3a2 + 10ab + 7b2=3. 4x2 + 7x + 3 =4. 4h2 + 5h + 1 =5. 5 + 7b + 2b2 =6. 7x2 - 15x + 2 =7. 5c2 + 11cd + 2d2 =8. 2x2 + 5x - 12 =9. 6x2 + 7x - 5 =10. 6a2 + 23ab - 4b2 =Actividad Actividad 188B5 B5 11. 3m2 - 7m - 20 =12. 8x2 - 14x + 3 = 13. 5x2 + 3xy - 2y2 =14. 7p2 + 13p - 2 =15. 6a2 - 5a - 21 =16. 2x2 - 17xy + 15y2 =17. 2a2 - 13a + 15 =Suma y diferencia de cubosUna suma de cubos es un binomio cuyos trminos tienen signos iguales (x3 + a3) y ambos tienen raz cbica exacta. Anlogamente, una diferencia de cubos es un binomio cuyos trminos tienen signo contrario (x3 - a3) y ambos tienen raz cbica exacta.Para factorizar una suma (x3 + a3) o una diferencia (x3 - a3) de cubos, se extrae raz cbica a ambos trminos y con ellas se forma un binomio (x + a) o (x - a). El otro factor es un trinomio que se forma de acuerdo con la siguiente regla: el cuadrado del primer trmino, el signo contrario al del binomio, el producto de ambos trminos ms el cuadrado del segundo trmino.Recuerda, para obtener la raz cbica de un trmino, se extrae raz cbica a su coefciente y se divide entre 3 el o los exponentes de la(s) variable(s).Otros ejemplos:8a3 125b6 = (2a 5b2)(4a2 + 10ab2 + b4)64n3 + 216 = (4n + 6)(16n2 64n + 36)Realiza las siguientes operaciones1. 64 x3 =2. 8a3b3+ 27 =3. 27m3 + 6n6 = 4. x6 y6 =5.188273x + =6. x3164-Actividad B5 189B5 Realiza transformaciones algebraicas IIFactorizacin por agrupacinEn este caso, se trata de aplicar la propiedad asociativa para extraer un doble factor comn al agrupar trminos dentro de un polinomio. Ejemplo1. Factoriza ap + bp + aq + bq Observemosquelosdosprimerostrminostienenapcomofactorcomnyquelos dos ltimos trminos tienen a q. Se extrae factor comn p de los dos primeros trminos y q de los dos ltimos y tenemos:p(a + b ) + q( a + b )El binomio (a + b) se convierte ahora en factor comn y por lo tanto tenemos:ap + bp + aq + bq= p(a + b ) + q( a + b )= ( a + b ) ( p + q )2. Veamos otro ejemplo. Factoriza 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =Observemosqueelprimeryeltercertrminotienenamcomofactorcomn;ylos trminos tercero y cuarto, tienen a p. Ordenando y agrupando trminos tenemos:3am - 8bp - 2bm + 12 ap = 3am 2bm + 12ap 8bpY factorizando por factor comn tenemos:m (3a - 2b) + 4p(3a - 2b) = (3a - 2b)(m 4p)1.a2 + ab + ax + bx =2.ab + 3a + 2b + 6 =3.ab - 2a - 5b + 10 =4.2ab + 2a - b - 1 =5.am - bm + an - bn =6.3x3 - 9ax2 - x + 3a =7.3x2 - 3bx + xy - by =8.6ab + 4a - 15b - 10 =9.3a - b2 + 2b2x - 6ax =10.a3 + a2 + a + 1 =11.ax - ay - bx + by - cx + cy =12.ac - a - bc + b + c2- c =Actividad 190B5 B5 13. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =14. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =15. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =16. 238345165am am bm bn + = 17. 15421410314335 72x xz xy yz x z + + =

Factorizacin completaUnpolinomioestcompletamentefactorizadosiningunodesusfactores puede descomponerse como producto de factores ms simples.EjemplosFactoriza completamente los siguientes polinomios:a)x3y 4xy3b)5x3 + 10x2 40xc)x4 13x2 + 36 d) 16xy3 2x4Solucina) Factorizando por factor comn tenemos:x3y 4xy3 = xy(x2 4y2)Pero el segundo factor es una diferencia de cuadrados, por lo que la factorizacin fnal queda como:x3y 4xy3 = xy(x2 4y2) = xy(x + 2y)(x 2y)b) Factorizando por factor comn tenemos:5x3 + 10x2 40x = 5x(x2 + 2x 8)Como el segundo factor es un trinomio de la forma x2 + bx + c, por lo que la factorizacin completa queda:5x3 + 10x2 40x = 5x(x2 + 2x 8) = 5x(x + 4)(x - 2)c) Observemos quex4 13x2 + 36 = (x2)2 13x2 + 36 el cual es un trinomio de la forma x2 + bx + c por lo que: x4 13x2 + 36 = (x2 9)(x2 4)B5 191B5 Realiza transformaciones algebraicas IIAmbos factores son diferencias de cuadrados as, la factorizacin completa es:x4 13x2 + 36 = (x2 9)(x2 4) = (x + 3)(x 3)(x + 2)(x 2)d) Factorizando por factor comn tenemos:16xy3 2x4 = 2x(8y3 x3)Como el segundo factor es una diferencia de cubos, la factorizacin completa queda como:16xy3 2x4 = 2x(8y3 x3) = 2x(2y x)(4y2 + 2xy + x2)Factoriza los siguientes polinomios. Verifca las respuestas.1.2x2 5xy =2.4a + 6b -12c = 3.10a2b3c4 15a3b2c4 + 30a4b3c2 =4.8a5 12a3 =5.x2 + 9x + 8 =6.y2 8y + 7 =7.b2 8b 20 = 8.w2 11w + 28 = 9.x2 6x + 9 = 10.y2 + 12y + 36 =11.a2b4 14ab2 + 49 =12.x2 + 3x + 94y2 =13.a2 16 =14.x2 144 = 15.25m2n4 p6 = 16.x2 13 = 17.3x2 + 10x + 3 =18.2y2 y 6 =19.20a2 3a 2 = 20.10x2 + 11x 6 =21.3x2 + 7x 6 =22.12x2 25xy + 12y2 =23.4x4 + 15x2 4 =24.4x4 45x2 + 81 =25.x3 + 1 =26.x6 y6 =27.8x3y6 + 16x6y12 =28.(x + y)3 (x y)3 =29.343a3 + 729b3 =30.512m6 1728n9 =31.8271273 6a b -

Actividad 192B5 B5 Una fraccin algebraica simple es una fraccin cuyo numerador, denominador o ambos, contiene polinomios. Los siguientes casos son ejemplos de fracciones algebraicas simples:2323xyz, 2 3 a ba b+, 2 8 424 32 243 25 4 3x x xx x x+ + + , xx x44 2163 4+ , xx5322--Unafraccinalgebraicacuyogradodelpolinomiodelnumeradoresmenor queelgradodelpolinomiodeldenominador,sellamafraccinalgebraica propia.Por ejemplo:2 8 424 32 243 25 4 3x x xx x x+ -+ +es una fraccin algebraica propia, pues el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador; mientras que: xx x44 2163 4+ , xx5322--Lasreglasparaoperarlasfraccionesalgebraicassonlasmismasquese utilizan con las fracciones aritmticas. Simplificar correctamente una fraccin algebraica y efectuar las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin entrestas,dependedeldominioquesetengaconlosproductosnotables ylafactorizacin,ascomoconlosprocedimientosutilizadospararealizar operaciones con fracciones aritmticas. Parasimplificarunafraccinalgebraicasefactorizantantoelnumerador como el denominador y se cancelan factores comunes, aplicando propiedades de exponentes.EjemplosSimplifica las siguientes fracciones simples: a) 50243 4 22 5 2a bca bcb) -15255 45 2xyzxyzSIMPLIFICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS PROPIAS (SIMPLES)Si en una fraccin algebraica se pueden descomponer en factores el numerador y el denominador, existiendo factores comunes, stos se cancelan. Lo anterior permite simplifcar la fraccin, obteniendo una equivalentems sencilla.acbcab=B5 193B5 Realiza transformaciones algebraicas IIc)60124 55 4ababe) 42 632xx xy +d)x xx x228 157 10+ ++ +f)3 6422x xx+-Solucin a)502425123 4225 2a b ca b cab= b) =1525355 45 24xyzxyzxyz c) 601254 55 4a ba bba=d) x xx xx xx xxx228 157 103 52 532+ ++ +=+ ++ +=++( )( )( )( )e) 42 62 22 3233222xx xyx xxx yxx y +=( )+=+ ( )f) 3 643 22 23222x xxx xx xxx+=++ =( ) ( )( ) ( )Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorizacin que corresponda.1. 4872aab=2. 257522a bab=3. 96323 24 3m nm n=4. 35( )( )a ba b++=5. 35( )( )a ba b++=6. 4 45 5a ba b++=7.x xyxy y22++= 8. 8 764 492 2x yx y+=9. ( )( )a b ca b c =2 22 210.1 641 462=ccActividad 194B5 B5 11.x xx227 1025+ +=12. x xx x2223 2 + +=13. aa293 3+=( )14. m nn m2 22 2=15. y yy y22122 15+ + =16. x xx x225 68 15+ ++ +=17. 24 1844 33x yx y=18. xx x22168 16+ +=19. 9 30 256 102x xx+ ++=20. xx x222520+ =21. 4 4 16 32y yx +=22. x xx x226 87 12+ ++ +=23. x xx x224 128 12+ + +=24. 6413 4022 +=uu uSuma y restaLasumayrestadefraccionesalgebraicasserealizademaneraanlogaala suma de fracciones aritmticas simples: 1. Se simplifican las fracciones, si es posible.2. Se calcula el comn denominador de los denominadores.3. Se divide este comn denominador entre cada uno de los denominadores, y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente. 4. Posteriormente, se suman o restan los productos y se simplifica la fraccin resultante, si es posible.Elclculodelcomndenominadorequivaleacalcularelmnimocomn mltiplo de los polinomios denominadores.Para obtener el mcm de dos o ms polinomios,primero se factorizan dichos polinomios.El mcm es el producto de todos los factores distintos que aparezcan tomados con el mayor exponente.Ejemplos1. Hallar el mcm de los siguientes polinomios:x2 9, x2 + 6x + 9, x2 + 5x + 6B5 195B5 Realiza transformaciones algebraicas IISolucinAl factorizar los polinomios tenemos:x2 9 = (x + 3)(x 3), x2 + 6x + 9 = (x + 3)2,x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)Por lo tanto, el mcm es: (x + 3)2(x 3)(x + 2)2. Realiza las operaciones indicadas:a) x xx xx xx22228 157 103 64+ ++ +++=b) xx xxx x+ ++ =43 413 42 2c) xx xxx x+ ++ =43 413 42 2SolucinSimplificamosprimerolasfraccionesantesderealizarlasoperacionesconlas fracciones,calculamoselcomndenominadorydespusrealizamoselproceso descrito anteriormente.a) x xx x+ +++ +228 157 10x xx +=223 64( )( )( ) ( )( )( )( )( )x xx xx xx x+ ++ ++++ -=3 52 53 22 2x xx x+++ 3 32 2 = ( )( ) ( )( )( )( )x x x xx x+ + ++ 3 2 3 22 2 = ( )( )x x x x x xx x x+ + + + =+ 2 2 226 3 6 4 7 62 2 4b) xx xxx xxx xxx x-+ --++ -=-+ --++ -=43 413 444 114 12 2( )( ) ( )( )x xx x x x- - -+ -=-+ -4 14 154 1 ( )( ) ( )( )c)

xxxx xxxxx x xx x x( ) ( ) ( )( )( ) (----++=-+-+ -++=+ - -13131 131 13112 2 233 1 3 11 122)( ) ( )( ) ( )x xx x- + -- +

=+ - + - + - +- +=-- +x x x x x xx xx xx x2 2 22224 3 3 6 31 131 1 ( ) ( ) ( ) ( )196B5 B5 Resuelve las siguientes operaciones algebraicas.1. 32 64 35x xxx xx---2 2+++= 2. xx x+=11212 3. 1 12212xxx x x+++= 4. 2 32 3332( ) xx x x+ += 5. xx xxx x + =1122 6. 2111112x x x += 7. 2 6 2 4 622xxx xx x++ = 8. xx x++=21312 9. 1 12222ttt t t+++= 10. 233 312xxx +++= 11.312 92 7 92xxx x ++ =

12. 12 43 8 393 8 32222x xx xxx x+ ++ = 13. 3 13 xxx++= 14. 42 55 62 57 82 5mmmmmm ++++++ 15. 3 1220 7 61020 7 65 920 7 6222222p pp pp pp pp pp p+ +++ ++ Actividad B5 197B5 Realiza transformaciones algebraicas IIMultiplicacin y divisinLamultiplicacindefraccionesalgebraicasserealizademanerasimilar alamultiplicacindefraccionesaritmticas:productodenumeradores entreproductodedenominadores,peroantesderealizarlamultiplicacin, eliminamos factores iguales en el numerador y en el denominador.EjemploMultiplicar5 43 26 1620x xx xx xx x2222- +- ++ -+ -c c m mSolucinFactorizamoslospolinomiosyeliminamosfactoresigualesennumeradoryen denominador:x xx xx xx xx22223 25 4206 161 + ++ + = ( )) ( ) ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )xx xx xx x21 45 48 2= x x x xx x x x-( )- ( ) + ( ) -( )- ( ) -( )+ ( ) -( )1 2 5 41 4 8 2 = xx++58En el siguiente producto se realiza el mismo proceso:x xx xx xx xx22223 103 22 34 52 + + =+ ( )) ( )+ ( ) + ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ) =+( )( )+ ( ) (xx xx xx xx x x x52 11 31 52 5 1 3))+( )+ ( ) + ( ) ( )x x x x 2 1 1 5= xx-+31Realiza los siguientes productos de fracciones algebraicas:1.45681522324ababba =2.5 25147 710 50x xx+ ++ =Actividad Actividad 198B5 B5 3. xy yx xyx xy yx xy++ +2 22222 22=4.11222++xaa ax xxa =5.2684 22x xx++ = 6.a ab a ba a a ab22 22 136 6 + + + = 7.m nmn nnm n+ 222 2= 8.m nmn nnm n+ 222 2= 9.x xy yx xyxx y2 2222 24 42 4 ++ = 10.2 2232 32222x xxx xx x+ = 11.5 25147 710 50x xx+ ++= 12.x xxx xx xx xx x2223 2222162 8 44 4+ +++ + = 13.2 22 504 53 322aaa aa + = 14.x yxx xx y ( )+ + ( )332211 = 15.x xx x xx xx x xxxxx43 244 3 2 22273 9133+ ++ ++ ( ) = Para dividir fracciones algebraicas convertimos la divisin en una multiplicacin al multiplicar la fraccin dividendopor la fraccin inversa de la fraccin divisor, es decir:abcdabdc = B5 199B5 Realiza transformaciones algebraicas IIY luego se realiza el proceso de la multiplicacin.Por ejemplo:

x xx xx xx xx xx xx x22222224 213 2814 484 324 213 284 + + + ++ =+ + + 33214 487 37 48 46 82x xx xx xx xx x+ +=+ ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) + ( )= xx+36=En el siguiente ejemplo se realiza el mismo proceso. x xx xx xx xx xx xx x222222211 28429 202 2411 28422 2 + ++ + + =+ ++ 449 207 47 64 64 52x xx xx xx xx x+ +=+ ( ) + ( )+ ( ) ( )+( )( )+ ( ) + ( ) = =xx++45Realiza las siguientesoperaciones de fracciones algebraicas.1.xyxy22 332 =2.35222 3a bxa b =3 . x x 132 26= 4.x xx xx xx3222 65 52 6++= 5.m mm mm mm m222214 484 214 323 28+ ++ + + = 6.x xxxx28 1515 153 3 += Actividad 200B5 B5 7. x xx xx xx x22229 1465 143 18+ + + + = 8. m mm mm mm m22228 162011 248 15+ + + +=

9. x xxxx27 1053 62 14+ +++= 10. x xx xx xx x22222 38 155 630 ++ + =

11.m mm mm mm m22228 159 202 86 8 + ++ +=

12. xx xx xx x222292 36 2710 9++ += 13.x xx xx xx x22227 64 127 810 16 + + + += 14.6 5 66 17 1212 17 612 7 122222x xx xx xx x ++ + + += 15. 18 65 286 7248 80 712 143 122222x xx xx xx x + + + = I. Desarrolla los siguientes productos notables1.( ) x - = 1 22. (x2 - 1)2 =3. (4 + 3y3)2 =4. (x - 2)2 =5. (1 + 3x4)2 =6.(3x - 1)2 =7. (a3 - a2)2 =8. (a + 3)(a + 3)= 9.1 8 1 8 - ( ) + ( )= xy xy10. (x3 - 3)2=11. (x3y3 - 6)(x3y3 + 6) =12. (x + y + z)(x + y - z)=13. (5ax+1 - 7)(5ax+1 - 4)=14. (2 + y)(4 - 2y + y2)=15. 3251ab x y2 3 42- = b l16. (3x + 2)(3x - 2)=Actividad B5 201B5 Realiza transformaciones algebraicas II17. (x - 1)(x2 + x + 1)=18. (2mn2 + 3m-1n-3)2=19. (7a2b2 + 5x4)2=20. (a2 - 2b)3=21. 32a bc 11ab4 3 2 6+ =-c m22. (a2b2 -1)(a2b2 + 7)=23. (m2 - m + n)(n + m+ m2)=24. (6x + 2y)(6x - 2y)=25. (2x-3)2=26. (3x - 2y)2=27. (a3 - b2)(a3 + b2)=28. (x3+6)(x3 - 8)=29. (5x2 - 3)3=30. (5 - ab )(25 + 5ab + a2b2)=31. (2a - 3b + c)2=32. (x2 - 4)(x2 +4)=II. Factoriza completamente los siguientes polinomios.1. 4x + 8y = 29. 5x 5 =2. x3 - 4x2 + x = 30. x4 - y2 =3.1834122x x + - =31.x4 - 3x3 + 5x2 =32.14x3y2z4 + 7x5y3z7 - 21x2y5z3 =4.5x + 10xy + 5x2y = 33.5a + 25ab =5.xx xxx x -+ --=112234.bx - ab + x2 - ax =35.x3 - 4x2 - 5x =6. -5x3 + 10x2 = 36.ax + ay + x + y =7. 5y2x - 15yx2 + y3x4 = 37.8x2 - 128 = 8. 6x2y2 - 9x3y6 + 27xy3 =38.4 - 12y + 9y2 =9. 3122a a - =39.152x2yz 114xyz2=40.x2 + 2x + 1 - y2 =10. 2x3 - 3x2 = 41.25 - x5 =11. 8x - 16y + 12z =42.x16 - y16=12.3x5y4 + 9x2y3 - 3xy + 3y = 43.36m2 - 12mn + n2 =15.2x3 + 5x2 + 3x4 = 44.a2 + 12ab + 36b2=16.5x2y3z7 - 3x8y4z + 11x5y3z4 = 45.x4 - x2 =17.3b - 6x = 46.x2 - 4x + 4 =18.6b4 - 12b3 = 47.x3 + 3x2 - 4x + 12 =19.2ab + 4a2b - 6ab2 = 48.2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =20.54n4m6 - 18n3m5 + 27n7m3 = 49.x6 - x2 =21.a2 + 6a + 8 = 50.x3 -1 =22.b2 - 3b - 28 = 51.x4 + x3 - 5x2 + x - 6 =23.14c 21d 30= 52.6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =24.3abc - 5bc + 7 abcd - 2bcd = 53.x5 - 9x3 =25.20u2 55u = 54.-x3 + 25x =26.16x 12 = 55.x3 - 6x2 + 11x - 6 =27.6x 12y + 18= 56.175ax + 75ay 25bx 15by=28.15x + 20y 30= 57.x6 - 81x2 =202B5 B5 58.x3 - 8 = 92.21ax + 35ay + 20y + 12x =59.-2x3 + 2x2 + 18x - 18 = 93.p2 2pq + q2 = 60.(a + b )2 - ( c + d)2 = 94.25a 30ab + 15ab2 =61.26 - x6 =95.3x3 - x2 - 7x + 5 =62.2x2 - 4x - 30 = 96.20abc 30abd 60b2c + 90b2d =63.3x3 - x2 - 7x +5 = 97.4g2 + 2gh =64.14mp + 14mq 9np 9nq = 98. x2 + 27x + 180 =65.2x2 - 3x +1 = 99.15 + 5x + 3b + xb =66. 6x2 - 5x + 1 = 100. ap + aq + bm + bn=67. x3 - 3x2 - 6x + 8 =101.25x6 4y4 =68.-2x3 + 2x2 + 18x - 18 = 102.44 9x2=69.49x2 - 36 = 103.xy x + 3z 6 =70.4x2 - 4x + 1 = 104.x2 + xy + xz + yz =71.x3 - 3x2 - 6x + 8 = 105.m2 64 =72.x4 + 4x3 - 2x2 - 12x + 9 = 106.ab + a b 1 =73.x2 + x - 2 =107.x2 + 6x + 8=74.x3 + 3x2 - 6x - 8 = 108.30m2n2 + 75mn2 =75.x3 + 3x2 + 5x + 6 = 109.x2 +10x 56 =76.x4 + 7x3 + 5x2 - 31x - 30 = 110.x2 13x 48 =77.x4 - 25x2 = 111.y2 7y 30=78.x3 + 12x2 + 36x =112.x2 14x + 48=79.x3 - 6x2 + 11x - 6 = 113.x2 5x 84 =81.x3 - 3x - 2 = 114.144y2 256 =82.4491812x -=115.x2 + 7x 120 =116.x2 30x + 216 =83.x2 16x + 63= 117.g2 +2gh+h2 =84.2x5 - 6x4 - 16x3 + 24x2 + 32x = 118.225 30b +b2 =85.x2 - 3x = 119.x2 + 2xy + y2 =86. -x3 + 25x = 120.10abx2 + 4ab2x2 40a =87.x4 - 2x3 - 3x2 =121.a2 2a + 1 =88.28pq3x + 20p2qx2 44p3qx + 4pqx= 122.m2 6m + 9 =89. x3 - 8 = 123.9x2 12xy + 4y2 =90. x4 - 2x2 + 1 = 124. 36n2 + 84pn + 49p2 =91. -3x2 + 2x + 1 = III. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas.1. 12823xyx2. 50243 4 22 5 2a bca bc B5 203B5 Realiza transformaciones algebraicas II3.-15255 45 2xyzxyz19. 5 1022xx x++=4. 60124 55 4a ba b20. 3 92 622ab ba ab=5. a ba b2 25 5+21. 6 32 422 2x xyxy xy=6. 2 24 42 2x yx y--22. x xx x22128 15 + +=7. zz z2214 5-- -23. y yy y227 62 ++ =8. 2 34 92 22 2xy xyx y+24. y yy y227 62 ++ =9. x xx222 152 50- --25. 4 842mm+= 10. a aa a229 85 24 + 26. bb298 24+=11. 2 8 424 32 243 25 4 3x x xx x x+ + +27. r rr r228 166 8 + +=12. 4 20 254 2522x xx +28.2 34 12 922x xx x +=13.5 156 94 2 24 2 2a b a ba a b b +29.x xx x3235 6 +=14. 18 48 3236 643 23p p pp p +30.x xx223 21+ ++=( )15. xx x44 2163 4+ 31.2 2233 2x xx x x++ +=16. 2 23 33 2 2 33 2x xy xy yx xy + 32.x yx y2 2=17. 2 154 2523a aa a---33.2 6422x xx =18. x yx y3 32 2--34.9 918 182xx x++=204B5 B5 35.x xx x23+=37. 8 2 312 20 722x xx x+ +=36.x xx3 223 3+= 38. 24 49 408 37 2022x xx x+ +=IV. Efecta las siguientes operaciones y simplifica el resultado.1.62 x 34 2 x ++= 14.2 32 157 82 15xxxx-++++=2.3a2a 310x3x 25axx a -+++-=15.m n xm x n+ ( ) -+ ( ) -2222=3. x xx xx xx x x++ + +2222 33 23 8 43 2=16. 2 22 22 6 92 5 3 2 5 3x x xx x x x = 4. 25 2 44 2 8xx x x =+ + 17. 46 33 62 3 222++ xxxx x=5. n mn mn mn m++=18. 46 33 62 3 222++ xxxx x=6. axx xa aax22211++= 19.533xx+ =+7.57155+ +a aa= 20.5 83 27 92 35 152 3m nm nm mn mm nn m--++----=8. 12923+++a aa=21. 22 23 14 8 29 9 2 9 9 2x x xx x x x + + = + +9.12xx x =+22.25132a ab+ =10.57155+ +a aa=23. 2153 57232 22xaayxxy =11.12923+++a aa=24. 3 22 73 2 33 2 422222 +++ + + m mmm mm mm m m12. 2 22 22 6 92 5 3 2 5 3x x xx x x x = 25. 2 m2 m3 m3 m+++13.12xx x =+26. 46 33 62 3 222++ xxxx xB5 205B5 Realiza transformaciones algebraicas II27.2 22 2 13 2232 2a abax axx xax b xxx+--++40. x x x7 5 9 + =28. 3 x14 x141. 2 22 29 6 272 3 10 9x x xx x x x+ =+ +29.axnnmma1451036742 2 42.a aa aa aa aa a aa a22223 27 106 73 42 152 33 2 8+ + + =30. 2 2 2 22 2 2 23 2 4 32 3 2 3x xy y y xy xx xy y y xy x + + + = + +43. abba46322 2=31.a 82 aa 43 a 2 +=44. 2 22 27 6 7 84 12 10 16x x x xx x x x + + = + +=32. 4 35 24 372 2 + a aaa a=45.( )x x x x xx x x x x x xxx+ + + ++4 4 23 2 4 3 2 227 13 3 93=33. 15 525 5518 92+ + +yyy y y=46.=34. 2 342 3 6 x x x=47. 2 22 23 2 2 82 3 8 16x x x xx x x x + + = + + +36. 2 22 2 13 2232 2a abax axx xax b xxx+--++=48. 2 22 26 5 6 12 17 66 17 12 12 7 12x x x xx x x x + + = + + +37. 2 2 29 5 4a a a + =49. 21 4 42 4xx x ++ =+ =38. xy ammx2 35103 293+ =50.2 22 218 65 28 48 80 76 72 12 143 12x x x xx x x x + =+ + =39. a aa aa aa aa a aa a22223 27 106 73 42 152 33 2 8+ + + =206B5 B5 I. Subraya la respuesta correcta1. Es un binomio al cuadrado:a) (x + 4)4b) (x + 6)(x + 3) c) (3x + 5)2d) (x 3)(x + 3)2. El trmino para que el trinomiox2 + ____ + 16 de un trinomio cuadrado perfecto es:a) 4x b) 8x c) 16xd) 2x3. Es un producto de binomios conjugados:a) (x + 4)4b) (x + 6)(x + 3) c) (3x + 5)2d) (x 3)(x + 3)4. En los binomios (3x + 6), (3x 7), (3x 2) , el trmino comn es: a) 3xb) 6c) -7d) - 25. El resultado de(x + 6)(x 4) es:a)x2 - 2x - 24 c)x2 - 10x - 24b) x2 +2x - 24 d)x2 + 10x - 246. Es una diferencia de cubos:a) (x + 3)3b) x6 - 64 c) x4 - 9 d) x - 37. El trmino para que (x + ___ )(x2 5x + 25) = x3 + 125 es:a) 5 b) 10 c) -5 d) -108. El factor comn de 24x2yz4 16x4y3 z2 + 8xy2z5 es:a) 8xyz2b) 4x2yz2c) 8x4y3z5d) Ninguno9.La factorizacin de 4x2 81 es:a) 4(x2 81) b) (4x 9)2c) (2x + 9)(2x 9) d) (2 x 9)2AutoevaluacinB5 207B5 Realiza transformaciones algebraicas II10.La factorizacin de x3 64 es:a) (x-4)(x2 + 4x +8) c) (x+4)(x2 - 4x +8)b) x3 + 64 d) (x-4)(x2 + 8x +8)II. Resuelve los siguientes productos notables.1. (3x + 5)2 4. (5x + 7)(4x 3)2. (4xy + 3)(4xy 3) 5. (2x 5)3

3. (m + 5)(m 8) 6. (x 6)5 III. Simplifica las siguientes expresiones.1.3(x + 4)2 5(x + 3)(x - 2) =2.2(4x + 3)(4x 3) + 5(x+2)(x2 - 2x + 4) =3.(x 4)3 - (x + 4)3=IV. Factoriza completamente los siguientes polinomios.1. 2x3y2 6x2y3 10xy4 3. 24x2 26x 52. x2 6x 16 4. 16m3n 250nV. Simplifica la siguiente fraccin algebraica.x xx x + 2211 285 14 VI. Realiza las operaciones indicadas con fracciones algebraicas1. x x xx x x x x2 2 26 1 11 9 8 7 8 ++ + + + 2. x x x x x xx x x x2 2 22 2 26 5 4 6 51 2 8 16+ + + + 3. x y x yx x x x2 22 25 10 420 12+ + 208B5 B5 Resuelve los siguientes problemas1. Escribe un modelo matemtico para calcular el rea del rectngulo mostrado en la siguiente figura.2. Una cierta bacteria incrementa su poblacin de acuerdo con elmodeloP x = +510( 2).a) Encuentra el desarrollo binomial de este modelo.b) Encuentra la poblacin cuando x = 203.El volumendeunparaleleppedoestdadoporelmodeloV xy xy xy = + 3 22 3 10Determinalasdimensionesdeesteparaleleppedo.Propnunaternadevalores posibles para ellas y calcula el volumen con estas. Evaluacin formativaB5 209B5 Realiza transformaciones algebraicas IIEscala de RangoNombre del alumno:Escala de valoracin:0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 SatisfactorioAspectos observables S No EstimacinComprendi los problemasEncontr el modelo del problema 1Encontr el desarrollo del modelo del problema 2Encontr la poblacin solicitadaDetermin las dimensiones del paraleleppedo Propuso dimensiones y calcul el volumenPresentacin de las soluciones TOTAL:CalTotal==1021 Observaciones: Nombre de quien revis: