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ISSN 1988-5318
EDITORES
Juan Cuadra Dí[email protected]
Juan José Moreno Balcá[email protected]
Fernando Reche [email protected]
Resumen
Actividad Matemática p. 2
Enseñanza Secundaria p. 4
Divulgación Matemática p. 7
Territorio Estudiante p. 15
EditorialEl segundo número del Boletín ve la luz y queremos expresar desde aquí
nuestro agradecimiento a todas las personas que lo han hecho posible. Unagradecimiento sincero por las múltiples adhesiones que ha suscitado estainiciativa y por la respuesta tan positiva que hemos obtenido.
Nuestro objetivo inicial se está cumpliendo: que el Boletín sea vuestro.Sin la participación del profesorado, del alumnado y, en definitiva, de laspersonas que disfrutan con las Matemáticas, un boletín de estas caracterís-ticas no podría funcionar, por ello os seguimos animando a participar.
Este número viene cargado de artículos interesantes que esperamos seande vuestro agrado; una experiencia en el aula sobre los números de Fibonac-ci, un matemático español que llegó a obtener el premio Nobel (evidente-mente no en Matemáticas), actividades, reseñas sobre lecturas, entrevistas,curiosidades, etc... y, ¡hasta chistes matemáticos!
Hemos introducido, atendiendo a sugerencias recibidas, dos nuevas sec-ciones. Una corresponde a problemas resueltos de las Pruebas de Acceso ala Universidad y la otra, a la presentación de departamentos de institutosde Enseñanza Secundaria de la provincia de Almería. Para ambas seccionesos pedimos vuestra colaboración.
Pero como se dice en el mayor espectáculo del mundo... ¡¡pasen y vean!!,no se queden en la puerta...
ENSEÑANZA SECUNDARIA
Departamentos de Matemáticas
Inauguramos una nueva sección enla que aparecerán los diferentes De-partamentos de Matemáticas de losinstitutos almerienses de EnseñanzaSecundaria, que nos contarán sus ex-periencias, inquietudes, etc... En estenúmero contamos con la presencia delIES «La Puebla» de la Puebla de Ví-car y del IES «Cerro Milano» de Al-hama de Almería.
Esta provocadora pregunta se planteó en las Jornadas «La mujer como elemen-to innovador de la Ciencia» organizadas por la Comisión Mujeres y Matemáticasde la Real Sociedad Matemática Española. En estas jornadas se ha debatido el papelque ha desempeñado la mujer en el desarrollo científico así como los avances y logrosconseguidos en esta materia.
(Continúa en la página 9)
¿Es peligroso que las mujeressepan Matemáticas?
Mujeres y Matemáticas
BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL
Bo√TitMatUal
Volumen I. Número 2 17 de enero de 2008 ‖
Bo√TitMatUal Actividad Matemática Volumen I. Número 2 2 / 17
MATEMÁTICAS EN LA UAL
Premio de Análisis MatemáticoUna iniciativa docente
José Carmona TapiaUniversidad de Almería
En este curso académico el grupodocente de Análisis Matemático «In-vestigación, diseño y desarrollo decuestionarios telemáticos de apren-dizaje autónomo sobre Análisis Ma-temático» ha convocado la primeraedición del Premio extraordinario deAnálisis Matemático.
El objetivo es la presentación deltrabajo del grupo docente a la comu-nidad universitaria para conocer suvaloración sobre la utilidad de los ma-teriales elaborados.
En esta primera edición, el premioha estado dirigido fundamentalmen-te a alumnos que hayan cursado, o loestén haciendo, alguna asignatura decálculo con funciones reales.
En futuras ediciones se pretendeque vaya dirigido también a alumnos
de bachillerato.Los galardonados en esta convoca-
toria fueron Mariana Conhillo García,Beatriz Blanes Castro, Nicolás RamónLópez Rodríguez y Darío Ramos Ló-pez.
Acto de entrega de premios
La entrega de este galardón serealizó en el marco de las actividadesorganizadas por la Facultad de Cien-cias Experimentales de nuestra uni-versidad con motivo de la festividad
de San Alberto Magno, patrón de losestudiantes de ciencias.
Además se hizo la presentación delBoletín a la comunidad universitariay en la exposición de carteles de losgrupos de investigación de la Facul-tad se incluyó una edición impresa delprimer número.
Exposición de carteles en el halldel Edificio de Química
Actividades matemáticas
Primer concurso de fotografía matemáticade Almería
La SAEM Thales de Almería organiza esta actividaddestinada al alumnado de Secundaria y Bachillerato.
Como temática se propone cualquier situación en don-de se encuentren las Matemáticas: números, álgebra, es-tadística, probabilidad, juegos de azar, análisis, topología,geometría, etc...
El envío de las fotografías se hará exclusivamente porcorreo electrónico. La dirección habilitada para tal menes-ter es [email protected]. Las fechas parala recepción de trabajos son del 14 de enero al 14 demarzo de 2008. Para más información sobre la forma departicipación en este concurso os remitimos a la direcciónde la página web de la Sociedad: thales.cica.es/almeria/.¡Anímate y participa!
Portal de Matemáticas de la UALEn él se pueden encontrar las últimas noticias sobre lo
acaecido en nuestra Universidad relacionado con las Ma-temáticas, así como numerosos enlaces interesantes que tepueden ayudar a disfrutar más con esta materia. La direc-ción de la página es www.ual.es/Universidad/ualmat/.
Congresos y encuentros
El área de Álgebra organizó el congreso «Internatio-nal Conference on Noncommutative Rings and Geo-metry» del 18 al 22 de septiembre para celebrar el se-xagéximo cumpleaños del profesor Freddy Van Oystaeyende la Universidad de Amberes (Bélgica), con el que variosmiembros de este área colaboran desde hace años. Contócon 87 participantes de 20 países diferentes. En él se pre-sentaron algunos de los últimos avances en la Teoría deAnillos No Conmutativos y su relación con la GeometríaNo Conmutativa. Para más información se puede consul-tar la página web http://www.ual.es/congresos/nrg/.
Durante los días 17, 18 y 19 de septiembre también secelebró en San José (Almería) el primer encuentro de lared de «Ecuaciones Parabólicas y Elípticas No Linea-les». Los proyectos de investigación adheridos a la red seencuentran a la vanguardia de la investigación actual enecuaciones en derivadas parciales no lineales. Más infor-mación en www.ugr.es/~edp/Gata-07/.
Han asistido muchos de los responsables de dichos gru-pos así como los jóvenes investigadores que los componen.En este encuentro se han expuesto los nuevos resultadosobtenidos por investigadores españoles en este campo.
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Bo√TitMatUal Actividad Matemática Volumen I. Número 2 3 / 17
Nos visitaron...
En el transcurso de estos meses nos han visitado nu-merosos investigadores de diferentes universidades con lasque los grupos de investigación de la UAL colaboran acti-vamente en el desarrollo de su actividades.
Tuvimos el honor de tener entre nosotros a: A. Apteka-rev (Inst. Mat. Aplicada Kelshysh, Academia de Cienciasde Rusia), H. Stahl (TFH-Berlin, Alemania), J. Geroni-mo (Georgia Inst. Technology, USA), A. Kroo (Institu-te Renyi of Mathematics, Hungría), L. Golinskii (Institu-te Low Temperatures, Kharkiv, Ucrania), M. Domínguezde la Iglesia (U. Sevilla, España), Z. Varga (Szent IstvánUniversity, Godollo, Hungría), E. Carrizosa (U. Sevilla,
España), M. Haim (U. República, Montevideo, Uruguay),F. Van Oystaeyen (U. Amberes, Bélgica), D. Bulacu (U.Bucarest, Rumanía), S. Criveu (U. Balbes-Bolyai, Ruma-nía), S. López Permouth (U. Ohio, EEUU), J. Zelmano-vitz (Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas(MSRI), Berkeley, California, EEUU), M. Boulagouaz (U.Fez, Marruecos), M. Mbekhta (U. Lille, Francia), F. Zi-tan (U. Tetuán, Marruecos), A. Rochdi (U. Casablanca II,Marruecos), I. Bhouri, H. Ounaies y A. Benhissi (U. Mo-nastir, Túnez), A. Häily (U. El Jadida, Marruecos) y L.Ben Yakoub (U. Tetuán, Marruecos).
Preguntas frecuentesJosé Escoriza López y José Carmona Tapia
Universidad de Almería
¿Qué hay de cierto en los rumores sobre ladesaparición de la Titulación de Matemá-ticas por falta de alumnos?
En algunos medios de comunicación escritos y en cier-tas tertulias radiofónicas se manejan datos incorrectos odesfasados sobre el número de alumnos de nuevo ingre-so en la Titulación de Matemáticas de la Universidad deAlmería.
Esto ha contribuido a que aparezcan todo tipo derumores sobre la continuidad de dichos estudios universi-tarios. Sin embargo, en estos últimos años se observa unatendencia ascendente en la matriculación en la Titulaciónde Matemáticas. De hecho, es la de mayor número dealumnos de nuevo ingreso de todas las titulaciones queoferta la Facultad de Ciencias Experimentales de la Uni-versidad de Almería.
¿En qué consiste la nueva estructura de es-tudios universitarios?
En cierto modo se trata de homogeneizar la situaciónactual, de manera que un primer ciclo universitario (Títulode Grado) capacite para el desarrollo de ciertas activida-des profesionales.
Las diversas especializaciones dentro de cada campose desarrollarán en un postgrado (Máster Universitario,Doctorado).
¿Sabías que se puede acceder a la Titula-ción de Matemáticas desde los ciclos for-mativos?
El acceso a la Licenciatura de Matemáticas, así comoa la Doble Titulación Matemáticas–Informática es posi-ble desde los siguientes ciclos formativos: Administraciónde Sistemas Informáticos, Desarrollo de Aplicaciones In-formáticas, Desarrollo de Productos Electrónicos, Insta-laciones Electrónicas, Sistemas de Regulación y ControlAutomático y Sistemas de Telecomunicación e Informáti-ca.
Puedes encontrar más información en la página webde la Universidad de Almería, en la sección de Navegantes> Estudiantes > Nuevo ingreso > Información académicay administrativa.
¿Es fácil encontrar trabajo tras finalizar losestudios de Matemáticas?
Según el último estudio de la Comisión Profesional dela Real Sociedad Matemática Española (www.rsme.es), laincorporación de los titulados en matemáticas al merca-do laboral es un proceso muy rápido. Al cabo de 2 añosel índice de desempleo es sólo del 5%, y la ocupación escasi plena (98,2%) después de 5 años. Además, el 52%obtiene un empleo estable en menos de 6 meses, y tras2 años, el porcentaje alcanza el 80,9%. El tiempo mediopara encontrar el primer empleo es de 5 meses.
Fundamentalmente, son empleados en docencia e in-vestigación, informática y telecomunicaciones o bien enindustria, finanzas y consultoría. En el resto de Europatambién se consigue empleo con facilidad y en los mismospuestos que los españoles.
¿Qué es el crédito europeo y qué diferenciahay con el sistema actual?
Es una unidad que mide la cantidad de trabajo delestudiante para cumplir los objetivos de programa de es-tudios.
Actualmente y en los próximos años, se está procedien-do a la reforma del Plan de Estudios y cada asignaturatendrá asociado un número de créditos ECTS que valora-rán las horas que necesitará el alumno para adquirir lascapacidades y contenidos de la materia en cuestión y nosólo el número de horas de asistencia a clase, como hastaahora. A día de hoy, las asignaturas se miden en crédi-tos y un crédito representa 10 horas de asistencia a clase.El valor de un crédito ECTS se estima entre 25 y 30 horas.
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Bo√TitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen I. Número 2 4 / 17
UNA EXPERIENCIA EN EL AULA
Dibujando con FibonacciMiguel Gea LinaresIES Alborán (Almería)
• Construcción de la sucesión deFibonacci con el clásico problemade las parejas de conejos.
Compramos una pareja joven deconejos que al cabo de un mes alcanzala plena madurez. Después, tarda otromes en procrear una nueva pareja jo-ven de conejos. Al mes siguiente, nues-tra primera pareja volverá a engen-drar y la joven se convertirá en adul-ta para procrear en otro mes más. Yasí sucesivamente. Anotamos el núme-ro total de parejas adultas que tene-mos cada mes hasta el trigésimo (30).• Operamos con los términos de lasucesión de Fibonacci.
Tomamos el término de cada mesy sumamos todas sus cifras hasta ob-tener un número de un solo dígito. Porejemplo, el término del 14o mes vale377 y debe quedar 8 (3+7+7 = 17,1+7 = 8)
Agrupamos los números anterioresen dos bloques. Por un lado, los quecorresponden a meses impares y, porotro lado, los de meses pares y termi-namos con la forma en que se debe
hacer el dibujo.Vamos a dibujar con los números
del grupo de meses pares. El valor decada término significará los centíme-tros que ha de medir cada línea y losángulos se medirán en igual sentidoque las agujas del reloj.• Dibujamos de la siguiente mane-ra:
En unos ejes cartesianos, comen-zando por el punto (-1,0) del plano,en primer lugar, pinta una línea de 1cm (1er término). Después, traza unalínea de 3 cm (2o término) formandoun ángulo de 120 grados sexagesima-les con la anterior.
Más tarde, dibuja una línea de 8cm (3er término) formando un ángulode 120o con la anterior. Y así sucesi-vamente hasta el 35o término.
(Nota: Como 120o+120o+120o =360o , la 4a línea será paralela a la 1a,la 5a línea será paralela a la 2a, la 6a
línea será paralela a la 3a, etc...)• Realizamos los dibujos en el PC
Con la opción «Demo» del pro-grama (MSDOS) CALCULA de Mar-ta Oliveró y José Luis Abreu, pode-mos realizar el «dibujo de Fibonacci».
El dibujo también puede ser gráficamente representado con un software actual como es el programa libre "GRAPH" de Ivan Johansen.
DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS
IES Cerro MilanoAlhama de Almería (Almería)
El Departamento de Matemáticasdel IES «Cerro Milano» en Alhamade Almería está compuesto, en el cur-so académico 2007/2008, por cuatroprofesores: Jesús Escoriza López, An-drés Martínez Moreno, Cecilio Rodrí-guez López y José Antonio VenturaCastillo.
Desde aquí celebramos la iniciati-va de la Universidad de editar esteBoletín incluyendo una sección sobreEnseñanza Secundaria en la que par-ticipen los propios Centros. Por tan-to, animamos a los Departamentos de
Matemáticas de los centros de secun-daria a dar continuidad al proyecto.
Miembros del Departamento
En el presente curso hemos pre-
visto algunas actividades que giran entorno a dos puntos de interés:
El uso cotidiano de las matemá-ticas. Las matemáticas aparecen(porque están, claro) en situa-ciones absolutamente cotidianasy aprender a identificarlas esuna buena manera de aproxi-marse a ellas. Por otro lado,adoptar un punto de vista mate-mático puede mejorar nuestrasposibilidades de comprender oresolver un problema o simple-mente favorecer el análisis críti-
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Bo√TitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen I. Número 2 5 / 17
co de una información recibida.La matemática es, entonces, unabuena herramienta para usar adiario.
La integración con las demásáreas de conocimiento. Partici-par en proyectos interdisciplina-les que se desarrollen en el insti-tuto nos parece un modo intere-sante de que se vean las mate-máticas contextualizadas en unmomento histórico o bien rela-cionadas con alguna actividadcientífica, sociológica, etc...
Concretamente las actividades previs-tas son las siguientes. En primer lugar,aprovechando el material elaborado alefecto en los últimos años y las apor-taciones de algunos alumnos, dispone-mos de un buen número de fichas so-bre cuestiones matemáticas variadas:problemas de lógica o de ingenio, jue-gos y estrategias, puzzles, problemasgeométricos, etc...
Este material, una vez clasificado yseleccionado adecuadamente, preten-demos utilizarlo para realizar un con-curso en el que participen alumnos detodos los niveles de ESO.
La idea es dedicar previamenteunas horas en el aula para que losalumnos de un nivel determinado pre-paren con su profesor la prueba querealizarán los del nivel anterior y, pos-
teriormente, utilizar uno de los díasque el Centro reserva a actividades pa-ra incluir el concurso en sí entre ellas.
En esta línea pretendemos ampliarel material con juegos topológicos ynos gustaría contar con la colabo-ración de otros departamentos paraconstruir las piezas necesarias.
Página web del centro
Por otro lado, el curso pasado seinició la construcción de la página webdel Centro. La intención del departa-mento es favorecer el uso por parte delos alumnos de las posibilidades queeste medio ofrece insertando relacio-nes de ejercicios, comentarios o comu-nicados que pudieran ser de utilidad.
Finalmente, trabajamos en unaparticipación interdisciplinar. En2008 se cumplirá el centenario dela muerte de D. Nicolás Salmerón yAlonso, presidente de la Primera Re-pública en 1873 y natural de Alhamade Almería.
Este Centro tiene previsto en su
programación de actividades del pre-sente curso, y a iniciativa del Depar-tamento de Geografía e Historia, or-ganizar unos actos conmemorativos.
Se pidió la implicación de todoslos departamentos interesados. Deci-dimos coordinarnos con los departa-mentos de Física y Química y de Bio-logía y Geología para presentar unavisión sobre cómo estaba la Ciencia enEspaña en el año 1908.
D. José Echegaray
Nosotros vamos a centrar nuestraaportación en la figura de D. JoséEchegaray que, polifacético donde loshaya, además de obtener el PremioNobel de Literatura en 1904 y de serconsiderado como el matemático es-pañol más importante del siglo XIX,participa con Martos y Salmerón enla fundación del Partido Progresistaen 1880.
Suya es la frase: «las matemáti-cas son una salsa que viene bien atodos los guisos del espíritu».
DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS
IES La PueblaLa Puebla de Vícar (Almería)
El IES «La Puebla» (Vícar) estásituado en la comarca del poniente ypor las características de la zona estátodavía en fase de crecimiento.
El departamento de Matemáticasestá formado por 9 miembros es-te curso escolar: Ana Acién, Ma-nuel Conejero, Jose Fernández, Glo-ria Gómez, Fuensanta López, Trini-dad Pérez, Francisco Rodríguez, An-tonio Sánchez y Juan Sánchez.
Actualmente tenemos 18 cursos deE.S.O., 7 de Bachiller, 2 módulos pro-
fesionales de grado medio y 4 gruposde E.S.A.
Algunos miembros del
Departamento de Matemáticas
Desde hace algunos años hemosobservado una reducción importanteen el número de alumnos que eligenla opción de ciencias en el Bachillera-to. En particular en nuestra asignatu-ra hemos pasado de los 40 alumnos dedos grupos de hace unos años a los 17alumnos actuales en 2o de Bachillera-to.
Tratando de invertir esta clara ten-dencia de abandonar las típicas asig-
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Bo√TitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen I. Número 2 6 / 17
naturas de ciencias, nuestro departa-mento participa en diversos proyectosde innovación educativa, basados lamayoría en la herramienta Descartes(Proyecto Descartes del CNICE).
Actualmente estamos desarrollan-do el proyecto HEDA (Hermanamien-tos Escolares con Descartes desde An-dalucía) en el cual incorporamos laNTIC a la práctica docente.
En el marco de este proyecto esta-mos realizando diversas experienciascon Descartes en el aula, compartien-do y colaborando con un centro edu-cativo de Bruselas (Escuela Europea
III) dentro de programa eTwinning.Estos proyectos tienen una fase de
evaluación, aunque este año no se harealizado todavía. Tenemos datos decursos anteriores que avalan que sonmuy bien valorados y aceptados pornuestro alumnado.
Asimismo, nuestro departamentoparticipa en el proyecto bilingüe delcentro y las Matemáticas es una delas asignatura que, fuera del ámbitode las lenguas, lo desarrollan. De es-ta manera los alumnos de 1o de ESOde la línea de bilingüe, recibirán estecurso una enseñanza en dos idiomas,
castellano y francés.Para conocernos mejor se puede
visitar nuestra pagina web.
Página web del centro
Problemas de las Pruebas de Acceso a la UniversidadManuel Gámez Cámara (Universidad de Almería)
En esta nueva sección presentaremos la solución a al-gunos problemas que han sido propuestos o candidatos aserlo en alguna de las convocatoria de las Pruebas de Ac-ceso a la Universidad. Además plantearemos otro para quenos enviéis vuestras soluciones a [email protected].
Los juegos de exámenes propuestos desde el año 2001hasta la fecha de las dos asignaturas de Matemáticas queparticipan en las pruebas están disponibles en la pági-na web distritounicoandaluz.cica.es en el apartado de lasPruebas de Acceso.
Considera los planos π1 : x− y+ z = 0 ; π2 : x+ y− z = 2.
(a) Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados.
(b) Determina los puntos que equidistan de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenecen a la recta intersecciónde los planos dados.
Solución. Lo primero que debemos hacer constar, esque los problemas de geometría pueden tener varios proce-dimientos en su resolución, por lo que la que presentamosa continuación no es única, pero sí una de las posibles.
(a) Como vemos fácilmente que el punto A no pertene-ce a ninguno de los planos, aunque podemos hacerloconstar explícitamente, pasamos a comprobar queestos no son paralelos. Esta apreciación, quizás nosería necesaria, aunque sí completaría el problema.Si denotamos por nπ1
= (1,−1, 1) y por nπ2=
(1, 1,−1) los vectores normales de π1 y π2 respecti-vamente, tenemos que nπ1
∦ nπ2(¿por qué?), y por
tanto tampoco los sus respectivos planos π1 y π2,por lo que deben cortarse en una recta cuyo vectordirector es:
nπ1 × nπ2 =
(∣∣∣∣ −1 1
1 −1
∣∣∣∣ , −
∣∣∣∣ 1 1
1 −1
∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣ 1 −1
1 1
∣∣∣∣)= (0, 2, 2),
de donde, la ecuación de la recta pedida esx = 1,
y = 2+ 2λ,
z = 3+ 2λ.
(b) La ecuación de la recta intersección de ambos planos
es, x− y+ z = 0,
x+ y− z = 2,⇒x = 1,
y = 1+ λ,
z = λ.
Por tanto, un punto M genérico de dicha recta ten-dría por coordenadas M(1, 1 + λ, λ), con lo cual elproblema requerido es que,
d(A,M) = d(B,M),
de donde utilizando la formula de la distancia entredos puntos se llega a√02 + (1− λ)2 + (3− λ)2 =
√12 + (−λ)2 + (−λ)2.
Resolviendo la ecuación obtenemos que λ = 9/8 porlo que la solución es un único punto, cuyas coorde-nadas son (1, 17/8, 9/8).
Ejercicio Propuesto. En una urna hay cuatro bolasblancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara seextrae una bola de la urna y si sale cruz se extraen, sinreemplazamiento, dos bolas de la urna.
a) Calcule la probabilidad de que se hayan extraído dosbolas rojas.
b) Halle la probabilidad de que no se haya extraído nin-guna bola roja.
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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen I. Número 2 7 / 17
LA HISTORIA Y SUS PERSONAJES
EchegarayUn matemático que llegó a ganar el premio Nobel de Literatura
Antonio Cortés GrimaIES Sierra de los Filabres (Serón)
Aunque José Echegaray es conoci-do por obtener el Premio Nobel de Li-teratura en 1904, este dramaturgo ypolítico español (ministro de Comer-cio y Economía entre los años 1868y 1874), también fue catedrático dematemáticas en la Escuela de Inge-nieros de Madrid desde 1854 hasta1864, donde impartió clases de geo-metría descriptiva, cálculo diferencialy física–matemática.
Nació en Madrid el 19 de abril de1832. Pasó su infancia en Murcia, don-de realizó los estudios correspondien-tes a la enseñanza primaria. Fue allí,en el Instituto de Murcia, donde co-menzó su afición por las matemáticas.En su juventud ya leía a matemáticoscomo Gauss y Lagrange.
En 1852 obtiene el título de In-geniero de Caminos, siendo el núme-ro uno de su promoción. Sus prime-
ros trabajos de ingeniero los realizaen Almería y Granada. Cuando con-taba con 32 años de edad, fue elegidomiembro de la Real Academia de lasCiencias Exactas.
Como científico y profesor publicómuchos textos sobre Física y Matemá-ticas. Algunas de ellas son:
Cálculo de Variaciones (1858),que era casi desconocido en Es-paña.
Problemas de Geometría analí-tica (1865).
Teorías modernas de la Física(1867).
Introducción a la Geometría Su-perior (1867).
Memoria sobre la teoría de losDeterminantes (1868), primeraobra en España sobre el tema.
Echegaray introdujo en España lasfunciones elípticas y la teoría de Ga-
lois. Su contribución a la divulgacióny difusión de la ciencia en un país muyretrasado científicamente le han lleva-do a ser considerado como el mejormatemático español del siglo XIX.
Billete emitido en 1974 que rindehomenaje a Echegaray por el
decreto que convirtió al Banco deEspaña en el único emisor de
moneda de nuestro país
Para saber más, se puede encon-trar una excelente referencia en el li-bro José Echegaray de José ManuelSánchez Ron (Fundación Banco Exte-rior, 1990).
Problemas de interésAlicia Juan González (Universidad de Almería)
El problema propuesto en el número anterior fue elsiguiente:
Problema 1A la pasada edición del Festival Internacional deBenicàssim asistieron 30 grupos rock y 48 gruposnacionales. De todos los grupos, sólo 15 no son rockni pop y, de estos 15, 6 son nacionales. Si elegimosun grupo al azar, ¿qué es más probable: que seaun grupo rock extranjero o que sea un grupo popespañol?
Como prometimos, en este número incluimos la solución.Disponiendo la información en la tabla de doble entra-
da
Pop Rock OtrosNacional 6 48
Extranjero30 15
e introduciendo las incógnitas siguientes:
Pop Rock OtrosNacional x y 6 48
Extranjero z
30 15 N
siendo N el número total de grupos que se presentaron alconcierto, entonces la cuestión se reduce a determinar larelación entre x y z.
Dado que las siguientes relaciones son ciertas:
x+ y = 42
y+ z = 30
⇒ x− z = 12 ⇒ x > z ⇒ x
N>z
N
y puede afirmarse que «es más probable que el grupo ele-gido sea pop nacional».
El problema propuesto para la próxima edición lo en-contrarás en el artículo que viene a continuación.
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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen I. Número 2 8 / 17
PROBLEMAS INTERESANTES
Polígonos construíbles con regla y compásGauss: el príncipe de las Matemáticas
María del Carmen Castro AlférezEstudiante de Matemáticas (UAL)
¿Qué polígonos regulares se pue-den construir usando solamente re-gla y compás? Esta pregunta surgióen la antigua Grecia y durante másde 2000 años atormentó a matemáti-cos profesionales y aficionados.
En la clase de Dibujo Técnico ha-brás aprendido un método para dibu-jar cualquier polígono regular de n la-dos, pero tu profesor debiera haberteindicado que este método no es exactosino aproximado.
Aunque te parezca sorprendentehay polígonos regulares que no sepueden construir de manera exactausando solamente regla y compás, co-mo por ejemplo el de 7 lados.
En las construcciones con regla ycompás sólo está permitido utilizaruna regla sin marcas y un compás.
Partiendo de un conjunto finito depuntos del plano sólo podremos dibu-jar la recta que pasa por dos de estospuntos y la circunferencia con centroalguno de estos puntos y cuyo radiosea la distancia entre dos de ellos. Alos puntos que surjan de estas opera-ciones, como por ejemplo el punto deintersección de dos rectas, se les pue-de volver a aplicar las normas anterio-res y así sucesivamente con los nuevospuntos que vamos obteniendo en cadapaso.
Con estas normas se puede reali-zar un gran número de construccionesgeométricas como dibujar un triángu-lo, un cuadrado, un pentágono, dibu-jar la recta paralela a otra en un pun-to dado, la mediatriz de un segmento,etc...
El argumento intuitivo de por quéno podemos construir ciertos polígo-nos regulares es sencillo, aunque difícilde formalizar: no es posible construirtodos los puntos del plano con regla ycompás partiendo de los puntos (0, 0)
y (1, 0).Los puntos nuevos aparecerán co-
mo intersecciones de rectas, de circun-ferencias o de la intersección de unarecta y una circunferencia. Como laecuación de una recta es y = ax + b
y la de una circunferencia de centroC = (c1, c2) y radio r es (x−c1)
2+(y−
c2)2 = r2, las coordenadas de los pun-
tos de intersección, que se obtienen re-solviendo el sistema de ecuaciones, seexpresan como suma, resta, multipli-cación, división o raíz cuadrada de lascoordenadas de puntos obtenidos an-teriormente.
Sólo los puntos cuyas coordenadassean de esta forma se podrán dibujarcon regla y compás. La siguiente fi-gura muestra las coordenadas de losvértices de un pentágono regular, ins-crito en el círculo de radio 1, que síse puede dibujar con regla y compás.
O A
B
C
D
E
A = (1, 0)
B =
(−1+
√5
4 ,
√10+2
√5
4
)C =
(−1+
√5
4 ,
√10−2
√5
4
)D =
(−1+
√5
4 ,−
√10−2
√5
4
)E =
(−1+
√5
4 ,−
√10+2
√5
4
)Problema 2
¿Podrías hallar las coordenadasde los vértices de un triánguloequilátero inscrito en el círculo deradio uno sabiendo que las de unode ellos son (1, 0)?, ¿son de la for-ma descrita anteriormente?
En 1796 y con tan solo 19 años,el posteriormente apodado «Príncipede las Matemáticas», Carl FriedrichGauss, demostró que es posible cons-
truir un polígono regular de 17 ladosusando regla y compás. Más tarde élmismo zanjó el problema haciendo usode los números de Fermat.
Pierre de Fermat, un magistradofrancés gran aficionado a las matemá-ticas, conjeturó que los números, lla-mados hoy día números de Fermat,de la forma 22
m−1
+ 1 con m ≥ 1 sontodos números primos.
Los cinco primeros 3, 5, 17, 257 y65537 sí lo son, pero Euler demostróque el sexto 4294967297 no lo es puesse factoriza como 641 · 6700417. Aúnno se conoce si existe algún otro nú-mero de Fermat que sea primo.
Gauss (1777–1855)
Teorema de Gauss. Un polí-gono regular de n lados es cons-truíble con regla y compás si y sólosi n = 2m · p1 · ... · pr con m ≥ 0
y p1, ..., pr números primos de Fer-mat distintos.
Podemos construir con regla ycompás de forma exacta polígonos re-gulares de 3, 4, 5, 6 ó 10 lados y otroscomo los de 7 ó 9 no se pueden cons-truir.
La siguiente tabla muestra los po-lígonos regulares con menos de 100 la-dos que podemos construir con reglay compás.
3 4 5 6 8 1012 15 16 17 20 2430 32 34 40 48 5160 64 68 80 85 96
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La demostración del Teorema deGauss se estudia en la asignaturaEcuaciones Algebraicas del segundocurso de la Licenciatura en Matemá-ticas.
En esta asignatura también se de-muestra la imposibilidad de resolver
con regla y compás otros famosos pro-blemas de la antigua Grecia: duplicarel volumen de un cubo (dado un cu-bo construir otro cuyo volumen sea eldoble), dividir un ángulo en tres par-tes iguales; y la cuadratura del círculo(dado un círculo construir un cuadra-
do de igual área).Se puede encontrar un procedi-
miento para dibujar el polígono regu-lar de 17 lados con regla y compás enla direcciónwww.jimloy.com/geometry/17-gon.htm
MUJERES Y MATEMÁTICAS
La mujer como elemento innovador de laCienciaJornadas
Ainhoa Berciano AlcarazMarta Macho StadlerUniversidad del País Vasco
Los días 19, 20 y 21 de noviembrede 2007, se celebraron en la Facultadde Ciencia y Tecnología (FCT/ZTF)de la Universidad del País Vasco(UPV/EHU) las Jornadas La mu-jer como elemento innovador enla Ciencia enmarcadas dentro de lasactividades organizadas por la comi-sión Mujeres y Matemáticas de la RS-ME en diversas universidades del es-tado, encaminadas a visualizar el tra-bajo innovador de las mujeres en elámbito de la Ciencia y, en particularde las Matemáticas, así como fomen-tar las vocaciones investigadoras.
Las Jornadas se iniciaron con laconferencia «Un fascinante paseoentre matemáticas sin dejar la bol-sa» impartida por la Dra. Eva Ferrei-ra García (UPV/EHU), que planteóla participación femenina en cienciacomo un proceso estocástico. Compa-rando la forma de abordar los proble-mas de unas y otros, comentó que lasmujeres representarían la renta fija ylos hombres la renta variable.
La segunda conferencia de la Jor-nada estuvo a cargo de la Dra. Ma-ría Teresa Iglesias Otero (UDC), queen «Matemáticas Evolutivas: Algo-ritmos Genéticos» dio una introduc-ción divulgativa al tema, comentandolas ventajas de estos algoritmos frentea otros métodos de optimización tra-dicionales.
El día 20 de noviembre, las Jor-nadas se abrieron con la conferencia«Fósiles cósmicos: la topología delvacío en el universo primitivo» im-partida por la Dra. Ana Achúcarro Ji-ménez (U. Leiden y UPV/EHU), quehabló del concepto del vacío cuántico,muy diferente del concepto coloquialdel término.
La Dra. Adela Salvador Alcaide(UPM) habló en «¿Es peligroso quelas mujeres sepan matemáticas?»de la suerte que tenemos en la actuali-dad, tanto hombres como mujeres, portener acceso a la formación de formageneralizada. A través de diez muje-res matemáticas, comentó dificultadesy logros en las carreras de estas cien-tíficas.
Las Jornadas finalizaron el 21de noviembre, con la celebración de
la Mesa Redonda «Investigación,Ciencia y Mujer», cuya presentacióncorrió a cargo de la Directora de Igual-dad de la UPV/EHU, la Dra. Mer-txe Larrañaga Sarriegi, que presentóla recién creada Dirección de Igualdadde la UPV/EHU. En la Mesa partici-paron además la becaria predoctoraly geóloga Dña. Blanca Martínez Gar-cía (UPV/EHU) que habló de la dis-criminación existente en su área fun-damentalmente en el mundo laboral,la Dra. en matemáticas Irene Polo-Blanco (UC) que habló de su expe-riencia en Groningen (Holanda) pri-mero como estudiante ERASMUS ydespués como alumna de doctorado,el Dr. en física José M.M. Senovi-lla (UPV/EHU) que presentó la aso-ciación AMIT y apostó por juzgar alas personas únicamente por su valíay dedicación al trabajo, y la quími-ca y especialista en la enseñanza dela Ciencia con perspectiva de géneroDra. Teresa Nuño Angós (UPV/EHU)que presentó diversos estudios sobrela evolución de la situación de las mu-jeres científicas en los ámbitos de deci-sión y del frecuente abandono de mu-jeres de sus carreras científicas, sobretodo tras el doctorado.
La moderadora de la Mesa finali-zó la Jornada insistiendo en la nece-sidad de conocer la historia de nues-tras científicas, como modelos para elresto de las mujeres y explicó comodesde la Dirección de Igualdad de laUPV/EHU se está sugiriendo a loscentros la inclusión de asignaturas conperspectiva de género.
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Nuestras invitadas, algunas viejasconocidas, las demás desde ahora nue-vas amigas, nos contagiaron su pasiónpor el trabajo, su entusiasmo por com-partir experiencias, su tremenda vita-lidad..., con una naturalidad que sin
duda es esencialmente femenina.Estas Jornadas se dirigían funda-
mentalmente a alumnas/os de cual-quier licenciatura de la UPV/EHU,que cuando vienen en busca de suscertificados de asistencia dicen en la
mayoría de los casos «¿Cuándo orga-nizáis las siguientes Jornadas?». Nece-sitamos descansar un poco... pero lle-garán.
MATEMÁTICAS Y CULTURA
Un Paseo Matemático por la Historia dela Arquitectura (I)María José Chávez de DiegoUniversidad de Sevilla
El gran arquitecto Marco Vitruvio(siglo I a.C.) afirma que es necesarioconocer la Geometría y la Aritmética.Estos conocimientos matemáticos noson otros que los que se recogen en elmonumental tratado geométrico LosElementos de Euclides de Alejandría(siglo III a.C.).
El Partenón (Atenas)
Euclides recoge en trece libros no-ciones como rectas, ángulos, triángu-los, círculo, polígonos, planos, pirámi-des, prismas, cilindros, esfera, cono,octaedro, icosaedro, dodecaedro, cu-bo, paralelismo, semejanza, teoría dela proporción y teoría de números en-tre otras.
Los Elementos, además de ejer-cer una enorme influencia en el pensa-miento científico, determinaron la en-señanza de la Geometría hasta nues-tros días.
Desde la antigüedad, la Geometríase ha venido utilizando en la produc-ción arquitectónica y artística, aunqueno siempre con la misma intensidad.
Desde Roma hasta la edad del hie-rro del siglo XIX, en la construcciónse usa la geometría de la regla y elcompás, la teoría de la proporción y,
muy lentamente, se va incorporandola trigonometría y el álgebra.
El acueducto de Segovia
La Teoría de la Proporción nace dela creatividad arquitectónica: la rela-ción de la parte con el todo; las rela-ciones del todo con todas sus partes,...Esta teoría, va unida a los trazadosgeométricos con regla y compás.
El famoso número de oro con-forma las proporciones de célebresobras aquitectónicas desde el Parte-nón, Notre–Dame, pasando por la Al-hambra de Granada (Patio de los Leo-nes) hasta las torres de Manhattan.
La esfera, el cilindro circular, lospolígonos regulares y el círculo sonlos rudimentos geométricos euclídeosque mediante procedimientos empí-ricos permiten construir las diferen-tes bóvedas a lo largo de estos siglos.Posteriormente, se incorporaron en laconstrucción de cubiertas otras cuá-dricas y superficies regladas.
Ventanas, puertas, claustros, pa-tios, etc... han motivado desde siem-pre la creación de arcos sustentando odelimitando tales aberturas.
Destacan los arcos semicirculares,elípticos, parabólicos, hiperbólicos, demedia «vesica piscis» o gótico, deherradura, lobulados, etc... Entre lascurvas más relevantes en diseño en-
contraremos las cónicas, las espirales,la catenaria, las hélices, las sinusoides.
El Panteón, obra cumbre de la ar-quitectura de Roma, sigue el modelode la cúpula termal, se asienta sobreun tambor perfectamente circular conun casquete capaz de inscribir una es-fera completa.
Los matemáticos árabes tuvieronel mérito de conservar y transmitir pa-ra la humanidad la Matemática Grie-ga e India, pero además contribuye-ron de forma original al desarrollo dela trigonometría plana y esférica, asícomo el álgebra.
El Patio de los Leones de laAlhambra de Granada
Ahora bien, no parece que estosavances tengan relación directa con laaportación fundamental de los árabesa la construcción. Las cúpulas nerva-das que ellos construyen ponen de ma-nifiesto que conocen el principio deque una forma se comporta según loselementos resistentes de su interior.
Sin embargo, tienen que pasar si-glos hasta que aparezca el Cálculo Di-
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ferencial que le dará justificación en lateoría de estructura.
Bóvedas de crucería de laColegiata de Medina del Campo
(Valladolid, España)
En la Baja Edad Media occidental,la construcción de las catedrales góti-cas da lugar a la masonería o gremiode albañiles constructores de catedra-les. Éstos desarrollarán, bajo la basedel esoterismo, todo el saber construc-tor medieval, reencarnando con mu-cha exactitud la tradición de la sectapitagórica griega.
Los maestros de la masonería con-virtieron la Geometría en secreto. Se
vive un decidido culto a la Geometría,baste señalar que en las decoracionesdel gótico tardío se llega a representara Dios creador con un compás en lamano.
La geometría práctica de los ma-sones no incorpora los nuevos cono-cimientos matemáticos; no se utilizapara resolver los inmensos problemasdel crecimiento en altura de las navesy la complejidad de las soluciones decubierta. La catedral de Milán es unbuen ejemplo de todo lo que estamosafirmando.
Catedral de Milán
En ella se conjuga la geometría deregla y compás, simetría y proporción.Por sus actas tenemos conocimientosde las dudas estructurales de los maes-
tros a lo largo de su construcción has-ta el momento de iniciar las bóvedas.
Este culto va en aumento en el Re-nacimiento y en el Barroco, algo, aúnpoco, empieza a cambiar. La Matemá-tica avanza considerablemente, se tie-nen contribuciones importantes en elcampo de la Geometría, del Álgebra yla Trigonometría.
La geometría pura se desarrolla se-gún nuevas orientaciones con el descu-brimiento de las primeras nociones dela Geometría Descriptiva y Proyecti-va.
Los precursores de estas geome-trías son entre otros los arquitectos Fi-lippo Brunelleschi (1377-1446) y LeónBattista Alberti (1404-1472) y los pin-tores Leonardo da Vinci (1452-1519)y Piero de la Francesca (1416-1492).Brunelleschi tuvo la idea de represen-tar objetos en tres dimensiones sobreun plano.
En el próximo número veremosotras interesantes aportaciones de laMatemática al desarrollo de la Arqui-tectura desde el siglo XVI hasta nues-tros días.
Páginas Web de interés
www.cibermatex.com
www.cibermatex.com
Una innovadora página web para el aprendizaje yrefuerzo de las matemáticas de la Enseñanza Secunda-ria mediante el práctico recurso didáctico de la video–explicación.
Recientemente creada por los profesores FernandoMartín Rodríguez ([email protected]) y Daniel
López Avellaneda ([email protected]) del IES «Mar Se-rena» de Pulpí, esta original página pone a disposicióndel usuario cientos de videos en formato .avi en los cua-les se explican de manera sencilla y entretenida diferentestemas de matemáticas.
Posee dos secciones:
Una gratuita, Cibermatex free, que ofrece más de120 vídeo–explicaciones.
Otra de pago, Cibermatex plus, que contiene másde 1600 vídeos y a la que se accede mediante sus-cripción.
Se añaden diariamente un nuevo vídeo a Cibermatexfree y de 5 a 10 vídeos a Cibermatex plus, lo que per-mitirá cubrir próximamente todo el temario de Matemáti-cas de Secundaria y Bachillerato. En breve se pondrán enmarcha otros servicios, como la oferta de DVDs temáticos,con unos 30 vídeos cada uno, y la posibilidad de adquirirun DVD personalizado con los vídeos seleccionados por elusuario.
Como novedad para este año los creadores tienen pre-visto explicar con el mismo formato diferentes temas dela asignatura de Física.
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Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática
Cartas a una joven matemática.Ian Stewart
Ficha TécnicaEditorial Crítica.230 páginas.ISBN: 84-8432-847-3Año 2007
Se trata del último libro del célebre divulgador de lamatemática y renombrado matemático inglés Ian Stewart.En formato de cartas, el autor responde a las dudas e in-quietudes de una joven, llamada Meg, que quiere estudiarmatemáticas y que tras acabar sus estudios decide dedi-carse a la investigación matemática.
Un excelente libro para estudiantes de Bachillerato in-teresados en las Matemáticas y estudiantes universitariosde esta titulación. En él se pueden encontrar distintas ra-zones por las que estudiar matemáticas, qué tipo de ma-temáticas se estudian más allá del bachillerato y de launiversidad, cómo lidiar con el cambio entre el bachille-rato y la universidad, qué clase de profesores se puedenencontrar en la universidad y un largo etcétera.
Con su habitual facilidad para hacer sencillo lo difícil,el autor da numerosos ejemplos de cómo la matemática esla herramienta que nos permite entender cómo y por quéfunciona el fascinante mundo que nos rodea. Y se refiere ala radiología moderna, las telecomunicaciones, el desplie-gue digital, la exploración espacial, los nuevos materiales,la nanotecnología,... porque todo esto necesita grandes do-sis de matemáticas.
Habla también de la belleza y la creatividad en Mate-máticas, de las leyes de la simetría que conectan la cienciay el arte. Explica por qué es necesaria la demostración enmatemáticas y que ninguna evidencia experimental puedesustituirla y esto sugiere, hasta la fecha, el máximo nivelen la actividad de la mente humana.
Con el sentir de un matemático devoto y apasionado,el autor también muestra desde una perspectiva humanacómo es la vida de un matemático, qué sienten al hacermatemáticas, cómo ven el mundo, cómo se relacionan en-tre ellos, etc...
Reseña de Bernardo Lafuerza GuillénUniversidad de Almería
Infinitum. Citas matemáticas.Juan Francisco Guirado Granados
Ficha TécnicaEditorial Eneida.318 páginas.ISBN: 978-84-95427-79-6Año 2007
Escrito por un matemático almeriense amante de ladivulgación matemática, éste es el primer libro de citasmatemáticas en español.
Una excelente y necesaria recopilación de citas, máxi-mas, pensamientos y aforismos sobre la matemática, losmatemáticos, la idiosincrasia y el quehacer matemático, acargo de un heterogéneo elenco de autores, que incluyenpor supuesto a matemáticos, científicos y filósofos, perotambién, a escritores, políticos, cineastas, pintores, santosy personajes célebres de la Historia.
Contiene unas 1500 citas, ordenadas alfabéticamentepor autor, un índice de términos con unas 1200 entradasy un índice de autores, con más de 600 entradas, que re-sultan de gran ayuda a la hora de consultar esta profusacompilación. Encontrará el lector en él cientos de citas detodo tipo, admirables, displicentes, curiosas, raras, inge-niosas, ocurrentes, juiciosas, anodinas, fútiles, serias, joco-sas, irónicas, sarcásticas, provocadoras, aviesas, adulado-ras, acertadas, equivocadas,... que lo harán reflexionar ydisfrutar. Pero dejemos que el libro se presente a sí mismocon una pequeña muestra:
«Ha de saber las matemáticas, porque a cada pa-so se le ofrecerá tener necesidad de ellas.»
Miguel de Cervantes
«Siempre he creído que el mejor camino para ha-cer las Matemáticas interesantes a los alumnos yprofanos es acercarse a ellos en son de juego.»
Martin Gadner
«El avance y perfeccionamiento de las matemá-ticas están estrechamente ligados con la prospe-ridad de una nación.»
Napoleón Bonaparte
Reseña de Juan Cuadra DíazUniversidad de Almería
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Citas Matemáticas
«Cuatro cosas hay que no pueden ser escondidaspor mucho tiempo: la ciencia, la estupidez, la riquezay la pobreza.»
Averroes (1126-1198),filósofo, médico y matemático andalusí.
«El olvido de las matemáticas perjudica todo el cono-cimiento, ya que el que las ignora no puede conocerlas otras ciencias ni las cosas de este mundo.»
Roger Bacon (1214-1294),filósofo, científico y teólogo inglés.
PASATIEMPOS Y CURIOSIDADES
El juego del pinJosé Antonio Rodríguez LallenaUniversidad de Almería
No es extraño encontrarse en libre-rías y bibliotecas con títulos tales co-mo «Matemáticas recreativas», «Pen-sar es divertido», «Cuentos con cuen-tas» y «Pasatiempos matemáticos».
Algunos de estos títulos se cuen-tan entre los libros de Matemáticasmás populares. Entre ellos encontra-mos libros que se focalizan en algúnárea de las Matemáticas y otros queson más generalistas; así, algunos sededican casi exclusivamente a los nú-meros (véase, por ejemplo, la simpáti-ca novela «El diablo de los números:un libro para todos aquellos que te-men a las Matemáticas», de HansMagnus Enzensberger), dado el atrac-tivo especial que tienen para muchaspersonas, no pocas de ellas niños. Másaún, los números pueden llegar a serverdaderamente divertidos cuando sejuega con ellos, y en la mayor partede los casos esos juegos son formati-vos para la persona que los practica,sobre todo si son niños o jóvenes.
Hay muchos juegos y pasatiempos
que emplean números, algunos tan po-pulares como el sudoku. Ahora bien,éste y otros pasatiempos utilizan nú-meros, pero poco o nada enseñan so-bre ellos. Hay otros juegos de núme-ros que aportan más y pueden ser ala vez muy divertidos, una vez que sesupera la dificultad inicial que puedenpresentar (como suele ocurrir con losjuegos educativos). Uno de esos jue-gos es el juego del «pin», que practi-qué en mi adolescencia gracias al bueneducador que me aficionó a él.
La descripción del juego es bastan-te simple. El mínimo de jugadores es2, y no hay máximo, pero yo no su-peraría los 10 ó 15 jugadores. Los ju-gadores se sientan en círculo. Se sor-tea quién comienza. El primero de losjugadores dirá «uno»; inmediatamen-te, el situado a su derecha debe decir«dos», el siguiente «tres», y así suce-sivamente. Pero cuando se llegue a unnúmero que sea múltiplo de 7 o termi-ne en 7 las cosas cambian: el jugadordirá «pin» en lugar de ese número, yentonces cambia el sentido del juego:por ejemplo, al decirse «pin» cuando
tocaría decir «siete» el jugador que di-jo «seis» deberá ser el que diga tam-bién «ocho».
Pronto comienzan a darse situa-ciones en las que se requieren reflejosmentales, como por ejemplo: el juga-dor X1 dice «veintiséis», el jugador X2dice «pin», a lo que el jugador X1 res-ponde «pin» (en vez de «veintiocho»)y de nuevo tendrá que intervenir el X2para decir «veintinueve».
Cuando alguien comete un error(no dice «pin» cuando debe, o lo di-ce cuando no debe, o dice un númeroequivocado, o interviene cuando no letoca, o tarda en responder más de unoo dos segundos) queda eliminado.
Entonces el juego recomienza conlos restantes jugadores, empezandopor el que le tocaba seguir si el ju-gador eliminado no se hubiese equi-vocado, y en el sentido que llevara eljuego.
Así sucesivamente hasta que que-dan dos jugadores y se tiene la «granfinal», donde el primero que se equi-voca pierde (aunque la gran final tam-bién puede hacerse al mejor de 3, 5 ó
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7 rondas, alternándose el jugador quecomienza diciendo «uno» en cada ron-da).
El juego del «pin» requiere muchaconcentración y agilidad de cabeza, ala vez que cierta capacidad de cálculomental, necesaria para determinar rá-pidamente si un número es divisible ono por 7.
La participación en el juego con-tribuye a aumentar esas habilidades ycapacidades. Además, el juego, bienllevado, suele ser muy divertido (sesuelen producir situaciones graciosas,sobre todo equivocaciones que a vecesllevan a la carcajada).
Existen variantes del juego del«pin», como por ejemplo el juego del«pin-pan». Es idéntico al juego del
«pin», con la excepción de que losmúltiplos de 5 tampoco se mencionan,sino que se sustituyen por la palabra«pan» que tiene los mismos efectos enel juego que la palabra «pin».
¿Y qué ocurre cuando se llega anúmeros que son tanto múltiplos de7 como de 5? En ese caso, el juga-dor deberá decir «pin-pan» o «pan-pin» (ambas expresiones son correc-tas y tienen el mismo efecto en cuantoal cambio de sentido de juego que el«pin» o el «pan»).
Para auténticos expertos es el jue-go del «pin-pan-pun», que añade aljuego del «pin-pan» el tener que de-cir «pun» cuando el número terminaen 9 o es múltiplo de 9. Cualquier díade éstos reto a mis compañeros de de-
partamento a este juego, y a ver quépasa; seguro que no llegamos al núme-ro 100 con facilidad mientras no prac-tiquemos un poco.
En la siguiente tabla se muestraqué deberían responder los jugado-res al comienzo de cada juego enel caso del «pin» y del «pin-pan»,suponiendo que juegan 12 jugadoresX1, X2, . . . , X12, ordenados como indi-ca esta sucesión (por ejemplo, X1 tienea su derecha a X2, y a su izquierda sesienta X12).
Se propone al lector que completelas dos partes de la tabla hasta lle-gar al número 100, y que rellene lacorrespondiente tabla del juego «pin-pan-pun» hasta dicho número.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12
1 2 3 4 5 6 pin13 12 11 10 9 8 pin15 16 pin19 18 pin 2023 24 25 26 pin 22
pin 29 30 31 32 33 34 pinpin 36
41 pin 38 39 4043 pin 46 45 44...
1 2 3 4 panpin 6
8 9 panpin 13 12 11
pin 16 pan18 19 pan
pin 22 23 24 panpin 26
pan 29 pin31 32 33 34 pin-pan
pin 3638 39 panpin 41
43 44 panpin 46
48 pin53 54 pan pan 51 52...
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PROFESIONALES FORMADOS EN LA UAL
Francisco Jesús Vargas BerenguelEntrevista a un antiguo alumno de la UAL
Elisa Berenguel LópezM. Carmen Castro AlférezFrancisco Morales SorrocheEstefanía Ruiz BañosEstudiantes de la UAL
Francisco Jesús Vargas Berenguel
Entrevistamos a Francisco JesúsVargas Berenguel que trabaja en Eu-rovía informática como responsablede desarrollo. Francisco pertenece a la3a promoción de la Licenciatura deMatemáticas de la UAL y es IngenieroTécnico en Informática de Sistemas.• ¿Te costó mucho encontrar tra-bajo?
La verdad es que no. Antes de aca-bar la carrera ya tenía trabajo dan-do clases particulares por mi cuenta yen alguna que otra academia, aunqueera algo provisional me daba una cier-ta independencia económica y ademásestaba bien pagado.
Cuando terminé la carrera me pre-senté a las oposiciones de matemáti-cas para secundaría, suspendí el pri-mer examen. Fueron años en los quelas oposiciones de matemáticas eranmuy complicadas de aprobar, dada lagran cantidad de personas que se pre-sentaban y las pocas plazas ofertadas.Sin embargo, en convocatorias poste-riores compañeros de mi promociónconsiguieron aprobarlas y tienen des-de hace años su plaza de profesor desecundaria. El hecho de presentarmeme daba derecho a entrar en la bol-sa de trabajo de profesores interinos,aunque no llegué a solicitarla.
Después de presentarme a las opo-siciones, decidí estudiar Informática,sobre todo porque se me convalidabaun año completo y porque lo veía unbuen complemento a las matemáticas
a la hora de buscar trabajo. En dosaños terminé la carrera de I.T. en In-formática de Sistemas y un año antesde acabar ya tenía trabajo y en la ac-tualidad sigo en él.• ¿En qué consiste tu trabajoexactamente?
Inicialmente mi trabajo era de téc-nico en programación de software pa-ra entidades financieras. Con el tiem-po he ido pasando de programador se-nior, a analista y en la actualidad ges-tiono y superviso el trabajo de un gru-po de 25 personas.• ¿Cómo aplicas las matemáticasen él?
Mi trabajo principalmente es laprogramación y, obviamente, la basede la programación son las matemáti-cas. En muchas ocasiones te encuen-tras con situaciones en las que, pa-ra desarrollar un software, tienes queimplementar algoritmos muy compli-cados y mis conocimientos en mate-máticas ayudan bastante a solucionarestos problemas.• ¿Te sientes realizado? ¿Te pa-gan bien?
Sí, se puede decir que me sientorealizado. Me gusta bastante el traba-jo que desempeño y en cuanto a misueldo, la verdad es que no me puedoquejar.• ¿Qué recuerdo tienes de la ca-rrera? ¿Te supuso un gran esfuer-zo terminarla?
Tengo muy buenos recuerdos, so-bre todo de las experiencias vividascon mis compañeros. La carrera nome supuso mucho esfuerzo, ya que meplanteé como objetivo terminar la ca-rrera en sus 5 años y no le di muchaimportancia a sacar muy buenas no-tas.• ¿Mantienes contacto con tuscompañeros de la universidad?Tus compañeros de trabajo, ¿sontambién matemáticos o trabajascon otros titulados?
Sí, aún mantengo contactos con
compañeros universitarios. De hecho,con algunos de ellos sigo quedandofrecuentemente. Aunque uno pudierapensar que el trabajo que realizo só-lo lo puede desempeñar un informáti-co, carreras como matemáticas te for-man con una base como programadorbastante sólida. De hecho, en mi em-presa, hay al menos cinco titulados enmatemáticas que en estos momentosrealizan las mismas funciones que uninformático.• ¿Te has dedicado alguna vez ala enseñanza? Si es así, ¿qué di-ferencias encuentras entre ésta ytu trabajo actual?, ¿cuál te gustamás?
Como ya he comentado, estuve untiempo impartiendo clases particula-res. También he estado un par de me-ses haciendo prácticas en un institutode secundaria.
Hay bastantes diferencias entre laenseñanza y mi trabajo. En mi traba-jo, la mayor parte del tiempo lo dedi-cas a estar delante del ordenador y aprogramar, preparar documentación yleer correos. También suelo tener mu-chas reuniones con compañeros y conclientes. Y a veces tengo que realizarpresentaciones delante de mucha gen-te.
La enseñanza me gusta pero megusta más mi trabajo actual. De he-cho, a veces tengo que formar a gru-pos de personas y hacer presentacio-nes, y mi experiencia en la enseñanzame ayuda en estas situaciones.• ¿Nos podrías dar un mensajepara los estudiantes de matemá-ticas?
Yo los animaría a buscar trabajofuera del ámbito de la enseñanza. Nodeben tener miedo a no ser capaces dedesempeñar un trabajo fuera de la en-señanza, ya que las empresas normal-mente se encargan de formar a sus em-pleados y, sobre todo, porque los ma-temáticos están acostumbrados a tra-bajar duro.
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CURIOSIDAD MATEMÁTICA
La banda de MöbiusUn experimento curioso
Elisa Berenguel LópezM. Carmen Castro AlférezFrancisco Morales SorrocheEstefanía Ruiz BañosEstudiantes de la UAL
Möbius, astrónomo y matemáti-co alemán, está considerado como unpionero de la topología. Durante al-gún tiempo estudió Astronomía jun-to a Gauss en Göttingen y, aunquehizo importantes contribuciones a laAstronomía y a las Matemáticas, hoyen día es más conocido popularmentegracias al objeto que lleva su nombre,la «banda de Möbius», cuya cons-trucción presentamos a continuación.
Recortamos un trozo de papelalargado en forma rectangular.
Giramos uno de los extremos 180 gra-dos.
Finalmente, pegamos dichos extre-mos.
Lo que se obtiene realizando este ex-perimento es una banda de Möbius.Lo interesante de este objeto es queaunque parece que tiene dos caras,realmente tiene sólo una.
Puedes comprobar este hecho co-giendo un lápiz y trazando una línea
recta sobre su superficie. Verás que lle-gas al mismo punto de partida.
Otro experimento curioso que pue-des realizar con la banda de Möbiuses recortarla a lo ancho por la mitad,aproximadamente por donde habráspintado con el lápiz.
¿Qué crees que va a pasar? El re-sultado no es el que esperas... Tam-bién puedes recortarla en vez de porla mitad, por un tercio, por un cuarto,etc...
mobius.nb 1
Banda de Möbius realizada conMathematica c©
Chistes matemáticosElisa Berenguel López
M. Carmen Castro AlférezFrancisco Morales Sorroche
Estefanía Ruiz BañosEstudiantes de la UAL
Las personas que nos dedicamos a las Matemáticas te-nemos muy buen sentido del humor (¿?)... aunque a vecescuesta «pillarlo». Aquí presentamos algunas notas de hu-mor que hemos encontrado navegando por Internet, haymuchas más pero éstas nos han gustado.
< ¿Cuánto son 2+2?
Ingeniero: 3,9999999.
Físico: 4,0004± 0,0006.Matemático: espere sólo unos minutos más, ya he
probado que la solución existe y es única, ahorala estoy acotando.
Filósofo: ¿qué quiere decir cuando dice «2+2»?
Informático: defina las características de la opera-ción + y le responderé.
Contable: cierra puertas y ventanas y pregunta envoz baja «¿cuánto quiere que sea el resulta-do?».
< Un estadístico podría meter su cabeza en un hornoy sus pies en hielo, y decir que en promedio se en-cuentra bien.
< En una fiesta de funciones está bailando sen(x) concos(x). sen(x) se da cuenta de que ex está sentadasola a un costado de la pista. Entonces se le acercaamigablemente y le dice:
- Ven a bailar, ¡¡¡¡INTÉGRATE!!!! y le responde:- No, ¿para qué? ¡¡Si da igual!!
< Se abre el telón y aparecen tres vectores linealmenteindependientes. ¿Cómo se llama la obra?
Rango 3.
< ¿Por qué se suicidó el libro de matemáticas?
Porque tenía muchos problemas.
< ¿Qué sucede si n tiende a infinito?
Que infinito se seca.
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Bo√TitMatUal Territorio Estudiante Volumen I. Número 2 17 / 17
Lo que DICEN los profesores, y lo que realmente QUIEREN DECIR:
DICEN QUIEREN DECIR
Claramente No quiero pasar por todos los pasos intermedios.Trivialmente Si tengo que mostrarte por qué, te equivocaste de clase.Obviamente Si estabas dormido cuando lo expliqué, la cagaste, porque me niego
a repetir la explicación.Les doy una pista La forma más difícil de hacerlo.Podemos suponer que... Hay muchos casos, pero sé cómo hacer éste.Usando el teorema... no sé QUÉ es lo que dice, pero SÉ que se resuelve por ahí.El resto es álgebra Esta es la parte aburrida; si no me creen, ¡háganlo!Demostración hablada Si la escribo, pueden encontrar los errores.Brevemente Se está acabando la clase, así que escribiré y hablare rápido (no
breve).La dejo como ejercicio Estoy cansado.Demostración breve Ocupa la mitad de la hoja y CUATRO veces el tiempo en enten-
derla.Demostración formal Yo tampoco la entiendo.Fácilmente demostrable Hasta ustedes, con sus conocimientos infinitesimales, pueden de-
mostrarlo sin mi ayuda.
Responsables de las secciones
2 Actividad Matemática en la UAL
Actividades organizadas : Juan Carlos Navarro([email protected]).
Servicios (empleo, becas,...): Pedro Martínez([email protected]) y Juan Carlos Navarro([email protected]).
La Doble Titulación Matemáticas-IngenieroTécnico en Informática : Manuel Cantón([email protected]) y Juan Carlos Navarro([email protected]).
La investigación : Juan Cuadra ([email protected]) yJuan José Moreno ([email protected]).
Foro abierto: José Carmona (jcarmona@ual,es),José Escoriza ([email protected]).
2 De la Enseñanza Media a la EnseñanzaUniversitaria: Manolo Gámez ([email protected]),Francisco Gil ([email protected]) y Juan Guirado([email protected]).
2 Divulgación Matemática. En este apartado seabordan temas como:
La Historia y sus personajes : Florencio Castaño([email protected]) y Blas Torrecillas ([email protected]).
Problemas de interés : Juan Guirado([email protected]), Alicia Juan ([email protected])y Miguel Ángel Sánchez ([email protected]).
Las Matemáticas aplicadas en otros campos :Juan Antonio López ([email protected]), FranciscoLuzón ([email protected]) y Antonio Salmerón([email protected]).
Mujeres y matemáticas : Asunción Bosch([email protected]) y Maribel Ramírez([email protected]).
Cultura y Matemáticas : José Cáceres([email protected]) y José Luis Rodríguez([email protected]).
Lecturas recomendadas sobre divulgaciónmatemática : Juan Cuadra ([email protected]) yAntonio Morales ([email protected]).
Páginas web de interés : Juan Cuadra([email protected]).
Citas matemáticas : Juan Cuadra ([email protected])y Alicia Juan ([email protected]).
Pasatiempos y Curiosidades : Antonio Andujar([email protected]) y José Antonio Rodríguez([email protected]).
2 Territorio Estudiante: Elisa Berenguel([email protected]), Maria del Carmen Castro([email protected]), Francisco ManuelMorales (franciscomms [email protected]) y Estefanía dela Cruz Ruiz ([email protected]).
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