Bölüm 4 Paranın Zaman Değeri

1Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri

Bölüm 4Paranın Zaman Değeri

• Faiz: Paranın maliyeti

• Ekonomik Eşdeğerlik

• Faiz Formülleri• Özel Eşdeğerlik

Hesaplamaları


Örnek Karar Problemi 1987 yılında $1.3

milyon bir piyango ikramiyesi kazanmış olalım. İkramiye 20 yılda $65,277 eşit taksitlerde ödenecektir. 1995 yılında geriye kalan 9 yıllık ödemenin her yıl yarısına karşılık($32,639) bir defada $140,000 toplu ödeme tercihi önümüze sunulmuş olsun.

Bu tercih seçilmeli midir?


Yıl Taksitler Yıl Taksitler Azalan

Ödeme

1988 $65.277 1995 $65.277 $32.6391989 65.277 1996 65.277 32.6391990 65.277 1997 65.277 32.6391991 65.277 1998 65.277 32.6391992 65.277 1999 65.277 32.6391993 65.277 2000 65.277 32.6391994 65.277 2001 65.277 32.639

2002 65.277 32.6392003 65.277 32.6392004 65.2772005 65.2772006 65.2772007 65.277

Tercihlerin Değerlendirilmesi

$140,000 toplu

ödeme(şimdi)


Neleri Bilmememiz Gerekiyor?

Bu tür karşılaştırmalar yapabilmek için, paranın değerini farklı zaman noktalarında karşılaştırabilmemiz gerekir.

Bunun için, para giriş ve çıkışlarını tek bir zaman noktasında değerlendirmemiz gerekmektedir.


Paranın Zaman Değeri

Paranın zaman değeri vardır, çünkü para zaman içerisinde daha fazla para kazandırabilir(kazanma gücü).Paranın zaman değeri faiz oranı cinsinden ölçülür.Faiz paranın maliyetidir. Borç alan için maliyet, borç veren için ise kazanç tır.


Geri Ödeme PlanlarıYıl Sonu Borç Ödemeler

Plan 1 Plan 2

Yıl 0 $20,000.00 $200.00 $200.00

Yıl 1 5,141.85 0

Yıl 2 5,141.85 0

Yıl 3 5,141.85 0

Yıl 4 5,141.85 0

Yıl 5 5,141.85 30,772.48

P = $20,000, A = $5,141.85, F = $30,772.48


Nakit Akışı Diyagramı


Faiz Hesaplama Yöntemleri• Basit faiz: sadece başlangıçtaki ana paraya

faiz uygulanması• Birleşik faiz: başlangıçtaki ana paraya ve

önceki ödenmemiş birikimli faize faiz uygulanması

ÖRNEK $1000 parayı %8 yıllık bileşik faziden

bankaya yatırmış olalım. Yıl sonunda kazanılan faiz çekilmeyerek faizin birikmesi düşünülmektedir. Bu şekilde devam edildiğinde 3 yıl sonunda bankadaki para ne kadar olur?


Basit Faiz

• P = ana para• i = faiz oranı• N = periyot sayısı• Örnek:

– P = $1,000– i = %8– N = 3 yıl

Yıl Sonu

Başlangıç Bakiye

Faiz Sonuç Bakiye

0 $1,000

1 $1,000 $80 $1,080

2 $1,080 $80 $1,160

3 $1,160 $80 $1,240


Bileşik Faiz

• P = Ana para• i = Faiz oranı• N = Vade• Örnek:

– P = $1,000– i = %8– N = 3 yıl

Yıl Başlangıç Bakiye

Biriken Faiz

Yıl Sonu Bakiye

0 $1,000

1 $1,000 $80 $1,080

2 $1,080 $86.40 $1,166.40

3 $1,166.40 $93.31 $1,259.71


Basit ve Bileşik Faiz Karşılaştırması


Ekonomik Eşdeğerlik

• Ekonomik eşdeğerlik, iki nakit akışının aynı ekonomik etkiye sahip olması ve bu yüzden birbiriyle değiştirilebilmesidir.

• Nakit akışındaki miktarlar ve zamanlar farklı olmasın rağmen, uygun bir faiz oranı iki nakit akışını birbirine eşit yapar.


• Eğer P kadar para şimdi N dönem için i faizinden yatırılırsa, N dönem sonra F kadar para elimize geçecektir.

• N dönem sonraki F kadar para şimdiki P kadar paraya eşdeğer olmaktadır. Para kazanma gücümüz i faiz oranı ile ölçülmektedir.

N

F

P

0

NiPF )1(

NiFP )1(


$20,000 Banka Kredisi Ödeme Planları

Geri ödemeler

Plan 1 Plan 2 Plan 3

Yıl 1 $5,141.85 0 $1,800.00

Yıl 2 5,141.85 0 1,800.00

Yıl 3 5,141.85 0 1,800.00

Yıl 4 5,141.85 0 1,800.00

Yıl 5 5,141.85 $30,772.48 21,800.00

Toplam ödeme $25,709.25 $30,772.48 $29,000.00

Toplam ödenen faiz

$5,709.25 $10,772.48 $9,000.00


Örnek 4.3

• Size bugün için P dolar ödeme veya 5 yıl sonunda $3000 ödeme alternatifleri sunulmuş olsun. Şu anda paraya ihtiyacınız olmadığı için size verilen P doları %8 yıllık faizle bankaya yatırmaya karar vermiş olun. Hangi P miktarı sizin için bu iki alternatif ödeme planını eşdeğer yapacaktır?


Örnek 4.3 Eşdeğerlik


İki Nakit Akışının Eşdeğerliği

• Adım 1: Dönem sayısını belirleyiniz, örn: 5 yıl.

• Adım 2: Hangi faiz oranını kullanacağınızı belirleyiniz.

• Adım 3: Eşdeğerlik değerini hesaplayınız.

$3,000$2,042

50

i F

i F

i F

6%, 042 1 0 06 733

8%, 042 1 0 08 000

10%, 042 1 0 10

5

5

5

$2, ( . ) $2,

$2, ( . ) $3,

$2, ( . ) $3,289


Örnek 4.4

• Örnek 4.3’de, 5 yıl sonra $3000 almanın %8 faiz oranı esas alındığında şimdi alınan $2,042 eşdeğer olduğunu hesapladık. Bu iki nakit akışı acaba 3. yılın sonunda da eşdeğer midir?


“Eşdeğer Nakit Akışları Herhangi Bir Zaman Noktasında Eşdeğerdir”


Örnek 4.5

• Örnek 4.3’de, 5 yıl sonra $3000 almanın %8 faiz oranı esas alındığında şimdi alınan $2,042 eşdeğer olduğunu hesapladık. Bu iki nakit akışı faiz oranı %10 olsaydı, hala eşdeğer olur muydu?

F=$2,042(1+0.10)5 = $3,289


Örnek 4.6 • Bir bankadan %10 yıllık faizle 3 yıl vadeli kredi almış

olun. Banka iki farklı ödeme opsiyonu sunmaktadır:

1. Her bir yılın faiz ödemesini o yılın sonunda yapma ve ana parayı 2. ve 3. yılın sonunda ödeme

2. Tüm krediyi (faiz ve anapara) 3. yılın sonunda toplu ödeme.

• Bu durumda, opsiyonlar için ödeme planları:

Opsiyonlar Yıl 1 Yıl 2 Yıl 3

Opsiyon 1 $100 $100 $1100

Opsiyon 2 $0 $0 $1331


Örnek 4.6: Çoklu Ödemeli Eşdeğerlik Hesabı3 1

3

3 23

3 33

$100 için =1: $100(1 0.10) $121

$100 için =2: $100(1 0.10) $110

$100 için =3: $100(1 0.10) $100

F n

F n

F n


Nakit Akışı Türleri

• Tek nakit akışı• Eş (uniform)

ödeme serisi• Doğrusal artımlı

seri• Geometrik

artımlı seri• Düzensiz

ödemeli seri


Örnek 4.7

• Eğer $2000 şimdi %10 faizle yatırsanız 8 yıl sonra değeri ne olurdu?


Tek Nakit Çıkışlı Formül

• Tek ödeme, bileşik faiz, gelecek değer

• Verilen:

• İstenen:

P

F

N

0

F P i

F P F P i N

N

( )

( / , , )

1

i

N

P

10%

8

000

years

$2,

F

F P

$2, ( . )

$2, ( / , )

$4, .

000 1 010

000 10%,8

28718

8


Örnek 4.8

• 5 yıl sonra elimize $1000 geçmiş olsa, %12 yıllık faiz ile bu paranın bugünkü değeri nedir?


Tek Nakit Girişli Formül

• Tek ödeme, bileşik faiz, şimdiki değer

• Verilen:

• İstenen:

P

F

N

0

P F i

P F P F i N

N

( )

( / , , )

1

i

N

F

12%

5

000

years

$1,

P

P F

$1, ( . )

$1, ( / , )

$567.40

000 1 0 12

000 12%,5

5


Örnek 4.9

• Şimdi $10 aldığınız bir hisse senedini 5 yıl sonra $20’dan satmış olun. Bu durumda ortalama yıllık geri dönüş oranı nedir?

F=P(1+i)N

20 = 10(1+i)5

i=%14.87


Örnek 4.10XYZ firmasının 100 adet hisse senedini

$60/hisse fiyattan almış olalım. Planımız hisse senedinin değeri iki katına çıktığında elimizden çıkarmaktır. Hisse fiyatının yılda %20 artacağını tahmin edildiğinde, hisseyi satmak için kaç yıl beklememiz gerekir?

F=P(1+i)N = P(F/P, i,N)12,000 = 6,000 (1+0.20)N

N=3.80 veya yaklaşık 4 yıl


Örnek 4.11

• Yıl 1: Müşteri hizmetleri için bilgisayar ve yazılımları için $25,000

• Yıl 2: Mevcut sistemi yükseltmek için $3000 • Yıl 3: Harcama yok• Yıl 4: Yazılım yükseltmeler için $5,000

4 yıllık harcamaları karşılamak için ne kadar para bankaya yatırılmalıdır (faiz oranı %10)?


Düzensiz Ödeme Serisi

P P F

P P F

P P F

P P P P

1

2

4

1 2 4

000 10%,1

000 10%,2

000 10%,4

622

$25, ( / , )

$3, ( / , )

$5, ( / , )

$28,


Örnek 4.12

• Ünlü bir sporcu 2000 yılında 10 yıllığına $252 milyon değerinde (sözleşme imzalandığında $10 milyon ödeme) bir sözleşme imzalamıştır. Sözleşme ayrıca 2001-2004 yıllarında yıllık $21 milyon ve 2005-2006 yılları arasında $25 milyon ve 2007-2010 yılları arasında $27 milyon maaş öngörmektedir. Sözleşme imzalandığında söz verilen $10 mİlyon 2001-2005 yılları arasında 5 eşit taksitte ödenecektir. Sözleşmenin bugünkü değeri nedir?


Örnek 4.12 Uzun vadeli bir sözleşmenin şimdiki değerinin hesabı

Periyot Sözleşme

0 2001 21.000.000$ 2.000.000$ 23.000.000$ 1 2002 21.000.000 2.000.000 23.000.0002 2003 21.000.000 2.000.000 23.000.0003 2004 21.000.000 2.000.000 23.000.0004 2005 25.000.000 2.000.000 27.000.0005 2006 25.000.000 25.000.0006 2007 27.000.000 27.000.0007 2008 27.000.000 27.000.0008 2009 27.000.000 27.000.0009 2010 27.000.000 27.000.000

Ücreti

Bonus

Ödeme Yıllık Ödeme

Toplam

P M P F M P F M P F

M

$23 ( / , ) $23 ( / , ) $27 ( / , )

$215.

6%,1 6%,2 6%,9

75

. . .


Eşit Ödemeli Seri

A

0 1 2 3 4 5 N-1 N

F

P



Örnek 4.13

• Her yıl banka hesabınıza 10 yıl boyunca $3000 yatırmış olun. %10 faiz oranından hesabınızın 10 yıl sonraki değeri ne olur?


Eşit Ödemeli Seri – Bileşik Miktar Faktörü

F Ai

iA F A i N

N

( )

( / , , )

1 1

Örnek 4.13:• Verilen: A = $3,000, N = 10 yıl ve i = %10• İstenen: F• Çözüm: F = $3,000(F/A,%10,10) = $47,812.2

0 1 2 3N

F

A


Örnek 4.15

Bir baba çocuğuna 5 yıl sonra $5,000 sahip olma hedefine ulaşması için şimdi $500 vermeyi teklif etmektedir. Çocuk ise, kısmi-zamanlı bir işte çalışarak her yıl sonunda hesaba para yatırmak istemektedir. Eğer yıllık faiz %10 ise, her yıl yatırılması gereken para miktarı nedir?


Batan Fon (sinking-fund) Faktörü

Örnek 4.15:• Verilen: F = $5,000, N = 5 yıl ve i = 10%• İstenen: A• Çözüm: F=500( F/P, %10, 5)= 805.25• A = $5,000-805.25(A/F,%10,5) = $687.1

0 1 2 3N

F

A

A Fi

i

F A F i N

N

( )

( / , , )

1 1


Örnek 4.16

• BioGen, biyoteknoloji alanında çalışna küçük ölçekli bir firmadır. Firma, laboratuvar donanımı almak amacıyla $250,000 kredi almıştır. Kredi yıllık %10 faiz ve 6 yıl eşit ödemeli şeklindedir. Her yıl ödenmesi gerekli kredi taksidi miktarını hesaplayınız?


Sermaye Geri Kazanma Faktörü

Örnek 4.16:• Verilen: P = $250,000, N = 6 yıl, i = %10• İstenen: A• Çözüm: A = $250,000 (A/P,%10,6) = $57,400

1 2 3N

P

A

0

A Pi i

i

P A P i N

N

N

( )

( )

( / , , )

1

1 1


Örnek 4.18

• Bölümün başlangıcındaki piyango problemine dönelim. 9 yıl boyunca yılda $32,639 veya şimdi $140,000 toplu ödeme şeklinde iki alternatifin olduğunu hatırlayalım. Eğer parayı %10 faizle bankaya yatırsak doğru bir karar vermiş olur muyuz?


Verilen Şimdiki Değer için Eşit Ödeme Seris

Örnek 4.18:• Verilen: A = $32,639, N = 9 yıl ve i = %10• İstenen: P• Çözüm: P = $32,639(P/A,%10, 9) = $187,968 >

140,000 toplu para almayla kaybedilen para

1 2 3N

P

A

0

P Ai

i i

A P A i N

N

N

( )

( )

( / , , )

1 1

1


Doğrusal Artımlı Seriler

P Gi i iN

i i

G P G i N

N

N

( )

( )

( / , , )

1 1

12

P


Kompozit Seri Olarak Gradyant Seriler


Örnek 4.20Bir tekstil firması 5 yıl ekonomik ömrü olan yeni

bir dokuma tezgahı satın almıştır. Mühendisler ilk yıl için bakım maliyetinin $1000 olacağını tahmin etmektedir. Bakım maliyetlerinin tezgahın geri kalan ömründe yılda $250 artacağı beklenmektedir. Bakım maliyetlerinin yıl sonunda oluştuğunu kabul edelim. Firma yıllık %12 faize sahip bir bakım hesabı açtırmak istemektedir. Tezgahın tüm masrafları bu hesaptan karşılanacaktır. Firma bu hesaba başlangıçta ne kadar para yatırmalıdır?


Örnek 4.20

$1,000$1,250 $1,500

$1,750$2,000

1 2 3 4 50

P =?


Yöntem 1:

$1,000$1,250 $1,500

$1,750$2,000

1 2 3 4 50

P =?

$1,000(P/F, 12%, 1) = $892.86$1,250(P/F, 12%, 2) = $996.49$1,500(P/F, 12%, 3) = $1,067.67$1,750(P/F, 12%, 4) = $1,112.16$2,000(P/F, 12%, 5) = $1,134.85

$5,204.03


Yöntem 2:

P P A1 000 12%,5

604 80

$1, ( / , )

$3, .

P P G2 12%,5

599 20

$250( / , )

$1, .

P

$3, . $1, .

$5,204

604 08 599 20


Örnek 4.21

• Joh ve Barbara iki farklı vadeli hesap açtırmış olsun. Yıllık faiz oranı %10 olsun. John birinci yılın sonunda hesaba $1000 yatırdıktan sonra 5 yıl için takip eden her yıl için yatırdığı para miktarını $300 artırmak istemektedir. Barbara ise 6 yıl boyunca her yıl eşit miktarda para yatırmak istemektedir. İki yatırımın birbirine eşdeğer olaması için Barbara’nın düzenli yatırması gereken para miktarı ne olmalıdır?


Verilen: A1 = $1,000, G=$300, i=%10 ve N=6İstenen: A A=$1,000+ $300(A/G, %10, 6) =$1,667.08


Örnek 4.22

• Bir bankaya %10 faiz oranı ile her yıl para yatırılmak istenmektedir. Birinci yılın sonunda yatırılan para $1200 olup, sonraki 4 yılda yatırılan para miktarı her yıl $200 azalacaktır. 5. yılın sonunda elinizde ne kadar para olur?



Örnek

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

$50

$100 $100 $100

$150$150 $150$200

P= ?

i= 15%



Örnek 4.25

0 1 2 3 4 5

$100 $100

$300 $300 $300

0 1 2 3 4 5

C C C C

=

i=%12 C=?

P1 = $100(P/A, %12, 2) + $300(P/A, %12, 2) = $743.42P2 = C(P/A, %12, 5) – C(P/F, %12, 3)P1=P2 C=$256.97


Örnek 4.26Evli bir çift yeni doğan bebeklerinin üniversite masrafları

için bir fon oluşturmayı planlamaktadır. Çift %7 faizle bir fon oluşturabilmektedir. Çocuklarının 18 yaşında üniversiteye başlayacağını düşünerek, üniversite masrafları için 4 yıl boyunca yılda $40,000’lık bir fonun gerektiği tahmin etmektedirler. Çiftin çocukları üniversiteye başlayıncaya kadar her yıl düzenli olarak tasarruf etmeleri gereken parayı hesaplayınız. (İlk paranın çocugun ilk doğum gününde son ödemeninde 18. yaş gününde yapılacağını kabul ediniz. Hesaptan ilk para çekilişi ise, birinci sınıfın başında, başka bir deyişle 18. yaş gününde yapılacaktır.)


1

1

1 (1 ) (1 ), eğer

/(1 ), eğer

N Ng iA i g

P i g

NA i i g

Geometrik Gradyant Seriler


• Bir medikal cihaz üreticisi cihaz üretiminde basınçlı hava kullanmaktadır. Mevcut basınçlı hava sistemi verimsiz olup, hava kaçaklarına neden olmaktadır. Hava kaçaklarından dolayı, kompressor zamanın %70’in çalışmak durumundadır. Bu durumda, 260 kWh elektrik tüketimi (elektrik fiyatı = $0.05/kWh) olamaktadır.Fabrika günde 24 saat ve yılda 250 gün çalışmaktadır. Mevcut sistem kullanıldığında bir sonraki 5 yıl için kompressörün çalışma süresi %7 oranında artacaktır. Eğer firma eski boruları değiştirmeye karar verirse, yatırım maliyeti $28,570. Bu durumda kompressör günde %23 oranında daha az enerji tüketecektir. Eğer faiz oranı %12 ise, bu yatırımı yapmak ekonomik midir?

Örnek 4.23


• Verilen:g = %7

i = %12

N = 5 yıl

A1 = $54,440

• İstenen: P

Örnek 4.23: Geometrik Gradyant

P

$54,( . ) ( . )

. .$151,

4401 1 0 07 1 012

012 0 07109

5 5


• Ahmet, bir bankada emeklilik hesabı açmak istemektedir. Hedef 20 yılın sonunda hesapta $1,000,000 para toplamaktır. Yerel bir banka 20 yıl boyunca %8 yıllık birikimli faiz oranı ile bir hesap açmayı teklif etmektedir. Ahmet, yıllık gelirinin her yıl %6 oranında artacağını tahmi etmektedir. Para yatırma işlem birinci yılın sonunda başlacak ve her yıl yatırılan para miktarı % 6 oranında artırılacaktır. İlk yılda yatırılan para ne olmalıdır?

Örnek 4.24



F= 1,000,000

N=20 yıl

i=%9 g=%6 A1=?

F=A1(F/A1, g, i, N)

1,000,000= A1(F/A1, %6, %8, 20)

1,000,000=A1[ (1+0.08)20-(1+0.06)20]/(0.08-0.06)

A1=$13,757

Örnek 2.4

Documents

Bölüm 4 Paranın Zaman Değeri