BLOQUE I: TRIGONOMETRA - colegiodiocesano.net · 10) Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 2x–y+1 =0, 2x+y-13 =0 y 2x+5y-17=0. Hallar las coordenadas de sus vértices

MATEMÁTICASDE LAS CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA

SALUD DE 1º de BACHILLERATO

I.E.S. “AMPARO SANZ” – ALBACETE

I.E.S. “Amparo Sanz” -Matemáticas de 1º de BCN- 1/27

BLOQUE I: TRIGONOMETRÍA 1) Pasa a grados, minutos y segundos y a radianes los siguientes ángulos: a) 60’51° b) 35’2° c) 17’10° d) 134’23° 2) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 16 h 30’? ¿Y a las 16 h 25’? 3) Un reloj marca las 16 horas, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que las agujas estén superpues-tas? 4) i) Hallar los ángulos marcados con una letra.

e) d)b)

4 9

2

511 8 5

x

x3

xxc)

x

a)

7 7ii) Hallar las longitudes y los ángulos marcados con letras:

23º 60º 40º 41º 57º

60º

50º

6

y

x 40 10

x x

x

10

4d) c)b)a)

5) Si tg 8α = , hallar las restantes razones trigonométricas de α.

6) Si 5cos3

α = , hallar las restantes razones trigonométricas de α.

7) Si cot g = - 7α y α se encuentra en el segundo cuadrante, hallar las restantes razones

trigonométricas de α. 8) Calcular el valor de la siguiente expresión:

A= -cos30° +sen150° - tag225° + cos300° - cos(-120°).

9) Si tagα = 3 y π 3πα<2 2< , calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

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I.E.S. Amparo Sanz-Matemáticas de 1º de BCN- 2/27

10) Sabiendo que 1senα=4

y α es agudo, calcular:

a) tagα b) sen(-α) c) tag(180°-α) d) cos(90°-α) e) sen(270°-α) f) cos(90°+α)

11) Si 2 3πcosα= y <α<2π3 2

, hallar las restantes razones trigonométricas de α.

12) Calcular las razones trigonométricas sabiendo que:

a) cosα= 45

y 270 α 360°° ≤ ≤

b) 3senα= y 90 α 1805

° ≤ ≤ °

c) 3tagα= y 180 α 2707

≤ ≤ °

d) cot agα=-2 y 90° α 180≤ ≤ °13) En una circunferencia de 16 m de radio, un arco mide 2 m. Hallar su ángulo central y la cuer-

da de dicho ángulo. 14) La base de un triángulo isósceles mide 20 cm, y el ángulo puesto 80°. Calcular los lados y el

área del triángulo. 15) Desde cierto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30° con la

horizontal. Si nos acercamos 75 m. hacia el pie de la torre ese ángulo mide 60°. Hallar la altu-ra de la torre.

16) Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno

un ángulo de 60°. Suponiendo que el hilo está tirante, hallar la altura de la cometa. 17) Las puntas de la rama de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Hallar el ángulo

formado por las ramas del compás. 18) Si las dos ramas forman un ángulo de 60° y la rama tiene una longitud de 12 cm, hallar el

radio de la circunferencia que puede trazarse. 19) Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado al suelo. Si se apoya sobre una de

las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45° y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30° con el suelo, Hallar la anchura de la calle. ¿Qué altura se alcanza con dicha es-calera sobre cada una de las fachadas?

20) Si 3tagα=4

hallar tag(α+30°) y tag(45°-α)

21) Calcular: a) tag15° b) sen165° c) cos345° (sin calculadora) 22) Sabiendo que tagα= 2, calcular el valor de sen4α.

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23) Simplifica las siguientes expresiones:

a) 5π π 3π 7πcos( x) sen( x) cos( x) sen( x)2 2 2 2− − + + − − +

b) sen 2α cosα:1-cosα 1+cosα

c) 22senα sen αcosα-

tag2α cosα=

e) sen3α = senα (3cos2 α- sen2α) 24) Encontrar el valor exacto de cos(7° 30’)

25) Si α es un ángulo del segundo cuadrante y tal que 3tagα=4

− , hallar la razones trigonométri-

cas de α2

.

26) Si αtag =t2

, expresa en función de t el seno y el coseno del ángulo α.

27) Si son dos ángulos del segundo cuadrante, tales que yα β3sen α=5

y 5cosβ=13

− , hallar el

valor de sen(α +β), cos(α +β ) y tag(α +β) 28) Determina las razones trigonométricas de 2α en los siguientes casos:

a) senα = 13

b) tagα = 2 y 180°<α<270° c) cosα = 0'6

29) Demostrar que si A, B y C son los ángulos de un triángulo, entonces:

tagA + tagB + tagC = tagA.tagB.tagC

30) Demuestra que si A + B + C = π2

, entonces: tagA·tagB + tagB·tagC + tagC·tagA = 1

31) Si 1cos = y < <3 2

πα − α πhallar las razones trigonométricas de α

2.

32) Sabiendo que cosα= 24+ 6 y que α es un ángulo agudo, calcula el coseno de 2α y deduce,

sin calculadora, el valor de α.

33) Si senα = 2 23

y α es del 2º cuadrante, calcular αtag2

34) Si cos2α = 23

y α del primer cuadrante, cacular tagα.

35) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) 4senx + 2cos2x = 3 b) cos2x = cosx -1 c) sen2x = cos4x + 1

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d) tagx + 3cotagx = 4 e) senx + sen2x = 0 f) cos2x - 3senx = 3 h) cos2x = senx i) senx = tagx j) senx + cosx = 2

k) 6cos2 x2

+ cosx =1

l) sen2x - 3cos2x =0 m) cos2x = 1 + 2senx n) 6cos2x +cos2x = 1 ñ) sen2x = cosx 36) Resolver los siguientes triángulos: a) a= 1792 m b= 4231 m c= 3164 m b) a= 12 m b= 8 m A=150° c) a= 72 m c= 57 C= 75° 47’ d) c= 3’78 m A= 105° B= 38° 47’ e) a= 4 m b= 3 m c= 6 m f) a= 8 m B=30° C= 105° g) a= 40 cm b= 60 cm A= 42° h) a= 60 cm b= 40 cm A= 42° i) a= 10 m b= 9 m C= 70° j) c= 12 m A= 30° B= 100° 37) Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que su ángulo de eleva-

ción es de 45°. Camina 50 m hacia el sur y observa que el ángulo de elevación es ahora de 30°. Hallar la altura de la antena.

38) Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 42°. ¿Bajo que ángulo se ve

colocándose a distancia doble? Y a distancia triple?. 39) En un triángulo ABC lo lados miden 24 m, 28 m y 36 m. Hallar la tangente del mayor de los

ángulos. 40) Hallar el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados miden 13 m, 14 m y 15 m. 41) Uno de los lados de un triángulo es doble que otro, y el ángulo comprendido por ellos vale

60°. Hallar los otros dos ángulos. 42) El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo mide 2 2 cm y dos de sus ángulos

son 30° y 45°. Resolver dicho triángulo. 43) Hallar el área del triángulo ABC sabiendo que a= 1 m , B= 30° y C= 45°. 44) Hallar los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 18 cm2 y dos de sus ángulos son

A= 30° y B= 45°.

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45) Dos individuos A Y B observan un globo que está situado en plano vertical que pasa por ellos

la distancia entre los dos individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son de 46° y 52°, respectivamente. Hallar la altura del globo y la distancia a cada observador.

46)En la siguiente figura, calcular la distancia

entre los puntos CD, sabiendo que los ángu-los valen α1= 85º, α2= 30º, β1= 93º, β2= 40º y la distancia AB es de 600 m.

2β1β

2α1α

47) Sean A y B dos puntos inaccesibles pero visibles ambos desde otros dos puntos accesibles C

y D, separados por la longitud de 73’2 m. Suponiendo que los ángulos ACD 80 12 '= ° ; BCD 43 31'= ° ; y BDC 32= ° ADC 23 14 '= ° . Determinar la distancia AB.

48) Un barco A pide socorro y las señales

son recibidas por dos estaciones de radio B y C que distan entre sí 80 Km.. La re-cta que une B y C forma con la dirección norte un ángulo de 48º. B recibe señales con una dirección de 135º con el norte, mientras que C las recibe con una direc-ción de 96º con el norte. ¿A qué distan-cia de cada estación se encuentra el bar-co?

96º N

135ºB

48º

A C

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BLOQUE II: GEOMETRÍA 1) Hallar la recta que pasa por cada par de puntos :

a) A(2,3), B(5,7) b) A(0,5), B(-3,2)

2) Halla la recta que forma con el semieje OX positivo un ángulo de 120º y pasa por el punto

A(2,-2). 3) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,1) y tiene la misma pendiente que

la que pasa por los puntos B(2,1) y C(3,4). 4) Dada la recta 5x − 3y +7 = 0 , hallar la longitud de los segmentos que determina con los ejes

y el área del triángulo que determina con los ejes. 5) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(0,4) y tal que la tangente del ángulo

que forma dicha recta con el eje de abscisas sea 2. 6) Hallar a y b para que las rectas ax + 2y = 0, y = bx – 3 sean perpendiculares y la primera pase

por (2,1). 7) Las rectas ax – y – 4 = 0 , x – by –3 = 0 son perpendiculares y cortan al eje X en dos puntos

que distan 5 unidades. Hallar a y b. 8) Dado el triángulo de vértices A(0,0), B(4,2) y C(2,6), hallar:

a) Coordenadas de su circuncentro, R. b) Coordenadas de su ortocentro, H c) Coordenadas de su baricentro, G d) Comprueba que R, H y G están alineados.

9) Los vértices de un triángulo son A(3,-2), B(5,1) y C(4,7), hallar las ecuaciones de sus lados,

sus ángulos y su área. 10) Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 2x–y+1 =0, 2x+y-13 =0 y 2x+5y-17=0.

Hallar las coordenadas de sus vértices y su área. Calcular también las coordenadas de los pun-tos medios de los lados y el área del triángulo que determinan esos puntos. ¿Qué relación hay entre ambas áreas?

11) La recta 2x + 3y –6 = 0 determina con los ejes coordenados un segmento. Hallar su mediatriz. 12) Un triángulo isósceles tiene por base el segmento que une los puntos A(1,-2) y B(6,3). Si el

otro vértice está en la recta 3x – y +2 = 0. ¿cuáles son sus coordenadas? 13) Una recta corta a los ejes coordenados determinando con ellos un triángulo de área 24 cm2 y

de perímetro 24 cm. Hallar su ecuación. 14) Una recta incidente con (8,6) forma un triángulo de 96 cm2 con los ejes coordenados. Hallar

la ecuación de dicha recta. Pág 6


15) Dos vértices opuestos de un paralelogramo MNPQ son M(3,2) y P(4,6). Otro vértice es

N(6,5). Hallar las coordenadas de Q y el punto de intersección de sus diagonales. 16) Hallar la ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas de ecuaciones

3x-4y+1=0 y 5x +12y –7 =0 17) Dada la recta ax + by = 1, determina a y b sabiendo que la recta dada es perpendicular a la

recta 2x + 4y = 11 y que pasa por el punto P(1,1’5). 18) Determinar el área del paralelogramo OABC y las ecuaciones de los lados AB y BC sabiendo

que OA es la recta de ecuación x – 2y =0, OC tiene de ecuación 3x + y =0 y las coordenadas de B son (3,5).

19) Por el punto A(2,6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del primer y segundo

cuadrante. Hallar: a) Las ecuaciones de dichas rectas. b) Las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la recta 3x – 13y –8 = 0 con

dichas rectas. 20) Dadas las rectas s: kx + (2k-1)y +3 =0 y r: (4k-7)x –(k+2)y – 8 =0, calcular K para que :

a) Sean paralelas. b) Sean perpendiculares.

21) Dada la recta y= 35

x + 2 y el punto P(-2,5), calcular:

a) Una recta paralela a r que pase por P. b) Una recta perpendicular a r que pase por P.

22) Las rectas y= mx + 3 e y= 13

− x+2 forman un ángulo de 45º. Calcular m.

23) Hallar las coordenadas de un punto que está en la recta 4x – 8y +7= 0 y equidista de los pun-tos A(2,1) y B(1,-3).

24) Dado el triángulo de vértices A(3,1), B(7,1) y C(2,-5), calcular:

a) Las ecuaciones de dos alturas y las coordenadas del ortocentro. b) Las ecuaciones de dos medianas y las coordenadas del baricentro. c) Las ecuaciones de dos mediatrices y las coordenadas del circuncentro. d) Las ecuaciones de dos bisectrices y las coordenadas del incentro.

25) Las rectas 3x + 4y –5 =0 e y= k7

− x –2 forman un ángulo cuyo seno es 3/5. Hallar k.

26) Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo ABC, sabiendo que: - Las coordenadas del vértice A son (4,5) - La recta AB es paralela a la recta 2x –y +7 =0 - La recta AC es perpendicular a la recta x – y – 5 =0 - La recta BC pasa por el punto P(12,6) y forma con la recta 3x – y – 2=0 un ángulo de 45º.

27) Hallar la ecuación de una recta paralela a la 6x +8y –15 =0 que diste 3 unidades del origen de

coordenadas.

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28) Calcular la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección de las rectas de ecua-ciones x-3=0 y 2x + y – 5 =0 y forma un ángulo de 30º con la primera.

29) Hallar el área del triángulo de vértices A(2,1), B(6,3) y C(-1,4). 30) Hallar un punto C de la recta 2x +y +2 =0 de manera que con los puntos A(3,0) y B(1,3)

forme un triángulo rectángulo en A. 31) Hallar c para que la recta 2x – 5y +c =0 forme con los ejes de coordenadas un triángulo de 7

u2 de área. 32) Dos vértices de un triángulo son A(3,1) y B(6,4). El tercer vértice está en la recta 3x-y=0. El

área del triángulo es de 9 u2. Hallar el tercer vértice. 33) De un trapecio rectángulo se conocen dos vértices (1,1) y (2,1). Uno de sus lados está situado

sobre la recta x-y+1 =0. Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. 34) Un rombo tiene un vértice en el punto P(6,1). Una diagonal está sobre la recta 2x+y-3=0. Su

área es de 20 u2. Hallar los vértices y la longitud de los lados. 35) Sobre una pradera llana hay dos montones de grano situados en los puntos A(3,1) y B(7,4).

Desde un hormiguero cercano, las hormigas han marcado sobre el suelo sendos caminos recti-líneos formando un ángulo recto, dirigidos a los montones de grano. ¿En qué punto se en-cuentra el hormiguero, si se sabe que está situado en la recta de ecuación y= x+1?

36) Dos lados de un cuadrado están sobre las rectas 5x + 8y –12 =0 y 10x + 16y – 17 =0, calcular

su área. 37) Calcular el área del cuadrilátero A(1,0), B(5,3), C(3,5) y D(-1,4). 38) Las rectas dadas por las ecuaciones 3x +4y – 12 =0 y 5x + 6y –30 =0 determinan con loe ejes

coordenados un cuadrilátero. Averiguar su perímetro y su área. 39) Se tiene un cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(3,0), B(1,4), C(-3,2) y D(-1,-2). Com-

probar que es un paralelogramo y determinar su área. 40) Hallar el simétrico del punto P(3,0) respecto de la recta x – y +1 =0. 41) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(5,2) y forma con la recta 3x-2y-8=0 un ángulo

de:

a) 60º b) 45º c) 90º d) 30º 42) Dadas las rectas r: 3x + 2y –8 =0 y s: Kx – y +5 =0, determinar K para que formen un ángulo

de 45º.

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BLOQUE III. NÚMEROS REALES. 1) Expresa las siguientes desigualdades como intervalos:

a) x > 12

− b) 1 x 23

− < ≤ c) 2 x 3≤ ≤ d) x 1 ≥ −

2) Resolver las siguientes inecuaciones:

a) 2x 13x 52+

− ≤ b) 1 x 4 4x 13

+ ≥ − c) 21 x x3

− ≤ +

d) x 1 02 x−

≥−

e) 2x x 0x 1−

≤+

f) 3x 0

x 2≥

+

g) 4x 3 7x 25 3−

<+ h) 6x 4 x 52x 3

5 2+ +

− + > i) 3x2 +40x < 8x –126

3) Para qué números reales existen las siguientes raíces:

a) x 3+ b) x 13 x+−

c) 2

2

x 1x+

d) 2

2

x 4x 4x 3

−− +

e) 216 x− f) 2x 10x 16− +

4) Resuelve las siguientes igualdades:

a) 2x 3 x 1− = + b) 1 2 xx= + c) 2x 1− = 3

d) 2 x 43+

= e) 2 x 1 x3 2 2− = − f) 11 x 3

2x+ − = −

5) Expresa como intervalo las soluciones de:

a) 5x 1 2− < b) 2x 4 2+ ≥ c) 35x 45

− ≤

d) 2 x 41 x+

>−

e) 2x 3x 2 4− + ≤ f) x 1 23+

<

6) Expresa sin valor absoluto las siguientes expresiones:

a) x 1− b) x 1x+ c) 2x 10x 7− +

d) 3x x− e) senx con 0 x 2π≤ ≤ f) 2

2

x 49 x

−−

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BLOQUE IV: FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL. 1) Hallar el domino de las siguientes funciones:

a) 3

2

3xf (x)2x 5x 2

=− +

b) 5 4 3 2

1f (x)x x x x

=− + −

c) 2f (x) 2x 5x 2= − +

d) 2

3x 2f (x)x 1−

=−

e) 2

2x 1f (x)x 5x 6

+=

− + f) 2f (x) x 16= −

g) 2

2

4 xf (x)x 2x

−=

− +1 h)

2

2

x 3x 2f (x)x 4x 4

− +=

− + i)

2x 1f (x)x+

=

2) En las siguientes funciones, hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas y estudiar su simetría: a) f(x)= 2x3-3x2 b) f(x)= x3+3x2-2 c) f(x)= -x4+2x2 –1

d) 1f (x)x 2

=−

e) 2

2

x 1f (x)x 1

−=

+ f) 2f (x) 4 x= −

3) Dadas las funciones xf (x)x 2

=−

, 2g(x) x 5x= − y 2x 3h(x)3x 5

−=

−, calcular:

a) f g b) h g

c) f g hd) f-1

e) h-1

4) Dadas las funciones x 1f (x)x 2+

=−

y xg(x)x 1

=−

, calcular:

a) f g b) g f

c) f-1 y g-1

5) Dadas las funciones f(x)= x2 + 1 y 2x 1g(x)2x 1

+=

−, hallar:

a) f g b) g f

d) g-1 6) Hallar la descomposición de las siguientes funciones en otras dos o más funciones:

a) 2

2

xf (x)x 5

=+

b) 4 2f (x) x 3x= + c) f(x)= x2 +2x +2

d) 3

6

xf (x)x 5x

=− 3 e) 2

1f (x)x

= f) 2f (x) x 1= +

7) Comentar los elementos de las siguientes gráficas

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8) El gráfico siguiente muestra la evolución de la gripe en la zona de Cebolla (Toledo) en el año 1994. Coméntalo. Piensas que la gripe tiene algún tipo de tendencia?

Evolución de la gripeZona de Cebolla, 1994

010203040506070

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

9) Alvaro va cada tarde al instituto; pasa primero por la panadería y compra un bollo, luego se detiene en la siguiente esquina a esperar a un compañero. Por fin, después de las clases, vuelve a casa. Aquí tienes la gráfica de su recorrido.

a) ¿Qué recorrido hay de la casa al instituto? ¿Y a la panadería? b) ¿Cuánto tarda en comprarse el bollo? c) ¿¿Tiene que esperar mucho a su compañero? d) ¿Cuánto duran las clases? e) Si las clases comienzan a las cuatro de la tarde, ¿dónde estaba a las 3h 32 min, 3 h 36

min y a las 3 h 54 min? f) ¿Lleva la misma velocidad a la ida que a la vuelta? g) Estudia la velocidad de cada trayecto.

5 15 25 30 150 1600

200

400

600

Tiempos (min)

Distancia (m)

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10) Dada la función

2x 4 2 x 1f (x) 3 1 x 4

2x 3 x 4

⎧− + − ≤ <⎪= ⎨⎪

≤ <− ≥⎩

, se pide:

a) La imagen de los puntos 0, 2, 7 y –4 b) Su dominio c) ¿Algún punto tiene por imagen 1? ¿Cuál? ¿Y 4? d) Representación gráfica e) A la vista de la gráfica decir los intervalos de crecimiento y decrecimiento. f) Representar gráficamente las funciones –f(x) y f (x) g) Construir y representar las funciones f(x)+2 y f(x+1)

11) Dada la función 2

x xf (x) 3 1 x 3

x 6x x

⎧ 1

3

≤⎪⎪= <⎨⎪ − ≥⎪⎩

< , se pide:

a) Representación gráfica. b) A la vista de la gráfica estudiar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos

relativos. c) Obtener f-1(-3).

12) Dada la función

24x 4 0 x 2f (x) 5 x 25 2 x 8

2

⎧ + ≤ ≤⎪= ⎨− + < ≤⎪⎩

, se pide:

a) Dominio de f. b) Representación gráfica. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

13) Dibujar las siguientes funciones e indica todo lo que sepas de ellas:

a) Pase por (1,0). Tenga dos asíntotas verticales en x=-2 y x=0. Tenga una asíntota horizon-tal en y=1. Siempre crezca.

b) Tenga una asíntota vertical en x=1. tenga un máximo en x=0 y un mínimo en x=4. c) Tenga dos asíntotas horizontales en y=2 e y =-2. Siempre decrezca. d) Crezca hasta –3 y a partir de 4. Decrezca en el resto. Tenga una asíntota vertical en x=1. e) Sea par. Tenga un máximo en x=-4 y un mínimo en x=1.

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BLOQUE V. FUNCIONES MÁS USUALES. 1) Imagina que deseas comprar un coche y que dudas, por motivos económicos, entre el modelo

de gasóleo o de gasolina. Las características de cada uno vienen recogidos en la siguiente ta-bla:

Gasóleo Gasolina Coste del coche 2.200.000 1.800.000 Litro 80 Ptas. 120 Ptas. Consumo (100 Km.) 8 litros 7 litros

a) Escribe las funciones que dan el gasto total para x kilómetros. b) ¿A partir de cuántos kilómetros te interesa más el de gasóleo? c) Da una explicación gráfica a los apartados anteriores.

2) En un bloque de viviendas las ventanas son rectangulares y deben tener 2 m2 de luz. Si x es la longitud del lado de la base, obtener el perímetro en función de x. ¿Cuál es el dominio?

3) Cada paso de una llamada telefónica cuesta 5 ptas y cada uno de ellos dura 1 minuto. Dibujar

la gráfica que indica el coste de una llamada de 5 minutos. 4) El número de hormigas con alas H(x) en millones, en una región, depende de la lluvia caída x,

en milímetros cúbicos. Si la función que relaciona una y otra variable es H(x)= 70x – 5x2, de-termina: a) ¿Cuánto debe llover para que haya 75 millones de hormigas ? b) ¿Cuántas hormigas hay si caen 200 mm3 de agua? c) La cantidad de agua que hace máxima la población de hormigas.

5) Un puente está adornado por arcos parabólicos, cuya ecuación es 21f (x) x x40

= − + .

a) ¿Qué altura tienen esos arcos a 5 m del comienzo del puente? b) ¿Y a mitad del puente?

6) Suponiendo que el rendimiento r en % de un estudiante que realiza un examen de una hora

venga dado por r(t)= 300t(1-t) siendo 0≤ t ≤1 (tiempo en horas). Se pide: a) Representar gráficamente la función r(t). b) Indicar cuando aumenta o disminuye el rendimiento. c) ¿Cuándo es máximo el rendimiento y cuál es?

7) La función f(x) representa la cotización de unos determinados valores en bolsa a lo largo de un

mes (30 días): f(x)= 0.2x2 – 8x + 100 (siendo x el número de días transcurridos de ese mes). a) Dibujar la gráfica de esa función. b) ¿En qué días del mes estuvieron bajando los valores, y en qué días estuvieron subiendo? c) ¿Cuáles fueron esos valores máximos y mínimos?

8) Expresa la función 2x 1f (x)x 3−

=+

como traslaciones de una función de proporcionalidad inver-

sa. Calcula sus asíntotas y puntos de corte con los ejes y represéntala gráficamente.

Pág 14


9) Expresa la función x 1f (x)2x 2−

=+

como traslaciones de una función de proporcionalidad inver-

sa. Calcula sus asíntotas y puntos de corte con los ejes y represéntala gráficamente. 10) Calcula el dominio y representa gráficamente las siguientes funciones: a) y x= − 4 b) y x 1 4= + − c) y 3 x= − 11) Calcula los puntos de corte y asíntotas de las siguientes funciones racionales:

a) 2

2

2x 3x 5y3x 5− +

=+

b) 3

2

x 9xyx 4−

=−

c) 2

2

x 3x 2y(x 1)− +

=+

12) En las siguientes funciones, indica los puntos de corte con los ejes, máximos y mínimos y represéntalas gráficamente. ¿Cuál es su período?

a) πy sen x4

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) y= cos2x c) πy tag x2

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

13) Calcula los puntos de corte y asíntotas de las siguientes funciones y represéntalas gráficamen-te:

a) y= ex+1 b) y= e-x – 2 c) y= 2x-3

d)y= ln(x-1) e) y= lnx –1 f) y ln x= 14) ¿Cuánto tiempo debe estar prestado un capital de 250000 ptas al 7% para convertirse en

459615 ptas? 15) A qué rédito debe estar prestado un capital de 350000 ptas que en 6 años se ha convertido en

469033 ptas? 16) Se calcula que un bosque tiene 24000 m3 de madera y que aumenta un 3.5% al año.

a) ¿Cuánta madera tendrá al cabo de 12 años si sigue creciendo en estas condiciones? b) ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse suponiendo que sigue ese ritmo de crecimiento?

17) La edad T medida en años de una ballena se obtiene, de manera aproximada, a partir de su

longitud L con la fórmula 63 LT 25'7 ln

63−

= −

que es válida entre los 5 y los 40 años. a) Se ha medido una ballena, y su longitud es 20’32 m. ¿Cuántos años tiene la ballena? b) Han pasado 9 años desde que nació una ballena, ¿cuántos metros medirá?

18) Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo emitiendo radiaciones. La

rapidez de desintegración varía para cada sustancia y se mide usando su periodo de semides-integración , que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial. Si se lla-ma s al periodo de semidesintegración de una sustancia radiactiva medido en años y M(t) al porcentaje de la masa que aun queda sin desintegrarse después de t años, la ley de desintegra-ción radiactiva establece que

tln2sM(t)=100e

−

Los arqueólogos utilizan esta relación para determinar la edad de los fósiles. El carbono 14 tiene un periodo de semidesintegración de 5730 años. ¿Qué porcentaje de la masa original quedará

Pág 15


después de 20.000 años? ¿Cuántos años deberán transcurrir para que su masa quede reducida al 10% de la masa original?

19) Si log5x = h, ¿cuánto vale 5xlog25

?

20) Sabiendo que log 2 = 0’30, calcula 1log250

.

21) Sabiendo que log8 2=A y que log8 3=B, hallar en función de A y B a) log8 324 b) 3

8log 6

22) Si loga 0’3= 13

, hallar la base “a” y loga 0’09.

23) Hallar el exponente al que hay que elevar 7 para obtener 3 2401 . 24) Si log a + log b = 0, ¿qué relación hay entre a y b? 25) Calcula, utilizando la calculadora, los logaritmos en base 3 de los números 123, 7, 500. 26) Calcular log5 625 – log9 81 + log8 64. 27) Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) 5x 1 x x 13 3 3 189− +− + = x = 15

c) d) 3x 2x x2 7.2 14.2 8 0− + − =x 2

x 1 13 43

−− ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) f) x x 1 x 25 5 5 3− −+ + = 1 5

30 2

25 5 5 5log x log 10 log x log 100 log 2+ = + −

g) h) 2x 1 x 23 3− ++ = x 1 x 12 4 1+ ++ = i) l j) og(x 53) log(x 5) 2 log(4 x)− + − = + − 2log 2 log(11 x ) 2.log(5 x)+ − = − k) log 3x 1 log 2x 3 1 log5+ − − = − l) 2log x – log(x-16) = 2 28) Resolver los siguientes sistemas:

a) b) log(x 2y log50

log x log y 2 log 2+ =⎧

⎨ + = +⎩

log x log y log12log5x log(y 1) 1

+ =⎧⎨ − − =⎩

c) d) x y

log(x y) log x log 5314 14 .14

− + =⎧⎨

=⎩5

x 1 y

x y 1

15.5 6 3393.5 2.6 807

−

−

⎧ − =⎪⎨

+ =⎪⎩

Pág 16


BLOQUE VI :LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

1) Sea la función x 1f (x)x 1−

=−

. ¿Existe f(1)? Realiza una tabla como la siguiente, calculando

varios valores y deduce si al tomar x valores próximos a 1 (mayores o menores que 1) los va-lores de f(x) se aproximan a algún número.

x<1 f(x) f(x) x>1 0 1 2,41421356237 2

2) Sea la función 2

x 2x)x 4+

=−

f ( . ¿Existe f(-2)? Realiza una tabla de valores y deduce si cuando x

se aproxima a –2, los valores de f(x) se aproximan a algún valor.

3) Realiza el mismo proceso de los dos ejercicios anteriores para la función x 1f (x)x x−

=−

y x=1.

4) Calcular los siguientes límites:

1) 2

2x 2

x xl í mx 4→−

− −−

6 2) 2

x 3

x 6x 8lí mx 3→

− ++

3) 3 2

2x 1

x 4x 5x 2lí mx 1→−

+ + +−

4) 3 2

2x 2

x 2x 3x 4lí mx x 2→−

− − ++ +

5) 3

4x 1

2x 7lí m5x 8→

++

6) 4

3x 3

x 81lí mx 3→

−−

7) x 1

3x 2 4x 3límx 1→

− − −−

8) x 0

xlím1 x→ 1− +

9) x 0

1 x 1 xlímx→

− − +

10) x 0

x 9 3límx 16 4→

+ −+ −

11) 2x 1

2x x 2límx 1 x 1→

+⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠ 12)

2

2x 5

3x 3 x 2límx 5 x 25→−

⎛ ⎞+ +−⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

5) Calcular el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a ∞ :

a) 2

2

2x 4 2x 3f (x)x 1 x 2

− += −

+ − b)

4

2

3x 6xf (x)x 1

− +=

+ c) 2f (x) x 5 x= − −

d) 2 2f (x) 2x 3x 1 2x 1= + − − + e) 2

2

x 6x 6f (x)x 2− +

=−

f) 4

3

x 1f (x)x 1

−=

−

g) f (x) x 2 x 2= + − − h) 5

7

x 1fx)x 1

−=

− i)

2

2

(1 x) 1f (x)x

+ −=

j) 2

2

3 4x 5 3xf (x) .1 2x 5x 3+ −

=− +

k) 22x 9x 2f (x)

7x 2− +

=+

l) 3 2x xf (x)

x 1+

=+

m) 3 3x 2x 1f (x)

x 1+ −

=+

n) 5 x 3 2xf (x)2 3− −

= − ñ) 2x x 8f (x)x 3− +

=+

6) Calcular los siguientes límites cuando x tiende a −∞ :

a) b) 3f (x) 2x 5x 1= − +x

x

3f (x)2

= c) x 1f (x)x 2+

=+

d) 2 2

2 2

x xf (x)x 2x

+=

− e)

2

2

x 1f (x)x 7x

−=

+ f)

2x 1f (x)x 4

−=

+

Pág 17


7) Calcular los siguientes límites cuando x tiende a ∞ :

a) b) ( ) 7x 553f (x) x 2− +

= +

x 52 x1 xf (x)

x 1

+

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

c)

2x3 x 1

2

x 3f (x)x 2x

+⎛ ⎞+= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

d) 72

2

2x 3x 2f (x)x 1

⎛ ⎞− += ⎜ ⎟−⎝ ⎠

e) x3x 5f (x)

5 x+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

f) 3x 62

2

x 3f (x)2x 4

−⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

g) 6x 2x 1f (x)

x 5

−+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ h)

x2

2

x 2x 1f (x)x 4x 2

⎛ ⎞− += ⎜ ⎟− +⎝ ⎠

i) 32x3

3

x 1f (x)x 2x

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

j)

4

35x 3

4 x 2

4

2x 3x 7f (x)2x 2

+−⎛ ⎞+ +

= ⎜ −⎝ ⎠⎟ k)

2

26x 3

3 3x 5x

3

x 6xf (x)x 2x

− ++⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ l)

22x 5x

3x 15x 4f (x)2 5x

+

−−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

8) Calcular los siguientes límites:

1) ( )2

2x 1

x 1lím

4 9x→−

++

2) 2

2x 2

x x 1límx 2 4 x→−

⎛ ⎞+−⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

3) 3

2x 2

x 8límx 5x 6→

−− +

4) 2

2x 1

x 1límx 2x 3→−

−− −

5) 3x 2

1 3lím2 x 8 x→

⎛ −⎜ − −⎝ ⎠⎞⎟ 6)

2

3x 0

4x 2xlímx 5→

++

7) 2

3x 0

4x 2xlímx 5x→

++ 2 8)

2

3x 0

4x 2xlímx 5x→

++

9) 3 3

2x 0

(1 x) xlím2x→

+ −

10) 3 3

x 0

(1 x) xlímx→

+ − 11) 3 3

3x 0

(1 x) xlím3x→

+ − 12) x 0

xlím1 x 1→ + −

13) 2

x 1

x 1límx 1→

−−

14) x 2

x 2límx 2 2→

−+ −

15) x 0

1 x xlímx→

+ −

16) x 1

1 x 1lím2 x 1→

+ −− −

17) ( )32x x 23

x 1lím 4x 3

+ −

→− 18) ( )

2x 42

x 2lím x 3

−

→−

19) ( )1

2 x 1x 1lím x 1 +→−

+ 20) ( ) 21

2 (x 1)x 1lím x 1 +→−

− 21) 2x

x 0

3 xlím4 x→

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

22) x 12

2x 1

x 1límx 3x 2

+

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠

23) 1

x 1

x 1

xlím2 x

−

→

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

24) 1

x 2

2x 2

1límx 4

−

→

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

25) 1 x2

2x 1

1 3x 2xlímx 1

−

→

⎛ ⎞− +⎜ −⎝ ⎠

⎟ 26)

12 x 1

x 1

x x 1límx 2

−

→

⎛ ⎞+ +⎜ +⎝ ⎠

⎟ 27) ( )1

2 xx 0lím 1 x x→

+ +

28) 29) ( ) (2 2

xlím log x 2x 6 log 2x 3x 5→∞

⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦) x

x 3lím x.lnx→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

30)

2

x 0

x 1 xln ln1 x xlím

3x+→

−+

− 31) ( )x 3

xlím ln x 3 lnx 3+→

⎡ ⎤− +⎢ ⎥−⎣ ⎦

Pág 18


BLOQUE VII: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. 1) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, clasificando las posibles discontinuidades:

a) b)

21 x x 1f (x) 2 x 1

1 x x 1

⎧ + <⎪= =⎨⎪ + >⎩

2x 4 x 3g(x) x 22 x

⎧ −

2

<⎪= −⎨⎪ =⎩

c) x 1 x 2

h(x) 1 x 23 x 2

− <⎧⎪= ⎨⎪ − >⎩

=

d) 4

2

x 1i(x)x 1

−=

− e) j(x) x= f)

x xk(x)

2+

=

g) 2

x 1l(x)x x

+=

+ +1 h)

2

3

x 3m(x)x 27

−=

− i)

22x 4n(x)x 2

−=

−

2) Hallar m y n para que la función 4 2

2

x 2x mxf (x)x 3x 2

n− + +=

− + tenga dos discontinuidades evita-

bles.

3) ¿Qué valores han de tener m y n para que la función 2

2

3x mx nf (x)x 3x 4

+ +=

+ − tenga dos disconti-

nuidades evitables?

4) Se sabe que 2

3 2

x 2x nf (x)x mx 14x

− +=

+ − es discontinua en x=2 y que la discontinuidad es evitable.

Hallar m y n, y clasificar todas las discontinuidades de f.

5) Hallar el valor de m y n para que la función 3

3 2

x 4mx 4nf (x)x mx n− +

=− +

tenga una discontinuidad

evitable en x=2 y clasificar todas sus discontinuidades.

6) Dada la función 2 x 2 x 2f (x) x 2

m x

⎧ + −

2

≠⎪= ⎨ −⎪ =⎩

hallar el valor de m para que sea continua en x=2.

7) Hallar el valor de K para que la función

5 4

4

x x x 0f (x) Kx2 x

⎧ +

0

≠⎪= ⎨⎪ − =⎩

sea continua en x=0.

8) Hallar el valor de K para que la función 2

(x k)(x 2 x 2f (x) x 5x 6

6 x

+ −⎧

2

≠⎪= − +⎨⎪ =⎩


9) Hallar una función racional que sea discontinua en –2, 0, 3 y 223

. ¿Hay varias soluciones?

Encontrar la forma general de todas las funciones racionales que sean discontinuas en los pun-tos dados.

10) Hallar y clasificar los puntos de discontinuidad de la función 2 2

2 2

(x 3) (x 2x 8)f (x)(x 4) (2x 9x 9)

+ + −=

+ + +.

Pág 19



x 2 x 1

f (x) x 1 x 12x 1 x 1

⎧ + < −⎪

= − ≤⎨⎪ + ≥⎩

<

1

se pide:

a) Estudiar su continuidad. b) Representación gráfica.

12) Hallar el valor de a para que la función x

2

e xf (x)

(a 2a)x e 1 x

⎧ <⎪= ⎨+ + ≤⎪⎩



ln x 0 x 1f (x)

ax b 1 x< ≤⎧

= ⎨+ <⎩

determinar a y b para que sea continua y f(2)=3.

14) Dada la función se pide: 2

2

x a xf (x)

x (a 1)x 3 x

⎧ + ≤⎪= ⎨− + − + >⎪⎩

00

a) Determinar el valor de a para que sea continua en x=0. b) Para el valor calculado en el apartado anterior dibujar la gráfica de f(x).

15) El nivel de hemoglobina en la sangre debe estar entre 13 y 18 g/dl. Un laboratorio ha sacado

al mercado un medicamento que permite subir el nivel de hemoglobina en la sangre de forma gradual, sin que haya riesgos para la salud. En la información que aparece en el medicamento se lee que la función que relaciona el nivel de hemoglobina con los días transcurridos desde que se empezó a tomar el medicamento es:

2

60xf (x) 13x 36

= ++

a) ¿Cuál es el nivel de hemoglobina al cabo de 10 días de tratamiento? ¿Y de 30 días? b) ¿Qué pasaría si el medicamento se toma indefinidamente?

16) El gasto mensual en ocio de un cierto colectivo de familias viene dado por la expresión: 0 '02x 1 0 x 100

G(x) 30x x 1002x 2300

− ≤ ≤⎧⎪= ⎨

>⎪ +⎩

siendo x sus ingresos mensuales en miles de pesetas y G(x) también en miles de pesetas. a) Estudia la discontinuidad del gasto. ¿El gasto de una familia en ocio es sensiblemente dis-

tinto si sus ingresos son “ligeramente” superiores a cien mil pesetas? b) Justifica que ninguna familia de ese colectivo realiza un gasto en ocio superior a 15.000

Ptas. 17) Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad del producto cobra 5 ptas.

No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, decide disminuir el precio por unidad y por cada x unidades cobra la siguiente cantidad:

2

5x 0 x 10C(x)

ax 500 x 10

≤ ≤⎧⎪= ⎨+ >⎪⎩

a) Hallar “a” de forma que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran.

b) ¿A cuánto tiende le precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades.

(El precio de una unidad es C(x)x

)

Pág 20


BLOQUE VIII: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 1) Hallar la tasa de variación media dela función f(x)= x2+1 en los siguientes intervalos: a) [0,3] b) [3,5] c) [-3,-1] d) [-1,0] 2) Hallar, utilizando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se

indican:

a) f(x)= x2-x-1 en x=2 b) f(x)= x3 en x=0 c) 2

xf (x)x 1

=−

en x= -1

3) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones del ejercicio ante-rior en los puntos indicados.

4) Hallar, utilizando la definición, la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)= x3 b) 1f (x)x

= c) f (x) x= d) f (x) x 1 1= + −

5) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones del ejercicio ante-rior en los puntos que se indican respectivamente:

a) x=0 b) x=2 c) x=9 d) x=8 6) La función f (x) x 1= + no tiene derivada en un punto. ¿Cuál es ese punto? Representar pri-

mero la gráfica de la función y, sobre ella, razonar la respuesta. 7) Hallar los puntos en los que 2y x 5x 6= − + no tiene derivada.


0 xf (x)

(x 1) x 11<⎧

= ⎨− >⎩

a) Calcular su dominio y dibujar su gráfica. b) Definir f en x=1 para que sea continua en ese punto. c) Dando a f(1) el valor del apartado anterior, ver si f es derivable en ese punto.

9) Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

a) b) 2

x 1 x 0f (x)

x 1 x+ ≤⎧

= ⎨− + >⎩ 0 22

2x x 2f (x)

x 2 x≤⎧

= ⎨+ >⎩

10) El perfil de una carretera viene dado en un tramo de montaña por la función f (x) x= . ¿Qué señal de tráfico que indique la pendiente habrá que poner en x= 20, estando x en m? 11) Se ha trazado una recta tangente a la curva f(x)= x3, cuya pendiente es m=3 y pasa por el pun-to P(0,-2). Hallar el punto de tangencia. 12) La recta tangente a una curva en un punto puede cortar a la curva en otro punto. La tangente a la curva f(x)= x3 en T(1,1) la corta en otro punto, ¿Cuál es?

Pág 21


13) Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

1) 2) y (3x 2)(5x 1)(7x 2)= − + + 7 5 3 22 4y x x x 7x 13 3

= − + − + 3) 2 3y (x 5x)= −

4) 3x 1y2x 3

−=

− 5)

2

2

x 5x 1yx 3− +

=+

6) 2 2

2

(3x 1)(2x 4)y(x 1)+ +

=−

7) 2y x 3x= + 8) 3 2y x 5x 1= + − 9) 32

2xyx 1

=+

10) 2

3x 6xy3x 1−

=+

11) 5 3y x 6x 2= + − 12) 2 4

4

3x x 2x xy5 x−

=

13) 2 53 2

1 3y x xx x x x

= + − 14) x 2y 3e x 1= + − 15) xy 5e 2cos x= +

16) x

x

3ey2 e

=−

17) 22x 1 x 3x 1y e e+ + −= + 18) 23x x xy e e= −

19) 20) 2y ln(x 3x 1)= + −x 3y ln2x 1+

=−

21) 2

5 3

ln(x 3x)yx 2x

+=

+

22) 3

2

5x 2y4x 1

−⎛= ⎜ −⎝ ⎠⎞⎟ 23) 1 ly 2ln x

x x= + −

n x 24) 3x 1y log3x+

=

25) 5

7

ln(x 3x )y(4x 2)

+=

+ 26)

3 2

1yx 4

=−

27) 3

1 1y2x 1 (2x 1)

= −+ +

28) 29) 4y log(3x 5x 3)= − + ( )x 2xy ln e e 1= + − 30) 1

5 xy x e−

=

31) ( )23y log a x 2ax x= + + + 32)

2 2ln(x a ) 1 x ay2 2a x

lna

− −= +

+ 33)

34)

( )x2y x=

5 tagxy x log5xx

= − 35) ( )2 2xy x 4 2ln x x2

4= − − + − 36) ( )1xy ln x=

37) 2

2 1 a xy a x lnx

+ += + − 38) ( ) x

y x= 39) 2 xy ln ln lnx 3

⎡ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

⎤

40) 41) 3xy x=x1y 1

x⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

42) 9

7 1

(x 2)y(x 3) (x 8)

+=

− + 1

43) 4 32

xy xx 3

= ++

44) ( 3 21y ln x 3ln xx

)5= + − 45) 3x 1y e x+=

46) y ln(3x 4)= − 47) 48) x xy e senx e cos x= + y sen(7x 3)= +

49) 50) 2y cos(x 1)= − 2y sen x 3= + 51) 2y x senx x cos x= +

52) 53) y sec(4x 3)= − 23y cos(x 3)= − 54) x 2y tag ln3x+⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

55) 56) 57) 2y cos ec(x 3)= + sen3xy e= tagxy 4=

58) x 2e ln(x 1)y

cos ecx+ +

= 59) senx cos xysenx cos x

+=

− 60) tagx cot agxy

xsenx−

=

61) 62) 63) (y log sen7x= )

+

ln 3xy cos(e )= 2y tag(x 3x ln x)= −

64) 65) y cot ag(5x 2)=tag(3x 2)ycos(7x 1)

+=

− 66)

2

3 5

sen(x 3x)y(x 4)

+=

+

67) 68) 7x sen3xy e += 2x 1

3xsenxy loge += 69) 3y sen 2x sen3x= +

Pág 22


70) 71) 3y 5cos (4x 1).tagx= +2

2

cos (5x 1)y1 tag x

+=

+ 72)

3x sen7xyln x

=

73) 74) y l3y (senx cos x)= − n(sen3x)= 75) x cos xyx cox x+

=−

76) 3sen5x cos5xy

sen5x cos5x+⎛= ⎜ −⎝ ⎠

⎞⎟ 77) 78) 3 3y cos x cos(x )= − y ln(sen 3x )=

79) 80) y arcsen7x= 2y arccos(x 1)= − 81) x arcsenxyarctagx−

=

82) 2(1 x )arctagxysenx

+= 83) y xarctagx= 84) xy x.e .sen3x=

85) 1 xy arctag1 x−

=+

86) 87) 7xy arcsen(1 e )= −1arcsenxy 8=

88) 2y arcsen(1 x) 2x x= − + − 89) 2 2 xy a x a.arcsena

= − + 90) 1 xy arctag1 x−

=+

91) 2

2

1 cos xy ln1 cos x−

=+

92) 2 2 2 xy x a x a arcsena

= − + 93) y ln arcsen x arcsen ln x= +

94) 2

2

x arcsen xy ln1 x

= +−

1 x− 95) 96) 2 2y sen (sen x)= x 2 7y 5 x sen x=

97) 2

xy arcsen1 x

=−

98) 1

senx1yx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

99) 1 senxy ln1 senx+

=−

14) Dada la curva de ecuación y = x , se pide:

a) Ángulo que forma el eje OX con la normal a la curva en el punto de abscisa x=4. b) Punto de intersección de dicha normal con el eje OX.

15) Hallar los puntos donde la recta tangente a la curva de ecuación 3 2x xf (x) 2x

3 2= + − es para-

lela al eje OX. 16) ¿En qué punto la normal a la curva de ecuación y= x2 –5x+6 es perpendicular a la recta de

ecuación x-y+4= 0?. Escribir la ecuación de la tangente en ese punto.

17) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva xef (x)7

3+= en el punto x=0.

18) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y= x3 –x en los puntos de intersección de la misma con el eje de abscisas.

19) Hallar los ángulos que forman las rectas tangentes a las curvas de ecuación y= 2-x2 , y= x2 en

el punto de intersección de ambas situado en el primer cuadrante.

20) ¿En qué punto la tangente a la curva 21y x 5x6

4= − + es paralela a la recta de ecuación

2x+3y-3=0?

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21) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva definida implícitamente por la ecuación x2+2y2=3 en el punto A(1,1).

22) Hallar el área del triángulo formado por la tangente a la curva de ecuación y= x2 –x +1 en el

punto (1,1), la normal en dicho punto y el eje de abscisas. 23) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se

indican:

a) x xy sen cos2 2

= en x=π

b) en x=0 x 2y 2 (x x 1)= + +

c) en x=1 xy 2(x 1) ln x (x 1)2= − + +

d) y ln x= en x=1

e) 1y arctagx

= en x= 3

f) 5 πy sen 5x en x10

= =

24) Hallar algún punto en que la recta tangente a la curva 2

4f (x)x x

=+

a) es horizontal b) es paralela a y= -3x+3

25) Dada 8f (x) ax bx

= + + , hallar a y b para que su gráfica pase por el punto (-2,-6) y tenga en

dicho punto una tangente horizontal. 26) La parábola y= x2 +bx +c es tangente a la recta y= x en el punto (1,1). Hallar la ecuación de

la recta tangente a la parábola en el punto (2,f(2)) 27) Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de ecuación f(x)= x3 +3x2 +x en los

puntos de intersección con la bisectriz del primer cuadrante.

28) ¿En qué puntos de la gráfica de la función 2xf (x) 7x

4= − su tangente es paralela a la bisec-

triz del primer cuadrante? ¿Y a la del segundo?

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BLOQUE IX: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1) Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos de las siguientes fun-

ciones:

a) f(x)= x4 – 2x2 b) f(x)= x3 – 6x2 +9x –8 c) 2xf (x)

x 1=

−

d) e) f) 2f (x) ln(x 1)= +23x 6xf (x) e +=

2

2

xf (x)x 9

=−

2) La función real f(x)= x3 + ax2 + b tiene un mínimo en el punto P(2,3). Hallar los números a y b.

3) Hallar los coeficientes a, b, c y d de la función y= ax3 +bx2 +cx +d sabiendo que sus extremos relativos son los puntos (0,4) y (2,0).

4) La función y= x3 +mx2 +nx +p pasa por (0,5), tiene un máximo en x= -1 y un mínimo en x= 3. Hallar m, n y p.

5) La función y= x3 +mx2 +nx +p pasa por el punto (-1,0), tiene un mínimo en x=1 y un punto de

inflexión en x= 13

− . Calcular m, n y p.

6) Encuentra un número tal que al restarle su cuadrado, la diferencia sea máxima. 7) Halla dos números tales que su suma sea 36 y su producto sea máximo. 8) Calcula las dimensiones que deben tener los lados de un terreno rectangular de 80 m. de perí-

metro si queremos que su área sea máxima. 9) Halla las dimensiones de un rectángulo de 64 m2 para que su perímetro sea mínimo. 10) Un ganadero quiere construir tres rediles rectangulares contiguos e iguales, para lo que dis-

pone de 1.000 m. de cerca. ¿Qué dimensiones debe tener cada redil para que tengan área máxi-ma?

11) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del ca-

mino cuesta 800 ptas/m y la de los otros lados 100 ptas/m, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 288.000 ptas.

12) Recortando un cuadradito de cada esquina de un cartón rectangular de 6 y 8 cm. de lado, se

quiere construir una caja sin tapa. ¿Qué medida debe tener el lado del cuadrado para que el vo-lumen de la caja sea máximo?

13) Halla el radio de la base y la altura del cono de 3 m. de generatriz y de volumen máximo. 14) De entre todos los conos de volumen igual a 18π m3 calcula el radio de la base y la altura del

que tiene mínima la generatriz. 15) Un alambre de un metro de longitud se divide en dos trozos y con ellos se construyen un cua-

drado y un círculo. Calcula la longitud que ha de tener cada trozo para que la suma de las áreas sea mínima.

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16) Calcula las dimensiones que debe tener un bote cilíndrico de hojalata cuyo volumen es de 8π m3, si queremos que la hojalata empleada en su fabricación sea mínima. Considera los siguien-tes casos: a) El bote tiene dos tapas. b) El bote tiene únicamente una tapa inferior.

17) Se desea construir una caja rectangular cerrada de base cuadrada y volumen 27 dm3. Hallar

las dimensiones para que la superficie total de la caja sea mínima. 18) El propietario de un inmueble tiene alquilados los cuarenta pisos del mismo a 10.000 ptas el

mes cada uno. Por cada 1.000 ptas de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino que se traslada a un piso más económico. ¿Cuál es el alquiler que más beneficio produce al propie-tario?

19) Estudiar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) y= x4 – 6x2 b) 2y x 4= − c) 2xey

x=

d) 1xy x.e= e) xy

x 1=

+ f)

3

2

xyx 1

=−

20) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y= 2x3 – 6x2 + 4 en su punto de in-flexión.

21) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y= x3 – 6x2 + 9x -3 en su punto de in-

flexión. 22) El precio, en pesetas, que la acción de una empresa alcanza en el transcurso de una sesión de

Bolsa, viene dado por la función p(t)= 40t3 - 420t2 + 1200t + 200, en donde t es el tiempo en horas a contar desde el inicio de la sesión. Supongamos que la sesión comienza a las 10 de la mañana y finaliza 7 horas después. Se pide: (a) ¿Entre qué horas el precio de la acción sube? (B) ¿Entre que horas el precio de la acción baja? (c) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza un máximo relativo? ¿Cuál es este valor? (d) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza un va-lor mínimo relativo? ¿Cuál es este valor? (e) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza su va-lor más grande? ¿Cuál es ese valor?

23) Estudiar y representar las siguientes funciones:

1) 2) 3) 2f (x) 3x 2x 5= − + 3 2f (x) x 2x x 2= − − + 4 21 1f (x) x x4 2

= −

4) 5) 4 2f (x) x 6x= − 2

xf (x)x 1

=−

6) 2x 1f (x)x−

= 7) 2

6xf (x)x 1−

=+

8) 3

2

xf (x)(x 1)

=−

9) 3

2

xf (x)x 1

=−

10) 2

xf (x)X 4

=−

11) 2

1f (x)x 1

=+

12) 2

1f (x)1 x

=−

13) 2

4xf (x)(x 2)

=+

14) ln xf (x)x

= 15) xf (x)ln x

=

16) 17) f 18) 2f (x) ln(x 2x)= − (x) x.ln x=2xf (x) e−= 19)

xef (x)x

=

20) f (x) senx cos x= +

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BLOQUE I: TRIGONOMETRA - colegiodiocesano.net · 10) Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 2x–y+1 =0, 2x+y-13 =0 y 2x+5y-17=0. Hallar las coordenadas de sus vértices