Czinder Jenı

ENERGETIKAI FOLYAMATOK DINAMIKÁJA ÉS SZIMULÁCIÓJA

- Kidolgozás alatti ideiglenes jegyzet -

Budapest, 2006.

1

Tartalomjegyzék 1. BEVEZETÉS. A matematikai modell felállításának néhány alapkérdése......................... 2 1.1. Az elméleti modellalkotás alapjai ............................................................................. 2 1.2. Empirikus modellalkotás, identifikáció..................................................................... 5 1.3. Az elméleti és az empirikus modell összehasonlítása.............................................10 2. A dinamikus matematikai modell mérlegegyenletei....................................................... 12 2.1. Elosztott paraméterő folyamat mérlegei.................................................................. 12 2.1.1. Tömegmérleg ................................................................................................. 12 2.1.2. Impulzusmérleg.............................................................................................. 14 2.1.3. Energiamérleg ................................................................................................ 16 2.1.4. Falelem instacionárius mérlege...................................................................... 20 2.1.5. Holtidıs folyamat leírása ............................................................................... 22 2.2. Koncentrált paraméterő folyamat mérlegei............................................................. 23 2.2.1. Tömegmérleg ................................................................................................. 23 2.2.2. Energiamérleg ................................................................................................ 25 2.2.3. Impulzusmérleg.............................................................................................. 28 2.3. A koncentrált paraméterő mérlegegyenletek közös tulajdonságai .......................... 30 2.4. A modell egyszerősítése, linearizálás...................................................................... 33 2.4.1. A linearizálás egy módszere........................................................................... 33 2.4.2. Példák linearizálásra....................................................................................... 34 3. A matematikai modell numerikus megoldása ................................................................ 37

3.1. Parciális differenciálegyenletek átalakítása............................................................. 37 3.2. Közönséges differenciálegyenlet rendszer megoldása............................................ 40 3.2.1. A numerikus integrálás alapjai ....................................................................... 40 3.2.2. A numerikus integrálás hibája........................................................................ 41

4. A szimulációs nyelv: Matlab/Simulink Primer+....................................Nincs kidolgozva 5. Energetikai alkalmazások és szimulációs minták .......................................................... 43

5.1. Koncentrált paraméterő elemi folyamatmodellek ................................................... 43 5.1.1. Tároló elemek................................................................................................. 44 a.) Szimultán anyag- és energiatárolás............................................................... 44 b.) Izotermikus anyagtárolás .............................................................................. 46 c.) Állandó nyomású energiatárolás ................................................................... 47 d.) Konvektív hıcsere falon át ........................................................................... 48 5.1.2. Anyagtranszport elemek................................................................................. 49 a.) Fojtás: ellenállás elem ................................................................................... 49 b.) Szabályozó szelep ......................................................................................... 50 5.2. Összetett folyamatok modelljei ............................................................................... 54 5.2.1. Koncentrált paraméterő „Tároló+Fojtás” rendszer modellje ......................... 54 5.2.2. Hıcserélı koncentrált paraméterő modellje................................................... 55 5.2.3. Gıztermelési folyamat dinamikájának modellje............................................ 57 5.2.4. Hıhasznosító kazán dinamikai modellje................................Nincs kidolgozva 5.2.5. Gızturbina dinamikai modellje..............................................Nincs kidolgozva 5.2.6. Gázturbina dinamikai modellje ..............................................Nincs kidolgozva

2

1. BEVEZETÉS A matematikai modell felállításának néhány alapkérdése

Matematikai modellt a mőszaki gyakorlatban sokféle célra használnak. Ha a modell csak a folyamat stacionárius (állandósult) állapotait írja le, akkor statikus modellrıl beszélünk. En-nek matematikai megjelenési formája (általánosan nemlineáris) algebrai egyenletrendszer. A tranziens (azaz átmeneti) állapotokat is leíró modellt dinamikus (vagy dinamikai) modellnek nevezzük, amelynek matematikai formája differenciálegyenlet-rendszer, s amiben az egyik (sokszor az egyetlen) független változó az idı (t). Statikus és dinamikus modellt egyaránt alkalmaznak a folyamattervezésben. A folyamat sza-bályozásában a dinamikai modelleknek van meghatározó szerepe, míg pl. a folyamat mőkö-dési határainak vizsgálatához elegendı csupán a statikus modellt ismerni. A "Mi van akkor, ha …" kérdésre válaszoló analízisben a matematikai modell rendszerfejlesztési célokat szol-gál, az ún. szimulátorok alapja pedig olyan valós idejő nemlineáris dinamikai modell, amit üzemeltetı személyzet kiképzésére és tréningezésére használnak. A matematikai modell felállításának elvileg két különbözı módszere ismert: az elméleti és a kísérleti alapon történı modellalkotás, melyek alapvetı részleteivel az alábbi fejezetekben foglalkozunk. 1.1. Az elméleti modellalkotás alapjai Az elméleti modellalkotás (vagy más néven: elméleti rendszeranalízis) a fizikai folyamatokról alkotott minıségi elképzelésbıl indul ki, és ezeket a folyamatokat a fizika törvényei segítsé-gével matematikai eszközökkel írja le. Az eredmény az elméleti matematikai modell. Az elméleti matematikai modell felállításának lépései Az alábbiakban tárgyalt modellalkotási elvek többnyire általánosnak tekinthetık azzal együtt, hogy a folyamatszabályozási célra történı felhasználhatóságot tekintettük elsıdleges szem-pontnak. A dinamikai modell elméleti kidolgozásának menetét a 1-1. ábrán szemléltetett folyamatábra mutatja be. Az egyes lépések fıbb jellegzetességeit a következıkben ismertetjük. 1.) Az alkalmazási cél definiálása

Általános (vagy több) célra (azaz egy folyamatnál többféle alkalmazásra megfelelı) ma-tematikai modellt nem célszerő (és nem is lehet) készíteni. Alapvetı fontosságú tehát a modellalkotás céljának pontos körülhatárolása, aminek kapcsán általában a következı kérdéseket kell feltenni (és természetesen megválaszolni): milyen problémát akarok meg-oldani, hogyan néz ki a rendszer, milyen jellemzıket ill. eseményeket akarok vizsgálni, milyen pontosságú (tehát mennyire valósághő) legyen a modell, mennyi idı és anyagi rá-fordítás áll rendelkezésre a modellfejlesztéshez?

2.) A minıségi kép (fizikai modell) kialakítása Ide tartozik a rendszer pontos körülhatárolása és ezen belül a lényeges fizikai jelenségek definiálása. Itt nagyon sokat számít a korábbi modellezési tapasztalat ill. az elméleti (apri-ori1) folyamatismeret, hiszen arról kell dönteni, hogy a vizsgált folyamatnál milyen fizikai jelenségeket kell figyelembe venni (a mérnök általában a makroszkopikus jelenségeket vizsgálja), és miket lehet elhanyagolni. Rögzíteni kell az ún. leíró jellemzıket (függı vál-

1 apriori: a tényeket megelızı, a tapasztalatot ill. kísérletet vagy mérést mellızı

3

tozók definiálása), dönteni kell arról, hogy a jelenségek lefolyását csak az idı függvényé-ben (koncentrált paraméterő modell), vagy a helytıl is függıen (elosztott paraméterő mo-dell) kívánjuk-e vizsgálni (független változók definiálása).

Alkalmazási céldefiniálása

Lényegesfizikai

folyamatok

Aprioriismeretek

Kvalitatív(v.fizikai)modell

Matematikaileírás

Folyamatadatok

Fizikaitörvények

Matematikai,számítástechnikai

eszközök

Kvantitatívmodell

SZIMULÁCIÓ

Szimulációseredmények

VERIFIKÁCIÓ

Kísérletileg kapottválaszok

Véglegeskvantitatív

modell

Kísérleti vizsgálat(kezdeti feltételek,

bemenı jelek)

Konstrukcióravonatkozó

következtetések

Szabályozásravonatkozó

következtetések

E L M É L E T I

K Í S É R L E T I

Jó?Nem

Igen

1-1. ábra Az elméleti modellalkotás menete

4

3.) Matematikai leírás Az elıbbi minıségi elképzeléseket matematikai formulákba öntjük. Ehhez elsısorban a fizikai törvényeket és a folyamat adatait (méretek, üzemi feltételek stb.) kell ismerni, de szükség van matematikai és számítástechnikai ismeretekre is, hiszen a felállítandó egyen-letrendszert valamilyen módon majd meg kell oldani. Az egyenletrendszer fı részei az alábbiak: a.) Instacionárius megmaradási egyenletek

A matematikai modell legfontosabb része, hiszen ezek adják a dinamikát, ennek meg-felelıen formájuk mindig differenciálegyenlet. A megmaradási törvények tulajdon-képpen mérlegegyenletek, melyeket egy zárt (ellenırzı felülettel körülhatárolt) rend-szerben tárolt tömegre, energiára és impulzusra lehet felírni. Ezek általánosan a követ-kezı formába írhatók:

Tárolás = Be – Ki + Keletkezés. (1.1) A fentiek szerint tehát: az ellenırzı felületen áthaladó be- és kilépı tömeg-, energia- és impulzusáramok (valamint az esetlegesen bent keletkezı áramok) összege meg-egyezik a rendszerben tárolt tömeg, energia és impulzus idıegységre esı változásával. Koncentrált paraméterő folyamatnál a tárolást az egész folyamatra, elosztott paramé-terő folyamatnál pedig csak egy infinitezimális kis elemre szabad értelmezni. A folyamat minden koncentrált vagy elosztott tárolójára egy-egy mérlegegyenletet kell felállítani. Hogy konkrétan melyik mérlegegyenletet kell megfogalmazni, az a vizsgált problémától függ; vagyis attól, hogy milyen fizikai változót akarunk megismerni (lásd a cél megfogalmazása). Például egy összenyomható közeg nyomása, vagy egy tartály-ban lévı folyadék szintje a tömegmérlegbıl származtatható, míg egy közeg hımér-sékletének megismeréséhez az energiamérleg felírása szükséges. Kémiai reakciókat tartalmazó folyamatokban (pl. égés) komponensenként is fel kell írni a tömegmérleget.

b.) Fenomenológikus összefüggések A mérlegegyenletek jobboldalán lévı extenzív áramokat, ha irreverzibilis (kiegyenlí-tıdési) folyamatokról van szó, az ún. fenomenológikus2 törvények határozzák meg. Ilyenek például: hıátadás: lnϑ∆⋅= kFQ& , vagy ϑ∆α ⋅= FQ& , tömegdiffúzió: arányos a koncentráció gradiensével, kémiai reakció: reakciósebesség arányos a koncentráció-gradienssel, Ohm-törvény: villamos áram arányos a feszültség-gradienssel,

folyadékáram: ρpkm ∆=&

stb. Ezek az irreverzibilis áramok általában széles tartományban arányosak a potenciálgradienssel, így a fenomenológikus törvény általánosított alakja:

Áram = Potenciálkülönbség / Ellenállás. (1.2)

c.) Állapotegyenletek Ha a folyamat tárolóiban több egymástól függı, a dinamikai viselkedés szempontjából lényeges állapotváltozó van (mint pl. a gáz- ill. gızszerő közegekben), akkor az eddigi egyenleteket a szóban forgó közeg állapotegyenleteivel (pl. az ideális gáztörvény: pv = RT) kell kiegészíteni.

2 közvetlenül – tehát a mélyebb elméleti háttér feltárása nélkül - észlelhetı sajátosságot leíró

5

d.) Entrópia-mérlegegyenletek

Ha a rendszerben kettı vagy több egyidejő irreverzibilis folyamat van (pl. diffúzió és hıvezetés), akkor a kiegyenlítıdési folyamatok szuperpozíciójával új jelenségek lép-hetnek fel. Ezeket matematikailag az (1.2) lineáris fenomenológikus törvény megfe-lelı kibıvítésével (Onsager-féle formalizmus) lehet kezelni. A szükséges kiegészíté-sek általában az irreverzibilis folyamat entrópiamérlegeivel fogalmazhatók meg.

A fenti egyenletcsoportokból elıállt matematikai modell paramétereit ellátva a valós rend-szer adataival, adódik a számszerősített (vagy primer kvantitatív) modell, amit adott be-menıjelekre kell megoldani. Már itt felmerül azonban az a kérdés, hogy minden eddigi gondosságunk ellenére ez a modell alkalmas-e a meghatározott célra, vagy további finomításokra ill. átalakításokra van szükség. Ezt a kérdést egyszerő folyamatoknál és/vagy nagyon jó folyamatismeret ill. sok tapasztalat (pl. hasonló folyamatokat már korábban sokszor eredményesen vizsgáltunk ilyen modellel) esetén - egyszerő ellenırzı számításokkal (pl. statikus mérlegek) és/vagy minıségi megítélések alapján - viszonylag könnyő megválaszolni. A modell minısítésének igazi kritériuma azonban a valóság, azaz hogy a modellen kapott eredmények mennyire egyeznek meg a valóságos folyamattal. Ezért nagyon bonyolult folyamat és kevésbé ismert folyamattulajdonságok esetén indokolt az elméleti modellnek kísérleti vizsgálattal történı ellenırzése. A kísérleti ellenırzéshez szükség van a valós fi-zikai folyamatra (ilyenek: üzemi berendezés, félüzemi kísérleti berendezés, laborberende-zés).

4.) A matematikai modell megoldása, szimuláció Elvileg elképzelhetı a matematikai modell analitikus megoldása, de ez az út a gyakorlat-ban – a dinamikai modell bonyolultsága miatt – legtöbbször nem járható. Ezért a modell megoldására szimulációt alkalmazunk, amelyhez napjainkban a megfelelı számítógép (PC) mellett számos felhasználóbarát szimulációs szoftver (pl. Tutsim, VisSim, Matlab-Simulink stb.) is rendelkezésre áll.

5.) Verifikáció A modell jóságának ellenırzése, vagyis azt vizsgáljuk, hogy a modell megfelelı hőséggel reprezentálja-e a valóságot. Ennek megbízható módszere, ha a szimuláció eredményeit a valós folyamaton végzett kísérletek eredményeivel hasonlítjuk össze. Ennek érdekében az elıbbi szimulációt a méréssel azonos feltételek mellett (azonos kezdeti feltételek és beme-nıjelek) kell lefolyatni. A szimulációs és a kísérleti válaszok összehasonlítására célszerő matematikai értékelı kritériumokat (megengedett hiba) fogalmazhatunk meg, melyekkel ez a modellértékelı munka algoritmizálható. Ha a hiba a megengedettnél kisebb, akkor máris rendelkezésre áll a végleges kvantitatív modell, amit biztonsággal alkalmazhatunk, pl. a konstrukcióra vagy a folyamat szabályo-zására vonatkozó következtetések levonására. Ha a modell nem teljesíti az elvárt pontos-sági igényeket, akkor korrekció céljából a modellalkotási folyamat elıbbi lépéseire kell visszatérni (pl. más lényeges folyamatokat kell figyelembe venni, vagy más matematikai leírást kell választani).

1.2. Empirikus modellalkotás, identifikáció A matematikai modell empirikus (vagy kísérleti) alapon történı kidolgozása nagyon hatékony modellezési módszer, alkalmazásának különösen a folyamatszabályozás területén (kis válto-zások, lineáris modell, átviteli függvények) van jelentısége. A módszer alapja a folyamaton

6

végzett dinamikai kísérlet (mérés), s az itt kapott összetartozó input-output adatokból lehet elıállítani a matematikai modellt.

1-2. ábra Az empirikus modellalkotás menete

A módszer alkalmazásának alapvetı elıfeltétele a létezı ill. mőködı folyamat, amin kísérletet (dinamikai mérést) lehet végezni. Az empirikus modellalkotás menetét szemlélteti az 1-2. ábra, aminek alapján a következıkben áttekintjük az egyes lépések lényegét. 1. Alkalmazási cél megfogalmazása Tisztázni kell, hogy a dinamikai viselkedést mire akarjuk használni, mert ettıl függ az el-

várt pontosság, ami viszont döntı meghatározója az alkalmazandó mérési- és kiértékelési eljárásnak. Ha ún. szakaszdinamikai mérésrıl van szó, pl. a szabályozóparaméterek beállí-tása céljából, akkor a legtöbb esetben elég az átmeneti függvény kimérése. Ha azonban az empirikus vizsgálatot egy elméleti módszerrel felállított modell értékelésére akarjuk hasz-nálni, akkor a mérésekkel szemben támasztott igény lényegesen megnıhet.

2. A kísérlet megtervezése Fontos, sajnos gyakran alábecsült, része az empirikus modellalkotás folyamatának. A jó elıkészítés a majdani jó méréslefolytatás egyik elıfeltétele. Ebben a lépésben az alábbiakat kell megtervezni: • A folyamat mérés alatti mőködésének (üzemelésének) feltételei (munkapont, milyen jel-

lemzıknek kell állandónak lenni, mik változhatnak, miket fogunk változtatni stb.) • A tervezett változtatások alakja, erıssége és idıtartama. A 1-3. ábrán mutatunk be né-

hány olyan – nagyrészt jól ismert – determinisztikus jelalakot, amit a kísérleti vizsgála-toknál a rendszer bemenetén vizsgálójelként (teszt-jelként) gyakran szoktak alkalmazni.

KÍSÉRLETmegtervezése

KÍSÉRLETlefolytatása

STRUKTÚRAmeghatározása

PARAMÉTEREKbecslése

ÉRTÉKELÉS

VERIFIKÁCIÓ

A'prioriismeretek

Alternatívfolyamatadatok

Modell

Identifikáció

Alkalmazási célmegfogalmazása

7

1-3. ábra Néhány kísérleti vizsgálójel-alak a) ugrásfüggvény b) négyszög-függvény c) rámpafüggvény d) pszeudovéletlen bináris jel (angol rövidí-

tése: PRBS)

Hogy mikor melyiket alkalmazzuk, azt több szempont határozza meg. Általában egy tesztjel akkor tekinthetı optimálisnak, ha azzal a rendszer dinamikai viselkedését a kí-vánt pontossággal, minimális mérési idı alatt és korlátozott változások mellett lehet meghatározni. Mindenesetre figyelembe kell venni a jel kivitelezhetıségét, vagy azt, hogy a kiértékelésnél majd a válasz milyen formája lesz kedvezı. Befolyásolhatja a jel-alakot a rendszer viselkedése is, amit viszont éppen a vizsgálattal akarunk megismerni. - Ugrásfüggvényt (a) alkalmazunk bemenı vizsgálójelként akkor, ha válaszként átme-

neti függvényeket szeretnénk kapni. Itt természetesen nem egységugrásról van szó, hanem egy célszerő és kivitelezhetı K nagyságú ugrásszerő változtatásról.

- A négyszög-függvény (b) egy K magasságú és TP szélességő impulzus vizsgálójel. Alkalmazása célszerő lehet akkor, pl. ha az ugrásfüggvény kellı idıtartamig (amíg a válaszban a tranziens teljesen lejátszódik) nem tartható fenn. Ilyen korlátozó körül-mény állhat fenn például egy integráló tulajdonságú szakasznál üzembiztonsági okok miatt.

- A rámpafüggvény (c) legtöbbször tulajdonképpen az ugrásfüggvény megvalósítása-ként fordul elı. Az ideális ugrásfüggvény ugyanis azért nem realizálható, mert a K változtatás kivitelezéséhez idı szükséges, pl. a beavatkozó szervek véges sebességő mozgatása miatt. A TR idı (a rámpa hossza) nagyságától függ, hogy a folyamat di-namikájához képest ezt a valóságban számottevınek (tehát a bemenetet rámpának) vagy elhanyagolhatónak (tehát a bemenetet gyakorlatilag ugrásnak) tekintjük.

- A PRBS alak (d) használatánál is számíthatunk a rendszerkimenet korlátozott, s így az üzemelést kevésbé zavaró (és az üzembiztonságot kevésbé veszélyeztetı) válto-zására, ezzel együtt mégis a rendszertulajdonság alaposabb megismerését teszi le-hetıvé. Ezt a vizsgálójel-alakot csak numerikus kiértékelési eljárásokhoz tervezhet-jük.

t

∆xb

K

∆xb

tTP

K

∆xb

tTR

K

∆xb

t

K

a.)

b.)

c.)

d.)

8

A vizsgálójel erısségét (K) úgy kell megválasztani, hogy az se túl nagy, se túl kicsi nem lehet. Azért nem lehet túl nagy, mert az egyrészt rontaná a termelési folyamat minıségét és veszélyeztetné az üzembiztonságot, másrészt az eredmények nem felelnének meg a linearitással kapcsolatos elvárásoknak. Ugyanis a folyamat általában nemlineáris, így a munkaponttól való jelentısebb eltérések alakításában már a nemlinearitások is szerepet játszanak. Ugyanakkor a vizsgálójel amplitúdójának elég nagynak kell lenni ahhoz, hogy hatása jól mérhetı legyen a nem elhanyagolható zavarások ill. folyamatzajok mellett. Az elhanyagolhatatlan zavarások nagysága befolyásolja a jelalakot is: kisebb zavará-soknál (b/x < 0,4; ahol b: a zavar nagysága, x: a hasznos jel nagysága) az a-b-c alatti függvények, nagyobb zavarások esetén (b/x > 0,4) pedig a d alatti jelalak használata lát-szik célszerőbbnek. A kísérlet tervezésének eddigi feladatai azt mutatják, hogy azok megfelelı kidolgozásá-hoz szükség van a folyamat és dinamikai viselkedésének bizonyos mélységő elızetes ismeretére (apriori információk).

• Mért jellemzık: ezt alapvetıen a modellalkotási cél és a mérési lehetıségek kompromisszuma határozza meg. Itt is fontos szerepe van az elméleti folyamatismeret-nek, amellyel a rendszermegismeréshez szükséges megfigyelendı jellemzık köre pon-tosítható. Pl. késıbb, az identifikációban alkalmazni kívánt modellstruktúra befolyásol-hatja ezt a kérdést.

• Mérıeszköz meghatározása: olyan adatrögzítı eszközöket kell használni, amelyekkel a mért jellemzık az idı függvényében folyamatosan ill. megfelelı sőrőséggel és megfe-lelı érzékenységgel állnak rendelkezésre, mert csak ebben az esetben kapunk értékel-hetı adatokat. Az adatrögzítés megfelelı sebességét elsısorban a vizsgált folyamat di-namikája szabja meg, de összefügg a bemenıjel nagyságával is. A dinamikai mérés jellemzıinek rögzítésére régebben speciális analóg eszközöket (la-boratóriumi vonalírók ill. regisztrálók), majd késıbb digitális elven mőködı adatgyőjtı-ket használtak, mivel az üzemi információs rendszer nem felelt meg a fenti elvárások-nak. A mai korszerő digitális folyamatirányító rendszerek viszont már olyan adatrögzí-tıkkel rendelkeznek, amelyek a dinamikai mérések igényeit is kielégítik, tehát a mérés-hez általában pótlólagos hardver kiépítésére nincs szükség. Ugyanakkor szükség lehet olyan (üzemszerően nem meglévı) szoftverre, amellyel az üzemi adatbázisból ki lehet emelni a mérési anyagot.

• Hivatalos mérési program kialakítása: a kísérlet idıpontjának és menetének a felelıs ve-zetıkkel ill. az üzemeltetı személyzettel egyeztetett és jóváhagyott írásos dokumen-tuma.

3. A dinamikai mérés lefolytatása A kísérlet a mérés elıtti állapot beállításával kezdıdik, ami általában a munkaponti állan-dósult állapot. Ha ez megfelelı ideig fennáll, akkor indulhat a terv szerinti vizsgálójelek beadása és a mért adatok (eredmények) rögzítése. Más bemenetek változásai vagy a mérés alatt megjelenı egyéb nagy zavarok kiértékelésre alkalmatlanná teszik a kísérletet. Így a kísérlet alatt sokszor nemcsak az értékelendı kime-neteket, hanem más jellemzık (pl. más bemenetek, fı zavaró hatások) idıbeli lefolyását is figyelemmel kell kísérni, mert többnyire csak ezekkel együtt lehet elızetesen dönteni a di-namikai kísérlet használhatóságáról. Ezért a vizsgált kimenetek, és néhány további jel-lemzı idıfüggvényét már a mérés alatt ábrázolni kell (pl. képernyın), ami lehetıvé teszi a dinamikai mérés lejátszódásának folyamatos ellenırzését.

9

4. Identifikáció Az identifikáció mérés utáni feladat, ami lényegében a matematikai modell felállítása a mért adatokból. Két eleme van: elıbb meg kell határozni a modell struktúráját, majd ki kell számítani a paraméterek konkrét értékeit. • Modellstruktúra felvétele

A struktúra az a matematikai összefüggés (pl. átviteli függvény), amelynek ismeretlen paramétereinek kiszámítását a mért adatokra alapozzuk. Hogyan vegyük fel a struktú-rát? − Csak a mért adatok alapján, tisztán matematikai approximációban gondolkodva. − Elméleti (apriori) ismeretekre alapozva, pl. tudjuk, hogy a vizsgált be- és kimenet kö-

zött hány tárolási folyamat van. Ha lehet, általában célszerő a felvetett két lehetıséget kombinálva eljárni.

1-4. ábra Többtárolós folyamat át-meneti függvénye és egy-szerő modellje

A valós többtárolós folyamat mért átmeneti függvényének (1-4. ábra) inflexiós érintıje két jellemzı idıadatot (Tl: látszólagos holtidı, Tf: felfutási idı) szolgáltat, melyekhez kapcsolódva pl. elfogadható közelítésnek tarthatjuk, hogy Tl = Th és Tf = T. Tehát ezzel – csupán a mért függvény jellegére alapozva – a látszólagos holtidıhöz egy tiszta holt-idıs tulajdonságot (Th: holtidı), a felfutási idıhöz pedig egytárolós (T: tárolási idıál-landó) arányos tulajdonságot rendeltünk, melyekkel a valós többtárolós viselkedést kö-zelítıleg leíró átviteli függvény (azaz a modellstruktúra):

sTheTs

AY P −

+=

1. (1.3)

A modell átmeneti függvénye is látható az ábrán szaggatott vonallal ábrázolva, aminek alapján a valóság és a modell egyezése jól megítélhetı.

• Paraméterek számítása Az identifikáció második lépése, melyben a modellparaméterek azon értékeit kell meg-határozni, amelyekkel a modell és a mért dinamikai viselkedés között jó egyezés mutat-kozik. A fenti egyszerő példában a két identifikációs részfeladat egybe esett: azzal, hogy az inflexiós érintıt behúztuk, nem csak a struktúráról döntöttünk, hanem egyben meg-határoztuk a T és Th paraméterek értékeit is (az érintı kimetszette ezeket). A paraméterek értékeinek meghatározására két út lehetséges: − Grafoanalitikus módszerek: ezek a mért átmeneti függvényre alapozott részben grafi-

kus, részben analitikus kiértékelı eljárások. Ilyennek tekinthetı a fent bemutatott egyszerő közelítı leírás is. A grafoanalitikus módszerek – dinamikai tulajdonságon-ként csoportosítva – kézikönyvszerő összeállításban állnak rendelkezésre.

Tl

0,63AP

Tf

AP

0t

Valós

Modell

10

− Numerikus módszerek: tetszıleges válaszok (akár átmeneti függvény is) ill. összetar-tozó input-output adatsorok kiértékelésére szolgáló numerikus eljárások. Szükséges hozzá digitális számítógép és speciális identifikációs szoftver.

5. Diagnosztikai értékelés A modell értékelésének ez a szintje csak azt vizsgálja, hogy a modell mennyire illeszkedik a paraméterek meghatározására (paraméterbecslésre) használt mérési adatokhoz. Tehát ez a modelleredmények és a mért adatok összehasonlítása.

6. Verifikáció A modell végleges értékelése; azt vizsgálja, hogy a modelleredmények más – a paraméter-becsléshez nem használt – mért adatokkal hogyan egyeznek meg.

1.3. Az elméleti és a kísérleti modell összehasonlítása A fentiekben megismertük a dinamikai modell kialakításának két alapvetı lehetıségét: az elméleti (1.1. pont) és a kísérleti (1.2. pont) módszereket. Az alábbiakban táblázatosan össze-foglaljuk a két modellalkotási módszer jellegzetességeit. Az összehasonlításból kitőnik az a fontos megállapítás is, hogy két módszerrel elıállított matematikai modell szolgáltatásai álta-lában jelentısen eltérıek.

Szempont Elméleti modell Kísérleti modell A modellalkotás elı-feltételei

- Megfelelı mélységő minıségi folyamatismeret

- A fizikai és más törvények alapos ismerete

- A konkrét folyamatadatok és az üzemi adatok kvantitatív ismerete

- Tervezési stádiumban is alkal-mazható

- Megvalósított folyamat szükséges (tervezési stádiumban nem alkal-mazható)

- A kérdéses üzemállapotban kell végezni a kísérletet

- A kísérlet ipari berendezésnél az üzemeltetést zavarja, sıt az üzem-biztonságot is veszélyeztetheti

A modell pontossága Egyszerőbb esetben nem probléma,

bonyolult folyamatnál csak megfe-lelıen nagy ráfordítással lehet jó pontosságot elérni.

Komplex folyamatnál is többnyire jó pontosság érhetı el, viszonylag ki-sebb ráfordítással (egyszerőbb mo-dellstruktúra: ún. kapocsviselkedés modell)

A modellkialakítás ráfordításigénye

Komplex rendszer esetén igen nagy lehet, de ez egyszeri. Ismételt fej-lesztésnél nagy része felhasznál-ható.

Kevésbé függ a folyamat összetettsé-gétıl. Bizonyos esetekben viszonylag kicsi, de minden más üzemi esetre meg kell újítani (az identifikációs algoritmus esetleg ismételhetı)

Szimulációs igény Általában uralható (pl. megfelelı PC-vel is); komplex folyamatnál esetleg igen nagy is lehet.

Többnyire viszonylag kisebb, még összetett folyamatoknál is (?!; de sok-kal kevesebbet ad)

Átvihetıség más ha-sonló folyamatra ill. berendezésre

Az elıfeltételek érvényességi körén belül elvileg lehetséges.

Elvileg nem lehetséges; a modell csak a vizsgált folyamat meghatáro-zott üzemállapotára érvényes.

A megváltozott üzemállapothoz való illesztés

Lineáris modelleknél általában nem lehetséges, nemlineáris modelleknél viszont gyakran a modell inherens tulajdonsága.

Egymást követı identifikációval (pl. online) megvalósítható (modelladap-táció).

A folyamatmegértés elmélyítésének lehe-tısége

Elvileg adott, mivel a modell struktúrájának és paramétereinek fizikai jelentése van.

Elvileg sem adott, mert a modell struktúrájának és paramétereinek csak aritmetikai jelentése van (mate-matikai közelítés); a modell fizikailag nem interpretálható.

11

A két módszer teljesen önálló alkalmazása elvileg ugyan elképzelhetınek tőnik, de láttuk, hogy az elméleti úton kifejlesztett modell csak akkor tekinthetı megbízhatónak, ha azt kísér-lettel ellenıriztük. Ugyanakkor a kísérleti modell (ún. empirikus modell) kialakításához is szükség van elméleti modellezési ismeretekre, tehát a két módszer – az egyik dominanciáját ugyan megtartva – kölcsönösen mindig összekapcsolódik. A kísérleti vizsgálatból kapott matematikai modell formája általában az átviteli függvény (operátor tartomány), az elméleti modellalkotás viszont elıször mindig differenciálegyenlete-ket ad meg (idıtartomány), de ebbıl bizonyos feltételek mellett ugyancsak eljuthatunk az át-viteli függvénnyel való leíráshoz.

12

2. A dinamikus matematikai modell mérlegegyenletei

Ebben a fejezetben az ipari folyamatok leggyakrabban elıforduló elemeinek mérlegegyenle-teit állítjuk fel. Az általános törvényszerőség mellett ezek a mérlegek az anyag különbözı megjelenési formáira (álló-mozgó, fluidum-szilárd test, folyadék-gáz/gız) más-más célszerő formát öltenek. 2.1. Elosztott paraméterő folyamat mérlegei Az elosztott paraméterő folyamatok mérlegegyenleteinek felállításánál figyelembe kell venni az állapotváltozók helyfüggését is. Ez utóbbi általánosan 3-dimenziós, azonban sok ipari fo-lyamatnál a dinamikai viselkedés megismerésével szemben támasztott pontossági elvárás megengedi, hogy az állapotváltozók helyfüggését csak egy irányban (azaz 1-dimenziósan) vegyük figyelembe. Mivel a dinamikai viselkedés még ezen belül is sokféle lehet, és jelentı-sen függ a mindenkori médiumtól, itt csak az ipari folyamatokban nagyon gyakran elıforduló, fluidummal átáramoltatott 1-dimenziós folyamatokat szemléljük. 2.1.1. Tömegmérleg Az (1.1) általános szabály értelmében a tömegre a következı mérleg-egyenlet írható:

−

=

á r a m-t ö m e g

K i l é p ő

á r a m-t ö m e g

B e l é p ő

a l a t t i d ő e g y s é gs am e g v á l t o z á

t ö m e g t á r o l t A

; (2.1)

illetve többkomponenső anyagra komponensenként:

±

−

=

árama

/fogyáskeletkezés

Komp.tömeg

áram

-komp.tömeg

Kilépı

áram

-komp.tömeg

Belépı

alatt egység idı

samegváltozá tömeg

-komponens Tárolt (2.1.a)

2-1. ábra Csıben áramló folyadékelem adatai

A (2.1) megfogalmazás konkrétan az A(x) keresztmetszető csıben áramló dx hosszúságú fo-lyadékelemre (2-1. ábra) az alábbi lesz:

)()(),(

)()(

tmtmt

xtdxxA

dt

tdmkb

tár && −=∂

∂⋅⋅≡ ρ, (2.2)

)(tmb& )(tmk&

dx

mtárρ

13

ahol bm& belépı tömegáram

km& kilépı tömegáram

tárm tárolt tömeg

),( xtρ a közeg sőrősége. Másrészt a dx hosszban kialakuló áram-megváltozással felírható, hogy

dxx

xtmdx

dx

mmtmtm dxxx

kb ⋅∂

∂−=⋅−

=− + ),()()(

&&&&& , (2.3)

így a fenti egyenletek alapján

x

xtm

t

xtxA

∂∂−=

∂∂⋅ ),(),(

)(&ρ

(2.4)

A (2.4) egyenlet azt mutatja, hogy az x-irányú tömegáram-változás arányos a sőrőségváltozási sebességgel. Ez az egyenlet kontinuitás egyenletként ismert. Az wAm ρ=& alapján, ha A(x) = állandó, akkor a (2.4)-bıl az A kiesik, tehát

x

w

t ∂∂−=

∂∂ )(ρρ

, (2.5)

ahol w a közeg áramlási sebessége. Az elıbbiek ismeretében a (2.4) egyenletet a következıképpen is felírhatjuk:

( ) ( ) 0=∂∂+

∂∂

wAx

At

ρρ . (2.4.a)

A 2-fázisú áram (gáz/gız és folyadék) anyagmérlegének megfogalmazására az utóbbi egyen-letformát célszerő használni. Legyen a csıben a gázzal/gızzel (index: g) átáramoltatott ke-resztmetszet AAg ε= , a folyadékkal (index: f) átáramoltatott keresztmetszet pedig

AAf )1( ε−= , melyekben ε (m3/m3) gáztérfogat-hányad. Ezekkel - a (2.4.a) mintájára és

figyelembe véve a (2.1.a) alattiakat - fázisonként az alábbi anyagmérlegek írhatók:

- gázra: ( ) ( ) AAwx

At ggg µερερ =

∂∂+

∂∂

, (2.4.b)

- folyadékra: [ ] [ ] AAwx

At fff µερερ −=−

∂∂+−

∂∂

)1()1( , (2.4.c)

ahol µ (kg/m3s) a folyadékból a gázba átmenı tömegáram (pl. fázisváltozás miatt), amit az egyenletek bal oldalán lévı konvektív tagok nem vesznek figyelembe. Végül a (2.4.b) és a (2.4.c) egyenletek összegébıl:

14

[ ]{ } [ ]{ } 0)1()1( =−+∂∂+−+

∂∂

Awwx

At ffggfg ερερερερ . (2.4.d)

A 2-fázisú anyagáram fenti egyenleteit csak példaként (mint ami bonyolítja, és egyben meg-duplázza a leíró egyenletek számát) mutattuk be, de a további mérlegegyenleteknél erre az esetre már nem térünk ki. Szükség esetén ajánljuk a megfelelı szakirodalom (pl. [ ]) tanulmá-nyozását. 2.1.2. Impulzusmérleg Az impulzus-mérlegegyenletet mozgásegyenletnek ill. az erık egyensúlyát kifejezı egyenlet-nek is szokták nevezni. Az (1.1) általános instacionárius mérlegalakot az impulzusmennyiség (I = mw) megmaradására következıképpen írhatjuk fel:

+

−

=

e r e d ő j e e r ő k h a t ó

R e n d s z e r r e

á r a m i m p u l z u s

K i l é p õ

á r a m i m p u l z u s

B e l é p õ

s am e g v á l t o z á a l a t t ii d ő e g y s é g m e n n y i s é g

-i m p u l z u s t á r o l t A

(2.6)

2-2. ábra Csıben áramló folyadékelem adatai az impulzusmérleghez

Ennek alapján, a 2-2. ábra adataival, az impulzusmérleg nem-viszkózus közegre konkrétan az alábbiak szerint szól:

( )

4444 34444 21

4342144 344 21444 3444 2144 34421

e r ő k s z á r m a z ó

ls ú r l ó d á s b óG r a v i t á c i ó

ő lk ü l ö n b s é g b-N y o m á s

á r a m o k i m p u l z u s k o n v e k t í v

- K i l é p õB e+

++⋅+−+−=⋅ dxAfppAwwAdxAw

dt

ddxxxdxxx

)()( 22

samegváltozá impulzus ben tárolt-dV

ρρρ , (N) (2.7)

ahol: A átáramlási keresztmetszet (=állandó!) w áramlási sebesség ρ sőrőség p nyomás f fajlagos erı (N/m3). Osszuk el a legutóbbi egyenletet dxAdV ⋅= térfogattal, s ekkor kapjuk:

α

w

p

m.

ρ x

súrlódás

dx

15

( ) ( ) fx

pw

xw

dt

d +∂∂−

∂∂−= 2ρρ , (N/m3). (2.8)

A fenti egyenlet baloldalán és a jobboldal elsı tagjában végezzük el a kijelölt differenciáláso-kat (figyelembe véve, hogy: www ⋅= ρρ 2 ), helyettesítsük be a (2.5) kontinuitási egyenletet, majd a

xw

tDt

D

∂∂+

∂∂= (2.9)

formalizmus (az ún. szubsztanciális derivált) segítségével a csıben áramló közeg instacionárius impulzusmérlege a következı lesz:

{{

e r ők ü l s ő h a t ó

t é r f o g a t r ae g y s é g n y i

n y o m á s e r őh a t ó t é r f o g a t r a

e g y s é g n y i a z

a lg y o r s u l á s s as z o r o z v a t ö m e g e

y s é gt é r f o g a t e g

fx

p

Dt

Dw +∂∂−=⋅

321ρ , (N/m3). (2.10)

A fenti egyenletben felismerhetı Newton II. törvénye, mely szerint (Tömeg) x (Gyorsulás) = (Erık eredıje). A (2.10)-bıl vízszintes csıre (α = 0) és súrlódás nélküli esetben (ekkor f = 0) adódik az alábbi, ún. Euler-egyenlet:

x

p

Dt

Dw

∂∂⋅−=

ρ1

. (2.11)

A (2.7) egyenlet mutatja, hogy a közegre ható külsı fajlagos erı (f) egyrészt a gravitációból, másrészt a közeg és a csıfal közötti súrlódásból származik. Ennek megfelelıen

súrldx

dpgf

−−= )sin(αρ , (2.12.a)

melyben kör-keresztmetszető csıre a súrlódásból származó fajlagos erı:

22

2

22m

Ad

w

ddx

dp

súrl

&⋅=⋅=

ρλλρ , (2.12.b)

ahol: d belsı csıátmérı

λ csısúrlódási tényezı.

Ha a (2.10) egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk a w sebességgel, akkor a (Teljesítmény) = (Erı) x (Sebesség) általános összefüggés alapján a mozgásegyenletbıl a mechanikai energia egyenletét kapjuk:

16

wfx

pw

w

Dt

D

Dt

Dww +

∂∂−=

≡

2

2

ρρ . (2.10.a)

Mőszaki technológiai folyamatok számításainál gyakran elvárjuk, hogy a matematikai mo-dellben lehetıleg a valós folyamatnál is mért mérnöki jellemzık szerepeljenek. Igazodva ezen igényhez, alakítsuk át a (2.10) egyenletet úgy, hogy abban lehetıleg ne a sebesség (w), hanem a közeg tömegárama szerepeljen. Ha A = állandó, akkor a

A

mw

ρ&

= és a ρρρρ

dm

mdm

d ⋅−⋅=

2

1 &&

&

összefüggések segítségével, továbbá a (2.4) kontinuitás felhasználásával, a (2.10) egyenlet baloldala a következı lesz:

xw

x

mw

t

m

Ax

ww

t

w

Dt

Dw

∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂= ρρρ 22

1 &&.

Legyen az áramló közeg sőrősége, mint az energetikai folyamatokban általában, a nyomásnak (p) és a hımérsékletnek (ϑ) függvénye (azaz: ρ =ρ(p,ϑ)), akkor

xx

p

px ∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ ϑ

ϑρρρ

, tehát ezzel együtt végül is:

fx

p

xx

p

pw

x

mw

t

m

ADt

Dw +∂∂−=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂≡ ϑ

ϑρρρ 22

1 &&. (2.10.b)

Az utolsó egyenletbıl kifejezhetı egy célszerő, nyomásszámításra alkalmas összefüggés, amit állandó keresztmetszető csıben áramló folyadékra, gázra és gızre egyaránt alkalmazni lehet:

∂∂−

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂−

=∂∂

pw

xw

x

mw

t

m

Af

x

p

ρ

ϑϑρ

2

2

1

21 &&

. (2.13)

Összenyomhatatlan közegre ρ = állandó, így az elıbbi összefüggés jelentısen egyszerősödik:

t

m

Af

x

p

∂∂−=

∂∂ &1

. (2.14)

2.1.3. Energiamérleg Mint az elıbbi mérlegeknél, itt is egy dxAdV = térfogatelemet szemlélünk, amelyen tiszta folyadék áramlik keresztül. Ebben az elemben lévı folyadékra, nyitott instacionárius rend-szert feltételezve, az energia-megmaradás törvénye a következıképpen fogalmazható (a ter-modinamika I. fıtétele szerint):

17

−

+

+

−

=

m u n k a v é g z e t tnk ö r n y e z e t e a

á l t a l R e n d s z e r

h ő á r a m b e v i t ta lk o n d u k c i ó vő lK ö r n y e z e t b

me n e r g i a á r ak i n e t i k u s é s

-b e l s ő t á v o z ók ö z e g g e l k i l é p ő A

me n e r g i a á r ak i n e t i k u s é s

-b e l s ő é r k e z ők ö z e g g e l b e j ö v ő A

a l a t t e g y s é g-i d ő v á l t o z á s a

e n e r g i a k i n e t i k u sé s -b e l s ő T á r o l t

(2.15)

Megjegyzendı, hogy ez a megfogalmazás nem teljes abban az értelemben, hogy nem tartal-mazza az energia ill. energiatranszport más formáit, mint pl. nukleáris, elektromágneses. Az egyenletben a potenciális energia sem jelenik meg explicite, de majd figyelembe vesszük a környezeten végzett munkában. A „ Rendszer által a környezeten végzett munka” tag a közeg mozgása során a nehézségi erı, a súrlódásból (egyrészt a molekulák közötti, másrészt a közeg és a csatornafal közötti) szár-mazó erık, és a folytonosan változó nyomásból adódó erı legyızéséhez szükséges teljesít-ményt tartalmazza.

A kinetikus energiát a megfigyelhetı kö-zegmozgáshoz társítva képzeljük, míg a belsı energia tartalmazza a molekulák véletlenszerő mozgásával és egymás kö-zötti kölcsönhatásával kapcsolatos ener-giát. Ezért a belsı energia függ a helyi hımérséklettıl és sőrőségtıl. 2-3. ábra Csıben áramló közeg elemi térfogatának adatai az energiamérleghez

1-dimenziós esetre és állandó keresztmetszető csıben (A = állandó) áramló nem-viszkózus közegre (2-3. ábra) a fenti általános összefüggés a következı egyenletként formulázható meg:

{( )

44444 344444 21

444 3444 2143421

4444444 34444444 21444 3444 21

mény teljesítszükséges ezlegyõzéséh

nyomáserıgravitáció

ményhõteljesít bevezetettılkörnyezetb

áramok-energiakivitt és -be alKonvekcióv

alatt egység-idı samegváltozá

energia ben tárolt-dV

222

222

dxxxx

dxxx

pwpwAgdxwAdxq

wuw

wuwA

wu

tdxA

+

+

−+−+

+

+−

+=

+

∂∂

ρ

ρρρ

(2.16)

α

w

pm.

ρ x

dx

Α

ϑ

q(x,t)

18

ahol u fajlagos belsı energia q vonalmenti hıáram (W/m) gx gravitáció x-irányú komponense ( )sin(α⋅= ggx ; a gravitáció – az ábra szerint – a

sebességgel ellentétesen hat, amit a fenti egyenletben a gravitáció-tag elıtti nega-tív elıjel vesz figyelembe).

Az elıbbi egyenletet elosztva dxAdV = térfogattal, a

( )pwx

gwA

qwuw

x

wu

t x ∂∂−−+

+

∂∂−=

+

∂∂ ρρρ

22

22

egyenletet kapjuk. Ebben - a kijelölt differenciálások elvégzése és rendezés után - vegyük figyelembe a (2.5) kontinuitás-egyenletet, majd alkalmazva a (2.9) formalizmust, kapjuk:

( )

∂∂+−=

+ pw

xgw

A

qwu

Dt

Dxρρ

2

2

, (W/m3) (2.17)

A bal és a jobboldalon kijelölt differenciálások elvégzése után vezessük be a fenti egyenletbe a mechanikai energia korábban megismert (2.10.a) egyenletét, s így eredményként kapjuk az alábbi összefüggést (ezt a termikus energia mérlegegyenletének szokták nevezni):

súrldx

dpw

x

wp

A

q

Dt

Du

+∂∂−=ρ , (2.18)

illetve a csısúrlódás elhanyagolásával:

x

wp

A

q

Dt

Du

∂∂−=ρ . (2.18.a)

Elimináljuk a (2.18) egyenlet bal oldalából az u-t a

x

uw

t

u

Dt

Du

∂∂+

∂∂= ,

ρphu −= illetve dpdp

dhduρ

ρρ

12

−+=

összefüggések (h: fajlagos entalpia) segítségével, majd a (2.5) kontinuitás-egyenletet is fel-használva a baloldalra adódik:

x

wp

Dt

Dp

Dt

Dh

Dt

Du

∂∂−−= ρρ .

Ezt a (2.18)-as baloldalára visszahelyesítve, nyerjük a termikus energia mérlegegyenletét en-talpiával felírva:

súrldx

dpw

Dt

Dp

A

q

Dt

Dh

++=ρ , (W/m3). (2.19)

19

A fenti egyenlet mérnöki felhasználásra alkalmasabbá tehetı, ha a D/Dt operációkat a (2.9) definíció szerint kifejtjük, és megfelelı helyen elvégezzük a Amw ρ&= helyettesítést is:

+∂∂+

∂∂+=

∂∂+

∂∂

súrldx

dp

x

pw

t

pAq

x

hm

t

hA &ρ (2.20)

A (2.4)-(2.13)-(2.20) egyenlethármas alkalmas a kétfázisú áramló közeg (pl. gız-víz keverék a kazán forrcsöveiben) helyi és idıbeli állapotának leírására is, az alábbi kiegészítésekkel: ( )vvxvv ′−′′+′==ρ1 , rxhh ⋅+′= ; melyekben x gıztartalom, v fajtérfogat, v′ telített víz fajtérfogata, v ′′ telített gız fajtérfogata, h′ telített víz entalpiája, r párolgáshı. Egyfázisú közegáramra (víz, gız, gáz) sok esetben elınyösebb az entalpia helyett hımérsék-letet alkalmazni termikus állapotváltozónak. Ekkor a (2.20) egyenletbıl ϑdcdh p ⋅=

helyettesítéssel az alábbi egyenletet nyerjük:

+∂∂+

∂∂+=

∂∂⋅+

∂∂⋅

súrlpp dx

dp

x

pw

t

pAq

xcm

tcA

ϑϑρ & ; (2.21)

ahol pc az állandó nyomáson vett fajhı.

Ha a nyomás állandó (Dp/Dt = 0) és a csısúrlódás elhanyagolható, akkor a (2.20)-ból

qx

hm

t

hA =

∂∂+

∂∂

&ρ , (2.20.a)

vagy a (2.21)-bıl

qx

cmt

cA pp =∂∂⋅+

∂∂⋅ ϑϑρ & (2.21.a)

egyenletek adódnak, melyek azt mutatják, hogy ilyenkor a közeg termikus állapotát csak a kívülrıl bevezetett hı (q) befolyásolja. Az 1-dimenziós áramra levezetett mérlegegyenletek mérnöki alkalmazásra célszerő alakjait a 2-1. táblázat foglalja össze: 2-1. táblázat Az 1-dimenziós mérlegegyenletek célszerő alakjai

TÖMEG: x

m

xAt

t

∂∂−=

∂∂ &

)(

1)(ρ;

IMPULZUS: ( )

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂−=

∂∂

xw

x

mw

t

m

Af

pwx

p ϑϑρ

ρ2

22

11

1 &&;

ENERGIA:

+∂∂+

∂∂+=

∂∂+

∂∂

súrldx

dp

x

pw

t

pAq

x

hm

t

hA &ρ ;

20

Összenyomható közegre ),( ϑρρ p= , tehát ( ) ( ) ϑϑρρρ ddppd ⋅∂∂+⋅∂∂= , s ennek megfe-lelıen a táblázat elsı sorában lévı tömegmérleg

x

m

xAtt

p

p ∂∂−=

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂ &

)(

1ϑϑρρ

,

alakú lesz, amibıl rendezéssel adódik:

( )

∂∂⋅

∂∂+

∂∂

∂∂−=

∂∂

tx

m

xApt

p ϑϑρ

ρ&

)(

11. (2.22)

Ez utóbbi egyenlet-alak használható a nyomás idıbeli alakulásának számítására áramló ösz-szenyomható közeg esetén. 2.1.4. Falelem instacionárius mérlege A falelem általában két (áramló) közeg termikus állapotát kapcsolja össze hıvezetéssel, mi-közben a falban hımennyiség tárolódik. A 2-4. ábrán látható sík fal a nagyobb hımérséklető 1-es közeget kapcsolja a kisebb hımérséklető 2-es közeghez oly módon, hogy az 1-es közeg-bıl vezetéssel hı áramlik a 2-es közegbe. Feltételezve, hogy a hıcserében a hıvezetésnek csak x irányban van meghatározó szerepe (más irányokban elhanyagolható), a dx vastagságú (és dxFdV ⋅= térfogatú, ahol F a sík fal felülete) falelemben tárolt hımennyiségre hıforrás mentes esetben a következı mérlegegyenlet írható fel:

2-4. ábra A falelem differenciálegyenletének értelme-zéséhez

dxxxw

ww qqt

cdx+

−=∂

∂&&

ϑρ , (W/m2) (2.23)

ahol wϑ a fal hımérséklete

wρ a fal sőrősége

wc a fal fajhıje

q& vezetéses hıfluxus (W/m2) a falban.

1 21q& 2q&

x

xq& dxx

q+

&

dx

r brkr 0

wϑ

y

21

A Fourier-féle fenomenológikus törvény szerint a vezetéses hıfluxus arányos a hımérséklet-gradienssel, tehát:

xq w

w ∂∂−= ϑλ& , (2.24)

melyben wλ (W/mK) a fal hıvezetési tényezıje. A jobboldal negatív elıjele azt jelzi, hogy a

hı vezetéssel a csökkenı hımérséklet irányába áramlik. Osszuk el a (2.23) mindkét oldalát dx-el, akkor

x

q

dx

qq

tc dxxxw

ww ∂∂−=

−=

∂∂ + &&&ϑρ ,

melybe a (2.24) törvényt behelyettesítve kapjuk a falelem differenciálegyenletét:

2

2

xtc w

ww

ww ∂∂=

∂∂ ϑλϑρ . (2.25)

Az utóbbi egyenletet értelemszerően hengerkoordinátákba átírva, csı alakú falelemre (1-es közeg a csövön kívül, 2-es közeg a csıben) sugárirányú hıvezetéssel a leíró differenciál-egyenlet az alábbi lesz:

∂∂

∂∂⋅=

∂∂

rr

rrtc www

ww

ϑλϑρ , (2.26)

ahol r a sugár. Az utóbbi egyenlethez tartozó peremfeltételek:

- hıleadó oldalra

( ) srrrr

ww qq

r k

k

&& +−==∂

∂=

=

ϑϑαϑλ 111 , (2.26.a)

- hıfelvevı oldalra

( )222 ϑϑαϑλ −==∂

∂=

=b

b

rrrr

ww q

r& ; (2.26.b)

ahol 1α és 2α hıátadási tényezık, 1ϑ és 2ϑ a csıfallal elválasztott közegek hımérsékletei,

sq& az 1-es áramtól és állapotától független kényszerített hıbevitel (pl. a falhımérséklettıl is

gyakorlatilag független sugárzással). Kicsi falvastagság és viszonylag nagy hıvezetési tényezı esetén a falban a hımérséklet-gra-diens elhanyagolható ( 0≅∂∂ rwϑ ), s ekkor a csıfal differenciálegyenlete a sugárirányban

mindenütt azonoswϑ -re:

),(),(),(

2211 tyqUtyqUt

tyAc w

www && ⋅−⋅=∂

∂ϑρ , (W/m) (2.27)

ahol π)( 22

bkw rrA −= csıfal keresztmetszet,

22

πkrU 21 = külsı hıátadó kerület,

πbrU 22 = belsı hıátadó kerület.

A (2.26.a-b) behelyettesítése és rendezés után a következı – a csıfal dinamikai szerepét jól szemléltetı - egyenletformát nyerjük:

)(),(),(),(),(

2211 tqKtyKtyKtyt

tyT ssw

ww &⋅+⋅+⋅=+

∂∂ ϑϑϑϑ

(2.28)

ahol 2211 UU

AcT www

w ααρ

+= a csıfal idıállandója,

2211

111 UU

UK

ααα

+= átviteli tényezı,

2211

222 UU

UK

ααα

+= átviteli tényezı,

2211

1

UU

UK s αα +

= átviteli tényezı.

A (2.28) egyenletben a csıfal-hımérséklet hely szerinti deriváltja ugyan nem szerepel, mégis lehetıvé teszi a falhımérséklet y-irányú helyfüggı alakulásának számítását is a helyfüggı közeghımérsékletek alapján. 2.1.5. Holtidıs folyamat leírása A holtidıs folyamatot (amelyben az anyag vagy energia csak szállítódik) is az elosztott para-méterő folyamatok osztályába sorolják, mert az állapotjellemzık a hely függvényében változ-nak. A holtidıs folyamat tipikus példája a csıben (ill. csatornában) állandó sebességgel áramló folyadék (2-5. ábra), melynél a közeg állapotának (pl. hımérsékletének) dinamikai viselkedése csak a csı kilépésénél (x = L) fontos. A holtidıs folyamatban a tömeg, energia és impulzus csak axiális irányban szállítódik, tehát radiális irányban a három jellemzınek semmiféle árama sincs. Állandó sebességgel áramló homogén közeg esetén a tömeg- és az impulzusáram konstans, így a szóban forgó folyamat leírására csupán az energiamérleget kell alkalmazni.

x

0 L

bϑ kϑ

w

m&

2-5. ábra A holtidıs folyamat tipikus esete A fenti feltételek mellett a (2.21.a) egyenletbıl q = 0 mellett

23

0=∂∂⋅+

∂∂

xw

t

ϑϑ,

ill. ebbıl átrendezéssel adódik a holtidıs tag leíró differenciálegyenlete:

tx xw

t ∂∂⋅−=

∂∂ ϑϑ

. (2.29)

A (2.29) összefüggés azt mutatja, hogy egy adott helyen (x = x1) a hımérsékletváltozás sebes-sége fordított elıjelő, mint a hımérsékletprofil adott idıpontban (t = t1) érvényes meredek-sége (2-6. ábra).

t

ϑ

1t

ϑd

dt

ϑ

x1x

ϑd

dx

állandó1 == xx állandó1 == tt

2-6. ábra Holtidıs tulajdonság differenciálegyenletének értelmezéséhez A fenti parciális differenciálegyenletbıl Laplace-transzformáció segítségével kifejezhetı a holtidıs tag átviteli függvénye:

sT

b

k hes

s

sx

sLxsY −==

===

)(

)(

),0(

),()(

ϑϑ

ϑϑ

, (2.30)

ahol wLTh = a holtidı.

2.2. Koncentrált paraméterő folyamat mérlegei A koncentrált paraméterő folyamatban a mérlegegyenleteket az egész folyamatra (vagyis az egész V térfogatra, amiben a tárolás lejátszódik) kell felírni. Az egyenletek kifejtése során megjelenı állapotváltozók (nyomás, hımérséklet stb.) tehát a teljes (ellenırzı felülettel kö-rülhatárolt) térfogatban helytıl függetlenek, és csak az idıtıl (t) függenek. Az ilyen mérleg-egyenletek matematikailag közönséges differenciálegyenletek formájában jelennek meg. 2.2.1. Tömegmérleg Korábbi ismereteink alapján a V térfogatú koncentrált paraméterő anyagtároló (2-7. ábra) mérlegegyenlete egy adott idıpillanatra az alábbiak szerint írható (vö. 2.1. és 2.2. kifejezések-kel):

24

2-7. ábra Koncentrált anyagtároló jellemzıi

)()()(

tmtmdt

tdmkb && −= , (2.31)

ahol ρVm = a V térfogatban tárolt anyagtömeg,

bm& a tárolóba belépı tömegáram,

km& a tárolóból kilépı tömegáram,

hp ,,, ρϑ a tárolóban tartózkodó közeg nyomása, hımérséklete, sőrősége és entalpi-ája.

Behelyettesítve az ρVm = összefüggést, s elvégezve a differenciálás mőveletét, a

kb mmdt

dV

dt

dV&& −=+ ρρ (2.32)

egyenletet kapjuk, amely az ipari folyamatban lévı anyagtároló konkrét sajátságaitól (kiala-kítás, közeg) még független, általános érvényő képlet. Természetesen több be- és kimenı anyagáram is lehetséges, így a fenti összefüggésekben az bm& valamennyi belépı áram össze-

gét, és az km& pedig valamennyi kilépı áram összegét jelenti.

A továbbiakban vizsgáljunk a gyakorlatban elıforduló olyan speciális eseteket, amelyekben adott kialakítás ill. közegtulajdonságok mellett a fenti általános alakot célszerőbb vagy egy-szerőbb formába írhatjuk át.

1. A közeg térfogata (V) és sőrősége (ρ) egyaránt változhat. A kiinduló egyenlet megfelel a fenti általános esetnek. • Ha a tárolt közeg folyadék, akkor általában annak térfogatváltozását (ill. ebbıl a

folyadékszint változását) akarjuk megismerni. Ilyen pl. a kazándobban a víztérre felírt mérlegegyenlet. Ekkor a (2.32)-bıl átrendezett célszerő alak a következı:

−−=dt

dVmm

dt

dVkb

ρρ

&&1

. (2.33)

• Ha a tárolt közeg gáz vagy gız (az utóbbira példa a kazándob gızterére felírt mérleg-

egyenlet), akkor általában annak nyomását kell a tömegmérleg alapján ismertté tenni. Így a (2.32)-ben a ( ) ( ) ϑϑρρρ ddppd ⋅∂∂+⋅∂∂= helyettesítéssel élve, rendezés után a nyomásváltozásra az alábbi differenciálegyenlet adódik:

( )

∂∂−−−

∂∂=

dt

dV

dt

dVmm

pVdt

dpkb

ϑϑρρ

ρ&&

1. (2.34)

V (m3)m (kg)

hp ,,, ρϑ

bm& km&

25

Ha a sőrőség ),( hpρρ = függvényként (h: entalpia) adott (pl. fázisváltozásnál cél-szerő így), akkor az utóbbi egyenlet alakja:

( )

∂∂−−−

∂∂=

dt

dh

hV

dt

dVmm

pVdt

dpkb

ρρρ

&&1

. (2.34.a)

2. Nyitott, folyadékkal nem teljesen kitöltött tartályszerő tároló ρ = állandó (dρ = 0) mel-

lett. Ekkor a (2.32)-bıl

kb mmdt

dV&& −=ρ , (2.35)

amibıl állandó folyadékszint-felület (A) mellett a HAV ⋅= -val (ahol H: a folyadék-szint magassága a tartályban) explicite felírható a szintváltozás differenciálegyenlete:

( )kb mmAdt

dH&& −=

ρ1

. (2.36)

3. Összenyomható közeggel teljesen kitöltött tároló, V = állandó (dV = 0) mellett. Ilyen

pl. az adott geometriájú ill. térfogatú gızvezeték vagy egy gáztartály. Ez esetben a (2.32)-bıl

kb mmdt

dV && −=ρ

, (2.37)

amibıl ),( ϑρρ p= , tehát ( ) ( ) ϑϑρρρ ddppd ⋅∂∂+⋅∂∂= helyettesítéssel kapjuk az összenyomható közeg nyomás-differenciálegyenletét:

( )

∂∂−−

∂∂=

dt

dVmm

pVdt

dpkb

ϑϑρ

ρ&&

1, (2.38)

ami az adott feltétel mellett megfelel a (2.34) egyenletnek.

2.2.2. Energiamérleg A 2-8. ábrán látható koncentrált, V (nem feltétlen állandó) térfogatú tárolót kitöltı közegre az energiamérleget a termodinamika I. fıtételéhez kapcsolódó megfontolások alapján írjuk fel. A

rendszer – mint a mőszaki folyamatok általában – nyitott, vagyis határoló felületén a tömegtranszport megengedett. 2-8. ábra. A koncentrált energiatároló jellemzıi

V (m3)m (kg)

hp ,,, ρϑ

bm&km&bh kh

bϑ kϑ

bQ&

26

Egy folyamatosan átáramoltatott nyitott rendszerben a termikus energia (elhanyagolva tehát a kinetikus és a potenciális energiát) mérlegében (általánosan lásd a (2.15) képletet!) a konvektív áramokat – figyelembe véve az ún. be- és kitolási munka meglétét – az entalpiával, a környezeten végzett munkát pedig a ún. technikai munkával fogalmazhatjuk meg. Ennek megfelelıen most az egész V térfogatra a mérlegegyenlet az alábbi lesz:

( )321&

43421&

321&

321&

43421

n yt e l j e s í t m ét e c h n i k a iv é g z e t t

nK ö r n y e z e t e

m é n yh ő t e l j e s í tb e v e z e t e t tK í v ü l r ő l

me n e r g i a á r ak i v i t t

a lA n y a g á r a m m

me n e r g i a á r a b e v i t t

a lA n y a g á r a m m

s am e g v á l t o z á e n e r g i a t e r m i k u s t á r o l t A

tbkkbb WQhmhmmudt

d −+−= , (2.39)

ahol bQ& a kívülrıl bevezetett hıteljesítmény,

dt

dVpWt =& a tartományhatárok változásával végzett technikai teljesítmény,

bm& a tárolóba belépı tömegáram,

bbh ϑ, a belépı közeg entalpiája és hımérséklete,

km& a tárolóból kilépı tömegáram,

kkh ϑ, a kilépı közeg entalpiája és hımérséklete,

hp ,,, ρϑ a közeg nyomása, hımérséklete, sőrősége és entalpiája tárolóban, ρVm = a V térfogatban tárolt anyagtömeg, u a tárolt közeg fajlagos belsı energiája. Alkalmazva a fenti egyenletben az pvhu −= (ill. pVmhmu −= ) összefüggéseket és elvé-gezve a baloldalon kijelölt deriválást, a (2.31) anyagmérleg behelyettesítése és rendezés után a következı egyenletet kapjuk:

( ) ( ) tbkkbb Wdt

dVp

dt

dpVQhhmhhm

dt

dhm &&&& −+++−−−= .

Látható, hogy a fenti képlet jobb oldalán lévı utolsó két tag azonos, így a koncentrált ener-giamérleg végleges alakja az alábbi lesz:

( ) ( )

++−−−=dt

dpVQhhmhhm

mdt

dhbkkbb&&&

1. (2.40)

Ha az entalpia helyett használható a hımérséklet (pl. nincs fázisváltozás), akkor a ϑdcdh ⋅= , )()( ϑϑ −=− bbmb chh ,

)()( ϑϑ −=− kkmk chh

helyettesítésekkel élve, a fenti egyenlet a következı lesz:

++−−−=dt

dpVQcmcm

cVdt

dbkkmkbbmb&&& )()(

1 ϑϑϑϑρ

ϑ, (2.41)

ahol c fajhı, cbm és ckm pedig a megfelelı hımérsékletekhez értelmezett közepes fajhık.

27

Koncentrált paraméterő energiamérleg alkalmazásánál mindig felvetıdı kérdés, hogy a fenti egyenletek ugyan megadják a h-t ill. a ϑ-t, de mi lesz a hk ill. ϑk? (A hb ill. ϑb jellemzık be-menıjelként ismertek.) Jól átkevertnek tekinthetı tároló esetén a válasz egyszerő, mert a hk = h ill. ϑk = ϑ. Nagyobb kiterjedéső rendszer koncentrált paraméterő közelítésénél azonban ),( hhfh bk = ill.

),( ϑϑϑ bk f= . Például a 2)( kb ϑϑϑ += számtani átlag szerinti közelítı felfogás alapján

számításra alkalmazhatónak látszik a

)()(2)( ttt bk ϑϑϑ −= (2.42)

összefüggés. Ez a képlet azonban a ϑk tranziensében - amikor a ϑb hirtelen (pl. ugrásszerően) megváltozik - a kezdeti idıknél az elvárt fizikai képpel ellentétes eredményt adna. A (2.41) értelmében ugyanis kezdetben a ϑ még nem ill. majd csak lassan változik, így a kilépı hı-mérséklet a belépıvel ellentétes értelemben (lásd negatív elıjel) változna. Ennek kiküszöbölé-sére használható a 2-9. ábrával magyarázható korrekció.

ϑbϑ kϑ

L

L/2

2-9. ábra. A kilépı hımérséklet számításának indoka A hımérséklet változása az L út befutása során következik be (pl. egy hıcserélıben). Ha tehát a ϑ–ra a fenti számtani átlag felfogást alkalmazzuk, akkor a ϑ hımérséklető koncentrált ener-giatároló éppen a közeg által megteendı út felénél van. Ennek értelmében elfogadható, hogy a ϑ csak az L/2 út, a ϑb pedig csak a teljes L út befutása után fejthet ki hatást a ϑk –ra. Vagyis a (2.42)-t megfelelı argumentum-eltolással kell korrigálni:

)()2/(2)( hbhk TtTtt −−−= ϑϑϑ , (2.43)

ahol wLTh = a holtidı. Egy további javítási lehetıség, ha a (2.41) egyenletben a ϑb(t) he-

lyett )2/( hb Tt −ϑ -t használunk.

Csıfalban lejátszódó koncentrált hıtárolás esetén (2-10. ábra) lényegében a (2.28) egyenlet érvényes azzal a kiegészítéssel, hogy a hımérsékletek a helytıl függetlenek, tehát az egész Vw

tároló-térfogatban ill. az F1 és F2 hıátadó felü-letek mentén homogének és csak az idıtıl füg-genek.

2-10. ábra. Csıfal, mint koncentrált hıtároló

wwww Vc ,,,ρϑ

1ϑ 2ϑ

sq&

1Q&2Q&

11,Fα 22,Fα

28

Ennek megfelelıen:

)()()()()(

2211 tqKtKtKtdt

tdT ssw

ww &⋅+⋅+⋅=+ ϑϑϑϑ

(2.44)

ahol 2211 FF

VcT www

w ααρ

+= a csıfal idıállandója,

2211

111 FF

FK

ααα

+= átviteli tényezı,

2211

222 FF

FK

ααα

+= átviteli tényezı,

2211

1

FF

FK s αα +

= átviteli tényezı.

2.2.3. Impulzusmérleg • Egyenes-vonalú mozgást végzı szilárd testre, vagy csıben áramló összenyomhatatlan

közegre Newton II. törvénye szerint a következı mozgásegyenlet írható:

21 KKdt

dwm −= , (2.45)

ahol K1 és K2 a testre ható erık.

• Koncentrált hidraulikai ellenálláson átáramló összenyomható közegre (2-11. ábra)

kiindulásként alkalmazzuk a 2.1.2. fejezetben megismert (2.10) képletet, azaz:

x

pf

Dt

Dw

∂∂−=ρ .

L

1 2

2-11. ábra. Átáramlás koncentrált hidraulikai ellenálláson

Ugyanakkor a korábbi (2.10.b) képletben felismerhetı, hogy

( )21w

xt

m

ADt

Dw ρρ∂∂+

∂∂=&

,

így az utóbbi két összefüggésbıl:

29

( )21w

xt

m

Af

x

p ρ∂∂−

∂∂−=

∂∂ &

. (2.46)

Végezzük el a fenti egyenletre az ∫ ⋅⋅⋅2

1

dx mőveletet, s ekkor a határok behelyettesítésével

kapjuk:

( )211

22212 ww

dt

md

A

LfLpp ρρ −−−=−

&.

Ebbıl Amw ρ&= helyettesítéssel

−−⋅−⋅=−

1

21

2

22

212

1

ρρmm

Adt

md

A

LLfpp

&&& (2.47)

adódik, amit az L hosszúságú és A keresztmetszető csıben áramló összenyomható közeg koncentrált ellenállásán (ill. ilyen módon közelített ellenállásán) létrejövı nyomásesésé-nek számítására használhatunk.

• Forgó (ω: szögsebesség) szilárd testre

21 MMdt

d −=Θ ω, (2.48)

ahol M1 és M2 a forgó testre ható hajtó és terhelı nyomatékok, Θ (Nms2) a tehetetlenségi nyomaték.

Végül a 2-2. táblázatban összefoglaljuk a fent megismert koncentrált paraméterő mérleg-egyenleteket.

30

2-2. táblázat. A koncentrált paraméterő nemlineáris mérlegegyenletek különbözı alakjai 1. TÖMEG dm

dtm mb k= −& & ;

−−⋅=dt

dVmm

dt

dVkb

ρρ

&&1

;

( )

−−−⋅=dt

dh

hV

dt

dVmm

pVdt

dpkb ∂

∂ρρ∂∂ρ

&&1

;

2. ENERGIA Közegre: ( ) ( )

++−−−⋅=dt

dpVQhhmhhm

Vdt

dhbkkbb&&&

ρ1

;

Falelemre: 2211 ϑϑϑϑ

⋅+⋅=+ KKdt

dT w

ww ;

Tw: idıállandó, K1, K2: átviteli té-nyezık.

3. IMPULZUS Szilárd testre,

egyenes mozgás: mdw

dtK K= −1 2 ;

K1, K2: erık

Szilárd testre, forgó mozgás: 21 MM

dt

d −=Θ ω;

M1, M2: nyomaté-kok

Áramló közegre:

L

d1 2

d: átmérı L: csıhossz A: keresztmetszet

−⋅−⋅−⋅=−

1

21

2

22

212

1

ρρmm

Adt

md

A

LLfpp

&&&;

ahol: ρ

ξλαρ

2

22sin

m

Ad

L

gf&

⋅+

−⋅±= .

λ : csısúrlódási tényezı, ξ : alaki ellenállás-tényezı

Koncentrált ellenálláson való átáramlásnál az elıbbi impulzusegyenletbıl leggyakrabban csak a jobboldal elsı tagját használjuk, s a többi tagot figyelmen kívül hagyjuk. Ennek megfelelıen

22

GravitációNyomásesés

12 2sin m

Ad

L

gpp &4342143421

⋅+

−⋅±=−ρ

ξλαρ , (2.47.a)

amely vízszintes csıre (vagy a gravitáció elhanyagolása esetén) tulajdonképpen az áthaladó áram (m& ) és a nyomásesés ismert négyzetes összefüggése. 2.3. A koncentrált paraméterő mérlegegyenletek közös tulajdonságai A fentiekben megfigyelhettük, hogy a koncentrált paraméterő mérlegegyenletek mindig elsı rendő differenciálegyenletek. Vagyis ha a tárolt tömeget mt, a tárolt impulzust It, és a tárolt energiát Et jelöli, akkor

31

mdt

dmt &Σ= , Kdt

dI t Σ= , Edt

dEt &Σ= ,

ahol m& tömegáram, K erı, E& energiaáram. Az egyenleteket a 2-12. ábrán látható blokkvázlat szemlélteti.

1Kbm&

bE&

2K

km&

kE&

+

-

KΣm&ΣE&Σ

tItm

tE

ssY

1)( =

2-12. ábra. A koncentrált paraméterő mérlegek blokkvázlata

Látható, hogy a tárolt mennyiségek (It, mt, Et) mindig a be- és kilépı áramok ill. a ható erık (K) különbségének integráljaként adódnak. A tárolásnak, mint folyamatelemnek tehát integ-ráló viselkedése van, ha a tárolt mennyiség nincs befolyással a be- vagy kilépı áramokra ill. az erıkre. A dinamikai viselkedések vizsgálatánál gyakran csak a jellemzık megváltozásai fontosak. Vezessük be az

)()( tmmtm &&& ∆+= ,

)()( tEEtE &&& ∆+= , )()( tEEtE ttt ∆+= ,

)()( tKKtK ∆+=

jelöléseket, ahol az m& , E& , tE , K az állandósult állapot jellemzıit jelentik, a ∆ pedig az

állandósult állapothoz képest bekövetkezı változásra utal. Ezekkel például az energiamérleg

( ) kbt EEEdt

d && ∆−∆=∆ , (2.49)

ill. alkalmazva az elıbbi egyenletben az állandósult állapothoz ( EEE kb&&& == ) való viszonyí-

tást:

{ {

∆

∆−

∆

∆⋅=

∆

∆⋅

k

k

b

b

t

t

tt

eE

E

eE

EE

e

E

E

dt

dE

&

&

&

&

&

&&

321

.

Átrendezve:

( ) kbte eeedt

dT && ∆−∆=∆⋅ , (2.50)

ahol az energiatárolás idıállandója:

á l l a p o t b a n tá l l a n d ó s u l mE n e r g i a á r aá l l a p o t b a n tá l l a n d ó s u l e n e r g i a T á r o l t

==E

ET t

e & .

32

Hasonlóképpen a másik mérlegegyenletekbıl is felírható a tömeg- ill. az impulzustárolás idı-állandója:

m

mT t

m&

= , K

IT t

I = .

A tárolás idıállandója tehát az állandósult állapot adataival meghatározható. A valóságban gyakran elıfordul, hogy a tárolóból kilépı áramot befolyásolja a tároló feltöl-töttsége (vagyis pl. a kilépı áram változása arányos a tárolt mennyiség változásával). Ilyen példák láthatók különbözı típusú rendszerekre a 2-13. ábrán.

2-13. ábra. A kilépı áramot befolyá-solja a tároló feltöltöttsége a.) pneumatikus rendszer b.) hidraulikus rendszer c.) termikus rendszer

Ezekben a tároló nyomása (p), szintmagassága (H) vagy hımérséklete (ϑ) szoros kapcsolat-ban áll a tárolt mennyiséggel, tehát a tárolt mennyiség – amint a fenti ábrában felírt egyenle-tek igazolják – befolyásolja a kilépı áramot. Ennek megfelelıen a 2-12. ábrán bemutatott blokkvázlat egy arányos visszavezetéssel kibıvül (2-14. ábra).

2.14. ábra. Az arányos 1-tárolós tulajdon-ság blokkvázlata

pkmk ∆⋅=∆ &p

km&

bm&

a.)

Hkmk ∆⋅=∆ &

bm&

km&H

b.)

ϑ∆⋅=∆ kQk&

bQ&kQ&

ϑ

c.)

1K∆bm&∆bE&∆ +

-

tI∆tm∆tE∆

ssY 1)( =

+

+C

2K∆km&∆kE&∆

33

Az elmondottak szerint, tehát pl. a kilépı tömegáram tk mCm ∆⋅=∆ & , s így a tömegmérlegre

( ) tbt mCmmdt

d ∆⋅−∆=∆ &

írható, amibıl rendezéssel adódik:

( ) btt mC

mmdt

d

C&∆⋅=∆+∆⋅ 11

, (2.51)

ami az arányos 1-tárolós tulajdonság differenciálegyenlete. Ha a C állandó, akkor a fenti egyenlet lineáris tulajdonságot ír le. 2.4. A modell egyszerősítése, linearizálás A rendszer konkrét vizsgálata, tulajdonságainak és viselkedésének megismerése a matemati-kai modell megoldásával végezhetı el. Az egyenletrendszer (a modell) megoldásának haté-konysága növelhetı, ha a matematikai modellt – természetesen az elvárt pontossági igényeket betartva – lehetı legegyszerőbb alakra hozzuk. Az egyszerősítés egyik lehetısége a tárolók számának (tulajdonképpen a modell függıválto-zóinak) csökkentése. Ez azt jelenti, hogy a rendszerviselkedést kevésbé meghatározó tárolási jelenségeket elhanyagoljuk, s csak a domináns tárolókra írjuk fel a mérlegeket. Másik lehetıség a parciális differenciálegyenletek eliminálása, melynek módszerét a 3.1. feje-zetben mutatjuk be. Ekkor az egyenletrendszer független változóinak száma csökken. A harmadik nagyon hatékony módszer a linearizálás. A linearizálás során az elosztott- és a koncentrált paraméterő nemlineáris modellekbıl (amiket az elıbbiekben megismertünk) tisz-tán matematikai eszközökkel lineáris modelleket állíthatunk elı. Eredményként lineáris el-osztott paraméterő és lineáris koncentrált paraméterő modelleket kapunk. A linearizálást általában a folyamatmodell minden részletének (pl. mint fent a kilépı áram függése a tároló jellemzıjétıl) megfogalmazása ill. leírása után célszerő elvégezni, hisz az esetleges nemlinearitások teljes köre a matematikai modellben csak ekkor tőnik ki. Például általában nemlinearitások jelennek meg az állapot- és anyagjellemzık függvényeiben. 2.4.1. A linearizálás egy módszere

Az F(x) nemlineáris függvényt leggyakrabban úgy linearizáljuk, hogy a függvényt az xo-val jellemzett munkapont viszonylag szők környe-zetében Taylor-sorának lineáris részével he-lyettesítjük. Szükséges matematikai feltétel, hogy az F(x) függvénynek ebben a pontban differenciálhatónak kell lennie. 2-15. ábra Egyváltozós függvény linearizálása

Nemlineárismodell (egzakt)

Lineáris modell(közelítés)

Munkapont

xox

FÉrvényességitartomány

x = xo

dFdx

F(xo)

Fx F(x)

34

Az eljárás a 2-15. ábrán látható egyváltozós függvény esetében az alábbi:

)()()( 00

0

xxdx

dFxFxF

x

−⋅+≅ . (2. 52)

Bevezetve a )()( 0xFxFF −=∆ és a 0xxx −=∆ jelöléseket, a (2.52) helyett a következı

írható:

xdx

dFF

x

∆⋅≅∆0

, (2.53)

illetve ennek analógiájára az F(x1, x2, …) többváltozós függvényre az alábbi linearizálási kép-let adható meg:

L+∆⋅∂∂+∆⋅

∂∂≅∆ 2

21

10201

xx

Fx

x

FF

xx

(2.54)

Az )( 00 xFF = -val jellemzett állapotot munkapontnak nevezzük, aminek szőkebb

környezetében a linearizált modell érvényes. Ezt a kitételt a késıbbiekben nyilvánvalónak tekintjük, így az egyes linearizálási feladatoknál a fent még jelzett közelítıleg egyenlı helyett – az egyszerőbb írásmód végett is – egyenlıségjelet használunk. A linearizálás szabályai szerint a lineáris modellben minden abszolút függıváltozóból a mun-kaponthoz képest bekövetkezı megváltozás lesz, amit konzekvensen a függıváltozók elé „ra-gasztott” ∆ bető jelez. Ha a munkapont – mint a dinamikai vizsgálatoknál nagyon gyakran – a tranzienst megelızı állandósult állapot, akkor a lineáris dinamikai modell az állandósult (vagy stacionárius) állapothoz képest bekövetkezı megváltozásokat írja le. A függvényt grafikusan szemlélve (lásd a 2-15. ábrán), a linearizálás nem más, mint a nemli-neáris függvénykapcsolatnak a munkapontbeli érintıvel való helyettesítése. 2.4.2. Példák linearizálásra a.) Elosztott paraméterő tömegmérleg lineáris alakja

A (2.4) egyenlet szerint:

x

m

At ∂∂⋅−=

∂∂ &1ρ

.

Függı változók: m&,ρ . A fenti egyenlet lineáris alakja:

( ) ( )mxAt

&∆∂∂⋅−=∆

∂∂ 1ρ .

b.) Az elosztott paraméterő energiamérleg linearizálása

A (2.20) egyenlet szerint:

35

súrldx

dpAw

x

pAw

t

pAq

x

hm

t

hA

+∂∂+

∂∂+=

∂∂+

∂∂

&ρ ,

amibıl

ρ

2mr

dx

dp

súrl

&⋅=

, és

A

mw

ρ&

= helyettesítések után a feladat:

43421&

&

43421&

&

321321

321&

&

43421

),(),,()()(

),(),(6

2

3

543

21 ρρ

ρρ

ρ

ρ

mF

mr

pmF

x

pm

pFt

pA

qF

q

hmFx

hm

hFt

hA ⋅+

∂∂⋅+

∂∂+=

∂∂+

∂∂

.

Függı változók: mpqh &,,,,ρ . A fenti egyenlet mindkét oldala több tagból áll, az össze-adás azonban lineáris mővelet, így a linearizálás problémáját tagonként lehet megoldani. Az egyenletben F1…F6 nemlineáris függvények vannak, amelyek mindegyikét a (2.54) általános szabály szerint kell linearizálni. Ennek megfelelıen eljárva, s egyben elhanya-golva a másodrendően kicsi megváltozásokat, a következı lineáris alakot kapjuk:

ρρρρ

ρ ∆⋅

−∆⋅

+∆∂∂⋅+∆

∂∂⋅+∆=∆

∂∂+∆

∂∂

32

23)()()()(m

rmm

rpx

mp

tAqh

xmh

tA

&&

&&& ,

ahol az egyes jellemzık fölötti vízszintes vonal az állandósult állapot (munkapont) érté-kére utal. Itt megjegyzendı még, hogy a q definiálása után általában újabb függı változók jelennek meg, pl. )( wFq ϑϑα −= és ),( K&mf=α , s csak ezután lehet konkrétan defini-

álni a ∆q-t, tehát elnyerni a lineáris egyenlet végleges alakját. c.) Koncentrált paraméterő energiamérleg linearizálása

A (2.40) egyenlet szerint:

( ) ( )

++−−−=dt

dpVQhhmhhm

mdt

dhkkbb

&&&1

.

Függı változók: pVQmmmhhh kbkb ,,,,,,,, &&&& . A fentiekben megismert módszer ill. feltéte-

lek szerint eljárva, továbbá stacionárius állapotban mmm kb &&& == jelöléssel, a következı

lineáris energiamérleg adódik:

( ) ( ) ( ) ( )

∆⋅+∆+∆⋅−−∆⋅−+∆−∆⋅=∆ pdt

dVQmhhmhhhhm

mh

dt

dkkbbkb

&&&&1

)( .

Kiegészítı feladat az egyenlethez még a Q& , majd a Q&∆ definiálása, továbbá meg kell adni

a h -t is. Ez utóbbit a stacionárius energiamérleg ( mQhh bk &&+= ) és a ( ) 2kb hhh +=

alapján lehet kifejezni.

36

d.) Koncentrált paraméterő impulzusmérleg linearizálása

Legyen a probléma csupán a koncentrált hidraulikai ellenálláson való átáramlás nyomás-esése, ami a 2.47.a) képlet alapján:

ρρ

ξλ 22

212 2

mr

m

r

Ad

L

pp&&

43421

⋅−=⋅+

−=− ,

melyben r = állandó. Függı változók: ρ,,, 21 mpp & . A nyomásesés linearizált képlete:

∆⋅−∆⋅=∆−∆ ρ

ρρ 2

2

21

2 mm

mrpp

&&

&.

37

3. A matematikai modell numerikus megoldása

Az elıbbi fejezetekben megismertek szerint létrehozott matematikai modell megoldása szá-mítógép segítségével, digitális szimuláció útján történik. A szimulációs eljárást (a programot) magunk is fejleszthetjük, de ez rendkívül munkaigényes feladat, és ma már csak speciális esetekben lehet indokolt. A legtöbb esetben ugyanis a matematikai modell megoldására a ma rendelkezésre álló, általános célú, felhasználóbarát szimulációs programok alkalmazhatók. A szimulációhoz használt számítógépre vonatkozóan mindenkor elvárás, hogy megfelelı tejesítıképességő és lehetıleg gyors legyen, s hogy így a modellel vizsgálandó problémákat gazdaságosan lehessen megoldani. Nagyon fontos a szimulációs program felhasználóbarát és interaktív jellege, mivel így speciális ismeretek nélkül mindenki számára könnyen elsajátít-ható, és a szimulációs modell fejlesztését, futtatását valamint az eredmények megjelenítését egyaránt hatékonyabbá teszi. A digitális szimulációnál a modell minden változója diszkretizált, tehát a független változók (t, x) minden függvényét – meghatározott felosztással – diszkrét számok reprezentálják a füg-getlen változók diszkrét pontjaiban. Legegyszerőbb a lineáris koncentráltparaméterő folyamatokat szimulálni: ekkor könnyő az integrálási eljárást kiválasztani, nem okoz gondot a kezdeti feltételek megadása sem és a futás is gyors. A szimulációs problémát súlyosbítja, ha a modell elosztottparaméterő (mert ekkor parciális differenciálegyenlet is van) és/vagy nemlineáris.

3.1. Parciális differenciálegyenletek átalakítása A többdimenziós tranziens problémák megoldására speciális (s többnyire igen költséges) programok (pl. Fluent, különféle véges-elem programok stb.) szükségesek. Az 1-dimenziós eseteket viszont általában úgy kezelhetjük le, hogy a felállított matematikai modellbıl elıbb egy olyan szimulációs modellt alakítunk ki, melyben a hely szerinti deriváltakat véges diffe-renciahányados helyettesíti. Vagyis ezzel a parciális differenciálegyenletet közönséges diffe-renciálegyenletek rendszerévé alakítjuk át. Lényegében ugyanide vezet a modellalkotás korai fázisában (fizikai modell) választott, ún. feldarabolt-modell szemlélet alkalmazása.

3-1. ábra. A véges differenciák értelmezéséhez

A differenciálok helyett az alábbi közelítı véges differenciák használata lehetséges (3-1. ábra):

x

ff

x

f ii

i ∆−≅

∂∂ −1 : retrográd differenciahányados, (3.1)

)(xf

x)1( −i i )1( +i

x∆ x∆

x∆2

38

x

ff

x

f ii

i ∆−≅

∂∂ +1 : progresszív differenciahányados, (3.2)

x

ff

x

f ii

i ∆−≅

∂∂ −+

211 : centrális differenciahányados. (3.3)

Általában legjobb közelítés a centrális differenciahányados, ha lehet, ezt célszerő használni. A differenciálegyenletben esetleg magasabbrendő deriváltak is elıfordulhatnak, ezek közelí-tését pl. matematikai kézikönyvekbıl lehet kivenni, vagy a következı eljárással származtat-hatók. Alkalmazzuk a centrális differenciahányados fent megismert képzési elvét a második deriváltra:

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂

∆=

∆

∂∂−

∂∂

≅

∂∂

−+

−+

11

112

2

2

1

2 iiii

ii

ix

f

x

f

x

f

x

f

xx

x

f

x

f

x

f. (3.4)

Írjuk fel a kapcsos zárójelben lévı elsı tagot retrográd differenciahányadosokkal:

x

fff

x

ff

x

ff

x

f

x

f iiiiiii

retroii ∆+−=

∆−−

∆−=

∂∂−

∂∂ −+−+

+

1111

1

2; (3.4.a)

majd a második tagot progresszív differenciahányadosokkal:

x

fff

x

ff

x

ff

x

f

x

f iiiiiii

progii ∆+−=

∆−−

∆−=

∂∂−

∂∂ −+−+

−

1111

1

2. (3.4.b)

Az utóbbiak behelyettesítésével kapjuk a másodrendő derivált centrális differenciahányados képletét:

211

2

2 2

x

fff

x

f iii

i∆

+−=

∂∂ −+ . (3.5)

Az alábbiakban vizsgáljuk a csıfallal hıcserében lévı áramló súrlódásmentes közeg (3-2. ábra) instacionárius termikus állapotát leíró parciális differenciálegyenletet. Ez például a (2.21.a) szerint a következıképpen szól:

)(xϑ

xb

x∆ x∆x∆

k

1 2 i...

m&

ϑ

wϑ

αq

Közegáram

Csıfal

3-2. ábra. Az 1-dimenziós közegáram termikus mérlegegyenletének diszkretizálása

39

qx

cmt

cA pp =∂∂⋅+

∂∂⋅ ϑϑρ & , (W/m). (3.6)

A fenti képlet jobboldala csıben áramló hıfelvevı közegnél:

)( ϑϑα −= wUq , (3.6.a)

ahol U a hıátadó kerület. Helyettesítsük be a (3.6.a)-t a (3.6) egyenletbe, majd rendezéssel a következı, szemléletes differenciálegyenletet kapjuk:

),(),(),(),(

txtxx

txX

t

txT wϑϑϑϑ =+

∂∂⋅+

∂∂⋅ , (3.7)

melyben U

cAT p

αρ

= , (s) idı mértékegységő együttható, (3.7.a)

U

cmX p

α&

= , (m) hossz mértékegységő együttható. (3.7.b)

Végezzük el a hely (x) független változó szerinti diszkretizálást, ami lényegében olyan ∆x hosszúságú szegmensek felvételét (feldarabolás) jelenti, melyben az átlaghımérsékletre ( iϑ )

értelmezzük az energiamérleget. Ennek megfelelıen

xxbiki

i ∆−

≅

∂∂ ,, ϑϑϑ

és 2

,, bikii

ϑϑϑ

+= , tehát biiki ,, 2 ϑϑϑ −= ,

s így az i-edik szegmens differenciahányadosa:

xxbii

i ∆−

≅

∂∂ )(2 ,ϑϑϑ

.

Írjuk be ezt az eredményt az i-edik szegmens (3.7) alakú differenciálegyenletébe:

iwibiii

x

X

dt

dT ,, )(

2 ϑϑϑϑϑ=+−

∆+⋅ ,

illetve rendezés után:

biiwii

x

X

x

X

dt

dT ,,

221 ϑϑϑϑ

⋅∆

+=⋅

∆++⋅ .

A T és X együtthatók fenti definícióit felhasználva a következı átalakítási lehetıség kínálko-zik:

τρ

αρ

αT

x

wT

x

Am

U

Ac

xU

cm

x

X pp =∆

⋅=∆

⋅=∆⋅

=∆

&&,

40

ahol τ : a ∆x hosszúságú szegmens átáramlási ideje w sebességgel. Ez utóbbiakkal adódik az i-edik szegmens differenciálegyenletének végleges alakja:

biiwii TT

dt

dT ,,

221 ϑ

τϑϑ

τϑ

⋅+=⋅

++⋅ , (3.8)

és ennek kiegészítése a fent alkalmazott számtani átlag értelmében:

biiki ,, 2 ϑϑϑ −= . (3.8.a)

Látható, hogy a bemutatott átalakítás a (3.7) parciális differenciálegyenletet n darab (3.8) alakú közönséges differenciálegyenletbe vitte át.

3.2. Közönséges differenciálegyenlet rendszer megoldása A parciális differenciálegyenletek kiküszöbölése után a megoldandó dinamikai problémák matematikai modellje többnyire az

),( tf xx =& , 00 )( xx =t (3.9)

általános formába írható, ahol most x állapotvektor (általában a tárolt mennyiséggel összefüggı jellemzık),

0x kezdeti feltétel vektor,

x& az állapotvektor idı szerinti elsı deriváltja, t idı, független változó. Az elıbbi fejezetekben bemutatott közönséges differenciálegyenletekbıl könnyen belátható ill. kialakítható a (3.9) alatti általános alak, amely tulajdonképpen az ún. állapottér-leírásnak felel meg. Az állapottér leírásban ugyan többnyire az ),,( tf uxx =& általános alakot találhatjuk (ahol u a bemenıjelek vektora), de mivel az u(t) mindig ismert idıfüggvény, ezért az általá-nosságot nem sérti, ha a (3.9)-ben az u-t külön nem tüntettük fel. Az ),( tf xx =& egyenlet megoldására numerikus integrálási eljárásokat fejlesztettek ki, ami minden esetben – a konkrét módszertıl függetlenül – az idı szerinti diszkretizálás bevezetését jelenti. Fontos megjegyezni, hogy a parciális differenciálegyenlet (ill. az abból kialakított kö-zönséges differenciálegyenlet-rendszer) megoldásánál a stabil ill. konvergens számítás felté-tele, hogy

w

xt

∆≤∆ (3.10)

reláció mindig fennálljon, ahol: x∆ a hely szerinti osztás nagysága (szegmenshossz, lásd 3.1. fejezet), t∆ az idıosztás nagysága, w a közeg áramlási sebessége. 3.2.1. A numerikus integrálás alapjai A közönséges differenciálegyenlet numerikus megoldásának alapgondolatát a legegyszerőbb és egyben legdurvább Euler-Cauchy féle eljárás bemutatásával szemléltetjük. Legyen ismert az ),( txfx =& differenciálegyenlet és a hozzá tartozó 00 )( xtx = kezdeti feltétel. A számítás

menetét a 3-3. ábra segítségével követhetjük.

41

t0t 1t 2t 3t

0x

x

0x 1x 2x 3x

0x&1x&

2x&

hhh

Valósmegoldás

Számítottmegoldás

3-3. ábra. Az Euler-Cauchy numerikus integrálás szemléltetése

Induljunk ki az ismert ),( 00 tx kezdeti pontból, melyben az ),( 000 txfx =& valóságos kezdeti

meredekség egzaktul kiszámítható. Ezzel a kezdeti meredekséggel lépünk t0-ból a t1 = t0 + h idıpontba (h: lépéstávolság), ahol a számított ordináta értéke:

001 xhxx &⋅+= .

Az így kapott ),( 11 tx -el a differenciálegyenletbıl kiszámítható az ),( 111 txfx =& új meredek-ség, mellyel a t2 = t1 + h idıpontban az ordináta

112 xhxx &⋅+= .

Ezután ),( 22 tx -vel és az ),( 222 txfx =& -vel pedig

223 xhxx &⋅+= .

A bemutatott gondolatmenetet általánosítva a szóban forgó numerikus eljárás számítási for-mulája az n-edik idıpontból az n+1-edikbe való lépésnél:

nnn xhxx &⋅+=+1 (3.11.a)

),( 111 +++ = nnn txfx& (3.11.b)

A számított (mint közelítı) megoldás – amint ez a 3-3. ábrán is jól látható – növekvı t-vel egyre nagyobb mértékben tér el a valóságos megoldástól. Ez a numerikus eljárás hibája. 3.2.2. A numerikus integrálás hibája A numerikus integrálási eljárás hibáját az alábbi tényezık okozzák: a.) Képlethiba

Abból ered, hogy az xn+1 ordináta számítására nem az

L&&&&&

& ++++=+32

1 !3!2h

xh

xhxxx nnn

egzakt, az (xn, tn) pont Taylor-sorát, hanem közelítı összefüggést alkalmazunk. Látható, hogy a fent bemutatott Euler-Cauchy eljárás csak az elsırendő tagig egyezik meg az eg-zakt Taylor-sorral, tehát ez egy elsırendő eljárás. Az így kialakuló hibában

42

( L&&&&&

++= 32

!3!2h

xh

xε ) domináns szerepet játszik a másodrendő tag, mivel általában a h <

1, így a képlethiba ennek nagyságrendjébe esik:

21 2

1hxnn &&≈+ε .

b.) Meredekség-hiba

Az okozza, hogy a már hibával rendelkezı xn értéket használjuk az nx& meredekség

kiszámítására. Ez a hiba annál nagyobb lesz, minél erısebben függ a differenciálegyenlet az x-tıl, azaz minél nagyobb a ( )xf ∂∂ parciális derivált értéke. Így ez a fajta hiba közelítıleg:

nxntt

nn xfxx

fx

n

δδδη ⋅=⋅∂∂≈=

=

& ,

ahol nxδ az n-edik lépésig felhalmozott ordináta-hiba.

A fentiek értelmében az (n+1)-edik lépés becsült ordináta-hibája:

( ) maxmax1 1 εδεδδδ +⋅+=+⋅+≤+ nnnn xKhxKhxx (3.12)

ahol

maxε képlethiba abszolút értéke az (n+1)-edik lépésben,

nxKhδ meredekség-hiba abszolút értéke az (n+1)-edik lépésben,

xfK ≥ a megoldás egzisztenciájához szükséges Lipschitz-feltétel,

nxδ az (n+1)-edik lépésig halmozott hiba abszolút értéke.

A (3.12) hibabecslési képletbıl látható, hogy a hibahalmozódásért a Kh=κ érték a felelıs. A lépéstávolságot (h) tehát úgy kell megválasztani, hogy a κ érték adott K mellett 1-hez képest mindig kicsi legyen. Minél nagyobb tehát a K, annál kisebb lépéstávolságot kell alkalmazni. A bemutatott hibahalmozódás miatt a legtöbb numerikus integrálási eljárás instabil is lehet, amit - a rendszer-instabilitástól való megkülönböztetésképpen – numerikus instabilitásnak nevezünk. A stabil megoldás érdekében alkalmazott kis lépéstávolság jelentısen lelassítja a számítási eljárást (tehát megnöveli a számítási idıt), ezért a hatékonyság növelésére számos nagyobb pontosságú – ugyanakkor bonyolultabb számítási formulára alapozott – módszert dolgoztak ki. Ezek között talán legismertebbek a Runge-Kutta eljárások, melyeket általában a dinamikai problémák széles területén lehet alkalmazni. Az alkalmazható numerikus integrálási eljárások választékát a konkréten rendelkezésre álló szimulációs szoftver szabja meg, ezen belül pedig az adott matematikai modell megoldásához megfelelı (esetleg optimális) eljárás kiválasztá-sára többnyire a szoftverleírás nyújt további támpontokat.

43

5. Energetikai alkalmazások és szimulációs minták A modellezés alapelveinek és a szimulációs eszköz megismerése (amelyben már energetikai alkalmazások is voltak) után, az alábbiakban további energetikai mintákat mutatunk be a dina-mikai modell kialakítására és szimulációjára. Elıször egyszerő, elemi folyamatok modelljeit tárgyaljuk, melyek akár egy összetett folyamat szimulációs modelljének építıelemeként (mint a Simulink blokkjai) is felhasználhatók. A szimulációs gyakorlatban ugyanis vannak olyan irányok, amelyek egy adott szakterület speci-ális igényeinek megfelelı – egy-egy fizikai folyamatot vagy berendezést reprezentáló – blok-kok kifejlesztését tekintik célszerőnek, s ezeket – mint a Simulink-ben definiált saját blokko-kat – az összetett rendszer modelljének felépítésére lehet felhasználni. Ez a megoldás szem-léletessé és jól áttekinthetıvé teszi az összetett rendszer modelljét (hierarchikus felépítés, amely a fizikai hátteret is láttatja), de nem mindig a leggazdaságosabb. Az egyszerő modellek után összetett és bonyolultabb energetikai rendszerek modelljeinek felállítását és szimulációját láthatjuk. A bemutatott esetek között található az elıbbi gondolat-nak megfelelı, tehát a már meglévı elemi folyamatmodellekbıl építkezı megoldás, és ezzel ellentétes – inkább a matematikai szempontok szerinti tagolást elınyben részesítı – modellki-alakítás is.

5.1. Koncentrált paraméterő elemi folyamatmodellek

Az 5-1. ábrán gázzal ill. gázszerő közeggel (pl. levegı, füstgáz, túlhevített gız) átáramoltatott rendszer látható. A váltakozó nyomvonalat követı vezetékbe belép bm& közegáram (kg/s) bp

nyomással és bϑ hımérséklettel, és a végén onnan kilép km& tömegáram (kg/s) kp nyomáson

és kϑ hımérsékleten. A be- és kilépés között )( bk HH − geodetikus magasságkülönbség van,

és áthaladás közben egy helyen még bQ& hıáramot is bevezetnek a közegbe.

kkk pm ϑ,,&

bbb pm ϑ,,&

kH

bH

bQ&

p,ϑ

Vp ,,ϑ

bQ&

V (m3)

km&

bm&

L : a közeg által befutott teljes út

5-1. ábra. Gázzal átáramoltatott csıvezeték és fizikai modellje

Az ilyen rendszerekben lejátszódhat anyag- és/vagy energiatárolás (ha a V térfogat számot-tevı, bár nem csak ez számít), a közeg áramlását pedig ventilátor vagy fúvó (ezeket az ábra nem tartalmazza) segíti és hidraulikai ellenállások fékezik. A koncentrált paraméterő model-

44

lekben az elıbbi jelenségeket a folyamat tároló elemeinek, az utóbbiakat pedig ún. transzport-elemeknek szokták nevezni. Az ábrán feltüntetett rendszer térbeli kiterjedése - legalábbis egy irányban - jelentısnek lát-szik (csı), tehát elsı ránézésre joggal gondoljuk, hogy a tárolások és a nyomásesés a közegút mentén elosztva játszódik le. Ennek ellenére mégis indokoltan dönthetünk a szóba hozott fo-lyamatok koncentrált paraméterő leírása mellett, amint azt szimbolikusan az ábra jobb oldalán látható fizikai modell mutatja, és amely az átáramlás útjában elıször egyetlen tárolót, majd egy áramlási ellenállást (fojtás) tartalmaz. Fontos megjegyezni: ha a rendszerbe belépı áram ismert (mint esetünkben feltételezzük), akkor a helyettesítı tároló-fojtás együttesben elıször mindig a tároló szerepel, és csak utána jön a fojtás. 5.1.1. Tároló elemek Egyfázisú összenyomható közegek (gáz, gız) esetén a tárolás mindig V = állandó mellett megy végbe (tehát: 0/ =dtdV ), mert a gázzal teljesen kitöltött térfogatot a szerkezet merev geometriája rögzíti (természetesen ez akkor igaz, ha a közegállapot változása nem hat ki a szerkezet méreteire). Másik gyakran alkalmazható feltételezés, hogy a közeg ideális gázként viselkedik, amire a következı ismert állapotváltozási egyenlet írható:

RTp n =ρ , (5.1) ahol R: fajlagos gázállandó, 15,273+= ϑT (K): abszolút hımérséklet, n: az állapotváltozás

kitevıje (n = 1: izotermikus, n = 0: izobár, n = κ: adiabatikus, ∞=n : izochor). Az állapotváltozási egyenletbıl kifejezhetı a sőrőség:

n

RT

pTp

1

),(

== ρρ . (5.2)

Látható, hogy a sőrőség a közeg két állapotváltozójának (p, T) – ez esetben már konkrétan megfogalmazott – függvénye, amibıl a sőrőség mindenkori változása ismertté tehetı. Ennek érdekében végezzük el a 2-változós sőrőségfüggvény deriválását:

dTnT

dppn

dTT

dpp

d

Tp

⋅

−+⋅

=⋅

∂∂+⋅

∂∂=

∂∂∂∂43421321

ρρ

ρρρρρ . (5.3)

Ezek után vizsgáljuk a tárolási jelenség különbözı speciális változatait.

a. ) Szimultán anyag- és energiatárolás Energetikai folyamatokban egyfázisú közegre ez a legáltalánosabb tárolás, mivel az im-pulzusmennyiség tárolása általában nem jellemzı. A 2-2. táblázat segítségével, vagy a (2.38) és a ( 2.40) képletek alapján a vizsgált folyamatra a következı egyenletek írhatók:

( )

∂∂−−

∂∂=

dt

dVmm

pVdt

dpkb

ϑϑρ

ρ&&

1, (2.38.a)

45

( ) ( )

++−−−=dt

dpVQhhmhhm

cVdt

dbkkbb&&&

ρϑ 1

. (2.40.a)

Helyettesítsük be a sőrőség (5.3) teljes deriváltját, továbbá legyen pnVCm ρ= anyagtárolási állandó (kg/Pa),

cVCQ ρ= hıtárolási állandó (J/K),

melyekkel a szimultán tároló leíró differenciál egyenletei (amelyek a szimulációs modell közvetlen alapját képezik) az alábbiak lesznek:

dt

d

T

pmm

Cdt

dpkb

m

ϑ⋅+−= )(1

&& , (5.4)

⋅++−−−=dt

dpVQhhmhhm

Cdt

dbkkbb

Q

&&& )()(1ϑ

. (5.5)

Hiányzik még a be- és kilépı közeg nyomásai és hımérsékletei közötti kapcsolat, mivel a fenti differenciálegyenletek csak a tároló átlagos nyomását (p) és hımérsékletét (ϑ ) szol-gáltatják. Feltételezzük, hogy ebben az esetben (lásd 5-1. ábra) a geodetikus magasságkülönbség a tárolóhoz tartozik, s így:

)(2 kbb HHg

pp −−= ρ, (5.6)

)(2 kbk HHg

pp −+= ρ. (5.7)

A hımérsékletek vonatkozásában azzal a feltételezéssel élünk, hogy a kilépı hımérséklet alakításában csak a tároló hımérsékletének (ϑ ) van szerepe, tehát

)2( hk Tt −≅ ϑϑ , (5.8)

ami egy argumentum-eltolás, vagyis a kilépı hımérséklet a tároló hımérsékletének idı-beli lefolyását fél holtidıvel eltolva követi. A holtidı itt a csı teljes átáramlási ideje: wLTh = , ahol w a közeg átlagos áramlási sebessége a csıben. Az (5.8) felfogás a

nagyobb 1D-s kiterjedéső (csı) folyamatok koncentrált paraméterő modellezésénél gyak-ran alkalmazott közelítés. Szükség van még az anyag- és a termodinamikai jellemzık ( hc ,,ρ ) függvényeire is. Le-gyen most a rendszerben áramló közeg levegı, akkor a nyomásváltozásnak ezekre gyako-rolt hatását többnyire elhanyagolhatjuk, és csak a hımérsékletfüggés fontos. Ennek meg-felelıen

)(ϑρρ L≅ , )(ϑLcc ≅ és )(ϑLhh ≅ , (5.9) melyekben Lρ , Lc és Lh a levegı sőrőségét, fajhıjét és entalpiáját approximáló függvé-nyek.

46

A fenti gondolatokkal és egyenletekkel kidolgozott tároló szimulációs modellt és vizsgáló környezetét mutatja be az 5-2. ábra.

pki ,Tki*

pbe,Tki*

M,p,T

dQbe

ki

To Workspace1

ki1

To Workspace

20

Tki

20

Tbe

TÁROLÓ

Szimul tánTároló

Sum1

Scope1

Scope

0

Qbe

Mux

Mux1

Mux

Mux

20

Mki

20

Mbe

5-2. ábra

A szimultán anyag- és energiatároló Simulink-modellje A Matlab programban hívjuk be a tarolo_p.mdl modellfájlt, s a megnyíló modellablakban a fenti ábrán szemléltetett futtatható modell jelenik meg. A TÁROLÓ nevő színes hátterő blokk maga a modell, a többi a modellbemenetek generálását ill. a kimeneten adódó szimulációs eredmények megjelenítését/tárolását szol-gálja. A modell bemenetei között – talán meglepı módon – szerepel a kilépı közegáram hımérséklete is (a mo-dellben: Tki), jóllehet ezt az (5.8) egyenlettel definiáltuk. A szóban forgó bemenetnek mégis van értelme, ha a tárolón áthaladó közeg áramlási iránya megváltozik (pl. ha a tároló modell egy nagyobb rendszer eleme-ként szerepel, amelyben a nyomásviszonyok változása a visszaáramlást elıidézheti), mert ekkor a Tki értékét a tárolón kívüli viszonyok határozzák meg. A modellben látható Tki* ugyan az (5.8)-al megadott kilépı hı-mérséklet (ami egy következı rendszerelem – pl. fojtás – termikus bemenete lesz), de mivel nem játszik közvetlen szerepet az (5.5) egyenletben (tehát nincs visszacsatolás), így a szimultán tároló lényegében (azaz reális változási tartományban nézve) integráló tulajdonságot mutat. A TÁROLÓ modell maszkolt, így a blokkra bal gombbal kattintva megnyílik egy ablak, amely lehetıvé teszi a rendszer aktuális paramétereinek megadását. Futtatás elıtt érdemes áttekinteni a szimulációs modell fel-építését is: ehhez az egér jobb gombjával kattintsunk a modellre, majd válasszuk a Look Under Mask menü-elemet, amire feltőnik a modell belsı struktúrája (ezen belül további alrendszerek tekinthetık meg). b.) Izotermikus anyagtárolás Az elıbbi tárolás speciális esete, amikor a hımérséklet állandó ( 0=dtdϑ ). Ennek megfelelıen az (5.5) egyenlet itt elmarad, és az (5.4) is egyszerősödik a következıre:

)(1

kbm

mmCdt

dp&& −= , (5.10)

amelyben az 1=n miatt az anyagtárolási állandó számítása: pVCm ρ= . Az (5.6)-(5.7)

egyenletek itt is érvényben maradnak. A megfelelı szimulációs modell az 5.3-ábrán lát-ható.

47

pki,p,pbe

dMki

ki

To Workspace1

Sum

Scope

20

Mki

20

Mbe

Izo-TÁR

IzotermikusAnyagTároló

5-3. ábra. Az izotermikus anyagtároló Simulink-modellje A Matlab programban hívjuk be az izotar_p.mdl modellfájlt, s a megnyíló modellablakban a fenti ábrán szemléltetett futtatható modell jelenik meg. Az Izo-TÁR nevő színes hátterő blokk maga a modell, a többi a modellbemenetek generálását ill. a kimeneten adódó szimulációs eredmények megjelenítését/tárolását szol-gálja. Az Izo-TÁR modell maszkolt, paramétereinek megadása vagy a modell részleteinek megtekintése az elızı-ekben megismert módon történik. c.) Állandó nyomású energiatárolás Az energetikai rendszerekben gyakori az olyan tárolási folyamat, amelyikben elhanyagol-ható az anyagtárolás (pl. összenyomhatatlan közeg), és csak az energiatárolás fontos. Ilyenkor a közeggel átáramoltatott tárolóban a nyomást állandónak tekintjük, azaz

0=dtdp . A szimultán tároló fent megismert egyenleteibıl most a nyomásegyenlet marad el, és az energiamérleget leíró differenciálegyenlet pedig az alábbira egyszerősödik:

[ ]bkkbbQ

QhhmhhmCdt

d &&& +−−−= )()(1ϑ

. (5.11)

Ebbıl az (5.8)-(5.9) kiegészítésekkel együtt megvalósított szimulációs modell látható az 5-4. ábrán.

T

Mki, Tki

dTbe

dQbe

dMb

20

Tbe

Sum1 Scope

0

Qbe

Mux20

Mbe

Ene-TÁR

EnergiaTárolás(p=ál landó)

5-4. ábra. Az izobár energiatároló Simulink-modellje A Matlab programban hívjuk be az enetar_p.mdl modellfájlt, s a megnyíló modellablakban a fenti ábrán szemléltetett futtatható modell jelenik meg. Az Ene-TÁR nevő színes hátterő blokk maga a modell, a többi a modellbemenetek generálását ill. a kimeneten adódó szimulációs eredmények megjelenítését/tárolását szol-gálja.

48

Ez a modell nem vizsgálja a nyomásviszonyokat, ezért értelmét veszti a geodetikus magasságkülönbség fi-gyelembe vétele. Ugyanakkor – feltételezve, hogy az áramló közeg levegı – beépítésre került a

)( kLk hh ϑ= termodinamikai függvény, ami biztosítja a kilépı hımérsékletnek az (5.11) egyenletre való

közvetlen kihatását (tehát van visszacsatolás), így az Ene-TÁR egytárolós-arányos dinamikai viselkedést mutat. Az Ene-TÁR modell maszkolt, paramétereinek megadása vagy a modell részleteinek megtekintése az elızı-ekben megismert módon történik. d.) Konvektív hıcsere falon át A csıfalban lejátszódó koncentrált hıtárolást a 2.2.2. pont alatt tárgyaltuk, az ott megadott (2.44) egyenlet és tartozékai lényegében a szimulációs modell kiinduló alapja. Mégis most alakítsuk a matematikai modellt egy kicsit más – a modellezési gyakorlatban ugyancsak szokásos – végleges formába. A 2-10. ábra alapján a csıfalra a következı instacionárius mérlegegyenletet írhatjuk fel (feltétel: 0=sq& ):

222111 ϑαϑαϑρ FFdt

dVc w

www −=⋅ . (5.12)

Osszuk el )( 22Fα -vel az egyenletet, majd átrendezés után a következı egyenletet kapjuk:

212 )1( ϑϑϑϑ +⋅=⋅++⋅ zzdt

dT w

ww , (5.13)

ahol 22

2 F

VcT www

w αρ= : a csıfal (másképpen számított) idıállandója,

22

11

F

Fz

αα= : főtési jellemzı (ha z = 0, akkor nincs főtés).

A hıcsere elem két közeget (hıleadó-hıfelvevı) kapcsol össze, melyek állapotát egy-egy tároló elem írhatja le. Ezekhez való illeszkedés végett ismerni kell a közegek és a fal kö-zötti hıáramokat:

−=

−=

).(

),(

2222

1111

ϑϑαϑϑα

w

w

FQ

FQ

&

& (5.14)

Végül a modell pontosabbá tétele érdekében célszerő beépíteni a hıátadási tényezık „ter-helésfüggését”, vagyis azt, hogy miként változik a hıátadási tényezı, ha a közegáram nem állandó. Erre jó közelítéssel mindkét közegre a Nusselt-féle hatványformulát alkalmazzuk:

n

m

m

=

00

&

&αα (5.15)

ahol 00,αm& ismert összetartozó referencia adatok,

n Nusselt kitevı (értéke túlhevített gızre általában 0,80, gázra 0,60-0,65). Fentiekbıl felépített szimulációs modellt mutatja be az 5-5. ábra.

49

Q2

Q1

Tfal

[M1,T1]

[M2,T2]

dT2

dM1

ki

To Works.

50

T2

100

T1

Scope

Mux

Mux1

Mux

Mux

30

M2

30

M1

HÕCSERE

Hõcsere

83.11

Display

Clock

5-5. ábra. A konvektív hıcsere Simulink-modellje

A Matlab programban hívjuk be a hocser_p.mdl modellfájlt, s a megnyíló modellablakban a fenti ábrán szemléltetett futtatható modell jelenik meg. Az HİCSERE nevő színes hátterő blokk maga a modell, a többi a modellbemenetek generálását ill. a kimeneten adódó szimulációs eredmények megjelenítését/tárolását szolgálja.

A modell úgy van kialakítva, hogy a számított és a kimeneten megjelenı 1Q& és 2Q& hıteljesítmények (a mo-

dellben ezek: Q1, Q2) elıjele tranziens állapotban is mindig a közegek aktuális funkciója szerint alakuljon, tehát: a hıleadó közegre negatív, a hıfelvevı közegre pedig pozitív. Így lesz az (5.5) vagy az (5.11) egyen-letekhez való csatlakozás fizikailag helyes. A HİCSERE modell maszkolt, paramétereinek megadása vagy a modell részleteinek megtekintése az elızı-ekben megismert módon történik.

5.1.2. Anyagtranszport elemek Ide soroljuk az anyag áramlását kényszerítı (ventilátor, szivattyú), az áramlást fékezı (áram-lási ellenállások) és az anyagáram szándékos megváltoztatására alkalmas (szabályozó szelep) rendszerelemeket.

a.) Fojtás: ellenállás elem Valójában a fojtás állandó entalpia mellett végbemenı állapotváltozás, miközben a közeg hımérséklete változik. Ez a hımérsékletváltozás azonban gyakran elhanyagolhatóan kicsi (pl. levegınél), így itt azt feltételezzük, hogy a fojtásban a hımérséklet nem változik meg (tehát közelítıleg izotermikus állapotváltozás). A 2-2. táblázat ill. a (2.47.a) koncentrált paraméterő impulzusmérleg alapján, továbbá a gravitációs tag elhagyásával (a geodetikus magasságkülönbséget a szimultán tárolóban már úgyis figyelembe vettük), a fojtásra a következı nyomásesés-egyenlet írható:

ρ

2mrpp ue

&⋅=− , (5.16)

ahol pe nyomás a fojtás elıtt, pu nyomás a fojtás után,

( )22Ad

Lr

+= ζλ ellenállás(szerő) konstans (jelöléseket lásd a 2-2. táblázatban).

50

Az (5.2) képlet értelmében ideális gázra izotermikus esetben (n = 1) RTp=ρ , melyben

2/)( ue ppp += az átlagos nyomás a fojtáson. Mindezeket az (5.16)-ba helyettesítve,

majd kifejezve a tömegáramot, kapjuk a fojtás átáramlási összefüggését:

)()( ueue ppabsT

pKppsignm −⋅⋅−=& , (5.17)

ahol RrK 1= =állandó. Ez a képlet az aktuális nyomásértékektıl függıen (pe kisebb vagy nagyobb, mint pu) elı-jelre is helyesen adja meg a fojtáson áthaladó tömegáram értékét, s így szervesen illeszke-dik a szimultán tároló modelljében kialakított hasonló lehetıséghez. A fojtás szimulációs realizálása az 5-6. ábrán látható.

M(kg/s)

Tki(C)

pe(Pa)

(pe-pu)

[pe,Te]

[pu,Tu]

0.9995e5

pu(Pa)

1e5

pe0

100

Tu(C)

50

Te(C)

Sum1

SumSignal

Generator

Scope

Mux

Mux2

Mux

Mux1

Mux

Mux

FOJTÁS

5-6. ábra. A fojtás (ellenállás elem) Simulink-modellje A Matlab programban hívjuk be az fojtas_p.mdl modellfájlt, s a megnyíló modellablakban a fenti ábrán szemléltetett futtatható modell jelenik meg. Az FOJTÁS nevő színes hátterő blokk maga a modell, a többi a modellbemenetek generálását ill. a kimeneten adódó szimulációs eredmények megjelenítését/tárolását szol-gálja. A modell bemenetként alkalmazza a fojtás elıtti és utáni közegállapot értékeit, és ezekbıl meghatározza az elıjeles tömegáramot, továbbá áramlási iránytól függıen kimenı hımérsékletnek (Tki) veszi a bemenı hı-mérsékletek egyikét (Te, Tu). A FOJTÁS modell maszkolt, egyetlen paraméterének (K) megadása vagy a modell részleteinek megtekintése az elızıekben megismert módon történik. b.) Szabályozó szelep A szabályozó szelep egy olyan ellenállás, amelynél az áramlási keresztmetszet meghatá-rozott jelleg szerint változtatható, tehát végül is egy változtatható mértékő fojtás. A szele-pen áthaladó térfogatáram a következık szerint írható:

ρεβ p

AV∆= 2& , (5.18)

ahol 21 ppp −=∆ nyomásesés a szelepen, β átfolyási tényezı, ε expanziós szám (folya-dékra: 1=ε ) és )(yfA = átáramlási keresztmetszet a szelepben (ami az y szelephely-zet/szelepnyitás adott függvénye).

51

A szelepen való átáramlást – mint a fenti képlet mutatja – a nyitáson túlmenıen a nyo-máskülönbség szabja meg. Ha a különbözı szabályozó szelepek átáramlási kapacitását össze akarjuk hasonlítani, akkor az átáramló közeg minıségét (ez összefügg a ρ sőrőség-gel) és a nyomáskülönbséget rögzíteni kell, azaz az átáramlást ún. referencia feltételek mellett kell vizsgálni. Legyenek, egyelıre még konkrét számok nélkül, a referenciajellemzık: 00, p∆ρ . Ezekkel

az (5.18) szerint adódó 0V& térfogatáram:

VKp

AV =∆⋅=0

00 2

ρεβ& , (5.19)

amit szelepkoefficiensnek, átáramlási koefficiensnek, vagy egyszerően csak a szelep KV-tényezıjének nevezünk (az angolszász szakirodalom általában VC -vel jelöli).

A VK tehát mindig a referencia feltételek melletti térfogatáramot jelenti (dimenziója: m3/s

vagy m3/h), amely a szelepnyitás függvényében változó keresztmetszet (A) mellett csak konstans – nagyrészt a konstrukcióra jellemzı – adatokat tartalmaz, tehát csak a szelep-nyitás függvénye. A )(yfKV = függvényt alapátfolyási (vagy inherens) jelleggörbének

nevezik, amit a gyártóknak nyilvánosságra kell hozni (ez utóbbi miatt gyári jelleggörbé-nek is hívják). Az imént bevezetettVK definícióval fejezzük ki ismét a szelepen áthaladó áramokat:

térfogatáram: ρp

CKV V

∆= 0& , (5.20)

tömegáram : pCKm V ∆⋅= ρ0& , (5.21)

ahol

000 pC ∆= ρ (5.22)

a referencia feltételekkel származtatott konstans. Ismert (pl. mért) térfogat-áram/tömegáram és nyomáskülönbség adatokból, az utóbbi képletekbıl kifejezve, az alábbi módon számítható ki a szelep VK -je:

pC

m

pC

VKV ∆

=∆

=ρ

ρ 1

00

&&. (5.23)

A szabályozó szelepekre szokásos referencia feltételek:

− áramló közeg: 20 °C-os víz − 10000 =ρ (kg/m3)

− 10 =∆p bar,

melyekkel 63,311/10000 ==C . Fontos megjegyezni, hogy ez a konstans érték csak a

referencia adatokban alkalmazott mértékegységek mellett igaz, és ugyanezeket a mérték-egységeket kell alkalmazni a fenti képletekben szereplı ρ és p∆ jellemzıkre is. Ha a nyomást valamely ok miatt más mértékegységben használjuk (a referencia nyomáskülönb-

52

ség egyenértékő adatai: 10 =∆p bar = 0,1 MPa = 105 Pa = 1000 mbar), akkor – használva

az (5.22) képletet – a 0C konstans értéke is más lesz.

Gázok esetében egyrészt célszerő bevezetni az ún. normál állapot jellemzıit, másrészt fi-gyelembe kell venni, hogy a szelepen áthaladó áramot az ún. kritikus nyomásviszony alatt már nem befolyásolja a szelep utáni nyomás. Legyen a gáz normál állapotban érvényes sőrősége Nρ , a térfogatáramot pedig ekkor je-

lölje NV& . Ezekkel bármely állapotban:

ρρNNVV && = , (5.24)

melyben ideális gázra és izotermikus esetben (n = 1) a sőrőséget a következıképpen ír-hatjuk fel:

T

T

p

p N

NN ⋅⋅= ρρ , (5.25)

ahol pN és TN a normál állapotot definiáló nyomás és abszolút hımérséklet. Helyettesítsük be ezeket az (5.23) szerinti VK -képletbe, és ezzel gázra az alábbi számítási összefüggése-

ket kapjuk:

pp

T

C

VK N

N

NV ∆

⋅= ρ&, (5.26)

vagy ebbıl kifejezve, a térfogatáram normál állapotban:

T

ppCKV

NNVN ρ

∆=& , (5.27)

melyekben NNN pTCC 0= referencia-konstans normál állapotra.

Vezessük be a fenti képletekbe a 21 ppp −=∆ nyomásesés, és a ( ) 221 ppp += átlagos nyomás összefüggéseket, így

( )2121 1

2.

pp

T

pC

VK N

N

NV −

= ρ&, (5.26.a)

ill.

( )T

pppKCV

NVNN ρ2

1.

212

1

−=& . (5.27.a)

Az utóbbi átáramlási képlet azt mutatja, hogy a szelepen áthaladó áramot alapvetıen a nyitás mértéke ( )(yfKV = ) és a szelep elıtti nyomás (p1) határozzák meg, a szelep utáni

nyomás (p2) befolyása pedig annál gyengébb, minél kisebb az értéke.

53

Pontosításként vegyük figyelembe a legömbölyített nyíláson való kiáramlás (a szelep ilyennek tekinthetı) viszonyait: gázokra a kritikus nyomásviszony kb. 1/2, így a gyakor-latban a következı átáramlási formulákat használják: 5-1. táblázat. Átáramlási formulák gázra

Anyagáram Ha: 2

12

pp > vagy

21p

p <∆ Ha: 2

12

pp ≤ vagy

21p

p ≥∆

=NV& T

ppKC

NVN ρ

∆ (5.28.a)

TpKC

N

VN ρ2

11 (5.28.b)

=m& T

ppKC N

VN

∆ρ (5.29.a)

TpKC N

VN 21

ρ (5.29.b)

Végül konkrét számításhoz a NC értékét kell még tisztázni. Normálnak tekintjük itt a

0°C-os hımérséklettel és 760 Hgmm-es nyomással jellemzett állapotot, így TN = 273,15 K és pN = 1,01325 bar, melyekkel (és a korábban meghatározott 0C -val) a normál állapot

referencia-konstansa: 21,519=NC . Ha nem bar-ban, hanem Pa nyomásegységgel dolgo-

zunk, akkor 0051921,0=NC .

SZELEP szimulációs modell gázra Fentiek alapján alakítsuk ki a szabályozószelep szimulációs modelljét olyan módon, hogy az tegye lehetıvé a valóságos (vagy üzemi) szelep-jelleggörbe tanulmányozását is. A va-lóságos jelleggörbe a konkrét beépítési viszonyokra jellemzı átáramlási összefüggés, amit a legtöbb gyakorlati esetben a szabályozószeleppel sorosan megjelenı áramlási ellenállás-sal modelleznek. Az így kialakított rendszer vázlatát és jellemzıit szemlélteti az 5-7. ábra.

5-7. ábra. Szabályozó szelep és áramlási ellenállás (foj-tás) soros kapcsolata

A korábban vizsgált fojtás és a szelep összefüggései ((5.17) és (5.29.a) képletek) alapján, a rendszeren áthaladó tömegáramra a következı írható:

)((

2)2

ur

revN

VN ppT

pK

T

pppKCm −=

−=

ρ& , (5.30)

ahol 2/)( 2ppp ev += , 2/)( 2 ur ppp += átlagos nyomások, elıbbi a szelepen, az utóbbi

a fojtáson. A tömegáram számításához – mint a fenti képletbıl látható – ismerni kell a szelep és a fojtás közötti p2 nyomást, amit úgy határozunk meg, hogy az átlagnyomás de-finíciókat az (5.30) képletbe helyettesítjük, és abból a

y

∆pv ∆pr

(szelep) (fojtás)

pe= p1 p2 pu

Te Tu

m.

54

2

222

2 1 V

ueV

K

ppKp

αα

++= (5.31)

összefüggést kapjuk, melyben RrCKC NNrNN ρρα 22 == .

A fenti egyenletek alapján összeállított szimulációs modell az 5-8. ábrán látható.

y

pe(Pa)

M(kg/s)

dpszelep

Tki(C)

(pe-pu)

y(%)

[pe,Te]

[pu,Tu]0.998e5

pu(Pa)

1e5

pe0

1/s

intdy

100

Tu(C)

youtTo Work-space

50

Te(C)Szelep-G

Sum1

Sum

SignalGenerator

Scope

Sat

Mux

Mux1

Mux

Mux

-K-

-K-

Gain

5-8. ábra. Szabályozószelep Simulink-modellje gázra

A Matlab programban hívjuk be a szelep_p.mdl modellfájlt, s a megnyíló modellablakban a fenti ábrán szemléltetett futtatható modell jelenik meg. Az Szelep-G nevő színes hátterő blokk maga a modell, a többi a modellbemenetek generálását ill. a kimeneten adódó szimulációs eredmények megjelenítését/tárolását szol-gálja. A modell bemenetként alkalmazza a rendszer elıtti ([pe, Te]) és utáni ([pu, Tu]) közegállapot értékeit, és ezekbıl meghatározza a szelep nyomásesését (dpszelep), az elıjeles tömegáramot (M), továbbá áramlási iránytól függıen kimenı hımérsékletnek (Tki) veszi a bemenı hımérsékletek egyikét (Te, Tu). A Szelep-G modell maszkolt, paramétereinek megadása vagy a modell részleteinek megtekintése az elızıek-ben megismert módon történik.

5.2. Összetett folyamatok modelljei

Az összetett folyamat kategóriában elıbb olyan modelleket mutatunk be, amelyeknél a fenti-ekben megismert modellelemeket használjuk a bonyolultabb rendszer szimulációs modelljé-nek kialakítására, majd olyan összetett folyamatokat vizsgálunk, melyeknél már a Matlab/Simulink nyelv fejlettebb és hatékonyabb lehetıségeit alkalmazzuk. 5.2.1. Koncentrált paraméterő „ Tároló+Fojtás” rendszer modellje Az 5-1. ábrán bemutatott rendszer a címben megjelölt modellezési probléma, amely két egy-más utáni elemi folyamatból, tárolóból és fojtásból áll. A fizikai modell szimbolikus ábrája és jellemzıi láthatók az 5-9. ábrán, ahol ugyanazokat a jelöléseket alkalmaztuk, mint az egyes elemek modelljeinek tárgyalásánál.

55

5-9. ábra. Tároló+Fojtás rendszer vázlata és jellemzıi

A szimulációs modellt, amit az 5-10. ábra mutat, az elıbbiekben kidolgozott TÁROLÓ és FOJTÁS modulokból állítjuk össze a megfelelı be- és kimenetek összekapcsolásával.

pki,Tki*

M,p,T

pbe,Tki*

MkiTki

T

pki

Tki

MkiTkipbeTki*MpT

0.999e5

pu

dT

dM

20

Tu

ki

To Works.

20

Tbe

TÁROLÓ

SzimultánTároló

Sum1

Sum

Scope1

Scope

0

Qbe

Mux

Mux

Mux3

Mux

Mux

30

Mbe,o

-K-

Gain

FOJTÁS

Demux

Demux

5-10. ábra. A Tároló+Fojtás rendszer Simulink-modellje

A Matlab programban hívjuk be a tarfoj_p.mdl modellfájlt, s a megnyíló modellablakban a fenti ábrán szemlél-tetett futtatható modell jelenik meg. A színes hátterő blokkok a modell építıelemei, a többi a modellbemenetek generálását ill. a kimeneten adódó szimulációs eredmények megjelenítését/tárolását szolgálja. A fojtáson áthaladó anyagáram a tárolóból kilépı áram (lásd 5-9. ábra), tehát az [Mki, Tki] visszacsatolódik a tá-roló megfelelı bemenetére. Ugyanakkor a tároló [pki, Tki*] kimenete azonos a közeg [pe, Te] fojtás elıtti állapotá-val, tehát a fojtás-modell elsı bemenetére csatlakozik.

5.2.2. Hıcserélı koncentrált paraméterő modellje A hıcserélıben két különbözı állapotú közeg kapcsolódik össze csıfalon keresztül (5-11. ábra). Ha a koncentrált paraméterő dinamikai vizsgálat mellett döntöttünk, akkor érdektelen a közegek áramlási iránya. A szimulációs modell kialakításához elıbb tekintsük át a berendezés folyamatainak fizikai modelljét, aminek szimbolikus vázlata az 5-12. ábrán látható. Ennek alapján ugyanis könnye-dén kialakíthatjuk a szimulációs modellt.

pϑV

bQ&

k

km

ϑ&

bm&pb

ϑb

pk

ϑk*

pe

ϑe

pu

ϑu

TÁROLÓ

FOJTÁS

56

5-11. ábra. A hıcserélı elvi vázlata és jellemzıi

A közegáramok útjában általánosan anyag- és energiatárolást valamint áramlási ellenállást feltételezünk (lásd az elıbbiekben bemutatott Tároló+Fojtás modellt), ahol a 11,ϑp az 1-es

(hıleadó) közeg nyomása és átlagos hımérséklete a tárolóban, míg 22 ,ϑp ugyanezek a 2-es, tehát a hıfelvevı közeg tárolójában. Az átadott hıáram útjában hıellenállások ( 111 Fα a hıleadó

oldalon, és 221 Fα a hıfelvevı oldalon) és a

szerkezeti anyag hıkapacitása ( falϑ hımérsékle-

ten) játszik szerepet a dinamika alakításában. 5-12. ábra. A hıcserélı fizikai modellje

Az ismert elemekbıl (modulokból) felépített szimulációs modellt az 5-13. ábrán láthatjuk, ami egyértelmően tükrözi az elıbbi fizikai modellben definiált struktúrát. A Matlab programban hívjuk be a hocserel.mdl modellfájlt. A megnyíló modellablakban az egyetlen színes hát-terő blokk (Hıcserélı) a hıcserélı modellje, a többi a modellbemenetek generálását ill. a kimeneten adódó szi-mulációs eredmények megjelenítését/tárolását szolgálja. A Hıcserélı-re kattintva az egér bal gombjával, feltárul az 5-13. ábrán látható struktúra, benne a szükséges elemi folyamatok (tároló, fojtás, hıcsere) a megfelelı ki-bemeneti kapcsolatokkal. Minden elemi folyamat-modell – ahogy azt korábban megismertük – maszkolt, és ezek menüjében lehet megadni a rendszer ill. a dinamikai modell paramétereit.

1bm&

1bϑ

1km& 1kϑ

1ϑ

2ϑ

2bm&

2bϑ

2km&2kϑ

falϑ

p1ϑ1

ϑfal

b 1

b 1m

ϑ&

11Fα1

2Q&

1Q&

p2ϑ2

u 1

u 1p

ϑ

b 2

b 2m

ϑ&

u 2

u 2p

ϑk 2k 2

mϑ,&

22Fα1

k 1k 1m

ϑ,&

Tár

oló+

Foj

tás

Tár

oló+

Foj

tás

Hıcs

ere

1

2

"1"-es áramló közeg (Hıleadó)

"2"-es áramló közeg (Hıfelvevı)

57

[Mki2,Tki2]

p2

[M2,p2,T2]

[pe1,Te1]

[pe2,Te2]

[pbe2,Tki*2]

[Mbe2,Tbe2]

[pu2,Tu2]

[pu1,Tu1]

[Mbe1,Tbe1] p1[M1,p1,T1]

[Mki1,Tki1]

[pki1,Tki*1]

[pki2,Tki*2]

[pbe1,Tki*1]

T falQb1

Qb2

9

out_9_

8

out_8

7

out_7

6

out_6

5

out_5

4

out_4

3

out_3

2

out_2

1

out_1

TÁROLÓ

SzimultánTároló2

TÁROLÓ

SzimultánTároló1

Mux

Mux5

Mux

Mux4

Mux

Mux3

Mux

Mux2

Mux

Mux1

Mux

Mux

HÕCSERE

Fal-Hõcsere

FOJTÁS2

FOJTÁS1

Demux

Demux1

Demux

Demux

8

in_8

7

in_7

6

in_6

5

in_5

4

in_4

3

in_3

2

in_2

1

in_1

5-13. ábra. A hıcserélı Simulink modelljének struktúrája

5.2.3. Gıztermelési folyamat dinamikájának modellje A gıztermelı berendezések (kazán, atomerımővi gızfejlesztı) dinamikai viselkedésének meghatározó része a gızfejlesztési folyamat, melyben a víz, a gız és ezek keveréke telített állapotban van jelen. A telített állapotú közeg olyan anyag- és energiatároló, amelyben a nyomásváltozás hatására nemcsak a tárolt energiatartalom, hanem a fázisarányok változása révén a tárolt anyagtartalom is megváltozik (szimultán anyag- és energiatárolás 2-fázisú kö-zegben). A szóban forgó folyamatot nyomásfüggı energiatárolásnak is nevezik.

hGm ′′,&

GQ&T

T

h

m&

EG

Dob

GQ&

T

T

h

m&

hGm ′′,&

Szekunderoldal

Primervíz

a.) b.)

5-14. ábra. A gızfejlesztés sémája és jellemzıi kazánban (a) és atomerımőben (b)

Az 5-14. ábrán szemléltetjük az erımővi gıztermelés két gyakori megoldásának vázlatát. Az elsı részleten (a) dobos gızkazánban történı gıztermelés szőkebb környezete látható. Itt a elgızölögtetı felület (EG) csöveiben áramló gız-vízkeverékbe vezetett hıteljesítmény ( GQ& )

fejleszt gızt, ami a dob gızterébıl száraz telített gızként (jellemzıi: hmG ′′,& ) lép ki a túlhevítı

58

felé. A rendszerbıl kilépı közegáramot a dobba bevezetett tápvíz (jellemzıi: TT hm ,& ) pótolja. Míg az EG-ben gız-vízkeverék áramlik, addig a dobban jól különválasztott gıztér (felül) és víztér (alul) van. A második változat (b) nyomottvizes reaktorral mőködı atomerımő gızfejlesztıjét mutatja. A primer oldalról átadott hı ( GQ& ) a szekunder oldal víztartalmából fejleszt gızt, ami a gıztér-

bıl telített gızáramként ( Gm& ) lép ki. A mért vízszint alatt víztér, felette gıztér van, de a víztér

(ellentétben a kazándobbal) mindig kétfázisú, hiszen itt keletkezik a gız. Lényegében hasonló folyamattal találkozhatunk a nagyvízterő kazánoknál, vagy a Sulzer-féle kazánok leválasztó edényénél is. Meghatározott célú dinamikai vizsgálatra (pl. szabályozásdinamika) a bemutatott két külön-bözı berendezés folyamatait azonos elvi alapokra vezethetjük vissza, ha az ellenırzı felület-tel (az ábrán lásd a szürke hátteret) körülhatárolt rendszerben (térfogatokban) helytıl függet-len homogén közegállapotot feltételezünk (koncentrált paraméterő felfogás). Az ilyen – a konkrét kialakítástól már független – tároló szimbolikus ábráját, anyag- és energiaáramait szemlélteti az 5-15. ábra.

h" Gm ,&

T

T

h

m&GQ&

V'

V"p

5-15. ábra. Telített kétfázisú közeggel kitöltött szimultán tároló

Ebben az elvi tárolóban már nincs elkülönített víztér és gıztér, hanem csak homogén telített gız-víz keverék, melynek termodinamikai állapotát alapvetıen (de nem egyedül) a p nyomás határozza meg. Az ábrán ennek ellenére jelzett szétválasztás (V’: vízfázis térfogata, V” : gız-fázis térfogata) csupán arra utal, hogy a

állandó=′′+′= VVV (5.32) teljes tárolótérfogatban lévı keverék egy része (V’) telített víz, másik része (V” ) telített gız. A tároló V térfogatába belépnek az Tm& tápvízáram (kg/s) Th entalpiával és a GQ& gızfejlesz-

tésre fordított hıteljesítmény, és a tárolóból kilép az Gm& gızáram (kg/s) h ′′ entalpiával. Ezek-

kel a tárolóra a következı kiinduló instacionárius mérlegeket írhatjuk fel:

• Anyagmérleg: GT mmdt

dm&& −= , (5.33)

ahol ρρρ ′′′′+′′== VVVm , a V térfogatban tárolt tömeg; (5.34)

• Energiamérleg: hmhmQdt

dQGTTG ′′−+= &&& , (5.35)

ahol uVuVmuQ ′′′′′′+′′′== ρρ , a V térfogatban tárolt hıenergia. (5.36) A fentiekben ρ ′ és u’ a telített víz, ρ ′′ és u” a telített gız sőrősége és fajlagos belsı energiája. A szimulációs modell közvetlen alapjául szolgáló állapotegyenleteket (az állapot szó itt a rendszerállapotra utal) az elıbbi egyenletek kifejtésével alakítjuk ki.

59

a.) Az anyagmérleg átalakítása Az (5.34) behelyettesítése, majd a differenciálás elvégzése után a tárolt tömeg változása:

( )dt

dV

dt

Vd

dt

dV

dt

VdVV

dt

d

dt

dm ρρρρρρ ′′′′+′′′′+

′′+′′=′′′′+′′= .

Az (5.32) értelmében dV = 0 (tehát dV” = -dV’ ), továbbá )( pρρ ′=′ és )( pρρ ′′=′′ , melye-ket az elıbbi egyenletbe beírva, rendezés után az alábbi adódik:

( )dt

dp

dp

dV

dp

dV

dt

Vd

dt

dm

′′′′+′′+

′′′−′= ρρρρ .

Végül ez utóbbi összefüggést az (5.33) baloldalába helyettesítjük, és kifejezzük a vizsgált probléma egyik állapotváltozójának deriváltját. Korábban már szóba hoztuk a p nyomást, mint állapotváltozót, ezt azonban – bár elvileg mindegy – célszerőbb az energiamérleghez kap-csolni. A telített keverékben a másik állapotváltozó valamilyen módon a fázisok arányát mu-tatja meg, s erre itt a V’-t használjuk. Ennek megfelelıen

⋅

′′′′+′′−−

′′−′=

′dt

dp

dp

dV

dp

dVmm

dt

VdGT

ρρρρ

&&)(

1. (5.37)

b.) Az energiamérleg átalakítása Helyettesítsük az energiamérlegbe az (5.36)-t, és vegyük figyelembe, hogy ρ ′−′=′ phu és

ρ ′′−′′=′′ phu . Ezekkel az energiamérleg baloldala rendezés után:

( )pVhVhVdt

d

dt

dQ −′′′′′′+′′′= ρρ .

Vezessük be a fenti egyenletbe a telítési állapot )( pρρ ′=′ , )( pρρ ′′=′′ , )( phh ′=′ és

)( phh ′′=′′ függvényeit, majd végezzük el a differenciálást, és ezután az energiamérleg baloldalára a következı rendezett formát nyerjük (figyelembe veendı itt is, hogy dV = 0):

dt

dp

dp

hd

dp

dhV

dp

hd

dp

dhV

dt

Vdhh

dt

dQ ⋅

−

′′′′+′′′′′′+

−

′′+′′′+

′⋅′′′′−′′= 11)( ρρρρρρ .

E legutóbbi összefüggést tegyük az (5.35) egyenlet baloldalába, majd a dV’/dt helyébe írjuk be az (5.37) képletet és rendezzünk dp/dt-re. Így a következı, második, állapot-differenciál-egyenletet kapjuk:

−⋅

−′−−′′

⋅′′′

+⋅

′′′

−= GTTTG

s

mmr

hh

r

hh

r

Q

Cdt

dp&&

&

ρρ

ρρ

11

, (5.38)

ahol

60

′′+

−

′′′′

′′′

−⋅′′+

′⋅

′′′

+

−

′′

′′′

−⋅′=dp

d

dp

hd

rV

dp

d

dp

hd

rVCs

ρρρρρ

ρρρ

ρρ

111

111

(5.39)

energiatárolási állandó, melyben az egyes fázisok aktuális térfogatain túlmenıen csak az el-gızölgési (telítési) nyomástól (p) függı termodinamikai jellemzık szerepelnek. Így a tárolási állandó fenti képletét az alábbi alakban is írhatjuk:

)()()( pbVVpaVCs ⋅′−+⋅′= , (5.39.a)

melyben

a(p) a telített víz nyomásfüggı relatív tárolási állandója, b(p) a telített gız nyomásfüggı relatív tárolási állandója.

A relatív tárolási állandók értéke tehát csak a telítési nyomástól függ, amint ez 20-180 bar tar-tományra kiszámítva az 5-16. ábrán látható.

5-16. ábra. A relatív tárolási állandók a nyomás függvényében

Az (5.37) és (5.38) kapcsolt nemlineáris differenciálegyenletek képezik a gızfejlesztés szi-mulációs modelljének közvetlen alapját. Látható, hogy az egyenletek együtthatói (sC , ρρ ′′′ /

stb.) a megoldással kapott állapotváltozók (V’, p) függvényei, tehát a szimuláció során ezek folyamatos újraszámításáról is gondoskodni kell. Érdemes megjegyezni, hogy a szimulációs modellben a Cs tárolási állandó számítására nem célszerő közvetlenül az (5.39) képletet hasz-nálni, mivel ez a szimulációs idıt jelentısen megnövelné (ekkor ugyanis több termodinamikai függvényt kellene minden idılépésben behívni). Sokkal jobb, ha az (5.39.a) szerinti formulát használjuk, amelyhez az a(p) és b(p) relatív tárolási állandókat – az elıbbi ábrából (ill. az (5.39)-el elıre kiszámított értékekbıl) származtatott – viszonylag egyszerő approximáló függvényekre alapozva határozzuk meg. A fent tárgyalt részfolyamat (gızfejlesztés telített közegben) szimulációs szemléltetéséhez célszerő a rendszert olyan értelemben kibıvíteni, hogy azzal akár egy valóságos kazán – pl. méréssel is megfigyelhetı – folyamatait lehessen vizsgálni, s így a szimulációs eredményeket

61

a valóságos fizikai képpel összevetni. Ezt a bıvített rendszert szemlélteti fizikai modelljével együtt az 5-17. ábra.

ϑfal

T

Tm

ϑ&

EGQ&

GQ&

p tup

Gtum&hm ,G ′′&

Túlhevítı+gızvezeték(fojtás+tároló)

Ftϑ

pd

tuy

Szabályozószelep

Telített gız-víz-keverék

Hıcs

ere

az E

G-f

alon

át

Tőztér:

a.) b.)

hmG′′,&

EG

Dob

T

Tm

ϑ&

tupGtum&

Ftϑ

tuy

dp

TH p

5-17. ábra. Gızkazán vázlata (a) és a gıztermelés fizikai modellje (b)

A kazánban a füstgázoldal jelenségeit most nem vizsgáljuk, a tőztérben lévı füstgáz átlaghı-mérsékletét (ϑFt), amely bizonyos egyszerősítı feltételek mellett a tőztéri felületek (EG) felé való sugárzásos hıátadás szempontjából meghatározó, ismertnek (tehát bemenıjelként) ke-zeljük. A tőztéri átlaghımérséklet változását a tüzelési teljesítmény, ezen belül elsısorban a kazánba vezetett tüzelıanyag-áram megváltozására vezethetjük vissza. A kazán főtıfelületei (az a. ábrarészen látható szürke háttér füstgázzal kitöltött ill. átáramol-tatott részekre utal) az elgızölögtetı (EG), amely a dobbal együtt telített közeget tartalmazó tároló, és a túlhevítı (TH), aminek gızvezetékekkel együtt értelmezett térfogatát túlhevített gız tölti ki. Ez utóbbi felületben/térfogatban nem a termikus jelenségeket, hanem csak a megtermelt gıznek ellenálláson és anyagtárolón keresztül végbemenı kiáramlását vizsgáljuk egy adott állandó hımérséklet mellett. Az elgızölgéssel kapcsolatban pedig nemcsak a mun-kaközeg – fentebb tárgyalt – dinamikáját vesszük figyelembe, hanem az EG szerkezeti anya-gában lejátszódó hıtárolást is. Végül a vizsgált rendszer utolsó eleme a turbina (vagy más gızfogyasztó) szabályozó szelepe (helyzete: ytu, rajta áthaladó gızáram: Gtum& ), ami a fogyasz-

tói igény változtatásának lehetıségét kapcsolja be a modellezés problémakörébe egy megadott ptu turbinaoldali (pl. a turbinába belépı) nyomás mellett. A b. részen látható fizikai modell szemléletesen tükrözi a fent elmondottakat és megmutatja a korábban megismert egyszerő vagy összetettebb folyamatelemeket (a határokat különbözı sötétségő szürke hátterek jelzik, feltüntetve ezekhez az egyes részfolyamatok elnevezéseit). A tőztér felıl indulva és követve a teljesítmény-folyam irányát, elıbb az EG csıfalon keresztül megvalósuló hıcsere látható a csıanyag hıtárolásával (hımérséklete: ϑfal) és két (füstgáz- és a gızoldali) hıellenállással modellezve. Ezután következik a telített gız-vízkeverék szimultán anyag- és energiatárolása (jellemzıje itt a pd dobnyomás, ami egyben elgızölgési nyomás is), végül a pd nyomáson megtermelt gızáram ( Gm& ) fojtáson, anyagtárolón és szabályozó szele-

pen keresztül áramlik a fogyasztóhoz. A koncentrált paraméterő felfogás miatt a fojtás a TH és a gızvezeték teljes áramlási ellenállását képviseli, hasonlóképpen az ezekhez tartozó teljes

62

térfogat lesz az anyagtároló (összenyomható közeggel kitöltött izotermikus anyagtárolás, jel-lemzıje a p kilépı nyomás v. frissgız-nyomás). Az ismertetett rendszerhez fejlesztett Simulink-modellt mutatja az 5-18. ábra, amely az eddig megszokott be-kimeneti blokkokhoz képest további rendszer-kiegészítéseket is tartalmaz. A Gızoldal nevő blokk (narancs-sárga) tartalmazza a fentebb ill. korábban ismertetett matemati-kai összefüggéseket az 5-17/b. ábra szerinti modellfelfogáshoz, de nem a fizikai modell által „sugallt” (tehát a korábban kidolgozott, megfelelı részfolyamat-modellek összekapcsolására alapozott) struktúrában. A folyamatmodell fontos kiegészítése két kimenı jellemzı szabályozási lehetıségének be-építése (a szabályozószervek modellelemei zöld színőek): egyik a telített zónákban lévı víz-fázis térfogatának (V’ = Veg1) szabályozása, másik a kazánból kilépı gız (frissgız) nyomásá-nak (p = pfriss) szabályozása. Az elıbbi szabályozás fiktív, mert a V’ változása a kazándobban mérhetı vízszint változására legfeljebb csak tendenciájában jellemzı. Az utóbb említett nyo-másszabályozás viszont a gızkazánok valós és egyik legfontosabb szabályozási feladata.

Tfüst

MgtuMtap

Mtáp

ytu(%)

TEGf

pfriss

pdob

TFt

A kazán gõzoldali modellje ("goz_k1.mdl" file)

Veg1

0.85

ytu,o ytu

90

ptu

95 pfris,o

1200

htápdytu

dpfris

dTFt

dMtap

PID

Víztérfogatszabályozó

17.5 Veg1,o

Yki

To Workspace

540

Tgõz

Scope

PID

Nyomásszabályozó

Mux

Mux1

Mux

Gõzoldal

-K-

39.47

1169.74

Clock

5-18. ábra. A szabályozásokkal kiegészített kazánmodell szimulációs realizálása A Matlab programban elıször futtassuk a goztest.m nevő script fájlt. Ez a futtatás biztosítja a kazánmodellhez a konstans adatokat, megadja a matematikai modell kezdeti feltételeit és behívja goz_k1.mdl modellfájlt, ami gra-fikusan az 5-18. ábrán látható. Természetesen a goz_k1.mdl modell az említett script fájl futtatása nélkül is be-hívható, azonban ekkor a modellt a hiányzó adatok miatt nem lehet futtatni.

63

A szabályozók (PID) maszkolt blokkok, paramétereiket a bal egér-kattintásra megnyíló ablakban lehet megadni, felépítését a Look Under Mask menüponttal (jobb gomb) tekinthetjük meg. A Gızoldal blokkra kattintással feltárul az 5-19. ábrán látható struktúra. Látható, hogy itt - a viszonylag bonyolult folyamat és matematikai összefüggés-rendszer ellenére - egy rendkívül egyszerő modellkoncepciót alkalmaz-tunk: a szimulációs modell lényegében csak két blokkot tartalmaz, egymással megfelelı módon kapcsolva (Fontos megjegyezni: más megoldás is lehetséges!). Az egyik blokk (S-Function) a matematikai modell differen-ciálegyenleteinek megoldását végzi, melyhez az egyenleteket speciális függvényként (ode_k1G) kell megadni. A másik blokk (MATLAB Function) a matematikai modell változó paramétereinek folyamatos újraszámítását végzi; ezeket a nemlineáris algebrai összefüggéseket problémánkban a nae_k1G függvény fogalmazza meg. Az ode_k1G.m és a nae_k1G.m fájlok kialakítását érdemes megtekinteni és tanulmányozni. Az ode_k1G kimeneti egyenleteiben szerepelnek olyan paraméterek is, amiket a nae_k1G–ben számítunk ki, s ez a megoldásban az ún. algebrai hurok kialakulásához vezet. Ezt (s ezzel az iteratív megoldást) elkerülendı, egy számítási lépést késleltetı blokkot (Memory) kell az ode_k1G és a nae_k1G közé beépíteni (az iteratív megoldás a szimulációs idıt irreálisan megnövelné).

Tsr

rothroG

CEGCthpsi

TEGf

pdob

p

MGtu

Veg1

A 'Gõzoldal' belsõ felépítése

TEGfpdob

pVeg1

5

out_5

4

out_4

3

out_3

2

out_2

1

out_1

MATLABFunction

nae_k1G

ode_k1G

S-Function

Mux

Mux1

Mux

Mux

Memory

313.2

1306

32.85

27.11

39.84

3.841

0.107

Display

Demux

Demux

6

in_6

5

in_5

4

in_4

3

in_3

2

in_2

1

in_1

5-19. ábra. A kazánmodell belsı struktúrája

A szimulációs modell az eredmények megjelenítésének/rögzítésének többféle módját is tartalmazza. A szimulá-ció alatti számszerő kijelzésre Display, az idı függvényében való megjelenítésre Scope blokkokat alkalmaztunk. Ezzel együtt az összes fontos jellemzıt tároljuk az Yki tömbben (To Workspace), amelybıl szimuláció utáni, tet-szıleges kiértékelés lehetséges. Erre példaként a rajzol.m script fájlt kínáljuk, amely - szimuláció után Matlab területen lefuttatva - meghatározott formában ábrázolja a szimulációs eredményeket. A szóban forgó szimulációs modell számos kísérleti vizsgálatra nyújt lehetıséget, ráadásul a rendszer bármely munkapontjában, mivel a folyamatmodell nemlineáris. Vizsgálhatjuk a rendszert szabályozással (esetleg külön-bözı behangolások mellett), vagy csak az egyik szabályozással, vagy szabályozás nélkül csupán a tiszta folya-matviselkedést (szakaszdinamika beavatkozásra és zavarásra). De lehetséges a konstans rendszerparaméterek (kazánadatok) megváltoztatásának kihatásait tanulmányozni a rendszertulajdonságokban ill. a dinamikai viselke-désben. Egyensúlyi munkapont, lineáris modell Adott munkapont szőkebb környezetében történı vizsgálatra esetleg célszerőbb lehet (pl. mert sokkal gyorsabb) lineáris modell alapján végezni a szimulációt. Ehhez azonban nem kell külön kidolgozni a lineáris modellt, ha-nem a Matlab-ban - amint korábbi tanulmányainkból tudjuk – a már meglévı nemlineáris modellbıl a trim uta-sítással kiszámíthatjuk a jellemzık egyensúlyi (munkaponti) értékeit, majd a linmod utasítással meghatározhatjuk a lineáris modell {A, B, C, D} együttható-mátrixait (állapottér modell). A tárgyalt kazánmodellre (goz_k1), a goz_lin.m fájl – Matlab munkaterületen futtatva – kiszámítja az egyensúlyi munkapontot, meghatározza az e munkapontban érvényes lineáris modellt, majd ennek alapján adott bemenıjel mellett elvégzi a szimulációt (lsim utasítás) és az eredményeket idıfüggvények formájában ábrázolja.